Hệ thống kiến thức hình Oxyz, công thức hình Oxyz trong không gian

Hệ thống kiến thức hình Oxyz, công thức hình Oxyz trong không gian
1. Hệ thống kiến thức hình Oxyz
Trong hệ trục không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và
chung một điểm gốc O. Gọi tia i, tia j, tia k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên Ox, Oy, Oz. Hệ
ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. Chú ý:
2. Công thức hình Oxyz trong không gian
- Cho A (xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)
tia AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
Toa độ trung điểm của đoạn thẳng AB: M (xA + xB/2; yA + yB/2; zA + zB/2)
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G (xA + xB + xC/3; yA + yB + yC/3; zA + zB + zC/3)
Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: G (xA + xB + xC + xD/4; yA + yB + yC + yD/4; zA + zB + zC + zD/4 )
- Tích có hướng có hai vectơ
a. Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a = (a1; a2; a3), vectơ = (b1; b2; b3). Tích
có hướng của hai vectơ a và b kí hiệu là [
] được xác định bởi:
Chú ý: Tích có hướng của hai vecto là một vecto, tích vô hướng của hai vecto là một số. b. Tính chất: [ ] vuông góc ; [ ] vuông góc [ ] = - [ ] [ ] = ; [ ] = ; [ ] = = . . sin ( ) (chương trình nâng cao) cùng phương ⇔ [
] = ( chứng minh 3 điểm thẳng hàng) Chú ý:
- Tích vô hướng của hai vecto thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
- Tích có hướng của hai vecto thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể hiện hình hộp; chứng minh các vescto đồng phẳng - không đồng phẳng, chứng minh các vecto cùng phương. Phương trình mặt cầu: a. định nghĩa:
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian
cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu: S (I; R) ⇔ S (I; R) = { }
b. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:
Lưu ý: khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện
lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
c. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:
3. Bài tập vận dụng về hình Oxyz
1. Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a. (S) có tâm I (2; 2; -3) và bán kính R = 3
b. (S) có tâm I (1; 2; 0) và (S) qua P (2; -2; 1)
c. (S) có đường kính AB với A (1; 3; 1), B (-2; 0; 1).
2. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a. (S) qua A (3; 1; 0), B (5; 5; 0), tâm I thuộc trục Ox
b. (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (a): 16x - 15y - 12z + 75 = 0
c. (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có tiếp tuyến là đường thẳng.
3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có A trùng với
gốc tọa độ O, các đỉnh B (m; 0; 0), D (0; m; 0), A' (0; 0; n) với m, n > 0 và m + n = 4. Gọi M là
trung điểm của cạnh CC' . Khi đó thể tích tứ diện BDA'M đạt giá trị lớn nhất bằng: A. 245/108 B. 9/4 C. 64/27 D. 75/32
4. Trong không gian cho tam giác ABC đều cạnh bằng 2 cố định, M là điểm thỏa mãn điều kiện
MA2 + MB2 + MC 2 = 12. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R =
B. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R = 2 /3
C. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R =
D. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R = 2 / 9
5. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
(0; -1; 2), B(-2; 0; 3) và C (1; 2; 0) là: A. 7x - 5y - 3z + 1 = 0 B. 7x - 5y - 3z + 11 = 0 C. 5x + 3y + 7z - 17 = 0 D. 5x + 3y + 7z - 11 = 0
6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có điểm A
trùng với gốc tọa độ, B (a; 0; 0), D (0; a; 0), A' (0; 0; b) với a > 0, b > 0. Gọi M là trung điểm của
cạnh CC'. Giả sử a + b = 4, giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A'BDM bằng: A. 64/27 B. 128/27 C. 128/9 D. 27/4
7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 0; 0), B(0; 1; 1), C (1; 0 ; 1). Xét
điểm D thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ diện ABCD là một tứ diện đều. Kí hiệu D(x0; y0; z0) là
tọa độ của điểm D. Tổng x0 + y0 bằng: A. 0 B. 1 C. 2 D.3
8. Viết phương trình mặt phẳng qua A(1; 1; 1) vuông góc với hai mặt phẳng (a): x + y - z -2 = 0, (b): x - y + z = 0 A. y + z - 2 = 0 B. x + y + z -3 = 0 C. x - 2y + z = 0 D. x + z - 2 = 0
9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (1; -2; 3)
và vuông góc với hai mặt phẳng (P): 2x - y - z -1 = 0; (Q): x - y + z - 3 = 0 A. 2x + 3y + z -1 = 0 B. x + 3y + 2z -1 = 0 C. 2x + 3y + z +1 = 0
10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 8; 0), B (-4; 6; 2) và C (0; 12;
4). Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (Oyz).
11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x + 1/2 = y/-1 = z -1/1 và điểm A
(0; -1; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thằng d. A. (P): x + 3y + z = 0 B. (P): x + 4y + 2z - 2 = 0 C. (P): 2x + 3y - z + 6 = 0 D. (P): x + 3y + z - 6 = 0
12. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình là 2x - 2y - 3z = 0.
Viết phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm H (1; 0; 0) và K (0; -2; 0) biết (Q) vuông góc (P). A. (Q): 6x + 3y + 4z + 6 = 0 B. (Q): 2x - y + 2z - 2 = 0 C. (Q): 2x - y + 2z + 2 = 0 D. (Q): 2x + y + 2z - 2 = 0
13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P): ax + by +cz - 27 = 0 qua hai điểm A (3;
2; 1), B(-3; 5; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x + y + z + 4 = 0. Tính tổng S = a + b + c
14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x - 3/2 = y-1/3 = z+1/-1 và điểm A
(1; 3; -1). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d đi qua A. A. 2x - y + z - 4 = 0 B. x + y + 5z + 1 = 0 C. x + y - 4 = 0 D. x - y - z + 1 = 0
15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình lần
lượt là (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z - 11 = 0 và (P): 2x + 2y - z + 17 = 0. Viết phương trình
mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6pi.