Hướng dẫn giải các dạng toán dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Đặng Việt Đông

Tài liệu gồm 90 phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán về chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, phục vụ cho kỳ thi THPT Quốc gia 2017 – 2018. Tất cả các bài toán đều có đáp án và lời giải chi tiết.

50 25 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

90 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 1 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 2 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
DÃY SỐ .......................................................................................................................................................... 3
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ......................................................................................................................... 3
B – BÀI TẬP ................................................................................................................................................... 3
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ ........................................................................................................... 3
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN ................................................................................. 7
C – HƯỚNG DẪN GIẢI ................................................................................................................................13
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ ..........................................................................................................13
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN ................................................................................21
CẤP SỐ CỘNG .............................................................................................................................................34
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ........................................................................................................................34
B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................................34
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG .................................34
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG ..............................................40
C– HƯỚNG DẪN GIẢI.................................................................................................................................42
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG .................................42
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG ..............................................54
CẤP SỐ NHÂN ..............................................................................................................................................59
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ........................................................................................................................59
B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................................59
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN ..................................59
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN ...............................................65
C – HƯỚNG DẪN GIẢI ................................................................................................................................66
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN ..................................66
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN ...............................................77
ÔN TẬP CHƯƠNG III ..................................................................................................................................79
ĐÁP ÁN .........................................................................................................................................................90
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 3 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta
thực hiện như sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k 1), chứng minh rằng mệnh đề
đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k p và phải chứng minh
mệnh đề đúng với n = k + 1.
2. Dãy số
: *
( )
u
n u n
Dạng khai triển: (u
n
) = u
1
, u
2
, …, u
n
, …
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
(u
n
) là dãy số tăng u
n+1
> u
n
với n N*.
u
n+1
– u
n
> 0 với n N*
1
1
n
n
u
u
với n N* ( u
n
> 0).
(u
n
) là dãy số giảm u
n+1
< u
n
với n N*.
u
n+1
– u
n
< 0 với n N*
1
1
n
n
u
u
với n N* (u
n
> 0).
4. Dãy số bị chặn
(u
n
) là dãy số bị chặn trên M R: u
n
M, n N*.
(u
n
) là dãy số bị chặn dưới m R: u
n
m, n N*.
(u
n
) là dãy số bị chặn m, M R: m u
n
M, n N*.
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A.
10
97u B.
10
71u C.
10
1414u D.
10
971u
Câu 2: Cho dãy số
n
u
với
2
1
n
an
u
n
(a: hằng số).
1n
u
là số hạng nào sau đây?
A.
2
1
. 1
2
n
a n
u
n
. B.
2
1
. 1
1
n
a n
u
n
. C.
2
1
. 1
1
n
a n
u
n
. D.
2
1
2
n
an
u
n
.
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. 5( 1)
n
u n . B. 5
n
u n . C. 5
n
u n . D. 5. 1
n
u n .
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là:8,15,22,29,36,....Số hạng tổng quát của dãy số này là:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 4 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A. 7 7
n
u n . B. 7.
n
u n
.
C. 7. 1
n
u n . D.
n
u : Không viết được dưới dạng công thức.
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ;...
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
;0 .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n
. B.
1
n
n
u
n
. C.
1
n
n
u
n
. D.
2
1
n
n n
u
n
.
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là:0,1;0,01;0,001;0,0001;.... Số hạng tổng quát của dãy số này
có dạng?
A.
0
01...00,0
soá chöõ n
u
n
. B.
01
01...00,0
soá chöõ
n
u
n
. C.
1
10
1
n
n
u . D.
1
10
1
n
n
u .
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
A. 1
n
u . B. 1
n
u . C.
n
n
u )1(
. D.
1
1
n
n
u
.
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. nu
n
2 . B.
nu
n
2 .
C.
)1(2 nu
n
. D.
2 2 1
n
u n
.
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ;
3
1
;
3
1
;
3
1
;
3
1
;
3
1
5432
….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A.
1
3
1
3
1
n
n
u . B.
1
3
1
n
n
u . C.
n
n
u
3
1
. D.
1
3
1
n
n
u .
Câu 10: Cho dãy số
n
u với
nuu
u
nn 1
1
5
.Số hạng tổng quát
n
u của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
A.
2
)1( nn
u
n
. B.
2
)1(
5
nn
u
n
.
C.
2
)1(
5
nn
u
n
. D.
2
)2)(1(
5
nn
u
n
.
Câu 11: Cho dãy số
n
u
với
1
2
1
1
1
n
n n
u
u u
. Số hạng tổng quát
n
u của dãy số là số hạng nào
dưới đây?
A. 1
n
u n . B. 1
n
u n . C.
2
n
n
u . D.
n
u n .
Câu 12: Cho dãy số
n
u
với
1
2 1
1
1
1
n
n n
u
u u
. Số hạng tổng quát
n
u của dãy số là số hạng nào
dưới đây?
A. 2
n
u n . B.
n
u không xác định.
C. 1
n
u n . D.
n
u n với mọi
n
.
Câu 13: Cho dãy số
n
u
với
1
2
1
1
n n
u
u u n
. Số hạng tổng quát
n
u của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 5 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A.
1 2 1
1
6
n
n n n
u
. B.
1 2 2
1
6
n
n n n
u
.
C.
1 2 1
1
6
n
n n n
u
. D.
1 2 2
1
6
n
n n n
u
.
Câu 14: Cho dãy số
n
u
với
1
1
2
2 1
n n
u
u u n
. Số hạng tổng quát
n
u của dãy số là số hạng nào
dưới đây?
A.
2
2 1
n
u n
. B.
2
2
n
u n
. C.
2
2 1
n
u n
. D.
2
2 1
n
u n
.
Câu 15: Cho dãy số
n
u
với
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n
. B.
1
n
n
u
n
. C.
1
n
n
u
n
. D.
1
n
n
u
n
.
Câu 16: Cho dãy số
n
u
với
1
1
1
2
2
n n
u
u u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
2 1
2
n
u n . B.
1
2 1
2
n
u n . C.
1
2
2
n
u n . D.
1
2
2
n
u n .
Câu 17: Cho dãy số
n
u
với
1
1
1
2
n
n
u
u
u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
1 .
2
n
n
u
. B.
1
1
1 .
2
n
n
u
. C.
1
1
2
n
n
u
. D.
1
1
1 .
2
n
n
u
.
Câu 18: Cho dãy số
n
u
với
1
1
2
2
n n
u
u u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
A.
1n
n
u n
. B.
2
n
n
u
. C.
1
2
n
n
u
. D. 2
n
u .
Câu19 : Cho dãy số
n
u
với
1
1
1
2
2
n n
u
u u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
A.
1
2
n
n
u
. B.
1
1
2
n
n
u
. C.
1
2
n
n
u
. D.
2
2
n
n
u
.
Câu 20: Cho dãy số ( )
n
u được xác định bởi
2
3 7
1
n
n n
u
n
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
A.
11 17 25 47
; ; ;7;
2 3 4 6
B.
13 17 25 47
; ; ;7;
2 3 4 6
C.
11 14 25 47
; ; ;7;
2 3 4 6
D.
11 17 25 47
; ; ;8;
2 3 4 6
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2 B. 4 C. 1 D. Không có
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 6 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 22: Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi:
1
1
1
2 3 2
n n
u
u u n
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
A. 1;5;13;28;61 B. 1;5;13;29;61 C. 1;5;17;29;61 D. 1;5;14;29;61
Câu 23: Cho hai dãy số ( ),( )
n n
u v được xác định như sau
1 1
3, 2 u v và
2 2
1
1
2
2 .
n n n
n n n
u u v
v u v
với
2n
.
Tìm công thức tổng quát của hai dãy ( )
n
u và ( )
n
v .
A.
2 2
2 2
2 1 2 1
1
2 1 2 1
2 2
n n
n n
n
n
u
v
B.
2 2
2 2
1
2 1 2 1
4
1
2 1 2 1
2
n n
n n
n
n
u
v
C.
2 2
2 2
1
2 1 2 1
2
1
2 1 2 1
3 2
n n
n n
n
n
u
v
D.
2 2
2 2
1
2 1 2 1
2
1
2 1 2 1
2 2
n n
n n
n
n
u
v
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 7 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
2
3 2 1
1
n
n n
u
n
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
2
1
n
u n n
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
3 1
2
n
n
n
u
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
2
1
n
n
n
u
n
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
( )
n
u
, biết:
2 13
3 2
n
n
u
n
A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
( )
n
u
, biết:
2
3 1
1
n
n n
u
n
A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
( )
n
u
, biết:
2
1
1
n
u
n n
A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
( )
n
u
, biết:
2
!
n
n
u
n
A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
( )
n
u
, biết:
2 2 2
1 1 1
1 ...
2 3
n
u
n
.
A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai
Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
2 1
2
n
n
u
n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ( 1)
n
n
u
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
3 1
n
u n
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 8 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
2
4 3
n
u n n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
2
2
1
1
n
n n
u
n n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
2
1
1
n
n
u
n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
1 1 1
...
1.3 2.4 .( 2)
n
u
n n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
1 1 1
...
1.3 3.5 2 1 2 1
n
u
n n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
1
1
1
1
2
, 2
1
n
n
n
u
u
u n
u
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
1
3
3
1
1
1, 1
n n
u
u u n
A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
1
2
1
2
1
1
4
n
n
u
u
u n
A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
Câu 21: dãy số
( )
n
u
xác định bởi 2010 2010 ... 2010
n
u (n dấu căn)Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
Câu 22: Cho dãy số
( )
n
u
:
1 2
3 3
1 2
1, 2
, 3
n n n
u u
u u u n
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
Câu 23: Cho dãy số
2
( ): , 1
2 1
n n
an
u u n
n
. Khi
4a
, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy
A.
1 2 3 4 5
10 14 18 22
2, , , ,
3 5 7 9
u u u u u
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 9 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
B.
1 2 3 4 5
10 14 18 22
6, , , ,
3 5 7 9
u u u u u
C.
1 2 3 4 5
1 1 18 22
6, , , ,
3 5 7 9
u u u u u
D.
1 2 3 4 5
10 4 8 22
6, , , ,
3 5 7 9
u u u u u
Câu 24: Tìm
a
để dãy số đã cho là dãy số tăng.
A.
2a
B.
2a
C.
4a
D.
4a
Câu 25: Cho dãy số
1
1
2
( ):
3 2, 2,3..
n
n n
u
u
u u n
Viết 6 số hạng đầu của dãy
A.
1 2 3 4 5 6
2, 5, 10, 28, 82, 244u u u u u u
B.
1 2 3 4 5 6
2, 4, 10, 18, 82, 244u u u u u u
C.
1 2 3 4 5 6
2, 4, 10, 28, 72, 244u u u u u u
D.
1 2 3 4 5 6
2, 4, 10, 28, 82, 244u u u u u u
Câu 26: Cho dãy số
1
5.2 3 2
n n
n
u n
, 1,2,...n Viết 5 số hạng đầu của dãy
A.
1 2 3 4 5
1, 3, 12, 49, 170u u u u u
B.
1 2 3 4 5
1, 3, 12, 47, 170u u u u u
C.
1 2 3 4 5
1, 3, 24, 47, 170u u u u u
D.
1 2 3 4 5
1, 3, 12, 47, 178u u u u u
Câu 27:
1. Cho dãy số
( )
n
u
: (1 ) (1 )
n n
n
u a a ,trong đó (0;1)a và n là số nguyên dương.
a)Viết công thức truy hồi của dãy số
A.
1
1
2
1 1
n n
n n
u
u u a a a
B.
1
1
2
2 1 1
n n
n n
u
u u a a a
C.
1
1
2
2 1 1
n n
n n
u
u u a a a
D.
1
1
2
1 1
n n
n n
u
u u a a a
b)Xét tính đơn điệu của dãy số
A. Dãy
( )
n
u
là dãy số tăng. B. Dãy
( )
n
u
là dãy số giảm.
C. Dãy
( )
n
u
là dãy số không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai.
Câu 28: Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau:
1
1
1
1
1
3 2, 2
2
n n
n
u
u u n
u
.
Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng
0,
n
u n
A.
1 2 3 4
3 47 227
1, , ,
2 6 34
u u u u B.
1 2 3 4
3 17 227
1, , ,
2 6 34
u u u u
C.
1 2 3 4
3 19 227
1, , ,
2 6 34
u u u u D.
1 2 3 4
3 17 2127
1, , ,
2 6 34
u u u u
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 10 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 29: Cho dãy số
( )
n
u
được xác định bởi :
0
2
1
2011
, 1,2,...
1
n
n
n
u
u
u n
u
a) Khẳng định nào sau đây đúng
A. Dãy
( )
n
u
là dãy giảm B. Dãy
( )
n
u
là dãy tăng
C. Dãy
( )
n
u
là dãy không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
b) Tìm phần nguyên của
n
u
với
0 1006n
.
A. 2014
n
u n
B. 2011
n
u n
C. 2013
n
u n
D. 2012
n
u n
Câu 30: Cho dãy số
( )
n
u
được xác định bởi:
1 2
2 1
2, 6
2 , 1,2,...
n n n
u u
u u u n
a) Gọi ,a b là hai nghiệm của phương trình
2
2 1 0x x . Chứng minh rằng:
n n
n
u a b
b) Chứng minh rằng:
2 1
1 2
( 1) .8
n
n n n
u u u
.
Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
1
( ) :
2
n n
n
u u
n
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
3
( ): 2 1
n n
u u n n
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
1
1
2
( ):
1
, 2
2
n
n
n
u
u
u
u n
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau:
1 2
1 1
2, 3
, 2
n n n
u u
u u u n
.
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Câu 35: Cho dãy số
0
1
2
1
1
( ) :
2
, 2,3,...
( 1)
n
n
n i
i
x
x
n
x x n
n
. Xét dãy số
1n n n
y x x
. Khẳng định nào
đúng về dãy
( )
n
y
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Câu 36: Cho dãy số
Un với
1
n
n
Un .Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Năm số hạng đầu của dãy là :
6
5
;
5
5
;
4
3
;
3
2
;
2
1
.
B. 5 số số hạng đầu của dãy là :
6
5
;
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
.
C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 11 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 37: Cho dãy số
n
u
với
2
1
n
u
n n
.Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Năm số hạng đầu của dãy là:
30
1
;
20
1
;
12
1
;
6
1
;
2
1
;
B. Là dãy số tăng.
C. Bị chặn trên bởi số
1
2
M .
D. Không bị chặn.
Câu 38: Cho dãy số
n
u
với
1
n
u
n
.Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Năm số hạng đầu của dãy là :
5
1
;
4
1
;
3
1
;
2
1
;1
.
B. Bị chặn trên bởi số 1M .
C. Bị chặn trên bởi số
0M
.
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m 1M .
Câu 39: Cho dãy số
n
u
với
.3
n
n
u a
(
a
: hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số có
1
1
.3
n
n
u a
. B. Hiệu số
1
3.
n n
u u a
.
C. Với
0a
thì dãy số tăng D. Với
0a
thì dãy số giảm.
Câu 40: Cho dãy số
n
u
với
2
1
n
a
u
n
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số có
1
2
1
1
n
a
u
n
. B. Dãy số có :
1
2
1
1
n
a
u
n
.
C. Là dãy số tăng. D. Là dãy số tăng.
Câu 41: Cho dãy số
n
u
với
2
1
n
a
u
n
(
a
: hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
1
2
1
( 1)
n
a
u
n
. B. Hiệu
1
2
2
2 1
1 .
1
n n
n
u u a
n n
.
C. Hiệu
1
2
2
2 1
1 .
1
n n
n
u u a
n n
. D. Dãy số tăng khi
1a
.
Câu 42: Cho dãy số
n
u
với
2
1
n
an
u
n
(
a
: hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
A.
2
1
. 1
2
n
a n
u
n
. B.
2
1
. 3 1
( 2)( 1)
n n
a n n
u u
n n
.
C. Là dãy số luôn tăng với mọi
a
. D. Là dãy số tăng với
0a
.
Câu 43: Cho dãy số
n
u
với
3
n
n
k
u (
k
: hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ
5
của dãy số là
5
3
k
. B. Số hạng thứ
n
của dãy số là
1
3
n
k
.
C. Là dãy số giảm khi
0k
. D. Là dãy số tăng khi
0k
.
Câu 44: Cho dãy số
n
u
với
1
( 1)
1
n
n
u
n
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là
10
1
. B. Số hạng thứ 10 của dãy số là
11
1
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 12 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C. Đây là một dãy số giảm. D. Bị chặn trên bởi số 1M .
Câu 45: Cho dãy số
n
u
có 1
n
u n với
*
Nn . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 5 số hạng đầu của dãy là:
5;3;2;1;0
. B. Số hạng
1n
u n
.
C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn dưới bởi số
0
.
Câu 45: Cho dãy số
n
u
có
2
1
n
u n n
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19 .
B.
2
2
1
nnu
n
.
C. 1
1
nn
uu .
D. Là một dãy số giảm.
Câu 46: Cho dãy số
n
u
với
2
1
1
n
u
n
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
1
2
1
1 1
n
u
n
. B.
1n n
u u
.
C. Đây là một dãy số tăng. D. Bị chặn dưới.
Câu 47: Cho dãy số
n
u
với sin
1
n
u
n
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ
1n
của dãy:
1
sin
2
n
u
n
B. Dãy số bị chặn.
C. Đây là một dãy số tăng. D. Dãy số không tăng không giảm.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 13 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A.
10
97u B.
10
71u C.
10
1414u D.
10
971u
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Xét dãy ( )
n
u có dạng:
3 2
n
u an bn cn d
Ta có hệ:
1
8 4 2 3
27 9 3 19
64 16 4 53
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
Giải hệ trên ta tìm được: 1, 0, 3, 1 a b c d
3
3 1
n
u n n
là một quy luật.
Số hạng thứ 10:
10
971u .
Câu 2: Cho dãy số
n
u
với
2
1
n
an
u
n
(a: hằng số).
1n
u
là số hạng nào sau đây?
A.
2
1
. 1
2
n
a n
u
n
. B.
2
1
. 1
1
n
a n
u
n
. C.
2
1
. 1
1
n
a n
u
n
. D.
2
1
2
n
an
u
n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có
2 2
1
2
. 1 1
1 1
2
n
a n a n
u
n
n
.
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. 5( 1)
n
u n . B. 5
n
u n . C. 5
n
u n . D. 5. 1
n
u n .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
5 5.1
10 5.2
15 5.3
20 5.4
25 5.5
Suy ra số hạng tổng quát 5
n
u n .
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là:8,15,22,29,36,....Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. 7 7
n
u n . B. 7.
n
u n
.
C. 7. 1
n
u n . D.
n
u : Không viết được dưới dạng công thức.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
8 7.1 1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 14 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
15 7.2 1
22 7.3 1
29 7.4 1
36 7.5 1
Suy ra số hạng tổng quát 7 1
n
u n .
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ;...
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
;0 .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n
. B.
1
n
n
u
n
. C.
1
n
n
u
n
. D.
2
1
n
n n
u
n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
0
0
0 1
1 1
2 1 1
2 2
3 2 1
3 3
4 3 1
4 4
5 4 1
Suy ra
1
n
n
u
n
.
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là:0,1;0,01;0,001;0,0001;.... Số hạng tổng quát của dãy số này
có dạng?
A.
0
01...00,0
soá chöõ n
u
n
. B.
01
01...00,0
soá chöõ
n
u
n
. C.
1
10
1
n
n
u . D.
1
10
1
n
n
u .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
Số hạng thứ 1 có 1 chữ số
0
Số hạng thứ 2 có 2 chữ số
0
Số hạng thứ
3
có
3
chữ số
0
…………………………….
Suy ra
n
u có
n
chữ số
0
.
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
A. 1
n
u . B. 1
n
u . C.
n
n
u )1(
. D.
1
1
n
n
u
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
Các số hạng đầu của dãy là
1 2 3 4 5
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;... 1
n
n
u
.
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. nu
n
2 . B.
nu
n
2 .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 15 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C.
)1(2 nu
n
. D.
2 2 1
n
u n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là
2
nên
2 2. 1
n
u n
.
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ;
3
1
;
3
1
;
3
1
;
3
1
;
3
1
5432
….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A.
1
3
1
3
1
n
n
u . B.
1
3
1
n
n
u . C.
n
n
u
3
1
. D.
1
3
1
n
n
u .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
5 số hạng đầu là
2 3 4 5
1
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;...
3 3 3 3 3
nên
1
3
n
n
u .
Câu 10: Cho dãy số
n
u với
nuu
u
nn 1
1
5
.Số hạng tổng quát
n
u của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
A.
2
)1( nn
u
n
. B.
2
)1(
5
nn
u
n
.
C.
2
)1(
5
nn
u
n
. D.
2
)2)(1(
5
nn
u
n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
1
5 1 2 3 ... 1 5
2
n
n n
u n
.
Câu 11: Cho dãy số
n
u
với
1
2
1
1
1
n
n n
u
u u
. Số hạng tổng quát
n
u của dãy số là số hạng nào
dưới đây?
A. 1
n
u n . B. 1
n
u n . C.
2
1 1
n
n
u . D.
n
u n .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
2
1 2 3 4
1 1 2; 3; 4;...
n
n n n
u u u u u u
Dễ dàng dự đoán được
n
u n
.
Thật vậy, ta chứng minh được
n
u n
*
bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với
1
1 1n u . Vậy
*
đúng với
1n
+ Giả sử
*
đúng với mọi
*
n k k , ta có:
k
u k . Ta đi chứng minh
*
cũng đúng với
1n k
, tức là:
1
1
k
u k
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số
n
u
ta có:
2
1
1 1
k
k k
u u k
. Vậy
*
đúng với mọi
*
n .
Câu 12: Cho dãy số
n
u
với
1
2 1
1
1
1
n
n n
u
u u
. Số hạng tổng quát
n
u của dãy số là số hạng nào
dưới đây?
A. 2
n
u n . B.
n
u không xác định.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 16 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C. 1
n
u n . D.
n
u n với mọi
n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
2 3 4
0; 1; 2u u u ,.. Dễ dàng dự đoán được 2
n
u n .
Câu 13: Cho dãy số
n
u
với
1
2
1
1
n n
u
u u n
. Số hạng tổng quát
n
u của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
A.
1 2 1
1
6
n
n n n
u
. B.
1 2 2
1
6
n
n n n
u
.
C.
1 2 1
1
6
n
n n n
u
. D.
1 2 2
1
6
n
n n n
u
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
1
2
2 1
2
3 2
2
1
1
1
2
...
1
n n
u
u u
u u
u u n
. Cộng hai vế ta được
2
2 2
1 2 1
1 1 2 ... 1 1
6
n
n n n
u n
Câu 14: Cho dãy số
n
u
với
1
1
2
2 1
n n
u
u u n
. Số hạng tổng quát
n
u của dãy số là số hạng nào
dưới đây?
A.
2
2 1
n
u n
. B.
2
2
n
u n
. C.
2
2 1
n
u n
. D.
2
2 1
n
u n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1
2 1
3 2
1
2
1
3
...
2 3
n n
u
u u
u u
u u n
. Cộng hai vế ta được
2
2 1 3 5 ... 2 3 2 1
n
u n n
Câu 15: Cho dãy số
n
u
với
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n
. B.
1
n
n
u
n
. C.
1
n
n
u
n
. D.
1
n
n
u
n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
1 2 3
3 4 5
; ; ;...
2 3 4
u u u Dễ dàng dự đoán được
1
n
n
u
n
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 17 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 16: Cho dãy số
n
u
với
1
1
1
2
2
n n
u
u u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
2 1
2
n
u n . B.
1
2 1
2
n
u n . C.
1
2
2
n
u n . D.
1
2
2
n
u n .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
1
2 1
3 2
1
1
2
2
2
...
2
n n
u
u u
u u
u u
. Cộng hai vế ta được
1 1
2 2... 2 2 1
2 2
n
u n .
Câu 17: Cho dãy số
n
u
với
1
1
1
2
n
n
u
u
u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
1 .
2
n
n
u
. B.
1
1
1 .
2
n
n
u
. C.
1
1
2
n
n
u
. D.
1
1
1 .
2
n
n
u
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
1
1
2
2
3
1
1
2
2
...
2
n
n
u
u
u
u
u
u
u
. Nhân hai vế ta được
1
1 2 3 1
1 2 3
1
1 lan
. . ...
1 1
. . ... 1 . 1 . 1 .
2.2.2...2 2 2
n
n
n n
n
n
u u u u
u u u u u
Câu 18: Cho dãy số
n
u
với
1
1
2
2
n n
u
u u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
A.
1n
n
u n
. B.
2
n
n
u
. C.
1
2
n
n
u
. D. 2
n
u .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 18 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Ta có:
1
2 1
3 2
1
2
2
2
...
2
n n
u
u u
u u
u u
. Nhân hai vế ta được
1
1 2 3 1 2 1
. . ... 2.2 . . ... 2
n n
n n n
u u u u u u u u
Câu19 : Cho dãy số
n
u
với
1
1
1
2
2
n n
u
u u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
A.
1
2
n
n
u
. B.
1
1
2
n
n
u
. C.
1
2
n
n
u
. D.
2
2
n
n
u
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
1
2 1
3 2
1
1
2
2
2
...
2
n n
u
u u
u u
u u
. Nhân hai vế ta được
1 2
1 2 3 1 2 1
1
. . ... .2 . . ... 2
2
n n
n n n
u u u u u u u u
Câu 20: Cho dãy số ( )
n
u được xác định bởi
2
3 7
1
n
n n
u
n
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
A.
11 17 25 47
; ; ;7;
2 3 4 6
B.
13 17 25 47
; ; ;7;
2 3 4 6
C.
11 14 25 47
; ; ;7;
2 3 4 6
D.
11 17 25 47
; ; ;8;
2 3 4 6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có năm số hạng đầu của dãy
2
1
1 3.1 7 11
1 1 2
u
,
2 3 4 5
17 25 47
, , 7,
3 4 6
u u u u
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2 B. 4 C. 1 D. Không có
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
5
2
1
n
u n
n
, do đó
n
u nguyên khi và chỉ khi
5
1n
nguyên hay
1n
là ước của 5. Điều đó
xảy ra khi
1 5 4 n n
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là
4
7u .
Câu 22: Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi:
1
1
1
2 3 2
n n
u
u u n
. Viết năm số hạng đầu của dãy;
A. 1;5;13;28;61 B. 1;5;13;29;61 C. 1;5;17;29;61 D. 1;5;14;29;61
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 19 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
1
1;u
2 1
2 3 5 u u ;
3 2 4 3
2 3 13; 2 3 29 u u u u
5 4
2 3 61 u u .
Câu 23: Cho hai dãy số ( ),( )
n n
u v được xác định như sau
1 1
3, 2 u v và
2 2
1
1
2
2 .
n n n
n n n
u u v
v u v
với
2n
.
Tìm công thức tổng quát của hai dãy ( )
n
u và ( )
n
v .
A.
2 2
2 2
2 1 2 1
1
2 1 2 1
2 2
n n
n n
n
n
u
v
B.
2 2
2 2
1
2 1 2 1
4
1
2 1 2 1
2
n n
n n
n
n
u
v
C.
2 2
2 2
1
2 1 2 1
2
1
2 1 2 1
3 2
n n
n n
n
n
u
v
D.
2 2
2 2
1
2 1 2 1
2
1
2 1 2 1
2 2
n n
n n
n
n
u
v
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Chứng minh
2
2 2 1
n
n n
u v
(2)
Ta có:
2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
n n n n n n n n
u v u v u v u v
Ta có:
2
1 1
2 3 2 2 2 1
u v
nên (2) đúng với
1n
Giả sử
2
2 2 1
k
k k
u v
, ta có:
1
2 2
1 1
2 2 2 1
k
k k k k
u v u v
Vậy (2) đúng với
1 n
.
Theo kết quả bài trên và đề bài ta có:
2
2 2 1
n
n n
u v
Do đó ta suy ra
2 2
2 2
2 2 1 2 1
2 2 2 1 2 1
n n
n n
n
n
u
v
Hay
2 2
2 2
1
2 1 2 1
2
1
2 1 2 1
2 2
n n
n n
n
n
u
v
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 20 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 21 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
2
3 2 1
1
n
n n
u
n
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
2
1
5 10 2
0
1 2
n n
n n
u u
n n
nên dãy
( )
n
u
là dãy tăng
Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
2
1
n
u n n
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1
2 2
1 1
0
1
1 1 1
n n
u u
n n
n n
Chọn B.
Nên dãy
( )
n
u
giảm.
Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
3 1
2
n
n
n
u
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1 1
1
3 1
0
2
n
n n n n
n
u u u u
dãy
( )
n
u
tăng.
Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
2
1
n
n
n
u
n
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
2 1
1 2 3
3 2
1 2
0; ;
2 9
u u
u u u
u u
Dãy số không tăng không giảm.
Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
( )
n
u
, biết:
2 13
3 2
n
n
u
n
A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 22 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Chọn A.
Ta có:
1
2 11 2 13 34
0
3 1 3 2 (3 1)(3 2)
n n
n n
u u
n n n n
với mọi
1n
.
Suy ra
1
1
n n
u u n
dãy
( )
n
u
là dãy tăng.
Mặt khác:
2 35 2
11 1
3 3(3 2) 3
n n
u u n
n
Vậy dãy
( )
n
u
là dãy bị chặn.
Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
( )
n
u
, biết:
2
3 1
1
n
n n
u
n
A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
2 2
1
( 1) 3( 1) 1 3 1
2 1
n n
n n n n
u u
n n
2 2
5 5 3 1
2 1
n n n n
n n
2 2
( 5 5)( 1) ( 3 1)( 2)
( 1)( 2)
n n n n n n
n n
2
3 3
0 1
( 1)( 2)
n n
n
n n
1
1
n n
u u n
dãy
( )
n
u
là dãy số tăng.
2
2 1
1 2
1
n
n n
u n
n
dãy
( )
n
u
bị chặn dưới.
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
( )
n
u
, biết:
2
1
1
n
u
n n
A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
0 1
n
u n
2 2
1
2
2
1 1
1 *
3 3
( 1) ( 1) 1
n
n
u
n n n n
n
u
n n
n n
1
1
n n
u u
dãy
( )
n
u
là dãy số giảm.
Mặt khác:
0 1
n
u
dãy
( )
n
u
là dãy bị chặn.
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
( )
n
u
, biết:
2
!
n
n
u
n
A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 23 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Chọn C.
Ta có:
1 1
1
2 2 2 ! 2
: . 1 1
( 1)! ! ( 1)! 1
2
n n n
n
n
n
u
n
n
u n n n n
Mà
1
0 1
n n n
u n u u n
dãy
( )
n
u
là dãy số giảm.
Vì
1
0 2 1
n
u u n
dãy
( )
n
u
là dãy bị chặn.
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
( )
n
u
, biết:
2 2 2
1 1 1
1 ...
2 3
n
u
n
.
A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1
2
1
0
( 1)
n n
u u
n
dãy
( )
n
u
là dãy số tăng.
Do
1 1 1 1
1 ... 2
1.2 2.3 ( 1)
n
u
n n n
1 3 1
n
u n
dãy
( )
n
u
là dãy bị chặn.
Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
2 1
2
n
n
u
n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có
0 2
n
u n
nên dãy
( )
n
u
bị chặn
Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ( 1)
n
n
u
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1 1 ( )
n n
u u
là dãy bị chặn
Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
3 1
n
u n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 ( )
n n
u n u
bị chặn dưới; dãy
( )
n
u
không bị chặn trên.
Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
2
4 3
n
u n n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
2
25 3 25
( ) ( )
4 2 4
n n
u n u bị chặn trên; dãy
( )
n
u
không bị chặn dưới.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 24 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
2
2
1
1
n
n n
u
n n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1 2 ( )
n n
u n u
bị chặn
Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
2
1
1
n
n
u
n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
0 2 ( )
n n
u n u
bị chặn
Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
1 1 1
...
1.3 2.4 .( 2)
n
u
n n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1 1 1 1
0 ... 1 1
1.2 2.3 .( 1) 1
n
u
n n n
Dãy
( )
n
u
bị chặn.
Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
1 1 1
...
1.3 3.5 2 1 2 1
n
u
n n
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: 0 1
2 1
n n
n
u u
n
, dãy
( )
n
u
bị chặn.
Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
1
1
1
1
2
, 2
1
n
n
n
u
u
u n
u
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Bằng quy nạp ta chứng minh được
1 2
n
u
nên dãy
( )
n
u
bị chặn.
Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
1
3
3
1
1
1, 1
n n
u
u u n
A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 25 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Chọn A.
Ta có:
3 3
3 3
1 1
1
n n n n n
u u u u u n
dãy số tăng
Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
1
2
1
2
1
1
4
n
n
u
u
u n
A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
2
1
4 1
4
n n
n n
u u
u u
Bằng quy nạp ta chứng minh được
2 3 2
n
u n
1
0
n n
u u
. Dãy
( )
n
u
giảm.
Câu 21: dãy số
( )
n
u
xác định bởi
2010 2010 ... 2010
n
u (n dấu căn)Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có
2
1
2010
n n
u u
2
1 1 1
2010
n n n n
u u u u
Bằng quy nạp ta chứng minh được
1 8041
2
n
u n
Suy ra
1
0
n n
u u
dãy
( )
n
u
là dãy tăng.
Câu 22: Cho dãy số
( )
n
u
:
1 2
3 3
1 2
1, 2
, 3
n n n
u u
u u u n
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Chứng minh bằng quy nạp :
3 3 3 3
1 2 1 2k k k k k k
u u u u u u
Ta chứng minh:
0 3
n
u
.
Câu 23: Cho dãy số
2
( ): , 1
2 1
n n
an
u u n
n
. Khi
4a
, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy
A.
1 2 3 4 5
10 14 18 22
2, , , ,
3 5 7 9
u u u u u
B.
1 2 3 4 5
10 14 18 22
6, , , ,
3 5 7 9
u u u u u
C.
1 2 3 4 5
1 1 18 22
6, , , ,
3 5 7 9
u u u u u
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 26 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
D.
1 2 3 4 5
10 4 8 22
6, , , ,
3 5 7 9
u u u u u
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với
4a
ta có:
4 2
2 1
n
n
u
n
. Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là
1 2 3 4 5
10 14 18 22
6, , , ,
3 5 7 9
u u u u u .
Câu 24: Tìm
a
để dãy số đã cho là dãy số tăng.
A.
2a
B.
2a
C.
4a
D.
4a
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có dãy số
( )
n
u
tăng khi và chỉ khi:
1
4
0, *
(2 1)(2 1)
n n
a
u u n
n n
4 0 4a a
.
Câu 25: Cho dãy số
1
1
2
( ):
3 2, 2,3..
n
n n
u
u
u u n
Viết 6 số hạng đầu của dãy
A.
1 2 3 4 5 6
2, 5, 10, 28, 82, 244u u u u u u
B.
1 2 3 4 5 6
2, 4, 10, 18, 82, 244u u u u u u
C.
1 2 3 4 5 6
2, 4, 10, 28, 72, 244u u u u u u
D.
1 2 3 4 5 6
2, 4, 10, 28, 82, 244u u u u u u
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
1 2 3 4 5 6
2, 4, 10, 28, 82, 244u u u u u u
Câu 26: Cho dãy số
1
5.2 3 2
n n
n
u n
, 1,2,...n Viết 5 số hạng đầu của dãy
A.
1 2 3 4 5
1, 3, 12, 49, 170u u u u u
B.
1 2 3 4 5
1, 3, 12, 47, 170u u u u u
C.
1 2 3 4 5
1, 3, 24, 47, 170u u u u u
D.
1 2 3 4 5
1, 3, 12, 47, 178u u u u u
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
1 2 3 4 5
1, 3, 12, 47, 170u u u u u
Câu 27:
1. Cho dãy số
( )
n
u
: (1 ) (1 )
n n
n
u a a ,trong đó (0;1)a và n là số nguyên dương.
a)Viết công thức truy hồi của dãy số
A.
1
1
2
1 1
n n
n n
u
u u a a a
B.
1
1
2
2 1 1
n n
n n
u
u u a a a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 27 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C.
1
1
2
2 1 1
n n
n n
u
u u a a a
D.
1
1
2
1 1
n n
n n
u
u u a a a
b)Xét tính đơn điệu của dãy số
A. Dãy
( )
n
u
là dãy số tăng. B. Dãy
( )
n
u
là dãy số giảm.
C. Dãy
( )
n
u
là dãy số không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
1
1
2
1 1
n n
n n
u
u u a a a
b) Dãy
( )
n
u
là dãy số tăng.
Câu 28: Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau:
1
1
1
1
1
3 2, 2
2
n n
n
u
u u n
u
.
Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng
0,
n
u n
A.
1 2 3 4
3 47 227
1, , ,
2 6 34
u u u u B.
1 2 3 4
3 17 227
1, , ,
2 6 34
u u u u
C.
1 2 3 4
3 19 227
1, , ,
2 6 34
u u u u D.
1 2 3 4
3 17 2127
1, , ,
2 6 34
u u u u
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
1 2 3 4
3 17 227
1, , ,
2 6 34
u u u u .
Ta chứng minh
0,
n
u n
bằng quy nạp.
Giả sử
0
n
u
, khi đó:
1 1
2 2 2 . 2
2 2
n n
n n
u u
u u
Nên
1
1
2 2 0
2
n n n n
n
u u u u
u
.
Câu 29: Cho dãy số
( )
n
u
được xác định bởi :
0
2
1
2011
, 1,2,...
1
n
n
n
u
u
u n
u
a) Khẳng định nào sau đây đúng
A. Dãy
( )
n
u
là dãy giảm B. Dãy
( )
n
u
là dãy tăng
C. Dãy
( )
n
u
là dãy không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
b) Tìm phần nguyên của
n
u
với
0 1006n
.
A. 2014
n
u n
B. 2011
n
u n
C. 2013
n
u n
D. 2012
n
u n
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 28 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
a) Ta có:
1
0,
1
n
n n
n
u
u u n
u
nên dãy
( )
n
u
là dãy giảm
b) Ta có:
1
1 1 0
1
1 ...
1
n
n n n
n
u
u u u u n
u
Suy ra:
1 0
( 1) 2012
n
u u n n
Mặt khác:
1 1 2 1 0 0
( ) ... ( )
n n n n n
u u u u u u u u
0 1
1
0
0 1 1
...
1 1 1
n
n
u u
u
u
u u u
0
0 1 1
1 1 1
...
1 1 1
n
u n
u u u
Mà:
0 1 1 1
1 1 1
0 ... 1
1 1 1 1 2013
n n
n n
u u u u n
Với mọi
2,1006n
.
Suy ra
0
1 2012
n
u u n n
Do đó: 2011 2012 2011
n n
n u n u n
với
2,1006n
.
Vì
0
2011u
và
2
1
2011
2010,000497
2012
u
nên
0 1
2011 0, 2010 2011 1u u
Vậy
2011 , 0,1006
n
u n n
.
Câu 30: Cho dãy số
( )
n
u
được xác định bởi:
1 2
2 1
2, 6
2 , 1,2,...
n n n
u u
u u u n
a) Gọi ,a b là hai nghiệm của phương trình
2
2 1 0x x . Chứng minh rằng:
n n
n
u a b
b) Chứng minh rằng:
2 1
1 2
( 1) .8
n
n n n
u u u
.
Hướng dẫn giải:
a) Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp
Với
1
1 2n u a b
Giả sử ,
n n
n
u a b n k
Khi đó:
1 1
1 1
2 2
k k k k
k k k
u u u a b a b
1 1
( )
k k k k
a b a b a b
1 1 1 1 1 1
( )
k k k k k k
a b ab a b a b
1 1 1 1 1 1
( )
k k k k k k
a b a b a b
1 1k k
a b
.
b) Ta có:
2 2
1 2 1 1
2 .
n n n n n n n
u u u u u u u
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 29 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
2 2
1 1 1 1
2 ( )
n n n n n n n
u u u u u u u
1 2
2 3 1
... ( 1) ( 1) .8
n n
u u u
.
Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
1
( ) :
2
n n
n
u u
n
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có
2
1
2 1 ( 2) ( 3)( 1)
3 2 ( 2)( 3)
n n
n n n n n
u u
n n n n
1
0,
( 2)( 3)
n
n n
.
Mặt khác:
1
1 0 1,
2
n n
u u n
n
Vậy dãy
( )
n
u
là dãy tăng và bị chặn.
Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
3
( ): 2 1
n n
u u n n
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Hướng dẫn giải:
Ta có:
3 3
1
( 1) 2( 1) 2
n n
u u n n n n
2
3 3 3 0, n n n
Mặt khác:
1,
n
u n
và khi n càng lớn thì
n
u
càng lớn.
Vậy dãy
( )
n
u
là dãy tăng và bị chặn dưới.
Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau:
1
1
2
( ):
1
, 2
2
n
n
n
u
u
u
u n
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh:
1 2,
n
u n
Điều này đúng với
1n
, giả sử
1 2
n
u
ta có:
1
1
1 2
2
n
n
u
u
nên ta có đpcm.
Mà
1
1
0,
2
n
n n
u
u u n
.
Vậy dãy
( )
n
u
là dãy giảm và bị chặn.
Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau:
1 2
1 1
2, 3
, 2
n n n
u u
u u u n
.
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 30 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Trước hết ta chứng minh
1 4,
n
u n
Điều này hiển nhiên đúng với
1n
.
Giả sử
1 4
n
u
, ta có:
1 1
1 4 4 4
n n n
u u u
Ta chứng minh
( )
n
u
là dãy tăng
Ta có:
1 2
u u
, giả sử
1
,
n n
u u n k
.
Khi đó:
1
1 1 2 1
1 2
k k
k k k k k k
k k
u u
u u u u u u
u u
Vậy dãy
( )
n
u
là dãy tăng và bị chặn.
Câu 35: Cho dãy số
0
1
2
1
1
( ) :
2
, 2,3,...
( 1)
n
n
n i
i
x
x
n
x x n
n
. Xét dãy số
1n n n
y x x
. Khẳng định nào
đúng về dãy
( )
n
y
A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1
1
2 2
1 1
2( 1) 2( 1)
n n
n i n i
i i
n n
x x x x
n n
2 2
2 3
2( 1) ( 1) ( 1)( 1)
2
n n n
n n n n
x x x
n
n n
.
Do đó:
2
1
3
1
n n n n
n n
y x x x
n
Ta chứng minh dãy
( )
n
y
tăng.
Ta có:
2 2 2
1
3 3 3
( 1) 2 ( 1)( 1) 1
.
( 1)
n n n n
n n n n n n
y y x x
n n n
2 2 2 2
3 2
( 3 3)( 1) ( 1)( 2 1)
( 1)
n
n n n n n n n
x
n n
3 2
2
0
( 1)
n
x
n n
, 1,2,..n
Ta chứng minh dãy
( )
n
y
bị chặn.
Trước hết ta chứng minh:
4( 1)
n
x n
(1) với 2,3...n
* Với
2n
, ta có:
2 1
4 4x x
nên (1) đúng với
2n
* Giả sử (1) đúng với
n
, tức là:
4( 1)
n
x n
, ta có
2 4
1
3 3
( 1)( 1) 4( 1)
4
n n
n n n
x x n
n n
Nên (1) đúng với
1n
. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng
Ta có:
2 2 3
3 3 3
1 4( 1)( 1) 4( 1)
4
n n
n n n n n n
y x
n n n
Vậy bài toán được chứng minh.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 31 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 36: Cho dãy số
Un với
1
n
n
Un .Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Năm số hạng đầu của dãy là :
6
5
;
5
5
;
4
3
;
3
2
;
2
1
.
B. 5 số số hạng đầu của dãy là :
6
5
;
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
.
C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Thay
n
lần lượt bằng 1,2,3,4,5 ta được 5 số hạng đầu tiên là
1 2 3 4 5
; ; ; ;
2 3 4 5 6
.
Câu 37: Cho dãy số
n
u
với
2
1
n
u
n n
.Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Năm số hạng đầu của dãy là:
30
1
;
20
1
;
12
1
;
6
1
;
2
1
;
B. Là dãy số tăng.
C. Bị chặn trên bởi số
1
2
M .
D. Không bị chặn.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
1
2
2
1 1 1 1 2
0
1 2 1 1 2
1 1
n n
u u
n n n n n n n n n
n n
với
1n
.
Do đó
n
u
là dãy giảm.
Câu 38: Cho dãy số
n
u
với
1
n
u
n
.Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Năm số hạng đầu của dãy là :
5
1
;
4
1
;
3
1
;
2
1
;1
.
B. Bị chặn trên bởi số 1M .
C. Bị chặn trên bởi số
0M
.
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m 1M .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Nhận xét :
1 1
1
1
n
u
n
.
Dãy số
n
u
bị chặn dưới bởi 1M .
Câu 39: Cho dãy số
n
u
với
.3
n
n
u a
(
a
: hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số có
1
1
.3
n
n
u a
. B. Hiệu số
1
3.
n n
u u a
.
C. Với
0a
thì dãy số tăng D. Với
0a
thì dãy số giảm.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
1
1
.3 .3 .3 3 1 2 .3
n n n n
n n
u u a a a a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 32 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 40: Cho dãy số
n
u
với
2
1
n
a
u
n
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số có
1
2
1
1
n
a
u
n
. B. Dãy số có :
1
2
1
1
n
a
u
n
.
C. Là dãy số tăng. D. Là dãy số tăng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
1
2
1
1
n
a
u
n
.
Câu 41: Cho dãy số
n
u
với
2
1
n
a
u
n
(
a
: hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
1
2
1
( 1)
n
a
u
n
. B. Hiệu
1
2
2
2 1
1 .
1
n n
n
u u a
n n
.
C. Hiệu
1
2
2
2 1
1 .
1
n n
n
u u a
n n
. D. Dãy số tăng khi
1a
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
1
2 2 2
2
2 2
1 1 2 1 2 1
1 . 1 . 1 .
1 1 1
n n
n n
u u a a a
n
n n n n n
.
Câu 42: Cho dãy số
n
u
với
2
1
n
an
u
n
(
a
: hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
A.
2
1
. 1
2
n
a n
u
n
. B.
2
1
. 3 1
( 2)( 1)
n n
a n n
u u
n n
.
C. Là dãy số luôn tăng với mọi
a
. D. Là dãy số tăng với
0a
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Chọn
0a
thì 0
n
u ,dãy
n
u
không tăng, không giảm.
Câu 43: Cho dãy số
n
u
với
3
n
n
k
u (
k
: hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ
5
của dãy số là
5
3
k
. B. Số hạng thứ
n
của dãy số là
1
3
n
k
.
C. Là dãy số giảm khi
0k
. D. Là dãy số tăng khi
0k
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Số hạng thứ
n
của dãy là
3
n
n
k
u
.
Câu 44: Cho dãy số
n
u
với
1
( 1)
1
n
n
u
n
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là
10
1
. B. Số hạng thứ 10 của dãy số là
11
1
.
C. Đây là một dãy số giảm. D. Bị chặn trên bởi số 1M .
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 33 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Chọn C.
Dãy
n
u là một dãy đan dấu.
Câu 45: Cho dãy số
n
u
có 1
n
u n với
*
Nn . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 5 số hạng đầu của dãy là:
5;3;2;1;0
. B. Số hạng
1n
u n
.
C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn dưới bởi số
0
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
5 số hạng đầu của dãy là
0;1; 2; 3; 4
.
Câu 45: Cho dãy số
n
u
có
2
1
n
u n n
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19 .
B.
2
2
1
nnu
n
.
C. 1
1
nn
uu .
D. Là một dãy số giảm.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có :
2
2 2 2
1
1 1 1 1 2 1 2 1 2 0 1
n n
u u n n n n n n n n n n n
Do đó
n
u
là một dãy giảm.
Câu 46: Cho dãy số
n
u
với
2
1
1
n
u
n
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
1
2
1
1 1
n
u
n
. B.
1n n
u u
.
C. Đây là một dãy số tăng. D. Bị chặn dưới.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 47: Cho dãy số
n
u
với sin
1
n
u
n
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ
1n
của dãy:
1
sin
2
n
u
n
B. Dãy số bị chặn.
C. Đây là một dãy số tăng. D. Dãy số không tăng không giảm.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Dãy số không tăng không giảm.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 34 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
CẤP SỐ CỘNG
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa: (u
n
) là cấp số cộng
u
n+1
= u
n
+ d,
n
N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát:
1
( 1)
n
u u n d
với n
2
3. Tính chất các số hạng:
1 1
2
k k
k
u u
u với k
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1 2
( )
...
2
n
n n
n u u
S u u u =
1
2 ( 1)
2
n u n d
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG
Phương pháp:
Dãy số
( )
n
u
là một cấp số cộng
1
n n
u u d
không phụ thuộc vào n và d là công sai.
Ba số , ,a b c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng 2 a c b .
Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn
giả thiết của bài toán qua
1
u
và d .
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số
1 1 3
;0; ;1; ;.....
2 2 2
là một cấp số cộng:
1
1
2
1
2
u
d
.
B. Dãy số
2 3
1 1 1
; ; ;.....
2 2 2
là một cấp số cộng:
1
1
2
1
; 3
2
u
d n
.
C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2; là cấp số cộng
1
2
0
u
d
.
D. Dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; không phải là một cấp số cộng.
Câu 2: Cho một cấp số cộng có
1
1 1
;
2 2
u d . Hãy chọn kết quả đúng
A. Dạng khai triển :
1 1
;0;1; ;1....
2 2
B. Dạng khai triển :
1 1 1
;0; ;0; .....
2 2 2
C. Dạng khai triển :
1 3 5
;1; ;2; ;.....
2 2 2
D. Dạng khai triển:
1 1 3
;0; ;1; .....
2 2 2
Câu 3. Cho một cấp số cộng có
1 6
3; 27 u u
. Tìm d ?
A. 5d . B. 7d . C. 6d . D. 8d .
Câu 4: Cho một cấp số cộng có
1 8
1
; 26
3
u u Tìm d ?
A.
11
3
d . B.
3
11
d . C.
10
3
d . D.
3
10
d .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 35 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 5: Cho cấp số cộng
n
u có:
1
0,1; 0,1 u d
. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:
A. 1,6 . B. 6 . C. 0,5. D. 0,6 .
Câu 6. Cho cấp số cộng
n
u có:
1
0,1; 1 u d
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6. B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.
C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5 D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.
Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng bằng 120.
A. 1,5,6,8 B. 2,4,6,8 C. 1,4,6,9 D. 1,4,7,8
Câu 8: Cho CSC
( )
n
u
thỏa :
2 3 5
4 6
10
26
u u u
u u
1. Xác định công sai và;
A. 2d B. 4d C. 3d D. 5d
2. công thức tổng quát của cấp số
A.
3 2
n
u n
B.
3 4
n
u n
C.
3 3
n
u n
D.
3 1
n
u n
2. Tính
1 4 7 2011
... S u u u u
.
A. 673015S B. 6734134S C. 673044S D. S = 141
Câu 9: Cho cấp số cộng
( )
n
u
thỏa:
5 3 2
7 4
3 21
3 2 34
u u u
u u
.
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;
A.
100
243 u
B.
100
295 u
C.
100
231 u
D.
100
294 u
2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;
A.
15
244 S
B.
15
274 S
C.
15
253 S
D.
15
285 S
3. Tính
4 5 30
... S u u u
.
A. 1286 S B. 1276 S C. 1242 S D. 1222 S
Câu 10 : Cho cấp số cộng (u
n
) thỏa mãn
2 3 5
4 6
10
26
u u u
u u
1. Xác định công sai?
A. d=3 B. d=5 C. d=6 D. d=4
2. Tính tổng
5 7 2011
S u u u
A. 3028123S B. 3021233S C. 3028057S D. 3028332S
Câu 11: Cho dãy số
n
u với :
1
1
2
n
u n . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số cộng. B. Số hạng thứ n + 1:
1
1
2
n
u n .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 36 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C. Hiệu :
1
1
2
n n
u u . D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là:
12
5
S
.
Câu 12. Cho dãy số
n
u với :
2 5
n
u n
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Là cấp số cộng có d = – 2. B. Là cấp số cộng có d = 2.
C. Số hạng thứ n + 1:
1
2 7
n
u n
. D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là:
4
40S
Câu 13. Cho dãy số
n
u có:
1
1
3;
2
u d . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1
3 1
2
n
u n . B.
1
3 1
2
n
u n .
C.
1
3 1
2
n
u n . D.
1
3 1
4
n
u n n
.
Câu 14. Cho dãy số
n
u có:
1
1 1
;
4 4
u d . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
5
5
.
4
S B.
5
4
.
5
S C.
5
5
.
4
S D.
5
4
.
5
S
Câu 15. Cho dãy số
n
u có d = –2; S
8
= 72. Tính u
1
?
A.
1
16u
B.
1
16 u
C.
1
1
16
u D.
1
1
16
u
Câu 16. Cho dãy số
n
u có
5
0,1; 0,5. d S
Tính
1
u
?
A.
1
0,3.u
B.
1
10
3
u . C.
1
10
3
u . D.
1
0,3. u
Câu 17. Cho dãy số
n
u có
1
1; 2; 483.
n
u d S
Tính số các số hạng của cấp số cộng?
A. 20n . B. 21n . C. 22n . D. 23n .
Câu 18: Cho một cấp số cộng
( )
n
u
có
1
1u
và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính
1 2 2 3 49 50
1 1 1
... S
u u u u u u
A.
9
246
S B.
4
23
S C. 123S D.
49
246
S
Câu 19: Dãy số
( )
n
u
có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết:
1.
2 3
n
u n
A. 2 d B. 3d C. 5d D. 2d
2.
3 1
n
u n
A. 2 d B. 3d C. 3 d D. 1d
3.
2
1
n
u n
A. d B. 3d C. 3 d D. 1d
4.
2
n
u
n
A. d B.
1
2
d C. 3 d D. 1d
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 37 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 20: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai.
1.
3 1
n
u n
A. d B. 3d C. 3 d D. 1d
2.
4 5
n
u n
A. d B. 3d C. 5 d D. 1d
3.
2 3
5
n
n
u
A. d B.
2
5
d C. 3 d D. 1d
4.
1
n
n
u
n
A. d B. 3d C. 3 d D. 1d
5.
2
n
n
n
u
A. d B. 3d C. 3 d D. 1d
6.
2
1
n
u n
A. d B. 3d C. 3 d D. 1d
Câu 21: Cho cấp số cộng
n
u có:
1 8
0,3; 8 u u
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4. B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5.
C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6. D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7.
Câu 22: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.
A. 7; 12; 17 . B. 6; 10;14. C. 8;13;18 . D. 6;12;18.
Câu 23: Viết 4 số hạng xen giữa các số
1
3
và
16
3
để được cấp số cộng có 6 số hạng.
A.
4 5 6 7
; ; ;
3 3 3 3
. B.
4 7 10 13
; ; ;
3 3 3 3
. C.
4 7 11 14
; ; ;
3 3 3 3
. D.
3 7 11 15
; ; ;
4 4 4 4
.
Câu 24: Cho dãy số
n
u với :
7 2
n
u n
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 3 số hạng đầu của dãy:
1 2 3
5; 3; 1 u u u
. B. Số hạng thứ n + 1:
1
8 2
n
u n
.
C. Là cấp số cộng có d = – 2. D. Số hạng thứ 4:
4
1 u
.
Câu 25: Cho dãy số
n
u có
1
2; 2; 21 2 u d S . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng.
C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng.
D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng.
Câu 26: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu
1
u
, công sai d, 2.n ?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 38 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A.
1
n
u u d
. B.
1
1
n
u u n d C.
1
1
n
u u n d D.
1
1
n
u u n d .
Câu 27: Cho cấp số cộng
n
u có
4 14
12; 18 u u
. Tìm u
1
, d của cấp số cộng?
A.
1
20, 3 u d
. B.
1
22, 3 u d
. C.
1
21, 3 u d
. D.
1
21, 3 u d
.
Câu 28: Cho cấp số cộng
n
u có
4 14
12; 18 u u
. Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
A. S = 24. B. S = –24. C. S = 26. D. S = –25.
Câu 29: Cho cấp số cộng
n
u có
5 20
15; 60 u u
. Tìm u
1
, d của cấp số cộng?
A.
1
35, 5 u d
. B.
1
35, 5 u d
. C.
1
35, 5 u d
D.
1
35, 5 u d
.
Câu 30: Cho cấp số cộng
n
u có
5 20
15; 60 u u
. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
A. S
20
= 200 B. S
20
= –200 C. S
20
= 250 D. S
20
= –25
Câu 31: Cho cấp số cộng
(u )
n
có
2 3 5 7
20, 29 u u u u
. Tìm
1
,u d
?
A.
1
20; 7 u d
. B.
1
20,5; 7 u d
. C.
1
20,5; 7 u d
. D.
1
20,5; 7 u d
.
Câu 32: Cho cấp số cộng: 2; 5; 8; 11; 14;........ Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên?
A.
20
3;S 510 d
. B.
20
3;S 610 d
.
C.
20
3;S 610 d
. D.
20
3;S 610 d
.
Câu 33: Cho dãy số
n
u :
1 1 3 5
; - ; - ; - ;...
2 2 2 2
Khẳng định nào sau đây sai?
A. (u
n
) là một cấp số cộng. B. có 1 d .
C. Số hạng
20
19,5u
. D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180 .
Câu 34: Cho dãy số
n
u có
2 1
3
n
n
u . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (u
n
) là cấp số cộng có u
1
=
1 2
; d
3 3
. B. (u
n
) là cấp số cộng có u
1
=
1 2
; d
3 3
.
C. (u
n
) không phải là cấp số cộng. D. (u
n
) là dãy số giảm và bị chặn.
Câu 35: Cho dãy số
n
u có
1
2
n
u
n
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Các số hạng của dãy luôn dương. B. là một dãy số giảm dần.
C. là một cấp số cộng. D. bị chặn trên bởi M =
1
2
.
Câu 36: Cho dãy số
n
u (u
n
) có
2
2 1
3
n
n
u . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Là cấp số cộng có
1
1
;
3
u
2
;
3
d B. Số hạng thứ n+1:
2
1
2( 1) 1
3
n
n
u
C. Hiệu
1
2(2 1)
3
n n
n
u u D. Không phải là một cấp số cộng.
Câu 37: Cho tứ giác ABCDbiết
4
góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc
A
bằng 30
o
. Tìm
các góc còn lại?
A. 75
o
; 120
o
; 165
o
. B. 72
o
; 114
o
; 156
o
. C. 70
o
; 110
o
; 150
o
. D. 80
o
; 110
o
; 135
o
.
Câu 38: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình
phương của chúng bằng 29.
A. 1;2;3 B. 4; 3; 2 C. 2; 1;0 D. 3; 2; 1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 39 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 39: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành
cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
A. 15, 20, 25, 12 b c d a B. 16, 20, 25, 12 b c d a
C. 15, 25, 25, 12 b c d a D. 16, 20, 25, 18 b c d a
Câu 40: Cho cấp số cộng (u
n
) thỏa mãn
7 3
2 7
8
. 75
u u
u u
. Tìm
1
,u d
?
A.
1 1
2
2, 17
d
u u
B.
1 1
2
3, 7
d
u u
C.
1 1
2
3, 17
d
u u
D.
1 1
2
3, 17
d
u u
Câu 41: Cho cấp số cộng (u
n
) có công sai 0d ;
31 34
2 2
31 34
11
101
u u
u u
. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp
số cộng đó.
A.
3 9
n
u n
B.
3 2
n
u n
C.
3 92
n
u n
D.
3 66
n
u n
Câu 42: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25
o
.
Tìm 2 góc còn lại?
A. 65
o
; 90
o
. B. 75
o
; 80
o
. C. 60
o
; 95
o
. D. 60
o
; 90
o
.
Câu 43: Tam giác ABC có ba góc , ,A B C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và 5C A . Xác định
số đo các góc , ,A B C .
A.
0
0
0
10
120
50
A
B
C
B.
0
0
0
15
105
60
A
B
C
C.
0
0
0
5
60
25
A
B
C
D.
0
0
0
20
60
100
A
B
C
Câu 44: Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và
3 3
sin sin sin
2
A B C
tính các góc của tam giác
A.
0 0 0
30 ,60 ,90
B.
0 0 0
20 ,60 ,100
C.
0 0 0
10 ,50 ,120
D.
0 0 0
40 ,60 ,80
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 40 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG
Phương pháp:
, ,a b c theo thứ tự đó lập thành CSC 2 a c b
Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
2 2
2 2 a c ab bc
. B.
2 2
2 2 a c ab bc
.
C.
2 2
2 2 a c ab bc
. D.
2 2
a c ab bc
.
Câu 2: Cho , ,a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
2 2
2 2 2 a c ab bc ac
. B.
2 2
2 2 2 a c ab bc ac
.
C.
2 2
2 2 2
a c ab bc ac
. D.
2 2
2 2 2
a c ab bc ac
.
Câu 3: Cho , ,a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số
cộng ?
A.
2 2
2 , ,b a c
. B. 2 , 2 , 2 b a c . C. 2 , ,b a c . D. 2 , , b a c .
Câu 4: Xác định x để 3 số :
2
1 ; ;1 x x x
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của x . B. 2 x .
C. 1 x . D. 0x .
Câu 5: Xác định x để 3 số :
2
1 2 ;2 1; 2 x x x
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. 3 x . B.
3
2
x
.
C.
3
4
x
. D. Không có giá trị nào của x .
Câu 6: Xác định a để 3 số :
2
1 3 ; 5;1 a a a
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của a . B. 0a .
C. 1 a D.
2
a
.
Câu 7: Tìm x biết :
1.
2
1, 2,1 3 x x x
lập thành cấp số cộng ;
A. 4, 3 x x B. 2, 3 x x C. 2, 5 x x D. 2, 1 x x
Câu 8: Cho các số 5 , 2 3 , 2 x y x y x y lập thành cấp số cộng ; các số
2 2
1 , 1, 1
y xy x lập
thành cấp số nhân.Tính
,x y
A.
1 4 3 3
( ; ) 0;0 ; ; ; ;
3 3 4 10
x y
B.
10 4 3 3
( ; ) 0;0 ; ; ; ;
3 3 4 10
x y
C.
11 4 3 3
( ; ) 1;0 ; ; ; ;
3 3 4 10
x y
D.
10 4 13 13
( ; ) 0;1 ; ; ; ;
3 3 4 10
x y
Câu 9: Tìm
,x y
biết: Các số 5 ,5 2 ,8 x y x y x y lập thành cấp số cộng và các số
2 2
1 , 1, 1 y xy x lập thành cấp số nhân.
A.
3 3
( ; ) 3; ; 3;
2 2
x y B.
3 3
( ; ) 3; ; 3;
2 2
x y
C.
3 3
( ; ) 3; ; 3;
2 2
x y D.
3 3
( ; ) 3; ; 3;
2 2
x y
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 41 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 10: Tìm
,x y
biết: Các số 6 ,5 2 ,8 x y x y x y lập thành cấp số cộng và các số
5
, 1,2 3
3
x y y x y lập thành cấp số nhân.
A.
3 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y
B.
1 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y
C.
3 1
( ; ) 3;1 ; ;
8 8
x y
D.
12 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y
Câu 11: Xác định ,a b để phương trình
3
0 x ax b
có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. 0, 0 b a B. 0, 1 b a C. 0, 0 b a D. 0, 0 b a
Câu 12: Tìm m để phương trình:
4 2
2 1 1 0 mx m x m có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp
số cộng.
A.
9
16
m B. 1 m C.
7
16
m D.
9
12
m
Câu 13: Tìm m để phương trình:
3 2
3 4 2 0 x mx mx m
có ba nghiệm lập thành cấp số nhân
A.
1
27
0
m
m
B.
10
7
0
m
m
C.
1
0
m
m
D.
10
27
0
m
m
Câu 14: Xác định m để:
1. Phương trình
3 2
3 9 0
x x x m
có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. 16m B. 11m C. 13m D. 12m
2. Phương trình
4 2
2 1 2 1 0 x m x m (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. 2m hoặc
4
9
m B. 4m hoặc
4
9
m
C. 4m hoặc 2 m D. 3m hoặc 1 m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 42 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C– HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG
Phương pháp:
Dãy số
( )
n
u
là một cấp số cộng
1
n n
u u d
không phụ thuộc vào n và d là công sai.
Ba số , ,a b c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng 2 a c b .
Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn
giả thiết của bài toán qua
1
u
và d .
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số
1 1 3
;0; ;1; ;.....
2 2 2
là một cấp số cộng:
1
1
2
1
2
u
d
.
B. Dãy số
2 3
1 1 1
; ; ;.....
2 2 2
là một cấp số cộng:
1
1
2
1
; 3
2
u
d n
.
C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2; là cấp số cộng
1
2
0
u
d
.
D. Dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; không phải là một cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Dãy số
2 3
1 1 1
; ; ;.....
2 2 2
không phải cấp số cộng do
1
2
1
2
1
1
2
u
u
d
.
Câu 2: Cho một cấp số cộng có
1
1 1
;
2 2
u d . Hãy chọn kết quả đúng
A. Dạng khai triển :
1 1
;0;1; ;1....
2 2
B. Dạng khai triển :
1 1 1
;0; ;0; .....
2 2 2
C. Dạng khai triển :
1 3 5
;1; ;2; ;.....
2 2 2
D. Dạng khai triển:
1 1 3
;0; ;1; .....
2 2 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 3. Cho một cấp số cộng có
1 6
3; 27 u u
. Tìm d ?
A. 5d . B. 7d . C. 6d . D. 8d .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
6 1
27 5 27 3 5 27 6 u u d d d
Câu 4: Cho một cấp số cộng có
1 8
1
; 26
3
u u Tìm d ?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 43 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A.
11
3
d . B.
3
11
d . C.
10
3
d . D.
3
10
d .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
8 1
1 11
26 7 26 7 26
3 3
u u d d d
Câu 5: Cho cấp số cộng
n
u có:
1
0,1; 0,1 u d
. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:
A. 1,6 . B. 6 . C. 0,5. D. 0,6 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng
n
u là:
1 7
1
1 .0,1 0,1 7 1 .0,1
2
n
u u n u
Câu 6. Cho cấp số cộng
n
u có:
1
0,1; 1 u d
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6. B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.
C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5 D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng
n
u là:
11
0,1 1 .1
10
n
u n n .
Giả sử tồn tại
*
k
sao cho
11 8
0,5 0,5
10 5
k
u k k (loại). Tương tự số 0,6
Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng bằng 120.
A. 1,5,6,8 B. 2,4,6,8 C. 1,4,6,9 D. 1,4,7,8
Hướng dẫn giải:
Giả sử bốn số hạng đó là 3 ; ; ; 3 a x a x a x a x với công sai là 2d x.Khi đó, ta có:
2 2 2 2
3 3 20
3 3 120
a x a x a x a x
a x a x a x a x
2 2
4 20 5
4 20 120 1
a a
a x x
Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8 .
Chú ý:
* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn.
* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d x , là chẵn thì gọi công sai 2d x rồi viết các số
hạng cấp số dưới dạng đối xứng.
* Nếu cấp số cộng
( )
n
a
thỏa:
1 2
2 2 2 2
1 2
...
...
n
n
a a a p
a a a s
thì:
1
1
1
.
2
n n
a p d
n
và
2 2
2 2
12
1
ns p
d
n n
.
Câu 8: Cho CSC
( )
n
u
thỏa :
2 3 5
4 6
10
26
u u u
u u
1. Xác định công sai và;
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 44 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A. 2d B. 4d C. 3d D. 5d
2. công thức tổng quát của cấp số
A.
3 2
n
u n
B.
3 4
n
u n
C.
3 3
n
u n
D.
3 1
n
u n
2. Tính
1 4 7 2011
... S u u u u
.
A. 673015S B. 6734134S C. 673044S D. S = 141
Hướng dẫn giải:
Gọi d là công sai của CSC, ta có:
1 1 1
1 1
( ) ( 2 ) ( 4 ) 10
( 3 ) ( 5 ) 26
u d u d u d
u d u d
1 1
1
3 10
1
4 13
3
u d
u
u d
d
1. Ta có công sai 3d và số hạng tổng quát :
1
( 1) 3 2
n
u u n d n
.
2. Ta có các số hạng
1 4 7 2011
, , ,...,u u u u
lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai ' 3d d , nên
ta có:
1
670
2 669 ' 673015
2
S u d
Câu 9: Cho cấp số cộng
( )
n
u
thỏa:
5 3 2
7 4
3 21
3 2 34
u u u
u u
.
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;
A.
100
243 u
B.
100
295 u
C.
100
231 u
D.
100
294 u
2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;
A.
15
244 S
B.
15
274 S
C.
15
253 S
D.
15
285 S
3. Tính
4 5 30
... S u u u
.
A. 1286 S B. 1276 S C. 1242 S D. 1222 S
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết bài toán, ta có:
1 1 1
1 1
4 3( 2 ) ( ) 21
3( 6 ) 2( 3 ) 34
u d u d u d
u d u d
1 1
1
3 7
2
12 34
3
u d
u
u d
d
.
1. Số hạng thứ 100 của cấp số:
100 1
99 295 u u d
2. Tổng của 15 số hạng đầu:
15 1
15
2 14 285
2
S u d
3. Ta có:
4 5 30 4
27
... 2 26
2
S u u u u d
1
27 16 1242 u d .
Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:
30 3 1 1
3
15 2 29 2 2 1242
2
S S S u d u d .
Câu 10 : Cho cấp số cộng (u
n
) thỏa mãn
2 3 5
4 6
10
26
u u u
u u
1. Xác định công sai?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 45 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A. d=3 B. d=5 C. d=6 D. d=4
2. Tính tổng
5 7 2011
S u u u
A. 3028123S B. 3021233S C. 3028057S D. 3028332S
Hướng dẫn giải:
1. Ta có:
1 1 1 1
1 1 1
( 2 ) 4 10 3 10
3 5 26 4 13
u d u d u d u d
u d u d u d
1
1, 3 u d
;
5 1
4 1 12 13 u u d
2. Ta có
5 7 2011
, ,...,u u u
lập thành CSC với công sai 6d và có 1003 số hạng nên
5
1003
2 1002.6 3028057
2
S u .
Câu 11: Cho dãy số
n
u với :
1
1
2
n
u n . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số cộng. B. Số hạng thứ n + 1:
1
1
2
n
u n .
C. Hiệu :
1
1
2
n n
u u . D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là:
12
5
S
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
*
1
1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2
n n
u n n u n
Đáp án C đúng.
Câu 12. Cho dãy số
n
u với :
2 5
n
u n
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Là cấp số cộng có d = – 2. B. Là cấp số cộng có d = 2.
C. Số hạng thứ n + 1:
1
2 7
n
u n
. D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là:
4
40S
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Phương pháp loại trừ: A hoặc B sai.
Thật vậy
*
1
2 1 5 2 5 2 +2
n n
u n n u n
đáp án A sai.
Câu 13. Cho dãy số
n
u có:
1
1
3;
2
u d . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1
3 1
2
n
u n . B.
1
3 1
2
n
u n .
C.
1
3 1
2
n
u n . D.
1
3 1
4
n
u n n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Sử dụng công thức SHTQ
1
1 2 .
n
u u n d n Ta có:
1
3 1
2
n
u n
Câu 14. Cho dãy số
n
u có:
1
1 1
;
4 4
u d . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
5
5
.
4
S B.
5
4
.
5
S C.
5
5
.
4
S D.
5
4
.
5
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 46 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Hướng dẫn giải:.
Chọn C.
Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên:
1
1 *
2 1
,
2 2
n
n
n u n d
n u u
S n
Tính được:
5
5
4
S
Câu 15. Cho dãy số
n
u có d = –2; S
8
= 72. Tính u
1
?
A.
1
16u
B.
1
16 u
C.
1
1
16
u D.
1
1
16
u
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1
1 8 8 8 1
1
8 1 8 1
1
2 :8 18
2
16.
7 14
1
n
n
n
n u u
S
u u S u u
u
u u d u u
u u
d
n
Câu 16. Cho dãy số
n
u có
5
0,1; 0,5. d S
Tính
1
u
?
A.
1
0,3.u
B.
1
10
3
u . C.
1
10
3
u . D.
1
0,3. u
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có :
1
5 1
1
5 1
1
1
4.0,1
0,3
2
0,25
n
n
n
u u n d
u u
u
S
u u
u u
n
. Suy ra chọn đáp án D.
Câu 17. Cho dãy số
n
u có
1
1; 2; 483.
n
u d S
Tính số các số hạng của cấp số cộng?
A. 20n . B. 21n . C. 22n . D. 23n .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
1
2 1
2
n
n u n d
S
2
23
2.483 . 2. 1 1 .2 2 483 0
21
n
n n n n
n
Do
*
23 n N n
.
Câu 18: Cho một cấp số cộng
( )
n
u
có
1
1u
và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính
1 2 2 3 49 50
1 1 1
... S
u u u u u u
A.
9
246
S B.
4
23
S C. 123S D.
49
246
S
Hướng dẫn giải:
Gọi d là công sai của cấp số đã cho
Ta có:
1
100 1
497 2
50 2 99 24850 5
99
u
S u d d
1 2 2 3 49 50
5 5 5
5 ... S
u u u u u u
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 47 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
3 2 50 492 1
1 2 2 3 49 50
...
u u u uu u
u u u u u u
1 2 2 3 48 49 49 50
1 1 1 1 1 1 1 1
...
u u u u u u u u
1 50 1 1
1 1 1 1 245
49 246
u u u u d
49
246
S .
Câu 19: Dãy số
( )
n
u
có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết:
1.
2 3
n
u n
A. 2 d B. 3d C. 5d D. 2d
2.
3 1
n
u n
A. 2 d B. 3d C. 3 d D. 1d
3.
2
1
n
u n
A. d B. 3d C. 3 d D. 1d
4.
2
n
u
n
A. d B.
1
2
d C. 3 d D. 1d
Hướng dẫn giải:
1. Ta có:
1
2( 1) 3 (2 3) 2
n n
u u n n
là hằng số
Suy ra dãy
( )
n
u
là cấp số cộng với công sai 2d .
2. Ta có:
1
3( 1) 1 ( 3 1) 3
n n
u u n n
là hằng số
Suy ra dãy
( )
n
u
là cấp số cộng với công sai 3 d .
3. Ta có:
2 2
1
( 1) 1 ( 1) 2 1
n n
u u n n n
phụ thuộc vào n . Suy ra dãy
( )
n
u
không phải là cấp
số cộng.
4. Ta có:
1
2 2 2
1 ( 1)
n n
u u
n n n n
phụ thuộc vào n
Vậy dãy
( )
n
u
không phải là cấp số cộng.
Câu 20: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai.
1.
3 1
n
u n
A. d B. 3d C. 3 d D. 1d
2.
4 5
n
u n
A. d B. 3d C. 5 d D. 1d
3.
2 3
5
n
n
u
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 48 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A. d B.
2
5
d C. 3 d D. 1d
4.
1
n
n
u
n
A. d B. 3d C. 3 d D. 1d
5.
2
n
n
n
u
A. d B. 3d C. 3 d D. 1d
6.
2
1
n
u n
A. d B. 3d C. 3 d D. 1d
Hướng dẫn giải:
1. Ta có:
1
3( 1) 1 3 1 3
n n
u u n n
Dãy
( )
n
u
là CSC có công sai 3d .
2. Ta có:
1
5
n n
u u
Dãy
( )
n
u
là CSC có công sai 5 d
3. Ta có:
1
2
5
n n
u u . Dãy
( )
n
u
là CSC có công sai
2
5
d
4. Ta có:
1
1
( )
( 1)
n n n
u u u
n n
không là CSC
5. Tương tự ý 4 dãy
( )
n
u
không là CSC
6. Tương tự ý 4 dãy
( )
n
u
không là CSC.
Câu 21: Cho cấp số cộng
n
u có:
1 8
0,3; 8 u u
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4. B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5.
C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6. D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
8 1
11
8 7 8 0,3 7 8
10
u u d d d
Số hạng tổng quát của cấp số cộng
n
u là:
11
0,3 1
10
n
u n
7
6,9 u
Câu 22: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.
A. 7; 12; 17 . B. 6; 10;14. C. 8;13;18 . D. 6;12;18.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Khi đó
2
1
1 3
5
4
2 5 7
2
22 4 5 7 5 12
22
12 5 17
u
u
u d d u
u
u
Câu 23: Viết 4 số hạng xen giữa các số
1
3
và
16
3
để được cấp số cộng có 6 số hạng.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 49 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A.
4 5 6 7
; ; ;
3 3 3 3
. B.
4 7 10 13
; ; ;
3 3 3 3
. C.
4 7 11 14
; ; ;
3 3 3 3
. D.
3 7 11 15
; ; ;
4 4 4 4
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
1 2 3
1
6 4 5
1 1 4 4 7
1 ; 1
16
3 3 3 3 3
5 1
16 10 13
3
;
3 3 3
u u u
u d d
u u u
.
Câu 24: Cho dãy số
n
u với :
7 2
n
u n
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 3 số hạng đầu của dãy:
1 2 3
5; 3; 1 u u u
. B. Số hạng thứ n + 1:
1
8 2
n
u n
.
C. Là cấp số cộng có d = – 2. D. Số hạng thứ 4:
4
1 u
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Thay 1;2;3;4n đáp án A, D đúng
*
1
7 2 1 5 2 7 2 ( 2) ( 2) .
n n
u n n n u n suy ra đáp án B sai
Câu 25: Cho dãy số
n
u có
1
2; 2; 21 2 u d S . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng.
C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng.
D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
1
2 1
2
n
n u n d
S
2
6
2.21 2 . 2. 2 1 . 2 21 0
7
n
n n n n
n
Do
*
6
n N n
. Suy ra chọn đáp án B.
Câu 26: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu
1
u
, công sai d, 2.n ?
A.
1
n
u u d
. B.
1
1
n
u u n d C.
1
1
n
u u n d D.
1
1
n
u u n d .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Công thức số hạng tổng quát :
1
1
n
u u n d , 2n .
Câu 27: Cho cấp số cộng
n
u có
4 14
12; 18 u u
. Tìm u
1
, d của cấp số cộng?
A.
1
20, 3 u d
. B.
1
22, 3 u d
. C.
1
21, 3 u d
. D.
1
21, 3 u d
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có :
4 1 1
1
14 1 1
3 3 12
3
2113 13 18
u u d u d
d
uu u d u d
. Suy ra chọn đáp án C
Câu 28: Cho cấp số cộng
n
u có
4 14
12; 18 u u
. Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
A. S = 24. B. S = –24. C. S = 26. D. S = –25.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 50 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Sử dụng kết quả bài 17. Tính được
1
2 1
2
n
n u n d
S
16
16 2. 21 15.3
24
2
S .
Câu 29: Cho cấp số cộng
n
u có
5 20
15; 60 u u
. Tìm u
1
, d của cấp số cộng?
A.
1
35, 5 u d
. B.
1
35, 5 u d
. C.
1
35, 5 u d
D.
1
35, 5 u d
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có :
5 1
1
1
20 1 1
4 4 15
5
3519 19 60
u u d u d
d
uu u d u d
Câu 30: Cho cấp số cộng
n
u có
5 20
15; 60 u u
. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
A. S
20
= 200 B. S
20
= –200 C. S
20
= 250 D. S
20
= –25
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Sử dụng kết quả bài 17. Tính được
1
2 1
2
n
n u n d
S
20
20 2. 35 19.5
250
2
S .
Câu 31: Cho cấp số cộng
(u )
n
có
2 3 5 7
20, 29 u u u u
. Tìm
1
,u d
?
A.
1
20; 7 u d
. B.
1
20,5; 7 u d
. C.
1
20,5; 7 u d
. D.
1
20,5; 7 u d
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Áp dụng công thức
1
(n 1)d
n
u u
ta có
1 1
1
2 3 20
20,5
2 10 29
7
u d
u
u d
d
.
Câu 32: Cho cấp số cộng: 2; 5; 8; 11; 14;........ Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên?
A.
20
3;S 510 d
. B.
20
3;S 610 d
.
C.
20
3;S 610 d
. D.
20
3;S 610 d
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có 5 2 ( 3); 8 5 ( 3); 11 8 ( 3); 14 11 ( 3);.... nên 3 d .
Áp dụng công thức
1
(n 1)
2
n
n
S nu d , ta có
20
610 S
.
Câu 33: Cho dãy số
n
u :
1 1 3 5
; - ; - ; - ;...
2 2 2 2
Khẳng định nào sau đây sai?
A. (u
n
) là một cấp số cộng. B. có 1 d .
C. Số hạng
20
19,5u
. D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
1 1 3 1 5 3
( 1); - ( 1); - ( 1);.....
2 2 2 2 2 2
. Vậy dãy số trên là cấp số cộng với công sai
1 d .
Ta có
20 1
19 18,5 u u d
.
Câu 34: Cho dãy số
n
u có
2 1
3
n
n
u . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (u
n
) là cấp số cộng có u
1
=
1 2
; d
3 3
. B. (u
n
) là cấp số cộng có u
1
=
1 2
; d
3 3
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 51 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C. (u
n
) không phải là cấp số cộng. D. (u
n
) là dãy số giảm và bị chặn.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
1
2(n 1) 1 2 1 2
3 3 3
n n
n
u u và
1
1
3
u .
Câu 35: Cho dãy số
n
u có
1
2
n
u
n
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Các số hạng của dãy luôn dương. B. là một dãy số giảm dần.
C. là một cấp số cộng. D. bị chặn trên bởi M =
1
2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
1 2 3
1 1 1
; u ; u
3 4 5
u .
2 1 3 2
u u u u
nên dãy số không phải là cấp số cộng.
Câu 36: Cho dãy số
n
u (u
n
) có
2
2 1
3
n
n
u . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Là cấp số cộng có
1
1
;
3
u
2
;
3
d B. Số hạng thứ n+1:
2
1
2( 1) 1
3
n
n
u
C. Hiệu
1
2(2 1)
3
n n
n
u u D. Không phải là một cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có
2 2
1
2(n 1) 1 2 1 2(2n 1)
.
3 3 3
n n
n
u u Vậy dãy số trên không phải cấp số cộng.
Câu 37: Cho tứ giác ABCDbiết
4
góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc
A
bằng 30
o
. Tìm
các góc còn lại?
A. 75
o
; 120
o
; 165
o
. B. 72
o
; 114
o
; 156
o
. C. 70
o
; 110
o
; 150
o
. D. 80
o
; 110
o
; 135
o
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
1 2 3 4
360 30 30 30 2 30 3 360 40 u u u u d d d d
.
Vâỵ
2 3 4
70; 110; u 150 u u
.
Câu 38: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình
phương của chúng bằng 29.
A. 1;2;3 B. 4; 3; 2 C. 2; 1;0 D. 3; 2; 1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi ba số hạng của CSC là 2 ; ; 2 a x a a x với 2d x
Ta có:
2 2 2
3
2 2 9
1
( 2 ) ( 2 ) 29
2
a
a x a a x
x
a x a a x
.
Câu 39: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành
cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
A. 15, 20, 25, 12 b c d a B. 16, 20, 25, 12 b c d a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 52 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C. 15, 25, 25, 12 b c d a D. 16, 20, 25, 18 b c d a
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi bốn số đó là , , ,a b c d ta có hệ :
2 2
37 37
36 36
2 73 3
(73 3 ) (36 )
a d a d
c b c b
a c b d b
bd c b b b
16, 20, 25, 12 b c d a .
Câu 40: Cho cấp số cộng (u
n
) thỏa mãn
7 3
2 7
8
. 75
u u
u u
. Tìm
1
,u d
?
A.
1 1
2
2, 17
d
u u
B.
1 1
2
3, 7
d
u u
C.
1 1
2
3, 17
d
u u
D.
1 1
2
3, 17
d
u u
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
1 1
1 1
1 1
6 2 8
2
3, 17( )( 6 ) 75
u d u d
d
u uu d u d
Câu 41: Cho cấp số cộng (u
n
) có công sai 0d ;
31 34
2 2
31 34
11
101
u u
u u
. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp
số cộng đó.
A.
3 9
n
u n
B.
3 2
n
u n
C.
3 92
n
u n
D.
3 66
n
u n
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
1
1
2 2
1 1
2 63 11
89
3
( 30 ) ( 33 ) 101
u d
u
d
u d u d
Vậy
3( 1) 89 3 92
n
u n n
.
Câu 42: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25
o
.
Tìm 2 góc còn lại?
A. 65
o
; 90
o
. B. 75
o
; 80
o
. C. 60
o
; 95
o
. D. 60
o
; 90
o
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có :
1 2 3
180 25 25 25 2 180 35 u u u d d d
.
Vâỵ
2 3
60; 90. u u
Câu 43: Tam giác ABC có ba góc , ,A B C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và 5C A. Xác định
số đo các góc , ,A B C .
A.
0
0
0
10
120
50
A
B
C
B.
0
0
0
15
105
60
A
B
C
C.
0
0
0
5
60
25
A
B
C
D.
0
0
0
20
60
100
A
B
C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 53 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :
0
0
0
0 0
20
180 5
2 3 60
5
9 180 100
A
A B C C A
A C B B A B
C A
A C
.
Câu 44: Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và
3 3
sin sin sin
2
A B C
tính các góc của tam giác
A.
0 0 0
30 ,60 ,90
B.
0 0 0
20 ,60 ,100
C.
0 0 0
10 ,50 ,120
D.
0 0 0
40 ,60 ,80
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ba góc của tam giác:
0 0 0
30 ,60 ,90
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 54 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG
Phương pháp:
, ,a b c theo thứ tự đó lập thành CSC 2 a c b
Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
2 2
2 2 a c ab bc
. B.
2 2
2 2 a c ab bc
.
C.
2 2
2 2 a c ab bc
. D.
2 2
a c ab bc
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
2 2
2 2
2 2 b a c b b a c b a c ab bc .
Suy ra chọn đáp án B.
Câu 2: Cho , ,a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
2 2
2 2 2
a c ab bc ac
. B.
2 2
2 2 2
a c ab bc ac
.
C.
2 2
2 2 2 a c ab bc ac
. D.
2 2
2 2 2 a c ab bc ac
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
, ,a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
2 2
2 2
2 2 b a c b b a c b a c ab bc
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
a c c ab bc ab c c b
ab c b a ab bc ac
Câu 3: Cho , ,a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số
cộng ?
A.
2 2
2 , ,b a c
. B. 2 , 2 , 2 b a c . C. 2 , ,b a c . D. 2 , , b a c .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có , ,a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 2 a c b
2 2.2 2 2 2 2 b c a b c a
2 , 2 , 2 b a c lập thành một cấp số cộng
Câu 4: Xác định x để 3 số :
2
1 ; ;1 x x x
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của x . B. 2 x .
C. 1 x . D. 0x .
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
Ba số :
2
1 ; ;1 x x x
lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
2 2
1 1 x x x x
2
2 2 1 x x
suy ra chọn đáp án C.
Câu 5: Xác định x để 3 số :
2
1 2 ;2 1; 2 x x x
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. 3 x . B.
3
2
x
.
C.
3
4
x
. D. Không có giá trị nào của x .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 55 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Ba số :
2
1 2 ;2 1; 2 x x x
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
2 2
2 1 1 2 2 2 1 x x x x
2
3
4 3
2
x x
. Suy ra chọn đáp án B.
Câu 6: Xác định a để 3 số :
2
1 3 ; 5;1 a a a
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của a . B. 0a .
C. 1 a D.
2 a
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ba số :
2
1 3 ; 5;1 a a a
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
2 2
5 1 3 1 5 a a a a
2 2
3 4 4
a a a a
2
4 0
a a
. PT vô nghiệm
Suy ra chọn đáp án A.
Câu 7: Tìm x biết :
1.
2
1, 2,1 3 x x x
lập thành cấp số cộng ;
A. 4, 3 x x B. 2, 3 x x C. 2, 5 x x D. 2, 1 x x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
2
1, 2,1 3 x x x
lập thành cấp số cộng
2 2
1 1 3 2( 2) 5 6 0 2; 3 x x x x x x x
Vậy 2, 3 x x là những giá trị cần tìm.
Câu 8: Cho các số 5 , 2 3 , 2 x y x y x y lập thành cấp số cộng ; các số
2 2
1 , 1, 1 y xy x lập
thành cấp số nhân.Tính
,x y
A.
1 4 3 3
( ; ) 0;0 ; ; ; ;
3 3 4 10
x y
B.
10 4 3 3
( ; ) 0;0 ; ; ; ;
3 3 4 10
x y
C.
11 4 3 3
( ; ) 1;0 ; ; ; ;
3 3 4 10
x y
D.
10 4 13 13
( ; ) 0;1 ; ; ; ;
3 3 4 10
x y
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có các số 5 , 2 3 , 2 x y x y x y lập thành CSC nên suy ra
2 2 3 5 2 x y x y x y hay
2 5x y (1)
Các số
2 2
1 , 1, 1 y xy x lập thành CSN suy ra
2 2 2
1 1 1 4 2 2 4 2 2 0
xy y x y x xy x y (2)
Thay (1) vào (2) ta được :
2
4 2 5 10 5 2 0 y y y y y
4 3
4 3 10 3 0 0, ,
3 10
y y y y y y .
Vậy
10 4 3 3
( ; ) 0;0 ; ; ; ;
3 3 4 10
x y
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 56 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 9: Tìm
,x y
biết: Các số 5 ,5 2 ,8 x y x y x y lập thành cấp số cộng và các số
2 2
1 , 1, 1
y xy x lập thành cấp số nhân.
A.
3 3
( ; ) 3; ; 3;
2 2
x y B.
3 3
( ; ) 3; ; 3;
2 2
x y
C.
3 3
( ; ) 3; ; 3;
2 2
x y D.
3 3
( ; ) 3; ; 3;
2 2
x y
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có hệ:
2 2 2
5 8 2(5 2 )
( 1) ( 1) ( 1)
x y x y x y
x y xy
giải hệ này ta tìm được
3 3
( ; ) 3; ; 3;
2 2
x y
.
Câu 10: Tìm
,x y
biết: Các số 6 ,5 2 ,8 x y x y x y lập thành cấp số cộng và các số
5
, 1,2 3
3
x y y x y lập thành cấp số nhân.
A.
3 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y
B.
1 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y
C.
3 1
( ; ) 3;1 ; ;
8 8
x y
D.
12 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có hệ:
2
6 8 2(5 2 )
5
( )(2 3 ) ( 1)
3
x y x y x y
x y x y y
giải hệ này ta tìm được
3 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y .
Câu 11: Xác định ,a b để phương trình
3
0 x ax b
có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. 0, 0 b a B. 0, 1 b a C. 0, 0 b a D. 0, 0 b a
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đáp số: 0, 0 b a . Khi đó phương trình có ba nghiệm lập thành CSC là
0, x x a
.
Câu 12: Tìm m để phương trình:
4 2
2 1 1 0 mx m x m có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp
số cộng.
A.
9
16
m B. 1 m C.
7
16
m D.
9
12
m
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 57 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Đáp số :
9
16
m
Câu 13: Tìm m để phương trình:
3 2
3 4 2 0 x mx mx m
có ba nghiệm lập thành cấp số nhân
A.
1
27
0
m
m
B.
10
7
0
m
m
C.
1
0
m
m
D.
10
27
0
m
m
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Giả sử phương trình có ba nghiệm , ,a b c lập thành CSN
Suy ra
3
2
2
2
abc m
m b
b ac
thay vào phương trình ta có
3
3
4 10
3 27
(3 4)( 2) 0
2 0
b m
b b
b m
Thay ngược lại ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 14: Xác định m để:
1. Phương trình
3 2
3 9 0 x x x m
có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. 16m B. 11m C. 13m D. 12m
2. Phương trình
4 2
2 1 2 1 0 x m x m (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. 2m hoặc
4
9
m B. 4m hoặc
4
9
m
C. 4m hoặc 2 m D. 3m hoặc 1 m
Hướng dẫn giải:
1. Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Khi đó:
1 3 2 1 2 3 2
2 , 3 1x x x x x x x
Thay vào phương trình ta có : 11m .
Với 11m ta có phương trình :
3 2
3 9 11 0x x x
2
1 2 3
1 2 11 0 1 12, 1, 1 12 x x x x x x
Ba nghiệm này lập thành CSC.
Vậy 11m là giá trị cần tìm.
2. Đặt
2
, 0t x t .
Phương trình trở thành:
2
2 1 2 1 0
t m t m
(2)
Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt
2 1
0t t .
2
1 2 1 0
' 0
1
0 2 1 0 0
2
0 2 1 0
m m
P m m
S m
Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là:
2 1 1 2
; ; ;t t t t
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 58 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :
2 1 1
2 1 2 1
1 2 1
2
3 9
2
t t t
t t t t
t t t
Theo định lý viet thì :
1 2
1 2
2 1
2 1
t t m
t t m
1 1 2
1 1
4
9 2 1
9 32 16 0
4
9 2 1
9
m
t t m
m m
m
t t m
.
Vậy 4m hoặc
4
9
m là những giá trị cần tìm.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 59 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
CẤP SỐ NHÂN
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa: (u
n
) là cấp số nhân
u
n+1
= u
n
.q với n
N* (q: công bội)
2. Số hạng tổng quát:
1
1
.
n
n
u u q
với n
2
3. Tính chất các số hạng:
2
1 1
.
k k k
u u u
với k
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1
1
(1 )
1
1
n
n
n
S nu vôùi q
u q
S vôùi q
q
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN
Phương pháp:
Dãy số
( )
n
u
là một cấp số nhân
1
n
n
u
q
u
không phụ thuộc vào n và
q
là công bội.
Ba số , ,a b c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân
2
ac b
.
Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn
giả thiết của bài toán qua
1
u
và
q
.
Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân B. Số hạng tổng quát u
n
= 1
n
=1
C. Dãy số này là cấp số nhân có u
1
= –1, q = –1 D. Số hạng tổng quát u
n
= (–1)
2n
.
Câu 2. Cho dãy số :
1 1 1 1
1; ; ; ; ; ...
2 4 8 16
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số này là cấp số nhân có u
1
= 1, q =
1
2
. B. Số hạng tổng quát u
n
=
1
1
2
n
.
C. Số hạng tổng quát u
n
=
1
2
n
. D. Dãy số này là dãy số giảm.
Câu 3. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Là cấp số nhân có
1
1; q=1. u
C. Số hạng tổng quát
( 1) .
n
n
u
D. Là dãy số giảm.
Câu 4. Cho dãy số :
1 1 1 1
1; ; ; ;
3 9 27 81
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
B. Dãy số này là cấp số nhân có
1
1
1; q=
3
u .
C. Số hạng tổng quát.
1
1
1 .
3
n
n
n
u
D. Là dãy số không tăng, không giảm.
Câu 5. Cho cấp số nhân
n
u với
1 7
1
; u 32
2
u . Tìm q ?
A.
1
2
q . B. 2 q . C. 4 q . D. 1 q .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 60 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 6. Cho cấp số nhân
n
u với
1
2; q=-5 u
. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u
n
?
A.
1
10; 50; 250; 2 5
n
. B.
1
10; 50; 250; 2. 5
n
.
C.
10; 50; 250; 2 .5
n
. D.
1
10; 50; 250; 2 5
n
.
Câu 7. Cho cấp số nhân
n
u với
1
4; 4 u q
. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát
n
u
?
A.
16; 64; 256; 4
n
. B.
16; 64; 256; 4
n
.
C.
16; 64; 256; 4 4
n
. D. 16; 64; 256; 4
n
.
Câu 8. Cho cấp số nhân
n
u với
1
1; q=0,00001 u
. Tìm
q
và
n
u
?
A.
n
1
1 1
; u
10 10
n
q B.
1
n
1
; u 10
10
n
q
C.
n
1
1 1
; u
10 10
n
q D.
n
1
1 ( 1)
; u
10 10
n
n
q
Câu 9. Cho cấp số nhân
n
u với
1
1
1;
10
u q . Số
103
1
10
là số hạng thứ mấy của
n
u ?
A. Số hạng thứ 103 B. Số hạng thứ 104
C. Số hạng thứ 105 D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Câu 10. Cho cấp số nhân
n
u với
1
3; q= 2 u
. Số 192 là số hạng thứ mấy của
n
u ?
A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6.
C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Câu 11. Cho cấp số nhân
n
u với
1
1
3;
2
u q . Số 222 là số hạng thứ mấy của
n
u ?
A. Số hạng thứ 11 B. Số hạng thứ 12
C. Số hạng thứ 9 D. Không là số hạng của cấp số đã cho
Câu 12: Cho cấp số nhân (u
n
) có các số hạng khác không, tìm
1
u
biết:
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
15
85
u u u u
u u u u
A.
1 1
1, 2
u u
B.
1 1
1, 8
u u
C.
1 1
1, 5
u u
D.
1 1
1, 9
u u
Câu 13: Cho cấp số nhân (u
n
) có các số hạng khác không, tìm
1
u
biết:
1 2 3 4 5
1 5
11
82
11
u u u u u
u u
A.
1 1
1 81
,
11 11
u u B.
1 1
1 81
,
12 12
u u C.
1 1
1 81
,
13 13
u u D.
1 1
2 81
,
11 11
u u
Câu 14: Dãy số
( )
n
u
có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết:
2
n
u n
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Câu 15: Dãy số
( )
n
u
có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết:
4.3
n
n
u
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 61 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 16: Dãy số
( )
n
u
có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết:
2
n
u
n
.
A. 3q B.
1
2
q C. 4q D. q
Câu 17: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
1. Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
2
n
n
u
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Câu 18: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
1
3
5
n
n
u
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Câu 19: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
3 1
n
u n
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Câu 20: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
2 1
3
n
n
u
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Câu 21: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
3
n
u n
.
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Câu 22: Cho dãy số
( )
n
u
với
1
2
3
n
n
u
1. Tìm công bội của dãy số (u
n
).
A.
3
2
q B.
3q
C.
1
2
q D. 3q
2. Tính tổng
2 4 6 20
S u u u u
A.
20
9
(3 1)
2
S B.
20
9
(3 1)
2
S C.
10
9
(3 1)
2
S D.
10
7
(3 1)
2
S
3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số.
A. 15 B. 16 C. 19 D. 17
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 62 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 23:
1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai.
Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.
A.
1 2 3 5 6 7
2 2
; ; 2; 18; 54; 162
9 5
u u u u u u
B.
1 2 3 5 6 7
2 2
; ; 2; 18; 54; 162
7 3
u u u u u u
C.
1 2 3 5 6 7
2 2
; ; 2; 21; 54; 162
9 3
u u u u u u
D.
1 2 3 5 6 7
2 2
; ; 2; 18; 54; 162
9 3
u u u u u u
Câu 24: Cho cấp số nhân
( )
n
u
thỏa:
4
3 8
2
27
243
u
u u
.
1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;
A.
1 2 3 4 5
2 2 2 2
2, , ; ,
5 9 27 81
u u u u u B.
1 2 3 4 5
2 2 2 2
1, , ; ,
3 9 27 81
u u u u u C.
1 2 3 4 5
2 2 2 2
2, , ; ,
3 9 27 64
u u u u u D.
1 2 3 4 5
2 2 2 2
2, , ; ,
3 9 27 81
u u u u u
2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;
A.
10
59048
12383
S B.
10
59123148
19683
S C.
10
1359048
3319683
S D.
10
59048
19683
S
3. Số
2
6561
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?
A. 41 B. 12 C. 9 D. 3
Câu 25: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây:
A.
1
2
1
1
2
n n
u
u u
B.
1
1
1
2
2 .
n n
u
u u
C.
2
1
n
u n
D.
1 2
1 1
1; 2
.
n n n
u u
u u u
Câu 26: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với
A.
1
4
n
n
u là dãy số tăng. B.
1
4
n
n
u là dãy số tăng.
C.
4
n
n
u
là dãy số tăng. D.
4
n
n
u là dãy số tăng.
Câu 27: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với
A.
1
10
n
n
u là dãy số giảm. B.
3
10
n
n
u là dãy số giảm.
C.
10
n
n
u
là dãy số giảm. D.
10
n
n
u là dãy số giảm.
Câu 28: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 63 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A. Cấp số nhân: 2; 2,3; 2,9; ... có
5
6
1
2 .
3
u
B. Cấp số nhân: 2; 6; 18; ... có
6
6
2. 3 .
u
C. Cấp số nhân:
1; 2; 2; ...
có
6
2 2. u
D. Cấp số nhân:
1; 2; 2; ...
có
6
4 2. u
Câu 29: Cho cấp số nhân
n
u
có công bội
q
. Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A.
1 2
.
k k k
u u u B.
1 1
2
k k
k
u u
u C.
1
1
. .
k
k
u u q
D.
1
1 .
k
u u k q
Câu 30: Cho dãy số
n
u xác định bởi :
1
1
2
1
.
10
n n
u
u u
. Chọn hệ thức đúng:
A.
n
u là cấp số nhân có công bội
1
.
10
q B.
1
1
( 2) .
10
n
n
u
C.
1 1
2
n n
n
u u
u
2n . D.
1 1
.
n n n
u u u
2n .
Câu 31: Cho dãy số
n
u :
2 3
1; ; ; ; ...x x x (với x R , 1x , 0x ). Chọn mệnh đề đúng:
A.
n
u là cấp số nhân có
.
n
n
u x
B.
n
u là cấp số nhân có
1
1; . u q x
C.
n
u
không phải là cấp số nhân. D.
n
u
là một dãy số tăng.
Câu 32: Cho dãy số
n
u :
3 5 7
; ; ; ; ... x x x x (với x R , 1x , 0x ). Chọn mệnh đề sai:
A.
n
u là dãy số không tăng, không giảm. B.
n
u là cấp số nhân có
1
2 1
1 . .
n
n
n
u x
C.
n
u có tổng
2 1
2
(1 )
1
n
n
x x
S
x
D.
n
u là cấp số nhân có
1
u x
,
2
. q x
Câu 33: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. 1; 0,2; 0,04; 0,0008; ... B.2; 22; 222;2222; ...
C. ; 2 ; 3 ; 4 ; ...x x x x D.
2 4 6
1; ; ; ; ... x x x
Câu 34: Cho cấp số nhân có
1
3u
,
2
3
q . Chọn kết quả đúng:
A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là:
4 8 16
2; ; ; .
3 3 3
B.
1
2
3. .
3
n
n
u
C.
2
9. 9.
3
n
n
S
D.
n
u là một dãy số tăng.
Câu 35: Cho cấp số nhân có
1
3 u
,
2
3
q . Tính
5
?u
A.
5
27
.
16
u B.
5
16
.
27
u C.
5
16
.
27
u D.
5
27
.
16
u
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 64 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 36: Cho cấp số nhân có
1
3 u
,
2
3
q . Số
96
243
là số hạng thứ mấy của cấp số này?
A. Thứ 5. B. Thứ 6.
C. Thứ 7. D. Không phải là số hạng của cấp số.
Câu 37: Cho cấp số nhân có
2
1
4
u ;
5
16u
. Tìm
q
và
1
u
.
A.
1
1 1
; .
2 2
q u B.
1
1 1
; .
2 2
q u
C.
1
1
4; .
16
q u D.
1
1
4; .
16
q u
Câu 38: Cho CSN
( )
n
u
thỏa:
1 2 3 4 5
1 5
11
82
11
u u u u u
u u
1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số
A.
1
3
3;
11
n
n
q u
B.
1
1 81 1
; .
3 11 3
n
n
q u C. Cả A, B đúng D. Cả A, B sai
2. Tính tổng
2011
S
A.
2011
2011
1 243 1
; 1
3 22 3
q S B.
2011
2011
1
3; 3 1
22
q S
C. Cả A, B đúng D. Cả A, B sai
3. Trên khoảng
1
;1
2
có bao nhiêu số hạng của cấp số.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 65 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN
Phương pháp:
, ,a b c theo thứ tự đó lập thành CSN
2
ac b
.
Câu 1: Cho dãy số
1
; b; 2
2
. Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân?
A. 1 b . B. 1b .
C. 2b . D. Không có giá trị nào của .
b
Câu 2: Cho cấp số nhân:
1 1
; ;
5 125
a . Giá trị của
a
là:
A.
1
.
5
a B.
1
.
25
a C.
1
.
5
a D. 5. a
Câu 3: Cho dãy số: -1; ; 0,64x . Chọn
x
để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
A. Không có giá trị nào của
.x
B. 0,008. x
C. 0,008.x D. 0,004.x
Câu 4: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây:
A.
1
1
4
n
n
u B.
2
1
4
n
n
u C.
2
1
4
n
u n D.
2
1
4
n
u n
Câu 5: Xác định
x
để 3 số 2 1; ; 2 1 x x x lập thành một cấp số nhân:
A.
1
.
3
x B. 3. x
C.
1
.
3
x D. Không có giá trị nào của
x
.
Câu 6: Xác định
x
để 3 số 2; 1; 3 x x x lập thành một cấp số nhân:
A. Không có giá trị nào của
.x
B. 1. x
C. 2.x D. 3. x
Câu 7: Tìm
x
biết :
2 2
1, ,6x x lập thành cấp số nhân.
A. 1 x B. 2 x C. 2 x D. 3 x
Câu 8: Các số 6 ,5 2 ,8 x y x y x y lập thành cấp số cộng và các số
5
, 1,2 3
3
x y y x y lập thành
cấp số nhân.
A.
3 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y B.
1 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y
C.
3 1
( ; ) 3;1 ; ;
8 8
x y D.
12 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y
Câu 9: Phương trình
3 2
2 1 2 1 0
x x m x m có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
A. 1, 3, 4 m m m B. 1, 13, 4 m m m
C. 1, 3, 4 m m m D. 1, 3, 4 m m m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 66 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN
Phương pháp:
Dãy số
( )
n
u
là một cấp số nhân
1
n
n
u
q
u
không phụ thuộc vào n và
q
là công bội.
Ba số , ,a b c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân
2
ac b
.
Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn
giả thiết của bài toán qua
1
u
và
q
.
Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân B. Số hạng tổng quát u
n
= 1
n
=1
C. Dãy số này là cấp số nhân có u
1
= –1, q = –1 D. Số hạng tổng quát u
n
= (–1)
2n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có 1 1( 1); 1 1( 1) . Vậy dãy số trên là cấp số nhân với
1
1; q= 1 u
.
Câu 2. Cho dãy số :
1 1 1 1
1; ; ; ; ; ...
2 4 8 16
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số này là cấp số nhân có u
1
= 1, q =
1
2
. B. Số hạng tổng quát u
n
=
1
1
2
n
.
C. Số hạng tổng quát u
n
=
1
2
n
. D. Dãy số này là dãy số giảm.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1. ; . ; . ; . ;....
2 2 4 2 2 8 4 2 16 8 2
Vậy daỹ số trên là cấp số nhân với
1
1
1; q=
2
u .
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nân ta có :
1
1
1
1
1 1
2 2
n
n
n
n
u u q .
Câu 3. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Là cấp số nhân có
1
1; q=1. u
C. Số hạng tổng quát
( 1) .
n
n
u
D. Là dãy số giảm.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Các số hạng trong dãy giống nhau nên gọi là cấp số nhân với
1
1; q=1.
u
Câu 4. Cho dãy số :
1 1 1 1
1; ; ; ;
3 9 27 81
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
B. Dãy số này là cấp số nhân có
1
1
1; q=
3
u .
C. Số hạng tổng quát.
1
1
1 .
3
n
n
n
u
D. Là dãy số không tăng, không giảm.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 67 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1
1. ; . ; . ;.......
3 3 9 3 3 27 9 3
Vậy dãy số trên là cấp số nhân với
1
1
1; q=-
3
u .
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có
1
1
1
1
1 1
1 1 .
3 3
n
n
n
n
n
u u q .
Câu 5. Cho cấp số nhân
n
u với
1 7
1
; u 32
2
u . Tìm q ?
A.
1
2
q . B. 2 q . C. 4 q . D. 1 q .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có
1 6 6
1 7 1
2
. 64
2
n
n
q
u u q u u q q
q
.
Câu 6. Cho cấp số nhân
n
u với
1
2; q=-5 u
. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u
n
?
A.
1
10; 50; 250; 2 5
n
. B.
1
10; 50; 250; 2. 5
n
.
C.
10; 50; 250; 2 .5
n
. D.
1
10; 50; 250; 2 5
n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có
2 1 3 2 4 3
. 2 . 5 10; u . 10. 5 50; u . 50. 5 250
u u q u q u q .
Số hạng tổng quát
1
1
1
. 2 . 5
n
n
n
u u q .
Câu 7. Cho cấp số nhân
n
u với
1
4; 4 u q
. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát
n
u
?
A.
16; 64; 256; 4
n
. B.
16; 64; 256; 4
n
.
C.
16; 64; 256; 4 4
n
. D. 16; 64; 256; 4
n
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
2 1 3 2 4 3
. 4. 4 16; u . 16. 4 64; u . 64. 4 256 u u q u q u q .
Số hạng tổng quát
1
1
1
. 4. 4
n
n
n
u u q .
Câu 8. Cho cấp số nhân
n
u với
1
1; q=0,00001 u
. Tìm
q
và
n
u
?
A.
n
1
1 1
; u
10 10
n
q B.
1
n
1
; u 10
10
n
q
C.
n
1
1 1
; u
10 10
n
q D.
n
1
1 ( 1)
; u
10 10
n
n
q
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có
5 5
6 1
1
.q 0,00001 1.
10
u u q q .
Số hạng tổng quát
1
1
1
1
1
1
. 1.
10 10
n
n
n
n
n
u u q
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 68 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 9. Cho cấp số nhân
n
u với
1
1
1;
10
u q . Số
103
1
10
là số hạng thứ mấy của
n
u ?
A. Số hạng thứ 103 B. Số hạng thứ 104
C. Số hạng thứ 105 D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
1
1
1
103
1 1
. 1. 1 103 104
10 10
n
n
n
u u q n n .
Câu 10. Cho cấp số nhân
n
u
với
1
3; q= 2 u
. Số 192 là số hạng thứ mấy của
n
u
?
A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6.
C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có
1 1
1
1
. 192 3. 2 2 64 1 6 7
n n
n
n
u u q n n .
Câu 11. Cho cấp số nhân
n
u với
1
1
3;
2
u q . Số 222 là số hạng thứ mấy của
n
u ?
A. Số hạng thứ 11 B. Số hạng thứ 12
C. Số hạng thứ 9 D. Không là số hạng của cấp số đã cho
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có
1 1
1
1
1 1
. 222 3. 74
2 2
n n
n
n
u u q . Vậy 222 không là số hạng của cấp số đã cho.
Câu 12: Cho cấp số nhân (u
n
) có các số hạng khác không, tìm
1
u
biết:
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
15
85
u u u u
u u u u
A.
1 1
1, 2 u u
B.
1 1
1, 8 u u
C.
1 1
1, 5 u u
D.
1 1
1, 9 u u
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
4
2 3
1
1
2 2 4 6
8
2
1
1
2
1
15
(1 ) 15
1
1 85
1
85
1
q
u
u q q q
q
u q q q
q
u
q
2
4 2 4
8 4
2
1 1 45 ( 1)( 1) 45
1
1 1 17 ( 1)( 1) 17
2
q
q q q q
q q q q
q
Từ đó ta tìm được
1 1
1, 8 u u
.
Câu 13: Cho cấp số nhân (u
n
) có các số hạng khác không, tìm
1
u
biết:
1 2 3 4 5
1 5
11
82
11
u u u u u
u u
A.
1 1
1 81
,
11 11
u u B.
1 1
1 81
,
12 12
u u C.
1 1
1 81
,
13 13
u u D.
1 1
2 81
,
11 11
u u
Hướng dẫn giải:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 69 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Ta có:
2 3 4
2
1
1
4
4
1
1
39
1 11
(1 )
11
82
82
(1 )
(1 )
11
11
u q q q q
u q q q
u q
u q
4
3 2
1 82 1
3,
39 3
q
q q
q q q
.
Câu 14: Dãy số
( )
n
u
có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết:
2
n
u n
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
1
1
n
n
u
n
u n
phụ thuộc vào n suy ra dãy
( )
n
u
không phải là cấp số nhân.
Câu 15: Dãy số
( )
n
u
có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết:
4.3
n
n
u
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1
1
4.3
3
4.3
n
n
n
n
u
u
không phụ thuộc vào n suy ra dãy
( )
n
u
là một cấp số nhân với công bội 3q .
Câu 16: Dãy số
( )
n
u
có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết:
2
n
u
n
.
A. 3q B.
1
2
q C. 4q D. q
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
1
2 2
:
1 1
n
n
u
n
u n n n
phụ thuộc vào
n
.
Suy ra dãy
( )
n
u
không phải là cấp số nhân.
Câu 17: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
1. Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
2
n
n
u
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 70 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Ta có:
1
2 ( )
n
n
n
u
u
u
là CSN với công bội 2q
Câu 18: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
1
3
5
n
n
u
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1
3 ( )
n
n
n
u
u
u
là CSN với công bội 3q
Câu 19: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
3 1
n
u n
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
1
3 2
( )
3 1
n
n
n
u n
u
u n
không phải là CSN
Câu 20: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
2 1
3
n
n
u
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
1
1
2 1
( )
2 1
n
n
n
n
n
u
u
u
không phải là CSN
Câu 21: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
3
n
u n
.
A. 3q B. 2q C. 4q D. q
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
3
1
3
( 1)
( )
n
n
n
u
n
u
u n
không phải là CSN.
Câu 22: Cho dãy số
( )
n
u
với
1
2
3
n
n
u
1. Tìm công bội của dãy số (u
n
).
A.
3
2
q B.
3q
C.
1
2
q D. 3q
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 71 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
2. Tính tổng
2 4 6 20
S u u u u
A.
20
9
(3 1)
2
S B.
20
9
(3 1)
2
S C.
10
9
(3 1)
2
S D.
10
7
(3 1)
2
S
3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số.
A. 15 B. 16 C. 19 D. 17
Hướng dẫn giải:
1. Ta có:
1
1
2
*
1
1
2
3
3 ,
3
n
n
n
n
u
n N
u
Dãy số là cấp số nhân với
1
3 3; 3 u q .
2. Ta có
2 4 6 20
; ; ; ;u u u u
lập thành cấp số nhân số hạng đầu
2
9; 3 u q
và có 10 số hạng nên
10 10
10
2
1 3 3 1 9
. 9. (3 1)
1 3 2 2
S u
3. Ta có :
1
9
2
19683 3 3 1 9 16
2
n
n
n
u n
Vậy số 19683 là số hạng thứ 16 của cấp số.
Câu 23:
1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai.
Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.
A.
1 2 3 5 6 7
2 2
; ; 2; 18; 54; 162
9 5
u u u u u u
B.
1 2 3 5 6 7
2 2
; ; 2; 18; 54; 162
7 3
u u u u u u
C.
1 2 3 5 6 7
2 2
; ; 2; 21; 54; 162
9 3
u u u u u u
D.
1 2 3 5 6 7
2 2
; ; 2; 18; 54; 162
9 3
u u u u u u
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi CSN đó là (u
n
),
1,7
n
. Theo đề bài ta có :
3
4
1
1
6
7 2
1 1
2
6
. 6
9
243
. 243 .
3
u
uu q
u u
u q u q
q
Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là
1 2 3 5 6 7
2 2
; ; 2; 18; 54; 162
9 3
u u u u u u
Câu 24: Cho cấp số nhân
( )
n
u
thỏa:
4
3 8
2
27
243
u
u u
.
1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 72 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A.
1 2 3 4 5
2 2 2 2
2, , ; ,
5 9 27 81
u u u u u B.
1 2 3 4 5
2 2 2 2
1, , ; ,
3 9 27 81
u u u u u C.
1 2 3 4 5
2 2 2 2
2, , ; ,
3 9 27 64
u u u u u D.
1 2 3 4 5
2 2 2 2
2, , ; ,
3 9 27 81
u u u u u
2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;
A.
10
59048
12383
S B.
10
59123148
19683
S C.
10
1359048
3319683
S D.
10
59048
19683
S
3. Số
2
6561
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?
A. 41 B. 12 C. 9 D. 3
Hướng dẫn giải:
Gọi
q
là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
3
3
1
1
5
2 7
1
1 1
2
2
1
27
27
3
1
2
243.
243
u q
u q
q
u
qu q u q
1. Năm số hạng đầu của cấp số là:
1 2 3 4 5
2 2 2 2
2, , ; ,
3 9 27 81
u u u u u .
2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số
10
10
10
10 1
1
1
1 1 59048
3
2. 3 1
1
1 3 19683
1
3
q
S u
q
.
3. Ta có:
1 8
1
2 2
3 6561 3 9
3 6561
n
n n
n
u u n
Vậy
2
6561
là số hạng thứ 9 của cấp số.
Câu 25: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây:
A.
1
2
1
1
2
n n
u
u u
B.
1
1
1
2
2 .
n n
u
u u
C.
2
1
n
u n
D.
1 2
1 1
1; 2
.
n n n
u u
u u u
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Do
1
2
n
n
u
u
( không đổi) nên dãy số
:
n
u
1
1
1
2
2 .
n n
u
u u
là một cấp số nhân.
Câu 26: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với
A.
1
4
n
n
u là dãy số tăng. B.
1
4
n
n
u là dãy số tăng.
C.
4
n
n
u
là dãy số tăng. D.
4
n
n
u là dãy số tăng.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 73 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
0,
n
u
với mọi
n
và
1
1
4
4 1
4
n
n
n
n
u
u
nên
n
u là dãy số tăng.
Câu 27: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với
A.
1
10
n
n
u là dãy số giảm. B.
3
10
n
n
u là dãy số giảm.
C.
10
n
n
u
là dãy số giảm. D.
10
n
n
u là dãy số giảm.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
0,
n
u
với mọi
n
và
1
1
10 1
1
10 10
n
n
n
n
u
u
nên
n
u là dãy số giảm.
Câu 28: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
A. Cấp số nhân: 2; 2,3; 2,9; ... có
5
6
1
2 .
3
u
B. Cấp số nhân: 2; 6; 18; ... có
6
6
2. 3 . u
C. Cấp số nhân:
1; 2; 2; ...
có
6
2 2. u
D. Cấp số nhân:
1; 2; 2; ...
có
6
4 2. u
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Cấp số nhân có
1
1; 2 u q nên
5
5
6 1
. 1 2 4 2
u u q
.
Câu 29: Cho cấp số nhân
n
u có công bội
q
. Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A.
1 2
.
k k k
u u u B.
1 1
2
k k
k
u u
u C.
1
1
. .
k
k
u u q
D.
1
1 .
k
u u k q
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Theo tính chất các số hạng của cấp số nhân.
Câu 30: Cho dãy số
n
u xác định bởi :
1
1
2
1
.
10
n n
u
u u
. Chọn hệ thức đúng:
A.
n
u là cấp số nhân có công bội
1
.
10
q B.
1
1
( 2) .
10
n
n
u
C.
1 1
2
n n
n
u u
u
2n . D.
1 1
.
n n n
u u u
2n .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
1
1
10
n
n
u
u
nên
n
u là cấp số nhân có công bội
1
.
10
q
Câu 31: Cho dãy số
n
u :
2 3
1; ; ; ; ...x x x (với x R , 1x , 0x ). Chọn mệnh đề đúng:
A.
n
u
là cấp số nhân có
.
n
n
u x
B.
n
u
là cấp số nhân có
1
1; . u q x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 74 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C.
n
u không phải là cấp số nhân. D.
n
u là một dãy số tăng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 32: Cho dãy số
n
u :
3 5 7
; ; ; ; ... x x x x (với x R , 1x , 0x ). Chọn mệnh đề sai:
A.
n
u là dãy số không tăng, không giảm. B.
n
u là cấp số nhân có
1
2 1
1 . .
n
n
n
u x
C.
n
u có tổng
2 1
2
(1 )
1
n
n
x x
S
x
D.
n
u là cấp số nhân có
1
u x
,
2
. q x
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
n
u là cấp số nhân có
1
u x
,
2
q x do đó
1
1 1
2 2 2 2 1
. 1 . . 1 . .
n
n n
n n
n
u x x x x x
Suy ra A, B, D đúng.
Câu 33: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. 1; 0,2; 0,04; 0,0008; ... B.2; 22; 222;2222; ...
C. ; 2 ; 3 ; 4 ; ...x x x x D.
2 4 6
1; ; ; ; ... x x x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Dãy số :
2 4 6
1; ; ; ; ... x x x là cấp số nhân có số hạng đầu
1
1; u
công bội
2
q x .
Câu 34: Cho cấp số nhân có
1
3u
,
2
3
q . Chọn kết quả đúng:
A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là:
4 8 16
2; ; ; .
3 3 3
B.
1
2
3. .
3
n
n
u
C.
2
9. 9.
3
n
n
S
D.
n
u là một dãy số tăng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Áp dụng công thức:
1
1
.
n
n
u u q
ta được:
1
2
3. .
3
n
n
u
Câu 35: Cho cấp số nhân có
1
3 u
,
2
3
q . Tính
5
?u
A.
5
27
.
16
u B.
5
16
.
27
u C.
5
16
.
27
u D.
5
27
.
16
u
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
4
4
5 1
2 16
. 3 .
3 27
u u q
Câu 36: Cho cấp số nhân có
1
3 u
,
2
3
q . Số
96
243
là số hạng thứ mấy của cấp số này?
A. Thứ 5. B. Thứ 6.
C. Thứ 7. D. Không phải là số hạng của cấp số.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 75 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Giả sử số
96
243
là số hạng thứ
n
của cấp số này.
Ta có:
1
1
1
96 2 96
. 3 6
243 3 243
n
n
u q n .
Vậy số
96
243
là số hạng thứ 6 của cấp số.
Câu 37: Cho cấp số nhân có
2
1
4
u ;
5
16u
. Tìm
q
và
1
u
.
A.
1
1 1
; .
2 2
q u B.
1
1 1
; .
2 2
q u
C.
1
1
4; .
16
q u D.
1
1
4; .
16
q u
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
2 1 1
1
. .
4
u u q u q ;
4 4
5 1 1
. 16 . u u q u q
Suy ra:
3
64 4 q q . Từ đó:
1
1
.
16
u
Câu 38: Cho CSN
( )
n
u
thỏa:
1 2 3 4 5
1 5
11
82
11
u u u u u
u u
1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số
A.
1
3
3;
11
n
n
q u
B.
1
1 81 1
; .
3 11 3
n
n
q u C. Cả A, B đúng D. Cả A, B sai
2. Tính tổng
2011
S
A.
2011
2011
1 243 1
; 1
3 22 3
q S B.
2011
2011
1
3; 3 1
22
q S
C. Cả A, B đúng D. Cả A, B sai
3. Trên khoảng
1
;1
2
có bao nhiêu số hạng của cấp số.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải:
1. Gọi
q
là công bội của cấp số. Khi đó ta có:
2 3
2 3 4 1
4
1 5 1
39 39
11 11
82 82
1
11 11
u u u u q q q
u u u q
Suy ra:
4
4 3 2
3 2
1 82
39 82 82 82 39 0
39
q
q q q q
q q q
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 76 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
2
1
(3 1)( 3)(13 16 13) 0 , 3
3
q q q q q q
1
1
1 81 81 1
.
3 11 11 3
n
n
q u u
1
1
1 3
3
11 11
n
n
q u u
.
2. Ta có:
2011
2011 1
1
1
q
S u
q
2011
2011
1 243 1
1
3 22 3
q S
2011
2011
1
3 3 1
22
q S
3. Với 3q ta có:
1
3 1
;1 3
11 2
n
n
u n nên có một số hạng của dãy
Với
1
3
q ta có:
5
1 1
;1 3
11.3 2
n
n
u n nên có một số hạng của dãy.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 77 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN
Phương pháp:
, ,a b c theo thứ tự đó lập thành CSN
2
ac b
.
Câu 1: Cho dãy số
1
; b; 2
2
. Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân?
A. 1 b . B. 1b .
C. 2b . D. Không có giá trị nào của .
b
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi
0
.
1
. 2 1
2
b
b
Vậy không có giá trị nào của
b.
Câu 2: Cho cấp số nhân:
1 1
; ;
5 125
a . Giá trị của
a
là:
A.
1
.
5
a B.
1
.
25
a C.
1
.
5
a D. 5. a
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
2
1 1 1 1
.
5 125 625 25
a a
Câu 3: Cho dãy số: -1; ; 0,64x . Chọn
x
để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
A. Không có giá trị nào của
.x
B. 0,008. x
C. 0,008.x D. 0,004.x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Dãy số: -1; ; 0,64x theo thứ tự lập thành cấp số nhân
2
0,64 x ( Phương trình vô nghiệm)
Câu 4: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây:
A.
1
1
4
n
n
u B.
2
1
4
n
n
u C.
2
1
4
n
u n D.
2
1
4
n
u n
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
1
2 3
1 1
4 4
n n
n n
u u . Suy ra
1
1
4
n
n
u
u
( Không đổi). Vậy
:
n
u
2
1
4
n
n
u là một cấp số nhân
có công bội
1
.
4
q
Câu 5: Xác định
x
để 3 số 2 1; ; 2 1 x x x lập thành một cấp số nhân:
A.
1
.
3
x B. 3. x
C.
1
.
3
x D. Không có giá trị nào của
x
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 78 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Ba số: 2 1; ; 2 1 x x x
theo thứ tự lập thành cấp số nhân
2
2 1 2 1 x x x
2 2
4 1 x x
2
3 1 x
1
.
3
x
Câu 6: Xác định
x
để 3 số 2; 1; 3 x x x lập thành một cấp số nhân:
A. Không có giá trị nào của
.x
B. 1. x
C. 2.x D. 3. x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ba số 2; 1; 3 x x x
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân
2
2 3 1 x x x
2
2 3 7 0 x x
( Phương trình vô nghiệm)
Câu 7: Tìm
x
biết :
2 2
1, ,6
x x
lập thành cấp số nhân.
A. 1 x B. 2 x C. 2 x D. 3 x
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 2
1, ,6x x lập thành cấp số nhân
4 2
6 2 x x x .
Câu 8: Các số 6 ,5 2 ,8 x y x y x y lập thành cấp số cộng và các số
5
, 1,2 3
3
x y y x y lập thành
cấp số nhân.
A.
3 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y B.
1 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y
C.
3 1
( ; ) 3;1 ; ;
8 8
x y D.
12 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y
Hướng dẫn giải:
Ta có hệ:
2
6 8 2(5 2 )
5
( )(2 3 ) ( 1)
3
x y x y x y
x y x y y
giải hệ này ta tìm được
3 1
( ; ) 3; 1 ; ;
8 8
x y .
Câu 9: Phương trình
3 2
2 1 2 1 0 x x m x m có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
A. 1, 3, 4 m m m B. 1, 13, 4 m m m
C. 1, 3, 4 m m m D. 1, 3, 4 m m m
Hướng dẫn giải:
Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSN,khi đó :
2
1 3 2
1 2 3 2
1 2 2 3 3 1
1
2
2
1
x x x
m
x x x x
x x x x x x m
thay vào phương trình ta có : 1, 3, 4 m m m .
Bằng cách thay từng giá trị của m vào phương trình ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài
toán.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 79 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ÔN TẬP CHƯƠNG III
Câu 1: Gọi
1 1 1
... , 1,2,3.....
1.2 2.3 . 1
n
S n
n n
thì kết quả nào sau đây là đúng.
A.
1
n
n
S
n
. B.
1
n
n
S
n
. C.
1
2
n
n
S
n
. D.
2
3
n
n
S
n
.
Câu 2: Gọi
1 1 1
... , 1,2,3.....
1.3 3.5 2 1 . 2 1
n
S n
n n
thì kết quả nào sau đây là đúng.
A.
1
2 1
n
n
S
n
. B.
2 1
n
n
S
n
. C.
1
2 3
n
n
S
n
. D.
2
2 5
n
n
S
n
.
Câu 3: Kí hiệu
! . 1 . 2 ....3.2.1, 1,2,3.......n n n n n Với
1.1! 2.2! 3.3! ............. 2007.2007!S
thì giá trị của S là bao nhiêu
A. 2.2007!S . B. 2008! 1S . C. 2008!S . D. 2008! 1S .
Câu 4: Cho dãy số
n
u , với
1
6u
,
1
5
n n
u u
Khi đó,
n
u
có thể được tính theo biểu thức nào dưới
đây.
A.
5 1
n
u n
. B.
5 1
n
u n
. C.
5 1
n
n
u
. D.
1
5
n
n
u
.
Câu 5: Cho dãy số
n
u , với
1
5
n
n
u
Khi đó,
1n
u
có thể được tính theo biểu thức nào dưới đây.
A.
1
1
5
n
n
u
. B.
1
5
n
n
u
. C.
1
1
5.5
n
n
u
. D.
1
5
5
n
n
u
.
Câu 6: Cho dãy số
n
u , với
2 3
1
1
n
n
n
u
n
, 1,2,3...n . Khi đó,
1n
u
có thể được tính theo biểu
thức nào dưới đây.
A.
2 1 3
1
1
1
n
n
n
u
n
. B.
2 1 3
1
1
1
n
n
n
u
n
.
C.
2 3
1
2
n
n
n
u
n
. D.
2 5
1
2
n
n
n
u
n
.
Câu 7: Cho dãy số
n
u , với
2007
2
2
1
n
n n
u
n
, 1,2,3...n . Khi đó, với
k
ta có:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 80 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A.
2007
2
1
2
1 1
1 1
k
n n
u
n
. B.
2007
2
1
2
1
k
k k
u
k
.
C.
2007
2
1
2
1 1
1 1
k
k k
u
k
. D.
2007
2
1
2
1 1
1 1
k
k k
u
k
.
Câu 8: Cho dãy số
n
u xác định bởi
1 2
1, 3u u
với mọi
3n
thì
1 2
5 3
n n n
u u u
Khi đó,
5n
u
có thể
được tính theo biểu thức nào dưới đây.
A.
5 1 2
5 5 3 5
n n n
u n u n u
. B.
5 1
5 3
n n n
u u u
.
C.
5 4 2
5 3
n n n
u u u
. D.
5 4 3
5 3
n n n
u u u
.
Câu 9: Cho dãy số
n
u
, với
2 1
, 1,2,3....
2 5
n
n
u n
n
. Khi đó,
n
u
là dãy số
A.tăng. B. giảm. C. không tăng. D. không giảm.
Câu 10: Cho dãy số
n
u
, với
3 1
, 1,2,3....
3 7
n
n
u n
n
,. Khi đó,
n
u
là dãy số
A.bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. bị chặn trên và bị chặn dưới. D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới.
Câu 11: Cho dãy số
n
u
, với
1 , 1,2,3....
n
n
u n
,. Khi đó,
n
u
là dãy số
A.tăng. B. giảm.
C. bị chặn trên và bị chặn dưới. D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới.
Câu 12: Cho dãy số
n
u
, với
2 5
1 .5
n
n
n
u
,. Khi đó,
n
u
là dãy số
A.bị chặn trên và không bị chặn dưới. B. bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. bị chặn trên và bị chặn dưới. D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới.
Câu 13: Cho dãy số
n
u
, với
2 3
1
5
n
n
u
,. Khi đó,
n
u
là dãy số
A.tăng. B. giảm.
C. bị chặn trên. D. bị chặn trên và bị chặn dưới.
Câu 14: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4;1;6;x . Khi đó giá trị của x là bao nhiêu.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 81 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A.
7x
. B.
10x
. C.
11x
. D.
12x
.
Câu 15: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 7; ; 11;x y . Khi đó giá trị của xvà
y
là bao nhiêu.
A. 1; 21x y . B. 2; 20x y . C. 3; 19x y . D. 4; 18x y .
Câu 16: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 5; 9; 13; 17;.... Khi đó
n
u
có thể được tính theo biểu
thức nào sau đây.
A.
5 1
n
u n
. B.
5 1
n
u n
. C.
4 1
n
u n
. D.
4 1
n
u n
.
Câu 17: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4; 7; 10; 13;.... Gọi
n
S
là tổng của n số hạng đầu tiên
của cấp số cộng đó
1n . Khi đó
n
S
có thể được tính theo công thức nào dưới đây.
A.
3 1
n
S n
. B.
3
.
2
n
n
S n
. C.
3 1
.
2
n
n
S n
. D.
3 2
.
2
n
n
S n
.
Câu 18: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng.
A.
7 3
n
u n
. B.
7 3
n
n
u
. C.
7
3
n
u
n
. D.
7.3
n
n
u
.
Câu 19: Gọi
1 2 3 4 5 6 .............. 2 1 2 , 1S n n n . Khi đó giá trị của
S
là bao nhiêu.
A.
0S
. B.
1S
. C.
S n
. D.
S n
.
Câu 20: Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng của 13 số hạng đầu của cấp số cộng
đó bằng 260. Khi đó, giá trị của
13
u
là bao nhiêu.
A.
13
40u
. B.
13
38u
. C.
13
36u
. D.
13
20u
.
Câu 21: Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng
của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho có giá
trị là bao nhiêu
A.
2d
. B.
3d
. C.
4d
. D.
5d
.
Câu 22: Một cấp số cộng có 7 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 30, còn
tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ sáu bằng 35. Khi đó, số hạng thứ bảy của cấp số cộng
đó có giá trị là bao nhiêu
A.
7
25u
. B.
7
30u
. C.
7
35u
. D.
7
40u
.
Câu 23: Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 82 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
mười hai bằng 23. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu
A.
2d
. B.
3d
. C.
4d
. D.
5d
.
Câu 24: Một cấp số cộng có 15 số hạng. Biết rằng tổng của 15 số hạng đó băng 225, và số hạng thứ
mười lăm bằng 29. Khi đó, số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu
A.
1
1u
. B.
1
2u
. C.
1
3u
. D.
1
5u
.
Câu 25: Một cấp số cộng có 10 số hạng. Biết rằng tổng của 10 số hạng đó bằng 175, và công sai
3d
Khi đó, số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là
A.
1
0u
. B.
1
2u
. C.
1
4u
. D.
1
6u
.
Câu 26: Cho một cấp số cộng có 20 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai.
A.
1 20 2 19
u u u u
. B.
1 20 5 16
u u u u
. C.
1 20 8 13
u u u u
. D.
1 20 9 11
u u u u
.
Câu 27: Cho một cấp số cộng có n số hạng
55n k . Đẳng thức nào sau đây là sai.
A.
1 2 1n n
u u u u
. B.
1 5 4n n
u u u u
. C.
1 55 55n n
u u u u
. D.
1 1n k n k
u u u u
.
Câu 28: Hai người cùng chơi đưa ngựa về đích. Bàn cờ được kẻ sẵn, gồm 107 ô vuông bằng nhau được xếp
theo hàng ngang. Ô đầu tiên (ô số 1) bên trái bàn cờ là ô xuất phát, ô cuối cùng bên phải (ô 107) của bàn cờ
được gọi là đích (như minh họa dưới đây)
Trên bàn cờ có 1 chú ngựa, đứng ở ô xuất phát. Đến lượt đi, người chơi di chuyển ngựa theo một chiều, từ trái
sang phải, với bước đi từ 1 đến 4 ô. Hai người thay nhau di chuyển ngựa, ai đưa được ngựa vào ô đích là
thắng. Để người chơi thứ nhất (là người đi ngựa từ ô xuất phát) luôn thắng cần tiến hành theo cách nào sau
đâu
A. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 2 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ
4 2k với
1,2,.....,21k .
B. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 3 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ
4 2k với
1,2,.....,21k .
C. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 2 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ
5 2k với
1,2,.....,21k .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 83 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
D. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 3 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ
5 2k với
1,2,.....,21k .
Câu 29: Hai người cùng chơi đưa ngựa về đích. Bàn cờ được kẻ sẵn, gồm n ô vuông bằng nhau được xếp
theo hàng ngang. Ô đầu tiên (ô số 1) bên trái bàn cờ là ô xuất phát, ô cuối cùng bên phải của bàn cờ được gọi
là đích (như minh họa dưới đây)
1
Xuất
phát
2 3 …. …. …. …. …. 106 107
Đích
Trên bàn cờ có 1 chú ngựa, đứng ở ô xuất phát. Đến lượt đi, người chơi được di chuyển ngựa theo một chiều,
từ trái sang phải, với bước đi từ 1 đến
k
ô. Cho rằng
1 ,0 ; , ,n m k r r k r k n . Hai người thay
nhau di chuyển ngựa, ai đưa được ngựa vào ô đích là thắng. Để người chơi thứ nhất (là người đi ngựa từ ô
xuất phát) luôn thắng cần tiến hành theo cách nào sau đâu
A. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ
k
và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ
.i k r với
1,2,.....,i m .
B. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ
1r và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ
.i k r với
1,2,.....,i m .
C. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ r và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ
1i k r với
1,2,.....,i m .
D. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ
1r và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ
1i k r với
1,2,.....,i m .
Câu 30: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 2;8; ;128x . Khi đó giá trị của x là bao nhiêu.
A.
14x
. B.
32x
. C.
64x
. D.
68x
.
Câu 31: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; 12; ; 192x y . Khi đó giá trị của xvà
y
là bao nhiêu.
A. 1; 144x y . B. 2; 72x y . C. 3; 48x y . D. 4; 36x y .
Câu 32: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 5; 9; 27; 81;.... Khi đó
n
u
có thể được tính theo biểu
thức nào sau đây.
A.
1
3
n
n
u
. B.
3
n
n
u
. C.
1
3
n
n
u
. D.
3 3
n
n
u
.
Câu 33: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;.... Gọi
n
S
là tổng của n số hạng đầu tiên
của cấp số nhân đó
1n . Khi đó
n
S
có thể được tính theo công thức nào dưới đây.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 84 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A.
1
4
n
n
S
. B.
1
1 4
.
2
n
n
S n
. C.
4 1
4 1
n
n
S
. D.
4 1
4.
4 1
n
n
S
.
Câu 34: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân.
A.
7 3
n
u n
. B.
7 3
n
n
u
. C.
7
3
n
u
n
. D.
7.3
n
n
u
.
Câu 35: Gọi
1
2 4 8 16 32 64 ... 2 2 , 1,
n n
S n n
. Khi đó giá trị của
S
là bao
nhiêu.
A.
2S n
. B.
2
n
S
. C.
2 1 2
1 2
n
S
. D.
1 2
2
1 2
n
S
.
Câu 36: Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Gọi
q
là công bội
của cấp số nhân đó thì giá trị của
q
là bao nhiêu
A. 3q . B. 3q . C. 2q . D. 2q .
Câu 37: Một cấp số nhân có 4 số hạng, số hạng đầu là 3 và số hạng thứ tư là 192. Gọi
S
là tổng các số
hạng của cấp số nhân đó, thì giá trị của
S
là bao nhiêu
A.
390S
. B.
255S
. C.
256S
. D.
256S
.
Câu 38: Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai.
A.
1 15 2 14
. .u u u u
. B.
1 5 11
. .
n
u u u u
. C.
1 6 9
. .
n
u u u u
. D.
1 12 4
. .
n
u u u u
.
Câu 39: Cho một cấp số nhân có n số hạng
55n k .Đẳng thức nào sau đây là sai.
A.
1 2 1
. .
n n
u u u u
. B.
1 5 4
. .
n n
u u u u
. C.
1 55 55
. .
n n
u u u u
. D.
1 1
. .
n k n k
u u u u
.
Câu 40: Một tam giác có các góc lập thành một cấp số nhân với công bội là 2q . Khi đó số đo các góc của
tam giác ấy tương ứng là bao nhiêu.
A.30 ;60 ;90 . B.
2 4
; ;
5 5 5
. C.
2 4
; ;
6 6 6
. D.
2 4
; ;
7 7 7
.
Câu 41: Một tam giác
ABC
có độ dài ba cạnh là , ,a b c lập thành một cấp số cộng (các số hạng được lấy
theo thứ tự đó) thì
A.
sinA
,
,sinB sinC
theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 85 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
B. ,cosA
,cosB cosC
theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
C. ,tanA
tanB
,
tanC
theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
D. ,cotA
,cotB cotC
theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Câu 42: Một cửa hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng
A
với giá
100
(đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa
hàng tăng giá mặt hàng
A
lên
10%
. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên
10%
. Hỏi giá của mặt hàng
A
của cửa hàng sau hai lần tăng giá là bao nhiêu
A.
120
. B.
121
. C.
122
. D.
200
.
Câu 43: Một người đem
100.000.000
đồng đi gửi tiết kiệm với kì hạn
6
tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7%
số tiền người đó có. Hỏi sau khi hết kì hạn người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền
A.
5
8
10 . 0,07 (đồng). B.
6
8
10 . 0,07 (đồng).
C.
5
8
10 . 1,07 (đồng). D.
6
8
10 . 1,07 (đồng).
Câu 44: Cho cấp số nhân có 10 số hạng với công bội
0q
và
1
0u
. Đẳng thức nào sau đây là đúng
A.
3
7 4
. .u u q
. B.
7 4
4
. .u u q
. C.
7 4
5
. .u u q
. D.
7 4
6
. .u u q
.
Câu 45: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với công bội
0q
và
1
0u
. Với 1 ,k m đẳng thức nào dưới đây là
đúng
A.
.
k
m k
u u q
. B.
.
m
m k
u u q
. C.
.
m k
m k
u u q
. D.
.
m k
m k
u u q
.
Câu 46: Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64 , thì số hạng tổng quát của
cấp số nhân đó tính theo công thức nào dưới đây?
A.
1
2
n
n
u
. B.
2
n
n
u
. C.
1
2
n
n
u
. D.
2
n
u n
.
Câu 47: Một cấp số nhân có ba số hạng , ,a b c (theo thứ tự đó), trong đó các số hạng đều khác 0 và công
bội 0q . Khi đó, đẳng thức nào dưới đây đúng?
A.
2
1 1
bc
a
. B.
2
1 1
ac
b
. C.
2
1 1
ab
c
. D.
1 1 2
a b c
.
Câu 48: Một chiếc đồng hồ đánh chuông, số tiếng chuông được đánh bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời
điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông báo giờ (mỗi ngày 24 tiếng)
A. 78. B. 156. C. 300. D. 48.
Câu 49: Một tứ giác có số đo các góc tạo thành một cấp số nhân có công bội 3q . Khi đó số đo của các
góc của tứ giác đó là
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 86 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A.
3 9 27
; ; ;
20 20 20 20
. B.
3 9 27
; ; ;
40 40 40 40
. C.
0 0 0 0
30 ,60 ,90 ,180
. D.
3 9 18
; ; ;
15 15 15 15
.
Câu 50: Cho dãy
n
u có số hạng tổng quát
n
u an b
, với ,a b đều khác 0. Khi đó
A.
n
u là dãy tăng. B.
n
u là dãy giảm.
C.
n
u là dãy bị chặn. D
n
u là cấp số cộng.
Câu 51: Cho dãy số
n
u có số hạng tổng quát
,
n
u an b
trong đó ;a b đều khác
0
, Khi đó
A.
n
u là cấp số cộng với công sai
d b
. B.
n
u là cấp số cộng với công sai
d a
.
C.
n
u là cấp số nhân với công bội q b . D.
n
u là cấp số nhân với công bội
q a
.
Câu 52: Cho dãy số
n
u có số hạng tổng quát
. , 1, 0.
n
n
u b a a b
Khi đó
A.
n
u là cấp số cộng với công sai
d b
. B.
n
u là cấp số cộng với công sai
d a
.
C.
n
u là cấp số nhân với công bội q b . D.
n
u là cấp số nhân với công bội
q a
.
Câu 53: Cho
n
u là cấp số nhân có công bội
1
0,q
Cấp số nhân
n
v có công bội
2
0q
và số hạng đầu
1
0v
. Dãy số
n
w có số hạng tổng quát là
.
n n n
w u v
là
A. Một cấp số nhận có số hạng đầu
1 1
.u v
và có công bội
1
q q
.
B. Một cấp số nhân có số hạng đầu
1 1
.u v
và có công bội
2
q q
.
C. Một cấp số nhân có số hạng đầu
1 1
.u v
và có công bội
1 2
.q q q
.
D. Một cấp số nhân có số hạng đầu
1 1
.u v
và có công bội
1 2
q q q
.
Câu 54: Cho cấp số cộng
n
u
có công sai
0d
. Khi đó dãy số
5
n
u
A. Không là cấp số cộng. B. Là cấp số cộng với công sai
5d
.
C. Là cấp số nhận với công bội
d
. D. Là cấp số nhân với công bội
5d
.
Câu 55: Cho cấp số cộng
1 2 3
, , ...,
n
u u u u
có công sai
0d
. Khi đó dãy số
1 3 5
, , ...u u u
(các số hạng của cấp
số đó theo thứ tự có chỉ số lẻ)
A. Không là cấp số cộng. B. Là cấp số cộng với công sai
2d
.
C. Là cấp số nhân với công bội
d
. D. Là cấp số nhân với công bội
3d
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 87 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
Câu 56: Cho cấp số cộng
1 2 3
, , ,...,
n
u u u u
có công sai
d
. Các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác
0
.
Khi đó, dãy số
1 2
1 1 1
, ,...,
n
u u u
là cấp số cộng
A. khi
1d
. B. khi
0d
. C. khi
1d
. D. khi
0d
.
Câu 57: Biết rằng các góc của tam giác
ABC
lập thành cấp số cộng, khi đó tam giác có một góc với số đo là
A.
0
30 . B.
0
45 . C.
0
60 . D.
0
90 .
Câu 58: Một cấp số cộng có
8
số hạng, số hạng đầu là
5
, số hạng thứ tám là
40
, khi đó công sai
d
của cấp
số cộng đó là bao nhiêu?
A.
4d
. B.
5d
. C.
6d
. D.
7d
.
Câu 59: Một cấp số cộng có số hạng đầu là
1
, công sai là
4
, tổng của
n
số hạng đầu là
561
. Khi đó số hạng
thứ
n
của cấp số cộng đó là
n
u
có giá trị bao nhiêu?
A.
57
n
u
. B.
61
n
u
. C.
65
n
u
. D.
69
n
u
.
Câu 60: Gọi
9 99 999 999...9S
(
n
số
9
) thì
S
nhận giá trị nào sau đây?
A.
10 1
9
n
S
. B.
10 1
10
9
n
S
.
C.
10 1
10
9
n
S n
. D.
10 1
10
9
n
S n
.
Câu 61: Gọi
1 11 111 ... 111...1S
(
n
số 1) thì
S
nhận giá trị nào sau đây
A.
10 1
81
n
. B.
10 1
10
81
n
.
C.
10 1
10
81
n
n
. D.
1 10 1
10
9 9
n
n
.
Câu 62: Cho ba số , ,a b c theo thứ tự vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi
A. 1, 2, 3a b c . B. ,a d 2 ,b d 3c d với 0d cho trước.
C.
,a q
2
,b q
3
c q
với 0q cho trước. D. a b c .
Câu 63: Gọi
2 2 2
1 1 1
1 1 ... 1 , 2,
2 2 2
P n n
thì P nhận giá trị nào sau đây
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 88 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
A.
1n
P
n
. B.
1
2
n
P
n
. C.
1n
P
n
. D.
1
2
n
P
n
.
Câu 64: Gọi
1 2 3 ... .S n
. Biết
2001000S
thì giá trị của
n
tương ứng là bao nhiêu.
A. 1000n . B. 1001n . C. 2000n . D. 2001n .
Câu 65: Gọi
dau can dau can
2 2 ... 2 . 2 2 ... 2
n n
C
( dấu căn thứ nhất chỉ có một dấu
còn lại
là dấu
, căn thứ hai toàn dấu
, các căn liên tiếp đến lớp thứ
n
). Giá trị của C là bào nhiêu.
A. 0. B. 1. C.
2
. D. 2.
Câu 66: Gọi

dÊu c¨n
2 2 2 ... 2
n
T
(trong căn toàn dấu
, các căn liên tiếp thứ
n
). Giá trị của là
bao nhiêu
A.
3T
. B.
5T
. C.
1
cos
2
n
T
π
. D.
1
2cos
2
n
T
π
.
Câu 67: Nếu

1 1 1 1
... 1,2,3...
1.3 3.5 5.7 2 1 2 1
M n
n n
thì
A.
1
2
M
. B.
1
2
M
. C.
1
2
M
. D.
1
2
M
.
Câu 68: Cho dãy số
n
u
, với
1
2u
và
1
2
n n
u u
. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số đó là
A. 2 2
n
u . B. 2 2
n
u n .
C. 2 2
n
u n . D.
dÊu c¨n
2 2 2 ... 2
n
n
u
.
Câu 69: Cho dãy số
n
u
, với
1 1 1
... , 1,2,3...
1 2
n
u n
n n n n
. Khi đó,
n
u
là dãy số
A. tăng. B. giảm.
C. không tăng. D. không tăng, không giảm.
Câu 70: Cho dãy số
n
u
, với
1 1 1
... , 1,2,3...
1.4 2.5 3
n
u n
n n
. Khi đó,
n
u
là dãy số
A. chỉ bị chặn trên. B. chỉ bị chặn dưới.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 89 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
C. vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới. D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới.
Câu 71: Cho dãy số
n
u
, với
2 2 2
1 1 1
...
2 3
n
u
n
, 2,3,...n . Khi đó,
n
u
là dãy số.
A. Chỉ bị chặn trên. B. Chỉ bị chặn dưới.
C. Vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. D. Không bị chặn trên và không bị chặn dưới.
Câu 72: Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2
cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,… ở hàng thứ
n
có
n
cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây. Hỏi số hàng cây
được trồng theo cách trên là bao nhiêu.
A. 98. B. 99. C. 100. D. 101.
Câu 73: Cho cấp số cộng
1
u
,
2
u
,
3
u
,…,
n
u
có công sai d và tất cả các số hạng đều dương. Gọi
1 2 2 3 1
1 1 1
...
n n
S
u u u u u u
. Khi đó giá trị của S là bao nhiêu.
A.
1n
u u
S
d
. B.
1n
u u
S
d
. C.
1n
u u
S
d
. D.
1n
u u
S
d
.
Câu 74: Gọi
2 3 4 2007
. . . ....P a a a a a
, thì P nhận giá trị nào sau đây.
A.
5050
P a
. B.
500500
P a
. C.
2015028
P a
. D.
2
2007
P a .
Câu 75: Với giá trị nào của
x
thì ta có cấp số cộng với ba số hạng là:
2 2
5;5 ; 7x x x
(ba số hạng lấy theo
thứ tự đó).
A.
1x
hoặc
6x
. B.
1x
hoặc
5x
. C.
2x
hoặc
3x
. D.
3x
hoặc
4x
.
Câu 76: Gọi
6 6 6 ... 6M
thì
A.
3M
. B.
3M
. C.
3M
. D.
3M
.
Câu 77: Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt
7
hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ
hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là
5
, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là
5
,…và cứ thế tiếp
tục đến ô thứ
n
. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng
25450
hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao
nhiêu ô?
A.
98
. B.
100
. C.
102
. D.
104
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trang 90 Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ĐÁP ÁN
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9
Câu 10
B
B
B
A
B
D
C
D
B
C
Câu 11
Câu 12
Câu 13
Câu 14
Câu 15
Câu 16
Câu 17
Câu 18
Câu 19
Câu 20
C
D
B
C
B
C
D
A
D
B
Câu 21 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Câu 25 Câu 26 Câu 27 Câu 28 Câu 29 Câu 30
B
B
A
B
C
D
C
C
C
B
Câu 31 Câu 32 Câu 33 Câu 34 Câu 35 Câu 36 Câu 37 Câu 38 Câu 39 Câu 40
C
B
C
D
D
A
B
C
C
D
Câu 41 Câu 42 Câu 43 Câu 44 Câu 45 Câu 46 Câu 47 Câu 48 Câu 49 Câu 50
A
B
D
A
C
B
B
B
A
D
Câu 51 Câu 52 Câu 53 Câu 54 Câu 55 Câu 56 Câu 57 Câu 58 Câu 59 Câu 60
B
D
C
B
B
B
C
B
C
C
Câu 61 Câu 62 Câu 63 Câu 64 Câu 65 Câu 66 Câu 67 Câu 68 Câu 69 Câu 70
D
D
D
C
C
D
A
D
A
C
Câu 71 Câu 72 Câu 73 Câu 74 Câu 75 Câu 76 Câu 77
C
B
C
C
C
C
B
| 1/90
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
DÃY SỐ .......................................................................................................................................................... 3
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ......................................................................................................................... 3
B – BÀI TẬP ................................................................................................................................................... 3
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ ........................................................................................................... 3
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN ................................................................................. 7
C – HƯỚNG DẪN GIẢI ................................................................................................................................13
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ ..........................................................................................................13
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN ................................................................................21
CẤP SỐ CỘNG .............................................................................................................................................34
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ........................................................................................................................34
B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................................34
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG .................................34
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG ..............................................40
C– HƯỚNG DẪN GIẢI.................................................................................................................................42
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG .................................42
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG ..............................................54
CẤP SỐ NHÂN ..............................................................................................................................................59
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ........................................................................................................................59
B – BÀI TẬP ..................................................................................................................................................59
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN ..................................59
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN ...............................................65
C – HƯỚNG DẪN GIẢI ................................................................................................................................66
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN ..................................66
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN ...............................................77
ÔN TẬP CHƯƠNG III ..................................................................................................................................79
ĐÁP ÁN .........................................................................................................................................................90
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:
 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n  p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phải chứng minh
mệnh đề đúng với n = k + 1. 2. Dãy số u : *    n  Dạng khai triển: (u ( u n) n) = u1, u2, …, un, …
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
 (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*. u  u n
n+1 – un > 0 với  n  N* 
1  1 với n  N* ( un > 0). un
 (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*. u  u n
n+1 – un< 0 với  n  N* 
1  1 với n  N* (un > 0). un 4. Dãy số bị chặn
 (un) là dãy số bị chặn trên  M  R: un  M, n  N*.
 (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*.
 (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*. B – BÀI TẬP
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1
 ,3,19,53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A. u  97
B. u  71
C. u  1414 D. u  971 10 10 10 10 2 an
Câu 2: Cho dãy số u với u  (a: hằng số). u
là số hạng nào sau đây? n n n 1 n 1  . a n  2 1 . a n  2 1 2 . a n 1 2 an A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . n 1  n  2 n 1  n 1 n 1  n 1 n 1  n  2
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. u  5(n 1) .
B. u  5n .
C. u  5  n .
D. u  5.n 1. n n n n
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,....Số hạng tổng quát của dãy số này là:
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
A. u  7n  7 .
B. u  7.n n n .
C. u  7.n 1 .
D. u : Không viết được dưới dạng công thức. n n 1 2 3 4
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; 0
; ; ; ;....Số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 3 4 5 n 1 n n 1 2 n n A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . n n n n 1 n n n n 1
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0,001;0, 0001;... . Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? 1 1 A. un   0 , 0 . 0  . 0 . 1 . B. u n   , 0 0 . 0  .  0 . 1 . C. u  . D. u  . n n 1 n 10  n 1 10  n c höõso á 0 n 1  c höõs o á 0
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1  ;1; 1  ;1; 1
 ;....Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng n A. u  1 . B. u  1  . C. n u  ( ) 1 . D. u   . n   1 1 n n n
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2
 ; 0; 2; 4; 6;....Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. u   n 2 .
B. u   2  . n   n n C. u  . D. u    n  . n  2 2  1 n  2(n  ) 1 1 1 1 1 1
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; ; ; ;
; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là? 3 32 33 34 35 1 1 1 1 1 A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . n n 1 3 n n n 3  n 1 3  n 3 n 1 3  u  5
Câu 10: Cho dãy số u với 1
.Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới n   nuu n n1 n đây? (n  ) 1 n (n  ) 1 n A. u  . B. u  5  . n 2 n 2 (n  ) 1 n (n  ) 1 (n  ) 2 C. u  5  . D. u  5  . n 2 n 2 u   1 1 
Câu 11: Cho dãy số u với
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào n   n uu     nn  2n 1 1 dưới đây? n
A. u  1 n .
B. u  1 n . C. u    .
D. u n . n  2 1 1 n n n u   1 1 
Câu 12: Cho dãy số u với
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào n    n uu     nn  2n 1 1 1 dưới đây?
A. u  2  n .
B. u không xác định. n n
C. u  1 n .
D. u  n với mọi n . n n u   1
Câu 13: Cho dãy số u với 1
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới n   2 n uu nn 1  n đây?
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 n n   1 2n   1 n n   1 2n  2 A. u  1 . B. u  1 . n 6 n 6 n n   1 2n   1 n n   1 2n  2 C. u  1 . D. u  1 . n 6 n 6 u   2 1
Câu 14: Cho dãy số u với 
u của dãy số là số hạng nào n u
u  2n 1  . Số hạng tổng quát n 1  n n dưới đây? A. u   n  2 2 1 . B. 2 u  2  n . C. u   n  . D. u   n  . n  2 2 1 n  2 2 1 n n u   2  1 
Câu 15: Cho dãy số u với 
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: n u  2   n 1   un n 1 n 1 n 1 n A. u   . B. u  . C. u   . D. u   . n n n n n n n n 1  1 u  
Câu 16: Cho dãy số u với 1
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: n   2 u   u  2  n 1  n 1 1 1 1 A. u   2 n  . B. u   2 n  . C. u   2n . D. u   2n . n   1 n   1 2 2 n 2 n 2 u   1 1 
Câu 17: Cho dãy số u với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: n   un u   n 1   2 n n 1  n 1  n 1   1   1   1   1  A. u   . B. u   . C. u  . D. u   n   1 . n   1 . n   1 .    n      2   2   2   2  . u   2
Câu 18: Cho dãy số u với 1
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này : n  u  2un 1  n A. n 1 u n   .
B. u  2n . C. 1 u 2n  . D. u  2 . n n n n  1 u  
Câu19 : Cho dãy số u với 1
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: n   2 u   2un 1  n 1  1  A. 1 u 2n   . B. u  . C. u  . D.  2 u  2n . n n n 1 2  n 2n n 2 n  3n  7
Câu 20: Cho dãy số (u ) được xác định bởi u
. Viết năm số hạng đầu của dãy; n n n 1 11 17 25 47 13 17 25 47 11 14 25 47 11 17 25 47 A. ; ; ; 7; B. ; ; ;7; C. ; ; ;7; D. ; ; ;8; 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2 B. 4 C. 1 D. Không có
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u  1
Câu 22: Cho dãy số (u ) xác định bởi: 1
. Viết năm số hạng đầu của dãy; n
u  2u 3 n  2  n n 1  A. 1;5;13;28;61 B. 1;5;13;29;61 C. 1;5;17;29;61 D. 1;5;14;29;61 2 2  uu  2v
Câu 23: Cho hai dãy số (u ), (v ) được xác định như sau u  3, v  2 và n 1  n
n với n  2 . n n 1 1  v  2u .  v n 1  n n
Tìm công thức tổng quát của hai dãy (u ) và (v ) . n n n nn n 2 2  1   u u n  2  1  2    1 n  2  2 1   2   2 1    4   A. B.  1 n n 2n 2n v 1    n     2  2 1   2   2 1  v n  2  1  2   1   2 2   2       1  n n 2n 2  1  n u u n  2  1  2    1 n    2  2 1   2    2 1 2       2   C. D.  1 n n 2n 2 1  n vv n  2  1  2   1 n     2  2 1   2   2 1     3 2     2 2  
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN 2 3n  2n  1
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n n  1 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 2
u n n  1 n A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai 3n  1
Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n 2n A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
n   n 1
Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n 2 n A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai 2n  13
Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n 3n  2
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai 2 n  3n  1
Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n n  1
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai 1
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n 2 1 n n
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai 2n
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n n!
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai 1 1 1
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u  1    ...  . n n 2 2 2 2 3 n
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai 2n  1
Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n n  2 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u  ( 1  )n n A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u  3n  1 n
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 2
u  4  3n n n A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới 2 n n  1
Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n 2 n n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới n  1
Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n 2 n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới 1 1 1
Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u    ...  n 1.3 2.4 . n (n  2) A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới 1 1 1
Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u    ...  n 1.3 3.5
2n  12n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới  u  1 1 
Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u  2 n1 u  , n  2  n u  1  n1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới  u  1  1
Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:  3 3 u
u  1, n   1  n1 n A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai  u  2 1 
Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 2  u  1 n un   1 n1  4 A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
Câu 21: dãy số (u ) xác định bởi u  2010  2010  ...  2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau n n đây là đúng? A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai u   1,u  2  1 2
Câu 22: Cho dãy số (u ) :
. Khẳng định nào sau đây đúng? n  3 3 u uu ,n   3  n n1 n2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai an  2
Câu 23: Cho dãy số (u ) : u
, n  1. Khi a  4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy n n 2n  1 10 14 18 22
A. u  2,u  ,u  ,u  ,u  1 2 3 4 5 3 5 7 9
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 10 14 18 22
B. u  6,u  ,u  ,u  ,u  1 2 3 4 5 3 5 7 9 1 1 18 22
C. u  6,u  ,u  ,u  ,u  1 2 3 4 5 3 5 7 9 10 4 8 22
D. u  6,u  ,u  ,u  ,u  1 2 3 4 5 3 5 7 9
Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. A. a  2 B. a  2  C. a  4 D. a  4  u   2 Câu 25: Cho dãy số 1 (u ) :
Viết 6 số hạng đầu của dãy n
u  3u  2, n  2,3..  n n 1 
A. u  2,u  5, u  10,u  28,u  82,u  244 1 2 3 4 5 6
B. u  2,u  4,u  10, u  18, u  82, u  244 1 2 3 4 5 6
C. u  2,u  4,u  10, u  28,u  72,u  244 1 2 3 4 5 6
D. u  2,u  4, u  10,u  28,u  82, u  244 1 2 3 4 5 6 Câu 26: Cho dãy số n 1 u 5.2   
 3n n  2 , n  1, 2,... Viết 5 số hạng đầu của dãy n
A. u  1, u  3,u  12, u  49,u  170 1 2 3 4 5
B. u  1, u  3,u  12, u  47, u  170 1 2 3 4 5
C. u  1, u  3,u  24,u  47 ,u  170 1 2 3 4 5
D. u  1, u  3,u  12, u  47, u  178 1 2 3 4 5 Câu 27:
1. Cho dãy số (u ) : u  (1 a)n  (1 a)n ,trong đó a (0;1) và n là số nguyên dương. n n
a)Viết công thức truy hồi của dãy số  u  2  u  2 1  1  A. n n B. n n u u a  1 a 1 a          u
u  2a 1  a  1 an1 n     n1 n              u  2  u  2 1  1  C. n n D. n n u 2u a  1 a 1 a          u
u a 1 a  1  an1 n     n1 n            
b)Xét tính đơn điệu của dãy số
A. Dãy (u ) là dãy số tăng.
B. Dãy (u ) là dãy số giảm. n n
C. Dãy (u ) là dãy số không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai. n u   1 1 
Câu 28: Cho dãy số (u ) được xác định như sau:  1 . n u  3u   2, n  2  n n1 2un1
Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng u  0, n n 3 47 227 3 17 227
A. u  1,u  ,u  ,u
B. u  1,u  ,u  ,u  1 2 3 4 2 6 34 1 2 3 4 2 6 34 3 19 227 3 17 2127
C. u  1,u  ,u  ,u
D. u  1,u  ,u  ,u  1 2 3 4 2 6 34 1 2 3 4 2 6 34
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u   2011 0 
Câu 29: Cho dãy số (u ) được xác định bởi : 2  u n n u  , n   1, 2,...  n1 u  1  n
a) Khẳng định nào sau đây đúng
A. Dãy (u ) là dãy giảm
B. Dãy (u ) là dãy tăng n n
C. Dãy (u ) là dãy không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai n
b) Tìm phần nguyên của u với 0  n  1006 . n
A. u   2014  n  u    nu    nu    n n B. 2011  n C. 2013  n D. 2012  n u   2,u  6
Câu 30: Cho dãy số (u ) được xác định bởi: 1 2 n
u u  2u , n   1, 2,...  n2 n n 1 
a) Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình 2
x  2x 1  0 . Chứng minh rằng: n n
u a b n b) Chứng minh rằng: 2 n 1 u
u u  (1)  .8 . n 1  n2 n n  1
Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (u ) : u n n n  2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: 3
(u ) : u n  2n  1 n n A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên u   2 1 
Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (u ) : nu  1 n u  , n    2 n1  2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên u   2,u  3  1 2
Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau:  . uu u , n    2  n1 n n1 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên x  1 0  Câu 35: Cho dãy số n1 (x ) :  n
. Xét dãy số y x
x . Khẳng định nào n 2 x
x , n  2,3,... n n1 nn 2 (n   1) i i1 đúng về dãy ( y ) n A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên  n
Câu 36: Cho dãy số Un với Un
.Khẳng định nào sau đây là đúng? n  1 1  2  3  5  5
A. Năm số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1  2  3  4  5
B. 5 số số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; 2 3 4 5 6 . C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 1
Câu 37: Cho dãy số u với u
.Khẳng định nào sau đây là sai? n n 2 n n 1 1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ; 2 6 12 20 30 B. Là dãy số tăng. 1
C. Bị chặn trên bởi số M  . 2 D. Không bị chặn. 1 
Câu 38: Cho dãy số u với u
.Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là :  ; 1 ; ; ; 2 3 4 5 .
B. Bị chặn trên bởi số M  1  .
C. Bị chặn trên bởi số M  0 .
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M  1  .
Câu 39: Cho dãy số u
với u a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai? n n A. Dãy số có 1 u  . a 3n . B. Hiệu số uu  3.a . n 1  n 1  n
C. Với a  0 thì dãy số tăng
D. Với a  0 thì dãy số giảm. a 1
Câu 40: Cho dãy số u với u
. Khẳng định nào sau đây là đúng? n n 2 n a 1 a 1
A. Dãy số có u  .
B. Dãy số có : u  . n 1  2 n 1 n 1  n  2 1 C. Là dãy số tăng. D. Là dãy số tăng. a 1
Câu 41: Cho dãy số u với u
( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n n 2 n a 1 2n 1 A. u  . B. Hiệu u
u  1 a . . n 1  n   n 1  2 (n 1) n  2 2 1 n 2n 1 C. Hiệu u
u a 1 . .
D. Dãy số tăng khi a  1 . n 1  n   n 2 2 1 n 2 an
Câu 42: Cho dãy số u với u
( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai? n n n 1 2 . a n  2 1 .
a n  3n   1 A. u  . B. uu  . n 1  n  2 n 1  n
(n  2)(n 1)
C. Là dãy số luôn tăng với mọi a .
D. Là dãy số tăng với a  0 . k
Câu 43: Cho dãy số u với u
( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n n 3n k k
A. Số hạng thứ 5 của dãy số là .
B. Số hạng thứ n của dãy số là . 5 3 n 1 3 
C. Là dãy số giảm khi k  0 .
D. Là dãy số tăng khi k  0 . n 1 ( 1)  
Câu 44: Cho dãy số u với u
. Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 1 1
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là .
B. Số hạng thứ 10 của dãy số là . 10 11
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
C. Đây là một dãy số giảm.
D. Bị chặn trên bởi số M  1 .
Câu 45: Cho dãy số u
có u n 1 với *
n N . Khẳng định nào sau đây là sai? n n
A. 5 số hạng đầu của dãy là: ; 1 ; 0 2; 3; 5 . B. Số hạng un . n 1  C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn dưới bởi số 0 .
Câu 45: Cho dãy số u có 2
u  n n  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? n n
A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1  ;1;5; 5; 11; 1  9 . B. 2 u
 n n  2 . n 1  C. uu  1 . n 1  n
D. Là một dãy số giảm. 1 
Câu 46: Cho dãy số u với u
. Khẳng định nào sau đây là sai? n n 2 n 1 1 A. u  .
B. u u . n 1   n n 1  n  2 1 1
C. Đây là một dãy số tăng. D. Bị chặn dưới.
Câu 47: Cho dãy số u với u  sin
. Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1
A. Số hạng thứ n 1 của dãy: u  sin
B. Dãy số bị chặn. n 1  n  2
C. Đây là một dãy số tăng.
D. Dãy số không tăng không giảm.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
C – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1
 ,3,19,53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A. u  97
B. u  71
C. u  1414 D. u  971 10 10 10 10 Hướng dẫn giải: Chọn A.
Xét dãy (u ) có dạng: 3 2
u an bn cn d n n
a b c d  1  8
a  4b  2c d  3
Ta có hệ: 27a 9b 3c d 19 
64a 16b  4c d  53 
Giải hệ trên ta tìm được: a  1,b  0, c  3  , d  1 3
u n  3n  1 là một quy luật. n
Số hạng thứ 10: u  971 . 10 2 an
Câu 2: Cho dãy số u với u  (a: hằng số). u
là số hạng nào sau đây? n n n 1 n 1  . a n  2 1 . a n  2 1 2 . a n 1 2 an A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . n 1  n  2 n 1  n 1 n 1  n 1 n 1  n  2
Hướng dẫn giải: Chọn A. . a n  2 1 a n  2 1 Ta có u   . n 1  n   1 1 n  22
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. u  5(n 1) .
B. u  5n .
C. u  5  n .
D. u  5.n 1. n n n n
Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 5  5.1 10  5.2 15  5.3 20  5.4 25  5.5
Suy ra số hạng tổng quát u  5n . n
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,....Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. u  7n  7 .
B. u  7.n n n .
C. u  7.n 1 .
D. u : Không viết được dưới dạng công thức. n n
Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 8  7.11
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 15  7.2 1 22  7.3 1 29  7.4 1 36  7.5 1
Suy ra số hạng tổng quát u  7n 1. n 1 2 3 4
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; 0
; ; ; ;....Số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 3 4 5 n 1 n n 1 2 n n A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . n n n n 1 n n n n 1
Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 0 0  01 1 1  2 11 2 2  3 2 1 3 3  4 3 1 4 4  5 4 1 n Suy ra u  . n n 1
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1;0, 01;0,001;0, 0001;... . Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? 1 1 A. un   0 , 0 . 0  . 0 . 1 . B. u n   , 0 0 . 0  .  0 . 1 . C. u  . D. u  . n n 1 n 10  n 1 10  n c höõso á 0 n 1  c höõs o á 0
Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có:
Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0
Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0
Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0
…………………………….
Suy ra u có n chữ số 0 . n
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1  ;1; 1  ;1; 1
 ;....Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng n A. u  1 . B. u  1  . C. n u  ( ) 1 . D. u   . n   1 1 n n n
Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 1 2 3 4 5 n
Các số hạng đầu của dãy là   1 ;  1 ;   1 ;   1 ;   1 ;...  u   . n   1
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2
 ; 0; 2; 4; 6;....Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. u   n 2 .
B. u   2  . n   n n
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C. u  . D. u    n  . n  2 2  1 n  2(n  ) 1
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là  2
  nên u  2  2.n   1 . n 1 1 1 1 1
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ; ; ; ;
; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là? 3 32 33 34 35 1 1 1 1 1 A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . n n 1 3 n n n 3  n 1 3  n 3 n 1 3 
Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 1 1 5 số hạng đầu là ; ; ; ; ;... nên u  . 2 3 4 5 n 3 3 3 3 3 3n 1 u  5
Câu 10: Cho dãy số u với 1
.Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới n   nuu n n1 n đây? (n  ) 1 n (n  ) 1 n A. u  . B. u  5  . n 2 n 2 (n  ) 1 n (n  ) 1 (n  ) 2 C. u  5  . D. u  5  . n 2 n 2
Hướng dẫn giải: Chọn B. n n   1
Ta có u  5 1 2  3  ...  n 1  5  . n 2 u   1 1 
Câu 11: Cho dãy số u với
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào n   n uu     nn  2n 1 1 dưới đây? n
A. u  1 n .
B. u  1 n . C. u    .
D. u n . n  2 1 1 n n n
Hướng dẫn giải: Chọn D. n uu  1
u  1  u  2;u  3;u  4;... u n n 1  n  2 Ta có: n 2 3 4
Dễ dàng dự đoán được n .
Thật vậy, ta chứng minh được u n * bằng phương pháp quy nạp như sau: n
+ Với n  1  u  1 . Vậy * đúng với n  1 1
+ Giả sử * đúng với mọi   * n
k k    , ta có: u k . Ta đi chứng minh * cũng đúng với k
n k 1 , tức là: uk 1 k 1  k
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số u ta có: uu  1
k 1 . Vậy * đúng với mọi k 1  k  2 n  * n   . u   1 1 
Câu 12: Cho dãy số u với
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào n    n uu     nn  2n 1 1 1 dưới đây?
A. u  2  n .
B. u không xác định. n n
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
C. u  1 n .
D. u  n với mọi n . n n
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ta có: u  0;u  1
 ;u  2 ,.. Dễ dàng dự đoán được u  2  n . 2 3 4 n u   1
Câu 13: Cho dãy số u với 1
. Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dưới n   2 n uu nn 1  n đây? n n   1 2n   1 n n   1 2n  2 A. u  1 . B. u  1 . n 6 n 6 n n   1 2n   1 n n   1 2n  2 C. u  1 . D. u  1 . n 6 n 6
Hướng dẫn giải: Chọn C. u   1 1  2 u u 1  2 1  2 n n 1 2n 1 2 2    Ta có: 2 u   u  2
. Cộng hai vế ta được u  1 1  2  ...  n    n   1 1 3 2 6 .  ..  u   u  n    2 1 n n 1 u   2 1
Câu 14: Cho dãy số u với 
u của dãy số là số hạng nào n u
u  2n 1  . Số hạng tổng quát n 1  n n dưới đây? A. u   n  2 2 1 . B. 2 u  2  n . C. u   n  . D. u   n  . n  2 2 1 n  2 2 1 n n
Hướng dẫn giải: Chọn A. u   2 1 u u 1 2 1   Ta có: u   u  3
. Cộng hai vế ta được u       n    n n    2 2 1 3 5 ... 2 3 2 1 3 2 .  ..  u   u  2n  3  n n 1  u   2  1 
Câu 15: Cho dãy số u với 
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: n u  2   n 1   un n 1 n 1 n 1 n A. u   . B. u  . C. u   . D. u   . n n n n n n n n 1
Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 4 5 n 1
Ta có: u   ;u   ;u   ;... Dễ dàng dự đoán được u   . 1 2 3 2 3 4 n n
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11  1 u  
Câu 16: Cho dãy số u với 1
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: n   2 u   u  2  n 1  n 1 1 1 1 A. u   2 n  . B. u   2 n  . C. u   2n . D. u   2n . n   1 n   1 2 2 n 2 n 2
Hướng dẫn giải: Chọn B.  1 u  1  2 u u 2  2 1  1 1 Ta có: u
u  2 . Cộng hai vế ta được u   2  2...  2   2 n  . n   1 3 2 2 2 .  ..  u   u  2 n n 1    u   1 1 
Câu 17: Cho dãy số u với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: n   un u   n 1   2 n n 1  n 1  n 1   1   1   1   1  A. u   . B. u   . C. u  . D. u   n   1 . n   1 . n   1 .    n      2   2   2   2  .
Hướng dẫn giải: Chọn D. u   1 1  u1 u   2  2   u Ta có: 2 u   . Nhân hai vế ta được 3 2  .  ..  un 1 u    n   2 n 1 
u .u .u ...u 1  1 
u .u .u ...u     u     n   1 2 3 n 1 1 . 1 . 1 . 1 2 3 n
  n 1     2.2.2...2 2     2  n 1  lan u   2
Câu 18: Cho dãy số u với 1
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này : n  u  2un 1  n A. n 1 u n   .
B. u  2n . C. 1 u 2n  . D. u  2 . n n n n
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u   2 1 u  2u 2 1   Ta có: u   2u . Nhân hai vế ta được n 1
u .u .u ...u  2.2  .u .u ...uu  2n 3 2 1 2 3 n 1 2 n 1  n .  ..  u   2un n 1   1 u  
Câu19 : Cho dãy số u với 1
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này: n   2 u   2un 1  n 1  1  A. 1 u 2n   . B. u  . C. u  . D.  2 u  2n . n n n 1 2  n 2n n
Hướng dẫn giải: Chọn D.  1 u  1  2 u  2u  2 1  1 Ta có: u nn   2u . Nhân hai vế ta được 1 2
u .u .u ...u
.2 .u .u ...uu  2 3 2 1 2 3 n 1 2 n 1 2  n .  ..  u   2u n n 1    2 n  3n  7
Câu 20: Cho dãy số (u ) được xác định bởi u
. Viết năm số hạng đầu của dãy; n n n 1 11 17 25 47 13 17 25 47 11 14 25 47 11 17 25 47 A. ; ; ; 7; B. ; ; ;7; C. ; ; ;7; D. ; ; ;8; 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ta có năm số hạng đầu của dãy 2 1  3.1 7 11 17 25 47 u   , u  , u  ,u  7,u  1 11 2 2 3 4 5 3 4 6
Câu 21: Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2 B. 4 C. 1 D. Không có Hướng dẫn giải: Chọn C. 5 5
Ta có: u n  2 
, do đó u nguyên khi và chỉ khi
nguyên hay n 1 là ước của 5. Điều đó n n 1 n n 1
xảy ra khi n 1  5  n  4
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u  7 . 4 u  1
Câu 22: Cho dãy số (u ) xác định bởi: 1
. Viết năm số hạng đầu của dãy; n
u  2u 3 n  2  n n 1  A. 1;5;13;28;61 B. 1;5;13;29;61 C. 1;5;17;29;61 D. 1;5;14;29;61
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn B.
Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
u  1; u  2u  3  5 ; u  2u  3  13; u  2u  3  29 1 2 1 3 2 4 3
u  2u  3  61 . 5 4 2 2  uu  2v
Câu 23: Cho hai dãy số (u ), (v ) được xác định như sau u  3, v  2 và n 1  n
n với n  2 . n n 1 1  v  2u .  v n 1  n n
Tìm công thức tổng quát của hai dãy (u ) và (v ) . n n n nn n 2 2  1   u u n  2  1  2    1 n  2  2 1   2   2 1    4   A. B.  1 n n 2n 2n v 1    n     2  2 1   2   2 1  v n  2  1  2   1   2 2   2       1  n n 2n 2  1  n u u n  2  1  2    1 n    2  2 1   2    2 1 2       2   C. D.  1 n n 2n 2 1  n vv n  2  1  2   1 n     2  2 1   2   2 1     3 2     2 2   Hướng dẫn giải: Chọn D. n Chứng minh u v  (2) n n   2 2 2 1
Ta có: u  2v u  2v  2 2u vu v n n n n n n   2     nn  2 2 2 1 1 1 1 1 1
 Ta có: u  2v  3  2 2   2  2
1 nên (2) đúng với n  1 1 1 k  Giả sử u v  , ta có: k k   2 2 2 1 k 1  u  2vu v   k k   2 k k 2  2 2 1 1 1
Vậy (2) đúng với n  1 . n
Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: u v n n   2 2 2 1  n n 2u n  2  2 1   2   2 1 Do đó ta suy ra  n n 2 2v n  2  2 1   2  2 1   1  n n un    2  2 1   2    2 1 2     Hay  . 1 n n vn     2  2 1   2   2 1    2 2  
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN 2 3n  2n  1
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n n  1 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 5n  10n  2 Ta có: uu
 0 nên dãy (u ) là dãy tăng n 1  nn   1 n  2 n
Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 2
u n n  1 n A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải: 1 1 Ta có: uu    0 n1 nn  n 2 2 n n      1 1 1 1 Chọn B.
Nên dãy (u ) giảm. n 3n  1
Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n 2n A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. 3n  1 Ta có: uu uu
 0  dãy (u ) tăng. n 1  n n1 n n1 2 n
n   n 1
Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n 2 n A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 2 u u Ta có: 2 1
u  0; u  ; u   
 Dãy số không tăng không giảm. 1 2 3 2 9 u u  3 2 2n  13
Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n 3n  2
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Chọn A.
2n  11 2n  13 34 Ta có: uu   
 0 với mọi n  1 . n 1  n 3n  1 3n  2
(3n  1)(3n  2) Suy ra u
u n  1  dãy (u ) là dãy tăng. n1 n n 2 35 2 Mặt khác: u    1  1  u n   1 n 3 3(3n  2) n 3
Vậy dãy (u ) là dãy bị chặn. n 2 n  3n  1
Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n n  1
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 2
(n  1)  3(n  1)  1 n  3n  1 Ta có: uu   n 1  n n  2 n  1 2 2
n  5n  5 n  3n  1   n  2 n  1 2 2
(n  5n  5)(n  1)  (n  3n  1)(n  2) 
(n  1)(n  2) 2 n  3n  3   0 n   1
(n  1)(n  2)  u
u n  1  dãy (u ) là dãy số tăng. n1 n n 2 n  2n  1 u
n  1  2  dãy (u ) bị chặn dưới. n n  1 n 1
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n 2 1 n n
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C.
Ta có: u  0 n  1 n 2 2 u      n n 1 n n 1 n 1    1 n    * 2 2 u n  3n      3 n (n 1) (n 1) 1  u
u   1  dãy (u ) là dãy số giảm. n1 n n
Mặt khác: 0  u  1  dãy (u ) là dãy bị chặn. n n 2n
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n n!
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Chọn C. n1 n n1 u  2 2 2 n! 2 Ta có: n 1  :  .   1 n   1 u (n  1)! n! (n  1)! 2n n  1 n
Mà u  0 n u
u n  1  dãy (u ) là dãy số giảm. n n1 n n
Vì 0  u u  2 n  1  dãy (u ) là dãy bị chặn. n 1 n 1 1 1
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u  1    ...  . n n 2 2 2 2 3 n
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 Ta có: uu
 0  dãy (u ) là dãy số tăng. n1 n 2 (n  1) n 1 1 1 1 Do u  1    ...   2  n 1.2 2.3 (n  1)n n
 1  u  3 n  1  dãy (u ) là dãy bị chặn. n n 2n  1
Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n n  2 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ta có 0  u  2 n nên dãy (u ) bị chặn n n
Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u  ( 1  )n n A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ta có: 1  u  1  (u ) là dãy bị chặn n n
Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u  3n  1 n A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải:
Ta có: u  2 n  (u ) bị chặn dưới; dãy (u ) không bị chặn trên. n n n
Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 2
u  4  3n n n A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn C. 25 3 25 Ta có: 2 u   (n  ) 
 (u ) bị chặn trên; dãy (u ) không bị chặn dưới. n 4 2 4 n n
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 2 n n  1
Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n 2 n n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ta có: 1  u  2 n  (u ) bị chặn n n n  1
Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n 2 n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ta có: 0  u  2 n  (u ) bị chặn n n 1 1 1
Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u    ...  n 1.3 2.4 . n (n  2) A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 1 1 Ta có: 0  u    ...   1  1 n 1.2 2.3 . n (n  1) n  1 Dãy (u ) bị chặn. n 1 1 1
Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u    ...  n 1.3 3.5
2n  12n  1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A. n Ta có: u
 0  u  1 , dãy (u ) bị chặn. n 2n  1 n nu  1 1 
Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u  2 n1 u  , n  2  n u  1  n1 A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A.
Bằng quy nạp ta chứng minh được 1  u  2 nên dãy (u ) bị chặn. n nu  1  1
Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:  3 3 u
u  1, n   1  n1 n A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Chọn A. Ta có: 3 3 3 3 u
u  1  uu u n   dãy số tăng n1 n n1 n nu  2 1 
Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 2  u  1 n un   1 n1  4 A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 u  4u  1 Ta có: n n uu n1 n 4
Bằng quy nạp ta chứng minh được 2  3  u  2 nnu
u  0 . Dãy (u ) giảm. n1 n n
Câu 21: dãy số (u ) xác định bởi u  2010  2010  ...  2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau n n đây là đúng? A. Tăng B. Giảm
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có 2 u  2010  u 2  uu u   u  2010 n1 n n1 n n1 n1 1 8041
Bằng quy nạp ta chứng minh được u nn 2 Suy ra u
u  0  dãy (u ) là dãy tăng. n1 n n u   1,u  2  1 2
Câu 22: Cho dãy số (u ) :
. Khẳng định nào sau đây đúng? n  3 3 u uu ,n   3  n n1 n2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A.
Chứng minh bằng quy nạp : 3 3 3 3 uu uuuu k 1 k k2 k 1 k 2 k
Ta chứng minh: 0  u  3 . n an  2
Câu 23: Cho dãy số (u ) : u
, n  1. Khi a  4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy n n 2n  1 10 14 18 22
A. u  2,u  ,u  ,u  ,u  1 2 3 4 5 3 5 7 9 10 14 18 22
B. u  6,u  ,u  ,u  ,u  1 2 3 4 5 3 5 7 9 1 1 18 22
C. u  6,u  ,u  ,u  ,u  1 2 3 4 5 3 5 7 9
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 10 4 8 22
D. u  6,u  ,u  ,u  ,u  1 2 3 4 5 3 5 7 9 Hướng dẫn giải: Chọn B. 4n  2
Với a  4 ta có: u
. Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là n 2n  1 10 14 18 22 u  6,u  ,u  ,u  ,u  . 1 2 3 4 5 3 5 7 9
Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. A. a  2 B. a  2  C. a  4 D. a  4  Hướng dẫn giải: Chọn D.
Ta có dãy số (u ) tăng khi và chỉ khi: na  4 uu   0, n
   *  a  4  0  a  4  . n 1  n
(2n  1)(2n  1) u   2 Câu 25: Cho dãy số 1 (u ) :
Viết 6 số hạng đầu của dãy n
u  3u  2, n  2,3..  n n 1 
A. u  2,u  5, u  10,u  28,u  82,u  244 1 2 3 4 5 6
B. u  2,u  4,u  10, u  18, u  82, u  244 1 2 3 4 5 6
C. u  2,u  4,u  10, u  28,u  72,u  244 1 2 3 4 5 6
D. u  2,u  4, u  10,u  28,u  82, u  244 1 2 3 4 5 6 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Ta có: u  2,u  4, u  10,u  28,u  82, u  244 1 2 3 4 5 6 Câu 26: Cho dãy số n 1 u 5.2   
 3n n  2 , n  1, 2,... Viết 5 số hạng đầu của dãy n
A. u  1, u  3,u  12, u  49,u  170 1 2 3 4 5
B. u  1, u  3,u  12, u  47, u  170 1 2 3 4 5
C. u  1, u  3,u  24,u  47 ,u  170 1 2 3 4 5
D. u  1, u  3,u  12, u  47, u  178 1 2 3 4 5 Hướng dẫn giải: Chọn C.
Ta có: u  1, u  3,u  12, u  47, u  170 1 2 3 4 5 Câu 27:
1. Cho dãy số (u ) : u  (1 a)n  (1 a)n ,trong đó a (0;1) và n là số nguyên dương. n n
a)Viết công thức truy hồi của dãy số  u  2  u  2 1  1  A. n n B. n n u u a  1 a 1 a          u
u  2a 1  a  1 an1 n     n1 n            
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u  2  u  2 1  1  C. n n D. n n u 2u a  1 a 1 a          u
u a 1 a  1  an1 n     n1 n            
b)Xét tính đơn điệu của dãy số
A. Dãy (u ) là dãy số tăng.
B. Dãy (u ) là dãy số giảm. n n
C. Dãy (u ) là dãy số không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai. n
Hướng dẫn giải: u  2 1  a) Ta có:  n n u u a  1 a 1 a        n1 n        
b) Dãy (u ) là dãy số tăng. n u   1 1 
Câu 28: Cho dãy số (u ) được xác định như sau:  1 . n u  3u   2, n  2  n n1 2un1
Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng u  0, n n 3 47 227 3 17 227
A. u  1,u  ,u  ,u
B. u  1,u  ,u  ,u  1 2 3 4 2 6 34 1 2 3 4 2 6 34 3 19 227 3 17 2127
C. u  1,u  ,u  ,u
D. u  1,u  ,u  ,u  1 2 3 4 2 6 34 1 2 3 4 2 6 34 Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 17 227
Ta có: u  1,u  ,u  ,u  . 1 2 3 4 2 6 34
Ta chứng minh u  0, n bằng quy nạp. n 1 1
Giả sử u  0 , khi đó: 2u   2 2u .  2 n n 2 n u 2u n n  1  Nên u
u   2u
 2   u  0 . n1 n n 2 n unu   2011 0 
Câu 29: Cho dãy số (u ) được xác định bởi : 2  u n n u  , n   1, 2,...  n1 u  1  n
a) Khẳng định nào sau đây đúng
A. Dãy (u ) là dãy giảm
B. Dãy (u ) là dãy tăng n n
C. Dãy (u ) là dãy không tăng, không giảm D. A, B, C đều sai n
b) Tìm phần nguyên của u với 0  n  1006 . n
A. u   2014  n  u    nu    nu    n n B. 2011  n C. 2013  n D. 2012  n
Hướng dẫn giải:
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u  a) Ta có: n uu
 0, n nên dãy (u ) là dãy giảm n1 n u  1 n n u b) Ta có: n1 u u   u
 1  ...  u n n n1 n1 0 u  1 n1 Suy ra: u
u  (n  1)  2012  n n1 0 Mặt khác:
u  u u  (uu
)  ...  (u u )  u n n n1  n1 n2 1 0 0  u u u  0 1 n1  u     ...  0  u  1 u  1 u  1  0 1 n1   1 1 1 
u n     ...  0  u  1 u  1 u  1  0 1 n1  Mà: 1 1 1 n n 0    ...     1 u  1 u  1 u  1 u  1 2013  n 0 1 n 1  n1
Với mọi n  2,1006 .
Suy ra u u n  1  2012  n n 0
Do đó: 2011  n u  2012  n  u   2011  n nn  với n  2,1006 . 2 2011
Vì u  2011 và u   2010,000497 0 1 2012
nên u   2011  0, u   2010  2011  1  0   1 
Vậy u   2011  n, n   0,1006  n  . u   2,u  6
Câu 30: Cho dãy số (u ) được xác định bởi: 1 2 n
u u  2u , n   1, 2,...  n2 n n 1 
a) Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình 2
x  2x 1  0 . Chứng minh rằng: n n
u a b n b) Chứng minh rằng: 2 n 1 u
u u  (1)  .8 . n 1  n2 n Hướng dẫn giải:
a) Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp
Với n  1  u a b  2 1 Giả sử n n
u a b , n   k n Khi đó: u  2u u
 2 a b a   b k k k  k k k 1 k 1 1 1      1 1 ( ) k k k k a b a b ab k1 k1 k 1 k1 k1 k 1  aba ( b ab )  ab k1 k1 k1 k 1 k1 k 1  ab  (ab )  ab k1 k1  ab . b) Ta có: 2 2 uu u u  2uu .u n1 n2 n n1  n1 n n
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u
u  2u u   u u u n1  ...  (1)  2   (1)n u u u .8 . 2 3 1   nn  2 2 ( ) n 1 1 n n n1 n1 n  1
Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (u ) : u n n n  2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 n  2 n  1
(n  2)  (n  3)(n  1) Ta có uu    n1 n n  3 n  2
(n  2)(n  3) 1   0, n  .
(n  2)(n  3) 1
Mặt khác: u  1 
 0  u  1, nn n  2 n
Vậy dãy (u ) là dãy tăng và bị chặn. n
Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: 3
(u ) : u n  2n  1 n n A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên
Hướng dẫn giải: Ta có: 3 3 u
u  (n  1)  2(n  1)  n  2n n 1  n 2
 3n  3n  3  0, n
Mặt khác: u  1, n và khi n càng lớn thì u càng lớn. n n
Vậy dãy (u ) là dãy tăng và bị chặn dưới. n u   2 1 
Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (u ) : nu  1 n u  , n    2 n1  2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn B.
Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: 1  u  2, nn
Điều này đúng với n  1 , giả sử 1  u  2 ta có: n u  1 1 nu   2 nên ta có đpcm. n1 2 1  u Mà n uu   0, n  . n1 n 2
Vậy dãy (u ) là dãy giảm và bị chặn. n u   2,u  3  1 2
Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau:  . uu u , n    2  n1 n n1 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Trước hết ta chứng minh 1  u  4, n n
Điều này hiển nhiên đúng với n  1 .
Giả sử 1  u  4 , ta có: 1  uu u  4  4  4 n n1 n n1
Ta chứng minh (u ) là dãy tăng n
Ta có: u u , giả sử u
u , n k . 1 2 n1 n u   u Khi đó: k k 1    u uuuuu k k 1  k1 k2 k1 k uuk 1  k2
Vậy dãy (u ) là dãy tăng và bị chặn. nx  1 0  Câu 35: Cho dãy số n1 (x ) :  n
. Xét dãy số y x
x . Khẳng định nào n 2 x
x , n  2,3,... n n1 nn 2 (n   1) i i1 đúng về dãy ( y ) n A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn
C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A. n n 1 2(n  1) 2(n  1)    Ta có: x  x x   x n1 2 i 2  n i n i 1  ni1  2 2 2(n  1)  (n  1) 
(n  1)(n  1)  x x    x . 2 n n 3 n 2 n n n   2 n n  1 Do đó: y xx x n n 1  n 3 n n
 Ta chứng minh dãy ( y ) tăng. n 2 2 2
(n  1)  n  2 (n  1)(n  1) n n  1 Ta có: yy  . x x n1 n 3 3 n 3 (n  1) n n n 2 2 2 2
(n  3n  3)(n  1)  (n n  1)(n  2n  1)  x 3 2 n (n  1) n 2x n   0 , n   1, 2,.. 3 2 n (n  1)
 Ta chứng minh dãy ( y ) bị chặn. n
Trước hết ta chứng minh: x  4(n  1) (1) với n   2, 3... n
* Với n  2 , ta có: x  4x  4 nên (1) đúng với n  2 2 1
* Giả sử (1) đúng với n , tức là: x  4(n  1) , ta có n 2 4
(n  1)(n  1) 4(n  1) xx   4n n 1  3 n 3 n n
Nên (1) đúng với n  1 . Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng 2 2 3 n n  1
4(n  1)(n n  1) 4(n  1) Ta có: y x    4 n 3 n 3 3 n n n
Vậy bài toán được chứng minh.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 n
Câu 36: Cho dãy số Un với Un
.Khẳng định nào sau đây là đúng? n  1 1  2  3  5  5
A. Năm số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1  2  3  4  5
B. 5 số số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; 2 3 4 5 6 . C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn trên bởi số 1.
Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 2  3 4  5
Thay n lần lượt bằng 1, 2,3, 4,5 ta được 5 số hạng đầu tiên là ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1
Câu 37: Cho dãy số u với u
.Khẳng định nào sau đây là sai? n n 2 n n 1 1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ; 2 6 12 20 30 B. Là dãy số tăng. 1
C. Bị chặn trên bởi số M  . 2 D. Không bị chặn.
Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 1 1 2 Ta có uu       0 với n  1. n 1  nn  2 1  n   2 1 n nn   1 n  2 n n   1 n n   1 n  2
Do đó u là dãy giảm. n  1 
Câu 38: Cho dãy số u với u
.Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là :  ; 1 ; ; ; 2 3 4 5 .
B. Bị chặn trên bởi số M  1  .
C. Bị chặn trên bởi số M  0 .
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M  1  .
Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 Nhận xét : u    1  . n n 1 Dãy số u
bị chặn dưới bởi M  1  . n
Câu 39: Cho dãy số u
với u a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai? n n A. Dãy số có 1 u  . a 3n . B. Hiệu số uu  3.a . n 1  n 1  n
C. Với a  0 thì dãy số tăng
D. Với a  0 thì dãy số giảm.
Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có n 1 uu  . a 3   . a 3n  .
a 3n 3 1  2 . a 3n . n 1  n  
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 a 1
Câu 40: Cho dãy số u với u
. Khẳng định nào sau đây là đúng? n n 2 n a 1 a 1
A. Dãy số có u  .
B. Dãy số có : u  . n 1  2 n 1 n 1  n  2 1 C. Là dãy số tăng. D. Là dãy số tăng.
Hướng dẫn giải: Chọn B. a 1 Ta có u  . n 1  n  2 1 a 1
Câu 41: Cho dãy số u với u
( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n n 2 n a 1 2n 1 A. u  . B. Hiệu u
u  1 a . . n 1  n   n 1  2 (n 1) n  2 2 1 n 2n 1 C. Hiệu u
u a 1 . .
D. Dãy số tăng khi a  1 . n 1  n   n 2 2 1 n
Hướng dẫn giải: Chọn B.  1 1  2n 1 2n 1 Ta có u
u a 1 .    a 1 .  1 a . . n 1  n   2 2   2    n  2 1 n   n n   2 1 n n  2 1   2 an
Câu 42: Cho dãy số u với u
( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai? n n n 1 2 . a n  2 1 .
a n  3n   1 A. u  . B. uu  . n 1  n  2 n 1  n
(n  2)(n 1)
C. Là dãy số luôn tăng với mọi a .
D. Là dãy số tăng với a  0 .
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Chọn a  0 thì u  0 ,dãy u không tăng, không giảm. n n k
Câu 43: Cho dãy số u với u
( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n n 3n k k
A. Số hạng thứ 5 của dãy số là .
B. Số hạng thứ n của dãy số là . 5 3 n 1 3 
C. Là dãy số giảm khi k  0 .
D. Là dãy số tăng khi k  0 .
Hướng dẫn giải: Chọn B. k
Số hạng thứ n của dãy là u  . n 3n n 1 ( 1)  
Câu 44: Cho dãy số u với u
. Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 1 1
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là .
B. Số hạng thứ 10 của dãy số là . 10 11
C. Đây là một dãy số giảm.
D. Bị chặn trên bởi số M  1 .
Hướng dẫn giải:
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Chọn C.
Dãy u là một dãy đan dấu. n
Câu 45: Cho dãy số u có u n 1 với *
n N . Khẳng định nào sau đây là sai? n n
A. 5 số hạng đầu của dãy là: ; 1 ; 0 2; 3; 5 . B. Số hạng un . n 1  C. Là dãy số tăng.
D. Bị chặn dưới bởi số 0 .
Hướng dẫn giải: Chọn A.
5 số hạng đầu của dãy là 0;1; 2; 3; 4 .
Câu 45: Cho dãy số u có 2
u  n n  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? n n
A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1  ;1;5; 5; 11; 1  9 . B. 2 u
 n n  2 . n 1  C. uu  1 . n 1  n
D. Là một dãy số giảm.
Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có : uu    n   n   
 n n    n n   n   n n    n  n  Do đó  n  2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 0 1 n 1    
u là một dãy giảm. n  1 
Câu 46: Cho dãy số u với u
. Khẳng định nào sau đây là sai? n n 2 n 1 1 A. u  .
B. u u . n 1   n n 1  n  2 1 1
C. Đây là một dãy số tăng. D. Bị chặn dưới.
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Câu 47: Cho dãy số u với u  sin
. Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1
A. Số hạng thứ n 1 của dãy: u  sin
B. Dãy số bị chặn. n 1  n  2
C. Đây là một dãy số tăng.
D. Dãy số không tăng không giảm.
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Dãy số không tăng không giảm.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 CẤP SỐ CỘNG
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát: u u  (n 1)d với n  2 n 1 uu
3. Tính chất các số hạng: 1  1  u k k với k  2 k 2
n(u u )
n2u  (n 1)d 1 
4. Tổng n số hạng đầu tiên: 1
S u u  ...  u n = n 1 2 n 2 2 B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG Phương pháp:
 Dãy số (u ) là một cấp số cộng  u
u d không phụ thuộc vào n và d là công sai. n n 1  n
 Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng  a c  2b .
 Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn
giả thiết của bài toán qua u và d . 1
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?  1 u   1 1 3 1   2
A. Dãy số  ;0; ;1; ;..... là một cấp số cộng:  . 2 2 2 1 d    2  1 u  1 1 1 1   2 B. Dãy số ; ;
;..... là một cấp số cộng:  . 2 3 2 2 2 1
d  ;n  3   2 u  2
C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2;  là cấp số cộng 1  . d  0 
D. Dãy số: 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001;  không phải là một cấp số cộng. 1 1
Câu 2: Cho một cấp số cộng có u   ; d
. Hãy chọn kết quả đúng 1 2 2 1 1 1 1 1
A. Dạng khai triển :  ; 0;1; ;1....
B. Dạng khai triển :  ;0; ;0; ..... 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3
C. Dạng khai triển : ;1; ; 2; ;.....
D. Dạng khai triển:  ; 0; ;1; ..... 2 2 2 2 2 2
Câu 3. Cho một cấp số cộng có u  3
 ; u  27 . Tìm d ? 1 6 A. d  5 . B. d  7 . C. d  6 . D. d  8 . 1
Câu 4: Cho một cấp số cộng có u  ; u  26 Tìm d ? 1 8 3 11 3 10 3 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 3 11 3 10
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Câu 5: Cho cấp số cộng u có: u  0
 ,1; d  0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: n  1 A. 1, 6 . B. 6 . C. 0, 5 . D. 0, 6 .
Câu 6. Cho cấp số cộng u có: u  0
 ,1; d  1. Khẳng định nào sau đây là đúng? n  1
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6.
B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.
C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5
D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.
Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng bằng 120 . A. 1, 5, 6, 8 B. 2, 4, 6,8 C. 1, 4, 6, 9 D. 1, 4, 7,8
u u u  10
Câu 8: Cho CSC (u ) thỏa : 2 3 5 n
u u  26  4 6
1. Xác định công sai và; A. d  2 B. d  4 C. d  3 D. d  5
2. công thức tổng quát của cấp số
A. u  3n  2
B. u  3n  4
C. u  3n  3
D. u  3n 1 n n n n
2. Tính S u u u  ...  u . 1 4 7 2011 A. S  673015 B. S  6734134 C. S  673044 D. S = 141
u  3u u  21
Câu 9: Cho cấp số cộng (u ) thỏa: 5 3 2 . n
3u  2u  34  7 4
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; A. u  2  43 B. u  2  95 C. u  2  31 D. u  2  94 100 100 100 100
2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; A. S  2  44 B. S  2  74 C. S  2  53 D. S  2  85 15 15 15 15
3. Tính S u u  ...  u . 4 5 30 A. S  1286 B. S  1276 C. S  1242 D. S  1222
u u u  10
Câu 10 : Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn 2 3 5
u u  26  4 6
1. Xác định công sai? A. d=3 B. d=5 C. d=6 D. d=4
2. Tính tổng S u u  u 5 7 2011 A. S  3028123 B. S  3021233 C. S  3028057 D. S  3028332 1
Câu 11: Cho dãy số u với : u
n  1. Khẳng định nào sau đây là đúng? n n 2 1
A. Dãy số này không phải là cấp số cộng.
B. Số hạng thứ n + 1: un . n 1  2
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 1 C. Hiệu : uu  .
D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: S  12 . n 1  n 2 5
Câu 12. Cho dãy số u
với : u  2n  5 . Khẳng định nào sau đây là sai? n n
A. Là cấp số cộng có d = – 2. B. Là cấp số cộng có d = 2.
C. Số hạng thứ n + 1: u  2n  7 .
D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S  40 n 1  4 1
Câu 13. Cho dãy số u có: u  3  ; d
. Khẳng định nào sau đây là đúng? n  1 2 1 1 A. u  3   n  . B. u  3   n 1. n  1 2 n 2 1  1  C. u  3   n  .
D. u n 3   n . n     1 n  1  2  4  1 1 
Câu 14. Cho dãy số u có: u  ; d
. Khẳng định nào sau đây đúng? n  1 4 4 5 4 5 4 A. S  . B. S  . C. S   . D. S   . 5 4 5 5 5 4 5 5
Câu 15. Cho dãy số u có d = –2; S n  8 = 72. Tính u1 ? 1 1 A. u  16 B. u  1  6 C. u D. u   1 1 1 16 1 16
Câu 16. Cho dãy số u
có d  0,1; S  0  ,5.Tính u ? n  5 1 10 10 A. u  0,3. B. u . C. u . D. u  0  , 3. 1 1 1 3 1 3
Câu 17. Cho dãy số u có u  1
 ;d  2; S  483. Tính số các số hạng của cấp số cộng? n  1 n
A. n  20 . B. n  21. C. n  22 . D. n  23 .
Câu 18: Cho một cấp số cộng (u ) có u  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính n 1 1 1 1 S    ...  u u u u u u 1 2 2 3 49 50 9 4 49 A. S B. S C. S  123 D. S  246 23 246
Câu 19: Dãy số (u ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết: n
1. u  2n  3 n A. d  2  B. d  3 C. d  5 D. d  2 2. u  3  n 1 n A. d  2  B. d  3 C. d  3  D. d  1 3. 2 u n 1 n A. d   B. d  3 C. d  3  D. d  1 2 4. u n n 1 A. d   B. d C. d  3  D. d  1 2
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Câu 20: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai.
1. u  3n 1 n A. d   B. d  3 C. d  3  D. d  1
2. u  4  5n n A. d   B. d  3 C. d  5  D. d  1 2n  3 3. u n 5 2 A. d   B. d C. d  3  D. d  1 5 n  1 4. u n n A. d   B. d  3 C. d  3  D. d  1 n 5. u n 2n A. d   B. d  3 C. d  3  D. d  1 6. 2 u n 1 n A. d   B. d  3 C. d  3  D. d  1
Câu 21: Cho cấp số cộng u có: u  0
 ,3; u  8 . Khẳng định nào sau đây là sai? n  1 8
A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.
B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5.
C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6.
D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7.
Câu 22: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. A. 7; 12; 17 . B. 6; 10;14 . C. 8;13;18 . D. 6;12;18 . 1 16
Câu 23: Viết 4 số hạng xen giữa các số và
để được cấp số cộng có 6 số hạng. 3 3 4 5 6 7 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15 A. ; ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; ; . D. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
Câu 24: Cho dãy số u
với : u  7  2n . Khẳng định nào sau đây là sai? n n
A. 3 số hạng đầu của dãy: u  5;u  3;u  1.
B. Số hạng thứ n + 1: u  8  2n . 1 2 3 n 1 
C. Là cấp số cộng có d = – 2.
D. Số hạng thứ 4: u  1  . 4
Câu 25: Cho dãy số u có u
2; d  2; S  21 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? n  1
A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng.
C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng.
D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng.
Câu 26: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u , công sai d, n  2. ? 1
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
A. u u d .
B. u u n 1 d
C. u u n 1 d D. n 1   n 1   n 1
u u n 1 d . n 1  
Câu 27: Cho cấp số cộng u có u  1  2;u  18 . Tìm u n  4 14 1, d của cấp số cộng?
A. u  20, d  3  . B. u  2  2, d  3. C. u  2  1, d  3  . D. u  2  1, d  3  . 1 1 1 1
Câu 28: Cho cấp số cộng u có u  1
 2;u  18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: n  4 14 A. S = 24. B. S = –24. C. S = 26. D. S = –25.
Câu 29: Cho cấp số cộng u có u  1  5;u  60 . Tìm u n  5 20 1, d của cấp số cộng? A. u  3  5, d  5  . B. u  3  5, d  5.
C. u  35, d  5 
D. u  35, d  5 . 1 1 1 1
Câu 30: Cho cấp số cộng u có u  1
 5;u  60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: n  5 20 A. S20 = 200 B. S20 = –200 C. S20 = 250 D. S20 = –25
Câu 31: Cho cấp số cộng (u ) có u u  20, u u  2
 9 . Tìm u , d ? n 2 3 5 7 1
A. u  20; d  7 . B. u  20,5; d  7 .
C. u  20,5; d  7  . D. u  2  0,5;d  7  . 1 1 1 1
Câu 32: Cho cấp số cộng: 2  ; 5; 8  ; 1
 1; 14;........Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên?
A. d  3;S  510 . B. d  3  ;S  6  10 . 20 20 C. d  3  ;S  610 .
D. d  3;S  6  10 . 20 20 1 1 3 5
Câu 33: Cho dãy số u
: ; - ; - ; - ;... Khẳng định nào sau đây sai? n  2 2 2 2
A. (un) là một cấp số cộng. B. có d  1  . C. Số hạng u  19, 5 .
D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 1  80 . 20 2n 1
Câu 34: Cho dãy số u có u
. Khẳng định nào sau đây đúng? n n 3 1 2 1 2
A. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d   .
B. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d  . 3 3 3 3
C. (un) không phải là cấp số cộng.
D. (un) là dãy số giảm và bị chặn. 1
Câu 35: Cho dãy số u có u
. Khẳng định nào sau đây sai? n n n  2
A. Các số hạng của dãy luôn dương.
B. là một dãy số giảm dần. 1
C. là một cấp số cộng.
D. bị chặn trên bởi M = . 2 2 2n 1
Câu 36: Cho dãy số u (u u
. Khẳng định nào sau đây sai? n  n) có n 3 1 2 2 2(n 1) 1
A. Là cấp số cộng có u  ; d  ;
B. Số hạng thứ n+1: u  1 3 3 n 1  3 2(2n 1) C. Hiệu uu
D. Không phải là một cấp số cộng. n 1  n 3
Câu 37: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Tìm các góc còn lại? A. 75o ; 120o; 165o. B. 72o ; 114o; 156o. C. 70o ; 110o; 150o. D. 80o ; 110o; 135o.
Câu 38: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9  và tổng các bình
phương của chúng bằng 29. A. 1; 2;3 B. 4  ; 3; 2 C. 2  ; 1  ;0 D. 3  ; 2; 1
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Câu 39: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành
cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
A. b  15, c  20, d  25, a  12
B. b  16, c  20, d  25, a  12
C. b  15, c  25, d  25, a  12
D. b  16, c  20, d  25, a  18 u u  8
Câu 40: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn 7 3  . Tìm u , d ? u .u  75 1  2 7 d  2 d  2 d  2 d  2 A. B. C. D.
u  2, u  17 
u  3, u  7
u  3, u  17
u  3, u  17 1 1  1 1  1 1  1 1
u u  11  31 34
Câu 41: Cho cấp số cộng (un) có công sai d  0 ; 
. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp 2 2
u u  101  31 34 số cộng đó.
A. u  3n  9
B. u  3n  2
C. u  3n  92
D. u  3n  66 n n n n
Câu 42: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25o.
Tìm 2 góc còn lại? A. 65o ; 90o. B. 75o ; 80o. C. 60o ; 95o. D. 60o ; 90o.
Câu 43: Tam giác ABC có ba góc ,
A B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C  5A . Xác định số đo các góc , A B, C . 0 A  10 0 A  15 0  A  5 0 A  20     A. 0 0 0 0 B  120
B. B  105 C. B  60 D. B  60  0    C  50 0 0 0  C  60  C  25  C  100 
Câu 44: Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và 3  3
sin A  sin B  sin C
tính các góc của tam giác 2 A. 0 0 0 30 , 60 ,90 B. 0 0 0 20 , 60 ,100 C. 0 0 0 10 , 50 ,120 D. 0 0 0 40 , 60 ,80
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG Phương pháp:
a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC  a c  2b
Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. 2 2
a c  2ab  2bc . B. 2 2
a c  2ab  2bc . C. 2 2
a c  2ab  2bc . D. 2 2
a c ab bc .
Câu 2: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. 2 2
a c  2ab  2bc  2ac . B. 2 2
a c  2ab  2bc  2ac . C. 2 2
a c  2ab  2bc  2ac . D. 2 2
a c  2ab  2bc  2ac .
Câu 3: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ? A. 2 2 2b , , a c . B. 2  , b 2  a, 2  c .
C. 2b, a, c .
D. 2b, a, c .
Câu 4: Xác định x để 3 số : 2 1 ;
x x ;1 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của x . B. x  2 . C. x  1 . D. x  0 .
Câu 5: Xác định x để 3 số : 2 1 2 ; x 2x 1; 2
x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? 3
A. x  3 . B. x   . 2 3 C. x   .
D. Không có giá trị nào của x . 4
Câu 6: Xác định a để 3 số : 2 1 3 ;
a a  5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của a . B. a  0 . C. a  1 
D. a   2 .
Câu 7: Tìm x biết : 1. 2
x 1, x  2,1 3x lập thành cấp số cộng ;
A. x  4, x  3
B. x  2, x  3
C. x  2, x  5
D. x  2, x  1 2 2
Câu 8: Cho các số 5x y, 2x  3y, x  2 y lập thành cấp số cộng ; các số  y  
1 , xy 1,  x   1 lập
thành cấp số nhân.Tính x, y  1 4   3 3   10 4   3 3  A. ( ; x y)  0;0; ; ;  ;      B. ( ; x y)  0;0; ; ;  ;       3 3   4 10   3 3   4 10  11 4   3 3   10 4   13 13  C. ( ; x y)  1;0; ; ;  ;      D. ( ; x y)  0;  1 ; ; ;  ;       3 3   4 10   3 3   4 10 
Câu 9: Tìm x, y biết: Các số x  5y, 5x  2 y,8x y lập thành cấp số cộng và các số
y  2 xy   x  2 1 , 1,
1 lập thành cấp số nhân. 3  3     3   3  A. ( ; x y)   3; ;    3;  B. ( ; x y)   3;  ;  3;   2  2          2 2      3   3   3   3  C. ( ; x y)   3;  ; 3;  D. ( ; x y)    3;  ; 3;   2   2          2 2    
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Câu 10: Tìm x, y biết: Các số x  6 y, 5x  2 y, 8x y lập thành cấp số cộng và các số 5
x y, y  1, 2x  3y lập thành cấp số nhân. 3    
A. x y     3 1 ( ; ) 3; 1 ; ;  
B. x y     1 1 ( ; ) 3; 1 ; ;    8 8   8 8     12 1  C. x y    3 1 ( ; ) 3; 1 ; ;   D. ( ;
x y)  3;   1 ; ;    8 8   8 8 
Câu 11: Xác định a, b để phương trình 3
x ax b  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. b  0, a  0
B. b  0, a  1
C. b  0, a  0
D. b  0, a  0
Câu 12: Tìm m để phương trình: 4
mx  m   2 2
1 x m 1  0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 9 7 9 A. m   B. m  1 C. m   D. m   16 16 12
Câu 13: Tìm m để phương trình: 3 2
x  3mx  4mx m  2  0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân  1  10  10 m   m  m  1 m   A.  27 B.  7 C. D.  27   m  0  m  0   m  0  m  0 
Câu 14: Xác định m để: 1. Phương trình 3 2
x  3x  9x m  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. m  16 B. m  11 C. m  13 D. m  12 2. Phương trình 4
x  m   2 2
1 x  2m 1  0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 4 4
A. m  2 hoặc m  
B. m  4 hoặc m   9 9
C. m  4 hoặc m  2 
D. m  3 hoặc m  1
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
C– HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG Phương pháp:
 Dãy số (u ) là một cấp số cộng  u
u d không phụ thuộc vào n và d là công sai. n n 1  n
 Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng  a c  2b .
 Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn
giả thiết của bài toán qua u và d . 1
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?  1 u   1 1 3 1   2
A. Dãy số  ;0; ;1; ;..... là một cấp số cộng:  . 2 2 2 1 d    2  1 u  1 1 1 1   2 B. Dãy số ; ;
;..... là một cấp số cộng:  . 2 3 2 2 2 1
d  ;n  3   2 u  2
C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2;  là cấp số cộng 1  . d  0 
D. Dãy số: 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001;  không phải là một cấp số cộng.
Hướng dẫn giải: Chọn B.  1 u  1 1 1 1   2 Dãy số ; ;
;..... không phải cấp số cộng do   u  1. 2 3 2 2 2 2 1 d    2 1 1
Câu 2: Cho một cấp số cộng có u   ; d
. Hãy chọn kết quả đúng 1 2 2 1 1 1 1 1
A. Dạng khai triển :  ; 0;1; ;1....
B. Dạng khai triển :  ;0; ;0; ..... 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3
C. Dạng khai triển : ;1; ; 2; ;.....
D. Dạng khai triển:  ; 0; ;1; ..... 2 2 2 2 2 2
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Câu 3. Cho một cấp số cộng có u  3
 ; u  27 . Tìm d ? 1 6 A. d  5 . B. d  7 . C. d  6 . D. d  8 .
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Ta có: u  27  u  5d  27  3
  5d  27  d  6 6 1 1
Câu 4: Cho một cấp số cộng có u  ; u  26 Tìm d ? 1 8 3
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 11 3 10 3 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 3 11 3 10
Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 11
Ta có: u  26  u  7d  26 
 7d  26  d  8 1 3 3
Câu 5: Cho cấp số cộng u có: u  0
 ,1; d  0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: n  1 A. 1, 6 . B. 6 . C. 0, 5 . D. 0, 6 .
Hướng dẫn giải: Chọn C. 1
Số hạng tổng quát của cấp số cộng u
là: u u n 1 .0,1  u  0,1 7 1 .0,1  n 1   7   n  2
Câu 6. Cho cấp số cộng u có: u  0
 ,1; d  1. Khẳng định nào sau đây là đúng? n  1
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6.
B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.
C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5
D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.
Hướng dẫn giải: Chọn B. 11
Số hạng tổng quát của cấp số cộng u
là: u  0,1 n n . n    1 .1   n  10 11 8 Giả sử tồn tại *
k   sao cho u  0, 5  k   0, 5  k
(loại). Tương tự số 0,6 k 10 5
Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng bằng 120 . A. 1, 5, 6, 8 B. 2, 4, 6,8 C. 1, 4, 6, 9 D. 1, 4, 7,8 Hướng dẫn giải:
Giả sử bốn số hạng đó là a  3x; a x; a x; a  3x với công sai là d  2x .Khi đó, ta có:  
a  3x  a x  a x  a  3x  20 a 3 
x2  a x2  a x2  a  3x2  120   4a  20  a  5    2 2 
4a  20x  120 x  1   
Vậy bốn số cần tìm là 2, 4, 6,8 . Chú ý:
* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn.
* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d x , là chẵn thì gọi công sai d  2x rồi viết các số
hạng cấp số dưới dạng đối xứng.
a a  ...  a p
* Nếu cấp số cộng (a ) thỏa: 1 2 n thì: n  2 2 2 2
a a  ...  a   s 1 2 n 2 2 1  n n   1 
12 ns p a p
.d và d   . 1   n 2 2 2   n n   1
u u u  10
Câu 8: Cho CSC (u ) thỏa : 2 3 5 n
u u  26  4 6
1. Xác định công sai và;
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 A. d  2 B. d  4 C. d  3 D. d  5
2. công thức tổng quát của cấp số
A. u  3n  2
B. u  3n  4
C. u  3n  3
D. u  3n 1 n n n n
2. Tính S u u u  ...  u . 1 4 7 2011 A. S  673015 B. S  6734134 C. S  673044 D. S = 141 Hướng dẫn giải:
Gọi d là công sai của CSC, ta có:
(u d )  (u  2d )  (u  4d )  10
u  3d  10 u  1 1 1 1 1 1     
(u  3d )  (u  5d )  26  u  4d  13 d  3 1 1  1 
1. Ta có công sai d  3 và số hạng tổng quát : u u  (n 1)d  3n  2 . n 1
2. Ta có các số hạng u , u ,u ,...,u
lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai d '  3d , nên 1 4 7 2011 670 ta có: S
2u  669d '  673015 1  2
u  3u u  21
Câu 9: Cho cấp số cộng (u ) thỏa: 5 3 2 . n
3u  2u  34  7 4
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; A. u  2  43 B. u  2  95 C. u  2  31 D. u  2  94 100 100 100 100
2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; A. S  2  44 B. S  2  74 C. S  2  53 D. S  2  85 15 15 15 15
3. Tính S u u  ...  u . 4 5 30 A. S  1286 B. S  1276 C. S  1242 D. S  1222
Hướng dẫn giải:
u  4d  3(u  2d )  (u d )  2  1
Từ giả thiết bài toán, ta có: 1 1 1
3(u  6d)  2(u  3d)  34  1 1
u  3d  7  u  2 1 1     . u 12d  3  4 d  3  1 
1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u
u  99d  2  95 100 1 15
2. Tổng của 15 số hạng đầu: S  2u 14d  2  85 15  1  2 27
3. Ta có: S u u  ...  u  2u  26d 4 5 30  4  2
 27 u 16d  1242 . 1 
Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau: 3
S S S  15 2u  29d  2u  2d  1  242 . 30 3  1   1  2
u u u  10
Câu 10 : Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn 2 3 5
u u  26  4 6
1. Xác định công sai?
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 A. d=3 B. d=5 C. d=6 D. d=4
2. Tính tổng S u u  u 5 7 2011 A. S  3028123 B. S  3021233 C. S  3028057 D. S  3028332
Hướng dẫn giải:
u d  (u  2d )  u  4d  10
u  3d  10 1. Ta có: 1 1 1 1   
u  3d u  5d  26 u  4d  13  1 1  1
u 1, d  3; u u  4d 112 13 1 5 1
2. Ta có u ,u ,...,u
lập thành CSC với công sai d  6 và có 1003 số hạng nên 5 7 2011 1003 S
2u 1002.6  3028057 . 5  2 1
Câu 11: Cho dãy số u với : u
n  1. Khẳng định nào sau đây là đúng? n n 2 1
A. Dãy số này không phải là cấp số cộng.
B. Số hạng thứ n + 1: un . n 1  2 1 C. Hiệu : uu  .
D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: S  12 . n 1  n 2 5
Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 Ta có: un    n    u
n    Đáp án C đúng. n   * 1 1 1 1 2 2 2 n 2
Câu 12. Cho dãy số u
với : u  2n  5 . Khẳng định nào sau đây là sai? n n
A. Là cấp số cộng có d = – 2. B. Là cấp số cộng có d = 2.
C. Số hạng thứ n + 1: u  2n  7 .
D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S  40 n 1  4
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Phương pháp loại trừ: A hoặc B sai. Thật vậy u  2 n
  n    u
n    đáp án A sai. n   * 1 5 2 5 2 +2 1 n 1
Câu 13. Cho dãy số u có: u  3  ; d
. Khẳng định nào sau đây là đúng? n  1 2 1 1 A. u  3   n  . B. u  3   n 1. n  1 2 n 2 1  1  C. u  3   n  .
D. u n 3   n . n     1 n  1  2  4 
Hướng dẫn giải: Chọn C. 1
Sử dụng công thức SHTQ u u n 1 d n  2 . Ta có: u  3   n n  1 n 1     2 1 1 
Câu 14. Cho dãy số u có: u  ; d
. Khẳng định nào sau đây đúng? n  1 4 4 5 4 5 4 A. S  . B. S  . C. S   . D. S   . 5 4 5 5 5 4 5 5
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Hướng dẫn giải:. Chọn C.
n 2u n 1 d n u   u 1     1 n
Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên: * S   , n   n 2 2 5
Tính được: S   5 4
Câu 15. Cho dãy số u có d = –2; S n  8 = 72. Tính u1 ? 1 1 A. u  16 B. u  1  6 C. u D. u   1 1 1 16 1 16
Hướng dẫn giải: Chọn A.
n u u 1 n S    n
u u  2S : 8
u u  18 2 1 8 8 8 1       u  16. 1 Ta có: u u
u u  7d u u  1  4  n 1  8 1  8 1 d    n 1
Câu 16. Cho dãy số u
có d  0,1; S  0  ,5.Tính u ? n  5 1 10 10 A. u  0,3. B. u . C. u . D. u  0  , 3. 1 1 1 3 1 3
Hướng dẫn giải: Chọn D.
u u n 1 d n 1   
u u  4.0,1 5 1 Ta có :   S   u  0,3 2 1 . Suy ra chọn đáp án D. u u n
u u  0, 25  n  5 1 1  n
Câu 17. Cho dãy số u có u  1
 ;d  2; S  483. Tính số các số hạng của cấp số cộng? n  1 n
A. n  20 . B. n  21. C. n  22 . D. n  23 .
Hướng dẫn giải: Chọn D.
n 2u n 1 d   n  23 1    Ta có: S   2.483  .
n 2.1 n   1 .2 2
n  2n  483  0  n  2 n  21  Do *
n N n  23 .
Câu 18: Cho một cấp số cộng (u ) có u  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính n 1 1 1 1 S    ...  u u u u u u 1 2 2 3 49 50 9 4 49 A. S B. S C. S  123 D. S  246 23 246 Hướng dẫn giải:
Gọi d là công sai của cấp số đã cho 497  2u Ta có: S
 50 2u  99d  1  24850  d   5 100 1 99 5 5 5  5S    ...  u u u u u u 1 2 2 3 49 50
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u u u u u u 2 1 3 2 50 49    ...  u u u u u u 1 2 2 3 49 50 1 1 1 1 1 1 1 1      ...     u u u u u u u u 1 2 2 3 48 49 49 50 1 1 1 1 245      u u u u  49d 246 1 50 1 1 49  S  . 246
Câu 19: Dãy số (u ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết: n
1. u  2n  3 n A. d  2  B. d  3 C. d  5 D. d  2 2. u  3  n 1 n A. d  2  B. d  3 C. d  3  D. d  1 3. 2 u n 1 n A. d   B. d  3 C. d  3  D. d  1 2 4. u n n 1 A. d   B. d C. d  3  D. d  1 2 Hướng dẫn giải:
1. Ta có: u
u  2(n 1)  3  (2n  3)  2 là hằng số n 1  n
Suy ra dãy (u ) là cấp số cộng với công sai d  2 . n 2. Ta có: uu  3
 (n 1) 1 ( 3  n 1)  3  là hằng số n 1  n
Suy ra dãy (u ) là cấp số cộng với công sai d  3  . n 3. Ta có: 2 2 u
u  (n 1) 1 (n 1)  2n 1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy (u ) không phải là cấp n 1  n n số cộng. 2 2 2 4. Ta có: uu    phụ thuộc vào n n 1  n n 1 n n(n 1)
Vậy dãy (u ) không phải là cấp số cộng. n
Câu 20: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai.
1. u  3n 1 n A. d   B. d  3 C. d  3  D. d  1
2. u  4  5n n A. d   B. d  3 C. d  5  D. d  1 2n  3 3. u n 5
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 2 A. d   B. d C. d  3  D. d  1 5 n  1 4. u n n A. d   B. d  3 C. d  3  D. d  1 n 5. u n 2n A. d   B. d  3 C. d  3  D. d  1 6. 2 u n 1 n A. d   B. d  3 C. d  3  D. d  1 Hướng dẫn giải:
1. Ta có: u
u  3(n 1) 1 3n 1  3 n 1  n
Dãy (u ) là CSC có công sai d  3 . n 2. Ta có: uu  5  n 1  n
Dãy (u ) là CSC có công sai d  5  n 2 2 3. Ta có: uu
. Dãy (u ) là CSC có công sai d n 1  n n 5 5 1 4. Ta có: uu  
 (u ) không là CSC n 1  n n(n 1) n
5. Tương tự ý 4 dãy (u ) không là CSC n
6. Tương tự ý 4 dãy (u ) không là CSC. n
Câu 21: Cho cấp số cộng u có: u  0
 ,3; u  8 . Khẳng định nào sau đây là sai? n  1 8
A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.
B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5.
C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6.
D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7.
Hướng dẫn giải: Chọn D. 11
Ta có: u  8  u  7d  8  0, 3  7d  8  d  8 1 10 11
Số hạng tổng quát của cấp số cộng u là: u  0,3 
n   u  6,9 n  1 n  7 10
Câu 22: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. A. 7; 12; 17 . B. 6; 10;14 . C. 8;13;18 . D. 6;12;18 .
Hướng dẫn giải: Chọn A. u  2  5  7 2 u  2  Khi đó 1 
 22  u  4d d  5  u  7  5  12 1 3 u  22  5 u 12  5 17  4 1 16
Câu 23: Viết 4 số hạng xen giữa các số và
để được cấp số cộng có 6 số hạng. 3 3
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 4 5 6 7 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15 A. ; ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; ; . D. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
Hướng dẫn giải: Chọn B.  1  1 4 4 7 u u   1  ;u  1  1 2 3  3 16    3 3 3 3 Ta có   u  5d   d  1  . 1  16 3 10 13   u u  ;u  6 4 5   3   3 3
Câu 24: Cho dãy số u
với : u  7  2n . Khẳng định nào sau đây là sai? n n
A. 3 số hạng đầu của dãy: u  5;u  3;u  1.
B. Số hạng thứ n + 1: u  8  2n . 1 2 3 n 1 
C. Là cấp số cộng có d = – 2.
D. Số hạng thứ 4: u  1  . 4
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Thay n  1; 2;3; 4 đáp án A, D đúng u  7  2 n
  n   n  
u   n   suy ra đáp án B sai n   * 1 5 2 7 2 ( 2) ( 2) . 1 n
Câu 25: Cho dãy số u có u
2; d  2; S  21 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? n  1
A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng.
C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng.
D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng.
Hướng dẫn giải: Chọn B.
n 2u n 1 d   n  6 1    Ta có: S   2.21 2  .
n 2. 2  n   1 . 2  2
n n  21  0  n  2 n  7  Do *
n N n  6 . Suy ra chọn đáp án B.
Câu 26: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u , công sai d, n  2. ? 1
A. u u d .
B. u u n 1 d
C. u u n 1 d D. n 1   n 1   n 1
u u n 1 d . n 1  
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Công thức số hạng tổng quát : u u n 1 d , n  2 . n 1  
Câu 27: Cho cấp số cộng u có u  1  2;u  18 . Tìm u n  4 14 1, d của cấp số cộng?
A. u  20, d  3  . B. u  2  2, d  3. C. u  2  1, d  3  . D. u  2  1, d  3  . 1 1 1 1
Hướng dẫn giải: Chọn C.
u u  3d
u  3d  12 d  3 Ta có : 4 1 1      . Suy ra chọn đáp án C
u u 13d u  13d  18 u  21  14 1  1  1
Câu 28: Cho cấp số cộng u có u  1
 2;u  18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: n  4 14 A. S = 24. B. S = –24. C. S = 26. D. S = –25.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
n 2u n 1 d   16 2. 2   1 15.3 1     
Sử dụng kết quả bài 17. Tính được S   S   24 . n 2 16 2
Câu 29: Cho cấp số cộng u có u  1  5;u  60 . Tìm u n  5 20 1, d của cấp số cộng? A. u  3  5, d  5  . B. u  3  5, d  5.
C. u  35, d  5 
D. u  35, d  5 . 1 1 1 1
Hướng dẫn giải: Chọn B.
u u  4d
u  4d  15 d  5 Ta có : 5 1 1      uu 19d u  19d  60 u  35  20 1  1  1
Câu 30: Cho cấp số cộng u có u  1
 5;u  60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: n  5 20 A. S20 = 200 B. S20 = –200 C. S20 = 250 D. S20 = –25
Hướng dẫn giải: Chọn C.
n 2u n 1 d   20 2. 3  5 19.5 1     
Sử dụng kết quả bài 17. Tính được S   S   250 . n 2 20 2
Câu 31: Cho cấp số cộng (u ) có u u  20, u u  2
 9 . Tìm u , d ? n 2 3 5 7 1
A. u  20; d  7 . B. u  20,5; d  7 .
C. u  20,5; d  7  . D. u  2  0,5;d  7  . 1 1 1 1
Hướng dẫn giải: Chọn C.
2u  3d  20 u  20, 5
Áp dụng công thức u u  (n1) d ta có 1 1  . n 1  
2u  10d  29 d  7   1 
Câu 32: Cho cấp số cộng: 2  ; 5; 8  ; 1
 1; 14;........Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên?
A. d  3;S  510 . B. d  3  ;S  6  10 . 20 20 C. d  3  ;S  610 .
D. d  3;S  6  10 . 20 20
Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có 5   2  (3); 8   5   ( 3  ); 1  1  8  ( 3  ); 14  1  1 ( 3  );.... nên d  3  . n(n1)
Áp dụng công thức S nu d , ta có S  6  10 . n 1 20 2 1 1 3 5
Câu 33: Cho dãy số u
: ; - ; - ; - ;... Khẳng định nào sau đây sai? n  2 2 2 2
A. (un) là một cấp số cộng. B. có d  1  . C. Số hạng u  19, 5 .
D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 1  80 . 20
Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 3 1 5 3 Ta có    ( 1  ); -    ( 1  ); -  
 (1);..... . Vậy dãy số trên là cấp số cộng với công sai 2 2 2 2 2 2 d  1  . Ta có u
u 19d  1  8,5 . 20 1 2n 1
Câu 34: Cho dãy số u có u
. Khẳng định nào sau đây đúng? n n 3 1 2 1 2
A. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d   .
B. (un) là cấp số cộng có u1 = ; d  . 3 3 3 3
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
C. (un) không phải là cấp số cộng.
D. (un) là dãy số giảm và bị chặn.
Hướng dẫn giải: Chọn B. 2(n 1) 1 2n 1 2 1 Ta có uu    và u  . n 1  n 3 3 3 1 3 1
Câu 35: Cho dãy số u có u
. Khẳng định nào sau đây sai? n n n  2
A. Các số hạng của dãy luôn dương.
B. là một dãy số giảm dần. 1
C. là một cấp số cộng.
D. bị chặn trên bởi M = . 2
Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 Ta có u  ; u  ; u 
. u u u u nên dãy số không phải là cấp số cộng. 1 2 3 2 1 3 2 3 4 5 2 2n 1
Câu 36: Cho dãy số u (u u
. Khẳng định nào sau đây sai? n  n) có n 3 1 2 2 2(n 1) 1
A. Là cấp số cộng có u  ; d  ;
B. Số hạng thứ n+1: u  1 3 3 n 1  3 2(2n 1) C. Hiệu uu
D. Không phải là một cấp số cộng. n 1  n 3
Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2 2(n1) 1 2n 1 2(2 n1) Ta có uu   
. Vậy dãy số trên không phải cấp số cộng. n 1  n 3 3 3
Câu 37: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Tìm các góc còn lại? A. 75o ; 120o; 165o. B. 72o ; 114o; 156o. C. 70o ; 110o; 150o. D. 80o ; 110o; 135o.
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Ta có: u u u u  360  30  30  d  30  2d  30  3d  360  d  40 . 1 2 3 4
Vâỵ u  70; u 110; u  150 . 2 3 4
Câu 38: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9  và tổng các bình
phương của chúng bằng 29. A. 1; 2;3 B. 4  ; 3; 2 C. 2  ; 1  ;0 D. 3  ; 2; 1 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Gọi ba số hạng của CSC là a  2x; a; a  2x với d  2x a  3 
a  2x a a  2x  9   Ta có:    1 . 2 2 2
(a  2x)  a  (a  2x)  29 x      2
Câu 39: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành
cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
A. b  15, c  20, d  25, a  12
B. b  16, c  20, d  25, a  12
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
C. b  15, c  25, d  25, a  12
D. b  16, c  20, d  25, a  18 Hướng dẫn giải: Chọn B.
a d  37
a  37  d   c b  36 c  36    b
Gọi bốn số đó là a, b, c, d ta có hệ :   
a c  2b d  73  3   b 2 2   bd c
b(73  3b)  (36  b)  
b  16, c  20, d  25, a  12 . u u  8
Câu 40: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn 7 3  . Tìm u , d ? u .u  75 1  2 7 d  2 d  2 d  2 d  2 A. B. C. D.
u  2, u  17 
u  3, u  7
u  3, u  17
u  3, u  17 1 1  1 1  1 1  1 1 Hướng dẫn giải: Chọn C.
u  6d u  2d  8 d  2 Ta có: 1 1   
(u d )(u  6d )  75
u  3, u  17  1 1  1 1
u u  11  31 34
Câu 41: Cho cấp số cộng (un) có công sai d  0 ; 
. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp 2 2
u u  101  31 34 số cộng đó.
A. u  3n  9
B. u  3n  2
C. u  3n  92
D. u  3n  66 n n n n Hướng dẫn giải: Chọn C.
2u  63d  11 u  89 Ta có: 1 1    2 2
(u  30d )  (u  33d )  101 d  3  1 1 
Vậy u  3(n 1)  89  3n  92 . n
Câu 42: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25o.
Tìm 2 góc còn lại? A. 65o ; 90o. B. 75o ; 80o. C. 60o ; 95o. D. 60o ; 90o.
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Ta có : u u u  180  25  25  d  25  2d  180  d  35 . 1 2 3
Vâỵ u  60; u  90. 2 3
Câu 43: Tam giác ABC có ba góc ,
A B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C  5A . Xác định số đo các góc , A B, C . 0 A  10 0 A  15 0  A  5 0 A  20     A. 0 0 0 0 B  120 B. B  105 C. B  60 D. B  60  0    C  50 0 0 0  C  60  C  25  C  100 
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn D.
Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình : 0 0
A B C  180 C  5AA  20    0
A C  2B  B  3A  B  60 .   0  0 C  5A 9A  180 C  100   
Câu 44: Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và 3  3
sin A  sin B  sin C
tính các góc của tam giác 2 A. 0 0 0 30 , 60 ,90 B. 0 0 0 20 , 60 ,100 C. 0 0 0 10 , 50 ,120 D. 0 0 0 40 , 60 ,80 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ba góc của tam giác: 0 0 0 30 , 60 ,90
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG Phương pháp:
a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC  a c  2b
Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. 2 2
a c  2ab  2bc . B. 2 2
a c  2ab  2bc . C. 2 2
a c  2ab  2bc . D. 2 2
a c ab bc .
Hướng dẫn giải: Chọn B.
a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
b a c b  b a2  c b2 2 2
a c  2ab  2bc .
Suy ra chọn đáp án B.
Câu 2: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. 2 2
a c  2ab  2bc  2ac . B. 2 2
a c  2ab  2bc  2ac . C. 2 2
a c  2ab  2bc  2ac . D. 2 2
a c  2ab  2bc  2ac .
Hướng dẫn giải: Chọn C.
a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
b a c b  b a2  c b2 2 2
a c  2ab  2bc 2 2 2
a c  2c  2ab  2bc  2ab  2c c b
 2ab  2c b a  2ab  2bc  2ac
Câu 3: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ? A. 2 2 2b , , a c . B. 2  , b 2  a, 2  c .
C. 2b, a, c .
D. 2b, a, c .
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a c  2b
 2 b c  2
 .2a  2b  2c  2 2  a  2b, 2
a, 2c lập thành một cấp số cộng
Câu 4: Xác định x để 3 số : 2 1 ;
x x ;1 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của x . B. x  2 . C. x  1 . D. x  0 .
Hướng dẫn giải: : Chọn C. Ba số : 2 1 ;
x x ;1 x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 2
x    x 2 1
 1 x x 2
 2x  2  x  1
 suy ra chọn đáp án C.
Câu 5: Xác định x để 3 số : 2 1 2 ; x 2x 1; 2
x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? 3
A. x  3 . B. x   . 2 3 C. x   .
D. Không có giá trị nào của x . 4
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Ba số : 2 1 2 ; x 2x 1; 2
x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 2 2
2x 11 2x  2
x  2x  1 3 2
 4x  3  x   . Suy ra chọn đáp án B. 2
Câu 6: Xác định a để 3 số : 2 1 3 ;
a a  5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của a . B. a  0 . C. a  1 
D. a   2 .
Hướng dẫn giải: Chọn A. Ba số : 2 1 3 ;
a a  5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 2
a     a   a   2 5 1 3 1 a  5 2 2
a  3a  4  a a  4 2
a a  4  0 . PT vô nghiệm Suy ra chọn đáp án A.
Câu 7: Tìm x biết : 1. 2
x 1, x  2,1 3x lập thành cấp số cộng ;
A. x  4, x  3
B. x  2, x  3
C. x  2, x  5
D. x  2, x  1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: 2
x 1, x  2,1 3x lập thành cấp số cộng 2 2
x 11 3x  2(x  2)  x  5x  6  0  x  2; x  3
Vậy x  2, x  3 là những giá trị cần tìm. 2 2
Câu 8: Cho các số 5x y, 2x  3y, x  2 y lập thành cấp số cộng ; các số  y  
1 , xy 1,  x   1 lập
thành cấp số nhân.Tính x, y  1 4   3 3   10 4   3 3  A. ( ; x y)  0;0; ; ;  ;      B. ( ; x y)  0;0; ; ;  ;       3 3   4 10   3 3   4 10  11 4   3 3   10 4   13 13  C. ( ; x y)  1;0; ; ;  ;      D. ( ; x y)  0;  1 ; ; ;  ;       3 3   4 10   3 3   4 10  Hướng dẫn giải: Chọn B.
Ta có các số 5x y, 2x  3y, x  2 y lập thành CSC nên suy ra 22x  3y  5x y x  2 y hay 2x  5 y (1) 2 2 Các số  y  
1 , xy 1,  x   1 lập thành CSN suy ra
xy  2   y  2  x  2 1 1 1
 4  2 y  2x4xy  2x  2 y  0 (2)
Thay (1) vào (2) ta được :   y y  2 4 2 5
10 y  5 y  2 y   0 4 3
y 4  3y 10y  3  0  y  0, y  , y   . 3 10  10 4   3 3  Vậy ( ; x y)  0;0; ; ;  ;      .  3 3   4 10 
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Câu 9: Tìm x, y biết: Các số x  5y, 5x  2 y,8x y lập thành cấp số cộng và các số
y  2 xy   x  2 1 , 1,
1 lập thành cấp số nhân. 3  3     3   3  A. ( ; x y)   3; ;    3;  B. ( ; x y)   3;  ;  3;   2  2          2 2      3   3   3   3  C. ( ; x y)   3;  ; 3;  D. ( ; x y)    3;  ; 3;   2   2          2 2     Hướng dẫn giải: Chọn D.
x  5y  8x y  2(5x   2y) Ta có hệ: 
giải hệ này ta tìm được 2 2 2 (
x  1) (y  1)  (xy  1)   3   3 
(x; y)    3;   ;  3;  .  2   2     
Câu 10: Tìm x, y biết: Các số x  6 y, 5x  2 y, 8x y lập thành cấp số cộng và các số 5
x y, y  1, 2x  3y lập thành cấp số nhân. 3    
A. x y     3 1 ( ; ) 3; 1 ; ;  
B. x y     1 1 ( ; ) 3; 1 ; ;    8 8   8 8     12 1  C. x y    3 1 ( ; ) 3; 1 ; ;   D. ( ;
x y)  3;   1 ; ;    8 8   8 8  Hướng dẫn giải: Chọn A.
x  6y  8x y  2(5x  2y)  Ta có hệ:  5
giải hệ này ta tìm được 2
(x y)(2x  3y)  (y  1)   3  3 1  ( ; x y)   3  ;   1 ; ;   .  8 8 
Câu 11: Xác định a, b để phương trình 3
x ax b  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. b  0, a  0
B. b  0, a  1
C. b  0, a  0
D. b  0, a  0 Hướng dẫn giải: Chọn A.
Đáp số: b  0, a  0 . Khi đó phương trình có ba nghiệm lập thành CSC là x  0, x   a .
Câu 12: Tìm m để phương trình: 4
mx  m   2 2
1 x m 1  0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 9 7 9 A. m   B. m  1 C. m   D. m   16 16 12 Hướng dẫn giải: Chọn A.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 9
Đáp số : m   16
Câu 13: Tìm m để phương trình: 3 2
x  3mx  4mx m  2  0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân  1  10  10 m   m  m  1 m   A.  27 B.  7 C. D.  27   m  0  m  0   m  0  m  0  Hướng dẫn giải: Chọn D.
Giả sử phương trình có ba nghiệm a, b, c lập thành CSN
abc  2  m Suy ra 3 
m  2  b thay vào phương trình ta có 2 b   ac  4 10 b   m   3 (3b 4)(b 2) 0      3 27  3 b  2  m  0 
Thay ngược lại ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 14: Xác định m để: 1. Phương trình 3 2
x  3x  9x m  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. m  16 B. m  11 C. m  13 D. m  12 2. Phương trình 4
x  m   2 2
1 x  2m 1  0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 4 4
A. m  2 hoặc m  
B. m  4 hoặc m   9 9
C. m  4 hoặc m  2 
D. m  3 hoặc m  1 Hướng dẫn giải:
1. Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Khi đó: x x  2x , x x x  3  x  1 1 3 2 1 2 3 2
Thay vào phương trình ta có : m  11 .
Với m  11 ta có phương trình : 3 2
x  3x  9x  11  0   x   1  2
x  2x 1 
1  0  x  1 12, x  1, x  1 12 1 2 3
Ba nghiệm này lập thành CSC.
Vậy m  11 là giá trị cần tìm. 2. Đặt 2
t x ,t  0 .
Phương trình trở thành: 2
t  2 m  1t  2m  1  0 (2)
Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t t  0 . 2 1 '  0   m  2 1  2m   1  0    1   P  0   2m  1  0    m  0 2  S 0   2  m 1  0  
Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là:  t ;  t ; t ; t 2 1 1 2
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :
 t t  2   t 2 1 1 
t  3 t t  9t 2 1 2 1
t t  2   t 1 2 1  m  4 t
  t  2 m  1 t
  9t  2 m  1 1 1   1 2   Theo định lý viet thì : 2    
 9m  32m  16  0  4 .
t t  2m  1  
t 9t  2m  1 m   1 2  1 1  9 4
Vậy m  4 hoặc m   là những giá trị cần tìm. 9
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 CẤP SỐ NHÂN
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội)
2. Số hạng tổng quát: 1 u u .   n q với n  2 n 1
3. Tính chất các số hạng: 2 u u .u với k  2 k k 1  k 1  S nu vôùi q  1 n 1 
4. Tổng n số hạng đầu tiên: u (1 n q )  1 S vôùi q  1  n 1  q B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN Phương pháp: u
 Dãy số (u ) là một cấp số nhân n 1  
q không phụ thuộc vào n và q là công bội. n un
 Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân 2  ac b .
 Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn
giả thiết của bài toán qua u và q . 1
Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân
B. Số hạng tổng quát un = 1n =1
C. Dãy số này là cấp số nhân có u1= –1, q = –1
D. Số hạng tổng quát un = (–1)2n. 1 1 1 1
Câu 2. Cho dãy số : 1; ; ; ;
; ... . Khẳng định nào sau đây là sai? 2 4 8 16 1 1
A. Dãy số này là cấp số nhân có u1= 1, q = .
B. Số hạng tổng quát un = . 2 n 1 2  1
C. Số hạng tổng quát un = .
D. Dãy số này là dãy số giảm. 2n
Câu 3. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.
B. Là cấp số nhân có u  1  ; q=1. 1
C. Số hạng tổng quát u  (1)n.
D. Là dãy số giảm. n 1 1 1 1
Câu 4. Cho dãy số : 1  ; ;  ; ; 
. Khẳng định nào sau đây là sai? 3 9 27 81
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân. 1
B. Dãy số này là cấp số nhân có u  1  ; q=  . 1 3 n 1
C. Số hạng tổng quát. u n   1 . n 1 3 
D. Là dãy số không tăng, không giảm. 1
Câu 5. Cho cấp số nhân u
với u   ; u  32 . Tìm q ? n  1 7 2 1 A. q   . B. q  2 . C. q  4 . D. q  1  . 2
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Câu 6. Cho cấp số nhân u với u  2
 ; q=-5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u n  1 n ? n A.     1 10; 50; 250; 2 5 . B. 1 10; 50; 250; 2. 5    n . n
C. 10;  50; 250;  2  .5n . D.     1 10; 50; 250; 2 5 .
Câu 7. Cho cấp số nhân u
với u  4; q  4
 . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u ? n  1 n n n A. 1  6; 64;  256;   4   . B. 1  6; 64;  256;  4   . n C. 1  6; 64;  256; 4  4   . D. 1
 6; 64;  256; 4n .
Câu 8. Cho cấp số nhân u với u  1
 ; q=0,00001. Tìm q và u ? n  1 n 1 1  1  A. q  ; u  B. 1  ; u  10   n q n n 1 10 10  n 10 1  1 1  ( 1  )n C. q  ; u  D. q  ; u  n n 1 10 10  n n 1 10 10  1  1
Câu 9. Cho cấp số nhân u với u  1  ; q  . Số
là số hạng thứ mấy của u ? n n  1 10 103 10
A. Số hạng thứ 103
B. Số hạng thứ 104
C. Số hạng thứ 105
D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Câu 10. Cho cấp số nhân u với u  3; q=  2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của u ? n n  1 A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7.
D. Không là số hạng của cấp số đã cho. 1 
Câu 11. Cho cấp số nhân u
với u  3; q
. Số 222 là số hạng thứ mấy của u ? n n  1 2 A. Số hạng thứ 11 B. Số hạng thứ 12 C. Số hạng thứ 9
D. Không là số hạng của cấp số đã cho
u u u u  15
Câu 12: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u biết: 1 2 3 4 1  2 2 2 2
u u u u  85  1 2 3 4
A. u  1,u  2
B. u  1,u  8
C. u  1,u  5
D. u  1,u  9 1 1 1 1 1 1 1 1
u u u u u  11 1 2 3 4 5 
Câu 13: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u biết: 1  82 u u   1 5  11 1 81 1 81 1 81 2 81 A. u  ,u B. u  , u C. u  ,u D. u  ,u 1 1 11 11 1 1 12 12 1 1 13 13 1 1 11 11
Câu 14: Dãy số (u ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: n u  2n n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Câu 15: Dãy số (u ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: n u  4.3n n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Câu 16: Dãy số (u ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: n 2 u  . n n 1 A. q  3 B. q C. q  4 D. q   2
Câu 17: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
1. Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. u  2n n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Câu 18: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. n 1 3  u   n 5 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Câu 19: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
u  3n 1 n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Câu 20: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 2n 1 u n 3 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Câu 21: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 3 u n . n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   n 1 
Câu 22: Cho dãy số (u ) với 2 u  3 n n
1. Tìm công bội của dãy số (un). 3 1 A. q B. q  3 C. q D. q  3 2 2
2. Tính tổng S u u u  u 2 4 6 20 9 9 9 7 A. 20 S  (3 1) B. 20 S  (3 1) C. 10 S  (3 1) D. 10 S  (3 1) 2 2 2 2
3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. A. 15 B. 16 C. 19 D. 17
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Câu 23:
1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai.
Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó. 2 2 A. u  ;u
;u  2;u  18;u  54;u  162 1 2 3 5 6 7 9 5 2 2 B. u  ;u
;u  2;u  18;u  54;u  162 1 2 3 5 6 7 7 3 2 2 C. u  ;u
;u  2;u  21;u  54;u  162 1 2 3 5 6 7 9 3 2 2 D. u  ;u
;u  2;u  18;u  54;u  162 1 2 3 5 6 7 9 3  2 u
Câu 24: Cho cấp số nhân (u ) thỏa: 4  27 . nu  243  u 3 8
1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; 2 2 2 2 2 2 2 2
A. u  2, u  , u  ;u  , u
B. u  1,u  ,u  ;u  , u C. 1 2 3 4 5 5 9 27 81 1 2 3 4 5 3 9 27 81 2 2 2 2 2 2 2 2 u  2, u  , u  ;u  , u
D. u  2, u  , u  ;u  , u  1 2 3 4 5 3 9 27 64 1 2 3 4 5 3 9 27 81
2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 59048 59123148 1359048 59048 A. S B. S C. S D. S  10 12383 10 19683 10 3319683 10 19683 2 3. Số
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 6561 A. 41 B. 12 C. 9 D. 3
Câu 25: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây:  1  1 u   u  1  1 
u  1; u  2 A.  2 B. 2  C. 2 u n 1 D. 1 2 n  2  uu .u u    n 1  n 1  nu u   2 . u n 1  nn 1  n
Câu 26: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với n n  1    1  A. u  là dãy số tăng. B. u  là dãy số tăng. n   n    4   4  n
C. u  4n là dãy số tăng. D. u  là dãy số tăng. n  4   n
Câu 27: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với 1 3  A. u  là dãy số giảm. B. u  là dãy số giảm. n 10n n 10n n
C. u  10n là dãy số giảm. D. u  là dãy số giảm. n  1  0 n
Câu 28: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 5  1  A. Cấp số nhân: 2
 ;  2, 3;  2, 9; ... có u  2   . 6     3 
B. Cấp số nhân: 2;  6; 18; ... có u  2.36 . 6
C. Cấp số nhân: 1;  2;  2; ... có u  2  2. 6
D. Cấp số nhân: 1;  2;  2; ... có u  4  2. 6
Câu 29: Cho cấp số nhân u có công bội q . Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: n uu
A. u u .u B. 1  1  u k k C. 1 u u .   k q . D. k k 1  k 2 k 2 k 1
u u k 1 . q k 1   u  2 1 
Câu 30: Cho dãy số u xác định bởi : . Chọn hệ thức đúng: n   1 u  .  u 1   n 10 n 1 1 A. u
là cấp số nhân có công bội q   . B. u  ( 2  ) . n  10 n n 1 10  uu C. 1  1  u n nn  2 .
D. u u .un  2 . n 2 n n 1  n 1 
Câu 31: Cho dãy số u : 2 3 1; ;
x x ; x ; ... (với x R , x  1 , x  0 ). Chọn mệnh đề đúng: n
A. u là cấp số nhân có u n x . B. u
là cấp số nhân có u  1; q  . x n n n 1 C. u
không phải là cấp số nhân.
D. u là một dãy số tăng. n n
Câu 32: Cho dãy số u : 3 5 7 ;
x x ; x ;  x ; ... (với x R , x  1 , x  0 ). Chọn mệnh đề sai: n n
A. u là dãy số không tăng, không giảm.
B. u là cấp số nhân có u x n   1 2n 1 1 .    . n n  2n 1 x(1   x )
C.u có tổng S D. u
là cấp số nhân có u x , 2 q  x . n n n 2 1 x 1
Câu 33: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. 1; 0, 2; 0, 04; 0,0008; ...
B. 2; 22; 222; 2222; ...
C. x; 2x; 3 ; x 4 ; x ... D. 2 4 6
1;  x ; x ;  x ; ... 2
Câu 34: Cho cấp số nhân có u  3, q  . Chọn kết quả đúng: 1 3 4 8 16
A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là: 2; ; ; . 3 3 3 n 1   2  B. u  3. . n    3  n  2  C. S  9.  9. n    3  D. u là một dãy số tăng. n  2
Câu 35: Cho cấp số nhân có u  3  , q  . Tính u ? 1 3 5 27  16  16 27 A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . 5 16 5 27 5 27 5 16
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 2 96 
Câu 36: Cho cấp số nhân có u  3  , q  . Số
là số hạng thứ mấy của cấp số này? 1 3 243 A. Thứ 5. B. Thứ 6. C. Thứ 7.
D. Không phải là số hạng của cấp số. 1
Câu 37: Cho cấp số nhân có u
; u  16 . Tìm q và u . 2 4 5 1 1 1 1 1 A. q  ; u  .
B. q   ; u   . 1 2 2 1 2 2 1 1
C. q  4; u  . D. q  4  ; u   . 1 16 1 16
u u u u u  11 1 2 3 4 5 
Câu 38: Cho CSN (u ) thỏa: n  82 u u   1 5  11
1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số n 1 3  1 81 1
A. q  3;u
B. q  ;u  . C. Cả A, B đúng D. Cả A, B sai n 11 n n 1 3 11 3 
2. Tính tổng S2011 1 243  1  1 A. q  ; S  1
B. q  3; S   2011 3 1 2011  2011  2011  3 22  3  22 C. Cả A, B đúng D. Cả A, B sai  1  3. Trên khoảng ;1 
 có bao nhiêu số hạng của cấp số.  2  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN Phương pháp:
a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSN 2  ac b . 1  Câu 1: Cho dãy số ;
b; 2 . Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân? 2 A. b  1  . B. b  1. C. b  2 .
D. Không có giá trị nào của . b 1  1 
Câu 2: Cho cấp số nhân: ; a;
. Giá trị của a là: 5 125 1 1 1 A. a   . B. a   . C. a   . D. a  5  . 5 25 5
Câu 3: Cho dãy số: -1; x; 0,64 . Chọn x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
A. Không có giá trị nào của . x
B. x  0, 008. C. x  0, 008. D. x  0, 004.
Câu 4: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 1 1 A. u  1 B. u C. 2 u n D. 2 u n n 4n n n 2 4  n 4 n 4
Câu 5: Xác định x để 3 số 2x 1; x; 2x 1 lập thành một cấp số nhân: 1 A. x   . B. x   3. 3 1 C. x   .
D. Không có giá trị nào của x . 3
Câu 6: Xác định x để 3 số x  2; x 1; 3  x lập thành một cấp số nhân:
A. Không có giá trị nào của . x B. x  1. C. x  2. D. x  3.
Câu 7: Tìm x biết : 2 2
1, x , 6  x lập thành cấp số nhân. A. x  1 
B. x   2 C. x  2  D. x   3 5
Câu 8: Các số x  6 y, 5x  2 y,8x y lập thành cấp số cộng và các số x
y, y 1, 2x  3y lập thành 3 cấp số nhân.  3 1   1 1 
A. (x; y)  3;   1 ; ;  
B. (x; y)  3;   1 ; ;    8 8   8 8   3 1   12 1 
C. (x; y)  3;  1 ; ;  
D. (x; y)   3  ;   1 ; ;    8 8   8 8 
Câu 9: Phương trình 3 2
x  2x  m  
1 x  2 m  
1  0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. A. m  1
 , m  3, m  4
B. m  1, m  13, m  4 
C. m  1, m  3, m  4 D. m  1
 , m  3, m  4
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
C – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN Phương pháp: u
 Dãy số (u ) là một cấp số nhân n 1  
q không phụ thuộc vào n và q là công bội. n un
 Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân 2  ac b .
 Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn
giả thiết của bài toán qua u và q . 1
Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân
B. Số hạng tổng quát un = 1n =1
C. Dãy số này là cấp số nhân có u1= –1, q = –1
D. Số hạng tổng quát un = (–1)2n.
Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có 1  1  ( 1
 ); 1  1(1) . Vậy dãy số trên là cấp số nhân với u  1  ; q= 1 . 1 1 1 1 1
Câu 2. Cho dãy số : 1; ; ; ;
; ... . Khẳng định nào sau đây là sai? 2 4 8 16 1 1
A. Dãy số này là cấp số nhân có u1= 1, q = .
B. Số hạng tổng quát un = . 2 n 1 2  1
C. Số hạng tổng quát un = .
D. Dãy số này là dãy số giảm. 2n
Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có  1. ;  . ;  . ;
 . ;.... Vậy daỹ số trên là cấp số nhân với u  1; q= . 2 2 4 2 2 8 4 2 16 8 2 1 2 n 1  n  1  1
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nân ta có : 1 u u q   . n 1   n 1  2  2 
Câu 3. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.
B. Là cấp số nhân có u  1  ; q=1. 1
C. Số hạng tổng quát u  (1)n.
D. Là dãy số giảm. n
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Các số hạng trong dãy giống nhau nên gọi là cấp số nhân với u  1  ; q=1. 1 1 1 1 1
Câu 4. Cho dãy số : 1  ; ;  ; ; 
. Khẳng định nào sau đây là sai? 3 9 27 81
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân. 1
B. Dãy số này là cấp số nhân có u  1  ; q=  . 1 3 n 1
C. Số hạng tổng quát. u n   1 . n 1 3 
D. Là dãy số không tăng, không giảm.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 1  1  1 1  1  1 1  1  Ta có:  1.  ;    .  ;   .  ;.......      
Vậy dãy số trên là cấp số nhân với 3  3  9 3  3  27 9  3  1 u  1  ; q=- . 1 3 n 1    1  n n 1
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có 1 u u q  1    1  . . n 1     n 1  3  3  1
Câu 5. Cho cấp số nhân u
với u   ; u  32 . Tìm q ? n  1 7 2 1 A. q   . B. q  2 . C. q  4 . D. q  1  . 2
Hướng dẫn giải: Chọn B.q  2
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có n 1  6 6 u u q
u u .q q  64  n 1 7 1 q  2   .
Câu 6. Cho cấp số nhân u với u  2
 ; q=-5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u n  1 n ? n A.     1 10; 50; 250; 2 5 . B. 1 10; 50; 250; 2. 5    n . n
C. 10;  50; 250;  2  .5n . D.     1 10; 50; 250; 2 5 .
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Ta có u u .q  2  . 5 
 10; u  u .q  10. 5  50; u  u .q  5  0. 5   250 . 2 1     3 2   4 3   n
Số hạng tổng quát u u . n  q  . n  2  . 5   1 1 1
Câu 7. Cho cấp số nhân u
với u  4; q  4
 . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u ? n  1 n n n A. 1  6; 64;  256;   4   . B. 1  6; 64;  256;  4   . n C. 1  6; 64;  256; 4  4   . D. 1
 6; 64;  256; 4n .
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Ta có u u .q  4. 4 
 16; u  u .q  16. 4  64; u  u .q  64. 4   256 . 2 1   3 2   4 3   n
Số hạng tổng quát u u . n  q  4. . n  4   1 1 1
Câu 8. Cho cấp số nhân u với u  1
 ; q=0,00001. Tìm q và u ? n  1 n 1 1  1  A. q  ; u  B. 1  ; u  10   n q n n 1 10 10  n 10 1  1 1  ( 1  )n C. q  ; u  D. q  ; u  n n 1 10 10  n n 1 10 10 
Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 Ta có 5 5
u u .q  0, 00001  1.
q q   . 6 1 10 n 1  n n     1 1 1  
Số hạng tổng quát u u .q  1.   . n 1   n 1  10  10 
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 1  1
Câu 9. Cho cấp số nhân u với u  1  ; q  . Số
là số hạng thứ mấy của u ? n n  1 10 103 10
A. Số hạng thứ 103
B. Số hạng thứ 104
C. Số hạng thứ 105
D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Hướng dẫn giải: Chọn B. n 1  n 1  1  Ta có 1
u u .q   1. 
n 1  103  n  104 . n 1 103   10  10 
Câu 10. Cho cấp số nhân u với u  3; q=  2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của u ? n n  1 A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7.
D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Hướng dẫn giải: Chọn C. n 1  n 1  Ta có n 1 u u .   q  192  3. 2   2 
 64  n 1  6  n  7 . n 1     1 
Câu 11. Cho cấp số nhân u
với u  3; q
. Số 222 là số hạng thứ mấy của u ? n n  1 2 A. Số hạng thứ 11 B. Số hạng thứ 12 C. Số hạng thứ 9
D. Không là số hạng của cấp số đã cho
Hướng dẫn giải: Chọn D. n 1  n 1  n  1   1  Ta có 1
u u .q  222  3.   
 74 . Vậy 222 không là số hạng của cấp số đã cho. n 1      2   2 
u u u u  15
Câu 12: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u biết: 1 2 3 4 1  2 2 2 2
u u u u  85  1 2 3 4
A. u  1,u  2
B. u  1,u  8
C. u  1,u  5
D. u  1,u  9 1 1 1 1 1 1 1 1
Hướng dẫn giải: Chọn B. 4  q 1 u  2 3 15  1
u (1 q q q )  15  1  q 1 Ta có:    2
u 1 q q q  85 q 1  1  2 4 6  8   2 u  85 1 2  q 1  2 q  2 4 2 4
q 1   q 1  45 (q 1)(q 1) 45          8  4 1 q 1 q 1 17 (q 1)(q 1) 17 q       2
Từ đó ta tìm được u  1,u  8 . 1 1
u u u u u  11 1 2 3 4 5 
Câu 13: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u biết: 1  82 u u   1 5  11 1 81 1 81 1 81 2 81 A. u  ,u B. u  , u C. u  ,u D. u  ,u 1 1 11 11 1 1 12 12 1 1 13 13 1 1 11 11
Hướng dẫn giải:
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u  2 3 4  
1 q q q q  39 2  11
u q(1 q q )  1 1    11 Ta có:  82   4 82
u (1 q )  4  1 u (1 q )  1  11   11 4 q 1 82 1  
q  3, q  . 3 2
q q q 39 3
Câu 14: Dãy số (u ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: n u  2n n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Hướng dẫn giải: Chọn D. u n  1 Ta có: n 1  
phụ thuộc vào n suy ra dãy (u ) không phải là cấp số nhân. n u n n
Câu 15: Dãy số (u ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: n u  4.3n n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Hướng dẫn giải: Chọn A. n 1 u 4.3  Ta có: n 1  
 3 không phụ thuộc vào n suy ra dãy (u ) là một cấp số nhân với công bội q  3 . u 4.3n n n
Câu 16: Dãy số (u ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: n 2 u  . n n 1 A. q  3 B. q C. q  4 D. q   2
Hướng dẫn giải: Chọn D. u 2 2 n Ta có: n 1   : 
phụ thuộc vào n . u n 1 n n  1 n
Suy ra dãy (u ) không phải là cấp số nhân. n
Câu 17: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
1. Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. u  2n n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 u Ta có: n 1 
 2  (u ) là CSN với công bội q  2 n un
Câu 18: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. n 1 3  u   n 5 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Hướng dẫn giải: Chọn A. u Ta có: n 1 
 3  (u ) là CSN với công bội q  3 n un
Câu 19: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
u  3n 1 n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Hướng dẫn giải: Chọn D. u 3n  2 Ta có: n 1  
 (u ) không phải là CSN u 3n 1 n n
Câu 20: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 2n 1 u n 3 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Hướng dẫn giải: Chọn D. n 1 u 2  1 Ta có: n 1  
 (u ) không phải là CSN u 2n 1 n n
Câu 21: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 3 u n . n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q  
Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 u (n 1) Ta có: n 1  
 (u ) không phải là CSN. 3 n u n n n 1 
Câu 22: Cho dãy số (u ) với 2 u  3 n n
1. Tìm công bội của dãy số (un). 3 1 A. q B. q  3 C. q D. q  3 2 2
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
2. Tính tổng S u u u  u 2 4 6 20 9 9 9 7 A. 20 S  (3 1) B. 20 S  (3 1) C. 10 S  (3 1) D. 10 S  (3 1) 2 2 2 2
3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. A. 15 B. 16 C. 19 D. 17
Hướng dẫn giải: n 1  1  2 u 3 1. Ta có: n 1  * 
 3 , n N  Dãy số là cấp số nhân với u  3 3; q  3 . n 1 1  un 2 3
2. Ta có u ;u ;u ; ;
u lập thành cấp số nhân số hạng đầu u  9; q  3 và có 10 số hạng nên 2 4 6 20 2 10 10 1 3 3 1 9 10 S u .  9.  (3 1) 2 1 3 2 2 n 1  n 3. Ta có : 9 2 u  19683  3  3  1  9  n  16 n 2
Vậy số 19683 là số hạng thứ 16 của cấp số. Câu 23:
1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai.
Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó. 2 2 A. u  ;u
;u  2;u  18;u  54;u  162 1 2 3 5 6 7 9 5 2 2 B. u  ;u
;u  2;u  18;u  54;u  162 1 2 3 5 6 7 7 3 2 2 C. u  ;u
;u  2;u  21;u  54;u  162 1 2 3 5 6 7 9 3 2 2 D. u  ;u
;u  2;u  18;u  54;u  162 1 2 3 5 6 7 9 3
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Gọi CSN đó là (un), n  1, 7 . Theo đề bài ta có :  2 3  u  6  u .q  6 u  4 1 1      9 6 u  243u
u .q  243u .  q 7 2  1 1  q  3 
Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là 2 2 u  ;u
;u  2;u  18;u  54;u  162 1 2 3 5 6 7 9 3  2 u
Câu 24: Cho cấp số nhân (u ) thỏa: 4  27 . nu  243  u 3 8
1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 2 2 2 2 2 2 2 2
A. u  2, u  , u  ;u  , u
B. u  1,u  ,u  ;u  , u C. 1 2 3 4 5 5 9 27 81 1 2 3 4 5 3 9 27 81 2 2 2 2 2 2 2 2 u  2, u  , u  ;u  , u
D. u  2, u  , u  ;u  , u  1 2 3 4 5 3 9 27 64 1 2 3 4 5 3 9 27 81
2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 59048 59123148 1359048 59048 A. S B. S C. S D. S  10 12383 10 19683 10 3319683 10 19683 2 3. Số
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 6561 A. 41 B. 12 C. 9 D. 3
Hướng dẫn giải:
Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:  2 3  2 3 u q   1 1 u q     q  1 27  27     3 1 2 7 5 u q  243.   u q q u  2  1 1  1   243 2 2 2 2
1. Năm số hạng đầu của cấp số là: u  2, u  , u  ;u  , u  . 1 2 3 4 5 3 9 27 81
2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số 10  1  1 10 10 q 1    3   1     59048 S u  2.  3 1       . 10 1 q 1 1   3  19683 1   3 2 2 3. Ta có: n 1  8 u   u   3
 6561  3  n  9 n n 1 3  n 6561 2 Vậy
là số hạng thứ 9 của cấp số. 6561
Câu 25: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây:  1  1 u   u  1  1 
u  1; u  2 A.  2 B. 2  C. 2 u n 1 D. 1 2 n  2  uu .u u    n 1  n 1  nu u   2 . u n 1  nn 1  n
Hướng dẫn giải: Chọn B.  1 u u   1 Do n 1 
  2 ( không đổi) nên dãy số u  : 2 là một cấp số nhân. nunu   2 .  u n 1  n
Câu 26: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với n n  1    1  A. u  là dãy số tăng. B. u  là dãy số tăng. n   n    4   4  n
C. u  4n là dãy số tăng. D. u  là dãy số tăng. n  4   n
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Hướng dẫn giải: Chọn C. u 4n
Ta có: u  0, với mọi n và n   4  1 nên u là dãy số tăng. n n n 1 u 4  n 1 
Câu 27: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với 1 3  A. u  là dãy số giảm. B. u  là dãy số giảm. n 10n n 10n n
C. u  10n là dãy số giảm. D. u  là dãy số giảm. n  1  0 n
Hướng dẫn giải: Chọn A. n 1 u 10  1
Ta có: u  0, với mọi n và n    1 nên u là dãy số giảm. n n u 10n 10 n 1 
Câu 28: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 5  1  A. Cấp số nhân: 2
 ;  2, 3;  2, 9; ... có u  2   . 6     3 
B. Cấp số nhân: 2;  6; 18; ... có u  2.36 . 6
C. Cấp số nhân: 1;  2;  2; ... có u  2  2. 6
D. Cấp số nhân: 1;  2;  2; ... có u  4  2. 6
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Cấp số nhân có u  1
 ; q  2 nên u u .q  1  2  4 2 . 6 1   5 5 1
Câu 29: Cho cấp số nhân u có công bội q . Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: n uu
A. u u .u B. 1  1  u k k C. 1 u u .   k q . D. k k 1  k 2 k 2 k 1
u u k 1 . q k 1  
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Theo tính chất các số hạng của cấp số nhân. u  2 1 
Câu 30: Cho dãy số u xác định bởi : . Chọn hệ thức đúng: n   1 u  .  u 1   n 10 n 1 1 A. u
là cấp số nhân có công bội q   . B. u  ( 2  ) . n  10 n n 1 10  uu C. 1  1  u n nn  2 .
D. u u .un  2 . n 2 n n 1  n 1 
Hướng dẫn giải: Chọn A. u 1 1 Ta có: n 1    nên u
là cấp số nhân có công bội q   . n u 10 10 n
Câu 31: Cho dãy số u : 2 3 1; ;
x x ; x ; ... (với x R , x  1 , x  0 ). Chọn mệnh đề đúng: n
A. u là cấp số nhân có u n x . B. u
là cấp số nhân có u  1; q  . x n n n 1
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 C. u
không phải là cấp số nhân.
D. u là một dãy số tăng. n n
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Câu 32: Cho dãy số u : 3 5 7 ;
x x ; x ;  x ; ... (với x R , x  1 , x  0 ). Chọn mệnh đề sai: n n
A. u là dãy số không tăng, không giảm.
B. u là cấp số nhân có u x n   1 2n 1 1 .    . n n  2n 1 x(1   x )
C. u có tổng S D. u
là cấp số nhân có u x , 2 q  x . n n n 2 1 x 1
Hướng dẫn giải: Chọn C. n 1   n 1  n 1  u
là cấp số nhân có u x , 2
q  x do đó u x x x x x n  2    2n2   2n 1 . 1 . . 1 .        . n  1 Suy ra A, B, D đúng.
Câu 33: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. 1; 0, 2; 0, 04; 0,0008; ...
B. 2; 22; 222; 2222; ...
C. x; 2x; 3 ; x 4 ; x ... D. 2 4 6
1;  x ; x ;  x ; ...
Hướng dẫn giải: Chọn D. Dãy số : 2 4 6 u
1;  x ; x ;  x ; ... là cấp số nhân có số hạng đầu 1; công bội 2 q  x . 1 2
Câu 34: Cho cấp số nhân có u  3, q  . Chọn kết quả đúng: 1 3 4 8 16
A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là: 2; ; ; . 3 3 3 n 1   2  B. u  3. . n    3  n  2  C. S  9.  9. n    3  D. u là một dãy số tăng. n
Hướng dẫn giải: Chọn B. n 1   2  Áp dụng công thức: 1 u u .   n q ta được: u  3. . n 1 n    3  2
Câu 35: Cho cấp số nhân có u  3  , q  . Tính u ? 1 3 5 27  16  16 27 A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . 5 16 5 27 5 27 5 16
Hướng dẫn giải: Chọn B. 4  2  16 Ta có: 4
u u .q  3   . 5 1     3  27 2 96 
Câu 36: Cho cấp số nhân có u  3  , q  . Số
là số hạng thứ mấy của cấp số này? 1 3 243 A. Thứ 5. B. Thứ 6. C. Thứ 7.
D. Không phải là số hạng của cấp số.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Hướng dẫn giải: Chọn B. 96  Giả sử số
là số hạng thứ n của cấp số này. 243 n 1  n      96 2 96 Ta có: 1 u .q   3   n  6 . 1    243  3  243 96  Vậy số
là số hạng thứ 6 của cấp số. 243 1
Câu 37: Cho cấp số nhân có u
; u  16 . Tìm q và u . 2 4 5 1 1 1 1 1 A. q  ; u  .
B. q   ; u   . 1 2 2 1 2 2 1 1
C. q  4; u  . D. q  4  ; u   . 1 16 1 16
Hướng dẫn giải: Chọn C. 1
Ta có: u u .q   u .q ; 4 4
u u .q  16  u .q 2 1 1 4 5 1 1 1 Suy ra: 3
q  64  q  4 . Từ đó: u  . 1 16
u u u u u  11 1 2 3 4 5 
Câu 38: Cho CSN (u ) thỏa: n  82 u u   1 5  11
1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số n 1 3  1 81 1
A. q  3;u
B. q  ;u  . C. Cả A, B đúng D. Cả A, B sai n 11 n n 1 3 11 3 
2. Tính tổng S2011 1 243  1  1 A. q  ; S  1
B. q  3; S   2011 3 1 2011  2011  2011  3 22  3  22 C. Cả A, B đúng D. Cả A, B sai  1  3. Trên khoảng ;1 
 có bao nhiêu số hạng của cấp số.  2  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải:
1. Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có:  39 
u u u   u  39 2 3
q q q  2 3 4 1   11  11    82   u u u  82 4 1 q  1 5 1    11   11 4 q 1 82 Suy ra: 4 3 2 
 39q  82q  82q  82q  39  0 3 2
q q q 39
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 1 2
 (3q 1)(q  3)(13q  16q 13)  0  q  , q  3 3 1 81 81 1  q   u   u  . 1 n n 1 3 11 11 3  n 1 1 3 
q  3  u   u  . 1 11 n 11 2011 q 1 2. Ta có: Su 2011 1 q 1 1 243  1   q   S  1 2011  2011  3 22  3  1
q  3  S   2011 3 1 2011  22 n 1 3   1 
3. Với q  3 ta có: u  
;1  n  3 nên có một số hạng của dãy n   11  2  1 1  1  Với q  ta có: u  
;1  n  3 nên có một số hạng của dãy. n n   3 5 11.3  2 
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN Phương pháp:
a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSN 2  ac b . 1  Câu 1: Cho dãy số ;
b; 2 . Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân? 2 A. b  1  . B. b  1. C. b  2 .
D. Không có giá trị nào của . b
Hướng dẫn giải: Chọn D.b  0 
Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi  1
. Vậy không có giá trị nào của b. b   . 2  1   2 1  1 
Câu 2: Cho cấp số nhân: ; a;
. Giá trị của a là: 5 125 1 1 1 A. a   . B. a   . C. a   . D. a  5  . 5 25 5
Hướng dẫn giải: Chọn B.  1   1  1 1 Ta có: 2 a   .    a        5   125  625 25
Câu 3: Cho dãy số: -1; x; 0,64 . Chọn x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
A. Không có giá trị nào của . x
B. x  0, 008. C. x  0, 008. D. x  0, 004.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Dãy số: -1; x; 0,64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân 2  x  0
 , 64 ( Phương trình vô nghiệm)
Câu 4: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 1 1 A. u  1 B. u C. 2 u n D. 2 u n n 4n n n 2 4  n 4 n 4
Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 u 1 1 Ta có: u   u  . Suy ra n
( Không đổi). Vậy u u  là một cấp số nhân n  : n n2 n 1  n3 4 4 u 4 n n 2 4  n 1  1 có công bội q  . 4
Câu 5: Xác định x để 3 số 2x 1; x; 2x 1 lập thành một cấp số nhân: 1 A. x   . B. x   3. 3 1 C. x   .
D. Không có giá trị nào của x . 3
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
Ba số: 2x 1; x; 2x 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân   x   x   2 2 1 2 1  x 2 2
 4x 1  x 1 2
 3x  1  x   . 3
Câu 6: Xác định x để 3 số x  2; x 1; 3  x lập thành một cấp số nhân:
A. Không có giá trị nào của . x B. x  1. C. x  2. D. x  3.
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ba số x  2; x 1; 3  x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân   x    x  x  2 2 3 1 2
 2x  3x  7  0 ( Phương trình vô nghiệm)
Câu 7: Tìm x biết : 2 2
1, x , 6  x lập thành cấp số nhân. A. x  1  B. x   2 C. x  2  D. x   3
Hướng dẫn giải: Ta có: 2 2
1, x , 6  x lập thành cấp số nhân 4 2
x  6  x x   2 . 5
Câu 8: Các số x  6 y, 5x  2 y,8x y lập thành cấp số cộng và các số x
y, y 1, 2x  3y lập thành 3 cấp số nhân.  3 1   1 1 
A. (x; y)  3;   1 ; ;  
B. (x; y)  3;   1 ; ;    8 8   8 8   3 1   12 1 
C. (x; y)  3;  1 ; ;  
D. (x; y)   3  ;   1 ; ;    8 8   8 8 
Hướng dẫn giải:
x  6 y  8x y  2(5x  2 y)  Ta có hệ:  5
giải hệ này ta tìm được 2 (x
y)(2x  3y)  ( y 1)   3  3 1 
(x; y)  3;   1 ; ;   .  8 8 
Câu 9: Phương trình 3 2
x  2x  m  
1 x  2 m  
1  0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. A. m  1
 , m  3, m  4
B. m  1, m  13, m  4 
C. m  1, m  3, m  4 D. m  1
 , m  3, m  4
Hướng dẫn giải:
Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSN,khi đó : 2  x x x 1 3 2  m 1 
x x x  2   x   1 2 3 2 2
x x x x x x m 1 1 2 2 3 3 1 
thay vào phương trình ta có : m  1
 , m  3, m  4 .
Bằng cách thay từng giá trị của m vào phương trình ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 ÔN TẬP CHƯƠNG III 1 1 1 Câu 1: Gọi S    ...  , n
  1, 2,3..... thì kết quả nào sau đây là đúng. n 1.2 2.3 . n n   1 n 1 n 1 n 1 n  2 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . n n n n n n  2 n n  3 1 1 1 Câu 2: Gọi S    ...  , n
  1, 2,3..... thì kết quả nào sau đây là đúng. n 1.3 3.5 2n   1 .2n   1 n 1 n n 1 n  2 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . n 2n 1 n 2n  1 n 2n  3 n 2n  5 Câu 3: Kí hiệu n!  . n n  
1 .n  2....3.2.1, n   1, 2, 3....... Với
S  1.1! 2.2! 3.3! .............  2007.2007! thì giá trị của S là bao nhiêu
A. S  2.2007!.
B. S  2008  ! 1. C. S  2008!.
D. S  2008  ! 1.
u  6 u u  5 u Câu 4:
Cho dãy số u , với 1 , n n 1 
Khi đó, n có thể được tính theo biểu thức nào dưới n  đây.
A. u  5n 1.
B. u  5 n .
C. u  5n 1. D.u  1 5n . n    1 n n n Câu 5:
Cho dãy số u , với 1 u 5n  Khi đó, u
có thể được tính theo biểu thức nào dưới đây. n n n 1  n1 5 A. u  1 5n . B. u  5n . C. u  1 5.5n . D. u  . n1 n1 n1 n 5 2n3  n 1  Câu 6:
Cho dãy số u , với u
, n  1, 2, 3... . Khi đó, u
có thể được tính theo biểu n n   n 1   n  1  thức nào dưới đây. 2n  1 3 2n  1 3  n 1   n 1  A. u  . B. u  . n1   n1    n 1   n 1  2n3 2n5  n   n C. u  . D. u  . n1   n1    n  2   n  2  2007 2  n n Câu 7:
Cho dãy số u , với u
, n  1, 2, 3... . Khi đó, với k   ta có: n n  2  n 1  
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 79
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 2007   2007 n 2 1 n     1  2 k k A. u    . B. u  . k 1  k 1  2    n 2  1  k 1  1    2007 2007   2 k 2 1 k     1  k  1 k     1 C. u    . D. u    . k 1   k 1 2 k 2  1     1  k   1   1  Câu 8:
Cho dãy số u xác định bởi u  1,u  3 với mọi n  3 thì u  5u  3u Khi đó, u có thể n  1 2 n n 1  n 2 n 5
được tính theo biểu thức nào dưới đây. A. u  5 n  5 u  3 n  5 u . B. u  5u  3u . n5   n1   n2 n5 n n1 C. u  5u  3u . D. u  5u  3u . n5 n4 n2 n5 n4 n3 u 2n 1 un n Câu 9: Cho dãy số , với u
, n  1, 2, 3.... . Khi đó, là dãy số n 2n  5 A.tăng. B. giảm. C. không tăng. D. không giảm. u 3n 1 un n Câu 10: Cho dãy số , với u  , n
  1, 2, 3.... ,. Khi đó, là dãy số n 3n  7
A.bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. bị chặn trên và bị chặn dưới.
D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới.  n u u   n   un n   1 , 1, 2, 3.... n Câu 11: Cho dãy số , với ,. Khi đó, là dãy số A.tăng. B. giảm.
C. bị chặn trên và bị chặn dưới.
D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới.  n u u    un n   2n 5 1 .5 n Câu 12: Cho dãy số , với ,. Khi đó, là dãy số
A.bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. bị chặn trên và bị chặn dưới.
D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới.  2n3 u  1  un n Câu 13: Cho dãy số , với u  ,. Khi đó, là dãy số n    5  A.tăng. B. giảm. C. bị chặn trên.
D. bị chặn trên và bị chặn dưới. Câu 14:
Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4
 ;1; 6; x . Khi đó giá trị của x là bao nhiêu.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 80
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
A. x  7 . B. x  10 . C. x  11 . D. x  12 . Câu 15:
Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 7
 ; x; 11; y . Khi đó giá trị của x và y là bao nhiêu.
A. x  1; y  21.
B. x  2; y  20 .
C. x  3; y  1  9 .
D. x  4; y  18 . Câu 16:
Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 5; 9; 13; 17;... . Khi đó u có thể được tính theo biểu n thức nào sau đây.
A. u  5n  1 .
B. u  5n 1 .
C. u  4n  1.
D. u  4n  1. n n n n Câu 17:
Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4; 7; 10; 13;.... Gọi S là tổng của n số hạng đầu tiên n
của cấp số cộng đó n  
1 . Khi đó S có thể được tính theo công thức nào dưới đây. n  3n   3n 1   3n  2 
A. S  3n  1. B. S  .n . C. S  .n . D. S  .n . n n   n   n    2   2   2  Câu 18:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng. 7
A. u  7  3n .
B. u  7  3n . C. u  .
D. u  7.3n . n n n 3n n Câu 19:
Gọi S  1 2  3  4  5  6  ..............  2n   1  2 , n n
  1. Khi đó giá trị của S là bao nhiêu.
A. S  0 . B. S  1 .
C. S n .
D. S  n . Câu 20:
Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng của 13 số hạng đầu của cấp số cộng
đó bằng 260. Khi đó, giá trị của u là bao nhiêu. 13
A. u  40 . B. u  38 . C. u  36 . D. u  20 . 13 13 13 13 Câu 21:
Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng
của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho có giá trị là bao nhiêu
A. d  2 . B. d  3 . C. d  4 . D. d  5 . Câu 22:
Một cấp số cộng có 7 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 30, còn
tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ sáu bằng 35. Khi đó, số hạng thứ bảy của cấp số cộng
đó có giá trị là bao nhiêu
A. u  25 . B. u  30 . C. u  35 . D. u  40 . 7 7 7 7 Câu 23:
Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 81
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
mười hai bằng 23. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu
A. d  2 . B. d  3 . C. d  4 . D. d  5 . Câu 24:
Một cấp số cộng có 15 số hạng. Biết rằng tổng của 15 số hạng đó băng 225, và số hạng thứ
mười lăm bằng 29. Khi đó, số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu
A. u  1 . B. u  2 . C. u  3 . D. u  5 . 1 1 1 1 Câu 25:
Một cấp số cộng có 10 số hạng. Biết rằng tổng của 10 số hạng đó bằng 175, và công sai d  3
Khi đó, số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là
A. u  0 . B. u  2 . C. u  4 . D. u  6 . 1 1 1 1 Câu 26:
Cho một cấp số cộng có 20 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai.
A. u u
u u .
B. u uu u .
C. u uu u .
D. u uu u . 1 20 2 19 1 20 5 16 1 20 8 13 1 20 9 11 Câu 27:
Cho một cấp số cộng có n số hạng n k  55 . Đẳng thức nào sau đây là sai.
A. u u u u .
B. u u u u .
C. u u u u . D. 1 n 2 n 1  1 n 5 n 4 1 n 55 n 55
u u u u . 1 n k nk 1  Câu 28:
Hai người cùng chơi đưa ngựa về đích. Bàn cờ được kẻ sẵn, gồm 107 ô vuông bằng nhau được xếp
theo hàng ngang. Ô đầu tiên (ô số 1) bên trái bàn cờ là ô xuất phát, ô cuối cùng bên phải (ô 107) của bàn cờ
được gọi là đích (như minh họa dưới đây)
Trên bàn cờ có 1 chú ngựa, đứng ở ô xuất phát. Đến lượt đi, người chơi di chuyển ngựa theo một chiều, từ trái
sang phải, với bước đi từ 1 đến 4 ô. Hai người thay nhau di chuyển ngựa, ai đưa được ngựa vào ô đích là
thắng. Để người chơi thứ nhất (là người đi ngựa từ ô xuất phát) luôn thắng cần tiến hành theo cách nào sau đâu
A. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 2 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ 4k  2 với k  1, 2,....., 21.
B. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 3 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ 4k  2 với k  1, 2,....., 21.
C. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 2 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ 5k  2 với k  1, 2,....., 21.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 82
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
D. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 3 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ 5k  2 với k  1, 2,....., 21. Câu 29:
Hai người cùng chơi đưa ngựa về đích. Bàn cờ được kẻ sẵn, gồm n ô vuông bằng nhau được xếp
theo hàng ngang. Ô đầu tiên (ô số 1) bên trái bàn cờ là ô xuất phát, ô cuối cùng bên phải của bàn cờ được gọi
là đích (như minh họa dưới đây) 1 2 3 …. …. …. …. …. 106 107 Xuất Đích phát
Trên bàn cờ có 1 chú ngựa, đứng ở ô xuất phát. Đến lượt đi, người chơi được di chuyển ngựa theo một chiều,
từ trái sang phải, với bước đi từ 1 đến k ô. Cho rằng n m k  
1  r, 0  r k; r, k, n   . Hai người thay
nhau di chuyển ngựa, ai đưa được ngựa vào ô đích là thắng. Để người chơi thứ nhất (là người đi ngựa từ ô
xuất phát) luôn thắng cần tiến hành theo cách nào sau đâu
A. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ k và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ  .
i k r  với
i  1, 2,....., m .
B. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ r  
1 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ  .
i k r  với
i  1, 2,....., m .
C. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ r và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ i k   1  r với
i  1, 2,....., m .
D. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ r  
1 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô thứ i k   1  r với
i  1, 2,....., m . Câu 30:
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 2;8; x;128 . Khi đó giá trị của x là bao nhiêu.
A. x  14 . B. x  32 . C. x  64 . D. x  68 . Câu 31:
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là x; 12; y; 192 . Khi đó giá trị của x và y là bao nhiêu.
A. x  1; y  144 .
B. x  2; y  72 .
C. x  3; y  48 .
D. x  4; y  36 . Câu 32:
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 5; 9; 27; 81;... . Khi đó u có thể được tính theo biểu n thức nào sau đây. A. 1 u 3n  .
B. u  3n . C. 1 u 3n  .
D. u  3  3n . n n n n Câu 33:
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;... . Gọi S là tổng của n số hạng đầu tiên n
của cấp số nhân đó n  
1 . Khi đó S có thể được tính theo công thức nào dưới đây. n
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 83
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 n 1 1 4     4n 1   4n 1  A. 1 S 4n  . B. S  .n . C. S  . D. S  4. . n n       2 n n   4 1   4 1   Câu 34:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân. 7
A. u  7  3n .
B. u  7  3n . C. u  .
D. u  7.3n . n n n 3n n n 1  n Câu 35:
Gọi S  2  4  8 16  32  64  ...   2    2 , n
  1, n   . Khi đó giá trị của S là bao nhiêu. 2  1 2n
A. S  2n . B. 2n S  . C. S  . D. 1 2  1  2n    S  2  .  1  2      Câu 36:
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Gọi q là công bội
của cấp số nhân đó thì giá trị của q là bao nhiêu
A. q  3 . B. q  3  . C. q  2 . D. q  2  . Câu 37:
Một cấp số nhân có 4 số hạng, số hạng đầu là 3 và số hạng thứ tư là 192. Gọi S là tổng các số
hạng của cấp số nhân đó, thì giá trị của S là bao nhiêu
A. S  390 . B. S  255 . C. S  256 .
D. S  256 . Câu 38:
Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai.
A. u .u u .u .
B. u .u u .u .
C. u .u u .u .
D. u .u u .u . 1 15 2 14 1 n 5 11 1 n 6 9 1 n 12 4 Câu 39:
Cho một cấp số nhân có n số hạng n k  55 .Đẳng thức nào sau đây là sai.
A. u .u u .u .
B. u .u u .u .
C. u .u u .u .
D. u .u u .u . 1 n 2 n 1  1 n 5 n4 1 n 55 n 55 1 n k n k 1  Câu 40:
Một tam giác có các góc lập thành một cấp số nhân với công bội là q  2 . Khi đó số đo các góc của
tam giác ấy tương ứng là bao nhiêu.
24
24
24 A. 30 ;  60 ;  90 . B. ; ; . C. ; ; . D. ; ; . 5 5 5 6 6 6 7 7 7 Câu 41:
Một tam giác ABC có độ dài ba cạnh là , a ,
b c lập thành một cấp số cộng (các số hạng được lấy
theo thứ tự đó) thì
A. sinA , sinB, sinC theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 84
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 B. cos ,
A cosB, cosC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. C. tan ,
A tanB , tanC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. D. co ,
tA cotB, cotC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Câu 42:
Một cửa hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa
hàng tăng giá mặt hàng A lên10%. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên
10%. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai lần tăng giá là bao nhiêu A. 120 . B. 121 . C. 122 . D. 200 . Câu 43:
Một người đem 100.000.000 đồng đi gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7%
số tiền người đó có. Hỏi sau khi hết kì hạn người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền A.  5 8 10 . 0,07 (đồng). B.  6 8 10 . 0,07 (đồng). C.  5 8 10 . 1,07 (đồng). D.  6 8 10 . 1,07 (đồng). Câu 44:
Cho cấp số nhân có 10 số hạng với công bội q  0 và u  0 . Đẳng thức nào sau đây là đúng 1 A. 3
u u .q . . B. 4
u u .q . . C. 5
u u .q . . D. 6
u u .q . . 7 4 7 4 7 4 7 4 Câu 45:
Cho cấp số nhân (u ) với công bội q  0 và u  0 . Với 1  k  ,
m đẳng thức nào dưới đây là n 1 đúng
A. u u . k q .
B. u u . m q . C.
u u . m k q . D.
u u . m k q . m k m k m k m k Câu 46:
Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64 , thì số hạng tổng quát của
cấp số nhân đó tính theo công thức nào dưới đây? A. 1 u 2n  .
B. u  2n . C. 1 u 2n  .
D. u  2n . n n n n Câu 47:
Một cấp số nhân có ba số hạng a, b, c (theo thứ tự đó), trong đó các số hạng đều khác 0 và công
bội q  0 . Khi đó, đẳng thức nào dưới đây đúng? 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A.  . B.  . C.  . D.   . 2 a bc 2 b ac 2 c ab a b c Câu 48:
Một chiếc đồng hồ đánh chuông, số tiếng chuông được đánh bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời
điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông báo giờ (mỗi ngày 24 tiếng) A. 78 . B. 156 . C. 300 . D. 48 . Câu 49:
Một tứ giác có số đo các góc tạo thành một cấp số nhân có công bội q  3 . Khi đó số đo của các
góc của tứ giác đó là
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 85
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
3927
3927
3918 A. ; ; ; . B. ; ; ; . C. 0 0 0 0 30 , 60 , 90 ,180 . D. ; ; ; 20 20 20 20 40 40 40 40 15 15 15 15 . Câu 50: Cho dãy u
có số hạng tổng quát u an b , với a,b đều khác 0 . Khi đó n n A. u là dãy tăng. B. u là dãy giảm. n n C. u là dãy bị chặn. D u là cấp số cộng. n n Câu 51: Cho dãy số u
có số hạng tổng quát u an b, trong đó a;b đều khác 0 , Khi đó n n A. u
là cấp số cộng với công sai d b .
B. u là cấp số cộng với công sai d a . n n C. u
là cấp số nhân với công bội q b . D. u
là cấp số nhân với công bội q a . n n Câu 52: Cho dãy số u
có số hạng tổng quát u  . n
b a , a  1,b  0. Khi đó n n A. u
là cấp số cộng với công sai d b .
B. u là cấp số cộng với công sai d a . n n C. u
là cấp số nhân với công bội q b . D. u
là cấp số nhân với công bội q a . n n Câu 53: Cho u
là cấp số nhân có công bội q  0, Cấp số nhân v có công bội q  0 và số hạng đầu n n  1 2
v  0 . Dãy số  w có số hạng tổng quát là w u .v là n  1 n n n
A. Một cấp số nhận có số hạng đầu u .v và có công bội q q . 1 1 1
B. Một cấp số nhân có số hạng đầu u .v và có công bội q q . 1 1 2
C. Một cấp số nhân có số hạng đầu u .v và có công bội q q .q . 1 1 1 2
D. Một cấp số nhân có số hạng đầu u .v và có công bội q q q . 1 1 1 2 u 5un n Câu 54: Cho cấp số cộng
có công sai d  0 . Khi đó dãy số
A. Không là cấp số cộng.
B. Là cấp số cộng với công sai 5d .
C. Là cấp số nhận với công bội d . D. Là cấp số nhân với công bội 5d . Câu 55: Cho cấp số cộng u
 , u , u ..., u có công sai d  0 . Khi đó dãy số u , u , u ... (các số hạng của cấp 1 2 3 n 1 3 5
số đó theo thứ tự có chỉ số lẻ)
A. Không là cấp số cộng.
B. Là cấp số cộng với công sai 2d .
C. Là cấp số nhân với công bội d . D. Là cấp số nhân với công bội 3d .
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 86
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 Câu 56: Cho cấp số cộng u
 , u , u ,..., u có công sai d . Các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0 . 1 2 3 n 1 1 1 Khi đó, dãy số , ,..., là cấp số cộng u u u 1 2 n
A. khi d  1 . B. khi d  0 . C. khi d  1 . D. khi d  0 . Câu 57:
Biết rằng các góc của tam giác ABC lập thành cấp số cộng, khi đó tam giác có một góc với số đo là A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 . Câu 58:
Một cấp số cộng có 8 số hạng, số hạng đầu là 5 , số hạng thứ tám là 40 , khi đó công sai d của cấp
số cộng đó là bao nhiêu? A. d  4 . B. d  5 . C. d  6 . D. d  7 . Câu 59:
Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4 , tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng
thứ n của cấp số cộng đó là u có giá trị bao nhiêu? n A. u  57 . B. u  61. C. u  65 . D. u  69 . n n n n Câu 60:
Gọi S  9  99  999  999...9 ( n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây? 10n 1  10n 1  A. S  . B. S  10   . 9 9    10n 1   10n 1  C. S  10  n   . D. S  10  n   . 9   9   Câu 61:
Gọi S  111111 ...111...1 ( n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây 10n 1 10n  1  A. . B. 10  . 81 81    10n 1  1   10n 1  C. 10  n   . D. 10  n     . 81   9 9     Câu 62:
Cho ba số a, b, c theo thứ tự vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi
A. a  1,b  2, c  3 .
B. a d, b  2d, c  3d với d  0 cho trước.
C. a q, 2 b q , 3
c q với q  0 cho trước.
D. a b c .  1  1   1  Câu 63: Gọi P  1 1 ... 1 , n   2, n  
 thì P nhận giá trị nào sau đây 2   2   2   2  2   2 
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 87
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 n 1 n 1 n  1 n  1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . n 2n n 2n Câu 64:
Gọi S  1 2  3  ...  .
n . Biết S  2001000 thì giá trị của n tương ứng là bao nhiêu. A. n  1000 . B. n  1001 . C. n  2000 . D. n  2001. Câu 65:
Gọi C  2  2  ...  2 . 2  2  ...  2   
 ( dấu căn thứ nhất chỉ có một dấu  còn lại n dau can n dau can
là dấu  , căn thứ hai toàn dấu  , các căn liên tiếp đến lớp thứ n). Giá trị của C là bào nhiêu. A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 2 . Câu 66:
Gọi T  2  2  2  ... 

2 (trong căn toàn dấu  
 , các căn liên tiếp thứ n ). Giá trị của là n dÊu c¨n bao nhiêu π π A. T  3 . B. T  5 . C. T  cos . D. T  2 cos . 1 2n 1 2n 1 1 1 1 M    ...  n 1,2,3.. 
n  n   . 1.3 3.5 5.7 2 1 2 1 Câu 67: Nếu thì 1 1 1 1 A. M  . B. M  . C. M  .
D. M . 2 2 2 2 Câu 68:
Cho dãy số u , với u  2 và u  2  u
. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số đó là n  1 n n 1 
A. u  2  2 .
B. u  2  n 2 . n n
C. u n 2  2 .
D. u  2  2  2  ...  2 n n
 . n dÊu c¨n u 1 1 1 unn Câu 69: Cho dãy số , với u    ...
, n  1, 2,3... . Khi đó, là dãy số n n 1 n  2 n n A. tăng. B. giảm. C. không tăng.
D. không tăng, không giảm.u 1 1 1 unn Câu 70: Cho dãy số , với u   ...  n  . Khi đó, là dãy số n nn  , 1, 2,3... 1.4 2.5 3
A. chỉ bị chặn trên.
B. chỉ bị chặn dưới.
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 88
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11
C. vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới.
D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới.u 1 1 1 un n Câu 71: Cho dãy số , với u    ...  , n   2, 3,... . Khi đó, là dãy số. n 2 2 2 2 3 n
A. Chỉ bị chặn trên.
B. Chỉ bị chặn dưới.
C. Vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
D. Không bị chặn trên và không bị chặn dưới. Câu 72:
Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2
cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,… ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây. Hỏi số hàng cây
được trồng theo cách trên là bao nhiêu. A. 98 . B. 99 . C. 100 . D. 101. u u u u Câu 73:
Cho cấp số cộng 1 , 2 , 3 ,…, n có công sai d và tất cả các số hạng đều dương. Gọi 1 1 1 S    ... 
. Khi đó giá trị của S là bao nhiêu. u u u u uu 1 2 2 3 n 1  n u u u u u u u u A. n 1 S  . B. n 1 S  . C. n 1 S  . D. n 1 S  . d d d d Câu 74: Gọi 2 3 4 2007 P  .
a a .a .a ....a
, thì P nhận giá trị nào sau đây. A. 5050 P a . B. 500500 P a . C. 2015028 P a . D.   2 2007 P a . Câu 75:
Với giá trị nào của x thì ta có cấp số cộng với ba số hạng là: 2 2
x  5; 5x; x  7 (ba số hạng lấy theo thứ tự đó).
A. x  1 hoặc x  6 .
B. x  1 hoặc x  5 .
C. x  2 hoặc x  3 .
D. x  3 hoặc x  4 . M  6  6  6  ...  6 Câu 76: Gọi thì A. M  3 . B. M  3 . C. M  3 . D. M  3 . Câu 77:
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ
hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5 , tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5 ,…và cứ thế tiếp
tục đến ô thứ n. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô? A. 98 . B. 100 . C. 102 . D. 104 .
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 89
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Dãy số, CSC-CSN – ĐS&GT 11 ĐÁP ÁN Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10 B B B A B D C D B C Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20 C D B C B C D A D B
Câu 21 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Câu 25 Câu 26 Câu 27 Câu 28 Câu 29 Câu 30 B B A B C D C C C B
Câu 31 Câu 32 Câu 33 Câu 34 Câu 35 Câu 36 Câu 37 Câu 38 Câu 39 Câu 40 C B C D D A B C C D
Câu 41 Câu 42 Câu 43 Câu 44 Câu 45 Câu 46 Câu 47 Câu 48 Câu 49 Câu 50 A B D A C B B B A D
Câu 51 Câu 52 Câu 53 Câu 54 Câu 55 Câu 56 Câu 57 Câu 58 Câu 59 Câu 60 B D C B B B C B C C
Câu 61 Câu 62 Câu 63 Câu 64 Câu 65 Câu 66 Câu 67 Câu 68 Câu 69 Câu 70 D D D C C D A D A C
Câu 71 Câu 72 Câu 73 Câu 74 Câu 75 Câu 76 Câu 77 C B C C C C B
Mua file Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 90
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/