Hệ số là gì? Ý nghĩa của hệ số? Tìm hiểu về hệ số trong Toán lớp 7? 1. Hệ số là gì?
Trong toán học, hệ số là một số nhân (nhân tử) trong một vài số hạng của một biểu thức. Một giá
trị mà nó xuất hiện phía trước hoặc xuất hiện trong phép nhân với một giá trị khác và thường là
một số nhưng không phải biến số. Nghĩa là một số được nhân với một biến; chẳng hạn như x, y
hoặc z; được gọi là hệ số.
Trong trường hợp bất kì biến nào không có số được viết bên cạnh được cho là hệ số bằng 1. Hệ số
hằng là hệ số không được gắn với các biến trong một biểu thức, hệ số hằng của các biểu thức trên
lần lượt là số 3 và tham số c. Hệ số gắn với bậc cao nhất của biến trong đa thức được gọi là hệ số
hàng đầu, các hệ số hàng đầu tương ứng là 2 và a.
Ví dụ trong biểu thức:
7x² + 6y + 5z – 4 thì 7 là hệ số của x; 6 là hệ số của y; 5 là hệ số của z; 4 là hằng số.
Các biến không có số đứng bên cạnh thì được giả định là số 1 làm hệ số của chúng. Ví dụ trong
biểu thức x + 2 thì 1 là hệ số của x nhưng trong biểu thức x² + 4 thì 1 lại là hệ số của x².
Hệ số có thể là số dương, số âm; số thực hoặc ảo; ở dạng thập phân hay phân số. Hệ số luôn xuất
hiện cùng một biến, nếu không có biến số đó chỉ được coi là hằng số. Chỉ khi có sự xuất hiện của
biến thì một số mới được coi là hệ số.
2. Ý nghĩa của hệ số?
Hệ số có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong Toán học, giúp chúng ta xác định được:
 Một hệ số luôn gắn với một biến
 Một biến không có số thì hệ số của nó bằng 1
 0 không làm hệ số, vì 0 nhân với mọi biến đều cho ra giá trị bằng 0
Việc tính toán hệ số giúp chúng ta có thể hiểu được một giá trị có đi cùng hướng tới các giá trị
trong một không hay không và mức độ biến động hay rủi ro của nó so với không gian đó.
Hệ số được xác định là một trong những nội dung có những cách biểu thị khác nhau nhưng vẫn
tuân thủ các quy định của pháp luật như hệ số lương, hệ số trượt giá.... Trong cuộc sống thường
nhật, chúng ta bắt gặp rất nhiều hệ số khác nhau. Để ứng dụng hệ số vào trong các lĩnh vực khác
nhau trong đời sống, người ta đã đặt ra những quy ước như:
 Hệ số: hệ số gắn với biến là một phần của thuật ngữ
 Biến: Bất kỳ biến hoặc ký hiệu nào đại diện cho một giá trị không xác định
 Hằng số: Mọi giá trị số tự do không đi kèm biến số được coi là hằng số. Nói cách khác, bất kì
giá trị nào không phải hệ số hoặc biến số được gọi là hằng số và được coi là số tự nhiên.
Thông thường, biến được xác định là bất kỳ kí hiệu không phải số nào cũng đại diện cho một số
nào, đại diện cho một giá trị không xác định, là các chữ cái (x,y,z...). Hằng số là các số tự nhiên,
không thay đổi trong phương trình.
3. Tìm hiểu hệ số trong Toán học
Hệ số là một hệ số nhân trong một số hạng của đa thức, một chuỗi hoặc bất kì biểu thức nào; nó
thường là một số, nhưng có thể là bất kì biểu thức nào (gồm các biến như a, b, c). Khi bản thân
các hệ số là biến, chũng cũng có thể được gọi là tham số.
Ví dụ: Đa thức 5x² – 7x + 4 có các hệ số 5; –7; 4 và lũy thừa của biến x trong đa thức ax² + bx + c
có các tham số hệ số a, b, c.
Trong toán học, người ta quy ước hệ số là một số hoặc bất kì kí hiệu nào đại diện cho một giá trị
không đổi được nhân với biến của một số hạng đơn hoặc các số hạng của một đa thức. Thường là
một số, tuy nhiên có thể được thay thế bằng một chữ cái trong một biểu thức. Ví dụ, trong biểu
thức ax² + bx + c; vơi x là biến số và a, b, c là hệ số.
Hệ số của một biến là giá trị của số nguyên hoặc bất kì chữ cái nào có mặt với biến. Ví dụ, hệ số
của biến a, b trong biểu thức 5a + 2b lần lượt là 5 và 2. Trong toán học, hệ số là một số nhân trong
một số hạng của đa thức, một chuỗi hay bất kì biểu thức nào. Ví dụ, trong đa thức x² – 5xy + 3 +
y² có hai biến x và y. Hai số hạng đầu tiên có hệ số là 1 và -5. Số hạng thứ ba là 3 là hằng số; hệ số của y² bằng 1.
Để tìm hệ số của một biến trong một số hạng, ta có thể vận dụng các bước dưới đây:
 Bước 1: Tập trung vào biến số cùng với lũy thừa của nó có hệ số mà ta đang tìm.
 Bước 2: Để biến đó và xem xét tất cả các số hoặc biến khác được viết cùng nó. Loại bỏ những
thành phần đó, phần còn lại sẽ là hệ số.
Ví dụ, đề bài đưa ra yêu cầu tìm các hệ số của x, y trong số hạng 3x²y. Để tìm hệ số của x², cần
phải tập trung vào x² và gạch bỏ phần x². Sau đó lấy mọi thứ còn lại, tức lại là 3y. Từ đó có thế
nhận thấy hệ số của x² trong số hạng 3x²y là 3y. Tương tự chúng ta cũng có thể suy ra được hệ số
của y trong số hạng 3x²y là 3x². Lưu ý khi làm bài tìm hệ số đó chính là hệ số luôn đi kèm cùng
một biến (trong trường hợp không có biến đấy hằng số chứ không phải hệ số).
Theo như quy ước chung, một đa thức được viết ở dạng chuẩn thì hệ số của hạng chứa bậc phải
xếp từ cao xuống thấp theo thứ tự từ trái qua phải. Có nghĩa là, hệ số của số hạng có lũy thừa cao
nhất trong biểu thức sẽ đứng đầu, lần lượt cho đến lũy thừa thấp nhất. Dưới đây là một số ví dụ về
một đa thức viết ở dạng chuẩn:
Biểu thức: 3x³ + x² – 7x + 9, hệ số của biến x lũy thừa cao nhất là 3; lần lượt của lũy thừa hai là 1;
lũy thừa một là -7; hằng số là 9.
4. Ví dụ vận dụng
Ví dụ 1: Cho đa thức sau
P(x) = 5x³ + 3x² – 7x – 6x³ + 14x^4 + 9 – 13x + 5x^4
Cho biết bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức P(x) Lời giải
Ta thu gọn và sắp xếp P(x) theo lũy thừa giảm của x
P(x) = 5x³ + 3x² – 7x – 6x³ + 14x^4 + 9 – 13x + 5x^4
= (14x^4 + 5x^4) + (5x³ – 6x³) + 3x² – (7x + 13x) + 9
= 19x^4 – x³ + 3x² – 20x + 9
⇒ Bậc của P(x) là 4. Hệ số cao nhất là 19, hệ số tự do là 9.
Ví dụ 2: Cho đa thức một biến
Q(x) = ax^4 + 2x³ – bx³ + 3x² – x + c – x² + 4 (a là hằng số)
Tìm a, b, c biết rằng đa thức Q(x) có bậc ba, hệ số cao nhất là -4 và hệ số tự do là Lời giải Giải sử thay biến x = 1
⇒ A(1) = a.1^4 – 3.1³ – 2a.1² + 1 + 1 ⇔ A(1) = - a – 1
Mà A(1) = 4 ⇒ - a – 1 = 4 ⇔ a = -5 Vậy a = -5