Luyện tập Kỹ thuật tính lũy thừa ma trận bằng nhị thức Newton
Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn Ngày 17 tháng 4 năm 2020 A. Dẫn nhập
Các bạn sinh viên đã biết 2 cách để tính lũy thừa ma trận: Một là chéo hóa ma trận, hai là
sử dụng phép chia đa thức cùng với định lý Cayley Hamilton. Tuy nhiên, các phương pháp
đó đều giả định ma trận phải chéo hóa được đã.
Kỹ thuật mà tôi trình bày trong bài viết này sẽ dùng để xử lý tình huống ma trận không
chéo hóa được. Tuy nhiên, mục đích của bài viết không phải là nghiên cứu hay vét cạn vấn
đề, mà chỉ muốn đưa ra cho sinh viên ý niệm về một cách làm khả dĩ. Khi nắm được ý niệm
đó, các bạn sinh viên có thể tự có tìm tòi riêng, sáng tạo riêng.
Sau đây, tôi sẽ trình bày kỹ thuật dùng nhị thức Newton, trong một tình huống rất đặc
biệt mà sẽ nói rõ ở sau. B.
Nhị thức Newton cho hai ma trận giao hoán
Các bạn chắc đều biết nhị thức Newton cho hai số thực, cụ thể, cho x, y là hai số thực, cho n
là số tự nhiên. Khi đó lũy thừa (x + y)n có thể khai triển thành
(x + y)n = xn + C1xn−1y + C2xn−2y2 + . . . + Cn−1xyn−1 + yn, n n n trong đó Ck = n! là hệ số tổ hợp. n k k !(n− )!
Nếu thay x và y bởi các ma trận vuông A, B cùng cấp và giao hoán với nhau, thì đẳng
thức trên vẫn đúng. Cụ thể, cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn AB = BA (ta
nói A, B giao hoán với nhau). Khi đó
(A + B)n = An + C1An−1B + C2 An n
−2 B2 + . . . + C −1ABn−1 + Bn. n n n
Tình huống hay gặp A = I với I là ma trận đơn vị cùng cấp. Khi đó, hai ma trận I, B
thỏa mãn điều kiện giao hoán và có thể khai triển được nhị thức Newton.
Ngoài ra, thông thường, ta sẽ cần B là ma trận lũy linh, tức là tồn tại số k tự nhiên, sao cho Bk = 0.
Khi đó, trong khai triển nhị thức Newton (A + B)n chỉ có các hạng tử An i − Bi với 0 ≤ i ≤
k − 1 (ở đây ta quy ước A0 = I). Do đó, việc tính (A + B)n quy về việc tính một số lũy thừa nhỏ của B.
Sau đây tôi sẽ nêu một ví dụ tính toán và sau đó các bạn sinh viên sẽ tự vận dụng để giải bài tương tự. 1 C. Ví dụ  n 1 1 0
Đề bài Tính lũy thừa ma trận sau
với n là số tự nhiên bất kỳ. 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 Giải: Đặt A = 0 1 1 và N 0 0 1  =   . Khi đó ta có A 
= I + N với I là ma trận đơn 0 0 1 0 0 0 vị cùng cấp với A.
Ta nhận xét N là ma trận lũy linh. Thật vậy, ta tính các lũy thừa của N 0 1 02  0 0 1 N 2 = 0 0 1 = 0 0 0 ,     0 0 0 0 0 0 0 1 03  0 0 0 N 3 = 0 0 1 = 0 0 0    .  0 0 0 0 0 0
Bây giờ ta sẽ áp dụng nhị thức Newton (lưu ý là điều kiện giao hoán IN = NI = N đã được thỏa mãn):
An = (I + N )n = In + C1 In−1N 1 + C2In−2N 2 + . . . + Cn−1INn−1 + N n n n n
= I + C1N + C2N 2 (Do N i = 0 với mọii ≥ 3). n n
Thay số trực tiếp vào ta có  n 1 1 0  1 0 0  0 1 0 0 1 02 n(n − 1) 0 1 1 = 0 1 0 0 0 1 + 0 0 1    + n    2   0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0  1 0 0  0 1 0 0 0 1 n(n − 1) = 0 1 0 0 0 1 0 0 0  + n   +  2   0 0 1 0 0 0 0 0 0  1 n n(n−1) 2 = 0 1 n .  0 0 1 D. Bài tập vận dụng  k 0 1 0 0 0 12
Bài tập 1. Tính các lũy thừa ma trận sau 0 0 1 0 ,   với k = 2, 3, 4. 0 0 0 0 0 1   0 0 0 0  n 1 1 0 0 1 −1n 1 1n 0 1 1 0
Bài tập 2. Tính các lũy thừa ma trận , ,     0 1 0 1 0 0 1 1   0 0 0 1 2
Bài tập 3. Kỹ thuật tính toán này vận hành tốt với cả ma trận khối, ví dụ ma trận có dạng
A B với A,B,C,D là ma trận vuông cấp 2 (và do đó ma trận khối kia có cấp 4). Tuy C D
nhiên, sinh viên sẽ phải tự mày mò chút và linh hoạt xử lý.  n 1 −1 0 0
Hãy tính lũy thừa ma trận sau 0 1 0 0  . 0 0  −1 2   0 0 0 −1 3