Midterm exam - Math for business | Trường Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố HCM

Chap 1: Linear Equation
1.1 Introduction to algebra:
- Chap này đơn giản, giống với kiến thức cấp 2-3, chú ý cách trình bày, coi example trong sách.
- Khi đề kêu multiply out là tách hạng tử, factorise ( or simplyfy ) là phân tích nhân tử
1.2 Further Algebra: 1 Fraction: (Phân số) 2 1: numerator (tử số) 2: denominator (mẫu số)
- Equation: 2x + 1 =3 ( luôn xét tập xác định )
- Inequaion: 3x + 3 > 9 ( như cấp 3: nhân số âm thì đổi dấu, số dương thì không đổi, chia thì phải xét tập xác định )
1.3 Graph of Linear equation:
Horizontal ( X-axis ) : Trục Ox ( Trục hoành )
Vertical ( Y-axis) : Trục Oy ( Trục tung ) Origin: Gốc tọa đọa Coordinate: Điểm EX: A(2;3) Linear Equation: dx + cy = f Coefficient: Hệ số y= ax + b a: slope ; b: intercept
1.4 Algebraic solution of simultaneous linear equation:
Elimination method: Triệt tiêu 1 biến của hệ phương trình ( như cấp 2 )
Lưu ý: Cuối bài giải nhớ làm thêm 1 bước check lại kết quả. ( Nếu trắc nghiệm thì bấm máy tính ra kết quả )
1.5 Supply and demand analysis: P = aQ + b (a,b: parameters)
 Demand function: P = aQ + b ( a<0 ; b>0 )
( Đối với Demand function, đồ thị luôn là 1 đường thẳng đi xuống)
 Supply function: P = cQ + d ( c>0 ; d>0 )
( Đối với Supply function, đồ thị luôn là 1 đường thẳng đi lên)
 Lưu ý: + Nếu đề cho impose tax thì tax được ộ ế ả ủ : P = cQ + d + t ( t: Tax )
+ Nếu đề cho deduct or subsidy tax thì tax được ừ ế ả ủ : P = cQ + d – t ( t: Tax )
 Substitue good: hàng hóa thay thế ( Pepsi&Coca,...) (Pa tăng  Q tăng)
Complementary good: hàng hóa bổ sung ( Laptops&Printers,...) (Pa tăng  Q giảm)
Normal good: A good whose demand increases as income increases ( hàng hóa thông thường :
taxi,...) (Y tăng  Q tăng)
Inferior good: A good whose demand decreases as income increases ( hàng hóa thứ cấp : xe
bus,...) (Y tăng  Q giảm)
EX1: The demand and supply functions of a good are given by P = −5QD + 80 P = 2QS + 10
where P, QD and QS denote price, quantity demanded and quantity supplied respectively.
(1) Find the equilibrium price and quantity (a) graphically
(b) algebraically ( P=10; Q=30)
(2) If the government deducts, as tax, 15% of the market price of each good, determine the new
equilibrium price and quantity.
EX2: The supply and demand functions of a good are given by P = QS + 8 P = −3QD + 80
where P, QS and QD denote price, quantity supplied and quantity demanded respectively.
(a) Find the equilibrium price and quantity if the government imposes a fixed tax of $36 on each good.(P=53, Q=9)
(b) Find the corresponding value of the government’s tax revenue.(324)
Chap 2: Non-Linear Equations
2.1 Quadratic Equation:
−𝑏 ± √𝑏2−4𝑎𝑐
Quadratic equation : y =ax2 + bx + c  ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 và x = 2𝑎 a > 0 : U shaped a < 0 : inverted U shaped
∆ > 0 : equation has 2 solutions ( Khi làm bài Q,P thì chỉ lấy nghiệm dương )
∆ = 0 : equation has 1 solution ∆ < 0 : no solutions
 Lưu ý: + Đối với dạng bài giải phương trình để tìm nghiệm thì trình bày như example, chỉ được
bấm máy ra kết quả khi đang giải toán có lời văn.
+ Đối với dạng bài chỉ yêu cầu vẽ đồ thị thì nhớ trình bày rõ ràng như example, còn đề bài
vừa yêu cầu giải tìm nghiệm và vẽ thì vẽ bình thường như cấp 3 ( chọn thêm vài điểm rồi sketch thôi ).
EX1: A firm’s monthly cost for paying cleaners’ wages is $47 250. Under a new pay deal each
cleaner earns $375 more each month. If the new pay deal goes through, the firm realises
that it will need to reduce the number of cleaners by 3 if it is to cover its costs within
the existing budget. What is the monthly salary of a cleaner before the pay rise?
EX2: Given the supply and demand functions P = Q 2 s + 2Qs + 7 P = −Qd + 25
determine the equilibrium price and quantity. (P=22; Q=3)
2.2 Revenue, Cost and Profit:
𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶 with 𝜋 : profit; break even ( hòa vốn ) : 𝜋 = 0 , make a loss : thua lỗ TR = PQ TVC = (VC)Q TC = FC + (VC)Q 𝐹𝐶 AC = + 𝑉𝐶 𝑄
Lưu ý: Để tìm max của hàm bậc 2 có 2 cách:
C1: Tìm 2 nghiệm để pt bằng 0, sau đó lấy trung bình cộng của 2 nghiệm vừa tìm là ra x của y max
( đối với những phương trình có đồ thị đối xứng )
C2: Tìm đạo hàm của phương trình, cho đạo hàm bằng 0, giải đạo hàm tìm được x của y max.
Recheck lại đáp án bằng cách tìm giá trị đạo hàm bậc 2, xem giá trị đó < 0  correct. ( phương trình
bậc 2 có a < 0 mới có max, a > 0 thì có min )
EX1: (a) If the demand function of a good is given by P = 80 − 3Q
(a) Find the price when Q = 10, and deduce the total revenue.(P=50; TR=500)
(b) If fixed costs are 100 and variable costs are 5 per unit. Find the total cost when Q = 10.(TC=150)
(c) Use your answers to parts (a) and (b) to work out the corresponding profit.(350)
EX2: If fixed costs are 30, variable costs per unit are Q + 3, and the demand function is P + 2Q = 50
show that the associated profit function is π = −3Q2 + 47Q − 30.
Find the break-even values of Q and deduce the maximum profit. (Q1=15 and Q2=2/3; Maximum profit: 1849/12 at Q=47/6)
2.3 Indices and Logarithms: M = bn
bn is the exponential form of M to base b n is index, power or exponent 1 b-n = 𝑏𝑛 b1/n = √ 𝑛 𝑏 n m+n If M = bn then log bm x b = b bM = n n m-n log bm: b = b b( y x ) = logbx + logby log (bm)n = bmn b(x/y) = logbx - logby m m log (ab) = amb bxm = mlogbx
Cobb – Douglas production function: Q = f(K,L) = AKαLβ ( K : capital ; L : labour )
A function Q = f(K,L) is said to be homogenous if:
f(λK,λL) = λnf(K,L) = A(λK)α ( L) λ β = Aλα+β Kα Lβ
The power, n , is called the degree of homogeneity:
+n < 1, the function is said to display decreasing returns to scale
+n = 1, the function is said to display constant returns to scale
+n > 1, the function is said to display increasing returns to scale
EX: Show that each of these functions is homogeneous and state the degree of homogeneity: 𝐾2+𝐿2 F(K,L) = 𝐾+𝐿
2.4 The exponential and natural logarithm functions:
Exponential function : f(x) = ex
Natural logarihm : If M = en then n = lnM ln(xy) = lnx + lny ln(x/y) = lnx – lny lnxm = mlnx
EX1: The value of a second-hand car reduces exponentially with age, so that its value $ y after
t years can be modelled by the formula y = Ae-at
If the car was $50 000 when new and was worth $38 000 after 2 years, find the values
of A and a , correct to 3 decimal places.
Use this model to predict the value of the car
(a) when the car is 5 years old (b) in the long run.
Chap 3: Mathematics for Finance 3.1 Percentage:
𝑁𝑒𝑤 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 Scale factor =
𝑂𝑙𝑑 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒
 Khi đề cho 2 scale khác nhau thì tính mỗi scale rồi nhân lại sẽ ra overall scale.
Nếu đề cho cái gì đó increase r% thì scale factor = 1 + r%
Ngược lại, nếu đề cho decrease r% thì scale factor = 1 – r %
𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑖𝑛 𝑦𝑒𝑎𝑟 𝑡
Index number = Scale factor from base year x 100 = x 100
𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑖𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑦𝑒𝑎𝑟
 Base-weight Index ( or Laspeyrex index ) : xét Q theo base year, P thay đổi theo từng năm.
Current-weight Index ( or Paasche index ) : Q và P cùng thay đổi
𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑐𝑒 Inflation ( lạm phát ) =
𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑐𝑒
 Nhân hay chia đều lấy scale factor, tức là lấy 1 cộng với % đề cho trong bảng để ra scale factor
Năm nào lấy làm base year thì năm đó có real price = nominal price
Nominal price: giá thô chưa qua điều chỉnh, giá này thường đề cho
Real price: giá đã qua điều chỉnh có sự lạm phát
Cách tính real price và nominal price:  Real price:
- Nếu real price của năm cần tính trước base year :
real price = nominal price (của năm cần tính) x overall scale ( tính từ năm cần tính tới base year,
lấy scale factor của base year)
- Nếu real price của năm cần tính sau base year :
real price = nominal price / overall lscale ( tính từ năm cần tính tới trước base year, lưu ý chia
thì k lấy scale factor của base year)
 Nominal price: tính ngược lại với real price
 Lưu ý: Đối với các dạng toán tính real price hay nominal price, cứ viết công thức gốc tính
real price ra trước, sau đó nhìn vào công thức xem mình có được dữ kiện gì rồi, còn thiếu
cái gì thì dựa vào công thức gốc để suy ra. 3.2 Compound interest:
 P: Principal ( tiền vốn ban đầu )
S: Future value ( tiền nhận được sau hạn gửi ngân hàng )
Simple interest ( lãi đơn ): Gửi vào ngân hàng 1 số tiền với thời gian n năm, lãi suất r%, tiền lãi mỗi năm rút ra như nhau. CT: S = P(1 + nr )
Compound interest ( lãi kép ): Gửi vào ngân hàng 1 số tiền với thời gian n năm, lãi suất r%, tiền
lãi mỗi năm được cộng vào tiền vốn ban đầu CT: S = P(1 + r)n
General formula cho compounded: 𝑟 S = P(1 + )kn 𝑘
Trong đó: k = 1 : annually k = 2 : semi annually k = 4 : quarterly
k = 52 : weekly k = 365 : daily k = 12 : monthly
Continous compounding (lãi kép liên tục) : S = Pern n: tính bằng năm
Annual percentage rate (APR): The equivalent annual interest paid for a loan, taking into
account the compounding over a variety of time periods.
APR dùng để so sánh lãi suất khi đi vay mượn (APR càng nhỏ lãi suất càng thấp  nên vay)
Annual equivilent (effective) rate (AER) : dùng để so sánh lãi suất khi gửi tiết kiệm, tính tiền lãi
mỗi năm được bao nhiêu (AER càng lớn lãi suất càng cao  nên saving)
 CT: ( Mặc dù APR và AER khác nhau về mặt ý nghĩa nhưng có công thức tính giống nhau) 𝑟 AER (APR) = ( 1 + )k – 1 𝑘 3.3 Geometric series:
Geometric series: cấp số nhân ( VD: 2,4,8,..... )
 Geometric ratio: hệ số nhân 𝑎(r^n−1)
Tổng n cấp số nhân đầu tiên: S = 𝑟−1
Trong đó: a là cấp số nhân đầu tiên r là hệ số nhân
Arithmetic progression: cấp số cộng ( VD: 2,4,6,8,.... )
 Ở chap 3.3, chúng ta học 2 dạng là gửi tiết kiệm hàng kì và trả nợ hàng kì:
Skining fund: gửi tiền hàng kì ( mỗi kì gửi cùng 1 số tiền bằng nhau với lãi suất như nhau )
Lưu ý: nhớ đọc để xem là đề cho gửi tiền vào đầu kì hay cuối kì, thường là đầu kì
 Nếu gửi tiết kiệm vào đầu mỗi kì : (1+𝑟)𝑛−1
S = A(1+r) + A(1+r)2 + ... + A(1+r)n = A(1+r) 𝑟
 Nếu gửi tiết kiệm vào cuối mối kì : (1+𝑟)𝑛−1
S = A + A(1+r) + A(1+r)2 + ... + A(1+r)n-1 = A 𝑟
Loan (nợ): Vay 1 khoản tiền L và trả 1 khoản A hàng kì (thường là cuối mỗi kì) với lãi suất r% (1+𝑟)𝑛−1 CT: L(1+r)n = A 𝑟
Lưu ý: Đối với dạng toán tính tiền trả nợ mỗi kì, đề cho rate compound theo cái nào thì để
nguyên giải tìm repayment theo cái đó  Sau đò tùy đề hỏi tìm monthly repayment hay quarter
repayment thì làm thêm 1 bước để tìm.
VD: Đề cho interest rate compound annually thì mình sẽ tìm được annual repayment  Sau đó
tìm monthly repayment thì chỉ cần lấy annual repayment chia cho 12 là ra.
Một số lưu ý quan trọng khi giải bài toán loan/saving:
+ Lãi suất (r) bao giờ cũng chia cho k ( chỉ trừ lãi suất compound annually thì r mới không cần chia)
+ n (thời gian đề cho) cùng đơn vị với compound thì n để nguyên, không cần nhân thêm k.
Ngược lại, nếu n khác đơn vị với compound thì n nhân thêm k.
+ Lãi suất compound cái gì thì giữ nguyên tính được repayment cái đó.
VD: Nếu compound monthly thì ra được monthly repayment, không cần chia thêm gì nữa .
compound annually thì ra được annually repayment, sau đó chia 12 để ra được monthy repayment
Tính số tiền còn lại phải trả sau khi đã trả được 1 khoảng thời gian: 𝐴 1 L = (1 - ) 𝑟 (1+𝑟)𝑛−𝑥 Trong đó: x: số repayment đã trả
n: tổng số repayment phải trả
Refinancing: (bài toán thay đổi cách trả nợ)
Step 1: Tính A với interest rate cũ
Step 2: Tính A với interest rate mới
+ Nếu refinance ngay từ đầu thì dùng L gốc để tính A mới
+ Nếu refinance sau khi đã trả được 1 khoảng tiền thì phải tính được L còn lại, sau đó tính A mới
+ LƯU Ý: nếu có transaction cost ( đại khái là sẽ trả thêm 1 phí nào đó khi đổi cách trả) thì nhớ
cộng transaction cost vào L để tính A.
Step 3: So sánh A mới và cũ.
+ A mới < A cũ: refinance
+ A mới > A cũ: no refinance
3.4 Investment appraisal:
Net present value (NPV): Giá trị hiện tại ròng
FV: Future Value; PV: Present Value
NPV được sử dụng khi có P0: FV PV CT: NPV = PV – P0
P0: initial outlay ( khoảng đầu tư ban đầu )
+ NPV > 0 : worth to invest ( PV > P0 ) + NPV = 0 : neutral
+ NPV < 0 : not worth to invest ( PV < P0 )
Lưu ý: Đối với các tài khoản cùng số tiền invest, NPV nào lớn hơn thì chọn cách gửi đó.
Các CT tính P ( tiền gốc ban đầu ): 𝑟
+ P = S(1+ )-kn (đối với các dòng tiền chỉ gửi 1 lần duy nhất) 𝑘
+ P = Se-rn/100 (n:tính bằng năm) (continous compouding)
Annuity : tiền góp, trả hàng năm −𝑛 PV = P(1+r)-1 (1+𝑟) −1 (1+𝑟)−1 −1 P (1+r)−1 Nếu n quá lớn : PV = (annuity in perpeptuity) 1−(1+𝑟)−1
Đối với dòng tiền có các payment không bằng nhau: 𝐶1 𝐶2 𝐶n PV = + + ... + (1+𝑟) (1+𝑟)2 (1+𝑟)𝑛
Internal rate of return ( IRR ): Tỉ suất thu nhập nội bộ  dùng khi NPV=0, tính IRR để so sánh với
market rate và interest rate xem có nên invest hay không
 Công thức tính IRR tương tự như tính các rate khác: S = P(1+r)t  tính r là ra IRR
 + IRR > market rate : worth to invest
+ IRR < market rate : not worth to invest
Lưu ý: + Nếu đề kêu nên chọn cách đầu tư nào mà không nói gì thì tính NPV
+ Luôn mang về PV để so sánh
+ Bond, stock: xem như simple interest, cuối kì trả lại face value ( ít khi gặp ) Exercise:
1. A principal, $7000, is invested at 9% interest for 8 years. Determine its future value if the interest is compounded:
(a) annually (b) semi-annually (c) monthly (d) continuously
(a) $13 947.94 (b) $14 156.59 (c) $14 342.45 ( d) $14 381.03
2. Which of the following savings accounts offers the greater return?
Account A: an annual rate of 8.05% paid semi-annually
Account B: an annual rate of 7.95% paid monthly
3. Determine the APR if the nominal rate is 7% compounded continuously. (7.25%)
4. Find the value, in 2 years time, of $4000 invested at 5% compounded annually. In the following 2
years, the interest rate is expected to rise to 8%. Find the final value of the investment at the end of the
4-year period, and find the overall percentage increase. Give your answers correct to 2 decimal places.( $4410; $5143.82; 28.60%)
5. Midwest Bank ofers a return of 5% compounded annually for each and every year. The rival BFB of ers
a return of 3% for the first year and 7% in the second and subsequent years (both compounded
annually). Which bank would you choose to invest in if you decided to invest a principal for (a) 2 years; (b) 3 years?
6. World oil reserves are currently estimated to be 600 billion units. If this quantity is reduced by 8% a
year, after how many years will oil reserves drop below 100 billion units? (22years)
7. A prize fund is set up with a single investment of $5000 to provide an annual prize of $500. The fund is
invested to earn interest at a rate of 7% compounded annually. If the first prize is awarded 1 year after
the initial investment, find the number of years for which the prize can be awarded before the fund falls below $500. (17years)
8. A person invests $5000 at the beginning of a year in a savings account that ofers a r eturn of 4.5%
compounded annually. At the beginning of each subsequent year an additional $1000 is invested in the
account. How much will there be in the account at the end of ten years? ($19 053.06)
9. A person wishes to save a regular amount at the beginning of each month in order to buy a car in 18
months’ time. An account of ers a return of 4.8% compounded monthly. Work out the monthly savings if
the total amount saved at the end of 18 months is $18 000. ($966.43)
10. A regular saving of $500 is made into a sinking fund at the start of each year for 10 years. Determine
the value of the fund at the end of the tenth year on the assumption that the rate of interest is
(a) 11% compounded annually. (a) $9280.71
(b) 10% compounded continuously. (b) $9028.14
11. Monthly sales figures for January are 5600. This is expected to fall for the following 9 months at a
rate of 2% each month. Thereafter sales are predicted to rise at a constant rate of 4% each month.
Estimate total sales for the next 2 years (including the first January). (140040)
12. Determine the monthly repayments needed to repay a $50 000 loan that is paid back over 25 years
when the interest rate is 9% compounded annually. Calculate the increased monthly repayments
needed in the case when ($424.19 (a) $459.03 (b) $456.44)
(a) the interest rate rises to 10%
(b) the period of repayment is reduced to 20 years.
13. A business takes out a loan of $500 000 from a bank and agrees to repay the loan by paying a fixed
amount of $60 000 at the end of each subsequent year. Once the debt falls below $60 000 the business
pays of the outstanding debt as the final payment. Work out the final payment if the interest rate is
7.5% compounded annually. ($31 876.08)
14. Determine the present value of $7000 in 2 years’ time if the discount rate is 8% compounded (a) quarterly ($5974.43) (b) continuously ($5965.01) 15. A s
mall business promises a profit of $8000 on an initial investment of $20 000 after 5 years.
(a) Calculate the internal rate of return. (7 ) %
(b) Would you advise someone to invest in this business if the market rate is 6% com-pounded annually?
(Yes, provided there are no risks.)
16. You are given the opportunity of investing in one of three projects. Projects A, B and C require initial
outlays of $20 000, $30 000 and $100 000 and are guaranteed to return $25 000, $37 000 and $117 000,
respectively, in 3 years’ time. Which of these projects would you invest in if the market rate is 5%
compounded annually? (Project B is best.)
17. An investor is given the opportunity to invest in one of two projects:
Project A costs $10 000 now and pays back $15 000 at the end of 4 years.
Project B costs $15 000 now and pays back $25 000 at the end of 5 years.
The current interest rate is 9%.
By calculating the net present values, decide which, if either, of these projects is to be recommended.
(Project A PV = 626.38; Project B PV = 1248.28 ;Choose B)
18. A project requires an initial investment of $7000, and is guaranteed to yield a return of $1500 at the
end of the first year, $2500 at the end of the second year and $ x at the end of the third year. Find the
value of x , correct to the nearest $, given that the net present value is $838.18 when the interest rate is
6% compounded annually. ($5000)
19. A proposed investment costs $130 000 today. The expected revenue fl ow is $40 000 at the end of
year 1, and $140 000 at the end of year 2. Find the internal rate of return, correct to 1 decimal place. (20.3%)
20. During the next 3 years a business decides to invest $10 000 at the beginning of each year. The
corresponding revenue that it can expect to receive at the end of each year is given in Table 3.32 .
Calculate the net present value if the discount rate is 4% compounded annually. (38887.69) End of year Revenue 1 5000 2 20000 3 50000 Chap4: Differentiation
4.1 The derivative of a function ∆𝑦 Slope or Gradient = ∆𝑥
 The slope of the graph of a function is called the derivative of the function. y = f(x) = x2 𝑑𝑦
Đạo hàm của f(x) thì có thể ghi là hoặc ghi là f’(x) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 VD: = 2x hoặc là f’(x) = 2x 𝑑𝑥
4.2 Rules of differentiation 4.3 Marginal Function
Marginal revenue (MR) : Q thay đổi 1 lượng thì TR thay đổi thế nào 𝑑(𝑇𝑅) Formula: MR=
(đạo hàm của TR với ẩ n Q) 𝑑𝑄
 ∆(𝑇𝑅) ≅ 𝑀𝑅 𝑥 ∆ 𝑄