Giáo trình hình học tuyến tính | Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

GIÁO TRÌNH HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH 2 Mục lục 1 Hình học Euclid 5
1.1 Không gian affine Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Không gian vectơ Euclid . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Không gian affine Euclid . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Tính trực giao của các phẳng . . . . . . . . . . . 7
1.2 Khoảng cách, góc, thể tích trong không gian Euclid . . . 9
1.2.1 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Định thức Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Khoảng cách từ một điểm đến một phẳng m chiều 12
1.2.4 Khoảng cách giữa hai phẳng . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng . . 14
1.2.6 Góc trong không gian Euclid En . . . . . . . . . 16
1.2.7 Thể tích trong En . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Ánh xạ đẳng cự, ánh xạ đẳng cự trong E2, E3 . . . . . . 20
1.3.1 Ánh xạ đẳng cự affine . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Biến đổi đẳng cự trong E2 . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Phép đẳng cự trong E3 . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Siêu mặt bậc hai trong không gian Euclid . . . . . . . . 24 3
1.4.1 Biểu thức tọa dộ dạng chính tắc của siêu mặt bậc
hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Phương chính và siêu phẳng kính của siêu mặt bậc
hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Đường bậc hai trong E2 . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.4 Mặt bậc hai trong E3 . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Nhóm đẳng cự và Nhóm đồng dạng . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1 Nhóm đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.2 Nhóm đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Chương 1 Hình học Euclid 1.1 Không gian affine Euclid
1.1.1 Không gian vectơ Euclid 1.1.1 Định nghĩa. − →
Cho ( E , +, .) là một R-không gian vectơ và < ., . >: − → − → − →
E × E → R là một ánh xạ. Khi đó R-không gian vectơ ( E , < ., . >)
được gọi là một không gian vectơ Euclid nếu thỏa mãn:
i) Ánh xạ < ., . > là song tuyến tính, tức là < ., . > là tuyến tính với mỗi thành phần.
ii) Ánh xạ < ., . > là đối xứng, tức là < ~x, ~y >=< ~y, ~x > ∀ ~x, ~y ∈ − → E . − →
iii) Ánh xạ < ., . > là xác định dương, tức là < ~x, ~x >≥ 0 ∀ ~x ∈ E
và < ~x, ~x >= ~0 ⇔ ~x = ~0. − →
Chú ý: < ., . > còn được gọi là một tích vô hướng trên E và ta thường − →
kí hiệu < ~x, ~y > là ~x · ~y cho thuận tiện. Khi đó ta cũng ký hiệu (E , ·) − →
thay cho ( E , < ., . >). 1.1.2 Định nghĩa. − →
Cho ( E , ·) là một không gian vectơ Euclid. Với mỗi − → √ √
vectơ ~u ∈ E , đặt | ~u| = ~u · ~u = ~u2. Khi đó:
i) | ~u| ≥ 0, | ~u| = 0 ⇔ ~u = ~ 0, − →
ii) ∀ λ ∈ R, ∀ ~u ∈ E : | λ~u| = |λ|.| ~u| , − →
iii) | ~u + ~v| ≤ | ~u| + | ~v| ∀ ~u, ~v ∈ E . 5 1.1.3 Định nghĩa. − →
Cho ( E , ·) là một không gian vectơ Euclid. Giả sử − → B = {~e } là một cơ sở của E . 1, ..., ~ en − →
B được gọi là một cơ sở trực giao của E nếu ~e · = 0 i ~ej ∀ i 6= j. − →
B được gọi là một cơ sở trực chuẩn của E nếu ~e · = i ~ej δij ∀ i, j. 1.1.4 Định nghĩa. − →
Cho (E , ·) là một không gian vectơ Euclid và W là − →
một không gian vectơ Euclid con của E . − →
(a) Giả sử ~u, ~v ∈ E . Ta nói ~u trực giao với ~v và kí hiệu là ~u ⊥ ~v nếu ~ u · ~ v = 0. − →
(b) Giả sử ~u ∈ E . Ta nói ~u trực giao với W và kí hiệu là ~u ⊥ W nếu ~ u ⊥ ~v, ∀ ~v ∈ W . − →
(c) Đặt W ⊥ = {~u ∈ E | ~u ⊥ W } (W ⊥ được gọi là phần bù trực giao của P ). − → (d) Cho E . Ta nói V trực
V là một không gian vectơ Euclid con của
giao với W , và kí hiệu là V ⊥ W, nếu ~u ⊥ ~v, ∀ ~u ∈ V, ~v ∈ W. 1.1.5 Mệnh đề. − →
W ⊥ cũng là một không gian vectơ Euclid con của E − → và L E = W W ⊥.
1.1.2 Không gian affine Euclid 1.1.6 Định nghĩa. − → − →
Cho (E, θ, E ) là một không gian affine. Nếu ( E , ·) − →
là một không gian vectơ Euclid thì (E, θ, E ) được gọi là một không gian
affine Euclid hay đơn giản là không gian Euclid. Nhận xét.
• Các phẳng trong không gian Euclid cũng là các không gian Eulcid.
• Không gian Euclid chiều n ta thường kí hiệu là En.
• Khi n = 2 ta thường gọi không gian Euclid hai chiều là mặt phẳng Euclid. 6 −−→
Cho hai điểm M, N ∈ E, đặt d(M, N) = | MN| . Khi đó ta có: −−→ −−→ 2
M N2 := d2(M, N) = | M N| 2 = M N .
1.1.7 Mệnh đề. Trong không gian Euclid E, cho ba điểm A, B, C. Khi đó ta có:
−→ −→ AB2 + AC2 − BC2 AB · AC = . 2
1.1.8 Mệnh đề. Xét ánh xạ d : E×E → R cho bởi (M, N) 7→ d(M, N) = −−→ | M N| . Khi đó ta có:
(i) d(M, N) ≥ 0, d(M, N ) = 0 ⇔ M ≡ N. (ii) d(M, N) = d(N, M ).
(iii) d(M, P ) ≤ d(M, N ) + d(N, P ).
Do đó (E, d) là một không gian mêtric.
1.1.3 Tính trực giao của các phẳng 1.1.9 Định nghĩa. − →
Cho (E, θ, E ) là một không gian affine Euclid n chiều. Xét {O, A
} là một mục tiêu affine của 1, A2, ..., An E. Khi đó −−→ −−→ − → −→ −−→ {OA OA } là một cơ sở
1, ..., OA } là một cơ sở của n E . Nếu {OA1, ..., n − →
trực chuẩn (tương ứng trực giao) của E thì {O, A } được gọi 1, A2, ..., An
là một mục tiêu trực chuẩn (tương ứng trực giao) của E.
1.1.10 Định nghĩa. Trong không gian Euclid En, cho phẳng α và β − →
với phương lần lượt là − →
α , β . Ta nói hai phẳng α và β là trực giao nếu − → − →
α ⊥ β . Khi đó ta thường kí hiệu là α ⊥ β.
Hai phẳng α và β được gọi là bù trực giao nếu hai không gian vectơ − → − → − →
α , β bù trực giao trong E .
1.1.11 Định lý. Hai phẳng trực giao có không quá một điểm chung. Hai
phẳng bù trực giao có một điểm chung duy nhất.
Chứng minh. Gọi hai phẳng trực giao là α và β.
Giả sử tồn tại hai điểm chung phân biệt của α và β là M, N. Khi đó 7 −−→ −−→ − → − →β . Điều này kéo theo M N ∈ − →
α và M N ∈ β . Do α ⊥ β nên − →α ⊥ −−→ −−→ −−→ −
→0 , mẫu thuẫn với giả thiết M, N phân M N · M N = 0. Suy ra M N =
biệt. Vậy ta giao của hai phẳng trực giao không quá một điểm. − → Nếu Suy ra dim
α và β là bù trực giao thì E = − → L −→β . α + dim β = n − → α và − →
α ∩ β = ~0. Do đó, nếu α ∩ β = ∅ thì − →
dim(α + β) = dim α + dim β − dim(− →α ∩ β ) + 1 = n + 1.
Điều này vô lý. Do đó α và β có điểm chung. Kết hợp với α và β có
không quá một điểm chung ta kết luận α và β có một điểm chung duy nhất.
1.1.12 Mệnh đề. Nếu hai phẳng α và β bù trực giao trong E thì tổng của chúng là E.
1.1.13 Định lý. Nếu phẳng α trực giao với phẳng γ và phẳng β bù trực
giao với phẳng γ thì α song song với β. − → − → − →
Chứng minh. Từ giả thiết ta có − → α ⊥ −
→γ , β ⊥ −→γ và E = L γ . Suy − → − →
β . Vậy α song song với β. β ra ta có − → α ⊂
1.1.14 Hệ quả. Hai phẳng cùng bù trực giao với phẳng thứ ba thì song song và cùng số chiều.
1.1.15 Hệ quả. Qua một điểm đã cho có duy nhất một phẳng bù trực
giao với một phẳng cho trước.
Ngoài ra, chúng ta có một số mối liên hệ giữa quan hệ song song và
quan hệ trực giao của các phẳng như sau:
1.1.16 Mệnh đề. Nếu phẳng α trực giao với siêu phẳng γ và phẳng β
song song với phẳng γ thì α trực giao với β.
1.1.17 Mệnh đề. Nếu phẳng α trực giao với siêu phẳng γ và phẳng β
thì β song song với siêu phẳng γ. 8
1.2 Khoảng cách, góc, thể tích trong không gian Euclid 1.2.1 Khoảng cách
1.2.1 Định nghĩa. Trong không gian Euclid En, cho hai phẳng α và β.
Ta định nghĩa khoảng cách giữa α và β là d(α, β) = inf d(M, N ). M ∈α,N∈β
Nhận xét. Ta có d(α, β) = 0 nếu α ∩ β 6= ∅.
1.2.2 Định nghĩa. Trong không gian Euclid, cho hai phẳng α và β.
Đường thẳng ∆ được gọi là đường vuông góc chung của α và β nếu ∆
trực giao với cả α, β và ∆ cắt cả α, β.
1.2.3 Định lý. Hai phẳng α và β không có điểm chung thì có đường
thẳng vuông góc chung. Hơn nữa đường vuông góc chung đó là duy nhất khi và chỉ khi − → − → α ∩ β = {~0}. − → Chứng minh. Đặt W = −
→α + β và W⊥ là không gian vectơ con bù trực − →
giao của W. Khi đó ta có W ⊥ W ⊥ và L E = W W ⊥, (1). −−→
Xét hai điểm M ∈ α, N ∈ β. Khi đó vectơ M N = ~u + ~v với ~u ∈ W − →
và ~v ∈ W ⊥. Do ~u ∈ W nên ~u = ~x + ~y với ~x ∈ −
→α và ~y ∈ β . Chọn hai −→ −→
điểm I, J sao cho M I = ~x và JN = ~y thì I ∈ α và J ∈ β. Hơn nữa ta có − → −→ −−→ −→ −−→ −−→ − → IJ = IM + M N + NJ = − IJ . ~ x + M N − ~ y nên suy ra M N = ~ x + ~ y + − →
Kết hợp với (1) ta suy ra IJ ∈ W ⊥. Mặt khác α và β không có điểm
chung nên I, J phân biệt. Vậy đường thẳng IJ có phương thuộc W ⊥ nên
IJ trực giao với α và β. Từ đó ta có IJ là đường vuông góc chung của α và β.
Xét đường vuông góc chung ∆ của α và β và ∆ cắt α, β lần lượt là I′, J′. 9 Khi đó ta có −→ −→ − → −→ −→ − → −→ −→ I′J′ = ′
I′I + IJ + JJ′ ⇒ I′J′ − IJ = I′I + JJ ∈ W ⊥ ∩ W −→ − → ⇒ I′J′ − IJ = ~0 −→ − → − → ⇒ I′J′ = IJ ∈ − → α ∩ β . − →
Do đó đường thẳng ∆ trùng với đường thẳng IJ khi và chỉ khi − →α ∩ β = ~0.
Định lý được chứng minh.
1.2.4 Định lý. Nếu đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của α và
β và cắt α, β lần lượt tại I, J thì d(α, β) = d(I, J).
Chứng minh. Lấy hai điểm bất kì M ∈ α, N ∈ β. Từ giả thiết ta suy ra − → −→ − → −→ JN = 0. Do đó ta có IJ · M I = IJ · −−→ − → −→ −→ | M N| 2 = | IJ + M I + JN | 2 − → −→ −→ − → −→ −→
= | IJ | 2 + | M I + JN | 2 + 2IJ · (M I + NJ ) − → −→ −→ = | IJ | 2 + | M I + JN | 2 − → ≥ | IJ | 2 ⇒ | M N| ≥ | IJ| . Từ đó suy ra d(I, J ) = inf d(M, N ). M ∈α,N∈β Vậy ta có d(α, β) = d(I, J).
1.2.5 Hệ quả. Nếu điểm M không thuộc phẳng α thì qua M có đường
thẳng ∆ duy nhất vuông góc và cắt α. Khi đó giao điểm N của ∆ với α gọi
là hình chiếu vuông góc của M trên α. Hơn nữa ta có d(M, α) = d(M, N ).
1.2.6 Hệ quả. Nếu phẳng α song song với phẳng β và phương của α là
không gian vectơ con của phương β thì với điểm M bất kì thuộc α, đường
thẳng đi qua M và trực giao với β sẽ là đường vuông góc chung của α và
β. Khi đó ta có d(α, β) = d(M, α). 10 1.2.2 Định thức Gram 1.2.7 Định nghĩa. − →
Trong không gian vectơ Euclid n chiều En cho m vectơ ~u ( 1, ..., ~ um m ≤ n). Đặt ~ u · · · · · · 1 ~ u1 ~ u1 ~ u2 ~ u1 ~ um ~ u · · · · · · 2 ~ u1 ~ u2 ~ u2 ~ u2 ~ um · · · · · · · · · · · · Gr ~ u ( ) = 1, ..., ~ um ~ u · · · · · · m ~ u1 ~ um ~u2 ~ um ~um
và được gọi là định thức Gram của hệ vectơ ~u1, ..., ~um.
1.2.8 Ví dụ. 1) Trong mặt phẳng Euclid với mục tiêu trực chuẩn cho
trước, cho hai vectơ ~u = (1; 2) = (0; −1) 1 , ~ u2
. Khi đó định thức Gram của hệ hai vectơ là ~ u · · 5 −2 1 ~ u1 ~ u1 ~ u2 = 5.1 − (−2).(−2) = 1. Gr ~ u ( ) = = 1, ~ u2 ~ u · · −2 1 2 ~ u1 ~ u2 ~u2
2) Trong không gian Euclid bốn chiều với mục tiêu trực chuẩn cho trước,
cho ba vectơ ~v = (0; 1; 1; 0) = (1; 0; 0; 1) = (0; 0; 0; −1) 1 , ~ u2 , ~ u3 . Khi đó
định thức Gram của hệ ba vectơ là ~ u · · · 2 0 0 1 ~ u1 ~ u1 ~ u2 ~ u1 ~ u3 ~ u · · · 0 2 −1 = 2. 2 ~ u1 ~ u2 ~ u2 ~ u2 ~ u3 Gr ~ u ( ) = = 1, ~ u2, ~ u3 ~ u · · · 0 −1 1 3 ~ u1 ~ u3 ~u2 ~u3 ~u3
1.2.9 Mệnh đề. Định thức Gram của hệ m vectơ luôn không âm và bằng
không khi và chỉ khi hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính. − →
Chứng minh. Gọi V là không gian vectơ Euclid con m chiều của En chứa {~u } và gọi E = {
} là một cơ sở trực chuẩn của 1, ..., ~ um ~e1, ..., ~ em V.
Giả sử vectơ ~u có tọa độ (
) đối với cơ sở E và đặt ma trận i a1i, ..., ami A = (a )
ki , k, i = 1, 2, ..., m. Khi đó ta có m Gr ~ u ( ) = det( · ) = det( a ) ki.akj 1, ..., ~ um ~ ui ~ uj X k=1
= det(AtA) = det(At). det(A) = (det A)2. 11
Vậy định thức Gram của hệ m vectơ luôn không âm. Hơn nữa ta có Gr ~ u ( ) = 0 1, ..., ~ um ⇔ det A = 0.
Điều này tương đương với hệ vectơ {~u } phụ thuộc tuyến tính. 1, ..., ~ um
Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Bằng cách sử dụng tính chất biến đổi định thức ta có các kết quả sau:
1.2.10 Mệnh đề. a) Nếu ~v là tổ hợp tuyến tính của { } thì m ~ u1, ..., ~ um Gr ~ u ( + ) = ( ) 1, ..., ~ um−1, ~um ~vm Gr ~ u1, ..., ~ um . b) Nếu ~v ⊥ ~u với mọi ( | 2 ( ) i i = 1, 2, ..., m thì Gr ~ u1, ..., ~
um, ~v) = | ~v .Gr ~u1, ..., ~um .
1.2.3 Khoảng cách từ một điểm đến một phẳng m chiều
Trong không gian Euclid, cho một điểm A. Phẳng α có chiều m đi
qua điểm M và có phương là − →
α . Chọn một cơ sở bất kì của − → α là E = {~u } 1, ..., ~
um . Khi đó khoảng cách từ điểm A đến phẳng α được tính bằng công thức: −→ Gr ~ u ( AM ) 1, ..., ~ u d2(A, α) = m, . Gr ~ u ( ) 1, ..., ~ um
Thật vậy, gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên phẳng α. Khi đó
d(A, α) = d(A, H). Bằng cách áp dụng các tính chất của định thức Gram ta có −→ −→ −−→ Gr ~ u ( ) = ( HM ) 1, ..., ~ um, AM Gr ~ u1, ..., ~um,AH + −→ −−→ = Gr(~u ) + ( HM ) 1, ..., ~ um, AH Gr ~ u1, ..., ~um, −→ −→ = Gr(~u AH| 2Gr(~ u ) 1, ..., ~ um, AH) = | 1, ..., ~ um −→ −→ Gr(~ u AM ) 1, ..., ~ u ⇒ | AH| 2 = m, . Gr ~ u ( ) 1, ..., ~ um −→ Gr(~ u AM ) Vậy ta có 1, ..., ~ u d2(A, α) = m, . Gr ~ u ( ) 1, ..., ~ um
1.2.11 Ví dụ. Trong không gian Euclid bốn chiều với mục tiêu trực
chuẩn cho trước, tính khoảng cách từ điểm A(1; 2; 1; 2) đến phẳng α cho 12
bởi phương trình tham số x = 1 + 1 s x = 2 + 2 t . x = 1 + 3 t x = 3 + 4 s
Giải. Từ phương trình của α ta có α đi qua điểm M = (1; 2; 1; 3) và có
phương là không gian vectơ hai chiều nhận hai vectơ {~v = (0; 1; 1; 0) = 1 , ~ u2
(1; 0; 0; 1)} là hai vectơ cơ sở. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có −→ Gr ~ u ( M A) 2 1 1, ~ u2, d2(A, α) = = = . Gr ~ u ( ) 4 2 1, ~ u2 1 Vậy d(A, α) = √ . 2
1.2.4 Khoảng cách giữa hai phẳng − → − →
Cho hai phẳng α, β có phương lần lượt là − → α , β . Đặt − →γ = − →α + β . Gọi {~u } là một cơ sở của −
→γ . Lấy M, N là các điểm bất kì tương 1, ..., ~ um
ứng thuộc α, β. Khi đó khoảng cách giữa hai phẳng α, β được tính theo công thức: −−→ Gr ~ u ( M N) 1, ..., ~ u d2(α, β) = m, . Gr ~ u ( ) 1, ..., ~ um
Thật vậy, đặt γ là phẳng qua điểm N nhận phương là − → γ và H là hình −−→
chiếu vuông góc của M lên phẳng γ. Khi đó M H ⊥ − →γ . Gọi IJ là đường
vuông góc chung của α và β (nếu α ∩ β 6= ∅ thì ta coi I ≡ J ∈ α ∩ β). − → Suy ra IJ ⊥ −
→γ . Kết hợp các tính chất trên ta có − → −→ −−→ −→ −→ −→
IJ = IM + M H + HN , và IM + HN ∈ − →γ −→ −−→ −→ −−→ −→ −→
( −→IJ| 2 = | IM + MH + HN| 2 = | MH| 2 + | IM + HN| 2 | −−→ −→ − → −→ − → −→ −→ 2 2 ⇒
| HM | 2 = | − IM + IJ − HN | = | IJ | + | IM + HN | 2 −→ −→ ⇒ IM + HN = ~0 − → −−→ ⇒ IJ = M H. 13
Vậy ta có d(α, β) = d(I, J ) = d(M, H) = d(M, γ). Sử dụng công thức
khoảng cách từ một điểm đến một phẳng ta thu được −−→ Gr(~ u M N) 1, ..., ~ u d2(α, β) = d2(M, γ) = m, . Gr ~ u ( ) 1, ..., ~ um
Vậy công thức khoảng cách giữa hai phẳng được chứng minh.
1.2.12 Ví dụ. Trong không gian Euclid ba chiều E3 với mục tiêu trực
chuẩn cho trước, xét đường thẳng ∆ đi qua điểm M có phương là không
gian vectơ một chiều sinh bởi vectơ ~u(a ; ; ) và đường thẳng ∆′ đi 1 a2 a3
qua điểm M′ có phương là không gian vectơ một chiều sinh bởi vectơ ~ v(a′ ; a′ ; a′ ), ~
u và ~v không cùng phương. 1 2 3 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a′ a′ a′ a′ a′ a′ 2 3 1 Đặt ~ u, ~ v. [~ u C, ~ hv] ứn = g minh rằn ,g ,
gọi là vectơ tích có hướng của 3 1 2 −−→ |[~u, ~v] · M M′| . d(∆, ∆′) = | [~u, ~v]|
Giải. Theo công thức ta có −−→ Gr(~ u, ~v, M N) d2(∆, ∆′) = . Gr(~ u, ~v)
Bằng cách tính trực tiếp các định thức ta có −−→ −−→ Gr(~ u, ~v,M N) = |[~ u, ~v] ·M M′|2, Gr(~ u, ~v) = | [~ u, ~ v]| 2.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét. Từ ví dụ này ta nhận thấy công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Euclid ba chiều chính
là công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ở Trung học Phổ thông.
1.2.5 Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng
Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng nếu chúng ta
dùng công thức như tính khoảng cách từ một điểm đến một phẳng thì sẽ 14