Lý thuyết, các dạng toán và bài tập tam giác đồng dạng

Tài liệu gồm 48 trang, tóm tắt lý thuyết, các dạng toán và bài tập tam giác đồng dạng, giúp học sinh lớp 8 tham khảo khi học chương trình Toán 8 (tập 2) phần Hình học chương 3.

62 31 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 9: Tam giác đồng dạng (KNTT)

Môn: Toán 8

Thông tin:

48 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Chương III
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
§1. ĐỊNH LÍ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Đoạn thẳng tỉ lệ.
Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng
′′
AB
và
′′
CD
nếu có tỉ lệ thức
′′
=
′′
AB A B
CD C D
hay
.=
′′ ′′
AB CD
AB CD
2. Định lí Ta-lét trong tam giác
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó
định ra trên hai cạnh đó những đọan thẳng tương ứng
tỉ lệ.
,.
//
∆
⇒= =
ABC
AD AE AD AE
DE BC
AB AC DB EC
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. TÍNH TOÁN, CHỨNG MINH VỀ TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG VÀ
ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ
Phương pháp giải
Thường sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức.
Ví dụ 1. (Bài 3 SGK)
Cho biết độ dài của AB gấp 5 lần độ dài của CD và độ dài của
′′
AB
gấp 12 lần độ
dài của CD. Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và
′′
AB
.
Giải
55
.
12 12
= =
′′
AB CD
A B CD
Ví dụ 2. (Bài 19 SGK)
Cho hình thang
Đường thẳng
a
song song với DC, cắt các cạnh
AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:
a)
;=
AE BF
ED FC
b)
;=
AE BF
AD BC
c)
.=
DE CF
DA CB
Giải
a) Gọi I là giao điểm của
a
và AC. Ta có:
// DCa
nên
;=
AE AI
ED IC
//a AB
nên
.=
AI BF
IC FC
Suy ra
=
AE BF
ED FC
b) Lần lượt chứng minh
.= =
AE AI BF
AD AC BC
c) Lần lượt chứng minh
.= =
DE CI CF
DA CA CB
Ví dụ 3. (Bài 4 SGK)
Cho biết
′′
=
AB AC
AB AC
(H.6 SGK). Chứng minh rằng:
a)
;
′′
=
′′
AB AC
BB CC
b)
.
′′
=
′
BB CC
AB AC
Giải
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức:
.
′′ ′ ′ ′′
=⇒ = ⇒=
′ ′′ ′
−−
AB AC AB AC AB AC
AB AC AB AB AC AC B B C C
.
′′ ′ ′ ′′
−−
=⇒ = ⇒=
AB AC AB AB AC AC BB CC
AB AC AB AC AB AC
Dạng 2. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG
Phương pháp giải
Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ, sử dụng
các tính chất của tỉ lệ thức để tính toán.
Ví dụ 4. (Bài 5 SGK)
Tính x trong các trường hợp sau (H.7 SGK);
a)
//MN BC
b)
//PQ EF
Giải
a) Xét
∆ABC
có
// ,MN BC
theo Định lí Ta-lét ta có:
4 5 4.3,5
2,8.
3,5 5
= ⇒ = ⇒= =
AM AN
x
MB NC x
b) Đáp số:
6,3.=x
Dạng 3. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC
Phương pháp giải
Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ. Biến đổi
tỉ lệ thức nhận được để đi đến điều phải chứng minh.
Ví dụ 5. Cho hình thang
( // ).ABCD AB CD
Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt các
cạnh bên
AD
và
BC
theo thứ tự tại
E
và
.F
Chứng minh rằng:
1.+=
AE CF
AD BC
Giải
Gọi
K
là giao điểm của
AC
và
.EF
Xét
.ADC∆
//EK DC
ta có:
.
AE AK
AD AC
=
( )
1
Xét
.ABC∆
//KF AB
ta có:
.
CF CK
BC AC
=
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
1.
AE CF AK CK AK CK AC
AD BC AC AC AC AC
+
−=−= ==
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Gọi
M
là điểm nằm trên đoạn thẳng
AB
sao cho
1
.
2
MA
MB
=
Tính các tỉ số
AM
AB
và
.
MB
AB
2. (Dạng 1). Cho điểm
C
thuộc đoạn thẳng
.AB
a) Biết
20AB =
cm,
2
.
3
CA
CB
=
Tính độ dài
,.CA CB
b) Biết
.
AC m
AB n
=
Tính tỉ số
.
AC
CB
3. (Dạng 1).Cho đoạn thẳng
.AB
Điểm
C
thuộc đoạn thẳng
AB
, điểm
D
thuộc tia đối
của tia
BA
sao cho
2.
CA DA
CB DB
= =
Biết
4CD =
cm, tính độ dài
.AB
4. (Dạng 2). Cho hình thang
( )
// .ABCD AB CD
Một đường thẳng song song với ha đáy,
cắt các cạnh bên
AD
và
BC
theo thứ tự ở
E
và
.F
Tính
,FC
biết
4AE =
cm,
2ED =
cm,
6BF =
cm.
5. (Dạng 2). Cho tam giác
.ABC
Điểm
D
thuộc cạnh
BC
sao cho
1
.
4
BD
BC
=
Điểm
E
thuộc đoạn thẳng
AD
sao cho
2.AE ED=
Tiính tỉ số
.
AK
KC
6. (Dạng 3). Cho hình thang
( )
// ,ABCD AB CD
các đường chéo cắt nhau ở
.O
Chứng
minh rằng
. ..OAOD OB OC=
7. Dạng 3. Cho tam giác
,ABC
điểm
D
thuộc cạnh
.BC
Qua
D
kẻ các đường thẳng
song song với
,,AC AB
chúng cắt
,AB AC
theo thứ tự ở
E
và
.F
Chứng minh hệ
thức:
1.
AE AF
AB AD
+=
8. (Dạng 3). Cho tam giác
.ABC
Một đường thẳng song song với
BC
cắt các cạnh
,AB AC
theo thứ tự ở
,.DE
Qua
C
kẻ đường thẳng song song với
,EB
cắt
AB
ở
.F
Chứng minh hệ thức:
2
..AB AD AF=
9. (Dạng 3). Cho tam giác
( )
,ABC AB AC<
đường phân giác
.AD
Qua trung điểm
M
của
,BC
kẻ đường thẳng song song với
,AD
cắt
AC
và
AB
theo thứ tự ở
E
và
.K
Chứng minh rằng:
a)
;AE AK=
b)
.BK CE=
BÀI 2. ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Hệ quả của định lí Ta – lét
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó
tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ
lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
.
//
ABC
AD AE DE
DE BC
AB AC BC
∆
⇒==
Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng trong trường hợp
đường thẳng
a
song song với một cạnh của tam
giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
2. Định lí Ta – lét đảo
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh cuuả một tam
giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với
cạnh còn lại của tam giác.
// .
AD AE
DE BC
DB EC
= ⇒
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. SỬ DỤNG HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN
THẲNG
Phương pháp giải
Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ. Chú ý sử
dụng các tính chất của tỉ lệ thức, chú ý sử dụng giải phương trình để tìm số chưa biết.
Ví dụ 1: (Bài 7 SGK)
Tính các độ dài
x, y
trong hình 14 SGK.
Giải
a)
9,5 8 8.37,5
// 31,58.
37,5 9,5
DM MN
MN EF x
DE EF x
⇒ = ⇒ =⇒= ≈
b)
3
// 0,5.
6
A B OB OA
A B AB
AB OB OA
′′ ′ ′
′′
⇒====
Từ
4,2
0,5
AB
=
ta tính được
8,4.AB =
2 2 22 2
6 8,4 106,56 10,32.OB OA AB OB= + =+ = ⇒≈
Ví dụ 2: (Bài 8 SGK)
a) Để chia đoạn thẳng
AB
thành ba đoạn bằng nhau, người ta đã làm như hình
15 SGK.
Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn thẳng
,,AC CD DB
bằng
nhau?
b) Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn thẳng
AB
cho trước thành 5 đoạn
bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với cách làm như trên mà vẫn có thể chia
đoạn thẳng
AB
cho trước thành 5 đoạn thẳng bằng nhau?
Giải
a) Kẻ đường thẳng
// .a AB
Từ điểm
P
bất kì trên
,a
đặt liên tiếp các đoạn thẳng bằng
nhau
1PE EF FQ= = =
(đơn vị dài).
Vẽ các đường thẳng
,.PB QA
Các đường
thẳng này cắt nhau tại
.O
Vẽ các đường thẳng
,FO EO
cắt
AB
ở
C
và
D
tương ứng. Áp
dụng hệ quả của Định lí Ta – lét, ta dễ dàng
chứng minh được:
PE EF FQ
BD DC CA
= =
(vì đều bằng
OP
OB
hay
).
OQ
OA
Theo cách dựng,
;PE EF FQ= =
từ đó
suy ra
.AC CD DB= =
b) Chia đoạn thẳng
AB
thành 5 phần bằng nhau.
Cách 1. Tương tự như câu a).
Cách 2.
- Kẻ thêm đường thẳng
Ax
và trên đó
đặt liên tiếp 5 đoạn bằng
nhau:
.AC CD DE EF FG= = = =
- Kẻ đường thẳng
.GB
Từ
,,,CDEF
kẻ các đường thẳng
song song với
,GB
chúng cắt
AB
tại các
điểm tương ứng
,,,,M NPQ
ta được:
.AM MN NP PQ QB= = = =
Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác và đường trung bình trong hình
thang, ta dễ dàng chứng minh được kết quả trên.
Ví dụ 3. (Bài 10 SGK)
Tam giác
ABC
có đường cao
.AH
Đường thẳng
d
song song với
,BC
cắt các cạnh
,AB AC
và đường cao
AH
theo thứ tự tại các điểm
,,BC
′′
và
H
′
(H. 16 SGK).
a) Chứng minh rằng:
.
AH B C
AH BC
′ ′′
=
b) Áp dụng: Cho biết
1
3
AH AH
′
=
và diện tích tam giác
ABC
là
2
67,5cm .
Tính diện tích tam giác
.AB C
′′
Giải
a)
.
AH AB B C
AH AB BC
′ ′ ′′
= =
b) Ta có:
1
3
AH
AH
′
=
nên
1
.
3
BC
BC
′′
=
( )
2
1 1 1 1 1 67,5
. . . . 7,5 cm .
2 23 3 9 9
AB C ABC
S AH B C AH BC S
′′
′′′
= = = = =
Ví dụ 4. (Bài 11 SGK)
Tam giác
ABC
có
15cm.BC =
Trên đường cao
AH
lấy các điểm
,IK
sao cho
.AK KI IH= =
Qua
I
và
K
vẽ các đường
// , //EF BC MN BC
(H. 17 SGK).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng
MN
và
.EF
b) Tính diện tích tứ giác
,MNFE
biết rằng diện tích của tam giác
ABC
là
2
270cm .
Giải
a)
11
5cm.
3 15 3
MN AM AK MN
MN
BC AB AH
= ==⇒ =⇒=
22
10cm.
3 15 3
EF AE AI EF
EF
BC AB AH
= = =⇒=⇒=
b)
( )
2 : 2.270:15 36 cm .
ABC
AH S BC= = =
( )
36
12 cm .
33
AH
KI = = =
( ) ( )
( )
2
. 5 10 .12
90 cm .
22
MNFE
MN EF KI
S
++
= = =
Dạng 2. SỬ DỤNG HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ
THỨC
Phương pháp giải
Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ. Chú ý so
sánh các tỉ số với những tỉ số trung gian.
Ví dụ 5. (Bài 20 SGK)
Cho hình thang
( )
// .ABCD AB CD
Hai đường chéo
AC
và
BD
cắt nhau tại
.O
Đường thẳng
a
qua
O
và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh
bên
,AD BC
theo thứ tự tại
E
và
F
(H. 26 SGK). Chứng minnh rằng
.OE OF=
Giải
//a CD
nên
;
OE AO
CD AC
=
( )
1
//a CD
nên
;
OF BO
CD BD
=
( )
2
AB//CD
nên
.
AO BO
AC BD
=
( )
3
Từ
( ) ( ) ( )
1, 2, 3
suy ra
,
OE OF
CD CD
=
do đó
.OE OF=
Ví dụ 6. Cho điểm
M
thuộc đoạn thẳng
.AB
Vẽ về một phía của
AB
các tam giác đều
,.AMC BMD
Gọi
E
là giao điểm của
AD
và
,MC F
là giao điểm của
BC
và
.MD
a) Đặt
,.MA a MB b= =
Tính
,ME MF
theo
a
và
.b
b) Tam giác
MEF
là tam giác gì?
Giải
a)
60 .BMD MAC MD//AC= = °⇒
ME MD b
MD//AC
EC AC a
⇒==
ME b
ME EC b a
⇒=
++
ME b
a ba
⇒=
+
.
ab
ME
ba
⇒=
+
Tương tự:
.
ba
MF
ab
=
+
b) Từ câu a) suy ra
.ME MF=
Ta lại có
60EMF = °
nên
MEF∆
là tam giác đều.
Ví dụ 7. Cho hình thang
( )
,ABCD AB//CD
E
là trung điểm của
,AB O
là giao điểm
của
AC
và
,BD F
là giao điểm của
EO
và
.CD
Chứng minh rằng
F
là
trung điểm của
.CD
Giải
.
AE OE EB
AB//CD
CF OF FD
⇒==
Do
AE EB=
nên
.CF FD=
Chú ý. Từ bài toán trên ta thấy: Trong hình thang, giao điểm của hai đường chéo vvà
trung điểm của hai đáy là ba điểm thẳng hàng.
Dạng 3. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐẢO ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG
THẲNG SONG SONG
Phương pháp giải
Xét các cặp đoạn thẳng tỉ lệ để chứng minh hai đường thẳng song song
Ví dụ 8. (Bài 6 SGK)
Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình 13 SGK và giải thích vè sao
chúng song song.
Giải
a)
CM CN
MA NB
=
(vì
15 21
57
=
do cùng bằng
3)
MN //AB⇒
(Định lí Ta – lét đảo).
Chú ý.
PM
không song song với
BC
vì
AP AM
PB MC
≠
(vì
35
8 15
≠
).
b)
OA OB
AA BB
′′
=
′′
(vì
23
3 4,5
=
)
A B //AB
′′
⇒
(Định lí Ta – lét đảo).
Ta còn có
A B //A B
′′ ′′ ′ ′
(vì hai góc so le trong bằng nhau), do đó
AB//A B
′′
.
Dạng 4. PHỐI HỢP ĐỊNH LÍ TA-LÉT THUẬN VÀ ĐẢO
Phương pháp giải
Sử dụng định lí thuận để suy ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ, rồi từ các cặp đoạn thẳng tỉ lệ suy ra
các đường thẳng song song; hoặc ngược lại.
Ví dụ 9. Tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Lấy điểm D trên OA, qua D kẻ
đường thẳng song song với AB, cắt OB ở E. Qua E kẻ đường thẳng song song với
BC, cắt OC ở F. Chứng minh rằng DF song song với AC.
Giải
OAB∆
, DE //AB nên
OD OE
OA OB
=
(Định lí Ta-lét).
F
E
A
B
C
O
D
OBC∆
, EF // BC nên
OE OF
OB OC
=
(Định lí Ta-lét).
Suy ra
OD OF
OA OC
=
, do đó DF // AC (Định lí Ta-lét đảo).
Dạng 5. ÁP DỤNG VÀO TOÁN DỰNG HÌNH: TRONG BỐN ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ,
DỰNG ĐOẠN THẲNG THỨ TƯ KHI BIẾT ĐỘ DÀI BA ĐOẠN KIA
Phương pháp giải
Đặt ba đoạn thẳng trên hai cạnh của một góc, rồi dựng đường thẳng song song để xác
định đoạn thẳng thứ tư.
Ví dụ 10. (Bài 14c SGK)
Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo). Dựng đoạn thẳng có độ dài
là x sao cho
mn
xp
=
.
Giải
- Vẽ hai tia Oz, Ot.
- Trên tia Ot, đặt các đoạn OA = n, OB = p.
- Trên tia Oz, đặt OC = m.
- Kẻ BD // AC, ta được OD = x
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3.5 cm, điểm D thuộc cạnh AC, AD =
20 cm, DC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng BD ở E. Tính độ
dài CE.
m
x
n
p
t
z
D
O
A
C
B
2. (Dạng 1) Tam giác ABC có AB = AC = 50cm, BC = 60cm, các đường cao BD và CE.
Tính độ dài các cạnh của tam giác ADE.
3. (Dạng 1) Cho hình thang ABCD (AB//CD), AB = 4cm, CD = 10cm, AD = 3cm. Gọi
O là giao điểm của các đường thẳng AD, BC. Tính độ dài OA.
4. (Dạng 1) Cho hình thang ABCD (AB//CD). Một đường thẳng song song với hai đáy,
cắt các cạnh bên AD,BC ở M, N sao cho
1
2
MA
MD
=
.
a) Tính tỉ số
NB
NC
b) Cho AB = 8cm, CD = 17cm. Tính MN
5. (Dạng 1) Cho tam giác ABC có
120
o
A =
, AB = 3cm, AC = 6cm. Tính độ dài đường
phân giác AD.
Hướng dẫn: Kẻ DE // AC.
6. (Dạng 1) Cho tam giác ABC cân tại A, cạnh bên dài 8cm. Một đường thẳng song song
với BC, cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E. Biết chu vi hình thang BDEC bằng
11cm. Tính chu vi tam giác ADE.
7. (Dạng 1) Cho tam giác ABC, M là trung điểm AB, N trên cạnh AC sao cho
2
3
AN
NC
=
.
Gọi I là giao điểm của MN và BC. Tính tỉ số
IM
IN
8. (Dạng 1) Cho hình thang ABCD có AB // CD. Điểm E thuộc cạnh AD sao cho
2
3
AE
ED
=
.Qua E kẻ đường thảng song song với CD, cắt BC ở F. Tính độ dài EF nếu:
a) AB = 10cm, CD = 30cm. b) AB = a, CD = b.
9. (Dạng 2) Cho hình thang ABCD (AB//CD). Một đường thẳng song song với CD, cắt
các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC theo thứ tự tại M, L, K, N. chứng minh rằng MI =
KN.
10. (Dạng 2) Cho hình thang ABCD (AB//CD) có O là giao điểm của AD và BC. Gọi F là
trung điểm của CD, E là giao điểm của OF và AB. Chứng minh rằng E là trung điểm
AB.
11. (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD, E là trung điểm của cạnh AB, F là trung điểm
cạnh CD. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC thành ba
đoạn bằng nhau.
12. (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AD.
Đường thẳng qua D và song song với EF cắt AC tại I. Đường thẳng qua B và song
song với EF cắt AC tại K. Chứng minh rằng:
a) AI = CK.
b)
AB AD AC
AE AF AN
+=
(N là giao điểm của EF và AC).
13. (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng qua D cắt AC, AB, CD theo
thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng:
a)
2
.DM MN MK=
b)
1
DM DM
DN DK
+=
14. (Dạng 2) Cho tam giác ABC. Qua trọng tâm G, kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB,
AC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng:
1
AF
BE CF
AE
+=
Hướng dẫn: Kẻ các đường thẳng qua B và song song với d, qua C và song song với d.
15. (Dạng 2) Chứng minh rằng nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của tam giác
ABC và cắt các đường thẳng BC, CA, AB thứ tự ở
,,ABC
′′′
thì
..
AB CA BC
BC AB CA
′′′
′′′
= 1
(Định lí Mê-nê-lu-uýt).
16. (Dạng 2) Chứng minh rằng nếu trên các cạnh đối diện với các điểm A,B,C của tam
giác ABC, ta lấy các điểm tương ứng
,,ABC
′′′
sao cho
,BB ,CCAA
′′′
đồng quy thì
..
AB CA BC
BC AB CA
′′′
′′′
= 1 (Định lí Xê-va).
17. (Dạng 3) Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các
điểm E,F,G,H sao cho
1
2,
2
AE EB BF FC= =
,
1
2,
2
CG GD DH HA= =
. Chứng minh
rằng EFGH là hình bình hành.
18. (Dạng 3) Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE.
a) Chứng minh rằng DE//BC.
b) Tính độ dài AB biết DE = 6cm, BC = 15cm.
19. (Dạng 4) Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm AB, E là trung điểm BI, D thuộc
cạnh AC sao cho. Gọi F là giao điểm của BD và CE. Tính tỉ số.
20. (Dạng 4) Cho hình bình hành ABCD. Qua điểm E thuộc CD, vẽ đường thẳng song
song với AC, cắt AD ở F. Qua F vẽ đường thẳng song song với BD, cắt AB ở G. Qua
G vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC ở H. Chứng minh rằng EFGH là hình
bình hành.
21. (Dạng 4) Cho hình thang ABCD (AB//CD). M là trung điểm của CD. Gọi I là giao
điểm của AM và BD, gọi K là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh rằng IK//AB.
b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng
EI = IK = KF.
22. (Dạng 4) Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M thuộc cạnh AD. Gọi I,
K theo thứ tự là trung điểm của MB, MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao
điểm của DK và AC. Chứng minh rằng IK // EF.
Hướng dẫn: Gọi N là trung điểm của AM.
23. (Dạng 5) Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh CD. Dựng một hình chữ
nhật có một cạnh bằng DE và có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ABCD.
3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng
tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
12
ABC
DB AB
DC AC
AA
∆
⇒=
=
Chú ý. Định lí vẫn đúng đối với tia phân
giác của góc ngoài của tam giác
34
()ABC AB AC
EB AB
EC AC
AA
∆≠
⇒=
=
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC ĐỂ
TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG
Phương pháp giải
Lập các đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đường phân giác của tam giác.
Ví dụ 1. (Bài 18 SGK).
Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác của góc
BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn tẳng EB, EC.
Giải
AE là đường phân giác của ∆ABC nên:
5
6
EB AB
EC AC
= =
Do đó:
4
3
2
1
D
E
B
C
A
6
5
E
B
C
A
7
5 6 5 6 11
EB EC EB EC+
= = =
+
Suy ra:
72 79
.5 3 (cm);EC .6 3 ( )
11 11 11 11
EB cm= = = =
.
Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tính AB, BC biết rằng AD =
4cm, DC = 5cm.
Giải
BD là đường phân giác của ∆ABC ⇒
4
5
BA DA
BC DC
= =
Đặt BA = x, BC = y ta có
4
5
x
y
=
và
22 22
9 81y x AC−= ==
. Do đó:
2222
81
9
4 5 16 25 25 16 9
xy x y yx−
=⇒== ==
−
Suy ra
3
45
xy
= =
. Từ đó x = 12, y = 15.
Đáp số: AB = 12cm, BC = 15cm.
Dạng 2. VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC ĐỂ
TÍNH TỈ SỐ ĐỘ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG
Phương pháp giải
Lập các đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đường phân giác của tam giác
x
y
5
4
D
A
B
C
Ví dụ 3. (Bài 17 SGK)
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh
AB tại D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC
(H.25 SGK).
Giải
MD là đường phân giác của tam giác AMB
DA MA
DB MB
⇒=
(1)
ME là đường phân giác của tam giác AMC
EA MA
EC MC
⇒=
(2)
Theo giả thiết: MB = MC. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
DA EA
DB EC
=
Theo định lí Ta-lét đảo: DE//BC
Ví dụ 4. (Bài 21 SGK)
a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện
tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích tam giác ABC là S.
b) Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích tam giác ADM chiến bao nhiêu phần trăm
diện tích tam giác ABC?
Giải
a) AD là đường phân giác của tam giác ABC
DB AB m
DC AC n
⇒==
. Do đó:
E
D
M
C
B
A
DB m m
DB BC
DB DC m n m n
= ⇒=
++ +
1
2
m
DM BM BD BC
mn
= −= −
+
1
2 2( )
m nm
BC BC
mn mn
−

=−=

++

.
Ta có
2( )
DM n m
BC m n
−
=
+
nên
2( )
ADM
ABC
S
nm
S mn
−
=
+
.
Vậy
.
2( )
ADM
nm
SS
mn
−
=
+
.
b) Với n = 7cm, m = 3cm thì
73 4
: 20%.
2(7 3) 20
ADM ABC
SS
−
= = =
+
Dạng 3. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NGOÀI CỦA TAM GIÁC
Phương pháp giải
Lập các đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đường phân giác góc ngoài của tam giác.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có BC = 24cm, AB = 2AC. Tia phân giác của góc ngoài tại
A cắt đường thẳng BC ở E. Tính độ dài EB
Giải
m
n
D
M
A
B
C
AE là đường phân giác góc ngoài của tam giác ABC
1
2
EB AB
EC AC
⇒==
. Do đó:
24
1 2 21
EB EC EC EB
BC
−
= = = =
−
.
Suy ra EB = 24cm
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1) Tam giác ABC có AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 50cm, đường phân giác
BD.
a) Tính các độ dài BD, DC.
b) Qua D vẽ DE//AB, DF//AC (
,E AC F AB∈∈
). Tính các cạnh của tứ giác AEDF.
2. (Dạng 1) Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Tính độ dài AB, AC biết,
DB = 15cm, DC = 20cm.
3. (Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường phân giác BD. Tính độ dài AD,
DC biết AB = 1dm
4. (Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH.
Tia phân giác góc HAB cắt HB tại D. Tia phân giác góc HAC cắt HC tại E.
a) Tính độ dài AH.
b) Tính độ dài HD, HE.
5. (Dạng 1) Tam giác cân ABC có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm các
đường phân giác của tam giác. Tính độ dài BI.
Hướng dẫn: Kẻ đường cao AH, Tính IH.
6. (Dạng 2) Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết
25
,
36
AD AE
DC EB
= =
.
Tính các cạnh của tam giác ABC biết chu vi tam giác bằng 45cm.
7. (Dạng 3) Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 18cm, đường giân giác AD. Điểm I
thuộc cạnh AD sao cho AI = 2ID. Gọi E là giao điểm của BI và AC.
a) Tính tỉ số
AE
EC
4
3
E
B
C
A
b) Tính độ dài AE, EC.
8. (Dạng 2) Tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
.. 1
AE CD BF
EC DB FA
=
9. (Dạng 2) Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 12cm, BC = 9cm. Gọi I là giao điểm
của các đường phân giác, G là trọng tâm tam giác.
a) Chứng minh IG song song BC
b) Tính độ dài IG.
10. (Dạng 3) Tam giác ABC có AB = AC = 3cm, BC = 2cm, đường phân giác BD.
Đường vuông góc với BD tại B cắt AC tại E. Tính độ dài CE.
4. KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa
Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau đôi mộ
t
và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ
,,
.
AABBCC
ABC A B C
AB BC CA
AB BC CA
′′′
= = =
′′′
∆∆⇔
= =
′′ ′ ′ ′′
2. Tính chất
- Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó
-
ABC A B C A B C ABC
′′′ ′′′
∆ ∆ ⇒∆ ∆
.
-
111
222
111 2 2 2
ABC A B C
ABC A B C
ABC ABC
∆∆
⇒∆ ∆
∆∆
3. Định lí nhận biết hai tam giác đồng dạng
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo
thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho
//
ABC
AMN ABC
MN BC
∆
⇒∆ ∆
Chú ý. Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của
N
B
C
A
M
tam giác và song song với cạnh còn lại
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. VẼ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VỚI MỘT TAM GIÁC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
Kẻ đường thẳng song song với một cạnh của tam giác
Ví dụ 1. (Bài 26 SGK)
Cho tam giác ABC, vẽ tam giác
ABC
′′′
đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ
số đồng dạng k = 2/3.
Giải
Dạng 2. TÍNH CHẤT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa và tính chất hai tam giác đồng dạng
Ví dụ 2: (Bài 23 SGK)
Trong hai mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai?
a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.
b) Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.
Giải
Mệnh đề a) đúng, tỉ số đồng dạng bằng 1.
Mệnh đề b) sai. Chẳng hạn ở ví dụ 1 ta có
''AB C AB C∆∆∽
, nhưng các tam giác
''AB C
và
ABC
không bằng nhau.
Ví dụ 3: (Bài 28 SGK)
- Lấy
'B
trên
AB
sao cho
2
'
3
AB AB=
- Kẻ đường thẳng
' //Bx BC
, cắt
AC
ở
'C
.
- Ta có
''AB C ABC∆∆∽
, tỉ số đồng dạng:
'2
3
AB
k
AB
= =
.
C'
A
B
C
B'
'''A B C ABC∆∆∽
theo tỉ số đồng dạng
3
5
k =
.
a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.
b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40dm, tính chu vi của mỗi tam
giác.
Giải
a)
'' '' '' '' '' ''
'''
AB AC CA AB BC CA
A B C ABC
AB AC CA AB BC CA
++
∆ ∆⇒ = = =
++
∽
.
Do
'' 3
5
AB
AB
=
nên tỉ số chu vi của
'''ABC∆
và
ABC∆
bằng
3
5
.
b) Gọi
'P
là chu vi của
'''ABC∆
,
P
là chu vi của
ABC∆
, ta có:
' ' 40
20
3 5 53 2
P P PP−
= = = =
−
.
Suy ra
' 60 , 100P cm P cm= =
.
Dạng 3. CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Phương pháp giải
Sử dụng định lý hoặc định nghĩa để nhận biết hai tam giác đồng dạng.
Ví dụ 4: (Bài 27 SGK)
Từ điểm
M
thuộc cạnh
AB
của tam giác
ABC
với
1
2
AM MB=
, kẻ các tia
song song với
AC
và
BC
, chúng cắt
BC
và
AC
lần lượt tại
L
và
N
.
a) Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng.
b) Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng, hãy viết các cặp góc bằng nhau và tỉ
số đồng dạng tương ứng.
Giải
a) Có ba cặp tam giác đồng dạng
AMN
và
ABC
,
MBL
và
ABC
,
AMN
và
MBL
.
b) Bạn đọc tự giải.
C. LUYỆN TẬP
N
L
A
B
C
M
1. (Dạng 1). Cho tam giác
ABC
. Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác
ABC
, tỉ số đồng dạng
bằng 2.
2. (Dạng 2). Ta có
111
ABC A B C∆∆∽
với tỉ số đồng dạng
2/3
,
111 2 2 2
ABC A BC∆∆∽
với tỉ số
đồng dạng
3/4
.
a) Vì sao
222
ABC A B C∆∆∽
?
b) Tìm tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó.
3. (Dạng 2). Cho một tam giác với cạnh có độ dài 12m, 16m và 18m. Tính độ dài các cạnh
của tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, nếu cạnh bé nhất của tam giác này bằng cạnh
lớn nhất của tam giác đã cho.
4. (Dạng 2). Cho tam giác
ABC
trong đó
16, 2AB =
cm;
24, 3BC =
cm;
32, 7AC =
cm.
Tính độ dài các cạnh của tam giác
'''ABC
đồng dạng với tam giác đã cho biết cạnh
''AB
tương ứng với cạnh
AB
và
a) lớn hơn cạnh đó 10,8 cm;
b) bé hơn cạnh đó 5,4 cm.
5. (Dạng 2 và 3). Cho tam giác
ABC
, Trên tia đối của tia
AB
lấy điểm
D
sao cho
D 2AAB=
. Trên tia đối của tia
AC
lấy điểm
E
sao cho
E 2AAC=
. Chứng minh rằng
ADE ABC∆∆∽
, tìm tỉ số đồng dạng.
6. (Dạng 2 và 3). Cho tam giác
ABC
. Điểm
M
thuộc cạnh
BC
sao cho
1
2
MB
MC
=
. Qua
M
kẻ đường thẳng song song với
AC
cắt
AB
ở
D
. Qua
M
kẻ đường thẳng song song với
AB
cắt
AC
ở
E
.
a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng, tìm tỉ số đồng dạng.
b) Tính chu vi các tam giác
,DBM EMC
biết chu vi tam giác
ABC
bằng 24 cm.
§5. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
- Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ
với ba cạnh của tam giác kia thì hai
tam giác đó đồng dạng
- Nếu
ABC∆
và
'''ABC∆
có:
B'
C'
A
B C
A'
'''
'' '' ''
AB BC CA
ABC A B C
AB BC CA
= = ⇒∆ ∆∽
.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG HỢP THỨ
NHẤT
Phương pháp giải
- Xếp các cạnh của hai tam giác theo cùng một thứ tự, chẳng hạn từ nhỏ đến lớn.
- Lập ba tỉ số, nếu chúng bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.
Ví dụ 1. (Bài 29 SGK)
Cho hai tam giác
ABC
và
'''ABC
có kích thước như trong hình 35.
Hình 35
a)
ABC∆
và
'''ABC∆
có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
b) Tính tỉ số chu vi hai tam giác đó.
Giải
a) Ta có
'' '' ''
AB BC CA
AB BC CA
= =
(vì
6 12 9
486
= =
do cùng bằng 1,5) nên
'''ABC A B C∆∆∽
.
b) Tỉ số chu vi của
ABC∆
và
'''ABC∆
bằng 1,5.
Dạng 2. SỬ DỤNG TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT ĐỂ CHỨNG MINH
CÁC GÓC BẰNG NHAU
Phương pháp giải
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ nhất.
- Suy ra các góc tương ứng bằng nhau.
6
8
4
12
9
6
B'
C'
A
B
C
A'
Ví dụ 2. Tứ giác
DAB C
có
3 , 10 , 12AB cm BC cm CD cm= = =
,
D5A cm=
, đường
chéo
D6B cm=
. Chứng minh rằng:
a)
DDAB B C∆∆∽
.
b)
DABC
là hình thang.
Giải
a) Xếp các cạnh của
DAB∆
từ nhỏ đến lớn: 3, 5, 6.
Xếp các cạnh của
DBC∆
từ nhỏ đến lớn: 6, 10, 12.
Ta thấy
35 6
6 10 12
= =
nên
DDAB B C∆∆∽
.
b) Từ câu a) suy ra
AD DB BC=
, do đó
D//CDA
. Vậy
DABC
là hình thang
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Hai tam giác mà độ dài các cạnh như sau có đồng dạng không?
a) 15 cm, 18 cm, 21 cm và 28 cm, 24 cm, 20 cm.
b) 1 dm, 2 dm, 2 dm và 10 cm, 10 cm, 5 cm.
c) 4m, 5m, 6m và 8m, 9m, 12m.
2. (Dạng 1). Tam giác
ABC
có
6AB cm=
,
9AC cm=
,
12BC cm=
. Tam giác
ABC
có đồng
dạng với tam giác mà ba cạnh bằng ba đường cao của tam giác
ABC
không?
3. (Dạng 1). Tam giác
ABC
vuông tại
A
,
24AB cm=
,
26BC cm=
. Tam giác
IMN
vuông
tại
I
,
25IN cm=
,
65MN cm=
. Chứng minh rằng
ABC IMN∆∆∽
.
4. (Dạng 2). Gọi
O
là điểm bất kì nằm trong tam giác
ABC
. Gọi
111
,,ABC
theo thứ tự là
trung điểm của
,,OA OB OC
. Gọi
', ', 'A BC
theo thứ tự là trung điểm của
11 1 1 11
,A ,BC C AB
.
Chứng minh rằng:
a)
'B'C'ABC A∆∆∽
;
b)
A A' ' 'BC B C=
.
5. (Dạng 2). Tứ giác
DAB C
có
2AB cm=
,
10BC cm=
,
D 12, 5C cm=
,
D4A cm=
,
D5B cm=
. Chứng minh rằng
DABC
là hình thang.
. §6. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI
12
10
3
6
5
D
C
A
B
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
- Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ
với hai cạnh của tam giác kia và hai
góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau,
thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Nếu
ABC∆
và
'''ABC∆
có:
A A'=
và
' ' A' '
AB AC
AB C
=
thì
'''ABC A B C∆∆∽
.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG HỢP THỨ
HAI ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU
Phương pháp giải
- Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau, xét tỉ số hai cạnh tạo nên mỗi góc đó.
- Từ hai tam giác đồng dạng, suy ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ, các góc tương ứng bằng nhau.
Ví dụ 1. (Bài 32 SGK)
Trên một cạnh của góc
xOy
0
x 180Oy ≠
, đặt các đoạn thẳng
5OA cm=
,
16OB cm=
. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng
8OC cm=
,
D 10O cm=
.
a) Chứng minh hai tam giác
OCB
và
DOA
đồng dạng.
b) Gọi giao điểm của các cạnh
DA
và
BC
là
I
, chứng minh rằng hai tam
giác
IAB
và
DIC
có các góc bằng nhau từng đôi một.
Giải
a) Xét
AOD∆
và
COB∆
:
O
là góc chung;
DOA O
OC OB
=
(vì
5 10
8 16
=
).
Suy ra
AOD COB∆∆∽
.
b) Ta có
AOD COB∆∆∽
suy ra
ADO COB=
, tức là
DI C IBA=
.
DACI IB=
(đối đỉnh).
B'
C'
A
B C
A'
8
5
16
10
y
x
I
O
C
B
D
A
Suy ra hai góc còn lại bằng nhau
DIC IAB=
.
Ví dụ 2: (Bài 33 SGK)
Chứng minh rằng nếu tam giác
'''ABC
đồng dạng với tam giác
ABC
theo tỉ
số
k
, thì tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đó cũng
bằng
k
.
Giải
'''A B C ABC∆∆∽
(theo tỉ số
k
) nên:
'' ''AB BC
k
AB BC
= =
'BB=
Suy ra
''BM
k
BM
=
.
'' 'ABM∆
và
ABM∆
có:
'BB=
và
'' ' 'AB BM
k
AB BM
= =
nên
'' 'A B M ABM∆∆∽
. Suy ra
' ' ''AM AB
k
AM AB
= =
.
Dạng 2. SỬ DỤNG CÁC TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ĐỂ DỰNG HÌNH
Phương pháp giải
Thường dựng một tam giác bất kì đồng dạng với tam giác phải dựng, sau đó dùng điều kiện
về độ dài chưa sử dụng đến để dựng tiếp.
Ví dụ 3. (Bài 34 SGK)
Dựng tam giác
ABC
, biết
A 60= °
, tỉ số
4
5
AB
AC
=
và đường cao
6AH cm=
.
Giải
- Dựng góc
xAy
bằng
60°
.
- Dựng
'B
thuộc tia
Ax
sao cho
'4AB =
.
- Dựng
'C
thuộc tia
Ay
sao cho
'5AC =
.
- Dựng
'AH BC⊥
.
- Trên tia
'AH
, dựng
H
sao cho
6AH cm=
.
- Qua
H
, dựng đường thẳng vuông góc với
M'M
B'
C'
A
B C
A'
y
x
H'
C'
H
A
B
C
B'
AH
, cắt
Ax
và
Ay
ở
B
và
C
.
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Cho tam giác
ABC
có
18AB cm=
,
27AC cm=
,
30BC cm=
. Gọi
D
là trung
điểm của
AB
. Điểm
E
thuộc cạnh
AC
sao cho
E6A cm=
.
a) Chứng minh rằng
EA D ABC∆∆∽
.
b) Tính độ dài
DE
.
2. (Dạng 1). Tam giác ABC có
4AB cm=
. Điểm D thuộc cạnh AC có
2 , 6AD cm DC cm= =
.
Biết rằng
0
20ACB =
, tính
.ABD
3. (Dạng 1). Hình thang ABCD
( )
AB CD
có
2 , 4 , 8AB cm BD cm CD cm= = =
. Chứng minh
rằng
.A DBC=
4. (Dạng 1). Hình thang vuông ABCD có
0
90AD= =
, có
4 , 6 , 9AB cm BD cm CD cm= = =
.
Tính độ dài BC.
5. (Dạng 1). Cho hình bình hành ABCD,
0
90 ,A >
các đường cao AH và AK (H thuộc CD, K
thuộc BC). Chứng minh rằng
.AKH ACH=
Hướng dẫn: tìm cặp tam giác đồng dạng.
6. (Dạng 1). Tam giác ABC có
4 , 5 , 6AB cm BC cm CA cm= = =
. Chứng minh rằng
2.BC=
Hướng dẫn: trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho
BE BC=
. Tìm tam giác đồng dạng đối
với tam giác ABC.
7. (Dạng 1). Cho hình thoi ABCD. Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối của các tia BA, CA
theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng:
a)
.
EB AD
BA DF
=
b)
.EBD BDF∆∆
c)
0
120BID =
(I là giao điểm của DE và BF).
8. (Dạng 2). Dựng tam giác ABC cho biết góc
0
60 ,A =
tỉ số
1
2
AB
AC
=
và trung tuyến xuất
phát từ đỉnh A có độ dài m cho trước.
§7. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
• Nếu hai góc của tam giác này lần
lượt bằng hai góc của tam giác kia thì
hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
• Nếu
ABC∆
và
ABC
′′′
∆
có:
,A AB B
′′
= =
thì
.ABC A B C
′′′
∆∆
A'
C'
B'
B
C
A
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG HỢP THỨ BA
ĐỂ TÍNH ĐỒ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG
Phương pháp giải
Chứng minh tam giác có hai cặp góc bằng nhau từ đó suy ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
Ví dụ 1. (Bài 35 SGK)
Chứng minh rằng nếu
ABC
′′′
∆
đồng dạng với
ABC∆
theo tỉ số k thì tỉ số của hai
đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng k.
Giải
A B C ABC
′′′
∆∆
(theo tỉ số k)
,, .
AB
A AB B k
AB
′′
′′
⇒= = =
Gọi
AD
′′
và AD là đường phân
giác của
A
′
và
A
.
Do
BB
′
=
và
11
AA
′
=
nên
A B D ABD
′′′
∆∆
. Do đó
.
AD
k
AD
′′
=
Ví dụ 2. (Bài 36 SGK)
Tính độ dài x của đoạn thẳng BD trong hình 43 SGK (làm tròn đến chữ số thập phân
thứ nhất), biết rằng ABCD là hình thang
( )
AB CD
;
15,5 ; 28,5 ;AB cm CD cm= =
.DAB DBC=
Giải
Xét
ABD∆
và
:BDC∆
DAB DB C=
(giả thiết);
ABD BDC=
(so le trong
AB CD
)
Do đó
ABD BDC∆∆
, suy ra:
( )
2
12,5
12,5.28,5 356,25 x 18,9
28,5
AB BD x
x cm
BD DC x
= ⇒ = ⇒ = = ⇒≈
Ví dụ 3. (Bài 43 SGK)
Cho hình bình hành ABCD (H.46 SGK) có độ dài các cạnh
12 , 7AB cm BC cm= =
. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho
8AE cm=
. Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài tại F.
a) Trong hình vẽ đã cho có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với
nhau? Hãy viết các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo các đỉnh
tương ứng.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng EF và BF, biết rằng
10DE cm=
.
Giải
a) Có ba cặp tam giác đồng dạng:
,,.ADE BEF BFE CFD CFD ADE∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆
21
2
1
D
C
A
BD'
B'
A'
C'
Hình 43 SGK
28,5
12,5
x
DD
A
B
Hình 46 SGK
E
A
C
U
F
b) Ta có
( )
1284 .EB cm= −−
Từ tỉ lệ thức
EF BF EB
ED AD EA
= =
suy ra
4
2.
10 7 8
EF BF
= = =
Do đó
5 , 3,5 .EF cm BF cm= =
Ví dụ 4. (Bài 45 SGK)
Hai tam ABC và DEF có
,,8,10,6.A D B E AB cm BC cm DE cm= = = = =
Tính độ
dài các cạnh AC, DF và EF biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm.
Giải
ABC DEF∆ ∆⇒
8 10
.
6
AB BC AC AC
DE EF DF EF DF
= = ⇒= =
Từ
8 10
6 EF
=
suy ra EF=7,5cm.
Từ
3
4 3 43
AC DF AC DF−
= = =
−
suy ra
12 , 9AC cm DF cm= =
.
Dạng 2. NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC VUÔNG ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG
HỢP THỨ BA
Phương pháp giải
Xét hai tam giác vuôngtìm cặp góc nhọn bằng nhau.
Ví dụ 5. (Bài 37 SGK)
Hình 44 SGK cho biết
.EBA BDC=
a) Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác vuông? Hãy kể tên các
tam giác đó.
b) Cho biết
10 , 15 , 12AE cm AB cm BC cm= = =
.
Hãy tính độ dài các đoạn thẳng CD, BE, BD và ED
(làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
c) So sánh diện tích tam giác BDE với tổng diện tích
của hai tam giác AEB và BCD.
Giải
a) Trong hình vẽ có ba tam giác vuông:
,,.ABE CDB EBD∆∆ ∆
b)
( )
15 10
18 .
12
AB AE
ABE CDB CD cm
CD CB CD
∆ ∆ ⇒=⇒=⇒=
2 2 222
15 10 325 18 .BE AB AE BE cm= + =+= ⇒≈
2 2 2 22
12 18 468 21,6BD BC C D BD cm= + =+= ⇒≈
.
222
325 468 793 28,2 .ED BE BD ED cm= + =+=⇒≈
c)
( )
2
11 1
. 325. 468 152100 195 .
22 2
BED
S BE BD cm= = = =
( )
2
11
.15.10 12.18 183 .
22
AEB BCD
S S cm+= + =
Vậy
.
BDE AEB BCD
S SS>+
Ví dụ 6. (Bài 44 SGK)
6
10
8
D
F
E
A
C
B
Hình 44 SGK
12
15
E
A
B
C
D
Cho tam giác ABC có các cạnh
24 , 28AB cm AC cm= =
. Tia phân giác của góc A
cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường thẳng AD.
a) Tính tỉ số
.
BM
CN
b) Chứng minh rằng
.
AM DM
AN DN
=
Giải
a)
.
BM DB
BM CN
CN DC
⇒=
AD là tia phân giác của góc A suy ra
.
DB AB
DC AC
=
Do đó
24 6
.
28 7
BM AB
CN AC
= = =
b)
6
.
7
AM BM
AMB ANC
AN CN
∆ ∆⇒==
Ví dụ 7. (Bài 41 SGK)
Tìm các dấu hiệu để nhân biết hai tam giác đồng dạng.
Giải
Xét
ABC∆
cân tại A và
ABC
′′′
∆
cân tại
A
′
. Ta có
,B CB C
′′
= =
,
AB AC
AB AC
=
′′ ′′
. Do đó
ABC A B C
′′′
∆∆
nếu có:
- Góc ở đỉnh của tam giác này bằng góc ở đỉnh của tam giác kia
(
)
AA
′
=
: theo trường
hợp đồng dạng thứ 2.
- Góc ở đáy của tam giác này bằng góc ở đáy của tam
giác kia
(
)
BB
′
=
: theo trường hợp đồng dạng thứ 3.
- Cạnh bên và cạnh đáy của tam giác này tỉ lệ với cạnh
bên và cạnh đáy của tam giác kia
AB A B
BC B C
′′

=

′′

:
theo trường hợp đồng dạng thứ nhất.
Ví dụ 8. (Bài 42 SGK)
So sánh các trường hợp đồng dạng của tam giác với các trường hợp bằng nhau
của tam giác (nêu lên những điểm giống và khác nhau)
Giải
Trường hợp bằng nhau của tam giác là trường hợp đặc biệt của trường hợp đồng dạng của
tam giác khi tỉ số đồng dạng bằng 1. Do đó ba trường hợp đồng dạng cũng tương ứng với
ba trường hợp bằng nhau, điểm khác là không đòi hỏi cặp cạnh tương ứng bằng nhau mà
chỉ đòi hỏi cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
So sánh
Hai tam giác bằng nhau
Hai tam giác đồng dạng
Giống nhau
Góc tương ứng bằng nhau
Góc tương úng bằng nhau
Khác nhau
Cạnh tương ứng bằng nhau
Cạnh tương ứng tỉ lệ
Dạng 3. SỬ DỤNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ĐỂ DỰNG HÌNH
Phương pháp giải
28
24
1
2
N
M
D
C
A
B'
A'
C'
B'
B C
A
Thường dựng một tam giác bất kì đồng dạng với tam giác phải dựng
sau đó dùng điều kiện về độ dài chưa sử dụng đến để dựng tiếp.
Ví dụ 9. Dựng tam giác ABC biết
00
60 , 45 ,BC= =
đường cao xuất phát từ đỉnh A có
độ dài h cho trước.
Giải
Cách dựng:
- Dựng
ABC
′′′
∆
có
00
60 , 45 .BC
′′
= =
- Dựng
.AH BC
′
⊥
- Trên tia
AH
′
dựng
.AH h=
- Qua H dựng đường thẳng song song với
,BC
′′
cắt
AB
′
và
AC
′
ở B và C.
Chứng minh:
BC B C
′′
nên
00
60 , 45BB CC
′′
= = = =
.
ABC∆
có
00
60 , 45 ,BC= =
đường cao
AH h=
thỏa mãn bài toán.
Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình.
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1) Tam giác ABC có
6 , 9AB cm AC cm= =
. Điểm D thuộc cạnh AC sao cho
.ABD C=
Tính độ dài AD.
2. (Dạng 2) Cho tam giác ABC có
,AC AB≥
đường phân giác AD. Lấy điểm E trên cạnh
AC sao cho
.CDE BAC=
a) Tìm tam giác đồng dạng với tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng
DE DB=
.
3. (Dạng 2) Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên canh AB lấy
điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phân giác của góc BED. Chứng
minh rằng:
a) EM là tia phân giác của góc CED.
b) Tam giác BDM đồng dạng với tam giác CME.
c)
2
.BD CE a=
(đặt
MB MC a= =
).
4. (Dạng 2) Hình thang vuông ABCD có
0
90 , 4 , 9 .A D AB cm CD cm= = = =
Tính độ dài
BD biết rằng
.BD BC⊥
5. (Dạng 2) Hình thang ABCD có
,AB CD BD
là đường cao của hình thang,
0
90 , 1 , 3 .A C AB cm CD cm+= = =
Tính các độ dài AD, BC.
6. (Dạng 2) Hình chữ nhật ABCD có
4 , 3AB cm AD cm= =
. Gọi E, F theo thứ tự là hình
chiếu của A, C trên BD. Tính độ dài EF.
1
C
D
B
A
H
B
B'
C'
A
C
H'
7. (Dạng 2) Cho tam giác ABC vuông tại
, 16 , 34 .C CB cm AB cm= =
Qua trung điểm D
của AB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt AC ở E. Tính độ dài DE.
8. (Dạng 2) Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại
, 6 , 9H HB cm HC cm= =
. Tính độ dài BD, CE biết rằng
20BD CE cm+=
.
9. Cho tam giác ABC và các đường cao BD, CE.
a) Chứng minh rằng
.ABD ACE∆∆
b) Tính
AED
biết
0
48 .ACB =
10. (Dạng 3) Dựng tam giác ABC biết
00
70 , 30 ,BC= =
đường phân giác
1, 5AD cm=
.
§8. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông suy từ các trường hợp đồng
dạng của tam giác
• Nếu tam giác vuông này có một góc bằng góc nhọn của góc nhọn của tam giác
vuông kia thì hai tam giác đồng dạng.
• Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông
của tam giác vuông kia thì hai tam giác đồng dạng.
2. Trường hợp đồng dạng đặc biệt
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với
cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác
giác vuông đó đồng dạng.
Nếu
ABC∆
và
ABC
′′′
∆
có:
90AA
′
= = °
và
AB BC
AB BC
=
′′ ′′
thì
ABC A B C
′′′
∆∆∽
(cạnh huyền – cạnh góc vuông).
3. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
• Tỉ số hai đường cao tương đương của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ
số đồng dạng.
• Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
B. CÁC DẠNG TOÁN
A
C
B
B'
A'
C'
DẠNG 1. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG
SUY TỪ CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC.
Phương pháp giải
Đưa về trường hợp đồng dạng thứ hai hoặc thứ ba, trong đó yếu tố góc là góc
vuông.
Ví dụ 1. (Bài 46 SGK)
Trên hình 50 SGK, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. viết các tam giác này theo
thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chứng đồng dạng?
Lời giải
Có bốn tam giác đồng dạng đôi một (theo trường hợp góc – góc) là
FDE
,
FBC
,
ABE
,
ADC
nên viết được sáu cặp tam giác đồng dạng.
Ví dụ 2. (Bài 49 SGK)
ở hình 51 SGK tam giác
ABC
vuông tại
A
và có đường cao
AH
.
Hình 50 SGK
F
D
B
A
C
E
20,50
12,45
Hình 51 SGK
H
A
B
C
a) Trong hình vẽ có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau ? (hãy chỉ rõ
từng cặp tam dạng và viết theo các đỉnh tương ứng).
b) Cho biết
12,45AB cm=
,
20,50AC cm=
. Tính độ dài các đoạn thẳng
,,,BC AH BH CH
.
Lời giải
a) Có 3 cặp tam giác đồng dạng:
AHB
và
CHA
;
CHA
và
CAB
;
CAB
và
AHB
.
b) Ta có:
222 2 2
12,45 20,50 575,2525BC AB AC=+= + =
. Suy ra:
( )
23,98BC cm≈
( )
. 12,45.20,50
10,64
23,98
AB AC
AH cm
BC
= = ≈
.
( )
10,64.12,45
6,46
20,50
AH BH
AHB CAB BH cm
CA BA
∆ ∆ ⇒ =⇒= ≈∽
.
( )
23,98 6,46 17,52CH cm= −≈
.
Ví dụ 3. (Bài 50 SGK). Bóng của một ống khói nhà máy trên mặt đát có độ dài là
36,9m
.
Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao
2,1m
cắm vuông góc với mặt đất có bóng
dài
1, 62 m
. Tính chiều cao của ống khói (H.52 SGK).
Lời giải
AB AC
ABC A B C
AB AC
′′′
∆ ∆ ⇒=
′′ ′′
∽
( )
2,1.36,9
47,8
1, 62
AB m⇒= ≈
.
Ví dụ 4. (Bài 51 SGK)
1,62
2,1
A'
C'
B'
Chân đường cao
AH
của tam giác vuông
ABC
chia thành cạnh huyền
BC
thành
hai đoạn thẳng có độ dài
25cm
và
36cm
. Tính chu vi và diện tích của tam giác
vuông đó (H.53 SGK).
Lời giải
AH BH
AHB CHA
CH AH
∆ ∆⇒=∽
2
. 25.36AH BH CH⇒= =
( )
5.6 30AH cm⇒==
.
( )
2
1
. . 915
2
ABC
S BC AH cm
∆
= =
Bằng định lí py ta-go, ta tính được:
39AB cm≈
,
47AC cm≈
. Chu vi
147
ABC
C cm
∆
≈
.
Ví dụ 5. (Bài 52 SGK)
Cho một tam giác vuông, trong đó cạnh huyên dài
20cm
và một cạnh góc vuông
dài
12cm
. Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền.
Lời giải
36
25
Hình 53 SGK
H
A
B
C
Xét
ABC∆
vuông tại
A
, đường cao
AH
:
12AB cm=
,
20BC cm=
. Cần tính
CH
. Ta tính được
16AC cm=
.
AC BC
ABC HAC
HC AC
∆ ∆ ⇒=∽
16 20
16HC
⇒=
.
Từ đó
12,8HC cm=
.
DẠNG 2: TRƯỜNG HỢP ĐÒNG DẠNG CẠNH HUYỀN – CẠNH GÓC
VUÔNG
Phương pháp giải
Xét tỉ số cạnh huyền và tỉ số của một cặp cạnh góc vuông.
Ví dụ 6. Cho điểm
M
nằm trên đoạn thẳng
AB
,
6MA cm=
,
24MB cm=
; vẽ về một phía
của
AB
các tia
Ax
,
By
vuông góc với
AB
. Lấy điểm
C
thuộc
Ax
, điểm
D
thuộc
By
sao cho
10MC cm=
,
30MD cm=
. Chứng minh rằng:
90CMD = °
.
Lời giải
Ta tính được
18BD cm=
.
20
x
12
Hình 53 SGK
H
A
B
C
24
6
30
10
y
x
B
A
M
D
C
Xét
AMC∆
và
BDM∆
:
90AB= = °
;
10 6
30 18
CM AM
MD BD

= =


.
Do đó:
AMC BDM∆∆∽
(cạnh huyền – cạnh góc vuông).
AMC BDM⇒=
Ta lại có:
BDM
phụ
BMD
nên
AMC
phụ
BMD
vậy
90CMD = °
.
DẠNG 3. TỈ SỐ HAI ĐƯỜNG CAO CỦA HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Phương pháp giải
Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Ví dụ 7. Cho tam giác
ABC
, đường cao
AH
,
15BC m=
,
10AH m=
. Điểm
K
thuộc
AH
sao cho
4AK m=
. Qua
K
kẻ đường thẳng song song với
BC
, cắt
AB
và
AC
theo thứ tự tại
,MN
.
a) Tính độ dài
MN
.
b) Kẻ
,MQ NP
vuông góc với
BC
. Chứng minh rằng:
MNPQ
là hình vuông.
Lời giải
a)
AK MN
AMN ABC
AH BC
∆ ∆⇒=∽
4.15
6
10
MN m⇒= =
.
b)
10 4 6MQ K m= = −=
.
P
Q
K
N
H
B
C
A
M
Dễ dàng chứng minh
MNPQ
là hình vuông.
Dạng 4. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
Phương pháp gaiir
Tỉ số diện tích của hai tam giác giác đồng dạng bằng bình phương của tỉ số đồng
dạng
Ví dụ 8. (Bài 47 SGK).
Tam giác
ABC
có dộ dài các cạnh là
3 ,4 ,5cm cm cm
. Tam giác
A B C ABC
′′′
∆∆∽
và
2
54
ABC
S cm
∆
=
. Tính độ dài các cạnh của tam giác
ABC
′′′
.
Lời giải
ABC∆
là tam giác vuông
( )
222
345+=
, và
( )
2
3.4
6
2
ABC
S cm
∆
= =
.
A B C ABC
′′′
∆∆∽
nên
2
ABC
ABC
S
AB
S AB
′′′
′′

=


hay
54
9
6
ABC
ABC
S
S
′′′
= =
. Từ đó
3k =
.
Vậy độ dài các cạnh của
ABC
′′′
∆
bằng
9 ,12 ,15cm cm cm
.
Ví dụ 9. Cho tam giác
ABC
. Qua điểm
D
thuộc
BC
, kẻ các đường thẳng song song với
các cạnh còn lại, chúng cắt
AB
và
AC
theo thứ tự tại
E
và
K
. Biết dienj tích
các tam giác
EBD
,
KDC
theo thứ tự bằng
22
9 ,16cm cm
. Tính diện tích tam giác
ABC
.
Lời giải
Đặt
ABC
SS=
16
9
K
E
B
C
A
D
( )
22
93
1
5
EBD
S
BD BD BD
EBD ABC
S BC S BC BC
 
∆ ∆ ⇒ = ⇒= ⇒ =
 
 
∽
( )
22
16 4
2
KDC
S
DC DC DC
KDC ABC
S BC S BC BC
S
 
∆ ∆ ⇒ = ⇒= ⇒ =
 
 
∽
Từ
( ) ( )
1,2
, suy ra:
( )
2
34 7
1 7 49
DB DC
S S cm
BC BC
SS S
+ = + ⇒= ⇒ = ⇒ =
.
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Tam giác
ABC
cân tại
A
( )
90A <°
, các đường cao
AD
và
CE
cắt nhau tại
H
.
a) tính
BC
biết
4HD cm=
,
32HA cm=
.
b) tính
AE
biết
24BC cm=
,
9BE cm=
.
2. (Dạng 1) cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
.
a) cho biết
9 , 16HB cm HC cm= =
. Tính các độ dài
,,AH AB AC
.
b) chứng minh các hệ thức:
22
.. .AH HB HC AB BC BH= =
.
3. (Dạng 1) Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
,
4, 9HB cm HC cm= =
. Gọi
M
là trung điểm
BC
. Tính các cạnh của tam giác
AHM
.
4. (Dạng 1) Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Hình vuông
MNPQ
có
M
thuộc cạnh
AB
,
N
thuộc cạnh
AC
,
P
và
Q
thuộc cạnh
BC
. Biết
4BQ cm=
,
9CP cm=
. Tính cạnh
của hình vuông.
5. (Dạng 1) tam giác
ABC
đường cao
AH
(
H
thuộc cạnh
BC
) có
6AH cm=
,
4BH cm=
,
9HC cm=
. Chứng minh rằng:
a)
AHB CHA∆∆∽
b)
90BAC = °
.
6. (Dạng 1) cho hình thang vuông
ABCD
( )
90AD= = °
,
6AB cm=
,
12CD cm=
,
17AD cm=
. Điểm
E
thuộc cạnh
AD
sao cho
8AE cm=
. Chứng minh:
90BEC = °
.
7. (Dạng 1) cho tam giác
ABC
, các đường cao
BD
và
CE
. Chứng minh:
..AE AB AD AC=
.
8. (Dạng 1) . cho tam giác nhọn
ABC
, các đường cao
BD
và
CE
cắt nhau tại
H
. Gọi
K
là hình chiếu của
H
lên
BC
. Chứng minh rằng:
a)
..BH BD BK BC=
.
b)
..CH CE CK CB=
.
c)
2
..BH BD CH CE BC+=
.
9. (Dạng 1) cho hình bình hành
ABCD
( )
AB<
. Gọi
E
là hình chiếu của
C
trên
AB
,
K
là hình chiếu của
C
trên
AD
,
H
là hình chiếu của
B
trên
AC
. Chứng minh rằng:
a)
..AB AE AC AH=
.
b)
..BC AK AC HC=
.
c)
2
..AB AE AD AK AC+=
.
10. (Dạng 1) cho hình thang
ABCD
( )
//AB CD
,
M
là trung điểm của
AD
,
H
là hình
chiếu của
M
lên
BC
. Chứng minh rằng: diện tích hình thang bằng tích
.BC MH
bằng
cách vẽ đường cao
BK
, gọi
N
là trung điểm của
BC
và tìm các tam giác đồng dạng.
11. (Dạng 2). Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
4AC cm=
,
6BC cm=
. ở phía ngoài tam
giác
ABC
, vẽ tam giác
BCD
vuông tại
C
có
9BD cm=
. Chứng minh:
//BD AC
.
12. (Dạng 2). Hình thang
ABCD
có
90AD= = °
, điểm
E
thuộc cạnh bên
AD
. Tính
BEC
biết rằng
4AB cm=
,
5BE cm=
,
12DE cm=
,
15CE cm=
.
13. (Dạng 2) cho hai tam giác cân
ABC
và
ABC
′′′
( )
,AB AC A B A C
′′ ′′
= =
, các đường cao
BH
và
BH
′′
. Cho biết
BH BC
BH BC
=
′′ ′′
. Chứng minh rằng:
ABC A B C
′′′
∆∆∽
.
14. (Dạng 3). Cho hình thang
ABCD
( )
//AB CD
,
15AB m=
,
30CD m=
, đường cao
20m
,
các đường chéo cắt nhau tại
O
. Tính diện tích các tam giác
OAB
,
OCD
.
15. (Dạng 4). Cho tam giác
ABC
, điểm
O
nằm trong tam giác . gọi
,,DEF
theo thứ tự là
trung điểm của
,,OA OB OC
. Tỉ số diện tích của tam giác
DEF
và tam giác
ABC
bằng:
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
2
3
.
Hãy chọn câu trả lời đúng.
16. (Dạng 4). Gọi
O
là trong tâm của tam giác đều
ABC
. Trên
,,OA OB OC
lấy theo thứ tự
các điểm
,,ABC
′′′
sao cho
OA OB OC
′′′
= =
và khoảng cách giữa
BC
′′
và
BC
bằng
1
6
chiều cao của tam giác
ABC
. Tỉ số diện tích của tam giác
ABC
′′′
và tam giác
ABC
bằng
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
6
. D.
1
4
.
Hãy chọn câu trả lời đúng.
17. (Dạng 4). Cho tam giác
ABC
. Một đường thẳng song song với
BC
, cắt các cạnh
AB
và
AC
tại
D
và
E
. Biết diện tích tam giác
ADE
bằng nửa diện tích tam giác
ABC
. Tỉ số
DE
BC
bằng:
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
2
3
. D.
3
5
.
Hãy chọn câu trả lời đúng.
18. (Dạng 4). Cho tam giác
ABC
. Một đường thẳng song song với
BC
và có khoảng cách
đến
BC
bằng
1
5
khoảng cách từ
A
đến
BC
cắt ra một hình thang có diện tích bằng
2
36cm
. Tính diện tích tam giác
ABC
.
19. ( Dạng 4) Cho tam giác
.ABC
Một đường thẳng song song với
BC
cắt các cạnh
,AB AC
theo thứ tự ở
D
và
E
. Gọi
G
là một điểm trên cạnh
BC
. Tính diện tích tứ giác
ADGE
biết diện tích tam giác
ABC
bằng
2
16cm
, diện tích tam giác
ADE
bằng
2
9.cm
20. (Dạng 4) Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
.
20 , 8 .BC cm AH cm= =
Gọi
D
là hình chiếu của
H
trên
AC
,
E
là hình chiếu của
H
trên
AB
.
a) Chứng minh rằng tam giác
ADE
đồng dạng với tam giác
ABC
.
b) Tính diện tích tam giác
ADE
.
§9. ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Sử dụng tam giác đồng dạng , ta có thể xác định chiều cao , xác định khoảng cách đo đạc
gián tiếp.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. ĐO GIÁN TIẾP CHIỀU CAO
Phương pháp giải:
Tìm hai tam giá đồng dạng rồi lập tỉ số giữa các cạnh tương ứng.
Ví dụ 1. ( Bài 53 SGK)
Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao
2m
và đặt xa cây
15m
. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc
0,8m
thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm
trên một đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu , biết rằng
khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là
1, 6m
?
Giải
Trước hết tính
,BH
ta có:
0,4 0,8
7,9
15,8
DC EG
BH m
BH EH BH
=⇒ = ⇒=
Do đó
7,9 1,6 9,5( )AB m= +=
Dạng 2. ĐO GIÁN TIẾP KHOẢNG CÁCH , BỀ DÀY
Phương pháp giải
Sử dụng tam giác đồng dạng hoặc Định lí Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng.
Ví dụ 2. ( Bài 54 SGK)
Để đo khoảng cách giữa hai địa điểm
A
và
B
, trong đó
B
không tới được, người ta tiến
hành đo và tính khoảng cách
AB
như hình 57 SGK :
// ; ; ; .AB DF AD m DC n DF a= = =
a) Em hãy nói rõ cách đo như thế nào.
b) Tính độ dài x của khoản cách
.AB
Giải
a) Cách đo:
- Dùng êke dựng tia
Ax
vuông góc với
AB
.
- Trên tia
Ax
dựng điểm
.D
- Dựng đoạn thẳng
DF
vuông góc với
AD
(
F
và
B
cùng
phía đối với
Ax
).
- Trên tia đối của tia
DA
, dựng điểm
C
sao cho
,,CFB
thẳng
hàng.
15
1,6
0,8
G
B
H
C
E
A
F
D
x
a
Hình 57 SGK
n
m
F
B
A
D
C
b) ta có
//DF AB
nên
,
DF CD
AB CA
=
suy ra
.
an
x mn
=
+
Vậy
( )
am n
x
n
+
=
Ví dụ 3 ( Bài 55 SGK)
Hình 58 SGK dưới đây mô tả dụng cụ đo bề dày của một số loại sản phẩm. Dụng cụ này gồm
thước
AC
được chia tính đến
1mm
và gắn với một bản kim loại hình tam giác
,ABD
khoảng cách
10 .BC mm=
Muốn đo bề dày của vật, ta kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước( đáy của vật áp vào bề
mặt của thước
AC
ta đọc được “bề dày”
d
của vật ( trên hình vẽ ta có
5,5 )d mm=
.
Hãy chỉ rõ định lí nào cảu hình học là cơ sở để ghi các vạch trên thước
( )
10 .AC d mm≤
Giải
Trên hình vẽ ta có
5,5
.
10
d
BC
=
Do
10BC mm=
nên
5,5 .d mm=
Cơ sở của cách làm trên là
Đinh lí Ta – lét.
C. LUYỆN TẬP
1. ( Dạng 1) Tính khoảng cách từ người quan sát đến chân tháp truyền hình cao
50m
biết rằng khi người đó đặt một que dài
5cm
thẳng phía trước cách mắt
40cm
thì que vừa vặn che lấp tháp truyền hình.
2. ( Dạng 2). Để đo khoảng cách từ địa điểm
A
đến địa điểm
M
trên đảo,
người ta gióng đường thẳng
AM
, lấy trên
AM
điểm H. Trên đường vuông góc
với
AM
tại H, xác định địa điểm
B
sao cho
90 .ABM = °
Biết
15AH m=
60 .AB m=
Tính độ dài
.AM
C
A
B
d
D
Hình 58 SGK
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
H
A
B
M
ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
56. Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:
a)
5 , 15 ;AB cm CD cm= =
b)
45 , 150 ;AB dm CD cm= =
c)
5.AB CD=
Hướng dẫn
a)
51
.
15 3
AB
CD
= =
b)
45
3.
15
AB
CD
= =
c)
5.
AB
CD
=
57. Cho tam giác
( ).ABC AB AC<
Vẽ đường cao
,AH
đường phân giác
,AD
đường
trung tuyến
.AM
Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm
,, .HDM
Hướng dẫn
Điểm D nằm giữa hai điểm H và M (hình a), tương ứng với
trường hợp
90 .B <°
( hình b) ứng với trường hợp
90 )B >°
58. Cho tam giác cân
ABC
()AB AC=
vẽ các đường cao
, ( 66 )BH CK H SGK
.
a) Chứng minh
.BK CH=
b)
a)
H
M
D
C
H
M
D
C
B
A
B
A
Hình 66 SGK
H
A
C
B
K
b) Chứng mih
//KH BC
c) Cho biết
;.BC a AB AC b= = =
TÍnh độ dài đoạn thẳng
HK
Hướng dẫn
a)
BKC CHB∆=∆
( cạnh huyền – góc nhọn)
nên
.BK CH=
b)
//
AB AC
KH BC
BK CH
= ⇒
( Định lí Ta-lét đảo)
c)
2
2
.
2
a
AC CI b a
IAC HBC CH
BC CH a CH b
∆ ∆ ⇒ = ⇒= ⇒ =#
Do đó
2 22
2
.
22
a ba
AH AC CH b
bb
−
= − =−=
22
2
2
//
ba
KH AH KH
b
KH BC AKH ABC
BC AC a b
−
⇒∆ ∆⇒=⇒=#
( )
22
2
2
.
2
ab a
KH
b
−
⇒=
59. Hình thang
( )
//ABCD AB CD
có
AC
và
BD
cắt nhau tại O. AD và BC cắt nhau tại K.
Chứng minh rằng
OK
đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.
Hướng dẫn
Gọi
M
và
N
theo thứ tự là giao điểm của
OK
với
,.AB CD
//
AM MB
AB CD
DN NC
⇒=
( cùng bằng
KM
KN
) (1)
AM MB
NC DN
=
( cùng bằng
OM
ON
) (2)
Nhân từng vế của (1) và (2) được :
22
22
..
AM MB
AM MB AM MB
DN NC NC DN
= ⇒ = ⇒=
Từ (1) và
AM MB=
suy ra
DN NC=
Vậy
OK
đi qua trung điểm của
AB
và
.CD
M
O
A
C
D
K
B
N
60. Cho tam giác vuông
, 90 , 30ABC A C=°=°
và đường phân giác
BD
(
D
thuộc cạnh
)AC
.
a) Tính tỉ số
?
AD
CD
b) Cho biết độ dài
12,5 ,AB cm=
hãy tính chu vi và diện tích của tam giác
.ABC
Hướng dẫn
a)
1
2
AD AB
CD BC
= =
b)
2,5 25AB A cm BC cm= ⇒=
2 2 22 2
25 12,5 468,75AC BC AB=−=− =
21,65AC cm⇒≈
Chu vi
59,15ABC cm∆≈
Diện tích
2
135,3ABC cm∆≈
60. Tứ giác
ABCD
có
4 , 20 , 25 , DA 8cm,AB cm BC cm CD cm= = = =
đường chéo
10 .BD cm=
a) Nêu cách vẽ tứ giác
ABCD
có kịch thước đã cho ở trên.
b) Các tam giác
ABD
và
BCD
có đồng dạng với nhau không ? Vì sao?
c) Chứng minh rằng
// .AB CD
Hướng dẫn
a) Vẽ
BCD∆
biết ba cạnh, sau đó vẽ
ABD∆
biết ba cạnh
b)
ABD BCD∆∆#
c) Từ câu b) suy ra
.ABD BDC=
Do đó
//AB CD
B. BÀI TẬP BỔ SUNG
1. Tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường phân giác
BD
chia cạnh AC thành các đoạn thẳng
3, 5.DA cm DC cm= =
Tính các độ dài
,?AC BC
2. Tam giác
ABC
vuông tại
A
,
15 , 20 ,AB cm AC cm= =
đường phân giác
.BD
a)Tính độ dài
AD
30
°
D
C
A
B
10
25
20
8
A
B
C
D
b) Gọi H là hình chiếu của
A
trên
BC
. Tính độ dài
,.AH HB
c) Chứng minh rằng tam giác
AID
là tam giác cân.
3. Tam giác
ABC
vuông tại
A
,
36 , 48 ,AB cm AC cm= =
đường phân giác
AK
. Tia phân
giác của góc
B
cắt
AK
ở
I
. Qua
I
kẻ đường thẳng song song với
BC
, cắt
AB
và
AC
theo hứ tự ở
D
và
.E
a) Tính độ dài
.BK
b) Tính tỉ số
AI
AK
c) Tính độ dài
.DE
4. Tam giác
ABC
vuông tại
C
, đường cao
, 7,5 , 100 .CH AC cm BC cm= =
Gọi
E
là hình
chiếu của
H
trên
,AC F
là hình chiếu của
H
trên
.BC
Tính các độ dài
,.HE HF
5. Tam giác
ABC
cân tại
,A
100 , 120 ,AB AC cm BC cm= = =
các đường cao
AD
và
BE
cắt nhau ở
.H
a) Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác
.BDH
b) Tính các đọ dài
,.HD BH
c) Tính độ dài
.HE
6. Tam giác
ABC
cân tại A,
5 , 20 .BC cm AC cm= =
đường phân giác BD.
a) Tính các độ dài
,.AD DC
b) Tính độ dài
.BD
( Hướng dẫn : Kẻ
.DK BC⊥
Tính
, ).CK DK
7. Tam giác
ABC
vuông tại
, , 3.A AB a AC a= =
TRên cạnh
AC
lấy các điểm
,DE
sao
cho
.AD DE EC= =
a) Tính các tỉ số
,.
BD DC
DE DB
b) Chứng minh rằng tam giác
BDE
và
CDB
đồng dạng.
c) Tính tổng
AEB ACB+
8. Cho tam giác nhọn
ABC
, các đường cao
,,AD BE CF
cắt nhau tại
H
.
Chứng minh hệ thức :
. . ..HA HD HB HE HC HF= =
9. Cho tam giác
ABC
, các đường trung tuyến
BD
và
CE
cắt nhau tại
.G
Qua điểm
O
thuộc
cạnh
,BC
vẽ tia
OM
song song với
,CE ON
song song với
( )
,.BD M AB N AC∈∈
MN
cắt
,BD CE
theo thứ tự ở
,.IK
a) Gọi
H
là giao điểm của
OM
và
.BD
Tính tỉ số
.
MH
MO
b) Chứng minh rằng
1
.
3
MI MN=
c) Chứng minh rằng
.MI IK KN= =
10. Cho tam giác
ABC
có trực tâm
.H
Gọi
,MN
theo thứ tự là trung điểm của
,BC AC
.
Gọi
O
là giao điểm các đường trung trực của tam giác.
a)Chứng minh rằng
.OMN HAB∆∆#
Tìm tỉ số đồng dạng.
b) So sánh độ dài
AH
và
.OM
c) Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
ABC
. Chứng minh rằng
HAG OMG∆∆#
d) Chứng minh ba điểm
,,HGO
thẳng hàng và
2.GH GO=
| 1/48
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chương III
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
§1. ĐỊNH LÍ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Đoạn thẳng tỉ lệ.
Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng ′
A B′ và C′D′ nếu có tỉ lệ thức AB ′ A B′ = AB CD hay = . CD C′D′ ′ A B′ C′D′
2. Định lí Ta-lét trong tam giác
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó
định ra trên hai cạnh đó những đọan thẳng tương ứng tỉ lệ. ∆ABC AD AE AD AE  ⇒ = , = . DE // BC AB AC DB EC B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. TÍNH TOÁN, CHỨNG MINH VỀ TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG VÀ
ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ Phương pháp giải
Thường sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức.
Ví dụ 1. (Bài 3 SGK)
Cho biết độ dài của AB gấp 5 lần độ dài của CD và độ dài của ′
A B′ gấp 12 lần độ
dài của CD. Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và ′ A B′ . Giải AB 5CD 5 = = . ′ A B′ 12CD 12
Ví dụ 2. (Bài 19 SGK)
Cho hình thang ABCD ( AB//CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh
AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng: AE BF AE BF DE CF a) = ; b) = ; c) = . ED FC AD BC DA CB Giải
a) Gọi I là giao điểm của a và AC. Ta có: AE AI a // DC nên = ; ED IC AI BF a // AB nên = . IC FC AE BF Suy ra = ED FC AE AI BF b) Lần lượt chứng minh = = . AD AC BC DE CI CF c) Lần lượt chứng minh = = . DA CA CB
Ví dụ 3. (Bài 4 SGK) AB′ AC′ Cho biết =
(H.6 SGK). Chứng minh rằng: AB AC AB′ AC′ a) = ; B′B C′C BB′ CC′ b) = . AB AC′ Giải
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức: AB′ AC′ AB′ AC′ AB′ AC′ = ⇒ = ⇒ = . AB AC AB − AB′ AC − AC′ B′B C′C AB′ AC′ AB − AB′ AC − AC′ BB′ CC′ = ⇒ = ⇒ = . AB AC AB AC AB AC
Dạng 2. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp giải
Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ, sử dụng
các tính chất của tỉ lệ thức để tính toán.
Ví dụ 4. (Bài 5 SGK)
Tính x trong các trường hợp sau (H.7 SGK); a) MN // BC b) PQ // EF Giải
a) Xét ∆ABC có MN // BC, theo Định lí Ta-lét ta có: AM AN 4 5 4.3, 5 = ⇒ = ⇒ x = = 2,8. MB NC x 3, 5 5 b) Đáp số: x = 6,3.
Dạng 3. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC Phương pháp giải
Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ. Biến đổi
tỉ lệ thức nhận được để đi đến điều phải chứng minh.
Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD ( AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt các AE CF
cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng: + =1. AD BC Giải
Gọi K là giao điểm của AC và EF. Xét A
∆ DC. EK //DC ta có: AE AK = . ( )1 AD AC Xét A
∆ BC. KF //AB ta có: CF CK = . (2) BC AC AE CF AK CK AK + CK AC Từ ( ) 1 và (2) suy ra − = − = = =1. AD BC AC AC AC AC C. LUYỆN TẬP MA 1 1.
(Dạng 1). Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng AB sao cho = . MB 2 AM MB Tính các tỉ số và . AB AB 2.
(Dạng 1). Cho điểm C thuộc đoạn thẳng A . B CA 2 a) Biết AB = 20 cm, = . Tính độ dài , CA . CB CB 3 AC m AC b) Biết = . Tính tỉ số . AB n CB 3.
(Dạng 1).Cho đoạn thẳng A .
B Điểm C thuộc đoạn thẳng AB , điểm D thuộc tia đối CA DA của tia BA sao cho =
= 2. Biết CD = 4cm, tính độ dài A . B CB DB 4.
(Dạng 2). Cho hình thang ABCD ( AB//CD). Một đường thẳng song song với ha đáy,
cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự ở E và F. Tính FC, biết AE = 4 cm,
ED = 2 cm, BF = 6 cm. BD 1 5.
(Dạng 2). Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho = . Điểm E BC 4 AK
thuộc đoạn thẳng AD sao cho AE = 2E . D Tiính tỉ số . KC 6.
(Dạng 3). Cho hình thang ABCD ( AB//CD), các đường chéo cắt nhau ở . O Chứng minh rằng . OA OD = . OB OC. 7.
Dạng 3. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Qua D kẻ các đường thẳng
song song với AC, AB, chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh hệ thức: AE AF + =1. AB AD 8.
(Dạng 3). Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh
AB, AC theo thứ tự ở D, E. Qua C kẻ đường thẳng song song với EB, cắt AB ở
F. Chứng minh hệ thức: 2 AB = A . D AF. 9.
(Dạng 3). Cho tam giác ABC ( AB < AC ), đường phân giác A .
D Qua trung điểm M
của BC, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và K. Chứng minh rằng: a) AE = AK; b) BK = CE.
BÀI 2. ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Hệ quả của định lí Ta – lét
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó
tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ
lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.  A ∆ BC AD AE DE  ⇒ = = . DE//BC AB AC BC
Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng trong trường hợp
đường thẳng a song song với một cạnh của tam
giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
2. Định lí Ta – lét đảo
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh cuuả một tam
giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với
cạnh còn lại của tam giác. AD AE = DE ⇒ //BC. DB EC B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. SỬ DỤNG HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp giải
Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ. Chú ý sử
dụng các tính chất của tỉ lệ thức, chú ý sử dụng giải phương trình để tìm số chưa biết. Ví dụ 1: (Bài 7 SGK)
Tính các độ dài x, y trong hình 14 SGK. Giải DM MN 9, 5 8 8.37, 5 a) MN //EF ⇒ = ⇒ = ⇒ x = ≈ 31,58. DE EF 37, 5 x 9, 5 A′B′ OB′ OA′ 3
b) A′B′//AB ⇒ = = = = 0,5. AB OB OA 6 4, 2 Từ
= 0,5 ta tính được AB = 8,4. AB 2 2 2 2 2
OB = OA + AB = 6 + 8, 4 = 106, 56 ⇒ OB ≈ 10, 32. Ví dụ 2: (Bài 8 SGK)
a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn bằng nhau, người ta đã làm như hình 15 SGK.
Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn thẳng AC, CD, DB bằng nhau?
b) Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn
bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với cách làm như trên mà vẫn có thể chia
đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn thẳng bằng nhau? Giải
a) Kẻ đường thẳng a//A .
B Từ điểm P bất kì trên a, đặt liên tiếp các đoạn thẳng bằng
nhau PE = EF = FQ = 1 (đơn vị dài).
Vẽ các đường thẳng PB, . QA Các đường thẳng này cắt nhau tại .
O Vẽ các đường thẳng
FO, EO cắt AB ở C và D tương ứng. Áp
dụng hệ quả của Định lí Ta – lét, ta dễ dàng chứng minh được: PE EF FQ = = (vì đề OP OQ u bằng hay ). BD DC CA OB OA
Theo cách dựng, PE = EF = F ; Q từ đó suy ra AC = CD = . DB
b) Chia đoạn thẳng AB thành 5 phần bằng nhau.
Cách 1. Tương tự như câu a). Cách 2.
- Kẻ thêm đường thẳng Ax và trên đó
đặt liên tiếp 5 đoạn bằng nhau:
AC = CD = DE = EF = F . G - Kẻ đường thẳng . GB
Từ C, D, E, F kẻ các đường thẳng
song song với GB, chúng cắt AB tại các
điểm tương ứng M , N, P, Q, ta được:
AM = MN = NP = PQ = Q . B
Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác và đường trung bình trong hình
thang, ta dễ dàng chứng minh được kết quả trên. Ví dụ 3. (Bài 10 SGK)
Tam giác ABC có đường cao AH.
Đường thẳng d song song với BC,
cắt các cạnh AB, AC và đường cao
AH theo thứ tự tại các điểm B , ′ C ,′ và H ′ (H. 16 SGK). a) Chứng minh rằng: AH ′ B C ′ ′ = . AH BC 1
b) Áp dụng: Cho biết AH ′ =
AH và diện tích tam giác ABC là 2 67, 5cm . 3
Tính diện tích tam giác AB C ′ .′ Giải AH ′ AB′ B C ′ ′ a) = = . AH AB BC AH ′ 1 B C ′ ′ 1 b) Ta có: = nên = . AH 3 BC 3 1 1 1 1 1 67, 5 S = ′ ′ ′ = = = = ′ ′ .AH .B C . AH. BC S 7, 5 AB C ABC ( 2 cm ). 2 2 3 3 9 9 Ví dụ 4. (Bài 11 SGK)
Tam giác ABC có BC = 15 cm.
Trên đường cao AH lấy các điểm
I , K sao cho AK = KI = IH .
Qua I và K vẽ các đường
EF //BC, MN //BC (H. 17 SGK).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 2 270 cm . Giải MN AM AK 1 MN 1 a) = = = ⇒ = ⇒ MN = 5cm. BC AB AH 3 15 3 EF AE AI 2 EF 2 = = = ⇒ = ⇒ EF =10cm. BC AB AH 3 15 3 b) AH = 2S
: BC = 2.270 :15 = 36 (cm). ABC AH 36 KI = = =12(cm). 3 3
(MN + EF).KI (5+10).12 S = = = 90 MNFE ( 2 cm ). 2 2
Dạng 2. SỬ DỤNG HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC Phương pháp giải
Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, lập các đoạn thẳng tỉ lệ. Chú ý so
sánh các tỉ số với những tỉ số trung gian. Ví dụ 5. (Bài 20 SGK)
Cho hình thang ABCD ( AB//CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại .
O Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh
bên AD, BC theo thứ tự tại E và F (H. 26 SGK). Chứng minnh rằng OE = OF. Giải OE AO a//CD nên = ; ( )1 CD AC OF BO a//CD nên = ; (2) CD BD AO BO AB //CD nên = . (3) AC BD OE OF Từ ( ) 1 , (2), (3) suy ra =
, do đó OE = OF. CD CD Ví dụ 6.
Cho điểm M thuộc đoạn thẳng A .
B Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMC, B .
MD Gọi E là giao điểm của AD và MC, F là giao điểm của BC và . MD
a) Đặt MA = a, MB = .
b Tính ME, MF theo a và . b
b) Tam giác MEF là tam giác gì? Giải a)  =  BMD
MAC = 60° ⇒ MD//AC. ME MD b MD//AC ⇒ = = EC AC a ME b ⇒ = ME + EC b + a ME b ⇒ = a b + a ab ⇒ ME = . b + a Tương tự ba : MF = . a + b
b) Từ câu a) suy ra ME = MF. Ta lại có 
EMF = 60° nên ME ∆
F là tam giác đều. Ví dụ 7.
Cho hình thang ABCD ( AB //CD), E là trung điểm của AB, O là giao điểm
của AC và BD, F là giao điểm của EO và .
CD Chứng minh rằng F là trung điểm của . CD Giải AE OE EB AB //CD ⇒ = = . CF OF FD
Do AE = EB nên CF = F . D
Chú ý. Từ bài toán trên ta thấy: Trong hình thang, giao điểm của hai đường chéo vvà
trung điểm của hai đáy là ba điểm thẳng hàng.
Dạng 3. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐẢO ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Phương pháp giải
Xét các cặp đoạn thẳng tỉ lệ để chứng minh hai đường thẳng song song Ví dụ 8. (Bài 6 SGK)
Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình 13 SGK và giải thích vè sao chúng song song. Giải CM CN 15 21 a) = (vì =
do cùng bằng 3) ⇒ MN //AB (Định lí Ta – lét đảo). MA NB 5 7 AP AM 3 5
Chú ý. PM không song song với BC vì ≠ (vì ≠ ). PB MC 8 15 OA′ OB′ 2 3 b) = =
) ⇒ A′B′//AB (Định lí Ta – lét đảo). A′A B B ′ (vì 3 4,5
Ta còn có A′′B′′//A′B′ (vì hai góc so le trong bằng nhau), do đó AB //A′B′ .
Dạng 4. PHỐI HỢP ĐỊNH LÍ TA-LÉT THUẬN VÀ ĐẢO Phương pháp giải
Sử dụng định lí thuận để suy ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ, rồi từ các cặp đoạn thẳng tỉ lệ suy ra
các đường thẳng song song; hoặc ngược lại. Ví dụ 9.
Tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Lấy điểm D trên OA, qua D kẻ
đường thẳng song song với AB, cắt OB ở E. Qua E kẻ đường thẳng song song với
BC, cắt OC ở F. Chứng minh rằng DF song song với AC. Giải A D E O F B C OD OE OA ∆ B , DE //AB nên = (Định lí Ta-lét). OA OB OE OF OB ∆ C , EF // BC nên = (Định lí Ta-lét). OB OC OD OF Suy ra =
, do đó DF // AC (Định lí Ta-lét đảo). OA OC
Dạng 5. ÁP DỤNG VÀO TOÁN DỰNG HÌNH: TRONG BỐN ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ,
DỰNG ĐOẠN THẲNG THỨ TƯ KHI BIẾT ĐỘ DÀI BA ĐOẠN KIA Phương pháp giải
Đặt ba đoạn thẳng trên hai cạnh của một góc, rồi dựng đường thẳng song song để xác
định đoạn thẳng thứ tư. Ví dụ 10. (Bài 14c SGK)
Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo). Dựng đoạn thẳng có độ dài m n là x sao cho = . x p Giải t p B n A z O C D m x - Vẽ hai tia Oz, Ot.
- Trên tia Ot, đặt các đoạn OA = n, OB = p. - Trên tia Oz, đặt OC = m.
- Kẻ BD // AC, ta được OD = x C. LUYỆN TẬP 1.
(Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3.5 cm, điểm D thuộc cạnh AC, AD =
20 cm, DC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng BD ở E. Tính độ dài CE. 2.
(Dạng 1) Tam giác ABC có AB = AC = 50cm, BC = 60cm, các đường cao BD và CE.
Tính độ dài các cạnh của tam giác ADE. 3.
(Dạng 1) Cho hình thang ABCD (AB//CD), AB = 4cm, CD = 10cm, AD = 3cm. Gọi
O là giao điểm của các đường thẳng AD, BC. Tính độ dài OA. 4.
(Dạng 1) Cho hình thang ABCD (AB//CD). Một đường thẳng song song với hai đáy, MA 1
cắt các cạnh bên AD,BC ở M, N sao cho = . MD 2 NB a) Tính tỉ số NC
b) Cho AB = 8cm, CD = 17cm. Tính MN 5.
(Dạng 1) Cho tam giác ABC có  120o A =
, AB = 3cm, AC = 6cm. Tính độ dài đường phân giác AD. Hướng dẫn: Kẻ DE // AC. 6.
(Dạng 1) Cho tam giác ABC cân tại A, cạnh bên dài 8cm. Một đường thẳng song song
với BC, cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E. Biết chu vi hình thang BDEC bằng
11cm. Tính chu vi tam giác ADE. AN 2 7.
(Dạng 1) Cho tam giác ABC, M là trung điểm AB, N trên cạnh AC sao cho = . NC 3 IM
Gọi I là giao điểm của MN và BC. Tính tỉ số IN 8.
(Dạng 1) Cho hình thang ABCD có AB // CD. Điểm E thuộc cạnh AD sao cho AE 2
= .Qua E kẻ đường thảng song song với CD, cắt BC ở F. Tính độ dài EF nếu: ED 3 a) AB = 10cm, CD = 30cm. b) AB = a, CD = b. 9.
(Dạng 2) Cho hình thang ABCD (AB//CD). Một đường thẳng song song với CD, cắt
các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC theo thứ tự tại M, L, K, N. chứng minh rằng MI = KN. 10.
(Dạng 2) Cho hình thang ABCD (AB//CD) có O là giao điểm của AD và BC. Gọi F là
trung điểm của CD, E là giao điểm của OF và AB. Chứng minh rằng E là trung điểm AB. 11.
(Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD, E là trung điểm của cạnh AB, F là trung điểm
cạnh CD. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC thành ba đoạn bằng nhau. 12.
(Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AD.
Đường thẳng qua D và song song với EF cắt AC tại I. Đường thẳng qua B và song
song với EF cắt AC tại K. Chứng minh rằng: a) AI = CK. AB AD AC b) + =
(N là giao điểm của EF và AC). AE AF AN 13.
(Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng qua D cắt AC, AB, CD theo
thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng: DM DM a) 2
DM = MN.MK b) + =1 DN DK 14.
(Dạng 2) Cho tam giác ABC. Qua trọng tâm G, kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB,
AC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng: BE CF + = 1 AE AF
Hướng dẫn: Kẻ các đường thẳng qua B và song song với d, qua C và song song với d. 15.
(Dạng 2) Chứng minh rằng nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của tam giác
AB′ CA′ BC′
ABC và cắt các đường thẳng BC, CA, AB thứ tự ở A ,′ B ,′C′ thì . . B C ′ A′B C A ′ = 1 (Định lí Mê-nê-lu-uýt). 16.
(Dạng 2) Chứng minh rằng nếu trên các cạnh đối diện với các điểm A,B,C của tam
giác ABC, ta lấy các điểm tương ứng A ,′ B ,′C′ sao cho AA ,′ BB ,′ CC′ đồng quy thì
AB′ CA′ BC′ . . = 1 (Định lí Xê-va). B C ′ A′B C A ′ 17.
(Dạng 3) Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điể 1 1
m E,F,G,H sao cho AE = 2EB, BF =
FC , CG = 2GD, DH = HA . Chứng minh 2 2
rằng EFGH là hình bình hành. 18.
(Dạng 3) Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE. a) Chứng minh rằng DE//BC.
b) Tính độ dài AB biết DE = 6cm, BC = 15cm. 19.
(Dạng 4) Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm AB, E là trung điểm BI, D thuộc
cạnh AC sao cho. Gọi F là giao điểm của BD và CE. Tính tỉ số. 20.
(Dạng 4) Cho hình bình hành ABCD. Qua điểm E thuộc CD, vẽ đường thẳng song
song với AC, cắt AD ở F. Qua F vẽ đường thẳng song song với BD, cắt AB ở G. Qua
G vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC ở H. Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành. 21.
(Dạng 4) Cho hình thang ABCD (AB//CD). M là trung điểm của CD. Gọi I là giao
điểm của AM và BD, gọi K là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh rằng IK//AB.
b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng EI = IK = KF. 22.
(Dạng 4) Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M thuộc cạnh AD. Gọi I,
K theo thứ tự là trung điểm của MB, MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao
điểm của DK và AC. Chứng minh rằng IK // EF.
Hướng dẫn: Gọi N là trung điểm của AM. 23.
(Dạng 5) Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh CD. Dựng một hình chữ
nhật có một cạnh bằng DE và có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ABCD.
3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng
tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.  A ∆ BCDB AB  A  =  ⇒ = A A DC AC4 1 2 3
Chú ý. Định lí vẫn đúng đối với tia phân 1
giác của góc ngoài của tam giác 2A
∆ BC(AB ≠ AC)  EB AB   =  ⇒ = C A A EC ACE B D 3 4 B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1.
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC ĐỂ
TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp giải
Lập các đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đường phân giác của tam giác. Ví dụ 1. (Bài 18 SGK).
Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác của góc
BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn tẳng EB, EC. Giải
AE là đường phân giác của ∆ABC nên: A EB AB 5 = = EC AC 6 6 Do đó: 5 B E C EB EC EB + EC 7 = = = 5 6 5 + 6 11 Suy ra: 7 2 7 9 EB = .5 = 3 (cm); EC = .6 = 3 (cm) . 11 11 11 11
Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tính AB, BC biết rằng AD = 4cm, DC = 5cm. Giải A 4 D x 5 y C B BD là đườ BA DA 4
ng phân giác của ∆ABC ⇒ = = BC DC 5 Đặ x 4 t BA = x, BC = y ta có = và 2 2 2 2
y − x = AC = 9 = 81. Do đó: y 5 2 2 2 2 x y x y y − x 81 = ⇒ = = = = 9 4 5 16 25 25 −16 9 x y Suy ra
= = 3. Từ đó x = 12, y = 15. 4 5
Đáp số: AB = 12cm, BC = 15cm. Dạng 2.
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC ĐỂ
TÍNH TỈ SỐ ĐỘ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG Phương pháp giải
Lập các đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đường phân giác của tam giác Ví dụ 3. (Bài 17 SGK)
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh
AB tại D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC (H.25 SGK). Giải A E D B M C MD là đườ DA MA
ng phân giác của tam giác AMB ⇒ = (1) DB MB ME là đườ EA MA
ng phân giác của tam giác AMC ⇒ = (2) EC MC Theo giả thiết: MB = MC. (3) DA EA Từ (1), (2), (3) suy ra = DB EC
Theo định lí Ta-lét đảo: DE//BC Ví dụ 4. (Bài 21 SGK)
a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện
tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích tam giác ABC là S.
b) Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích tam giác ADM chiến bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC? Giải a) AD là đườ DB AB m
ng phân giác của tam giác ABC ⇒ = = . Do đó: DC AC n A m n B D M C DB m m = ⇒ DB = BC DB + DC m + n m + n 1 m
DM = BM − BD = BC − 2 m + n  1 mn − m = − BC = BC   .  2 m + n  2(m + n) DM n − m S n − m Ta có = nên ADM = . BC 2(m + n) S 2(m + n) ABC n − m Vậy S = .S . ADM 2(m + n) 7 − 3 4
b) Với n = 7cm, m = 3cm thì S : S = = = 20%. ADM ABC 2(7 + 3) 20 Dạng 3.
ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NGOÀI CỦA TAM GIÁC Phương pháp giải
Lập các đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đường phân giác góc ngoài của tam giác. Ví dụ 5.
Cho tam giác ABC có BC = 24cm, AB = 2AC. Tia phân giác của góc ngoài tại
A cắt đường thẳng BC ở E. Tính độ dài EB Giải A 4 3 C E B AE là đườ EB AB 1
ng phân giác góc ngoài của tam giác ABC ⇒ = = . Do đó: EC AC 2 EB EC EC − EB = = = BC = 24. 1 2 2 −1 Suy ra EB = 24cm C. LUYỆN TẬP 1.
(Dạng 1) Tam giác ABC có AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 50cm, đường phân giác BD.
a) Tính các độ dài BD, DC.
b) Qua D vẽ DE//AB, DF//AC ( E ∈ AC, F ∈ AB ). Tính các cạnh của tứ giác AEDF. 2.
(Dạng 1) Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Tính độ dài AB, AC biết, DB = 15cm, DC = 20cm. 3.
(Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường phân giác BD. Tính độ dài AD, DC biết AB = 1dm 4.
(Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH.
Tia phân giác góc HAB cắt HB tại D. Tia phân giác góc HAC cắt HC tại E. a) Tính độ dài AH. b) Tính độ dài HD, HE. 5.
(Dạng 1) Tam giác cân ABC có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm các
đường phân giác của tam giác. Tính độ dài BI.
Hướng dẫn: Kẻ đường cao AH, Tính IH. AD 2 AE 5 6.
(Dạng 2) Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết = , = . DC 3 EB 6
Tính các cạnh của tam giác ABC biết chu vi tam giác bằng 45cm. 7.
(Dạng 3) Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 18cm, đường giân giác AD. Điểm I
thuộc cạnh AD sao cho AI = 2ID. Gọi E là giao điểm của BI và AC. AE a) Tính tỉ số EC b) Tính độ dài AE, EC. 8.
(Dạng 2) Tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh rằng: AE CD BF . . =1 EC DB FA 9.
(Dạng 2) Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 12cm, BC = 9cm. Gọi I là giao điểm
của các đường phân giác, G là trọng tâm tam giác.
a) Chứng minh IG song song BC b) Tính độ dài IG. 10.
(Dạng 3) Tam giác ABC có AB = AC = 3cm, BC = 2cm, đường phân giác BD.
Đường vuông góc với BD tại B cắt AC tại E. Tính độ dài CE.
4. KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Định nghĩa
Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau đôi một
và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ
 = ′  = ′  =  A A , B B , C C′  A ∆ BC A ∆ ′B C ′ ′ ⇔  AB BC CA  = = .
A′B′ B C ′ ′ C A ′ ′ 2. Tính chất
- Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó - A ∆ BC A ∆ ′B C ′ ′ ⇒ A ∆ ′B C ′ ′  A ∆ BC .  A ∆ BC A ∆ B C - 1 1 1  ⇒ A ∆ BC A ∆ B C 2 2 2 A ∆ B C A ∆ B C  1 1 1 2 2 2
3. Định lí nhận biết hai tam giác đồng dạng
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo
thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho A M N B CA ∆ BC  ⇒ A ∆ MN A ∆ BCMN / /BC
Chú ý. Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của
tam giác và song song với cạnh còn lại 2
- Lấy B ' trên AB sao cho AB ' = AB A 3
- Kẻ đường thẳng Bx ' // BC , cắt AC ở C ' . - Ta có A
∆ B 'C'∽ A
∆ BC , tỉ số đồng dạng: AB ' 2 B' C' k = = . AB 3 B C B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1.
VẼ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VỚI MỘT TAM GIÁC CHO TRƯỚC Phương pháp giải
Kẻ đường thẳng song song với một cạnh của tam giác Ví dụ 1. (Bài 26 SGK)
Cho tam giác ABC, vẽ tam giác A′B C
′ ′ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng k = 2/3. Giải
Dạng 2. TÍNH CHẤT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa và tính chất hai tam giác đồng dạng Ví dụ 2: (Bài 23 SGK)
Trong hai mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai?
a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.
b) Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau. Giải
Mệnh đề a) đúng, tỉ số đồng dạng bằng 1.
Mệnh đề b) sai. Chẳng hạn ở ví dụ 1 ta có A
∆ B 'C'∽ A
∆ BC , nhưng các tam giác
AB 'C ' và ABC không bằng nhau. Ví dụ 3: (Bài 28 SGK) 3 A
∆ ' B 'C'∽ A
∆ BC theo tỉ số đồng dạng k = . 5
a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.
b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40dm, tính chu vi của mỗi tam giác. Giải A' B '
A'C ' C ' A'
A' B '+ B 'C '+ C ' A' a) A
∆ ' B'C'∽ A ∆ BC ⇒ = = = . AB AC CA
AB + BC + CA A' B ' 3 3 Do
= nên tỉ số chu vi của A
∆ ' B 'C' và A ∆ BC bằng . AB 5 5
b) Gọi P ' là chu vi của A
∆ ' B 'C' , P là chu vi của A ∆ BC , ta có: P' P P − P' 40 = = = = 20. 3 5 5 − 3 2
Suy ra P ' = 60c , m P = 100cm .
Dạng 3. CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Phương pháp giải
Sử dụng định lý hoặc định nghĩa để nhận biết hai tam giác đồng dạng. Ví dụ 4: (Bài 27 SGK) 1
Từ điểm M thuộc cạnh AB của tam giác ABC với AM = MB , kẻ các tia 2
song song với AC và BC , chúng cắt BC và AC lần lượt tại L và N .
a) Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng.
b) Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng, hãy viết các cặp góc bằng nhau và tỉ
số đồng dạng tương ứng. A Giải M N
a) Có ba cặp tam giác đồng dạng AMN và
ABC , MBL và ABC , AMN và MBL . b) Bạn đọc tự giải. B L C C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Cho tam giác ABC . Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác ABC , tỉ số đồng dạng bằng 2.
2. (Dạng 2). Ta có A ∆ BC ∽ A ∆ B C A ∆ B C ∽ A ∆ B C
1 1 1 với tỉ số đồng dạng 2 / 3 , 1 1 1 2 2 2 với tỉ số đồng dạng 3 / 4 . a) Vì sao A ∆ BC ∽ A ∆ B C 2 2 2 ?
b) Tìm tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó.
3. (Dạng 2). Cho một tam giác với cạnh có độ dài 12m, 16m và 18m. Tính độ dài các cạnh
của tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, nếu cạnh bé nhất của tam giác này bằng cạnh
lớn nhất của tam giác đã cho.
4. (Dạng 2). Cho tam giác ABC trong đó AB = 16,2 cm; BC = 24,3 cm; AC = 32,7 cm.
Tính độ dài các cạnh của tam giác A' B'C' đồng dạng với tam giác đã cho biết cạnh A' B'
tương ứng với cạnh AB và
a) lớn hơn cạnh đó 10,8 cm;
b) bé hơn cạnh đó 5,4 cm.
5. (Dạng 2 và 3). Cho tam giác ABC , Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho D
A = 2AB . Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho E
A = 2AC . Chứng minh rằng A ∆ DE ∽ A
∆ BC , tìm tỉ số đồng dạng. MB 1
6. (Dạng 2 và 3). Cho tam giác ABC . Điểm M thuộc cạnh BC sao cho = . Qua M MC 2
kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở D . Qua M kẻ đường thẳng song song với AB
cắt AC ở E .
a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng, tìm tỉ số đồng dạng.
b) Tính chu vi các tam giác DBM, EMC biết chu vi tam giác ABC bằng 24 cm.
§5. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
- Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ A
với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng A' - Nếu A ∆ BC và A ∆ ' B 'C' có: B C B' C' AB BC CA = = ⇒ A ∆ BC ∽ A ∆ ' B 'C' . A' B '
B 'C ' C ' A' B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG HỢP THỨ NHẤT Phương pháp giải
- Xếp các cạnh của hai tam giác theo cùng một thứ tự, chẳng hạn từ nhỏ đến lớn.
- Lập ba tỉ số, nếu chúng bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng. Ví dụ 1. (Bài 29 SGK)
Cho hai tam giác ABC và A' B ' C ' có kích thước như trong hình 35. A A' 9 6 6 4 B C B' 8 12 C' Hình 35 a) A ∆ BC và A
∆ ' B 'C' có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
b) Tính tỉ số chu vi hai tam giác đó. Giải AB BC CA 6 12 9 a) Ta có = = (vì =
= do cùng bằng 1,5) nên A ∆ BC ∽ A ∆ ' B 'C'. A' B '
B 'C ' C ' A' 4 8 6
b) Tỉ số chu vi của A ∆ BC và A
∆ ' B 'C' bằng 1,5.
Dạng 2. SỬ DỤNG TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC GÓC BẰNG NHAU Phương pháp giải
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ nhất.
- Suy ra các góc tương ứng bằng nhau. Ví dụ 2. Tứ giác AB D
C có AB = 3c , m BC = 10c , m CD = 12cm , D
A = 5cm , đường
chéo BD = 6cm . Chứng minh rằng: a) A ∆ BD ∽ B ∆ DC . b) AB D C là hình thang. Giải
a) Xếp các cạnh của A
∆ BD từ nhỏ đến lớn: 3, 5, 6.
Xếp các cạnh của B
∆ DC từ nhỏ đến lớn: 6, 10, 12. 3 A B 3 5 6 Ta thấy = = nên A ∆ BD ∽ B ∆ DC . 10 6 10 12 5 6 b) Từ câu a) suy ra  ABD =  BDC , do đó D C D
A //CD . Vậy AB D C là hình thang 12 C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Hai tam giác mà độ dài các cạnh như sau có đồng dạng không?
a) 15 cm, 18 cm, 21 cm và 28 cm, 24 cm, 20 cm.
b) 1 dm, 2 dm, 2 dm và 10 cm, 10 cm, 5 cm. c) 4m, 5m, 6m và 8m, 9m, 12m.
2. (Dạng 1). Tam giác ABC có AB = 6cm , AC = 9cm , BC = 12cm . Tam giác ABC có đồng
dạng với tam giác mà ba cạnh bằng ba đường cao của tam giác ABC không?
3. (Dạng 1). Tam giác ABC vuông tại A , AB = 24cm , BC = 26cm . Tam giác IMN vuông
tại I , IN = 25cm , MN = 65cm . Chứng minh rằng A ∆ BC ∽ IM ∆ N .
4. (Dạng 2). Gọi O là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC . Gọi A , B ,C 1 1 1 theo thứ tự là trung điểm của ,
OA OB,OC . Gọi A', B ',C ' theo thứ tự là trung điểm của B C ,A C , A B 1 1 1 1 1 1 . Chứng minh rằng: a) A ∆ BC ∽ A ∆ 'B'C' ; b)  A = 
BC A ' B 'C '.
5. (Dạng 2). Tứ giác AB D
C có AB = 2cm , BC = 10cm , D C = 12,5cm , D A = 4cm ,
BD = 5cm . Chứng minh rằng AB D C là hình thang.
. §6. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
- Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ A
với hai cạnh của tam giác kia và hai
góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, A'
thì hai tam giác đó đồng dạng. - Nếu A ∆ BC và A ∆ ' B 'C' có: B C B' C'AB AC A =  A ' và = thì A ∆ BC ∽ A ∆ ' B 'C'.
A' B ' A'C ' B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG HỢP THỨ
HAI ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU Phương pháp giải
- Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau, xét tỉ số hai cạnh tạo nên mỗi góc đó.
- Từ hai tam giác đồng dạng, suy ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ, các góc tương ứng bằng nhau. Ví dụ 1. (Bài 32 SGK)
Trên một cạnh của góc xOy  0
xOy ≠ 180 , đặt các đoạn thẳng OA = 5cm ,
OB = 16cm . Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm , D O = 10cm .
a) Chứng minh hai tam giác OCB và D OA đồng dạng.
b) Gọi giao điểm của các cạnh D
A và BC là I , chứng minh rằng hai tam giác IAB và D
IC có các góc bằng nhau từng đôi một. x Giải B 16 a) Xét A ∆ OD và COB ∆ : A O là góc chung; 5 O OA D O I = 5 10 (vì = ). 8 OC OB 8 16 C D Suy ra A ∆ OD∽ COB ∆ . 10 y b) Ta có A ∆ OD∽ COB ∆ suy ra  AD =  O COB , tức là  D =  I C IBA.  C D =  I AIB (đối đỉnh).
Suy ra hai góc còn lại bằng nhau  D =  IC IAB . Ví dụ 2: (Bài 33 SGK)
Chứng minh rằng nếu tam giác A' B ' C ' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ
số k , thì tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k . Giải A
∆ ' B 'C'∽ A
∆ BC (theo tỉ số k ) nên: A' B ' B 'C ' = = k A AB BC A'B ' = B B ' M ' Suy ra = k . BM B M C B' M' C' A' B ' B ' M ' A
∆ ' B' M ' và A ∆ BM có:  B ' = B và = = k nên A
∆ ' B' M '∽ A ∆ BM . Suy ra AB BM A' M ' A' B ' = = k . AM AB
Dạng 2. SỬ DỤNG CÁC TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ĐỂ DỰNG HÌNH Phương pháp giải
Thường dựng một tam giác bất kì đồng dạng với tam giác phải dựng, sau đó dùng điều kiện
về độ dài chưa sử dụng đến để dựng tiếp. Ví dụ 3. (Bài 34 SGK) AB
Dựng tam giác ABC , biết  A = 60° , tỉ số 4
= và đường cao AH = 6cm . AC 5 A Giải
- Dựng góc xAy bằng 60° .
- Dựng B ' thuộc tia Ax sao cho AB ' = 4 . B H C
- Dựng C ' thuộc tia Ay sao cho AC ' = 5 . B' C' H'
- Dựng AH ' ⊥ BC . y x
- Trên tia AH ' , dựng H sao cho AH = 6cm .
- Qua H , dựng đường thẳng vuông góc với
AH , cắt Ax và Ay ở B và C . C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Cho tam giác ABC có AB = 18cm , AC = 27cm , BC = 30cm . Gọi D là trung
điểm của AB . Điểm E thuộc cạnh AC sao cho E A = 6cm . a) Chứng minh rằng ∆ E A D ∽ A ∆ BC .
b) Tính độ dài DE .
2. (Dạng 1). Tam giác ABC có AB = 4cm . Điểm D thuộc cạnh AC có AD = 2cm, DC = 6cm .   Biết rằng 0
ACB = 20 , tính ABD.
3. (Dạng 1). Hình thang ABCD ( AB CD)có AB = 2cm, 4 BD = cm,
CD = 8cm . Chứng minh   rằng A = DBC.  
4. (Dạng 1). Hình thang vuông ABCD có 0
A = D = 90 , có AB = 4cm, 6 BD = cm, CD = 9cm . Tính độ dài BC.  0
5. (Dạng 1). Cho hình bình hành ABCD, A > 90 , các đường cao AH và AK (H thuộc CD, K  
thuộc BC). Chứng minh rằng AKH = ACH.
Hướng dẫn: tìm cặp tam giác đồng dạng.  
6. (Dạng 1). Tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 5cm, 6
CA = cm . Chứng minh rằng B = 2C.
Hướng dẫn: trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC . Tìm tam giác đồng dạng đối với tam giác ABC.
7. (Dạng 1). Cho hình thoi ABCD. Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối của các tia BA, CA
theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng: EB AD a) = . BA DF b) EBD ∆  BD ∆ F.  c) 0
BID = 120 (I là giao điểm của DE và BF).  0 AB 1
8. (Dạng 2). Dựng tam giác ABC cho biết góc A = 60 , tỉ số =
AC 2 và trung tuyến xuất
phát từ đỉnh A có độ dài m cho trước.
§7. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
• Nếu hai góc của tam giác này lần lượ A
t bằng hai góc của tam giác kia thì
hai tam giác đó đồng dạng với nhau. • A' Nếu A ∆ BC và A ∆ B ′ C ′ ′ có:   = ′  
A A ,B = B′ thì A ∆ BC A ∆ B ′ C ′ .′ C' B C B' B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG HỢP THỨ BA
ĐỂ TÍNH ĐỒ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG Phương pháp giải
Chứng minh tam giác có hai cặp góc bằng nhau từ đó suy ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
Ví dụ 1. (Bài 35 SGK)
Chứng minh rằng nếu A ∆ B ′ C
′ ′ đồng dạng với A
∆ BC theo tỉ số k thì tỉ số của hai
đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng k. Giải A ′ ′ ∆ B ′ C ′ ′ A BA ∆ BC   ⇒ = ′   (theo tỉ số k)
A A ,B = B ,′ = k. AB Gọi A D
′ ′ và AD là đường phân  
giác của A′ và A . A'    
Do B = B′ và A = A′ ∆ ′ ′ ′  ∆ . Do đó 1 1 nên A B D ABD 2 1 A A D ′ ′ = k. 1 2 AD B' D' C' B D C
Ví dụ 2. (Bài 36 SGK)
Tính độ dài x của đoạn thẳng BD trong hình 43 SGK (làm tròn đến chữ số thập phân
thứ nhất), biết rằng ABCD là hình thang ( AB CD); AB = 15,5cm ; CD = 28,5 ; cm   DAB = DBC. A 12,5 B Giải Xét A ∆ BD và B ∆ DC : x  
DAB = DBC (giả thiết);   ABD D D = BDC 28,5
(so le trong AB CD ) Do đó A ∆ BD BD ∆ C Hình 43 SGK , suy ra: AB BD 12,5 x 2 = ⇒ =
⇒ x = 12,5.28,5 = 356,25 ⇒ x ≈ 18,9(cm) BD DC x 28,5 F
Ví dụ 3. (Bài 43 SGK)
Cho hình bình hành ABCD (H.46 SGK) có độ dài các cạnh A U AB = 12cm, 7
BC = cm . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho E
AE = 8cm . Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài tại F.
a) Trong hình vẽ đã cho có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với
nhau? Hãy viết các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo các đỉnh tương ứ C ng. Hình 46 SGK
b) Tính độ dài các đoạn thẳng EF và BF, biết rằng DE = 10cm . Giải
a) Có ba cặp tam giác đồng dạng: A ∆ DE BEF ∆ , BFE ∆  C ∆ FD, C ∆ FD A ∆ DE. EF BF EB EF BF 4
b) Ta có EB = 12 − 8 − 4 (cm).Từ tỉ lệ thức = = = = = 2. ED AD EA suy ra 10 7 8
Do đó EF = 5cm, 3, BF = 5c . m
Ví dụ 4. (Bài 45 SGK)    
Hai tam ABC và DEF có A = D, B = E, AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6 . cm Tính độ
dài các cạnh AC, DF và EF biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm. Giải A A ∆ BC AB BC AC 8 10 ACD ∆ EF ⇒ = = ⇒ = = . DE EF DF 6 EF DF 8 10 D 8 Từ = 6 EF suy ra EF=7,5cm. 6 AC DF AC − DF C Từ = = = 3 B 10 E F 4 3 4 suy ra − 3 AC = 12cm, 9 DF = cm .
Dạng 2. NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC VUÔNG ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG HỢP THỨ BA Phương pháp giải
Xét hai tam giác vuôngtìm cặp góc nhọn bằng nhau.
Ví dụ 5. (Bài 37 SGK)  
Hình 44 SGK cho biết EBA = BDC. D
a) Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác vuông? Hãy kể tên các tam giác đó. E
b) Cho biết AE = 10cm, 15 AB = cm, BC = 12cm .
Hãy tính độ dài các đoạn thẳng CD, BE, BD và ED
(làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). A C
c) So sánh diện tích tam giác BDE với tổng diện tích 15 B 12
của hai tam giác AEB và BCD. Hình 44 SGK Giải
a) Trong hình vẽ có ba tam giác vuông: A ∆ BE, C ∆ DB, EBD ∆ . AB AE 15 10 b) A ∆ BE CD ∆ B ⇒ = ⇒ = ⇒ CD = 18(cm). CD CB CD 12 2 2 2 2 2
BE = AB + AE = 15 +10 = 325 ⇒ BE ≈ 18c . m 2 2 2 2 2
BD = BC + CD = 12 +18 = 468 ⇒ BD ≈ 21,6cm . 2 2 2
ED = BE + BD = 325 + 468 = 793 ⇒ ED ≈ 28,2c . m 1 1 1 c) S = BE.BD = 325. 468 = 152100 = 195 cm BED ( 2). 2 2 2 1 1 S + S
= .15.10 + 12.18 = 183 cm AEB BCD ( 2). 2 2 Vậy S > S + S . BDE AEB BCD
Ví dụ 6. (Bài 44 SGK)
Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 24cm,
AC = 28cm . Tia phân giác của góc A
cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường thẳng AD. BM a) Tính tỉ số . CN AM DM b) Chứng minh rằng = . AN DN Giải A BM DB a) BM CN ⇒ = . CN
DC AD là tia phân giác của góc A suy ra 2 1 28 DB AB BM AB 24 6 24 = .Do đó = = = . DC AC CN AC 28 7 M AM BM 6 b) AM ∆ B AN ∆ C ⇒ = = . B' D C AN CN 7 N
Ví dụ 7. (Bài 41 SGK)
Tìm các dấu hiệu để nhân biết hai tam giác đồng dạng. Giải    = ′  AB AC Xét A
∆ BC cân tại A và A ∆ B ′ C
′ ′ cân tại A′. Ta có B C,B = C′, = A B ′ ′ A C ′ ′ . Do đó A ∆ BC A ∆ B ′ C ′ ′ nếu có:   -
Góc ở đỉnh của tam giác này bằng góc ở đỉnh của tam giác kia ( A = A′) : theo trường hợp đồng dạng thứ 2. A -
Góc ở đáy của tam giác này bằng góc ở đáy của tam  
giác kia (B = B′): theo trường hợp đồng dạng thứ 3. A' -
Cạnh bên và cạnh đáy của tam giác này tỉ lệ với cạnh  AB A B ′ ′ 
bên và cạnh đáy của tam giác kia =  BC B C  ′ ′ :   B C B' C'
theo trường hợp đồng dạng thứ nhất.
Ví dụ 8. (Bài 42 SGK)
So sánh các trường hợp đồng dạng của tam giác với các trường hợp bằng nhau
của tam giác (nêu lên những điểm giống và khác nhau) Giải
Trường hợp bằng nhau của tam giác là trường hợp đặc biệt của trường hợp đồng dạng của
tam giác khi tỉ số đồng dạng bằng 1. Do đó ba trường hợp đồng dạng cũng tương ứng với
ba trường hợp bằng nhau, điểm khác là không đòi hỏi cặp cạnh tương ứng bằng nhau mà
chỉ đòi hỏi cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. So sánh Hai tam giác bằng nhau Hai tam giác đồng dạng Giống nhau
Góc tương ứng bằng nhau Góc tương úng bằng nhau Khác nhau
Cạnh tương ứng bằng nhau
Cạnh tương ứng tỉ lệ
Dạng 3. SỬ DỤNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ĐỂ DỰNG HÌNH Phương pháp giải
Thường dựng một tam giác bất kì đồng dạng với tam giác phải dựng
sau đó dùng điều kiện về độ dài chưa sử dụng đến để dựng tiếp.  0  0 Ví dụ 9.
Dựng tam giác ABC biết B = 60 ,C = 45 , đường cao xuất phát từ đỉnh A có
độ dài h cho trước. Giải Cách dựng: A  0 ′  0 - Dựng A ∆ B ′ C
′ ′ có B = 60 ,C′ = 45 . -
Dựng AH′ ⊥ BC. -
Trên tia AH′ dựng AH = . h B C -
Qua H dựng đường thẳng song song với B C
′ ,′ cắt AB′ và H
AC′ ở B và C. Chứng minh: B' C' H' BC   0 = ′    0   B C ′ ′ 0 0 nên B
B = 60 ,C = C′ = 45 . A
∆ BC có B = 60 ,C = 45 ,đường cao
AH = h thỏa mãn bài toán.
Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình. C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1) Tam giác ABC có AB = 6cm,
AC = 9cm . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho  
ABD = C. Tính độ dài AD.
2. (Dạng 2) Cho tam giác ABC có AC ≥ AB, đường phân giác AD. Lấy điểm E trên cạnh  
AC sao cho CDE = BAC.
a) Tìm tam giác đồng dạng với tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng DE = DB .
3. (Dạng 2) Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên canh AB lấy
điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phân giác của góc BED. Chứng minh rằng:
a) EM là tia phân giác của góc CED.
b) Tam giác BDM đồng dạng với tam giác CME. c) 2
BD.CE = a (đặt MB = MC = a ).   0
4. (Dạng 2) Hình thang vuông ABCD có A = D = 90 , AB = 4cm,CD = 9 . cm Tính độ dài
BD biết rằng BD ⊥ BC.
5. (Dạng 2) Hình thang ABCD có AB CD, BD là đường cao của hình thang,   0
A + C = 90 , AB =1cm,CD = 3 .
cm Tính các độ dài AD, BC. B 1 A C D
6. (Dạng 2) Hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, 3
AD = cm . Gọi E, F theo thứ tự là hình
chiếu của A, C trên BD. Tính độ dài EF.
7. (Dạng 2) Cho tam giác ABC vuông tại C, CB = 16cm, 34 AB = .
cm Qua trung điểm D
của AB, kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt AC ở E. Tính độ dài DE.
8. (Dạng 2) Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, 6 HB = cm,
HC = 9cm . Tính độ dài BD, CE biết rằng BD + CE = 20cm .
9. Cho tam giác ABC và các đường cao BD, CE.
a) Chứng minh rằng AB ∆ D AC ∆ E.  0 b) Tính 
AED biết ACB = 48 .  0  0
10. (Dạng 3) Dựng tam giác ABC biết B = 70 ,C = 30 , đường phân giác AD = 1,5cm .
§8. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông suy từ các trường hợp đồng dạng của tam giác
• Nếu tam giác vuông này có một góc bằng góc nhọn của góc nhọn của tam giác
vuông kia thì hai tam giác đồng dạng.
• Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông
của tam giác vuông kia thì hai tam giác đồng dạng.
2. Trường hợp đồng dạng đặc biệt B B' A C A' C'
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với
cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác
giác vuông đó đồng dạng. AB BC Nếu A ∆ BC và A ∆ ′B C ′ ′ có:  =  A A′ = 90° và = thì A′B′ B C ′ ′ A ∆ BC ∽ A ∆ ′B C
′ ′ (cạnh huyền – cạnh góc vuông). 3.
Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng •
Tỉ số hai đường cao tương đương của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. •
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG
SUY TỪ CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC. Phương pháp giải
Đưa về trường hợp đồng dạng thứ hai hoặc thứ ba, trong đó yếu tố góc là góc vuông.
Ví dụ 1. (Bài 46 SGK)
Trên hình 50 SGK, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. viết các tam giác này theo
thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chứng đồng dạng? Lời giải E D F A C B Hình 50 SGK
Có bốn tam giác đồng dạng đôi một (theo trường hợp góc – góc) là FDE , FBC ,
ABE , ADC nên viết được sáu cặp tam giác đồng dạng.
Ví dụ 2. (Bài 49 SGK)
ở hình 51 SGK tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH . A 20,50 12,45 B C H Hình 51 SGK a)
Trong hình vẽ có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau ? (hãy chỉ rõ
từng cặp tam dạng và viết theo các đỉnh tương ứng). b)
Cho biết AB = 12, 45 cm , AC = 20,50 cm . Tính độ dài các đoạn thẳng
BC, AH , BH , CH . Lời giải a)
Có 3 cặp tam giác đồng dạng: AHB và CHA ; CHA và CAB ; CAB và AHB . b) Ta có: 2 2 2 2 2
BC = AB + AC = 12, 45 + 20, 50 = 575, 2525 . Suy ra: BC ≈ 23,98(cm) A . B AC 12, 45.20,50 AH = = ≈10,64(cm). BC 23,98 AH BH 10, 64.12, 45 A ∆ HB∽ C ∆ AB ⇒ = ⇒ BH = ≈ 6,46(cm) . CA BA 20,50
CH = 23,98 − 6, 46 ≈ 17,52(cm) .
Ví dụ 3. (Bài 50 SGK). Bóng của một ống khói nhà máy trên mặt đát có độ dài là 36,9 m .
Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao 2,1m cắm vuông góc với mặt đất có bóng
dài 1, 62 m . Tính chiều cao của ống khói (H.52 SGK). Lời giải B' 2,1 A' C' 1,62 AB AC A ∆ BC ∽ A ∆ ′B C ′ ′ ⇒ = A′B′ A′C′ 2,1.36,9 ⇒ AB = ≈ 47,8(m) . 1, 62
Ví dụ 4. (Bài 51 SGK)
Chân đường cao AH của tam giác vuông ABC chia thành cạnh huyền BC thành
hai đoạn thẳng có độ dài 25cm và 36cm . Tính chu vi và diện tích của tam giác vuông đó (H.53 SGK). Lời giải A 25 36 B C H Hình 53 SGK AH BH A ∆ HB∽ C ∆ HA ⇒ = CH AH 2
⇒ AH = BH.CH = 25.36
⇒ AH = 5.6 = 30(cm). 1 S
= .BC.AH = 915 cm ABC ∆ ( 2) 2
Bằng định lí py ta-go, ta tính được: AB ≈ 39 cm , AC ≈ 47 cm . Chu vi C ≈ 147 cm . ABC ∆
Ví dụ 5. (Bài 52 SGK)
Cho một tam giác vuông, trong đó cạnh huyên dài 20 cm và một cạnh góc vuông
dài 12 cm . Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền. Lời giải A 12 x B C H 20 Hình 53 SGK Xét A
∆ BC vuông tại A , đường cao AH : AB =12cm , BC = 20cm . Cần tính
CH . Ta tính được AC = 16 cm . AC BC A ∆ BC ∽ H ∆ AC ⇒ = HC AC 16 20 ⇒ = . HC 16
Từ đó HC = 12,8cm .
DẠNG 2: TRƯỜNG HỢP ĐÒNG DẠNG CẠNH HUYỀN – CẠNH GÓC VUÔNG Phương pháp giải
Xét tỉ số cạnh huyền và tỉ số của một cặp cạnh góc vuông.
Ví dụ 6. Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB , MA = 6 cm , MB = 24cm ; vẽ về một phía
của AB các tia Ax , By vuông góc với AB . Lấy điểm C thuộc Ax , điểm D
thuộc By sao cho MC = 10cm , MD = 30cm . Chứng minh rằng:  CMD = 90° . Lời giải y D x C 30 10 A 6 24 B M
Ta tính được BD =18cm . Xét A ∆ MC và B ∆ DM :  =  A B = 90° ; CM AM  10 6  = =   . MD BD  30 18  Do đó: A ∆ MC ∽ B
∆ DM (cạnh huyền – cạnh góc vuông). ⇒  =  AMC BDM Ta lại có:  BDM phụ  BMD nên  AMC phụ  BMD vậy  CMD = 90° .
DẠNG 3. TỈ SỐ HAI ĐƯỜNG CAO CỦA HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Phương pháp giải
Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC , đường cao AH , BC = 15m , AH = 10 m . Điểm K thuộc AH
sao cho AK = 4m . Qua K kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB và AC
theo thứ tự tại M , N . a) Tính độ dài MN . b)
Kẻ MQ, NP vuông góc với BC . Chứng minh rằng: MNPQ là hình vuông. Lời giải A M N K B C Q H P AK MN a) A ∆ MN ∽ A ∆ BC ⇒ = AH BC 4.15 ⇒ MN = = 6 m . 10 b)
MQ = K = 10 − 4 = 6 m .
Dễ dàng chứng minh MNPQ là hình vuông.
Dạng 4. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng Phương pháp gaiir
Tỉ số diện tích của hai tam giác giác đồng dạng bằng bình phương của tỉ số đồng dạng
Ví dụ 8. (Bài 47 SGK).
Tam giác ABC có dộ dài các cạnh là 3c , m 4 c ,
m 5 cm . Tam giác A ∆ ′B C ′ ′∽ A ∆ BC 2 và S
= 54cm . Tính độ dài các cạnh của tam giác A′B C ′ ′ . ABC ∆ Lời giải 3.4 A
∆ BC là tam giác vuông ( 2 2 2 3 + 4 = 5 ) , và S = = 6 cm . ABC ∆ ( 2) 2 2 S  ′ ′ S ′ ′ ′ 54 ′ ′ ′ A B A ∆ ′B C ′ ′∽ A
∆ BC nên A B C = A B C   hay = = 9 . Từ đó k = 3. SAB S 6 ABC ABC
Vậy độ dài các cạnh của A ∆ ′B C ′ ′ bằng 9c , m 12 c , m 15 cm .
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC . Qua điểm D thuộc BC , kẻ các đường thẳng song song với
các cạnh còn lại, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và K . Biết dienj tích
các tam giác EBD , KDC theo thứ tự bằng 2 2
9 cm ,16cm . Tính diện tích tam giác ABC . Lời giải A K E 16 9 B C D Đặt S = S ABC 2 2 SBD  9  BD BD 3 EBD E ∆ BD ∽ A ∆ BC ⇒ = ⇒ = ⇒ =     ( ) 1 SBC SBC BC 5 2 2 SDC  16  DC DC 4 KDC K ∆ DC ∽ A ∆ BC ⇒ = ⇒ = ⇒ =     (2) SBC SBC BC S DB DC 3 4 7 2 Từ ( ) 1 ,(2) , suy ra: + = + ⇒1 =
⇒ S = 7 ⇒ S = 49(cm ) . BC BC S S S C. LUYỆN TẬP  (A<90°) 1.
(Dạng 1). Tam giác ABC cân tại A
, các đường cao AD và CE cắt nhau tại H .
a) tính BC biết HD = 4cm , HA = 32 cm .
b) tính AE biết BC = 24 cm , BE = 9 cm . 2.
(Dạng 1) cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH .
a) cho biết HB = 9c ,
m HC = 16 cm . Tính các độ dài AH , AB, AC .
b) chứng minh các hệ thức: 2 2 AH = H .
B HC.AB = BC.BH . 3.
(Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , HB = 4c ,
m HC = 9 cm . Gọi
M là trung điểm BC . Tính các cạnh của tam giác AHM . 4.
(Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông tại A . Hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB ,
N thuộc cạnh AC , P và Q thuộc cạnh BC . Biết BQ = 4 cm , CP = 9 cm . Tính cạnh của hình vuông. 5.
(Dạng 1) tam giác ABC đường cao AH ( H thuộc cạnh BC ) có AH = 6 cm ,
BH = 4 cm , HC = 9 cm . Chứng minh rằng: a) A ∆ HB ∽ C ∆ HA b)  BAC = 90° .  =  (A D=90°) 6.
(Dạng 1) cho hình thang vuông ABCD
, AB = 6 cm , CD = 12 cm ,
AD = 17cm . Điểm E thuộc cạnh AD sao cho AE = 8cm . Chứng minh:  BEC = 90° . 7.
(Dạng 1) cho tam giác ABC , các đường cao BD và CE . Chứng minh:
AE.AB = A . D AC . 8.
(Dạng 1) . cho tam giác nhọn ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Gọi K
là hình chiếu của H lên BC . Chứng minh rằng:
a) BH.BD = BK.BC .
b) CH .CE = CK.CB . c) 2
BH .BD + CH .CE = BC .  <  (A B) 9.
(Dạng 1) cho hình bình hành ABCD
. Gọi E là hình chiếu của C trên AB ,
K là hình chiếu của C trên AD , H là hình chiếu của B trên AC . Chứng minh rằng: a) A .
B AE = AC.AH .
b) BC.AK = AC.HC . c) 2 A . B AE + A . D AK = AC .
10. (Dạng 1) cho hình thang ABCD ( AB // CD) , M là trung điểm của AD , H là hình
chiếu của M lên BC . Chứng minh rằng: diện tích hình thang bằng tích BC.MH bằng
cách vẽ đường cao BK , gọi N là trung điểm của BC và tìm các tam giác đồng dạng.
11. (Dạng 2). Cho tam giác ABC vuông tại A , AC = 4 cm , BC = 6cm . ở phía ngoài tam
giác ABC , vẽ tam giác BCD vuông tại C có BD = 9cm . Chứng minh: BD // AC .
12. (Dạng 2). Hình thang ABCD có  =  A
D = 90° , điểm E thuộc cạnh bên AD . Tính  BEC
biết rằng AB = 4cm , BE = 5cm , DE = 12cm , CE = 15cm .
13. (Dạng 2) cho hai tam giác cân ABC và A′B C
′ ′ ( AB = AC, A′B′ = A′C′) , các đường cao BH BC BH và B H ′ ′ . Cho biết = ∆ ∆ ∽ ′ ′ ′ . B H ′ ′ B C
′ ′ . Chứng minh rằng: ABC A B C
14. (Dạng 3). Cho hình thang ABCD ( AB // CD) , AB = 15m , CD = 30m , đường cao 20m ,
các đường chéo cắt nhau tại O . Tính diện tích các tam giác OAB , OCD .
15. (Dạng 4). Cho tam giác ABC , điểm O nằm trong tam giác . gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của ,
OA OB, OC . Tỉ số diện tích của tam giác DEF và tam giác ABC bằng: 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 3
Hãy chọn câu trả lời đúng.
16. (Dạng 4). Gọi O là trong tâm của tam giác đều ABC . Trên ,
OA OB, OC lấy theo thứ tự các điể 1 m A ,
′ B ,′C′ sao cho OA′ = OB′ = OC′ và khoảng cách giữa B C
′ ′ và BC bằng 6
chiều cao của tam giác ABC . Tỉ số diện tích của tam giác A′B C
′ ′ và tam giác ABC bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 6 4
Hãy chọn câu trả lời đúng.
17. (Dạng 4). Cho tam giác ABC . Một đường thẳng song song với BC , cắt các cạnh AB và
AC tại D và E . Biết diện tích tam giác ADE bằng nửa diện tích tam giác ABC . Tỉ số DE bằng: BC 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 5
Hãy chọn câu trả lời đúng.
18. (Dạng 4). Cho tam giác ABC . Một đường thẳng song song với BC và có khoảng cách đế 1
n BC bằng khoảng cách từ A đến BC cắt ra một hình thang có diện tích bằng 5 2
36 cm . Tính diện tích tam giác ABC .
19. ( Dạng 4) Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh
AB, AC theo thứ tự ở D và E . Gọi G là một điểm trên cạnh BC . Tính diện tích tứ giác
ADGE biết diện tích tam giác ABC bằng 2
16cm , diện tích tam giác ADE bằng 2 9cm .
20. (Dạng 4) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . BC = 20c , m AH = 8c . m
Gọi D là hình chiếu của H trên AC , E là hình chiếu của H trên AB .
a) Chứng minh rằng tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC .
b) Tính diện tích tam giác ADE .
§9. ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Sử dụng tam giác đồng dạng , ta có thể xác định chiều cao , xác định khoảng cách đo đạc gián tiếp. B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. ĐO GIÁN TIẾP CHIỀU CAO Phương pháp giải:
Tìm hai tam giá đồng dạng rồi lập tỉ số giữa các cạnh tương ứng.
Ví dụ 1. ( Bài 53 SGK)
Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 2m và đặt xa cây
15m . Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 0,8m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm
trên một đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu , biết rằng
khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1, 6m ? B Giải
Trước hết tính BH, ta có: D E H DC EG 0, 4 0,8 G = ⇒ = ⇒ BH = 7,9m 1,6 BH EH BH 15,8 0,8 15 F C A
Do đó AB = 7,9 +1,6 = 9,5(m)
Dạng 2. ĐO GIÁN TIẾP KHOẢNG CÁCH , BỀ DÀY Phương pháp giải
Sử dụng tam giác đồng dạng hoặc Định lí Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng.
Ví dụ 2. ( Bài 54 SGK)
Để đo khoảng cách giữa hai địa điểm A và B , trong đó B không tới được, người ta tiến
hành đo và tính khoảng cách AB như hình 57 SGK : AB//DF; AD = ; m DC = ; n DF = . a
a) Em hãy nói rõ cách đo như thế nào.
b) Tính độ dài x của khoản cách A . B A x B Giải a) Cách đo: m
- Dùng êke dựng tia Ax vuông góc với AB . a D
- Trên tia Ax dựng điểm . D F Hình 57 SGK
- Dựng đoạn thẳng DF vuông góc với AD ( F và B cùng n
phía đối với Ax ). C
- Trên tia đối của tia DA , dựng điểm C sao cho C, F, B thẳng hàng. DF CD a n
b) ta có DF //AB nên = , suy ra = . AB CA x m + n a (m + n) Vậy x = n
Ví dụ 3 ( Bài 55 SGK)
Hình 58 SGK dưới đây mô tả dụng cụ đo bề dày của một số loại sản phẩm. Dụng cụ này gồm
thước AC được chia tính đến 1mm và gắn với một bản kim loại hình tam giác ABD, khoảng cách BC = 10 . mm D B d A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hình 58 SGK
Muốn đo bề dày của vật, ta kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước( đáy của vật áp vào bề
mặt của thước AC ta đọc được “bề dày” d của vật ( trên hình vẽ ta có d = 5,5mm) .
Hãy chỉ rõ định lí nào cảu hình học là cơ sở để ghi các vạch trên thước AC (d ≤ 10mm). Giải d 5, 5 Trên hình vẽ ta có =
. Do BC = 10mm nên d = 5,5 .
mm Cơ sở của cách làm trên là BC 10
Đinh lí Ta – lét. C. LUYỆN TẬP
1. ( Dạng 1) Tính khoảng cách từ người quan sát đến chân tháp truyền hình cao M
50m biết rằng khi người đó đặt một que dài 5cm thẳng phía trước cách mắt
40cm thì que vừa vặn che lấp tháp truyền hình.
2. ( Dạng 2). Để đo khoảng cách từ địa điểm A đến địa điểm M trên đảo,
người ta gióng đường thẳng AM , lấy trên AM điểm H. Trên đường vuông góc
với AM tại H, xác định địa điểm B sao cho  ABM = 90 .
° Biết AH =15m AB = 60 .
m Tính độ dài AM . H B A ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
56. Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau: a) AB = 5c , m CD = 15c ; m b) AB = 45d , m CD = 150c ; m c) AB = 5C . D Hướng dẫn AB 5 1 AB 45 AB a) = = . b) = = 3. c) = 5. CD 15 3 CD 15 CD
57. Cho tam giác ABC ( AB < AC ). Vẽ đường cao AH , đường phân giác AD, đường
trung tuyến AM . Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H , D, M . Hướng dẫn A A C B D H C H M b) B D M a)
Điểm D nằm giữa hai điểm H và M (hình a), tương ứng với A
trường hợp B < 90 .°
( hình b) ứng với trường hợp  B > 90 ) °
58. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) vẽ các đường cao
BH ,CK (H 66SGK ) .
a) Chứng minh BK = CH. K H B C Hình 66 SGK
b) Chứng mih KH //BC
c) Cho biết BC = a; AB = AC = .
b TÍnh độ dài đoạn thẳng HK Hướng dẫn a) B ∆ KC = CH ∆
B ( cạnh huyền – góc nhọn) nên BK = CH. AB AC b) =
⇒ KH //BC ( Định lí Ta-lét đảo) BK CH a 2 AC CI b a c) 2 I ∆ AC# H ∆ BC ⇒ = ⇒ = ⇒ CH = . BC CH a CH 2b 2 2 2 − Do đó a 2b a
AH = AC − CH = b − = . 2b 2b 2 2 2b − a KH AH KH 2 // b KH BC ⇒ A ∆ KH# A ∆ BC ⇒ = ⇒ = BC AC a b a ( 2 2 2b − a ) ⇒ KH = . 2 2b
59. Hình thang ABCD ( AB//CD) có AC và BD cắt nhau tại O. AD và BC cắt nhau tại K.
Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD. Hướng dẫn
Gọi M và N theo thứ tự là giao điểm của OK với AB, C . D K AM MB KM AB / /CD ⇒ = ( cùng bằng ) (1) DN NC KN AM MB = OM ( cùng bằng ) (2) NC DN ON M A B
Nhân từng vế của (1) và (2) được : O 2 2 AM MB 2 2 =
⇒ AM = MB ⇒ AM = MB DN.NC NC.DN D C N
Từ (1) và AM = MB suy ra DN = NC
Vậy OK đi qua trung điểm của AB và . CD
60. Cho tam giác vuông  = °  ABC, A
90 , C = 30° và đường phân giác BD ( D thuộc cạnh AC) . AD a) Tính tỉ số ? CD
b) Cho biết độ dài AB = 12,5c ,
m hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC. Hướng dẫn AD AB 1 a) = = B CD BC 2 b) AB = 2,
A 5cm ⇒ BC = 25cm 2 2 2 2 2
AC = BC − AB = 25 −12, 5 = 468, 75
⇒ AC ≈ 21,65cm 30° C A D Chu vi A
∆ BC ≈ 59,15cm Diện tích 2 A
∆ BC ≈135,3cm 60.
Tứ giác ABCD có AB = 4c , m BC = 20c , m CD = 25c ,
m DA = 8cm, đường chéo BD = 10c . m
a) Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kịch thước đã cho ở trên.
b) Các tam giác ABD và BCD có đồng dạng với nhau không ? Vì sao?
c) Chứng minh rằng AB//C . D Hướng dẫn A B a) Vẽ B
∆ CD biết ba cạnh, sau đó vẽ A ∆ BD biết ba cạnh 20 8 10 b) A ∆ BD# B ∆ CD 25 C D
c) Từ câu b) suy ra  =  ABD
BDC. Do đó AB//CD B. BÀI TẬP BỔ SUNG
1. Tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác BD chia cạnh AC thành các đoạn thẳng DA = 3c , m DC = 5c .
m Tính các độ dài AC, BC ?
2. Tam giác ABC vuông tại A , AB = 15c , m AC = 20c ,
m đường phân giác B . D a)Tính độ dài AD
b) Gọi H là hình chiếu của A trên BC . Tính độ dài AH , . HB
c) Chứng minh rằng tam giác AID là tam giác cân.
3. Tam giác ABC vuông tại A , AB = 36c , m AC = 48c ,
m đường phân giác AK . Tia phân
giác của góc B cắt AK ở I . Qua I kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB và AC
theo hứ tự ở D và E. a) Tính độ dài BK. b) Tính tỉ số AI AK c) Tính độ dài DE.
4. Tam giác ABC vuông tại C , đường cao CH , AC = 7,5c , m BC = 100c .
m Gọi E là hình
chiếu của H trên AC, F là hình chiếu của H trên BC. Tính các độ dài HE, HF.
5. Tam giác ABC cân tại ,
A AB = AC = 100c , m BC = 120c ,
m các đường cao AD và BE cắt nhau ở H.
a) Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH.
b) Tính các đọ dài HD, BH. c) Tính độ dài HE.
6. Tam giác ABC cân tại A, BC = 5c , m AC = 20c .
m đường phân giác BD.
a) Tính các độ dài AD, DC. b) Tính độ dài B .
D ( Hướng dẫn : Kẻ DK ⊥ BC. Tính CK , DK ).
7. Tam giác ABC vuông tại ,
A AB = a, AC = 3 .
a TRên cạnh AC lấy các điểm D, E sao
cho AD = DE = EC. BD DC a) Tính các tỉ số , . DE DB
b) Chứng minh rằng tam giác BDE và CDB đồng dạng. c) Tính tổng  +  AEB ACB
8. Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H . Chứng minh hệ thức : . HA HD = .
HB HE = HC.HF.
9. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại .
G Qua điểm O thuộc
cạnh BC, vẽ tia OM song song với CE, ON song song với BD (M ∈ AB, N ∈ AC ). MN
cắt BD, CE theo thứ tự ở I , K. MH
a) Gọi H là giao điểm của OM và B . D Tính tỉ số . MO 1
b) Chứng minh rằng MI = MN. 3
c) Chứng minh rằng MI = IK = KN.
10. Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC .
Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác.
a)Chứng minh rằng OM ∆ N# HA ∆ .
B Tìm tỉ số đồng dạng.
b) So sánh độ dài AH và OM.
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng HA ∆ G# OM ∆ G
d) Chứng minh ba điểm H , G, O thẳng hàng và GH = 2 . GO