Lý thuyết và bài tập Thống kê – Trần Sĩ Tùng

Lý thuyết và bài tập Thống kê – Trần Sĩ Tùng. bao gồm tóm tắt kiến thức cơ bản cần nắm, phân loại và phương pháp giải bài tập chuyên đề một số yếu tố thống kê và xác suất trong chương trình môn Toán 11.

26 13 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

85 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
CHƯƠNG V. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
BÀI 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
Mt cuc khnh tua
120
c ô tô. Kt qu c cho
trong bng 1.
I. MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
1. Bảng tần số ghép nhóm
Trong Bng 1 phn m u ta thy:
Có
13
 tu
4
;
Có
29
 tu
4

8
.
nh s  tu

8

12
;

12

16
;

16

20
.
Lời giải
 tu 
 tu
 tu 
•
Mẫu số liệu ghép nhóm là mu s ng bng tn s ghép nhóm.
•
m u gm mt s  ca mu s 
ng
[
)
;ab

là đầu mút trái,
là đầu mút phải 
ba−
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
•
Tần số ca mt nhóm là s u trong mu s u thuc vào
n s ca nhóm
1
, nhóm
2
, …, nhóm
m
u ln
t là
12
, ,...,
m
nn n
.
•
Bảng tần số ghép nhóm c lp Bu
s u
s 
m
nhóm ng v
m
na
khong
[
)
12
;aa
;
[
)
23
;aa
;… ;
[
)
1
;
mm
aa
+
, 
12 1
...
mm
aa a a
+
< << <
và
12
...
m
nn n n= + ++
.
Nhóm Tn s
[
)
12
;aa
[
)
23
;aa
…
[
)
1
;
mm
aa
+
1
n
2
n
m
n
n
Ví dụ 1: bn mu s c
ng bng tn s t :
 u s    
nhóm;
n s ca m

T Bng 3 ta thy:
u s m
120
s u và
5
nhóm.
 n s ca các nhóm
1, 2,3, 4,5
l 
t là:
11,31,45,21,12
.
Nhóm Tn s
[
)
0;5
11
[
)
5;10
31
[
)
10;15
45
[
)
15;20
21
[
)
20;26
12
120n =
Lời giải
u s u ghép nhóm B u và 5 nhóm
n s ca các nhóm l
2. Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích luỹ
Mng trung hc ph thông cha kh u cao ca các bn
hc mu s 
160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164
164 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167
168 168 168 168 169 169 170 171 171 172 172 174
T mu s  a khong có
 ng nhau.
Lời giải



BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
[
)
[
)
[
)
[
)
160; 163 : 160,161, 161, 162, 162, 162
163; 166 : 163, 163, 163, 164, 164, 164, 164, 165, 165, 165, 165, 165
166; 169 : 166, 166, 166, 166, 167, 167, 168, 168, 168, 168
169; 172 : 169, 169, 170, 171, 171
172
[
)
; 175 : 172, 172, 174
 chuyn mu s u không ghép nhóm thành mu s u ghép nhóm, ta thc

•  ca mu s u thành mt s c.
• m s  ca mu s u thuc mn sp bng tn s ghép
nhóm.
Chú ý:   a các
nhóm có th không ph ca mu s u. Nhóm cu là
[
]
1
;
mm
aa
+
Ví dụ 2:  Hot p bng tn s ng va
khong:
[
)
[
)
[
)
[
)
160 ; 163 , 166 ; 169 , 169 ; 172 , 172 ; 175
.
Lời giải:
Bng tn s 
Nhóm Tần số
[
)
160;163
[
)
163;166
[
)
166;169
[
)
169;172
[
)
172;175
12
10
36n =
B
Luyện tập 2. Mn thc sách vào bua tháng
v
      51   
55  31   33    
       53  35
Lp bng tn s ghép nhóm có tasm nhóm ng va khong sau:
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
25;34 , 34;43 , 43;52 , 52;61 , 61;70 , 70;79 , 79;88 , 88;97
Lời giải
Nhóm
[
)
25;34
[
)
34;43
[
)
43;52
[
)
52;61
[
)
61;70
[
)
70;79
[
)
79;88
[
)
88;97
Tần số 3 3 5 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
HĐ3. Trong B u v  
a nhóm 1 ?  a nhóm 3 ?
 a nhóm 5 ?
Lời giải
  a nhóm 1.
  
  a nhóm 3..
  
  a nhóm 5.
ng hp t
Cho mu s u gm
n
s  B
• Tn s  ca mt nhóm là s s u trong mu s  nh  
cn s  ca nhóm 1 , nhóm
2,
…
, nhóm
m
u lt là
12
, ,,
m
cf cf cf…
.
• Bng tn s ghép nhóm bao gm c tn s  c l bng 5
Nhóm
Tần số
Tần số tích lũy
[
)
12
;aa
[
)
23
;aa
…
[
)
1
;
mm
aa
+
1
n
2
n
…
m
n
11
cf n=
212
cf n n= +
…
12
...
mm
cf n n n=++
n
Bng 5
Ví dụ 3 Hop bng tn s ghép nhóm bao gm c tn s  
nhóm ng va khong:
[
)
[
)
160; 163 , 163; 166 ,
[
)
166;169
,
[169;172),[172;175)
.
Lời giải:
Bng tn s ghép nhóm bao gm c tn s   B
Nhóm
Tần số
Tần số tích
lũy
[ ]
160;162
[ ]
163;165
[ ]
166;168
[ ]
169;171
[ ]
172;174
6
12
10
5
3
6
18
28
33
36
36n =
B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
 Luyn tp bng tn s ghép nhóm bao gm c tn s 
nhóm ng va khong:
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
25;34 , 34;43 , 43;52 , 52;61 , 61;70 , 70;79 , 79;88 , 88;97 .
II. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG (SỐ TRUNG BÌNH)
1. Định nghĩa
HĐ 4. Xét mu s  ng bng tn s 
Nhóm
Giá trị đại
diện
Tần số
[
)
40;47
[
)
47;54
[
)
54;61
[
)
61;68
[
)
68;75
1
?x =
2
?
x =
3
?
x
=
4
?x =
5
?x =
1
?n =
2
?n =
3
?n =
4
?n =
5
?n =
?n =
B
m
1
x
ca na khong cng v
nhóm 1. Ta gm
1
x
 n ca nhóm 1.
 n ca bn nhóm còn l n các
s u trong b

x
cho bc sau:
11 2 2 5 5
nx n x nx
x
n
+ +…+
=
Lời giải:
Nhóm
Giá trị đại
diện
Tần số
[
)
40;47
[
)
47;54
[
)
54;61
[
)
61;68
[
)
68;75
1
43,5x
=
2
50,5x =
3
57,5x =
4
64,5x =
5
71, 5x =
1
6n =
2
12n =
3
10n =
4
5n =
5
3
n =
36n =
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
11 2 2 5 5
43,5.6 50,5.12 57,5.10 64,5.5 71,5.3
36
55
nx n x nx
x
n
+ +…+
=
+ + ++
=
≈

x
g ng ca mu s 
ng hp t
Cho mu s  B
Nhóm
Giá
trị
Tần số tích lũy
[
)
12
;aa
[
)
23
;aa
…
[
)
1
;
mm
aa
+
1
x
2
x
…
m
x
1
n
2
n
…
m
n
12
..
m
nn n n= + ++
• m
i
x
ca na khong cng v
i
 nn c
• S   ng ca mu s     u
x
     c:
11 2 2
mm
nx n x n x
x
n
+ +…+
=
Ví dụ 4: Mt nhà thc vt h vc tn s 
 t qu n hàng
ph
Nhóm
Giá trị đại
diện
Tần số
[
)
5, 45;5,85
[
)
5,85;6,25
[
)
6,25;6,65
[
)
6,65;7,05
[
)
7,05;7,45
[
)
7,45;7,85
[
)
7,85;8,25
5,65
6,05
6,45
6,85
7,25
7,65
8,05
5
9
15
19
16
8
2
74n =
B
Lời giải
c vt hp x là:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
5.5,659 9.6,05 15.6,45 19.6,85 16.7,25 8.7,65 2.8,05
74
X
++ + + ++
=
6,80( )mm≈
.
nh s ng ca mu s  Luyn t
Lời giải
Nhóm Giá trị đại diện Tần số
[
)
25;34
 3
[
)
34;43
 3
[
)
43;52

[
)
52;61
 5
[
)
61;70

[
)
70;79
 3
[
)
79;88

[
)
88;97


ng là:
29,5.3 38,5.3 47,5.6 56,5.5 65,5.4 74,5.3 83,5.4 92,5.2
30
x
+++++++
=
59, 2=
2. Ý nghĩa
t, s ng ca mu s   cng
ca các s trong mu s t v a mu s u và có th 
n cho mu s  u trong mch v ng.
S ng ca mu s p x v ng ca mu s
u và có th n cho v a mu s u.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
III. TRUNG VỊ
1. Định nghĩa
HĐ5. u v ng ca
p bng tn s ghép nhóm bao gm c tn s  Bảng 10.
Nhóm Tn s Tn s 
[
)
27,5;32,5
16
16
[
)
32,5;37,5
24
40
[
)
37,5;42,5
20
60
[
)
42,5;47,5
30
90
[
)
47,5;52,5
9
99
99n =
Bảng 10.
n s c bng
99
49,5
22
n
= =


r
 
d
, tn s
3
n
ca nhóm 3; tn s 
2
cf
c

e
M
c sau:
2
3
49,5
e
cf
Mr d
n

−
=+⋅


.
Lời giải
n s 
⇒
Lc bng
99
49,5
22
n
= =
 n s
3
: 20n
Tn s a nhóm là: 

2
49,5
49,5 40
37,5 5 39,875
3 20
e
cf
Mr d
n
−
−


=+ ⋅ = + ⋅=




.

e
M
c g ca mu s 
ng hp t
Cho mu s u ghép nhóm bao gm c tn s   Bảng 5 .
 s nhóm
k
n s  lc bng
2
n
, tc là
1
2
k
n
c
−
<

2
k
n
cf ≥
. Ta g
,,
k
rdn
l n s ca nhóm
k
;
1k
cf
−
là tn s 
ca nhóm
1k −
.
Trung v ca mu s u
e
M
+
c sau:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
1
2
.
k
e
k
n
cf
Mr d
n
−

−

= +



.
u tra v s hp hu s 
 vào s ng ha m; hp bng tn s ghép nhóm bao
gm c tn s Bảng 11 ca mu s làm tròn kt qu n hàng

Nhóm Tn s Tn s 
[
)
36;38
9
9
[
)
38;40
15
24
[
)
40;42
25
49
[
)
42;44
30
79
[
)
44;46
21
100
99n =
Bảng 11.
Lời giải
S phn t ca mu là
100n =
. Ta có
100
50
22
n
= =
.
mà
34
49 50 79cf cf=<< =
n s  lc
b

[
)
42;44
có
4
42; 2; 30r dn= = =
và nhóm 3 là nhóm
[40;42)
có
3
49cf =
.
ng công thc, ta có trung v ca mu s u là:
50 49
42 2 42
30
e
M
−

= + ⋅≈



nh trung v ca mu s u ghép nhóm Bảng 1.
Lời giải
Có bng sau:
Nhóm
Tn
s
Tn s 

[
)
0; 4
13 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
[
)
4;8
 
[
)
8;12
 
[
)
12;16
 
[
)
16;20

S phn t ca mu là
120n =
. Ta có:
120
60
22
n
= = ⇒
n s 
n hoc b

3
8; 4; 48rdn= = =

2
42cf =
.
ng công thc, ta có trung v ca mu s u là:
60 42
8 4
9,5
48
e
M
−

=+ ⋅=


2. Ý nghĩa
Trung v ca mu s p x v ca mu s u không ghép nhóm
u và có th  n cho mu s 
IV. TỨ PHÂN VỊ
1. Định nghĩa
  t ngày c
p bng tn s ghép nhóm bao gm c tn s 
Bảng 12.
Nhóm Tn s Tn s 
[
)
0;60
6
6
[
)
60;120
13
19
[
)
120;180
13
32
[
)
180;240
6
38
[
)
240;300
2
40
40n =
Bảng 12.

e
M
ca mu s 
e
M
còn gtứ phân vị thứ hai
2
Q
ca mu s 
n s c bng
40
10
44
n
= =

BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
- 
s
 
h
, tn s
2
n
cn s 
1
f
c

1
Q

1
1
2
10
.
cf
Qs h
n

−
= +


.
 c gtứ phân vị thứ nhất
1
Q
ca mu s 
n s c bng
3 3 40
30
44
n ⋅
= =

không?

t
 
l
, tn s
3
n
ca nhóm 3 ; tân s 
2
cf
c

3
Q
c sau:
2
3
3
30
.
cf
Qt l
n

−
= +


.
 c gtứ phân vị thứ ba
3
Q
ca mu s 
Lời giải
 phn t ca mu là
40n
=
. Ta có:
40
20
22
n
= = =>
Nhóm 3 n s n hoc bng .
Xét nhóm 3 là nhóm
[
)
120;180
có
3
120; 60; 13
r dn= = =

2
19cf =
.
ng công thc, ta có trung v ca mu s u là:
20 19
120 60 125 (phút)
13
e
M
−

= + ⋅≈


n s 
19 =>
n s  lc
bng
40
10
44
n
= =
.
• 
S: 60
 
: 60h
, tn s
2
:13n
• Nhóm 1 có tn s 
1
10 6
60 60 78 (phút)
13
Q
−

⇒=+ ⋅≈


n s 
32 =>
n s  lc bng
3 3.40
30
44
n
= =
.
•  
: 60
l
, tn s
3
:13n
ca nhóm 3 ; tn s 
2
:19cf
3
30 19
120 60 171 (phút)
13
Q
−

⇒ = + ⋅≈


ng hp t
Cho mu s u ghép nhóm bao gm c tn s   Bảng 5.
 phân v th a mu s 
Tứ phân vị thứ hai
2
Q
bng trung v
'e
M
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
•  s nhóm
p
n s  lc bng
4
n
, tc là
1
4
p
n
cf
−
<

4
p
n
cf ≥
. Ta g
,,
p
shn
l n s ca nhóm
1
;
p
p cf
−
là tn
s  ca nhóm
1p −
.
Tứ phân vị thứ nhất
1
Q
c sau:
1
1
4
.
p
p
n
cf
Qs h
n
−

−

=+⋅



•  s nhóm
q
n s  lc bng
3
4
n
, tc là
1
3
4
q
n
cf
−
<

3
4
q
n
cf ≥
. Ta g
,,
q
tln
l n s ca nhóm
q
;
1q
cf
−
là tn
s  ca nhóm
1q −
.
Tứ phân vị thứ ba
3
Q
c sau:
1
3
3
4
.
q
q
n
cf
Qt l
n
−

−

= +



.
Ví dụ 6. Bng 13 cho ta bng tn s ghép nhóm s u thng cp
11 A
trong mng trung hc ph nh t phân v ca mu s u ghép

Lời giải
S phn t ca mu là
40n =
.
• Ta có:
40
10
44
n
= =
mà
2 10 12<<
n s  lc
b
2
40; 10; 10s hn= = =
và nhóm 1 là nhóm
[
)
30;40
có
1
2cf =
.
ng công thc, ta có t phân v th nht là:
( )
1
10 2
40 10 48 kg .
10
Q
−

= + ⋅=


BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
• Ta có:
40
20
22
n
= =
mà
12 20 28<<
n s  l
hoc b
[
)
50;60
có
50; 10rd= =
;
3
16n =

[
)
40;50
có
2
12
cf =
.
Áp ng công thc, ta có t phân v th 
( )
2
20 12
50 10 55 kg .
16
e
QM
−

= =+ ⋅=


• Ta có:
3 3.40
30
44
n
= =
mà
28 30 36<<
n s  l
hoc b
[
)
60;70
có
4
60; 10; 8tln= = =
và nhóm 3 là nhóm
[
)
50;60
có
3
28cf =
.
ng công thc, ta có t phân v th ba là:
( )
3
30 28
60 .10 62,5 kg .
8
Q
−

=+=


Vy t phân v ca mu s 
(
) ( )
( )
123
48 kg ; 55 kg ; 62,5 kgQQQ= = =
.
LUYỆN TẬP – VẬN DỤNG 6.  phân v ca mu s u trong Bt qu n
hàng ph
Lời giải
Có bng sau:
Nhóm Tần số Tần số tích lũy
[
)
0; 4
13 13
[
)
4;8
 
[
)
8;12
 
[
)
12;16
 
[
)
16;20

120n =
S phn t ca mu là
120n =
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
• Ta có
120
30
44
n
= =
n s c b

[
)
4;8
có
2
4; 4; 29rdn
= = =
và nhóm 1 là nhóm
[
)
0; 4
có
1
13cf
=
ng công thc, ta có
1
Q
ca mu s u là
1
30 13
4 4 6, 4
29
Q
−

⇒ =+ ⋅≈



• Có
120
60
22
n
= = =>
n s n hoc b
Xét nhóm 3 là nhóm
[
8;12

3
8; 4; 48rdn= = =

[
4;8

2
42cf =
ng
công thc, ta có
2
Q
ca mu s u là:
2
60 42
8 4 9,5
48
e
QM
−

= =+ ⋅=



• Ta có
3
90
4
n
=
n s c b
là nhóm
[
8;12

3
8; 4; 48rdn= = =

[
4;8

2
42cf =
ng công thc, ta có
3
Q
ca mu s u là:
3
90 42
8 4 12
48
Q
−

=+ ⋅=



2. Ý nghĩa
u s p x t t nh n ln, các
m
123
,,QQQ
u s n phn, mu cha
25%
.
Bng cách ghép nhóm mu s  phân v ca mu s u ghép nhóm, ta nhc
 m  n cho mu s 
Lng b 
123
,,QQQ
trong t phân v ca mu s xấp xỉ v
 trong t phân v ca mu s u.
V. MỐT
1. Định nghĩa
HĐ7. Quan sát bng tn s ghép nhóm bao gm c tn s  Ví dụ 6 t:
n s ln nht;
 a nhóm có tn s ln nht b
Cho mu s  Bảng 2.
 s nhóm
i
là nhóm có tn s ln nht. Ta g
,,
i
ugn
l n s ca
nhóm
11
;,
ii
in n
−+
lt là tn s ca nhóm
1i
−
, nhóm
1i +
.
Lời giải
tn s ln nht.
 
Mt ca mu s u
o
M
c sau:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
1
11
.
2
ii
o
ii i
nn
Mu g
nn n
−
−+

−
=+⋅

−−

Chú ý: • 
0i =

0
0; n
=
• 
im=

1
0
m
n
+
=
.
Ví dụ 7. Kt qu m tra môn Toán ca l
p bng tn s ghép nhóm ca mu s n nhóm ng vn na khong:
[
)
[
)
3; 5 , 5; 7

[
)
9;11
.
t ca mu s t qu n hàng ph
Lời giải
ng tn s ghép nhóm cho kt qu m tra môn Toán ca lp 11D.
ng va khong
[5
n s ln nht v
2
5; 2; 18
ugn= = =
.
Nhóm 1 có tn s
1
5n =
, nhóm 3 có tn s
3
10n
=
.
ng công thc, ta có mt ca mu s u là:
18 5
5 2 6, 2.
2 18 5 10
o
M
−

=+ ⋅≈

⋅ −−

LUYỆN TẬP – VẬN DỤNG 7. t ca mu s  t qu n hàng
ph
Lời giải
Có nhóm 3 là nhóm có tn s ln nht
16 10
50 10 54,3
2.16 10 8
o
M
−

⇒ =+ ⋅≈

−−

BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
2. Ý nghĩa
t, mt ca mt mu s  ln lp lu
nht t ca mu s , có th   trung tâm ca mu s
u s  
Bng cách ghép nhóm mu s t ca mu s u ghép nhóm, ta nh
m   trung tâm ca mu s 
Mt ca mu s p x vt ca mu s u.
Mt mu s u ghép nhóm có th u mt.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP
Dạng 1: Số trung bình – Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
1. Phương pháp
I. Số liệu ghép nhóm.
• Mẫu số liệu ghép nhóm thường được trình bày dưới dạng bảng thống kê có dạng như sau:
Bảng 1: Bảng tần số ghép nhóm
Nhóm
[
)
12
;uu
[
)
23
;uu
…
[
)
1
;
kk
uu
+
Tần số
1
n
2
n
…
k
n
Chú ý:
• Bảng trên gồm
k
nhóm
1
;)
jj
uu
+
với
1 jk≤≤
, mỗi nhóm gồm một số giá trị được ghép theo một
tiêu chí xác định.
• Cỡ mẫu
12 k
nn n n
= + +…+
.
• Giá trị chính giữa mỗi nhóm được dùng làm giá trị đại diện cho nhóm ấy. Ví dụ nhóm
[
)
12
;uu
có giá
trị đại diện là
( )
12
1
2
uu+
.
• Hiệu
1jj
uu
+
−
được gọi là độ dài của nhóm
)
1
;
jj
uu
+
.
Một số quy tắc ghép nhóm của mẫu số liệu
Mỗi mẫu số liệu có thể được ghép nhóm theo nhiều cách khác nhau nhưng thường tuân theo một số quy
tắc sau:
Sử dụng từ
5k =
đến
20k =
nhóm. Cỡ mẫu càng lớn thì cần càng nhiều nhóm số liệu. Các nhóm có
cùng độ dài bằng
L
thoả mãn
.R kL<
, trong đó
R
là khoảng biến thiên,
k
là số nhóm.
Giá trị nhỏ nhất của mẫu thuộc vào nhóm
[
)
12
;uu
và càng gần
1
u
càng tốt. Giá trị lớn nhất của mẫu
thuộc nhóm
[
)
1
;
kk
uu
+
và càng gần
1k
u
+
càng tốt.
II. Số trung bình.
Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:
Nhóm Nhóm 1 Nhóm 2
…
Nhóm
k
Giá trị đại diện
1
c
2
c
…
k
c
Tần số
1
n
2
n
…
k
n
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu
x
−
, được tính như sau:
11 2 2 kk
nc n c n c
x
n
−
+ +…+
=
trong đó
12
k
nn n n= + +…+
.
Ý nghĩa của số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Nó
thường dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
III. Mốt
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.
Giả sử nhóm chứa mốt là
[
)
1
;
mm
uu
+
, khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là
o
M
, được xác
định bởi công thức
( ) ( )
( )
1
1
11
mm
om m m
mm mm
nn
Mu u u
nn nn
−
+
−+
−
=+ ⋅−
− +−
Chú ý: Nếu không có nhóm kề trước của nhóm chứa mốt thì
1
0
m
n
−
=
. Nếu không có nhóm kề sau của
nhóm chứa mốt thì
1
0
m
n
+
=
.
Ýnghĩa của mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
• Mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi lấy mẫu. Mốt
của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm
o
M
xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm. Các giá trị
nằm xung quanh
o
M
thường có khả năng xuất hiện cao hơn các giá trị khác.
• Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều nhóm chứa mốt và nhiều mốt.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Tính giá trị đại điện và độ dài của mỗi nhóm trong mẫu số liệu ở bảng sau:
Khoảng tuổi
[20;30)
[30;40)
[40;50)
[50;60)
[60;70)
Số khách hàng nữ
3
?
?
?
?
Lời giải
Khoảng tuổi
[20;30)
[30;40)
[40;50)
[50;60)
[60;70)
Giá trị đại diện
25
35
45
55
65
Độ dài của nhóm
10
10
10
10
10
Ví dụ 2. Cân nặng của 28 học sinh nam lớp 11 được cho như sau:
55,4 62,6 54,2 56,8 58,8 59,4 60,7 58 59,5 63,6 61,8 52,3 63,4 57,9
49,7 45,1 56,2 63, 2 46,1 49,6 59,1 55,3 55,8 45,5 46,8 54 49,2 52,6
Hãy chia mẫu dữ liệu
trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
Lời giải
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
63,6 45,1 18,5R =−=
.
Độ dài mỗi nhóm
18,5
3, 7
5
R
L
k
>= =
.
Ta chọn
4L =
và chia dữ liệu thành các nhóm
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
45;49 , 49;53 , 53;57 , 57;61 , 61;65
.
Khi đó ta có bảng tần số ghép nhóm sau:
Cân nặng
[45;49)
[49;53)
[53;57)
[57;61)
[61;65)
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
Giá trị đại diện
47
51
55
59
63
Số học sinh
4
5
7
7
5
Ví dụ 3. Một cửa hàng đã thống kê số ba lô bán được mỗi ngày trong tháng 9 với kết quả cho như sau:
12 29 12 19 15 21 19 29 28 12 15 25 16 20 29
21 12 24 14 10 12 10 23 27 28 18 16 10 20 21
Hãy chia mẫu số liệu trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm, hiệu chỉnh bảng tần số ghép nhóm
và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
Lời giải
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
29 10 19R =−=
.
Độ dài mỗi nhóm
19
3,8
5
R
L
k
>= =
.
Ta chọn
4
L =
và chia dữ liệu thành các nhóm :
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
10;14 , 14;18 , 18;22 , 22;26 , 26;30
Khi đó ta có bảng tần số ghép nhóm sau:
Số ba lô
[10;14)
[14;18)
[18;22)
[22;26)
[26;30)
Giá trị đại diện
12
16
20
24
28
Số ngày
8
5
8
3
6
Ví dụ 4. Các bạn học sinh lớp 11A1 trả lời 40 câu hỏi trong một bải kiểm tra. Kết quả được thống kê ở bảng
sau:
Số câu trả lời đúng
[16;21)
[21;26)
[26;31)
[31;36)
[36;41)
Số học sinh
4
6
8
18
4
a)Tính giá trị đại diện
15
p
ci≤≤
, của từng nhóm số liệu.
b) Tính
1122334455
nc nc nc nc nc++++
c) Tinh
1122334455
40
nc nc nc nc nc
x
−
++++
=
.
Lời giải
a)
12 3 4 5
18, 5; 23, 5; 28, 5; 33,5; 38, 5cc c c c
= = = = =
b)
1122334455
1200nc nc nc nc nc++++=
c)
1122334455
1200
30
40 40
nc nc nc nc nc
x
−
++++
= = =
Ví dụ 5. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng
A
và
B
được cho ở bảng sau:
Cân nặng (g)
[150;155)
[155;160)
[160;165)
[165;170)
[170;175)
Số cam ở lô hàng
A
2 6 12 4 1
Số cam ở lô hàng
B
1 3 7 10 4
a) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng
A
và lô hàng
B
.
b) Nếu so sánh theo số trung bình thì cam ở lô hàng nào nặng hơn?
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 19
Lời giải
a) Ta có bảng thống kê số lượng cam theo giá trị đại diện:
Cân nặng (g)
[150;155)
[155;160)
[160;165)
[165;170)
[170;175)
Cân nặng đại diện(g)
152,5
157,5
162,5
167,5
172,5
Số cam ở lô hàng A
2
6
12
4
1
Số cam ở lô hàng B
1
3
7
10
4
Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng
A
xấp xỉ bằng
( ) ( )
2.152,5 6,157,5 12,162,5 4,167,5 1.172,5 : 25 161,7 g . ++ ++ =
Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng
B
xấp xỉ bằng
( ) ( )
1.152,5 3.157,5 7.162,5 10.167,5 4.172,5 : 25 165,1 g .+++ + =
b) Nếu so sánh theo số trung bình thì cam ở lô hàng
B
nặng hơn cam ở lô hàng
A
.
Ví dụ 6. Cân nặng của 28 học sinh nam lớp 11 được cho như sau:
55,4 62,6 54,2 56,8 58,8 59,4 60,7 58 59,5 63,6 61,8 52,3 63,4 57,9
49,7 45,1 56,2 63, 2 46,1 49,6 59,1 55,3 55,8 45,5 46,8 54 49,2 52,6
a) Hãy chia mẫu dữ liệu
trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
b) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của học sinh lớp 11
Lời giải
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
63,6 45,1 18,5R =−=
.
Độ dài mỗi nhóm
18,5
3, 7
5
R
L
k
>= =
.
Ta chọn
4L =
và chia dữ liệu thành các nhóm
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
45;49 , 49;53 , 53;57 , 57;61 , 61;65
.
Khi đó ta có bảng tần số ghép nhóm sau:
Cân nặng
[45;49)
[49;53)
[53;57)
[57;61)
[61;65)
Giá trị đại diện
47
51
55
59
63
Số học sinh
4
5
7
7
5
b) Cân nặng trung bình của học sinh trong lớp 11 xấp xỉ là:
( ) (
)
47.4 51.5 55.7 59.7 63.5 : 28 55,6 kg++++ =
Ví dụ 7. Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giả nào. Kết quả
khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá
(triệu đồng/
2
m
)
[10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30)
Số khách hàng
54
78
120
45
12
a) Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Công ty nên xây nhà ở mức giá nào để nhiều người có nhu cầu mua nhất?
Lời giải
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20
a) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm
[
)
18;22
.
Do đó
1 11
18, 78, 120, 45, 22 18 4
m m m m mm
u n n n uu
− ++
= = = = − = −=
.
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là
( ) ( )
120 78 758
18 4 19,4
120 78 120 45 39
o
M
−
= + ⋅= ≈
−+ −
b) Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán rằng nếu công ty xây nhà ở mức giá 19,4 triệu đồng/
²m
thì sẽ
có nhiều người có nhu cầu mua nhất.
Ví dụ 8. Hãy sử dụng dữ liệu ở để tư vấn cho đại lí bảo hiểm xác định khách hàng nam và nữ ở tuổi nào
hay mua bảo hiểm nhất.
Số khách hàng mua bảo hiểm ở từng độ tuổi được thống kê như sau:
Độ tuổi
[20;30)
[30;40)
[40;50)
[50;60)
[60;70)
Số khách hang nam
4
6
10
7
3
Số khách hang nữ
3
9
6
4
2
Lời giải
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu khách hàng nam là
[
)
40;50
.
Do đó
111
40, 6; 7; 50 40 10
m m m mm
u n n uu
−++
= = = −=−=
Mốt của mẫu số liệu nhóm khách hàng nam là:
( ) ( )
0
10 6
40 10 45,7
10 6 10 7
M
−
= + ⋅=
−+ −
Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán được khách hàng nam 46 tuổi có nhu cầu mua bảo hiểm cao nhất
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu khách hàng nữ là
[
)
30;40
Do đó
111
30, 3; 6; 40 30 10
m m m mm
unnuu
−++
= = = −=−=
Mốt của mẫu số liệu nhóm khách hàng nam là:
( ) ( )
0
93
30 10 36,7
93 96
M
−
=+ ⋅=
−+−
Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán được khách hàng nữ 37 tuổi có nhu cầu mua bảo hiểm cao nhất
Ví dụ 9. Số cuộc gọi điện thoại một người thực hiện mỗi ngày trong 30 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên
được thống kê trong bảng sau:
Số cuộc gọi
[3;5]
[6;8]
[9;11]
[12;14]
[15;17]
Số ngày
5
13
7
3
2
a)Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Hãy dự đoán xem khả năng người đó thực hiện bao nhiêu cuộc gọi mỗi ngày là cao nhất.
Lời giải
Hiệu chỉnh bảng lại như sau:
Số cuộc gọi
[2,5;5,5)
[5,5;8,5)
[8,5;11,5)
[11,5;14,5)
[14,5;17,5)
Số ngày
5
13
7
3
2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
a) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm
[
)
5,5;8,5
.
Do đó
1 11
5,5; 5; 13; 7; 8,5 5,5 3
m m m m mm
u n n n uu
− ++
= = = = −= − =
.
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là
( ) ( )
13 5 101
5,5 3 7, 2
13 5 13 7 14
o
M
−
= + ⋅= ≈
−+ −
b) Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán rằng khả năng người đó thực hiện 7 cuộc gọi mỗi ngày là cao
nhất.
Ví dụ 10. Anh Văn ghi lại cự li 30 lần ném lao của mình ở bảng sau (đơn vị: mét):
72,1
72,9
70,2
70,9
72,2
71,5
72,5
69,3
72,3
69,7
72,3
71,5
71,2
69,8
72,3
71,1
69,5
72,2
71,9
73,1
71,6
71,3
72,2
71,8
70,8
72,2
72,2
72,9
72,7
70,7
a) Tính cự li trung bình của mỗi lần ném.
b) Tổng hợp lại kết quả ném của anh Văn vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Cự li (m)
[69,2;70)
[70;70,8)
[70,8;71,6)
[71,6;72,4)
[72,4;73,2)
Số lần
?
?
?
?
?
c) Hãy ước lượng cự li trung bình mỗi lần ném từ bảng tần số ghép nhóm trên.
d) Khả năng anh Văn ném được khoảng bao nhiêu mét là cao nhất?
Lời giải
a) Cự li trung bình của mỗi lần ném là 71,6 (m)
b) Bảng tần số ghép nhóm
Cự li (m)
[69,2;70)
[70;70,8)
[70,8;71,6)
[71,6;72,4)
[72,4;73,2)
Số lần
4
2
9
10
5
c)
Cự li (m)
[69,2;70)
[70;70,8)
[70,8;71,6)
[71,6;72,4)
[72,4;73,2)
Giá trị đại diện
69,6
70,4
71,2
72
72,8
Số lần
4
2
9
10
5
Cự li trung bình mỗi lần ném xấp xỉ bằng
( )
69,6.4 70,4.2 71,2.9 72.10 72,8.5
71,5 m
30
+ + ++
=
d) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là
[
)
71,6;72,4
Do đó:
111
71,6; 9; 5; 72,4 71,6 0,8
m m m mm
u n n uu
−++
= = = −= − =
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:
( ) ( )
( )
0
10 9
71,6 0,8 71,7 m
10 9 10 5
M
−
= + ⋅=
−+ −
Vậy khả năng anh Văn ném được 71,7 m là cao nhất
Dạng 2: Xác Định Trung Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
1. Phương pháp:
I. Trung vị.
• Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường ( rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác),
người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng trung vị.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22
• Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm
thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa.
Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
• Gọi
n
là cỡ mẫu.
• Giả sử nhóm
[
)
1
;
mm
uu
+
chứa trung vị;
•
m
n
là tần số của nhóm chứa trung vị;
•
12 1
...
m
Cnn n
−
= + ++
.
Khi đó
( )
1
2
em m m
m
n
C
Mu u u
n
+
−
=+ ⋅−
Ý nghĩa của trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
• Từ dữ liệu ghép nhóm nói chung không thể xác định chính xác trung vị của mẫu số liệu gốc. Trung vị
của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho
mẫu số liệu.
2. Ví dụ
Ví dụ 1.
Kết quả khảo sát cân nặng của 1 thùng táo ở một lô hàng cho trong bảng sau:
Cân n
ặng (g)
)
0;155
)
5;160
)
0;165
)
5;170
)
0;175
Số quả táo
4
7
12
6
2
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Lời giải
Gọi
1 2 31
; ;...;xx x
là cân nặng của
31
quả bơ xếp theo thứ tự không giảm.
Do
[
)
12 4
; ;...; 150;155xx x
∈
;
[
)
5 6 11
; ;...; 155;160xx x∈
nên trung vị của mẫu số liệu
1 2 31
; ;...;xx x
là
[
)
16
160;165x ∈
.
Ta xác định được
1
31, 12, 4 7 11, 160, 165
m mm
nn C u u
+
= = =+= = =
.
Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
( )
31
11
2
160 165 160 161,875
12
e
M
−
=+ ⋅−=
.
Ví dụ 2.
Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 12 tiến hành thu nhặt vỏ lon nước ngọt để tái chế. Nhà
trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ lon nước ngọt của học sinh khối 12 ở bảng sau:
Số vỏ lon
[ ]
11;15
[ ]
16;20
[ ]
21;25
[ ]
26;30
[ ]
31;35
Số học sinh
58
87
54
44
23
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Lời giải
Do số vỏ chai là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23
Số
vỏ
lon
[
)
10,5;15,5
[
)
15,5;20,5
[
)
20,5;25,5
[
)
25,5;30,5
[
)
30,5;35,5
Số
học
sinh
58
87
54
44
23
Số học sinh tham gia thu nhặt vỏ lon nước ngọt là
58 87 54 44 23 266n =++++=
.
Gọi
1 2 266
; ;...;xx x
lần lượt là số vỏ chai
266
học sinh khối 12 thu nhặt được xếp theo thứ tự không giảm.
Do
[
)
1 2 58
; ;...; 10,5;15,5xx x∈
;
[
)
59 55 145
; ;...; 15,5;20,5xx x
∈
nên trung vị của mẫu số liệu
1 2 240
; ;...;xx x
là
( )
[
)
133 134
1
15,5;20,5
2
xx+∈
.
Ta xác định được
1
266, 87, 58, 15,5, 20,5
m mm
n n Cu u
+
= = = = =
và
1
20,5
m
u
+
=
.
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
( )
266
58
2
15,5 20,5 15,5 19,81
87
e
M
−
=+ ⋅−≈
.
Dạng 3: Xác Định Tứ Phân Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
1. Phương pháp:
Tứ phân vị
Công thức xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu
2
Q
, cũng chính là trung vị của mẫu số liệu
ghép nhóm.
Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu
1
Q
, ta thực hiện như sau:
• Giả sử nhóm
[
)
1
;
mm
uu
+
chứa tứ phân vị thứ nhất;
•
m
n
là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất;
•
12 1
m
Cnn n
−
= + +…+
Khi đó
( )
11
4
m mm
m
n
C
Qu u u
n
+
−
=+ ⋅−
Tương tự, để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu
3
Q
, ta thực hiện
như sau:
• Giả sử nhóm
)
1
;
jj
uu
+
chứa tứ phân vị thứ ba;
•
j
n
là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba;
•
12 1j
Cnn n
−
= + +…+
Khi đó
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24
(
)
31
3
4
j jj
j
n
C
Qu u u
n
+
−
=+ ⋅−
Ý nghĩa của tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
• Ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm thành bốn phần đều nhau.
Giống như với trung vị, nói chung không thể xác định chính xác các điểm tứ phân vị của mẫu số liệu
ghép nhóm.
• Bộ ba tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và
được sử dụng làm giá trị đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
• Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba đo xu thế trung tâm của nửa dưới (các dữ liệu nhỏ hơn
2
Q
) và nửa trên
(các dũ liệu lớn hơn
2
Q
) của mẫu số liệu.
2. Ví dụ
Ví dụ 1.
Tiền lương nhận được trong 1 giờ làm việc của nhân viên công ty A được thống kê theo mẫu số liệu ghép
nhóm sau (đơn vị: ngàn đồng):
Hãy xác định các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
Lời giải
Gọi
1 2 65
xx x≤ ≤…≤
là tiền lương của 65 nhân viên nhận được trong 1 giờ.
Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu
5
12
6
;;;xx x…
là
[
)
33
70;80
x ∈
. Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu
ghép nhóm là
( )
( )
2
2.65
8 10
4
70 80 70 79,0625
16
Q
−+
=+ ⋅− =
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu
512 6
;;;xx x
…
là
[
)
17
60;70x ∈
. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu
ghép nhóm là
( )
1
10
1 65
8
4
60 70 60 68,25Q
⋅
−
=+ ⋅−=
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu
512 6
;;;xx x
…
là
[
)
49
90;100x ∈
. Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu
ghép nhóm là
( )
( )
3
5
8 10 16
3 65
4
90 10
1
14
0 90 90,7
0
Q
⋅
++
= =
+−
+ ⋅−
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 25
Chú ý: Nếu tứ phân vị thứ k là
( )
1
1
2
mm
xx
+
+
, trong đó
)
1
;
m jj
x uu
−
∈
và
)
11
;
m jj
x uu
++
∈
thuộc hai nhóm liên
tiếp thì ta lấy
kj
Qu=
.
Ví dụ 2. Mức lương hàng tháng ở 1 công ty được Công đoàn thu thập theo bảng sau( đơn vị triệu đồng):
Mức lương
[
)
6;10
[
)
10;15
[
)
15;20
[
)
20;25
[
)
25;30
Nhân viên
17
38
27
21
7
a) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Chủ tịch Công đoàn muốn đề nghị hỗ trợ cho nhóm 25% số nhân viên có mức lương thấp nhất và ước lượng
rằng số nhân viên này không ít hơn 10. Nhận định của chủ tịch có hợp lí hay không?
Lời giải
a)
Gọi
01 112
xx x≤ ≤…≤
là mức lương của 110 nhân viên nhận được công ty trả trong 1 tháng.
Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu
01 112
xx x≤ ≤…≤
là
( )
655 5
1
2
x x+
. Do
[
)
55
10;15x ∈
và
[
)
56
15;20x ∈
.
Nên đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là
2
15Q =
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu
112
10
;;;xx x
…
là
( )
27 28
1
2
x x+
. Do
[
)
27
10;15
x ∈
và
[
)
28
10;15x
∈
đó tứ
phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
(
)
1
3
1 110
17
4
1
8
0 15 10 11,38Q
⋅
−
=+ ⋅−≈
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu
112
10
;;;xx x…
là
( )
82 83
1
2
x x+
. Do
[
)
82
15;20x ∈
và
[
)
83
20;25x ∈
đó tứ
phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
3
20 Q =
.
b) Do tứ phân vị thứ nhất
11,38≈
nên nhận định trên là không hợp lí.
C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Mu s  c mt tr 
   55   53 55,5  
51         53,5
         
     55    
p bng tn s ghép nhóm cho mu s ng v na khong:
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
40;45 , 45;50 , 50;55 , 55;60 , 60;65 , 65;70
nh s ng, trung v, t phân v ca mu s 
t ca mu s 
Lời giải
ng tn s ghép nhóm bao gm c  n là:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 26
Nhóm
Giá trị đại
diện
Tần
số
[
)
40;45

[
)
45;50
 11
[
)
50;55

[
)
55;60

[
)
60;65

[
)
65;70

n
ng là:
_
42,5.4 47,5.11 52,5.7 57,5.8 62,5.8 67,5.2
53,875
40
x
+ ++++
= =
Trung v là:
Có bng ghép nhóm bao gm c tn s 
Nhóm
Tần
số
Tần số tích
lũy
[
)
40;45
[
)
45;50
11 15
[
)
50;55

[
)
55;60

[
)
60;65

[
)
65;70

BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 27
S phn t ca mu là
40n =
. Ta có:
40
20
22
n
= = ⇒
n s 
ln hoc b
Xét nhóm 3 là nhóm
[
)
50;55
có
3
50; 5; 7r dn
= = =

[
)
45;50
có
2
15cf
=
.
ng công thc, ta có trung v ca mu s u là:
( )
20 15
50 5 53,6 km / h
7
e
M
−

= + ⋅≈


1
Q
là:
S phn t ca mu là
40n =
.
Ta có
40
10
44
n
= =
n s c b

[
)
45;50
có
45;r
=

[
)
1
40;45 4cf =
ng công thc, ta có
1
Q
ca mu s u là
( )
1
10 4
45 5 47,7 km / h
11
Q
−

= + ⋅≈


2
Q
là:
( )
2
Có 53,6 km / h
e
QM= ≈
3
Q
là:
Ta có
3
30
4
n
=
n s c b

[
)
55;60
có
4
55; 5; 8
r dn= = =
và nhóm 3 là nhóm
[
50;55

3
22cf =
ng công thc, ta có
3
Q
ca mu s u là:
( )
3
30 22
55 5 60 km / h
8
Q
−

= + ⋅=


t ca mu s u là
n s ln nht
11 4
45 5 43,2
2.11 4 7
o
M
−

⇒ = + ⋅≈

−−

Bài 2. Mu s ng cn h
     51    
         
         
 Lp bng tn s ghép nhóm cho mu s ng va khong :
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
15;20 , 20;25 , 25;30 , 30;35 , 35;40 , 40;45 , 45;50 , 50;55
nh s ng, trung v, t phân v ca mu s 
t ca mu s 
Lời giải
ng tn s ghép nhóm bao gm c  n là
Nhóm
Giá trị đại
diện
Tần
số
[
)
15;20
 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 28
[
)
20;25

[
)
25;30

[
)
30;35
 1
[
)
35;40
 
[
)
40;45
 
[
)
45;50

[
)
50;55
 
ng là:
_
17,5 32,5 37,5.10 42,5.17 52,5
40
30
x
++ + +
= =
Trung v là:
Có bng ghép nhóm bao gm c tn s 
Nhóm
Tần
số
Tần số tích
lũy
[
)
15;20
1 1
[
)
20;25
1
[
)
25;30
1
[
)
30;35
1
[
)
35;40
 
[
)
40;45
 
[
)
45;50

[
)
50;55
1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 29
S phn t ca mu là
30n =
. Ta có:
ng công thc, ta có trung v ca mu s u là:
15 12
40 5 40,9 (kilôgam)
17
e
M
−

= + ⋅≈


1
Q
là:
S phn t ca mu là
30n =
.
Ta có
30
7,5
44
n
= =
n s c b
Xét nhóm 5 là nhóm
[
)
35;40
có
5
35; 5; 10r dn= = =

4
2cf =
Áp
ng công thc, ta có
1
Q
ca mu s u là
1
7,5 2
35 5 37,75 (kilôgam)
10
Q
−

= + ⋅=


2
Q
là: Có
2
40,9
e
QM= ≈

3
Q
là:
Ta có
3
22,5
4
n
=
n s c b

6
40; 5; 17r dn= = =
và nhóm 5 là nhóm [
35;40

5
12cf
=
ng công thc, ta có
3
Q
ca mu s u là:
3
22,5 12
40 5 43,1 (kilôgam)
17
Q
−

= + ⋅=


t ca mu s u là:
n s ln nht
17 10
40 5 41,46
2.17 10
o
M
−

= + ⋅≈

−

Bài 3. Bng 15 cho ta bng tn s ghép nhóm s u thng
u cao cu cây mn thc v:

nh s ng, trung v, t phân v
ca mu s u ghép 
 t ca mu s      

Bng 15
Lời giải
ng ghép nhóm bao gm c  n là:
Nhóm
Giá trị đại
diện
Tần số
Nhóm
Tần số Tần số tích
lũy













40n =
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 30
[
)
30;40
35
[
)
40;50
 
[
)
50;60
55 
[
)
60;70

[
)
70;80

[
)
80;90

ng là:
_
35.4 45.10 55.14 65.6 75.4 85.2
55, 5
40
x
+ + +++
= =
Trung v là
S phn t ca mu là
40n =
. Ta có:
40
20
22
n
= = =>
Nhóm 3 n s n hoc bng .
Xét nhóm 3 là nhóm
[
)
50;60
có
3
50; 10; 14rdn
= = =

[45;50

2
14cf
=
.
ng công thc, ta có trung v ca mu s u là:
20 14
50 10 54,3 (centimét)
14
e
M
−

=+ ⋅≈


1
Q
là:
S phn t ca mu là
40n =
.
Ta có
40
10
44
n
= =
n s c b

2
40; 10; 10rdn= = =

1
4cf =
ng công thc, ta có
1
Q
ca mu s u là:
1
10 4
40 10 46 (centimét)
10
Q
−

= + ⋅≈


2
Q
là Có
2
54,3
e
QM= ≈

3
Q
là:
Ta có
3
30
4
n
=
n s c b

[
)
60;70
có
4
60; 10; 6rdn= = =
và nhóm 3 là nhóm
[
50;60

3
28cf =
.
ng công thc, ta có
3
Q
ca mu s u là:
3
30 28
60 10 63,3 (centimét)
6
Q
−

=+ ⋅=


t ca mu s u là:
Có nhóm 3 là nhóm có tn s ln nht
14 10
50 10 53,3
2.14 10 6
o
M
−

=+ ⋅≈

−−

.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 31
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Khảo sát thời gian xem ti vi trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu
ghép nhóm sau:
(Dựa vào mẫu số liệu ghép nhóm trên, hãy trả lời các câu hỏi từ 1 đến 5).
Câu 1: Giá trị đại diện của nhóm
[
)
60;80
là
A.
40
. B.
70
. C.
60
. D.
30
.
Lời giải
Chọn B
Ta có giá trị đại diện là
60 80
70
2
+
=
.
Câu 2: Nhóm
[
)
20;40
có tần số là
A.
5
. B.
9
. C.
12
. D.
10
.
Lời giải
Chọn B
Tần số của nhóm
[
)
20;40
là
9
.
Câu 3: Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là
A.
[
)
80;100
. B.
[
)
20;40
. C.
[
)
40;60
. D.
[
)
60;80
.
Lời giải
Chọn C
Tần số lớn nhất là
12
nên nhóm chứa mốt là
[
)
40;60
.
Câu 4: Nhóm chứa trung vị là
A.
[
)
0; 20
. B.
[
)
20;40
. C.
[
)
40;60
. D.
[
)
60;80
.
Lời giải
Chọn C
Cỡ mẫu là:
5 9 12 10 6 42n
=++++=
.
Trung vị là
21 22
2
xx+
. Do hai giá trị
21 22
,xx
thuộc nhóm
[
)
40;60
nên nhóm chứa trung vị là
[
)
40;60
.
Câu 5: Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
A.
[
)
0; 20
. B.
[
)
20;40
. C.
[
)
40;60
. D.
[
)
60;80
.
Lời giải
Chọn B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 32
Tứ phân vị thứ nhất là
11
x
. Do
11
x
thuộc nhóm
[
)
20;40
nên nhóm chưa tứ phân vị thứ nhất là
[
)
20;40
.
Câu 6: Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập ( đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả
sau:
Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là
A.
7
. B.
11, 3
. C.
10, 4
. D.
12,5
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là:
2.2 4.6 7.10 4.14 3.18
10, 4
20
x
++ + +
= =
(phút).
Dựa vào mẫu số liệu ghép nhóm sau đây, hãy trả lời các câu hỏi từ 7 đến 9.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của
25
cây dừa giống như sau:
Câu 7: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A.
70
3
o
M =
. B.
50
3
o
M
=
. C.
70
2
o
M =
. D.
80
3
o
M =
.
Lời giải
Chọn A
Tấn số lớn nhất là 7 nên nhóm chưa mốt là
[
)
20;30
. Ta có:
3j =
,
3
20a =
,
3
7m =
,
24
6, 5mm= =
,
10h =
. Do đó:
( ) ( )
7 6 70
20 .10
76 75 3
o
M
−
=+=
−+−
.
Câu 8: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A.
175
7
e
M =
. B.
165
5
e
M =
. C.
165
7
e
M =
. D.
165
3
e
M =
.
Lời giải
Chọn C
Cỡ mẫu:
4675325n =++++=
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 33
1 2 25
, ,...,xx x
là chiều cao của 25 cây dừa giống được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó,
trung vị là
13
x
. Do
13
x
thuộc nhóm
[
)
20;30
nên nhóm này chứa trung vị. Do đó:
3p =
,
3
20
a =
,
3
7m =
,
12
10mm
+=
,
43
10aa
−=
. Do đó:
25
10
165
2
20 .10
77
e
M
−
=+=
.
Câu 9: Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A.
1
13, 5Q
=
. B.
1
13, 9Q =
. C.
1
15,75Q =
. D.
1
13,75
Q =
.
Lời giải
Chọn D
Cỡ mẫu:
4675325n
=++++=
.
Tứ phân vị thứ nhất
1
Q
là
67
2
xx+
. Do
67
,xx
đều thuộc nhóm
[
)
10;20
nên nhóm này chứa
1
Q
.
Do đó:
2
p
=
,
2
10a =
,
2
6m =
,
1
4
m =
,
32
10aa−=
. Ta có:
1
25
4
4
10 .10 13,75
6
Q
−
=+=
.
Câu 10: Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập ( đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả
sau:
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A.
3
13Q =
. B.
3
14Q
=
. C.
3
15Q =
. D.
3
12Q =
.
Lời giải
Chọn B
Cỡ mẫu:
2 4 7 4 3 20n =++++=
.
Tứ phân vị thứ ba
3
Q
là
15 16
2
xx+
. Do
15 16
,
xx
đều thuộc nhóm
[
)
12;16
nên nhóm này chứa
3
Q
.
Do đó:
4p =
,
4
12a =
,
4
4
m =
,
123
2 4 7 13mmm
+ + =++=
,
54
4aa−=
. Ta có:
3
3.20
13
4
12 .4 14
4
Q
−
=+=
.
Câu 11: Mẫu số liệu
( )
T
được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm sau:
Điền từ thích hợp vào chỗ trống: “Mẫu số liệu
( )
T
là mẫu số liệu …”
A. Ghép cặp. B. Ghép nhóm. C. Không ghép cặp. D. Không ghép nhóm.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 34
Lời giải
Chọn B
Mẫu số liệu
(
)
T
là mẫu số liệu ghép nhóm.
Câu 12: Cho mẫu số liệu về chiều cao (cm) của các học sinh nữ trong khối
11
của một trường như sau:
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu số liệu, bao nhiêu nhóm?
A.
145
số liệu;
6
nhóm. B.
30
số liệu;
5
nhóm. C.
6
số liệu;
145
nhóm. D.
5
số liệu;
30
nhóm.
Lời giải
Chọn A
Mẫu số liệu
( )
T
có:
20 45 34 27 15 4 145+ + + + +=
(số liệu).
6
nhóm:
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
145;150 ; 150;155 ; 155;160 ; 160;165 ; 165;170 ; 170;175
.
Câu 13: Cho mẫu số liệu về chiều cao (cm) của các học sinh nữ trong khối
11
của một trường như sau:
Số học sinh nữ cao từ
150
cm đến
155
cm là:
A.
20
. B.
65
. C.
34
. D.
45
.
Lời giải
Chọn D
Theo bảng số liệu trên, số học sinh nữ cao từ
150
cm đến
155
cm là
45
học sinh.
Câu 14: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của các học sinh trong một
lớp
11
của một trường như sau:
Tần số tích lũy của nhóm
[
)
10;15
là:
A.
12
. B.
19
. C.
26
. D.
7
.
Lời giải
Chọn C
Tần số tích lũy của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút
phải của nhóm đó.
Tần số tích lũy của nhóm
[
)
10;15
là
7 12 7 26+ +=
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 35
Câu 15: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê thời gian hoàn thành (phút) một bài kiểm tra trực tuyến
của
100
học sinh, ta có bảng số liệu sau:
Thời gian trung bình để
100
học sinh hoàn thành bài kiểm tra là:
A.
38,92
phút. B.
38, 29
phút. C.
39,28
phút. D.
39,82
phút.
Lời giải
Chọn A
Giá trị đại diện của mỗi nhóm số liệu là trung bình cộng của hai đầu mút.
Ta có bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện của mỗi nhóm:
Thời gian trung bình để
100
học sinh hoàn thành bài kiểm tra là:
4.34 13.36 38.38 27.40 14.42 4.44
38,92
100
x
+++++
= =
(phút).
Câu 16: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê chiều cao (mét) của
35
cây bạch đàn trong rừng, ta có
bảng số liệu sau:
Tính chiều cao trung bình của
35
cây bạch đàn trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).
A.
(
)
7,407 m
. B.
( )
4,707 m
. C.
( )
7,704 m
. D.
(
)
7,5 m
.
Lời giải
Chọn A
Giá trị đại diện của mỗi nhóm số liệu là trung bình cộng của hai đầu mút.
Ta có bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện của mỗi nhóm:
Chiều cao trung bình của
35
cây bạch đàn là:
( )
6.6,75 15.7, 25 11.7,75 3.8,25
7,407
35
xm
+++
= =
.
Câu 17: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong
30
ngày, ta có bảng số
liệu sau:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 36
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
A.
24
. B.
25
. C.
22
. D.
23
.
Lời giải
Chọn D
Nhóm
2
ứng với nửa khoảng
[
)
21; 24
là nhóm có tần số lớn nhất với
21u =
;
3
g =
;
2
12n =
(với
2
,,ugn
lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm
2
).
Nhóm
1
có tần số
1
6n =
; Nhóm
3
có tần số
3
9n =
.
Ta có mốt của mẫu số liệu là:
12 6
21 .3 23
2.12 6 9
o
M
−

=+=

−−

.
Câu 18: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê thời gian chạy
50
m của
20
học sinh, ta có bảng số liệu
sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
A.
9,72
. B.
9, 27
. C.
7,92
. D.
7,29
.
Lời giải
Chọn C
Nhóm
1
ứng với nửa khoảng
[
)
7,8; 8, 0
là nhóm có tần số lớn nhất với
7,8u =
;
0, 2g =
;
1
9n =
(với
1
,,ugn
lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm
1
).
Nhóm
0
có tần số
0
0n =
; Nhóm
2
có tần số
2
3n =
.
Ta có mốt của mẫu số liệu là:
90
7,8 .0,2 7,92
2.9 0 3
o
M
−

=+=

−−

.
Câu 19: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê điểm số (thang điểm
20
) của
100
học sinh tham dự kỳ
thi học sinh giỏi toán, ta có bảng số liệu sau:
Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A.
12,18
. B.
12,81
. C.
13,35
. D.
13,53
.
Lời giải
Chọn D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 37
Ta có bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:
Số phần tử của mẫu là
100n =
. Ta có:
100
50
22
n
= =
.
Mà
23
27 50 57cf cf=<< =
. Suy ra nhóm
3
là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc
bằng
50
.
Xét nhóm
3
là nhóm
[
)
12;14
có
12r =
;
2d =
;
3
30n =
(với
3
;;rdn
lần lượt là đầu mút trái; độ
dài; tần số của nhóm
3
).
Nhóm
2
là nhóm
[
)
10;12
có
2
27
cf
=
(với
2
cf
là tần số tích lũy của nhóm
2
).
Ta có trung vị của mẫu số liệu là:
50 27
12 .2 13,53
30
e
M
−

=+=


.
Câu 20: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê huyết áp của
20
người, ta có bảng số liệu sau:
Tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
A.
74
. B.
85
. C.
96
. D.
101
.
Lời giải
Chọn B
Ta có bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:
Số phần tử của mẫu là
20n =
. Ta có:
20
5
44
n
= =
.
Mà
12
45 6cf cf=<< =
. Suy ra nhóm
2
là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng
5
.
Xét nhóm
2
là nhóm
[
)
80;90
có
80s =
;
10h =
;
2
2n =
(với
2
;;shn
lần lượt là đầu mút trái; độ
dài; tần số của nhóm
2
).
Nhóm
1
là nhóm
[
)
70;80
có
1
4cf =
(với
1
cf
là tần số tích lũy của nhóm
1
).
Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 38
1
54
80 .10 85
2
Q
−

=+=


.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ BIẾN CỐ GIAO. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP.
CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT.
Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần (Hình 1). Xét
các biến cố ngẫu nhiên:
A: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn”
B: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3”
Trong mục này, ta luôn giả thiết phép thử
T
có không gian mẫu là tập hợp
Ω
gồm hữu hạn phần tử và các
kết quả của phép thử là đồng khả năng, các biến cố đều liên quan đến phép thử đó.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ
1. Biến cố hợp
HĐ 1: Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần”. Gọi
Ω
là không gian
mẫu của phép thử đó. Xét hai biến cố
A
và
B
nêu trong bài toán ở phần mở đầu.
a) Viết các tập con
,AB
của tập hợp
Ω
tương ứng với các biến cố
,AB
.
b) Đặt
CAB
= ∪
. Phát biểu biến cố
C
dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.
Lời giải
a) Có
{ } {
}
2; 4; 6 ; 3; 6AB
= =
.
b) Biến cố
C
là “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc chia hết cho 3”.
Ta có định nghĩa sau:
Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi
α
cho biến cố
C
, tức là
C
α
∈
. Vì
CAB= ∪
nên
A
α
∈
hoặc
B
α
∈
.
Nói cách khác,
α
là một kết quả thuận lợi cho biến cố
A
hoặc biến cố
B
. Điều đó có nghĩa là biến cố
A
hoặc biến cố
B
xảy ra. Vì vậy, biến cố
C
có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “
A
xảy ra
hoặc
B
xảy ra ” hay “có ít nhất một trong các biến cố
,AB
xảy ra”.
Ví dụ 1: Trong hộp kín có 10 quả bóng màu xanh và 8 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có kích thước và
khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng. Xét các biến cố :
A : “Hai quả bóng lấy ra có màu xanh”.
B : “Hai quả bóng lấy ra có màu đỏ”.
Chọn phát biểu đúng trong những phát biểu sau đây :
a) Biến cố hợp của hai biến cố
A
và
B
là “Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh”.
Cho hai biến cố
A
và
B
. Khi đó
,AB
là các tập con của không gian mẫu
Ω
. Đặt
CAB= ∪
, ta có
C
là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố
A
và
B
, kí hiệu là
AB∪
Ta có thể thực hiện những phép
toán nào trên hai biến cố và
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
b) Biến cố hợp của hai biến cố
A
và
B
là “Hai quả bóng lấy ra khác nhau”.
c) Biến cố hợp của hai biến cố
A
và
B
là “Hai quả bóng lấy ra có cùng màu”.
Giải
Phát biểu a) đúng ; phát biểu b) sai ; phát biểu c) đúng.
Lời giải
Biến cố hợp của hai biến cố
A
và
B
là: "Chiếc thẻ rút ra là số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 4".
2. Biến cố giao
HĐ2: Đối với các tập hợp
,AB
trong Hoạt động 1, ta đặt
DAB= ∩
. Phát biểu biến cố
D
dưới dạng
mệnh đề nêu sự kiện.
Lời giải
Biến cố
D
là: "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn chia hết cho 3".
Ta có định nghĩa như sau:
Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi
β
cho biến cố
D
, tức là
D
β
∈
. Vì
DAB= ∩
nên
A
β
∈
và
B
β
∈
.
Nói cách khác,
β
là một kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố
A
và
B
. Điều đó có nghĩa là cả hai biến cố
A
và
B
cùng xảy ra. Vì vậy, biến cố
D
có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả
A
và
B
cùng xảy ra”.
Ví dụ 2. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 52; hai thẻ
khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện
trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho
4”. Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B,
AB∩
.
Lời giải
Ta có
{ } { }
3;6;9;12;15;...;48;51 ; 4;8;12;16;20;...;48; 52AB= =
;
{ }
12;24;36;...;48AB∩=
.
Luyện tập 2. Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
A: “Số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số lẻ” và B: “Số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ”.
Phát biểu biến cố
AB∩
dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.
Lời giải
Biến cố giao của hai biến cố
A
và
B
là: ""Sau khi gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai
lần liên tiếp, số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số chẵn và số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ".
3. Biến cố xung khắc
HĐ3. Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”.
Gọi
Ω
là không gian mẫu của phép thử đó. Xét các biến cố:
Luyện tập 1. Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,…,12; hai
thẻ khác nhau thi ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố: “Số xuất
hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia
hết cho 4”. Phát biểu biến cố
AB∪
dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.
Cho hai biến cố
A
và
B
. Khi đó
,AB
là các tập con của không gian mẫu
Ω
. Đặt
DAB= ∩
, ta có
D
là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố
A
và
B
, kí hiệu là
AB∩
hay
AB
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số lẻ”;
B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn”.
a) Viết các tập con A, B của không gian mẫu
Ω
tương ứng với các biến cố A, B.
b) Tìm tập hợp
AB∩
.
Lời giải
a)
{
}
{ }
6;
1; 3; 5 2; 4; AB
= =
.
b)
AB∩=∅
Ta có định nghĩa sau:
Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu
Ω
. Nếu
AB∩=∅
thì A và B
gọi là hai biến cố xung khắc.
Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi
γ
cho biến cố A, tức là
A
γ
∈
. Vì
AB∩=∅
nên
B
γ
∉
, tức là
γ
không là một kết quả thuận lợi cho biến cố B. Do đó, hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi nếu biến
cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.
Ví dụ 3. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
A: “Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần gieo thứ nhất”;
B: “Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần gieo thứ nhất”.
Hai biến cố trên có xung khắc hay không?
Lời giải
Ta thấy:
{ } { }
,; ,A SS NN B NS NN= =
.
Suy ra
AB∩=∅
. Do đó, A và B là hai biến cố xung khắc.
Luyện tập 3. Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Hai biến cố sau có
xung khắc không?
A: “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 5”;
B: “Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 6”;
Lời giải
Có
{
}
2; 3; 4A =
;
{ }
7; 8; 9; 10; 11; 12B
=
AB⇒∩=∅
.
Vậy
A
và
B
là hai biến cố xung khắc.
4. Biến cố độc lập
HĐ4. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
A: “Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần gieo thứ nhất”;
B: “Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần gieo thứ hai”.
Đối với hai biến cố A, B, hãy cho biết một kết quả thuận lợi cho biến cố này có ảnh hưởng gì đến xác
xuất xảy ra của biến cố kia hay không.
Lời giải
Một kết quả thuận lợi cho biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia .
Ta có định nghĩa sau:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến
cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
Chú ý: Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập: A và
B
;
A
và B;
A
và
B
.
Ví dụ 4. Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối
lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng
trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:
A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”;
B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
a) Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao?
b) Hai biến cố A và B có xung khắc không? Vì sao?
Lời giải
a) Trước hết, biến cố
B
xảy ra sau biến cố
A
nên việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố
B
không
làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố
A
.
Mặt khác, ta có: xác suất của biến cố
B
khi biến cố
A
xảy ra bằng
4
7
; xác suất của biến cố
B
khi biến
cố
A
không xảy ra cũng bằng
4
7
. Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố
A
không làm ảnh
hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố
B
. Vậy hai biến cố
A
và
B
là độc lập.
b) Ta thấy kết quả (xanh ; đỏ) là kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố
A
và
B
. Vì thế
A
và
B
không là hai biến cố xung khắc.
Luyện tập 4. Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Hai biến cố sau có
xung khắc không?
A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số nguyên tố”;
B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là hợp số”.
Hai biến cố A và B có độc lập không? Có xung khắc không? Vì sao?
Lời giải
Ta có
{ } { }
2; 3; 5 ; 4; 6 AB= =
⇒
Biến cố
A
và
B
là hai biến cố độc lập với nhau. Điều này có nghĩa là xảy ra biến cố
A
không ảnh
hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố
B
, và ngược lại. Việc gieo xúc xắc cân đối và đồng chất là một
quá trình độc lập và không liên quan đến nhau.
⇒
Biến cố
A
và
B
là hai biến cố xung khắc vì
AB
∩=∅
.
III. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
1. Công thức cộng xác suất
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20. Xét biến cố
A
: "Số được viết ra là số
chia hết cho 2 " và biến cố
B
: "Số được viết ra là số chia hết cho 7".
a) Tính
P( ),P( ),P( )A B AB∪
và
P( )AB∩
.
b) So sánh
P( )AB∪
và
P( ) P( ) P( )A B AB+ −∩
.
Lời giải
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
Có
{ } {
}
2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20 , 7; 14AB= =
( )
10 1 2 1 1 11
; ;
20 2 20 10 20 20
() () ( )
( ) () () ( )
PA PB PA B P A B
CóPA B PA PB PA B
= = = = ⇒ ∩= ∪=
∪= + − ∩
Ta có định lý sau: Cho hai biến cố
A
và
B
. Khi đó
( ) () () ( )PA B PA PB PA B∪= + − ∩
.
Nếu hai biến cố
A
và
B
là xung khắc thì
AB∩=∅
, suy ra
(
)
0
PA B∩=
.
Vì thế, ta có hệ quả sau:
Hệ quả: Nếu hai biến cố
A
và
B
là xung khắc thì
P( ) P( ) P( )
AB A B
∪= +
.
Ví dụ 5 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có hai chữ số. Xét biến cố
A
: "Số được viết ra là số chia
hết cho 8 " và biến cố
B
: "Số được viết ra là số chia hết cho 9 ". Tính
P( )AB∪
Lời giải
Trong 90 số có hai chữ số, có 11 số chia hết cho 8, có 10 số chia hết cho 9 và có 1 số chia hết cho cả 8 và
9. Vì thế, ta có:
11 10 1
P( ) ,P( ) ,P( )
90 90 90
A B AB= = ∩=
.
Vậy
11 10 1 20 2
P( ) P( ) P( ) P( )
90 90 90 90 9
AB A B AB
∪= + − ∩= +− = =
.
Ví dụ 6 Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số
1, 2, 3, ,12…
; hai thẻ khác
nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố
A
: " Số xuất hiện
trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3" và biến cố
B
: " Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết
cho 5". Tính P .
()AB∪
.
Lời giải
Không gian mẫu của phép thử trên có 12 phần tử, tức là:
( ) 12n Ω=
.
Số các kết quả thuận lợi cho các biến cố
A
,
B
lần lượt là
() 4,() 2nA nB= =
. Suy ra
() 4 1 () 2 1
P( ) ,P( ) .
( ) 12 3 ( ) 12 6
nA nB
AB
nn
= = = = = =
ΩΩ
Trong các số
1, 2, 3, ,12…
, không có số nào chia hết cho cả 3 và 5 . Vì thế
A
,
B
là hai biến cố xung khắc.
Suy ra:
11 1
P( ) P( ) P( ) .
36 2
AB A B∪ = + =+=
Luyện tập 5: Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số
1,2,3, ,52…
; hai thẻ
khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố
A
: "Số xuất
hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 7" và biến cố
B
: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia
hết cho 11". Tính P
()AB∪
.
Lời giải
- Có
{ } { }
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 ; 11, 22, 33, 44AB= =
AB⇒ ∩=∅
.
Đây là hai biến cố xung khắc.
4( ) () 2( 752 52 115)PA B PA PB⇒ ∪= + = + =
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
2. Công thức nhân xác suất
HĐ 6: Xét các biến cố độc lập
A
và
B
trong Ví dụ 4.
a) Tính
P( ),P( )
AB
và
P( )AB∩
.
b) So sánh
P( )AB∩
và
P( ) P( )AB⋅
.
Lời giải
a) Có
3 4 12
, , () () (
7 7 49
)PA PB PA B= = ∩=
.
b) Ta thấy
( ) () ().
PA B PAPB∩=
.
Ta có định lí sau:
Cho hai biến cố
A
và
B
.
Nếu hai biến cố
A
và
B
là độc lập thì
P( ) P( ).P( )AB A B∩=
.
Chú ý: Nếu
P( ) P( ) P( )
AB A B∩≠ ⋅
thì hai biến cố
A
và
B
không độc lập.
Ví dụ 7 Hai bạn Hạnh và Hà cùng chơi trò chơi bắn cung một cách độc lập. Mỗi bạn chỉ bắn một lần. Xác
suất để bạn Hạnh và bạn Hà bắn trúng bia lần lượt là 0,6 và 0,7 trong lần bắn của mình. Tính xác suất của
biến cố
C
: "Bạn Hạnh và bạn Hà đều bắn trúng bia"
Lời giải
Xét biến cố
A
: "Bạn Hạnh bắn trúng bia", ta có:
P( ) 0,6A =
.
Xét biến cố
B
: "Bạn Hà bắn trúng bia", ta có:
P( ) 0,7B =
.
Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập và
CAB= ∩
. suy ra:
P( ) P( ) P( ) 0,6 0,7 0, 42. C AB= ⋅ =⋅=
Luyện tập 6. Một xưởng sản xuất có hai máy chạy độc lập với nhau . Xác suất để máy I và máy II chạy
tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Tính xác suất của biến cố
C
: "Cả hai máy của xưởng sản xuất đều
chạy tốt".
Lời giải
Theo đề bài, ta thấy hai biến cố
A
và
B
là hai biến cố độc lập.
2
() () (). 0,8.0,9 0, 7PC PA PB
= = =
Ví dụ 8:Hai bạn Trung và Dũng của lớp 11A tham gia giải bóng bàn đơn nam do nhà trường tổ chức. Hai
bạn đó không cùng thuộc một bảng đấu loại chỉ chọn một người vào vòng chung kết. Xác suất lọt qua
vòng loại để vào chung kết của Trung và Dũng lần lượt là 0,8 và 0,6. Tính xác suất của biến cố sau:
a)
A
: "Cả hai bạn lọt vào chung kết ".
b)
B
: " Có ít nhất một bạn lọt vào chung kết "
c)
C
: " Chỉ có bạn Trung lọt vào vòng chung kết ".
Lời giải
Xét các biến cố
E
: "Bạn Trung lọt vào vòng chung kết" và
G
: "Bạn Dũng lọt vào vòng
chung kết".
Từ giả thiết, ta suy ra E, G là hai biến cố độc lập và
P( ) 0,8;P( ) 0,6EG= =
.
a) Do
AEG
= ∩
nên
P( ) P( ) P( ) 0,8 0,6 0, 48A EG= ⋅ =⋅=
.
b) Ta thấy
BEG= ∪
, suy ra
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) 0,8 0,6 0,48 0,92.
B EG E G EG
= ∪= + − ∩= + − =
c) Xét biến cố đối
G
của biến cố
G
. Ta thấy
P( ) 1 P( ) 1 0,6 0, 4
GG
=− =−=
và
,EG
là hai
biến cố độc lập. Vì
CEG= ∩
nên
P( ) P( ).P( ) 0,8.0, 4 0,32
C EG
= = =
.
IV. TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
1. Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp
Ví dụ 9. Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên phụ trách đội muốn chọn ra
một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia.
a) Giáo viên phụ trách đội có bao nhiêu cách chọn một đội tốp ca như vậy?
b) Tính xác suất của biến cố
H
: "Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ".
Lời giải
Xét các biến cố:
H
: "Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ";
A
: "Trong 3 học sinh chọn ra có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ
"
;
B
: "Trong 3 học sinh chọn ra có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ".
Khi đó
H AB
= ∪
và
AB∩=∅
.
Do hai biến cố
A
và
B
là xung khắc nên
( ) (
) ( )
nH nA nB= +
a) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố
A
là:
( )
21
45
4! 5!
C C 6 5 30.
2!.2! 1!.4!
nA= ⋅ = ⋅ =⋅=
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố
B
là:
(
)
12
45
4! 5!
4 10 40
1! 3! 2!.3!
nB C C= ⋅ = ⋅ =⋅=
⋅
.
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố
H
là:
( ) ( ) ( )
30 40 70nH nA nB= + =+=
.
Vậy giáo viên phụ trách có 70 cách chọn một đội tốp ca như dự định.
b) Đội văn nghệ có 9 học sinh. Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 9 học sinh đó là một tổ hợp
chập 3 của 9 phần tử. Do đó, không gian mẫu
Ω
gồm các tổ hợp chập 3 của 9 phần tử và
( )
3
9
9!
C 84
3! 6!
n Ω= = =
⋅
Vậy xác suất của biến cố
H
là:
( )
( )
( )
70 5
P
84 6
nH
H
n
= = =
Ω
.
Luyện tập 7. Cho hai đường thẳng song song
1
d
và
2
d
. Trên
1
d
lấy 17 điểm phân biệt, trên
2
d
lấy 20 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm, tính xác suất để các điểm này tạo thành 3 đỉnh
của một tam giác.
Lời giải
Xét các biến cố:
H
: "Ba đỉnh của tam giác là 3 điểm của cả hai đường thẳng
1
d
và
2
d
";
A
: "Trong ba đỉnh của tam giác có 1 điểm thuộc
1
d
, 2 điểm thuộc
2
d
";
B
: "Trong ba đỉnh của tam giác có 2 điểm thuộc
1
d
, 1 điểm thuộc
2
d
".
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
Do hai biến cố
A
và
B
xung khắc nên:
( ) () ()nH nA nB= +
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố
A
là:
17 20
12
3230 ()nA C C=⋅=
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố
B
là:
17 20
21
2720 ()nB C C=⋅=
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố
H
là :
3230 2720 5950
( ) () ()
nH nA nB=+=+ =
Có
37
3
( ) 7770nCΩ= =
5950 85
7770 111
()PH⇒==
.
2. Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây
HĐ 7: Để trang trí một tờ giấy có dạng hình chữ nhật, bạn Thuỳ chia tờ giấy đó thành bốn hình chữ nhật
nhỏ bằng nhau. Mỗi hình chữ nhật nhỏ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc vàng. Vẽ sơ đồ hình
cây biểu thị các khả năng mà bạn Thuỳ có thể tô màu trang trí cho tờ giấy đó.
Lời giải
Ví dụ 10. Câu lạc bộ nghệ thuật của một trường trung học phổ thông gồm học sinh của cả ba khối
10,11,12
, mỗi khối có 5 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia biểu diễn. Tính xác suất để 3
học sinh được chọn chỉ thuộc hai khối.
Lời giải
- Mỗi cách chọn ra đồng thời 3 học sinh trong
câu lạc bộ cho ta một tổ hợp chập 3 của 15 phần
tử. Do đó, không gian mẫu
Ω
gồm các tổ hợp
chập 3 của 15 phần tử và
( )
3
15
15!
455
3!.12!
nCΩ= = =
.
- Xét biến cố
A
: "Chọn được 3 học sinh chỉ thuộc hai khối".
Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng thuận lợi cho biến cố
A
(Hình 2).
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
Hình 2
Như vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố
A
là:
( ) 50.6 300
nA= =
.
Vậy xác suất của biến cố
A
là:
( ) 300 60
P( ) .
( ) 455 91
nA
A
n
= = =
Ω
Lời giải
Có
( )
5
18
8568 nCΩ= =
Xét biến cố
A
: "Trong 5 viên bi có 1 viên bi màu xanh, 2 viên bi màu vàng, 2 viên bi màu đỏ"
567
122
1575()nA C C C=⋅⋅=
Xét biến cố
B
: "Trong 5 viên bi có 3 viên bi màu xanh, 1 viên bi màu vàng, 1 viên bi màu đỏ"
567
311
420()nB C C C=⋅⋅=
Vậy xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi màu đỏ bằng số bi màu vàng
là:
1575 420 95
8568 408
+
=
.
Luyện tập 8.Một hộp có 5 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đỏ và 7 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu
nhiên 5 viên bi trong hộp. Tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi màu đỏ bằng
số bi màu vàng.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các biến cố
Ví dụ 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi
A
là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con
xúc xắc là một số lẻ”,
B
là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chẵn”.
a) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố
AB
.
b) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố
AB
.
c) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố
AB
.
d) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố
AB
.
e) Hãy xác định cặp biến cố xung khắp trong các cặp biến cố
A
và
B
;
A
và
B
.
Lời giải
Gọi
Ω
là không gian mẫu.
Suy ra
( )
{ }
; | , 1;2;...;6ij ijΩ= =
.
( )
.ij
là số lẻ khi và chỉ khi cả hai số
i
và
j
đều là số lẻ.
(
)
.ij
là số chẵn khi và chỉ khi ít nhất một trong hai số
i
hoặc
j
là số chẵn.
(
)
ij+
là số chẵn khi và chỉ khi hai số
,
ij
đều là số lẻ hoặc đều là số chẵn.
( )
ij+
là số lẻ khi và chỉ khi trong hai số
,ij
có đúng một số lẻ và một số chẵn.
a) Biến cố
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1;1 ; 1;3 ; 1;5 ; 3;1 ; 3;3 ; 3;5 ; 5;1 ; 5;3 ; 5;5 .A =
Biến cố
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1;1 ; 1;3 ; 1;5 ; 3;1 ; 3;3 ; 3;5 ; 5;1 ; 5;3 ; 5;5 ;
.
2;2 ; 2;4 ; 2;6 ; 4;2 ; 4;4 ; 4;6 ; 6; 2 ; 6; 4 ; 6;6
B


=



Biến cố
(
) ( ) (
) ( )
( ) ( ) ( ) (
) ( )
{ }
1;1 ; 1;3 ; 1;5 ; 3;1 ; 3;3 ; 3;5 ; 5;1 ; 5;3 ; 5;5 .AB =
b) Biến cố
\.
AA= Ω
Biến cố
( )
( )
( )
(
) (
) ( )
( ) (
)
( )
{
}
2;2 ; 2; 4 ; 2;6 ; 4; 2 ; 4;4 ; 4;6 ; 6;2 ; 6;4 ; 6;6 .
AB =
c) Biến cố
\.BB
= Ω
Biến cố
.AB = ∅
d) Biến cố
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1;2;1;4;1;6;2;1;2;3;2;5;3;2;3;4;3;6;
.
4;1 ; 4;3 ; 4;5 ; 5;2 ; 5;4 ; 5;6 ; 6;1 ; 6;3 ; 6;5
AB


=



e) Vì
AB∩ ≠∅
nên
A
và
B
là hai biến cố không xung khắc.
Vì
AB∩=∅
nên
A
và
B
là hai biến cố xung khắc.
Ví dụ 2. Một hộp chứa
30
quả cầu cùng kích thước được đánh số từ
1
đến
30
. Chọn ngẫu nhiên
1
quả
cầu từ hộp. Gọi
A
là biến cố “Số ghi trên quả cầu được chọn là một số lẻ”,
B
là biến cố “ Số ghi trên
quả cầu được chọn là một số chia hết cho 5”.
a) Hãy mô tả bằng lời biến cố
AB
.
b) Hai biến cố
A
và
B
có độc lập không? Vì sao?
Lời giải
a) Biến cố
A
: “Số ghi trên quả cầu được chọn là một số chẵn”.
Biến cố
AB
: “ Số ghi trên quả cầu được chọn chia hết cho
10
”.
b) Nếu
A
xảy ra thì xác suất của biến cố
B
là
1
.
5
Nếu
A
không xảy ra thì xác suất của biến cố
B
là
1
.
5
Vậy
A
và
B
là hai biến cố độc lập với nhau.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
Dạng 3: Quy tắc cộng cho 2 biến cô xung khắc
1. Phương pháp
Cho hai biến cố xung khắc
A
và
B
. Khi đó:
( ) ( ) ( )
PA B PA PB
∪= +
.
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Một lớp học 40 học sinh gồm có 15 học sinh nam giỏi toán và 8 học sinh nữ giỏi. Chọn ngẫu
nhiên một học sinh.Hãy tính xác suất để chọn được một nam sinh giỏi toán hay một nữ sinh giỏi lý
Lời giải
Gọi A là biến cố chọn một nam sinh giỏi toán và B là biến cố chọn một nữ sinh giỏi lý thì
AB∪
là biến
cố chọn một nam sinh giỏi toán hay một nữ sinh giỏi lý.
Ta có
15 3
P(A)
40 8
= =
và
81
P(B)
40 5
= =
A và
B
là hai biến cố xung khắc nên
3 1 23
( ) () ()
8 5 40
PA B PA PB∪ = + =+=
Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên 8 lá bài trong cổ bài 32 lá. Tính xác suất để được ít nhất 3 lá già.
Lời giải
Gọi
A
là biến cố chọn được 3 lá già và
B
là biến cố chọn được 4 lá già thì
AB
∪
là biến cố chọn được ít
nhất 3 lá già
Ta có
35
4 28
8
32
:P(A)
CC
C
⋅
=
và
44
4 28
8
32
P(B)
CC
C
⋅
=
A
và
B
là hai biến cố xung khắc .
Vậy
35 44
4 28 4 28
8
32
( ) () () 0,04
CC CC
PA B PA PB
C
⋅ +⋅
∪= + = =
Ví dụ 3: Một tổ công nhân có
5
nam và
6
nữ. Cần chọn ngẫu nhiên hai công nhân đi thực hiện một nhiệm
vụ mới. Tính xác suất của biến cố “Cả hai công nhân được chọn cùng giới tính”.
Lời giải
Số kết quả chọn được hai công nhân bất kì là
2
11
55C =
Gọi
A
là biến cố “Hai công nhân được chọn là nam”, số kết quả thuận lợi cho biến cố
A
là
2
5
10C =
.
Gọi
B
là biến cố “Hai công nhân được chọn là nữ”, số kết quả thuận lợi cho biến cố
B
là
2
6
15
C =
.
Do đó
AB∪
là biến cố “Cả hai công nhân được chọn có cùng giới tính”. Do
A
và
B
là hai biến cố xung
khắc nên:
(
) ( )
( )
10 15 5
55 55 11
PA B PA PB∪= + = + =
.
Ví dụ 4: Trên kệ sách đang có
4
cuốn sách Toán và
5
cuống sách Văn. Lần lượt lấy xuống ngẫu nhiên ba
cuốn sách, tính xác suất của biến cố “Ba cuốn sách được chọn cùng loại”.
Lời giải
Số kết quả chọn được hai cuốn sách bất kì là
3
9
84C =
Gọi
A
là biến cố “Ba cuốn sách được chọn là sách Toán”, số kết quả thuận lợi cho biến cố
A
là
3
4
4C =
.
Gọi
B
là biến cố “Ba cuốn sách được chọn là sách Văn”, số kết quả thuận lợi cho biến cố
B
là
3
5
10C =
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
Do đó
AB∪
là biến cố “Cả ba cuốn sách được chọn cùng loại”. Do
A
và
B
là hai biến cố xung khắc
nên:
( ) ( ) ( )
4 10 1
84 84 6
PA B PA PB∪= + = + =
.
Dạng 4: Quy tắc cộng cho 2 biến cố bất kì
1. Phương pháp
Cho hai biến cố
A
và
B
bất kì. Khi đó:
( ) ( ) ( ) (
)
.PA B PA PB PAB
∪= + −
.
2. Ví dụ
Ví dụ 1 : Gieo một con xúc sắc .Gọi A là biến cố được số chẵn và B là biến cố được một bội số của 2.
Kiểm lại rằng :
P(A B) P(A) P(B) P(AB)∪= + −
Lời giải
Ta có
A {2, 4, 6}, B {3, 6}= =
.Do đó
{2,3, 4,6}AB∪=
và
{6}AB =
Vậy
31 21 42
P(A) ,P(B) ; ( )
62 63 63
PA B== == ∪==
và
1
()
6
P AB =
Suy ra :
1 1 1 321 2
P(A) P(B) P( ) ( )
236 6 3
AB P A B
+−
+ − =+−= = = ∪
Ví dụ 2: Một lớp học gồm 40 học sinh trong đó có : 15 học sinh giỏi toán , 10 học sinh giỏi Lý và 5 học
sinh giỏi Toán lẫn Lý.Chọn ngẫu nhiên một học sinh.Hãy tính xác suất để học sinh đó giỏi toán hay giỏi lý
Lời giải
A là biến cố học sinh giỏi toán
B
là biến cố học sinh giỏi lý
Ta có : AB là biến cố học sinh giỏi toán và lý
AB∪
là biến cố học sinh giỏi toán hay lý
Ta có
15 3 10 1 5 1
:P(A) ;P(B) ; ( )
40 8 40 4 40 8
P AB= = = = = =
Vậy
311 4 1
P(A ) P(A) P(B) P(AB)
848 8 2
B∪ = + − =+−==
Ví dụ 3: Trong một thùng phiếu bốc thăm trúng thưởng có
30
lá phiếu được đánh số thứ tự từ
1
đến
30
. Người ta rút ra từ thùng phiếu một lá thăm bất kì. Tính xác suất của biến cố “Lá thăm rút được có số
thứ tự chia hết cho
4
hoặc
5
”
Lời giải
Gọi
A
là biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho
4
”.
Từ
1
đến
30
có
7
kết quả thuận lợi cho biến cố
A
, nên
( )
7
30
PA=
.
Gọi
B
là biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho
5
”.
Từ
1
đến
30
có
6
kết quả thuận lợi cho biến cố
B
, nên
( )
6
30
PB=
.
Một số chia hết cho cả
4
và
5
thì nó chia hết cho
20
, từ
1
đến
30
có
1
kết quả, nên
( )
1
.
30
P AB =
.
Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
7617
.
30 30 30 15
PA B PA PB PAB∪= + − = + + =
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
Dạng 5: Quy tắc nhân xác suất
1. Phương pháp
+ Nếu
A
và
B
là hai biến cố độc lập thì
( ) ( ) ( )
.PAB PAPB=
.
+ Nếu
( ) ( ) ( )
.PAB PAPB≠
thì
A
và
B
là hai biến cố không độc lập.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho
A
và
B
là hai biến cố độc lập.
a) Biết
( )
0,6PA=
và
( )
0,2PB=
. Hãy tính xác suất các biến cố
,,ABABAB
và
AB
.
b) Biết
(
)
0,3PA=
và
( )
0,12P AB =
. Hãy tính xác suất các biến cố
,
B AB
và
AB
.
Lời giải
Vì hai biến cố
A
và
B
là hai biến cố độc lập nên
A
và
B
;
A
và
B
;
A
và
B
cũng độc lập.
a)
( )
( )
( )
( )
1 0,4; 1 0,8.PA PA PB PB=−= =−=
(
)
( )
( )
0,6.0,2 0,12
PAB PAPB= = =
.
( )
( )
( )
0,4.0,2 0,08.PAB PAPB
= = =
( )
(
)
( )
0,6.0,8 0,48.P AB P A P B
= = =
( ) (
) (
)
0,4.0,8 0,32.PAB PAPB
= = =
b)
( )
( )
1 0,7.PA PA=−=
(
) ( ) ( ) ( )
( )
( )
0,12
0,4.
0,3
P AB
PAB PAPB PB
PA
= ⇒= ==
( ) ( )
( )
0,7.0,4 0,28.PAB PAPB= = =
( ) ( ) ( )
0,7.0,6 0,42.PAB PAPB= = =
Ví dụ 2. Một xạ thủ bắn lần lượt hai viên đạn vào bia. Xác suất bắn không trúng đích của viên thứ nhất và
viên thứ hai lần lượt là
0,2
và
0,3
. Biết rằng kết quả các lần bắn độc lập với nhau. Tính xác suất của các
biến cố sau
a) “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
b) “Cả hai lần bắn đều trúng đích”.
c) “Lần bắn thứ nhất không trúng đích, lần bắn thứ hai trúng đích ”.
d) “Có ít nhất một lần bắn trúng đích”.
Lời giải
Gọi biến cố
i
A
: “ Lần bắn thứ
i
không trúng đích” với
1, 2i =
.
Biến cố
i
A
: “ Lần bắn thứ
i
trúng đích” với
1, 2i =
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
1 212
0,2, 0,3; 0,8, 0,7.PA PA PA PA= = = =
a) Gọi biến cố
A
: “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
Ta có
12
A AA=
và
12
;
AA
là hai biến cố độc lập.
( ) ( ) ( )
12
. 0,2.0,3 0,06.PA PA PA⇒= = =
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
b) Gọi biến cố
B
: “Cả hai lần bắn đều trúng đích”.
Ta có
12
B AA=
và
12
;AA
là hai biến cố độc lập.
( )
( ) ( )
12
. 0,8.0,7 0,56.PB PA PA⇒= = =
c) Gọi biến cố
C
: “Lần bắn thứ nhất không trúng đích, lần bắn thứ hai trúng đích ”.
Ta có
12
C AA=
và
12
;AA
là hai biến cố độc lập.
( ) ( )
( )
12
. 0,2.0,7 0,14.PC P A P A⇒= = =
d) Gọi biến cố
D
: “Có ít nhất một lần bắn trúng đích ”.
biến cố
D
: “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
( )
(
)
0,06.D A PD PA⇒=⇒ = =
( )
( )
1 0,94.PD PD
⇒=−=
Ví dụ 3. Một chiếc xe máy có hai động cơ
I
và
II
hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ
I
và
động cơ
II
chạy tốt tương ứng là
0,8
và
0,6
. Bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây, hãy tính xác suất để
a) Cả hai động cơ đều chạy tốt.
b) Cả hai động cơ đều không chạy tốt.
c) Động cơ
I
chạy tốt, động cơ
II
chạy không tốt.
Lời giải
Theo sơ đồ trên, ta có
a) Xác suất cả hai động cơ đều chạy tốt là
0,48.
b) Xác suất cả hai động cơ đều không chạy tốt là
0,08.
c) Xác suất động cơ
I
chạy tốt, động cơ
II
chạy không tốt là
0,32.
Ví dụ 4. Một trò chơi có xác suất thắng mỗi ván là
0,2
. Nếu một người chơi
10
ván thì xác suất để người
này thắng ít nhất một ván là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi
A
là biến cố
''
Người ấy thắng ít nhất một ván khi chơi
10
ván
''
.
A
là biến cố
''
Người ấy chơi
10
ván mà không thắng ván nào cả
''
.
Xác suất thua mỗi ván là
1 0, 2 0,8.−=
( )
( )
10
0,8 .PA⇒=
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
( )
(
)
( )
10
1 1 0,8 0,8926258176.PA PA⇒=−=− =
Ví dụ 5. Một bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là
0,7
nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo
khẩu trang; là
0,2
nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang. Tính xác suất anh Bình ít nhất
một lần bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó trong mỗi trường hợp sau.
a) Anh Bình tiếp xúc người bệnh
5
lần đều không mang khẩu trang.
b) Anh Bình tiếp xúc người bệnh
2
lần, trong đó có
1
lần không mang khẩu trang và có
1
lần mang khẩu
trang.
Lời giải
a) Gọi biến cố
A
: “Anh Bình ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh cả
5
lần đều không mang
khẩu trang ”.
Biến cố
A
: “Anh Bình không bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh cả
5
lần đều không mang khẩu trang
”.
Xác suất nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang là
0,7
.
Xác suất không bị nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang là
1 0,7 0,3.
−=
( )
( )
5
0,3 .PA=
( )
( )
( )
5
1 1 0,3 0,99757.PA PA⇒=−=− =
b) Gọi biến cố
B
: “ Anh Bình ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh
2
lần , trong đó có
1
lần
không mang khẩu trang và có
1
lần mang khẩu trang ”.
Biến cố
B
: “ Anh Bình không bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh cả
2
lần , trong đó có
1
lần không
mang khẩu trang và có
1
lần mang khẩu trang ”.
Xác suất nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không khẩu trang là
0,2.
Xác suất không bị nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang là
1 0,2 0,8.−=
(
)
0,3.0,8 0,24.PB= =
( )
( )
1 1 0,24 0,76.PB PB⇒ =− =−=
C. GIẢI BÀl TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố: A: "Lần thứ nhất xuất hiện
mặt ngửa";
B
: "Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa";
C
: "Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa”;
D
: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa".
Trong hai biến cố
, CD
biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố
,AB
? Biến cố nào là biến cố giao của
hai biến cố
,AB
?
Lời giải
Biến cố hợp
( )
A và B
: "Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa" .
( )
C
là kết quả của việc ghép lại hai biến
cố
A và B
, tức là xảy ra cùng lúc cả
A và B
.
Biến cố giao
( )
A giao B
: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa".
( )
D
là kết quả của việc giao của
hai biến cố
A và B
, tức là ít nhất một trong
A
hoặc
B
xảy ra.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
Bài 2. Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
A
: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 4";
B
: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 4";
C
: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 4".
Trong các biến cố trên, hãy:
a) Tìm cặp biến cố xung khắc;
b) Tìm cặp biến cố độc lập.
Lời giải
a) Cặp biến cố xung khắc là
A và C
, vì nếu
A
xảy ra thì
C
không thể xảy ra, và ngược lại, nếu
C
xảy ra thì
A
không thể xảy ra.
b) Cặp biến cố độc lập là
A và B
, vì xảy ra hay không xảy ra biến cố
A
không ảnh hưởng đến
khả năng xảy ra biến cố
B
, và ngược lại, xảy ra hay không xảy ra biến cố
B
cũng không ảnh
hưởng đến khả năng xảy ra biến cố
A
.
Bài 3. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất của biến cố
M
: "Số tự nhiên có hai
chữ số được viết ra chia hết cho 11 hoặc chia hết cho 12 ".
Lời giải
Có
( )
Ω 90n =
.
Xét biến cố
A
: "Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 11". Số kết quả thuận lợi cho
biến cố
A
là
( )
9nA=
( )
91
90 10
PA⇒==
Xét biến cố
B
: "Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 12". Số kết quả thuận lợi cho
biến cố
B
là
( )
8nB=
( )
84
90 45
PB⇒==
Vậy
( )
1 4 17
10 45 90
PM =+=
.
Bài 4. Một hộp có 12 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 7 viên bi màu xanh và 5 viên
bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2
viên bi màu vàng.
Lời giải
Có
( )
5
12
Ω 792nC= =
Xét biến cố
A
: "Trong 5 viên bi được chọn không có viên bi màu vàng nào".
( )
5
7
n A 21C⇒==
Xét biến cố
B
: "Trong 5 viên bi được chọn có 1 viên bi màu vàng, 4 viên bi màu xanh
(
)
14
57
n B . 175CC⇒= =
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
Xét biến cố
M
: "Trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng".
Xét biến cố
M
: "Trong 5 viên bi được chọn có nhiều nhất 1 viên bi màu vàng".
Có
( )
21 175 49
792 198
P M
+
= =
( )
( )
49 149
11
198 198
PM PM⇒ =− =−=
.
Bài 5. Hai bạn Việt và Nam cùng tham gia một kì thi trắc nghiệm môn Toán và môn Tiếng Anh một cách
độc lập nhau. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác
nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai bạn Việt và
Nam có chung đúng một mã đề thi trong kì thi đó.
Lời giải
Giả sử xác suất để Việt và Nam chọn cùng một mã đề là
1
N
, với
N
là tổng số mã đề khác nhau. Vậy
xác suất để Việt chọn một mã đề và Nam chọn cùng mã đề đó là
1
N
, và xác suất để cả hai chọn đúng
mã đề là
11
NN
⋅
11 1
6 6 36
P =⋅=
Bài 6. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 9 viên bi màu đỏ,
6 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi
lấy ra có đúng hai màu.
Lời giải
Ta có:
( )
3
20
n Ω 1140C= =
Gọi A là biến cố: "3 viên vi lấy ra có đúng hai màu"
Khi đó
A
là biến cố: "3 viên bi lấy ra có đúng 1 màu hoặc có cả ba màu"
( )
( )
( )
( )
111 333
965 9 6 5
Có 384
384 32
(Ω 1140 95
n CCC CCC
n
A
An
P A
= ⋅⋅ +++=
⇒= ==
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hai biến cố
A
và
.B
Biến cố “
A
hoặc
B
xảy ra” được gọi là
A. Biến cố giao của
A
và
.B
B. Biến cố đối của
.A
C. Biến cố hợp của
A
và
.B
D. Biến cố đối của
.B
Lời giải
Chọn C
Theo định nghĩa, biến cố “
A
hoặc
B
xảy ra” được gọi là biến cố hợp của
A
và
.B
Câu 2: Cho hai biến cố
A
và
.B
Biến cố “ Cả
A
và
B
đều xảy ra” được gọi là
A. Biến cố giao của
A
và
.B
B. Biến cố đối của
.A
C. Biến cố hợp của
A
và
.B
D. Biến cố đối của
.B
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
Lời giải
Chọn A
Theo định nghĩa, biến cố “Cả
A
và
B
đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của
A
và
.B
Câu 3: Cho hai biến cố
A
và
.
B
Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng
đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố
A
và
B
được gọi là
A. Xung khắc với nhau. B. Biến cố đối của nhau.
C. Độc lập với nhau. D. Không giao với nhau.
Lời giải
Chọn C
Theo định nghĩa, nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác
suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố
A
và
B
được gọi là độc lập với nhau.
Câu 4: Cho
A
và
B
là hai biến cố độc lập. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hai biến cố
A
và
B
không độc lập. B. Hai biến cố
A
và
B
không độc lập.
C. Hai biến cố
A
và
B
độc lập. D. Hai biến cố
A
và
AB∪
độc lập.
Lời giải
Chọn C
Nếu
A
và
B
độc lập thì các cặp biến cố
A
và
,
BA
và
,BA
và
B
cũng độc lập.
Câu 5: Câu lạc bộ cờ vua của một trường THPT có 20 thành viên ở ba khối, trong đó khối 10 có 3 nam
và 2 nữ, khối 11 có 4 nam và 4 nữ, khối 12 có 5 nam và 2 nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một
thành viên của câu lạc bộ để tham gia thi đấu giao hữu. Xét các biến cố sau:
:A
“Thành viên được chọn là học sinh khối 11”;
:B
“Thành viên được chọn là học sinh nam”.
Khi đó biến cố
AB∪
là
A. “Thành viên được chọn là học sinh khối 11 và là học sinh nam”.
B. “Thành viên được chọn là học sinh khối 11 và không là học sinh nam”.
C. “Thành viên được chọn là học sinh khối 11 hoặc là học sinh nam”.
D. “Thành viên được chọn không là học sinh khối 11 hoặc là học sinh nam”.
Lời giải
Chọn C
Biến cố
AB∪
bao gồm việc chọn thành viên là học sinh khối 11 hoặc là học sinh nam.
Câu 6: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 20. Xét các biến cố
:A
“Số được chọn chia hết cho
3”;
:B
“Số được chọn chia hết cho 4”. Khi đó biến cố
AB∩
là
A.
{ }
3; 4;12 .
B.
{ }
3; 4; 6;8;9;12;15;16;18; 20 .
C.
{ }
12 .
D.
{ }
3;6;9;12;15;18 .
Lời giải
Chọn C
Các phần tử của biến cố
AB∪
là số tự nhiên từ 1 đến 20 thỏa mãn vừa chia hết cho 3, vừa
chia hết cho 4, tức là số đó chia hết cho 12.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 19
Câu 7: Một hộp có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp. Xét các
biến cố sau:
:P
“Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 2”.
:Q
“Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 4”.
Khi đó biến cố
PQ
∩
là
A. “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 8”.
B. “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 2”.
C. “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 6”.
D. “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 4”.
Lời giải
Chọn D
Biến cố
:PQ∩
“Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho cả 2 và 4”, tức là chia hết cho 4.
Câu 8: Hai xạ thủ tham gia thi đấu bắn súng, mỗi người bắn vào bia của mình một viên đạn một cách
độc lập với nhau. Gọi
A
và
B
lần lượt là các biến cố “Người thứ nhất bắn trúng bia”; “Người
thứ hai bắn trúng bia”. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai biến cố
A
và
B
bằng nhau.
B. Hai biến cố
A
và
B
đối nhau.
C. Hai biến cố
A
và
B
độc lập với nhau.
D. Hai biến cố
A
và
B
không độc lập với nhau.
Lời giải
Chọn C
Do hai xạ thủ thi đấu một cách độc lập nên việc xảy ra biến cố
A
không ảnh hưởng đến việc xác
suất xảy ra biến cố
B
và ngược lại, do đó hai biến cố
A
và
B
độc lập với nhau.
Câu 9: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố sau:
:P
“Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số chẵn”;
:Q
“Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số lẻ”;
:R
“Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo khác tính chẵn lẻ”.
Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Hai biến cố
P
và
Q
độc lập với nhau.
B. Hai biến cố
P
và
R
không độc lập với nhau.
C. Hai biến cố
Q
và
R
không độc lập với nhau.
D.
R
là biến cố hợp của
P
và
.Q
Lời giải
Chọn D
Biến cố hợp của hai biến cố
P
và
Q
là “Số chấm ở cả hai lần gieo có cùng tính chẵn lẻ”, do đó
mệnh đề ở đáp án D là sai.
Câu 10: Có hai hộp đựng bi. Hộp thứ nhất có 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Hộp thứ hai có 5 viên bi đỏ
và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Xét các biến cố sau:
:A
“Viên bi được lấy ở hộp thứ nhất có màu đỏ, ở hộp thứ hai có màu xanh”;
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20
:B
“Viên bi được lấy ở hộp thứ nhất có màu xanh, ở hộp thứ hai có màu đỏ”.
Khi đó hai biến cố
A
và
B
là
A. Hai biến cố độc lập với nhau.
B. Hai biến cố bằng nhau.
C. Hai biến cố đối của nhau.
D. Hai biến cố xung khắc.
Lời giải
Chọn A
Việc xảy ra biến cố
A
không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố
B
nên hai biến cố này
độc lập với nhau.
Câu 11: Cho
A
,
B
là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
( ) ( ) ( )
PA B PA PB
∪= +
B.
( ) ( ) ( )
.PA B PAPB∪=
C.
( ) ( ) ( )
PA B PA PB∪= −
D.
( ) ( ) ( )
PA B PA PB∩= +
Lời giải
Chọn A
Ta có
(
)
(
) (
)
(
)
PA B PA PB PA B∪= + − ∩
.
Vì
A
,
B
là hai biến cố xung khắc nên
AB∩=∅
. Từ đó suy ra
( ) (
) ( )
PA B PA PB∪= +
.
Câu 12: Cho hai biến cố
A
và
B
có
11 1
() ,() ,( )
34 2
PA PB PA B= = ∪=
. Ta kết luận hai biến cố
A
và
B
là:
A. Độc lập. B. Không xung khắc. C. Xung khắc. D. Không rõ.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
PA B PA PB PA B∪= + − ∩
nên
( )
1
0
12
PA B∩=≠
Suy ra hai biến cố
A
và
B
là hai biến cố không xung khắc.
Câu 13: Cho
,AB
là hai biến cố xung khắc. Biết
( )
1
5
PA=
,
( )
1
3
PA B∪=
. Tính
( )
PB
.
A.
3
5
. B.
8
15
. C.
2
15
. D.
1
15
.
Lời giải
Chọn C
,AB
là hai biến cố xung khắc
( ) ( ) ( )
PA B PA PB∪= +
( )
11 2
3 5 15
PB⇒ =−=
Câu 14: Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Biết
( ) ( )
11
PA ,PB .
34
= =
Tính
( )
PA B∪
A.
7
12
B.
1
12
C.
1
7
D.
1
2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
Lời giải
Chọn A
( ) ( ) ( )
7
PA B PA PB
12
∪= + =
Câu 15: Cho
,AB
là hai biến cố. Biết P =
1
2
, P =
3
4
. P =
1
4
. Biến cố
AB∪
là biến cố
A. Có xác suất bằng
1
4
. B. Chắc chắn.
C. Không xảy ra. D. Có xác suất bằng
1
8
.
Lời giải
Chọn B
,AB
là hai biến cố bất kỳ ta luôn có:
( ) ( ) ( ) ( )
131
1
244
PA B PA PB PA B∪= + − ∩=+−=
Vậy
AB∪
là biến cố chắc chắn.
Câu 16: Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ và viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên viên bi. Tính
xác suất để chọn được viên bi khác màu.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi A là biến cố "Chọn được viên bi xanh"; B là biến cố "Chọn được viên bi đỏ", C là biến
cố "Chọn được viên bi vàng" và X là biến cố "Chọn được viên bi cùng màu".
Ta có và các biến cố đôi một xung khắc.
Do đó, ta có: .
Mà:
Vậy .
Biến cố "Chọn được viên bi khác màu" chính là biến cố .
Vậy .
Câu 17: Một hộp đựng viên bi trong đó có viên bi đỏ, viên bi xanh, viên bi vàng, viên bi
trắng. Lấy ngẫu nhiên hai bi, tính xác suất biến cố : “hai viên bi cùng màu”.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có:
4
3
2
2
2
13
()
18
=PX
5
()
18
=PX
3
()
18
=PX
11
()
18
=PX
2
2
2
2
=∪∪X ABC
,,ABC
( ) () () ()=++PX PA PB PC
2
22
3
42
22 2
99 9
11 1
() ;() ;()
6 12 36
= = = = = =
C
CC
PA PB PC
CC C
11 1 5
()
6 12 36 18
=++=PX
2
X
13
()1 ()
18
=−=PX PX
40
20
10
6
4
A
( )
4
195
=PA
( )
6
195
=PA
( )
4
15
=PA
( )
64
195
=PA
2
40
Ω=C
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22
Gọi các biến cố: D: “lấy được 2 bi viên đỏ” ta có: ;
X: “lấy được 2 bi viên xanh” ta có: ;
V: “lấy được 2 bi viên vàng” ta có: ;
T: “ lấy được 2 bi màu trắng” ta có: .
Ta có là các biến cố đôi một xung khắc và
.
Câu 18: Một hộp đựng viên bi trong đó có viên bi đỏ, viên bi xanh, viên bi vàng, 1 viên bi
trắng. Lấy ngẫu nhiên bi tính xác suất biến cố A: “2 viên bi cùng màu”.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có:
Gọi các biến cố: D: “lấy được viên đỏ”; X: “lấy được viên xanh”;
V: “lấy được viên vàng”
Ta có D, X, V là các biến cố đôi một xung khắc và
.
Câu 19: Một lớp có 60 sinh viên trong đó 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20
sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất của các
biến cố sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp.
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
6
D.
5
6
Lời giải
Chọn C
Gọi
A
: "Sinh viên được chọn học tiếng Anh";
B
: "Sinh viên được chọn chỉ học tiếng Pháp";
D
: "Sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp ".
Ta có:
Rõ ràng
40 2 30 1
() ,()
60 3 60 2
PA PB= = = =
và
20 1
()
60 3
PA B∩= =
.
Từ đó
2115
( ) () () ( )
3236
PA B PA PB PA B∪= + − ∩=+−=
và
51
() ( ) ( )1 ( )1
66
PD PA B PA B PA B= ∩= ∪=− ∪=−=
2
20
190Ω= =
D
C
2
10
45Ω= =
X
C
2
6
15Ω= =
V
C
2
4
6Ω= =
T
C
D, X, V, T
= ∪ ∪∪AD X V T
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
40
256 64
D
195
=+ ++==PA P PX PV PT
C
10
4
3
2
2
( )
1
9
=PC
( )
2
9
=PC
( )
4
9
=PC
( )
1
3
=PC
2
10
()Ω=nC
2
2
2
=∪∪CDXV
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
2 1 10 2
D
5 45 15 45 9
= + + =+ += =
C
PC P P X PV
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23
Câu 20: Cho tập
{
}
1, 2,3, 4,5
=
X
. Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi
một khác nhau thuộc tập X. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.
A.
12
25
. B.
12
23
. C.
21
25
. D.
21
23
.
Lời giải
Chọn A
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập X là:
5.4.3 60=
.
Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là
4.3.2 24=
và số các số có mặt chữ số 5 là
60 24 36−=
.
Gọi A là biến cố hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5; B là biến cố hai số được viết
lên bảng đều không có mặt chữ số 5.
Rõ ràng A và B xung khắc. Do đó áp dụng quy tắc cộng xác suất ta có:
( ) ( )
( )
11
11
36 36
24 24
11 11
60 60 60 60
.
.
13
. . 25
CC
CC
PA B PA PB
CC CC
∪= + = + =
.
Vậy xác suất cần tìm là
( )
13 12
11
25 25
P PA B
=− ∪=−=
.
Câu 21: Gieo hai hột súc sắc màu xanh và trắng. Gọi x là số nút hiện ra trên hột xanh và y là số nút hiện
ra trên hột trắng. Gọi A là biến cố
( )
xy<
và B là biến cố
5xy8<+<
. Khi đó
( )
PA B∪
có giá
trị là:
A.
11
8
B.
2
3
C.
3
4
D.
7
12
Lời giải
Chọn D
Không gian mẫu co 36 phần tử.
Số phần tử của biến cố A là
36 6
15
2
−
=
Biến cố
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
B 1;6;6,1;1;5;5,1,2;4;4,2;2,5;5,2;3,3;3,4; 4,3=
Biến cố giao A và B gồm các phần tử
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1; 6 ; 1; 5 ; 2; 4 ; 2, 5 ; 3, 4
Vậy
( )
15 11 5 7
P AB
36 12
+−
=∪= =
Câu 22: Gieo hai con súc sắc xanh, đỏ. Gọi x, y là số nút xuất hiện ra hột xanh và đỏ. Gọi A, B là hai biến
cố sau đây.
( )
{ }
( )
A x; y / x y ,B x;y / 3{ y8}.x= = ≤+≤
Tìm
( )
PA B∪
A.
19
24
B.
59
72
C.
29
36
D.
5
6
Lời giải
Chọn B
( ) ( ) ( ) ( )
14 25 10 29
PA ,PB ,PA B PA B
36 36 36 36
= = ∩=⇒ ∪=
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24
Câu 23: Trong một lớp 10 có 50 học sinh. Khi đăng ký cho học phụ đạo thì có 38 học sinh đăng ký học
Toán, 30 học sinh đăng ký học Lý, 25 học sinh đăng ký học cả Toán và Lý. Nếu chọ ngẫu nhiên 1
học sinh của lớp đó thì xác suất để em này không đăng ký học phụ đạo môn nào cả là bao nhiêu
A. 0,07 B. 0,14 C. 0,43 D. Kết quả khác
Lời giải
Chọn B
Gọi A là biến cố “học sinh đăng ký Toán”
Gọi B là biến cố “học sinh đăng ký Lý”
AB∩
“học sinh đăng ký Toán, Lý”
AB∪
là biến cố “học sinh có đăng ký học phụ đạo”
(
) (
)
(
)
(
)
38 30 25 43
5
P
0 50 5
A B PA P
5
B
0
B PA
0
∪= + =+−=
−∩
AB
∪
là biến cố “học sinh không đăng ký môn nào cả”
( )
( )
8
P 1 Q A B 0,14
5
AB
0
=− ∪= =∪
Câu 24: Cho
A
,
B
là hai biến cố độc lập. Biết
(
)
1
4
PA=
,
(
)
1
9
PA B
∩=
. Tính
( )
PB
A.
7
36
. B.
1
5
. C.
4
9
. D.
5
36
.
Lời giải
Chọn C
A
,
B
là hai biến cố độc lập nên:
( )
PA B∩
( ) ( )
.PAPB=
( )
11
.
94
PB⇔=
( )
4
9
PB
⇔=
.
Câu 25: Cho A và B là 2 biến cố độc lập với nhau,
( ) ( )
P A 0, 4; P B 0,3.= =
Khi đó
( )
P A.B
bằng
A. 0,58 B. 0,7 C. 0,1 D. 0,12
Lời giải
Chọn D
Do A và B là 2 biến cố độc lập với nhau nên
(
) ( ) (
)
PA.B PA.PB 0,12= =
Câu 26: Trong một kì thi có
60%
thí sinh đỗ. Hai bạn
A
,
B
cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một
bạn thi đỗ là:
A.
0, 24
. B.
0,36
. C.
0,16
. D.
0, 48
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( )
0,6PA PB= =
(
) ( )
0, 4PA PB⇒==
Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là:
(
)
( )
( )
( )
. . 0,48P PA PB PA PB
=+=
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 25
Câu 27: Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số
1, 2, , 9…
. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một
viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là
3
10
. Xác suất để lấy được
cả hai viên bi mang số chẵn là:
A.
2
15
. B.
1
15
. C.
4
15
. D.
7
15
.
Lời giải
Chọn B
Gọi X là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “
Gọi A là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “
=>
( )
1
4
1
9
4
9
C
PA
C
= =
Gọi B là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II “
( )
3
10
PB=
Ta thấy biến cố A, B là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
43 1
. ..
9 10 15
PX PAB PAPB= = = =
.
Câu 28: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết
rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là và . Gọi là biến cố:
“Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố là bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. “
Gọi X là biến cố: “người thứ nhất ném trúng rổ”
Gọi Y là biến cố: “người thứ hai ném trúng rổ”
Ta thấy biến cố X, Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
.
Câu 29: Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là . Tìm các suất sao cho lần sinh có ít nhất một
con trai.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi A là biến cố ba lần sinh có ít nhất con trai, suy ra là xác suất lần sinh toàn con gái.
Gọi là biến cố lần thứ i sinh con gái ( )
Suy ra
1
5
2
7
A
A
( )
12
35
=PA
( )
1
25
=PA
( )
4
49
=PA
( )
2
35
=PA
( )
1
.
5
⇒=PX
( )
2
.
7
⇒=PY
( ) ( ) ( ) ( )
12 2
. ..
5 7 35
= = = =PA PXY PX PY
0,51
3
( )
0,88≈PA
( )
0, 23≈PA
( )
0,78≈PA
( )
0,32≈PA
1
A
3
i
B
1, 2, 3=i
123
()()()0,49= = =PB PB PB
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 26
Ta có:
.
Câu 30: Hai cầu thủ sút phạt đền. Mỗi người đá lần với xác suất làm bàm tương ứng là và .
Tính xác suất để có ít nhất cầu thủ làm bàn.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất làm bàn
B là biến cố cầu thủ thứ hai làm bàn
X là biến cố ít nhất 1 trong hai cầu thủ làm bàn
Ta có:
.
Câu 31: Một cặp vợ chồng mong muốn sinh bằng đựơc sinh con trai. Xác suất sinh được con trai trong
một lần sinh là . Tìm xác suất sao cho cặp vợ chồng đó mong muốn sinh được con trai ở
lần sinh thứ 2.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi A là biến cố: “ Sinh con gái ở lần thứ nhất”, ta có:
.
Gọi B là biến cố: “ Sinh con trai ở lần thứ hai”, ta có:
Gọi C là biến cố: “Sinh con gái ở lần thứ nhất và sinh con trai ở lần thứ hai”
Ta có: , mà độc lập nên ta có:
.
Câu 32: Ba người cùng bắn vào bia Xác suất để người thứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trúng đích lần lượt
là ; ; . Xác suất để có đúng người bắn trúng đích bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bán trúng đích lần lượt là: ;
;
Xác suất để có đúng hai người bán trúng đích bằng:
.
Câu 33: Gieo một con súc sấc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất sao cho tổng só chấm trong hai
lần gieo là số chẵn.
123
=∩∩AB B B
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
123
1 1 1 0, 49 0,88⇒=−=− =− ≈PA PA PB PB PB
1
0,8
0,7
1
( )
0, 42=PX
( )
0,94=PX
( )
0,234=PX
( )
0,9=PX
( )
( )
()
=∩∪∩∪∩X AB AB AB
( )
().() ().() ().() 0,94⇒= + + =P X PA PB PB PA PA PB
0,51
( ) 0, 24=PC
( ) 0,299=PC
( ) 0,24239=PC
( ) 0,2499=PC
( ) 1 0,51 0, 49=−=PA
( ) 0,51=PB
=C AB
,AB
( ) ( ) ( ). ( ) 0,2499= = =PC PAB PAPB
1
0,8
0,6
0,5
2
0, 24
0,96
0, 46
0,92
( )
1
0,8PA =
( )
2
0,6PA =
( )
1
0,5PA =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
123 123 123
.. .. . . 0, 46PA PA PA PA PA PA P PAA AP =++
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 27
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
6
D.
5
6
Lời giải
Chọn A
Kí hiệu
A
: "Lần đầu xuất hiện mặt chẵn chấm";
B
: "Lần thứ hai xuất hiện mặt chẵn chấm ";
C
: "Tổng số chấm trong hai lần gieo là chẩn".
Ta có
C AB AB= ∪
. Dễ thấy AB và
AB⋅
xung khắc nên
() ( ) ( )P C P AB P AB= +
Vì
A
và
B
đợc lập nên
A
và
B
cũng đợc lập, do đó
11 11 1
() ()() ()()
22 22 2
PC PAPB PAPB= + =⋅+⋅=
Câu 34: Một xạ thủ bắn bia. Biết rằng xác suất bắn trúng vòng tròn 10 là 0,2; vòng 9 là 0,25 và vòng 8 là
0,15. Nếu trúng vòng k thì được k điểm. Giả sử xạ thủ đó bắn ba phát súng một cách độc lập.
Xạ thủ đạt loại giỏi nếu anh ta đạt ít nhất 28 điểm. Xác suất để xạ thủ này đạt loại giỏi là
A. ,00935 B. 0,0755 C. 0,0365 D. 0,0855
Lời giải
Chọn A
Gọi H là biến cố “Xạ thủ bắn đạt loại giỏi”. A; B; C; D là các biến cố sau.
A: “Ba viên trúng vòng 10”
B: “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 9”
C: “Một viên trúng vòng 10 và hai viên trúng vòng 9”
D: “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 8”
Các biến cố A; B; C; D là các biến cố xung khắc từng đôi một và
H ABC D=∪∪∪
+ Suy ra theo quy tắc cộng mở rộng ta có
()()()()()PH PA PB PC PD=+++
Mặt khác
( ) (0,2).(0,2).(0,2) 0,008PA = =
( ) (0,2).(0,2).(0,25) (0,2)(0,25)(0,2) (0,25)(0,2)(0,2) 0,03
( ) (0,2).(0,25).(0,25) (0,25)(0,2)(0,25) (0,25)(0,25)(0,2) 0,0375
( ) (0,2).(0,2).(0,15) (0,2)(0,15)(0,2) (0,15)(0,2)( 0,2) 0,018
PB
PC
PD
= ++=
= ++=
= ++=
+ Do đó
( ) 0,008 0,03 0,0375 0,018 0,0935PH = ++ + =
Câu 35: Ba người xạ thủ
123
A,A ,A
độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất
bắn trúng mục tiêu của
123
A,A ,A
tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,5. Tính xác suất để có ít nhất một
xạ thủ bắn trúng.
A. 0,45 B. 0,21 C. 0,75 D. 0,94
Lời giải
Chọn D
Gọi
X
là biến cố: “Không có xạ thủ nào bắn trúng mục tiêu”.
Khi đó P(
X
) = P(
A
).P(
B
).P(
C
)=0,3.0,4.0,5=0,14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 28
⇒
P = 1- P(
X
)=0,94.
Câu 36: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn
hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu
là
A. 0,45. B. 0,4. C. 0,48. D. 0,24.
Lời giải
Chọn C
Gọi
1
A
là biến cố viên thứ nhất trúng mục tiêu
Gọi
2
A
là biến cố viên thứ hai trúng mục tiêu
Do
12
,AA
là hai biến cố độc lập nên xác suất để có một viên trúng mục tiêu và một viên trượt
mục tiêu là
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
12 12 12 12
0,6.0, 4 0, 4.0,6 4,8p pAA pAA pA pA pA pA= + = + =+=
.
Câu 37: Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn
trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là
1
2
và
1
3
. Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không
bắn trúng bia.
A.
1
3
B.
1
6
C.
1
2
D.
2
3
Lời giải
Chọn D
Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia là:
11
1.
22
−=
Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia là:
12
1.
33
−=
Gọi biến cố A:”Có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia ”.
Khi đó biến cố A có 3 khả năng xảy ra:
+) Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia, người thứ hai không bắn trúng bia:
12 1
..
23 3
=
+) Xác suất người thứ nhất không bắn trúng bia, người thứ hai bắn trúng bia:
11 1
..
23 6
=
+) Xác suất cả hai người đều bắn không trúng bia:
Khi đó
12 11 11 2
..() ..
23 23 23 3
=++=PA
Câu 38: Ba xạ thủ
1
A
,
2
A
,
3
A
độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn
trúng mục tiêu của
1
A
,
2
A
,
3
A
tương ứng là
0,7
;
0,6
và
0,5
. Tính xác suất để có ít nhất một
xạ thủ bắn trúng.
A.
0, 45
. B.
0, 21
. C.
0,75
. D.
0,94
.
Lời giải
Chọn D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 29
Gọi
i
A
: “Xạ thủ thứ
i
bắn trúng mục tiêu” với
1, 3i =
.
Khi đó
i
A
: “Xạ thủ thứ
i
bắn không trúng mục tiêu”.
Ta có
( )
( )
11
0,7 0,3PA PA=⇒=
;
( )
( )
22
0,6 0, 4PA PA
=⇒=
;
( )
( )
33
0,5 0,5PA PA=⇒=
.
Gọi
B
: “Cả ba xạ thủ bắn không trúng mục tiêu”.
Và
B
: “có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.
Ta có
( )
( )
(
)
(
)
123
. . 0,3.0,4.0,5 0,06PB PA PA PA
= = =
.
Khi đó
( )
(
)
1 1 0,06 0,94PB PB=− =−=
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV
Câu 1. Người ta tiến hành phỏng vấn
40
người về một mẫu áo sơ mi mới. Người điều tra yêu cầu cho
điểm mẫu áo đó theo thang điểm
100
. Kết quả được trình bày trong Bảng 16.
Nhóm
Tần số
Tần số tích lũy
[
)
50;60
4
4
[
)
60;70
5
9
[
)
70;80
23
32
[
)
80;90
6
38
[
)
90;100
2
40
40n =
Bảng 16.
a) Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị:
A.
74
. B.
75
. C.
76
. D.
77
.
b) Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là:
A.
12 3
71; 76; 78QQ Q
≈≈≈
. B.
12 3
71; 75; 78QQ Q≈≈≈
.
C.
123
70; 76; 79QQQ≈≈≈
. D.
123
70; 75; 79QQQ≈≈≈
.
c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là:
A.
73
. B.
74
. C.
75
. D.
76
.
Lời giải
a) Trung vị là:
20 9
70 10 75
23
e
M
−

=+ ⋅≈


⇒
Chọn B.
b)
1
10 9
70 10 70
23
Q
−

=+ ⋅≈


,
2
75
e
QM= ≈
⇒
Chọn D.
c)
23 5
70 10 75
2.23 5 6
o
M
−

=+ ⋅≈

−−

⇒
Chọn C.
Câu 2. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ
21
số nguyên dương đầu tiên. Xác xuất để chọn được hai
số có tổng là một số chẵn bằng:
A.
11
21
. B.
221
441
. C.
10
21
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn C
Có
( )
2
21
Ω 210nC= =
.
Để hai số có tổng là một số chẵn là thì có các trường hợp sau:
TH1: Cả hai số là số chã
n.
TH2: Cả hai số là số lẻ.
Xét biến cố
A
: "Cả hai số là số chã
n".
( )
2
10
45nA C⇒==
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
Xét biến cố
B
: "Cả hai số là số lẻ".
( )
2
11
55
nB C
⇒==
Vậy xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là:
45 55 10
210 21
+
=
Câu 3. Mẫu số liệu dưới đây ghi lại độ dài quãng đường di chuyển trong một tuần (đơn vị: kilômét) của
40 chiếc ô tô:
100
105
115
116
130
135
138
132
135
120
125
128
120
124
140
140
146
145
142
142
145
148
150
150
159
155
151
156
155
151
154
152
153
160
162
175
176
165
188
198
a) Lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy với năm nhóm ứng với năm nửa khoảng:
[
)
100;120
;
[
)
120;140
;
[
)
140;160
;
[
)
160;180
;
[
)
180;200
.
b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu.
Lời giải
Nhóm
Tần
số
Tần số
tích lũy
[
)
100;120
4 4
[
)
120;140
15 19
[
)
140;160
14 33
[
)
160;180
5 38
[
)
180;200
2 0
b) Trung bình cộng là:
110.4 130.15 150.14 170.5 190.2
143
40
x
+ + ++
= =
• Trung vị là:
20 19
140 20 141
14
e
M
−

= + ⋅≈


•
1
Q
là
1
10 4
120 20 128
15
Q
−

= + ⋅=


2
Q
là:
2
Có 141
e
QM= ≈
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
3
Q
là:
3
30 19
140 20 155,6
15
Q
−

= + ⋅=


c) Mốt của mẫu số liệu là:
Có nhóm 2 là nhóm có tần số lớn nhất
15 4
120 20 138,3
2.15 4 14
o
M
−

⇒ = + ⋅≈

−−

Câu 4. Bạn Dũng và bạn Hương tham gia đội văn nghệ của nhà trường. Nhà trường chọn từ đội văn nghệ
đó một bạn nam và một bạn nữ để lập tiết mục song ca. Xác suất được nhà trường chọn vào tiết mục
song ca của Dũng và Hương lần lượt là
0,7
và
0,9
.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a)
A
: “Cả hai bạn được chọn vào tiết mục song ca”;
b)
B
: “Có ít nhất một bạn được chọn vào tiết mục song ca”;
c)
C
: “Chỉ có bạn Hương được chọn vào tiết mục song ca”
Lời giải
a)
( )
0,7.0,9 0,63PA
= =
.
b) Xét biến cố
D
: "Dũng không được chọn".
( )
1 0,7 0,3PD=−=
Xét biến cố
E
: "Hương không được chọn".
(
) ( ) ( )
1 0,9 0,1 1 0,3.0,1 0,97PE PB=−=⇒ =− =
c)
( )
0,9 0,3 0,27
PC =⋅=
.
Câu 5. Hai bạn Mai và Thi cùng tham gia một kì kiểm tra ngoại ngữ một cách độc lập nhau. Xác suất để
bạn Mai và bạn Thi đạt từ điểm
7
trở lên lần lượt là
0,8
và
0,9
.
Tính xác suất của biến cố
C
: “Cả hai bạn đều đạt từ điểm
7
trở lên”.
Lời giải
P(C) = 0,8 . 0,9 = 0,72.
Câu 6. Một người chọn ngẫu nhiên
3
lá thư vào
3
phong bì đã ghi địa chỉ sao cho mỗi phong bì chỉ chứa
một lá thư. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư được cho vào đúng phong bì đã ghi địa chỉ theo lá thư
đó.
Lời giải
( )
Có Ω 3! 6n = =
.
Có biến cố
A
: "Có ít nhất một lá thư được cho vào đúng phong bì đã ghi địa chỉ theo lá thư đó".
Xét biến cố
A
′
: "Không có lá thư nào được cho vào đúng phong bì đã ghi địa chỉ theo lá thư đó" .
( ) ( ) ( )
21 12
n A 2! 2 1
63 33
PA PA==⇒ ==⇒=
′
=
′
−
.
Câu 7. Một hộp chứa
9
quả cầu có cùng kích thước và khối lượng. Trong đó có
4
quả cầu màu xanh
đánh số từ
1
đến
4
, có
3
quả cầu màu vàng đánh số từ
1
đến
3
, có
2
quả cầu màu đỏ đánh số từ
1
đến
2
. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để 2 quả cầu được lấy vừa khác màu vừa khác số.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
Lời giải
( )
2
9
Có n Ω 36
C
= =
Gọi biến cố
A
: "2 quả cầu được lấy vừa khác màu vừa khác số"
Khi đó biến cố
A
′
:"2 quả cầu được lấy củng màu hoặc khác màu cùng số"
( )
( )
( )
222
432
7 17
17
36
17 19
1
36 36
nA CCC
PA
PA
⇒ =+++=
⇒
−
′
⇒==
′
=
Câu 8. Bạn An vẽ trên đất một bảng gồm
9
ô vuông như Hình 3. Sau đó, bạn An cầm
4
viên bi giống
nhau đặt ngẫu nhiên vào
4
ô vuông trong bảng đó. Tính xác suất để bất kì hàng nào và cột nào của bảng
cũng có viên bi.
Hình 3
Không gian mẫu:
( )
4
9
Ω 126nC= =
.
Gọi A là biến cố: “bất kì hàng nào và cột nào của bảng cũng có viên bi”, khi đó ta có biến cố đối:
A
: “có
1 hàng hoặc 1 cột không có viên bi”.
Gọi B là biến cố: 1 hàng không có viên bi
• Chọn 1 hàng trong 3 hàng có
1
3
C
cách.
• Xếp 4 viên bi vào 2 hàng còn lại có
4
6
C
cách.
( )
14
36
45nB C C⇒ =⋅=
cách.
Gọi C là biến cố: 1 cột không có viên bi.
• Chọn 1 cột trong 3 cột có
1
3
C
cách.
• Xếp 4 viên bi vào 2 cột còn lại có
4
6
C
cách.
(
)
14
36
45nC C C
⇒ =⋅=
cách.
Ta có:
BC∩=
"1 hàng không có viên bi và 1 cột không có viên bi ".
X X
X X
• Chọn 1 hàng không có viên bi có
1
3
C
cách.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
• Chọn 1 cột không có viên bi có
1
3
C
cách.
• Xếp 4 viên bi vào 4 ô còn lại có 1 cách.
(
)
9
nB C
⇒ ∩=
.
( ) ( ) ( ) ( )
45 45 9 81nA nB nC nB C⇒ = + − ∩ = + −=
.
Vậy
(
)
( )
81 5
11
126 14
PA AP=− =−=
.
BÀI TẬP TỔNG ÔN
A. TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Chọn đáp án thích hợp điền vào chỗ trống: “Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số
liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng …, trong đó
a
là đầu mút phải,
b
là
đầu mút trái”.
A.
[ ]
;ab
. B.
[
)
;ab
. C.
(
]
;ab
. D.
( )
;ab
.
Lời giải
Chọn B
Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác
định có dạng
[
)
;ab
, trong đó
a
là đầu mút phải,
b
là đầu mút trái.
Câu 2: Mẫu số liệu
( )
T
được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm sau:
Mẫu số liệu
( )
T
có bao nhiêu số liệu, bao nhiêu nhóm?
A.
58
số liệu;
5
nhóm. B.
24
số liệu;
6
nhóm.
C.
5
số liệu;
58
nhóm. D.
6
số liệu;
24
nhóm.
Lời giải
Chọn A
Mẫu số liệu
( )
T
có:
12 20 5 14 7 58+ ++ +=
(số liệu).
5
nhóm:
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
0;5 ; 5;10 ; 10;15 ; 15;20 ; 20;25
.
Câu 3: Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của các học sinh trong một lớp
11
của
một trường như sau:
Có bao nhiêu học sinh có thời gian đi từ nhà đến trường là
15
phút đến
20
phút?
A.
20
. B.
15
. C.
5
. D.
7
.
Lời giải
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
Chọn C
Theo bảng số liệu, có
5
học sinh có thời gian đi từ nhà đến trường là
15
phút đến
20
phút.
Câu 4: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao (cm) của các học sinh nữ trong khối
11
của một trường
như sau:
Trong mẫu số liệu trên, tần số tích lũy của nhóm
[
)
160;165
là:
A.
99
. B.
45
. C.
126
. D.
34
.
Lời giải
Chọn C
Tần số tích lũy của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút
phải của nhóm đó.
Tần số tích lũy của nhóm
[
)
160;165
là
20 45 34 27 126+++=
.
Câu 5: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong
30
ngày, ta có bảng số
liệu sau:
Nhiệt độ trung bình trong
30
ngày trên là:
A.
( )
24 C°
. B.
( )
25, 4 C°
. C.
( )
24,3 C
°
. D.
( )
23, 4 C°
.
Lời giải
Chọn D
Giá trị đại diện của mỗi nhóm số liệu là trung bình cộng của hai đầu mút.
Ta có bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện của mỗi nhóm:
Nhiệt độ trung bình trong
30
ngày trên là:
( )
6.19,5 12.22,5 9.25,5 3.28,5
23, 4
30
xC
+ ++
= = °
.
Câu 6: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê thời gian chạy
50
m của
20
học sinh, ta có bảng số
liệu sau:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
Tính thời gian chạy trung bình của
20
học sinh.
A.
8,31
giây. B.
8,13
giây. C.
7,13
giây. D.
7,31
giây.
Lời giải
Chọn B
Giá trị đại diện của mỗi nhóm số liệu là trung bình cộng của hai đầu mút.
Ta có bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện của mỗi nhóm:
Thời gian chạy trung bình của
20
học sinh là:
9.7,9 3.8,1 5.8,3 1.8,7
8,13
20
x
+++
= =
(giây).
Câu 7: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê thời gian hoàn thành một bài kiểm tra trực tuyến của
100
học sinh, ta có bảng số liệu sau:
Tính mốt của mẫu số liệu trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A.
38,93
. B.
38,39
. C.
39,28
. D.
39,82
.
Lời giải
Chọn B
Nhóm
3
ứng với nửa khoảng
[
)
37;39
là nhóm có tần số lớn nhất với
37u =
;
2g =
;
3
38
n =
(với
3
,,ugn
lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm
3
).
Nhóm
2
có tần số
2
13n
=
; Nhóm
4
có tần số
4
27n =
.
Ta có mốt của mẫu số liệu là:
38 13
37 .2 38,39
2.38 13 27
o
M
−

=+=

−−

.
Câu 8: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê chiều cao của
35
cây bạch đàn trong rừng, ta có bảng
số liệu sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
A.
7,35
. B.
7,34
. C.
3, 75
. D.
7,43
.
Lời giải
Chọn A
Nhóm
2
ứng với nửa khoảng
[
)
7,0; 7,5
là nhóm có tần số lớn nhất với
7,0u =
;
0,5
g =
;
2
15n
=
(với
2
,,ugn
lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm
2
).
Nhóm
1
có tần số
1
6n =
; Nhóm
3
có tần số
3
11n =
.
Ta có mốt của mẫu số liệu là:
15 6
7,0 .0,5 7,35
2.15 6 11
o
M
−

=+=

−−

.
Câu 9: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê huyết áp của
20
người, ta có bảng số liệu sau:
Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A.
100,67
. B.
101,67
. C.
101,76
. D.
100,76
.
Lời giải
Chọn B
Ta có bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:
Số phần tử của mẫu là
20n
=
. Ta có:
20
10
22
n
= =
.
Mà
34
9 10 15cf cf=<< =
. Suy ra nhóm
4
là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng
10
.
Xét nhóm
4
là nhóm
[
)
100;110
có
100r =
;
10d =
;
4
6n =
(với
4
;;
rdn
lần lượt là đầu mút trái;
độ dài; tần số của nhóm
4
).
Nhóm
3
là nhóm
[
)
90;100
có
3
9
cf =
(với
3
cf
là tần số tích lũy của nhóm
3
).
Ta có trung vị của mẫu số liệu là:
10 9
100 .10 101,67
6
e
M
−

=+=


.
Câu 10: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê điểm số (thang điểm
20
) của
100
học sinh tham dự kỳ
thi học sinh giỏi toán, ta có bảng số liệu sau:
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
Tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
A.
15,44
. B.
13,29
. C.
13,92
. D.
14,54
.
Lời giải
Chọn A
Ta có bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:
Số phần tử của mẫu là
100
n
=
. Ta có:
3 3.100
75
44
n
= =
.
Mà
34
57 75 82cf cf=<< =
. Suy ra nhóm
4
là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc
bằng
75
.
Xét nhóm
4
là nhóm
[
)
14;16
có
14s
=
;
2h =
;
4
25n
=
(với
4
;;
shn
lần lượt là đầu mút trái; độ
dài; tần số của nhóm
4
).
Nhóm
3
là nhóm
[
)
12;14
có
3
57cf
=
(với
3
cf
là tần số tích lũy của nhóm
3
).
Ta có tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:
3
75 57
14 .2 15,44
25
Q
−

=+=


.
Câu 11: Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả
năng xuất hiện. Nếu A và B xung khắc thì có bao nhiêu mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
(I).
..
PAB PA PB
.
(II).
PA B PA PB
.
(III).
AB

.
(IV).
AB
.
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
Lời giải
Chọn C
Câu 12: Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng là
80%
. Xác suất người thứ hai
bắn trúng là
70%
. Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng là
A.
50%
.
B.
32,6%
. C.
60%
.
D.
56%
.
Lời giải
Chọn D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
Gọi
i
A
là biến cố người thứ
i
bắn trúng
( )
1; 2i =
A
là biến cố cả hai người cùng bắn trúng. Lúc đó:
12
AA A= ∩
.
Vì
1
A
,
2
A
là hai biến cố độc lập nên:
( ) ( )
( )
(
)
12 1 2
. 0,8.0,7 0,56 56%PA PA A PA PA= ∩= = = =
.
Câu 13: 3 hộp
A
có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp
B
có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ
và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra
có cùng màu.
A.
91
135
. B.
44
135
. C.
88
135
. D.
45
88
.
Lời giải
Chọn B
Gọi biến cố
A
: “Hai viên bi được lấy ra có cùng màu”.
1
A
: “ Hai viên bi lấy ra màu trắng”. Lúc đó:
( )
1
47
.
15 18
PA =
.
2
A
: “ Hai viên bi lấy ra màu đỏ”. Lúc đó:
( )
2
56
.
15 18
PA =
.
3
A
: “ Hai viên bi lấy ra màu xanh”. Lúc đó:
( )
3
65
.
15 18
PA =
.
Lúc đó:
123
AA A A=∪∪
và
1
A
,
2
A
,
3
A
là các biến cố xung khắc nên:
( ) (
) ( ) ( )
123
44
135
PA PA PA PA=++=
.
Câu 14: Xác suất sinh con trai trong một lần sinh là 0,51. Một người sinh hai lần, mỗi lần một con. Tính
xác suất P để người đó sau khi sinh 2 lần có ít nhất một con trai.
A.
2499
10000
P =
B.
7599
10000
P
=
C.
51
100
P =
D.
2601
10000
P =
Lời giải
Chọn B
Gọi
X
là biến cố: “ Sau khi sinh hai lần có ít nhất người đó sinh được một con trai”
1
A
là biến cố: “ Người đó sinh được một con trai lần thứ nhất”
2
A
là biến cố: “ Người đó sinh được một con trai lần thứ hai”
Khi đó
1 2 12 12
X A A AA AA
= ∪∪
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
12 12 12
7599
...
10000
PX PA PA PA PA PA PA⇒= + + =
Câu 15: Hai xạ thủ bắn súng độc lập. Xác suất bắn trúng của xạ thủ A là 0,9 và xác suất bắn trúng của xạ
thủ B là 0,8. Hai xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn. Tính xác suất để chỉ có một xạ thủ bắn
trúng bia.
A.
0,18
B.
0,72
C.
0, 26
D.
0,98
Lời giải
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
Chọn C
Gọi A và B là bến cố xạ thủ A và xạ thủ B bắn trúng
Ta có xác suất cần tìm là:
( )
0.08 0.18 0.26= ∪=+=P P AB AB
Câu 16: Có hai hộp đựng bi. Hộp I có
9
viên bi được đánh số
1, 2, , 9…
. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một
viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là
3
10
. Xác suất để lấy được
cả hai viên bi mang số chẵn là
A.
2
15
. B.
1
15
. C.
4
15
. D.
7
15
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
X
là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “
Gọi
A
là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “
⇒
( )
1
4
1
9
4
9
C
PA
C
= =
.
Gọi
B
là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II “
( )
3
10
PB=
.
Ta thấy biến cố
,AB
là
2
biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
( ) ( )
( ) (
)
43 1
. . ..
9 10 15
PX PAB PAPB= = = =
Câu 17: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết
rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là
1
5
và
2
7
. Gọi
A
là biến cố:
“Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố
A
là bao nhiêu?
A.
( )
12
35
PA=
. B.
(
)
1
25
PA=
. C.
(
)
4
49
PA=
. D.
( )
2
35
PA=
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
A
là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. “
Gọi
X
là biến cố: “người thứ nhất ném trúng rổ.“
⇒
( )
1
5
PX =
.
Gọi
Y
là biến cố: “người thứ hai ném trúng rổ.“
⇒
( )
2
7
PY =
.
Ta thấy biến cố
,XY
là
2
biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
12 2
. ..
5 7 35
PA PXY PX PY= = = =
.
Câu 18: Trong một kì thi có
60%
thí sinh đỗ. Hai bạn
A
,
B
cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một
bạn thi đỗ là:
A.
0, 24
. B.
0,36
. C.
0,16
. D.
0, 48
.
Lời giải
Chọn D
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
Ta có:
( ) ( )
0,6PA PB
= =
( ) ( )
0, 4PA PB⇒==
Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là:
( )
(
) ( )
( )
. . 0, 48
P PA PB PA PB=+=
.
Câu 19: Ba người cùng bắn vào
1
bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trúng đích lần lượt
là
0,8; 0,6; 0,5
. Xác suất để có đúng
2
người bắn trúng đích bằng:
A.
0, 24
. B.
0,96
. C.
0, 46
. D.
0,92
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
X
là biến cố: “có đúng
2
người bắn trúng đích “
Gọi
A
là biến cố: “người thứ nhất bắn trúng đích “
⇒
( )
0,8PA=
;
( )
0, 2PA=
.
Gọi
B
là biến cố: “người thứ hai bắn trúng đích “
⇒
(
)
0,6
PB
=
,
( )
0, 4PB=
.
Gọi
C
là biến cố: “người thứ ba bắn trúng đích “
⇒
( )
0,5
PC
=
,
( )
0,5PC =
.
Ta thấy biến cố
,,ABC
là
3
biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
( )
( )
( ) ( )
. . . . . . 0,8.0,6.0,5 0,8.0,4.0,5 0,2.0,6.0,5 0,46P X P ABC P ABC P ABC=++= + + =
.
Câu 20: Ba người cùng bắn vào
1
bia Xác suất để người thứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trúng đích lần lượt
là
0,8
;
0,6
;
0,5
. Xác suất để có đúng
2
người bắn trúng đích bằng
A.
0, 24
. B.
0,96
. C.
0, 46
. D.
0,92
.
Lời giải
Chọn C
Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bán trúng đích lần lượt là:
( )
1
0,8
PA =
;
( )
2
0,6PA =
;
(
)
1
0,5
PA =
Xác suất để có đúng hai người bán trúng đích bằng:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
123 123 123
.. .. . . 0, 46PA PA PA PA PA PA P PAA AP =++
.
Câu 21: Trong một kì thi có
60%
thí sinh đỗ. Hai bạn
A
,
B
cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một
bạn thi đỗ là
A.
0, 24
. B.
0,36
. C.
0,16
. D.
0, 48
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( )
0,6PA PB= =
( ) ( )
0, 4PA PB⇒==
.
Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là:
( )
( ) ( )
( )
. . 0,48P PA PB PA PB=+=
.
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 22: Cho bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn
vị: centimét).
Nhóm
Tần số
[
)
30;40
4
[
)
40;50
10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
[
)
50;60
14
[
)
60;70
6
[
)
70;80
4
[
)
80;90
2
40n =
a) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?
Lời giải
a)
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
[
)
30;40
35
4
[
)
40;50
45
10
[
)
50;60
55
14
[
)
60;70
65
6
[
)
70;80
75
4
[
)
80;90
85
2
40n
=
Tìm giá trị trung bình
Giá trị trung bình của mẫu số liệu là
35.4 45.10 55.14 65.6 75.4 85.2
55,5
40
x
+ + +++
= =
Tìm trung vị
• Khoảng chứa trung vị
[
)
50;60
Trung vị của mẫu số liệu là
20 14
50 .10 54,29
14
e
M
−
=+≈
Tìm tứ phân vị
Nhóm chứa trung vị thứ nhất
1
Q
và nhóm chứa trung vị thứ hai
3
Q
lần lượt là
[
)
40;50
,
[
)
60;70
.
Khi đó:
1
3
10 4
40 .10 46
10
30 28
60 .10 63,3
6
Q
Q
−
=+=
−
=+=
Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là
1
46Q
=
,
2
54,29Q =
,
3
63, 3Q =
.
Tìm mốt
Nhóm chứa mốt:
[
)
50;60
Mốt của mẫu số liệu:
0
4
50 .10 53,3
48
M
=+≈
+
Câu 23: Mẫu số liệu sau ghi lại cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilogam)
17
40
39
40,5
42
51
41,5
39
41
30
40
42
40,5
39,5
41
40,5
37
39,5
40
41
38,5
39,5
40
41
39
40,5
40
38,5
39,5
41,5
a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
[
)
15;20 , 20;25 , 25;30 , 30;35 , 35;40 , 40;45 , 45;50 , 50;55 .
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu
Lời giải
a)
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
[
)
15;20
17,5
1
[
)
20;25
22,5
0
[
)
25;30
27,5
0
[
)
30;35
32,5
1
[
)
35;40
37,5
10
[
)
40;45
42,5
17
[
)
45;50
47,5
0
[
)
50;55
52,5
1
30n =
b)
Số trung bình cộng:
17,5 32,5 37,5.10 42,5.17 52,5
40
30
x
++ + +
= =
Trung vị:
2
15 12
40 .5 40,9
17
Q
−
=+≈
Trung vị
1
Q
và
3
Q
:
1
7,5 2
35 .5 37,75
10
Q
−
=+=
3
22,5 12
40 .5 43,1
17
Q
−
=+≈
Tứ phân vị:
1
37,75Q
=
,
2
40,9Q =
,
3
43,1
Q =
c) Mốt của mẫu số liệu
0
7
40 .5 41,5
7 17
M
=+≈
+
Câu 24: Gieo môt đồng xu 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để có một lần lật ngửa.
Lời giải
Gọi
A
là biến cố được lần thứ nhất ngửa
B là biến cố lần 2 ngửa
A
và
B
là hai biến cố độc lập.
AB
là biến cố lần 1 ngửa và lần 2 sấp
BA
là biến cố lần 1 sấp và lần 2 ngửa Xác suất để một lần lật ngửa là
( )
( ) ( )
( )
P PA P P PBBA=×+×
1111
0.5
2222
=×+×=
Câu 25: Gieo 3 đồng xu cân đối. Gọi
A
là biến cố có ít nhất một đồng xu lật ngửa và
B
là biến cố có
đúng 2 đồng xu lật ngửa.
a) Tính xác suất để có ít nhất một đg xu ngửa.
b) Tính
( )
P AB∩
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
Lời giải
Gieo 3 đồng xu thì không gian mẫu là
{
}
E , , , ,,,,NNN NNS NSN SNN NSS SNS SSN SSS
=
a) Xác suất để ít nhất một đồng xu lật ngửa là
( )
17
PA 1
88
=−=
b) Ta có
( )
3
PB
8
=
.
A
và
B
là hai biến cố độc lập nên
(
)
(
)
(
)
7 3 21
P PA PB
8 8 64
AB∩ = ⋅ =×=
Câu 26: Cho
( ) ( )
PA 2/5;PB 5/12= =
và
( )
P AB 1/ 6=
. Hỏi 2 biến cố
A
và
B
có:
a) Xung khắc hay không?
b) Độc lập với nhau hay không?
Lời giải
a)
( )
1
VìP AB 0
6
= ≠
nên
A
và
B
không xung khắcl
b) Ta có
( ) ( ) ( )
25 1
PA PB
5 12 6
P AB
× =×==
Vậy
A
và
B
là 2 biến cố độc lập
Câu 27: Cho hai biến cố
A
và
B
biết
( ) ( )
P A 0,3;P B 0,5= =
và
( )
P 0,1AB∩=
.
Tính
( )
( ) ( ) (
) ( )
P ,P ,P ,P ,P BAAABB BA∪ ∩∪
.
Lời giải
Ta có
( )
( ) (
) ( )
P A B P A P B P AB 0,3 0,5 0,1 0, 7∪= + − = + −=
Ta có
( )
( )
P 1 P A 1 0,3 0,7A =− =−=
( )
( )
P 1 P B 1 0,5 0,5B =− =−=
( )
( )
P 1 P AB 1 0,1 0,9AB =− =−=
( )
( )
P 1 P A B 1 0,7 0,3AB∪=− ∪=− =
Câu 28: Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cổ bài 32 lá, trả lá bài trong cổ bài và rút lá bài khác.
a) Tính xác suất để hai lá bài rút được là lá già và lá đầm
b) Tính xác suất trong hai lá bài r được không có lá cơ
Lời giải
Trong cổ bài 32 lá có 4 lá già và 4 lá đầm.
Gọi
A
là biến cố được lá già và
B
là biến cố được giá đầm
Rút là bài thứ nhất và trả lại vào cổ bài rồi rút lá thứ hai nên hai biến cố
A
và
B
độc lập a)
( ) ( ) ( )
11
44
11
32 32
44 1
PAB PA PB
32 32 64
CC
CC
= × = × =×=
b) Trong cổ bài 32 lá có 8 lá cơ.Do đó xác suất rút được 2 lá cơ là
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
88 1
32 32 16
×=
Vậy xác suất để 2 lá bài rút được không có lá cơ là
1 15
P1
16 16
=−=
Câu 29: Một bình đựng 2 bi xanh và 4 bi đỏ. Lần lượt lấy một bi liên tiếp 3 lần và mỗi lần trả lại bi đã lấy
vào bình.
a) Tính xác suất để được 3 bi xanh
b) Tính xác suất để được 3 bi đỏ
c) Tính xác suất để được 3 bi không cùng một màu
Lời giải
a)
( )
222 1
PA
666 27
=××=
b)
( )
444 8
PB
666 27
=××=
.
c) Xác suất được 3 bi cùng màu là
( ) ( ) ( )
1 81
PA B PA PB
27 27 3
∪= + = + =
.
Vậy
(
)
12
1
33
PC
=−=
.
Câu 30: Có
3
chiếc hộp. Hộp
A
chứa
3
bi đỏ,
5
bi trắng. Hộp
B
chứa
2
bi đỏ,
2
bi vàng. Hộp
C
chứa
2
bi đỏ,
3
bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một bi từ hộp đó. Xác suất để được một bi
đỏ
Lời giải
Lấy ngẫu nhiên một hộp
Gọi
1
C
là biến cố lấy được hộp
A
Gọi
2
C
là biến cố lấy được hộp
B
Gọi
3
C
là biến cố lấy được hộp
C
Vậy
( ) ( ) (
)
123
1
3
PC PC PC= = =
Gọi
C
là biến cố “ lấy ngẫu nhiên một hộp, trong hộp đó lại lấy ngẫu nhiên một viên bi và
được bi đỏ ”. Xác suất cần tính là
( ) ( ) ( )
123
E CC CC CC=∩ ∪∩ ∪∩
( ) ( ) ( ) ( )
1 23
PE PC C PC C PC C⇒ =∩+∩+∩
13 12 12 17
...
3 8 3 4 3 5 40
=++=
.
Câu 31: Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là
x
,
y
và
0,6
(với
>xy
). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là
0,976
và xác suất để
cả ba cầu thủ đều ghi ban là
0,336
. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.
Lời giải
Gọi
i
A
là biến cố “người thứ
i
ghi bàn” với
1, 2, 3=i
.
Ta có các
i
A
độc lập với nhau và
( ) ( ) ( )
12 3
, , 0,6= = =
PA xPA yPA
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”
B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”
C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”
Ta có:
(
) (
)
( )
(
)
123 1 2 3
. . . . 0, 4(1 )(1 )= ⇒ = = −−A AAA PA PA PA PA x y
Nên
( )
( ) 1 1 0,4(1 )(1 ) 0,976
=− =− − −=PA P A x y
Suy ra
3 47
(1 )(1 )
50 50
− − = ⇔ −−=−x y xy x y
(1).
Tương tự:
123
..=B AAA
, suy ra:
(
) (
) (
)
( )
123
. . 0,6 0,336= = =PB PA PA PA xy
hay là
14
25
=xy
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
14
25
3
2
=
+=
xy
xy
, giải hệ này kết hợp với
>xy
ta tìm được
0,8=x
và
0,7=y
.
Ta có:
123 1 23 12 3
=++C AAA AA A AA A
Nên
( ) (1 ) .0,6 (1 ).0,6 .0,4 0,452
=− +− + =P C x y x y xy
.
Câu 32: Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án
đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học
sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm
dưới 1.
Lời giải
Ta có xác suất để học sinh trả lời câu đúng là
1
4
và xác suất trả lời câu sai là
3
4
.
Gọi
x
là số câu trả lời đúng, khi đó số câu trả lời sai là
10 − x
Số điểm học sinh này đạt được là:
4 2(10 ) 6 20
− −= −x xx
Nên học sinh này nhận điểm dưới 1 khi
21
6 20 1
6
− <⇔ <xx
Mà
x
nguyên nên
x
nhận các giá trị:
0,1, 2,3
.
Gọi
i
A
(
0,1, 2,3=
i
) là biến cố: “Học sinh trả lời đúng
i
câu”
A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1”
Suy ra:
0123
= ∪∪∪AA A A A
và
0123
()()()()()=+++
PA PA PA PA PA
Mà:
10
10
13
() .
44
−

=


ii
i
i
PA C
nên
10
3
10
0
13
( ) . 0,7759
44
−
=

= =


∑
ii
i
i
PA C
.
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
| 1/85
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
CHƯƠNG V. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
BÀI 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
Một cuộc khảo sát đã tiến hành xác định tuổi ( theo năm ) của 120 chiếc ô tô. Kết quả điều tra được cho trong bảng 1.
I. MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
1. Bảng tần số ghép nhóm
Trong Bảng 1 ở phần mở đầu ta thấy:
Có 13 ô tô có độ tuổi dưới 4 ;
Có 29 ô tô có độ tuổi từ 4 đến dưới 8 .
Hãy xác định số ô tô có độ tuổi: a) Từ 8 đến dưới 12; b) Từ 12 đến dưới 16;
c) Từ 16 đến dưới 20 . Lời giải
a) Có 48 ô tô có độ tuổi từ 8 đến dưới 12;
b) Có 22 ô tô có độ tuổi từ12 đến dưới 16;
c) Có 8 ô tô có độ tuổi từ 16 đến dưới 20.
• Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm.
• mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng [ ;
a b) , trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải. độ dài nhóm là b − a .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
• Tần số của một nhóm là số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào
nhóm đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2 , …, nhóm m kí hiệu lần Nhóm Tần số
lượt là n ,n ,...,n . 1 2 m [a ;a n 1 2 ) 1
• Bảng tần số ghép nhóm được lập ở Bảng 2, trong đó mẫu [a ;a n 2 3 ) 2
số liệu n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nữa … khoảng [a ;a a ;a a a m ; 1 2 ) ; [ 2 3 ) ;… ; [ m 1 + ) , ở đó
a < a <...< a < a và n = n + n +...+ n . n 1 2 m m 1 + 1 2 m [a a m m ; m 1 + ) n
Ví dụ 1: bảng 3 biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm được Nhóm Tần số
cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm. Hãy cho biết : [0;5) 11
a) Mẫu số liệu đó có bao nhiêu số liệu; bao nhiêu nhóm; [5;10) 31
b) Tần số của mỗi nhóm. [10;15) Giải 45 Từ Bảng 3 ta thấy: [15;20) 21
a) Mẫu số liệu đó gồm 120 số liệu và 5 nhóm. [
b) Tần số của các nhóm 1,2,3,4,5 lần lượt là: 20;26) 12 11,31,45,21,12 . n =120 Lời giải
a) Mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 có 120 số liệu và 5 nhóm
b) Tần số của các nhóm lần lượt là: 13, 29, 48, 22, 8.
2. Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích luỹ
Một trường trung học phổ thông chọn 36 học sinh nam của khối 11, đo chiều cao của các bạn
học sinh đó và thu được mẫu số liệu sau ( đơn vị: centimet )
160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164
164 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167
168 168 168 168 169 169 170 171 171 172 172 174
Từ mẫu số liệu không ghép nhóm trên, hãy ghép các số liệu thành năm nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau. Lời giải
Để ghép nhóm các số liệu, ta cần tìm giá trị của khoảng cách giữa các số trong mẫu số liệu. Khoảng
cách giữa hai số bất kỳ có thể được tính bằng cách lấy hiệu của chúng.
Ta có thể chia mẫu số liệu thành năm nhóm dựa trên các nửa khoảng có độ dài bằng nhau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
[160; 163): 160,161, 161, 162, 162, 162
[163; 166): 163, 163, 163, 164, 164, 164, 164, 165, 165, 165, 165, 165
[166; 169): 166, 166, 166, 166, 167, 167, 168, 168, 168, 168
[169; 172): 169, 169, 170, 171, 171 172 [ ; 175): 172, 172, 174
Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện như sau:
• Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước.
• Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng tần số ghép nhóm.
Chú ý: Khi ghép nhóm số liệu, ta thường phân chia các nhóm có độ dài bằng nhau và đầu mút của các
nhóm có thể không phải là giá trị của mẫu số liệu. Nhóm cuối cùng có thể là [a a m ; m 1 + ]
Ví dụ 2: Trong bài toán ở Hoạt động 2, lập bảng tần số ghép nhóm có năm nhóm ứng với năm nửa
khoảng: [160 ; 163),[166 ; 169),[169 ; 172),[172 ; 175) . Lời giải:
Bảng tần số ghép nhóm như sau: Nhóm Tần số [160;163) 6 [163;166) 12 [ 10 166;169) 5 [169;172) 3 [172;175) n = 36 Bảng 4
Luyện tập 2. Một thư viện thống kê người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của tháng vừa qua như sau: 85 81 65 58 47 30 51 92 85 42 55 37 31 82 63 33 44 93 77 57 44 74 63 67 46 73 52 53 47 35
Lập bảng tần số ghép nhóm có tasm nhóm ứng với tám nửa khoảng sau: [25;34),[34;43),[43;52),[52; )
61 ,[61;70),[70;79),[79;88),[88;97) Lời giải Nhóm [25;34) [34;43) [43;52) [52; ) 61 [61;70) [70;79) [79;88) [88;97) Tần số 3 3 6 5 4 3 4 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
HĐ3. Trong Bảng 4, có bao nhiêu số liệu với giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải: a) 163 của nhóm 1 ? b) 166 của nhóm 2 ? c) 169 của nhóm 3 ? d) 172 của nhóm 4? e) 175 của nhóm 5 ? Lời giải
Có 6 giá trị không vượt quá giá trị 163 của nhóm 1.
Có 12 giá trị không vượt quá giá trị 166 của nhóm 2.
Có 10 giá trị không vượt quá giá trị 169 của nhóm 3..
Có 5 giá trị không vượt quá giá trị 172 của nhóm 4.
Có 3 giá trị không vượt quá giá trị 175 của nhóm 5.
Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho mẫu số liệu gồm n số liệu được ghép nhóm như ở Bảng 2 . •
Tần số tích luỹ của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút phải
của nhóm đó. Tần số tích luỹ của nhóm 1 , nhóm 2,…, nhóm m kí hiệu lần lượt là cf ,cf ,…,cf . 1 2 m •
Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ được lập như ở bảng 5 Nhóm Tần số Tần số tích lũy [a ;a n cf = n 1 1 1 1 2 ) [ = + a ;a n cf n n 2 2 1 2 2 3 ) … … … = + + [ n cf n n n m ... a a m 1 2 m m ; m 1 + ) n Bảng 5
Ví dụ 3: Trong bài toán ở Hoạt động 2 , lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ có năm
nhóm ứng với năm nửa khoảng: [160; 163), [163; 166), [166;169) , [169;172),[172;175) . Lời giải:
Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như ở Bảng 6: Nhóm Tần số Tần số tích lũy [160;162] 6 6 18 [ 12 163;165] 10 28 [166;168] 5 33 [ 3 36 169; ] 171 [172;174] n = 36 Bảng 6
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Trong bài toán ở Luyện tập 2, lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy có tam
nhóm ứng với tám nửa khoảng: [25;34),[34;43),[43;52),[52; )
61 ,[61;70),[70;79),[79;88),[88;97).
II. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG (SỐ TRUNG BÌNH) 1. Định nghĩa
HĐ 4. Xét mẫu số liệu trong Ví dụ 2 được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm (Bảng 7). Nhóm Giá trị đại Tần số diện [40;47) x = ? n = ? 1 1 [47;54) x = ? n = ? 2 2 [ x = ? n = ? 54; ) 61 3 3 x = ? n = ? [ 4 4 61;68) x = ? n = ? 5 5 [68;75) n = ? Bảng 7
a) Tìm trung điểm x của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với 1
nhóm 1. Ta gọi trung điểm x là giá trị đại diện của nhóm 1. 1
b) Bằng cách tương tự, hãy tìm giá trị đại diện của bốn nhóm còn lại. Từ đó, hãy hoàn thiện các số liệu trong bảng 7.
n x + n x +…+ n x
c) Tính giá trị x cho bởi công thức sau: 1 1 2 2 5 5 x = n Lời giải: Nhóm Giá trị đại Tần số diện [40;47) x = 43,5 n = 6 1 1 [47;54) x = 50,5 n =12 2 2 [ x = 57,5 n =10 54; ) 61 3 3 x = 64,5 n = 5 [ 4 4 61;68) x = 71,5 n = 3 5 5 [68;75) n = 36
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
n x + n x +…+ n x 1 1 2 2 5 5 x = n
43,5.6 + 50,5.12 + 57,5.10 + 64,5.5 + 71,5.3 = 36 ≈ 55
Giá trị x gọi là số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho.
Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 8 . Nhóm Giá Tần số tích lũy trị [a ;a x n 1 1 1 2 ) [a ;a x n 2 2 2 3 ) … … … [ x n a a m m m ; m 1 + )
n = n + n + ..+ n 1 2 m
• Trung điểm x của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm i i
là giá trị đại diẹnn của nhóm đó.
• Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu x , được tính theo công thức:
n x + n x +…+ n x 1 1 2 2 m m x = n
Ví dụ 4: Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 lá cây (đơn vị: milimet) và thu được tần số như Bảng 9.
Tính chiều dài trung bình của 74 lá cây trên theo đơn vị milimet (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Nhóm Giá trị đại Tần số diện [5,45;5,85) 5,65 5 9 [ 6,05 5,85;6,25) 6,45 15 [6,25;6,65) 6,85 19 [ 16 6,65;7,05) 7,25 8 [7,05;7,45) 7,65 2 [ 8,05 7,45;7,85) [7,85;8,25) n = 74 Bảng 9 Lời giải
Chiều dài trung bình của 74 lá cây mà nhà thực vật học đo xấp xỉ là:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
5.5,659 9.6,05 15.6,45 19.6,85 16.7,25 8.7,65 2.8,05 X + + + + + + = ≈ 6,80(mm) . 74
Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trong bài toán ở Luyện tập 2 Lời giải Nhóm
Giá trị đại diện Tần số [ 29,5 3 25;34) [ 38,5 3 34;43) [ 47,5 6 43;52) [52; ) 61 56,5 5 [ 65,5 4 61;70) [70;79) 74,5 3 [79;88) 83,5 4 [88;97) 92,5 2 n = 30 Trung bình cộng là:
29,5.3 38,5.3 47,5.6 56,5.5 65,5.4 74,5.3 83,5.4 92,5.2 x + + + + + + + = 30 = 59,2 2. Ý nghĩa
Như ta đã biết, số trung bình cộng của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị trung bình cộng
của các số trong mẫu số liệu đó, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để
đại diện cho mẫu số liệu khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch vối số trung bình cộng.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với số trung bình cộng của mẫu số
liệu không ghép nhóm ban đầu và có thể làm đại diện cho vị trí trung tâm của mẫu số liệu.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com III. TRUNG VỊ 1. Định nghĩa
HĐ5. Trong phòng thí nghiệm, người ta chia 99 mẫu vật thành năm nhóm căn cứ trên khối lượng của
chúng (đơn vị: gam) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như Bảng 10. Nhóm Tần số Tần số tích lũy [27,5;32,5) 16 16 [32,5;37,5) 24 40 [37,5;42,5) 20 60 [42,5;47,5) 30 90 [47,5;52,5) 9 99 n = 99 Bảng 10.
a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng n 99 = = 49,5 có đúng không? 2 2
b) Tìm đầu mút trái r , độ dài d , tần số n cf
3 của nhóm 3; tần số tích lũy 2 của nhóm 2.  49,5 − cf  c) Tính giá trị M M = r +  ⋅ d
e theo công thức sau: 2 e .  n3  Lời giải
a) Nhóm 3 có tần số �ch lũy là 60 n ⇒ Lớn hơn hoặc bằng 99 = = 49,5 2 2
b) Nhóm 3 có đầu mút trái r: 37,5 ; độ dài d: 5 ; tần số n : 20 3
Tần số �ch lũy của nhóm 2 là: 40 c)  49,5 − cf   49,5 − 40 2 M r   d  = + ⋅ = + ⋅ = . e 37,5   5 39,875  n3   20 
Giá trị Me được gọi là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho.
Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như ở Bảng 5 .
Giả sử nhóm k là nhóm đầu tiên có tẩn số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng n , tức là n c < nhưng 2 k 1 − 2 n
cf ≥ . Ta gọi r,d,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm k ; cf là tần số tích luỹ k 2 k k 1 − của nhóm k −1.
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M được tính theo công thức sau: e+
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com n cf  −  k 1 2 −  M = r +   d e . . nk   
Sau khi điều tra về số học sinh trong 100 lớp học, người ta chia mẫu số liệu đó thành năm nhóm
căn cứ vào số lượng học sinh của mỗi lớp (đơn vị; học sinh) và lập bảng tần số ghép nhóm bao
gồm cả tần số tích lũy như Bảng 11. Tìm trung vị của mẫu số liệu đó(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Nhóm Tần số Tần số tích lũy [36;38) 9 9 [38;40) 15 24 [40;42) 25 49 [42;44) 30 79 [44;46) 21 100 n = 99 Bảng 11. Lời giải
Số phần tử của mẫu là n =100 . Ta có n 100 = = 50 . 2 2
mà cf = 49 < 50 < cf = 79 3 4
. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 50.
Xét nhóm 4 là nhóm [42;44) có r = 42;d = 2;n = 30 cf = 49 4
và nhóm 3 là nhóm [40;42) có 3 .
Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:  50 49 M −  = + ⋅ ≈ ( học sinh). e 42   2 42  30 
Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1. Lời giải Có bảng sau: Tần Tần số �ch Nhóm số lũy [0;4) 13 13
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com [4;8) 29 42 [8;12) 48 90 [12;16) 22 112 [16;20) 8 120
Số phần tử của mẫu là n =120 . Ta có: n 120 =
= 60 ⇒ Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích 2 2 lũy lớn hoặc bằng 60.
Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8;d = 4;n = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf = 42 . 3 2
Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:  60 42 M −  = + ⋅ = e 8   4 9,5  48  2. Ý nghĩa
Trung vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với trung vị của mẫu số liệu không ghép nhóm
ban đầu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho. IV. TỨ PHÂN VỊ 1. Định nghĩa
Giáo viên chủ nhiệm chia thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 40 học sinh
thành năm nhóm (đơn vị: phút) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như Bảng 12. Nhóm Tần số Tần số tích lũy [0;60) 6 6 [60;120) 13 19 [120;180) 13 32 [180;240) 6 38 [240;300) 2 40 n = 40 Bảng 12. a) Tìm trung vị M M Q
e của mẫu số liệu ghép nhóm đó. Trung vị
e còn gọi là tứ phân vị thứ hai 2
của mẫu số liệu trên.
b) • Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng n 40 = =10 có đúng không? 4 4
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
- Tìm đầu mút traii s , độ dài h , tần số n f
2 của nhóm 2; tần số tích luỹ 1 của nhóm 1 . Sau đó, hãy 10 − cf  tính giá trị Q Q = s +  .h 1 theo công thúc sau: 1 1 .  n2 
Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu đã cho. ⋅
c) • Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3n 3 40 = = 30 có đúng 4 4 không?
• Tìm đầu mút trái t , độ dài l , tần số n cf
3 của nhóm 3 ; tân số tích luỹ
2 của nhóm 2 . Sau đó, hãy  30 − cf  tính giá trị Q Q = t +  .l 3 theo công thức sau: 2 3 .  n3 
Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ ba Q3 của mẫu số liệu đã cho. Lời giải
a) Số phần tử của mẫu là n = 40 . Ta có: n 40 =
= 20 => Nhóm 3 là nhóm đầu �ên có tần số �ch lũy lớn hoặc bằng 20. 2 2
Xét nhóm 3 là nhóm [120;180) có r =120;d = 60;n =13 và nhóm 2 là nhóm [60; 120) có 3 cf =19 . 2
Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:  20 19 M −  = + ⋅ ≈ e 120   60 125 (phút)  13 
b) Nhóm 2 có tần số tích lũy là 19 => Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng n 40 = =10 . 4 4
• Nhóm 2 có đầu mút trái S: 60, độ dài h : 60 , tần số n :13 2
• Nhóm 1 có tần số tích lũy là: 6 10 − 6 Q 60  ⇒ = + ⋅60 ≈   78 (phút) 1  13 
c) Nhóm 3 có tần số tích lũy là 32 => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 3n 3.40 = = 30 . 4 4
• Nhóm 3 có đầu mút trái t: 120 , độ dài l : 60 , tần số n :13 của nhóm 3 ; tần số tích luỹ cf :19 3 2  30 −19 Q 120  ⇒ = + ⋅60 ≈   171 (phút) 3  13 
Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như ở Bảng 5.
• Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
Tứ phân vị thứ hai Q2 bằng trung vị M e'
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
• Giả sử nhóm p là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng n , tức là n cf < 4 p 1 − 4 nhưng n
cf ≥ . Ta gọi s,h,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm ; p cf là tần p 4 p p 1 −
số tích luỹ của nhóm p −1.
Tứ phân vị thứ nhất Q được tính theo công thức sau: 1  n cf  −  p 1 4 −  Q = s +  ⋅ . h 1 np    3
• Giả sử nhóm q là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 3n , tức là n cf < 4 q 1 − 4 nhưng 3n cf ≥
. Ta gọi t,l,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm q ; cf là tần q 4 q q 1 −
số tích luỹ của nhóm q −1.
Tứ phân vị thứ ba Q được tính theo công thức sau: 3  3n cf  −  q 1 −  4 Q = t +  .l . 3 nq   
Ví dụ 6. Bảng 13 cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 11 A
trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam). Xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó. Lời giải
Số phần tử của mẫu là n = 40 . • Ta có: n 40 =
= 10 mà 2 <10 <12 . Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc 4 4
bằng 10. Xét nhóm 2 là nhóm [40;50) có s = 40;h =10;n =10 và nhóm 1 là nhóm [30;40) có cf = 2. 2 1
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là: 10 − 2 Q 40  = + ⋅10 =   48 kg . 1 ( )  10 
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com • Ta có: n 40 =
= 20 mà 12 < 20 < 28 . Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn 2 2
hoặc bằng 20. Xét nhóm 3 là nhóm [50;60) có r = 50;d =10 ; n =16 và nhóm 2 là nhóm [40;50) có 3 cf =12 . 2
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là:  20 12 Q M −  = = + ⋅ = e 50   10 55 kg . 2 ( )  16  • Ta có: 3n 3.40 =
= 30 mà 28 < 30 < 36. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn 4 4
hoặc bằng 30. Xét nhóm 3 là nhóm [60;70) có t = 60;l =10;n = 8 và nhóm 3 là nhóm [50;60) có 4 cf = 28 . 3
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:  30 − 28 Q 60  = + .10 =   62,5 kg . 3 ( )  8 
Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:
Q = 48 kg ;Q = 55 kg ;Q = 62,5 kg . 1 ( ) 2 ( ) 3 ( )
LUYỆN TẬP – VẬN DỤNG 6. Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu trong Bảng 1 (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười). Lời giải Có bảng sau: Nhóm Tần số Tần số tích lũy [0;4) 13 13 [4;8) 29 42 [8;12) 48 90 [12;16) 22 112 [16;20) 8 120 n =120
Số phần tử của mẫu là n =120 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com • Ta có n 120 =
= 30 . Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30 . Xét 4 4
nhóm 2 là nhóm [4;8) có r = 4;d = 4;n = 29 và nhóm 1 là nhóm [0;4) có cf =13 2 1
Áp dụng công thức, ta có Q của mẫu số liệu là 1  30 −13 Q 4  ⇒ = + ⋅ 4 ≈   6,4 (chiếc) 1  29  • Có n 120 =
= 60 => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hoặc bằng 60 2 2
Xét nhóm 3 là nhóm [8;12 ) có r = 8;d = 4;n = 48 và nhóm 2 là nhóm [4;8 ) có cf = 42 Áp dụng 3 2
công thức, ta có Q của mẫu số liệu là: 2  60 42 Q M −  = = + ⋅ = (chiếc) e 8   4 9,5 2  48 
• Ta có 3n = 90 . Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 90 . Xét nhóm 3 4
là nhóm [8;12 ) có r = 8;d = 4;n = 48 và nhóm 2 là nhóm [4;8 ) có cf = 42 3 2
Áp dụng công thức, ta có Q của mẫu số liệu là: 3  90 − 42 Q 8  = + ⋅ 4 =   12 (chiếc) 3  48  2. Ý nghĩa
Như ta đã biết, đối với mẫu số liệu không ghép nhóm đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, các
điểm Q ,Q ,Q chia mẫu số liệu đó thành bốn phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị. 1 2 3
Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được
ba giá trị mới cũng có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.
Lưu ý rằng bộ ba giá trị Q ,Q ,Q trong tứ phân vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với bộ 1 2 3
ba giá trị trong tứ phân vị của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu. V. MỐT 1. Định nghĩa
HĐ7. Quan sát bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ ở Ví dụ 6 và cho biết:
a) Nhóm nào có tần số lớn nhất;
b) Đầu mút trái và độ dài của nhóm có tần số lớn nhất bằng bao nhiêu.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 2.
Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi u, g,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của i nhóm i;n
lần lượt là tần số của nhóm i −1, nhóm i +1. − n i , 1 i 1 + Lời giải
a) Nhóm 3 có tần số lớn nhất.
b) Đầu mút trái: 50, độ dài: 10.
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M , được tính theo công thức sau: o
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com n − ni i 1 M = u − +  ⋅ g o . 2n − n −  − n i i 1 i 1 + 
Chú ý: • Khi i = 0 thì n = 0; • Khi i = m thì n = . m+ 0 0 1
Ví dụ 7. Kết quả kiểm tra môn Toán của lốp 11D như sau:
a) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên có bốn nhóm ứng với bốn nửa khoảng:
[3;5),[5;7) , [7;9), [9;1 )1 .
b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Lời giải
a) Bảng 14 là bảng tần số ghép nhóm cho kết quả kiểm tra môn Toán của lớp 11D.
b) Ta thấy: Nhóm 2 ứng với nửa khoảng [5 ; 7) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 5; g = 2;n =18 . 2
Nhóm 1 có tần số n = 5, nhóm 3 có tần số n =10 . 1 3
Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:  18 5 M −  = + ⋅ ≈ o 5   2 6,2.  2⋅18 − 5 −10 
LUYỆN TẬP – VẬN DỤNG 7. Tìm mốt của mẫu số liệu trong Ví dụ 6 (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười). Lời giải
Có nhóm 3 là nhóm có tần số lớn nhất  16 10 M −  ⇒ = + ⋅ ≈ o 50   10 54,3  2.16 −10 − 8 
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com 2. Ý nghĩa
Như ta đã biết, mốt của một mẫu số liệu không ghép nhóm đặc trưng cho số lần lặp đi lặp lại nhiều
nhất tại một giá trị của mẫu số liệu đó. Vì thế, có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số
liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.
Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được giá trị
mới cũng có thể dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu đã cho.
Mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu.
Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều mốt.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP
Dạng 1: Số trung bình – Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm 1. Phương pháp
I. Số liệu ghép nhóm.
• Mẫu số liệu ghép nhóm thường được trình bày dưới dạng bảng thống kê có dạng như sau:
Bảng 1: Bảng tần số ghép nhóm Nhóm [u ;u u ;u u u k ; 1 2 ) [ 2 3) … [ k 1 + ) Tần số n n n 1 2 … k Chú ý:
• Bảng trên gồm k nhóm u u
với 1≤ j ≤ k , mỗi nhóm gồm một số giá trị được ghép theo một j ; j+ ) 1 tiêu chí xác định.
• Cỡ mẫu n = n + n +…+ n . 1 2 k
• Giá trị chính giữa mỗi nhóm được dùng làm giá trị đại diện cho nhóm ấy. Ví dụ nhóm [u ;u 1 2 ) có giá 1
trị đại diện là (u + u 1 2 ) . 2 • Hiệu u −  + u j 1
j được gọi là độ dài của nhóm u u  . j ; j 1 + )
Một số quy tắc ghép nhóm của mẫu số liệu
Mỗi mẫu số liệu có thể được ghép nhóm theo nhiều cách khác nhau nhưng thường tuân theo một số quy tắc sau:
Sử dụng từ k = 5 đến k = 20 nhóm. Cỡ mẫu càng lớn thì cần càng nhiều nhóm số liệu. Các nhóm có
cùng độ dài bằng L thoả mãn R < k.L , trong đó R là khoảng biến thiên, k là số nhóm.
Giá trị nhỏ nhất của mẫu thuộc vào nhóm [u ;u 1
2 ) và càng gần u càng tốt. Giá trị lớn nhất của mẫu 1 thuộc nhóm [u u k ; k 1 + ) và càng gần u càng tốt. k 1 + II. Số trung bình.
Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm: Nhóm Nhóm 1 Nhóm 2 … Nhóm k Giá trị đại diện c c c 1 2 … k Tần số n n n 1 2 … k
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com −
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu x , được tính như sau: −
n c + n c +…+ n c 1 1 2 2 k k x = n
trong đó n = n + n +…+ n . 1 2 k
Ý nghĩa của số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Nó
thường dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. III. Mốt
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.
Giả sử nhóm chứa mốt là [u u m ; m 1
+ ) , khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là M , được xác o n − n định bởi công thức m m 1 M = u − + ⋅ u − + u o m ( m m n − n + − − n n m m 1 ) ( m m 1+) ( 1 )
Chú ý: Nếu không có nhóm kề trước của nhóm chứa mốt thì n
= . Nếu không có nhóm kề sau của m− 0 1
nhóm chứa mốt thì n = . m+ 0 1
Ýnghĩa của mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
• Mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi lấy mẫu. Mốt
của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm M xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm. Các giá trị o
nằm xung quanh M thường có khả năng xuất hiện cao hơn các giá trị khác. o
• Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều nhóm chứa mốt và nhiều mốt. 2. Ví dụ
Ví dụ 1. Tính giá trị đại điện và độ dài của mỗi nhóm trong mẫu số liệu ở bảng sau: Khoảng tuổi [20;30) [30;40) [40;50) [50;60) [60;70) Số khách hàng nữ 3 ? ? ? ? Lời giải Khoảng tuổi [20;30) [30;40) [40;50) [50;60) [60;70) Giá trị đại diện 25 35 45 55 65 Độ dài của nhóm 10 10 10 10 10
Ví dụ 2. Cân nặng của 28 học sinh nam lớp 11 được cho như sau:
55,4 62,6 54,2 56,8 58,8 59,4 60,7 58 59,5 63,6 61,8 52,3 63,4 57,9
49,7 45,1 56,2 63,2 46,1 49,6 59,1 55,3 55,8 45,5 46,8 54 49,2 52,6 Hãy chia mẫu dữ liệu
trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm. Lời giải
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là R = 63,6 − 45,1 =18,5 . R 18,5
Độ dài mỗi nhóm L > = = 3,7 . k 5
Ta chọn L = 4 và chia dữ liệu thành các nhóm [45;49),[49;53),[53;57),[57; ) 61 ,[61;65) .
Khi đó ta có bảng tần số ghép nhóm sau: Cân nặng [45;49) [49;53) [53;57) [57;61) [61;65)
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Giá trị đại diện 47 51 55 59 63 Số học sinh 4 5 7 7 5
Ví dụ 3. Một cửa hàng đã thống kê số ba lô bán được mỗi ngày trong tháng 9 với kết quả cho như sau:
12 29 12 19 15 21 19 29 28 12 15 25 16 20 29
21 12 24 14 10 12 10 23 27 28 18 16 10 20 21
Hãy chia mẫu số liệu trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm, hiệu chỉnh bảng tần số ghép nhóm
và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm. Lời giải
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là R = 29 −10 =19 . R 19
Độ dài mỗi nhóm L > = = 3,8 . k 5
Ta chọn L = 4 và chia dữ liệu thành các nhóm :
[10;14), [14;18), [18;22), [22;26), [26;30)
Khi đó ta có bảng tần số ghép nhóm sau: Số ba lô [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) Giá trị đại diện 12 16 20 24 28 Số ngày 8 5 8 3 6
Ví dụ 4. Các bạn học sinh lớp 11A1 trả lời 40 câu hỏi trong một bải kiểm tra. Kết quả được thống kê ở bảng sau: Số câu trả lời đúng [16;21) [21;26) [26;31) [31;36) [36;41) Số học sinh 4 6 8 18 4
a)Tính giá trị đại diện c ≤ i ≤ p 1
5, của từng nhóm số liệu.
b) Tính n c + n c + n c + n c + n c 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 −
n c + n c + n c + n c + n c c) Tinh 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 x = . 40 Lời giải
a) c =18,5;c = 23,5;c = 28,5;c = 33,5;c = 38,5 1 2 3 4 5
b) n c + n c + n c + n c + n c =1200 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 −
n c + n c + n c + n c + n c 1200 c) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 x = = = 30 40 40
Ví dụ 5. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng A và B được cho ở bảng sau: Cân nặng (g)
[150;155) [155;160) [160;165) [165;170) [170;175) Số cam ở lô hàng A 2 6 12 4 1 Số cam ở lô hàng B 1 3 7 10 4
a) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng A và lô hàng B .
b) Nếu so sánh theo số trung bình thì cam ở lô hàng nào nặng hơn?
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Lời giải
a) Ta có bảng thống kê số lượng cam theo giá trị đại diện: Cân nặng (g)
[150;155) [155;160) [160;165) [165;170) [170;175) Cân nặng đại diện(g) 152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 Số cam ở lô hàng A 2 6 12 4 1 Số cam ở lô hàng B 1 3 7 10 4
Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng A xấp xỉ bằng
(2.152,5+ 6,157,5+12,162,5+ 4,167,5+1.172,5):25 =161,7( g).
Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng B xấp xỉ bằng
(1.152,5+3.157,5+ 7.162,5+10.167,5+ 4.172,5):25 =165,1( g).
b) Nếu so sánh theo số trung bình thì cam ở lô hàng B nặng hơn cam ở lô hàng A .
Ví dụ 6. Cân nặng của 28 học sinh nam lớp 11 được cho như sau:
55,4 62,6 54,2 56,8 58,8 59,4 60,7 58 59,5 63,6 61,8 52,3 63,4 57,9
49,7 45,1 56,2 63,2 46,1 49,6 59,1 55,3 55,8 45,5 46,8 54 49,2 52,6 a) Hãy chia mẫu dữ liệu
trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
b) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của học sinh lớp 11 Lời giải
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là R = 63,6 − 45,1 =18,5 . R 18,5
Độ dài mỗi nhóm L > = = 3,7 . k 5
Ta chọn L = 4 và chia dữ liệu thành các nhóm [45;49),[49;53),[53;57),[57; ) 61 ,[61;65) .
Khi đó ta có bảng tần số ghép nhóm sau: Cân nặng [45;49) [49;53) [53;57) [57;61) [61;65) Giá trị đại diện 47 51 55 59 63 Số học sinh 4 5 7 7 5
b) Cân nặng trung bình của học sinh trong lớp 11 xấp xỉ là:
(47.4+51.5+55.7 +59.7 + 63.5):28 = 55,6( kg)
Ví dụ 7. Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giả nào. Kết quả
khảo sát được ghi lại ở bảng sau: Mức giá [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) (triệu đồng/ 2 m ) Số khách hàng 54 78 120 45 12
a) Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Công ty nên xây nhà ở mức giá nào để nhiều người có nhu cầu mua nhất? Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
a) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm [18;22) . Do đó u = n = = = − = − = . − n n + u + u m 18, m 78, m 120, m 45, m m 22 18 4 1 1 1
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là 120 78 758 M − = + ⋅ = ≈ o 18 ( − )+( − ) 4 19,4 120 78 120 45 39
b) Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán rằng nếu công ty xây nhà ở mức giá 19,4 triệu đồng/ m² thì sẽ
có nhiều người có nhu cầu mua nhất.
Ví dụ 8. Hãy sử dụng dữ liệu ở để tư vấn cho đại lí bảo hiểm xác định khách hàng nam và nữ ở tuổi nào
hay mua bảo hiểm nhất.
Số khách hàng mua bảo hiểm ở từng độ tuổi được thống kê như sau: Độ tuổi [20;30) [30;40) [40;50) [50;60) [60;70) Số khách hang nam 4 6 10 7 3 Số khách hang nữ 3 9 6 4 2 Lời giải
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu khách hàng nam là [40;50) . Do đó u = n = = − = − = − n + u + u m 40, m 6; m 7; m m 50 40 10 1 1 1
Mốt của mẫu số liệu nhóm khách hàng nam là: 10 − 6 M = 40 + ⋅10 = 45,7 0 (10−6)+(10−7)
Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán được khách hàng nam 46 tuổi có nhu cầu mua bảo hiểm cao nhất
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu khách hàng nữ là [30;40) Do đó u = n = = − = − = − n + u + u m 30, m 3; m 6; m m 40 30 10 1 1 1
Mốt của mẫu số liệu nhóm khách hàng nam là: 9 − 3 M = 30 + ⋅10 = 36,7 0 (9−3)+(9−6)
Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán được khách hàng nữ 37 tuổi có nhu cầu mua bảo hiểm cao nhất
Ví dụ 9. Số cuộc gọi điện thoại một người thực hiện mỗi ngày trong 30 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên
được thống kê trong bảng sau: Số cuộc gọi [3;5] [6;8] [9;11] [12;14] [15;17] Số ngày 5 13 7 3 2
a)Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Hãy dự đoán xem khả năng người đó thực hiện bao nhiêu cuộc gọi mỗi ngày là cao nhất. Lời giải
Hiệu chỉnh bảng lại như sau: Số cuộc gọi [2,5;5,5) [5,5;8,5) [8,5;11,5) [11,5;14,5) [14,5;17,5) Số ngày 5 13 7 3 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
a) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm [5,5;8,5) . Do đó u = n = = = − = − = . − n n + u + u m 5,5; m 5; m 13; m 7; m m 8,5 5,5 3 1 1 1
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là 13 5 101 M − = + ⋅ = ≈ o 5,5 ( − )+( − ) 3 7,2 13 5 13 7 14
b) Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán rằng khả năng người đó thực hiện 7 cuộc gọi mỗi ngày là cao nhất.
Ví dụ 10. Anh Văn ghi lại cự li 30 lần ném lao của mình ở bảng sau (đơn vị: mét): 72,1 72,9 70,2 70,9 72,2 71,5 72,5 69,3 72,3 69,7 72,3 71,5 71,2 69,8 72,3 71,1 69,5 72,2 71,9 73,1 71,6 71,3 72,2 71,8 70,8 72,2 72,2 72,9 72,7 70,7
a) Tính cự li trung bình của mỗi lần ném.
b) Tổng hợp lại kết quả ném của anh Văn vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau: Cự li (m) [69,2;70) [70;70,8)
[70,8;71,6) [71,6;72,4) [72,4;73,2) Số lần ? ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng cự li trung bình mỗi lần ném từ bảng tần số ghép nhóm trên.
d) Khả năng anh Văn ném được khoảng bao nhiêu mét là cao nhất? Lời giải
a) Cự li trung bình của mỗi lần ném là 71,6 (m)
b) Bảng tần số ghép nhóm Cự li (m) [69,2;70) [70;70,8)
[70,8;71,6) [71,6;72,4) [72,4;73,2) Số lần 4 2 9 10 5 c) Cự li (m) [69,2;70) [70;70,8)
[70,8;71,6) [71,6;72,4) [72,4;73,2) Giá trị đại diện 69,6 70,4 71,2 72 72,8 Số lần 4 2 9 10 5
69,6.4 + 70,4.2 + 71,2.9 + 72.10 + 72,8.5
Cự li trung bình mỗi lần ném xấp xỉ bằng = 71,5( m) 30
d) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là [71,6;72,4) Do đó: u = n = = − = − = − n + u + u m 71,6; m 9; m 5; m m 72, 4 71,6 0,8 1 1 1
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: 10 − 9 M = 71,6 + ⋅0,8 = 71,7 m 0 (10−9)+(10−5) ( )
Vậy khả năng anh Văn ném được 71,7 m là cao nhất
Dạng 2: Xác Định Trung Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm 1. Phương pháp: I. Trung vị.
• Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường ( rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác),
người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng trung vị.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
• Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm
thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa.
Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
• Gọi n là cỡ mẫu.
• Giả sử nhóm [u u m ; m 1 + ) chứa trung vị;
• n là tần số của nhóm chứa trung vị; m
• C = n + n +...+ n . 1 2 m 1 − Khi đó n −C 2 M = u + ⋅ u − u e m ( m 1 m ) n + m
Ý nghĩa của trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
• Từ dữ liệu ghép nhóm nói chung không thể xác định chính xác trung vị của mẫu số liệu gốc. Trung vị
của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu. 2. Ví dụ
Ví dụ 1. Kết quả khảo sát cân nặng của 1 thùng táo ở một lô hàng cho trong bảng sau: Cân nặng (g) 0;155) 5;160) 0;165) 5;170) 0;175) Số quả táo 4 7 12 6 2
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. Lời giải
Gọi x ; x ;...; x 1 2
31 là cân nặng của 31 quả bơ xếp theo thứ tự không giảm.
Do x ; x ;...; x ∈ 150;155 x ; x ;...; x ∈ 155;160 1 2 4 [ ); 5 6 11 [
) nên trung vị của mẫu số liệu x ;x ;...;x 1 2 31 là x ∈ 160;165 16 [ ).
Ta xác định được n = 31, n = C = + = u = u = m 12,
4 7 11, m 160, m+ 165 1 .
Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 31 −11 2 M = + ⋅ − = e 160 (165 160) 161,875 . 12
Ví dụ 2. Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 12 tiến hành thu nhặt vỏ lon nước ngọt để tái chế. Nhà
trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ lon nước ngọt của học sinh khối 12 ở bảng sau: Số vỏ lon
[11;15] [16;20] [21;25] [26;30] [31;35] Số học sinh 58 87 54 44 23
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. Lời giải
Do số vỏ chai là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Số vỏ
[10,5;15,5) [15,5;20,5) [20,5;25,5) [25,5;30,5) [30,5;35,5) lon Số học 58 87 54 44 23 sinh
Số học sinh tham gia thu nhặt vỏ lon nước ngọt là n = 58 + 87 + 54 + 44 + 23 = 266 .
Gọi x ; x ;...; x 1 2
266 lần lượt là số vỏ chai 266 học sinh khối 12 thu nhặt được xếp theo thứ tự không giảm.
Do x ; x ;...; x ∈ 10,5;15,5 x ; x ;...; x ∈ 15,5;20,5 1 2 58 [ ) ; 59 55 145 [
) nên trung vị của mẫu số liệu x ;x ;...;x 1 2 240 là
1 (x + x ∈ 15,5;20,5 . 133 134 ) [ ) 2
Ta xác định được n = 266, n = C = u = u = u = m+ 20,5 m 87,
58, m 15,5, m+ 20,5 1 và 1 .
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 266 −58 2 M = + ⋅ − ≈ . e 15,5 (20,5 15,5) 19,81 87
Dạng 3: Xác Định Tứ Phân Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm 1. Phương pháp: Tứ phân vị
Công thức xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q , cũng chính là trung vị của mẫu số liệu 2 ghép nhóm.
Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q , ta thực hiện như sau: 1
• Giả sử nhóm [u u m ; m 1
+ ) chứa tứ phân vị thứ nhất;
• n là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất; m
• C = n + n +…+ n 1 2 m 1 − Khi đó n −C 4 Q = u + ⋅ u − u 1 m ( m 1 m ) n + m
Tương tự, để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q , ta thực hiện 3 như sau:
• Giả sử nhóm u u
chứa tứ phân vị thứ ba; j ; j 1 + )
• n là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba; j
• C = n + n +…+ n 1 2 j 1 − Khi đó
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com 3n −C 4 Q = u + ⋅ u − u 3 j ( j 1 j ) n + j
Ý nghĩa của tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
• Ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm thành bốn phần đều nhau.
Giống như với trung vị, nói chung không thể xác định chính xác các điểm tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
• Bộ ba tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và
được sử dụng làm giá trị đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
• Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba đo xu thế trung tâm của nửa dưới (các dữ liệu nhỏ hơn Q ) và nửa trên 2
(các dũ liệu lớn hơn Q ) của mẫu số liệu. 2 2. Ví dụ
Ví dụ 1. Tiền lương nhận được trong 1 giờ làm việc của nhân viên công ty A được thống kê theo mẫu số liệu ghép
nhóm sau (đơn vị: ngàn đồng):
Hãy xác định các tứ phân vị của mẫu số liệu trên. Lời giải
Gọi x ≤ x ≤ …≤ x 1 2
65 là tiền lương của 65 nhân viên nhận được trong 1 giờ.
Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu x ; x ; ; … x x ∈ 70;80 1 2 5 6 là 33 [
) . Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là 2.65 −(8+10) 4 Q = 70 + ⋅ 80 − 70 = 79,0625 2 ( ) 16
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x ; x ; ; … x x ∈ 60;70 1 2 5 6 là 17 [
). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là 1⋅65 −8 4 Q = 60 + ⋅ 70 − 60 = 68,25 1 ( ) 10
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x ; x ; ; … x x ∈ 90;100 1 2 5 6 là 49 [
). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là 3⋅65 −(8+10+16+14) 4 Q = 90 + ⋅ 100 − 90 = 90, 5 7 3 ( ) . 10
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com 1
Chú ý: Nếu tứ phân vị thứ k là ( x + x
, trong đó x ∈ u  và x ∈  + u u m  thuộc hai nhóm liên j ; 1 j 1 + ) − u m j ; 1 j ) 1 + ) 2 m m
tiếp thì ta lấy Q = u . k j
Ví dụ 2. Mức lương hàng tháng ở 1 công ty được Công đoàn thu thập theo bảng sau( đơn vị triệu đồng): Mức lương
[6;10) [10;15) [15;20) [20;25) [25;30) Nhân viên 17 38 27 21 7
a) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Chủ tịch Công đoàn muốn đề nghị hỗ trợ cho nhóm 25% số nhân viên có mức lương thấp nhất và ước lượng
rằng số nhân viên này không ít hơn 10. Nhận định của chủ tịch có hợp lí hay không? Lời giải
a) Gọi x ≤ x ≤ … ≤ x 1 2 0
11 là mức lương của 110 nhân viên nhận được công ty trả trong 1 tháng. 1
Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu x ≤ x ≤ … ≤ x x + x x ∈ 10;15 x ∈ 15;20 1 2 0 11 là ( 55 6 5 ) . Do 55 [ ) và 56 [ ). 2
Nên đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là Q = 15 2 1
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x ; x ; ; … x x + x x ∈ 10;15 x ∈ 10;15 1 2 110 là ( 27 28). Do 27 [ ) và 28 [ ) đó tứ 2
phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là 1⋅110 −17 4 Q =10 + ⋅ 15 −10 ≈11,38 1 ( ) 38 1
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x ; x ; ; … x x + x x ∈ 15;20 x ∈ 20;25 1 2 110 là ( 82 83). Do 82 [ ) và 83 [ ) đó tứ 2
phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là Q = 20 3 .
b) Do tứ phân vị thứ nhất ≈ 11,38 nên nhận định trên là không hợp lí.
C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Mẫu số liệu đây ghi lại tốc độ của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: km/h) 48, 5 43 50 55 45 60 53 55,5 44 65 51 62,5 41 44,5 57 57 68 49 46,5 53,5 61 49,5 54 62 59 56 47 50 60 61 49,5 52,5 57 47 60 55 45 47,5 48 61,5
a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng:
[40;45),[45;50),[50;55),[55;60),[60;65),[65;70)
b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu? Lời giải
a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả giá trị đại diện là:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Nhóm Giá trị đại Tần diện số [40;45) 42,5 4 [45;50) 47,5 11 [50;55) 52,5 7 [55;60) 57,5 8 [60;65) 62,5 8 [65;70) 67,5 n b) Trung bình cộng là: _
42,5.4 47,5.11 52,5.7 57,5.8 62,5.8 67,5.2 x + + + + + = = 53,875 40 Trung vị là:
Có bảng ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy là Nhóm Tần Tần số tích số lũy [40;45) 4 4 [45;50) 11 15 [50;55) 7 22 [55;60) 8 30 [60;65) 8 38 [65;70) 2 40
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Số phần tử của mẫu là n = 40 . Ta có: n 40 =
= 20 ⇒ Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy 2 2 lớn hoặc bằng 20.
Xét nhóm 3 là nhóm [50;55) có r = 50;d = 5;n = 7 và nhóm 2 là nhóm [45;50) có cf =15. 3 2
Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:  20 15 M −  = + ⋅ ≈ e 50   5 53,6( km / h)  7  Q là: 1
Số phần tử của mẫu là n = 40 . Ta có n 40 =
=10 . Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu �ên có tần số �ch lũy lớn hơn hoặc bằng 10 . Xét 4 4
nhóm 2 là nhóm [45;50) có r = 45; d=5; n{2}=11vành nhóm 1 là nhóm [40;45)cf = 4 1
Áp dụng công thức, ta có Q của mẫu số liệu là 10 − 4 Q 45  = + ⋅5 ≈   47,7 km / h 1 ( ) 1  11 
Q là: Có Q = M ≈ e 53,6 km / h 2 ( ) 2 Q là: 3
Ta có 3n = 30 . Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu �ên có tần số �ch lũy lớn hơn hoặc bằng 30 . Xét 4
nhóm 4 là nhóm [55;60) có r = 55;d = 5;n = 8 và nhóm 3 là nhóm [50;55 ) có cf = 22 4 3
Áp dụng công thức, ta có Q của mẫu số liệu là:  30 − 22 Q 55  = + ⋅5 =   60 km / h 3 ( ) 3  8 
c) Mốt của mẫu số liệu là
Có nhóm 2 là nhóm có tần số lớn nhất  11 4 M −  ⇒ = + ⋅ ≈ o 45   5 43, 2  2.11− 4 − 7 
Bài 2. Mẫu số liệu sau ghi lại cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilôgam): 17 40 39 40,5 42 51 41,5 39 41 30 40 42 40,5 39,5 41 40,5 37 39,5 40 41 38,5 39,5 40 41 39 40,5 40 38,5 39,5 41,5
a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng :
[15;20),[20;25),[25;30),[30;35),[35;40),[40;45),[45;50),[50;55)
b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu? Lời giải
a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả giá trị đại diện là Nhóm Giá trị đại Tần diện số [15;20) 17,5 1
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com [20;25) 22,5 0 [25;30) 27,5 0 [30;35) 32,5 1 [35;40) 37,5 10 [40;45) 42,5 17 [45;50) 47,5 0 [50;55) 52,5 030 b) Trung bình cộng là: _ 17,5 32,5 37,5.10 42,5.17 52,5 x + + + + = = 40 30 Trung vị là:
Có bảng ghép nhóm bao gồm cả tần số �ch lũy là: Nhóm Tần Tần số tích số lũy [15;20) 1 1 [20;25) 0 1 [ 0 1 25;30) [30;35) 1 2 [35;40) 10 12 [40;45) 17 29 [45;50) 0 29 [50;55) 1 0
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Số phần tử của mẫu là n = 30 . Ta có:
Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là: 15 12 M −  = + ⋅ ≈ e 40   5 40,9 (kilôgam)  17  Q là: 1
Số phần tử của mẫu là n = 30 . Ta có n 30 =
= 7,5. Suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7,5 . 4 4
Xét nhóm 5 là nhóm [35;40) có r = 35;d = 5;n =10 và nhóm 4 là nhóm [30;35) có cf = 2 Áp 5 4
dụng công thức, ta có Q của mẫu số liệu là  7,5 − 2  = + ⋅ = 1 Q 35   5 37,75 (kilôgam) 1  10 
Q là: Có Q = M ≈ (kilôgam) e 40,9 2 2 Q là: 3
Ta có 3n = 22,5. Suy ra nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 22,5. Xét 4
nhóm 6 là nhóm [40;45) có r = 40;d = 5;n =17 và nhóm 5 là nhóm [ 35;40 ) có cf =12 6 5
Áp dụng công thức, ta có Q của mẫu số liệu là: 3  22,5 −12 Q 40  = + ⋅5 =   43,1 (kilôgam) 3  17 
c) Mốt của mẫu số liệu là:
Có nhóm 6 là nhóm có tần số lớn nhất  17 10 M −  = + ⋅ ≈ o 40   5 41, 46  2.17 −10 
Bài 3. Bảng 15 cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống
kê chiều cao của 40 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: Nhóm Tần số Tần số tích centimét) lũy
a) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị [30; 40) 4 4
của mẫu số liệu ghép nhóm trên. [40; 50) 10 14
b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao [50; 60) 14 28 nhiêu? [60; 70) 6 34 [70; 80) 4 38 [80; 90) 2 40 n = 40 Bảng 15 Lời giải
a) Có bảng ghép nhóm bao gồm cả giá trị đại diện là: Nhóm Giá trị đại diện Tần số
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 29
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com [30;40) 35 4 [40;50) 45 10 [50;60) 55 14 [60;70) 65 6 [70;80) 75 4 [80;90) 85 2 Trung bình cộng là: _
35.4 45.10 55.14 65.6 75.4 85.2 x + + + + + = = 55,5 40 Trung vị là
Số phần tử của mẫu là n = 40 . Ta có: n 40 =
= 20 => Nhóm 3 là nhóm đầu �ên có tần số �ch lũy lớn hoặc bằng 20. 2 2
Xét nhóm 3 là nhóm [50;60) có r = 50;d =10;n =14 và nhóm 2 là nhóm [45;50 ) có cf =14. 3 2
Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:  20 14 M −  = + ⋅ ≈ e 50   10 54,3 (centimét)  14  Q là: 1
Số phần tử của mẫu là n = 40 . Ta có n 40 =
=10 . Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu �ên có tần số �ch lũy lớn hơn hoặc bằng 10 . Xét 4 4
nhóm 2 là nhóm [40;50) có r = 40;d =10;n =10 và nhóm 1 là nhóm [30; 40) có cf = 4 2 1
Áp dụng công thức, ta có Q của mẫu số liệu là: 10 − 4  = + ⋅ ≈ 1 Q 40   10 46 (centimét) 1  10 
Q là Có Q = M ≈ (cen�mét). e 54,3 2 2 Q là: 3
Ta có 3n = 30 . Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu �ên có tần số �ch lũy lớn hơn hoặc bằng 30 . Xét 4
nhóm 4 là nhóm [60;70) có r = 60;d =10;n = 6 và nhóm 3 là nhóm [50;60 ) có cf = 28 . 4 3
Áp dụng công thức, ta có Q của mẫu số liệu là:  30 − 28  = + ⋅ = 3 Q 60   10 63,3 (centimét) 3  6 
c) Mốt của mẫu số liệu là:
Có nhóm 3 là nhóm có tần số lớn nhất  14 10 M −  = + ⋅ ≈ . o 50   10 53,3  2.14 −10 − 6 
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 30
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Khảo sát thời gian xem ti vi trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
(Dựa vào mẫu số liệu ghép nhóm trên, hãy trả lời các câu hỏi từ 1 đến 5).
Câu 1: Giá trị đại diện của nhóm [60;80) là A. 40 . B. 70 . C. 60 . D. 30. Lời giải Chọn B
Ta có giá trị đại diện là 60 + 80 = 70. 2
Câu 2: Nhóm [20;40) có tần số là A. 5. B. 9. C. 12. D. 10. Lời giải Chọn B
Tần số của nhóm [20;40) là 9.
Câu 3: Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là A. [80;100) . B. [20;40). C. [40;60). D. [60;80) . Lời giải Chọn C
Tần số lớn nhất là 12 nên nhóm chứa mốt là [40;60).
Câu 4: Nhóm chứa trung vị là A. [0;20). B. [20;40). C. [40;60). D. [60;80) . Lời giải Chọn C
Cỡ mẫu là: n = 5 + 9 +12 +10 + 6 = 42 . + Trung vị là x x 21
22 . Do hai giá trị x , x thuộc nhóm [40;60) nên nhóm chứa trung vị là 2 21 22 [40;60).
Câu 5: Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là A. [0;20). B. [20;40). C. [40;60). D. [60;80) . Lời giải Chọn B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 31
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Tứ phân vị thứ nhất là x . Do x thuộc nhóm [20;40) nên nhóm chưa tứ phân vị thứ nhất là 11 11 [20;40).
Câu 6: Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập ( đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:
Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là A. 7 . B. 11,3. C. 10,4 . D. 12,5. Lời giải Chọn C Ta có:
Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là: 2.2 4.6 7.10 4.14 3.18 x + + + + = =10,4 (phút). 20
Dựa vào mẫu số liệu ghép nhóm sau đây, hãy trả lời các câu hỏi từ 7 đến 9.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 25 cây dừa giống như sau:
Câu 7: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là A. 70 M = . B. 50 M = . C. 70 M = . D. 80 M = . o 3 o 3 o 2 o 3 Lời giải Chọn A
Tấn số lớn nhất là 7 nên nhóm chưa mốt là [20;30) . Ta có:
j = 3, a = 20 , m = 7 , m = 6, m = 5 , h =10 . Do đó: 3 3 2 4 7 6 70 M − = + = . o 20 ( − )+( − ).10 7 6 7 5 3
Câu 8: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là A. 175 M = . B. 165 M = . C. 165 M = . D. 165 M = . e 7 e 5 e 7 e 3 Lời giải Chọn C
Cỡ mẫu: n = 4 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 32
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
x , x ,..., x là chiều cao của 25 cây dừa giống được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, 1 2 25
trung vị là x . Do x thuộc nhóm [20;30) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó: 13 13
p = 3, a = 20 , m = 7 , m + m =10 , a − a =10 . Do đó: 3 3 1 2 4 3 25 −10 2 165 M = + = . e 20 .10 7 7
Câu 9: Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A. Q =13,5.
B. Q =13,9.
C. Q =15,75 . D. Q =13,75. 1 1 1 1 Lời giải Chọn D
Cỡ mẫu: n = 4 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25 . +
Tứ phân vị thứ nhất Q là x x 6
7 . Do x , x đều thuộc nhóm [10;20) nên nhóm này chứa Q . 1 2 6 7 1
Do đó: p = 2 , a =10 , m = 6 , m = 4 , a − a =10 . Ta có: 2 2 1 3 2 25 −4 4 Q =10 + .10 =13,75 . 1 6
Câu 10: Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập ( đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A. Q =13.
B. Q =14 .
C. Q =15. D. Q =12 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B
Cỡ mẫu: n = 2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20 . +
Tứ phân vị thứ ba Q là x x 15
16 . Do x , x đều thuộc nhóm [12;16) nên nhóm này chứa 3 2 15 16 Q . 3
Do đó: p = 4 , a =12 , m = 4 , m + m + m = 2 + 4 + 7 =13 , a − a = 4. Ta có: 4 4 1 2 3 5 4 3.20 −13 4 Q =12 + .4 =14 . 3 4
Câu 11: Mẫu số liệu (T ) được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm sau:
Điền từ thích hợp vào chỗ trống: “Mẫu số liệu (T ) là mẫu số liệu …” A. Ghép cặp. B. Ghép nhóm.
C. Không ghép cặp. D. Không ghép nhóm.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 33
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn B
Mẫu số liệu (T ) là mẫu số liệu ghép nhóm.
Câu 12: Cho mẫu số liệu về chiều cao (cm) của các học sinh nữ trong khối 11 của một trường như sau:
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu số liệu, bao nhiêu nhóm?
A. 145 số liệu; 6 nhóm. B. 30 số liệu; 5 nhóm. C. 6 số liệu; 145 nhóm. D. 5 số liệu; 30 nhóm. Lời giải Chọn A
Mẫu số liệu (T ) có:
20 + 45 + 34 + 27 +15 + 4 =145 (số liệu).
6 nhóm: [145;150);[150;155);[155;160);[160;165);[165;170);[170;175) .
Câu 13: Cho mẫu số liệu về chiều cao (cm) của các học sinh nữ trong khối 11 của một trường như sau:
Số học sinh nữ cao từ 150 cm đến 155 cm là: A. 20 . B. 65. C. 34. D. 45 . Lời giải Chọn D
Theo bảng số liệu trên, số học sinh nữ cao từ 150 cm đến 155 cm là 45 học sinh.
Câu 14: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của các học sinh trong một
lớp 11 của một trường như sau:
Tần số tích lũy của nhóm [10;15) là: A. 12. B. 19. C. 26 . D. 7 . Lời giải Chọn C
Tần số tích lũy của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút phải của nhóm đó.
Tần số tích lũy của nhóm [10;15) là 7 +12 + 7 = 26 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 34
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Câu 15: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê thời gian hoàn thành (phút) một bài kiểm tra trực tuyến
của 100 học sinh, ta có bảng số liệu sau:
Thời gian trung bình để 100 học sinh hoàn thành bài kiểm tra là: A. 38,92 phút. B. 38,29 phút. C. 39,28 phút. D. 39,82 phút. Lời giải Chọn A
Giá trị đại diện của mỗi nhóm số liệu là trung bình cộng của hai đầu mút.
Ta có bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện của mỗi nhóm:
Thời gian trung bình để 100 học sinh hoàn thành bài kiểm tra là:
4.34 13.36 38.38 27.40 14.42 4.44 x + + + + + = = 38,92 (phút). 100
Câu 16: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê chiều cao (mét) của 35 cây bạch đàn trong rừng, ta có
bảng số liệu sau:
Tính chiều cao trung bình của 35 cây bạch đàn trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. 7,407(m) .
B. 4,707(m).
C. 7,704(m). D. 7,5(m) . Lời giải Chọn A
Giá trị đại diện của mỗi nhóm số liệu là trung bình cộng của hai đầu mút.
Ta có bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện của mỗi nhóm:
Chiều cao trung bình của 35 cây bạch đàn là:
6.6,75 +15.7,25 +11.7,75 + 3.8,25 x = = 7,407(m) . 35
Câu 17: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong 30 ngày, ta có bảng số liệu sau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 35
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: A. 24 . B. 25 . C. 22 . D. 23. Lời giải Chọn D
Nhóm 2 ứng với nửa khoảng [21; 24) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 21; g = 3; n =12 2
(với u, g,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm 2 ). 2
Nhóm 1 có tần số n = 6 ; Nhóm 3 có tần số n = 9 . 1 3
Ta có mốt của mẫu số liệu là:  12 6 M −  = + = . o 21  .3 23  2.12 − 6 − 9 
Câu 18: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê thời gian chạy 50m của 20 học sinh, ta có bảng số liệu sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: A. 9,72. B. 9,27 . C. 7,92 . D. 7,29 . Lời giải Chọn C
Nhóm 1 ứng với nửa khoảng [7,8; 8,0) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 7,8; g = 0,2; n = 9 1
(với u, g,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm 1). 1
Nhóm 0 có tần số n = 0 ; Nhóm 2 có tần số n = 3 . 0 2
Ta có mốt của mẫu số liệu là:  9 0 M −  = + = . o 7,8  .0, 2 7,92  2.9 − 0 − 3 
Câu 19: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê điểm số (thang điểm 20 ) của 100 học sinh tham dự kỳ
thi học sinh giỏi toán, ta có bảng số liệu sau:
Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 12,18. B. 12,81. C. 13,35 . D. 13,53 . Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 36
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Ta có bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:
Số phần tử của mẫu là n =100 . Ta có: n 100 = = 50 . 2 2
Mà cf = 27 < 50 < cf = 57 . Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc 2 3 bằng 50.
Xét nhóm 3 là nhóm [12;14) có r =12 ; d = 2 ; n = 30 (với r;d;n lần lượt là đầu mút trái; độ 3 3
dài; tần số của nhóm 3).
Nhóm 2 là nhóm [10;12) có cf = 27 (với cf là tần số tích lũy của nhóm 2 ). 2 2
Ta có trung vị của mẫu số liệu là:  50 27 M −  = + = . e 12  .2 13,53  30 
Câu 20: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê huyết áp của 20 người, ta có bảng số liệu sau:
Tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên. A. 74 . B. 85 . C. 96. D. 101. Lời giải Chọn B
Ta có bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:
Số phần tử của mẫu là n n = 20 . Ta có: 20 = = 5. 4 4
Mà cf = 4 < 5 < cf = 6 . Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 1 2 5.
Xét nhóm 2 là nhóm [80;90) có s = 80; h =10 ; n = 2 (với s; ;
h n lần lượt là đầu mút trái; độ 2 2
dài; tần số của nhóm 2 ).
Nhóm 1 là nhóm [70;80) có cf = 4 (với cf là tần số tích lũy của nhóm 1). 1 1
Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 37
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com  5 − 4 Q 80  = + .10 =   85 . 1  2 
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 38
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ BIẾN CỐ GIAO. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP.
CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT.
Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần (Hình 1). Xét
các biến cố ngẫu nhiên:
A: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn”
B: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3”
Ta có thể thực hiện những phép
toán nào trên hai biến cố và
Trong mục này, ta luôn giả thiết phép thử T có không gian mẫu là tập hợp Ω gồm hữu hạn phần tử và các
kết quả của phép thử là đồng khả năng, các biến cố đều liên quan đến phép thử đó.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ 1. Biến cố hợp
HĐ 1: Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần”. Gọi Ω là không gian
mẫu của phép thử đó. Xét hai biến cố A và B nêu trong bài toán ở phần mở đầu. a) Viết các tập con ,
A B của tập hợp Ω tương ứng với các biến cố , A B .
b) Đặt C = A∪ B . Phát biểu biến cố C dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện. Lời giải a) Có A = {2; 4; } 6 ; B = {3; } 6 .
b) Biến cố C là “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc chia hết cho 3”. Ta có định nghĩa sau:
Cho hai biến cố A và B . Khi đó ,
A B là các tập con của không gian mẫu Ω . Đặt C = A∪ B , ta có C
là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B , kí hiệu là A∪ B
Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi α cho biến cố C , tức là α ∈C . Vì C = A∪ B nên α ∈ A hoặc α ∈ B .
Nói cách khác, α là một kết quả thuận lợi cho biến cố A hoặc biến cố B . Điều đó có nghĩa là biến cố A
hoặc biến cố B xảy ra. Vì vậy, biến cố C có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “ A xảy ra
hoặc B xảy ra ” hay “có ít nhất một trong các biến cố , A B xảy ra”.
Ví dụ 1: Trong hộp kín có 10 quả bóng màu xanh và 8 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có kích thước và
khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng. Xét các biến cố :
A : “Hai quả bóng lấy ra có màu xanh”.
B : “Hai quả bóng lấy ra có màu đỏ”.
Chọn phát biểu đúng trong những phát biểu sau đây :
a) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh”.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
b) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra khác nhau”.
c) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra có cùng màu”. Giải
Phát biểu a) đúng ; phát biểu b) sai ; phát biểu c) đúng.
Luyện tập 1. Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,…,12; hai
thẻ khác nhau thi ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố: “Số xuất
hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia
hết cho 4”. Phát biểu biến cố A∪ B dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện. Lời giải
Biến cố hợp của hai biến cố A và B là: "Chiếc thẻ rút ra là số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 4". 2. Biến cố giao
HĐ2: Đối với các tập hợp ,
A B trong Hoạt động 1, ta đặt D = A∩ B . Phát biểu biến cố D dưới dạng
mệnh đề nêu sự kiện. Lời giải
Biến cố D là: "Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn chia hết cho 3".
Ta có định nghĩa như sau:
Cho hai biến cố A và B . Khi đó ,
A B là các tập con của không gian mẫu Ω . Đặt D = A∩ B , ta có D
là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B , kí hiệu là A∩ B hay AB .
Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi β cho biến cố D , tức là β ∈ D . Vì D = A∩ B nên β ∈ A và β ∈ B .
Nói cách khác, β là một kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B . Điều đó có nghĩa là cả hai biến cố
A và B cùng xảy ra. Vì vậy, biến cố D có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả A và B cùng xảy ra”.
Ví dụ 2. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 52; hai thẻ
khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện
trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho
4”. Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, A∩ B . Lời giải
Ta có A = {3;6;9;12;15;...;48; }
51 ;B = {4;8;12;16;20;...;48;5 }
2 ; A∩ B = {12;24;36;...; } 48 .
Luyện tập 2. Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
A: “Số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số lẻ” và B: “Số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ”.
Phát biểu biến cố A∩ B dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện. Lời giải
Biến cố giao của hai biến cố A và B là: ""Sau khi gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai
lần liên tiếp, số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số chẵn và số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ".
3. Biến cố xung khắc
HĐ3. Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”.
Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử đó. Xét các biến cố:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số lẻ”;
B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn”.
a) Viết các tập con A, B của không gian mẫu Ω tương ứng với các biến cố A, B.
b) Tìm tập hợp A∩ B . Lời giải a) A = {1; 3; } 5 ; B = {2; 4; } 6 . b) A∩ B = ∅ Ta có định nghĩa sau:
Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu Ω . Nếu A∩ B = ∅ thì A và B
gọi là hai biến cố xung khắc.
Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi γ cho biến cố A, tức là γ ∈ A . Vì A∩ B = ∅ nên γ ∉ B , tức là γ
không là một kết quả thuận lợi cho biến cố B. Do đó, hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi nếu biến
cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.
Ví dụ 3. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
A: “Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần gieo thứ nhất”;
B: “Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần gieo thứ nhất”.
Hai biến cố trên có xung khắc hay không? Lời giải
Ta thấy: A = {SS, NN}; B = {NS, NN}.
Suy ra A∩ B = ∅ . Do đó, A và B là hai biến cố xung khắc.
Luyện tập 3. Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Hai biến cố sau có xung khắc không?
A: “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 5”;
B: “Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 6”; Lời giải Có A = {2; 3; }
4 ; B = {7; 8; 9; 10; 11; 1 }
2 ⇒ A∩ B = ∅ .
Vậy A và B là hai biến cố xung khắc.
4. Biến cố độc lập
HĐ4. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
A: “Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần gieo thứ nhất”;
B: “Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần gieo thứ hai”.
Đối với hai biến cố A, B, hãy cho biết một kết quả thuận lợi cho biến cố này có ảnh hưởng gì đến xác
xuất xảy ra của biến cố kia hay không. Lời giải
Một kết quả thuận lợi cho biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia . Ta có định nghĩa sau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến
cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
Chú ý: Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập: A và B ; A và B; A và B .
Ví dụ 4. Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối
lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng
trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:
A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”;
B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
a) Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao?
b) Hai biến cố A và B có xung khắc không? Vì sao? Lời giải
a) Trước hết, biến cố B xảy ra sau biến cố A nên việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B không
làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố A .
Mặt khác, ta có: xác suất của biến cố B khi biến cố A xảy ra bằng 4 ; xác suất của biến cố B khi biến 7
cố A không xảy ra cũng bằng 4 . Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm ảnh 7
hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B . Vậy hai biến cố A và B là độc lập.
b) Ta thấy kết quả (xanh ; đỏ) là kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B . Vì thế A và B
không là hai biến cố xung khắc.
Luyện tập 4. Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Hai biến cố sau có xung khắc không?
A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số nguyên tố”;
B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là hợp số”.
Hai biến cố A và B có độc lập không? Có xung khắc không? Vì sao? Lời giải Ta có A = {2; 3; } 5 ; B = {4; } 6
⇒ Biến cố A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Điều này có nghĩa là xảy ra biến cố A không ảnh
hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B , và ngược lại. Việc gieo xúc xắc cân đối và đồng chất là một
quá trình độc lập và không liên quan đến nhau.
⇒ Biến cố A và B là hai biến cố xung khắc vì A∩ B = ∅ .
III. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
1. Công thức cộng xác suất
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20. Xét biến cố A : "Số được viết ra là số
chia hết cho 2 " và biến cố B : "Số được viết ra là số chia hết cho 7". a) Tính P( )
A ,P(B),P(A∪ B) và P(A∩ B) .
b) So sánh P(A∪ B) và P( )
A + P(B) − P(A∩ B) . Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Có A = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 2 } 0 , B = {7; } 14 10 1 2 1 1 P( ) A = = P(B) = =
⇒ P(A∩ B) =
P( A∪ B) 11 ; ; = 20 2 20 10 20 20 Có
P(A∪ B) = P( )
A + P(B) − P(A∩ B)
Ta có định lý sau: Cho hai biến cố A và B . Khi đó P(A∪ B) = P( )
A + P(B) − P(A∩ B ).
Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì A∩ B = ∅
, suy ra P( A∩ B) = 0 .
Vì thế, ta có hệ quả sau:
Hệ quả: Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì P(A∪ B) = P( ) A + P(B) .
Ví dụ 5 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có hai chữ số. Xét biến cố A : "Số được viết ra là số chia
hết cho 8 " và biến cố B : "Số được viết ra là số chia hết cho 9 ". Tính P(A∪ B) Lời giải
Trong 90 số có hai chữ số, có 11 số chia hết cho 8, có 10 số chia hết cho 9 và có 1 số chia hết cho cả 8 và 9. Vì thế, ta có: 11 10 1 P( ) A = ,P(B) = ,P(A∩ B) = . 90 90 90 Vậy 11 10 1 20 2 P(A∪ B) = P( )
A + P(B) − P(A∩ B) = + − = = . 90 90 90 90 9
Ví dụ 6 Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2,3,…,12 ; hai thẻ khác
nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A : " Số xuất hiện
trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3" và biến cố B : " Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết
cho 5". Tính P . (A∪ B) . Lời giải
Không gian mẫu của phép thử trên có 12 phần tử, tức là: n(Ω) =12 .
Số các kết quả thuận lợi cho các biến cố A , B lần lượt là n( )
A = 4,n(B) = 2. Suy ra n( ) A 4 1 n(B) 2 1 P( ) A = = = ,P(B) = = = . n(Ω) 12 3 n(Ω) 12 6
Trong các số 1,2,3,…,12 , không có số nào chia hết cho cả 3 và 5 . Vì thế A , B là hai biến cố xung khắc. Suy ra: 1 1 1 P(A∪ B) = P( )
A + P(B) = + = . 3 6 2
Luyện tập 5: Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2,3,…,52 ; hai thẻ
khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A : "Số xuất
hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 7" và biến cố B : "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia
hết cho 11". Tính P (A∪ B) . Lời giải
- Có A = {7, 14, 21, 28, 35, 42, } 49 ; B = {11, 22, 33, }
44 ⇒ A∩ B = ∅ .
Đây là hai biến cố xung khắc.⇒ P(A∪ B) = P( )
A + P(B) = 752 + 452 =1152
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
2. Công thức nhân xác suất
HĐ 6: Xét các biến cố độc lập A và B trong Ví dụ 4. a) Tính P( )
A ,P(B) và P(A∩ B) .
b) So sánh P(A∩ B) và P( ) A ⋅P(B). Lời giải a) Có 3 4 12 P ( )
A = , P (B) = , P (A∩ B) = . 7 7 49
b) Ta thấy P(A∩ B) = P( )
A .P(B) . Ta có định lí sau:
Cho hai biến cố A và B .
Nếu hai biến cố A và B là độc lập thì P(A∩ B) = P( ) A .P(B) .
Chú ý: Nếu P(A∩ B) ≠ P( )
A ⋅P(B) thì hai biến cố A và B không độc lập.
Ví dụ 7 Hai bạn Hạnh và Hà cùng chơi trò chơi bắn cung một cách độc lập. Mỗi bạn chỉ bắn một lần. Xác
suất để bạn Hạnh và bạn Hà bắn trúng bia lần lượt là 0,6 và 0,7 trong lần bắn của mình. Tính xác suất của
biến cố C : "Bạn Hạnh và bạn Hà đều bắn trúng bia" Lời giải
Xét biến cố A : "Bạn Hạnh bắn trúng bia", ta có: P( ) A = 0,6 .
Xét biến cố B : "Bạn Hà bắn trúng bia", ta có: P(B) = 0,7 .
Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập và C = A∩ B . suy ra: P(C) = P( )
A ⋅P(B) = 0,6⋅0,7 = 0,42.
Luyện tập 6. Một xưởng sản xuất có hai máy chạy độc lập với nhau . Xác suất để máy I và máy II chạy
tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Tính xác suất của biến cố C : "Cả hai máy của xưởng sản xuất đều chạy tốt". Lời giải
Theo đề bài, ta thấy hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.
P(C) = P( )
A .P(B) = 0,8.0,9 = 0,72
Ví dụ 8:Hai bạn Trung và Dũng của lớp 11A tham gia giải bóng bàn đơn nam do nhà trường tổ chức. Hai
bạn đó không cùng thuộc một bảng đấu loại chỉ chọn một người vào vòng chung kết. Xác suất lọt qua
vòng loại để vào chung kết của Trung và Dũng lần lượt là 0,8 và 0,6. Tính xác suất của biến cố sau:
a) A : "Cả hai bạn lọt vào chung kết ".
b) B : " Có ít nhất một bạn lọt vào chung kết "
c)C : " Chỉ có bạn Trung lọt vào vòng chung kết ". Lời giải
Xét các biến cố E : "Bạn Trung lọt vào vòng chung kết" và G : "Bạn Dũng lọt vào vòng chung kết".
Từ giả thiết, ta suy ra E, G là hai biến cố độc lập và P(E) = 0,8;P(G) = 0,6.
a) Do A = E ∩G nên P( )
A = P(E)⋅P(G) = 0,8⋅0,6 = 0,48 .
b) Ta thấy B = E ∪G , suy ra
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
P(B) = P(E ∪G) = P(E) + P(G) − P(E ∩G) = 0,8 + 0,6 − 0,48 = 0,92.
c) Xét biến cố đối G của biến cố G . Ta thấy P(G) =1− P(G) =1− 0,6 = 0,4 và E,G là hai
biến cố độc lập. Vì C = E ∩G nên P(C) = P(E).P(G) = 0,8.0,4 = 0,32 .
IV. TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
1. Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp
Ví dụ 9. Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên phụ trách đội muốn chọn ra
một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia.
a) Giáo viên phụ trách đội có bao nhiêu cách chọn một đội tốp ca như vậy?
b) Tính xác suất của biến cố H : "Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ". Lời giải Xét các biến cố:
H : "Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ";
A : "Trong 3 học sinh chọn ra có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ";
B : "Trong 3 học sinh chọn ra có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ".
Khi đó H = A∪ B và A∩ B = ∅ .
Do hai biến cố A và B là xung khắc nên n(H ) = n( A) + n(B)
a) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n( A) 2 1 4! 5! = C ⋅C = ⋅ = 6⋅5 = 30. 4 5 2!.2! 1!.4!
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: n(B) 1 2 4! 5! = C ⋅C = ⋅ = 4⋅10 = 40 . 4 5 1!⋅3! 2!.3!
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố H là: n(H ) = n( A) + n(B) = 30 + 40 = 70 .
Vậy giáo viên phụ trách có 70 cách chọn một đội tốp ca như dự định.
b) Đội văn nghệ có 9 học sinh. Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 9 học sinh đó là một tổ hợp
chập 3 của 9 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 3 của 9 phần tử và n(Ω) 3 9! = C = = 84 9 3!⋅6! n H
Vậy xác suất của biến cố H là: (H ) ( ) 70 5 P = = = . n(Ω) 84 6
Luyện tập 7. Cho hai đường thẳng song song d và d . Trên d lấy 17 điểm phân biệt, trên d 1 2 1 2
lấy 20 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm, tính xác suất để các điểm này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác. Lời giải Xét các biến cố:
H : "Ba đỉnh của tam giác là 3 điểm của cả hai đường thẳng d và d "; 1 2
A : "Trong ba đỉnh của tam giác có 1 điểm thuộc d , 2 điểm thuộc d "; 1 2
B : "Trong ba đỉnh của tam giác có 2 điểm thuộc d , 1 điểm thuộc d ". 1 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Do hai biến cố A và B xung khắc nên: n(H ) = n( ) A + n(B)
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 17 20 n( )
A = C ⋅C = 3230 1 2
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 17 20
n(B) = C ⋅C = 2720 2 1
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố H là : n(H ) = n( )
A + n(B) = 3230 + 2720 = 5950 Có 37
n(Ω) = C = 7770 3 5950 85 ⇒ P(H ) = = . 7770 111
2. Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây
HĐ 7: Để trang trí một tờ giấy có dạng hình chữ nhật, bạn Thuỳ chia tờ giấy đó thành bốn hình chữ nhật
nhỏ bằng nhau. Mỗi hình chữ nhật nhỏ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc vàng. Vẽ sơ đồ hình
cây biểu thị các khả năng mà bạn Thuỳ có thể tô màu trang trí cho tờ giấy đó. Lời giải
Ví dụ 10. Câu lạc bộ nghệ thuật của một trường trung học phổ thông gồm học sinh của cả ba khối
10,11,12, mỗi khối có 5 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia biểu diễn. Tính xác suất để 3
học sinh được chọn chỉ thuộc hai khối. Lời giải
- Mỗi cách chọn ra đồng thời 3 học sinh trong
câu lạc bộ cho ta một tổ hợp chập 3 của 15 phần
tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp
chập 3 của 15 phần tử và n(Ω) 3 15! = C = = 455. 15 3!.12!
- Xét biến cố A : "Chọn được 3 học sinh chỉ thuộc hai khối".
Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng thuận lợi cho biến cố A (Hình 2).
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Hình 2
Như vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n( ) A = 50.6 = 300 .
Vậy xác suất của biến cố A là: n( ) A 300 60 P( ) A = = = . n(Ω) 455 91
Luyện tập 8.Một hộp có 5 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đỏ và 7 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu
nhiên 5 viên bi trong hộp. Tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi màu đỏ bằng số bi màu vàng. Lời giải Có n(Ω) 5 = C = 8568 18
Xét biến cố A : "Trong 5 viên bi có 1 viên bi màu xanh, 2 viên bi màu vàng, 2 viên bi màu đỏ" 5 6 7 n( )
A = C ⋅C ⋅C =1575 1 2 2
Xét biến cố B : "Trong 5 viên bi có 3 viên bi màu xanh, 1 viên bi màu vàng, 1 viên bi màu đỏ" 5 6 7
n(B) = C ⋅C ⋅C = 420 3 1 1
Vậy xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi màu đỏ bằng số bi màu vàng là: 1575 + 420 95 = . 8568 408
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định các biến cố
Ví dụ 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con
xúc xắc là một số lẻ”, B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chẵn”.
a) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố AB .
b) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố AB .
c) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố AB .
d) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố AB .
e) Hãy xác định cặp biến cố xung khắp trong các cặp biến cố A và B ; A và B . Lời giải
Gọi Ω là không gian mẫu. Suy ra Ω = (
{ i; j)|i, j =1;2;...; } 6 .
( .i j)là số lẻ khi và chỉ khi cả hai số i và j đều là số lẻ.
( .i j)là số chẵn khi và chỉ khi ít nhất một trong hai số i hoặc j là số chẵn.
(i + j) là số chẵn khi và chỉ khi hai số i, j đều là số lẻ hoặc đều là số chẵn.
(i + j) là số lẻ khi và chỉ khi trong hai số i, j có đúng một số lẻ và một số chẵn. a) Biến cố A = (
{ 1; )1;(1;3);(1;5);(3; )1;(3;3);(3;5);(5; )1;(5;3);(5;5)}.
(1; )1;(1;3);(1;5);(3; )1;(3;3);(3;5);(5; )1;(5;3);(5;5);  Biến cố B  = ( 
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
2;2 ; 2;4 ; 2;6 ; 4;2 ; 4;4 ; 4;6 ; 6;2 ; 6;4 ; 6;6  Biến cố AB = (
{ 1; )1;(1;3);(1;5);(3; )1;(3;3);(3;5);(5; )1;(5;3);(5;5)}.
b) Biến cố A = Ω \ . A Biến cố AB = (
{ 2;2);(2;4);(2;6);(4;2);(4;4);(4;6);(6;2);(6;4);(6;6)}.
c) Biến cố B = Ω \ . B Biến cố AB = . ∅
(1;2);(1;4);(1;6);(2; )1;(2;3);(2;5);(3;2);(3;4);(3;6); d) Biến cố AB  = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
4;1 ; 4;3 ; 4;5 ; 5;2 ; 5;4 ; 5;6 ; 6;1 ; 6;3 ; 6;5 
e) Vì A∩ B ≠ ∅ nên A và B là hai biến cố không xung khắc.
Vì A∩ B = ∅ nên A và B là hai biến cố xung khắc.
Ví dụ 2. Một hộp chứa 30 quả cầu cùng kích thước được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên 1 quả
cầu từ hộp. Gọi A là biến cố “Số ghi trên quả cầu được chọn là một số lẻ”, B là biến cố “ Số ghi trên
quả cầu được chọn là một số chia hết cho 5”.
a) Hãy mô tả bằng lời biến cố AB .
b) Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao? Lời giải
a) Biến cố A: “Số ghi trên quả cầu được chọn là một số chẵn”.
Biến cố AB : “ Số ghi trên quả cầu được chọn chia hết cho 10 ”.
b) Nếu Axảy ra thì xác suất của biến cố B là 1. 5
Nếu Akhông xảy ra thì xác suất của biến cố B là 1. 5
Vậy A và B là hai biến cố độc lập với nhau.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Dạng 3: Quy tắc cộng cho 2 biến cô xung khắc 1. Phương pháp
Cho hai biến cố xung khắc A và B . Khi đó: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 2. Ví dụ
Ví dụ 1: Một lớp học 40 học sinh gồm có 15 học sinh nam giỏi toán và 8 học sinh nữ giỏi. Chọn ngẫu
nhiên một học sinh.Hãy tính xác suất để chọn được một nam sinh giỏi toán hay một nữ sinh giỏi lý Lời giải
Gọi A là biến cố chọn một nam sinh giỏi toán và B là biến cố chọn một nữ sinh giỏi lý thì A ∪ B là biến
cố chọn một nam sinh giỏi toán hay một nữ sinh giỏi lý. Ta có 15 3 P(A) = = và 8 1 P(B) =
= A và B là hai biến cố xung khắc nên 40 8 40 5 3 1 23
P(A∪ B) = P( )
A + P(B) = + = 8 5 40
Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên 8 lá bài trong cổ bài 32 lá. Tính xác suất để được ít nhất 3 lá già. Lời giải
Gọi A là biến cố chọn được 3 lá già và B là biến cố chọn được 4 lá già thì A ∪ B là biến cố chọn được ít nhất 3 lá già 3 5 ⋅ 4 4 ⋅ Ta có 4 28 : P(A) C C = và 4 28 P(B) C C = 8 C 8 C 32 32
A và B là hai biến cố xung khắc . 3 5 4 4 ⋅ + ⋅ Vậy C C C C 4 28 4 28
P(A∪ B) = P( )
A + P(B) = = 0,04 8 C32
Ví dụ 3: Một tổ công nhân có 5 nam và 6 nữ. Cần chọn ngẫu nhiên hai công nhân đi thực hiện một nhiệm
vụ mới. Tính xác suất của biến cố “Cả hai công nhân được chọn cùng giới tính”. Lời giải
Số kết quả chọn được hai công nhân bất kì là 2 C = 55 11
Gọi A là biến cố “Hai công nhân được chọn là nam”, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 2 C = 10 . 5
Gọi B là biến cố “Hai công nhân được chọn là nữ”, số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 2 C = 15 . 6
Do đó A ∪ B là biến cố “Cả hai công nhân được chọn có cùng giới tính”. Do A và B là hai biến cố xung
khắc nên: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 10 15 5 = + = . 55 55 11
Ví dụ 4: Trên kệ sách đang có 4 cuốn sách Toán và 5 cuống sách Văn. Lần lượt lấy xuống ngẫu nhiên ba
cuốn sách, tính xác suất của biến cố “Ba cuốn sách được chọn cùng loại”. Lời giải
Số kết quả chọn được hai cuốn sách bất kì là 3 C = 84 9
Gọi A là biến cố “Ba cuốn sách được chọn là sách Toán”, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 3 C = 4 4 .
Gọi B là biến cố “Ba cuốn sách được chọn là sách Văn”, số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 3 C = 10 5 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Do đó A∪B là biến cố “Cả ba cuốn sách được chọn cùng loại”. Do A và B là hai biến cố xung khắc nên:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 4 10 1 = + = . 84 84 6
Dạng 4: Quy tắc cộng cho 2 biến cố bất kì 1. Phương pháp
Cho hai biến cố A và B bất kì. Khi đó: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P( . A B) . 2. Ví dụ
Ví dụ 1 : Gieo một con xúc sắc .Gọi A là biến cố được số chẵn và B là biến cố được một bội số của 2.
Kiểm lại rằng : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) Lời giải
Ta có A = {2,4,6},B = {3,6}.Do đó A∪ B = {2,3,4,6} và AB = {6} Vậy 3 1 2 1 4 2
P(A) = = ,P(B) = = ; P(A∪ B) = = và 1 P(AB) = 6 2 6 3 6 3 6 + − Suy ra : 1 1 1 3 2 1 2
P(A) + P(B) − P(AB) = + − =
= = P(A∪ B) 2 3 6 6 3
Ví dụ 2: Một lớp học gồm 40 học sinh trong đó có : 15 học sinh giỏi toán , 10 học sinh giỏi Lý và 5 học
sinh giỏi Toán lẫn Lý.Chọn ngẫu nhiên một học sinh.Hãy tính xác suất để học sinh đó giỏi toán hay giỏi lý Lời giải
A là biến cố học sinh giỏi toán
B là biến cố học sinh giỏi lý
Ta có : AB là biến cố học sinh giỏi toán và lý
A∪ B là biến cố học sinh giỏi toán hay lý Ta có 15 3 10 1 5 1 : P(A) = = ;P(B) = = ; P(AB) = = 40 8 40 4 40 8 Vậy 3 1 1 4 1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) = + − = = 8 4 8 8 2
Ví dụ 3: Trong một thùng phiếu bốc thăm trúng thưởng có 30 lá phiếu được đánh số thứ tự từ 1 đến 30
. Người ta rút ra từ thùng phiếu một lá thăm bất kì. Tính xác suất của biến cố “Lá thăm rút được có số
thứ tự chia hết cho 4 hoặc 5” Lời giải
Gọi A là biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho 4”.
Từ 1 đến 30 có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố A , nên P(A) 7 = . 30
Gọi B là biến cố “Lá thăm rút được có số thứ tự chia hết cho 5”.
Từ 1 đến 30 có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B , nên P(B) 6 = . 30
Một số chia hết cho cả 4 và 5 thì nó chia hết cho 20 , từ 1 đến 30 có 1 kết quả, nên P(A B) 1 . = . 30
Vậy P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A B) 7 6 1 7 . = + + = . 30 30 30 15
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Dạng 5: Quy tắc nhân xác suất 1. Phương pháp
+ Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P( AB) = P( A).P(B) .
+ Nếu P( AB) ≠ P( A).P(B) thì A và B là hai biến cố không độc lập. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho A và B là hai biến cố độc lập.
a) Biết P( A) = 0,6và P(B) = 0,2 . Hãy tính xác suất các biến cố AB, AB, AB và AB .
b) Biết P( A) = 0,3 và P( AB) = 0,12 . Hãy tính xác suất các biến cố B, AB và AB . Lời giải
Vì hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập nên A và B ; A và B ; A và B cũng độc lập.
a) P(A) =1− P(A) = 0,4;P(B) =1− P(B) = 0,8.
P( AB) = P( A)P(B) = 0,6.0,2 = 0,12 .
P(AB) = P(A)P(B) = 0,4.0,2 = 0,08.
P(AB) = P(A)P(B) = 0,6.0,8 = 0,48.
P(AB) = P(A)P(B) = 0,4.0,8 = 0,32.
b) P(A) =1− P(A) = 0,7.
P( AB) = P( A)P(B) ⇒ P(B) P( AB) 0,12 = = = P( A) 0,4. 0,3
P(AB) = P(A)P(B) = 0,7.0,4 = 0,28.
P(AB) = P(A)P(B) = 0,7.0,6 = 0,42.
Ví dụ 2. Một xạ thủ bắn lần lượt hai viên đạn vào bia. Xác suất bắn không trúng đích của viên thứ nhất và
viên thứ hai lần lượt là 0,2 và 0,3 . Biết rằng kết quả các lần bắn độc lập với nhau. Tính xác suất của các biến cố sau
a) “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
b) “Cả hai lần bắn đều trúng đích”.
c) “Lần bắn thứ nhất không trúng đích, lần bắn thứ hai trúng đích ”.
d) “Có ít nhất một lần bắn trúng đích”. Lời giải
Gọi biến cố A : “ Lần bắn thứ . i
i không trúng đích” với i =1,2
Biến cố A : “ Lần bắn thứ . i
i trúng đích” với i =1,2
Ta có P( A =0,2,P A =0,3;P A =0,8,P A =0,7. 1 ) ( 2 ) ( 1) ( 2)
a) Gọi biến cố A: “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
Ta có A = A A và A ; A là hai biến cố độc lập. 1 2 1 2
⇒ P( A) = P( A .P A = 0,2.0,3 = 0,06. 1 ) ( 2 )
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
b) Gọi biến cố B : “Cả hai lần bắn đều trúng đích”.
Ta có B = A A và A ; A là hai biến cố độc lập. 1 2 1 2
⇒ P(B) = P(A .P A = 0,8.0,7 = 0,56. 1 ) ( 2)
c) Gọi biến cố C : “Lần bắn thứ nhất không trúng đích, lần bắn thứ hai trúng đích ”.
Ta có C = A A và A ; A là hai biến cố độc lập. 1 2 1 2
⇒ P(C) = P( A .P A = 0,2.0,7 = 0,14. 1 ) ( 2)
d) Gọi biến cố D : “Có ít nhất một lần bắn trúng đích ”.
biến cố D : “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
⇒ D = A ⇒ P(D) = P(A) = 0,06.
⇒ P(D) =1− P(D) = 0,94.
Ví dụ 3. Một chiếc xe máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và
động cơ II chạy tốt tương ứng là 0,8 và 0,6 . Bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây, hãy tính xác suất để
a) Cả hai động cơ đều chạy tốt.
b) Cả hai động cơ đều không chạy tốt.
c) Động cơ I chạy tốt, động cơ II chạy không tốt. Lời giải Theo sơ đồ trên, ta có
a) Xác suất cả hai động cơ đều chạy tốt là 0,48.
b) Xác suất cả hai động cơ đều không chạy tốt là 0,08.
c) Xác suất động cơ I chạy tốt, động cơ II chạy không tốt là 0,32.
Ví dụ 4. Một trò chơi có xác suất thắng mỗi ván là 0,2. Nếu một người chơi 10 ván thì xác suất để người
này thắng ít nhất một ván là bao nhiêu? Lời giải
Gọi A là biến cố ''Người ấy thắng ít nhất một ván khi chơi 10 ván ''.
A là biến cố ''Người ấy chơi 10 ván mà không thắng ván nào cả''.
Xác suất thua mỗi ván là 1− 0,2 = 0,8.
⇒ P( A) = ( )10 0,8 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
⇒ P( A) = − P( A) = − ( )10 1 1 0,8 = 0,8926258176.
Ví dụ 5. Một bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là 0,7nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo
khẩu trang; là 0,2 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang. Tính xác suất anh Bình ít nhất
một lần bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó trong mỗi trường hợp sau.
a) Anh Bình tiếp xúc người bệnh 5 lần đều không mang khẩu trang.
b) Anh Bình tiếp xúc người bệnh 2 lần, trong đó có 1 lần không mang khẩu trang và có 1 lần mang khẩu trang. Lời giải
a) Gọi biến cố A: “Anh Bình ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh cả5 lần đều không mang khẩu trang ”.
Biến cố A: “Anh Bình không bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh cả5 lần đều không mang khẩu trang ”.
Xác suất nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang là 0,7 .
Xác suất không bị nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang là 1− 0,7 = 0,3. P(A) = ( )5 0,3 .
⇒ P( A) = − P(A) = −( )5 1 1 0,3 = 0,99757.
b) Gọi biến cố B : “ Anh Bình ít nhất một lần bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh 2 lần , trong đó có 1 lần
không mang khẩu trang và có 1 lần mang khẩu trang ”.
Biến cố B : “ Anh Bình không bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh cả 2 lần , trong đó có 1 lần không
mang khẩu trang và có 1 lần mang khẩu trang ”.
Xác suất nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không khẩu trang là 0,2.
Xác suất không bị nhiễm bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà đeo khẩu trang là 1− 0,2 = 0,8.
P(B) = 0,3.0,8 = 0,24.
⇒ P(B) =1− P(B) =1− 0,24 = 0,76.
C. GIẢI BÀl TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố: A: "Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa";
B : "Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa";
C : "Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa”;
D : "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa".
Trong hai biến cố C, D biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố ,
A B ? Biến cố nào là biến cố giao của hai biến cố , A B ? Lời giải
Biến cố hợp ( A và B)
: "Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa" . (C)là kết quả của việc ghép lại hai biến cố A
và B , tức là xảy ra cùng lúc cả A và B .
Biến cố giao ( A giao B)
: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa". (D)là kết quả của việc giao của hai biến cố A
và B , tức là ít nhất một trong A hoặc B xảy ra.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Bài 2. Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
A : "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 4";
B : "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 4";
C : "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 4".
Trong các biến cố trên, hãy:
a) Tìm cặp biến cố xung khắc;
b) Tìm cặp biến cố độc lập. Lời giải
a) Cặp biến cố xung khắc là A
và C , vì nếu A xảy ra thì C không thể xảy ra, và ngược lại, nếu
C xảy ra thì A không thể xảy ra.
b) Cặp biến cố độc lập là A
và B , vì xảy ra hay không xảy ra biến cố A không ảnh hưởng đến
khả năng xảy ra biến cố B , và ngược lại, xảy ra hay không xảy ra biến cố B cũng không ảnh
hưởng đến khả năng xảy ra biến cố A .
Bài 3. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất của biến cố M : "Số tự nhiên có hai
chữ số được viết ra chia hết cho 11 hoặc chia hết cho 12 ". Lời giải Có n(Ω) = 90 .
Xét biến cố A : "Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 11". Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
n( A) = 9 ⇒ P( A) 9 1 = = 90 10
Xét biến cố B : "Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 12". Số kết quả thuận lợi cho biến cố
B là n(B) = 8 ⇒ P(B) 8 4 = = 90 45 Vậy P(M ) 1 4 17 = + = . 10 45 90
Bài 4. Một hộp có 12 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 7 viên bi màu xanh và 5 viên
bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng. Lời giải Có n(Ω) 5 = C = 792 12
Xét biến cố A : "Trong 5 viên bi được chọn không có viên bi màu vàng nào". ⇒ n (A) 5 = C = 21 7
Xét biến cố B : "Trong 5 viên bi được chọn có 1 viên bi màu vàng, 4 viên bi màu xanh ⇒ n (B) 1 4 = C .C =175 5 7
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Xét biến cố M : "Trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng".
Xét biến cố M : "Trong 5 viên bi được chọn có nhiều nhất 1 viên bi màu vàng".
Có P(M ) 21+175 49 = =
⇒ P(M ) = − P(M ) 49 149 1 =1− = . 792 198 198 198
Bài 5. Hai bạn Việt và Nam cùng tham gia một kì thi trắc nghiệm môn Toán và môn Tiếng Anh một cách
độc lập nhau. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác
nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai bạn Việt và
Nam có chung đúng một mã đề thi trong kì thi đó. Lời giải
Giả sử xác suất để Việt và Nam chọn cùng một mã đề là 1 , với N là tổng số mã đề khác nhau. Vậy N
xác suất để Việt chọn một mã đề và Nam chọn cùng mã đề đó là 1 , và xác suất để cả hai chọn đúng N mã đề là 1 1 ⋅ N N 1 1 1 P = ⋅ = 6 6 36
Bài 6. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 9 viên bi màu đỏ,
6 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra có đúng hai màu. Lời giải Ta có: n (Ω) 3 = C =1140 20
Gọi A là biến cố: "3 viên vi lấy ra có đúng hai màu"
Khi đó A là biến cố: "3 viên bi lấy ra có đúng 1 màu hoặc có cả ba màu"
Có n( A) = ( 1 1 1
C ⋅C ⋅C ) 3 3 3
+ C + C + C = 384 9 6 5 9 6 5 
⇒ P( A) n( A) 384 32 =  = = n(Ω  1140 95 
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hai biến cố A và .
B Biến cố “ A hoặc B xảy ra” được gọi là
A. Biến cố giao của A và . B
B. Biến cố đối của . A
C. Biến cố hợp của A và . B
D. Biến cố đối của . B Lời giải Chọn C
Theo định nghĩa, biến cố “ A hoặc B xảy ra” được gọi là biến cố hợp của A và . B
Câu 2: Cho hai biến cố A và .
B Biến cố “ Cả A và B đều xảy ra” được gọi là
A. Biến cố giao của A và . B
B. Biến cố đối của . A
C. Biến cố hợp của A và . B
D. Biến cố đối của . B
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A
Theo định nghĩa, biến cố “Cả A và B đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của A và . B
Câu 3: Cho hai biến cố A và .
B Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng
đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố A và B được gọi là
A. Xung khắc với nhau. B. Biến cố đối của nhau.
C. Độc lập với nhau.
D. Không giao với nhau. Lời giải Chọn C
Theo định nghĩa, nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác
suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau.
Câu 4: Cho A và B là hai biến cố độc lập. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hai biến cố A và B không độc lập.
B. Hai biến cố A và B không độc lập.
C. Hai biến cố A và B độc lập.
D. Hai biến cố A và A∪ B độc lập. Lời giải Chọn C
Nếu A và B độc lập thì các cặp biến cố A và B, A và B, A và B cũng độc lập.
Câu 5: Câu lạc bộ cờ vua của một trường THPT có 20 thành viên ở ba khối, trong đó khối 10 có 3 nam
và 2 nữ, khối 11 có 4 nam và 4 nữ, khối 12 có 5 nam và 2 nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một
thành viên của câu lạc bộ để tham gia thi đấu giao hữu. Xét các biến cố sau:
A: “Thành viên được chọn là học sinh khối 11”;
B : “Thành viên được chọn là học sinh nam”.
Khi đó biến cố A∪ B là
A. “Thành viên được chọn là học sinh khối 11 và là học sinh nam”.
B. “Thành viên được chọn là học sinh khối 11 và không là học sinh nam”.
C. “Thành viên được chọn là học sinh khối 11 hoặc là học sinh nam”.
D. “Thành viên được chọn không là học sinh khối 11 hoặc là học sinh nam”. Lời giải Chọn C
Biến cố A∪ B bao gồm việc chọn thành viên là học sinh khối 11 hoặc là học sinh nam.
Câu 6: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 20. Xét các biến cố A:“Số được chọn chia hết cho
3”; B :“Số được chọn chia hết cho 4”. Khi đó biến cố A∩ B là A. {3;4;1 } 2 .
B. {3;4;6;8;9;12;15;16;18;2 } 0 . C. { } 12 . D. {3;6;9;12;15;1 } 8 . Lời giải Chọn C
Các phần tử của biến cố A∪ B là số tự nhiên từ 1 đến 20 thỏa mãn vừa chia hết cho 3, vừa
chia hết cho 4, tức là số đó chia hết cho 12.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Câu 7: Một hộp có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp. Xét các biến cố sau:
P : “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 2”.
Q : “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 4”.
Khi đó biến cố P ∩Q là
A. “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 8”.
B. “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 2”.
C. “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 6”.
D. “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 4”. Lời giải Chọn D
Biến cố P ∩Q : “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho cả 2 và 4”, tức là chia hết cho 4.
Câu 8: Hai xạ thủ tham gia thi đấu bắn súng, mỗi người bắn vào bia của mình một viên đạn một cách
độc lập với nhau. Gọi A và B lần lượt là các biến cố “Người thứ nhất bắn trúng bia”; “Người
thứ hai bắn trúng bia”. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai biến cố A và B bằng nhau.
B. Hai biến cố A và B đối nhau.
C. Hai biến cố A và B độc lập với nhau.
D. Hai biến cố A và B không độc lập với nhau. Lời giải Chọn C
Do hai xạ thủ thi đấu một cách độc lập nên việc xảy ra biến cố A không ảnh hưởng đến việc xác
suất xảy ra biến cố B và ngược lại, do đó hai biến cố A và B độc lập với nhau.
Câu 9: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố sau:
P : “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số chẵn”;
Q : “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số lẻ”;
R : “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo khác tính chẵn lẻ”.
Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Hai biến cố P và Q độc lập với nhau.
B. Hai biến cố P và R không độc lập với nhau.
C. Hai biến cố Q và R không độc lập với nhau.
D. R là biến cố hợp của P và . Q Lời giải Chọn D
Biến cố hợp của hai biến cố P và Q là “Số chấm ở cả hai lần gieo có cùng tính chẵn lẻ”, do đó
mệnh đề ở đáp án D là sai.
Câu 10: Có hai hộp đựng bi. Hộp thứ nhất có 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Hộp thứ hai có 5 viên bi đỏ
và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Xét các biến cố sau:
A: “Viên bi được lấy ở hộp thứ nhất có màu đỏ, ở hộp thứ hai có màu xanh”;
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 19
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
B : “Viên bi được lấy ở hộp thứ nhất có màu xanh, ở hộp thứ hai có màu đỏ”.
Khi đó hai biến cố A và B là
A. Hai biến cố độc lập với nhau.
B. Hai biến cố bằng nhau.
C. Hai biến cố đối của nhau.
D. Hai biến cố xung khắc. Lời giải Chọn A
Việc xảy ra biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B nên hai biến cố này độc lập với nhau.
Câu 11: Cho A , B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. P( A∪ B) = P( A) + P(B)
B. P( A∪ B) = P( A).P(B)
C. P( A∪ B) = P( A) − P(B)
D. P( A∩ B) = P( A) + P(B) Lời giải Chọn A
Ta có P( A∪ B) = P( A) + P(B) − P( A∩ B) .
Vì A , B là hai biến cố xung khắc nên A∩ B = ∅ . Từ đó suy ra P( A∪ B) = P( A) + P(B) .
Câu 12: Cho hai biến cố A và B có 1 1 1 P( )
A = , P(B) = , P(A∪ B) = . Ta kết luận hai biến cố A và B 3 4 2 là: A. Độc lập.
B. Không xung khắc. C. Xung khắc. D. Không rõ. Lời giải Chọn B
Ta có: P( A∪ B) = P( A) + P(B) − P( A∩ B) nên P( A∩ B) 1 = ≠ 0 12
Suy ra hai biến cố A và B là hai biến cố không xung khắc. Câu 13: Cho ,
A B là hai biến cố xung khắc. Biết P ( A) 1
= , P (A ∪ B) 1
= . Tính P (B). 5 3 A. 3 . B. 8 . C. 2 . D. 1 . 5 15 15 15 Lời giải Chọn C ,
A B là hai biến cố xung khắc
P( A∪ B) = P( A) + P(B) ⇒ P(B) 1 1 2 = − = 3 5 15 Câu 14: 1 1
Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Biết P(A) = ,P(B) = . Tính P(A ∪ B) 3 4 A. 7 B. 1 C. 1 D. 1 12 12 7 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 20
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn A ( ∪ ) = ( )+ ( ) 7 P A B P A P B = 12 Câu 15: Cho ,
A B là hai biến cố. Biết P = 1 , P = 3 . P = 1 . Biến cố A∪ B là biến cố 2 4 4
A. Có xác suất bằng 1 . B. Chắc chắn. 4 C. Không xảy ra.
D. Có xác suất bằng 1 . 8 Lời giải Chọn B ,
A B là hai biến cố bất kỳ ta luôn có: P( A∪ B) = P( A) + P(B) − P( A∩ B) 1 3 1 = + − = 1 2 4 4
Vậy A∪ B là biến cố chắc chắn.
Câu 16: Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính
xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu. A. 13 P(X ) = 5 3 11 .
B. P(X ) = .
C. P(X ) = .
D. P(X ) = . 18 18 18 18 Lời giải Chọn A
Gọi A là biến cố "Chọn được 2 viên bi xanh"; B là biến cố "Chọn được 2 viên bi đỏ", C là biến
cố "Chọn được 2 viên bi vàng" và X là biến cố "Chọn được 2 viên bi cùng màu".
Ta có X = A∪ B ∪C và các biến cố ,
A B,C đôi một xung khắc.
Do đó, ta có: P(X ) = P( )
A + P(B) + P(C) . 2 2 2 C 1 C 1 C 1 Mà: 4 3 2 P( ) A = = ; P(B) = = ; P(C) = = 2 2 2 C 6 C 12 C 36 9 9 9 1 1 1 5 Vậy P(X ) = + + = . 6 12 36 18
Biến cố "Chọn được 2 viên bi khác màu" chính là biến cố X . 13
Vậy P(X ) =1− P(X ) = . 18
Câu 17: Một hộp đựng 40 viên bi trong đó có 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, 6 viên bi vàng, 4 viên bi
trắng. Lấy ngẫu nhiên hai bi, tính xác suất biến cố A : “hai viên bi cùng màu”. A. P( A) 4 = . B. P( A) 6 = .
C. P( A) 4 = .
D. P( A) 64 = . 195 195 15 195 Lời giải Chọn D Ta có: 2 Ω = C40
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 21
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Gọi các biến cố: D: “lấy được 2 bi viên đỏ” ta có: 2 Ω = C = D 190 20 ;
X: “lấy được 2 bi viên xanh” ta có: 2 Ω = C = X 45 10 ;
V: “lấy được 2 bi viên vàng” ta có: 2 Ω = C = V 15 6 ;
T: “ lấy được 2 bi màu trắng” ta có: 2 Ω = C = T 6 4 .
Ta có D, X, V, T là các biến cố đôi một xung khắc và A = D ∪ X ∪V ∪T
P( A) = P( ) + P( X ) + P(V ) + P(T ) 256 64 D = = . 2 C 195 40
Câu 18: Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng, 1 viên bi
trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố A: “2 viên bi cùng màu”. A. P(C) 1 = . B. P(C) 2 = . C. P(C) 4 = . D. P(C) 1 = . 9 9 9 3 Lời giải Chọn B Ta có: 2 n(Ω) = C10
Gọi các biến cố: D: “lấy được 2 viên đỏ”; X: “lấy được 2 viên xanh”;
V: “lấy được 2 viên vàng”
Ta có D, X, V là các biến cố đôi một xung khắc và C = D ∪ X ∪V 2
P(C) = P(D) + P( X ) + P(V ) 2 C 1 10 2 3 = + + = = . 5 45 15 45 9
Câu 19: Một lớp có 60 sinh viên trong đó 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20
sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất của các
biến cố sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp. A. 1 . B. 1 . C. 1 D. 5 2 3 6 6 Lời giải Chọn C
Gọi A : "Sinh viên được chọn học tiếng Anh";
B : "Sinh viên được chọn chỉ học tiếng Pháp";
D : "Sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp ". Ta có: Rõ ràng 40 2 30 1 P( ) A = = , P(B) = = và 20 1
P(A∩ B) = = . 60 3 60 2 60 3 Từ đó 2 1 1 5
P(A∪ B) = P( )
A + P(B) − P(A∩ B) = + − = 3 2 3 6 và 5 1
P(D) = P(A ∩ B) = P(A∪ B) =1− P(A∪ B) =1− = 6 6
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 22
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Câu 20: Cho tập X = {1,2,3,4, }
5 . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi
một khác nhau thuộc tập X. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5. A. 12 . B. 12 . C. 21 . D. 21 . 25 23 25 23 Lời giải Chọn A
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập X là: 5.4.3 = 60 .
Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2 = 24 và số các số có mặt chữ số 5 là 60 − 24 = 36 .
Gọi A là biến cố hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5; B là biến cố hai số được viết
lên bảng đều không có mặt chữ số 5.
Rõ ràng A và B xung khắc. Do đó áp dụng quy tắc cộng xác suất ta có: 1 1 1 1
P( A∪ B) = P( A) + P(B) C .C C .C 13 36 36 24 24 = + = . 1 1 1 1 C .C C .C 25 60 60 60 60
Vậy xác suất cần tìm là P = − P( A∪ B) 13 12 1 =1− = . 25 25
Câu 21: Gieo hai hột súc sắc màu xanh và trắng. Gọi x là số nút hiện ra trên hột xanh và y là số nút hiện
ra trên hột trắng. Gọi A là biến cố (x < y) và B là biến cố 5 < x + y < 8. Khi đó P(A ∪ B) có giá trị là: A. 11 B. 2 C. 3 D. 7 8 3 4 12 Lời giải Chọn D
Không gian mẫu co 36 phần tử. −
Số phần tử của biến cố A là 36 6 =15 2 Biến cố B = (
{ 1;6);(6, )1;(1;5);(5, )1,(2;4);(4,2);(2,5);(5,2);(3,3);(3,4);(4,3)}
Biến cố giao A và B gồm các phần tử (
{ 1;6);(1;5);(2;4);(2,5);(3,4)} + − Vậy = ( ∪ ) 15 11 5 7 P A B = = 36 12
Câu 22: Gieo hai con súc sắc xanh, đỏ. Gọi x, y là số nút xuất hiện ra hột xanh và đỏ. Gọi A, B là hai biến cố sau đây. A = ( { x;y)/ x } y ,B = (
{ x; y) / 3 ≤ x + y ≤ 8}. Tìm P(A ∪ B) A. 19 B. 59 C. 29 D. 5 24 72 36 6 Lời giải Chọn B ( ) 14 = ( ) 25 = ( ∩ ) 10 = ⇒ ( ∪ ) 29 P A ,P B ,P A B P A B = 36 36 36 36
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 23
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Câu 23: Trong một lớp 10 có 50 học sinh. Khi đăng ký cho học phụ đạo thì có 38 học sinh đăng ký học
Toán, 30 học sinh đăng ký học Lý, 25 học sinh đăng ký học cả Toán và Lý. Nếu chọ ngẫu nhiên 1
học sinh của lớp đó thì xác suất để em này không đăng ký học phụ đạo môn nào cả là bao nhiêu A. 0,07 B. 0,14 C. 0,43 D. Kết quả khác Lời giải Chọn B
Gọi A là biến cố “học sinh đăng ký Toán”
Gọi B là biến cố “học sinh đăng ký Lý”
A ∩ B “học sinh đăng ký Toán, Lý”
A ∪ Blà biến cố “học sinh có đăng ký học phụ đạo”
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 38 30 25 43 = + − = 50 50 50 50
A ∪ B là biến cố “học sinh không đăng ký môn nào cả” (A∪B) = − ( ∪ ) 8 P 1 Q A B = = 0,14 50
Câu 24: Cho A , B là hai biến cố độc lập. Biết P( A) 1
= , P( A ∩ B) 1
= . Tính P(B) 4 9 A. 7 . B. 1 . C. 4 . D. 5 . 36 5 9 36 Lời giải Chọn C 1 1
A , B là hai biến cố độc lập nên: P ( A ∩ B) = P ( A).P (B) ⇔ = .P (B) ⇔ P(B) 4 = . 9 4 9
Câu 25: Cho A và B là 2 biến cố độc lập với nhau, P(A) = 0,4; P(B) = 0,3. Khi đó P(A.B) bằng A. 0,58 B. 0,7 C. 0,1 D. 0,12 Lời giải Chọn D
Do A và B là 2 biến cố độc lập với nhau nên P(A.B) = P(A).P(B) = 0,12
Câu 26: Trong một kì thi có 60% thí sinh đỗ. Hai bạn A , B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là: A. 0,24 . B. 0,36. C. 0,16 . D. 0,48 . Lời giải Chọn D
Ta có: P( A) = P(B) = 0,6 ⇒ P( A) = P(B) = 0,4
Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là: P = P( A).P(B) + P( A).P(B) = 0,48 .
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 24
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Câu 27: Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số 1, 2, …, 9. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một
viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là 3 . Xác suất để lấy được 10
cả hai viên bi mang số chẵn là: A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 7 . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B
Gọi X là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “
Gọi A là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “ 1 C 4 => P( A) 4 = = 1 C 9 9
Gọi B là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II “ P(B) 3 = 10
Ta thấy biến cố A, B là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
P( X ) = P( A B) = P( A) P(B) 4 3 1 . . = . = . 9 10 15
Câu 28: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết
rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là 1 và 2 . Gọi A là biến cố: 5 7
“Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố A là bao nhiêu? A. P( A) 12 = .
B. P( A) 1 = .
C. P( A) 4 = .
D. P( A) 2 = . 35 25 49 35 Lời giải Chọn D
Gọi A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. “
Gọi X là biến cố: “người thứ nhất ném trúng rổ”⇒ P( X ) 1 = . 5
Gọi Y là biến cố: “người thứ hai ném trúng rổ”⇒ P(Y ) 2 = . 7
Ta thấy biến cố X, Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
P( A) = P( X Y ) = P( X ) P(Y ) 1 2 2 . . = . = . 5 7 35
Câu 29: Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là0,51. Tìm các suất sao cho 3 lần sinh có ít nhất một con trai.
A. P( A) ≈ 0,88 .
B. P( A) ≈ 0,23.
C. P( A) ≈ 0,78.
D. P( A) ≈ 0,32 . Lời giải Chọn A
Gọi A là biến cố ba lần sinh có ít nhất 1 con trai, suy ra A là xác suất 3lần sinh toàn con gái. Gọi B i =
i là biến cố lần thứ i sinh con gái ( 1,2,3 )
Suy ra P(B ) = P(B ) = P(B ) = 0,49 1 2 3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 25
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Ta có: A = B ∩ B ∩ B 1 2 3
⇒ P( A) =1− P( A) =1− P(B ) P(B ) P(B ) =1−(0,49)3 ≈ 0,88 1 2 3 .
Câu 30: Hai cầu thủ sút phạt đền. Mỗi người đá 1 lần với xác suất làm bàm tương ứng là 0,8 và 0,7 .
Tính xác suất để có ít nhất 1cầu thủ làm bàn.
A. P( X ) = 0,42 .
B. P( X ) = 0,94 .
C. P( X ) = 0,234 .
D. P( X ) = 0,9 . Lời giải Chọn B
Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất làm bàn
B là biến cố cầu thủ thứ hai làm bàn
X là biến cố ít nhất 1 trong hai cầu thủ làm bàn
Ta có: X = (A∩ B) ∪( A∩ B)∪( A∩ B)
⇒ P( X ) = P( )
A .P(B) + P(B).P( ) A + P( )
A .P(B) = 0,94 .
Câu 31: Một cặp vợ chồng mong muốn sinh bằng đựơc sinh con trai. Xác suất sinh được con trai trong
một lần sinh là 0,51. Tìm xác suất sao cho cặp vợ chồng đó mong muốn sinh được con trai ở lần sinh thứ 2.
A. P(C) = 0,24 .
B. P(C) = 0,299 .
C. P(C) = 0,24239 . D. P(C) = 0,2499 . Lời giải Chọn D
Gọi A là biến cố: “ Sinh con gái ở lần thứ nhất”, ta có: P( ) A =1− 0,51 = 0,49 .
Gọi B là biến cố: “ Sinh con trai ở lần thứ hai”, ta có: P(B) = 0,51
Gọi C là biến cố: “Sinh con gái ở lần thứ nhất và sinh con trai ở lần thứ hai”
Ta có: C = AB , mà ,
A B độc lập nên ta có:
P(C) = P(AB) = P( )
A .P(B) = 0,2499 .
Câu 32: Ba người cùng bắn vào 1 bia Xác suất để người thứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trúng đích lần lượt
là 0,8; 0,6 ; 0,5. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích bằng: A. 0,24 . B. 0,96. C. 0,46 . D. 0,92. Lời giải Chọn C
Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bán trúng đích lần lượt là: P( A = 0,8 1 ) ;
P( A = 0,6 P( A = 0,5 1 ) 2 ) ;
Xác suất để có đúng hai người bán trúng đích bằng:
P( A .P A .P A + P A .P A .P A + P A .P A .P A = 0,46 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1) ( 2 ) ( 3 ) ( 1) ( 2 ) ( 3 ) .
Câu 33: Gieo một con súc sấc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất sao cho tổng só chấm trong hai lần gieo là số chẵn.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 26
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com A. 1 . B. 1 . C. 1 D. 5 2 3 6 6 Lời giải Chọn A
Kí hiệu A : "Lần đầu xuất hiện mặt chẵn chấm";
B : "Lần thứ hai xuất hiện mặt chẵn chấm ";
C : "Tổng số chấm trong hai lần gieo là chẩn".
Ta có C = AB ∪ AB . Dễ thấy AB và A⋅ B xung khắc nên
P(C) = P(AB) + P(AB)
Vì A và B đợc lập nên A và B cũng đợc lập, do đó 1 1 1 1 1
P(C) = P( )
A P(B) + P(A)P(B) = ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 2
Câu 34: Một xạ thủ bắn bia. Biết rằng xác suất bắn trúng vòng tròn 10 là 0,2; vòng 9 là 0,25 và vòng 8 là
0,15. Nếu trúng vòng k thì được k điểm. Giả sử xạ thủ đó bắn ba phát súng một cách độc lập.
Xạ thủ đạt loại giỏi nếu anh ta đạt ít nhất 28 điểm. Xác suất để xạ thủ này đạt loại giỏi là A. ,00935 B. 0,0755 C. 0,0365 D. 0,0855 Lời giải Chọn A
Gọi H là biến cố “Xạ thủ bắn đạt loại giỏi”. A; B; C; D là các biến cố sau.
A: “Ba viên trúng vòng 10”
B: “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 9”
C: “Một viên trúng vòng 10 và hai viên trúng vòng 9”
D: “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 8”
Các biến cố A; B; C; D là các biến cố xung khắc từng đôi một và H = A ∪ B ∪C ∪ D
+ Suy ra theo quy tắc cộng mở rộng ta có P(H) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)
Mặt khác P(A) = (0,2).(0,2).(0,2) = 0,008
P(B) = (0,2).(0,2).(0,25) + (0,2)(0,25)(0,2) + (0,25)(0,2)(0,2) = 0,03
P(C) = (0,2).(0,25).(0,25) + (0,25)(0,2)(0,25) + (0,25)(0,25)(0,2) = 0,0375
P(D) = (0,2).(0,2).(0,15) + (0,2)(0,15)(0,2) + (0,15)(0,2)(0,2) = 0,018
+ Do đó P(H) = 0,008+ 0,03+ 0,0375+ 0,018 = 0,0935
Câu 35: Ba người xạ thủ A , A , A độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất 1 2 3
bắn trúng mục tiêu của A , A , A tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,5. Tính xác suất để có ít nhất một 1 2 3 xạ thủ bắn trúng. A. 0,45 B. 0,21 C. 0,75 D. 0,94 Lời giải Chọn D
Gọi X là biến cố: “Không có xạ thủ nào bắn trúng mục tiêu”.
Khi đó P( X ) = P( A ).P( B ).P(C )=0,3.0,4.0,5=0,14
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 27
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
⇒ P = 1- P( X )=0,94.
Câu 36: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn
hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là A. 0,45. B. 0,4. C. 0,48. D. 0,24. Lời giải Chọn C
Gọi A1 là biến cố viên thứ nhất trúng mục tiêu
Gọi A2 là biến cố viên thứ hai trúng mục tiêu Do A , A 1
2 là hai biến cố độc lập nên xác suất để có một viên trúng mục tiêu và một viên trượt
mục tiêu là p = p( A A + p A A = p A p A + p A p A = 0,6.0,4+ 0,4.0,6 = 4,8. 1 2 ) ( 1 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
Câu 37: Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn
trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 1 và 1 . Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không 2 3 bắn trúng bia. A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 3 6 2 3 Lời giải Chọn D
Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia là: 1 1 1− = . 2 2
Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia là: 1 2 1− = . 3 3
Gọi biến cố A:”Có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia ”.
Khi đó biến cố A có 3 khả năng xảy ra:
+) Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia, người thứ hai không bắn trúng bia: 1 2 1 . = . 2 3 3
+) Xác suất người thứ nhất không bắn trúng bia, người thứ hai bắn trúng bia: 1 1 1 . = . 2 3 6
+) Xác suất cả hai người đều bắn không trúng bia: Khi đó 1 2 1 1 1 1 2 P( ) A = . + . + . = . 2 3 2 3 2 3 3
Câu 38: Ba xạ thủ A , A , A độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn 1 2 3
trúng mục tiêu của A , A , A tương ứng là 1 2 3
0,7 ; 0,6 và 0,5. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng. A. 0,45 . B. 0,21. C. 0,75. D. 0,94. Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 28
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Gọi A : “Xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu” với i =1,3. i
Khi đó A : “Xạ thủ thứ i bắn không trúng mục tiêu”. i
Ta có P( A = 0,7 ⇒ P A = 0,3; P( A = 0,6 ⇒ P A = 0,4; P( A = 0,5 ⇒ P A = 0,5 . 3 ) ( 3) 2 ) ( 2) 1 ) ( 1)
Gọi B : “Cả ba xạ thủ bắn không trúng mục tiêu”.
Và B : “có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.
Ta có P(B) = P( A .P A .P A = 0,3.0,4.0,5 = 0,06 . 1 ) ( 2) ( 3)
Khi đó P(B) =1− P(B) =1−0,06 = 0,94.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 29
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV
Câu 1. Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo sơ mi mới. Người điều tra yêu cầu cho
điểm mẫu áo đó theo thang điểm 100. Kết quả được trình bày trong Bảng 16. Nhóm Tần số Tần số tích lũy [50;60) 4 4 [60;70) 5 9 [70;80) 23 32 [80;90) 6 38 [90;100) 2 40 n = 40
Bảng 16.
a) Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị: A. 74 . B. 75. C. 76 . D. 77 .
b) Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là:
A. Q ≈ 71;Q ≈ 76;Q ≈ 78 .
B. Q ≈ 71;Q ≈ 75;Q ≈ 78. 1 2 3 1 2 3
C. Q ≈ 70;Q ≈ 76;Q ≈ 79 .
D. Q ≈ 70;Q ≈ 75;Q ≈ 79 . 1 2 3 1 2 3
c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là: A. 73. B. 74 . C. 75. D. 76 . Lời giải a) Trung vị là:  20 9 M −  = + ⋅ ≈ ⇒ Chọn B. e 70   10 75  23   − b) 10 9 Q 70  = + ⋅10 ≈   70 , Q = M ≈ ⇒ Chọn D. e 75 1  23  2 c)  23 5 M −  = + ⋅ ≈ ⇒ Chọn C. o 70   10 75  2.23 − 5 − 6 
Câu 2. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác xuất để chọn được hai
số có tổng là một số chẵn bằng: A. 11 . B. 221 . C. 10 . D. 1 . 21 441 21 2 Lời giải Chọn C Có n(Ω) 2 = C = 210 . 21
Để hai số có tổng là một số chẵn là thì có các trường hợp sau:
TH1: Cả hai số là số chã̃n.
TH2: Cả hai số là số lẻ.
Xét biến cố A : "Cả hai số là số chã̃n". ⇒ n( A) 2 = C = 45 10
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Xét biến cố B : "Cả hai số là số lẻ". ⇒ n(B) 2 = C = 55 11 +
Vậy xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là: 45 55 10 = 210 21
Câu 3. Mẫu số liệu dưới đây ghi lại độ dài quãng đường di chuyển trong một tuần (đơn vị: kilômét) của 40 chiếc ô tô: 100 105 115 116 130 135 138 132 135 120 125 128 120 124 140 140 146 145 142 142 145 148 150 150 159 155 151 156 155 151 154 152 153 160 162 175 176 165 188 198
a) Lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy với năm nhóm ứng với năm nửa khoảng:
[100;120) ; [120;140); [140;160); [160;180); [180;200).
b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu. Lời giải Tần Tần số Nhóm số tích lũy [100;120) 4 4 [120;140) 15 19 [140;160) 14 33 [160;180) 5 38 [180;200) 2 0 b) Trung bình cộng là:
110.4 130.15 150.14 170.5 190.2 x + + + + = =143 40 • Trung vị là:  20 19 M −  = + ⋅ ≈ e 140   20 141  14   − • Q là 10 4 Q 120  = + ⋅ 20 =   128 1 1  15 
Q là: Có Q = M ≈ e 141 2 2
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com  − Q là: 30 19 Q 140  = + ⋅ 20 =   155,6 3 3  15 
c) Mốt của mẫu số liệu là:
Có nhóm 2 là nhóm có tần số lớn nhất  15 4 M −  ⇒ = + ⋅ ≈ o 120   20 138,3  2.15 − 4 −14 
Câu 4. Bạn Dũng và bạn Hương tham gia đội văn nghệ của nhà trường. Nhà trường chọn từ đội văn nghệ
đó một bạn nam và một bạn nữ để lập tiết mục song ca. Xác suất được nhà trường chọn vào tiết mục
song ca của Dũng và Hương lần lượt là 0,7 và 0,9.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A : “Cả hai bạn được chọn vào tiết mục song ca”;
b) B : “Có ít nhất một bạn được chọn vào tiết mục song ca”;
c)C : “Chỉ có bạn Hương được chọn vào tiết mục song ca” Lời giải
a) P( A) = 0,7.0,9 = 0,63.
b) Xét biến cố D : "Dũng không được chọn". P(D) =1− 0,7 = 0,3
Xét biến cố E : "Hương không được chọn". P(E) =1− 0,9 = 0,1⇒ P(B) =1−(0,3.0, ) 1 = 0,97
c) P(C) = 0,9⋅0,3 = 0,27 .
Câu 5. Hai bạn Mai và Thi cùng tham gia một kì kiểm tra ngoại ngữ một cách độc lập nhau. Xác suất để
bạn Mai và bạn Thi đạt từ điểm 7 trở lên lần lượt là 0,8 và 0,9.
Tính xác suất của biến cố C : “Cả hai bạn đều đạt từ điểm 7 trở lên”. Lời giải P(C) = 0,8 . 0,9 = 0,72.
Câu 6. Một người chọn ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã ghi địa chỉ sao cho mỗi phong bì chỉ chứa
một lá thư. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư được cho vào đúng phong bì đã ghi địa chỉ theo lá thư đó. Lời giải Có n(Ω) = 3!= 6 .
Có biến cố A : "Có ít nhất một lá thư được cho vào đúng phong bì đã ghi địa chỉ theo lá thư đó".
Xét biến cố A′: "Không có lá thư nào được cho vào đúng phong bì đã ghi địa chỉ theo lá thư đó" .
( ′) = = ⇒ P(A′) 2 1 = = ⇒ P( A) 1 2 n A 2! 2 =1− = . 6 3 3 3
Câu 7. Một hộp chứa 9 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng. Trong đó có 4 quả cầu màu xanh
đánh số từ 1 đến 4 , có 3 quả cầu màu vàng đánh số từ 1 đến 3, có 2 quả cầu màu đỏ đánh số từ 1
đến 2 . Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để 2 quả cầu được lấy vừa khác màu vừa khác số.
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 3
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Lời giải Có n (Ω) 2 = C = 36 9
Gọi biến cố A : "2 quả cầu được lấy vừa khác màu vừa khác số"
Khi đó biến cố A′ :"2 quả cầu được lấy củng màu hoặc khác màu cùng số" ⇒ n( A′) 2 2 2
= C + C + C + 7 =17 4 3 2 ⇒ P( A′) 17 = 36 ⇒ P( A) 17 19 = 1− = 36 36
Câu 8. Bạn An vẽ trên đất một bảng gồm 9 ô vuông như Hình 3. Sau đó, bạn An cầm 4 viên bi giống
nhau đặt ngẫu nhiên vào 4 ô vuông trong bảng đó. Tính xác suất để bất kì hàng nào và cột nào của bảng cũng có viên bi. Hình 3
Không gian mẫu: n(Ω) 4 = C =126 . 9
Gọi A là biến cố: “bất kì hàng nào và cột nào của bảng cũng có viên bi”, khi đó ta có biến cố đối: A : “có
1 hàng hoặc 1 cột không có viên bi”.
Gọi B là biến cố: 1 hàng không có viên bi
• Chọn 1 hàng trong 3 hàng có 1 C cách. 3
• Xếp 4 viên bi vào 2 hàng còn lại có 4 C cách. 6 ⇒ n(B) 1 4
= C ⋅C = 45 cách. 3 6
Gọi C là biến cố: 1 cột không có viên bi.
• Chọn 1 cột trong 3 cột có 1 C cách. 3
• Xếp 4 viên bi vào 2 cột còn lại có 4 C cách. 6 ⇒ n(C) 1 4
= C ⋅C = 45 cách. 3 6
Ta có: B ∩C = "1 hàng không có viên bi và 1 cột không có viên bi ". X X X X
• Chọn 1 hàng không có viên bi có 1 C cách. 3
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 4
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
• Chọn 1 cột không có viên bi có 1C cách. 3
• Xếp 4 viên bi vào 4 ô còn lại có 1 cách.
⇒ n(B ∩C) = 9 .
⇒ n( A) = n(B) + n(C) − n(B ∩C) = 45 + 45 − 9 = 81.
Vậy P( A) = − P( A) 81 5 1 =1− = . 126 14 BÀI TẬP TỔNG ÔN A. TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Chọn đáp án thích hợp điền vào chỗ trống: “Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số
liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng …, trong đó a là đầu mút phải, b là đầu mút trái”. A. [ ; a b].
B. [a;b) . C. ( ; a b] . D. ( ; a b). Lời giải Chọn B
Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng [ ;
a b) , trong đó a là đầu mút phải, b là đầu mút trái.
Câu 2: Mẫu số liệu (T ) được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm sau:
Mẫu số liệu (T ) có bao nhiêu số liệu, bao nhiêu nhóm?
A. 58 số liệu; 5 nhóm.
B. 24 số liệu; 6 nhóm.
C. 5 số liệu; 58 nhóm.
D. 6 số liệu; 24 nhóm. Lời giải Chọn A
Mẫu số liệu (T ) có:
12 + 20 + 5 +14 + 7 = 58 (số liệu).
5 nhóm: [0;5);[5;10);[10;15);[15;20);[20;25) .
Câu 3: Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của các học sinh trong một lớp 11 của
một trường như sau:
Có bao nhiêu học sinh có thời gian đi từ nhà đến trường là 15 phút đến 20 phút? A. 20 . B. 15. C. 5. D. 7 . Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 5
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Chọn C
Theo bảng số liệu, có 5 học sinh có thời gian đi từ nhà đến trường là 15 phút đến 20 phút.
Câu 4: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao (cm) của các học sinh nữ trong khối 11 của một trường như sau:
Trong mẫu số liệu trên, tần số tích lũy của nhóm [160;165) là: A. 99. B. 45 . C. 126. D. 34. Lời giải Chọn C
Tần số tích lũy của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút phải của nhóm đó.
Tần số tích lũy của nhóm [160;165) là 20 + 45+ 34 + 27 =126 .
Câu 5: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong 30 ngày, ta có bảng số liệu sau:
Nhiệt độ trung bình trong 30 ngày trên là: A. 24( C ° ). B. 25,4( C ° ). C. 24,3( C ° ) . D. 23,4( C ° ) . Lời giải Chọn D
Giá trị đại diện của mỗi nhóm số liệu là trung bình cộng của hai đầu mút.
Ta có bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện của mỗi nhóm:
Nhiệt độ trung bình trong 30 ngày trên là:
6.19,5 +12.22,5 + 9.25,5 + 3.28,5 x = = 23,4( C ° ) . 30
Câu 6: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê thời gian chạy 50 m của 20 học sinh, ta có bảng số liệu sau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 6
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Tính thời gian chạy trung bình của 20 học sinh. A. 8,31 giây. B. 8,13 giây. C. 7,13 giây. D. 7,31 giây. Lời giải Chọn B
Giá trị đại diện của mỗi nhóm số liệu là trung bình cộng của hai đầu mút.
Ta có bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện của mỗi nhóm:
Thời gian chạy trung bình của 20 học sinh là: 9.7,9 3.8,1 5.8,3 1.8,7 x + + + = = 8,13 (giây). 20
Câu 7: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê thời gian hoàn thành một bài kiểm tra trực tuyến của
100 học sinh, ta có bảng số liệu sau:
Tính mốt của mẫu số liệu trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 38,93 . B. 38,39 . C. 39,28. D. 39,82 . Lời giải Chọn B
Nhóm 3 ứng với nửa khoảng [37;39) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 37 ; g = 2; n = 38 3
(với u, g,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm 3). 3
Nhóm 2 có tần số n =13 ; Nhóm 4 có tần số n = 27 . 2 4
Ta có mốt của mẫu số liệu là:  38 13 M −  = + = . o 37  .2 38,39  2.38 −13 − 27 
Câu 8: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê chiều cao của 35 cây bạch đàn trong rừng, ta có bảng số liệu sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 7
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com A. 7,35. B. 7,34 . C. 3,75 . D. 7,43 . Lời giải Chọn A
Nhóm 2 ứng với nửa khoảng [7,0; 7,5) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 7,0 ; g = 0,5 ;
n =15 (với u, g,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm 2 ). 2 2
Nhóm 1 có tần số n = 6 ; Nhóm 3 có tần số n =11. 1 3
Ta có mốt của mẫu số liệu là:  15 6 M −  = + = . o 7,0  .0,5 7,35  2.15 − 6 −11
Câu 9: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê huyết áp của 20 người, ta có bảng số liệu sau:
Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 100,67 . B. 101,67 . C. 101,76 . D. 100,76 . Lời giải Chọn B
Ta có bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:
Số phần tử của mẫu là n = 20 . Ta có: n 20 = = 10 . 2 2
Mà cf = 9 <10 < cf =15. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3 4 10.
Xét nhóm 4 là nhóm [100;110) có r =100 ; d =10 ; n = 6 (với r;d;n lần lượt là đầu mút trái; 4 4
độ dài; tần số của nhóm 4 ).
Nhóm 3 là nhóm [90;100) có cf = 9 (với cf là tần số tích lũy của nhóm 3). 3 3
Ta có trung vị của mẫu số liệu là: 10 9 M −  = + = . e 100  .10 101,67  6 
Câu 10: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê điểm số (thang điểm 20 ) của 100 học sinh tham dự kỳ
thi học sinh giỏi toán, ta có bảng số liệu sau:
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 8
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên. A. 15,44 . B. 13,29. C. 13,92 . D. 14,54. Lời giải Chọn A
Ta có bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:
Số phần tử của mẫu là n =100 . Ta có: 3n 3.100 = = 75 . 4 4
Mà cf = 57 < 75 < cf = 82. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc 3 4 bằng 75.
Xét nhóm 4 là nhóm [14;16) có s =14 ; h = 2 ; n = 25 (với s; ;
h n lần lượt là đầu mút trái; độ 4 4
dài; tần số của nhóm 4 ).
Nhóm 3 là nhóm [12;14) có cf = 57 (với cf là tần số tích lũy của nhóm 3). 3 3
Ta có tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:  75 − 57 Q 14  = + .2 =   15,44 . 3  25 
Câu 11: Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả
năng xuất hiện. Nếu A và B xung khắc thì có bao nhiêu mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? (I). P .
A B  P 
A .PB.
(II). PA B  P 
A PB.
(III). A B .
(IV). A B . A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Lời giải Chọn C
Câu 12: Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng là 80%. Xác suất người thứ hai
bắn trúng là 70% . Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng là A. 50%. B. 32,6% . C. 60% . D. 56%. Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 9
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Gọi A là biến cố người thứ i bắn trúng (i =1;2) i
A là biến cố cả hai người cùng bắn trúng. Lúc đó: A = A ∩ A . 1 2
Vì A , A là hai biến cố độc lập nên: 1 2
P( A) = P( A ∩ A = P A .P A = 0,8.0,7 = 0,56 = 56% 1 2 ) ( 1) ( 2) .
Câu 13: 3 hộp A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ
và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu. A. 91 . B. 44 . C. 88 . D. 45 . 135 135 135 88 Lời giải Chọn B
Gọi biến cố A : “Hai viên bi được lấy ra có cùng màu”.
A : “ Hai viên bi lấy ra màu trắng”. Lúc đó: P( 4 7 A = . . 1 ) 1 15 18
A : “ Hai viên bi lấy ra màu đỏ”. Lúc đó: P( 5 6 A = . . 2 ) 2 15 18
A : “ Hai viên bi lấy ra màu xanh”. Lúc đó: P( 6 5 A = . . 3 ) 3 15 18
Lúc đó: A = A ∪ A ∪ A và A , A , A là các biến cố xung khắc nên: 1 2 3 1 2 3
P( A) = P( 44
A + P A + P A = . 1 ) ( 2) ( 3) 135
Câu 14: Xác suất sinh con trai trong một lần sinh là 0,51. Một người sinh hai lần, mỗi lần một con. Tính
xác suất P để người đó sau khi sinh 2 lần có ít nhất một con trai. A. 2499 P = B. 7599 P = C. 51 P = D. 2601 P = 10000 10000 100 10000 Lời giải Chọn B
Gọi X là biến cố: “ Sau khi sinh hai lần có ít nhất người đó sinh được một con trai”
A là biến cố: “ Người đó sinh được một con trai lần thứ nhất” 1
A là biến cố: “ Người đó sinh được một con trai lần thứ hai” 2
Khi đó X = A A ∪ A A ∪ A A 1 2 1 2 1 2
⇒ P( X ) = P( 7599
A .P A + P A .P A + P A .P A = 1 ) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) 10000
Câu 15: Hai xạ thủ bắn súng độc lập. Xác suất bắn trúng của xạ thủ A là 0,9 và xác suất bắn trúng của xạ
thủ B là 0,8. Hai xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn. Tính xác suất để chỉ có một xạ thủ bắn trúng bia. A. 0,18 B. 0,72 C. 0,26 D. 0,98 Lời giải
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Chọn C
Gọi A và B là bến cố xạ thủ A và xạ thủ B bắn trúng
Ta có xác suất cần tìm là: P = P( AB ∪ AB) = 0.08+ 0.18 = 0.26
Câu 16: Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số 1, 2, …, 9. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một
viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là 3 . Xác suất để lấy được 10
cả hai viên bi mang số chẵn là A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 7 . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B
Gọi X là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “
Gọi A là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “ 1
⇒ P( A) C 4 4 = = . 1 C 9 9
Gọi B là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II “ P(B) 3 = . 10 Ta thấy biến cố ,
A B là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
P( X ) = P( A B) = P( A) P(B) 4 3 1 . . = . = . 9 10 15
Câu 17: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết
rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là 1 và 2 . Gọi A là biến cố: 5 7
“Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố A là bao nhiêu?
A. P( A) 12 = .
B. P( A) 1 = .
C. P( A) 4 = .
D. P( A) 2 = . 35 25 49 35 Lời giải Chọn D
Gọi A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. “
Gọi X là biến cố: “người thứ nhất ném trúng rổ.“ ⇒ P( X ) 1 = . 5
Gọi Y là biến cố: “người thứ hai ném trúng rổ.“ ⇒ P(Y ) 2 = . 7
Ta thấy biến cố X ,Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
P( A) = P( X Y ) = P( X ) P(Y ) 1 2 2 . . = . = . 5 7 35
Câu 18: Trong một kì thi có 60% thí sinh đỗ. Hai bạn A, B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là: A. 0,24 . B. 0,36. C. 0,16 . D. 0,48 . Lời giải Chọn D
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 11
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Ta có: P( A) = P(B) = 0,6 ⇒ P( A) = P(B) = 0,4
Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là: P = P( A).P(B) + P( A).P(B) = 0,48 .
Câu 19: Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trúng đích lần lượt
là 0,8; 0,6; 0,5 . Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích bằng: A. 0,24 . B. 0,96. C. 0,46 . D. 0,92. Lời giải Chọn C
Gọi X là biến cố: “có đúng 2 người bắn trúng đích “
Gọi A là biến cố: “người thứ nhất bắn trúng đích “⇒ P( A) = 0,8 ; P( A) = 0,2 .
Gọi B là biến cố: “người thứ hai bắn trúng đích “⇒ P(B) = 0,6, P(B) = 0,4 .
Gọi C là biến cố: “người thứ ba bắn trúng đích “⇒ P(C) = 0,5, P(C) = 0,5. Ta thấy biến cố ,
A B,C là 3 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
P( X ) = P( .A .
B C)+ P( .A .
B C)+ P( .A .
B C) = 0,8.0,6.0,5+ 0,8.0,4.0,5+ 0,2.0,6.0,5 = 0,46 .
Câu 20: Ba người cùng bắn vào 1 bia Xác suất để người thứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trúng đích lần lượt
là 0,8; 0,6 ; 0,5. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích bằng A. 0,24 . B. 0,96. C. 0,46 . D. 0,92. Lời giải Chọn C
Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bán trúng đích lần lượt là: P( A = 0,8 1 ) ;
P( A = 0,6 P A = 0,5 2 ) ; ( 1 )
Xác suất để có đúng hai người bán trúng đích bằng:
P( A .P A .P A + P A .P A .P A + P A .P A .P A = 0,46. 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1) ( 2 ) ( 3 ) ( 1) ( 2 ) ( 3 )
Câu 21: Trong một kì thi có 60% thí sinh đỗ. Hai bạn A , B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là A. 0,24 . B. 0,36. C. 0,16 . D. 0,48 . Lời giải Chọn D
Ta có: P( A) = P(B) = 0,6 ⇒ P( A) = P(B) = 0,4.
Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là: P = P( A).P(B) + P( A).P(B) = 0,48 .
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 22: Cho bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét). Nhóm Tần số [30;40) 4 [40;50) 10
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 12
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com [50;60) 14 [60;70) 6 [70;80) 4 [80;90) 2 n = 40
a) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu? Lời giải a) Nhóm
Giá trị đại diện Tần số [30;40) 35 4 [40;50) 45 10 [50;60) 55 14 [60;70) 65 6 [70;80) 75 4 [80;90) 85 2 n = 40
 Tìm giá trị trung bình
Giá trị trung bình của mẫu số liệu là
35.4 45.10 55.14 65.6 75.4 85.2 x + + + + + = = 55,5 40  Tìm trung vị
• Khoảng chứa trung vị [50;60)
Trung vị của mẫu số liệu là 20 14 M − = + ≈ e 50 .10 54,29 14  Tìm tứ phân vị
Nhóm chứa trung vị thứ nhất Q và nhóm chứa trung vị thứ hai Q lần lượt là [40;50) , [60;70) . 1 3 Khi đó: 10 − 4 Q = 40 + .10 = 46 1 10 30 − 28 Q = 60 + .10 = 63,3 3 6
Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là Q = 46 , Q = 54,29, Q = 63,3. 1 2 3  Tìm mốt Nhóm chứa mốt: [50;60)
Mốt của mẫu số liệu: 4 M = 50 + .10 ≈ 53,3 0 4 + 8
Câu 23: Mẫu số liệu sau ghi lại cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilogam) 17 40 39 40,5 42 51 41,5 39 41 30 40 42 40,5 39,5 41 40,5 37 39,5 40 41 38,5 39,5 40 41 39 40,5 40 38,5 39,5 41,5
a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng
[15;20),[20;25),[25;30),[30;35),[35;40),[40;45),[45;50),[50;55).
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 13
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu Lời giải a) Nhóm
Giá trị đại diện Tần số [15;20) 17,5 1 [20;25) 22,5 0 [25;30) 27,5 0 [30;35) 32,5 1 [35;40) 37,5 10 [40;45) 42,5 17 [45;50) 47,5 0 [50;55) 52,5 1 n = 30 b) Số trung bình cộng: 17,5 32,5 37,5.10 42,5.17 52,5 x + + + + = = 40 30 Trung vị: 15 −12 Q = 40 + .5 ≈ 40,9 2 17
Trung vị Q và Q : 1 3 7,5 − 2 Q = 35 + .5 = 37,75 1 10 22,5 −12 Q = 40 + .5 ≈ 43,1 3 17
Tứ phân vị: Q = 37,75 , Q = 40,9 , Q = 43,1 1 2 3
c) Mốt của mẫu số liệu 7 M = 40 + .5 ≈ 41,5 0 7 +17
Câu 24: Gieo môt đồng xu 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để có một lần lật ngửa. Lời giải
Gọi A là biến cố được lần thứ nhất ngửa
B là biến cố lần 2 ngửa
A và B là hai biến cố độc lập.
AB là biến cố lần 1 ngửa và lần 2 sấp B
A là biến cố lần 1 sấp và lần 2 ngửa Xác suất để một lần lật ngửa là P 1 1 1 1
= P(A)× P(B)+ P( A)×P(B) = × + × = 0.5 2 2 2 2
Câu 25: Gieo 3 đồng xu cân đối. Gọi A là biến cố có ít nhất một đồng xu lật ngửa và B là biến cố có
đúng 2 đồng xu lật ngửa.
a) Tính xác suất để có ít nhất một đg xu ngửa.
b) Tính P( A∩ B)
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 14
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Gieo 3 đồng xu thì không gian mẫu là
E = {NNN, NNS, NSN, SNN, NSS, SNS, SSN, SSS}
a) Xác suất để ít nhất một đồng xu lật ngửa là ( ) 1 7 P A =1− = 8 8 b) Ta có ( ) 3 P B = . 8
A và B là hai biến cố độc lập nên ( A∩ B) = ( )⋅ ( ) 7 3 21 P P A P B = × = 8 8 64
Câu 26: Cho P(A) = 2 / 5;P(B) = 5 /12 và P(AB) =1/ 6 . Hỏi 2 biến cố A và B có: a) Xung khắc hay không?
b) Độc lập với nhau hay không? Lời giải a) ( ) 1
VìP AB = ≠ 0 nên A và B không xung khắcl 6 b) Ta có ( )× ( ) 2 5 1 P A P B = × = = P( AB) 5 12 6
Vậy A và B là 2 biến cố độc lập
Câu 27: Cho hai biến cố A và B biết P(A) = 0,3;P(B) = 0,5 và P( A∩ B) = 0,1.
Tính P( A∪ B),P( A),P(B),P( A∩ B),P( A∪ B) . Lời giải
Ta có P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0,3+ 0,5 − 0,1 = 0,7
Ta có P( A) =1− P(A) =1−0,3 = 0,7
P(B) =1− P(B) =1−0,5 = 0,5
P( AB) =1− P(AB) =1−0,1= 0,9
P( A∪ B) =1− P(A ∪B) =1−0,7 = 0,3
Câu 28: Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cổ bài 32 lá, trả lá bài trong cổ bài và rút lá bài khác.
a) Tính xác suất để hai lá bài rút được là lá già và lá đầm
b) Tính xác suất trong hai lá bài r được không có lá cơ Lời giải
Trong cổ bài 32 lá có 4 lá già và 4 lá đầm.
Gọi A là biến cố được lá già và B là biến cố được giá đầm
Rút là bài thứ nhất và trả lại vào cổ bài rồi rút lá thứ hai nên hai biến cố A và B độc lập a) 1 1 P(AB) = P(A)×P(B) C C 4 4 1 4 4 = × = × = 1 1 C C 32 32 64 32 32
b) Trong cổ bài 32 lá có 8 lá cơ.Do đó xác suất rút được 2 lá cơ là
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 15
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com 8 8 1 × = 32 32 16
Vậy xác suất để 2 lá bài rút được không có lá cơ là 1 15 P =1− = 16 16
Câu 29: Một bình đựng 2 bi xanh và 4 bi đỏ. Lần lượt lấy một bi liên tiếp 3 lần và mỗi lần trả lại bi đã lấy vào bình.
a) Tính xác suất để được 3 bi xanh
b) Tính xác suất để được 3 bi đỏ
c) Tính xác suất để được 3 bi không cùng một màu Lời giải a) ( ) 2 2 2 1 P A = × × = 6 6 6 27 b) ( ) 4 4 4 8 P B = × × = . 6 6 6 27
c) Xác suất được 3 bi cùng màu là ( ∪ ) = ( ) + ( ) 1 8 1 P A B P A P B = + = . 27 27 3 Vậy P(C) 1 2 =1− = . 3 3
Câu 30: Có 3 chiếc hộp. Hộp A chứa 3 bi đỏ, 5 bi trắng. Hộp B chứa 2 bi đỏ, 2 bi vàng. Hộp C chứa
2 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một bi từ hộp đó. Xác suất để được một bi đỏ Lời giải
Lấy ngẫu nhiên một hộp
Gọi C là biến cố lấy được hộp A 1
Gọi C là biến cố lấy được hộp B 2
Gọi C là biến cố lấy được hộp C 3 Vậy P( 1
C = P C = P C = 1 ) ( 2) ( 3) 3
Gọi C là biến cố “ lấy ngẫu nhiên một hộp, trong hộp đó lại lấy ngẫu nhiên một viên bi và
được bi đỏ ”. Xác suất cần tính là
E = (C ∩C ∪ C ∩C ∪ C ∩C ⇒ P(E) = P(C ∩C + P C ∩C + P C ∩C 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 1 3 1 2 1 2 17 = . + . + . = . 3 8 3 4 3 5 40
Câu 31: Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là x , y và
0,6 (với x > y ). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để
cả ba cầu thủ đều ghi ban là 0,336. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn. Lời giải
Gọi A là biến cố “người thứ i ghi bàn” với i = . i 1,2,3
Ta có các A độc lập với nhau và P( A = x, P A = y, P A = 0,6 1 ) ( 2) ( 3) . i
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 16
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”
B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”
C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”
Ta có: A = A .A .A ⇒ P A = P A .P A .P A = 0,4(1− x)(1− y) 1 2 3 ( ) ( 1) ( 2) ( 3) Nên P( )
A =1− P( A) =1−0,4(1− x)(1− y) = 0,976 Suy ra 3 47
(1− x)(1− y) =
⇔ xy − x − y = − (1). 50 50
Tương tự: B = A .A .A 1 2 3 , suy ra:
P(B) = P( A .P A .P A = 0,6xy = 0,336 xy = 1 ) ( 2) ( 3) hay là 14 (2) 25  14 xy = 
Từ (1) và (2) ta có hệ:  25 
, giải hệ này kết hợp với x > y ta tìm được 3 x + y =  2
x = 0,8 và y = 0,7 .
Ta có: C = A A A + A A A + A A A 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Nên P(C) = (1− x) .0
y ,6 + x(1− y).0,6 + x .0 y ,4 = 0,452 .
Câu 32: Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án
đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học
sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1. Lời giải
Ta có xác suất để học sinh trả lời câu đúng là 1 và xác suất trả lời câu sai là 3 . 4 4
Gọi x là số câu trả lời đúng, khi đó số câu trả lời sai là 10 − x
Số điểm học sinh này đạt được là: 4x − 2(10 − x) = 6x − 20
Nên học sinh này nhận điểm dưới 1 khi 21
6x − 20 <1 ⇔ x < 6
Mà x nguyên nên x nhận các giá trị: 0,1,2,3. Gọi A (i =
) là biến cố: “Học sinh trả lời đúng i câu” i 0,1,2,3
A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1”
Suy ra: A = A ∪ A ∪ A ∪ A P( )
A = P(A ) + P(A ) + P(A ) + P(A ) 0 1 2 3 và 0 1 2 3 i 10−i i 10 3 −i Mà: i  1   3 P(A C nên i  1   3 P( ) A ∑C .  = =     0,7759 . i ) .  = 10  4  4     10 i=0  4   4 
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 17
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU
 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 18
Document Outline

  • Bài 5.1_Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm_Lời giải
    • CHƯƠNG V. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
      • A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
      • B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP
        • Dạng 1: Số trung bình – Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
        • Dạng 2: Xác Định Trung Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
        • Dạng 3: Xác Định Tứ Phân Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
      • C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
      • D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
  • Bài 5.2_Biến cố hợp_Biến cố giao_Biến cố độc lập_Quy tắc tính xác suất_Lời giải
    • BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ BIẾN CỐ GIAO. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT.
      • A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
      • B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
        • Dạng 1: Xác định các biến cố
        • Dạng 3: Quy tắc cộng cho 2 biến cô xung khắc
        • Dạng 4: Quy tắc cộng cho 2 biến cố bất kì
        • Dạng 5: Quy tắc nhân xác suất
      • C. GIẢI BÀl TẬP SÁCH GIÁO KHOA
      • D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
  • Bài 5.3_ÔN TẬP CHƯƠNG 5_LỜI GIẢI
    • BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV
    • BÀI TẬP TỔNG ÔN
      • A. TRẮC NGHIỆM
      • B. BÀI TẬP TỰ LUẬN