lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG Chương 6
Thanh chịu uốn phẳng
A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa
 Uốn thuần túy phẳng: Thanh gọi là chịu uốn thuần tuý nếu trên các mặt
cắt ngang của nó chỉ tồn tại thành phần ứng lực là mômen uốn M ) nằm x ( hoặc My
trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
 Uốn ngang phẳng: Thanh gọi là chịu uốn ngang phẳng nếu trên các mặt
cắt ngang của nó chỉ có cặp ứng lực là mômen uốn M , lực cắt Q x y ( hoặc My và Qx )
nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
 Tải trọng gây uốn: nằm trong mặt phẳng đi qua trục thanh và vuông góc với trục thanh
2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
2.1. Ứng suất pháp   Mx y z
                                         6 Ix Trong đó
- Mx là mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang
- Ix là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục quán tính chính trung tâm Ox
- y là tung độ của điểm tính ứng suất
Ghi chú: Mx > 0 khi làm căng thớ dƣới và Mx < 0 khi làm căng thớ trên.
Do (7.1) phải chú ý đến dấu của mô men uốn và tung độ điểm tính ứng suất
nên ta thƣờng dùng công thức kỹ thuật.    Mx y z (6.2) Ix
Dấu (+) khi điểm tính ứng suất thuộc vùng chịu kéo và dấu (-) khi điểm tính ứng
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 1
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com) lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG
suất thuộc vùng chịu nén. 2.2. Đường trung hoà
 Thớ trung hoà: Thớ vật liệu dọc trục có chiều dài không đổi (không bị co,
không bị dãn) trong quá trình biến dạng do chịu uốn.
 Mặt trung hoà: tập hợp các thớ trung hoà
 Đƣờng trung hoà: giao tuyến của mặt trung hoà với mặt cắt ngang (đi
qua trọng tâm mặt cắt ngang)
 Đƣờng trung hoà chia mặt cắt ngang làm hai phần: phần chịu kéo và phần chịu nén
2.3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị
Từ công thứ tính ứng suất pháp (6.1), nhận thấy rằng các điểm càng xa
đƣờng trung hoà thì có trị tuyệt đối của ứng suất càng lớn. Vì các điểm cùng nằm
trên một đƣờng thẳng song song với đƣờng trung hoà có trị số ứng suất nhƣ nhau
nên ta chỉ cần biểu diễn sự biến thiên của ứng suất theo chiều cao mặt cắt ngang.
Biểu đồ ứng suất pháp đi qua gốc toạ độ nhƣ trên hình vẽ, đánh dấu (+) đẻ chỉ ứng
suất kéo, và dấu (-) chỉ ứng suất nén.
 Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang có 1 trục đối xứng (hình 6.1)
 Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (hình 6.2)
 Điểm K xa đƣờng trung hoà nhất (tung độ k y
) ở vùng chịu kéo (  > 0) max z
sẽ có giá trị ứng suất pháp kéo lớn nhất, kí hiệu là  ; còn điểm N xa đƣờng zmax
trung hoà nhất (tung độ n y
) ở vùng chịu nén (  < 0 ) sẽ có giá trị ứng suất max z
pháp nén lớn nhất kí hiệu là  . z min
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 2
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com) lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG s min n max x M y h1 x §TH  max k max t yC y  1 2  b1 max y
Hình 6.1. Biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ T Ta có:   M M x k y ;    x n y (6.3) zmax z min max I max I x x Đặt I I k W  x ; n W  x x (6.4) y x y K N   M M x    x Thì zmax k W ; zmin n W (6.5) x x k W , n
W lần lƣợt là mômen chống uốn kéo (nén) của mặt cắt ngang. Với mặt x x
cắt ngang có trục x là trục đối xứng thì k n
W  W  W x x
x và gọi là mômen chống uốn của mặt cắt ngang. y min n max x M y x §TH h  x max k maxy max b
Hình 6.2. Biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ nhật
- Mặt cắt ngang hình chữ nhật (b x h; trục x song song với cạnh đáy b) 2 bh x W 
                                   6 6
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 3
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com) lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG
- Mặt cắt ngang hình tròn (đƣờng kính D; trục x đi qua trọng tâm O)  3  D W  3 0,1D x
                              6 32
- Mặt cắt ngang hình vành khăn (đƣờng kính trong d, đƣờng kính ngoài D)  3 D  3  d  I d x  64 64 W 0,1D 1   x  3   4  D / 2 D/2 với D (6.8)
2.4. Ứng suất tiếp
Với mặt cắt ngang dạng hình chữ nhật hẹp b << h . Ứng suất tiếp tuân theo giả thiết Zuravxki: c   Q S y x  
                              6 yz I b x c Trong đó: y
- Qy là lực cắt theo phƣơng y tại mặt cắt ngang. x §TH h
- Ix là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối y với trục x. c A
- bc chiều rộng của mặt cắt ngang tại điểm tính c b=b ứng suất  - C
A là phần diện tích bị cắt (là phần diện tích giới hạn bởi chiều rộng mặt cắt
ngang tại điểm tính ứng suất và mép ngoài của mặt cắt ngang). - c
S là mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt C
A đối với trục x x
Biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ T, và mặt cắt ngang chữ nhật thể
hiện trên hình vẽ 6.1 và 6.2.
3. Điều kiện bền
3.1. Thanh chịu uốn thuần tuý.
Với vật liệu dòn - ứng suất cho phép khi kéo và nén khác nhau nên Mx         ok   
                 6 max k k W n x
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 4
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com) lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG Mx         on min  
                 n 6 n W n x
Với vật liệu dẻo - ứng suất cho phép khi kéo và nén nhƣ nhau nên max ,   max min    (6.11)
3.2. Thanh chịu uốn ngang phẳng
Trên mặt cắt có 3 loại điểm ở ba trạng thái ứng suất khác nhau
a. Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất đơn (các điểm ở mép trên
và dƣới của mặt cắt ngang ). + Với vật liệu dẻo:
- Mặt cắt cần kiểm tra: mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất về trị tuyệt đối max ,   (6.12) max min   
+ Với vật liệu dòn: nếu tiết diện có trục x là trục đối xứng thì mặt cắt ngang
nguy hiểm là mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất về trị tuyệt đối; nếu trục x không
là trục đối xứng thì mặt cắt cần kiểm tra là mặt cắt ngang có mô men âm lớn nhất và
cả mặt cắt ngang có mô men dƣơng lớn nhất. Mx         ok     max k k W n x Mx         on  
                 min n n W n x
b. Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất trƣợt thuần tuý.
Mặt cắt cần kiểm tra là mặt cắt ngang có trị tuyệt đối của Qy lớn nhất. Điểm kiểm
tra là các điểm nằm trên đƣờng trung hoà. c Q S   y x  max c  
                     6 I b x
Trong đó  đƣợc lấy tuỳ theo thuyết bền.
c. Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
Mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt ngang có Mx và Q cùng khá lớn. Điểm kiểm tra là y
những điểm mà tại đó có sự thay đổi đột ngột về kích thƣớc mặt cắt ngang (điểm tiếp xúc
giữa lòng và đế của mặt cắt ngang chữ I).
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 5
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com) lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG    2 ( )  4( 2 t® z zy )  
nếu dùng thuyết bền 3    2 ( )  3( 2 t® z zy )  
nếu dùng thuyết bền 4  Chú ý:
+ Khi kiểm tra điều kiện bền cho thanh chịu uốn ngang phẳng, về nguyên
tắc ta đều phải kiểm tra cho cả ba loại trạng thái ứng suất đã nêu trên. Tuy nhiên
kết quả thống kê cho thấy điều kiện bền cho trạng thái ứng suất đơn là quan trọng nhất. 3.3. Ba bài toán cơ bản
a. Bài toán kiểm tra điều kiện bền
Cho biết: Sơ đồ kết cấu, kích thƣớc hình học thanh, tải trọng và ứng suất cho phép.
Yêu cầu: Kiểm tra điều kiện bền cho thanh   Mx  max  W x
b. Bài toán chọn kích thƣớc mặt cắt ngang
Cho biết: Sơ đồ kết cấu, dạng hình học của thanh, tải trọng và ứng suất cho phép.
Yêu cầu: Chọn kích thƣớc nhỏ nhất của thanh   M M x    W  x max x W x 
c. Bài toán tìm tải trọng cho phép tác dụng lên kết cấu
Cho biết: Sơ đồ kết cấu, kích thƣớc hình học của thanh, ứng suất cho phép của vật
liệu, vị trí và phƣơng chiều của tải trọng.
Yêu cầu: Tìm giá trị cho phép lớn nhất của tải trọng có thể tác dụng vào kết cấu theo điều kiện bền. M   x  M W max   x x  W x
4. Biến dạng của dầm chịu uốn
a. Độ cong của đường đàn hồi 1  Mx  (6.14) EIx
với  - bán kính cong của đƣờng đàn hồi
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 6
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com) lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG
B. Các bài tập tự giải
6.1. Cho dầm có kích thƣớc mặt cắt ngang và chịu tải trọng nhƣ hình vẽ. Tính giá trị
ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại điểm C thuộc mặt cắt ngang 1-1 của dầm. Biết
q=10kN/m; a=1m; F=qa; M0=qa2, các kích thƣớc theo cm. 1 8 q C M0 (a) 40 1 a a a 10 q 1 20 20 (b) 1 C 5 a a a 1 F 3F 6 C (c) 28 1 a a a 6 6 12 6
6.2. Cho dầm có kích thƣớc mặt cắt ngang và chịu tải trọng nhƣ hình vẽ. Vẽ biểu đồ
các thành phần ứng lực của dầm. Vẽ biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại mặt cắt
ngang 1-1 của dầm. Cho a=1m; q=10kN/m; M=qa2/2; F=qa; d=4cm; δ = 1cm q M 1 2d d 2d 1 a a a 2d 4d 2 q 1 F  15 1 B  a a a 3 12
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 7
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com) lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG
6.3. Cho dầm có liên kết và chịu lực nhƣ hình vẽ.
1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm.
2.Xác định kích thƣớc mặt cắt ngang theo điều kiện bền ứng suất pháp.
a) Biết a=1m ; q=10kN/m ; vật liệu có =1,2 kN/cm2 . M=qa2 q 3b F=qa a a a b
b) Biết a=2m ; q=15kN/m ; vật liệu có =16 kN/cm2 . F=qa q C A B 1.5a 0.5a
c) Biết a=1,5m ; q=5kN/m ; vật liệu có =1,2 kN/cm2 . F=qa q M=qa2 D 2a a
6.4. Cho dầm có liên kết và chịu lực nhƣ hình vẽ.
1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm.
2.Xác định tải trọng cho phép theo điều kiện bền ứng suất pháp.
a. Biết a=0.5m; d=8cm; D=10cm; =16 kN/cm2 . M=qa2 q B d 4a a D
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 8
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com) lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG
b. Biết a=1m; mặt cắt ngang chữ U số 27 và ứng suất cho phép =16 kN/cm2. Với
tải trọng cho phép tìm đƣợc hăy kiểm tra điều kiện bền cho trạng thái ứng suất
trƣợt thuần túy và trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. F=qa o N 27 q F=2qa 3a a
6.5. Cho dầm có liên kết và chịu lực nhƣ hình vẽ.
1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm.
2.Kiểm tra điều kiện bền cho dầm.
Biết a=1m; q=10kN/m; F=5kN; t=d=2cm; h=24cm; b=10cm. =16 kN/cm2. F F t d h B t a 3a a b
6.6. Cho dầm có liên kết và chịu lực nhƣ hình vẽ.
1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm.
2.Kiểm tra điều kiện bền cho dầm.
Biết q=15kN/m; M=5kNm; L=1m; a=6cm; k=3 kN/cm2;n=8 kN/cm2 q 4a M a a 3L L a a
6.7. Dùng phƣơng pháp tích phân trực tiếp, viết phƣơng trình độ võng và góc
xoay trên chiều dài dầm. Xác định độ võng tại B và góc xoay tại C, biết EI=const
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 9
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com) lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG q M C C B B L/2 L/2 L L (a) (b) q q B, C L C B 2L/3 L (c) (d)
6.8. Dùng phƣơng pháp tích phân trực tiếp, viết phƣơng trình độ võng và góc xoay
trên chiều dài dầm. Xác định độ võng và góc xoay tại C, biết EI=const F q C C a a a b
6.9. Dùng phƣơng pháp tải trọng giả tạo xác định độ võng tại B và góc xoay tại C, biết EI=const F F M=Fa C C B L/2 L 2a a (a) (b) M=Fa F C B L/2 C B a a L (c) (d)
6.10. Dùng phƣơng pháp thông số ban đầu xác định độ võng tại B và góc xoay tại C, biết EI=const
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 10
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com) lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG F=qa q F q M=qa C B C B a a a 2a a 2 F M=qa q C B C B 3F a a a a a a
6.11. Cho dầm mặt cắt ngang chữ T chịu tải trọng nhƣ hình vẽ. Xác định ứng suất pháp
và ứng suất tiếp cực trị
6.11. Cho dầm mặt cắt ngang chữ T chịu tải trọng nhƣ hình vẽ. Xác định ứng suất
pháp và ứng suất tiếp tại điểm B thuộc mặt cắt a-a
6.12. Vẽ biểu đồ ứng lực của dầm có liên kết và chịu tải trọng nhƣ hình vẽ
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 11
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com) lOMoARcPSD|36477180
CHƢƠNG 6 – THANH CHỊU UỐN PHẲNG
6.13. Tính lực dọc trong thanh treo AC của hệ chịu lực nhƣ hình vẽ. Biết L
=1m; Mô đun đàn hồi kéo của thanh AC 1=3m; L2 và dầm AB là E=2.104
kN/cm2. Kích thƣớc mặt cắt ngang của thanh AC là A=1,5cm2. Tiết diện dầm AB hình
chữ nhật có kích thƣớc 6x12cm; tải phân bố w=20kN/m
Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập 12
Downloaded by Ng?c Di?p ??ng (ngocdiep10012000@gmail.com)