Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?
1. Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên R
Câu hỏi: Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên R A. y = B. y = x3 + 4x2 + 3x - 1 C. y = x4 - 2x2 - 1 D.y = x3- x2+ 3x+1 Đáp án:
- Tập xác định của hàm số y= là R\{−2}. \−2. Do đó loại A.
- Hàm trùng phương luôn có khoảng đồng biến, nghịch biến nên loại C.
- Xét hàm y = x3 + 4x2 + 3x – 1 => y' = 3x2 + 8x + 3
Đạo hàm của hàm số không lớn hơn 0 với mọi x . Do đó loại B.
- Xét hàm: y=1/3x3−1/2x2+3x+1
=> y'=x2−x+3>0 với mọi x
Suy ra hàm số đồng biến trên . Do đó D đúng Chọn D.
2. Lý thuyết liên quan đến hàm số luôn đồng biến trên R
Trong toán học, hàm số đóng một vai trò quan trọng trong việc mô tả các mối quan hệ số học và
biến đổi giữa các biến số. Trong loạt các hàm số này, một khía cạnh quan trọng mà ta cần xem
xét là tính chất biến thiên của hàm số trên một khoảng xác định. Chúng ta sẽ tìm hiểu về các
hàm số đồng biến trên một khoảng nhất định và lý do tại sao điều này quan trọng.
Một hàm số được gọi là đồng biến trên R nếu giá trị của hàm số tăng khi giá trị của biến đổi
tăng. Nghĩa là nếu x1 và x2 là hai số bất kỳ thuộc tập R (tập số thực), và x1 < x2, thì f(x1) < f(x2).
Một hàm số đồng biến là một loại hàm số mà khi giá trị của biến số độc lập tăng, thì giá trị của
hàm số cũng tăng theo cùng một hướng. Tức là, nếu hai giá trị của biến số độc lập có mối quan
hệ sao cho giá trị thứ nhất nhỏ hơn giá trị thứ hai, thì giá trị của hàm số tại giá trị thứ nhất cũng
nhỏ hơn hoặc bằng giá trị của hàm số tại giá trị thứ hai. Điều này thể hiện sự biến thiên cùng
hướng giữa biến số độc lập và giá trị của hàm số
Ví dụ, hàm số y = 2x là một hàm số đồng biến vì khi x tăng, y cũng tăng. Nếu x1 < x2, thì
y(x1) y(x2), trong đó y(x1) và y(x2) lần lượt là giá trị của hàm số tại x1 và x2.
Để xác định hàm số nào luôn đồng biến trên toàn miền số thực (R), chúng ta cần xem xét đạo
hàm của hàm số đó. Nếu đạo hàm luôn dương trên R hoặc luôn âm trên R, thì hàm số đó được
coi là hàm số đồng biến trên R. Ngoài ra, Hàm số bậc nhất (hàm số tuyến tính) là hàm số đồng
biến trên toàn miền xác định của nó. Hàm số bậc nhất có dạng f(x) = ax + b, với a và b là các
hằng số. Nó có đồ thị là một đường thẳng và có tính chất đồng biến. Hàm số bậc nhất f(x) = ax +
b là một hàm số đồng biến trên toàn miền và không bị chặn khi a 0. Trong trường hợp này,
hàm số sẽ tăng không giới hạn khi biến đổi tăng hoặc giảm không giới hạn khi biến đổi giảm
Hãy xem xét ví dụ về hàm số y = x3 - 3x. Để xác định dấu của đạo hàm trên R, chúng ta cần giải
phương trình 3x^2 - 3 = 0. Phương trình này có hai nghiệm là x = 1 và x = -1. Sau đó, ta có thể vẽ
bảng dấu của đạo hàm để xác định dấu của nó trên các khoảng giá trị của x như sau: x - -1 1 y\' - 0 -
Ta thấy đạo hàm của hàm số này âm trên khoảng (-
, -1) và dương trên khoảng (1, ). Do đó,
hàm số y = x3 - 3x đồng biến trên khoảng (- , -1) và khoảng (1, ).
Hàm bậc hai là một hàm có dạng y = x^3. Để chứng minh hàm số bình phương luôn đồng biến
và nghịch biến, ta xét đạo hàm của hàm số này trên một khoảng xác định bất kỳ: y\' = 3x^2
Đạo hàm này là hàm bậc hai, có hệ số 3 > 0 nên luôn dương trên các khoảng cho trước, tức là
hàm bậc hai là hàm đồng biến trên các khoảng này. Tương tự, để chứng minh rằng một hàm
bình phương luôn có một khoảng nghịch đảo, chỉ cần chứng minh rằng đạo hàm của hàm này
sẽ luôn âm trong một khoảng xác định. Vì đạo hàm 3x^2 luôn dương nên hàm bậc hai sẽ
luôn nghịch biến trên bất kỳ khoảng xác định nào khác. Vậy hàm số bậc hai luôn có khoảng
đồng biến và nghịch biến.
Để xác định tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
1.Sử dụng định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng [a, b] nếu với mọi x1, x2
trên khoảng [a, b] mà x1 < x2 > f(x2).
2. Sử dụng đạo hàm: nếu đạo hàm của hàm f(x) trên khoảng nào dương thì hàm số đồng biến
trên khoảng này, nếu đạo hàm âm thì hàm số nghịch biến trên khoảng này.
3. Vẽ đồ thị của hàm số: hàm số đồng biến trên một khoảng khi đồ thị của nó tăng trên khoảng
đó và nghịch biến khi đồ thị của nó giảm trên khoảng đó.
Ví dụ: Hàm số y = x3 4x2 3x – 1 dương hay âm trên khoảng nào?
- Bằng đạo hàm: Đạo hàm của hàm số là y\' = 3x2 8x 3. Tìm nghiệm của phương trình y\' = 0 ta
được x1 = -1/3 và x2 = -1. Trên khoảng (-
, -1) ta có y\' < 0> 0 nên hàm số đồng biến trên
khoảng này. Trên khoảng (-1/3,
) ta có y\' và lt; 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
- Biểu diễn đồ thị: Đồ thị hàm số y = x3 4x2 3x–1 có dạng là một đường cong. Với khoảng (- , -
1) thì đồ thị của hàm số giảm. Với khoảng (-1, -1/3), đồ thị tăng dần. Với khoảng (-1/3, ∞) đồ thị
lại giảm. Do đó, kết quả giống như phân tích đạo hàm. Tóm lại, để xác định tính chất đồng biến
và nghịch biến của hàm số, ta có thể dùng định nghĩa, đạo hàm hoặc vẽ đồ thị.
3. Các dạng bài tập về hàm số luôn đồng biến trên R
Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số Cho hàm số y = f(x)
f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.
f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = -2x3 + 3x2 – 3x và 0 a < b. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên ℝ B. f (a) > f (b) C. f (b) < 0 D. f (a) < f (b)
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m
Ví dụ: Hàm số y = x3 – 3x2 + (m – 2) x + 1 luôn đồng biến khi:
Ta có: y’ = 3x2 – 6x + m – 2
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi y’ = 3x2 – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ <=>
0 <=>15 – 3m 0 <=> m 5
Dạng 3: Xét tính đơn điêu hàm số trùng phương
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x) = 0. Tìm các điểm xi (i= 1, 2,… n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = -x4 + x2 – 2
Hàm số xác định với mọi x ∊
y’ = -4x3 + 2x = 2x (-2x2 + 1)
Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -√2/2 hoặc x = √2/2
Các bài tập mẫu khác
Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3+2(m-1)x2+3x-2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R. Hướng dẫn giải:
Để y=x3+2(m-1)x2+3x-2 đồng biến trên R thì (m-1)²-3.3 0⇔-3 m-1 3⇔-2 m 4.
Các bạn cần lưu ý với hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần
xét trường hợp hàm số suy biến.
Ví dụ 2: Cho hàm số y=mx3-mx2-(m+4)x+2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R. Hướng dẫn giải:
Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m=0, hàm số trở thành y=-x+2. Đây là hàm bậc nhất
nghịch biến trên R. Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m 0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m<0
đồng thời m2+3m(m+4)≤0. Giải các điều kiện ra ta được -3 m<0.
Kết hợp 2 trường hợp ta được -3 m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.