Giáo trình Vật lý đại cương I | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Giáo trình Vật lý đại cương I | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

32 16 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu



VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1 (CƠ - NHIỆT)

PHẦN 1: CƠ HỌC

Cơ học nghiên cứu dạ ểng vận động cơ (chuy n động) tức là sự chuyển đổi v trí ị

của các vật vĩ mô. Cơ học gồm những phần sau:

- Động học nghiên cứu những đặc trưng của chuyển động và những dạng chuyển

động khác nhau.

- Động lực học nghiên cứ ốu m i liên hệ củ ể ớ ựa chuy n động v i s tương tác giữa các

vật. Tĩnh học là một phần của động lực học nghiên cứu trạng thái cân bằng của các vật.

Phần cơ học được trình bày ở đây chủ yếu là những cơ sở củ ọ ổ đa cơ h c c iển của

Newton; nội dung chủ yếu củ ồ ậa nó bao g m: các định lu t cơ bản của động lực học; các

đị định luật Newton và nguyên lý tương đối Galilê; ba nh luậ ảt b o toàn của cơ học

(định luật bảo toàn động lượng, bảo toàn mômen động lượng và định luật bảo toàn

năng lượng); hai dạng chuyển động cơ bả ủ ển c a vật rắn (chuy n động tịnh tiến và

chuyển động quay). Cuối cùng là phần giới thiệu về thuyết tương đối của Einstein.

Bài mở đầu

1. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu Vật lý học

Vật lý học là một môn khoa học tự nhiên nghiên cứu các dạng vận động tổng

quát nhất của thế giới vật chất, từ đó suy ra những tính chất tổng quát của thế giới vật

chất, những kết luận tổng quát về cấ ạ ả ấu t o và b n ch t củ ậ ấa các đối tượng v t ch t; mục

đích của Vậ ọt lý h c là nghiên cứu những đặc trưng tổng quát về vậ ạn động và cấu t o

của vật chất.

Vật lý học nghiên cứu tính chất, bản chất, cấu tạ ậo và sự v n động của các vật thể

đồng thời cũng nghiên cứu tính chất, bản chấ ủt và quá trình vận động c a các trường

Vật lý (trường điện từ, trường hấp dẫn, trường lượng tử, …).

Vật lý học trước hết là một môn khoa học thực nghiệm. Gần đây trong quá trình

phát triển của Vật lý học, bên cạnh phương pháp thực nghiệm truyền thống, còn nảy

sinh phương pháp tiên đề của môn Vật lý Lý thuyết.

Do mục đích là nghiên cứu các tính chất tổng quát nhất củ ớa thế gi i vật chất, Vật

lý học đứng về mộ đt khía cạnh nào ó có thể coi là cơ sở của nhiều môn khoa học tự

nhiên khác.

Những kết quả củ ọ đa Vật lý h c ã được dùng làm cơ sở để giải thích cấu tạo

nguyên tử, phân tử, liên kết hoá học … trong hoá học. Vật lý họ ũc c ng cung cấp

những cơ sở để khảo sát các quá trình củ ựa s số ỹ đng. Môn k thuật iện được xây dựng

trên cơ sở lý thuyết điện từ trường trong Vật lý.

Vật lý học có tác dụng hết sức to lớn trong cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật

hiện nay. Nhờ những thành tựu của ngành Vật lý, cuộc cách mạng khoa họ ỹc k thuật

đã tiến những bước dài trong các lĩnh vực sau:

- Khai thác và sử dụ ồng những ngu n năng l ng mượ ới đặc biệt là nă ạng lượng h t

nhân.

- Chế tạo và nghiên cứu tính chấ ệt các vật liệu mới (siêu dẫn nhiệt độ cao, vật li u

vô định hình, các vật liệu có kích thước nang …).

- Tìm ra những quá trình công nghệ mới (công nghệ mạch tổ hợp, công nghệ

nang …).

- Cuộc cách mạng về tin học và sự xâm nhập của tin học vào các ngành khoa học

kỹ thuật.

- Mục đích việc học môn Vật lý trong các trường đại học kỹ thuật công nghiệp:

Cho sinh viên những kiế ền thức cơ bản v Vật lý ở trình độ đại học.

- Cho sinh viên những cơ sở để học và nghiên cứu các ngành kỹ thuật.

- Góp phầ ện rèn luy n phươ ương pháp suy luậ ọ ưn khoa h c, t duy logic, ph ng pháp

nghiên cứu thực nghiệm, tác phong đối với người kỹ sư tương lai.

- Góp phần xây dựng th i quan khoa hế giớ ọc duy vật biện chứng.

2. H nguyên cệ đo lường quốc tế SI, Đơn vị và thứ ủa các đại lượng Vật lý

+ Đơn vị Vật lý.

Đ ộ ậ ọ ộ ạo m t đại lượng V t lý là ch n m t đại lượng cùng lo i làm chuẩn gọi là đơn vị

rồi so sánh đại lượng phải đo với đơn vị đó, giá trị đo sẽ bằng tỷ số: đại lượng phải

đo/đại lượng đơn vị.

Muốn định nghĩa đơn vị của tấ ật cả các đại lượng V t lý người ta chỉ cần chọn

trước một số đơn vị gọi là đơn vị cơ ả b n - các đơn v n vị khác suy ra được từ các đơ ị cơ

bản gọi là đơn vị dẫn xuất.

Tuỳ theo các đơn vị cơ bản chọn trước sẽ suy ra các đơn vị dẫ ấn xu t khác nhau.

Tập hợp các đơn vị cơ bản và đơn vị dẫn xuất tương ứng hợp thành một hệ đơn vị.

Năm 1960 nhiều nước trên thế giới đã chọn hệ ị đơn v thố ấ ọng nh t g i là hệ SI.

Hệ đơn vị đo lường hợp pháp của nước ta ban hành từ 1965 cũng dựa trên cơ s ở

Hệ đơn vị cơ bản:

Hệ SI:

- Độ dài mét (m)

- Khối lượng kilogram (kg)

- Thời gian giây (s)

- Cường độ dòng điện ampe (A)

- Độ sáng candela (Cơ)

- Nhi (tuyệt độ ệt đối) kelvin (K)

- Lượng chất moi (moi)

Đơn vị phụ:

- Góc phẳng Radian (rao)

- Góc khối Steradian (SI)

Một số đơn vị dẫn xuất:

- Di

ện tích Mét vuông (m

)

- Th

ể tích Mét khối (m

)

- Chu kỳ Giây (s)

- Tần số Héc (Hz)

- Vận tốc Mét trên giây (m/s)

- Gia t

ốc Mét trên giây bình phương (m/s

)

- Lực Nguồn (N)

- Năng lượng Jun (J)

- Công suất Oát (W)

- Áp suất Pascal (Pa)

- Điện tích Cu lông (C)

- Hiệu điện thế Vôn (V)

- C ng Vôn/mét (V/m)ường độ điện trườ

- Điện dung Fara (F)

- Cảm ứng từ Tesla (T)

- Từ thông Vêbe (Wb)

- Tự cảm Henry (H)

+ Thứ nguyên: Từ ị ơ ả các đơn v c b n, ta định nghĩa được các đơn vị ẫ ấ d n su t. Việc

định nghĩa này dự ứa vào mộ ọt khái niệm g i là th nguyên.

Thứ nguyên của một đại lượng là quy luật nêu lên sự phụ thuộc của đơn vị đo đại

lượng đó vào các đơn vị cơ bản.

Để cho cách viết đơn giản ta ký hiệu:

[độ dài] = L

[thời gian] = T

[khối lượng] = M

[di

ện tích] = L

[th

ể tích] = L

ận tốc] = LT

-1

[gia t

ốc] = LT

-2

[kh

ối lượng riêng] = ML

-3

ực] = MLT

-2

[công] = ML

-2.

Khi viết các biểu thức, các công thức Vật lý, ta cầ ắn chú ý các quy t c sau:

- Các số hạng c ng (ủa một tổ đại số) phải có cùng thứ nguyên.

- Hai vế của cùng một công thức, m t phộ ương trình Vật lý phải có cùng thứ nguyên.

CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

1.1 Chuyển động cơ học, Hệ quy chiếu

1.1.1. Định nghĩa chuyển động cơ học

Chuyển động cơ họ ực là s chuyển dời vị trí trong không gian của các vật hay là sự

chuyể ủ ộ ộ ận động c a m t b ph n này so với bộ phận khác của cùng một vật.

Ví dụ: chuyển động của các thiên thể trên bầu trời, chuyển động của xe ô tô trên

đường, chuyển động củ ộa con thoi trong m t máy dệt, …

Nói một vật chuyển động hay đứng yên thì điều vì đó chỉ có tính chất tương đối

đ ụ ộiều này còn ph thu c vào việc người quan sát đứng ở vị trí nào. Thậ ật v y, nếu ta

đứng bên đường quan sát thì ta thấy các cây đứng yên, nhưng nếu ta ngồi trên một cái

ô tô đang chuyển động thì ta thấy cái cây chuyển động. Điề ảu tương tự x y ra khi chúng

ta quan sát các ngôi sao trên bầu trời: ta thấy quả đất đứng yên còn mặt trời, mặt trăng

và các ngôi sao đều quay quanh trái đất.

Tóm lại, chuyển động có tính chấ ụ ột tương đối và ph thu c vào vị trí mà ở đó ta

đứng quan sát chuyển động. Thực ra trong vũ ụ tr không có vật nào đứng yên một cách

tuyệt đối, mọi vật đều chuyển động không ngừng. V vậy, khi nói rằng mộ ật v t chuyển

động thì ta phải nói rõ là vậ đt ó chuyển động so vớ ậi v t nào mà ta quy ước là đứng yên.

1.1.2. Hệ quy chiếu

Vật hay hệ vậ ủ ột mà ta quy ước là đứng yên khi nghiên cứu chuyển động c a m t

vật khác được gọi là hệ quy chiếu.

Với cùng một chuyển động nhưng trong các hệ ế quy chi u khác nhau sẽ xảy ra

khác nhau.

Ví dụ: xét chuyển động của một điểm M nằm trên vành xe đang chạy, nếu chọn

hệ quy chiếu là xe đạp thì ta thấy chuyển động của điểm đó là chuyển động tròn đều,

còn nếu hệ quy chiếu là mặt đường thì điểm M sẽ tham gia một chuyển động phức tạp

là tổng hợp của hai chuyển n n động: chuyể động tròn đối với xe và chuyể động thăng

của xe đối với mặt đường.

Khi xét một chuyển động cụ thể ta thường chọn hệ quy chiếu sao cho chuyển

độ đơng được mô tả n giản nhất.

Để mô tả ặ ả các chuyển động trên m t qu đất, ta thường chọn hệ quy chiếu là quá

đất hoặc các vậ ắt g n li i quền vớ ả đất.

Ví dụ: khi nghiên cứu chuyển động của quả đạn pháo thì ta chọn hệ quy chi u là ế

mặt đất hay chính quả pháo.

Khi nghiên cứu chuyển y động của các hành tinh thì ở hệ quy chiếu quả đất ta thấ

chuyển p động của các hành tinh phức tạ đến nỗi trong nhiều thế kỷ các nhà thiên văn

không thể nào tìm được các quy luật chuyển n động của các hành tinh. Mãi đế đầu thế

kỷ 17, nhờ sử dụ ế ờng hệ quy chi u mặt tr i (hệ ế quy chi u Copemic), Kepler mới tìm

được quy luật đúng đắn mô tả chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời.

Cần chú ý rằng chuyển động tuy được mô tả khác nhau trong các hệ quy chiếu

khác nhau nhưng n u bi ng tế ết chuyển độ ương đối của các hệ quy chiếu đối với nhau

thì có thể từ cách mô tả chuyển động trong hệ quy chiế ảu này có thể suy ra cách mô t

chuyển động trong h quy chiệ ếu kia.

Ví dụ: Khi biết chuyển động tròn đều của một điểm trên vành xe đạp và biết

chuyển n động của xe đạp đối v i mớ ặt đường ta có thể mô tả chuyể động của điểm trên

vành xe đối v i mớ ặt đường.

Vì chuyển động xảy ra trong không gian và theo thời gian nên để mô tả chuyển

độ đưng trước tiên phả ậ ối tìm cách định vị v t trong không gian. Mu n vật ta phải a thêm

vào hệ quy chiếu một hệ toạ độ. Trong Vật lý người ta sử dụng nhiều hệ ạ to độ khác

nhau. Ở đây, sẽ giới thiệu hai hệ toạ độ hay dùng đó là hệ toạ độ Đề-các (Descartes) và

hệ toạ cầu.

a. Hệ tọa độ Descartes

Hệ toạ độ Descartes gồm 3 trục Ox, Oy, Oz

tương ứng vuông góc với nhau từng đôi một, chúng

tạo thành một tam diện thuận. Điểm O gọi là gốc

toạ độ. Vị trí của mộ đ ỳt iể ấm M b t k được hoàn

toàn xác định bở ơi bán kính vect

, hay bởi tập hợp

của 3 số (x,y,z) trong đó

là hình chiếu củ đa iểm

mút M của vectơ lên các trục Ox, Oy, Oz tương

ứng, được gọi là 3 toạ độ củ đ ể ạa i m M trong hệ to

độ Descartes.

b. Hệ t cọa độ ầu

Trong hệ toạ độ cầ ểu, vị trí củ ộa m t đi m M bất kỳ được xác định bởi 3 toạ độ r,

θ θ, φ. Trong đó, r là độ dài bán kính vectơ, là góc giữa trục Oz và

, còn φ là góc trục

Ox và tia hình chiếu của t trong mặt phẳng xOy. Biết ba toạ độ cầu của điểm M, ta có

thể tính được toạ độ Descartes của điểm M theo công thức sau:

Trong h

ệ toạ độ cầu: 0 ≤ θ ≤ 180

và 0 ≤ ≤ φ 360

. Các đường tròn ứng với cùng

một giá trị củ ọa e g i là Các đường vĩ tuyến, còn các đường tròn ứng với cùng một giá

trị củ φa gọi là các đường kinh tuyến. Hệ toạ độ cầ ậ ệu rất thu n ti n khi định vị các địa

điểm trên quả đất.

1.1.3. Chất điểm và Vật rắn

Để mô tả ể chuy n động của các hạt có kích thước, cầ ản ph i biết rõ chuyển động

của mọi điểm của vật. Tuy nhiên, khi kích thước của vật là nhỏ so với khoảng cách

dịch chuyển mà ta xét thì mọi điểm trên vật dịch chuyển g n nhầ ư nhau, khi đó có thể

mô tả chuyển n động của vật như chuyể động của một điểm. Trong trường hợp này ta

đ ộã coi vật là m t chấ đt iểm, tứ ộ đ ọ ạc là m t iểm hình h c nhưng l i có khối lượng bằng

khối lượng của vật (không có kích thước nhưng có khối lượng).

Ví dụ: Khi xét chuyển động của quả đất quanh mặt trời ta xem chuyển động như

là chuyển động của chất điểm. Trái lại, khi xét chuyển động tự quay quanh mình của

quả đất thì ta không thể xem chuyển động đó là chuyển động của một chất điểm.

Trong nhiều trường hợp nhờ có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển

động của các vật trở nên đơn giản hơn rấ ềt nhi u.

Một tập h p chợ ất điểm được gọi là hệ chất điểm. Vật rắn là một hệ chất điểm

trong đó khoảng cách tương hỗ giữa các chất điểm của hệ không thay đổi.

1.1.4. Phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo của chất điểm

a. Phương trình chuyển động

Để xác định chuyể ần động củ ộ ấ đ ểa m t ch t i m chúng ta c n biế ủ ất vị trí c a ch t

đ ạ ờ điểm t i những th i iểm khác nhau. Nói cách khác, chúng ta cần biế ụt sự ph thuộc

theo thời gian của bán kính vectơ r của chất điểm:

Phương trình này bi u diể ễn vị trí của chấ đ ọt iểm theo thời gian và g i là phương

trình chuyển động của chất điểm.

Trong hệ toạ độ Descartes, phương trình chuyển động của chất điểm là một hệ

gồm 3 phương trình:

Tương tự trong hệ toạ độ cầu, phương trình chuyển động của chất điểm là:

Ví dụ: phương trình chuyển động của một chất điể ệ ạm trong h to độ Descartes:

b. Phương trình quỹ đạo

Khi chuyển động, các vị trí của chất điểm ở các thời điểm khác nhau. vạch ra

trong không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là quỹ đạo của chuyển ng. độ

Vậy quỹ đạo của chất điểm chuyển động là ng tđườ ạo b p hởi tậ ợp tất cả các vị trí của

nó trong không gian, trong suốt quá trình chuyển động. Phương trình mô tả đường

cong quỹ đạo gọi là ph o.ương trình quỹ đạ

Trong đó f là một hàm nào đó của các toạ ằ độ x, y, z và C là một h ng số.

Về nguyên tắc, nếu biết phương trình chuyển động (1.1) thì bằng cách khử tham

số t ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các toạ độ x, y, z tức là tìm phương trình quỹ

đạo. Vì vậy, đ ọôi khi người ta còn g i phương trình chuyền động (1.1) là phương trình

quỹ đạo cho ở dạng tham số.

Ví dụ: chuyển động của mộ ấ đt ch t iểm cho bởi phương trình

Ta khử tham số thời gian t bằng cách sau:

Ta suy ra quỹ đạo của chấ đ ộ ốt iểm là m t đường tròn bán kính A và tâm nằm ở g c

toạ độ. Đường tròn này nằm trong mặ ẳt ph ng xOy.

1.2. Vận tốc

Vận tốc là một đại lượng đặc trưng cho phương, chiều, và sự nhanh chậm của

chuyển động.

1.2.1. Khái niệm vận tốc

Chuyển động của chất điểm trên quỹ

đạo có thể lúc nhanh lúc chậm, do đó để có

thể mô tả đầy đủ trạng thái nhanh hay chậm

của chuyển động, người ta đưa vào một đại

lượng vật lý gọi là vận tốc.

Trong đời sống hằng ngày chúng ta

thường gặp khái niệm vận tốc dưới dạng thuật

ngữ t . ốc độ

Xét chuyển động của một chất t điểm trên mộ đường cong (C): trên (C) ta chọn

một gốc A và mộ ế đ đt chiều dương. Giả thi t tại thời iề ấm t, ch t iểm ở vị trí M xác định

bởi:

M = s

Tại thời điểm t' = t + Δt chất điểm ở vị trí M' xác định bởi:

AM = s' = s + Δs

Quãng đường chất i điểm đ được trong khoảng thời gian Δt = t' - t sẽ là:

MM'= s' - s = Δs

Quãng đường trung bình chất điểm đi được trong khoảng đơn vị thời gian

theo định nghĩa, gọi là vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian Δt, và

được ký hiệu là:

Vận tốc trung bình chỉ đặc trưng cho độ nhanh chậm trung bình của chuyển ng độ

chất điểm trên quãng đường MM'; trên quãng đường này độ nhanh chậm của chuyển

động chất đ ỗ ỗiểm nói chung m i ch một khác nghĩa là tại mỗ đi thời iểm là khác nhau.

Để đặ độ độc trưng cho nhanh chậm của chuyển ng tạ ểi từ đng thời i m, ta phả ỷ ối tính t s

trong những kho nh nghảng thời gian vô cùng nhỏ. Theo đị ĩa: khi cho Δt→0 (t'→t),

tỷ số

dần tới một giớ ọ ọ ắi hạn, g i là vậ ố ứ ờn t c t c th i (g i t t là vậ ốn t c) của chất điểm

tại thời đ ểi m t, và được ký hiệu là:

v =

→Δ 0

lim

Theo định nghĩa của đạo hàm ta có thể viết:

v =

Vậy: Vận tốc của chấ đ ằ ủ ấ đ ểt iểm có giá trị b ng đạo hàm quãng đường c a ch t i m

đối với thời gian.

Vận tốc v cho bởi biểu thức (1.4) là một đại lượng đại số có:

- Dấu xác định chiều chuyển động: v > 0, quỹ đạo chuyển động theo chiều dương

của quỹ đạo; v < 0, chất điểm chuyển động theo chiều ngược lại.

- Trị tuyệt đối của v xác định độ nhanh chậm của chuyển động tại từng thời điểm.

Vậy: Vậ ốn t c là đại lượng vật lý đặc trưng cho chiều và độ nhanh chậm của

chuyển động chất điểm.

Để đặc trưng một cách đầ đủ độy về ề cả phương, chi u và nhanh chậ ủm c a chuyển

độ đưng chất điểm, người ta a ra một vectơ gọi là vectơ ậ v n tốc.

Theo định nghĩa, vectơ vận tốc tại một vị trí M là một vectơ v

có phương nằm

trên tiếp tuyến với quỹ đạo tạ ềi M, có chi u theo chiều chuyển động và có giá trị bằng

giá trị tuyệt đối của v (hình 1.3).

1.2.2. Vectơ vận tốc trong hệ tọa độ Descartes

Giả thi t tế ại thời điểm t, vị trí chất đ ởiểm xác định b i bán kính vectơ (hình 1.4):

OM =

Ở đ ị thời iểm t + dt, v trí chất đ ể ơi m được xác định bởi bán kính vect :

ON =

Rõ ràng là khi dt vô cùng nhỏ thì vectơ

chuyển rời: MNONMN −= =

= rd

có độ dài

= MN ≈ MN= ds

Ngoài ra,

và

cùng chiều nên ta có:

≈

(1.6)

nghĩa là biểu thức (1.5) có thể viết thành:

Vậy: vectơ vận tốc bằng đạo hàm của bán kính vectơ đối với thời gian.

Kết quả ba thành phần

ZYX

VVV

,, của vectơ vận tốc v

theo ba trục sẽ có độ dài

đại số lần lượt bằng đạo hàm của ba thành phần tương ứng của bán kính vectơ v

theo

ba trục ngh a là:ĩ

Độ lớn củ ốa vận t c sẽ được tính theo công thức:

1.3. Gia tốc

Gia tốc là một đại lượng vật lý đặc trư ựng cho s biế ận thiên của v n tốc.

1.3.1. Định nghĩa và biểu thức của vectơ gia tốc

Trong quá trình chuyển động, vận tốc c a chủ ất điểm có thể thay đổi cả về độ lớn

cũng như về phương và chiều. Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian,

người ta đưa vào thêm một đại lượng vật lý mới, đó là gia tốc.

Giả sử sau một khoảng thời gian Δt, vận tốc của chấ ểt đi m thay đổi một lượng là

Δv

theo định nghĩa gia tố ốc trung bình, gia t c trung bình

từ trong khoảng thời gian

Δt là:

Ta thấy rằng muốn đặc trưng cho tđộ biến thiên của vectơ vận tốc ở từng thời

đ ỷiể ảm, ta ph i xác định t số

trong khoảng thời gian Δt vô cùng nhỏ, nghĩa là cho

Δt → 0, ta được biểu thức củ ốa gia t c tức thời a

tại một đ ỹiểm trên qu đạo:

V yậ : Vect n tơ gia tốc bằng đạo hàm của vectơ vậ ốc đối v i thớ ời gian.

Theo (1.11) và (1.8) ta có thể tính ba toạ độ củ ố ụa vectơ gia t c theo ba tr c toạ độ

Descartes:

Độ lớn gia tốc được tính theo công thức:

1.3.2. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến

Vectơ gia tốc đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vậ ốn t c. Sự biến thiên này

thể hiện cả về phương, chiều và độ lớ ơn. Trong phần này ta sẽ phân tích vect gia tốc ra

làm hai thành phần, mỗi thành phần đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc

riêng về một mặt nào đó.

Để đơn giả ế ấ đn, giả thi t ch t iểm chuyển động trên mộ ạ ờt đường tròn tâm O, t i th i

đ đ ốiểm t, chất iể ậm ở vị trí M, có v n t c

A = v, tại thời điểm t ' = t + Δt chất điểm ở vị

trí M' (MM ' = Δs), có vận tốc ''

= v

' = v

+ Δv

Theo định nghĩa, vectơ gia tốc của chất đ ểi m tại thờ đi iể ứ ớ ịm t ( ng v i v trí M) là:

→'

lim hình (1.14)

ốn tìm Δ

, từ M ta vẽ vectơ

Ta có:

' -

Hay

Lấy trên phương của

A một đoạn MC = v', theo hình vẽ ta có:

Δv

= CAACAB +=

Thay Δv

vào (1.14) ta được:

Ý nghĩa c a tụ thể củ ừng thành phần trong vế phải của (1.15):

Thành phần thứ nhất được ký hiệu là:

Phương của

là phương c ng của AC , tức là phươ ủa tiếp tuyến với quỹ ạ đạo t i

M: vì vậy

được gọi là gia tốc tiếp tuyến.

Chiều của

là chiều của AC nghĩa là cùng chiều với chuyển động khi: v' > v

(vận tốc tăng), và ngược chiều với chiều chuyển động khi: v' < v (vận tốc giảm).

Độ lớ ủn c a

cho bởi:

Nghĩa là theo đị đạnh nghĩ ủa c a o hàm:

Vậy: Gia t biốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự ến thiên của vectơ vậ ốn t c về giá trị,

vectơ này có: Phương trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo tại đ ểi m M, chiều là chiều

chuyển động khi v t ng và chi u ngă ề ược lại khi v giảm, và độ lớ ằn b ng đạ độo hàm lớn

vận tốc theo thời gian.

- Thành phần thứ hai trong vế phải của (1.15) là:

Phương của

là phương của CB khi t ' → t. Muốn xác định nó, ta đặt:

'MOM = CMB = Δθ

Trong tam giác cân CMB:

π - CMB π Δθ

MCB =

2 2 2

Khi t → t thì M '→ M nghĩa là Δ →θ 0, do đó MCB →

Vậy đến giới hạn CB vuông góc với AC ph ng cươ ủa

vuông góc với AC , nghĩa

là vuông góc vớ ế ế ủ ỹ ạ đi ti p tuy n c a qu đạo t i iểm M, hay nói cách khác phương của án là

phương của pháp tuyến của quỹ ạ đạo t i M, vì vậy

được gọi là gia tốc pháp tuyến.

Chiều của

là chiều của CB , luôn luôn quay về tâm c a vòng tròn nghủ ĩa là quay

về phía lõm của quỹ đ đạo, do ó

còn gọi là gia tốc hướng tâm.

Độ lớn của

cho bởi:

Vậy: Vectơ gia t phốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên về ương của vectơ

vận tốc, vectơ gia tốc này có: Phương trùng với phương pháp tuyến của quỹ đạo tại

M, chiều hướng về phía lõm của quỹ đạo và có độ lớ ằn b ng

= .

Tóm lại, ta có thể phân tích vectơ gia tốc ra làm hai thành phần:

Vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về độ lớn,

còn vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về phương.

Một số trường hợp đặc biệt:

luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không thay đổi phương, chất điểm

chuyển động thẳng.

a luôn luôn bằng không: vectơ vậ ố ấn t c không thay đổi chiều và giá trị, ch t

điểm chuyển động cong đều.

- a luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không đổi về phương, chiều và giá trị,

chất điểm chuyển động thẳng đều.

1.4. M chuyột số ển động đơn giản của chất điểm. Bài toán ứng dụng

Ta sẽ áp dụng các kết quả thu được ở các mụ ộ ốc trên để khảo sát m t s dạng

chuyền động đơn giản củ đa chất iểm.

1.4.1. Chuyển động thẳng thay đổi đều

Chuyển động thẳng thay đổi đều là một chuyển động với vectơ ố gia t c không đổi

= const. Vì là chuyển động thẳng nên a

= 0, do đó:

Kết quả ả ậ: Sau những kho ng thời gian bằng nhau, v n tốc thay đổi những lượng

bằng nhau. Nếu trong khoảng thời gian từ 0 đến t, vận tốc biến thiên từ v

đến v thì

theo định nghĩa của gia tốc ta có:

Giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến t, chất điểm đi được quãng đường s,

tích phân 2 vế của (1.23) ta được:

Khử t trong (1.22) và (1.24) ta được hệ thức thông dụng sau:

1.4.2. Chuyển động tròn

Trong chuyển động tròn, ta dùng vận tốc góc và gia tốc góc để đặc trưng cho

chuyển động ấy.

a. Vận tốc góc

Giả thiết quỹ đạo là vòng tròn tâm O bán kính R

Trong khoảng thời gian Δt = t' - t giả sử chất

đ đ

iểm i được quãng đường Δs =

ứng với

góc quay của bán kính MOM ' = Δθ (hình 1.6).

Theo

định nghĩa đại lượng

tΔ

gọ ối là vận t c góc

trung bình trong khoảng thời gian Δt và được ký

hiệu là:

Giá trị của

bi u thể ị góc quay trung bình của bán kính trong đơn vị thời gian.

Nếu cho Δt → 0 theo định nghĩa

→Δ

lim gọi là vận tốc góc của chất i điểm tại thờ

đ ệiểm t, và được ký hi u là:

Vậy: Vận tốc góc có giá trị bằ ủ ớ ờ ậng đạo hàm c a góc quay đối v i th i gian. V n

tốc góc đo bằng radian trên giây (rad/s).

Đối với chuyển độ đềng tròn u (

= const), thời gian mà chất đ đ ộiểm i được m t

vòng hay là chu kỳ của chất điểm:

và tần số là chu kỳ trong một đơn vị thời gian:

Người ta biểu diễn vận tốc góc bằng một vectơ

gọi

là vectơ vậ ố ụ ủ ộn t c góc, nằm trên tr c c a m t vòng tròn quỹ

đạ đố độo, thuận chiều i với chiể ểu quay của chuy n ng và có

giá tr

ị bằng

(hình 1.7).

Hệ qu giả 1: Liên hệ ữa vectơ vận tốc góc

và vectơ

vận tốc dài

của chuyển động.

Ta có: MM' = Δs = R.Δθ

Cho Δt → 0, theo (1.4) và (1.27) ta có:

v = R. ω (1.28)

Theo như hình 1.7 ta thấy rằng: ba vectơ Rv

(theo thứ tự này) tạo thành một

tam diện thuận ba mặt vuông, vậy ta có:

∧=

Hệ quả 2: Liên hệ giữa a

và ω.

Từ (1.18) và (1.28) ta suy ra

b. Gia tốc góc

Giả thiết trong khoảng thời gian Δt = t' - t, vận tố ủ ấc góc c a ch t điểm chuyển

động tròn biến thiên mộ ω ω ωt lượng Δ = ' - , theo định nghĩa thì - là gia tốc góc trung

bình trong khoảng thời gian Δt và được ký hiệu là:

giá trị của β

biểu thị độ đơ biến thiên trung bình của vận tốc góc trong n vị thời gian.

Nếu cho Δt → 0, khi này gia tốc góc của chấ đ ạ đt iểm t i thời iểm t là:

Vậy: Gia tốc góc có giá trị bằ ủ ậ ố ớng đạo hàm c a v n t c góc đối v i thời gian và

bằng đạo hàm bậc hai của góc quay đối vớ ời th i gian. Gia tốc góc đo bằng radian trên

giây bình ph

ương (rad/s

Khi β > 0, ω tăng, chuyển động của chấ đ ểt i m là chuyển động tròn nhanh dần.

β < 0, ω ủ đ giảm, chuyển động c a chất iểm là chuyển động tròn chậm dần.

β = 0, ω ủ không đổi, chuyển động c a chất điểm là chuyển động tròn đều.

β = const, chuyển động của chấ đt iểm là chuyển động tròn thay đổi đều.

Tương tự như gia tốc và vận tốc dài, đối với gia tốc góc và vận tố ũc góc ta c ng có

các hệ thức:

Người ta biểu diễn gia tốc góc bằng một vectơ gọi là vectơ ố gia t c góc, vectơ này có:

- Phương nằm trên trục của quỹ đạo tròn

- Cùng chiều với chiều của vectơ vận tốc

góc khi β > 0 và ngược chiều v u cới chiề ủa

vectơ vận tốc góc khi β < 0.

- Có độ lớn bằng β

Như vậy, ta có thể vi gia tết hệ thức vectơ ốc góc như sau:

(1.36)

Hệ quả: Liên hệ giữ ố ốa vectơ gia t c góc và vectơ gia t c tiếp tuyến.

Thay v = ωβ vào biểu thức tính gia tốc tiếp tuyến ta được

Do đó, theo biểu thức tính gia tốc góc (1.32) ta có:

Do quy ước về chiều của các vectơ

và

, (hình 1.8), trong mọi trường h p ba ợ

vectơ

và

(theo thứ tự này) luôn luôn tạ ệ ậo thành một tam di n thu n ba mặt

vuông, và dựa vào biểu thức vectơ gia tốc góc, ta có thể kết luận rằng:

1.4.3. Chuyển động với gia tốc không đổi:

Thực nghiệm chứng tỏ rằng trong một

phạm vi không lớn lắm, mọi chất điểm đều rơi

với cùng một gia tốc g theo phương thẳng đứng

hướng xuống dưới với giá trị không đổi.

Ta s t chẽ khảo sát chuyển động của mộ ất

đ ộiể ấm xu t phát từ m t điể ặm O trên m t đất với

vectơ vận tốc ban đầu (lúc t = 0 là

hợp với mặt nằm ngang một góc α (hình 1.9). (bài

toán ném xiên).

Chọn mặt phẳng hình vẽ ặ ẳ ẳ là m t ph ng th ng đứng chứa v

; đ ũó c ng là mặt phẳng

chứa quỹ đạo chất điểm, trong hệ trục toạ độ xOy. Tại thời đ ấ điểm t, ch t iểm ở vị trí M

có toạ độ x, y; có gia tốc là vectơ a

= g

song song với Oy hướng xuống dưới. Do vậy,

hai thành phần của a

trên hai trục là:

Lấy nguyên hàm hai vế của biểu thức trên ta được:

Theo công thức tính vận tốc ta có thể viết (1.40) như sau:

Lấy nguyên hàm theo t biểu thức (1.41) ta được:

Suy ra các phương trình chuyển động của chất điểm là:

Vậy quỹ đạo của chất điểm M là một hình Parabol OSA, đỉnh S, trục song song

với trục tung, quay phần lõm về phía dưới hình vẽ (hình 1.9).

Bây giờ ta đi tính toạ độ đỉnh S (vị trí cao nhất của chất điểm). Từ bi u thể ức

(l.40) ta có thể suy ra:

Tại S vectơ vận tốc nằm ngang v

= 0, nên khi đó ta có v = v

cos

v , thay vào

biểu thức (1.44) ta được:

Chất điểm đến S vào lúc t, ứng với v

= 0 cho bởi

Khi này hoành độ của S là:

Từ đây ta có thể ủ ủ ấ đ tính được tầm xa c a chuyển động c a ch t iểm M (khoảng

cách từ khi ném đến lúc rơi)

1.4.4. Dao động điều hòa thẳng

Một chất điểm chuyển ng động thẳ được gọi là một dao động điều hoà thẳng nếu

đường đ ủi x c a nó là một hàm số sin (hoặc cosin) của thời gian t. Thông thường

phương trình chuyển động của một chất điể ạm dao động điều hoà có d ng sau:

x = Acos (cot+(p)

Với A>0, (

>0 và ϕ là những hằng số. Ta nhận thấy rằng:

Vậy cứ sau mỗi khoảng thời gian T =

2π

quãng đường đi x (hay độ dời) lại trở

về giá trị cũ, hay ta có thể nói là độ dời x là một hàm tuần hoàn theo thời gian với chu

kỳ T =

2π

, hằng số A là giá trị lớn nhất của X được gọ ≤i là biên độ dao động ( X A).

Vận tốc và gia tốc của chất điểm dao động điều hoà được tính theo các công thức sau:

Gia tốc a luôn luôn ngược chiều với độ dờ ậi x. Ta nh n th y v và a cấ ũng là những

hàm tuần hoàn của thời gian t với chu kỳ T =

2π

. Nghịch đảo của chu kỳ:

2π

V ==

được gọ ầi là t n số của dao động, còn hằng số ω được gọi là tần số góc của dao động.

CHƯƠNG 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

Động lự ức học nghiên c u chuyển động củ ốa các vật và m i liên hệ củ ớa chúng v i

tương tác giữa các vật. Cơ sở củ ự ọ ậa động l c h c vĩ mô là các định lu t Newton và

nguyên lý Galilê.

2.1. Khái niệm về lực và khối lượng

Khái niệm về lực

Khi nghiên cứu chuyển động, ta thấy rằng các vật chỉ bắt đầu chuyển động hay

thay đổi trạng thái chuyển động của chúng khi chịu tác động của vật khác. Tác dụng

của một vật lên một vật khác đượ đặ đạc c trưng bởi một i lượng vật lý gọ ựi là l c.

Ví dụ: Đoàn tàu chỉ chuyển động khi chịu tác dụng của lực kéo của c đầu tàu, chiế

xe đang chuyển động chỉ dừng lại khi chịu tác dụng của lực hãm, …

Vậy: Lự ậ ự ũ ưc là nguyên nhân V t lý gây ra s chuyển động c ng nh sự thay đổi

chuyển động c n mủa các vật. Lực thể hiệ ức độ tương tác giữa các vật.

Tương tác giữa các vật xảy ra theo hai cách:

- Khi chúng tiếp xúc với nhau.

Ví dụ: lực đ ồàn h i, lực ma sát, …

- Khi chúng không trực tiếp tiếp xúc với nhau. Dù vậy chúng vẫn tác dụng lên

nhau thông qua trường.

Ví dụ: lực hấ ệp dẫn, lực đi n từ, …

Lực là mộ ơt đại lượng vectơ (trong c họ ằc thường được ký hiệu b ng chữ F), do

đ đ ủó cần lưu ý đến các đặc iểm sau c a vectơ lực:

- Điểm đặt của lực nằm tại vật chịu tác dụ ủng c a lực.

- Độ lớn (còn gọi là cường độ) của lực được biểu diễn một cách hình học bằng độ

dài của vectơ lực.

- Phương của lực.

- Chiều của lực.

Do đó, nếu hai lực được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài, cùng

phương và cùng chiều. Quy tắc cộng lực là quy tắc cộng vectơ.

Khái niệm về khối lượng

Khối lượng là độ đo về lượng (nhiề ậu hay ít) v t chất chứa trong vậ ểt th , có thể

tính từ tích phân toàn bộ thể tích của vật:

m =

∫ dV (với

là khối lượng riêng)

Đơn vị đo khối lượng trong hệ SI là kilôgam (kg).

Trong Vật lý, khối lượng của một vật là một đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ

quán tính của vật đó. Vật có khối lượng lớn sẽ có sức ì lớn hơn và cần có lực lớn hơn để

làm thay đổi chuyể ủn động c a nó. Mối liên hệ ữ ớ ố gi a quán tính v i kh i lượng đã c đượ

Newton phát biểu trong định lu ng trong chuyật II Newton. Khối lượ ển động thẳng đều

còn được mở ộ r ng thành khái niệm mômen quán tính trong chuyển động quay.

Khối lượng của mộ ậ ũt v t c ng đặ độc trưng cho mức vật đó hấp dẫn các vật thể

khác, theo định luậ ật v n vật hấ ẫp d n Newton. Vật có khối lượng lớn có tạo ra xung

quanh trường hấp dẫn lớn.

Khối lượng hiểu theo nghĩa độ lớ ủ ốn c a quán tính, kh i lượng quán tính, không

nhất thiết hiểu theo mức độ hấp dẫn vật thể khác, khối lượng hấp dẫn. Tuy nhiên, các

thí nghiệm chính xác hiện nay cho thấy hai khối lượng này rất gần nhau và một tiên đề

của thuyết tương đối rộ ủ ống c a Einstein phát biểu rằng hai kh i lượng này là một.

Khối lượng tương đối tính

Trong vật lý cổ điển, coi khối l i lượng của một vật là một đạ ượng bất biến, không

phụ thuộc vào chuyển động của vật. Tuy nhiên, vật lý hiện đại lại có cách nhìn khác về

khối lượng, khối lượng có thể thay đổi tuỳ theo hệ quy chiếu. Theo quan điểm này thì

khối lượng gồm hai phần, một phần là khối lượng nghỉ, có giá trị bằng với khối lượng

cổ điển khi vật thể đứng yên trong hệ ế quy chi u đ ộ ốang xét, c ng với kh i lượng kèm

theo động n ng că ủa vật.

Định luậ ả ốt b o toàn kh i lượng

Khối l t hượng toàn phần của mộ ệ vật lý kín, xét trong mộ ệt h quy chiếu cố định

là không đổi theo thời gian.

Các định luật Newton

Các định luật Newton nêu lên quan hệ giữa chuyển động của một vật với tác

dụng bên ngoài và quan hệ giữa các tác dụng tương hỗ của các vật.

Định luật Newton I

Phát biểu: Khi mộ ấ đ ậ ộ ừt ch t iểm cô l p (không chịu m t tác động nào t bên ngoài)

nếu đang đứng yên nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển động

của nó là thẳng đều.

Chất điểm đứng yên có vận tốc v = 0 ; chất điểm chuyển n động thẳng đều có vậ

tốc v

không đổi; trong cả hai trường hợp đó, vận tốc v

đề đổu không thay i; ta cũng nói

trạng thái chuyển động của nó được bảo toàn.

Vậy: Một chất điểm cô lập bảo toàn trạng thái chuyển động của nó.

Tính chất bảo toàn trạng thái chuyển động gọi là quán tính, vì vậy định luật I còn

được gọi là định luật quán tính.

Không giống như các định luật khác, ta không thể kiểm nghiệm định luật này

một cách trực tiếp bằng thực nghiệm vì trên trái đất không thể có bấ ỳt k vật nào hoàn

toàn cô lập (không ch u bị ất kỳ mộ ật lực nào). Do vậy, ta coi định lu t này như một

nguyên lý mà không chứng minh. Ta chỉ có thể xác nhận sự đ ủúng đắn c a định luật

này khi kiểm nghiệm các hệ quả của định luật này mà thôi.

Ví dụ: Khi đẩy một v thật nặng trượt trên sàn nhà ta có thể ấ ậy v n tố ủ ậc c a v t

giảm dần và cuối cùng dừng l ng nại hẳn. Như ếu sàn nhà nhẵn thì vật có thề trượt rất

xa. Sở dĩ như vậy là vì, ngoài trọ ự ủng l c c a vật và phản lự ủ ự ệc c a sàn nhà là hai l c tri t

tiêu lẫn nhau thì vật còn chịu tác dụng của lực ma sát và lực cản của không khí, là hai

lực ngược chiều chuyển động của v a vật và cản trở chuyển động củ ật. Nếu bằng cách

nào đó có thể làm giảm các lực này thì vật sẽ chuyển ng độ được rất xa mặc dù ta chỉ

đẩy vật trong mộ ệt thời gian ngắn. Nếu làm tri t tiêu hoàn toàn các lực này thì vật sẽ

chuyển ng động thẳ đều mãi mãi trên sàn nhà.

Định luật Newton II

Định luậ ấ đt Newton II xét ch t iểm ở trạng thái không cô lập, nghĩa là chịu tác

dụng của những lực từ bên ngoài.

Phát biểu: 1. Chuyển động củ ộ đa m t chất iểm chịu tác dụng của các lực có tổng

hợp

# 0 là một chuyển động có gia tốc.

2. Gia tốc chuyển động của chất điểm tỷ lệ với tổ ụ ụng hợp t c tác d ng F

và tỷ lệ

nghịch với khố ủ đi lượng c a chất iểm ấy:

k là một hằng số t lỷ ệ phụ thuộ ục vào các đơn vị sử d ng; trong hệ SI: k = 1 và

Phương trình cơ bản của cơ học chất điểm Phương trình Newton:

là phương trình cơ bản của cơ họ ấ đ ểc ch t i m. Phươ ương trình này là ph ng trình

tổng quát cho cả hai định luật Newton I và II.

Với định luật Newton I:

= 0 → a

= 0 → v

= const

Với định luật Newton II:

Hệ quy chiếu quán tính

Ở đ chương I, chúng ta ã biết rằng, đối với cùng một chuyển động nhưng sẽ xảy ra

khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau. Vậy, tự nhiên sẽ nảy sinh câu hỏi sau: định

luật I Newton kh nh nẳng đị ếu một vật không chịu tác dụng của một lực nào thì nó sẽ

đứ độ đềng yên hay chuyển ng thẳng u đối vớ ự đi hệ quy chiếu nào? Th c nghiệm ã chứng

tỏ rằng, Định luật Newton I chỉ nghiệm đúng đối với những hệ quy chiếu quán tính.

Vậy: Hệ quy chiếu quán tính là một hệ ế ế quy chi u mà trong đó n u một vật không

chịu tác dụng của một ngoại lúc nào thì nó hoặ ặc là đứng yên ho c là chuyển động

thắng đều.

Định luật Newton III

Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng, không bao giờ có tác dụ ộng m t phía. Khi vật A

tác dụng lên vật B thì ngược lạ ậi v t B cũng tác dụng lên vật A. Ta nói chúng tương tác

với nhau.

Định luậ ệt Newton III xét mối liên h giữ ủ ậa các tương tác c a hai v t.

Phát biểu: Khi chất đ ụ đ ộ ựiểm A tác d ng lên chất iểm B m t l c F thì chất điềm B

cũng tác dụng lên chất điểm A một lực F ': hai lực F và F' tồn tại đồng thời cùng

phương, ngược chiều và cùng cường độ.

Nói cách khác, tổng hình học các lực tương tác giữa hai chất điểm bằng không:

F + F ' = 0.

Chú ý: Tuy tổng của hai lực F và F' bằng không nhưng tác dụng của chúng không

khử nhau vì đ ủiểm đặt c a chúng khác nhau.

Trong trường hợp tổng quát: ta xét một h t hệ chất điểm cô lập, nghĩa là mộ ệ

không chịu tác dụng của các ngoại lực: trong hệ chỉ có các nội lực tương tác giữa các

chất điểm của hệ. Khi đó nếu xét từng đôi chất điểm của h c tệ thì tổng hai lự ương tác

giữa chúng bằng không. Bây giờ nếu l y tấ ổng của tất cả các lúc đó, ta được kết quả:

Tổng các nội lực của hệ chấ đ ậ ằt iểm cô l p (hay hệ kín) b ng không.

Các định lý về động lượng

Từ phương trình Newton, ta có thể suy ra một số phát biểu tương đương, đó là

các định lý về động lượng.

Thiết lập các định lý về động lượng

Theo định luật Newton II, nếu m ng m chột chất điểm khối lượ ịu tác dụng của

một lực F

(hay của nhiều lực, lực tổng hợp là F

) thì sẽ có gia tốc a

cho bởi:

Từ biểu thức của gia tốc ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:

vì m không đổi nên ta có thể viết lại là:

Vectơ

= mv

gọ ủ ấ đ ứi là vectơ động lượng c a ch t iể ậ ểm (hình 2.1). V y bi u th c

(2.3) có thể viết thành:

Đinh lý 1: Đạo hàm động lượng củ ộ ấ đ ớ ờa m t ch t iểm đối v i th i gian có giá trị

bằng lực (hay tổng hợp các lực) tác dụng lên chất điểm đó.

Từ (2.4) ta suy ra:

Tích phân 2 vế củ ứa biểu th c (2.5) trong khoảng thời gian từ t

1 2

đến t ứ ựng với s

biến thiên của động lượng từ K

đến K

ta được:

Theo định nghĩa tích phân của lực F theo t từ t

1 2

đến t gọ ủi là xung lượng c a F

trong khoảng thời gian đó. Vậy biểu thức (2.6) có thể phát biểu như sau:

Định lý 2: Độ biến thiên động lượng củ ộ ấ đ ể ộ ả ờa m t ch t i m trong m t kho ng th i

gian nào đó có giá trị bằ ủ ự ổng xung lượng c a l c (hay t ng họp lự ụ ấc) tác d ng lên ch t

đ ả ờ điểm trong kho ng th i gian ó.

Trong trường hợp F không đổi theo thời gian, (2.6) trở thành:

ΔK = F

.Δt (2.7)

Hay

Δt

KΔ

= F

(2.8)

Theo (2.8) ta có thể phát biểu:

Độ biến thiên độ đơng lượng củ ấ đa ch t iểm trong n vị ị thời gian có giá tr bằng

lực tác dụng lên chất điểm đó.

Các định lý về động lượng (2.4) và (2.6) là những phát biểu tương đương của

phương trình Newton, khi ra khỏi phạm vi cơ học cổ điển Newton, các công thức (2.3)

và (2.4) vẫn đúng. Vì vậy, ta có thể nói r ng: vằ ề mộ ặ đt m t nào ó các đị độnh lý về ng

lượng tổng quát hơn định luật Newton.

Ý nghĩa của động lượng và xung lượng

a. Ý nghĩa của động lượng

Như ta đ ếã bi t trong chương I, vectơ vận tốc là một đạ đặi lượng c trưng cơ bản

cho chuy ng vển độ ề mặt động học. Nhưng về mặ ểt động lự ọc h c, khi khảo sát chuy n

động củ ậa các vậ ểt, ta không th xét riêng v n tốc mà không để ý đến khối lượng của

chúng, vì vận tốc có liên quan chặt chẽ vớ ối kh i lượng (đối vớ ộ ựi m t l c tác dụng nhất

định). Nói cách khác, vậ ển tố ưc không đặc tr ng cho chuy n động về mặt động lự ọc h c.

Chính động lượng, đại lượng kết hợp cả khối lượng và vận tốc, mới đặc trưng cho

chuyển động về mặt động lực học.

Ví dụ: Giả thiết có một quả cầ ể ậu khối lượng m

chuy n động với v n tốc

đến

đập thẳng vào một quả cầu có khối lượng m

ban đầu đứng yên. Giả thiết sau va chạm,

quả cầ ậu thứ hai chuyển động với v n tốc

. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, nói ch1ung

và

không những phụ ộ thu c vào

mà còn phụ thuộc vào m

, nói chính xác là

phụ thuộc vào động lượng

111

vmK

= của quả cầ ấu thứ nh t. Như thế nghĩa là sự truyền

chuyển động do va chạm của quả cầu th nhứ ất đến quả cầu thứ hai phụ thuộc vào động

lượng quả thứ nhất (

càng lớn thì

111

vmK

= càng lớn).

Vậy: Trong các hiện t ng lượng va chạm độ ượng là một đại lượng đặc trưng cho

khả năng truyền va chạm.

b. Ý nghĩa của xung lượng

Xung lượng của một lực trong khoảng thời gian Δt đặc trưng cho tác dụng của

lực trong khoảng thời gian đó. Thực vậy, theo (2.6) hay (2.7) ta thấy rằng tác dụng của

lực không những phụ thuộc vào cường độ lực mà còn phụ thuộc thời gian tác dụng.

Cùng một lự ưc nh ng thời gian tác dụng lâu thì động lượng của vật biến thiên nhiều và

ngược lại, nếu thời gian tác dụng rất ngắn thì dù lực lớn, động lượng cũng biến thiên ít.

Các định lý về động lượng và xung lượng thường dùng để giải quyết các bài toán

va chạm.

Các lực cơ học trong tự nhiên. Hai bài toán cơ bản của động lực học Các lực cơ

học trong tự nhiên

Do lực chỉ xu ng cất hiện thành từ ặp và mỗ ộ ấi cặp có cùng m t tính ch t như nhau

(được tạo ra từ một tương tác) cho nên người ta phân chia các loại lực thông qua các

dạng tương tác của chúng. Có bốn dạng tương tác chủ yếu: 1. Tương tác hấp dẫn, 2.

Tương tác điện từ, 3. Tương tác mạnh và 4. Tương tác yếu.

Trong phạm vi chương này chủ yếu phân tích các tính chất của lực đàn hồi và lực

ma sát xuất hiện do lực tương tác điện từ.

a. Lực đàn hồi

- Điều ki n xuệ ất hiên lực đàn hồi

Khi một vật bị mộ ạt lực kéo dãn hay nén l i

làm cho vật đó bị biến dạng thì bản thân vậ đt ó tác

dụng một lực đàn h t tác dồi lên vậ ụ ộng nó để bu c

vật này trả lại cho nó hình dạng cũ.

- Tính chất

Chiều của lực đ ồ ủàn h i luôn ngược chiều biến dạng c a vật.

Treo một lò xo lên một đi iểm cố định trên trần nhà. Đ ểm B của lò xo móc vào vật

có khối lượng M. Dưới tác dụng của trọng lực vậ ầt M các ph n tử lò xo dãn ra một

đ ự đ ồ ủoạn Δx, chúng tạo ra l c àn h i k c a lò xo và độ biến dạng Δx của nó luôn luôn là

hằng số, hằng số này được gọi là độ cứng của lò xo.

Công thức này đượ được nhà Vật lý người Anh Rober Hooke tìm ra nên còn c gọi

là công thức của định luật Hooke.

Đơn vị của độ cứng là: N/m. Độ cứng K phụ ộ thu c vào vật liệu làm lò xo và

chiều dài của lò xo.

- Phản lực

Là một dạng lực đàn hồi xuất hiện khi vật A nén

lên mặt tiếp xúc với vật B làm các phân tử ở bề mặt B

bị biến dạng sinh ra phản lực N tác dụng vào vật A.

Phương của phản lực bao giờ cũng vuông góc với mặt

tiếp xúc của hai vật.

Chiều t t A ừ tâm của vậ đi ra xa mặt tiếp xúc.

Độ lớn bằng hình chiế ự ủ ặu l c nén vuông góc c a A lên m t tiếp xúc.

Lúc căng dây treo:

Lực căng dây treo xuất hiện khi hai đầu dây bị kéo dãn hoặc một đầu dây cố định

còn đầu kia bị kéo dãn (trường hợp c u bả hai đầu đề ị kéo phải cùng phương, ngược

chiều).

Phương của lực căng nằm dọc theo sợi dây.

Chiều ngược chiều lực kéo dãn.

Chú ý: Các lực này có điểm đặt lên vật đã tác dụng lên nó. Độ lớn thông thường

rất khó xác định trực tiếp thông qua sự biến dạng của dây nên nó được xác nh qua đị

các lực khác và gia tốc mà lực đạt được.

b. Lực ma sát

- Điều kiện xuất hiện

Dạng thứ hai của lực đàn hồi là lực ma sát.

Lực ma sát xuấ ề ật hiện khi có sự chuyển động tương đối của hai hoặc nhi u v t với

nhau. Nếu hai vật chuyể ến động ti p xúc là vật rắn người ta gọ đ ựi ó là l c ma sát khô.

Nếu một hoặc cả hai vật là chấ ư ỏt l u (khí hoặc l ng) thì được gọi là ma sát nhớt.

- Đặc điểm

Đặc đ ủ ựiểm c a các l c ma sát là luôn luôn có phương tiếp tuy n vế ới mặt tiếp xúc

của hai vật chuyển động tương đối, chiều luôn ngược với chiều chuyển động tương

đối. Độ lớ ớn củ ự ỷa l c ma sát khô t lệ v i phản lực thông qua hệ số ma sát.

- Ma sát nghỉ và ma sát trượt

Xét vật A đặt tiếp xúc lên vật B, lúc đó N là phản lực c a vủ ật B tác dụng lên vật

A. Dùng một lực F

để kéo vật A, nếu độ lớ ủn c a F

có giá trị nhỏ thì vật A chưa

chuyển động. Vật A đứng yên vì lực ma sát nghỉ cân bằng với lực kéo F

Lực ma sát nghỉ xuất hiện khi chưa có sự chuy a 2 vển động tương đối củ ật tiếp

xúc nhưng một trong hai vật đ ụ ủ ự ủ ựã chịu tác d ng kéo c a ngoại l c. Độ lớn c a l c ma sát

nghỉ thay đổi theo độ lớn của lực kéo F

, khi lực kéo đạt đến giá trị F

nào đó sao cho

vật A bắt đầu chuyển động tương đối so với vật B: Lúc này lực ma sát nghỉ đã chuyển

sang ma sát trượt.

- Vai trò của lực ma sát

Có hại: Trong các máy đang hoạt động bao giờ cũng xuấ ảt hiện ma sát, c n trở

chuyển động làm hao phí năng lượng vô ích. Lúc ó phđ ải làm giảm ma sát.

Có lợi: Nhờ có ma sát mà máy móc xe

cộ đang hoạt động có thể dừng lại được, con

người, xe cộ mới di chuyển được.

Ví dụ: Một hệ gồ ậ ố ố ớ ộm hai v t kh i lượng m

và m

được n i v i nhau bằng m t sợi

dây mảnh không co dãn. Cả hai trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang dưới

tác dụng của lực kéo F

đặt vào m

. Xác định lực căng của dây. Bỏ qua tác dụng của

ma sát.

Trước tiên ta tính gia tốc a của hệ. Vì hệ chuyển động như một vật có khối lượng

+ m

) dưới tác dụng của lực F

. Nên ta có:

Muốn tính lực căng tại A, ta giả thiết là cắt dây t o cho mại A. Để đảm bả

và m

giữ nguyên chuyển động với gia tốc a thì tạ đ ụ ủi hai oạn dây ở A sẽ chịu tác d ng c a các

lực căng T

và T' .

Xét riêng vật m

. Lực tác dụng lên nó gồm: lực kéo F

và T

lực căng. Do vậy,

phương trình chuyển động của m

sẽ là:

a = F-T

Xét vật m

. Lực tác dụng lên vật là lực căng 'T

và do đó phương trình chuyển

động của m

là:

Hai bài toán cơ bản của động lực học

Vận dụng các định luật Newton, chúng ta có thể dễ dàng giải các bài toán cơ học

đa dạng theo 4 bước cơ bản sau:

- Bước 1: Phân tích bản chất các lực tác dụng lên từng vật (theo định luật

Newtton III, các lực này chỉ xuất hiện thành từng cặp).

- Bước 2: Viết các phương trình định luật Newton II cho từng vật cụ thể.

- Bước 3: Chọ ụn hệ ệ quy chiếu quán tính và h tr c toạ độ sao cho bài toán trở nên

đơn giản, chọn chiề ảu chuyển động gi định cho hệ, sau đó chiếu phương trình vectơ

(viết được ở bước 2) lên các trục toạ độ để được các phương trình đại số.

- Bước 4: Giải h i sệ các phương trình đạ ố để tìm các nghiệm số theo yêu cầu của

đề bài, sau đó biện luậ ủn ý nghĩa c a các giá trị.

a. Bài toán thuận của động lực học

Bài toán thuận của động lực học là bài toán xác định lực gây ra chuyển động khi

bết chuyển động của chất điểm.

Dễ giải bài toán loại này, trước tiên phải xác định gia tốc của chấ đ đt iểm, sau ó

sẽ áp dụng định luật Newton II để tìm lực tác đụng lên chất điểm.

Ví dụ: Kéo một gầu nước từ dưới giếng lên cao nhanh dần với gia tốc là a

Hãy xác định lực kéo.

Ta biết lực tác dụ ổ ộ ồ ựng t ng c ng lên gầu g m l c kéo kF

và trọng lực gmP

= của

gầu. Theo định luật Newton II và để ý rằng hai lực này ngược chiều nhau, nên ta có:

Fk- mg = ma

Từ đó: Fk = m(g + a)

Ta thấy lực kéo phải lớ ơ ớn h n trọ ủ ệng lượng c a gầu, đặc bi t là Fk càng l n khi gia

tốc a càng lớn.

h. Bài toán ngược của động lực học

Bài toán ngược c c hủa động lự ọc là bài toán xác định chuyển động củ ấ đa ch t iểm

khi biết các lực tác dụng lên chất điểm và những đ ệ ủiều ki n ban đầu c a chuyển động.

Để giải bài toán ngược cần xác định cụ thể các lực tác động lên từng trên điểm.

Sau đó áp dụng công thức tính gia tốc để xác định gia tốc mà chấ đt iểm thu được. Nếu

biết vận tốc và vị trí ban đầu của chất điểm thì bằng cách lấy tích phân của gia tốc a, ta

có thể xác định được vận tốc và tọa độ củ ấ đ ờa ch t iểm theo th i gian, nghĩa là có thể

biết t được phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo của chấ điểm.

Ví dụ: Một hệ gồ ốm hai vật có kh i lượng

và m

được nối nhau bằng một sợi dây

không co dãn. Đầu kia của m

nố ội với m t sợi

dây khác vắt qua một ròng rọc và nối với một

quả nặ ảng m. Gi sử hệ ể chuy n động không ma

sát, khối lượng dây nối và ròng rọc không đáng

kể. Hãy xác định chuyển động của hệ.

Gọi T

là lực căng của sợi dây nối quả nặng m với m

. Lực mà sợi dây kéo m

là

còn kéo quả nặng m là -T

Đối với quả nặng m ta có phương trình:

mg -T = ma

Gọi

là lực căng của đoạn dây nối m

với m

. Đối Với m

ta có phương trình:

T - T

= m

Đối với vật m

ta có phương trình chuyển động:

= m

Cộng ba phương trình trên lại với nhau, ta tìm được gia tốc a của hệ:

Cũng có thể tìm ngay được gia tốc a của hệ nếu để ý rằng do sợi dây không co

dãn nên có thể xem chuyển động của hệ ủ ộ ậ như là chuyển động c a m t v t thể thống

nhất v i lới khố ượng là (m+m

) và lực duy nhất tác động lên hệ là gm

Theo định luật Newton II ta có:

mmm

Chuyển động của hệ là nhanh dần đều với gia tốc a. Do vậy, phương trình chuyển

động của hệ là:

Mômen động lượng

Định lý về động lượng (2.3,2.4)

là một trong những định luật cơ bản củ ơa c họ đc chất iể ềm. Trong nhi u trường hợp

(nhất là khi xét chuyển động củ ộa m t chất điểm chịu tác dụng của một trường lực

xuyên tâm) người ta diễn ta định luật này dưới dạng khác, đó là định lý về mômen

động lượng.

2.5.1. Momen của một vectơ đối với một điểm

Cho một vectơ MAV =

gố ạ ộ đc t i M và m t iểm

O cố định trong không gian và OMr =

(hình 2.3).

Theo định nghĩa: mômen của V

đối với O là một

vectơ ký hiệu là:

VrVMO)V(O,M

=∧= (2.9)

Theo định nghĩa (1) thì mômen động lượng

)V(O,M

là m t vector: ộ

- g

ốc tại O

- có phương vuông góc với mặt phẳng xác định bởi O và V

- có chiều thuận với chiều quay từ OM sang MA

ΔOMA

2S)rVrVsin()MA.OM.sin(MA.OM)V(O,M ====

Các tính chất của mômen của một vector: từ biểu định nghĩa (1) ta có thể dễ

dàng suy ra các tính chất của mômen của một vector sau:

- tính ch t 1: khi ấ V

= 0

hay V

có phương qua 0

thì )V(O,M

= 0

- tính chất 2: M (O,

VV +

= )V(O,M

+ M (O,

)

2.5.2. Định lý về mômen động lượng

M iột chất đ ểm M chuyển động trên một quỹ

đạo (C) dưới tác dụ ủng c a mộ ựt l c F

(hình bên).

Theo định lý về sự bi n thiên ế động lượng ta có:

)vd(m

Nhân hữu hướng cả hai vế của (4) với t = OM

(O là gốc tọa độ) ta được:

Trong đó

∧= = là mômen ng cđộng lượ ủa chất điểm M đối với điểm O và

M ( FO,

) =

∧ là mônmen của lực F

đối với điểm O.

Phương trình (2.13) cũng chính là biểu thức của đị độnh lí về mômen ng lượng,

định lí đó được phát biểu như sau:

"Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng đối với đ ủ ộiểm O c a m t chất

đ ằiểm chuyển động b ng tổng mômen đối với điểm O của các lực tác dụng lên chất

điểm".

Hệ quả: Trong trường h ng cợp chất điểm chuyển động luôn luôn chịu tác dụ ủa

một lực xuyên tâm (F

luôn có phương đi qua điểm O) thì M FO,

= 0 và do đó:

Từ (2.14) ta thấy L

không đổi. Mặt khác, L luôn vuông góc với mặt phẳng tạo

bởi O và

= m v

, do đó, mặt phẳng chứa O và

là một mặ ềt phẳng cố Đ. định. i u đó

có nghĩa là chất đ ộ ặ ẳ ốiểm M luôn luôn chuyển động trong m t m t ph ng c định.

2.5.3. Trường hợp chuyển động tròn

Mômen động lượng t của chất điểm M

chuyển động trên quỹ đạo tròn (O,R) có thể

tính như sau:

)(RmRmOM.mL

=∨=∨=

ở

đây I = mR

được gọi là mômen quán

tính của chất đ điểm đối với iểm O.

Lại có, vận tốc góc

∨

= cũng được biể ễu di n dưới dạng vector

và

có

cùng phương chiều với L

. i Do đó ta có thể viết mômen động lượng của chất đ ểm M

chuyển động trên quỹ đạo tròn dưới dạng: L

= ωI

(2.16) Theo định lý về mômen động

lượng ta có:

Trong đó

nn'

FFFF

+= luôn luôn hướng tâm và

là thành phần lực tác dụng theo

phương tiếp tuyến với quỹ đạo.

Phương trình (2.17) chính là biểu thứ ủ ề ủc c a định lý v mômen động lượng c a

chất điểm chuyển động tròn.

CHƯƠNG 3. ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT Đ ỂI M

ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẲN

Khi xem xét chuyển động của một vật hay một hệ bấ ỳt k , ta có thể mô hình vật

đ ộ ợó như là m t tập h p các chấ đ ụ ọ ủ ấ đt iểm và áp d ng các định luật cơ h c c a ch t iểm đối

với từng chất điểm trong hệ. Vật rắ ấn là hệ ch t điểm, nhưng là một hệ chấ đt iểm đặc

biệt trong đó khoảng cách giữa các chất điểm luôn luôn giữ nguyên không đổi trong

quá trình chuyển động c a vủ ật rắn. Đ ộây là m t đối tượng cơ họ ọc quan tr ng và phổ

biến nên ta chú trọng khảo sát đặc thù chuyể ận động vật rắn với phương pháp lu n áp

dụng các quy luật chuyển động củ ấa hệ ch t điểm vào chuyển động của vật rắn.

Trong chương này chúng ta khảo sát các định luật cơ bả ền v chuyển động của

một hệ chất điểm, đặc biệt khả ậo sát chuyển động của một v t rắn.

3.1. Cơ hệ. Khối tâm củ ơ ệa c h

3.1.1. Khái niệm cơ hệ

Cơ hệ là tập hợ ấ đp các ch t iểm tương tác với nhau, hay nói cách khác cơ hệ

chính là hệ chất điểm.

3.1.2. Khối tâm của cơ hệ

a. Định nghĩa

Khối tâm của một hệ chấ đt iểm M

, M

,.. M

. Mà lầ ốn lượt có kh i lượng m

, m

…

m i

mà là một đ ểm G xác định bởi đẳng thức:

b. Tọa độ khối tâm: Chọn hệ trục tọa a độ có gốc tọ độ O, chúng ta tiến hành tìm

tọa độ của G trong hệ tọ đ ọa độ ã ch n. Ta có:

Nhân 2 vế của (3.2) với m

rồ ộ ừi c ng các phương trình theo i t 1 tới n và sử

Đặt OG = R với ba tọa độ X, Y, Z và OM

với ba tọa độ x

, y

, z

thì (3.3)

Các đẳng thức (3.5), (3.6) cho phép ta xác định tọa độ khối tâm của một hệ chất

đ điểm. Bây giờ chúng ta i khảo sát các tính chất của khối tâm về mặt động lực học.

c. Vận tốc của khối tâm

Trong đó,

rd r

= vector vận tốc của chất điểm vmpM

iii

= động lượng của

chất điểm M

ếu thay

∑

= tổ ủ ệ ấ đ ể ứng động lượng c a h ch t iểm, thì bi u th c (3.6) trở

thành:

Vậy: Tổ ủng động lượng c a hệ bằng động lượng của một chất điểm đặt t i khạ ối

tâm của h a hệ, có khối lượng bằng tổng khối lượng củ ệ và có vận tốc bằng vận tốc

khối tâm của hệ.

d. Phương trình chuyển động của khối tâm

Giả thiết các chấ đ ểt i m m

, m

,…,m

của hệ lần lượt chịu tác dụ ủ ựng c a các l c

n21

F...,F,F

và chuyển động với những vectơ gia tốc

n21

a,...a,a

thỏa mãn các phương

trình:

nnn222111

Fam,...Fam.Fam

===

Muốn tìm phương trình chuyển động của khối tâm, ta có đạo hàm (3.6) theo t:

Trong đó

= là vectơ gia tốc của khối tâm. Từ (3.9) ta có thể kết luận rằng:

Khối tâm của một hệ chuyển động như mộ ấ đ ố ằ ổt ch t iểm có kh i lượng b ng t ng

khối lượng của hệ và chịu tác dụng của một lực bằ ạ ự ụng tổng ngo i l c tác d ng lên hệ.

Chú ý:

- Trong (3.9), vế phải chỉ là tổng hợp các ngoại lực tác dụng vì theo định luật

Newton III, tổng hợp các nội lực tương tác của hệ bằng không.

- Chuyển n động khối tâm của hệ được gọi là chuyể động toàn thể của hệ.

3.2. Định luật bảo toàn động lượng

3.2.1. Thi t lế ập

Đối với một hệ ấ ch t điểm chuyển động, ta có định lý v ng l ng: ề độ ượ

trong đó F

là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ (theo định luật Newton III thì

tổng các nội lực tương tác trong hệ bằng 0).

Nếu hệ đang xét là một hệ cô lập (F = 0) thì:

Phát biểu: Tổng động lượng của một hệ cô lậ ộ ảp là m t đại lượng b o toàn.

Mặt khác, ta biết rằng vận tốc chuyển động của khối tâm của hệ (3.7) cho bởi:

V iậy đối v i mớ ột hệ chất đ ểm cô lập:

Khối tâm của một hệ cô lập hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.

3.2.2. Bảo toàn động lượng theo phương

Trong trường hợp một hệ chấ đt iểm không cô lập nghĩa là

# 0 nhưng hình

chiếu của F

lên mộ đ đt phương x nào ó luôn luôn bằng 0, khi ó nế ếu chi u phương

trình vectơ

lên phương x ta được:

constvm...,vmvm

vxn2x21x1

Vậy, hình chiếu của tổng động lượng của hệ lên phương x là một đại lượng bảo

toàn.

3.2.3. Ứng dụng

a. Giải thích hiện tượng súng giật lùi

Giả sử có một khẩu súng có khối lượng

M đặt trên một giá nằm ngang; trong

nòng súng có một viên đạn có khối lượng m. Nếu không có ma sát thì tổng hợp ngoại

lực tác dụng lên hệ (súng + đạn) tức là tổng hợp của trọng lượng (súng + đạn) và phản

lực pháp tuyến của giá sẽ triệ đ ổt tiêu, do ó t ng động lượng của hệ bảo toàn.

Trước khi bắn t ng lổng độ ượng của hệ bằng 0. Khi bắ ền, đạn bay v phía trước

với vận tốc v, súng giật lùi về phía sau với vận tốc V. Do đó, động lượng của hệ sau

khi b

ắn sẽ là: VMvm

+ . Vì động lượng của hệ bảo toàn nên ta có:

Dấu trừ chứng tỏ V

ngược chiều với v

. V ề giá trị V tỷ lệ vớ ỷi m và t lệ nghịch

với M.

b. Chuyển động phản lực

Định luật Newton III F

cũ ậng như định lu t bảo toàn động lượng là cơ sở ả để gi i

thích các chuyển động phản lực. Chúng ta hãy vận d giụng các định luật này để ải thích

chuyền động phản lực củ ửa các tên l a.

Giả thiết có một vật chứa một hỗn hợ ợp khí nóng, ban đầ đứu ng yên. Nếu hỗn h p

khí được phụt ra phía sau thì theo định luật bảo toàn động lượng vật sẽ tiến lên phía

trước. Đó là nguyên tắc của tên lửa.

Ta gọi khối lượng tổ ộ ủ ửng c ng ban đầu c a tên l a là M

. Trong quá trình chuyển

động, tên lửa luôn luôn phụ ố ủt khí ra sau, kh i lượng c a nó giảm dầ ận, v n tố ủc c a nó

tăng dần. Ta hãy tính vận tốc v

của tên lửa khi khối lượng của nó là M. Động lượng

của tên lửa lúc đó là:

= M v

Qua một khoảng thời gian đi, tên lửa phụt ra sau m t khộ ối lượng khí bằng dM

Nếu vận tốc phụt khí đối với tên lửa luôn luôn không đổi và bằng u

thì vận tố ục ph t

khí đối với hệ quy chiếu đang quan sát bằng vu

và động lượng của khí phụt ra là:

( vu

+ ). Sau khi phụt khí khối lượng tên lửa bằng M + dM (với dM = - dM

), vận

tốc của nó tăng lên thành vdv

+ . V ậy động l ng cượ ủa tên lửa sau khi phụt khí là: (M +

dM)(

vdv

+ ). Động lượng của hệ sau khi phụt khí là:

)vdvdM)((M)vu(dMK

= với

dM- dM

Giả sử ự không có thành phần l c tác dụng theo phương chuyển động, theo định

luật bảo toàn động lượng ta có:

Hay ( vM)vdvdM)((M)vdvdM(

−

)

Khai triển các phép tính trong biểu thức trên và bỏ qua số hạng vô cùng bé bậc

hai -

vdM.d

− ta được:

Mdv = - udM (vì

vd u

và

ngược chiều

Công thức (3.12) gọi là công thức Xiôncôpxki. Theo công thức này, muốn cho

vận tốc tên lửa lớn thì vận tốc phụt khí (đối với tên lửa) phải lớn và tỷ số ũ - c ng phải

lớn.

3.3. Chuyển động của vật rắn quanh một trục cố định

Vật rắn là một hệ chấ đ đ ữ đt iểm trong ó khoảng các gi a các chất iểm luôn luôn

không đổi. Chuyển động củ ộa m t vật rắn nói chung phức tạp, nhưng người ta chứng

minh được rằng mọi chuyển động của vật rắn bao giờ cũng có thể quy về tích của hai

chuyển n động cơ bản: chuyể động tịnh tiến và chuyển động quay.

3.3.1. Bậc tự do của vật rắn

Khi mô tả chuyển động của một vậ ắ ảt r n, ta ph i xác định được chuyển động của

bất kỳ điểm nào của vật. Để xác định vị trí của vật rắn ta cần ph nh vải xác đị ị trí của

ba điểm bất kỳ không thẳng hàng của nó, nghĩa là cần và chỉ cần xác định vị trí của

một tam giác bất kỳ gắn liề ận với v t rắ ển. Để xác định vị trí củ ộa m t đi m trong không

gian cầ ả ấn ph i xác đị độnh ba tọa , do đó vị trí củ đa ba iểm b t kỳ được xác định bởi

chín tọa độ. Tuy nhiên, do tính chất của vật rắn, ba điểm đó chính là ba đỉnh của một

tam giác xác định nên chín tọa độ đó không độc lập đối với nhau mà liên hệ với nhau

bằng ba phương trình xác định độ dài không đổi của ba cạnh tam giác, thành thử chỉ

còn có sáu tọa độ là độc lập. Do đó để xác định vị trí của vật rắn chỉ cần 6 tọa độ hay 6

tham số độc lập.

Vậy: Số tham số độc lập cần biết để xác định hoàn toàn vị trí của vật rắn gọi là

số bậc tự do của nó.

Vật rắn hoàn toàn tự do có 6 bậc tự do. Nếu vật rắn không hoàn toàn tự do thì bậc

tự do của nó giảm xuống. Ví dụ vậ ộ đ ố ọt rắn có m t iểm hoàn toàn c định thì ba t a độ

của điểm đó là hoàn toàn xác định và vật rắn chỉ còn ba bậc tự do. Vật rắn có hai điểm

hoàn toàn cố định chỉ có một bậc tự do: nó chỉ có thể quay quanh trụ đ đc i qua hai iểm

trên và bậc tự do còn lạ ủ ịi c a nó sẽ xác định v trí của vậ ụ đt quanh tr c ó.

Nghiên cứu chuyển động của vật rắn tức là phải xác định hoàn toàn vị trí củ ậa v t

rắn tại mọi thời điểm, nói cách khác cần phải xác định được qui luật biến thiên theo

thời gian của các tham số độc lập. Rõ ràng là số phương trình cần phải biết bằng số

tham số ủ ậ độc lập hay là bậc tự do c a v t rắn.

Vậy: bậc tự do của vật rắ ế ố ậ ần cho bi t s phương trình chuyển ng độ độc l p c n

phải biết để có thể ể hoàn toàn xác định chuy n động của vật rắn.

3.3.2. Chuyển động tịnh tiến

Khi một vật rắn chuyển động tịnh tiến mọi chất điểm của nó chuyển động theo

những quỹ đạo giống nhau, vậy chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà

trong đó

B xác định bởi hai điểm bất kỳ A và B của vật rắn luôn song song với

chính nó.

Tại mỗi thời điểm các chất điểm của vật rắn

tịnh tiến đều có cùng vectơ vận tốc và gia tốc.

V yậ :- trong chuyển động t nh tiị ến của vật

rắn, quỹ đạo của mọi điểm là những đường cong

như nhau, mọi nhau.

Giả thiết a

là vectơ gia tốc chung của các chất điểm M

, M

,…, M

;, của vật rắn,

các chất điểm này lần lượt có khối lượng là m

, m

,…, m

;, và lẩn lượt chịu các ngoại

lực tác dụng là F

, F

,…, F

. Theo định luật II Newton ta có:

Fam

Các phương trình này chứng tỏ rằng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn F

, F

,…,

song song và cùng chiều, đây là mộ đ ột iề ầu kiện c n để m t vật chuyể ến động tịnh ti n.

Cộng các phương trình (3.13) vế theo vế ta được:

Đ ủ ậ ốây là phương trình chuyển động c a v t rắn tịnh tiến; nó gi ng như phương

trình chuyển động của một chất đ ố ố ổ ộ ủ ậiểm có kh i lượng bằng kh i lượng t ng c ng c a v t

rắn và chịu tác dụng một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Đây cũng chính

là phương trình chuyển động của khối tâm của vật rắn.

Như vậy, muốn khảo sát chuyển động tịnh tiến củ ộ ậ ắa m t v t r n ta chỉ cần xét

chuyến động của khối tâm của nó.

3.3.3. Chuyển động quay

Xét một vật rắn quay quanh trục quay Δ vớ ố đ ủi vận t c góc ω

khi ó bậc tự do c a

vật rắn chỉ còn bằng một. Vị trí c t rủa vậ ắn được xác định bởi mộ ọt t a độ duy nhất là

góc quay θ. Ta có những nhận xét sau:

M iọi đ ểm của vật rắn vạch nên những vòng tròn có tâm nằm trên trục quay. Trong

cùng mộ ả ờt kho ng th i gian, mọ đi iểm của v c mật rắn đều quay đượ ột góc θ như nhau.

Tại cùng một thời điểm, mọi điềm của vật rắn đều

có cùng vận tốc góc:

dθ

= và gia tốc góc

θd

β =

Tại một thời điểm, vectơ vận tốc dài v

và gia tốc

tiếp tuyến của một chất điểm bất kỳ của vậ ắt r n liên hệ

với vận tốc góc và gia tốc góc bởi các hệ thức sau:

)r(ββa

)rx(ωv

Đ ữ ấ ọ ủây là nh ng tính ch t động h c c a chuyển động

quay của vật r t trắn xung quanh mộ ục cố định.

3.4. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn

Trong bài này ta sẽ thiết lập những phương trình cơ bản mô tả ể chuy n động quay

của vật rắn xung quanh mộ ụt tr c.

3.4.l. Mômen lực

a. Tác dụng của lực trong chuyển động quay

Giả thiết có một l t v t rực F tác dụng lên mộ ậ ắn quay quanh trục Δ, đặt tại một

điểm M. Trước hết ta phân tích F ra hai thành phần:

FFF

Trong đó

⊥ trục và F

trục. Lực

, nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục

Δ đi qua M lại được phân tích thành hai thành phần:

n11

FFF

Trong đó

⊥ bán kính OM, nghĩa là nằm theo tiếp tuyến của vòng tròn tâm O

bán kính OM, còn

nằm theo bán kính OM. Kết quả ta có:

2n1

FFFF

++=

Trên hình (3.1) ta thấy rằng:

- Thành phần

không gây ra chuyển động

quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn trượt dọc theo

trục quay, chuyển động này không thể có vì theo

giả thiết, vật rắn chỉ quay xung quanh trục Δ

- Thành phần

không gây ra chuyển ng độ

quay, chỉ có tác dụng làm vật rắ ỏ ụn rời kh i tr c

quay, chuyển động này cũng không thể có.

- Như vậy, trong chuyển động quay, tác

dụng của lực F

tương đương với tác dụ ủng c a

thành phần

của nó.

Kết luận: Trong chuyển động quay của một vật r t trắn xung quanh mộ ục chỉ

những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạ đặo củ đa iểm t mớ ụ ự ựi có tác d ng th c s .

Vì vậy trong các phần sau, để đơn giản, ta có thể giả thiết rằng, các lực tác dụng

lên vật rắ ể ến chuy n độ đềng quay u là lực tiếp tuy n.

b. Mômen của lực đối vớ ụi tr c quay

Xét tác dụng của m c tiột lự ếp tuyến

đặt tại một điểm M ứng với bán kính

OM=r. Thực nghiệm chứng t ng phỏ rằng, tác dụng của lực F, không nhữ ụ thuộc cường

độ củ ộa nó mà còn phụ thu c khoảng cách r: khoảng cách này càng lớn thì tác dụng của

lực càng mạnh. Để đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay, người ta

đưa ra một đại lượng gọ ựi là mômen l c.

Định nghĩa: Mômen của lực F

, đối v i trớ ục quay Δ là một vectơ M xác định bởi

(hình 3.1)

Theo định nghĩa này, vectơ có phương vuông góc với mặt phẳng chứa

và

nghĩa là phương củ ụa tr c quay, có chiều thuận với chiều quay từ r sang F

có trị số:

Chú ý: vì trong chuyển động quay tác dụng của lực

tương đương với tác dụng

của lực

nên người ta cũng định nghĩa a M là vectơ mômen củ

đối vớ ụi tr c Δ. Ta

có thể dễ ằ dàng chứng minh được r ng: Mômen của một lực

đối vớ ụi tr c

sẽ bằng

không khi lúc đó bằng không hoặc khi đó đồng phẳng với Δ.

- Ta cũng thấy rằng mômen M của

đối v i trớ ụ ủc Δ là mômen c a

đối với

đ đ ủiểm O, giao iểm c a Δ và mặt phẳng chứa

vuông góc với Δ.

3.4.2. Thi t lế ập phương trình cơ bản của chuyển động quay

Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng: tác dụ ủng c a các

ngoại lực làm thay đổi trạng thái chuyển động của vật

rắn quay, cụ thể là làm cho nó quay có gia tốc. Chúng

ta s i liên hẽ thiết lập phương trình nêu lên mố ệ đó.

Gọi M

là một chất điểm bất kỳ của vậ ắt r n, cách

trục một khoảng là ri ứng với bán kính vectơ rOM

có khối lượng mi và chịu tác dụng của ngoại lực tiếp

tuyến

(tổng hợp các nộ ự ụ ấi l c tác d ng lên các ch t

đ ủ ậiểm c a v t rắn bằ ảng không, do vậy chúng không nh

hưởng gì đến chuyển động quay).

Chất điểm M

sẽ chuyển n động với vectơ gia tốc tiếp tuyế

; cho bởi:

Fam

= Nhân hữu hướng hai vế biểu thức trên với bán kính vectơ

rOM

= ta được:

Khai triển ngoại tích kép ở hai vế của (3.17) ta được:

vậy (3.18) trở thành:

cộng các phương trình (3.19) vế với vế theo i (c các chộng theo tất cả ất điểm của

vật rắn) ta được:

Trong phương trình (3.19)

∑

MM = tổng hợp mômen các ngoại lực tác dụng

lên v

ật rắn

∑

.rm = I gọi là mômen quán tính của vật rắn đối với trục Δ (bằng tổng

mômen quán tính của các chất đ ểi m của vậ ắt r n). Vậy ta có thể ế ạ vi t l i biểu thức (3.20)

như sau:

Phương trình (3.21) gọi là phương trình cơ bản của chuyển động quay củ ậa v t rắn

xung quanh một trục. Từ (3.21) ta cũng có thể viết lại như sau:

Và có thể phát biểu như sau: Gia tốc góc trong chuyển n động quay của vật rắ

xung quanh một trục tỷ lệ với tổ ựng hợp mômen các ngoại l c đối với trục và tỷ lệ

nghịch với mômen quán tính của vật r i vắn đố ới trục.

Phương trình (3.21) nêu lên mối liên hệ giữa tác dụng ngoại lực đối với v t rậ ắn

quay, đặc trưng bởi vectơ mômen M và sự thay đồi trạng thái chuyển động của vật rắn

quay, đặc trưng bởi yectơ gia tốc góc

. Phương trình này tương tự như phương trình

của định luật II Newton đối với chuyển động tịnh tiến Fam

= , trong đó I có ý nghĩa

tương tự như khối lượng m. Vậy, I là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật

rắn trong chuyển động quay.

3.4.3. Tính mômen quán tính

Mômen quán tính I của vật r i v i mắn đố ớ ột

trục Δ được tính theo công thức:

Trong

đó m

,.r

là mômen quán tính của chất

điểm M

củ ậ ụ ộa v t rắn đổi với tr c và phép c ng lấy

cho tất cả các chất điể ủ ậm c a v t rắn.

Nếu khối lượng của vật rắn phân bố mộ ụt cách liên t c, muốn tính mômen quán

tính I, ta chia vật rắn thành nhữ ửng phần t vô cùng nhỏ ỗ ố, m i phần tử có kh i lượng vi

phân dm và cách trục Δ một kho phảng r; khi đó phép cộng ở vế ải của (3.23) trở thành

phép lấy tích phân:

Ví dụ 1: Tính mômen quán tính I của một thanh đồng chất chiều dài 1, khối

lượng M đối với trục Δ

đi qua trung điểm G củ ớa thanh và vuông góc v i thanh. Ta xét

một phần tử củ ố ề ộ đa thanh kh i lượng dm, chi u dài dx cách G m t oạn x. Mômen quán

tính của tìm đối với trục Δ

là:

dI = x

.dm (3.25)

Vì thanh là t nên khđồng chấ ối lượng của các đoạn trên thanh tỷ lệ với chiều dài

của các đoạn đó:

Mômen quán tính I của thanh đối với trục Δ

là:

Ví dụ 2: Tính mômen quán tính của mộ ốt đĩa đồng chất bán kính R, kh i lượng M

đối với trục Δ

của đĩa:

Ta phân tích đĩa thành những ph n tầ ử hình vành khăn bán kính x, bề rộng dx.

diện tích vành khăn là:

dS = d (x

πx

) = 2πxdx

Gọi khối lượng của phần tử hình vành khăn là md,

mômen quán tính của nó là:

dI = x

dm (3.27)

Vì đĩa đồng chất nên khố ủ ửi lượng c a các phần t

trên đĩa tỷ lệ với diện tích của các phần tử:

Do đó, (3.27) trở thành:

Mômen quán tính I của đĩa đối v i trớ ục Δ

bằng:

Chú ý: Biểu thức c a Iủ trong (3.29) không phụ thuộ ủc chiều dày c a đĩa, vì vậy,

công thức (3.29) cũng áp dụng được để tính I của một vật đồng chất hình trụ tròn khối

lượng M, bán kính R.

Bằng những phép tính tương tự, ta có thể tìm được mômen quán tính của những

vật đồng chất có hình dạng đối xứng đối với trục của chúng.

Hình 3.5. Mômen quán tính của mã số vật rắn.

Định lý Stein-Huygen:

Ở ủ ụ trên ta tìm được mômen quán tính c a các vật đối với tr c đối xứng Δ

đi qua

khối tâm G của chúng. Trong nhiều tr p ta phường hợ ải tìm mômen quán tính đối với

một trục bất kỳ. Khi đó ta có thể áp dụng định lý Stein-Huygen sau:

Mômen quán tính của một vật rắn đối

với một trục Δ b bất kỳ ằng mômen quán tính

của vật đối v i trớ ục Δ

song song với Δ đi

qua khối tâm G của vật cộng với khoảng

cách d gi

ữa hai trục: I = I

+ Md

(3.30)

Dưới đây sẽ chứng minh định lý này cho một trường h n giợp đơ ản: trường hợp

của thanh đồng chất chiều dài 1 khối lượng M.

Giả thiết hai trục Δ và Δ

cùng vuông góc với thanh (hình 3.6). Lấy một phần tử

chiều dài dx, khối lượng dm của thanh, cách G một khoảng x (x > 0 nếu tìm ở bên phải

G và x < 0 n

ếu tìm ở bên trái G). Mômen quán tính của tìm đối v i trớ ục Δ là (d+x)

dm;

mômen quán tính của thanh đối với trục Δ là:

d)dm(xI +∫= (tích phân theo các phần tử của thanh)

Khai triển các phép tính ta có:

dmdxdm2ddmx)d2dxdm(xI

2222

∫+∫+∫=++∫=

Nhưng

Idmx =∫ = mômen quán tính của thanh đối với trụcΔ

; ∫dm = M = khối

lượng của thanh; ∫xdm = 0, vì trong tổng đó cứ mỗi phầ ản tử bên ph i dx (có x > 0) lại

ứ ử ứng với một phần t đối x ng bên trái dx (có x > 0), do đó hai số hạng tương ứng có x

ngược dấu nên khử nhau. Cuối cùng ta có:

I = I

+Md

3.5. Mômen động l ng cượ ủa một hệ chất điểm

3.5.1. Định nghĩa

M iột hệ chất đ ểm M

, M

,…,M

,… lần l khượt cổ ối lượng ,...m,...,m,m

i21

và

chuyển động với những vận tốc ,...v,...,v,v

i21

đối với một hệ quy chiếu gố ạc O. T i

thời đi iểm t vị trí những chất đ ểm ấy được xác định bởi các vector bán kính

,...r,...,r,r

i21

Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O được định nghĩa bởi:

bằng tổng các mômen động lượng của các chất điểm trong hệ đó với O.

Chúng ta hãy xét một số trường hợp riêng

a. Hệ chất điểm quay xung quanh một trục cố định

ΔΔ

Khi đó, theo chứng minh ở phần trước ta có mômen động l ng cượ ủa một chất

điềm (

r,m

iii

ωIL

= (3.32)

trong

đó

rmI = là mômen quán tính của chất điểm đối với trục quay Δ, ω

là

vận tốc góc của chất điểm trong chuyển động quay xung quanh Δ.

Khi đó mômen động lượng của hệ được xác định bởi:

b. Trường hợp vật rắn quay xung quanh một trục cố định

ΔΔ.

Khi đó mọi chấ ắ ật đ ủiểm c a vật r n quay đều có cùng v n tốc góc.

trong

đó

∑ ∑

i i

iii

rmII là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay Δ

3.5.2. Định lý về mômen động lượng của một hệ chất điểm

Đối với chấ đ ủ ệ ụt iểm (m;, r) c a h khi áp d ng đị độnh lí về mômen ng lượng ta

được:

M (O,

) là tổng mômen đối v i gớ ố ủc O c a các lực tác dụng lên chất điểm (m

Cộng các phương trình trên theo I ta được:

Vế trái (3.37) = L

là đạo hàm theo thời gian của mômen động l ng cượ ủa hệ.

Vế phải của (3.37) biểu thị tổ ớng mômen đối v i gốc O của các lực tác dụng lên các

chất điểm của hệ. Các lực tác dụng lên các chất điểm của hệ bao gồm các ngoại lực tác

dụng và các nội lự ủ ấ đc tương tác c a các ch t iểm trong hệ. Chú ý rằng các nội lực

tương tác của các chất điểm trong hệ từng đ ộôi m t đối nhau (cùng phươ ượng, ng c

chiều và cùng độ lớ ớn), do đ ổó, t ng mômen đối v i O củ ựa những l c này sử bằng 0.

Vậy v phế ải của (3.37) chỉ còn là tổng mômen đối với O của các ngoại lực tác dụng

lên hệ. Kết quả ta thu được công thức sau:

Định lí: Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của một hệ chấm điểm

bằng tổng mômen các ngoại lực tác dụng lên hệ (đối với một đ ốiểm g c O bất kì)

Chúng ta hãy xét một trường hợp riêng: hệ chất điểm là một vật rắn quay xung

quanh một trục cố định Δ. Có: ωIL

rmI = , do ng có đó định lí về mômen động lượ

thể viết:

trong đó M là tổng mômen các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay.

Tích phân phương trình (3.39) từ thời điểm t

đến thời điểm t

tương ứng với sự

biến thiên của t từ L

đến L

ta được:

Đạ

i lượng

∫

M M

được gọi là mômen xung lượng của mômen lực trong khoảng

thời gian Δt = t

– t

Nếu M = không đổi thì ta được:

Chú ý: đối v t trới vật rắn quay xung quanh mộ ục cố định, mômen quán tính

I = const. Vì vậy, ta có thể viết

trong đó

ωd

= là gia tốc góc và phương trình (3.42) là phương trình cơ bản của

chuyển động quay của vật r t tr c mà ta ắn xung quanh mộ ụ đã biết.

3.6. Định luật bảo toàn mômen động lượng

3.6.1. Thi t lế ập

Giả sử có một hệ ể ệ chấ đt i m không chịu tác dụ ủ ạng c a các ngo i lực (h chấ đt iểm

cô l c nhập) hoặc có chịu tác dụng của các ngoại lự ưng tổng mômen của các ngoại lực

ấ ằy đối với điểm gốc O b ng 0. Khi đó theo định lí về mômen động lượng ta có:

Vậy: Đối với một hệ chất điểm cô lập hay chịu tác dụng c a các ngoủ ại lực nhưng

tổng mômen của các ngoại lúc ấy đối với điểm gốc O bằng 0, thì tổng mômen động

lượng của hệ là một đại lượng bảo toàn.

3.6.2. Trường hợp hệ quay xung quanh một trục cố định

Định lí về mômen động lượ ường đối với hệ trong tr ng hợp này:

Cần chú ý rằng các vector vận tốc góc và vector mômen lực đều nằm trên trục

quay. Khi M ta được kết quả: const....ωIωIωI

ii2211

=+++

3.6.3. Một vài ứng dụng c ng ủa định lu ng lật bảo toàn mômen độ ượ

Đối vớ ới mộ ộ ụt hệ quay xung quanh m t tr c v i vận tốc góc ω, nếu tổng hợp

mômen ngoại lực tác dụ ủng bằng không thì mômen động lượng c a hệ ả b o toàn:

Iω = const

Nếu vì một lí do nào đó mômen quán tính I của hệ tăng thì ω giảm, hệ quay chậm

lại; ngược lại nếu I giảm thì ω tă ệ ểng, h quay nhanh lên. Ta có th nêu một vài thí dụ

minh họa tính chất đó.

CH NGƯƠNG 4. NĂNG LƯỢ

4.1. Công và công suất

4.1.1. Công

Xét một vật nằm yên trên bàn. Nó chịu tác dụng c ng lủa hai lực: trọ ực và phản

lực của mặt bàn, tổng hình học của các ngoại lực bằng không. Do đó, theo định luật

bảo toàn động l ng l ng cượng thì độ ượ ủa vật bảo toàn. Suy ra, vật phải giữ nguyên

trạng thái nằm yên trên bàn.

Lại xét một ôtô chuyể ẳn động th ng đều trên đường, mô chịu tác dụ ủ ựng c a l c kéo

của động cơ, lực cản của không khí, lực ma sát của mặt đường, trọng lượng của mô

phản lực của mặt đường. Vì ôtô chuyển động thẳng đều, nên theo định luật I Newton

thì tổng hình học của tất cả các lự ụ ả đc tác d ng lên ôtô ph i bằng 0. Do ó, theo định luật

bảo toàn động l ng l ng cượng thì độ ượ ủa ôtô không thay đổi theo thời gian. Như vậy,

trạng thái chuyển ng động của ôtô và vật nằm trên mặt bàn là như nhau. Tuy nhiên, độ

cơ của ôtô phải hoạt động liên tục, tiêu t n nhiên liố ệu để sản sinh ra lực kéo nhằm duy

trì trạng thái chuyển động cơ học không thay đổi theo thời gian, trái lại vật nằm trên

mặt bàn lại không cần tiêu tốn một tí năng lượng nào cả.

Nghiên cứu kỹ, ta thấy có sự khác nhau rất cơ bản giữ ụa hai ví d nêu ra ở trên, đó

là: điểm đặt của các lực tác dụng lên vật nằm trên mặt bàn không dịch chuyển, còn

đ ủ ựiểm đặt c a l c kéo của động cơ ôtô liên tục dịch chuyển cùng ôtô.

Vậy, ta có thể nói rằng: một lực sinh công khi điểm đặt của nó chuyển dời.

Thí nghiệm chứng tỏ rằng, lượng nhiên liệu tiêu thụ bởi động cơ ôtô tỷ lệ với tích

số củ ựa l c kéo F

và quãng n x cđường dịch chuyể ủa điểm đặt của lực kéo (quãng

đường dịch chuyển của ôtô).

Đại lượng được đ ằo b ng tích số củ ự ủ đa l c và quãng đường dịch chuyển c a iểm

đặt của lự ọc g i là công.

Ví dụ trên cho thấy rằng năng l ng nhiượ ệt

chứa trong nhiên liệu khi bị đốt cháy trong động

cơ ôtô đã chuyển thành công cơ học làm cho ôtô

chuyển ng động. Vậy công chính là đại lượ đặc

trưng cho phần năng lượng chuyển đổi từ dạng

năng l ng nượng này sang dạ ăng khác, hay chính

là ph

ần năng lượng trao đổi giữa các vật.

Dưới tác dụng của lực F

giả sử chất điểm dịch chuyể ạn được mộ đt o n đường vi

phân

. Công vi phân dA mà lực F

ực hiện được trên đoạn đường sd

là tích vô

h :ướng của hai vectơ

.ds.cosF = .dsF =dA

(4.1)

Nếu: α < π/2 thì dA > 0: công hữu ích

α < π/2 thì dA = 0: lự ục tác d ng vuông góc với chuyển động nên không sinh

công.

α > π/2 thì dA < 0: công cản (ví dụ công của lực ma sát)

Từ biểu thức (4.1) ta suy ra đơn vị của công là Jun (J): 1J = 1Nm.

Biểu thức này chỉ đúng cho trường hợp

lực F

không đổi và chuyển dời của s là thẳng.

Trong trường hợp tổng quát điểm đặt của lực

chuyển dời từ đ điểm P đến iểm Q trên quỹ

đạ đổo, trong quá trình này lực thay i. Để tính

công trong trường hợp này ta chia đoạn đường

PQ thành nhiều đoạn con dự, rồi

áp dụng công thức (4.1) tính công vi phân dA trên đoạn sd

đó, rồi cộng tất cả các

công vi phân lại ta sẽ tính được công mà lực F

thực hiện được trên đoạn đường PQ:

Nếu phân tích vectơ F

và sd

thành các thành phần theo các trụ ạc to độ của hệ

toạ độ Descarst thì ta có thể biểu diễn công A dưới dạng:

4.1.2. Công suất

Khi định nghĩa công mà lực F

thực hiện n được trên một đoạ đường nào đó ta

không tính đến thời gian thực hiện công. Để đặc trưng cho khả năng sinh công nhanh

hay chậm của một máy sinh công (Ví dụ: một động cơ) ngườ ượi ta đưa vào một đại l ng

vật lý mới gọi là công suất.

Công suất trung bình P

củ ộ ỷa m t máy sinh công là t số của công ΔA và thời

gian Δt để thực hiện công đó, ta có:

Về mặt ý nghĩa, công suấ ằt trung bình có giá trị b ng công trung bình của lực sinh

ra trong đơn vị thời gian.

Để tính công suất tại từng thời t điểm, ta cho Δ → 0. Giới hạn của

Δt

ΔA

khi Δt → 0

theo định nghĩa gọi là công suất tức thời (gọi tắt là công suất) củ ựa l c, được ký hiệu là:

Vậy: công suất có giá trị bằng đạo hàm của công theo thời gian.

Vậy: công suất bằng tích vô hướng củ ự ụ ớa l c tác d ng v i vectơ vậ ố ủn t c c a

chuyển rời.

Đơn vị của công suất là Watt (W), 1w = 1J/s = 1 Nm/s.

4.1.3. Công và công suất của lực tác dụng trong chuyển động quay

Trong trường hợp một vật rắn quay xung

quanh một trục Δ các lực tác dụng đều là lực

tiếp tuyến (hình 4.3). Công vi phân của một

lực tiếp tuyến

cho bởi:

dsFdA

(giả sử

hướng theo chiều chuyển động)

nhưng ds = rdα, dù là góc quay ứng với

chuy

ển rời sd

, vậy:

dA = rF

Theo định nghĩa: rF

= M mômen của lực

đối với trục quay Δ do đó:

dA = M dA

Từ đây, ta có thể suy ra biểu thức của công suất:

4.2. Năng lượng

4.2.1. Khái niệm năng lượng và định lu ng lật bảo toàn nă ượng

Tất cả các dạng cụ thể của vậ ấ ật ch t v n động đều có nă ăng lượng. N ng lượng là

một đại lượng đặc trưng cho mức độ vận động của vật chất.

Một vật t ở trạng thái nhấ định thì có một năng lượng xác định. Khi mộ ật v t

không cô lập nghĩa là có tương tác với môi trường bên ngoài thì vật đó s biẽ ến đối

trạng thái và trao đổi n trao thăng lượng với các vật bên ngoài. Sự đổi này có thể ực

hiện b u chăng nhiều cách. Nế ỉ xét chuyền động cơ, thì sự trao đối năng l ng thượ ực

hiện như sau: vật đang khả ậo sát tác dụ ựng những l c lên các v t bên ngoài và những lực

này sinh công. Như vậy, công là một đại lượng đặc trưng cho quá trình trao đổi năng

lượng giữa vật này và vật khác. Nói cách khác, khi một h thệ ực hiện công thì năng

lượng của nó biến đổi. Ta sẽ xem xét cụ thể các quá trình đó trong chương này.

Giả thiết trong một quá trình nào đó hệ biến đổi từ trạng thái 1 (có năng lượng

) sang trạng thái 2 (có năng lượng W n t

); quá trình này hệ nhậ ừ bên ngoài một

công A (công A là một lượng đại số có thề dương hay âm tuỳ ự theo hệ th c sự nhận

công từ bên ngoài hay thực sự sinh công cho bên ngoài). Thực nghiệm chứng tỏ rằng

độ biế ăn thiên n ng lượng W

– W

của hệ có giá trị bằng công A:

– W

= A (4.9)

Ta có thể phát biểu: "Độ biến thiên năng lượng của một hệ trong quá trình nào

đó có giá trị bằ ậ ừ đng công mà hệ nh n được t bên ngoài trong quá trình ó". Nếu hệ

thực sự nh ng lận công từ bên ngoài A > 0 nă ượng của hệ tăng, nế ựu th c sự sinh công

cho bên ngoài, A < 0 năng lượng c giủa hệ ảm.

Trong trường hợp một hệ cô lập (tức không tương tác với bên ngoài, không trao

đổi năng lượng với bên ngoài) ta có A = 0, khi đó (4.9) cho ta:

= W

= const (4.10).

Năng lượng của một hệ cô lập được bảo toàn.

Các phát biểu (4.9) hay (4. 10) chính là nội dung của định luật bảo toàn năng

lượng; như vậy có nghĩa là: Năng lượng không tự mấ đ ũt i mà c ng không tự sinh ra,

năng lượng chỉ chuyển từ hệ này sang hệ khác.

Cần phân biệt hai khái niệm công và năng lượng. Một trạng thái của hệ tương

ứng với một giá trị xác định của năng lượng của hệ; ta nói rằng năng lượng là một hàm

trạng thái, còn công ng cho đặc trư độ bi ng lến thiên nă ượng của hệ trong một quá

trình nào đó. Công bao giờ cũng t ng vương ứ ới một quá trình cụ thể. Ta nói rằng công

là hàm quá trình.

Mỗi hình thức vận động cụ thể tương ứng với một dạng năng lượng cụ thể.

Chẳng hạn như: vận động tương ứng với cơ nă ệng; vận động nhi t tương ứng với

nội năng; vận động điện từ tươ ượng ứng với năng l ng điệ ăn từ. Tuy n ng lượng được

bảo toàn về số lượ ượng nhữ ựng do tương tác giữa các hệ, do s trao đổi năng l ng giữa

hệ này và hệ khác, nên năng lượng luôn luôn chuyển hoá từ dạng này sang dạng khác.

Định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng là sự phản ánh về mặ ọ ựt khoa h c t

nhiên tính không thể tiêu diệt được sự vậ ấn động củ ậa v t ch t. Ă ọnghen g i định luật đó

là "quy luật cơ bả ủ ự ận vĩ đại c a s v n động".

Từ định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng chúng ta có thể rút ra một kết

luận có tính thực tiễn. Theo (4.9) ta thấy rằng một hệ khi sinh công thực sự thì năng

lượng của hệ giảm đi. Vì năng lượng của hệ là hữu hạn nên bản thân hệ không thể tự

sinh công mãi mãi được. Muốn cho h p tệ tiế ục sinh công, nhất thiết phả ấi cung c p

thêm năng lượng cho hệ để bù lại phần năng lượng đã bị giảm trong quá trình làm

việc. Như vậy, theo định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng không thể có một hệ

sinh công mãi mãi và không nhận thêm năng lượng t nguừ ồn bên ngoài. Một hệ sinh

công mãi mãi mà không cần nh ng lận thêm nă ượng bên ngoài gọi là một động cơ vĩnh

cửu. Định luậ ăt bả ểo toàn và chuy n hoá n ng lượng khẳng định sự không tồ ủn tại c a

động cơ vĩnh cửu.

4.2.2. Động năng

a. Định lý về động năng

Động nă ầng là ph n cơ năng tương ứng với

sự chuyển động của các vật. Muốn xác định

biểu thức của động năng ta hãy tính công của

lực ngoài tác dụng lên vật.

Xét một chất điểm khối lượng m, chịu tác d cụng của một lự

, và chuyển rời từ

vị trí 1 sang vị trí 2 (hình 4.4). Công của lực F

trong chuyển rời từ 1 sang 2 là:

Trong đó v

và v

là vận tốc c a chủ ấ ệt đ ịiể ạm t i các v trí 1 và 2, thực hi n phép

tích phân ta được:

Theo (4.9) công A có trị số đ bằ ếng độ bi n thiên cơ ở năng ( ây là động năng). Vậy

ta có định nghĩa:

=động nă ểng chấ đt i m tại vị trí 1 = Wd

= động năng chấ ểt đi m tại vị trí 2 = Wd

Tổng quát, biểu thức động nă ủ ấng c a ch t đ ểi m có khối lượng m, vận tốc v

cho bởi:

Định lý về ă động n ng: Độ biến thiên động nă ủ ộng c a m t chấ đ ột iểm trong m t

quãng đường nào đó có giá trị bằng công của ngoại lực tác dụng lên chất điểm sinh ra

trong quãng đường đó.

Kết luận: Khi động n ng că ủa một vật giảm thì ngoại l t sinh ực tác dụng lên vậ

m nột công cả ; như thế nghĩa là vật đó tác dụng lên vật khác một lực và lực đó sinh

công dương.

b. Động năng trong trường hợp vật rắn quay

Phương trình biểu thị định lý về động năng trên chỉ áp dụ ộng đối với m t chất

đ ộiểm hay m t vậ ể ết rắn chuy n động tịnh ti n. Còn đối với một vật rắn quay quanh trục

Δ phương trình biểu thị định lý về động năng. có một dạng khác.

Trong chuyển động quay quanh một trục, biểu thức của công vi phân là:

dA = dsF

= M dtω

theo phương trình cơ bản của chuyển động quay

Tích phân hai vế của biểu thức trên trong một khoảng thời gian hữu hạn, trong đó

vận tốc góc ω biến thiên từ ω

đến ω

ta được công của các ngoại lự ụ ậc tác d ng lên v t

rắn quay trong khoảng thời gian đó là:

Ta suy ra biểu thức sau của động năng của vật rắn quay là:

Chú ý: Trong trường hợp tổng quát vật rắn vừa quay, vừa chuyển động tịnh tiến,

độ động năng toàn phần của vậ ắt r n bằng tổng ng nă ếng quay và động năng tịnh ti n:

Trường hợp riêng: vật rắn đối xứng tròn xoay, lăn không trượt; khi đó v n tậ ốc

tịnh tiến liên hệ với vận tốc quay bởi hệ thức v = ωR (với R là bán kính tiết diện vật

rắn ở điểm tiếp xúc với m t phặ ẳng trên đó vật rắn lăn không trượt). Vậy, ta có thể viết

biểu thức động năng toàn phần như sau:

4.2.3. Trường lực thế

M iột chất đ ểm được gọi là chuyển động

trong một trường lực nếu tại mỗi vị trí các chất

điể ệm đều xuất hi n lực F

tác dụng lên chất

điểm ấy.

Lực F

tác dụng lên chất đ ểi m nói chung phụ thuộc vào vị trí của chất đ ểi m: nói

cách khác F

là một hàm của các toạ độ củ ấ đ ể ũ ể ộa ch t i m và c ng có th là m t hàm của

thời gian t. Trong bài này, ta không xét trường hợp F

là hàm của t. Vậy nói chung ta có:

Khi chất điểm chuyển động từ vị trí M đến vị trí N bất kỳ ủ (hình 4.5) thì công c a

lực F

bằng:

Nếu công A

củ ựa l c F

không phụ thuộ ị ục đường d ch chuyển MN mà chỉ ph

thuộc vào vị trí điểm đầu M và điểm cuối N thì ta nói rằng: F

(

) là lực củ ộa m t

trường lực thế.

Ta có thể dễ ràng chứng minh được trọng trường u đề và trường tĩnh điện Culông

là những trường lực thế.

4.2.4. Thế năng

a. Định nghĩa

Khi một chất điểm dịch chuyển từ vị trí M sang vị trí N trong trường lự ếc th thì

công A

củ ự ụ ộ ố ấa trường l c chỉ ph thu c vào hai vị trí đầu và cu i M, N. Tính ch t này

ta có thể định nghĩa:

Thế nă ủ ấ đ ể ựng c a ch t i m trong trường l c thế là một hàm W

phụ thuộc vào vị trí

của chất điểm sao cho:

= W

(M) - W

(N) (4.18)

Từ định nghĩa ta thấy rằng: nếu đồng thời cộng W

(M) và W

(N) với cùng một

hằng số thì hệ thức định nghĩa trong (4.18) vẫn được nghiệm đúng, nói cách khác: "thế

năng của chất điểm tại một vị trí được định nghĩa sai khác một hằng số ộ c ng".

Ví dụ 1: Trong trọng trường đều, biểu thức công trong trường lực này là: A

mgz

– mgz

, ta suy ra biểu thức của thế năng chất đ ạiểm t i vị trí có độ cao z là L:

(z) = mgz + C (4.19)

Ví dụ 2: Trong n trđiệ ường Cu lông, biểu thức công trong trường lực này là:

suy ra biểu thức tính thế năng của điện tích q

tại vị trí cách q một đoạn r là:

b. Tính chất

- Thế năng tại m t vộ ị trí được xác định sai khác một hằng số ộ c ng nhưng hiệ ếu th

năng giữa hai vị trí thì hoàn toàn xác định.

Giữa tr c và thường lự ế năng có hệ th c sau:ứ

N iếu cho chất đ ểm địch chuyển theo một vòng kín (M ≡ N) thì hệ thức trên đây

trở thành

c. Ý nghĩa của thế năng

Thế năng là dạng năng lượng đặc trưng cho tương tác.

Ví dụ 1: Dạng thế nă ủ ấ đng c a ch t iểm trong trọng tr ng cườ ủa quả đất là năng

lượng đặc trưng cho tương tác giữa quả đất với chấ ểt đi m; ta cũ đng nói ó là thế năng

tương tác giữa quả đất và chất điểm.

Ví dụ 2: Thế n n tích qăng của điệ

trong điện trường Culông của điện tích q là thế

năng tương tác giữa q

và q.

4.2.5. Định luật bảo toàn cơ năng

Khi chất điểm khối lượng m chuyển động từ vị ộ trí M đến vị trí N trong m t

trường lực thế thì công của trường lực cho bởi:

= W

(M) - W

(N)

N iếu chất đ ểm chỉ chịu tác dụ ủng c a trường lực thế thì theo định lý về động năng,

ta có:

= W

(N) - W

(M)

Vậy: W

(M) - W

(N) = W

(N) - W

(M)

Hay W

(M) + W

(M) = W

(N) + W

(N) (4.23)

Vậy tổng: W

(m) + W

(M) = const (4.24)

Tổng này có giá trị không đổi, không phụ thuộc vào vị trí của chất điểm.

Tổng động năng và thế nă ủ ấ đ ọ ơ ă ủ ấ đ ểng c a ch t iểm được g i là c n ng c a ch t i m.

Khi chấ đ ộ ự ụ ủ ộ ựt iểm chuyển động trong m t trường l c thế (không chịu tác d ng c a m t l c

nào khác) thì cơ năng của chất điểm là một đại lượng b nh luảo toàn. Đây chính là đị ật

b .ảo toàn cơ năng trong trường lực thế

Vỉ du: Khi chất đ ốiểm kh i lượng m chuyển động trong trọng trường đều thì:

Hệ quả: Vì W = W

+ W

= const nên trong quá trình chuyển động của chất điểm

trong trường lực thế nếu động năng W

tăng thì thế năng W

giả ạm và ngược l i; ở chỗ

nào W

đạt giá trị cực đại thì W

cực tiểu và ngược lại.

Chú ý: Khi chất điểm chuyển động trong trường lực thế còn chịu tác dụ ủng c a

một lực khác F

(ví dụ lực ma sát) thì nói chung cơ nă ểng của chất đi m không bảo

toàn: độ biến thiên của cơ năng chấ ể ẽ ằt đi m s b ng công của lực F

đó.

4.3. Bài toán va chạm

Ta hãy khảo sát bài toán va chạm của hai quả cầu nhỏ chuyển động trên đường

thẳng nối liền hai tâm của chúng (va chạm xuyên tâm).

Giả thiết hai quả cầu có khối lượng lần lượt là m

và m

Trước va chạm chúng có

vect

ơ vận tốc là

vvàv

(cùng phương); sau va chạm, chúng có vectơ vận tốc là

vvàv

Trước h a hết ta hãy viết phương trình biểu di ng cễn s o toàn ự bả động lượ ủ ệ trước

và sau va chạm:

m v m

1 1

= m

v m

(4.26)

(ta chỉ ị viết phương trình đối với tr đại số của các vectơ vận tốc vì chúng cùng

phương).

Để tìm được vận tốc

vvàv

ta phải tìm thêm một phương trình nữa, muốn vậy

ta phải xác định điều kiện va chạm. Ta xét hai trường hợp:

4.3.1. Va chạm đàn hồi

Động nă ệng của h (m

+ m

) trước và sau Va chạm bảo toàn. Khi đó ta có:

Từ (4.26) và (4.27) ta rút ra:

Theo kết quả (4.28) ta thấy rằng: trong trường

hợp đặc biệt m

= m

thì v

= v

và v

= v

; ta nói

rằng hai quả cầu trao đổi vận tốc với nhau.

Nếu ban đầu quả cầu 2 đứng yên (v

= 0), ta sẽ có:

Trong trường hợp m

- m

thì v

= 0 và v

= v

, như đã nói ở trên chúng trao đổi

vận tốc với nhau, quả cầu 1 sẽ đứng yên, quả cầ ẽu 2 s chuyển động với vậ ằn tốc b ng

vận tốc của quả cầu 1 trước va chạm.

Trong trường hợp m

<<< m

theo (4.30) ta có:

≈ -v

≈ 0

nghĩa là quả ầ ầ ắ c u 2 vẫ ản đứng yên, qu c u 1 b n ngược trở lại với vận tốc bằng vận tốc

tức thời (về giá trị) của nó trước va chạm.

4.3.2. Va chạm mềm

Sau va chạm hai quả c ó ta có:ầu dính vào nhau chuyển động cùng vận tốc. Khi đ

Vậy (4.26) trở thành:

+ m

) v = m

+ m

Từ đây ta suy ra:

Trong va chạm mềm, nói chung động năng không được bảo toàn mà bị giảm đi.

Độ giảm động năng củ ồa hệ có trị s bằng:

Độ giả ếm động năng này có giá trị bằng công làm bi n dạ ả ầng hai qu c u.

CHƯƠNG 5. TRƯỜNG HẤP DẪN

Nhiều hi ng tện tượng trong tự nhiên chứ ỏ rằng các vậ ốt có kh i lượng luôn luôn

tác dụng lên nhau những lực hút. Trọng lực là lực hút của quả ậ đấ đốt i với các v t xung

quanh nó. Quả đất quay xung quanh mặt trời là do lực hút của mặt trời; Mặt trăng quay

xung quanh quả đất là do lực hút của quả đất. Giữa các vì sao trong vũ trụ cũ ựng có l c

hút lẫn nhau v.v... Các lực hút đó gọi là lực hấp dẫn vũ trụ. Giữa những vật xung

quanh ta cũng có lực hấp dẫn vũ trụ nhưng giá trị củ ự ỏa những l c này quá nh nên ta

không thể quan sát c. Nhà bác hđượ ọc Newton là người đầu tiên nêu lên định luật cơ

b .ản về lực hấp d n vẫ ũ trụ

5.1. Định luật vạn vật hấp dẫn

5.1.1. Định luật vạn vật hấp dẫn - Định luật Newton

Phát biểu: Hai chất điểm khối lượng m

và m' mặt cách nhau một khoảng r sẽ hút

nhau bằng những l ng là ực có phươ đường

thẳng nối hai chấ đ đt iểm ó, có cùng độ tỷ lệ

thuận với hai khối lượng m và m' và tỷ lệ

nghịch với bình phương khoảng cách r:

Trong công thức trên, G là một hệ số tỷ lệ, phụ ộ ọ thu c vào sự ch n các đơn vị và

gọi là h .ằng số hấp dẫn vũ trụ

Trong hệ đơn vị SI, thực nghiệm cho ta trị s cố ủa G là:

Ví dụ: Cho m = m

= 1kg; r = 0,1m, ta tính được:

Trị s quá không phát hiố này nhỏ ện được.

Chú ý:

+ Công thức (5.1) chỉ áp dụng cho trường h p nhợ ững chất điểm. Muốn tính lực

hấp dẫn vũ trụ giữa các vật có kích thước lớn, ta phải dùng phương pháp tích phân.

+ Người ta đã chứng minh rằng vì lý do đối xứng công thức (5.1) cũ ụng áp d ng

được cho trường hợp hai quả cầu đồng chấ ảt, khi đó r là kho ng cách giữa hai tâm của

qu ó.ả cầu đ

5.1.2. Khố ố ấ ẫi lượng quán tính và kh i lượng h p d n

Khối lượng là độ đo về lượng (nhiều hay ít) vật chất chứa trong vật thể, có thể

tính từ tích phân toàn bộ thể tích củ ậa v t:

pdVm ∫=

Với p là khối lượng riêng.

Đơn vị tiêu chuẩn đ ốo kh i lượng ở Việ ệ ết Nam, tuân theo h đ ốo lường qu c t , là

kilôgam. Các quốc gia khác trên thế giới có thể sử dụng đơn vị đo khác. Tham khảo

thêm tại trang đơn vị đo khối lượng.

Khối lượng của một vật là mộ ậ ư ứt đại lượng v t lý đặc tr ng cho m c độ quán tính

của vậ đ ậ ốt ó. V t có kh i lượng lớn có sức ì lớn hơn và cần có lực lớn hơn để làm thay đổi

chuyể ủ ốn động c a nó. M i liên hệ giữa quán tính với khối lượng được Isaac Newton phát

biểu trong định luật 2 Newton. Khối lượng trong chuyển động thẳng đều còn được mở

rộng thành khái niệm mômen quán tính trong chuyển động quay. Khối lượng của một

vật cũ ưng đặc tr ng cho mức độ vậ đ ấ ật ó h p dẫn các v t thể khác theo định luật vạn vật

hấp dẫn Newton. Vật có khối lượng l p d n lớn có tạo ra xung quanh trường hấ ẫ ớn.

Khối lượng hiểu theo nghĩa độ lớ ủ ốn c a quán tính, kh i lượng quán tính, không

nhất thiết trùng với khối lượng hiểu theo nghĩa mức độ hấp dẫn vậ ể ốt th khác, kh i

lượng hấp dẫn. Tuy nhiên các thí nghiệm chính xác hiện nay cho thấy hệ khối lượng

này rất gần nhau và một tiên đề củ ộ ủa thuyết tương đối r ng c a Albert Einstein phát

biểu rằng hai khối lượng lượng này là một.

5.1.3. Một vài ứng dụng

a. Sự thay đổi của gia tốc trọng trường theo độ cao

Lực hút của quả đất đối v i mớ ột chất điểm khối lượng m (lực trọng trường) chính

là lực hấp d n vẫ ũ trụ.

Nếu m ở ngay trên mặt đất thì theo (5.1), lực hấp dẫn do quả đất tác dụng lên m

bằng:

trong đó M là khối lượng của quả đất. Nhưng lực trọng trường P

cũng bằng P

(5.4) với g

là giá trị củ ố ọa gia t c tr ng trường ngay trên mặt đất. So sánh (5.3) và

(5.4) ta được:

Tại một điểm cách mặt t đấ độ cao h (hình 5.2), lực trọng trường tác dụng lên chất

đ ốiểm kh i lượng m tính bởi:

suy ra giá trị của gia tốc trọng trường ở độ cao h là:

Từ (5.4a) và (5.6), ta có:

Ta chi xét các độ cao hai, do đó h << R, và ta có thể viết gần đúng:

(5.7) là sự phụ thuộc của gia tố ọc tr ng trường theo độ cao h. Theo (5.7) thì càng

lên cao, g càng giảm.

b. Tính khối lượng của các thiên thể

Từ biểu thức (5.3), ta có thể tính khối lượng M của trái đất:

với R là bán kính trái đất, có giá trị trung bình là 6370km = 6,370.106m; g là gia

ốc trọng trường trên mặt đất, lấy giá trị trung bình bằng 9,8m/s

. vậy:

Nhờ công thức về lự ũ ụ ũ ể ố ặc hấ ẫp d n v tr , ta c ng có th tính được kh i lượng m t

trời. Trái đất quay xung quanh mặt trời là do lực hấ ặp dẫn của m t trời đố đấi với trái t

lực này đóng vai trò lực hướng tâm:

Trong đó M' là khối l t trượng Mặ ời, R' là khoảng cách từ quả đất đến mặt trời;

nếu quỹ đạo của quả đất quay xung quanh Mặt trời coi như quỹ đạo tròn (R' coi như

không đổi và lấ ảy bằng kho ng cách trung bình từ qu n Mả đất đế ặt trời) thì lực hướng

tâm

cho bởi công thức:

v là v n tậ ốc chuyển động của quả đất trên quỹ đạo. Vận tốc v của quả đất có liên

hệ với chu kì quay T của nó:

Thay (5.10) vào (5.9) rồi so sánh với (5.8) ta được:

Từ đó suy ra khối lượng Mặt trời

Tính cụ thể bằng số ta tìm được M ' = 2.1030kg

5.2. Tính chất thế của trường hấp dẫn

Để giải thích lực hấp dẫ ận, người ta cho rằng xung quanh một v t có khối lượng,

tồn tại một trường hấ ẫ ể ệp d n. Bi u hi n cụ ể th củ ỳ ộa trường hấ ấp dẫn là: b t k m t v t nào ậ

có khối l t vượng đặt tại mộ ị trí trong không gian của trường hấ ẫp d n đều chịu tác dụng

của lực hấp dẫn.

5.2.1. Bảo toàn mômen động lượng trong trường hấp dẫn

Ta khảo sát chuyển động của mộ ấ đ ốt ch t iểm kh i lượ ường m trong tr ng hấp dẫn

của một chất điểm khối lượng M đặt cố định tại một điểm O. Chọn O làm gốc tọa độ,

định lý về mômen động lượng áp dụng đối với chấ đ ểt i m m cho ta:

Nhưng lực F

là lực luôn hướng tâm O nên

( F(O,M

) = 0 và )F(

= 0 hay constL =

Vậy khi một chấ ểt (m) chuy n động trong

trường hấp d n cẫ ủa một chất điểm (M) thì mômen

động lượng củ ộa (m) là m t đại lượng bảo toàn.

Hệ quả: (m) chuyển động trên mộ ỹt qu đạo

phẳng, mặt phẳng quỹ đạo của (m) ⊥ vectơ L (có

phương không đổi).

5.2.2. Tính chất thế của trường hấp dẫn

Ta hãy tính công của lực hấp dẫn F

tác

d iụng lên chất đ ểm (m) chuyển động trong

trường hấp d n cẫ ủa chất điểm (M), khi (m)

chuyển dời từ mộ đ ộ đt iểm A đến m t iểm B trên

quỹ đạo của nó. Công của lực F

trong chuyển

dời vi phân PQsd =

là:

cosαPQFPQ.FdA

Nếu ta vẽ QH ⊥ OP thì theo hình vẽ ta có: PH(PHPQcosα −= là độ dài đại số

với quy ước chiều dương là chiều O Æ P).

ậy .PHFdA

−=

Nhưng vì PQ là một chuyển dời vi phân nên nếu ta đặt OP = r thì

drrdrrOPOHPHvàdrrOQOH =−+=−=+=≈

Vậy dr

GFdrdA

−=−=

Công của lực F

trong chuyển dời của (m) từ A n B cho bđế ởi tích phân:

công của l c hự ấp dẫn

không phụ thu trí ộc đường dịch chuyển AB mà chỉ thuộc vị

đ đ ốiểm đầu A và iểm cu i B.

V iậy trường hấp dẫn của chất đ ểm (M) là một trường lực thế.

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng: trường hấp dẫ ộn Newton là m t

trường thế.

Hệ quả: Ta có thể định nghĩa thế nă ểng của chất đi m (m) trong trường hấp dẫn

của chất điểm (M). Thế năng của (m) tại vị trí A:

Thỏa mãn hệ thức A

= W

(A) - W

(B)

Tổng quát: thế năng của (m) tại vị trí cách O một khoảng r:

C là một hằng số tùy ý chọn, có giá trị bằng thế nă ạng t i vô cùng: W

) = C

(5.14)

5.2.3. Bảo toàn cơ năng trong trường hấp dẫn

V trường hấp dẫn là một trường thế nên khi chất điểm (m) chuyển động trong

trường hấp dẫn, c ng cơ nă ủa nó được bảo toàn

(chọn C = 0)

Hệ quả: khi r tăng thế năng t ng năng thì độ ăng giảm và ngược lại.

5.3. Chuyển động trong trường hấp dẫn của quả đất

Nếu từ mộ đ đ ủ ắ đ ột iểm A nào ó trong trường hấp dẫn c a quả đất, ta b n i m t viên

đạn khối lượng m với vận tốc đầu là v

thì lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ rằng tùy

theo trị s cố ủa v

có thể ộ xảy ra m t trong những trường hợp sau:

- Viên đạn rơi trở về mặt đất;

- Viên đạn bay vòng quanh quả đất theo một quỹ đạo kín (tròn hay cập);

- Viên đạn bay ngày càng xa quả đất.

Trị số vận tố ếc ban đầu vo cần thi t để bắn viên đạn bay vòng quanh quả đất theo

một quỹ đạo tròn gọi là vậ ố ũ ụ ấn t c v tr c p I.

Trị số tối thiểu củ ậ ố ếa v n t c ban đầu vo cần thi t để bắn viên đạn bay ngày càng

xa quả đất gọi là vậ ố ũ ụn t c v tr cấp II.

5.3.1. Vận tốc vũ ụ tr cấp I

Ta tính vận tốc vũ trụ cấp I khi viên đạn

chuyển động tròn xung quanh quả đất.

Giả thiết viên đạn bay cách mặt đất không

xa lắm để ta có thể coi bán kính quỹ đạo của nó

bằng bán kính R của quả đất.

Vận tốc v

của viên đạn trong chuyển động

tròn có liên hệ với gia tốc hướng tâm (gia tốc

trọng trường) bởi:

Tính cụ thể bằng số ta được: v

= 7,9km/s = 8km/s

Nếu bắn với vận tốc ban đầu v

< 8km/s, viên bạn sẽ rơ ởi tr về ả qu đất, nế ắu b n

với vận tốc ban đầu 8km/s < v

< V

thì viên đạn chuyển động xung quanh quả đất

theo quỹ đạo hình elip.

5.3.2. Vận tốc vũ ụ tr cấp II

Giả sử viên đạn xuấ ừ ủt phát t A cách tâm c a quả đất một khoảng bằng bán kính

quả đất R, với vận tốc ban đầu v

và bay ngày càng xa quả đất đến ∞ . Định luật bảo

toàn cơ năng áp dụng đối với viên đạn cho ta:

Giá trị tối thiểu của v

chính là vận tốc vũ trụ cấp II:

R2gv

0II

= (5.17)

Giá trị cụ thể là:

= 11,2 km/s.

CHƯƠNG 6. THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN

6.1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển. Nguyên lý Galille

6.1.1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển

Cơ học cổ điển xây dựng trên cơ sở những quan đ ủiểm c a Newton về không gian,

thời gian và chuyển động.

Để cụ thể ệ chúng ta hãy xét hai h tọa độ:

một hệ Oxyz đứng yên, một hệ O', x', y', z'

chuyển động so với O; để đơn giản ta giả thiết

chuyển động của hệ O' thực hiện sao cho O'x'

luôn luôn trượt dọc theo Ox; Oy' song song và

cùng chiều với Oy, O'z' song song và cùng

chiều với Oz (hình 6.1). Với mỗi hệ tọa độ

gắn thêm một đồng hồ để chỉ thời gian.

Ta hãy xét một điểm M bất k : tỳ ạ đ ể ở ồ ủ ọi thời i m t chỉ b i đồng h c a hệ O, M có t a

độ trong hệ O là x, y, z; các tọ ứa độ thời gian và không gian tưởng ng của M trong hệ

O' là t', x', y', z'. Theo các quan điểm của Newton:

- Thời gian chỉ bở ồi các đồng h trong hai hệ O và O' là như nhau: t = t' (6.1) Nói

cách khác: thời gian có tính tuyệt đối không phụ ộ thu c hệ quy chiếu.

- Vị trí của M trong không gian được xác định tùy theo hệ quy chiếu: cụ thể là

các tọa độ không gian của M phụ thuộc hệ quy chiếu; ta có:

z'z,y'y,'OOx'x ==+= (6.2)

Như vậy: vị trí không gian có tính chất tương đối phụ thuộ đc hệ ế quy chi u. Do ó:

chuyển động có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu.

- Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong không gian là một đại lượng không phụ

thuộc hệ quy chiếu. Giả thiết có một cái thước AB đặt dọ ục theo tr c Ox gắ ền li n với hệ

O'. Chiều dài cuar thước đo trong hệ O' cho bởi:

= x

- x

∧

Chiều dài của thước đo trong hệ O cho bởi:

l = x

- x

∧

Nhưng theo (6.2), ta có:

∧

x'OOx

Do đó:

– x

= x

– x

hay l = l

Nói cách khác, khoảng không gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc hệ quy chiếu.

Xét trường hợp riêng: chuyển động c ng thủa hệ O' là chuyển độ ẳng đều. Nếu tại

t = 0, O' trùng với O, thì:

vt'OO =

v là vận tốc chuyển động của hệ O'. Theo (6.1) và (6.2) ta có:

x = x'+vt', y = y', z = z', t = t' (6.3)

Và ngược lại

x' = x - vt', y' = y, z '= z, t' = t (6.4)

Các công thức (6.3) và (6.4) gọi là các phép biến đổi Galille: chúng cho ta cách

chuyển các tọa độ trong không gian, thời gian từ hệ quy chiếu O' sang hệ quy chiếu O

và ngược lại.

6.1.2. Tổng hợp vận tốc và gia tốc

Vì chuyển động có tính chất tương đối, nên vận tốc và gia tốc chuyển động của

một chất điểm phụ thuộc hệ quy chiếu. Chúng ta hãy tìm những công thức liên hệ vận

tốc, gia tốc của một chấ ệt điểm M đối với hai h tọa độ Oxyz và O'x'y'z' khác nhau. Giả

thiết hệ ể O'x'y'z' chuy n động tịnh tiến đối với hệ Oxyz sao cho ta luôn luôn có:

O'x' ↑↑ Ox; O'y' ↑↑ Oy; O'z' ↑↑ Oz

Đặt 'r'OM,rOM

theo hình (6.1) ta có:

'OM'OOOM +=

Hay 'OO'rr +=

(6.5)

Đạo hàm hai vế của (6.5) theo thời gian t, ta được:

Như vậy, biểu thức (6.6) tr thành:ở

V'vv

+= (6.7)

Vectơ vận tốc của mộ ấ đ ớ ộ ết ch t iểm đối v i m t hệ quy chi u O bằng tổng hợ ơp vect

vận tốc của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu O ' chuyển n động tịnh tiế đối với hệ quy

chiếu O và vectơ vận tốc tịnh tiến của hệ quy chiếu O ' đối v i hớ ệ quy hiếu O.

Lấy đạo hàm hai vế của biểu thức (6.7) theo thời gian t ta được:

Hay Aaa

+= ' (6.8)

Trong đó: a

là gia tố ủc c a M đối với hệ O;

là gia t i v i hố ủc c a M đổ ớ ệ O' ;

là gia tốc tịnh tiến của hệ O' đối với hệ O.

Vậy: Vectơ ố ủ ộ ấ đ ớ ộ ằ ổ ợ gia t c c a m t ch t iểm đối v i m t hệ quy chiếu O b ng t ng h p

vectơ gia tốc của chất điểm đó đối v i hớ ệ quy chiếu O ' chuyển động t nh tiị ến đối với

hệ quy chiếu O và vectơ gia tốc tịnh tiến của hệ quy chiế ệu O ' đối với h quy chiếu O.

Hai công thứ ức (6.7) và (6.8) gọi là công th c tổng hợp vận tố ốc và gia t c.

6.1.3. Nguyên lý tương đối Galillê

Trong mục này chúng ta hãy xét chuyển động của một hệ chất điểm trong hai hệ

quy chiếu khác nhau: hệ Oxyz quy ước là đứng yên, hệ O'x'y'z' chuyển động tịnh tiến

đối với hệ Oxyz. Ta giả thiế ằ ệt r ng hệ O là một h quán tính, trong đó các định luật

Newton được nghiệm đúng. Như vậ ểy, phương trình chuy n động củ ấa ch t điểm trong

hệ O cho bởi định luật Newton là:

Fam

= (6.9)

là gia tố ủ ấ đc chuyển động c a ch t iểm đối với hệ O, F

là tổng hợp lực tác dụng

lên chất điểm.

Gọi 'a

là gia tố ủ ấ đc chuyển động c a ch t iểm đối với hệ O', theo (6.8) ta có:

a'aa

rrr

+= .

Trong đó

là gia tốc chuyển động của hệ O' đối v i hớ ệ O.

Nếu hệ O' chuyển động thẳng đều đối v i hớ ệ O thì

= 0 và

'aa

= (6.10)

vậy, (6.9) có thể viết thành:

'am

=f (6.11)

Đ ủ đó là phương trình chuyển động c a chất iểm trong hệ O', phương trình này

cùng một dạng như (6.9). Nói cách khác định luật Newton cũng thỏa mãn trong hệ O,

kết quả hệ ũ ộ O' c ng là m t quy chiế ể ểu quán tính. Ta có th phát bi u như sau: Mọi hệ

quy chiếu chuyển động thẳng đều đối v i m t hớ ộ ệ quy chiếu quán tính cũng là một hệ

quy chiếu quán tính; hay là: Các định luật Newton được nghiệm đúng trong hệ quy

chiếu chuyển u động thẳng đề đối với hệ quy chiếu quán tính. Đ ề đi u ó có nghĩa là: Các

phương trình động lực học trong các hệ quy chiếu quán tính có dạng giống nhau.

Đ ủó là những cách phát biểu khác nhau c a nguyên lý tương đối Galille. Vì các

phương trình động lực học là cơ sở ơ đế mô tả và khả ệo sát các hi n tượng c học nên ta

cũng có thể phát biểu:

Các hiện tượng, các quá trình cơ học trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau

đều xảy ra giống nhau.

Do đó nếu có người quan sát và thí nghiệm các hiện tượng, các quá trình cơ học

trong một hệ quy chiếu quán tính nào đó thì người đó sẽ không thể phát hiện được hệ

quy chiếu n đó đứng yên hay chuyể động thẳng đều, vì trong cả hai trường hợp những

kết quả thu được như nhau.

Nguyên lý Galille và phép biến đổi Galillê:

Chúng ta biết rằng phép biến đổi Galille (6.3) và (6.4) thực hiện sự chuyển các

tọa độ không gian thời gian từ hệ quy chiế ệu O sang h quy chiế ẳu O' chuyển động th ng

đề đốu i với O. Bây giờ chúng ta hãy xét sự liên hệ giữa phép biến đổi Galille và

nguyên lý tương đối Galille.

Theo nguyên lý Galille, định lu u diật Newton trong hệ O' được biể ễn bằng

phương trình:

F'am

Hay, nếu chiếu lên ba trục O'x', Oy', O'z' ta được:

= F

; ma

= F

; ma

= F

Hay, theo các hệ thức trong chương động học:

Những phương trình này có cùng dạng nh ng phư nhữ ương trình biểu diễn định

luật Newton trong hệ quy chiếu quán tính O:

= F

nhưng ta nhận thấy hệ các phương trình (6.9) có thể suy ra (6.11) qua phép biến

đổi Galille (6.3) và (6.4).

Vậy phương trình biểu diễn định luật Newton giữ nguyên dạng qua phép biến đổi

Galille.

Nói cách khác: các phương trình c i phép biơ ả b n bất biến đối vớ ến đổi Galille.

Phát biểu này tương đương với nguyên lý Galille. Quả vậ ế ệy, n u h O là hệ quán

tính thì hệ O' chuyển ng động thẳ đều đối với hệ O, cũng là hệ quán tính. Như vậy,

phép biến đổi Galille thực hiện sự chuyển các tọa độ không gian thời gian từ hệ quán

tính này sang hệ quán tính khác. Kết quả qua phép biến đổi Galille, các phương trình

biểu diễn định luật Newton giữ nguyên dạng khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ

quán tính khác. Đó chính là nội dung của nguyên lý t i Galille.ương đố

6.1.4. Lực quán tính

Bây gi u Oờ ta hãy xét các định luật động lực học trong một hệ quy chiế

tịnh tiến

có gia tốc

đối v i hớ ệ quy chiếu quán tính O. Gọi '

là gia tốc chuyển động của chất

điểm đối với hệ O

thì:

Aaa

nhân hai v vế ới m:

Aamam

Vì O là hệ quán tính nên trong đó định luật Newton nghiệm đúng

Fam

Do đó: AmamF

Hay )Am(Fam

−+= (6.12)

Ta thấy phương trình này không cùng dạng như (6.9), nói cách khác: khi khảo sát

chuyển động chất điểm trong một hệ O

tị ố ớnh tiến có gia t c đối v i hệ quán tính O,

ngoài các lực tác dụng lên chất điểm phải kể thêm lực:

AmF

−= .

Lực AmF

−= gọi là lực quán tính. Hệ quy chiếu O

gọi là hệ không quán tính.

Phương trình động lực của chất điểm trong hệ O

được viết là:

qt1

FFam

Như vậy, lực quán tính là một lực ảo chỉ quan sát được trong hệ quy chiếu không

quán tính. Lực quán tính luôn luôn cùng phương và ngược chiều với gia tốc chuyển

động của hệ ế quy chi u không quán tính.

Nhờ khái niệm lực quán tính ta có thể giải thích nhiều hiện tượng trong thực tế,

chẳng h gi ng tạn như ải thích hiện tượ ăng trọng lượng trong con tàu vũ trụ lúc xuất

phát.

6.2. Những tiên đề của thuyết tương đối hẹp Einstein

Để xây dự ủng nên thuyết tương đối c a mình, năm 1905 Einstein đã đưa ra hai

nguyên lý sau:

6.2.1. Nguyên lý tương đối

Mọi định luật Vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính.

6.2.2. Nguyên lý về s bự ất biến c c ánh sángủa vận tố

Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán tính.

Nó có giá tr 3. 10

ị bằng c =

m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên.

Ở đ ây cầ ển phân biệ ọ ổ đt với nguyên lý tương đối Galille trong cơ h c c i n.

Theo nguyên lý này chỉ các định luật cơ họ ấ ếc là b t bi n khi chuyển từ một hệ

quán tính này sang một hệ quán tính khác. Điều đó có nghĩa là phương trình mô tả một

đị độnh luậ ễt cơ họ đc nào ó, biểu di n qua tọa và thời gian, sẽ ạ giữ nguyên d ng trong tất

cả các hệ quán tính. Như vậy, nguyên lý tương đối Einstein đã mở rộng nguyên lý

Galille từ các hiện tượng cơ học sang các hiện tượng Vật lý nói chung.

Trong cơ họ ổ đc c iển Newton, tương tác được mô tả dựa vào thế năng tương tác

Đ ộó là m t hàm của các tọa độ những hạt tương tác. Từ đó suy ra các lực tương tác giữa

m iột chất đ ểm nào đó với các chất điểm còn lại, tại mỗ ời th i điểm, chỉ phụ thuộc vào

vị trí của các chất điểm tại cùng thời đ điểm ó. Sự tương tác sẽ ả nh hưởng ngay tức thời

đến các chấ đt iểm khác tại cùng thời i. điểm. Như vậy, tương tác được truyền đi tức thờ

Nếu chia khoảng cách giữa hai chất điểm cho thời gian truyền tương tác Δt (Δt = 0), vì

là truyền tức thời) ta sẽ thu được vận tốc truyền tương tác. T ó suy ra rừ đ ằng trong cơ

h iọc cổ đ ển vậ ạn tốc truyền tương tác lớn vô h n.

Tuy nhiên, thực nghiệm đã chứ ự ững tỏ, trong t nhiên không tồn tại nh ng tương

tác tức thời. Nếu tại mộ đ ể ủ ấ đ ột chất i m nào đó c a hệ ch t iểm có xảy ra m t sự thay đổi

nào đó, thì sự thay đổi này chỉ ảnh h ng tưở ới một chất điểm khác của hệ sau một

khoảng thời gian ít nào đó (Δt > 0). Như vậy, vận tốc truyền tương tác có giá trị hữu

hạn. Theo thuyết tươ ương đối củ ốa Einstein vận t c truyền t ng tác là như nhau trong tất

cả các hệ quán tính. Nó là mộ ằ ố ổ ự ỏ ốt h ng s ph biến. Th c nghiệm chứng t vận t c không

đổ

i này là cực đại và bằ ậng v n tốc truyền ánh sáng trong chân không (c = 3.10

m/s).

Trong thực tế hàng ngày chúng ta th p các vường gặ ận tốc rất nhỏ so với vận tốc ánh

sáng (v << c) do đó trong cơ họ ổ đ ểc c iển ta có th coi vận tốc truyền tương tác là vô

hạn mà vẫn thu ng kđược nhữ ết quả đủ chính xác. Như vậy, về mặt hình thức có thể

chuyển từ thuyết tương đối Einstein sang cơ học cổ điền bằng cách cho ∞→c ở trong

các công thức của c c tơ họ ương đối tính.

6.3. Phép biến đổi Lorentz

6.3.1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galille với thuyết tương đối Einstein

Theo các phép biến đổi Galille, thời gian diễn biến của một quá trình Vật lý trong

các hệ quy chiếu quán tính K và K' đều như nhau.

Khoảng cách giữa hai điểm 1 và 2 nào đó trong các hệ K và K' đều bằng nhau

Δl = x

– x

= Δl'= x

– x

(các đại lượng có dấu phảy đều được xét trong hệ K').

Vận tốc tuyệt đối v của chấ ật đ ể ổi m bằng t ng vectơ các v n tốc tương đối v' và

vận tốc theo V của hệ quán tính K' đối với K

v = v' + V

Tất cả các kết quả đó đều đúng đối với các chuyển động chậm (v << c). Nhưng rõ

ràng là chúng mâu thuẫn với các tiên đề của thuyết tương đối Einstein. Thực vậy, theo

thuyết tương đố đối, thời gian không có tính chấ ệt tuy t i, khoảng thời gian diễ ến bi n

của một quá trình Vật lý phụ thuộc vào các hệ quy chiếu. Đặc biệt các hiện tượng xảy

ra đồng thời i ở trong hệ quán tính này sẽ không xảy ra đồng thờ ở trong hệ quy chiếu

quán tính khác.

6.3.2. Phép biến đổi Lorentz

Qua trên ta nhận th i Galille không thấy, phép biến đổ ỏa mãn các yêu cầu của

thuyết tương đố đổi Einstein. Lorentz đã tìm ra phép biến i các tọa độ không gian và

thời gian khi chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác

thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối, và được gọi là phép biến đổi Lorentz.

Xét hai hệ quy chiếu quán tính K và K' như trên. Giả sử lúc đầu hai gốc O và O'

của hai hệ trùng nhau, hệ K' chuyển động so với hệ K với vận tốc V theo phương x.

Gọi xyzt và x'y'z't' là các tọa độ không gian và thời gian lần lượt xét trong các hệ K và

K '. Vì theo thuyết tương đối thời gian không có tính chất tuyệt đối mà trái lại phụ

thuộc vào hệ ế quy chi u nên thời gian trôi đi trong hai hệ sẽ khác nhau, nghĩa là:

t # t'

Giả s t vử ọa độ xe liên hệ ới x và t theo phương trình:

x' = f (xt) (6.14)

Để tìm dạng củ ếa phương trình f (x,t) chúng ta vi t phương trình chuyển động của

các gốc tọa độ O và O' ở trong hai hệ K và K'. Đối với hệ K, gốc O' chuyển động với

vận tốc V. Ta có:

x - Vt = 0 (6.15)

trong đó x là tọa độ củ ố ớa g c O' xét v i hệ K. Còn đối với hệ K' gốc O' là đứng

yên. Tọa độ xe của nó trong hệ K' bao giờ cũng bằng không. Ta có: x' = 0.

Muốn cho phương trình (6.14) áp dụng đúng cho hệ K', nghĩa là khi thay x' = 0 vào

(6.14) ta phải thu được (6.15), thì f (x,t) chỉ có thể khác (x - Vt) một số nhân α nào đó:

x' = α(x - Vt) (6. 16)

Đối vớ ớ ới hệ K' gốc O chuyển động v i vận tốc - V. Nhưng đối v i hệ K gốc O là

đứng yên. Lậ ập lu n tương tự ư nh trên ta có:

x = β(x' + Vt') (6.17)

trong đó β là hệ số nhân.

Theo tiên đề th t cứ nhấ ủa Einstein mọi hệ quán tính đều tương đương nhau,

nghĩa là từ (6.16) có thể suy ra (6.17) và ngược lại bằng cách thay thế V→-V, x' ↔ x, t

↔ t Ta rút ra được: α = β.

Theo tiên đề thứ hai, ta có trong hệ K và K': nếu x = ct thì x' = ct', thay các biểu

thức này vào trong (7.16) và (7.17) ta thu được:

Vì hệ K' chuyển động dọc theo trục x nên rõ ràng là y = y' và z = z'. Tóm lại, ta

thu được công thức biến đổi Lorentz như sau:

Cho phép biến đổi tọa và thời gian từ hệ K sang hệ K' và

Cho phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ ứ K' sang hệ K. Các công th c (6.19),

(6.20) được gọi là phép biến y đổi Lorentz. Qua đó ta thấ được mối liên hệ mật thiết

giữa không gian và thời gian.

Từ các kết quả trên ta nhậ ằn thấy r ng khi

∞

→c hay khi 0

→ thì các công

thức (6.19) và (6.20) sẽ chuyển thành:

x' = x - Vt ; y' = y ; z' = z ; t’ = t ;

x = x' + Vt'; y = y', z = z', t = t'

nghĩa là chuyển thành các công thức của phép biến đổi Galille. Điều kiện

∞

→c

tương ứng với quan niệm tương tác tức thời, điều kiện thứ hai 0

→ tương ứng với

sự gần đúng cổ điển.

Khi V > c, trong các công thức trên các tọa độ x, t trở nên ảo, u điề đó chứng tỏ

không thể có các chuyển động với vận t n hốc lớ ơn vận tốc ánh sáng c. Cũng không thê

dùng hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng, vì khi đó mẫu số

trong các công thức (6.19), (6.20) sẽ bằng không.

6.4. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz

6.4.1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả

Giả sử rằ ệng ở trung h quán tính K có hai hiệ ặ ến tượng (ho c còn gọi là bi n cố) ;

hiện tượng A

) và hiện tượng A

y t

2 2

) với x

# x

chúng ta hãy tìm

khoảng thời gian t

– t

giữa hai hiện tượng đó trong hệ K', chuyển động với vận tốc V

dọc theo trục x. Từ các công thức biến đổi Lorentz ta thu được:

Từ đó suy ra rằng các hiện tượng xả ệy ra đồng thời ở trong h K (t

= t

) sẽ không

đồng thờ ởi hệ K' và t

– t

# 0. Chỉ có một tr i lường hợp ngoạ ệ là khi cả ế hai bi n cố

xảy ra đồng thời t i nhạ ững điểm có cùng giá trị của x (tọa độ y có thể khác nhau).

Như vậy, khái niệm đồng thời chỉ là mộ ốt khái niệm tương đối, hai biến c có thể

đồng thời ở ộ ế trong m t hệ quy chi u này nói chung có thể không đồng thời ở trong một

hệ quy chiếu khác.

Biểu thức (6.21) cũng chứng tỏ rằng đối với các biến cố đồng thời trong hệ K,

dấu của t

– t

được xác định bởi dấu của biểu thức (x

– x

)v. Do đó, trong các hệ

quán tính khác nhau (với các giá trị khác nhau của V), hiệu t

– t

sẽ không những khác

nhau về độ lớn mà còn khác nhau về dấ ều. Đi u đó có nghĩa là thứ tự củ ốa các biến c

và A

có thể bất kì (A

có thể xảy ra trước A c ng

hoặ ược lại).

Tuy những điều vừa trình bày ở trên không được xét cho các biến cố có liên hệ

nhân quả với nhau. Liên hệ nhân quả là một liên hệ giữa nguyên nhân và kết quả.

Nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước kết quả, quyết định sự ra đời của kết quả. Thứ

tự củ ốa các biến c cso quan hệ nhân quả bao giờ cũ ọng được bảo đảm trong m i hệ

quán tính. Nguyên nhân xảy ra trước, kết quả xảy ra sau.

6.4.2. Sự co ngắn Lorentz

Bây giờ dự ủa vào các công thức (6.19) hoặc (6.20) chúng ta so sánh độ dài c a

một vật và khoảng thời gian của một quá trình ở trong hai hệ K và K'.

Giả sử có một thanh đứ đặng yên trong hệ K' t dọc theo trục x', độ dài của nó

trong hệ K' bằng

= x

– x

Gọi l là độ dài của nó đo trong hệ K. Muốn vậy, ta phải xác định vị trí các đầu

của thanh trong hệ K tại cùng thờ đ ếi iể ếm. Từ phép bi n đổi Lorentz ta vi t được:

Vậy: Độ dài (dọc theo phương chuyển động) củ ếa thanh trong hệ quy chi u mà

thanh chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng yên. Nói một

cách khác, khi vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo phương chuyển

động.

Như vậy, kích thước của một vật sẽ khác nhau tùy thuộ ỗc vào ch ta quan sát nó ở

trong hệ đứng yên hay chuyển động. Điều đó nói lên tính chất của không gian trong

các hệ ế quy chi u đã thay đổi. Nói một cách khác, không gian có tính chất tương đối,

nó phụ thuộc vào chuyển động. Trường hợp v n tậ ốc của.chuyển động nhỏ (V << c), từ

công thức (6.22) ta trở lạ ếi k t quả trong cơ họ ổ đ đc c iển, ở ây không gian được coi là

tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động.

Cũng từ các công thức biến đổi Lorentz chúng ta tìm được khoảng thời gian của

một quá trình đó trong hai hệ K và K'. Giả sử có một đồng hồ đứng yên trong hệ K'. Ta

xét hai biến cố xả ể ệy ra tại cùng một đi m A có các tọa độ x'y'z' trong h K'. Khoảng

thời gian giữa hai biến cố trên trong hệ K' bằng Δt ' = t

– t

bây giờ chúng ta tìm

khoảng thời gian giữa hai biến cố trên ở hệ K. Ta viết được:

Kết quả này được phát biểu như sau:

Khoảng thời gian

t' của một quá trình trong hệ K' chuyển động bao giờ cũng

nhỏ hơ ả ờn kho ng th i gian

t xảy ra của cùng quá trình K đó trong hệ đứng yên. Nếu

trong hệ K' chuyển động có gắn một đồng hồ và trong hệ K cũng gắn một đồng hồ, thì

khoảng thời gian của cùng một quá trình xảy ra được ghi trên đồng hồ của hệ K' nhỏ

hơn khoảng thời gian ghi trên đồng hồ của hệ K.

Ta có thể nói: đồng hồ chuyển động chạ ậ ơ ồy ch m h n đồng h đứng yên. Như vậy,

khoảng thời gian để xảy ra một quá trình sẽ khác nhau tùy thuộc vào chỗ ta quan sát

quá trình đó ở trong hệ đứng yên hay chuyển động.

Điều đ ủó nói lên tính chất c a khoảng thời gian trong các hệ quán tính đã thay đổi

Nó phụ thu c vào chuyộ ển động. Trường hợp vận tốc của chuyển động rất nhỏ V << c

từ công thức (6.23) ta có Δt ' = Δt, ta trở lại kế ảt qu trong cơ họ ổ đ đc c iển, ở ây khoảng

thời gian được coi là tuyệt đối không phụ thuộc vào chuyển động. Nhưng nếu v càng

lớn thì Δt' càng nhỏ so với Δt.

6.5. Phương trình động lực học tương đối tính củ ấ đa ch t iểm

6.5.1. Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm

Theo thuyết tương đối, phương trình biểu diễn định luật Newton thứ hai:

Không thể mô tả chuyển động củ ấ đ ể ốa ch t i m với vận t c lớn được. Để mô tả

chuyển động, cần phải có phương trình khác tổng quát hơn. Theo thuyết tương đối,

ph ng:ương trình đó có dạ

trong đó khối lượng m của chất điểm bằng:

m là khối l i vượng của chất điểm đó trong hệ mà nó chuyển động vớ ận tốc v

được gọi là khối lượng tương đối; m

là khối lượng cũng của chất điểm đó do trong hệ

mà nó đứng yên (v = 0) được gọi là khối lượng nghỉ.

Ta thấy rằng theo thuyết tương đối, khối lượng của một vật không còn là một

hằng số nữa; nó tăng khi vật chuyển ng động; giá trị nhỏ nhất của nó ng vứ ới khi vật đứ

yên. Cũng có thể nói rằng: khối lượng có tính tương đối; nó phụ ộ thu c hệ quy chiếu.

Phương trình (6.24) bất biến đối với phép biến đổi Lorentz và trong trường hợp

v << c nó trở thành phương trình biểu diễn định luật thứ hai của Newton (khi đó m =

= const).

6.5.2. Động lượng và năng lượng

Động lượng củ ộ ậa m t v t bằng:

Khi v << c ta thu được biểu thức cổ điển: vmp

. Như v bậy, phương trình cơ ản

(6.24) có thể viết dưới dạng khác:

Ta hãy tính năng l ng cượ ủa vật. Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ tăng

năng lượng của v a ngoật bằng công củ ại lực tác dụng lên vật:

dW=dA

Để đơn giả ả ạn, gi sử ngo i lực

cùng phương với chuyển dời s0d

→ . Khi đó:

Fdss.dFdAdW ===

Theo (6.24) ta có:

Mặt khác, từ (6.25) ta có:

so sánh hai biểu thức trên ta rút ra được:

dw = c

.dm

Hay W = mc

(6.27)

Hệ thức này thường được gọi là hệ thức Einstein.

6.5.3. Các hệ quả

a. Từ hệ thức Einstein ta tìm được năng lượng nghỉ:

là năng lượng lúc vật đứng yên (m = m

W = m

Lúc vật chuyển động, vật có thêm động n ng Wă

Biểu thức này khác với biểu thức động năng c ng gủa vật thườ ặp trong cơ họ ổc c

điển. Trong trường hợp v << c:

Do đó:

1cmW

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+≈ ta lại tìm được biểu thức động năng trong cơ

h iọc cổ đ ển.

b. Khi bình phương biểu thức m

ta được:

Thay W = m

vào biểu thức trên ta sẽ được:

với p = m-v.

Đ ữ ủ ậó là biểu thức liên hệ gi a năng lượ ượng và động l ng c a v t.

c. Ta hãy ứng dụng các kết quả trên vào hiện tượng phân rã hạt nhân.

Giả sử một hạt nhân phân rã thành hai hạt thành phần. Theo định luật bảo toàn

năng lượng: W=w

Với W là năng lượng của hạt nhân trước khi phân rã, W

và W

là năng lượng của

hạt nhân thành phần.

Thay (6.27) vào biểu thức trên ta sẽ được:

Trong đó, ta đã xem hạt nhân như không chuyển động trước khi phân rã, còn m,

, m

là khố ủi lượng nghỉ c a các hạt. Vì

vàcm

−

Nên từ (6.30) ta rút ra: m > m

+ m

, nghĩa là khối lượng của hạt nhân trước khi

t lự phân rã ớn hơn tổng khối lượng của các hạt nhân thành phần.

Theo công thức Einstein, phần năng l ng tượ ương ứng với độ hụt năng lượng của

khối lượng này bằng:

(

)

[

]

ΔmccmmmW =+−=

Phần năng lượng này thường được tỏa ra dưới dạng nhiệt và bức xạ.

PHẦN 2: NHIỆT HỌC

Mở đầu

1. Thuyết cấu tạo phân tử của các chất

Vật chất được cấu tạo bởi các nguyên tử và phân tử. Ngày nay ta biết rằng phân

tử gồm nhiều nguyên tử, nguyên tử gồm các điện tử và hạt nhân.

Các hạt nhân l m các proton và neutron.ại gồ

Các proton và neutron lại được cấu t o tạ ừ các hạt "quack".

Từ thế kỷ IV trước công nguyên Demôcrit đã cho rằng vật chấ ừt được cấu tạo t

các nguyên tử và phân tử ử, ông quan niệm rằng: Các nguyên t , phân tử củ ấa các ch t

khác nhau có hình dạng kích thước khác nhau nhưng có cùng b n chả ất. Đến thế kỷ

XIIX Lômônôxốp đã phác hoạ: nguyên tử, phân tử là những quả cầu vỏ ngoài sần sùi

và luôn chuyển n động tịnh tiến, h n loỗ ạn, khi va chạm vào nhau chúng sinh ra chuyể

động quay.

Khi chất khí đựng trong một bình chứa, các phân tử khí va đập không ngẩng lên

thành bình. Như vậ ăy, nhiệt độ và nội n ng của khí phải liên quan đế độn ng năng của

các phân tử khí. Thuyết động họ ấ ắc ch t khí b t nguồn từ những luận điểm này.

2. Đối tượng, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu của Vật lý phân tử và nhiệt

học

Thực tế có nhiều hiện tượng liên quan đến các quá trình xảy ra bện trong vật; thí

dụ: vật có thể nóng lên do ma sát, có thể nóng ch y hoả ặc b c hố ơi khi bị đốt nóng,

Những hiện tượng này liên quan đến một dạng chuyển động mới củ ậa v t chất, đó là

chuyển động nhiệt. Chuyển động nhiệt chính là i tđố ượng nghiên cứu của nhiệt học.

Để nghiên cứu chuyển động nhiệt người ta dùng hai phương pháp: phương pháp

thống kê ứng dụng trong phần vật lý phân tử ứ. Phương pháp nhiệt động được ng trong

phần nhiệt động học.

CHƯƠNG 7. NHỮNG CƠ SỜ CỦA THUYẾT

ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ KHÍ LÝ TƯỞNG

7.1. Mẫu khí lý tưởng

Từ các thuộc tính cơ bản của phân tử và nguyên tử người ta đã đưa ra mô hình cơ

học của chất khí lý tưởng bao gồm các nội dung sau:

- Chất khí là một tập h p rợ ất nhiều hạt, chúng chuyển động hỗn loạn không

ngừng.

- Vận tốc chuyển động trung bình của các phân tử tỷ l vệ ới T .

- Ở cùng một nhiệt độ (T), động năng trung bình của các hạt là như nhau và

ằng E

= m

2 = const.

- Các phân tử và nguyên tử đều tham gia chuyển động nhiệt.

Đ ơó là mô hình c họ ủc c a chất khí lý tưởng. Chúng tuân theo các định luật cơ

bản về chất khí như: Boiler - Mariotte, Gay - Luytsac....

Có thể hiểu chất khí lý tưởng là chất khí hoàn toàn tuân theo các định luật Boiler

- Mariotte, Gay - Luytsac. Các phần tử của chúng được coi như mộ đt chất iểm và

không tương tác với nhau.

7.2. Áp suất chất khí

Áp suất là một đại lượng vật lý có giá trị bằng lực nén vuông góc lên một đơn vị

diện tích. Nếu kí hiệu F là lực nén vuông góc lên diện tích ΔS thì áp suất p cho bởi:

Trong h

ệ SI đơn vị áp suất là Newton trên mét vuông (N/m

), hay pascal (Pa).

Ngoài ra để đo áp suất người ta còn dùng các đơn vị sau:

- atmôtphe (ai) là áp su

ất bằng 9,80665.104 = 9,81.104 N/m

- milimet thủy ngân (mmHg, còn gọi là Toát bằng áp suất tạo bởi trọ ộng lượng c t

thủy ngân cao mm.

Để đổ đơi các n vị ta dùng hệ thức sau:

1 at = 736mmHg = 9,81.10

N/m

Giả sử có một chấ ứ ụ ột khí ch a trong bình kín, nó sẽ tác d ng lên thành bình m t áp

suất (p) áp suất này do các phân tử khí chuyển n động va chạm vào thành bình với vậ

tốc (v) gây nên. Có thể tính áp suấ ứt theo biểu th c sau:

Với m là khối lượng củ ấa ch t khí, n

là mật độ phân tử khí, và v

là vận tốc của

các phân tử khí.

7.3. Nhiệt độ

Nhiệt độ là đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ chuyển động hỗn loạn phân tử

của các vật.

Để xác định nhiệ ệ ắ ủt độ người ta dùng nhi t biểu. Nguyên t c c a nhiệt biểu là dựa

vào độ biến thiên của một t đại lượng nào nh rđó khi đốt nóng hoặc làm lạ ồi suy ra nhiệ

độ tương ứng.

Nhiệt biểu thường dung là nhiệt biểu thủy ngân. Trong nhiệt biểu này nhiệt độ

được xác định bởi thể ấ tích mộ ố ủt kh i th y ngân nh t định.

Để chia độ mộ ệt nhi t biểu thủ đy ngân người ta nhúng nó vào hơi nước ang sôi ở

áp suất 1,033at (bằng áp suất khí quyển ở điều ki ng) và ghi mện bình thườ ức thủy

ngân là 00. Sau đó nhúng vào nước đá đang tan (cũng ở áp suất 1,033at) và ghi mức

thủy ngân là 0. Đem chia đoạn trên thành 100 phần bằng nhau, mỗi độ chia tương ng ứ

với một độ. Như vậy, ta có một thang nhiệt độ gọ ệi là thang nhi t độ bách phân (hay

thang nhi

ệt t độ Celcius). Trong thang này, nhiệ độ được ký hiệu là

Ngoài thang bách phân, còn dung thang nhiệt độ tuyệt t đối (còn gọi là thang nhiệ

độ Kelvin); mỗ ủ ộ ủi độ chia c a thang tuyệt đối bằng m t độ chia c a thang bách phân

nhưng độ không của thang tuyệt đối ứng với -273,16 của thang bách phân. Trong

thang này, đơn vị nhiệt độ là Kelvin, kí hiệu là K.

Gọi T là nhiệt độ trong thang tuyệt đối, t là nhiệt độ trong thang bách phân, ta có

công thức:

T = t + 273,16

Trong các tính toán đơn gi ng lản ta thườ ấy:

7.4. Các định luật thực nghiệm về khí lý tưởng

7.4.1. Một số khái niệm

- Hệ nhiệt động là một hệ vật lý bao gồ ộ ố ạm m t s các h t lớn các hạt nguyên tử 2

phân tử. Các hạt này luôn chuyển động hỗn loạn và trao đổi năng lượng cho nhau khi

tương tác. Khối khí có thể coi là hệ nhiệt động đơn gi n nhả ất.

Mọi hệ đều có thể chia thành hệ cô lập và không cô lập.

Thông số trạng thái

Trạng thái của hệ hoàn toàn xác định nh được nếu ta xác đị được các tính chất vật

lý của hệ. Nhưng mỗi tính chấ đ ở ốt ó đặc trưng b i đại lượng vậ ệt lý như nhi t độ T, kh i

lượng m, thể tích V... => Như vậ ủy trạng thái c a hệ được xác định bởi tập hợp các đại

lượng vật lý. Các đại lượng này gọi là thông số trạng thái của hệ.

Phương trình biểu mối liên hệ giữa các thông số ố ụ ộ độc lập và thông s ph thu c

gọi là phương trình trạng thái của hệ.

Ví dụ: trạng thái của khối khí được xác định bởi f(P,V,T) = 0.

7.4.2. Các định luật thực nghiệm về khí lý tưởng

Nghiên cứu tính chất của các chất khí bằng thự ệ đc nghi m, người ta ã tìm ra các

định luật nêu lên sự liên hệ giữa hai trong ba thông số áp suất, thể ệ tích và nhi t độ. Cụ

thể người ta xét các quá trình biến đổi tr t khạng thái của mộ ối khí trong đó một thông

số có giá trị được giữ không đổi, đó là các quá trình:

- Đẳng nhiệt: nhiệt độ không đổi;

- Đẳng tích: thể tích không đổi;

- Đẳng áp: áp suất không đổi.

a. Định luật Boiler - Mariotte

Boiler và Mariotte nghiên cứu quá trình

đẳng nhiệt củ ấa các ch t khí, đã tìm ra những

định luật như sau:

Trong quá trình đẳng nhiệt của khối khí,

thể tích tỷ lệ ấ nghịch với áp su t hay thể tích

của V và P của khối khí là không đổi.

P.V = const

Trên đồ thị PV đường đẳng nhiệt là

những đường Hypecbol, nhiệt độ càng cao thì

các đường này càng xa mốc.

b. Các định luật Gay - Luytsac

Gay-Luytsac nghiên cứu quá trình đẳng áp và đẳng tích và tìm ra các quy luật:

* Trong quá trình đẳng tích của một khối khí, áp suất tỷ l vệ ới nhiệt t độ tuyệ đối

P/T = const

* Trong quá trình đẳng áp của một khố ỷi khí, thể tích t lệ với nhiệt độ tuyệt đối

V/T = const

Các định luật Boiler-Mariot và Gay-luytxac chỉ đúng khi chất khí ở nhiệt độ và

áp suất thông thường của phòng thí nghi t khệm. Khi áp suấ ối khí quá lớn hay nhiệt độ

của khối khí quá thấp thì các chất khí không tuân theo các định luật đó nữa.

7.5. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng

7.5.1. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng

Ở ộ ủ áp suấ ạt lớn và giới h n r ng c a nhiệt độ, các chất khí hoàn toàn không tuân

theo định luật Boiler-Mariotte và Gay-luytsac. Tuy nhiên, khi P không quá lớn và T

không quá thấp thì các quá trình tuân theo khá đúng 2 định luật đó. Hay nói cách khác

khí lý tưởng hoàn toàn tuân theo các định luật Boiler-Marione và Gay- Luytsac.

Các định luật thực nghiệm trên đây đã cho mối liên hệ giữa 2 thông số. Dựa vào

các định luật đó, ta có thể tìm mối liên hệ củ ốa 3 thông s : P, V, T, nghĩa là tìm được

phương trình trạng thái của khí lý tưởng.

Đối với 1 kilomol khí Claperon và Mendêleep đã tìm ra phương trình sau:

P.V = R.T (7.3)

Trong đó P, V, T là áp suất, thể tích và nhiệt độ của kilomol khí ở trạ ấng thái b t

kỳ. R gọi là hằng số khí lý tưởng.

Đối với một khối khí có khối lượng m, nếu v là thể tích của nó thì: v

V = (μ là

khối lượng phân tử).

Từ (7.3) sẽ suy ra được:

Phương trình (7.4) được gọi là phương trình trạng thái của khí lý tưởng.

7.5.2. Giá trị của hằng số khí R

Theo định luật Avôgađro, ở T và P giống nhau, 1 kilômol các chất khí khác nhau

đề

u chiếm cùng một thể tích. Khi T

= 273,16 K, P

= 1,033at = 1,013.106 N/m

thì 1

kilômol khí chi

ếm thể tích là V

= 22,41 m

. Trạng thái này chung cho mọi chất khí

gọi là trạng thái tiêu chuẩn.

Với trạng thái tiêu chuẩn này ta có:

MỤC LỤC

PHẦN 1: CƠ H C .....................................................................................................................1 Ọ

Bài mở đầu.................................................................................................................................. 1

CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM..................................................................................5

1.1 Chuyển động cơ h u......................................................................................5 ọc, Hệ quy chiế

1.2. Vận tốc.................................................................................................................................8

1.3. Gia tốc ...............................................................................................................................11

1.4. Một số chuyển ng độ đơn gi n cả ủa chất điểm. Bài toán ứng dụng.....................................14

CHƯƠNG 2. ĐỘNG LỰC H C CHỌ ẤT ĐIỂM.......................................................................21

2.1. Khái niệm về lực và khối lượng ........................................................................................21

CHƯƠNG 3. ĐỘNG LỰC H C H C H C VỌ Ệ CHẤT ĐIỂM ĐỘNG LỰ Ọ ẬT RẲN ..............33

3.1. Cơ h h ................................................................................................33 ệ. Khối tâm của cơ ệ

3.2. Định luật bảo toàn động lượng..........................................................................................35

3.3. Chuyển động của vật rắn quanh một trục cố định .............................................................37

3.4. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn...................................................39

3.6. Định luật bảo toàn mômen động lượng .............................................................................46

CHƯƠNG 4. NĂNG LƯỢNG.................................................................................................48

4.1. Công và công su t .............................................................................................................48 ấ

4.3. Bài toán va chạm ...............................................................................................................55

CHƯƠNG 5. TRƯỜNG HẤP DẪN ........................................................................................ 58

5.1. Định luật v t hạn vậ ấp dẫn..................................................................................................58

5.2. Tính chất thế c n ......................................................................................61 ủa trường h p dấ ẫ

5.3. Chuyển động trong trường h p dấ ẫn của quả đất................................................................63

CHƯƠNG 6. THUY T TẾ ƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN......................................................... 65

6.1. Không gian và thời gian theo cơ h n. Nguyên lý Galille......................................65 ọc cổ điể

6.2. Những tiên đề của thuyết t i hương đố ẹp Einstein .............................................................69

6.3. Phép biến đổi Lorentz........................................................................................................70

6.4. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz............................................................................... 73

6.5. Ph ng lương trình độ ực h c tọ ương đối tính của chất điểm .................................................75

PHẦN 2: NHIỆT HỌC.............................................................................................................79

Mở đầu......................................................................................................................................79

1. Thuy c t.....................................................................................79 ết cấu tạo phân tử ủa các chấ

2. Đối tượng, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứ ậ ửu của V t lý phân t và nhiệt học............79

CHƯƠNG 7. NHỮNG CƠ S CỜ ỦA THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ KHÍ LÝ TƯỞNG80

7.1. Mẫu khí lý tưởng ...............................................................................................................80

7.2. Áp suất chất khí.................................................................................................................80

7.3. Nhiệt độ.............................................................................................................................81

7.4. Các định luật thực nghiệm về khí lý tưởng .......................................................................81

7.5. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng...........................................................................82

| 1/84

| | Tải xuống

Preview text:

VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 1 (CƠ - NHIỆT) PHẦN 1: CƠ HỌC
Cơ học nghiên cứu dạng vận động cơ (chuyển động) tức là sự chuyển đổi vị trí
của các vật vĩ mô. Cơ học gồm những phần sau:
- Động học nghiên cứu những đặc trưng của chuyển động và những dạng chuyển động khác nhau.
- Động lực học nghiên cứu ố m i liên hệ của chu ể y n động ớ v i ự s tương tác giữa các
vật. Tĩnh học là một phần của động lực học nghiên cứu trạng thái cân bằng của các vật.
Phần cơ học được trình bày ở đây chủ yếu là những cơ sở của cơ học cổ điển của
Newton; nội dung chủ yếu của nó bao gồm: các định l ậ
u t cơ bản của động lực học; các
định luật Newton và nguyên lý tương đối Galilê; ba định luật bảo toàn của cơ học
(định luật bảo toàn động lượng, bảo toàn mômen động lượng và định luật bảo toàn
năng lượng); hai dạng chuyển động cơ bản ủ c a vật rắn (chu ể y n động tịnh tiến và
chuyển động quay). Cuối cùng là phần giới thiệu về thuyết tương đối của Einstein. Bài mở đầu
1. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu Vật lý học
Vật lý học là một môn khoa học tự nhiên nghiên cứu các dạng vận động tổng
quát nhất của thế giới vật chất, từ đó suy ra những tính chất tổng quát của thế giới vật
chất, những kết luận tổng quát về cấu ạ t o và ả b n c ấ
h t của các đối tượng ậ v t chất; mục
đích của Vật lý học là nghiên cứu những đặc trưng tổng quát về vận động và cấu ạ t o của vật chất.
Vật lý học nghiên cứu tính chất, bản chất, cấu tạo và sự vận động của các vật thể
đồng thời cũng nghiên cứu tính chất, bản chất và quá trình vận động ủ c a các trường
Vật lý (trường điện từ, trường hấp dẫn, trường lượng tử, …).
Vật lý học trước hết là một môn khoa học thực nghiệm. Gần đây trong quá trình
phát triển của Vật lý học, bên cạnh phương pháp thực nghiệm truyền thống, còn nảy
sinh phương pháp tiên đề của môn Vật lý Lý thuyết.
Do mục đích là nghiên cứu các tính chất tổng quát nhất của thế g ớ i i vật chất, Vật
lý học đứng về một khía cạnh nào đó có thể coi là cơ sở của nhiều môn khoa học tự nhiên khác.
Những kết quả của Vật lý học đã được dùng làm cơ sở để giải thích cấu tạo
nguyên tử, phân tử, liên kết hoá học … trong hoá học. Vật lý học cũng cung cấp
những cơ sở để khảo sát các quá trình của sự sống. Môn ỹ
k thuật điện được xây dựng
trên cơ sở lý thuyết điện từ trường trong Vật lý.
Vật lý học có tác dụng hết sức to lớn trong cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật
hiện nay. Nhờ những thành tựu của ngành Vật lý, cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật 1
đã tiến những bước dài trong các lĩnh vực sau:
- Khai thác và sử dụng những ng ồ u n năng lư n
ợ g mới đặc biệt là năng lượng ạ h t nhân.
- Chế tạo và nghiên cứu tính chất các vật liệu mới (siêu dẫn nhiệt độ cao, vật l ệ i u
vô định hình, các vật liệu có kích thước nang …).
- Tìm ra những quá trình công nghệ mới (công nghệ mạch tổ hợp, công nghệ nang …).
- Cuộc cách mạng về tin học và sự xâm nhập của tin học vào các ngành khoa học kỹ thuật.
- Mục đích việc học môn Vật lý trong các trường đại học kỹ thuật công nghiệp:
Cho sinh viên những kiến thức cơ bản về Vật lý ở trình độ đại học.
- Cho sinh viên những cơ sở để học và nghiên cứu các ngành kỹ thuật. - Góp phần rèn lu ệ
y n phương pháp suy luận khoa ọ h c, ư t duy logic, p ư h ơng pháp
nghiên cứu thực nghiệm, tác phong đối với người kỹ sư tương lai.
- Góp phần xây dựng thế giới quan khoa học duy vật biện chứng.
2. Hệ đo lường quốc tế SI, Đơn vị và thứ nguyên của các đại lượng Vật lý + Đơn vị Vật lý. Đo ộ m t đại lượng ậ V t lý là chọn ộ
m t đại lượng cùng l ạ
o i làm chuẩn gọi là đơn vị
rồi so sánh đại lượng phải đo với đơn vị đó, giá trị đo sẽ bằng tỷ số: đại lượng phải
đo/đại lượng đơn vị.
Muốn định nghĩa đơn vị của tất cả các đại lượng ậ
V t lý người ta chỉ cần chọn
trước một số đơn vị gọi là đơn vị cơ bản - các đơn vị khác suy ra được từ các đ n ơ vị cơ
bản gọi là đơn vị dẫn xuất.
Tuỳ theo các đơn vị cơ bản chọn trước sẽ suy ra các đơn vị dẫn x ấ u t khác nhau.
Tập hợp các đơn vị cơ bản và đơn vị dẫn xuất tương ứng hợp thành một hệ đơn vị.
Năm 1960 nhiều nước trên thế giới đã chọn hệ đơn ị v thống n ấ h t ọ g i là hệ SI.
Hệ đơn vị đo lường hợp pháp của nước ta ban hành từ 1965 cũng dựa trên cơ sở Hệ đơn vị cơ bản: Hệ SI: - Độ dài mét (m)
- Khối lượng kilogram (kg) - Thời gian giây (s)
- Cường độ dòng điện ampe (A) - Độ sáng candela (Cơ) - Nhiệt đ
ộ (tuyệt đối) kelvin (K) - Lượng chất moi (moi) 2 Đơn vị phụ: - Góc phẳng Radian (rao) - Góc khối Steradian (SI)
Một số đơn vị dẫn xuất:
- Diện tích Mét vuông (m2)
- Thể tích Mét khối (m3) - Chu kỳ Giây (s) - Tần số Héc (Hz)
- Vận tốc Mét trên giây (m/s)
- Gia tốc Mét trên giây bình phương (m/s2) - Lực Nguồn (N) - Năng lượng Jun (J) - Công suất Oát (W) - Áp suất Pascal (Pa) - Điện tích Cu lông (C)
- Hiệu điện thế Vôn (V)
- Cường độ điện trường Vôn/mét (V/m) - Điện dung Fara (F) - Cảm ứng từ Tesla (T) - Từ thông Vêbe (Wb) - Tự cảm Henry (H)
+ Thứ nguyên: Từ các đơn ị v ơ c ả
b n, ta định nghĩa được các đơn vị ẫ d n s ấ u t. Việc
định nghĩa này dựa vào một khái niệm ọ g i là thứ nguyên.
Thứ nguyên của một đại lượng là quy luật nêu lên sự phụ thuộc của đơn vị đo đại
lượng đó vào các đơn vị cơ bản.
Để cho cách viết đơn giản ta ký hiệu: [độ dài] = L [thời gian] = T [khối lượng] = M [diện tích] = L2 [thể tích] = L3 [vận tốc] = LT-1 [gia tốc] = LT-2
[khối lượng riêng] = ML-3 3 [lực] = MLT-2 [công] = ML2T-2.
Khi viết các biểu thức, các công thức Vật lý, ta cần chú ý các quy ắ t c sau:
- Các số hạng của một tổng (đại số) phải có cùng thứ nguyên.
- Hai vế của cùng một công thức, một phương trình Vật lý phải có cùng thứ nguyên. 4
CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
1.1 Chuyển động cơ học, Hệ quy chiếu
1.1.1. Định nghĩa chuyển động cơ học
Chuyển động cơ học là ự
s chuyển dời vị trí trong không gian của các vật hay là sự chuyển động ủ c a ộ m t ộ b p ậ
h n này so với bộ phận khác của cùng một vật.
Ví dụ: chuyển động của các thiên thể trên bầu trời, chuyển động của xe ô tô trên
đường, chuyển động của con thoi trong ộ m t máy dệt, …
Nói một vật chuyển động hay đứng yên thì điều đó chỉ có tính chất tương đối vì
điều này còn phụ thuộc vào việc người quan sát đứng ở vị trí nào. Thật vậy, nếu ta
đứng bên đường quan sát thì ta thấy các cây đứng yên, nhưng nếu ta ngồi trên một cái
ô tô đang chuyển động thì ta thấy cái cây chuyển động. Điều tương tự xảy ra khi chúng
ta quan sát các ngôi sao trên bầu trời: ta thấy quả đất đứng yên còn mặt trời, mặt trăng
và các ngôi sao đều quay quanh trái đất.
Tóm lại, chuyển động có tính chất tương đối và phụ thuộc vào vị trí mà ở đó ta
đứng quan sát chuyển động. Thực ra trong vũ trụ không có vật nào đứng yên một cách
tuyệt đối, mọi vật đều chuyển động không ngừng. V vậy, khi nói rằng một vật chuyển
động thì ta phải nói rõ là vật đó chuyển động so với vật nào mà ta quy ước là đứng yên. 1.1.2. Hệ quy chiếu
Vật hay hệ vật mà ta quy ước là đứng yên khi nghiên cứu chuyển động của một
vật khác được gọi là hệ quy chiếu.
Với cùng một chuyển động nhưng trong các hệ quy ch ế i u khác nhau sẽ xảy ra khác nhau.
Ví dụ: xét chuyển động của một điểm M nằm trên vành xe đang chạy, nếu chọn
hệ quy chiếu là xe đạp thì ta thấy chuyển động của điểm đó là chuyển động tròn đều,
còn nếu hệ quy chiếu là mặt đường thì điểm M sẽ tham gia một chuyển động phức tạp
là tổng hợp của hai chuyển động: chuyển động tròn đối với xe và chuyển động thăng
của xe đối với mặt đường.
Khi xét một chuyển động cụ thể ta thường chọn hệ quy chiếu sao cho chuyển
động được mô tả đơn giản nhất.
Để mô tả các chuyển động trên ặ
m t quả đất, ta thường chọn hệ quy chiếu là quá
đất hoặc các vật gắn liền với quả đất.
Ví dụ: khi nghiên cứu chuyển động của quả đạn pháo thì ta chọn hệ quy chiếu là
mặt đất hay chính quả pháo.
Khi nghiên cứu chuyển động của các hành tinh thì ở hệ quy chiếu quả đất ta thấy
chuyển động của các hành tinh phức tạp đến nỗi trong nhiều thế kỷ các nhà thiên văn
không thể nào tìm được các quy luật chuyển động của các hành tinh. Mãi đ n ế đầu thế 5
kỷ 17, nhờ sử dụng hệ quy ch ế
i u mặt trời (hệ quy ch ế
i u Copemic), Kepler mới tìm
được quy luật đúng đắn mô tả chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời.
Cần chú ý rằng chuyển động tuy được mô tả khác nhau trong các hệ quy chiếu
khác nhau nhưng nếu biết chuyển đ n
ộ g tương đối của các hệ quy chiếu đối với nhau
thì có thể từ cách mô tả chuyển động trong hệ quy chiếu này có thể suy ra cách mô ả t
chuyển động trong hệ quy chiếu kia.
Ví dụ: Khi biết chuyển động tròn đều của một điểm trên vành xe đạp và biết
chuyển động của xe đạp đối với mặt đường ta có thể mô tả chuyển động của điểm trên
vành xe đối với mặt đường.
Vì chuyển động xảy ra trong không gian và theo thời gian nên để mô tả chuyển
động trước tiên phải tìm cách định vị vật trong không gian. M ố
u n vật ta phải đưa thêm
vào hệ quy chiếu một hệ toạ độ. Trong Vật lý người ta sử dụng nhiều hệ toạ độ khác
nhau. Ở đây, sẽ giới thiệu hai hệ toạ độ hay dùng đó là hệ toạ đ
ộ Đề-các (Descartes) và hệ toạ cầu. a. Hệ tọa độ Descartes
Hệ toạ độ Descartes gồm 3 trục Ox, Oy, Oz
tương ứng vuông góc với nhau từng đôi một, chúng
tạo thành một tam diện thuận. Điểm O gọi là gốc
toạ độ. Vị trí của một điểm M ấ b t kỳ được hoàn r
toàn xác định bởi bán kính vectơ r , hay bởi tập hợp r
của 3 số (x,y,z) trong đó r là hình chiếu của điểm
mút M của vectơ lên các trục Ox, Oy, Oz tương
ứng, được gọi là 3 toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ Descartes. b. Hệ tọa đ ộ cầu
Trong hệ toạ độ cầu, vị trí của ộ
m t điểm M bất kỳ được xác định bởi 3 toạ độ r, r
θ, φ. Trong đó, r là độ dài bán kính vectơ, θ là góc giữa trục Oz và r , còn φ là góc trục
Ox và tia hình chiếu của t trong mặt phẳng xOy. Biết ba toạ độ cầu của điểm M, ta có
thể tính được toạ độ Descartes của điểm M theo công thức sau: 6
Trong hệ toạ độ cầu: 0 ≤ θ ≤ 1800 và 0 ≤ φ ≤ 3600. Các đường tròn ứng với cùng
một giá trị của e gọi là Các đường vĩ tuyến, còn các đường tròn ứng với cùng một giá
trị của φ gọi là các đường kinh tuyến. Hệ toạ độ cầu rất thuận tiện khi định vị các địa điểm trên quả đất.
1.1.3. Chất điểm và Vật rắn Để mô tả chu ể
y n động của các hạt có kích thước, cần p ả
h i biết rõ chuyển động
của mọi điểm của vật. Tuy nhiên, khi kích thước của vật là nhỏ so với khoảng cách
dịch chuyển mà ta xét thì mọi điểm trên vật dịch chuyển gần như nhau, khi đó có thể
mô tả chuyển động của vật như chuyển động của một điểm. Trong trường hợp này ta đã coi vật là ộ
m t chất điểm, tức là một điểm hình ọ h c nhưng ạ
l i có khối lượng bằng
khối lượng của vật (không có kích thước nhưng có khối lượng).
Ví dụ: Khi xét chuyển động của quả đất quanh mặt trời ta xem chuyển động như
là chuyển động của chất điểm. Trái lại, khi xét chuyển động tự quay quanh mình của
quả đất thì ta không thể xem chuyển động đó là chuyển động của một chất điểm.
Trong nhiều trường hợp nhờ có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển
động của các vật trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Một tập hợp chất điểm được gọi là hệ chất điểm. Vật rắn là một hệ chất điểm
trong đó khoảng cách tương hỗ giữa các chất điểm của hệ không thay đổi.
1.1.4. Phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo của chất điểm
a. Phương trình chuyển động
Để xác định chuyển động của một chất điểm chúng ta ầ
c n biết vị trí của chất điểm ạ t i những t ờ
h i điểm khác nhau. Nói cách khác, chúng ta cần biết sự p ụ h thuộc
theo thời gian của bán kính vectơ r của chất điểm:
Phương trình này biểu diễn vị trí của chất điểm theo thời gian và ọ g i là phương
trình chuyển động của chất điểm.
Trong hệ toạ độ Descartes, phương trình chuyển động của chất điểm là một hệ 7 gồm 3 phương trình:
Tương tự trong hệ toạ độ cầu, phương trình chuyển động của chất điểm là:
Ví dụ: phương trình chuyển động của một chất điểm trong ệ h toạ độ Descartes:
b. Phương trình quỹ đạo
Khi chuyển động, các vị trí của chất điểm ở các thời điểm khác nhau. vạch ra
trong không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là quỹ đạo của chuyển đ n ộ g.
Vậy quỹ đạo của chất điểm chuyển động là đường tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí của
nó trong không gian, trong suốt quá trình chuyển động. Phương trình mô tả đường
cong quỹ đạo gọi là phương trình quỹ đ o ạ .
Trong đó f là một hàm nào đó của các toạ độ x, y, z và C là một hằng số.
Về nguyên tắc, nếu biết phương trình chuyển động (1.1) thì bằng cách khử tham
số t ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các toạ độ x, y, z tức là tìm phương trình quỹ
đạo. Vì vậy, đôi khi người ta còn gọi phương trình chuyền động (1.1) là phương trình
quỹ đạo cho ở dạng tham số.
Ví dụ: chuyển động của một chất điểm cho bởi phương trình
Ta khử tham số thời gian t bằng cách sau:
Ta suy ra quỹ đạo của chất điểm là ộ
m t đường tròn bán kính A và tâm nằm ở gốc
toạ độ. Đường tròn này nằm trong mặt phẳng xOy. 1.2. Vận tốc 8
Vận tốc là một đại lượng đặc trưng cho phương, chiều, và sự nhanh chậm của chuyển động.
1.2.1. Khái niệm vận tốc
Chuyển động của chất điểm trên quỹ
đạo có thể lúc nhanh lúc chậm, do đó để có
thể mô tả đầy đủ trạng thái nhanh hay chậm
của chuyển động, người ta đưa vào một đại
lượng vật lý gọi là vận tốc.
Trong đời sống hằng ngày chúng ta
thường gặp khái niệm vận tốc dưới dạng thuật ngữ tốc đ . ộ
Xét chuyển động của một chất điểm trên một đường cong (C): trên (C) ta chọn
một gốc A và một chiều dương. Giả thiết tại thời điềm t, c ấ
h t điểm ở vị trí M xác định bởi: AM = s
Tại thời điểm t' = t + Δt chất điểm ở vị trí M' xác định bởi: AM = s' = s + Δs
Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian Δt = t' - t sẽ là: MM'= s' - s = Δs Δ
Quãng đường trung bình chất điểm đi được trong khoảng đơn vị thời gian s t Δ
theo định nghĩa, gọi là vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian Δt, và được ký hiệu là:
Vận tốc trung bình chỉ đặc trưng cho độ nhanh chậm trung bình của chuyển đ n ộ g
chất điểm trên quãng đường MM'; trên quãng đường này độ nhanh chậm của chuyển
động chất điểm nói chung ỗ
m i chỗ một khác nghĩa là tại mỗi thời điểm là khác nhau.
Để đặc trưng cho độ nhanh chậm của chuyển đ
ộng tại từng thời điểm, ta phải tính tỷ số s
Δ trong những khoảng thời gian vô cùng nhỏ. Theo đ nịh nghĩa: khi cho Δt→0 (t'→t), t Δ tỷ số s
Δ dần tới một giới hạn, ọ g i là vận ố t c ứ
t c thời (gọi tắt là vận ố t c) của chất điểm t Δ
tại thời điểm t, và được ký hiệu là: Δ v = s lim Δt→0 t Δ
Theo định nghĩa của đạo hàm ta có thể viết: 9 v = ds dt
Vậy: Vận tốc của chất điểm có giá trị bằng đạo hàm quãng đường ủ c a c ấ h t điểm đối với thời gian.
Vận tốc v cho bởi biểu thức (1.4) là một đại lượng đại số có:
- Dấu xác định chiều chuyển động: v > 0, quỹ đạo chuyển động theo chiều dương
của quỹ đạo; v < 0, chất điểm chuyển động theo chiều ngược lại.
- Trị tuyệt đối của v xác định độ nhanh chậm của chuyển động tại từng thời điểm. Vậy: Vận ố
t c là đại lượng vật lý đặc trưng cho chiều và độ nhanh chậm của
chuyển động chất điểm.
Để đặc trưng một cách đầy đ
ủ về cả phương, ch ề i u và độ nhanh chậm ủ c a chuyển
động chất điểm, người ta đ
ưa ra một vectơ gọi là vectơ vận tốc. r
Theo định nghĩa, vectơ vận tốc tại một vị trí M là một vectơ vcó phương nằm
trên tiếp tuyến với quỹ đạo tại M, có chiều theo chiều chuyển động và có giá trị bằng
giá trị tuyệt đối của v (hình 1.3).
1.2.2. Vectơ vận tốc trong hệ tọa độ Descartes
Giả thiết tại thời điểm t, vị trí chất điểm xác định ở
b i bán kính vectơ (hình 1.4): r OM = r
Ở thời điểm t + dt, vị trí chất điểm được xác định bởi bán kính vectơ: r r ON = r +Δr
Rõ ràng là khi dt vô cùng nhỏ thì vectơ r r chuyển rời: MN O = N M − N = r Δ = dr có độ dài r dr = MN ≈ MN= ds r r
Ngoài ra, dr và ds cùng chiều nên ta có: r r dr ≈ ds (1.6)
nghĩa là biểu thức (1.5) có thể viết thành:
Vậy: vectơ vận tốc bằng đạo hàm của bán kính vectơ đối với thời gian. r r r
Kết quả ba thành phần V, V, V của vectơ vận tốc vr theo ba trục sẽ có độ dài X Y Z
đại số lần lượt bằng đạo hàm của ba thành phần tương ứng của bán kính vectơ rv theo ba trục nghĩa là: 10 Độ lớn của vận ố
t c sẽ được tính theo công thức: 1.3. Gia tốc
Gia tốc là một đại lượng vật lý đặc trưng cho ự
s biến thiên của vận tốc.
1.3.1. Định nghĩa và biểu thức của vectơ gia tốc
Trong quá trình chuyển động, vận tốc của chất điểm có thể thay đổi cả về độ lớn
cũng như về phương và chiều. Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian,
người ta đưa vào thêm một đại lượng vật lý mới, đó là gia tốc.
Giả sử sau một khoảng thời gian Δt, vận tốc của chất điểm thay đổi một lượng là Δ r r
v theo định nghĩa gia tốc trung bình, gia ố
t c trung bình a từ trong khoảng thời gian tb Δt là:
Ta thấy rằng muốn đặc trưng cho tđộ biến thiên của vectơ vận tốc ở từng thời r điểm, ta p ả h i xác định ỷ t số v
Δr trong khoảng thời gian Δt vô cùng nhỏ, nghĩa là cho t Δ
Δt → 0, ta được biểu thức của gia tốc tức thời ra tại một điểm trên quỹ đạo:
Vậy: Vectơ gia tốc bằng đạo hàm của vectơ vận tốc đối với thời gian.
Theo (1.11) và (1.8) ta có thể tính ba toạ độ của vectơ gia ố
t c theo ba trục toạ độ Descartes:
Độ lớn gia tốc được tính theo công thức:
1.3.2. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến 11
Vectơ gia tốc đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận ố t c. Sự biến thiên này
thể hiện cả về phương, chiều và độ lớn. Trong phần này ta sẽ phân tích vec ơ t gia tốc ra
làm hai thành phần, mỗi thành phần đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc
riêng về một mặt nào đó.
Để đơn giản, giả thiết chất điểm chuyển động trên một đường tròn tâm O, ạ t i thời điểm t, chất đ
iểm ở vị trí M, có vận ố
t c MA = v, tại thời điểm t ' = t + Δt chất điểm ở vị
trí M' (MM ' = Δs), có vận tốc r r r M' ' A = v ' = v + Δ v .
Theo định nghĩa, vectơ gia tốc của chất điểm tại thời đ iểm t ứ ( ng ớ v i ị v trí M) là: r r a = v lim hình (1.14) t → ' t t r
Muốn tìm Δ v, từ M ta vẽ vectơ MB = M ' ' A. Ta có: r r r Δ v = v ' - v = M' ' A - MA = MB - MA r Hay v = AB
Lấy trên phương của MA một đoạn MC = v', theo hình vẽ ta có: Δ rv = AB =AC C + A
Thay Δ rv vào (1.14) ta được:
Ý nghĩa cụ thể của từng thành phần trong vế phải của (1.15):
Thành phần thứ nhất được ký hiệu là: r
Phương của a là phương của AC , tức là phương của tiếp tuyến với quỹ đạo ạ t i t r
M: vì vậy được gọi là gia tốc tiếp tuyến. t a r
Chiều của a là chiều của AC nghĩa là cùng chiều với chuyển động khi: v' > v t
(vận tốc tăng), và ngược chiều với chiều chuyển động khi: v' < v (vận tốc giảm). r Độ lớn ủ c a a cho bởi: t
Nghĩa là theo định nghĩa của đạo hàm:
Vậy: Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận ố t c về giá trị,
vectơ này có: Phương trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm M, chiều là chiều 12
chuyển động khi v tăng và chiều ngược lại khi v giảm, và độ lớn ằ b ng đạo hàm độ lớn vận tốc theo thời gian.
- Thành phần thứ hai trong vế phải của (1.15) là: r
Phương của a là phương của CB khi t ' → t. Muốn xác định nó, ta đặt: n MOM' = CMB = Δθ Trong tam giác cân CMB: π - CMB π Δθ MCB = 2 2 2 π
Khi t → t thì M '→ M nghĩa là Δθ → 0, do đó MCB → 2 t r
Vậy đến giới hạn CB vuông góc với AC phư n
ơ g của a vuông góc với AC , nghĩa n là vuông góc với t ế i p tu ế y n ủ c a q ỹ u đạo ạ t i đ
iểm M, hay nói cách khác phương của án là
phương của pháp tuyến của quỹ đạo ạ
t i M, vì vậy ra được gọi là gia tốc pháp tuyến. n r
Chiều của a là chiều của CB , luôn luôn quay về tâm của vòng tròn nghĩa là quay n r
về phía lõm của quỹ đạo, do đ
ó a còn gọi là gia tốc hướng tâm. n
Độ lớn của ra cho bởi: n
Vậy: Vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên về phương của vectơ
vận tốc, vectơ gia tốc này có: Phương trùng với phương pháp tuyến của quỹ đạo tại
M, chiều hướng về phía lõm của quỹ đạo và có độ lớn ằ b ng V a 2 = . n R
Tóm lại, ta có thể phân tích vectơ gia tốc ra làm hai thành phần: 13
Vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về độ lớn,
còn vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về phương.
Một số trường hợp đặc biệt:
- ra luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không thay đổi phương, chất điểm n chuyển động thẳng.
- a luôn luôn bằng không: vectơ vận ố
t c không thay đổi chiều và giá trị, chất t
điểm chuyển động cong đều.
- a luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không đổi về phương, chiều và giá trị,
chất điểm chuyển động thẳng đều.
1.4. Một số chuyển động đơn giản của chất điểm. Bài toán ứng dụng
Ta sẽ áp dụng các kết quả thu được ở các mục trên để khảo sát ộ m t số dạng
chuyền động đơn giản của chất điểm.
1.4.1. Chuyển động thẳng thay đổi đều
Chuyển động thẳng thay đổi đều là một chuyển động với vectơ gia ố t c không đổi
ra = const. Vì là chuyển động thẳng nên an = 0, do đó:
Kết quả: Sau những kh ả
o ng thời gian bằng nhau, ậ
v n tốc thay đổi những lượng
bằng nhau. Nếu trong khoảng thời gian từ 0 đến t, vận tốc biến thiên từ v0 đến v thì
theo định nghĩa của gia tốc ta có:
Giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến t, chất điểm đi được quãng đường s,
tích phân 2 vế của (1.23) ta được:
Khử t trong (1.22) và (1.24) ta được hệ thức thông dụng sau: 1.4.2. Chuyển động tròn 14
Trong chuyển động tròn, ta dùng vận tốc góc và gia tốc góc để đặc trưng cho chuyển động ấy. a. Vận tốc góc
Giả thiết quỹ đạo là vòng tròn tâm O bán kính R
Trong khoảng thời gian Δt = t' - t giả sử chất
điểm đi được quãng đường Δs = MM' ứng với
góc quay của bán kính MOM ' = Δθ (hình 1.6). Δθ
Theo định nghĩa đại lượng t Δ gọi là vận ố t c góc
trung bình trong khoảng thời gian Δt và được ký hiệu là:
Giá trị của ω biểu thị góc quay trung bình của bán kính trong đơn vị thời gian. tb Δθ
Nếu cho Δt → 0 theo định nghĩa lim
gọi là vận tốc góc của chất điểm tại thời t Δ →0 Δt
điểm t, và được ký h ệ i u là:
Vậy: Vận tốc góc có giá trị bằng đạo hàm ủ
c a góc quay đối với thời gian. Vận
tốc góc đo bằng radian trên giây (rad/s).
Đối với chuyển động tròn đều (ω = const), thời gian mà chất điểm đi được một
vòng hay là chu kỳ của chất điểm:
và tần số là chu kỳ trong một đơn vị thời gian: 15 r
Người ta biểu diễn vận tốc góc bằng một vectơ ϖ gọi là vectơ vận ố t c góc, nằm trên t ụ
r c của một vòng tròn quỹ
đạo, thuận chiều đối với chiểu quay của chuyển động và có r
giá trị bằng a (hình 1.7).
Hệ quả 1: Liên hệ giữa vectơ vận tốc góc ϖr và vectơ v
vận tốc dài v của chuyển động. Ta có: MM' = Δs = R.Δθ
Cho Δt → 0, theo (1.4) và (1.27) ta có: v = R. ω (1.28) r r r
Theo như hình 1.7 ta thấy rằng: ba vectơ v,ω, R (theo thứ tự này) tạo thành một
tam diện thuận ba mặt vuông, vậy ta có: r r r v = ω ∧ R
Hệ quả 2: Liên hệ giữa an và ω.
Từ (1.18) và (1.28) ta suy ra b. Gia tốc góc
Giả thiết trong khoảng thời gian Δt = t' - t, vận tốc góc của chất điểm chuyển
động tròn biến thiên một lượng Δ ω = ω' - ω, theo định nghĩa thì - là gia tốc góc trung
bình trong khoảng thời gian Δt và được ký hiệu là:
giá trị của βtb biểu thị độ biến thiên trung bình của vận tốc góc trong đơn vị thời gian.
Nếu cho Δt → 0, khi này gia tốc góc của chất đ iểm ạ t i thời điểm t là:
Vậy: Gia tốc góc có giá trị bằng đạo hàm ủ c a ậ v n ố
t c góc đối với thời gian và
bằng đạo hàm bậc hai của góc quay đối với thời gian. Gia tốc góc đo bằng radian trên
giây bình phương (rad/s2).
Khi β > 0, ω tăng, chuyển động của chất đ
iểm là chuyển động tròn nhanh dần.
β < 0, ω giảm, chuyển động ủ
c a chất điểm là chuyển động tròn chậm dần. 16
β = 0, ω không đổi, chuyển động của chất điểm là chuyển động tròn đều.
β = const, chuyển động của chất điểm là chuyển động tròn thay đổi đều.
Tương tự như gia tốc và vận tốc dài, đối với gia tốc góc và vận tốc góc ta cũng có các hệ thức:
Người ta biểu diễn gia tốc góc bằng một vectơ gọi là vectơ gia ố t c góc, vectơ này có:
- Phương nằm trên trục của quỹ đạo tròn
- Cùng chiều với chiều của vectơ vận tốc
góc khi β > 0 và ngược chiều với chiều của
vectơ vận tốc góc khi β < 0. - Có độ lớn bằng β
Như vậy, ta có thể viết hệ thức vectơ gia tốc góc như sau: r dω β = (1.36) dt
Hệ quả: Liên hệ giữa vectơ gia tốc góc và vectơ gia tốc tiếp tuyến.
Thay v = ωβ vào biểu thức tính gia tốc tiếp tuyến ta được
Do đó, theo biểu thức tính gia tốc góc (1.32) ta có: r
Do quy ước về chiều của các vectơ β và ra , (hình 1.8), trong mọi trường hợp ba t r r r
vectơ a , β và (theo thứ tự này) luôn luôn tạo thành một tam diện thuận ba mặt t R
vuông, và dựa vào biểu thức vectơ gia tốc góc, ta có thể kết luận rằng: 17
1.4.3. Chuyển động với gia tốc không đổi:
Thực nghiệm chứng tỏ rằng trong một
phạm vi không lớn lắm, mọi chất điểm đều rơi
với cùng một gia tốc g theo phương thẳng đứng
hướng xuống dưới với giá trị không đổi.
Ta sẽ khảo sát chuyển động của một chất điểm x ấ u t phát từ ộ m t điểm O trên ặ m t đất với
vectơ vận tốc ban đầu (lúc t = 0 là r hợp với mặt nằm ngang một góc α (hình 1.9). (bài 0 v toán ném xiên).
Chọn mặt phẳng hình vẽ là ặ m t phẳng t ẳ
h ng đứng chứa v0 ; đó ũ c ng là mặt phẳng
chứa quỹ đạo chất điểm, trong hệ trục toạ độ xOy. Tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M r r
có toạ độ x, y; có gia tốc là vectơ a = g song song với Oy hướng xuống dưới. Do vậy, r
hai thành phần của a trên hai trục là:
Lấy nguyên hàm hai vế của biểu thức trên ta được:
Theo công thức tính vận tốc ta có thể viết (1.40) như sau:
Lấy nguyên hàm theo t biểu thức (1.41) ta được: 18
Suy ra các phương trình chuyển động của chất điểm là:
Vậy quỹ đạo của chất điểm M là một hình Parabol OSA, đỉnh S, trục song song
với trục tung, quay phần lõm về phía dưới hình vẽ (hình 1.9).
Bây giờ ta đi tính toạ độ đỉnh S (vị trí cao nhất của chất điểm). Từ biểu thức (l.40) ta có thể suy ra:
Tại S vectơ vận tốc nằm ngang vy = 0, nên khi đó ta có v = vx = v cosα , thay vào 0
biểu thức (1.44) ta được:
Chất điểm đến S vào lúc t, ứng với vy = 0 cho bởi
Khi này hoành độ của S là:
Từ đây ta có thể tính được tầm xa ủ c a chuyển động ủ
c a chất điểm M (khoảng
cách từ khi ném đến lúc rơi)
1.4.4. Dao động điều hòa thẳng
Một chất điểm chuyển động thẳng được gọi là một dao động điều hoà thẳng nếu
đường đi x của nó là một hàm số sin (hoặc cosin) của thời gian t. Thông thường
phương trình chuyển động của một chất điểm dao động điều hoà có dạng sau: 19 x = Acos (cot+(p)
Với A>0, (ω >0 và ϕ là những hằng số. Ta nhận thấy rằng: 2π
Vậy cứ sau mỗi khoảng thời gian T =
quãng đường đi x (hay độ dời) lại trở ω
về giá trị cũ, hay ta có thể nói là độ dời x là một hàm tuần hoàn theo thời gian với chu 2π kỳ T =
, hằng số A là giá trị lớn nhất của X được gọi là biên độ dao động ( X ≤A). ω
Vận tốc và gia tốc của chất điểm dao động điều hoà được tính theo các công thức sau:
Gia tốc a luôn luôn ngược chiều với độ dời x. Ta n ậ
h n thấy v và a cũng là những 2π 1 ω
hàm tuần hoàn của thời gian t với chu kỳ T =
. Nghịch đảo của chu kỳ: V = = ω T 2π được gọi là ầ
t n số của dao động, còn hằng số ω được gọi là tần số góc của dao động. 20
CHƯƠNG 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
Động lực học nghiên cứu chuyển động của các vật và mối liên hệ của chúng ớ v i
tương tác giữa các vật. Cơ sở của động lực học vĩ mô là các định l ậ u t Newton và nguyên lý Galilê.
2.1. Khái niệm về lực và khối lượng Khái niệm về lực
Khi nghiên cứu chuyển động, ta thấy rằng các vật chỉ bắt đầu chuyển động hay
thay đổi trạng thái chuyển động của chúng khi chịu tác động của vật khác. Tác dụng
của một vật lên một vật khác được đặc trưng bởi một đại lượng vật lý gọi là lực.
Ví dụ: Đoàn tàu chỉ chuyển động khi chịu tác dụng của lực kéo của đầu tàu, chiếc
xe đang chuyển động chỉ dừng lại khi chịu tác dụng của lực hãm, …
Vậy: Lực là nguyên nhân ậ
V t lý gây ra sự chuyển động cũng n ư h sự thay đổi
chuyển động của các vật. Lực thể hiện mức độ tương tác giữa các vật.
Tương tác giữa các vật xảy ra theo hai cách:
- Khi chúng tiếp xúc với nhau.
Ví dụ: lực đàn hồi, lực ma sát, …
- Khi chúng không trực tiếp tiếp xúc với nhau. Dù vậy chúng vẫn tác dụng lên nhau thông qua trường.
Ví dụ: lực hấp dẫn, lực điện từ, …
Lực là một đại lượng vectơ (trong ơ
c học thường được ký hiệu ằ b ng chữ F), do
đó cần lưu ý đến các đặc điểm sau ủ c a vectơ lực:
- Điểm đặt của lực nằm tại vật chịu tác dụng ủ c a lực.
- Độ lớn (còn gọi là cường độ) của lực được biểu diễn một cách hình học bằng độ dài của vectơ lực. - Phương của lực. - Chiều của lực.
Do đó, nếu hai lực được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài, cùng
phương và cùng chiều. Quy tắc cộng lực là quy tắc cộng vectơ.
Khái niệm về khối lượng
Khối lượng là độ đo về lượng (nhiều hay ít) ậ
v t chất chứa trong vật thể, có thể
tính từ tích phân toàn bộ thể tích của vật:
m = ∫ ρ dV (với ρ là khối lượng riêng)
Đơn vị đo khối lượng trong hệ SI là kilôgam (kg).
Trong Vật lý, khối lượng của một vật là một đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ
quán tính của vật đó. Vật có khối lượng lớn sẽ có sức ì lớn hơn và cần có lực lớn hơn để 21
làm thay đổi chuyển động ủ
c a nó. Mối liên hệ g ữ i a quán tính ớ v i k ố h i lượng đã đư c ợ
Newton phát biểu trong định luật II Newton. Khối lư n
ợ g trong chuyển động thẳng đều còn được mở ộ
r ng thành khái niệm mômen quán tính trong chuyển động quay.
Khối lượng của một vật cũng đặc trưng cho mức độ vật đó hấp dẫn các vật thể
khác, theo định luật vận vật hấp ẫ
d n Newton. Vật có khối lượng lớn có tạo ra xung
quanh trường hấp dẫn lớn.
Khối lượng hiểu theo nghĩa độ lớn ủ c a quán tính, k ố
h i lượng quán tính, không
nhất thiết hiểu theo mức độ hấp dẫn vật thể khác, khối lượng hấp dẫn. Tuy nhiên, các
thí nghiệm chính xác hiện nay cho thấy hai khối lượng này rất gần nhau và một tiên đề
của thuyết tương đối rộng ủ
c a Einstein phát biểu rằng hai k ố h i lượng này là một.
Khối lượng tương đối tính
Trong vật lý cổ điển, coi khối lượng của một vật là một đ i
ạ lượng bất biến, không
phụ thuộc vào chuyển động của vật. Tuy nhiên, vật lý hiện đại lại có cách nhìn khác về
khối lượng, khối lượng có thể thay đổi tuỳ theo hệ quy chiếu. Theo quan điểm này thì
khối lượng gồm hai phần, một phần là khối lượng nghỉ, có giá trị bằng với khối lượng
cổ điển khi vật thể đứng yên trong hệ quy ch ế
i u đang xét, cộng với khối lượng kèm
theo động năng của vật.
Định luật bảo toàn k ố h i lượng
Khối lượng toàn phần của một hệ vật lý kín, xét trong một hệ quy chiếu cố định
là không đổi theo thời gian. Các định luật Newton
Các định luật Newton nêu lên quan hệ giữa chuyển động của một vật với tác
dụng bên ngoài và quan hệ giữa các tác dụng tương hỗ của các vật. Định luật Newton I
Phát biểu: Khi một chất điểm cô ậ l p (không chịu ộ m t tác động nào ừ t bên ngoài)
nếu đang đứng yên nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển động của nó là thẳng đều.
Chất điểm đứng yên có vận tốc v = 0 ; chất điểm chuyển động thẳng đều có vận r r
tốc v không đổi; trong cả hai trường hợp đó, vận tốc v đều không thay đổi; ta cũng nói
trạng thái chuyển động của nó được bảo toàn.
Vậy: Một chất điểm cô lập bảo toàn trạng thái chuyển động của nó.
Tính chất bảo toàn trạng thái chuyển động gọi là quán tính, vì vậy định luật I còn
được gọi là định luật quán tính.
Không giống như các định luật khác, ta không thể kiểm nghiệm định luật này
một cách trực tiếp bằng thực nghiệm vì trên trái đất không thể có bất kỳ vật nào hoàn
toàn cô lập (không chịu bất kỳ một lực nào). Do vậy, ta coi định l ậ u t này như một
nguyên lý mà không chứng minh. Ta chỉ có thể xác nhận sự đúng đắn ủ c a định luật
này khi kiểm nghiệm các hệ quả của định luật này mà thôi. 22
Ví dụ: Khi đẩy một vật nặng trượt trên sàn nhà ta có thể thấy ậ v n tốc của vật
giảm dần và cuối cùng dừng lại hẳn. Nhưng nếu sàn nhà nhẵn thì vật có thề trượt rất
xa. Sở dĩ như vậy là vì, ngoài trọng ự
l c của vật và phản lực của sàn nhà là hai ự l c triệt
tiêu lẫn nhau thì vật còn chịu tác dụng của lực ma sát và lực cản của không khí, là hai
lực ngược chiều chuyển động của vật và cản trở chuyển động của vật. Nếu bằng cách
nào đó có thể làm giảm các lực này thì vật sẽ chuyển đ n
ộ g được rất xa mặc dù ta chỉ
đẩy vật trong một thời gian ngắn. Nếu làm triệt tiêu hoàn toàn các lực này thì vật sẽ
chuyển động thẳng đều mãi mãi trên sàn nhà. Định luật Newton II
Định luật Newton II xét c ấ
h t điểm ở trạng thái không cô lập, nghĩa là chịu tác
dụng của những lực từ bên ngoài.
Phát biểu: 1. Chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của các lực có tổng r
hợp F # 0 là một chuyển động có gia tốc. r
2. Gia tốc chuyển động của chất điểm tỷ lệ với tổng hợp ụ
t c tác dụng F và tỷ lệ
nghịch với khối lượng ủ c a chất điểm ấy:
k là một hằng số tỷ lệ phụ thuộc vào các đơn vị sử dụng; trong hệ SI: k = 1 và
Phương trình cơ bản của cơ học chất điểm Phương trình Newton:
là phương trình cơ bản của cơ học chất điểm. Phương trình này là p ư h ơng trình
tổng quát cho cả hai định luật Newton I và II.
Với định luật Newton I: rF= 0 → ar = 0 → vr= const
Với định luật Newton II: Hệ quy chiếu quán tính
Ở chương I, chúng ta đã biết rằng, đối với cùng một chuyển động nhưng sẽ xảy ra
khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau. Vậy, tự nhiên sẽ nảy sinh câu hỏi sau: định luật I Newton khẳng đ n
ị h nếu một vật không chịu tác dụng của một lực nào thì nó sẽ
đứng yên hay chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu nào? T ự h c nghiệm đ ã chứng
tỏ rằng, Định luật Newton I chỉ nghiệm đúng đối với những hệ quy chiếu quán tính.
Vậy: Hệ quy chiếu quán tính là một hệ quy ch ế i u mà trong đó ế n u một vật không
chịu tác dụng của một ngoại lúc nào thì nó hoặc là đứng yên h ặ o c là chuyển động thắng đều. 23 Định luật Newton III
Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng, không bao giờ có tác dụng ộ m t phía. Khi vật A
tác dụng lên vật B thì ngược lại vật B cũng tác dụng lên vật A. Ta nói chúng tương tác với nhau.
Định luật Newton III xét mối liên hệ giữa các tương tác của hai vật.
Phát biểu: Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B ộ
m t lực F thì chất điềm B
cũng tác dụng lên chất điểm A một lực F ': hai lực F và F' tồn tại đồng thời cùng
phương, ngược chiều và cùng cường độ.
Nói cách khác, tổng hình học các lực tương tác giữa hai chất điểm bằng không: F + F ' = 0.
Chú ý: Tuy tổng của hai lực F và F' bằng không nhưng tác dụng của chúng không
khử nhau vì điểm đặt của chúng khác nhau.
Trong trường hợp tổng quát: ta xét một hệ chất điểm cô lập, nghĩa là một hệ
không chịu tác dụng của các ngoại lực: trong hệ chỉ có các nội lực tương tác giữa các
chất điểm của hệ. Khi đó nếu xét từng đôi chất điểm của hệ thì tổng hai lực tương tác
giữa chúng bằng không. Bây giờ nếu lấy tổng của tất cả các lúc đó, ta được kết quả:
Tổng các nội lực của hệ chất điểm cô ậ
l p (hay hệ kín) bằng không.
Các định lý về động lượng
Từ phương trình Newton, ta có thể suy ra một số phát biểu tương đương, đó là
các định lý về động lượng.
Thiết lập các định lý về động lượng
Theo định luật Newton II, nếu một chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của r r
một lực F (hay của nhiều lực, lực tổng hợp là F ) thì sẽ có gia tốc racho bởi: r r m a = F
Từ biểu thức của gia tốc ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:
vì m không đổi nên ta có thể viết lại là: r r
Vectơ K = mv gọi là vectơ động lượng ủ
c a chất điểm (hình 2.1). ậ V y b ể i u t ứ h c
(2.3) có thể viết thành:
Đinh lý 1: Đạo hàm động lượng của ộ
m t chất điểm đối với thời gian có giá trị
bằng lực (hay tổng hợp các lực) tác dụng lên chất điểm đó. 24 Từ (2.4) ta suy ra:
Tích phân 2 vế của biểu t ứ
h c (2.5) trong khoảng thời gian từ t1 đến 2 t ứng với sự
biến thiên của động lượng từ K1 đến K2 ta được:
Theo định nghĩa tích phân của lực F theo t từ t1 đến 2
t gọi là xung lượng của F
trong khoảng thời gian đó. Vậy biểu thức (2.6) có thể phát biểu như sau:
Định lý 2: Độ biến thiên động lượng của ộ m t chất điểm trong ộ m t khoảng t ờ h i
gian nào đó có giá trị bằng xung lượng ủ c a ự
l c (hay tổng họp lực) tác dụng lên chất điểm trong kh ả o ng t ờ h i gian đ ó.
Trong trường hợp F không đổi theo thời gian, (2.6) trở thành: r ΔK = F .Δt (2.7) r r Hay K Δ = F (2.8) Δt
Theo (2.8) ta có thể phát biểu:
Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong đơn vị thời gian có giá t ị r bằng
lực tác dụng lên chất điểm đó.
Các định lý về động lượng (2.4) và (2.6) là những phát biểu tương đương của
phương trình Newton, khi ra khỏi phạm vi cơ học cổ điển Newton, các công thức (2.3)
và (2.4) vẫn đúng. Vì vậy, ta có thể nói rằng: về một mặt nào đó các định lý về động
lượng tổng quát hơn định luật Newton.
Ý nghĩa của động lượng và xung lượng
a. Ý nghĩa của động lượng
Như ta đã biết trong chương I, vectơ vận tốc là một đại lượng đặc trưng cơ bản cho chuyển đ n
ộ g về mặt động học. Nhưng về mặt động lực học, khi khảo sát chu ể y n
động của các vật, ta không t ể h xét riêng ậ
v n tốc mà không để ý đến khối lượng của
chúng, vì vận tốc có liên quan chặt chẽ với khối lượng (đối với một lực tác dụng nhất
định). Nói cách khác, vận tốc không đặc trưng cho chu ể
y n động về mặt động lực học.
Chính động lượng, đại lượng kết hợp cả khối lượng và vận tốc, mới đặc trưng cho
chuyển động về mặt động lực học. r
Ví dụ: Giả thiết có một quả cầu khối lượng m1 chuyển động với vận tốc v đến 1
đập thẳng vào một quả cầu có khối lượng m2 ban đầu đứng yên. Giả thiết sau va chạm, 25 r
quả cầu thứ hai chuyển động với vận tốc v . Thực nghiệm chứng tỏ rằng, nói ch1ung 1 r r r
r mà còn phụ thuộc vào m 1
v # v và v không những phụ thuộc vào v 2 2 1 1, nói chính xác là r r
phụ thuộc vào động lượng K = m v của quả cầu thứ n ấ
h t. Như thế nghĩa là sự truyền 1 1 1
chuyển động do va chạm của quả cầu thứ nhất đến quả cầu thứ hai phụ thuộc vào động r lượng quả thứ nhất (r r v càng lớn thì = càng lớn). 2 K m v 1 1 1
Vậy: Trong các hiện tượng va chạm đ n
ộ g lượng là một đại lượng đặc trưng cho
khả năng truyền va chạm.
b. Ý nghĩa của xung lượng
Xung lượng của một lực trong khoảng thời gian Δt đặc trưng cho tác dụng của
lực trong khoảng thời gian đó. Thực vậy, theo (2.6) hay (2.7) ta thấy rằng tác dụng của
lực không những phụ thuộc vào cường độ lực mà còn phụ thuộc thời gian tác dụng. Cùng một lực n ư
h ng thời gian tác dụng lâu thì động lượng của vật biến thiên nhiều và
ngược lại, nếu thời gian tác dụng rất ngắn thì dù lực lớn, động lượng cũng biến thiên ít.
Các định lý về động lượng và xung lượng thường dùng để giải quyết các bài toán va chạm.
Các lực cơ học trong tự nhiên. Hai bài toán cơ bản của động lực học Các lực cơ học trong tự nhiên
Do lực chỉ xuất hiện thành từng cặp và mỗi cặp có cùng một tính chất như nhau
(được tạo ra từ một tương tác) cho nên người ta phân chia các loại lực thông qua các
dạng tương tác của chúng. Có bốn dạng tương tác chủ yếu: 1. Tương tác hấp dẫn, 2.
Tương tác điện từ, 3. Tương tác mạnh và 4. Tương tác yếu.
Trong phạm vi chương này chủ yếu phân tích các tính chất của lực đàn hồi và lực
ma sát xuất hiện do lực tương tác điện từ. 26 a. Lực đàn hồi
- Điều kiện xuất hiên lực đàn hồi
Khi một vật bị một lực kéo dãn hay nén ạ l i
làm cho vật đó bị biến dạng thì bản thân vật đó tác
dụng một lực đàn hồi lên vật tác dụng nó để b ộ u c
vật này trả lại cho nó hình dạng cũ. - Tính chất
Chiều của lực đàn hồi luôn ngược chiều biến dạng ủ c a vật.
Treo một lò xo lên một điểm cố định trên trần nhà. Điểm B của lò xo móc vào vật
có khối lượng M. Dưới tác dụng của trọng lực vật M các phần tử lò xo dãn ra một
đoạn Δx, chúng tạo ra ự
l c đàn hồi k của lò xo và độ biến dạng Δx của nó luôn luôn là
hằng số, hằng số này được gọi là độ cứng của lò xo.
Công thức này được nhà Vật lý người Anh Rober Hooke tìm ra nên còn được gọi
là công thức của định luật Hooke.
Đơn vị của độ cứng là: N/m. Độ cứng K phụ thuộc vào vật liệu làm lò xo và chiều dài của lò xo. - Phản lực
Là một dạng lực đàn hồi xuất hiện khi vật A nén
lên mặt tiếp xúc với vật B làm các phân tử ở bề mặt B
bị biến dạng sinh ra phản lực N tác dụng vào vật A.
Phương của phản lực bao giờ cũng vuông góc với mặt tiếp xúc của hai vật.
Chiều từ tâm của vật A đi ra xa mặt tiếp xúc.
Độ lớn bằng hình chiếu ự l c nén vuông góc ủ c a A lên mặt tiếp xúc. Lúc căng dây treo:
Lực căng dây treo xuất hiện khi hai đầu dây bị kéo dãn hoặc một đầu dây cố định
còn đầu kia bị kéo dãn (trường hợp cả hai đầu đ u
ề bị kéo phải cùng phương, ngược chiều).
Phương của lực căng nằm dọc theo sợi dây.
Chiều ngược chiều lực kéo dãn.
Chú ý: Các lực này có điểm đặt lên vật đã tác dụng lên nó. Độ lớn thông thường
rất khó xác định trực tiếp thông qua sự biến dạng của dây nên nó được xác đ n ị h qua
các lực khác và gia tốc mà lực đạt được. b. Lực ma sát
- Điều kiện xuất hiện
Dạng thứ hai của lực đàn hồi là lực ma sát. 27
Lực ma sát xuất hiện khi có sự chuyển động tương đối của hai hoặc nhiều ậ v t với
nhau. Nếu hai vật chuyển động t ế
i p xúc là vật rắn người ta gọi đó là ự l c ma sát khô.
Nếu một hoặc cả hai vật là chất lưu (khí hoặc lỏng) thì được gọi là ma sát nhớt. - Đặc điểm Đặc điểm ủ c a các ự
l c ma sát là luôn luôn có phương tiếp tuyến với mặt tiếp xúc
của hai vật chuyển động tương đối, chiều luôn ngược với chiều chuyển động tương
đối. Độ lớn của lực ma sát khô ỷ
t lệ với phản lực thông qua hệ số ma sát.
- Ma sát nghỉ và ma sát trượt
Xét vật A đặt tiếp xúc lên vật B, lúc đó N là phản lực của vật B tác dụng lên vật r r
A. Dùng một lực F để kéo vật A, nếu độ lớn ủ
c a F có giá trị nhỏ thì vật A chưa r
chuyển động. Vật A đứng yên vì lực ma sát nghỉ cân bằng với lực kéo F .
Lực ma sát nghỉ xuất hiện khi chưa có sự chuyển động tương đối của 2 vật tiếp
xúc nhưng một trong hai vật đã chịu tác ụ d ng kéo ủ
c a ngoại lực. Độ lớn ủ c a lực ma sát r
nghỉ thay đổi theo độ lớn của lực kéo F, khi lực kéo đạt đến giá trị F0 nào đó sao cho
vật A bắt đầu chuyển động tương đối so với vật B: Lúc này lực ma sát nghỉ đã chuyển sang ma sát trượt.
- Vai trò của lực ma sát
Có hại: Trong các máy đang hoạt động bao giờ cũng xuất hiện ma sát, ả c n trở
chuyển động làm hao phí năng lượng vô ích. Lúc đó phải làm giảm ma sát.
Có lợi: Nhờ có ma sát mà máy móc xe
cộ đang hoạt động có thể dừng lại được, con
người, xe cộ mới di chuyển được.
Ví dụ: Một hệ gồm hai ậ
v t khối lượng m1 và m2 được nối với nhau bằng ộ m t sợi
dây mảnh không co dãn. Cả hai trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang dưới r
tác dụng của lực kéo F đặt vào m1. Xác định lực căng của dây. Bỏ qua tác dụng của ma sát.
Trước tiên ta tính gia tốc a của hệ. Vì hệ chuyển động như một vật có khối lượng r
(m1 + m2) dưới tác dụng của lực F . Nên ta có:
Muốn tính lực căng tại A, ta giả thiết là cắt dây tại A. Để đảm bảo cho m1 và m2
giữ nguyên chuyển động với gia tốc a thì tại hai đ
oạn dây ở A sẽ chịu tác ụ d ng ủ c a các r lực căng T và T' . r r
Xét riêng vật m1. Lực tác dụng lên nó gồm: lực kéo F và T lực căng. Do vậy,
phương trình chuyển động của m1 sẽ là: m1a = F-T 28 r
Xét vật m2. Lực tác dụng lên vật là lực căng T' và do đó phương trình chuyển động của m2 là:
Hai bài toán cơ bản của động lực học
Vận dụng các định luật Newton, chúng ta có thể dễ dàng giải các bài toán cơ học
đa dạng theo 4 bước cơ bản sau:
- Bước 1: Phân tích bản chất các lực tác dụng lên từng vật (theo định luật
Newtton III, các lực này chỉ xuất hiện thành từng cặp).
- Bước 2: Viết các phương trình định luật Newton II cho từng vật cụ thể.
- Bước 3: Chọn hệ quy chiếu quán tính và ệ
h trục toạ độ sao cho bài toán trở nên
đơn giản, chọn chiều chuyển động g ả
i định cho hệ, sau đó chiếu phương trình vectơ
(viết được ở bước 2) lên các trục toạ độ để được các phương trình đại số.
- Bước 4: Giải hệ các phương trình đ i
ạ số để tìm các nghiệm số theo yêu cầu của
đề bài, sau đó biện luận ý nghĩa của các giá trị.
a. Bài toán thuận của động lực học
Bài toán thuận của động lực học là bài toán xác định lực gây ra chuyển động khi
bết chuyển động của chất điểm.
Dễ giải bài toán loại này, trước tiên phải xác định gia tốc của chất điểm, sau đó
sẽ áp dụng định luật Newton II để tìm lực tác đụng lên chất điểm. r
Ví dụ: Kéo một gầu nước từ dưới giếng lên cao nhanh dần với gia tốc là a. Hãy xác định lực kéo. r r r
Ta biết lực tác dụng ổ t ng ộ c ng lên gầu ồ g m ự l c kéo k
F và trọng lực P = mg của
gầu. Theo định luật Newton II và để ý rằng hai lực này ngược chiều nhau, nên ta có: Fk- mg = ma Từ đó: Fk = m(g + a)
Ta thấy lực kéo phải lớn ơ h n trọng lượng ủ
c a gầu, đặc biệt là Fk càng ớ l n khi gia tốc a càng lớn.
h. Bài toán ngược của động lực học
Bài toán ngược của động lực học là bài toán xác định chuyển động của chất điểm
khi biết các lực tác dụng lên chất điểm và những điều k ệ i n ban đầu ủ c a chuyển động.
Để giải bài toán ngược cần xác định cụ thể các lực tác động lên từng trên điểm.
Sau đó áp dụng công thức tính gia tốc để xác định gia tốc mà chất điểm thu được. Nếu 29
biết vận tốc và vị trí ban đầu của chất điểm thì bằng cách lấy tích phân của gia tốc a, ta
có thể xác định được vận tốc và tọa độ của chất điểm theo t ờ
h i gian, nghĩa là có thể
biết được phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo của chất điểm.
Ví dụ: Một hệ gồm hai vật có k ố h i lượng
m1 và m2 được nối nhau bằng một sợi dây
không co dãn. Đầu kia của m1 nối với một sợi
dây khác vắt qua một ròng rọc và nối với một quả nặng m. G ả
i sử hệ chuyển động không ma
sát, khối lượng dây nối và ròng rọc không đáng
kể. Hãy xác định chuyển động của hệ. r
Gọi T là lực căng của sợi dây nối quả nặng m với m1. Lực mà sợi dây kéo m1 là r r
Tcòn kéo quả nặng m là - T .
Đối với quả nặng m ta có phương trình: mg -T = ma r
Gọi là lực căng của đoạn dây nối m 1 T
1 với m2. Đối Với m1 ta có phương trình: T - T1 = m1a
Đối với vật m2 ta có phương trình chuyển động: T1 = m2a
Cộng ba phương trình trên lại với nhau, ta tìm được gia tốc a của hệ:
Cũng có thể tìm ngay được gia tốc a của hệ nếu để ý rằng do sợi dây không co
dãn nên có thể xem chuyển động của hệ như là chuyển động ủ c a một vật thể thống r
nhất với khối lượng là (m+m1+m2) và lực duy nhất tác động lên hệ là g m .
Theo định luật Newton II ta có: mg a = m +m +m 1 2
Chuyển động của hệ là nhanh dần đều với gia tốc a. Do vậy, phương trình chuyển động của hệ là: Mômen động lượng
Định lý về động lượng (2.3,2.4) 30
là một trong những định luật cơ bản của cơ học chất điểm. Trong nhiều trường hợp
(nhất là khi xét chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của một trường lực
xuyên tâm) người ta diễn ta định luật này dưới dạng khác, đó là định lý về mômen động lượng.
2.5.1. Momen của một vectơ đối với một điểm M r
Cho một vectơ V = MA gốc tại M và ộ m t điểm r
O cố định trong không gian và r = OM (hình 2.3). r
Theo định nghĩa: mômen của V đối với O là một vectơ ký hiệu là: r r r r r r M(O, ) V = M O ∧ V = rV (2.9)
Theo định nghĩa (1) thì mômen động lượng r M(O,V) là một vector: - gốc tại O r
- có phương vuông góc với mặt phẳng xác định bởi O và V
- có chiều thuận với chiều quay từ OM sang MA r M = (O,V) = OM M . . A sin(OM M . A) = rVsin(rV) = 2SΔOMA
Các tính chất của mômen của một vector: từ biểu định nghĩa (1) ta có thể dễ
dàng suy ra các tính chất của mômen của một vector sau: r r r r r r
- tính chất 1: khi V = 0 hay V có phương qua 0 thì M(O,V) = 0 r r r
- tính chất 2: M (O, V + V = M(O,V ) + M (O, V ) 1 2 1 2
2.5.2. Định lý về mômen động lượng
Một chất điểm M chuyển động trên một quỹ r
đạo (C) dưới tác dụng ủ
c a một lực F (hình bên).
Theo định lý về sự biến thiên động lượng ta có: r r dK d(m ) v r = = F dt dt
Nhân hữu hướng cả hai vế của (4) với t = OM
(O là gốc tọa độ) ta được: 31 r r r
Trong đó L = r ∧K = là mômen động lượng của chất điểm M đối với điểm O và r r r r
M ( O,F ) = r ∧ F là mônmen của lực F đối với điểm O.
Phương trình (2.13) cũng chính là biểu thức của định lí về mômen động lượng,
định lí đó được phát biểu như sau:
"Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng đối với điểm O ủ c a ộ m t chất điểm chuyển động ằ
b ng tổng mômen đối với điểm O của các lực tác dụng lên chất điểm".
Hệ quả: Trong trường hợp chất điểm chuyển động luôn luôn chịu tác dụng của r r
một lực xuyên tâm ( F luôn có phương đi qua điểm O) thì M O,F = 0 và do đó: r
Từ (2.14) ta thấy L không đổi. Mặt khác, L luôn vuông góc với mặt phẳng tạo r r r
bởi O và K = m v, do đó, mặt phẳng chứa O và K là một mặt phẳng cố. định. Đ iều đó
có nghĩa là chất điểm M luôn luôn chuyển động trong ộ m t mặt phẳng ố c định.
2.5.3. Trường hợp chuyển động tròn
Mômen động lượng t của chất điểm M
chuyển động trên quỹ đạo tròn (O,R) có thể tính như sau: r rr L = OM.m∨ = Rm∨ = (Rm2 ω )
ở đây I = mR2 được gọi là mômen quán
tính của chất điểm đối với điểm O. Lại có, vận tốc góc ∨ ω = cũng được biểu d ễ
i n dưới dạng vector ωr và ωr có R r
cùng phương chiều với L . Do đó ta có thể viết mômen động lượng của chất điểm M r r
chuyển động trên quỹ đạo tròn dưới dạng: L= ω
I (2.16) Theo định lý về mômen động lượng ta có: r r r r r r
Trong đó F =F +F F luôn luôn hướng tâm và F là thành phần lực tác dụng theo n' n 1
phương tiếp tuyến với quỹ đạo.
Phương trình (2.17) chính là biểu thức của định lý về mômen động lượng ủ c a
chất điểm chuyển động tròn. 32
CHƯƠNG 3. ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM
ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẲN
Khi xem xét chuyển động của một vật hay một hệ bất kỳ, ta có thể mô hình vật đó như là một tập ợ
h p các chất điểm và áp dụng các định luật cơ ọ
h c của chất điểm đối
với từng chất điểm trong hệ. Vật rắn là hệ c ấ
h t điểm, nhưng là một hệ chất điểm đặc
biệt trong đó khoảng cách giữa các chất điểm luôn luôn giữ nguyên không đổi trong
quá trình chuyển động của vật rắn. Đây là một đối tượng cơ học quan t ọ r ng và phổ
biến nên ta chú trọng khảo sát đặc thù chuyển động vật rắn với phương pháp l ậ u n áp
dụng các quy luật chuyển động của hệ chất điểm vào chuyển động của vật rắn.
Trong chương này chúng ta khảo sát các định luật cơ bản ề v chuyển động của
một hệ chất điểm, đặc biệt khảo sát chuyển động của một vật rắn.
3.1. Cơ hệ. Khối tâm của ơ c hệ 3.1.1. Khái niệm cơ hệ
Cơ hệ là tập hợp các chất điểm tương tác với nhau, hay nói cách khác cơ hệ
chính là hệ chất điểm.
3.1.2. Khối tâm của cơ hệ a. Định nghĩa
Khối tâm của một hệ chất điểm M1, M2,.. Mn. Mà lần lượt có khối lượng m1, m2…
mn mà là một điểm G xác định bởi đẳng thức:
b. Tọa độ khối tâm: Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ O, chúng ta tiến hành tìm
tọa độ của G trong hệ tọa độ đã c ọ h n. Ta có:
Nhân 2 vế của (3.2) với m1 rồi cộng các phương trình theo i từ 1 tới n và sử r
Đặt OG = R với ba tọa độ X, Y, Z và OMi = r với ba tọa độ xi, yi, zi thì (3.3) 33
Các đẳng thức (3.5), (3.6) cho phép ta xác định tọa độ khối tâm của một hệ chất
điểm. Bây giờ chúng ta đi khảo sát các tính chất của khối tâm về mặt động lực học.
c. Vận tốc của khối tâm r Trong đó, dr r i r r
= v vector vận tốc của chất điểm M p = m v = động lượng của i dt i i i chất điểm Mi. n Nếu thay r r
p = ∑pi = tổng động lượng ủ
c a hệ chất điểm, thì biểu t ứ h c (3.6) trở = i 1 thành:
Vậy: Tổng động lượng ủ
c a hệ bằng động lượng của một chất điểm đặt tại khối
tâm của hệ, có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ và có vận tốc bằng vận tốc khối tâm của hệ.
d. Phương trình chuyển động của khối tâm
Giả thiết các chất điểm m1, m2,…,mn của hệ lần lượt chịu tác dụng ủ c a các lực r r r r r r
F , F ..., F và chuyển động với những vectơ gia tốc a ,a ,...a thỏa mãn các phương 1 2 n 1 2 n trình: r r r r r r r r m a = F .m a = F ,.. m . a = F 1 1 1 2 2 2 n n n
Muốn tìm phương trình chuyển động của khối tâm, ta có đạo hàm (3.6) theo t: 34 r r Trong đó dV a =
là vectơ gia tốc của khối tâm. Từ (3.9) ta có thể kết luận rằng: dt
Khối tâm của một hệ chuyển động như một chất điểm có k ố h i lượng ằ b ng ổ t ng
khối lượng của hệ và chịu tác dụng của một lực bằng tổng ng ạ
o i lực tác dụng lên hệ. Chú ý:
- Trong (3.9), vế phải chỉ là tổng hợp các ngoại lực tác dụng vì theo định luật
Newton III, tổng hợp các nội lực tương tác của hệ bằng không.
- Chuyển động khối tâm của hệ được gọi là chuyển động toàn thể của hệ.
3.2. Định luật bảo toàn động lượng 3.2.1. Thiết lập
Đối với một hệ chất điểm chuyển động, ta có định lý về đ n ộ g lượng: r
trong đó F là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ (theo định luật Newton III thì
tổng các nội lực tương tác trong hệ bằng 0).
Nếu hệ đang xét là một hệ cô lập (F = 0) thì:
Phát biểu: Tổng động lượng của một hệ cô lập là ộ m t đại lượng ả b o toàn.
Mặt khác, ta biết rằng vận tốc chuyển động của khối tâm của hệ (3.7) cho bởi:
Vậy đối với một hệ chất điểm cô lập:
Khối tâm của một hệ cô lập hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. 35
3.2.2. Bảo toàn động lượng theo phương r
Trong trường hợp một hệ chất điểm không cô lập nghĩa là F # 0 nhưng hình r
chiếu của F lên một phương x nào đó luôn luôn bằng 0, khi đó nếu ch ế i u phương trình vectơ lên phương x ta được: m v + m v ..., m + v =const 1 1x 2 2x n vx
Vậy, hình chiếu của tổng động lượng của hệ lên phương x là một đại lượng bảo toàn. 3.2.3. Ứng dụng
a. Giải thích hiện tượng súng giật lùi
Giả sử có một khẩu súng có khối lượng
M đặt trên một giá nằm ngang; trong
nòng súng có một viên đạn có khối lượng m. Nếu không có ma sát thì tổng hợp ngoại
lực tác dụng lên hệ (súng + đạn) tức là tổng hợp của trọng lượng (súng + đạn) và phản
lực pháp tuyến của giá sẽ triệt tiêu, do đ ó ổ
t ng động lượng của hệ bảo toàn. Trước khi bắn tổng đ n
ộ g lượng của hệ bằng 0. Khi bắn, đạn bay ề v phía trước
với vận tốc v, súng giật lùi về phía sau với vận tốc V. Do đó, động lượng của hệ sau r khi bắn sẽ là: r
mv+ MV. Vì động lượng của hệ bảo toàn nên ta có: r Dấu trừ chứng tỏ r
V ngược chiều với v . Về giá trị V tỷ lệ với m và tỷ lệ nghịch với M.
b. Chuyển động phản lực r
Định luật Newton III F cũng như định l ậ
u t bảo toàn động lượng là cơ sở để g ả i i
thích các chuyển động phản lực. Chúng ta hãy vận dụng các định luật này đ ể giải thích
chuyền động phản lực của các tên ử l a.
Giả thiết có một vật chứa một hỗn hợp khí nóng, ban đầu đứng yên. Nếu hỗn hợp
khí được phụt ra phía sau thì theo định luật bảo toàn động lượng vật sẽ tiến lên phía
trước. Đó là nguyên tắc của tên lửa.
Ta gọi khối lượng tổng ộ c ng ban đầu ủ
c a tên lửa là M0. Trong quá trình chuyển
động, tên lửa luôn luôn phụt khí ra sau, khối lượng ủ c a nó giảm dần, ậ v n tốc ủ c a nó
tăng dần. Ta hãy tính vận tốc rv của tên lửa khi khối lượng của nó là M. Động lượng r r
của tên lửa lúc đó là: K = M v .
Qua một khoảng thời gian đi, tên lửa phụt ra sau một khối lượng khí bằng dM1. 36
Nếu vận tốc phụt khí đối với tên lửa luôn luôn không đổi và bằng ru thì vận tốc phụt
khí đối với hệ quy chiếu đang quan sát bằng r r
u + v và động lượng của khí phụt ra là: r r
dM1( u+ v). Sau khi phụt khí khối lượng tên lửa bằng M + dM (với dM = - dM1), vận
tốc của nó tăng lên thành r r
v+ dv. Vậy động lượng của tên lửa sau khi phụt khí là: (M + r r
dM)( v+ dv). Động lượng của hệ sau khi phụt khí là: r r r r K = dM (u + ) v + (M + dM)(v + v d ) với dM = - dM 2 1 1
Giả sử không có thành phần ự
l c tác dụng theo phương chuyển động, theo định
luật bảo toàn động lượng ta có: r r K = K 1 2 r r r r r Hay (− dM(v + ) v d + (M+ dM) v ( + ) v d = Mv )
Khai triển các phép tính trong biểu thức trên và bỏ qua số hạng vô cùng bé bậc r hai -− dM.dvta được: r r
Mdv = - udM (vì dv và u ngược chiều
Công thức (3.12) gọi là công thức Xiôncôpxki. Theo công thức này, muốn cho
vận tốc tên lửa lớn thì vận tốc phụt khí (đối với tên lửa) phải lớn và tỷ số - ũ c ng phải lớn.
3.3. Chuyển động của vật rắn quanh một trục cố định
Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng các giữa các chất điểm luôn luôn
không đổi. Chuyển động của một vật rắn nói chung phức tạp, nhưng người ta chứng
minh được rằng mọi chuyển động của vật rắn bao giờ cũng có thể quy về tích của hai
chuyển động cơ bản: chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.
3.3.1. Bậc tự do của vật rắn
Khi mô tả chuyển động của một vật rắn, ta p ả
h i xác định được chuyển động của
bất kỳ điểm nào của vật. Để xác định vị trí của vật rắn ta cần phải xác đ n ị h vị trí của
ba điểm bất kỳ không thẳng hàng của nó, nghĩa là cần và chỉ cần xác định vị trí của
một tam giác bất kỳ gắn liền với ậ
v t rắn. Để xác định vị trí của ộ m t điểm trong không gian cần p ả
h i xác định ba tọa độ, do đó vị trí của ba điểm ấ
b t kỳ được xác định bởi
chín tọa độ. Tuy nhiên, do tính chất của vật rắn, ba điểm đó chính là ba đỉnh của một
tam giác xác định nên chín tọa độ đó không độc lập đối với nhau mà liên hệ với nhau
bằng ba phương trình xác định độ dài không đổi của ba cạnh tam giác, thành thử chỉ
còn có sáu tọa độ là độc lập. Do đó để xác định vị trí của vật rắn chỉ cần 6 tọa độ hay 6 tham số độc lập.
Vậy: Số tham số độc lập cần biết để xác định hoàn toàn vị trí của vật rắn gọi là số bậc tự do của nó. 37
Vật rắn hoàn toàn tự do có 6 bậc tự do. Nếu vật rắn không hoàn toàn tự do thì bậc
tự do của nó giảm xuống. Ví dụ vật rắn có một điểm hoàn toàn ố c định thì ba ọ t a độ
của điểm đó là hoàn toàn xác định và vật rắn chỉ còn ba bậc tự do. Vật rắn có hai điểm
hoàn toàn cố định chỉ có một bậc tự do: nó chỉ có thể quay quanh trục đi qua hai điểm
trên và bậc tự do còn lại của nó sẽ xác định ị v trí của vật quanh t ụ r c đó.
Nghiên cứu chuyển động của vật rắn tức là phải xác định hoàn toàn vị trí của vật
rắn tại mọi thời điểm, nói cách khác cần phải xác định được qui luật biến thiên theo
thời gian của các tham số độc lập. Rõ ràng là số phương trình cần phải biết bằng số
tham số độc lập hay là bậc tự do ủ c a vật rắn.
Vậy: bậc tự do của vật rắn cho b ế
i t số phương trình chuyển đ n ộ g độc lập ầ c n
phải biết để có thể hoàn toàn xác định chu ể
y n động của vật rắn.
3.3.2. Chuyển động tịnh tiến
Khi một vật rắn chuyển động tịnh tiến mọi chất điểm của nó chuyển động theo
những quỹ đạo giống nhau, vậy chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà
trong đó AB xác định bởi hai điểm bất kỳ A và B của vật rắn luôn song song với chính nó.
Tại mỗi thời điểm các chất điểm của vật rắn
tịnh tiến đều có cùng vectơ vận tốc và gia tốc.
Vậy:- trong chuyển động tịnh tiến của vật
rắn, quỹ đạo của mọi điểm là những đường cong như nhau, mọi nhau.
Giả thiết ra là vectơ gia tốc chung của các chất điểm M1, M2,…, Mi;, của vật rắn,
các chất điểm này lần lượt có khối lượng là m1, m2,…, mi;, và lẩn lượt chịu các ngoại
lực tác dụng là F1, F2,…, Fi. Theo định luật II Newton ta có: r r m a = F 1 1 r r m a = F 2 2 r r m a = F 3 3
Các phương trình này chứng tỏ rằng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn F1, F2,…,
Fi song song và cùng chiều, đây là một điều kiện ầ
c n để một vật chuyển động tịnh t ế i n.
Cộng các phương trình (3.13) vế theo vế ta được:
Đây là phương trình chuyển động ủ
c a vật rắn tịnh tiến; nó g ố i ng như phương
trình chuyển động của một chất điểm có k ố h i lượng bằng k ố h i lượng ổ t ng ộ c ng ủ c a ậ v t
rắn và chịu tác dụng một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Đây cũng chính
là phương trình chuyển động của khối tâm của vật rắn. 38
Như vậy, muốn khảo sát chuyển động tịnh tiến của ộ
m t vật rắn ta chỉ cần xét
chuyến động của khối tâm của nó. 3.3.3. Chuyển động quay
Xét một vật rắn quay quanh trục quay Δ với vận ố
t c góc ω0 khi đó bậc tự do ủ c a
vật rắn chỉ còn bằng một. Vị trí của vật rắn được xác định bởi một tọa độ duy nhất là
góc quay θ. Ta có những nhận xét sau:
Mọi điểm của vật rắn vạch nên những vòng tròn có tâm nằm trên trục quay. Trong cùng một kh ả o ng t ờ h i gian, mọi đ
iểm của vật rắn đều quay đư c ợ một góc θ như nhau.
Tại cùng một thời điểm, mọi điềm của vật rắn đều có cùng vận tốc góc: dθ 2 d θ ω = và gia tốc góc β = 0 dt 2 dt r
Tại một thời điểm, vectơ vận tốc dài v và gia tốc
tiếp tuyến của một chất điểm bất kỳ của vật ắ r n liên hệ
với vận tốc góc và gia tốc góc bởi các hệ thức sau: r r v =(ω xr) 0 r r a =(ββr) 1 Đây là những tính c ấ h t động ọ h c của chuyển động
quay của vật rắn xung quanh một trục cố định.
3.4. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn
Trong bài này ta sẽ thiết lập những phương trình cơ bản mô tả chuyển động quay
của vật rắn xung quanh một trục. 3.4.l. Mômen lực
a. Tác dụng của lực trong chuyển động quay
Giả thiết có một lực F tác dụng lên một vật rắn quay quanh trục Δ, đặt tại một
điểm M. Trước hết ta phân tích F ra hai thành phần: r r r F = F + F 1 2 r r Trong đó F
F , nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục
1 ⊥ trục và F2| trục. Lực 1
Δ đi qua M lại được phân tích thành hai thành phần: r r r F = F +F 1 1 n r Trong đó F
1 ⊥ bán kính OM, nghĩa là nằm theo tiếp tuyến của vòng tròn tâm O r
bán kính OM, còn F nằm theo bán kính OM. Kết quả ta có: n r r r r F = F + F + F 1 n 2 39
Trên hình (3.1) ta thấy rằng: r
- Thành phần F không gây ra chuyển động 2
quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn trượt dọc theo
trục quay, chuyển động này không thể có vì theo
giả thiết, vật rắn chỉ quay xung quanh trục Δ r
- Thành phần F không gây ra chuyển đ n ộ g n
quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn rời k ỏ h i trục
quay, chuyển động này cũng không thể có.
- Như vậy, trong chuyển động quay, tác r
dụng của lực F tương đương với tác dụng ủ c a r thành phần của nó. t F
Kết luận: Trong chuyển động quay của một vật rắn xung quanh một trục chỉ
những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của đ iểm đ
ặt mới có tác dụng t ự h c sự.
Vì vậy trong các phần sau, để đơn giản, ta có thể giả thiết rằng, các lực tác dụng lên vật rắn chu ể y n động quay đ ều là lực tiếp tu ế y n.
b. Mômen của lực đối với trục quay r
Xét tác dụng của một lực tiếp tuyến F đặt tại một điểm M ứng với bán kính t
OM=r. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, tác dụng của lực F, không những phụ thuộc cường
độ của nó mà còn phụ thuộc khoảng cách r: khoảng cách này càng lớn thì tác dụng của
lực càng mạnh. Để đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay, người ta
đưa ra một đại lượng gọi là mômen lực. r
Định nghĩa: Mômen của lực F, đối với trục quay Δ là một vectơ M xác định bởi (hình 3.1) r r
Theo định nghĩa này, vectơ có phương vuông góc với mặt phẳng chứa r và F t
nghĩa là phương của trục quay, có chiều thuận với chiều quay từ r sang Ft có trị số: r
Chú ý: vì trong chuyển động quay tác dụng của lực F tương đương với tác dụng 1 r r
của lực F nên người ta cũng định nghĩa M là vectơ mômen của F đối với trục Δ. Ta t t r
có thể dễ dàng chứng minh được rằng: Mômen của một lực F đối với trục Δ sẽ bằng 1
không khi lúc đó bằng không hoặc khi đó đồng phẳng với Δ. r r
- Ta cũng thấy rằng mômen M của đối với trục Δ là mômen ủ c a đối với t F Ft r điểm O, giao đ
iểm của Δ và mặt phẳng chứa F vuông góc với Δ. t 40
3.4.2. Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay
Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng: tác dụng ủ c a các
ngoại lực làm thay đổi trạng thái chuyển động của vật
rắn quay, cụ thể là làm cho nó quay có gia tốc. Chúng
ta sẽ thiết lập phương trình nêu lên mối liên hệ đó.
Gọi Mi là một chất điểm bất kỳ của vật rắn, cách
trục một khoảng là ri ứng với bán kính vectơ OM r i = r
có khối lượng mi và chịu tác dụng của ngoại lực tiếp r
tuyến F (tổng hợp các nội lực tác dụng lên các c ấ h t ti điểm ủ c a ậ
v t rắn bằng không, do vậy chúng không ảnh
hưởng gì đến chuyển động quay). r
Chất điểm Mi sẽ chuyển động với vectơ gia tốc tiếp tuyến a ; cho bởi: ti r r r r
m a = FNhân hữu hướng hai vế biểu thức trên với bán kính vectơ OM = ta được: i ti i i ri
Khai triển ngoại tích kép ở hai vế của (3.17) ta được: vậy (3.18) trở thành:
cộng các phương trình (3.19) vế với vế theo i (cộng theo tất cả các chất điểm của vật rắn) ta được:
Trong phương trình (3.19) ∑Mi = M = tổng hợp mômen các ngoại lực tác dụng i lên vật rắn ∑ 2
m .r = I gọi là mômen quán tính của vật rắn đối với trục Δ (bằng tổng i i i
mômen quán tính của các chất điểm của vật ắ r n). Vậy ta có thể v ế i t ạ l i biểu thức (3.20) như sau:
Phương trình (3.21) gọi là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn
xung quanh một trục. Từ (3.21) ta cũng có thể viết lại như sau: 41
Và có thể phát biểu như sau: Gia tốc góc trong chuyển động quay của vật rắn
xung quanh một trục tỷ lệ với tổng hợp mômen các ngoại lực đối với trục và tỷ lệ
nghịch với mômen quán tính của vật rắn đ i ố với trục.
Phương trình (3.21) nêu lên mối liên hệ giữa tác dụng ngoại lực đối với vật rắn
quay, đặc trưng bởi vectơ mômen M và sự thay đồi trạng thái chuyển động của vật rắn r
quay, đặc trưng bởi yectơ gia tốc góc β . Phương trình này tương tự như phương trình r r
của định luật II Newton đối với chuyển động tịnh tiến a
m = F , trong đó I có ý nghĩa
tương tự như khối lượng m. Vậy, I là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật
rắn trong chuyển động quay.
3.4.3. Tính mômen quán tính
Mômen quán tính I của vật rắn đ i ố với một
trục Δ được tính theo công thức:
Trong đó mi,.r2i là mômen quán tính của chất
điểm Mi của vật rắn đổi với trục và phép ộ c ng lấy
cho tất cả các chất điểm ủ c a vật rắn.
Nếu khối lượng của vật rắn phân bố một cách liên tục, muốn tính mômen quán
tính I, ta chia vật rắn thành những phần ử t vô cùng nhỏ, ỗ
m i phần tử có khối lượng vi
phân dm và cách trục Δ một khoảng r; khi đó phép cộng ở vế phải của (3.23) trở thành phép lấy tích phân:
Ví dụ 1: Tính mômen quán tính I của một thanh đồng chất chiều dài 1, khối
lượng M đối với trục Δ0 đi qua trung điểm G của thanh và vuông góc với thanh. Ta xét
một phần tử của thanh k ố h i lượng dm, ch ề i u dài dx cách G ộ m t đoạn x. Mômen quán
tính của tìm đối với trục Δ0 là: dI = x2.dm (3.25)
Vì thanh là đồng chất nên khối lượng của các đoạn trên thanh tỷ lệ với chiều dài của các đoạn đó: 42
Mômen quán tính I của thanh đối với trục Δ0 là:
Ví dụ 2: Tính mômen quán tính của một đĩa đồng chất bán kính R, k ố h i lượng M
đối với trục Δ0 của đĩa:
Ta phân tích đĩa thành những phần tử hình vành khăn bán kính x, bề rộng dx. diện tích vành khăn là: dS = d (x πx2) = 2πxdx
Gọi khối lượng của phần tử hình vành khăn là md,
mômen quán tính của nó là: dI = x2dm (3.27)
Vì đĩa đồng chất nên khối lượng ủ c a các phần ử t
trên đĩa tỷ lệ với diện tích của các phần tử: Do đó, (3.27) trở thành:
Mômen quán tính I của đĩa đối với trục Δ0 bằng:
Chú ý: Biểu thức của I trong (3.29) không phụ thuộc chiều dày ủ c a đĩa, vì vậy,
công thức (3.29) cũng áp dụng được để tính I của một vật đồng chất hình trụ tròn khối lượng M, bán kính R.
Bằng những phép tính tương tự, ta có thể tìm được mômen quán tính của những
vật đồng chất có hình dạng đối xứng đối với trục của chúng.
Hình 3.5. Mômen quán tính của mã số vật rắn. 43 Định lý Stein-Huygen:
Ở trên ta tìm được mômen quán tính ủ
c a các vật đối với trục đối xứng Δ0 đi qua
khối tâm G của chúng. Trong nhiều trường hợp ta phải tìm mômen quán tính đối với
một trục bất kỳ. Khi đó ta có thể áp dụng định lý Stein-Huygen sau:
Mômen quán tính của một vật rắn đối
với một trục Δ bất kỳ bằng mômen quán tính
của vật đối với trục Δ0 song song với Δ đi
qua khối tâm G của vật cộng với khoảng
cách d giữa hai trục: I = I0 + Md2 (3.30)
Dưới đây sẽ chứng minh định lý này cho một trường hợp đ n ơ giản: trường hợp
của thanh đồng chất chiều dài 1 khối lượng M.
Giả thiết hai trục Δ và Δ0 cùng vuông góc với thanh (hình 3.6). Lấy một phần tử
chiều dài dx, khối lượng dm của thanh, cách G một khoảng x (x > 0 nếu tìm ở bên phải
G và x < 0 nếu tìm ở bên trái G). Mômen quán tính của tìm đối với trục Δ là (d+x)2dm;
mômen quán tính của thanh đối với trục Δ là: 2
I = ∫dm(x + d) (tích phân theo các phần tử của thanh)
Khai triển các phép tính ta có:
I = ∫dm(x2 + 2dx + d2 ) = ∫ x2dm + 2d ∫ xdm + d2 ∫ dm Nhưng 2
∫ x dm = I = mômen quán tính của thanh đối với trụcΔ 0 0; ∫dm = M = khối
lượng của thanh; ∫xdm = 0, vì trong tổng đó cứ mỗi phần tử bên p ả h i dx (có x > 0) lại ứng với một phần ử
t đối xứng bên trái dx (có x > 0), do đó hai số hạng tương ứng có x
ngược dấu nên khử nhau. Cuối cùng ta có: I = I0 +Md2
3.5. Mômen động lượng của một hệ chất điểm 3.5.1. Định nghĩa
Một hệ chất điểm Mi, M2,…,Mi,… lần lượt cổ khối lượng m ,m ,..., m ,...và 1 2 i r r r
chuyển động với những vận tốc v , v ,..., v ,... đối với một hệ quy chiếu gốc O. Tại 1 2 i
thời điểm t vị trí những chất điểm ấy được xác định bởi các vector bán kính r r r r , r ,..., r ,... 1 2 i
Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O được định nghĩa bởi:
bằng tổng các mômen động lượng của các chất điểm trong hệ đó với O. 44
Chúng ta hãy xét một số trường hợp riêng
a. Hệ chất điểm quay xung quanh một trục cố định Δ
Khi đó, theo chứng minh ở phần trước ta có mômen động lượng của một chất r điềm ( m , r ): i i r L = I ω (3.32) i i i trong đó 2
I = m r là mômen quán tính của chất điểm đối với trục quay Δ, ω i i i là
vận tốc góc của chất điểm trong chuyển động quay xung quanh Δ.
Khi đó mômen động lượng của hệ được xác định bởi:
b. Trường hợp vật rắn quay xung quanh một trục cố định Δ.
Khi đó mọi chất điểm ủ
c a vật rắn quay đều có cùng ậ v n tốc góc.
trong đó I= ∑I = m r là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay Δ i ∑ 2 i i i i
3.5.2. Định lý về mômen động lượng của một hệ chất điểm
Đối với chất điểm (m;, r) ủ c a hệ khi áp ụ
d ng định lí về mômen động lượng ta được: r
M (O, F ) là tổng mômen đối với gốc O của các lực tác dụng lên chất điểm (m i i).
Cộng các phương trình trên theo I ta được:
Vế trái (3.37) = d rL là đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của hệ. dt
Vế phải của (3.37) biểu thị tổng mômen đối với gốc O của các lực tác dụng lên các
chất điểm của hệ. Các lực tác dụng lên các chất điểm của hệ bao gồm các ngoại lực tác
dụng và các nội lực tương tác ủ
c a các chất điểm trong hệ. Chú ý rằng các nội lực
tương tác của các chất điểm trong hệ từng đôi ộ
m t đối nhau (cùng phương, n ư g ợc
chiều và cùng độ lớn), do đó, ổ
t ng mômen đối với O của những ự l c này sử bằng 0.
Vậy vế phải của (3.37) chỉ còn là tổng mômen đối với O của các ngoại lực tác dụng
lên hệ. Kết quả ta thu được công thức sau: 45
Định lí: Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của một hệ chấm điểm
bằng tổng mômen các ngoại lực tác dụng lên hệ (đối với một điểm ố g c O bất kì)
Chúng ta hãy xét một trường hợp riêng: hệ chất điểm là một vật rắn quay xung r
quanh một trục cố định Δ. Có: r L= ω I 2
I = m r , do đó định lí về mômen động lượng có i i thể viết:
trong đó M là tổng mômen các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay.
Tích phân phương trình (3.39) từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 tương ứng với sự
biến thiên của t từ L1 đến L2 ta được: t2
Đại lượng ∫ Mdt được gọi là mômen xung lượng của mômen lực M trong khoảng t1 thời gian Δt = t2 – t1:
Nếu M = không đổi thì ta được:
Chú ý: đối với vật rắn quay xung quanh một trục cố định, mômen quán tính
I = const. Vì vậy, ta có thể viết r trong đó dω β =
là gia tốc góc và phương trình (3.42) là phương trình cơ bản của dt
chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục mà ta đã biết.
3.6. Định luật bảo toàn mômen động lượng 3.6.1. Thiết lập
Giả sử có một hệ chất điểm không chịu tác dụng ủ c a các ng ạ
o i lực (hệ chất điểm
cô lập) hoặc có chịu tác dụng của các ngoại lực nhưng tổng mômen của các ngoại lực
ấy đối với điểm gốc O bằng 0. Khi đó theo định lí về mômen động lượng ta có:
Vậy: Đối với một hệ chất điểm cô lập hay chịu tác dụng của các ngoại lực nhưng
tổng mômen của các ngoại lúc ấy đối với điểm gốc O bằng 0, thì tổng mômen động
lượng của hệ là một đại lượng bảo toàn. 46
3.6.2. Trường hợp hệ quay xung quanh một trục cố định
Định lí về mômen động lượng đối với hệ trong t ư r ờng hợp này:
Cần chú ý rằng các vector vận tốc góc và vector mômen lực đều nằm trên trục r r r
quay. Khi M ta được kết quả: I ω + I ω + I ω +.... = const 1 1 2 2 i i
3.6.3. Một vài ứng dụng của định luật bảo toàn mômen đ n ộ g lư n ợ g
Đối với một hệ quay xung quanh ộ
m t trục với vận tốc góc ω, nếu tổng hợp
mômen ngoại lực tác dụng bằng không thì mômen động lượng ủ c a hệ bảo toàn: Iω = const
Nếu vì một lí do nào đó mômen quán tính I của hệ tăng thì ω giảm, hệ quay chậm
lại; ngược lại nếu I giảm thì ω tăng, ệ
h quay nhanh lên. Ta có thể nêu một vài thí dụ minh họa tính chất đó. 47 CHƯƠNG 4. NĂNG LƯ N Ợ G 4.1. Công và công suất 4.1.1. Công
Xét một vật nằm yên trên bàn. Nó chịu tác dụng của hai lực: trọng lực và phản
lực của mặt bàn, tổng hình học của các ngoại lực bằng không. Do đó, theo định luật
bảo toàn động lượng thì đ n ộ g lư n
ợ g của vật bảo toàn. Suy ra, vật phải giữ nguyên
trạng thái nằm yên trên bàn.
Lại xét một ôtô chuyển động t ẳ
h ng đều trên đường, mô chịu tác dụng ủ c a lực kéo
của động cơ, lực cản của không khí, lực ma sát của mặt đường, trọng lượng của mô
phản lực của mặt đường. Vì ôtô chuyển động thẳng đều, nên theo định luật I Newton
thì tổng hình học của tất cả các lực tác dụng lên ôtô p ả
h i bằng 0. Do đó, theo định luật
bảo toàn động lượng thì đ n ộ g lư n
ợ g của ôtô không thay đổi theo thời gian. Như vậy,
trạng thái chuyển động của ôtô và vật nằm trên mặt bàn là như nhau. Tuy nhiên, đ n ộ g
cơ của ôtô phải hoạt động liên tục, tiêu tốn nhiên liệu để sản sinh ra lực kéo nhằm duy
trì trạng thái chuyển động cơ học không thay đổi theo thời gian, trái lại vật nằm trên
mặt bàn lại không cần tiêu tốn một tí năng lượng nào cả.
Nghiên cứu kỹ, ta thấy có sự khác nhau rất cơ bản giữa hai ví dụ nêu ra ở trên, đó
là: điểm đặt của các lực tác dụng lên vật nằm trên mặt bàn không dịch chuyển, còn
điểm đặt của lực kéo của động cơ ôtô liên tục dịch chuyển cùng ôtô.
Vậy, ta có thể nói rằng: một lực sinh công khi điểm đặt của nó chuyển dời.
Thí nghiệm chứng tỏ rằng, lượng nhiên liệu tiêu thụ bởi động cơ ôtô tỷ lệ với tích r
số của lực kéo F và quãng đường dịch chuyển x của điểm đặt của lực kéo (quãng
đường dịch chuyển của ôtô).
Đại lượng được đo ằ
b ng tích số của lực và quãng đường dịch chuyển ủ c a điểm
đặt của lực gọi là công.
Ví dụ trên cho thấy rằng năng lượng nhiệt
chứa trong nhiên liệu khi bị đốt cháy trong động
cơ ôtô đã chuyển thành công cơ học làm cho ôtô
chuyển động. Vậy công chính là đại lư n ợ g đặc
trưng cho phần năng lượng chuyển đổi từ dạng
năng lượng này sang dạng năng khác, hay chính
là phần năng lượng trao đổi giữa các vật. r
Dưới tác dụng của lực F giả sử chất điểm dịch chuyển được một đoạn đường vi r r r
phân ds . Công vi phân dA mà lực F thực hiện được trên đoạn đường ds là tích vô hướng của hai vectơ: r r dA = . F ds F = .ds.cos α (4.1) 48
Nếu: α < π/2 thì dA > 0: công hữu ích
α < π/2 thì dA = 0: lực tác dụng vuông góc với chuyển động nên không sinh công.
α > π/2 thì dA < 0: công cản (ví dụ công của lực ma sát)
Từ biểu thức (4.1) ta suy ra đơn vị của công là Jun (J): 1J = 1Nm.
Biểu thức này chỉ đúng cho trường hợp r
lực F không đổi và chuyển dời của s là thẳng.
Trong trường hợp tổng quát điểm đặt của lực r
F chuyển dời từ điểm P đến điểm Q trên quỹ
đạo, trong quá trình này lực thay đổi. Để tính
công trong trường hợp này ta chia đoạn đường
PQ thành nhiều đoạn con dự, rồi r
áp dụng công thức (4.1) tính công vi phân dA trên đoạn ds đó, rồi cộng tất cả các r
công vi phân lại ta sẽ tính được công mà lực F thực hiện được trên đoạn đường PQ: r
Nếu phân tích vectơ F và r
ds thành các thành phần theo các trục t ạ o độ của hệ
toạ độ Descarst thì ta có thể biểu diễn công A dưới dạng: 4.1.2. Công suất r
Khi định nghĩa công mà lực Fthực hiện được trên một đoạn đường nào đó ta
không tính đến thời gian thực hiện công. Để đặc trưng cho khả năng sinh công nhanh
hay chậm của một máy sinh công (Ví dụ: một động cơ) người ta đưa vào một đại lượng
vật lý mới gọi là công suất.
Công suất trung bình Ptb của một máy sinh công là ỷ
t số của công ΔA và thời
gian Δt để thực hiện công đó, ta có:
Về mặt ý nghĩa, công suất trung bình có giá trị bằng công trung bình của lực sinh
ra trong đơn vị thời gian.
Để tính công suất tại từng thời điểm, ta cho Δt → 0. Giới hạn của ΔA khi Δt → 0 Δt
theo định nghĩa gọi là công suất tức thời (gọi tắt là công suất) của lực, được ký hiệu là:
Vậy: công suất có giá trị bằng đạo hàm của công theo thời gian. 49
Vậy: công suất bằng tích vô hướng của ự l c tác dụng ớ v i vectơ vận ố t c của chuyển rời.
Đơn vị của công suất là Watt (W), 1w = 1J/s = 1 Nm/s.
4.1.3. Công và công suất của lực tác dụng trong chuyển động quay
Trong trường hợp một vật rắn quay xung
quanh một trục Δ các lực tác dụng đều là lực
tiếp tuyến (hình 4.3). Công vi phân của một r
lực tiếp tuyến F cho bởi: t r dA = F ds t r
(giả sử F hướng theo chiều chuyển động) t
nhưng ds = rdα, dù là góc quay ứng với r chuyển rời ds , vậy: dA = rFtda r
Theo định nghĩa: rFt = M mômen của lực đối với trục quay Δ do đó: t F dA = M dA
Từ đây, ta có thể suy ra biểu thức của công suất: 4.2. Năng lượng
4.2.1. Khái niệm năng lượng và định luật bảo toàn năng lượng
Tất cả các dạng cụ thể của vật chất vận động đều có năng lượng. ă N ng lượng là
một đại lượng đặc trưng cho mức độ vận động của vật chất.
Một vật ở trạng thái nhất định thì có một năng lượng xác định. Khi một vật
không cô lập nghĩa là có tương tác với môi trường bên ngoài thì vật đó sẽ biến đối
trạng thái và trao đổi năng lượng với các vật bên ngoài. Sự trao đổi này có thể thực
hiện băng nhiều cách. Nếu chỉ xét chuyền động cơ, thì sự trao đối năng lượng thực
hiện như sau: vật đang khảo sát tác dụng những ự
l c lên các vật bên ngoài và những lực
này sinh công. Như vậy, công là một đại lượng đặc trưng cho quá trình trao đổi năng
lượng giữa vật này và vật khác. Nói cách khác, khi một hệ thực hiện công thì năng
lượng của nó biến đổi. Ta sẽ xem xét cụ thể các quá trình đó trong chương này.
Giả thiết trong một quá trình nào đó hệ biến đổi từ trạng thái 1 (có năng lượng
W1) sang trạng thái 2 (có năng lượng W2); quá trình này hệ nhận từ bên ngoài một 50
công A (công A là một lượng đại số có thề dương hay âm tuỳ theo hệ thực sự nhận
công từ bên ngoài hay thực sự sinh công cho bên ngoài). Thực nghiệm chứng tỏ rằng độ biến thiên ă
n ng lượng W2 – W1 của hệ có giá trị bằng công A: W2 – W1 = A (4.9)
Ta có thể phát biểu: "Độ biến thiên năng lượng của một hệ trong quá trình nào
đó có giá trị bằng công mà hệ nhận được từ bên ngoài trong quá trình đó". Nếu hệ
thực sự nhận công từ bên ngoài A > 0 năng lượng của hệ tăng, nếu t ự h c sự sinh công
cho bên ngoài, A < 0 năng lượng của hệ giảm.
Trong trường hợp một hệ cô lập (tức không tương tác với bên ngoài, không trao
đổi năng lượng với bên ngoài) ta có A = 0, khi đó (4.9) cho ta: W2 = W1 = const (4.10).
Năng lượng của một hệ cô lập được bảo toàn.
Các phát biểu (4.9) hay (4. 10) chính là nội dung của định luật bảo toàn năng
lượng; như vậy có nghĩa là: Năng lượng không tự mất đi mà ũ c ng không tự sinh ra,
năng lượng chỉ chuyển từ hệ này sang hệ khác.
Cần phân biệt hai khái niệm công và năng lượng. Một trạng thái của hệ tương
ứng với một giá trị xác định của năng lượng của hệ; ta nói rằng năng lượng là một hàm
trạng thái, còn công đặc trưng cho độ biến thiên năng lượng của hệ trong một quá
trình nào đó. Công bao giờ cũng tương ứng với một quá trình cụ thể. Ta nói rằng công là hàm quá trình.
Mỗi hình thức vận động cụ thể tương ứng với một dạng năng lượng cụ thể.
Chẳng hạn như: vận động tương ứng với cơ năng; vận động nh ệ i t tương ứng với
nội năng; vận động điện từ tương ứng với năng ư l ợng điện từ. Tuy ă n ng lượng được
bảo toàn về số lượng những do tương tác giữa các hệ, do ự s trao đổi năng ư l ợng giữa
hệ này và hệ khác, nên năng lượng luôn luôn chuyển hoá từ dạng này sang dạng khác.
Định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng là sự phản ánh về mặt khoa ọ h c tự
nhiên tính không thể tiêu diệt được sự vận động của vật chất. Ănghen ọ g i định luật đó
là "quy luật cơ bản vĩ đại của ự s ậ v n động".
Từ định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng chúng ta có thể rút ra một kết
luận có tính thực tiễn. Theo (4.9) ta thấy rằng một hệ khi sinh công thực sự thì năng
lượng của hệ giảm đi. Vì năng lượng của hệ là hữu hạn nên bản thân hệ không thể tự
sinh công mãi mãi được. Muốn cho hệ tiếp tục sinh công, nhất thiết phải cung cấp
thêm năng lượng cho hệ để bù lại phần năng lượng đã bị giảm trong quá trình làm
việc. Như vậy, theo định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng không thể có một hệ
sinh công mãi mãi và không nhận thêm năng lượng từ nguồn bên ngoài. Một hệ sinh
công mãi mãi mà không cần nhận thêm năng lượng bên ngoài gọi là một động cơ vĩnh
cửu. Định luật bảo toàn và chu ể y n hoá ă
n ng lượng khẳng định sự không tồn tại ủ c a động cơ vĩnh cửu. 51 4.2.2. Động năng
a. Định lý về động năng Động năng là p ầ
h n cơ năng tương ứng với
sự chuyển động của các vật. Muốn xác định
biểu thức của động năng ta hãy tính công của
lực ngoài tác dụng lên vật. r
Xét một chất điểm khối lượng m, chịu tác dụng của một lực F , và chuyển rời từ r
vị trí 1 sang vị trí 2 (hình 4.4). Công của lực F trong chuyển rời từ 1 sang 2 là:
Trong đó v1 và v2 là vận tốc của chất điểm ạ
t i các vị trí 1 và 2, thực h ệ i n phép tích phân ta được:
Theo (4.9) công A có trị số bằng độ b ế i n thiên cơ năng ở
( đây là động năng). Vậy ta có định nghĩa:
mv21 =động năng chất điểm tại vị trí 1 = Wd 2 1
mv22 = động năng chất điểm tại vị trí 2 = Wd 2 2 r
Tổng quát, biểu thức động năng ủ c a c ấ
h t điểm có khối lượng m, vận tốc vcho bởi:
Định lý về động năng: Độ biến thiên động năng của ộ m t chất điểm trong ộ m t
quãng đường nào đó có giá trị bằng công của ngoại lực tác dụng lên chất điểm sinh ra trong quãng đường đó.
Kết luận: Khi động năng của một vật giảm thì ngoại lực tác dụng lên vật sinh
một công cản; như thế nghĩa là vật đó tác dụng lên vật khác một lực và lực đó sinh công dương.
b. Động năng trong trường hợp vật rắn quay
Phương trình biểu thị định lý về động năng trên chỉ áp dụng đối với ộ m t chất 52 điểm hay ộ m t vật rắn chu ể y n động tịnh t ế
i n. Còn đối với một vật rắn quay quanh trục
Δ phương trình biểu thị định lý về động năng. có một dạng khác.
Trong chuyển động quay quanh một trục, biểu thức của công vi phân là: r r dA = ds F = M ωdt
theo phương trình cơ bản của chuyển động quay
Tích phân hai vế của biểu thức trên trong một khoảng thời gian hữu hạn, trong đó
vận tốc góc ω biến thiên từ ω1 đến ω2 ta được công của các ngoại lực tác dụng lên ậ v t
rắn quay trong khoảng thời gian đó là:
Ta suy ra biểu thức sau của động năng của vật rắn quay là:
Chú ý: Trong trường hợp tổng quát vật rắn vừa quay, vừa chuyển động tịnh tiến,
động năng toàn phần của vật rắn bằng tổng đ
ộng năng quay và động năng tịnh t ế i n:
Trường hợp riêng: vật rắn đối xứng tròn xoay, lăn không trượt; khi đó vận tốc
tịnh tiến liên hệ với vận tốc quay bởi hệ thức v = ωR (với R là bán kính tiết diện vật
rắn ở điểm tiếp xúc với mặt phẳng trên đó vật rắn lăn không trượt). Vậy, ta có thể viết
biểu thức động năng toàn phần như sau: 4.2.3. Trường lực thế
Một chất điểm được gọi là chuyển động
trong một trường lực nếu tại mỗi vị trí các chất r
điểm đều xuất hiện lực F tác dụng lên chất điểm ấy. r
Lực F tác dụng lên chất điểm nói chung phụ thuộc vào vị trí của chất điểm: nói r
cách khác F là một hàm của các toạ độ của c ấ h t điểm và ũ c ng có t ể h là ộ m t hàm của r
thời gian t. Trong bài này, ta không xét trường hợp F là hàm của t. Vậy nói chung ta có: 53
Khi chất điểm chuyển động từ vị trí M đến vị trí N bất kỳ (hình 4.5) thì công ủ c a r lực F bằng: r
Nếu công AMN của lực F không phụ thuộc đường ị
d ch chuyển MN mà chỉ p ụ h r r
thuộc vào vị trí điểm đầu M và điểm cuối N thì ta nói rằng: F ( r ) là lực của ộ m t trường lực thế.
Ta có thể dễ ràng chứng minh được trọng trường đ u
ề và trường tĩnh điện Culông
là những trường lực thế. 4.2.4. Thế năng a. Định nghĩa
Khi một chất điểm dịch chuyển từ vị trí M sang vị trí N trong trường lực thế thì công AMN của trường ự l c chỉ p ụ
h thuộc vào hai vị trí đầu và c ố u i M, N. Tính chất này ta có thể định nghĩa: Thế năng ủ
c a chất điểm trong trường lực thế là một hàm Wt phụ thuộc vào vị trí của chất điểm sao cho: AMN = Wt(M) - Wt(N) (4.18)
Từ định nghĩa ta thấy rằng: nếu đồng thời cộng Wt(M) và Wt(N) với cùng một
hằng số thì hệ thức định nghĩa trong (4.18) vẫn được nghiệm đúng, nói cách khác: "thế
năng của chất điểm tại một vị trí được định nghĩa sai khác một hằng số cộng".
Ví dụ 1: Trong trọng trường đều, biểu thức công trong trường lực này là: AMN =
mgz1 – mgz2, ta suy ra biểu thức của thế năng chất điểm ạ
t i vị trí có độ cao z là L: Wt(z) = mgz + C (4.19)
Ví dụ 2: Trong điện trường Cu lông, biểu thức công trong trường lực này là:
suy ra biểu thức tính thế năng của điện tích q0 tại vị trí cách q một đoạn r là: b. Tính chất
- Thế năng tại một vị trí được xác định sai khác một hằng số cộng nhưng hiệu thế
năng giữa hai vị trí thì hoàn toàn xác định.
Giữa trường lực và thế năng có hệ thức sau:
Nếu cho chất điểm địch chuyển theo một vòng kín (M ≡ N) thì hệ thức trên đây trở thành 54
c. Ý nghĩa của thế năng
Thế năng là dạng năng lượng đặc trưng cho tương tác.
Ví dụ 1: Dạng thế năng ủ
c a chất điểm trong trọng trư n
ờ g của quả đất là năng
lượng đặc trưng cho tương tác giữa quả đất với chất điểm; ta cũng nói đó là thế năng
tương tác giữa quả đất và chất điểm.
Ví dụ 2: Thế năng của điện tích q0 trong điện trường Culông của điện tích q là thế
năng tương tác giữa q0 và q.
4.2.5. Định luật bảo toàn cơ năng
Khi chất điểm khối lượng m chuyển động từ vị trí M đến vị trí N trong ộ m t
trường lực thế thì công của trường lực cho bởi: AMN = Wt(M) - Wt(N)
Nếu chất điểm chỉ chịu tác dụng ủ
c a trường lực thế thì theo định lý về động năng, ta có: AMN = Wd(N) - Wd(M) Vậy:
Wt(M) - Wt(N) = Wd(N) - Wd(M) Hay Wd(M) + Wt(M) = Wd(N) + Wt(N) (4.23) Vậy tổng: Wd(m) + Wt(M) = const (4.24)
Tổng này có giá trị không đổi, không phụ thuộc vào vị trí của chất điểm.
Tổng động năng và thế năng của chất điểm được gọi là cơ năng ủ c a chất điểm.
Khi chất điểm chuyển động trong ộ m t trường ự
l c thế (không chịu tác ụ d ng ủ c a ộ m t lực
nào khác) thì cơ năng của chất điểm là một đại lượng bảo toàn. Đây chính là đ n ị h luật
bảo toàn cơ năng trong trường lực thế.
Vỉ du: Khi chất điểm k ố
h i lượng m chuyển động trong trọng trường đều thì:
Hệ quả: Vì W = Wd + Wt = const nên trong quá trình chuyển động của chất điểm
trong trường lực thế nếu động năng Wd tăng thì thế năng Wt giảm và ngược lại; ở chỗ
nào Wd đạt giá trị cực đại thì Wt cực tiểu và ngược lại.
Chú ý: Khi chất điểm chuyển động trong trường lực thế còn chịu tác dụng của r
một lực khác F (ví dụ lực ma sát) thì nói chung cơ năng của chất điểm không bảo r
toàn: độ biến thiên của cơ năng chất điểm ẽ
s bằng công của lực F đó. 4.3. Bài toán va chạm
Ta hãy khảo sát bài toán va chạm của hai quả cầu nhỏ chuyển động trên đường
thẳng nối liền hai tâm của chúng (va chạm xuyên tâm). 55
Giả thiết hai quả cầu có khối lượng lần lượt là m1 và m2 Trước va chạm chúng có r r
vectơ vận tốc là v và v (cùng phương); sau va chạm, chúng có vectơ vận tốc là 1 2 r r v và v . 1 2
Trước hết ta hãy viết phương trình biểu diễn sự bảo toàn động lượng của hệ trước và sau va chạm:
m1v1 + m2v2 = m1v1 + m2v2 (4.26)
(ta chỉ viết phương trình đối với trị đại số của các vectơ vận tốc vì chúng cùng phương). r r
Để tìm được vận tốc v và v ta phải tìm thêm một phương trình nữa, muốn vậy 1 2
ta phải xác định điều kiện va chạm. Ta xét hai trường hợp: 4.3.1. Va chạm đàn hồi
Động năng của hệ (m1 + m2) trước và sau Va chạm bảo toàn. Khi đó ta có:
Từ (4.26) và (4.27) ta rút ra:
Theo kết quả (4.28) ta thấy rằng: trong trường
hợp đặc biệt m1 = m2 thì v1 = v2 và v2 = vi ; ta nói
rằng hai quả cầu trao đổi vận tốc với nhau.
Nếu ban đầu quả cầu 2 đứng yên (v2 = 0), ta sẽ có:
Trong trường hợp m1 - m2 thì v1 = 0 và v2 = v1, như đã nói ở trên chúng trao đổi
vận tốc với nhau, quả cầu 1 sẽ đứng yên, quả cầu 2 ẽ
s chuyển động với vận tốc bằng
vận tốc của quả cầu 1 trước va chạm.
Trong trường hợp m1 <<< m2 theo (4.30) ta có: v1 ≈ -v2 v2 ≈ 0
nghĩa là quả cầu 2 vẫn đứng yên, q ả u cầu 1 ắ
b n ngược trở lại với vận tốc bằng vận tốc
tức thời (về giá trị) của nó trước va chạm. 56 4.3.2. Va chạm mềm
Sau va chạm hai quả cầu dính vào nhau chuyển động cùng vận tốc. Khi đó ta có: Vậy (4.26) trở thành: (m1 + m2) v = m1v1 + m2v2 Từ đây ta suy ra:
Trong va chạm mềm, nói chung động năng không được bảo toàn mà bị giảm đi.
Độ giảm động năng của hệ có trị ồ s bằng:
Độ giảm động năng này có giá trị bằng công làm b ế i n dạng hai q ả u cầu. 57
CHƯƠNG 5. TRƯỜNG HẤP DẪN
Nhiều hiện tượng trong tự nhiên chứng tỏ rằng các vật có khối lượng luôn luôn
tác dụng lên nhau những lực hút. Trọng lực là lực hút của quả đất đối với các vật xung
quanh nó. Quả đất quay xung quanh mặt trời là do lực hút của mặt trời; Mặt trăng quay
xung quanh quả đất là do lực hút của quả đất. Giữa các vì sao trong vũ trụ cũng có ự l c
hút lẫn nhau v.v... Các lực hút đó gọi là lực hấp dẫn vũ trụ. Giữa những vật xung
quanh ta cũng có lực hấp dẫn vũ trụ nhưng giá trị của những lực này quá n ỏ h nên ta không thể quan sát đư c
ợ . Nhà bác học Newton là người đầu tiên nêu lên định luật cơ
bản về lực hấp dẫn vũ trụ.
5.1. Định luật vạn vật hấp dẫn
5.1.1. Định luật vạn vật hấp dẫn - Định luật Newton
Phát biểu: Hai chất điểm khối lượng m
và m' mặt cách nhau một khoảng r sẽ hút
nhau bằng những lực có phư n ơ g là đường
thẳng nối hai chất điểm đó, có cùng độ tỷ lệ
thuận với hai khối lượng m và m' và tỷ lệ
nghịch với bình phương khoảng cách r:
Trong công thức trên, G là một hệ số tỷ lệ, phụ thuộc vào sự chọn các đơn vị và
gọi là hằng số hấp dẫn vũ trụ.
Trong hệ đơn vị SI, thực nghiệm cho ta trị số của G là:
Ví dụ: Cho m = m1 = 1kg; r = 0,1m, ta tính được:
Trị số này nhỏ quá không phát hiện được. Chú ý:
+ Công thức (5.1) chỉ áp dụng cho trường hợp những chất điểm. Muốn tính lực
hấp dẫn vũ trụ giữa các vật có kích thước lớn, ta phải dùng phương pháp tích phân.
+ Người ta đã chứng minh rằng vì lý do đối xứng công thức (5.1) cũng áp ụ d ng
được cho trường hợp hai quả cầu đồng chất, khi đó r là kh ả
o ng cách giữa hai tâm của quả cầu đó.
5.1.2. Khối lượng quán tính và k ố h i lượng hấp ẫ d n
Khối lượng là độ đo về lượng (nhiều hay ít) vật chất chứa trong vật thể, có thể 58
tính từ tích phân toàn bộ thể tích của vật: m = ∫ pdV
Với p là khối lượng riêng.
Đơn vị tiêu chuẩn đo k ố
h i lượng ở Việt Nam, tuân theo ệ h đo lường q ố u c tế, là
kilôgam. Các quốc gia khác trên thế giới có thể sử dụng đơn vị đo khác. Tham khảo
thêm tại trang đơn vị đo khối lượng.
Khối lượng của một vật là một đại lượng ậ v t lý đặc t ư r ng cho ứ m c độ quán tính của vật đ ó. ậ V t có k ố
h i lượng lớn có sức ì lớn hơn và cần có lực lớn hơn để làm thay đổi chuyển động ủ c a nó. ố
M i liên hệ giữa quán tính với khối lượng được Isaac Newton phát
biểu trong định luật 2 Newton. Khối lượng trong chuyển động thẳng đều còn được mở
rộng thành khái niệm mômen quán tính trong chuyển động quay. Khối lượng của một vật cũng đặc t ư
r ng cho mức độ vật đó ấ h p dẫn các ậ
v t thể khác theo định luật vạn vật
hấp dẫn Newton. Vật có khối lượng lớn có tạo ra xung quanh trường hấp dẫn lớn.
Khối lượng hiểu theo nghĩa độ lớn ủ c a quán tính, k ố
h i lượng quán tính, không
nhất thiết trùng với khối lượng hiểu theo nghĩa mức độ hấp dẫn vật thể khác, k ố h i
lượng hấp dẫn. Tuy nhiên các thí nghiệm chính xác hiện nay cho thấy hệ khối lượng
này rất gần nhau và một tiên đề của thuyết tương đối rộng ủ c a Albert Einstein phát
biểu rằng hai khối lượng lượng này là một.
5.1.3. Một vài ứng dụng
a. Sự thay đổi của gia tốc trọng trường theo độ cao
Lực hút của quả đất đối với một chất điểm khối lượng m (lực trọng trường) chính
là lực hấp dẫn vũ trụ.
Nếu m ở ngay trên mặt đất thì theo (5.1), lực hấp dẫn do quả đất tác dụng lên m bằng:
trong đó M là khối lượng của quả đất. Nhưng lực trọng trường P0 cũng bằng P0 =
mg0 (5.4) với g0 là giá trị của gia tốc t ọ
r ng trường ngay trên mặt đất. So sánh (5.3) và (5.4) ta được:
Tại một điểm cách mặt đ t
ấ độ cao h (hình 5.2), lực trọng trường tác dụng lên chất điểm k ố h i lượng m tính bởi:
suy ra giá trị của gia tốc trọng trường ở độ cao h là: 59
Từ (5.4a) và (5.6), ta có:
Ta chi xét các độ cao hai, do đó h << R, và ta có thể viết gần đúng:
(5.7) là sự phụ thuộc của gia tốc trọng trường theo độ cao h. Theo (5.7) thì càng lên cao, g càng giảm.
b. Tính khối lượng của các thiên thể
Từ biểu thức (5.3), ta có thể tính khối lượng M của trái đất:
với R là bán kính trái đất, có giá trị trung bình là 6370km = 6,370.106m; g là gia
tốc trọng trường trên mặt đất, lấy giá trị trung bình bằng 9,8m/s2. vậy:
Nhờ công thức về lực hấp ẫ d n ũ v trụ, ta cũng có t ể h tính được k ố h i lượng ặ m t
trời. Trái đất quay xung quanh mặt trời là do lực hấp dẫn của mặt trời đối với trái đất
lực này đóng vai trò lực hướng tâm:
Trong đó M' là khối lượng Mặt trời, R' là khoảng cách từ quả đất đến mặt trời;
nếu quỹ đạo của quả đất quay xung quanh Mặt trời coi như quỹ đạo tròn (R' coi như
không đổi và lấy bằng kh ả
o ng cách trung bình từ quả đất đ n
ế Mặt trời) thì lực hướng r
tâm F cho bởi công thức:
v là vận tốc chuyển động của quả đất trên quỹ đạo. Vận tốc v của quả đất có liên
hệ với chu kì quay T của nó: 60
Thay (5.10) vào (5.9) rồi so sánh với (5.8) ta được:
Từ đó suy ra khối lượng Mặt trời
Tính cụ thể bằng số ta tìm được M ' = 2.1030kg
5.2. Tính chất thế của trường hấp dẫn
Để giải thích lực hấp dẫn, người ta cho rằng xung quanh một vật có khối lượng,
tồn tại một trường hấp ẫ d n. Biểu h ệ
i n cụ thể của trường hấp dẫn là: ấ b t kỳ một vật nào
có khối lượng đặt tại một vị trí trong không gian của trường hấp ẫ d n đều chịu tác dụng của lực hấp dẫn.
5.2.1. Bảo toàn mômen động lượng trong trường hấp dẫn
Ta khảo sát chuyển động của một chất điểm k ố h i lượng m trong t ư r ờng hấp dẫn
của một chất điểm khối lượng M đặt cố định tại một điểm O. Chọn O làm gốc tọa độ,
định lý về mômen động lượng áp dụng đối với chất điểm m cho ta: r
Nhưng lực F là lực luôn hướng tâm O nên r d r r ( M(O, F ) = 0 và ( ) F = 0 hay L = const . dt
Vậy khi một chất (m) chuyển động trong
trường hấp dẫn của một chất điểm (M) thì mômen
động lượng của (m) là một đại lượng bảo toàn.
Hệ quả: (m) chuyển động trên một quỹ đạo
phẳng, mặt phẳng quỹ đạo của (m) ⊥ vectơ L (có phương không đổi).
5.2.2. Tính chất thế của trường hấp dẫn r
Ta hãy tính công của lực hấp dẫn F tác
dụng lên chất điểm (m) chuyển động trong
trường hấp dẫn của chất điểm (M), khi (m)
chuyển dời từ một điểm A đến ộ m t điểm B trên r
quỹ đạo của nó. Công của lực F trong chuyển dời vi phân dsr = PQ là: r r dA = PQ . F = F cos PQ α
Nếu ta vẽ QH ⊥ OP thì theo hình vẽ ta có: PQcosα = PH −
(PH là độ dài đại số 61
với quy ước chiều dương là chiều O Æ P). r Vậy dA = − . F PH
Nhưng vì PQ là một chuyển dời vi phân nên nếu ta đặt OP = r thì
OH ≈OQ =r +dr và PH = OH −OP = r + dr − r = dr Vậy Mm dA = F − dr = G − dr r2 r
Công của lực F trong chuyển dời của (m) từ A đ n ế B cho bởi tích phân: r
công của lực hấp dẫn F không phụ thuộc đường dịch chuyển AB mà chỉ thuộc vị trí
điểm đầu A và điểm c ố u i B.
Vậy trường hấp dẫn của chất điểm (M) là một trường lực thế.
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng: trường hấp dẫn Newton là một trường thế.
Hệ quả: Ta có thể định nghĩa thế năng của chất điểm (m) trong trường hấp dẫn
của chất điểm (M). Thế năng của (m) tại vị trí A:
Thỏa mãn hệ thức ABA = W1 (A) - Wt (B)
Tổng quát: thế năng của (m) tại vị trí cách O một khoảng r:
C là một hằng số tùy ý chọn, có giá trị bằng thế năng ạ t i vô cùng: Wt (Q0) = C (5.14)
5.2.3. Bảo toàn cơ năng trong trường hấp dẫn
V trường hấp dẫn là một trường thế nên khi chất điểm (m) chuyển động trong
trường hấp dẫn, cơ năng của nó được bảo toàn 62 (chọn C = 0)
Hệ quả: khi r tăng thế năng tăng thì đ n
ộ g năng giảm và ngược lại.
5.3. Chuyển động trong trường hấp dẫn của quả đất
Nếu từ một điểm A nào đó trong trường hấp dẫn ủ c a quả đất, ta ắ b n đi một viên
đạn khối lượng m với vận tốc đầu là v0 thì lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ rằng tùy
theo trị số của v0 có thể xảy ra ộ
m t trong những trường hợp sau:
- Viên đạn rơi trở về mặt đất;
- Viên đạn bay vòng quanh quả đất theo một quỹ đạo kín (tròn hay cập);
- Viên đạn bay ngày càng xa quả đất.
Trị số vận tốc ban đầu vo cần th ế
i t để bắn viên đạn bay vòng quanh quả đất theo
một quỹ đạo tròn gọi là vận ố t c vũ trụ cấp I.
Trị số tối thiểu của vận ố t c ban đầu vo cần th ế
i t để bắn viên đạn bay ngày càng
xa quả đất gọi là vận ố t c vũ trụ cấp II.
5.3.1. Vận tốc vũ trụ cấp I
Ta tính vận tốc vũ trụ cấp I khi viên đạn
chuyển động tròn xung quanh quả đất.
Giả thiết viên đạn bay cách mặt đất không
xa lắm để ta có thể coi bán kính quỹ đạo của nó
bằng bán kính R của quả đất.
Vận tốc v1 của viên đạn trong chuyển động
tròn có liên hệ với gia tốc hướng tâm (gia tốc trọng trường) bởi:
Tính cụ thể bằng số ta được: v1 = 7,9km/s = 8km/s
Nếu bắn với vận tốc ban đầu v0 < 8km/s, viên bạn sẽ rơi trở về quả đất, nếu ắ b n
với vận tốc ban đầu 8km/s < v0 < VII thì viên đạn chuyển động xung quanh quả đất theo quỹ đạo hình elip.
5.3.2. Vận tốc vũ trụ cấp II
Giả sử viên đạn xuất phát từ A cách tâm ủ
c a quả đất một khoảng bằng bán kính
quả đất R, với vận tốc ban đầu v0 và bay ngày càng xa quả đất đến ∞ . Định luật bảo
toàn cơ năng áp dụng đối với viên đạn cho ta: 63
Giá trị tối thiểu của v0 chính là vận tốc vũ trụ cấp II: v = 2g R (5.17) II 0 Giá trị cụ thể là: vII = 11,2 km/s. 64
CHƯƠNG 6. THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN
6.1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển. Nguyên lý Galille
6.1.1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển
Cơ học cổ điển xây dựng trên cơ sở những quan điểm ủ c a Newton về không gian,
thời gian và chuyển động.
Để cụ thể chúng ta hãy xét hai ệ h tọa độ:
một hệ Oxyz đứng yên, một hệ O', x', y', z'
chuyển động so với O; để đơn giản ta giả thiết
chuyển động của hệ O' thực hiện sao cho O'x'
luôn luôn trượt dọc theo Ox; Oy' song song và
cùng chiều với Oy, O'z' song song và cùng
chiều với Oz (hình 6.1). Với mỗi hệ tọa độ
gắn thêm một đồng hồ để chỉ thời gian.
Ta hãy xét một điểm M bất kỳ: tại thời điểm t chỉ bởi đồng ồ h của hệ O, M có ọ t a
độ trong hệ O là x, y, z; các tọa độ thời gian và không gian tưởng ứng của M trong hệ
O' là t', x', y', z'. Theo các quan điểm của Newton:
- Thời gian chỉ bởi các đồng ồ
h trong hai hệ O và O' là như nhau: t = t' (6.1) Nói
cách khác: thời gian có tính tuyệt đối không phụ thuộc hệ quy chiếu.
- Vị trí của M trong không gian được xác định tùy theo hệ quy chiếu: cụ thể là
các tọa độ không gian của M phụ thuộc hệ quy chiếu; ta có: x = x' O + O', y = y', z = z' (6.2)
Như vậy: vị trí không gian có tính chất tương đối phụ thuộc hệ quy ch ế i u. Do đó:
chuyển động có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu.
- Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong không gian là một đại lượng không phụ
thuộc hệ quy chiếu. Giả thiết có một cái thước AB đặt dọc theo trục Ox gắn l ề i n với hệ
O'. Chiều dài cuar thước đo trong hệ O' cho bởi: l0 = xb - x∧
Chiều dài của thước đo trong hệ O cho bởi: l = xb - x∧ Nhưng theo (6.2), ta có: x = A OO+ ' x ∧ x B =OO'+x ∧ Do đó:
XB – xA = xB – xA hay l = l0 65
Nói cách khác, khoảng không gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc hệ quy chiếu.
Xét trường hợp riêng: chuyển động của hệ O' là chuyển đ n
ộ g thẳng đều. Nếu tại
t = 0, O' trùng với O, thì: OO'= vt
v là vận tốc chuyển động của hệ O'. Theo (6.1) và (6.2) ta có:
x = x'+vt', y = y', z = z', t = t' (6.3) Và ngược lại
x' = x - vt', y' = y, z '= z, t' = t (6.4)
Các công thức (6.3) và (6.4) gọi là các phép biến đổi Galille: chúng cho ta cách
chuyển các tọa độ trong không gian, thời gian từ hệ quy chiếu O' sang hệ quy chiếu O và ngược lại.
6.1.2. Tổng hợp vận tốc và gia tốc
Vì chuyển động có tính chất tương đối, nên vận tốc và gia tốc chuyển động của
một chất điểm phụ thuộc hệ quy chiếu. Chúng ta hãy tìm những công thức liên hệ vận
tốc, gia tốc của một chất điểm M đối với hai ệ
h tọa độ Oxyz và O'x'y'z' khác nhau. Giả thiết hệ O'x'y'z' chu ể
y n động tịnh tiến đối với hệ Oxyz sao cho ta luôn luôn có:
O'x' ↑↑ Ox; O'y' ↑↑ Oy; O'z' ↑↑ Oz r r Đặt OM = r, OM'= r' theo hình (6.1) ta có: OM = OO' O + M' r r Hay r = r'+OO' (6.5)
Đạo hàm hai vế của (6.5) theo thời gian t, ta được:
Như vậy, biểu thức (6.6) trở thành: r vr = vr' V + (6.7)
Vectơ vận tốc của một chất điểm đối với một hệ quy chiếu O bằng tổng hợp vectơ
vận tốc của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu O ' chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy
chiếu O và vectơ vận tốc tịnh tiến của hệ quy chiếu O ' đối với hệ quy hiếu O. 66
Lấy đạo hàm hai vế của biểu thức (6.7) theo thời gian t ta được: r Hay r r a = a+ ' A (6.8)
Trong đó: ra là gia tốc của M đối với hệ O; ar' là gia tốc của M đ i ổ với hệ O' ;
rA là gia tốc tịnh tiến của hệ O' đối với hệ O.
Vậy: Vectơ gia tốc của ộ
m t chất điểm đối với một hệ quy chiếu O ằ b ng ổ t ng ợ h p
vectơ gia tốc của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu O ' chuyển động tịnh tiến đối với
hệ quy chiếu O và vectơ gia tốc tịnh tiến của hệ quy chiếu O ' đối với hệ quy chiếu O.
Hai công thức (6.7) và (6.8) gọi là công thức tổng hợp vận tốc và gia ố t c.
6.1.3. Nguyên lý tương đối Galillê
Trong mục này chúng ta hãy xét chuyển động của một hệ chất điểm trong hai hệ
quy chiếu khác nhau: hệ Oxyz quy ước là đứng yên, hệ O'x'y'z' chuyển động tịnh tiến
đối với hệ Oxyz. Ta giả thiết rằng hệ O là một hệ quán tính, trong đó các định luật
Newton được nghiệm đúng. Như vậy, phương trình chu ể
y n động của chất điểm trong
hệ O cho bởi định luật Newton là: r r ma = F (6.9) r r
a là gia tốc chuyển động ủ
c a chất điểm đối với hệ O, F là tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm. r
Gọi a'là gia tốc chuyển động ủ
c a chất điểm đối với hệ O', theo (6.8) ta có: r r r a= ' a+ a. r
Trong đó A là gia tốc chuyển động của hệ O' đối với hệ O. r
Nếu hệ O' chuyển động thẳng đều đối với hệ O thì A = 0 và r r a= a' (6.10)
vậy, (6.9) có thể viết thành: r ma'=f (6.11)
Đó là phương trình chuyển động ủ
c a chất điểm trong hệ O', phương trình này
cùng một dạng như (6.9). Nói cách khác định luật Newton cũng thỏa mãn trong hệ O,
kết quả hệ O' cũng là ộ
m t quy chiếu quán tính. Ta có t ể h phát b ể i u như sau: Mọi hệ
quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính cũng là một hệ
quy chiếu quán tính; hay là: Các định luật Newton được nghiệm đúng trong hệ quy
chiếu chuyển động thẳng đ u
ề đối với hệ quy chiếu quán tính. Điều đó có nghĩa là: Các
phương trình động lực học trong các hệ quy chiếu quán tính có dạng giống nhau. 67
Đó là những cách phát biểu khác nhau ủ
c a nguyên lý tương đối Galille. Vì các
phương trình động lực học là cơ sở đế mô tả và khảo sát các hiện tượng ơ c học nên ta cũng có thể phát biểu:
Các hiện tượng, các quá trình cơ học trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau đều xảy ra giống nhau.
Do đó nếu có người quan sát và thí nghiệm các hiện tượng, các quá trình cơ học
trong một hệ quy chiếu quán tính nào đó thì người đó sẽ không thể phát hiện được hệ
quy chiếu đó đứng yên hay chuyển động thẳng đều, vì trong cả hai trường hợp những
kết quả thu được như nhau.
Nguyên lý Galille và phép biến đổi Galillê:
Chúng ta biết rằng phép biến đổi Galille (6.3) và (6.4) thực hiện sự chuyển các
tọa độ không gian thời gian từ hệ quy chiếu O sang hệ quy chiếu O' chuyển động t ẳ h ng
đều đối với O. Bây giờ chúng ta hãy xét sự liên hệ giữa phép biến đổi Galille và
nguyên lý tương đối Galille.
Theo nguyên lý Galille, định luật Newton trong hệ O' được biểu diễn bằng phương trình: r r ' a m = F
Hay, nếu chiếu lên ba trục O'x', Oy', O'z' ta được:
max = Fx ; may = Fy ; maz = Fz .
Hay, theo các hệ thức trong chương động học:
Những phương trình này có cùng dạng như những phương trình biểu diễn định
luật Newton trong hệ quy chiếu quán tính O: max = F
nhưng ta nhận thấy hệ các phương trình (6.9) có thể suy ra (6.11) qua phép biến
đổi Galille (6.3) và (6.4).
Vậy phương trình biểu diễn định luật Newton giữ nguyên dạng qua phép biến đổi Galille.
Nói cách khác: các phương trình cơ bản bất biến đối với phép biến đổi Galille.
Phát biểu này tương đương với nguyên lý Galille. Quả vậy, ế n u ệ h O là hệ quán
tính thì hệ O' chuyển động thẳng đều đối với hệ O, cũng là hệ quán tính. Như vậy,
phép biến đổi Galille thực hiện sự chuyển các tọa độ không gian thời gian từ hệ quán
tính này sang hệ quán tính khác. Kết quả qua phép biến đổi Galille, các phương trình
biểu diễn định luật Newton giữ nguyên dạng khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ
quán tính khác. Đó chính là nội dung của nguyên lý tương đ i ố Galille. 68 6.1.4. Lực quán tính
Bây giờ ta hãy xét các định luật động lực học trong một hệ quy chiếu O1 tịnh tiến r có gia tốc r
A đối với hệ quy chiếu quán tính O. Gọi a ' là gia tốc chuyển động của chất 1
điểm đối với hệ O1 thì: r r r a = a + A 1 nhân hai vế với m: r r r ma = a m + A 1
Vì O là hệ quán tính nên trong đó định luật Newton nghiệm đúng r r ma = F r r r Do đó: F= ma + A m 1 r Hay r a m = F+ (− A m ) (6.12) 1
Ta thấy phương trình này không cùng dạng như (6.9), nói cách khác: khi khảo sát
chuyển động chất điểm trong một hệ O1 tịnh tiến có gia ố t c đối ớ v i hệ quán tính O,
ngoài các lực tác dụng lên chất điểm phải kể thêm lực: r r F = − A m . qt r r Lực F = − A
m gọi là lực quán tính. Hệ quy chiếu O qt
1 gọi là hệ không quán tính.
Phương trình động lực của chất điểm trong hệ O1 được viết là: r r ra m = F + F 1 qt
Như vậy, lực quán tính là một lực ảo chỉ quan sát được trong hệ quy chiếu không
quán tính. Lực quán tính luôn luôn cùng phương và ngược chiều với gia tốc chuyển động của hệ quy ch ế i u không quán tính.
Nhờ khái niệm lực quán tính ta có thể giải thích nhiều hiện tượng trong thực tế,
chẳng hạn như giải thích hiện tư n
ợ g tăng trọng lượng trong con tàu vũ trụ lúc xuất phát.
6.2. Những tiên đề của thuyết tương đối hẹp Einstein
Để xây dựng nên thuyết tương đối của mình, năm 1905 Einstein đã đưa ra hai nguyên lý sau:
6.2.1. Nguyên lý tương đối
Mọi định luật Vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính.
6.2.2. Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng
Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán tính.
Nó có giá trị bằng c = 3
. 108 m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên.
Ở đây cần phân biệt với nguyên lý tương đối Galille trong cơ ọ h c cổ điển. 69
Theo nguyên lý này chỉ các định luật cơ học là bất biến khi chuyển từ một hệ
quán tính này sang một hệ quán tính khác. Điều đó có nghĩa là phương trình mô tả một
định luật cơ học nào đ ó, biểu d ễ
i n qua tọa độ và thời gian, sẽ giữ nguyên ạ d ng trong tất
cả các hệ quán tính. Như vậy, nguyên lý tương đối Einstein đã mở rộng nguyên lý
Galille từ các hiện tượng cơ học sang các hiện tượng Vật lý nói chung.
Trong cơ học cổ điển Newton, tương tác được mô tả dựa vào thế năng tương tác Đó là ộ
m t hàm của các tọa độ những hạt tương tác. Từ đó suy ra các lực tương tác giữa
một chất điểm nào đó với các chất điểm còn lại, tại mỗi thời điểm, chỉ phụ thuộc vào
vị trí của các chất điểm tại cùng thời điểm đ
ó. Sự tương tác sẽ ảnh hưởng ngay tức thời
đến các chất điểm khác tại cùng thời điểm. Như vậy, tương tác được truyền đi tức thời.
Nếu chia khoảng cách giữa hai chất điểm cho thời gian truyền tương tác Δt (Δt = 0), vì
là truyền tức thời) ta sẽ thu được vận tốc truyền tương tác. Từ đó suy ra rằng trong cơ
học cổ điển vận tốc truyền tương tác lớn vô ạ h n.
Tuy nhiên, thực nghiệm đã chứng tỏ, trong ự
t nhiên không tồn tại những tương
tác tức thời. Nếu tại một chất điểm nào đó ủ
c a hệ chất điểm có xảy ra ộ m t sự thay đổi
nào đó, thì sự thay đổi này chỉ ảnh hưởng tới một chất điểm khác của hệ sau một
khoảng thời gian ít nào đó (Δt > 0). Như vậy, vận tốc truyền tương tác có giá trị hữu
hạn. Theo thuyết tương đối của Einstein vận ố t c truyền ư
t ơng tác là như nhau trong tất
cả các hệ quán tính. Nó là một hằng ố s p ổ h biến. T ự h c nghiệm chứng ỏ t vận ố t c không
đổi này là cực đại và bằng ậ
v n tốc truyền ánh sáng trong chân không (c = 3.108m/s).
Trong thực tế hàng ngày chúng ta thường gặp các vận tốc rất nhỏ so với vận tốc ánh
sáng (v << c) do đó trong cơ học cổ điển ta có thể coi vận tốc truyền tương tác là vô
hạn mà vẫn thu được những kết quả đủ chính xác. Như vậy, về mặt hình thức có thể
chuyển từ thuyết tương đối Einstein sang cơ học cổ điền bằng cách cho c → ∞ ở trong
các công thức của cơ học tương đối tính.
6.3. Phép biến đổi Lorentz
6.3.1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galille với thuyết tương đối Einstein
Theo các phép biến đổi Galille, thời gian diễn biến của một quá trình Vật lý trong
các hệ quy chiếu quán tính K và K' đều như nhau.
Khoảng cách giữa hai điểm 1 và 2 nào đó trong các hệ K và K' đều bằng nhau
Δl = x2 – x1 = Δl'= x2 – x1
(các đại lượng có dấu phảy đều được xét trong hệ K').
Vận tốc tuyệt đối v của chất điểm bằng ổ t ng vectơ các ậ
v n tốc tương đối v' và
vận tốc theo V của hệ quán tính K' đối với K v = v' + V
Tất cả các kết quả đó đều đúng đối với các chuyển động chậm (v << c). Nhưng rõ
ràng là chúng mâu thuẫn với các tiên đề của thuyết tương đối Einstein. Thực vậy, theo
thuyết tương đối, thời gian không có tính chất tuyệt đối, khoảng thời gian diễn b ế i n 70
của một quá trình Vật lý phụ thuộc vào các hệ quy chiếu. Đặc biệt các hiện tượng xảy
ra đồng thời ở trong hệ quán tính này sẽ không xảy ra đồng thời ở trong hệ quy chiếu quán tính khác.
6.3.2. Phép biến đổi Lorentz
Qua trên ta nhận thấy, phép biến đ i
ổ Galille không thỏa mãn các yêu cầu của
thuyết tương đối Einstein. Lorentz đã tìm ra phép biến đổi các tọa độ không gian và
thời gian khi chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác
thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối, và được gọi là phép biến đổi Lorentz.
Xét hai hệ quy chiếu quán tính K và K' như trên. Giả sử lúc đầu hai gốc O và O'
của hai hệ trùng nhau, hệ K' chuyển động so với hệ K với vận tốc V theo phương x.
Gọi xyzt và x'y'z't' là các tọa độ không gian và thời gian lần lượt xét trong các hệ K và
K '. Vì theo thuyết tương đối thời gian không có tính chất tuyệt đối mà trái lại phụ thuộc vào hệ quy ch ế
i u nên thời gian trôi đi trong hai hệ sẽ khác nhau, nghĩa là: t # t'
Giả sử tọa độ xe liên hệ với x và t theo phương trình: x' = f (xt) (6.14)
Để tìm dạng của phương trình f (x,t) chúng ta v ế
i t phương trình chuyển động của
các gốc tọa độ O và O' ở trong hai hệ K và K'. Đối với hệ K, gốc O' chuyển động với vận tốc V. Ta có: x - Vt = 0 (6.15)
trong đó x là tọa độ của gốc O' xét với hệ K. Còn đối với hệ K' gốc O' là đứng
yên. Tọa độ xe của nó trong hệ K' bao giờ cũng bằng không. Ta có: x' = 0.
Muốn cho phương trình (6.14) áp dụng đúng cho hệ K', nghĩa là khi thay x' = 0 vào
(6.14) ta phải thu được (6.15), thì f (x,t) chỉ có thể khác (x - Vt) một số nhân α nào đó: x' = α(x - Vt) (6. 16)
Đối với hệ K' gốc O chuyển động ớ
v i vận tốc - V. Nhưng đối với hệ K gốc O là
đứng yên. Lập luận tương tự n ư h trên ta có: x = β(x' + Vt') (6.17)
trong đó β là hệ số nhân.
Theo tiên đề thứ nhất của Einstein mọi hệ quán tính đều tương đương nhau,
nghĩa là từ (6.16) có thể suy ra (6.17) và ngược lại bằng cách thay thế V→-V, x' ↔ x, t
↔ t Ta rút ra được: α = β.
Theo tiên đề thứ hai, ta có trong hệ K và K': nếu x = ct thì x' = ct', thay các biểu
thức này vào trong (7.16) và (7.17) ta thu được: 71
Vì hệ K' chuyển động dọc theo trục x nên rõ ràng là y = y' và z = z'. Tóm lại, ta
thu được công thức biến đổi Lorentz như sau:
Cho phép biến đổi tọa và thời gian từ hệ K sang hệ K' và
Cho phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ K' sang hệ K. Các công t ứ h c (6.19),
(6.20) được gọi là phép biến đổi Lorentz. Qua đó ta thấy được mối liên hệ mật thiết
giữa không gian và thời gian. V
Từ các kết quả trên ta nhận thấy ằ r ng khi c → ∞ hay khi → 0 thì các công c
thức (6.19) và (6.20) sẽ chuyển thành:
x' = x - Vt ; y' = y ; z' = z ; t’ = t ;
x = x' + Vt'; y = y', z = z', t = t'
nghĩa là chuyển thành các công thức của phép biến đổi Galille. Điều kiện c → ∞
tương ứng với quan niệm tương tác tức thời, điều kiện thứ hai V → 0 tương ứng với c
sự gần đúng cổ điển.
Khi V > c, trong các công thức trên các tọa độ x, t trở nên ảo, điều đó chứng tỏ
không thể có các chuyển động với vận tốc lớn hơn vận tốc ánh sáng c. Cũng không thê
dùng hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng, vì khi đó mẫu số
trong các công thức (6.19), (6.20) sẽ bằng không. 72
6.4. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz
6.4.1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả
Giả sử rằng ở trung ệ
h quán tính K có hai hiện tượng (h ặ
o c còn gọi là biến cố) ;
hiện tượng A1 (x1y1z1t1) và hiện tượng A2 (x2y2z2t2) với x2 # x1 chúng ta hãy tìm
khoảng thời gian t2 – t1 giữa hai hiện tượng đó trong hệ K', chuyển động với vận tốc V
dọc theo trục x. Từ các công thức biến đổi Lorentz ta thu được:
Từ đó suy ra rằng các hiện tượng xảy ra đồng thời ở trong ệ h K (t2 = t1) sẽ không
đồng thời ở hệ K' và t2 – t1 # 0. Chỉ có một trường hợp ngoại lệ là khi cả hai b ế i n cố
xảy ra đồng thời tại những điểm có cùng giá trị của x (tọa độ y có thể khác nhau).
Như vậy, khái niệm đồng thời chỉ là một khái niệm tương đối, hai biến ố c có thể đồng thời ở trong ộ m t hệ quy ch ế
i u này nói chung có thể không đồng thời ở trong một hệ quy chiếu khác.
Biểu thức (6.21) cũng chứng tỏ rằng đối với các biến cố đồng thời trong hệ K,
dấu của t2 – t1 được xác định bởi dấu của biểu thức (x2 – x1 )v. Do đó, trong các hệ
quán tính khác nhau (với các giá trị khác nhau của V), hiệu t2 – t1 sẽ không những khác
nhau về độ lớn mà còn khác nhau về dấu. Điều đó có nghĩa là thứ tự của các biến ố c
A1 và A2 có thể bất kì (A1 có thể xảy ra trước A2 hoặc ngược lại).
Tuy những điều vừa trình bày ở trên không được xét cho các biến cố có liên hệ
nhân quả với nhau. Liên hệ nhân quả là một liên hệ giữa nguyên nhân và kết quả.
Nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước kết quả, quyết định sự ra đời của kết quả. Thứ tự của các biến ố
c cso quan hệ nhân quả bao giờ cũng được bảo đảm trong ọ m i hệ
quán tính. Nguyên nhân xảy ra trước, kết quả xảy ra sau. 6.4.2. Sự co ngắn Lorentz
Bây giờ dựa vào các công thức (6.19) hoặc (6.20) chúng ta so sánh độ dài ủ c a
một vật và khoảng thời gian của một quá trình ở trong hai hệ K và K'.
Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ K' đặt dọc theo trục x', độ dài của nó trong hệ K' bằng l0 = x2 – x1
Gọi l là độ dài của nó đo trong hệ K. Muốn vậy, ta phải xác định vị trí các đầu
của thanh trong hệ K tại cùng thời điểm. Từ phép biến đổi Lorentz ta viết được: 73
Vậy: Độ dài (dọc theo phương chuyển động) của thanh trong hệ quy ch ế i u mà
thanh chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng yên. Nói một
cách khác, khi vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo phương chuyển động.
Như vậy, kích thước của một vật sẽ khác nhau tùy thuộc vào chỗ ta quan sát nó ở
trong hệ đứng yên hay chuyển động. Điều đó nói lên tính chất của không gian trong các hệ quy ch ế
i u đã thay đổi. Nói một cách khác, không gian có tính chất tương đối,
nó phụ thuộc vào chuyển động. Trường hợp vận tốc của.chuyển động nhỏ (V << c), từ
công thức (6.22) ta trở lại kết quả trong cơ học cổ điển, ở đây không gian được coi là
tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động.
Cũng từ các công thức biến đổi Lorentz chúng ta tìm được khoảng thời gian của
một quá trình đó trong hai hệ K và K'. Giả sử có một đồng hồ đứng yên trong hệ K'. Ta
xét hai biến cố xảy ra tại cùng một điểm A có các tọa độ x'y'z' trong ệ h K'. Khoảng
thời gian giữa hai biến cố trên trong hệ K' bằng Δt ' = t2 – t1 bây giờ chúng ta tìm
khoảng thời gian giữa hai biến cố trên ở hệ K. Ta viết được:
Kết quả này được phát biểu như sau:
Khoảng thời gian Δt' của một quá trình trong hệ K' chuyển động bao giờ cũng nhỏ hơn kh ả o ng t ờ
h i gian Δt xảy ra của cùng quá trình đó trong hệ K đứng yên. Nếu
trong hệ K' chuyển động có gắn một đồng hồ và trong hệ K cũng gắn một đồng hồ, thì 74
khoảng thời gian của cùng một quá trình xảy ra được ghi trên đồng hồ của hệ K' nhỏ
hơn khoảng thời gian ghi trên đồng hồ của hệ K.
Ta có thể nói: đồng hồ chuyển động chạy chậm ơ h n đồng ồ h đứng yên. Như vậy,
khoảng thời gian để xảy ra một quá trình sẽ khác nhau tùy thuộc vào chỗ ta quan sát
quá trình đó ở trong hệ đứng yên hay chuyển động.
Điều đó nói lên tính chất của khoảng thời gian trong các hệ quán tính đã thay đổi
Nó phụ thuộc vào chuyển động. Trường hợp vận tốc của chuyển động rất nhỏ V << c
từ công thức (6.23) ta có Δt ' = Δt, ta trở lại kết quả trong cơ học cổ điển, ở đây khoảng
thời gian được coi là tuyệt đối không phụ thuộc vào chuyển động. Nhưng nếu v càng
lớn thì Δt' càng nhỏ so với Δt.
6.5. Phương trình động lực học tương đối tính của chất điểm
6.5.1. Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm
Theo thuyết tương đối, phương trình biểu diễn định luật Newton thứ hai: r r dv F = m dt
Không thể mô tả chuyển động của chất điểm với vận ố
t c lớn được. Để mô tả
chuyển động, cần phải có phương trình khác tổng quát hơn. Theo thuyết tương đối,
phương trình đó có dạng:
trong đó khối lượng m của chất điểm bằng:
m là khối lượng của chất điểm đó trong hệ mà nó chuyển động với vận tốc v
được gọi là khối lượng tương đối; m0 là khối lượng cũng của chất điểm đó do trong hệ
mà nó đứng yên (v = 0) được gọi là khối lượng nghỉ.
Ta thấy rằng theo thuyết tương đối, khối lượng của một vật không còn là một
hằng số nữa; nó tăng khi vật chuyển động; giá trị nhỏ nhất của nó ứng với khi vật đ n ứ g
yên. Cũng có thể nói rằng: khối lượng có tính tương đối; nó phụ thuộc hệ quy chiếu.
Phương trình (6.24) bất biến đối với phép biến đổi Lorentz và trong trường hợp
v << c nó trở thành phương trình biểu diễn định luật thứ hai của Newton (khi đó m = m0 = const).
6.5.2. Động lượng và năng lượng
Động lượng của một vật bằng: 75 r r r
Khi v << c ta thu được biểu thức cổ điển: p= m v . Như vậy, phương trình cơ bản 0
(6.24) có thể viết dưới dạng khác:
Ta hãy tính năng lượng của vật. Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ tăng
năng lượng của vật bằng công của ngoại lực tác dụng lên vật: dW=dA r
Để đơn giản, giả sử ng ạ o i lực V r
F cùng phương với chuyển dời → 0ds . Khi đó: c r r dW = dA = . F ds = Fds Theo (6.24) ta có:
Mặt khác, từ (6.25) ta có:
so sánh hai biểu thức trên ta rút ra được: dw = c2.dm Hay W = mc2 (6.27)
Hệ thức này thường được gọi là hệ thức Einstein. 6.5.3. Các hệ quả
a. Từ hệ thức Einstein ta tìm được năng lượng nghỉ:
là năng lượng lúc vật đứng yên (m = m0): W = m0c2 76
Lúc vật chuyển động, vật có thêm động năng Wd
Biểu thức này khác với biểu thức động năng của vật thường gặp trong cơ học cổ
điển. Trong trường hợp v << c: ⎛ 1v2 ⎞ m v 2 Do đó: W m ≈ c2 1 0 ⎜ + = ⎟
ta lại tìm được biểu thức động năng trong cơ d 0 ⎜ 2c 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ học cổ điển.
b. Khi bình phương biểu thức m0c2 ta được:
Thay W = m0c2 vào biểu thức trên ta sẽ được: với p = m-v.
Đó là biểu thức liên hệ g ữ
i a năng lượng và động ư l ợng ủ c a vật.
c. Ta hãy ứng dụng các kết quả trên vào hiện tượng phân rã hạt nhân.
Giả sử một hạt nhân phân rã thành hai hạt thành phần. Theo định luật bảo toàn năng lượng: W=w1 +W2
Với W là năng lượng của hạt nhân trước khi phân rã, Wl và W2 là năng lượng của hạt nhân thành phần.
Thay (6.27) vào biểu thức trên ta sẽ được:
Trong đó, ta đã xem hạt nhân như không chuyển động trước khi phân rã, còn m, 2 2 m c m c m 1 2 1
1, m2 là khối lượng nghỉ ủ c a các hạt. Vì 2 > m c và > 1 m 2c 2 2 v v 1− 1 − 2 2 c c
Nên từ (6.30) ta rút ra: m > m1+ m2 , nghĩa là khối lượng của hạt nhân trước khi
tự phân rã l ớn hơn tổng khối lượng của các hạt nhân thành phần. 77
Theo công thức Einstein, phần năng lượng tương ứng với độ hụt năng lượng của khối lượng này bằng: W = [m −(m + m )] 2 2 c = Δmc 1 2
Phần năng lượng này thường được tỏa ra dưới dạng nhiệt và bức xạ. 78 PHẦN 2: NHIỆT HỌC Mở đầu
1. Thuyết cấu tạo phân tử của các chất
Vật chất được cấu tạo bởi các nguyên tử và phân tử. Ngày nay ta biết rằng phân
tử gồm nhiều nguyên tử, nguyên tử gồm các điện tử và hạt nhân.
Các hạt nhân lại gồm các proton và neutron.
Các proton và neutron lại được cấu tạo từ các hạt "quack".
Từ thế kỷ IV trước công nguyên Demôcrit đã cho rằng vật chất được cấu tạo ừ t
các nguyên tử và phân tử, ông quan niệm rằng: Các nguyên tử, phân tử của các chất
khác nhau có hình dạng kích thước khác nhau nhưng có cùng bản chất. Đến thế kỷ
XIIX Lômônôxốp đã phác hoạ: nguyên tử, phân tử là những quả cầu vỏ ngoài sần sùi
và luôn chuyển động tịnh tiến, hỗn loạn, khi va chạm vào nhau chúng sinh ra chuyển động quay.
Khi chất khí đựng trong một bình chứa, các phân tử khí va đập không ngẩng lên
thành bình. Như vậy, nhiệt độ và nội năng của khí phải liên quan đến động năng của
các phân tử khí. Thuyết động học chất khí bắt nguồn từ những luận điểm này.
2. Đối tượng, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu của Vật lý phân tử và nhiệt học
Thực tế có nhiều hiện tượng liên quan đến các quá trình xảy ra bện trong vật; thí
dụ: vật có thể nóng lên do ma sát, có thể nóng chảy hoặc bốc hơi khi bị đốt nóng,
Những hiện tượng này liên quan đến một dạng chuyển động mới của vật chất, đó là
chuyển động nhiệt. Chuyển động nhiệt chính là đ i
ố tượng nghiên cứu của nhiệt học.
Để nghiên cứu chuyển động nhiệt người ta dùng hai phương pháp: phương pháp
thống kê ứng dụng trong phần vật lý phân tử. Phương pháp nhiệt động được ứng trong phần nhiệt động học. 79
CHƯƠNG 7. NHỮNG CƠ SỜ CỦA THUYẾT
ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ KHÍ LÝ TƯỞNG 7.1. Mẫu khí lý tưởng
Từ các thuộc tính cơ bản của phân tử và nguyên tử người ta đã đưa ra mô hình cơ
học của chất khí lý tưởng bao gồm các nội dung sau:
- Chất khí là một tập hợp rất nhiều hạt, chúng chuyển động hỗn loạn không ngừng.
- Vận tốc chuyển động trung bình của các phân tử tỷ lệ với T .
- Ở cùng một nhiệt độ (T), động năng trung bình của các hạt là như nhau và bằng E 2 d = mi vi 2 = const.
- Các phân tử và nguyên tử đều tham gia chuyển động nhiệt.
Đó là mô hình cơ học của chất khí lý tưởng. Chúng tuân theo các định luật cơ
bản về chất khí như: Boiler - Mariotte, Gay - Luytsac....
Có thể hiểu chất khí lý tưởng là chất khí hoàn toàn tuân theo các định luật Boiler
- Mariotte, Gay - Luytsac. Các phần tử của chúng được coi như một chất điểm và
không tương tác với nhau. 7.2. Áp suất chất khí
Áp suất là một đại lượng vật lý có giá trị bằng lực nén vuông góc lên một đơn vị
diện tích. Nếu kí hiệu F là lực nén vuông góc lên diện tích ΔS thì áp suất p cho bởi:
Trong hệ SI đơn vị áp suất là Newton trên mét vuông (N/m2), hay pascal (Pa).
Ngoài ra để đo áp suất người ta còn dùng các đơn vị sau:
- atmôtphe (ai) là áp suất bằng 9,80665.104 = 9,81.104 N/m2
- milimet thủy ngân (mmHg, còn gọi là Toát bằng áp suất tạo bởi trọng lượng cột thủy ngân cao mm. Để đổi các đ
ơn vị ta dùng hệ thức sau: 1 at = 736mmHg = 9,81.104N/m2
Giả sử có một chất khí chứa trong bình kín, nó sẽ tác dụng lên thành bình một áp
suất (p) áp suất này do các phân tử khí chuyển động va chạm vào thành bình với vận
tốc (v) gây nên. Có thể tính áp suất theo biểu thức sau:
Với m là khối lượng của chất khí, n0 là mật độ phân tử khí, và vi là vận tốc của các phân tử khí. 80 7.3. Nhiệt độ
Nhiệt độ là đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ chuyển động hỗn loạn phân tử của các vật.
Để xác định nhiệt độ người ta dùng nhiệt biểu. Nguyên ắ
t c của nhiệt biểu là dựa
vào độ biến thiên của một đại lượng nào đó khi đốt nóng hoặc làm lạnh rồi suy ra nhiệt độ tương ứng.
Nhiệt biểu thường dung là nhiệt biểu thủy ngân. Trong nhiệt biểu này nhiệt độ
được xác định bởi thể tích một khối thủy ngân n ấ h t định.
Để chia độ một nhiệt biểu thủy ngân người ta nhúng nó vào hơi nước đang sôi ở
áp suất 1,033at (bằng áp suất khí quyển ở điều kiện bình thư n ờ g) và ghi mức thủy
ngân là 00. Sau đó nhúng vào nước đá đang tan (cũng ở áp suất 1,033at) và ghi mức
thủy ngân là 0. Đem chia đoạn trên thành 100 phần bằng nhau, mỗi độ chia tương ứng
với một độ. Như vậy, ta có một thang nhiệt độ gọi là thang nhiệt độ bách phân (hay
thang nhiệt độ Celcius). Trong thang này, nhiệt độ được ký hiệu là OC.
Ngoài thang bách phân, còn dung thang nhiệt độ tuyệt đối (còn gọi là thang nhiệt
độ Kelvin); mỗi độ chia của thang tuyệt đối bằng ộ
m t độ chia của thang bách phân
nhưng độ không của thang tuyệt đối ứng với -273,16 của thang bách phân. Trong
thang này, đơn vị nhiệt độ là Kelvin, kí hiệu là K.
Gọi T là nhiệt độ trong thang tuyệt đối, t là nhiệt độ trong thang bách phân, ta có công thức: T = t + 273,16
Trong các tính toán đơn giản ta thường lấy:
7.4. Các định luật thực nghiệm về khí lý tưởng
7.4.1. Một số khái niệm
- Hệ nhiệt động là một hệ vật lý bao gồm ộ
m t số các hạt lớn các hạt nguyên tử 2
phân tử. Các hạt này luôn chuyển động hỗn loạn và trao đổi năng lượng cho nhau khi
tương tác. Khối khí có thể coi là hệ nhiệt động đơn giản nhất.
Mọi hệ đều có thể chia thành hệ cô lập và không cô lập. Thông số trạng thái
Trạng thái của hệ hoàn toàn xác định được nếu ta xác đ n
ị h được các tính chất vật
lý của hệ. Nhưng mỗi tính chất đó đặc trưng ở
b i đại lượng vật lý như nh ệ i t độ T, khối
lượng m, thể tích V... => Như vậy trạng thái của hệ được xác định bởi tập hợp các đại
lượng vật lý. Các đại lượng này gọi là thông số trạng thái của hệ.
Phương trình biểu mối liên hệ giữa các thông số độc lập và thông ố s p ụ h thuộc
gọi là phương trình trạng thái của hệ.
Ví dụ: trạng thái của khối khí được xác định bởi f(P,V,T) = 0. 81
7.4.2. Các định luật thực nghiệm về khí lý tưởng
Nghiên cứu tính chất của các chất khí bằng thực ngh ệ
i m, người ta đã tìm ra các
định luật nêu lên sự liên hệ giữa hai trong ba thông số áp suất, thể tích và nhiệt độ. Cụ
thể người ta xét các quá trình biến đổi trạng thái của một khối khí trong đó một thông
số có giá trị được giữ không đổi, đó là các quá trình:
- Đẳng nhiệt: nhiệt độ không đổi;
- Đẳng tích: thể tích không đổi;
- Đẳng áp: áp suất không đổi.
a. Định luật Boiler - Mariotte
Boiler và Mariotte nghiên cứu quá trình
đẳng nhiệt của các c ấ
h t khí, đã tìm ra những định luật như sau:
Trong quá trình đẳng nhiệt của khối khí,
thể tích tỷ lệ nghịch với áp suất hay thể tích
của V và P của khối khí là không đổi. P.V = const
Trên đồ thị PV đường đẳng nhiệt là
những đường Hypecbol, nhiệt độ càng cao thì
các đường này càng xa mốc.
b. Các định luật Gay - Luytsac
Gay-Luytsac nghiên cứu quá trình đẳng áp và đẳng tích và tìm ra các quy luật:
* Trong quá trình đẳng tích của một khối khí, áp suất tỷ lệ với nhiệt độ tuyệt đối P/T = const
* Trong quá trình đẳng áp của một khối khí, thể tích ỷ
t lệ với nhiệt độ tuyệt đối V/T = const
Các định luật Boiler-Mariot và Gay-luytxac chỉ đúng khi chất khí ở nhiệt độ và
áp suất thông thường của phòng thí nghiệm. Khi áp suất khối khí quá lớn hay nhiệt độ
của khối khí quá thấp thì các chất khí không tuân theo các định luật đó nữa.
7.5. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng
7.5.1. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng
Ở áp suất lớn và giới hạn ộ r ng ủ
c a nhiệt độ, các chất khí hoàn toàn không tuân
theo định luật Boiler-Mariotte và Gay-luytsac. Tuy nhiên, khi P không quá lớn và T
không quá thấp thì các quá trình tuân theo khá đúng 2 định luật đó. Hay nói cách khác
khí lý tưởng hoàn toàn tuân theo các định luật Boiler-Marione và Gay- Luytsac.
Các định luật thực nghiệm trên đây đã cho mối liên hệ giữa 2 thông số. Dựa vào
các định luật đó, ta có thể tìm mối liên hệ của 3 thông ố
s : P, V, T, nghĩa là tìm được
phương trình trạng thái của khí lý tưởng. 82
Đối với 1 kilomol khí Claperon và Mendêleep đã tìm ra phương trình sau: P.V = R.T (7.3)
Trong đó P, V, T là áp suất, thể tích và nhiệt độ của kilomol khí ở trạng thái ấ b t
kỳ. R gọi là hằng số khí lý tưởng. μ
Đối với một khối khí có khối lượng m, nếu v là thể tích của nó thì: V = v (μ là M khối lượng phân tử).
Từ (7.3) sẽ suy ra được:
Phương trình (7.4) được gọi là phương trình trạng thái của khí lý tưởng.
7.5.2. Giá trị của hằng số khí R
Theo định luật Avôgađro, ở T và P giống nhau, 1 kilômol các chất khí khác nhau
đều chiếm cùng một thể tích. Khi T0 = 273,16 K, P0 = 1,033at = 1,013.106 N/m2 thì 1
kilômol khí chiếm thể tích là V0 = 22,41 m3. Trạng thái này chung cho mọi chất khí
gọi là trạng thái tiêu chuẩn.
Với trạng thái tiêu chuẩn này ta có: 83 MỤC LỤC
PHẦN 1: CƠ HỌC ..................................................................................................................... 1
Bài mở đầu.................................................................................................................................. 1
CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM.................................................................................. 5
1.1 Chuyển động cơ học, Hệ quy chiếu......................................................................................5
1.2. Vận tốc................................................................................................................................. 8
1.3. Gia tốc ...............................................................................................................................11 1.4. Một số chuyển đ n
ộ g đơn giản của chất điểm. Bài toán ứng dụng.....................................14
CHƯƠNG 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM....................................................................... 21
2.1. Khái niệm về lực và khối lượng ........................................................................................21
CHƯƠNG 3. ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẲN ..............33
3.1. Cơ hệ. Khối tâm của cơ hệ ................................................................................................ 33
3.2. Định luật bảo toàn động lượng .......................................................................................... 35
3.3. Chuyển động của vật rắn quanh một trục cố định ............................................................. 37
3.4. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn ...................................................39
3.6. Định luật bảo toàn mômen động lượng ............................................................................. 46
CHƯƠNG 4. NĂNG LƯỢNG ................................................................................................. 48
4.1. Công và công suất ............................................................................................................. 48
4.3. Bài toán va chạm ............................................................................................................... 55
CHƯƠNG 5. TRƯỜNG HẤP DẪN ........................................................................................ 58
5.1. Định luật vạn vật hấp dẫn.................................................................................................. 58
5.2. Tính chất thế của trường hấp dẫn ...................................................................................... 61
5.3. Chuyển động trong trường hấp dẫn của quả đất................................................................63
CHƯƠNG 6. THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN......................................................... 65
6.1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển. Nguyên lý Galille...................................... 65
6.2. Những tiên đề của thuyết tương đối hẹp Einstein ............................................................. 69
6.3. Phép biến đổi Lorentz........................................................................................................70
6.4. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz............................................................................... 73 6.5. Phương trình đ n
ộ g lực học tương đối tính của chất điểm ................................................. 75
PHẦN 2: NHIỆT HỌC............................................................................................................. 79
Mở đầu...................................................................................................................................... 79
1. Thuyết cấu tạo phân tử của các chất..................................................................................... 79
2. Đối tượng, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu của ậ
V t lý phân tử và nhiệt học ............ 79
CHƯƠNG 7. NHỮNG CƠ SỜ CỦA THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ KHÍ LÝ TƯỞNG80
7.1. Mẫu khí lý tưởng ............................................................................................................... 80
7.2. Áp suất chất khí ................................................................................................................. 80
7.3. Nhiệt độ............................................................................................................................. 81
7.4. Các định luật thực nghiệm về khí lý tưởng ....................................................................... 81
7.5. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng........................................................................... 82

Giáo trình Vật lý đại cương I | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Giải bài tập ma trận nghịch đảo

Tuyển tập 204 câu hỏi trắc nghiệm môn Vật lý đại cương I | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Cách giải các dạng bài tập chương 1: Động lực học | Vật lý đại cương I | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Tuyển tập các câu hỏi ôn tập giữa kì môn Vật lý đại cương I | Đại học Bách Khoa Hà Nội