Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT – Võ Công Trường

Tài liệu gồm 68 trang, được biên soạn bởi thầy Võ Công Trường, hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT, giúp học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán. Mời mọi người đón xem.

23 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Môn: Toán

Thông tin:

68 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
2019-2020
2019-2020
log
a
b a b
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
2
1i
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN........................................................................................ 1
I. BẢNG ĐẠO HÀM ............................................................................................................................................................. 1
II. SỰ BIẾN THIÊN ................................................................................................................................................................ 1
III. CỰC TRỊ ............................................................................................................................................................................ 1
IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ................................................................................................................... 3
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN .......................................................................................................................................................... 3
VI. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ...................................................................................................................... 4
VII. TIẾP TUYẾN...................................................................................................................................................................... 5
VIII. SỰ TƯƠNG GIAO (Dấu hiệu nhận biết: Trong đề có từ: Cắt, tiếp xúc, giao điểm hay điểm chung…) .................................. 6
IX. ỨNG DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO ........................................................................................................................................ 7
X. PHÉP SUY ĐỒ THỊ ............................................................................................................................................................ 7
CHỦ ĐỀ 2: LŨY THỪA , MŨ VÀ LÔGARÍT .............................................................................................................................. 9
I. CÔNG THỨC ..................................................................................................................................................................... 9
II. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT. ............................................................................................................................. 9
III. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT ............................................................................................ 10
IV. ỨNG DỤNG HÀM MŨ – LÔGARIT VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ ................................................................................... 11
CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ..................................................................................................... 13
I. NGUYÊN HÀM................................................................................................................................................................ 13
II. TÍCH PHÂN ..................................................................................................................................................................... 13
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH ........................................................................................ 16
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC .................................................................................................................................................................. 18
I. CÔNG THỨC, PHÉP TOÁN :........................................................................................................................................... 18
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : .......................................................................................................................................... 18
III. TÌM SỐ PHỨC THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC: .......................................................................................................... 18
IV. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC: ................................................................................................................. 18
CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN ........................................................................................................................................................ 20
I. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ............................................................................................................................................. 20
II. ỨNG DỤNG THỂ TÍCH ................................................................................................................................................... 20
III. MỘT SỐ HÌNH ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP ....................................................................................................................... 20
IV. CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN ABCD ............................................................................... 23
CHỦ ĐỀ 6: KHỐI TRÒN XOAY ................................................................................................................................................. 24
I. THỂ TÍCH, DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN XOAY .................................................................................................................. 24
II. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HÌNH TRÒN XOAY VÀ HÌNH ĐA DIỆN .............................................................................. 24
CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .............................................................................................. 26
I. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ ....................................................................................................................................................... 26
II. MẶT PHẲNG .................................................................................................................................................................. 27
III. ĐƯỜNG THẲNG ............................................................................................................................................................. 28
IV. MẶT CẦU ....................................................................................................................................................................... 29
V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ........................................................................................................................................................ 30
VI. KHOẢNG CÁCH ............................................................................................................................................................. 31
VII. GÓC ................................................................................................................................................................................. 32
VIII. HÌNH CHIẾU, ĐIỂM ĐỐI XỨNG .................................................................................................................................... 32
IX. TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA ĐIỀU KIỆN “LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT” ............................................................................ 33
X. TỌA ĐỘ CÁC TÂM CỦA TAM GIÁC............................................................................................................................. 34
PHỤ LỤC ...................................................................................................................................................................................... 35
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.................................................................................... 35
I. NHỊ THỨC BẬC NHẤT: .................................................................................................................................................. 35
II. TAM THỨC BẬC 2, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: ............................................................................................................... 35
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3: ................................................................................................................................................ 36
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ................................................................................................................. 36
V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC............................................................................................................................. 36
VI. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC .................................................................................................................... 37
VII. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ............................................................. 37
VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ....................................................................................................................................................... 37
BẤT ĐẲNG THỨC ....................................................................................................................................................................... 37
LƯỢNG GIÁC .............................................................................................................................................................................. 38
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT ............................................................................................................................................................. 41
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ............................................................................................................................................... 44
GIỚI HẠN..................................................................................................................................................................................... 44
HÌNH HỌC (TỔNG HỢP) PHẲNG ............................................................................................................................................. 45
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC: ........................................................................................................................ 45
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC: ........................................................................................................................... 46
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN: ................................................................................................................. 46
IV. TÂM CỦA TAM GIÁC .................................................................................................................................................... 46
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ............................................................................................................................ 46
I. TỌA ĐỘ ........................................................................................................................................................................... 46
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................................................ 47
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ................................................................................................................................... 47
IV. ELÍP ................................................................................................................................................................................. 48
V. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, HÌNH BÌNH HÀNH BẰNG TỌA ĐỘ:..................................................... 48
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG ................................................................................................................................ 48
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11.................................................................................................................... 49
I. QUAN HỆ SONG SONG .................................................................................................................................................. 49
Dạng 1: Chứng minh quan hệ song song. ................................................................................................................................. 49
Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 Mặt phẳng. ................................................................................................................................ 50
Dạng 3: Tìm giao điểm của Đường thẳng và Mặt phẳng. .......................................................................................................... 50
Dạng 4: Tìm thiết diện của hình chóp, lăng trụ được cắt bởi Mặt phẳng .................................................................................... 50
II. QUAN HỆ VUÔNG GC ................................................................................................................................................. 50
Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc. ................................................................................................................................. 50
Dạng 2: Tìm hình chiếu của Điểm lên Mặt phẳng ..................................................................................................................... 51
Dạng 3: Tính góc. .................................................................................................................................................................... 52
Dạng 4: Tính khong cch. ...................................................................................................................................................... 52
SƠ ĐỒ TƯ DUY ........................................................................................................................................................................... 54
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
1
CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I. BẢNG ĐẠO HÀM
Hàm sơ cấp
Hàm hợp
Phép toán
2
2
sin cos
cos sin
1
tan
cos
1
cot
sin
xx
xx
x
x
x
x

.f u f u u



1
2
..
2.
1
u u u
u
u
u
u
uu




2
2
sin .cos
cos .sin
tan
cos
cot
sin
u u u
u u u
u
u
u
u
u
u

22
. . . . .
. . .
u v u v
u v u v u v k v k v
u u v v u k k v
v v v v




Đặc biệt
1
1
xx




22
( ) ( )
ab
cd
ax b ad bc
cx d cx d cx d





2
2
2
2
bc
adx aex
de
ax bx c
dx e
dx e





II. SỰ BIẾN THIÊN
1) Định lý: Hàm số
y f x
đồng biến (nghịch biến) trên khong K
' 0 ' 0 ,y x y x x K
2) ĐL mở rộng: Hàm số
y f x
đồng biến (nghịch biến) trên khong K
' 0 ' 0 ,y x y x x K
và
'0yx
có hữu hạn nghiệm.
3) Tính đơn điệu của một số hàm thường gặp:
Hàm số bậc 3
32
y ax bx cx d
:
+ Đồng biến (Nghịch biến) trên
'
0
00
00
0



y
ab
cc
aa
Hàm số nhất biến
ax b
y
cx d
:
Đồng biến (Nhgịch biến) trên từng khong xc định
;
d
c




và
;
d
c




0y
0y
,
d
x
c

Chú ý: Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm
0c
Hàm số đơn điệu trên khoảng K:
TH1: Hàm số đơn điệu trên (Đối với hàm bậc lẻ)
TH2: Hàm số không đơn điệu trên
B1: Lập bng biến thiên Đặt khong K vào vị trí thỏa tính đơn điệu.
B2: Lập điều kiện Gii Kết qu.
III. CỰC TRỊ
1) Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm:
a) Định lí 1:
x
0
x
x
0
x
y’
+
–
y’
–
+
y
CD
y
y
CT
y
Hàm số đạt Cực đại tại điểm
0
x
và gi trị Cực đại
0CD
y y x
Hàm số đạt Cực tiểu tại điểm
0
x
và gi trị Cực tiểu
0CT
y y x
Chú ý:
0
x
: Là điểm Cực đại (Cực tiểu) của hàm số Gọi chung là điểm Cực trị của hàm số
CD
y
(
CD
y
): Là gi trị Cực đại (Cực tiểu) của HS Gọi chung là gi trị Cực trị; Gọi gọn là Cực trị.
00
; , ;
CD CT
x y x y
: Là điểm Cực đại, Cực tiểu của đồ thị hàm số.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
2
b) Định lí 2:
2) Điều kiện để hàm số đạt cực trị bằng y
0
:
00
0
0
'0
'' 0
y x y
yx
yx
HS đạt cực trị bằng
0
y
00
0
0
'0
'' 0
y x y
yx
yx
HS đạt CĐ bằng
0
y
00
0
0
'0
'' 0
y x y
yx
yx
HS đạt CT bằng
0
y
3) Điều kiện để hàm số có n điểm cực trị
y f x
có n điểm cực trị
'fx
đổi dấu khi qua n điểm
i
x
và
i
fx
xác định
.
Chú ý:
Nếu
'fx
có n nghiệm đơn
i
x
và
i
fx
xc định thì
y f x
có n điểm cực trị.
Số điểm cực trị của hàm số bậc ba
32
y ax bx cx d
:
Số điểm cực trị
Số nghiệm của PT
'0y
Điều kiện của hệ số
Công thức điểm cực trị
Có 2 điểm cực trị
Có 2 nghiệm phân biệt
2
30
y
b ac
2
3
3
b b ac
x
a
Không có cực trị
Vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
2
30
y
b ac
Số điểm cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương
42
y ax bx c
:
Số điểm cực trị
Số ngiệm của PT
'0y
Điều kiện của hệ số
Công thức điểm cực trị
Có 3 điểm cực trị
Có 3 nghiệm phân biệt
.0ab
(a, b tri dấu)
0;
2
b
xx
a
Có 1 điểm cực trị
Có 1 nghiệm (đơn)
22
.0
0
ab
ab

(a, b cùng dấu)
0x
Hàm số nhất biến
ax b
y
cx d
: Không có cực trị.
4) Cực trị của đồ thị hàm số bậc ba:
32
y ax bx cx d
(Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số)
a. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:
Cách 1:
rx
y
gx
yy


Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
y r x
Cách 2: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
2
6 2 9
99
ac b ad bc
yx
aa


Cách 3: Bấm my tính cầm tay.
Vào phương thức Số Phức (Mode 2), nhập
.
18
yy
y
a
Gán (calc)
xi
Ta được KQ dạng:
b ai
PT đường thẳng qua 2 điểm cực trị là
y ax b
b. Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị:
3
4 16kk
AB
a
(với
9
y
k
a
)
c. Diện tích tam giác ABM:
9
. 2 .
9
ABM M M
k bc ad
S k x y
aa
(với
9
y
k
a
)
5) Cực trị của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương:
Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương
42
y ax bx c
có 3 điểm cực trị
, , A B C A Oy
. Khi đó:
0; , ; , ;
2 4 2 4
bb
A c B C
a a a a
, với
2
4b ac
0
0
'( ) 0
''( ) 0
yx
yx
Hàm số đạt Cực Trị tại
0
x
0
0
'( ) 0
''( ) 0 0
yx
yx

Hàm số đạt Cực Đại (Cực Tiểu) tại
0
x
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
3
2b
BC
a
4
2
8
16
bb
AB AC
a

2
3
8
tan
a
BAC
b
5
3
32
ABC
b
S
a
Tính chất
Điều kiện
Tính chất
Điều kiện
1.
ABC
đều
3
24 0ab
6.
ABC
vuông (cân)
3
80ab
2. O là trọng tâm
ABC
2
60b ac
7. O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
3
8 8 0b a abc
3. O là trực tâm
ABC
3
8 4 0b a ac
8. O là tâm đường tròn nội tiếp
ABC
3
8 4 0b a abc
4.
ABC
có cực trị
,B C Ox
2
4b ac
9.
ABC
có điểm cực trị cch đều
trục Ox
2
8b ac
5.
ABC
có bán kính
đường tròn ngoại tiếp
R
3
8
8
ba
R
ab
10.
ABC
có bn kính đường tròn
nội tiếp
r
2
3
4 1 1
8
b
r
b
a
a





IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1) Định lý: Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì GTLN-GTNN của hàm số đạt được tại 2 đầu đoạn hoặc tại các
điểm cực trị thuộc đoạn đó.
2) Quy tắc tìm GTLN-GTNN:
Trên đoạn [a; b]
Trên khoảng (hay nửa khoảng) K
Tìm y’ Gii PT
'0y
Tìm nghiệm
;
i
x a b
Tính y(x
i
) , y(a) , y (b)
Kết luận:
;
max
ab
yM
(số lớn nhất);
;
min
ab
ym
(số nhỏ nhất).
Lập bng biến thiên trên K
Dựa vào bng biến thiên, nhận xét và kết luận GTLN-
GTNN
Chú ý: Trên một khong hàm số có thể không có hay
chỉ có GTLN hoặc GTNN.
3) Chú ý :
Nếu hàm số chỉ có 1 CĐ trên
;ab
thì
;
max
CD
ab
yy
. Nếu hàm số chỉ có 1 CT trên
;ab
thì
;
min
CT
ab
yy
Hàm số đồng biến trên đoạn
;ab
;
;
min
max
ab
ab
y y a
y y b
; Hàm số nghịch biến trên đoạn
;ab
;
;
min
max
ab
ab
y y b
y y a
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
1) Định nghĩa:
0
lim
x
yy

Tiệm cận ngang (TCN) là đường thẳng
0
yy
0
lim
xx
y

Tiệm cận đứng (TCĐ) là đường thẳng
0
xx
2) Chú ý:
Đề tìm đường TCN, TCĐ Ta tính giới hạn của hàm số tại cc “đầu ngoặc tròn” của Tập xc định
Cụ thể: Để tìm TCN Ta tính giới hạn tại vô cực;
Để tìm TCĐ Ta tính giới hạn tại cc nghiệm của mẫu.
lim
x
y


Không có TCN.
0
0
lim
xx
yy
Không có TCĐ:
0
xx
.
Đồ thị hàm số đa thức không có đường tiệm cận.
3) Đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số hữu tỷ (thương của 2 đa thức).
TCĐ:
i
xx
(với
i
x
là các nghiệm của mẫu nhưng khác nghiệm của tử)
TCN: - Bậc tử > Bậc mẫu Không có TCN
- Bậc tử = Bậc mẫu TCN:
T
M
a
y
a
( Bằng thương hệ số lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu)
- Bậc tử < Bậc mẫu TCN:
0y
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
4
VI. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1) Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
B1. Tìm tập xc định
B2. Sự biến thiên:
+ Tìm đạo hàm. Tìm nghiệm của đạo hàm và điểm không xc định của đạo hàm.
+ Tính giới hạn của hàm số tại cc “đầu ngoặc tròn” của TXĐ. Suy ra cc đường tiệm cận (nếu có)
+ Lập bng biến thiên:
x
Điền TXĐ; nghiệm của đạo hàm và điểm không xc định của đạo hàm (theo thứ tự tăng dần).
y'
Xét dấu đạo hàm y’
y
Vẽ chiều biến thiên (mũi tên chéo);
Điền Giới hạn hàm số, Giá trị hàm số tại cc điểm x tương ứng vào cc đầu mũi tên
+ Nêu cc khong đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có)
B3. Vẽ đồ thị: Lập bng gi trị (hay điểm đặc biệt), vẽ đồ thị và nhận xét về đồ thị
2) Các dạng đồ thị hàm số:
Hàm số bậc 3:
32
y ax bx cx d
( 0)a
Dấu của a
a > 0
a < 0
PT y’ = 0 có hai
nghiệm phân
biệt.
(
2
30
y
b ac
)
PT y’ = 0 có
nghiệm kép.
(
2
30
y
b ac
)
PT y’ = 0 vô
nghiệm. (
2
30
y
b ac
)
Nhận xét đồ thị:
Tâm đối xứng: điểm
00
;I x y
, với
0
3
b
x
a
(là nghiệm PT
'' 0y
) và
00
y f x
Tâm đối xứng cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị.
Tâm đối xứng nằm bên phải trục
Oy
,ab
tri dấu; bên trái trục
Oy
,ab
cùng dấu.
Hai đầu đồ thị: ĐTHS bậc 3 (bậc lẻ nói chung) luôn có một đầu đi lên và một đầu đi xuống.
Đầu bên phải: Đi lên
0a
; Đi xuống
0a
.
Giao điểm với trục tung: Nằm phía trên trục hoành thì
0d
; Nằm phía dưới trục hoành thì
0d
.
Điểm cực trị: Hai điểm cực trị nằm 2 phía so với trục
Oy
.0ac
; cùng phía
.0ac
.
Có điểm cực trị thuộc
Ox
0c
Hàm số bậc bốn trùng phương:
42
y ax bx c
( 0)a
Dấu a
a > 0
a < 0
2
-2
O
2
-2
2
2
2
4
2
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
5
PT y’ = 0 có
ba nghiệm
phân biệt
.0ab
Pt y’ = 0 có
một nghiệm
.0ab
Nhận xét đồ thị:
Trục đối xứng: Nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hai đầu đồ thị: ĐTHS bậc 4 (bậc chẵn) luôn có hai đầu cùng đi lên hoặc cùng đi xuống;
Đi lên
0a
, đi xuống
0a
.
Điểm cực trị: Luôn có một điểm cực trị thuộc trục tung và 2 điểm cực trị còn lại (nếu có) đối xứng qua
trục tung.
Giao điểm với trục tung: Nằm phía trên trục hoành
0c
; Nằm phía dưới trục hoành
0c
.
Hàm số nhất biến :
0
ax b
y ad bc
cx d
2
–
0
ad bc
y
cx d

2
–
0
ad bc
y
cx d

Nhận xét đồ thị:
Tâm đối xứng là điểm
;
da
I
cc



(là giao điểm 2 đường tiệm cận).
Tiệm cận ngang:
a
y
c
; Tiệm cận đứng:
d
x
c
(nghiệm của mẫu).
Giao điểm với trục tung:
0
b
xy
d
; Giao điểm với trục hoành:
0
b
yx
a
(nghiệm của tử).
VII. TIẾP TUYẾN
1) Định lý: PT tiếp tuyến của đường cong
y f x
tại tiếp điểm
0 0
; M x y
có dạng:
00
.y y k x x
(*)
-2
2
2
-2
4
2
4
2
-2
15
10
5
5
10
15
8
6
4
2
2
4
6
TCĐ
TCN
b
d
a
c
-b
a
-d
c
O
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
6
Trong đó: +
0
x
: Hoành độ tiếp điểm;
+
00
y y x
: Tung độ tiếp điểm;
+
0
’k f x
: Hệ số góc của tiếp tuyến.
2) Quy tắc lập phương trình tiếp tuyến của đường cong
y f x
B1. Tìm đạo hàm
''y f x
B2. Dựa vào gi thiết, tính
0 0 0
, , x y f x
.
B3. Thay vào PT (*), thu gọn, ta được PT tiếp tuyến cần tìm (Chú ý: So điều kiện, loại PTTT nếu có)
3) Chú ý:
Đường thẳng
:d y ax b
có hệ số góc
d
ka
; Đường thẳng
:0d ax by c
có hệ số góc
d
a
k
b
.
Hai đường thẳng song song thì hệ số góc của chúng bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc Tích hệ số góc của chúng bằng –1.
Tiếp tuyến đi qua
;
AA
A x y
: Thay tọa độ điểm A,
00
y f x
và
0
'( )k f x
vào PT(*) Gii PT tìm
0
x
Thay
0
x
vào (*) ta được PT tiếp tuyến cần tìm.
VIII. SỰ TƯƠNG GIAO (Dấu hiệu nhận biết: Trong đề có từ: Cắt, tiếp xúc, giao điểm hay điểm chung…)
1) Định lí:
2) Tìm giao điểm của đường cong
:C y f x
và đường thẳng
:d y g x
B1. Lập PT hoành độ giao điểm của (C) và (d) :
()f x g x
(*)
B2. Gii PT(*) tìm x (là hoành độ giao điểm)Thay x vào
y f x
hay
y g x
Tính y (là tung độ giao
điểm).
3) Biện luận giao điểm của đường cong
(:,)yfC xm
và đường thẳng
(:,)ygd xm
(hay tìm tham
số m để thảo mãn điều kiện về giao điểm của (C) và (d))
B1. Lập PT:
, , f x m g x m
(1) Biến đổi làm xuất hiện PT bậc 2 (Như bng dưới đây)
B2. Lập điều kiện theo yêu cầu bài ton Quy về điều kiện nghiệm PT bậc 2 Gii điều kiện tìm m
PT(1) là PT
bậc 2:
(Xem phụ lục
phần PT bậc
2)
PT(1) là PT bậc 3:
Biến đổi đưa về PT tích dạng:
2
0
.( ) 0x x Ax Bx C
0
2
0
xx
Ax Bx C
(Xem phụ lục phần PT bậc 3)
PT(1) là PT bậc 4 trùng phương:
1) Đặt
2
,0t x t
, ta được PT bậc 2:
2
0,(2)at bt c
.
2) Biện luận nghiệm PT(2), suy ra:
nghiệm PT(1)
(Xem phụ lục phần PT bậc 4 trùng
phương)
PT(1) có chứa ẩn ở
mẫu:
Quy đồng khử mẫu
Thu gọn về PT đa
thức bậc 2, 3, 4.
Chú ý: Nếu biến đổi PT
, , f x m g x m u x v m
thì Áp dụng phương php Đồ thị (Xem Mục IX).
Lập phương trình hoành độ giao điểm:
, , f x m g x m
(1) Biến đổi về dạng:
u x v m
4) Khoảng cách giữa các giao điểm, tam giác chứa các giao điểm,…:
c) Đường cong
2
y ax bx c
cắt đường thẳng
y kx r
tại 2 điểm M, N:
Lập PTHĐGĐ:
22
0 ax bx c kx r ax b k x c r
(2).
Khi đó:
2
2
2
1
.

k
MN
a
2
2
1
.
2
MNQ Q Q
S kx y r
a
d) Đường cong
32
y ax bx cx d
cắt đường thẳng
y kx r
tại 3 điểm M, N, P :
ĐTHS
y f x
và
y g x
có n điểm chung
PT hoành độ giao điểm
f x g x
có n nghiệm phân biệt.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
7
Lập PTHĐGĐ:
32
ax bx cx d kx r
0
2
0
2
0
0 (2)

P
x x x
x x x x
xx
.
(Xem cách phân tích thành nhân tử ở Phần Phụ lục, mục “Phương trình bậc 3”)
Khi đó:
2
2
2
1
.

k
MN
2
2
1
.
2
MNQ Q Q
S kx y r
ĐTHS bậc 3 cắt đường thẳng d tại 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng khi d đi qua tâm đối xứng
e) Đường cong
ax b
y
cx d
cắt đường thẳng
y kx r
tại điểm M, N :
Lập PTHĐGĐ:

ax b
kx r
cx d
2
0 (2)
xx
.
Khi đó:
2
2
2
1
.

k
MN
2
2
1
.
2
MNQ Q Q
S kx y r
Chú ý:

MN
xx
;
.
MN
xx
;
2
MN
xx
.
.2
MN
y y k r
;
2
.y .


MN
y r r
;
2
MN
y y k
.
Nếu PT (2) ta tính biệt thức thu gọn
'
thì thay
4'
5) ĐTHS
42
y ax bx c
cắt trục
Ox
tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng khi:
2
100
0
9
b ac
IX. ỨNG DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO
Dùng đồ thị
:C y f x
, biện luận nghiệm phương trình
,0F x m
(1), (m là tham số).
Biến đổi:
,0 (2)F x m f x g m
(PT(2) là PT hoành độ giao điểm của
(:)C y f x
và
): (d y g m
, với (d) là đường thẳng cùng
phương trục Ox)
Vẽ
(:)C y f x
và
): (d y g m
trên cùng hệ trục toa độ. (Vẽ đường thẳng
): (d y g m
nằm ngang
ở cc vị trí: Dưới cực trị; Qua cực trị; Giữa cc cực trị; Trên cực trị).
Dựa vào đồ thị, Theo YCBT Chọn vị trí tương ứng Lập điều kiện Gii và tìm tham số m.
Chú ý: Số nghiệm PT
,0F x m
bằng Số điểm chung của
(:)C y f x
và
): (d y g m
.
X. PHÉP SUY ĐỒ THỊ
Dạng 1. Từ đồ thị (C) của hàm số
y f x
, suy ra cách vẽ đồ thị (G) của hàm số
y f x
Ta có:
khi 0
khi 0
f x f x
y f x
f x f x


12
G C C
(Với
1
C
là phần đồ thị (C) nằm phía
trên trục hoành
0
C
y
, còn
2
C
là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục
hoành
0
C
y
8
6
4
2
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
y
=
g
(
m
)
O
8
6
4
2
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
y
=
g
(
m
)
O
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
8
Ví dụ 1. Từ đồ thị (C) của hàm số
32
33y x x
, vẽ đồ thị (G) của hàm số
32
33y x x
Lấy đối xứng của phần đồ thị dưới trục hoành qua trục hoành, rồi xóa phần đồ thị dưới trục hoành.
Dạng 2. Từ đồ thị (C) của hàm số
y f x
, suy ra cách vẽ đồ thị (H) của hàm số
y f x
Ta có:
y f x
là hàm số chẵn Đồ thị (H) nhận trục tung làm trục đối xứng
34
()H C C
Với
3
C
là phần đồ thị của (C) nằm bên phi trục
Oy
0x
, còn
4
C
là phần đối xứng của
3
C
qua trục
Oy
Ví dụ 2. Từ đồ thị (C) của HS
32
6 9 1y x x x
, vẽ đồ thị (H) của HS
3
2
6 9 1y x x x
.
Xóa phần đồ thị bên trái trục tung, rồi lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung.
Dạng 3. Từ đồ thị (C) của hàm số
y f x
, suy ra cách vẽ đồ thị (K) của hàm số
y f x
Ta có:
khi 0
khi 0
f x f x
y f x
f x f x


12
()K H H
Với
1
H
là phần đồ thị của (H) của hàm số
y f x
nằm phía trên trục hoành
0
H
y
, còn
2
H
là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (H) ở phía dưới trục hoành
0
H
y
.
Ví dụ 3.Từ đồ thị (C) của hsố
32
6 9 1y x x x
, vẽ đồ thị (K) của hsố
3
2
6 9 1y x x x
.
Thực hiện 2 bước: Dạng 1
Dạng 2, hay Dạng 2
Dạng 1
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
9
CHỦ ĐỀ 2: LŨY THỪA , MŨ VÀ LÔGARÍT
I. CÔNG THỨC
1) Lũy thừa
. ...
n
a a a a
(tích của n thừa số a)
0
1 , 0
1
, 0
n
n
aa
aa
a
.
m n m n
a a a

m
mn
n
a
a
a

( . ) .
n n n
ab a b
n
n
n
aa
bb




.
( ) ( )
m n n m m n
a a a
1
m
n
m
n
n
n
aa
aa


1a
:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
01a
:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
2) Logarit
log
( , 0; 1)
a
b a b
a b a

log 1 0
a

log 1
a
a
log
a
a

a
log
b
ab
1 2 1 2
1
12
2
log ( . ) log log
log log log
a a a
a a a
b b b b
b
bb
b



log .log
aa
bb

1
log log
a
a
bb

log
log
log
1
log
log


c
a
c
a
b
b
b
a
b
a
log .log log
c a c
a b b
log log
a
a
bb

1a
:
log ( ) log ( )
( ) ( ) 0
aa
f x g x
f x g x
01a
:
log ( ) log ( )
0 ( ) ( )
aa
f x g x
f x g x
3) Đạo hàm
Hàm sơ cấp
Hàm hợp
1
.xx

1
1
.
n
n
n
x
nx
.ln
xx
a a a
xx
ee
1
log
.ln
a
x
xa
1
ln x
x
1
..u u u

1
.
n
n
n
u
u
nu
.ln .
uu
a a a u
.
uu
e e u
log
.ln
a
u
u
ua
ln
u
u
u
II. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT.
Hàm số lũy thừa
yx
TXĐ:
+ nguyên dương :
D
.
+ nguyên không dương :
\0D
.
+ không nguyên:
0;D 
.
Kho st trên
0;
:
0
: HS nghịch biến; TCN: Ox ; TCĐ : Oy
0
: HS đồng biến; Không có đường tiệm cận.
Đồ thị:
(tùy theo số mũ
)
Hàm số mũ
x
ya
01a
1a
TXĐ:
D
. TGT:
0;T 
.
Hàm số luôn đồng biến
Tiệm cận ngang là trục Ox
Đồ thị nằm phía trên trục hoành
01a
TXĐ:
D
. TGT:
0;T 
.
Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận ngang là trục Ox
Đồ thị nằm phía trên trục hoành
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
10
Hàm số logarit
log
a
yx
,
01a
1a
TXĐ:
0;D 
. TGT:
T
.
Hàm số luôn đồng biến
Tiệm cận đứng là trục Oy
Đồ thị nằm phía bên phi trục tung
01a
TXĐ:
0;D 
. TGT:
Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận đứng là trục Oy
Đồ thị nằm phía bên phi trục tung
Chú ý : Đồ thị hàm số
x
ya
và
log
a
yx
(hai hàm ngược nhau) đối xứng nhau qua đường thẳng
yx
ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT
1.
yu
xc định khi :
u
, nếu
nguyên dương
0u
, nếu
nguyên không dương
0u
, nếu
không nguyên
2.
u
ya
xc định khi :
0u
3.
log
a
yu
xc định khi :
01
0

a
u
III. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
1) Phương trình, bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Mũ
Logarit
Dạng
,( 0, )1
x
a b a a
0b
: PT vô nghiệm
0 b
:
log
x
a
a b x b
Chú ý:
uv
a a u v
Dạng
log , 0, 1
a
x b a a
Điều kiện:
0x
log
b
a
x b x a
Chú ý:
log log
aa
u v u v
Dạng
0 ) ,( , 1 
x
a b a a
0b
: BPT có tập nghiệm
0 b
:
log
x
a
a b x b
, khi
1a
log
x
a
a b x b
, khi
01a
Chú ý:
, khi 1
uv
a a u v a
, khi 0 1
uv
a a u v a
Dạng
log , 0, 1
a
x b a a
Điều kiện :
0x
log
b
a
x b x a
, khi
1a
log
b
a
x b x a
, khi
01a
Chú ý:
log log , khi 1
aa
u v u v a
log log , khi 0 1
aa
u v u v a
2) Phương trình, bất phương trình mũ- lôgarít đơn giản:
Mũ
Logarit
Phương pháp đưa về cùng cơ số
f x g x
a a f x g x
..



fx
f x f x
an
m a nb
bm
log log 0
aa
f x g x f x g x
Phương pháp đặt ẩn phụ
Nguyên tắc: Áp dụng cho PT, BPT chứa một hàm số (mũ, logarit,…) ở nhiều vị trí (trong lũy thừa, dưới mẫu,
dưới căn…)
Cách giải: Đặt hàm số mũ, logarit,…làm ẩn phụ Biến đổi đưa về PT, BPT đại số.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
11
Dạng 1 (mũ bội): Chứa
23
; ; ;...
u u u
a a a
Thường gặp:
2
. . 0
uu
ma n a p
Cách giải:
C1: Đặt
,0
u
t a t
Ta được:
2
. . 0mt nt p
Gii tìm t Thay
u
ta
Gii tìm nghiệm.
C2: Xem ẩn là
u
a
Gii trực tiếp tìm
u
a
Gii tìm nghiệm.
Dạng 2 (mũ đối): Chứa
;
uu
aa
Thường gặp:
. . 0
uu
m a n a p
Cách giải: Biến đổi
1
u
u
a
a
Biến đổi về Dạng 1.
Dạng 3 (cơ số nghịch đảo): Chứa
;
uu
ab
(với
.1ab
)
Thường gặp:
. . 0
uu
m a nb p
(với
.1ab
)
Cách giải: Biến đổi
1
u
u
b
a
Biến đổi về Dạng 1.
ĐẶC BIỆT: Với
1 a b a b
, Ta có:
21
uu
a b a b a u
22
22
uu
a b a b a b u
Dạng 4 (cơ số lập thành cấp số nhân): Chứa
;;
u u u
abc
(với
2
.a c b
)
Thường gặp:
. . . 0
u u u
m a nb p c
Cách giải:
Cách 1: Chia 2 vế PT, BPT cho
u
a
(hay
u
c
) Biến
đổi về dạng 1.
Cách 2: Chia 2 vế PT, BPT cho
u
b
Biến đổi về dạng
2.
Dạng 1: Chứa
log
a
u
,
2
log
a
u
,
3
log
a
u
,…
Thường gặp:
2
.log .log 0
aa
m u n u p
Cách giải:
C1: Đặt
log
a
tu
Ta được:
2
. . 0mt nt p
Gii tìm t Thay
log
a
tu
Gii tìm nghiệm.
C2: Xem ẩn là
log
a
u
Gii trực tiếp tìm
log
a
u
Gii tìm nghiệm.
Dạng 2: Chứa
log
a
u
,
log
u
a
Cách giải : Biến đổi
1
log
log
u
a
a
u
Biến đổi về Dạng
1.
Chú ý : Đối với BPT thì không được khử mẫu, mà ta chỉ
quy đồng để được BPT chứa ẩn ở mẫu.
Phương pháp: Logarit hóa
Phương pháp: Mũ hóa
log log .log
u v u v
a a a
a b a b u v b
Tương tự cho BPT, chú ý đổi chiều khi cơ số
01a
log log log
log log
a b b
u
vv
ab
u v a a u a
Tương tự cho BPT, chú ý đổi chiều khi cơ số
01a
IV. ỨNG DỤNG HÀM MŨ – LÔGARIT VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài toán
Công thức
Diễn giải
1. Tính tiền gửi lãi kép:
(Gửi một lần và rút một lần)
0
1
n
n
T T r
0
T
: số tiền ban đầu gửi;
r : lãi suất/kì;
n : số kì gửi;
n
T
: số tiền sau n kì gửi.
2. Tính tiền gửi tiết kiệm lãi
kép:
(Mỗi kì gửi một lần số tiền cố
định và chỉ rút một lần)
0
1
. 1 1
n
n
r
T T r
r


0
T
: số tiền gửi mỗi kì;
r : lãi suất/kì;
n : số kì gửi;
n
T
: số tiền sau n kì gửi.
3. Tính tiền trả góp lãi kép:
(Vay một lần và trả góp cố
định mỗi kì)
0
1
.
11
n
n
rr
tT
r

t : số tiền tr mỗi kì;
0
T
: số tiền vay ban đầu;
r : lãi suất/kì;
n : số kì phi tr
4. Tính tiền rút định kì:
(Gửi một lần và rút dần mỗi kì
số tiền cố định)
0
. 1 1 1
nn
n
M
T T r r
r


0
T
: số tiền gửi ban đầu;
r : lãi suất/kì;
n : số kì gửi;
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
12
n
T
: số tiền còn lại sau n kì;
M : số tiền rút mỗi kì.
5. Tính biến động dân số:
(Tính dân số tăng, giảm)
.
0
.
nr
n
S S e
0
S
: số dân ban đầu;
r : tỉ lệ biến động dân số/kì;
n : số kì;
n
S
: số dân sau n kì.
6. Tính phóng xạ bán rã:
0
1
.
2
t
T
t
mm



0
:m
khối lượng chất phóng xạ ban đầu;
t : thời gian bn rã;
T : chu kì bán rã;
:
t
m
khối lượng tại thời điểm t.
7. Tính cường độ động đất:
0
log
A
M
A



M : cường độ động đất;
A : biên độ rung tối đa;
0
:A
biên độ chuẩn (hằng số định
trước).
8. Công thức liên hệ 2 trận
động đất có cùng biên độ
chuẩn:
12
1
2
10
MM
A
A
11
,AM
và
22
,AM
: lần lượt là biên độ
rung tối đa, cường độ của trận động
đất thứ nhất và thứ hai.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
13
CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. NGUYÊN HÀM
1) Định nghĩa:
Fx
là một nguyên hàm của
fx
f x dx F x C
(họ nguyên hàm)
2) Tính chất:
f x dx f x C

f x g x dx f x dx g x dx


..k f x dx k f x dx

1
f ax b dx F ax b C
a
3) Bảng nguyên hàm :
Hàm sơ cấp
Hàm hợp với
u ax b
Công thức Đặc biệt.
0.dx C
1
1

x
x dx C
1
ln 
dx x C
x
sin cos
xdx x C
cos sin
xdx x C
2
tan
cos

dx
xC
x
2
cot
sin
dx
xC
x

xx
e dx e C
ln

x
x
a
a dx C
a
1
1 ( )
( ) .
1
ax b
ax b dx C
a
1
ln
dx
ax b C
ax b a
1
sin( ) cos( )
ax b dx ax b C
a
1
cos( ) sin( )
ax b dx ax b C
a
2
1
tan( )
cos ( )
dx
ax b C
ax b a
2
1
cot( )
sin ( )
dx
ax b C
ax b a
1


ax b ax b
e dx e C
a
1
.
ln

kx b
kx b
a
a dx C
ka
1
2dx x C
x

1
11
d
1


xC
xx
3
2
3

xdx x C
1
1

n
n
n
n
xdx x C
n
tan ln cosxdx x C
cot ln sin xdx x C
ln d ln
x x x x x C
22
11
ln
2


xa
dx C
x a a x a
4) Tìm một nguyên hàm: Tìm họ nguyên hàm
F x C
Dùng điều kiện từ gi thiết thay vào để tính C,
II. TÍCH PHÂN
1) Định nghĩa:
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
, (với
Fx
là một nguyên hàm của
fx
trên
;ab
)
2) Tính chất:
0
a
a
f x dx
ba
ab
f x dx f x dx

b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx


..
bb
aa
k f x dx k f x dx

b c b
a a c
f x dx f x dx g x dx a c b
.
.
1


n a n b
m a m b
f ax b dx f x dx
a
Nếu
fx
là hàm lẻ thì
0
0
a
a
f x dx f x dx


và
0
a
a
f x dx



aa
aa
f x dx f x dx
Nếu
fx
là hàm chẵn thì
0
0
22
aa
aa
f x dx f x dx f x dx


.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
14
2
00
b
a
f x dx f x
Nếu
fx
là hàm chẵn thì
0
1

aa
x
a
fx
dx f x dx
b
3) Phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp cơ bản: Dùng công thức nguyên hàm và tính chất
Phương pháp: Tách hàm số thành tổng, hiệu của cc biểu thức có công thức nguyên hàm.
Các dạng thường gặp:
Dạng
Đặc điểm
nhận dạng
Phương pháp
1.
Phân
thức hữu
tỉ:
Px
dx
Qx
Bậc tử
≥
Bậc mẫu
Chia đa thức:
1

P x r x
Px
Q x Q x
,(
1
Px
là đa thức và r là phần dư)
Bậc 2/Bậc 1:
Px
r
ax b
Q x Q x
(1)
Tính số dư
0
r P x
(với
0
x
là nghiệm của mẫu
Qx
) Cho 2 gi trị của
x vào (1), ta được 2 PT ẩn a, b Gii Hệ tìm a, b.
Bậc 3/Bậc 1:
2
Px
r
ax bx c
Q x Q x
(2)
Làm tương tự, ta được Hệ 3 ẩn a, b, c.
Bậc tử
<
Bậc mẫu
và mẫu có
nghiệm
Hệ số bất định: Phân tích mẫu thành tích rồi tch thành tổng theo cc cch sau:
Cách 1: (Làm thủ công)
Dạng 1:
Ae Bc x Af Bd
ax b A B
cx d ex f cx d ex f cx d ex f
(quy đồng)
Cho
Ae Bc x Af Bd ax b
Ta được Hệ PT 2 ẩn A, B:
..
..


e A c B a
f A d B b
Gii tìm A, B
Dạng 2:
2 2 2
. 
Bc x A Bd
ax b A B
cx d
cx d cx d cx d
(quy đồng)
Cho
Bc x A Bd ax b
Ta được Hệ PT 2 ẩn A, B:
.
.

c B a
A d B b
Cách 2 : Cho 2 gi trị của x vào :

ax b A B
cx d ex f cx d ex f
(hay
22


ax b A B
cx d
cx d cx d
), ta được 2 PT ẩn A, B Gii Hệ, tìm A, B
Cách 3:
Dạng 1:

ax b A B
cx d ex f cx d ex f
.Với:



d
x
c
ax b
A
ex f
;



f
x
e
ax b
B
cx d
Dạng 2:
22


ax b A B
cx d
cx d cx d
. Với:




d
x
c
A ax b
;
a
B
c
2.
Tích của
các hàm
lượng
giác
Tích của
sin, cos
Dùng công thức biến tích thành tổng Tch thành tổng, hiệu
sinx, cosx
đều có bậc
chẵn
Dùng công thức hạ bậc Hạ đến bậc nhất.
b) Phương pháp đổi biến số:
Phương pháp đổi biến dạng “đặt t theo x”:
.'I f u x u x dx


Đặt
'.dt u x I f t dt tux
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
15
Phương pháp: + Đặt
t u x
Lấy vi phân:
'.dt u x dx
và Rút ra một số biểu thức cần thiết;
+ Đổi cận;
+ Thay biến mới, cận mới và tính tích phân theo biến mới.
Các dạng thường gặp
Dạng tích phân
Đặc điểm nhận dạng
Cách đặt
1
'
.
ux
dx
ux
Thương , có tử là đạo hàm của mẫu
t u x
2
. ' .u x u x dx


Chứa Hàm lũy thừa và một nhân tử là đạo hàm của cơ
số.
t u x
3
. ' .
ux
a u x dx
Chứa Hàm mũ và một nhân tử là đạo hàm của mũ thức.
t u x
4
.
mk
ax b x dx
Chứa
.
m
a x b
và
.
k
x dx
(với m và k không cùng chẵn)
m
t ax b
5
.
n
mk
f ax b x dx
Chứa
.
n
m
a x b
và
.
k
x dx
(với m và k không cùng
chẵn)
n
m
t ax b
hay
m
t ax b
6
( ).
xx
f e e dx
Chứa biểu thức của
x
e
và
x
e dx
x
te
hay
.
x
t a e b
7
Chứa biểu thức của lnx và
1
dx
x
lntx
hay
.lnt a x b
8
(sin ).cos .f x x dx
Chứa biểu thức của sinx và
cos .dxx
sintx
hay
.sint a x b
(cos ).sin .f x x dx
Chứa biểu thức của cosx và
sin .dxx
costx
hay
.cost a x b
9
2
1
(tan ). .
cos
f x dx
x
Chứa biểu thức của tanx và
2
1
.
cos
dx
x
tantx
hay
.tant a x b
2
1
(cot ). .
sin
f x dx
x
Chứa biểu thức của cotx và
2
1
.
sin
dx
x
cottx
hay
.cott a x b
Chú ý: + Nếu x được thay thành
ax b
thì ta đặt tương tự.
+ Dấu hiệu thường gặp: đặt t là biểu thức trong ngoặc, căn thức, mẫu, mũ,...
ĐẶC BIỆT: Phương pháp đổi đuôi:
. ' .

f u x u x dx f u x d u x F u x C
Công thức đổi đuôi thường gặp:
1)
'
. ln
ux
dx u x C
ux
2)
1
. ' .
1





ux
u x u x dx C
3)
. ' . 
u x u x
e u x dx e C
Phương pháp đổi biến dạng “đặt x theo t”
Phương pháp: + Đặt
x g t
(điều kiện) Lấy vi phân:
'.dx g t dt
(Rút ra biểu thức cần thiết)
+ Đổi cận;
+ Thay biến mới, cận mới và tính tích phân theo biến mới.
Các dạng thường gặp:
Đặc điểm nhận dạng:
Tích phân có chứa
Cách đặt
1
22
ax
hay
22
ax
Đặt
sin ,
22
x a t t




hay
cos , 0x a t t
2
22
ax
hay
22
ax
Đặt
tan ,
22
x a t t




hay
cot , 0x a t t
3
22
xa
hay
22
xa
Đặt
, 0 ,
cos 2



a
x t t
t
hay
, , 0
sin 2 2




a
x t t
t
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
16
c) Phương pháp tích phân từng phần:
. . .
bb
b
a
aa
u dv u v v du

(*)
Nhận dạng: Áp dụng cho tích phân chứa tích (hay thương) của 2 hàm số khác loại (như chứa 2 trong cc hàm
số: đa thức (hàm lũy thừa, căn thức), lượng gic, mũ, logarit,...)
Nguyên tắc: Đặt u là biểu thức có đạo hàm đơn gin hơn và chọn dv là phần còn lại mà nguyên hàm đã biết.
Phương pháp: Tính
.g .I f x x dx
+ Đặt:
u f x
(có đạo hàm gọn hơn)
’.du f x dx
(lấy vi phân)
.dv g x dx
(g(x) có nguyên hàm)
v G x
(lấy một nguyên hàm, cho C = 0)
+ Thay vào công thức (*) Tính
.
b
a
v du
, Suy ra kết qu
Dạng thường gặp:
Dạng tích phân
Đặt
u
Đặt
dv
1
( ).sin .P x ax b dx
P(x)
sin .ax b dx
( ).cos .P x ax b dx
P(x)
cos .ax b dx
2
( ). .
ax b
P x e dx
P(x)
.
ax b
e dx
3
( ).ln .P x ax b dx
ln ax b
.P x dx
1
ln
. ln . ( ).
()
ax b
dx ax b P x dx
Px


ln ax b
1
.P x dx
4
2
()
.
cos
Px
dx
ax b
P(x)
2
1
cos
dx
ax b
2
()
.
sin
Px
dx
ax b
P(x)
2
1
sin
dx
ax b
Dạng khác: Biểu thức tích phân là tích (hay thương) của 2 trong cc hàm số logarit, mũ, lượng gic Đặt u
là 1 trong 2 hàm số đó và dv là phần còn lại (không chứa hàm logarit).
Chú ý: Nếu gặp tích phân của thương thì viết thành tích của tử nhân nghịch đo của mẫu:
1
1
. .g
fx
I dx f x dx f x x dx
g x g x
ĐẶC BIỆT: Công thức tích phân từng phần không cần đặt u, dv:
.g . . .G .
bb
b
a
aa
f x x dx f x G x f x x dx


(với
gx
có một nguyên hàm
Gx
và
fx
có đạo hàm gọn hơn)
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH
1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đường:
,,, y f x y g x x a x b a b
được tính bởi công thức:
S ( ) ( )
b
a
f x g x dx
(*)
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
17
Chú ý: a) Trường hợp Hình phẳng giới hạn không đủ 4 đường như trên (thiếu ít nhất 1 trong 2 đường
thẳng
, x a x b
), ta thực hiện như sau:
Gii PT
–0f x g x
tìm nghiệm
i
x
Chọn cận dưới trong công thức (*) là số nhỏ nhất, cận trên là
số lớn nhất trong cc số
,,
i
a b x
.
b) Nếu phương trình
–0f x g x
có n nghiệm
12
, , , ;
n
x x x a b
(gisử
12
...
n
x x x
)
thì tích phân (*) được tch thành tổng (phân đoạn tích phân) như sau:
12
1
S ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
n
xx
b
a x x
f x g x dx f x g x dx f x g x dx
Quy tắc tính :
B1. Gii PT :
–0f x g x
Tìm a, b (nếu chưa có đủ) và tìm nghiệm
;
i
x a b
B2. Diện tích hình phẳng đã cho là :…(lập công thức (*)) Tính kết qu.
2) Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi cc đường:
y f x
;
Ox ;
; x a x b a b
được tính bởi công thức:
2
( ) .
b
a
V f x dx
(**)
Chú ý: Trường hợp Hình phẳng giới hạn không đủ 4 đường như trên (thiếu ít nhất 1 trong 2 đường thẳng
, x a x b
), ta thực hiện như sau:
Gii PT
–0f x g x
tìm nghiệm
i
x
Chọn cận dưới trong công thức (**) là số nhỏ nhất, cận trên
là số lớn nhất trong cc số
,,
i
a b x
.
Quy tắc tính :
B1. Gii PT
0fx
Tìm a, b (với a là nghiệm nhỏ nhất, b là nghiệm lớn nhất của PT
0fx
).
Chú ý : Nếu đã có đủ a, b thì bỏ qua B1
B2. Thể tích khối tròn xoay đã cho là :…(lập công thức (**)) Tính kết qu.
3) Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi cc đường:
y f x
;
y g x
;
; x a x b
(Với
. 0, ; f x g x x a b
) được tính bởi công thức:
22
.

b
a
V f x g x dx
(***)
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
18
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC
I. CÔNG THỨC, PHÉP TOÁN :
2
1i 
3
ii
;
4
1i
; ….;
4
1
n
i
;
41n
ii
;
42
1
n
i

;
43n
ii

*
n
..
ac
a b i c d i
bd
22
.
.
z a bi
z a bi
z a b


Căn bậc 2 của số thực
0a
là
ia
Căn bậc 2 của số phức
.z a bi
là số phức
.ixy

thỏa:
22
2
x y a
xy b

( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i
2z z a
( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd ad bc i
2
.z z z
. ( . )( . )
. ( . )( . )
c d i c d i a b i
a b i a bi a b i
2
1 z
z
z
1 2 1 2
..z z z z
1
1
22
z
z
zz
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2z z z z z z
12
,zz
liên hợp, ta có:
22
1 2 1 2
z z z z
2
12
2
zz
a
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
2
0Az Bz C
(A 0). Biệt thức
a) A, B, C là số thực:
Nếu
0
thì phương trình có 2 nghệm thực phân biệt
2
B
z
A
Nếu
0
thì phương trình có nghệm thực kép
2
B
z
A
Nếu
0
thì phương trình có 2 nghệm phức phân biệt
2
Bi
z
A
b) A, B, C là số phức:
Trên tập số phức, PT bậc 2 luôn có 2 nghiệm (không nhất thiết phân biệt) :
2
B
z
A

(Với là một căn
bậc 2 của )
c) Biểu thức đối xứng đối với 2 nghiệm PT bậc hai : (Xem Phụ lục, mục PT bậc hai)
Bổ sung : Cho
12
,zz
là 2 nghiệm của PT
2
0Az Bz C
trên tập số phức. Ta có:
22
1 2 1 2
C
z z z z
A
2
22
1 2 1 2 1 2
4z 4



BC
z z z z z
AA
2
2
2
1 2 1 2
B
z z z z
A



III. TÌM SỐ PHỨC THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC:
Phương pháp:
B1. Gọi số phức cần tìm là
2
, , ; 1z a bi a b i
B2. Thay
z a bi
vào điều kiện cho trước Biến đổi và thu gọn mỗi vế thành dạng một số phức Cho
phần thực, o tương ứng bằng nhau Lập hệ PT 2 ẩn a, b Gii hệ, tìm a, b Kết qu
IV. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC:
Phương pháp:
B1. Trong mặt phẳng Oxy, gọi
; M x y
là điểm biểu diễn số phức
2
, , ; 1z x yi x y i
B2. Biến đổi hệ thức điều kiện ở gi thiết (có chứa số phức z) thành hệ thức có dạng thường gặp sau:
PT, BPT
Tập hợp điểm
PT, BPT
Tập hợp điểm
0ax by c
y ax b
yb
Đường thẳng
0 ax by c
(*)
(Tương tự cho dấu
,,
)
Nửa mặt phẳng chứa điểm có
tọa độ thỏa BPT(*), với bờ là
ĐT
:0d ax by c
(Nếu
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
19
xc
dấu BĐT có dấu bằng thì kể
c bờ)
22
2
x a y b r
Đường tròn tâm
;I a b
,
bán kính r
22
2
x a y b r
Hình tròn tâm
;I a b
,
bán kính r
22
2 2 0x y ax by c
Đường tròn tâm
;I a b
bán kính
22
r a b c
22
2 2 0x y ax by c
Hình tròn tâm
;I a b
,
bán kính
22
r a b c
22
22
1
xy
ab

Elip
22
22
1
xy
ab

Hypebol
2
y ax bx c
2
x ay by c
Parabol
«
Chú ý :
Nếu thay dấu đẳng thức (dấu ‘=’) trong cc PT trên thành cc dấu BĐT
,,,
thì tập hợp điểm
biểu diễn là phần mặt phẳng chứa điểm có tọa độ thỏa mãn BPT, có bờ là đường có PT tương ứng (Kể c bờ nếu
dấu BĐT có dấu bằng)
Nếu
12
,MM
lần lượt biểu diễn số phức
12
,zz
thì
12
MM
biểu diễn số phức
21
zz
và
1 2 1 2
M M z z
ĐẶC BIỆT:
1. Nếu số phức
z
thỏa có tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn tâm
;I a b
, bán kính
R
thì số phức
12
.w z z z
có tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn tâm
'I
biểu diễn
12
'. z z a bi z
và bán kính
1
'.R z R
2. Nếu
.z x y i
thỏa
. . . . . a bi z c d i z e f i
thì
,xy
là nghiệm Hệ PT:
a c x d b y e
d b x a c y f
3.
2
. . 0
2
b i D
a z b z c z
a
, với
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
20
CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN
I. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Khối đa diện
Hộp chữ nhật
Lập phương
Lăng trụ
Chóp
Công thức thể tích
..V abc
3
Va
.V Bh
1
.
3
V B h
Diễn giải
a,b,c là 3 kích thước
a là độ dài cạnh
B là diện tích đy , h là chiều cao
Quy tắc tính thể tích khối đa diện:
B1. Xc định cc yếu tố: đường cao, đy Lập công thức thể tích
B2. Xc định cc đại lượng không gian: cc loại góc không gian, cc loại khong cch,…
B3. Tính toán số đo của cc yếu tố Thay vào công thức thể tích Kết qu.
II. ỨNG DỤNG THỂ TÍCH
1. Công thức tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC và A’, B’, C’ lần lượt thuộc cạnh bên SA, SB, SC. Khi đó:
. ' ' '
.
' ' '
..
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
2. Khoảng cách từ 1 đỉnh đến mặt đối diện của một hình tứ diện (hình chóp tam giác):
.
.
3.
1
. . , ,
3
A BCD
A BCD BCD
BCD
V
V S d A BCD d A BCD
S
III. MỘT SỐ HÌNH ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP
HÌNH CHÓP
H1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc đáy:
Đường cao hình chóp là cạnh bên vuông goc đy.
Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA vuông góc mặt đy
(ABCD) Đường cao của hình chóp là SA
H2. Hình chóp có 2 mặt bên (mặt chéo) cùng vuông góc mặt đáy:
Đường cao hình chóp là đoạn giao tuyến của 2 mặt đó
Ví dụ: Hình chóp S.ABC có 2 mặt (SAB), (SAC) cùng vuông góc
mặt đy (ABC) Đường cao hình chóp là đoạn giao tuyến SA của
2 mặt (SAB), (SAC).
H3. Hình chóp có một mặt bên vuông góc đáy:
Đường cao hình chóp là đường cao của mặt bên đó (hạ từ đỉnh
hình chóp).
Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có (SAB) vuông góc mặt đy (ABCD)
Đường cao SH của tam gic SAB là đường cao hình chóp S.ABCD
H4. Hình chóp đều: là hình chóp có đy là đa gic đều và chân đường cao trùng tâm đy
Tính chất (chung):
- Cc cạnh bên bằng nhau, cạnh đy bằng nhau
- Các mặt bên là những tam gic cân tại đỉnh hình chóp và bằng nhau
- Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là tâm đy)
- Góc giữa cc cạnh bên và mặt đy bằng nhau,
- Góc giữa các mặt bên và mặt đy bằng nhau.
C
D
A
B
S
A
C
B
S
H
C
A
D
B
S
S
A
C
B
A'
B'
C'
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
21
1) Hình chóp tam giác đều:
a) Tính chất (riêng):
Mặt đy là tam gic đều
Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là giao điểm
2 đường trung tuyến của tam gic đy)
Góc giữa cạnh bên và mặt đy là:
SAH SBH SCH
.
Góc giữa mặt bên và mặt đy là:
SIH
(với I là trung điểm
cạnh đy)
b) Công thức liên hệ: Cho hình chóp tam gic đều có cạnh đy a,
cạnh bên b, chiều cao h, góc giữa cạnh bên và mặt đy , góc giữa
mặt bên và mặt đy . Khi đó:
. 3.cos
.sin
.tan
3
ab
hb
a
h
2
22
.tan
23
3
a
h
a
bh

2
13
.
34




V a h
Cách vẽ hình chóp tam giác đều S.ABC
(hoặc tứ diện đều):
Vẽ đy ABC Dựng trọng tâm H (Là giao
điểm 2 đường trung tuyến) Vẽ SH vuông
góc (ABC) Vẽ cc cạnh bên
3) Hình tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng
cạnh đy (hình chóp tam gic có tất c cc cạnh bằng nhau.
Cho khối tứ diện đều cạnh a, chiều cao h, khong cch giữa 2 cạnh
đối diện d. Ta có:
6
3
ha
2
2
da
3
2
12
a
V
3). Hình chóp tứ giác đều
a) Tính chất (riêng):
Mặt đy là hình vuông
Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là giao điểm
2 đường chéo của đy hình vuông)
Góc giữa cạnh bên và mặt đy là:
SAH SBH SCH SDH
.
Góc giữa mặt bên và mặt đy là:
SIH
(với I là trung điểm
cạnh đy)
b) Công thức liên hệ:
. 2.cos
.sin
.tan
2
ab
hb
a
h
2
22
2
.tan
2
a
bh
a
h

2
1
.
3
V a h
Cách vẽ hình chóp tứ giác đều S.ABCD:
Vẽ đy hình bình hành ABCD Vẽ H là
giao điểm của hai đường chéo AC & BD
Vẽ SH vuông góc (ABCD) Vẽ cc cạnh
bên
H5. Hình chóp có tất cả cạnh bên bằng nhau:
Đường cao hình chóp là đoạn thẳng hạ từ đỉnh hình chóp đến tâm
đường tròn ngoại tiếp của đa gic đy.
Ví dụ: Hình chóp S.ABC cc cạnh bên SA, SB, SC bằng nhau và đy
ABC là tam gic vuông tại B Đường cao hình chóp là SI, với I là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam gic ABC (I là trung điểm AC)
H6. Tứ diện vuông: (Tứ diện có 3 mặt là 3 tam gic vuông tại cùng
một đỉnh)
Chân đường cao ứng với đỉnh vuông là trực tâm mặt đối diện với
đỉnh vuông.
Ví dụ: Hình chóp S.ABC có mặt bên SAB, SBC, SCA là tam giác
vuông tại S Đường cao SH, (với H là trực tâm tam giác ABC)
Gc gia cnh
bên v mt đy
Gc gia mt
bên v mt đy
β
h
S
C
B
A
H
β
I
S
H
D
C
B
A
Gc gia cnh
bên v mt đy
Gc gia mt
bên v mt đy
I
B
C
A
S
H
S
B
C
A
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
22
HÌNH LĂNG TRỤ
Tính chất: Hình Lăng trụ có:
+ Cc cạnh bên song song và bằng nhau;
+ Cc mặt bên là hình bình hành;
+ Hai mặt đy song song và bằng nhau;
+ Đường cao là đoạn thẳng nối từ một điểm thuộc đy này đến hình chiếu của nó lên đy
kia;
+ Góc giữa cc cạnh bên và mặt đy đều bằng nhau;
+ Góc giữa cc mặt bên và mặt đy đều bằng nhau;
Lăng trụ đứng: là lăng trụ có cc
cạnh bên vuông góc với đy
Đường cao là cc cạnh bên A’A,
B’B, C’C
Lăng trụ đều: là lăng trụ đứng có
đy là đa gic đều
Đường cao là cc cạnh bên A’A,
B’B, C’C
Hình hộp: là lăng trụ có đy là
hình bình hành
Đường cao: A’H (với H là hình
chiếu của A’ lên (ABC)
Hình hộp đứng: là hình hộp có cc
cạnh bên vuông góc đy (đy là
hình bình hành)
Đường cao: A’A, B’B, C’C, D’D
Hình hộp chữ nhật: là hình hộp
đứng có đy là hình chữ nhật (có 6
mặt đều là hình chữ nhật)
Đường cao: A’A, B’B, C’C, D’D
Hình lập phương: là hình hộp có 6
mặt dều là hình vuông
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Loại
;pq
Tên gọi
Hình vẽ
Số mặt (m)
Số cạnh (c)
Số đỉnh (d)
Số MP đối xứng
3;3
Tứ diện
đều
4
6
4
6
4; 3
Khối lập
phương
6
12
8
9
3; 4
Bt diện
đều
8
12
6
9
5; 3
Thập nhị
diện đều
12
30
20
15
3; 5
Nhị thập
diện đều
20
30
12
15
Chú ý: Gi sử khối đa diện đều loại
;pq
có m mặt, c cạnh và d đỉnh. Khi đó:
. 2 .p m c q d
C'
B'
B
C
A'
A
h
C'
B'
B
C
A'
A
h
h
φ
H
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
A'
D'
C'
B
C
B'
A
h
D
B'
C'
D'
C
A
B
D
A'
B'
C'
D'
C
A'
D
B
A
H
A
B
C
A'
B'
C'
h
φ
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
23
IV. CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN ABCD
1
. .d , .sin ,
6
V AB CD AB CD AB CD
1
.
6
tdABCD
V AB AC AD
Tứ diện ABCD có cc cặp cạnh đối bằng nhau
,,AB CD a AC BD b AD BC c
có thể tích:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
12
V a b c a b c a b c
Tứ diện có độ dài cc cặp cạnh đối diện lần lượt là
1 1 1
, ; ; ; ,a a b b c c
có thể tích:
1
12
V A B C D
Với:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ;
;
A a a a b c a b c B b b a b c a b c
C c c a b cc a b c D abc ab c a bc a b c
Tứ diện ABCD vuông tại A (có AB, AC, AD đôi một vuông góc) và
,,AB a AC b AD c
có thể tích:
6
abc
V
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
24
CHỦ ĐỀ 6: KHỐI TRÒN XOAY
I. THỂ TÍCH, DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN XOAY
Quy tắc tính thể tích, diện tích hình tròn xoay:
B1. Xc định cc yếu tố: Đường cao, đường sinh, bn kính Lập công thức thể tích, diện tích,…
B2. Xc định cc đại lượng không gian: Các loại góc không gian, khong cch,…
B3. Tính ton số đo của cc yếu tố Thay vào công thức thể tích Kết qu.
II. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HÌNH TRÒN XOAY VÀ HÌNH ĐA DIỆN
3) Ngoại tiếp, nội tiếp:
Quan hệ nội tiếp, ngoại tiếp
Điều kiện
Hình nón ngoại (nội) tiếp hình chóp
Hai đỉnh trùng nhau và đy hình nón ngoại (nội) tiếp đy hình chóp
Hình trụ ngoại (nội) tiếp Lăng trụ đứng
Hai đy hình trụ ngoại (nội) tiếp hai đy hình lăng trụ
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
Mặt cầu đi qua tất c cc đỉnh của hình đa diện
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện
Mặt cầu tiếp xúc với tất c cc mặt của hình đa diện
Mặt cầu ngoại tiếp Hình chóp
Đy của hình chóp nội tiếp được đường tròn.
Mặt cầu ngoại tiếp Hình lăng trụ
Đy của hình lăng trụ nội tiếp được đường tròn.
Chú ý: Tứ diện (hình chóp tam giác) luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
4) Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
Cách 1: Vẽ trục d của đa giác đy Trong mặt phẳng chứa cạnh bên và trục đy, vẽ đường trung trực của
cạnh bên đó Tâm mặt cầu ngoại tiếp:
Id
và bán kính:
...r IS IA IB
.
Cách 2: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục mặt đy và trục một mặt bên.
Chú ý:
Trục của đa giác là đường thẳng vuông góc mặt phẳng chứa đa gic tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa gic
đó.
Hình vẽ trục của tam gic đều
Hình vẽ trục của tam giác vuông
Hình vẽ trục của hình chữ nhật hay
hình vuông
d
O
A
C
B
d
I
B
C
A
d
A
O
D
B
C
Hình nón
Hình trụ
Hình cầu
Hình vẽ và
các yếu tố
Chiều cao: h
Bn kính đy: r
Độ dài đường sinh: l
Chiều cao: h
Bán kính: r
Bán kính: r
Diện tích
xung quanh
xq
S rl
2
xq
S rl
2
4Sr
Diện tích
toàn phần
2

tp xq d
S S S rl r
2
2. 2 2.

tp xq d
S S S rl r
2
4Sr
Thể tích
2
1
..
3
V r h
2
..V r h
3
4
.
3
Vr
l
h
r
h
r
r
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
25
5) Hình vẽ Tâm và công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của một số hình chóp thường gặp
H1. Hình chóp S.ABCD có đáy là
hình chữ nhật (hay hình vuông) và
SA vuông góc đáy
2 2 2
1
22
SC
r SA AB AD
H2. Hình chóp S.ABC có đáy là tam
giác vuông tại B và SA vuông góc đáy
2
SC
r SI
H3. Hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
2
2
SA
r SI
SO

H4. Hình chóp tam giác đều S.ABC
2
2
SA
r SI
SO

H5. Tứ diện vuông: Hình chóp S.ABC
có đáy ABC vuông tại A và SA vuông
góc mặt đáy (Hình chóp tam giác có 3
cạnh bên đôi một vuông góc)
2 2 2
1
2
r IA AS AB AC
H6. Hình chóp S.ABC có đáy là
tam giác đều và SA vuông góc
đáy
22
43
SA AB
r IA
H7. Hình chóp tam giác có 1 mặt
bên vuông góc mặt đáy.
VD: Cho hình chóp S.ABC có mặt
bên SAB cân tại S và vuông góc
mặt đáy ABC đều. Khi đó, tâm I
của mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm
của trục đáy IO và trục của mặt
bên IG.
2 2 2
r IB HB HG HO
H8. Hình chóp tam giác có 1 mặt bên
vuông góc mặt đáy.
VD: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên
SAB cân tại S và vuông góc mặt đáy
ABC vuông tại C. Khi đó, tâm I của
mặt cầu ngoại tiếp là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác SAB. (Nếu SAB
vuông cân tại S thì I trùng H là trung
điểm AB).
22
r IB HB HI
H9. Hình chóp tứ giác có 1 mặt
bên vuông góc mặt đáy.
VD: Cho hình chóp S.ABCD có
mặt bên SAB cân tại S và vuông
góc mặt đáy ABCD là hình chữ
nhật.. Khi đó, tâm I của mặt
cầu ngoại tiếp là giao điểm của
trục đáy IO và trục của mặt bên
IG.
2 2 2
r IB HB HG HO
6) Hình vẽ Tâm và công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình Lăng trụ đứng
Tâm I là trung điểm đoạn thẳng nối 2 tâm đường tròn
ngoại tiếp 2 đy (Trục của Lăng trụ đứng)
Bán kính
2
2
'
2
AA
r IA R



(Với R là bán kính
đường tròn đa gic đy)
Hình vẽ tâm mặt cầu
ngoại tiếp Lăng trụ
tam gic đều
M
I
O
C
D
A
B
S
M
I
A
C
B
S
M
O
C
B
D
A
S
I
M
O
S
B
C
A
I
I
M
N
A
C
B
S
M
O
B
C
A
I
S
H
A
C
B
S
I
G
O
H
S
B
C
A
I
O
H
I
S
D
A
C
B
G
I
O'
O
C'
B'
C
A'
B
A
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
26
CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ
1) Tóm tắt lý thuyết và công thức:
f) Tọa độ của điểm :
. . . ; ;OM x i y j z j M x y z
Tọa độ điểm đặc biệt:
Điểm trên MP tọa độ
( ; ;0)M Oxy M x y
(0; ; )N Oyz N y z
( ;0; )K Oxz K x z
Điểm trên trục tọa độ
( ;0;0)M Ox M x
(0; ;0)N Oy N y
(0;0; )K Oz K z
M là trung điểm AB
;;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M



G là trọng tâm tam
giác ABC
;;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G



G là trọng tâm tứ giác
(hay tứ diện) ABCD
;;
4 4 4
A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z x
G



g) Tọa độ của vectơ:
1 2 3 1 2 3
. . . ; ;a a i a j a j a a a a
Tọa độ vectơ đơn vị:
1;0;0i
,
0;1;0j
,
0;0;1k
lần lượt là vectơ đơn vị của trục Ox, Oy, Oz
h) Phép toán vectơ: Cho
1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ;a a a a b b b b
Cộng, trừ:
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b
Tích vô hướng:
1 1 2 2 3 3
. . . .ab a b a b a b
Tích có hướng:
2 3 1 3
12
2 3 1 3
12
, = ; ;
a a a a
aa
a b a b
b b b b
bb




Nhân 1 số với 1 vectơ:
1 2 3
. ; ;k a ka ka ka
Độ dài vectơ:
222
1 2 3
a a a a
Góc giữa 2 vectơ:
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
.
cos ,
.
.
a b a b a b
ab
ab
ab
a a a b b b

Tọa độ vectơ cố định:
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
Độ dài đoạn thẳng (Độ dài vectơ cố định):
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z
i) Quan hệ vectơ:
11
22
33
ab
a b a b
ab
,
na
n a b
nb



,ab
cùng phương
11
22
33
.
..
.
a k b
a k b a k b
a k b
,,abc
đồng phẳng
, . 0



a b c
1 1 2 2 3 3
. 0 . . . 0a b ab a b a b a b
2) Ứng dụng tích có hướng:
A,B,C thẳng hàng
0AB AC
A, B, C, D đồng phẳng
.0AB AC AD
ABCD là hình bình hành
(
AB DC
và
0AB AC
)
ABCD là một hình tứ diện (hay A, B, C, D không đồng phẳng)
.0AB AC AD
1
2
ABC
S AB AC
hbhABCD
S AB AC
1
.
6
tdABCD
V AB AC AD
. ' ' ' '
.'
hhABCD A B C D
V AB AC AA
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
27
II. MẶT PHẲNG
1) Tóm tắt lý thuyết
1. Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng: Vectơ
0n
có giá vuông góc
mp
gọi là VTPT của
mp
2. Phương trình: Mặt phẳng() qua
;;
o o o
M x y z
và có vectơ php tuyến
( ; ; )n A B C
có phương trình dạng:
0 0 0
0A x x B y y C z z
(1)
Chú ý :
Nếu mặt phẳng() có phương trình
0 Ax By Cz D
(2) thì mặt phẳng() có 1 VTPT
( ; ; )n A B C
Phương trình cc mặt phẳng tọa độ:
: 0 Oyz x
:0Oxz y
: 0Oxy z
Trường hợp riêng:
0 Ax By Cz
: Qua gốc tọa độ O
0 By Cz D
: Song song trục
Ox
0 Ax Cz D
: Song song trục
Oy
0 Ax By D
: Song song trục
Oz
Mặt phẳng đi qua
;0;0 0; ;0 0;0;,, A a B b C c
có PT dạng:
1
x y z
a b c
0, 0, 0abc
Điều kiện để xác định VTPT của mặt phẳng:
1) Dùng định nghĩa:
0n
và có givuông góc với mặt phẳng(α)
n
là VTPT của mặt phẳng(α)
2) Nếu mặt phẳng(α) song song hoặc chứa gi
,ab
(không cùng phương) thì
n a b
là một VTPT của mặt
phẳng(α)
2) Phương pháp Lập phương trình mặt phẳng
Cách 1: Xác định yếu tố: Điểm đi qua và VTPT (như bảng dưới đây)
B1. Từ githiết, xc định cc vectơ và cc yếu tố khc (nếu cần)
B2. Xc định tọa độ VTPT và tọa độ một điểm của mặt phẳng
B3. Thay vào PT (1) Thu gọn và kết luận
Cách 2: Xác định hệ số
B1. Gọi PT mặt phẳng đã cho có dạng:
z 0,(2)Ax By C D
B2. Từ gi thiết, xc định 4 hệ số A, B, C, D (kiểm tra điều kiện, nếu có)
B3. Thay vào PT (2) Kết luận
Dạng
Tính chất của mặt phẳng(
) (giả thiết cho)
Đi qua điểm
VTPT
1
Qua 3 điểm A, B, C
A, B, C
,n AB AC


2
Là mặt phẳng trung trực đoạn AB
M là trung điểm AB
n AB
3
Qua M và song song
( 0): Ax By Cz D
M
( ; ; )n n A B C


4
Qua M và vuông góc đường thẳng (d)
M
d
na
Qua M và vuông góc đường thẳng AB
M
n AB
5
Qua A, B và song song (d)
A hoặc B
,
d
n AB a


Qua A, B và song song CD
A hoặc B
,n AB CD


Chứa (d) và song song (d’)
Lấy M
(d)
'
,
dd
n a a


Chứa (d) và song song AB
Lấy M
(d)
,
d
n a AB


6
Qua 2 điểm M, N và vuông góc mặt phẳng(
)
M hoặc N
,n MN n



Chứa (d) và vuông góc mặt phẳng (
)
Lấy M
(d)
,
d
n a n



7
Qua điểm M và vuông góc 2 mặt phẳng (
), (γ)
M
,n n n


8
Qua điểm M và ssong 2 đường thẳng (d), (d’)
M
'
,
dd
n a a


9
Qua điểm M, vuông góc mp(
) và ssong đường thẳng
(d)
M
,
d
n a n



Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
28
Dạng
Tính chất của mặt phẳng(
) (giả thiết cho)
Đi qua điểm
VTPT
10
Chứa (d) và đi qua M
(d)
M hoặc Lấy N
(d)
,
d
n MN a


11
Chứa 2 đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau
Lấy M
(
)
hay M
(d)
'
,
dd
n a a


12
Chứa 2 đường thẳng (d) và (d’) ssong nhau
Lấy M
(
),
N
(d)
,
d
n a MN


hay
'
,
d
n MN a


ĐẶC BIỆT: Mặt phẳng
cắt 3 trục tọa độ tại A, B, C sao cho
;;H a b c
là trực tâm
ABC
PT
2 2 2
: z 0ax by c a b c
III. ĐƯỜNG THẲNG
1) Tóm tắt lý thuyết
1. Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:
ĐN: Vectơ
0a
và có gi song song hoặc trùng với đường thẳng (d) gọi là VTCP của đường thẳng (d)
2. Phương trình: Đường thẳng d đi qua
;;
o o o
M x y z
và có VTCP
1 2 3
;;a a a a
, có:
Phương trình tham số :
1
2
3
,
o
o
o
x x a t
y y a t t
z z a t


(1); Phương trình chính tắc:
0 0 0
1 2 3
1 2 3
. . 0
x x y y z z
a a a
a a a

(2)
Chú ý:
Phương trình các trục tọa độ:
:0
0
xt
Ox y
z
0
:
0
x
Oy y t
z
0
:0
x
Oz y
zt
Điều kiện để xác định VTCP của đường thẳng:
1) Dùng định nghĩa:
0a
và có giá ssong hoặc trùng (d)
a
là VTCP của (d)
2) Nếu (d) vuông góc giá
,ab
(không cùng phương) thì
u a b
là một VTCP của (d)
2) Phương pháp Lập phương trình đường thẳng:
Phương pháp: Xác định yếu tố: Điểm đi qua và VTCP (như bảng dưới đây)
B1. Từ githiết, xc định cc vectơ và cc yếu tố khc liên quan (nếu cần)
B2. Xc định tọa độ VTCP và tọa độ một điểm của đường thẳng
B3. Thay vào PT tham số hay PT chính tắc
Dạng
Tính chất của đường thẳng d
(giả thiết cho)
Đi qua điểm
VTCP
1
Qua A, B
A, B
d
a AB
2
Qua A và song song đường thẳng
A
d
aa
3
Qua A và vuông góc mặt phẳng(
)
A
d
an
4
Qua A và vuông góc 2 đường thẳng d
1
, d
2
A
12
,
d d d
a a a


5
Qua A, ssong 2 mp (
) và (β) (hay ssong
mp(
) và chứa trong mp(β))
A
,
d
a n n



6
Là giao tuyến của mp(
) và mp(β)
I

,
d
a n n



7
Qua A, vuông góc đường thẳng
và ssong
(hay chứa trong) mặt phẳng(
)
A
,
d
a a n


8
Qua A, vuông góc đường thẳng d
1
và cắt
đường thẳng d
2
A
1
,
dd
a a n


(Với (
) là
mặt phẳng qua A và d
2
)
9
Qua A, vuông góc và cắt đường thẳng
A
d
a AB
(Với B là h/chiếu
của A lên
)
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
29
Dạng
Tính chất của đường thẳng d
(giả thiết cho)
Đi qua điểm
VTCP
,,
d
a a AM a





(Với
M 
)
10
Là hình chiếu của đường thẳng
lên
mp(
)
A’ và B’ (lần lượt là
h/chiếu của A, B lên (
);
lấy
, A B d
)
''
d
a A B
11
Qua A và cắt 2 đường thẳng d
1
, d
2
A
12
, , ,
d d d
a a AM a AN


(Lấy
12
,M d N d
)
12
Qua A và cắt đường thẳng
và ssong
mp(
)
A
,,
d
a a AM n




(Với
M 
)
13
Là đường vuông góc chung của d
1
, d
2
chéo nhau
2
Ad

(Với mp(
) qua
1
Md
và
có VTPT
1
,
dd
n a a


)
12
,
d d d
a a a


IV. MẶT CẦU
1) Tóm tắt lý thuyết
a. Phương trình:
Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính r có dạng:
2 2 2
2
x a y b z c r
(1)
Phương trình dạng:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
(2) (với
2 2 2
0a b c d
) là phương trình mặt
cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và bn kính
2 2 2
r a b c d
2) Phương pháp Lập phương trình mặt cầu:
Cách 1: Xác định yếu tố: Tâm và bán kính, (như bảng dưới đây)
B1. Từ gi thiết, xc định cc vectơ và cc yếu tố khc liên quan (nếu cần)
B2. Xc định tọa độ tâm và bn kính của mặt cầu
B3. Thay vào PT (1).
Dạng
Tính chất của mặt cầu (giả thiết cho)
Tâm
Bán kính
1
Mặt cầu (S) tâm I đi qua A
I
r = IA
2
Mặt cầu (S) đường kính AB
I là trung điểm AB
2
AB
r
3
Mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc mặt phẳng(
)
I
r = d(I, (
))
4
Mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc đường thẳng
I
r = d(I,
)
Cách 2 : Xác định hệ số
B1. Gọi mặt cầu đã cho có PT dạng
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
, (2)
B2. Từ gi thiết lập hệ 4 PT ẩn a, b, c, d Gii tìm a, b, c, d
B3. Thay vào PT (2)
Dạng 5: Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD (hay đi qua 4 điểm A, B, C, D)
+ Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
(2)
+
, , , A B C D S
Tọa độ 3 điểm A, B, C, D thỏa mãn PT(2) Thay tọa độ A, B, C, D vào PT(2),
Ta được hệ 4 phương trình 4 ẩn a, b, c, d.
+ Gii hệ tìm a, b, c, d
Dạng 6: Mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A, B, C và tâm I
(α)
+ Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
(2) tâm
;;I a b c
+ A, B, C
(S) Tọa độ 3 điểm A, B, C thỏa mãn PT(2) Thay tọa độ 3 điểm A, B, C vào PT(2), Ta
được 3 phương trình 4 ẩn a, b, c, d.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
30
+ Tâm
;;I a b c
(α) a, b, c thỏa mãn phương trình mặt phẳng(α) Thay a, b, c vào phương trình
mặt phẳng(α), ta được thêm 1 PT 4 ẩn a, b, c, d.
+ Gii hệ 4 phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 7: Mặt cầu (S) đi qua 2 điểm A, B và tâm I
(d)
Cách 1: Đường thẳng (d) cho bởi phương trình tham số
+
Id
0 1 0 2 0 3
;;I x a t y a t z a t
+
, A B S
22
AI BI
Ta được phương trình ẩn t Gii tìm t Thay t, tìm tọa độ điểm I
Cách 2: Đường thẳng (d) cho bởi phương trình chính tắc:
+ Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
(2) tâm
;;I a b c
+
, A B S
tọa độ điểm A, B thỏa mãn PT(2) Thay tọa độ A, B vào PT(2), Ta được 2 phương trình
4 ẩn a, b, c, d.
+ Tâm
,,I a b c d
a, b, c thỏa mãn phương trình đường thẳng (d) Thay a, b, c vào phương trình
đường thẳng (d), ta được thêm 2 PT 3 ẩn a, b, c
+ Gii hệ 4 phương trình trên tìm a, b, c, d
3) Phương trình tiếp diện của mặt cầu:
Dạng 1: Mặt phẳng (
) tiếp xúc mặt cầu (S) tại A mặt phẳng() qua A và có vtpt
n IA
Dạng 2: Mặt phẳng (
) tiếp xúc (S) và vuông góc đường thẳng
(có vtcp
1 2 3
;;a a a a
)
+ Mặt phẳng() vuông góc mặt phẳng(α) nhận
1 2 3
;;a a a a
làm vtpt PT mặt phẳng() có dạng:
1 2 3
0a x a y a z m
(m chưa biết)
+ Mặt phẳng () tiếp xúc (S)
( )),(d I r
Gii tìm m
Dạng 3: Mặt phẳng (
) tiếp xúc (S) và song song với mặt phẳng(β) (có VTPT
;;n A B C
)
+ Mặt phẳng() song song (β) mặt phẳng(α) nhận
;;n A B C
làm VTPT PT mặt phẳng() có
dạng:
0Ax By Cz D
(D chưa biết)
+ Mặt phẳng () tiếp xúc (S)
( )),(d I r
Gii tìm D
Dạng 4: Mặt phẳng (
) tiếp xúc (S) và song song 2 đường thẳng (d
1
), (d
2
) :
+ Mặt phẳng() song song 2 đường thẳng (d
1
)
,
(d
2
) VTPT của mặt phẳng(α) là
12
,
dd
n a a


PT mặt phẳng() có dạng:
0Ax By Cz D
(D chưa biết)
+ Mặt phẳng () tiếp xúc (S)
( )),(d I r
Gii tìm D
4) Tìm tiếp điểm H của mặt cầu (S) và mặt phẳng (
) ( H là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng())
Như dạng ton tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng
5) Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu:
Cho đường thẳng
1
2
3
:
o
o
o
x x a t
d y y a t
z z a t



(1) và mặt cầu
2 2 2
2
( ):S x a y b z c r
(2)
+ Thay phương trình đường thẳng d (1) vào phương trình mặt cầu (2), gii tìm t,
+ Thay t vào (1), tìm được tọa độ giao điểm
6) Tìm bán kính r’ và tâm H của đường tròn (C) (Là thiết diện của mặt phẳng(
) và mặt cầu (S))
+ Bán kính
22
',r r d I

(với I là tâm và r là bn kính mặt cầu (S))
+ Tìm tâm H là h/chiếu của tâm I trên mặt phẳng()
V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
1 1 1 1 2 2 2 2
:() 0 : 0Ax B y C z D và A x B y C z D
1 1 1 2 2 2
12
( ; ; ) ( ; ; )
( ) ( )
.
A B C k A B C
D k D


1 1 1 2 2 2
12
( ; ; ) ( ; ; )
( )/ /( )
.
A B C k A B C
D k D

Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
31
1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ; ; ) ( ; ; )d A B C k A B C

1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0A A B B C C

2. Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng: ĐT
1
2
3
:
o
o
o
x x a t
d y y a t
z z a t



và
mp : 0 Ax By Cz D
Lập PT tương giao giữa ĐT (d) và MP (
):
0 1 0 2 0 3
0 A x a t B y a t C z a t D
(*), (t là ẩn)
(*) vô nghiệm
)//(da
(*) có đúng 1 nghiệm
0
tt
0 1 0 0 2 0 0 3 0
; ; d M x a t y a t z a t
(*) vô số nghiệm
()da
3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:
Cho
2 2 2
2
( ):S x a y b z c r
(tâm I, bán kính r) và
( 0) : Ax By Cz D
, dI r
) (S

(
) không cắt (S)
, dI r
()SH
(
) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (
): tiếp diện)
, dI r
'( ;)S C H r
(
) cắt (S) theo một đường tròn tâm H (là h/chiếu của I lên (
)) và
bán kính
22
'r r d
4. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng :
1
2
3
:
o
o
o
x x a t
d y y a t
z z a t



và
1
2
3
' ' . '
' : ' ' . '
' ' . '
o
o
o
x x a t
d y y a t
z z a t



Lập Hệ PT tương giao giữa (d) và (d’):
11
22
33
' ' . '
' ' . ' (I)
' ' . '
oo
oo
oo
x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t
. Khi đó:
VTTĐ
Điều kiện
VTTĐ
Điều kiện
d cắt d’
HPT (I) có đúng 1 nghiệm
00
; ' ; 't t t t
d // d’
HPT (I) vô nghiệm
và
1 2 3 1 2 3
; ; ' ; ' ; 'a a a k a a a
'dd
HPT (I) có vô số nghiệm
d chéo d’
HPT (I) vô nghiệm
và
1 2 3 1 2 3
; ; ' ; ' ; 'a a a k a a a
5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:
Cho mặt cầu
S
có tâm I, bán kính r và đường thẳng
. Ta có:
, dI r
S  
không cắt (S)
, dI r
SH
tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm,
: tiếp tuyến)
, dI r
;S A B
cắt (S) tại 2 điểm A, B
VI. KHOẢNG CÁCH
Khoảng cách
Cách tính & Công thức
1. Từ điểm
0 0 0
; ;M x y z
đến mặt phẳng
( 0): Ax By Cz D
2 2 2
,
o o o
Ax By Cz D
dM
A B C

2. Giữa ĐT
1
2
3
:


o
o
o
x x a t
y y a t
z z a t
và MP
( 0): Ax By Cz D
song song
Với
1 2 3
; ; ; ;a a a k A B C
Bằng khong cch từ 1 điểm thuộc ĐT
đến MP
.
Cho
0t
vào PT ĐT
, ta tìm được
0 0 0
; ; M x y z
2 2 2
,


o o o
Ax By Cz D
d
A B C
3. Giữa 2 MP
( 0): Ax By Cz D
và
: ' ') '0( 'A x B y C z D
song song
Với
'; '; ' ; ;A B C k A B C
Bằng khong cch từ 1 điểm thuộc MP này đến MP kia.
Cho 2 số vào 2 ẩn của PT MP
tính được ẩn còn
lại Ta được điểm
0 0 0
; ;M x y z
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
32
2 2 2
,
o o o
Ax By Cz D
d
A B C


4. Từ điểm M đến đường thẳng
0
0
, ,
M M a
d M M
a
5. Giữa 2 đường thẳng song song
,d
Bằng khong cch từ 1 điểm thuộc ĐT nầy đến ĐT kia.
Lấy điểm
Md
. Khi đó:
,,d d d M
6. Giữa 2 đường thẳng chéo nhau
,d
.
, , ,
d
d
AB a a
d d A d B
aa
VII. GÓC
Góc
Cách tính & Công thức
1.
ABC
:
.
cos
.
BA BC
ABC
BA BC
2. Giữa 2 vectơ:
.
cos ,
.
ab
ab
ab
3. Giữa hai MP
,

(Có lần lượt 2 VTPT
,nn

)
.
cos ,
.
nn
nn



4. Giữa hai ĐT
,d
(Có lần lượt 2 VTCP
,
d
aa
)
.
cos ,
.
d
d
aa
d
aa

5. Giữa ĐT
và MP
(
có 1 VTCP
a
và
có 1 VTPT
n
)
.
sin ,
.
an
an

VIII. HÌNH CHIẾU, ĐIỂM ĐỐI XỨNG
1. Tìm H là hình chiếu của M lên
):( 0mp Ax By Cz D
Cách 1. H là hình chiếu của M lên
()
()
.
H
MH k n
0
.
.
.
H H H
HM
HM
HM
Ax By Cz D
x x A k
y y B k
z z C k



Gii HPT, tìm được tọa độ điểm H
Cách 2. Lập PT (tham số) đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp(
):
,
M
M
M
x x At
y y Bt t
z z Ct


Lập PT tương giao giữa (d) và (
):
0
M M M
A x At B y Bt C z Ct D
Gii tìm t
Thay t vào PT
d
Ta được tọa độ điểm H
d
H
M
M
M'
H
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
33
ĐẶC BIỆT. Công thức tính nhanh:
Lập PT:
0
M M M
A x At B y Bt C z Ct D
Gii tìm t Thay t vào 3 biểu thức trong dấu
ngoặc Tính được tọa độ hình chiếu H.
2. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (
)
Tìm hình chiếu H của M lên mặt phẳng() H là trung điểm của MM’ Tọa độ M’:
'
'
'
2
2
2
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y
z z z



3. Tìm H là hình chiếu của M lên đường thẳng
1
2
3
:
o
o
o
x x a t
d y y a t
z z a t



Cách 1. H là hình chiếu của M lên
d
()
d
Hd
MH u
.0
d
Hd
MH a
1
2
3
1 2 3
. . . 0
Ho
Ho
Ho
H M H M H M
x x a t
y y a t
z z a t
x x a y y a z z a



Gii hệ PT, tìm tọa độ điểm H.
Cách 2. Lập PT mp(
) qua M và vuông góc ĐT (d):
1 2 3
. . . 0
M M M
x x a y y a z z a
Đưa về
dạng:
1 2 3
0a x a y a z n
Lập PT tương giao giữa (d) và (
):
1 0 1 2 0 2 3 0 3
0a x a t a y a t a z a t n
Gii tìm t;
Thay t vào PT
d
Ta được tọa độ điểm H
ĐẶC BIỆT. Công thức tính nhanh:
Lập PT:
1 0 1 2 0 2 3 0 3
0
M M M
a x a t x a y a t y a z a t z
Gii tìm t Thay t vào PT ĐT d
Tính được tọa độ hình chiếu H.
4. Tìm Điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng (d):
Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d) H là trung điểm của MM’ Tọa độ
'
'
'
2
': 2
2
M H M
M H M
M H M
x x x
M y y y
z z z



HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ, TRỤC TỌA ĐỘ
Hình chiếu của điểm
;;M a b c
lên
Oxy
là
; ;0H a b
Hình chiếu của điểm
;;M a b c
lên
Ox
là
;0;0Ha
Oxz
là
;0;H a c
Oy
là
0; ;0Hb
Oyz
là
0; ;H b c
Oz
là
0;0;Hc
IX. TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA ĐIỀU KIỆN “LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT”
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm M thuộc
mp
sao cho
MA MB
nhỏ nhất.
TH1: Nếu A, B khc phía so với
mp
thì
M AB

TH2: Nếu A, B cùng phía so với
mp
thì
'M AB

, với B’ là hình chiếu của B lên
mp
hay
'M A B

, với A’ là hình chiếu của A lên
mp
Chú ý: Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng:
Cho hai điểm
; , ;
M M N N
M x y N x y
và mặt phẳng
:0Ax By Cz D
. Khi đó:
M và N nằm cùng phía đối với
mp
0
M M M N N N
Ax By Cz D Ax By Cz D
M và N nằm khc phía đối với
mp
0
M M M N N N
Ax By Cz D Ax By Cz D
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
34
Dạng 2: Tìm tọa độ điểm M thuộc
mp
(hay ĐT
) sao cho
22
MA MB
nhỏ nhất.
Tìm H, K lấn lượt là hình chiếu của A, B lên
mp
(hay
) M là trung điểm HK.
Dạng 3: Tìm tọa độ điểm M thuộc
mp
(hay ĐT
) sao cho
MA MB
nhỏ nhất.
Tìm I là trung điểm AB M là hình chiếu của I lên
mp
(hay
).
X. TỌA ĐỘ CÁC TÂM CỦA TAM GIÁC
G là trọng tâm tam giác ABC
;;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G



H là trực tâm tam giác ABC
.0
.0
HA BC
HB AC
H ABC
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
.0
.0
IM BC
IN AC
I ABC
(Với M, N lần lượt là trung điểm BC, AC)
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
. . . 0BC IA CAIB AB IC
. . .
. . .
. . .
A B C
I
A B C
I
A B C
I
BC x CA x AB x
x
BC CA AB
BC y CA y AB y
y
BC CA AB
BC z CA z AB z
z
BC CA AB






Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
35
PHỤ LỤC
(KIẾN THỨC 10, 11)
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. NHỊ THỨC BẬC NHẤT:
Cho nhị thức bậc nhất
0f x ax b a
x
–∞
b
a
+∞
f(x)
Trái dấu a
0
Cùng dấu a
II. TAM THỨC BẬC 2, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:
1) Công thức tính nghiệm PT
2
0, 0ax bx c a
. Tính
2
4b ac
hay
2
' ' , '
2
b
b ac b



Dấu
Nghiệm PT
Dấu
'
Nghiệm PT
0
PT có 2 nghiệm phân biệt
2
b
x
a
'0
PT có 2 nghiệm phân biệt
''b
x
a
0
PT có nghiệm kép
2
b
x
a
'0
PT có nghiệm kép
'b
x
a
0
PT vô nghiệm.
'0
PT vô nghiệm.
Nhẩm nghiệm PT bậc hai:
Dấu hiệu
Công thức nghiệm
Dấu hiệu
Công thức nghiệm
0abc
1;
c
xx
a

0a b c
1;
c
xx
a
2
0ax bx
0;
b
xx
a

2
0ax c
Vô nghiệm,
0c
c
x
a

,
0c
1ac b
1
;x c x
a
1ac b
1
;x c x
a

2) Dấu tam thức bậc hai
2
, 0f x ax bx c a
,
2
4b ac
0
0
0
x
–∞ +∞
x
–∞
2
b
a
+∞
x
–∞
x
1
x
2
+∞
f(x)
Cùng dấu a
f(x)
Cùng
dấu a
0
Cùng
dấu a
f(x)
Cùng
dấu a
0
Trái
dấu a
0
Cùng
dấu a
3) Điều kiện để tam thức bậc 2 không đổi dấu trên tập số thực:
2
00
0 0 ,
0
aa
ax bx c x


2
00
0 0 ,
0
aa
ax bx c x


4) Dấu nghiệm phương trình bậc hai:
Cho phương trình
2
0 (*)ax bx c
(với
2
4b ac
,
12
.
c
P x x
a

,
12
b
S x x
a
). Khi đó, ta có:
Nghiệm PT (*)
Điều kiện
Nghiệm PT (*)
Điều kiện
2 nghiệm tri dấu
.0ac
2 nghiệm phân biệt
cùng dấu
0
0
0
a
P

Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
36
2 nghiệm phân biệt
cùng dương (cùng âm)
0
0
0
0 0
a
P
SS


1 nghiệm kép dương
(âm)
0
0 0
22
0
a
bb
xx
aa




5) So sánh một số với hai nghiệm:
Hệ thức so sánh
Điều kiện
Hệ thức so sánh
Điều kiện
12
xx

0
.0af

12
12
xx
xx


0
.0af

12
xx

0
.0
0
2
af
S


12
xx

0
.0
0
2
af
S


6) Biểu thức đối xứng đối với x
1
và x
2
:
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2. . 2x x x x x x S P
2
2
2
1 2 1 2 1 2
4. . 4x x x x x x S P
3
3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
33x x x x x x x x S PS
22
1 2 1 2 1 2 1 2
.x x x x x x x x P S
12
1 2 1 2
11
xx
S
x x x x P
22
2
1 2 1 2
2 1 1 2
2
x x x x
SP
x x x x P
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3:
Cho PT:
32
0, 0ax bx cx d a
(1)
1. Các trường hợp nghiệm:
Một nghiệm đơn duy nhất
Hai nghiệm phân biệt (gồm 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép)
Ba nghiệm đơn phân biệt
2. Cách phân tích đa thức bậc 3 thành nhân tử:
Nhẩm 1 nghiệm
0
xx
Dùng sơ đồ Hoocner, biến đổi PT (1) về dạng:
2
0
0x x Ax Bx C
0
2
0, 2
xx
Ax Bx C
,
0
0
, . ,
d
A a B a x b C
x



Biện luận nghiệm PT(2), suy ra nghiệm PT(1) (Chú : Xét trường hợp PT(2) có nghiệm
0
xx
)
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG:
Cho PT
42
0,(*)ax bx c
Đặt
2
,0t x t
Ta được PT:
2
0 (**)at bt c
. Khi đó:
Nghiệm PT (*)
Nghiệm PT (**)
4 nghiệm phân biệt
2 nghiệm dương phân biệt
3 nghiệm phân biệt
1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0
2 nghiệm phân biệt (đối nhau)
2 nghiệm tri dấu hoặc có nghiệm kép dương
1 nghiệm (kép)
1 nghiệm bằng không hoặc {1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0}
Vô nghiệm
2 nghiệm âm hoặc 1 nghiệm kép âm hoặc vô nghiệm
V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
( ) 0 ( ( ) 0)
( ) ( )
( ) ( )
g x hay f x
f x g x
f x g x


Mở rộng:
22
( ) 0 ( ( ) 0)
( ) ( )
( ) ( )
kk
Q x hay P x
P x Q x
P x Q x


2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
gx
f x g x
f x g x

( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )
gx
f x g x h x f x
g x f x f x g x h x
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
37
33
( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x g x
3
3
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x
3 3 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ). ( ). ( ) ( )f x g x h x f x g x f x g x h x h x
VI. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
gx
f x g x
f x g x

2
0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
fx
f x g x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
gx
gx
f x g x
fx
f x g x

( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0
gx
f x g x
gx
fx

VII. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
f x g x


( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
gx
f x g x
f x g x


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x g x f x
( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x g x
VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Là hệ mà khi ta thay x bởi y và thay y bởi x thì mỗi phương trình của
hệ không thay đổi.
Cách giải: Đặt
S x y và P xy
Đưa về hệ mới theo S và P Gii hệ mới Suy ngược lại x, y.
Chú ý: Nếu
;xy
là nghiệm thì
;yx
cũng là nghiệm.
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2: Là hệ mà khi ta thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình này trở
thành phương trình kia.
Cách giải: Lấy phương trình này trừ phương trình kia vế theo vế.
BẤT ĐẲNG THỨC
I. TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC:
A B A C B C
AB
A C B D
CD
22
0
AB
AB
AB
. . , 0
. . , 0
AC B C C
AB
AC B C C



0
..
0
AB
AC B D
CD



33
33
AB
AB
AB

II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ-SI)
1) Bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)
* Đối với hai số không âm. Với mọi
0, 0ab
, ta có:
2
ab
ab
.
Đẳng thức xy ra khi và chỉ khi
ab
* Đối với n số không âm
( , 2)nn
. Với n số không âm
12
, ,...,
n
a a a
bất kì, Ta có:
12
12
...
...
n
n
n
a a a
a a a
n
.
Đẳng thức xy ra khi và chỉ khi
12
...
n
a a a
2) Bất đẳng thức Cauchy mở rộng
Với n số không âm
12
, ,...,
n
a a a
bất kì, với
12
, ,..., 0
n
thỏa
12
... 1
n
.Ta có:
12
1 1 2 2 1 2
... ...
n
n n n
a a a a a a

.
Đẳng thức xy ra khi và chỉ khi
12
...
n
a a a
III. BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHI-A-CỐP-XKI
1) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
38
* Đối với hai cặp số thực. Với hai cặp số thực (a;b) và (x;y) bất kỳ ta có:
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y
Đẳng thức xy ra khi và chỉ khi
ab
xy
(
0xy
)
* Đối với hai bộ n số thực
( , 2)nn
. Với hai bộ n số thực
12
( ; ;...; )
n
a a a
và
12
( ; ;...; )
n
b b b
bất kỳ ta có:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ... ) ( ... )( ... )
n n n n
a b a b a b a a a b b b
Đẳng thức xy ra khi và chỉ khi
12
12
...
n
n
a
aa
b b b
12
. ..... 0
n
b b b
2) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki mở rộng
Cho dãy m số thực không âm:
1 2 1 2 1 2
, ,..., ; , ,..., ;...; , ,...,
n n n
a a a b b b c c c
, ta có
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
( ... ... ... ... ) ( ... )( ... )...( ... )
m m m m m m m m m m
n n n n n n
a b c a b c a b c a a a b b b c c c
Đẳng thức xy ra khi:
1 1 1 2 2 2
: :...: : :...: ... : :...:
n n n
a b c a b c a b c
LƯỢNG GIÁC
I. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GÍÁC
sin
cosin
cotang
tang
0 (rad)
π
2
3
π
2
π
7
π
4
5
π
4
7
π
6
11
π
6
5
π
3
4
π
3
5
π
6
3
π
4
2
π
3
π
3
π
4
π
6
-1
2
-1
2
-
2
2
-
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
3
2
3
2
-
3
2
-
3
2
-
3
3
-
3
3
1
1
1
3
3
3
3
-1
-1
-1
-1
-
3
-
3
3
3
A'
B'
A
B
O
x
t
y
s
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
39
II. CÔNG THỨC LƯỢNG GÍÁC
1) Hằng đẳng thức cơ bản:
22
22
22
sin cos 1 tan .cot 1
11
1 tan 1 cot
cos sin
a a a a
aa
aa
2) Cung liên kết:
Cos đối Sin bù
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot





sin sin
cos cos
tan tan
cot cot

Chéo phụ
sin cos , cos sin
22
tan cot , cot tan
22


Tang, Cotang hơn kém
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot


Sin hơn = Cos kém (
/2)
sin cos , cos sin
22
tan cot , cot tan
22


3) Công thức cộng:
sin sin .cos cos .sin
cos cos .cos sin .sin
tan tan
tan
1 tan .tan
a b a b a b
a b a b a b
ab
ab
ab


4) Công thức nhân đôi:
22
2
2
2
sin2 2sin .cos
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
2tan
tan2
1 tan
a a a
a a a
a
a
a
a
a



5) Công thức hạ bậc
2
1 cos2
cos
2
a
a
2
1 cos2
sin
2
a
a
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
6) Công thức biên tích thành tổng
1
cos .cos cos cos
2
1
sin .sin cos cos
2
1
sin .cos sin sin
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b






7) Công thức biến tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
22
cos cos 2sin .sin
22
sin sin 2sin .cos
22
sin sin 2cos .sin
22
a b a b
ab
a b a b
ab
a b a b
ab
a b a b
ab







8) Công thức đặc biệt
2
cos sin 1 sin 2x x x
,
44
cos sin cos2x x x
4 4 2 2 2
1
cos sin 1 2cos .sin 1 sin 2
2
x x x x x
,
6 6 2 2 2
3
cos sin 1 3cos .sin 1 sin 2
4
x x x x x
sin cos 2sin 2 cos
44
x x x x

,
sin cos 2 sin 2 cos
44
x x x x

III. HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC
sinyx
TXĐ:
D
. TGT:
1;1T 
Là hàm lẻ Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Tuần hoàn với chu kì
2
Đồ thị:
cosyx
TXĐ:
D
. TGT:
1;1T 
Là hàm chẵn Đồ thị đối xứng qua trục tung
Tuần hoàn với chu kì
2
Đồ thị:
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
40
tanyx
TXĐ:
\/
2
D k k



. TGT:
T
Là hàm lẻ Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Tuần hoàn với chu kì
Đồ thị
cotyx
TXĐ:
\/D k k
. TGT:
T
Là hàm lẻ Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Tuần hoàn với chu kì
Đồ thị
IV. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH:
a. Phương pháp: Lập điều kiện xc định Gii, tìm điều kiện của biến Kết luận TXĐ
b. Các dạng biểu thức có điều kiện xác định:
u
v
xc định khi
0v
u
xc định khi
0u
tanu
xc định khi
,
2
u k k
cot u
xc định khi
,u k k

V. BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
1 sin 1u
1 cos 1u
2
0 sin 1u
2
0 cos 1u
0 sin 1u
0 cos 1u
2
tan 0u
2
cot 0u
2 sin cos 2uu
11
sin .cos
22
uu

22
1 sin cos 1uu
VI. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Dạng
f u a
Dạng
f u f v
sin 2
sin ,( 1)
sin 2
u arc a k
u a a
u arc a k


2
sin sin
2
u v k
uv
u v k



cos cos 2 ,( 1)u a u arc a k a
cos cos 2u v u v k
tan tanu a u arc a k
tan tanu v u v k
cot cotu a u arc a k
cot cotu v u v k
TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT: Đối với PT
sin ,cosu a u a
Nếu
1a 
thì chỉ cần lấy 1 trong 2 công thức nghiệm.
Nếu
0a
thì chỉ cần lấy 1 trong 2 công thức nghiệm và thay
2k
thành
k
sin 1 2
2
u u k
sin 1 2
2
u u k
sin 0u u k
cos 1 2u u k
cos 1 2u u k

cos 0
2
u u k
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
41
VII. PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
a. Phương trình bậc hai đối với một HSLG là PT có dạng:
2
sin sin 0a u b u c
(1)
(Tương tự cho
cos ,tan ,cotu u u
)
Cách giải: Xem
sinu
là ẩn, Ta có PT bậc 2 với ẩn là
sinu
Gii PT bậc 2, Ta được PTLG cơ bn
Gii PTLG cơ bn, tìm nghiệm.
b. Phương trình bậc nhất đối với sinu; cosu là PT có dạng:
22
.sin .cos ( 0) a u b u c a b
(2)
Cách giải: B1. Kiểm tra điều kiện có nghiệm: Nếu
2 2 2
a b c
thì PT có nghiệm
B2. Chia 2 vế PT cho
22
ab
Đặt:
2 2 2 2
cos ; sin
ab
a b a b



.
Ta được PT:
22
sin .cos cos .sin


c
uu
ab
22
sin( )
c
u
ab

(*)
B3. Gii PT cơ bn (*) Tìm nghiệm.
Mở rộng:
Loại 1:
2 2 2
.sin .cos .sin ( )a u b u c v a b c
hay
2 2 2
.sin .cos .cos ( )a u b u c v a b c
Loại 2:
2 2 2 2
.sin .cos .sin .cos ( )a u b u c v d v a b c d
Cách giải: Chia 2 vế cho
22
ab
Biến đổi đưa về dạng
sin sintr
hay
cos costr
VIII. PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH:
Cách 1: Biểu diễn điểm xc định công thức điều kiện và công thức nghiệm lên Đường tròn lượng gic
Loại bỏ điểm trùng của nghiệm so với điểm của điều kiện
Kết luận: Nghiệm PT là những điểm còn lại (Mỗi điểm cộng thêm
2k
).
Cách 2: Cho tham số nguyên (k) trong công thức điều kiện và công thức nghiệm chạy từ 0 đến khi tìm
đủ số điểm trên đoạn
0;
Loại bỏ điểm trùng của nghiệm so với điểm của điều kiện
Kết luận: Nghiệm PT là những điểm còn lại (Mỗi điểm cộng thêm
2k
).
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
I. QUY TẮC ĐẾM
1. Qui tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động: Hành động thứ nhất có n cách
thực hiện, hành động thứ hai có m cch thực hiện (không trùng với bất cứ cch nào của cu hành động thứ
nhất). Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi
nm
cách.
2. Qui tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp: Hành động thứ nhất có n cách
thực hiện, với mỗi cch thực hiện hành động thứ nhất có m cch thực hiện hành động thứ hai. Khi đó công
việc có thể được thực hiện bởi
.nm
cách.
II. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Định nghĩa
Công thức tính số lượng
Hoán vị
Mỗi vị trí sắp xếp thứ tự của n phần tử
*n
gọi là
một hon vị của n phần tử.
.( 1).( 2).....2.1 !
n
P n n n n
Chỉnh hợp
Mỗi vị trí sắp xếp thứ tự k phần tử được lấy trong n phần
tử
nk
gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
!
( 1).....( 1)
!
k
n
n
A n n n k
nk
Tổ hợp
Mỗi tập hợp k phần tử được lấy trong n phần tử
nk
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
Công thức đặc biệt:
0! 1
Nếu
kn
thì
!!
!
0! 1
n
nn
nn
A n P
.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
42
0
1
n
nn
CC
1
n
Cn
0
k n k
nn
C C k n
11
1
= 0

k k k
n n n
C C C k n
0 1 2
0
... 2 0
n
k n n
n n n n n
k
C C C C C k n
! ( 1)( 2)...( 1)
!( )! ! !
k
k
n
n
A
n n n n n k
C
k n k k k
III. NHỊ THỨC NIU-TƠN
1. Công thức nhị thức Niu-Tơn:
0 1 1 2 2 2
0
... ...
n
n
n n n k n k k n n k n k k
n n n n n n
k
a b C a C a b C a b C a b C b C a b
,
*n
2. Tính chất của nhị thức Niu-tơn
Số cc số hạng tử của công thức là
1n
Số mũ của a gim dần từ n đến 0, số mũ của b tăng từ 0 đến n đồng thời tổng cc số mũ của a và b trong
mỗi hạng tử đều bằng n
Số hạng tổng qut thứ
1k
có dạng
1
( 0,1,..., )
k n k k
kn
T C a b k n

Cc hệ số của nhị thức cch đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau:
;0
k n k
nn
C C k n
3. Một số dạng đặc biệt
Dạng 1. Thay
1 và a b x
vào (1), ta được:
0 1 2 2 1 1
(1 ) ...
n n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x

Cho
1x
0 1 2
... 2
nn
n n n n
C C C C
Dạng 2. Thay
1, a b x
vào (1), ta được:
0 1 2 2
(1 ) ... ( 1) ... ( 1)
n k k k n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
Cho
1x
0 1 2
... ( 1) 0
nn
n n n n
C C C C
IV. XÁC SUẤT
1. Xác suất của biến cố.
a) Định nghĩa cổ điển của xác suất:
b) Xc suất của biến cố A là:
()
A
nA
PA
n


Trong đó:
A
nA
là số phần tử (hay kết qu thuận lợi) của biến cố A;
n
là số phần tử của không gian mẫu (hay tất c kết qu có thể xy ra của phép thử).
c) Tính chất:
0 ( ) 1PA
;
( ) 1, ( ) 0PP
2. Biến cố đối
a) Định nghĩa: Biến cố không xy ra A gọi là biến cố đối của A, Kí hiệu:
A
b) Tính chất:
\AA
;
1 ( )P A P A
Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Bài toán đếm:
Quy tắc: Hành động nào có điều kiện mạnh nhất thì thực hiện đếm trước nhất,...
Cách 1: Đếm trực tiếp
Nhận xét đề bài để phân chia cc trường hợp xy ra đối với bài ton cần đếm.
Đếm số phương n thực hiện trong mỗi trường hợp đó
Kết qu của bài ton là tổng số phương n đếm trong cch trường hợp trên
Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
Trong trường hợp hành động
H
chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài ton như sau:
Đếm số phương n thực hiện hành động
H
(không cần quan tâm đến có thỏa tính chất
T
hay không) ta được
a
phương n.
Đếm số phương n thực hiện hành động
H
không thỏa tính chất
T
ta được
b
phương n.
Khi đó số phương n thỏa yêu cầu bài ton là:
ab
.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
43
Dạng 1.1: Đếm số lượng số tự nhiên
Khi lập một số tự nhiên
1
...
n
x a a
ta cần lưu ý:
*
0,1,2,...,9
i
a
và
1
0a
.
*
x
là số chẵn
n
a
là số chẵn
*
x
là số lẻ
n
a
là số lẻ
*
x
chia hết cho
12
3 ...
n
a a a
chia hết cho
3
*
x
chia hết cho
4
1
nn
aa
chia hết cho
4
*
x
chia hết cho
5 0,5
n
a
*
x
chia hết cho 6
x
là số chẵn và chia hết cho
3
*
x
chia hết cho
21
8

n n n
a a a
chia hết cho
8
*
x
chia hết cho
12
9 ...
n
a a a
chia hết cho
9
.
*
x
chia hết cho
11
tổng cc chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng cc chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho
11
.
*
x
chia hết cho
25
hai chữ số tận cùng là
00,25,50,75
.
Dạng 1.2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
Dạng 1.3: Đếm số phương án liên quan đến hình học
Dạng 2: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton
Phương pháp:
00


nn
n n k k
p q k p q k n k k np pk qk
nn
kk
ax bx C ax bx C a b x
Số hạng chứa
m
x
ứng với gi trị
k
thỏa:
np pk qk m
.
Từ đó tìm
m np
k
pq
Vậy hệ số của số hạng chứa
m
x
là:
.
k n k k
n
C a b
với gi trị
k
đã tìm được ở trên.
Nếu
k
không nguyên hoặc
kn
thì trong khai triển không chứa
m
x
, hệ số phi tìm bằng 0.
Chú ý: Xc định hệ số của số hạng chứa
m
x
trong khai triển
n
pq
P x a bx cx
được viết dưới dạng
2
0 1 2
...
n
n
a a x a x
.
Ta làm như sau:
* Viết
0
n
nk
p q k n k p q
n
k
P x a bx cx C a bx cx
;
* Viết số hạng tổng qut khi khai triển cc số hạng dạng
k
pq
bx cx
thành một đa thức theo luỹ thừa
của x.
* Từ số hạng tổng qut của hai khai triển trên ta tính được hệ số của
m
x
.
Chú ý: Để xc định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số
k
a
theo
k
và
n
;
* Gii bất phương trình
1
kk
aa
với ẩn số
k
;
* Hệ số lớn nhất phi tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất tho mãn bất phương trình trên.
Dạng 2: Bài toán tổng
0
n
kk
kn
k
a C b
.
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
0 1 1 2 2 2
( ) ...

n n n n n n
n n n n
a b C a a bC a b C b C
.
Ta chọn những gi trị
,ab
thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết qu ta thường hay sử dụng:
*
k n k
nn
CC
*
01
... 2
nn
n n n
C C C
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
44
*
0
( 1) 0

n
kk
n
k
C
*
2
2 2 1
2 2 2
0 0 0
1
2

n n n
k k k
n n n
k k k
C C C
*
0
(1 )

n
k k n
n
k
C a a
.
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cch gii trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cch gii ở trên được trình bày theo cch xét số hạng tổng qut ở vế tri (thường có hệ số chứa
k
) và
biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
Dạng 3: Tính xác suất
Phương pháp tính xác suất
Bước 1. Mô tkhông gian mẫu (Nếu được). Kiểm tra tính hữu hạn của
, tính đồng kh năng của cc kết
qu Tính
n
Bước 2. Đặt tên cho cc biến cố bằng cc chữ ci
, ,...AB
Bước 3. Xc định
, ,...AB
. Tính
, ,...n A n B
Bước 4. Tính
, ,...
n A n B
P A P B
nn


CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Cấp số cộng
Cấp số nhân
Định nghĩa
Dãy số
n
u
là cấp số cộng
*
1
,
nn
u u d n
Dãy số
n
u
là cấp số nhân
*
1
,
nn
u u q n
Số hạng tổng quát
*
1
( 1) , 2 ,
n
u u n d n n
1*
1
. , 2 ,
n
n
u u q n n
Tính chất
*
11
, 2 ,
2
kk
k
uu
u k k

2*
11
. , 2 ,
k k k
u u u k k

Tổng n số hạng
đầu tiên
12
...
nn
S u u u
1
1
()
2 ( 1)
22
n
n u u
n
S u n d
1
Khi 1:
n
q S nu
1
1
1: .
1
n
n
q
q S u
q

Khi
GIỚI HẠN
I. Giới hạn của dãy số:
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1
lim 0

n
n
;
1
lim 0 ( )


k
n
k
n
lim 0 ( 1)


n
n
qq
;
lim

n
CC
2. Định lí: Cho
lim , lim
nn
u a v b
. Ta có:
lim
nn
u v a b 
lim . .
nn
u v ab
lim
n
n
u
a
vb
(nếu
0b
)
lim
n
ua
(
,0
n
ua
)
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
2
1 1 1
1
1
u
S u u q u q
q
1q
1. Giới hạn đặc biệt:
lim ( )

k
nk
lim n
lim ( 1) 
n
qq
2. Định lí:(Quy tắc về giới hạn vô cực)
0
a
n
n
u
v
0
0
n
n
a
u
v

0
[ . ]
nn
a
uv



(Dấu của giới hạn vô cực được xác định theo quy
tắc nhân dấu)
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
45
II. Giới hạn của hàm số:
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
0
0
lim
xx
xx
;
0
lim
xx
CC
(C là hằng số)
2. Định lí: Cho
0
lim ( )
xx
f x L
,
0
lim ( )
xx
g x M
. Ta có:
0
lim ( ) ( )
xx
f x g x L M
;
0
lim ( ) ( )
xx
f x g x L M
0
lim ( ). ( ) .
xx
f x g x L M
;
0
()
lim
()
xx
f x L
g x M
(nếu
0M
)
0
lim ( )
xx
f x L
0fx
0
lim ( )
xx
f x L
3. Giới hạn một bên:
00
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L



1. Giới hạn đặc biệt:
lim
k
x
x


;
lim
k
x
neáu k chaün
x
neáu k leû



lim

x
CC
;
lim 0
k
x
c
x

2. Định lí: (Quy tắc về giới hạn vô cực)
()
0
()
L
fx
gx
0
0
()
()
L
fx
gx

0
[ ( ). ( )]
L
f x g x



(
0
hayx x x
)
(Dấu của giới hạn vô cực được xác định theo quy
tắc nhân dấu)
III. Hàm số liên tục:
1. Định nghĩa:
y f x
liên tục tại
0
x
0
0
lim
xx
f x f x
y f x
liên tục tại
0
x
00
0
lim lim
x x x x
f x f x f x



2. Tính chất:
Hàm số đa thức liên tục trên .
Hàm số phân thức, cc hàm số lượng gic liên tục trên từng khong xc định của chúng.
Tổng hiệu, hiệu, tích, thương của cc hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó.
HÌNH HỌC (TỔNG HỢP) PHẲNG
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC:
1) Tam giác vuông: Cho ABC vuông tại A có đường cao AH và trung tuyến AM. Ta có:
2 2 2
BC AB AC
(Pi-ta-go)
..AH BC AB AC
2
.AC CH BC
2
.AB BH BC
2 2 2
1 1 1
AH AB AC

22
2
22
.AB AC
AH
AB AC
22
2 2 2
BH AB AB
BC BC AB AC

22
2 2 2
CH AC AC
BC BC AB AC

2
BC
AM
Diện tích:
1
..
2
S AB AC
(bằng nửa tích độ dài 2 cạnh góc vuông)
2) Tam giác vuông cân: Cho ABC vuông cân tại A có đường cao AH. Ta có:
AB AC a
2BC a
2
2
AH a
Diện tích:
2 2 2
2 2 4
AB AC BC
S
45
45
a
2
a
a
H
B
A
C
M
A
C
B
H
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
46
3) Tam giác đều: Cho ABC đều cạnh a, có tâm I và đường cao AH.
Ta có:
3
2
a
AH
3
3
a
AI
3
6
a
IH
Diện tích:
2
3
4
a
S
4) Nửa tam giác đều:
5) Tam giác thường: Cho ABC độ dài cạnh
,, BC a AC b AB c
, đường cao
a
AH h
, trung tuyến
a
AM m
, phân giác AD, bn kính đường tròn ngoại tiếp là R, bn kính đường tròn nội tiếp là r. Ta có:
Định lí côsin:
2 2 2
2 .cosa b c bc A
Định lí sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
2 2 2
cos
2

b c a
A
bc
2 2 2
2
24
a
b c a
m

2
a
bc
R
h
AB DB
AC DC
Diện tích:
1
..
2
a
S a h
1
.sin
2
S bc A
4
abc
S
R
.S p r
S p p a p b p c
(với
2
abc
p

)
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC:
1) Hình thang: Diện tích hình thang ABCD có đáy AB, CD:
1
.
2
S AB CD h
(với h là chiều cao và h
bằng khong cch giữa AB và CD)
2) Hình thang vuông: Diện tích hình thang ABCD vuông tại A, D:
1
.
2
S AB CD AD
3) Hình bình hành: Diện tích hình bình hành ABCD:
1
.
2
S AB CD h
(với h là chiều cao và h bằng
khong cch giữa AB và CD)
4) Hình thoi: Diện tích hình thoi ABCD:
1
.
2
S AC BD
(bằng nửa tích độ dài 2 đường chéo)
2
.sinS AB A
(Bằng bình phương 1 cạnh nhân sin của 1 góc)
5) Hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật ABCD:
.S AB BC
(bằng tích chiều dài và chiều rộng)
6) Hình vuông: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O
2AC BD a
2
2
OA OB OC OD a
Diện tích:
2
Sa
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN:
Diện tích hình tròn bn kính R:
2
.SR
Chu vi đường tròn bn kính R:
2.CR
IV. TÂM CỦA TAM GIÁC
Trọng tâm tam gic là giao điểm 3 đường trung tuyến
Trực tâm tam gic là giao điểm 3 đường cao
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam gic là giao điểm 3 đường trung trực
Tâm đường tròn nội tiếp tam gic là giao điiểm 3 đường phân gic
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. TỌA ĐỘ
1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm 2 trục Ox, Oy vuông góc với nhau, lần lượt có hai vectơ đơn vị
,ij
1ij
.
2. Tọa độ vectơ, tọa độ điểm:
1 2 1 2
; aa a a a i a j
;
; ..M x y OM xi y j 
Cho
( ; ), ( '; ')u x y v x y
'
'
xx
uv
yy

'; 'u v x x y y
( ; )ku kx ky
. ' 'u v xx yy
a
3
a
2
a
30
60
M
B
C
A
H
I
H
A
B
C
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
47
' ' 0u v xx yy
22
u x y
.
cos ,
.
uv
uv
uv
Cho
; , ;
a a b b
A x y B x y
;
B A B A
AB x x y y
22
B A B A
AB x x y y
M là trung điểm của AB:
;.
22
A B A B
MM
x x y y
xy


G là trọng tâm tam gic ABC:
3
A B C
G
xxx
x

;
3
A B C
G
yyy
y

G là trọng tâm tứ gic ABCD :
;
44
A B C D A B C D
x x x x y y y y
G



M chia AB theo tỉ số k:
;
11
A B A B
MM
x kx y ky
xy
kk



II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình: Đường thẳng đi qua điểm
00
;M x y
và có 1 VTPT
;n A B
hay có 1 VTCP
;a a b
,có:
Phương trình tổng quát:
00
00A x x B y y Ax By C
( với
00
C Ax By
)
Phương trình tham số:
0
0
x x at
y y bt


,
t
.
Phương trình chính tắc:
00
x x y y
ab

,
.0ab
Chú ý: Phương trình đường thẳng qua
00
;M x y
có hệ số góc k:
00
y y k x x
.
Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A, B:
BB
A B A B
x x y y
x x y y


2. Khoảng cách từ một điểm
;
MM
M x y
đến một đường thẳng :
0Ax By C
là:
22
,
MM
Ax By C
dM
AB


3. Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng
1 1 1 1
:0d A x B y C
và
2 2 2 2
:0d A x B y C
.
12
12
1 2 1 2 1 2
12
12
.
.
( , ) cos( , ) cos( , )
.
.
aa
nn
Cos d d n n a a
nn
aa
1 2 1 2 1 2
0d d A A B B
4. Phương trình hai đường phân giác của cc góc tạo bởi
1 1 1 1
:0d A x B y C
;
2 2 2 2
:0d A x B y C
là:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B


Lưu : Dấu
tương ứng với một đường phân giác của góc nhọn và một đường phân giác góc tù. Để phân biệt
được dấu nào là của đường phân giác góc nhọn và dấu nào là đường phân giác góc tù thì cần nhớ quy tắc sau:
Đường phân giác góc nhọn luôn nghịch dấu với tích hai pháp véctơ, đường phân giác góc tù mang dấu còn lại.
5. Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: Cho hai điểm
; , ;
M M N N
M x y N x y
và đường thẳng
:0ax by c
. Khi đó:
M và N nằm cùng phía đối với
0
M M N N
ax by c ax by c
M và N nằm khc phía đối với
0
M M N N
ax by c ax by c
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1. Phương trình: Đường tròn có tâm
;I a b
và bán kính R, có phương trình:
Dạng 1:
22
2
x a y b R
.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
48
Dạng 2:
22
2 2 0x y ax by c
, với điều kiện
22
0a b c
và
22
R a b c
.
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn C(I, R):
( , ) ( )d I R C O
không có điểm chung với (C).
( , ) ( )d I R C A
tiếp xúc với (C).
( , ) ( ) ;d I R C A B
cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
3. Phương trình tiếp tuyến: của đường tròn
22
2
:C x a y b R
tại tiếp điểm
00
;M x y
là:
0 0 0 0
0x a x x y b y y
IV. ELÍP
1. Phương trình chính tắc:
22
22
1
xy
ab

,
0ab
.
2. Các yếu tố:
2 2 2
, 0c a b c
.
Tiêu cự:
12
2F F c
Độ dài trục lớn:
12
2A A a
Độ dài trục bé:
12
2B B b
Tiêu điểm:
12
;0 , ;0F c F c
Tâm sai:
1
c
e
a

Đường chuẩn:
a
x
e

Đỉnh: Đỉnh trên trục lớn
12
;0 , ;0A a A a
, Đỉnh trên trục bé
12
0; , 0;B b B b
Bn kính qua tiêu điểm:
12
;
M M M M
cc
MF a ex a x MF a ex a x
aa
Khong cch giữa hai đường chuẩn:
2
a
d
e
.
Diện tích:
S ab
3. Điều kiện để đường thẳng
0Ax By C
tiếp xúc với elip là:
2 2 2 2 2
A a B b C
V. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, HÌNH BÌNH HÀNH BẰNG TỌA ĐỘ:
Diện tích tam giác ABC
12
1 2 2 1
12
11
22
ABC
bb
S b c b c
cc
1 2 1 2
; , ;AB b b AC c c
Diện tích hình bình
hành, hình thoi, hình
chữ nhật, hình vuông
ABCD
12
1 2 2 1
12
ABCD
bb
S b d b d
dd
1 2 1 2
; , ;AB b b AD d d
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
I. PHÉP TỊNH TIẾN:
1. Định nghĩa:
''
v
T M M MM v
2. Biểu thức tọa độ:
'
;
'
'
MM
v a b
MM
x x a
T M M
y y b



II. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM:
1. Định nghĩa:
'
I
Ñ M M
I là trung điểm
'MM
2. Biểu thức tọa độ:
'
'
2
'
2



M I M
I
M I M
x x x
Ñ M M
y y y
III. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC:
1. Định nghĩa:
'
d
Ñ M M
d là đường trung trực của
'MM
2. Biểu thức tọa độ:
IV. PHÉP QUAY:
1. Định nghĩa:
;
'
'
;'

I
IM IM
Q M M
IM IM
2. Biểu thức tọa độ:
'
;
'
.cos .sin
'
.cos .sin





M M M
O
M M M
x x y
Q M M
y y x
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
49
'
22
:0
'
22
2.
'
2.





MM
MM
d ax by c
MM
MM
ax by c
x x a
ab
Ñ M M
ax by c
y y b
ab
'
'
'


MM
Ox
MM
xx
Ñ M M
yy
'
'
'


MM
Oy
MM
xx
Ñ M M
yy
'
,90
'
'


MM
O
MM
xy
Q M M
yx
'
, 90
'
'



MM
O
MM
xy
Q M M
yx
V. PHÉP VỊ TỰ:
1. Định nghĩa:
,
' ' .
Ik
V M M IM k IM
2. Biểu thức tọa độ:
'
,
'
'

M I M I
Ik
M I M I
x x k x x
V M M
y y k y y
'
,
'
.
'
.

MM
Ok
MM
x k x
V M M
y k y
VI. PHÉP DỜI HÌNH:
1. Định nghĩa:
Phép dời hình là phép biến hình bo toàn khong
cch giữa 2 điểm bất kì.
2. Tính chất: Phép dời hình biến:
a) Đường thẳng thành đường thẳng.
b) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và bo toàn thứ tự ba điểm đó.
c) Tam gic thành tam gic bằng nó.
d) Đường tròn thành đường tròn có cùng bn
kính.
VII. PHÉP ĐỒNG DẠNG:
1. Định nghĩa:
Phép đồng dạng tỉ số
0k
là phép biến hình
đoạn thẳng có độ dài
a
thành đoạn thẳng có độ
dài
.ka
.
2. Tính chất: Phép đông dạng tỷ số
0k
biến:
a) Đường thẳng thành đường thẳng.
b) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và bo toàn thứ tự ba điểm đó.
c) Tam gic thành tam gic đồng dạng tỉ số
k
.
d) Đường tròn bn kính
r
thành đường tròn có
bán kính
.kr
.
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11
I. QUAN HỆ SONG SONG
Dạng 1: Chứng minh quan hệ song song.
1. Chứng minh 2 ĐT song song: Sử dụng kết qu hình học phẳng để chứng minh
2. Chứng minh ĐT song song MP
Cách
1
()
' ( )
' ( )
d
d d d
d
Chứng minh: ĐT không chứa
trong MP và song song 1 ĐT
khác chứa trong MP đó.
Cách
2
()
()
( ) ( )
d
d
Chứng minh: ĐT này chứa
trong MP song song với MP đó.
3. Chứng minh 2 MP song song
d'
d
α
d
β
α
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
50
Cách
1
, ( )
' ( ) ( )
'
', ' ( )
ab
a b I
aa
bb
ab


Chứng minh: MP này có
chứa 2 ĐT cắt nhau lần lwutj
song song 2 ĐT chứa trong MP
kia.
Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 Mặt phẳng.
Cách 1: Tìm 2 điểm chung phân biệt của 2 mặt phẳng Giao tuyến là đường thẳng đi qua 2 điểm chung
đó.





A
AB
B
Cách 2: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng và chứng tỏ trong 2 mặt phẳng lần lượt có chưa 2 đường
thẳng song song nhau Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song 2 đường thẳng đó.
,


I
a b Ix Ix a b
ab
Cách 3: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng và chứng tỏ trong mặt phẳng này có chưa 1 đường thẳng
song song với mặt phẳng kia Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song đường thẳng đó.


I
a Ix Ix a
a
Dạng 3: Tìm giao điểm của Đường thẳng và Mặt phẳng.
TH1: Nếu trong
có sẵn chứa đường thẳng a cắt d tại I thì I là giao điểm của d và
.

a
dI
a d I
TH2: Nếu trong
không có sẵn chứa đường thẳng a cắt d thì ta thực hiện như sau:
B1: Chọn mặt phẳng phụ
chứa d sao cho giao tuyến của
và
dễ tìm.
B2: Tìm giao tuyến
của
và
.
B3: Trong
, tìm giao điểm I của
và d I là giao điểm của d và
.
d
dI
dI
Dạng 4: Tìm thiết diện của hình chóp, lăng trụ được cắt bởi Mặt phẳng
Cách 1: Tìm tất c cc đoạn giao tuyến của
với cc mặt của hình chóp, lăng trụ Thiết diện là đa
gic tạo bởi cc đoạn giao tuyến đó.
Cách 2: Tìm tất c cc giao điểm của
với cc cạnh (nếu có) của hình chóp, lăng trụ Thiết diện là
đa gic tạo bởi cc giao điểm đó.
II. QUAN HỆ VUÔNG GC
Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc.
1. Chứng minh 2 ĐT vuông góc:
a
b
a'
b'
β
α
I
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
51
Cách
1
()
()
d
da
a

Chứng minh: ĐT này vuông
góc với MP chứa ĐT kia.
Cách
2
d AB
d BC
d AC

Chứng minh: ĐT này vuông
góc 2 cạnh tam giác có cạnh còn
lại nằm trên ĐT kia.
2. Chứng minh ĐT vuông góc MP:
Cách
1
;
()
, ( )
d a d b
a b I d
ab

Chứng minh: ĐT vuông góc
với 2 ĐT cắt nhau cùng chứa
trong MP.
Cách
2
( ) ( )
( ) ( )
()
()





d
d
Nếu 2 MP vuông góc nhau thì
bất kì ĐT nào nằm trong MP này
và vuông góc với giao tuyến 2
MP sẽ vuông góc MP kia.
Cách
3
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
d
d



2 MP phân biệt cùng vuông
góc MP thứ 3 thì giao tuyến của
2 MP đó (nếu có) sẽ vuông góc
MP thứ 3 đó.
3. Chứng minh 2 MP vuông góc:
Cách
1
()
( ) ( )
()




Chứng minh: MP này có chứa
1 ĐT vuông góc MP kia.
Cách
2
,
,




ab
a b I
ab
Chứng minh MP này chứa 1
ĐT vuông góc với 2 ĐT cắt nhau
chứa trong MP kia.
Dạng 2: Tìm hình chiếu của Điểm lên Mặt phẳng
Định nghĩa: H là hình chiếu của M lên
MH
tại H.
TH1: Có ĐT
đi
qua điểm M và vuông
góc mp
tại H H
là hình chiếu của M
lên
TH2: Chưa có sẵn ĐT
như TH1.
Tìm mp
qua M và
Tìm
d


Vẽ
MH d
tại H
()MH
tại H
H là hình chiếu của M lên
.
a
d
α
d
C
B
A
a
b
d
α
I
d
d
b
a
M
H
d
H
M
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
52
Dạng 3: Tính góc.
1. Góc giữa 2 ĐT cắt nhau
ĐN: Là góc có số đo nhỏ nhất
(góc nhọn) trong 4 góc tạo
thành.
2. Góc giữa 2 ĐT bất kì
ĐN: Là góc giữa 2 đường thẳng
cắt nhau lần lượt song song với
2 đường thẳng đó.
'
; '; '
'
aa
a b a b
bb
3. Góc giữa ĐT và MP
ĐN: Là góc giữa đường thẳng
với hình chiếu của nó trên mặt
phẳng.
( ( )), , ’dd d
(với d’ là hình chiếu của d lên
))
Lấy
, A B d
Tìm
', 'AB
lần lượt là hình chiếu của
,AB
lên
d’ (A’B’) là hình chiếu của d lên
( ( )), , ’dd d
Đặc biệt: Nếu d cắt
tại I thì:
,
taïi


AI I
AI AIH
AH H
4. Góc giữa 2 MP
ĐN: Là góc giữa 2 đường thẳng
lần lượt vuông góc với 2 mặt
phẳng đó.
(( ),( )) ( , )


a
ab
b
Cách xác định thường dùng: Góc giữa hai
MP bằng góc giữa 2 ĐT lần lượt chứa trong 2
MP và cùng vuông góc với giao tuyến của 2
MP đó.
; , ,
;
d
a b a b
a d b d



Cách xác định khác:
;
,,
dd
a a b
b


Dạng 4: Tính khoảng cách.
1. Khoảng cách từ 1 Điểm đến MP
ĐN: Là khong
cch từ điểm đó
đến hình chiếu của
nó lên mặt phẳng.
Tìm H là hình chiếu của A lên (
).
Khi đó:
( ( ), )d A AH
2. Khoảng cách giữa ĐT và MP song song
ĐN: Là khong
cch từ 1 điểm bất
kì thuộc đường
thẳng đến mặt
phẳng.
Lấy
A
.
Khi đó:
( ( )) ( ),,()

d d A
3. Khoảng cách giữa 2 MP song song
b
a
I
b'
a'
b
a
I
d
d'
A'
B
A
B'
d
d'
H
I
A
a
b
d
b
a
I
d
a
b
γ
M
H
Δ
H
A
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
53
ĐN: là khong
cch từ 1 điểm bất
kì thuộc mặt phẳng
này đến mặt phẳng
kia.
Lấy
A
.
Khi đó:
(( ) ( )) ( , ), ()d d A
4. Khoảng cách giữa 2 ĐT chéo nhau
ĐN: Là độ dài
đoạn vuông góc
chung của 2 ĐT
đó.
Tìm ĐT
cùng vuông góc a tại M và vuông
góc với b tại N. Khi đó:
taïi
taïi



,
aM
d a b MN
bN
Cách khác:

,,
//
a
d a b d b
b





,
,,
//
ab
d a b d
ĐẶC BIỆT: Quy tắc dời điểm khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
d , d ,AB A B
d,
d,
A
AI
AB I
BI
B
β
α
A
H
b
a
Δ
N
M
b
a
a
b
α
β
A
H
B
K
K
B
I
H
A
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
54
SƠ ĐỒ TƯ DUY
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
55
Tìm khoảng đơn
điệu (Đồng biến,
nghịch biến)
Lập Bảng biến thiên
Xác định khoảng đơn
điệu
Tìm m để HS
đơn điệu trên
TXĐ
HS bậc 3 ĐB (NB) trên
TH1:

󰆓

TH2:󰇫
HS nhất biến ĐB (NB) trên
từng khoảng XĐ
󰆒

󰇛󰇜
󰇛
󰆒
󰇜
Tìm m để HS đơn
điệu trên khoảng
K
TH1: HS đơn điệu trên
(Nếu là HS bậc lẻ,...)
TH2: HS không đơn
điệu trên
B1: Lập Bảng biến thiên
B2: Đặt khoảng K vào vị trí
thỏa mãn chiều biến thiên
B3: Lập Điều kiện Giải
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
56
CỰC TRỊ
Tìm cực trị, điểm cực trị Lập Bảng biến thiên
Tìm m để HS đạt CĐ (CT)
tại điểm x
0
󰇫
󰆒

󰇛󰇜
.
Tìm m để HS đạt CĐ (CT) bằng y
0
󰆒

󰇛󰇜
.
Tìm m để
HS có n
điểm cực trị
HS bậc 3
Có 2 điểm cực trị

󰆒
.
Không có cực trị
󰇩

󰆒

.
HS bậc 4
trùng phương
Có 3 điểm cực trị
.
Có 1 điểm cực trị
󰇩

.
PTTT của ĐTHS 󰇛󰇜tại điểm
󰇛
󰇜có dạng:
(*)
Theo giả thiết Tính:
Hoành độ tiếp điểm:
Tung độ tiếp điểm:
Hệ số góc của TT: 󰇛
󰇜
Thay vào PT (*)
Kết quả
PTTT của tại giao điểm của và trục tung
PTTT của tại giao điểm của và trục hoành
ĐT  hệ số góc ; ĐT  hệ số góc

2 ĐT song song thì hệ số góc bằng nhau; 2 ĐT vuông góc khi tích hệ số góc bằng 
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
57
GTLN
GTNN
Trên đoạn
B1: Tìm nghiệm
của PT
󰆒
B2: Tính 󰇛
)
B3: Chọn GTLN, GTNN
Trên khoảng, nửa
khoảng K
Lập Bảng biến thiên
So sánh CĐ, CT, giá trị hàm số tại đầu ngoặc vuông
Tìm m để HS đạt
GTLN-NN trên K
B1: Lập Bảng biến thiên
B2: Đặt khoảng K vào vị trí sao cho HS có GTLN-NN
B3: Lập Điều kiện Giải
TIỆM
CẬN
Tìm đường
tiệm cận
TCN
Tính giới
hạn tại vô
cực


.
TCN:


.
Không có TCN
TCĐ
Tính giới hạn
tại
(nghiệm
Mẫu)


.
TCĐ:


.
Không có TCĐ
Hàm hữu tỷ
(Đa thức/Đa thức)
Bậc Tử > Bậc Mẫu Không có TCN
Bậc Tử = Bậc Mẫu
TCN:
Bậc Tử < Bậc Mẫu
TCN:
Mẫu có nghiệm
(không trùng nghiệm Tử) TCĐ:
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
58
SỰ
TƯƠNG
GIAO
TƯƠNG GIAO
THUẬN:
Cho 2 đường
󰇛󰇜
Hỏi về điểm
chung (giao
điểm),cắt, tiếp
xúc,...
Tìm giao
điểm
Lập PTTG:
󰇛󰇜
Giải PT Tìm hoành độ giao điểm
Thay vào hay
Tính tung độ giao điểm
Tìm m
thỏa
ĐK....
Lập PTTG:
󰇛󰇜(1)
Biến đổi về PT đa
thức (2)
Nếu
PT(2)
là PT
bậc 2
Từ YCBT Lập MĐề
thỏa ĐK nghiệm PT(1)
MĐề thỏa ĐK nghiệm
PT(2)
Giải MĐ ĐK
Tìm m
Nếu
PT(2)
là PT
bậc 3
Biến đổi PT(2) thành PT:

󰇩

󰇛󰇜
Từ YCBT
Lập MĐề
thỏa ĐK
nghiệm PT(1)
MĐề thỏa
ĐK nghiệm
PT(3)
Giải
MĐ ĐK
Tìm
m
Nếu
PT(2) là
PT bậc 4
trùng
phương
Đặt
󰇛󰇜.
Ta được PT:

󰇛󰇜
Từ YCBT
Lập MĐề
thỏa ĐK nghiệm
PT(1) MĐề
thỏa ĐK nghiệm
PT(3)
Giải
MĐ ĐK
Tìm
m
ỨNG DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO:
(DÙNG ĐỒ THỊ)
Cho PT và đồ thị HS 󰇛󰇜
Hỏi về nghiệm
Biến đổi PT:
󰇛󰇜
Vẽ ĐT 󰇛󰇜(nằm ngang) ở vị
trí thỏa mãn YCBT
Lập ĐK, giải tìm m.
Số nghiệm PTTG bằng số điểm chung của 2 đường
Nghiệm đơn Cắt
Nghiệm kép Tiếp xúc
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
59
HS
nguyên dương Với mọi
nguyên không dương
không nguyên
HS
HS 
󰇫
HS
Xét trên 󰇛󰇜
Nghịch biến
Không đổi
Đồng biến
HS
TXĐ:
Nghịch biến
Đồng biến
HS 
TXĐ: 󰇛󰇜
Nghịch biến
Đồng biến
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
60
PT
MŨ
PT cơ bản

Cùng cơ số
Cùng mũ
Đưa về PT
bậc 2, 3,...
đối với 1 HS
mũ
(Đặt ẩn phụ)
Mũ bội:


.
Đặt
Mũ đối:


.

Quy đồng khử mẫu
Đặt
Cơ số nghịch đảo:


󰇛󰇜.
Quy đồng khử mẫu
Đặt
Cơ số lập thành CSN:


󰇛
󰇜.
Chia 2 vế cho
(hay
) Thu gọn
Đặt
Logarit hóa

(u,v có nhân tử chung)
Dùng tính đơn điệu
(u,v không có nhân tử chung).
Đón 1 nghiệm và dùng tính đơn
điệu chứng tỏ nghiệm duy nhất
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
61



󰇫



ĐKXĐ:
Đặt 


󰆚

ĐKXĐ:
Đặt 

Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
62
Xác định
yếu tố
.
Điểm đi qua:
VTPT:
Vec-tơ có giá
vuông góc MP
Tích có hướng 2
vec-tơ có giá
song song (chứa
trong ) MP
Xác định
hệ số

(*)
Dùng giả thiết xác
định 4 hệ số A, B, C,
D
(**)
(Không qua O)
Dùng giả thiết xác
định 3 hệ số a, b, c
ĐT
Xác định
yếu tố
󰇱
.
Điểm đi qua:
VTCP:
Vec-tơ có giá song song
(trùng) ĐT
Tích có hướng 2 vec-tơ có giá
vuông góc ĐT
Xác định
yếu tố
.
Tâm 
Bán kính R
Xác định
hệ số
.
Dùng giả thiết
xác định 4 hệ số
a, b, c, d.
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
63
Xét
hệ số của
PTMP
Song song
Trùng
Cắt
Xét
Hệ PT tương giao
Vô số nghiệm Trùng
Có 1 nghiệm (t;t')
Cắt
Vô nghiệm
2 VTCP cùng phương
Song song
2 VTCP không cùng phương Chéo nhau
Xét
PT tương giao
Vô số nghiệm Trùng
Có 1 nghiệm Cắt
Vô nghiệm Song song
Xét
PT tương giao
Có 2 nghiệm (Pb) Cắt tại 2 điểm
Có 1 nghiệm (Kép) Tiếp xúc tại 1 điểm
Vô nghiệm Không cắt
Xét
Khoảng cách từ Tâm MC đến
MP
> R Không cắt
= R Tiếp xúc
< R Cắt theo 1 đường tròn
Xét
Khoảng cách giữa 2 Tâm của 2
MC
> R + R' Không cắt
= R + R'
Tiếp xúc ngoài
< R + R' Cắt theo 1 đường tròn
= |R - R'|
Tiếp xúc trong
< |R - R'|
Trong nhau
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
64
Giữa
2 Điểm

Từ Điểm
đến MP



Từ
Điểm
đến ĐT
Tìm H là hình chiếu của M lên ĐT


Giữa 2 MP
song song
Bằng khoảng cách Từ 1 Điểm
trên MP này đến MP kia
󰇛󰇜 󰇛󰇜
Giữa
ĐT và MP
song song
Bằng khoảng cách Từ 1 Điểm
trên ĐT đến MP
 󰇛󰇜
Giữa
2 ĐT
Song song
Bằng khoảng cách Từ 1
Điểm trên ĐT này đến ĐT
kia
 
Chéo
nhau


󰆒
󰆒

Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570 Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
65



 








| 1/68
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


log b    a b a b
f xdx F xb F b   F aa a 2 i  1 2019-2020 2019-2020 MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN........................................................................................ 1 I.
BẢNG ĐẠO HÀM ............................................................................................................................................................. 1 II.
SỰ BIẾN THIÊN ................................................................................................................................................................ 1 III.
CỰC TRỊ ............................................................................................................................................................................ 1 IV.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ................................................................................................................... 3 V.
ĐƯỜNG TIỆM CẬN .......................................................................................................................................................... 3 VI.
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ...................................................................................................................... 4
VII. TIẾP TUYẾN...................................................................................................................................................................... 5
VIII. SỰ TƯƠNG GIAO (Dấu hiệu nhận biết: Trong đề có từ: Cắt, tiếp xúc, giao điểm hay điểm chung…) .................................. 6 IX.
ỨNG DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO ........................................................................................................................................ 7 X.
PHÉP SUY ĐỒ THỊ ............................................................................................................................................................ 7
CHỦ ĐỀ 2: LŨY THỪA , MŨ VÀ LÔGARÍT .............................................................................................................................. 9 I.
CÔNG THỨC ..................................................................................................................................................................... 9 II.
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT. ............................................................................................................................. 9 III.
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT ............................................................................................ 10 IV.
ỨNG DỤNG HÀM MŨ – LÔGARIT VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ ................................................................................... 11
CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ..................................................................................................... 13 I.
NGUYÊN HÀM................................................................................................................................................................ 13 II.
TÍCH PHÂN ..................................................................................................................................................................... 13 III.
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH ........................................................................................ 16
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC .................................................................................................................................................................. 18 I.
CÔNG THỨC, PHÉP TOÁN :........................................................................................................................................... 18 II.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : .......................................................................................................................................... 18 III.
TÌM SỐ PHỨC THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC: .......................................................................................................... 18 IV.
TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC: ................................................................................................................. 18
CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN ........................................................................................................................................................ 20 I.
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ............................................................................................................................................. 20 II.
ỨNG DỤNG THỂ TÍCH ................................................................................................................................................... 20 III.
MỘT SỐ HÌNH ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP ....................................................................................................................... 20 IV.
CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN ABCD ............................................................................... 23
CHỦ ĐỀ 6: KHỐI TRÒN XOAY ................................................................................................................................................. 24 I.
THỂ TÍCH, DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN XOAY .................................................................................................................. 24 II.
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HÌNH TRÒN XOAY VÀ HÌNH ĐA DIỆN .............................................................................. 24
CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .............................................................................................. 26 I.
VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ ....................................................................................................................................................... 26 II.
MẶT PHẲNG .................................................................................................................................................................. 27 III.
ĐƯỜNG THẲNG ............................................................................................................................................................. 28 IV.
MẶT CẦU ....................................................................................................................................................................... 29 V.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ........................................................................................................................................................ 30 VI.
KHOẢNG CÁCH ............................................................................................................................................................. 31
VII. GÓC ................................................................................................................................................................................. 32
VIII. HÌNH CHIẾU, ĐIỂM ĐỐI XỨNG .................................................................................................................................... 32 IX.
TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA ĐIỀU KIỆN “LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT” ............................................................................ 33 X.
TỌA ĐỘ CÁC TÂM CỦA TAM GIÁC............................................................................................................................. 34
PHỤ LỤC ...................................................................................................................................................................................... 35
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.................................................................................... 35 I.
NHỊ THỨC BẬC NHẤT: .................................................................................................................................................. 35 II.
TAM THỨC BẬC 2, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: ............................................................................................................... 35 III.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3: ................................................................................................................................................ 36 IV.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ................................................................................................................. 36 V.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC............................................................................................................................. 36 VI.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC .................................................................................................................... 37
VII. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ............................................................. 37
VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ....................................................................................................................................................... 37
BẤT ĐẲNG THỨC ....................................................................................................................................................................... 37
LƯỢNG GIÁC .............................................................................................................................................................................. 38
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT ............................................................................................................................................................. 41
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ............................................................................................................................................... 44
GIỚI HẠN..................................................................................................................................................................................... 44
HÌNH HỌC (TỔNG HỢP) PHẲNG ............................................................................................................................................. 45 I.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC: ........................................................................................................................ 45 II.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC: ........................................................................................................................... 46 III.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN: ................................................................................................................. 46 IV.
TÂM CỦA TAM GIÁC .................................................................................................................................................... 46
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ............................................................................................................................ 46 I.
TỌA ĐỘ ........................................................................................................................................................................... 46 II.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................................................ 47 III.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ................................................................................................................................... 47 IV.
ELÍP ................................................................................................................................................................................. 48 V.
CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, HÌNH BÌNH HÀNH BẰNG TỌA ĐỘ:..................................................... 48
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG ................................................................................................................................ 48
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11.................................................................................................................... 49 I.
QUAN HỆ SONG SONG .................................................................................................................................................. 49
Dạng 1: Chứng minh quan hệ song song. ................................................................................................................................. 49
Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 Mặt phẳng. ................................................................................................................................ 50
Dạng 3: Tìm giao điểm của Đường thẳng và Mặt phẳng. .......................................................................................................... 50
Dạng 4: Tìm thiết diện của hình chóp, lăng trụ được cắt bởi Mặt phẳng .................................................................................... 50 II.
QUAN HỆ VUÔNG GÓC ................................................................................................................................................. 50
Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc. ................................................................................................................................. 50
Dạng 2: Tìm hình chiếu của Điểm lên Mặt phẳng ..................................................................................................................... 51
Dạng 3: Tính góc. .................................................................................................................................................................... 52
Dạng 4: Tính khoảng cách. ...................................................................................................................................................... 52
SƠ ĐỒ TƯ DUY ........................................................................................................................................................................... 54
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I. BẢNG ĐẠO HÀM Hàm sơ cấp Hàm hợp Phép toán     C   0  f
 u  f  
u.u
u v  u v     x  1
 .uv  u .v u.v  k.v  k.v        x  1
 .x             u  1
 .u  .uu u .v v .u k k.v        2 2        v v v v ux  1   u  Đặc biệt 2. x 2. u    1     1  1        1  u       1  x x 2    x x 2  u u a b  
sin x  cos x  
sin u   u .cos u   ax b c d ad bc       2 2     
cos x   sin x   cx d (cx d ) (cx d ) cos u   u  .sin u b c   u 2 adx  2aex x 1 tan    tan u    2     2 ax bx c d e cos x 2 cos u     dx e  dx e2    u   x 1 cot    cot u   2 sin x 2 sin u II. SỰ BIẾN THIÊN
1) Định lý: Hàm số y f x đồng biến (nghịch biến) trên khoảng Ky ' x  0  y 'x  0, x  K
2) ĐL mở rộng: Hàm số y f x đồng biến (nghịch biến) trên khoảng Ky ' x  0  y 'x  0, x  K và
y ' x  0 có hữu hạn nghiệm.
3) Tính đơn điệu của một số hàm thường gặp:
Hàm số bậc 3 3 2
y ax bx cx d :   ax b
Hàm số nhất biến y :   a b  0  cx d 
Đồng biến (Nhgịch biến) trên từng khoảng xác định c  0  c  0
+ Đồng biến (Nghịch biến)        trên   d  d  d  ;   và ; 
  y  0  y  0 , x  
a  0 a  0  c   cc     0 
Chú ý: Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c  0 y '
Hàm số đơn điệu trên khoảng K:
TH1: Hàm số đơn điệu trên
(Đối với hàm bậc lẻ)
TH2: Hàm số không đơn điệu trên
B1: Lập bảng biến thiên  Đặt khoảng K vào vị trí thỏa tính đơn điệu.
B2: Lập điều kiện  Giải  Kết quả. III. CỰC TRỊ
1) Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm:
a) Định lí 1: x x x x 0 0 y’ + – y’ – + y y CD y CT y
Hàm số đạt Cực đại tại điểm x
Hàm số đạt Cực tiểu tại điểm x 0 0
và giá trị Cực đại y y x
và giá trị Cực tiểu y y x CT  0 CD  0 Chú ý:
x : Là điểm Cực đại (Cực tiểu) của hàm số  Gọi chung là điểm Cực trị của hàm số 0 y ( y
): Là giá trị Cực đại (Cực tiểu) của HS Gọi chung là giá trị Cực trị; Gọi gọn là Cực trị. CD CD
x ; y , x ; y : Là điểm Cực đại, Cực tiểu của đồ thị hàm số. 0 CD   0 CT  1
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
b) Định lí 2:
y '(x )  0  y '(x )  0 0 
 Hàm số đạt Cực Trị tại x 0 
 Hàm số đạt Cực Đại (Cực Tiểu) tại x y ' (x )  0  0
y ' (x )  0  0  0 0   0
2) Điều kiện để hàm số đạt cực trị bằng y0:
y x y
y x y
y x y 0  0  0  0  0  0 
y ' x  0 HS đạt cực trị bằng y y ' x  0 HS đạt CĐ bằng y y ' x  0 HS đạt CT bằng y 0  0  0  0 0 0    y '   x  0 y '   x  0 y '   x  0 0  0  0 
3) Điều kiện để hàm số có n điểm cực trị
y f x có n điểm cực trị  f ' x đổi dấu khi qua n điểm x và f x xác định i i . Chú ý:
 Nếu f 'x có n nghiệm đơn x và f x xác định thì y f x có n điểm cực trị. i i
Số điểm cực trị của hàm số bậc ba 3 2
y ax bx cx d :
Số điểm cực trị
Số nghiệm của PT y ' 0
Điều kiện của hệ số Công thức điểm cực trị 2    Có 2 điểm cực trị b b 3ac Có 2 nghiệm phân biệt 2       b 3ac 0  y x 3a Không có cực trị
Vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 2       b 3ac 0 y
Số điểm cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương 4 2
y ax bx c :
Số điểm cực trị
Số ngiệm của PT y ' 0
Điều kiện của hệ số
Công thức điểm cực trị  Có 3 điểm cực trị b Có 3 nghiệm phân biệt .
a b  0 (a, b trái dấu) x  0; x   2a  . a b  0 Có 1 điểm cực trị Có 1 nghiệm (đơn)  (a, b cùng dấu) x  0 2 2  a b  0   ax b
Hàm số nhất biến y  : Không có cực trị. cx d
4) Cực trị của đồ thị hàm số bậc ba: 3 2
y ax bx cx d (Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số)
a. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: y r x Cách 1: g x   
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y r xyy 2    6ac 2b 9ad bc
Cách 2: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y x  9a 9a
Cách 3: Bấm máy tính cầm tay.  
Vào phương thức Số Phức (Mode 2), nhập .  y y y
 Gán (calc) x i  Ta được KQ dạng: b ai 18a
 PT đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y ax b 3 4k 16k  
b. Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị: AB  (với y k  ) a 9a k bc ad  
c. Diện tích tam giác ABM: 9 S
. 2k.x y (với y k  ) ABM M M a 9a 9a
5) Cực trị của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương:
Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương 4 2
y ax bx c có 3 điểm cực trị , A ,
B CAOy . Khi đó:   b     b   
A 0; c, B  ; , C   ;      , với 2
  b  4ac 2a 4a 2a 4a     2
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 2  b 4 b  8b 8  a 5 bBC  2 AB AC  tan BAC S  3 a 2 16a b ABC 3 32a Tính chất Điều kiện Tính chất Điều kiện
1. ABC đều 3
24a b  0
6. ABC vuông (cân) 3
8a b  0
2. O là trọng tâm
7. O là tâm đường tròn ngoại tiếp 2
b  6ac  0 3
b  8a  8abc  0 ABC ABC
3. O là trực tâm
8. O là tâm đường tròn nội tiếp 3
b  8a  4ac  0 3
b  8a  4abc  0 ABC ABC 4. ABC có cực trị
9. ABC có điểm cực trị cách đều 2  2 
B, C Ox b 4ac trục b 8ac Ox 2 b
5. ABC có bán kính 3  b  8a r
đường tròn ngoại tiếp 10. R
ABC có bán kính đường tròn 3  b  8 a b nội tiếp r 4 a 1 1  R  8a   
IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1) Định lý: Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì GTLN-GTNN của hàm số đạt được tại 2 đầu đoạn hoặc tại các
điểm cực trị thuộc đoạn đó.
2) Quy tắc tìm GTLN-GTNN:
Trên đoạn [a; b]
Trên khoảng (hay nửa khoảng) K
 Tìm y’  Giải PT y '  0  Tìm nghiệm x  ;
a b  Lập bảng biến thiên trên K i   
Dựa vào bảng biến thiên, nhận xét và kết luận GTLN-
Tính y(xi) , y(a) , y (b)  GTNN
Kết luận: max y M (số lớn nhất); a;b
min y m (số nhỏ nhất).
Chú ý: Trên một khoảng hàm số có thể không có hay a;b chỉ có GTLN hoặc GTNN. 3) Chú ý :
 Nếu hàm số chỉ có 1 CĐ trên  ;
a bthì max y y . Nếu hàm số chỉ có 1 CT trên  ;
a b thì min y y CD CT a;b a;b
min y y a
min y y b   a;ba;b
Hàm số đồng biến trên đoạn  ; a b    
; Hàm số nghịch biến trên đoạn  ; a b     max y y  b max y y  a  a;b  a;b
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
1) Định nghĩa:
lim y y  Tiệm cận ngang (TCN) là đường thẳng y y 0 0 x
lim y    Tiệm cận đứng (TCĐ) là đường thẳng x x 0 x 0 x
2) Chú ý:
 Đề tìm đường TCN, TCĐ  Ta tính giới hạn của hàm số tại các “đầu ngoặc tròn” của Tập xác định Cụ thể:
Để tìm TCN  Ta tính giới hạn tại vô cực;
Để tìm TCĐ  Ta tính giới hạn tại các nghiệm của mẫu.
 lim y    Không có TCN. x
 lim y y  Không có TCĐ: x x . 0 0 x 0 x
 Đồ thị hàm số đa thức không có đường tiệm cận.
3) Đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số hữu tỷ (thương của 2 đa thức).
 TCĐ: x x (với x là các nghiệm của mẫu nhưng khác nghiệm của tử) i i
 TCN: - Bậc tử > Bậc mẫu  Không có TCN a
- Bậc tử = Bậc mẫu  TCN: T y
( Bằng thương hệ số lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu) aM
- Bậc tử < Bậc mẫu  TCN: y  0 3
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
VI. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1) Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
B1. Tìm tập xác định
B2. Sự biến thiên:
+ Tìm đạo hàm. Tìm nghiệm của đạo hàm và điểm không xác định của đạo hàm.
+ Tính giới hạn của hàm số tại các “đầu ngoặc tròn” của TXĐ. Suy ra các đường tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên: x
Điền TXĐ; nghiệm của đạo hàm và điểm không xác định của đạo hàm (theo thứ tự tăng dần). y'
Xét dấu đạo hàm y’
Vẽ chiều biến thiên (mũi tên chéo); y
Điền Giới hạn hàm số, Giá trị hàm số tại các điểm x tương ứng vào các đầu mũi tên
+ Nêu các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có)
B3. Vẽ đồ thị: Lập bảng giá trị (hay điểm đặc biệt), vẽ đồ thị và nhận xét về đồ thị
2) Các dạng đồ thị hàm số:Hàm số bậc 3: 3 2
y ax bx cx d (a  0) Dấu của a a > 0 a < 0
PT y’ = 0 có hai nghiệm phân 2 2 biệt. ( O 2       b 3ac 0 y -2 ) -2 PT y’ = 0 có nghiệm kép. 2 2 ( 2       b 3ac 0 y ) 4 PT y’ = 0 vô nghiệm. ( 2 2 2       b 3ac 0 y )
Nhận xét đồ thị:   b
Tâm đối xứng: điểm I x ; y , với x
(là nghiệm PT y '  0 ) và y f x 0  0 0 0  0 3a
Tâm đối xứng cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị.
Tâm đối xứng nằm bên phải trục Oy a, b trái dấu; bên trái trục Oy a, b cùng dấu.
Hai đầu đồ thị: ĐTHS bậc 3 (bậc lẻ nói chung) luôn có một đầu đi lên và một đầu đi xuống.
Đầu bên phải: Đi lên  a  0 ; Đi xuống  a  0 .
Giao điểm với trục tung: Nằm phía trên trục hoành thì d  0 ; Nằm phía dưới trục hoành thì d  0 .
Điểm cực trị:
Hai điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy  .
a c  0 ; cùng phía  . a c  0.
Có điểm cực trị thuộc Ox c  0
Hàm số bậc bốn trùng phương: 4 2
y ax bx c (a  0) Dấu a a > 0 a < 0 4
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT PT y’ = 0 có 2 ba nghiệm phân biệt
 .ab  0 -2 Pt y’ = 0 có 2 một nghiệm
 .ab  0 -2
Nhận xét đồ thị:
Trục đối xứng: Nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hai đầu đồ thị: ĐTHS bậc 4 (bậc chẵn) luôn có hai đầu cùng đi lên hoặc cùng đi xuống;
Đi lên  a  0 , đi xuống  a  0 .
Điểm cực trị: Luôn có một điểm cực trị thuộc trục tung và 2 điểm cực trị còn lại (nếu có) đối xứng qua trục tung.
Giao điểm với trục tung: Nằm phía trên trục hoành  c  0 ; Nằm phía dưới trục hoành  c  0 .   ax b
Hàm số nhất biến : y
ad bc  0 cx d ad – bc ad – bc y       y 0 cx d  0 2 cx d 2 4 4 2 2 -2
Nhận xét đồ thị:    d a
Tâm đối xứng là điểm I ; 
 (là giao điểm 2 đường tiệm cận).  c c  8   a d
Tiệm cận ngang: y
; Tiệm cận đứng: x  (nghiệm của mẫu). c c 6   b b
Giao điểm với trục tung: x  0  y
; Giao điểm với trục hoành: y  0  x  (nghiệm của tử). d a 4 b d 2 a TCN c 15 10 5 -d 5 10 15 -b O c a 2 TCĐ VII. TIẾP TUYẾN
1) Định lý: PT tiếp tuyến của đường cong y f 4 x tại tiếp điểm M x ; y có dạng: 0 0 
y y k. x x (*) 0  0  6 5
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT Trong đó: + x : Hoành độ tiếp điểm; 0
+ y y x : Tung độ tiếp điểm; 0  0
+ k f ’ x : Hệ số góc của tiếp tuyến. 0 
2) Quy tắc lập phương trình tiếp tuyến của đường cong y f x
B1. Tìm đạo hàm y '  f ' x
B2. Dựa vào giả thiết, tính x , y , f x . 0 0  0
B3. Thay vào PT (*), thu gọn, ta được PT tiếp tuyến cần tìm (Chú ý: So điều kiện, loại PTTT nếu có) 3) Chú ý:   a
Đường thẳng d  : y ax b có hệ số góc k a ; Đường thẳng d  : ax by c  0 có hệ số góc k  . d d b
 Hai đường thẳng song song thì hệ số góc của chúng bằng nhau.
 Hai đường thẳng vuông góc  Tích hệ số góc của chúng bằng –1.
 Tiếp tuyến đi qua Ax ; y : Thay tọa độ điểm A, y f x và k f '(x ) vào PT(*)  Giải PT tìm x 0  0 A A  0 0
 Thay x vào (*) ta được PT tiếp tuyến cần tìm. 0
VIII. SỰ TƯƠNG GIAO (Dấu hiệu nhận biết: Trong đề có từ: Cắt, tiếp xúc, giao điểm hay điểm chung…)
1) Định lí:
ĐTHS y f x và y g xcó n điểm chung
 PT hoành độ giao điểm f x  g x có n nghiệm phân biệt.
2) Tìm giao điểm của đường cong C : y f x và đường thẳng d : y g x
B1. Lập PT hoành độ giao điểm của (C) và (d) : f x  g(x) (*)
B2. Giải PT(*) tìm x (là hoành độ giao điểm)Thay x vào y f x hay y g x Tính y (là tung độ giao điểm).
3) Biện luận giao điểm của đường cong C : y f (x, m) và đường thẳng d : y g(x, m) (hay tìm tham
số m để thảo mãn điều kiện về giao điểm của (C) và (d))
B1. Lập PT: f x,m  g x,m  (1)  Biến đổi làm xuất hiện PT bậc 2 (Như bảng dưới đây)
B2. Lập điều kiện theo yêu cầu bài toán  Quy về điều kiện nghiệm PT bậc 2  Giải điều kiện tìm m
PT(1) là PT PT(1) là PT bậc 3:
PT(1) là PT bậc 4 trùng phương:
PT(1) có chứa ẩn ở bậc 2:
Biến đổi đưa về PT tích dạng: 1) Đặt 2
t x ,t  0, ta được PT bậc 2: mẫu:
(Xem phụ lục x x .(Ax Bx C)  0  2 Quy đồng khử mẫu 0  2    phần PT bậ at bt c 0, (2) . c   Thu gọn về PT đa x x 2)
2) Biện luận nghiệm PT(2), suy ra: 0  thức bậc 2, 3, 4. 2
Ax Bx C  0 nghiệm PT(1)
(Xem phụ lục phần PT bậc 3) (Xem phụ lục
phần PT bậc 4 trùng phương)
Chú ý: Nếu biến đổi PT f  ,
x m  g  ,
x m  u x  vm thì Áp dụng phương pháp Đồ thị (Xem Mục IX).
 Lập phương trình hoành độ giao điểm: f  ,
x m  g  ,
x m (1)  Biến đổi về dạng: u x  vm
4) Khoảng cách giữa các giao điểm, tam giác chứa các giao điểm,…:
c) Đường cong 2
y ax bx c cắt đường thẳng y kx r tại 2 điểm M, N: Lập PTHĐGĐ: 2 2
ax bx c kx r ax  b k x  c r   0 (2). 2 1 k 1 2 Khi đó: MN  . S
. kx y r 2 2 a MNQ 2 2 Q Q a
d) Đường cong 3 2
y ax bx cx d cắt đường thẳng y kx r tại 3 điểm M, N, P : 6
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
x x x Lập PTHĐGĐ: 3 2
ax bx cx d kx r   x x  2
x   x   P 0   . 0  0 2 
x   x    0 (2)
(Xem cách phân tích thành nhân tử ở Phần Phụ lục, mục “Phương trình bậc 3”) 2 1 k 1 2 Khi đó: MN  . S
. kx y r 2 2  MNQ 2 2  Q Q
ĐTHS bậc 3 cắt đường thẳng d tại 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng khi d đi qua tâm đối xứng ax b
e) Đường cong y
cắt đường thẳng y kx r tại điểm M, N : cx d ax b Lập PTHĐGĐ: kx r  2
x   x   0 (2) . cx d 2 1 k 1 2 Khi đó: MN  . S
. kx y r 2 2  MNQ 2 2  Q Q   Chú ý:
x x ; x .x ; x x   . M NM NM N 2   
y y k.  2r ; 2 y . y   r.  r ; y yk . M NM N   M N 2
Nếu PT (2) ta tính biệt thức thu gọn  ' thì thay   4 ' 100 5) ĐTHS 4 2
y ax bx c cắt trục Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng khi: 2 b ac  0 9
IX. ỨNG DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO
Dùng đồ thị C: y f x, biện luận nghiệm phương trình F x,m  0 (1), (m là tham số). 8
 Biến đổi: F  ,
x m  0  f x  g m (2)
(PT(2) là PT hoành độ giao điểm của (C) : y f x và d  : y g( )
m , với (d) là đường thẳng cùng phương trục Ox) 6
 Vẽ (C) : y f x và d 8: y g( )
m trên cùng hệ trục toa độ. (Vẽ đường thẳng d  : y g( ) m nằm ngang
ở các vị trí: Dưới cực trị; Qua cực trị; Giữa các cực trị; Trên cực trị).
 Dựa vào đồ thị, Theo YCBT  Chọn vị trí tương ứng  Lập điều kiện  4
Giải và tìm tham số m. 6 Chú ý:
Số nghiệm PT F  ,
x m  0 bằng Số điểm chung của (C) : y f x và d  : y g( ) m . 4 2
y=g(m) 2
y=g(m) 15 10 5 O 5 10 15 15 10 5 O 5 10 15 2 2 X.
PHÉP SUY ĐỒ THỊ 4
Dạng 1. Từ đồ thị (C) của hàm s4ố y f x, suy ra cách vẽ đồ thị (G) của hàm số y  f x  f
  x khi f x  0
Ta có: y f x  
 G  C C (Với 6C là phần đồ thị (C) nằm phía 1  1   2  f
6x khi f x  0
trên trục hoành  y  0 , còn C là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục 2  C    8 8 hoành  y  0 C    7
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
Ví dụ 1. Từ đồ thị (C) của hàm số 3 2
y x  3x  3 , vẽ đồ thị (G) của hàm số 3 2
y x  3x  3
Lấy đối xứng của phần đồ thị dưới trục hoành qua trục hoành, rồi xóa phần đồ thị dưới trục hoành.
Dạng 2. Từ đồ thị (C) của hàm số y f x, suy ra cách vẽ đồ thị (H) của hàm số y f x
Ta có: y f x  là hàm số chẵn  Đồ thị (H) nhận trục tung làm trục đối xứng  (H)  C C 3   4
Với C là phần đồ thị của (C) nằm bên phải trụcOy x  0 , còn C là phần đối xứng của C qua trục Oy 3  4  3 
Ví dụ 2. Từ đồ thị (C) của HS 3 2
y x  6x  9x 1, vẽ đồ thị (H) của HS 3 2
y x  6x  9 x 1.
Xóa phần đồ thị bên trái trục tung, rồi lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung.
Dạng 3. Từ đồ thị (C) của hàm số y  f x, suy ra cách vẽ đồ thị (K) của hàm số y f x f
  x  khi f x   0
Ta có: y f x   
 (K)  H H 1   2  f
x  khi f x   0
Với H là phần đồ thị của (H) của hàm số y f x  nằm phía trên trục hoành  y  0 , còn H 2  H  1   
là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (H) ở phía dưới trục hoành  y  0 . H   
Ví dụ 3.Từ đồ thị (C) của hsố 3 2
y x  6x  9x 1, vẽ đồ thị (K) của hsố 3 2
y x  6x  9 x 1 .
Thực hiện 2 bước: Dạng 1 Dạng 2, hay Dạng 2 Dạng 1 8
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
CHỦ ĐỀ 2: LŨY THỪA , MŨ VÀ LÔGARÍT I. CÔNG THỨC 1) Lũy thừa n a  . a ... a a m ma  1:   a mn m  . n a
a a m n a n m n aa (tích của n thừa số a) n f x g x a ( ) ( ) aa
f (x)  g(x) 0  1
a  1 , a  0 n n    n n a a n n n a a  ( . a ) b
a .b      0  a 1:  n n 1  a  , a   b b f x g x n  0    a ( ) ( ) a a f (x) g(x) m n n m m.  ( )  ( ) n a aa 2) Logarit
 log b    a b  log (b .b )  log b  log b log ba  1: a a 1 2 a 1 a 2  log b c a
(a, b  0; a  1)  log f (x) log g(x) b  log a c a a 1       log log b log b log 1  0    a a 1 a 2 1 f (x) g(x) 0 a b  2   log b   a log a  1   log a log b    b a .log b a a  0  a 1:     log a   log . a log b log b c a c a   1 
log f (x)  log g(x) log  a ab log b log a a   a  b ab   log      b  log b 0 f (x) g(x) a a3) Đạo hàm Hàm sơ cấp Hàm hợp      1     ux  1  .x    n x   u  1
 .u .u  n u   n n 1 . n x n n 1 . n u       x x aa .ln axx eeuu aa .ln . a u  uu ee .u    u  u  x    1 ln x  log u
lnu  aa  1 log . x ln a x u.ln a u
II. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT.
Hàm số lũy thừa y x  TXĐ: Đồ thị:
+  nguyên dương : D  . (tùy theo số mũ
+  nguyên không dương : D  \   0 . )
+  không nguyên: D  0; . 
Khảo sát trên 0;:
  0: HS nghịch biến; TCN: Ox ; TCĐ : Oy
  0 : HS đồng biến; Không có đường tiệm cận. Hàm số mũ x
y a 0  a   1 a  1
0  a 1  TXĐ: D
. TGT: T  0; .  TXĐ: D
. TGT: T  0; . 
Hàm số luôn đồng biến 
Hàm số luôn nghịch biến 
Tiệm cận ngang là trục Ox
Tiệm cận ngang là trục Ox
Đồ thị nằm phía trên trục hoành 
Đồ thị nằm phía trên trục hoành 9
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
Hàm số logarit y  log x , 0  a   1 a a  1
0  a 1
TXĐ: D  0; . TGT: T  . 
TXĐ: D  0; . TGT: 
Hàm số luôn đồng biến 
Hàm số luôn nghịch biến 
Tiệm cận đứng là trục Oy
Tiệm cận đứng là trục Oy
Đồ thị nằm phía bên phải trục tung 
Đồ thị nằm phía bên phải trục tung
Chú ý : Đồ thị hàm số x
y a và y  log x (hai hàm ngược nhau) đối xứng nhau qua đường thẳng y x a
ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT
u , nếu  nguyên dương 
1. y u xác định khi :
u  0 , nếu  nguyên không dương
u  0 , nếu  không nguyên 2.u y a xác định khi : u  0 0  a  1
3. y  log u xác định khi :  au  0
III. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
1) Phương trình, bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản : Mũ Logarit Dạng x
a b , (a  0, a  ) 1
Dạng log x  ,
b a  0, a a  1
b  0 : PT vô nghiệm
 Điều kiện: x  0  b  0 : x
a b x  log b  log b
x b x a a a Chú ý: u v
a a u v
Chú ý: log u  log v u v a a Dạng x
a b , (a  0, a  1 )
Dạng log x  ,
b a  0, a a  1
b  0 : BPT có tập nghiệm
 Điều kiện : x  0  b  0 : x
a b x  log b , khi a  1  log b
x b x a , khi a a 1 a x
a b x  log b , khi 0  a 1 log b
x b x a , khi  a a 0 1 a Chú ý: u v
a a u  , v khi a  1
Chú ý: log u  log v u  , v khi a  1 a a u v
a a u  ,
v khi 0  a  1
log u  log v u  ,
v khi 0  a  1 a a
2) Phương trình, bất phương trình mũ- lôgarít đơn giản: Mũ Logarit
Phương pháp đưa về cùng cơ số f xgxaa
f x  g x log f x
g x f x g x a   loga       0 f xf xf x  a n . m a  . n b      b m
Phương pháp đặt ẩn phụ
Nguyên tắc: Áp dụng cho PT, BPT chứa một hàm số (mũ, logarit,…) ở nhiều vị trí (trong lũy thừa, dưới mẫu, dưới căn…)
Cách giải: Đặt hàm số mũ, logarit,…làm ẩn phụ  Biến đổi đưa về PT, BPT đại số. 10
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
Dạng 1 (mũ bội): Chứa u 2u 3 ; ; u a a a ;...
Dạng 1: Chứa log u , 2 log u , 3 log u ,… a a a Thường gặp: 2 . u  . u m a
n a p  0
Thường gặp: 2 . m log u  .
n log u p  0 a a Cách giải: Cách giải: C1: Đặt u
t a ,t  0 Ta được: 2 . m t  . n t p  0
C1: Đặt t  log u  Ta được: 2 . m t  . n t p  0 a
 Giải tìm t  Thay u
t a  Giải tìm nghiệm.
 Giải tìm t  Thay t  log u  Giải tìm nghiệm. a
C2: Xem ẩn là u
a  Giải trực tiếp tìm u a
C2: Xem ẩn là log u  Giải trực tiếp tìm log u a a Giải tìm nghiệm.  Giải tìm nghiệm.
Dạng 2 (mũ đối): Chứa u; u a a
Dạng 2: Chứa log u , log a a u
Thường gặp: . u  . u m a n a
p  0
Cách giải : Biến đổi 1 log a   Biến đổi về Dạng Cách giả u
i: Biến đổi u 1 a
 Biến đổi về Dạng 1. log u a u a 1.
Dạng 3 (cơ số nghịch đảo): Chứa u; u a b (với . a b 1)
Thường gặp: . u  . u m a
n b p  0 (với .
a b 1)
Chú ý : Đối với BPT thì không được khử mẫu, mà ta chỉ
quy đồng để được BPT chứa ẩn ở mẫu.
Cách giải: Biến đổi u 1 b
 Biến đổi về Dạng 1. u a
ĐẶC BIỆT: Với a ba b 1, Ta có:
  u   u a b a b
 2a u  1
  u   u a b a b   2 2
2 a b   u  2 
Dạng 4 (cơ số lập thành cấp số nhân): Chứa u ; u; u a b c (với 2 . a c b )
Thường gặp: . u  . u  . u m a n b
p c  0 Cách giải:
Cách 1: Chia 2 vế PT, BPT cho u a (hay u c )  Biến đổi về dạng 1.
Cách 2: Chia 2 vế PT, BPT cho u
b  Biến đổi về dạng 2.
Phương pháp: Logarit hóa
Phương pháp: Mũ hóa u v a b  log u a  log v b u  . v log b log u log v log log u  log a b b v v aau a a a a a b
Tương tự cho BPT, chú ý đổi chiều khi cơ số 0  a 1 Tương tự cho BPT, chú ý đổi chiều khi cơ số 0  a 1
IV. ỨNG DỤNG HÀM MŨ – LÔGARIT VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ Bài toán Công thức Diễn giải
1. Tính tiền gửi lãi kép:
T : số tiền ban đầu gửi;
(Gửi một lần và rút một lần) 0 n r : lãi suất/kì;
T T 1 r n 0   n : số kì gửi;
T : số tiền sau n kì gửi. n
2. Tính tiền gửi tiết kiệm lãi
T : số tiền gửi mỗi kì; 0 kép: 1 r n T T .  1 r 1 r : lãi suất/kì; n 0  
(Mỗi kì gửi một lần số tiền cố r   n : số kì gửi;
định và chỉ rút một lần)
T : số tiền sau n kì gửi. n
3. Tính tiền trả góp lãi kép:
t : số tiền trả mỗi kì;
(Vay một lần và trả góp cố r n 1 r
T : số tiền vay ban đầu; 0 định mỗi kì) t T . 0  n 1 r  1 r : lãi suất/kì;
n : số kì phải trả
4. Tính tiền rút định kì:
T : số tiền gửi ban đầu; 0
(Gửi một lần và rút dần mỗi kì n M n
T T . 1 r  1   1 r r : lãi suất/kì; n 0    
số tiền cố định) r
n : số kì gửi; 11
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
T : số tiền còn lại sau n kì; n
M : số tiền rút mỗi kì.
5. Tính biến động dân số:
S : số dân ban đầu;
(Tính dân số tăng, giảm) 0 .
r : tỉ lệ biến động dân số/kì;
S S . n r e n 0 n : số kì;
S : số dân sau n kì. n
6. Tính phóng xạ bán rã:
m :khối lượng chất phóng xạ ban đầu; 0 t  1 T
t : thời gian bán rã; m m . t 0    2  T : chu kì bán rã;
m : khối lượng tại thời điểm t. t
7. Tính cường độ động đất:
M : cường độ động đất; A
A : biên độ rung tối đa; M  log   A
A : biên độ chuẩn (hằng số định 0  0 trước).
8. Công thức liên hệ 2 trận
A , M và A , M : lần lượt là biên độ 1 1 2 2
động đất có cùng biên độ A1  1 2 10M M
rung tối đa, cường độ của trận động chuẩn: A2
đất thứ nhất và thứ hai. 12
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. NGUYÊN HÀM
1) Định nghĩa:
F x là một nguyên hàm của f x  F x  f x f
 xdx F xC (họ nguyên hàm)
2) Tính chất: f
 xdx f xC f
 x gxdx f
 xdx g
 xdx 1 k. f
 xdx k. f
 xdx         f ax b dx F ax b C a
3) Bảng nguyên hàm : Hàm sơ cấp
Hàm hợp với u ax b
Công thức Đặc biệt. 0.dx C
1 dx  2 x C    x kdx kx C 1 1     1  1  d    x C   1 ( )      Cx x dx  (  )  .   ax b ax b dx C x    1 1 x 1 a  1 2 1 1 3     xdx x C ln   dx x C  ln    dx ax b C 3 x ax b a n 1  n 1  xdx x   n n C sin(  )  cos(  )   ax b dx ax b C sin   cos   xdx x C n 1 a    1 tan xdx ln cos x C     cos  sin   xdx x C cos( ) sin( )  ax b dx ax b C a
cot xdx  ln sin x C 1   tan(  )   dx ax b C    tan   dx x C ln d ln  x x x x x C 2 ax  2 cos ( b) a cos x 1  1 1         ln  x a dx C cot   dx x C cot( )  dx ax b C 2 2 2 x a 2a x a 2 ax  sin x sin ( b) a  1       x xax b ax b e dx e C e dx e C a kxx b a a kxb 1 x a dx    C a dx  .   C ln a k ln a
4) Tìm một nguyên hàm: Tìm họ nguyên hàm F x  C  Dùng điều kiện từ giả thiết thay vào để tính C, II. TÍCH PHÂN b b 1) Định nghĩa: f
 xdx F x  F bF a, (với Fx là một nguyên hàm của f x trên  ;ab) a a 2) Tính chất: a b a b b b f
 xdx  0 f
 xdx   f
 xdxf
 x gxdx f
 xdxg  xdx a a b a a a b b b c b k. f
 xdx k. f  xdx f
 xdx f
 xdxg
 xdxa c ba a a a c n a.nb 0 a a
f ax b 1 dx  
f xdx
Nếu f x là hàm lẻ thì f
 xdx   f
 xdx và f
 xdx  0 a m a.mba 0 a a a a 0 a
f xdx f    xdx
Nếu f x là hàm chẵn thì f
 xdx  2 f
 xdx  2 f  xdx. aaaa 0 13
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT b a f xa 2
f xdx  0  f x  0
Nếu f x là hàm chẵn thì dx   f x dx x    1 b aa 0
3) Phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp cơ bản: Dùng công thức nguyên hàm và tính chất
Phương pháp: Tách hàm số thành tổng, hiệu của các biểu thức có công thức nguyên hàm.
Các dạng thường gặp: Đặc điểm Dạng nhận dạng Phương pháp P xr x Chia đa thức:
,( P x là đa thức và r là phần dư) 1  
Q x  P x  1     Q xP x  r Bậc 2/Bậc 1:  ax b  (1) Bậc tử Q xQ x≥
 Tính số dư r P x (với x là nghiệm của mẫu Q x )  Cho 2 giá trị của 0  Bậc mẫu 0
x vào (1), ta được 2 PT ẩn a, b  Giải Hệ tìm a, b. P x  r Bậc 3/Bậc 1: 2 (2)
Q x  ax bx c Q x
 Làm tương tự, ta được Hệ 3 ẩn a, b, c.
Hệ số bất định: Phân tích mẫu thành tích rồi tách thành tổng theo các cách sau:
Cách 1: (Làm thủ công) ax b A B
Ae Bcx  Af BdDạng 1:    (quy đồng) 1.
cx d ex f cx d ex f
cx d ex f Phân
 Cho  Ae Bcx  Af Bd   ax b  Ta được Hệ PT 2 ẩn A, B: thức hữu tỉ:  . e A  . c B a   Giải tìm A, B
f .A d.B b P x  ax b A B B .
c x   A Bd   dx Bậc tử Dạng 2:    Q x  (quy đồng) cx d 2
cx d2 cx dcx d2 < Bậc mẫu  . c B a
 Cho Bcx   A Bd   ax b  Ta được Hệ PT 2 ẩn A, B:  A d B  và mẫu có . b nghiệm ax b A B
Cách 2 : Cho 2 giá trị của x vào :   (hay
cx dex f cx d ex f ax bA
B ), ta được 2 PT ẩn 
A, B  Giải Hệ, tìm A, B cx d 2
cx d 2 cx d Cách 3: ax ax ax Dạng 1: b A B b b  .Với: A  ; B cx d ex f      cx d ex f ex f     d f cx d xx      c   e ax Dạng b A B 2:   A ax   . Với:  b  ;  a B d cx d 2
cx d 2 cx d x   cc 2. Tích
của Dùng công thức biến tích thành tổng  Tách thành tổng, hiệu Tích của sin, cos các hàm sinx, cosx lượng
đều có bậc Dùng công thức hạ bậc  Hạ đến bậc nhất. giác chẵn
b) Phương pháp đổi biến số:
Phương pháp đổi biến dạng “đặt t theo x”: I f u
  x.u'
  xdx  Đặt t u x  dt u ' x  I f  t.dt 14
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT Phương pháp:
+ Đặt t u xLấy vi phân: dt u 'x.dx và Rút ra một số biểu thức cần thiết; + Đổi cận;
+ Thay biến mới, cận mới và tính tích phân theo biến mới.
Các dạng thường gặp Dạng tích phân
Đặc điểm nhận dạng Cách đặt u ' x1    .dx
Thương , có tử là đạo hàm của mẫu
t u xu x
Chứa Hàm lũy thừa và một nhân tử là đạo hàm của cơ 2 u
 x .u'  x.dx
t u x số. ux3 a
.u ' x.dx
Chứa Hàm mũ và một nhân tử là đạo hàm của mũ thức.
t u x  4 m    . k ax b x dx Chứa . m
a x b và k
x .dx (với m và k không cùng chẵn) m
t ax b n m k n m n m k
t ax b 5 f
  ax b.x dx Chứa .ax b và x .dx (với m và k không cùng chẵn) hay m
t ax b 6 ( ).  x x f e e dx
Chứa biểu thức của x e và x e dx x t e hay  . x t a e b 1 1 t  ln x 7 (ln ).  f x dx
Chứa biểu thức của lnx và dx x x hay t  .
a ln x b t  sin x f (sin x).cos . x dx
Chứa biểu thức của sinx và cos . x d x hay t  .
a sin x b 8 t  cos x f (cos x).sin . x dx
Chứa biểu thức của cosx và sin . x d x hay t  .
a cos x b 1 1 t  tan x f (tan x). .dx
Chứa biểu thức của tanx và .dx 2 cos x 2 cos x hay t  .
a tan x b 9 1 1 t  cot x f (cot x). .dx
Chứa biểu thức của cotx và .dx 2 sin x 2 sin x hay t  .
a cot x b
Chú ý: + Nếu x được thay thành ax b thì ta đặt tương tự.
+ Dấu hiệu thường gặp: đặt t là biểu thức trong ngoặc, căn thức, mẫu, mũ,...
ĐẶC BIỆT: Phương pháp đổi đuôi: f
 ux.u'
  xdx f
 ux.d
 u x  F  
u x   C
Công thức đổi đuôi thường gặp: 2) '      1)   .  ln     u x dx u x C . '     ux 1  3) .    u x u x e u x dx e C u xux  
 .u 'x.dx      C 1
Phương pháp đổi biến dạng “đặt x theo t”Phương pháp:
+ Đặt x g t (điều kiện) Lấy vi phân: dx g 't.dt (Rút ra biểu thức cần thiết) + Đổi cận;
+ Thay biến mới, cận mới và tính tích phân theo biến mới.
Các dạng thường gặp:
Đặc điểm nhận dạng: Cách đặt Tích phân có chứa     1 2 2     a x hay 2 2 a x Đặt x a sin t, t
 hay x a cost,0  t     2 2      2 2 2     a x hay 2 2 a x Đặt x a tan t, t
 hay x a cot t,0  t     2 2  a    a     3 2 2 x a hay 2 2 x a Đặt x
, 0  t   ,t    hay x  , 
t  ,t  0   cos t  2  sin t  2 2  15
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT b b b
c) Phương pháp tích phân từng phần: . u dv  . u v  . v du   (*) a a a
Nhận dạng: Áp dụng cho tích phân chứa tích (hay thương) của 2 hàm số khác loại (như chứa 2 trong các hàm
số: đa thức (hàm lũy thừa, căn thức), lượng giác, mũ, logarit,...)
Nguyên tắc: Đặt u là biểu thức có đạo hàm đơn giản hơn và chọn dv là phần còn lại mà nguyên hàm đã biết.
Phương pháp: Tính I f
 x.gx.dx
+ Đặt: u f x(có đạo hàm gọn hơn)
du f ’x.dx (lấy vi phân)
dv g x.dx (g(x) có nguyên hàm)v G x(lấy một nguyên hàm, cho C = 0) b
+ Thay vào công thức (*)  Tính . v du  , Suy ra kết quả a
Dạng thường gặp: Dạng tích phân
Đặt u
Đặt dv P(x).sin 
ax b.dx 1 P(x)
sin ax b.dx P(x).cos 
ax b.dx P(x)
cosax b.dx axb 2 P(x).e .dx P(x) axb e .dx P(x).ln 
ax b.dx
ln ax b
P x.dx 3
ln ax b  .dx  ln 
 axb 1
.P (x).dx
ln ax b 1
P x.dx P(x) P(x) 1 .dx dx 2 P(x)
cos ax b 2
cos ax b4 P(x) 1 .dxdx 2 P(x)
sin ax b 2
sin ax b
Dạng khác: Biểu thức tích phân là tích (hay thương) của 2 trong các hàm số logarit, mũ, lượng giác  Đặt u
là 1 trong 2 hàm số đó và dv là phần còn lại (không chứa hàm logarit).  Chú ý:
Nếu gặp tích phân của thương thì viết thành tích của tử nhân nghịch đảo của mẫu: f x 1 1 I
    dx f x.  dx f x.g xdx g x g x
ĐẶC BIỆT: Công thức tích phân từng phần không cần đặt u, dv: b b f  xb
.g  x.dx f x.G x  f
 x.Gx.dx a a a
(với g x có một nguyên hàm G x và f x có đạo hàm gọn hơn)
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH
1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đường: y f x, y g x, x  ,
a x ba b được tính bởi công thức: b S 
f (x)  g(x) dx  (*) a 16
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
Chú ý:
a) Trường hợp Hình phẳng giới hạn không đủ 4 đường như trên (thiếu ít nhất 1 trong 2 đường
thẳng x a, x b ), ta thực hiện như sau:
Giải PT f x – g x  0 tìm nghiệm x  Chọn cận dưới trong công thức (*) là số nhỏ nhất, cận trên là i
số lớn nhất trong các số a, , b x . i
b) Nếu phương trình f x – g x  0 có n nghiệm x , x , ,  x  ;
a b (giả sử x x  ...  x ) 1 2 n   1 2 n
thì tích phân (*) được tách thành tổng (phân đoạn tích phân) như sau: 1 x x b
S    f (x)  g(x) 2
dx    f (x)  g(x)dx ...   f (x)  g(x)dx a 1 x n x
Quy tắc tính :
B1. Giải PT : f x – g x  0  Tìm a, b (nếu chưa có đủ) và tìm nghiệm x  ; a b i
B2. Diện tích hình phẳng đã cho là :…(lập công thức (*))  Tính kết quả.
2) Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường: y f x ;
Ox ; x a ; x ba b được tính bởi công thức: b
V    f x 2 ( ) .dx (**) a
Chú ý: Trường hợp Hình phẳng giới hạn không đủ 4 đường như trên (thiếu ít nhất 1 trong 2 đường thẳng
x a, x b ), ta thực hiện như sau:
Giải PT f x – g x  0 tìm nghiệm x  Chọn cận dưới trong công thức (**) là số nhỏ nhất, cận trên i
là số lớn nhất trong các số a, , b x . i
Quy tắc tính :
B1. Giải PT f x  0 Tìm a, b (với a là nghiệm nhỏ nhất, b là nghiệm lớn nhất của PT f x  0 ).
Chú ý : Nếu đã có đủ a, b thì bỏ qua B1
B2. Thể tích khối tròn xoay đã cho là :…(lập công thức (**))  Tính kết quả.
3) Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường: y f x
; y g x ; x a ; x b (Với f x.g x  0,x  ;
a b ) được tính bởi công thức: b 2 V   f x 2  
g x .dx (***) a 17
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC
I. CÔNG THỨC, PHÉP TOÁN :  2 i  1  3 i i  ; 4 i  1 ; ….;
 (a bi)  (c di)  (a c)  (b d)i z z  2a  4n i  1; 4n 1
i   i ; 4n 2 i   1  ; 4n3 ii   * n    2
(a bi)(c di)  (ac bd )  (ad bc)i  . z z z    a c c d.i
(c d.i)(a  . b i) 1 z a  .
b i c d.i       b   d a  . b i (a  . b i)(a  . b i) 2 z zz a  . b i   z z z a  . b i  
z .z z . z  1 1  2 2  1 2 1 2
z a bz z 2 2  2 2 2 2
Căn bậc 2 của số thực a  0 là ia
z z z z  2 z z 1 2 1 2  1 2 
 Căn bậc 2 của số phức z a  .
b i là số phức  z , z liên hợp, ta có: 1 2 2 2      x y a 2 2 x  .i y thỏa: 
z zz z 1 2 1 2  2xy b   2 z z  1 2 2 a
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : 2
Az Bz C  0 (A  0). Biệt thức 2
  B  4AC
a) A, B, C là số thực: B  
Nếu   0 thì phương trình có 2 nghệm thực phân biệt z  2 AB
Nếu   0 thì phương trình có nghệm thực kép z  2 AB i
Nếu   0 thì phương trình có 2 nghệm phức phân biệt z  2 A
b) A, B, C là số phức: B  
Trên tập số phức, PT bậc 2 luôn có 2 nghiệm (không nhất thiết phân biệt) : z  (Với  là một căn 2 A bậc 2 của )
c) Biểu thức đối xứng đối với 2 nghiệm PT bậc hai : (Xem Phụ lục, mục PT bậc hai)
Bổ sung : Cho z , z là 2 nghiệm của PT 2
Az Bz C  0 trên tập số phức. Ta có: 1 2 2  B   2 2 C 2 2 C zzz z    z zz z  4z z   4 1 2   1 2  1 2 1 2   A 1 2  A A 2     2     2 B z z z z  1 2 1 2    A
III. TÌM SỐ PHỨC THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC: Phương pháp:
B1. Gọi số phức cần tìm là z a bi  2
, a, b  ;i    1
B2. Thay z a bi vào điều kiện cho trước  Biến đổi và thu gọn mỗi vế thành dạng một số phức  Cho
phần thực, ảo tương ứng bằng nhau  Lập hệ PT 2 ẩn a, b  Giải hệ, tìm a, b  Kết quả
IV. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC: Phương pháp:
B1. Trong mặt phẳng Oxy, gọi M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức z x yi  2
, x, y  ;i    1
B2. Biến đổi hệ thức điều kiện ở giả thiết (có chứa số phức z) thành hệ thức có dạng thường gặp sau: PT, BPT
Tập hợp điểm PT, BPT
Tập hợp điểm
ax by c  0
ax by c  0 (*)
Nửa mặt phẳng chứa điểm có
y ax b Đường thẳng (Tương tự cho dấu
tọa độ thỏa BPT(*), với bờ là y b ,  ,   )
ĐT d  : ax by c  0 (Nếu 18
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
x c
dấu BĐT có dấu bằng thì kể cả bờ)   2   2
Đường tròn tâm I  ; a b ,
Hình tròn tâm I  ; a b , 2 2 2 x a y br       2 x a y br bán kính r bán kính r 2 2 Đường tròn t
x y  2ax  2by c  0 âm I  ; a b 2 2
x y  2ax  2by c  0 Hình tròn tâm I  ; a b , bán kính 2 2
r a b c bán kính 2 2
r a b c 2 2 x y 2 2   x y 1 Elip  1 Hypebol 2 2 a b 2 2 a b 2
y ax bx c « Parabol 2
x ay by c Chú ý :
Nếu thay dấu đẳng thức (dấu ‘=’) trong các PT trên thành các dấu BĐT  ,  ,  ,
  thì tập hợp điểm
biểu diễn là phần mặt phẳng chứa điểm có tọa độ thỏa mãn BPT, có bờ là đường có PT tương ứng (Kể cả bờ nếu dấu BĐT có dấu bằng)
Nếu M , M lần lượt biểu diễn số phức z , z thì M M biểu diễn số phức z z và M M z z 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
ĐẶC BIỆT:
1. Nếu số phức z thỏa có tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn tâm I  ;
a b , bán kính R thì số phức
w z .z z có tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn tâm I ' biểu diễn z '  z . a bi z và bán kính 1   1 2 2
R '  z .R 1   a  
cx  d by e
2. Nếu z x  .
y i thỏa a  .
b i.z  c d.i.z e f .i thì x, y là nghiệm Hệ PT:   d  
bx  a cy f b i D 3. 2 . a z  .
b z c  0  z  , với 2
D  3b  4ac 2a 19
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN
I. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Khối đa diện
Hộp chữ nhật Lập phương Lăng trụ Chóp 1
Công thức thể tích V  . a . b c 3 V a V  . B h V  . B h 3 Diễn giải
a,b,c là 3 kích thước
a là độ dài cạnh
B là diện tích đáy , h là chiều cao
Quy tắc tính thể tích khối đa diện:
B1. Xác định các yếu tố: đường cao, đáy  Lập công thức thể tích
B2. Xác định các đại lượng không gian: các loại góc không gian, các loại khoảng cách,…
B3. Tính toán số đo của các yếu tố  Thay vào công thức thể tích  Kết quả.
II. ỨNG DỤNG THỂ TÍCH
1. Công thức tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC và A’, B’, C’ lần lượt thuộc cạnh bên SA, SB, SC. Khi đó: S A' V
SA' SB ' SC ' C'
S.A'B'C'  . . V SA SB SC B' S . ABC C A B
2. Khoảng cách từ 1 đỉnh đến mặt đối diện của một hình tứ diện (hình chóp tam giác): 1 V V  .S .d A BCDd A BCD A BCD BCD  ,   ,  3. .ABCD . 3 SBCD
III. MỘT SỐ HÌNH ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP HÌNH CHÓP
H1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc đáy: S
 Đường cao hình chóp là cạnh bên vuông goác đáy.
Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA vuông góc mặt đáy A D
(ABCD)  Đường cao của hình chóp là SA B C
H2. Hình chóp có 2 mặt bên (mặt chéo) cùng vuông góc mặt đáy: S
 Đường cao hình chóp là đoạn giao tuyến của 2 mặt đó
Ví dụ: Hình chóp S.ABC có 2 mặt (SAB), (SAC) cùng vuông góc mặt A
đáy (ABC)  Đường cao hình chóp là đoạn giao tuyến SA của C
2 mặt (SAB), (SAC). B
H3. Hình chóp có một mặt bên vuông góc đáy: S
 Đường cao hình chóp là đường cao của mặt bên đó (hạ từ đỉnh hình chóp).
Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có (SAB) vuông góc mặt đáy (ABCD) A D
 Đường cao SH của tam giác SAB là đường cao hình chóp S.ABCD H B C
H4. Hình chóp đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng tâm đáy Tính chất (chung):
- Các cạnh bên bằng nhau, cạnh đáy bằng nhau
- Các mặt bên là những tam giác cân tại đỉnh hình chóp và bằng nhau
- Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là tâm đáy)
- Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau,
- Góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau. 20
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
1) Hình chóp tam giác đều: S
a) Tính chất (riêng):
Mặt đáy là tam giác đều Gó c giữa cạnh Góc giữa mặt bên và mặt đáy
Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là giao điểm bên và mặt đáy
2 đường trung tuyến của tam giác đáy) h
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH SBH SCH   . A C β
Góc giữa mặt bên và mặt đáy là: H
SIH   (với I là trung điểm cạnh đáy B )
b) Công thức liên hệ: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy a, Cách vẽ hình chóp tam giác đều S.ABC
cạnh bên b, chiều cao h, góc giữa cạnh bên và mặt đáy , góc giữa (hoặc tứ diện đều):
mặt bên và mặt đáy . Khi đó:
Vẽ đáy ABC  Dựng trọng tâm H (Là giao a
điểm 2 đường trung tuyến)  Vẽ SH vuông a  . b 3.cos h  . tan 
góc (ABC)  Vẽ các cạnh bên 2 3 1  3  h  . b sin 2 V   a .h 2   a 3 4 2 2      a b h h .tan 3 3
3) Hình tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng
cạnh đáy (hình chóp tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau. 6 3  2  2 V a
Cho khối tứ diện đều cạnh h a d a
a, chiều cao h, khoảng cách giữa 2 cạnh 3 2 12
đối diện d. Ta có:
3). Hình chóp tứ giác đều S
a) Tính chất (riêng):
Mặt đáy là hình vuông Góc giữa mặt
Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là giao điểm bên và mặt đáy
2 đường chéo của đáy hình vuông) Góc giữa cạnh Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: bên và mặt đáy A D
SAH SBH SCH SDH   . β
Góc giữa mặt bên và mặt đáy là: H I
SIH   (với I là trung điểm B C cạnh đáy)
b) Công thức liên hệ:
Cách vẽ hình chóp tứ giác đều S.ABCD: 2
Vẽ đáy hình bình hành ABCD  Vẽ H là a  . b 2.cos a 2 2 b h
giao điểm của hai đường chéo AC & BD  2 1 h  . b sin  2 V a .h
Vẽ SH vuông góc (ABCD)  Vẽ các cạnh a   3 bên a h . tan h . tan  2 2
H5. Hình chóp có tất cả cạnh bên bằng nhau: S
 Đường cao hình chóp là đoạn thẳng hạ từ đỉnh hình chóp đến tâm
đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy.
Ví dụ: Hình chóp S.ABC các cạnh bên SA, SB, SC bằng nhau và đáy
ABC là tam giác vuông tại B Đường cao hình chóp là SI, với I là A C
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I
ABC (I là trung điểm AC) B
H6. Tứ diện vuông: (Tứ diện có 3 mặt là 3 tam giác vuông tại cùng S một đỉnh)
 Chân đường cao ứng với đỉnh vuông là trực tâm mặt đối diện với đỉnh vuông.
Ví dụ: Hình chóp S.ABC có mặt bên SAB, SBC, SCA là tam giác A C
vuông tại S Đường cao SH, (với H là trực tâm tam giác ABC) H B 21
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT HÌNH LĂNG TRỤ
Tính chất: Hình Lăng trụ có:
+ Các cạnh bên song song và bằng nhau; A' C'
+ Các mặt bên là hình bình hành; B'
+ Hai mặt đáy song song và bằng nhau; h
+ Đường cao là đoạn thẳng nối từ một điểm thuộc đáy này đến hình chiếu của nó lên đáy φ A kia; H C
+ Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau; B
+ Góc giữa các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau;
Lăng trụ đứng: là lăng trụ có các
Lăng trụ đều: là lăng trụ đứng có
Hình hộp: là lăng trụ có đáy là
cạnh bên vuông góc với đáy đáy là đa giác đều hình bình hành A' C' A' C' D' A' C' B' B' B' h h h D A φ C A C A H C B B B
Đường cao là các cạnh bên A’A,
Đường cao là các cạnh bên A’A,
Đường cao: A’H (với H là hình B’B, C’C B’B, C’C chiếu của A’ lên (ABC)
Hình hộp đứng: là hình hộp có các
Hình hộp chữ nhật: là hình hộp
Hình lập phương: là hình hộp có 6
cạnh bên vuông góc đáy (đáy là
đứng có đáy là hình chữ nhật (có 6 mặt dều là hình vuông hình bình hành)
mặt đều là hình chữ nhật) A' B' B' C' A' B' D' A' D' C' D' C' h B C A B A A B D D C C D
Đường cao: A’A, B’B, C’C, D’D
Đường cao: A’A, B’B, C’C, D’D
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều Loại  ; p q Tên gọi Hình vẽ
Số mặt (m) Số cạnh (c) Số đỉnh (d)
Số MP đối xứng  Tứ diện 3;  3 đều 4 6 4 6 4; 3 Khối lập phương 6 12 8 9 3; 4 Bát diện đều 8 12 6 9 5; 3 Thập nhị diện đều 12 30 20 15 3; 5 Nhị thập diện đều 20 30 12 15
Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại  ; p
q có m mặt, c cạnh và d đỉnh. Khi đó: . p m  2c  . q d 22
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
IV. CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN ABCD  1 1 V  . AB C .
D d  AB,CD.sin  AB,CDVAB AC AD tdABCD  . 6 6
 Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau AB CD a, AC BD  ,
b AD BC c có thể tích: 2 V   2 2 2
a b c  2 2 2
a b c  2 2 2
a b c  12
 Tứ diện có độ dài các cặp cạnh đối diện lần lượt là a,a ; ;
b b ;c, c có thể tích: 1 1 1 1 V
A B C D 12 Với: 2 2 A a a  2 2 2 2 2 2
a b c a b c  2 2
; B b b  2 2 2 2 2 2
a b c a b c ; 1 1 1 1 1 1 1 1 
C c c a b cc a b c ; D  abc2  ab c 2  a bc 2  a b c2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Tứ diện ABCD vuông tại A (có AB, AC, AD đôi một vuông góc) và AB a, AC b, AD c có thể tích: abc V  6 23
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
CHỦ ĐỀ 6: KHỐI TRÒN XOAY
I. THỂ TÍCH, DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN XOAY Hình nón Hình trụ Hình cầu h l Hình vẽ và h r các yếu tố r Chiều cao: r h Bán kính đáy: r Chiều cao: h Bán kính: r
Độ dài đường sinh: l Bán kính: r Diện tích S   rl S  2 rl 2 S  4 r xung quanh xq xq Diện tích 2
S S S   rl  
S S S   rl     toàn phần r 2 2. 2 2. r 2 S 4 r tp xq d tp xq d 1 4 Thể tích 2
V   .r .h 2 3
V   .r .h V  .r 3 3
Quy tắc tính thể tích, diện tích hình tròn xoay:
B1. Xác định các yếu tố: Đường cao, đường sinh, bán kính  Lập công thức thể tích, diện tích,…
B2. Xác định các đại lượng không gian: Các loại góc không gian, khoảng cách,…
B3. Tính toán số đo của các yếu tố  Thay vào công thức thể tích  Kết quả.
II. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HÌNH TRÒN XOAY VÀ HÌNH ĐA DIỆN
3) Ngoại tiếp, nội tiếp:
Quan hệ nội tiếp, ngoại tiếp Điều kiện
Hình nón ngoại (nội) tiếp hình chóp
Hai đỉnh trùng nhau và đáy hình nón ngoại (nội) tiếp đáy hình chóp
Hình trụ ngoại (nội) tiếp Lăng trụ đứng Hai đáy hình trụ ngoại (nội) tiếp hai đáy hình lăng trụ
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
Mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện
Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện
Mặt cầu ngoại tiếp Hình chóp
Đáy của hình chóp nội tiếp được đường tròn.
Mặt cầu ngoại tiếp Hình lăng trụ
Đáy của hình lăng trụ nội tiếp được đường tròn.
Chú ý: Tứ diện (hình chóp tam giác) luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
4) Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
Cách 1: Vẽ trục d của đa giác đáy  Trong mặt phẳng chứa cạnh bên và trục đáy, vẽ đường trung trực  của
cạnh bên đó  Tâm mặt cầu ngoại tiếp: I d  và bán kính: r IS IA IB  ... .
Cách 2: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục mặt đáy và trục một mặt bên. Chú ý:
Trục của đa giác là đường thẳng vuông góc mặt phẳng chứa đa giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đó. d d d A D A C A I C O O B C B B
Hình vẽ trục của hình chữ nhật hay
Hình vẽ trục của tam giác đều
Hình vẽ trục của tam giác vuông hình vuông 24
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
5) Hình vẽ Tâm và công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của một số hình chóp thường gặp
H1. Hình chóp S.ABCD có đáy là
H2. Hình chóp S.ABC có đáy là tam
H3. Hình chóp tứ giác đều
hình chữ nhật (hay hình vuông) và
giác vuông tại B và SA vuông góc đáy S.ABCD SA vuông góc đáy S S S M I M M A I C I A D A D O O B B B C C SC 2 SC 1   SA 2 2 2 r SI   r  
SA AB AD r SI 2 2 2 2SO
H4. Hình chóp tam giác đều S.ABC H5. Tứ diện vuông: Hình chóp S.ABC H6. Hình chóp S.ABC có đáy là
có đáy ABC vuông tại A và SA vuông
tam giác đều và SA vuông góc S
góc mặt đáy (Hình chóp tam giác có 3 đáy
cạnh bên đôi một vuông góc) S S M M I I M A C A I C O C A O B N B 2 SA B r SI 2 2 1 SA AB 2SO 2 2 2 r IA
AS AB AC
r IA   2 4 3
H7. Hình chóp tam giác có 1 mặt
H8. Hình chóp tam giác có 1 mặt bên
H9. Hình chóp tứ giác có 1 mặt
bên vuông góc mặt đáy.
vuông góc mặt đáy.
bên vuông góc mặt đáy.
VD: Cho hình chóp S.ABC có mặt
VD: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên VD: Cho hình chóp S.ABCD có
bên SAB cân tại S và vuông góc
SAB cân tại S và vuông góc mặt đáy
mặt bên SAB cân tại S và vuông
mặt đáy ABC đều. Khi đó, tâm I
ABC vuông tại C. Khi đó, tâm I của
góc mặt đáy ABCD là hình chữ
của mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm mặt cầu ngoại tiếp là tâm đường tròn
nhật.. Khi đó, tâm I của mặt
của trục đáy IO và trục của mặt
ngoại tiếp tam giác SAB. (Nếu SAB
cầu ngoại tiếp là giao điểm của bên IG.
vuông cân tại S thì I trùng H là trung trục đáy IO và trục của mặt bên S điểm AB). IG. S S I G I A C G A I A D O C H H O H B B C B 2 2 2 2 2 2
r IB HB HG HO 2 2 r IB HB HI     r IB HB HG HO
6) Hình vẽ Tâm và công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình Lăng trụ đứng
 Tâm I là trung điểm đoạn thẳng nối 2 tâm đường tròn C A O
ngoại tiếp 2 đáy (Trục của Lăng trụ đứng) 2   BA ' A Bán kính 2 r IA   R  
(Với R là bán kính Hình vẽ tâm mặt cầu  2  ngoại tiếp Lăng trụ I
đường tròn đa giác đáy) tam giác đều C' A' O' B' 25
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ
1) Tóm tắt lý thuyết và công thức:
f) Tọa độ của điểm : OM  . x i  . y j  .
z j M   ;
x y; z
Tọa độ điểm đặc biệt:
Điểm trên MP tọa độ
M Oxy  M ( ; x ; y 0)
N Oyz  N(0; ; y z)
K Oxz  K( ; x 0; z)
Điểm trên trục tọa độ
M Ox M ( ; x 0; 0)
N Oy N (0; y; 0)
K Oz K (0; 0; z)
x x y y z z M là trung điểm AB A B M ; A B ; A B    2 2 2  G là trọng tâm tam
x x x y y y z z z A B C G ; A B C ; A B C   giác ABC  3 3 3 
G là trọng tâm tứ giác
x x x x
y y y y
z z z x A B C D G ; A B C D ; A B C D (hay tứ diện) ABCD    4 4 4 
g) Tọa độ của vectơ:
a a .i a . j a . j a a ; a ; a 1 2 3  1 2 3
Tọa độ vectơ đơn vị: i  1;0;0, j  0;1;0 , k  0;0; 
1 lần lượt là vectơ đơn vị của trục Ox, Oy, Oz
h) Phép toán vectơ: Cho a  a ; a ; a ;b b ;b ;b 1 2 3   1 2 3 Cộng, trừ:
Tích vô hướng:
Tích có hướng: a a a a a a  2 3 1 3 1 2
a,b = a b   ;  ; 
a b  a b ;a b ;a b .
a b a .b a .b a .b   1 1 2 2 3 3  b b b b b b 1 1 2 2 3 3  2 3 1 3 1 2 
Góc giữa 2 vectơ:
Nhân 1 số với 1 vectơ:
Độ dài vectơ: a b
a b a b a b cos a,b . . . . 1 1 2 2 3 3
k.a  ka ; ka ; ka 2 2 2 a
a a a   1 2 3  1 2 3 2 2 2 2 2 2 a . b
a a a . b b b 1 2 3 1 2 3
Tọa độ vectơ cố định:
Độ dài đoạn thẳng (Độ dài vectơ cố định): 2 2 2
AB  (x x ; y y ; z z )
AB AB   x x    y y    z z B A B A B A B A B A B A
i) Quan hệ vectơ: a b
a k.b 1 1  n a 1 1 
a b  a b
n  a,b  
a, b cùng phương a k.b  a k.b 2 2   2 2  n ba ba k.b 3 3  3 3
a, b, c đồng phẳng  a,b.c  0   a b  .
a b  0  a .b a .b a .b  0 1 1 2 2 3 3
2) Ứng dụng tích có hướng:
A,B,C thẳng hàng  AB AC  0
A, B, C, D đồng phẳng   AB AC.AD  0
ABCD là hình bình hành
ABCD là một hình tứ diện (hay A, B, C, D không đồng phẳng) 
 AB AC
( AB DC và AB AC  0 ) .AD  0 1 SAB AC SAB AC ABC 2 hbhABCD 1 VAB AC AD V
AB AC .AA'
hhABCD.A' B'C ' D'   tdABCD  . 6 26
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT II. MẶT PHẲNG
1) Tóm tắt lý thuyết
1. Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng: Vectơ n  0 có giá vuông góc mp   gọi là VTPT của mp 
2. Phương trình: Mặt phẳng() qua M x ; y ; z và có vectơ pháp tuyến n  ( ; A ;
B C) có phương trình dạng: o o o
Ax x B y y C z z  0 (1) 0   0   0  Chú ý :
 Nếu mặt phẳng() có phương trình Ax By Cz D  0 (2) thì mặt phẳng() có 1 VTPT n  ( ; A ; B C)
 Phương trình các mặt phẳng tọa độ:  Oyz  : x  0
Oxz: y  0
Oxy: z  0  Trường hợp riêng:
Ax By Cz  0 : Qua gốc tọa độ O
By Cz D  0 : Song song trục Ox
Ax Cz D  0 : Song song trục Oy
Ax By D  0 : Song song trục Oz x y z
Mặt phẳng đi qua A ;
a 0;0, B0; ;
b 0,C 0;0;c có PT dạng: 
  1 a  0,b  0,c  0 a b c
Điều kiện để xác định VTPT của mặt phẳng:
1) Dùng định nghĩa: n  0 và có giá vuông góc với mặt phẳng(α)  n là VTPT của mặt phẳng(α)
2) Nếu mặt phẳng(α) song song hoặc chứa giá a, b (không cùng phương) thì n a b là một VTPT của mặt phẳng(α)
2) Phương pháp Lập phương trình mặt phẳng
Cách 1: Xác định yếu tố: Điểm đi qua và VTPT (như bảng dưới đây)
B1. Từ giả thiết, xác định các vectơ và các yếu tố khác (nếu cần)
B2. Xác định tọa độ VTPT và tọa độ một điểm của mặt phẳng
B3. Thay vào PT (1)  Thu gọn và kết luận
Cách 2: Xác định hệ số
B1. Gọi PT mặt phẳng đã cho có dạng: Ax By Cz  D  0, (2)
B2. Từ giả thiết, xác định 4 hệ số A, B, C, D (kiểm tra điều kiện, nếu có)
B3. Thay vào PT (2) Kết luận Dạng
Tính chất của mặt phẳng() (giả thiết cho) Đi qua điểm VTPT 1 Qua 3 điểm A, B, C A, B, C
n   AB, AC     2
Là mặt phẳng trung trực đoạn AB M là trung điểm AB n AB 3
Qua M và song song ( ) : Ax By Cz D  0 M n n  ( ; A ; B C)  
Qua M và vuông góc đường thẳng (d) M n a d 4
Qua M và vuông góc đường thẳng AB M n AB
Qua A, B và song song (d) A hoặc B
n   AB, a   d  
Qua A, B và song song CD A hoặc B n   A , B CD   
Chứa (d) và song song (d’) Lấy M (d)
n  a , a   d d '   5
Chứa (d) và song song AB Lấy M (d)
n  a , AB  d  
Qua 2 điểm M, N và vuông góc mặt phẳng() M hoặc N
n  MN, n      6
Chứa (d) và vuông góc mặt phẳng () Lấy M (d)
n  a , n   d    7
Qua điểm M và vuông góc 2 mặt phẳng (), (γ) M
n  n , n       8
Qua điểm M và ssong 2 đường thẳng (d), (d’) M
n  a , a   d d '  
Qua điểm M, vuông góc mp() và ssong đường thẳng 9 M
n  a , n    (d) d   27
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT Dạng
Tính chất của mặt phẳng() (giả thiết cho) Đi qua điểm VTPT M hoặc Lấy N 10
Chứa (d) và đi qua M(d)     n MN, a (d) d  
Lấy M () 11
Chứa 2 đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau
n  a , a   hay M (d) d d '      Lấy M n a , MN (), d   12
Chứa 2 đường thẳng (d) và (d’) ssong nhau N (d)
hay n  MN, a   d '  
ĐẶC BIỆT: Mặt phẳng   cắt 3 trục tọa độ tại A, B, C sao cho H  ; a ;
b c là trực tâm ABC
PT   ax by c   2 2 2 : z
a b c   0 III. ĐƯỜNG THẲNG
1) Tóm tắt lý thuyết
1. Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:
ĐN: Vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng (d) gọi là VTCP của đường thẳng (d)
2. Phương trình: Đường thẳng d đi qua M x ; y ; z và có VTCP a  a ; a ; a , có: 1 2 3  o o o
x x a t x x y y z z o 1  0 0 0  
Phương trình tham số : y y a t , t  (1);
Phương trình chính tắc: a a a (2) o 2   1 2 3
z z a t
a .a .a  0 1 2 3  o 3 Chú ý: x tx  0 x  0    
Phương trình các trục tọa độ:
Ox :  y  0
Oy :  y t
Oz :  y  0    z  0  z  0  z t
Điều kiện để xác định VTCP của đường thẳng:
1) Dùng định nghĩa: a  0 và có giá ssong hoặc trùng (d)  a là VTCP của (d)
2) Nếu (d) vuông góc giá a, b (không cùng phương) thì u a b là một VTCP của (d)
2) Phương pháp Lập phương trình đường thẳng:
Phương pháp: Xác định yếu tố: Điểm đi qua và VTCP (như bảng dưới đây)
B1. Từ giả thiết, xác định các vectơ và các yếu tố khác liên quan (nếu cần)
B2. Xác định tọa độ VTCP và tọa độ một điểm của đường thẳng
B3. Thay vào PT tham số hay PT chính tắc
Tính chất của đường thẳng Dạng d Đi (giả thiết cho) qua điểm VTCP 1 Qua A, B A, B a AB d 2
Qua A và song song đường thẳng A a a d3
Qua A và vuông góc mặt phẳng() A a n d4
Qua A và vuông góc 2 đường thẳng d    1, d2 A a a , a d   1 d d2
Qua A, ssong 2 mp () và (β) (hay ssong 5 A
a  n , n   
mp() và chứa trong mp(β)) d   6
Là giao tuyến của mp() và mp(β)
I    
a  n , n d    
Qua A, vuông góc đường thẳng và ssong 7 A
a  a , n
(hay chứa trong) mặt phẳng   () d  
Qua A, vuông góc đường thẳng d
a  a , n 8 1 và cắt d d  
(Với () là đường thẳng A 1 d2
mặt phẳng qua A và d2) a
AB (Với B là h/chiếu 9
Qua A, vuông góc và cắt đường thẳng A d
của A lên ) 28
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
Tính chất của đường thẳng Dạng d (giả thiết cho) Đi qua điểm VTCP
a  a , AM  , a d     
(Với M   )
A’ và B’ (lần lượt là
Là hình chiếu của đường thẳng lên 10
h/chiếu của A, B lên (); a A'B' mp() d lấy , A B d )
a  a , AM  , a , AN  d d d     11
Qua A và cắt 2 đường thẳng d1, d2 A 1 2
(Lấy M d , N d ) 1 2
Qua A và cắt đường thẳng      và ssong a
a , AM , n 12 A d      mp()
(Với M   )
A d   2  
Là đường vuông góc chung của d 13 1, d2
(Với mp() qua M d và
a  a , a chéo nhau 1 d   1 d d2
có VTPT n  a , a   d   ) 1 d IV. MẶT CẦU
1) Tóm tắt lý thuyết
a. Phương trình:  2 2 2
Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính r có dạng:            2 x a y b z c
r (1)
Phương trình dạng: 2 2 2
x y z  2ax  2by  2cz d  0 (2) (với 2 2 2
a b c d  0 ) là phương trình mặt
cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và bán kính 2 2 2
r a b c d
2) Phương pháp Lập phương trình mặt cầu:
Cách 1: Xác định yếu tố: Tâm và bán kính, (như bảng dưới đây)
B1. Từ giả thiết, xác định các vectơ và các yếu tố khác liên quan (nếu cần)
B2. Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu
B3. Thay vào PT (1). Dạng
Tính chất của mặt cầu (giả thiết cho) Tâm Bán kính 1
Mặt cầu (S) tâm I đi qua A I r = IA AB 2
Mặt cầu (S) đường kính AB I là trung điểm AB r 2 3
Mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc mặt phẳng() I r = d(I, ()) 4
Mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc đường thẳng I r = d(I, )
Cách 2 : Xác định hệ số
B1. Gọi mặt cầu đã cho có PT dạng 2 2 2
x y z  2ax  2by  2cz d  0 , (2)
B2. Từ giả thiết lập hệ 4 PT ẩn a, b, c, d  Giải tìm a, b, c, d
B3. Thay vào PT (2)
Dạng 5: Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD (hay đi qua 4 điểm A, B, C, D)
+ Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2
x y z  2ax  2by  2cz d  0 (2) + , A ,
B C, D S   Tọa độ 3 điểm A, B, C, D thỏa mãn PT(2)  Thay tọa độ A, B, C, D vào PT(2),
Ta được hệ 4 phương trình 4 ẩn a, b, c, d.
+ Giải hệ tìm a, b, c, d
Dạng 6: Mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A, B, C và tâm I (α)
+ Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2
x y z  2ax  2by  2cz d  0 (2)  tâm I  ; a ; b c
+ A, B, C (S)  Tọa độ 3 điểm A, B, C thỏa mãn PT(2)  Thay tọa độ 3 điểm A, B, C vào PT(2), Ta
được 3 phương trình 4 ẩn a, b, c, d. 29
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT + Tâm I  ; a ;
b c  (α) a, b, c thỏa mãn phương trình mặt phẳng(α)  Thay a, b, c vào phương trình
mặt phẳng(α), ta được thêm 1 PT 4 ẩn a, b, c, d.
+ Giải hệ 4 phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 7: Mặt cầu (S) đi qua 2 điểm A, B và tâm I (d)
Cách 1: Đường thẳng (d) cho bởi phương trình tham số
+ I d   I x a t; y a t; z a t 0 1 0 2 0 3  + ,
A B S   2 2
AI BI  Ta được phương trình ẩn t  Giải tìm t  Thay t, tìm tọa độ điểm I
Cách 2: Đường thẳng (d) cho bởi phương trình chính tắc:
+ Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2
x y z  2ax  2by  2cz d  0 (2)  tâm I  ; a ; b c + ,
A B S   tọa độ điểm A, B thỏa mãn PT(2)  Thay tọa độ A, B vào PT(2), Ta được 2 phương trình 4 ẩn a, b, c, d. + Tâm I  , a ,
b cd   a, b, c thỏa mãn phương trình đường thẳng (d)  Thay a, b, c vào phương trình
đường thẳng (d), ta được thêm 2 PT 3 ẩn a, b, c
+ Giải hệ 4 phương trình trên tìm a, b, c, d
3) Phương trình tiếp diện của mặt cầu:
Dạng 1: Mặt phẳng () tiếp xúc mặt cầu (S) tại A  mặt phẳng() qua A và có vtpt nI A
Dạng 2: Mặt phẳng () tiếp xúc (S) và vuông góc đường thẳng (có vtcp a  a ;a ;a ) 1 2 3 
+ Mặt phẳng() vuông góc   mặt phẳng(α) nhận a  a ; a ; a làm vtpt PT mặt phẳng() có dạng: 1 2 3 
a x a y a z m  0 (m chưa biết) 1 2 3
+ Mặt phẳng () tiếp xúc (S) d (I , ( ))  r  Giải tìm m
Dạng 3: Mặt phẳng () tiếp xúc (S) và song song với mặt phẳng(β) (có VTPT n   ; A ; B C )
+ Mặt phẳng() song song (β)  mặt phẳng(α) nhận n   ; A ;
B C  làm VTPT PT mặt phẳng() có
dạng: Ax By Cz D  0 (D chưa biết)
+ Mặt phẳng () tiếp xúc (S) d (I , ( ))  r  Giải tìm D
Dạng 4: Mặt phẳng () tiếp xúc (S) và song song 2 đường thẳng (d1), (d2) :
+ Mặt phẳng() song song 2 đường thẳng (d   
1), (d2)  VTPT của mặt phẳng(α) là n a , a   1 d d2
 PT mặt phẳng() có dạng: Ax By Cz D  0 (D chưa biết)
+ Mặt phẳng () tiếp xúc (S) d (I , ( ))  r  Giải tìm D
4) Tìm tiếp điểm H của mặt cầu (S) và mặt phẳng () ( H là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng())
Như dạng toán tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng
5) Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu:
x x a t o 1  2 2 2
Cho đường thẳng d :y y a t (1) và mặt cầu S x a   y b  z c 2 ( ) :  r (2) o 2
z z a to 3
+ Thay phương trình đường thẳng d (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1), tìm được tọa độ giao điểm
6) Tìm bán kính r’ và tâm H của đường tròn (C) (Là thiết diện của mặt phẳng() và mặt cầu (S)) + Bán kính 2 2
r '  r d I,  (với I là tâm và r là bán kính mặt cầu (S))
+ Tìm tâm H là h/chiếu của tâm I trên mặt phẳng()
V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng () : A x B y C z D  0 và  : A x B y C z D  0 1 1 1 1   2 2 2 2 (
A ; B ;C )  k(A ; B ;C ) (
A ; B ;C )  k(A ; B ;C ) 1 1 1 2 2 2 ( )  ( )   1 1 1 2 2 2 ( ) / /( )   D k.DD k.D 1 2  1 2 30
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
( )  ( )  d  ( A ; B ;C )  k(A ; B ;C )
()  ( )  A A B B C C  0 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
x x a t o 1 
2. Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng: ĐT d  :  y y a t và mp  : Ax By Cz D  0 o 2
z z a to 3
Lập PT tương giao giữa ĐT (d) và MP (): Ax a t B y a t C z a t D  0 (*), (t là ẩn) 0 1   0 2   0 3 
 (*) vô nghiệm  d / /(a)
 (*) có đúng 1 nghiệm t t d   M x a t ; y a t ;z a t 0 1 0 0 2 0 0 3 0  0
 (*) vô số nghiệm  d  (a) 3.
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: 2 2 2 Cho S
x a  y b z c 2 ( ) :
r (tâm I, bán kính r) và () : Ax By Cz D  0
d I,   r S  ()   () không cắt (S)
d I,   r S  ()  H
() tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (): tiếp diện)
() cắt (S) theo một đường tròn tâm H (là h/chiếu của I lên ()) và
d I,   r S  ()  C H;r ' bán kính 2 2
r '  r d
x x a t
x x '  a ' .t ' o 1  o 1 
4. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng : d  :  y y a t và d ' : y y '  a ' .t ' o 2 o 2  
z z a t
z z '  a ' .t ' o 3  o 3
x a t x '  a ' .t ' o 1 o 1 
Lập Hệ PT tương giao giữa (d) và (d’): y a t y '  a ' .t ' (I) . Khi đó: o 2 o 2
z a t z'  a' .t '  o 3 o 3 VTTĐ Điều kiện VTTĐ Điều kiện HPT (I) vô nghiệm d cắt d’
HPT (I) có đúng 1 nghiệm t;t '  t ;t ' d // d’ 0 0 
và a ;a ;a k a ' ;a ' ;a ' 1 2 3   1 2 3 HPT (I) vô nghiệm d d ' HPT (I) có vô số nghiệm d chéo d’
và a ;a ;a k a ' ;a ' ;a ' 1 2 3   1 2 3 5.
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:
Cho mặt cầu S  có tâm I, bán kính r và đường thẳng  . Ta có:
d I,   r S    không cắt (S)
d I,   r
S H
 tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm,  : tiếp tuyến)
d I,   r S  ; AB
 cắt (S) tại 2 điểm A, B
VI. KHOẢNG CÁCH Khoảng cách
Cách tính & Công thức
1. Từ điểm M x ; y ; z đến mặt phẳng
Ax By Cz D 0 0 0 
d M ,  o o o
( ) : Ax By Cz D  0 2 2 2
A B C
x x a t o 1 
Bằng khoảng cách từ 1 điểm thuộc ĐT  đến MP   .
2. Giữa ĐT  :  y y a t và MP o 2 
Cho t  0 vào PT ĐT  , ta tìm được M x ; y ; z  0 0 0  z z   a t o 3
Ax By Cz D
( ) : Ax By Cz D  0 song song
d ,   o o o 2 2 2 Với  A B a ; a ; ak ; A ; B C C 1 2 3   
3. Giữa 2 MP ( ) : Ax By Cz D  0 và
Bằng khoảng cách từ 1 điểm thuộc MP này đến MP kia.
( ) : A' x B ' y C ' z D '  0 song song
Cho 2 số vào 2 ẩn của PT MP    tính được ẩn còn
Với  A'; B';C '  k  ; A ; B C
lại  Ta được điểm M x ; y ; z   0 0 0    31
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT       Ax By Cz D d ,  o o o 2 2 2
A B C M M a 0 
4. Từ điểm M đến đường thẳng
d M ,   , M   0  a
Bằng khoảng cách từ 1 điểm thuộc ĐT nầy đến ĐT kia.
5. Giữa 2 đường thẳng song song d, 
Lấy điểm M d . Khi đó: d d,  d M, A .
B a a d  
6. Giữa 2 đường thẳng chéo nhau d, 
d d,  
,  Ad, B   a a d VII. GÓC Góc
Cách tính & Công thức B . A BC1. ABC : cos ABC BA . BC a b
2. Giữa 2 vectơ: a b . cos ,  a . b n n  
3. Giữa hai MP  ,   (Có lần lượt 2 VTPT n , n     . cos ,    )     n . n   a a d
4. Giữa hai ĐT d,  (Có lần lượt 2 VTCP a , a d   d  )   . cos , a . a da n  
5. Giữa ĐT và MP   (  có 1 VTCP a  sin ,   .   và 
 có 1 VTPT n )   a . n  
VIII. HÌNH CHIẾU, ĐIỂM ĐỐI XỨNG
1. Tìm H là hình chiếu của M lên m (
p ) : Ax By Cz D 0
Ax By Cz D  0 H H H   H  ( )  x x  . A k
Cách 1. H là hình chiếu của M lên ( )    H M
MH k.n     y y . B kH M
z z C.kH M
 Giải HPT, tìm được tọa độ điểm H
x x At M
Cách 2. Lập PT (tham số) đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp():  y y Bt , t M  
z z CtM
 Lập PT tương giao giữa (d) và (): Ax At   By Bt   C z Ct   D  0  Giải tìm t M M M
 Thay t vào PT d Ta được tọa độ điểm H d M M H H   M' 32
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
ĐẶC BIỆT. Công thức tính nhanh:
Lập PT: Ax At  By Bt C z Ct  D  0Giải tìm t Thay t vào 3 biểu thức trong dấu M M M
ngoặc  Tính được tọa độ hình chiếu H.
2. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ()
x  2x x M ' H M
Tìm hình chiếu H của M lên mặt phẳng()  H là trung điểm của MM’ Tọa độ M’: y  2y y M ' H M
z  2z zM ' H M
x x a t o 1
3. Tìm H là hình chiếu của M lên đường thẳng d : y y a t o 2
z z a to 3H (d)  H   d
Cách 1. H là hình chiếu của M lên d      MH u    d MH .a 0  d
x x a t H o 1
y y a tH o 2  
 Giải hệ PT, tìm tọa độ điểm H.
z z a t H o 3
x x a y y a z z a   H M  . . . 0 1
H M  2  H M  3
Cách 2. Lập PT mp() qua M và vuông góc ĐT (d):  x x .a y y
.a z z .a  0 Đưa về M 1  M  2  M  3
dạng: a x a y a z n  0 1 2 3
 Lập PT tương giao giữa (d) và (): a x a t a y a t a z a t n  0 Giải tìm t; 1  0 1  2  0 2  3  0 3 
 Thay t vào PT d  Ta được tọa độ điểm H
ĐẶC BIỆT. Công thức tính nhanh:
Lập PT: a x a t x
a y a t y a z a t z
 0 Giải tìm t Thay t vào PT ĐT d 1  0 1 M  2  0 2 M  3  0 3 M
 Tính được tọa độ hình chiếu H.
4. Tìm Điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng (d):
x  2x x M ' H M
Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d)  H là trung điểm của MM’ Tọa độ M ' : y  2y y M ' H M
z  2z zM ' H M
HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ, TRỤC TỌA ĐỘ
Oxy là H  ;a ;b0 Ox là H  ; a 0;0 Hình chiếu của điểm Hình chiếu của điểm
Oxz là H  ;a0;c
Oy là H 0; ; b 0 M  ; a ; b c lên  M  ; a ; b c lên 
Oyz là H 0; ;bc
Oz là H 0;0;c
IX. TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA ĐIỀU KIỆN “LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT”
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm M thuộc mp  sao cho MA MB nhỏ nhất.
TH1: Nếu A, B khác phía so với mp   thì M AB  
TH2: Nếu A, B cùng phía so với mp   thì M AB '  , với B’ là hình chiếu của B lên mp 
hay M A' B   , với A’ là hình chiếu của A lên mp 
Chú ý: Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng:
Cho hai điểm M x ; y , N x ; y và mặt phẳng  : Ax By Cz D  0. Khi đó: M M N N
M và N nằm cùng phía đối với mp    Ax By Cz D Ax By Cz D  0 M M M N N N
M và N nằm khác phía đối với mp    Ax By Cz D Ax By Cz D  0 M M M N N N 33
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
Dạng 2: Tìm tọa độ điểm M thuộc mp (hay ĐT ) sao cho 2 2
MA MB nhỏ nhất.
Tìm H, K lấn lượt là hình chiếu của A, B lên mp   (hay  )  M là trung điểm HK.
Dạng 3: Tìm tọa độ điểm M thuộc mp (hay ĐT ) sao cho MA MB nhỏ nhất.
Tìm I là trung điểm AB  M là hình chiếu của I lên mp   (hay  ).
X. TỌA ĐỘ CÁC TÂM CỦA TAM GIÁC
x x x y y y z z z
G là trọng tâm tam giác ABC A B C G ; A B C ; A B C    3 3 3   . HA BC  0 
H là trực tâm tam giác ABC   .
HB AC  0
H ABC  IM.BC  0 
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  IN.AC  0 (Với M, N lần lượt là trung điểm BC, AC)
I ABC  
BC.x C . A x  . AB x A B C x   I
BC CA AB      BC.y C . A y . AB y
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCB . C IA C . A IB A . B IC  0  A B Cy I
BC CA AB  
BC.z C . A z  . AB z A B C z   I
BC CA AB 34
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT PHỤ LỤC
(KIẾN THỨC 10, 11)
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. NHỊ THỨC BẬC NHẤT:
Cho nhị thức bậc nhất f x  ax b a  0 b x –∞ +∞ a f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a
II. TAM THỨC BẬC 2, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: b
1) Công thức tính nghiệm PT 2
ax bx c  0, a  0. Tính 2
  b  4ac hay   b 2 ' '  ac, b'     2 
Dấu Nghiệm PT
Dấu  ' Nghiệm PT   b    b '  ' 0
PT có 2 nghiệm phân biệt x  '  0
PT có 2 nghiệm phân biệt x  2a a     b b 0
PT có nghiệm kép x  '  0 PT có nghiệm kép ' x  2a a
  0 PT vô nghiệm. '  0 PT vô nghiệm.
Nhẩm nghiệm PT bậc hai: Dấu hiệu
Công thức nghiệm Dấu hiệu
Công thức nghiệm cc
a b c  0 x  1; x
a b c  0 x  1  ; x a a
Vô nghiệm, c  0 b 2
ax bx  0 x  0; x 2
ax c  0 ca x  
, c  0 a 1 1
ac 1  b x   ; c x   ac 1  b x  ; c x a a
2) Dấu tam thức bậc hai f x 2
ax bx  ,
c a  0 , 2
  b  4ac   0   0   0 b x –∞ +∞ x –∞ +∞ x –∞ x1 x2 +∞ 2a Cùng Cùng Cùng Trái Cùng f(x) Cùng dấu a f(x) dấu a 0 f(x) 0 0 dấu a dấu a dấu a dấu a
3) Điều kiện để tam thức bậc 2 không đổi dấu trên tập số thực:
a  0 a  0
a  0 a  0 2
ax bx c  0  0   , x     2
ax bx c  0  0   , x       0   0
4) Dấu nghiệm phương trình bậc hai:  Cho phương trình 2 c b
ax bx c  0 (*) (với 2
  b  4ac , P x .x  , S x x  ). Khi đó, ta có: 1 2 a 1 2 a Nghiệm PT (*) Điều kiện Nghiệm PT (*) Điều kiện a  0 2 nghiệm phân biệt  2 nghiệm trái dấu . a c  0   0 cùng dấu P  0  35
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT a  0 a  0   2 nghiệm phân biệt   0  1 nghiệm kép dương  bb         cùng dương  x 0 x 0   (cùng âm) P  0  (âm) 2a   2a  S  0  S  0   0
5) So sánh một số với hai nghiệm:
Hệ thức so sánh Điều kiện
Hệ thức so sánh Điều kiện   0 
  x x   0 
x    x  1 2  1 2   . a f     0 x x     . a f     0 1 2     0   0  
  x x  . a f    0 x x    . a f    0 1 2  1 2  S     S 0     0  2  2
6) Biểu thức đối xứng đối với x1 và x2: 2
x x   x x 2 2 2 2
 2.x .x S  2P
x x x x 4.x .x S 4P 1 2   1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x x   x x 3 3 3
 3x x x x  3  S  3PS 2 2
x x x x x x x x  . P S 1 2 1 2 1 2  1 2  1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 x x S 2 2 2 x x x x S  2P 1 2    1 2 1 2    x x x x P x x x x P 1 2 1 2 2 1 1 2
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3: Cho PT: 3 2
ax bx cx d  0,a  0 (1)
1. Các trường hợp nghiệm:
  Một nghiệm đơn duy nhất
 Hai nghiệm phân biệt (gồm 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép)
 Ba nghiệm đơn phân biệt
2. Cách phân tích đa thức bậc 3 thành nhân tử:
Nhẩm 1 nghiệm x x  Dùng sơ đồ Hoocner, biến đổi PT (1) về dạng: 0    x x    0 d x x  2
Ax Bx C  0   , A  , a B  . a x  , b C 0   2
Ax Bx C  0,  2 0 x  0 
Biện luận nghiệm PT(2), suy ra nghiệm PT(1) (Chú ý: Xét trường hợp PT(2) có nghiệm x x ) 0
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: Cho PT 4 2
ax bx c  0, (*)  Đặt 2
t x ,t  0 Ta được PT: 2
at bt c  0 (**) . Khi đó: Nghiệm PT (*)
Nghiệm PT (**) 4 nghiệm phân biệt
2 nghiệm dương phân biệt 3 nghiệm phân biệt
1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0
2 nghiệm phân biệt (đối nhau)
2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương 1 nghiệm (kép)
1 nghiệm bằng không hoặc {1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0} Vô nghiệm
2 nghiệm âm hoặc 1 nghiệm kép âm hoặc vô nghiệm
V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
g(x)  0 (hay f (x)  0) f (x)  g(x)   Q
 (x)  0 (hay P(x)  0)  k k
f (x)  g(x) Mở rộng: 2 2 P(x)  Q(x)  
P(x)  Q(x) g(x)  0   g(x)  0
f (x)  g(x)  h(x)   f (x)  0
f (x)  g(x)   2
f (x)  g (x)
g(x) f (x)2 f (x).g(x)  h(x)  36
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 3 3 f ( ) x f ( ) x f ( ) x g( ) x 3
3 f (x)  g(x)  f ( )
x g (x) 3 3 3 3
f (x)  g(x)  (
h x)  f (x)  g(x)  3 f (x).g(x). ( h x)  ( h x)
VI. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
f x  0 g(x)  0  f (x)  g(x)  
f (x)  g(x)  g(x)  0
f (x)  g(x)  2
f (x)  g (x)  g(x)  0
g(x)  0 g(x)  0 
f (x)  g(x)    
f (x) g(x)  0  g(x)  0 2   f (x)  0
f (x)  g (x) 
 f (x)  0 VII.
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
f (x)  g(x) g(x)  0
f (x)  g(x)  
f (x)  g(x)  
f (x)  g(x)
f (x)  g(x) f ( ) x g( )
x f (x)  g(x)  g(x)  f (x) f ( )
x g(x)  g x  f (x)  g(x)
VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Là hệ mà khi ta thay x bởi y và thay y bởi x thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi.
Cách giải: Đặt S x y và P xy  Đưa về hệ mới theo S và P  Giải hệ mới  Suy ngược lại x, y.
Chú ý: Nếu  ;
x y là nghiệm thì  ;
y x cũng là nghiệm.
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2: Là hệ mà khi ta thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia.
Cách giải: Lấy phương trình này trừ phương trình kia vế theo vế. BẤT ĐẲNG THỨC
I. TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC: A B 2 2 A B
A B AC B C
A C B D
A B  0   C   D  A B  . A C  . B C, C  0 A B  0 3 3 A B A B     . A C  . B D A B    . A C  . B C, C  0 C   D  0 3 3  A B
II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ-SI)
1) Bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)
* Đối với hai số không âm. Với mọi a  0, b  0 , ta có:
a b ab . 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b
* Đối với n số không âm (n  , n  2) . Với n số không âm a , a ,..., a bất kì, Ta có: 1 2 n
a a  ...  a 1 2 n na a ...a . 1 2 n n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a a  ...  a 1 2 n
2) Bất đẳng thức Cauchy mở rộng
Với n số không âm a , a ,..., a bất kì, với  , ,...,  0 thỏa   ... 1.Ta có: 1 2 n 1 2 n 1 2 n    1 2
a  a ... a a a ... n a . 1 1 2 2 n n 1 2 n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a a  ...  a 1 2 n
III. BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHI-A-CỐP-XKI
1) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki. 37
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
* Đối với hai cặp số thực. Với hai cặp số thực (a;b) và (x;y) bất kỳ ta có: 2 2 2 2 2
(ax by)  (a b )(x y )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b  ( xy  0 ) x y
* Đối với hai bộ n số thực (n  , n  2) . Với hai bộ n số thực (a ;a ;...; a ) và (b ;b ;...;b ) bất kỳ ta có: 1 2 n 1 2 n 2 2 2 2 2 2 2
(a b a b  ...  a b )  (a a  ...  a )(b b  ...  b ) 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a a a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2   ... n
b .b .....b  0 1 2 nb b b 1 2 n
2) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki mở rộng
Cho dãy m số thực không âm: a , a ,..., a ;b ,b ,...,b ;...;c ,c ,...,c , ta có 1 2 n 1 2 n 1 2 n
(a b ...c a b ...c  ...  a b ...c )m  ( m m aa ... ma )( m m b b ... mb )...( m m cc ... mc ) 1 1 1 2 2 2 n n n 1 2 n 1 2 n 1 2 n
Đẳng thức xảy ra khi: a : b :...: c a : b :...: c  ...  a : b :...: c 1 1 1 2 2 2 n n n LƯỢNG GIÁC
I. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GÍÁC sin y tang t 3 - 3 π 3 - 3 -1 3 2 3 1 3 B s 2π π 1 3 cotang 3 3 3π 2 2 π 4 2 4 1 3 5π π 2 3 6 6 - 2 2 π -1 1 0 (rad) x 2 2 A' - 3 -1 1 O 3 A cosin 2 2 2 2 -1 - 3 7π 2 3 11π - 2 6 6 5π 2 - 3 7π 4 2 4 4π -1 5π -1 3π 3 B' 3 2 - 3 38
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
II. CÔNG THỨC LƯỢNG GÍÁC
1) Hằng đẳng thức cơ bản:
2) Cung liên kết: 2 2
sin a  cos a  1 tan . a cot a  1
Cos đối Sin bù sin        sin      1 1 sin sin 2 2 1 tan a  1 cot a  2 2 cos a sin a cos      cos
cos      cos
3) Công thức cộng: tan       tan
tan      tan
sin a b  sin .
a cos b  cos . a sin b cot      cot
cot      cot
cos a b  cos . a cos b sin . a sin b Chéo phụ   a b tan a tan b tan        sin   cos, cos   sin 1 tan . a tan b      2   2 
4) Công thức nhân đôi:       sin 2a  2sin . a cos a tan   cot, cot   tan     2 2  2   2 
cos 2a  cos a  sin a
Tang, Cotang hơn kém 2  2 cos a 1
sin      sin 2  1 2sin a
cos       cos 2 tan a tan 2a  tan 2     tan 1 tan a
5) Công thức hạ bậc
cot      cot 1 cos 2a 2
Sin hơn = Cos kém (/2) cos a  2       sin   cos, cos   sin 1 cos 2a     2 sin a   2   2  2       1 cos 2a 2 tan   cot, cot    tan     tan a   2   2  1 cos 2a
6) Công thức biên tích thành tổng
7) Công thức biến tổng thành tích a b a b   1 cos a cos b 2 cos .cos cos . a cos b
cosa b  cosa b   2 2 2 a b a b    1 cos a cos b 2 sin .sin sin . a sin b
cosa b  cosa b   2 2 2 a b a b   1 sin a sin b 2 sin .cos sin . a cos b
sin a b  sin a b   2 2 2 a b a b
sin a  sin b  2 cos .sin 2 2
8) Công thức đặc biệt x x2 cos sin 1 sin 2x , 4 4
cos x  sin x  cos 2x 1 3 4 4 2 2 2
cos x  sin x  1 2 cos . x sin x  1 sin 2x , 6 6 2 2 2
cos x  sin x  1 3cos . x sin x  1 sin 2x 2 4            
sin x  cos x  2 sin x   2 cos x    
 , sin x  cos x  2 sin x    2 cos x       4   4   4   4 
III. HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC
y sin x
y cos x TXĐ: D  . TGT: T   1  ;  1 TXĐ: D  . TGT: T   1  ;  1
Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Là hàm chẵn  Đồ thị đối xứng qua trục tung
Tuần hoàn với chu kì 2
Tuần hoàn với chu kì 2 Đồ thị: Đồ thị: 39
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
y tan x
y cot x   TXĐ: D
\ k / k   TXĐ: . TGT: T D
\   k / k  . TGT: T   2 
Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
Tuần hoàn với chu kì 
Tuần hoàn với chu kì  Đồ thị Đồ thị
IV. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH:
a. Phương pháp: Lập điều kiện xác định  Giải, tìm điều kiện của biến  Kết luận TXĐ
b. Các dạng biểu thức có điều kiện xác định:
tan u xác định khi u
cot u xác định khi
xác định khi v  0
u xác định khi u  0  v u
k ,k  
u k ,k   2
V. BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC:   1
  sinu 1 2
0  sin u  1 0 sin u 1 2
tan u  0 1
  cosu 1 2
0  cos u  1
0  cosu 1 2
cot u  0 1 1
 2  sinu  cosu  2  sin . u cos u 2 2 1
  sin u  cos u 1 2 2
VI. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Dạng f u  a
Dạng f u  f v
u arcsin a k2
u v k2 sin u a  , ( a  1) 
sin u  sin v  
u    arcsin a k2
u    v k2
cosu au  arc cos a k2 , ( a 1)
cosu  cos vu v   k2
tan u a u arc tan a k
tan u  tan v u v k
cot u a u arc cot a k
cot u  cot v u v k
TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT: Đối với PT sin u a,cosu a  Nếu a  1
 thì chỉ cần lấy 1 trong 2 công thức nghiệm.
 Nếu a  0 thì chỉ cần lấy 1 trong 2 công thức nghiệm và thay k2 thành k  
sin u  1  u   k2 sin u  1
  u    k2
sin u  0  u k 2 2 
cosu 1  u k2 cosu  1
  u    k2
cos u  0  u   k 2 40
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT VII.
PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
a. Phương trình bậc hai đối với một HSLG là PT có dạng: 2
a sin u b sin u c  0 (1)
(Tương tự cho cos u, tan u, cot u )
Cách giải: Xem sin u là ẩn, Ta có PT bậc 2 với ẩn là sin u  Giải PT bậc 2, Ta được PTLG cơ bản
 Giải PTLG cơ bản, tìm nghiệm.
b. Phương trình bậc nhất đối với sinu; cosu là PT có dạng: 2 2 . a sin u  .
b cos u c (a b  0) (2)
Cách giải: B1. Kiểm tra điều kiện có nghiệm: Nếu 2 2 2
a b c thì PT có nghiệm a b
B2. Chia 2 vế PT cho 2 2
a b  Đặt:  cos;  sin . 2 2 2 2 a b a b c sin . u cos  cos . u sin   a c Ta được PT: 2 2
b sin(u )  (*) 2 2 a b
B3. Giải PT cơ bản (*)  Tìm nghiệm.
Mở rộng: Loại 1: 2 2 2 . a sin u  . b cos u  .
c sin v (a b c ) hay 2 2 2 . a sin u  . b cos u  .
c cos v (a b c ) Loại 2: 2 2 2 2 . a sin u  . b cos u  .
c sin v d.cos v (a b c d )
Cách giải: Chia 2 vế cho 2 2
a b  Biến đổi đưa về dạng sin t  sin r hay cos t  cos r
VIII. PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH:
Cách 1:  Biểu diễn điểm xác định công thức điều kiện và công thức nghiệm lên Đường tròn lượng giác
 Loại bỏ điểm trùng của nghiệm so với điểm của điều kiện
 Kết luận: Nghiệm PT là những điểm còn lại (Mỗi điểm cộng thêm k2 ).
Cách 2:  Cho tham số nguyên (k) trong công thức điều kiện và công thức nghiệm chạy từ 0 đến khi tìm
đủ số điểm trên đoạn 0; 
 Loại bỏ điểm trùng của nghiệm so với điểm của điều kiện
 Kết luận: Nghiệm PT là những điểm còn lại (Mỗi điểm cộng thêm k2 ).
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I. QUY TẮC ĐẾM
1. Qui tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động: Hành động thứ nhất có n cách
thực hiện, hành động thứ hai có m cách thực hiện (không trùng với bất cứ cách nào của cảu hành động thứ
nhất). Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n m cách.
2. Qui tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp: Hành động thứ nhất có n cách
thực hiện, với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất có m cách thực hiện hành động thứ hai. Khi đó công
việc có thể được thực hiện bởi . n m cách.
II. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Định nghĩa
Công thức tính số lượng
Mỗi vị trí sắp xếp thứ tự của n phần tử n  * gọi là P  .
n (n 1).(n  2).....2.1  n! n Hoán vị
một hoán vị của n phần tử.
Mỗi vị trí sắp xếp thứ tự k phần tử được lấy trong n phần n k ! Chỉnh hợp      tử A
n(n 1).....(n k 1)
n k  gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. nnk !
Mỗi tập hợp k phần tử được lấy trong n phần tử n kn k ! Tổ hợp C
gọi là một tổ hợp chập n
k của n phần tử. k !(n k)!
Công thức đặc biệt: n n n ! ! 0!1
Nếu k n thì A    n! P . n 0! 1 n 41
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 0 n C C  1 1 C n n n n k nk C Ck n k k 1  k 1 C C =  C 0  k n n n n 1    n n 0  n k     k 0 1 2  n n n n n k A k ! ( 1)( 2)...( 1)
C C C C  ... nC  2nk n n C    n n n n n 0  nk 0 k !(n k)! k ! k !
III. NHỊ THỨC NIU-TƠN
1. Công thức nhị thức Niu-Tơn: n n     a b 0 n 1 n 1 2 n 2 2
C a C a b C a b ... k n k kC a b ... n n k n k k
C b  C a b ,n  * n n n n n n k 0
2. Tính chất của nhị thức Niu-tơn
 Số các số hạng tử của công thức là n 1
 Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng từ 0 đến n đồng thời tổng các số mũ của a và b trong
mỗi hạng tử đều bằng n
 Số hạng tổng quát thứ  k 1 có dạng k n k k T
C a b (k  0,1,...,n) k 1  n
 Các hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau  : k n k C C
; 0  k n n n
3. Một số dạng đặc biệt Dạng 1  
. Thay a 1 và b x vào (1), ta được: n 0 1 2 2 n 1 n 1
(1 x)  C C x C x  ... n n
C x C x n n n n n  Cho x  1 0 1 2
C C C  ... nC  2n n n n n
Dạng 2. Thay a  1, b  x vào (1), ta được: n 0 1 2 2
(1 x)  C C x C x  ...  ( 1  )k k k C x  ...  ( 1  )n n n C x n n n n n  Cho x 1 0 1 2
C C C  ...  ( 1  )n n C  0 n n n n IV. XÁC SUẤT
1. Xác suất của biến cố.
a) Định nghĩa cổ điển của xác suất: n A 
b) Xác suất của biến cố A là: P( ) A A   n  
Trong đó: nA   là số phần tử (hay kết quả thuận lợi) của biến cố A; A
n   là số phần tử của không gian mẫu (hay tất cả kết quả có thể xảy ra của phép thử).
c) Tính chất:  0  P( ) A  1;
P()  1, P()  0 2. Biến cố đối
a) Định nghĩa: Biến cố không xảy ra A gọi là biến cố đối của A, Kí hiệu: A
b) Tính chất:
A   \ A ;
P A 1 P( ) A
 Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Bài toán đếm:
Quy tắc: Hành động nào có điều kiện mạnh nhất thì thực hiện đếm trước nhất,...
Cách 1: Đếm trực tiếp
 Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
 Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó
 Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên
Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:
 Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án.
 Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được b phương án.
Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a b. 42
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
Dạng 1.1: Đếm số lượng số tự nhiên
Khi lập một số tự nhiên x a ...a ta cần lưu ý: 1 n * a  và a  0 . i 0,1,2,...,  9 1
* x là số chẵn  a là số chẵn n
* x là số lẻ  a là số lẻ n
* x chia hết cho 3  a a  ...  a chia hết cho 3 1 2 n
* x chia hết cho 4  a a chia hết cho 4 n 1  n
* x chia hết cho 5  a n 0,  5
* x chia hết cho 6  x là số chẵn và chia hết cho 3
* x chia hết cho 8  a a a chia hết cho 8 n2 n 1  n
* x chia hết cho 9  a a  ...  a chia hết cho 9 . 1 2 n
* x chia hết cho 11  tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11.
* x chia hết cho 25  hai chữ số tận cùng là 00, 25,50, 75 .
Dạng 1.2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
Dạng 1.3: Đếm số phương án liên quan đến hình học
Dạng 2: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton Phương pháp:n n
ax bx n  C ax nk bx k p q k p q k nk k nppk    qk C a b x n n k 0 k 0 Số hạng chứa m
x ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m . m  Từ đó tìm  np k p q
Vậy hệ số của số hạng chứa m
x là: k nk C a . k
b với giá trị k đã tìm được ở trên. n
Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai triển không chứa m
x , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa m x trong khai triển       n p q P x a bx cx được viết dưới dạng 2
a a x  ...  n a x . 0 1 2n Ta làm như sau:
* Viết P x  a bx cx    n n C a
bx cx k p q k n k p q ; n k 0
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng   k p q bx cx
thành một đa thức theo luỹ thừa của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của m x .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau:
* Tính hệ số a theo k và n ; k
* Giải bất phương trình a
a với ẩn số k ; k 1  k
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
Dạng 2: Bài toán tổng n k k a C b . k n k 0
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton n 0 n n 1  1 n2 2 2
(a b)  C a a bC a
b C  ...  n n b C . n n n n
Ta chọn những giá trị a,b thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng: * k nC k C * 0 1
C C  ...  n C  2n n n n n n 43
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT n n 2n k k  1 *  n ( 1  )k k C  0 * 2 2 1 C C C *  n k k
C a  (1 a)n . n   nk n 2 2 2n n k k  2 k 0 0 0 k 0 k 0
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và
biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
Dạng 3: Tính xác suất
Phương pháp tính xác suất
Bước 1. Mô tả không gian mẫu (Nếu được). Kiểm tra tính hữu hạn của  , tính đồng khả năng của các kết
quả  Tính n
Bước 2. Đặt tên cho các biến cố bằng các chữ cái , A B,... Bước 3. Xác định ,
A B,... . Tính nA, nB,... n A n B
Bước 4. Tính P A    
n  , P B   n  ,...
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Cấp số cộng Cấp số nhân
Dãy số u là cấp số cộng
Dãy số u là cấp số nhân n n Định nghĩa *
u u d , n   uu q , n   nn  * 1  n 1  n
Số hạng tổng quát * n 1  *
u u  (n 1)d , n   2 , n
u u .q , n   2 , n n 1   n 1   uu Tính chất   2 * k 1 k 1 u  , k   k u u .u , k   2 , k k k 1  k 1    k  * 2 ,  2
Tổng n số hạng
Khi q  1: S nu n 1 đầu tiên
n(u u ) n 1 n S
 2u  (n 1)d n  1  1 q Khi  
S u u  ...  u 2 2 q 1: S u . n 1 n 1 2 n 1 q GIỚI HẠN
I. Giới hạn của dãy số:
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt: 1 1  k
n   k n  lim  0 lim  0 (k  )  lim ( )  lim   n n ;   k n n n
 lim q   (q  1) n
 lim q  0 ( q  1) ;  lim C C
2. Định lí:(Quy tắc về giới n hạn vô cực)  n
2. Định lí: Cho limu a, lim v b . Ta có: n n a0 a u u
 limu v a b
 limu .v a b n  0 n
  [u .v ]   n n  . n n n n v v   u a nn 0  a0  lim n b  )  lim  n u a
(Dấu của giới hạn vô cực được xác định theo quy n v b (nếu 0 tắc nhân dấu)  lim  n u
a (u , a  0 ) n
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 2 1 u S  1 u  1 u q  1 u q   q  1 q  1 44
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
II. Giới hạn của hàm số:
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt:
 lim x x0 ;
lim C C (C là hằng số)
 neáu k chaün xx xx  lim k
x   ;  lim k x   0 0 x x  neáu k leû
2. Định lí: Cho lim f (x)  L , lim (
g x)  M . Ta có: xx xx c 0 0
 lim C C ;  lim  0
 lim  f (x)  (
g x)  L M k
;  lim  f (x)  (
g x)  L M x x x xx xx 0 0
2. Định lí: (Quy tắc về giới hạn vô cực) f (x) L
 lim  f (x). (
g x)  L.M ;  lim 
(nếu M  0 ) xx xx ( g x) M L L 0 0 0 f (x)  f (x) 0
  [f (x).g(x)]    lim
f (x)  L f x  0  lim f (x)  L g(x) g(x)   x  x xx 0  L0 0 0
3. Giới hạn một bên:    ( x x hay x ) 0
lim f (x)  L  lim f (x)  lim f (x)  L
(Dấu của giới hạn vô cực được xác định theo quy xx   0 xx xx tắc nhân dấu) 0 0
III. Hàm số liên tục:
1. Định nghĩa:
y f x liên tục tại x  lim f x  f x 0  0 x 0 x
y f x liên tục tại x  lim f x  lim f x  f x   0  0 x  0 x x 0 x
2. Tính chất:
 Hàm số đa thức liên tục trên .
 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
 Tổng hiệu, hiệu, tích, thương của các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó.
HÌNH HỌC (TỔNG HỢP) PHẲNG
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC:
1) Tam giác vuông: Cho ABC vuông tại A có đường cao AH và trung tuyến AM. Ta có: A 2 2 2
BC AB AC (Pi-ta-go)  AH.BC A . B AC  2
AC CH .BC  2
AB BH.BC 2 2  1 1 1 AB .AC    2 AH  2 2 2 AH AB AC 2 2 AB AC B H M C 2 2 2 2  BH AB AB CH AC AC BC     AM  2 2 2 BC BC AB   AC 2 2 2 BC BC AB   AC 2  1 Diện tích: S  . .
AB AC (bằng nửa tích độ dài 2 cạnh góc vuông) 2
2) Tam giác vuông cân: Cho ABC vuông cân tại A có đường cao AH. Ta có: C 2 2 2 45  2 AB AC BC
AB AC a BC a 2  AH a
 Diện tích: S    a 2 2 2 2 4 a H 45 B A a 45
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
3) Tam giác đều: Cho ABC đều cạnh a, có tâm I và đường cao AH. 4) Nửa tam giác đều: Ta có: A 30  a 3 a 3 AH   AI  2a 2 3 a 3 2 Ia 3 a 3 IH
 Diện tích: S  60 6 4 B H C a
5) Tam giác thường: Cho ABC độ dài cạnh BC a, AC  ,
b AB c , đường cao AH h , trung tuyến a
AM m , phân giác AD, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, bán kính đường tròn nội tiếp là r. Ta có: aa b c Định lí côsin: 2 2 2
a b c  2 .
bc cos A  Định lí sin:    2R A sin A sin B sin C 2 2 2   2 2 2   b c a bc AB DB cos  b c a A  2 m    R    2bc a 2 4 2h AC DC a B H M C  Diện tích: 1 1 abc
a b c S  . . a h S b .
c sin A S S  . p r S
p p a p b p c (với p  ) 2 a 2 4R 2
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC: 1
1) Hình thang: Diện tích hình thang ABCD có đáy AB, CD: S
AB CD.h (với h là chiều cao và h 2
bằng khoảng cách giữa AB và CD) 1
2) Hình thang vuông: Diện tích hình thang ABCD vuông tại A, D: S
AB CD.AD 2 1
3) Hình bình hành: Diện tích hình bình hành ABCD: S
AB CD.h (với h là chiều cao và h bằng 2
khoảng cách giữa AB và CD) 1
4) Hình thoi: Diện tích hình thoi ABCD: S
AC.BD (bằng nửa tích độ dài 2 đường chéo) 2 2
S AB .sin A (Bằng bình phương 1 cạnh nhân sin của 1 góc)
5) Hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật ABCD: S A .
B BC (bằng tích chiều dài và chiều rộng)
6) Hình vuông: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O  2
AC BD a 2  OA OB OC OD a Diện tích: 2 S a 2
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN:
 Diện tích hình tròn bán kính R: 2
S   .R  Chu vi đường tròn bán kính R: C  2.R
IV. TÂM CỦA TAM GIÁC
 Trọng tâm tam giác là giao điểm 3 đường trung tuyến
 Trực tâm tam giác là giao điểm 3 đường cao
 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm 3 đường trung trực
 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điiểm 3 đường phân giác
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I. TỌA ĐỘ
1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm 2 trục Ox, Oy vuông góc với nhau, lần lượt có hai vectơ đơn vị i , j i j   1 .
2. Tọa độ vectơ, tọa độ điểm: a  a ;a a a i a j ; M  ;
x y  OM  . x i  . y j 1 2  1 2 Cho u  ( ;
x y), v  (x '; y ') x x ' u v  
u v   x x '; y y ' ku  (k ; x ky) .
u v xx ' yy ' y y ' 46
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT u v cos u,v .
u v xx ' yy '  0  2 2 u x y u . v
Cho Ax ; y , Bx ; y a a b b
AB   x x ; y y
AB   x xy y B A 2  B A2 B A B A
M là trung điểm của AB:
G là trọng tâm tam giác ABC: x x y y
x x x
y y y A B x  ; A B y  . A B C x  ; A B C y M 2 M 2 G 3 G 3
G là trọng tâm tứ giác ABCD :
M chia AB theo tỉ số k:
x x x x
y y y y x kx y ky A B C D G ; A B C D   A B x  ; A B y   4 4  M 1 Mk 1 k
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình: Đường thẳng  đi qua điểm M x ; y và có 1 VTPT n   ;
A B hay có 1 VTCP a   ; a b 0 0  ,có:
Phương trình tổng quát: Ax x B y y  0  Ax By C  0 ( với C  Ax By ) 0   0  0 0
x x at
Phương trình tham số: 0  , t   .
y y bt  0 x x y y
Phương trình chính tắc: 0 0  ,  .
a b  0 a b Chú ý:
Phương trình đường thẳng qua M x ; y có hệ số góc k: y y k x x . 0  0  0 0  x x y y
Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A, B: B Bx x y y A B A B
2. Khoảng cách từ một điểm M x ; y
đến một đường thẳng : Ax By C  0 là: M M  
Ax By C d M ,  M M  2 2 A B
3. Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d : A x B y C  0 và d : A x B y C  0 . 1 1 1 1 2 2 2 2 a . . a n n  1 2 1 2
Cos(d , d )  cos(n , n ) 
 cos(a , a ) 
d d A A B B  0 1 2 1 2 1 2 n . n 1 2 1 2 1 2 1 2 a . a 1 2
4. Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d : A x B y C  0; d : A x B y C  0 là: 1 1 1 1 2 2 2 2
A x B y C
A x B y C 1 1 1 2 2 2   2 2 2 2 A B A B 1 1 2 2
Lưu ý: Dấu tương ứng với một đường phân giác của góc nhọn và một đường phân giác góc tù. Để phân biệt
được dấu nào là của đường phân giác góc nhọn và dấu nào là đường phân giác góc tù thì cần nhớ quy tắc sau:
Đường phân giác góc nhọn luôn nghịch dấu với tích hai pháp véctơ, đường phân giác góc tù mang dấu còn lại.
5. Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: Cho hai điểm M x ; y , N x ; y và đường thẳng M M N N
 : ax by c  0 . Khi đó:
 M và N nằm cùng phía đối với   ax by cax by c  0 M M N N
 M và N nằm khác phía đối với   ax by cax by c  0 M M N N
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1. Phương trình: Đường tròn có tâm I  ;
a b và bán kính R, có phương trình:
Dạng 1:   2    2 2 x a y bR . 47
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT Dạng 2: 2 2
x y  2ax  2by c  0 , với điều kiện 2 2
a b c  0 và 2 2
R a b c .
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn C(I, R): d(I, )
  R   (C)  O
  không có điểm chung với (C).  d(I, )
  R   (C)    A  tiếp xúc với (C).  d(I, )
  R   (C)   ; A
B  cắt (C) tại hai điểm phân biệt. 2 2
3. Phương trình tiếp tuyến: của đường tròn C   x a   y b 2 :
R tại tiếp điểm M x ; y là: 0 0 
x a xx y b y y  0 0  0   0  0  IV. ELÍP 2 2 x y
1. Phương trình chính tắc:
1, a b  0 . 2 2 a b 2. Các yếu tố: 2 2 2
c a b , c  0 .
Tiêu cự: F F  2c
Độ dài trục lớn: A A  2a
Độ dài trục bé: B B  2b 1 2 1 2 1 2 Tiêu điểm: c F  ; c 0 , F ; c 0 Tâm sai: e   1 Đường chuẩn: a x   1   2   a e
Đỉnh: Đỉnh trên trục lớn A  ; a 0 , A ;
a 0 , Đỉnh trên trục bé B 0; b  , B 0;b 1   2   1   2  
Bán kính qua tiêu điểm: c c
MF a ex
a x ; MF a ex a x 1 M M 2 M M a a
Khoảng cách giữa hai đường chuẩn: a d  2 . e
Diện tích: S  ab
3. Điều kiện để đường thẳng Ax By C  0 tiếp xúc với elip là: 2 2 2 2 2
A a B b C
V. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, HÌNH BÌNH HÀNH BẰNG TỌA ĐỘ: 1 b b 1
Diện tích tam giác ABC 1 2 S
b c b c
AB  b ;b , AC c ;c 1 2   1 2 ABC 1 2 2 1 2 c c 2 1 2
Diện tích hình bình
hành, hình thoi, hình b b 1 2 S
b d b d
AB  b ;b , AD d ;d 1 2   1 2
chữ nhật, hình vuông ABCD 1 2 2 1 d d 1 2 ABCD
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
I. PHÉP TỊNH TIẾN:
II. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM:
1. Định nghĩa:
1. Định nghĩa:
T M   M '  MM '  v
Ñ M  M '  I
I là trung điểm MM ' v
2. Biểu thức tọa độ:
2. Biểu thức tọa độ:   
x  2x x M I M TM x x a '   Ñ M M I   '    M ' M M '  v a;byy by  2y   y M ' M M ' I M
III. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC:
IV. PHÉP QUAY:
1. Định nghĩa:
1. Định nghĩa:
Ñ M  M '  IM IM d
d là đường trung trực của MM ' '  Q M M '  I  ;  
2. Biểu thức tọa độ:     IM; IM '   
2. Biểu thức tọa độ:
x x .cos  y .sin Q M M M M M '  O  ;   '  
y y .cos  x .sin  M' M M 48
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
ax by c x y x     x  2 . M M M Ma Q M M '  O  ,90   '  M M a      b Ñ M M y   x M M
d axbyc   ' 2 2 '  ' : 0 ax by   c
y y  2 . M M bx y M ' M M M 2 2  a b Q M M '  O  , 9  0   '   y  x x xM' M Ñ M M Ox     M '  M '  y    y M ' M x x Ñ M M Oy      M '  M '  y   y M ' M V.
PHÉP VỊ TỰ:
VI. PHÉP DỜI HÌNH:
1. Định nghĩa:
1. Định nghĩa: V
M M '  IM '  k.IM
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng I ,k    
cách giữa 2 điểm bất kì.
2. Biểu thức tọa độ:
2. Tính chất: Phép dời hình biến:
x x k x   x M ' IM I V M M
a) Đường thẳng thành đường thẳng. '  I k  ,    
y y k y   y
b) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng M ' IM I
hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.
x k.x V M M M M
c) Tam giác thành tam giác bằng nó. '  O k  ,   '   y k.  y
d) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán M ' M kính.
VII. PHÉP ĐỒNG DẠNG:
1. Định nghĩa:
Phép đồng dạng tỉ số k  0 là phép biến hình
đoạn thẳng có độ dài a thành đoạn thẳng có độ
dài k.a .
2. Tính chất: Phép đông dạng tỷ số k  0 biến:
a) Đường thẳng thành đường thẳng.
b) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.
c) Tam giác thành tam giác đồng dạng tỉ số k .
d) Đường tròn bán kính r thành đường tròn có
bán kính k.r .
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11 I.
QUAN HỆ SONG SONG
Dạng 1: Chứng minh quan hệ song song.
1. Chứng minh 2 ĐT song song: Sử dụng kết quả hình học phẳng để chứng minh
2. Chứng minh ĐT song song MP d  ( ) 
Chứng minh: ĐT không chứa d' Cách d d '   d ()
trong MP và song song 1 ĐT 1 d d '  ( )
khác chứa trong MP đó. α Cách d  ( )   β  
Chứng minh: ĐT này chứa d ( ) 2 ( ) ( )
trong MP song song với MP đó. d α
3. Chứng minh 2 MP song song 49
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
a, b  ( )  
a b I
Chứng minh: MP này có a' Cách
chứa 2 ĐT cắt nhau lần lwutj b' β a a '   () ( ) 1
song song 2 ĐT chứa trong MP b b '  kia. a I b
a ', b '  ( )  α
Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 Mặt phẳng.
Cách 1: Tìm 2 điểm chung phân biệt của 2 mặt phẳng  Giao tuyến là đường thẳng đi qua 2 điểm chung đó.
A      AB  
B      
Cách 2: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng và chứng tỏ trong 2 mặt phẳng lần lượt có chưa 2 đường
thẳng song song nhau  Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song 2 đường thẳng đó.
I       a  
  , b         Ix Ix a b  a b
Cách 3: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng và chứng tỏ trong mặt phẳng này có chưa 1 đường thẳng
song song với mặt phẳng kia Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song đường thẳng đó.
I       a     
       Ix Ix a a    
Dạng 3: Tìm giao điểm của Đường thẳng và Mặt phẳng.
TH1: Nếu trong   có sẵn chứa đường thẳng a cắt d tại I thì I là giao điểm của d và   .
   a d  I
a d I  
TH2: Nếu trong   không có sẵn chứa đường thẳng a cắt d thì ta thực hiện như sau:
B1: Chọn mặt phẳng phụ   chứa d sao cho giao tuyến của   và   dễ tìm.
B2: Tìm giao tuyến  của   và  .
B3: Trong   , tìm giao điểm I của  và dI là giao điểm của d và   .    d   
      d    I    d I
Dạng 4: Tìm thiết diện của hình chóp, lăng trụ được cắt bởi Mặt phẳng
Cách 1: Tìm tất cả các đoạn giao tuyến của   với các mặt của hình chóp, lăng trụ  Thiết diện là đa
giác tạo bởi các đoạn giao tuyến đó.
Cách 2: Tìm tất cả các giao điểm của   với các cạnh (nếu có) của hình chóp, lăng trụ  Thiết diện là
đa giác tạo bởi các giao điểm đó. II.
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc.
1. Chứng minh 2 ĐT vuông góc: 50
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT d Cách d  ( )   
Chứng minh: ĐT này vuông d a 1 a  ( )
góc với MP chứa ĐT kia. a α d
Chứng minh: ĐT này vuông Cách d AB A   C d BC
góc 2 cạnh tam giác có cạnh còn 2 d AC
lại nằm trên ĐT kia. B
2. Chứng minh ĐT vuông góc MP: d  ; a d b
Chứng minh: ĐT vuông góc d Cách
với 2 ĐT cắt nhau cùng chứa
a b I
  d  () 1 atrong MP. a, b  ( )  I α b  ( )  ( )  
Nếu 2 MP vuông góc nhau thì Cách
( )  ( )  d
bất kì ĐT nào nằm tro     ng MP này ( ) 2   ( ) 
và vuông góc với giao tuyến 2 d  
MP sẽ vuông góc MP kia. d    
( )  ( )  d
2 MP phân biệt cùng vuông d Cách
góc MP thứ 3 thì giao tuyến của ( )  ( )   d  ( ) 3
2 MP đó (nếu có) sẽ vuông góc ( )  ( )  MP thứ 3 đó.
3. Chứng minh 2 MP vuông góc:   Cách   ( )
Chứng minh: MP này có chứa ( )  ( )   1   ()
1 ĐT vuông góc MP kia.        
Chứng minh MP này chứa 1 Cách
  a,   b  ĐT vuông góc với 2 ĐT cắt nhau 2
a b Ichứa trong MP kia. a, b       b a
Dạng 2: Tìm hình chiếu của Điểm lên Mặt phẳng
Định nghĩa: H là hình chiếu của M lên    MH   tại H.
TH1: Có ĐT  đi 
TH2: Chưa có sẵn ĐT  như TH1.  qua điểm M     M và vuông
 Tìm mp  qua M và    M
góc mp   tại H  H
 Tìm d    
là hình chiếu của M H
 Vẽ MH d tại H d H lên  
MH  ( ) tại H
 H là hình chiếu của M lên   . 51
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT Dạng 3: Tính góc.
1. Góc giữa 2 ĐT cắt nhau
ĐN: Là góc có số đo nhỏ nhất
(góc nhọn) trong 4 góc tạo a thành. I b
2. Góc giữa 2 ĐT bất kì
ĐN: Là góc giữa 2 đường thẳng a a ' a'
cắt nhau lần lượt song song với    ;
a b  a ';b ' b b ' I 2 đường thẳng đó.  b' a b
3. Góc giữa ĐT và MP
ĐN: Là góc giữa đường thẳng Lấy , A B d
với hình chiếu của nó trên mặt A
Tìm A ', B ' lần lượt là hình chiếu của , A B d phẳng. B lên  
(d, ())  d, d’
d’ (A’B’) là hình chiếu của d lên  
(với d’ là hình chiếu của d lên d' A' B'   ))
 (d,())  d,d’
Đặc biệt: Nếu d cắt   tại I thì: d A
AI     I 
   AI,  AIH AH      taïi H  I d' H
4. Góc giữa 2 MP
ĐN: Là góc giữa 2 đường thẳng Cách xác định thường dùng: Góc giữa hai
lần lượt vuông góc với 2 mặt MP bằng góc giữa 2 ĐT lần lượt chứa trong 2  phẳng đó.
MP và cùng vuông góc với giao tuyến của 2 MP đó. b a   
   d      a b d b      (( ), ( )) ( , ) 
a   ;b      ,   a,b Ia
a d; b d   b
Cách xác định khác: γ a
   d;   da  
    a
   ,   a,b d b        b  
Dạng 4: Tính khoảng cách.
1. Khoảng cách từ 1 Điểm đến MP
ĐN: Là khoảng
Tìm H là hình chiếu của A lên ().  cách từ điểm đó Khi đó: M đến hình chiếu của
nó lên mặt phẳng. d ( ,
A ( ))  AH H
2. Khoảng cách giữa ĐT và MP song song
ĐN: Là khoảng Lấy A . A Δ cách từ 1 điểm bất Khi đó: kì thuộc đường thẳng đến mặt
d (, ( ))  d ( , A ( ) ) H  phẳng.
3. Khoảng cách giữa 2 MP song song 52
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
ĐN: là khoảng cách từ 1 điểm bất Lấy A . A kì thuộc mặt phẳng α Khi đó: này đến mặt phẳng
d (( ), ( ))  d ( , A ( ) ) kia. β H
4. Khoảng cách giữa 2 ĐT chéo nhau
ĐN: Là độ dài Tìm ĐT  cùng vuông góc a tại M và vuông đoạn vuông góc M
góc với b tại N. Khi đó: a chung của 2 ĐT
  a taïi M đó. N   d  , a b  MN   b taïi N Δ b Cách khác: b    a   d  ,
a b  d  , b     a / /b  
 ,ab a   d  ,
a b  d  ,  α  / /    b β
ĐẶC BIỆT: Quy tắc dời điểm khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: A B A B I H K H K   d  , A   AI
AB    d ,
A    d ,
B   AB       I   d  B,  BI 53
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT SƠ ĐỒ TƯ DUY 54
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT Tìm khoảng đơn điệu (Đồng biến, Lập Bảng biến thiên Xác định khoảng đơn nghịch biến) điệu 𝑎 > 0 𝑎 < 0
TH1: Δ′𝑦′ = 𝑏2 − 3𝑎𝑐 ≤ 0 HS bậc 3 ĐB (NB) trên ℝ 𝑎 = 𝑏 = 0 Tìm m để HS TH2: 𝑐 > 0 𝑐 < 0 đơn điệu trên TXĐ
HS nhất biến ĐB (NB) trên 𝑎𝑑−𝑏𝑐 từng khoảng XĐ 𝑦′ = > 0 (𝑦′ < 0) (𝑐𝑥+𝑑)2
TH1: HS đơn điệu trên ℝ (Nếu là HS bậc lẻ,...) Tìm m để HS đơn điệu trên khoảng K B1: Lập Bảng biến thiên TH2: HS không đơn
B2: Đặt khoảng K vào vị trí điệu trên ℝ
thỏa mãn chiều biến thiên
B3: Lập Điều kiện  Giải 55
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
Tìm cực trị, điểm cực trị Lập Bảng biến thiên
Tìm m để HS đạt CĐ (CT) 𝑦′ 𝑥0 = 0 tại điểm x . 0 𝑦" 𝑥0 < 0 (> 0) 𝑦 𝑥0 = 0 CỰC TRỊ
Tìm m để HS đạt CĐ (CT) bằng y 𝑦′ 𝑥 . 0 0 = 0 𝑦" 𝑥0 < 0 (> 0) Có 2 điểm cực trị
∆′𝑦′= 𝑏2 − 3𝑎𝑐 > 0. HS bậc 3 𝑎 = 𝑏 = 0 Không có cực trị
Tìm m để
∆′𝑦′= 𝑏2 − 3𝑎𝑐 ≤ 0. HS có n điểm cực trị Có 3 điểm cực trị 𝑎. 𝑏 < 0. HS bậc 4 trùng phương 𝑎. 𝑏 ≥ 0 Có 1 điểm cực trị . 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0 Theo giả thiết  Tính:
PTTT của ĐTHS 𝐶 : 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm Hoành độ tiếp điểm: 𝑀(𝑥 𝑥0 Thay vào PT (*) 0; 𝑦0) có dạng: Tung độ tiếp điểm:  Kết quả 𝑦 − 𝑦 𝑦0 = 𝑦 𝑥0 0 = 𝑘 𝑥 − 𝑥0 (*)
Hệ số góc của TT: 𝑘 = 𝑦′(𝑥0)
PTTT của 𝐶 tại giao điểm của 𝐶 và trục tung 𝑥0 = 0
PTTT của 𝐶 tại giao điểm của 𝐶 và trục hoành 𝑦0 = 0 ĐT −𝒂
𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃  hệ số góc 𝒌 = 𝒂; ĐT 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎  hệ số góc 𝒌 = 𝒃
2 ĐT song song thì hệ số góc bằng nhau; 2 ĐT vuông góc khi tích hệ số góc bằng −𝟏 56
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
B1: Tìm nghiệm 𝑥𝑖 ∈ 𝑎; 𝑏 của PT 𝑦′ = 0 Trên đoạn 𝑎; 𝑏
B2: Tính 𝑦 𝑎 , 𝑦 𝑏 , 𝑦(𝑥𝑖) B3: Chọn GTLN, GTNN GTLN Trên khoảng, nửa Lập Bảng biến thiên GTNN khoảng K
 So sánh CĐ, CT, giá trị hàm số tại đầu ngoặc vuông B1: Lập Bảng biến thiên Tìm m để HS đạt
B2: Đặt khoảng K vào vị trí sao cho HS có GTLN-NN GTLN-NN trên K
B3: Lập Điều kiện  Giải Tính giới lim 𝑦 = 𝑦0. TCN: y = 𝑦 𝑥→∞ 0 TCN hạn tại vô cực lim 𝑦 = ∞. Tìm đường Không có TCN 𝑥→∞ tiệm cận Tính giới hạn lim 𝑦 = ∞. TCĐ: 𝑥 = 𝑥 𝑥→𝑥 0 0 TCĐ tại 𝑥0 (nghiệm TIỆM Mẫu) lim 𝑦 = 𝑦0. Không có TCĐ 𝑥 = 𝑥 𝑥→𝑥 0 0 CẬN Bậc Tử > Bậc Mẫu Không có TCN 𝑎𝑇 Hàm hữu tỷ Bậc Tử = Bậc Mẫu TCN: 𝑦 = 𝑎𝑀 (Đa thức/Đa thức) Bậc Tử < Bậc Mẫu TCN: 𝑦 = 0
Mẫu có nghiệm 𝑥0 (không trùng nghiệm Tử) TCĐ: 𝑥 = 𝑥0 57
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
Giải PT  Tìm hoành độ giao điểm Lập PTTG: 𝑥 Tìm giao điểm  𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)
Thay vào 𝑦 = 𝑓 𝑥 hay 𝑦 = 𝑔 𝑥
 Tính tung độ giao điểm TƯƠNG GIAO THUẬN: Nếu Từ YCBT  Lập MĐề PT(2) thỏa ĐK nghiệm PT(1) Giải MĐ ĐK Cho 2 đường là PT
 MĐề thỏa ĐK nghiệm  Tìm m 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 𝑦 = bậc 2 PT(2) 𝑔(𝑥) Từ YCBT  Hỏi về điểm Nếu
Biến đổi PT(2) thành PT:  Lập MĐề Giải chung (giao Lập PTTG: PT(2)
𝑥 − 𝑥0 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 thỏa ĐK MĐ ĐK điểm),cắt, tiếp Tìm m nghiệm PT(1) thỏa
𝑓 𝑥, 𝑚 = 𝑔(𝑥, 𝑚) (1) là PT 𝑥 = 𝑥0  Tìm SỰ xúc,...   MĐề thỏa ĐK....  Biến đổi về PT đa bậc 3
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 (3) m TƯƠNG ĐK nghiệm thức (2) GIAO PT(3) Từ YCBT Nếu
Đặt 𝑡 = 𝑥2 (𝑡 ≥ 0).  Giải PT(2) là Lập MĐề MĐ ĐK PT bậc 4 Ta được PT: thỏa ĐK nghiệm trùng 
𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0 (3) PT(1)  MĐề Tìm phương thỏa ĐK nghiệm m PT(3)
ỨNG DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO:
(DÙNG ĐỒ THỊ) Biến đổi PT:
Vẽ ĐT 𝑦 = 𝑔(𝑚) (nằm ngang) ở vị
Cho PT 𝐹 𝑥, 𝑚 = 0 và đồ thị HS 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝐹 𝑥, 𝑚 = 0 trí thỏa mãn YCBT  Hỏi về nghiệm ⇔ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑚)
 Lập ĐK, giải tìm m.
Số nghiệm PTTG bằng số điểm chung của 2 đường
Nghiệm đơn Cắt
Nghiệm kép Tiếp xúc 58
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 𝛼 nguyên dương Với mọi 𝑢 HS 𝑦 = 𝑢𝛼 𝛼 nguyên không dương 𝑢 ≠ 0 𝛼 không nguyên 𝑢 > 0 HS 𝑦 = 𝑎𝑢 0 < 𝑎 ≠ 1 0 < 𝑎 ≠ 1 HS 𝑦 = log𝑎 𝑢 𝑢 > 0 𝛼 < 0 Nghịch biến HS 𝑦 = 𝑥𝛼 𝛼 = 0 Không đổi Xét trên (0; +∞) 𝛼 > 0 Đồng biến 0 < 𝑎 ≠ 1 Nghịch biến HS 𝑦 = 𝑎𝑥 TXĐ: ℝ 𝑎 > 1 Đồng biến 0 < 𝑎 ≠ 1 Nghịch biến HS 𝑦 = log𝑎 𝑥 TXĐ: (0; +∞) 𝑎 > 1 Đồng biến 59
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT PT cơ bản
𝑎𝑢 = 𝑏 ⇔ 𝑢 = log𝑎 𝑏 Cùng cơ số
𝑎𝑢 = 𝑎𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣 𝑢 Cùng mũ 𝑎 𝑛
𝑚. 𝑎𝑢 = 𝑛. 𝑏𝑢 ⇔ = 𝑏 𝑚 Mũ bội:
→ Đặt 𝑡 = 𝑎𝑢 > 0
𝑚. 𝑎2𝑢 + 𝑛. 𝑎𝑢 +𝑝 = 0.
→ 𝑚. 𝑡2 + 𝑛. 𝑡 + 𝑝 = 0 1 → 𝑎−𝑢 = → Quy đồng khử mẫu Mũ đối: 𝑎𝑢
→ Đặt 𝑡 = 𝑎𝑢 > 0 PT Đưa về PT
𝑚. 𝑎−𝑢 + 𝑛. 𝑎𝑢 +𝑝 = 0.
→ 𝑛. 𝑡2 + 𝑝. 𝑡 + 𝑚 = 0 MŨ bậc 2, 3,... đối với 1 HS mũ 1 Cơ số nghịch đảo: → 𝑏𝑢 = → Quy đồng khử mẫu 𝑎𝑢 (Đặt ẩn phụ)
𝑚. 𝑎𝑢 + 𝑛. 𝑏𝑢 +𝑝 = 0
→ Đặt 𝑡 = 𝑎𝑢 > 0 (𝑎. 𝑏 = 1).
→ 𝑚. 𝑡2 + 𝑝. 𝑡 + 𝑛 = 0 Cơ số lập thành CSN:
→ Chia 2 vế cho 𝑐𝑢 (hay 𝑎𝑢) → Thu gọn 𝑏 𝑢
𝑚. 𝑎𝑢 + 𝑛. 𝑏𝑢 +𝑝. 𝑐𝑢 = 0 → Đặt 𝑡 = > 0 𝑐 (𝑎. 𝑐 = 𝑏2).
→ 𝑚. 𝑡2 + 𝑛. 𝑡 + 𝑝 = 0 Logarit hóa
𝑚. 𝑎𝑢 = 𝑛. 𝑏𝑣 ⇔ 𝑚. 𝑢 = 𝑛. 𝑣 log𝑎 𝑏 (u,v có nhân tử chung)
𝑚. 𝑎𝑢 = 𝑛. 𝑏𝑣
Dùng tính đơn điệu
Đón 1 nghiệm và dùng tính đơn
(u,v không có nhân tử chung).
điệu chứng tỏ nghiệm duy nhất 60
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT
log𝑎 𝑢 = 𝑏 ⇔ 𝑢 = 𝑎𝑏 𝑢 > 0 hay 𝑣 > 0
log𝑎 𝑢 = log𝑎 𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣  ĐKXĐ: 𝑢 > 0
𝑚. log2𝑎𝑢 + 𝑛. log𝑎 𝑢 + 𝑝 = 0  Đặt 𝑡 = log𝑎 𝑢
𝑚. 𝑡2 + 𝑛. 𝑡 + 𝑝 = 0  ĐKXĐ: 0 < 𝑢 ≠ 1 𝑚. log⬚
𝑎 𝑢 + 𝑛. log𝑢 𝑎 + 𝑝 = 0  Đặt 𝑡 = log𝑎 𝑢
𝑚. 𝑡2 + 𝑝. 𝑡 + 𝑛 = 0 61
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT Điểm đi qua: 𝑀 𝑥 Vec-tơ có giá 0; 𝑦0; 𝑧0 Xác định vuông góc MP yếu tố
𝛼 : 𝐴 𝑥 − 𝑥0 + 𝐵 𝑦 − 𝑦0 + 𝐶 𝑧 − 𝑧0 = 0. VTPT: Tích có hướng 2 𝑛 = 𝐴; 𝐵; 𝐶 vec-tơ có giá song song (chứa trong ) MP Dùng giả thiết xác
𝛼 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
định 4 hệ số A, B, C, (*) Xác định D hệ số
𝛼 : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 1 (**) Dùng giả thiết xác (Không qua O)
định 3 hệ số a, b, c Điểm đi qua: 𝑥 = 𝑥 𝑀 𝑥 0 + 𝑎1. 𝑡 0; 𝑦0; 𝑧0 ĐT Xác định 𝑦 = 𝑦 Vec-tơ có giá song song yếu tố ∆ : 0 + 𝑎2. 𝑡. 𝑧 = 𝑧 VTCP: (trùng) ĐT 0 + 𝑎3. 𝑡 𝑎 = 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3
Tích có hướng 2 vec-tơ có giá vuông góc ĐT Tâm I 𝑎; 𝑏; 𝑐 Xác định yếu tố
𝑆 : 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 + 𝑧 − 𝑐 2 = 𝑅2. Bán kính R Dùng giả thiết Xác định xác định 4 hệ số hệ số
𝑆 : 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑐𝑧 + 𝑑 = 0. a, b, c, d. 62
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 𝐴1 𝐵 𝐶 𝐷 = 1 = 1 ≠ 1 Song song 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 Xét 2 2 2 2 hệ số của 𝐴1 𝐵 𝐶 𝐷 = 1 = 1 = 1 Trùng PTMP 𝐴2 𝐵2 𝐶2 𝐷2
𝐴1; 𝐵1; 𝐶1 ≠ 𝑘 𝐴2; 𝐵2; 𝐶2 Cắt Vô số nghiệm Trùng Xét Có 1 nghiệm (t;t') Cắt Hệ PT tương giao 2 VTCP cùng phương Song song Vô nghiệm 2 VTCP không cùng phương Chéo nhau Vô số nghiệm Trùng Xét Có 1 nghiệm Cắt PT tương giao Vô nghiệm Song song Có 2 nghiệm (Pb) Cắt tại 2 điểm Xét Có 1 nghiệm (Kép) Tiếp xúc tại 1 điểm PT tương giao Vô nghiệm Không cắt > R Không cắt Xét
Khoảng cách từ Tâm MC đến = R Tiếp xúc MP < R Cắt theo 1 đường tròn > R + R' Không cắt = R + R' Tiếp xúc Xét ngoài
Khoảng cách giữa 2 Tâm của 2 < R + R' Cắt theo 1 đường tròn MC = |R - R'| Tiếp xúc trong < |R - R'| Trong nhau 63
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT Giữa 2 2 2 2 Điểm 𝐴𝐵 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 + 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 Từ Điểm 𝐴. 𝑥 𝑑 𝑀; 𝛼 =
𝑀 +𝐵. 𝑦𝑀 +𝐶. 𝑧𝑀 +𝐷 đến MP 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
Tìm H là hình chiếu của M lên ĐT  d 𝑀; Δ = 𝑀𝐻 Từ Điểm 𝐴𝑀. 𝑎 đến ĐT d 𝑀; Δ = Δ , 𝐴 ∈ Δ 𝑎Δ Giữa 2 MP
Bằng khoảng cách Từ 1 Điểm trên MP này đến MP kia
d 𝛼 ; (𝛽) = d 𝐴; (𝛽) 𝐴 ∈ 𝛼 song song Giữa
Bằng khoảng cách Từ 1 Điểm ĐT và MP trên ĐT đến MP d Δ; 𝛼 = d 𝐴; (𝛼) 𝐴 ∈ Δ song song Bằng khoảng cách Từ 1 Song song
Điểm trên ĐT này đến ĐT d Δ; Δ′ = d 𝐴; Δ′ 𝐴 ∈ Δ kia Giữa 2 ĐT 𝐴𝐴′. 𝑎 Chéo Δ ∧ 𝑎Δ′ d Δ; Δ′ =
, 𝐴 ∈ Δ, 𝐴′ ∈ Δ′ nhau 𝑎Δ ∧ 𝑎Δ′ 64
Bí Kíp Võ Công Trường 0983900570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán THPT 𝐵𝐴. 𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠
𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 . 𝐵𝐶 𝑎. 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑎; 𝑏 = 𝑎 . 𝑏 𝑛𝛼. 𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ; 𝛽 = 𝑛𝛼 . 𝑛𝛽 𝑎. 𝑎′
𝑐𝑜𝑠 𝑑; 𝑑′ = 𝑎 . 𝑎′ 𝑎. 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑑; 𝛼 = 𝛼 𝑎 . 𝑛𝛼 65
Document Outline

  • CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
    • I. BẢNG ĐẠO HÀM
    • II. SỰ BIẾN THIÊN
    • III. CỰC TRỊ
    • IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
    • V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
    • VI. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
    • VII. TIẾP TUYẾN
    • VIII. SỰ TƯƠNG GIAO (Dấu hiệu nhận biết: Trong đề có từ: Cắt, tiếp xúc, giao điểm hay điểm chung…)
    • IX. ỨNG DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO
    • X. PHÉP SUY ĐỒ THỊ
  • CHỦ ĐỀ 2: LŨY THỪA , MŨ VÀ LÔGARÍT
    • I. CÔNG THỨC
    • II. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT.
    • III. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
    • IV. ỨNG DỤNG HÀM MŨ – LÔGARIT VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ
  • CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
    • I. NGUYÊN HÀM
    • II. TÍCH PHÂN
    • III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH
  • CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC
    • I. CÔNG THỨC, PHÉP TOÁN :
    • II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
    • III. TÌM SỐ PHỨC THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC:
    • IV. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC:
  • CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN
    • I. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
    • II. ỨNG DỤNG THỂ TÍCH
    • III. MỘT SỐ HÌNH ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP
    • IV. CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN ABCD
  • CHỦ ĐỀ 6: KHỐI TRÒN XOAY
    • I. THỂ TÍCH, DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN XOAY
    • II. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HÌNH TRÒN XOAY VÀ HÌNH ĐA DIỆN
  • CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
    • I. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ
    • II. MẶT PHẲNG
    • III. ĐƯỜNG THẲNG
    • IV. MẶT CẦU
    • V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
    • VI. KHOẢNG CÁCH
    • VII. GÓC
    • VIII. HÌNH CHIẾU, ĐIỂM ĐỐI XỨNG
    • IX. TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA ĐIỀU KIỆN “LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT”
    • X. TỌA ĐỘ CÁC TÂM CỦA TAM GIÁC
  • PHỤ LỤC
  • PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
    • I. NHỊ THỨC BẬC NHẤT:
    • II. TAM THỨC BẬC 2, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:
    • III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3:
    • IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG:
    • V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
    • VI. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
    • VII. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
    • VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
  • BẤT ĐẲNG THỨC
  • LƯỢNG GIÁC
  • TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
  • CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
  • GIỚI HẠN
  • HÌNH HỌC (TỔNG HỢP) PHẲNG
    • I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC:
    • II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC:
    • III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN:
    • IV. TÂM CỦA TAM GIÁC
  • HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
    • I. TỌA ĐỘ
    • II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
    • III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
    • IV. ELÍP
    • V. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, HÌNH BÌNH HÀNH BẰNG TỌA ĐỘ:
  • PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
  • HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11
    • I. QUAN HỆ SONG SONG
      • Dạng 1: Chứng minh quan hệ song song.
      • Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 Mặt phẳng.
      • Dạng 3: Tìm giao điểm của Đường thẳng và Mặt phẳng.
      • Dạng 4: Tìm thiết diện của hình chóp, lăng trụ được cắt bởi Mặt phẳng
    • II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
      • Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc.
      • Dạng 2: Tìm hình chiếu của Điểm lên Mặt phẳng
      • Dạng 3: Tính góc.
      • Dạng 4: Tính khoảng cách.
  • SƠ ĐỒ TƯ DUY
  • Sodo-Ham-so-VCT
  • So-do-Mu-Log
  • Sodo-KG-toa-do-VCT