Giáo án điện tử Toán 11 Bài 3 Chân trời sáng tạo: Các công thức lượng giác

CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BÀI HỌC HÔM NAY! KHỞI ĐỘNG
Một thiết bị trễ kỹ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu
đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một
thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f (t) = 5sin t và phát lại được nốt 1
thuần f (t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f (t) + f (t), trong đó t là biến thời 2 1 2
gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ),
tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và
pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 2. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NỘI DUNG BÀI HỌC 1 Công thức cộng 2
Công thức nhân đôi 3
Công thức biến đổi tích thành tổng 4
Công thức biến đổi tổng thành tích 1. CÔNG THỨC CỘNG HĐ H 1 Đ a) Cho , hãy chứng tỏ Giải: Ta có: nên Vậy HĐ H 1 Đ
b) Bằng cách viết và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính Giải: Ta có: Mà (hai góc đối nhau). Do đó HĐ H 1 Đ
c) Bằng cách viết và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính Giải: Ta có: (do ). Vậy KẾT LUẬN Công thức:
(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa). 𝜋 Ví V dụ 1 a
Không dung máy tính, hãy tính: ¿ cos 75 ° ; b ¿ 𝑡𝑎𝑛 12 Giải
𝑎¿ cos75°=𝑐𝑜𝑠( 45°+30°)=𝑐𝑜𝑠 45° 𝑐𝑜𝑠 30°− 𝑠𝑖𝑛 45° 𝑠𝑖𝑛 30° √2 1 √6 − √2 ¿
. √3 − √2 . = 2 2 2 2 4 𝜋 𝜋 𝑡𝑎𝑛 − 𝑡𝑎𝑛 𝜋 𝜋 3 4 2 (√ 3 −1) b √3 − 1 ¿ 𝑡𝑎𝑛 =𝑡𝑎𝑛 − = = = 2 − √ 3 12 ( 𝜋3 4 )= 3 − 1 1 1+√ 3
+𝑡𝑎𝑛 𝜋 . 𝑡𝑎𝑛 𝜋 3 4 𝜋 Ví dụ dụ 2
Chứng minh rằng𝑠 𝑖𝑛𝑥+ 𝑐𝑜𝑠𝑥=√2 𝑠𝑖𝑛(𝑥+ 4 ) Giải Ta có: 𝜋
√2𝑠𝑖𝑛(𝑥+
+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛 𝜋
+𝑐𝑜𝑠𝑥 . √2
4 )=√2(𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 𝜋4
4 )=√2(𝑠𝑖𝑛𝑥. √22 2 )
¿ 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥
Đẳng thức được chứng minh. LUYỆN TẬP 1: TẬP Chứng minh rằng: a) b) Giải a) Ta có: (đpcm). LUYỆN TẬP 1: TẬP Chứng minh rằng: a) b) Giải 𝜋 𝑡𝑎𝑛 −𝑡𝑎𝑛 𝑥 b) Ta có: 4
𝑉𝑇 =𝑡𝑎𝑛( 𝜋 − 𝑥 =𝑉𝑃 4
)=1+𝑡𝑎𝑛 𝜋𝑡𝑎𝑛𝑥 4 (do ) VẬN DỤNG 1
Giải bài toán trong tình huống mở đầu. Giải Ta có:
Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được: Do đó,
Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ
âm và pha ban đầu của sóng âm là .
2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI HĐ H 2 Đ
Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: Giải Mà , suy ra và Do đó, HĐ H 2 Đ
Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: Giải
tan ⁡2 𝑎=tan ⁡( 𝑎+ 𝑎)
tan 𝑎+ tan 𝑎
¿ 1− tan 𝑎 tan 𝑎 2 tan 𝑎 ¿ 1− tan2𝑎 KẾT LUẬN
Công thức nhân đôi − 1 Ví dụ dụ 3 Cho 𝑐 𝑜 𝑠 𝑎 =
< 𝑎< 𝜋 3 ( 𝜋 2 . ) Tính Giải 𝜋 Vì nên .
2 <𝑎 < 𝜋 1 2 1 2 √2
Do đósin 𝑎=√1 −𝑐𝑜𝑠2𝑎=√1−(− = = = 3 ) √1− 9 √89 3 2 √2 1 4 √2
Vậy sin 2 𝑎=2 sin 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎=2. . 3 (− 3 )=− 9 Công thức hạ bậc 1 1− cos 2 a cos2 a + cos 2 a = sin2 a 2 = 2 π LUYỆN Y TẬ T P 2
P : Không dùng máy tính, tính cos 8 Giải √2 π π =cos =cos −1 Ta có: 2 4 (2. 8)=2cos2π8 2 Suy ra 2 cos2 π √2 +√2 =1+ = 8 2 ⇒ cos2 π8 4 π π √2+√2 cos Vì 8 >0 cos nên suy ra 8 = 2
3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG HĐ H 3 Đ
a) Từ các công thức cộng và hãy tìm:
b) Từ các công thức cộng và , hãy tìm: Giải a) Ta có: (1); (2).
Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được: 1
Từ đó suy ra: cos 𝑎cos 𝑏= 2 [cos⁡(𝑎+𝑏)+cos⁡(𝑎– 𝑏)]
Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được 1
Từ đó suy ra: sin ⁡𝑎 sin ⁡𝑏= 2 [cos ⁡(𝑎– 𝑏)– cos ⁡(𝑎+𝑏)] Giải b) Ta có: (3) (4)
Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được: Từ đó suy ra: 1
sin ⁡𝑎cos ⁡𝑏=2[sin⁡(𝑎+𝑏)+sin⁡(𝑎–𝑏)] KẾT LUẬN
Công thức biến đổi tích thành tổng Ví V dụ
dụ 4 Tính giá trị của các biểu thức: 5 𝜋 7 𝜋
𝐴=𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 ; 𝐵 12 12
=𝑐𝑜𝑠 75 ° 𝑠𝑖𝑛 15 ° Giải Ta có: 𝐴 1 7 𝜋 7 𝜋
=𝑐𝑜𝑠 5 𝜋 𝑐𝑜𝑠 5 𝜋 = − + 12 12
2 [𝑐𝑜𝑠( 5 𝜋 12
12 )+𝑐𝑜𝑠( 5 𝜋 12 12 )] 1 𝜋 1 √ 3 −2 ¿ − 1
2 [𝑐𝑜𝑠 (− 6 )+𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋 )]= 2 ( √3 2 )= 4 Ví V dụ
dụ 4 Tính giá trị của các biểu thức: 5 𝜋 7 𝜋
𝐴=𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 ; 𝐵 12 12
=𝑐𝑜𝑠 75 ° 𝑠𝑖𝑛 15 ° Giải Ta có: 1
𝐵=𝑐𝑜𝑠75 ° 𝑠𝑖𝑛15 °= [ 𝑠𝑖𝑛(15 °− 75 °) 2
+ 𝑠𝑖𝑛(15 ° +75 ° )] 1 1 2 −√ 3 ¿
[ 𝑠𝑖𝑛 (−60 ° )+ 𝑠𝑖𝑛 (90 ° ) ]= +1 2 2 (− √ 3 2 )= 4
Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức: LUYỆN TẬ P 3 P : 5 π 7 π B=sin cos 12 12 Giải 1 Ta có: ¿ 2 ¿ 1 1 1 ¿
( cos 60o +cos 90o )= . + 0 2 2 ( 1 2 )= 4
Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức: LUYỆN TẬ P 3 P : 5 π 7 π B=sin cos 12 12 Giải
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
TỔNG THÀNH TÍCH HĐ H 4 Đ
Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt và viết các công thức nhận được Giải Giải Đặt
Ta có: và 𝑢+𝑣 𝑢 − 𝑣 Suy ra 𝑎= ; 𝑏 2 =− 2 Khi đó: (1) trở thành:
𝑐𝑜𝑠 (𝑢+ 𝑣 ) 𝑐𝑜𝑠 𝑢 − 𝑣
1 (𝑐𝑜𝑠𝑢+𝑐𝑜𝑠𝑣) 2 (− 2 )=2 𝑢+𝑣 𝑢 − 𝑣
⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑢+ 𝑐𝑜𝑠 𝑣=2 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 (do ). Giải • (2) trở thành: (do ) • (3) trở thành: KẾT LUẬN
Công thức biến đổi tổng thành tích Ví dụ dụ 5
Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức 𝜋 4 𝜋 7 𝜋 A=sin − sin 9 9 +sin 9 Giải 𝜋 7 𝜋 4 𝜋 𝜋 4 𝜋 A=(sin +sin
=2 𝑠𝑖𝑛 4 𝜋 cos −sin 9 9 )− sin 9 9 3 9 4 𝜋 4 𝜋 ¿ sin − sin 9 9 =0
Biến đổi tổng thành tích: CÂU Â HỎ H I Ỏ a) b) Giải a)
Biến đổi tổng thành tích: CÂU Â HỎ H I Ỏ a) b) Giải b)
Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức LU L YỆN TẬ YỆN T P 4 P : Giải Ta có: VẬN DỤNG 2
Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết
hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy
tần số thấp f và tần số cao f liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra 1 2
sóng âm ở đó là biến thời gian (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích
của một hàm số sin và một hàm số côsin. Giải
a) Quan sát Hình 1.13, ta nhận thấy khi nhấn phím 4, âm thanh được tạo ra
có tần số thấp f = 770 Hz và tần số cao f = 1 209 Hz. 1 2
Khi đó, hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4 là: b) Ta có: Vậy ta có hàm số: LUYỆN TẬP 50:50 50:50 Key
Câu 1. Giá trị của biểu thức là? A.√3 𝐶.√3 2 4 𝐵.−√3 1 2 𝐷 . 2 50:50 Key
Câu 2. Giá trị đúng của biểu thức bằng 1 𝐴. 𝐶. √31 √3 𝐵.−√3 𝐷.−√3 50:50 Key
Câu 3. Cho là các góc của tam giác .
Khi đó tương đương với: A. C. B. D. 50:50 Key
Câu 4. Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức? 1) 2) 3) 4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 50:50 Key Câu 5. Rút gọn A. C. B. D. Bài 1.7 (SGK – tr21)
Sử dụng , hãy tính các giá trị lượng giác của góc . Giải • √2 1 √6 − √2 ¿
. √3 − √2 . = 2 2 2 2 4
cos15o=cos( 45o −30o)=cos 45o cos30o+sin 45o sin 30o √2 √2 1 √6+√2 ¿ . √3 + . = 2 2 2 2 4 Bài 1.7 (SGK – tr21)
Sử dụng , hãy tính các giá trị lượng giác của góc . Giải 1 − √3
( tan 45o − tan 30o) 3
tan15o=tan(45o −30o)= = =2− √3
1+tan 45o tan 30o 1+1. √3 3 1 1 cot 15o= = =2 +√ 3 tan 15o 2 − √ 3 Tính: a) , biết và Bài 1.8 (SGK – tr21) b) , biết và Giải a) Vì nên Mặt khác, từ suy ra Ta có : Tính: a) , biết và Bài 1.8 (SGK – tr21) b) , biết và Giải b) Vì n , do đó Mặt khác từ Ta có : Bài 1.9 (SGK – tr21) Tính ,biết: a) và Giải a) Vì nên Mặt khác, từ suy ra Ta có : ; b) và Tính ,biết: Giải b) Ta có : ⇔ Vì nên , do đó . Mặt khác từ . Ta có : .
Bài 1.10 (SGK – tr21) Tính giá trị của các biểu thức sau: π π π π sin cos cos 15 15 + sin 10 15 a ¿ A = 2 π π 2 π π cos cos −sin sin 15 5 15 5 Giải π π π π π π 1 sin cos + sin cos sin( π + sin 15 15 10 15 15 10 ) 6 2 a ¿ A= = = = =1 2 π π 2 π π π 1 cos cos −sin sin π cos cos 15 5 15 5 (2π + 15 5 ) 3 2
Bài 1.10 (SGK – tr21) Tính giá trị của các biểu thức sau: π π π π b ¿ B=sin cos cos cos 32 32 16 8 Giải b) Ta có :
Bài 1.11 (SGK – tr21)
Chứng minh đẳng thức sau: Giải 1
Ta có: sin(a+b)sin(a−b)= [cos( a 2
+b − a+ b) − cos (a +b+ a − b)] 1 1 ¿
[ cos 2b − cos 2 a]
[(2 cos2 b −1) −( 2 cos2 a − 1)] 2 = 2
¿ cos2 b −cos2 a Vậy (1) Giải Lại có : Do đó : Vậy (2) Từ (1), (2) suy ra : (đpcm) VẬN DỤNG
Bài 1.12 (SGK – tr21) Cho tam giác ABC có và .
a) Sử dụng công thức và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của
tam giác ABC ho bởi công thức
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng,
hãy tính diện tích S của tam giác ABC. Giải
a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là: Từ đó suy ra asin B b= sin A 1 1 asin B
a2 sin B sin C S ab sin C a . .sin C Diện tích tam giác ABC = là: = = 2 2 sin A 2sin A
a2sin BsinC S Vậy = 2sin A Giải b) Ta có: Ta có: 1
a2 sin B sin C 122 sin 75o [s c in os (75o 45 o
− 45o )− cos ( 75o+ 45o) ] S = = 2 2 sin A 2 sin ¿ 144. 60 o 2. √ 3 12 72(√3 −(−
72(cos30o −cos120o) 2 2 ) ¿ = =36+12 √3 √3 √3 Vậy diện tích là
Bài 1.13 (SGK – tr21)
Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi
công thức trong đó là thời điểm (tính bằng giây), là li độ của vật tại thời điểm
là biên độ dao động và là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hòa có phương trình:
Tìm dao động tổng hợp và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm
biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này. Giải Dao động tổng hợp Suy ra
Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là với biên độ và pha ban đầu là
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ Chuẩn bị bài mới: Ghi nhớ kiến Hoàn thành bài tập
Bài 3. Hàm số thức trong bài. trong SBT. lượng giác. CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC!
Document Outline

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61
• Slide 62
• Slide 63
• Slide 64
• Slide 65
• Slide 66