Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Cao Thanh Phúc

Tài liệu gồm 52 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Cao Thanh Phúc, tóm tắt lý thuyết trọng tâm và tuyển chọn các bài tập chuyên đề giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục

68 34 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Mục lục

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

MỤC LỤC

Chương 4

GIỚI HẠN TRANG 2

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Một vài giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Định lý về giới hạn hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Giới hạn vô cực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.2. Một vài giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.3. Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

BÀI 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Giới hạn vô cực của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1. Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.2. Một vài giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

BÀI 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2. Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

BÀI 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1. Hàm số liên tục tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2. Hàm số liên tục trên một khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3. Một số định lí cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

ÔN TẬP CHƯƠNG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Nerver put off till tomorrow what you can do today!



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

Chûúng 4

GIỚI HẠN

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1.1. Định nghĩa

Định nghĩa 4.1.1. Ta nói dãy số (u

) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u

| có

thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim

n→+∞

= 0 hay u

→ 0 khi n → +∞.

Định nghĩa 4.1.2. Ta nói dãy số (v

) có giới hạn là a (hay v

dần tới a) khi n → +∞, nếu

lim

n→+∞

− a) = 0.

Kí hiệu: lim

n→+∞

= a hay v

→ a khi n → +∞.

1.1.2. Một vài giới hạn đặc biệt

1 lim

n→+∞

= 0; lim

n→+∞

= 0 với k nguyên dương;

2 lim

n→+∞

= 0 nếu |q| < 1;

3 Nếu u

= c (c là hằng số) thì lim

n→+∞

= lim

n→+∞

c = c.

Chú ý. Từ nay về sau thay cho lim

n→+∞

= a ta viết tắt là lim u

= a.

1.2. Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lý 4.1.2.

1 Nếu lim u

= a và lim v

= b thì

lim (u

+ v

) = a + b.

lim (u

− v

) = a − b.

lim (u

· v

) = a · b.

lim

(nếu b = 0).

2 Nếu

(

lim u

= a

≥ 0, ∀n

thì

(

lim

√

a ≥ 0.

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u

) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức

S = u

+ u

+ . . . + u

+ . . . =

1 − q



|q| < 1



1.4. Giới hạn vô cực

1.4.1. Định nghĩa

Định nghĩa 4.1.3.

Ta nói dãy số (u

) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u

có thể lớn hơn một số dương

bất kì, kể từ một số hạng nào trở đi.

Kí hiệu: lim u

= +∞ hay u

→ +∞ khi n → +∞.

Dãy số (u

) có giới hạn là −∞ khi n → +∞, nếu lim (−u

) = +∞.

Kí hiệu: lim u

= −∞ hay u

→ −∞ khi n → +∞.

Nhận xét: lim u

= +∞ ⇔ lim(−u

) = −∞.

1.4.2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

1 lim n

= +∞ với k nguyên dương;

2 lim q

= +∞ nếu q > 1.

1.4.3. Định lí

Định lý 4.1.3.

1 Nếu lim u

= a và lim v

= ±∞ thì lim

= 0.

2 Nếu lim u

= a > 0 và lim v

= 0 và v

> 0 thì lim

= +∞.

3 Nếu lim u

= +∞ và lim v

= a > 0 thì lim u

· v

= +∞.

1.5. Bài tập

Dạng 1.1. Tính giới hạn lim

P (n)

Q(n)

với P (n), Q(n) là các đa thức

Rút lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu, rồi sử dụng các công thức sau:

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

lim

= 0, (k ∈ N

∗

, c ∈ R)

(

lim u

= +∞

lim v

= a > 0

⇒ lim (u

· v

) = +∞

(

lim u

= +∞

lim v

= a < 0

⇒ lim (u

· v

) = −∞

lim n

= +∞(k ∈ N

∗

)

(

lim u

= −∞

lim v

= a < 0

⇒ lim (u

· v

) = +∞

(

lim u

= −∞

lim v

= a > 0

⇒ lim (u

· v

) = −∞

Vñ duå 1. Tính giới hạn lim

− n − 1

+ 3

Baâi têåp 1. Tính giới hạn lim

− n − 1

+ 3n

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Phûúng phaáp giaãi nhanh

Nếu bậc tử P (n) bằng bậc mẫu Q(n) thì lim

P (n)

Q(n)

bằng hệ số bậc cao nhất của tử chia cho hệ số

bậc cao nhất của mẫu.

Vñ duå 2. Tính giới hạn lim

− n + 3

+ 2n

Baâi têåp 2. Tính giới hạn lim

n − n + 3

+ 2n + 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

 Phûúng phaáp giaãi nhanh

Nếu bậc tử P (n) nhỏ hơn bậc mẫu Q(n) thì lim

P (n)

Q(n)

= 0.

Vñ duå 3. Tính giới hạn lim

− 11n + 1

− 2

Baâi têåp 3. Tính giới hạn lim

−n

− 11n + 1

n − 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Phûúng phaáp giaãi nhanh

Nếu bậc tử P (n) lớn hơn bậc mẫu Q (n) thì lim

P (n)

Q(n)

= ±∞.

Để biết là +∞ hay −∞ ta dựa vào dấu của giới hạn trong tích theo quy tắc “cùng dấu thì

tích dương, trái dấu thì tích âm ”.

Về trắc nghiệm, đó chính là tích của hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.

Dạng 1.2. Tính giới hạn lim

P (n)

Q(n)

với P (n), Q(n) là các hàm mũ a

Áp dụng lim q

= 0 với |q| < 1.

Sử dụng công thức mũ, rồi chia cả tử và mẫu cho a

với |a| là cơ số lớn nhất.

Công thức cần nhớ

m+n

= a

· a

m−n

Vñ duå 4. Tính giới hạn lim

1 − 3

n+2

+ 3

Baâi têåp 4. Tính giới hạn

lim

2 − 5

n−2

+ 2 · 5

Bài làm

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Phûúng phaáp giaãi nhanh

Ta chia cho a

với |a| là cơ số lớn nhất vì sau khi chia luôn tạo ra cơ số có trị tuyệt đối nhỏ hơn

1 để áp dụng công thức lim q

= 0 với |q| < 1

Dạng 1.3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức

Rút lũy thừa bậc cao hoặc liên hợp và sử dụng lim n

= ∞.

Chú ý. Dấu hiệu nhận dạng liên hợp (dạng ∞· 0) là sau khi rút n có mũ cao trong căn

và nhóm thừa số, xuất hiện số 0.

Vñ duå 5. Tính giới hạn

lim

+ 3n + 5

Baâi têåp 5. Tính giới hạn

lim

5n − n

+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Phûúng phaáp giaãi nhanh

Cho u

có dạng đa thức (bậc lớn hơn 0) của n.

Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của n là một số dương thì lim u

= +∞.

Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của n là một số âm thì lim u

= −∞.

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Vñ duå 6. Tính giới hạn

lim

√

− 2n + 3 + n

Baâi têåp 6. Tính giới hạn

lim

√

− n + 2 − 2n

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 7. Tính giới hạn

lim

√

+ 3n − 4 − 3n

Baâi têåp 7. Tính giới hạn

lim

√

+ 2n − 4 − 2n

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chú ý. Liên hợp là hình thức trục căn dựa vào hằng đẳng thức







(a − b) (a + b) = a

− b

(a ± b)

± ab + b

= a

± b

√

a −

√

b =

a − b

√

a +

√

a − b =

a − b

√

a + b

√

a −

√

b =

a − b

√

ab +

√

a +

√

b =

a + b

√

−

√

ab +

√

a − b =

a − b

√

ab + b

√

a + b =

a + b

√

−

√

ab + b

Vñ duå 8. Tính giới hạn

lim

√

n + 2 −

√

Baâi têåp 8. Tính giới hạn

lim

√

2n + 3 −

√

Bài làm

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

2.1. Định nghĩa

Định nghĩa 4.2.1. Cho khoảng K chứa điểm x

và hàm số y = f (x) xác định trên K hoặc trên

K \ {x

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới x

nếu với dãy số (x

) bất kì, x

∈ K\{x

}

và x

→ x

, ta có f (x

) → L.

Kí hiệu: lim

x→x

f (x) = L hay f (x) → L khi x → x

Nhận xét: lim

x→x

x = x

; lim

x→x

c = c với c là hằng số.

2.2. Định lí

Định lý 4.2.1.

1 Giả sử lim

x→x

f (x) = L và lim

x→x

g (x) = M. Khi đó:

lim

x→x



f (x) + g (x)



= L + M;

lim

x→x



f (x) − g (x)



= L − M;

lim

x→x



f (x) · g (x)



= L · M;

lim

x→x

f (x)

g (x)

(nếu M = 0);

2 Nếu f (x) ≥ 0 và lim

x→x

f (x) = L thì L ≥ 0 và lim

x→x

f (x) =

√

2.3. Bài tập

Dạng 2.1. Hàm số có giới hạn hữu hạn

Vñ duå 1. Tính lim

x→2



+ 7x + 11



Baâi têåp 1. lim

x→3



+ 2x + 10



Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 2. Tính lim

x→

√

|x − 4| Baâi têåp 2. Tính lim

x→

√

|x − 2|

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 3. Tính lim

x→−1

− 3

+ 2

Baâi têåp 3. Tính lim

x→−2

− 1

+ 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 4. Tính lim

x→−1

√

+ 2 − x

x − 1

Baâi têåp 4. Tính lim

x→−2

√

+ 1 − x

x − 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dạng 2.2. Hàm số có giới hạn hữu hạn vô định

Tính lim

x→x

f (x)

g (x)

khi lim

x→x

f (x) = lim

x→x

g (x) = 0.

Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước.

Nếu f (x) hay g (x) có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước

khi phân tích chúng thành tích để giản ước.

Liên hợp của biểu thức

√

a − b là

√

a + b

√

a −

√

b là

√

a +

√

a − b là

√

ab + b

√

a + b là

√

−

√

ab + b

Cần nhớ: f (x) = ax

+ bx + c = a (x − x

) (x − x

) với x

, x

là hai nghiệm của phương trình.

Rút nhân tử chung

Vñ duå 5. Tính lim

x→1

− 1

x − 1

Baâi têåp 5. Tính lim

x→−2

− 4

x + 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 6. Tính lim

x→−1

− 3x − 4

x + 1

Baâi têåp 6. Tính lim

x→3

− 2x − 3

x − 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 7. Tính lim

x→1

+ 3x − 4

− x − 2

Baâi têåp 7. Tính lim

x→−1

+ 3x + 2

+ 3x + 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 8. Tính lim

x→2

− 4

− 3x + 2

Baâi têåp 8. Tính lim

x→−1

− 1

+ 3x + 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 9. Tính lim

x→5

− 5x

− 25

Baâi têåp 9. Tính lim

x→2

− 2x

−2x

+ 6x − 4

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 10. Tính lim

x→−1

+ 3x + 1

− 2x − 1

Baâi têåp 10. Tính lim

x→1

+ 2x − 3

− 3x + 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 11. Tính lim

x→1

− 3x + 2

− 4x + 3

Baâi têåp 11. Tính lim

x→−2

+ x − 6

+ 8

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 12. Tính lim

x→3

− 5x

− 2x − 3

− 13x

+ 4x − 3

Baâi têåp 12. Tính lim

x→−1

+ 5x

+ 4x + 1

+ x

− x − 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 13. Tính lim

x→1

− 1

−

x − 1

Baâi têåp 13. Tính lim

x→1

1 − x

−

1 − x

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 14. Tính

lim

x→2

− 3x − 2

− 5x − 6

Baâi têåp 14. Tính lim

x→1

+ x − 2

−

− 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nhân lượng liên hợp loại 1

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Vñ duå 15. Tính lim

x→6

3 −

√

x + 3

x − 6

Baâi têåp 15. Tính lim

x→3

2 −

√

x + 1

x − 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 16. Tính lim

x→0

√

9 + x − 3

Baâi têåp 16. Tính lim

x→0

√

4 + x − 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 17. Tính lim

x→−1

√

4 + x + x

− 2

x + 1

Baâi têåp 17. Tính lim

x→3

√

− 3x − x

2x − 6

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 18. Tính lim

x→2

√

x + 2 − 2

− 4

Baâi têåp 18. Tính lim

x→2

2 −

√

3x − 2

− 4

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 19. Tính lim

x→9

√

x − 3

9x − x

Baâi têåp 19. Tính lim

x→2

√

x + 2 − 2

+ x − 10

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 20. lim

x→1

√

7 − 2x + x − 2

− 1

Baâi têåp 20. lim

x→1

2x + 5 −

√

+ x + 8

+ 3x + 2

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 21. Tính lim

x→2

√

4x − 2

x − 2

Baâi têåp 21. Tính lim

x→3

√

− 1 − 2

x − 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nhân lượng liên hợp loại 2

Vñ duå 22. Tính lim

x→1

√

3x + 1 −

√

x + 3

√

x + 8 − 3

Baâi têåp 22. Tính lim

x→1

√

x + 3 − 2

√

4x + 5 −

√

3x + 6

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hằng số vắng

Vñ duå 23. Tính lim

x→0

√

x + 9 +

√

x + 16 − 7

Baâi têåp 23. Tính lim

x→1

√

2x + 2 +

√

5x + 4 − 5

x − 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dạng 2.3. Hàm số có giới hạn vô cực vô định

Tính lim

x→x

f (x)

g (x)

khi lim

x→x

f (x) = L và lim

x→x

g (x) = 0.

Nếu L và g (x) cùng dấu thì lim

x→x

f (x)

g (x)

= +∞

Nếu L và g (x) trái dấu thì lim

x→x

f (x)

g (x)

= −∞

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Vñ duå 24. Tính lim

x→1

3x − 1

(x − 1)

Baâi têåp 24. Tính lim

x→2

3x − 1

(x − 2)

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 25. Tính lim

x→2

x − 5

(x − 2)

Baâi têåp 25. Tính lim

x→3

3x − 10

(x − 3)

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 26. Tính lim

x→−3

+ 5x − 3

(x + 3)

Baâi têåp 26. Tính lim

x→−3

− x − 2

(x − 2)

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

3.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 4.3.1.

1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x

) bất kì, x

> a

và x

→ +∞, ta có f (x

) → L.

Kí hiệu: lim

x→+∞

f (x) = L.

2 Cho hàm số y = f (x) xác định trên (−∞; a). Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L

khi x → −∞ nếu với dãy số (x

) bất kì, x

< a và x

→ −∞, ta có f (x

) → L.

Kí hiệu: lim

x→−∞

f (x) = L.

Chú ý. Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

lim

x→±∞

c = c; lim

x→±∞

= 0

3.2. Giới hạn vô cực của hàm số

3.2.1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4.3.2. Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là −∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x

) bất kì, x

> a và

→ +∞, ta có f (x

) → −∞.

Kí hiệu: lim

x→+∞

f (x) = −∞.

Nhận xét:

lim

x→+∞

f (x) = +∞ ⇔ lim

x→+∞



−f (x)



= −∞

3.2.2. Một vài giới hạn đặc biệt

1 lim

x→+∞

= +∞ với k nguyên dương.

2 lim

x→−∞







+ ∞ nếu k chẵn

− ∞ nếu k lẻ.

3.3. Bài tập

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Dạng 3.1. Hàm số có giới hạn vô cực

Đối với lim

x→∞

f (x) với f (x) là đa thức ta rút bậc cao nhất của x và áp dụng công thức khi

x → ∞.

Đối với lim

x→∞

f (x) với f (x) là đa thức ta rút bậc cao nhất của x ra ngoài dấu căn và áp

dụng công thức khi x → ∞.

Vñ duå 1. Tính lim

x→+∞



−x

− 6x

+ 9x + 1



Baâi têåp 1. Tính lim

x→+∞



+ 5x

+ 8x + 1



Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 2. Tính lim

x→−∞



− 3x

+ 2



Baâi têåp 2. Tính lim

x→−∞



−x

+ 3x

− 1



Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 3. Tính lim

x→+∞



− 2x

+ 1



Baâi têåp 3. Tính lim

x→+∞



−x

+ 2x

+ 3



Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 4. Tính lim

x→+∞

√

− 3x + 4 Baâi têåp 4. Tính lim

x→−∞

√

− 3x + 4

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 5. Tính lim

x→−∞

√

− 2x + 5 Baâi têåp 5. Tính lim

x→+∞

√

− 2x + 5

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 6. Tính

lim

x→−∞

√

− x −

√

+ 1

Baâi têåp 6. Tính

lim

x→+∞

√

− x −

√

+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

 Phûúng phaáp giaãi nhanh

Giới hạn của hàm đa thức tại +∞ phụ thuộc vào hệ số của lũy thừa bậc cao nhất.

Giới hạn của hàm đa thức tại −∞ phụ thuộc vào bậc và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất.

Dạng 3.2. Hàm số có giới hạn vô định

∞

Tính lim

x→∞

f (x)

g (x)

khi lim

x→∞

f (x) = ∞ và lim

x→∞

g (x) = ∞

Chia tử và mẫu cho x

với n là số mũ cao nhất của biến số x trong mẫu thức hoặc phân

tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử x

rồi giản ước.

Nếu f (x) hay g (x) có chứa biến x trong dấu căn thức, thì đưa x

ra ngoài dấu căn (với k

là số mũ bậc cao nhất của x trong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao

nhất của x.

Bậc tử bằng bậc mẫu

Vñ duå 7. Tính lim

x→−∞

3x − 1

2x + 1

Baâi têåp 7. Tính lim

x→+∞

3x − 1

4x + 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 8. Tính lim

x→+∞

− 5x + 1

− 2

Baâi têåp 8. Tính lim

x→−∞

− 5x + 1

−x

− 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 9. Tính lim

x→+∞

+ 3x + 1

2 − 6x

− 6x

Baâi têåp 9. Tính lim

x→−∞

+ 2x + 1

+ 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 10. Tính lim

x→+∞

+ 7x

− 15

+ 1

Baâi têåp 10. Tính lim

x→−∞

+ 7x

− 15

+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 11. Tính lim

x→+∞

(x − 1)

(7x + 2)

(2x + 1)

Baâi têåp 11. Tính lim

x→−∞

(x − 1)

(7x + 2)

(2x + 1)

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 12. Tính lim

x→+∞

√

+ 1

3x − 1

Baâi têåp 12. Tính lim

x→−∞

√

+ 1

3x − 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 13. Tính lim

x→+∞

√

− 3x + 2x

3x − 1

Baâi têåp 13. Tính lim

x→−∞

√

− 3x + 2x

3x − 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Phûúng phaáp giaãi nhanh

Giới hạn của hàm phân thức lim

x→∞

f (x)

g (x)

nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì

lim

x→∞

f (x)

g (x)

Hệ số bậc cao nhất của tử

Hệ số bậc cao nhất của mẫu

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu

Vñ duå 14. Tính lim

x→+∞

3x + 2

+ x + 1

Baâi têåp 14. Tính lim

x→−∞

x + 2

+ 2x + 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 15. Tính lim

x→+∞

+ 2x + 1

+ 3x

+ x

Baâi têåp 15. Tính lim

x→−∞

+ 3x

+ 2x + 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 16. Tính lim

x→+∞

+ 2x + 1

+ 3x

+ x

Baâi têåp 16. Tính lim

x→−∞

+ 3x

+ 2x + 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

 Phûúng phaáp giaãi nhanh

Giới hạn của hàm phân thức lim

x→∞

f (x)

g (x)

nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì

lim

x→∞

f (x)

g (x)

= 0

Bậc tử lớn hơn bậc mẫu

Vñ duå 17. Tính lim

x→+∞

− 2x

− 2

− x − 1

Baâi têåp 17. Tính lim

x→−∞

− 2x

− 2

− x − 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 18. Tính lim

x→+∞

− 3x

+ 1

−x

+ 2x − 2

Baâi têåp 18. Tính lim

x→−∞

− 3x

+ 1

−x

+ 2x − 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 19. Tính lim

x→+∞

− 3x

+ 1

−x

+ 2x − 2

Baâi têåp 19. Tính lim

x→−∞

− 3x

+ 1

−x

+ 2x − 2

Bài làm

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 20. Tính lim

x→−∞

− x + 3

x − 4

Baâi têåp 20. Tính lim

x→−∞

− 2x + 3

5 − x

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 21. Tính lim

x→+∞

(2x − 3)

(4x + 7)

(3x − 4)

(5x

− 1)

Baâi têåp 21. Tính lim

x→−∞

(2x − 3)

(4x + 7)

(3x − 4)

(5x

− 1)

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

 Phûúng phaáp giaãi nhanh

Giới hạn của hàm phân thức lim

x→∞

f (x)

g (x)

nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì

lim

x→∞

f (x)

g (x)

= ∞

Dạng 3.3. Hàm số có giới hạn vô định ∞ − ∞

Tính lim

x→∞



f (x) − g (x)



khi lim

x→∞

= ∞ và lim

x→∞

= ∞

Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng

một phân thức (nếu chưa nhiều phân thức).

Vñ duå 22. Tính lim

x→−∞

√

+ x − x

Baâi têåp 22. Tính lim

x→+∞

√

+ x − x

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 23. Tính lim

x→+∞

√

− 3x + 2 − x

Baâi têåp 23. Tính lim

x→−∞

√

− 3x + 2 − x

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 24. Tính lim

x→+∞

√

− 2x + 4 − x

Baâi têåp 24. Tính lim

x→−∞

√

− 2x + 4 − x

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 25. Tính lim

x→+∞

√

x + 2 −

√

x − 2

Baâi têåp 25. Tính lim

x→−∞

√

x + 2 −

√

x − 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 26. Tính

lim

x→+∞

√

− 4x + 3 −

√

− 3x + 2

Baâi têåp 26. Tính

lim

x→−∞

√

− 4x + 3 −

√

− 3x + 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Vñ duå 27. Tính

lim

x→+∞

2x − 1 −

√

− 4x − 3

Baâi têåp 27. Tính

lim

x→−∞

2x − 1 −

√

− 4x − 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 28. Tính

lim

x→+∞

3x + 2 −

√

+ 12x − 3

Baâi têåp 28. Tính

lim

x→−∞

3x + 2 −

√

+ 12x − 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 29. Tính lim

x→+∞

√

+ x

− x

Baâi têåp 29. Tính lim

x→−∞

√

+ x

− x

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dạng 3.4. Hàm số có giới hạn vô định 0 · ∞

Tính giới hạn lim

x→x



u (x) v (x)



khi lim

x→x

u (x) = 0 và lim

x→x

v (x) = ±∞

Ta có thể biến đổi lim

x→x



u (x) v (x)



= lim

x→x

u (x)

v (x)

để đưa về dạng

hoặc lim

x→∞



u (x) v (x)



lim

x→∞

u (x)

v (x)

để đưa về dạng

∞

Tuy nhiên, trong nhiều bài tập, ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong/ra

ngoài dấu căn, quy đồng mẫu thức . . . là đưa về dạng quen thuộc.

Vñ duå 30. Tính lim

x→+∞

…

2x + 1

+ x

+ 2

Baâi têåp 30. Tính lim

x→+∞

…

4x + 1

+ x

+ 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 31. Tính

lim

x→+∞

(2 + x)

…

x − 1

+ x

+ 1

Baâi têåp 31. Tính

lim

n→+∞

(3 + x)

…

x − 2

+ x

+ 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 32. Tính

lim

n→+∞

(1 − 5x)

…

16x + 1

− x + 2

Baâi têåp 32. Tính

lim

x→−∞

(1 + x)

…

4x − 3

+ 5x − 4

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ

4.1. Định nghĩa

Định nghĩa 4.4.1.

Cho hàm số y = f (x) xác định trên (x

; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f (x) khi x → x

nếu với dãy số (x

)

bất kì, x

< x

< b và x

→ x

, ta có f (x

) → L.

Kí hiệu: lim

x→x

f (x) = L.

Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; x

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f (x) khi x → x

nếu với dãy số (x

) bất

kì, a < x

< x

và x

→ x

, ta có f (x

) → L.

Kí hiệu: lim

x→x

−

f (x) = L.

4.2. Định lí

Định lý 4.4.1. lim

x→x

= L khi và chỉ khi lim

x→x

= lim

x→x

−

= L.

4.3. Bài tập

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

Dạng 4.1. Tìm giới hạn một bên của hàm số

Khi hàm số không xác định tại x

thì ta áp dụng các quy tắc về giới hạn vô cực. Đó là các quy

tắc áp dụng cho các dạng L · ∞;

∞

;

Chú ý.

x → x

⇒ x > x

⇒ x − x

> 0

x → x

−

⇒ x < x

⇒ x − x

< 0

Vñ duå 1. Tính lim

x→2

−

− 2x

3x + 1

Baâi têåp 1. Tính lim

x→2

3x − 1

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 2. Tính lim

x→1

2x − 3

x − 1

Baâi têåp 2. Tính lim

x→3

2x − 3

x − 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 3. Tính lim

x→2

x − 15

x − 2

Baâi têåp 3. Tính lim

x→3

x − 15

x − 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 4. Tính lim

x→3

−

2 − x

3 − x

Baâi têåp 4. Tính lim

x→4

−

2 − x

4 − x

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 5. Tính lim

x→2

x + 1

2x − 4

Baâi têåp 5. Tính lim

x→1

x + 1

2x − 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 6. Tính lim

x→4

−

x − 5

(x − 4)

Baâi têåp 6. Tính lim

x→3

−

x − 5

(x − 3)

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 7. Tính lim

x→3

−

3x − 8

(3 − x)

Baâi têåp 7. Tính lim

x→4

−

3x − 8

(4 − x)

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 8. Tính lim

x→(−3)

+ 5x − 3

(x + 3)

Baâi têåp 8. Tính lim

x→(−3)

−

+ 5x − 3

(x + 3)

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 9. Tính lim

x→2

−

x − 2

−

− 4

Baâi têåp 9. Tính lim

x→2

x − 2

−

− 4

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 10. Tính lim

x→2

−

|2 − x|

− 5x + 2

Baâi têåp 10. Tính lim

x→2

|2 − x|

− 5x + 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 11. Tính lim

x→3

|x − 3|

5x − 15

Baâi têåp 11. Tính lim

x→3

−

|x − 3|

5x − 15

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Phûúng phaáp giaãi nhanh

Dạng

∞

: Giới hạn là 0.

Dạng L · ∞ và

: Giới hạn là ∞.

Dạng 4.2. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

Vñ duå 12. Tính lim

x→3

|3x − 9|

x − 3

Baâi têåp 12. Tính lim

x→4

|2x − 8|

x − 4

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 13. Tính lim

x→2

|x − 2|

x − 2

Baâi têåp 13. Tính lim

x→3

|x − 3|

x − 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 14. Tính lim

x→3



− 9



x − 3

Baâi têåp 14. Tính lim

x→4



− 16



x − 4

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 15. Tính lim

x→2

√

− 4x + 4

x − 2

Baâi têåp 15. Tính lim

x→3

√

− 6x + 9

x − 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 16. Tính lim

x→4

2x − 5

x − 4

Baâi têåp 16. Tính lim

x→5

2x − 5

x − 5

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

Vñ duå 17. Cho hàm số

f (x) =

(

− 6x

− x khi x ≥ 1

− 3x khi x < 1

Tính lim

x→1

f (x).

Baâi têåp 17. Cho hàm số

f (x) =







x − 3 khi x < 1

1 −

√

+ 2 khi x ≥ 1

Tính lim

x→1

f (x).

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 18. Cho hàm số

f (x) =











− 3x + 2

− 1

khi x > 1

−

khi x < 1

Tính lim

x→1

f (x).

Baâi têåp 18. Cho hàm số

f (x) =











4 − x

x − 2

khi x < 2

1 − 2x khi x > 2

Tính lim

x→2

f (x).

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Dạng 4.3. Tìm tham số m để hàm số có giới hạn tại một điểm cho trước

Vñ duå 19. Tìm m để hàm số

f (x) =











− 1

x − 1

khi x < 1

mx + 2 khi x ≤ 1

có giới hạn tại x = 1.

Baâi têåp 19. Tìm m để hàm số

f (x) =











+ 1

x + 1

khi x < −1

− x + m

khi x ≥ −1

có giới hạn tại x = −1.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC

5.1. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 4.5.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x

∈ K.

Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục tại x

nếu lim

x→x

f (x) = f (x

)

Hàm số y = f (x) không liên tục tại x

được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

5.2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa 4.5.2. Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại

mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và

lim

x→a

f (x) = f (a) , lim

x→b−

f (x) = f (b)

Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng được định nghĩa một cách tương tự.

Nhận xét:

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền ”trên

khoảng đó (tham khảo hình vẽ bên).

Hình vẽ bên cho ví dụ về đồ thị của một hàm số không liên tục

trên khoảng (a; b).

a b

5.3. Một số định lí cơ bản

Định lý 4.5.1.

1 Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

2 Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của

chúng.

Định lý 4.5.2. Giả sử y = f (x), y = g (x) là hai hàm số liên tục tại điểm x

. Khi đó:

1 Các hàm số y = f (x) + g (x), y = f (x) − g (x) và y = f (x) · g (x) liên tục tại x

;

2 Hàm số

f (x)

g (x)

liên tục tại x

nếu g (x

) = 0.

Định lý 4.5.3.

Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) · f (b) < 0, thì tồn tại

ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0

f (a)

f (b)

5.4. Bài tập

Dạng 5.1. Xét tính liên tục của hàm số

Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x

∈ (a; b). Để xét tính liên tục của hàm số

y = f (x) tại x

ta làm như sau:

Tính f (x

);

Tính lim

x→x

f (x).

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Nếu lim

x→x

f (x) = f (x

) thì kết luận hàm số liên tục tại x

Nếu lim

x→x

f (x) không tồn tại hoặc lim

x→x

f (x) = f (x

Vñ duå 1. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) =

√

tại x

= −3.

Baâi têåp 1. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) =

√

x + 1

tại x

= −2.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 2. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) =

√

+ 2

tại x

= 2.

Baâi têåp 2. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) =

√

+ 3

tại x

= 3.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 3. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) =











− 3x + 2

x − 2

khi x = 2

4x − 7 khi x = 2

tại điểm x

= 2.

Baâi têåp 3. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) =











+ 3x + 2

−x − 1

khi x = −1

+ 2x khi x = −1

tại điểm x

= −1.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 4. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) =











√

x + 3 − 2

x − 1

khi x = 1

khi x = 1

tại điểm x

= 1.

Baâi têåp 4. Xét tính liên tục của hàm số











√

x + 3 − 2

x − 1

khi x = 1

khi x = 1

tại điểm x

= 1.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 5. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) =











− 3x + 3 khi x ≤ 2

1 −

√

2x − 3

2 − x

khi x > 2

tại điểm x

= 2.

Baâi têåp 5. Xét tính liên tục của hàm số











√

2x + 3 − 1

x + 1

khi x > −1

√

3 − x

khi x ≤ −1

tại x

= −1.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 6. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) =











− 9

√

x + 1 − 2

khi x > 3

2x + 12 khi x ≤ 3

tại điểm x

= 3.

Baâi têåp 6. Xét tính liên tục của hàm số











√

− 3 − 1

x − 2

khi x = 2

2x − 2 khi x = 2

tại điểm x

= 2.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 7. Xét tính liên tục của hàm số

f (x) =











− 3x − 4

√

x + 5 − 3

khi x > 4

− 4x + 46 khi x ≤ 4

tại điểm x

= 4.

Baâi têåp 7. Xét tính liên tục của hàm số











+ 2x − 3

+ x − 2

khi x > 1

√

x + 1 + 7

khi x ≤ 1

tại điểm x

= 1.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

Dạng 5.2. Tìm tham số để hàm số liên tục

Vñ duå 8. Tìm m để hàm số

f (x) =











− 5x

+ 7x − 3

− 1

khi x = 1

2m + 1 khi x = 1

tại điểm x

= 1.

Baâi têåp 8. Tìm m để hàm số

f (x) =











√

1 + x −

√

1 − x

khi x = 0

− 5m +

4 − x

x + 2

khi x = 0

tại điểm x

= 0.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vñ duå 9. Tìm m để hàm số

f (x) =











√

6 + x − 2

x − 2

khi x = 2

2x − m khi x = 2

liên tục tại điểm x

= 2.

Baâi têåp 9. Tìm m để hàm số

f (x) =











√

12x − 4 − 2

x − 1

khi x = 1

√

+ 8 + 2mx khi x = 1

liên tục tại điểm x

= 1.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Dạng 5.3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng

Một phương pháp chứng minh phương trifnhh f (x) = 0 có nghiệm trên khoảng (a; b):

Chứng minh hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b].

Chứng minh f (a) · f (b) < 0.

Từ đó kết luận phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b).

Vñ duå 10. Chứng minh rằng phương trình

+ x −1 = 0 có nghiệm trên khoảng (−1; 1).

Baâi têåp 10. Chứng minh rằng phương trình

+ x

− 3x

+ x + 1 = 0 có nghiệm thuộc

(−1; 1).

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÔN TẬP CHƯƠNG

Baâi têåp trùæc nghiïåm

Câu 1. Tính lim

+ 2n + 5

+ n − 8

. B +∞. C −

. D 0.

Câu 2. Tính lim



−3n

+ 5n − 2



A −3. B +∞. C −∞. D 3.

Câu 3. Tính lim

+ 4 · 7

3 · 7

− 2

A 1. B

. C

. D −2.

Câu 4. Tính lim

x→3

√

x + 1 − 2

x − 3

A 0. B +∞. C 4. D

Câu 5. Tính lim

x→0



+ 4x

+ 10



A +∞. B 0. C 10. D 15.

Câu 6. Tính lim

x→2

−

2x + 1

x − 2

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

A 2. B −∞. C +∞. D 0.

Câu 7. Tính lim

x→−1

+ 3x + 1

− 1

. B 2. C −∞. D +∞.

Câu 8. Tính lim

x→−∞



−2x

+ 3x − 4



A −∞. B +∞. C −2. D 2.

Câu 9. Tính lim

x→+∞

− 5x + 1

− 2

A −∞. B +∞. C 3. D 0.

Câu 10. Tính lim

x→−∞

3x + 2

A 0. B 1. C

. D +∞.

Câu 11. Tính lim

n + 2020

A 1. B 2. C 0. D 3.

Câu 12. Tính lim

x→+∞

+ 7

+ 1

A −1. B 1. C 7. D +∞.

Câu 13. Tính lim



+ 1



(n + 2)

+ 1

A −∞. B +∞. C 16. D 1.

Câu 14. Tính lim

x→3

√

2x + 3 − 3

− 4x + 3

. B 0. C +∞. D −∞.

Câu 15. Tính lim

x→3

−

−2x + 1

x − 3

A −∞. B 2. C 0. D +∞.

Câu 16. Tính lim

+ 3n + 1

− n + 2

A 1. B +∞. C

. D −∞.

Câu 17. Tính lim

3 · 2

− 3

2 · 2

+ 3 · 3

A +∞. B −

. C −∞. D 1.

Câu 18. Cho hàm số f (x) =











− 4

x − 2

khi x = 2

m khi x = 2.

Hàm số đã cho liên

tục tại x

= 2 khi m bằng

A 1. B −4. C −1. D 4.

Câu 19. Tính lim

x→−1

+ 2x

+ 1

. B −2. C 2. D −

Câu 20. Tính lim

x→1

4x + 1

5x − 1

. B

. C 0. D −1.

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

Câu 21. Tính lim

x→3

− 4x + 3

− 9

. B −

. C −1. D 1.

Câu 22. Tính lim

x→+∞

√

+ x + 10 − x

A +∞. B −∞. C 0. D

Câu 23. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A lim

x→−∞

= +∞. B lim

x→−∞

= −∞.

C lim

x→−∞

2 · x

= +∞. D lim

x→−∞

= +∞.

Câu 24. Cho lim

x→+∞

f (x) = 2; lim

x→+∞

g (x) = −∞ hỏi lim

x→+∞



f (x) · g (x)



bằng bao nhiêu trong các giá trị sau

+∞. B 300. C 20. D −∞.

Câu 25. Cho hàm số f (x) =

2x − 3

x − 1

, các mệnh đề sau, mệnh đề nào

sai ?

A Hàm số liên tục tại x = 3. B Hàm số liên tục tại x = 2.

C Hàm số liên tục tại x = 1. D Hàm số liên tục tại x = 4.

Câu 26. Dãy số nào sau có giới hạn bằng

A u

− 2n

5n + 3n

. B u

1 − 2n

5n + 3n

C u

1 − 2n

5n + 3n

. D u

17n

− 2

5n + 3n

Câu 27. Giới hạn của dãy số sau đây bằng bao nhiêu lim

− 1

n − 2

A 1. B −1. C 0. D +∞.

Câu 28. Giới hạn của dãy số sau đây bằng bao nhiêu

lim

n+1

− 3 · 5

+ 3

3 · 2

+ 7 · 4

A −1. B 1. C −∞. D +∞.

Câu 29. Giới hạn của hàm số sau đây bằng bao nhiêu

lim

x→3

+ 2x − 15

x − 3

A ∞. B 2. C

. D 8.

Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên R ?

A f (x) = x

− 3x. B f (x) =

3x + 5

x − 1

C f (x) =

x + 3

. D f (x) =

Câu 31. Cho hàm số f (x) = x

+ x − 1. Xét phương trình

f (x) = 0 (1)

, trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ?

A (1) có nghiệm trên khoảng (−1; 1).

B (1) có nghiệm trên khoảng (0; 1).

C (1) có nghiệm trên R.

D Vô nghiệm.

Câu 32. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

A lim

− n + 1

2n − 1

. B lim

− 3n + 2

+ n

C lim

+ 2n − 1

n − 2n

. D lim

− 3n

+ 3n

Câu 33. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?

A lim

+ 1

3 · 2

− 3

. B lim

+ 3

1 − 2

C lim

1 − n

+ 2n

. D lim

(2n + 1) (n − 3)

n − 2n

Câu 34. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?

A lim



2n − 3n



= −∞. B lim

− 2n

1 − 3n

= +∞.

C lim

1 − n

+ 2n

= −∞. D lim

− 3n

+ 5n − 2

= −

Câu 35. Với k là số nguyên dương, c là hằng số. Kết quả của giới hạn

lim

x→+∞

là

A x

. B +∞. C 0. D −∞.

Câu 36. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là −1 ?

A lim

x→0

√

1 − x − 1

. B lim

x→−∞

x − 1

√

− 1

C lim

x→1

x + 1 −

√

x + 3

− 1

. D lim

x→1

2x − 1

(x − 1)

Câu 37. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là −

A lim

2n + 3

2 − 3n

. B lim

+ n

−2n − n

C lim

+ 3

. D lim

− n

+ 1

Câu 38. Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn lim

x→x

là

A +∞. B −∞. C 0. D x

Câu 39. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng −1 ?

A lim

x→−∞

2x − 3

√

− 1 − x

. B lim

x→2

−

− 4

+ 1) (2 − x)

C lim

x→1

− 1

√

− 1

. D lim

x→(−2)

√

8 + 2x − 2

√

x + 2

Câu 40. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng +∞ ?

A lim

x→2

−3x + 4

x − 2

. B lim

x→2

−

−3x + 4

x − 2

C lim

x→+∞

−3x + 4

x − 2

. D lim

x→−∞

−3x + 4

x − 2

Câu 41. Với k là số nguyên dương chẵn. Kết quả của giới hạn lim

x→−∞

là

A x

. B 0. C +∞. D −∞.

Câu 42. Giới hạn của hàm số nào dưới đây có kết quả bằng 1 ?

A lim

x→−1

+ 4x + 3

x + 1

. B lim

x→−1

+ 3x + 2

x + 1

C lim

x→−1

+ 3x + 2

1 − x

. D lim

x→−2

+ 3x + 2

x + 2

Câu 43. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

A lim

x→1

√

5 − x − 2

√

2 − x − 1

. B lim

x→2

x −

√

3x − 2

− 4

= −

C lim

x→1

√

x −

√

− 1

= −

. D lim

x→0

√

x + 1 −

√

x + 1

= −

Câu 44. Tính lim

1 · 2

2 · 3

+ ··· +

n (n + 1)

A 1. B 0. C

. D 2.

Câu 45. Tính tổng S = 1 +

+ ···

. B 1. C

. D 2.

Câu 46. Tìm m để hàm số f (x) = x +

√

x − m

liên tục tại x = 4.

A −2 ≤ m ≤ 2. B −2 < m < 2.

C m ≥ 2. D m ≤ −2.

Câu 47. Cho hàm số f (x) =











− ax

khi x = 0

− 2 khi x = 0

. Tìm a để hàm số

liên tục trên R.

A a = −1; a = 2. B a = −1; a = −2.

C a = 1; a = −2. D a = 1; a = 2.

Câu 48. Cho hàm số f (x) =

(

√

x − 2 + 3 khi x ≥ 2

5 − x khi x < 2

. Chọn kết luận

sai.

A f (x) liên tục tại x = 2. B f (x) liên tục trên [2; +∞).

C f (x) không liên tục trên R. D f (x) liên tục trên (−∞; 2).

Câu 49. Cho hàm số f (x) =











− 1

2x − 2

khi x = 1

1 + m khi x = 1

. Tìm m để hàm số bị

gián đoạn tại x = 1.

A m =

. B m =

. C m = 1. D m =

Câu 50. Biết lim

x→+∞



+ 1



− 4x

+ 5

+ m

= L, (m ∈ R). Tìm m để L >

A m > 1. B −1 < m < 1.

C m > 1 hoặc m < −1. D m > −1.

Baâi têåp tûå luêån

Baâi têåp 11.Tính lim

− 2n + 1

− n + 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Àaáp söë:

Baâi têåp 12.Tính lim

1 − 3

+ 4 · 3

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Àaáp söë: −

Baâi têåp 13.Tính lim

− 3x + 2

x − 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Àaáp söë: 1

Baâi têåp 14.Tính lim

− x

− 1

− 4x

+ 5x − 2

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Chương 4. GIỚI HẠN

 Cao Thanh Phuác

 https://www.facebook.com/caothanhphucteacher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Àaáp söë: 2

Baâi têåp 15.Tính lim

x→+∞

√

+ x + 3 − x

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Àaáp söë:

Baâi têåp 16.Chứng minh rằng phương trình 4x

+ 2x

− x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc

(−1; 1).

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nerver put off till tomorrow what you can do today!

Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC



Cao Thanh Phúc -  0789 36 39 36

Baâi têåp 17.Xác định các giá trị của tham số m để hàm số f (x) =











− 7x + 10

x − 2

khi x = 2

− 2m − 1 khi x = 2

liên

tục tại x = 2.

Bài làm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Àaáp söë: m = 1

ĐÁP ÁN BÀI 5

1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.A 8.B 9.C 10.A

11.C 12.B 13.C 14.A 15.D 16.C 17.B 18.D 19.B 20.B

21.B 22.D 23.D 24.D 25.C 26.D 27.D 28.C 29.C 30.A

31.D 32.D 33.A 34.B 35.C 36.B 37.D 38.D 39.A 40.B

41.C 42.B 43.C 44.A 45.C 46.C 47.C 48.C 49.A 50.C

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/52

| | Tải xuống

Preview text:

Mục lục Cao Thanh Phuác 1 MỤC LỤC Chương 4 GIỚI HẠN TRANG 2
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Một vài giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Định lý về giới hạn hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 https://www
1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Giới hạn vô cực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.2. Một vài giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.3. Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .facebook.com/cao
1.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1. Định nghĩa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
BÀI 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 thanhphuct
3.2. Giới hạn vô cực của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1. Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2. Một vài giới hạn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 eacher
BÀI 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1. Định nghĩa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
BÀI 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1. Hàm số liên tục tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2. Hàm số liên tục trên một khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3. Một số định lí cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ÔN TẬP CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 2 Chûúng 4 GIỚI HẠN
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số 1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 4.1.1. Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có
thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Cao
Kí hiệu: lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞. n→+∞ Thanh Định nghĩa 4.1.2.
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞, nếu lim (vn − a) = 0. Phúc n→+∞
Kí hiệu: lim vn = a hay vn → a khi n → +∞. n→+∞ -
1.1.2. Một vài giới hạn đặc biệt 0789 1 1 1 lim = 0; lim = 0 với k nguyên dương; n→+∞ n n→+∞ nk 36 39 2 lim qn = 0 nếu |q| < 1; n→+∞ 36 3
Nếu un = c (c là hằng số) thì lim un = lim c = c. n→+∞ n→+∞
Chú ý. Từ nay về sau thay cho lim un = a ta viết tắt là lim un = a. n→+∞
1.2. Định lý về giới hạn hữu hạn Định lý 4.1.2. 1
Nếu lim un = a và lim vn = b thì lim (un + vn) = a + b. lim (un · vn) = a · b. Å u ã n a lim (u lim = (nếu b ̸= 0). n − vn) = a − b. vn b √ ( ( √ lim un = a lim un = a 2 Nếu thì un ≥ 0, ∀n a ≥ 0.
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 3
1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức u S = u 1
1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . = |q| < 1 . 1 − q 1.4. Giới hạn vô cực 1.4.1. Định nghĩa https://www Định nghĩa 4.1.3.
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương
bất kì, kể từ một số hạng nào trở đi.
Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.
Dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞, nếu lim (−un) = +∞. .f acebook.com/cao
Kí hiệu: lim un = −∞ hay un → −∞ khi n → +∞.
Nhận xét: lim un = +∞ ⇔ lim(−un) = −∞.
1.4.2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau 1
lim nk = +∞ với k nguyên dương; thanhphuct 2 lim qn = +∞ nếu q > 1. 1.4.3. Định lí Định lý 4.1.3. un 1
Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì lim = 0. eacher vn un 2
Nếu lim un = a > 0 và lim vn = 0 và vn > 0 thì lim = +∞. vn 3
Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì lim un · vn = +∞. 1.5. Bài tập P (n)
Dạng 1.1. Tính giới hạn lim
với P (n), Q(n) là các đa thức Q(n)
Rút lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu, rồi sử dụng các công thức sau: Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 4
Bài 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ c ∗ lim = 0, (k ∈ ∗ lim nk = +∞ (k ∈ ) N , c ∈ R) N nk ( ( lim u lim un = −∞ n = +∞ ⇒ lim (u ⇒ lim (un · vn) = +∞ n · vn) = +∞ lim v lim vn = a < 0 n = a > 0 ( ( lim un = +∞ lim un = −∞ ⇒ lim (un · vn) = −∞ ⇒ lim (un · vn) = −∞ lim vn = a < 0 lim vn = a > 0 4n2 − n − 1 n2 − n − 1
Vñ duå 1. Tính giới hạn lim
Baâi têåp 1. Tính giới hạn lim 2n2 + 3 2n2 + 3n Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0789 Phûúng phaáp giaãi nhanh 36 P (n)
Nếu bậc tử P (n) bằng bậc mẫu Q(n) thì lim
bằng hệ số bậc cao nhất của tử chia cho hệ số Q(n) 39 bậc cao nhất của mẫu. 36 n2 − n + 3 n − n + 3
Vñ duå 2. Tính giới hạn lim
Baâi têåp 2. Tính giới hạn lim n3 + 2n n2 + 2n + 1 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 5 Phûúng phaáp giaãi nhanh P (n)
Nếu bậc tử P (n) nhỏ hơn bậc mẫu Q(n) thì lim = 0. Q(n) 2n3 − 11n + 1 −n2 − 11n + 1
Vñ duå 3. Tính giới hạn lim
Baâi têåp 3. Tính giới hạn lim n2 − 2 n − 2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f acebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phûúng phaáp giaãi nhanh P (n)
Nếu bậc tử P (n) lớn hơn bậc mẫu Q (n) thì lim = ±∞. Q(n) thanhphuct
Để biết là +∞ hay −∞ ta dựa vào dấu của giới hạn trong tích theo quy tắc “cùng dấu thì
tích dương, trái dấu thì tích âm ”.
Về trắc nghiệm, đó chính là tích của hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. P (n) eacher
Dạng 1.2. Tính giới hạn lim
với P (n), Q(n) là các hàm mũ an Q(n)
Áp dụng lim qn = 0 với |q| < 1.
Sử dụng công thức mũ, rồi chia cả tử và mẫu cho an với |a| là cơ số lớn nhất. Công thức cần nhớ am+n = am · an am am−n = an 1 − 3n+2
Baâi têåp 4. Tính giới hạn
Vñ duå 4. Tính giới hạn lim 2n + 3n 2 − 5n−2 lim 3n + 2 · 5n Bài làm Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 6
Bài 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phûúng phaáp giaãi nhanh
Ta chia cho an với |a| là cơ số lớn nhất vì sau khi chia luôn tạo ra cơ số có trị tuyệt đối nhỏ hơn Cao
1 để áp dụng công thức lim qn = 0 với |q| < 1 Thanh
Dạng 1.3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức
Rút lũy thừa bậc cao hoặc liên hợp và sử dụng lim nk = ∞. Phúc
Chú ý. Dấu hiệu nhận dạng liên hợp (dạng ∞ · 0) là sau khi rút n có mũ cao trong căn -
và nhóm thừa số, xuất hiện số 0. 0789 Vñ duå 5. Tính giới hạn
Baâi têåp 5. Tính giới hạn 36 Ä ä Ä ä lim n2 + 3n + 5 lim 5n − n2 + 1 39 36 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phûúng phaáp giaãi nhanh
Cho un có dạng đa thức (bậc lớn hơn 0) của n.
Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của n là một số dương thì lim un = +∞.
Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của n là một số âm thì lim un = −∞.
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 7 Vñ duå 6. Tính giới hạn
Baâi têåp 6. Tính giới hạn √ √ Ä ä Ä ä lim n2 − 2n + 3 + n lim 2n2 − n + 2 − 2n Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 7. Tính giới hạn
Baâi têåp 7. Tính giới hạn √ √ Ä ä Ä ä lim 9n2 + 3n − 4 − 3n lim 4n2 + 2n − 4 − 2n .f acebook.com/cao Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chú ý. Liên hợp là hình thức trục căn dựa vào hằng đẳng thức  eacher
 (a − b) (a + b) = a2 − b2 Ä
(a ± b) a2 ± ab + b2ä = a3 ± b3  √ √ a − b √ √ a + b a − b = √ √ 3 a + 3 b = √ √ √ a + b 3 a2 − 3 ab + 3 b2 √ a − b2 √ a − b3 a − b = √ 3 a − b = √ √ a + b 3 a2 + 3 ab + b2 √ √ a − b √ a + b3 3 a − 3 b = √ √ √ 3 a + b = √ √ 3 a2 + 3 ab + 3 b2 3 a2 − 3 ab + b2 Vñ duå 8. Tính giới hạn
Baâi têåp 8. Tính giới hạn √ √ √ √ Ä ä Ä ä lim 3 n + 2 − 3 n lim 3 2n + 3 − 3 2n Bài làm Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 8
Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 4.2.1. Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f (x) xác định trên K hoặc trên Cao K \ {x0}.
Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K\{x0} Thanh
và xn → x0, ta có f (xn) → L.
Kí hiệu: lim f (x) = L hay f (x) → L khi x → x0. x→x0 Phúc
Nhận xét: lim x = x0; lim c = c với c là hằng số. x→x0 x→x0 - 0789 2.2. Định lí Định lý 4.2.1. 36 1
Giả sử lim f (x) = L và lim g (x) = M . Khi đó: x→x x→x 39 0 0 lim f (x) + g (x) = L + M ; lim f (x) · g (x) = L · M ; 36 x→x0 x→x0 f (x) L
lim f (x) − g (x) = L − M ; lim = (nếu M ̸= 0); x→x x→x g (x) M 0 0 √ 2
Nếu f (x) ≥ 0 và lim f (x) = L thì L ≥ 0 và lim pf (x) = L. x→x0 x→x0 2.3. Bài tập
Dạng 2.1. Hàm số có giới hạn hữu hạn
Vñ duå 1. Tính lim 3x2 + 7x + 11
Baâi têåp 1. lim x2 + 2x + 10 x→2 x→3 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 2. Tính lim | | √ x − 4| Baâi têåp 2. Tính lim √ x − 2| x→ 3 x→ 3
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 9 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 − 3 x2 − 1 Vñ duå 3. Tính lim Baâi têåp 3. Tính lim x→−1 x3 + 2 x→−2 x3 + 2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ 3x2 + 2 − x 3x2 + 1 − x Vñ duå 4. Tính lim Baâi têåp 4. Tính lim x→−1 x − 1 x→−2 x − 2 https://www Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . acebook.com/cao 0
Dạng 2.2. Hàm số có giới hạn hữu hạn vô định 0 f (x) Tính lim khi lim f (x) = lim g (x) = 0. x→x0 g (x) x→x0 x→x0
Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước.
Nếu f (x) hay g (x) có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước
khi phân tích chúng thành tích để giản ước. thanhphuct
Liên hợp của biểu thức √ √ a − b là a + b √ √ √ √ a − b là a + b √ √ √ 3 a − b là 3 a2 + 3 ab + b2 √ √ √ 3 eacher a + b là 3 a2 − 3 ab + b2
Cần nhớ: f (x) = ax2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2) với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Rút nhân tử chung x2 − 1 x2 − 4 Vñ duå 5. Tính lim Baâi têåp 5. Tính lim x→1 x − 1 x→−2 x + 2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 10
Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 − 3x − 4 x2 − 2x − 3 Vñ duå 6. Tính lim Baâi têåp 6. Tính lim x→−1 x + 1 x→3 x − 3 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 + 3x − 4 x2 + 3x + 2 Thanh Vñ duå 7. Tính lim Baâi têåp 7. Tính lim x→1 3x2 − x − 2 x→−1 2x2 + 3x + 1 Phúc Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 0789
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 − 4 x2 − 1 Vñ duå 8. Tính lim Baâi têåp 8. Tính lim x→2 x2 − 3x + 2 x→−1 x2 + 3x + 2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 − 5x x2 − 2x Vñ duå 9. Tính lim Baâi têåp 9. Tính lim x→5 x2 − 25 x→2 −2x2 + 6x − 4
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 11 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x2 + 3x + 1 x2 + 2x − 3 https://www Vñ duå 10. Tính lim Baâi têåp 10. Tính lim x→−1 x3 − 2x − 1 x→1 x3 − 3x + 2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .facebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x3 − 3x + 2 2x2 + x − 6 Vñ duå 11. Tính lim Baâi têåp 11. Tính lim thanhphuct x→1 x4 − 4x + 3 x→−2 x3 + 8 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x3 − 5x2 − 2x − 3 2x3 + 5x2 + 4x + 1 Vñ duå 12. Tính lim Baâi têåp 12. Tính lim x→3 4x3 − 13x2 + 4x − 3 x→−1 x3 + x2 − x − 1 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 12
Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å 2 1 ã Å 1 3 ã Vñ duå 13. Tính lim − Baâi têåp 13. Tính lim − x→1 x2 − 1 x − 1 x→1 1 − x 1 − x3 Bài làm Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0789
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Vñ duå 14. Tính Å 1 1 ã Baâi têåp 14. Tính lim − 39 Å 1 1 ã x→1 x2 + x − 2 x3 − 1 lim + 36 x→2 x2 − 3x − 2 x2 − 5x − 6 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nhân lượng liên hợp loại 1
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 13 √ √ 3 − x + 3 2 − x + 1 Vñ duå 15. Tính lim Baâi têåp 15. Tính lim x→6 x − 6 x→3 x − 3 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4x 2x .f Vñ duå 16. Tính lim √ Baâi têåp 16. Tính lim √ acebook.com/cao x→0 9 + x − 3 x→0 4 + x − 2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ 4 + x + x2 − 2 2x2 − 3x − x Vñ duå 17. Tính lim Baâi têåp 17. Tính lim x→−1 x + 1 x→3 2x − 6 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 14
Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ x + 2 − 2 2 − 3x − 2 Vñ duå 18. Tính lim Baâi têåp 18. Tính lim x→2 x2 − 4 x→2 x2 − 4 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0789 √ √ x − 3 x + 2 − 2 Vñ duå 19. Tính lim Baâi têåp 19. Tính lim x→9 9x − x2 x→2 2x2 + x − 10 36 39 Bài làm 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ 7 − 2x + x − 2 2x + 5 − 2x2 + x + 8 Vñ duå 20. lim Baâi têåp 20. lim x→1 x2 − 1 x→1 x2 + 3x + 2
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 15 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ 3 3 .f 4x − 2 x2 − 1 − 2 acebook.com/cao Vñ duå 21. Tính lim Baâi têåp 21. Tính lim x→2 x − 2 x→3 x − 3 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nhân lượng liên hợp loại 2 √ √ √ 3x + 1 − x + 3 x + 3 − 2 Vñ duå 22. Tính lim √ Baâi têåp 22. Tính lim √ √ x→1 x + 8 − 3 x→1 4x + 5 − 3x + 6 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 16
Bài 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hằng số vắng Cao √ √ √ √ x + 9 + x + 16 − 7 2x + 2 + 5x + 4 − 5 Thanh Vñ duå 23. Tính lim Baâi têåp 23. Tính lim x→0 x x→1 x − 1 Bài làm Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0789
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Dạng 2.3. Hàm số có giới hạn vô cực vô định 0 f (x) Tính lim
khi lim f (x) = L và lim g (x) = 0. x→x0 g (x) x→x0 x→x0 f (x)
Nếu L và g (x) cùng dấu thì lim = +∞ x→x0 g (x) f (x)
Nếu L và g (x) trái dấu thì lim = −∞ x→x0 g (x)
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 17 3x − 1 3x − 1 Vñ duå 24. Tính lim Baâi têåp 24. Tính lim x→1 (x − 1)2 x→2 (x − 2)2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x − 5 3x − 10 .f Vñ duå 25. Tính lim Baâi têåp 25. Tính lim acebook.com/cao x→2 (x − 2)2 x→3 (x − 3)2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x2 + 5x − 3 x2 − x − 2 Vñ duå 26. Tính lim Baâi têåp 26. Tính lim x→−3 (x + 3)3 x→−3 (x − 2)3 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 18
Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
3.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa 4.3.1. 1
Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a
và xn → +∞, ta có f (xn) → L. Kí hiệu: lim f (x) = L. x→+∞ 2
Cho hàm số y = f (x) xác định trên (−∞; a). Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L Cao
khi x → −∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → −∞, ta có f (xn) → L. Kí hiệu: lim f (x) = L. Thanh x→−∞
Chú ý. Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: Phúc c lim c = c; lim = 0 x→±∞ x→±∞ xk -
3.2. Giới hạn vô cực của hàm số 0789
3.2.1. Giới hạn vô cực 36
Định nghĩa 4.3.2. Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; +∞). 39
Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là −∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và 36
xn → +∞, ta có f (xn) → −∞.
Kí hiệu: lim f (x) = −∞. x→+∞ Nhận xét: lim f (x) = +∞ ⇔ lim −f (x) = −∞ x→+∞ x→+∞
3.2.2. Một vài giới hạn đặc biệt 1
lim xk = +∞ với k nguyên dương. x→+∞   + ∞ nếu k chẵn 2 lim xk = x→−∞ − ∞  nếu k lẻ. 3.3. Bài tập
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 19
Dạng 3.1. Hàm số có giới hạn vô cực
Đối với lim f (x) với f (x) là đa thức ta rút bậc cao nhất của x và áp dụng công thức khi x→∞ x → ∞.
Đối với lim pf (x) với f (x) là đa thức ta rút bậc cao nhất của x ra ngoài dấu căn và áp x→∞
dụng công thức khi x → ∞. Vñ duå 1. Tính lim −x3 − 6x2 + 9x + 1 Baâi têåp 1. Tính lim x3 + 5x2 + 8x + 1 x→+∞ x→+∞ Bài làm https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .facebook.com/cao Vñ duå 2. Tính lim x3 − 3x2 + 2 Baâi têåp 2. Tính lim −x3 + 3x2 − 1 x→−∞ x→−∞ Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher Vñ duå 3. Tính lim x4 − 2x2 + 1 Baâi têåp 3. Tính lim −x4 + 2x2 + 3 x→+∞ x→+∞ Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Vñ duå 4. Tính lim x2 − 3x + 4 Baâi têåp 4. Tính lim x2 − 3x + 4 x→+∞ x→−∞ Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 20
Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Vñ duå 5. Tính lim x2 − 2x + 5 Baâi têåp 5. Tính lim x2 − 2x + 5 x→−∞ x→+∞ Cao Bài làm Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 0789
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Vñ duå 6. Tính Baâi têåp 6. Tính √ √ √ √ Ä ä Ä ä lim x2 − x − 4x2 + 1 lim x2 − x − 4x2 + 1 x→−∞ x→+∞ Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 21 Phûúng phaáp giaãi nhanh
Giới hạn của hàm đa thức tại +∞ phụ thuộc vào hệ số của lũy thừa bậc cao nhất.
Giới hạn của hàm đa thức tại −∞ phụ thuộc vào bậc và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất. ∞
Dạng 3.2. Hàm số có giới hạn vô định ∞ f (x) Tính lim
khi lim f (x) = ∞ và lim g (x) = ∞ x→∞ g (x) x→∞ x→∞
Chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ cao nhất của biến số x trong mẫu thức hoặc phân
tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước. https://www
Nếu f (x) hay g (x) có chứa biến x trong dấu căn thức, thì đưa xk ra ngoài dấu căn (với k
là số mũ bậc cao nhất của x trong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Bậc tử bằng bậc mẫu .f acebook.com/cao 3x − 1 3x − 1 Vñ duå 7. Tính lim Baâi têåp 7. Tính lim x→−∞ 2x + 1 x→+∞ 4x + 1 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3x2 − 5x + 1 2x2 − 5x + 1 Vñ duå 8. Tính lim Baâi têåp 8. Tính lim x→+∞ x2 − 2 x→−∞ −x2 − 2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 22
Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x3 + 3x + 1 x3 + 2x + 1 Vñ duå 9. Tính lim Baâi têåp 9. Tính lim x→+∞ 2 − 6x2 − 6x3 x→−∞ 2x3 + 3 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x4 + 7x3 − 15 2x4 + 7x3 − 15 Vñ duå 10. Tính lim Baâi têåp 10. Tính lim x→+∞ x4 + 1 x→−∞ x4 + 1 Phúc Bài làm - 0789
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x − 1)2 (7x + 2)2 (x − 1)2 (7x + 2)2 Vñ duå 11. Tính lim Baâi têåp 11. Tính lim x→+∞ (2x + 1)4 x→−∞ (2x + 1)4 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ 4x2 + 1 4x2 + 1 Vñ duå 12. Tính lim Baâi têåp 12. Tính lim x→+∞ 3x − 1 x→−∞ 3x − 1 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . acebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ x2 − 3x + 2x x2 − 3x + 2x Vñ duå 13. Tính lim Baâi têåp 13. Tính lim x→+∞ 3x − 1 x→−∞ 3x − 1 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phûúng phaáp giaãi nhanh f (x)
Giới hạn của hàm phân thức lim
nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì x→∞ g (x) f (x)
Hệ số bậc cao nhất của tử lim = x→∞ g (x)
Hệ số bậc cao nhất của mẫu Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 24
Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu 3x + 2 x + 2 Vñ duå 14. Tính lim Baâi têåp 14. Tính lim x→+∞ 2x2 + x + 1 x→−∞ x2 + 2x + 1 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 + 2x + 1 x2 + 3x Thanh Vñ duå 15. Tính lim Baâi têåp 15. Tính lim x→+∞ x3 + 3x2 + x x→−∞ x3 + 2x + 1 Phúc Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 0789
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x3 + 2x + 1 x3 + 3x Vñ duå 16. Tính lim Baâi têåp 16. Tính lim x→+∞ x4 + 3x2 + x x→−∞ x4 + 2x + 1 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 25 Phûúng phaáp giaãi nhanh f (x)
Giới hạn của hàm phân thức lim
nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì x→∞ g (x) f (x) lim = 0 x→∞ g (x)
Bậc tử lớn hơn bậc mẫu x3 − 2x2 − 2 x3 − 2x2 − 2 Vñ duå 17. Tính lim Baâi têåp 17. Tính lim x→+∞ 3x2 − x − 1 x→−∞ 3x2 − x − 1 https://www Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f acebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x4 − 3x2 + 1 x4 − 3x2 + 1 Vñ duå 18. Tính lim Baâi têåp 18. Tính lim x→+∞ −x3 + 2x − 2 x→−∞ −x3 + 2x − 2 thanhphuct Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x4 − 3x2 + 1 x4 − 3x2 + 1 Vñ duå 19. Tính lim Baâi têåp 19. Tính lim x→+∞ −x3 + 2x − 2 x→−∞ −x3 + 2x − 2 Bài làm Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 26
Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3x2 − x + 3 2x3 − 2x + 3 Vñ duå 20. Tính lim Baâi têåp 20. Tính lim x→−∞ x − 4 x→−∞ 5 − x Cao Bài làm Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0789
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 36 (2x − 3)2 (4x + 7)3 (2x − 3)2 (4x + 7)3 Vñ duå 21. Tính lim Baâi têåp 21. Tính lim
x→+∞ (3x − 4)2 (5x2 − 1)
x→−∞ (3x − 4)2 (5x2 − 1) Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 27 Phûúng phaáp giaãi nhanh f (x)
Giới hạn của hàm phân thức lim
nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì x→∞ g (x) f (x) lim = ∞ x→∞ g (x)
Dạng 3.3. Hàm số có giới hạn vô định ∞ − ∞
Tính lim f (x) − g (x) khi lim = ∞ và lim = ∞ x→∞ x→∞ x→∞
Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng
một phân thức (nếu chưa nhiều phân thức). https://www √ √ Vñ duå 22. Ä ä Ä ä Tính lim x2 + x − x Baâi têåp 22. Tính lim x2 + x − x x→−∞ x→+∞ Bài làm .f acebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Vñ duå 23. Ä ä Ä ä Tính lim x2 − 3x + 2 − x Baâi têåp 23. Tính lim x2 − 3x + 2 − x x→+∞ x→−∞ eacher Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Vñ duå 24. Ä ä Ä ä Tính lim x2 − 2x + 4 − x Baâi têåp 24. Tính lim x2 − 2x + 4 − x x→+∞ x→−∞ Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 28
Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ √ √ Vñ duå 25. Ä ä Ä ä Tính lim x + 2 − x − 2 Baâi têåp 25. Tính lim x + 2 − x − 2 x→+∞ x→−∞ Cao Bài làm Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 0789
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Vñ duå 26. Tính Baâi têåp 26. Tính √ √ √ √ Ä ä Ä ä lim x2 − 4x + 3 − x2 − 3x + 2 lim x2 − 4x + 3 − x2 − 3x + 2 x→+∞ x→−∞ Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 29 Vñ duå 27. Tính Baâi têåp 27. Tính √ √ Ä ä Ä ä lim 2x − 1 − 4x2 − 4x − 3 lim 2x − 1 − 4x2 − 4x − 3 x→+∞ x→−∞ Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f Vñ duå 28. Tính Baâi têåp 28. Tính acebook.com/cao √ √ Ä ä Ä ä lim 3x + 2 − 9x2 + 12x − 3 lim 3x + 2 − 9x2 + 12x − 3 x→+∞ x→−∞ Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Vñ duå 29. Ä ä Ä ä Tính lim 3 x3 + x2 − x Baâi têåp 29. Tính lim 3 x3 + x2 − x x→+∞ x→−∞ Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 30
Bài 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 3.4. Hàm số có giới hạn vô định 0 · ∞
Tính giới hạn lim u (x) v (x) khi lim u (x) = 0 và lim v (x) = ±∞ x→x0 x→x0 x→x0 u (x) 0
Ta có thể biến đổi lim u (x) v (x) = lim để đưa về dạng hoặc lim u (x) v (x) = x→x 1 0 x→x0 0 x→∞ v (x) u (x) ∞ lim để đưa về dạng . x→∞ 1 ∞ v (x)
Tuy nhiên, trong nhiều bài tập, ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong/ra
ngoài dấu căn, quy đồng mẫu thức . . . là đưa về dạng quen thuộc. Cao Ç … å Ç … å Thanh 2x + 1 4x + 1 Vñ duå 30. Tính lim x Baâi têåp 30. Tính lim x x→+∞ 3x3 + x2 + 2 x→+∞ 2x3 + x2 + 2 Phúc Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 0789
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 31. Tính Baâi têåp 31. Tính ñ … ô x − 1 ñ … ô x − 2 lim (2 + x) lim (3 + x) x→+∞ x4 + x2 + 1 n→+∞ x4 + x2 + 1 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 32. Tính Baâi têåp 32. Tính ñ … ô 16x + 1 ñ … ô 4x − 3 lim (1 − 5x) lim (1 + x) n→+∞ x3 − x + 2 x→−∞ x3 + 5x − 4 Bài làm https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .facebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ thanhphuct 4.1. Định nghĩa Định nghĩa 4.4.1.
Cho hàm số y = f (x) xác định trên (x0; b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f (x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x eacher
0 < xn < b và xn → x0, ta có f (xn) → L. Kí hiệu: lim f (x) = L. x→x+ 0
Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; x0).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f (x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất
kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f (xn) → L. Kí hiệu: lim f (x) = L. x→x− 0 4.2. Định lí
Định lý 4.4.1. lim = L khi và chỉ khi lim = lim = L. x→x0 x→x+ x→x− 0 0 4.3. Bài tập Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 32
Bài 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ
Dạng 4.1. Tìm giới hạn một bên của hàm số
Khi hàm số không xác định tại x0 thì ta áp dụng các quy tắc về giới hạn vô cực. Đó là các quy L L
tắc áp dụng cho các dạng L · ∞; ; ∞ 0 Chú ý. x → x+ ⇒ x > x 0 0 ⇒ x − x0 > 0 x → x− ⇒ x < x 0 0 ⇒ x − x0 < 0 x2 − 2x 3x − 1 Vñ duå 1. Tính lim Baâi têåp 1. Tính lim x→2− 3x + 1 x→2+ 2 Bài làm Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 2x − 3 2x − 3 0789 Vñ duå 2. Tính lim Baâi têåp 2. Tính lim x→1+ x − 1 x→3+ x − 3 36 Bài làm 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x − 15 x − 15 Vñ duå 3. Tính lim Baâi têåp 3. Tính lim x→2+ x − 2 x→3+ x − 3 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 − x 2 − x Vñ duå 4. Tính lim Baâi têåp 4. Tính lim x→3− 3 − x x→4− 4 − x Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . acebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x + 1 x + 1 Vñ duå 5. Tính lim Baâi têåp 5. Tính lim x→2+ 2x − 4 x→1+ 2x − 2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x − 5 x − 5 Vñ duå 6. Tính lim Baâi têåp 6. Tính lim x→4− (x − 4)2 x→3− (x − 3)2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 34
Bài 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3x − 8 3x − 8 Vñ duå 7. Tính lim Baâi têåp 7. Tính lim x→3− (3 − x)2 x→4− (4 − x)2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc 2x2 + 5x − 3 2x2 + 5x − 3 Vñ duå 8. Tính lim Baâi têåp 8. Tính lim x→(−3)+ (x + 3)2 x→(−3)− (x + 3)2 - 0789 Bài làm 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å 1 1 ã Å 1 1 ã Vñ duå 9. Tính lim − Baâi têåp 9. Tính lim − x→2− x − 2 x2 − 4 x→2+ x − 2 x2 − 4 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . https://www |2 − x| |2 − x| Vñ duå 10. Tính lim Baâi têåp 10. Tính lim x→2− 2x2 − 5x + 2 x→2+ 2x2 − 5x + 2 Bài làm .f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . acebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |x − 3| |x − 3| Vñ duå 11. Tính lim Baâi têåp 11. Tính lim x→3+ 5x − 15 x→3− 5x − 15 thanhphuct Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phûúng phaáp giaãi nhanh L Dạng : Giới hạn là 0. ∞ L Dạng L · ∞ và : Giới hạn là ∞. 0
Dạng 4.2. Giới hạn của hàm số tại một điểm Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 36
Bài 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ |3x − 9| |2x − 8| Vñ duå 12. Tính lim Baâi têåp 12. Tính lim x→3 x − 3 x→4 x − 4 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |x − 2| |x − 3| Vñ duå 13. Tính lim Baâi têåp 13. Tính lim x→2 x − 2 x→3 x − 3 Phúc Bài làm - 0789
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vñ duå 14. x2 − 9 x2 − 16 Tính lim Baâi têåp 14. Tính lim x→3 x − 3 x→4 x − 4 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ x2 − 4x + 4 x2 − 6x + 9 Vñ duå 15. Tính lim Baâi têåp 15. Tính lim x→2 x − 2 x→3 x − 3 https://www Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . acebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x − 5 2x − 5 Vñ duå 16. Tính lim Baâi têåp 16. Tính lim x→4 x − 4 x→5 x − 5 eacher Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 38
Bài 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ Vñ duå 17. Cho hàm số Baâi têåp 17. Cho hàm số (  5x4 − 6x2 − x khi x ≥ 1 x − 3 khi x < 1 f (x) =  √ x3 − 3x khi x < 1 f (x) = 1 − 7x2 + 2 khi x ≥ 1 Tính lim f (x). x→1 Tính lim f (x). x→1 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - Vñ duå 18. Cho hàm số Baâi têåp 18. Cho hàm số   0789 x2 − 3x + 2 4 − x2   khi x > 1  khi x < 2   f (x) = x2 − 1 f (x) = x − 2 x  1 − 2x khi x > 2 36  − khi x < 1   2 Tính lim f (x). 39 Tính lim f (x). x→2 x→1 36 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 39
Dạng 4.3. Tìm tham số m để hàm số có giới hạn tại một điểm cho trước
Vñ duå 19. Tìm m để hàm số
Baâi têåp 19. Tìm m để hàm số  x3 − 1  x3 + 1   khi x < 1   khi x < −1 f (x) = x − 1 f (x) = x + 1  mx + 2 khi x ≤ 1 
mx2 − x + m2 khi x ≥ −1 có giới hạn tại x = 1.
có giới hạn tại x = −1. Bài làm https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f acebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC thanhphuct
5.1. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa 4.5.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K.
Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f (x) = f (x0) x→x0 eacher
Hàm số y = f (x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
5.2. Hàm số liên tục trên một khoảng
Định nghĩa 4.5.2. Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại
mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và
lim f (x) = f (a) , lim f (x) = f (b) x→a+ x→b−
Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng được định nghĩa một cách tương tự. Nhận xét: Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 40
Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền ”trên a y
khoảng đó (tham khảo hình vẽ bên). b O x 2
Hình vẽ bên cho ví dụ về đồ thị của một hàm số không liên tục y trên khoảng (a; b). a b O x Cao
5.3. Một số định lí cơ bản Định lý 4.5.1. Thanh 1
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. 2
Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của Phúc chúng. -
Định lý 4.5.2. Giả sử y = f (x), y = g (x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó: 0789 1
Các hàm số y = f (x) + g (x), y = f (x) − g (x) và y = f (x) · g (x) liên tục tại x0; f (x) 2 Hàm số
liên tục tại x0 nếu g (x0) ̸= 0. 36 g (x) 39 Định lý 4.5.3. 36
Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) · f (b) < 0, thì tồn tại y f (b)
ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0 a c b O x f (a) 5.4. Bài tập
Dạng 5.1. Xét tính liên tục của hàm số
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Để xét tính liên tục của hàm số
y = f (x) tại x0 ta làm như sau: Tính f (x0); Tính lim f (x). x→x0
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 41
Nếu lim f (x) = f (x0) thì kết luận hàm số liên tục tại x0. x→x0
Nếu lim f (x) không tồn tại hoặc lim f (x) ̸= f (x0). x→x0 x→x0
Vñ duå 1. Xét tính liên tục của hàm số
Baâi têåp 1. Xét tính liên tục của hàm số √ √ f (x) = x f (x) = x + 1 tại x0 = −3. tại x0 = −2. Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . acebook.com/cao
Vñ duå 2. Xét tính liên tục của hàm số
Baâi têåp 2. Xét tính liên tục của hàm số √ √ f (x) = x2 + 2 f (x) = x2 + 3 tại x0 = 2. tại x0 = 3. Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eacher
Vñ duå 3. Xét tính liên tục của hàm số
Baâi têåp 3. Xét tính liên tục của hàm số  x2 − 3x + 2  x2 + 3x + 2    khi x ̸= 2  khi x ̸= −1 f (x) = x − 2 f (x) = −x − 1   4x − 7 khi x = 2 x2 + 2x khi x = −1 tại điểm x0 = 2. tại điểm x0 = −1. Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 42
Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vñ duå 4. Xét tính liên tục của hàm số
Baâi têåp 4. Xét tính liên tục của hàm số √ √  x + 3 − 2  x + 3 − 2    khi x ̸= 1  khi x ̸= 1   f (x) = x − 1 x − 1 1 1    khi x = 1   khi x = 1 3  4 tại điểm x0 = 1. tại điểm x0 = 1. Cao Bài làm Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0789
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Vñ duå 5. Xét tính liên tục của hàm số
Baâi têåp 5. Xét tính liên tục của hàm số   √ x2 − 3x + 3 khi x ≤ 2   2x + 3 − 1  √  khi x > −1 f (x) =  1 − 2x − 3  x + 1 √  khi x > 2  2 − x 3 − x    khi x ≤ −1 tại điểm x  2 0 = 2. tại x0 = −1. Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vñ duå 6. Xét tính liên tục của hàm số
Baâi têåp 6. Xét tính liên tục của hàm số  √ x2 − 9  x2 − 3 − 1    √ khi x > 3  khi x ̸= 2 f (x) = x + 1 − 2 x − 2   2x + 12 khi x ≤ 3 2x − 2 khi x = 2 tại điểm x0 = 3. tại điểm x0 = 2. https://www Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . acebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vñ duå 7. Xét tính liên tục của hàm số
Baâi têåp 7. Xét tính liên tục của hàm số  x2 − 3x − 4   x2 + 2x − 3   √ khi x > 4  thanhphuct khi x > 1 f (x) = x + 5 − 3   x2 + x − 2 √   − 4x + 46 khi x ≤ 4 x + 1 + 7    khi x ≤ 1 tại điểm x  3 0 = 4. tại điểm x0 = 1. eacher Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 44
Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Dạng 5.2. Tìm tham số để hàm số liên tục
Vñ duå 8. Tìm m để hàm số
Baâi têåp 8. Tìm m để hàm số  √ √ x3 − 5x2 + 7x − 3  1 + x − 1 − x   khi x ̸= 1   khi x ̸= 0 f (x) = x2 − 1  f (x) = x  4 − x 2m + 1 khi x = 1   − 5m + khi x = 0  x + 2 tại điểm x0 = 1. tại điểm x0 = 0. Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 0789
Vñ duå 9. Tìm m để hàm số
Baâi têåp 9. Tìm m để hàm số √  √ 3  6 + x − 2 3 12x − 4 − 2   khi x ̸= 2   khi x ̸= 1 36 f (x) = x − 2 f (x) = x − 1 √  2x − m khi x = 2  39  m2x2 + 8 + 2mx khi x = 1 liên tục tại điểm x 36 0 = 2.
liên tục tại điểm x0 = 1. Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 45
Dạng 5.3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng
Một phương pháp chứng minh phương trifnhh f (x) = 0 có nghiệm trên khoảng (a; b):
Chứng minh hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b].
Chứng minh f (a) · f (b) < 0.
Từ đó kết luận phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b).
Vñ duå 10. Chứng minh rằng phương trình
Baâi têåp 10. Chứng minh rằng phương trình
x5 + x − 1 = 0 có nghiệm trên khoảng (−1; 1).
x4 + x3 − 3x2 + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc (−1; 1). https://www Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .facebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thanhphuct ÔN TẬP CHƯƠNG Baâi têåp trùæc nghiïåm 3n2 + 2n + 5
Câu 1. Tính lim 7n2 + n − 8 eacher 3 5 A . B +∞. C − . D 0. 7 8
Câu 2. Tính lim −3n3 + 5n − 2 A −3. B +∞. C −∞. D 3. 3n + 4 · 7n
Câu 3. Tính lim 3 · 7n − 2 1 4 A 1. B . C . D −2. √ 3 3 x + 1 − 2 Câu 4. Tính lim x→3 x − 3 1 A 0. B +∞. C 4. D . 4
Câu 5. Tính lim x3 + 4x2 + 10 x→0 A +∞. B 0. C 10. D 15. 2x + 1 Câu 6. Tính lim x→2− x − 2 Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 46
Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC A 2. B −∞. C +∞. D 0. 2x2 + 3x + 1 Câu 7. Tính lim x→−1 x2 − 1 1 A . B 2. C −∞. D +∞. 2 Câu 8. Tính lim −2x3 + 3x − 4 x→−∞ A −∞. B +∞. C −2. D 2. 3x2 − 5x + 1 Câu 9. Tính lim x→+∞ x2 − 2 A −∞. B +∞. C 3. D 0. 5 Câu 10. Tính lim x→−∞ 3x + 2 5 A 0. B 1. C . D +∞. 3 1 Câu 11. Tính lim n + 2020 A 1. B 2. C 0. D 3. Cao x4 + 7 Câu 12. Tính lim x→+∞ x4 + 1 Thanh A −1. B 1. C 7. D +∞. 2n2 + 14 (n + 2)9 Câu 13. Tính lim n17 + 1 Phúc A −∞. B +∞. C 16. D 1. √2x + 3 − 3 Câu 14. Tính lim x→3 x2 − 4x + 3 - 1 A . B 0. C +∞. D −∞. 0789 6 −2x + 1 Câu 15. Tính lim x→3− x − 3 36 A −∞. B 2. C 0. D +∞. 2n2 + 3n + 1 39
Câu 16. Tính lim 3n2 − n + 2 36 2 A 1. B +∞. C . D −∞. 3 3 · 2n − 3n
Câu 17. Tính lim 2 · 2n + 3 · 3n 1 A +∞. B − . C −∞. D 1. 3  x2 − 4   khi x ̸= 2 Câu 18. Cho hàm số f (x) = x − 2 Hàm số đã cho liên  m khi x = 2.
tục tại x0 = 2 khi m bằng A 1. B −4. C −1. D 4. x3 + 2x2 + 1 Câu 19. Tính lim x→−1 2x5 + 1 1 1 A . B −2. C 2. D − . 2 2 4x + 1 Câu 20. Tính lim x→1 5x − 1 4 5 A . B . C 0. D −1. 5 4
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 47 x2 − 4x + 3 Câu 21. Tính lim x→3 x2 − 9 1 1 A . B − . C −1. D 1. 3 3 √ Ä ä Câu 22. Tính lim x2 + x + 10 − x x→+∞ 1 A +∞. B −∞. C 0. D . 2
Câu 23. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau A lim x2 = +∞. B lim x3 = −∞. x→−∞ x→−∞ C lim 2 · x4 = +∞. D lim x3 = +∞. x→−∞ x→−∞
Câu 24. Cho lim f (x) = 2; lim g (x) = −∞ hỏi lim f (x) · g (x) x→+∞ x→+∞ x→+∞
bằng bao nhiêu trong các giá trị sau https://www A +∞. B 300. C 20. D −∞. 2x − 3 Câu 25. Cho hàm số f (x) =
, các mệnh đề sau, mệnh đề nào x − 1 sai ?
A Hàm số liên tục tại x = 3.
B Hàm số liên tục tại x = 2.
C Hàm số liên tục tại x = 1.
D Hàm số liên tục tại x = 4. .f acebook.com/cao 17
Câu 26. Dãy số nào sau có giới hạn bằng ? 3 n2 − 2n 1 − 2n A un = . B un = . 5n + 3n2 5n + 3n2 1 − 2n2 17n2 − 2 C un = . D un = . 5n + 3n2 5n + 3n2 n2 − 1
Câu 27. Giới hạn của dãy số sau đây bằng bao nhiêu lim n − 2 A 1. B −1. C 0. D +∞.
Câu 28. Giới hạn của dãy số sau đây bằng bao nhiêu thanhphuct 2n+1 − 3 · 5n + 3 lim 3 · 2n + 7 · 4n A −1. B 1. C −∞. D +∞.
Câu 29. Giới hạn của hàm số sau đây bằng bao nhiêu x2 + 2x − 15 lim x→3 x − 3 1 eacher A ∞. B 2. C . D 8. 8
Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên R ? 3x + 5 A f (x) = x2 − 3x. B f (x) = . x − 1 x2 1 C f (x) = . D f (x) = . x + 3 x
Câu 31. Cho hàm số f (x) = x5 + x − 1. Xét phương trình f (x) = 0 (1)
, trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ?
A (1) có nghiệm trên khoảng (−1; 1).
B (1) có nghiệm trên khoảng (0; 1). C (1) có nghiệm trên R. D Vô nghiệm.
Câu 32. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 48
Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC n2 − n + 1 n2 − 3n + 2 A lim . B lim . 2n − 1 n2 + n n3 + 2n − 1 2n2 − 3n C lim . D lim . n − 2n3 n3 + 3n
Câu 33. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ? 2n + 1 2n + 3 A lim . B lim . 3 · 2n − 3n 1 − 2n 1 − n3 (2n + 1) (n − 3)2 C lim . D lim . n2 + 2n n − 2n3
Câu 34. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ? n3 − 2n A lim 2n − 3n2 = −∞. B lim = +∞. 1 − 3n2 1 − n3 n2 − 3n3 3 C lim = −∞. D lim = − . n2 + 2n 2n3 + 5n − 2 2
Câu 35. Với k là số nguyên dương, c là hằng số. Kết quả của giới hạn c lim là x→+∞ xk Cao A xk. 0 B +∞. C 0. D −∞.
Câu 36. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là −1 ? √1 − x − 1 x − 1 Thanh A lim . B lim √ . x→0 x x→−∞ x2 − 1 √ x + 1 − x + 3 2x − 1 C lim . D lim . x→1 x2 − 1 x→1 (x − 1)2 Phúc 1
Câu 37. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là − ? 2 2n + 3 n2 + n - A lim . B lim . 2 − 3n −2n − n2 0789 n3 n2 − n3 C lim . D lim . n2 + 3 2n3 + 1
Câu 38. Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn lim xk là 36 x→x0 A +∞. B −∞. C 0. D xk. 0 39
Câu 39. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng −1 ? 36 2x − 3 x2 − 4 A lim √ . B lim . x→−∞ x2 − 1 − x p x→2− (x2 + 1) (2 − x) √ x3 − 1 8 + 2x − 2 C lim √ . D lim √ . x→1+ x2 − 1 x→(−2)+ x + 2
Câu 40. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng +∞ ? −3x + 4 −3x + 4 A lim . B lim . x→2+ x − 2 x→2− x − 2 −3x + 4 −3x + 4 C lim . D lim . x→+∞ x − 2 x→−∞ x − 2
Câu 41. Với k là số nguyên dương chẵn. Kết quả của giới hạn lim xk x→−∞ là A xk. 0 B 0. C +∞. D −∞.
Câu 42. Giới hạn của hàm số nào dưới đây có kết quả bằng 1 ? x2 + 4x + 3 x2 + 3x + 2 A lim . B lim . x→−1 x + 1 x→−1 x + 1 x2 + 3x + 2 x2 + 3x + 2 C lim . D lim . x→−1 1 − x x→−2 x + 2
Câu 43. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 49 √ √ 5 − x − 2 3 x − 3x − 2 1 A lim √ = . B lim = − . x→1 2 − x − 1 2 x→2 x2 − 4 16 √ √ √ √ 3 x − x 1 x + 1 − 3 x + 1 1 C lim = − . D lim = − . x→1 x2 − 1 12 x→0 x 6 ñ ô 1 1 1 Câu 44. Tính lim + + · · · + 1 · 2 2 · 3 n (n + 1) 3 A 1. B 0. C . D 2. 3 1 1 1 Câu 45. Tính tổng S = 1 + + + + · · · 3 9 27 1 3 A . B 1. C . D 2. 2 2 √
Câu 46. Tìm m để hàm số f (x) = x +
x − m2 liên tục tại x = 4. https://www A −2 ≤ m ≤ 2. B −2 < m < 2. C m ≥ 2. D m ≤ −2.  x2 − ax   khi x ̸= 0 Câu 47. Cho hàm số f (x) = x . Tìm a để hàm số  a2 − 2 khi x = 0 liên tục trên R. .f acebook.com/cao A a = −1; a = 2. B a = −1; a = −2. C a = 1; a = −2. D a = 1; a = 2. √ ( x − 2 + 3 khi x ≥ 2 Câu 48. Cho hàm số f (x) = . Chọn kết luận 5 − x khi x < 2 sai.
A f (x) liên tục tại x = 2.
B f (x) liên tục trên [2; +∞).
C f (x) không liên tục trên R.
D f (x) liên tục trên (−∞; 2).  x3 − 1   khi x ̸= 1 Câu 49. Cho hàm số f (x) = 2x − 2 . Tìm m để hàm số bị thanhphuct  1 + m khi x = 1 gián đoạn tại x = 1. 1 3 1 A m ̸= . B m ̸= . C m ̸= 1. D m = . 2 2 2 m2 + 1 x3 − 4x2 + 5 Câu 50. Biết lim
= L, (m ∈ R). Tìm m để L > x→+∞ 2x3 + m eacher 1. A m > 1. B −1 < m < 1. C m > 1 hoặc m < −1. D m > −1. Baâi têåp tûå luêån n2 − 2n + 1
Baâi têåp 11.Tính lim 2n3 − n + 3 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 50
Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Àaáp söë: 2 1 − 3n
Baâi têåp 12.Tính lim 2n + 4 · 3n Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc 1 Àaáp söë: −4 - x2 − 3x + 2 0789 Baâi têåp 13.Tính lim x − 2 36 Bài làm 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Àaáp söë: 1 2x3 − x2 − 1
Baâi têåp 14.Tính lim x3 − 4x2 + 5x − 2 Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Chương 4. GIỚI HẠN Cao Thanh Phuác 51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Àaáp söë: 2 √ Baâi têåp 15. Ä ä Tính lim x2 + x + 3 − x x→+∞ Bài làm https://www
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .facebook.com/cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Àaáp söë: 2 thanhphuct
Baâi têåp 16.Chứng minh rằng phương trình 4x4 + 2x2 − x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (−1; 1). Bài làm eacher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nerv Ner er v put off of till tomorr t o omorr w o what you y can do today! t 52
Bài 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC  x2 − 7x + 10   khi x ̸= 2
Baâi têåp 17.Xác định các giá trị của tham số m để hàm số f (x) = x − 2 liên   − 2m − 1 khi x = 2 tục tại x = 2. Bài làm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cao
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thanh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phúc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 0789 Àaáp söë: m = 1 36 39 ĐÁP ÁN BÀI 5 36 1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.A 8.B 9.C 10.A 11.C 12.B 13.C 14.A 15.D 16.C 17.B 18.D 19.B 20.B 21.B 22.D 23.D 24.D 25.C 26.D 27.D 28.C 29.C 30.A 31.D 32.D 33.A 34.B 35.C 36.B 37.D 38.D 39.A 40.B 41.C 42.B 43.C 44.A 45.C 46.C 47.C 48.C 49.A 50.C
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CÙNG THẦY CAO THANH PHÚC
Document Outline

GIỚI HẠN
- GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
  - Giới hạn hữu hạn của dãy số
    - Định nghĩa
    - Một vài giới hạn đặc biệt
  - Định lý về giới hạn hữu hạn
  - Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
  - Giới hạn vô cực
    - Định nghĩa
    - Một vài giới hạn đặc biệt
    - Định lí
  - Bài tập
- GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
  - Định nghĩa
  - Định lí
  - Bài tập
- GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
  - Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
  - Giới hạn vô cực của hàm số
    - Giới hạn vô cực
    - Một vài giới hạn đặc biệt
  - Bài tập
- GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ
  - Định nghĩa
  - Định lí
  - Bài tập
- HÀM SỐ LIÊN TỤC
  - Hàm số liên tục tại một điểm
  - Hàm số liên tục trên một khoảng
  - Một số định lí cơ bản
  - Bài tập
- ÔN TẬP CHƯƠNG

Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Cao Thanh Phúc

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài tập cuối chương II - Kết Nối Tri Thức

Các dạng toán về giới hạn của dãy số (giải chi tiết)