Giáo trình toán dành cho kinh tế và quản trị kinh doanh | Đại học Lâm Nghiệp

Giáo trình toán dành cho kinh tế và quản trị kinh doanh | Đại học Lâm Nghiệp được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

16 8 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Kinh tế và quản trị kinh doanh

Trường: Đại học Lâm nghiệp

Thông tin:

209 trang 3 tuần trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING
BỘ MÔN TOÁN THỐNG KÊ
Giáo Trình
TOÁN DÀNH CHO KINH TẾ
VÀ QUẢN TRỊ
(Dành cho chương trình chất lượng cao)
Mã số : GT – 01 – 18
Nhóm biên soạn:
Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên)
Nguyễn Trung Đông
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2018
2
MỤC LỤC
Trang
Lời mở đầu
..........................................................................................................................
5
Một số ký hiệu
.....................................................................................................................7
Chương 1. Một số mô hình đại số và tuyến tính áp dụng trong phân tích kinh tế……………….8
1.1. Mô hình cân đối liên ngành (
Mô hình Input – Output của Leontief)
..................8
1.1.1. Giới thiệu mô hình
.................................................................................
8
1.1.2. Phương pháp g
iải…………………………………………………...... 9
1.1.3.
Các ví dụ............................................................................................
10
1.1.4. Bài tập
.................................................................................................
14
1.2. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế……………………….......
18
1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan…………………...18
1.2.2.
Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân.................................................
21
1.2.3.
Mô hình IS – LM................................................................................
25
1.2.4. Bài tập………………………………………………………………….. 29
Thuật ngữ chính chương 1...........................................
……………………………...33
Chương 2. Áp dụng phép tính vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân vào phân
tích kinh tế và kinh doanh…………………………………………………………………….34
2.1. Bài toán lãi suất và hiệu quả đầu tư
……………………………………………..34
2.1.1. Giới hạn e và bài toán lãi suất……………………………………………34
2.1.2. Đánh giá hiệu quả đầu tư………………………………………………...36
2.1.3. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ………………………………………... 37
2.1.4. Bài tập………………………………………………………………….. 39
2.2. Áp dụng đạo hàm và phân tích kinh tế và kinh doanh
…………………………41
2.2.1. Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế và kinh doanh…………..41
2.2.2. Đạo hàm và giá trị cận biên.......................................................................43
2.2.3. Đạo hàm và hệ số co dãn………………………………………………...45
2.2.4. Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần………………………...46
2.2.5. Khảo sát hàm bình quân…………………………………………………47
2.2.6. Bài toán tối ưu hàm một biến……………………………………………49
3
2.2.7.
Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)
…………………………………..58
2.2.8. Bài tập...................................................................................................... 60
2.3.
Áp dụng tích phân vào phân tích kinh tế và kinh doanh
.........................................
64
2.3.1. Bài toán tìm hàm tổng khi biết hàm cận biên
...........................................
64
2.3.2. Bài toán tìm hàm quỹ vốn khi biết hàm đầu tư
........................................
67
2.3.3. Tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng……….68
2.3.4. Bài tập………………………………………………………………….. 69
2.4.
Phương trình vi phân và áp dụng kinh tế………………………………………….73
2.4.1. Tìm hàm cầu khi biết hệ số co dãn của cầu theo giá
.................................
73
2.4.2. Biến động của giá trn thị trường theo thời gian
………………………..
74
2.4.3. Bài tập...................................................................................................... 77
Thuật ngữ chính chương 2..........................................
……………………………...78
Chương 3. Áp dụng phép toán vi phân hàm nhiều biến vào phân tích kinh tế và kinh doanh.....79
3.1.
Các hàm số nhiều biến trong phân tích kinh tế
…………………………………
79
3.1.1 Hàm sản xuất…………………………………………………………….79
3.1.2. Hàm doanh thu, chi phí, lợi nhuận………………………………………79
3.1.3. Hàm lợi ích (hàm thoả dụng)……………………………………………80
3.1.4. Điểm cân bằng...................................................................................................80
3.1.5. Hàm cung, cầu thị trường n hàng hóa liên quan.......................................81
3.2.
Áp dụng đạo hàm riêng và vi phân toàn phần vào phân tích kinh tế và kinh doanh.82
3.2.1. Đạo hàm riêng và giá trị cận biên………………………………………..82
3.2.2. Đạo hàm riêng và hệ số co dãn.................................................................85
3.2.3. Đạo hàm riêng cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần...........................87
3.2.4. Hàm thuần nhất và vấn đề hiệu quả của quy mô......................................88
3.2.5. Đạo hàm của hàm ẩn và áp dụng phân tích kinh tế..................................89
3.2.6.
Hai hàng hóa có tính chất thay thế hoặc bổ sung………………………
92
3.2.7. Bài tập………………………………………………………………….. 93
3.3.
Mô hình cực trị không có điều kiện ràng buộc (tự do) nhiều biến trong kinh tế…...95
3.3.1. Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận……..95
3.3.2. Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu,
lợi nhuận............................................................................................................ 99
3.3.3. Bài tập.................................................................................................... 102
4
3.4.
Mô hình cực trị có điều kiện ràng buộc nhiều biến trong kinh tế..........................104
3.4.1. Tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho chi
tiêu…………………………………………………………………………... 104
3.4.2. Tối đa hóa sản lượng trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho sản
xuất.................................................................................................................. 106
3.4.3. Tối thiểu hóa chi tiêu trong điều kiện giữ mức lợi ích.............................110
3.4.4. Tối thiểu hóa chi phí trong điều kiện giữ mức sản lượng……….............112
3.4.5. Tối đa hóa lợi nhuận của hãng độc quyền, trong trường hợp không phân
biệt giá bán ở hai thị trường…………………………………………………..115
3.4.6. Bài tập………………………………………………………………… 118
Thuật ngữ chính chương 3..........................................
……………………………..122
Phụ lục……………………………………………………………………………………....123
Phụ lục 1. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính.......................................
123
Phụ lục 2. Đạo hàm và vi phân hàm số một biến.....................................................
151
Phụ lục 3. Bài toán tối ưu hàm một biến………………………………………….
159
Phụ lục 4. Bảng công thức nguyên hàm cơ bản và các phương pháp tính tích phân..
166
Phụ lục 5. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần……………………………………
177
Phụ lục 6. Bài toán cực trị hàm nhiều biến không có điều kiện ràng buộc (cực trị tự
do)………………………………………………………………………………...
187
Phụ lục 7. Bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc phương trình (phương pháp nhân
tử Lagrange)............................................................................................................
195
Phụ lục 8. Phương trình vi phân……………………………………………………..200
Một số đề tham khảo…………………………………………………………….…………..204
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………..209
5
LỜI M U Ở ĐẦ
Sinh viên i h c kh i ngành Kinh t và Qu n tr kinh doanh, khi h c môn Toán cao đạ ọ ố ế ả ị ọ
cấp th t câu h i: môn h c có ng d ng gì trong phân tích kinh t và qu n tr kinh ường đặ ỏ ọ ứ ụ ế ả ị
doanh hay không? Nh m tr l i cho câu h i này, chúng tôi biên so n giáo trình: Toán dành ằ ả ờ ỏ ạ
cho kinh t và qu n tr . Giáo trình ti p thu t t ng c a các tài li u ang c gi ng d y ế ả ị ế ư ưở ủ ệ đ đượ ả ạ
cho các tr ng i h c danh ti ng trên th gi i nh : ườ đạ ọ ế ế ớ ư
1. Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos,
Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England
(second edition), 2001.
2. Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley, Applied Calculus For Business,
Economics, and the Social and Life Sciences, The Mc. Graw - Hill Companies, Inc
(Expanded 10
th
ed), 2010.
Cũng như các tài li u trong n c, phù h p u ki n, ch ng trình ào t o c a Vi t Nam ệ ướ ợ điề ệ ươ đ ạ ủ ệ
như:
1. Nguy n Huy Hoàng – Toán c s cho kinh t , NXB Thông tin và Truy n thông, ễ ơ ở ế ề
2011& NXB GD, 2014.
N i dung cu n giáo trình, c trình này d i d ng mô hình và ph ng pháp gi i ộ ố đượ ướ ạ ươ ả
bao g m 3 ch ng và m t ph l c Toán cao c p, cùng m t s tham kh o sinh viên, ồ ươ ộ ụ ụ ấ ộ ố đề ả để
có th t rèn luy n. i t ng chính c a giáo trình là sinh viên h ào t o ch t l ng cao, ể ự ệ Đố ượ ủ ệ đ ạ ấ ượ
nên m i ch ng chúng tôi có gi i thi u thu t ng Anh – Vi t, giúp sinh viên d dàng ở ỗ ươ ớ ệ ậ ữ ệ ễ
đọc sách tham khảo bằng tiếng Anh.
Nội dung c th giáo trình : ụ ể
Chương 1. M t s mô hình i s tuy n tính nh mô hình cân i liên ngành, mô ộ ố đạ ố ế ư đố
hình IS – LM, các mô trình cân b ng th tr ng… ằ ị ườ
Chương 2. S d o hàm trong phân tích kinh t và qu n tr kinh doanh nh : ử ụng đạ ế ả ị ư
phân tích hàm c n biên, h s co dãn, h s t ng tr ng, t i u hàm m t bi n…Trình bày ậ ệ ố ệ ố ă ưở ố ư ộ ế
phương pháp sử dụng công cụ tích phân trong kinh t và qu n tr kinh doanh nh : tìm hàm ế ả ị ư
tổng khi bi t hàm c n biên, hàm qu v n khi bi t hàm u t , tính th ng d c a nhà s n ế ậ ỹ ố ế đầ ư ặ ư ủ ả
xuất và c a ng i tiêu dùng và ph ng trình vi phân áp d ng phân tích kinh t nh : tìm ủ ườ ươ ụ ế ư
hàm c u khi bi t h s co dãn,… ầ ế ệ ố
6
Chương 3. Trình bày các ng d ng o hàm riêng và vi phân toàn ph n trong phân ứ ụ đạ ầ
tích kinh t nh phân tích c n biên, h s co dãn riêng, m t s hình t i u hàm nhi u bi n ế ư ậ ệ ố ộ ố ố ư ề ế
trong kinh t nh t i ế ư ố đa hóa l i nhu n, t i thi u hóa chi tiêu, …Các mô hình t i ợ ậ ố ể ố ưu có điều
kiện ràng bu c: t i a hóa l i ích v i ràng bu c ngân sách chi tiêu, … ộ ố đ ợ ớ ộ
Để ề ấ ụ thuận lợi trong việc tra cứu các kiến thức cơ bản v Toán cao c p, phục v việc
giải thích các ki n th c n n cho phân tích kinh t và qu n tr kinh doanh chúng tôi ế ứ ề ế ả ị đưa vào
phần ph l c Toán cao c p. ụ ụ ấ
Giáo trình do TS. Nguy n Huy Hoàng và ThS. Nguy n Trung ễ ễ Đông là các gi ng viên ả
có nhi u n m kinh nghi m gi ng d y toán dành cho sinh viên kh i ngành kinh t và qu n ề ă ệ ả ạ ố ế ả
trị kinh doanh, cùng biên t p. ậ
Giáo trình ch c ch n còn nhi u thi u sót, r t mong ắ ắ ề ế ấ được s góp ý c a các ự ủ đồng nghiệp
cùng các em sinh viên. M i ý ki n óng góp xin g i v a ch email: ọ ế đ ở ề đị ỉ
hoangtoancb@ufm.edu.vn nguyendong@ufm.edu.vn và .
Xin trân tr ng c m n! ọ ả ơ
Các tác gi ả
7
MỘT SỐ KÝ HIỆU
1.
Q
: Sản lượng.
2.
D
: Cầu.
3.
S
: Cung.
4.
D
Q
: Lượng cầu.
5.
S
Q
: Lượng cung.
6.
P
: Giá bán.
7.
L
: Lao động (nhân công).
8.
MPL
: Hàm sản phẩm cận biên của lao động.
9. K : Vốn (tư bản).
10.
: Lợi nhuận.
11.
TR
: Tổng doanh thu.
12.
: Doanh thu biên.
13.
TC
: Tổng chi phí.
14.
FC
: Chi phí cố định.
15.
VC
: Chi phí biến đổi (chi phí khả biến).
16.
MC
: Chi phí biên.
17. AC : Chi phí trung bình (chi phí bình quân).
18.
T
: Tổng thuế.
19. t : thuế trên một đơn vị sản phẩm.
20.
TU
: Tổng hữu dụng.
21.
: Hữu dụng biên.
22.
: Hệ số co giãn của Y theo X.
23.
Y
r
: Hệ số tăng trưởng của Y (nhịp tăng trưởng của Y).
24.
d
Y
: Thu nhập khả dụng.
25. I : Nhu cầu đầu tư của dân cư.
26. G : Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ.
27. X : Nhu cầu xuất khẩu.
28. M : Nhu cầu nhập khẩu.
29. IS – LM : Đầu tư/Tiết kiệm – Nhu cầu thanh khoản/Cung tiền.
8
Chương 1
Một số mô hình đại số và tuyến tính áp dụng
trong phân tích kinh tế
1.1. Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input – Output của Leontief)
Trong phần này, chúng tôi xin giới thiệu một mô hình kinh tế, công cụ chủ yếu
để giải mô hình này là các phép toán đối với ma trận và định thức.
1.1.1. Giới thiệu mô hình
Trong một nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa nào đó
(output) đòi hỏi phải sử dụng các loại hàng hóa khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào
(input) của quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành
sản xuất trong tổng thể nền kinh tế là quan trọng, nó bao gồm:
– Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá
trình sản xuất.
– Cầu cuối cùng từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất
khẩu, bao gồm các hộ gia đình, Nhà nước, các tổ chức xuất khẩu,...
Xét một nền kinh tế có
n
ngành sản xuất, ngành
1,2,...,n.
Để thuận tiện cho việc
tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta phải biểu diễn lượng cầu của tất cả các loại
hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền. Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của
ngành
i (i 1, 2,..., n)
được ký hiệu,
i
x
và xác định bởi:
i i1 i2 in i
x x x x b (i 1,2,...,n)
(1.1)
Trong đó:
ik
x
: là giá trị sản phẩm của ngành
i
mà ngành
k
cần sử dụng cho quá trình sản
xuất của mình (giá trị cầu trung gian).
i
b
: là giá trị sản phẩm của ngành
i
dành cho nhu cầu tiêu dùng và xuất khẩu
(giá trị cầu cuối cùng).
Tuy nhiên, trong thực tế, ta thường không có thông tin về giá trị cầu trung gian
ik
x ,
nhưng người ta lại chủ động trong việc xác định tỉ phần chi phí đầu vào của sản
xuất.
9
Gọi
ik
a
:
là tỉ phần chi phí đầu vào của ngành
k
đối với sản phẩm của ngành
i,
nó
được tính bởi công thức:
ik
ik
k
x
a i 1, 2,..., n
x
Trong đó
+)
ik
0 a 1
, và ở đây, giả thiết
ik
a
là cố định đối với mỗi ngành sản xuất
i,
k 1,2,..., n .
Người ta còn gọi
ik
a
là hệ số chi phí đầu vào và ma trận.
+)
ik
n
A a
được gọi là ma trận hệ số chi phí đầu vào (ma trận hệ số kỹ thuật).
+) Giả sử
ik
a 0,3
có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phẩm của mình,
ngành
k
đã phải chi 0,3 đồng để mua sản phẩm của ngành
i
phục vụ cho quá trình
sản xuất.
Đặt
1
2
n
b
b
B
b
Ta gọi
X
là ma trận tổng cầu và
B
là ma trận cầu cuối cùng. Khi đó, từ đẳng
thức (1.1), thay
ik ik k
x a x
chúng ta có:
i i1 1 i2 2 in n i
x a x a x a x b (i 1, 2,..., n)
Hay biểu diễn dưới dạng ma trận:
1 11 12 1n 1 1
2 21 22 2n 2 2
n n1 n2 nn n n
x a a ... a x b
x a a ... a x b
... ... ... ...
x a a ... a x b
Tức là
X AX B
(1.2)
1.1.2. Phương pháp giải
Từ (1.2), ta có
I A X B
Trong đó,
I
là ma trận đơn vị cấp
n,
nếu
I A
không suy biến thì:
10
1
X I A B
(1.3)
Công thức (1.3) được gọi là công thức tính ma trận tổng cầu.
+) Ma trận
I A
được gọi là ma trận Leontief. Như vậy, nếu chúng ta biết ma
trận hệ số kỹ thuật
A
và ma trận cầu cuối cùng thì sẽ xác định được giá trị tổng cầu của
các ngành sản xuất.
+) Ma trận
1
ij
n n
C I A c
, và gọi là ma trận hệ số chi phí toàn bộ. Hệ số
ij
c
cho biết: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành
j,
thì ngành
i
cần
phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là
ij
c
.
1.1.3. Các ví dụ
Ví dụ 1.
Giả sử trong một nền kinh tế có hai ngành sản xuất: ngành 1 và ngành 2 có
ma trận hệ số kỹ thuật là:
0,2 0,3
A
0,4 0,1
Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 thứ tự
là 10, 20 tỉ đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành.
Giải
Gọi
1
2
x
X
x
là ma trận tổng cầu.
Với
1
x
là giá trị tổng cầu của ngành 1,
2
x
là giá trị tổng cầu của ngành 2.
Theo giả thiết ma trận cầu cuối
B
có dạng:
10
B
20
Ta có:
0,8 0,3
I A
0,4 0,9
Ma trận phụ hợp tương ứng
0,9 0,3
I A *
0,4 0,8
11
Ma trận nghịch đảo của
I A
1
0,9 0,3
1
I A
0,4 0,8
0,6
Áp dụng công thức (1.3) để tính ma trận tổng cầu:
1
X I A B
Vậy ma trận tổng cầu là:
25
0,9 0,3 10 15
1 1
X
100
0,4 0,8 20 20
0,6 0,6
3
Hay:
Giá trị tổng cầu của ngành 1 là
1
x 25
tỉ đồng.
Giá trị tổng cầu của ngành 2 là
2
100
x
3
tỉ đồng.
Ví dụ 2.
Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành
3. Biết ma trận hệ số kĩ thuật là:
0,4 0,1 0,2
A 0,2 0,3 0,2
0,1 0,4 0,3
và giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành thứ tự là 40, 40 và 110 (đơn
vị tính: nghìn tỉ đồng). Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất.
Giải
Gọi
1
2
3
x
x
X
x
là ma trận tổng cầu.
Với
1
x
là giá trị tổng cầu của ngành 1,
2
x
là giá trị tổng cầu của ngành 2,
3
x
là
giá trị tổng cầu của ngành 3.
Theo giả thiết ma trận cầu cuối
B
có dạng:
40
B 40
110
12
Ta có:
1 0 0 0,4 0,1 0,2 0,6 0,1 0,2
I A 0 1 0 0,2 0,3 0,2 0,2 0,7 0,2
0 0 1 0,1 0,4 0,3 0,1 0,4 0,7
Định thức của ma trận
I A
0,6 0,1 0,2
I A 0,2 0,7 0,2 0,2
0,1 0,4 0,7
Ma trận phụ hợp tương ứng
0,41 0,15 0,16
I A * 0,16 0,40 0,16
0,15 0,25 0,40
Ma trận nghịch đảo của
I A
1
0,41 0,15 0,16
1
(I A) 0,16 0,40 0,16
0,2
0,15 0,25 0,40
Áp dụng công thức (1.3) để tính ma trận tổng cầu:
1
X I A B
0,41 0,15 0,16 40 200
1
X 0,16 0,40 0,16 40 200
0,2
0,15 0,25 0,40 110 300
Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là
1
x 200
(nghìn tỉ đồng),
2
x 200
(nghìn tỉ đồng) và
3
x 300
(nghìn tỉ đồng).
Ví dụ 3. Trong mô hình input – output mở biết ma trận kỹ thuật số như sau
0,2 m 0,3
A 0,3 0,1 0,2
0,2 0,3 0,2
a) Nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 1 của ma trận
A.
b) Tìm yêu cầu của ngành kinh tế mở khi
m 0,2
biết sản lượng của 3 ngành là
300, 250, 220.
13
c) Tìm
m
biết rằng khi sản lượng của 3 ngành là 400, 400, 300 thì ngành kinh tế
thứ nhất cung cấp cho ngành kinh tế mở là 130.
d) Với
m
tìm được ở câu c). Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ và nêu ý nghĩa phần
tử nằm ở hàng 3 cột 2 của ma trận này.
Giải
a) Ý nghĩa
21
a 0,3
: Hệ số này cho biết để sản xuất ra một đơn vị giá trị ngành 1
thì ngành 2 phải cung cấp trực tiếp cho ngành này một lượng sản phẩm có giá trị là 0,3.
b) Gọi
X
là ma trận giá trị sản lượng của 3 ngành.
Từ giả thiết đề cho, ta có
300
X 250
220
Giá trị sản lượng cầu cuối:
124
B I A X 91
41
c) Gọi
Y
là ma trận giá trị sản lượng của 3 ngành
1
2
3
400 X
Y 400 X
300 X
Từ giả thiết đề bài, ta có:
1 11 1 12 2 13 3 1
X a X a X a X b
400 0,2 400 400m 0,3 300 130 m 0,25.
d) Với
m 0,25
. Ta có
0,2 0,25 0,3
A 0,3 0,1 0,2
0,2 0,3 0,2
Ma trận hệ số chi phí toàn bộ:
1
1,751 0,769 0,849
C I A 0,743 1,538 0,663
0,716 0,769 1,711
Hệ số
32
c 0,769
cho biết: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của
ngành 2 thì ngành 3 cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là
0,769
.
14
1.1.4. Bài tập
Bài số 1. Trong mô hình cân đối liên ngành cho ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối.
Hãy xác định ma trận tổng cầu:
1)
0,2 0,4 200
A ; B
0,1 0,3 300
2)
0,4 0,2 0,1 40
A 0,1 0,3 0,4 ; B 110
0,2 0,2 0,3 40
3)
0,3 0,5 0,3 20000
A 0,2 0,2 0,3 ; B 10000
0,4 0,2 0,3 40000
Đáp số: 1)
500
X
500
; 2)
200
X 300
200
; 3)
265178,6
X 175892,9 .
258928,6
Bài số 2. Cho dòng 3 trong ma trận hệ số kỹ thuật của mô hình cân đối liên ngành gồm
bốn ngành sản xuất là
0,2 0,1 0,2 0,3
Hãy xác định số tiền mà ngành 4 phải trả cho ngành 3 để mua sản phẩm của ngành
3 làm nguyên liệu đầu vào của sản xuất, biết tổng giá trị sản phẩm của ngành 4 là 200
nghìn tỷ đồng.
Đáp số: 60.
Bài số 3. Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là
0,1 0,3 0,2
A 0,4 0,2 0,1
0,2 0,3 0,3
1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 2 cột 1 của ma trận A.
2) Cho ma trận cầu cuối
T
B 110 52 90 .
Tìm sản lượng của mỗi ngành.
3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm
được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là
T
B 124 66 100
15
Đáp số: 1)
21
a 0,4
; 2)
270
X 239
308
; 3)
286
X 230
323
.
Bài số 4. Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm
t
là:
0,2 0 0,3
A 0,1 0,1 0,1
0,2 0,2 0,1
1) Nếu ý nghĩa phần tử nằm ở dòng 1, cột 3 của ma trận A.
2) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ.
3) Cho biết ma trận cầu cuối của các ngành là
T
B 800 1500 700 .
Tìm sản lượng
của mỗi ngành.
Đáp số: 1)
13
a 0,3
; 2)
0,79 0,06 0,27
1
C 0,11 0,66 0,11
0,572
0,2 0,16 0,72
; 3)
1592,7
X 2019,2 .
1580,4
Bài số 5. Cho ma trận hệ số chi phí toàn bộ và ma trận tổng cầu như sau:
1,5625 0,3125 0,3125 150
C 0,3977 1,5341 0,625 ; X 200
0,5398 0,6534 1,5625 150
1) Nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận
C.
2) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật.
3) Tìm ma trận cầu cuối.
Đáp số:
23
c 0,625
; 2)
0,3 0,1 0,2
A 0,1 0,2 0,3
0,1 0,3 0,2
; 3)
55
B 100
45
.
Bài số 6. Trong mô hình input – output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là
0,3 0,1 0,1
A 0,1 0,2 0,3
0,2 0,3 0,2
1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận A.
2) Cho ma trận cầu cuối
T
B 70 100 30
. Tìm sản lượng mỗi ngành.
16
3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 2 tiết kiệm
được 50% nguyên liệu lấy từ ngành 3 và ma trận cầu cuối là
T
B 50 80 20
Đáp số: 1)
23
a 0,3
; 2)
150
X 200
150
; 3)
102,7
X 141,8
77,3
.
Bài số 7. Trong mô hình input – output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là
0,1 0,3 0,2
A 0,4 0,2 0,3
0,2 0,3 0,1
1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 3 cột 2 của ma trận A.
2) Cho ma trận cầu cuối
T
B 118 52 96 .
Tìm sản lượng của mỗi ngành.
3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm
được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là
T
B 118 52 96
Đáp số: 1)
32
a 0,3
; 2)
300
X 320
280
; 3)
276,3
X 264,7
256,3
.
Bài số 8. Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm
t
như sau:
0,3 0,2 0,3
A 0,1 0,3 0,2
0,3 0,3 0,2
1) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị năm
t.
Giải thích ý nghĩa kinh tế của
phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận này.
2) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ và nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của
ma trận này.
3) Năm
(t 1)
nhu cầu sản phẩm cuối cùng của các ngành lần lượt là 180, 150, 100
(tỷ VNĐ). Tính giá trị sản lượng của các ngành, biết rằng các hệ số chi phí năm
(t 1)
và năm
t
như nhau.
Đáp số: 1)
23
a 0,2
;2)
23
2 1 1
C 0,56 1,88 0,68 , c 0,68
0,96 1,08 1,88
; 3)
610
X 450,8
522,8
.
17
Bài số 9. Quan hệ trao đổi sản phẩm giữa 4 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho ở
bảng sau (đơn vị tính : triệu USD).
Ngành cung ứng
sản phẩm
(Output)
Ngành ứng dụng sản phẩm
(Input)
Cầu cuối
cùng
1 2 3 4
1 80 20 110 230 160
2 200 50 90 120 140
3 220 110 30 40 0
4 60 140 160 240 400
Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật
(tính xấp xỉ 3 chữ số thập phân).
Đáp số:
600
600
X
400
1000
;
0,133 0,033 0,275 0,23
0,333 0,083 0,225 0,12
A
0,367 0,167 0,075 0,04
0,1 0,233 0,4 0,24
.
Bài số 10. Xét nền kinh tế có hai ngành với ma trận hệ số chi phí trực tiếp là
0,1 0,15
A
0,2 0,1
1) Tính định thức của ma trận
B
với
3
1
B A .
6
2) Cho biết mệnh đề sau đúng hay sai?
1 1
A I A I I A
3) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ.
4) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm
được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là
T
b 20 40 .
Đáp số: 1)
5
1
B 10
45
; 2) Sai; 3)
1,1538 0,1923
C
0,2564 1,1538
; 4)
30,5
X
49,5
.
18
1.2. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế
Trong phần này, chúng tôi xin giới thiệu với bạn đọc một số mô hình tuyến tính
trong phân tích kinh tế, công cụ toán học được sử dụng chính ở đây là hệ phương
trình tuyến tính.
1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan
1.2.1.1. Giới thiệu mô hình
Giả sử chúng ta nghiên cứu thị trường bao gồm n hàng hóa có liên quan: hàng
hóa 1, 2,..., n. Khái niệm này được hiểu là khi giá của một mặt hàng nào đó thay đổi
thì nó không những ảnh hưởng tới lượng cung
i
S
Q
và lượng cầu
i
D
Q
của bản thân
mặt hàng đó, mà nó còn ảnh hưởng tới giá và lượng cung, lượng cầu của các mặt hàng
còn lại. Người ta thường biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá
của các hàng hóa bởi hàm cung và hàm cầu như sau:
i
i
S i 1 2 n
D i 1 2 n
Q S P , P ,...,P , i 1, 2,...,n;
Q D P , P ,...,P , i 1,2,...,n.
Trong đó
1 2 n
P , P ,..., P
là ký hiệu thứ tự là giá của hàng hóa
1, 2,..., n.
Mô hình cân bằng thị trường
n
hàng hóa có liên quan (cân bằng cung cầu) được
xác định bởi:
i i
S D
Q Q , i 1, 2,..., n
(1.4)
Nếu giả thiết các
i
S
Q
và
i
D
Q
i 1, 2,..., n
có dạng tuyến tính, thì mô hình trên
chính là một hệ gồm có
n
phương trình và
n
ẩn
1 2 n
P , P ,..., P .
Giải hệ phương trình chúng ta tìm được bộ giá cân bằng thị trường:
1 2 n
P P , P ,..., P
Thay vào
i
S
Q
(hoặc
i
D
Q
) chúng ta thu được bộ lượng cân bằng thị trường:
1 2 n
Q Q , Q ,..., Q
1.2.1.2. Các ví dụ
Ví dụ 3.
Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường hai loại hàng hóa như sau:
1 1
S 1 D 1 2
Q 2 3P ; Q 8 2P P
2 2
S 2 D 1 2
Q 1 2P ; Q 11 P P
19
Với
1
S
Q
,
2
S
Q
là lượng cung hàng hóa 1 và 2.
1
D
Q
,
2
D
Q
là lượng cầu hàng hóa 1 và 2.
1 2
P , P
là giá của hàng hóa 1 và 2.
Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là
1
P
và
2
P
.
Sử dụng quy tắc Cramer (phương pháp định thức) xác định giá và lượng cân
bằng của hai mặt hàng.
Giải
Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình:
1 1
2 2
S D
1 1 2 1 2
S D 2 1 2 1 2
Q Q
2 3P 8 2P P 5P P 10
Q Q 1 2P 11 P P P 3P 12
Giải hệ bằng quy tắc Cramer:
5 1
D 14
1 3
;
1
P
10 1
D 42
12 3
;
2
P
5 10
D 70
1 12
Vậy bộ giá cân bằng là:
1 2
P P
1 2
D D
42 70
P 3; P 5
D 14 D 14
Lượng cân bằng là:
1 1
1 D S 1
Q Q Q 2 3P 2 3.3 7
2 2
2 D S 2
Q Q Q 1 2P 1 2.5 9
Ví dụ 4.
Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa: hàng hóa 1 và hàng hóa 2 có hàm
cung và cầu như sau:
1
S 1
Q 2 2P
;
1
D 1 2
Q 1 P P
2
S 1
Q 5 3P
;
2
D 1 2
Q 2 5P P
trong đó:
i
S
Q
(i 1, 2)
: là
lượng cung hàng hóa i.
i
D
Q
(i 1, 2)
: là
lượng cầu hàng hóa i.
i
P
(i 1, 2)
: là giá hàng hóa i.
20
Bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, hãy xác định bộ giá và lượng cân bằng
thị trường của hai hàng hóa nói trên.
Giải
Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình:
1 1
2 2
S D
1 1 2
S D 2 1 2
Q Q
2 2P 1 P P
Q Q 5 3P 2 5P P
hay
1 2
2
3P P 3
5P 4P 7
Giải hệ phương trình trên bằng quy tắc Cramer
Đặt các ma trận sau:
1
2
P
3 1 3
A ; B ; X
P
5 4 7
Ta có
3 1
A 7
5 4
;
1
4 1
1
A
5 3
7
Hệ phương trình trên tương đương:
AX B
Suy ra
1
19
4 1 3 19
1 1
7
X A .B
5 3 7 36 36
7 7
7
Vậy bộ giá cân bằng là:
1 2
19 36
P ; P
7 7
tương ứng với bộ lượng cân bằng là:
1 1
2 2
1 D S
2 D S
19 24
Q Q Q 2 2
7 7
36 73
Q Q Q 5 3
7 7
Ví dụ 5
.
Xét thị trường gồm ba loại hàng hóa gồm chè, cafe, cacao có hàm cung và
hàm cầu tương ứng như sau:
21
1 1
S 1 D 1 3
Q 10 P ; Q 20 P P
(chè)
2 2
S 2 D 2 3
Q 2P ; Q 40 2P P
(café)
3 3
S 3 D 1 2 3
Q 5 3P ; Q 10 P P P
(ca cao)
Hãy thiết lập mô hình cân bằng thị trường của ba loại hàng hóa trên. Sử dụng
quy tắc Cramer xác định giá và lượng cafe ở trạng thái cân bằng thị trường.
Giải
Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình:
1 1
2 2
3 3
S D
1 3
S D 2 3
1 2 3
S D
Q Q
2P P 30
Q Q 4P P 40
P P 4P 15
Q Q
Xác định giá và lượng cafe ở trạng thái cân bằng thị trường bằng quy tắc Cramer:
2 0 1
D 0 4 1 30
1 1 4
;
2
P
2 30 1
D 0 40 1 280
1 15 4
Vậy giá cafe ở trạng thái cân bằng thị trường là:
2
P
2
D
280 28
P
D 30 3
và lượng cân bằng là:
2
2 S
28 56
Q Q 2.
3 3
.
1.2.2. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân
1.2.2.1. Giới thiệu mô hình
Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân ở dạng đơn giản, với các ký hiệu: Y
là tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư hộ gia đình và C là
tiêu dùng của các hộ gia đình.
Chúng ta giả thiết rằng chi tiêu Chính phủ và đầu tư là cố định
0
G G
và
0
I I
, còn chi tiêu hộ gia đình có dạng tuyến tính:
C aY b
0 a 1, b 0
.
Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính gồm
hai phương trình, 2 ẩn Y và C:
22
O O
O O
Y G I C
Y C G I
aY C b
C aY b
Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta xác định được mức thu nhập cân bằng và
mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế.
1 1
D 1 a 0
a 1
(do
0 a 1
)
O O
O O
Y
G I 1
D G I b
b 1
;
O O
O O
C
1 G I
D b a G I
a b
Vậy
O O
Y
G I b
D
Y
D 1 a
O O
C
b a G I
D
C
D 1 a
Tiếp theo, xét mô hình trong trường hợp thu nhập chịu thuế với thuế suất t%
(thường biểu diễn dưới dạng thập phân). Khi đó, thu nhập sau thuế là:
d
Y Y tY 1 t Y
và hàm chi tiêu khi đó có dạng:
d
C aY b a 1 t Y b
Ngoài ra, chúng ta cũng xem xét mô hình với ảnh hưởng của yếu tố xuất khẩu
X
và nhập khẩu
M.
Khi đó, mô hình có dạng:
O O
Y G I C X M
C a 1 t .Y b
Chú ý
Hai yếu tố xuất khẩu
X
và nhập khẩu
có thể cho dưới dạng hàm của thu
nhập
Y
hoặc là giá trị cố định cho trước.
Chúng ta vẫn biến đổi đưa mô hình về hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn
Y
và
C.
1.2.2.2. Các ví dụ
Ví dụ 6.
Cho mô hình sau:
23
d
C 0,8Y 250
;
0
I I
;
0
G G
;
d
Y 1 t Y
(
t
là thuế suất thu nhập).
a) Sử dụng quy tắc Cramer, hãy xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu ở
trạng thái cân bằng.
b) Tính mức thu nhập quốc dân và chi tiêu ở trạng thái cân bằng với
0
I 150
,
0
G 500
(đơn vị: tỉ VNĐ) và
t 0,15
(15%).
Giải
Đầu tiên ta xác định mô hình cân bằng:
O O
Y G I C
C 0,8Y 250
Hay
O O
Y C G I
0,8 1 t Y C 250
Ta có
1 1
D 1 0,8 1 t
0,8 1 t 1
;
O O
O O
Y
G I 1
D G I 250
250 1
;
O O
O O
C
1 G I
D 250 0,8 1 t G I
0,8 1 t 250
.
a) Vậy thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng là:
O O
Y
G I 250
D
Y
D 1 0,8 1 t
O O
C
0,8 1 t G I 250
D
C
D 1 0,8 1 t
Nhận xét:
Y
và
C
phụ thuộc vào
0 0
I , G
và
t.
b)
Với
0
I 150
,
0
G 500
,
t 0,15
chúng ta có:
24
150 500 250 900
Y 2812,5
1 0,8 1 0,15 0,32
(tỉ VNĐ)
0,8 1 0,15 150 500 250
692
C 2162,5
1 0,8 1 0,15 0,32
(tỉ VNĐ).
Ví dụ 7.
Xét mô hình cân bằng:
0 0 0
Y C I G X M
Với
C a 1 t Y, 0 a 1
,
t
là thuế suất
M b 1 t Y, 0 b 1
a) Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng
Y
,
C
bằng quy tắc Cramer.
b) Tính
Y
và
C
khi
t 0,1; a 0,85;
0
b 0,1; I 250;
0
G 400
và
0
X 100
.
Đơn vị tính
0 0 0
I , G , X
là tỉ VNĐ;
t
là %.
Giải
a) Ta thiết lập hệ 2 phương trình 2 ẩn
Y
và
C
:
Ta có
O O O
Y C I G X b 1 t Y
C a 1 t Y
O O O
1 b 1 t Y C I G X
a 1 t Y C 0
Các định thức
1 b 1 t 1
D 1 1 t b a
a 1 t 1
;
O O O
O O O
Y
I G X 1
D I G X
0 1
;
O O O
O O O
C
1 b 1 t I G X
D a 1 t G I X
a 1 t 0
.
Vậy thu nhập và chi tiêu quốc dân cân bằng là:
O O O
Y
G I XD
Y
D 1 1 t b a
25
O O O
C
a 1 t G I X
D
C
D 1 1 t b a
b) Khi
0 0
t 0,1; a 0,85; b 0,1; I 250; G 400
và
0
X 100
.
Ta có:
250 400 100 750
Y 2307,6923
1 1 0,1 0,1 0,85 0,325
(tỉ VNĐ)
0,85 1 0,1 250 400 100
573,75
C 1765,3846
1 1 0,1 0,1 0,85 0,325
(tỉ VNĐ).
1.2.3. Mô hình IS – LM
Trong tiếng Anh, IS – LM là viết tắt của Investment/Saving – Liquidity
preference/Money supply (Đầu tư/Tiết kiệm – Nhu cầu thanh khoản/Cung tiền)
1.2.3.1. Giới thiệu mô hình
Mô hình IS – LM phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế, chúng ta xét cả hai
thị trường hàng hóa và tiền tệ. Mục tiêu là chúng ta xác định mức thu nhập quốc dân và lãi
suất ở trạng thái cân bằng.
+) Xét thị trường hàng hóa dịch vụ với các yếu tố gồm
Chi tiêu chính phủ :
0
G G
Chi tiêu hộ gia đình :
C aY b, 0 a 1,b 0
Đầu tư :
I d cr, c, d 0
với
r
là lãi suất.
Phương trình cân bằng thị trường hàng hóa, dịch vụ (Phương trình đường IS)
0 0
Y C I G aY b cr d G
0
1 a Y cr b d G
+) Xét thị trường tiền tệ với các yếu tố
Lượng cầu tiền:
L L Y,r mY nr, m, n 0
Lượng cung tiền:
0
M M
Phương trình cân bằng thị trường tiền tệ (Phương trình đường LM)
0
L M mY nr M
Để xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng
Y
và
r
chúng ta thiết lập
hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn
Y
và
r
(mô hình IS – LM)
26
0
0
(1 a)Y cr b d G
IS
mY nr M
LM
Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta có:
1 a c
D n 1 a mc
m n
;
O
O O
O
Y
b d G c
D n b d G cM
M n
;
O
O O
O
r
1 a b d G
D 1 a M m b d G
m M
.
Vậy mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là:
O O
Y
n b d G cM
D
Y
D n 1 a mc
O O
r
1 a M m b d G
D
r
D n 1 a mc
.
1.2.3.2 Các ví dụ
Ví dụ 8.
Xét mô hình IS – LM với:
C 0,6Y 35
;
I 65 r
;
0
G G
;
L 5Y 50r
;
0
M M
.
a) Sử dụng quy tắc Cramer xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng.
b) Tính
Y, r
khi
0 0
G 70; M 1500
(nghìn tỉ VNĐ).
Giải
a)
Phương trình đường IS:
0 0
Y C I G 0,6Y 35 65 r G
0
0,4Y r 100 G
Phương trình đường LM:
0 0
L M 5Y 50r M
Chúng ta xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng từ hệ 2 phương trình,
2 ẩn
Y
và
r
.
27
O
O
0,4Y r 100 G
IS
5Y 50r M
LM
Ta có
0,4 1
D 25
5 50
O
O O
O
Y
100 G 1
D 5000 50G M
M 50
O
O O
O
r
0,4 100 G
D 0,4M 500 5G
5 M
Vậy
O O
Y
5000 50G M
D
Y
D 25
O O
r
500 5G 0,4M
D
r
D 25
.
b)
Với
0 0
G 70; M 1500
chúng ta có:
Y
D 5000 3500 1500
Y 400
D 25
(ngàn tỉ VNĐ)
r
D 500 350 600
r 10
D 25
%.
Ví dụ 9.
Xét mô hình IS – LM với:
0 0
0
C a(1 t) b cr;
I I ;G G ;
L mY nr;M M .
Với các hệ số
0 a 1, b 0, c 0, m 0, n 0, 0 t 1
.
a) Thiết lập mô hình IS – LM.
b) Giải mô hình bằng quy tắc Cramer.
c) Nếu chi tiêu chính phủ tăng 1 đơn vị thì thu nhập cân bằng thay đổi như thế
nào?
Giải
a)
Phương trình đường IS:
0 0
Y C I G a 1 t Y b cr I G
28
0 0
1 a 1 t Y cr b I G
Phương trình đường LM:
0
L M mY nr M
Mô hình IS – LM:
O O
O
[1 a 1 t Y cr b I G
IS
LM
mY nr M
b)
Giải mô hình bằng quy tắc Cramer:
Ta có
1 a 1 t c
D n 1 a 1 t mc
m n
O O
O O O
O
Y
b I G c
D n b I G cM
M n
O O
O O O
O
r
1 a 1 t b I G
D 1 a 1 t M m b I G
m M
Vậy,
O O O
Y
n(b I G ) cM
D
Y
D n 1 a(1 t) mc
O O O
r
m b I G 1 a 1 t M
D
r
D n 1 a 1 t mc
.
c) Ta có
O O O
0
n(b I G ) cM
Y
n 1 a(1 t) mc
O O O
1
n(b I G 1) cM
Y
n 1 a(1 t) mc
Suy ra
1 0
n
Y Y Y 0
n 1 a(1 t) mc
Vậy nếu chi tiêu chính phủ tăng 1 đơn vị thì thu nhập cân bằng tăng:
n
n 1 a(1 t) mc
.
29
1.2.4. Bài tập
Bài số 1. Xét thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau:
1 1
S 1 D 1 2
Q 1 P ; Q 20 2P P
2 2
S 2 D 1 2
Q P ; Q 40 P 2P
Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của hai hàng hóa đó bằng quy
tắc Cramer.
Đáp số:
1 2 1 2
23 99 15 99
P ; P ; Q ; Q .
8 8 8 8
Bài số 2. Sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo xác định bộ giá trị và lượng cân bằng
thị trường của hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau:
1)
1 1
S 1 D 1 2
Q 2P ; Q 20 P P
2 2
S 2 D 1 2
Q 10 2P ; Q 40 P 2P
2)
1 1
S 1 D 1 2
Q 20 2P ; Q 100 5P P
2 2
S 2 D 1 2
Q 10 P ; Q 80 2P 4P
Đáp số: 1)
1 2
1 2
130 170 260 230
P ;P ; Q ; Q .
11 11 11 11
2)
1 2
1 2
170 130 120 20
P ; P ; Q ; Q .
11 11 11 11
Bài số 3. Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau:
1 1
S 1 D 1 3
Q 10 P ; Q 20 P P
2 2
S 2 D 2 3
Q 2P ; Q 40 2P P
3 3
S 3 D 1 2 3
Q 5 3P ; Q 10 P P P
Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng quy
tắc Cramer.
Đáp số:
1 2 3
1 2 3
41 28 8 11 56
P ; P ; P ; Q ; Q ; Q 3.
3 3 3 3 3
Bài số 4. Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau:
1 1
S 1 3 D 1 2
Q 60 6P 2P ; Q 120 5P P
2 2
S 1 2 3 D 1 2 3
Q 30 P 9P P ; Q 160 P 6P P
30
3 3
S 1 3 D 2 3
Q 20 2P 8P ; Q 140 P 4P
Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng
phương pháp ma trận nghịch đảo.
Đáp số:
1 2 3
19910 16760 17155
P ; P ; P ;
933 933 933
1 2 3
29170 28595 78760
Q ; Q ; Q .
933 311 933
Bài số 5. Xét thị trường có 4 loại hàng hóa. Biết hàm cung và cầu của 4 loại hàng hóa trên
như sau:
1 1
S 1 2 3 4 D 1 2 3 4
Q 30 20P 3P P P ; Q 115 11P P 2P 5P
2 2
S 1 2 3 4 D 1 2 3 4
Q 50 2P 18P 2P P ; Q 250 P 9P P 2P
3 3
S 1 2 3 D 1 2 3 4
Q 40 P 2P 12P ; Q 150 P P 7P 3P
4 4
S 2 3 4 D 1 3 4
Q 15 2P P 18P ; Q 180 P 2P 10P
Tìm điểm cân bằng thị trường.
Đáp số:
1 2 3 4
P 10; P 15; P 15; P 10;
1 2 3 4
Q 100; Q 260; Q 100; Q 120.
Bài số 6. Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân:
0 0
Y G I C;
C 0,4Y 30.
Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng bằng quy tắc
Cramer, biết
0 0
I 200, G 500
(triệu USD).
Đáp số:
3650 3100
Y ; C .
3 6
Bài số 7. Xét mô hình
0 0
Y G I C;
d
C 0,8Y
;
d
Y 1 t Y
Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng bằng quy tắc
Cramer, biết
0 0
I 200, G 500
(triệu USD) và thuế suất thu nhập
t 0,1.
Đáp số:
17500
Y ; C 4200.
3
Bài số 8. Xét mô hình
31
0 0 0
Y C G I X M
;
d
C aY , (0 a 1)
;
d d
Y 1 t Y; M 0,1Y
.
1) Sử dụng quy tắc Cramer, hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân
Y, C
ở
trạng thái cân bằng.
2) Tính
Y, C
khi
0 0 0
I 200, G 500, X 100, a 0,1
và
t 0,1
.
Đáp số:
0 0 0
0 0 0
G I X
a(1 t)(G I X )
1) Y ;C ;
a(1 t) 0,1t 1,1 a(1 t) 0,1t 1,1
2) Y 800; C 72.
Bài số 9. Xét mô hình
Y C I;
C 0,8Y 50;
I 20 5r;
0
L 0,5Y 100 r;
M 200.
Hãy sử dụng quy tắc Cramer, xác định thu nhập và lãi suất ở trạng thái cân bằng.
Đáp số:
5700 50
Y ; r .
27 9
Bài số 10. Xét mô hình
0
Y C I G ;
C 0,8 1 t Y; t 0,1;
0
G 200;
I 100 r
;
L 0,5Y 2r;
0
M 500.
Hãy sử dụng quy tắc Cramer, xác định thu nhập và lãi suất ở trạng thái cân bằng.
Đáp số:
55000 7500
Y ; r .
53 53
Bài số 11. Cho mô hình thu nhập quốc dân:
0
0 1 0 1 0 1 1 1
0 1 2 0
Y C I G
C b b Y (a , a , b , b 0; a b 1)
I a a Y a R
32
trong đó:
0
G
là chi tiêu chính phủ;
0
R
là lãi suất;
I
là đầu tư;
C
là tiêu dùng;
Y
là thu nhập
1) Sử dụng quy tắc Cramer để xác định
Y, C
ở trạng thái cân bằng.
2) Với
0
b 200
;
1
b 0,7
;
0
a 100
;
1
a 0,2
;
2
a 10
;
0
R 7
;
0
G 500.
Tính
Y, C
.
Đáp số: 1)
0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0
1 1 1 1
a a R G b b a b a b a b R b G
Y ; C
1 a b 1 a b
;
2)
Y 7300; C 5310.
Bài số 12. Một số chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của nền kinh tế (đóng) có mối liên hệ sau:
Y C I G;
d
C 0,85Y 70;
d
Y Y T.
trong đó:
Y
: là thu nhập quốc dân;
C
: là tiêu dùng dân cư;
d
Y
: là thu nhập khả dụng;
I
: là đầu
tư;
G
: là chi tiêu chính phủ;
T
: là thuế. Với
I 200; G 500; T 500.
Hãy
1) Xác định thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng.
2) Phân tích chủ trương “kích cầu” của chính phủ thông qua chính sách giảm thuế.
Đáp số: 1)
Y 2300
; 2) Chính phủ giảm thuế làm cho thu nhập tăng lên.
Bài số 13. Một số chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của nền kinh tế có mối liên hệ sau
Y C I G X N;
C 0,08 1 t Y;
N 0,015 1 t Y.
trong đó:
Y
: là thu nhập quốc dân;
C
: là tiêu dùng dân cư;
I
: là đầu tư;
G
: là chi tiêu chính
phủ;
X
: là xuất khẩu;
M
: là nhập khẩu;
t
: là thuế. Biết rằng
I 700; G 900;
X 600;
t 0,015.
Hãy
1) Xác định thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng.
2) Với chỉ tiêu ở câu 1, có ý kiến cho rằng nếu giảm xuất khẩu 10% thì chính phủ có
thể tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập. Hãy nhận xét ý kiến này.
Đáp số: 1)
Y 2350,490131
; 2) Ý kiến trên sai.
33
Thuật ngữ chính chương 1
Tiếng Anh Tiếng Việt
Consumption
Disposable Income
Equilibrium Price
Equilibrium Quantity Demanded
Export
Gross Domestic Product
Gross National Income
Income Tax Rates
Import
Input – Output Model
IS – LS Model
Investment
Money Demand
Money Supply
Market Prices
Market Equilibrium
Matrix of Producting Coefficients
Market Model
National Income Model
Price
Quantity Supplied
Quantity Demanded
Saving
Tax
The final demand matrix
The matrix of Outputs
Utility
Tiêu dùng
Thu nhập khả dụng
Giá cân bằng
Lượng cầu cân bằng
Xuất khẩu
Tổng sản phẩm quốc nội
Tổng thu nhập quốc dân
Thuế thu nhập
Nhập khẩu
Mô hình cân đối liên ngành
Mô hình IS – LM
Đầu tư
Lượng cầu tiền
Lượng cung tiền
Giá thị trường
Thị trường cân bằng
Ma trận hệ số kỹ thuật
Mô hình cân bằng
Mô hình cân bằng kinh tế quốc dân
Giá hàng hóa
Lượng cung
Lượng cầu
Tiết kiệm
Thuế
Ma trận cầu cuối
Ma trận tổng cầu
Lợi ích
34
Chương 2
Áp dụng phép tính vi tích phân hàm một biến và phương
trình vi phân vào phân tích kinh tế và kinh doanh
2.1. Bài toán lãi suất và hiệu quả đầu tư
2.1.1. Giới hạn e và bài toán lãi suất
Định nghĩa số e
n
n
1
e lim 1
n

với
e 2,71828...
Giả sử ta có một khoản tiền
0
V
đồng (giá trị hiện tại) gửi vào ngân hàng với lãi
suất cố định
r%
một năm. Gọi
t
V
là số tiền ta có được sau
t
năm ( : giá trị tương lai)
t
t 0
V V 1 r .
(2.1)
Nếu trong một năm có
n
lần tính lãi với lãi suất mỗi lần tính là
n
r
r
n
thì trong
t
năm có
n t
lần tính lãi. Vậy số tiền sau
t
năm có là
nt
nt
t 0 n 0
r
V V 1 r V 1
n
Giả sử việc tính lãi trên là liên tục, tức là cho
n ,
khi đó số tiền nhận được sau
t
năm:
r.t
n
nt
r
r.t
t 0 0 0
n n
r r
V lim V 1 lim V 1 V .e
n n
 
(2.2)
Công thức (2.2) là công thức tính lãi gộp liên tục.
Giải ngược công thức (2.1), ta được công thức tính giá trị hiện tại của khoản tiền
t
V
sau
t
năm
t
0 t
V V 1 r
(2.3)
Giải ngược công thức (2.2) ta được công thức tính giá trị hiện tại của khoản tiền
/
t
V
sau
t
năm
r.t
0 t
V V .e
(2.4)
35
Ví dụ 1. Ngày 5/3/2016, giả sử Ông Bách gửi 10 triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm
lãi suất 5,24% năm. Tính số tiền Ông Bách sở hữu vào ngày 5/3/2020 (Giả sử lãi suất
không đổi trong suốt 4 năm).
Giải
Ta có
+) Số tiền hiện tại vào ngày 5/3/2016:
0
V 10
triệu đồng,
+) Ngày đáo hạn 5/3/2020:
t 4
năm,
+) Lãi suất:
r 5,24%
/năm.
Áp dụng công thức (2.1), ta có lượng vốn được đầu tư trong 4 năm. Lượng tiền Ông
Bách nhận được vào gày 5/3/2020,
4
4
V 10 1 0,0524 12,267
triệu đồng.
Ví dụ 2. Giả sử Ông Bách mong muốn sở hữu khoản tiền 20 triệu đồng vào ngày 2/3/2020
ở một tài khoản lãi suất năm là 6,05%. Hỏi Ông Bách cần đầu tư bao nhiêu tiền trên tài
khoản này vào ngày 2/3/2015 để đạt được mục tiêu đề ra (Giả sử lãi suất không đổi trong
suốt 5 năm).
Giải
Ta có
+) Số tiền tương lai vào ngày 2/3/2020:
5
V 20
triệu đồng,
+) Kỳ hạn:
t 5
năm,
+) Lãi suất:
r 6,05%
/năm.
Áp dụng công thức (2.3), ta có lượng vốn sẽ được đầu tư trong 5 năm. Do đó, lượng
vốn cần đầu tư vào ngày 2/3/2015 là :
5
0
V 20 1 0,0605 14,91
triệu đồng.
Ví dụ 3. Xác định hiện giá của khoản tiền 20 triệu đồng nhận được sau 3 năm, khi tích lũy
liên tục với lãi suất 6%. So sánh với phương thức tích lũy năm lãi suất 6%. (Giả sử lãi suất
không đổi trong suốt thời gian).
Giải
Ta có
+) Số tiền tương lai sau 3 năm:
3
V 20
triệu đồng,
+) Kỳ hạn:
t 3
năm,
36
+) Lãi suất:
r 6%
/năm.
Áp dụng công thức (2.4) cho hiện giá
0
V
khi tích lũy liên tục :
0,06 3
0
V 20 e 20 0,835270 16,705
triệu đồng.
Áp dụng công thức (2.3) cho hiện giá
0
V
khi tích lũy theo năm :
3
0
V 20 1, 06 16,792
triệu đồng.
Hiện giá theo phương thức tích lũy liên tục nhỏ hơn hiện giá theo phương thức tích
lũy năm.
Ví dụ 4. Sau 5 năm, một thương phiếu sẽ được thanh toán với số tiền là 10000 USD. Với
lãi suất 9% năm, hãy tính giá trị hiện tại của thương phiếu.
Giải
Ta có
+) Số tiền tương lai sau 5 năm:
5
V 10000
triệu đồng,
+) Kỳ hạn:
t 5
năm,
+) Lãi suất:
r 9%
/năm.
Áp dụng công thức (2.3), ta có giá trị hiện tại của thương phiếu là
5
0
V 10000 1,09 6499,31
(USD)
2.1.2. Đánh giá hiệu quả đầu tư
Giá trị hiện tại ròng của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền
sẽ thu về trong tương lai và chi phi triển khai dự án. Giá trị hiện tại ròng được tính theo
công thức:
t
NPV B 1 r C
(2.5)
trong đó,
C
là khoản chi phí hiện tại;
B
là khoản mà dự án đem về sau
t
năm,
r
là lãi
suất năm. Một tiêu chuẩn cơ bản để dự án đầu tư được chấp thuận là
NPV 0.
Ví dụ 5. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án:
+) Dự án 1. Chi phí hiện tại là 2000 USD và đem lại 3000 USD sau 4 năm.
+) Dự án 2. Chi phí hiện tại là 2000 USD và đem lại 4000 USD sau 6 năm.
+) Dự án 3. Chi phí hiện tại là 3000 USD và đem lại 4800 USD sau 5 năm.
Với lãi suất thịnh hành là 10% một năm thì nên chọn dự án nào?
Giải
37
Để trả lời câu hỏi này ta so sánh NPV của các dự án nói trên
+) Chi phí hiện tại của các dự án
1 2 3
C 2000, C 2000, C 3000
+) Khoản tiền mà các dự án đem lại
1 2 3
B 3000, B 4000, B 4800
+) Lãi suất của các dự án
1 2 3
r r r 10% 0,1
+) Kỳ hạn của các dự án
1 2 3
n 4, n 6,n 5
Áp dụng công thức (2.5), ta có
Dự án 1.
1
n 4
1 1 1 1
NPV B 1 r C 3000 1,1 2000 49,04
USD.
Dự án 2.
2
n 6
2 2 2 2
NPV B 1 r C 4000 1,1 2000 257,9
USD.
Dự án 3.
3
n 5
3 3 3 3
NPV B 1 r C 4800 1,1 3000 19,58
USD.
Ta chọn dự án 2 vì dự án này NPV lớn nhất.
2.1.3. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ
Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ là tổng số giá trị hiện tại của các kỳ khoản được
phát sinh trong tương lai (Giá trị của chuỗi tiền tệ được quy về điểm gốc).
Gọi
+)
i
a
là giá trị của kỳ khoản thứ
i,
i 1,2,..., n
,
+)
r
là lãi suất một kỳ,
+)
n
là số lần thanh toán,
+)
PV
là giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ.
Công thức xác định giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ (cuối kỳ) như sau:
n
i
i
i 1
PV a 1 r
(2.6)
Nếu chuỗi tiền tệ cố định, tức là
i
a a, i 1,2,..,n
thì
n
n
i
i 1
1 (1 r)
PV a 1 r a
r
(2.7)
38
Ví dụ 6. Một dự án số vốn đầu tư ban đầu là 30000 USD sau một năm đem lại cho bạn
đều đặn 5000 USD mỗi năm, liên tiếp trong 10 năm sau đó. Lãi suất không đổi
10%/năm. Bạn có chấp nhận dự án này hay không?
Giải
Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại ròng của dự án
Ta có
+) Số tiền mỗi năm:
a 5000
USD,
+) Lãi suất:
r 10% /
năm,
+) Kỳ hạn:
n 10
năm,
+) Vốn ban đầu:
C 30000
USD
Giá trị hiện tại của dòng tiền, ta áp dụng biểu thức (2.7):
10
n
1 1,1
1 (1 r)
PV a 5000 30722,8
r 0,1
USD.
Giá trị hiện tại ròng:
NPV PV C 30722,9 30000 722,8
USD.
Vì
NPV 0
nên chấp nhận dự án.
Ví dụ 7. Một công ty ôtô bán xe VIOS theo hai phương án sau:
+) Phương án 1. Trả luôn một lần với giá 18000 USD.
+) Phương án 2. Trả ngay 5000 USD và nhận xe, phần còn lại trả góp theo quý
(liên tục trong 6 quý) mỗi quý là 2450 USD, biết lãi suất là 3%/quý. Nếu cần mua xe ôtô
bạn chọn phương án thanh toán nào?
Giải
Phương án 2.
+) Số tiền mỗi năm:
a 2450
USD,
+) Lãi suất:
r 3% /
quý,
+) Kỳ hạn:
n 6
quý,
Giá trị hiện tại của dòng tiền, ta áp dụng biểu thức (2.7):
6
n
1 1,03
1 (1 r)
PV a 2450 13272,12
r 0,03
USD.
Tổng số tiền phương án 2 phải trả:
5000 13272,12 18272,12
USD.
Kết luận. Trả góp đắt hơn.
39
2.1.4. Bài tập
Bài số 1. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết:
1) Giá trị tương lai của khoản tiền 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm.
2) Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm.
Đáp số: 1) 4,142 triệu đồng; 2) 3,252 triệu đồng.
Bài số 2. Hôm nay, Ông Bách đầu tư 5 triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm với lãi suất
năm 4,5%.
1) Tính giá trị số tiền ông ta sở hữu sau 5 năm, 10 năm, 30 năm.
2) Tính giá trị số tiền ông Bách sở hữu sau 10 năm khi lãi suất giữ nguyên ở mức 4,5%
trong hai năm đầu, giảm xuống còn 3% trong năm năm kế tiếp và tăng lên thành
6% trong ba năm cuối.
Đáp số: 1) 6,23; 7,765; 18,73; 2) 7,54.
Bài số 3. Dân số thành phố
A
là 20000 người, tăng trưởng 3% năm, và của thành phố
B
là 30000, tăng trưởng 1% năm. Sau bao nhiêu năm thì dân số hai thành phố này bằng nhau.
Đáp số : 20,7 năm.
Bài số 4. Xác định giá trị nhận được bởi lượng vốn 10 triệu đồng đầu tư theo phương thức
tích lũy liên tục trong 5 năm ở mức lãi suất năm 4%.
Đáp số : 12,2 triệu đồng.
Bài số 5. Xác định hiện giá của khoản tiền 20 triệu đồng nhận được sau 3 năm, khi tích
lũy liên tục với lãi suất 6%.
Đáp số : 16,71 triệu đồng.
Bài số 6. Một dự án đòi hỏi số tiền đầu tư ban đầu là 6000 USD và sẽ đem lại 10000 USD
sau 5 năm. Trong điều kiện lãi suất tiền gởi ngân hàng là 9% một năm, có nên đầu tư vào
dự án đó hay không? Tính NPV của dự án trên.
Đáp số:
NPV 499,314.
Bài số 7. Một công ty đề nghị góp vốn 3500 USD và đảm bảo sẽ trả 750 USD mỗi năm,
liên tiếp trong 7 năm. Lãi suất không đổi là 9%/năm. Bạn có chấp nhận dự án này hay
không?
Đáp số:
NPV 274,715
USD.
Bài tập 8. Xác định giá trị nhận được của lượng vốn 10 triệu đồng, đầu tư trong 4 năm ở
mức lãi 3,5%, trong các điều kiện sau :
40
1) Tích lũy liên tục,
2) Tích lũy hàng năm.
Đáp số: 1) 11,503 triệu đồng; 2) 11,475 triệu đồng.
Bài số 9. Với mức lãi 4%, tính hiện giá của khoản tiền 5 triệu đồng nhận được sau 4 năm,
nếu phương thức tích lũy là
1) Tích lũy liên tục,
2) Tích lũy hàng năm.
Đáp số: 1) 4,261 triệu đồng; 2) 4,274 triệu đồng.
Bài số 10. Có 3 dự án cùng một số vốn ban đầu là 10000 USD và các luồng thu nhập
CF
như sau :
+) Dự án A.
Năm 1 2 3
CF 4000 USD 4000 USD 4000 USD
+) Dự án B.
Năm 1 2 3
CF 3000 USD 5000 USD 8000 USD
+) Dự án C.
Năm 1 2 3
CF 8000 USD 5000 USD 3000 USD
Giả sử lãi suất cả 3 dự án đều là 10%.
Nếu phải chọn 1 trong 3 dự án thì bạn nên chọn dự án nào ?
Đáp số : Chọn dự án C.
Bài số 11. Một doanh nhân bỏ ra
K
USD vào thời điểm hiện tại mua tích trữ một loại
rượu nho để bán vào một thời điểm nào đó bất kỳ trong tương lai, biết giá của lô rượu này
tăng theo quy luật
t
t
V Ke
(
t
là biến thời gian). Giả sử chi phí bảo quản trong đáng kể
(có thể bỏ qua). Cho lãi suất liên tục
r%
. Hãy xác định thời điểm bán lô rượu có lợi nhất.
Đáp số :
2
1
t .
4r
Bài số 12. Hãy xác định lãi suất
r
tính gộp liên tục một năm tương đương với lãi đơn gộp
5%/năm, tính lãi 1 năm 1 lần.
Đáp số: 4,9%.
41
2.2. Áp dụng đạo hàm vào phân tích kinh tế và kinh doanh
2.2.1. Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế và kinh doanh
2.2.1.1. Hàm sản xuất ngắn hạn
Để tiến hành sản xuất, đầu tiên chúng ta cần các yếu tố đầu vào là vốn
K
và lao
động
L .
Trong ngắn hạn, người ta giả thiết
K
là không thay đổi, khi đó sản lượng đầu
ra
Q
sẽ phụ thuộc hàm số vào yếu tố đầu vào
L
và gọi là
hàm sản xuất ngắn hạn:
Q f L , L 0
Ví dụ 5.
Cho hàm sản xuất ngắn hạn
2
3
Q 120.L
;
Q a.L (a 0,0 1)
2.2.1.2. Hàm chi phí (tổng chi phí)
+) Chi phí
TC
phụ thuộc đầu ra
Q
:
TC TC Q , Q 0
Ví dụ 6.
Cho hàm chi phí phụ thuộc vào sản lượng
Q
3 2
TC Q Q 6Q 140Q 1500, Q 0
0,3Q
TC Q 30.e 200
2
TC Q 3Q 7Q 243
+) Chi phí
TC
phụ thuộc đầu vào
L
:
L
TC p .L TC L , L 0
(
L
p
giá thuê một đơn vị lao động).
Ví dụ 7.
Cho hàm chi phí phụ thuộc vào lao động
L
L L
TC L p L 3.L L 0, p 3
.
2.2.1.3. Hàm doanh thu (tổng doanh thu)
Doanh thu
TR
phụ thuộc đầu ra
Q
:
TR P.Q TR Q , Q 0
(
P
ký hiệu là giá hàng hóa).
Ví dụ 8.
Cho hàm doanh thu phụ thuộc vào sản lượng
Q
2
TR Q 1200Q 3Q , Q 0
Doanh thu
TR
phụ thuộc đầu vào
L
:
TR P.Q P.f L TR L , L 0
(
P
ký hiệu là giá hàng hóa)
42
Ví dụ 9.
Cho hàm doanh thu phụ thuộc vào lao động
L
TR L 5.300 L 1500 L, L 0 (P 5; Q 300 L)
.
2.2.1.4. Hàm lợi nhuận (tổng lợi nhuận)
Lợi nhuận
được tính bằng hiệu giữa doanh thu
TR
và chi phí
TC
:
+) Lợi nhuận
phụ thuộc đầu ra:
Q TR Q TC Q
Ví dụ 10.
Cho hàm doanh thu
2
TR Q 1200Q 3Q , Q 0
và hàm chi phí
3 2
TC Q Q 6Q 140Q 1500, Q 0
Suy ra hàm lợi nhuận phụ thuộc vào sản lượng
Q
3 2
Q TR Q TC Q Q 3Q 1060Q 1500, Q 0
+) Lợi nhuận
phụ thuộc đầu vào:
L TR L TC L
.
Ví dụ 11.
Cho hàm sản xuất:
Q 300 L,
giá một đơn vị lao động là 3, giá sản phẩm là
5. Xác định hàm lợi nhuận.
Ta có
+) Hàm doanh thu :
TR L PQ 5.300 L 1500 L
+) Hàm chi phí:
L
TC L p L 3L
+) Suy ra hàm lợi nhuận phụ thuộc vào lao động
L
L TR L TC L 1500 L 3.L, L 0
.
2.2.1.5. Hàm chi tiêu
Chi tiêu
C
phụ thuộc thu nhập
Y
:
C C Y , Y 0
Ví dụ 12.
Cho hàm chi tiêu phụ thuộc vào mức thu nhập như sau:
C Y aY b (0 a 1, b 0), Y 0
.
2.2.1.6. Hàm tiết kiệm
Tiết kiệm
S
phụ thuộc thu nhập
Y
:
S S Y , Y 0
Ví dụ 13.
Cho hàm tiết kiệm phụ thuộc vào mức thu nhập như sau:
S Y 0,3Y 0,1. Y 100, Y 0
.
2.2.1.7. Hàm cung và hàm cầu một loại hàng hóa
Lượng cung và lượng cầu hàng hóa phụ thuộc vào giá hàng hóa:
43
+) Hàm cung:
S
Q S P , P 0
.
+) Hàm cầu:
D
Q D P , P 0
.
Ví dụ 14.
Cho hàm cung và hàm cầu dạng tuyến tính như sau:
+) Hàm cung:
S P aP b (a,b 0)
.
+) Hàm cầu:
D P cP d (c,d 0)
.
2.2.2. Đạo hàm và giá trị cận biên
Cho hàm số
y f (x)
với
x, y
là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập
x
là biến đầu vào và biến phụ thuộc
y
là biến số đầu ra), gọi
0
x
là một điểm thuộc tập
xác định của hàm số.
Hàm số ký hiệu
/
My f (x)
được gọi là hàm cận biên.
Giá trị
/
0 0
My(x ) f (x )
được gọi là giá trị cận biên của hàm số
tại điểm
0
x
(hay giá trị
y
cận biên của
x
tại điểm
0
x
). Đối với mỗi hàm số kinh tế cụ thể, giá trị cận
biên có tên gọi cụ thể.
Ý nghĩa.
Tại
0
x
, khi đối số
x
thay đổi một đơn vị thì giá trị hàm số
f (x)
thay đổi
một lượng xấp xỉ bằng
/
0 0
My(x ) f (x )
.
Chú ý.
Nếu
/
0 0
My(x ) f (x ) 0
thì
f (x)
sẽ thay đổi cùng chiều với đối số
x
(nghĩa
là
f (x)
tăng khi
x
tăng và
f ( x )
giảm khi
x
giảm) và nếu
/
0 0
My(x ) f (x ) 0
thì
sẽ thay đổi ngược chiều với đối số
x
(nghĩa là
f (x)
tăng khi
x
giảm và
giảm khi
x
tăng).
Ví dụ 15.
Cho hàm doanh thu
2
TR Q 1200Q Q (Q 0)
a) Tìm hàm doanh thu cận biên
MR Q .
b) Tại
0
Q 590
, nếu sản lượng
Q
tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao
nhiêu đơn vị.
c) Tính giá trị doanh thu cận biên tại
0
Q 610
và nêu ý nghĩa kết quả nhận được.
Giải
a) Hàm doanh thu cận biên:
/
MR Q TR Q 1200 2Q (Q 0)
44
b)
MR 590 1200 2.590 20 0
Vậy tại
0
Q 590
, nếu sản lượng
Q
tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ tăng một
lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị.
c)
MR 610 1200 2.610 20 0 
Vậy tại
0
Q 610
, nếu sản lượng
Q
thay đổi một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi
(ngược chiều) một lượng xấp xỉ 20 đơn vị (trong trường hợp này, khi
Q
tăng thêm một
đơn vị thì doanh thu sẽ giảm một lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị).
Ví dụ 16.
Cho hàm sản xuất ngắn hạn:
Q 30 L , L 0
a) Tìm hàm sản phẩm cận biên của lao động
MPL L .
b) Tại
0
L 144,
nếu lao động
L
tăng thêm một đơn vị thì sản lượng sẽ thay đổi
bao nhiêu đơn vị?
Giải
a) Hàm sản phẩm cận biên của lao động:
/
15
MPL L Q L
L
.
b)
15 15 5
MPL 144 1,25
12 4
144
(đơn vị sản phẩm)
Vậy tại
0
L 144
, nếu lao động
L
tăng thêm một đơn vị thì sản lượng sẽ tăng một
lượng xấp xỉ 1,25 đơn vị.
Ví dụ 17.
Cho hàm chi tiêu phụ thuộc vào thu nhập như sau:
C Y aY b (0 a 1, b 0), Y 0
a) Tìm hàm xu hướng tiêu dùng cận biên
MPC Y .
b) Cho biết ý nghĩa kinh tế của hệ số
a
trong biểu thức hàm số đã cho.
Giải
a) Hàm xu hướng tiêu dùng cận biên:
/
/
MPC Y C Y aY b a
b) Tại mọi mức thu nhập, khi thu nhập thay đổi một đơn vị thì chi tiêu sẽ thay đổi
xấp xỉ a đơn vị. Chú ý rằng, vì
a 0
nên thay đổi của chi tiêu sẽ cùng chiều với thay đổi
của thu nhập.
45
Ví dụ 18.
Cho hàm tổng chi phí:
2
TC Q 0,1Q 0,3Q 100 (Q 0)
a)
Tìm hàm chi phí cận biên
MC Q .
b)
Tính chi phí cận biên tại mức sản lượng
0
Q 120
và giải thích ý nghĩa kết quả
nhận được.
Giải
a) Hàm chi phí cận biên:
/
MC Q TC (Q) 0,2Q 0,3
b)
MC 120 0,2 120 0,3 24,3
(đơn vị sản phẩm)
Ý nghĩa.
Tại mức sản lượng
0
Q 120,
khi sản lượng thay đổi một đơn vị thì chi
phí sẽ thay đổi một lượng xấp xỉ bằng 24,3 đơn vị, tuy nhiên vì 24,3 > 0 nên chi phí cũng
sẽ thay đổi cùng chiều với sản lượng.
2.2.3. Đạo hàm và hệ số co dãn
Cho hàm số
y f (x)
với
x, y
là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập
x
là biến đầu vào và biến phụ thuộc
y
là biến số đầu ra), gọi
0
x
là một điểm thuộc tập
xác định của hàm số.
Giá trị
/
0
yx 0 0
0
x
(x ) y (x )
y(x )
được gọi là hệ số co dãn của
y
theo
x
tại
0
x .
Ý nghĩa.
Tại
0
x ,
khi đối số
x
thay đổi 1% thì giá trị của hàm số
y f (x)
thay đổi
một lượng xấp xỉ bằng
yx 0
(x )
%.
Ví dụ 19.
Xét hàm cầu của một loại hàng hóa
D
Q D P ,
tại mức giá
0
P
:
Hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá
0
P
:
/
0
D 0 0
0
P
P D P
D P
Áp dụng với hàm cầu
2
D P 6P P ,
tại mức giá
0
P 5
và giải thích ý nghĩa của
kết quả nhận được. Cũng tại mức giá đó, nếu giá tăng 3% thì cầu sẽ thay đổi như thế nào?
Giải
Áp dụng công thức trên ta có
/
D
5
5 D 5 4
D 5
46
Ý nghĩa.
Tại mức giá
0
P 5,
nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm một lượng 4%. Còn
nếu giá
tăng
3% thì cầu sẽ
giảm
một lượng xấp xỉ 3.(4%) = 12%.
Ví dụ 20.
Cho hàm sản xuất
Q a.L , a 0, 0 1 .
Tại mức sử dụng lao động nào
đó, tính hệ số co dãn của sản lượng theo lao động.
Giải
Hệ số co dãn của
Q
theo
L
1
/
QL
L .a.L
(L) Q (L) L
Q(L)
a.L
Ý nghĩa.
Tại mọi mức sử dụng lao động, nếu lao động thay đổi 1% thì sản lượng sẽ
thay đổi (cùng chiều) một lượng xấp xỉ
%.
2.2.4. Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần
Cho hàm số
y f (x)
với x, y là các biến số kinh tế.
Nội dung. Khi giá trị của đối số x đủ lớn, nếu giá trị của x tăng thì giá trị cận biên
My sẽ giảm, hay là
/
//
My f (x) 0
. Điều kiện
//
f (x) 0
là biểu thị toán học của Quy
luật lợi ích cận biên giảm dần.
Ví dụ 21. Cho hàm sản xuất
Q aL , a 0, 0
, hãy tìm điều kiện của tham số
để
hàm tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.
Giải
+) Đạo hàm cấp 1:
/ 1
Q .a.L


+) Đạo hàm cấp 2:
// 2
Q ( 1). .a.L

+) Hàm sản xuất tuân theo quy luật cận biên giảm dần
//
Q 0 ( 1) 0 1.
Ví dụ 22. Cho hàm doanh thu:
2
TR Q 1200Q Q .
Hàm này có tuân theo Quy luật lợi
ích cận biên giảm dần hay không?
Giải
+) Đạo hàm cấp 1:
/
TR Q 1200 2Q
+) Đạo hàm cấp 2:
//
TR Q 2 0
.
Vậy hàm doanh thu này có tuân theo
quy luật lợi ích cận biên giảm dần.
47
2.2.5. Khảo sát hàm bình quân
Cho hàm số
y f (x)
với
x, y
là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập
x
là biến đầu vào và biến phụ thuộc
y
là biến số đầu ra)
.
Hàm số
y
Ay (x 0)
x
được gọi là hàm bình quân. Chúng ta sẽ khảo sát khoảng
tăng, giảm, cực trị của hàm số này.
Ta có:
/
/
/
y
y
y My Ay
x
Ay (x 0)
x x x
Do đó, trong khoảng hàm bình quân tăng thì
My Ay
(đường cận biên nằm trên
đường bình quân).
Trong khoảng hàm bình quân giảm thì
My Ay
(đường cận biên nằm dưới đường
bình quân).
Tại điểm hàm bình quân đạt cực trị thì
My Ay 0 My Ay
(đường cận biên
gặp đường bình quân tại điểm đường bình quân đạt cực trị).
Ví dụ 23.
Chứng minh rằng:
Ay/x
My
1 (x) .
Ay

Giải
Áp dụng công thức tính hệ số co dãn của hàm bình quân theo
x,
ta có
/
Ay/x
x My Ay My
(x) Ay 1
Ay Ay Ay
Ay/x
My
1 (x) .
Ay

Ví dụ 24.
Cho hàm chi phí
TC TC Q , (Q 0)
.
a) Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân
AC Q
và hàm chi phí
cận biên
MC Q .
b) Áp dụng phân tích đối với trường hợp
2
TC Q 3Q 7Q 27, Q 0.
Giải
a) Hàm chi phí bình quân
48
TC Q
AC Q
Q
Đạo hàm của hàm chí phí bình quân theo biến
Q
/
MC AC
AC Q (Q 0)
Q
Do đó, trong khoảng hàm chi phí bình quân tăng thì
MC AC
(đường chi phí cận
biên nằm trên đường chi phí bình quân).
Còn trong khoảng hàm chi phí bình quân giảm thì
MC AC
(đường chi phí cận
biên nằm dưới đường chi phí bình quân).
Tại điểm hàm chi phí bình quân đạt cực trị thì
MC AC
(đường chi phí cận biên
gặp đường chi phí bình quân tại điểm mà đường chi phí bình quân đạt cực trị).
b)
2
TC Q 3Q 7Q 27, Q 0
Hàm bình quân:
TC Q
27
AC Q 3Q 7
Q Q
Đạo hàm cấp 1:
/
2
27
AC Q 3
Q
Giải phương trình:
/ 2
AC Q 0 Q 9 Q 3
(nhận
do Q > 0)
+) Nếu
Q 3
thì hàm chi phí bình quân tăng và
MC AC
(đường chi phí cận biên
nằm trên đường chi phí bình quân).
+) Nếu
Q 3
thì hàm chi phí bình quân giảm và
MC AC
(đường chi phí cận biên
nằm dưới đường chi phí bình quân).
+) Nếu
Q 3
thì hàm chi phí bình quân đạt cực trị và
MC AC
(đường chi phí cận
biên gặp đường chi phí bình quân tại điểm mà đường chi phí bình quân đạt cực tiểu).
Ví dụ 25. (Bạn đọc tự làm các ví dụ áp dụng với hàm số dưới đây)
Cho hàm sản xuất ngắn hạn:
2 3
Q 40L L (L 0).
Hãy phân tích mối quan hệ giữa
hàm sản phẩm bình quân của lao động
Q
APL (L 0)
L
và hàm sản phẩm cận biên của
lao động
MPL.
49
2.2.6. Bài toán tối ưu hàm một biến
2.2.6.1. Tìm mức sử dụng lao động
L
để sản lượng hoặc lợi nhuận tối đa
Bài toán 1. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm
sản xuất ngắn hạn là
Q Q L
(
L
là lao động). Hãy xác định mức sử dụng lao động để
công ty sản xuất được nhiều sản phẩm nhất.
Giải quyết bài toán. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập
L
là biến
đầu vào và biến phụ thuộc
Q
là biến đầu ra.
Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì tại
L 0
tìm được ta phải có mức sản lượng
Q 0.
Ví dụ 26. Cho hàm sản xuất
2 3
Q 120L L , L 0.
Hãy xác định mức sử dụng lao động
để sản lượng tối đa.
Giải
+) Đạo hàm cấp 1:
2
/
Q L 240L 3L
.
+) Giải phương trình:
2/
Q L 240L
0
3L
L 80
(nhận) hay
L 0
(loại).
+) Hàm số có điểm dừng:
L 80
+) Đạo hàm cấp 2 :
//
Q L 240 6L
, tại
L 80.
+) Ta có
//
Q (80) 240 0
.
Vậy khi lao động là 80 thì sản lượng tối đa là
max
Q Q 80 256000
.
Bài toán 2. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm
sản xuất ngắn hạn là
Q Q L
(
L
là lao động), giá sản phẩm
P
và giá một đơn vị lao
động là
L
p .
Hãy xác định mức sử dụng lao động để công ty thu được lợi nhuận tối đa.
Giải quyết bài toán.
Bước 1. Tìm hàm tổng doanh thu:
TR L PQ P Q L .
Bước 2. Tìm hàm chi phí:
L
TC L p L.
Bước 3. Tìm hàm lợi nhuận:
L TR L TC L .
Bước 4. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập
L
là biến đầu vào và
biến phụ thuộc
là biến đầu ra.
50
Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì ta phải có mức lao động, sản lượng, chi phí, đơn
giá và lợi nhuận đều dương.
Ví dụ 27. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn
5
3
Q 100 L , L 0
và giá của sản phẩm là
P 5
USD, giá thuê một đơn vị lao động là
L
p
3
USD. Hãy tìm mức sử dụng lao động
để lợi nhuận tối đa.
Giải
Ta có
+) Hàm doanh thu:
5
3
TR Q PQ 500 L
+) Hàm chi phí :
L
TC L p L 3L
+) Hàm lợi nhuận :
5
3
L 500 L 3L
+) Đạo hàm cấp 1 :
/ 2/5
L 300L 3
+) Giải phương trình
/
L 0 L 100000
+) Đạo hàm cấp 2:
// 7/5
L 120L
Xét lại
L 100000,
ta có
//
3
100000 0
250000

Với
L 100000
thì lợi nhuận tối đa là
max
100000 200000.
2.2.6.2. Tìm mức sản lượng Q để chi phí tối thiểu, doanh thu, lợi nhuận tối đa
Bài toán 1. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm
tổng chi phí
TC TC Q
(
Q
là sản lượng). Hãy xác định sản lượng
Q
để tổng chi phí là
bé nhất.
Giải quyết bài toán. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập
Q
là biến
đầu vào và biến phụ thuộc
TC
là biến đầu ra.
Chú ý. Để phù hợp với thực tế, ta phải có mức sản lượng và chi phí đều phải dương.
Ví dụ 28. Cho hàm tổng chi phí:
3 2
TC Q Q 210Q 12000Q, (Q 0).
Hãy xác định
mức sản lượng
Q
để chi phí bình quân nhỏ nhất.
Giải
+) Hàm chi phí bình quân:
51
2
TC Q
AC Q Q 210Q 12000
Q
+) Đạo hàm cấp 1:
/
AC Q 2Q 210
+) Giải phương trình:
/
AC Q 0 Q 105
+) Đạo hàm cấp 2:
//
AC Q 2 0
Vậy khi
Q 105
thì chi phí bình quân đạt giá trị nhỏ nhất là
min
AC AC 105 975
.
Ví dụ 29.
Cho biết hàm tổng chi phí:
3 2
TC Q Q 9Q 60Q 150 Q 0 .
Hãy xác
định mức sản lượng
Q
để chi phí nhỏ nhất.
Giải
+) Đạo hàm cấp 1:
/ 2
TC Q 3Q 18Q 60 (Q 0)
+) Ta có
2
( 18) 4.3.60 396 0
+) Với
/
a 3 0 TC Q 0 Q 0
Vậy
TC Q
luôn tăng với
Q 0
, nên
TC Q
đạt giá trị nhỏ nhất khi
Q 0.
Bài toán 2. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm
tổng chi phí
TC TC Q
(
Q
là sản lượng) và hàm cầu của công ty là
D
Q D Q .
Hãy
xác định mức sản lượng
Q
để công ty thu được lợi nhuận tối đa.
Giải quyết bài toán.
Bước 1. Tìm hàm tổng doanh thu:
1
TR Q PQ D Q Q.
Bước 2. Tìm hàm lợi nhuận:
Q TR Q TC Q .
Bước 3. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập
Q
là biến đầu vào và
biến phụ thuộc
là biến đầu ra.
Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì ta phải có mức sản lượng, đơn giá, lợi nhuận đều
dương.
52
Ví dụ 30. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là
D
1
Q 656 P
2
và hàm tổng chi phí
3 2
TC Q Q 77Q 1000Q 40000.
Hãy xác định
mức sản lượng
Q
sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.
Giải
Với một mức sản lượng
Q
, để , thì xí nghiệp cần phải bán theo một bán hết sản phẩm
đơn giá
P
sao cho
D
Q Q
. Do đó, ta có
D
1
Q Q 656 P Q P 1312 2Q
2
,
Mặt khác của xí nghiệp là doanh thu
2
TR(Q) P Q (1312 2Q) Q 2Q 1312Q
và thu được của xí nghiệp là lợi nhuận
2 3 2
Q TR Q TC Q 2Q 1312Q (Q 77Q 1000Q 40000)
Hay
3 2
Q Q 75Q 312Q 40000
Bây giờ ta tìm
Q 0
sao cho
đạt giá giạ lớn nhất. Ta có
/ 2 2
Q 3Q 150Q 312
Suy ra,
/ 2
Q 0 3Q 150Q 312 0
Q 52
(nhận) hay
Q 2
(loại).
Mặt khác,
//
Q 6Q 150
nên
//
52 162 0.
Vậy
Q
đạt cực đại tại
Q 52
.
Khi đó, ta có các kết quả phù hợp sau :
Lợi nhuận :
38416,
đ
ơn giá :
P 1208,
tổng chi phí :
TC 24400.
Kết luận: Để đạt lợi nhuận cao nhất, xí nghiệp cần sản xuất với mức sản lượng
Q 52.
Khi đó lợi nhuận tương ứng là
38416
.
Ví dụ 31.
Cho hàm tổng lợi nhuận:
3 2
1
Q Q 3Q 15Q 500 Q 0
3
Hãy xác định mức sản lượng
Q
để lợi nhuận lớn nhất.
53
Giải
+) Đạo hàm cấp 1:
/ 2
Q Q 6Q 15 (Q 0)
+) Ta có
2
6 4.( 1).( 15) 24 0
+) Với
/
a 1 0 Q 0 ( Q 0).
Vậy
Q
luôn giảm với
Q 0
, nên
Q
đạt giá trị lớn nhất khi
Q 0.
2.2.6.3. Bài toán thuế doanh thu
Bài toán. Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu
là
D
Q D P
(
P
là đơn giá) và hàm tổng chi phí là
TC TC Q
(
Q
là sản lượng). Hãy
xác định mức thuế
t
trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí
nghiệp.
Giải quyết bài toán. Với một mức thuế
t
trên một đơn vị sản phẩm, xí nghiệp định
mức sản lượng Q phụ thuộc vào thuế
t
sao cho đạt lợi nhuận tối đa. Với mức sản lượng
Q,
để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá
P
sao cho
D
Q Q.
Do đó, ta có
1
D P Q P D Q
Doanh thu của xí nghiệp là
1
TR Q P Q D Q Q
Trong đó tiền thuế xí nghiệp phải nộp là
T t Q t
.
Lợi nhuận của xí nghiệp là
1
Q TR Q TC Q D Q Q TC Q T t
Vậy theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm
Q Q t
sao cho
Q
đạt . Khi giá trị lớn nhất
đó với tiền thuế mà xí nghiệp phải nộp là
T t Q t t.
Ta cần tìm giá trị
t 0
sao cho
T t Q t t
đạt cực đại.
Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì tại
t 0
tìm được ta phải có mức sản lượng và
đơn giá, lợi nhuận, tổng chi phí đều dương.
54
Ví dụ 32. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là
D
Q 2000 P
và hàm tổng chi phí
2
TC Q Q 1000Q 50.
Hãy xác định mức thuế
t
trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp.
Giải
Với một mức sản lượng
Q
, để , thì xí nghiệp cần phải bán theo một bán hết sản phẩm
đơn giá
P
sao cho
D
Q Q
. Do đó, ta có
D
Q Q 2000 P Q P 2000 Q
.
Mặt khác của xí nghiệp là doanh thu
1 2
TR Q P Q D Q Q 2000 Q Q Q 2000Q
Tiền thuế của xí nghiệp là :
T t Q t
, và thu được của xí nghiệp là : lợi nhuận
2
Q TR Q TC Q Q t 2Q 1000 t Q 50
Bây giờ ta tìm
Q 0
sao cho
đạt giá giạ lớn nhất. Ta có
/
Q 4Q 1000 t
Suy ra
/
1
(Q) 0 4Q (1000 t) 0 Q 1000 t .
4
Khi đó tiền thuế xí nghiệp phải nộp là :
2
1
T t Q t 1000t t
4
Ta cần xác định
t 0
sao cho
T t
đạt cực đại.
Ta có
/
1
T t 1000 2t
4
, suy ra
/
T t 0 1000 2t 0 t 500.
Vì
//
T t 2 0
nên
T t
đạt giá trị lớn nhất tại
t 500.
Khi đó, ta có các kết quả phù hợp sau :
Sản lượng:
Q 125,
Đơn giá:
P 1875,
Lợi nhuận:
31200,
t
ổng chi phí :
TC 14067.
Tiền thuế thu được là:
T 62500.
Khi định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là
t 500.
55
2.2.6.4. Bài toán thuế nhập khẩu
Bài toán. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội
địa lần lượt là
S
Q S P
và
D
Q D P
(
P
là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản
phẩm đó trên thị trường quốc tế (nhưng chưa tính thuế nhập cộng với chi phí nhập khẩu
khẩu) là
1 0
P P
, trong đó
0
P
là đơn giá tại điểm cân bằng (là điểm mà tại đó mức cung
bằng lượng cầu) của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm
trên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty
nhiều thuế nhất (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán
trên thị trường quốc tế).
Giải quyết bài toán. Gọi
t
là mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mức
thuế
t
phải thoả điều kiện
t 0
và
1 0
t P P
. Do được độc quyền, công ty sẽ nhập sản
phẩm trên để bán với đơn giá
P
thoả
1 0
t P P P
với số lượng là
D S
Q Q D P S P
. Khi đó lợi nhuận mà công ty thu được là :
1
P P P t D P S P .
Tuy nhiên công ty sẽ chọn đơn giá để lợi nhuận đạt cao nhất. Do đó ta cần xác định
P
sao cho
(P)
đạt giá trị lớn nhất. Khi đó
P P(t)
và tiền thuế công ty phải nộp là :
T t t D P(t) S P(t) . 
Để thu được thuế nhiều nhất từ công ty ta cần xác định giá trị
t 0
sao cho
T t
đạt cực đại. Mức thuế phải thoả
1 0
t P P
và để phù hợp với thực tế ta phải có các đại
lượng tương ứng như đơn giá, lượng cung, lượng cầu đều dương.
Ví dụ 33. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa
lần lượt là
S
Q P 200
và
D
Q 4200 P
(
P
là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản
phẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhập
khẩu) là
1
P 1600
. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định
mức thuế nhập khẩu
t
trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất.
(Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường
quốc tế).
Giải
Trước hết ta tìm điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta có
56
D S
Q Q P 200 4200 P P 2200
(
0
P 2200
)
Gọi
t
là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm thoả điều kiện :
1600 t 2200
(*)
Khi đó, lượng hàng mà công ty nhập về là :
D S
Q Q 4200 P P 200 4400 2P.
Lợi nhuận mà công ty thu được là :
1 D S
(P) P P t Q Q P 1600 t 4400 2P
Đơn giá P được định ra sao cho
P
đạt cực đại. Ta có
/
P 4P 2 3800 t ,
Suy ra
/
(P) 0 4P 2(3800 t) 0 P 1900 0,5t,
và vì
//
P 4 0
nên
P
đạt cực đại tại
P 1900 0,5t.
Khi đó tiền thuế mà công ty phải nộp là
D S
T t t Q Q t 4400 2P t 600 t .
Ta cần xác định
t 0
sao cho
T t
đạt giá trị lớn nhất. Ta có
/
T (t) 600 2t
,
Suy ra
/
T t 0 600 2t 0 t 300.
Vì
//
T t 2 0
nên
T t
đạt cực đại tại
t 300,
với
T t 90000.
Thoả mãn
(*)
và
ta có các số liệu phù hợp sau:
Đơn giá:
P 2025 0,
l
ượng cung:
S
Q 1850 0,
lượng cầu:
D
Q 2150 0.
Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế nhập khẩu từ công ty, cần định mức thuế trên
một đơn vị sản phẩm là
t 300.
Khi đó tiền thuế thu được là
T 90000.
2.2.6.5. Bài toán thuế xuất khẩu
Bài toán. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội
địa lần lượt là
S
Q S(P)
và
D
Q D(P)
(
P
là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản
phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu)
là
1 0
P P
, trong đó
0
P
là đơn giá tại điểm cân bằng (là điểm mà tại đó mức cung bằng
lượng cầu) của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên.
Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều
57
thuế nhất (Giả sử khối lượng xuất khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị
trường quốc tế).
Giải quyết bài toán. Gọi
t
là mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mức
thuế
t
phải thoả điều kiện
t 0
và
1 0
P t P
. Do được độc quyền, công ty sẽ mua sản
phẩm trên với đơn giá P thoả
0 1
P P P t
với số lượng là
S D
Q Q S P D P .
Khi
đó lợi nhuận mà công ty thu được là :
1
P P P t S P D P .
Tuy nhiên công ty sẽ chọn đơn giá mua để lợi nhuận tối đa. Do đó ta cần xác định
P
sao cho
P
đạt giá trị lớn nhất. Khi đó
P P t
và tiền thuế công ty phải nộp là:
T(t) t S P(t) D P(t) .
Để thu được thuế nhiều nhất từ công ty ta cần xác định giá trị
t 0
sao cho
T t
đạt
cực đại. Mức thuế phải thoả
1 0
P t P
và để phù hợp với thực tế ta phải có các đại lượng
tương ứng như đơn giá, lượng cung, lượng cầu đều dương.
Ví dụ 34. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa
lần lượt là
S
Q P 200
và
D
Q 4200 P
(
P
là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản
phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu)
là
1
P 3200.
Một công ty được độc quyền xuất khẩu loại sản phẩm trên. Hãy xác định
mức thuế xuất khẩu
t
trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất.
(Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường
quốc tế).
Giải
Trước hết ta tìm điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta có
D S
Q Q P 200 4200 P P 2200
(
0
P 2200
)
Gọi
t
là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm thoả điều kiện :
t 0; 3200 t 2200
(*)
Khi đó, lượng hàng mà công ty xuất khẩu là :
S D
Q Q P 200 4200 P 2P 4400.
Lợi nhuận mà công ty thu được là :
1 S D
P P P t Q Q 3200 P t 2P 4400
58
Đơn giá
P
được định ra sao cho
P
đạt cực đại. Ta có
/
P 4P 2 5400 t ,
suy ra
/
t
P 0 4P 2 5400 t 0 P 2700 ,
2
và vì
//
P 4 0,
nên
P
đạt cực đại tại
1
P 2700 t.
2
Khi đó tiền thuế mà công ty phải nộp:
S D
T t t Q Q t 2P 4400 t 1000 t .
Ta cần xác định
t 0
sao cho
T t
đạt giá trị lớn nhất. Ta có
/
T (t) 1000 2t
, suy ra
/
T (t) 0 1000 2t 0 t 500.
Vì
//
T t 2 0
nên
T t
đạt cực đại tại
t 500
, như vậy với
T t 250000.
Thoả
mãn
(*)
, và ta có các số liệu phù hợp sau :
Đơn giá:
P 2450 0
, lượng cung:
S
Q 2250 0
, lượng cầu:
D
Q 1750 0.
Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế nhập khẩu từ công ty, cần định mức thuế
trên một đơn vị sản phẩm là
t 500.
Khi đó tiền thuế thu được là
T 250000.
2.2.7. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)
Cho hàm số
y f t
, với
t
là biến thời gian. Tỉ số
/
y
f t
r
f t
được gọi là hệ số tăng
trưởng (nhịp tăng trưởng) của hàm số
y f t
tại thời điểm
t,
nó cho biết % thay đổi
của giá trị hàm số
y f t
khi
t
thay đổi một đơn vị.
Ví dụ 35. Cho hàm đầu tư
rt
0 0
I t I .e ,(I 0, r 0),
t tính theo năm.
Hãy tính nhịp tăng
trưởng của đầu tư.
Giải.
Ta có
/
rt
0
I
rt
0
I t
r.I .e
r r 0
I t
I .e
Điều đó có nghĩa sau mỗi năm, đầu tư tăng xấp xỉ
r%
.
65
V
ậ
y
0,2Q
TC Q 40e 10
.
Lưu ý.
Chi phí kh
ả
bi
ế
n là ph
ầ
n chi phí ph
ụ
thu
ộ
c vào m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q
và b
ằ
ng hi
ệ
u
s
ố
c
ủ
a t
ổ
ng chi phí và chi phí c
ố
đị
nh. Trong tr
ườ
ng h
ợ
p này:
0,2Q
VC Q TC Q FC 40e
Ví d 40.ụ
Cho hàm doanh thu c
ậ
n biên
ở
m
ỗ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q
là:
2
MR Q 50 2Q 3Q
Hãy xác
đị
nh hàm t
ổ
ng doanh thu và hàm c
ầ
u
đố
i v
ớ
i s
ả
n ph
ẩ
m.
Giải
Hàm t
ổ
ng doanh thu
TR Q
là nguyên hàm c
ủ
a hàm doanh thu c
ậ
n biên:
2 2 3
TR Q 50 2Q 3Q dQ 50Q Q Q C
∫
Hi
ể
n nhiên khi
Q 0
doanh thu bán hàng là
TR 0 0 C 0.
V
ậ
y
2 3
TR Q 50Q Q Q
G
ọ
i
P P Q
là hàm c
ầ
u
đả
o, t
ứ
c là hàm ng
ượ
c c
ủ
a hàm c
ầ
u
Q D P .
Ta có hàm doanh thu
đượ
c tính nh
ư
sau:
TR Q P Q Q
Suy ra
2
TR Q
P Q 50 Q Q .
Q
Ví d 41.ụ
Cho hàm tiêu dùng
C C Y
ph
ụ
thu
ộ
c vào m
ứ
c thu nh
ậ
p
Y
và xu h
ướ
ng tiêu
dùng c
ậ
n biên
MPC Y
ở
m
ỗ
i m
ứ
c thu nh
ậ
p
Y
là:
1/2
MPC Y 0,8 0,1Y .
Hãy tìm
hàm tiêu dùng, bi
ế
t r
ằ
ng m
ứ
c tiêu dùng t
ự
đị
nh là 50.
Giải
Ta có
1/2
C Y 0,8 0,1Y dY 0,8Y 0,2 Y C
∫
M
ứ
c tiêu dùng t
ự
đị
nh là m
ứ
c tiêu dùng khi không có thu nh
ậ
p:
66
C 0 50 C 50
V
ậ
y hàm tiêu dùng trong tr
ườ
ng h
ợ
p này là:
C Y 0,8Y 0,2 Y 50.
Ví d 42.ụ
Cho hàm ti
ế
t ki
ệ
m
S S(Y)
ph
ụ
thu
ộ
c vào m
ứ
c thu nh
ậ
p
Y
và xu h
ướ
ng ti
ế
t
ki
ệ
m c
ậ
n biên
MPS Y
ở
m
ỗ
i m
ứ
c thu nh
ậ
p Y là:
MPS Y 8 0,4Y.
Hãy tìm hàm
ti
ế
t ki
ệ
m, bi
ế
t r
ằ
ng m
ứ
c ti
ế
t ki
ệ
m s
ẽ
là
S 40
khi m
ứ
c thu nh
ậ
p
Y 10.
Giải
Ta có
2
S Y 8 0, 4Y dY 8Y 0, 2Y C
∫
M
ứ
c ti
ế
t ki
ệ
m là
S 40
khi thu nh
ậ
p
Y 10
:
S 10 40 C 100
V
ậ
y hàm ti
ế
t ki
ệ
m trong tr
ườ
ng h
ợ
p này là:
2
S Y 100 8Y 0, 2Y .
Ví d 43.ụ
M
ộ
t doanh nghi
ệ
p có hàm doanh thu c
ậ
n biên:
2
MR Q 960 0,15Q .
Hãy
tìm t
ổ
ng doanh thu n
ế
u doanh nghi
ệ
p
đị
nh giá s
ả
n ph
ẩ
m là 715.
Giải
Hàm t
ổ
ng doanh thu
TR Q
là nguyên hàm c
ủ
a hàm doanh thu c
ậ
n biên:
2 3
TR Q 960 0,15Q dQ 960Q 0,05Q C
∫
Hi
ể
n nhiên khi
Q 0
doanh thu bán hàng là
TR 0 0 C 0.
V
ậ
y
3
TR Q 960Q 0,05Q
G
ọ
i
P P Q
là hàm c
ầ
u
đả
o, t
ứ
c là hàm ng
ượ
c c
ủ
a hàm c
ầ
u
Q D P .
Ta có hàm doanh thu
đượ
c tính nh
ư
sau:
TR Q P Q Q
Suy ra
2
TR Q
P Q 960 0,05Q .
Q
V
ớ
i
2
P 715 960 0,05Q 715 Q 70
V
ậ
y t
ổ
ng doanh thu:
TR PQ 715 70 50050.
67
2.3.2. Bài toán tìm hàm qu v n khi bi t hàm u t ỹ ố ế đầ ư
Gi
ả
s
ử
l
ượ
ng
đầ
u t
ư
I
(t
ố
c
độ
b
ổ
sung v
ố
n) và qu
ỹ
v
ố
n
K
là các hàm s
ố
c
ủ
a bi
ế
n
th
ờ
i gian
t
:
I I t , K K t
Gi
ữ
a qu
ỹ
v
ố
n và
đầ
u t
ư
có quan h
ệ
/
I t K t
(l
ượ
ng
đầ
u t
ư
t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m t, bi
ể
u
th
ị
t
ố
c
độ
t
ă
ng v
ố
n t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
đ
ó), do
đ
ó n
ế
u bi
ế
t hàm
đầ
u t
ư
I t
thì hàm qu
ỹ
v
ố
n
K t
đượ
c xác
đị
nh nh
ư
sau:
/
K t K t dt I t dt
∫ ∫
H
ằ
ng s
ố
C
trong tích phân b
ấ
t
đị
nh trên
đượ
c xác
đị
nh n
ế
u ta bi
ế
t qu
ỹ
v
ố
n t
ạ
i m
ộ
t
th
ờ
i
đ
i
ể
m nào
đ
ó.
Ví d 44.ụ
Cho hàm
đầ
u t
ư
sau
1/2
I(t) 3t
(nghìn
đ
ô la m
ộ
t tháng) và qu
ỹ
v
ố
n t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
t 1
là
K 1 10
(nghìn
đ
ô la). Hãy xác
đị
nh hàm qu
ỹ
v
ố
n
K t
và l
ượ
ng v
ố
n tích l
ũ
y
đượ
c t
ừ
tháng th
ứ
4
đế
n tháng th
ứ
9.
Giải
Qu
ỹ
v
ố
n t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
t
là:
1/2 3/2
K t 3t dt 2t C
∫
.
T
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
t 1
thì
K 1 2 C 10
, do
đ
ó: C = 8
3/2
K t 2t 8
(nghìn
đ
ô la)
L
ượ
ng v
ố
n tích l
ũ
y
đượ
c t
ừ
tháng th
ứ
4
đế
n tháng th
ứ
9
đượ
c tính theo công th
ứ
c:
9
3
2
4
K 9 K 4 2t 38
(nghìn
đ
ô la).
Ví d 45.ụ
Gi
ả
s
ử
l
ượ
ng
đầ
u t
ư
t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
t
đượ
c xác
đị
nh d
ướ
i d
ạ
ng hàm s
ố
0,75
I t 140t
và qu
ỹ
v
ố
n t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m xu
ấ
t phát là
K(0) 150.
Hãy xác
đị
nh hàm qu
ỹ
v
ố
n
K t .
Giải
Qu
ỹ
v
ố
n t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
t
là:
3/4 7/4
K t 140t dt 80t C
∫
.
68
T
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m xu
ấ
t phát
K(0) C 150
, do
đ
ó
4
7
K t 80 t 150
(nghìn
đ
ô la).
2.3.3. Tính th ng d c a nhà s n xu t (PS) và th ng d c a ng i tiêu dùng (CS) ặ ư ủ ả ấ ặ ư ủ ườ
Cho hàm c
ầ
u
D
Q D P
ho
ặ
c hàm c
ầ
u
đả
o
1
D
P D Q
(hàm ng
ượ
c c
ủ
a hàm c
ầ
u
D
Q D P
). Gi
ả
s
ử
đ
i
ể
m cân b
ằ
ng c
ủ
a th
ị
tr
ườ
ng là
0 0
P , Q
và hàng hoá
đượ
c bán v
ớ
i
giá
0
P
. Khi
đ
ó th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng
đượ
c tính theo công th
ứ
c:
0
Q
1
0 0
0
CS D Q dQ P Q .
∫
Cho hàm cung
S
Q S P
ho
ặ
c hàm cung
đả
o
1
S
P S Q .
N
ế
u hàng hoá
đượ
c bán
ở
m
ứ
c giá cân b
ằ
ng
0
P
thì th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a nhà s
ả
n xu
ấ
t
đượ
c tính theo công th
ứ
c:
0
Q
1
0 0
0
PS P Q S Q dQ.
∫
Ví d 45.ụ
Cho các hàm cung và c
ầ
u sau:
S
Q P 2 1
,
D
Q 43 P 2
.
Hãy tính th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a nhà s
ả
n xu
ấ
t và th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng.
Giải
Các hàm c
ầ
u
đả
o và cung
đả
o l
ầ
n l
ượ
t là:
1 2
D Q 43 (Q 2)
,
1 2
S Q (Q 1) 2
S
ả
n l
ượ
ng cân b
ằ
ng
0
Q
là nghi
ệ
m d
ươ
ng c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
1 1
D Q S Q
Suy ra:
0
Q 3
và
0
P 18
Th
ặ
ng d
ư
nhà s
ả
n xu
ấ
t
đượ
c tính theo công th
ứ
c:
3
2
0
PS 18 3 Q 1 2 dQ 27.
∫
Th
ặ
ng d
ư
ng
ườ
i tiêu dùng
đượ
c tính theo công th
ứ
c:
3
2
0
CS 43 Q 2 dQ 18 3 36.
∫
69
2.3.4. Bài t p ậ
Bài s 1. ố
Cho hàm s n ph m c n biên c a lao ng: ả ẩ ậ ủ độ
2
3
MPL L 60.L .
Hãy tìm hàm
s
ả
n xu
ấ
t ng
ắ
n h
ạ
n
Q f L ,
bi
ế
t
Q 100 10000.
Đáp số:
3 3
Q L 180 L 10000 180 100.
Bài s 2.ố
Cho bi
ế
t chi phí c
ậ
n biên
ở
m
ỗ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q
nh
ư
sau:
2
MC Q 120 40Q 0,3Q
và chi phí c
ố
đị
nh:
FC 300
1)
Hãy tìm hàm t
ổ
ng chi phí và hàm chi phí kh
ả
bi
ế
n.
2)
Tính giá tr
ị
chi phí c
ậ
n biên t
ạ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
0
Q 140
và nêu ý ngh
ĩ
a.
Đ
áp số: 1)
3 2 3 2
TC(Q) 0,1Q 20Q 120Q 300; VC 0,1Q 20Q 120Q
;
2)
MC(140) 400.
Bài s 3.ố
Cho bi
ế
t chi phí c
ậ
n biên
ở
m
ỗ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q
:
0,3Q
MC Q 15e
và chi phí
c
ố
đị
nh:
FC 120.
Hãy tìm hàm t
ổ
ng chi phí.
Đáp số:
0,3Q
TC 50e 70.
Bài s 4.ố
Cho bi
ế
t doanh thu c
ậ
n biên
ở
m
ỗ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q
:
0,4Q
MR Q 40Q 16e .
Hãy tìm hàm t
ổ
ng doanh thu.
Đáp số:
2
0,4Q
TR 40 20Q 40e .
Bài s 5.ố
Cho bi
ế
t hàm doanh thu c
ậ
n biên:
2
MR Q 84 4Q Q .
Hãy cho bi
ế
t hàm
t
ổ
ng doanh thu
TR Q
và hàm c
ầ
u.
Đáp số:
2 3 2
1 1
TR 84Q 2Q Q ; P 84 2Q Q .
3 3
Bài s 6.ố
Cho bi
ế
t xu h
ướ
ng tiêu dùng c
ậ
n biên
MPC Y 0,8
ở
m
ọ
i m
ứ
c thu nh
ậ
p Y và
C 800
khi
Y 0.
Hãy xác
đị
nh hàm tiêu dùng
C Y .
Đáp số:
C Y 0,8Y 800.
Bài s 7.ố
Cho bi
ế
t xu h
ướ
ng ti
ế
t ki
ệ
m c
ậ
n biên
0,5
MPS Y 0,9Y
ở
m
ọ
i m
ứ
c thu nh
ậ
p
Y và
S 500
khi
Y 100.
Hãy xác
đị
nh hàm ti
ế
t ki
ệ
m
S Y .
70
Đáp số:
0,5
9
S(Y) Y 482.
5
Bài s 8.ố
Cho
Y
là thu nh
ậ
p,
S
là ti
ế
t ki
ệ
m. Bi
ế
t r
ằ
ng m
ứ
c ti
ế
t ki
ệ
m s
ẽ
là
S 7, 42
khi
thu nh
ậ
p
Y 5.
1)
Hãy xác
đị
nh hàm ti
ế
t ki
ệ
m n
ế
u bi
ế
t khuynh h
ướ
ng ti
ế
t ki
ệ
m c
ậ
n biên là
MPS Y Y 0,4.
2)
K
ể
t
ừ
m
ứ
c thu nh
ậ
p d
ươ
ng nào tr
ở
nên s
ẽ
có m
ứ
c ti
ế
t ki
ệ
m d
ươ
ng?
Đáp số: 1)
2
Y
S(Y) 0,4Y 17,92;
2
2)
Y 6,2.
Bài s 9.ố
Tìm hàm t
ổ
ng nh
ậ
p kh
ẩ
u
M Y
v
ớ
i
Y
là thu nh
ậ
p qu
ố
c dân n
ế
u khuynh h
ướ
ng
nh
ậ
p kh
ẩ
u c
ậ
n biên là
/
M Y 0,1
và
M 20
khi
Y 0.
Đáp số:
M Y 0,1Y 20.
Bài s 10.ố
Cho bi
ế
t doanh thu c
ậ
n biên
ở
m
ỗ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q
:
2
10
MR Q .
1 Q
1)
Hãy tìm hàm t
ổ
ng doanh thu.
2)
T
ạ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q 4.
N
ế
u t
ă
ng giá 1% thì s
ả
n l
ượ
ng thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
Đáp số: 1)
10Q
TR Q ;
1 Q
2) S n l ng gi m 1,25%. ả ượ ả
Bài s 11.ố
Cho bi
ế
t doanh thu c
ậ
n biên
ở
m
ỗ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q
c
ủ
a m
ộ
t doanh nghi
ệ
p
nh
ư
sau:
2
MR Q 1800 1,8Q .
1)
Hãy tìm hàm t
ổ
ng doanh thu
2)
Hãy cho bi
ế
t t
ạ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q 10.
N
ế
u doanh nghi
ệ
p gi
ả
m giá 1% thì m
ứ
c
c
ầ
u s
ẽ
bi
ế
n
độ
ng nh
ư
th
ế
nào?
Đáp số: 1)
3
TR 1800Q 0,6Q
; 2) S n l ng t ng 14,5%. ả ượ ă
Bài s 12.ố
Cho
Y
là thu nh
ậ
p,
S
là ti
ế
t ki
ệ
m. Bi
ế
t r
ằ
ng m
ứ
c ti
ế
t ki
ệ
m s
ẽ
là
S 0
khi thu
nh
ậ
p
Y 81.
Hãy xác
đị
nh hàm ti
ế
t ki
ệ
m n
ế
u bi
ế
t khuynh h
ướ
ng ti
ế
t ki
ệ
m c
ậ
n biên là
0,5
MPS Y 0,3 0,1Y
71
Đáp số:
0,5
S Y 0,3Y 0, 2Y 22,5.
Bài s 13.ố
Cho bi
ế
t hàm
đầ
u t
ư
:
5
3
I 40 t .
Hãy cho bi
ế
t hàm qu
ỹ
v
ố
n
K t ,
bi
ế
t r
ằ
ng qu
ỹ
v
ố
n t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
là 75.
Đáp số:
85
K(t) 25 t 75.
Bài s 14.ố
Cho bi
ế
t hàm
đầ
u t
ư
3
I 60 t
và qu
ỹ
v
ố
n t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
t 1
là 85. Hãy cho
bi
ế
t hàm qu
ỹ
v
ố
n
K t .
Đáp số:
43
K(t) 45 t 40.
Bài s 15.ố
Cho bi
ế
t hàm
đầ
u t
ư
:
3
I 12 t
(
t
là bi
ế
n th
ờ
i gian).
1)
Hãy cho bi
ế
t hàm qu
ỹ
v
ố
n
K t ,
bi
ế
t r
ằ
ng
K 0 25.
2)
Xác
đị
nh t
ổ
ng l
ượ
ng v
ố
n tích l
ũ
y
đượ
c trong kho
ả
ng th
ờ
i gian
t 1,10 .
Đáp số: 1)
4
3
K(t) 9 t 25;
2) 185.
Bài s 16.ố
Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u:
2
P 42 5Q Q .
Gi
ả
s
ử
giá cân b
ằ
ng là
0
P 6.
Hãy tính
th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng.
Đáp số:
CS .
3
Bài s 17.ố
Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u và hàm t
ổ
ng chi phí nh
ư
sau
P 110 Q
và
3 2
TC Q 25Q 2Q 3000; Q 0
1)
Tìm s
ả
n l
ượ
ng
Q
và giá bán
P
để
l
ợ
i nhu
ậ
n c
ự
c
đạ
i.
2)
Tìm th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng t
ạ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
để
l
ợ
i nhu
ậ
n c
ự
c
đạ
i.
Đáp số: 1)
max
Q 18, P 92, 888
; 2)
CS 162.
Bài s 18. ố
Cho hàm c
ầ
u và hàm t
ổ
ng chi phí
P 124 2Q
và
3 2
TC Q 2Q 59Q 4Q 7600; Q 0
1)
Hãy xác
đị
nh m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q
để
t
ố
i
đ
a hóa l
ợ
i nhu
ậ
n.
2)
Tính th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng t
ạ
i
đ
i
ể
m t
ố
i
đ
a hóa l
ợ
i nhu
ậ
n.
Đáp số: 1)
max
(20) 1600
; 2)
CS 400.
Bài s 19.ố
Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u và hàm cung
đả
o:
72
1 2 1 2
1
D Q 65 Q ; S Q Q 2Q 5
3
Hãy tính th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a nhà s
ả
n xu
ấ
t và th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng.
Đáp số:
CS 144; PS 84.
Bài s 20.ố
Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u và hàm cung:
1 2
D Q 0,1Q 90
;
1 2
S Q 0, 2Q Q 50
.
Hãy tính th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a nhà s
ả
n xu
ấ
t và th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng.
Đáp số:
200 550
CS ; PS .
3 3
Bài s 21.ố
Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u và hàm cung:
1 2
D Q 131 Q
;
1 2
S Q 50 Q
.
Hãy tính th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a nhà s
ả
n xu
ấ
t và th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng.
Đáp số:
CS 162; PS 324.
Bài s 22.ố
Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u và hàm cung:
1
D Q 245 2Q
;
1
S Q 5 Q
.
Hãy tính th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a nhà s
ả
n xu
ấ
t và th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng.
Đáp số:
CS 3,29; PS 50.
Bài s 23.ố
Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u và hàm cung:
1
16
D Q 3
Q 2
;
1
1
S Q Q 1
.
Hãy tính th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a nhà s
ả
n xu
ấ
t và th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng.
Đáp số:
2
CS 16ln 2 8; PS .
3
Bài s 24.ố
Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u và hàm cung:
D
Q 113 P
;
S
Q P 1.
Hãy tính th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a nhà s
ả
n xu
ấ
t và th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng.
Đáp số:
686 833
CS ; PS .
3 3
73
2.4. Ph ng trình vi phân và áp d ng kinh tươ ụ ế
2.4.1. Tìm hàm c u khi bi t h s co dãn c a c u theo giá ầ ế ệ ố ủ ầ
Chúng ta ã bi t công th c tính h s co dãn c a c u theo giá nh sau: đ ế ứ ệ ố ủ ầ ư
/
D
D D
D D
P dQ P
Q P
Q dP Q
D
D
dQ dP
Q P
(*)
Trong
đ
ó:
D
Q
là l
ượ
ng c
ầ
u,
P
là giá s
ả
n ph
ẩ
m.
Cách gi i ả
L
ấ
y tích phân 2 v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*), ta có
D
D
D
dQ dP
Q P
∫ ∫
Suy ra
D D
dP
lnQ
P
∫
Lưu ý.
Để
xác
đị
nh h
ằ
ng s
ố
C
trong tích phân b
ấ
t
đị
nh, ta c
ầ
n có thông tin v
ề
l
ượ
ng c
ầ
u
c
ủ
a m
ộ
t m
ứ
c giá c
ụ
th
ể
.
Ví d 46.ụ
Cho h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a hàm c
ầ
u là:
D
2
Tìm hàm c
ầ
u
D
Q
bi
ế
t r
ằ
ng
Q 1 20.
Giải
T
ừ
h
ệ
s
ố
co dãn ta có
dQ P dQ dP
2 2
dP Q Q P
Suy ra
2
P
ln Q 2ln P C Q A
(
A
là h
ằ
ng s
ố
)
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t
1
Q 20 20 A A 20
V
ậ
y
2
Q 20P
.
74
Ví d 47.ụ
Cho h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a hàm c
ầ
u là
D
2P
2000 2P
Tìm hàm c
ầ
u
D
Q
bi
ế
t r
ằ
ng
Q 0 2000.
Giải
T
ừ
h
ệ
s
ố
co dãn ta có
dQ P 2P dQ dP
dP Q 2000 2P Q 1000 P
Suy ra
ln Q ln 1000 P C Q A 1000 P
(
A
là h
ằ
ng s
ố
)
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t
0
Q 2000 2000 1000A A 2
V
ậ
y
Q 2000 2P
.
2.4.2. Bi n ng c a giá trên th tr ng theo th i gian ế độ ủ ị ườ ờ
Gi
ả
s
ử
m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m
đ
ang
đượ
c l
ư
u thông trên th
ị
tr
ườ
ng v
ớ
i hàm cung
S
Q
và hàm
c
ầ
u
D
Q
. G
ọ
i
0 0
P , Q
l
ầ
n l
ượ
t giá và l
ượ
ng cân b
ằ
ng. N
ế
u t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m b
ắ
t
đầ
u vi
ệ
c nghiên
c
ứ
u
0
t 0, P 0 p
thì th
ị
tr
ườ
ng
đ
ã
đạ
t
đượ
c s
ự
cân b
ằ
ng. Nh
ư
ng n
ế
u
0
P 0 p
, ngh
ĩ
a
là th
ị
tr
ườ
ng ch
ư
a
đạ
t
đượ
c s
ự
cân b
ằ
ng.
Để
đạ
t
đượ
c s
ự
cân b
ằ
ng c
ầ
n có th
ờ
i gian
để
đ
i
ề
u
ch
ỉ
nh, khi
đ
ó
S D
P, Q , Q
là các hàm theo th
ờ
i gian
t.
V
ấ
n
đề
đặ
t ra là s
ự
đ
i
ề
u ch
ỉ
nh giá
P
có
đạ
t
đượ
c m
ứ
c giá cân b
ằ
ng th
ị
tr
ườ
ng theo th
ờ
i gian hay không? Ngh
ĩ
a là
t
lim P(t) P(0)
.
S
ự
thay
đổ
i c
ủ
a giá ph
ụ
thu
ộ
c l
ượ
ng cung, c
ầ
u trên th
ị
tr
ườ
ng,
để
đơ
n gi
ả
n chúng
ta gi
ả
thi
ế
t r
ằ
ng t
ỷ
l
ệ
c
ủ
a s
ự
thay
đổ
i giá t
ạ
i m
ọ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m t
ỷ
l
ệ
thu
ậ
n v
ớ
i
độ
chênh l
ệ
ch
gi
ữ
a c
ầ
u và cung
D S
Q Q
t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
đ
ó.
N
ế
u nh
ư
v
ậ
y ta có th
ể
di
ễ
n t
ả
b
ằ
ng ph
ươ
ng trình:
D S
dP
Q Q
dt
(*)
Trong
đ
ó
0
là m
ộ
t h
ằ
ng s
ố
thích h
ợ
p, g
ọ
i là h
ệ
s
ố
đ
i
ề
u ch
ỉ
nh
75
Lưu ý.
Khi
dP
0
dt
khi và ch
ỉ
khi
S D
Q Q
.
Đ
i
ề
u
đ
ó có ngh
ĩ
a là
dP
0
dt
x
ả
y ra t
ạ
i m
ọ
i
th
ờ
i
đ
i
ể
m cân b
ằ
ng.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình vi phân (*) ta tìm
đượ
c hàm
P t .
Ví d 48.ụ
Cho hàm cung và hàm c
ầ
u
S D
Q 3P 60; Q 30 P
N
ế
u
D S
Q Q
thì giá cân b
ằ
ng
0
45
P
2
Gi
ả
s
ử
D S
dP 1
Q Q
dt 2
và
P 0 30
T
ừ
D S
dP 1 dP
Q Q 45 2P
dt 2 dt
/
P 2P 45
(*)
+) B
ướ
c 1. M
ộ
t nguyên hàm c
ủ
a 2 là
2t
+) B
ướ
c 2. Ch
ọ
n th
ừ
a s
ố
tích phân:
2t
e
+) B
ướ
c 3. Nhân 2 v
ế
c
ủ
a (*) cho
2t
e
ta
đượ
c
2t / 2t 2t
e P e 2P 45e
/
2t 2t
e P 45e
(**)
+) B
ướ
c 4. L
ấ
y tích phân 2 v
ế
c
ủ
a (**), ta
đượ
c
2t 2t
45
e P e C
2
Suy ra
2t
45
P(t) Ce
2
(C là h
ằ
ng s
ố
)
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t :
45 15
P(0) 30 C 30 C
2 2
V
ậ
y
2t
45 15
P t e
2 2
Nh
ậ
n th
ấ
y :
0
t
45
lim P t P .
2
76
Ví d 49.ụ
Cho hàm cung và hàm c
ầ
u
S D
Q P 20; Q 60 2P
Tìm hàm giá ph
ụ
thu
ộ
c vào th
ờ
i gian
t,
bi
ế
t r
ằ
ng
P 0 40
và
P 2 30.
Giải
Ta có
D S
dP
k Q Q
dt
Thay hàm cung hàm c
ầ
u vào, ta có
dP
k 80 3P
dt
/
P 3kP 80k
(*)
+) B
ướ
c 1. M
ộ
t nguyên hàm c
ủ
a
3k
là
3kt
+) B
ướ
c 2. Ch
ọ
n th
ừ
a s
ố
tích phân:
3kt
e
+) B
ướ
c 3. Nhân 2 v
ế
c
ủ
a (*) cho
3kt
e
ta
đượ
c
3kt / 3kt 3kt
e P e 3kP 80ke
/
3kt 3kt
e P 80ke
(**)
+) B
ướ
c 4. L
ấ
y tích phân 2 v
ế
c
ủ
a (**), ta
đượ
c
3kt 3kt
80
e P e C
3
Suy ra
3kt
80
P(t) Ce
3
(C là h
ằ
ng s
ố
)
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t :
80 40
P(0) 40 C 40 C
3 3
Ta có
3kt
80 40
P(t) e
3 3
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t :
6k
80 40
P(2) 30 e 30 k 0,231
3 3
V
ậ
y
0,693t
80 40
P(t) e .
3 3
77
2.4.3. Bài t p ậ
Bài s 1.ố
Tìm hàm c
ầ
u
D
Q
cho bi
ế
t h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a c
ầ
u theo giá là
2
D
5P 2P
Q
và l
ượ
ng c
ầ
u
ở
m
ứ
c giá
P 10
là 500.
Đáp số:
2
Q(P) 650 5P P .
Bài s 2.ố
Bi
ế
t h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a c
ầ
u theo giá là:
2
D
6P 4P
Q
Hãy tìm hàm c
ầ
u, bi
ế
t r
ằ
ng
Q 700
khi
P 10.
Đáp số:
2
Q 6P 2P 840.
Bài s 3.ố
Tìm hàm c
ầ
u bi
ế
t h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a c
ầ
u theo giá là
D
2
, và
ở
m
ứ
c giá
P 2
thì l
ượ
ng c
ầ
u
Q 100.
Đáp số:
2
Q 400P .
Bài s 4.ố
Cho hàm cung và hàm c
ầ
u:
S D
Q P 200; Q 4200 P.
Tìm hàm giá ph
ụ
thu
ộ
c vào th
ờ
i gian
t,
bi
ế
t r
ằ
ng h
ệ
s
ố
đ
i
ề
u ch
ỉ
nh
1
2
và
P 0 3000.
Đáp số:
t
P(t) 2200 800e .
Bài số 5.
Cho hàm cung và hàm c
ầ
u:
D S
Q 8 2P; Q 2 P.
Tìm hàm giá ph
ụ
thu
ộ
c vào
th
ờ
i gian
t,
bi
ế
t r
ằ
ng
P 0 5
và
P 2 3.
Đáp số:
0,549t
P(t) 2 3e .
Bài s 6.ố
Cho hàm cung và hàm c
ầ
u:
D S
Q 7 P; Q 1 P.
Tìm hàm giá ph
ụ
thu
ộ
c vào
th
ờ
i gian
t,
bi
ế
t r
ằ
ng
P 0 6
và
P 4 4.
Đáp số:
0,2747t
P(t) 3 3e .
Bài s 7.ố
Cho hàm cung và hàm c
ầ
u:
D S
Q 11 3P; Q 5 P.
Tìm hàm giá ph
ụ
thu
ộ
c
vào th
ờ
i gian
t,
bi
ế
t r
ằ
ng
P 0 10
và
P 3 7.
Đáp số:
0,1451t
3 17
P(t) e .
2 2
78
Thuật ngữ chính chương 2
Tiếng Anh Tiếng Việt
Average Cost
Compound Interest
Consumers’ Surplus
Differential equations of the first order
Linear differential equations
Elasticity coefficient
Elasticity of demand
Fixed Cost
Future Value
Marginal Cost
Marginal product of labor
Marginal product of Capital
Marginal Propensity to Consume
Marginal Propensity to Save
Marginal Profit
Marginal Revenue
Net Present Value
Product
Profit
Production Cost
Producers’ Surplus
Present Value
Revenue
Single Interest
The Law of diminishing returns
Total Cost
Total Revenue
Variable Cost
Chi phí bình quân
Lãi kép
Thặng dư của người tiêu dùng
Phương trình vi phân cấp 1
Phương trình vi phân tuyến
Hệ số co dãn
Độ co dãn của cầu
Chi phí cố định
Giá trị tương lai
Chi phí cận biên
Sản phẩm cận biên của lao động
Sản phẩm cận biên của vốn
Xu hướng tiêu dùng cận biên
Xu hướng tiết kiệm cận biên
Lợi nhuận cận biên
Doanh thu cận biên
Hiện giá thuần
Sản phẩm
Lợi nhuận
Chi phí sản xuất
Thặng dư của nhà sản xuất
Giá trị hiện tại
Doanh thu
Lãi đơn
Quy luật lợi ích cận biên giảm dần
Tổng chi phí
Tổng doanh thu
Chi phí biến đổi
79
Chương 3
Áp d ng phép toán vi phân hàm nhi u bi n vào phân ụ ề ế
tích kinh t và kinh doanh ế
3.1. Các hàm s nhi u bi n trong phân tích kinh t ố ề ế ế
3.1.1. Hàm s n su t ả ấ
Khi phân tích ho t ng s n xu t, các nhà kinh t quan tâm n hai y u t u vào ạ độ ả ấ ế đế ế ố đầ
quan tr ng là v n (capital) và lao ng (labor) và chúng c ký hi u là ọ ố độ đượ ệ
K
và
L.
Do ó, đ
hàm s n xu t có d ng: ả ấ ạ
Q f K,L
.
Ý ngh a. ĩ
Hàm s n xu t bi u di n s ph thu c c a s n l ng hàng hoá vào hai y u t ả ấ ể ễ ự ụ ộ ủ ả ượ ế ố đầu vào
vốn (t b n) và lao ng. ư ả độ
Một hàm s n xu t mà kinh t h c th ng s d ng là hàm s n xu t dả ấ ế ọ ườ ử ụ ả ấ ạng Cobb –
Douglas có d ng: ạ
Q aK L
Trong ó: đ
a, ,
là các h ng s d ng. ằ ố ươ
3.1.2. Hàm doanh thu, chi phí, l i nhu n ợ ậ
3.1.2.1 Hàm chi phí
+) Hàm chi phí ph thu c u vào: ụ ộ đầ
TC TC K, L .
Nếu tính theo các y u t s n xu t thì hàm chi phí là hàm s c a các y u t s n xu t ế ố ả ấ ố ủ ế ố ả ấ
và có d ng: ạ
K L 0
TC K, L p K p L C .
Trong ó: đ
K
p :
Giá thuê m t n v v n (t bộ đơ ị ố ư ản).
L
p :
Giá thuê m t n v lao ng. ộ đơ ị độ
0
C :
Chi phí c nh. ố đị
+) Hàm chi phí k t h p: ế ợ
1 2
TC TC Q ,Q .
Trong ó đ
1
Q
: S n v hàng hóa 1; ố đơ ị
80
2
Q
: S n v hàng hóa 2. ố đơ ị
3.1.2.2. Hàm doanh thu và hàm l i nhu n ợ ậ
+) N u doanh nghi p là doanh nghi p c nh tranh thì t ng doanh thu c a doanh nghi p ế ệ ệ ạ ổ ủ ệ
phụ thu c vào ộ
K, L
và có d ng: ạ
TR P f K, L TR K,L
(
P :
là giá s n ph m) ả ẩ
+) Hàm doanh thu g p: ộ
1 2 1 1 2 2 1 2
TR TR TR P .Q P .Q TR Q ,Q
Với
1
P :
là giá s n ph m m t hàng 1, ả ẩ ặ
2
P :
là giá s n ph m m t hàng 2. ả ẩ ặ
3.1.2.3. Hàm l i nhu n ợ ậ
Hàm l i nhu n: ợ ậ
TR TC
+) Hàm l i nhu n ph thu c u vào ợ ậ ụ ộ đầ
k L 0
P.f K,L p K p L C K,L
+) Hàm l i nhu n ph thu c u ra ợ ậ ụ ộ đầ
1 2 1 2 1 2
Q ,Q TR Q ,Q TC Q ,Q .
3.1.3. Hàm l i ích ợ
Giả s c c u tiêu dùng c a ng i tiêu dùng g m có n m t hàng. M i gi hàng là ử ơ ấ ủ ườ ồ ặ ỗ ỏ
một b g m ộ ồ
n
s th c ố ự
1 2 n
X x , x ,...,x
, trong ó đ
1
x
là lượng hàng hoá
1 2
T , x
là lượng
hàng hoá
2 n
T ,..., x
là l ng hàng hoá ượ
n
T .
Hàm l i ích là hàm s ợ ố đặ ươt t ng ứ ớng v i m i túi ỗ
hàng
1 2 n
X x , x ,...,x
v i m t giá tr ớ ộ ị
U
nh t nh theo quy t c: Gi hàng nào c a ấ đị ắ ỏ đượ ư
chuộng nhi u h n thì gán giá tr l i ích l n h n. Hàm l i ích có d ng t ng quát nh sau: ề ơ ị ợ ớ ơ ợ ạ ổ ư
1 2 n
U U x , x ,..., x
Hàm l i ích hay c s d ng là hàm Cobb – Douglas: ợ đượ ử ụ
1 2
n
n
1 2
U ax x ...x
1 2 n
( , ,...,
là các h
ằ
ng s
ố
d
ươ
ng).
3.1.4. m cân b ng Điể ằ
+) M
ứ
c thu nh
ậ
p qu
ố
c dân cân b
ằ
ng
Y
ph
ụ
thu
ộ
c vào chi tiêu c
ủ
a Chính ph
ủ
0
G
,
l
ượ
ng
đầ
u t
ư
0
I
và xu
ấ
t kh
ẩ
u
0
X
:
0 0 0
Y f G , I ,X .
+) M
ứ
c lãi su
ấ
t cân b
ằ
ng
r
ph
ụ
thu
ộ
c vào chi tiêu c
ủ
a Chính ph
ủ
0
G
và l
ượ
ng cung
ti
ề
n
0
M
:
81
0 0
r g G ,M .
3.1.5. Hàm cung, c u th tr ng n hàng hóa liên quan ầ ị ườ
M
ứ
c cung và m
ứ
c c
ầ
u
đố
i v
ớ
i m
ộ
t lo
ạ
i hàng hoá trên th
ị
tr
ườ
ng không nh
ữ
ng ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào giá hàng hoá
đ
ó mà còn b
ị
chi ph
ố
i b
ở
i giá c
ủ
a các hàng hoá liên quan và thu
nh
ậ
p c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng. Trên th
ị
tr
ườ
ng
n
hàng hoá liên quan hàm cung và hàm c
ầ
u
đố
i
v
ớ
i hàng hoá
i
có d
ạ
ng (gi
ả
thi
ế
t thu nh
ậ
p không thay
đổ
i):
i
S i 1 2 n
Q S P , P ,..., P
i
D i 1 2 n
Q D P , P ,..., P
Trong
đ
ó,
i
S
Q
là l
ượ
ng cung hàng hoá i,
i
D
Q
là l
ượ
ng c
ầ
u hàng hoá i,
i
P
là giá c
ủ
a
hàng hoá
i i 1, 2, 3,..., n
.
Ví d 1.ụ
Cho các hàm c
ầ
u:
1 1 2 2
Q 40 P ; Q 30 0,5P
. Hãy l
ậ
p hàm doanh thu.
Giải
T
ừ
hai hàm c
ầ
u thu
ậ
n ta suy ra hai hàm c
ầ
u
đả
o nh
ư
sau:
1 1 2 2
P 40 Q ; P 60 2Q
Hàm doanh thu g
ộ
p
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2
TR Q ,Q P Q P Q
(40 Q )Q (60 2Q )Q
hay
2 2
1 2 1 2 1 2
TR Q , Q Q 2Q 40Q 60Q
Ví d 2.ụ
Cho hàm s
ả
n xu
ấ
t:
0,3 0,4
Q K, L 10K L .
Giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n
K
p 3
USD,
giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng
L
p 2
USD và giá s
ả
n ph
ẩ
m là
P 4
USD. Hãy l
ậ
p hàm
l
ợ
i nhu
ậ
n.
Giải
Hàm doanh thu:
0,3 0,4
TR K,L PQ 40K L
Hàm chi phí :
K L
TC K,L p K p L 3K 2L
Hàm l
ợ
i nhu
ậ
n:
0,3 0,4
K, L TR K,L TC K,L 40K L 3K 2L.
82
3.2. Áp d ng ụ đạo hàm riêng và vi phân toàn ph n vào phân tích kinh tầ ế và kinh doanh
3.2.1. o hàm riêng và giá tr c n biên Đạ ị ậ
Xét mô hình hàm kinh t : ế
1 2 n
w f x ,x ,..., x
trong ó đ
1 2 n
x ,x ,...,x ,w
là các bi n ế
kinh t . ế
Đạo hàm riêng c a hàm s ủ ố
w
theo bi n ế
i
x
t i m ạ điể
1 2 n
X x ,x ,..., x
c g i là giá đượ ọ
trị c n biên c a hàm ậ ủ
w
theo bi n ế
i
x
t i m ó. Ngh a là, ạ điể đ ĩ
i
/
x 1 2 n
w x ,x ,...,x
bi u di n ể ễ
xấp x l ng thay i giá tr cỉ ượ đổ ị ủa bi n ế
w
khi giá tr ị
i
x
thay i đổ
1
đơn v trong u ki n ị điề ệ
giá tr các bi n c l p còn l i không thay i. ị ế độ ậ ạ đổ
3.2.1.1. Hàm s n xu t: ả ấ
Q f K, L
Có các o hàm riêng: đạ
/ /
K L
Q Q
Q ; Q
K L
đượ
c g
ọ
i t
ươ
ng
ứ
ng là hàm s
ả
n ph
ẩ
m c
ậ
n biên c
ủ
a v
ố
n (t
ư
b
ả
n) (ký hi
ệ
u:
MPK
) và
hàm s
ả
n ph
ẩ
m c
ậ
n biên c
ủ
a lao
độ
ng (ký hi
ệ
u:
MPL
) t
ạ
i
đ
i
ể
m
K,L
.
Ý ngh a c a các o hàm riêng ĩ ủ đạ
+)
/ /
K K
Q f K, L
: bi
ể
u di
ễ
n x
ấ
p x
ỉ
l
ượ
ng s
ả
n ph
ẩ
m hi
ệ
n v
ậ
t gia t
ă
ng khi s
ử
d
ụ
ng
thêm m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n (t
ư
b
ả
n) và gi
ữ
nguyên m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng lao
độ
ng.
+)
/ /
L L
Q f K,L
: bi
ể
u di
ễ
n x
ấ
p x
ỉ
l
ượ
ng s
ả
n ph
ẩ
m gia t
ă
ng khi s
ử
d
ụ
ng thêm m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng và gi
ữ
nguyên m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n.
Ví d 3.ụ
Gi
ả
s
ử
hàm s
ả
n su
ấ
t c
ủ
a m
ộ
t doanh nghi
ệ
p là:
1 3
4 4
Q K, L 20K L
Trong
đ
ó:
K, L, Q
là m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n, m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng lao
độ
ng và s
ả
n l
ượ
ng hàng
ngày.
a) Gi
ả
s
ử
doanh nghi
ệ
p
đ
ó
đ
ang s
ử
d
ụ
ng
16
đơ
n v
ị
v
ố
n và
81
đơ
n v
ị
lao
độ
ng trong
m
ộ
t ngày t
ứ
c
K 16, L 81.
S
ả
n l
ượ
ng c
ậ
n biên c
ủ
a v
ố
n là:
/ 0,75 0,75
K
MPK 16,81 f 16,81 5. 16 81 16,875
S
ả
n l
ượ
ng c
ậ
n biên c
ủ
a lao
độ
ng là:
83
/ 0,25 0,25
L
MPL 16,81 f 16,81 15. 16 81 10
Ngh
ĩ
a là, n
ế
u doanh nghi
ệ
p t
ă
ng m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n
K
t
ừ
16
lên 17
đơ
n v
ị
và gi
ữ
nguyên m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng lao
độ
ng
L 81
trong m
ộ
t ngày, thì s
ả
n l
ượ
ng t
ă
ng thêm x
ấ
p x
ỉ
16,875
đơ
n v
ị
s
ả
n ph
ẩ
m. T
ươ
ng t
ự
, n
ế
u gi
ữ
nguyên m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n
K 16
và t
ă
ng m
ứ
c
s
ử
d
ụ
ng lao
độ
ng
L
t
ừ
81 lên 82 trong m
ộ
t ngày thì s
ả
n l
ượ
ng t
ă
ng thêm x
ấ
p x
ỉ
10
đơ
n v
ị
s
ả
n ph
ẩ
m.
b) T
ạ
i
0 0
K 16, L 81
, n
ế
u gi
ả
m v
ố
n
K
xu
ố
ng 0,5
đơ
n v
ị
và t
ă
ng lao
độ
ng
L
lên
2
đơ
n v
ị
thì
Q
s
ẽ
thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
/ /
K 0 0 L 0 0
Q f K ,L K f K ,L L
hay
135 185
Q .( 0,5) 10 2 0
8 16
V
ậ
y
Q
s
ẽ
t
ă
ng x
ấ
p x
ỉ
185/16
đơ
n v
ị
.
3.2.1.2. Hàm l i ích: ợ
1 2 n
U U x , x ,..., x
Đạ
o hàm riêng c
ủ
a hàm l
ợ
i ích
đố
i v
ớ
i các bi
ế
n
độ
c l
ậ
p là:
i
i
U
MU (i 1,2,...,n)
x
i
MU :
đượ
c g
ọ
i là l
ợ
i ích c
ậ
n biên c
ủ
a hàng hoá th
ứ
i.
Ý nghĩa.
Đạ
o hàm riêng
i
t
ạ
i
đ
i
ể
m
1 2 n
X x ,x ,...,x
bi
ể
u di
ễ
n x
ấ
p x
ỉ
l
ợ
i ích
t
ă
ng thêm khi ng
ườ
i tiêu dùng có thêm m
ộ
t
đơ
n v
ị
hàng hoá th
ứ
i
trong
đ
i
ề
u ki
ệ
n s
ố
đơ
n
v
ị
các hàng hoá khác không thay
đổ
i.
Ví d 4.ụ
Gi
ả
s
ử
hàm tiêu dùng hàng ngày c
ủ
a m
ộ
t ng
ườ
i tiêu dùng
đố
i v
ớ
i hai lo
ạ
i hàng
hoá
đượ
c cho nh
ư
sau:
3
1 2 1 2
U x ,x 2 x x
Trong
đ
ó:
1 2
x , x
l
ầ
n l
ượ
t là m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng hàng hoá
1
và hàng hoá 2,
U
là l
ợ
i ích c
ủ
a
ng
ườ
i tiêu dùng hàng ngày.
Gi
ả
s
ử
ng
ườ
i tiêu dùng
đ
ang s
ử
d
ụ
ng
64
đơ
n v
ị
hàng hóa
1
và
25
đơ
n v
ị
hàng hoá
2 trong m
ộ
t ngày.
+) L
ợ
i ích c
ậ
n biên c
ủ
a hàng hoá
1
đố
i v
ớ
i ng
ườ
i tiêu dùng là:
84
2 1
3 2
1
1
U 2 5
MU 64,25 64 25 0, 21
x 3 24
+) L
ợ
i ích c
ậ
n biên c
ủ
a hàng hoá
2
đố
i v
ớ
i ng
ườ
i tiêu dùng là:
1 1
3 2
2
2
U
MU 64,25 64 25 0,8
x
Ngh
ĩ
a là, n
ế
u ng
ườ
i tiêu dùng t
ă
ng m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng hàng hoá 1 thêm m
ộ
t
đơ
n v
ị
1
x 65
và gi
ữ
nguyên m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng hàng hoá
2
trong m
ộ
t ngày thì l
ợ
i ích t
ă
ng thêm kho
ả
ng
0,21
đơ
n v
ị
. T
ươ
ng t
ự
, n
ế
u gi
ữ
nguyên m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng hàng hoá
1
và t
ă
ng m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng hàng hoá
2
thêm
1
đơ
n v
ị
trong m
ộ
t ngày thì l
ợ
i ích t
ă
ng thêm kho
ả
ng
0,8
đơ
n v
ị
.
Ví d 5.ụ
Ng
ườ
i ta
ướ
c l
ượ
ng hàm s
ả
n xu
ấ
t hàng ngày c
ủ
a m
ộ
t doanh nghi
ệ
p nh
ư
sau:
3
Q K,L 80 K. L
.
a) V
ớ
i
K 25
và
L 64
hãy cho bi
ế
t m
ứ
c s
ả
n xu
ấ
t hàng ngày c
ủ
a doanh nghi
ệ
p.
b) B
ằ
ng các
đạ
o hàm riêng c
ủ
a
Q
, cho bi
ế
t n
ế
u doanh nghi
ệ
p:
+) S
ử
d
ụ
ng thêm m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng m
ỗ
i ngày và gi
ữ
nguyên m
ứ
c
K 25
thì
s
ả
n l
ượ
ng s
ẽ
thay
đổ
i là bao nhiêu?
+) Ng
ượ
c l
ạ
i, n
ế
u s
ử
d
ụ
ng thêm m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n m
ỗ
i ngày và gi
ữ
nguyên m
ứ
c
L 64
thì s
ả
n l
ượ
ng s
ẽ
thay
đổ
i b
ằ
ng bao nhiêu?
c) N
ế
u giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n
K
là 12 USD, giá
đơ
n v
ị
L
là 2,5 USD và doanh
nghi
ệ
p s
ử
d
ụ
ng các y
ế
u t
ố
đầ
u vào
ở
m
ứ
c nêu trong câu a) thì doanh nghi
ệ
p nên s
ử
d
ụ
ng
thêm m
ộ
t
đơ
n v
ị
K
hay thêm m
ộ
t
đơ
n v
ị
L
m
ỗ
i ngày?
Giải
a) M
ứ
c s
ả
n xu
ấ
t hàng c
ủ
a doanh nghi
ệ
p khi
K 25
và
L 64
là:
3
Q 80. 25. 64 80.5.4 1600
( vsp). đ
b) Các đạo hàm riêng c a hàm s n xu t: ủ ả ấ
+) Đạo hàm riêng c a ủ
Q
theo
K
và c a ủ
Q
theo
L
:
/
3
K
1 1
Q K,L 80. . L;
2
K
/
L
3
2
1 1
Q K,L 80. . K .
3
L
85
T
ạ
i m
ứ
c
K 25
và
L 64
, ta có
/ /
K L
25
Q 25,64 32; Q 25,64 8,3
3
+) N
ế
u gi
ữ
nguyên m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n
K 25
và s
ử
d
ụ
ng thêm m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng m
ỗ
i ngày thì s
ả
n l
ượ
ng t
ă
ng m
ộ
t l
ượ
ng x
ấ
p x
ỉ
là
8,3
đơ
n v
ị
.
+) N
ế
u gi
ữ
nguyên m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng lao
độ
ng
L 64
và s
ử
d
ụ
ng thêm m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n m
ỗ
i ngày thì s
ả
n l
ượ
ng thay
đổ
i m
ộ
t l
ượ
ng x
ấ
p x
ỉ
là
32
đơ
n v
ị
.
c) V
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t
đ
ã cho thì doanh nghi
ệ
p nên s
ử
d
ụ
ng thêm m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng
m
ỗ
i ngày. Vì ta có
L K
MPL 25 / 3 MPK 32
p 2,5 p 12
.
3.2.2. o hàm riêng và h s co dãn Đạ ệ ố
Cho mô hình hàm kinh t
ế
:
1 2 n
w f x ,x ,..., x
Hệ s co dãn c a ố ủ
w
theo bi n ế
i
x
t
ạ
i
đ
i
ể
m
1 2 n
x ,x ,..., x
là s o l ng thay i ố đ ượ đổ
tính bằng phần tr m c a ă ủ
w
khi
i
x
thay
đổ
i
1%
trong
đ
i
ề
u ki
ệ
n giá tr
ị
c
ủ
a các bi
ế
n
độ
c
l
ậ
p khác không thay
đổ
i,
đượ
c ký hi
ệ
u và xác
đị
nh nh
ư
sau:
i
1 2 n
i
w x
i 1 2 n
f x ,x ,...,x
x
. .
x f x , x ,..., x
Ví d 6.ụ
Gi
ả
s
ử
hàm c
ầ
u c
ủ
a hàng hoá 1 trên th
ị
tr
ườ
ng hai hàng hoá liên quan có d
ạ
ng
sau:
1
1
2 2
D 1 2 2
5
Q P ,P 6300 2P P
3
. Trong
đ
ó,
1 2
P , P
t
ươ
ng
ứ
ng là giá c
ủ
a hàng hoá
1, 2
. Tính h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a c
ầ
u theo giá t
ạ
i
đ
i
ể
m
20,30
.
Giải
Hệ s co dãn c a c u theo giá ố ủ ầ
1
P
đố
i v
ớ
i giá c
ủ
a hàng hoá
đ
ó t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
1 2
P ,P
1
D 1
1
1
1
D
1 1
1
Q P
2 2
1 D
2
Q
P P
4P .
P Q
6300 2P P
H
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a c
ầ
u
đố
i v
ớ
i hàng hoá th
ứ
nh
ấ
t theo giá hàng hoá th
ứ
hai
2
P
t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
1 2
P ,P
là:
D 2
1
1
2
2
Q P
2 2
2
10 P
P .
3
6300 2P P
86
T
ạ
i
đ
i
ể
m
20,30
ta có:
D 1 D 2
1 1
Q P Q P
0,4; 0,75
.
Đ
i
ề
u này có ngh
ĩ
a là khi hàng hoá
1
đ
ang
ở
m
ứ
c giá
20
và hàng hoá
2
ở
m
ứ
c giá
30
n
ế
u t
ă
ng giá hàng hoá
1
lên
1%
còn giá hàng hoá
2
không
đổ
i thì c
ầ
u
đố
i v
ớ
i hàng
hoá
1
s
ẽ
gi
ả
m
0,4
%, t
ươ
ng t
ự
, n
ế
u giá c
ủ
a hàng hoá
1
không thay
đổ
i nh
ư
ng giá c
ủ
a hàng
hoá hai t
ă
ng thêm
1%
thì c
ầ
u
đố
i v
ớ
i hàng hoá
1
c
ũ
ng gi
ả
m
0,75
%.
Ví d 7. ụ
Gi
ả
s
ử
hàm s
ả
n xu
ấ
t c
ủ
a m
ộ
t doanh nghi
ệ
p có d
ạ
ng:
1 2
3 3
Q K, L 120K L
.
a) Khi
đ
ó h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a s
ả
n l
ượ
ng theo v
ố
n t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
K,L
là:
2 2
3 3
QK
1 2
3 3
K 40 1
40K L . .
120 3
120K L
Khi
đ
ó h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a s
ả
n l
ượ
ng theo lao
độ
ng t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
K,L
là:
1 1
3 3
QL
1 2
3 3
L 80 2
80K L . .
120 3
120K L
Nhận xét
N
ế
u mô hình hàm s
ố
kinh t
ế
có d
ạ
ng mô hình hàm Cobb –Douglass thì h
ệ
s
ố
co dãn
c
ủ
a
w
theo
k
x
đ
úng b
ằ
ng lu
ỹ
th
ừ
a c
ủ
a
k
x .
b) T
ạ
i m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng
K,L
n
ế
u gi
ả
m v
ố
n
K
xu
ố
ng 2% và t
ă
ng lao
độ
ng
L
lên 3% thì
Q
s
ẽ
thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
Ta có
QK QL
1 2 4
Q ( 2). 3. ( 2). 3. 0
3 3 3
Do
đ
ó s
ả
n l
ượ
ng
Q
t
ă
ng x
ấ
p x
ỉ
(4/3)%.
c) T
ạ
i m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng
K,L
n
ế
u t
ă
ng v
ố
n
K
lên 2% và gi
ả
m lao
độ
ng
L
xu
ố
ng 3%
thì
Q
s
ẽ
thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
Ta có
QK QL
1 2 4
Q 2. 3. 2. 3. 0
3 3 3
Do
đ
ó s
ả
n l
ượ
ng
Q
gi
ả
m x
ấ
p x
ỉ
(4/3)%.
87
3.2.3. o hàm riêng c p 2 và quy lu t l i ích biên gi m d n Đạ ấ ậ ợ ả ầ
Xét mô hình hàm kinh t
ế
hai bi
ế
n s
ố
:
z f x, y
.
+)
/ /
x x
z f x,y :
là hàm c
ậ
n biên c
ủ
a mô hình hàm kinh t
ế
trên theo bi
ế
n
x.
+)
/ /
y y
z f x,y :
là hàm c
ậ
n biên c
ủ
a mô hình hàm kinh t
ế
trên theo bi
ế
n
y.
Trong kinh t
ế
h
ọ
c, quy lu
ậ
t l
ợ
i ích c
ậ
n biên gi
ả
m d
ầ
n nói r
ằ
ng: giá tr
ị
z
c
ậ
n biên
c
ủ
a bi
ế
n
x
gi
ả
m d
ầ
n khi
x
t
ă
ng
y
không
đổ
i. T
ươ
ng t
ự
, cho giá tr
ị
z
c
ậ
n biên c
ủ
a bi
ế
n
y
gi
ả
m d
ầ
n khi
y
t
ă
ng và
x
không
đổ
i (Chú ý: chúng ta xét trong
đ
i
ề
u ki
ệ
n giá tr
ị
c
ủ
a
các bi
ế
n x, y là
đủ
l
ớ
n).
C
ơ
s
ở
toán h
ọ
c:
+)
/ /
x x
z f x, y :
là hàm s
ố
gi
ả
m khi
// / /
xx xx
z f x,y 0
.
+)
/ /
y y
z f x,y :
là hàm s
ố
gi
ả
m khi
// //
yy yy
z f x,y 0
.
Ví dụ 8.
Hàm s
ả
n xu
ấ
t c
ủ
a m
ộ
t doanh nghi
ệ
p có d
ạ
ng Cobb – Douglas nh
ư
sau:
Q K,L aK L a, , 0
Hàm s
ả
n ph
ẩ
m c
ậ
n biên c
ủ
a v
ố
n:
/ 1
K
Q K,L a K L .
Hàm s
ả
n ph
ẩ
m c
ậ
n biên c
ủ
a lao
độ
ng:
/ 1
L
Q K,L a K L .
Bi
ể
u hi
ệ
n c
ủ
a quy lu
ậ
t l
ợ
i ích c
ậ
n biên gi
ả
m d
ầ
n:
// 2
KK
// 2
LL
Q K, L a 1 K L 0
1
.
1
Q K,L a 1 K L 0
Áp d
ụ
ng vào bài toán c
ụ
th
ể
ta th
ấ
y hàm s
ả
n xu
ấ
t:
Trong
đ
ó
K, L, Q
là m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n, m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng lao
độ
ng và s
ả
n l
ượ
ng hàng
ngày. Hàm này tho
ả
mãn quy lu
ậ
t l
ợ
i ích c
ậ
n biên gi
ả
m d
ầ
n.
Ví d 9.ụ
Cho hàm l
ợ
i ích:
2 2
U x, y 15xy 2x 3y , (x, y 0).
Hàm s
ố
trên có tuân theo
quy lu
ậ
t l
ợ
i ích c
ậ
n biên gi
ả
m d
ầ
n hay không.
Giải
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 c
ủ
a hàm
U
theo bi
ế
n
x
và theo
y
88
/ /
x y
U x,y 15y 4x; U x, y 15x 6y
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 2 c
ủ
a hàm
U
theo
x
và theo
y
// //
xx yy
U x, y 4 0; U x, y 6 0
V
ậ
y hàm s
ố
trên tuân theo quy lu
ậ
t l
ợ
i ích c
ậ
n biên gi
ả
m d
ầ
n.
3.2.4. Hàm thu n nh t và v n hi u qu c a quy mô ầ ấ ấ đề ệ ả ủ
3.2.4.1. Khái ni m hàm thu n nh t ệ ầ ấ
Hàm s
ố
z f x, y
đượ
c g
ọ
i là hàm thu
ầ
n nh
ấ
t c
ấ
p
k
k 0
n
ế
u v
ớ
i
, chúng
ta có:
k
f (tx, ty) t f x, y
Ví d 10.ụ
Hàm s
ả
n xu
ấ
t
Q K,L aK L
là hàm thu
ầ
n nh
ấ
t c
ấ
p vì
t 0
:
Ta tính toán giá tr
ị
c
ủ
a hàm
Q K,L
t
ạ
i
đ
i
ể
m
tK, tL
Q tK,tL a tK tL t aK L t Q K,L
Ví d 11.ụ
Hàm s
ả
n xu
ấ
t d
ạ
ng C.E.S
1 1
Q K,L A .K (1 )L ; (A 0;0 1; 1)
Luôn là hàm thuần nh t c p 1. Vì ấ ấ
t 0
.
Ta tính toán giá tr c a hàm ị ủ
Q K,L
t i m ạ điể
tK, tL
1 1
Q(tK, tL) A .(tK) (1 )(tL)
1 1
Q(tK, tL) tA .K (1 )L tQ(K, L)
Ví d 12.ụ Hàm số
2 2
2xy
z x, y
x y
là hàm thu n nh t c p 0. Vì ầ ấ ấ
t 0
.
Ta tính toán giá trị c a hàm ủ
z x, y
t i m ạ điể
tx, ty
.
0
2 2 2 2
2(tx)(ty) 2xy
z(tx, ty) t z(x, y)
(tx) (ty) x y
3.2.4.2. V n hi u qu c a quy mô ấ đề ệ ả ủ
89
Xét hàm s n xu t ả ấ
Q f K, L .
V i ớ
K, L
là các y u t u vào; ế ố đầ
Q
là y u t u ra ế ố đầ
+) Nếu
Q mK, mL mQ K,L
thì chúng ta nói hàm s n xu t có hi u qu t ng theo ả ấ ệ ả ă
quy mô.
+) Nếu
Q mK, mL mQ K,L
thì chúng ta nói hàm s n xu t có hi u qu gi m ả ấ ệ ả ả
theo quy mô.
+) Nếu
Q mK, mL mQ K,L
thì chúng ta nói hàm s n xu t có hi u quả ấ ệ ả không
đổi theo quy mô.
3.2.4.3. Liên h hi u qu c a quy mô v i b c thu n nh t ệ ệ ả ủ ớ ậ ầ ấ
Giả s hàm s n xu t ử ả ấ
Q f K,L
là hàm thu n nh t c p ầ ấ ấ
k.
+) Nếu
k 1
thì hàm s n xu t có hi u qu t ng theo quy mô. ả ấ ệ ả ă
+) Nếu
k 1
thì hàm s n xu t có hi u qu gi m theo quy mô. ả ấ ệ ả ả
+) Nếu
thì hàm s n xuả ất có hiệu quả không đổi theo quy mô.
Ví d 13.ụ Hàm sản xuất dạng C.E.S có bậc thuần nhất bằng 1, nên nó có hiệu quả không
đổi theo quy mô.
Ví d 14. ụ Hàm sản xuất:
Q K,L aK L
có c p thu n nh t ấ ầ ấ nên:
+) Nếu > 1 thì nó có hi u qu t ng theo quy mô. ệ ả ă
+) Nếu < 1 thì nó có hi u qu gi m theo quy mô. ệ ả ả
+) Nếu = 1 thì nó có hi u qu i theo quy mô. ệ ả không đổ
3.2.4.4. Liên h v i o hàm riêng – Công th c Euler ệ ớ đạ ứ
Định lý (Công thức Euler). Hàm s ố
z f x, y
là hàm thu n nh t c p ầ ấ ấ
k
khi và ch ỉ
khi
/ /
x y
x z x,y y z x,y k z x, y .
Với
z f x, y
được gi thi t là hàm liên t c và có các o hàm riêng liên t c. ả ế ụ đạ ụ
3.2.5. o hàm c a hàm n và áp d ng phân tích kinh t Đạ ủ ẩ ụ ế
3.2.5.1. Khái ni m hàm n ệ ẩ
Nếu giá tr c a hai bi n ị ủ ế
x, y
quan h v i nhau b i h th c ệ ớ ở ệ ứ
F x, y 0
(*), trong ó đ
F x, y
là hàm hai bi n xác nh trên mi n ế đị ề
2
D
ℝ
.
Nếu
x X,
tồn tạ ối hàm s
y f x
th a mãn h th c (*), thì ta nói h th c này ỏ ệ ứ ệ ứ
xác định hàm n ẩ
y f x
trên t p ậ
X.
90
Ví d 15.ụ Xét hệ thức
2 2
F x, y x y 1 0
(**)
Với
x 1,1
ta có
2
y x 1 x
Vậy hàm
2
y 1 x
với
x 1,1
và hàm
2
y 1 x
v i ớ
x 1,1
là các
hàm ẩn xác nh b i h th c (**). đị ở ệ ứ
3.2.5.2. nh lý hàm n Đị ẩ
Cho hàm hai bi n ế
F x, y
xác nh trong m t lân c n c a m đị ộ ậ ủ điể
0 0
x ,y
và
0 0
F x , y 0,
gi thi t rả ế ằng
F x, y
có các đạo hàm riêng liên t c và ụ
/
y
F x,y 0
t i m i ạ ọ
điểm
x, y
thu c hàm lân c n c a ộ ậ ủ
0 0
x ,y
; Khi đó t n tồ ại duy nh t hàm liên t c ấ ụ
y f x
xác định trong m t lân c n c a ộ ậ ủ
0
x
th a mãn u ki n: ỏ điề ệ
0 0
y f x , F x,f x 0
và
/
/ x
x
/
y
F x, y
y
F x,y
(công th
ứ
c
đạ
o hàm c
ủ
a hàm
ẩ
n)
Ví d 16.ụ
Cho hàm s
ố
:
2 2
F x, y x y 1 0
(**)
Xác
đị
nh hai hàm
ẩ
n liên t
ụ
c
2
y 1 x
và
2
y 1 x
v
ớ
i
x 1,1 .
T
ạ
i
đ
i
ể
m
0 0
x ,y 0,1
ta có
F 0,1 0.
Khi
đ
ó ch
ỉ
có hàm
ẩ
n
2
y 1 x
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
y 0 1.
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c tính
đạ
o hàm c
ủ
a hàm
ẩ
n. Tính
đạ
o hàm c
ủ
a
y
theo
x.
Đạ
o hàm riêng c
ủ
a
F
theo
x
và theo
y
/ /
x y
F x,y 2x; F x, y 2y
Đạ
o hàm c
ủ
a y theo x:
/
/ x
x
/
y
F x, y
x
y
y
F x, y
+) N
ế
u
2
y x 1 x
thì
/
x
2
x x
y
y
1 x
91
+) N
ế
u
2
y x 1 x
thì
/
x
2
x x
y
y
1 x
Ví d 17.ụ
Cho hàm c
ầ
u
0
D D P,Y
(v
ớ
i
P
là giá, Y
0
là m
ứ
c thu nh
ậ
p) và hàm cung
S S P
v
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t
/
P
D 0
,
0
/
Y
D 0
,
/
S 0
.
Gi
ả
s
ử
giá cân b
ằ
ng
P
ph
ụ
thu
ộ
c m
ứ
c thu nh
ậ
p
0
Y
là hàm
ẩ
n bi
ể
u di
ễ
n b
ở
i h
ệ
th
ứ
c:
0 0
F P, Y D P,Y S P 0
(***)
Khi
đ
ó:
0 0
0
/ /
Y 0 Y 0
/
Y
/ / /
P 0 P 0
F P,Y D P,Y
P 0
F P,Y S P D P,Y
đ
i
ề
u
đ
ó nói nên r
ằ
ng giá cân b
ằ
ng s
ẽ
thay
đổ
i cùng chi
ề
u v
ớ
i thu nh
ậ
p (ch
ẳ
ng h
ạ
n
khi thu nh
ậ
p
0
Y
t
ă
ng thì s
ẽ
kéo theo giá cân b
ằ
ng t
ă
ng).
Ví d 18.ụ
Giá m
ộ
t lo
ạ
i hàng
P
và chênh l
ệ
ch cung – c
ầ
u
S
liên h
ệ
v
ớ
i nhau b
ở
i ph
ươ
ng
trình:
2
SP 0,1P lnS c
(c là h
ằ
ng s
ố
)
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c
đạ
o hàm c
ủ
a hàm
ẩ
n
để
tính t
ố
c
độ
thay
đổ
i c
ủ
a giá khi chênh
l
ệ
ch cung c
ầ
u thay
đổ
i?
Giải:
Đặ
t:
2
F P,S SP 0,1P lnS c 0
Ta có
Đạ
o hàm riêng c
ủ
a
F
theo
S
:
/ 2
S
1
F S,P P 0,1.P .
S
Đạ
o hàm riêng c
ủ
a
F
theo
P
:
/
P
F S,P S 0,2P.lnS.
T
ố
c
độ
thay
đổ
i c
ủ
a giá khi chênh l
ệ
ch cung c
ầ
u thay
đổ
i:
2
2
/
S
2
1
P 0,1.P .
F / S P.S 0,1P
S
P
F / P S 0, 2P.lnS
S 0,2.P.S.lnS
.
92
3.2.6. Hai hàng hóa có tính ch t thay th ho c b sung ấ ế ặ ổ
Giả s ử
1 1 1 2 2 2 1 2
Q D P ,P ; Q D P ,P
là hàm c u c a hai lo i hàng hóa, ầ ủ ạ
1 2
P ,P
thứ t là giá c a hai hàng hóa ó. Theo tính ch t c a hàm c u hàng hóa thông th ng: ự ủ đ ấ ủ ầ ườ
giá t ng thì c u gi m, chúng ta có: ă ầ ả
1 2
1 2
D D
0 & 0
P P
+) N u ế
1 2
2 1
D D
0 & 0
P P
thì hai hàng hóa có tính ch t b sung. ấ ổ
+) N u ế
1 2
2 1
D D
0 & 0
P P
thì hai hàng hóa có tính ch t thay th . ấ ế
Ví d 19.ụ
Gi
ả
s
ử
hàm c
ầ
u c
ủ
a hai hàng hóa cho b
ở
i:
1 1 2 2
1
8
D P ,P 300 4P ;
P 2
2 1 2 1
2
D P ,P 200 3P .
P 4
Đạ
o hàm riêng c
ủ
a
1
D
theo
2
P
:
1
1 2
2
D
P ,P 4
P
Đạ
o hàm riêng c
ủ
a
2
D
theo
1
P
:
2
1 2
1
D
P ,P 3
P
Chúng ta có
1 2
2 1
D D
4 0 & 3 0,
P P
do ó hai hàng hóa này có tính ch t đ ấ
bổ sung c cho nhau. đượ
Ví d 20.ụ
Gi
ả
s
ử
hàm c
ầ
u c
ủ
a hai hàng hóa cho b
ở
i:
1 1 2
Q 45 3P P
;
2 1 2
Q 30 2P P
.
Đạ
o hàm riêng c
ủ
a
1
Q
theo
2
P
:
1
1 2
2
Q
P ,P 1
P
Đạ
o hàm riêng c
ủ
a
2
Q
theo
1
P
:
2
1 2
1
Q
P ,P 2
P
Chúng ta có
1 2
2 1
Q Q
1 0 & 2 0
P P
, do ó hai hàng hóa này có tính ch t thay đ ấ
thế được cho nhau.
93
3.2.7. Bài t p ậ
Bài s 1.ố
Cho hàm l
ợ
i ích :
2 2
U x, y 12xy 2x y x, y 0
1)
T
ạ
i
0 0
x 50, y 60
, n
ế
u
x
t
ă
ng thêm 1
đơ
n v
ị
và
y
không
đổ
i thì l
ợ
i ích thay
đổ
i
nh
ư
th
ế
nào?
2)
Tính
y
MU
t
ạ
i
0 0
x 50, y 60
và gi
ả
i thích ý ngh
ĩ
a k
ế
t qu
ả
nh
ậ
n
đượ
c.
3)
Tính t
ỉ
s
ố
x
yx 0 0
y
MU
MRTS x 50, y 60 .
MU
4)
T
ạ
i
0 0
x 50, y 60
, n
ế
u
x
t
ă
ng thêm 0,5
đơ
n v
ị
và
y
gi
ả
m 1,5
đơ
n v
ị
thì l
ợ
i ích
thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
Đáp số : 1)
x
MU 50,60 520;
2)
y
MU 50,60 1480;
3)
yx
13
MRTS 50,60 ;
12
4)
U 50,60 460.
Bài s 2.ố
Cho hàm c
ầ
u :
0,2 0,3
D
Q 0,4Y P
(
Y
là thu nh
ậ
p,
P
là giá). Hãy tính h
ệ
s
ố
co
dãn c
ủ
a c
ầ
u theo giá và c
ủ
a c
ầ
u theo thu nh
ậ
p.
Đáp số :
D D
Q |Y Q |P
0,2; 0,3.
Bài s 3.ố
Cho hàm s
ả
n xu
ấ
t có d
ạ
ng:
2 2
Q K, L 12KL 2K 3L K,L 0 .
Hàm s
ả
n
xu
ấ
t trên có hi
ệ
u qu
ả
t
ă
ng, gi
ả
m hay không
đổ
i theo quy mô? Gi
ả
i thích.
Đáp số ả : Hàm sản xuất có hiệu qu tăng theo quy mô.
Bài s 4. ố
Cho hàm s
ả
n xu
ấ
t có d
ạ
ng:
2 1
3 2
Q K,L 120K L K,L 0
1)
Tính
MPK
và
MPL
t
ạ
i K = 1000 và L = 225. Nêu ý ngh
ĩ
a k
ế
t qu
ả
nh
ậ
n
đượ
c.
2)
Tính t
ỉ
s
ố
LK 0 0
MPK
MRTS , K 1000, L 225 .
MPL
3)
Tính h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a s
ả
n l
ượ
ng theo v
ố
n
K
và theo lao
độ
ng
L.
4)
N
ế
u gi
ữ
nguyên m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n
K,
t
ă
ng m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng lao
độ
ng
L
thêm 4% thì s
ả
n
l
ượ
ng
Q
thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
5)
N
ế
u t
ă
ng m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n
K
thêm 3% và gi
ả
m m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng lao
độ
ng
L
xu
ố
ng 2%
thì s
ả
n l
ượ
ng
Q
thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
Đáp số : 1)
MPK 1000,225 120; MPL 1000,225 400;
2)
LK
MRTS 0,3;
94
3)
Q|K Q|L
2 1
; ;
3 2
4) S n l ng s t ng 2%; 5) S n l ng s t ng 1%. ả ượ ẽ ă ả ượ ẽ ă
Bài s 5. ố
Cho hàm s
ả
n xu
ấ
t có d
ạ
ng:
2
0,5 0,5
1 2
Q K, L K L
3 3
v
ớ
i
K
là v
ố
n và
L
là
lao
độ
ng.
1)
Tìm hàm n
ă
ng su
ấ
t c
ậ
n biên c
ủ
a v
ố
n và lao
độ
ng.
2)
Hàm s
ả
n xu
ấ
t trên có hi
ệ
u qu
ả
t
ă
ng theo qui mô không?
Đáp số : 1)
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
1 1 2 2 1 2
MPK K L K ; MPL K L L ;
3 3 3 3 3 3
2) Hàm s n xu t có hi u qu gi m theo quy mô. ả ấ ệ ả ả
Bài số 6.
Gi
ả
s
ử
hàm c
ầ
u c
ủ
a hai hàng hóa cho b
ở
i:
1 1 2
Q 55 2P P
;
2 1 2
Q 40 P P
S
ử
d
ụ
ng
đạ
o hàm riêng cho bi
ế
t hai hàng hóa có tính ch
ấ
t thay th
ế
hay b
ổ
sung?
Đáp số : Hàng hóa có tính bổ sung.
Bài s 7.ố
Cho hàm s
ả
n xu
ấ
t
0,5 0,7
Y(t) 0,7K L .
V
ớ
i
K 120 0,2t; L 100 0,1t
1)
Tính h
ệ
s
ố
t
ă
ng tr
ưở
ng c
ủ
a v
ố
n
K,
lao
độ
ng
L
và
Y.
2)
Tính h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a
Y
theo
K
và
Y
theo
L.
3)
Hãy cho bi
ế
t hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a vi
ệ
c t
ă
ng quy mô s
ả
n xu
ấ
t trong tr
ườ
ng h
ợ
p này.
Đáp số : 1)
K L Y
0,2 0,1 0,1 0,07
r ; r ; r ;
120 0,2t 100 0,1t 120 0,2t 100 0,1t
2)
YK YL
0,5; 0,7
; 3) Tăng quy mô sản xuất có hiệu quả.
Bài s 8.ố
Thu nh
ậ
p qu
ố
c dân
Y
c
ủ
a m
ộ
t qu
ố
c gia có d
ạ
ng:
0,4 0,3 0,01
Y 0,48K L NX
Trong
đ
ó:
K
là v
ố
n,
L
là lao
độ
ng và
NX
là xu
ấ
t kh
ẩ
u ròng.
1)
Khi t
ă
ng 1% lao
độ
ng s
ẽ
ả
nh h
ưở
ng nh
ư
th
ế
nào
đế
n thu nh
ậ
p qu
ố
c dân? Có ý ki
ế
n
cho r
ằ
ng gi
ả
m m
ứ
c lao
độ
ng xu
ố
ng 2% thì có th
ể
t
ă
ng xu
ấ
t kh
ẩ
u ròng 15% mà thu
nh
ậ
p v
ẫ
n không
đổ
i, cho bi
ế
t
đ
i
ề
u này
đ
úng hay sai?
2)
Cho nh
ị
p t
ă
ng tr
ưở
ng c
ủ
a
NX
là 4%, c
ủ
a
K
là 3%, c
ủ
a
L
là 5%. Xác
đị
nh nh
ị
p
t
ă
ng tr
ưở
ng c
ủ
a
Y.
áp s : 1) Thu nh p qu c dân t ng 0,3%; sai; 2) Đ ố ậ ố ă
Y
r 2,74%.
95
3.3. Mô hình c c tr không có u ki n ràng bu c (t do) nhi u bi n trong kinh t ự ị điề ệ ộ ự ề ế ế
3.3.1. Xác nh qu v n và lao ng t i a hóa doanh thu, l i nhu n đị ỹ ố độ để ố đ ợ ậ
Cho hàm s n xu t ả ấ
Q f K, L
và giá bán s n ph m ả ẩ
P.
Bi t giá thuê m t n v ế ộ đơ ị
vốn là
K
p
và giá thuê m t n v lao ng là ộ đơ ị độ
L
p .
Bài toán 1. Xác nh m c s d ng v n đị ứ ử ụ ố
K
và lao ng độ
L
để s n l ng ả ượ
Q
c c ự
đại/tối đa.
Bài toán c a v bài toán c c tr t do c a hàm s n xu t v i hai bi n đượ đư ề ự ị ự ủ ả ấ ớ ế
K
và
L.
Bài toán 2. Hãy xác nh m c s d ng v n đị ứ ử ụ ố
K
và lao động
L
để l i nhu n c c i ợ ậ ự đạ
/tối a. đ
Chúng ta c n xác nh hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm l i nhu n. ầ đị ợ ậ
+) Hàm doanh thu :
TR K, L P.Q P.f K, L
+) Hàm chi phí :
K L
TC K,L p K p L
+) Hàm l i nhu n : ợ ậ
K L
K, L TR TC P Q K, L p K p L
Bài toán c a v bài toán c c tr t do c a hàm l i nhu n v i hai bi n đượ đư ề ự ị ự ủ ợ ậ ớ ế
K
và
L.
Ví d 21.ụ Ước l ng hàm s n xu t c a m p có d ng: ượ ả ấ ủ ột doanh nghiệ ạ
3 3
Q K, L K 8L 3KL 200, K 0,L 0
Hãy xác
đị
nh m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n và lao
độ
ng
để
s
ả
n l
ượ
ng c
ự
c
đạ
i.
Giải
+) B
ướ
c 1. Tính các
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 và c
ấ
p 2
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1
/ 2
K
Q K, L 3K 3L;
/ 2
L
Q K, L 24L 3K.
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 2
// / /
KK LL
Q K, L 6K; Q K, L 48L;
// //
KL LK
Q K, L Q K, L 3.
+) B
ướ
c 2
.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
để
tìm
đ
i
ể
m d
ừ
ng
/
2
K
/ 2
L
Q K,L 0
3K 3L 0
Q K,L 0 3K 24L 0
96
2
4
1
K
L K
2
1
K 8K 0
L
4
hay
K 0
L 0
(lo i vì ạ
K 0,L 0
)
Hàm s
ố
có m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng
1 1
M ,
2 4
+) B
ướ
c 3. Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
t
ạ
i
1 1
M ,
2 4
//
KK
1 1
A Q , 3 0;
2 4
//
LL
1 1
C Q , 12 0;
2 4
// / /
KL LK
1 1 1 1
B Q , Q , 3 0.
2 4 2 4
Xét
đị
nh th
ứ
c
3 3
D 27 0
3 12
và
A 0
V
ậ
y hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
1 1
M ,
2 4
v
ớ
i
max
1 1 1601
Q Q , .
2 4 8
Ví d 22.ụ
Tìm
K, L
để
hàm l
ợ
i nhu
ậ
n sau
đạ
t giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i
2 1
3 4
K, L 300K L 100K 150L
Giải
+) B
ướ
c 1. Tính các
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 và c
ấ
p 2
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1
1 1
/
3 4
K
2 3
/
3 4
L
K, L 200K L 100;
K, L 75K L 150
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 2
4
1
//
3
4
KK
200
K, L K L ;
3
2
7
//
3
4
LL
225
K, L K L ;
4
3
// //
3
4
KL LK
K, L K, L 50K L .
+) B
ướ
c 2. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
để
tìm
đ
i
ể
m d
ừ
ng
97
1 1
/
3 4
K
2/ 3
L
3
4
K, L 0
200K L 100 0
K, L 0
75K L 150 0
1 1
3 4
2 3
3 4
200K L 100 1
75K L 150 2
L
ậ
p t
ỷ
s
ố
hai ph
ươ
ng trình ta suy ra
đượ
c:
K 4L
(3)
Th
ế
(3) vào (2), ta
đượ
c
23 1
2
34 12
3
75 4L L 150 L 2 4 L 16 (4)
Thay (4) vào (3), ta c: đượ
K 64
Hàm s
ố
có m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng
M 64,16
+) B
ướ
c 3. Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
t
ạ
i
M 64,16
4 1
//
3 4
KK
200 25
A 64,16 (64) (16) 0;
3 48
2 7
//
3 4
LL
225 225
C 64,16 (64) (16) 0;
4 32
1 3
// //
3 4
KL LK
25
B 64,16 64,16 50(64) (16) 0.
16
Xét
đị
nh th
ứ
c
25 25
625
48 16
D
25 225
512
16 32
và
A 0
V
ậ
y hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
M 64,16
v
ớ
i
max
(64,16) 800.
Ví d 23.ụ
Cho hàm s
ả
n xu
ấ
t c
ủ
a doanh nghi
ệ
p:
0,4 0,4
Q K,L 15K L ,
trong
đ
ó
Q
là s
ả
n
l
ượ
ng,
K
là v
ố
n và
L
là lao
độ
ng. Vi
ế
t hàm l
ợ
i nhu
ậ
n. Tìm giá tr
ị
c
ủ
a
K
và
L
th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u
ki
ệ
n c
ầ
n
để
c
ự
c
đạ
i hàm l
ợ
i nhu
ậ
n bi
ế
t giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là 2 USD, giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng là 4 USD
và giá bán s
ả
n ph
ẩ
m là
1 USD
.
Giải
Hàm l
ợ
i nhu
ậ
n
98
0,4 0,4
K L
K, L TR TC PQ p K p L 15K L 2K 4L
+) B
ướ
c 1. Tính các
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 và c
ấ
p 2
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1
/ 0,6 0,4 / 0,4 0,6
K L
K, L 6K L 2; K, L 6K L 4
.
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 2
// 1,6 0,4 // 0,4 1,6
KK LL
K, L 3,6K L ; K, L 3,6K L ;
// // 0,6 0,6
KL LK
K, L K, L 2,4K L .
+) B
ướ
c 2. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
để
tìm
đ
i
ể
m d
ừ
ng
/
0,6 0,4
K
/
0,4 0,6
L
K, L 0
6K L 2 0
K, L 0
6K L 4 0
0,6 0,4
0,4 0,6
6K L 2 (1)
6K L 4 (2)
L
ậ
p t
ỷ
s
ố
ph
ươ
ng trình (1) và ph
ươ
ng trình (2) ta
đượ
c:
K 2L
(3)
Th
ế
(3) vào (2), ta có
0,4 0,6 0,2
0,4
4
6(2L) L 4 L L 30,375 (4)
6 2
Thay (4) vào (3), ta c: đượ
K 60,75
Hàm s
ố
có m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng
M 60,75; 30,375
+) B
ướ
c 3
.
Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
t
ạ
i
M 60,75; 30,375
// 1,6 0,4
KK
A 60,75; 30,375 3,6(60,75) (30,375) ;
// 0,4 1,6
LL
C 60,75; 30,375 3,6(60,75) (30,375)
;
// 0,6 0,6
KL
B 60,75; 30,375 2,4(60,75) (30,375) .
Xét
đị
nh th
ứ
c
1,2 1,2
A B
D 7,2(60,75) (30,375) 0
B C
và
A 0
V
ậ
y hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
M 60,75; 30,375
, v
ớ
i
max
60,75;30,375 .
5
99
3.3.2. Xác nh c c u s n ph m t i thi u hóa chi phí, t i a hóa doanh thu, l i đị ơ ấ ả ẩ để ố ể ố đ ợ
nhuận
Bài toán 1.
Hãng
độ
c quy
ề
n s
ả
n xu
ấ
t hai lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m v
ớ
i giá bán/hàm c
ầ
u th
ứ
t
ự
là
P , P
và hàm chi phí k
ế
t h
ợ
p
1 2
TC TC Q , Q .
Hãy xác
đị
nh c
ơ
c
ấ
u s
ả
n ph
ẩ
m/s
ả
n
l
ượ
ng c
ủ
a t
ừ
ng lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m
để
hãng có doanh thu/ l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Chúng ta c
ầ
n xác
đị
nh hàm doanh thu/ l
ợ
i nhu
ậ
n
+) Hàm doanh thu :
1 2 1 1 2 2
TR Q , Q P .Q P Q
+) Hàm l
ợ
i nhu
ậ
n:
1 2 1 2 1 2
Q , Q TR Q , Q TC Q , Q
Bài toán
đượ
c
đư
a v
ề
bài toán c
ự
c tr
ị
t
ự
do c
ủ
a hàm doanh thu/hàm l
ợ
i nhu
ậ
n v
ớ
i
hai bi
ế
n
1 2
Q ;Q
.
Bài toán 2.
Hãng
độ
c quy
ề
n s
ả
n xu
ấ
t m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m nh
ư
ng tiêu th
ụ
ở
hai th
ị
tr
ườ
ng phân bi
ệ
t v
ớ
i hàm c
ầ
u
ở
t
ừ
ng th
ị
tr
ườ
ng th
ứ
t
ự
l
ầ
n l
ượ
t là
1 1 1 2
P P (Q ,Q )
;
2 2 1 2
P P (Q ,Q )
và hàm chi phí k
ế
t h
ợ
p
1 2
TC TC Q , Q .
Hãy xác
đị
nh l
ượ
ng cung
ở
t
ừ
ng th
ị
tr
ườ
ng
để
hãng có doanh thu/ l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Chúng ta c
ầ
n xác
đị
nh hàm doanh thu/ l
ợ
i nhu
ậ
n
+) Hàm doanh thu :
1 2 1 1 2 2
TR Q , Q P Q P Q
+) Hàm l
ợ
i nhu
ậ
n:
1 2 1 2 1 2
Q , Q TR Q , Q TC Q , Q
Bài toán
đượ
c
đư
a v
ề
bài toán c
ự
c tr
ị
t
ự
do c
ủ
a hàm doanh thu/hàm l
ợ
i nhu
ậ
n v
ớ
i
hai bi
ế
n
1 2
Q , Q
.
Ví d 24.ụ
M
ộ
t hãng
độ
c quy
ề
n s
ả
n xu
ấ
t hai lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m. Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u
đố
i v
ớ
i hai
lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m
đ
ó nh
ư
sau:
1 1 2 2
Q 1300 P ; Q 675 0,5P
và hàm chi phí k
ế
t h
ợ
p là
2 2
1 2 1 1 2 2
TC Q , Q Q 3Q Q Q
. Hãy cho bi
ế
t m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q ,Q
và các giá bán t
ươ
ng
ứ
ng
để
doanh nghi
ệ
p
đ
ó thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Giải
+) B
ướ
c 1. L
ậ
p hàm l
ợ
i nhu
ậ
n
T
ừ
các hàm c
ầ
u thu
ậ
n ta suy ra hàm c
ầ
u
đả
o:
1 1 2 2
P 1300 Q ; P 1350 2Q
Hàm l
ợ
i nhu
ậ
n c
ủ
a doanh nghi
ệ
p
100
1 2 1 1 2 2 1 2
Q , Q P Q P Q TC Q , Q
Hay
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
Q , Q 2Q 3Q 1300Q 1350Q 3Q Q
V
ậ
y bài toán tr
ở
thành tìm
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm
1 2
Q ,Q
.
+) B
ướ
c 2. Tính các
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 và c
ấ
p 2
1
2
/
Q 1 2 1 2
/
Q 1 2 1 2
Q ,Q 4Q 3Q 1300;
Q ,Q 3Q 6Q 1350;
1 1 2 2 1 2
// // //
Q Q 1 2 Q Q 1 2 Q Q
Q ,Q 4; Q ,Q 6; 3.
+) B
ướ
c 3. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
để
tìm
đ
i
ể
m d
ừ
ng
1
2
/
Q 1 2
1 2 1
/
1 2 2
Q 1 2
Q ,Q 0
4Q 3Q 1300 0 Q 250
3Q 6Q 1350 0 Q 100
Q ,Q 0
V
ậ
y hàm s
ố
có m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng là
M 250, 100 .
B
ướ
c 4. Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
t
ạ
i
M 250,100 .
1 1 2 2
// //
Q Q Q Q
A 250,100 4; C 250,100 6;
1 2 2 1
// //
Q Q Q Q
B 250,100 250,100 3.
Xét
đị
nh th
ứ
c
4 3
D 15 0
3 6
và
A 4 0
nên
M 250, 100
là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm .
B
ướ
c 5. K
ế
t lu
ậ
n: Doanh nghi
ệ
p c
ầ
n bán hàng v
ớ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng cho m
ỗ
i s
ả
n ph
ẩ
m và
giá c
ả
t
ươ
ng
ứ
ng là
1 1
Q 250; P 1300 250 1050
;
2 2
Q 100; P 1350 200 1150
để
thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a là
max
250, 100 230000.
Ví d 25.ụ
Cho bi
ế
t hàm l
ợ
i nhu
ậ
n c
ủ
a m
ộ
t doanh nghi
ệ
p s
ả
n xu
ấ
t ba lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m là
2 2 2
1 2 3 2 3 1 3
Q 3Q 7Q 300Q 1200Q 4Q Q 20
101
Hãy tìm m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
1 2 3
Q ,Q ,Q
để
doanh nghi
ệ
p thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Giải
+) B
ướ
c 1. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
để
tìm
đ
i
ể
m d
ừ
ng
1
2
3
/
Q
1 3 1
/
Q 2 2
/
3 1 3
Q
0
2Q 4Q 0
Q 400
0 6Q 300 0 Q 50
14Q 4Q 1200 0 Q 200
0
V
ậ
y hàm s
ố
có m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng là
M 400,50,200 .
+) B
ướ
c 2. Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
t
ạ
i
M 400,50,200 .
1 1
2 2
3 3
//
11 Q Q
//
22 Q Q
//
33 Q Q
a 400,50,200 2;
a 400,50,200 6;
a 400,50,200 14;
1 2
1 3
2 3
//
12 21 Q Q
//
13 31 Q Q
//
23 32 Q Q
a a 400,50,200 0;
a a 400,50,200 4;
a a 400,50,200 .
Xét ma tr
ậ
n Hess t
ạ
i
đ
i
ể
m d
ừ
ng
M 400, 50, 200
2 0 4
H 0 6 0
4 0 14
T
ừ
ma tr
ậ
n
H
thành l
ậ
p các ma tr
ậ
n con t
ươ
ng
ứ
ng
1 2 3
2 0
H ( 2); H ; H H
0 6
Ta có
1 2 3
H 2 0; H 12 0; H 72 0
Xét
1 2 2 3
H H 24 0; H H 864 0
nên
M 400, 50, 200
là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
.
+) B
ướ
c 3
.
K
ế
t lu
ậ
n : Doanh nghi
ệ
p c
ầ
n bán các m
ặ
t hàng v
ớ
i s
ố
l
ượ
ng
1 2 3
Q 400; Q 50; Q 200
để
thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a là :
max
400,50,200 127520.
102
3.3.3. Bài t p ậ
Bài s 1.ố
Cho bi
ế
t hàm l
ợ
i nhu
ậ
n c
ủ
a m
ộ
t doanh nghi
ệ
p s
ả
n xu
ấ
t hai lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m
đượ
c
cho nh
ư
sau:
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
Q , Q 160Q 3Q 2Q Q 2Q 120Q 18
.
Hãy tìm m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
1 2
Q ,Q
để
doanh nghi
ệ
p
đạ
t
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Đáp số :
max
(20;20) 2782.
Bài s 2.ố
M
ộ
t hãng
độ
c quy
ề
n s
ả
n xu
ấ
t hai lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m. Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u
đố
i v
ớ
i hai
lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m
đ
ó nh
ư
sau:
1 1 2 2
Q 25 0,5P ; Q 30 P .
V
ớ
i hàm chi phí k
ế
t h
ợ
p
2 2
1 1 2 2
TC Q 2Q Q Q 20.
Hãy xác
đị
nh m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
1 2
Q , Q
và giá bán t
ươ
ng
ứ
ng
để
hãng
đạ
t l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Đáp số :
max
(7;4) 215.
Bài s 3.ố
Tr
ả
l
ờ
i câu h
ỏ
i c
ủ
a bài t
ậ
p s
ố
2 v
ớ
i:
1 1 2 2
Q 50 0,5P ; Q 76 P
và
2 2
1 1 2 2
TC 3Q 2Q Q 2Q 105
Đáp số :
max
(8;10) 675.
Bài số 4.
Cho hàm s
ả
n xu
ấ
t c
ủ
a hãng
0,3 0,4
Q K, L 10K L
, bi
ế
t giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n
K
b
ằ
ng 0,03, giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng
L
b
ằ
ng 2, giá s
ả
n ph
ẩ
m b
ằ
ng 4. Hãy xác
đị
nh
m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng
K
và
L
để
hãng thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Đáp số :
max
2560000,51200 76800.
Bài s 5.ố
M
ộ
t doanh nghi
ệ
p s
ả
n xu
ấ
t hai lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m. G
ọ
i
1
Q
và
2
Q
là s
ả
n l
ượ
ng t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a các lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m
đ
ó. Gi
ả
s
ử
hàm l
ợ
i nhu
ậ
n là:
2 3
1 2 1 2 1
15Q 12Q 3Q Q Q .
Hãy xác
đị
nh m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng c
ầ
n s
ả
n xu
ấ
t
1
Q
và
2
Q
sao cho doanh nghi
ệ
p thu
đượ
c l
ợ
i
nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Đáp số :
max
2,1 28.
Bài s 6.ố
Doanh nghi
ệ
p c
ạ
nh tranh có hàm s
ả
n xu
ấ
t d
ạ
ng:
2 2
Q K, L 2K 3KL 3L 30K 20L (K,L 0)
1)
Hãy xác
đị
nh m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n
K
và lao
độ
ng
L
để
doanh nghi
ệ
p thu
đượ
c s
ả
n
l
ượ
ng c
ự
c
đạ
i.
103
2)
Cho bi
ế
t giá th
ị
tr
ườ
ng c
ủ
a s
ả
n ph
ẩ
m là
P 2
USD, giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là
K
p 4
USD, giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng
L
p 22
USD. Hãy xác
đị
nh m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng
K
và
L
để
hãng thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Đáp số : 1)
max
34 1060
Q Q 16, ;
3 3
2)
max
13,8 436.
Bài s 7.ố
M
ộ
t hãng
độ
c quy
ề
n s
ả
n xu
ấ
t hai lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m. Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u
đố
i v
ớ
i hai
lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m
đ
ó nh
ư
sau:
1 1 2
Q 75 3P P
;
2 1 2
Q 60 2P P .
V
ớ
i hàm chi phí k
ế
t h
ợ
p
2 2
1 1 2 2
TC 2Q Q Q Q 300.
Hãy xác
đị
nh m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q ,Q
và giá bán t
ươ
ng
ứ
ng
để
hãng
đạ
t l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Đáp số :
max
45 105 795
, .
11 22 11
Bài s 8. ố
M
ộ
t xí nghi
ệ
p s
ả
n xu
ấ
t
độ
c quy
ề
n hai lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m. Bi
ế
t hàm c
ầ
u c
ủ
a hai lo
ạ
i
s
ả
n ph
ẩ
m trên l
ầ
n l
ượ
t là :
1
D 1 2
Q 40 2P P
và
2
D 1 2
Q 15 P P
.
V
ớ
i hàm t
ổ
ng chi phí là :
2 2
1 1 2 2
TC Q Q Q Q
. Hãy
đị
nh các m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
1
Q
và
2
Q
để
doanh nghi
ệ
p
đạ
t l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
áp s : Đ ố
1 2
23
Q 8, Q .
3
Bài s 9.ố
Doanh nghi
ệ
p c
ạ
nh tranh có hàm s
ả
n xu
ấ
t d
ạ
ng:
0,5 0,5
Q K, L K L
1)
Đ
ánh giá hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a vi
ệ
c t
ă
ng quy mô s
ả
n xu
ấ
t.
2)
Tính
MPK
và
MPL
t
ạ
i
đ
i
ể
m
16, 25
và nêu ý ngh
ĩ
a.
3)
Cho bi
ế
t giá th
ị
tr
ườ
ng c
ủ
a s
ả
n ph
ẩ
m là
P 2
USD, giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là
K
p 0,25
USD, giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng
L
p 0,2
USD. Hãy xác
đị
nh m
ứ
c
s
ử
d
ụ
ng
K
và
L
để
hãng thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Đáp số : 1) Doanh nghiệp có hi u qu gi m theo quy mô; ệ ả ả
2)
1 1
MPK 16,25 ; MPL 16,25
8 10
3)
max
16,25 9.
109
Xét h
ệ
ph
ươ
ng trình
/
K
/
L
/
K,L, 0
f
K,L, 0
f
f K,L, 0
0,6 0,6
0,4 0,4
16K L 11 0
24K L 20 0
6600 11K 20L 0
0,6 0,6
0
0
0,6
0
16
K L
11
K 240
33
L K L 198
40
16 33
33
.
6600 11K 20. K 0
11 40
40
V
ậ
y hàm s
ố
có m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng:
0,6
0
16 33
M 240, 198 ; . 0
11 40
+) B
ướ
c 4.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
:
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 2 c
ủ
a hàm
f
// 1,6 0,6
KK
K,L, 9,6K L ;
f
// 0,4 1,4
LL
f K,L, 9,6K L ;
// 0,6 0,4
KL
f K,L, 9,6K L .
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 c
ủ
a
g
/ /
1 K 2 L
240, 198 240, 198
g g 11; g g 20.
Xét t
ạ
i
đ
i
ể
m d
ừ
ng t
ạ
i
0,6
0
16 33
M 240, 198 ; . 0
11 40
Ta có
// 1,6 0,6
11 KK 0
f 240, 198, 9,6(240) (198) 0;
f
// 0,4 1,4
22 LL 0
f f 240, 198, 9,6(240) (198) 0;
// 0,6 0,4
12 21 KL 0
f f f 240, 198, 9,6(240) (198) 0.
L
ậ
p ma tr
ậ
n Hess t
ạ
i
đ
i
ể
m d
ừ
ng:
1 2
1 11 12 11 12
2 21 22 21 22
0 g g 0 11 20
H g f f 11 f f
g f f 20 f f
110
Ta có
12 11 22 12 11 22
H 440f 400f 121f 0, f 0; f 0; f 0
V
ậ
y
đ
i
ể
m
M 240,198
là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
, t
ứ
c là v
ớ
i m
ứ
c v
ố
n
K 240,
lao
độ
ng
L 198
thì s
ả
n l
ượ
ng
Q
đạ
t m
ứ
c t
ố
i
đ
a là 8553,49.
3.4.3. T i thi u hóa chi tiêu trong ố ể điều ki n gi mệ ữ ức lợi ích
Bài toán.
Cho hàm l
ợ
i ích c
ủ
a ch
ủ
th
ể
nh
ư
sau:
U U X,Y
. Bi
ế
t r
ằ
ng giá m
ặ
t
hàng hóa
X
là
X
P ,
giá m
ặ
t hàng hóa
Y
là
Y
P
và m
ứ
c l
ợ
i ích
đị
nh tr
ướ
c c
ủ
a ch
ủ
th
ể
là
0
U .
Hãy xác
đị
nh s
ố
l
ượ
ng m
ặ
t hàng
X, Y
sao cho t
ố
i thi
ể
u hóa chi tiêu cho ch
ủ
th
ể
.
Mô hình bài toán.
Tìm
X, Y
sao cho
X Y
C X, Y X P Y P
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n :
0
U X,Y U .
Ví d 30.ụ
Cho hàm chi tiêu
1 2 1 1 2 2
C x , x p x p x
và hàm l i ích ợ
1 2 1 2
U x ,x x x
.
a) Hãy c c ti u hàm chi tiêu trong u ki n gi m c l i ích bự ể điề ệ ữ ứ ợ ằng
0
U
.
b) Áp d
ụ
ng : v
ớ
i
1 2 0
p 8,p 4,U 8
.
c) V
ớ
i d
ữ
ki
ệ
n câu b) n
ế
u m
ứ
c l
ợ
i ích
0
U
t
ă
ng 1
đơ
n v
ị
thì ngân sách chi tiêu c
ự
c
ti
ể
u t
ă
ng bao nhiêu
đơ
n v
ị
.
d)
V
ớ
i d
ữ
ki
ệ
n câu b). N
ế
u m
ứ
c l
ợ
i ích
0
U
t
ă
ng 1% thì ngân sách chi tiêu c
ự
c ti
ể
u
t
ă
ng bao nhiêu %.
Giải
a) Tìm
1 2
(x ,x )
sao cho
1 1 2 2
C p x p x
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t th
ỏ
a :
1 2 0
g x x U
+) B
ướ
c 1. L
ậ
p hàm Lagrange:
1 2 1 1 2 2 0 1 2
L(x ,x , ) p x p x U x x
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1
1
/
x 1 2 1 2
L (x ,x , ) p x ;
2
/
x 1 2 2 1
L (x , x , ) p x ;
/
1 2 0 1 2
L (x ,x , ) U x x ;
1 2
/ /
x 2 x 1
g x ; g x .
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 2
1 1 2 2
// //
x x 1 2 x x 1 2
L (x ,x , ) 0; L (x ,x , ) 0;
1 2 2 1
// //
x x 1 2 x x 1 2
L (x , x , ) L (x ,x , ).
+) B
ướ
c 2. Tìm
đ
i
ể
m d
ừ
ng cùng giá tr
ị
, t
ừ
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
111
1
2
1
/
2
x 1 2
/
2
x 2 1
1
/
0 1 2
1 2 0
p
x
L p x 0
p
L p x 0
x
L U x x 0
x x U
2
1
1 0
1
2
1 1
2 1 2 0 1 2
2 2
2
2
1 2
1 0
1
0
p
p
x U
p
x
p p
x x x U x , x 0
p p
p
p p
x U
p
U
Hàm s
ố
có m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng :
2 1 1 2
0 0 0
1 2 0
p p p p
M U ; U ; 0.
p p U
+) B
ướ
c 3.
Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
t
ạ
i
đ
i
ể
m d
ừ
ng
2 1 1 2
0 0 0
1 2 0
p p p p
M U ; U ; 0.
p p U
Ta có
1
/
1
1 x 0
2
p
g g U 0;
p
2
/
2
2 x 0
1
p
g g U 0.
p
0
1 2
11 22 12 21
0
p p
L 0; L 0; L L 0.
U
Xét
đị
nh th
ứ
c:
1 2
1 0 0 1 2 1 2 0
2 0
0 g g
H g 0 2 g g 2 p p U 0
g 0
V
ậ
y
đ
i
ể
m
2 1
0 0
1 2
p p
M U ; U
p p
là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm chi tiêu.
b) Áp d
ụ
ng : v
ớ
i
1 2 0
p 8,p 4,U 8
thì
112
2
1 0
1
1
2 0
2
1 2
0
p 4
x U 8 2
p 8
p 8
x U 8 4
p 4
p p 8 4
2
U 8
V
ậ
y
0
M 2, 4 ; 2 0
là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm chi tiêu.
c) V
ớ
i d
ữ
ki
ệ
n câu b). N
ế
u m
ứ
c l
ợ
i ích
0
U
t
ă
ng 1
đơ
n v
ị
thì ngân sách chi tiêu c
ự
c
ti
ể
u t
ă
ng bao nhiêu
đơ
n v
ị
?
Theo ý ngh
ĩ
a c
ủ
a nhân t
ử
Lagrange:
0
C
2 0
V
ậ
y n
ế
u n
ế
u m
ứ
c l
ợ
i ích
0
U
t
ă
ng 1
đơ
n v
ị
thì ngân sách chi tiêu c
ự
c ti
ể
u s
ẽ
t
ă
ng
x
ấ
p x
ỉ
2
đơ
n v
ị
.
d) V
ớ
i d
ữ
ki
ệ
n câu b). N
ế
u m
ứ
c l
ợ
i ích
0
U
t
ă
ng 1% thì ngân sách chi tiêu c
ự
c ti
ể
u
t
ă
ng bao nhiêu %
Ngân sách chi tiêu c
ự
c ti
ể
u:
min 1 2 0
C 2 p p U
Do
đ
ó :
1 2
0 0
C p p
U U
H
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a hàm chi tiêu theo l
ợ
i ích t
ạ
i
đ
i
ể
m t
ố
i
ư
u
0
C
0 0
1 2
U
0 min 0
1 2 0
U UC p p
0,5 0
U C U
2 p p U
V
ậ
y ngân sách chi tiêu c
ự
c ti
ể
u t
ă
ng x
ấ
p x
ỉ
0,5%.
3.4.4. T i thi u hóa chi phí trong u ki n gi m c s n l ng ố ể điề ệ ữ ứ ả ượ
Bài toán.
Cho hàm s
ả
n xu
ấ
t c
ủ
a m
ộ
t doanh nghi
ệ
p:
Q Q K, L
. Bi
ế
t r
ằ
ng giá
thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là
K
p ,
giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng là
L
p
và m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng yêu c
ầ
u
đị
nh tr
ướ
c c
ủ
a doanh nghi
ệ
p là
0
Q .
Hãy xác
đị
nh m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng
K, L
sao cho doanh nghi
ệ
p
t
ố
i thi
ể
u hóa chi phí.
113
Mô hình bài toán.
Tìm
K,L
sao cho
K L
TC K, L K p L p
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n :
0
Q K, L Q .
Ví d 31.ụ
Gi
ả
s
ử
hàm s
ả
n xu
ấ
t doanh nghi
ệ
p có d
ạ
ng:
0,5 0,5
Q 25K L .
Bi t rế ằng
giá thuê
m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là
K
p 12
, giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng là
L
p 3
.
a)
Đị
nh m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng
K,L
t
ố
i
ư
u
để
s
ả
n xu
ấ
t
đượ
c m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q 1250.
b) Tính h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a t
ổ
ng chi phí theo s
ả
n l
ượ
ng t
ạ
i
đ
i
ể
m t
ố
i
ư
u và nêu ý ngh
ĩ
a.
Giải
a)
Đị
nh m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng K, L t
ố
i
ư
u
để
s
ả
n xu
ấ
t
đượ
c m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q 1250.
+) B
ướ
c 1. L
ậ
p mô hình bài toán. Tìm
K, L
sao cho
TC K, L 12K 3L
đạ
t
giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
0,5 0,5
g K, L 25K L 1250
+) B
ướ
c 2. L
ậ
p hàm Lagrange:
0,5 0,5
f K,L, 12K 3L 1250 25K L
+) B
ướ
c 3.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n:
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 c
ủ
a hàm
f
/ 0,5 0,5
K
K,L, 12 12,5 K L ;
f
/ 0,5 0,5
L
f K, L, 3 12,5 K L ;
/ 0,5 0,5
f K, L, 1250 25K L .
Xét h
ệ
ph
ươ
ng trình
/
K
/
L
/
K,L, 0
f
K,L, 0
f
f K,L, 0
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
12 12,5 K L 0
3 12,5 K L 0
1250 25K L 0
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
12,5 K L 12
K 25
12,5 K L 3 L 100
25K L 1250
V
ậ
y hàm s
ố
có m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng:
M 25, 100 ; 0,48
114
+) B
ướ
c 4.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
:
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 2 c
ủ
a hàm
f
// 1,5 0,5
KK
K,L, 6,25 K L ;
f
// 0,5 1,5
LL
f K,L, 6,25 K L ;
// 0,5 0,5
KL
f K, L, 6,25 K L .
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 c
ủ
a
g
0,5 0,5 0,5 0,5
/ /
K L
K L K L
g 12,5 ; g 12,5
Xét t
ạ
i
đ
i
ể
m d
ừ
ng
M 25, 100 ; 0, 48
Ta có
/ /
1 K 2 L
25, 100 25, 100
g g 25; g g 6,25
//
11 KK
6
f 25;100;0,48 0,24;
f
25
//
22 LL
3
f f 25;100;0,48 0,015;
200
//
12 21 KL
3
f f f 25;100;0, 48 0,06.
50
L
ậ
p ma tr
ậ
n Hess t
ạ
i
đ
i
ể
m d
ừ
ng
M 25, 100 ; 0,48
1 2
1 11 12
2 21 22
0 g g 0 25 6,25
H g f f 25 0,24 0,06
g f f 6,25 0,06 0,015
Ta có:
H 37,5 0.
V
ậ
y
đ
i
ể
m
M 25, 100
là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
, t
ứ
c là
v
ớ
i m
ứ
c v
ố
n
K 25,
lao
độ
ng
L 100
v
ớ
i
min
TC 600
.
b) Tính h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a t
ổ
ng chi phí theo s
ả
n l
ượ
ng t
ạ
i
Q
và nêu ý ngh
ĩ
a
Ta có:
/
TC/Q
Q
TC Q
TC Q
T
ạ
i
đ
i
ể
m t
ố
i
ư
u,
min
0,48, Q 1250, TC 600
thì
TC/Q
min
Q 1250
0,48 1
TC 600
Ý ngh
ĩ
a. T
ạ
i
đ
i
ể
m t
ố
i
ư
u, n
ế
u s
ả
n l
ượ
ng t
ă
ng 1% thì chi phí t
ố
i thi
ể
u t
ă
ng 1%.
115
3.4.5. T i a hóa l i nhu n c a hãng c quy n, trong tr ng h p không phân bi t ố đ ợ ậ ủ độ ề ườ ợ ệ
giá bán hai th tr ng ở ị ườ
Bài toán.
Gi
ả
s
ử
m
ộ
t công ty
độ
c quy
ề
n s
ả
n xu
ấ
t m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m và bán s
ả
n
ph
ẩ
m
đ
ó
ở
hai th
ị
tr
ườ
ng khác nhau. Bi
ế
t hàm t
ổ
ng chi phí
1 2
TC TC Q , (Q Q Q )
và c
ầ
u c
ủ
a hai th
ị
tr
ườ
ng l
ầ
n l
ượ
t là
1 1 2 2
Q D P , Q D P .
Hãy xác
đị
nh s
ả
n l
ượ
ng và
giá bán trên m
ỗ
i th
ị
tr
ườ
ng
để
công ty thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a. Bi
ế
t r
ằ
ng giá bán t
ạ
i hai
th
ị
tr
ườ
ng là nh
ư
nhau.
Mô hình bài toán.
Tìm
1 2
Q ,Q
sao cho hàm l
ợ
i nhu
ậ
n
1 2
Q ,Q
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n :
1 2
P P .
Phương pháp gi i. ả
B
ướ
c 1. T
ừ
hai hàm c
ầ
u thu
ậ
n
1 1 2 2
Q D P , Q D P ,
ta suy ra hai hàm c u o ầ đả
1 1
1 1 2 2
P D Q , P D Q .
B
ướ
c 2. L
ậ
p hàm doanh thu:
1 1
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
TR Q ,Q P Q P Q D Q Q D Q Q .
B
ướ
c 3. L
ậ
p hàm l
ợ
i nhu
ậ
n:
1 2 1 2 1 2
Q ,Q TR Q ,Q TC Q ,Q .
B
ướ
c 4. T
ừ
gi
ả
thi
ế
t giá bán hai th
ị
tr
ườ
ng là nh
ư
nhau, ngh
ĩ
a là
1 1
1 2 1 2
P P D Q D Q .
B
ướ
c 5. Kh
ả
o sát c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm l
ợ
i nhu
ậ
n
1 2
Q ,Q
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ràng bu
ộ
c
là :
1 1
1 2
D Q D Q .
Ví d 32.ụ
M
ộ
t công ty
độ
c quy
ề
n s
ả
n xu
ấ
t m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m và bán s
ả
n ph
ẩ
m
đ
ó
ở
hai
th
ị
tr
ườ
ng khác nhau. Bi
ế
t hàm t
ổ
ng chi phí
1 2
TC 35 40Q, (Q Q Q )
và c
ầ
u c
ủ
a hai
th
ị
tr
ườ
ng l
ầ
n l
ượ
t là
1 1 2 2
Q 24 0,2P , Q 10 0,05P .
Hãy xác
đị
nh s
ả
n l
ượ
ng và giá
bán trên m
ỗ
i th
ị
tr
ườ
ng
để
công ty thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a. Bi
ế
t r
ằ
ng giá bán t
ạ
i hai th
ị
tr
ườ
ng là nh
ư
nhau.
Giải
T
ừ
hai hàm c
ầ
u thu
ậ
n
1 1 2 2
Q 24 0,2P ; Q 10 0,05P ,
ta có suy ra hai hàm c
ầ
u
đả
o
1 1 2 2
P 120 5Q , P 200 20Q
116
+) Hàm doanh thu:
2 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
TR Q ,Q P Q P Q 120Q 5Q 200Q 20Q
+) Hàm l
ợ
i nhu
ậ
n:
2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
Q ,Q TR Q , Q TC Q ,Q 80Q 5Q 160Q 20Q
+) Theo gi
ả
thi
ế
t:
1 2 1 2 1 2
P P 120 5Q 200 20Q Q 4Q 16
+) B
ướ
c 1. L
ậ
p mô hình bài toán.
Tìm
1 2
Q ,Q
sao cho
1 2
Q ,Q
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1 2 1 2
g Q ,Q Q 4Q 16
+) B
ướ
c 2. L
ậ
p hàm ph
ụ
Lagrange:
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
f Q ,Q , 80Q 5Q 160Q 20Q 16 Q 4Q
+) B
ướ
c 3.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n:
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 c
ủ
a hàm
f
1
/
Q 1 2 1
Q ,Q , 80 10Q ;
f
2
/
Q 1 2 2
Q ,Q , 160 40Q 4 ;
f
/
1 2 1 2
Q ,Q , 16 Q 4Q .
f
Xét h
ệ
ph
ươ
ng trình
1
2
/
Q 1 2
/
Q 1 2
/
1 2
Q ,Q , 0
f
Q ,Q , 0
f
Q ,Q , 0
f
1
2
1 2
80 10Q 0
160 40Q 4 0
16 Q 4Q 0
1
1
2 2
1 2
32
Q
5
10Q 80
28
40Q 4 160 Q
5
Q 4Q 16
16
V
ậy hàm s có m t m d ng: ố ộ điể ừ
32 28
M , ; 16
5 5
+) Bước 4. u ki n : Điề ệ đủ
117
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 2 c
ủ
a hàm
f
1 1
//
Q Q 1 2
Q ,Q , 10;
f
2 2
//
Q Q 1 2
Q ,Q , 40;
f
1 2 2 1
/ /
Q Q 1 2 Q Q 1 2
Q ,Q , Q ,Q , 0.
f f
Đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 c
ủ
a
g
1 2
1 2 1 2
/ /
Q Q
Q ,Q 1 Q ,Q 4
g ; g
Xét t
ạ
i
đ
i
ể
m d
ừ
ng
32 28
M , ; 16
5 5
Ta có
1
2
/
1 Q
/
2 Q
32 28
, 1
5 5
32 28
, 4;
5 5
g g ;
g g
1 1
//
11 Q Q
32 28
f , , 16 10;
f
5 5
2 2
//
22 Q Q
32 28
f f , , 16 40;
5 5
1 2
//
12 21 Q Q
32 28
f f f , , 16 0.
5 5
L
ậ
p ma tr
ậ
n Hess t
ạ
i
đ
i
ể
m d
ừ
ng
32 28
M , ; 16
5 5
1 2
1 11 12
2 21 22
0 g g 0 1 4
H g f f 1 10 0
g f f 4 0 40
Ta có
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n Hess
0 1 4
det H 1 10 0 200 0.
4 0 40
V
ậ
y hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m
32 28
M ,
5 5
, ngh
ĩ
a là s
ả
n l
ượ
ng
1
32
Q ,
5
2
28
Q
5
và giá bán t
ươ
ng
ứ
ng
1 2
P P 88
thì công ty
đạ
t
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a v
ớ
i
max
576.
118
3.4.6. Bài t p ậ
Bài s 1.ố
Cho bi
ế
t hàm l
ợ
i ích tiêu dùng:
1 2 1 2 1 2
U x ,x x x x x .
Trong
đ
ó
x , x
l
ầ
n l
ượ
t là kh
ố
i l
ượ
ng hai m
ặ
t hàng. Gi
ả
s
ử
giá bán c
ủ
a các m
ặ
t hàng t
ượ
ng
ứ
ng là
1
P 2
USD,
2
P 5
USD và thu nh
ậ
p dành cho ng
ườ
i tiêu dùng là
I 500
USD. Hãy xác
đị
nh
l
ượ
ng c
ầ
u
đố
i v
ớ
i m
ỗ
i m
ặ
t hàng n
ế
u ng
ườ
i tiêu dùng mu
ố
n t
ố
i
đ
a hóa l
ợ
i ích c
ủ
a mình.
N
ế
u thu nh
ậ
p c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng t
ă
ng 1% thì l
ợ
i ích t
ố
i
đ
a thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
Đáp số :
max
U M
503 497
U U ; ; 1,973.
4 10
Bài s 2.ố
Cho bi
ế
t hàm l
ợ
i ích tiêu dùng:
0,6 0,25
1 2 1 2
U x ,x x x .
Trong
đ
ó
x , x
l
ầ
n l
ượ
t
là kh
ố
i l
ượ
ng hai m
ặ
t hàng. Gi
ả
s
ử
giá bán c
ủ
a các m
ặ
t hàng t
ượ
ng
ứ
ng là
1
P 8
USD,
2
P 5
USD và thu nh
ậ
p dành cho ng
ườ
i tiêu dùng là
I 680
USD. Hãy xác
đị
nh l
ượ
ng
c
ầ
u
đố
i v
ớ
i m
ỗ
i m
ặ
t hàng n
ế
u ng
ườ
i tiêu dùng mu
ố
n t
ố
i
đ
a hóa l
ợ
i ích c
ủ
a mình. N
ế
u thu
nh
ậ
p dành cho ng
ườ
i tiêu dùng t
ă
ng thêm 1 USD, thì l
ợ
i ích t
ố
i
đ
a thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
Đáp số :
max
U
U U(60;40) 29,34; 0,037.
M
Bài s 3.ố
M
ộ
t doanh nghi
ệ
p có hàm s
ả
n xu
ấ
t:
0,3 0,5
Q K,L K L
1)
Đ
ánh giá hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a vi
ệ
c t
ă
ng quy mô s
ả
n xu
ấ
t
2)
Gi
ả
s
ử
giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là 6 USD, giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng là 2 USD
và doanh nghi
ệ
p ti
ế
n hành s
ả
n xu
ấ
t v
ớ
i ngân sách c
ố
đị
nh là 384 USD. Hãy cho
bi
ế
t doanh nghi
ệ
p
đ
ó s
ử
d
ụ
ng bao nhiêu
đơ
n v
ị
t
ư
b
ả
n và bao nhiêu
đơ
n v
ị
lao
độ
ng
thì thu
đượ
c s
ả
n l
ượ
ng t
ố
i
đ
a.
Đáp số : 1) Doanh nghiệp có hi u qu gi m theo quy mô; ệ ả ả
2)
max
Q Q 24,120 28,422.
Bài s 4.ố
M
ộ
t doanh nghi
ệ
p có hàm s
ả
n xu
ấ
t:
0,7 0,1
Q K,L 10K L
1)
Đ
ánh giá hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a vi
ệ
c t
ă
ng quy mô s
ả
n xu
ấ
t.
2)
Gi
ả
s
ử
giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là 28 USD, giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng là 10 USD
và doanh nghi
ệ
p ti
ế
n hành s
ả
n xu
ấ
t v
ớ
i ngân sách c
ố
đị
nh là 4000 USD. Hãy cho
119
bi
ế
t doanh nghi
ệ
p
đ
ó s
ử
d
ụ
ng bao nhiêu
đơ
n v
ị
t
ư
b
ả
n và bao nhiêu
đơ
n v
ị
lao
độ
ng
thì thu
đượ
c s
ả
n l
ượ
ng t
ố
i
đ
a.
Đáp số : 1) Doanh nghiệp có hi u qu gi m theo quy mô; ệ ả ả
2)
max
Q Q 125,50 =434,244.
Bài s 5.ố
Cho hàm s
ả
n xu
ấ
t c
ủ
a m
ộ
t hãng
0,3 0,4
Q K,L 10K L .
1)
Đ
ánh giá hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a vi
ệ
c t
ă
ng quy mô s
ả
n xu
ấ
t.
2)
Bi
ế
t r
ằ
ng giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n K b
ằ
ng 0,03 USD, giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng
b
ằ
ng 2 USD. Hãy xác
đị
nh m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng
K
và
L
để
hãng t
ố
i thi
ể
u hóa chi phí, bi
ế
t
r
ằ
ng hãng mu
ố
n gi
ữ
m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng là 1200.
Đáp số ă ả ấ ả: 1) T ng quy mô s n xu t không hiệu qu ;
min
TC TC 8750,175 612,5.
Bài số 6. T i thi u hóa hàm chi phí ố ể
TC x, y 3x 4y, (x 0, y 0)
, trong điều ki n gi ệ ữ
mức l i ích ợ
U x, y 2xy 337,5.
N u m c l i ích t ng thêm 1 n v thì chi phí t i ế ứ ợ ă đơ ị ố
thiểu thay i nh th nào? đổ ư ế
Đáp số :
min
TC 2
TC TC(15;11,25) 90; .
U 15
Bài s 7.ố
T
ố
i thi
ể
u hóa hàm chi phí
2 2
TC x, y x 4y 3xy 10, (x 0, y 0)
, trong
đ
i
ề
u ki
ệ
n gi
ữ
m
ứ
c doanh thu
TR x, y 5x 7y 508.
Đáp số :
min
TC TC(61,29) 1788.
Bài s 8.ố
M
ộ
t công ty
độ
c quy
ề
n s
ả
n xu
ấ
t m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m và bán s
ả
n ph
ẩ
m
đ
ó
ở
hai th
ị
tr
ườ
ng khác nhau. Bi
ế
t hàm chi phí c
ậ
n biên
MC 1,75 0,05Q
,
1 2
(Q Q Q )
và c
ầ
u
c
ủ
a hai th
ị
tr
ườ
ng l
ầ
n l
ượ
t là
1 1
P 12 0,15Q
,
2 2
P 9 0,075Q
. Hãy xác
đị
nh s
ả
n l
ượ
ng
và giá bán trên m
ỗ
i th
ị
tr
ườ
ng
để
công ty thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a. Bi
ế
t r
ằ
ng giá bán hai
th
ị
là nh
ư
nhau và chi phí c
ố
đị
nh là 100.
Đáp số :
1 2 1 2
695 310 293
Q , Q ; P P
27 27 36
thì l i nhu n c i. ợ ậ đượ đạ
Bài s 9.ố
M
ộ
t công ty có hàm s
ả
n xu
ấ
t:
Q K, L 0,5K(L 2),
trong
đ
ó
K, L
l
ầ
n l
ượ
t là
v
ố
n và lao
độ
ng. Bi
ế
t giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là
K
p 120
USD
và giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng là
L
p 60
USD.
N
ế
u doanh nghi
ệ
p chi s
ố
ti
ề
n 3000.
120
1)
Tính m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n và lao
độ
ng
để
t
ố
i
đ
a hóa s
ả
n l
ượ
ng.
2)
N
ế
u s
ố
ti
ề
n doanh nghi
ệ
p chi t
ă
ng 10% thì s
ả
n l
ượ
ng t
ố
i
đ
a thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
Đáp số : 1)
max
Q Q 12,26 144;
2) S n l ng t i a t ng 20,833%. ả ượ ố đ ă
Bài s 10.ố
M
ộ
t nhóm dân c
ư
có hàm th
ỏ
a d
ụ
ng
0,6 0,2
U X,Y 2X Y .
Bi
ế
t r
ằ
ng giá các m
ặ
t hàng t
ươ
ng
ứ
ng l
ầ
n l
ượ
t là
X Y
P 240, P 4.
Hãy xác
đị
nh ph
ươ
ng
án tiêu dùng cho c
ụ
m dân c
ư
trên
để
có th
ể
đặ
t
đượ
c
độ
th
ỏ
a d
ụ
ng là 40 v
ớ
i chi phí bé
nh
ấ
t.
Đáp số :
min
TC U 20,400 6400.
Bài s 11.ố
M
ộ
t công ty
độ
c quy
ề
n s
ả
n xu
ấ
t m
ộ
t lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m và bán s
ả
n ph
ẩ
m
đ
ó
ở
hai
th
ị
tr
ườ
ng khác nhau. Bi
ế
t hàm t
ổ
ng chi phí
1 2
TC 2000 10Q, Q Q Q
và c
ầ
u c
ủ
a
hai th
ị
tr
ườ
ng l
ầ
n l
ượ
t là
1 1 2 2
Q 21 0,1P ; Q 50 0,4P .
Hãy xác
đị
nh s
ả
n l
ượ
ng và giá
bán trên m
ỗ
i th
ị
tr
ườ
ng
để
công ty thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a. Bi
ế
t r
ằ
ng giá bán t
ạ
i hai th
ị
tr
ườ
ng là nh
ư
nhau.
Đáp số :
max 1 2
67 98
; 178; P P 76.
5 5
Bài s 12.ố
Cho hàm s
ả
n xu
ấ
t c
ủ
a m
ộ
t doanh nghi
ệ
p có d
ạ
ng:
Q K, L K(L 5),
trong
đ
ó
K, L
l
ầ
n l
ượ
t là v
ố
n và lao
độ
ng. Bi
ế
t giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là 70 USD và giá
thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng là 20 USD.
1)
N
ế
u doanh nghi
ệ
p nh
ậ
n
đượ
c h
ợ
p
đồ
ng cung c
ấ
p 5600 s
ả
n ph
ẩ
m. Tính m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng
v
ố
n và lao
độ
ng sao cho vi
ệ
c s
ả
n xu
ấ
t l
ượ
ng s
ả
n ph
ẩ
m theo h
ợ
p
đồ
ng t
ố
n ít chi phí
nh
ấ
t?
2)
Tính h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a hàm t
ổ
ng chi phí theo s
ả
n l
ượ
ng
Q
t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m t
ố
i
ư
u? Nêu
ý ngh
ĩ
a c
ủ
a h
ệ
s
ố
đ
ó?
Đáp số : 1)
min
TC TC 40,135 5500;
2)
TC|Q
28
.
55
Bài s 13.ố
M
ộ
t công ty có hàm s
ả
n xu
ấ
t:
3/4 1/2
Q K,L K L
(
K
– v
ố
n,
L
– lao
độ
ng).
121
Bi
ế
t giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là 30 USD và giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng 5 USD.
1)
Công ty c
ầ
n s
ả
n xu
ấ
t 2048 s
ả
n ph
ẩ
m, khi
đ
ó công ty nên s
ử
d
ụ
ng bao nhiêu
đơ
n v
ị
v
ố
n và lao
độ
ng
để
t
ố
i thi
ể
u hóa chi phí
2)
T
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m t
ố
i thi
ể
u hóa chi phí, n
ế
u s
ả
n l
ượ
ng t
ă
ng lên 2% thì chi phí s
ẽ
thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
3)
Đ
ánh giá hi
ệ
u qu
ả
c
ủ
a vi
ệ
c t
ă
ng quy mô s
ả
n xu
ấ
t.
Đáp số : 1)
min
TC TC 256,1024 12800;
2) 1,6%; 3) T ng quy mô hi u qu .. ă ệ ả
Bài s 14.ố Mộ ườ ốt ng i mu n dùng số tiền 178000 ngàn đồng mua hai m t hàng có n để ặ đơ
giá tương ng và 600 ngàn ứng là 400 ngàn đồ đồng. Hàm h u d ng c a hai m t hàng trên ữ ụ ủ ặ
là
TU X,Y X 20 Y 10
(
X, Y
l n l t là s l ng c a hai m t hàng). Hãy xác ầ ượ ố ượ ủ ặ
đị ượ ầ ạ ặ để ữ đạ ị ấnh số l ng c n mua của hai lo i m t hàng trên hàm h u dụng t giá tr cao nh t.
Đáp số :
max
TU TU 220,150 38400.
Bài s 15.ố M i cá nhân s c l i t thu nh p (INCOME) và ngh ngỗ ẽ đượ ợ ừ ậ ỉ ơi (LEISURE). Gi ả
sử m i ngày có 12 gi chia ra th i gian làm vi c và ngh ng i. Ti n l ng cho m i gi ỗ ờ để ờ ệ ỉ ơ ề ươ ỗ ờ
làm việc là 3 USD và hàm l i ích c a cá nhân là ợ ủ
0,5 0,75
TU L,I L I
trong
đ
ó:
L
: là s
ố
gi
ờ
ngh
ỉ
ng
ơ
i;
I
: là thu nh
ậ
p. Cá nhân này s
ẽ
cân
đố
i gi
ữ
a th
ờ
i gian
ngh
ỉ
ng
ơ
i và làm vi
ệ
c th
ế
nào
để
t
ố
i
đ
a hóa l
ợ
i ích c
ủ
a mình?
Đáp số :
0,5 0,75
max
24 108 24 108
TU TU , .
5 5 5 5
Bài s 16.ố Cho hàm l i ích tiêu dùng c a m t ch th có d ng nh sau: ợ ủ ộ ủ ể ạ ư
ln TU x, y 0,7ln x 0,3ln y
Cho bi
ế
t
x, y
là kh
ố
i l
ượ
ng các hàng hóa. Cho
p, q
là giá các hàng hóa t
ươ
ng
ứ
ng,
I
là ngân sách tiêu dùng.
1)
Có ý ki
ế
n cho r
ằ
ng, n
ế
u ch
ủ
th
ể
trên t
ă
ng kh
ố
i l
ượ
ng hàng hóa
x
lên 1% và gi
ả
m
kh
ố
i l
ượ
ng hàng hóa
y
đ
i 3% thì l
ợ
i ích tiêu dùng không
đổ
i.
Đ
i
ề
u
đ
ó
đ
úng hay sai.
2)
Xác
đị
nh kh
ố
i l
ượ
ng hàng hóa
x, y
để
l
ợ
i ích tiêu dùng có l
ợ
i nh
ấ
t cho ch
ủ
th
ể
đ
ó.
Đáp số : 1) Sai ; 2)
max
7M 3M
TU TU ; .
4p 4q
122
Thuật ngữ chính chương 3
Tiếng Anh Tiếng Việt
Constant Return to Scale
Capital
Cost minimization
Decreases Returns to Scale
Increases Returns to Scale
Labor
Marginal Product of Labor
Marginal Product of Capital
Manufacturing Efficiency
Maximization of Utility
Method of Lagrange Multipliers
Marginal Analysis
Revenue Maximization
Profit Maximization
Partial Derivatives
Total Differential
The Partial Coefficient Elasticity
The Function homogeneous of degree k
The Hessian Matrix
Hiệu quả không đổi theo quy mô
Vốn
Tối thiểu hóa chi phí
Hiệu quả giảm theo quy mô
Hiệu quả tăng đổi theo quy mô
Lao động
Sản phẩm cận biên của lao động
Sản phẩm cận biên của vốn
Hiệu quả sản xuất
Tối đa hóa lợi ích
Phương pháp nhân tử Lagrange
Phân tích cận biên
Tối đa hóa doanh thu
Tối đa hóa lợi nhuận
Đạo hàm riêng
Vi phân toàn phần
Hệ số co dãn riêng phần
Hàm thuần nhất bậc k
Ma trận Hessian
123
PHỤ L C Ụ
Phụ l c 1. Ma tr n, nh th c, h ph ng trình tuy n tính ụ ậ đị ứ ệ ươ ế
1.1. Các khái ni m c b n v ma tr n ệ ơ ả ề ậ
1.1.1.
M t b ng g m ộ ả ồ
m n
s th c c s p thành ố ự đượ ắ
m
dòng (hàng) và
n
cột
được gọi là ma trận có cấp
m n
.
Ký hi u: ệ
11 12 1n
21 22 2n
ij
m n
m1 m2 mn
a a ... a
a a ... a
A a
... ... ... ...
a a ...a
với
i
: g i là ch s dòng. ọ ỉ ố
j
: g i là ch s c t. ọ ỉ ố ộ
ij
a
: là ph n t n m dòng i và c t j trong ma tr n A. ầ ử ằ ở ộ ậ
1.1.2.
Ma tr n có s dòng b ng s c t ậ ố ằ ố ộ
m n
được g i là ma tr p ọ ận vuông cấ
n
Ký hi u: ệ
ij
m n
A a
.
Với
11 22 nn
a , a ,..., a
được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính.
1.1.3.
Hai ma tr n c g i là b ng nhau n u chúng cùng c p và có t t cậ đượ ọ ằ ế ấ ấ ả các
phần t t ng v trí b ng nhau. ử ương ứ ị ằ
Cho hai ma tr n: ậ
ij
m n
A a
và
ij
m n
B b
ij ij
a b
A B
i 1,2,...,m; j 1, 2,...,n
1.1.4.
Cho ma tr n ậ
ij
m n
A a
, ma tr n ký hi u ậ ệ
T
A
nh n c t ma tr n ậ đượ ừ ậ
A
bằng cách i dòng thành cđổ ột ho c i cặ đổ ột thành dòng, c g i là ma tr n chuy n v đượ ọ ậ ể ị
của ma trận
A
.
Ví d 1.ụ
Cho ma tr n ậ
2 3
1 2 0
A
3 5 6
Ma tr
ậ
n chuy
ể
n v
ị
c
ủ
a ma tr
ậ
n A là
124
T
3 2
1 3
A 2 5
0 6
Dễ nh n th y ậ ấ
T
T
A A
.
1.1.5.
Ma tr n d ng tam giác và d ng hình thang. ậ ạ ạ
a) Ma tr n tam giác trên là ma tr n vuông mà m i ph n t n m phía d i ậ ậ ọ ầ ử ằ ướ đường
chéo u b ng 0. đề ằ
11 12 1n
22 2n
nn
a a ... a
0 a ... a
... ... ... ...
0 0 ... a
b) Ma tr n tam giác d i là ma tr n vuông mà m i ph n t n m phía trên ậ ướ ậ ọ ầ ử ằ đường
chéo u b ng 0. đề ằ
11
21 22
n1 n2 nn
a 0 ... 0
a a ... 0
... ... ... ...
a a ... a
c)
Ma tr n hình thang (ma tr n b c thang) là ma tr n ng v i hai dòng b t k s ậ ậ ậ ậ ứ ớ ấ ỳ ố
hạng khác không u tiên c a dòng d i ph i n m bên ph i s h ng khác không u đầ ủ ướ ả ằ ả ố ạ đầ
tiên c a dòng trên. ủ
11 12 1r 1n
22 2r 2n
rr rn
a a a a
0 a a a
0 0 a a
0 0 0 0
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮
⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯ ⋯
với
r n
và
11 22 rr
a , a ,...,a
g i là các ph n t chéo. ọ ầ ử
1.1.6.
Ma tr n vuông c p n có t t c các ph n t trên ng chéo chính b ng 1, ậ ấ ấ ả ầ ử đườ ằ
các ph n t còn l i u b ng 0, c g i là ma tr n n v c p n. Ký hi u là ầ ử ạ đề ằ đượ ọ ậ đơ ị ấ ệ
n
I
.
125
2 3
n
1 0 0
1 0
I ; I 0 1 0
0 1
0 0 1
...
1 0 ... 0
0 1 ... 0
I
... ... ... ...
0 0 ... 1
1.1.7.
Cho ma tr n ậ
ij
m n
A a
, ma tr n ký hi u ậ ệ
ij
m n
A a
g i là ma tr n ọ ậ
đối của ma trận A.
1.1.8.
Ma tr n có t t c các ph n t b ng 0 c g i là ma tr n không. ậ ấ ả ầ ử ằ đượ ọ ậ
1.2. Hai phép toán tuy n tính i v i ma tr n ế đố ớ ậ
1.2.1.
Nhân m t s th c v i ma tr n là nhân s ó v i t t c các ph n t c a ma ộ ố ự ớ ậ ố đ ớ ấ ả ầ ử ủ
trận:
Cho ma tr n ậ
ij
m n
A a
và
k
ℝ
ta có:
ij m n
kA (k a )
Đặc biệt
ij
m n
( 1)A A a
1.2.2.
C ng hai ma tr n cùng c p là c ng các ph n t t ng ng các v trí ộ ậ ấ ộ ầ ử ươ ứ ị
với nhau:
Cho hai ma tr n : ậ
ij
m n
A a
và
ij
m n
B b
. Ta có
ij ij
m n
A B a b
1.2.3.
Các tính ch t ấ
Cho ba ma tr n A, B, C cùng c p và ậ ấ
,
ℝ
.
a)
A B B A
b)
(A B) C A (B C)
c)
A 0 A
d)
A ( A) 0
e)
1 A A
f)
( )A A A
g)
(A B) A B
126
h)
( )A ( A) ( A)
1.3. Phép nhân hai ma tr n ậ
1.3.1.
Chúng ta s làm quen khái ni m này b ng bài toán th c t nh sau: b n ẽ ệ ằ ự ế ư ạ
mua ba m t hàng v i s l ng l n l t là 7, 6, 5 và giá bán t ng ng là 2, 3, 4 thì s ặ ớ ố ượ ầ ượ ươ ứ ố
tiền b n ph i tr c tính b ng: 7.2 + 6.3 + 5.4 = 52. ạ ả ả đượ ằ
1.3.2.
Cho hai ma tr n ậ
ij
m n
A a
và
jk
n p
B b
Khi ó đ
ik
m p
AB c
với
1k
n
2k
ik i1 i2 in ij jk
j 1
nk
b
b
c a a a a b
b
∑
⋯
⋮
với:
i 1, 2,...,m
;
k 1, 2,...,p
.
ik
m p
AB c
được g i là tích c a 2 ma tr n A và B. ọ ủ ậ
Nhận xét:
- Tích hai ma tr n t n t i khi s c t c a ma tr n ng tr c b ng s dòng ma ậ ồ ạ ố ộ ủ ậ đứ ướ ằ ố
trận ng sau. đứ
- Ma tr n tích có s dòng b ng s dòng c a ma trậ ố ằ ố ủ ận ng tr c và có s c t bđứ ướ ố ộ ằng
số c t c a ma tr n ng sau. ộ ủ ậ đứ
1.3.3.
Các tính ch t ấ
a)
(AB)C A(BC)
Với gi thi t s c t c a A b ng s dòng c a B và s c t c a B b ng s dòng c a ả ế ố ộ ủ ằ ố ủ ố ộ ủ ằ ố ủ
C. c bi t, n u A là ma tr n vuông ta nh ngh a: Đặ ệ ế ậ đị ĩ
2 k
k
A A.A; ....; A A.A.....A

b)
A(B C) AB AC
;
(A B)C AC BC
Với gi thi t c p c a các ma tr n A, B, C ph i phù h p v i phép toán. ả ế ấ ủ ậ ả ợ ớ
c)
AB A B A B
.
d)
T
T T
AB B A
.
e)
k
I I
(I là ma tr n n v ). ậ đơ ị
127
f) N u ế
ij
m n
A a
thì
n m
AI A; I A A
.
1.4. Các phép bi n i s c p trên dòng c a ma tr n ế đổ ơ ấ ủ ậ
1.4.1. Ba phép bi n i s c p trên dòng c a ma tr n ế đổ ơ ấ ủ ậ
a) i ch 2 dòng c a ma tr n. Đổ ỗ ủ ậ
/
(i) (i )
A B
∼
b) Nhân m t s th c khác không v i m t dòng. ộ ố ự ớ ộ
(i): (i)
0
A B
c) Thay 1 dòng b t k b ng chính nó r i c ng v i m t s th c nhân cho ấ ỳ ằ ồ ộ ớ ộ ố ự
dòng khác.
/
(i): (i) (i )
A B
1.4.2. Liên h v i phép nhân ma tr n ệ ớ ậ
Cho
ij
m n
A a
và ma tr n n v : ậ đơ ị
m
1 0 0
0 1
I
0
0 0 1
⋯
⋯ ⋮
⋮ ⋮ ⋱
⋯
Định nghĩa:
1
dong i
0 1
I(i, j)
1 0 dong j
1
⋱
⋱
⋱
1
I(i, ) dong i
1
⋱
⋱
128
1
dong i
1
I(i, j, )
0 1 dong j
1
⋱
⋱
⋱
- Phép i ch 2 dòng c a A c coi là th c hi n phép nhân ma tr n đổ ỗ ủ đượ ự ệ ậ
I(i, j) A
- Phép nhân 1 dòng v i s ớ ố
0
được coi là phép nhân ma tr n ậ
I(i, ) A
.
Cộng vào dòng i dòng j ã nhân v i đ ớ
(
i j
) c coi là phép nhân ma tr n đượ ậ
I(i, j, ) A
.
1.5. Quy t c th c hành tính nh th c c p hai và c p ba ắ ự đị ứ ấ ấ
1.5.1.
a b
ad bc
c d
Tích hai ph n t trên ng chéo chính tr tích hai ph n t trên ng chéo ầ ử đườ ừ ầ ử đườ
phụ.
Ví d 2. ụ
Tính nh th c đị ứ
1 2
1 4 3 ( 2) 10
3 4
.
1.5.2.
1 1 1
2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 3 3
a b c
a b c a b c b c a c a b c b a b a c a c b
a b c
Tổng u g m 3 tích s l y theo ng chéo chính và 2 ng song song v i đầ ồ ố ấ đườ đườ ớ
nó nhân v i ph n t i di n. ớ ầ ử đố ệ
Tổng sau cùng c ng g m 3 tích s nh ng l y theo ng chéo còn l i và 2 ũ ồ ố ư ấ đườ ạ
đườ đống song song với nó nhân với phần tử i diện. Cụ thể:
Ví d 3.ụ
Tính nh th c đị ứ
129
2 3 4
1 2 3 2 2 2 3 3 5 4 1 4 4 2 5 3 1 2 2 3 4 63
5 4 2
1.6. M t s tính ch t c b n c a nh th cộ ố ấ ơ ả ủ đị ứ
1.6.1.
Định th c c a ma tr n vuông ứ ủ ậ
ij
m n
A a
b ng nh th c ma tr n chuy n ằ đị ứ ậ ể
vị c a nó, ủ
T
A A
Ví d 4. ụ
1 2 1 3
10
3 4 2 4
2 3 4 2 0 0
0 3 1 3 3 0 30
0 0 5 4 1 5
1.6.2.
Định th c b ng 0 n u trong nh th c có m t dòng toàn các ph n t bứ ằ ế đị ứ ộ ầ ử ằng
0.
Ví d 5. ụ
4 5 6
3 4 1 0
0 0 0
1.6.3.
Định th c i d u m i khi i ch 2 dòng c a nh th c và giứ đổ ấ ỗ đổ ỗ ủ đị ứ ữ nguyên
các dòng còn l i. ạ
Ví d 6. ụ
Tính nh th c đị ứ
2 3 4
0 3 1 30
0 0 5
và
0 3 1
2 3 4 30
0 0 5
1.6.4.
Định th c b ng 0 n u trong nh th c có hai dòng có ph n t gi ng nhau. ứ ằ ế đị ứ ầ ử ố
Ví d 7. ụ
1 1 1
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c 0
a b c
1.6.5.
Th a s chung c a m t dòng có th a ra ngoài d u nh th c (hay nhân ừ ố ủ ộ ể đư ấ đị ứ
1 s v i nh th c là nhân s ó ch v i m t dòng c a nh th c) ố ớ đị ứ ố đ ỉ ớ ộ ủ đị ứ
130
Ví d 8. ụ
a b a b a b
c d c d c d
1.6.6.
Định th c b ng 0 n u nh th c có hai dòng t l ứ ằ ế đị ứ ỉ ệ
Ví d 9.ụ
1 1 1
1 1 1
3 3 3
a b c
a b c 0
a b c
1.6.7.
N u trong nh th c có 1 dòng các ph n t c tách thành t ng 2 s thì ế đị ứ ầ ử đượ ổ ố
đị đượ đị ươnh thức cũng c tách thành tổng của hai nh thức t ng ứng.
Ví d 10. ụ
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a c b d a b c d
a c b d a c b d a c b d
1.6.8.
Định th c không thay i khi ta s d ng phép bi n i lo i 3 ứ đổ ử ụ ế đổ ạ
Ví d 11. ụ
i1 i2 in i1 i2 in
k1 k2 kn i1 k1 i2 k2 in kn
... ... ... ... ... ... ... ...
a a ... a a a ... a
... ... ... ... ... ... ... ...
a a ... a a a a a ... a a
... ... ... ... ... ... ... ...
Chú ý:
Các tính ch t nêu trên c ng v n úng v i c t c a nh th c. ấ ũ ẫ đ ớ ộ ủ đị ứ
1.6.9.
N u A và B là hai ma tr n vuông cùng c p thì: ế ậ ấ
AB A B BA
Nói riêng:
k
k
k
A A . A ..... A A

1.7. Ph i s và ma tr n ph h p ần bù đạ ố ậ ụ ợ
Cho ma tr n ậ
ij
n
A a
vuông c p n. ấ
1.7.1.
Định th c c p ứ ấ
(n 1)
thu c t A b ng cách xóa b t dòng i và c t j, l y đượ ừ ằ ớ ộ ấ
dấu (+) n u ế
(i j)
ch n, l y d u (–) n u ẵ ấ ấ ế
(i j)
l , c g i là ph i s c a ph n ẻ đượ ọ ần bù đạ ố ủ ầ
tử
ij
a
(
i, j 1,2,.., n
), ký hi u là ệ
ij
A
.
145
Chọn
x , x
làm n c s và ẩ ơ ở
3 4
x ,x
làm n t do. ẩ ự
Gán cho
3 4
x , x ,
ℝ
ta có:
1 2
2
x 3x 2
7x 5 5 6
Hệ có vô s nghi m d ng: ố ệ ạ
1 8 11 5 5 6
W , , , ,
7 7
ℝ
3.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x 3x 2x 5
4x x 3x 2
3x 4x 5x 1
Bước 1. Xác nh ma tr n m rđị ậ ở ộng
A
1 3 2 5
A A b 4 1 3 2
3 4 5 1
Bước 2. Bi n i ma tr n ế đổ ậ
A
1 3 2 5
A A b 4 1 3 2
3 4 5 1
(1) (2)
1 3 2 5 1 3 2 5
0 13 11 18 0 13 11 18
0 13 11 16 0 0 0 2
(1) C ng vào dòng 2 dòng 1 ã nhân v i (-4) ộ đ ớ
Cộng vào dòng 3 dòng 1 ã nhân v i 3. đ ớ
(2) C ng vào dòng 3 dòng 2 ã nhân v i 1. ộ đ ớ
Trong h xu t hi n ph ng trình có d ng: ệ ấ ệ ươ ạ
1 2 3
0x 0x 0x 2
Phương trình này vô nghiệm, do đó hệ phương trình cũng vô nghiệm.
1.12. H ph ng trình Cramer ệ ươ
1.12.1. nh ngh a Đị ĩ
Hệ g m n ph ng trình, n n có d ng: ồ ươ ẩ ạ
146
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
n1 1 n 2 2 nn n n
a x a x ... a x b
a x a x ... a x b
... ... ... ... ... ... ... ... ...
a x a x ... a x b
(*)
Với
11 12 1n
21 22 2n
n1 n 2 nn
a a ... a
a a ... a
A 0
... ... ... ...
a a ... a
đượ ươc gọi là hệ ph ng trình Cramer.
1.12.2. Ví d 21. ụ
Xét các h sauệ
1.
2x 3y 4
x 4y 1
Hệ ph ng trình trên là h g m 2 ph ng trình, 2 n và ươ ệ ồ ươ ẩ
2 3
A 11 0
1 4
,
nên nó là h ph ng trình Cramer. ệ ươ
2.
1 2 3
1 2
1 3
4x 3x 2x 7
x x 5
3x x 4
Hệ ph ng trình trên là h g m 3 ph ng trình 3 n và ươ ệ ồ ươ ẩ
4 3 2
A 1 1 0 7 0
3 0 1
nên nó là h ph ng trình Cramer. ệ ươ
1.12.3. D ng ma tr n c a h ph ng trình Cramer – Ph ng pháp ma tr n ạ ậ ủ ệ ươ ươ ậ
nghịch o gi i h Cramer đả ả ệ
Ký hi u: ệ
11 12 1n 1 1
21 22 2n 2 2
n1 n 2 nn n n
a a ... a x b
a a ... a x b
A ; X ; b
... ... ... ...
a a ... a x b
⋮ ⋮
147
Khi ó, h ph ng trình Cramer (*) có th vi t d i d ng ma tr n nh sau: đ ệ ươ ể ế ướ ạ ậ ư
AX b
A 0
(**)
Phương trình này có nghi m duy nh t xác nh b i công th c: ệ ấ đị ở ứ
1
X A b
Ví d áp d ng: ụ ụ
a)
Gi i h ph ng trình sau b ng pháp ma tr n ngh ch o: ả ệ ươ ằng phươ ậ ị đả
2x 3y 4
x 4y 1
Ta có:
2 3
A
1 4
;
x
X
y
;
4
b
1
Bước 1. Tìm ma tr n ngh ch o Aậ ị đả
–1
2 3
A 11 0
1 4
*
4 3
A
1 2
1
4 3
1
A
1 2
11
Bước 2. Nghi m c a h c tính b i công th c: ệ ủ ệ đượ ở ứ
1
13
x 4 3 4 13
1 1
11
X A .b
y 1 2 1 6 6
11 11
11
Vậy h có nghi m duy nh t ệ ệ ấ
13 6
x ; y
11 11
b)
Gi i h ph ng trình sau b ng ph ng pháp ma tr n ngh ch o. ả ệ ươ ằ ươ ậ ị đả
1 2 3
1 2
1 3
4x 3x 2x 7
x x 5
3x x 4
148
Ta có:
1
2
3
4 3 2 x 7
A 1 1 0 ; X x ; b 5
3 0 1 x 4
Bước 1. Tìm ma tr n ngh ch o ậ ị đả
1
A
4 3 2
A 1 1 0 7 0
3 0 1
*
1 3 2
A 1 10 2
3 9 1
1
1 3 2
1
A 1 10 2
7
3 9 1
Bước 2. H có duy nh t nghi m c tính b i công th c: ệ ấ ệ đượ ở ứ
1
1
2
3
x 1 3 2 7 0 0
1 1
X x A .b 1 10 2 5 35 5
7 7
x 3 9 1 4 28 4
Hay
(
1 2 3
x 0, x 5, x 4
).
1.12.4. Quy t c Cramer (Ph ng pháp nh th c gi i h ph ng trình ắ ươ đị ứ ả ệ ươ
Cramer)
Quy t c Cramer: H ph ng trình Cramer (*) có duy nh t nghi m c tính theo ắ ệ ươ ấ ệ đượ
công th c: ứ
j
x
j
D
x , (j 1,2,...,n)
D
Với
11 12 1n
21 22 2n
n1 n 2 nn
a a ... a
a a ... a
D A
... ... ... ...
a a ... a
149
Các
j
x
D
nh n c t D b ng cách thay c t h s c a n ậ đượ ừ ằ ộ ệ ố ủ ẩ
j
x
b i c t h s t do ở ộ ệ ố ự
b
(j 1,2,..., n)
.
Chẳng h n: ạ
1 n
1 12 1n 11 12 1n 1
2 22 2n 21 22 2n 2
x x
n n2 nn n1 n2 nn n
b a ... a a a ... a b
b a ... a a a ... a b
D ,..., D
... ... ... ... ... ... ... ... ...
b a ... a a a ... a b
* Ví d áp d ng: ụ ụ
Giải các h ph ng trình sau b ng quy t c Cramer (ph nh th c): ệ ươ ằ ắ ương pháp đị ứ
a)
1 1 1
2 2 2
a x b y k
a x b y k
gi thi t ả ế
1 2 2 1
a b a b 0
Ta có
1 1
1 2 2 1
2 2
a b
D a b a b 0
a b
1 1
x 1 2 2 1
2 2
k b
D k b k b
k b
1 1
y 1 2 2 1
2 2
a k
D a k a k
a k
Hệ có nghi m duy nhệ ất:
y
x 1 2 2 1 1 2 2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
D
D k b k b a k a k
x ; y
D a b a b D a b a b
b)
3x 4y 5
2x y 6
Ta có
3 4
D 11 0
2 1
;
x
5 4
D 19
6 1
y
3 5
D 28
2 6
Hệ có nghi m duy nh t: ệ ấ
y
x
D
D 19 28
x ; y
D 11 D 11
150
c)
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z k
a x b y c z k
a x b y c z k
Ta có
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
D a b c 0
a b c
;
1 1 1
x 2 2 2
3 3 3
k b c
D k b c
k b c
;
1 1 1
y 2 2 2
3 3 3
a k c
D a k c
a k c
;
1 1 1
z 2 2 2
3 3 3
a b k
D a b k
a b k
.
Hệ có nghi m duy nh t: ệ ấ
y
x z
D
D D
x ; y ; z
D D D
d)
Chúng ta gi i l i ví d b) trong m c 1.3.3. ả ạ ụ ụ
1 2 3
1 2
1 3
4x 3x 2x 7
x x 5
3x x 4
Ta có:
4 3 2
D 1 1 0 7 0
3 0 1
;
1
x
7 3 2
D 5 1 0 0
4 0 1
2
x
4 7 2
D 1 5 0 35
3 4 1
;
3
x
4 3 7
D 1 1 5 28
3 0 4
Hệ có nghi m duy nh t là: ệ ấ
31 2
xx x
1 2 3
DD D
0 35 28
x 0; x 5; x 4
D 7 D 7 D 7
151
Phụ l c 2. o hàm và vi phân hàm s m t bi n ụ Đạ ố ộ ế
2.1. o hàm c a hàm s m t bi n Đạ ủ ố ộ ế
2.1.1. Các nh ngh a đị ĩ
– Cho hàm s ố
y f (x)
xác nh trong m t lân c n m đị ộ ậ điể
0
x
(m t kho ng nh ộ ả đủ ỏ
chứa
0
x
).
– Ký hi u ệ
0
x x x
g i là s gia c a i s (v i ọ ố ủ đố ố ớ
x
đủ nh ), t ng ỏ ươ ứng
0 0
y f (x x) f(x )
được g i là s gia c a hàm s . ọ ố ủ ố
Nếu t n tồ ại gi i h n h u h n : ớ ạ ữ ạ
0
0 0 0
x 0 x x x 0
0
f (x) f (x ) f (x x) f (x )
y
lim lim lim
x x x x
thì hàm s ố
f (x)
được g i là có o hàm t i m ọ đạ ạ điể
0
x
và k t qu c a gi i h n này, c ế ả ủ ớ ạ đượ
gọi là o hàm c a hàm s đạ ủ ố
f (x)
t i ạ điểm
0
x
, ký hi u là ệ
/
0
f (x )
hay
/
0
y (x )
.
Ví d 1. ụ
Sử d ng nh ngh a, xây d ng công th c tính ụ đị ĩ ự ứ đạo hàm của hàm s ố
2
y f (x) x
Tập xác nh c a hàm s : đị ủ ố
f
D
R
Với
0
x
R
, xét gi i h n ớ ạ
0 0
2 2
0 0
0
x x x x
0 0
f (x) f (x ) x x
lim lim 2x
x x x x
Vậy
/
0 0
f (x ) 2x
hay
/
2
x 2x ( x )
R
Ví d 2. ụ
Cho hàm s : ố
1 cos3x
khi x 0
f (x)
x
0 khi x 0.
.
Tính o hàm đạ
/
f (0).
Giải
Xét
2
2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
1 cos3x 3x
2sin
f (x) f (0) 1 cos3x 9
x 2
lim lim lim lim .
x 0 x 2
x x
Vậy hàm s có o hàm ố đạ
/
9
f (0) .
2
Ví d 3. ụ
Dùng nh ngh a xây d ng công th c tính o hàm c a hàm s : đị ĩ ự ứ đạ ủ ố
y f (x) 3x 1.
Giải
152
Tập xác nh c a hàm s : đị ủ ố
f
1
D ; .
3
Xét
0
1
x ; .
3
Ta có:
0
y 3x 1 3x 1,
do ó : đ
0
0
x 0 x x
0
3x 1 3x 1
y
lim lim .
x x x
Khi
0
1
x
3
gi i h n trên t n tớ ạ ồ ại và nh n giá trậ ị h u hữ ạn:
0
0
x x
0
0
3x 1 3x 1
3
lim .
x x
2 3x 1
Khi
0
1
x
3
, gi i h n trên không t n tớ ạ ồ ại h u h n. ữ ạ
Do ó, o hàm c a hàm sđ đạ ủ ố là:
/
3
f (x) .
2 3x 1
– o hàm m t phía: Đạ ộ
+ o hàm bên trái c a hàm s Đạ ủ ố
tại điểm
0
x
:
dn
/
0 0
0
x 0
f (x x) f (x )
f (x ) lim
(n
ế
u gi
ớ
i h
ạ
n này t
ồ
n t
ạ
i và h
ữ
u h
ạ
n)
+ o hàm bên ph i c a hàm s Đạ ả ủ ố
f (x)
tại m điể
0
x
:
dn
/
0 0
0
x 0
f (x x) f (x )
f (x ) lim
(n
ế
u gi
ớ
i h
ạ
n này t
ồ
n t
ạ
i và h
ữ
u h
ạ
n)
Hàm s có o hàm t i m ố đạ ạ điể
0
x
khi và ch khi hàm s có o hàm trái, o hàm ỉ ố đạ đạ
phải t i ạ
0
x ,
ng thđồ ời hai o hàm này b ng nhau : đạ ằ
/
0
f (x )
t n t i ồ ạ
/ /
0 0
f (x ) f (x )
– o hàm trên m t kho ng : Đạ ộ ả
+ Hàm s ố
f (x)
được g i là có o hàm trên kho ng ọ đạ ả
(a,b)
n u nó có o hàm t i ế đạ ạ
mọi m trên kho ng này. điể ả
+ Hàm s ố
f (x)
được g i là có o hàm trên n ọ đạ đoạ
[a,b]
n u nó có o hàm trên ế đạ
khoảng
(a,b)
và có o hàm bên ph i t i a, o hàm bên trái t i b. đạ ả ạ đạ ạ
2.1.2. Liên h v i tính liên t c ệ ớ ụ
153
– N u hàm s ế ố
f (x)
có o hàm t i m đạ ạ điể
0
x
thì
f (x)
liên t c t iụ ạ
0
x
, u ng c l i điề ượ ạ
không ch c ắ đã úng. đ
Ví d 4. ụ
Hàm s ố
f (x) x
liên t c t i ụ ạ
0
x 0
nh ng không có o hàm t i m ó. ư đạ ạ điể đ
2.1.3. ý ngh a hình h c c a o hàm ĩ ọ ủ đạ
– o hàm c a hàm s Đạ ủ ố
f (x)
tại m điể
0
x
là h s góc ti p tuy n v i th hàm s ệ ố ế ế ớ đồ ị ố
y f (x)
t i m ạ điể
0 0 0
M x ;f x
. Ta có
/
0
f (x ) tan
Phương trình tiếp tuyến đó là:
/
0 0 0
y f (x ) f x x x
.
Ví d 5.ụ
Vi t ph ng trình ti p tuy n v i thế ươ ế ế ớ đồ ị ố hàm s
2
y f (x) x
tại điểm
0
1
x
2
Giải.
Ta có
/
f (x) 2x
. T i ạ
0
1
x
2
, ta có
1 1
f
2
2
và
/
1
f 2
2
Phương trình ti p tuy n tế ế ại m điể
0
1
x
2
là :
1 1
y 2 x
2
2
.
2.1.4. Ý nghĩa của đạo hàm
/ /
0 0
f (x ) hay y (x )
bi u th t c thay i c a giá tr hàm s ể ị ố độ đổ ủ ị ố
f (x)
t i m ạ điể
0
x
, khi
đố ố đổ ượ ỏi s x thay i một l ng nh . Nói cách khác, tại
0
x
khi i s x thay i m t lđố ố đổ ộ ượng
nhỏ, thì giá tr hàm s ị ố
s thay i m t l ng x p xẽ đổ ộ ượ ấ ỉ b ng ằ
/
0
f (x )
.
154
2.2. o hàm c a các hàm s c p c b n Đạ ủ ơ ấ ơ ả
Dưới ây là b ng công th c o hàm c a m t sđ ả ứ đạ ủ ộ ố hàm s s c p c b n ố ơ ấ ơ ả
1.
/
(c) 0
(
c
là h ng s ) ằ ố
2.
/ 1 /
(x ) x ; (x) 1.
3.
x / x x / x
(a ) a lna; (e ) e .
4.
/ /
a
1 1
(log x) ; (ln x) .
x ln a x
5.
/
(sin x) cos x.
6.
/
(cosx) sin x.
7.
/
2
1
(tan x) .
cos x
8.
/
2
(cot x) .
sin x
9.
/
2
1
(arcsin x) .
1 x
10.
/
2
1
(arccos x) .
1 x
11.
/
2
1
(arctan x) .
1 x
12.
/
2
1
(arccotx) .
1 x
2.3. Các quy t c tính o hàm ắ đạ
2.3.1. o hàm c a t ng, hi u, tích, th ng c a các hàm s Đạ ủ ổ ệ ươ ủ ố
Nếu các hàm s ố
u u(x)
và
v v(x)
cùng có o hàm thì: đạ
1.
/ /
(ku) ku
(k
là h ng s ). ằ ố
2.
/ / /
(u v) u v .
3.
/ / /
(uv) u v uv .
4.
/
/ /
2
u u v uv
(v 0).
v
v
2.3.2. o hàm c a hàm s h p Đạ ủ ố ợ
Nếu hàm số
u (x)
có o hàm t i m đạ ạ điể
0
x
và hàm s ố
y f (u)
có o hàm t i đạ ạ
điểm
0 0
u (x )
thì hàm h p ợ
y f (x)
có o hàm t i m đạ ạ điể
0
x
và giá tr c a ị ủ đạo hàm
được tính theo công th c: ứ
/ / /
x u x
y y u .
Áp d ng quy t c ụ ắ đạo hàm của hàm h p, nợ ếu
u (x)
là m t hàm s có ộ ố đạo hàm thì
các công th c o hàm c s d ng nh sau: ứ đạ đượ ử ụ ư
155
1.
/ 1 /
(u ) u .u .
6.
/ /
2
1
(tan u) .u .
cos u
2.
u / u / u / u /
(a ) (a lna)u ; (e ) e u .
7.
/ /
2
1
(cot u) .u .
sin u
3.
/ /
a
1
(log u) .u ;
u ln a
8.
/ /
2
1
(arcsinu) .u .
1 u
/
/
u
(ln u) .
u
9.
/ /
2
1
(arccos u) .u .
1 u
4.
/ /
(sin u) cosu.u .
10.
/ /
2
1
(arctanu) .u .
1 u
5.
/ /
(cosu) sin u.u .
11.
/ /
2
1
(arccotu) .u .
1 u
2.4. Khái ni m vi phân và liên h v i o hàm ệ ệ ớ đạ
Đị ĩnh ngh a:
Cho hàm số
y f (x)
xác định trên
X.
Gi sả ử
f (x)
liên t c t i ụ ạ
0
x X.
N
ế
u s
ố
gia c
ủ
a hàm s
ố
f (x)
t
ạ
i
0
x
có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n
đượ
c d
ướ
i d
ạ
ng:
0
f (x ) A. x ( x)
trong ó, đ
A
là m t h ng sộ ằ ố,
( x)
là m t vô cùng bé b c cao h n ộ ậ ơ
x
thì ta nói
hàm s ố
f (x)
kh vi t i ả ạ
0
x
và giá trị
A. x
c g i là vi phân c a hàm s đượ ọ ủ ố
f (x)
t i m ạ điể
0
x
, ký hi u là: ệ
0
df(x ).
Như v y, ậ
0
df (x ) A. x.
Định lý:
Hàm s ố
f (x)
kh vi t i ả ạ
0
x
khi và ch khi hàm s ỉ ố
có o hàm t i đạ ạ
0
x
và khi ó: đ
/
0 0
df(x ) f (x ). x.
– N u hàm sế ố kh vi t i m i ả ạ ọ điểm trong kho ng ả
X
thì ta nói hàm s kh vi trong ố ả
X.
Khi ó, ta có m t hàm s xác nh trên đ ộ ố đị
X
g i là bi u th c vi phân c a hàm s , ký hi u ọ ể ứ ủ ố ệ
là:
df (x)
ho c ặ
dy.
df (x) dy A. x.
Đặ ệc bi t nếu
y x
thì
dx x.
Do ó, bi u th c vi phân c a hàm s đ ể ứ ủ ố
y f (x)
thường được vi t d i d ng: ế ướ ạ
/
df (x) f (x)dx.
2.5. Các quy t c tính vi phân ắ
N
ế
u các hàm s
ố
u u(x)
và
v v(x)
kh
ả
vi t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
thì t
ạ
i
đ
i
ể
m
đ
ó ta có:
1.
d(u v) du dv.
156
2.
d(ku) kdu
(k
là h ng s ). ằ ố
3.
d(uv) vdu udv.
4.
2
u vdu udv
d (v 0).
v
v
Ví d 6. ụ
Tính vi phân c a hàm s ủ ố
x
y x cos
2
t i ạ
0
x
2
khi
x 0,01.
Giải
Ta có:
/ /
x x x 1
y cos sin y 1 .
2 2 2 2 4
2
⇒
Vậy,
/
0,01(4 ) 4
dy y x .
2 2
4 2 400 2
Ví d 7. ụ
Tìm bi u th c vi phân c a các hàm s : ể ứ ủ ố
a)
y ax b.
b)
y x(ln x 1).
c)
1 x 6
y sin .
12 x 6
Giải
a) Ta có:
/
/
y ax b) a
. Do v y, ậ
dy adx
b) Ta có:
/
/ / /
y x(ln x 1) x (ln x 1) x(ln x 1) ln x.
Do v y, ậ
dy ln xdx
.
c) Ta có:
/ /
/
2
1 x 6 1 x 6 x 6 1 x 6
y sin cos . cos .
12 x 6 12 x 6 x 6 x 6
(x 6)
Do v y, ậ
/
2
1 x 6
dy y dx cos dx.
x 6
(x 6)
* Tính b t bi n c a bi u th c vi phân c p 1: ấ ế ủ ể ứ ấ
Xét hàm số hợp
y f (x), x x(t).
Bi u thể ức vi phân của hàm số là:
/ / / /
t x t x
dy y dt (y .x )dt y .dx.
Như v y, bi u th c vi phân giậ ể ứ ữ nguyên d ng trong tr ng h p ạ ườ ợ
x
là bi n c l p, ế độ ậ
cũng nh ư
x
là bi n trung gian. ế
2.6. Các định lý cơ b n vả ề hàm số kh vi và áp dả ụng
157
2.6.1. B Fermat ổ đề
Giả s hàm s ử ố
f (x)
xác nh trong kho ng đị ả
(a,b)
và t giá trđạ ị c c i (ho c giá tr ự đạ ặ ị
cực ti u) t i m ể ạ điể
c
thu c kho ng ộ ả
(a,b).
Khi ó, n u t i đ ế ạ
c
hàm s có o hàm thì ố đạ
/
f (c) 0.
2.6.2. nh lý Rolle Đị
Giả s hàm sử ố
xác nh, liên t c trên đị ụ
a,b
và kh vi trên ả
a,b .
N u ế
f (a) f (b)
thì tồ đn tại iểm
c a,b
sao cho:
/
f (c) 0.
2.6.3. nh lý Lagrange Đị
Nếu hàm s ố
f (x)
xác nh, liên t c trên đị ụ
a,b
và kh vi trên ả
a,b
thì t n t i m ồ ạ điể
c a, b
sao cho
/
f (b) f (a) f (c)(b a)
.
2.6.4. nh lý Cauchy Đị
Nếu các hàm s ố
f (x), g(x)
xác nh, liên t c trên đị ụ
a,b ,
kh vi trên ả
a,b
và
g(x) 0, x (a,b)
thì t n t i m ồ ạ điể
c a,b
sao cho :
/
/
f (c) f (b) f (a)
.
g(b) g(a)
g (c)
Ví d 8. ụ
Chứng minh b t ng th c: ấ đẳ ứ
sina sin b a b .
Giải
Ta có hàm s
ố
f (x) sin x
xác
đị
nh và liên t
ụ
c trên
a,b ,
có
đạ
o hàm
/
y cos x
trên
a,b .
Theo công th
ứ
c Lagrange, t
ồ
n t
ạ
i
c a,b
sao cho
/
f (a) f(b) f (c)(a b)
Hay
sin a sin b (a b).cosc
Do
cosc 1
nên ta suy ra
sina sin b cosc a b a b .
Ví d 9. ụ
Cho
2 2
f (x) (x 3x 2)ln(x 1).
158
Chứng minh r ng ph ng trình ằ ươ
/
f (x) 0
có nghi m. ệ
Giải
Hàm s ố
xác nh và kh vi trên đị ả
R
.
Mặt khác
f (1) f (2) 0.
Theo k t qu c a nh lý Rolle, t n t i ế ả ủ đị ồ ạ
c 1,2
tho mãn ả
/
f (c) 0.
Vậy ph ng trình ươ
/
f (x) 0
có nghi m trong kho ng ệ ả
1,2 .
B
ạ
n
đọ
c t
ự
ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
//
f (x) 0
c
ũ
ng có nghi
ệ
m.
2.7. Áp d ng vi phân tính g n úng ụ để ầ đ
Chúng ta có k t qu là: s gia hàm s t i m ế ả ố ố ạ điể
0
x
x p x v i vi phân hàm s t i m ấ ỉ ớ ố ạ điể
đó:
/
0 0 0 0 0
f (x ) df (x ) f (x x) f(x ) f (x ). x
⇒
/
0 x 0 x 0
f (x ) f (x ). f (x )
Để tính gần đúng
0
f (x x)
chúng ta sẽ tính
0
f (x )
và
/
0
f (x )
.
Ví d 10. ụ
Không tra b ng, tính g n úng giá tr ả ầ đ ị
7
1,04
.
Giải
Đặt :
7
f (x) x
,
Đạo hàm cấp 1:
6
/
7
1
f (x) x
7
, l y ấ
0
x 1, x 0,04
Áp d ng công th c: ụ ứ
/
0 0 0
f(x) f (x x) f(x ) f (x ). x
Hay
/
7
7
7
6
1,04 f (1 0,04) f (1) f (1). x
1
1 .0,04 1, 0057
7. 1
159
Phụ l c 3. Bài toán t i u hàm m t bi n ụ ố ư ộ ế
3.1. Xác nh kho ng t ng, gi m và c c tr c a hàm s đị ả ă ả ự ị ủ ố
Đị ĩnh ngh a
Cho hàm s ố
f (x)
xác định và liên t c trong kho ng ụ ả
a,b .
Ta nói r ng hàm s nh n ằ ố ậ
giá tr c c i (giá tr c c ti u) t i m ị ự đạ ị ự ể ạ điể
0
x a,b
n u t n t i s ế ồ ạ ố
0
sao cho b t ng ấ đẳ
thức:
0 0
f (x) f (x ) f(x) f (x )
luôn tho mãn khi ả
0
0 x x .
Điể ạ đ ốm mà t i ó hàm s nh n giá tr c c i ho c giá tr c c ti u c g i chung là ậ ị ự đạ ặ ị ự ể đượ ọ
đ ựiểm c c tr c a hàm s . ị ủ ố
Định lý 1.
Giả sử hàm số
y f (x)
có đạo hàm trong kho ng ả
a,b .
Khi đó:
N u ế
/ /
f (x) 0 f (x) 0
t i m i ạ ọ điểm
x a, b
thì hàm số đơn điệu t ng (gi m) ă ả
trong kho ng ả
a,b .
N u ế
/
f (x) 0
t i m i ạ ọ điểm
x a,b
thì hàm s ố
f (x)
nh n giá tr không ậ ị đổi trong
khoảng
a,b .
Định lý 2.
N u ế
0
x
là m c c tr c a hàm s điể ự ị ủ ố
f (x)
và t i ạ điểm ó hàm s đ ố
có
đạo hàm thì
/
0
f (x ) 0.
Nhận xét :
Hàm s ch có th t c c tr t i các m t i h n: ố ỉ ể đạ ự ị ạ điể ớ ạ
Điểm mà t i ó o hàm tri t tiêu (g i là m d ng). ạ đ đạ ệ ọ điể ừ
Điểm mà t i ó hàm s liên t c nh ng không có o hàm. ạ đ ố ụ ư đạ
Định lý 3.
Giả s ử
0
x
là một điểm tới hạn c a ủ
f (x)
và t n tồ ại
0
mà
f (x)
có d u ấ
xác định trong m i kho ng ỗ ả
0 0 0 0
x ,x , x , x .
Khi đó
N u khi qua ế điểm
0
x
đạo hàm
/
f (x)
đổi d u thì hàm sấ ố
f (x)
t c c tr t i đạ ự ị ạ điểm
đó.
+) x
0
là m c c i n u điể ự đạ ế
/
f (x)
i dđổ ấu t (+) sang (–) . ừ
+) x
0
là m c c ti u n u điể ự ể ế
/
f (x)
i d u t (–) sang (+). đổ ấ ừ
N u khi qua m ế điể
0
x
đạo hàm
/
f (x)
không i d u thì hàm s không t c c tr đổ ấ ố đạ ự ị
tại m ó. điể đ
160
Định lý 4.
Giả s ử
0
x
là m t m d ng c a hàm s ộ điể ừ ủ ố
f (x)
và t n t i s t nhiên ồ ạ ố ự
n 2
sao cho:
/ // (n 1)
0 0 0
f (x ) f (x ) f (x ) 0
⋯
và
(n )
0
f (x ) 0.
Khi ó: đ
N u ế
n
là s ch n thì ố ẵ
0
x
là m t m cộ điể ực tr c a ị ủ
f (x).
+) x
0
là m c c i n u điể ự đạ ế
(n)
0
f (x ) 0.
+) x
0
là m c c ti u n u điể ự ể ế
(n )
0
f (x ) 0.
N u ế
n
là s l thì ố ẻ
0
x
không ph i là m c c tr c a ả điể ự ị ủ
f (x).
Ví d 1. ụ
Xác nh kho ng t ng, gi m và tìm c c tr c a hàm sđị ả ă ả ự ị ủ ố:
x
y (x 5)e .
Giải
Hàm s ố
x
y (x 5)e
có t p xác ậ định là
.
ℝ
Ta có:
/ x /
y (x 4)e ; y 0 x 4.
Ta có b ng bi n thiên ả ế
Vậy hàm s t ng trên ố ă
,4 ;
gi m trên ả
(4; )
và đạt giá tr c c ti u t i ị ự ể ạ
x 4
v i ớ
4
CT
y e .
Ví d 2. ụ
Tìm c c tr c a hàm s : ự ị ủ ố
4
y (x 1) .
Giải
Hàm s ố
4
y (x 1)
có t p xác nh là ậ đị
.
ℝ
Ta có:
/ 3 /
y 4(x 1) ; y 0 x 1
Hàm s có m d ng t i ố điể ừ ạ
0
x 1.
Đạo hàm cấp hai:
// 2 //
y 12(x 1) y (1) 0.
⇒
161
Đạo hàm cấp ba:
/// ///
y 24(x 1) y (1) 0.
⇒
Đạ ốo hàm cấp b n:
(4) (4)
y 24 y (1) 24 0.
⇒
Do ó hàm s đ ố
4
y (x 1)
đạt giá tr c c ti u t i ị ự ể ạ
x 1
v i ớ
CT
y 0.
Ví d 3. ụ
Xác nh kho ng t ng, gi m và tìm c c tr c a hàm sđị ả ă ả ự ị ủ ố:
3
2
y (2x 1) x .
Giải
Hàm s có t p xác ố ậ định:
.
ℝ
Ta có:
3/ 2
3 3
2 1 2(5x 1)
y 2 x (2x 1). .
3
x 3 x
Hàm s có hai m t i h n: ố điể ớ ạ
1
1
x
5
và
2
x 0.
Bảng bi n thiên c a hàm s : ế ủ ố
Vậy hàm s t ng trên ố ă
1
,
5
và
0, ;
giảm trên
1
( ;0).
5
Hàm s t giá tr c c ti u t i ố đạ ị ự ể ạ
x 0
v i ớ
CT
y 0;
hàm số đạ ự đạt giá trị c c i tại
1
x
5
v i ớ
CD
3
3
y .
5 25
Ví d 4. ụ
Tìm kho ng t ng, gi m và c c tr c a hàm s : ả ă ả ự ị ủ ố
2
y .
x
Giải
Hàm s có t p xác ố ậ định:
(0, ).
Ta có:
/ /
4 3
x(1 2ln x) 1 2 ln x
y ; y 0 x e.
x x
Bảng bi n thiên c a hàm s : ế ủ ố
162
Vậy hàm s t ng trên ố ă
0, e ,
gi m trên ả
e,
và t c c i tđạ ự đạ ại
x e
v i ớ
1
CD
y e .
Ví d 5. ụ
Tìm kho ng t ng, gi m và c c tr c a hàm s : ả ă ả ự ị ủ ố
4x
e
y .
3x 2
Giải
Hàm s có t p xác ố ậ định:
2 2
( , ) ( , ).
3 3
Ta có:
4x
/ /
2
e (12x 5) 5
y ; y 0 x .
12
(3x 2)
Bảng bi n thiên c a hàm s : ế ủ ố
Vậy hàm s gi m trên các kho ng ố ả ả
2
,
3
và
2 5
, ;
3 12
t ng trên khoă ảng
5
, .
12
Hàm số đạ t giá trị cực tiểu tại
5
x
2
với
5
3
CT
4
y e .
Ví d 6. ụ
Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
3 2
y f (x) x 3x 5
Giải
Hàm s có T p xác nh làố ậ đị
R
Ta có :
163
/ / 2
y f (x) 3x 6x
Giải ph ng trình: ươ
/
1 2
y 0 3x x 2 0 x 0 x 2
Ta có
//
y 6x 6
V
ớ
i
//
y (0) 6 0
V
ớ
i
//
y (2) 6 0
Vậy hàm s t c c i t i ố đạ ự đạ ạ
x 0
v
ớ
i
CD
y y(0) 5
và t c c ti u t i đạ ự ể ạ
x 2
v
ớ
i
CT
y y(2) 1
.
3.2. Xác định kho ng l i, lõm và ả ồ điểm u n cố ủ đồa th hàm s ị ố
Đị ĩnh ngh a :
Cho hàm s ố
f (x)
xác nh và liên t c trên đị ụ
(a,b).
Hàm s ố
f (x)
được
gọi là hàm s l i trên ố ồ
n u ế
1 2
x ,x (a,b)
và
t (0,1)
ta luôn có:
1 2 1 2
f tx (1 t)x tf(x ) (1 t)f(x ).
Nếu b t ng th c trên có d u ng c l i thì hàm s c g i là hàm s lõm trên ấ đẳ ứ ấ ượ ạ ố đượ ọ ố
(a,b).
Điể ạ đồ ịm mà t i đó th hàm số liên tục
thay i tính l i, lõm c g i là m đổ ồ đượ ọ điể
uốn c a th hàm s ó. ủ đồ ị ố đ
Định lý.
Gi sả ử ố hàm s
f (x)
có o hàm c p hai trên kho ng đạ ấ ả
X
. Khi ó: đ
– N u hàm s ế ố
f (x)
l i (lõm) trên kho ng ồ ả
a,b
thì :
// //
f (x) 0 f (x) 0
v i m i ớ ọ
x (a,b)
( u ki n c n). điề ệ ầ
– N u ế
// //
f (x) 0 f (x) 0
v i m i ớ ọ
x a,b
thì hàm s ố
f (x)
là hàm l i (lõm) ồ
trong kho ng ả
a,b
( u ki n ). điề ệ đủ
Ví d 7. ụ
Xác định khoảng lồi, lõm và điểm u n c a ố ủ đồ thị hàm số:
2
y ln(1 4x )
Giải
Hàm s có t p xác ố ậ định là
R
Đạo hàm cấp 1
/
2
8x
y
1 4x
164
Đạ
o hàm c
ấ
p 2
2
//
2 2
8(1 4x )
y
(1 4x )
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
//
1 1
y 0 x x .
2 2
Ta có b ng xét d u c a ả ấ ủ
//
y :
Vậy, hàm s l i trong kho ng ố ồ ả
1 1
;
2 2
và lõm trong các kho ng ả
1
;
2
và
1
; .
2
Đồ th hàm s có hai m u n là : ị ố điể ố
1 1
A ,ln 2 ; B , ln 2 .
2 2
3.3. Bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
1.
Cho hàm s
ố
y f (x)
liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n
a,b .
Khi
đ
ó hàm s
ố
s
ẽ
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n
nh
ấ
t, giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t trên
đ
o
ạ
n
đ
ó. Mu
ố
n tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm
s
ố
, ta tìm t
ấ
t c
ả
các
đ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
trên
đ
o
ạ
n
a,b ,
r
ồ
i tính giá tr
ị
c
ủ
a
f (x)
t
ạ
i các
đ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n và t
ạ
i
a,b.
So sánh các giá tr
ị
tính
đượ
c, t
ừ
đ
ó suy ra giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t,
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
trên
đ
o
ạ
n
a,b .
Ví d 8. ụ
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
:
2 x
y x e
trên
đ
o
ạ
n
1,3
Giải
Ta có
/ x 2
y e (2x x )
,
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
/
1 2
y 0 x 0 x 2
V
ậ
y, hàm s
ố
có hai
đ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n là:
1 2
x 0, x 2
.
So sánh các giá tr
ị
f ( 1)
,
f (0),
f (2)
,
f (3)
. Ta
đượ
c giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
là
f (0) 0
và giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
là
f ( 1) e
.
2.
Cho hàm s
ố
y f (x)
xác
đị
nh, liên t
ụ
c, kh
ả
vi trên
:
165
– N
ế
u
có duy nh
ấ
t
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i trên kho
ả
ng
, thì giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm
s
ố
y f (x)
trên
a,b
chính b
ằ
ng giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a nó.
– N
ế
u
f (x)
có duy nh
ấ
t
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u trên kho
ả
ng
a,b
, thì giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
hàm s
ố
y f (x)
trên
chính b
ằ
ng giá tr
ị
c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a nó.
Ví d 9. ụ
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
3 2
y f (x) x 3x 5
trên khoảng
2,1
.
Giải
Ta có :
/ / 2
y f (x) 3x 6x 3x x 2
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
/
1 2
y 0 x 0 x 2
Loại m điể
2
x 2
vì
2 ( 2,1)
Tại
1
x 0
,
//
y (0) 6 0
nên hàm s ố đạt c c ự đại t i ạ điểm này, vì có duy nh t ấ điểm
cực đại trên khoảng
2,1
, nên giá tr l n nh t cị ớ ấ ủa hàm s ố
y f (x)
trên kho ng ả đó b ng ằ
giá trị ự đạ c c i
y(0) 5
.
Ví d 10. ụ
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
3 2
y f (x) x 3x 5
trên khoảng
1,3
.
Giải
Ta có :
/ / 2
y f (x) 3x 6x 3x x 2
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
/
1 2
y 0 x 0 x 2
Loại m điể
1
x 0
vì
0 (1,3)
Tại
2
x 2
,
//
y (2) 6 0
nên hàm s ố đạt c c ti u t i ự ể ạ điểm này, vì có duy nhất điểm
cực i trên khođạ ảng
1,3
, nên giá tr nh nh t c a hàm s ị ỏ ấ ủ ố
y f (x)
trên kho ng ó bả đ ằng
giá trị ự c c tiểu
y(2) 1
.
166
Phụ l c 4. B ng công th c nguyên hàm c b n và các ph ng pháp tính tích phân ụ ả ứ ơ ả ươ
4.1. Khái ni m tích phân b t nh ệ ấ đị
Đị ĩnh ngh a:
Hàm s ố
F(x)
c gđượ ọi là nguyên hàm c a hàm ủ
f (x)
trên t p ậ
X
n u ế
/
F (x) f (x)
hay
dF(x) f (x)dx, x X.
Nếu
G(x)
là mộ
t nguyên hàm khác c
ủ
a hàm
f (x)
trên t
ậ
p X, ta có
G(x) F(x) C
(C là h
ằ
ng s
ố
)
Tích phân b
ấ
t
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
f (x)
là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f (x)
trên tâp X.
Ký hi
ệ
u:
f (x)dx F(x) C
∫
.
Ví d 1. ụ
Ta có
2
x
xdx C
∫
;
cos x dx sin x C
∫
;
x x
e dx e C
∫
.
2
2
1
dx ln x x k C
x k
∫
4.2. Các tính ch t c b n c a tích phân b t nh ấ ơ ả ủ ấ đị
1.
/
f (x)dx f (x)
∫
2.
/
f (x)dx f (x) C
∫
hay
df (x) f(x) C
∫
3.
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx
∫ ∫ ∫
4.
kf (x)dx k f (x)dx
∫ ∫
(
k
là h
ằ
ng s
ố
)
5.
Tính b
ấ
t bi
ế
n c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c tích phân:
N
ế
u
f (x)dx F(x) C
∫
thì
f (u)du F(u) C,
∫
trong
đ
ó
u (x)
là m
ộ
t bi
ể
u
th
ứ
c hàm s
ố
có
đạ
o hàm liên t
ụ
c.
167
4.3. Các công th c nguyên hàm c b n ứ ơ ả
1.
x C
1.dx
∫
2.
1
x
x dx C ( 1)
1
∫
.
3.
dx
ln | x | C
x
∫
4.
2
dx
C
1 x
arctan x
∫
5.
2
dx
arcsin x C
1 x
∫
6.
x
x
a
a dx C
lna
∫
7.
x x
e dx e C
∫
8.
sin x.dx cosx C
∫
9.
cosx.dx sin x C
∫
10.
2
dx
tan x C
cos x
∫
11.
2
dx
cot x C
sin x
∫
12.
2 2
dx 1 x
C
a a
a x
arctan
∫
13.
2 2
x
arcsin C
a
dx
a x
∫
14.
2 2
dx 1 a x
ln C
2a a x
a x
∫
15.
2
2
dx
ln x x b C
x b
∫
4.4. Các ph ng pháp tích phân ươ
Trong khi th
ự
c hành tính tích phân, ta không ch
ỉ
s
ử
d
ụ
ng m
ộ
t ph
ươ
ng pháp gi
ả
i mà
có th
ể
ph
ả
i k
ế
t h
ợ
p m
ộ
t s
ố
ph
ươ
ng pháp v
ớ
i nhau. D
ướ
i
đ
ây s
ẽ
trình bày các ph
ươ
ng pháp
v
ớ
i các ví d
ụ
minh h
ọ
a c
ụ
th
ể
để
tính các d
ạ
ng tích phân th
ườ
ng g
ặ
p.
4.4.1. Sử dụng bảng tích phân cơ bản và phương pháp khai tri n ể
Ta có th
ể
tính tích phân c
ủ
a m
ộ
t hàm ph
ứ
c t
ạ
p b
ằ
ng cách khai tri
ể
n nó thành t
ổ
ng
(hi
ệ
u) tích phân c
ủ
a các hàm
đơ
n gi
ả
n h
ơ
n.
Ví d 2. ụ
Tính tích phân :
3
x x 1dx
∫
Giải
N
ế
u khai tri
ể
n
x x 1 1
, ta chuy
ể
n tích phân ban
đầ
u v
ề
t
ổ
ng hai tích phân sau:
3 3 3 3
x x 1dx (x 1 1) x 1dx (x 1) x 1dx x 1dx
∫ ∫ ∫ ∫
4 1 7 4
3 3 3 3
3 3
(x 1) dx (x 1) dx (x 1) (x 1) C
7 4
∫ ∫
Ví d 3.ụ
Tính tích phân:
2
cos2x
dx
sin x
∫
168
Giải
Khai tri
ể
n
2
cos2x 1 2sin x
ta có:
2
2 2 2
cos2x 1 2sin x 1
dx dx dx 2dx cot x 2x C
sin x sin x sin x
∫ ∫ ∫ ∫
.
4.4.2. S d ng tính b t bi n c a bi u th c tích phân ử ụ ấ ế ủ ể ứ
N
ế
u ta nh
ậ
n th
ấ
y tích phân c
ầ
n tính có d
ạ
ng nh
ư
sau:
/
I f (x) (x)dx
∫
thì có th
ể
đặ
t
u (x)
để
chuy
ể
n v
ề
tính m
ộ
t bi
ể
u th
ứ
c tích phân d
ễ
h
ơ
n:
I f (u)du F(u) C
∫
Tr
ườ
ng h
ợ
p
u kx b
ta có:
1 1
f(kx b)dx f (kx b)d(kx b) F(kx b) C
k k
∫ ∫
Ví d 4.ụ
Tính tích phân:
3
dx
4 5x
∫
Giải
Ta có
1 1
3 3
3
dx 1
4 5x dx 4 5x d(4 5x)
5
4 5x
∫ ∫ ∫
2
3
2
3
1 3 3
(4 5x) C (4 5x) C.
5 2 10
4.4.3. Ph ng pháp i bi n s ươ đổ ế ố
a) Phép i bi n xuôi đổ ế
Gi
ả
s
ử
c
ầ
n tính tích phân
/
I f[u(x)].u (x).dx
∫
Đặ
t
/
t u(x) dt u (x).dx
⇒
/
I f[u(x)]u (x).dx f (t).dt F(t) C F[u(x)] C
∫ ∫
Ví d 5.ụ
Tính tích phân
x
1 e .dx
∫
.
Giải
Đặ
t
x
t 1 e
. Khi
đ
ó
x 2 2
e t 1, x ln(t 1)
, suy ra
2
2t.dt
dx
t 1
169
Ta có:
2
x
2 2
2t .dt 2.dt t 1
1 e .dx 2 2t ln C
t 1
t 1 t 1
∫ ∫ ∫
x
x
x
1 e 1
2 1 e ln C.
1 e 1
• Tr ng h p bi u th c hàm s ch a c n th c d ng ườ ợ ể ứ ố ứ ă ứ ạ
n
kx b
Khi
đ
ó ta
đổ
i bi
ế
n b
ằ
ng cách
đặ
t:
n
t kx b
, suy ra:
n
1
x (t b)
k
,
n
dx t dt
k
.
Ví d 6.ụ
Tính tích phân
3
dx
x 2 x
∫
.
Giải
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p này
để
kh
ử
đượ
c h
ế
t c
ă
n ta có th
ể
đổ
i bi
ế
n b
ằ
ng cách
đặ
t
6
6
t x x t
⇒
,
5 3 2
3
dx 6t dt, x 2 x t 2t
.
Tích phân ban
đầ
u bi
ế
n
đổ
i thành:
5 3
2
3 2
3
dx 6t .dt t 8
6 dt 6 t 2t 4 dt
t 2 t 2
t 2tx 2 x
∫ ∫ ∫ ∫
3
2
t
6 t 4t 8ln t 2 C
3
3 6 6
4
2 x 6 x 24 x ln x 2 C.
3
b) Phép i bi n ng c đổ ế ượ
Xét tích phân
I f (x)dx
∫
trong ó đ
f (x)
là m t hàm s liên t c và cho ộ ố ụ
(t)
là m t ộ
hàm đơn u, có o hàm liên t c (điệ đạ ụ
(t)
có hàm s ng c). ố ượ
Đặt
x (t) dx '(t)dt
⇒
, ta có:
I f (x)dx f (t) '(t)dt g(t)dt
∫ ∫ ∫
Nếu ta tính c đượ
g(t)dt G(t) C
∫
và
t h(x)
là hàm ng c c a hàm s ượ ủ ố
x (t)
thì:
I f (x)dx G h(x) C
∫
170
• Tr ng h p bi u th c hàm s ch a c n th c d ng ườ ợ ể ứ ố ứ ă ứ ạ
2 2
a - x
Ta i bi n đổ ế
x a.sin t
, t
2 2
, khi ó: đ
2 2
dx a.cost.dt, a x a.cos t, (a 0)
.
1.4.4. Ph ng pháp tích phân t ng ph n ươ ừ ầ
Giả s ử
u u(x)
và
v v(x)
là các hàm s có o hàm liên t c. Khi ó, ta có: ố đạ ụ đ
f (x)dx udv uv vdu
∫ ∫ ∫
.
Lưu ý r ng, ằ
vdu
∫
là d tính, ho c l p tích phân ban u sau hai l n tính và ễ ặ ặ đầ ầ
v dv
∫
.• i v i các tích phân Đố ớ
n kx n n
x e dx, x sin kx.dx, x coskx.dx
∫ ∫ ∫
, (n nguyên d
ương)
ta áp dụng công th c tích phân t ng ph n i v i ứ ừ ầ đố ớ
n
u x
và
dv
là ph n còn l i c a ầ ạ ủ
biểu th c d i d u tích phân. ứ ướ ấ
Ví d 7.ụ Tính tích phân
2
I x sin 2x.dx
∫
.
Giải
Đặt
2
u x du 2xdx
⇒
,
1
dv sin 2x.dx v cos2x
⇒
.
Theo công thức tính tích phân t ng ph n ta có: ừ ầ
2
1
I udv uv vdu x cos 2x xcos2x.dx
2
J
∫ ∫ ∫

.
Ti
ế
p t
ụ
c áp d
ụ
ng tích phân t
ừ
ng ph
ầ
n v
ớ
i
J x cos 2x.dx
∫
Đặ
t:
u x du dx
⇒
,
1
dv cos2x.dx v sin 2x
2
⇒
, suy ra:
1 1 1 1
J x sin 2x sin 2xdx x sin 2x cos2x C
2 2 2 4
∫
.
V
ậ
y
2
1 1 1
I x cos2x x sin 2x cos 2x C
2 2 4
.
• i v i tích phân Đố ớ
n
x ln xdx ( 1
∫
,
n
nguyên d
ươ
ng)
171
ta áp d
ụ
ng công th
ứ
c tích phân t
ừ
ng ph
ầ
n v
ớ
i
n
u ln x
,
dv x dx
.
Ví d 8.ụ
Tính tích phân
2
I x log x.dx
∫
.
Giải
Đặ
t
2
1
u log x du dx
(ln 2)x
⇒
,
2
x
dv xdx v
2
⇒
Ta có:
2 2 2
2 2
x 1 x x
I log x xdx log x C
2 2ln 2 2 4ln 2
∫
.
Chú ý :
Khi áp d
ụ
ng công th
ứ
c tích phân t
ừ
ng ph
ầ
n v
ớ
i d
ạ
ng tích phân
P(x)ln(ax b)dx
∫
,
trong
đ
ó
P(x)
là m
ộ
t
đ
a th
ứ
c, ta s
ẽ
ph
ả
i tính tích phân c
ủ
a phân th
ứ
c h
ữ
u t
ỷ
v
ớ
i m
ẫ
u
s
ố
b
ậ
c nh
ấ
t.
Ví d 9.ụ
Tính tích phân
I x ln(x 2).dx
∫
.
Giải
Đặ
t
dx
u ln(x 2) du
x 2
⇒
,
2
x
dv xdx v
2
⇒
Ta có:
2 2 2
x 1 x x 1 4
I ln(x 2) dx ln(x 2) x 2 dx
2 2 x 2 2 2 x 2
∫ ∫
2
2
x 1
ln(x 2) x x 2ln(x 2) C.
2 4
4.5. Khái ni m tích phân xác nh và các l p hàm kh tích ệ đị ớ ả
Định ngh a: ĩ
Cho hàm s
ố
y f (x)
xác
đị
nh và b
ị
ch
ặ
n trên
a;b
. Chia
a;b
thành
n ph
ầ
n b
ở
i các
đ
i
ể
m chia
0 1 n 1 n
a x x ... x x b
(phép phân ho
ạ
ch ).
Đặ
t
i i i 1
x x (i 1,2,...,n)
g
ọ
i:
i
1 i n
d max
, l
ấ
y
i i 1 i
x ;x , i 1, 2,...,n
L
ậ
p t
ổ
ng
n
i i
i 1
( ) f( )
∑
. N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ
i h
ạ
n h
ữ
u h
ạ
n
n
i i
d 0 n
i 1
lim ( ) lim f ( ) I
∑
172
không ph
ụ
thu
ộ
c phép phân ho
ạ
ch , c
ũ
ng nh
ư
cách ch
ọ
n
đ
i
ể
m
i
, thì chúng ta nói
hàm s
ố
y f (x)
kh
ả
tích trên
a;b
và s
ố
I
đượ
c g
ọ
i là tích phân xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
y f (x)
trên
a;b
. Ký hi
ệ
u là:
b
a
I f (x)dx
∫
V
ớ
i a g
ọ
i là c
ậ
n d
ướ
i, b g
ọ
i là c
ậ
n trên.
Các l p hàm kh tích ớ ả
Các l
ớ
p hàm sau
đ
ây kh
ả
tích trên
a;b
:
a) Các hàm s
ố
liên t
ụ
c trên
a;b
.
b) Các hàm s
ố
b
ị
ch
ặ
n và gián
đ
o
ạ
n t
ạ
i h
ữ
u h
ạ
n
đ
i
ể
m trên
a;b
.
c) Các hàm s
ố
b
ị
ch
ặ
n và
đơ
n
đ
i
ệ
u trên
a;b
.
Ý ngh a hình h c c a tích phân xác nh ĩ ọ ủ đị
Cho hàm s
ố
y f (x) 0,
xác
đị
nh và liên t
ụ
c trên
a;b
, khi
đ
ó
b
a
f (x)dx S(D)
∫
, (di
ệ
n tích c
ủ
a mi
ề
n D, v
ớ
i
D a x b;0 y f (x)
ng
ườ
i ta
th
ườ
ng g
ọ
i D là hình thang cong).
4.6. Các tính ch t c b n c a tích phân xác nh ấ ơ ả ủ đị
Gi
ả
s
ử
các
đ
i
ề
u ki
ệ
n kh
ả
tích c
ủ
a các hàm s
ố
đề
u
đượ
c tho
ả
mãn, khi
đ
ó ta có các
tính ch
ấ
t sau c
ủ
a tích phân xác
đị
nh:
1.
a b
b a
f (x)dx f (x)dx
∫ ∫
.
173
2.
b c b
a a c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
∫ ∫ ∫
.
3.
b b b
a a a
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx
∫ ∫ ∫
.
4.
b b
a a
kf (x)dx k f (x)dx
∫ ∫
.
5.
N
ế
u
a b
và
f(x) g(x), x [a, b]
thì:
b b
a a
f (x)dx g(x)dx
∫ ∫
.
6.
N
ế
u hàm s
ố
f (x)
liên t
ụ
c trên
[a,b]
(ho
ặ
c
[b,a]
) thì t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m
trong kho
ả
ng gi
ữ
a hai c
ậ
n a và b sao cho:
b
a
f (x)dx f ( )(b a)
∫
(
đị
nh lý giá tr
ị
trung bình).
7.
a
a
f (x)dx 0
∫
.
4.7. Liên h tích phân b t nh ệ ấ đị
Tích phân xác nh v i c n trên thay i đị ớ ậ đổ
Gi
ả
s
ử
f (x)
là m
ộ
t hàm s
ố
liên t
ụ
c trên
a;b
, khi
đ
ó v
ớ
i m
ọ
i
x
a;b
thì hàm s
ố
x
a
(x) f (t)dt
∫
đượ
c g
ọ
i là hàm c
ậ
n trên (hay tích phân xác
đị
nh v
ớ
i c
ậ
n trên thay
đổ
i).
Đị ề đạnh lý v o hàm của hàm cận trên
N
ế
u
f (x)
là m
ộ
t hàm s
ố
liên t
ụ
c trên
a;b
, khi
đ
ó v
ớ
i m
ọ
i
x
a;b
ta có:
/
x
/
a
f (x)
(x) f (t)dt
∫
.
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p ph
ả
i tính
đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
(x)
(x)
f (t)dt
∫
,
ta nên
đặ
t
(x)
(x)
f (t)dt F (x) F (x)
∫
, trong
đ
ó
F(t)
là m
ộ
t nguyên hàm c
ủ
a hàm
174
s
ố
f (t)
r
ồ
i s
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c
đạ
o hàm hàm h
ợ
p.
Ví d 10.ụ
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
:
2
x
3
2
f (x) ln(t 1)dt
∫
Giải
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c:
/
(x)
/ /
(x)
f (t)dt f (x) (x) f (x) (x)
∫
Ta có :
/ 2 / 6 / 6 6
f (x) (x ) ln x 1 ( 2) ln x 1 2x.ln(x 1)
.
Ví d 11.ụ
Tính gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
sau:
x
2
0
3
x 0
tan t dt
lim
x
∫
.
Giải
Để
không ph
ả
i tính tích phân trên t
ử
th
ứ
c c
ủ
a hàm l
ấ
y gi
ớ
i h
ạ
n, ta có th
ể
áp d
ụ
ng
quy t
ắ
c L’hospital. Khi
đ
ó
đạ
o hàm c
ủ
a t
ử
th
ứ
c s
ẽ
là
2
tan x
.
x
2
2
0
3 2
x 0 x 0
tan t dt
tan x 1
lim lim
3
x 3x
∫
.
Công th c Newton – Leibnitz ứ
V
ớ
i
F(x)
là nguyên hàm b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a hàm s
ố
liên t
ụ
c
khi
đ
ó ta có công th
ứ
c:
b
b
a
a
f (x)dx F(b) F(a) F(x)
∫
.
Ví d 12. ụ
Tính tích phân
1
3x
0
I e dx
∫
.
Giải
Ta có :
1 1
3
1
3x 3x 3x
0
0 0
1 1 e 1
I e dx e d(3x) e
3 3 3
∫ ∫
.
4.8. Ph ng pháp i bi n ươ đổ ế
175
Gi
ả
s
ử
c
ầ
n tính tích phân
b
a
I f (x).dx
∫
.
Thay
/
x (t), dx (t)dt
v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t hàm s
ố
(t)
tho
ả
mãn các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
– Hàm s
ố
(t)
xác
đị
nh, liên t
ụ
c và có
đạ
o hàm liên t
ụ
c trên
[ , ]
.
–
( ) a, ( ) b
t
ứ
c là c
ậ
n
x a
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i c
ậ
n
t
và c
ậ
n
x b
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i c
ậ
n
t .
– Khi t bi
ế
n thiên trên kho
ả
ng
[ , ]
hàm s
ố
x (t)
nh
ậ
n các giá tr
ị
không v
ượ
t ra
ngoài
[a,b].
Khi
đ
ó:
b
/
a
I f (x)dx [ (t)] (t)dt g(t)dt.
∫ ∫ ∫
Ph
ươ
ng pháp
đổ
i bi
ế
n
đượ
c v
ậ
n d
ụ
ng gi
ố
ng nh
ư
trong tr
ườ
ng h
ợ
p tích phân b
ấ
t
đị
nh,
tuy nhiên c
ầ
n ghi nh
ớ
: ph
ả
i
đổ
i c
ậ
n khi
đổ
i bi
ế
n.
Ví d 13.ụ
Tính
2
2
3
0
dx
I
1 (x 1)
∫
.
Giải
Đổ
i bi
ế
n b
ằ
ng cách
đặ
t
3
t x 1,
suy ra
3 2
x t 1 dx 3t dt
⇒
.
Đổ
i c
ậ
n:
x 0 t 1, x 2 t 1
⇒ ⇒
.
Theo công th
ứ
c
đổ
i bi
ế
n ta có:
1 1
2
2 2
1 1
1
3t dt 1 3
I 3 1 dt 3(t arctan t) 6
1
2
1 t 1 t
∫ ∫
Ví d 14.ụ
Tính
2
3 8
0
I cos x.sin x.dx
∫
.
Giải
Đổ
i bi
ế
n b
ằ
ng cách
đặ
t
t sin x
,
3 2 2
cos x.dx cos x.d(sin x) t .dt
Đổ
i c
ậ
n:
x 0 t 0, x t 1
2
⇒ ⇒
, ta
đượ
c:
1 1
9 11
2 8 8 10
0 0
1
t t 2
I (1 t )t dt (t t )dt
0
9 11 99
∫ ∫
.
176
Ví d 15.ụ
Tính
1/2
2
0
dx
I
1 x
∫
.
Giải
Đặ
t
,
2 2
x sin t,t
,
2
1 x cos t, dx cos t.dt
.
Đổ
i c
ậ
n:
1
x 0 t 0, x t
2 6
⇒ ⇒
, ta có:
1/2 /6 /6
6
2
0 0 0
dx costdt
I dt t
cost 6
0
1 x
∫ ∫ ∫
4.9. Ph ng pháp tích phân t ng ph n ươ ừ ầ
Công th
ứ
c tính tích phân t
ừ
ng ph
ầ
n trong tích phân xác
đị
nh là:
b b b
a a a
b
f (x)dx udv uv vdu
a
∫ ∫ ∫
.
trong
đ
ó:
u u(x), v v(x)
là các hàm s
ố
liên t
ụ
c và
b
uv u(b)v(b) u(a)v(a)
a
.
Ví d 16.ụ
Tính
1
2 x
0
I x e dx
∫
.
Giải
Ta có
x
1 1
2 x 2
2
0 0
I x e dx x e dx
∫ ∫
.
Đặ
t
2
u x du 2xdx
⇒
,
x x
2 2
dv e dx v 2e
⇒
.
Khi
đ
ó:
1
x x
1
2
2 2
0
0
I 2x e 4 xe dx 2 e 4J
∫
.
Tính ti
ế
p
J
b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp tích phân t
ừ
ng ph
ầ
n nh
ư
sau:
x
1 1
1 1
x/2 x/2 x/2
2
0 0
0 0
J 2 x.d(e ) 2xe 2 e .dx 2 e 4e 2 e 4
∫ ∫
.
V
ậ
y
I 2 e 4 2 e 4 10 e 16
.
177
Phụ l c 5. o hàm riêng và vi phân toàn ph n ụ Đạ ầ
5.1. o hàm riêng Đạ
5.1.1. o hàm riêng c p 1 Đạ ấ
a) Tr ng h p hàm s hai bi n s ườ ợ ố ế ố
Cho hàm s ố
z f x, y
,
0 0 0 f
M x ,y D
. Nếu gi giá tr c a bi n ữ ị ủ ế
y
không i và đổ
cho giá tr c a bi n ị ủ ế
x
m t s gia ộ ố
x
thì hàm s ố
z f x, y
có s gia t ng là ố ương ứ
0 0 0 0
f x x, y f x , y
, s gia này g i là s gia riêng cố ọ ố ủa hàm số
z f x, y
theo biến
x
, tại
0 0 0
M x ,y
, ký hiệu là
x 0
z(M )
hay
x 0
f (M )
.
Nếu t n t i gi i h n h u h n: ồ ạ ớ ạ ữ ạ
0 0 0 0 0
x 0 x 0
xf M f x x,y f x , y
lim lim
x x
thì gi i h n ó c g i là o hàm riêng c a hàm s ớ ạ đ đượ ọ đạ ủ ố
z f x, y
theo bi n ế
x
tạ
i
đ
i
ể
m
0 0
x , y ,
ký hi
ệ
u là
/
x 0
z (M )
hay
0
z
(M )
hay
/
x 0
f (M )
hay
0
f
(M )
.
Ý ngh a : ĩ Đạ
o hàm riêng c
ủ
a hàm s
ố
z f x, y
theo bi
ế
n
x
t
ạ
i
đ
i
ể
m
0 0
x , y
bi
ể
u
th
ị
t
ố
c
độ
bi
ế
n thiên c
ủ
a giá tr
ị
hàm s
ố
z f x, y
t
ạ
i
đ
i
ể
m
0 0
x ,y
khi x thay
đổ
i m
ộ
t
l
ượ
ng nh
ỏ
, trong
đ
i
ề
u ki
ệ
n giá tr
ị
c
ủ
a bi
ế
n y không thay
đổ
i.
T
ươ
ng t
ự
, ta c
ũ
ng có
đị
nh ngh
ĩ
a
đạ
o hàm riêng c
ủ
a hàm s
ố
z f x, y
theo bi
ế
n
y
t
ạ
i
0
M
, ký hi
ệ
u là
/
y 0
z (M )
hay
0
z
(M )
y
hay
/
y 0
f (M )
hay
0
f
(M )
y
.
Ví d 1.ụ
Tính
đạ
o hàm riêng theo
đị
nh ngh
ĩ
a c
ủ
a hàm s
ố
:
a)
3 2
w x y
t
ạ
i
đ
i
ể
m
1,2
.
b)
x
f (x,y) x (y 1)arccos
y
t
ạ
i
đ
i
ể
m
x,1
.
Giải
a)
3 2 3 2 3
x
w 1,2 x .2 1 .2 4x 4
;
x x 1
V
ậ
y
3
/ 2
x
x 1 x 1
4x 4
w 1,2 lim lim 4 x x 1 12
x 1
.
T
ươ
ng t
ự
:
178
3 2 3 2 2
y
w 1,2 1 .y 1 .2 y 4
;
y y 2
V
ậ
y
2
/
y
y 2 y 2
y 4
w 1,2 lim lim y 2 4.
y 2
b)
/
x
x 0
x x x
x x 1 1 arccos x 1 1 arccos
1 1
f x,1 lim 1
x
T
ươ
ng t
ự
:
/
y
y 0
x x
x 1 y 1 arccos x 1 1 arccos
1 y 1
f x,1 lim
y
/
y
y 0
x
y.arccos
y 1
f x,1 lim arccos x.
y
Nhận xét : Để
tính
đạ
o hàm riêng
/
x
f
c
ủ
a hàm s
ố
z f x, y
theo bi
ế
n
x
ta xem
y
nh
ư
là h
ằ
ng s
ố
và khi
đ
ó
z f x, y
là hàm s
ố
c
ủ
a m
ộ
t bi
ế
n
x
, do
đ
ó ta áp d
ụ
ng các công
th
ứ
c
đạ
o hàm c
ơ
b
ả
n và quy t
ắ
c tính
đạ
o hàm c
ủ
a hàm m
ộ
t bi
ế
n. T
ươ
ng t
ự
, cho vi
ệ
c tính
đạ
o hàm riêng c
ủ
a z theo y.
Ví d 2.ụ
Tính
đạ
o hàm riêng c
ủ
a hàm s
ố
sau:
y
sin
x
z e arctan(xy)
Giải
Ta có
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 c
ủ
a hàm s
ố
y
sin
/
x
x
2 2 2
y y y
z e .cos . .
x
x 1 x y
y
sin
/
x
y
2 2
y 1 x
z = e .cos . .
x x
1 x y
b) Tr ng h p o hàm riêng hàm s nhi u h n hai bi n s ườ ợ đạ ố ề ơ ế ố
Đạ
o hàm riêng c
ủ
a hàm s
ố
n
bi
ế
n s
ố
1 2 n
w f x , x ,..., x
theo m
ộ
t trong các
bi
ế
n
độ
c l
ậ
p t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m
1 2 n
X x ,x ,..., x
là gi
ớ
i h
ạ
n (n
ế
u có) c
ủ
a t
ỷ
s
ố
gi
ữ
a s
ố
gia riêng
hàm s
ố
và s
ố
gia c
ủ
a bi
ế
n
độ
c l
ậ
p t
ươ
ng
ứ
ng khi s
ố
gia c
ủ
a bi
ế
n
độ
c l
ậ
p
đ
ó ti
ế
n t
ớ
i 0.
179
Ký hi
ệ
u:
i i
/ /
1 2 n
x x 1 2 n
i i
f x ,x ,..., x
w
w f x , x ,..., x
x x
i
1 2 i i n 1 2 ii n
x 0
i
f x ,x ,..., x x ,..., x f x ,x ,...,x ,...,x
lim
x
i i
1 2 i n 1 2 ii n
x x
i i
f x ,x ,..., x ,..., x f x , x ,...,x ,...,x
lim
x x
Chú ý : Đạ
o hàm riêng c
ủ
a hàm s
ố
w
theo bi
ế
n
i
x
t
ạ
i
đ
i
ể
m
1 2 n
X x ,x ,...,x
bi
ể
u
th
ị
t
ố
c
độ
bi
ế
n thiên c
ủ
a giá tr
ị
hàm s
ố
1 2 n
w f x , x ,..., x
t
ạ
i
đ
i
ể
m
1 2 n
X x ,x ,..., x
khi
i
x
thay
đổ
i m
ộ
t l
ượ
ng nh
ỏ
, trong
đ
i
ề
u ki
ệ
n giá tr
ị
các bi
ế
n còn l
ạ
i không thay
đổ
i. Khi tính
đạ
o hàm
i i
/ /
x x 1 2 n
w f x , x ,...,x
(
đạ
o hàm riêng theo bi
ế
n
i
x
) ta coi các bi
ế
n còn l
ạ
i nh
ư
h
ằ
ng s
ố
và xem
w
nh
ư
là m
ộ
t hàm c
ủ
a bi
ế
n
i
x
. Sau
đ
ó áp d
ụ
ng các quy t
ắ
c tính
đạ
o hàm
c
ủ
a hàm s
ố
m
ộ
t bi
ế
n s
ố
.
Ví d 3.ụ
Tính các
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1 c
ủ
a hàm s
ố
:
a)
4 2 2 2
f(x,y) ln(x x y y )
b)
2
z
x
w
y
Giải
a) Ta có
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1
/ 3 2
x
4 2 2 2
1
f x, y 4x 2xy
x x y y
/ 2
y
4 2 2 2
1
f x, y 2x y 2y
x x y y
b) Ta có
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1
2
z 1
/ 2
x
x 1
w x, y, z z .
y y
2
2
2
z 1
z
/ 2 2
y
2
z 1
x x x
w x, y, z z . z
y
y
y
180
2
z
/
z
x x
w x, y,z ln .2z
y y
5.1.2. o hàm riêng c a hàm h p Đạ ủ ợ
N
ế
u
z f u,v
và
u u x , v v x
thì
đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
z
theo bi
ế
n
x
là
dz z du z dv
dx u dx v dx
N
ế
u
1 2 m
w f u ,u ,...,u
và m
ỗ
i bi
ế
n
k
u
v
ớ
i
k = 1, 2,...,m
l
ạ
i là hàm c
ủ
a
các bi
ế
n
1 2 n
x ,x ,...,x
thì
đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
w
theo
i
x i 1,2,3...,n
đượ
c tính theo công
th
ứ
c:
1 2 n
i 1 i 2 i n i
w w u w u w u
x u x u x u x
⋯
(N
ế
u các
đạ
o hàm
ở
v
ế
ph
ả
i t
ồ
n t
ạ
i).
Ví d 4. ụ
Cho hàm s
ố
2
w u lnv
v
ớ
i
2
u sin 2x y
,
4 4 2
v x y cos x
. Tính
đạ
o hàm
riêng c
ủ
a hàm s
ố
theo biên x, y.
Giải
Ta có
2 3
w w 1 u v
2u, ; 2cos 2x y , 4x sin 2x
u v v x x
2 2 3
4 4 2
w 1
2sin 2x y 2cos 2x y 4x sin 2x
x
x y cos x
2 3
u v
2ycos 2x y , 4y
y y
2 2 3
4 4 2
w 1
2sin 2x y .2ycos 2x y . 4y .
y
x y cos x
Ví d 5.ụ
Cho hàm s
ố
2 2
x
z f x, y ln x y arcco t .
y
Tính
đạ
o hàm riêng c
ủ
a hàm
s
ố
f x,y
theo bi
ế
n
x
và
đạ
o hàm riêng c
ủ
a hàm s
ố
1
f x,
y
theo bi
ế
n y.
Giải
181
Cách 1:
2 2
x
f x,y ln x y arccot g x,y
y
/
x
2 2 2 2 2
2
2x 1 1 2x y
g x,y . .
y
x y x x y
1
y
2
2
1 1
f x, ln x arccot xy h x,y
y
y
/
y
3 2 2 2 2
2
2
1 2 x 2 xy
h x, y . .
1
y 1 x y (1 x y )y
x
y
Cách 2.
Xem
f x, y
là hàm h
ợ
p c
ủ
a hàm s
ố
f u,v
và các hàm s
ố
u x, v y
sau
đ
ó tính
đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
f u,v
theo bi
ế
n
x
theo công th
ứ
c
đạ
o hàm c
ủ
a hàm
h
ợ
p.
T
ươ
ng t
ự
, xem hàm
1
f x,
y
là hàm h
ợ
p c
ủ
a hàm s
ố
f u,v
và các hàm s
ố
1
u x, v .
y
5.1.3. o hàm riêng c p 2 Đạ ấ
a) Tr
ườ
ng h
ợ
p hàm s
ố
hai bi
ế
n s
ố
Cho hàm s
ố
z f x, y
. Tính các
đạ
o hàm riêng l
ầ
n th
ứ
nh
ấ
t ta
đượ
c
z z
,
x y
g
ọ
i là
các
đạ
o hàm c
ấ
p m
ộ
t c
ủ
a hàm
z
. Tính
đạ
o hàm riêng c
ủ
a các
đạ
o hàm riêng
đ
ó ta
đượ
c
các
đạ
o hàm riêng m
ớ
i g
ọ
i là các
đạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ
a hàm s
ố
z
ký hi
ệ
u là:
2 2
// //
xx yy
2 2
z z z z
f x, y , f x,y .
x x y y
x y
2 2
// //
xy yx
z z z z
f x,y , f x, y .
y x x y x y y x
T
ươ
ng t
ự
,
đạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ
a hàm s
ố
n
bi
ế
n s
ố
là
đạ
o hàm riêng c
ủ
a
đạ
o hàm
riêng c
ấ
p m
ộ
t.
Ký hi
ệ
u:
182
i j i j
// //
x x x x
w f
Hàm s
ố
n bi
ế
n s
ố
có
2
n
đạ
o hàm riêng c
ấ
p hai và n
ế
u
i j
thì các
đạ
o hàm riêng
c
ấ
p 2
đượ
c g
ọ
i là
đạ
o hàm h
ỗ
n h
ợ
p c
ấ
p 2.
Ví d 6.ụ
Tính các
đạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ
a hàm s
ố
sau:
3 2
w x y xy
Giải
Tính các
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1:
/ 2 2 / 3
x y
w 3x y y ; w x 2xy.
Tính các
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 2:
// // 2 // //
xx xy yx yy
w 6xy; w 3x 2y w ; w 2x.
Ví d 7.ụ
Cho hàm s
ố
x
z arctan
y
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
2 2
2 2
z z
0.
x y
Giải
Tính các
đạ
o hàm c
ấ
p 1:
2 2 2 2 2 2 2
2 2
z 1 1 y z 1 x x
. ; .
x y y
x x y x y x y
1 1
y y
M
ặ
t khác:
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
z 2xy z 2xy
;
x y
x y x y
V
ậ
y:
2 2
2 2
z z
0.
x y
Ví d 8.ụ
Cho
u
là m
ộ
t hàm s
ố
có
đạ
o hàm v
ớ
i
u
là hàm s
ố
c
ủ
a hai bi
ế
n s
ố
x
và
y.
Đặ
t
2 2
z y. x y .
Hãy ch
ứ
ng minh:
2
1 z 1 z z
x x y y
y
.
Giải
/ /
u u
z z
.2x; u y. . 2y
x y
183
2 2
/ /
u u
2 2
y. x y
u
1 1 z
VT .y. .2x . u y . 2y VP
x y y
y y
Chú ý:
Nói chung, hai
đạ
o hàm h
ỗ
n h
ợ
p c
ấ
p hai theo cùng m
ộ
t c
ặ
p bi
ế
n s
ố
nh
ư
ng
sai khác nhau
ở
trình t
ự
l
ấ
y
đạ
o hàm có th
ể
không b
ằ
ng nhau. Tuy nhiên, c
ả
hai
đạ
o hàm
đ
ó cùng t
ồ
n t
ạ
i và liên t
ụ
c thì chúng b
ằ
ng nhau. Trong ch
ươ
ng trình c
ủ
a chúng ta ch
ỉ
xét
nh
ữ
ng
đạ
o hàm h
ỗ
n h
ợ
p c
ấ
p hai t
ồ
n t
ạ
i và liên t
ụ
c.
5.2. Vi phân toàn ph n ầ
5.2.1. Vi phân c p 1 ấ
a) Tr ng h p hàm s hai bi n s ườ ợ ố ế ố
Cho hàm s
ố
w f x, y
. Khi
đồ
ng th
ờ
i cho
x
s
ố
gia
x
và
y
s
ố
gia
y
thì hàm
s
ố
w f x, y
có s
ố
gia t
ươ
ng
ứ
ng là:
w f f x x,y y f x, y .
S
ố
gia này g
ọ
i là s
ố
gia toàn ph
ầ
n c
ủ
a hàm s
ố
w f x, y
t
ạ
i
đ
i
ể
m
x, y .
N
ế
u hàm s
ố
w f x, y
có các
đạ
o hàm riêng
/
x
f x, y
và
/
y
f x, y
liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể
m
0 0
x ,y
thì s
ố
gia toàn ph
ầ
n
f
t
ạ
i
đ
i
ể
m
0 0
x ,y
có th
ể
vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng:
/ /
x 0 0 y 0 0
w f f x , y x f x , y y x y.
(1)
Trong
đ
ó,
, 0
khi
x
và
y 0.
Định nghĩa:
N
ế
u hàm s
ố
w f x, y
xác
đị
nh trong mi
ề
n D và có các
đạ
o hàm
riêng liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể
m
0 0 0
M x ,y D
thì bi
ể
u th
ứ
c
/ /
x 0 0 y 0 0
f x , y x f x , y y
đượ
c
g
ọ
i là vi phân toàn ph
ầ
n c
ủ
a hàm s
ố
w f x, y
t
ạ
i
đ
i
ể
m
0 0 0
M x , y
và
đượ
c ký hi
ệ
u là
dw
hay
0 0
df x , y
.
V
ậ
y vi phân toàn ph
ầ
n c
ủ
a hàm s
ố
hai bi
ế
n s
ố
t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m
0 0 0
M x , y
là:
/ /
x 0 0 y 0 0
dw f x , y x f x , y y
Hay:
/ /
0 0 x 0 0 y 0 0
df x , y f x , y x f x ,y y
.
V
ớ
i
x, y
là các bi
ế
n
độ
c l
ậ
p, ta có
dx x, dy y
và khi không nh
ấ
n m
ạ
nh vi
phân toàn ph
ầ
n t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m nào
đ
ó thì bi
ể
u th
ứ
c vi phân toàn ph
ầ
n c
ủ
a hàm s
ố
đượ
c vi
ế
t:
184
/ /
x y
df f dx f dy
Ví d 9.ụ
Tính vi phân toàn ph
ầ
n c
ủ
a hàm s
ố
:
2 2
w f x, y ln x xy y
t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
M 1,2
bi
ế
t
x 0,1; y 0,2
.
Giải
Ta có
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1
/
x
2 2
2x y
f x, y ;
x xy y
/
y
2 2
x 2y
f x, y
x xy y
V
ậ
y
/
x
2 2
2.1 2 4
f 1,2
7
1 1.2 2
;
/
y
2 2
1 2.2 5
f 1,2 .
7
1 1.2 2
Vi phân toàn ph
ầ
n c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
đ
i
ể
m
0
M 1,2
là:
4 5
df 1,2 .0,1 0,2 0,2.
7 7
T
ươ
ng t
ự
, gi
ả
thi
ế
t hàm s
ố
n
bi
ế
n s
ố
1 2 n
w f x , x ,..., x
có các
đạ
o hàm riêng liên
t
ụ
c theo t
ấ
t c
ả
các bi
ế
n
độ
c l
ậ
p, bi
ể
u th
ứ
c vi phân toàn ph
ầ
n là:
1 1 2 2 n n
dw f dx f dx f dx
⋯
V
ớ
i
i
i
f
f
x
.
Ví d 10.ụ
Vi
ế
t bi
ể
u th
ứ
c vi phân toàn ph
ầ
n c
ủ
a hàm s
ố
:
2
xy
w tan
z
Giải
Ta có
đạ
o hàm riêng c
ấ
p 1
2
/
x
2
2
1 y
w .
z
xy
cos
z
;
185
/
y
2
2
1 2xy
w . ;
z
xy
cos
z
2
/
z
2
2
2
1 xy
w .
xy
cos
z
Biểu th c vi phân toàn ph n c a hàm s là: ứ ầ ủ ố
2 2
2
2 2 2
2 2 2
1 y 1 2xy 1 xy
dw . dx . dy . dz.
z z
z
xy xy xy
cos cos cos
z z z
5.2.2. ng d ng vi phân toàn ph n tính g n úng Ứ ụ ầ để ầ đ
Từ (1) ta suy ra:
f df x y
Trong đó,
, 0
khi
x
và
y 0.
Do đó, trong tr ng h p hàm s ườ ợ ố
w f x, y
có các đạo hàm riêng liên t c thì ụ
f
khác
df
càng ít khi
x, y
càng nh (v giá tr tuy t ỏ ề ị ệ
đố ậ ể đơ ải). Vì v y, ta có th tính n gi n:
f df
v i ớ
x, y
đủ nh . ỏ
Ví d 11.ụ Tính gần đúng
2,01
0,99
.
Giải
Ta xét hàm s ố
y
f x, y x
thì s ph i tính ố ả
2,01
0,99
chính là
f 0,99;2,01
.
Mặt khác:
f 0,99;2,01 f 1 0,01;2 0,01
f 1;2 f 1 0,01;2 0,01 f 1,2
Mà theo công thức gần úng đ
f df
, tại
0 0
x 1, y 2
v i ớ
x 0,01,
y 0,01.
Suy ra:
f 0,99;2,01 f 1, 2 df 1,2 .
Với
2
f 1,2 1 1,
/ y 1 / y
x y
f yx , f x ln x
y 1 y
df 1,2 yx . x x ln x. y 2.1. 0,01 1.ln1.0,01= 0,02
Vậy:
f 0,99;2,01 1 0,02 0,98.
186
Nhận xét : Để tính gần đúng một số
A
nào ó ta ph i tìm c bi u th c c a hàm đ ả đượ ể ứ ủ
số
f x, y
(n u ch c n hai biế ỉ ầ ến c l p) sao cho s độ ậ ố
A
chính là giá tr c a hàm s tị ủ ố ại m điể
1 1
x ,y
nào ó đ
1 1
A f x ,y .
Sau ó vi t đ ế
1 1
f x , y
d i d ng ướ ạ
1 1 0 0
f x , y f x x, y y
,
trong đó
0 0
x , y
được ch n sao cho giá tr c a hàm ọ ị ủ
0 0
f(x , y )
được tính d dàng ễ
(chính xác), suy ra
1 0 1 0
x x x , y y y
r i tính g n gia toàn ph n ồ ầ đúng số ầ
0 0 0 0
f x , y df x ,y .
Cuối cùng s d ng công th c: ử ụ ứ
/ /
0 0 x 0 0 y 0 0
df x , y f x , y x f x ,y y
Vậy
1 1 0 0 0 0
A f x ,y f x , y df x , y .
5.2.3. Vi phân c p 2 ấ
Đị ĩnh ngh a:
Vi phân toàn ph n c a vi phân toàn ph n c p m t ầ ủ ầ ấ ộ
dw
c a hàm s ủ ố
1 2 n
w f x , x ,...,x
c g i là vi phân toàn phđượ ọ ần cấp hai c a hàm s ủ ố đó và được ký hi u ệ
như sau:
2 2
1 2 n
d w, d f x ,x ,...,x
Đố ườ ợ ế ố ể ứ ầi với tr ng h p hàm số hai bi n s bi u th c vi phân toàn ph n cấp hai là:
2 2
2 // // //
xx xy yy
d w w dx 2w dxdy w dy
Ví d 12.ụ Viết biểu thức vi phân toàn phần cấp hai của hàm số:
x 2y
w e
Giải
Tính o hàm riêng c p 1: đạ ấ
/ x 2y / x 2y
x y
w e ; w 2e
Tính
đạ ấo hàm riêng c p 2:
// x 2y // x 2y // // x 2y
xx xy yx yy
w e , w 2e w , w 4e
Bi
ể ấu thứ ầc vi phân toàn ph n c p 2:
2 2
x 2y x 2y x 2 y
dw e dx 2.2e dxdy 4e dy
.
187
Phụ l c 6. Bài toán c c tr hàm nhi u bi n không có u ki n ràng bu c (c c tr ụ ự ị ề ế điề ệ ộ ự ị
tự do)
6.1. Khái ni m c c tr a ph ng ệ ự ị đị ươ
Cho hàm n bi n ế
n
f : D
ℝ ℝ
và
0 0 0
0 1 2 n
X x ,x ,...,x D
. Hàm
f
xác nh và đị
liên t c trong mi n ụ ề
n
1 2 n i i i
D X x , x , ,x | a x b ;i 1,2, ,n
… …
R
i) Hàm f t c c i t i m đạ ự đạ ạ điể
0
X
, nếu
0
f X f X ; X D
ii) Hàm f t c c ti u t i m đạ ự ể ạ điể
0
X
, n u ế
0
f X f X ; X D
Hàm s ố
f X
t cđạ ực i hay c c ti u t i đạ ự ể ạ điềm
0
X
c g i là đượ ọ điểm c c trự ị c a hàm ủ
số.
Bài toán 1: Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
1 2 n
w f x ,x , , x f X
…
v i ớ
0
X D
* u ki n c n Điề ệ ầ
Giả s hàm s ử ố
w f X
xác nh, liên t c và có các o hàm riêng theo t t c các đị ụ đạ ấ ả
bi iến c l p trong mi n D. hàm s này t c c tr (c c i ho c c c ti u) t i độ ậ ề Để ố đạ ự ị ự đạ ặ ự ể ạ đ ểm
0
X D
thì t i m ó t t c các o hàm riêng c p m t tri t tiêu: ạ điể đ ấ ả đạ ấ ộ ệ
i i
/ /
x x 0
w f X 0; i 1, 2, ,n
…
Điểm
0
X
tho mãn u ki n trên c g i là ả điề ệ đượ ọ điểm dừng c a hàm s ủ ố
f X
.
* u ki n Điề ệ đủ
188
Giả s ử
0
X
là m t m d ng c a hàm s ộ điể ừ ủ ố
w f X
và t i m ó hàm s có t t c ạ điể đ ố ấ ả
các o hàm riêng c p hai liên t c. đạ ấ ụ
• Xét d ng toàn ph ng c a n bi n s Định lý 1: ạ ươ ủ ế ố
1 2 n
dx ,dx , ,dx
…
n n
2
ij i j
i 1 j 1
d f a dx dx
∑∑
trong ó đ
i j
//
ij x x 0
a f X
.
1.
N
ế
u
2
d f
là d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng xác
đị
nh d
ươ
ng thì
đ
i
ể
m d
ừ
ng
0
X
là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u
c
ủ
a hàm s
ố
f X
.
2.
N
ế
u
2
d f
là d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng xác
đị
nh âm thì
đ
i
ể
m d
ừ
ng
0
X
là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a
hàm s
ố
f X
.
3.
N
ế
u
2
d f
là d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng không xác
đị
nh thì
đ
i
ể
m d
ừ
ng
0
X
không ph
ả
i là
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
f X
.
•
Định lý 2:
Xét ma tr
ậ
n c
ủ
a d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng
2
d f
(ma tr
ậ
n Hess):
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
H
a a a
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
có các định th c con chính c p k ứ ấ
k 1,2, ,n
…
là:
11 12 1k
21 22 2k
k
k1 k2 kk
a a a
a a a
H
a a a
⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
1. Nếu
k
H 0
v i ớ
k 1,2, ,n
…
(tứ
c là ma tr
ậ
n H có t
ấ
t c
ả
các
đị
nh th
ứ
c con chính
d
ươ
ng) thì
đ
i
ể
m d
ừ
ng
0
X
là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
f X
.
2.
N
ế
u
k
k
1 H 0
v
ớ
i
k 1,2, ,n
…
(t
ứ
c là ma tr
ậ
n H có các
đị
nh th
ứ
c con chính
c
ấ
p l
ẻ
âm và c
ấ
p ch
ẵ
n d
ươ
ng) thì
đ
i
ể
m d
ừ
ng
0
X
là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
f X
. Trong
th
ự
c hành, ta th
ườ
ng g
ặ
p các bài toán tìm c
ự
c tr
ị
t
ự
do c
ủ
a hàm hai bi
ế
n và hàm ba bi
ế
n.
189
Sau
đ
ây chúng tôi s
ẽ
phát bi
ể
u các b
ướ
c tìm c
ự
c tr
ị
cho các hàm trong nh
ữ
ng tr
ườ
ng h
ợ
p
này.
6.2. Tr ng h p hàm hai bi n ườ ợ ế
V
ớ
i hàm hai bi
ế
n
z f x, y
.
Bước 1:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
/ /
x x
/ /
y y
z f x, y 0
z f x,y 0
Các nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
là t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m d
ừ
ng.
Bước 2:
Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
t
ạ
i các
đ
i
ể
m d
ừ
ng.
Gi
ả
s
ử
0 0
M x ,y
là m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng c
ủ
a hàm s
ố
đ
ã cho. Xét
đị
nh th
ứ
c
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
D a a a a
a a
trong
đ
ó
// //
11 xx 0 0 12 xy 0 0
a f x ,y ; a f x ,y ;
// //
21 yx 0 0 22 yy 0 0
a f x , y ; a f x , y .
Trường hợp 1
:
N
ế
u
D 0
thì
đ
i
ể
m d
ừ
ng
M
là
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
w f x, y :
0 0
M x , y
là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i n
ế
u
11
a 0
.
0 0
M x , y
là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u n
ế
u
11
a 0
.
Trường h p 2ợ
:
N
ế
u
D 0
thì
đ
i
ể
m d
ừ
ng M không ph
ả
i là
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
w f x, y .
6.3. Tr ng h p hàm ba bi n ườ ợ ế
V
ớ
i hàm ba bi
ế
n
w f x,y,z
.
Bước 1:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
/ /
x x
/ /
y y
/ /
z z
w f x, y, z 0
w f x, y,z 0
w f x,y,z 0
Các nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
là t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m d
ừ
ng.
Bước 2:
Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
t
ạ
i các
đ
i
ể
m d
ừ
ng.
190
Gi
ả
s
ử
0 0 0
M x ,y ,z
là m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng c
ủ
a hàm s
ố
đ
ã cho. Xét các
đị
nh th
ứ
c con
chính c
ủ
a ma tr
ậ
n:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
H a a a
a a a
V
ớ
i
11 12
1 11 2 3
21 22
a a
H a ; H ; H H
a a
, trong
đ
ó:
// // //
11 xx 0 0 0 12 xy 0 0 0 13 xz 0 0 0
a f x ,y ,z ; a f x ,y ,z ; a f x , y , z ;
// // //
21 yx 0 0 0 22 yy 0 0 0 23 yz 0 0 0
a f x ,y , z ; a f x ,y , z ; a f x ,y ,z ;
// // //
31 zx 0 0 0 32 zy 0 0 0 33 zz 0 0 0
a f x ,y ,z ; a f x , y ,z ; a f x , y , z .
Trường h p 1:ợ
N
ế
u
1 2 3
H 0; H 0; H 0
thì
M
là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
w f x, y, z
.
Trường h p 2ợ
:
N
ế
u
1 2 3
H 0; H 0; H 0
thì
M
là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
w f x, y, z
.
Chú ý :
Trong khuôn kh
ổ
ch
ươ
ng trình, ta th
ườ
ng g
ặ
p nh
ữ
ng hàm s
ố
có
các
đạ
o hàm riêng c
ấ
p hai liên t
ụ
c, nên các
đạ
o hàm chéo
đề
u b
ằ
ng nhau, do
đ
ó
ij ji
a a i j
.
Ví d 1.ụ
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
3 3
z x 2xy 8y
.
Giải
B
ướ
c 1: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
/ 2
2
x
/ 2
2
y
z 3x 2y 0
3x 2y
z 2x 24y 0
24y 2x
L
ậ
p t
ỉ
s
ố
v
ế
theo v
ế
c
ủ
a hai ph
ươ
ng trình trên, ta có
x 2y
Thay vào ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
, ta có
1 1
2 2
y 0 x 0
2y 6y 1 0
1 1
y x
6 3
⇒
V
ậ
y hàm s
ố
có hai
đ
i
ể
m d
ừ
ng
1
M 0,0
và
2
1 1
M ,
3 6
.
191
B
ướ
c 2: Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
// // // //
xx yy xy yx
z 6x; z 48y; z z 2
+) T
ạ
i
đ
i
ể
m
1
M 0,0
, ta có:
0 2
D 4 0
2 0
nên
1
M
không ph
ả
i là
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
.
+) T
ạ
i
đ
i
ể
m
2
1 1
M ,
3 6
, ta có:
2 2
D 12 0
2 8
và
11
a 2 0
nên
2
M
là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó giá tr
ị
c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
là
3 3
CT
1 1 1 1 1
z 2. . 8
3 3 6 6 27
.
Ví d 2.ụ
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
:
2 2
z 3x 4y 2xy 2x 3y 1.
Giải
B
ướ
c 1: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
/
x
/
y
5
x
z 6x 2y 2 0
22
7
z 8y 2x 3 0
y
22
V
ậ
y hàm s
ố
có m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng là
5 7
M ,
22 22
.
B
ướ
c 2: Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
// // //
11 xx 22 yy 12 21 xy
a z 6;a z 8;a a z 2.
Ta có:
11 12
21 22
a a 6 2
D 44 0
a a
2 8
và
11
a 6 0
nên M là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
. Khi
đ
ó giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
là
CD
5 7 825
z z ,
22 22 484
.
Ví d 3.ụ
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
:
2 2 2
w x 2y 9z 4xz 2y 3z 4
.
Giải
B
ướ
c 1: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
192
/
x
/
y
/
z
3
x
w 2x 4z 0
5
1
w 4y 2 0 y
2
3
w 18z 4x 3 0
z
10
V
ậ
y hàm s
ố
có m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng là
3 1 3
M , ,
5 2 10
.
B
ướ
c 2: Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
// // //
11 xx 22 yy 33 zz
a w 2; a w 4; a w 18;
// // //
12 21 xy 13 31 xz 23 32 yz
a a w 0; a a w 4; a a w 0.
L
ậ
p ma tr
ậ
n:
2 0 4
H 0 4 0
4 0 18
Ta có:
1 2 3
2 0 4
2 0
H 2 0; H 8 0; H 0 4 0 80 0
0 4
4 0 18
nên M là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó giá tr
ị
c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
là
CT
3 1 3 61
z z , , .
5 2 10 20
Ví d 4.ụ
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
10 5
z 20xy
x y
(
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
x 0; y 0
).
Giải
B
ướ
c 1: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
/
x 2
2 2
2
/
y
2 2
10 1
z 20y 0 2y
2x y 1
x x
5 1
4xy 1
z 20x 0 4x
y y
Theo gi
ả
thi
ế
t
x 0; y 0
nên ta có th
ể
xác
đị
nh quan h
ệ
gi
ữ
a
x, y
nh
ư
sau:
2
2
2x y 1 x
1 x 2y
1 2y4xy
⇒ ⇒
Thay vào ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
, ta có
193
3 3
1 1
8y 1 y y x 1
8 2
⇒ ⇒ ⇒
(tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n)
V
ậ
y hàm s
ố
có m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng
1
M 1,
2
.
B
ướ
c 2: Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
// / /
xx 11 xx
3
20 1
z a z 1, 20;
2
x
⇒
// //
yy 22 yy
3
10 1
z a z 1, 80;
2
y
⇒
// // //
xy yx 12 21 xy
1
z z 20 a a z 1, 20.
2
⇒
Ta có:
20 20
D 1200 0
20 80
và
11
a 20 0
nên M là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó giá tr
ị
c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
là
CT
1 10 5
z 20. 1 . 30
1
2 1
2
.
Ví d 5.ụ
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
4 4 2 2
z x y x 2xy y 2
.
Giải
B
ướ
c 1: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
/ 3
x
/ 3
y
z 4x 2x 2y 0
z 4y 2x 2y 0
C
ộ
ng ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t v
ớ
i ph
ươ
ng trình th
ứ
hai c
ủ
a h
ệ
, ta có quan hê gi
ữ
a hai bi
ế
n
3 3
4x 4y 0 x y
⇒
Thay vào ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
, ta có
1 1
2
2 2
3 3
x 1 y 1
4x x 1 0 x 1 y 1
x 0 y 0
⇒
V
ậ
y hàm s
ố
có ba
đ
i
ể
m d
ừ
ng
1
M 1, 1
,
2
M 1,1
và
3
M 0,0
.
B
ướ
c 2: Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
194
// 2 // 2 / / //
xx yy xy yx
z 12x 2; z 12y 2; z z 2
+) T
ạ
i
đ
i
ể
m
1
M 1, 1
, ta có
10 2
D 96 0
2 10
và
11
a 10 0
nên
1
M
là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i. Khi
đ
ó giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
là
CD
z z 1, 1 0
+) T
ạ
i
đ
i
ể
m
2
M 1,1
, ta có
10 2
D 96 0
2 10
và
11
a 10 0
nên
2
M
là là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i. Khi
đ
ó giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
là
CD
z z 1, 1 0
+) T
ạ
i
đ
i
ể
m
3
M 0,0
, ta có
2 2
D 0
2 2
nên ta ch
ư
a th
ể
k
ế
t lu
ậ
n
đượ
c tính ch
ấ
t c
ủ
a
đ
i
ể
m này. Ta c
ầ
n xét
đ
i
ể
m
3
M
thông qua
đị
nh
ngh
ĩ
a c
ự
c tr
ị
đị
a ph
ươ
ng:
Xét nh
ữ
ng
đ
i
ể
m
M x,y
có kho
ả
ng cách
đế
n
3
M 0,0
nh
ỏ
h
ơ
n m
ộ
t s
ố
th
ự
c d
ươ
ng:
3
0 d M,M r
.
Xét hi
ệ
u :
2
4 4 2 2 4 4
3
z M z M x y x 2xy y x y x y
T
ạ
i nh
ữ
ng
đ
i
ể
m
M x,y
tho
ả
mãn
x y 0
, ta có
4 4
3 3
z M z M x y 0 z M z M
⇒
T
ạ
i nh
ữ
ng
đ
i
ể
m
M x,y
tho
ả
mãn
x 2y 0
, ta có
2 4 2 2
3
1 1
z M z M y 17y y 1 17y 0 y
17 17
nên t
ạ
i nh
ữ
ng
đ
i
ể
m
M 2y, y
mà
1 1
y
17 17
thì
3
z M z M
V
ậ
y theo
đị
nh ngh
ĩ
a,
3
M
không ph
ả
i là
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
.
195
Phụ l c 7. Bài toán c c tr có u ki n ràng bu c ph ng trình (ph ng pháp ụ ự ị điề ệ ộ ươ ươ
nhân t Lagrange) ử
7.1. Bài toán c c tr có u ki n ràng bu c ự ị điề ệ ộ
Bài toán. Tìm c c tr c a hàm s : ự ị ủ ố
1 2 n
w f x , x , , x f X
…
với điều ki n : ệ
1 2 n
g x ,x , , x g X b
…
.
Lập hàm Lagrange:
1 2 n 1 2 n 1 2 n
L x ,x , , x , f x ,x , ,x b g x , x , ,x
… … …
Với : nhân tử Lagrange.
Điều ki n c n: ệ ầ
Gi iả s các hàm f và g có các o hàm riêng liên t c trong m t lân c n c a ử đạ ụ ộ ậ ủ đ ểm
1 2 n
X x ,x , ,x
… và t
ạ
i
đ
i
ể
m
đ
ó ít nh
ấ
t m
ộ
t trong các
đạ
o hàm riêng c
ủ
a g khác 0. N
ế
u
hàm
w f X
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
g X b
đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
X
thì t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t giá tr
ị
c
ủ
a nhân
t
ử
Lagrange sao cho
1 2 n
x ,x , , x ,
… là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình:
i i i
/
/ / /
x x x
L b g X 0
i 1,2, ,n
L f g 0
…
Điều kiệ đủn :
Gi
ả
s
ử
các hàm f và g có các
đạ
o hàm riêng c
ấ
p hai liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể
m
X
và
đ
i
ể
m
1 2 n
x ,x , , x ,
… là m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng c
ủ
a hàm s
ố
Lagrange. L
ậ
p ma tr
ậ
n:
1 2 n
1 11 12 1n
2 21 22 2n
n n1 n2 nn
g g g
0
g L L L
H g L L L
g L L L
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
trong
đ
ó
k i j
/ //
k x 1 2 n ij x x 1 2 n
g g x ,x , , x ; L L x ,x , ,x , ; i, j,k 1,2, , n
… … …
Các
đị
nh th
ứ
c con chính c
ấ
p k
k 2,3, ,n
là
196
1 2 k
1 11 12 1k
k
2 21 22 2k
k k1 k2 kk
g g g
0
g L L L
H
g L L L
g L L L
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
1.
N
ế
u
k
k
1 H 0
v
ớ
i
k 2,3, ,n
…
thì hàm
w f X
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
g X b
đạ
t
giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m
X
.
2.
N
ế
u
k
H 0
v
ớ
i
k 2,3, ,n
…
thì hàm
w f X
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
g X b
đạ
t giá
tr
ị
c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m
X
.
7.2. Tr ng h p hàm hai bi n ườ ợ ế
Xét hàm hai bi
ế
n
z f x, y
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
g x,y b
.
Bước 1:
L
ậ
p hàm Lagrange:
L x, y, f x, y b g x, y
Bước 2
: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
để
tìm
đ
i
ể
m d
ừ
ng
/ / /
x x x
/ / /
y y y
/
L f g 0
L f g 0
L b g x,y 0
Bước 3:
Gi
ả
s
ử
0 0
M x , y
là m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng
ứ
ng v
ớ
i giá tr
ị
0
, ta xét
đị
nh th
ứ
c
1 2
1 11 12
2 21 22
0 g g
H g L L
g L L
trong
đ
ó:
/ / //
1 x 0 0 2 y 0 0 11 xx 0 0 0
g g x ,y ; g g x ,y ; L L x , y , ;
// //
22 yy 0 0 0 12 21 xy 0 0 0
L L x , y , ; L L L x , y , .
Trường h p 1 :ợ
N
ế
u
H 0
thì hàm s
ố
z f x, y
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
g x,y b
đạ
t giá
tr
ị
c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m M.
Trường h p 2:ợ
N
ế
u
H 0
thì hàm s
ố
z f x, y
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
g x,y b
đạ
t giá
tr
ị
c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m M.
7.3. Tr ng h p hàm ba bi n ườ ợ ế
197
Xét hàm ba bi
ế
n
w f x,y,z
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
g x, y,z b
.
B
ướ
c 1: L
ậ
p hàm Lagrange
L x, y,z, f x, y,z b g x,y,z
B
ướ
c 2: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
để
tìm
đ
i
ể
m d
ừ
ng
/ / /
x x x
/ / /
y y y
/ / /
z z z
/
L f g 0
L f g 0
L f g 0
L b g x,y, z 0
B
ướ
c 3: Gi
ả
s
ử
0 0 0
M x , y ,z
là m
ộ
t
đ
i
ể
m d
ừ
ng
ứ
ng v
ớ
i giá tr
ị
0
,
xét các
đị
nh th
ứ
c
con chính c
ủ
a ma tr
ậ
n
1 2 3
1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
0 g g g
g L L L
H
g L L L
g L L L
là
1 2
2
1 11 12
2 21 22
0 g g
H g L L
g L L
và
3
H H
, trong ó đ
/ / /
1 x 0 0 0 2 y 0 0 0 3 z 0 0 0
g g x , y ,z ; g g x , y ,z ; g g x ,y ,z ;
// //
11 xx 0 0 0 0 12 21 xy 0 0 0 0
L L x ,y ,z , ; L L L x ,y ,z , ;
// //
22 yy 0 0 0 0 23 32 yz 0 0 0 0
L L x , y ,z , ; L L L x , y ,z , ;
// //
33 zz 0 0 0 0 13 31 xz 0 0 0 0
L L x , y , z , ; L L L x , y ,z , .
Trường h p 1ợ
: Nếu
2 3
H 0; H 0
thì hàm s ố
w f x,y,z
v i u ki n ớ điề ệ
g x, y,z b
đạt giá tr c c i t i m M. ị ự đạ ạ điể
Trường h p 2ợ
: Nếu
2 3
H 0; H 0
thì hàm s ố
w f x,y,z
v i u ki n ớ điề ệ
g x, y,z b
đạt giá tr c c ti u t i m M. ị ự ể ạ điể
Ví d 1.ụ Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm s ố
2 2
z x 2y
với u ki n điề ệ
3x 2y 22
.
198
Giải
Bước 1: L p hàm Lagrange ậ
2 2
L(x, y, ) x 2y 22 3x 2y
Bước 2: Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
/
x
/
y
/
3
x
L 2x 3 0
2
x 6
L 4y 2 0 y y 2
2
4
3x 2y 22
L 22 3x 2y 0
Vậy hàm s có m t m d ng là ố ộ điể ừ
M 6,2
ứng v i ớ
2
.
Bướ
c 3: Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
/ / / /
1 x 2 y 11 xx
g g 3; g g 2; L L 2;
// //
22 yy 12 21 xy
L L 4; L L L 0.
Xét
đị
nh th
ứ
c :
0 3 2
H 3 2 0 44 0
2 0 4
V
ậ
y
đ
i
ể
m M là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i. Khi
đ
ó giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
là
2
2
CD
z z 6,2 6 2.2 44.
Ví d 2.ụ
S
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp nhân t
ử
Lagrange tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z 3x y
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2
3x 4y 208.
Giải
B
ướ
c 1: L
ậ
p hàm Lagrange:
2 2
L(x, y, ) 3x y 208 3x 4y
B
ướ
c 2: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
/
x
/
y
2 2
/ 2 2
L 3 6 x 0
2 x 1 (1)
L 1 8 y 0 8 y 1 (2)
3x 4y 208 (3)
L 208 3x 4y 0
T
ừ
(1) và (2), ta có
x 4y
(
x 0, y 0
, vì n
ế
u
x 0, y 0
là vô lý)
Thay vào ph
ươ
ng trình th
ứ
(3), ta có
2 2
y 2
52y 208 y 4
y 2
199
V
ớ
i
y 2
k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (1) và (2), ta có
2 x 1 x 8
8 y 1 y 2
y 2 1
16
V
ớ
i
y 2
k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (1) và (2), ta có
2 x 1 x 8
8 y 1 y 2
y 2 1
16
V
ậ
y hàm s
ố
có hai
đ
i
ể
m d
ừ
ng:
1
M 8, 2
ứ
ng v
ớ
i
1
1
16
;
2
M 8,2
ứ
ng v
ớ
i
2
1
16
.
B
ướ
c 3: Ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ
t
ạ
i
đ
i
ể
m
i i i
M x ,y
ứ
ng v
ớ
i
i
i 1, 2
/ / //
x y xx
g 6x; g 8y; L 6 ;
// // / /
yy xy yx
L 8 ; L L 0.
Suy ra
1 i 2 i 11 i 22 i 12 21
g 6x ;g 8y ; L 6 ; L 8 ;L L 0.
Xét
đị
nh th
ứ
c:
i i
2 2
i i i i i i
i i
0 6x 8y
H 6x 6 0 96 3x 4y 96.19.
8y 0 8
+) T
ạ
i
đ
i
ể
m
1
M 8, 2
. Ta có
1
H 96.19. 0
16
nên
1
M
là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i. Khi
đ
ó giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a hàm s
ố
là
CD
z z 8, 2 3.8 2 26.
+) T
ạ
i
đ
i
ể
m
2
M 8,2
. Ta có
1
H 96.19. 0
16
nên
2
M
là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó giá tr
ị
c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
là
CT
z z 8,2 3. 8 2 26.
200
Phụ l c 8. Ph ng trình vi phân ụ ươ
8.1. Các khái ni m c b n ệ ơ ả
a) nh ngh a ph ng trình vi phân Đị ĩ ươ
Phương trình vi phân c p n có d ng sau: ấ ạ
n
/ //
F x, y, y , y , , y 0
…
Ví d 1. ụ
Cho các ph
ươ
ng trình vi phân
/
y 5x 0
Ph
ươ
ng trình vi phân c
ấ
p 1
3x y dx x y dy 0
Ph
ươ
ng trình vi phân c
ấ
p 1
// / x
y 3y 2y (x 1)e
Ph
ươ
ng trình vi phân c
ấ
p 2
b) Nghi m c a ph ng trình vi phân ệ ủ ươ
Nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình vi phân là m
ộ
t hàm s
ố
trên kho
ả
ng
I
ℝ
Có 3 d
ạ
ng sau:
- D
ạ
ng hi
ệ
n :
y f (x)
- D
ạ
ng
ẩ
n :
(x, y) 0
- D
ạ
ng tham s
ố
:
x x(t)
t
y y(t)
ℝ
Nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình vi phân
- Nghi
ệ
m t
ổ
ng quát :
y f (x,C)
, nghi
ệ
m riêng
0
y f (x,C )
- Tích phân t
ổ
ng quát :
(x, y,C) 0
- Nghi
ệ
m k
ỳ
d
ị
.
8.2. Ph ng trình vi phân c p 1 ươ ấ
Ph
ươ
ng trình vi phân c
ấ
p 1 có d
ạ
ng t
ổ
ng quát:
/ /
F(x,y, y ) 0 hay y f (x, y) (*)
Hàm s
ố
y (x)
xác
đị
nh và kh
ả
vi trên kho
ả
ng
I
ℝ
đượ
c g
ọ
i là nghi
ệ
m c
ủ
a
ph
ươ
ng trình (*) trên
ℝ
, n
ế
u
/
(x, (x)) G, x I
(x) f (x, (x)), x I
với G là t p xác nh c a hàm ậ đị ủ
f (x,y)
Bài toán Cauchy: Tìm hàm số
y (x)
là nghi m c a ph ng trình (*) th a u ệ ủ ươ ỏ điề
kiện u đầ
0 0
y (x )
.
a) Ph ng trình tách bi n ươ ế
201
Có 3 d ng sau: ạ
/
y f(x)g(y)
f (x)dx g(y)dy 0
1 1 2 2
f (x)g (y)dx f (x)g (y)dy 0
Phương pháp giải
Phân ly bi n s x và dx v m t v và y và dy v m t v r i l y tích phân hai v ế ố ề ộ ế ề ộ ế ồ ấ ế
Ví d 2.ụ Giải phương trình vi phân sau
1)
/ x
y e
2)
4
x sin x dx 5y dy 0
3)
/ 2
y xy 2xy
Giải
1)
/ x x x
y e dy e dx y e C
(C là h ng s ) ằ ố
2)
4
x sin x dx 5y dy 0
(2)
Lấy tích phân 2 v c a ph ng trình (2) ế ủ ươ
4
x sin x dx 5y dy C
∫ ∫
2 5
1
x cos x y C
(v i C là h ng s ) ớ ằ ố
3)
/ 2
y xy 2xy
Phương trình (3) c vi t l i nh sau đượ ế ạ ư
2
dy
xy 2xy xy(y 2) dy xy(y 2)dx
dx
(3)
Trường h p 1: N u ợ ế
y 0, 2
là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
Trường h p 2: N u ợ ế
y 0, 2
, chia hai v c a ph ng trình (3) cho ế ủ ươ
y(y 2)
, ta
được
dy
xdx
y(y 2)
,
Lấy tích phân hai v c a ph ng trình trên, ta có ế ủ ươ
dy 1 1 1
xdx C dy xdx C
y(y 2) 2 y y 2
∫ ∫ ∫ ∫
202
2
1 1
ln y ln y 2 x C
2 2
2
y
ln x C
y 2
(v
ớ
i C là h
ằ
ng s
ố
)
b) Ph ng trình vi phân tuy n tính c p 1 ươ ế ấ
Ph
ươ
ng trình vi phân tuy
ế
n tính c
ấ
p 1 có d
ạ
ng:
/
y a(x)y b(x)
. Trong
đ
ó .
a(x), b(x)
. là các hàm s
ố
liên t
ụ
c.
Phương pháp gi i ả
Bước 1:
Tìm m
ộ
t nguyên hàm c
ủ
a
u(x) a(x)dx
∫
Bước 2:
Ch
ọ
n th
ừ
a s
ố
tích phân
u(x)
v(x) e
Bước 3:
Nhân hai v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình cho th
ừ
a s
ố
tích phân:
v(x) (v(x) 0, x)
thì ta có
/
v(x)y a(x)v(x)y v(x)b(x)
/
v(x)y v(x)b(x) (*)
Bước 4:
L
ấ
y tích phân hai v
ế
c
ủ
a (*), ta
đượ
c
1
v(x)y v(x)b(x)dx y v(x)b(x)dx
v(x)
⇒
∫ ∫
Ví d 3.ụ
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình vi phân sau3
/
1
1) y y 1
x
v
ớ
i .
x 0, y(1) 1
.
2
/ x
2) y 2xy xe
Giải
/
1
1) y y 1
x
v
ớ
i
x 0, y(1) 1
B
ướ
c 1:
1
x
có nguyên hàm là
ln x ln x
(vì
x 0
)
B
ướ
c 2: Ch
ọ
n th
ừ
a s
ố
tích phân:
ln x
e x
203
B
ướ
c 3: Nhân hai v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình cho
x
, thì ta có
/
/
xy y x xy x
(*)
B
ướ
c 4: L
ấ
y tích phân hai v
ế
c
ủ
a (*)
2
1 1 x C
xy xdx C y x C
x 2 2 x
⇒
∫
V
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đầ
u
1 C 1
y(1) 1 1 C
2 1 2
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
x 1
y
2 2x
2
/ x
2) y 2xy xe
B
ướ
c 1:
2x
có nguyên hàm là
2
x
B
ướ
c 2: Ch
ọ
n th
ừ
a s
ố
tích phân:
2
x
e
B
ướ
c 3: Nhân hai v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình cho
2
x
e
, thì ta có
2 2 2
/
x / x x
e y 2xe y x e y x
(*)
B
ướ
c 4: L
ấ
y tích phân hai v
ế
c
ủ
a (*)
2 2
x x 2
1
e y xdx C y e x C
2
⇒
∫
204
MỘT S THAM KH O Ố ĐỀ Ả
Đề ố s 01
Câu 1. Cho hàm s n xu t Cobb Douglas: ả ấ
3
2
Q K, L 80 K L
trong
đ
ó Q : là s
ả
n l
ượ
ng, K : là v
ố
n, L : là lao
độ
ng.
1)
Tính h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a
Q
theo
K
và theo
L.
Nêu ý ngh
ĩ
a.
2)
N
ế
u nh
ị
p t
ă
ng tr
ưở
ng c
ủ
a v
ố
n là 4% và nh
ị
p t
ă
ng tr
ưở
ng c
ủ
a lao
độ
ng là 6% thì
nh
ị
p t
ă
ng tr
ưở
ng c
ủ
a s
ả
n l
ượ
ng là bao nhiêu?
Câu 2.
Cho hàm chi phí c
ậ
n biên
ở
m
ỗ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng
Q
là
0,6Q
MC Q 15e
và chi phí
c
ố
đị
nh là 20. Tìm hàm t
ổ
ng chi phí.
Câu 3.
Cho ma tr
ậ
n h
ệ
s
ố
k
ỹ
thu
ậ
t c
ủ
a 3 ngành nh
ư
sau
0,1 0,2 0
A 0,2 0,1 0,3
0,2 0,3 0,1
1)
Nêu ý ngh
ĩ
a kinh t
ế
c
ủ
a ph
ầ
n t
ử
ở
hàng 2 và c
ộ
t 3 c
ủ
a ma tr
ậ
n này.
2)
Cho bi
ế
t ma tr
ậ
n c
ầ
u cu
ố
i
T
b 60 50 70
. Tìm s
ả
n l
ượ
ng m
ỗ
i ngành
Câu 4.
Cho hàm t
ổ
ng chi phí nh
ư
sau:
2
C(Q) 4000 5Q 0,1Q
(Q là s
ả
n l
ượ
ng)
1)
Tính chi phí biên t
ạ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng 100.
2)
Tìm Q
để
c
ự
c ti
ể
u hàm chi phí bình quân
Câu 5.
M
ộ
t công ty có hàm s
ả
n xu
ấ
t:
Q K, L 2K(L 2),
trong
đ
ó
K, L
l
ầ
n l
ượ
t là v
ố
n
và lao
độ
ng. Bi
ế
t giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là 600 USD và giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng là
300 USD. N
ế
u doanh nghi
ệ
p chi s
ố
ti
ề
n 15000 USD. Tìm m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng K và L sao cho
s
ả
n l
ượ
ng t
ố
i
đ
a.
Đề ố s 02
Câu 1.
Thu nh
ậ
p qu
ố
c dân c
ủ
a m
ộ
t qu
ố
c gia (Y) ph
ụ
thu
ộ
c vào v
ố
n (K), lao
độ
ng
đượ
c s
ử
d
ụ
ng (L) và ngân sách
đ
ào t
ạ
o 5 n
ă
m tr
ướ
c
đ
ó (G) nh
ư
sau:
0,35 0,18 0,25
Y 0,38K L G
trong
đ
ó K, L, G là các hàm theo th
ờ
i gian nh
ư
sau:
205
t
0
K(t) K (1,2)
;
t
0
L(t) L (1,05)
;
t
0
G(t) G (1,25)
.
Tính h
ệ
s
ố
t
ă
ng tr
ưở
ng c
ủ
a thu nh
ậ
p qu
ố
c dân.
Câu 2.
M
ộ
t doanh nghi
ệ
p có hàm chi phí c
ậ
n biên :
2
MC(Q) 0,9Q 6Q 19
, v
ớ
i Q là
s
ả
n l
ượ
ng
1)
Hãy tìm hàm t
ổ
ng chi phí c
ủ
a doanh nghi
ệ
p, bi
ế
t chi phí c
ố
đị
nh b
ằ
ng 30.
2)
Hãy xác
đị
nh hàm chi phí bi
ế
n
đổ
i bình quân và m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng c
ự
c ti
ể
u hóa hàm
này.
Câu 3.
L
ượ
ng
đầ
u t
ư
t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m t cho b
ở
i hàm s
ố
:
3
I(t) 5t t t 1 t
Bi
ế
t qu
ỹ
v
ố
n vào th
ờ
i
đ
i
ể
m xu
ấ
t phát
K(0) 84
, tìm hàm qu
ỹ
v
ố
n t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
t 4.
Câu 4.
Cho mô hình thu nh
ậ
p qu
ố
c dân
0 0
Y C I G
C 150 0,8(Y T)
T 0,2Y
Trong
đ
ó Y là thu nh
ậ
p qu
ố
c dân,
0
I
là
đầ
u t
ư
,
0
G
là chi tiêu chính ph
ủ
, C là tiêu
dùng, T là thu
ế
. Tìm thu nh
ậ
p qu
ố
c dân và tiêu dùng
ở
tr
ạ
ng thái cân b
ằ
ng khi
0 0
I 200, G 900.
Câu 5.
M
ộ
t hãng có hai c
ơ
s
ở
s
ả
n xu
ấ
t v
ớ
i các hàm s
ả
n xu
ấ
t có d
ạ
ng:
0,5
1 1
Q 2 L 100
và
0,5
2 2
Q 2 L 200
Tìm ph
ươ
ng án s
ử
d
ụ
ng nhân công t
ạ
i hai c
ơ
s
ở
để
hãng có th
ể
làm ra m
ộ
t lô hàng là
200
đơ
n v
ị
v
ớ
i giá thành nh
ỏ
nh
ấ
t, bi
ế
t giá thu
ế
công nhân t
ạ
i hai c
ơ
s
ở
là nh
ư
nhau là
w
USD/
đơ
n v
ị
lao
độ
ng.
Đề ố s 03
Câu 1.
Cho hàm cung và hàm c
ầ
u c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
i hàng háo nh
ư
sau :
0,45 0,25
D 1,5Y P
;
0,35
S 1,5P
.
Trong
đ
ó: Y là thu nh
ậ
p, P là giá c
ủ
a hàng hóa.
1)
Xác
đị
nh h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a c
ầ
u theo giá, theo thu nh
ậ
p và nêu ý ngh
ĩ
a.
2)
Xem xét m
ứ
c tác
độ
ng c
ủ
a thu nh
ậ
p t
ớ
i m
ứ
c giá cân b
ằ
ng.
206
Câu 2.
Cho hàm s
ả
n ph
ẩ
m c
ậ
n biên c
ủ
a lao
độ
ng
0,5
MPL 40L
. Tìm hàm s
ả
n xu
ấ
t ng
ắ
n
h
ạ
n
Q f (L)
, bi
ế
t r
ằ
ng
Q(100) 4000
.
Câu 3.
Xét th
ị
tr
ườ
ng ba lo
ạ
i hàng hóa v
ớ
i hàm cung và hàm c
ầ
u nh
ư
sau:
1 1
S 1 D 1 3
Q 10 P ; Q 20 P P
2 2
S 2 D 2 3
Q 2P ; Q 40 2P P
3 3
S 3 D 1 2 3
Q 5 3P ; Q 10 P P P
Hãy xác
đị
nh b
ộ
giá tr
ị
và l
ượ
ng cân b
ằ
ng th
ị
tr
ườ
ng c
ủ
a ba hàng hóa
đ
ó b
ằ
ng quy
t
ắ
c Cramer.
Câu 4.
Cho hàm chi phí trung bình c
ủ
a doanh nghi
ệ
p c
ạ
nh tranh hoàn h
ả
o nh
ư
sau:
2
12 1 1
AV(Q) Q Q 10
Q 2 4
1)
Tìm hàm chi phí c
ậ
n biên.
2)
V
ớ
i giá bán
P 106
, Tìm Q
để
l
ợ
i nhu
ậ
n c
ự
c
đạ
i.
Câu 5.
M
ộ
t công ty có hàm s
ả
n xu
ấ
t:
0,4 0,3
Q K L
, trong
đ
ó K, L l
ầ
n l
ượ
t là v
ố
n và lao
độ
ng. Bi
ế
t giá m
ộ
t
đơ
n v
ị
v
ố
n là 4 USD và giá m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng là 3 USD. N
ế
u doanh
nghi
ệ
p chi s
ố
ti
ề
n 1050 USD. Tìm m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng v
ố
n và lao
độ
ng
để
t
ố
i
đ
a hóa s
ả
n l
ượ
ng.
Đề ố s 04
Câu 1.
Cho bi
ế
t hàm chi phí c
ậ
n biên
ở
m
ỗ
i m
ứ
c s
ả
n l
ượ
ng Q là:
2
MC(Q) 36 28Q 12Q
và
FC 53
. Hãy tìm hàm t
ổ
ng chi phí và chi phí bi
ế
n
đổ
i.
Câu 2.
1)
Cho hàm c
ầ
u
2
D 6P P
. Hãy tính h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a c
ầ
u theo giá t
ạ
i múc giá
P 5
và nêu ý ngh
ĩ
a.
2)
Cho hàm
đầ
u t
ư
3
I(t) t
. Hãy tìm hàm qu
ỹ
v
ố
n
K(t)
, bi
ế
t qu
ỹ
v
ố
n t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m
ban
đầ
u b
ằ
ng 100000.
Câu 3.
M
ộ
t doanh nghi
ệ
p
độ
c quy
ề
n s
ả
n xu
ấ
t hai lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m. Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u
đố
i v
ớ
i
hai lo
ạ
i s
ả
n ph
ẩ
m
đ
ó nh
ư
sau:
1 1 2 2
1
Q 210 P ; Q 60 P
3
v
ớ
i hàm chi phí k
ế
t h
ợ
p
1 2
C 30(Q Q )
. Hãy tìm s
ả
n l
ượ
ng
1
Q
và
2
Q
và giá bán t
ươ
ng
ứ
ng
để
doanh nghi
ệ
p thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
207
Câu 4.
Cho mô hình cân b
ằ
ng kinh t
ế
:
0 0
Y C I G ;
0
C C b Y T ;
0
T T tY.
Cho
0 0 0 0
C 80; I 90; G 81; T 20; b 0,9; t 0,1.
Xác
đị
nh m
ứ
c cân b
ằ
ng c
ủ
a Y.
N
ế
u
0
C
t
ă
ng 1% thì m
ứ
c cân b
ằ
ng c
ủ
a Y thay
đổ
i nh
ư
th
ế
nào?
Câu 5. Đị
nh K, L sao cho hàm chi phí
C L 0,01K
(
K 0, L 0
)
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t
th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
K L 20
.
Đề ố s 05
Câu 1.
Cho hàm doanh thu trung bình:
AR Q 60 3Q.
Tìm hàm doanh thu c
ậ
n biên,
MR Q .
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm
AR Q
và hàm
MR Q
có cùng tung
độ
góc, nh
ư
ng
độ
d
ố
c c
ủ
a
MR Q
g
ấ
p
đ
ôi
độ
d
ố
c c
ủ
a
AR Q .
Câu 2.
Cho hàm c
ầ
u v
ề
m
ộ
t lo
ạ
i nông s
ả
n:
D 200 50P.
Có 50 c
ơ
s
ở
gi
ố
ng h
ệ
t nhau
cùng tr
ồ
ng lo
ạ
i nông s
ả
n này v
ớ
i hàm chi phí c
ủ
a m
ỗ
i c
ơ
s
ở
là
2
TC Q Q
(Q là s
ả
n
l
ượ
ng). Hãy xác
đị
nh l
ượ
ng cung t
ố
i
ư
u c
ủ
a m
ỗ
i c
ơ
s
ở
và giá cân b
ằ
ng th
ị
tr
ườ
ng.
Câu 3.
Cho mô hình
Y C I;
0
C C aY, (0 a 1);
0
I I br, (b 0);
0
L L mY nr, (m, n 0);
s
M L.
Trong
đ
ó Y là thu nh
ậ
p qu
ố
c dân, I là
đầ
u t
ư
, C là tiêu dùng, L là m
ứ
c c
ầ
u ti
ề
n,
s
M
là m
ứ
c
cung ti
ề
n, r là lãi su
ấ
t.
1)
Hãy xác
đị
nh thu nh
ậ
p qu
ố
c dân và lãi su
ấ
t cân b
ằ
ng.
2)
Cho
0 0
a 0,7; b 1800; C 500; I 400;
0
L 800; m 0,6;
n 1200;
208
s
M 2000
. Tính h
ệ
s
ố
co dãn c
ủ
a thu nh
ậ
p, lãi su
ấ
t theo m
ứ
c cung ti
ề
n t
ạ
i
đ
i
ể
m
cân b
ằ
ng và nêu ý ngh
ĩ
a.
Câu 4.
Cho hàm s
ả
n xu
ấ
t c
ủ
a hãng
3
2
4
Q 300 K L
, bi
ế
t giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
t
ư
b
ả
n K b
ằ
ng
100, giá thuê m
ộ
t
đơ
n v
ị
lao
độ
ng b
ằ
ng 150, giá s
ả
n ph
ẩ
m b
ằ
ng 1. Hãy xác
đị
nh m
ứ
c s
ử
d
ụ
ng K và L
để
hãng thu
đượ
c l
ợ
i nhu
ậ
n t
ố
i
đ
a.
Câu 5.
Cho bi
ế
t hàm c
ầ
u và hàm cung:
1
D Q 276 2Q
;
1
S Q 6 Q
.
Hãy tính th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i s
ả
n xu
ấ
t và th
ặ
ng d
ư
c
ủ
a ng
ườ
i tiêu dùng.
209
TÀI LI U THAM KH O Ệ Ả
[1] Nguy n Huy Hoàng (ch biên), Lê Th Anh, Phùng Minh c, Bùi Qu c Hoàn, ễ ủ ị Đứ ố
Phạm B o Lâm, Nguy n Mai Quyên, oàn Tr ng Tuy n, Hoàng V n Th ng – ả ễ Đ ọ ế ă ắ
Hướng d n gi i bài t p Toán cao c p cho các nhà kinh tẫ ả ậ ấ ế, NXB ĐHKTQD, 2006&
NXB Th ng kê, 2007 ố
[2] B môn toán c b n – ộ ơ ả Bài t p toán cao cậ ấp, NXB i h c Kinh t Qu c dân, 2008. Đạ ọ ế ố
[3] Nguy n Huy Hoàng – ễ Toán c s cho kinh tơ ở ế, NXB Thông tin và Truy n thông, ề
2011& NXB GD, 2014.
[4] Nguy n Th An, Nguy n Huy Hoàng, ễ ị ễ Giới thi u thi tuy n sinh Sau i h c ệ đề ể đạ ọ
(2006 – 2012), Môn Toán Kinh t (Ph n Toán c sế ầ ơ ở cho Kinh t ), ế NXB Chính tr ị
– Hành chính, 2012.
[5] Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley, Applied Calculus For Business,
Economics, and the Social and Life Sciences, The Mc. Graw - Hill Companies, Inc
(Expanded 10
th
ed), 2010.
[6] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos,
Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London,
England (second edition), 2011.
[7] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos,
Solutions Manual Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige,
Massachusetts, London, England (second edition), 2011.
[8] A. C. Chiang, , Mc GrawHill, Fundamental Methods of Mathematical Economics
Inc., 3rd edition, 1984.
[9] A. C. Chiang, Instructor’s Manual to accompany Fundamental Methods of
Mathematical Economics, Mc GrawHill, Inc., 4rd edition, 2005.
| 1/209
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN TOÁN THỐNG KÊ Giáo Trình TOÁN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ
(Dành cho chương trình chất lượng cao) Mã số : GT – 01 – 18 Nhóm biên soạn:
Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên) Nguyễn Trung Đông
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2018 MỤC LỤC Trang
Lời mở đầu..........................................................................................................................5
Một số ký hiệu.....................................................................................................................7
Chương 1. Một số mô hình đại số và tuyến tính áp dụng trong phân tích kinh tế……………….8
1.1. Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input – Output của Leontief)..................8
1.1.1. Giới thiệu mô hình.................................................................................8
1.1.2. Phương pháp giải…………………………………………………...... 9
1.1.3. Các ví dụ............................................................................................10
1.1.4. Bài tập.................................................................................................14
1.2. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế……………………….......18
1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan…………………...18
1.2.2. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân.................................................21
1.2.3. Mô hình IS – LM................................................................................25
1.2.4. Bài tập………………………………………………………………….. 29
Thuật ngữ chính chương 1...........................................……………………………...33
Chương 2. Áp dụng phép tính vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân vào phân
tích kinh tế và kinh doanh…………………………………………………………………….34
2.1. Bài toán lãi suất và hiệu quả đầu tư……………………………………………..34
2.1.1. Giới hạn e và bài toán lãi suất……………………………………………34
2.1.2. Đánh giá hiệu quả đầu tư………………………………………………...36
2.1.3. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ………………………………………... 37
2.1.4. Bài tập………………………………………………………………….. 39
2.2. Áp dụng đạo hàm và phân tích kinh tế và kinh doanh…………………………41
2.2.1. Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế và kinh doanh…………..41
2.2.2. Đạo hàm và giá trị cận biên.......................................................................43
2.2.3. Đạo hàm và hệ số co dãn………………………………………………...45
2.2.4. Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần………………………...46
2.2.5. Khảo sát hàm bình quân…………………………………………………47
2.2.6. Bài toán tối ưu hàm một biến……………………………………………49 2
2.2.7. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)…………………………………..58
2.2.8. Bài tập...................................................................................................... 60
2.3. Áp dụng tích phân vào phân tích kinh tế và kinh doanh.........................................64
2.3.1. Bài toán tìm hàm tổng khi biết hàm cận biên...........................................64
2.3.2. Bài toán tìm hàm quỹ vốn khi biết hàm đầu tư........................................67
2.3.3. Tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng……….68
2.3.4. Bài tập………………………………………………………………….. 69
2.4. Phương trình vi phân và áp dụng kinh tế………………………………………….73
2.4.1. Tìm hàm cầu khi biết hệ số co dãn của cầu theo giá.................................73
2.4.2. Biến động của giá trn thị trường theo thời gian………………………..74
2.4.3. Bài tập...................................................................................................... 77
Thuật ngữ chính chương 2..........................................……………………………...78
Chương 3. Áp dụng phép toán vi phân hàm nhiều biến vào phân tích kinh tế và kinh doanh.....79
3.1. Các hàm số nhiều biến trong phân tích kinh tế…………………………………79
3.1.1 Hàm sản xuất…………………………………………………………….79
3.1.2. Hàm doanh thu, chi phí, lợi nhuận………………………………………79
3.1.3. Hàm lợi ích (hàm thoả dụng)……………………………………………80
3.1.4. Điểm cân bằng... ...... .... . .... ... .... . .... .... . ......... .... .... . .... .... .... . .... .... . ..80
3.1.5. Hàm cung, cầu thị trường n hàng hóa liên quan.......................................81
3.2. Áp dụng đạo hàm riêng và vi phân toàn phần vào phân tích kinh tế và kinh doanh.82
3.2.1. Đạo hàm riêng và giá trị cận biên………………………………………..82
3.2.2. Đạo hàm riêng và hệ số co dãn.................................................................85
3.2.3. Đạo hàm riêng cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần...........................87
3.2.4. Hàm thuần nhất và vấn đề hiệu quả của quy mô......................................88
3.2.5. Đạo hàm của hàm ẩn và áp dụng phân tích kinh tế..................................89
3.2.6. Hai hàng hóa có tính chất thay thế hoặc bổ sung………………………92
3.2.7. Bài tập………………………………………………………………….. 93
3.3. Mô hình cực trị không có điều kiện ràng buộc (tự do) nhiều biến trong kinh tế…...95
3.3.1. Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận……..95
3.3.2. Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu,
lợi nhuận............................................................................................................ 99
3.3.3. Bài tập.................................................................................................... 102 3
3.4. Mô hình cực trị có điều kiện ràng buộc nhiều biến trong kinh tế..........................104
3.4.1. Tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho chi
tiêu…………………………………………………………………………... 104
3.4.2. Tối đa hóa sản lượng trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho sản
xuất.................................................................................................................. 106
3.4.3. Tối thiểu hóa chi tiêu trong điều kiện giữ mức lợi ích.............................110
3.4.4. Tối thiểu hóa chi phí trong điều kiện giữ mức sản lượng……….............112
3.4.5. Tối đa hóa lợi nhuận của hãng độc quyền, trong trường hợp không phân
biệt giá bán ở hai thị trường…………………………………………………..115
3.4.6. Bài tập………………………………………………………………… 118
Thuật ngữ chính chương 3..........................................……………………………..122
Phụ lục……………………………………………………………………………………....123
Phụ lục 1. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính.......................................123
Phụ lục 2. Đạo hàm và vi phân hàm số một biến.....................................................151
Phụ lục 3. Bài toán tối ưu hàm một biến………………………………………….159
Phụ lục 4. Bảng công thức nguyên hàm cơ bản và các phương pháp tính tích phân..166
Phụ lục 5. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần……………………………………177
Phụ lục 6. Bài toán cực trị hàm nhiều biến không có điều kiện ràng buộc (cực trị tự
do)………………………………………………………………………………... 187
Phụ lục 7. Bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc phương trình (phương pháp nhân
tử Lagrange)............................................................................................................195
Phụ lục 8. Phương trình vi phân……………………………………………………..200
Một số đề tham khảo…………………………………………………………….…………..204
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………..209 4 LỜI MỞ ĐẦU
Sinh viên đại học khối ngành Kinh tế và Quản trị kinh doanh, khi học môn Toán cao
cấp thường đặt câu hỏi: môn học có ứng dụng gì trong phân tích kinh tế và quản trị kinh
doanh hay không? Nhằm trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi biên soạn giáo trình: Toán dành
cho kinh tế và quản trị. Giáo trình tiếp thu tư tưởng của các tài liệu đang được giảng dạy
cho các trường đại học danh tiếng trên thế giới như:
1. Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos,
Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England (second edition), 2001.
2. Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley, Applied Calculus For Business,
Economics, and the Social and Life Sciences, The Mc. Graw - Hill Companies, Inc (Expanded 10th ed), 2010.
Cũng như các tài liệu trong nước, phù hợp điều kiện, chương trình đào tạo của Việt Nam như:
1. Nguyễn Huy Hoàng – Toán cơ sở cho kinh tế, NXB Thông tin và Truyền thông, 2011& NXB GD, 2014.
Nội dung cuốn giáo trình, được trình này dưới dạng mô hình và phương pháp giải
bao gồm 3 chương và một phụ lục Toán cao cấp, cùng một số đề tham khảo để sinh viên,
có thể tự rèn luyện. Đối tượng chính của giáo trình là sinh viên hệ đào tạo chất lượng cao,
nên ở mỗi chương chúng tôi có giới thiệu thuật ngữ Anh – Việt, giúp sinh viên dễ dàng
đọc sách tham khảo bằng tiếng Anh.
Nội dung cụ thể giáo trình :
Chương 1. Một số mô hình đại số tuyến tính như mô hình cân đối liên ngành, mô
hình IS – LM, các mô trình cân bằng thị trường…
Chương 2. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế và quản trị kinh doanh như:
phân tích hàm cận biên, hệ số co dãn, hệ số tăng trưởng, tối ưu hàm một biến…Trình bày
phương pháp sử dụng công cụ tích phân trong kinh tế và quản trị kinh doanh như: tìm hàm
tổng khi biết hàm cận biên, hàm quỹ vốn khi biết hàm đầu tư, tính thặng dư của nhà sản
xuất và của người tiêu dùng và phương trình vi phân áp dụng phân tích kinh tế như: tìm
hàm cầu khi biết hệ số co dãn,… 5
Chương 3. Trình bày các ứng dụng đạo hàm riêng và vi phân toàn phần trong phân
tích kinh tế như phân tích cận biên, hệ số co dãn riêng, một số hình tối ưu hàm nhiều biến
trong kinh tế như tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu hóa chi tiêu, …Các mô hình tối ưu có điều
kiện ràng buộc: tối đa hóa lợi ích với ràng buộc ngân sách chi tiêu, …
Để thuận lợi trong việc tra cứu các kiến thức cơ bản về Toán cao cấp, phục vụ việc
giải thích các kiến thức nền cho phân tích kinh tế và quản trị kinh doanh chúng tôi đưa vào
phần phụ lục Toán cao cấp.
Giáo trình do TS. Nguyễn Huy Hoàng và ThS. Nguyễn Trung Đông là các giảng viên
có nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy toán dành cho sinh viên khối ngành kinh tế và quản
trị kinh doanh, cùng biên tập.
Giáo trình chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp
cùng các em sinh viên. Mọi ý kiến đóng góp xin gởi về địa chỉ email:
hoangtoancb@ufm.edu.vn và nguyendong@ufm.edu.vn. Xin trân trọng cảm ơn! Các tác giả 6 MỘT SỐ KÝ HIỆU 1. Q : Sản lượng. 2. D : Cầu. 3. S : Cung. 4. QD : Lượng cầu. 5. QS : Lượng cung. 6. P : Giá bán.
7. L : Lao động (nhân công).
8. MPL: Hàm sản phẩm cận biên của lao động. 9. K : Vốn (tư bản). 10. : Lợi nhuận. 11. TR : Tổng doanh thu. 12. MR : Doanh thu biên. 13. TC : Tổng chi phí.
14. FC : Chi phí cố định.
15. VC : Chi phí biến đổi (chi phí khả biến). 16. MC: Chi phí biên.
17. AC : Chi phí trung bình (chi phí bình quân). 18. T : Tổng thuế.
19. t : thuế trên một đơn vị sản phẩm. 20. TU : Tổng hữu dụng. 21. MU : Hữu dụng biên. 22.
: Hệ số co giãn của Y theo X. Y X
23. r : Hệ số tăng trưởng của Y (nhịp tăng trưởng của Y). Y
24. Yd : Thu nhập khả dụng.
25. I : Nhu cầu đầu tư của dân cư.
26. G : Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ.
27. X : Nhu cầu xuất khẩu.
28. M : Nhu cầu nhập khẩu.
29. IS – LM : Đầu tư/Tiết kiệm – Nhu cầu thanh khoản/Cung tiền. 7 Chương 1
Một số mô hình đại số và tuyến tính áp dụng trong phân tích kinh tế
1.1. Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input – Output của Leontief)
Trong phần này, chúng tôi xin giới thiệu một mô hình kinh tế, công cụ chủ yếu
để giải mô hình này là các phép toán đối với ma trận và định thức.
1.1.1. Giới thiệu mô hình
Trong một nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa nào đó
(output) đòi hỏi phải sử dụng các loại hàng hóa khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào
(input) của quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành
sản xuất trong tổng thể nền kinh tế là quan trọng, nó bao gồm:
– Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất.
– Cầu cuối cùng từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất
khẩu, bao gồm các hộ gia đình, Nhà nước, các tổ chức xuất khẩu,...
Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1,2,...,n. Để thuận tiện cho việc
tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta phải biểu diễn lượng cầu của tất cả các loại
hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền. Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của
ngành i (i 1, 2,..., n) được ký hiệu, x và xác định bởi: i x x x x b (i 1,2,..., n) i i1 i2 in i (1.1) Trong đó:
x ik: là giá trị sản phẩm của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho quá trình sản
xuất của mình (giá trị cầu trung gian).
b : là giá trị sản phẩm của ngành i dành cho nhu cầu tiêu dùng và xuất khẩu i
(giá trị cầu cuối cùng).
Tuy nhiên, trong thực tế, ta thường không có thông tin về giá trị cầu trung gian x ,
ik nhưng người ta lại chủ động trong việc xác định tỉ phần chi phí đầu vào của sản xuất. 8 Gọi
aik : là tỉ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với sản phẩm của ngành i, nó
được tính bởi công thức: x ik a i 1, 2,..., n ik xk Trong đó
+) 0 aik 1, và ở đây, giả thiết a là cố định đối với mỗi ngành sản xuất i, ik
k 1, 2,..., n . Người ta còn gọi aik là hệ số chi phí đầu vào và ma trận. +) A
aik được gọi là ma trận hệ số chi phí đầu vào (ma trận hệ số kỹ thuật). n
+) Giả sử aik 0,3 có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phẩm của mình,
ngành k đã phải chi 0,3 đồng để mua sản phẩm của ngành i phục vụ cho quá trình sản xuất. Đặt b1 b2 B bn
Ta gọi X là ma trận tổng cầu và B là ma trận cầu cuối cùng. Khi đó, từ đẳng thức (1.1), thay x a x chúng ta có: ik ik k x a x a x a x b (i 1, 2,..., n) i i1 1 i2 2 in n i
Hay biểu diễn dưới dạng ma trận: 1 x a11 1 a 2 ... 1 a n 1 x 1 b x a a ... a x b 2 21 22 2n 2 2 ... ... ... ... x n a n1 a n2 ... a nn x n b n Tức là X AX B (1.2) 1.1.2. Phương pháp giải Từ (1.2), ta có I A X B
Trong đó, I là ma trận đơn vị cấp n, nếu I A không suy biến thì: 9 1 X I A B (1.3)
Công thức (1.3) được gọi là công thức tính ma trận tổng cầu.
+) Ma trận I A được gọi là ma trận Leontief. Như vậy, nếu chúng ta biết ma
trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối cùng thì sẽ xác định được giá trị tổng cầu của các ngành sản xuất. +) Ma trận 1 C I A c
, và gọi là ma trận hệ số chi phí toàn bộ. Hệ số c ij n n ij
cho biết: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j, thì ngành i cần
phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là ic . j 1.1.3. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giả sử trong một nền kinh tế có hai ngành sản xuất: ngành 1 và ngành 2 có
ma trận hệ số kỹ thuật là: 0,2 0,3 A 0,4 0,1
Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 thứ tự
là 10, 20 tỉ đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành. Giải Gọi 1 x X là ma trận tổng cầu. x 2 Với x x
1 là giá trị tổng cầu của ngành 1,
2 là giá trị tổng cầu của ngành 2.
Theo giả thiết ma trận cầu cuối B có dạng: 10 B 20 Ta có: 0,8 0,3 I A 0,4 0,9
Ma trận phụ hợp tương ứng 0,9 0,3 I A * 0,4 0,8 10
Ma trận nghịch đảo của I A 1 1 0,9 0,3 I A 0,6 0,4 0,8
Áp dụng công thức (1.3) để tính ma trận tổng cầu: 1 X I A B
Vậy ma trận tổng cầu là: 25 1 0,9 0,3 10 1 15 X 100 0,6 0,4 0,8 20 0,6 20 3 Hay:
Giá trị tổng cầu của ngành 1 là x1 25 tỉ đồng. 100
Giá trị tổng cầu của ngành 2 là x tỉ đồng. 2 3
Ví dụ 2. Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành
3. Biết ma trận hệ số kĩ thuật là: 0,4 0,1 0,2 A 0,2 0,3 0,2 0,1 0,4 0,3
và giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành thứ tự là 40, 40 và 110 (đơn
vị tính: nghìn tỉ đồng). Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất. Giải Gọi x1 X
x 2 là ma trận tổng cầu. x 3 Với x x x
1 là giá trị tổng cầu của ngành 1,
2 là giá trị tổng cầu của ngành 2, 3 là
giá trị tổng cầu của ngành 3.
Theo giả thiết ma trận cầu cuối B có dạng: 40 B 40 110 11 Ta có: 1 0 0 0,4 0,1 0,2 0,6 0,1 0,2 I A 0 1 0 0,2 0,3 0,2 0,2 0,7 0,2 0 0 1 0,1 0,4 0,3 0,1 0,4 0,7
Định thức của ma trận I A 0,6 0,1 0,2 I A 0,2 0,7 0,2 0,2 0,1 0,4 0,7
Ma trận phụ hợp tương ứng 0,41 0,15 0,16 I A * 0,16 0,40 0,16 0,15 0,25 0,40
Ma trận nghịch đảo của I A 0,41 0,15 0,16 1 1 (I A) 0,16 0,40 0,16 0,2 0,15 0,25 0,40
Áp dụng công thức (1.3) để tính ma trận tổng cầu: 1 X I A B 0,41 0,15 0,16 40 200 1 X 0,16 0,40 0,16 40 200 0,2 0,15 0,25 0,40 110 300
Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x 200 (nghìn tỉ đồng), 1
x2 200 (nghìn tỉ đồng) và x3 300 (nghìn tỉ đồng).
Ví dụ 3. Trong mô hình input – output mở biết ma trận kỹ thuật số như sau 0,2 m 0,3 A 0,3 0,1 0,2 0,2 0,3 0,2
a) Nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 1 của ma trận A.
b) Tìm yêu cầu của ngành kinh tế mở khi m 0,2 biết sản lượng của 3 ngành là 300, 250, 220. 12
c) Tìm m biết rằng khi sản lượng của 3 ngành là 400, 400, 300 thì ngành kinh tế
thứ nhất cung cấp cho ngành kinh tế mở là 130.
d) Với m tìm được ở câu c). Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ và nêu ý nghĩa phần
tử nằm ở hàng 3 cột 2 của ma trận này. Giải a) Ý nghĩa 2
a 1 0,3 : Hệ số này cho biết để sản xuất ra một đơn vị giá trị ngành 1
thì ngành 2 phải cung cấp trực tiếp cho ngành này một lượng sản phẩm có giá trị là 0,3.
b) Gọi X là ma trận giá trị sản lượng của 3 ngành. 300
Từ giả thiết đề cho, ta có X 250 220 124
Giá trị sản lượng cầu cuối: B I A X 91 41
c) Gọi Y là ma trận giá trị sản lượng của 3 ngành 400 X1 Y 400 X 2 300 X3
Từ giả thiết đề bài, ta có: 1 X 1 a 1 1 X 1 a 2 2 X 1 a 3 3 X 1 b 400 0,2 400 400m 0,3 300 130 m 0,25. d) Với m 0,25 . Ta có 0,2 0,25 0,3 A 0,3 0,1 0,2 0,2 0,3 0,2
Ma trận hệ số chi phí toàn bộ: 1,751 0,769 0,849 1 C I A 0,743 1,538 0,663 0,716 0,769 1,711 Hệ số 3
c 2 0,769 cho biết: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của
ngành 2 thì ngành 3 cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là 0,769 . 13 1.1.4. Bài tập
Bài số 1. Trong mô hình cân đối liên ngành cho ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối.
Hãy xác định ma trận tổng cầu: 0,2 0,4 200 1) A ; B 0,1 0,3 300 0,4 0,2 0,1 40 2) A 0,1 0,3 0,4 ; B 110 0,2 0,2 0,3 40 0,3 0,5 0,3 20000 3) A 0,2 0,2 0,3 ; B 10000 0,4 0,2 0,3 40000 200 265178,6 500 Đáp số: 1) X ; 2) X 300 ; 3) X 175892,9 . 500 200 258928,6
Bài số 2. Cho dòng 3 trong ma trận hệ số kỹ thuật của mô hình cân đối liên ngành gồm bốn ngành sản xuất là 0, 2 0,1 0, 2 0,3
Hãy xác định số tiền mà ngành 4 phải trả cho ngành 3 để mua sản phẩm của ngành
3 làm nguyên liệu đầu vào của sản xuất, biết tổng giá trị sản phẩm của ngành 4 là 200 nghìn tỷ đồng. Đáp số: 60.
Bài số 3. Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là 0,1 0,3 0,2 A 0,4 0,2 0,1 0,2 0,3 0,3
1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 2 cột 1 của ma trận A. 2) Cho ma trận cầu cuối T B
110 52 90 . Tìm sản lượng của mỗi ngành.
3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm
được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là T B 124 66 100 14 270 286 Đáp số: 1) a 21 0,4 ; 2) X 239 ; 3) X 230 . 308 323
Bài số 4. Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t là: 0,2 0 0,3 A 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1
1) Nếu ý nghĩa phần tử nằm ở dòng 1, cột 3 của ma trận A.
2) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ. T
3) Cho biết ma trận cầu cuối của các ngành là B
800 1500 700 . Tìm sản lượng của mỗi ngành. 0,79 0,06 0,27 1592,7 1 Đáp số: 1) C 0,11 0,66 0,11 X 2019,2 . 1 a 3 0,3; 2) ; 3) 0,572 0,2 0,16 0,72 1580,4
Bài số 5. Cho ma trận hệ số chi phí toàn bộ và ma trận tổng cầu như sau: 1,5625 0,3125 0,3125 150 C 0,3977 1,5341 0,625 ; X 200 0,5398 0,6534 1,5625 150
1) Nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận C.
2) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật.
3) Tìm ma trận cầu cuối. 0,3 0,1 0,2 55 Đáp số: c 23 0,625 ; 2) A 0,1 0,2 0,3 ; 3) B 100 . 0,1 0,3 0,2 45
Bài số 6. Trong mô hình input – output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là 0,3 0,1 0,1 A 0,1 0,2 0,3 0,2 0,3 0,2
1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận A. T
2) Cho ma trận cầu cuối B
70 100 30 . Tìm sản lượng mỗi ngành. 15
3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 2 tiết kiệm T
được 50% nguyên liệu lấy từ ngành 3 và ma trận cầu cuối là B 50 80 20 150 102,7 Đáp số: 1) a X 200 X 141,8 23 0,3 ; 2) ; 3) . 150 77,3
Bài số 7. Trong mô hình input – output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là 0,1 0,3 0,2 A 0,4 0,2 0,3 0,2 0,3 0,1
1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 3 cột 2 của ma trận A. 2) Cho ma trận cầu cuối T B
118 52 96 . Tìm sản lượng của mỗi ngành.
3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm T
được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là B 118 52 96 300 276,3 Đáp số: 1) a X 320 X 264,7 32 0,3 ; 2) ; 3) . 280 256,3
Bài số 8. Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t như sau: 0,3 0,2 0,3 A 0,1 0,3 0,2 0,3 0,3 0,2
1) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị năm t. Giải thích ý nghĩa kinh tế của
phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận này.
2) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ và nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận này.
3) Năm (t 1) nhu cầu sản phẩm cuối cùng của các ngành lần lượt là 180, 150, 100
(tỷ VNĐ). Tính giá trị sản lượng của các ngành, biết rằng các hệ số chi phí năm (t 1) và năm t như nhau. 2 1 1 610 Đáp số: 1) a 0,2 C 0,56 1,88 0,68 , c 0,68 X 450,8 23 ;2) 23 ; 3) . 0,96 1,08 1,88 522,8 16
Bài số 9. Quan hệ trao đổi sản phẩm giữa 4 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho ở
bảng sau (đơn vị tính : triệu USD). Ngành cung ứng
Ngành ứng dụng sản phẩm Cầu cuối sản phẩm (Input) cùng (Output) 1 2 3 4 1 80 20 110 230 160 2 200 50 90 120 140 3 220 110 30 40 0 4 60 140 160 240 400
Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật
(tính xấp xỉ 3 chữ số thập phân). 600 0,133 0,033 0,275 0,23 600 0,333 0,083 0,225 0,12 Đáp số: X ; A . 400 0,367 0,167 0,075 0,04 1000 0,1 0,233 0,4 0,24
Bài số 10. Xét nền kinh tế có hai ngành với ma trận hệ số chi phí trực tiếp là 0,1 0,15 A 0,2 0,1 1
1) Tính định thức của ma trận B với 3 B A . 6
2) Cho biết mệnh đề sau đúng hay sai? 1 1 A I A I I A
3) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ.
4) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm
được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là T b 20 40 . 1 1,1538 0,1923 30,5 Đáp số: 1) 5 B 10 ; 2) Sai; 3) C ; 4) X . 45 0,2564 1,1538 49,5 17
1.2. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế
Trong phần này, chúng tôi xin giới thiệu với bạn đọc một số mô hình tuyến tính
trong phân tích kinh tế, công cụ toán học được sử dụng chính ở đây là hệ phương trình tuyến tính.
1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan
1.2.1.1. Giới thiệu mô hình
Giả sử chúng ta nghiên cứu thị trường bao gồm n hàng hóa có liên quan: hàng
hóa 1, 2,..., n. Khái niệm này được hiểu là khi giá của một mặt hàng nào đó thay đổi
thì nó không những ảnh hưởng tới lượng cung Q và lượng cầu Q của bản thân i S D i
mặt hàng đó, mà nó còn ảnh hưởng tới giá và lượng cung, lượng cầu của các mặt hàng
còn lại. Người ta thường biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá
của các hàng hóa bởi hàm cung và hàm cầu như sau: S Q i S 1 P , 2 P ,..., n P , i 1, 2,..., n; i D Q D P , P ,...,P , i 1, 2,...,n. i i 1 2 n
Trong đó P , P ,..., P là ký hiệu thứ tự là giá của hàng hóa 1, 2,..., n. 1 2 n
Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan (cân bằng cung cầu) được xác định bởi: S Q Q , i 1, 2,..., n (1.4) i Di Nếu giả thiết các Q Q S và
i 1, 2,..., n có dạng tuyến tính, thì mô hình trên i i D
chính là một hệ gồm có n phương trình và n ẩn 1 P , 2 P ,..., n P .
Giải hệ phương trình chúng ta tìm được bộ giá cân bằng thị trường: P 1 P , 2 P ,..., n P Thay vào S Q (hoặc D
Q ) chúng ta thu được bộ lượng cân bằng thị trường: i i Q Q , Q ,..., Q 1 2 n 1.2.1.2. Các ví dụ
Ví dụ 3. Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường hai loại hàng hóa như sau: Q 2 3P ; Q 8 2P P 1 S 1 1 D 1 2 Q 1 2P ; Q 11 P P 2 S 2 2 D 1 2 18 Với S Q , S
Q là lượng cung hàng hóa 1 và 2. 1 2 1 D Q , D
Q là lượng cầu hàng hóa 1 và 2. 2 1 P , 2
P là giá của hàng hóa 1 và 2.
Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là P 1 và P2 .
Sử dụng quy tắc Cramer (phương pháp định thức) xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng. Giải
Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình: Q Q 2 3P 8 2P P 5P P 10 1 S 1 D 1 1 2 1 2 Q Q 1 2P 11 P P P 3P 12 S2 D2 2 1 2 1 2
Giải hệ bằng quy tắc Cramer: 5 1 10 1 5 10 D 14; D 42 ; D 70 1 3 1 P 12 3 2 P 1 12 D 42 D 70
Vậy bộ giá cân bằng là: 1 P 2 P P 3; P 5 1 2 D 14 D 14 Lượng cân bằng là: Q Q Q 2 3P 2 3.3 7 1 1 D 1 S 1 Q Q Q 1 2P 1 2.5 9 2 D2 2 S 2
Ví dụ 4. Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa: hàng hóa 1 và hàng hóa 2 có hàm cung và cầu như sau: Q 2 2P ; Q 1 P P 1 S 1 1 D 1 2 S Q 5 3P ; Q 2 5P P 2 1 D2 1 2 trong đó: i S
Q (i 1, 2): là lượng cung hàng hóa i. i D
Q (i 1, 2): là lượng cầu hàng hóa i.
Pi (i 1, 2) : là giá hàng hóa i. 19
Bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, hãy xác định bộ giá và lượng cân bằng
thị trường của hai hàng hóa nói trên. Giải
Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình: Q Q 2 2P 1 P P 1 S 1 D 1 1 2 Q Q 5 3P 2 5P P S2 D2 2 1 2 hay 3 1 P 2 P 3 5P 4P 7 2
Giải hệ phương trình trên bằng quy tắc Cramer Đặt các ma trận sau: 3 1 3 P 1 A ; B ; X 5 4 7 P2 Ta có 3 1 1 4 1 A 7 ; 1 A 5 4 7 5 3
Hệ phương trình trên tương đương: AX B Suy ra 19 1 4 1 3 1 19 7 1 X A .B 7 5 3 7 7 36 36 7
Vậy bộ giá cân bằng là: 19 36 P ; P 1 2 7 7
tương ứng với bộ lượng cân bằng là: 19 24 1 Q Q Q 2 2 1 D 1 S 7 7 36 73 Q Q Q 5 3 2 D 2 S 2 7 7
Ví dụ 5 . Xét thị trường gồm ba loại hàng hóa gồm chè, cafe, cacao có hàm cung và
hàm cầu tương ứng như sau: 20 Q 10 P ; Q 20 P P (chè) 1 S 1 1 D 1 3 Q 2P ; Q 40 2P P (café) 2 S 2 D2 2 3 Q 5 3P ; Q 10 P P P (ca cao) 3 S 3 D3 1 2 3
Hãy thiết lập mô hình cân bằng thị trường của ba loại hàng hóa trên. Sử dụng
quy tắc Cramer xác định giá và lượng cafe ở trạng thái cân bằng thị trường. Giải
Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình: Q Q 2P P 30 1 S 1 D 1 3 Q Q 4P P 40 2 S 2 D 2 3 Q Q P P 4P 15 1 2 3 3 S 3 D
Xác định giá và lượng cafe ở trạng thái cân bằng thị trường bằng quy tắc Cramer: 2 0 1 2 30 1 D 0 4 1 30 ; D 0 40 1 280 2 P 1 1 4 1 15 4
Vậy giá cafe ở trạng thái cân bằng thị trường là: D 280 28 2 P P2 D 30 3 và lượng cân bằng là: 28 56 Q Q 2. . 2 2 S 3 3
1.2.2. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân
1.2.2.1. Giới thiệu mô hình
Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân ở dạng đơn giản, với các ký hiệu: Y
là tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư hộ gia đình và C là
tiêu dùng của các hộ gia đình.
Chúng ta giả thiết rằng chi tiêu Chính phủ và đầu tư là cố định G G và 0
I I0 , còn chi tiêu hộ gia đình có dạng tuyến tính: C aY b 0 a 1, b 0 .
Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính gồm
hai phương trình, 2 ẩn Y và C: 21 Y G I C Y C G I O O O O C aY b aY C b
Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta xác định được mức thu nhập cân bằng và
mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế. 1 1 D 1 a 0 (do 0 a 1 ) a 1 G I 1 O O D G I b ; Y O O b 1 1 G I O O D b a G I C O O a b Vậy D Y G I b O O Y D 1 a D b a G I C O O C D 1 a
Tiếp theo, xét mô hình trong trường hợp thu nhập chịu thuế với thuế suất t%
(thường biểu diễn dưới dạng thập phân). Khi đó, thu nhập sau thuế là: d Y Y tY 1 t Y
và hàm chi tiêu khi đó có dạng: C a d Y b a 1 t Y b
Ngoài ra, chúng ta cũng xem xét mô hình với ảnh hưởng của yếu tố xuất khẩu
X và nhập khẩu M. Khi đó, mô hình có dạng: Y G I C X M O O C a 1 t .Y b Chú ý
Hai yếu tố xuất khẩu X và nhập khẩu M có thể cho dưới dạng hàm của thu
nhập Y hoặc là giá trị cố định cho trước.
Chúng ta vẫn biến đổi đưa mô hình về hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn Y và C. 1.2.2.2. Các ví dụ
Ví dụ 6. Cho mô hình sau: 22 C 0,8 d Y 250 ; I I ; G G ; 0 0 d Y
1 t Y ( t là thuế suất thu nhập).
a) Sử dụng quy tắc Cramer, hãy xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu ở trạng thái cân bằng.
b) Tính mức thu nhập quốc dân và chi tiêu ở trạng thái cân bằng với I0 150 , G
500 (đơn vị: tỉ VNĐ) và 0 t 0,15 (15%). Giải
Đầu tiên ta xác định mô hình cân bằng: Y G I C O O C 0,8Y 250 Hay Y C G I O O 0,8 1 t Y C 250 Ta có 1 1 D 1 0,8 1 t ; 0,8 1 t 1 G I 1 O O ; Y D G I 250 O O 250 1 1 G I O O D 250 0,8 1 t G I . C O O 0,8 1 t 250
a) Vậy thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng là: D Y G I 250 O O Y D 1 0,8 1 t D 0,8 1 t G I 250 O O C C D 1 0,8 1 t
Nhận xét: Y và C phụ thuộc vào I , G 0 0 và t.
b) Với 0I 150, G0 500 , t 0,15 chúng ta có: 23 150 500 250 900 Y 2812,5 (tỉ VNĐ) 1 0,8 1 0,15 0,32 0,8 1 0,15 150 500 250 692 C 2162,5 (tỉ VNĐ). 1 0,8 1 0,15 0,32
Ví dụ 7. Xét mô hình cân bằng: Y C 0 I 0 G 0 X M
Với C a 1 t Y, 0 a 1 , t là thuế suất M b 1 t Y, 0 b 1
a) Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng Y , C bằng quy tắc Cramer.
b) Tính Y và C khi t 0,1; a 0,85; b 0,1; I 250; G 400 X 100 0 0 và 0 . Đơn vị tính 0
I , G0, X0 là tỉ VNĐ; t là %. Giải
a) Ta thiết lập hệ 2 phương trình 2 ẩn Y và C : Ta có Y C I G X b 1 t Y O O O C a 1 t Y 1 b 1 t Y C I G X O O O a 1 t Y C 0 Các định thức 1 b 1 t 1 D 1 1 t b a ; a 1 t 1 I G X 1 O O O D I G X ; Y O O O 0 1 1 b 1 t I G X O O O C D a 1 t G I X . O O O a 1 t 0
Vậy thu nhập và chi tiêu quốc dân cân bằng là: D G I X Y O O O Y D 1 1 t b a 24 D a 1 t G I X C O O O C D 1 1 t b a b) Khi t 0,1; a 0,85; b 0,1; I 250; G 400 và X 100. 0 0 0 Ta có: 250 400 100 750 Y 2307,6923(tỉ VNĐ) 1 1 0,1 0,1 0,85 0,325 0,85 1 0,1 250 400 100 573,75 C 1765,3846(tỉ VNĐ). 1 1 0,1 0,1 0,85 0,325 1.2.3. Mô hình IS – LM
Trong tiếng Anh, IS – LM là viết tắt của Investment/Saving – Liquidity
preference/Money supply (Đầu tư/Tiết kiệm – Nhu cầu thanh khoản/Cung tiền)
1.2.3.1. Giới thiệu mô hình
Mô hình IS – LM phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế, chúng ta xét cả hai
thị trường hàng hóa và tiền tệ. Mục tiêu là chúng ta xác định mức thu nhập quốc dân và lãi
suất ở trạng thái cân bằng.
+) Xét thị trường hàng hóa dịch vụ với các yếu tố gồm Chi tiêu chính phủ : G G 0
Chi tiêu hộ gia đình : C aY b, 0 a 1,b 0
Đầu tư : I d cr, c, d 0 với r là lãi suất.
Phương trình cân bằng thị trường hàng hóa, dịch vụ (Phương trình đường IS) Y C I G aY b cr d G 0 0 1 a Y cr b d G0
+) Xét thị trường tiền tệ với các yếu tố
Lượng cầu tiền: L L Y,r mY nr, m, n 0 Lượng cung tiền: M M0
Phương trình cân bằng thị trường tiền tệ (Phương trình đường LM) L M mY nr M0
Để xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng Y và r chúng ta thiết lập
hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn Y và r (mô hình IS – LM) 25 IS (1 a)Y cr b d G 0 LM mY nr M0
Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta có: 1 a c D n 1 a mc; m n b d G c O D n b d G cM ; Y O O M n O 1 a b d G O r D 1 a M m b d G . O O m MO
Vậy mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là: D n b d G cM O O Y Y D n 1 a mc D 1 a M m b d G O O r r . D n 1 a mc 1.2.3.2 Các ví dụ
Ví dụ 8. Xét mô hình IS – LM với: C 0, 6Y 35; I 65 r; G 0 G ; L 5Y 50r; M M0 .
a) Sử dụng quy tắc Cramer xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng.
b) Tính Y, r khi G0 70; M0 1500 (nghìn tỉ VNĐ). Giải
a) Phương trình đường IS: Y C I G0 0,6Y 35 65 r G0 0,4Y r 100 G 0
Phương trình đường LM: L M0 5Y 50r M0
Chúng ta xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng từ hệ 2 phương trình, 2 ẩn Y và r. 26 IS 0,4Y r 100 G O LM 5Y 50r MO Ta có 0,4 1 D 25 5 50 100 G 1 O Y D 5000 50G M O O M 50 O 0, 4 100 G O D 0,4M 500 5G r O O 5 MO Vậy DY 5000 50G M O O Y D 25 D r 500 5G 0, 4M O O r . D 25
b) Với G0 70; M0 1500 chúng ta có: D 5000 3500 1500 Y Y 400(ngàn tỉ VNĐ) D 25 D 500 350 600 r r 10 %. D 25
Ví dụ 9. Xét mô hình IS – LM với: C a(1 t) b cr; I I0;G G0; L mY nr;M 0 M .
Với các hệ số 0 a 1, b 0, c 0, m 0, n 0, 0 t 1.
a) Thiết lập mô hình IS – LM.
b) Giải mô hình bằng quy tắc Cramer.
c) Nếu chi tiêu chính phủ tăng 1 đơn vị thì thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào? Giải
a) Phương trình đường IS: Y C I G a 1 t Y b cr I0 G0 27 1 a 1 t Y cr b 0 I 0 G Phương trình đường LM: L M mY nr M 0 Mô hình IS – LM: IS [1 a 1 t Y cr b I G O O LM mY nr MO
b) Giải mô hình bằng quy tắc Cramer: Ta có 1 a 1 t c D n 1 a 1 t mc m n b I G c O O Y D n b I G cM O O O M n O 1 a 1 t b I G O O D 1 a 1 t M m b I G r O O O m M O Vậy, D n(b I G ) cM Y O O O Y D n 1 a(1 t) mc D m b I G 1 a 1 t M O O O r r . D n 1 a 1 t mc c) Ta có n(b I G ) cM O O O 0 Y n 1 a(1 t) mc n(b I G 1) cM O O O Y 1 n 1 a(1 t) mc Suy ra n Y 1 Y 0 Y 0 n 1 a(1 t) mc
Vậy nếu chi tiêu chính phủ tăng 1 đơn vị thì thu nhập cân bằng tăng: n . n 1 a(1 t) mc 28 1.2.4. Bài tập
Bài số 1. Xét thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Q 1 P ; Q 20 2P P 1 S 1 1 D 1 2 Q P ; Q 40 P 2P 2 S 2 D2 1 2
Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của hai hàng hóa đó bằng quy tắc Cramer. 23 99 15 99 Đáp số: 1 P ; P2 ; Q1 ; Q 2 . 8 8 8 8
Bài số 2. Sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo xác định bộ giá trị và lượng cân bằng
thị trường của hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: 1) S Q 2 1P; D Q 20 1 P 2 P 1 1 S Q 10 2P ; Q 40 P 2P 2 2 D2 1 2 2) Q 20 2P ; Q 100 5P P 1 S 1 1 D 1 2 S Q 10 P ; Q 80 2P 4P 2 2 D2 1 2 130 170 260 230 Đáp số: 1) P1 ; P 2 ; Q 1 ; Q 2 . 11 11 11 11 170 130 120 20 2) 1 P ; P2 ; 1 Q ; 2 Q . 11 11 11 11
Bài số 3. Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Q 10 P ; Q 20 P P 1 S 1 1 D 1 3 Q 2P ; Q 40 2P P 2 S 2 D2 2 3 Q 5 3P ; Q 10 P P P 3 S 3 D3 1 2 3
Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng quy tắc Cramer. 41 28 8 11 56 Đáp số: 1 P ; P2 ; 3 P ; 1 Q ; Q2 ; 3 Q 3. 3 3 3 3 3
Bài số 4. Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Q 60 6P 2P ; Q 120 5P P 1 S 1 3 1 D 1 2 Q 30 P 9P P ; Q 160 P 6P P 2 S 1 2 3 D2 1 2 3 29 Q 20 2P 8P ; Q 140 P 4P 3 S 1 3 D3 2 3
Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng
phương pháp ma trận nghịch đảo. 19910 16760 17155 Đáp số: 1 P ; P2 ; 3 P ; 933 933 933 29170 28595 78760 Q ; Q ; Q . 1 2 3 933 311 933
Bài số 5. Xét thị trường có 4 loại hàng hóa. Biết hàm cung và cầu của 4 loại hàng hóa trên như sau: Q 30 20P 3P P P ; Q 115 11P P 2P 5P 1 S 1 2 3 4 1 D 1 2 3 4 Q 50 2P 18P 2P P ; Q 250 P 9P P 2P 2 S 1 2 3 4 D2 1 2 3 4 Q 40 P 2P 12P ; Q 150 P P 7P 3P 3 S 1 2 3 3 D 1 2 3 4 Q 15 2P P 18P ; Q 180 P 2P 10P 4 S 2 3 4 4 D 1 3 4
Tìm điểm cân bằng thị trường. Đáp số: 1 P 10; P2 15; 3 P 15; P4 10; Q 100; Q 260; Q 100; Q 120. 1 2 3 4
Bài số 6. Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân: Y G I C; 0 0 C 0, 4Y 30.
Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng bằng quy tắc Cramer, biết I 200, G 500 (triệu USD). 0 0 3650 3100 Đáp số: Y ; C . 3 6 Bài số 7. Xét mô hình Y G0 I0 C; C 0, d 8Y ; d Y 1 t Y
Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng bằng quy tắc
Cramer, biết I0 200, G0 500 (triệu USD) và thuế suất thu nhập t 0,1. 17500 Đáp số: Y ; C 4200. 3 Bài số 8. Xét mô hình 30 Y C 0 G 0 I 0 X M ; C aY , (0 a 1) ; d d Y 1 t Y; M 0,1 d Y .
1) Sử dụng quy tắc Cramer, hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân Y, C ở trạng thái cân bằng.
2) Tính Y, C khi I0 200, G0 500, X0 100, a 0,1 và t 0,1 . G I X a(1 t)(G I X ) Đáp số: 0 0 0 0 0 0 1) Y ;C ; a(1 t) 0,1t 1,1 a(1 t) 0,1t 1,1 2) Y 800; C 72. Bài số 9. Xét mô hình Y C I; C 0,8Y 50; I 20 5r; L 0,5Y 100 r; M 200. 0
Hãy sử dụng quy tắc Cramer, xác định thu nhập và lãi suất ở trạng thái cân bằng. 5700 50 Đáp số: Y ; r . 27 9 Bài số 10. Xét mô hình Y C I 0 G ; C 0,8 1 t Y; t 0,1; 0 G 200; I 100 r ; L 0,5Y 2r; M0 500.
Hãy sử dụng quy tắc Cramer, xác định thu nhập và lãi suất ở trạng thái cân bằng. 55000 7500 Đáp số: Y ; r . 53 53
Bài số 11. Cho mô hình thu nhập quốc dân: Y C I G 0 C b b Y (a , a , b , b 0; a b 1) 0 1 0 1 0 1 1 1 I a0 a1Y a2R0 31 trong đó:
G là chi tiêu chính phủ; R là lãi suất; I là đầu tư; C là tiêu dùng; Y là thu nhập 0 0
1) Sử dụng quy tắc Cramer để xác định Y, C ở trạng thái cân bằng. 2) Với 0 b 200; 1 b 0,7; a 0 100; 1 a 0,2 ; a 2 10 ; R0 7 ; G0 500. Tính Y, C . a a R G b b a b a b a b R b G Đáp số: 1) 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 Y ; C ; 1 a b 1 a b 1 1 1 1 2) Y 7300; C 5310.
Bài số 12. Một số chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của nền kinh tế (đóng) có mối liên hệ sau: Y C I G; C 0,85Y 70; d d Y Y T. trong đó:
Y : là thu nhập quốc dân; C : là tiêu dùng dân cư; Yd : là thu nhập khả dụng; I: là đầu
tư; G : là chi tiêu chính phủ; T : là thuế. Với I 200; G 500; T 500. Hãy
1) Xác định thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng.
2) Phân tích chủ trương “kích cầu” của chính phủ thông qua chính sách giảm thuế.
Đáp số: 1) Y 2300 ; 2) Chính phủ giảm thuế làm cho thu nhập tăng lên.
Bài số 13. Một số chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của nền kinh tế có mối liên hệ sau
Y C I G X N; C 0,08 1 t Y; N 0,015 1 t Y. trong đó:
Y : là thu nhập quốc dân; C : là tiêu dùng dân cư; I: là đầu tư; G: là chi tiêu chính
phủ; X: là xuất khẩu; M : là nhập khẩu; t : là thuế. Biết rằng I 700; G 900; X 600; t 0,015. Hãy
1) Xác định thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng.
2) Với chỉ tiêu ở câu 1, có ý kiến cho rằng nếu giảm xuất khẩu 10% thì chính phủ có
thể tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập. Hãy nhận xét ý kiến này.
Đáp số: 1) Y 2350, 490131 ; 2) Ý kiến trên sai. 32
Thuật ngữ chính chương 1 Tiếng Anh Tiếng Việt Consumption Tiêu dùng Disposable Income Thu nhập khả dụng Equilibrium Price Giá cân bằng Equilibrium Quantity Demanded Lượng cầu cân bằng Export Xuất khẩu Gross Domestic Product
Tổng sản phẩm quốc nội Gross National Income Tổng thu nhập quốc dân Income Tax Rates Thuế thu nhập Import Nhập khẩu Input – Output Model
Mô hình cân đối liên ngành IS – LS Model Mô hình IS – LM Investment Đầu tư Money Demand Lượng cầu tiền Money Supply Lượng cung tiền Market Prices Giá thị trường Market Equilibrium Thị trường cân bằng
Matrix of Producting Coefficients
Ma trận hệ số kỹ thuật Market Model Mô hình cân bằng National Income Model
Mô hình cân bằng kinh tế quốc dân Price Giá hàng hóa Quantity Supplied Lượng cung Quantity Demanded Lượng cầu Saving Tiết kiệm Tax Thuế The final demand matrix Ma trận cầu cuối The matrix of Outputs Ma trận tổng cầu Utility Lợi ích 33 Chương 2
Áp dụng phép tính vi tích phân hàm một biến và phương
trình vi phân vào phân tích kinh tế và kinh doanh
2.1. Bài toán lãi suất và hiệu quả đầu tư
2.1.1. Giới hạn e và bài toán lãi suất Định nghĩa số e n 1 e lim 1 với e 2,71828... n n
Giả sử ta có một khoản tiền 0
V đồng (giá trị hiện tại) gửi vào ngân hàng với lãi
suất cố định r% một năm. Gọi t
V là số tiền ta có được sau t năm (giá trị tương lai): t V V 1 r . (2.1) t 0 r
Nếu trong một năm có n lần tính lãi với lãi suất mỗi lần tính là nr thì trong t n
năm có n t lần tính lãi. Vậy số tiền sau t năm có là nt r nt t V 0 V 1 nr 0 V 1 n
Giả sử việc tính lãi trên là liên tục, tức là cho n
, khi đó số tiền nhận được sau t năm: r.t n nt r r r r.t V lim V 1 lim V 1 V .e (2.2) t 0 0 0 n n n n
Công thức (2.2) là công thức tính lãi gộp liên tục.
Giải ngược công thức (2.1), ta được công thức tính giá trị hiện tại của khoản tiền Vt sau t năm t 0 V t V 1 r (2.3)
Giải ngược công thức (2.2) ta được công thức tính giá trị hiện tại của khoản tiền / V t sau t năm r.t V V .e 0 t (2.4) 34
Ví dụ 1. Ngày 5/3/2016, giả sử Ông Bách gửi 10 triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm
lãi suất 5,24% năm. Tính số tiền Ông Bách sở hữu vào ngày 5/3/2020 (Giả sử lãi suất
không đổi trong suốt 4 năm). Giải Ta có
+) Số tiền hiện tại vào ngày 5/3/2016: V0 10 triệu đồng,
+) Ngày đáo hạn 5/3/2020: t 4 năm,
+) Lãi suất: r 5,24% /năm.
Áp dụng công thức (2.1), ta có lượng vốn được đầu tư trong 4 năm. Lượng tiền Ông
Bách nhận được vào gày 5/3/2020, 4 V 10 1 0, 0524 12, 267 triệu đồng. 4
Ví dụ 2. Giả sử Ông Bách mong muốn sở hữu khoản tiền 20 triệu đồng vào ngày 2/3/2020
ở một tài khoản lãi suất năm là 6,05%. Hỏi Ông Bách cần đầu tư bao nhiêu tiền trên tài
khoản này vào ngày 2/3/2015 để đạt được mục tiêu đề ra (Giả sử lãi suất không đổi trong suốt 5 năm). Giải Ta có
+) Số tiền tương lai vào ngày 2/3/2020: 5 V 20 triệu đồng, +) Kỳ hạn: t 5 năm,
+) Lãi suất: r 6,05% /năm.
Áp dụng công thức (2.3), ta có lượng vốn sẽ được đầu tư trong 5 năm. Do đó, lượng
vốn cần đầu tư vào ngày 2/3/2015 là : 5 V 20 1 0,0605 14,91 triệu đồng. 0
Ví dụ 3. Xác định hiện giá của khoản tiền 20 triệu đồng nhận được sau 3 năm, khi tích lũy
liên tục với lãi suất 6%. So sánh với phương thức tích lũy năm lãi suất 6%. (Giả sử lãi suất
không đổi trong suốt thời gian). Giải Ta có
+) Số tiền tương lai sau 3 năm: 3 V 20 triệu đồng, +) Kỳ hạn: t 3 năm, 35 +) Lãi suất: r 6%/năm.
Áp dụng công thức (2.4) cho hiện giá V khi tích lũy liên tục : 0 0,06 3 V 20 e 20 0,835270 16,705 0 triệu đồng.
Áp dụng công thức (2.3) cho hiện giá V0 khi tích lũy theo năm : 3 0 V 20 1, 06 16,792 triệu đồng.
Hiện giá theo phương thức tích lũy liên tục nhỏ hơn hiện giá theo phương thức tích lũy năm.
Ví dụ 4. Sau 5 năm, một thương phiếu sẽ được thanh toán với số tiền là 10000 USD. Với
lãi suất 9% năm, hãy tính giá trị hiện tại của thương phiếu. Giải Ta có
+) Số tiền tương lai sau 5 năm: 5 V 10000 triệu đồng, +) Kỳ hạn: t 5 năm, +) Lãi suất: r 9%/năm.
Áp dụng công thức (2.3), ta có giá trị hiện tại của thương phiếu là 5 0 V 10000 1, 09 6499,31 (USD)
2.1.2. Đánh giá hiệu quả đầu tư
Giá trị hiện tại ròng của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền
sẽ thu về trong tương lai và chi phi triển khai dự án. Giá trị hiện tại ròng được tính theo công thức: t NPV B 1 r C (2.5)
trong đó, C là khoản chi phí hiện tại; B là khoản mà dự án đem về sau t năm, r là lãi
suất năm. Một tiêu chuẩn cơ bản để dự án đầu tư được chấp thuận là NPV 0.
Ví dụ 5. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án:
+) Dự án 1. Chi phí hiện tại là 2000 USD và đem lại 3000 USD sau 4 năm.
+) Dự án 2. Chi phí hiện tại là 2000 USD và đem lại 4000 USD sau 6 năm.
+) Dự án 3. Chi phí hiện tại là 3000 USD và đem lại 4800 USD sau 5 năm.
Với lãi suất thịnh hành là 10% một năm thì nên chọn dự án nào? Giải 36
Để trả lời câu hỏi này ta so sánh NPV của các dự án nói trên
+) Chi phí hiện tại của các dự án C 2000, C 2000, C 3000 1 2 3
+) Khoản tiền mà các dự án đem lại 1 B 3000, 2 B 4000, 3 B 4800
+) Lãi suất của các dự án r r r 10% 0,1 1 2 3
+) Kỳ hạn của các dự án n 4, n 6,n 5 1 2 3
Áp dụng công thức (2.5), ta có Dự án 1. 1 n 4 NP 1 V 1 B 1 1r 1 C 3000 1,1 2000 49,04 USD. Dự án 2. n2 6 NPV B 1 r C 4000 1,1 2000 257,9 USD. 2 2 2 2 Dự án 3. n3 5 NP 3 V B3 1 3 r C3 4800 1,1 3000 19,58 USD.
Ta chọn dự án 2 vì dự án này NPV lớn nhất.
2.1.3. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ
Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ là tổng số giá trị hiện tại của các kỳ khoản được
phát sinh trong tương lai (Giá trị của chuỗi tiền tệ được quy về điểm gốc). Gọi
+) ai là giá trị của kỳ khoản thứ i, i 1,2,...,n ,
+) r là lãi suất một kỳ,
+) n là số lần thanh toán,
+) PV là giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ.
Công thức xác định giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ (cuối kỳ) như sau: n i PV a 1 r (2.6) i i 1
Nếu chuỗi tiền tệ cố định, tức là a a, i 1,2,..,n thì i n n 1 (1 r) i PV a 1 r a (2.7) r i 1 37
Ví dụ 6. Một dự án số vốn đầu tư ban đầu là 30000 USD sau một năm đem lại cho bạn
đều đặn 5000 USD mỗi năm, liên tiếp trong 10 năm sau đó. Lãi suất không đổi
10%/năm. Bạn có chấp nhận dự án này hay không? Giải
Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại ròng của dự án Ta có
+) Số tiền mỗi năm: a 5000 USD, +) Lãi suất: r 10% / năm, +) Kỳ hạn: n 10 năm,
+) Vốn ban đầu: C 30000 USD
Giá trị hiện tại của dòng tiền, ta áp dụng biểu thức (2.7): 10 n 1 (1 r) 1 1,1 PV a 5000 30722,8 USD. r 0,1
Giá trị hiện tại ròng:
NPV PV C 30722,9 30000 722,8 USD.
Vì NPV 0 nên chấp nhận dự án.
Ví dụ 7. Một công ty ôtô bán xe VIOS theo hai phương án sau:
+) Phương án 1. Trả luôn một lần với giá 18000 USD.
+) Phương án 2. Trả ngay 5000 USD và nhận xe, phần còn lại trả góp theo quý
(liên tục trong 6 quý) mỗi quý là 2450 USD, biết lãi suất là 3%/quý. Nếu cần mua xe ôtô
bạn chọn phương án thanh toán nào? Giải Phương án 2.
+) Số tiền mỗi năm: a 2450 USD, +) Lãi suất: r 3% /quý, +) Kỳ hạn: n 6 quý,
Giá trị hiện tại của dòng tiền, ta áp dụng biểu thức (2.7): 6 n 1 (1 r) 1 1,03 PV a 2450 13272,12 USD. r 0,03
Tổng số tiền phương án 2 phải trả: 5000 13272,12 18272,12 USD.
Kết luận. Trả góp đắt hơn. 38 2.1.4. Bài tập
Bài số 1. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết:
1) Giá trị tương lai của khoản tiền 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm.
2) Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm.
Đáp số: 1) 4,142 triệu đồng; 2) 3,252 triệu đồng.
Bài số 2. Hôm nay, Ông Bách đầu tư 5 triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm với lãi suất năm 4,5%.
1) Tính giá trị số tiền ông ta sở hữu sau 5 năm, 10 năm, 30 năm.
2) Tính giá trị số tiền ông Bách sở hữu sau 10 năm khi lãi suất giữ nguyên ở mức 4,5%
trong hai năm đầu, giảm xuống còn 3% trong năm năm kế tiếp và tăng lên thành 6% trong ba năm cuối.
Đáp số: 1) 6,23; 7,765; 18,73; 2) 7,54.
Bài số 3. Dân số thành phố A là 20000 người, tăng trưởng 3% năm, và của thành phố B
là 30000, tăng trưởng 1% năm. Sau bao nhiêu năm thì dân số hai thành phố này bằng nhau. Đáp số : 20,7 năm.
Bài số 4. Xác định giá trị nhận được bởi lượng vốn 10 triệu đồng đầu tư theo phương thức
tích lũy liên tục trong 5 năm ở mức lãi suất năm 4%.
Đáp số : 12,2 triệu đồng.
Bài số 5. Xác định hiện giá của khoản tiền 20 triệu đồng nhận được sau 3 năm, khi tích
lũy liên tục với lãi suất 6%.
Đáp số : 16,71 triệu đồng.
Bài số 6. Một dự án đòi hỏi số tiền đầu tư ban đầu là 6000 USD và sẽ đem lại 10000 USD
sau 5 năm. Trong điều kiện lãi suất tiền gởi ngân hàng là 9% một năm, có nên đầu tư vào
dự án đó hay không? Tính NPV của dự án trên. Đáp số: NPV 499,314.
Bài số 7. Một công ty đề nghị góp vốn 3500 USD và đảm bảo sẽ trả 750 USD mỗi năm,
liên tiếp trong 7 năm. Lãi suất không đổi là 9%/năm. Bạn có chấp nhận dự án này hay không? Đáp số: NPV 274,715 USD.
Bài tập 8. Xác định giá trị nhận được của lượng vốn 10 triệu đồng, đầu tư trong 4 năm ở
mức lãi 3,5%, trong các điều kiện sau : 39 1) Tích lũy liên tục, 2) Tích lũy hàng năm.
Đáp số: 1) 11,503 triệu đồng; 2) 11,475 triệu đồng.
Bài số 9. Với mức lãi 4%, tính hiện giá của khoản tiền 5 triệu đồng nhận được sau 4 năm,
nếu phương thức tích lũy là 1) Tích lũy liên tục, 2) Tích lũy hàng năm.
Đáp số: 1) 4,261 triệu đồng; 2) 4,274 triệu đồng.
Bài số 10. Có 3 dự án cùng một số vốn ban đầu là 10000 USD và các luồng thu nhập CF như sau : +) Dự án A. Năm 1 2 3 CF 4000 USD 4000 USD 4000 USD +) Dự án B. Năm 1 2 3 CF 3000 USD 5000 USD 8000 USD +) Dự án C. Năm 1 2 3 CF 8000 USD 5000 USD 3000 USD
Giả sử lãi suất cả 3 dự án đều là 10%.
Nếu phải chọn 1 trong 3 dự án thì bạn nên chọn dự án nào ?
Đáp số : Chọn dự án C.
Bài số 11. Một doanh nhân bỏ ra K USD vào thời điểm hiện tại mua tích trữ một loại
rượu nho để bán vào một thời điểm nào đó bất kỳ trong tương lai, biết giá của lô rượu này tăng theo quy luật t V
Ke ( t là biến thời gian). Giả sử chi phí bảo quản trong đáng kể t
(có thể bỏ qua). Cho lãi suất liên tục r% . Hãy xác định thời điểm bán lô rượu có lợi nhất. 1 Đáp số : t . 2 4r
Bài số 12. Hãy xác định lãi suất r tính gộp liên tục một năm tương đương với lãi đơn gộp
5%/năm, tính lãi 1 năm 1 lần. Đáp số: 4,9%. 40
2.2. Áp dụng đạo hàm vào phân tích kinh tế và kinh doanh
2.2.1. Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế và kinh doanh
2.2.1.1. Hàm sản xuất ngắn hạn
Để tiến hành sản xuất, đầu tiên chúng ta cần các yếu tố đầu vào là vốn K và lao
động L . Trong ngắn hạn, người ta giả thiết K là không thay đổi, khi đó sản lượng đầu
ra Q sẽ phụ thuộc hàm số vào yếu tố đầu vào L và gọi là hàm sản xuất ngắn hạn: Q f L , L 0
Ví dụ 5. Cho hàm sản xuất ngắn hạn 2 3 Q 120.L ; Q a.L (a 0,0 1)
2.2.1.2. Hàm chi phí (tổng chi phí)
+) Chi phí TC phụ thuộc đầu ra Q : TC TC Q , Q 0
Ví dụ 6. Cho hàm chi phí phụ thuộc vào sản lượng Q 3 2 TC Q Q 6Q 140Q 1500, Q 0 0,3Q TC Q 30.e 200 2 TC Q 3Q 7Q 243
+) Chi phí TC phụ thuộc đầu vào L : TC L p .L TC L , L 0 ( L
p giá thuê một đơn vị lao động).
Ví dụ 7. Cho hàm chi phí phụ thuộc vào lao động L TC L p L 3.L L 0, p 3 L L .
2.2.1.3. Hàm doanh thu (tổng doanh thu)
Doanh thu TR phụ thuộc đầu ra Q :
TR P.Q TR Q , Q 0 ( P ký hiệu là giá hàng hóa).
Ví dụ 8. Cho hàm doanh thu phụ thuộc vào sản lượng Q 2 TR Q 1200Q 3Q , Q 0
Doanh thu TR phụ thuộc đầu vào L : TR P.Q P.f L
TR L , L 0 ( P ký hiệu là giá hàng hóa) 41
Ví dụ 9. Cho hàm doanh thu phụ thuộc vào lao động L TR L
5.300 L 1500 L, L 0 (P 5; Q 300 L) .
2.2.1.4. Hàm lợi nhuận (tổng lợi nhuận)
Lợi nhuận được tính bằng hiệu giữa doanh thu TR và chi phí TC : +) Lợi nhuận phụ thuộc đầu ra: Q TR Q TC Q
Ví dụ 10. Cho hàm doanh thu 2 TR Q
1200Q 3Q , Q 0 và hàm chi phí 3 2 TC Q Q 6Q 140Q 1500, Q 0
Suy ra hàm lợi nhuận phụ thuộc vào sản lượng Q 3 2 Q TR Q TC Q Q 3Q 1060Q 1500, Q 0 +) Lợi nhuận phụ thuộc đầu vào: L TR L TC L .
Ví dụ 11. Cho hàm sản xuất: Q 300 L, giá một đơn vị lao động là 3, giá sản phẩm là
5. Xác định hàm lợi nhuận. Ta có +) Hàm doanh thu : TR L PQ 5.300 L 1500 L +) Hàm chi phí: TC L p L 3L L
+) Suy ra hàm lợi nhuận phụ thuộc vào lao động L L TR L TC L 1500 L 3.L, L 0. 2.2.1.5. Hàm chi tiêu
Chi tiêu C phụ thuộc thu nhập Y: C C Y , Y 0
Ví dụ 12. Cho hàm chi tiêu phụ thuộc vào mức thu nhập như sau: C Y aY b (0 a 1, b 0), Y 0. 2.2.1.6. Hàm tiết kiệm
Tiết kiệm S phụ thuộc thu nhập Y : S S Y , Y 0
Ví dụ 13. Cho hàm tiết kiệm phụ thuộc vào mức thu nhập như sau: S Y 0,3Y 0,1. Y 100, Y 0.
2.2.1.7. Hàm cung và hàm cầu một loại hàng hóa
Lượng cung và lượng cầu hàng hóa phụ thuộc vào giá hàng hóa: 42 +) Hàm cung: Q S P , P 0 S . +) Hàm cầu: Q D P , P 0 D .
Ví dụ 14. Cho hàm cung và hàm cầu dạng tuyến tính như sau: +) Hàm cung: S P aP b (a,b 0) . +) Hàm cầu: D P cP d (c,d 0) .
2.2.2. Đạo hàm và giá trị cận biên
Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập
x là biến đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra), gọi x là một điểm thuộc tập 0 xác định của hàm số. Hàm số ký hiệu /
My f (x) được gọi là hàm cận biên. Giá trị /
My(x ) f (x ) được gọi là giá trị cận biên của hàm số 0 0 f (x) tại điểm x 0
(hay giá trị y cận biên của x tại điểm x 0). Đối với mỗi hàm số kinh tế cụ thể, giá trị cận
biên có tên gọi cụ thể.
Ý nghĩa. Tại x 0, khi đối số x thay đổi một đơn vị thì giá trị hàm số f (x) thay đổi
một lượng xấp xỉ bằng / My(x0 ) f (x0 ). Chú ý. Nếu /
My(x0) f (x0) 0 thì f (x) sẽ thay đổi cùng chiều với đối số x (nghĩa
là f (x) tăng khi x tăng và f ( x ) giảm khi x giảm) và nếu / My(x0) f (x0) 0 thì f (x)
sẽ thay đổi ngược chiều với đối số x (nghĩa là f (x) tăng khi x giảm và f (x) giảm khi x tăng).
Ví dụ 15. Cho hàm doanh thu 2 TR Q 1200Q Q (Q 0)
a) Tìm hàm doanh thu cận biên MR Q . b) Tại 0 Q
590, nếu sản lượng Q tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị.
c) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Q
610 và nêu ý nghĩa kết quả nhận được. 0 Giải
a) Hàm doanh thu cận biên: / MR Q TR Q 1200 2Q (Q 0) 43 b) MR 590 1200 2.590 20 0 Vậy tại 0 Q
590 , nếu sản lượng Q tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ tăng một
lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị. c) MR 610 1200 2.610 20 0
Vậy tại Q0 610, nếu sản lượng Q thay đổi một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi
(ngược chiều) một lượng xấp xỉ 20 đơn vị (trong trường hợp này, khi Q tăng thêm một
đơn vị thì doanh thu sẽ giảm một lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị).
Ví dụ 16. Cho hàm sản xuất ngắn hạn: Q 30 L , L 0
a) Tìm hàm sản phẩm cận biên của lao động MPL L .
b) Tại L0 144, nếu lao động L tăng thêm một đơn vị thì sản lượng sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị? Giải
a) Hàm sản phẩm cận biên của lao động: / 15 MPL L Q L . L 15 15 5 b) MPL 144
1,25 (đơn vị sản phẩm) 144 12 4
Vậy tại L0 144 , nếu lao động L tăng thêm một đơn vị thì sản lượng sẽ tăng một
lượng xấp xỉ 1,25 đơn vị.
Ví dụ 17. Cho hàm chi tiêu phụ thuộc vào thu nhập như sau: C Y aY b (0 a 1, b 0), Y 0
a) Tìm hàm xu hướng tiêu dùng cận biên MPC Y .
b) Cho biết ý nghĩa kinh tế của hệ số a trong biểu thức hàm số đã cho. Giải
a) Hàm xu hướng tiêu dùng cận biên: / / MPC Y C Y aY b a
b) Tại mọi mức thu nhập, khi thu nhập thay đổi một đơn vị thì chi tiêu sẽ thay đổi
xấp xỉ a đơn vị. Chú ý rằng, vì a 0 nên thay đổi của chi tiêu sẽ cùng chiều với thay đổi của thu nhập. 44
Ví dụ 18. Cho hàm tổng chi phí: 2 TC Q 0,1Q 0,3Q 100 (Q 0)
a) Tìm hàm chi phí cận biên MC Q .
b) Tính chi phí cận biên tại mức sản lượng Q0 120 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. Giải a) Hàm chi phí cận biên: / MC Q TC (Q) 0, 2Q 0,3 b) MC 120
0,2 120 0,3 24,3 (đơn vị sản phẩm)
Ý nghĩa. Tại mức sản lượng Q0 120, khi sản lượng thay đổi một đơn vị thì chi
phí sẽ thay đổi một lượng xấp xỉ bằng 24,3 đơn vị, tuy nhiên vì 24,3 > 0 nên chi phí cũng
sẽ thay đổi cùng chiều với sản lượng.
2.2.3. Đạo hàm và hệ số co dãn
Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập
x là biến đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra), gọi x 0 là một điểm thuộc tập xác định của hàm số. Giá trị / x0 (x ) y (x )
được gọi là hệ số co dãn của y theo x tại x . yx 0 0 y(x 0 0)
Ý nghĩa. Tại x 0, khi đối số x thay đổi 1% thì giá trị của hàm số y f (x) thay đổi
một lượng xấp xỉ bằng yx (x0 ) %.
Ví dụ 19. Xét hàm cầu của một loại hàng hóa Q P D D P , tại mức giá 0 :
Hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá P0 : / P0 P D P D 0 0 D P0 Áp dụng với hàm cầu 2 D P 6P P , tại mức giá 0 P
5 và giải thích ý nghĩa của
kết quả nhận được. Cũng tại mức giá đó, nếu giá tăng 3% thì cầu sẽ thay đổi như thế nào? Giải
Áp dụng công thức trên ta có / 5 5 D 5 4 D D 5 45 Ý nghĩa. Tại mức giá P
5, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm một lượng 4%. Còn 0
nếu giá tăng 3% thì cầu sẽ giảm một lượng xấp xỉ 3.(4%) = 12%.
Ví dụ 20. Cho hàm sản xuất Q a.L , a 0, 0
1 . Tại mức sử dụng lao động nào
đó, tính hệ số co dãn của sản lượng theo lao động. Giải
Hệ số co dãn của Q theo L 1 / L .a.L (L) Q (L) L QL Q(L) a.L
Ý nghĩa. Tại mọi mức sử dụng lao động, nếu lao động thay đổi 1% thì sản lượng sẽ
thay đổi (cùng chiều) một lượng xấp xỉ %.
2.2.4. Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần
Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế.
Nội dung. Khi giá trị của đối số x đủ lớn, nếu giá trị của x tăng thì giá trị cận biên My sẽ giảm, hay là / / / My f (x) 0 . Điều kiện //
f (x) 0 là biểu thị toán học của Quy
luật lợi ích cận biên giảm dần.
Ví dụ 21. Cho hàm sản xuất Q aL , a 0,
0 , hãy tìm điều kiện của tham số để
hàm tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. Giải +) Đạo hàm cấp 1: / 1 Q .a.L +) Đạo hàm cấp 2: // 2 Q ( 1). .a.L
+) Hàm sản xuất tuân theo quy luật cận biên giảm dần // Q 0 ( 1) 0 1.
Ví dụ 22. Cho hàm doanh thu: 2 TR Q
1200Q Q . Hàm này có tuân theo Quy luật lợi
ích cận biên giảm dần hay không? Giải +) Đạo hàm cấp 1: / TR Q 1200 2Q +) Đạo hàm cấp 2: // TR Q 2 0.
Vậy hàm doanh thu này có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. 46
2.2.5. Khảo sát hàm bình quân
Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập
x là biến đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra). y Hàm số Ay
(x 0) được gọi là hàm bình quân. Chúng ta sẽ khảo sát khoảng x
tăng, giảm, cực trị của hàm số này. Ta có: / y / y y My Ay / x Ay (x 0) x x x
Do đó, trong khoảng hàm bình quân tăng thì My Ay (đường cận biên nằm trên đường bình quân).
Trong khoảng hàm bình quân giảm thì My Ay (đường cận biên nằm dưới đường bình quân).
Tại điểm hàm bình quân đạt cực trị thì My Ay 0 My Ay (đường cận biên
gặp đường bình quân tại điểm đường bình quân đạt cực trị). My
Ví dụ 23. Chứng minh rằng: 1 Ay/x(x) . Ay Giải
Áp dụng công thức tính hệ số co dãn của hàm bình quân theo x, ta có x My Ay My / (x) Ay 1 Ay/x Ay Ay Ay My 1 (x) . Ay/x Ay
Ví dụ 24. Cho hàm chi phí TC TC Q , (Q 0) .
a) Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân AC Q và hàm chi phí cận biên MC Q .
b) Áp dụng phân tích đối với trường hợp 2 TC Q 3Q 7Q 27, Q 0. Giải a) Hàm chi phí bình quân 47 TC Q AC Q Q
Đạo hàm của hàm chí phí bình quân theo biến Q / MC AC AC Q (Q 0) Q
Do đó, trong khoảng hàm chi phí bình quân tăng thì MC AC (đường chi phí cận
biên nằm trên đường chi phí bình quân).
Còn trong khoảng hàm chi phí bình quân giảm thì MC AC (đường chi phí cận
biên nằm dưới đường chi phí bình quân).
Tại điểm hàm chi phí bình quân đạt cực trị thì MC AC (đường chi phí cận biên
gặp đường chi phí bình quân tại điểm mà đường chi phí bình quân đạt cực trị). b) 2 TC Q 3Q 7Q 27, Q 0 Hàm bình quân: TC Q 27 AC Q 3Q 7 Q Q 27 Đạo hàm cấp 1: / AC Q 3 2 Q Giải phương trình: / 2 AC Q 0 Q 9 Q 3 (nhận do Q > 0)
+) Nếu Q 3 thì hàm chi phí bình quân tăng và MC AC (đường chi phí cận biên
nằm trên đường chi phí bình quân).
+) Nếu Q 3 thì hàm chi phí bình quân giảm và MC AC (đường chi phí cận biên
nằm dưới đường chi phí bình quân).
+) Nếu Q 3 thì hàm chi phí bình quân đạt cực trị và MC AC (đường chi phí cận
biên gặp đường chi phí bình quân tại điểm mà đường chi phí bình quân đạt cực tiểu).
Ví dụ 25. (Bạn đọc tự làm các ví dụ áp dụng với hàm số dưới đây)
Cho hàm sản xuất ngắn hạn: 2 3 Q 40L
L (L 0). Hãy phân tích mối quan hệ giữa Q
hàm sản phẩm bình quân của lao động APL
(L 0) và hàm sản phẩm cận biên của L lao động MPL. 48
2.2.6. Bài toán tối ưu hàm một biến
2.2.6.1. Tìm mức sử dụng lao động L để sản lượng hoặc lợi nhuận tối đa
Bài toán 1. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm
sản xuất ngắn hạn là Q Q L (L là lao động). Hãy xác định mức sử dụng lao động để
công ty sản xuất được nhiều sản phẩm nhất.
Giải quyết bài toán. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập L là biến
đầu vào và biến phụ thuộc Q là biến đầu ra.
Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì tại L 0 tìm được ta phải có mức sản lượng Q 0.
Ví dụ 26. Cho hàm sản xuất 2 3 Q 120L
L , L 0. Hãy xác định mức sử dụng lao động
để sản lượng tối đa. Giải +) Đạo hàm cấp 1: / 2 Q L 240L 3L . +) Giải phương trình: / 2 Q L 240L 3L 0
L 80 (nhận) hay L 0 (loại).
+) Hàm số có điểm dừng: L 80 +) Đạo hàm cấp 2 : // Q L 240 6L , tại L 80. +) Ta có // Q (80) 240 0 .
Vậy khi lao động là 80 thì sản lượng tối đa là m Q ax Q 80 256000.
Bài toán 2. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm
sản xuất ngắn hạn là Q Q L ( L là lao động), giá sản phẩm P và giá một đơn vị lao động là p .
L Hãy xác định mức sử dụng lao động để công ty thu được lợi nhuận tối đa. Giải quyết bài toán.
Bước 1. Tìm hàm tổng doanh thu: TR L PQ P Q L .
Bước 2. Tìm hàm chi phí: TC L L p L.
Bước 3. Tìm hàm lợi nhuận: L TR L TC L .
Bước 4. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập L là biến đầu vào và biến phụ thuộc là biến đầu ra. 49
Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì ta phải có mức lao động, sản lượng, chi phí, đơn
giá và lợi nhuận đều dương.
Ví dụ 27. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn 5 3
Q 100 L , L 0 và giá của sản phẩm là
P 5 USD, giá thuê một đơn vị lao động là p 3 L
USD. Hãy tìm mức sử dụng lao động
để lợi nhuận tối đa. Giải Ta có +) Hàm doanh thu: 5 3 TR Q PQ 500 L +) Hàm chi phí : TC L p L 3L L +) Hàm lợi nhuận : 5 3 L 500 L 3L +) Đạo hàm cấp 1 : / 2/5 L 300L 3 +) Giải phương trình / L 0 L 100000 +) Đạo hàm cấp 2: // 7/5 L 120L Xét lại L 100000, ta có // 3 100000 0 250000
Với L 100000 thì lợi nhuận tối đa là max 100000 200000.
2.2.6.2. Tìm mức sản lượng Q để chi phí tối thiểu, doanh thu, lợi nhuận tối đa
Bài toán 1. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm
tổng chi phí TC TC Q (Q là sản lượng). Hãy xác định sản lượng Q để tổng chi phí là bé nhất.
Giải quyết bài toán. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập Q là biến
đầu vào và biến phụ thuộc TC là biến đầu ra.
Chú ý. Để phù hợp với thực tế, ta phải có mức sản lượng và chi phí đều phải dương.
Ví dụ 28. Cho hàm tổng chi phí: 3 2 TC Q Q 210Q
12000Q, (Q 0). Hãy xác định
mức sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất. Giải +) Hàm chi phí bình quân: 50 TC Q 2 AC Q Q 210Q 12000 Q +) Đạo hàm cấp 1: / AC Q 2Q 210 +) Giải phương trình: / AC Q 0 Q 105 +) Đạo hàm cấp 2: // AC Q 2 0
Vậy khi Q 105 thì chi phí bình quân đạt giá trị nhỏ nhất là AC AC 105 975 min .
Ví dụ 29. Cho biết hàm tổng chi phí: 3 2 TC Q Q 9Q 60Q 150 Q 0 . Hãy xác
định mức sản lượng Q để chi phí nhỏ nhất. Giải +) Đạo hàm cấp 1: / 2 TC Q 3Q 18Q 60 (Q 0) +) Ta có 2 ( 18) 4.3.60 396 0 +) Với / a 3 0 TC Q 0 Q 0 Vậy TC Q luôn tăng với Q
0 , nên TC Q đạt giá trị nhỏ nhất khi Q 0.
Bài toán 2. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm
tổng chi phí TC TC Q ( Q là sản lượng) và hàm cầu của công ty là Q D Q . D Hãy
xác định mức sản lượng Q để công ty thu được lợi nhuận tối đa. Giải quyết bài toán.
Bước 1. Tìm hàm tổng doanh thu: 1 TR Q PQ D Q Q.
Bước 2. Tìm hàm lợi nhuận: Q TR Q TC Q .
Bước 3. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập Q là biến đầu vào và biến phụ thuộc là biến đầu ra.
Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì ta phải có mức sản lượng, đơn giá, lợi nhuận đều dương. 51
Ví dụ 30. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là 1 Q 656 P D và hàm tổng chi phí 3 2 TC Q Q 77Q
1000Q 40000. Hãy xác định 2
mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Giải
Với một mức sản lượng Q , để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao cho D Q Q. Do đó, ta có 1 Q Q 656 P Q P 1312 2Q , D 2
Mặt khác doanh thu của xí nghiệp là 2 TR(Q) P Q (1312 2Q) Q 2Q 1312Q
và lợi nhuận thu được của xí nghiệp là 2 3 2 Q TR Q TC Q 2Q 1312Q (Q 77Q 1000Q 40000) Hay 3 2 Q Q 75Q 312Q 40000
Bây giờ ta tìm Q 0 sao cho đạt giá giạ lớn nhất. Ta có / 2 2 Q 3Q 150Q 312 Suy ra, / 2 Q 0 3Q 150Q 312 0 Q 52 (nhận) hay Q 2 (loại). Mặt khác, // Q 6Q 150 nên // 52 162 0. Vậy
Q đạt cực đại tại Q 52.
Khi đó, ta có các kết quả phù hợp sau : Lợi nhuận :
38416, đơn giá : P 1208, tổng chi phí : TC 24400.
Kết luận: Để đạt lợi nhuận cao nhất, xí nghiệp cần sản xuất với mức sản lượng
Q 52. Khi đó lợi nhuận tương ứng là 38416.
Ví dụ 31. Cho hàm tổng lợi nhuận: 1 3 2 Q Q 3Q 15Q 500 Q 0 3
Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận lớn nhất. 52 Giải +) Đạo hàm cấp 1: / 2 Q Q 6Q 15 (Q 0) +) Ta có 2 6 4.( 1).( 15) 24 0 +) Với / a 1 0 Q 0 ( Q 0 ). Vậy
Q luôn giảm với Q 0 , nên Q đạt giá trị lớn nhất khi Q 0.
2.2.6.3. Bài toán thuế doanh thu
Bài toán. Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là D Q
D P ( P là đơn giá) và hàm tổng chi phí là TC TC Q (Q là sản lượng). Hãy
xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp.
Giải quyết bài toán. Với một mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm, xí nghiệp định
mức sản lượng Q phụ thuộc vào thuế t sao cho đạt lợi nhuận tối đa. Với mức sản lượng
Q, để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao cho Q Q. D Do đó, ta có 1 D P Q P D Q
Doanh thu của xí nghiệp là 1 TR Q P Q D Q Q
Trong đó tiền thuế xí nghiệp phải nộp là T t Q t.
Lợi nhuận của xí nghiệp là 1 Q TR Q TC Q D Q Q TC Q T t
Vậy theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm Q Q t sao cho
Q đạt giá trị lớn nhất. Khi
đó với tiền thuế mà xí nghiệp phải nộp là T t Q t
t. Ta cần tìm giá trị t 0 sao cho T t Q t t đạt cực đại.
Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì tại t 0 tìm được ta phải có mức sản lượng và
đơn giá, lợi nhuận, tổng chi phí đều dương. 53
Ví dụ 32. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là
QD 2000 P và hàm tổng chi phí 2 TC Q Q
1000Q 50. Hãy xác định mức thuế t
trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp. Giải
Với một mức sản lượng Q , để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao cho Q Q. Do đó, ta có D Q Q 2000 P Q P 2000 Q D .
Mặt khác doanh thu của xí nghiệp là 1 2 TR Q P Q D Q Q 2000 Q Q Q 2000Q
Tiền thuế của xí nghiệp là : T t
Q t , và lợi nhuận thu được của xí nghiệp là : 2 Q TR Q TC Q Q t 2Q 1000 t Q 50
Bây giờ ta tìm Q 0 sao cho đạt giá giạ lớn nhất. Ta có / Q 4Q 1000 t Suy ra / 1 (Q) 0 4Q (1000 t) 0 Q 1000 t . 4 1
Khi đó tiền thuế xí nghiệp phải nộp là : 2 T t Q t 1000t t 4
Ta cần xác định t 0 sao cho T t đạt cực đại. Ta có / 1 T t 1000 2t , suy ra / T t 0 1000 2t 0 t 500. 4 Vì // T t
2 0 nên T t đạt giá trị lớn nhất tại t 500.
Khi đó, ta có các kết quả phù hợp sau : Sản lượng: Q 125, Đơn giá: P 1875, Lợi nhuận:
31200, tổng chi phí : TC 14067.
Tiền thuế thu được là: T 62500. Khi định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t 500. 54
2.2.6.4. Bài toán thuế nhập khẩu
Bài toán. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là S Q
S P và QD D P (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản
phẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) là 1 P 0 P , trong đó 0
P là đơn giá tại điểm cân bằng (là điểm mà tại đó mức cung
bằng lượng cầu) của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm
trên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty
nhiều thuế nhất (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán
trên thị trường quốc tế).
Giải quyết bài toán. Gọi t là mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mức
thuế t phải thoả điều kiện t 0 và t 1 P 0
P . Do được độc quyền, công ty sẽ nhập sản
phẩm trên để bán với đơn giá P thoả t 1 P P 0 P với số lượng là D Q S Q D P
S P . Khi đó lợi nhuận mà công ty thu được là : P P P t D P S P . 1
Tuy nhiên công ty sẽ chọn đơn giá để lợi nhuận đạt cao nhất. Do đó ta cần xác định
P sao cho (P) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó P P(t) và tiền thuế công ty phải nộp là : T t t D P(t) S P(t) .
Để thu được thuế nhiều nhất từ công ty ta cần xác định giá trị t 0 sao cho T t
đạt cực đại. Mức thuế phải thoả t 1 P 0
P và để phù hợp với thực tế ta phải có các đại
lượng tương ứng như đơn giá, lượng cung, lượng cầu đều dương.
Ví dụ 33. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là S Q
P 200 và QD 4200 P (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản
phẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) là P
1600. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định 1
mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất.
(Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Giải
Trước hết ta tìm điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta có 55 D Q S Q P 200 4200 P P 2200 ( 0 P 2200 )
Gọi t là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm thoả điều kiện : 1600 t 2200 (*)
Khi đó, lượng hàng mà công ty nhập về là : D Q S Q 4200 P P 200 4400 2P.
Lợi nhuận mà công ty thu được là : (P) P P t Q Q P 1600 t 4400 2P 1 D S
Đơn giá P được định ra sao cho
P đạt cực đại. Ta có / P 4P 2 3800 t , Suy ra / (P) 0 4P 2(3800 t) 0 P 1900 0,5t, và vì // P 4 0 nên
P đạt cực đại tại P 1900 0,5t.
Khi đó tiền thuế mà công ty phải nộp là T t t D Q S Q t 4400 2P t 600 t .
Ta cần xác định t 0 sao cho T t đạt giá trị lớn nhất. Ta có / T (t) 600 2t , Suy ra / T t 0 600 2t 0 t 300. Vì // T t
2 0 nên T t đạt cực đại tại t 300, với T t 90000. Thoả mãn (*) và
ta có các số liệu phù hợp sau:
Đơn giá: P 2025 0, lượng cung: S Q
1850 0, lượng cầu: QD 2150 0.
Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế nhập khẩu từ công ty, cần định mức thuế trên
một đơn vị sản phẩm là t 300. Khi đó tiền thuế thu được là T 90000.
2.2.6.5. Bài toán thuế xuất khẩu
Bài toán. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là Q S(P) và Q
D(P) ( P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản S D
phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) là P
P , trong đó P là đơn giá tại điểm cân bằng (là điểm mà tại đó mức cung bằng 1 0 0
lượng cầu) của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên.
Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều 56
thuế nhất (Giả sử khối lượng xuất khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế).
Giải quyết bài toán. Gọi t là mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mức
thuế t phải thoả điều kiện t 0 và 1 P t 0
P . Do được độc quyền, công ty sẽ mua sản
phẩm trên với đơn giá P thoả 0 P P 1 P
t với số lượng là QS QD S P D P . Khi
đó lợi nhuận mà công ty thu được là : P 1 P P t S P D P .
Tuy nhiên công ty sẽ chọn đơn giá mua để lợi nhuận tối đa. Do đó ta cần xác định P sao cho
P đạt giá trị lớn nhất. Khi đó P P t và tiền thuế công ty phải nộp là: T(t) t S P(t) D P(t) .
Để thu được thuế nhiều nhất từ công ty ta cần xác định giá trị t 0 sao cho T t đạt
cực đại. Mức thuế phải thoả P t P 1
0 và để phù hợp với thực tế ta phải có các đại lượng
tương ứng như đơn giá, lượng cung, lượng cầu đều dương.
Ví dụ 34. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là S Q
P 200 và QD 4200 P (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản
phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) là P
3200. Một công ty được độc quyền xuất khẩu loại sản phẩm trên. Hãy xác định 1
mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất.
(Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Giải
Trước hết ta tìm điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta có D Q S Q P 200 4200 P P 2200 ( 0 P 2200 )
Gọi t là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm thoả điều kiện : t 0; 3200 t 2200 (*)
Khi đó, lượng hàng mà công ty xuất khẩu là : S Q D Q P 200 4200 P 2P 4400.
Lợi nhuận mà công ty thu được là : P P P t Q Q 3200 P t 2P 4400 1 S D 57
Đơn giá P được định ra sao cho P đạt cực đại. Ta có / P 4P 2 5400 t , suy ra / t P 0 4P 2 5400 t 0 P 2700 , 2 1 và vì // P
4 0, nên P đạt cực đại tại P 2700 t. 2
Khi đó tiền thuế mà công ty phải nộp: T t t S Q D Q t 2P 4400 t 1000 t .
Ta cần xác định t 0 sao cho T t đạt giá trị lớn nhất. Ta có / T (t) 1000 2t , suy ra / T (t) 0 1000 2t 0 t 500. Vì // T t
2 0 nên T t đạt cực đại tại t 500, như vậy với T t 250000. Thoả
mãn (*) , và ta có các số liệu phù hợp sau :
Đơn giá: P 2450 0, lượng cung: QS 2250 0 , lượng cầu: QD 1750 0.
Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế nhập khẩu từ công ty, cần định mức thuế
trên một đơn vị sản phẩm là t 500. Khi đó tiền thuế thu được là T 250000.
2.2.7. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) / f t
Cho hàm số y f t , với t là biến thời gian. Tỉ số ry
được gọi là hệ số tăng f t
trưởng (nhịp tăng trưởng) của hàm số y f t tại thời điểm t, nó cho biết % thay đổi
của giá trị hàm số y f t khi t thay đổi một đơn vị.
Ví dụ 35. Cho hàm đầu tư rt I t I .e ,(I 0, r 0), 0 0
t tính theo năm. Hãy tính nhịp tăng trưởng của đầu tư. Giải. Ta có / rt I t r.I .e 0 r r 0 I rt I t I0.e
Điều đó có nghĩa sau mỗi năm, đầu tư tăng xấp xỉ r% . 58 Vậy 0,2Q TC Q 40e 10 .
Lưu ý. Chi phí khả biế n là phần chi phí phụ thuộc vào mức sản lượng Q và bằng hiệu
số của tổ ng chi phí và chi phí cố định. Trong trường hợp này: VC Q TC Q FC 40 0 e ,2Q
Ví dụ 40. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là: 2 MR Q 50 2Q 3Q
Hãy xác định hàm tổng doanh thu và hàm cầ u đối với sản phẩm. Giải
Hàm tổng doanh thu TR Q là nguyên hàm của hàm doanh thu cận biên: 2 2 3 TR Q ∫ 50 2Q 3Q dQ 50Q Q Q C
Hiển nhiên khi Q 0 doanh thu bán hàng là TR 0 0 C 0. Vậy 2 3 TR Q 50Q Q Q
Gọi P P Q là hàm cầu đảo, tức là hàm ngược của hàm cầu Q D P .
Ta có hàm doanh thu được tính như sau: TR Q P Q Q Suy ra TR Q 2 P Q 50 Q Q . Q
Ví dụ 41. Cho hàm tiêu dùng C C Y phụ thuộc vào mức thu nhậ p Y và xu hướng tiêu
dùng cận biên MPC Y ở mỗi mức thu nhậ p Y là: 1/2 MPC Y 0,8 0,1Y . Hãy tìm
hàm tiêu dùng, biết rằ ng mức tiêu dùng tự định là 50. Giải Ta có 1/2 C Y ∫ 0,8 0,1Y dY 0,8Y 0,2 Y C
Mức tiêu dùng tự định là mức tiêu dùng khi không có thu nhập: 65 C 0 50 C 50
Vậy hàm tiêu dùng trong trường h ợp này là: C Y 0,8Y 0, 2 Y 50.
Ví dụ 42. Cho hàm tiết kiệm S S(Y) phụ thuộc vào mức thu nhập Y và xu hướng tiế t
kiệm c ận biên MPS Y ở mỗi mức thu nhập Y là: MPS Y 8 0,4Y. Hãy tìm hàm
tiết kiệ m, biết rằng mức tiết kiệm sẽ là S 40 khi mức thu nh ập Y 10. Giải Ta có 2 S Y ∫ 8 0,4Y dY 8Y 0,2Y C
Mức tiết kiệm là S 40 khi thu nhập Y 10 : S 10 40 C 100
Vậy hàm tiết ki ệm trong trường hợp này là: 2 S Y 100 8Y 0, 2Y .
Ví dụ 43. Một doanh nghiệp có hàm doanh thu cậ n biên: 2 MR Q 960 0,15Q . Hãy
tìm tổ ng doanh thu nếu doanh nghiệp định giá sản phẩm là 715. Giải
Hàm tổng doanh thu TR Q là nguyên hàm của hàm doanh thu cận biên: 2 3 TR Q ∫ 960 0,15Q dQ 960Q 0,05Q C
Hiển nhiên khi Q 0 doanh thu bán hàng là TR 0 0 C 0. Vậy 3 TR Q 960Q 0,05Q
Gọi P P Q là hàm cầu đảo, tức là hàm ngược của hàm cầu Q D P .
Ta có hàm doanh thu được tính như sau: TR Q P Q Q Suy ra TR Q 2 P Q 960 0,05Q . Q Với 2 P 715 960 0,05Q 715 Q 70
Vậy tổng doanh thu: TR PQ 715 70 50050. 66
2.3.2. Bài toán tìm hàm quỹ vốn khi biết hàm đầu tư
Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung vốn) và quỹ vốn K là các hàm số của biến thời gian t : I I t , K K t
Giữa quỹ vốn và đầ u tư có quan hệ / I t
K t (lượng đầu tư tại thời điểm t, biểu
thị tốc độ tăng vốn t ại thời đi ểm đó), do đó nếu biết hàm đầu tư I t thì hàm quỹ vốn
K t được xác định như sau: / K t ∫ K t dt ∫ I t dt
Hằng số C trong tích phân bất đị nh trên được xác định nếu ta biết quỹ vốn tại một thời điểm nào đó.
Ví dụ 44. Cho hàm đầu tư sau 1/2
I(t) 3t (nghìn đô la một tháng) và quỹ v ốn tại thời điểm
t 1 là K 1 10 (nghìn đô la). Hãy xác định hàm quỹ vốn K t và lượng vố n tích lũy
được từ tháng thứ 4 đến tháng thứ 9. Giải
Quỹ vốn tại thời điể m t là: 1/2 3/2 K t ∫ 3t dt 2t C .
Tại thời điểm t 1 thì K 1 2 C 10 , do đó: C = 8 3/2 K t 2t 8 (nghìn đô la)
Lượng v ốn tích lũy đượ c từ tháng thứ 4 đế n tháng thứ 9 được tính theo công thức: 9 3 2 K 9 K 4 2t 38 (nghìn đô la). 4
Ví dụ 45. Giả sử lượng đầu tư tạ i thời điểm t được xác định d ưới dạng hàm số 0,75 I t 140t
và quỹ vốn tại thời điểm xuất phát là K(0) 150. Hãy xác định hàm quỹ v ốn K t . Giải
Quỹ vốn tại thời điể m t là: 3/4 7/4 K t ∫140t dt 80t C . 67
Tại thời điểm xuất phát K(0) C 150 , do đó 4 7 K t 80 t 150 (nghìn đô la).
2.3.3. Tính thặng dư của nhà sản xuất (PS) và thặng dư của người tiêu dùng (CS) Cho hàm cầ u D Q D P hoặc hàm cầu đảo 1 P D Q (hàm ngượ D c của hàm cầu D Q
D P ). Giả sử điể m cân bằng của thị tr ường là 0 P , 0
Q và hàng hoá được bán với giá 0
P . Khi đó thặng dư của người tiêu dùng được tính theo công thức: Q0 1 CS ∫ D Q dQ 0 P Q0. 0 Cho hàm cung S Q S P hoặc hàm cung đả o 1 P S
QS . Nếu hàng hoá được bán ở mức giá cân bằng 0
P thì th ặng dư của nhà s ản xuất được tính theo công thức: Q0 1 PS 0 P 0 Q ∫ S Q dQ. 0
Ví dụ 45. Cho các hàm cung và cầu sau: QS P 2 1, D Q 43 P 2.
Hãy tính thặng dư của nhà s ản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. Giải
Các hàm cầu đảo và cung đảo lần lượt là: 1 2 D Q 43 (Q 2) , 1 2 S Q (Q 1) 2
Sản lượng cân bằng Q0 là nghiệm dương của phương trình: 1 1 D Q S Q Suy ra: Q0 3 và 0 P 18
Thặng d ư nhà s ản xuất được tính theo công thức: 3 2 PS 18 3 ∫ Q 1 2 dQ 27. 0
Thặng d ư ng ười tiêu dùng được tính theo công thức: 3 2 CS ∫ 43 Q 2 dQ 18 3 36. 0 68 2.3.4. Bài tập 2
Bài số 1. Cho hàm sản phẩm cận biên của lao động: 3 MPL L 60.L . Hãy tìm hàm
sản xuất ngắn hạn Q f L , biết Q 100 10000. Đáp số: 3 3 Q L 180 L 10000 180 100.
Bài số 2. Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q như sau: 2 MC Q
120 40Q 0,3Q và chi phí cố định: FC 300
1) Hãy tìm hàm tổng chi phí và hàm chi phí khả biến.
2) Tính giá trị chi phí cận biên tạ i mức sản lượng Q0 140 và nêu ý nghĩa. Đáp số: 1) 3 2 3 2 TC(Q) 0,1Q 20Q 120Q 300; VC 0,1Q 20Q 120Q ; 2) MC(140) 400.
Bài số 3. Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q : 0,3Q MC Q 15e và chi phí
cố định: FC 120. Hãy tìm hàm tổng chi phí. Đáp số: 0,3Q TC 50e 70.
Bài số 4. Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q: 0,4Q MR Q 40Q 16e .
Hãy tìm hàm tổng doanh thu. Đáp số: 2 0,4Q TR 40 20Q 40e .
Bài số 5. Cho biết hàm doanh thu cận biên: 2 MR Q
84 4Q Q . Hãy cho biết hàm
tổng doanh thu TR Q và hàm cầu. Đáp số: 2 1 3 1 2 TR 84Q 2Q Q ; P 84 2Q Q . 3 3
Bài số 6. Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC Y
0,8 ở mọi mức thu nhập Y và
C 800 khi Y 0. Hãy xác định hàm tiêu dùng C Y . Đáp số: C Y 0,8Y 800.
Bài số 7. Cho biết xu hướng tiết kiệ m cận biên 0,5 MPS Y 0,9Y ở mọi mức thu nhập
Y và S 500 khi Y 100. Hãy xác định hàm tiết kiệ m S Y . 69 Đáp số: 9 0,5 S(Y) Y 482. 5
Bài số 8. Cho Y là thu nhập, S là tiết kiệm. Biết rằng mức tiết kiệm sẽ là S 7, 42 khi thu nhập Y 5.
1) Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướng tiết kiệm cận biên là MPS Y Y 0,4.
2) Kể từ mức thu nhập dương nào trở nên sẽ có mức tiết kiệm dương? 2 Đáp số: 1) Y S(Y) 0,4Y 17,92; 2) Y 6, 2. 2
Bài số 9. Tìm hàm tổng nhập khẩu M Y với Y là thu nhập quốc dân nế u khuynh hướng nhập khẩu cận biên là / M Y 0,1 và M 20 khi Y 0. Đáp số: M Y 0,1Y 20.
Bài số 10. Cho bi ết doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q: 10 MR Q . 2 1 Q
1) Hãy tìm hàm tổng doanh thu.
2) Tại mức sản lượng Q 4. Nếu tăng giá 1% thì sản lượng thay đổi như thế nào? Đáp số: 1) 10Q TR Q
; 2) Sản lượng giảm 1,25%. 1 Q
Bài số 11. Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng Q c ủa một doanh nghiệp như sau: 2 MR Q 1800 1,8Q .
1) Hãy tìm hàm tổng doanh thu
2) Hãy cho biết tại mức sản lượng Q 10. Nếu doanh nghiệp giảm giá 1% thì mức
cầu sẽ biến động như thế nào? Đáp số: 1) 3
TR 1800Q 0,6Q ; 2) Sản lượng tăng 14,5%.
Bài số 12. Cho Y là thu nhập, S là tiết kiệm. Biết rằng mức tiết kiệm sẽ là S 0 khi thu
nhập Y 81. Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướng tiết kiệm cận biên là 0,5 MPS Y 0,3 0,1Y 70 Đáp số: 0,5 S Y 0,3Y 0, 2Y 22,5.
Bài số 13. Cho bi ết hàm đầu tư: 5 3 I 40 t .
Hãy cho biết hàm quỹ vốn K t , biết rằng quỹ vốn tại thời điểm t 0 là 75. Đáp số: 5 8 K(t) 25 t 75.
Bài số 14. Cho biết hàm đầu tư 3
I 60 t và quỹ vốn tại thờ i điểm t 1 là 85. Hãy cho biết hàm quỹ vốn K t . Đáp số: 3 4 K(t) 45 t 40.
Bài số 15. Cho bi ết hàm đầu tư: 3
I 12 t (t là biến thời gian).
1) Hãy cho biết hàm quỹ vốn K t , biết rằng K 0 25.
2) Xác định tổng lượng vốn tích lũy được trong khoảng thời gian t 1,10 . Đáp số: 1) 3 4 K(t) 9 t 25; 2) 185.
Bài số 16. Cho biết hàm cầu: 2
P 42 5Q Q . Giả sử giá cân bằng là 0 P 6. Hãy tính
thặng d ư của người tiêu dùng. Đáp số: 248 CS . 3
Bài số 17. Cho bi ết hàm cầu và hàm t ổng chi phí như sau P 110 Q và 3 2 TC Q 25Q 2Q 3000; Q 0
1) Tìm sả n lượng Q và giá bán P để lợi nhuận cực đại.
2) Tìm thặng dư củ a người tiêu dùng tại mứ c sản lượng để lợi nhuận cực đại.
Đáp số: 1) Q 18, P 92, max 888 ; 2) CS 162.
Bài số 18. Cho hàm cầu và hàm tổng chi phí P 124 2Q và 3 2 TC Q 2Q 59Q 4Q 7600; Q 0
1) Hãy xác định mức sản lượng Q để t ối đa hóa lợi nhuận.
2) Tính th ặng dư của người tiêu dùng tại điể m tối đa hóa lợi nhuận. Đáp số: 1) max (20) 1600 ; 2) CS 400.
Bài số 19. Cho bi ết hàm cầu và hàm cung đảo: 71 1 2 1 1 2 D Q 65 Q ; S Q Q 2Q 5 3
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. Đáp số: CS 144; PS 84.
Bài số 20. Cho bi ết hàm cầu và hàm cung: 1 2 D Q 0,1Q 90 ; 1 2 S Q 0, 2Q Q 50 .
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. Đáp số: 200 550 CS ; PS . 3 3
Bài số 21. Cho bi ết hàm cầu và hàm cung: 1 2 1 2 D Q 131 Q ; 1 2 S Q 50 Q . 3 3
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. Đáp số: CS 162; PS 324.
Bài số 22. Cho bi ết hàm cầu và hàm cung: 1 D Q 245 2Q ; 1 S Q 5 Q .
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. Đáp số: CS 3,29; PS 50.
Bài số 23. Cho bi ết hàm cầu và hàm cung: 1 16 D Q 3 ; 1 1 S Q Q 1 . Q 2 3
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. Đáp số: 2 CS 16 ln 2 8; PS . 3
Bài số 24. Cho bi ết hàm cầu và hàm cung: QD 113 P ; S Q P 1.
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng. Đáp số: 686 833 CS ; PS . 3 3 72
2.4. Phương trình vi phân và áp dụng kinh tế
2.4.1. Tìm hàm cầu khi biết hệ số co dãn của cầu theo giá
Chúng ta đã biết công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá như sau: P dQ P / D D QD P QD dP QD dQ dP D (*) D Q P
Trong đó: QD là lượng cầu, P là giá sản phẩm. Cách giải
Lấy tích phân 2 v ế c ủa phương trình (*), ta có dQ dP D ∫ ∫ D QD P Suy ra dP ln D Q ∫ D P Lưu ý.
Để xác định hằng số C trong tích phân bất định, ta cần có thông tin về lượng cầu
của một mức giá cụ thể.
Ví dụ 46. Cho hệ số co dãn của hàm cầ u là: D 2
Tìm hàm cầu QD biết rằng Q 1 20. Giải
Từ h ệ số co dãn ta có dQ P dQ dP 2 2 dP Q Q P Suy ra 2 ln Q 2ln P C Q P A ( A là hằng số) Từ giả thiết Q 1 20 20 A A 20 Vậy 2 Q 20P . 73
Ví dụ 47. Cho hệ số co dãn của hàm cầ u là 2P D 2000 2P
Tìm hàm cầu QD biết rằng Q 0 2000. Giải
Từ h ệ số co dãn ta có dQ P 2P dQ dP dP Q 2000 2P Q 1000 P Suy ra ln Q ln 1000 P C
Q A 1000 P ( A là hằng số) Từ giả thiết Q 0 2000 2000 1000A A 2 Vậy Q 2000 2P.
2.4.2. Biến động của giá trên thị trường theo thời gian
Giả sử một sản phẩm đang được lưu thông trên thị trường với hàm cung QS và hàm cầu QD . Gọi 0 P , 0
Q lần lượ t giá và lượng cân bằng. Nếu tại thời điểm bắt đầu vi ệc nghiên cứu t 0, P 0 0
p thì thị trường đã đạt được sự cân bằng. Nhưng nếu P 0 p0 , ngh ĩa
là thị trường chưa đạt được sự cân bằng. Để đạt được sự cân bằng cầ n có thời gian để điều
chỉnh, khi đó P, QS, Q D là các hàm theo thời gian t. Vấn đề đặt ra là sự điều ch ỉnh giá P
có đạt được mức giá cân bằng thị trường theo thời gian hay không? Ngh ĩa là lim P(t) P(0) . t
Sự thay đổi của giá phụ thuộc lượng cung, c ầu trên thị trường, để đơ n giản chúng
ta giả thi ết rằng tỷ lệ của sự thay đổi giá t ại mọi th ời điểm tỷ lệ thuận vớ i độ chênh lệch giữa cầu và cung QD S Q tại thời điểm đó.
Nếu như vậy ta có thể diễn tả bằng phương trình: dP Q (*) D QS dt Trong đó
0 là một hằng số thích hợp, gọi là hệ số điều chỉ nh 74 dP dP Lưu ý. Khi 0 khi và chỉ khi Q
Q . Điều đó có nghĩa là 0 xảy ra tại mọi dt S D dt thời điểm cân bằng.
Giải ph ương trình vi phân (*) ta tìm được hàm P t .
Ví dụ 48. Cho hàm cung và hàm cầu QS 3P 60; QD 30 P 45 Nếu Q D S Q thì giá cân bằng 0 P 2 dP 1 Giả sử Q và D S Q P 0 30 dt 2 Từ dP 1 dP QD QS 45 2P dt 2 dt / P 2P 45 (*)
+) Bước 1. Một nguyên hàm củ a 2 là 2t
+) Bước 2. Chọn thừa số tích phân: 2t e
+) Bước 3. Nhân 2 vế của (*) cho 2t e ta được 2t / 2t 2t e P e 2P 45e / 2t 2t e P 45e (**)
+) Bước 4. Lấ y tích phân 2 vế của (**), ta được 45 2t 2t e P e C 2 45 Suy ra 2t P(t) Ce (C là hằng số) 2 45 15 Từ giả thiết : P(0) 30 C 30 C 2 2 Vậy 45 15 2t P t e 2 2 45 Nhận thấy : lim P t 0 P . t 2 75
Ví dụ 49. Cho hàm cung và hàm cầu QS P 20; QD 60 2P
Tìm hàm giá phụ thuộc vào thời gian t,biết rằng P 0 40 và P 2 30. Giải Ta có dP k Q D QS dt
Thay hàm cung hàm cầu vào, ta có dP k 80 3P dt / P 3kP 80k (*)
+) Bước 1. Một nguyên hàm củ a 3k là 3kt
+) Bước 2. Chọn thừa số tích phân: 3kt e
+) Bước 3. Nhân 2 vế của (*) cho 3kt e ta được 3kt / 3kt 3kt e P e 3kP 80ke / 3kt 3kt e P 80ke (**)
+) Bước 4. Lấ y tích phân 2 vế của (**), ta được 80 3kt 3kt e P e C 3 80 Suy ra 3kt P(t) Ce (C là hằng số) 3 80 40 Từ giả thiết : P(0) 40 C 40 C 3 3 Ta có 80 40 3kt P(t) e 3 3 80 40 Từ giả thiết : 6k P(2) 30 e 30 k 0,231 3 3 Vậy 80 40 0,693t P(t) e . 3 3 76 2.4.3. Bài tập
Bài số 1. Tìm hàm cầu QD cho biết hệ số co dãn của cầu theo giá là 2 5P 2P D Q
và lượng cầu ở mức giá P 10 là 500. Đáp số: 2 Q(P) 650 5P P . 2 Bài số 2. 6P 4P
Biết hệ số co dãn của c ầu theo giá là: D Q
Hãy tìm hàm cầu, biết rằng Q 700 khi P 10. Đáp số: 2 Q 6P 2P 840.
Bài số 3. Tìm hàm cầu biết h ệ số co dãn của cầu theo giá là D 2 , và ở mức giá P 2 thì lượng cầu Q 100. Đáp số: 2 Q 400P .
Bài số 4. Cho hàm cung và hàm c ầu: QS P 200; Q D 4200 P. Tìm hàm giá phụ 1
thuộc vào thời gian t, biết r ằng h ệ số điều chỉnh và P 0 3000. 2 Đáp số: t P(t) 2200 800e .
Bài số 5. Cho hàm cung và hàm cầu: QD 8 2P; QS 2 P. Tìm hàm giá phụ thuộc vào
thời gian t, biết rằng P 0 5 và P 2 3. Đáp số: 0,549t P(t) 2 3e .
Bài số 6. Cho hàm cung và hàm cầu: QD 7 P; QS 1 P. Tìm hàm giá phụ thuộc vào
thời gian t, biết rằng P 0 6 và P 4 4. Đáp số: 0,2747t P(t) 3 3e .
Bài số 7. Cho hàm cung và hàm cầu: D Q 11 3P; S Q
5 P. Tìm hàm giá phụ thuộc
vào thời gian t, biết r ằng P 0 10 và P 3 7. Đáp số: 3 17 0,1451t P(t) e . 2 2 77
Thuật ngữ chính chương 2 Tiếng Anh Tiếng Việt Average Cost Chi phí bình quân Compound Interest Lãi kép Consumers’ Surplus
Thặng dư của người tiêu dùng
Differential equations of the first order
Phương trình vi phân cấp 1 Linear differential equations
Phương trình vi phân tuyến Elasticity coefficient Hệ số co dãn Elasticity of demand Độ co dãn của cầu Fixed Cost Chi phí cố định Future Value Giá trị tương lai Marginal Cost Chi phí cận biên Marginal product of labor
Sản phẩm cận biên của lao động Marginal product of Capital
Sản phẩm cận biên của vốn
Marginal Propensity to Consume
Xu hướng tiêu dùng cận biên Marginal Propensity to Save
Xu hướng tiết kiệm cận biên Marginal Profit Lợi nhuận cận biên Marginal Revenue Doanh thu cận biên Net Present Value Hiện giá thuần Product Sản phẩm Profit Lợi nhuận Production Cost Chi phí sản xuất Producers’ Surplus
Thặng dư của nhà sản xuất Present Value Giá trị hiện tại Revenue Doanh thu Single Interest Lãi đơn
The Law of diminishing returns
Quy luật lợi ích cận biên giảm dần Total Cost Tổng chi phí Total Revenue Tổng doanh thu Variable Cost Chi phí biến đổi 78 Chương 3
Áp dụng phép toán vi phân hàm nhiều biến vào phân
tích kinh tế và kinh doanh
3.1. Các hàm số nhiều biến trong phân tích kinh tế 3.1.1. Hàm sản suất
Khi phân tích hoạt động sản xuất, các nhà kinh tế quan tâm đến hai yếu tố đầu vào
quan trọng là vốn (capital) và lao động (labor) và chúng được ký hiệu là K và L. Do đó, hàm sản xuất có dạng: Q f K, L . Ý nghĩa.
Hàm sản xuất biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng hàng hoá vào hai yếu tố đầu vào
vốn (tư bản) và lao động.
Một hàm sản xuất mà kinh tế học thường sử dụng là hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas có dạng: Q aK L
Trong đó: a, , là các hằng số dương.
3.1.2. Hàm doanh thu, chi phí, lợi nhuận 3.1.2.1 Hàm chi phí
+) Hàm chi phí phụ thuộc đầu vào: TC TC K,L .
Nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì hàm chi phí là hàm số của các yếu tố sản xuất và có dạng: TC K, L pKK pLL C0. Trong đó: ộ đơ ị ố ư ản). K
p : Giá thuê m t n v v n (t b ộ đơ ị độ L
p : Giá thuê m t n v lao ng. C ố đị 0 : Chi phí c nh.
+) Hàm chi phí kết hợp: TC TC Q1,Q 2 . Trong đó
Q : Số đơn vị hàng hóa 1; 1 79
Q : Số đơn vị hàng hóa 2. 2
3.1.2.2. Hàm doanh thu và hàm lợi nhuận
+) Nếu doanh nghiệp là doanh nghiệp cạnh tranh thì tổng doanh thu của doanh nghiệp
phụ thuộc vào K, L và có dạng: TR P f K, L
TR K, L ( P : là giá sản phẩm) +) Hàm doanh thu gộp: TR TR 1 TR 2 1 P .Q1 P2.Q 2 TR Q1,Q 2 Với ả ẩ ặ ả ẩ ặ 1
P : là giá s n ph m m t hàng 1, 2
P : là giá s n ph m m t hàng 2. 3.1.2.3. Hàm lợi nhuận Hàm lợi nhuận: TR TC
+) Hàm lợi nhuận phụ thuộc đầu vào P.f K,L pkK L p L 0 C K,L
+) Hàm lợi nhuận phụ thuộc đầu ra 1 Q ,Q2 TR 1 Q ,Q2 TC 1 Q ,Q2 . 3.1.3. Hàm lợi ích
Giả sử cơ cấu tiêu dùng của người tiêu dùng gồm có n mặt hàng. Mỗi giỏ hàng là
một bộ gồm n số thực X x , x ,..., x , trong đó 1 2 n 1 x là lượng hàng hoá 1 T , x là lượng 2 hàng hoá T ượ ợ
ố đặt tương ứng với mỗi túi 2,..., x là l ng hàng hoá n n T . Hàm l i ích là hàm s hàng X ớ ộ ị ấ đị ắ ỏ đượ ư 1 x , x2,..., x v i m t giá tr n
U nh t nh theo quy t c: Gi hàng nào c a
chuộng nhiều hơn thì gán giá trị lợi ích lớn hơn. Hàm lợi ích có dạng tổng quát như sau: U U x , x ,..., x 1 2 n
Hàm lợi ích hay được sử dụng là hàm Cobb – Douglas: 1 2 n U ax1 x2 ...x n
( 1, 2,..., n là các hằng số dương). 3.1.4. Điểm cân bằng
+) Mức thu nh ập quốc dân cân b ằng Y phụ thuộc vào chi tiêu của Chính phủ G0 , lượng đầu tư 0
I và xuấ t khẩu X0: Y f G0,I0,X0 .
+) Mức lãi suất cân bằng r phụ thuộc vào chi tiêu của Chính phủ G0 và lượng cung tiền 0 M : 80 r g G0,M0 .
3.1.5. Hàm cung, cầu thị trường n hàng hóa liên quan
Mứ c cung và mức cầu đối với một loại hàng hoá trên thị trường không những chỉ phụ
thuộc vào giá hàng hoá đó mà còn bị chi ph ối bởi giá của các hàng hoá liên quan và thu
nhập c ủa người tiêu dùng. Trên thị trường n hàng hoá liên quan hàm cung và hàm cầu đối
với hàng hoá i có dạng (giả thiết thu nhập không thay đổi): Q S P , P ,..., P i S i 1 2 n Q D P , P ,..., P i D i 1 2 n
Trong đó, Q là lượng cung hàng hoá i, S
Q là l ượng cầu hàng hoá i, i D i i P là giá của
hàng hoá i i 1, 2, 3,..., n .
Ví dụ 1. Cho các hàm c ầu: 1 Q 40 1 P ; Q2 30 0,5 2
P . Hãy lập hàm doanh thu. Giải
Từ hai hàm cầ u thuận ta suy ra hai hàm cầu đảo như sau: 1 P 40 1 Q ; 2 P 60 2Q2 Hàm doanh thu gộp TR Q ,Q P Q P Q 1 2 1 1 2 2 (40 1 Q ) 1 Q (60 2 2 Q ) 2 Q hay 2 2 TR 1 Q , Q2 1 Q 2Q2 40 1 Q 60Q2
Ví dụ 2. Cho hàm sản xuất: 0,3 0,4 Q K, L
10K L . Giá thuê m ột đơn v ị vố n K p 3 USD,
giá thuê một đơn vị lao động L p
2 USD và giá sản phẩ m là P 4 USD. Hãy lập hàm lợi nhuậ n. Giải Hàm doanh thu: 0,3 0,4 TR K, L PQ 40K L Hàm chi phí : TC K, L pKK pLL 3K 2L Hàm lợi nhuận: 0,3 0,4 K, L TR K, L TC K, L 40K L 3K 2L. 81
3.2. Áp dụng đạo hàm riêng và vi phân toàn phần vào phân tích kinh tế và kinh doanh
3.2.1. Đạo hàm riêng và giá trị cận biên
Xét mô hình hàm kinh tế: w f x ,x ,..., x ,w 1 x , x2 ,..., xn trong đó 1 2 n là các biến kinh tế.
Đạo hàm riêng của hàm số w theo biến xi tại điểm X đượ ọ 1 x , x2 ,..., x c g i là giá n
trị cận biên của hàm w theo biến x /
i tại điểm đó. Nghĩa là, w x x ,x ,...,x biểu diễn i 1 2 n
xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến w khi giá trị x i thay đổi 1 đơn vị trong điều kiện
giá trị các biến độc lập còn lại không thay đổi.
3.2.1.1. Hàm sản xuất: Q f K,L Có các đạo hàm riêng: Q Q / / Q ; Q K L K L
được gọi tương ứng là hàm sản phẩm cận biên của vốn (t ư bản) (ký hiệu: MPK ) và
hàm sản phẩm cận biên của lao động (ký hiệu: MPL ) tại điểm K,L .
Ý nghĩa của các đạo hàm riêng +) / /
QK fK K,L : biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng
thêm một đơn vị vốn (tư bản) và giữ nguyên mức sử dụng lao động. +) / / Q
f K, L : biể u diễ n xấp xỉ lượng sản phẩm gia tăng khi sử dụng thêm một L L
đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử dụ ng vốn.
Ví dụ 3. Giả sử hàm sản suất của một doanh nghi ệp là: 1 3 4 4 Q K, L 20K L
Trong đó: K, L, Q là mức sử dụng vốn, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày.
a) Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 16 đơn vị vốn và 81 đơn vị lao động trong một ngày tức K 16, L 81.
Sản lượng cận biên của vốn là: / 0,75 0,75 MPK 16,81 fK 16,81 5. 16 81 16,875
Sản lượng cận biên của lao động là: 82 / 0,25 0,25 MPL 16,81 f 16,81 15. 16 81 10 L
Nghĩa là, nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng vốn K từ 16 lên 17 đơ n vị và giữ
nguyên mức sử dụng lao động L 81 trong một ngày, thì sản lượng tăng thêm xấ p xỉ
16,875 đơn vị sản phẩm. Tương tự, nếu giữ nguyên mức sử dụng vốn K 16 và tăng mức
sử dụng lao động L từ 81 lên 82 trong một ngày thì sản lượng tăng thêm xấp xỉ 10 đơn vị sản phẩm.
b) T ại K0 16, L0 81, nếu giảm vốn K xuống 0,5 đơn vị và tăng lao động L lên
2 đơn vị thì Q sẽ thay đổi như thế nào? / / Q f K , L K f K , L L K 0 0 L 0 0 hay 135 185 Q .( 0,5) 10 2 0 8 16
Vậy Q sẽ t ăng xấp xỉ 185/16 đơ n vị.
3.2.1.2. Hàm lợi ích: U U x1, x 2,..., x n
Đạo hàm riêng của hàm lợi ích đối với các biến độc lập là: U i MU (i 1, 2,..., n) xi MU :
i được gọi là lợi ích c ận biên c ủa hàng hoá thứ i.
Ý nghĩa. Đạo hàm riêng MU t ại điể m
biểu diễ n xấp xỉ lợi ích i X 1 x , x2 ,..., xn
tăng thêm khi người tiêu dùng có thêm một đơn vị hàng hoá thứ i trong điều kiện số đơn
vị các hàng hoá khác không thay đổi.
Ví dụ 4. Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người tiêu dùng đối với hai loại hàng hoá đượ c cho như sau: 3 U x , x 2 x x 1 2 1 2 Trong đó: 1
x , x lần lượt là mức sử dụng hàng hoá 2
1 và hàng hoá 2, U là lợi ích của
người tiêu dùng hàng ngày.
Giả sử ng ười tiêu dùng đang sử d ụng 64 đơ n vị hàng hóa 1 và 25 đơn vị hàng hoá 2 trong một ngày.
+) Lợi ích cận biên của hàng hoá 1 đối với ng ười tiêu dùng là: 83 2 1 U 2 5 3 2 MU 64, 25 64 25 0, 21 1 1 x 3 24
+) Lợi ích cận biên của hàng hoá 2 đối với người tiêu dùng là: 1 1 U 3 2 M 2 U 64, 25 64 25 0,8 2 x
Nghĩa là, nếu người tiêu dùng tăng mức sử dụng hàng hoá 1 thêm một đơn vị 1 x 65
và giữ nguyên mức sử dụng hàng hoá 2 trong một ngày thì lợi ích tă ng thêm khoảng 0, 21
đơn vị. T ương t ự, nếu giữ nguyên mức sử dụng hàng hoá 1 và tăng mức sử dụng hàng hoá
2 thêm 1 đơn vị trong một ngày thì lợi ích t ăng thêm khoảng 0,8 đơn vị.
Ví dụ 5. Người ta ước lượng hàm sản xuất hàng ngày của một doanh nghi ệp như sau: 3 Q K, L 80 K. L .
a) Với K 25 và L 64 hãy cho biết mức sản xuất hàng ngày của doanh nghiệp.
b) Bằng các đạo hàm riêng của Q , cho biết nếu doanh nghiệp:
+) S ử dụng thêm một đơn vị lao động mỗi ngày và giữ nguyên mức K 25 thì
sản lượng sẽ thay đổi là bao nhiêu?
+) Ngược lại, nếu sử dụng thêm một đơn vị vốn mỗi ngày và giữ nguyên mức
L 64 thì sản lượng sẽ thay đổi bằng bao nhiêu?
c) Nếu giá thuê m ột đơn vị vốn K là 12 USD, giá đơn vị L là 2,5 USD và doanh
nghiệp sử dụng các yếu tố đầu vào ở mức nêu trong câu a) thì doanh nghiệp nên sử dụng
thêm một đơn vị K hay thêm một đơn vị L mỗi ngày? Giải
a) Mức sản xuất hàng của doanh nghiệp khi K 25 và L 64 là: 3
Q 80. 25. 64 80.5.4 1600 (đvsp).
b) Các đạo hàm riêng của hàm sản xuất:
+) Đạo hàm riêng của Q theo K và của Q theo L : 1 1 / 3 Q K K, L 80. . L; 2 K 1 1 / QL K,L 80. . K . 3 2 3 L 84
Tạ i mức K 25 và L 64 , ta có 25 / / Q K 25, 64 32; Q L 25,64 8,3 3
+) Nếu giữ nguyên mức sử dụng vốn K 25 và sử dụng thêm một đơn vị lao
động mỗi ngày thì sản l ượng tăng một lượng xấp xỉ là 8,3 đơn vị.
+) N ếu giữ nguyên mức sử dụng lao động L 64 và sử dụng thêm một đơn vị
vốn mỗi ngày thì sả n lượng thay đổi một lượng xấp xỉ là 32 đơn vị.
c) Với các giả thiết đã cho thì doanh nghiệp nên sử dụng thêm một đơn vị lao động MPL 25 / 3 MPK 32 mỗi ngày. Vì ta có . pL 2,5 pK 12
3.2.2. Đạo hàm riêng và hệ số co dãn
Cho mô hình hàm kinh tế: w f 1 x , 2 x ,..., n x
Hệ số co dãn của w theo biến x tại điểm ố đ ượ đổ i 1 x , 2 x ,..., x là s o l ng thay i n
tính bằng phần trăm của w khi xi thay đổi 1% trong điều kiện giá trị của các biến độc
lập khác không thay đổi, được ký hiệu và xác định như sau: f x , x ,...,x x 1 2 n i . . w xi i x f 1 x ,x2 ,..., xn
Ví dụ 6. Giả s ử hàm cầu của hàng hoá 1 trên thị tr ường hai hàng hoá liên quan có dạng 5 sau: 2 2 Q P , P 6300 2 . Trong đ 1 P P
ó, P , P tương ứng là giá của hàng hoá 1, 2 1 D 1 2 2 3 1 2
. Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm 20, 30 . Giải
Hệ số co dãn của cầu theo giá 1P đối với giá c ủa hàng hoá đó tại thời điểm 1 P , 2 P Q P P 1 D 1 1 4 1 P . QD 1 P P Q 5 1 2 2 1 1 D 6300 2P P 1 2 3
Hệ số co dãn của cầu đối v ới hàng hoá thứ nhất theo giá hàng hoá thứ hai 2 P tại thời điểm 1 P , 2 P là: 10 P 2 2 P . QD 2 P 1 3 2 5 2 6300 2 1 P 2 P 3 85 Tạ i điểm 20, 30 ta có: 0,4; 0,75. QD P Q P 1 1 D1 2
Điều này có nghĩa là khi hàng hoá 1 đang ở mức giá 20 và hàng hoá 2 ở mức giá
30 nếu t ăng giá hàng hoá 1 lên 1% còn giá hàng hoá 2 không đổi thì cầu đối với hàng
hoá 1 sẽ giảm 0,4%, tương t ự, nếu giá của hàng hoá 1 không thay đổi như ng giá của hàng
hoá hai tăng thêm 1% thì cầ u đối với hàng hoá 1 cũng giảm 0,75%.
Ví dụ 7. Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng: 1 2 3 3 Q K,L 120K L .
a) Khi đó hệ số co dãn của sản lượng theo vốn tại thời đi ểm K,L là: 2 2 K 40 1 3 3 40K L . . QK 1 2 120 3 3 3 120K L
Khi đó hệ số co dãn của sản lượng theo lao động tại thời điểm K,L là: 1 1 L 80 2 3 3 80K L . . QL 1 2 120 3 3 3 120K L Nhận xét
Nếu mô hình hàm số kinh tế có dạng mô hình hàm Cobb –Douglass thì hệ số co dãn của w theo x x .
k đúng bằng lu ỹ thừa của k
b) Tại mức sử dụng K,L nếu giảm vốn K xuống 2% và tăng lao động L lên 3% thì
Q sẽ thay đổi như thế nào? Ta có 1 2 4 Q ( 2). QK 3. QL ( 2). 3. 0 3 3 3
Do đó sản lượng Q tăng xấp xỉ (4/3)%.
c) Tại mức sử dụng K,L nếu tăng vốn K lên 2% và giảm lao động L xuống 3%
thì Q sẽ thay đổi như thế nào? Ta có 1 2 4 Q 2. 3. 2. 3. 0 QK QL 3 3 3
Do đó sản lượng Q giảm xấp xỉ (4/3)%. 86
3.2.3. Đạo hàm riêng cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần
Xét mô hình hàm kinh tế hai biến số: z f x, y . +) / / z
f x,y : là hàm cận biên của mô hình hàm kinh tế trên theo biến x. x x +) / /
zy fy x, y : là hàm cận biên của mô hình hàm kinh tế trên theo biến y.
Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giả m dần nói r ằng: giá trị z cận biên
của biến x giảm dần khi x tăng y không đổi. Tương tự, cho giá trị z c ận biên của biến
y giảm dần khi y tăng và x không đổi (Chú ý: chúng ta xét trong điều kiện giá trị của
các biến x, y là đủ lớn). Cơ sở toán học: +) / /
zx fx x, y : là hàm số giảm khi // / / x z x x f x x,y 0. +) / /
zy fy x, y : là hàm số giảm khi // // zyy fyy x,y 0 .
Ví dụ 8. Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Cobb – Douglas như sau: Q K, L aK L a, , 0
Hàm sản phẩm cận biên của vốn: / 1 QK K,L a K L .
Hàm sản phẩm cận biên của lao động: / 1 QL K,L a K L .
Bi ểu hiện của quy luật lợi ích cận biên giảm dần: // 2 Q K,L a 1 K L 0 1 KK . // 2 1 QLL K,L a 1 K L 0
Áp dụng vào bài toán cụ thể ta thấy hàm sản xuất:
Trong đó K, L, Q là mức sử dụng vốn, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng
ngày. Hàm này tho ả mãn quy luật lợ i ích cận biên giả m dần.
Ví dụ 9. Cho hàm lợi ích: 2 2 U x, y 15xy 2x
3y , (x, y 0). Hàm số trên có tuân theo
quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không. Giải
Đạo hàm riêng cấp 1 củ a hàm U theo biến x và theo y 87 / / Ux x, y 15y 4x; U y x, y 15x 6y
Đạo hàm riêng cấp 2 củ a hàm U theo x và theo y // // U x, y 4 0; U x, y 6 0 xx yy
Vậy hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.
3.2.4. Hàm thuần nhất và vấn đề hiệu quả của quy mô
3.2.4.1. Khái niệm hàm thuần nhất
Hàm số z f x, y được gọi là hàm thuầ n nhất cấp k k 0 nếu vớ i t 0, chúng ta có: k f (tx, ty) t f x, y
Ví dụ 10. Hàm sản xuất Q K,L
aK L là hàm thuần nhất cấp vì t 0:
Ta tính toán giá trị của hàm Q K,L tại điểm tK, tL Q tK, tL a tK tL t aK L t Q K, L
Ví dụ 11. Hàm sản xuất dạng C.E.S 1 1 Q K, L A .K (1 )L ; (A 0;0 1; 1)
Luôn là hàm thuần nhất cấp 1. Vì t 0 .
Ta tính toán giá trị của hàm Q K,L tại điểm tK, tL 1 1 Q(tK, tL) A .(tK) (1 )(tL) 1 1 Q(tK, tL) tA .K (1 )L tQ(K, L) 2xy Ví dụ 12. Hàm số z x, y
là hàm thuần nhất cấp 0. Vì t 0. 2 2 x y
Ta tính toán giá trị của hàm z x, y tại điểm tx, ty . 2(tx)(ty) 2xy 0 z(tx, ty) t z(x, y) 2 2 2 2 (tx) (ty) x y
3.2.4.2. Vấn đề hiệu quả của quy mô 88
Xét hàm sản xuất Q f K,L . Với K, L là các yếu tố đầu vào; Q là yếu tố đầu ra +) Nếu Q mK, mL
mQ K, L thì chúng ta nói hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô. +) Nếu Q mK, mL
mQ K, L thì chúng ta nói hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô. +) Nếu Q mK, mL
mQ K, L thì chúng ta nói hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo quy mô.
3.2.4.3. Liên hệ hiệu quả của quy mô với bậc thuần nhất
Giả sử hàm sản xuất Q f K,L là hàm thuần nhất cấp k.
+) Nếu k 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô.
+) Nếu k 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô.
+) Nếu k 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo quy mô.
Ví dụ 13. Hàm sản xuất dạng C.E.S có bậc thuần nhất bằng 1, nên nó có hiệu quả không đổi theo quy mô.
Ví dụ 14. Hàm sản xuất: Q K,L aK L có cấp thuần nhất nên: +) Nếu
> 1 thì nó có hiệu quả tăng theo quy mô. +) Nếu
< 1 thì nó có hiệu quả giảm theo quy mô. +) Nếu
= 1 thì nó có hiệu quả không đổi theo quy mô.
3.2.4.4. Liên hệ với đạo hàm riêng – Công thức Euler
Định lý (Công thức Euler). Hàm số z f x, y là hàm thuần nhất cấp k khi và chỉ khi / / x z x, y y z x, y k z x, y . x y
Với z f x, y được giả thiết là hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục.
3.2.5. Đạo hàm của hàm ẩn và áp dụng phân tích kinh tế
3.2.5.1. Khái niệm hàm ẩn
Nếu giá trị của hai biến x, y quan hệ với nhau bởi hệ thức F x, y 0 (*), trong đó
F x, y là hàm hai biến xác định trên miền 2 D ℝ .
Nếu x X, tồn tại hàm số y f x thỏa mãn hệ thức (*), thì ta nói hệ thức này
xác định hàm ẩn y f x trên tập X. 89 Ví dụ 15. Xét hệ thức 2 2 F x, y x y 1 0 (**) Với x 1,1 ta có 2 y x 1 x Vậy hàm 2 y 1 x với x 1,1 và hàm 2 y 1 x với x 1,1 là các
hàm ẩn xác định bởi hệ thức (**).
3.2.5.2. Định lý hàm ẩn
Cho hàm hai biến F x, y xác định trong một lân cận của điểm x 0, y0 và F x , y 0, / 0 0
giả thiết rằng F x, y có các đạo hàm riêng liên tục và ạ ọ y F x, y 0 t i m i
điểm x, y thuộc hàm lân cận của x0, y0 ; Khi đó tồn tại duy nhất hàm liên tục y f x
xác định trong một lân cận của x thỏa mãn điều kiện: 0 y f x , F x, f x 0 0 0 / F x, y và / x y
(công thức đạ o hàm của hàm ẩn) x /y F x, y Ví dụ 16. Cho hàm số: 2 2 F x, y x y 1 0 (**)
Xác định hai hàm ẩn liên tục 2 y 1 x và 2 y 1 x với x 1,1 . Tạ i điểm x , y 0,1 ta có 0 0 F 0,1
0. Khi đó chỉ có hàm ẩn 2 y 1 x thoả mãn điều kiện y 0 1.
Sử dụng công thức tính đạo hàm c ủa hàm ẩn. Tính đạo hàm củ a y theo x.
Đạo hàm riêng của F theo x và theo y / / x F x, y 2x; y F x, y 2y Đạo hàm củ a y theo x: / F x, y x / x yx / F x, y y y x x +) N ếu 2 y x 1 x thì /x y 2 y 1 x 90 x x +) N ếu 2 y x 1 x thì /x y 2 y 1 x
Ví dụ 17. Cho hàm cầu D D P,Y (v 0
ới P là giá, Y0 là mức thu nhập) và hàm cung
S S P với các giả thiết / D 0 / P , D 0, / S 0 . 0 Y
Giả sử giá cân bằng P phụ thuộc mức thu nhập 0
Y là hàm ẩn biểu diễn b ởi hệ thứ c: F P, 0 Y D P,Y0 S P 0 (***) Khi đó: / / F P,Y D P,Y / 0 Y 0 0 Y 0 P 0 0 Y / / / P F P,Y0 S P D P P,Y 0
điều đó nói nên rằng giá cân bằng sẽ thay đổ i cùng chiều với thu nhập (chẳng hạn khi thu nhập 0
Y tăng thì sẽ kéo theo giá cân bằng tăng).
Ví dụ 18. Giá một loại hàng P và chênh lệ ch cung – cầu S liên hệ v ới nhau bởi phương trình: 2
SP 0,1P ln S c (c là hằng số)
Sử dụng công thức đạ o hàm của hàm ẩ n để tính tốc độ thay đổi củ a giá khi chênh
lệch cung cầu thay đổi? Giải: Đặt: 2 F P,S SP 0,1P ln S c 0 Ta có
Đạo hàm riêng của F theo S: / 2 1 S F S, P P 0,1.P . S
Đạo hàm riêng của F theo P : /P F S, P S 0, 2P.ln S.
Tốc độ thay đổi của giá khi chênh lệch cung cầu thay đổi: 2 1 P 0,1.P . 2 F / S P.S 0,1P / S S P . 2 F / P S 0, 2P.ln S S 0, 2.P.S.ln S 91
3.2.6. Hai hàng hóa có tính chất thay thế hoặc bổ sung Giả sử Q P ,P 1 D1 1 P , 2 P ; Q 2 D 2 1
P , P2 là hàm cầu của hai loại hàng hóa, 1 2
thứ tự là giá của hai hàng hóa đó. Theo tính chất của hàm cầu hàng hóa thông thường:
giá tăng thì cầu giảm, chúng ta có: 1 D D2 0 & 0 1 P P2 D D +) Nếu 1 2 0 &
0 thì hai hàng hóa có tính chất bổ sung. P P 2 1 D D +) Nếu 1 2 0 &
0 thì hai hàng hóa có tính chất thay thế. 2 P 1 P
Ví dụ 19. Giả sử hàm cầ u của hai hàng hóa cho bởi: 8 1 D 1 P , 2 P 300 4 2 P ; 1 P 2 7 2 D 1 P , 2 P 200 3 1 P . 2 P 4 D
Đạo hàm riêng của D theo P , P 4 1 2 P : 1 1 2 2 P D
Đạo hàm riêng của D2 theo 1 P : 2 1 P , 2 P 3 P1 D D Chúng ta có 1 2 4 0 &
3 0, do đó hai hàng hóa này có tính chất P P 2 1 bổ sung được cho nhau.
Ví dụ 20. Giả sử hàm cầ u của hai hàng hóa cho bởi: Q1 45 3 1 P P ; 2 Q2 30 2 1 P 2 P . Q
Đạo hàm riêng của Q1 theo 2 P : 1 1 P , 2 P 1 2 P Q
Đạo hàm riêng của Q2 theo 1 P : 2 1 P , 2 P 2 P1 Q Q Chúng ta có 1 2 1 0 &
2 0 , do đó hai hàng hóa này có tính chất thay P2 1 P thế được cho nhau. 92 3.2.7. Bài tập
Bài số 1. Cho hàm lợi ích : 2 2 U x, y 12xy 2x y x, y 0 1) Tại 0 x 50, 0 y
60, nếu x tăng thêm 1 đơn vị và y không đổi thì lợi ích thay đổi như thế nào? 2) Tính MU tại x 50, y
60 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. y 0 0 MU 3) Tính tỉ số x MRTS yx x 0 50, y0 60 . MU y
4) Tại x0 50, y0 60, nếu x tăng thêm 0,5 đơn vị và y giảm 1,5 đơn vị thì lợi ích thay đổi như thế nào? Đáp số : 1) MUx 50,60 520; 2) MUy 50,60 1480; 13 3) MRTS 50,60 ; yx 4) U 50,60 460. 12 Bài số 2. Cho hàm cầu : 0,2 0,3 QD 0,4Y P
( Y là thu nhập, P là giá). Hãy tính hệ số co
dãn của cầu theo giá và của cầu theo thu nhậ p. Đáp số : 0, 2; 0,3. Q D|Y Q D|P
Bài số 3. Cho hàm sản xuất có d ạng: 2 2 Q K, L 12KL 2K 3L K, L 0 . Hàm sản
xuất trên có hiệu quả tăng, giảm hay không đổi theo quy mô? Giải thích.
Đáp số : Hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô. 2 1
Bài số 4. Cho hàm sản xuất có dạng: 3 2 Q K,L 120K L K,L 0
1) Tính MPK và MPL tại K = 1000 và L = 225. Nêu ý nghĩa kết quả nhận được. MPK 2) Tính tỉ số MRTS LK , K 0 1000, L 0 225 . MPL
3) Tính hệ số co dãn của sản lượng theo vốn K và theo lao động L.
4) Nếu giữ nguyên mức sử dụng vốn K, tăng mức sử dụng lao độ ng L thêm 4% thì sản
lượng Q thay đổi như thế nào?
5) Nếu tăng mức sử dụng vốn K thêm 3% và giảm mức sử dụng lao động L xuống 2%
thì sản lượng Q thay đổi như thế nào? Đáp số : 1) MPK 1000,225 120; MPL 1000, 225 400; 2) MRTSLK 0,3; 93 2 1 3)
4) Sản lượng sẽ tăng 2%; 5) Sản lượng sẽ tăng 1%. Q|K ; Q|L ; 3 2 2 1 2
Bài số 5. Cho hàm sản xuất có dạng: 0,5 0,5 Q K,L K L với K là vốn và L là 3 3 lao động.
1) Tìm hàm năng suất cận biên của vốn và lao động.
2) Hàm sản xuất trên có hiệu quả tăng theo qui mô không? 1 1 2 2 1 2 Đáp số : 1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 MPK K L K ; MPL K L L ; 3 3 3 3 3 3
2) Hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô.
Bài số 6. Giả sử hàm cầ u của hai hàng hóa cho bởi: Q1 55 2 1 P P ; 2 Q2 40 1 P 2 P
Sử dụng đạo hàm riêng cho biết hai hàng hóa có tính chất thay thế hay bổ sung?
Đáp số : Hàng hóa có tính bổ sung.
Bài số 7. Cho hàm sản xuất 0,5 0,7
Y(t) 0, 7K L . Vớ i K 120 0,2t; L 100 0,1t
1) Tính hệ số tăng trưởng của vốn K, lao động L và Y.
2) Tính hệ số co dãn của Y theo K và Y theo L.
3) Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất trong trường hợp này. 0,2 0,1 0,1 0,07 Đáp số : 1) K r ; L r ; Y r ; 120 0,2t 100 0,1t 120 0,2t 100 0,1t 2) YK
0,5; YL 0,7 ; 3) Tăng quy mô sản xuất có hiệu quả.
Bài số 8. Thu nhập quốc dân Y của một quốc gia có dạng: 0,4 0,3 0,01 Y 0, 48K L NX
Trong đó: K là vốn, L là lao động và NX là xuất kh ẩu ròng.
1) Khi tăng 1% lao động sẽ ảnh hưởng như thế nào đến thu nhập quốc dân? Có ý kiến
cho rằng giảm m ức lao động xuống 2% thì có thể t ăng xuất kh ẩu ròng 15% mà thu
nhập vẫ n không đổi, cho biết điều này đúng hay sai?
2) Cho nhịp tăng trưởng của NX là 4%, của K là 3%, của L là 5%. Xác định nhịp tăng trưởng của Y.
Đáp số: 1) Thu nhập quốc dân tăng 0,3%; sai; 2) Yr 2,74%. 94
3.3. Mô hình cực trị không có điều kiện ràng buộc (tự do) nhiều biến trong kinh tế
3.3.1. Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận
Cho hàm sản xuất Q f K, L và giá bán sản phẩm P. Biết giá thuê một đơn vị
vốn là p và giá thuê một đơn vị lao động là K L p .
Bài toán 1. Xác định mức sử dụng vốn K và lao động L để sản lượng Q cực đại/tối đa.
Bài toán được đưa về bài toán cực trị tự do của hàm sản xuất với hai biến K và L.
Bài toán 2. Hãy xác định mức sử dụng vốn K và lao động L để lợi nhuận cực đại /tối đa.
Chúng ta cần xác định hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận. +) Hàm doanh thu : TR K, L P.Q P.f K, L +) Hàm chi phí : TC K, L p K K p L L +) Hàm lợi nhuận : K, L TR TC P Q K, L pK K pL L
Bài toán được đưa về bài toán cực trị tự do của hàm lợi nhuận với hai biến K và L.
Ví dụ 21. Ước lượng hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng: 3 3 Q K, L K 8L 3KL 200, K 0, L 0
Hãy xác định mức sử dụng v ốn và lao động để sản l ượng cực đạ i. Giải
+) Bước 1. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và c ấp 2 Đạo hàm riêng cấ p 1 / 2 K Q K, L 3K 3L; / 2 L Q K, L 24L 3K. Đạo hàm riêng cấp 2 // / / KK Q K, L 6K; L Q L K, L 48L; // / / KL Q K, L L Q K K, L 3.
+) Bước 2. Giải h ệ phương trình để tìm điểm dừng / 2 QK K,L 0 3K 3L 0 / 2 QL K,L 0 3K 24L 0 95 1 2 K L K 2 K 0 hay (loại vì K 0,L 0 ) 4 K 8K 0 1 L 0 L 4 1 1
Hàm số có một điểm dừng M , 2 4 1 1
+) Bước 3. Kiểm tra điề u kiện đủ tại M , 2 4 // 1 1 1 1 A QKK , 3 0; // C Q , 12 0; 2 4 LL 2 4 // 1 1 / / 1 1 B QKL , QLK , 3 0. 2 4 2 4 Xét định thức 3 3 D 27 0 và A 0 3 12 1 1 1 1 1601
Vậy hàm số đạt cực đại tại M , với Q Q , . 2 4 max 2 4 8
Ví dụ 22. Tìm K, L để hàm lợi nhuận sau đạ t giá trị cực đại 2 1 3 4 K, L 300K L 100K 150L Giải
+) Bước 1. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và c ấp 2 Đạo hàm riêng cấp 1 1 1 / 3 4 K K, L 200K L 100; 2 3 / 3 4 L K, L 75K L 150 Đạo hàm riêng cấ p 2 4 1 2 7 // 200 225 3 4 // 3 4 KK K, L K L ; K, L K L ; 3 LL 4 4 3 // // 3 4 KL K, L LK K, L 50K L .
+) Bước 2. Giải h ệ phương trình để tìm điểm dừng 96 1 1 / 3 4 K K, L 0 200K L 100 0 / 2 3 L K, L 0 3 4 75K L 150 0 1 1 3 4 200K L 100 1 2 3 3 4 75K L 150 2
Lập tỷ số hai phương trình ta suy ra được: K 4L (3)
Thế (3) vào (2), ta được 3 1 2 2 4 12 3 75 4L 3 L 150 L 2 4 L 16 (4)
Thay (4) vào (3), ta được: K 64
Hàm số có một điểm dừng M 64,16
+) Bước 3. Kiểm tra điề u kiện đủ tại M 64,16 4 1 // 200 25 3 4 A KK 64,16 (64) (16) 0; 3 48 2 7 // 225 225 3 4 C LL 64,16 (64) (16) 0; 4 32 1 3 // / / 25 3 4 B KL 64,16 LK 64,16 50(64) (16) 0. 16 Xét định thức 25 25 48 16 625 D và A 0 25 225 512 16 32
Vậy hàm số đạt cực đại tại M 64,16 với max (64,16) 800.
Ví dụ 23. Cho hàm sản xuất của doanh nghiệ p: 0,4 0,4 Q K, L
15K L , trong đó Q là sản
lượng, K là vốn và L là lao động. Viết hàm lợi nhuận. Tìm giá trị của K và L thỏa mãn điều
kiện cần để cự c đại hàm lợi nhu ận biết giá thuê m ột đơn vị vốn là 2 USD, giá thuê một
đơn vị lao động là 4 USD và giá bán sản phẩm là 1 USD. Giải Hàm lợi nhuận 97 0,4 0,4 K, L TR TC PQ pKK pLL 15K L 2K 4L
+) Bước 1. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và c ấp 2 Đạo hàm riêng cấ p 1 / 0,6 0,4 / 0,4 0,6 K K, L 6K L 2; L K, L 6K L 4. Đạo hàm riêng cấ p 2 // 1,6 0,4 // 0,4 1,6 KK K, L 3, 6K L ; LL K, L 3, 6K L ; // // 0,6 0,6 KL K, L LK K, L 2, 4K L .
+) Bước 2. Giải h ệ phương trình để tìm điểm dừng / 0,6 0,4 K K, L 0 6K L 2 0 / 0,4 0,6 L K, L 0 6K L 4 0 0,6 0,4 6K L 2 (1) 0,4 0,6 6K L 4 (2)
Lập tỷ số phương trình (1) và phương trình (2) ta được: K 2L (3) Thế (3) vào (2), ta có 0,4 0,6 0,2 4 6(2L) L 4 L L 30,375 (4) 0,4 6 2
Thay (4) vào (3), ta được: K 60,75
Hàm số có một điểm dừng M 60, 75; 30,375
+) Bước 3. Kiểm tra điề u kiện đủ tại M 60, 75; 30,375 // 1,6 0,4 A KK 60, 75; 30, 375 3, 6(60, 75) (30,375) ; // 0,4 1,6 C LL 60, 75; 30, 375 3, 6(60,75) (30,375) ; // 0,6 0,6 B KL 60, 75; 30,375 2, 4(60, 75) (30,375) . Xét định thức A B 1,2 1,2 D 7, 2(60,75) (30,375) 0 và A 0 B C 243
Vậy hàm số đạt cực đại tại M 60, 75; 30,375 , với max 60,75;30,375 . 5 98
3.3.2. Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận
Bài toán 1. Hãng độc quy ền sản xuất hai loại sản phẩm với giá bán/hàm cầu th ứ t ự là 1
P , P2 và hàm chi phí kết hợp TC TC 1
Q , Q2 . Hãy xác định cơ cấu s ản ph ẩm/sản
lượng của từng lo ại sản phẩm để hãng có doanh thu/ lợi nhuận tối đa.
Chúng ta cần xác định hàm doanh thu/ lợi nhuậ n +) Hàm doanh thu : TR 1 Q , 2 Q 1 P . 1 Q 2 P 2 Q +) Hàm lợi nhuận: Q 1, Q 2 TR Q 1, Q 2 TC Q 1, Q 2
Bài toán được đưa về bài toán cực trị tự do của hàm doanh thu/hàm lợi nhuận với hai biến 1 Q ; 2 Q .
Bài toán 2. Hãng độc quyền s ản xuất một loạ i sản phẩm nhưng tiêu thụ ở hai thị
trường phân biệt với hàm cầ u ở từng th ị trường th ứ tự lần lượt là 1 P 1 P (Q1,Q2) ; 2 P 2 P ( 1
Q ,Q2) và hàm chi phí kết h ợp TC TC 1
Q , Q2 . Hãy xác định lượng cung ở
từng thị trường để hãng có doanh thu/ lợi nhuận tối đa.
Chúng ta cần xác định hàm doanh thu/ lợi nhuậ n +) Hàm doanh thu : TR Q1, Q2 1 P 1 Q 2 P Q2 +) Hàm lợi nhuận: 1 Q , Q2 TR 1 Q , Q2 TC 1 Q , Q2
Bài toán được đưa về bài toán cực trị tự do của hàm doanh thu/hàm lợi nhuận với hai biến 1 Q , 2 Q .
Ví dụ 24. Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm. Cho biế t hàm cầu đối với hai
loại sản phẩm đó như sau: Q1 1300 1 P ; Q 2 675 0,5P2
và hàm chi phí kết hợp là 2 2 TC Q1, Q 2
Q1 3Q1Q2 Q2 . Hãy cho biết mức sản lượng 1 Q , 2
Q và các giá bán tương ứng để doanh nghiệp đó thu được lợi nhuận tối đa. Giải
+) Bước 1. Lập hàm lợi nhu ận
Từ các hàm cầu thuận ta suy ra hàm cầu đảo: 1 P 1300 1 Q ; 2 P 1350 2Q2
Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp 99 1 Q , Q2 1 P 1 Q 2 P Q2 TC 1 Q , Q2 Hay 2 2 1 Q , Q2 2 1 Q 3Q2 1 1 300Q 1350Q2 3 1 Q Q2
Vậy bài toán trở thành tìm điểm cực đại của hàm Q1,Q 2 .
+) Bước 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và c ấp 2 / Q 1 Q , 2 Q 4 1 Q 3 2 Q 1300; 1 / Q Q ,Q 3Q 6Q 1350; 2 1 2 1 2 // // // Q Q ,Q 4; Q ,Q 6; 3. 1Q 1 1 2 Q 2Q 2 1 2 Q 1Q 2
+) Bước 3. Giải h ệ phương trình để tìm điểm dừng / Q 1 Q , 2 Q 0 4Q 3Q 1300 0 Q 250 1 1 2 1 / 3Q 6Q 1350 0 Q 100 Q 1 Q , 2 Q 0 1 2 2 2
Vậy hàm số có một đi ểm dừng là M 250, 100 .
Bước 4. Kiểm tra điề u kiện đủ tại M 250,100 . // // A 250,100 4; C 250,100 6; 1 Q 1 Q Q2Q2 // // B 250,100 250,100 3. 1 Q Q2 Q 2Q1 Xét định thức 4 3 D 15 0 và A 4 0 3 6
nên M 250, 100 là điểm cực đại của hàm .
Bước 5. Kết lu ận: Doanh nghiệp cần bán hàng với mức sản l ượng cho mỗi sản phẩm và giá cả tương ứ ng là Q1 250; 1 P 1300 250 1050 ; Q2 100; 2 P 1350 200 1150
để thu được lợi nhuận tối đa là max 250, 100 230000.
Ví dụ 25. Cho biết hàm lợi nhuận của mộ t doanh nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm là 2 2 2 1 Q 3Q2 7 3 Q 300 2 Q 1200 3 Q 4 1 Q 3 Q 20 100
Hãy tìm mức sản l ượng 1 Q ,Q2, 3
Q để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa. Giải
+) Bước 1. Giải h ệ phương trình để tìm điểm dừng / 0 1 Q 2Q1 4Q3 0 1 Q 400 / 0 6Q 300 0 Q 50 2 Q 2 2 / 14Q3 4Q1 1200 0 Q3 200 0 3 Q
Vậy hàm số có một đi ểm dừng là M 400, 50, 200 .
+) Bước 2. Kiểm tra điề u kiện đủ tại M 400,50,200 . // a11 Q 400,50, 200 2; 1Q1 // a22 Q 400,50, 200 6; 2Q 2 // a33 Q 400,50, 200 14; 3Q 3 // a12 a21 400,50, 200 0; 1 Q 2 Q // a13 a31 400,50, 200 4; 1 Q 3 Q // a23 a32 Q 400,50, 200 . 2Q 3
Xét ma trận Hess tại điểm dừng M 400, 50, 200 2 0 4 H 0 6 0 4 0 14
Từ ma trận H thành lậ p các ma trận con tương ứng 2 0 H ( 2); H ; H H 1 2 3 0 6 Ta có 1 H 2 0; H2 12 0; 3 H 72 0 Xét 1 H H2 24 0; 2 H 3 H 864 0
nên M 400, 50, 200 là điểm cực đại của hàm số .
+) Bước 3. Kế t luận : Doanh nghiệp cần bán các mặt hàng với số lượng 1 Q 400; Q2 50; Q3 200
để thu được lợi nhuận tối đa là : max 400,50,200 127520. 101 3.3.3. Bài tập
Bài số 1. Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất hai loại s ản phẩm được cho như sau: 2 2 Q1, Q2 160Q1 1 3Q 2Q1Q2 2Q2 120Q2 18 .
Hãy tìm mức s ản lượng 1 Q , 2
Q để doanh nghiệp đạt được lợi nhuận tối đa. Đáp số : max (20;20) 2782.
Bài số 2. Một hãng độc quyền s ản xuất hai loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với hai
loại sản phẩm đ ó như sau: 1 Q 25 0,5 1 P ; Q2 30 2
P . Với hàm chi phí kết hợ p 2 2 TC
Q , Q và giá bán tương ứng 1 Q 2 1 Q 2 Q 2 Q
20. Hãy xác định mức sản lượng 1 2
để hãng đạt lợi nhuận tối đa. Đáp số : max (7;4) 215.
Bài số 3. Trả lời câu hỏi của bài tập số 2 với: Q1 50 0,5 1 P ; Q2 76 P2 và 2 2 TC 3 1 Q 2 1 Q Q2 2Q2 105 Đáp số : max (8;10) 675.
Bài số 4. Cho hàm sản xuất của hãng 0,3 0,4 Q K, L
10K L , biết giá thuê một đơn vị vốnK
bằng 0,03, giá thuê một đơn vị lao động L bằng 2, giá sản phẩm bằng 4. Hãy xác định
mức sử dụng K và L để hãng thu được lợi nhuận tối đa. Đáp số : max 2560000,51200 76800.
Bài số 5. Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm. Gọi Q1 và Q2 là sản lượng tương
ứng của các loại sản phẩm đó. Giả sử hàm lợ i nhuậ n là: 2 3 15 1 Q 12 2 Q 3 1 Q Q2 1 Q .
Hãy xác định mứ c sản lượng cần sản xuất 1
Q và Q2 sao cho doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa. Đáp số : max 2,1 28.
Bài số 6. Doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất dạng: 2 2 Q K, L 2K 3KL 3L 30K 20L (K, L 0)
1) Hãy xác định mức sử dụng vốn K và lao động L để doanh nghiệp thu được sản lượng cực đại. 102
2) Cho biết giá thị trườ ng của sản phẩm là P 2 USD, giá thuê một đơn vị v ốn là
p K 4 USD, giá thuê một đơn vị lao động pL 22 USD. Hãy xác định mức s ử
dụng K và L để hãng thu được lợi nhuận tối đa. Đáp số : 1) 34 1060 Qmax Q 16, ; 2) 3 3 max 13,8 436.
Bài số 7. Một hãng độc quyền s ản xuất hai loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với hai
loại sản phẩm đó như sau: Q1 75 3 1 P P2; Q2 60 2 1 P 2 P .
Với hàm chi phí kết h ợp 2 2 TC 2 1 Q 1
Q Q2 Q2 300. Hãy xác định mức sản lượng 1 Q , 2
Q và giá bán tương ứng để hãng đạt lợi nhuận tối đa. Đáp số : 45 105 795 max , . 11 22 11
Bài số 8. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại
sản phẩm trên lần lượt là : D Q 40 2P P và Q 15 P P . 1 1 2 D2 1 2
Với hàm tổng chi phí là : 2 2
TC Q1 Q1Q2 Q2. Hãy định các mức sản lượng 1 Q và Q2
để doanh nghiệp đạ t lợi nhuận tối đa. Đáp số: 23 Q1 8, Q2 . 3
Bài số 9. Doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất dạng: 0,5 0,5 Q K, L K L
1) Đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất.
2) Tính MPK và MPL tại điểm 16,25 và nêu ý nghĩa.
3) Cho biết giá thị trườ ng của sản phẩm là P 2 USD, giá thuê một đơn vị v ốn là
p K 0,25 USD, giá thuê một đơn vị lao động pL 0,2 USD. Hãy xác định mức
sử dụng K và L để hãng thu đượ c lợi nhuận tối đa.
Đáp số : 1) Doanh nghiệp có hiệu quả giảm theo quy mô; 2) 1 1 MPK 16, 25 ; MPL 16, 25 3) 8 10 max 16, 25 9. 103 Xét hệ phương trình / 0,6 0,6 K f K,L, 0 16K L 11 0 / 0,4 0,4 L f K,L, 0 24K L 20 0 / f K,L, 0 6600 11K 20L 0 16 0,6 0,6 K L 11 K 0 240 33 L K L 198 0 40 0,6 16 33 33 . 6600 11K 20. K 0 0 40 11 40
Vậy hàm số có một điểm dừng: 0,6 16 33 M 240, 198 ; 0 . 0 11 40
+) Bước 4. Điều kiện đủ:
Đạo hàm riêng cấ p 2 của hàm f // 1,6 0,6 KK f K, L, 9,6K L ; // 0,4 1,4 L f L K,L, 9,6K L ; // 0,6 0,4 KL f K, L, 9,6K L .
Đạo hàm riêng cấ p 1 của g / / 1 g gK 240, 198 11; g2 gL 240, 198 20. 0,6 16 33
Xét tại điể m dừng tại M 240, 198 ; . 0 0 11 40 Ta có // 1,6 0,6 f f 240, 198, 9,6(240) (198) 0; 11 KK 0 // 0,4 1,4 f f 240, 198, 9,6(240) (198) 0; 22 LL 0 // 0,6 0,4 f f f 240, 198, 9,6(240) (198) 0. 12 21 KL 0
Lập ma trậ n Hess tại điểm dừng: 0 g1 g 2 0 11 20 H g f f 11 f f 1 11 12 11 12 g f f 20 f f 2 21 22 21 22 109 Ta có H 440f12 400f11 121f22 0, 1 f 2 0; 1 f 1 0; f22 0
Vậy điểm M 240,198 là điểm cực đại của hàm số, tức là vớ i mức vốn K 240, lao
động L 198 thì sản lượng Q đạt mức tối đa là 8553,49.
3.4.3. Tối thiểu hóa chi tiêu trong điều kiện giữ mức lợi ích
Bài toán. Cho hàm lợi ích của chủ thể như sau: U U X, Y . Biết rằng giá m ặt
hàng hóa X là PX, giá mặt hàng hóa Y là Y
P và mức l ợi ích định trước của chủ thể là U .
0 Hãy xác đị nh số lượng mặt hàng X, Y sao cho tối thiểu hóa chi tiêu cho chủ th ể.
Mô hình bài toán. Tìm X, Y sao cho C X, Y X X P Y Y P đạt giá trị nhỏ
nhất thỏa mãn điều kiện : U X,Y U 0.
Ví dụ 30. Cho hàm chi tiêu C 1 x , x2 1 p 1 x
p2x2 và hàm lợi ích U x1,x 2 x1x2 .
a) Hãy cực tiểu hàm chi tiêu trong điều kiện giữ mức lợi ích bằng 0 U . b) Áp dụng : với 1 p 8,p2 4,U0 8.
c) Với dữ kiện câu b) nếu mức lợi ích U tăng 1 đơn v ị thì ngân sách chi tiêu cực 0
tiểu tăng bao nhiêu đơn vị.
d) Với dữ kiện câu b). Nếu mức lợi ích U0 tăng 1% thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu %. Giải a) Tìm ( 1 x , x2 ) sao cho C 1 p 1 x
p2x2 đạt giá trị nhỏ nhất thỏa : g 1 x x2 U0
+) Bước 1. Lậ p hàm Lagrange: L( 1 x , x2, ) 1 p 1 x p2x2 U0 1 x x2 Đạo hàm riêng cấ p 1 / L / x ( 1 x ,x2, ) 1 p x2; Lx (x1,x 2, ) p2 x1; 1 2 / L (x ,x , ) U x x ; / / g x ; g x . 1 2 0 1 2 1 x 2 2 x 1 Đạo hàm riêng cấ p 2 // // Lx (x ,x , ) 0; L (x , x , ) 0; 1x 1 1 2 x 2x 2 1 2 // // Lx (x , x , ) L (x , x , ). 1x 2 1 2 x 2x1 1 2
+) Bước 2. Tìm điểm dừng cùng giá trị , từ hệ phương trình sau 110 1 p / x L p x 0 2 1 x 1 2 / p2 L p x 0 x2 2 1 x1 / L U0 x1x2 0 x x U 1 2 0 p p 2 1 x1 U0 1 p x2 1 p 1 p x 2 x1 x2 U0 x1, x2 0 2 p 2 p 2 p2 1 p p x U 2 1 0 1 p U0
Hàm số có một điểm dừng : p2 p1 p1p2 M U ; U ; 0. 0 0 0 1 p 2 p U0
+) Bước 3. Kiểm tra điều kiện đủ tại điểm dừng p p p p 2 1 1 2 M U0 ; U0 ; 0 0. p p U 1 2 0 Ta có / 1 p / p 2 1 g gx U 0; g g U 0. 1 0 p 2 x2 0 2 1 p 1 p p2 1 L 1 0; L22 0; 1 L 2 L21 0 0. 0 U Xét định thức: 0 1 g 2 g H g1 0 0 2 0g1g 2 2 p1p 2U 0 0 g2 0 0 p p Vậy điể m 2 1 M 0 U ; 0 U
là điểm cực tiểu của hàm chi tiêu. 1 p 2 p b) Áp dụng : với 1 p 8,p2 4,U0 8 thì 111 2 p 4 x 1 U 0 8 2 1 p 8 p 8 1 x 2 U 0 8 4 2 p 4 1 p 2 p 8 4 2 U0 8
Vậy M 2, 4 ; 0 2 0 là điểm cực tiểu của hàm chi tiêu.
c) Với d ữ kiện câu b). Nếu mức lợi ích U0 tăng 1 đơn vị thì ngân sách chi tiêu cực
tiểu tăng bao nhiêu đơn vị? C
Theo ý nghĩ a của nhân tử Lagrange: 2 0 0 U
Vậy nếu nếu mức lợi ích U0 tăng 1 đơn vị thì ngân sách chi tiêu c ực tiểu sẽ tăng xấp xỉ 2 đơn vị.
d) Với dữ kiện câu b). Nế u mức lợi ích U0 tăng 1% thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu %
Ngân sách chi tiêu cự c tiểu: C 2 p p U min 1 2 0 Do đó : C 1 p p2 U0 U0
Hệ số co dãn của hàm chi tiêu theo lợi ích tại điể m tối ưu C C 0 U 1 p p2 0 U 0,5 0 U 0 U0 Cmin U0 2 1 p p2U0
Vậy ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng xấp xỉ 0,5%.
3.4.4. Tối thiểu hóa chi phí trong điều kiện giữ mức sản lượng
Bài toán. Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp: Q Q K, L . Biết rằng giá
thuê một đơn vị vốn là p K, giá thuê một đơn vị lao động là pL và mức sản lượng yêu cầu
định trước của doanh nghiệp là Q0. Hãy xác định mức sử dụng K, L sao cho doanh nghiệp tối thiểu hóa chi phí. 112
Mô hình bài toán. Tìm K, L sao cho TC K, L
K pK L pL đạt giá trị nhỏ
nhất thỏa mãn điều kiện : Q K,L Q 0.
Ví dụ 31. Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạ ng: 0,5 0,5
Q 25K L . Biết rằng giá thuê một đơn vị vốn là K p
12, giá thuê một đơn vị lao động là L p 3.
a) Định mức sử dụng K, L tối ư u để sản xuất được mức sản lượng Q 1250.
b) Tính hệ số co dãn c ủa tổng chi phí theo sản lượng tại điểm tối ưu và nêu ý nghĩa. Giải
a) Định mức sử dụng K, L tối ưu để sản xuất được mức sản lượng Q 1250.
+) Bước 1. Lập mô hình bài toán. Tìm K, L sao cho TC K, L 12K 3L đạt
giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều ki ện: 0,5 0,5 g K, L 25K L 1250
+) Bước 2. Lậ p hàm Lagrange: 0,5 0,5 f K, L, 12K 3L 1250 25K L
+) Bước 3. Điều kiện cầ n:
Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm f / 0,5 0,5 f K, L, 12 12,5 K L ; K / 0,5 0,5 L f K, L, 3 12,5 K L ; / 0,5 0,5 f K, L, 1250 25K L . Xét hệ phương trình / f 0,5 0,5 K K, L, 0 12 12,5 K L 0 / 0,5 0,5 L f K,L, 0 3 12,5 K L 0 / f K,L, 0 0,5 0,5 1250 25K L 0 0,5 0,5 12,5 K L 12 K 25 0,5 0,5 12,5 K L 3 L 100 0,5 0,5 0,48 25K L 1250
Vậy hàm số có một điểm dừng: M 25, 100 ; 0, 48 113
+) Bước 4. Điều kiện đủ:
Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f // 1,5 0,5 fKK K,L, 6, 25 K L ; // 0,5 1,5 LL f K, L, 6, 25 K L ; // 0,5 0,5 K f L K, L, 6, 25 K L .
Đạo hàm riêng cấp 1 của g / 0,5 0,5 / 0,5 0,5 K g 12, K 5 L ; L g 12, K 5 L
Xét tại đ iểm dừng M 25, 100 ; 0, 48 Ta có / / 1 g K g 25, 100 25; 2 g L g 25, 100 6,25 // 6 1 f 1 fKK 25;100;0,48 0, 24; 25 // 3 2 f 2 fLL 25;100;0,48 0,015; 200 // 3 f f f 25;100;0, 48 0,06. 12 21 KL 50
Lập ma trận Hess tại điểm dừ ng M 25, 100 ; 0, 48 0 g1 g 2 0 25 6, 25 H g f f 25 0,24 0,06 1 11 12 g f f 6, 25 0,06 0,015 2 21 22 Ta có: H
37,5 0. Vậy điểm M 25, 100 là điểm cực ti ểu của hàm số, tức là
với mức vốn K 25, lao động L 100 với TC 600 min .
b) Tính hệ số co dãn của tổng chi phí theo sản lượng t ại Q và nêu ý nghĩa Q Ta có: / TC/Q TC Q TC Q Tại điểm tối ưu, 0,48, Q 1250, TC min 600 thì Q 1250 0,48 1 TC/Q TCmin 600
Ý nghĩa. Tại điểm tối ưu, nếu sản lượng tăng 1% thì chi phí tối thiểu tăng 1%. 114
3.4.5. Tối đa hóa lợi nhuận của hãng độc quyền, trong trường hợp không phân biệt
giá bán ở hai thị trường
Bài toán. Giả sử một công ty độc quyền sản xuất một loại sản ph ẩm và bán sản
phẩm đó ở hai thị trường khác nhau. Biết hàm tổng chi phí TC TC Q , (Q 1 Q Q2 )
và cầu c ủa hai thị trường lần lượt là 1 Q D 1 P , Q2 D 2
P . Hãy xác định sản lượng và
giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa. Biết rằng giá bán tại hai
thị tr ường là như nhau.
Mô hình bài toán. Tìm Q1,Q sao cho hàm lợi nhuận 2 Q 1,Q đạt giá trị 2
lớn nhất thỏa mãn điều kiện : 1 P 2 P . Phương pháp giải.
Bước 1. Từ hai hàm cầu thuận Q ầ đả 1 D 1
P , Q 2 D P2 , ta suy ra hai hàm c u o 1 1 1 P D 1 Q , 2 P D 2 Q .
Bước 2. Lập hàm doanh thu: 1 1 TR Q , Q P Q P Q D Q Q D Q Q . 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
Bước 3. Lập hàm lợi nhuận: Q1,Q 2 TR Q1,Q 2 TC Q1,Q 2 .
Bước 4. Từ giả thiết giá bán hai thị trường là như nhau, nghĩa là 1 1 1 P 2 P D 1 Q D 2 Q .
Bước 5. Khảo sát cực trị của hàm lợi nhuận
Q1,Q 2 với điều kiện ràng buộc là : 1 1 D 1 Q D Q2 .
Ví dụ 32. Một công ty độc quyề n sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó ở hai
thị tr ường khác nhau. Biết hàm tổng chi phí TC 35 40Q, (Q 1 Q Q2) và cầu của hai
thị trường lần lượt là Q1 24 0,2 1
P , Q 2 10 0,05P2. Hãy xác định sản lượng và giá
bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa. Biết rằ ng giá bán tại hai thị trường là như nhau. Giải Từ hai hàm cầ u thuận 1 Q 24 0,2 1 P ; 2 Q 10 0,05 2
P , ta có suy ra hai hàm cầu đảo 1 P 120 5Q1, P2 200 20Q 2 115 +) Hàm doanh thu: 2 2 TR Q ,Q P Q P Q 120Q 5Q 200Q 20Q 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 +) Hàm lợi nhuận: 2 2 1 Q ,Q2 TR 1 Q , Q2 TC 1 Q ,Q2 80 1 Q 5 1 Q 160Q2 20Q2 +) Theo giả thi ết: 1 P P2 120 5Q1 200 20Q2 Q1 4Q 2 16
+) Bước 1. Lập mô hình bài toán. Tìm 1 Q ,Q2 sao cho 1 Q , 2
Q đạt giá trị lớn nhất thỏa mãn điều kiện: g 1 Q , 2 Q 1 Q 4 2 Q 16
+) Bước 2. Lậ p hàm phụ Lagrange: 2 2 f 1 Q , Q2, 80 1 Q 5 1 Q 160Q2 20Q2 16 1 Q 4Q2
+) Bước 3. Điều kiện cầ n:
Đạo hàm riêng cấ p 1 của hàm f / f Q ,Q , 80 10Q ; 1 Q 1 2 1 / f Q ,Q , 160 40Q 4 ; 2 Q 1 2 2 / f 1 Q , 2 Q , 16 1 Q 4 2 Q . Xét hệ phương trình / f Q ,Q , 0 1 Q 1 2 80 10Q 0 1 / f Q ,Q , 0 160 40Q 4 0 2 Q 1 2 2 / f 16 1 Q 4Q2 0 1 Q , 2 Q , 0 32 1 Q 5 10Q 80 1 28 40Q 2 4 160 Q 2 5 Q 4Q 16 1 2 16 32 28
Vậy hàm số có một điểm dừng: M , ; 16 5 5
+) Bước 4. Điều kiện đủ: 116
Đạo hàm riêng cấ p 2 của hàm f // // Q f Q 1 Q , 2 Q , 10; fQ Q 1 Q ,Q2, 40; 1 1 2 2 / / f Q ,Q , f Q ,Q , 0. 1 Q Q2 1 2 Q2 1 Q 1 2
Đạo hàm riêng cấ p 1 của g / / gQ ; g 1 Q , 2 Q 1 Q 1 Q , 2 Q 4 1 2 32 28 Xét tại điể m dừng M , ; 16 5 5 Ta có / 32 28 1 g g , 1; 1 Q 5 5 / 32 28 g 2 g , 4; 2 Q 5 5 // 32 28 1 f 1 f , , 16 10; 1 Q 1 Q 5 5 // 32 28 2 f 2 Q f , , 16 40; 2Q 2 5 5 // 32 28 f f f , , 16 0. 12 21 1 Q 2 Q 5 5 32 28
Lập ma trậ n Hess tại điểm dừng M , ; 16 5 5 0 g g 0 1 4 1 2 H 1 g 1 f 1 1 f 2 1 10 0 g 2 f 21 f 22 4 0 40
Ta có định thức của ma trận Hess 0 1 4 det H 1 10 0 200 0. 4 0 40 32 28 32 28
Vậy hàm số đạt cự c đại tại điểm M , , nghĩa là sản lượng Q , Q 5 5 1 5 2 5 và giá bán tương ứng 1 P 2 P
88 thì công ty đạt được lợi nhuận tối đa v ới max 576. 117 3.4.6. Bài tập
Bài số 1. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U x , x 1 x , x2 1 x x2 1 x x2. Trong đó 1 2
lần l ượt là khối lượng hai mặt hàng. Giả sử giá bán của các mặt hàng tượng ứng là P 2 1 USD, 2 P
5 USD và thu nhập dành cho người tiêu dùng là I 500 USD. Hãy xác định
lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng muốn tối đa hóa lợi ích của mình.
Nếu thu nhập c ủa người tiêu dùng tăng 1% thì lợi ích tối đa thay đổi như th ế nào? Đáp số : 503 497 U U ; ; 1,973. max U M 4 10
Bài số 2. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: 0,6 0,25 U 1 x , x2 1 x x2 . Trong đó 1 x , 2 x lần lượt
là khối lượng hai mặt hàng. Giả sử giá bán c ủa các mặt hàng tượng ứng là 1 P 8 USD, P 5 2
USD và thu nhập dành cho người tiêu dùng là I 680 USD. Hãy xác định lượng
cầu đối với mỗi mặ t hàng nếu người tiêu dùng muốn tối đa hóa lợi ích của mình. Nếu thu
nhập dành cho người tiêu dùng tăng thêm 1 USD, thì lợi ích tối đa thay đổi như thế nào? Đáp số : U U U(60; 40) 29,34; 0,037. max M
Bài số 3. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: 0,3 0,5 Q K, L K L
1) Đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất
2) Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là 6 USD, giá thuê một đơn vị lao động là 2 USD
và doanh nghiệp tiến hành sản xuấ t với ngân sách cố định là 384 USD. Hãy cho
biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơ n vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động
thì thu được sản lượng tối đa.
Đáp số : 1) Doanh nghiệp có hiệu quả giảm theo quy mô; 2) Q max Q 24,120 28, 422.
Bài số 4. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: 0,7 0,1 Q K, L 10K L
1) Đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất.
2) Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là 28 USD, giá thuê một đơn vị lao động là 10 USD
và doanh nghiệp tiến hành s ản xuất với ngân sách cố định là 4000 USD. Hãy cho 118
biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơ n vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động
thì thu được sản lượng tối đa.
Đáp số : 1) Doanh nghiệp có hiệu quả giảm theo quy mô; 2) Qmax Q 125,50 =434,244.
Bài số 5. Cho hàm sản xuất của một hãng 0,3 0,4 Q K, L 10K L .
1) Đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất.
2) Biết rằng giá thuê một đơn vị vốn K bằng 0,03 USD, giá thuê một đơn vị lao động
bằng 2 USD. Hãy xác định mức sử dụng K và L để hãng tối thiểu hóa chi phí, biết
rằng hãng muốn giữ mức sản lượng là 1200.
Đáp số: 1) Tăng quy mô sản xuất không hiệu quả ; TCmin TC 8750,175 612,5.
Bài số 6. Tối thiểu hóa hàm chi phí TC x, y
3x 4y, (x 0, y 0) , trong điều kiện giữ mức lợi ích U x, y
2xy 337,5. Nếu mức lợi ích tăng thêm 1 đơn vị thì chi phí tối
thiểu thay đổi như thế nào? TC 2 Đáp số : T m C in TC(15;11, 25) 90; . U 15
Bài số 7. Tối thiểu hóa hàm chi phí 2 2 TC x, y x 4y 3xy 10, (x 0, y 0), trong
điều kiện giữ mức doanh thu TR x, y 5x 7y 508.
Đáp số : TCmin TC(61,29) 1788.
Bài số 8. Một công ty độc quyền sản xuất một loại s ản phẩm và bán sản phẩm đó ở hai thị
trường khác nhau. Biết hàm chi phí cận biên MC 1,75 0,05Q , (Q Q Q ) 1 2 và cầu
của hai thị trường lần lượt là 1 P 12 0,15 1
Q , P2 9 0,075Q2. Hãy xác định sản lượng
và giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợ i nhuận tối đa. Biết rằng giá bán hai
thị là nh ư nhau và chi phí cố định là 100. Đáp số : 695 310 293 Q , Q ; P P
thì lợi nhuận được đại. 1 2 1 2 27 27 36
Bài số 9. Một công ty có hàm sản xuất: Q K,L
0,5K(L 2), trong đó K, L lần lượt là
vốn và lao động. Biết giá thuê một đơn vị vốn là pK 120 USD và giá thuê một đơn vị lao
động là pL 60 USD. Nếu doanh nghiệp chi số tiền 3000. 119
1) Tính mức sử dụng vốn và lao động để tối đa hóa sản lượng.
2) Nếu số tiền doanh nghiệp chi tăng 10% thì sản lượng tối đa thay đổi như thế nào? Đáp số : 1) Q ả ượ ố đ ă max Q 12, 26 144; 2) S n l ng t i a t ng 20,833%.
Bài số 10. Một nhóm dân cư có hàm thỏa dụng 0,6 0,2 U X, Y 2X Y .
Biết rằng giá các mặt hàng tương ứng lần lượt là X P 240, Y P
4. Hãy xác định ph ương
án tiêu dùng cho cụm dân cư trên để có thể đặt được độ thỏa dụng là 40 với chi phí bé nhất. Đáp số : TC min U 20,400 6400.
Bài số 11. Một công ty độc quyền sả n xuất một loạ i sản phẩm và bán sản phẩm đó ở hai
thị trường khác nhau. Biết hàm t ổng chi phí TC 2000 10Q, Q 1 Q Q và cầu của 2
hai thị trường lần lượt là Q 21 0,1P ; Q
50 0,4P . Hãy xác định sả n lượng và giá 1 1 2 2
bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa. Biết rằ ng giá bán tại hai thị trường là như nhau. Đáp số : 67 98 ; 178; P P 76. max 1 2 5 5
Bài số 12. Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạ ng: Q K, L K(L 5),
trong đó K, L lần lượt là vốn và lao động. Biết giá thuê một đơn vị vốn là 70 USD và giá
thuê một đơn v ị lao động là 20 USD.
1) Nếu doanh nghiệp nhận được hợp đồng cung cấp 5600 sản phẩm. Tính mức sử dụng
vốn và lao động sao cho việc sản xuất lượng sả n phẩm theo hợp đồng tốn ít chi phí nhất?
2) Tính hệ số co dãn của hàm tổng chi phí theo sản lượng Q tại thời điểm tối ưu? Nêu
ý nghĩa của hệ số đó? 28 Đáp số : 1) T m C in TC 40,135 5500; 2) TC|Q . 55
Bài số 13. Một công ty có hàm sản xuất: 3/4 1/2 Q K,L
K L ( K – vốn, L – lao động). 120
Biết giá thuê một đơn vị vốn là 30 USD và giá thuê một đơn vị lao động 5 USD.
1) Công ty cần sản xuất 2048 sản phẩm, khi đó công ty nên sử dụng bao nhiêu đơn vị
vốn và lao động để tối thiểu hóa chi phí
2) Tại thời điểm tối thiểu hóa chi phí, nếu sản lượng tăng lên 2% thì chi phí sẽ thay đổi như thế nào?
3) Đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất. Đáp số : 1) TC ă ệ ả min TC 256,1024
12800; 2) 1,6%; 3) T ng quy mô hi u qu ..
Bài số 14. Một người muốn dùng số tiền 178000 ngàn đồng để mua hai mặt hàng có đơn
giá tương ứng là 400 ngàn đồng và 600 ngàn đồng. Hàm hữu dụng của hai mặt hàng trên là TU X, Y
X 20 Y 10 (X, Y lần lượt là số lượng của hai mặt hàng). Hãy xác
định số lượng cần mua của hai loại mặt hàng trên để hàm hữu dụng đạt giá trị cao nhất. Đáp số : TUmax TU 220,150 38400.
Bài số 15. Mỗi cá nhân sẽ được lợi từ thu nhập (INCOME) và nghỉ ngơi (LEISURE). Giả
sử mỗi ngày có 12 giờ để chia ra thời gian làm việc và nghỉ ngơi. Tiền lương cho mỗi giờ
làm việc là 3 USD và hàm lợi ích của cá nhân là 0,5 0,75 TU L, I L I
trong đó: L : là số giờ nghỉ ngơi; I : là thu nhập. Cá nhân này sẽ cân đối giữa thời gian
nghỉ ngơi và làm việc thế nào để tối đa hóa lợ i ích của mình? 0,5 0,75 24 108 24 108 Đáp số : TU max TU , . 5 5 5 5
Bài số 16. Cho hàm lợi ích tiêu dùng của một chủ thể có dạng như sau: ln TU x, y 0, 7 ln x 0,3ln y
Cho biế t x, y là khối lượng các hàng hóa. Cho p, q là giá các hàng hóa tương ứng, I là ngân sách tiêu dùng.
1) Có ý kiến cho rằng, nếu chủ thể trên tăng khối lượng hàng hóa x lên 1% và giảm
khối lượng hàng hóa y đi 3% thì lợi ích tiêu dùng không đổi. Điều đó đúng hay sai.
2) Xác định khối lượng hàng hóa x, y để lợi ích tiêu dùng có lợi nhất cho chủ thể đó. 7M 3M Đáp số : 1) Sai ; 2) T m U ax TU ; . 4p 4q 121
Thuật ngữ chính chương 3 Tiếng Anh Tiếng Việt Constant Return to Scale
Hiệu quả không đổi theo quy mô Capital Vốn Cost minimization Tối thiểu hóa chi phí Decreases Returns to Scale
Hiệu quả giảm theo quy mô Increases Returns to Scale
Hiệu quả tăng đổi theo quy mô Labor Lao động Marginal Product of Labor
Sản phẩm cận biên của lao động Marginal Product of Capital
Sản phẩm cận biên của vốn Manufacturing Efficiency Hiệu quả sản xuất Maximization of Utility Tối đa hóa lợi ích
Method of Lagrange Multipliers
Phương pháp nhân tử Lagrange Marginal Analysis Phân tích cận biên Revenue Maximization Tối đa hóa doanh thu Profit Maximization Tối đa hóa lợi nhuận Partial Derivatives Đạo hàm riêng Total Differential Vi phân toàn phần
The Partial Coefficient Elasticity
Hệ số co dãn riêng phần
The Function homogeneous of degree k Hàm thuần nhất bậc k The Hessian Matrix Ma trận Hessian 122 PHỤ LỤC
Phụ lục 1. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính
1.1. Các khái niệm cơ bản về ma trận
1.1.1. Một bảng gồm m n số thực được sắp thành m dòng (hàng) và n cột
được gọi là ma trận có cấp m n . 1 a 1 1 a 2 ... 1 a n a a ... a Ký hiệu: 21 22 2n A aij m n ... ... ... ... am1 am2 ...amn với
i : gọi là chỉ số dòng.
j : gọi là chỉ số cột.
a : là phần tử nằm ở dòng i và cột j trong ma trận A. ij
1.1.2. Ma trận có số dòng bằng số cột m n được gọi là ma trận vuông cấp n Ký hiệu: A aij . m n
Với a11, a22,..., a được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính. nn
1.1.3. Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp và có tất cả các
phần tử tương ứng vị trí bằng nhau. Cho hai ma trận: A aij và B b m n ij m n a b ij ij A B i 1,2,...,m; j 1, 2,...,n 1.1.4. Cho ma trận A a , ma trận ký hiệu T ậ đượ ừ ậ ij A nh n c t ma tr n A m n
bằng cách đổi dòng thành cột hoặc đổi cột thành dòng, được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A . Ví dụ 1. 1 2 0 Cho ma trận A 3 5 6 2 3
Ma trận chuyển vị của ma trận A là 123 1 3 T A 2 5 0 6 3 2 T Dễ nhận thấy T A A .
1.1.5. Ma trận dạng tam giác và dạng hình thang.
a) Ma trận tam giác trên là ma trận vuông mà mọi phần tử nằm phía dưới đường chéo đều bằng 0. 1 a 1 1 a 2 ... 1 a n 0 a ... a 22 2n ... ... ... ... 0 0 ... ann
b) Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông mà mọi phần tử nằm phía trên đường chéo đều bằng 0. a11 0 ... 0 a a ... 0 21 22 ... ... ... ... a n1 a n2 ... ann
c) Ma trận hình thang (ma trận bậc thang) là ma trận ứng với hai dòng bất kỳ số
hạng khác không đầu tiên của dòng dưới phải nằm bên phải số hạng khác không đầu tiên của dòng trên. 1 a 1 1 a 2 ⋯ 1 a r ⋯ 1 a n 0 a22 ⋯ a2r⋯ a2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ arr ⋯ arn ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 với r n và a ọ ầ ử
11, a 22,..., a g i là các ph n t chéo. rr
1.1.6. Ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1,
các phần tử còn lại đều bằng 0, được gọi là ma trận đơn vị cấp n. Ký hiệu là nI . 124 1 0 0 1 0 2 I ; 3I 0 1 0 0 1 0 0 1 ... 1 0 ... 0 0 1 ... 0 n I ... ... ... ... 0 0 ... 1 1.1.7. Cho ma trận A a ậ ệ ọ ậ ij , ma tr n ký hi u A a g i là ma tr n m n ij m n đối của ma trận A.
1.1.8. Ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không.
1.2. Hai phép toán tuyến tính đối với ma trận
1.2.1. Nhân một số thực với ma trận là nhân số đó với tất cả các phần tử của ma trận: Cho ma trận A a và ij k ℝ ta có: m n kA (k iaj m ) n Đặc biệt ( 1)A A aij m n
1.2.2. Cộng hai ma trận cùng cấp là cộng các phần tử tương ứng các vị trí với nhau: Cho hai ma trận : A a B b A B a b ij và . Ta có m n ij m n ij ij m n 1.2.3. Các tính chất
Cho ba ma trận A, B, C cùng cấp và , ℝ . a) A B B A b) (A B) C A (B C) c) A 0 A d) A ( A) 0 e) 1 A A f) ( )A A A g) (A B) A B 125 h) ( )A ( A) ( A)
1.3. Phép nhân hai ma trận
1.3.1. Chúng ta sẽ làm quen khái niệm này bằng bài toán thực tế như sau: bạn
mua ba mặt hàng với số lượng lần lượt là 7, 6, 5 và giá bán tương ứng là 2, 3, 4 thì số
tiền bạn phải trả được tính bằng: 7.2 + 6.3 + 5.4 = 52. 1.3.2. Cho hai ma trận A a B b ij và m n jk n p Khi đó AB i c k m p với 1 b k n b 2k c ⋯ ∑ ik ai1 ai2 ain a ijb jk ⋮ j 1 n b k
với: i 1,2,...,m; k 1,2,...,p . AB c
được gọi là tích của 2 ma trận A và B. ik m p Nhận xét:
- Tích hai ma trận tồn tại khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng ma trận đứng sau.
- Ma trận tích có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và có số cột bằng
số cột của ma trận đứng sau. 1.3.3. Các tính chất a) (AB)C A(BC)
Với giả thiết số cột của A bằng số dòng của B và số cột của B bằng số dòng của
C. Đặc biệt, nếu A là ma trận vuông ta định nghĩa: 2 k A A.A; ....; A A.A.....A k b) A(B C) AB AC; (A B)C AC BC
Với giả thiết cấp của các ma trận A, B, C phải phù hợp với phép toán. c) AB A B A B . d) T T T AB B A . e) k I
I (I là ma trận đơn vị). 126 f) Nếu A aij thì AI A; I A A. m n n m
1.4. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
1.4.1. Ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
a) Đổi chỗ 2 dòng của ma trận. / (i)∼ (i ) A B
b) Nhân một số thực khác không với một dòng. (i): (i) A B 0
c) Thay 1 dòng bất kỳ bằng chính nó rồi cộng với một số thực nhân cho dòng khác. / (i): (i) (i ) A B
1.4.2. Liên hệ với phép nhân ma trận 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ ⋮ Cho A a ậ đơ ị I ij và ma tr n n v : m n m ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 ⋯ 0 1 Định nghĩa: 1 ⋱ 0 1 dong i I(i, j) ⋱ 1 0 dong j ⋱ 1 1 ⋱ I(i, ) dong i ⋱ 1 127 1 ⋱ 1 dong i I(i, j, ) ⋱ 0 1 dong j ⋱ 1
- Phép đổi chỗ 2 dòng của A được coi là thực hiện phép nhân ma trận I(i, j) A
- Phép nhân 1 dòng với số
0 được coi là phép nhân ma trận I(i, ) A .
Cộng vào dòng i dòng j đã nhân với (i j ) được coi là phép nhân ma trận I(i, j, ) A .
1.5. Quy tắc thực hành tính định thức cấp hai và cấp ba a b 1.5.1. ad bc c d
Tích hai phần tử trên đường chéo chính trừ tích hai phần tử trên đường chéo phụ. 1 2
Ví dụ 2. Tính định thức 1 4 3 ( 2) 10 . 3 4 a1 b1 c1 1.5.2. a2 2 b 2 c 1 a 2 b 3 c 1 b 2 c 3 a 1 c 2 a 3 b 1 c 2 b 3 a 1 b 2 a 3 c 1 a 2 c 3 b a 3 b3 c3
Tổng đầu gồm 3 tích số lấy theo đường chéo chính và 2 đường song song với
nó nhân với phần tử đối diện.
Tổng sau cùng cũng gồm 3 tích số nhưng lấy theo đường chéo còn lại và 2
đường song song với nó nhân với phần tử đối diện. Cụ thể:
Ví dụ 3. Tính định thức 128 2 3 4 1 2 3
2 2 2 3 3 5 4 1 4 4 2 5 3 1 2 2 3 4 63 5 4 2
1.6. Một số tính chất cơ bản của định thức
1.6.1. Định thức của ma trận vuông A a
bằng định thức ma trận chuyển ij m n vị của nó, T A A Ví dụ 4. 1 2 1 3 10 3 4 2 4 2 3 4 2 0 0 0 3 1 3 3 0 30 0 0 5 4 1 5
1.6.2. Định thức bằng 0 nếu trong định thức có một dòng toàn các phần tử bằng 0. Ví dụ 5. 4 5 6 3 4 1 0 0 0 0
1.6.3. Định thức đổi dấu mỗi khi đổi chỗ 2 dòng của định thức và giữ nguyên các dòng còn lại.
Ví dụ 6. Tính định thức 2 3 4 0 3 1 0 3 1 30 và 2 3 4 30 0 0 5 0 0 5
1.6.4. Định thức bằng 0 nếu trong định thức có hai dòng có phần tử giống nhau. Ví dụ 7. a 1 b1 c1 a2 2 b 2 c 0 a 1 b1 c1
1.6.5. Thừa số chung của một dòng có thể đưa ra ngoài dấu định thức (hay nhân
1 số với định thức là nhân số đó chỉ với một dòng của định thức) 129 Ví dụ 8. a b a b a b c d c d c d
1.6.6. Định thức bằng 0 nếu định thức có hai dòng tỉ lệ Ví dụ 9. a1 b1 1 c a 1 b1 c1 0 a 3 b3 c3
1.6.7. Nếu trong định thức có 1 dòng các phần tử được tách thành tổng 2 số thì
định thức cũng được tách thành tổng của hai định thức tương ứng. Ví dụ 10. a c b d a b c d 1 1 1 1 1 1 1 1 a2 2 c b2 d2 a2 2 c 2 b d2 a2 c2 b2 d2
1.6.8. Định thức không thay đổi khi ta sử dụng phép biến đổi loại 3 Ví dụ 11. ... ... ... ... ... ... ... ... a i1 a i2 ... ain a i1 a i2 ... a in ... ... ... ... ... ... ... ... ak1 ak2 ... akn ai1 ak1 ai2 ak2 ... ain akn ... ... ... ... ... ... ... ...
Chú ý: Các tính chất nêu trên cũng vẫn đúng với cột của định thức.
1.6.9. Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì: AB A B BA Nói riêng: k k A A . A ..... A A k
1.7. Phần bù đại số và ma trận phụ hợp Cho ma trận A a vuông cấp n. ij n
1.7.1. Định thức cấp (n 1) thu được từ A bằng cách xóa bớt dòng i và cột j, lấy
dấu (+) nếu (i j) chẵn, lấy dấu (–) nếu (i j) lẻ, được gọi là phần bù đại số của phần tử a ệ ij (
i, j 1, 2,.., n ), ký hi u là Aij. 130 Chọn ẩ ơ ở ẩ ự 1 x , x làm n c s và 2 x3,x làm n t do. 4 Gán cho x3 , x4 , ℝ ta có: x 3x 2 1 2 7x2 5 5 6
Hệ có vô số nghiệm dạng: 1 8 11 5 5 6 W , , , , ℝ 7 7 x1 3x 2 2x 3 5 3. 4 1 x x2 3x3 2 3 1 x 4x2 5x3 1
Bước 1. Xác định ma trận mở rộng A 1 3 2 5 A A b 4 1 3 2 3 4 5 1
Bước 2. Biến đổi ma trận A 1 3 2 5 A A b 4 1 3 2 3 4 5 1 1 3 2 5 1 3 2 5 (1) (2) 0 13 11 18 0 13 11 18 0 13 11 16 0 0 0 2
(1) Cộng vào dòng 2 dòng 1 đã nhân với (-4)
Cộng vào dòng 3 dòng 1 đã nhân với 3.
(2) Cộng vào dòng 3 dòng 2 đã nhân với 1.
Trong hệ xuất hiện phương trình có dạng: 0 1 x 0x2 0x3 2
Phương trình này vô nghiệm, do đó hệ phương trình cũng vô nghiệm.
1.12. Hệ phương trình Cramer 1.12.1. Định nghĩa
Hệ gồm n phương trình, n ẩn có dạng: 145 a11x1 a12x 2 ... a1nxn 1 b a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 (*) ... ... ... ... ... ... ... ... ... a n1x1 a n2x 2 ... a nnxn bn Với a 11 a12 ... a1n a a ... a 21 22 2n A 0 ... ... ... ... a n1 a n2 ... a nn
được gọi là hệ phương trình Cramer.
1.12.2. Ví dụ 21. Xét các hệ sau 2x 3y 4 1. x 4y 1
Hệ phương trình trên là hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn và 2 3 A 11 0 , 1 4
nên nó là hệ phương trình Cramer. 4 1 x 3x2 2x3 7 2. x1 x 2 5 3 1 x x3 4
Hệ phương trình trên là hệ gồm 3 phương trình 3 ẩn và 4 3 2 A 1 1 0 7 0 3 0 1
nên nó là hệ phương trình Cramer.
1.12.3. Dạng ma trận của hệ phương trình Cramer – Phương pháp ma trận
nghịch đảo giải hệ Cramer Ký hiệu: a 11 a12 ... a1n x1 b1 a a ... a x b 21 22 2n 2 2 A ; X ; b ... ... ... ... ⋮ ⋮ a n1 a n2 ... a nn x n b n 146
Khi đó, hệ phương trình Cramer (*) có thể viết dưới dạng ma trận như sau: AX b (**) A 0
Phương trình này có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức: 1 X A b Ví dụ áp dụng:
a) Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo: 2x 3y 4 x 4y 1 Ta có: 2 3 x 4 A ; X ; b 1 4 y 1
Bước 1. Tìm ma trận nghịch đảo A –1 2 3 A 11 0 1 4 * 4 3 A 1 2 1 1 4 3 A 11 1 2
Bước 2. Nghiệm của hệ được tính bởi công thức: 13 x 1 4 3 4 1 13 1 11 X A .b y 11 1 2 1 11 6 6 11
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 13 6 x ; y 11 11
b) Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. 4x1 3x2 2x3 7 1 x x2 5 3x1 x3 4 147 Ta có: 4 3 2 x1 7 A 1 1 0 ; X x2 ; b 5 3 0 1 x3 4
Bước 1. Tìm ma trận nghịch đảo 1 A 4 3 2 A 1 1 0 7 0 3 0 1 1 3 2 * A 1 10 2 3 9 1 1 3 2 1 1 A 1 10 2 7 3 9 1
Bước 2. Hệ có duy nhất nghiệm được tính bởi công thức: 1 x 1 3 2 7 0 0 1 1 1 X x2 A .b 1 10 2 5 35 5 7 7 x3 3 9 1 4 28 4 Hay ( 1 x 0, x2 5, x3 4).
1.12.4. Quy tắc Cramer (Phương pháp định thức giải hệ phương trình Cramer)
Quy tắc Cramer: Hệ phương trình Cramer (*) có duy nhất nghiệm được tính theo công thức: D xj x j , ( j 1, 2,..., n) D Với a11 a12 ... a1n a 21 a22 ... a 2n D A ... ... ... ... a n1 a n2 ... ann 148
Các D nhận được từ D bằng cách thay cột hệ số của ẩn x bởi cột hệ số tự do j x j b ( j 1, 2,..., n) . Chẳng hạn: 1 b 1 a 2 ... 1 a n 1 a 1 1 a 2 ... 1 a n 1 b b a ... a a a ... a b 2 22 2n 21 22 2n 2 D ,..., D 1 x xn ... ... ... ... ... ... ... ... ... bn an2 ... ann a n1 an2 ... a nn bn * Ví dụ áp dụng:
Giải các hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer (phương pháp định thức): a x b y k a) 1 1 1 giả thiết 1 a 2 b a2 1 b 0 2 a x b2 y 2 k Ta có a b 1 1 D 1 a 2 b 2 a 1 b 0 2 a 2 b k b 1 1 x D 1 k 2 b 2 k 1 b k 2 b2 a k 1 1 y D 1 a 2 k 2 a 1 k a 2 k2 Hệ có nghiệm duy nhất: D k b k b D a k a k y x 1 2 2 1 1 2 2 1 x ; y D 1 a 2 b a2 1 b D 1 a b2 a2 1 b 3x 4y 5 b) 2x y 6 Ta có 3 4 5 4 D 11 0; D 19 2 1 x 6 1 3 5 y D 28 2 6 D 19 D Hệ có nghiệm duy nhất: y x 28 x ; y D 11 D 11 149 1 a x 1 b y 1 c z 1 k c) 2 a x 2 b y 2 c z 2 k 3 a x 3 b y 3 c z 3 k Ta có a 1 b1 c1 1 k 1 b 1 c D a2 2 b 2 c 0 ; Dx k2 b2 c2 ; a3 b3 3 c 3 k 3 b 3 c 1 a 1 k 1 c 1 a 1 b 1 k Dy a2 k2 c2 ; Dz a2 b2 k2 . a3 k3 c3 3 a 3 b 3 k Hệ có nghiệm duy nhất: D D D y x z x ; y ; z D D D
d) Chúng ta giải lại ví dụ b) trong mục 1.3.3. 4 1 x 3 2 x 2 3 x 7 1 x x2 5 3 1 x 3 x 4 Ta có: 4 3 2 7 3 2 D 1 1 0 7 0 ; D 5 1 0 0 1 x 3 0 1 4 0 1 4 7 2 4 3 7 Dx 1 5 0 35 ; D 1 1 5 28 2 3 x 3 4 1 3 0 4
Hệ có nghiệm duy nhất là: Dx D D 0 35 28 1 x 2 x3 1 x 0; 2 x 5; 3 x 4 D 7 D 7 D 7 150
Phụ lục 2. Đạo hàm và vi phân hàm số một biến
2.1. Đạo hàm của hàm số một biến 2.1.1. Các định nghĩa
– Cho hàm số y f (x) xác định trong một lân cận điểm x0 (một khoảng đủ nhỏ chứa x0 ).
– Ký hiệu x x x 0 gọi là số gia của đối số (với x đủ nhỏ), tương ứng y f (x x) f (x ) 0
0 được gọi là số gia của hàm số.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn : y f (x) f (x ) f (x x) f (x ) 0 0 0 lim lim lim x 0 x x 0 x x x x 0 0 x
thì hàm số f (x) được gọi là có đạo hàm tại điểm x và kết quả của giới hạn này, được 0
gọi là đạo hàm của hàm số f (x) tại điểm x , ký hiệu là / f (x ) hay / y (x ) . 0 0 0
Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa, xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số 2 y f (x) x
Tập xác định của hàm số : D R f 2 2 f (x) f (x ) x x Với x 0 0 0 R , xét giới hạn lim lim 2x 0 x 0 x x x x 0 x x x 0 0 / Vậy / f (x ) 2x hay 2 x 2x ( x R ) 0 0 1 cos3x khi x 0
Ví dụ 2. Cho hàm số: f (x) x . Tính đạo hàm / f (0). 0 khi x 0. Giải 1 cos3x 2 3x 2sin f (x) f (0) 1 cos3x 9 Xét x 2 lim lim lim lim . 2 2 x 0 x 0 x 0 x x 0 x x 0 x 2
Vậy hàm số có đạo hàm / 9 f (0) . 2
Ví dụ 3. Dùng định nghĩa xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số: y f (x) 3x 1. Giải 151 1
Tập xác định của hàm số : D f ; . 3 1 Xét x ; . Ta có: y 3x 1 3x 1, do đó : 0 3 0 y 3x 1 3x 1 0 lim lim . x 0 x x x0 x x0 1 Khi x0
giới hạn trên tồn tại và nhận giá trị hữu hạn: 3 3x 1 3 0 x 1 3 lim . x x0 x x0 2 3x 0 1 1 Khi x0
, giới hạn trên không tồn tại hữu hạn. 3
Do đó, đạo hàm của hàm số là: / 3 f (x) . 2 3x 1 – Đạo hàm một phía:
+ Đạo hàm bên trái của hàm số f (x) tại điểm x0 : dn / f (x x) f (x ) 0 0 f (x ) lim
(nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn) 0 x 0 x
+ Đạo hàm bên phải của hàm số f (x) tại điểm 0 x : dn / f (x x) f (x ) 0 0 f (x ) lim
(nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn) 0 x 0 x
Hàm số có đạo hàm tại điểm 0
x khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm trái, đạo hàm phải tại 0
x , đồng thời hai đạo hàm này bằng nhau : / f ( 0 x ) tồn tại / / f (x0) f (x0)
– Đạo hàm trên một khoảng :
+ Hàm số f (x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) nếu nó có đạo hàm tại
mọi điểm trên khoảng này.
+ Hàm số f (x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a, b] nếu nó có đạo hàm trên
khoảng (a,b) và có đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm bên trái tại b.
2.1.2. Liên hệ với tính liên tục 152
– Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x thì f (x) liên tục tại x , điều ngược lại 0 0 không chắc đã đúng. Ví dụ 4. Hàm số f (x) x liên tục tại x
0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. 0
2.1.3. ý nghĩa hình học của đạo hàm
– Đạo hàm của hàm số f (x) tại điểm x là hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số 0 y f (x) tại điểm M x ;f x 0 0 0 . Ta có / f (x0) tan
Phương trình tiếp tuyến đó là: / y f (x ) f x x x . 0 0 0 1
Ví dụ 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 2 y f (x) x tại điểm x 0 2 Giải. Ta có 1 1 1 / f (x) 2x. Tại x f 0 , ta có và / 1 f 2 2 2 2 2 1 1 1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm x y 2 x 0 là : . 2 2 2
2.1.4. Ý nghĩa của đạo hàm / / f ( 0 x ) hay y ( 0
x ) biểu thị tốc độ thay đổi của giá trị hàm số f (x) tại điểm x0 , khi
đối số x thay đổi một lượng nhỏ. Nói cách khác, tại x khi đối số x thay đổi một lượng 0
nhỏ, thì giá trị hàm số f (x) sẽ thay đổi một lượng xấp xỉ bằng / f (x ) . 0 153
2.2. Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản
Dưới đây là bảng công thức đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản 1. / (c) 0 ( c là hằng số) 2. / 1 / (x ) x ; (x) 1. 1 1 3. x / x x / x (a ) a lna; (e ) e . 4. / / (lo a g x) ; (ln x) . x ln a x 5. / (sin x) cos x. 6. / (cos x) sin x. 1 1 7. / (tan x) . 8. / (cot x) . 2 cos x 2 sin x 1 1 9. / (arcsin x) . 10. / (arccos x) . 2 1 x 2 1 x 1 1 11. / (arctan x) . 12. / (arccotx) . 2 1 x 2 1 x
2.3. Các quy tắc tính đạo hàm
2.3.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số
Nếu các hàm số u u(x) và v v(x) cùng có đạo hàm thì: 1. / / (ku) ku (k là hằng số). 2. / / / (u v) u v . 3. / / / (uv) u v uv . / / / u u v uv 4. (v 0). 2 v v
2.3.2. Đạo hàm của hàm số hợp Nếu hàm số u
(x) có đạo hàm tại điểm x 0 và hàm số y f (u) có đạo hàm tại điểm u (x ) x 0 0 thì hàm hợp y f
(x) có đạo hàm tại điểm 0 và giá trị của đạo hàm
được tính theo công thức: / / / y x yuu x.
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, nếu u
(x) là một hàm số có đạo hàm thì
các công thức đạo hàm được sử dụng như sau: 154 1 1. / 1 / (u ) u .u . 6. / / (tan u) .u . 2 cos u 1 2. u / u / u / u / (a ) (a ln a)u ; (e ) e u . 7. / / (cot u) .u . 2 sin u 1 1 3. / / (log (arcsin u) .u . a u) .u ; 8. / / u ln a 2 1 u / 1 / u (ln u) . 9. / / (arccos u) .u . u 2 1 u 1 4. / / (sin u) cosu.u . 10. / / (arctan u) .u . 2 1 u 1 5. / / (cosu) sin u.u . 11. / / (arccot u) .u . 2 1 u
2.4. Khái niệm vi phân và liên hệ với đạo hàm
Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định trên X. Giả sử f (x) liên tục tại 0 x X.
Nếu số gia của hàm số f (x) tại x0 có thể biểu diễn được dưới dạng: f (x ) A. x ( x) 0
trong đó, A là một hằng số, ( x) là một vô cùng bé bậc cao hơn x thì ta nói
hàm số f (x) khả vi tại x0 và giá trị A. x được gọi là vi phân của hàm số f (x) tại điểm
x0 , ký hiệu là: df (x0 ).Như vậy, df (x0 ) A. x.
Định lý: Hàm số f (x) khả vi tại 0
x khi và chỉ khi hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 và khi đó: / df (x0 ) f (x0). x.
– Nếu hàm số khả vi tại mọi điểm trong khoảng X thì ta nói hàm số khả vi trong X.
Khi đó, ta có một hàm số xác định trên X gọi là biểu thức vi phân của hàm số, ký hiệu là: df (x) hoặc dy. df (x) dy A. x.
Đặc biệt nếu y x thì dx
x. Do đó, biểu thức vi phân của hàm số y f (x)
thường được viết dưới dạng: / df (x) f (x)dx.
2.5. Các quy tắc tính vi phân
Nếu các hàm số u u(x) vàv v(x) khả vi t ại đi ểm x thì tại điểm đó ta có: 0 1. d(u v) du dv. 155 2. d(ku) kdu (k là hằng số). 3. d(uv) vdu udv. u vdu udv 4. d (v 0). 2 v v x
Ví dụ 6. Tính vi phân của hàm số y x cos tại khi x 0,01. 2 0 x 2 Giải x x x 1 Ta có: / / y cos sin ⇒ y 1 . 2 2 2 2 2 4 Vậy, / 0,01(4 ) 4 dy y x . 2 2 4 2 400 2
Ví dụ 7. Tìm biểu thức vi phân của các hàm số: a) y ax b. b) y x(ln x 1). 1 x 6 c) y sin . 12 x 6 Giải a) Ta có: / / y ax b) a . Do vậy, dy adx b) Ta có: / / / / y x(ln x 1) x (ln x 1) x(ln x 1) ln x. Do vậy, dy ln xdx. / / 1 x 6 1 x 6 x 6 1 x 6 c) Ta có: / y sin cos . cos . 2 12 x 6 12 x 6 x 6 (x 6) x 6 1 x 6 Do vậy, / dy y dx cos dx. 2 (x 6) x 6
* Tính bất biến của biểu thức vi phân cấp 1:
Xét hàm số hợp y f (x), x x(t). Biểu thức vi phân của hàm số là: / / / / dy ytdt (yx.xt)dt yx.dx.
Như vậy, biểu thức vi phân giữ nguyên dạng trong trường hợp x là biến độc lập,
cũng như xlà biến trung gian.
2.6. Các định lý cơ bản về hàm số khả vi và áp dụng 156 2.6.1. Bổ đề Fermat
Giả sử hàm số f (x) xác định trong khoảng (a,b) và đạt giá trị cực đại (hoặc giá trị
cực tiểu) tại điểm c thuộc khoảng (a,b). Khi đó, nếu tại c hàm số có đạo hàm thì / f (c) 0. 2.6.2. Định lý Rolle
Giả sử hàm số f (x) xác định, liên tục trên a,b và khả vi trên a,b . Nếu
f (a) f (b) thì tồn tại điểm c a,b sao cho: / f (c) 0. 2.6.3. Định lý Lagrange
Nếu hàm số f (x) xác định, liên tục trên a,b và khả vi trên a,b thì tồn tại điểm c a, b sao cho / f (b) f (a) f (c)(b a) . 2.6.4. Định lý Cauchy
Nếu các hàm số f (x), g(x) xác định, liên tục trên a,b , khả vi trên a,b và
g(x) 0, x (a,b)thì tồn tại điểm c a,b sao cho : / f (c) f (b) f (a) . / g (c) g(b) g(a)
Ví dụ 8. Chứng minh bất đẳng thức: sina sin b a b . Giải
Ta có hàm số f (x) sin x xác đị nh và liên tục trên a,b , có đạo hàm / y cos x
trên a,b . Theo công thức Lagrange, t ồn tại c a,b sao cho / f (a) f (b) f (c)(a b) Hay sin a sin b (a b).cosc Do cosc 1 nên ta suy ra sin a sin b cosc a b a b . Ví dụ 9. Cho 2 2 f (x) (x 3x 2)ln(x 1). 157
Chứng minh rằng phương trình / f (x) 0 có nghiệm. Giải
Hàm số f (x) xác định và khả vi trên R .
Mặt khác f (1) f (2) 0. Theo kết quả của định lý Rolle, tồn tại c 1,2 thoả mãn / f (c) 0. Vậy phương trình /
f (x) 0 có nghiệm trong khoảng 1,2 .
Bạ n đọc tự chứng minh rằng // f (x) 0 cũng có nghiệm.
2.7. Áp dụng vi phân để tính gần đúng
Chúng ta có kết quả là: số gia hàm số tại điểm x xấp xỉ với vi phân hàm số tại điểm 0 đó: / f (x ) df (x ) f ⇒ (x x) f (x ) f (x ). x 0 0 0 0 0 / f (x0 x ) f (x0 ). x f (x0) Để tính gần đúng f ( 0 x
x)chúng ta sẽ tính f (x 0) và / f (x ) . 0
Ví dụ 10. Không tra bảng, tính gần đúng giá trị 7 1,04 . Giải Đặt : 7 f (x) x , Đạo hàm cấp 1: 6 / 1 7 f (x) x , lấy 7 0 x 1, x 0,04 Áp dụng công thức: / f (x) f (x 0 x) f (x 0) f (x0). x Hay /
7 1,04 f (1 0,04) f (1) f (1). x 7 1 1 .0,04 1,0057 7 6 7. 1 158
Phụ lục 3. Bài toán tối ưu hàm một biến
3.1. Xác định khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số Định nghĩa
Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trong khoảng a,b . Ta nói rằng hàm số nhận
giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm x ế ồ ạ ố ấ đẳ 0 a,b n u t n t i s 0 sao cho b t ng thức: f (x) f ( ả 0 x ) f (x) f ( 0 x ) luôn tho mãn khi 0 x x 0 .
Điểm mà tại đó hàm số nhận giá trị cực đại hoặc giá trị cực tiểu được gọi chung là
điểm cực trị của hàm số.
Định lý 1. Giả sử hàm số y f (x) có đạo hàm trong khoảng a,b . Khi đó: / /
Nếu f (x) 0 f (x) 0 tại mọi điểm x
a,b thì hàm số đơn điệu tăng (giảm) trong khoảng a,b . /
Nếu f (x) 0 tại mọi điểm x
a,b thì hàm số f (x) nhận giá trị không đổi trong khoảng a,b .
Định lý 2. Nếu x là điểm cực trị của hàm số ạ điểm đó hàm số 0 f (x) và t i f (x) có đạo hàm thì / f (x0) 0.
Nhận xét : Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm tới hạn:
Điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu (gọi là điểm dừng).
Điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Định lý 3. Giả sử x là một điểm tới hạn của ồ ại ấ 0 f (x) và t n t 0 mà f (x) có d u
xác định trong mỗi khoảng x 0 ,x0 , x 0,x0 . Khi đó
Nếu khi qua điểm x đạo hàm / ấ ố đạ ự ị ạ điểm 0
f (x) đổi d u thì hàm s f (x) t c c tr t i đó. +) x /
0 là điểm cực đại nếu f (x) đổi dấu từ (+) sang (–) . +) x /
0 là điểm cực tiểu nếu f (x) đổi dấu từ (–) sang (+).
Nếu khi qua điểm x đạo hàm / đổ ấ ố đạ ự ị 0
f (x) không i d u thì hàm s không t c c tr tại điểm đó. 159 Định lý 4. Giả sử ộ điể ừ ủ ố ồ ạ ố ự 0 x là m t
m d ng c a hàm s f (x) và t n t i s t nhiên n 2 sao cho: / // (n 1) f (x0) f (x0) ⋯ f (x0) 0 và (n) f (x 0) 0. Khi đó:
Nếu n là số chẵn thì x là một điểm cực trị của 0 f (x). +) x (n)
0 là điểm cực đại nếu f (x0) 0. +) x (n )
0 là điểm cực tiểu nếu f (x0) 0.
Nếu n là số lẻ thì x không phải là điểm cực trị của 0 f (x).
Ví dụ 1. Xác định khoảng tăng, giảm và tìm cực trị của hàm số: x y (x 5)e . Giải Hàm số x
y (x 5)e có tập xác định là ℝ. Ta có: / x / y (x 4)e ; y 0 x 4. Ta có bảng biến thiên Vậy hàm số tăng trên , 4 ; giảm trên (4;
) và đạt giá trị cực tiểu tại x 4 với 4 C y T e .
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số: 4 y (x 1) . Giải Hàm số 4
y (x 1) có tập xác định là ℝ. Ta có: / 3 / y 4(x 1) ; y 0 x 1
Hàm số có điểm dừng tại 0 x 1. Đạo hàm cấp hai: // 2 / / y 12(x 1) ⇒y (1) 0. 160 Đạo hàm cấp ba: /// /// y 24(x 1)⇒ y (1) 0. Đạo hàm cấp bốn: (4) (4) y 24 ⇒ y (1) 24 0. Do đó hàm số 4
y (x 1) đạt giá trị cực tiểu tại x 1 với yCT 0.
Ví dụ 3. Xác định khoảng tăng, giảm và tìm cực trị của hàm số: 3 2 y (2x 1) x . Giải
Hàm số có tập xác định: ℝ . Ta có: / 3 2 2 1 2(5x 1) y 2 x (2x 1). . 3 3 3 x 3 x
Hàm số có hai điểm tới hạn: 1 x1 và x 0. 5 2
Bảng biến thiên của hàm số: Vậy hàm số tăng trên 1 , và 0, ; giảm trên 1 ( ;0). 5 5
Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại x 0 với y t giá trị c c i tại CT 0; hàm số đạ ự đạ 1 3 x với y . 5 CD 3 5 25
Ví dụ 4. Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: ln x y . 2 x Giải
Hàm số có tập xác định: (0, ). Ta có: / x(1 2 ln x) 1 2 ln x / y ; y 0 x e. 4 3 x x
Bảng biến thiên của hàm số: 161
Vậy hàm số tăng trên 0, e , giảm trên e,
và đạt cực đại tại x e với 1 C y D e . 4x e
Ví dụ 5. Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: y . 3x 2 Giải
Hàm số có tập xác định: 2 2 ( , ) ( , ). 3 3 Ta có: 4x / e (12x 5) / 5 y ; y 0 x . 2 (3x 2) 12
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số giảm trên các khoảng 2 2 5 , và , ; tăng trên khoảng 3 3 12 5 5 4 ,
. Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại 5 x với 3 y e . 12 2 CT 3
Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số 3 2 y f (x) x 3x 5 Giải
Hàm số có Tập xác định là R Ta có : 162 / / 2 y f (x) 3x 6x Giải phương trình: / y 0 3x x 2 0 x 1 0 x 2 2 Ta có // y 6x 6 Với // y (0) 6 0 Với // y (2) 6 0
Vậy hàm số đạt cực đại tại x 0 với y đạ ự ể ạ CD
y(0) 5 và t c c ti u t i x 2 với C y T y(2) 1.
3.2. Xác định khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
Định nghĩa : Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên (a,b). Hàm số f (x) được
gọi là hàm số lồi trên a,b nếu x1,x 2 (a,b) và t (0,1) ta luôn có: f tx1 (1 t)x2 tf (x1) (1 t)f (x2).
Nếu bất đẳng thức trên có dấu ngược lại thì hàm số được gọi là hàm số lõm trên (a, b).
Điểm mà tại đó đồ thị hàm số liên tục f (x) thay đổi tính lồi, lõm được gọi là điểm
uốn của đồ thị hàm số đó.
Định lý. Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng X . Khi đó:
– Nếu hàm số f (x) lồi (lõm) trên khoảng a,b thì : // //
f (x) 0 f (x) 0 với mọi x (a,b) (điều kiện cần). – Nếu // // f (x) 0 f (x) 0 với mọi x
a,b thì hàm số f (x) là hàm lồi (lõm)
trong khoảng a,b (điều kiện đủ).
Ví dụ 7. Xác định khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số: 2 y ln(1 4x ) Giải
Hàm số có tập xác định là R Đạo hàm cấp 1 / 8x y 2 1 4x 163 Đạo hàm cấp 2 2 8(1 4x ) // y 2 2 (1 4x ) Giải phương trình: // 1 1 y 0 x x . 2 2
Ta có bảng xét dấu của // y :
Vậy, hàm số lồi trong khoảng 1 1 1 ; và lõm trong các khoảng ; và 2 2 2 1 1 1 ;
. Đồ thị hàm số có hai điểm uốn là : A ,ln 2 ; B , ln 2 . 2 2 2
3.3. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a,b . Khi đó hàm số sẽ đạt giá trị lớ n
nhất, giá trị nh ỏ nhất trên đoạn đó. Muốn tìm giá trị lớn nh ất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số f (x) , ta tìm tất c ả các điể m tới hạn của hàm số trên đoạ n a,b , rồi tính giá trị của f (x)
tại các điểm tớ i hạn và tại a, b. So sánh các giá trị tính được, từ đó suy ra giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của hàm số trên đoạn a,b .
Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 x y x e trên đoạn 1,3 Giải Ta có / x 2 y e (2x x ) , Giải phương trình : / y 0 x 0 x 2 1 2
Vậy, hàm số có hai điểm tới hạn là: 1 x 0, x2 2 .
So sánh các giá trị f ( 1) , f (0), f (2), f (3) . Ta được giá trị nhỏ nhất của hàm số là
f (0) 0 và giá tr ị lớn nhất của hàm số là f ( 1) e .
2. Cho hàm số y f (x) xác định, liên tụ c, khả vi trên a,b : 164
– Nếu f (x) có duy nhất điểm cực đại trên khoảng a,b , thì giá trị lớn nhất của hàm
số y f (x) trên a, b chính bằng giá trị cực đại của nó.
– Nếu f (x) có duy nhất điểm cực tiểu trên khoảng a,b , thì giá trị nhỏ nhất của
hàm số y f (x) trên a, b chính bằng giá tr ị cực tiể u của nó.
Ví dụ 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 2 y f (x) x 3x 5 trên khoảng 2,1 . Giải Ta có : / / 2 y f (x) 3x 6x 3x x 2 Giải phương trình: / y 0 x1 0 x 2 2
Loại điểm x2 2 vì 2 ( 2,1) Tại
ố đạt cực đại tại điểm này, vì có duy nhất điểm 1 x 0, // y (0) 6 0 nên hàm s
cực đại trên khoảng 2,1 , nên giá trị lớn nhất của hàm số y f (x) trên khoảng đó bằng
giá trị cực đại y(0) 5 .
Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 2 y f (x) x 3x 5 trên khoảng 1,3 . Giải Ta có : / / 2 y f (x) 3x 6x 3x x 2 Giải phương trình : / y 0 x1 0 x 2 2 Loại điểm 1 x 0 vì 0 (1,3) Tại
ố đạt cực tiểu tại điểm này, vì có duy nhất điểm 2 x 2 , // y (2) 6 0 nên hàm s
cực đại trên khoảng 1,3 , nên giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x)trên khoảng đó bằng
giá trị cực tiểu y(2) 1. 165
Phụ lục 4. Bảng công thức nguyên hàm cơ bản và các phương pháp tính tích phân
4.1. Khái niệm tích phân bất định
Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f (x) trên tập X nếu / F (x) f (x) hay dF(x) f (x)dx, x X.
Nếu G(x) là một nguyên hàm khác của hàm f (x) trên tập X, ta có
G(x) F(x) C (C là hằng số)
Tích phân b ất định của hàm số f (x) là t ập tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) trên tâp X. Ký hiệu: f (x)dx F(x) C ∫ . Ví dụ 1. Ta có 2 x ∫xdx C; ∫cos x dx sin x C ; 2 x x e dx e C ∫ . 1 2 ∫ dx ln x x k C 2 x k
4.2. Các tính chất cơ bản của tích phân bất định / 1. ∫ f(x)dx f (x) 2. / f (x)dx f (x) C ∫ hay df (x) f (x) C ∫
3. ∫ f (x) g(x) dx ∫f (x)dx ∫ g(x)dx
4. ∫kf(x)dx k∫ f(x)dx ( k là hằng số)
5. Tính bất biến của biểu thức tích phân:
Nếu ∫f (x)dx F(x) C thì ∫f (u)du F(u) C, trong đó u (x) là một biểu
thức hàm số có đạo hàm liên tục. 166
4.3. Các công thức nguyên hàm cơ bản 1. ∫1.dx x C 9. ∫cosx.dx sin x C 1 dx 2. x x dx C ( 1) ∫ . 10. tan x C ∫ 1 2 cos x 3. dx ∫ dx ln | x | C 11. cot x C ∫ x 2 sin x 4. dx ∫ arctan x dx 1 x C 12. 2 ∫ arctan C 1 x 2 2 a x a a 5. dx arcsin x C ∫ 13. dx x arcsin C ∫ 2 1 x 2 2 a a x x 6. x a a dx C ∫ 14. dx 1 a x ln C ∫ ln a 2 2 a x 2a a x 7. x x ∫e dx e C dx 15. 2 ln x x b C ∫ 2 8. ∫sin x.dx cos x C x b
4.4. Các phương pháp tích phân
Trong khi thự c hành tính tích phân, ta không chỉ sử dụng một phương pháp giải mà
có thể phải k ết hợp một số phương pháp với nhau. Dưới đây sẽ trình bày các phương pháp
với các ví dụ minh họa cụ thể để tính các dạng tích phân thường gặp.
4.4.1. Sử dụng bảng tích phân cơ bản và phương pháp khai triển
Ta có th ể tính tích phân của một hàm phức tạp bằng cách khai triển nó thành tổng
(hiệu) tích phân c ủa các hàm đơn giản hơn.
Ví dụ 2. Tính tích phân : 3 ∫x x 1dx Giải
Nếu khai triển x x 1 1, ta chuyển tích phân ban đầu về tổng hai tích phân sau: 3 3 3 3
∫x x 1dx ∫ (x 1 1) x 1dx ∫ (x 1) x 1dx ∫ x 1dx 4 1 7 4 3 3 3 3 3 3 ∫(x 1) dx ∫ (x 1) dx (x 1) (x 1) C 7 4 Ví dụ 3. cos 2x Tính tích phân: ∫ dx 2 sin x 167 Giải Khai triển 2 cos 2x 1 2sin x ta có: 2 cos 2x 1 2sin x 1 dx dx dx 2dx cot x 2x C ∫ ∫ ∫ ∫ . 2 2 2 sin x sin x sin x
4.4.2. Sử dụng tính bất biến của biểu thức tích phân
Nếu ta nhận th ấy tích phân cần tính có dạng nh ư sau: / I f (x) (x)dx ∫ thì có thể đặt u
(x) để chuyển về tính một biểu thức tích phân dễ hơn: I f (u)du F(u) C ∫
Tr ường hợp u kx b ta có: 1 1
∫f(kx b)dx ∫ f(kx b)d(kx b) F(kx b) C k k Ví dụ 4. dx Tính tích phân: ∫ 3 4 5x Giải Ta có 1 1 dx 1 3 3 ∫ ∫ 4 5x dx ∫ 4 5x d(4 5x) 3 4 5x 5 2 1 3 3 3 2 3 (4 5x) C (4 5x) C. 5 2 10
4.4.3. Phương pháp đổi biến số a) Phép đổi biến xuôi
Giả sử c ần tính tích phân / I ∫ f[u(x)].u (x).dx Đặt / t u(x)⇒ dt u (x).dx /
I ∫ f[u(x)]u (x).dx ∫ f (t).dt F(t) C F[u(x)] C Ví dụ 5. Tính tích phân x 1 e .dx ∫ . Giải 2t.dt Đặt x t 1 e . Khi đó x 2 2 e t 1, x ln(t 1) , suy ra dx 2 t 1 168 Ta có: 2 2t .dt 2.dt t 1 x ∫ 1 e .dx ∫ ∫ 2 2t ln C 2 2 t 1 t 1 t 1 x 1 e 1 x 2 1 e ln C. x 1 e 1
• Trường hợp biểu thức hàm số chứa căn thức dạng n kx b
Khi đó ta đổi biến bằng cách đặt: n t kx b , suy ra: 1 n n x (t b), n 1 dx t dt . k k Ví dụ 6. dx Tính tích phân ∫ . 3 x 2 x Giải
Trong trường hợp này để khử được hết căn ta có thể đổ i biến bằng cách đặt 6 6 t x ⇒ x t , 5 3 3 2 dx 6t dt, x 2 x t 2t .
Tích phân ban đầu biến đổi thành: 5 3 dx 6t .dt t 8 2 ∫ ∫ 6 ∫ dt 6∫ t 2t 4 dt 3 3 2 x 2 x t 2t t 2 t 2 3 t 2 6 t 4t 8ln t 2 C 3 4 3 6 6 2 x 6 x 24 x ln x 2 C. 3
b) Phép đổi biến ngược
Xét tích phân I ∫ f (x)dx trong đó f (x)là một hàm số liên tục và cho (t) là một
hàm đơn điệu, có đạo hàm liên tục ( (t)có hàm số ngược). Đặt x (t) ⇒ dx '(t)dt , ta có:
I ∫ f (x)dx ∫ f (t) '(t)dt ∫ g(t)dt
Nếu ta tính được ∫ g(t)dt G(t) C và t h(x) là hàm ngược của hàm số x (t) thì: I ∫f (x)dx G h(x) C 169
• Trường hợp biểu thức hàm số chứa căn thức dạng 2 2 a - x Ta đổi biến x a.sin t , t , khi đó: 2 2 2 2 dx a.cos t.dt, a x a.cos t, (a 0) .
1.4.4. Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u u(x) và v v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. Khi đó, ta có: ∫f(x)dx ∫ udv uv ∫ vdu.
Lưu ý rằng, ∫ vdu là dễ tính, hoặc lặp tích phân ban đầu sau hai lần tính và v ∫ dv
.• Đối với các tích phân n kx n n
∫ x e dx, ∫ x sinkx.dx, ∫ x coskx.dx, (n nguyên d ương)
ta áp dụng công thức tích phân từng phần đối với n
u x và dv là phần còn lại của
biểu thức dưới dấu tích phân. Ví dụ 7. Tính tích phân 2 I ∫ x sin 2x.dx. Giải Đặt 2 1
u x ⇒ du 2xdx , dv sin 2x.dx ⇒ v cos 2x . 2
Theo công thức tính tích phân từng phần ta có: 1 2 I ∫ udv uv ∫ vdu x cos 2x ∫ xcos2x.dx. 2 J
Tiếp tục áp dụng tích phân từng phần với J ∫ x cos2x.dx Đặ 1
t: u x⇒ du dx , dv cos 2x.dx ⇒ v sin 2x , suy ra: 2 1 1 1 1 J x sin 2x ∫ sin2xdx x sin 2x cos 2x C . 2 2 2 4 1 1 1 Vậy 2 I x cos 2x x sin 2x cos 2x C . 2 2 4 • Đối với tích phân n ∫x ln xdx ( 1, n nguyên dương) 170
ta áp dụng công th ức tích phân từ ng phầ n với n u ln x , dv x dx.
Ví dụ 8. Tính tích phân I ∫ x lo 2 g x.dx . Giải 1 2 x Đặt u log ⇒ , ⇒ 2 x du dx dv xdx v (ln 2)x 2 2 2 2 x 1 x x Ta có: I lo . 2 g x ∫xdx lo 2 g x C 2 2ln 2 2 4ln 2
Chú ý : Khi áp dụ ng công thức tích phân từng phần với dạng tích phân ∫P(x)ln(ax b)dx,
trong đó P(x) là một đa thức, ta sẽ phải tính tích phân c ủa phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc nhất.
Ví dụ 9. Tính tích phân I ∫x ln(x 2).dx. Giải dx 2 x Đặt u ln(x 2) ⇒ du , dv xdx ⇒ v x 2 2 Ta có: 2 2 2 x 1 x x 1 4 I ln(x 2) ∫ dx ln(x 2) ∫ x 2 dx 2 2 x 2 2 2 x 2 2 x 1 2 ln(x 2) x x 2ln(x 2) C. 2 4
4.5. Khái niệm tích phân xác định và các lớp hàm khả tích
Định nghĩa: Cho hàm số y f (x)xác định và bị chặn trên a;b . Chia a;b thành
n phần b ởi các điể m chia a 0 x 1 x ... n x 1 n x b (phép phân hoạch ). Đặt i i x i x 1 (i 1,2,...,n) gọi: d max , lấy i i xi 1;xi , i 1,2,...,n 1 i n n
Lậ p tổng ( ) ∑ f ( ) . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn i i i 1 n lim ( ) lim ∑ if ( i) I d 0 n i 1 171
không phụ thuộc phép phân hoạch , cũng nh ư cách chọn điểm i , thì chúng ta nói
hàm số y f (x) khả tích trên a;b và số I được gọi là tích phân xác đị nh của hàm số b
y f (x) trên a;b . Ký hiệu là: I ∫f (x)dx a
Với a gọi là cận dưới, b gọi là cận trên. Các lớp hàm khả tích
Các lớp hàm sau đây khả tích trên a;b :
a) Các hàm số liên tục trên a;b .
b) Các hàm số bị ch ặn và gián đo ạn t ại hữu hạn điểm trên a; b .
c) Các hàm số bị chặn và đơ n điệu trên a; b .
Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
Cho hàm số y f (x) 0, xác định và liên tục trên a; b , khi đó b f
∫ (x)dx S(D), (diện tích của miền D, với D a x b;0 y f(x) người ta a
thường g ọi D là hình thang cong).
4.6. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định
Giả sử các điề u kiện khả tích của các hàm số đều được thoả mãn, khi đó ta có các
tính chất sau của tích phân xác định: a b 1. ∫ f(x)dx ∫ f(x)dx . b a 172 b c b
2. ∫ f(x)dx ∫ f(x)dx ∫ f(x)dx. a a c b b b
3. ∫ f(x) g(x) dx ∫f(x)dx ∫ g(x)dx. a a a b b 4. ∫kf(x)dx k∫ f(x)dx . a a b b
5. Nếu a b và f (x) g(x), x [a, b] thì: ∫ f(x)dx ∫ g(x)dx. a a
6. Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a,b] (hoặc [b,a] ) thì tồn tại ít nhất một điểm
trong khoảng giữa hai cận a và b sao cho: b
∫f(x)dx f( )(b a) (định lý giá trị trung bình). a a 7. ∫f(x)dx 0. a
4.7. Liên hệ tích phân bất định
Tích phân xác định với cận trên thay đổi
Giả sử f (x) là một hàm số liên tục trên a; b , khi đó với mọi x a;b thì hàm số x (x) ∫ f (t)dt a
được gọi là hàm cậ n trên (hay tích phân xác định vớ i cận trên thay đổi).
Định lý về đạo hàm của hàm cận trên
Nếu f (x) là một hàm số liên tục trên a; b , khi đó với mọi x a;b ta có: / x /(x) f (t)dt ∫ f (x). a (x)
Trong trường hợp phải tính đạo hàm của hàm số ∫ f (t)dt, (x) (x)
ta nên đặt ∫ f (t)dt F (x) F (x) , trong đó F(t) là một nguyên hàm của hàm (x) 173
số f (t) rồi sử d ụng công thức đạ o hàm hàm hợp.
Ví dụ 10. Tính đạo hàm của hàm số: 2 x 3 f (x) ∫ ln(t 1)dt 2 Giải / (x) Sử dụng công thức: / / ∫ f(t)dt f (x) (x) f (x) (x) (x) Ta có : / 2 / 6 / 6 6 f (x) (x ) ln x 1 ( 2) ln x 1 2x.ln(x 1) .
Ví dụ 11. Tính giới hạn của hàm số sau: x 2 ∫ tant dt 0 lim . 3 x 0 x Giải
Để không phải tính tích phân trên tử thức c ủa hàm lấy giới hạn, ta có thể áp dụng
quy tắc L’hospital. Khi đó đạo hàm của tử thức sẽ là 2 tan x . x 2 ∫ tan t dt 2 tan x 1 0 lim lim . 3 2 x 0 x 0 x 3x 3
Công thức Newton – Leibnitz
Với F(x) là nguyên hàm bất kỳ c ủa hàm số liên tục f (x) khi đó ta có công thứ c: b b ∫f(x)dx F(b) F(a) F(x) . a a 1
Ví dụ 12. Tính tích phân 3x I ∫ e dx. 0 Giải 1 1 3 1 1 1 e 1 Ta có : 3x 3x 3x I ∫e dx ∫ e d(3x) e . 0 3 3 3 0 0
4.8. Phương pháp đổi biến 174 b
Giả sử c ần tính tích phân I ∫ f (x).dx . a Thay / x (t), dx
(t)dt với giả thiết hàm số (t) thoả mãn các điều kiện sau:
– Hàm số (t) xác định, liên tục và có đạo hàm liên tục trên [ , ].
– ( ) a, ( ) b tức là cận x a tương ứng với cận t và cận x b tương ứng với cận t .
– Khi t biến thiên trên khoảng [ , ] hàm số x
(t) nhận các giá trị không vượt ra ngoài [a, b]. b Khi đó: /
I ∫f (x)dx ∫ [ (t)] (t)dt ∫ g(t)dt. a
Ph ương pháp đổi biến được vận dụng giống nh ư trong trường hợp tích phân bất định,
tuy nhiên cần ghi nhớ: phải đổi cận khi đổi biến. 2 Ví dụ 13. dx Tính I ∫ . 3 2 01 (x 1) Giải
Đổi biến bằng cách đặt 3 t x 1, suy ra 3 2 x t 1 d ⇒ x 3t dt . Đổi cận: x 0⇒ t 1, x 2 ⇒ t 1.
Theo công th ức đổi biến ta có: 1 2 1 3t dt 1 1 3 I ∫ 3∫ 1 dt 3(t arctan t) 6 2 2 1 t 1 t 1 2 1 1 2 Ví dụ 14. Tính 3 8 I ∫ cos x.sin x.dx. 0 Giải
Đổi biến bằng cách đặt t sin x , 3 2 2 cos x.dx cos x.d(sin x) t .dt Đổi cận: x 0⇒ t 0, x ⇒ t 1, ta đượ c: 2 1 1 9 11 t t 1 2 2 8 8 10 I ∫ (1 t )t dt ∫ (t t )dt . 9 11 0 99 0 0 175 1/2 Ví dụ 15. dx Tính I ∫ . 2 0 1 x Giải Đặt x sin t, t , 2 2 , 2 1 x cos t, dx cos t.dt . Đổ 1 i cận: x 0⇒ t 0, x ⇒ t , ta có: 2 6 1/2 /6 /6 dx cos tdt 6 I ∫ ∫ ∫ dt t 2 cos t 0 6 0 1 x 0 0
4.9. Phương pháp tích phân từng phần
Công thứ c tính tích phân từng phần trong tích phân xác định là: b b b b ∫f(x)dx ∫ udv uv ∫ vdu. a a a a
trong đó: u u(x), v v(x) là các hàm số liên tục và b uv u(b)v(b) u(a)v(a) . a 1 Ví dụ 16. Tính 2 x I ∫x e dx. 0 Giải 1 1 x Ta có 2 x 2 2 I ∫ x e dx ∫ x e dx . 0 0 x x Đặt 2 u x ⇒ du 2xdx , 2 ⇒ 2 dv e dx v 2e . 1 x 1 x Khi đó: 2 2 2 I 2x e 4∫xe dx 2 e 4J . 0 0
Tính tiếp J bằng phương pháp tích phân từng ph ần như sau: 1 1 x 1 1 x/2 x/2 x /2 2 J 2∫ x.d(e ) 2xe 2 ∫ e .dx 2 e 4e 2 e 4. 0 0 0 0 Vậy I 2 e 4 2 e 4 10 e 16 . 176
Phụ lục 5. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 5.1. Đạo hàm riêng
5.1.1. Đạo hàm riêng cấp 1
a) Trường hợp hàm số hai biến số Cho hàm số z f x, y , M ữ ị ủ ế đổ 0 x 0, y0 D . Nếu gi giá tr c a bi n f y không i và
cho giá trị của biến x một số gia x thì hàm số z f x, y có số gia tương ứng là f ố ọ ố ủa hàm số 0 x x, 0 y f 0 x , 0
y , s gia này g i là s gia riêng c z f x, y theo biến
x , tại M0 x0, y , ký hiệu là 0 x z( 0 M ) hay xf (M0).
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: xf M f x x, y f x , y 0 0 0 0 0 lim lim x 0 x x 0 x
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm số z f x, y theo biến x tại đ z f iểm z (M ) (M ) f (M ) hay (M ) 0 x , 0 y , ký hiệu là /x 0 hay 0 hay / . x x 0 0 x
Ý nghĩa : Đạ o hàm riêng của hàm số z f x, y theo biến x tại điểm x0, y0 biểu
thị tốc độ biến thiên của giá trị hàm số z f x, y tại đi ểm x0, y0 khi x thay đổi một
lượng nh ỏ, trong điều kiện giá trị của biến y không thay đổi.
Tương tự , ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số z f x, y theo bi ến y tại z f M0, ký hiệu là / z y(M0) hay (M 0) hay / f (M ) hay (M ) . y y 0 0 y
Ví dụ 1. Tính đạo hàm riêng theo định nghĩa của hàm số: a) 3 2 w x y tại điể m 1, 2 . x b) f (x, y) x (y 1) arccos tại điểm x,1 . y Giải a) 3 2 3 2 3 wx 1,2 x .2 1 .2 4x 4 ; x x 1 3 4x 4 Vậy / 2 wx 1,2 lim lim 4 x x 1 12 . x 1 x 1 x 1 Tương tự : 177 3 2 3 2 2 wy 1,2 1 .y 1 .2 y 4; y y 2 2 y 4 Vậy / wy 1,2 lim lim y 2 4. y 2 y 2 y 2 b) x x x x x 1 1 arccos x 1 1 arccos 1 1 / f x x,1 lim 1 x 0 x Tương tự : x x x 1 y 1 arccos x 1 1 arccos / 1 y 1 y f x,1 lim y 0 y x y.arccos y 1 / f y x,1 lim arccos x. y 0 y
Nhận xét : Để tính đạo hàm riêng /xf của hàm số z f x, y theo biến x ta xem y
như là h ằng số và khi đó z f x, y là hàm số của một biến x , do đó ta áp dụng các công
thức đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến. Tương tự , cho việc tính
đạo hàm riêng của z theo y. y sin
Ví dụ 2. Tính đạo hàm riêng của hàm số sau: x z e arctan(xy) Giải
Ta có đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số y sin y y y / x x z e .cos . . 2 2 2 x x 1 x y y sin y 1 x / x y z = e .cos . . 2 2 x x 1 x y
b) Trường hợp đạo hàm riêng hàm số nhiều hơn hai biến số
Đạo hàm riêng của hàm số n biến số w f 1
x , x2 ,..., xn theo một trong các
biến độc lập tại một điể m X x1,x2,..., xn là giới hạn (nếu có) của tỷ số giữa số gia riêng
hàm số và số gia của biến độ c lập tương ứng khi số gia của biến độc lập đó tiến tới 0. 178 Ký hiệu: w f x , x ,..., x / / 1 2 n w f x , x ,..., x i x i x 1 2 n x i x i f x , x ,..., x x ,..., x f x , x ,..., x ,..., x 1 2 i i n 1 2 i n lim i x 0 x i f x , x ,..., x ,..., x f x , x ,..., x ,..., x 1 2 i n 1 2 i n lim i x i x x i x i
Chú ý : Đạ o hàm riêng của hàm số w theo biến ix tại điểm X 1 x , x2 ,...,xn biểu
thị tốc độ biến thiên c ủa giá trị hàm số w f 1
x , x2 ,...,xn tại điểm X 1 x , x2,..., xn khi i
x thay đổi một lượng nhỏ, trong điề u kiện giá trị các biến còn lại không thay đổi. Khi tính đạo hàm / / wx f x , x ,..., x
(đạo hàm riêng theo biến i xi 1 2 n i
x ) ta coi các biến còn lại như
hằng số và xem w như là một hàm của biến x i . Sau đó áp dụng các quy tắc tính đạo hàm
của hàm số một biế n số.
Ví dụ 3. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số: a) 4 2 2 2 f (x, y) ln(x x y y ) 2 z x b) w y Giải
a) Ta có đạo hàm riêng cấ p 1 1 / 3 2 x f x, y 4x 2xy 4 2 2 2 x x y y 1 / 2 y f x, y 2x y 2y 4 2 2 2 x x y y
b) Ta có đạo hàm riêng cấp 1 2 z 1 x 1 / 2 wx x, y, z z . y y 2 z 1 2 z x x x / 2 2 w y x, y, z z . z 2 2 z 1 y y y 179 2 z x x / wz x, y,z ln .2z y y
5.1.2. Đạo hàm riêng của hàm hợp
N ếu z f u, v và u u x , v v x thì đạo hàm c ủa hàm số z theo biến x là dz z du z dv dx u dx v dx
N ếu w f u1,u2,...,um và mỗi biến uk với k = 1,2,...,m lại là hàm của các biế n 1
x , x2,...,xn thì đạo hàm của hàm số w theo i
x i 1,2,3...,n được tính theo công thức: w w u w u w u 1 2 n ⋯ x i u1 x i u 2 x i u n x i
(N ếu các đạo hàm ở vế phải tồn tại). Ví dụ 4. Cho hàm số 2 w u ln v với 2 u sin 2x y , 4 4 2 v x y cos x . Tính đạo hàm
riêng của hàm số theo biên x, y. Giải Ta có w w 1 u v 2 3 2u, ; 2cos 2x y , 4x sin 2x u v v x x w 1 2 2 3 2sin 2x y 2cos 2x y 4x sin 2x 4 4 2 x x y cos x u v 2 3 2ycos 2x y , 4y y y w 1 2 2 3 2sin 2x y .2ycos 2x y . 4y . 4 4 2 y x y cos x Ví dụ 5. Cho hàm số 2 2 x z f x, y ln x y
arcco t . Tính đạo hàm riêng của hàm y 1 số f
x, y theo biến x và đạo hàm riêng củ a hàm số f x, theo biến y. y Giải 180 Cách 1: 2 2 x f x, y ln x y arccot g x, y y 2x 1 1 2x y / gx x, y . . 2 2 2 2 2 x y x y x y 1 2 y 1 1 2 f x, ln x arccot xy h x, y 2 y y 1 2 x 2 xy / hy x, y . . 3 2 2 2 2 2 1 y 1 x y (1 x y )y x 2 y Cách 2. Xem f
x, y là hàm hợp của hàm số f u, v và các hàm số u x, v y
sau đó tính đạo hàm của hàm số f u, v theo biến x theo công thứ c đạo hàm củ a hàm hợp. 1 Tương tự, xem hàm f x,
là hàm hợp của hàm số f u, v và các hàm s ố y 1 u x, v . y
5.1.3. Đạo hàm riêng cấp 2
a) Trường hợp hàm số hai biến số z z
Cho hàm số z f x, y . Tính các đạo hàm riêng lần thứ nhất ta được , gọi là x y
các đạo hàm cấp một của hàm z . Tính đạ o hàm riêng của các đạo hàm riêng đó ta được
các đạo hàm riêng mới gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z ký hiệu là: 2 2 z z z z // / / fxx x, y , fyy x, y . 2 2 x x x y y y 2 2 z z z z // / / x f y x, y , fyx x, y . y x x y x y y x
Tương tự, đạo hàm riêng cấp hai của hàm số n biến số là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một. Ký hiệu: 181 // // wx f ix j x ix j Hàm số n biến số có 2
n đạ o hàm riêng cấp hai và nếu i
j thì các đạo hàm riêng
cấp 2 được gọi là đạo hàm hỗn h ợp cấp 2.
Ví dụ 6. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số sau: 3 2 w x y xy Giải
Tính các đạ o hàm riêng cấp 1: / 2 2 / 3 wx 3x y y ; wy x 2xy.
Tính các đạ o hàm riêng cấp 2: // // 2 // // wxx 6xy; wxy 3x 2y wyx; wyy 2x. 2 2 Ví dụ 7. x z z Cho hàm số z arctan . Chứng minh rằng: 0. y 2 2 x y Giải
Tính các đạo hàm cấp 1: z 1 1 y z 1 x x . ; . 2 2 2 2 2 2 2 x x y x y y x y x y 1 1 2 2 y y Mặt khác: 2 2 z 2xy z 2xy ; 2 2 2 2 x 2 2 y 2 2 x y x y Vậy: 2 2 z z 0. 2 2 x y
Ví dụ 8. Cho u là một hàm số có đạo hàm với u là hàm số của hai biến số x và y. Đặ 1 z 1 z z t 2 2 z y. x y . Hãy chứng minh: . 2 x x y y y Giải z z / / u.2x; u y. u. 2y x y 182 2 2 y. x y 1 / 1 / u z VT .y. u.2x . u y u. 2y VP 2 2 x y y y y
Chú ý: Nói chung, hai đạo hàm hỗn hợp cấp hai theo cùng một cặp biế n số nhưng
sai khác nhau ở trình tự lấy đạo hàm có thể không bằ ng nhau. Tuy nhiên, cả hai đạ o hàm
đó cùng tồn tại và liên tục thì chúng bằng nhau. Trong chương trình của chúng ta chỉ xét
những đạo hàm hỗn hợp cấp hai t ồn t ại và liên tục. 5.2. Vi phân toàn phần 5.2.1. Vi phân cấp 1
a) Trường hợp hàm số hai biến số
Cho hàm số w f x, y . Khi đồng thời cho x số gia x và y số gia y thì hàm
số w f x, y có số gia tương ứng là: w f f x x, y y f x, y .
Số gia này gọi là số gia toàn phần của hàm số w f x, y tại điểm x, y .
Nếu hàm số w f x, y có các đạo hàm riêng / fx x, y và /
f x, y liên tục tại điểm y
x0,y0 thì số gia toàn phần f tại điểm x0,y0 có thể viết dưới dạng: / / w f f x , y x f x , y y x y. (1) x 0 0 y 0 0 Trong đó, , 0 khi x và y 0.
Định nghĩa: Nếu hàm số w f x, y xác định trong miền D và có các đạo hàm
riêng liên tục tại điểm M f x , y x f x , y y được 0 x0 , 0 y D thì biểu thức / / x 0 0 y 0 0
gọi là vi phân toàn phần c ủa hàm số w f x, y tại điểm M x , y và được ký hiệu là 0 0 0 dw hay df x , y . 0 0
Vậy vi phân toàn phần của hàm số hai biến số tại một điểm M x , y 0 0 0 là: / / dw f x , y x f x , y y x 0 0 y 0 0 Hay: / / df x0, y0 fx x0, 0 y x fy x0, y0 y .
Với x, y là các biến độc lập, ta có dx x, dy
y và khi không nhấn mạnh vi
phân toàn phần tại một điểm nào đó thì biểu thức vi phân toàn phần của hàm số được viết: 183 / / df f xdx f ydy
Ví dụ 9. Tính vi phân toàn phần của hàm số : 2 2 w f x, y ln x xy y
tại điểm M0 1,2 biết x 0,1; y 0,2 . Giải
Ta có đạo hàm riêng cấp 1 2x y x 2y /xf x,y ; / f x, y 2 2 x xy y y 2 2 x xy y Vậy 2.1 2 4 /xf 1,2 ; 2 2 1 1.2 2 7 1 2.2 5 /yf 1,2 . 2 2 1 1.2 2 7
Vi phân toàn ph ần của hàm số tại điểm M0 1,2 là: 4 5 df 1, 2 .0,1 0, 2 0, 2. 7 7
Tương tự, giả thiết hàm số n biến số w f x1,x2,..., xn có các đạo hàm riêng liên
tục theo tất cả các biến độc lập, biểu thức vi phân toàn phần là: dw f1dx1 f2dx2 ⋯ fndxn f Với if . xi
Ví dụ 10. Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm số: 2 xy w tan z Giải
Ta có đạo hàm riêng cấp 1 2 1 y / wx . ; 2 2 xy z cos z 184 1 2xy / wy . ; 2 2 xy z cos z 2 1 xy / wz . 2 2 2 xy z cos z
Biểu thức vi phân toàn phần của hàm số là: 2 2 1 y 1 2xy 1 xy dw . dx . dy . dz. 2 2 2 2 2 xy z 2 xy z 2 xy z cos cos cos z z z
5.2.2. Ứng dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng Từ (1) ta suy ra: f df x y Trong đó, , 0 khi x và y
0. Do đó, trong trường hợp hàm số w f x, y
có các đạo hàm riêng liên tục thì f khác df càng ít khi x, y càng nhỏ (về giá trị tuyệt
đối). Vì vậy, ta có thể tính đơn giản: f df với x, y đủ nhỏ.
Ví dụ 11. Tính gần đúng 2,01 0,99 . Giải Ta xét hàm số y f x, y x thì số phải tính 2,01 0,99 chính là f 0,99;2,01 . Mặt khác: f 0,99;2,01 f 1 0,01;2 0,01 f 1;2 f 1 0,01;2 0,01 f 1,2
Mà theo công thức gần đúng f df , tại x ớ 0 1, y0 2 v i x 0,01, y 0,01. Suy ra: f 0,99;2,01 f 1,2 df 1,2 . Với 2 f 1, 2 1 1, / y 1 / y f yx , f x ln x x y y 1 y df 1, 2 yx
. x x ln x. y 2.1. 0,01 1.ln1.0,01= 0,02 Vậy: f 0,99;2,01 1 0,02 0,98. 185
Nhận xét : Để tính gần đúng một số A nào đó ta phải tìm được biểu thức của hàm
số f x, y (nếu chỉ cần hai biến độc lập) sao cho số A chính là giá trị của hàm số tại điểm đ đ ế ướ ạ 1 x , 1
y nào ó A f x1, y1 . Sau ó vi t f x1, y d i d ng 1 f x1, y1 f x 0 x, y0 y , trong đó x ọ ị ủ ễ
0 , y được ch n sao cho giá tr c a hàm 0
f (x0, y0) được tính d dàng (chính xác), suy ra x ồ ầ đúng số ầ 1 x x0, y 1 y 0 y r i tính g n gia toàn ph n f 0 x , 0 y df 0 x , 0 y .
Cuối cùng sử dụng công thức: / / df x , y f x , y x f x , y y 0 0 x 0 0 y 0 0 Vậy A f 1 x , 1 y f 0 x , 0 y df 0 x , 0 y . 5.2.3. Vi phân cấp 2 Định nghĩa:
Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp một dw của hàm số w f x đượ ọ
ần cấp hai của hàm số đó và được ký hiệu 1, x 2,..., x c g i là vi phân toàn ph n như sau: 2 2 d w, d f x1, x2,..., xn
Đối với trường hợp hàm số hai biến số biểu thức vi phân toàn phần cấp hai là: 2 // 2 // / / 2 d w w xx dx 2wxy dxdy wyy dy
Ví dụ 12. Viết biểu thức vi phân toàn phần cấp hai của hàm số: x 2y w e Giải
Tính đạo hàm riêng cấp 1: / x 2y / x 2y w e ; w 2e x y
Tính đạo hàm riêng cấp 2: // x 2y // x 2y // // x 2y w e , w 2e w , w 4e xx xy yx yy
Bi ểu thức vi phân toàn phần cấp 2: x 2y 2 x 2y x 2 y 2 dw e dx 2.2e dxdy 4e dy . 186
Phụ lục 6. Bài toán cực trị hàm nhiều biến không có điều kiện ràng buộc (cực trị tự do)
6.1. Khái niệm cực trị địa phương Cho hàm n biến n f : D ℝ ℝ và 0 0 0 đị 0 X 1 x , 2 x ,..., n x D . Hàm f xác nh và liên tục trong miền … n D X x … R 1, x2, ,xn | ai xi bi;i 1,2, ,n
i) Hàm f đạt cực đại tại điểm X , nếu 0 f X f X0 ; X D
ii) Hàm f đạt cực tiểu tại điểm X , nếu 0 f X f X 0 ; X D
Hàm số f X đạt cực đại hay cực tiểu tại điềm X được gọi là điểm cực trị của hàm 0 số.
Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số w f x , x ,…, x f X với 1 2 n X0 D * Điều kiện cần
Giả sử hàm số w f X xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng theo tất cả các
biến độc lập trong miền D. Để hàm số này đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm X ạ điể đ ấ ả đạ ấ ộ ệ 0 D thì t i
m ó t t c các o hàm riêng c p m t tri t tiêu: / / w f X 0; i 1,2, , …n i x i x 0
Điểm X thoả mãn điều kiện trên được gọi là điểm dừng của hàm số 0 f X . * Điều kiện đủ 187
Giả sử X là một điểm dừng của hàm số ạ điể đ ố ấ ả 0 w f X và t i m ó hàm s có t t c
các đạo hàm riêng cấp hai liên tục.
• Định lý 1: Xét dạng toàn phương của n biến số d 1 x ,dx2,…,dxn n n 2 d f ∑∑a ijdxi dx j i 1 j 1 trong đó // i a j x f X . i x j 0 1. Nếu 2
d f là dạng toàn phương xác định dương thì điểm dừng X là điểm cực tiểu 0 của hàm số f X . 2. Nếu 2
d f là dạng toàn phương xác định âm thì điểm dừng X là điểm cực đại của 0 hàm số f X . 3. Nếu 2
d f là dạng toàn phương không xác định thì điểm dừ ng X không phải là 0
điểm cực trị c ủa hàm số f X .
• Định lý 2: Xét ma trận của dạng toàn phương 2 d f (ma trận Hess): a11 a12 ⋯ a1n a a ⋯ a 21 22 2n H ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a ⋯ n1 an2 ann
có các định thức con chính cấp k k 1,2,…,n là: a a ⋯ a 11 12 1k a a ⋯ a 21 22 2k Hk ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a a ⋯ a k1 k2 kk 1. Nếu H ớ
… (tức là ma trận H có tất cả các định thức con chính k 0 v i k 1,2, ,n
dương) thì điểm dừng X0 là điểm cực tiểu của hàm số f X . 2. N ếu k 1 H
0 v ới k 1,2,…,n (tức là ma trận H có các định thức con chính k
cấp lẻ âm và cấp chẵn dương) thì điể m dừng X0 là điểm cực đại của hàm số f X . Trong
thực hành, ta thường gặ p các bài toán tìm cực trị tự do của hàm hai biến và hàm ba biến. 188
Sau đây chúng tôi sẽ phát biểu các bước tìm cực tr ị cho các hàm trong nhữ ng trường hợ p này.
6.2. Trường hợp hàm hai biến
Với hàm hai biến z f x, y .
Bước 1: Giải hệ phương trình / / z f x, y 0 x x / / z y f y x, y 0
Các nghiệm của hệ là tọa độ các điểm dừng.
Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ tạ i các điểm dừng. Giả sử M x0 , 0
y là một điểm dừng củ a hàm số đã cho. Xét định thức a a 11 12 D a a a a 11 22 12 21 a a 21 22 trong đó // //
a11 fxx x0, y0 ; a12 fxy x0,y0 ; // // a21 fyx x0, 0 y ; a22 fyy x0, 0 y .
Trường hợp 1 : Nế u D 0 thì điểm dừng M là điểm cực trị của hàm số w f x, y : M 0 x , 0
y là điểm cực đại nếu 1 a 1 0. M 0 x , 0
y là điểm cực tiểu nếu a 0 . 11
Trường hợp 2 : Nếu D 0 thì điểm dừng M không ph ải là điểm cực trị của hàm số w f x, y .
6.3. Trường hợp hàm ba biến
Với hàm ba biến w f x, y, z .
Bước 1: Giải hệ phương trình / / w x f x x, y,z 0 / / w y f y x, y, z 0 / / w z f z x, y,z 0
Các nghiệm của hệ là tọa độ các điểm dừng.
Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ tại các điểm dừng. 189 Giả sử M x0, 0 y , 0
z là một điểm dừng của hàm số đã cho. Xét các định thức con chính của ma trận: a11 a12 a13 H a21 a22 a23 a a a 31 32 33 a a Với 11 12 H a ; H ; H H , trong đó: 1 11 2 3 a a 21 22 // // //
a 11 f xx x 0, y 0,z 0 ; a12 f xy x 0, y 0,z 0 ; a13 f xz x 0, y0, z0 ; // // //
a 21 f yx x0,y0,z0 ; a22 fyy x0,y0, z0 ; a 23 fyz x0,y0,z0 ; // // //
a 31 f zx x0,y0,z 0 ; a32 fzy x 0, y0,z0 ; a33 fzz x 0, y0,z0 . Trường hợp 1: Nếu 1 H 0; 2 H 0; 3 H
0 thì M là điểm cự c tiểu của hàm s ố w f x, y, z . Trường hợp 2 : Nếu 1 H 0; 2 H 0; 3 H
0 thì M là điểm cực đại của hàm số
w f x, y, z .Chú ý : Trong khuôn khổ chương trình, ta thường gặp những hàm số có
các đạo hàm riêng cấp hai liên tục, nên các đạ o hàm chéo đề u bằng nhau, do đó a a i j . ij ji
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 3 3 z x 2xy 8y . Giải
Bước 1: Giải hệ phương trình: / 2 2 z 3x 2y 0 3x 2y x / 2 2 z y 2x 24y 0 24y 2x
Lậ p tỉ số vế theo v ế của hai phương trình trên, ta có x 2y
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có y1 0 x 1 0 2y 6y 1 0 1 ⇒ 1 y x 2 2 6 3 1 1
Vậy hàm số có hai điểm dừng M1 0,0 và M , . 2 3 6 190
Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ // // // // x z x 6x; y z y 48y; x z y y z x 2 0 2
+) Tại điểm M1 0,0 , ta có: D 4 0 2 0 nên 1
M không phải là điểm cự c trị. 1 1 2 2 +) Tại điểm M , D 12 0 và 2 , ta có: a 2 0 3 6 2 8 11
nên M2 là điểm cực tiểu. Khi đó giá trị cực tiểu của hàm số là 3 3 1 1 1 1 1 C z T 2. . 8 . 3 3 6 6 27
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số: 2 2 z 3x 4y 2xy 2x 3y 1. Giải
Bước 1: Giải hệ phương trình 5 / x z 6x 2y 2 0 x 22 / z 8y 2x 3 0 7 y y 22 5 7
Vậy hàm số có một đi ểm dừng là M , . 22 22
Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ // // // a11 zxx 6;a22 zyy 8;a12 a21 zxy 2. a a 6 2 Ta có: 11 12 D 44 0 và a 6 0 a a 11 21 22 2 8
nên M là điểm cực đại của hàm số. Khi đó giá trị cực đại của hàm số là 5 7 825 z z , . CD 22 22 484
Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số: 2 2 2 w x 2y 9z 4xz 2y 3z 4 . Giải
Bước 1: Giải hệ phương trình 191 / 3 x w x 2x 4z 0 5 / 1 w 4y 2 0 y y 2 / w 18z 4x 3 0 3 z z 10 3 1 3
Vậy hàm số có một đi ểm dừng là M , , . 5 2 10
Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ // / / //
a 11 w xx 2; a 22 w yy 4; a 33 w zz 18; // // //
a 12 a 21 w xy 0; a 13 a 31 w xz 4; a 23 a 32 w yz 0. 2 0 4 Lậ p ma trận: H 0 4 0 4 0 18 2 0 4 2 0 Ta có: 1 H 2 0; 2 H 8 0; 3 H 0 4 0 80 0 0 4 4 0 18
nên M là điểm cực tiểu. Khi đó giá trị cực tiểu c ủa hàm số là 3 1 3 61 z z , , . CT 5 2 10 20 Ví dụ 4. 10 5
Tìm cực trị của hàm số z 20xy (điều ki ện: x 0; y 0). x y Giải
Bước 1: Giải hệ phương trình / 10 1 z x 20y 0 2y 2 2 2 x x 2x y 1 5 1 2 / 4xy 1 z y 20x 0 4x 2 2 y y
Theo giả thiết x 0; y 0 nên ta có thể xác định quan hệ giữa x, y như sau: 2 2x y 1 x ⇒ 1⇒ x 2y 2 4xy 1 2y
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có 192 3 3 1 1 8y 1 ⇒y y ⇒ x ⇒
1 (thoả mãn điều kiện) 8 2 1
Vậy hàm số có một đi ểm dừng M 1, . 2
Bước 2: Kiểm tra điều kiện đủ 20 1 // / / z ⇒a z 1, 20; xx 3 11 xx x 2 10 1 // // ⇒ y z y a z 1, 80; 3 22 yy y 2 1 // // // z ⇒ xy z yx 20 a 12 a 21 z xy 1, 20. 2 Ta có: 20 20 D 1200 0 và a 20 0 20 80 11
nên M là điểm cực tiểu. Khi đó giá trị cực tiểu c ủa hàm số là 1 10 5 C z T 20. 1 . 30 . 2 1 1 2
Ví dụ 5. Tìm cực trị của hàm số 4 4 2 2 z x y x 2xy y 2. Giải
Bước 1: Giải h ệ phương trình / 3 x z 4x 2x 2y 0 / 3 y z 4y 2x 2y 0
Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai của hệ, ta có quan hê giữa hai biến 3 3 4x 4y 0 ⇒x y
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có 1 x 1 1 y 1 2 4x x 1 0 ⇒ 2 x 1 2 y 1 3 x 0 3 y 0
Vậy hàm số có ba điểm d ừng M1 1, 1 ,M2 1,1 và M3 0,0 .
Bước 2: Kiểm tra điề u kiện đủ 193 // 2 / / 2 / / // zxx 12x 2; zyy 12y 2; zxy zyx 2 10 2
+) Tại điểm M 1, 1 , ta có 1 D 96 0 và a 10 0 2 10 11 nên 1
M là điểm cực đại. Khi đó giá trị cực đạ i của hàm số là zCD z 1, 1 0 10 2
+) Tại điểm M2 1,1 , ta có D 96 0 và a 10 0 2 10 11
nên M2 là là điểm cực đại. Khi đó giá trị cực đại của hàm s ố là zCD z 1, 1 0 2 2 +) Tại điểm 3 M 0,0 , ta có D 0 2 2
nên ta chưa thể kết luận được tính chất của điểm này. Ta c ần xét điểm 3 M thông qua định
nghĩa cực trị đị a phương:
Xét những điểm M x, y có khoảng cách đến M3 0,0 nhỏ hơn một số thực dương: 0 d M, 3 M r . Xét hiệu : 4 4 2 2 2 4 4 z M z M3 x y x 2xy y x y x y
Tại nhữ ng điểm M x, y tho ả mãn x y 0, ta có 4 4 z M z M ⇒ 3 x y 0 z M z M3
Tại nhữ ng điểm M x, y tho ả mãn x 2y 0, ta có 2 4 2 2 1 1 z M z M 3 y 17y y 1 17y 0 y 17 17 1 1
nên tại những điểm M 2y, y mà y thì z M z M 17 17 3 Vậy theo định nghĩa, 3
M không phải là điểm cực trị của hàm số. 194
Phụ lục 7. Bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc phương trình (phương pháp nhân tử Lagrange)
7.1. Bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc
Bài toán. Tìm cực trị của hàm số : w f … 1 x , 2 x , , n x f X với điều kiện : g x … 1, x2, , xn g X b . Lập hàm Lagrange: L … … … 1 x , 2 x , , n x , f 1 x , 2 x , , xn b g 1 x , x2 , ,xn Với : nhân tử Lagrange. Điều kiện cần:
Giả sử các hàm f và g có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm X x … và tạ 1, x 2, , xn
i điểm đó ít nhất một trong các đạo hàm riêng của g khác 0. Nếu
hàm w f X với điều kiện g X
b đạt cực trị tại X thì tồn tại một giá trị c ủa nhân tử Lagrange sao cho … là nghiệ 1 x , x2 , , n x , m của hệ phương trình: / L b g X 0 i 1, 2, , … n / / / Lx f g 0 i xi x i Điều kiện đủ:
Giả sử các hàm f và g có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm X và điểm … là mộ 1 x , x2, , xn,
t điểm dừng của hàm số Lagrange. Lập ma trận: 1 g g2 ⋯ g 0 n 1 g 1 L 1 1 L 2 ⋯ 1 L n H g2 L21 L22 ⋯ 2 L n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ gn Ln1 Ln2 ⋯ Lnn trong đó / … // g … … k gx x ,x , ,x ; L L x , x , , x , ; i, j, k 1, 2, , n k 1 2 n ij x ix j 1 2 n
Các định thức con chính cấ p k k 2,3, , … n là 195 1 g 2 g ⋯ k g 0 1 g 1 L 1 1 L 2 ⋯ 1 L k Hk 2 g 2 L 1 2 L 2 ⋯ 2 L k ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ k g k L 1 k L 2 ⋯ k L k 1. Nếu k
1 H k 0 với k 2,3,…, n thì hàm w f X với điều kiện g X b đạt
giá trị cự c đại tại điểm X . 2. Nếu Hk
0 với k 2,3,…,n thì hàm w f X với đi ều kiện g X b đạt giá
trị cực tiểu tại điểm X .
7.2. Trường hợp hàm hai biến
Xét hàm hai biến z f x, y với điều kiện g x, y b.
Bước 1: Lập hàm Lagrange: L x, y, f x, y b g x, y
Bước 2: Giải hệ phương trình sau để tìm điểm dừng / / / Lx fx gx 0 / / / Ly fy gy 0 / L b g x, y 0 Bước 3: Giả sử M 0 x , 0
y là một điểm dừng ứng với giá trị 0 , ta xét định thức 0 1 g g2 H 1 g 1 L 1 12 L g2 L21 L22 trong đó: / / //
g1 gx x 0, y0 ; g 2 g y x 0, y0 ; L11 Lxx x0, y0, 0 ; // // 2 L 2 y L y x0 , 0 y , 0 ; 1 L 2 2 L 1 x L y 0 x , 0 y , 0 .
Trường hợp 1 : N ếu H 0 thì hàm số z f x, y với điều ki ện g x, y b đạt giá
trị cực đại tại điểm M.
Trường hợp 2: Nếu H 0 thì hàm số z f x, y với điều kiện g x, y b đạt giá
trị cực tiểu tại điểm M.
7.3. Trường hợp hàm ba biến 196
Xét hàm ba biến w f x, y,z với điều kiện g x, y,z b .
Bước 1: Lập hàm Lagrange L x, y, z, f x, y, z b g x, y, z
Bước 2: Giải hệ phương trình sau để tìm điểm dừng / / / Lx fx gx 0 / / / L f g 0 y y y / / / Lz fz gz 0 / L b g x, y, z 0 Bước 3: Giả sử M x0, 0
y ,z0 là một điểm dừng ứng với giá trị 0, xét các định thức con chính của ma trận 0 1 g g2 3 g g L L L 1 11 12 13 H g L L L 2 21 22 23 g3 L31 L32 L33 0 1 g g2 là H và 2 đ 1 g 1 L 1 1 L 2 H3 H , trong ó g2 L21 L22 / / /
g1 g x x 0, y 0,z 0 ; g 2 g y x 0, y0,z 0 ; g 3 g z x 0, y0,z 0 ; // // 1 L 1 x L x 0 x , 0 y , 0z , 0 ; 1 L 2 2 L 1 x L y 0 x , 0 y , 0 z , 0 ; // / / 2 L 2 y L y 0 x , 0 y , 0 z , 0 ; 2 L 3 3 L 2 y L z 0 x , 0 y , 0 z , 0 ; // // 3 L 3 Lzz x0 , 0 y , 0 z , 0 ; 1 L 3 3 L 1 x L z 0 x , 0 y , 0 z , 0 . Trường hợp 1 : Nếu 2 H 0; 3 H
0 thì hàm số w f x, y, z với điều kiện g x, y,z
b đạt giá trị cực đại tại điểm M. Trường hợp 2 : Nếu 2 H 0; 3 H
0 thì hàm số w f x, y, z với điều kiện g x, y,z
b đạt giá trị cực tiểu tại điểm M.
Ví dụ 1. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số 2 2 z x 2y với điều kiện 3x 2y 22 . 197 Giải
Bước 1: Lập hàm Lagrange 2 2 L(x, y, ) x 2y 22 3x 2y
Bước 2: Giải hệ phương trình / 3 x Lx 2x 3 0 2 x 6 / Ly 4y 2 0 y y 2 2 / 4 L 22 3x 2y 0 3x 2y 22
Vậy hàm số có một điểm dừng là M 6,2 ứng với 2 .
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ / / / / g1 g x 3; g 2 g y 2; L11 Lxx 2; // // 2 L 2 y L y 4; 1 L 2 2 L 1 x L y 0. 0 3 2 Xét định thức : H 3 2 0 44 0 2 0 4
Vậy điểm M là điể m cực đại. Khi đó giá trị cực đại của hàm số là 2 2 CD z z 6, 2 6 2.2 44.
Ví dụ 2. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số z 3x y với điều kiện 2 2 3x 4y 208. Giải
Bước 1: Lập hàm Lagrange: 2 2 L(x, y, ) 3x y 208 3x 4y
Bước 2: Giải hệ phương trình / Lx 3 6 x 0 2 x 1 (1) / Ly 1 8 y 0 8 y 1 (2) 2 2 / 2 2 L 208 3x 4y 0 3x 4y 208 (3) Từ (1) và (2), ta có x
4y ( x 0, y 0, vì nếu x 0, y 0 là vô lý)
Thay vào phương trình thứ (3), ta có 2 2 y 2 52y 208 y 4 y 2 198 Với y
2 kết hợp với (1) và (2), ta có 2 x 1 x 8 8 y 1 y 2 y 2 1 16
Với y 2 kết hợp với (1) và (2), ta có 2 x 1 x 8 8 y 1 y 2 y 2 1 16
Vậy hàm số có hai điểm dừng: 1 1 1 M 8, 2 ứng với 1 ; M 8,2 ứng với . 16 2 2 16
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ tại điểm Mi xi , i y ứng với i i 1,2 / / // x g 6x; gy 8y; x L x 6 ; // // / / Lyy 8 ; Lxy Lyx 0. Suy ra 1 g 6xi;g2 8yi; 1 L 1 6 i; L22 8 i; 1 L 2 L21 0. 0 6xi 8yi Xét định thức: 2 2 H 6xi 6 i 0 96 i 3xi 4yi 96.19. i 8yi 0 8 i +) Tại điểm 1 M1 8, 2 . Ta có H 96.19. 0 16 nên 1
M là điể m cực đại. Khi đó giá trị c ực đại của hàm số là C z D z 8, 2 3.8 2 26. 1
+) Tại điểm M2 8,2 . Ta có H 96.19. 0 16
nên M2 là điểm cực tiểu. Khi đó giá trị cực tiểu của hàm số là C z T z 8,2 3. 8 2 26. 199
Phụ lục 8. Phương trình vi phân
8.1. Các khái niệm cơ bản
a) Định nghĩa phương trình vi phân
Phương trình vi phân cấp n có dạng sau: / // n F x, y, y , y ,…, y 0
Ví dụ 1. Cho các phương trình vi phân / y 5x 0
Phương trình vi phân cấp 1 3x y dx x y dy 0
Phương trình vi phân cấp 1 // / x y 3y 2y (x 1)e
Phương trình vi phân cấp 2
b) Nghiệm của phương trình vi phân
Nghi ệm của phương trình vi phân là một hàm số trên khoảng I ℝ Có 3 dạng sau: - Dạng hiện : y f (x) - Dạng ẩn : (x, y) 0 x x(t) - Dạng tham số : t ℝ y y(t)
Nghi ệm của phương trình vi phân
- Nghiệm tổng quát : y f (x,C) , nghiệm riêng y f (x,C0)
- Tích phân tổng quát : (x, y,C) 0 - Nghiệm kỳ dị.
8.2. Phương trình vi phân cấp 1
Ph ương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát: / / F(x, y, y ) 0 hay y f (x, y) (*) Hàm số y
(x) xác định và khả vi trên khoảng I
ℝ được gọi là nghiệm của phương trình (*) trên I ℝ , nếu (x, (x)) G, x I
với G là tập xác định của hàm f (x, y) /(x) f (x, (x)), x I
Bài toán Cauchy: Tìm hàm số y
(x) là nghiệm của phương trình (*) thỏa điều kiện đầu y0 (x0) .
a) Phương trình tách biến 200 Có 3 dạng sau: / y f (x)g(y) f (x)dx g(y)dy 0 1 f (x) 1 g (y)dx f2(x)g2(y)dy 0 Phương pháp giải
Phân ly biến số x và dx về một vế và y và dy về một vế rồi lấy tích phân hai vế
Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân sau 1) / x y e 2) 4 x sin x dx 5y dy 0 3) / 2 y xy 2xy Giải 1) / x x x y e dy e dx y e C (C là hằng số) 2) 4 x sin x dx 5y dy 0 (2)
Lấy tích phân 2 vế của phương trình (2) 4 ∫ x sin x dx ∫ 5y dy C 1 2 5 x cos x y C (với C là hằng số) 2 3) / 2 y xy 2xy
Phương trình (3) được viết lại như sau dy 2 xy 2xy xy(y 2) dy xy(y 2)dx (3) dx
Trường hợp 1: Nếu y 0, 2 là nghiệm của phương trình
Trường hợp 2: Nếu y 0, 2 , chia hai vế của phương trình (3) cho y(y 2), ta được dy xdx y(y 2) ,
Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta có dy 1 1 1 ∫ ∫ xdx C ∫ dy ∫ xdx C y(y 2) 2 y y 2 201 1 1 2 ln y ln y 2 x C 2 2 y 2 ln x C (với C là hằng s ố) y 2
b) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Ph ương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: / y a(x)y b(x) . Trong đó .
a(x), b(x) . là các hàm số liên tục. Phương pháp giải
Bước 1: Tìm một nguyên hàm của a(x) u(x) ∫a(x)dx
Bước 2: Chọn thừa số tích phân u(x) v(x) e
Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho thừa số tích phân: v(x) (v(x) 0, x) thì ta có / v(x)y a(x)v(x)y v(x)b(x) / v(x)y v(x)b(x) (*)
Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*), ta được 1 v(x)y v(x)b(x)dx ⇒ ∫ y ∫ v(x)b(x)dx v(x)
Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân sau3 / 1 1) y y 1 với . x 0, y(1) 1. x 2 / x 2) y 2xy xe Giải / 1 1) y y 1 với x 0, y(1) 1 x 1
Bước 1: có nguyên hàm là ln x ln x (vì x 0) x
Bước 2: Chọn thừa số tích phân: ln x e x 202
Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho x , thì ta có / / xy y x xy x (*)
Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*) 1 1 x C 2 xy xdx C ⇒ ∫ y x C x 2 2 x 1 C 1
Với điều kiện đầu y(1) 1 1 C 2 1 2 x 1
Vậy nghiệm của phương trình: y 2 2x 2 / x 2) y 2xy xe
Bước 1: 2x có nguyên hàm là 2 x 2
Bước 2: Chọn thừa số tích phân: x e 2
Bước 3: Nhân hai vế của phương trình cho x e , thì ta có 2 2 2 / x / x x e y 2xe y x e y x (*)
Bước 4: Lấy tích phân hai vế của (*) 2 2 1 x x 2 e y xdx C ⇒ ∫ y e x C 2 203 MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO Đề số 01
Câu 1. Cho hàm sản xuất Cobb Douglas: 3 2 Q K, L 80 K L
trong đó Q : là sản lượng, K : là vốn, L : là lao động.
1) Tính hệ số co dãn của Q theo K và theo L. Nêu ý nghĩa.
2) Nếu nhịp tăng trưởng của vốn là 4% và nhị p tăng trưởng của lao động là 6% thì
nhịp tă ng trưởng của sản lượng là bao nhiêu?
Câu 2. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là 0,6Q MC Q 15e và chi phí
cố định là 20. Tìm hàm tổng chi phí.
Câu 3. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 3 ngành như sau 0,1 0, 2 0 A 0, 2 0,1 0,3 0, 2 0,3 0,1
1) Nêu ý nghĩa kinh tế của phần tử ở hàng 2 và cột 3 của ma trận này.
2) Cho biết ma trận cầu cuối T b
60 50 70 . Tìm s ản l ượng mỗi ngành
Câu 4. Cho hàm tổng chi phí như sau: 2
C(Q) 4000 5Q 0,1Q (Q là s ản lượng)
1) Tính chi phí biên tại mức sản lượng 100.
2) Tìm Q để cực tiể u hàm chi phí bình quân
Câu 5. Một công ty có hàm sản xuất: Q K,L
2K(L 2), trong đó K, L lầ n lượt là vốn
và lao động. Biết giá thuê một đơ n vị vốn là 600 USD và giá thuê một đơn vị lao độ ng là
300 USD. Nế u doanh nghiệp chi số tiền 15000 USD. Tìm mứ c sử dụng K và L sao cho sản lượng tối đa. Đề số 02
Câu 1. Thu nhập quốc dân của một quốc gia (Y) phụ thuộc vào vốn (K), lao động được sử
dụng (L) và ngân sách đào tạo 5 năm trước đó (G) như sau: 0,35 0,18 0,25 Y 0,38K L G
trong đó K, L, G là các hàm theo th ời gian như sau: 204 t K(t) 0 K (1,2) ; t L(t) 0 L (1,05) ; t G(t) G0(1,25) .
Tính hệ số tăng trưởng c ủa thu nh ập quốc dân.
Câu 2. Một doanh nghi ệp có hàm chi phí cận biên : 2 MC(Q) 0,9Q 6Q 19, với Q là sản lượng
1) Hãy tìm hàm tổng chi phí của doanh nghiệp, biết chi phí cố định bằng 30.
2) Hãy xác định hàm chi phí biến đổi bình quân và mức sản lượng cực tiểu hóa hàm này.
Câu 3. Lượng đầu tư tại thời điểm t cho bởi hàm số: 3 I(t) 5t t t 1 t
Biết quỹ vốn vào thời điểm xuất phát K(0) 84 , tìm hàm quỹ vốn tại thời điểm t 4.
Câu 4. Cho mô hình thu nhập quốc dân Y C 0 I 0 G C 150 0,8(Y T) T 0, 2Y
Trong đó Y là thu nhập quốc dân, 0
I là đầ u tư, G0 là chi tiêu chính phủ, C là tiêu
dùng, T là thuế. Tìm thu nh ập quốc dân và tiêu dùng ở trạng thái cân bằng khi 0 I 200, 0 G 900.
Câu 5. Một hãng có hai cơ sở sản xuất v ới các hàm sản xuất có dạng: 0,5 1 Q 2 1 L 100 và 0,5 Q2 2 L2 200
Tìm phương án sử dụng nhân công tạ i hai cơ sở để hãng có thể làm ra một lô hàng là
200 đơn vị với giá thành nhỏ nhất, biết giá thuế công nhân tại hai cơ sở là như nhau là w USD/đơ n vị lao động. Đề số 03
Câu 1. Cho hàm cung và hàm cầu của một loạ i hàng háo như sau : 0,45 0,25 D 1,5Y P ; 0,35 S 1,5P .
Trong đó: Y là thu nhập, P là giá của hàng hóa.
1) Xác định hệ số co dãn của cầu theo giá, theo thu nhập và nêu ý nghĩa.
2) Xem xét mức tác động của thu nhập tới mức giá cân bằng. 205
Câu 2. Cho hàm sả n phẩm cận biên của lao động 0,5
MPL 40L . Tìm hàm sản xuất ngắ n
hạn Q f (L) , biết rằng Q(100) 4000 .
Câu 3. Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: Q 10 P ; Q 20 P P 1 S 1 1 D 1 3 S Q 2P ; Q 40 2P P 2 2 D 2 2 3 Q 5 3P ; Q 10 P P P 3 S 3 3 D 1 2 3
Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng quy tắc Cramer.
Câu 4. Cho hàm chi phí trung bình của doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo nh ư sau: 12 1 1 2 AV(Q) Q Q 10 Q 2 4
1) Tìm hàm chi phí cận biên.
2) Với giá bán P 106, Tìm Q để lợi nhuận cực đại.
Câu 5. Một công ty có hàm sản xuất: 0,4 0,3
Q K L , trong đó K, L lần lượt là vốn và lao
động. Biết giá một đơn vị vốn là 4 USD và giá một đơn vị lao động là 3 USD. Nếu doanh
nghiệp chi số tiền 1050 USD. Tìm mức sử dụng vốn và lao động để t ối đa hóa sản lượng. Đề số 04
Câu 1. Cho biết hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q là: 2
MC(Q) 36 28Q 12Q và FC 53 . Hãy tìm hàm tổng chi phí và chi phí biến đổ i. Câu 2. 1) Cho hàm cầu 2
D 6P P . Hãy tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại múc giá P 5 và nêu ý nghĩa. 2) Cho hàm đầu tư 3 I(t)
t . Hãy tìm hàm quỹ vốn K(t), biết quỹ vốn tại thời điểm ban đầu bằng 100000.
Câu 3. Một doanh nghiệp độc quy ền s ản xuấ t hai loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với 1
hai loại sản phẩm đó như sau: vớ 1 Q 210 1 P ; 2 Q 60 2 P i hàm chi phí kết hợp 3 C 30( 1 Q 2
Q ). Hãy tìm sản lượng Q1 và Q2 và giá bán tương ứng để doanh nghiệp thu
được lợi nhuận tối đa. 206
Câu 4. Cho mô hình cân bằng kinh tế: Y C I0 G0; C C0 b Y T ; T 0 T tY. Cho C0 80; I0 90; G0 81; 0 T
20; b 0,9; t 0,1. Xác định mức cân b ằng của Y. Nếu 0
C tăng 1% thì mức cân bằng của Y thay đổi như thế nào?
Câu 5. Đị nh K, L sao cho hàm chi phí C L 0,01K ( K 0, L 0) đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện K L 20 . Đề số 05
Câu 1. Cho hàm doanh thu trung bình: AR Q
60 3Q. Tìm hàm doanh thu cận biên,
MR Q . Chứng minh rằng hàm AR Q và hàm MR Q có cùng tung độ góc, nhưng độ
dốc của MR Q gấ p đôi độ dốc của AR Q .
Câu 2. Cho hàm cầ u về một loại nông sản: D 200 50P. Có 50 cơ sở giống hệt nhau
cùng trồng loạ i nông sản này với hàm chi phí của mỗi cơ sở là 2 TC Q Q (Q là sản
lượng). Hãy xác định lượng cung tối ưu của mỗi cơ sở và giá cân bằng thị trường. Câu 3. Cho mô hình Y C I; C C0 aY, (0 a 1); I I0 br, (b 0); L 0 L mY nr, (m,n 0); s M L.
Trong đó Y là thu nhập quốc dân, I là đầu tư, C là tiêu dùng, L là mức cầu tiền, Ms là mức
cung tiền, r là lãi suất.
1) Hãy xác định thu nhập qu ốc dân và lãi suất cân bằng. 2) Cho a 0,7; b 1800; 0 C
500; I0 400; L0 800; m 0,6; n 1200; 207
Ms 2000 . Tính hệ số co dãn của thu nhập, lãi suất theo mức cung tiền tại điểm
cân bằng và nêu ý nghĩa.
Câu 4. Cho hàm sản xuấ t của hãng 3 2 4 Q 300 K
L , biết giá thuê một đơn vị tư bản K bằng
100, giá thuê một đơn vị lao động bằng 150, giá sản phẩm bằng 1. Hãy xác định mức sử
dụng K và L để hãng thu được lợi nhuận tối đ a.
Câu 5. Cho biết hàm cầ u và hàm cung: 1 D Q 276 2Q ; 1 S Q 6 Q .
Hãy tính thặng dư của người sản xuấ t và thặng dư của người tiêu dùng. 208 TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Huy Hoàng (chủ biên), Lê Thị Anh, Phùng Minh Đức, Bùi Quốc Hoàn,
Phạm Bảo Lâm, Nguyễn Mai Quyên, Đoàn Trọng Tuyến, Hoàng Văn Thắng –
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2006& NXB Thống kê, 2007
[2] Bộ môn toán cơ bản – Bài tập toán cao cấp, NXB Đại học Kinh tế Quốc dân, 2008.
[3] Nguyễn Huy Hoàng – Toán cơ sở cho kinh tế, NXB Thông tin và Truyền thông, 2011& NXB GD, 2014.
[4] Nguyễn Thị An, Nguyễn Huy Hoàng, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Sau đại học
(2006 – 2012), Môn Toán Kinh tế (Phần Toán cơ sở cho Kinh tế), NXB Chính trị – Hành chính, 2012.
[5] Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley, Applied Calculus For Business,
Economics, and the Social and Life Sciences, The Mc. Graw - Hill Companies, Inc (Expanded 10th ed), 2010.
[6] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos,
Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London,
England (second edition), 2011.
[7] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos,
Solutions Manual Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige,
Massachusetts, London, England (second edition), 2011.
[8] A. C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc GrawHill, Inc., 3rd edition, 1984.
[9] A. C. Chiang, Instructor’s Manual to accompany Fundamental Methods of
Mathematical Economics, Mc GrawHill, Inc., 4rd edition, 2005. 209