Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phương trình bậc nhất một ẩn

Tài liệu gồm 43 trang, tóm tắt lý thuyết, các dạng toán và bài tập phương trình bậc nhất một ẩn, giúp học sinh lớp 8 tham khảo khi học chương trình Toán 8 (tập 2) phần Đại số chương 3.

123 62 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất (KNTT)

Môn: Toán 8

Thông tin:

43 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Chương III
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
BÀI 1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. * Một phương trình ẩn
x
luôn có dạng
( ) ( ),Ax By=
trong đó vế trái
()Ax
và vế phải là
()Bx
là hai biểu thức của cùng một biến
x
.
* Gía trị
0
x
của ẩn
x
để
00
() ()Ax Bx=
được gọi là nghiệm.
2. * Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình đó.
* Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình.
* Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.
3. Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn được một phương
trình mới tương đương với phương trình đó.
4. Nghiệm duy nhất của phương trình
0(a 0)ax b+= ≠
là
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. XÉT XEM
xa=
CÓ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG
Phương pháp giải
* Nghiệm của phương trình
() ()Ax Bx=
là giá trị của
x
mà khi thay vào phương trình, giá
trị tương ứng của hai vế bằng nhau.
* Muốn xem số
a
có phải là nghiệm của phương trình hay không, ta thay
xa=
vào hai vế
của phương trình, tức là tính
(a)A
và
(a).B
Nếu hai vế của phương trình bằng nhau, tức là
() ()Aa Ba=
thì
xa=
là nghiệm của phương
trình. Còn nếu
(a) (a)AB≠
thì
xa=
không là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 1. (Bài 1, SGK trang 6)
Với mỗi phương trình, hãy xét xem
1x = −
có là nghiệm của nó không :
a)
4 13 2xx−= −
; b)
1 2(x 3)x += −
;
c)
2( 1) 3 2xx+ +=−
.
Giải
a) Với
1x = −
: Vế trái có giá trị :
4.( 1) 1 5− −=−
Vế phải có giá trị :
3.( 1) 2 5−−=
.
Vậy
1x = −
là nghiệm của phương trình
4 13 2xx−= −
.
b) Với
1x = −
: Vế trái có giá trị :
( 1) 1 0− +=
Vế phải có giá trị :
2.( 1 3) 2.( 4) 8−− = − =−
.
Vậy
1x = −
không là nghiệm của phương trình
1 2(x 3)x += −
.
c) Với
1x = −
: Vế trái có giá trị :
2.( 1 1) 3 3−+ + =
Vế phải có giá trị :
2 ( 1) 3−− =
.
Vậy
1x = −
là nghiệm của phương trình
2( 1) 3 2xx+ +=−
.
Ví dụ 2. (Bài 2 trang 6 SGK)
Trong các giá trị
1; 0; 1t tt=−= =
giá trị nào là nghiệm của phương trình
2
(t 2) 3 4?t+=+
Giải
- Thay
1t = −
vào phương trình được :
22
(1 2) 3(1) 4 1 1−+ = − + ⇔ =
: đúng.
Vậy
1t = −
là nghiệm của phương trình.
- Thay
0t =
vào phương trình được :
22
(0 2) 3.0 4 2 4+ = +⇔ =
: đúng.
Vậy
0t =
là nghiệm của phương trình.
- Thay
1t =
vào phương trình được :
22
(1 2) 3.1 4 3 7+ = +⇔ =
: sai.
Vậy
1t =
không là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3. (Bài 3 trang 6 SGK)
Xét phương trình
11xx+=+
. Ta thấy mọi số thực đều là nghiệm của nó. Hãy
cho biết tập nghiệm của phương trình ?
Giải
Phương trình
11xx+=+
nghiệm đúng với mọi
(x )x ∈
nên tập nghiệm của phương
trình là
S =
.
Ví dụ 4. (Bài 4, trang 7 SGK)
Nối mỗi phương trình sau với các nghiệm của nó (theo mẫu) :
3( 1) 2 1xx−= −
(a)
1
1
14
x
x
= −
+
(b)
2
2 30xx− −=
(c)
Giải
1x = −
là nghiệm của phương trình (c).
2x =
là nghiệm của phương trình (a).
4x =
là nghiệm của phương trình (b).
Dạng 2. XÉT HAI PHƯƠNG TRÌNH CÓ TƯƠNG ĐƯƠNG NHAU KHÔNG
Phương pháp giải
* Hai phương trình được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của phương trình này đều là
nghiệm của phương trình kia và nghược lại. Nói cách khác, hai phương trình tương đương là
hai phương trình có các tập nghiệm bằng nhau.
Đặc biệt : Hai phương trình cùng vô nghiệm được xem là hai phương trình tương đương (vì
các tập nghiệm của chúng bằng nhau và bằng
∅
).
* Nếu chỉ ra được một nghiệm của phương trình này mà không là nghiệm của phương trình
kia hoặc một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm thì kết luận được hai
phương trình không tương đương.
* Để chứng tỏ hai phương trình (1) và (2) tương đương, ngoài phương pháp chứng tỏ hai
phương trình (1) và (2) có các tập nghiệm
12
;SS
bằng nhau, ta có thể dùng phương pháp
khác là dùng phép biến đổi tương đương để biến (1) thành (2) ; hoặc biến đổi (2) thành (1).
Ví dụ 5. (Bài 5, trang 7 SGK)
Hai phương trình
0x =
và
(x 1) 0x −=
có tương đương nhau không, vì sao ?
Giải
Phương trình
0x =
có tập nghiệm
{ }
1
0.S =
Phương trình
( 1) 0xx−=
có tập nghiệm
{ }
1
0;1 .S =
Vì
12
S ≠
nên hai phương trình đx cho không tương đương.
Ví dụ 6. (Bài 6, trang 9 SGK)
Tính diện tích
S
của hình thang
ABCD
theo
x
bằng hai cách:
-1
3
2
1) Theo công thức
.( ): 2S BH BC DA= +
;
2)
.
ABH BCKH CKD
SS S S=++
Sau đó sử dụng giả thiết
20S =
để thu được hai phương trình tương đương
với nhau. Trong hai phương trình ấy, có phương trình nào là phương trình bậc
nhất không ?
Giải
1) Ta có :
;
;BC HK x= =
7 4 11 .DA AH HK KD x x= + + =++= +
Vậy :
.( ): 2 (11 2 ): 2S BH BC DA x x= +=+
2) Ta có :
11
. .7
22
ABH
S BH AH x= =
2
.;
11
. . . .4.
22
BCKH
CKD
S BH HK x
S CK KD x
= =
= =
Vậy
2 22
1 1 1 11
.7 . .4 . 2 .
2 22 2
ABH BCKH CKD
SA S S
xx x xx xx x
=++
= ++ = ++ =+
Theo giả thiết,
20S =
ta được haiphuowng trình tương đương với nhau là :
(11 2 )
20
2
xx+
=
và
2
11
20
2
xx+=
Trong hai phương trình ấy, không có phương trình nào là phương trình bậc nhất.
Dạng 3. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ
4
7
x
x
K
H
A
D
C
B
Phương pháp giải :
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình dạng
0ax b+=
với
,ab
tùy ý và
0.a ≠
Ví dụ 7. (Bài 7, trang 10 SGK)
Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau
a)
10x+=
b)
2
0xx+=
c)
1 2 0;t−=
d)
30y =
e)
30−=
.
Giải
a)
10x+=
là phương trình bậc nhất với
1; 1.ab= =
b)
2
0xx+=
không phải là phương trình bậc nhất.
c)
12 0t−=
là phương trình bậc nhất với
2; 1.ab=−=
d)
30y =
là phương trình bậc nhất với
3; 0.ab= =
e)
30−=
không phải là phương trình bậc nhất.
Dạng 4. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Phương pháp giải :
Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân để tìm nghiệm phương trình bậc nhất.
Ví dụ 8. (Bài 8, trang 10 SGK)
Giải các phương trình :
a)
4 20 0x −=
b)
2 12 0xx++ =
c)
53 ;xx−=−
d)
73 9xx−=−
Giải
a)
4 20 0 4 20 5.x xx− =⇔ = ⇔=
Phương trình có một nghiệm
5.x =
b)
2 12 0 3 12 0 3 12 4.xxxxx++=⇔+=⇔=−⇔=−
Phương trình có một nghiệm
4.x = −
c)
5 3 3 5 2 8 4.x x xx x x−=−⇔+=+⇔ =⇔ =
Phương trình có một nghiệm
4x =
.
d)
73 9 3 97 2 2 1.x x xx x x−=−⇔−=−⇔−=⇔=−
Phương trình có một nghiệm
1.x = −
Ví dụ 9. (Bài 9 trang 10 SGK)
Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của mỗi nghiệm ở dạng số thập
phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm.
a)
3 11 0x −=
b)
12 7 0x+=
c)
10 4 2 3.xx−=−
Giải
a)
11
3 11 0 3 11 3,67.
3
x xx− =⇔ = ⇔= =
b)
12
12 7 0 7 12 1,71.
7
xx x
−
+ =⇔ =− ⇔= =−
c)
13
10 4 2 3. 2x 4x 10 3 6x 13 x 2,17.
6
xx− = − ⇔− − =− − ⇔− =− ⇔ = =
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Trong các số
3 12
2; ; 1; ; ;2;3
2 23
−
−−
hãy tìm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a)
2
23xx−=
; b)
43;yy− =−−
c)
34
1.
2
z −
= −
2. (Dạng 1). Thử lại rằng phương trình có nghiệm là số viết trong dấu ngoặc:
22
2 4 1 3(3 1) ( 1; 4)xx x x x x− += − + =− =−
.
3. (Dạng 1). Thử lại rằng phương trình
2 26 5mx m x+= −+
luôn nhận
3x =
làm nghiệm, dù
m
lấy bất cứ giá trị nào.
4. (Dạng 2). Hai phương trình sau có tương đương không?
a)
1
0
5
x =
và
1
5
xx=
; b)
4 30x +=
và
2
4 30x +=
.
c)
1xx+=
và
2
1 0;x +=
d)
2
30x +=
và
2
(x 3)(x 5) 0+ −=
.
5. (Dạng 4). Giải phương trình :
a)
7 84 7xx−= +
b)
2 5 20 3 ;xx+= −
c)
5 12 8 27yy+=+
; d)
13 2 2;yy−=−
e)
3 2,25 2,6 2 5 0,4 ;xxx+ + = ++
g)
5 3,48 2,35 5,38 2,9 10,42.x xx+− =−+
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG
0AX B+=
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cách giải phương trình thu gọn được về dạng
0ax b+=
:
- Quy đồng mẫu thức hai vế.
- Nhân hai vế cho mẫu thức để khử mẫu thức.
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.
- Thu gọn và giải phương trình.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: TÌM CHỖ SAI VÀ SỬA LẠI CÁC BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp giải
- Chú ý đến quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển vế một hạng tử từ
vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
- Quy tắc nhân: Ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Ví dụ 1: Tìm chỗ sai và sửa lại các bài giải sau cho đúng:
)3 6 9
3 96
33
1
ax x x
xxx
x
x
−+=−
⇔ +−=−
⇔=
⇔=
)2 3 5 4 12
254123
39
3
bt t t
ttt
t
t
−+ = +
⇔+−= −
⇔=
⇔=
Giải
a)
3 6 9 3 96x x x xxx−+=−⇔ +−=−
: Sai do chuyển vế không đổi dấu.
Lời giải đúng:
3 6 9 3 96x x x xxx−+=−⇔ ++=+
5 15 3xx⇔ = ⇔=
b)
2 3 5 4 12 2 5 4 12 3t tt ttt−+ = + ⇔ + − = −
: Sai do chuyển vế không đổi dấu.
Lời giải đúng:
2 3 5 4 12 2 5 4 12 3 3 15 5t tt ttt t t−+=+⇔+−=+⇔=⇔=
Ví dụ 2: Bạn Hòa giải phương trình
( 2) ( 3)xx xx+= +
như dưới đây. Theo em, bạn
Hòa giải đúng hay sai? Em sẽ giải phương trình đó như thế nào?
( 2) ( 3) 2 3 3 2 0. 1xx xx x x x x x+ = + ⇔+=+⇔−=−⇔ =
(vô nghiệm)
Giải
Bạn Hòa đã giải sai: Không được rút gọn x ở hai vế (vì
x
có thể bằng 0).
Lời giải đúng:
22
( 2) ( 3) 2 3 2 3 0 0 0xx xx x x x x x x x x+ = + ⇔ + = + ⇔ − = ⇔− = ⇔ =
Vậy phương trình có một nghiệm
0x =
Dạng 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp giải:
- Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức.
- Thực hiện các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân để tìm nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
a)
3223xx−= −
b)
3 4 24 6 27 3u uu u−++=++
c)
5 ( 6) 4(3 2 )xx−−= −
d)
6.(1,5 2 ) 3.( 15 2 )xx− − = −+
e)
0,1 2(0,5 0,1) 2( 2,5) 0,7tt− −=−−
f)
3 55
2 48
xx

− −=


Giải
a)
322332 32 1x x xx x− = − ⇔ − =−+ ⇔ =−
b)
3 4 24 6 27 3 4 6 3 27 3 24 2 0 0u uu u u uu u u u−++=++⇔−+−−=−−⇔−=⇔=
c)
1
5 ( 6) 4(3 2 ) 5 6 12 8 8 12 5 6 7 1
7
x x x x xx x x− − = − ⇔ − + = − ⇔− + = − − ⇔ = ⇔ =
d)
6(1,5 2 ) 3( 15 2 ) 9 12 45 6x x xx− − =−+ ⇔−+ =−+
12 6 45 9xx⇔ − =−+
6 36 6xx⇔ =− ⇔=−
e)
0,1 2(0,5 0,1) 2( 2,5) 0,7 0,1 0,2 2 5 0,7t t tt− − = − − ⇔ −+ = −−
2 5 0,7 0,1 0, 2tt⇔− − =− − − −
36 2tt⇔− =− ⇔ =
f)
3 5 5 3 15 5
12 20 8
2 4 8 2 88
x
x x xx x

− −=⇔ − −=⇔ − =


4 20 5xx⇔ = ⇔=
Ví dụ 4: Giải phương trình:
a)
5 2 53
32
xx−−
=
b)
10 3 6 8
1
12 9
xx++
= +
c)
7 1 16
2
65
xx
x
−−
+=
d)
56
4(0,5 1,5 )
3
x
x
−
−=−
Giải
a)
5 2 53
2(5 2) 3(5 3 ) 10 4 15 9
32
xx
x xx x
−−
= ⇔ − = − ⇔ −= −
10 9 15 4 19 19 1xx x x⇔ + = +⇔ = ⇔=
b)
10 3 6 8
1 3(10 3) 36 4(6 8 )
12 9
xx
xx
++
=+ ⇔ += + +
30 9 36 24 32xx⇔ += + +
30 32 36 24 9xx⇔ − =+−
51
2 51
2
xx⇔− = ⇔ =−
c)
7 1 16
2 5(7 1) 60 6(16 )
65
xx
x xx x
−−
+ = ⇔ −+ = −
35 5 60 96 6xxx⇔ −+ = −
35 60 6 96 5x xx⇔ + +=+
101 101 1xx⇔ = ⇔=
d)
56
4(0,5 1,5 ) 12(0,5 1,5 ) (5 6)
3
x
x xx
−
−=− ⇔ −=−−
6 18 5 6 18 5 6 6x x xx⇔ − =− + ⇔− + = −
13 0 0xx⇔− − ⇔ =
Ví dụ 5:
Số nào trong ba số
1, 2, 3−−
nghiệm đúng mỗi phương trình sau:
xx=
(1)
2
5 60xx+ +=
(2)
( )
6
43
1
x
x
= +
−
Giải
2x =
nghiệm đúng của phương trình (1).
3x = −
nghiệm đúng phương trình (2).
1x = −
nghiệm đúng phương trình (3).
Ví dụ 6: Giải phương trình
a)
7 2 22 3xx+=−
b)
8 3 5 12xx−= +
c)
12 4 25 2 1xx x−+ = + −
d)
2 3 19 3 5xxx x++−=+
e)
7 (2 4) ( 4)xx− + =−+
f)
( 1) (2 1) 9xx x−− −=−
Giải
a)
7 2 22 3 2 3 22 7x x xx+=−⇔+=−
5 15 3xx⇔ = ⇔=
b)
8 3 5 12 8 5 12 3 3 15 5x x xx x x−= + ⇔ − = +⇔ = ⇔ =
c)
12 4 25 2 1 4 2 25 1 12x x x xxx−+=+−⇔+−=−+
3 36 12xx⇔ = ⇔=
d)
2 3 19 3 5 3 24 8xxx x x x+ + − = +⇔ = ⇔=
e)
7 (2 4) ( 4) 7 2 4 4x x xx− +=−+⇔−−=−−
2 474xx⇔− + =− − +
77xx⇔− =− ⇔ =
f)
( 1) (2 1) 9 1 2 1 9x x xx x x− − − = − ⇔ −− += −
2 911x xx⇔ − + = +−
09x⇔=
phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 7. Giải phương trình:
a)
21
326
xx x
x
+
−=−
b)
2 12
0,5 0,25
54
xx
x
+−
−= +
Giải
a)
21
2 3(2 1) 6
326
xx x
x x x xx
+
− = −⇔ − + =−
263 6xx xx⇔ − −=−
26 63 3x xx x x⇔ − −+ =⇔ =
b)
2 12
0,5 0,25 4(2 ) 10 5(1 2 ) 5
54
xx
x xx x
+−
− = + ⇔ +− = − +
8 4 10 5 10 5xx x⇔+ − =− +
4 2 0,5xx⇔ =⇔=
Dạng 3: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp giải:
- Chọn ẩn và xác định điều kiện của ẩn.
- Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn.
- Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập phương trình.
- Giải phương trình.
- Chọn kết quả thích hợp để trả lời.
Ví dụ 8: Một chiếc xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng với vận tốc trung bình
32km/h. Sau đó 1 giờ, một chiếc ô tô cũng khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng,
cùng đường với người đi xe máy và với vận tốc trung bình là 48 km/h. Hãy
viết phương trình biểu thị việc ô tô gặp xe máy sau x giờ, kể từ khi ô tô khởi
hành.
Giải
Sau x giờ, kể từ khi ô tô khởi hành xe máy đi được
( )
1x +
giờ. Khi đó ô tô đi được
đoạn đường dài
48x
(km) và xe máy đi được
( )
32 1x +
(km)
Phương trình biểu thị ô tô gặp xe máy sau
x
giờ kể từ khi ô tô khởi hành là:
48 32( 1)xx= +
Ví dụ 9. (Bài 16, trang 13 SGK)
Viết phương trình biểu thị cân thăng bằng trong hình bên (đơn vị khối lượng là
gam)
Giải
Cân bên trái có khối lượng :
5 3 5.xxx x+++= +
Cân bên phải có khối lượng :
7 2 7.xx x++= +
Ta có phương trình :
3 5 2 7.xx+= +
Ví dụ 10. (Bài 19, trang 14 SGK)
Viết phương trình ẩn
x
rồi tính
x
(mét) trong mỗi hình dưới đây (
S
là diện
tích của hình) :
x
a)
2
144 mS =
b)
2
75 mS =
c)
2
168 mS =
Giải
a) Chiều dài của hình là :
2 2 2.xx x++= +
Diện tích của hình a) là :
( )
92 2.Sx= +
Ta có phương trình :
( )
9 2 2 144 2 2 16 7x xx+ = ⇔ += ⇔=
.
b) Diện tích tam giác :
1
1
.6.5 15
2
S = =
.
Diện tích hình chữ nhật :
2
.6Sx=
.
Diện tích của hình b) là:
12
15 6SSS x=+=+
.
Ta có phương trình :
15 6 75 10xx+ = ⇔=
.
c) Diện tích hình lớn là :
1
12.Sx=
.
Diện tích hình nhỏ là :
2
6.4 24S = =
.
Diện tích của hình c) là :
12
12 24SSS x=+= +
.
Ta có phương trình :
12 24 168 12 144 12x xx+ = ⇔ = ⇔=
.
Ví dụ 11. (Bài 20, trang 14 SGK)
Đố. Trung bảo nghĩa hãy nghĩ ở trong đầu một số tự nhiên tùy ý, sau đó Nghĩa
thêm 5 vào số ấy, nhân tổng nhận được với 2, được bao nhiêu đem trừ đi 10,
tiếp tục nhân hiệu tìm được với 3 rồi cộng thêm 66, cuối cùng chia kết quả cho
6. Chẳng hạn, nếu Nghĩa nghĩ đến số 7 thì quá trình tính toán sẽ là :
( )
( )
( ) ( )
7 7 5 12 12 2 24 24 10 14 14 3 42→ += → ×= → − = → ×=
( ) ( )
42 66 108 108: 6 18 .→ += → =
Trung chỉ cần biết kết quả số cuối cùng (số 18) là đoán ngay được số Nghĩa
x
đã nghĩ là số nào.
Nghĩa đã thử mấy lần, Trung đều đoán đúng, Nghĩa phục tài Trung lắm. Đố
em tìm ra bí quyết của Trung đấy!
Giải
Gọi
x
là số tự nhiên mà Nghĩa nghĩ ở trong đầu. Quá trình tính toán sẽ
( ) ( ) ( )
5 5 .2 5 .2 10 2 2 .3 6xx x x xx x→+→+ →+ −= → = →
( )
6 66 6 66 :6 11.xxx→+→ + =+
Vậy số cuối cùng lớn hơn số Nghĩa đã nghĩ 11 đơn vị. Trung chỉ cần lấy kết quả cuối
cùng trừ cho 11 thì được số mà Nghĩa nghĩ lúc đầu, chẳng hạn
18 11 7−=
là số Nghĩa đã
nghĩ.
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 2). Giải các phương trình :
a)
5 4 16 1
27
xx−+
=
; b)
12527
34
xx+−
=
;
c)
385
12 8
tt−−
=
; d)
56 4
15 10
uu+−
=
;
e)
( ) ( ) ( )
3 11 3 1 2 2 5
4 5 10
xxx−+−
= −
; g)
( ) ( )
123327
14
25 2 3
x xx+−
−=−
;
h)
2 5 5 36 7
2
6 34
x xx
xx
− −−
−+= − +
; i)
432 2572
5 10 3 6
xx xx
x
−− −+
+ −= −
.
2. (Dạng 2). Giải các phương trình :
a)
61
3
1.
22
24
3
22
x
xx
x
−
+
−
−


−=−
; b)
1 10 7
2
33
1
32 2
xx
xx
x
+−
−−
−=−
.
3. (Dạng 2). Cho
( )
0.abc ab bc ca++ ≠
Giải phương trình ẩn
x
:
3.
xbc xca xab
abc
−− −− −−
++=
4. (Dạng 2). Cho
( )
0.abc a b c++ ≠
Giải phương trình ẩn
x
:
11 1 1
.
2
xa xb xc
bc ac ab a b c
−−−

+ + = ++


5. (Dạng 2). Tìm giá trị của
a
để các phương trình sau có nghiệm tương ứng.
a)
50ax −=
có nghiệm
4x =
; b)
70ax +=
có nghiệm
3x = −
;
c)
1
0
5
ax −=
có nghiệm
1
.
3
x =
6. (Dạng 2). Tìm các giá trị của
x
sao cho hai biểu thức
A
và
B
sau đây có giá trị bằng
nhau.
a)
( )( ) ( )
3 4 23 2Ax x x=− +− −
;
( )
2
4Bx= −
.
b)
( )( ) ( )
2
2 2 21Ax x x=− +− +
;
( )
23Bx x= −
.
c)
( )
( )
2
1 12Ax xx x= + −+ −
;
( )( )
11B xx x=−+
.
d)
( ) ( )( )
3
2 3 13 1Ax x x=−+− +
;
( )
3
1Bx= +
.
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
( ) ( ) ( )
.0 0Ax Bx Ax=⇔=
hoặc
( )
0Bx=
.
Muốn giải phương trình
( ) ( )
.0Ax Bx=
ta giải hai phương trình
( )
0Ax=
và
( )
0Bx=
rồi
lấy tất cả các nghiệm thu được.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
( ) ( )
.0Ax Bx=
Phương pháp giải
• Giải hai phương trình
( )
0Ax=
và
( )
0.Bx=
• Lấy tất cả các nghiệm thu được.
• Viết tập hợp nghiệm
S
.
Ví dụ 1. (Bài 21, trang 17 SGK)
Giải phương trình :
a)
( )( )
3 24 5 0xx− +=
; b)
( )( )
2,3 6,9 0,1 2 0xx− +=
;
c)
( )
( )
2
42 10xx+ +=
; d)
( )( )( )
2 7 55 1 0xx x+ − +=
.
Giải
a)
( )( )
32450320xx x− + =⇔ −=
hoặc
4 50x +=
.
( )
2
32032
3
x xx− =⇔ =⇔=
.
5
4 50 4 5
4
x xx+ = ⇔ =−⇔ =−
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là :
{ }
52
;
43
S = −
.
b)
( )( )
2,3 6,9 0,1 2 0 2,3 6,9 0xx x− +=⇔ − =
hoặc
0,1 2 0x +=
.
2,3 6,9 0 2,3 6,9 3x xx− =⇔ = ⇔=
.
0,1 2 0 0,1 2 20x xx+ = ⇔ =−⇔ =−
.
Vậy :
{ }
20;3S = −
.
c)
( )
( )
2
42 10420xx x+ + =⇔ +=
hoặc
2
10x +=
.
1
4 20 4 2
2
x xx+ = ⇔ =−⇔ =−
.
22
10 1xx+= ⇔ =−
: vô nghiệm (vì
2
0x ≥
, với mọi
x
).
Vậy :
{ }
1
2
S = −
.
d)
( )( )( )
2 70
2 7 55 1 0 50
5 1 0.
x
xx x x
x
+=
+ − + =⇔ −=
+=
7
2 70 2 7
2
x xx+ = ⇔ =−⇔ =−
;
50 5xx−=⇔=
;
1
5 10
5
xx+= ⇔ =−
.
Vậy :
{ }
71
;5;
25
S =−−
.
Ví dụ 2. Giải phương trình
a)
( )
4 12 1
53 0
53
xx
x
−+

− −=


;
b)
( )
( )
2 11 2 1
2 1 0.
33 5
x xx
x
− − +

− − +=



Giải
a)
( )
4 12 1
53 0530
53
xx
xx
−+

− − =⇔ −=


hoặc
4 12 1
0
53
xx−+
−=
;
3
5 30
5
xx−=⇔ =
.
( ) ( )
4 12 1
0 34 1 52 1 0
53
xx
xx
−+
− =⇔ −− +=
12 3 10 5 0 2 8 4xx xx⇔ −− −= ⇔ =⇔ =
.
Vậy :
{ }
3
;4
5
S =
.
b)
( )
( )
( )
( )
2 11
0
2 11 2 1
32
21 0
33 5
21
210
5
xx
x xx
x
x
x
−−
−=
− − +

− − +=⇔



+
− +=
( ) ( )
( )
22 1 31 0
2 2 52 1 0
xx
xx
−− − =
⇔
+− + =
4 233 0
2 2 10 5 0
xx
xx
−−+ =
⇔
+− −=
5
75
7
83 3
.
8
x
x
x
x
=
=
⇔⇔
−=
= −
Vậy :
{ }
53
;
78
S = −
.
Dạng 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Phương pháp giải
• Chuyển tất cả các số hạng sang vế trái, vế phải bằng 0.
• Rút gọn rồi phân tích đa thức thu được ở vế trái thành nhân tử.
• Giải phương trình tích rồi kết luận.
Ví dụ 3. (Bài 22, trang 17 SGK)
Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:
a)
( ) ( )
2 35 30xx x−+ −=
; b)
( )
( )( )
2
4 232 0xx x−+− − =
;
c)
32
3 3 10xxx− + −=
; d)
( )
2 7 4 14 0xx x−− +=
;
e)
( ) ( )
22
25 2 0xx− −+ =
; f)
( )
2
330xx x−− − =
.
Giải
a)
( ) ( ) ( )( )
30
2 3 5 3 0 32 5 0
2 50
x
xx x x x
x
−=
−+ −=⇔ − +=⇔
+=
3
5
.
2
x
x
=
⇔
= −
Vậy :
{ }
5
3;
2
S = −
.
b)
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
4 232 0 2 2 232 0xxxxxxx−+− − =⇔− ++− − =
( )( )
2 232 0xx x⇔ − ++− =
( )( )
25 0xx⇔− −=
20 2
5 0 5.
xx
xx
−= =

⇔⇔

−= =

Vậy :
{ }
2;5S =
.
c)
( )
3
32
3 3 10 1 0 10 1.xxx x x x− + −= ⇔ − = ⇔ −= ⇔ =
Vậy :
{ }
1S =
.
d)
( ) ( ) ( )
274140 272270xx x xx x−− +=⇔ −− −=
( )( )
27 20xx⇔ − −=
7
2 70
2
20
2.
x
x
x
x
−=
=
⇔⇔
−=
=
Vậy :
{ }
7
;2
2
S =
.
e)
( ) ( ) ( )( )
22
25 2 0 25 225 20x x xx xx− − + = ⇔ −−− −++ =
( )( )
73 3 0xx⇔− −=
70 7
3 3 0 1.
xx
xx
−= =

⇔⇔

−= =

Vậy :
{ }
7;1S =
.
f)
( ) ( ) ( )
2
3 3 0 13 10x x x xx x−− − =⇔ − − − =
( )( )
10 1
1 30
3 0 3.
xx
xx
xx
−= =

⇔− −=⇔ ⇔

−= =

Vậy :
{ }
1; 3S =
.
Ví dụ 4. (Bài 23, trang 17 SGK)
Giải phương trình :
a)
( ) ( )
293 5x x xx−= −
; b)
( ) ( )
( )
0,5 3 3 1,5 1xx x x−=− −
;
c)
( )
3 15 2 5x xx−= −
; d)
( )
31
1 37
77
x xx−= −
.
Giải
a)
( ) ( ) ( ) ( )
293 5 293 50x x xx x x xx−= −⇔ −− −=
( ) ( )
2 9 3 15 0 6 0xx x xx⇔ −− + = ⇔ −+ =
00
6 0 6.
xx
xx
= =

⇔⇔

−+ = =

Vậy :
{ }
0;6S =
.
b)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0,5 3 3 1,5 1 3 0,5 3 1,5 1 0xxxxxxxx−= − −⇔ − − − −=
( )
( )
3 0,5 1,5 1 0x xx⇔ − − +=
( )( )
3 10xx⇔ − −+ =
30 3
1 0 1.
xx
xx
−= =

⇔⇔

−+= =

Vậy :
{ }
1; 3S =
.
c)
( ) ( ) ( )
3152535250x xx x xx−= −⇔ −− −=
( )( )
5
50
532 0
3
32 0
.
2
x
x
xx
x
x
=
−=
⇔− − =⇔ ⇔
−=
=
Vậy :
{ }
3
5;
2
S =
.
d)
( ) ( )
31
1 37 37 37
77
x xx x xx−= − ⇔ − = −
( ) ( )
37 370x xx⇔ −− −=
( )( )
7
3 70
3 71 0
3
10
1.
x
x
xx
x
x
−=
=
⇔ − −=⇔ ⇔
−=
=
Vậy :
{ }
7
;1
3
S =
.
Ví dụ 5. (Bài 24, trang 17 SGK)
Giải phương trình :
a)
( )
2
2 1 40xx− + −=
; b)
2
22xx x−=− +
;
c)
22
4 41xx x+ +=
; d)
2
5 60xx− +=
.
Giải
a)
( )
( ) ( )( )
2
22
214012012120xx x x x− + − = ⇔ − − = ⇔ −− −+ =
( )( )
30 3
3 10
1 0 1.
xx
xx
xx
−= =

⇔ − +=⇔ ⇔

+= =−

Vậy :
{ }
3; 1S = −
.
b)
( ) ( )
2
22 1 2 1x x x xx x−=− +⇔ − =− −
( ) ( ) ( )( )
12 10 1 2 0xx x x x⇔ −+ −=⇔ − + =
10 1
2 0 2.
xx
xx
−= =

⇔⇔

+= =−

Vậy
{ }
1; 2S = −
.
c)
( )
2
22 2
4 41 21 0xx x x x+ += ⇔ + − =
( )( )
21 21 0x xx x⇔ +− ++ =
( )( )
13 1 0xx⇔ + +=
1
10
1
3 10
.
3
x
x
x
x
= −
+=
⇔⇔
+=
= −
Vậy :
{ }
1
1;
3
S =−−
.
d)
( ) ( )
22
5 60 2 3 60 2 3 2 0xxxxxxxx− +=⇔ − − +=⇔ − − − =
( )( )
20 2
2 30
3 0 3.
xx
xx
xx
−= =

⇔− −=⇔ ⇔

−= =

Vậy :
{ }
2;3S =
.
Ví dụ 6. (Bài 25, trang 17 SGK)
Giải phương trình :
a)
3 22
26 3x xx x+=+
; b)
( )
( )
( )( )
2
31 2 31710xx x x− += − −
.
Giải
a)
( ) ( )
3 22 2
26 3 2 3 3x x x x x x xx+ =+ ⇔ += +
( ) ( )
2
2 3 30x x xx⇔ +− +=
( )( )
32 1 0xx x⇔ + −=
00
30 3
2 10 1
.
2
xx
xx
x
x
= =


⇔ += ⇔ =−


−=
=
Vậy :
{ }
1
0; 3;
2
S = −
.
b)
( )
( )
( )( )
2
31 2 31710xx x x− += − −
( )
( )
( )( )
2
31 2 317100xx x x⇔ − +− − − =
( )
( )
( )
( )
22
3 1 2 7 10 0 3 1 7 12 0xx x xxx⇔ − +−+ =⇔ − −+ =
2
2
1
3 10
3
7 12 0
3 4 12 0
x
x
xx
x xx
−=
=
⇔⇔
−+=
−−+=
( ) ( )
1
3
34 30
x
xx x
=
⇔
−− −=
( )( )
1
3
3 40
x
xx
=
⇔
− −=
11
33
30 3
4 0 4.
xx
xx
xx

= =


⇔ −= ⇔ =


−= =

Vậy :
{ }
1
; 3; 4
3
S =
.
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1, 2). Giải các phương trình :
a)
( )( )
52 70xx+ −=
; b)
( )( )( )
15 9 3 21 0xxx+ − +=
;
c)
( )
( )
2
1 30xx− +=
; d)
( )( )
22
1 440x xx+ ++=
;
e)
2
60xx−−=
; g)
2
5 60xx+ +=
;
h)
2
12 0xx+− =
i)
432
2 2 2 30xxxx+ − + −=
.
2. (Dạng 2). Giải phương trình :
a)
( )
( )
23
1 5 2 10x xx x− + − − +=
; b)
( )( )
2
2 11 7 4xx x++ −=
;
c)
( )
3
1 10x xx− + +=
; d)
32
10xxx+ + +=
.
3. (Dạng 2). Giải phương trình :
a)
2
7 60xx− +=
; b)
2
2 3 50xx− −=
;
c)
2
4 12 5 0xx− +=
.
4. (Dạng 2) Cho biểu thức :
( )( )
5 3 1 7 2 2.A xy xy= −+ +−
a) Tìm
x
sao cho với
2y =
thì
0.A =
b) Tìm
y
sao cho với
2x = −
thì
0A =
.
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Điều kiện xác định của phương trình.
Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu thức
trong phương trình đều khác 0.
2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.
• Tìm điều kiện xác định của phương trình.
• Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu thức.
• Giải phương trình vừa nhận được.
• Kết luận : Với giá trị
x
tìm được, kiểm tra điều kiện xác định của phương trình rồi
viết tập nghiệm.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. TÌM CHỖ SAI VÀ SỬA LẠI CÁC BÀI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp giải.
Chú ý đến điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.
Ví dụ 1. (Bài 29, trang 22 SGK)
Bạn Sơn giải phương trình
( )
2
5
51
5
xx
x
−
=
−
như sau :
( )
( )
2
1 55 5xx x⇔−= −
2
5 5 25x xx⇔−=−
2
10 25 0xx⇔− +=
( )
2
50x⇔− =
5.x⇔=
Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức
5x −
có chứa
ẩn, Hà giải như sau:
( )
( )
5
15
5
xx
x
−
⇔=
−
5.x⇔=
Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên.
Giải
Cả hai cách giải trên đều sai vì Sơn và Hà không tìm điều kiện xác định của phương
trình.
ĐKXĐ :
x5≠
.
( )
2
55
55
55
x x xx
xx
−−
=⇔=
−−
5x⇔=
(loại vì không thỏa ĐKXĐ).
Vậy phương trình
( )
1
vô nghiệm.
Dạng 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU
Phương pháp giải
• Tìm ĐKXĐ.
• Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức.
• Giải phương trình không chứa ẩn ở mẫu.
• Kiểm tra ĐKXĐ.
• Viết tập nghiệm.
Ví dụ 2. (Bài 27, trang 22 SGK)
Giải các phương trình:
25
)3
5
x
a
x
−
=
+
;
2
63
)
2
x
bx
x
−
= +
;
( )
( )
2
2 36
)0
3
xx x
c
x
+−+
=
−
;
5
) 21
32
dx
x
= −
+
.
Giải
a) ĐKXĐ:
5x ≠−
.
( )
35
25 25
3
5 55
x
xx
x xx
+
−−
=⇔=
+ ++
( )
2 53 5xx⇔ −= +
(khứ mẫu:
5x +
)
20 20xx⇔− = ⇔ =−
(thỏa ĐKXĐ).
Vậy
{ }
20S = −
.
b) ĐKXĐ:
0x ≠
.
( )
2
22
26
6 3 23
22 2
x
x xx
x
x xx
−
−+
=+⇔ =
( )
22
2 62 3x xx⇔ −= +
(khử mẫu
2x
)
22
2 12 2 3 12 3x xx x⇔ − = + ⇔− =
4x⇔=−
(thỏa ĐKXĐ).
Vậy
{ }
4S = −
.
c) ĐKXĐ:
3x ≠
.
( )
( )
( ) ( )
2
2 36
0 23 20
3
xx x
xx x
x
+−+
=⇔ +− +=
−
( )( )
2 30xx⇔+ −=
2x⇔=−
(vì
3x ≠
, theo ĐKXĐ)
Vậy
{ }
2S = −
.
d) ĐKXĐ:
2
3
x
−
≠
.
( )( )
2
5
2153221 56 2
32
x x x xx
x
= −⇔= + − ⇔= +−
+
( )( )
2
6 7 0 16 7 0xx x x⇔ +−=⇔ − + =
1
7
6
x
x
=
⇔
−
=
(thỏa ĐKXĐ).
Vậy
7
1;
6
S
−

=


.
Ví dụ 3. (Bài 28, trang 22 SGK)
Giải các phương trình:
21 1
)1
11
x
a
xx
−
+=
−−
;
56
)1
22 1
x
b
xx
+=−
++
;
2
2
11
)cx x
xx
+= +
;
33
)2
1
xx
d
xx
+−
+=
+
.
Giải
a) ĐKXĐ:
1x ≠
.
21 1
1 3 21 1
11
x
xx
xx
−
+= ⇔ − =⇔ =
−−
(không thỏa ĐKXĐ).
Vậy:
S = ∅
.
b) ĐKXĐ:
1x ≠−
.
56
1 5 2 2 12
22 1
x
xx
xx
+=− ⇔ + + =−
++
7 14 2xx⇔ =− ⇔=−
Vậy
{ }
2S = −
.
c) ĐKXĐ:
0x ≠
.
2 34
2
11
1x x x xx
xx
+ = + ⇔ += +
( ) ( )
34 3
10 1 1 0xxx x x x⇔ − +−= ⇔ − − − =
( )
( )
3
1 10 1xx x⇔− −=⇔=
(thỏa ĐKXĐ).
Vậy:
{ }
1.S =
d) ĐKXĐ:
0x ≠
và
1x ≠−
.
( ) ( )( ) ( )
33
2 3 3 12 1
1
xx
xx x x xx
xx
+−
+ =⇔ ++ − += +
+
3x⇔=−
(thỏa ĐKXĐ).
Vậy:
{ }
3S = −
.
Ví dụ 4. (Bài 30, trang 23 SGK)
Giải các phương trình sau:
13
)3
22
x
a
xx
−
+=
−−
;
3 261
)
723
xx
b
xx
−+
=
+−
;
2
1 14
)
11 1
xx
c
xxx
+−
−=
−+ −
;
2
2 42
)2
3 37
xx
dx
xx
−=+
++
.
Giải
a) ĐKXĐ:
2x ≠
.
1 3 1 3( 2) 3
3
22 22
xx x
xx xx
− +− −
+= ⇔ =
− − −−
13 6 3 4 8x xx⇔+ − =− ⇔ =
2x⇔=
(không thỏa ĐKXĐ).
Vậy:
S = ∅
.
b) ĐKXĐ:
7x ≠−
và
3
2
x ≠
.
22
3 261
6 9466 42 7
723
xx
x x x x xx
xx
−+
= ⇔ − − += + ++
+−
9442 76x x xx⇔− − − − = −
1
56 1
56
xx⇔− = ⇔ =−
(thỏa ĐKXĐ).
Vậy:
1
56
S

= −


.
c) ĐKXĐ:
1x ≠±
22
2 22
1 1 4 ( 1) ( 1) 4
11 1 1 1
xx x x
xxx x x
+ − + −−
−= ⇔ =
−+ − − −
22
2 1 2 14xx xx⇔++−+−=
44 1xx⇔ =⇔=
(không thỏa ĐKXĐ).
Vậy:
S = ∅
.
d) ĐKXĐ:
3x ≠−
2
2
2 42
2 2 .7( 3) 7.2 7.4 2( 3)
3 37
xx
x xx x x x
xx
− = +⇔ +− = + +
++
22
14 42 14 28 2 6x x x xx⇔ + − = ++
1
12 6
2
xx⇔ =⇔=
(thỏa ĐKXĐ).
Vậy:
1
2
S

=


.
Ví dụ 5. (Bài 31, trang 23 SGK)
2
32
13 2
)
11 1
xx
a
x x xx
−=
− − ++
; (1)
321
)
( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 2)( 3)
b
xx xx x x
+=
−− −− − −
;
3
1 12
) 1
28
c
xx
+=
++
;
13 1 6
)
( 3)(2 7) 2 7 ( 3)( 3)
d
x x x xx
+=
− + + −+
.
Giải
a) ĐKXĐ:
1x ≠
, MTC:
( )
32
1 ( 1) 1x x xx−= − + +
.
( ) ( )
22
3
22
1 3 2 ( 1)
(1)
1
( 1) 1 ( 1) 1
x x x xx
x
x xx x xx
++ −
⇔ −=
−
− ++ − ++
2 22
13 2 2xx x x x⇔ + +− = −
2
4 3 10xx⇔ − −=
( ) ( )
22
3 3 10xxx⇔ − + −=
3 ( 1) ( 1)( 1) 0 ( 1)(4 1) 0xx x x x x⇔ −+ − +=⇔ − +=
1 (không thoa DKXD)
10
1
4 10
4
x
x
x
x
=
−=
⇔⇔
+=
= −
Vậy:
1
4
S

= −


.
b) ĐKXĐ:
1, 2 và 3xx x≠≠ ≠
. MTC:
( 1)( 2)( 3)xx x−− −
.
3( 3) 2( 2) 1
(2)
(
1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)
xxx
xx x xx x xx x
−−−
⇔+=
−− − −− − −− −
3( 3) 2( 2) 1x xx⇔ −+ −=−
3 9 2 4 1 4 12 3x xx x x⇔ −+ − = −⇔ = ⇔ =
(không thỏa ĐKXĐ).
Vậy:
S = ∅
.
c) ĐKXĐ:
2x ≠−
, MTC:
( )
32
8 ( 2) 2 4x x xx+= + − +
( )
32
33
2
8 2 4 12
(3)
88
(
2) 2 4
x xx
xx
x xx
+ −+
⇔+ =
++
+ −+
32
8 2 4 12x xx⇔ ++ − +=
( )
32 2
20 20x x x xx x⇔ + − =⇔ +− =
( )
2
2
x0
x0
x 1 (x 1) 0
x x20
=
=
⇔⇔
−+ −=
+−=
0
0
1
( 1)( 2) 0
2( khong thoa DKXD)
x
x
x
xx
x
=
=
⇔ ⇔=
− +=
= −
Vậy:
{ }
S 0;1=
.
d) ĐKXĐ:
3x ≠±
và
7
2
x ≠−
, MTC:
( 3)( 3)(2 7)xx x−+ +
13( 3) ( 3)( 3) 6(2 7)
(4)
( 3)( 3)(2 7) ( 3)( 3)(2 7) ( 3)( 3)(2 7)
x xx x
xx x xx x xx x
+ −+ +
⇔+=
−+ + −+ + −+ +
13( 3) ( 3)( 3) 6(2 7)x xx x⇔ ++− += +
22
13 39 9 12 42 12 0x x x xx⇔ + + −= + ⇔ +− =
2
3 4 12 0 ( 3) 4( 3) 0x x x xx x⇔ − + − =⇔ −+ −=
( )
30
3 khong thuocDK
( 3)( 4) 0
40
4
XD
x
x
xx
x
x
−=
=
⇔− +=⇔ ⇔
+=
= −
Vậy:
{ }
S4= −
.
Ví dụ 4. (Bài 32, trang 23 SGK)
Giải phương trình:
( )
2
11
) 2 2 1ax
xx

+= + +


;
22
11
) 1 1bx x
xx

++ = −−


;
Giải
a) ĐKXĐ:
0x ≠
.
( )
( )
2
2
(1 2 ) 1
1 1 12
2 21
xx
x
x
xx x x
++
+

+= + + ⇔ =


( )
2
12 (12) 1x xx⇔+ = + +
( )
2
(1 2 ) 1 (1 2 ) 0xx x⇔+ +−+ =
( )
2
(1 2 ) 1 1 0xx⇔ + +− =
2
0
(1 2 ) 0
12 0
x
xx
x
=
⇔+ =⇔
+=
0 (khong thuoc DK )
x1
XD
/2
x =
⇔
= −
Vậy:
1
2
S

= −


.
Dạng 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA a ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ BẰNG HẰNG SỐ
k CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
• Giả sử biểu thức chứa
a
là
( )
Aa
.
• Muốn tìm giá trị của
a
để biểu thức
( )
Aa
bằng
k
ta xem
a
như ẩn và giải phương
trình
( )
Aa k=
.
Ví dụ 7. (Bài 33, trang 23 SGK)
Tìm các giá trị của
a
sao cho các biểu thức sau có giá trị bằng
2
:
31 3
)
31 3
aa
a
aa
−−
+
++
;
10 3 1 7 2
)
3 4 12 6 18
aa
b
aa
−+
−−
++
;
Giải
a) Giải phương trình
31 3
2
31 3
aa
aa
−−
+=
++
với ẩn
a
.
ĐKXĐ:
1
và 3
3
aa≠− ≠−
; MTC
(3 1)( 3)aa++
.
3 1 3 (3 1)( 3) ( 3)(3 1) 2(3 1)( 3)
2
3 1 3 (3 1)( 3) (3 1)( 3)
a a aa a a aa
a a aa aa
− − − ++− + + +
+=⇔ =
+ + ++ ++
(3 1)( 3) ( 3)(3 1) 2(3 1)( 3)aa a a aa⇔ − ++ − += + +
22 2
3 9 33 936 1826a aa a a a a a a⇔ + −−+ +− −= + + +
12 3
20 12
20 5
aa⇒− = ⇔ =− =−
(thuộc ĐKXĐ).
Vậy với
3
5
a = −
thì
31 3
31 3
aa
aa
−−
+
++
có giá trị bằng
2
.
b) Ta có
4 12 4( 3); 6 18 6( 3)a aa a+= + += +
.
Ta giải phương trình:
( )
10 3 1 7 2
2*
3 4 12 6 18
aa
aa
−+
−−=
++
ĐKXĐ:
3;MTC:12( 3)aa≠− +
40( 3) 3(3 1) 2(7 2) 24( 3)
(*)
12( 3) 12( 3) 12( 3) 12( 3)
aaa a
aaa a
+−+ +
⇔ −− =
+++ +
40( 3) 3(3 1) 2(7 2) 24( 3)aaa a⇔ + − −− + = +
40 120 9 3 14 4 24 72
7 47 47 / 7( )
a aa a
a a thuoc DKXD
⇔ + − +− −= +
⇔− =− ⇔ =
Vậy với
47
7
a =
thì
10 3 1 7 2
3 4 12 6 18
−+
−−
++
ua
aa
có giá trị bằng
2
.
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 2) Giải phương trình:
2
48
) 0
21
x
a
x
−
=
+
;
2
6
) 0
3
xx
b
x
−−
=
−
;
512 3
)
3 622 4
xx
c
xx
+−
−=
−−
;
2
12 1 3 1 3
)
19 13 13
xx
d
x xx
−+
= −
− +−
.
2. (Dạng 2) Giải các phương trình:
2
96 2 1 3 1
)5
16 4 4
xx
a
xx x
−−
+=−
− +−
;
2
1 5 12
)1
22 4
x
a
xxx
+
−= +
−+ −
;
( )
22
42
11 3
)
11
1
xx
c
xx xx
xx x
+−
−=
++ −+
++
.
3. (Dạng 2). Giải các phương trình:
2
51 8
)
1 3 43
xx
a
x x xx
++
= −
− − −+
;
2
1 5 12
) 1
22 4
x
b
xxx
+
−= +
−+ −
.
4. (Dạng 3). Với giá trị nào của
a
để các biểu thức sau có giá trị bằng
2
:
29 3
)
2532
aa
a
aa
−
+
−−
;
32 2
)
34 4
aa
b
aa
+−
+
++
.
5. (Dạng 2). Cho phương trình ẩn
x
:
2
22
3
0
xa xa y a
xa xa x a
−+ +
−+ =
+− −
.
a) Giải phương trình với
3a = −
.
b) Giải phương trình với
1a =
.
c) Xác định
a
để phương trình có nghiệp
0,5x =
.
6. Định
a
và
b
để phương trình
( 1) (2 1) 2x a x bx−++ =+
có tập nghiệm là
(vô số
nghiệm
x∈
).
7. Định
m
để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
21
1
xx
xm x
++
=
−−
.
8. Định m để phương trình sau vô nghiệm:
2
2
1
xm x
xx
+−
+=
+
§ 6, § 7. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Tóm tắt các bước giải toán bằng cách lập phương trình
Bước 1. (Lập phương trình). Bao gồm :
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Từ đó lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2. (Giải phương trình). Giải phương trình thu được.
Bước 3. (Trả lời). Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa
mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi trả lời.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. TOÁN VỀ TỈ SỐ VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ
Phương pháp giải
Tỉ số của hai số
a
và
b
là số
a
b
a
%
100
a
=
Biểu diễn số có hai chữ số:
10 ( , )ab a b a b=+∈
a là chữ số hàng chục:
09a<≤
b là chữ số hàng đơn vị :
09b≤≤
Biểu diễn số có ba chữ số:
100 10 ( , , )abc a b c a b c= ++ ∈
a là chữ số hàng trăm :
09a<≤
‘
b là chữ số hàng chục :
09b≤≤
c là chữ số hàng đơn vị:
09c≤≤
Thí dụ:
37 3.10 7 ; 134 1.100 3.10 4=+ = ++
Ví dụ 1: (Bài 34 trang 25 SGK)
Mẫu số của một phân số lớn hơn tử của nó là 3. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm hai đơn
vị thì được phân số mới bằng phân số
1
.
2
Tìm phân số ban đầu.
Giải
Gọi tử số của phân số là
x
thì mẫu số là
( )
3 3xx+ ≠−
Sau khi tăng thêm đơn vị tử số là
2x +
và mẫu sẽ là:
32 5xx++=+
Vì phân số mới bằng
1
2
nên ta có phương trình :
21
52
x
x
+
=
+
Giải phương trình ta được:
1x =
. Vậy phân số đã cho là :
1
4
Ví dụ 2: (Bài 35 trang 25 SGK)
Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng
1
8
số học sinh cả lớp. Sang học kì hai, có thêm
3
bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng
20
% số học sinh cả
lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh ?
Giải
Gọi
x
(
x
nguyên dương) là số học sinh lớp 8A.
Số học sinh giỏi của lớp 8A ở học kì một là :
1
8
x
(học sinh).
Số học sinh giỏi của lớp 8A ở học kì hai là :
20
%
1
5
xx=
(học sinh).
Do học kì hai, có thêm
3
bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa nên ta có phương trình:
11
3 8 5 120 3 120 40
58
x x xx x x⋅= +⇔=+ ⇔= ⇔=
Vậy lớp 8A có
40
học sinh.
Ví dụ 3: (Bài 36 trang 26 SGK) (Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi-ô-phăng, lấy trong
hợp tuyển Hi Lạp - cuốn sách gồm
46
bài toán về số, viết dưới dạng thơ trào phúng).
Thời thơ ấu của Đi-ô-phăng chiếm
1
6
cuộc đời,
1
12
cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi
nổi. Thêm
1
7
cuộc đời nữa ông sống độc thân. Sau khi lập gia đình được
5
năm thì sinh một
con trai. Nhưng số mệnh chỉ cho con sống bằng nửa đời cha. Ông đã từ trần năm
4
sau khi
con mất. Đi - ô- phăng sống bao nhiêu tuổi, hãy tính cho ra?
Giải
Gọi
x
là tuổi của Đi - ô - phăng
( )
0x >
. Theo đề bài ta có phương trình:
54
6 12 7 2
xxx x
x+ ++++=
1 1 11
19
6 12 7 2
x

⇔ −− −− =


3
9 84
28
xx⇔ ⋅=⇔=
Vậy Đi-ô-phăng sống 84 tuổi.
Ví dụ 4: Năm nay tuổi mẹ gấp
3
lần tuổi Phương. Phương tính rằng
13
năm nữa thì tuổi mẹ
chỉ còn gấp
2
lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ?
Giải
Gọi
x
là tuổi của Phương năm nay. Điều kiện
x
nguyên dương
Tuổi Phương Tuổi mẹ
Năm nay
x
3x
13
năm nữa
1
13x +
3 13x +
13
năm nữa tuổi mẹ gấp
2
lần tuổi Phương nên ta có phương trình :
( )
3 13 2 13xx+= +
Giải phương trình trên ta được
13x =
(thỏa điều kiện) nên Phương năm nay
13
tuổi.
Ví dụ 5. (Bài 41. trang 31 SGK)
Một số tự nhiên có hai chữ số; chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục. Nếu thêm
chữ số
1
xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn ban đầu là
370
. Tìm số ban
đầu.
Giải
Gọi chữ số hàng chục là
x
với
x
nguyên và
09x<<
.
Chữ số hàng đơn vị là
2x
và số đã cho là:
10 2 12xx x+=
Khi xen chữ số
1
vào giữa hai chữ số
x
và
2x
thì
x
thành chữ số hàng trăm, còn
2x
vẫn là
chữ số hàng đơn vị. Số mới sẽ là:
100. 10.1 2 102 10x xx+ += +
Số mới lớn hơn số đã cho là
370
đơn vị nên ta có phương trình:
102 10 12 370 90 360 4xx x x+ − = ⇔ = ⇔=
nên số cần tìm là
48
Ví du 6. (Bài 42, trang 31 SGK)
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số
2
vào bên trái và một chữ
số
2
vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp
153
số ban đầu.
Giải
Gọi
x
là số tự nhiên có hai chữ số.
Khi viết thêm một chữ số
2
vào bên trái và một chữ số
2
vào bên phải số đó thì ta được một
số có bốn chữ số, số nhận được là:
2000 .10 2 2002 10xx+ += +
Do số nhận được lớn gấp
153
số ban đầu nên ta có phương trình:
2002 10 153 143 2002 14xx x x+ = ⇔ = ⇔=
. Vậy số cần tìm là
14
Ví dụ 7: (Bài 43 trang 31, SGK)
Tìm phân số có các tính chất sau :
a) Tử số của phân số là số tự nhiên có một chữ số;
b) Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4;
c) Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vào bên phải của mẫu số một chữ số đúng bằng tử số,
thì ta được một phân số bằng phân số
1
6
.
Giải
Gọi
x
là mẫu số (
x
có một chữ số,
xN∈
), tử số là
4x +
Viết thêm bên phải của mẫu số một chữ số đúng bằng tử số thì được:
10. ( 4) 11 4xx x++= +
Ta có phương trình:
41
6( 4) 11 4 6 24 11 4 5 20 4
11 4 6
x
x xx xxx
x
+
= ⇔ + = +⇔ + = +⇔ = ⇔=
+
Vậy phân số cần tìm là
8
4
Dạng 2. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Phương pháp giải
Loại toán chuyển động có ba đại lượng tham gia vào bài toán là: vận tốc (v), thời gian (t)
và quãng đường đi được (s) và ta có công thức s = v.t
Ví dụ 8: Lúc
6
giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó
1
giờ, một ô tô cũng
xuất phát từ A đuổi theo xe máy với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe
máy
20
km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc
9
giờ
30
phút sáng cùng ngày. Tính độ dài
quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy.
Giải
Goi
x
(km/h) là vận tốc trung bình của xe máy (
0)x >
.
Thời gian xe máy đi từ A đến B là:
9
giờ
30 .ph
Thời gian xe ôtô đi từ A đến B là:
9 30 6 3 30 3,5h ph h h ph h−= =
Thời gian xe ô tô đi từ A đến B là:
3,5 1 2,5h−=
Ta lập bảng sau
Vân tốc (km/h)
Thời gian (h)
Quãng đường (km)
Xe máy
x
3,5
3,5x
Ô tô
20x +
2,5
( )
2,5 20x +
Ta có phương trình:
3,5 2,5( 20) 3,5. 2,5. 50 50xx xx x⋅= + ⇔ = + ⇔=
(thỏa điều kiện)
Vậy vận tốc trung bình xe máy là:
50
km/h và quãng đường AB là :
3,5.50 175=
km.
Ví dụ 9: (Bài 46, trang 31 SGK)
Một người lái ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc
48
km/h. Nhưng sau khi đi được một giờ
với vận tốc ấy, ôtô bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút. Do đó, để kịp đến B đúng thời gian
đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm
6
km/h. Tính quãng đường AB.
Giải
Tacó:
10 1
10
60 6
ph h= =
. Gọi
x
(km) là quãng đường AB (
0x >
)
Đoạn đường từ A đến C (điểm nghỉ
10
phút) là
48
km Ta lập bảng sau:
Vân tốc (km/h)
Thời gian (h)
Dự định
48
48
x
Đoạn đường CB
54
48
54
x −
Ta có
1 48
1 432 72 8( 48) 9 120
6 54 48
xx
x xx
−
++ = ⇔ + + − = ⇔=
(thỏa điều kiện)
Vậy quãng đường AB là
120
km
Dạng 3. TOÁN VỀ CÔNG VIỆC
Phương pháp giải: Chú ý: Tỉ lệ phần trăm
a
%
100
a
=
Ví dụ 10. (Bài 39, trang 30 SGK)
Lan mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng
120
nghìn đồng, trong đó đã tính
cả
10
nghìn đồng thuế giá trị gia tăng (thuế VAT), biết rằng loại hàng thứ nhất,
thuế VAT là
10
%, loại hàng thứ hai thuế VAT là
8
%. Hỏi nếu không kể thuế
VAT thì Lan phải trả mỗi loại hàng bao nhiêu tiền?
Giải
Gọi
x
(nghìn) là số tiền loại hàng thứ nhất không kể thuế VAT mà Lan phải trả
( )
0x >
Tổng số tiền Lan phải trả nếu không kể thuế VAT là :
120 10 110−=
nghìn, ta lập bảng sau:
Tiền không tính VAT Tiền thuế VAT
Hàng loại I
x
10
100
x
Hàng loại II
110 x−
( )
8
110
100
x−
Ta có phương trình:
10 8
(110 ) 10 10 880 8 1000 60
100 100
x x xx x⋅+ − = ⇔ + − = ⇔ =
(thỏa điều kiện)
Vậy số tiền Lan phải trả (không kể thuế VAT) loại hàng I là
60
nghìn đồng và loại hàng II là
50
nghìn đồng.
Ví dụ 11:
Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một tấm thảm len trong
20
ngày. Do cải tiến kỹ thuật, năng
suất dệt của xí nghiệp đã tăng
20
%. Bởi vậy, chỉ trong
19
ngày, không những xí nghiệp đã
hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm
24
tấm nữa với chất lượng cao. Tính số thảm
len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng.
Giải
Gọi
x
là số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng
( )
0,x >
ta có bảng sau:
Số tấm thảm dệt
Số tấm thảm dệt trong
1
ngày
Hợp đồng
x
20
x
Thực tế
24x +
24
18
x +
Vì năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng
20
% nên trong một ngày xí nghiệp dệt
120
% so với
hợp đồng. Ta có phương trình:
24 120 24 6
50 1200 54 4 1200 300
18 100 20 9 50
x xx x
x xx x
++
= ⋅ ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ⇔=
(thỏa điều
kiện)
Vậy xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng là
300
tấm thảm len.
Ví dụ 12. (Bài 47. trang 32 SGK)
Bà An gởi vào quỹ tiết kiệm
x
nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là
a
%(
a
là một số cho
trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau.
a) Hãy viết biểu thức biểu thị:
+ Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;
+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất;
+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai.
b) Nếu lãi suất là
1, 2
% tức là
1, 2a =
và sau
2
tháng tổng số tiền lãi là
48,288
nghìn đồng,
thì lúc đầu bà An đã gởi bao nhiêu tiền tiết kiệm?
Giải
a) Số tiền lãi sau tháng thứ nhất là
.
100
a
x
nghìn
+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất là:
.1
100 100
aa
xx x

+ =++


(nghìn)
+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai là:
1.
100 100 100
a aa
xx

++


(nghìn)
2
100 100
aa
x

= +


(nghìn)
b) Với
1, 2a =
ta có phương trình
1, 2 1, 2 201, 2.1, 2
2 . 48,288 . 48,288
100 100 10000
xx

+=⇔ =


482880
2000
241,44
x⇔= =
(nghìn)
Vậy bà An đã gửi 2 triệu đồng tiền tiết kiệm.
Ví dụ 13. (Bài 48, trang 32 SGK)
Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là
4
triệu. Năm nay, số dân tỉnh A
tăng thêm
1,1%
còn tỉnh B tăng thêm
1, 2%
. Tuy vậy số dân tỉnh A năm nay vẫn
nhiều hơn tỉnh B là
807200
người. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh
Giải
Gọi số dân ở tỉnh A năm ngoái là
x
(người) (
x
nguyên dương)
Ta lập bảng sau:
Năm ngoái
Năm nay
Số dân tỉnh A
x
101,1
.
100
x
Số dân tỉnh B
4000000 x−
( )
101,2
4000000
100
x−
Số dân tỉnh A năm nay nhiều hơn số dân tỉnh B là
807200
người nên ta có phương
trình
( )
1,011 1,012 4000000 807200 4048000 2,023 807200xx x− − = ⇔− + =
2,203 4855200
2400000
x
x
⇔=
⇔=
Vậy số dân tỉnh A năm ngoái là
2,4
triệu và số dân tỉnh B năm ngoái là
1, 6
triệu.
Dạng 4. TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC
Phương pháp giải
* Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia: toàn bộ công việc, phần làm việc
trong một đơn vị thời gian (
1
ngày,
1
giờ,…) và thời gian làm công việc
* Nếu một đội nào đó làm xong công việc trong x ngày thì một này đội đó làm được
1
x
công
việc.
Ví dụ 14. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau
4
giờ
48
phút bể đầy. Mỗi giờ lượng
nước vòi
I
chảy được bằng
1, 5
lượng nước chảy được của vòi
II
. Hỏi mỗi vòi
chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể?
Giải
Ta có:
4
giờ
48
phút =
48 24
4
60 5
+=
giờ;
3
1, 5
2
=
Gọi
x
(giờ) là thơi gian vòi
II
một mình chảy đầy bể
( )
0x >
. Ta lập được bảng sau:
Thời gian chảy đầy bể (h)
1 giờ chảy được (bể)
Vòi
I
31
.
2 x
Vòi
II
x
1
x
Cả hai vòi
24
5
5
24
Ta có phương trình:
13 5
2 24xx
+=
Giải phương trình ta được:
12x =
(thỏa mãn điều kiện)
Vòi
II
chảy một mình trong
12
giờ đầy bể
Trong
1
giờ, vòi
I
chảy được:
511
24 12 8
−=
(bể)
Vòi
I
chảy 1 mình trong
8
giờ đầy bể
Ví dụ 15 (Bài 38 trang 30 SGK)
Điểm kiểm tra Toán của một tổ học tập được cho trong bảng sau:
Điểm số (x)
4
5
7
8
9
Tần số (n)
1
*
2
3
*
N = 10
Biết điểm trung bình của cả tổ là
6,6
. Hãy điền các giá trị thích hợp vào hai ô còn
trống (được đánh dấu *)
Giải
Gọi
x
là số điểm
5
của tổ (
x
nguyên dương)
Số điểm
9
của tổ là:
( )
10 1 2 3 4xx− +++ =−
Điểm trung bình của tổ là
6,6
nên ta có phương trình:
( )
1
4.1 5 7.2 8.3 9 4 6,6 78 4 66 4 12
10
x x xx++ + + − = ⇔−=⇔ =


3x⇔=
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy số điểm
5
của tổ là
3
và số điểm
9
của tổ là
1
.
Ví dụ 16. (bài 44, trang 31 SGK)
Điểm kiểm tra Toán của một lớp được cho dưới dây:
Điểm (x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tần số (n)
0
0
2
*
10
12
7
6
4
1
N = *
Trong đó có hai ô còn để trống (thay bằng dấu *). Hãy điền số thích hợp vào ô trống nếu
điểm trung bình của lớp đó là
6,06
Giải
Gọi
x
là số học sinh của lớp (
x
nguyên dương)
Số điểm 4 của lớp là:
( )
2 10 12 7 6 4 1 42xx− + + ++++ =−
Điểm trung bình của lớp là
6,06
nên ta có phương trình:
( )
1
1.0 2.0 3.2 4 42 5.10 6.12 7.7 8.6 9.4 10.1 6,06x
x
+++ −+ + ++++ =


103 4 6,06 2,06 103xx x⇔ += ⇔ =
50x⇔=
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy số học sinh của lớp là
50
và số điểm
4
của lớp là
8
Ví dụ 17. (Bài 49, trang 32 SGK)
Đố. Lan có một miếng bìa hình tam giác
ABC
vuông tại
A
, cạnh
3AB cm=
. Lan tính rằng nếu cứ
cắt miếng bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài
2cm
như hình bên thì hình chữ nhật ấy có diện tích
bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính
độ dài canh
AC
của tam giác
ABC
.
Giải
Gọi
x
(cm) là độ dài cạnh
AC
( )
0x >
Diện tích tam giác
ABC
là:
1 13
. .3
2 22
x
S AB AC x= = =
Theo định lý Ta – lét ta có:
( )
32
2
3
x
DE EC DE x
DE
AB AC x x
−
−
=⇒ = ⇒=
Diện tích hình chữ nhật là:
( )
32
6 12
. 2.
x
x
AE ED
xx
−
−
= =
Theo đề bài ta có phương trình:
( )
22
6 12 1 3
. 4 6 12 3 3 24 48 0
22
xx
x xxx
x
−
= ⇔ − = ⇔ − +=
( )
2
2
8 16 0 4 0xx x⇔−+=⇔− =
4x⇔=
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy
4AC cm=
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1) Hai số có tổng bằng
120
và tỉ số giữa chúng bằng
1/3
2. (Dạng 1) Tổng của hai số bằng
90
. Số này gấp đôi số kia. Tìm hai số đó.
3. (Dạng 1) Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là
13
. Nếu tăng tử số lên
3
đơn vị và giảm
mẫu số
5
đơn vị thì ta được phân số bằng
3/4
. Tìm phân số đã cho
4. (Dạng 1) Tỉ số của hai số bằng
3/5
. Nếu chia số thứ nhất cho
9
và chia số thứ hai cho
6
thì thương thứ nhất nhỏ hơn thương thứ hai là
3
. Tìm hai số đã cho.
5. (Dạng 2) Tổng của bốn số bằng
45
. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm
2
, số thứ hai trừ đi
2
,
số thứ ba nhân với
2
, số thứ tư chia cho
2
thì bốn kết quả đó bằng nhau. Tìm bốn số ban đầu.
6. (Dạng 2) Một ô tô đi từ
A
đến mất
2
giờ
30
phút. Nếu nó đi với vận tốc nhỏ hơn
10 /km h
thì nó sẽ mất nhiều thời gian hơn là
50
phút. Tính quãng đường từ
A
đến
B
.
7. (Dạng 2) Một người dự định đi xe máy trên một quãng đường dài
120km
trong
2
giờ
30
phút. Đi được
1
giờ người ấy nghỉ
15
phút. Để đến đích đúng dự định người ấy phải tăng vận
tốc gấp
1, 2
lần vận tốc lúc đầu. Tính vận tốc lúc đầu của người ấy.
8. (Dạng 2) Một ô tô đi từ
A
đến
B
với vận tốc
50 /km h
. Sau khi đi được
24
phút nó giảm
bớt vận tốc đi
10 /km h
. Vì vậy nó đến
B
muộn hơn dự định
18
phút. Tính thời gian dự định
của ô tô?
9. (Dạng 2) Một ô tô đi từ
A
đến
B
với vận tốc
40 /km h
và đi về từ
B
đến
A
với vận tốc
30 /km h
. Thời gian đi và về mất thời gian là
8
giờ
45
phút. Tính đoạn đường
AB
10. (Dạng 2) Một chiếc môtô và một chiếc ôtô đi từ
A
đến
B
với vận tốc khác nhau. Vận
tốc môtô là
62 /km h
. Vận tốc ôtô là
55 /km h
. Để hai xe cùng đến
B
một lúc, người ta đã
tính toán cho ôtô chạy trước một thời gian. Nhưng vì một lí do đặc biệt khi chạy được
2/3
quãng đường
AB
, xe ôtô lại chạy với vận tốc
27,5 /km h
. Do đó khi còn cách
B
124km
thì môtô đuổi kịp ôtô. Tính khoảng cách
AB
11. (Dạng 3) Một hồ nước có dung tích
5000
lít. Hai vòi nước chảy vào hồ, vòi thứ nhất mở
trước vòi thứ hai
90
phút và kém vòi thứ hai là
100
lít/h. Khi hai vòi cùng khóa thì vòi thứ
nhất đã chảy được
4
giờ và còn thiếu
120
lít mới đầy hồ. Tính xem mỗi vòi trong 1 giờ chảy
được bao nhiêu lít nước?
12. (Dạng 4) Hai vòi nước chảy vào một bể thì đầy bể trong
3
giờ
20
phút. Người ta cho vòi
thứ nhất chảy trong
3
giờ, vòi thứ hai chảy
2
giờ thì cả hai vòi chảy được
4/5
bể. Tính thời
gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
13. An hỏi Bình “Năm nay cha mẹ của anh bao nhiêu tuổi?”. Bình trả lời “Cha tôi hơn mẹ tôi
4
tuổi”. Trước đây khi tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là
104
tuổi thì tuổi của ba anh em tôi là
14; 10
và
6
tuổi. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp hai lần tổng số tuổi của ba anh
em chúng tôi”. Tính xem tuổi của cha và mẹ Bình là bao nhiêu?
ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
50. Giải phương trình:
a)
( )
2
3 4 25 2 8 300x x xx− − = +−
(1)
b)
( ) ( )
21 3 32 1
23
7
5 10 4
xx
x
−+
+
−=−
(2)
c)
5 28 14 2
5
635
xxx+−+
−= −
(3)
d)
3 23 1 5
2
26 3
xx
x
++
−=+
(4)
Giải
a)
( )
22
1 3 100 8 8 300xx xx⇔− + = +−
100 300 3 101 303 3xx x x⇔− − =− − ⇔− =− ⇔ =
Vậy
{ }
3S =
b)
( ) ( ) ( ) ( )
2 8 1 3 2 2 3 140 15 2 1xx x⇔−− +=− +
8 24 4 6 140 30 15 0 121xx x x⇔− −− = − − ⇔ =
vô nghiệm
Vậy
S = ∅
c)
( ) ( ) ( ) ( )
3 5 5 2 10 8 1 6 4 2 150x xx⇔ +− −= +−
25 10 80 10 24 12 150
79 158 2
xx x
xx
⇔ +− += +−
⇔− =− ⇔ =
Vậy
{ }
2S =
d)
( ) ( ) ( )
4 3 3 2 3 1 12 10xxx⇔ +− += +
5
9 6 3 1 12 10 6 5
6
xx x x x⇔ +− −= + ⇔ =−⇔ =−
Vậy
5
6
S

= −


51. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a)
( )( ) ( )( )
2132 5821xx x x+ −= − +
(1)
b)
( )( )
2
4 1 2 13 5x xx−= + −
(2)
c)
( )
( )
2
2
1 4 21x xx+ = −+
(3)
d)
3
2 530x xx+−=
(4)
Giải
a)
( ) ( )( ) ( )( )
1 2132 58210xx x x⇔ + −− − +=
( )( ) ( )( )
2132580 21260
2 1 0 1/2
2 60 3
xx x x x
xx
xx
⇔+ −−+=⇔+−+=
+= =−

⇔⇔

− += =

Vậy
{ }
1/ 2;3S = −
b)
( ) ( )( ) ( )( )
2 2121 21350xx xx⇔ − +− + − =
( )( ) ( )( )
2121350 21 40
2 1 0 1/2
40 4
xxx xx
xx
xx
⇔+ −−+=⇔+−+=
+= =−

⇔⇔

−+ = =

Vậy
{ }
1/ 2; 4S = −
c)
( ) ( ) ( )
22
3 14 10xx⇔+− − =
( )( ) ( )( )
12 2 12 2 0 33 1 0
30 3
3 1 0 1/3
x xx x x x
xx
xx
⇔ +− + ++ − = ⇔−+ − =
−+= =

⇔⇔

−= =

Vậy
{ }
1/ 3; 3S =
d)
( )
( )
2
4 2 530xx x⇔ +−=
( )
( ) ( )
( )( )
2
2 630 21321 0
00
21 30 210 1/2
30 3
x x x x xx x x
xx
xx x x x
xx
⇔ −+ − =⇔ − + − =


= =


⇔ − + = ⇔ −= ⇔ =


+= =−

Vậy
{ }
0; 1/ 2; 3S = −
52. Giải phương trình
a)
( )
1 35
23 23x xx x
−=
−−
(1)
b)
( )
21 2
22
x
x x xx
+
−=
−−
(2)
c)
( )
2
2
22
11
22 4
x
xx
xx x
+
+−
−=
−+ −
(3)
d)
( ) ( )
38 38
23 1 5 1
27 27
xx
xx
xx
++

++=−+

−−

(4)
Giải
a) ĐKXĐ:
3
2
x ≠
và
0x ≠
. MTC:
( )
23xx−
( )
( )
( )
( )
( )
( )
52 3
3
1 3 52 3
23 23 23
x
x
xx
xx xx xx
−
⇔ − = ⇔−= −
−−−
3 10 15 9 12 4 / 3xx x x⇔−= − ⇔ = ⇔ =
(thỏa ĐKXĐ)
Vậy
{ }
4/3S =
b) ĐKXĐ:
2x ≠
và
0x ≠
. MTC:
( 2)xx−
( )
( 2) 2 2
2
( 2) ( 2) ( 2)
xx x
xx xx xx
+−
⇔−=
−−−
( ) ( )
2
2 2 2 2 22xx x x x x⇔ +−−=⇔+ −+=
( )
2
0 10x x xx⇔ +=⇔ + =
0 0( XD)
10 1
x x loai vi khong thuoc DK
xx
= =

⇔⇔

+= =−

Vậy:
{ }
1S = −
c) ĐKXĐ:
2.x ≠±
MTC:
2
4x −
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
2
2
22
( 1) 2 1 2
3
22 22 4
x
xx xx
xx xx x
+
++ −−
⇔+=
−+ +− −
( )( ) ( )( )
( )
2
22 2
1 2 1 22 2
2 2 2 22 4 0 0
xx xx x
x xx x xx x x
⇔+ ++− −= +
⇔ + +++ − −+= +⇔ =
Phương trình có nghiệm với mọi
2x ≠±
Vậy
{ }
\2S = ±
d) ĐKXĐ:
2/7x ≠
( )
( )( )
( )( )
2 33 827 53 827
4
27 27
xx xxx x
xx
+ ++− − ++−
⇔=
−−
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2 3 10 4 5 10 4
10 4 2 3 5 0 10 4 8 0
10 4 0 5 / 2
80 8
xxxx
x x x xx
xx
xx
⇔+−=−−
⇔− +−+=⇔− +=
−= =

⇔⇔

+= =−

Vậy:
{ }
5 / 2; 8S = −
53. Giải phương trình:
( )
1234
*
98 76
xx xx++ ++
+=+
Giải
Cộng 2 vào hai vế của phương trình (*) ta được:
( )
1234
* 1111
98 76
xx xx++ ++
 
⇔ ++ += ++ +
 
 
10 10 10 10
9876
xxxx++++
⇔+=+
( )
( )
1111 37
10 0 10 0 10
9 8 7 6 504
x xx

⇔ + +−− =⇔ + =⇔=−


Vậy
{ }
10S = −
54. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất
5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h.
Giải
Gọi (x km/h) là vận tốc thật của canô (x > 0). Ta lập bảng sau:
Thời gian ( h)
Vận tốc ( km/h)
Quãng đường AB
Canô xuôi dòng
4
2x +
( )
42x +
Canô ngược dòng
5
2x −
( )
52x −
Ta có phương trình:
( ) ( )
4 2 5 2 4 8 5 10 18x x xx x+ = − ⇔ += − ⇔ =
( thỏa mãn điều kiện )
Quãng đường AB là:
( )
4 18 2 80+=
( km)
55. Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước
vào dung dịch đó đề được một dung dịch chứa 20% muối ?
Giải
Gọi
( )
xg
là lượng nước thêm vào để được dung dịch chứa
20%
muối
( )
0x >
. Khi đó ta
có
( )
200 xg+
dung dịch chứa
50g
muối.
Để được dung dịch
20%
muối ta có phương trình:
200 50
50
100 20
x
x
+
= ⇔=
( thỏa mãn điều kiện)
Vậy phải pha thêm
50g
nước để được dung dịch
20%
muối.
56. Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt được tính theo kiểu lũy tiến, nghĩa là
nếu người sử dụng càng nhiều điện thì giá mỗi số điện ( 1kWh) càng tăng lên theo các mức
như sau:
Mức thứ nhất: Tính cho
100
số điện đầu tiên;
Mức thứ hai: Tính cho số điện thứ
101
đến
150
, mỗi số đắt hơn
150
đồng so với mức thứ
nhất;
Mức thứ ba: Tính cho số điện thứ
151
đến
200
, mỗi số đắt hơn
200
đồng so với mức thứ
hai;
v.v…
Ngoài ra, người sử dụng còn phải trả thêm
10%
thuế giá trị gia tăng ( thuế VAT)
Tháng vừa qua, nhà Cường dùng hết
165
số điện và phải trả
95.700
đồng. Hỏi mỗi số điện ở
mức thứ nhất giá bao nhiêu ?
Giải
Gọi
x
( đồng) là giá tiền mà Cường phải trả cho mỗi số điện ở mức thứ nhất
( 0)x >
.
Giá tiền cho 100 số điện đầu tiên là:
100x
( đồng).
Giá tiền cho
50
số điện thứ
101
đến
150
là:
( )
50 150x +
đồng.
Giá tiền cho
15
số điện từ 151 đến
165
là:
( ) ( )
15 150 200 15 350xx++ = +
( đồng)
Số tiền nhà Cường phải trả không kể thuế VAT là:
( ) ( )
100 50 150 15 350 165 12750xx x x+ +++ = +
( đồng)
Nếu phải trả thêm
10%
thuế VAT thì nhà Cường phải trả số tiền là:
( )
10
165 12750 1
100
x

++


( đồng)
Ta có phương trình:
( )
11
. 165 12750 95700 165 12750 87000
10
xx+ = ⇔+ =
165 74250x⇔=
450x⇔=
( thỏa mãn điều kiện)
Vậy Cường phải trả
450
cho mỗi số điện ở mức thứ nhất.
B. BÀI TẬP ÔN BỔ SUNG
1. Giải các phương trình sau:
a)
43 2
3 2 2 0;xx x x+ + + +=
b)
111
.
2 12 3 2 12 3
xx x x
xx xx
++−
+=+
++ ++
2. Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm âm:
2
1 12
( 1).
11 1
xx x
m
m mm
−+
− = ≠±
−+ −
3. Giải phương trình:
( ) ( )
( )
22
2
22
11
.
21
21 1
xx
x
x
+ +−
+=
−
−−
4. Với giá trị nào của
m
thì
1x = −
là một nghiệm của phương trình:
( )
2.
1
1
x
ax
x
x
x
x
= +
−
−
−
5. Hai người đi bộ ở hai địa điểm cách nhau
7km
đi để gặp nhau. Người thứ nhất mỗi giờ đi
được
6.6km
còn người thứ hai đi được
7.2km
nhưng lại dừng 3 phút. Hỏi sau bao lâu họ
gặp nhau?
6. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp 3 lần chữ số hàng chục và nếu
ta đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số cũ 54 đơn vị.
7. Hai bể chứa nước, chứa
800
lít và
1300
lít. Người ta tháo ra cùng một lúc ở bể thứ nhất
mỗi phút 15 lít và ở bể thứ hai mỗi phút 25 lít. Hỏi sau bao lâu số nước còn lại ở bể thứ nhất
bằng
2/3
số nước còn lại của bể thứ hai.
8. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 7. Nếu thêm chứ số 0 vào giữa hai chữ
số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho 180 đơn vị.
9. Lúc 7h sáng, một chiến canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách nhau
36km
, rồi ngay lập
tức quay trở về và đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của canô khi xuôi dòng, biết
rằng vận tốc nước chảy
6 /.km h
| 1/43
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chương III
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
BÀI 1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. * Một phương trình ẩn x luôn có dạng (
A x) = B( y), trong đó vế trái (
A x) và vế phải là
B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x .
* Gía trị x của ẩn x để (
A x ) = B(x ) được gọi là nghiệm. 0 0 0
2. * Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình đó.
* Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình.
* Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.
3. Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn được một phương
trình mới tương đương với phương trình đó. b −
4. Nghiệm duy nhất của phương trình a x + b = 0 (a ≠ 0) là x = . a B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. XÉT XEM x = a CÓ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG Phương pháp giải
* Nghiệm của phương trình (
A x) = B(x) là giá trị của x mà khi thay vào phương trình, giá
trị tương ứng của hai vế bằng nhau.
* Muốn xem số a có phải là nghiệm của phương trình hay không, ta thay x = a vào hai vế
của phương trình, tức là tính ( A a) và B(a).
Nếu hai vế của phương trình bằng nhau, tức là (
A a) = B(a) thì x = a là nghiệm của phương trình. Còn nếu (
A a) ≠ B(a) thì x = a không là nghiệm của phương trình. Ví dụ 1. (Bài 1, SGK trang 6)
Với mỗi phương trình, hãy xét xem x = 1
− có là nghiệm của nó không :
a) 4x −1 = 3x − 2 ; b) x +1 = 2(x− 3) ;
c) 2(x +1) + 3 = 2 − x . Giải a) Với x = 1
− : Vế trái có giá trị : 4.( 1 − ) −1 = 5 −
Vế phải có giá trị : 3.( 1 − ) − 2 = 5. Vậy x = 1
− là nghiệm của phương trình 4x −1 = 3x − 2. b) Với x = 1
− : Vế trái có giá trị : ( 1) − +1 = 0
Vế phải có giá trị : 2.( 1 − − 3) = 2.( 4) − = 8 − . Vậy x = 1
− không là nghiệm của phương trình x +1 = 2(x− 3) . c) Với x = 1
− : Vế trái có giá trị : 2.( 1 − +1) + 3 = 3
Vế phải có giá trị : 2 − ( 1) − = 3. Vậy x = 1
− là nghiệm của phương trình 2(x +1) + 3 = 2 − x . Ví dụ 2. (Bài 2 trang 6 SGK)
Trong các giá trị t = 1
− ;t = 0; t = 1 giá trị nào là nghiệm của phương trình 2 (t+ 2) = 3t + 4 ? Giải - Thay t = 1
− vào phương trình được : 2 2 ( 1 − + 2) = 3( 1 − ) + 4 ⇔ 1 = 1 : đúng. Vậy t = 1
− là nghiệm của phương trình.
- Thay t = 0 vào phương trình được : 2 2
(0 + 2) = 3.0 + 4 ⇔ 2 = 4 : đúng.
Vậy t = 0 là nghiệm của phương trình.
- Thay t = 1 vào phương trình được : 2 2
(1+ 2) = 3.1+ 4 ⇔ 3 = 7 : sai.
Vậy t = 1 không là nghiệm của phương trình. Ví dụ 3. (Bài 3 trang 6 SGK)
Xét phương trình x +1 =1+ x . Ta thấy mọi số thực đều là nghiệm của nó. Hãy
cho biết tập nghiệm của phương trình ? Giải
Phương trình x +1 =1+ x nghiệm đúng với mọi x (x ∈) nên tập nghiệm của phương trình là S =  . Ví dụ 4. (Bài 4, trang 7 SGK)
Nối mỗi phương trình sau với các nghiệm của nó (theo mẫu) :
3(x −1) = 2x −1 (a) -1 1 x =1− (b) x +1 4 2 3 2
x − 2x − 3 = 0 (c) Giải x = 1
− là nghiệm của phương trình (c).
x = 2 là nghiệm của phương trình (a).
x = 4 là nghiệm của phương trình (b).
Dạng 2. XÉT HAI PHƯƠNG TRÌNH CÓ TƯƠNG ĐƯƠNG NHAU KHÔNG Phương pháp giải
* Hai phương trình được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của phương trình này đều là
nghiệm của phương trình kia và nghược lại. Nói cách khác, hai phương trình tương đương là
hai phương trình có các tập nghiệm bằng nhau.
Đặc biệt : Hai phương trình cùng vô nghiệm được xem là hai phương trình tương đương (vì
các tập nghiệm của chúng bằng nhau và bằng ∅ ).
* Nếu chỉ ra được một nghiệm của phương trình này mà không là nghiệm của phương trình
kia hoặc một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm thì kết luận được hai
phương trình không tương đương.
* Để chứng tỏ hai phương trình (1) và (2) tương đương, ngoài phương pháp chứng tỏ hai
phương trình (1) và (2) có các tập nghiệm S ; S bằng nhau, ta có thể dùng phương pháp 1 2
khác là dùng phép biến đổi tương đương để biến (1) thành (2) ; hoặc biến đổi (2) thành (1). Ví dụ 5. (Bài 5, trang 7 SGK)
Hai phương trình x = 0 và x(x−1) = 0 có tương đương nhau không, vì sao ? Giải
Phương trình x = 0 có tập nghiệm S = 0 . 1 { }
Phương trình x(x −1) = 0 có tập nghiệm S = 0;1 . 1 { }
Vì S ≠ nên hai phương trình đx cho không tương đương. 1 2 Ví dụ 6. (Bài 6, trang 9 SGK)
Tính diện tích S của hình thang ABCD theo x bằng hai cách:
1) Theo công thức S = BH.(BC + D ) A : 2 ; 2) S = S + S + S . ABH BCKH CKD
Sau đó sử dụng giả thiết S = 20 để thu được hai phương trình tương đương với nhau.
Trong hai phương trình ấy, có phương trình nào là phương trình bậc nhất không ? B C x A 4 D 7 H x K Giải
1) Ta có : BH = x ; BC = HK = ; x
DA = AH + HK + KD = 7 + x + 4 = 11+ . x
Vậy : S = BH.(BC + D )
A : 2 = x(11+ 2x) : 2 1 1 2) Ta có : S
= BH.AH = .7x ABH 2 2 2 S
= BH.HK = x ; BCKH 1 1 S = .CK.KD = . .4. x CKD 2 2 Vậy S = A + S + S ABH BCKH CKD 1 1 1 11 2 2 2 = .7x + x + . .4 x
= .x + x + 2x = x + . x 2 2 2 2
Theo giả thiết, S = 20 ta được haiphuowng trình tương đương với nhau là : x(11+ 2x) = 11 20 và 2 x + x = 20 2 2
Trong hai phương trình ấy, không có phương trình nào là phương trình bậc nhất.
Dạng 3. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ
Phương pháp giải :
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình dạng a x + b = 0 với a,b tùy ý và a ≠ 0. Ví dụ 7. (Bài 7, trang 10 SGK)
Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau a) 1+ x = 0 b) 2 x + x = 0 c) 1− 2t = 0; d) 3y = 0 e) 3 − = 0 . Giải
a) 1+ x = 0 là phương trình bậc nhất với a = 1;b = 1. b) 2
x + x = 0 không phải là phương trình bậc nhất.
c) 1− 2t = 0 là phương trình bậc nhất với a = 2; − b = 1.
d) 3y = 0 là phương trình bậc nhất với a = 3;b = 0. e) 3
− = 0 không phải là phương trình bậc nhất.
Dạng 4. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Phương pháp giải :
Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân để tìm nghiệm phương trình bậc nhất. Ví dụ 8. (Bài 8, trang 10 SGK) Giải các phương trình : a) 4x − 20 = 0
b) 2x + x +12 = 0 c) x − 5 = 3 − ; x
d) 7 − 3x = 9 − x Giải
a) 4x − 20 = 0 ⇔ 4x = 20 ⇔ x = 5.
Phương trình có một nghiệm x = 5.
b) 2x + x +12 = 0 ⇔ 3x +12 = 0 ⇔ 3x = 12 − ⇔ x = 4. −
Phương trình có một nghiệm x = 4. −
c) x − 5 = 3 − x ⇔ x + x = 3 + 5 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4.
Phương trình có một nghiệm x = 4 .
d) 7 − 3x = 9 − x ⇔ x − 3x = 9 − 7 ⇔ 2
− x = 2 ⇔ x = 1 − .
Phương trình có một nghiệm x = 1. −
Ví dụ 9. (Bài 9 trang 10 SGK)
Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của mỗi nghiệm ở dạng số thập phân bằng
cách làm tròn đến hàng phần trăm. a) 3x −11 = 0 b) 12 + 7x = 0
c) 10 − 4x = 2x − 3. Giải 11
a) 3x −11 = 0 ⇔ 3x = 11 ⇔ x = = 3,67. 3 12 −
b) 12 + 7x = 0 ⇔ 7x = 12 − ⇔ x = = 1 − ,71. 7 13
c) 10 − 4x = 2x − 3. ⇔ 2 − x− 4 x = 10 − − 3 ⇔ 6 − x = 13 − ⇔ x = = 2,17. 6 C. LUYỆN TẬP 3 − 1 2
1. (Dạng 1). Trong các số 2; −
; −1; ; ; 2;3 hãy tìm nghiệm của mỗi phương trình sau: 2 2 3 a) 2
x − 2x = 3 ; b) y − 4 = 3 − − y; 3z − 4 c) = 1. − 2
2. (Dạng 1). Thử lại rằng phương trình có nghiệm là số viết trong dấu ngoặc: 2 2
2x − 4x +1 = x − 3(3x +1) (x = 1 − ; x = 4 − ) .
3. (Dạng 1). Thử lại rằng phương trình 2mx + 2 = 6m − x + 5 luôn nhận x = 3 làm nghiệm, dù
m lấy bất cứ giá trị nào.
4. (Dạng 2). Hai phương trình sau có tương đương không? 1 1 a) x = 0 và x = x ;
b) 4x + 3 = 0 và 2 4x + 3 = 0 . 5 5
c) x +1 = x và 2 x +1 = 0; d) 2 x + 3 = 0 và 2 (x + 3)(x− 5) = 0 .
5. (Dạng 4). Giải phương trình :
a) 7x − 8 = 4x + 7
b) 2x + 5 = 20 − 3 ; x
c) 5 y +12 = 8 y + 27 ;
d) 13 − 2 y = y − 2;
e) 3 + 2, 25x + 2, 6 = 2x + 5 + 0, 4 ; x g)
5x + 3, 48 − 2, 35x = 5, 38 − 2, 9x +10, 42.
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG AX + B = 0
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cách giải phương trình thu gọn được về dạng ax + b = 0 : -
Quy đồng mẫu thức hai vế. -
Nhân hai vế cho mẫu thức để khử mẫu thức. -
Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia. -
Thu gọn và giải phương trình. B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: TÌM CHỖ SAI VÀ SỬA LẠI CÁC BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải
- Chú ý đến quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển vế một hạng tử từ
vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
- Quy tắc nhân: Ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. Ví dụ 1:
Tìm chỗ sai và sửa lại các bài giải sau cho đúng:
a) 3x − 6 + x = 9 − x
b) 2t − 3 + 5t = 4t +12
⇔ 3x + x − x = 9 − 6
⇔ 2t + 5t − 4t =12 − 3 ⇔ 3x = 3 ⇔ 3t = 9 ⇔ x = 1 ⇔ t = 3 Giải
a) 3x − 6 + x = 9 − x ⇔ 3x + x − x = 9 − 6 : Sai do chuyển vế không đổi dấu.
Lời giải đúng: 3x − 6 + x = 9 − x ⇔ 3x + x + x = 9 + 6 ⇔ 5x = 15 ⇔ x = 3
b) 2t − 3 + 5t = 4t +12 ⇔ 2t + 5t − 4t = 12 − 3 : Sai do chuyển vế không đổi dấu.
Lời giải đúng: 2t − 3 + 5t = 4t +12 ⇔ 2t + 5t − 4t = 12 + 3 ⇔ 3t = 15 ⇔ t = 5 Ví dụ 2:
Bạn Hòa giải phương trình x(x + 2) = x(x + 3) như dưới đây. Theo em, bạn
Hòa giải đúng hay sai? Em sẽ giải phương trình đó như thế nào?
x(x + 2) = x(x + 3) ⇔ x + 2 = x + 3 ⇔ x − x = 3 − 2 ⇔ 0.x = 1 (vô nghiệm) Giải
Bạn Hòa đã giải sai: Không được rút gọn x ở hai vế (vì x có thể bằng 0). Lời giải đúng: 2 2
x(x + 2) = x(x + 3) ⇔ x + 2x = x + 3x ⇔ 2x − 3x = 0 ⇔ −x = 0 ⇔ x = 0
Vậy phương trình có một nghiệm x = 0
Dạng 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải:
- Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức.
- Thực hiện các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân để tìm nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình:
a) 3x − 2 = 2x − 3
b) 3 − 4u + 24 + 6u = u + 27 + 3u
c) 5 − (x − 6) = 4(3 − 2x) d) 6.(
− 1,5 − 2x) = 3.( 15 − + 2x) 3  5  5
e) 0,1− 2(0, 5t − 0,1) = 2(t − 2, 5) − 0, 7 f) x − − = x   2  4  8 Giải
a) 3x − 2 = 2x − 3 ⇔ 3x − 2x = 3 − + 2 ⇔ x = 1 −
b) 3 − 4u + 24 + 6u = u + 27 + 3u ⇔ 4
− u + 6u − u − 3u = 27 − 3− 24 ⇔ 2
− u = 0 ⇔ u = 0 c) 1
5 − (x − 6) = 4(3 − 2x) ⇔ 5 − x + 6 = 12 − 8x ⇔ −x + 8x = 12 − 5 − 6 ⇔ 7x = 1 ⇔ x = 7 d) 6( − 1,5 − 2x) = 3( 15 − + 2x) ⇔ 9 − +12x = 45 − + 6x
⇔ 12x − 6x = 45 − + 9 ⇔ 6x = 36 − ⇔ x = 6 −
e) 0,1− 2(0, 5t − 0,1) = 2(t − 2, 5) − 0, 7 ⇔ 0,1− t + 0, 2 = 2t − 5 − 0, 7 ⇔ t − − 2t = 5 − − 0,7 − 0,1− 0, 2 ⇔ 3 − t = 6 − ⇔ t = 2 3  5  5 3x 15 5 f) x − − = x ⇔ −
− = x ⇔ 12x − 20 = 8x   2  4  8 2 8 8
⇔ 4x = 20 ⇔ x = 5 Ví dụ 4: Giải phương trình: 5x − 2 5 − 3x 10x + 3 6 + 8x a) = b) =1+ 3 2 12 9 7x −1 16 − x 5x − 6 c) + 2x =
d) 4(0, 5 −1, 5x) = − 6 5 3 Giải 5x − 2 5 − 3x a) =
⇔ 2(5x − 2) = 3(5 − 3x) ⇔ 10x − 4 =15 − 9x 3 2
⇔ 10x + 9x =15 + 4 ⇔ 19x =19 ⇔ x =1 10x + 3 6 + 8x b) =1+
⇔ 3(10x + 3) = 36 + 4(6 + 8x) 12 9
⇔ 30x + 9 = 36 + 24 + 32x
⇔ 30x − 32x = 36 + 24 − 9 51 ⇔ 2
− x = 51 ⇔ x = − 2 7x −1 16 − x c) + 2x =
⇔ 5(7x −1) + 60x = 6(16 − x) 6 5
⇔ 35x − 5 + 60x = 96 − 6x
⇔ 35x + 60x + 6x = 96 + 5
⇔ 101x =101 ⇔ x =1 5x − 6
d) 4(0, 5 −1, 5x) = −
⇔ 12(0,5 −1,5x) = −(5x − 6) 3 ⇔ 6 −18x = 5 − x + 6 ⇔ 18
− x + 5x = 6 − 6 ⇔ 13
− x − 0 ⇔ x = 0 Ví dụ 5: Số nào trong ba số 1 − , 2, 3
− nghiệm đúng mỗi phương trình sau: 6 x = x (1) 2
x + 5x + 6 = 0 (2) = x + 4(3) 1− x Giải
x = 2 nghiệm đúng của phương trình (1). x = 3
− nghiệm đúng phương trình (2). x = 1
− nghiệm đúng phương trình (3). Ví dụ 6: Giải phương trình
a) 7 + 2x = 22 − 3x
b) 8x − 3 = 5x +12
c) x −12 + 4x = 25 + 2x −1
d) x + 2x + 3x −19 = 3x + 5
e) 7 − (2x + 4) = −(x + 4)
f) (x −1) − (2x −1) = 9 − x Giải
a) 7 + 2x = 22 − 3x ⇔ 2x + 3x = 22 − 7 ⇔ 5x = 15 ⇔ x = 3
b) 8x − 3 = 5x +12 ⇔ 8x − 5x = 12 + 3 ⇔ 3x = 15 ⇔ x = 5
c) x −12 + 4x = 25 + 2x −1 ⇔ x + 4x − 2x = 25 −1+12 ⇔ 3x = 36 ⇔ x = 12
d) x + 2x + 3x −19 = 3x + 5 ⇔ 3x = 24 ⇔ x = 8
e) 7 − (2x + 4) = −(x + 4) ⇔ 7 − 2x − 4 = −x − 4 ⇔ 2 − x + x = 4 − − 7 + 4 ⇔ −x = 7 − ⇔ x = 7
f) (x −1) − (2x −1) = 9 − x ⇔ x −1− 2x +1 = 9 − x
⇔ x − 2x + x = 9 +1−1
⇔ 0x = 9 phương trình vô nghiệm. Ví dụ 7. Giải phương trình: x 2x +1 x 2 + x 1− 2x a) − = − x b) − 0,5x = + 0, 25 3 2 6 5 4 Giải x 2x +1 x a) −
= − x ⇔ 2x − 3(2x +1) = x − 6x 3 2 6
⇔ 2x − 6x − 3 = x − 6x
⇔ 2x − 6x − x + 6x = 3 ⇔ x = 3 2 + x 1− 2x b) − 0,5x =
+ 0, 25 ⇔ 4(2 + x) −10x = 5(1− 2x) + 5 5 4
⇔ 8 + 4x −10x = 5 −10x + 5
⇔ 4x = 2 ⇔ x = 0,5
Dạng 3: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải:
- Chọn ẩn và xác định điều kiện của ẩn.
- Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn.
- Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập phương trình. - Giải phương trình.
- Chọn kết quả thích hợp để trả lời. Ví dụ 8:
Một chiếc xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng với vận tốc trung bình
32km/h. Sau đó 1 giờ, một chiếc ô tô cũng khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng,
cùng đường với người đi xe máy và với vận tốc trung bình là 48 km/h. Hãy
viết phương trình biểu thị việc ô tô gặp xe máy sau x giờ, kể từ khi ô tô khởi hành. Giải
Sau x giờ, kể từ khi ô tô khởi hành xe máy đi được ( x + )
1 giờ. Khi đó ô tô đi được
đoạn đường dài 48x (km) và xe máy đi được 32(x + ) 1 (km)
Phương trình biểu thị ô tô gặp xe máy sau x giờ kể từ khi ô tô khởi hành là: 48x = 32(x +1) Ví dụ 9. (Bài 16, trang 13 SGK)
Viết phương trình biểu thị cân thăng bằng trong hình bên (đơn vị khối lượng là gam) Giải
Cân bên trái có khối lượng :
x + x + x + 5 = 3x + 5.
Cân bên phải có khối lượng :
x + x + 7 = 2x + 7. Ta có phương trình :
3x + 5 = 2x + 7. Ví dụ 10.
(Bài 19, trang 14 SGK)
Viết phương trình ẩn x rồi tính x (mét) trong mỗi hình dưới đây ( S là diện tích của hình) : x a) 2 S = 144 m b) 2 S = 75 m c) 2 S = 168 m Giải
a) Chiều dài của hình là :
x + x + 2 = 2x + 2.
Diện tích của hình a) là : S = 9 (2x + 2). Ta có phương trình :
9 (2x + 2) = 144 ⇔ 2x + 2 = 16 ⇔ x = 7 . 1 b) Diện tích tam giác : S = .6.5 = 15 . 1 2
Diện tích hình chữ nhật : S = .6 x . 2
Diện tích của hình b) là:
S = S + S = 15 + 6x . 1 2 Ta có phương trình :
15 + 6x = 75 ⇔ x = 10 .
c) Diện tích hình lớn là : S = 12.x . 1
Diện tích hình nhỏ là : S = 6.4 = 24 . 2
Diện tích của hình c) là :
S = S + S = 12x + 24 . 1 2 Ta có phương trình :
12x + 24 = 168 ⇔ 12x = 144 ⇔ x = 12 . Ví dụ 11. (Bài 20, trang 14 SGK)
Đố. Trung bảo nghĩa hãy nghĩ ở trong đầu một số tự nhiên tùy ý, sau đó Nghĩa
thêm 5 vào số ấy, nhân tổng nhận được với 2, được bao nhiêu đem trừ đi 10,
tiếp tục nhân hiệu tìm được với 3 rồi cộng thêm 66, cuối cùng chia kết quả cho
6. Chẳng hạn, nếu Nghĩa nghĩ đến số 7 thì quá trình tính toán sẽ là :
7 → (7 + 5 = 12) → (12 × 2 = 24) → (24 −10 = 14) → (14 × 3 = 42)
→ (42 + 66 =108) → (108 : 6 =18).
Trung chỉ cần biết kết quả số cuối cùng (số 18) là đoán ngay được số Nghĩa x đã nghĩ là số nào.
Nghĩa đã thử mấy lần, Trung đều đoán đúng, Nghĩa phục tài Trung lắm. Đố
em tìm ra bí quyết của Trung đấy! Giải
Gọi x là số tự nhiên mà Nghĩa nghĩ ở trong đầu. Quá trình tính toán sẽ
x → ( x + 5) → ( x + 5).2 → ( x + 5).2 −10 = 2x → 2 .3 x = 6x →
→ 6x + 66 → (6x + 66) : 6 = x +11.
Vậy số cuối cùng lớn hơn số Nghĩa đã nghĩ 11 đơn vị. Trung chỉ cần lấy kết quả cuối
cùng trừ cho 11 thì được số mà Nghĩa nghĩ lúc đầu, chẳng hạn 18 −11 = 7 là số Nghĩa đã nghĩ. C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 2). Giải các phương trình : 5x − 4 16x +1 12x + 5 2x − 7 a) = ; b) = ; 2 7 3 4 3t − 8 5 − t 5u + 6 u − 4 c) = ; d) = ; 12 8 15 10 3( x − ) 11 3( x + ) 1 2 (2x − 5) 1 2 ( x + 3) 3x 2 ( x − 7) e) = − ; g) 14 − = − ; 4 5 10 2 5 2 3 2x − 5 5x − 3 6x − 7 x − 4 3x − 2 2x − 5 7x + 2 h) − x + 2 = − + x ; i) + − x = − . 6 3 4 5 10 3 6
2. (Dạng 2). Giải các phương trình : x x + 3  6 − x  1 − + −  1 x 10 7x 1− . x − 2x − 2 4  2  2 x a) x − = 3 − ; b) 3 3 1− = − . 2 2 3 2 2
3. (Dạng 2). Cho abc (ab + bc + ca) ≠ 0. Giải phương trình ẩn x :
x − b − c
x − c − a
x − a − b + + = 3. a b c
4. (Dạng 2). Cho abc (a + b + c) ≠ 0. Giải phương trình ẩn x : x − a x − b x − c 1  1 1 1  + + =  + + . bc ac ab 2  a b c
5. (Dạng 2). Tìm giá trị của a để các phương trình sau có nghiệm tương ứng.
a) ax − 5 = 0 có nghiệm x = 4 ;
b) ax + 7 = 0 có nghiệm x = 3 − ; 1 1 c) ax − = 0 có nghiệm x = . 5 3
6. (Dạng 2). Tìm các giá trị của x sao cho hai biểu thức A và B sau đây có giá trị bằng nhau.
a) A = ( x − 3) ( x + 4) − 2 (3x − 2) ; B = ( x − )2 4 .
b) A = ( x − ) ( x + ) − ( x + )2 2 2 2
1 ; B = x (2 − 3x) .
c) A = ( x + ) ( 2 1 x − x + ) 1 − 2x ;
B = x ( x − ) 1 ( x + ) 1 . 3
d) A = ( x − 2) + (3x − ) 1 (3x + ) 1 ; B = ( x + )3 1 .
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
A( x).B ( x) = 0 ⇔ A( x) = 0 hoặc B ( x) = 0 .
Muốn giải phương trình A( x).B ( x) = 0 ta giải hai phương trình A( x) = 0 và B ( x) = 0 rồi
lấy tất cả các nghiệm thu được. B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG A( x).B ( x) = 0 Phương pháp giải
• Giải hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0.
• Lấy tất cả các nghiệm thu được.
• Viết tập hợp nghiệm S . Ví dụ 1. (Bài 21, trang 17 SGK) Giải phương trình :
a) (3x − 2) (4x + 5) = 0 ;
b) (2,3x − 6,9)(0,1x + 2) = 0 ; c) ( x + ) ( 2 4 2 x + ) 1 = 0 ;
d) (2x + 7) ( x − 5) (5x + ) 1 = 0 . Giải
a) (3x − 2) (4x + 5) = 0 ⇔ 3x − 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 . ( x − ) 2 3
2 = 0 ⇔ 3x = 2 ⇔ x = . 3 5
4x + 5 = 0 ⇔ 4x = 5 − ⇔ x = − . 4 5 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {− ; . 4 3}
b) (2,3x − 6,9)(0,1x + 2) = 0 ⇔ 2,3x − 6,9 = 0 hoặc 0,1x + 2 = 0 .
2, 3x − 6, 9 = 0 ⇔ 2, 3x = 6, 9 ⇔ x = 3 .
0,1x + 2 = 0 ⇔ 0,1x = 2 − ⇔ x = 2 − 0. Vậy : S = { 2 − 0; } 3 . c) ( x + ) ( 2 4 2 x + )
1 = 0 ⇔ 4x + 2 = 0 hoặc 2 x +1 = 0 . 1
4x + 2 = 0 ⇔ 4x = 2 − ⇔ x = − . 2 2 2
x +1 = 0 ⇔ x = 1 − : vô nghiệm (vì 2
x ≥ 0 , với mọi x ). S = { 1 − . 2} Vậy : 2x + 7 = 0 
d) (2x + 7) ( x − 5) (5x + )
1 = 0 ⇔ x − 5 = 0 5  x +1 = 0. 7
2x + 7 = 0 ⇔ 2x = 7 − ⇔ x = − ; 2
x − 5 = 0 ⇔ x = 5 ; 1
5x +1 = 0 ⇔ x = − . 5 S = { 7 1 − ;5;− . 2 5} Vậy : Ví dụ 2. Giải phương trình  x − x +  a) ( x − ) 4 1 2 1 5 3  −  = 0 ;  5 3 
 2x −1 1− x   2( x + ) 1  b)  −  − (2x + ) 1 = 0.    3 3   5  Giải x − x +  4x −1 2x +1 a) ( x − ) 4 1 2 1 5 3  −
 = 0 ⇔ 5x − 3 = 0 hoặc − = 0 ;  5 3  5 3 3
5x − 3 = 0 ⇔ x = . 5 4x −1 2x +1 − = 0 ⇔ 3(4x − ) 1 − 5(2x + ) 1 = 0 5 3
⇔ 12x − 3 −10x − 5 = 0 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4 . S = {3; } Vậy : 4 . 5
 2x −1 1− x − =   x −
− x   (x + ) 0 2 1 1 2 1  3 2 b)  −  − (2x + ) 1 = 0 ⇔     3 3   5  2( x + ) 1 −(2x + ) 1 = 0  5  5  x = 2 (2x − ) 1 − 3(1− x) = 0  − − + =  =  ⇔ 4x 2 3 3x 0 7x 5  ⇔ 7  ⇔ ⇔  
2x + 2 − 5(2x + ) 1 = 0
2x + 2 −10x − 5 = 0  8 − x = 3 3 x = − .  8 S = {5 3 ; − . 7 8} Vậy :
Dạng 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Phương pháp giải
• Chuyển tất cả các số hạng sang vế trái, vế phải bằng 0.
• Rút gọn rồi phân tích đa thức thu được ở vế trái thành nhân tử.
• Giải phương trình tích rồi kết luận. Ví dụ 3. (Bài 22, trang 17 SGK)
Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:
a) 2x ( x − 3) + 5( x − 3) = 0 ; b) ( 2
x − 4) + ( x − 2) (3 − 2x) = 0 ; c) 3 2
x − 3x + 3x −1 = 0 ;
d) x (2x − 7) − 4x +14 = 0 ; 2 2
e) (2x − 5) − ( x + 2) = 0 ; f) 2
x − x − (3x − 3) = 0 . Giải  =  x 3 x − = 
a) x ( x − ) + ( x − ) =
⇔ ( x − )( x + ) 3 0 2 3 5 3 0 3 2 5 = 0 ⇔  ⇔ 5 2x + 5 = 0 x = − .  2 S = { 5 3; − . 2} Vậy : b) ( 2
x − 4) + ( x − 2) (3 − 2x) = 0 ⇔ ( x − 2) ( x + 2) + ( x − 2) (3 − 2x) = 0  − =  = ⇔ ( x 2 0 x 2
x − 2) ( x + 2 + 3 − 2x) = 0 ⇔ ( x − 2) (5 − x) = 0 ⇔ ⇔   5 − x = 0 x = 5. Vậy : S = {2; } 5 .
c) x − x + x − = ⇔ ( x − )3 3 2 3 3 1 0 1
= 0 ⇔ x −1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy : S = { } 1 .
d) x (2x − 7) − 4x +14 = 0 ⇔ x (2x − 7) − 2 (2x − 7) = 0 ⇔ (2x − 7) ( x − 2) = 0  7 2x − 7 = 0 x =  ⇔ ⇔  2 x − 2 = 0  x = 2. S = {7 ; } Vậy : 2 . 2 2 2
e) (2x − 5) − ( x + 2) = 0 ⇔ (2x − 5 − x − 2) (2x − 5 + x + 2) = 0 ⇔ ( x − 7) (3x − 3) = 0 x − 7 = 0 x = 7 ⇔ ⇔   3x − 3 = 0 x = 1. Vậy : S = {7; } 1 . f) 2
x − x − (3x − 3) = 0 ⇔ x ( x − ) 1 − 3( x − ) 1 = 0 ⇔ (  − =  =
x − ) ( x − ) x 1 0 x 1 1 3 = 0 ⇔ ⇔   x − 3 = 0 x = 3. Vậy : S = {1; } 3 . Ví dụ 4. (Bài 23, trang 17 SGK) Giải phương trình :
a) x (2x − 9) = 3x ( x − 5) ;
b) 0, 5x ( x − 3) = ( x − 3) (1,5x − ) 1 ; 3 1
c) 3x −15 = 2x ( x − 5) ; d) x −1 = x (3x − 7) . 7 7 Giải
a) x (2x − 9) = 3x ( x − 5) ⇔ x (2x − 9) − 3x ( x − 5) = 0
⇔ x(2x − 9 − 3x +15) = 0 ⇔ x(−x + 6) = 0 x = 0 x = 0 ⇔ ⇔   −x + 6 = 0 x = 6. Vậy : S = {0; } 6 .
b) 0, 5x ( x − 3) = ( x − 3) (1,5x − )
1 ⇔ ( x − 3) 0, 5x − ( x − 3) (1,5x − ) 1 = 0  − =  = ⇔ ( x x
x − 3) (0,5x −1,5x + )
1 = 0 ⇔ ( x − 3) (−x + ) 1 = 3 0 3 0 ⇔ ⇔   −x +1 = 0 x = 1. Vậy : S = {1; } 3 .
c) 3x −15 = 2x ( x − 5) ⇔ 3( x − 5) − 2x ( x − 5) = 0 x = 5 (  − = x )( x) x 5 0 5 3 2 0  ⇔ − − = ⇔ ⇔  3 3 − 2x = 0 x = .  2 S = { 3 5; . 2} Vậy : 3 1 d) x −1 =
x (3x − 7) ⇔ 3x − 7 = x (3x − 7) ⇔ (3x − 7) − x (3x − 7) = 0 7 7  7 (  − = = 
⇔ x − )( − x) 3x 7 0 x 3 7 1 = 0 ⇔ ⇔  3 1  − x = 0  x = 1. S = {7 } Vậy : ;1 . 3 Ví dụ 5. (Bài 24, trang 17 SGK) Giải phương trình : a) ( 2 x − 2x + ) 1 − 4 = 0 ; b) 2 x − x = 2 − x + 2 ; c) 2 2
4x + 4x +1 = x ; d) 2
x − 5x + 6 = 0 . Giải 2 a) ( 2 x − x + ) − = ⇔ ( x − ) 2 2 1 4 0 1
− 2 = 0 ⇔ ( x −1− 2)( x −1+ 2) = 0 ⇔ (  − =  = x − ) ( x + ) x 3 0 x 3 3 1 = 0 ⇔ ⇔   x +1 = 0 x = 1. − Vậy : S = {3; − } 1 . b) 2 x − x = 2
− x + 2 ⇔ x( x − ) 1 = 2 − ( x − ) 1 ⇔ x( x − ) 1 + 2 ( x − ) 1 = 0 ⇔ ( x − ) 1 ( x + 2) = 0 x −1 = 0 x =1 ⇔ ⇔   x + 2 = 0 x = 2. − Vậy S = {1; − } 2 . c)
x + x + = x ⇔ ( x + )2 2 2 2 4 4 1 2 1
− x = 0 ⇔ (2x +1− x)(2x +1+ x) = 0 x = 1 − x +1 = 0 ⇔ ( x + ) 1 (3x + ) 1 = 0  ⇔ ⇔  1 3x +1 = 0 x = − .  3 S = { 1 1 − ;− . 3} Vậy : d) 2 2
x − 5x + 6 = 0 ⇔ x − 2x − 3x + 6 = 0 ⇔ x ( x − 2) − 3( x − 2) = 0 ⇔ (  − =  =
x − ) ( x − ) x 2 0 x 2 2 3 = 0 ⇔ ⇔   x − 3 = 0 x = 3. Vậy : S = {2; } 3 . Ví dụ 6. (Bài 25, trang 17 SGK) Giải phương trình : a) 3 2 2
2x + 6x = x + 3x ; b) ( x − ) ( 2 3
1 x + 2) = (3x − ) 1 (7x −10) . Giải a) 3 2 2 2
2x + 6x = x + 3x ⇔ 2x ( x + 3) = x ( x + 3) 2
⇔ 2x ( x + 3) − x( x + 3) = 0 x = 0 x = 0 ⇔  
x ( x + 3) (2x − )
1 = 0 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = 3 −   2x −1= 0  1 x = .  2 S = { 1 0; 3 − ; . 2} Vậy : b) ( x − ) ( 2 3
1 x + 2) = (3x − )
1 (7x −10) ⇔ ( x − ) ( 2 3
1 x + 2) − (3x − ) 1 (7x −10) = 0 ⇔ ( x − )( 2 x + − x + ) = ⇔ ( x − )( 2 3 1 2 7 10 0 3
1 x − 7x +12) = 0  1   1 3x −1 = 0 x =  = ⇔ x  ⇔  3 ⇔ 3 2
x − 7x +12 = 0   2
x − 3x − 4x +12 = 0
x(x − 3) − 4(x − 3) = 0  1  1 x = x =    1 3 3 x =    ⇔ 3 ⇔ − = ⇔ =  x 3 0 x 3   (
x − 3)( x − 4) = 0 x 4 0  − = x = 4. S = {1; 3; } Vậy : 4 . 3 C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1, 2). Giải các phương trình :
a) (5x + 2) ( x − 7) = 0 ;
b) 15( x + 9) ( x − 3) ( x + ) 21 = 0 ; c) ( 2 x − ) 1 ( x + 3) = 0 ; d) ( 2 x + ) ( 2
1 x + 4x + 4) = 0 ; e) 2
x − x − 6 = 0 ; g) 2 x + 5x + 6 = 0 ; h) 2 x + x −12 = 0 i) 4 3 2
x + 2x − 2x + 2x − 3 = 0 .
2. (Dạng 2). Giải phương trình : a) ( x − ) ( 2 x + x − ) 3 1 5 2 − x + 1 = 0 ; b) 2
x + ( x + 2) (11x − 7) = 4 ; c) 3
x − x ( x + ) 1 +1 = 0 ; d) 3 2
x + x + x +1 = 0 .
3. (Dạng 2). Giải phương trình : a) 2
x − 7x + 6 = 0 ; b) 2
2x − 3x − 5 = 0 ; c) 2
4x −12x + 5 = 0 .
4. (Dạng 2) Cho biểu thức : A = (5x − 3y + )
1 (7x + 2y − 2).
a) Tìm x sao cho với y = 2 thì A = 0.
b) Tìm y sao cho với x = 2 − thì A = 0 .
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.
Điều kiện xác định của phương trình.
Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu thức
trong phương trình đều khác 0. 2.
Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.
• Tìm điều kiện xác định của phương trình.
• Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu thức.
• Giải phương trình vừa nhận được.
• Kết luận : Với giá trị x tìm được, kiểm tra điều kiện xác định của phương trình rồi viết tập nghiệm. B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. TÌM CHỖ SAI VÀ SỬA LẠI CÁC BÀI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải.
Chú ý đến điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. Ví dụ 1. (Bài 29, trang 22 SGK) 2 x − 5x
Bạn Sơn giải phương trình = 5 ( ) 1 x − như sau : 5 ( ) 2
1 ⇔ x − 5x = 5 ( x − 5) 2
⇔ x − 5x = 5x − 25 2
⇔ x −10x + 25 = 0 ⇔ (x − )2 5 = 0 ⇔ x = 5.
Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x − 5 có chứa ẩn, Hà giải như sau: ( ) x ( x − 5) 1 ⇔ = 5 x − 5 ⇔ x = 5.
Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên. Giải
Cả hai cách giải trên đều sai vì Sơn và Hà không tìm điều kiện xác định của phương trình. ĐKXĐ : x ≠ 5 . 2 x − 5x x ( x − 5) = 5 ⇔ = 5 x − 5 x − 5
⇔ x = 5 (loại vì không thỏa ĐKXĐ). Vậy phương trình ( ) 1 vô nghiệm.
Dạng 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU Phương pháp giải • Tìm ĐKXĐ.
• Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức.
• Giải phương trình không chứa ẩn ở mẫu. • Kiểm tra ĐKXĐ. • Viết tập nghiệm. Ví dụ 2. (Bài 27, trang 22 SGK) Giải các phương trình: 2 − 2x − 5 x 6 3 a) = 3; b) = x + ; x + 5 x 2
( 2x +2x)−(3x+6) 5 c) = 0 ; d ) = 2x −1. x − 3 3x + 2 Giải a) ĐKXĐ: x ≠ 5 − . 2x − 5 2x − 5 3( x + 5) = 3 ⇔ = x + 5 x + 5 x + 5
⇔ 2x − 5 = 3(x + 5) (khứ mẫu: x + 5 )
⇔ −x = 20 ⇔ x = 20 − (thỏa ĐKXĐ). Vậy S = {− } 20 . b) ĐKXĐ: x ≠ 0 . − ( 2 2 x x − ) 2 2 6 6 3 2x + 3x = x + ⇔ = x 2 2x 2x ⇔ ( 2 x − ) 2 2
6 = 2x + 3x (khử mẫu 2x ) 2 2
⇔ 2x −12 = 2x + 3x ⇔ 12 − = 3x ⇔ x = 4 − (thỏa ĐKXĐ). Vậy S = {− } 4 .
c) ĐKXĐ: x ≠ 3. ( 2x+2x)−(3x+6)=0⇔x(x+2)−3(x+2)=0 x − 3
⇔ (x + 2)(x −3) = 0 ⇔ x = 2
− (vì x ≠ 3, theo ĐKXĐ) Vậy S = {− } 2 . d) ĐKXĐ: 2 − x ≠ . 3 5
= 2x −1 ⇔ 5 = (3x + 2)(2x − ) 2
1 ⇔ 5 = 6x + x − 2 3x + 2 2
⇔ 6x + x − 7 = 0 ⇔ (x − ) 1 (6x + 7) = 0 x = 1  ⇔ 7 −  (thỏa ĐKXĐ). x =  6  7 −  Vậy S = 1  ; .  6  Ví dụ 3. (Bài 28, trang 22 SGK) Giải các phương trình: 2x −1 1 5x 6 a) +1 = ; b) +1 = − ; x −1 x −1 2x + 2 x +1 1 1 x + 3 x − 3 2 c) x + = x + ; d ) + = 2 . 2 x x x +1 x Giải a) ĐKXĐ: x ≠ 1. 2x −1 1 +1 =
⇔ 3x − 2 = 1 ⇔ x = 1 (không thỏa ĐKXĐ). x −1 x −1 Vậy: S = ∅ . b) ĐKXĐ: x ≠ 1 − . 5x 6 +1 = −
⇔ 5x + 2x + 2 = 12 − 2x + 2 x +1 ⇔ 7x = 14 − ⇔ x = 2 − Vậy S = {− } 2 . c) ĐKXĐ: x ≠ 0 . 1 1 2 3 4 x + = x +
⇔ x + x = x +1 2 x x 3 4 3
⇔ x − x + x −1 = 0 ⇔ x (1− x) −(1− x) = 0 ⇔ ( − x)( 3 1 x − )
1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa ĐKXĐ). Vậy: S = { } 1 .
d) ĐKXĐ: x ≠ 0 và x ≠ 1 − . x + 3 x − 3 +
= 2 ⇔ x ( x + 3) + ( x − 3)( x + ) 1 = 2x ( x + ) 1 x +1 x ⇔ x = 3 − (thỏa ĐKXĐ). Vậy: S = {− } 3 . Ví dụ 4. (Bài 30, trang 23 SGK)
Giải các phương trình sau: 1 3 − x 3x − 2 6x +1 a) + 3 = ; b) = ; x − 2 x − 2 x + 7 2x − 3 2 x +1 x −1 4 2x 4x 2 c) − = ; d ) 2x − = + 2 x −1 x +1 x −1 x + 3 x + . 3 7 Giải a) ĐKXĐ: x ≠ 2 . 1 3 − x 1+ 3(x − 2) 3 − x + 3 = ⇔ = x − 2 x − 2 x − 2 x − 2
⇔ 1+ 3x − 6 = 3 − x ⇔ 4x = 8
⇔ x = 2 (không thỏa ĐKXĐ). Vậy: S = ∅ . b) ĐKXĐ: 3 x ≠ 7 − và x ≠ . 2 3x − 2 6x +1 2 2 =
⇔ 6x − 9x − 4x + 6 = 6x + 42x + x + 7 x + 7 2x − 3 ⇔ 9
− x − 4x − 42x − x = 7 − 6 1 ⇔ 56
− x = 1 ⇔ x = − (thỏa ĐKXĐ). 56  1  Vậy: S = − .  56 c) ĐKXĐ: x ≠ 1 ± 2 2 x +1 x −1 4
(x +1) − (x −1) 4 − = ⇔ = 2 2 2 x −1 x +1 x −1 x −1 x −1 2 2
⇔ x + 2x +1− x + 2x −1 = 4
⇔ 4x = 4 ⇔ x =1(không thỏa ĐKXĐ). Vậy: S = ∅ . d) ĐKXĐ: x ≠ 3 − 2 2x 4x 2 2 2x − = + ⇔ 2 .7
x (x + 3) − 7.2x = 7.4x + 2(x + 3) x + 3 x + 3 7 2 2
⇔ 14x + 42x −14x = 28x + 2x + 6 1
⇔ 12x = 6 ⇔ x = (thỏa ĐKXĐ). 2 1 Vậy: S =   . 2 Ví dụ 5. (Bài 31, trang 23 SGK) 2 1 3x 2x a) − = 3 2 x −1 x −1 x + x + ; (1) 1 3 2 1 b) + =
(x −1)(x − 2)
(x − 3)(x −1) (x − 2)(x − ; 3) 1 12 c) 1+ = ; 3 x + 2 8 + x 13 1 6 d ) + =
(x − 3)(2x + 7) 2x + 7 (x − 3)(x + . 3) Giải
a) ĐKXĐ: x ≠ 1, MTC: 3 x − = x − ( 2 1 ( 1) x + x + ) 1 . 2 2 x + x +1 3x 2x(x −1) (1) ⇔ − = (x −1) ( 2 x + x + ) 3 1 x −1 (x −1) ( 2 x + x + ) 1 2 2 2
⇔ x + x +1− 3x = 2x − 2x 2
⇔ 4x − 3x −1 = 0 ⇔ ( 2 x − x) + ( 2 3 3 x − ) 1 = 0
⇔ 3x(x −1) + (x −1)(x +1) = 0 ⇔ (x −1)(4x +1) = 0 
x = 1 (không thoa DKXD) x −1 = 0   ⇔ ⇔ 1 4x +1 = 0 x = −   4  1
Vậy: S = −  .  4
b) ĐKXĐ: x ≠ 1, x ≠ 2 và x ≠ 3. MTC: (x −1)(x − 2)(x − 3) . 3(x − 3) 2(x − 2) x −1 (2) ⇔ + =
(x −1)(x − 2)(x − 3)
(x −1)(x − 2)(x − 3)
(x −1)(x − 2)(x − 3)
⇔ 3(x − 3) + 2(x − 2) = x −1
⇔ 3x − 9 + 2x − 4 = x −1 ⇔ 4x =12 ⇔ x = 3 (không thỏa ĐKXĐ). Vậy: S = ∅ . c) ĐKXĐ: x ≠ 2 − , MTC: 3 x + = x + ( 2 8 ( 2) x − 2x + 4) 3 2 x + 8 x − 2x + 4 12 (3) ⇔ + = 3 x + 8 (x + 2) ( 2 x − 2x + 4) 3 x + 8 3 2
⇔ x + 8 + x − 2x + 4 = 12 3 2
⇔ x + x − x = ⇔ x( 2 2 0 x + x − 2) = 0  = x = 0 x 0 ⇔  ⇔  2 x + x − 2 = 0   ( 2 x − ) 1 + (x −1) = 0  x = 0 x = 0  ⇔ ⇔ x = 1
(x 1)(x 2) 0  − + =  x = 2( − khong thoa DKXD)   Vậy: S = {0; } 1 . d) ĐKXĐ: 7 x ≠ 3
± và x ≠ − , MTC: (x − 3)(x + 3)(2x + 7) 2 13(x + 3) (x − 3)(x + 3) 6(2x + 7) (4) ⇔ + =
(x − 3)(x + 3)(2x + 7)
(x − 3)(x + 3)(2x + 7)
(x − 3)(x + 3)(2x + 7)
⇔ 13(x + 3) + (x − 3)(x + 3) = 6(2x + 7) 2 2
⇔ 13x + 39 + x − 9 = 12x + 42 ⇔ x + x −12 = 0 2
⇔ x − 3x + 4x −12 = 0 ⇔ x(x − 3) + 4(x − 3) = 0 x − 3 = 0
x = 3(khong thuocDKXD)
⇔ (x − 3)(x + 4) = 0 ⇔  ⇔  x + 4 = 0  x = 4 − Vậy: S = {− } 4 . Ví dụ 4. (Bài 32, trang 23 SGK) Giải phương trình:  1   1  2 2  1   1  a) 2 + = + 2 ( 2 x +     )1 ; b) 1 x + + = x −1− ;      x   x   x   x Giải a) ĐKXĐ: x ≠ 0 .   + + x x x + + 2 = + 2 (x + ) (1 2 ) ( 2 1 1 1 1 2 2 ) 1 ⇔ =   xxx x
⇔ + x = + x ( 2 1 2 (1 2 ) x + ) 1 ⇔ + x ( 2 (1 2 ) x + ) 1 − (1+ 2x) = 0 ⇔ + x ( 2 (1 2 ) x +1− ) 1 = 0 x = 0 2
⇔ (1+ 2x)x = 0 ⇔ 1+2x =0
x = 0 (khong thuoc DKXD) ⇔ x = 1−/2  1
Vậy: S = −  .  2
Dạng 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA a ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ BẰNG HẰNG SỐ k CHO TRƯỚC Phương pháp giải
• Giả sử biểu thức chứa a là A(a) .
• Muốn tìm giá trị của a để biểu thức A(a) bằng k ta xem a như ẩn và giải phương
trình A(a) = k . Ví dụ 7. (Bài 33, trang 23 SGK)
Tìm các giá trị của a sao cho các biểu thức sau có giá trị bằng 2 : 3a −1 a − 3 10 3a −1 7a + 2 ) a + ; b) − − ; 3a +1 a + 3 3 4a +12 6a +18 Giải a − a − a) Giải phương trình 3 1 3 + = 2 với ẩn a . 3a +1 a + 3 ĐKXĐ: 1 a ≠ − và a ≠ 3
− ; MTC (3a +1)(a + 3) . 3 3a −1 a − 3
(3a −1)(a + 3) + (a − 3)(3a +1) 2(3a +1)(a + 3) + = 2 ⇔ = 3a +1 a + 3 (3a +1)(a + 3) (3a +1)(a + 3)
⇔ (3a −1)(a + 3) + (a − 3)(3a +1) = 2(3a +1)(a + 3) 2 2 2
⇔ 3a + 9a − a − 3 + 3a + a − 9a − 3 = 6a +18a + 2a + 6 12 3 ⇒ 20
− a = 12 ⇔ a = − = − (thuộc ĐKXĐ). 20 5 3 3a −1 a − 3
Vậy với a = − thì + có giá trị bằng 2 . 5 3a +1 a + 3
b) Ta có 4a +12 = 4(a + 3); 6a +18 = 6(a + 3) . 10 3a −1 7a + 2 Ta giải phương trình: − − = 2 (*) 3 4a +12 6a +18 ĐKXĐ: a ≠ 3 − ; MTC :12(a + 3) 40(a + 3) 3(3a −1) 2(7a + 2) 24(a + 3) (*) ⇔ − − =
12(a + 3) 12(a + 3) 12(a + 3) 12(a + 3)
⇔ 40(a + 3) − 3(3a −1) − 2(7a + 2) = 24(a + 3)
⇔ 40a +120 − 9a + 3−14a − 4 = 24a + 72 ⇔ 7 − a = 47 − ⇔ a = 47 / 7( thuoc DKXD) 47 10 3u −1 7a + 2 Vậy với a = thì − − có giá trị bằng 2 . 7 3 4a +12 6a +18 C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 2) Giải phương trình: 2 − − 4x − 8 x x 6 a) 0 = ; b) 0 = 2 2x +1 x − ; 3 x + 5 1 2x − 3 12 1− 3x 1+ 3x c) − = ; d ) = − . 3x − 6 2 2x − 4 2 1− 9x 1+ 3x 1− 3x
2. (Dạng 2) Giải các phương trình: 96 2x −1 3x −1 x +1 5 12 a) 5 + = − ; a) − = +1; 2 x −16 x + 4 4 − x 2 x − 2 x + 2 x − 4 x +1 x −1 3 c) − = . 2 2 x + x +1 x − x +1 x ( 4 2 x + x + ) 1
3. (Dạng 2). Giải các phương trình: x + 5 x +1 8 x +1 5 12 a) = − ; b) 1 − = + . 2 x −1 x − 3 x − 4x + 3 2 x − 2 x + 2 x − 4
4. (Dạng 3). Với giá trị nào của a để các biểu thức sau có giá trị bằng 2 : 2a − 9 3a 3a + 2 a − 2 a) + ; b) + . 2a − 5 3a − 2 3a + 4 a + 4
5. (Dạng 2). Cho phương trình ẩn x : 2 x − a x + a 3y + a − + = 0 2 2 x + a x − a x − . a
a) Giải phương trình với a = 3 − .
b) Giải phương trình với a = 1.
c) Xác định a để phương trình có nghiệp x = 0,5.
6. Định a và b để phương trình (x −1) ( a + 2x +1)
b = x + 2 có tập nghiệm là  (vô số nghiệm x ∈  ).
7. Định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x + 2 x +1 = . x − m x −1 x + m x − 2
8. Định m để phương trình sau vô nghiệm: + = 2 x +1 x
§ 6, § 7. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Tóm tắt các bước giải toán bằng cách lập phương trình
Bước 1. (Lập phương trình). Bao gồm :
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Từ đó lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2. (Giải phương trình). Giải phương trình thu được.
Bước 3. (Trả lời). Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa
mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi trả lời. B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. TOÁN VỀ TỈ SỐ VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ Phương pháp giải
Tỉ số của hai số avà b là số ab a a % = 100
Biểu diễn số có hai chữ số: ab = 10a + b (a,b ∈ )
a là chữ số hàng chục: 0 < a ≤ 9
b là chữ số hàng đơn vị : 0 ≤ b ≤ 9
Biểu diễn số có ba chữ số: abc = 100a +10b + c (a, , b c ∈ )
a là chữ số hàng trăm : 0 < a ≤ 9 ‘
b là chữ số hàng chục : 0 ≤ b ≤ 9
c là chữ số hàng đơn vị: 0 ≤ c ≤ 9
Thí dụ: 37 = 3.10 + 7 ; 134 = 1.100 + 3.10 + 4
Ví dụ 1: (Bài 34 trang 25 SGK)
Mẫu số của một phân số lớn hơn tử của nó là 3. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm hai đơn 1
vị thì được phân số mới bằng phân số . Tìm phân số ban đầu. 2 Giải
Gọi tử số của phân số là x thì mẫu số là x + ( 3 3 x ≠ − )
Sau khi tăng thêm đơn vị tử số là x + 2 và mẫu sẽ là: x + 3+ 2 = x + 5 1 x + Vì phân số mới bằng nên ta có phương trình : 2 1 = 2 x + 5 2
Giải phương trình ta được: x = 1 . Vậy phân số đã cho là : 1 4
Ví dụ 2: (Bài 35 trang 25 SGK) 1
Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng
số học sinh cả lớp. Sang học kì hai, có thêm 8
3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20 % số học sinh cả
lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh ? Giải
Gọi x ( x nguyên dương) là số học sinh lớp 8A. 1
Số học sinh giỏi của lớp 8A ở học kì một là : x (học sinh). 8 1
Số học sinh giỏi của lớp 8A ở học kì hai là : 20 % x = x (học sinh). 5
Do học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa nên ta có phương trình: 1 1
⋅ x = x + 3 ⇔ 8x = 5x +120 ⇔ 3x = 120 ⇔ x = 40 5 8
Vậy lớp 8A có 40 học sinh.
Ví dụ 3: (Bài 36 trang 26 SGK) (Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi-ô-phăng, lấy trong
hợp tuyển Hi Lạp - cuốn sách gồm 46 bài toán về số, viết dưới dạng thơ trào phúng). 1 1
Thời thơ ấu của Đi-ô-phăng chiếm cuộc đời,
cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi 6 12 1 nổi. Thêm
cuộc đời nữa ông sống độc thân. Sau khi lập gia đình được 5 năm thì sinh một 7
con trai. Nhưng số mệnh chỉ cho con sống bằng nửa đời cha. Ông đã từ trần năm 4 sau khi
con mất. Đi - ô- phăng sống bao nhiêu tuổi, hãy tính cho ra? Giải
Gọi x là tuổi của Đi - ô - phăng ( x > 0) . Theo đề bài ta có phương trình: x x x x  1 1 1 1  + + + 3 5 +
+ 4 = x ⇔ x 1− − − − = 9   ⇔
⋅ x = 9 ⇔ x = 84 6 12 7 2  6 12 7 2  28
Vậy Đi-ô-phăng sống 84 tuổi.
Ví dụ 4: Năm nay tuổi mẹ gấp 3lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ
chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ? Giải
Gọi x là tuổi của Phương năm nay. Điều k i ệ n x n g u y ê n dư ơ ng Tuổi Phương Tuổi mẹ Năm nay x 3x 13 năm nữa x +13 3x +13 1
13 năm nữa tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình : 3x +13 = 2( x +13)
Giải phương trình trên ta được x = 13(thỏa điều kiện) nên Phương năm nay 13 tuổi.
Ví dụ 5. (Bài 41. trang 31 SGK)
Một số tự nhiên có hai chữ số; chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục. Nếu thêm
chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn ban đầu là 370 . Tìm số ban đầu. Giải
Gọi chữ số hàng chục là x với x nguyên và 0 < x < 9 .
Chữ số hàng đơn vị là 2x và số đã cho là: 10x + 2x = 12x
Khi xen chữ số 1 vào giữa hai chữ số x và 2x thì x thành chữ số hàng trăm, còn 2x vẫn là
chữ số hàng đơn vị. Số mới sẽ là: 100.x +10.1+ 2x = 102x +10
Số mới lớn hơn số đã cho là 370 đơn vị nên ta có phương trình:
102x +10 −12x = 370 ⇔ 90x = 360 ⇔ x = 4 nên số cần tìm là 48
Ví du 6. (Bài 42, trang 31 SGK)
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ
số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp 153 số ban đầu. Giải
Gọi x là số tự nhiên có hai chữ số.
Khi viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một
số có bốn chữ số, số nhận được là: 2000 + .10 x + 2 = 2002 +10x
Do số nhận được lớn gấp 153 số ban đầu nên ta có phương trình:
2002 +10x = 153x ⇔ 143x = 2002 ⇔ x = 14 . Vậy số cần tìm là 14
Ví dụ 7: (Bài 43 trang 31, SGK)
Tìm phân số có các tính chất sau :
a) Tử số của phân số là số tự nhiên có một chữ số;
b) Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4;
c) Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vào bên phải của mẫu số một chữ số đúng bằng tử số, thì ta đượ 1
c một phân số bằng phân số . 6 Giải
Gọi x là mẫu số ( x có một chữ số, x ∈ N ), tử số là x + 4
Viết thêm bên phải của mẫu số một chữ số đúng bằng tử số thì được: 10.x + (x + 4) = 11x + 4 Ta có phương trình: x + 4 1
= ⇔ 6(x + 4) = 11x + 4 ⇔ 6x + 24 = 11x + 4 ⇔ 5x = 20 ⇔ x = 4 11x + 4 6
Vậy phân số cần tìm là 84
Dạng 2. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Phương pháp giải
 Loại toán chuyển động có ba đại lượng tham gia vào bài toán là: vận tốc (v), thời gian (t)
và quãng đường đi được (s) và ta có công thức s = v.t
Ví dụ 8: Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng
xuất phát từ A đuổi theo xe máy với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe
máy 20 km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày. Tính độ dài
quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy. Giải
Goi x (km/h) là vận tốc trung bình của xe máy ( x > 0) .
Thời gian xe máy đi từ A đến B là: 9giờ 30 .
ph Thời gian xe ôtô đi từ A đến B là: 9 30 h ph − 6h = 3 30 h ph = 3, 5h
Thời gian xe ô tô đi từ A đến B là: 3,5 −1 = 2,5h Ta lập bảng sau Vân tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km) Xe máy x 3, 5 3,5x Ô tô x + 20 2, 5 2,5( x + 20)
Ta có phương trình: 3,5⋅ x = 2,5(x + 20) ⇔ 3,5.x = 2,5.x + 50 ⇔ x = 50 (thỏa điều kiện)
Vậy vận tốc trung bình xe máy là: 50 km/h và quãng đường AB là : 3,5.50 = 175 km.
Ví dụ 9: (Bài 46, trang 31 SGK)
Một người lái ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Nhưng sau khi đi được một giờ
với vận tốc ấy, ôtô bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút. Do đó, để kịp đến B đúng thời gian
đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính quãng đường AB. Giải 10 1 Tacó:10 ph =
= h . Gọi x (km) là quãng đường AB ( x > 0 ) 60 6
Đoạn đường từ A đến C (điểm nghỉ 10 phút) là 48 km Ta lập bảng sau: Vân tốc (km/h) Thời gian (h) x Dự định 48 48 Đoạn đườ x − 48 ng CB 54 54 1 x − 48 x Ta có 1+ + =
⇔ 432 + 72 + 8(x − 48) = 9x ⇔ x = 120 (thỏa điều kiện) 6 54 48
Vậy quãng đường AB là 120 km
Dạng 3. TOÁN VỀ CÔNG VIỆC Phương pháp giả a
i: Chú ý: Tỉ lệ phần trăm a % = 100
Ví dụ 10. (Bài 39, trang 30 SGK)
Lan mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 120 nghìn đồng, trong đó đã tính
cả 10 nghìn đồng thuế giá trị gia tăng (thuế VAT), biết rằng loại hàng thứ nhất,
thuế VAT là 10 %, loại hàng thứ hai thuế V A T l à 8 %. Hỏi nếu không kể thuế
VAT thì Lan phải trả mỗi loại hàng bao nhiêu tiền? Giải
Gọi x (nghìn) là số tiền loại hàng thứ nhất không kể thuế V A T m à Lan phải trả ( x > 0)
Tổng số tiền Lan phải trả nếu không kể thuế VAT là : 120 −10 = 110 nghìn, ta lập bảng sau:
Tiền không tính VAT Tiền thuế VAT Hàng loại I x 10 x 100 8 Hàng loại II 110 − x (110 − x) 100 Ta có phương trình: 10 8 ⋅ x +
(110 − x) = 10 ⇔ 10x + 880 − 8x = 1000 ⇔ x = 60 (thỏa điều kiện) 100 100
Vậy số tiền Lan phải trả (không kể thuế VAT) loại hàng I là 60 nghìn đồng và loại hàng II là 50 nghìn đồng. Ví dụ 11:
Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kỹ thuật, năng
suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20 %. Bởi vậy, chỉ trong 19 ngày, không những xí nghiệp đã
hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm 24 tấm nữa với chất lượng cao. Tính số thảm
len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng. Giải
Gọi x là số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng ( x > 0), ta có bảng sau:
Số tấm thảm dệt
Số tấm thảm dệt trong 1 ngày x Hợp đồng x 20 x + Thực tế x + 24 24 18
Vì năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20 % nên trong một ngày xí nghiệp dệt 120% so với
hợp đồng. Ta có phương trình: x + 24 120 x x + 24 6x = ⋅ ⇔ =
⇔ 50x +1200 = 54x ⇔ 4x =1200 ⇔ x = 300 (thỏa điều 18 100 20 9 50 kiện)
Vậy xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng là 300 tấm thảm len.
Ví dụ 12. (Bài 47. trang 32 SGK)
Bà An gởi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là a % ( a là một số cho
trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau.
a) Hãy viết biểu thức biểu thị:
+ Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;
+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất;
+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai.
b) Nếu lãi suất là 1, 2 % tức là a = 1, 2 và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 48, 288 nghìn đồng,
thì lúc đầu bà An đã gởi bao nhiêu tiền tiết kiệm? Giải a
a) Số tiền lãi sau tháng thứ nhất là . x nghìn 100
+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất là: aa x + . x = x + 1+   (nghìn) 100  100 
+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai là: aa a a a x + x 1+ .   (nghìn) = x 2 +   (nghìn) 100  100  100 100  100 
b) Với a = 1, 2 ta có phương trình  1, 2  1, 2 201, 2.1, 2 x 2 + . = 48, 288 ⇔ . x = 48, 288    100  100 10000 482880 ⇔ x = = 2000 (nghìn) 241, 44
Vậy bà An đã gửi 2 triệu đồng tiền tiết kiệm.
Ví dụ 13. (Bài 48, trang 32 SGK)
Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, số dân tỉnh A
tăng thêm 1,1% còn tỉnh B tăng thêm 1,2% . Tuy vậy số dân tỉnh A năm nay vẫn
nhiều hơn tỉnh B là 807200 người. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh Giải
Gọi số dân ở tỉnh A năm ngoái là x (người) ( x nguyên dương) Ta lập bảng sau: Năm ngoái Năm nay 101,1 Số dân tỉnh A x .x 100 101, 2 Số dân tỉnh B 4000000 − x (4000000− x) 100
Số dân tỉnh A năm nay nhiều hơn số dân tỉnh B là 807200 người nên ta có phương trình
1, 011x −1, 012 (4000000 − x) = 807200 ⇔ 4
− 048000 + 2,023x = 807200 ⇔ 2, 203x = 4855200 ⇔ x = 2 400000
Vậy số dân tỉnh A năm ngoái là 2, 4 triệu và số dân tỉnh B năm ngoái là 1, 6 triệu.
Dạng 4. TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC Phương pháp giải
* Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia: toàn bộ công việc, phần làm việc
trong một đơn vị thời gian (1 ngày, 1 giờ,…) và thời gian làm công việc 1
* Nếu một đội nào đó làm xong công việc trong x ngày thì một này đội đó làm được công x việc.
Ví dụ 14. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Mỗi giờ lượng
nước vòi I chảy được bằng 1,5 lượng nước chảy được của vòi II . Hỏi mỗi vòi
chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể? Giải 48 24 3 Ta có: 4 giờ 48 phút = 4 + = giờ; 1,5 = 60 5 2
Gọi x (giờ) là thơi gian vòi II một mình chảy đầy bể ( x > 0) . Ta lập được bảng sau:
Thời gian chảy đầy bể (h)
1 giờ chảy được (bể) 3 1 Vòi I . 2 x 1 Vòi II x x 24 5 Cả hai vòi 5 24 Ta có phương trình: 1 3 5 + = x 2x 24
Giải phương trình ta được: x = 12 (thỏa mãn điều kiện)
Vòi II chảy một mình trong 12 giờ đầy bể 5 1 1
Trong 1 giờ, vòi I chảy được: − = (bể) 24 12 8
Vòi I chảy 1 mình trong 8 giờ đầy bể
Ví dụ 15 (Bài 38 trang 30 SGK)
Điểm kiểm tra Toán của một tổ học tập được cho trong bảng sau: Điểm số (x) 4 5 7 8 9 Tần số (n) 1 * 2 3 * N = 10
Biết điểm trung bình của cả tổ là 6, 6 . Hãy điền các giá trị thích hợp vào hai ô còn
trống (được đánh dấu *) Giải
Gọi x là số điểm 5 của tổ ( x nguyên dương)
Số điểm 9 của tổ là: 10 − (1+ x + 2 + 3) = 4 − x
Điểm trung bình của tổ là 6,6 nên ta có phương trình:
1 4.1+5x + 7.2 +8.3+9 
(4− x) = 6,6 ⇔ 78− 4x = 66 ⇔ 4x =12  10
⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy số điểm 5 của tổ là 3 và số điểm 9 của tổ là 1.
Ví dụ 16. (bài 44, trang 31 SGK)
Điểm kiểm tra Toán của một lớp được cho dưới dây: Điểm (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số (n) 0 0 2 * 10 12 7 6 4 1 N = *
Trong đó có hai ô còn để trống (thay bằng dấu *). Hãy điền số thích hợp vào ô trống nếu
điểm trung bình của lớp đó là 6,06 Giải
Gọi x là số học sinh của lớp ( x nguyên dương)
Số điểm 4 của lớp là: x − (2 +10 +12 + 7 + 6 + 4 + ) 1 = x − 42
Điểm trung bình của lớp là 6,06 nên ta có phương trình: 1 1.0  + 2.0 + 3.2 + 4 
(x − 42)+5.10+ 6.12+ 7.7 +8.6+9.4+10.1 = 6,06  x
⇔ 103 + 4x = 6,06x ⇔ 2,06x =103
⇔ x = 50 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy số học sinh của lớp là 50 và số điểm 4 của lớp là 8
Ví dụ 17. (Bài 49, trang 32 SGK)
Đố. Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC
vuông tại A , cạnh AB = 3cm . Lan tính rằng nếu cứ
cắt miếng bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài
2cm như hình bên thì hình chữ nhật ấy có diện tích
bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính
độ dài canh AC của tam giác ABC . Giải
Gọi x (cm) là độ dài cạnh AC ( x > 0)
Diện tích tam giác ABC là: 1 1 3x S = A . B AC = .3 x = 2 2 2
Theo định lý Ta – lét ta có: DE EC DE x − 2 3( x − 2) = ⇒ = ⇒ DE = AB AC 3 x x
Diện tích hình chữ nhật là: 3( x − 2) 6x −12 AE.ED = 2. = x x
Theo đề bài ta có phương trình: 6x −12 1 3x = . ⇔ 4(6x −12) 2 2
= 3x ⇔ 3x − 24x + 48 = 0 x 2 2 ⇔ x − x + = ⇔ (x − )2 2 8 16 0 4 = 0
⇔ x = 4(thỏa mãn điều kiện) Vậy AC = 4cm C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1) Hai số có tổng bằng 120 và tỉ số giữa chúng bằng 1/ 3
2. (Dạng 1) Tổng của hai số bằng 90 . Số này gấp đôi số kia. Tìm hai số đó.
3. (Dạng 1) Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 13 . Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm
mẫu số 5 đơn vị thì ta được phân số bằng 3 / 4 . Tìm phân số đã cho
4. (Dạng 1) Tỉ số của hai số bằng 3 / 5 . Nếu chia số thứ nhất cho 9 và chia số thứ hai cho 6
thì thương thứ nhất nhỏ hơn thương thứ hai là 3. Tìm hai số đã cho.
5. (Dạng 2) Tổng của bốn số bằng 45 . Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2 , số thứ hai trừ đi 2 ,
số thứ ba nhân với 2 , số thứ tư chia cho 2 thì bốn kết quả đó bằng nhau. Tìm bốn số ban đầu.
6. (Dạng 2) Một ô tô đi từ A đến mất 2 giờ 30 phút. Nếu nó đi với vận tốc nhỏ hơn
10km / h thì nó sẽ mất nhiều thời gian hơn là 50 phút. Tính quãng đường từ A đến B .
7. (Dạng 2) Một người dự định đi xe máy trên một quãng đường dài 120km trong 2 giờ 30
phút. Đi được 1 giờ người ấy nghỉ 15 phút. Để đến đích đúng dự định người ấy phải tăng vận
tốc gấp 1, 2 lần vận tốc lúc đầu. Tính vận tốc lúc đầu của người ấy.
8. (Dạng 2) Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50km / h . Sau khi đi được 24 phút nó giảm
bớt vận tốc đi 10km / h . Vì vậy nó đến B muộn hơn dự định 18 phút. Tính thời gian dự định của ô tô?
9. (Dạng 2) Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40km / h và đi về từ B đến A với vận tốc
30km / h . Thời gian đi và về mất thời gian là 8 giờ 45 phút. Tính đoạn đường AB
10. (Dạng 2) Một chiếc môtô và một chiếc ôtô đi từ A đến B với vận tốc khác nhau. Vận
tốc môtô là 62km / h . Vận tốc ôtô là 55km / h . Để hai xe cùng đến B một lúc, người ta đã
tính toán cho ôtô chạy trước một thời gian. Nhưng vì một lí do đặc biệt khi chạy được 2 / 3
quãng đường AB , xe ôtô lại chạy với vận tốc 27,5km / h . Do đó khi còn cách B 124km
thì môtô đuổi kịp ôtô. Tính khoảng cách AB
11. (Dạng 3) Một hồ nước có dung tích 5000 lít. Hai vòi nước chảy vào hồ, vòi thứ nhất mở
trước vòi thứ hai 90 phút và kém vòi thứ hai là 100 lít/h. Khi hai vòi cùng khóa thì vòi thứ
nhất đã chảy được 4 giờ và còn thiếu 120 lít mới đầy hồ. Tính xem mỗi vòi trong 1 giờ chảy
được bao nhiêu lít nước?
12. (Dạng 4) Hai vòi nước chảy vào một bể thì đầy bể trong 3 giờ 20 phút. Người ta cho vòi
thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy 2 giờ thì cả hai vòi chảy được 4 / 5 bể. Tính thời
gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
13. An hỏi Bình “Năm nay cha mẹ của anh bao nhiêu tuổi?”. Bình trả lời “Cha tôi hơn mẹ tôi
4 tuổi”. Trước đây khi tổng số tuổi của cha và mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của ba anh em tôi là
14; 10 và 6 tuổi. Hiện nay tổng số tuổi của cha và mẹ tôi gấp hai lần tổng số tuổi của ba anh
em chúng tôi”. Tính xem tuổi của cha và mẹ Bình là bao nhiêu? ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
50. Giải phương trình: a) − x( − x) 2 3 4 25 2 = 8x + x − 300 (1)
2(1− 3x) 2 + 3x 3(2x + ) 1 b) − = 7 − (2) 5 10 4 5x + 2 8x −1 4x + 2 c) − = − 5 (3) 6 3 5 3x + 2 3x +1 5 d) − = 2x + (4) 2 6 3 Giải a) ( ) 2 2
1 ⇔ 3 −100x + 8x = 8x + x − 300 ⇔ 100 − x − x = 300 − − 3 ⇔ 101 − x = 303 − ⇔ x = 3 Vậy S = { } 3
b) (2) ⇔ 8(1− 3x) − 2(2 + 3x) = 140 −15(2x + ) 1
⇔ 8 − 24x − 4 − 6x = 140 − 30x −15 ⇔ 0x = 121vô nghiệm Vậy S = ∅
c) (3) ⇔ 5(5x + 2) −10(8x − ) 1 = 6(4x + 2) −150 ⇔ + − + = + − 25x 10 80x 10 24x 12 150 ⇔ 79 − x = 158 − ⇔ x = 2 Vậy S = { } 2
d) (4) ⇔ 3(3x + 2) − (3x + ) 1 = 12x +10 5
⇔ 9x + 6 − 3x −1 = 12x +10 ⇔ 6x = 5 − ⇔ x = − 6  5 Vậy S = −   6
51. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích: a) (2x + )
1 (3x − 2) = (5x − 8)(2x + ) 1 (1) b) 2
4x −1 = (2x + ) 1 (3x − 5) (2) c) ( x + )2 = ( 2 1 4 x − 2x + ) 1 (3) d) 3
2x + 5x − 3x = 0 (4) Giải a) ( ) 1 ⇔ (2x + )
1 (3x − 2) − (5x − 8)(2x + ) 1 = 0 ⇔ (2x + )
1 (3x − 2 − 5x + 8) = 0 ⇔ (2x + ) 1 ( 2 − x + 6) = 0 2x +1 = 0 x = 1 − / 2 ⇔ ⇔    2 − x + 6 = 0 x = 3 Vậy S = { 1 − / 2; } 3 b) (2) ⇔ (2x − ) 1 (2x + ) 1 − (2x + ) 1 (3x − 5) = 0 ⇔ (2x + )
1 (2x −1− 3x + 5) = 0 ⇔ (2x + ) 1 (−x + 4) = 0 2x +1 = 0 x = 1 − / 2 ⇔ ⇔   −x + 4 = 0 x = 4 Vậy S = { 1 − / 2; } 4 2 2 c) (3) ⇔ ( x + ) 1 − 4(x − ) 1 = 0
⇔ (x +1− 2x + 2)(x +1+ 2x − 2) = 0 ⇔ (−x + 3)(3x − ) 1 = 0 −x + 3 = 0 x = 3 ⇔ ⇔   3x −1 = 0 x = 1/ 3 Vậy S = {1/ 3; } 3 d) ( ) ⇔ x ( 2 4
2x + 5x − 3) = 0 ⇔ x( 2
2x − x + 6x − 3) = 0 ⇔ x x  (2x − ) 1 + 3(2x − ) 1  = 0  x = 0 x = 0   ⇔ x(2x − )
1 ( x + 3) = 0 ⇔ 2x −1 = 0 ⇔ x = 1/ 2   x + 3 = 0 x = 3 −  
Vậy S = {0; 1/ 2; − } 3
52. Giải phương trình 1 3 5 a) − = 2x − 3 x (2x − (1) 3) x x + 2 1 2 b) − = x − 2 x x ( x − (2) 2) + − 2 x x ( 2x +2 1 1 ) c) − = (3) 2 x − 2 x + 2 x − 4  3x + 8   3x + 8  d) (2x + 3) +1 =   ( x − 5) +1   (4)  2 − 7x   2 − 7xGiải a) ĐKXĐ: 3 x ≠
và x ≠ 0 . MTC: x (2x − 3) 2 ( ) x 3 5(2x − 3) 1 ⇔ ( − = ⇔ x − = x − x 2x − 3) x (2x − 3) x (2x − 3) 3 5(2 3)
⇔ x − 3 = 10x −15 ⇔ 9x = 12 ⇔ x = 4 / 3 (thỏa ĐKXĐ) Vậy S = {4 / } 3
b) ĐKXĐ: x ≠ 2 và x ≠ 0 . MTC: x(x − 2)
( ) x(x + 2) x −2 2 2 ⇔ − = x(x − 2) x(x − 2) x(x − 2)
⇔ x(x + ) −(x − ) 2 2
2 = 2 ⇔ x + 2x − x + 2 = 2 2
⇔ x + x = 0 ⇔ x(x + ) 1 = 0 x = 0
x = 0(loai vi khong thuoc DKXD) ⇔ ⇔   x +1 = 0 x = 1 − Vậy: S = {− } 1 c) ĐKXĐ: x ≠ 2. ± MTC: 2 x − 4 (x +1) x + 2 x −1 x − 2 2( 2 x + 2) (3) ( ) ( )( ) ⇔ ( + =
x − 2)( x + 2) ( x + 2)( x − 2) 2 x − 4 ⇔ (x + )
1 ( x + 2) + ( x − ) 1 ( x − 2) = 2( 2 x + 2) 2 2 2
⇔ x + 2x + x + 2 + x − 2x − x + 2 = 2x + 4 ⇔ 0x = 0
Phương trình có nghiệm với mọi x ≠ 2 ± Vậy S =  \ {± } 2 d) ĐKXĐ: x ≠ 2 / 7 ( x + x + + − x x − x + + − x 4) (2 3)(3 8 2 7 ) ( 5)(3 8 2 7 ) ⇔ = 2 − 7x 2 − 7x
⇔ (2x + 3)(10 − 4x) = (x −5)(10 − 4x)
⇔ (10 − 4x)(2x + 3 − x + 5) = 0 ⇔ (10 − 4x)( x + 8) = 0 10  − 4x = 0 x = 5 / 2 ⇔ ⇔   x + 8 = 0 x = 8 −
Vậy: S = {5 / 2; − } 8 x +1 x + 2 x + 3 x + 4
53. Giải phương trình: + = + (*) 9 8 7 6 Giải
Cộng 2 vào hai vế của phương trình (*) ta được:
( )  x +1   x + 2   x +3   x + 4  * ⇔ +1 + +1 = +1 + +1          9   8   7   6  x +10 x +10 x +10 x +10 ⇔ + = + 9 8 7 6 (   ⇔ x + ) 1 1 1 1 37 10 + − − = 0 ⇔
(x +10) = 0 ⇔ x = 10 −    9 8 7 6  504 Vậy S = {− } 10
54. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất
5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h. Giải
Gọi (x km/h) là vận tốc thật của canô (x > 0). Ta lập bảng sau: Thời gian ( h)
Vận tốc ( km/h) Quãng đường AB Canô xuôi dòng 4 x + 2 4( x + 2) Canô ngược dòng 5 x − 2 5( x − 2) Ta có phương trình:
4( x + 2) = 5( x − 2) ⇔ 4x + 8 = 5x −10 ⇔ x = 18 ( thỏa mãn điều kiện )
Quãng đường AB là: 4(18 + 2) = 80 ( km)
55. Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước
vào dung dịch đó đề được một dung dịch chứa 20% muối ? Giải
Gọi x ( g ) là lượng nước thêm vào để được dung dịch chứa 20% muối ( x > 0) . Khi đó ta
có (200 + x) g dung dịch chứa 50g muối.
Để được dung dịch 20% muối ta có phương trình: 200 + x 50 =
⇔ x = 50 ( thỏa mãn điều kiện) 100 20
Vậy phải pha thêm 50g nước để được dung dịch 20% muối.
56. Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt được tính theo kiểu lũy tiến, nghĩa là
nếu người sử dụng càng nhiều điện thì giá mỗi số điện ( 1kWh) càng tăng lên theo các mức như sau:
Mức thứ nhất: Tính cho 100 số điện đầu tiên;
Mức thứ hai: Tính cho số điện thứ 101 đến 150 , mỗi số đắt hơn 150 đồng so với mức thứ nhất;
Mức thứ ba: Tính cho số điện thứ 151 đến 200 , mỗi số đắt hơn 200 đồng so với mức thứ hai; v.v…
Ngoài ra, người sử dụng còn phải trả thêm 10% thuế giá trị gia tăng ( thuế VAT)
Tháng vừa qua, nhà Cường dùng hết 165 số điện và phải trả 95.700 đồng. Hỏi mỗi số điện ở
mức thứ nhất giá bao nhiêu ? Giải
Gọi x ( đồng) là giá tiền mà Cường phải trả cho mỗi số điện ở mức thứ nhất (x > 0) .
Giá tiền cho 100 số điện đầu tiên là: 100x ( đồng).
Giá tiền cho 50 số điện thứ 101 đến 150 là: 50( x +150) đồng.
Giá tiền cho 15 số điện từ 151 đến 165 là: 15( x +150 + 200) = 15( x + 350) ( đồng)
Số tiền nhà Cường phải trả không kể thuế VAT là:
100x + 50( x +150) +15( x + 350) = 165x +12750 ( đồng)  
Nếu phải trả thêm 10% thuế VAT thì nhà Cường phải trả số tiền là: ( x + ) 10 165 12750 1+    100  ( đồng) Ta có phương trình:
11 .(165x +12750) = 95700 ⇔165x +12750 = 87000 10 ⇔ 165x = 74250
⇔ x = 450 ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy Cường phải trả 450 cho mỗi số điện ở mức thứ nhất.
B. BÀI TẬP ÔN BỔ SUNG
1. Giải các phương trình sau: 4 3 2
a) x + x + 3x + 2x + 2 = 0; x x +1 x +1 x −1 b) + = + . 2x +1 2x + 3 2x +1 2x + 3
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm: 1− x x +1 2x − = (m ≠ 1) ± . 2 m −1 1+ m 1− m 1 1
(x + 2)2 +(x − 2)2
3. Giải phương trình: + = 2 x −1 (2x − ) . 2 1 −1
4. Với giá trị nào của m thì x = 1
− là một nghiệm của phương trình: x = a ( x + 2). 1 x − x x − 1− x
5. Hai người đi bộ ở hai địa điểm cách nhau 7km đi để gặp nhau. Người thứ nhất mỗi giờ đi
được 6.6km còn người thứ hai đi được 7.2km nhưng lại dừng 3 phút. Hỏi sau bao lâu họ gặp nhau?
6. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp 3 lần chữ số hàng chục và nếu
ta đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số cũ 54 đơn vị.
7. Hai bể chứa nước, chứa 800 lít và 1300 lít. Người ta tháo ra cùng một lúc ở bể thứ nhất
mỗi phút 15 lít và ở bể thứ hai mỗi phút 25 lít. Hỏi sau bao lâu số nước còn lại ở bể thứ nhất
bằng 2 / 3 số nước còn lại của bể thứ hai.
8. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 7. Nếu thêm chứ số 0 vào giữa hai chữ
số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho 180 đơn vị.
9. Lúc 7h sáng, một chiến canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách nhau 36km , rồi ngay lập
tức quay trở về và đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của canô khi xuôi dòng, biết
rằng vận tốc nước chảy 6km / . h