Bài tập môn Giải tích 2 | Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2
( Các lỗi sẽ chỉnh lý trong giờ bài tập)
$1. HÀM NHIỀU BIẾN
A. ĐƯỜNG TRONG MẶT PHẲNG
Trắc nghiệm: Chọn câu trả lời đúng
Câu 1. Đồ thị của phương trình sau là đường gì? 𝑦 = 3𝑥 + 6 a) Elip b) Đường parabol c) Đường thẳng d) Đường tròn
Câu 2. Phương trình nào sau đây biểu diễn đường parabol? a) x² + y² − 4 = 0 b) 𝑦 = 𝑥² + 1 c) 𝑦 + 2𝑥 = 4 d) y = 2x
Câu 3. Phương trình nào sau đây biểu diễn đường tròn? a) 𝑥² + 𝑦 = 5 b) y + x =5 c) y = x² + 5 d) 𝑥2 + 𝑦2 = 5 Tự luận:
Vẽ các đường trong mặt phẳng :
1.1 2x + y = 4 .
HD: Đường thẳng (SV tự vẽ hình). 1.2. 2 y = x .
HD: Đường parabol (SV tự vẽ hình). 1.3. 2 y = 3 − x .
HD: Đường parabol (SV tự vẽ hình). 1.4. 2 x = 2y .
HD: Đường parabol (SV tự vẽ hình). 1.5. 2 x = 4 − 2 y .
HD: Đường parabol (SV tự vẽ hình). 1.6. 2 2 x + y = 2 .
HD: Đường tròn (SV tự vẽ hình).
B. MIỀN XÁC ĐỊNH HÀM NHIỀU BIẾN
Trắc nghiệm: Chọn câu trả lời đúng
Câu 1. Miền xác định của hàm f ( ,
x y) = ln( xy) là: a) ℝ²
b) {(x,y)∈ℝ² | xy > 0} c) {(x,y)∈ℝ² | xy ≥ 0}
d) {(x,y)∈ℝ² | xy < 0}
Câu 2. Miền xác định của hàm số f ( x y) 2 2 2 2 ,
= 9 − x − y + x + y − 4 là: a) ℝ² b) (  x y) 2 2 ,
 | x + y   4 c) (  x y) 2 2 ,
 | x + y   9 d) (  x y) 2 2 ,
 | 4  x + y   9
Câu 3. Miền xác định của hàm số ( , ) ln 1 x y f x y y x e − = − + là: a) (
 ,xy) | x − y   0 b) (
 ,xy) | x  1 c) (
 ,xy) | x 1, y   0 d) (
 ,xy) | y   0
Câu 4. Miền xác định của hàm số ( ) = ( ) 3 3 , sin + − 2 x f x y xy x y e là: a) (
 ,xy) | xy   0 b) (
 ,xy) | x   0 c) ℝ² d) (
 ,xy) | −1 xy  1 Câu 5. Cho hàm số ( ) 3 3 , = − 2 x f x y x
y e . Giá trị của hàm số tại điểm A(1,5) là: a) 0 b) 2 c) 1 - e d) −2 x
Câu 6. Cho hàm số f ( x y) 3 ln , = − 2y arcc x
os . Giá trị của hàm số tại điểm B(1,5) là: y a) -2 b) 0 c) 2 d) 1/5 Tự luận:
(1-4) Tìm miền xác định và biểu diễn miền xác định của hàm số trên mặt phẳng toạ độ: 2.1. 2 2 2 2 f ( , x y) = x + y −1
+ cos x −x − y + 2 2 2 2 2 − − +   +  Hướ x y 2 0 x y 2
ng dẫn: +Hàm số xác định     2 2 2 2
x + y −1 0 x + y 1
+ Mô tả: MXĐ là phần mặt phẳng Oxy nằm ngoài đường tròn x2 + y2 = 1 và nằm ngoài đường tròn 2 2 x + y = 2. .
2.2. f x y = xy + ( 2 ( , )
lg x − y ) + x − y ì ì Hướ xy ³ 0 xy ³ 0
ng dẫn: + Hàm số xác định Û í Û í îïx - y2 ³ 0 îïx ³ y2
+ Mô tả: MXĐ là miền góc phần tư (I) và (III) kể cả các trục tọa độ và nằm phía
bên phải của parabol x = y2 ( lấy cả biên)
(5-7) Tính giá trị hàm số tại điểm cho trước: 2.3 xy
f (x, y) = , A(1,2) y − 2x
2.4 f (x, y) = xy , B( -3, -12)
2.5 f (x, y) = ln( y − 3x) , C( 1,4)
KIẾN THỨC BỔ TRỢ:
BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
Các quy tắc tính đạo hàm 1.  f
 ( x) + g ( x)  =  f 
 ( x)  + g   ( x)   2. Cf 
(x)  = C  f   ( x)   ( C là hằng số) 3.  f
 ( x).g ( x)  =  f 
 ( x)  .g 
(x) + f (x).g  (x)     f (x)  f  (x) .g 
(x) − f (x).g  (x)   4.   = g ( x) g (x) 2     
5. y = f u
 ( x) → y ' = y ' . u '  x u x
Một số công thức đạo hàm cơ bản:
1. C' = 0 (C là số thực) 2. (   x ) 1 '  x − = 3. ( x )' x a
= a ln a 4.( x )' x e = e 5. ( x = 6. ( x) 1 ln ' = a ) 1 log ' x ln a x
7. (sin x)' = cos x 8. (cos x)' = − sin x
9. (tan x)' = 1 10. (cot x)' = - 1 cos2 x sin2 x − 1 − 1 11. ( 1 sin x)' = 12. ( 1 cos x)' = − 2 1− x 2 1− x − 1 − 1 13. ( 1 ta n x)' = 1 cota n x ' = − 2 1+ 14. ( ) x 2 1+ x
$2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN TOÀN PHẦN
Trắc nghiệm: Chọn câu trả lời đúng
Câu 1. Cho hàm số f ( ,
x y) = ln( xy) . Đạo hàm riêng theo x của hàm số là: a) 1/x b) 1/y c) 1/xy d) xy
Câu 2 Cho hàm số f ( x y) 2 2 ,
= 9 − x − y . Đạo hàm riêng theo y của hàm số là: 1 a) b) 2 2 9 − x − y 2 2 2 9 − x − y −x − y c) d) 2 2 9 − x − y 2 2 9 − x − y
Câu 3. Cho hàm số ( , ) ln 1 x y f x y y x e − = − +
. Đạo hàm riêng theo y của hàm số là: x − 1 − x − 1 − a) x y + e b) x y − e y y c) ln 1 x y y x e − − − d) ln 1 x y y x e − − +
Câu 4. Cho hàm số f (x, y) = ln x2 + y2 ( ) thỏa mãn phương trình 2 f 2 f   2 f 2 f   a) + = 0 b) + = 0 2 x  x  y  2 y  x  y  2 f 2 f   2 f 2 f   c) − = 0 d) + = 0 2 2 x  y  2 2 x  y  Câu 5 Cho hàm số 2 2 f ( ,
x y) = x y + y cos x . Đạo hàm riêng cấp hai f  bằng: xx A. 2
2y + y cos x B. 2
2y − y cos x C. 2
2y + y sin x D. 2
2y − y sin x Câu 6 Cho hàm số 2 2 f ( ,
x y) = x y + y cos x . Đạo hàm riêng hỗn hợp f  bằng: xy
A. 4xy − cosx B. 4xy + sin x
C. 4xy + cosx
D. 4xy − sin x Câu 7. Cho hàm số 3 3 f ( ,
x y) = x + y + xy . Vi phân cấp một của f là: A. df = ( 2
x + y) dx + ( 2 3
3y + x) dy B. df = ( 2
y + x) dx + ( 2 3
3x + y) dy C. 2 2
df = 3x dx + 3y dy
D. df = ydx + xdy Câu 8. Cho hàm số 3 3 f ( ,
x y) = x + y + xy . Vi phân cấp hai của f là: A. 2 2 2
d f = 6xdx + 6ydy B. 2 2 2
d f = 6xdx − 6ydy C. 2 2 2
d f = 6xdx + dxdy + 6ydy D. 2 2 2
d f = 6xdx + 2dxdy + 6ydy
(2.6-2.13) Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm hai biến số :   2.6. z z
z = 2x + 3y Hướng dẫn: = 2, = 3, x  y  2 2 z  6 − y z  4 y 2.7 2 y z =
Hướng dẫn: = , = , 3x + 1 2 x  (3x + 1) y  3x + 1 2.8 5 4 2 3
z = x − 2x y + 5x y x − y 2.9 z = x + y
2.10 z = cos 3x - y 2.11 x 2 z = y sin y
( 2.12-2.15) Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm ba biến số sau. (Tính đạo hàm theo
biến nào thì coi hai biến còn lại là hằng số)    2.12. 2 5 7 w w w
w = x y z , Hướng dẫn: 5 7 2 4 7 2 5 6 = 2 . x y z , = 5x y z , = 7x y z x  y  z  y 2.13. 1 − 3 w = x ln
+ z cos x + y z  
2.14. Chỉ ra rằng hàm số x z z z =
; thỏa mãn phương trình x + y = 0 x + y x  y 
2.15. Cho z = sin(xy) Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số. VI PHÂN
Tính vi phân toàn phần d z của hàm số: 2.16. x
z = e (cos y + x sin y)
2.17. z = sin-1(x - y) tại x = 1 , y = 0 2
Tìm vi phân toàn phần cấp hai d 2z của hàm số:
2.18. z = ln(xy)
2.19 z = xsin2 y
$3. ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VÀ GRADIENT
Trắc nghiệm: Chọn câu trả lời đúng
Câu 1. Cho véc tơ v = (1,4,− )
1 . Véc tơ đơn vị cùng hướng với v là:  1 4 1 −   1 1 −  A. , ,   B. , 1,    18 18 18   4 4   1 − 4 1 −   1 1 −  C. , ,   D. , −1,    18 18 18   4 4  Câu 2. Cho hàm số 2 3 u( ,
x y, z) = 2x − yz . Gradient của u tại điểm M(-1,1,-1) là: A. (4, 3, 1) B. (-4, 3, 1) C. (4, -3, 1) D. (-4, 3, -1) Câu 3. Cho hàm số 2 3 u( ,
x y, z) = xy z . Đạo hàm theo hướng của u tại M(1,2,-1) theo hướng véc tơ v = ( 1 − ,2, 2 − ) bằng: a. -28/3 B. 28/3 C. 3/28 D. -3/28
Câu 4. Cho mặt cong S: 2 2
z = x − xy . Mặt phẳng tiếp xúc với S tại điểm M(1,1,0) là: A. z = 2x + 2y B. z = 2x - 2y C. z = x -2y D. z = x + 2y
Câu 5. Cho mặt cong S: 2 2
z = x − xy . Phương trình pháp tuyến của S tại điểm M(1,1,0) là: A. x-1 = y-2 = z B. x-1 = y-1 = z/2 C. (x-1)/2 = y-1 = z D. x-1 = (y-1)/(-2) = z Tự luận:
3.1 Tìm gradient của f tại M
a, f (x, y) = sin3x + cos2y, M = ( 1 − ,3) b, f ( x y) 2 3 ,
= xy z , M = (1,3, 2 − )
3.2 Tính đạo hàm theo hướng của hàm f tại điểm M theo hướng vecto M M biết: 0 1   
a, f (x, y) = sinxy + cot2y , M = − 3, , M M = 1, 3 ; 0   0 1 ( )  3 
b, f ( x, y) = x ln ( x − y) , M = 2,1 , M 3, 2 − ; 0 ( ) 1 ( ) c, ( , ) z f x y = e
2x + 3y , M = 2,1, 0 , M 0, 1 − ,1 ; 0 ( ) 1 ( )
3.3 Cho f (x, y) = y . Tại điểm P(2,-3), nên dịch chuyển theo hướng nào để đạo hàm theo 2x -1
hướng của hàm f tại điểm P đạt
a, giá trị lớn nhất và khi đó tính giá trị lớn nhất đạt được.
b, giá trị bé nhất và khi đó tính giá trị bé nhất đạt được.
MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CONG
Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc, pháp tuyến với các mặt cong cho trước tại các điểm tương ứng:
3.4. z = sin x + sin 2y + sin 3(x + y), (0, 0, 0) 3.5. 2 2 2
xy + yz + zx = 25, (1, 2,3) .
KIẾN THỨC BỔ TRỢ:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
1. Phương pháp biến đổi một phương trình: Nếu giải được 1 phương trình 1 ẩn thì thế vào
các phương trình còn lại.
2. Phương pháp cộng đại số, phép khử, phép thế: Thực hiện phép khử hoặc phép thế nhờ
các phép toán đại số làm xuất hiện phương trình mới đơn giản hơn, chứa một ẩn và giải
được. Sau đó thế ẩn tìm được vào các phương trình còn lại.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ.
4. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Trắc nghiệm: Chọn câu trả lời đúng
Câu 1. Xét hàm số f ( x y) 2 2 ,
= 2xy − 3x − 2 y + 10 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số không có điểm tới hạn.
B. Hàm số có 1 điểm tới hạn.
C. Hàm số có 4 điểm tới hạn.
D. Hàm số có 3 điểm tới hạn.
Câu 2. Cho hàm số f ( x y) 2 2 ,
= 2xy − 3x − 2 y + 10 . Phân loại điểm tới hạn tại (0,0). A. Cực tiểu. B. Cực đại. C. Không là cực trị.
D. Vừa là cực đại và cực tiểu.
Câu 3. Xét hàm số f ( x y) 3 2 ,
= x + 3xy − 15x − 12 y . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số có 1 điểm tới hạn.
B. Hàm số có 2 điểm tới hạn.
C. Hàm số có 3 điểm tới hạn.
D. Hàm số có 4 điểm tới hạn.
Câu 4. Hàm số f ( x y) 3 2 ,
= x + 3xy − 15x − 12 y có điểm tới hạn M(2,1). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại M.
B. Hàm số đạt cực đại tại M
C. Hàm số không có cực trị tại M.
D. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại M
Câu 5. Xét hàm số f ( x y) 3 3 ,
= x + y − 15x .
y Số điểm cực trị của hàm số là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Tự luận:
Tìm điểm tới hạn và phân loại điểm cực đại, điểm cực tiểu: 5.1 2 2
z = 5x − 3xy + y −15x − y + 2 .
Đáp án: Hàm đạt cực tiểu tại M (3,5) 1 5.2 5 4
z = x + y − 5x − 32 y − 3 .
Đáp án: Hàm đạt cực tiểu tại M (1,2). 1 5.3 4 4 2 2 z = 2
− x − y + x + 2y .
Đáp án: Hàm đạt cực đại tại 1 1 1 1 M (−
, − 1); M ( , − 1); M (− , 1); M ( , 1) , 1 2 3 4 2 2 2 2