Lý thuyết và bài tập ma trận, định thức - Toán cao cấp c2 | Trường Đại Học Duy Tân

Ma trận bằng nhau: Cho hai ma trận cùng cỡ m x n : A = [aij]mn , B = [bij]mn. Hai ma trận A, B được gọi là bằng nhau nếu aij = bij , i, j: 1,im;1,jn. Kí hiệu: A = B. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

55 28 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Toán cao cấp c2 (mth 102)

Trường: Đại học Duy Tân

Thông tin:

15 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
1
Chương I
MA TRẬN và ĐỊNH THỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN
1.1.1. Định nghĩa
Cho , m n là hai số nguyên dương. Ta gọi một ma trận cỡ là một bảng số m n
gồm m n hàng số thực được viết thành m n cột có dạng như sau
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.... .... ... ....
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
. Trong đó các số thực a
ij
;
1,i m
;
1,j n
gọi là các
phần tử của ma trận, chỉ số chỉ thứ tự hàng và chỉ số chỉ thứ tự cột của phần tử i j a
ij
trong ma trận.
+ Các ma trận cỡ m n thường kí hiệu : A
m
n m
, B
n
, C
m
n
, ... , X
m
n
, ... ; nếu không cần
phân biệt cỡ của ma trận ta viết tắt: A, , B C, ... X, ....
+ Ma trận cỡ m n ở trên còn được viết gọn là
ij
mn
a
,
ij
mn
b
, ...
Ví dụ Ma trận
1 2 1 3
2 4 1 2
3 1 5 1
là ma trận cỡ 3 4 (3 hàng, 4 cột) .
1.1.2. Các loại ma trận đặc biệt.
a/ Ma trận hàng: Ma trận cỡ 1 (chỉ có 1 hàng) gọi là ma trận hàng. n
b/ Ma trận cột: Ma trận cỡ m 1 (chỉ có 1 cột) gọi là ma trận cột.
c/ Ma trận vuông: Ma trận cỡ gọi là ma trận vuông cấp n n n.
d/ Ma trận đường chéo: Ma trận vuông cấp có các phần tử nằm ngoài đường chéo n
chính đều bằng 0 ( ) gọi là ma trận đường chéo.a
ij
= 0, i j
e/ Ma trận đơn vị (Identity matrix) Ma tr n chéo có ậ a
ii
= 1,
1,i n
được g i là ma ọ
trận đơn vị cấp n. Kí hiệu là I
n
.
f/ Ma trận bậc thang: Ma trận cỡ mn có = 0 , a
ij
; i j với i > j gọi là ma trận bậc
thang.
g/ Ma trận tam giác: Ma trận vuông cấp n [ ]a
ij nn
có = 0; ia
ij
,j i > j với gọi là ma
trận tam giác.
h/ Ma trận không : Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không gọi là ma trận không.
Ma trận không cỡ m n thường kí hiệu là O hay O
m
n
.
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
2
Ví dụ a) Ma trận à ma trận hàng (cỡ 1A = [1 2 3 4], l A 4) .
b) Ma trận B =
1
5
6
, B là ma trận cột (cỡ 31) .
= c) Ma trận C
1 3 2
4 5 1
2 1 0
,
d) Ma trận D =
, D là ma trận đường chéo cấp 3.
e) E Ma trận =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
là ma trận đơn vị cấp 3. Ký hiệu E = I
3
.
f) Ma trận F =
1 3 2 4 5
0 2 1 0 2
0 0 3 1 0
0 0 0 0 0
, F là ma trận bậc thang (cỡ 4 5).
g) Ma trận G =
1 3 0
0 2 4
0 0 3
, G là ma trận tam giác (cỡ 3 3).
h) Ma trận H =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, là ma H trận không (cỡ 34). Ký hiệu H = O
3x4
1.1.3. Ma trận bằng nhau. Ma trận chuyển vị. Ma trận đối.
= [ = [ Hai ma a/ Ma trận bằng nhau: Cho hai ma trận cùng cỡ m x n : A a
ij
]
mn
, B b
ij
]
mn
.
trận A, B được gọi là bằng nhau nếu a
ij
= b
ij
, i j, :
1,i m
;
1,j n
. Kí hiệu: A = B.
b/ Ma trận chuyển vị: Cho ma trận Ma trận chuyển vị của ma trận A = [a
ij
]
mn
. A
B b A = [
ji
]
nm
có được từ bằng cách chuyển hàng thành cột, chuyển cột thành hàng
theo đúng theo thứ tự, tức là b
ji
= a
ij
, i, j:
1,i m
;
1,j n
.
Kí hiệu: B A =
T
.
Ví dụ: Ma trận A =
1 2 3 4
2 5 8 7
3 2 4 8
có ma trận chuyển vị A
T
=
1 2 3
2 5 2
3 8 4
4 7 8
.
Tính chất
: Cho ma trận A, ta có (A
T
)
T
= A.
C là ma trận vuông cấp 3, trên đường chéo chính
có các phần tử 1, 5, 0 và trên đường chéo phụ có
các phần tử 2, 5, 2.
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
3
c/ Ma trận đối: Ma trận đối của ma trận là ma trận A = [ a
ij
]
mn
B = [ ]b
ij mn
cùng cỡ với ma
trận A với b
ij
, , = a
ij
i j:
1,i m
;
1,j n
. Kí hiệu: B = A.
thì
+ Nếu A
T
= A A gọi là ma trận đối xứng,
+ Nếu A
T
=
A A thì gọi là ma trận phản đối xứng.
1.1.4. Các phép toán tuyến tính của ma trận
a/ Phép cộng: Cho hai ma trận cùng cỡ . Tổng của hai m n: A = [ và = [a
ij
]
mn
B b
ij
]
mn
ma trận là một ma trận cùng cỡ A, B C = [c
ij
]
mn
m n sao cho: , c
ij
= a
ij
+ b
ij
i,j:
1,i m
;
1,j n
. = Kí hiệu : C A + B.
Ví dụ
1 3 2
1 3 1
4 2 1
+
=
1 1 3 0 2 1
1 3 3 3 1 1
4 4 2 2 1 0
( )
( ) ( )
( )
=
2 3 1
4 0 0
8 0 1
.
Tính chất : Giả sử A, , B C, O (O là ma trận không ) là các ma trận cùng cỡ, ta có:
(tính giao hoán) i) A + B = B + A
ii) A + O = O + A = A
iii) + ( ) = ( ) + A B + C A + B C (tính kết hợp)
b/ Phép nhân một số thực với một ma trận: Cho = [ và A a
ij
]
mn
R, tích của số
với
ma trận là một ma trận với A C = [c
ij
]
mn
c
ij
=
a
ij
, : i, j
1,i m
;
1,j n
.
Kí hiệu : C =
A = [
a
ij
]
mn
.
Tính chất :
,
, R A, B là hai ma trận cùng cỡ, ta có:
i)
(A ) = + B
A +
B; ii) (
+
)A =
A +
A;
iii)
(
A) = (

)A; iv) (1).A = A.
Ví dụ. Cho A =
1 5 3
3 4 4
2 1 3
. Ma trận 2A = 2.
1 5 3
3 4 4
2 1 3
=
2 10 6
6 8 8
4 2 6
.
1.1.5. Phép nhân ma trận với ma trận
Cho ma trận
ij
mn
A a
cỡ m n và ma trận
ik
nq
B b
cỡ n q. Tích của ma trận A
với ma trận B là ma trận
ik
mq
C c
cỡ m q , với
=c
ik
1
n
ij jk
j
a b
= a
i1
.b
1k
+ a
i2
.b
2k
+ a
i3
.b
3k
+.....+ a
in
.b
nk
,
1,i m
,
1,k q
.
Kí hiệu: C = A.B hay C = AB.
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
4
Phần tử c
ik
ở hàng cột của ma trận tích được tính theo sơ đồ sau :i k
Ví dụ. Cho ma trận A =
1 3 2
2 4 7
3 5 6
, B =
1 3
1 1
3 2
. Ta có
A.B =
1 3 2
2 4 7
3 5 6
1 3
1 1
3 2
=
1.1 3.1 2.3 1.3 3( 1) 2.2
2.1 4.1 7.3 2.3 4.( 1) 7.2
3.1 5.1 6.3 3.3 5.( 1) 6.2
=
10 4
27 16
26 16
.
Tính chất: i) Cho các ma trận cỡ cỡ A m , n B n , p C q cỡ p , ta có
A B C.( . ) = ( . A.B).C (tính kết hợp)
ii) Cho ma trận A cỡ và hai ma trận B, C cỡ m n n , ta có p
) = A.(B + C A.B + A.C (tính phân phối).
iii) Cho hai ma trận cỡ và ma trận cỡ A, B m n C n p, ta có
(A + B).C = A.C + B.C (tính phân phối).
iv) Cho I là ma trận đơn vị cấp là ma trận cỡ n và A m n, ta có
A.I = A.
v) Cho I ma trận đơn vị cấp là ma trận cỡ m và A m
n, ta có
I.A = A.
vi) Cho ma trận A cỡ m n và ma trận B cỡ n q, ta có
(
A.B)
T
= B
T
.A
T
.
Chú ý . a/ A.B = B.APhép nhân hai ma trận không có tính giao hoán. Nhưng nếu có thì
ta nói và A B là ma trận , lúc đó là hai ma trận vuông cùng cấp.khả hoán nhau A, B
Ma trận đơn vị cấp n (I
n
) khả hoán với mọi ma trận vuông cấp n.
b/
Nếu A là ma trận vuông cấp thì ta kí hiệu n A.A = A
2
, A.A.A
= A
3 4
, A.A.A.A = A
. .
Từ đó ta có đa thức cấp các ma trận vuông được viết làn A
P
m
(A) = a
m
.A
m
+ a
m – 1
.A
m – 1
+ a
m – 2
.A
m – 2
+ . . . . . + a
1
.A +a
0
.I
n
.
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
5
1. 2. ĐỊNH THỨC
1.2.1. Định nghĩa: Cho một ma trận ] vuông cấp với A = [a
ij
n a R
ij
,
, 1,i j n
, (n ≥ 1).
Định thức của ma trận , được gọi là định thức cấp , là một số thực, kí hiệu và xác A n
định như sau :
det( ) = A
( )
( 1)
n
N f
f S
a
1f(1)
a
2f(2)
... a
nf(n)
= ( (1); (2); 3), ... ; (n)) trong đó S
n
là tập tất cả các hoán vị f f f f( f của n phần tử
{1, 2, ... , n}, có , tập S
n
n! phần tử N(f) là số lần phần tử đứng sau nhỏ hơn phần tử
đứng trước trong hoán vị hay số nghịch thế của hoán vị f f.
Định thức của ma trận còn kí hiệu là :A
A hoặc
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
Định thức của một ma trận vuông cấp là một số thựcA n
- Bằng tổng đại số của ! số hạng dạng n a
1f(1)
... a
n (n)f
- Mỗi số hạng là tích của phần tử mà mỗi hàng, mỗi cột phải có một và chỉ một n a
ij
phần tử là thừa số của tích đó.
- Dấu của mỗi số hạng phụ thuộc vào số N(f).
1.2.3. Cách tính định thức cấp 1, cấp 2 và cấp 3.
a/ Với ị của tập E = {1} là (1) do đó định thức cấp 1n = 1, ta có 1 hoán v :
11 11
a a
.
b/ Với 2, ta có 2 hoán vị của E = {1; 2} là (1,2) và (2,1) do đó định thức cấp 2n = :
11 12
21 22
a a
a a
= ( = . 1)
N(1,2)
a
11
.a
22
+(1)
N(2,1)
a
12
.a
21
a
11
.a
22
a
12
.a
21
c/ Với 3, ta có 6 hoán vị của n = E = {1; 2; 3} (1, 2, 3),(2, 3, 1),(3, 1, 2),(3, 2, 1), là
(1, 3, 2) và (2, 1, 3) do đó định thức cấp 3 :
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
= (1) .
N(1,2,3)
a
11
.a
22
a
33
+ (1)
N(2,3,1)
a
12
.a
23
.a
3
+ (1) .
N(3,1,2)
a
13
.a
21
a
32
+ ( + ( + ( a1)
N(3,2,1)
a
13
a
22
a
31
1)
N(1,3,2)
a
11
a
23
a
32
1)
N(2,1,3)
a
12 21
a
33
= a
11
.a
22
.a
33
+ a
12
.a
23
.a
31
+ a
13
.a
21
.a
32
a
13
a
22
a
31
a
11
a
23
a
32
a
12
a
21
a
33
.
Cách tính định thức cấp 3
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
6
* Viết thêm theo thứ tự cột một và cột hai sau cột thứ ba.
* Ba số hạng mang dấu cộng trong định thức là tích của các
phần tử nằm trên đường chéo chính và hai đường song song
với đường chéo chính.
* Ba số hạng mang dấu trừ trong định thức là tích của các
phần tử nằm trên đường chéo phụ và hai đường song song
với đường chéo phụ.
Quy tắc tính định thức cấp 3 như trên gọi là quy tắc Sarus.
(Pierre Frédéric Sarrus, 10/3/1798 20/11/1861) – nhà toán học người Pháp).
Chú ý: Nếu det( là ma trận không suy biến ngược lại nếu A) 0 thì ta nói A ,
det(A) = 0 ta nói A là ma trận suy biến.
Ví dụ. Tính các định thức của các ma trận sau: a) A =
1 5
2 3
, B =
1 2 3
3 4 0
1 2 5
.
Giải
a) A Ta có det( ) =
1 5
2 3
= 1.3 5.2 = 3 10 = 7 ;
b) B Ta có det( ) =
1 2 3
3 4 0
1 2 5
= 1.4.5+2.0.( 1)+3.3.(2) 3.4.( 1)1.0.( 2) 2.3.5
= 20 + 0 18 + 12 30 = 16. – – 0 – –
1.2.3. Tính chất của định thức
a/ Tính chất 1: Cho A là ma trận vuông cấp n, ta có det(A
T
) = det( ). A
Nhận xét: Từ tính chất này ta thấy mọi tính chất đã đúng với hàng thì cũng đúng
với cột của định thức, nên các tính chất sau ta chỉ phát biểu đối với hàng.
b/ Tính chất 2: Nếu ma trận vuông có một hàng gồm toàn phần tử thì định A 0
thức của nó bằng 0.
c/ Tính chất 3: Nếu ta nhân một hàng của ma trận vuông A với một số thực
thì
định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận nhân với A
.
d/ Tính chất 4: Giả sử A, B, C là ba ma trận vuông cấp n, có các hàng đều giống
nhau ngoại trừ hàng thứ k của A bằng tổng hàng thứ k của B và C
(tức là a
ij
= b
ij
= c
ij
,i,j =
1,n
, i k và a
kj
= b
kj
+ c
kj
,
1,j n
).
Khi đó ta có det(A) = det(B) + det( C).
e/ Tính chất 5: Nếu ta đổi chỗ hai hàng nào đó của ma trận vuông A cho nhau thì ta
được ma trận vuông B có det(B) = det(A).
Hệ quả 1: Nếu ma trận có hai hàng giống nhau thì định thức của ma trận đó bằng 0.
+ + +
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
– – –
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
7
Hệ quả 2: Nếu ma trận có hai hàng c phần tử tương ứng tỉ lệ với nhau thì định ó các
thức của ma trận đó bằng 0.
Hệ quả 3: Nếu ta cộng vào một hàng nào đó của ma trận vuông với một hàng khác A
đã nhân với một số bất kì thì ta được ma trận B có det( ) = det(B A).
f/ Tính chất 6: Định thức của ma trận đường chéo bằng tích của các phần tử nằm A
trên đường chéo chính. Tức là
det( ) = A
11
22
33
0 0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 0 ...
nn
a
a
a
a
= ... . a
11
a
22
a
33
a
nn
Hệ quả
Định thức của ma trận tam giác không A bằng tích các phần tử nằm trên đường
chéo chính. Tức là nếu
A =
11 12 13 1
22 23 2
33 3
...
0 ...
0 0 ...
... ... ... ... ...
0 0 0 ...
n
n
n
nn
a a a a
a a a
a a
a
thì det( ) = A
11 12 13 1
22 23 2
33 3
...
0 ...
0 0 ...
... ... ... ... ...
0 0 0 ...
n
n
n
nn
a a a a
a a a
a a
a
= a
11
a
22
... . a
33
a
nn
Ví dụ. Tính các định thức sau đây (bằng cách sử dụng các tính chất của định thức).
a) = D
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
; b) D =
1 2 3 0
2 4 0 3
1 1 1 2
3 5 2 1
;
c) D
n
=
...
...
...
... ... ... ... ...
...
a x a a a
a a x a a
a a a x a
a a a a x
(định thức cấp n).
Giải
1.a) Lấy hàng thứ 1 nhân với ( i) rồi cộng vào hàng thứ i, i = 2,3,4
i) + h(viết tắt là h
1
(
i
, i =
2 4,
) theo hệ quả 3 tính chất 5 ta được :
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
8
D =
1 2 3 4
0 1 2 7
0 2 8 10
0 7 10 13
Lấy hàng thứ 2 nhân với ( 2) rồi cộng vào hàng thứ 3 và lấy hàng thứ 2 nhân với
(7) rồi cộng vào hàng thứ 4 (viết tắt h
2
(2) + h và h 7) + h
3 2
(
4
) ta được :
D =
1 2 3 4
0 1 2 7
0 0 4 4
0 0 4 36
Lấy hàng thứ 3 cộng với hàng thứ 4 ( viết tắc là h ta được
3
+ h
4
),
= D
1 2 3 4
0 1 2 7
0 0 4 4
0 0 0 40
= 1.( 4).40 = 160. 1).(
1.b) D
h (-2)+h
1 2
h (1)+h
1 3
h (-3)+h
1 4
1 2 3 0
0 0 -6 3
=
0 3 4 2
0 -1 -7 -1
h h
2 4
1 2 3 0
0 1 7 1
0 3 4 2
0 0 6 3
h (3)+h
2 3
1 2 3 0
0 1 7 1
0 0 117
0 0 6 3
6
h (- )+h
3 4
17
1 2 3 0
0 1 7 1
0 0 117
0 0 0
57
17
= (1).( 1).( 17).(
57
17
) = 57.
1.c) D
n
h h
i
i
n
1
2
...
...
...
... ... ... ... ...
...
na x na x na x na x
a a x a a
a a a x a
a a a a x
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
9
= ( )na + x
1 1 1 ... 1
...
...
... ... ... ... ...
...
a a x a a
a a a x a
a a a a x
1
1 1 1 ... 1
( ) 0 0 ... 0
( ) 0 0 ... 0
... ... ... ... ...
2,
0 0 0 ...
i
h a h x
na x x
i n
x
= (
na + x) x
n 1
.
1.2.4. Khai triển định thức
Định lí (Định lí khai triển định thức theo một hàng (hay một cột))
Cho một ma trận vuông . Định thức của ma trận bằng tổng các tích của các A A
phần tử nằm trên một hàng (một cột) nào đó với phần phụ đại số của phần tử đó .
Tức là det(A) = a
i1
A
i1 i2 i2
+ a A + ... + a
in in
A (1),
1,i n
(1)
hay det(A) = a A
1j
1j
+ a
2j
A
2j
+ ... + a
nj
A
nj
(2),
1,j n
(2) .
Công thức (1), (2) lần lượt gọi là công thức khai triển det(A) theo hàng thứ i hay
theo cột thứ j.
Phần phụ đại số của phần tử là định thức cấp –1 bằng cách bỏ hàng thứ A
ij
a
ij
n i và cột
thứ
j ở det(A) và nhân với ( –1)
i + j
.
Chú ý: Công thức (1), (2) cho ta tính được định thức từ cấp 4 trở lên không theo sử dụng
định nghĩa.
c/ Ví dụ Tính định thức D =
1 0 2 1
3 2 5 1
0 1 2 3
0 6 1 1
. Giải Khai triển định thức theo cột 1, ta có :D
D a =
11 11
A + a
21
A
21
+ a
31
A
31
+ a
41
A
41
= 1.(1)
1+1
2 5 1
1 2 3
6 1 1
+ 3(1)
2+1
0 2 1
1 2 3
6 1 1
+ 0 + 0 96 3.27 = 96 81 15. = =
1.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO.
1.3.1. Định nghĩa: Cho ma trận vuông cấp . Nếu tồn tại ma trận vuông cấp A n B n
sao cho ( ) : AB = BA = I
n
I
n
là ma trận đơn vị cấp n thì ma trận gọi là ma trận B
nghịch đảo của ma trận . Khi đó ta gọi ma trận ma trận khả nghịch. A A là
Nếu ma trận có ma trận nghịch đảo tồn tại duy nhất.A B thì B
K
í hiệu ma trận nghịch đảo nếu có của A là . A
1
( A A
1
= AA
1
= I
n
).
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
10
1.3.2. Ma trận phụ hợp: Cho ma trận vuông cấp n:
ij
nn
A a
ma trận phụ hợp của
A, kí hiệu , được xác định như sau:P
A
P
A
=
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A
1.3.3. Định lí 1: Nếu à một ma trận vuông cấp n thìA l A P P A.
A
=
A
. = det(A).I
n
trong
đó P
A
là ma trận phụ hợp của A và I
n
là ma trận đơn vị cấp n.
1.3.4. Định lí 2 (Định lí tồn tại ma trận nghịch đảo).
Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n có ma trận nghịch đảo là det(A) 0
(hay A là ma trận không suy biến) và ma trận nghịch đảo của A được xác định như sau
1
1
det( )
A
A P
A
.
1. Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A =
3 1
2 0
.
. Giải Ta có det( ) =A
3 1
2 0
= 3.0 2( 1) = 2
– – 0 nên tồn tại A
1
= ( A
11
1)
1+1
0
= 0, = (A
12
1)
1+2
2
= 2,
= (A
21
1)
2+1
1
= 1, = (A
22
1)
2+2
3
= 3
P
A
=
11 21
12 22
A A
A A
=
0 1
2 3
.
A
1
=
1
det( )A
P
A
=
1
2
0 1
2 3
=
0 0,5
1 1,5
.
Ví dụ 2. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A =
1 1 1
2 1 1
1 1 2
Giải
Ta có : det( = 2 + 2 1 1 + 4 = 5 A) 0 nên tồn tại A
1
.
trong đó là phần phụ đại số của phần A
ij
tử với của ma trận a
ij
A.
, 1,i j n
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
11
= ( A
11
1)
1+1
1 1
1 2
= 1, = (A
12
1)
1+2
2 1
1 2
= 3, = ( A
13
1)
1+3
2 1
1 1
=1
= ( A
21
1)
2+1
1 1
1 2
= 3, = (A
22
1)
2+2
1 1
1 2
= 1, A
23
=(1)
2+3
1 1
1 1
= 2
= (A
31
1)
3+1
1 1
1 1
=2, = (A
32
1)
3+2
1 1
2 1
=1, A
33
=(1)
3+3
1 1
2 1
= 3
P
A
=
11 21 31
11 22 32
13 23 33
A A A
A A A
A A A
=
1 3 2
3 1 1
1 2 3
=
A
1
1
det( )A
P
A
=
1 3 2
5 5 5
3 1 1
5 5 5
1 2 3
5 5 5
.
Chú ý.
a) Ứng dụng của ma trận nghịch đảo
Để giải các phương trình ma trận có hệ số của ma trận ẩn là ma trận vuông không suy
biến ta sử dụng ma trận nghịch đảo và các phép toán trên ma trận để giải.
α) Dạng phương trình: A.X = B
với A là ma trận vuông không suy biến.
+ Tìm ma trận nghịch đảo của A là . A
1
+ Nhân bên trái 2 vế của phương trình đã cho với ta được A
1
A
1
.A.X = A
1
.B E.X = A
1
.B X = A
1
.B.
β) Dạng phương trình: X A = B
với A là ma trận vuông không suy biến.
+ Tìm ma trận nghịch đảo của A là . A
1
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
12
+ Nhân bên phải 2 vế của phương trình đã cho với A ta được
1
X.A.A
1
= B.A
1
X.E = B.A
1
X = B.A
1
.
γ) Dạng phương trình: A.X.B = C
với A, B là ma trận vuông không suy biến.
+ Tìm ma trận nghịch đảo của A, là , . B A
1
B
1
+ Nhân bên trái 2 vế của phương trình đã cho với A
1
và nhân bên phải 2 vế của
phương trình đã cho với ta được
B
1
=
A A.X.B.B
1
.
1
A
1
.C.B
1
X = A
1
.C.B
1
.
Ví dụ . Tìm ma trận X sao cho :
3 1
2 1
.X.
5 3
2 1
=
1 2
1 1
.
Giải . Đặt A =
3 1
2 1
và B =
5 3
2 1
, , A B là các ma trận không suy biến
có
Ta A
1
=
1
1
1 1
2 3
=
1 1
2 3
và
B
1
=
1
1
1 3
2 5
=
1 3
2 5
Phương trình đã cho có dạng A.X.B =
1 2
1 1
A A
1
.A.X.B.B
1
=
1
.
1 2
1 1
.B
1
X =
1 1
2 3
1 2
1 1
1 3
2 5
=
6 15
15 38
.
b) Trong quá giải bài tập, chúng ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết
quả khi thực hiện các phép tính trên các ma trận và tìm ma trận nghịch đảo.
** Cách trên máy tính CASIO nhập ma trận fx-570VN PLUS
+ Nhấn Mode 6 (Matrix) Chọn 1( matA) Chọn matrix có số dòng và cột tương
ứng cần tính toán.
+ Nhập kết quả vào bằng phím =, AC.
+ Sau khi nhập xong ma trận A, thực hiện tương tự nhập thêm ma trận Có thể B, . C
nhập ma trận bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix)B, C 1(Dim)2(MatB), (3(MatC).
*** Sau khi nhập các ma trận, để thực hiện các phép tính cọng, trừ, nhân ma trận với
một số thực, nhân các ma trận ìm ma trận nghich đảo, tính định thức của ma trận , t
ta SHIFT 4 và các phím ,
sử dụng phím +, – X, x
-1
, det(.).
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
13
1.4. HẠNG CỦA MA TRẬN (rank of matrix
1.4.1. Định nghĩa. Hạng của ma trận là cấp cao nhất của tất cả các định thức coA n
khác 0 của ma trận . Kí hiệuA : r(A).
+ Định thức con cấp k của ma trận A là định thức tạo được khi lấy các phần tử
nằm ở phần giao của k hàng, k cột nào đó của ma trận A.
+ Qui ước: Ma trận (không) có hạng bằng O 0.
+ Nếu A là ma trận cỡ m thì 0 min( ). n r(A) m, n
1.4.2. Phương pháp tìm hạng ma trận
a/ Phương pháp sử dụng định nghĩa: Dựa vào định nghĩa ta có thể tìm hạng của
một ma trận khác ma trận O như sau :
+ Tính các định thức con từ cấp 2 trở lên.
+ khác 0 Giả sử ma trận A có một định thức con cấp r , tính tiếp các định thức cấp
r + 1, nếu tất cả các định thức cấp r + 1 đều bằng 0 thì ta kết luận hạng của A là r
còn nếu có một định thức cấp + 1 khác 0 thì tính tiếp các định thức cấp + 2, nếu r r
tất cả các định thức con cấp + 2 đều bằng 0 thì hạng của ma trận là + 1, còn nếu r r
có một định thức con r + 2 khác 0 thì ta thực hiện tiếp tục như thế.
Qua cách tìm hạng của ma trận theo định nghĩa ta thấy rằng cần phải tính các
định thức từ cấp 2 trở lên và nếu hạng của ma trận càng lớn thì việc tính toán càng
phức tạp. Vì vậy người ta đã đưa ra một cách tìm hạng của ma trận bằng cách dựa
vào các phép biến đổi sơ cấp.
b/ Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi sau đây trên ma trận gọi là các biến đổi sơ cấp trên ma trận:
i/ Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) của ma trận cho nhau.
ii/ Nhân tất cả các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của ma trận với một số khác 0.
iii/ Cộng vào các phần tử của một hàng (hoặc một cột) với các phần tử tương ứng của
một hàng (hoặc cột) khác sau khi nhân với cùng một số nào đó.
Dựa vào các tính chất của định thức ta chứng minh được định lí sau :
Định lí: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.
Tức là: Nếu sau khi dùng các phép biến đổi sơ cấp ma trận trở thành ma trận A B thì
r(A r B) = ( ).
Trong thực hành ta thường biến đổi đưa ma trận về ma trận có dạng ma trận bậc A B
thang như sau :
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
14
có và b
ij
= 0 với i > j i > r
và 0,b
ii
1,i r
.
11 12 1 1
22 2 2
... ...
0 ... ...
... ... ... ... ... ...
0 0 ... ...
0 0 ... 0 ... 0
0 0 ... 0 ... 0
r n
r n
rr rn
b b b b
b b b
B
b b
Ta có r(B) = nên ) = r r(A r.
B. BÀI TẬP
I.1. Cho A =
2 1 2
3 0 1
0 1 2
và B =
1 2
4 6
5 3
.
Tìm , , + 3 .
A
2
AB A
2
A + I
3
I.2. Cho A =
1 2
2 1
1) Tìm ) = f(A A
2
4 + 3 ; A I
2
2) Tìm ) = + 2 . f(A A
3
A I
2
I.3. Cho A =
2 1 1
3 1 2
1 1 0
; = B
1 2 2
2 3 1
1 2 2
.
1) Tìm = 3 2 , 2) Tìm = ; 3) Tìm . C A B D A.B F = B.A
I.4. Tính định thức sau:
1)
2 0 4
5 2 7
2 5 5
; 2)
3 2 3
20 9 1
55 2 5
; 3)
1
1
1
x yz
y zx
z xy
; 4)
3 3 3
1 1 1
x y z
x y z
;
5)
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
1 1 0 0
; 6)
5 1 2 7
3 0 0 2
1 3 4 5
2 0 0 3
; 7 )
1 0 2 3
1 0 0 4
5 1 3 4
4 3 0 1
;
Tóm tắt (Kỳ I.21TƯDTKT -22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
15
8)
0 0
0 0
0 0
0 0
x y
z t
y z
t x
; 9)
2
2
1 1 2 3
1 2 2 3
2 3 1 5
2 3 1 9
x
x
; 10)
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x
x
x
x
x
.
I.5. Tìm ma trận nghịch đảo của trận sau: ma
1) A =
2 1 1
3 1 2
1 1 0
; 2) = A
1 2 2
2 3 1
1 2 2
;
I.6. Tìm ma trận X sao cho :
1)
1 2
3 4
.X =
3 5
5 9
; 2) .X
3 2
5 4
=
1 2
5 6
;
3)
1 2
3 5
.X.
2 1
3 2
=
5 9
1 2
. 4)
1 2
2 5
.X.
1 1
3 4
=
2 0
1 5
.
5)
2 1 3
1 0 1
1 0 2
.X =
1 2
2 0
3 1
; 6) . X
4 2 3
5 1 1
1 0 0
=
1 2 3
3 1 2
;
7)
1 2 3
3 2 4
2 1 0
.X =
1 3 0
10 2 7
10 7 8
; 8) . X
1 1 1
2 1 0
1 1 1
=
1 1 3
4 3 2
1 2 5
.
9) .X
1 1 1
0 1 1
0 0 1
2
2 1 1
3 0 6
=
1 0 5
1 2 1
;
10)
.X +
3 5
7 6
2 1
= 3
1 5
1 2
2 0
;
| 1/15
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
Chương I
MA TRẬN và ĐỊNH THỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN
1.1.1. Định nghĩa
Cho m, n là hai số nguyên dương. Ta gọi một ma trận cỡ mn là một bảng số
gồm m n số thực được viết thành m hàng n cột có dạng như sau  a a ... a  11 12 1n   a a ... a 21 22 2n
 . Trong đó các số thực aij; i 1,m; j 1,n gọi là các  .... .... ... ....    aa ... a 1 m 2 m mn
phần tử của ma trận, chỉ số i chỉ thứ tự hàng và chỉ số j chỉ thứ tự cột của phần tử aij trong ma trận.
+ Các ma trận cỡ mn thường kí hiệu : Amn, Bmn, Cmn, ... , Xmn, ... ; nếu không cần
phân biệt cỡ của ma trận ta viết tắt: A, B, C, ... X, ....
+ Ma trận cỡ mn ở trên còn được viết gọn là a   b   ij   ,   , ... mn ij mn 1  2 1 3
Ví dụ Ma trận   2 4 1 2
là ma trận cỡ 3  4 (3 hàng, 4 cột) .   3  1 5 1
1.1.2. Các loại ma trận đặc biệt.
a/ Ma trận hàng: Ma trận cỡ 1  n (chỉ có 1 hàng) gọi là ma trận hàng.
b/ Ma trận cột: Ma trận cỡ m  1 (chỉ có 1 cột) gọi là ma trận cột.
c/ Ma trận vuông: Ma trận cỡ nn gọi là ma trận vuông cấp n.
d/ Ma trận đường chéo: Ma trận vuông cấp n có các phần tử nằm ngoài đường chéo
chính đều bằng 0 (aij = 0,
ij) gọi là ma trận đường chéo.
e/ Ma trận đơn vị (Identity matrix) Ma trận chéo có a  được gọi là ma ii = 1, i 1, n
trận đơn vị cấp n. Kí hiệu là In.
f/ Ma trận bậc thang: Ma trận cỡ mn có aij = 0; i, j với i > j gọi là ma trận bậc thang.
g/ Ma trận tam giác: Ma trận vuông cấp n [a  với gọi là ma i ]
j nn có aij = 0; i,j i > j trận tam giác.
h/ Ma trận không : Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không gọi là ma trận không.
Ma trận không cỡ mn thường kí hiệu là O hay Omn. 1
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
Ví dụ a) Ma trận A = [
1 2 3 4], A là ma trận hàng (cỡ 14) .  1 
b) Ma trận B =   là ma trận cột (cỡ 3 5   , B 1) .  6   1 3 2
C là ma trận vuông cấp 3, trên đường chéo chính
c) Ma trận C =   4 5 1 
 , có các phần tử 1, 5, 0 và trên đường chéo phụ có 2 1 0 các phần tử 2, 5, 2. 1 0 0 
d) Ma trận D = 
, D là ma trận đường chéo cấp 3. 0 5 0   0 0 1     1 0 0 e)  
Ma trận E = 0 1 0 
 là ma trận đơn vị cấp 3. Ký hiệu E = I3. 0 0 1 1  3 2 4 5  
f) Ma trận F = 0 2 1 0 2 
, F là ma trận bậc thang (cỡ 45). 0  0 3 1  0   0  0 0 0 0  1  3 0 
g) Ma trận G =   0 2 4   
, G là ma trận tam giác (cỡ 3 3). 0  0 3     0  0 0 0 
h) Ma trận H =   0 0
0 0 , H là ma trận không (cỡ 34). Ký hiệu H = O   3x4 0  0 0 0   
1.1.3. Ma trận bằng nhau. Ma trận chuyển vị. Ma trận đối.
a/ Ma trận bằng nhau: Cho hai ma trận cùng cỡ m x n : A = [aij]mn , B = [bij]mn. Hai ma
trận A, B được gọi là bằng nhau nếu a
ij = bij , i, j: i 1, m; j
1,n . Kí hiệu: A = B.
b/ Ma trận chuyển vị: Cho ma trận A = [aij]mn. Ma trận chuyển vị của A ma trận
B = [bji]nm có được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột, chuyển cột thành hàng
theo đúng theo thứ tự, tức là b   T
ji= aij, i, j: i 1,m; j
1,n. Kí hiệu: B = A . 1 2 3 1  2 3 4     2 5 2
Ví dụ: Ma trận A = 2 5 8 7   
 có ma trận chuyển vị AT = . 3 8 4 3  2 4 8 4 7 8
Tính chất: Cho ma trận A, ta có (AT)T = A. 2
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
c/ Ma trận đối: Ma trận đối của ma trận A = [aij]mn là ma trận B = [bi ]
j mn cùng cỡ với ma trận A với b  Kí hiệu: ij =  aij ,
i, j: i 1,m ; j 1,n .
B =  A.
+ Nếu AT = A thì A gọi là ma trận đối xứng,
+ Nếu AT =  A thì A gọi là ma trận phản đối xứng.
1.1.4. Các phép toán tuyến tính của ma trận
a/ Phép cộng: Cho hai ma trận cùng cỡ mn: A = [aij]mn và B = [bij]mn. Tổng của hai
ma trận A, B là một ma trận C = [cij]mn cùng cỡ mn sao cho: cij = aij + bi ,j
i,j: i 1,m; j 1,n. Kí hiệu : C = A + B. 1  3 2  1  0 1 1  1 3 0 2  ( 1   )  2 3 1         Ví dụ 1 3 1   + 3 3  1   = 1  3 3  ( 3  ) ( 1  ) 1   = 4 0 0   . 4  2  1  4  2 0  4   4 ( 2  ) 2 1  0   8 0 1  
Tính chất : Giả sử A, B, C, O (O là ma trận không ) là các ma trận cùng cỡ, ta có: i)
A + B = B + A (tính giao hoán) ii)
A + O = O + A = A iii)
A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp)
b/ Phép nhân một số thực với một ma trận: Cho A = [a   ij]mn và
R, tích của số với
ma trận A là một ma trận C = [c  
ij]mn với cij = aij,
i, j: i 1,m ; j 1, n.
Kí hiệu : C = A = [aij]mn.
Tính chất : ,   R, A, B là hai ma trận cùng cỡ, ta có:
i) (A + B) = A + B; ii) (  + )A = A + A;
iii) (A) = ()A; iv) (1).A = A. 1  5 3 1  5 3 2  10 6 Ví dụ.      
Cho A = 3 4 4 
. Ma trận 2A = 2. 3 4 4   = 6 8 8   . 2  1  3 2  1  3 4  2  6
1.1.5. Phép nhân ma trận với ma trận
Cho ma trận A a    B b
cỡ nq. Tích của ma trận A ij
cỡ mn và ma trận  ik mn nq
với ma trận B là ma trận C  c
cỡ mq , với ik mq n c   ik = a b = a
i m, k 1,q . ij jk
i1.b1k + ai2.b2k + ai3.b3k +.....+ ain.bnk, 1, j1
Kí hiệu: C = A.B hay C = AB. 3
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
Phần tử cik ở hàng i cột k của ma trận tích được tính theo sơ đồ sau : 1  3 2 1  3  Ví dụ.     Cho ma trận A = 2 4 7  , B = 1 1    . Ta có 3 5 6 3  2  1  3 2 1  3 
 1.13.12.3 1.3 3( 1  ) 2.2 10 4          A.B = 2 4 7   1 1  
 = 2.14.17.3 2.3 4.( 1  ) 7.2   = 27 16   . 3  5 6 3  2     3.15.1 6.3 3.3 5.( 1  ) 6.2   26 16
Tính chất: i) Cho các ma trận A cỡ mn, B cỡ np, C cỡ pq, ta có
A.(B.C) = (A.B).C (tính kết hợp).
ii) Cho ma trận A cỡ mn và hai ma trận B, C cỡ np, ta có
A.(B + C) = A.B + A.C (tính phân phối).
iii) Cho hai ma trận A, B cỡ m n và ma trận C cỡ n  p, ta có
(A + B).C = A.C + B.C (tính phân phối).
iv) Cho I là ma trận đơn vị cấp n và A là ma trận cỡ mn, ta có A.I = A.
v) Cho I ma trận đơn vị cấp m và A l
à ma trận cỡ m n, ta có I.A = A.
vi) Cho ma trận A cỡ mn và ma trận B cỡ nq, ta có
(A.B)T = BT.AT.
Chú ý . a/ Phép nhân hai ma trận không có tính giao hoán. Nhưng nếu có A.B = B.A thì
ta nói A và B là ma trận khả hoán nhau, lúc đó A, B là hai ma trận vuông cùng cấp.
Ma trận đơn vị cấp n (In) khả hoán với mọi ma trận vuông cấp n.
b/ Nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta kí hiệu A.A = A2, A.A.A = A3 4 , A.A.A.A = A . .
Từ đó ta có đa thức cấp n các ma trận vuông A được viết là
Pm(A) = am.Am + am – 1.Am – 1+ am – 2.Am – 2+ . . . . . + a1.A +a0.In . 4
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
1. 2. ĐỊNH THỨC
1.2.1. Định nghĩa: Cho một ma trận A = [a   i ]
j vuông cấp n với aij R, ,
i j 1,n , (n ≥ 1).
Định thức của ma trận A, được gọi là định thức cấp n, là một số thực, kí hiệu và xác định như sau : N ( f ) det(A) =  ( 1  )
a1f(1) a2f(2) ... anf(n) f n S  trong đó S của
n là tập tất cả các hoán vị f = (f(1); f(2); f(3), ... ; f(n)) n phần tử
{1, 2, ... , n}, tập Sn có n! phần tử, N(f) là số lần phần tử đứng sau nhỏ hơn phần tử
đứng trước trong hoán vị f hay số nghịch thế của hoán vị f.
Định thức của ma trận A còn kí hiệu là : a a ... a 11 12 1n a a ... aA hoặc 21 22 2n ... ... ... ... a a a n n ... 1 2 nn
Định thức của một ma trận A vuông cấp n là một số thực
- Bằng tổng đại số của n! số hạng dạng a1f(1) ... anf(n)
- Mỗi số hạng là tích của n phần tử aij mà mỗi hàng, mỗi cột phải có một và chỉ một
phần tử là thừa số của tích đó.
- Dấu của mỗi số hạng phụ thuộc vào số N(f).
1.2.3. Cách tính định thức cấp 1, cấp 2 và cấp 3.
a/ Với n = 1, ta có 1 hoán vị của tập E = {1} là (1) do đó định thức cấp 1: aa . 11 11
b/ Với n = 2, ta có 2 hoán vị của E = {1; 2} là (1,2) và (2,1) do đó định thức cấp 2: a a 11 12 = (1)N(1,2) a
11.a22 +(1)N(2,1) a12.a21 = a11.a22 a12.a21. a a 21 22
c/ Với n = 3, ta có 6 hoán vị của E = {1; 2; 3} là (1, 2, 3),(2, 3, 1),(3, 1, 2),(3, 2, 1),
(1, 3, 2) và (2, 1, 3) do đó định thức cấp 3 : a a a 11 12 13 N(1,2,3) N(3,1,2) a a a = (1)
a11.a22.a33 + (1)N(2,3,1)a12.a23.a3 + (1)
a13.a21.a32 21 22 23 a a a 31 32 33 + (1)N(3,2,1)a  
13a22a31 + ( 1)N(1,3,2)a11a23a32 + ( 1)N(2,1,3)a12 a21 a33 = a  
11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 a13a22a31  a11a23a32 a12 a21 a33.
Cách tính định thức cấp 3 5
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
* Viết thêm theo thứ tự cột một và cột hai sau cột thứ ba. + + +
* Ba số hạng mang dấu cộng trong định thức là tích của các
a11 a12 a13 a11 a12 phần tử nằm trên đường chéo chính và hai đường song song
a21 a22 a23 a21 a22 với đường chéo chính.
a31 a32 a33 a31 a32
* Ba số hạng mang dấu trừ trong định thức là tích của các – – –
phần tử nằm trên đường chéo phụ và hai đường song song với đường chéo phụ.
Quy tắc tính định thức cấp 3 như trên gọi là quy tắc Sarus.
(Pierre Frédéric Sarrus, 10/3/1798 – 20/11/1861) nhà toán học người Pháp).
Chú ý: Nếu det(A)  0 thì ta nói A là ma trận không suy biến, ngược lại nếu
det(A) = 0 ta nói A là ma trận suy biến.  1 2 3 1 5 Ví dụ  
. Tính các định thức của các ma trận sau: a) A =   , B = 3 4 0 . 2 3   1 2  5 Giải 1 5
a) Ta có det(A) =
= 1.3  5.2 = 3  10 = 7 ; 2 3 1 2 3
b) Ta có det(B) = 3 4 0 = 1.4.5+2.0.(1)+3.3.(2 
) 3.4.(1)1.0.(2)  2.3.5 1  2  5
= 20 + 0 – 18 + 12 – 0 – 30 = – 16.
1.2.3. Tính chất của định thức
a/ Tính chất 1: Cho A là ma trận vuông cấp n, ta có det(AT) = det(A).
Nhận xét: Từ tính chất này ta thấy mọi tính chất đã đúng với hàng thì cũng đúng
với cột của định thức, nên các tính chất sau ta chỉ phát biểu đối với hàng.
b/ Tính chất 2: Nếu ma trận vuông A có một hàng gồm toàn phần tử 0 thì định
thức của nó bằng 0.
c/ Tính chất 3: Nếu ta nhân một hàng của ma trận vuông A với một số thực  thì
định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận A nhân với .
d/ Tính chất 4: Giả sử A, B, C là ba ma trận vuông cấp n, có các hàng đều giống
nhau ngoại trừ hàng thứ k của A bằng tổng hàng thứ k của B và C (tức là a
ij = bij = cij ,i,j = 1, n , ik và akj = bkj + ckj , j 1, n ).
Khi đó ta có det(A) = det(B) + det(C) .
e/ Tính chất 5: Nếu ta đổi chỗ hai hàng nào đó của ma trận vuông A cho nhau thì ta
được ma trận vuông B có det(B) = det(A).
Hệ quả 1: Nếu ma trận có hai hàng giống nhau thì định thức của ma trận đó bằng 0. 6
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
Hệ quả 2: Nếu ma trận có hai hàng có các phần tử tương ứng tỉ lệ với nhau thì định
thức của ma trận đó bằng 0.
Hệ quả 3: Nếu ta cộng vào một hàng nào đó của ma trận vuông A với một hàng khác
đã nhân với một số bất kì thì ta được ma trận B có det(B) = det(A).
f/ Tính chất 6: Định thức của ma trận đường chéo A bằng tích của các phần tử nằm
trên đường chéo chính. Tức là a 0 0 ... 0 11 0 a 0 ... 0 det(A) = 22
= a11 a22 a33 ... ann . 0 0 a ... 0 33 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... ann Hệ quả
Định thức của ma trận tam giác không A bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính. Tức là nếu
a a a ... a  11 12 13 1n   a a a ... a 11 12 13 1n 0 a a .. a 22 23 2 n   0 a a .. a 22 23 2n A =  0 0 a ..
a thì det(A) = = a11 a a a 33 3 22 33 ... nn . n   0 0 a .. a 33 3n .. .. ... .. ..   .. .. .. ... ..  0 0 0 .. a    0 0 0 .. a nn nn
Ví dụ. Tính các định thức sau đây (bằng cách sử dụng các tính chất của định thức). 1 2 3 4 1 2 3 0 2 3 4 1 2 4 0 3 a) D = ; b) D = ; 3 4 1 2 1  1 1 2 4 1 2 3 3 5 2 1  ax a a ... a a a x a ... a c) D  n = a a a x ... a (định thức cấp n). ... ... ... ... ... a a a ... a x Giải
1.a) Lấy hàng thứ 1 nhân với (i) rồi cộng vào hàng thứ i, i = 2,3,4
(viết tắt là h1(i) + hi , i = 2 4
, ) theo hệ quả 3 tính chất 5 ta được : 7
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC 1 2 3 4 0 1  2  7  D = 0 2  8  1  0 0 7  1  0 1  3
Lấy hàng thứ 2 nhân với (2) rồi cộng vào hàng thứ 3 và lấy hàng thứ 2 nhân với
(7) rồi cộng vào hàng thứ 4 (viết tắt h ) ta được : 2(2) + h3 và h2(7) + h4 1 2 3 4 0 1  2  7  D = 0 0 4  4 0 0 4 36
Lấy hàng thứ 3 cộng với hàng thứ 4 ( viết tắc là h3 + h4 ), ta được 1 2 3 4 0 1  2  7  D = 1).( 0 0 4  = 1.( 4).40 = 160. 4 0 0 0 40 1 2 3 0 1 2 3 0 h h h (-2)+h 2 4 1 2 0 0 -6 3 0 1  7  1  1.b) D =   h (1)+h 0 3 4 2 1 3 0 3 4 2 h (-3)+h 1 4  0 -1 -7 -1 0 0 6 3 1 2 3 0 6 1 2 3 0 h (3)+h h (- )+h 2 3 0 1 7 1 3 4 17 0 1 7 1     0 0 1  7 1  0 0 1  7 1  57 0 0 6  3 0 0 0 17 =  (1).(1).( 57 17).( ) =  57. 17
na x na x na x ... na x n a a x a ... a h  i h1 i 2 a a a x a 1.c) D  ... n ... ... ... ... ... a a a ... a x 8
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 a a x a ... a h ( a  )  h 0 x 0 ... 0 1 i = (na + x) a a a x ... a  (na x ) 0 0 x ... 0 ... ... ... ... ... i  2,n ... ... ... ... ... a a a ... a x 0 0 0 ... x
= (na + x) xn1.
1.2.4. Khai triển định thức
Định lí (Định lí khai triển định thức theo một hàng (hay một cột))
Cho một ma trận vuông A. Định thức của ma trận A bằng tổng các tích của các
phần tử nằm trên một hàng (một cột) nào đó với phần phụ đại số của phần tử đó.
Tức là det(A) = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain (1), i 1, n (1) hay det(A) = a
1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj (2), j 1, n (2) .
Công thức (1), (2) lần lượt gọi là công thức khai triển det(A) theo hàng thứ i hay theo cột thứ j.
Phần phụ đại số Aij của phần tử aij là định thức cấp n–1 bằng cách bỏ hàng thứ i và cột
thứ j ở det(A) và nhân với ( –1) i + j .
Chú ý: Công thức (1), (2) cho ta tính được định thức từ cấp 4 trở lên không theo sử dụng định nghĩa. 1 0 2 1 3 2 5 1 
c/ Ví dụ Tính định thức D = 0 1 2 3 0 6 1 1 
Giải. Khai triển định thức D theo cột 1, ta có :
D = a11A11 + a21A21 + a31A31 + a41A41 2 5 1  0 2 1 = 1.(1)1+1 1 2 3 + 3(1)2+11 2
3 + 0 + 0 = 96  3.27 = 96  81 = 15. 6 1 1  6 1 1 
1.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO.
1.3.1. Định nghĩa: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n
sao cho: AB = B A = I
thì ma trận B gọi là ma trận
n (In là ma trận đơn vị cấp n)
nghịch đảo của ma trận A. Khi đó ta gọi ma trận A là ma trận khả nghịch.
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo B thì B tồn tại duy nhất. 
Kí hiệu ma trận nghịch đảo nếu có của A là A 1.  
( A 1A = AA 1 = In). 9
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
1.3.2. Ma trận phụ hợp: Cho ma trận vuông cấp n:A a  
ij  ma trận phụ hợp của nn A, kí hiệu P
A, được xác định như sau:  A A ... A  11 21 1 n   A A ... A
trong đó Aij là phần phụ đại số của phần P 12 22 n2    A = P A  ... ... ... ... 
tử aij với ,i j 1,n của ma trận A.   A A  ... A 1n 2 n nn
1.3.3. Định lí 1: Nếu A là một ma trận vuông cấp n thì A.PA = PA.A = det(A).In trong
đó PA là ma trận phụ hợp của A và In là ma trận đơn vị cấp n.
1.3.4. Định lí 2 (Định lí tồn tại ma trận nghịch đảo).
Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n có ma trận nghịch đảo là det(A)  0
(hay A là ma trận không suy biến) và ma trận nghịch đảo của A được xác định như sau  1 1 A P . det( ) A A 3  1
Ví dụ 1. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A =   . 2 0    3 1 Giải.  Ta có det(A) =
= 3.0 – 2(–1) = 2  0 nên tồn tại A 1 2 0 A  
11 = ( 1)1+1 0 = 0, A12 = ( 1)1+2 2 = 2, A   21 = ( 1)2+1 1
 = 1, A2 2= ( 1)2+2 3 = 3  A A   0 1  PA = 11 21   = .    A A 2  3 12 22      1  0 1  0 0,5  A 1 = PA = 1   =   . det( ) A 2 2 3     1 1,5 1 1  1
Ví dụ 2. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận  
A = 2 1 1 1 1 2 Giải  Ta có : det(A
) = 2 + 2  1  1 + 4 = 5  0 nên tồn tại A 1. 10
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC 1 1 2 1 2 1 A    11 = ( 1)1+1 = 1, A12 = ( 1)1+2 = 3, A13 = ( 1)1+3 =1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1  A   21 = ( 1)2+1 = 3,A22 = ( 1)2+2 = 1, A = 2 1 2 1 2 23 =(1)2+3 1 1  1 1 1 1  A   31 = ( 1)3+1
1 1 =2, A32 = ( 1)3+2 =1, A33 =(1)3+3 = 3 1 1 2 1 2 1 A A A  11 21 31    1 3 2      P A A A A = 11 22 32   = 3 1 1  A A A     13 23 33  1 2 3  1 3 2     5 5 5    1 3   1 1   A 1 = PA = . det( ) A  5 5 5    1 2  3    5 5 5   Chú ý.
a) Ứng dụng của ma trận nghịch đảo
Để giải các phương trình ma trận có hệ số của ma trận ẩn là ma trận vuông không suy
biến ta sử dụng ma trận nghịch đảo và các phép toán trên ma trận để giải.
α) Dạng phương trình: A.X = B
với A là ma trận vuông không suy biến. 
+ Tìm ma trận nghịch đảo của A là A 1.
+ Nhân bên trái 2 vế của phương trình đã cho với  A 1 ta được    
A 1.A.X = A 1.BE.X = A 1.BX = A 1.B.
β) Dạng phương trình: X A = B
với A là ma trận vuông không suy biến. 
+ Tìm ma trận nghịch đảo của A là A 1. 11
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
+ Nhân bên phải 2 vế của phương trình đã cho với A1 ta được    
X.A.A 1 = B.A 1  X.E = B.A 1  X = B.A 1 .
γ) Dạng phương trình: A.X.B = C
với A, B là ma trận vuông không suy biến.  
+ Tìm ma trận nghịch đảo của A, B là A 1, B 1 .
+ Nhân bên trái 2 vế của phương trình đã cho với 
A 1 và nhân bên phải 2 vế của
phương trình đã cho với  B 1 ta được      
A 1.A.X.B.B 1 = A 1.C.B 1  X = A 1.C.B 1 .    5 3  1 2
Ví dụ . Tìm ma trận X sao cho : 3 1  .X.   =   . 2   1  2 1     1 1  3 1   5 3
Giải . Đặt A =   và B =
, A, B là các ma trận không suy biến     2 1  2 1    1 1  1 1  1  1 1 3   1 3 T a có A 1 = = và B 1 =   =   1     2 3 2 3 1  2 5 2 5     1 2      1 2 
Phương trình đã cho có dạng A.X.B =
A 1.A.X.B.B 1 = A 1.  .B 1  1  1  1  1 1 1  1 2  1  3   6 15  X =       =  . 2 3 1   1 2 5 1  5 38
b) Trong quá giải bài tập, chúng ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết
quả khi thực hiện các phép tính trên các ma trận và tìm ma trận nghịch đảo. ** Cách nhập m
a trận trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS
+ Nhấn Mode 6 (Matrix)  Chọn 1( matA)  Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần tính toán.
+ Nhập kết quả vào bằng phím =,  AC.
+ Sau khi nhập xong ma trận A, thực hiện tương tự nhập thêm ma trận B, C. Có thể
nhập ma trận B, C bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix) 1(Dim)2(MatB), (3(MatC).
*** Sau khi nhập các ma trận, để thực hiện các phép tính cọng, trừ, nhân ma trận với
một số thực, nhân các ma trận, tìm ma trận nghich đảo, tính định thức của ma trận
ta sử dụng phím SHIFT 4 và các phím +, – , X, x-1, det(.). 12
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC
1.4. HẠNG CỦA MA TRẬN (rank of matrix
1.4.1. Định nghĩa. Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của tất cả các định thức con
khác 0 của ma trận A. Kí hiệu: r(A).
+ Định thức con cấp k của ma trận A là định thức tạo được khi lấy các phần tử
nằm ở phần giao của k hàng, k cột nào đó của ma trận A.
+ Qui ước: Ma trận O (không) có hạng bằng 0.
+ Nếu A là ma trận cỡ mn thì 0  r(A)  min(m, n).
1.4.2. Phương pháp tìm hạng ma trận
a/ Phương pháp sử dụng định nghĩa: Dựa vào định nghĩa ta có thể tìm hạng của
một ma trận khác ma trận O như sau :
+ Tính các định thức con từ cấp 2 trở lên.
+ Giả sử ma trận A có một định thức con cấp r khác 0, tính tiếp các định thức cấp
r + 1, nếu tất cả các định thức cấp r + 1 đều bằng 0 thì ta kết luận hạng của A là r
còn nếu có một định thức cấp r + 1 khác 0 thì tính tiếp các định thức cấp r + 2, nếu
tất cả các định thức con cấp r + 2 đều bằng 0 thì hạng của ma trận là r + 1, còn nếu
có một định thức con r + 2 khác 0 thì ta thực hiện tiếp tục như thế.
Qua cách tìm hạng của ma trận theo định nghĩa ta thấy rằng cần phải tính các
định thức từ cấp 2 trở lên và nếu hạng của ma trận càng lớn thì việc tính toán càng
phức tạp. Vì vậy người ta đã đưa ra một cách tìm hạng của ma trận bằng cách dựa
vào các phép biến đổi sơ cấp.
b/ Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi sau đây trên ma trận gọi là các biến đổi sơ cấp trên ma trận:
i/ Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) của ma trận cho nhau.
ii/ Nhân tất cả các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của ma trận với một số khác 0.
iii/ Cộng vào các phần tử của một hàng (hoặc một cột) với các phần tử tương ứng của
một hàng (hoặc cột) khác sau khi nhân với cùng một số nào đó.
Dựa vào các tính chất của định thức ta chứng minh được định lí sau :
Định lí: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.
Tức là: Nếu sau khi dùng các phép biến đổi sơ cấp ma trận A trở thành ma trận B thì
r(A) = r(B).
Trong thực hành ta thường biến đổi đưa ma trận A về ma trận B có dạng ma trận bậc thang như sau : 13
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC bb ... b b r ... 11 12 1 1 n   0 b ... b ... b 22 2 r 2 n  
có bij = 0 với i > j và i > r
... ... ... ... ... ...  B    và b   i i 0, 0 0 ... b ... b i 1, r .  rr rn   0 0 ... 0 ... 0     0 0 ... 0 ... 0 
Ta có r(B) = r nên r(A) = r.
B. BÀI TẬP 2  1 2 1 2      
I.1. Cho A = 3  0 1 và B = 4 6 .     0  1 2 5 3   Tìm A2, AB ,
A2 + 3A + I3. 1  2
I.2. Cho A =   2  1
1) Tìm f(A) = A2  4A + 3I2;
2) Tìm f(A) = A3 + 2A I2. 2 1 1 1  2 2      
I.3. Cho A = 3 1 2; B = 2 3 1  .      1 1  0 1  2 2 
1) Tìm C = 3A  2B, 2) Tìm D = A.B ; 3) Tìm F = B.A.
I.4. Tính định thức sau: 2 0 4 3 2 3 1 x yz 1 1 1 1) 5 2 7 ; 2) 20 9 1 ; 3) 1 y zx ; 4) x y z ; 2 5 5 55 2 5 1 z xy 3 3 3 x y z 0 1 1 0 5 1 2 7 1 0 2 3 0 0 1 1 3 0 0 2 1 0 0 4 5) ; 6) ; 7) ; 1 0 0 1 1 3 4 5 5 1  3 4  1 1 0 0 2 0 0 3 4 3 0 1 14
Tóm tắt TƯDTKT (Kỳ I.21-22) GV. ĐẶNG NGỌC DỤC x 2 2 2 2 x 0 y 0 1 1 2 3 x 2 2 2 2 2 1 2  x 2 3 8) 0 z 0 t ; 9) ; 10) 2 2 x 2 2 . y 0 z 0 2 3 1 5 2 2 2 x 2 0 t 0 x 2 2 3 1 9  x 2 2 2 2 x
I.5. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 1 1      1 2 2   1) A = 3 1 2 ; 2) A = 2 3 1  ;      1 1  0 1 2 2 
I.6. Tìm ma trận X sao cho : 1  2 3  5 3  2     1  2 1)  .X =   ; 2) X.  =   ; 3  4 5  9 5  4    5  6  1 2  2  1 5  9 1  2 1  1  2 0 3)    .X.  =  . 4)   .X.  =  . 3  5 3 2   1 2   2 5   3 4    1 5    2 1 3  1  2  4 2 3       1  2 3  5) 1 0 1   .X = 2 0   ; 6) X. 5 1 1   =   ;    3 1 2  1 0 2    3 1      1 0 0   1 2 3    1 3  0 1 1 1 1 1 3         7) 3 2 4   .X = 10 2 7   ; 8) X. 2 1 0   = 4 3 2  . 2 1  0  10 7 8
1 1 1  1 2 5 1  1 1   2  1 1    1 0 5 9) X. 0  1 1  2   =   ;   3  0 6   1  2  1  0  0 1 1  2 2     3 5 1 5     10) 2  5 4.X + 7 6   = 3 1  2   ;   2  4 5 2 1  2  0 15