Lý thuyết Chương 4: Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên | Xác suất thống kê
Tóm tắt lý thuyết Chương 4 môn Xác suất thống kế về: Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên của trường Đại học Bách Khoa Hà Nội giúp bạn củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao cuối học phần. Mời bạn đọc đón xem!
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 2.8 K tài liệu
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Ch ’u ’ong 4 ’ U ´’ OC L ’ U .’ ONG THAM S ´ ˆ O C ’ UA D ¯ A . I L ’ U .’ ONG NG ˜ ˆ AU NHIˆ EN Gi ’a s ’’ u ¯ da.i l ’u ’o.ng ng ˜ ˆ au nhiˆ en X c´ o tham s ´ ˆ o θ ch ’ ua bi ´ ˆ et. ’ U ´’ oc l ’ u ’ o.ng tham s ´ ˆ o θ l` a d ’ u.a v` ao m ˜ ˆ au ng ˜ ˆ au nhiˆ
en Wx = (X1, X2, . . . , Xn) ta ¯ d ’ ua ra th ´ ˆ ong kˆ e ˆ θ = ˆ
θ(X1, X2, . . . , Xn) ¯ d ’ ˆ e ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng (d ’u. ¯ do´ an) θ. C´ o 2 ph ’ u ’ ong ph´ ap ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng: i) ’ U ´’ oc l ’ u ’ o.ng ¯ di ’ ˆ
em: ch ’i ra θ = θ0 n` ao ¯ d´ o ¯ d ’ ˆ e ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng θ. ii) ’ U ´’ oc l ’ u ’
o.ng kho ’ang: ch ’i ra mˆo.t kho ’ang (θ1, θ2) ch´’
ua θ sao cho P (θ1 < θ < θ2) =
1 − α cho tr ’u´’
oc (1 − α go.i l`a ¯ dˆ o. tin cˆa.y c’ua ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng). ’ 1. ´ C ´ AC PH ’ U ’ ONG PH ´ AP ’ U ’ OC L ’ U ’ ˆ . ONG D ¯ IEM 1.1 Ph ’ u ’ ong ph´ ap h` am ’ u´’ oc l ’ u ’ o.ng • Mˆ o t ’ a ph ’ u ’ ong ph´ ap Gi ’a s ’’ u c ` ˆ an ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng tham s ´ ˆ o θ c ’ua ¯ da.i l ’u ’o.ng ng ˜ ˆ au nhiˆ en X. T`’ u X ta lˆ a.p m ˜ ˆ au ng ˜ ˆ au nhiˆ
en WX = (X1, X2, . . . , Xn). Cho.n th ´ ˆ ong kˆ e ˆ θ = ˆ
θ(X1, X2, . . . , Xn). Ta go.i ˆ θ l` a h` am ’ u ´’ oc l ’ u ’ o . ng c ’ua X. Th ’
u.c hiˆe.n ph´ep th ’’u ta ¯ d ’ u ’ o.c m ˜ ˆ au cu. th ’ ˆ
e wx = (x1, x2, . . . , xn). Khi ¯ d´ o ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng ¯ di ’ ˆ em c ’ua θ l` a gi´ a tri. θ0 = ˆ
θ(x1, x2, . . . , xn). a) ’ U ´’ oc l ’ u ’ o.ng khˆong chˆe.ch 2 D ¯ i.nh ngh˜ ia 1 Th ´ ˆ ong kˆ e ˆ θ = ˆ
θ(X1, X2, . . . , Xn) ¯ d ’ u ’ o . c go . i l` a ’ u ´’ oc l ’ u ’ o . ng khˆ ong chˆ e.ch c ’ua tham s ´ ˆ o θ n ´ ˆ eu E(ˆ θ) = θ. ´ Y ngh˜ ia Gi ’a s ’’ u ˆ θ l` a ’ u ´’ oc l ’ u ’
o.ng khˆong chˆe.ch c’ua tham s ´ ˆ o θ. Ta c´ o E(ˆ
θ − θ) = E(ˆ
θ) − E(θ) = θ − θ = 0 69 70 Ch ’ u ’ ong 4. ’ U ´’ oc l ’ u ’ ong tham s ´ ˆ o c ’ua ¯ da.i l ’ u ’ ong ng ˜ ˆ au nhiˆ en Vˆ a.u ’u´’ oc l ’ u ’
o.ng khˆong chˆe.ch l`a ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng c´o sai s ´ ˆ o trung b`ınh b` ˘ ang 0. ⊕ Nhˆ a.n x´et i) Trung b`ınh c ’ua m ˜ ˆ au ng ˜ ˆ au nhiˆ en X l` a ’ u ´’ oc l ’ u ’
o.ng khˆong chˆe.ch c’ua trung b`ınh c’ua t ’ ˆ ong th ’ ˆ
e θ = E(X) = m v`ı E(X) = m. ii) Ph ’ u ’ ong sai ¯ di ` ˆ eu ch ’inh c ’ua m ˜ ˆ au ng ˜ ˆ au nhiˆ en S02 l` a ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng khˆong chˆe.ch c’ua ph ’ u ’ ong sai c ’ua t ’ ˆ ong th ’ ˆ
e σ2 v`ı E(S02) = σ2.
• V´ı du. 1 Chi ` ˆ eu cao c ’ua 50 cˆ ay lim ¯ d ’ u ’ o . c cho b ’’ oi Kho ’ang chi ` ˆ eu cao (m´ et) s ´ ˆ o cˆ ay lim x0 u i i niui niu2i
[6, 25 − 6, 75) 1 6,5 -4 -4 16
[6, 75 − 7, 25) 2 7,0 -3 -6 18
[7, 25 − 7, 75) 5 7,5 -2 -10 20
[7, 75 − 8, 25) 11 8 -1 -11 11
[8, 25 − 8, 75) 18 8,5 0 0 0
[8, 75 − 9, 25) 9 9 1 9 9
[9, 25 − 9, 75) 3 9,5 2 6 12
[9, 75 − 10, 2) 1 10 3 3 9 P 50 -13 95 Go.i X l`a chi ` ˆ eu cao c ’ua cˆ ay lim a) H˜ ay ch ’i ra ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng ¯ di ’ ˆ em cho chi ` ˆ
eu cao trung b`ınh c ’ua c´ ac cˆ ay lim. b) H˜ ay ch ’i ra ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng ¯ di ’ ˆ em cho ¯ dˆ
o. t ’an m´at c’ua c´ac chi ` ˆ eu cao cˆ ay lim so v ´’ oi chi ` ˆ eu cao trung b`ınh.
c) Go.i p = P (7, 75 ≤ X ≤ 8, 75). H˜ay ch ’i ra ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng ¯ di ’ ˆ em cho p. Gi ’ai Ta lˆ
a.p b ’ang t´ınh cho x v`a s2. x0 Th ’ u i − 8, 5 . c hiˆ e.n ph´ep ¯ d ’ ˆ oi bi ´ ˆ en ui =
(x0 = 8, 5; h = 0, 5) 0, 5 Ta c´
o u = −13 = −0, 26. Suy ra 50
x = 8, 5 + 0, 5.(−0, 26) = 8, 37 95
s2 = (0, 5)2.
− (−0, 26)2 = 0, 4581 ∼ (0, 68)2. 50 a) Chi ` ˆ eu cao trung b`ınh ¯ d ’ u ’ o.c ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng l`a 8,37 m´et. q b) D 50 ¯ ˆ o. t ’an m´at ¯ d ’ u ’ o.c ’u´’ oc l ’ u ’
o.ng l`a s = 0, 68 m´et ho˘a.c ˆs =
0, 4581 ∼ 0, 684 50−1 c) Trong 50 quan s´ at ¯ d˜ a cho c´ o 11 + 18 = 29 quan s´ at cho chi ` ˆ eu cao lim thuˆ o.c kho ’ang
[7, 5 − 8, 5) Vˆ a.y ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng ¯ di ’ ˆ em cho p l`
a p∗ = 29 = 0, 58. 50 1. C´ ac ph ’ u ’ ong ph´ ap ’ u ´’ oc l ’ u ’ ong ¯ di ’ ˆ em 71 b) ’ U ´’ oc l ’ u ’ o.ng hiˆe.u qu ’a ⊕ Nhˆ
a.n x´et Gi ’a s ’’u ˆθ l`a ’u´’ oc l ’ u ’
o.ng khˆong chˆe.ch c’ua tham s ´ ˆ o θ. Theo b ´ ˆ at ¯ d ’˘ ang th ´’ uc Tchebychev ta c´ o V ar(ˆ θ) P (|ˆ θ − E(ˆ
θ)| < ε) > 1 − ε2 V ar(ˆ θ) V`ı E(ˆ θ) = θ nˆ en P (|ˆ
θ − θ| < ε) > 1 − . ε2 Ta th ´ ˆ ay n ´ ˆ eu V ar(ˆ θ) c`
ang nh ’o th`ı P (|ˆ
θ − θ| < ε) c`ang g ` ˆ an 1. Do ¯ d´ o ta s˜ e cho.n ˆ θ v ´’ oi V ar(ˆ θ) nh ’o nh ´ ˆ at. 2 D ¯ i.nh ngh˜ ia 2 ’ U ´’ oc l ’ u ’ o . ng khˆ ong chˆ e.ch ˆ θ ¯ d ’ u ’ o . c go . i l` a ’ u ´’ oc l ’ u ’ o . ng c´ o hiˆ e.u qu ’a c’ua tham s ´ ˆ o θ n ´ ˆ eu V ar(ˆ
θ) nh ’o nh ´ ˆ at trong c´ ac ’ u ´’ oc l ’ u ’ o . ng c ’ua θ. Ch´ u ´ y Ng ’ u`’ oi ta ch ´’ ung minh ¯ d ’ u ’ o.c r`˘ang n ´ ˆ eu ˆ θ l` a ’ u ´’ oc l ’ u ’
o.ng hiˆe.u qu ’a c’ua θ th`ı ph ’u ’ong sai c ’ua n´ o l` a 1 V ar(ˆ θ) = (4.1)
n.E( ∂lnf(x,θ) )2 ∂θ trong ¯ d´ o f (x, θ) l` a h` am mˆ a.t ¯ dˆ o. x´ac su ´ ˆ at c ’ua ¯ da.i l ’u ’o.ng ng ˜ ˆ au nhiˆ en g ´ ˆ oc. Mo.i ’u´’ oc l ’ u ’
o.ng khˆong chˆe.ch θ luˆon c´o ph ’u ’ong sai l´’ on h ’ on V ar(ˆ
θ) trong (4.1). Ta go.i (4.1) l`a gi´’ oi ha . n Crame-Rao. ⊕ Nhˆ a.n x´et N ´ ˆ eu ¯ da.i l ’u ’o.ng ng ˜ ˆ au nhiˆ en g ´ ˆ
oc X ∈ N(µ, σ2 ) th`ı trung b`ınh m ˜ ˆ au X l` a n ’ u ´’ oc l ’ u ’
o.ng hiˆe.u qu ’a c’ua k`y vo.ng E(X) = µ. 1 n X σ2 Thˆ a.t vˆa.y, ta bi ´ ˆ et X = Xi ∈ N(µ, ) n n i=1 M˘
a.t kh´ac do X c´o phˆan ph ´ ˆ oi chu ’ ˆ an nˆ en n ´ ˆ eu f (x, µ) l` a h` am mˆ a.t ¯ dˆ o. c’ua Xi th`ı 1 f (x, µ) = √
e−(x−µ)2/2σ2 σ 2π ∂ x − µ Ta c´ o lnf (x, µ) = . ∂µ σ2 " #2 ∂lnf (x, µ) x − µ2 n Suy ra nE = nE = . Do ¯ d´
o V ar(X) ch´ınh b` ˘ ang nghi.ch ∂µ σ2 σ2 ¯ d ’ao σ2/n. Vˆ a.y X l`a ’u´’ oc l ’ u ’
o.ng hiˆe.u qu ’a c’ua µ. c) ’ U ´’ oc l ’ u ’ o.ng v˜’ ung 2 D ¯ i.nh ngh˜ ia 3 Th ´ ˆ ong kˆ e ˆ θ = ˆ
θ(X1, X2, . . . , Xn) ¯ d ’ u ’ o . c go . i l` a ’ u ´’ oc l ’ u ’ o . ng v ˜’ ung c ’ua tham s ´ ˆ o θ n ´ ˆ
eu ∀ε > 0 ta c´o lim P (|ˆ θ − θ| < ε) = 1 n→∞ 72 Ch ’ u ’ ong 4. ’ U ´’ oc l ’ u ’ ong tham s ´ ˆ o c ’ua ¯ da.i l ’ u ’ ong ng ˜ ˆ au nhiˆ en D ¯ i ` ˆ eu kiˆ e.n ¯ d ’u c ’ua ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng v˜’ ung N ´ ˆ eu ˆ θ l` a ’ u ´’ oc l ’ u ’
o.ng khˆong chˆe.ch c’ua θ v`a lim V ar(ˆ θ) = 0 th`ı ˆ θ l` a ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng v˜’ ung n→∞ c ’ua θ. 1.2 Ph ’ u ’ ong ph´ ap ’ u´’ oc l ’ u ’ o.ng h ’o.p l´y t ´ ˆ oi ¯ da Gi ’a s ’’
u WX = (X1, X2, . . . , Xn) l` a m ˜ ˆ au ng ˜ ˆ au nhiˆ en ¯ d ’ u ’ o.c ta.o nˆen t`’u ¯ da.i l ’u ’o.ng ng ˜ ˆ au nhiˆ en X c´ o m ˜ ˆ au cu. th ’ ˆ
e wx = (x1, x2, . . . , xn) v` a ˆ θ = ˆ
θ(X1, X2, . . . , Xn). X´ et h` am h` am h ’
o.p l´y L(x1, . . . , xn, θ) c’ua ¯ d ´ ˆ oi s ´ ˆ o θ x´ ac ¯ di.nh nh ’u sau: • N ´ ˆ eu X r`’ oi ra.c:
L(x1, . . . , xn, θ) = P (X1 = x1/θ, . . . , Xn = xn/θ) (4.2) n Y =
P (Xi = xi/θ) (4.3) i=1
L(x1, . . . , xn, θ) l` a x´ ac su ´ ˆ at ¯ d ’ ˆ e ta nhˆ a.n ¯ d ’ u ’ o.c m ˜ ˆ au cu. th ’ ˆ
e Wx = (x1, . . . , xn) • N ´ ˆ eu X liˆ en tu.c c´o h`am mˆa.t ¯ dˆ o. x´ac su ´ ˆ at f (x, θ)
L(x1, . . . , xn, θ) = f (x1, θ)f (x2, θ) . . . f (xn, θ)
L(x1, x2, . . . , xn, θ) l` a mˆ a.t ¯ dˆ o. c’ua x´ac su ´ ˆ at ta.i ¯ di ’ ˆ
em wx(x1, x2, . . . , xn) Gi´ a tri. θ0 = ˆ
θ(x1, x2, . . . , xn) ¯ d ’ u ’ o.c go.i l`a ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng h ’o.p l´y t ´ ˆ oi ¯ da n ´ ˆ eu ´’ ung v ´’ oi gi´ a
tri. n`ay c’ua θ h`am h ’o.p l´y ¯ da.t c ’u.c ¯ da.i. Ph ’ u ’ ong ph´ ap t`ım V`ı h` am L v` a lnL ¯ da.t c ’u.c ¯
da.i ta.i c`ung mˆo.t gi´a tri. θ nˆen ta x´et lnL thay v`ı x´et L. ∂lnL B ’ u ´’ oc 1: T`ım ∂θ ∂lnL B ’ u ´’ oc 2: Gi ’ai ph ’ u ’ ong tr`ınh (Ph ’ u ’ ong tr`ınh h ’ o ∂θ . p l´ y) Gi ’a s ’’ u ph ’ u ’ ong tr`ınh c´ o nghiˆ e.m l`a θ0 = ˆ
θ(x1, x2, . . . , xn) ∂2lnL B ’ u ´’ oc 3: T`ım ¯ da.o h`am c ´ ˆ ap hai ∂θ ∂2lnL N ´ ˆ eu ta.i θ0 m`a < 0 th`ı lnL ¯ da.t c ’u ∂θ . c ¯ da.i. Khi ¯ d´ o θ0 = ˆ
θ(x1, x2, . . . , xn) l` a ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng ¯ di ’ ˆ em h ’ o.p l´y t ´ ˆ oi ¯ da c ’ua θ. 2. Ph ’ u ’ ong ph´ ap kho ’ ang tin cˆ ay 73 2. PH ’ U ’ ONG PH ´ AP KHO ’ ANG TIN C ˆ A . Y 2.1 Mˆ o t ’a ph ’ u ’ ong ph´ ap Gi ’a s ’’ u t ’ ˆ ong th ’ ˆ e c´ o tham s ´ ˆ o θ ch ’ ua bi ´ ˆ
et. Ta t`ım kho ’ang (θ1, θ2) ch ´’ ua θ sao cho
P (θ1 < θ < θ2) = 1 − α cho tr ’u´’ oc. T`’ u ¯ da.i l ’u ’o.ng ng ˜ ˆ au nhiˆ en g ´ ˆ oc X lˆ a.p m ˜ ˆ au ng ˜ ˆ au nhiˆ
en WX = (X1, X2, . . . , Xn). Cho.n th ´ ˆ ong kˆ e ˆ θ = ˆ
θ(X1, X2, . . . , Xn) c´ o phˆ an ph ´ ˆ oi x´ ac su ´ ˆ at x´ ac ¯ di.nh d`u ch ’ua bi ´ ˆ et θ. V ´’ oi α1 kh´ a b´
e (α1 < α) ta t`ım ¯ d ’ u ’
o.c phˆan vi. θα c’ua ˆ θ (t ´’ uc l` a P (ˆ
θ < θ ) = α 1 α1 1). V ´’ oi α2 m`
a α1 + α2 = α kh´ a b´ e (th ’ u`’ ong l ´ ˆ
ay α ≤ 0, 05) ta t`ım ¯ d ’ u ’
o.c phˆan vi. θ1−α c’ua 2 ˆ θ (t ´’ uc l` a P (ˆ
θ < θ1−α ) = 1 − α 2 2). Khi ¯ d´ o P (θα ≤ ˆ θ ≤ θ ) = P (ˆ θ < θ ) − P (ˆ
θ < θ ) = 1 − α 1 1−α2 1−α2 α1
2 − α1 = 1 − α (∗) T`’ u (*) ta gi ’ai ra ¯ d ’ u ’ o.c θ. Khi ¯ d´ o (*) ¯ d ’ u ’ o.c ¯ d ’ ua v ` ˆ e da.ng P (ˆ
θ1 < θ < ˆ θ2) = 1 − α. V`ı x´ ac su ´ ˆ at 1 − α g ` ˆ an b` ˘ ang 1, nˆ en bi ´ ˆ en c ´ ˆ o (ˆ
θ1 < θ < ˆ θ2) h ` ˆ au nh ’ u x ’ay ra. Th ’ u.c hiˆe.n mˆ o.t ph´ep th ’’u ¯ d ´ ˆ oi v ´’ oi m ˜ ˆ au ng ˜ ˆ au nhiˆ en WX ta thu ¯ d ’ u ’ o.c m ˜ ˆ au cu. th ’ ˆ
e wx = (x1, x2, . . . , xn). T`’ u m ˜ ˆ au cu. th ’ ˆ e n` ay ta t´ınh ¯ d ’ u ’ o.c gi´a tri. θ1 = ˆ
θ1(x1, x2, . . . , xn), θ2 = ˆ
θ2(x1, x2, . . . , xn). Vˆ a.y v´’
oi 1 − α cho tr ’u´’ oc, qua m ˜ ˆ au cu. th ’ ˆ e wx ta t`ım ¯ d ’ u ’
o.c kho ’ang (θ1, θ2) ch´’ ua θ sao
cho P (θ1 < θ < θ2) = 1 − α.
• Kho ’ang (θ1, θ2) ¯ d ’ u ’
o.c go.i l`a kho ’ang tin cˆa.y. • 1 − α ¯ d ’ u ’ o.c go.i l`a ¯ dˆ o. tin cˆa.y c’ua ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng.
• |θ2 − θ1| ¯ d ’ u ’ o.c go.i l`a ¯ dˆ o. d`ai kho ’ang tin cˆa.y. 2.2 ’ U´’ oc l ’ u ’ o.ng trung b`ınh Gi ’a s ’’ u trung b`ınh c ’ua t ’ ˆ ong th ’ ˆ
e E(X) = m ch ’ ua bi ´ ˆ
et. Ta t`ım kho ’ang (m1, m2) ch ´’ ua
m sao cho P (m1 < m < m2) = 1 − α, v´’ oi 1 − α l`a ¯ dˆ o. tin cˆa.y cho tr ’u´’ oc. i) Tr ’ u`’ ong h ’ o.p 1
( Bi´ˆet V ar(X) = σ2
n ≥ 30 ho˘a.c (n < 30 nh ’ung X c´o phˆan ph ´ ˆ oi chu ’ ˆ an) Cho.n th ´ ˆ ong kˆ e √ (X − m) n U = (4.4) σ Ta th ´ ˆ
ay U ∈ N(0, 1). 74 Ch ’ u ’ ong 4. ’ U ´’ oc l ’ u ’ ong tham s ´ ˆ o c ’ua ¯ da.i l ’ u ’ ong ng ˜ ˆ au nhiˆ en
Cho.n c˘a.p α1 v`a α2 sao cho α1 + α2 = α v`a t`ım c´ac phˆan vi.
P (U < uα ) = α ) = 1 − α 1 1, P (U < uα2 2 Do phˆ
an vi. chu ’ˆan c´o t´ınh ch ´ ˆ at uα = −u nˆ en 1 1−α1
P (−u1−α < U < u ) = 1 − α (4.5) 1 1−α2 D ’
u.a v`ao (4.4) v`a gi ’ai hˆe. b ´ ˆ at ph ’ u ’ ong tr`ınh trong (4.5) ta ¯ d ’ u ’ o.c σ σ X − √ u1
< m < X + √ u1 n −α2 n −α1 D ’ ¯ ˆ e ¯ d ’ u ’ o.c kho ’ang tin cˆa.y ¯ d ´ ˆ oi x ´’
ung ta cho.n α1 = α2 = α v`a ¯ d˘ a th`ı 2
. t γ = 1 − α2 σ σ
X − √ uγ < m < X + √ uγ n n T´ om la.i, ta t`ım ¯ d ’ u ’
o.c kho ’ang tin cˆa.y (x − ε, x + ε), trong ¯ d´ o * x l` a trung b`ınh c ’ua m ˜ ˆ au ng ˜ ˆ au nhiˆ en. σ * ε = uγ √ (¯ dˆ o. ch´ınh x´ac) v´’ oi uγ l` a phˆ an vi. chu ’ ˆ an m ´’ uc γ = 1 − α n 2
• V´ı du. 2 Kh ´ ˆ oi l ’ u ’ o . ng s ’an ph ’ ˆ am l` a ¯ da . i l ’ u ’ o . ng ng ˜ ˆ au nhiˆ en X c´ o phˆ an ph ´ ˆ oi chu ’ ˆ an v ´’ oi ¯ dˆ o . lˆ e.ch tiˆeu chu ’ ˆ an σ = 1. Cˆ an th ’’ u 25 s ’an ph ’ ˆ am ta thu ¯ d ’ u ’ o . c k ´ ˆ et qu ’a sau X (kh ´ ˆ oi l ’ u ’ o . ng) 18 19 20 21 ni (s ´ ˆ o l ’ u ’ o . ng 3 5 15 2 H˜ ay ’ u ´’ oc l ’ u ’ o . ng trung b`ınh kh ´ ˆ oi l ’ u ’ o
. ng c ’ua s ’an ph ’ ˆ am v ´’ oi ¯ dˆ o . tin cˆ a . y 95 %. Gi ’ai xi ni xini 18 3 54 19 5 95 20 15 300 21 2 42 P 25 491 Ta c´
o x = 491 = 19, 64kg. 25 D ¯ ˆ
o. tin cˆa.y 1 − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 =⇒
γ = 1 − α = 0, 975 Ta t`ım 2 ¯ d ’ u ’
o.c phˆan vi. chu ’ˆan uγ = u0,975 = 1, 96. Do ¯ d´ o 1 1
ε = u0,975 √ = 1, 96. = 0.39 25 5
x1 = x − ε = 19, 6 − 0, 39 = 19, 25
x2 = x + ε = 19, 6 + 0, 39 = 20, 03 Vˆ
a.y kho ’ang tin cˆa.y l`a (19, 25; 20, 03). 2. Ph ’ u ’ ong ph´ ap kho ’ ang tin cˆ ay 75 ii) Tr ’ u`’ ong h ’ o.p 2 ( σ2 ch ’ua bi´ˆet n ≥ 30 Tr ’ u`’ ong h ’ o.p n`ay k´ıch th ’u´’ oc m ˜ ˆ au l ´’
on (n ≥ 30) c´o th ’ ˆ e d` ung ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng c’ua S02 thay cho σ2 ch ’ ua bi ´ ˆ
et (E(S02) = σ2), ta t`ım ¯ d ’ u ’
o.c kho ’ang tin cˆa.y (x − ε, x + ε) trong ¯ d´ o * x l` a trung b`ınh c ’ua m ˜ ˆ au cu. th ’ ˆ e. s0 * ε = uγ √ v ´’ oi uγ l` a phˆ an vi. chu ’ ˆ an m ´’
uc γ = 1 − α v`a s0 l`a ¯ dˆ o. lˆe.ch tiˆeu chu ’ ˆ an n 2 ¯ di ` ˆ eu ch ’inh c ’ua m ˜ ˆ au cu. th ’ ˆ e.
• V´ı du. 3 Ng ’u`’oi ta ti ´ ˆ en h` anh nghiˆ en c ´’ uu ’’ o mˆ o . t tr ’ u`’ ong ¯ da . i ho . c xem trong mˆ o . t th´ ang trung b`ınh mˆ o . t sinh viˆ en tiˆ eu h ´ ˆ et bao nhiˆ eu ti ` ˆ en go . i ¯ diˆ e.n thoa.i. L ´ ˆ ay mˆ o . t m ˜ ˆ au ng ˜ ˆ au nhiˆ en g ` ˆ om 59 sinh viˆ en thu ¯ d ’ u ’ o . c k ´ ˆ et qu ’a sau: 14 18 22 30 36 28 42 79 36 52 15 47 95 16 27 111 37 63 127 23 31 70 27 11 30 147 72 37 25 7 33 29 35 41 48 15 29 73 26 15 26 31 57 40 18 85 28 32 22 36 60 41 35 26 20 58 33 23 35 H˜ ay ’ u ´’ oc l ’ u ’ o . ng kho ’ang tin cˆ a . y 95% cho s ´ ˆ o ti ` ˆ en go . i ¯ diˆ
e.n thoa.i trung b`ınh h`ang th´ang c ’ua mˆ o . t sinh viˆ en. Gi ’ai T`’ u c´ ac s ´ ˆ o liˆ e.u ¯ d˜ a cho, ta c´ o n = 59; x = 41, 05; s0 = 27, 99 D ¯ ˆ
o. tin cˆa.y 1 − α = 0, 95
=⇒ 1 − α = 0, 975. Tra b ’ang phˆan vi 2 . chu ’ ˆ an ta c´ o
u0,975 = 1, 96. Do ¯ d´
o ε = 1, 96. 27,99 √ = 7, 13. 59
x − 7, 13 = 33, 92;
x + 7, 13 = 48, 18 Vˆ
a.y kho ’ang tin cˆa.y c’ua ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng l`a (33,92; 48,18). iii) Tr ’ u`’ ong h ’ o.p 3 ( σ2 ch ’ua bi´ˆet n < 30 v` a X c´ o phˆ an ph ´ ˆ oi chu ’ ˆ an √ (X − m) n Cho.n th ´ ˆ ong kˆ e T = ∈ T (n − 1). S0 76 Ch ’ u ’ ong 4. ’ U ´’ oc l ’ u ’ ong tham s ´ ˆ o c ’ua ¯ da.i l ’ u ’ ong ng ˜ ˆ au nhiˆ en S0 Ta t`ım ¯ d ’ u ’
o.c kho ’ang tin cˆa.y (x − ε, x + ε) trong ¯ d´ o ε = tγ √n v ´’ oi tγ l` a phˆ an vi. Student m´’
uc γ = 1 − α v´’ oi n − 1 bˆa 2 . c t ’ u. do v`a s0 l`a ¯ dˆ o. lˆe.ch tiˆeu chu ’ ˆ an ¯ di ` ˆ eu ch ’inh c ’ua m ˜ ˆ au cu. th ’ ˆ e.
• V´ı du. 4 Dioxide Sulfur v`a Oxide Nitrogen l`a c´ac h´oa ch ´ ˆ at ¯ d ’ u ’ o . c khai th´ ac t`’ u l` ong ¯ d ´ ˆ at. C´ ac ch ´ ˆ at n` ay ¯ d ’ u ’ o . c gi´ o mang ¯ di r ´ ˆ at xa, k ´ ˆ et h ’ o . p th` anh acid v` a r ’ oi tr ’’ o la . i m˘ a . t ¯ d ´ ˆ at ta . o th` anh m ’ ua acid. Ng ’ u`’ oi ta ¯ do ¯ dˆ o . ¯ dˆ a . m ¯ d˘ a
. c c ’ua Dioxide Sulfur (µg/m3) trong khu r`’ ung Bavarian c ’ua n ’ u ´’ oc D´ ¯ ’ uc. S ´ ˆ o liˆ e.u cho b ’’ oi b ’ang d ’ u ´’ oi ¯ dˆ ay: 52,7 43,9 41,7 71,5 47,6 55,1 62,2 56,5 33,4 61,8 54,3 50,0 45,3 63,4 53,9 65,5 66,6 70,0 52,4 38,6 46,1 44,4 60,7 56,4 H˜ ay ’ u ´’ oc l ’ u ’ o . ng ¯ dˆ o . ¯ dˆ a . m ¯ d˘ a
. c trung b`ınh c ’ua Dioxide Sulsfur v ´’ oi ¯ dˆ o . tin cˆ a . y 95%. Gi ’ai Ta t´ınh ¯ d ’ u ’
o.c x = 53, 92µg/m3,
s0 = 10, 07µg/m3. D ¯ ˆ
o. tin cˆa.y 1 − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 =⇒
1 − α = 0, 975. Tra b ’ang phˆan 2 vi. student m´’ uc 0,975 bˆ a.c n − 1 = 23 ta ¯ d ’ u ’
o.c t23;0,975 = 2, 069. Do ¯ d´
o ε = 2, 069 10,07 √ = 4, 25. 24
x − ε = 53, 92 − 4, 25 = 49, 67,
x + ε = 53, 92 + 4, 25 = 58, 17 Vˆ
a.y kho ’ang tin cˆa.y l`a (49,67; 58,17). Ng ’ u`’ oi ta bi ´ ˆ et ¯ d ’ u ’ o.c n ´ ˆ eu ¯ dˆ o. ¯ dˆ a.m ¯ d˘
a.c c’ua Dioxide Sulfur trong mˆo.t khu v ’u.c l´’ on h ’ on 20µg/m3 th`ı mˆ oi tr ’ u`’ ong trong khu v ’
u.c bi. ph´a hoa.i b ’’oi m ’ua acid. Qua v´ı du. n`ay c´ac nh` a khoa ho.c ¯ d˜ a t`ım ra ¯ d ’ u ’
o.c nguyˆen nhˆan r`’ung Bavarian bi. ph´a hoa.i tr ` ˆ am tro.ng n˘am 1983 l` a do m ’ ua acid . Ch´ u ´ y (X´ ac ¯ di .nh k´ ıch th ’ u ´’ oc m ~ ^ au) N ´ ˆ eu mu ´ ˆ on ¯ dˆ
o. tin cˆa.y 1 − α v`a ¯ dˆ o. ch´ınh x´ac ε ¯ da.t ’’o m´’ uc cho tr ’ u ´’ oc th`ı ta c ` ˆ an x´ ac ¯ di.nh k´ıch th ’u´’ oc n c ’ua m ˜ ˆ au. i) Tr ’ u`’ ong h ’ o . p bi ´ ˆ
et V ar(X) = σ2: T`’ u cˆ ong th ´’
uc ε = u2 σ √ ta suy ra γ n σ2
n = u2γ ε2 ii) Tr ’ u`’ ong h ’ o . p ch ’ ua bi ´ ˆ et σ2: 2. Ph ’ u ’ ong ph´ ap kho ’ ang tin cˆ ay 77 D ’ u.a v`a m ˜ ˆ au cu. th ’ ˆ e ¯ d˜ a cho (n ´ ˆ eu ch ’ ua c´ o m ˜ ˆ au th`ı ta c´ o th ’ ˆ e ti ´ ˆ en h` anh l ´ ˆ ay m ˜ ˆ au l ` ˆ an ¯ d ` ˆ au v ´’ oi k´ıch th ’ u ´’ oc n1 ≥ 30) ¯ d ’ ˆ e t´ınh s02. T`’ u ¯ d´ o x´ ac ¯ di.nh ¯ d ’ u ’ o.c s02
n = u2γ ε2 K´ıch th ’ u ´’ oc m ˜ ˆ au n ph ’ai l` a s ´ ˆ o nguyˆ en. N ´ ˆ
eu khi t´ınh n theo c´ ac cˆ ong th ´’ uc trˆ en ¯ d ’ u ’ o.c gi´
a tri. khˆong nguyˆen th`ı ta l ´ ˆ ay ph ` ˆ an nguyˆ en c ’ua n´ o cˆ o.ng thˆem v´’ oi 1. " # " # σ2 s02 T ´’ uc l` a n = u2 + 1 ho˘ a u2 + 1. γ . c n = ε2 γ ε2 2.3 ’ U´’ oc l ’ u ’ o.ng t ’y lˆe. Gi ’a s ’’ u t ’ ˆ ong th ’ ˆ e ¯ d ’ u ’
o.c chia ra l`am hai loa.i ph ` ˆ an t ’’ u. T ’y lˆ e. ph ` ˆ an t ’’ u c´ o t´ınh ch ´ ˆ at A l` a p ch ’ ua bi ´ ˆ et. ’ U ´’ oc l ’ u ’
o.ng t ’y lˆe. l`a ch ’ira kho ’ang (f1, f2) ch´’
ua p sao cho P (f1 < p < f2) = 1−α. D ’ ¯ ˆ e cho viˆ e.c gi ’ai b`ai to´an ¯ d ’ u ’ o.c ¯ d ’ on gi ’an, ta cho.n m ˜ ˆ au v ´’ oi k´ıch th ’ u ´’ oc n kh´ a l ´’ on. Go.i X l`a s ´ ˆ o ph ` ˆ an t ’’ u c´ o t´ınh ch ´ ˆ at A khi l ´ ˆ ay ng ˜ ˆ au nhiˆ en mˆ o.t ph ` ˆ an t ’’ u t`’ u t ’ ˆ ong th ’ ˆ e th`ı X l` a ¯ da.i l ’u ’o.ng ng ˜ ˆ au nhiˆ en c´ o phˆ an ph ´ ˆ oi x´ ac su ´ ˆ at X 0 1 P 1-p p
Go.i Xi (i = 1, n) l`a s ´ ˆ o ph ` ˆ an t ’’ u c´ o t´ınh ch ´ ˆ at A trong l ` ˆ an l ´ ˆ ay th ´’ u i. 1 n X Ta c´ o X = Xi ch´ınh l` a t ` ˆ an su ´ ˆ at ’ u ´’ oc l ’ u ’ o n . ng ¯ di ’ ˆ
em c ’ua p = E(X). M˘ a.t kh´ac, theo i=1 p(1 − p) ch ’ u ’ ong 2, nX c´ o phˆ an ph ´ ˆ oi nhi. th´’
uc B(n, p). T`’ u ¯ d´
o E(X) = p v` a V ar(X) = . n √ (f − p) n Cho.n th ´ ˆ ong kˆ e U = q , trong ¯ d´ o f l` a t ’y lˆ e. c´ac ph ` ˆ an t ’’ u c ’ua m ˜ ˆ au c´ o t´ınh p(1 − p) ch ´ ˆ at A. Khi n kh´ a l ´’
on th`ı U ∈ N(0, 1). Gi ’ai quy ´ ˆ et b` ai to´ an t ’ u ’ ong t ’ u. nh ’u ’’o ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng trung b`ınh, thay X b ’’
oi f , σ2 b ’’
oi f (1 − f)... ta ¯ d ’ u ’ o.c s s f (1 − f) f (1 − f) f − uγ
< p < f + uγ n n T´ om la.i, ta x´ac ¯ di.nh ¯ d ’ u ’
o.c kho ’ang tin cˆa.y (f1, f2) = (f − ε, f + ε), trong ¯ d´ o f l` a t ’y lˆ e. c´ac ph ` ˆ an t ’’ u c ’ua m ˜ ˆ au c´ o t´ınh ch ´ ˆ at A s f(1 − f) ε = uγ (¯ dˆ o. ch´ınh x´ac) (4.6) n 78 Ch ’ u ’ ong 4. ’ U ´’ oc l ’ u ’ ong tham s ´ ˆ o c ’ua ¯ da.i l ’ u ’ ong ng ˜ ˆ au nhiˆ en v ´’ oi uγ l` a phˆ an vi. chu ’ ˆ an m ´’ uc 1 − α. 2 T`’ u (4.6) ta c´ o √ ε n
uγ = qf(1 − f) f (1 − f)
n = u21−α2 ε2 Ch´ u ´ y Ta c´ o th ’ ˆ e t`ım kho ’ang tin cˆ a.y c’ua p b`˘ ang c´ ach kh´ ac nh ’ u sau: T`’ u kho ’ang tin cˆ a.y c’ua p: s s s p(1 p(1 p(1 − p) − p) − p) f − u γ
< p < f + uγ hay |f − p| < uγ n n n Gi ’ai b ´ ˆ at ph ’ u ’ ong tr`ınhn` ay ta t`ım ¯ d ’ u ’ o.c q q
nf + 0, 5u2 0, 25u2
nf + 0, 5u2 + 0, 25u2 γ −
γ − nf (1 − f ) γ
γ − nf (1 − f ) p1 = , p2 = n + u2 n + u2 γ γ Khi ¯ d´ o (p1, p2) l` a kho ’ang tin cˆ a.y c’ua p v´’ oi ¯ dˆ o. tin cˆa.y 1 − α.
• V´ı du. 5 Ki ’ ˆ
em tra 100 s ’an ph ’ ˆ am trong lˆ o h` ang th ´ ˆ ay c´ o 20 ph ´ ˆ e ph ’ ˆ am. i) H˜ ay ’ u ´’ oc l ’ u ’ o . ng t ’y lˆ e. ph ´ ˆ e ph ’ ˆ am c´ o ¯ dˆ o . tin cˆ a . y 99 %. ii) N ´ ˆ eu ¯ dˆ o . ch´ınh x´
ac ε = 0, 04 th`ı ¯ dˆ o . tin cˆ a . y c ’ua ’ u ´’ oc l ’ u ’ o . ng l` a bao nhiˆ eu? iii) N ´ ˆ eu mu ´ ˆ on c´ o ¯ dˆ o . tin cˆ a . y 99% v` a ¯ dˆ o . ch´ınh x´
ac 0,04 th`ı ph ’ai ki ’ ˆ em tra bao nhiˆ eu s ’an ph ’ ˆ am? Gi ’ai i) n = 100, f = 20 = 0.2 100 √ X´ et U = (f−p) 100 √ ∈ N(0, 1). pq Ta c´ o α 1 − α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ 1 −
= 1 − 0, 005 = 0, 995 2
√0, 2.0, 8 0, 4
ε = u0,995 √ = 2, 58. = 0, 1 100 10
f1 = f − ε = 0, 2 − 0, 1 = 0, 1
f2 = f + ε = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3 2. Ph ’ u ’ ong ph´ ap kho ’ ang tin cˆ ay 79 Vˆ
a.y kho ’ang tin cˆa.y l`a (0, 1; 0, 3). √ 0, 04. 100
ii) u1−α = √ = 1 2 0, 2.0, 8 T`ım ¯ d ’ u ’ o.c α 1 − = 0, 84 =⇒ 1 − α = 0, 68 2 Vˆ a.y ¯ dˆ o. tin cˆa.y l`a 68%.
iii)1 −α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒
1 − α = 0, 995. T`ım ¯ d ’ u ’ o 2
. c u0,995 = 2, 576. Do ¯ d´ o
(2, 576)2.0, 2.0, 8 n ≈
= 6, 635.100 = 663, 5 (0, 04)2 Vˆ a.y n = 664 2.4 ’ U´’ oc l ’ u ’ o.ng ph ’u ’ong sai Gi ’a s ’’ u ¯ da.i l ’u ’o.ng ng ˜ ˆ au nhiˆ en X c´ o phˆ an ph ´ ˆ oi chu ’ ˆ an v ´’ oi ph ’ u ’
ong sai V ar(X) = σ2 ch ’ ua bi ´ ˆ
et. Cho 0 < α < 0.05. ’ U ´’ oc l ’ u ’
o.ng ph ’u ’ong sai V ar(X) l`a ch ’i ra kho ’ang (σ2, σ2) 1 2 ch ´’
ua σ2 sao cho P (σ2 < σ2 < σ2) = 1 1 2 − α. T`’ u X lˆ a.p m ˜ ˆ au ng ˜ ˆ au nhiˆ
en WX = (X1, X2, . . . , Xn) v` a x´ et c´ ac tr ’ u`’ ong h ’ o.p a) Bi ´ ˆ
et E(X) = µ. n X (X Cho i − µ)2 . n th ´ ˆ ong kˆ e χ2 = σ2 i=1 Ta th ´ ˆ ay χ2 c´ o phˆ an ph ´ ˆ oi ”khi-b`ınh ph ’ u ’ ong” v ´’ oi n bˆ a.c t ’u. do.
Cho.n α1 v`a α2 kh´a b´e sao cho α1 + α2 = α. Ta t`ım ¯ d ’ u ’
o.c c´ac phˆan vi. χ2 v`a χ2 α1 1−α2 th ’oa m˜ an
P (χ2 < χ2 < χ2 ) = 1 α − α (4.7) 1 1−α2 Thay bi ’ ˆ eu th ´’ uc c ’ua χ2 v` ao (4.7) v` a gi ’ai ra ta ¯ d ’ u ’ o.c P P (Xi − µ)2 (X < σ2 < i − µ)2 χ2 χ2 1−α2 α1
Cho.n α1 = α2 = α th`ı 2 P P (Xi − µ)2 (X < σ2 < i − µ)2 (4.8) χ2 χ2 1− α α 2 2 P V ´’ oi m ˜ ˆ au cu. th ’ ˆ
e wx = (x1, x2, . . . , xn), t´ınh c´ ac t ’ ˆ ong
(xi − µ)2 v`a d ’u.a v`ao (4.8) ta t`ım ¯ d ’ u ’
o.c kho ’ang tin cˆa.y (σ2, σ2), trong ¯ d´ o 1 2 80 Ch ’ u ’ ong 4. ’ U ´’ oc l ’ u ’ ong tham s ´ ˆ o c ’ua ¯ da.i l ’ u ’ ong ng ˜ ˆ au nhiˆ en P(x σ2 = i − µ)2ni 1
χ2n,1−α2 P(x σ2 = i − µ)2ni 2 χ2n,α2 v ´’ oi χ2 l` a phˆ an vi v ´’ oi n bˆ a n,1− α
. ”khi−b`ınh ph ’ u ’ ong” m ´’ uc 1 − α . c t ’ u. do. 2 2 χ2 l` a phˆ an vi v ´’ oi n bˆ a n, α
. ”khi−b`ınh ph ’ u ’ ong” m ´’ uc α . c t ’ u. do. 2 2 b) Ch ’ ua bi ´ ˆ et E(X). (n − 1)S2 Cho.n th ´ ˆ ong kˆ e χ2 = σ2 Th ´ ˆ ong kˆ e n` ay c´ o phˆ an ph ´ ˆ
oi ”khi−b`ınh ph ’u ’ong v´’
oi n − 1 bˆa.c t ’u. do. T ’u ’ong t ’u. nh ’u trˆ en ta t`ım ¯ d ’ u ’
o.c kho ’ang tin cˆa.y (σ2, σ2) v´ 1 2 ’ oi (n − 1)s2 (n − 1)s2 σ2 = ; σ2 = 1 χ2 2 χ2
n−1,1− α n−1, α 2 2
• V´ı du. 6 M´’ uc hao ph´ı nhiˆ en liˆ e.u cho mˆo.t ¯ d ’ on vi. s ’an ph ’ ˆ am l` a ¯ da . i l ’ u ’ o . ng ng ˜ ˆ au nhiˆ en c´ o phˆ an ph ´ ˆ oi chu ’ ˆ an. X´ et trˆ en 25 s ’an ph ’ ˆ am ta thu ¯ d ’ u ’ o . c k ´ ˆ et qu ’a sau: X 19,5 20 20,5 ni 5 18 2 H˜ ay ’ u ´’ oc l ’ u ’ o . ng ph ’ u ’ ong sai v ´’ oi ¯ dˆ o . tin cˆ a . y 90 % trong c´ ac tr ’ u`’ ong h ’ o . p sau: i) Bi ´ ˆ et k` y vo . ng µ = 20g. ii) Ch ’ ua bi ´ ˆ et k` y vo . ng. Gi ’ai i) Bi ´ ˆ et µ = 20g. xi ni
xi − 20 (xi − 20)2 (xi − 20)2ni 19,5 5 -0,5 0,25 1,25 20 18 0 0 0 20,5 2 0,5 0,25 0,5 P n=25 1,75 α α D ¯ ˆ
o. tin cˆa.y 1 − α = 0, 9 =⇒ α = 0, 1 =⇒ = 0, 05 =⇒ 1 − = 0.95 2 2 Tra b ’ang phˆ an vi. χ2 v´’ oi n = 25 bˆ a.c t ’u. do ta ¯ d ’ u ’ o.c χ2 = 14, 6; χ2 = 37, 7 25;0,05 25;0,95 3. B` ai t .ˆ ap 81 Do ¯ d´ o P(x 1, 75 σ2 = i − 20)2ni = = 0, 046 1 χ2 37, 7 25;0,95 P(x 1, 75 σ2 = i − 20)2ni = = 0, 12 2 χ2 14, 6 25;0,05 Vˆ
a.y kho ’ang tin cˆa.y l`a (0, 046; 0, 12). ii) Khi ch ’ ua bi ´ ˆ et k`
y vo.ng ta t`ım s02 = 0, 0692. Tra b ’ang phˆ
an vi. khi b`ınh ph ’u ’ong v´’ oi bˆ
a.c t ’u. do n − 1 = 24. χ2 = 13, 85; χ2 = 36, 4 0,05 0,95 v` a t´ınh 24s02 24 × 0, 0692 σ2 = = = 0, 046 1 χ2 36, 4 0,95 24s02 24 × 0, 0692 σ2 = = = 0, 12 2 χ2 13, 85 0,05 Vˆ
a.y kho ’ang tin cˆa.y l`a (0, 046; 0, 12). 3. B ` AI T ˆ A . P 1. Mˆ o.t m ˜ ˆ au c´
ac tro.ng l ’u ’o.ng t ’u ’ong ´’ ung l` a 8,3; 10,6; 9,7; 8,8; 10,2 v` a 9,4 kg. X´ ac ¯ di.nh ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng khˆong chˆe.ch c’ua a) trung b`ınh c ’ua t ’ ˆ ong th ’ ˆ e, b) ph ’ u ’ ong sai c ’ua t ’ ˆ ong th ’ ˆ e. 2. Mˆ o.t m ˜ ˆ au ¯ dˆ o. ¯ do 5 ¯ d ’ u`’
ong k´ınh c ’ua qu ’a c ` ˆ au l` a 6,33; 6,37; 6,36; 6,32 v` a 6,37cm. X´ ac ¯ di.nh ’u´’ oc l ’ u ’
o.ng khˆong chˆe.ch c’ua trung b`ınh v`a ph ’u ’ong sai c’ua ¯ d ’ u`’ ong k´ınh qu ’a c ` ˆ au. 3. D ’ ¯ ˆ e x´ ac ¯ di.nh ¯ dˆ
o. ch´ınh x´ac c’ua mˆo.t chi ´ ˆ ec cˆ an ta. khˆong c´o sai s ´ ˆ o hˆ e. th ´ ˆ ong, ng ’ u`’ oi ta ti ´ ˆ en h` anh 5 l ` ˆ an cˆ an ¯ dˆ
o.c lˆa.p (c`ung mˆo.t vˆa.t), k ´ ˆ et qu ’a nh ’ u sau: 94, 1 94, 8 96, 0 95, 2 kg X´ ac ¯ di.nh ’u´’ oc l ’ u ’
o.ng khˆong chˆe.ch c’ua ph ’u ’ong sai s ´ ˆ o ¯ do trong hai tr ’ u`’ ong h ’ o.p: a) bi ´ ˆ et kh ´ ˆ oi l ’ u ’
o.ng vˆa.t cˆan l`a 95kg; b) khˆ ong bi ´ ˆ et kh ´ ˆ oi l ’ u ’ o.ng vˆa.t cˆan. 4. D ¯ ’ u`’ ong k´ınh c ’ua mˆ o.t m ˜ ˆ au ng ˜ ˆ au nhiˆ en c ’ua 200 viˆ en bi ¯ d ’ u ’ o.c s ’an xu ´ ˆ at b ’’ oi mˆ o.t m´ay trong mˆ o.t tu ` ˆ an c´
o trung b`ınh 20,9mm v` a ¯ dˆ o. lˆe.ch tiˆeu chu ’ ˆ an 1,07mm. ’ U ´’ oc l ’ u ’ o.ng trung b`ınh ¯ d ’ u`’ ong k´ınh c ’ua viˆ en bi v ´’ oi ¯ dˆ
o. tin cˆa.y (a) 95%, (b) 99%. 82 Ch ’ u ’ ong 4. ’ U ´’ oc l ’ u ’ ong tham s ´ ˆ o c ’ua ¯ da.i l ’ u ’ ong ng ˜ ˆ au nhiˆ en 5. D ’ ¯ ˆ e kh ’ao s´ at s ´’ uc b ` ˆ
en chi.u l ’u.c c’ua mˆo.t loa.i ´ ˆ ong cˆ ong nghiˆ e.p ng ’u`’oi ta ti ´ ˆ en h` anh ¯ do 9 ´ ˆ ong v` a thu ¯ d ’ u ’ o.c c´ac s ´ ˆ o liˆ e.u sau 4500 6500 5000 5200 4800 4900 5125 6200 5375 T`’ u kinh nghiˆ e.m ngh ` ˆ e nghiˆ e.p ng ’u`’oi ta bi ´ ˆ et r` ˘ ang s ´’ uc b ` ˆ en ¯ d´ o c´ o phˆ an ph ´ ˆ oi chu ’ ˆ an v ´’ oi ¯ dˆ
o. lˆe.ch chu ’ˆan σ = 300. X´ac ¯
di.nh kho ’ang tin cˆa.y 95% cho s´’ uc b ` ˆ en trung b`ınh c ’ua loa.i ´ ˆ ong trˆ en.
6. Ta.i mˆo.t v`ung r`’ung nguyˆen sinh, ng ’u`’oi ta ¯ deo v` ong cho 1000 con chim. Sau mˆ o.t th`’ oi gian, b ´ ˘ at la.i 200 con th`ı th ´ ˆ ay c´ o 40 con c´ o ¯ deo v` ong. Th ’’ u ’ u ´’ oc l ’ u ’ o.ng s ´ ˆ o chim trong v` ung r`’ ung ¯ d´ o v ´’ oi ¯ dˆ o. tin cˆa.y 99%. 7. Bi ´ ˆ et t ’y lˆ e. n ’ay m ` ˆ am c ’ua mˆ o.t loa.i ha.t gi ´ ˆ ong l` a 0,9. V ´’ oi ¯ dˆ o. tin cˆa.y 0,95, n ´ ˆ eu ta mu ´ ˆ on ¯ dˆ
o. d`ai kho ’ang tin cˆa.y c’ua t ’y lˆe. n ’ay m ` ˆ am khˆ ong v ’ u ’ o.t qu´a 0,02 th`ı c ` ˆ an ph ’ai gieo bao nhiˆ eu ha.t? 8. K ´ ˆ et qu ’a quan s´ at v ` ˆ e h` am l ’ u ’
o.ng vitamine C c’ua mˆo.t loa.i tr´ai cˆay cho ’’o b ’ang sau: H` am l ’ u ’ o.ng vitamine C (%) S ´ ˆ o tr´ ai 6 − 7 5 7 − 8 10 8 − 9 20 9 − 10 35 10 − 11 25 11 − 12 5 a) H˜ ay ’ u ´’ oc l ’ u ’
o.ng h`am l ’u ’o.ng vitamine C trung b`ınh trong mˆo.t tr´ai v´’ oi ¯ dˆ o. tin cˆa.y 95%. b) Qui ’ u ´’ oc nh ˜’ ung tr´ ai c´ o h` am l ’ u ’
o.ng vitamine C trˆen 10% l`a tr´ai loa.i A. ’ U ´’ oc l ’ u ’ o.ng t ’y lˆ e. tr´ai loa.i A v´’ oi ¯ dˆ o. tin cˆa.y 90%. c) Mu ´ ˆ on ¯ dˆ
o. ch´ınh x´ac khi ’u´’ oc l ’ u ’
o.ng h`am l ’u ’o.ng vitamine C trung b`ınh l`a 0,1 v`a ¯ dˆ
o. ch´ınh x´ac khi ’u´’ oc l ’ u ’
o.ng t ’y lˆe. tr´ai loa.i A l`a 5% v´’ oi c` ung ¯ dˆ o. tin cˆa.y 95% th`ı c ` ˆ an quan s´ at thˆ em bao nhiˆ eu tr´ ai n ˜’ ua? A 9. D ¯ o ¯ d ’ u`’
ong k´ınh c ’ua 100 chi ti ´ ˆ et m´ ay do mˆ
o.t phˆan x ’u ’’ong s ’an xu ´ ˆ at, ta ¯ d ’ u ’ o.c k ´ ˆ et qu ’a cho ’’ o b ’ang sau: D ¯ ’ u`’ ong k´ınh (mm) S ´ ˆ o chi ti ´ ˆ et m´ ay 9,85 8 9,90 12 9,95 20 10,00 30 10,05 14 10,10 10 10,15 6 3. B` ai t .ˆ ap 83 Theo qui ¯ di.nh, nh˜’ ung chi ti ´ ˆ et c´ o ¯ d ’ u`’ ong k´ınh t`’ u 9, 9mm ¯ d ´ ˆ en 10, 1mm l` a nh ˜’ ung chi ti ´ ˆ et ¯ da.t tiˆeu chu ’ ˆ an k˜ y thuˆ a.t. a) ’ U ´’ oc l ’ u ’
o.ng t ’y lˆe. v`a ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng trung b`ınh ¯ d ’ u`’ ong k´ınh c ’ua nh ˜’ ung chi ti ´ ˆ et ¯ da.t tiˆeu chu ’ ˆ an v ´’ oi c` ung ¯ dˆ o. tin cˆa.y 95%? b) D ’ ¯ ˆ e ¯ dˆ
o. ch´ınh x´ac khi ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng ¯ d ’ u`’
ong k´ınh trung b`ınh c ’ua nh ˜’ ung chi ti ´ ˆ et ¯ da.t tiˆ eu chu ’ ˆ an l` a 0, 02mm v` a ¯ dˆ
o. ch´ınh x´ac khi ’u´’ oc l ’ u ’ o.ng t ’y lˆe. chi ti ´ ˆ et ¯ da.t tiˆeu chu ’ ˆ an l` a 5% v ´’ oi c` ung ¯ dˆ o. tin cˆa.y 99% th`ı c ` ˆ an ¯ do thˆ em ´ıt nh ´ ˆ at bao nhiˆ eu chi ti ´ ˆ et n ˜’ ua? 10. D ¯ ˆ
o. d`ai c’ua b ’an kim loa.i tuˆan theo luˆa.t chu ’ ˆ an. D ¯ o 10 b ’an kim loa.i ¯ d´ o ta thu ¯ d ’ u ’ o.c s ´ ˆ o liˆ e.u sau: 4, 1 3, 9 4, 7 4, 4 4, 0 3, 8 4, 4 4, 2 4, 4 5, 0 H˜ ay x´ ac ¯ di.nh a) Kho ’ang tin cˆ a.y 90% cho ¯ dˆ o. d`ai trung b`ınh trˆen; b) Kho ’ang tin cˆ ajy 95% cho ph ’ u ’ ong sai c ’ua ¯ dˆ o. d`ai ¯ d´ o. 11. Ng ’ u`’ oi ta ¯ do chi ` ˆ eu sˆ au c ’ua bi ’ ˆ en, sai lˆ e.ch ng ˜ ˆ au nhiˆ en ¯ d ’ u ’ o.c gi ’a thi ´ ˆ et phˆ an ph ´ ˆ oi theo qui luˆ a.t chu ’ˆan v´’ oi ¯ dˆ o. lˆe.ch tiˆeu chu ’ ˆ an l` a 20m. C ` ˆ an ¯ do bao nhiˆ eu l ` ˆ an ¯ d ’ ˆ e x´ ac ¯ di.nh chi ` ˆ eu sˆ au c ’ua bi ’ ˆ en v ´’ oi sai lˆ
e.ch khˆong qu´a 15m v`a ¯ dˆ o. tin cˆa.y ¯ da.t ¯ d ’ u ’ o.c 95%? 12. Theo d˜ oi s ´ ˆ o h` ang b´ an ¯ d ’ u ’
o.c trong mˆo.t ng`ay ’’o mˆo.t c ’’ua h`ang, ta ¯ d ’ u ’ o.c k ´ ˆ et qu ’a ghi ’’o b ’ang sau: S ´ ˆ o h` ang b´ an ¯ d ’ u ’ o.c (kg/ng`ay) S ´ ˆ o ng` ay 1900 − 1950 2 1950 − 2000 10 2000 − 2050 8 2050 − 2100 5 H˜ ay ’ u ´’ oc l ’ u ’
o.ng ph ’u ’ong sai c’ua l ’u ’o.ng h`ang b´an ¯ d ’ u ’ o.c m ˜ ˆ oi ng` ay v ´’ oi ¯ dˆ o. tin cˆa.y 95%? (cho bi ´ ˆ et α1 = α2). • 2 TR ’ A L `’ OI B ` AI T ˆ A . P
1. a) 9, 5kg, b) 0, 74kg2
2. x = 6, 35cm, s2 = 0, 00055cm2. 3. a) Trung b`ınh kh ´ ˆ oi l ’ u ’
o.ng m = 95kg. ’ U ´’ oc l ’ u ’
o.ng khˆong chˆe.ch c’ua ph ’u ’ong sai l`a 1 n X 1 5 X (xi − m)2 =
(xi − 95)2 = 0, 41 n 5 i=1 i=1 1 n X 1 5 X b) X = xi = xi = 95, 5 n 5 i=1 i=1 84 Ch ’ u ’ ong 4. ’ U ´’ oc l ’ u ’ ong tham s ´ ˆ o c ’ua ¯ da.i l ’ u ’ ong ng ˜ ˆ au nhiˆ en ’ U ´’ oc l ’ u ’
o.ng khˆong chˆe.ch c’ua ph ’u ’ong sai l`a 1 n X 1 5 X s2 = (xi − X)2 =
(xi − 95, 5)2 = 0, 7rff n − 1 4 i=1 i=1
4. (a) 20, 9 ± 0, 148mm, (b) 20, 9 ± 0, 195mm.
5. (5092, 89 ; 5484, 89).
6. 0, 1271 < p < 0, 2729 T ’ ˆ ong s ´ ˆ o chim trong v` ung r`’ ung n` ˘
am trong kho ’ang ( 1000 , 1000 ) 0,2729 0,1271 q
7. 2 × 1, 96 0,9×0,1 < 0, 02. Gi ’ai b ´ ˆ at ph ’ u ’ ong tr`ınh ta c´ o n > 3457. n
8. a) 9, 06; 9, 54), c) 467 tr´ ai.
9. a) (0, 792 < p < 0, 928); (9, 982 < m < 10, 006). b) 221.
10. a) (4, 09 ; 4, 49), b) (0, 064 ; 0, 456). 11. 7 l ` ˆ an.
12. (1253, 8 < σ2 < 3983, 8).