HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG PHẦN MỞ ĐẦU 1. TỔNG QUAN V MÔN H C 1.1. Gi i thi u
Trong quá trình lao động, con ng ời đư làm việc và sáng tạo ra nh ng sản phẩm là
th c thể của không gian ba chiều. Lúc ban đầu, ng ời suy nghĩ ra nh ng đối t ợng
ba chiều đó cũng chính là ng ời tr c ti p làm ra chúng.
Hình 0-01 – Ví dụ như người suy nghĩ ra hình dạng của một cái bình cũng chính là người
nhào nặn ra cái bình đó.
Dần dần, theo s phát triển của văn minh nhân loại, việc phân công lao động đư
tách quá trình : Suy nghĩ ra đối t ợng trong trí óc và tạo lập đối t ợng đó thành một
vật thể ba chiều trên th c t ra làm hai phần do nh ng nhóm ng ời khác nhau th c hiện.
Hình 0-02 – Ví dụ như kiến trúc sư thiết kế ra một công trình trên bản vẽ giấy hai chiều (2D).
Kỹ sư xây dựng có nhiệm vụ xây dựng công trình đó thành một đối tượng ba chiều (3D) trên thực tế. 1
HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG
Hình 0-03 – Ví dụ nhà tạo dáng sản phẩm công nghiệp đưa ra ý tưởng bằng các hình vẽ 2D.
Thợ sản xuất dựa theo bản thiết kế đó mà làm ra sản phẩm 3D trên thực tế.
Nh vậy, thông tin về một đối t ợng trong không gian cần phải đ ợc thể hiện trên
nh ng bản v giấy để nh ng nhóm ng ời khác nhau có thể đ c và liên t ởng trở lại
hình ảnh không gian của đối t ợng đó.
Việc thể hiện thông tin của một đối t ợng ba chiều lên trên nh ng bản v giấy hai
chiều đòi hỏi phải có nh ng ph ơng pháp biểu diễn sao cho tất cả nh ng thông tin
về đối t ợng đó đều phải đ ợc tìm thấy trên các bản v hai chiều và ng ời đ c bản
v có thể tái hiện lại đ ợc hình ảnh ba chiều của đối t ợng đó trong trí óc.
Nghiên cứu về nh ng ph ơng pháp biểu diễn đó để làm cơ sở lý luận cho việc xây
d ng các bản v là nguồn gốc l ch sử và là một trong nh ng nội dung của môn Hình H c H a Hình. 1.2. Đ nh nghĩa môn h c
Hình h c h a hình là môn h c nghiên cứu cách thức biểu diễn một không gian hình
h c lên một không gian hình h c khác (th ờng có chiều thấp hơn) rồi dùng các hình
biểu diễn ấy để nghiên cứu không gian hình h c ban đầu.
Trong giáo trình này, chúng ta chỉ giới hạn trong phạm vi biểu diễn không gian hình
h c Euclide ba chiêu lên không gian hình h c Euclide hai chiều.
2. M C ĐệCH C A MÔN H C VÀ PH NG PHÁP H C
2.1. M c đích c a môn h c
Việc h c môn hình h c h a hình nhằm tạo cơ sở để ng ời h c bi t cách thể hiện
các bản v kỹ thuật, ki n trúc, mỹ thuật,…Đồng thời cũng giúp cho việc rèn luyện về t duy không gian. 2.2. Ph ng pháp h c
Để có thể ti p thu tốt môn h c, ng ời h c cần phải bi t k t hợp t duy không gian
(khả năng t ởng t ợng) với việc vận dụng t duy logic trên hình biểu diễn. (Xem hình 0-04) 2
HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG
Hình 0-04 – Phương pháp học môn hình học họa hình 3. QUI
C V KÝ HI U BIỂU DIỄN CÁC Y U T HÌNH H C
Để tránh xảy ra nhầm lẫn khi biểu diễn các y u tố hình h c, ta qui ớc sử dụng
thống nhất các ký hiệu sau đây : (xem hình 0-05) 1
- Để ký hiệu điểm, ta dùng các ch in: A, B,
C, D, E, … -
Để ký hiệu đ ờng (thẳng hoặc cong), ta
d ùng ch th ờng: a, b, c, d, e, …
- Để ký hiệu mặt (phẳng hoặc cong), ta dùng
ch hoa: A, B, C, …hoặc ta để các ch
trong dấu ngoặc đơn: (ABC), (p // q), …
- Đ ể ký hiệu hình chiếu 1 của một đối t ợng
h ình h c A, ta thêm các chỉ số: A’ hoặc A1
hoặc A2 hoặc A3, … Hình 0-05
4. CÁC KHÁI NI M C B N C A HÌNH H C H A HÌNH 2 4.1. Phép chi u
Ta có thể hiểu khái niệm về phép chi u từ việc mô hình hóa một vật thể ba chiều
đặt tr ớc một nguồn sáng và cho bóng đổ lên trên một bề mặt nào đó. (xem hình 0- 06)
1 Xem mục 4.1 để bi t khái niệm về phép chi u.
2 Phép chi u, t ơng ứng 1-1 và s suy bi n là nh ng thuật ng cơ bản của hình h c h a hình, các
thuật ng này có thể đ ợc đ nh nghĩa một cách chính xác bằng các công cụ toán h c ( tập hợp, ánh
xạ,…), tuy nhiên các đ nh nghĩa này khá trừu t ợng. Do đó giáo trình này chỉ đ a ra các khái niệm về
chúng nhằm cố gắng mô tả một cách dễ hiểu và tr c quan nhất cho ng ời đ c. 3
HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG
- Nguồn phát ra tia sáng đ ợc mô hình hóa thành một điểm g i là nguồn chiếu
(hay tâm chiếu) S.
- Các tia xuất phát từ nguồn chi u S đ ợc g i là tia chiếu.
- Mặt (phẳng) nhận bóng của vật thể đ ợc g i là mặt (phẳng) hình chiếu P.
- Bóng của vật thể A in lên trên mặt (phẳng) hình chi u đ ợc g i là hình chiếu A’
hay ảnh A’ của vật thể A. Hình 0-06 4.2. T ng ứng 1-1
Ta có thể hiểu khái niệm t ơng ứng 1-1 nh là một s t ơng đ ơng gi a hai vấn
đề A và B. N u bi t đ ợc A thì s bi t đ ợc B và ng ợc lại. Hay nói cách khác, A và
B là hai cách thức khác nhau diễn đạt cùng một vấn đề duy nhất. (Hình 0-07) Hình 0-07
T ơng ứng 1-1 là điều kiện bắt buộc trong việc truyền đạt thông tin thông qua các
hình thức diễn đạt khác nhau nhằm đảm bảo cho thông tin nhận đ ợc không b sai
lệch, thêm bớt so với thông tin ban đầu. 4
HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG 4.3. Sự suy bi n
Hình chi u A’ của một đối t ợng hình h c A g i là b suy biến khi có các đặc điểm sau : (xem hình 0-08 a,b)
- Số chiều không gian của hình chi u A’ (là n-1), giảm đi một so với số chiều không
gian của đối t ợng hình h c A (là n).
- N u mở rộng đối t ợng hình h c A trong không gian ra vô tận thì nó luôn đi qua nguồn chi u S. Hình 0-08 a Hình 0-08 b
Hình 0-08 a : đ ờng thẳng a (một chiều) có hình chi u a’  A là một điểm (không
chiều). N u kéo dài đ ờng thẳng a ra vô tận thì đ ờng thẳng a s đi qua nguồn chi u S. Do
đó ta nói hình chi u a’ b suy bi n thành một điểm.
Hình 0-08 b : mặt phẳng (ABC) (hai chiều) có hình chi u (A’B’C’) là một đ ờng thẳng
(một chiều). N u mở rộng mặt phẳng (ABC) ra vô tận thì nó s đi qua nguồn chi u S. Do đó
ta nói hình chi u (A’B’C’) b suy bi n thành một đ ờng thẳng.
S suy bi n có một vai trò rất quan tr ng trong việc giải quy t các bài toán tìm giao
tuy n của hình h c h a hình. Phần lớn các bài toán muốn tìm ra lời giải thì tr ớc h t
phải đi xác đ nh (hoặc tạo lập) các y u tố suy bi n.
5. BỔ SUNG Y U T VÔ TẬN VÀO KHÔNG GIAN HÌNH H C EUCLIDE 3 CHI U
Để không gian hình h c ba chiều có thể đ ợc biểu diễn đầy đủ bởi không gian giấy
v hai chiều, đồng thời làm đơn giản hóa khi biểu diễn các y u tố hình h c, ng ời ta
mở rộng không gian Euclide ba chiều bằng cách thêm vào y u tố vô tận (∞)
Ta có hệ tiên đề mới về y u tố vô tận (∞) nh sau : -
Mỗi đ ờng thẳng có một điểm vô tận.
Nh ng đ ờng thẳng song song nhau thì
có chung với nh au điể m vô t ận. (Hinh Hình 0-09 0-09) 5
HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG
- Mỗi mặt phẳng có một đ ờng thẳng vô
tận. Nh ng mặt phẳng song song nhau
thì có chung với nhau đ ờng thẳng vô tận. (Hinh 0-10) -
Quĩ tích tất cả nh ng điểm vô tận của khô ng g ian tạo t hành m ột mặ t phẳng vô tận . M i đ iể
m vô tận và đ ờng thẳng vô
tận đều nằm trên mặt phẳng này. Hình 0-10
 Ta xem các y u tố vô tận và các y u tố h u hạn của không gian có vai trò bình đẳng nh nhau.
Sau khi bổ sung các y u tố vô tận vào không gian hình h c Euclide ba chiều, các
mệnh đề liên thuộc 3 đ ợc phát biểu đơn giản hơn :
- Hai đ ờng thẳng thuộc cùng một mặt phẳng thì có ít nhất một điểm chung.
- Một đ ờng thẳng và một mặt phẳng trong không gian thì có ít nhất một điểm chung.
- Hai mặt phẳng trong không gian thì có ít nhất một đ ờng thẳng chung. 6. CÁC PHÉP CHI U
6.1. Phép chi u xuyên tâm
Xây dựng phép chiếu : (hình 0-11) T
rong không gian ta lấy một điểm S h u
hạ n làm tâm chi u (nguồn chi u) và một
mặt phẳng P làm mặt phẳng hình chi u.
Giả sử có một điểm A bất kỳ trong không
gian, để chi u điểm A qua tâm chi u S lên
m ặt phẳng P ta v tia SA. Tia SA giao với
m ặt phẳng P tại điểm A’. A’ đ ợc g i là
hình chi u của điểm A qua tâm chi u S lên mặt phẳng P. Hình 0-11
Nhờ bổ sung y u tố vô tận mà m i điểm của không gian Euclide ba chiều đều có
hình chi u của nó trên mặt phẳng P (trừ điểm nằm trùng với nguồn chi u S).
3 Liên thuộc là một thuật ng của hình h c h a hình dùng để chỉ mối liên hệ gi a nh ng đối t ợng có
liên quan và phụ thuộc với nhau. 6
HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG
 Các tính chất của phép chiếu xuyên tâm :
- Hình chi u của một điểm (không trùng
tâm chi u) là một điểm.
- Hình chi u của một đ ờng thẳng (không
đi qua tâm chi u) là một đ ờng thẳng.
- S liên thuộc gi a điểm và đ ờng thẳng
đ ợc bảo toàn: A  a  A’  a’
- Tỉ số kép gi a bốn điểm thẳng hàng
đ ợc bảo toàn: (hình 0-12) Hình 0-12
Hay vi t g n hơn là (ABCD) = (A’B’C’D’)
6.2. Phép chi u song song
 Định nghĩa : Phép chi u song song là phép chi u xuyên tâm có nguồn chi u S ở vô tận.
 Các tính chất của phép chiếu song song :
- Hình chi u của nh ng đ ờng thẳng song song nhau cũng là nh ng đ ờng thẳng
song song nhau : a // b  a’ // b’ (hình 0-13)
- Tỉ số của hai đoạn thẳng song song nhau đ ợc bảo toàn : MN ' M ' N  PQ ' P ' Q (Hình 0-13)
- Tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng đ ợc bảo toàn: AB ' A ' B  (Hình 0-14) CB ' C ' B
Hay vi t g n hơn là (ABC) = (A’B’C’) Hình 0-13 Hình 0-14 7
HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG
6.3. Phép chi u thẳng góc
 Đị nh nghĩa : Phép chi u thẳng góc là
phép chi u song song có ph ơng chi u
vuôn g góc với mặt phẳng hình chi u. 
Các tính chất của phép chiếu thẳng góc:
- Phép chi u thẳng góc là một tr ờng
h ợp riêng của phép chi u song song
nên nó có tất cả các tính chất của phép chi u song song. -
Hình chi u thẳng góc của một góc v uông có một c ạnh s ong son g với mặt
ph ẳng hì nh ch i u cũ ng là một góc Hình 0-15 v uông. (hình 0-15) 7. CÁC PH
NG PHÁP BIỂU DIỄN KHÔNG GIAN C A HÌNH H C H A HÌNH
Điều kiện cơ bản để thành lập đ ợc ph ơng pháp biểu diễn một không gian hình
h c lên một không gian hình h c khác là gi a hai không gian này phải có t ơng ứng
1-1. Sau đây là các ph ơng pháp biểu diễn không gian của hình h c h a hình
th ờng đ ợc dùng trong các ngành kỹ thuật : 7.1. Ph
ng pháp hình chi u thẳng góc
Ph ơng pháp này đ ợc thi t lập b
ằng cách chi u vật thể lên các mặt
phẳng hình chi u thông qua các phép
chi u thẳng góc. (hình 0-16 a,b)
- u điểm của ph ơng pháp này là
các kích th ớc không b bi n
dạng, do đó việc đo đạc trên hình v rất dễ dàng. Hình 0-16 a
- Nh ợc điểm của ph ơng pháp
này là khó hình dung lại vật thể ba
chiều khi vật thể có nhiều chi ti t phức tạp.
 Ph ơng pháp này đ ợc sử dụng
rộng rãi trong các ngành kỹ thuật :
ch t ạo máy, ki n trúc, xây d ng, … Hình 0-16 b 8
HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG 7.2. Ph
ng pháp hình chi u tr c đo
Ph ơng pháp này đ ợc thành lập bằng cách gắn vật thể ba chiều vào một hệ trục
t a độ Descartes vuông góc Oxyz rồi chi u vật thể lẫn hệ trục t a độ lên trên một
mặt phẳng hình chi u theo một h ớng chi u song song đư ch n tr ớc. (hình 0-17)
- u điểm của ph ơng pháp này
là dễ dàng hình dung đ ợc các
vật thể ba chiều (tuy nhiên, hình
ả nh thu đ ợc b bi n dạng một
l ợng nhất đ nh, không hoàn
to àn giống với th c t ). -
Nh ợc điểm của ph ơng pháp
này là các kích th ớc b bi n
d ạng theo một hệ số nào đó,
khó đo đạc và lấy kích th ớc tr c ti p trên hình v .
 Ph ơng pháp này cũng đ ợc Hình 0-17
sử dụng rộng rãi trong các ngành
kỹ thuật : ch tạo máy, ki n trúc, xây d ng, …Th ờng đi kèm với ph ơng pháp hình
chi u thẳng góc để minh h a hình không gian của vật thể. 7.3. Ph
ng pháp hình chi u ph i c nh
Ph ơng pháp này đ ợc thi t lập bởi một phép chi u xuyên tâm chi u vật thể lên
trên mặt phẳng P (thẳng đứng) và một phép chi u thẳng góc chi u vật thể lên trên
mặt phẳng V (nằm ngang). Hình ảnh thu đ ợc trên mặt phẳng P đ ợc g i là phối
cảnh của vật thể. (hình 0-18) Hình 0-18 9
HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG
- u điểm của ph ơng pháp này là dễ dàng hình dung đ ợc vật thể ba chiều trong
không gian. Hình biểu diễn đúng với nh ng gì mà mắt ng ời nhìn thấy.
- Nh ợc điểm của ph ơng pháp này là kích th ớc b bi n dạng rất nhiều, hoàn
toàn không thể đo đạc và lấy kích th ớc tr c ti p trên hình v .
 Ph ơng pháp này đ ợc sử dụng rộng rãi trong các ngành : hội h a, ki n trúc, … 7.4. Ph
ng pháp hình chi u có đánh s
Ph ơng pháp này đ ợc thi t lập bằng một phép chi u thẳng góc chi u vật thể lên
trên mặt phẳng hình chi u P (nằm ngang) và có kèm theo các số đo chỉ độ cao trên
các đ ờng đồng mức. (hình 0-19) Hình 0-19
- u điểm của ph ơng pháp này là biểu diễn đ ợc các đối t ợng có hình dạng
phức tạp nh đ a hình đồi núi, nhiệt độ, s phân bố mây, …
- Nh ợc điểm của ph ơng pháp này là chỉ có thể biểu diễn đ ợc gần đúng các đối
t ợng hình h c ba chiều chứ không thể biểu diễn chính xác hoàn toàn đ ợc.
 Ph ơng pháp này đ ợc sử dụng rộng rưi trong các ngành đo đạc đ a chất, thủy văn, …
Nhằm mục đích phục vụ cho các đối t ợng có liên qua đ n khối ngành ki n trúc, xây
d ng nên giáo trình chỉ hạn ch trình bày các ph ơng pháp biểu diễn của hình chi u
thẳng góc, hình chi u trục đo và hình chi u phối cảnh. Không trình bày ph ơng
pháp hình chi u có đánh số. 10
HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 : Xét một phép chiếu bất kỳ, hai đường thẳng song song có chiếu thành hai
đường thẳng song song không? Khi nào thì trường hợp này xảy ra ?
Bài 2 : Cho ba điểm A,B,C trong không
gian và ba đường thẳng p,q,r trên mp P.
Xác định tâm chiếu S sao cho hình chiếu
của A, B, C từ tâm chiếu S lên mp P lần
lượt thuộc p, q, r. (hình 0-20)
Bài 3 : Cho 2 mp P, Q giao nhau theo
giao tuyến g. Trên mặt phẳng P, cho
trước một tứ giác ABCD. Hãy vẽ hình
chiếu song song A’B’C’D’ của tứ giác
ABCD trên mp Q. Cho biết trước hình Hình 0-20
chiếu B’ của điểm B. (hình 0-21)
Bài 4 : Cho trước tâm chiếu S, một điểm
M và tứ giác phẳng ABCD. Qua điểm M
hãy vẽ mp P sao cho hình chiếu của
ABCD lên mp P là 1 hình bình hành.
Bài 5 : Cho góc xOy và mp P. Xác định
các hướng chiếu sao cho hình chiếu của
góc O lên mp P là một góc vuông. Xét
trường hợp xOy có cạnh Oy // mp P. (hình 0-22) Hình 0-21 Hình 0-22 11
HÌNH H C H A HÌNH CHUYÊN NGÀNH KI N TRÚC - XÂY D NG
Bài 6 : Trong một phép chiếu thẳng góc, chiếu tam giác ABC lên mp P. Đã biết
hình chiếu của cạnh AB và biết thêm ABC là tam giác vuông cân có AB = AC, cạnh
AB song song mp P, góc hợp bởi cạnh AC và mp P là 300. Hãy vẽ hình chiếu của
tam giác ABC. (hình 0-23) Hình 0-23
* Bài 7 : Cho trước tứ giác phẳng ABCD. Hãy xác định tâm chiếu S và mp hình
chiếu P sao cho hình chiếu của tứ giác phẳng ABCD lên mp P là: 1- hình bình hành. 2- hình chữ nhật. 3- hình vuông.
* Bài 8 : Cho tam giác ABC, tam giác DEF và mp P. Hãy xác định tâm chiếu S1
chiếu ABC lên mp P và tâm chiếu S2 chiếu DEF lên mp P sao cho hai hình chiếu
A’B’C’ và D’E’F’ trên mp P trùng nhau. (hình 0-24) Hình 0-24 12