Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là gì? Công thức và bài tập
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là gì? Công thức và bài tập. Bài viết dưới đây của Luật Minh Khuê sẽ giúp
bạn tìm hiểu một số nội dung liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Kính mời quý bạn đọc tham khảo.
Mục lục bài viết 1. Hoán vị là gì? 1.1. Định nghĩa
Cho tập A gồm n phần từ (n
1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp có thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử
đó. (có thể hiểu là xếp n phần tử vào 1 hàng thẳng n chỗ)
Ví dụ: Hãy liệt kê tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3
Lời giải chi tiết
Số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau là: 123; 132; 213; 231; 312; 321
=> Nhận xét: Hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp
1.2. Số các hoán vị
Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn A, B, C, D vào một bàn học gồm 4 chỗ ngồi
Lời giải chi tiết
- Hành động 1: Chọn bạn ngồi vào vị trí 1: 4 cách
- Hành động 2: Chỉ còn 3 bạn
Chọn bạn ngồi vị trí thứ 2: 3 cách
- Hành động 3:Chỉ còn 2 bạn
Chọn bạn ngồi vị trí thứ 3: 2 cách
- Hành động 4: Chỉ còn 1 bạn, chọn bạn để ngồi ở vị trí thứ 4: 1 cách
=> Theo quy tắc nhân: 4 . 3 . 2 .1 = 24 cách
Do đó, có 24 cách để xếp 4 bạn vào 4 chỗ ngồi.
* Kí hiệu: Pn là số các hoán vị n phần tử
Tổng quát ta có định lí:
Pn = n! = n(n-1)(n-2)....2.1 Ta hoán vị n phần tử
+ Bước 1: Chọn phần tử cho vị trí đầu tiền. Có n cách
+ Bước 2. Chọn phần tử cho vị trí thứ hai. Có n -1 cách .................
+ Bước n: Chọn phần tử cho vị trí cuối cùng. Có 1 cách - Quy ước: 0! = 1
Ví dụ: Một đoàn du lịch dự định đến tham quan 7 địa điểm A, B, C, D, E,G và H ở thủ đô Hà Nội. Họ đi
thăm quan theo một thứ tự nào đó, hỏi có bao nhiêu thứ tự tham quan tất cả.
Lời giải chi tiết Hoán vị 7 địa điểm
Số thự tự tham quan 7 địa điểm là:
P7 = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 5040 cách
Do đó, có 5040 thứ tự tham quan tất cả
2. Chỉnh hợp là gì? 2.1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử (
). Kết quả cả việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập
hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó gọi là một chỉnh hợp k của n phần tử đã cho.
Vi dụ: Trong mặt phẳng cho bốn điểm A, B, C và D. Liệt kê các vecto khác vecto - không mà điểm đầu và
điểm cuối thuộc tập hợp điểm đã cho.
Lời giải chi tiết
Cách 1: Các vecto:
Vậy 12 vecto khác vecto không với điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp đã cho
Cách 2: Chọn ra 2 điểm thuộc tập hợp đã cho
Sắp xếp 2 điểm đó để được 1 vecto Chỉnh hơp chập 2 của 4
Chọn điểm cho vị trí điểm đầu: 4 cách
Chọn điểm cho vị trí điểm cuối: 3 cách
Theo quy tắc nhân: 4 . 3 = 12 cách
Do đó, có 12 vecto khác veto không được tạo ra từ các điểm A, B, C và D
2.2. Số các chỉnh hợp
- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là:
Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các số 1; 2; 3....9?
Lời giải chi tiết B = {1; 2; 3 ; 4;...9}
Số tự nhiên bao gồm 5 chữ số khá nhau: _ _ _ _ _
- Lấy ra 5 phẩn tư từ tập hợp V và sắp xếp chúng vào các vị trí của sô tự nhiên gồm 5 chữ số
=> chỉnh hợp chập 5 của 9:
= 9! / 4! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 3. Tổ hợp là gì? 3.1. Định nghĩa
Giả sử A có n phần tử ( )
Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
3.2. Số các tổ hợp
Số các tổ hợp chập k của n phần từ kí hiệu là:
Ví dụ: Một tổ 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gôm 5 người. Hỏi:
a. có tất cả bao nhiêu cách lập
Lời giải chi tiết
Đoàn đại biểu gồm 5 người, không sắp xếp theo thứ tự (C)
Lấy ra 5 người trong tổ 10 người: cách
3.3. Tính chất của các số
4. Câu hỏi ôn tập
Bài 1. Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn A, B, C, D vào bốn chiếc ghế kê thành hàng ngang?
Lời giải chi tiết
Hoán vị 4 bạn ào 4 chỗ: P4 = 4! = 24 cách
Bài 2. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm năm chữ số khác không và đôi một khác nhau?
Lời giải chi tiết
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Để chọn được số nguyên gồm 5 chữu số khác 0 và đôi một khác nhau, lấy ra 5 chữ số từ tập hợp A và sắp xếp chúng: cách
Bài 3. Cần phân công 3 bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau?
Lời giải chi tiết
Lấy 3 bạn từ 10 bạn để làm trực nhật: cách
Bài 4. Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song
với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi 14
đường thẳng đã cho?
Lời giải chi tiết
Lấy 2 trong số 6 đường thẳng song song: = 15 cách
Lấy 2 đường thẳng song song khác từ 8 đường thẳng song song: = 28 cách
Theo quy tắc nhân: 15 . 28 = 420 cách
Bài 5. Có bao nhiêu xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế được kê thành hàng ngang, sao cho:
a. nam và nữ ngồi xen kẽ nhau
b. các bạn nam ngồi liền nhau
Lời giải chi tiết 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a. Đánh số các ghế từ 1 đến 10
Trường hợp 1: Nam ngồi vị trí lẻ, nữ ngồi ở vị trí chẵn:
- Hành động 1: sắp xếp 5 bạn nam vào 5 chỗ lẻ: 5! cách
- Hành động 2: sắp xếp 5 bạn nữu ào 5 chỗ chẵn: 5! cách
Theo quy tắc nhân: 5! . 5! cách
Trường hợp 2: Nữ ngồi chỗ chẵn, nam ngồi chỗ lẻ: 5! . 5! cách
Theo quy tắc cộng: 2 . 5! . 5! cách
b. Coi 5 bạn nam là 1 phần tử
Số hoán vị 5 nam: 5! cách
Còn lại 5 bạn nữ và 1 phần tử là 5 bạn nam
Số hoán vị 5 nữ và 1 phần tử nam là 5 nam là: 6! cách
Theo quy tắc nhân: 5! . 6! cách
Bài 6. Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 10 và 11 học sinh
khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi cí 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi
cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng một đề?
Lời giải chi tiết
Có 5 dãy ghế mà có 20 học sinh tức là có 4 cột học sinh
Do các em nối đuôi nhau chung 1 đề nên mỗi cột học sinh này là học sinh một đề và các em ngồi cạnh
nhau đề khác nhau nên các cột cạnh nhau (ta có thể coi cột cùng đề nhau so le)
Từ đó, có 10 học sinh đề 1 và được sắp xếp vào 2 cột và tương tự với 10 học sinh còn lại nên:
- Có 10! cách sắp xếp 10 học sinh vào 2 cột cùng đề
- Có 2 cách chọn đề cho 10 học sinh trên
- Còn 10 học sinh còn lại nên có 10! cách sắp xếp
Như vậy, có 10! .2 . 10! cách sắp xếp
Bài 7. Huấn luyện viên một đội bóng đá muốn chon 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao nhiêu cách chọn nếu:
a. cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn)
b. có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đã quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4?
Lời giải chi tiết
Chọn 5 cầu thủ để đã quả luân lưu, phải bố trí người từ quả số 1 đến quả số 5
Chọn có thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ: = 55440
b. Có 3 cầu thủ bị chấn thương => còn lại: 11 - 3 = 8 cầu thủ
Bố trí cầu thủ A đá quả số 1, cầu thủ B đá quả số 4 nên còn lại 6 cầu thủ cho 3 vị trí.
Chọn có thứ tự 3 cầu thủ trong 6 cầu thủ, ta có: = 120 cách chọn
Bài 8. Một đoàn tàu có 3 toa chở khách. Toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu. Biết mỗi
toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên
Lời giải chi tiết
a. Vị 1 có 3 cách chọn toa, tương tự như vậy, các vị 2, 3, 4 đều có 3 cách chọn toa.
Vậy, theo quy tắc nhân có 3^4 = 81 cách b. Chọn 3 trong 4 vị có
= 4 cách chọn, chọn 1 toa cho 3 vị đó có 3 cách chọn
Sau đó, vị khách còn lại 1 trong 2 toa còn lại có 2 cách chọn
Vậy có 4 . 3 .2 = 24 cách chọn