Hệ số góc là gì? Cách tính hệ số góc và các bài tập ví dụ có đáp án
1. Lý thuyết hệ số góc
Ta có điểm A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục hoành Ox và có điểm M là một
điểm thuộc đường thẳng và có tung độ dương. Lúc này ta có: ∠MAx là góc được tạo bởi đường
thẳng y = ax + b với trục hoành Ox.     1. Khi α<90:
- Góc α nhỏ hơn 90 độ, tức là nằm trong góc nhọn.
- Hệ số a là một số dương (a>0). - Hệ số
a bằng tanα, tức là a=tanα. 2. Khi α>90∘:
- Góc α lớn hơn 90 độ, tức là nằm trong góc tù.
- Hệ số a là một số âm (a<0). - Hệ số
a được tính bằng - tan(180∘−α), tức là a=−tan(180∘−α). 3. Góc nhọn và góc tù: Khi a>0, góc α là góc nhọn và luôn nhỏ hơn 90 độ ( 0<α<90∘). Khi a<0, góc
α là góc tù và luôn nhỏ hơn 180 độ (90∘<α<180∘).
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)
Đường thẳng y = ax + b cắt 2 trục tọa độ tại nên + Khi a > 0, ta có:
Từ đó dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi suy ra số đo của ∠MAx. + Khi a < 0 ta có:
Từ đó tìm số đo của góc (180° - ∠MAx), sau đó suy ra ∠MAx.
+ Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.
+ Khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta có thể nói a là hệ số góc của đường thẳng y = ax
2. Cách tính hệ số góc
Hệ số góc của đường thẳng là một chỉ số đo góc của đường thẳng so với trục hoành. Để tính toán
hệ số góc của đường thẳng, ta cần biết hai điểm trên đường thẳng.
Cách tính hệ số góc của đường thẳng như sau:
Bước 1: Xác định hai điểm trên đường thẳng: Đặt tọa độ của hai điểm trên đường thẳng là (x1, y1) và (x2, y2).
Bước 2: Tính hiệu giữa các giá trị tọa độ theo trục hoành và trục tung: Δy = y2 - y1 và Δx = x2 - x1.
Bước 3: Tính hệ số góc của đường thẳng bằng cách chia Δy cho Δx: a = Δy/Δx.
Sau khi tính toán các bước trên, chúng ta sẽ có hệ số góc của đường thẳng, có thể được biểu diễn
bằng một số thập phân hoặc một tỉ lệ phân số. Hệ số góc cho ta thông tin về độ dốc của đường
thẳng. Nếu hệ số góc là dương, đường thẳng sẽ nghiêng lên, trong khi nếu hệ số góc là âm, đường
thẳng sẽ nghiêng xuống.
3. Các dạng bài tập
Dạng bài tập 1: Xác định hoặc tính hệ số góc của đường thẳng Phương pháp giải:
Đường thẳng (d) có dạng y = ax+b (với a≠0) có a là hệ số góc của đường thẳng.
Ví dụ minh họa: Cho đường thẳng (d) có dạng y = 2x – 6. Vậy hệ số góc của đường thẳng (d) là a=2
Dạng bài tập 2: Tính góc được tạo bởi đường thẳng và trục hoành Ox Phương pháp giải:
Ta có góc i được tạo bởi trục hoành Ox và đường thẳng (d) vậy ta có a = tani
Ví dụ minh họa: Góc tạo bởi trục hoành Ox và đường thẳng (d): y = √3x – 5 là i
Vậy tani = a = √3. Vậy góc tạo bởi trục hoành Ox và đường thẳng (d) là 60º
Dạng bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng hoặc tìm tham số m khi biết hệ số góc đã cho Phương pháp giải:
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b (a ≠ 0)
Dựa trên lý thuyết về hệ số góc, từ đó ta có thể tìm được giá trị của a. Sau đó, kết hợp với các sự
kiện khác đã cho của đề bài để tìm ra b
4. Các bài tập ví dụ có đáp án
1. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho (d): y = ax + b . Tìm a, b biết (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d') trong đó (d') có hệ số góc bằng 1. Giải:
Theo bài ta, (d) đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0
(d) song song với (d') và (d') có hệ số góc bằng 1 nên a = 1 Vậy a = 1, b = 0.
Câu 2. Cho hàm số y = x + 2. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox (làm tròn đến phút) Lời giải:
Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2
Cho x = 0 thì y = 2 ta được điểm A (0; 2)
Cho y = 0 thì x = -2 ta được điểm B (-2; 0).
Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(0; 2); B(-2; 0).
Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là α, ta có ∠ABO = α Xét tam giác vuông OAB , ta có
(1 chính là hệ số góc của đường thẳng y = x + 2)
Khi đó số đo góc α là α = 45°
Câu 3: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua B (−1; 1) và tạo với trục Ox một góc bằng 450 A. y = x – 2 B. y = x + 2 C. y = −x – 2 D. y = x + 1 Đáp án: B Giải thích:
Gọi phương trình đường thẳng d: y = ax + b (a ≠≠ 0)
Vì góc tạo bởi đường thẳng d và trục Ox là 45o nên
a = tan45o = 1 ⇒⇒ y = x + b
Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng d ta có −1 + b = 1 ⇒⇒ b = 2 Nên d: y = x + 2
Câu 4: Viết phương trình đường thẳng d biết d tạo với đường thẳng y = 2 (theo chiều dương) một
góc bằng 1350 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4. A. y = x – 4 B. y = −x – 4 C. y = x + 4 D. y = −x + 4 Đáp án: D
Giải thích: Gọi phương trình đường thẳng d: y = ax + b (a ≠≠ 0)
Vì góc tạo bởi đường thẳng d và đường thẳng y = 2 là 135o nên góc tạo bởi đường thẳng y và trục
Ox cũng là 135o (do đường thẳng y = 2 song song với trục Ox) nên a = tan135o = −1 ⇒⇒ y = −x + b
Vì đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ 4 nên b = 4 Từ đó d: y = −x + 4
Câu 5: Cho đường thẳng d: y = mx +3. Tính góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d biết d đi qua điểm A (3; 0) A. 120o B. 150o C. 60o D. 90o Đáp án: B
Giải thích: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được => d : y = Gọi
là góc tạo bởi tia Ox và d Ta có tan 150o Đáp án B
2. Bài tập tự luận
Câu 1. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua điểm A(x1; y1) và có hệ số góc bằng a thì
đường thẳng đó có phương trình là y - y1 = a(x - x1) Lời giải
Đường thẳng d có hệ số góc là a nên có dạng là (d):y = ax + b (d) đi qua điểm A(x1; y1) nên y1 =
ax1 + b ⇒ b = y1 - ax1 Do đó: (d):y = ax + (y1 - ax1 ) hay (d): y - y1 = a(x - x1 ) (đpcm) Bài 2.
a) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1).
b) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; −2).
Lời giải: Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng y = ax + b.
a) Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm A(2; 1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.
Ta có: 1 = a . 2 ⇔⇔ a = 1212.
Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1) là a = 1212.
b) Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm B(1; −2) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.
Ta có: − 2 = a . 1⇔⇔ a = − 2.
Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; − 2) là a = − 2.
Câu 3. Tính toán hệ số góc của đường thẳng khi biết hai điểm trên đường thẳng đó.
Để tính toán hệ số góc của đường thẳng khi biết hai điểm trên đường thẳng đó, ta có thể áp dụng công thức sau đây: a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Trong đó, (x1, y1) và (x2, y2) lần lượt là tọa độ hai điểm trên đường thẳng.
Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm trên đường thẳng.
Bước 2: Sử dụng công thức a = (y2 - y1) / (x2 - x1) để tính hệ số góc của đường thẳng.
Đây là cách tính hệ số góc của đường thẳng khi biết hai điểm trên đường thẳng đó.