Mô tả đạo hàm tích phân - Toán cao cấp c2 | Trường Đại Học Duy Tân

ÔN TẬ P
1. Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản phẩm là p =
120 – x (nghìn đồng). Hàm doanh thu của công ty là: A. 120 x – B. 120 x – x^2 C. B. x^2 120 x – D. C. 120 x^2 – 2.
Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản phẩm là p =
120 - x (nghìn đồng). Biết rằng chi phí sản xuất x sản phẩm là C(x) = x^2 + 5x + 300 (nghìn
đồng). Hàm lợi nhuận của công ty là: A. 2x^2 115x + 300 – B. 2x^2 + 115x - 300 – C. 120 x^2 x^3 – D. x^3 + 5x^2 + 300x 3.
Một chiếc xe ủi đất đã được mua bởi một công ty xây dựng với giá là 224000$ và giá trị của
nó sau 8 năm là 100000$. Biết rằng giá trị của xe ủi là một hàm tuyến tính theo thời gian.
Vậy hàm biểu diễn giá trị V(x) của xe ủi sau x năm là:
A. V(x) = 8000 x + 224.000 B. V(x) = 100.000 x 224.000 – C. V(x) = 15.500 x + 224.000 – D. V(x) = 15.500 x + 224.000 4.
Dân số tại xã A đang tăng với tốc độ không đổi là 250 người/năm tính từ đầu năm 2010.
Biết rằng vào đầu năm 2015, dân số tại xã là 9000 người. Hàm biểu diễn dân số f(x) tại xã A
sau x năm tính từ đầu năm 2010 là: A. f(x) = 250 x + 9000 – B. f(x) = 250 x + 7750 C. f(x) = 250 x + 7750 – D. f(x) = 250 x + 9000 5.
Người ta nhận định rằng, tại giá bán 2,28$ mỗi sản phẩm thì lượng cung trê n thị trường là
7500 sản phẩm và lượng cầu là 7900 sản phẩm. Tại giá bán 2,37$ thì cung là 7900 sản phẩm
và cầu là 7800 sản phẩm. Biết rằng phương trình giá cung và phương trình giá cầu là hàm
tuyến tính. Điểm cân bằng thị trường là: A. (7820; 23,52) B. (23,52; 7820) C. (7820; 2,352) D. (2,352; 7820) 6.
Các nhà kinh tế nhận định rằng, giá của mặt hàng S trên thị trường đang giảm với một tốc
độ không đổi là 5000 đồng/ tháng. Khi đó hệ số góc a của hàm biểu diễn giá mặt hàng S là: A. a = 5000 B. a = 6000 C. a = 6000 – D. a = 5000 – 7.
Các nhà kinh tế nhận định rằng, giá của mặt hàng S trên thị trường đang giảm với một tốc
độ không đổi là 5000 đồng/ tháng. Biết giá mặt hàng S hiện tại là 230 nghìn đồng. Hàm biểu
diễn giá p(x) của mặt hàng S theo thời gian x là:
A. p(x) = 5000 x +230.000 – 1 B. p(x) = 5000 x + 230 – C. p(x) = 5000 x + 230.000 D. p(x) = 5000 x + 230 8.
Tổng chi phí sản xuất x xe đạp được cho bởi hàm chi phí C(x) = – 0,2x^2 + 150x +10000
($)Chi phí chính xác để sản xuất chiếc xe đạp thứ 121 là A. 100,8$ B. 101,8$ C. 102,8$ D. 103,8$ 9.
Tổng chi phí sản xuất x sản phẩm là C(x) = x^2 + 5x (nghìn đồng)Hàm chi phí trung bình là A. x^2 + 5 B. x^2 + 5 C. x + 5 D. 5x +1 10.
Doanh thu (bằng đô la) từ việc bán x ghế ngồi trên xe ô tô cho trẻ sơ sinh được cho bởi R(x)
= 60x -0,025x^2. Doanh thu thu được khi 1000 ghế được bán ra là: A. 35000$ B. 53000$ C. 30500$ D. 50300$ 11.
Lợi nhuận (tính bằng đô la) từ việc bán x ghế ngồi dành cho trẻ sơ sinh được cho bởi P(x) =
- 0,025x^2 + 45x - 5000. Tìm lợi nhuận khi 800 ghế được bán ra. A. 15000$ B. 16000$ C. 17000$ D. 18000$ 12.
Giá bán p (USD) và nhu cầu x cho một loại giày thể thao liên hệ với nhau bởi x = 4000 -
40p. Biểu diễn giá p bằng một hàm theo nhu cầu x là A. p = 100 - (x/40) B. p = 100 + (x/40) C. p = 400 - (x/40) D. p = 400 + (x/40) 13.
Giá bán p (USD) và nhu cầu x cho một loại giày thể thao liên hệ với nhau bởi x = 1000 -
20p. Biểu diễn giá p bằng một hàm theo nhu cầu x là A. p =50 -(x/20) B. p =20 -(x/50) C. p =50 +(x/20) D. p =20 +(x/50) 14.
Phòng tài chính ước tính rằng chi phí cố định hàng tuần sẽ là $1400 và chi phí biến đổi (chi
phí cho mỗi đơn vị) sẽ là $4.Hàm chi phí sản xuất cho x đơn vị trong tuần đó là A. C(x) = 4x+1400 ($) B. C(x) = 4x -1400 ($) C. C(x) = 1400x +4 ($) D. C(x) = 1400x - 4 ($) 15. 2
Hàm chi phí sản xuất cho x đơn vị được sản xuất ra trong tuần, biết chi phí cố định hàng
tuần sẽ là $400 và chi phí biến đổi (chi phí cho mỗi đơn vị) sẽ là $5 là A. C(x) = 5x +400 ($) B. C(x) = 5x - 400 ($) C. C(x) = 400x +5 ($) D. C(x) = 400x - 5 ($) 16.
Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản phẩm là p =
200 - (x/30) (nghìn đồng). Biết rằng chi phí sản xuất x sản phẩm là C(x) = 60x + 72000
(nghìn đồng). Hàm lợi nhuận theo x của công ty là:
A. P(x) = - [(x^2)/30]+140x - 72000 (nghìn đồng)
B. P(x) = - [(x^2)/30]+140x + 72000 (nghìn đồng)
C. P(x) = - [(x^2)/30] - 140x - 72000 (nghìn đồng)
D. P(x) = - [(x^2)/30] -140x + 72000 (nghìn đồng) 17.
Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản phẩm là p =
200 - (x/30) (nghìn đồng). Hàm doanh thu theo x của công ty là
A. R(x) = 200x - [(x^2)/30] (nghìn đồng)
B. R(x) = 200x + [(x^2)/30] (nghìn đồng)
C. R(x) = - 200x - [(x^2)/30] (nghìn đồng) D. R(x) = -
200x + [(x^2)/30] (nghìn đồng) 18.
Bạn A gửi 300 triệu đồng vào Ngân hàng Vietcombank với lãi suất 6%/năm. Bạn A chọn
phương thức tính lãi theo tháng. Hãy tính thời gian tối thiểu để bạn A nhận được số dư là
350 triệu đồng khi đáo hạn. A. 3,123 năm B. 2,412năm C. 2,575 năm D. 2,812 năm 19.
Nếu 1000$ được đầu tư trong tài khoản với lãi suất 10% mỗi năm và lãi được tính theo
tháng. Thì số tiền có trong tài khoản sau 10 năm là: A. 2707,04$ B. 2717,5$ C. 2603,9$ D. 2809,2$ 20.
Nếu 1000$ được đầu tư trong tài khoản với lãi suất 10% mỗi năm và lãi được tính liên tục.
Thì số tiền có trong tài khoản sau 10 năm là: A. 2719,04$ B. 2817,05$ C. 2813,91$ D. 2718,28$ 21.
Một người muốn mua một lô đất trị giá 3 tỷ trong 2 năm tới. Vậy người đó phải đầu tư
ngây từ bây giờ là bao nhiêu để thực hiện điều đó ? Biết rằng lãi suất hằng năm không đổi
là 7.5% và tiền lãi được tính 2 tháng một lần. A. 2,589 tỷ đồng B. 2,584 tỷ đồng C. .2,583tỷ đồng D. 2,582 tỷ đồng 22. 3
Trong thời gian bao lâu thì số tiền trong tài khoản sẽ tăng gấp đôi, biết rằng lãi suất hằng
năm là 10% và tiền lãi được tính theo năm ? A. 7,05 năm B. 6,93 năm C. 6,95 năm D. 7,27 năm 23.
Ban quản lý ngân hàng Sacombank đưa ra chiến lượt kinh doanh nhằm thu hút khách
hàng như sau: Tiền trong tài khoản sẽ tăng 30% sau 2 năm. Vậy lãi suất hằng năm là bao
nhiêu ? Biết rằng kỳ hạn tính lãi theo tuần ? A. 13,9% B. 13.134% C. 13,5 % D. 13,7% 24.
Nếu chi phí cận biên của việc sản xuất x đơn vị sản phầmđược cho bởi C′(x) = 3x^2 + 2x và
chi phí cố định là $2,000, tìm hàm chi phí C(x)
A. C(x) = 0.1x^3 + x^2 + 2,000
B. C(x) = 0.1x^3 + x^2 + 2,000 C. C(x) = x^3 + x^2 D. C(x) = x^3 + x^2 + 2,000 25.
Tìm hàm doanh thu R(x) khi hàm doanh thu cận biên là R′(x) = 400 - 4x và doanh thu bằng
0 tại mức không sản phẩm. A. R(x) = 400x -2x^2 B. R(x) = 400 -2x^2 C. R(x) = 400x + 2x^2 D. R(x) = 400x^2 -2x 26.
Tìm hàm lợi nhuận P(x) khi hàm lợi nhuận cận biên là P′(x) = 500 - 6x và lợi nhuận bằng 0
tại mức không sản phẩm. A. P(x) = 500x +3x^2 B. P(x) = 500x^2-3x C. P(x) = 500x -3x^2 D. P(x) = 50x - 3x^2 27.
Hàm số F là một nguyên hàm của hàm f nếu A. F(x) = f (x)
B. f’(x) = F (x) C. F’(x) = f (x) C. F’(x) = f (x) D. F(x) = 0 28.
Nguyên hàm của e^( x) 2 là A. 1/2e^( x) 2 +C B. 2x^e+C C. xe^(2x-1)+C D. 2xe^(x-1) 29.
Một tạp chí thời trang trực tuyến có 64,000 thuê bao. Do sự cạnh tranh của một tạp chí
mới, số thuê bao C(t) dự kiến sẽ giảm với tốc độ C’(t) = –600 t^(1/3) thuê bao mỗi tháng,
với t là thời gian tính bằng tháng kể từ khi tạp chí mới bắt đầu xuất bản. Sau bao lâu thì số
lượng thuê bao của tạp chí thời trang trực tuyến này giảm xuống còn 46,000? A. ~ 17 tháng 4 B. ~ 16 tháng C. ~ 15 tháng D. ~ 18 tháng 30.
Tốc độ biến thiên của doanh số hàng tháng của một game bóng đá mới phát hành được cho
bởi S’(t) = 500 t^(1/4), S(0) = 0với t là số tháng kể từ khi trò chơi được phát hành và S(t) là
số lượng bản game bán được từng tháng. Tìm S(t). A. 500 t^(1/4) B. 400 t^(5/4) C. 500 t^(5/4) D. 400 t^(4/5) 31.
Tìm hàm doanh thu R(x) khi hàm doanh thu cận biên là R’(x) = 400 – 0.4x và doanh thu
bằng 0 tại mức không sản phẩm. Doanh thu tại mức 1,000 sản phẩm là bao nhiêu?
A. R(x) = 400x 0.2x^2; R(1000) = $2000 –
B. R(x) = 400x + 0.2x^2; R(1000) = $200000
C. R(x) = 400x 0.2x^2; R(1000) = $200000 –
D. R(x) = 400x + 0.2x^2; R(1000) = $20000 32.
Giả sử một công ty sản xuất đĩa flash phương trình chi phí được cho bởi C = 10000 + 2x
trong đó sản lượng sản xuất trong 1 tuần là x đĩa. Nếu lượng sản xuất tăng với tốc độ 400 đĩa
flash trên tuần khi sản xuất 2000 đĩa, tìm tốc độ tăng của chi phí? A. 900 B. 100 C. 700 D. 800 33.
Sau x tuần tính từ bây giờ, số người dùng hệ thống chuyên chở cộng đồng cho bởi
N(x) = 6x3 + 500x +8.000 (ngơời).
Tính tốc độ thay đổi số người sử dụng hệ thống theo thời gian sau 8 tuần. A. 1652 người /tuần B. 1625 người/tuần C. 1752 người/tuần D. 1852 người/tuần 34.
Tổng sản phẩm nội địa GDP của một quốc gia nào đó là N(t) = t2 + 6t + 300 tỉ đôla sau
t năm tính từ năm 2000. Dùng các phép tính để dự đoán sự tăng trưởng phần trăm trong GDP trong năm 2020. A. 5,65% B. 6,55% C. 7,65% D. 6,76% . 35.
Tổng sản lượng nội địa (GDP) của một thành phố nào đó là N(t) = t^2+5t +106 tỷ đô
la tại thời điểm sau t năm kể từ 2020. Tốc độ GDP thay đổi vào năm 2028 là bao nhiêu ? A. 19 tỷ đô la/năm B. 20 tỷ đô la/năm C. 21 tỷ đô la/năm 5
D. 22 tỷ đô la/năm 36.
Tổng sản lượng nội địa (GDP) của một thành phố nào đó là N(t) = t^2+5t +106 tỷ đô
la tại thời điểm sau t năm kể từ 2020. Tốc độ GDP thay đổi theo phần trăm vào năm 2028 là bao nhiêu ? A. 9% B. 10% C. 11% D. 12 % 37.
Một đại lý bán sản phẩm A (đơn vị: chiếc) với giá 100 nghìn đồng/chiếc; với giá bán
này hàng ngày đại lý bán được 60 chiếc. Đại lý muốn giám giá bán, ước tính rằng cứ
giảm đi 4 nghìn đồng/chiếc trong giá bán thì số sản phẩm A được bán hàng ngày tăng
lên 5 chiếc. Xác định giá bán cho mỗi chiếc để doanh thu hàng ngày đạt lớn nhất. A. 65 nghìn đồng/chiếc B. 75 nghìn đồng/chiếc C. 74 nghìn đồng/chiếc D. 90 nghìn đồng/chiếc 38.
Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân dy = 1/(4y+1) dx , biết y(2021) = 0 . A.y^2 +y =x – 2021
B. 2y^2 +y = x - 2021 C. y^2 +2y =x + 2021
D. 2y^2 - y = x^2 – 2021 39.
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình vi phân? A. sin x =0 B. x+2y-1=0 C. 3x+y +y^2 =0
D. y’’ +2y = 1+x 40.
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là phương trình vi
phân tách biến độc lập?
A. 5y’’+2y +1+x=0 B. 2xdx = y^2dy C. dx/dy =2y D. y’=(x+1)(x-2) 41.
Khi một liều thuốc được tiêm cho một bệnh nhân, lượng thuốc Q trong cơ thể sau đó
giảm dần với tốc độ tỉ lệ thuận với lượng thuốc hiện còn được cho bởi: dQ/dt = -0,3Q,
với t là thời gian tính bằng giờ tính từ bắt đầu tiêm thuốc cho bệnh nhân. Biết lượng
thuộc tiêm ban đầu là 4mt. Hỏi sau 5 giờ sau khi tiêm, lượng thuộc còn lại trong cơ
thể là bao nhiêu? (chọn kết quả gần đúng nhất). A. 1.2456 (ml) 6 B. 1.2345 (ml) C. 2.9612 (ml) D. 0.8925 (ml) 42.
Giá bán p (đơn vị tính nghìn đồng/đvsp) và nhu cầu x của một loại sản phẩm ( đon vị tính:
đvsp) nào đó liên hệ với nhau bởi phương trình 2x^2+50p^2 =250. Nếu nhu cầu hiện tại
là 5 đvsp và đang tăng với tốc độ 0.2 (đvsp/ngày). Xác định tốc độ thay đổi của giá bán.
A. giá bán đang giảm với tốc độ 0.02 (nghìn đồng/ngày)
B. giá bán đang giảm với tốc độ 0.01 (nghìn đồng/ngày)
C. giá bán đang tăng với tốc độ 0.02 (nghìn đồng/ngày)
D. giá bán đang tăng với tốc độ 0.01 (nghìn đồng/ngày) 43.
Chi phí cận biên của một công ty khi sản xuất x đơn vị sản phẩm được xác định bởi: C’(x)
= 1000- 2x (triệu đồng/sản phẩm). Khi mức bán tăng từ 200 đến 300 đơn vị sản phẩm thì
doanh thu tăng với số tiền là . A.200000 triệu đồng B. 300000triệu đồng C. 30000triệu đồng D. 50000 triệu đồng 44.
Doanh thu cận biên của một công ty khi sản xuất x đơn vị sản phẩm được xác định bởi:
R’(x) = 3x^2+4x+1 (triệu đồng/sản phẩm). Khi đó thay đổi trong chi phí khi lượng sản
xuất thay đổi từ 1 đến 5 đơn vị sản phẩm là:
A. Chi phí sẽ tăng 175 triệu đồng
B. Chi phí sẽ giảm 175 triệu đồng
C. Chi phí sẽ tăng 176 triệu đồng
D. Chi phí sẽ giảm 176 triệu đồng 45.
Cho hàm hai biến f(x,y) = x^2+y^2+3xy +2021. Đạo hàm riêng theo biến x là A. x^2 +2y +3 B. 2x +3y C. 2x +3 D. 2y +3x 46.
Cho hàm hai biến f(x,y) = x^2+y^2+3xy +2021. Đạo hàm riêng theo biến y là A. x^2 +2y +3 B. 2x +3y C. 2x +3 D. 2y +3x 47.
Cho hàm hai biến P(x,y) = x^2+y^2+3xy +4x + 5y + 2021. Đạo hàm riêng cấp hai theo biến xx (P_xx ) là A. x^2 +2y +3 7 B. 2 C. 3 D. 2y +3x 48.
Cho hàm hai biến P(x,y) = x^2+y^2+3xy +4x + 5y + 2021. Đạo hàm riêng cấp hai theo biến yy (P_yy ) là A. x^2 +2y +3 B. 2 C. 3 D. 2y +3x 49.
Công ty ABC chuyên sản xuất hai mặt hàng. Giả sử khi sản xuất x đơn vị mặt hàng
I và y đơn vị mặt hàng II, thì giá bán lần lượt là p = 40 -x triệu đồng/đơn vị và q =
35- y triệu đồng/đơn vị. Biết rằng tổng chi phí để sản xuất hai mặt hàng trên là C(x,y)
= x^2+xy+y^2 +10 (triệu đồng). Hãy lập hàm lợi nhuận của công ty theo x và y ?
A. P = -2x^2 +35y -2y^2 -10
B. P = 40x -2x^2 -2y^2 -10
C. P = 40x -2x^2 +35y -2y^2 -10
D. P = 30x -2x^2 +35y -2y^2 -10 50.
Cho hàm số P(x,y) = 5x^2y-5y^2 +6x -3xy . Tìm f_y (1;1). A. 8 B. -8 C.9 D.-9
1. Những cải tiến trong công nghệ đã làm cho việc sản xuất máy tín h trở nên nhanh
và gọn, hiện tại giá bán máy tính trên thị trường giảm. Giả sử sau x tháng, giá bán
của một máy tính sẽ là P(x) 40 30 USD. x 1 (a) Sau 5 tháng gi á l à bao nhiêu ?
(b) Trong tháng thứ 5 giá sẽ giảm bao nhiêu ?
2. Một nghiên cứu về môi trường ở một huyện nào đó nhận định rằng, hằng ngày
lượng sương khói trung bình trong không khí sẽ là Q( p) 0.5 p 19.4 đơn vị 8 khi dân số l
à p nghìn. Họ dự đoán rằng sau t năm, dân số sẽ l à p(t) = 8 + 0.2 t2 nghìn.
(a) Hãy biểu diễn lượng sương khói trong không khí bằng một hàm theo thời gian.
(b) Lượng sương khói vào thời điểm 3 năm l à bao nhiêu ?
(c) Khi nào lượng sương khói đạt 5 đơn vị ? (d) 1. Từ lúc đầu năm
, giá của sản phẩm A đang tăng với tốc độ không đổi. Vào
đầu tháng sáu, giá sản phẩm A là 80đvtt/ đvsp và đầu tháng 11, giá của nó l à 95 đvtt/đvsp.
(e) Hãy biểu diễn giá của sản phẩm A bằng một hàm theo thời gian và vẽ đồ thị.
(f) Giá của sản phẩm A lúc đầu năm là bao nhiêu ?
2. Từ lúc đầu năm, giá của sả n p hẩ m B đ n a g tăng với tốc độ l à 2 cent/đvsp /
tháng. Vào đầu tháng sáu, giá đạt 1,2 USD/ đvsp.
(g) Biểu diễn giá của B bằng một hàm theo thời gian và vẽ đồ thị.
(h) Giá của B tại lúc đầu năm l à bao nhiêu
(i) Giá của B vào đầu tháng 10 là bao nhiêu ?
3. Một cửa hàng bán các đĩa game với giá 40$ mỗi đĩa, và tại giá bán này, những
người chơi mua 50 đĩa trên tháng. Người chủ cửa hàng dự định tăng giá và ước tính
rằng cứ giá tăng lên 1$, thì sẽ bán ít hơn 2 đĩa mỗi tháng. Nếu mỗi đĩa chi phí 25$
thì cửa hàng nên bán với giá nào để lợi nhuận lớn nhất ?
4. Một người bán lẻ mua Camera từ nhà sản xuất với giá 50 USD mỗi cái. Người đó bán lại Camer
a với giá 80 USD một cái, tại giá bán này khách hàng sẽ mua 40
Camera trong một tháng. Người đó dự định giảm giá để kích thích sức mua và họ
ước tính rằng cứ giá giảm 5 USD thì mỗi tháng sẽ bán nhiều hơn 10 Camera. Biểu
diễn lợi nhuận hằng tháng của người đó từ việc bán Camer a bằng một hàm theo giá
bán. Vẽ đồ thị và ước tính giá bán tối ưu nhất.
5. Một viện bảo tàng quy định cách tín
h lệ phí cho từng nhóm vào viện như sau:
Nhóm không quá 5 người thì tính với lệ phí cố định là 100 nghìn đồng. Nhóm giữa
5 và 20 người thì lệ phí l
à 15 nghìn đồng/người và nhóm từ 20 trở lên thì lệ phí được tính giảm hơn l
à 12 nghìn đồng/ người . (a) Hãy lập hàm doanh th
u cho viện bảo tàng theo số người trong nhóm.
(b) Giả sử nhóm có 19 người thì họ sẽ tiết kiệm được bao nhiêu tiền nếu nhóm đó
có thêm một thành viên nữa.
6. Một hãng nhận sản xuất 400 000 huy chương bạc nhân ngày kỷ niệm lần thứ 30
Apollo 11 đổ bộ lên mặt trăng
. Hãng sở hữu một số máy, mỗi máy có thể sản xuất
200 huy chương/giờ. Chi phí lắp đặt máy để sản xuất huy chương l à 80 đôla/máy
và tổng chi phí vận hành l
à 5.76 đô la/ giờ. Biểu diễn chi phí sản xuất 400 000 huy
chương bằng một hàm theo số máy đã dùng. Hãy ước tính số máy m à hãng nên
dùng để chi phí nhỏ nhất .
7. Nhà máy A nhận đơn đặt hàng từ công ty B để sản xuất 8000 đơn vị mặt hàng nào
đó. Nhà máy sở hữu 20 máy, mỗi máy có thể sản xuất 50 đơn vị/ giờ. Chi phí lắp đặt l
à 80$/ máy và chi phí vận hành l
à 5$/ giờ. Nhà máy nên sử dụng bao nhiêu
máy để chi phí sản xuất l à nhỏ nhất ?
8. Tổng chi phí của một nhà sản xuất là C(q) = 0.1q3 – 0.5q2 + 500q + 200 đô la,
trong đó q là số đơn vị sản phẩm được sản suất .
(a) Dùng phân tích cận biên hãy ước tính chi phí sản xuất của đơn vị sản phẩm thứ mười. 9
(b) Hãy tính chi phí sản xuất thực tế của đơn vị sản phẩm thứ mười .
9. Một nghiên cứu về môi trường tại một thành phố nào đó cho thấy rằng mức khí thải C
O trong không khí sẽ là c( p) 0.8 p2 p 139 ppm khi dân số l à p nghìn người . Người t
a cũng ước tính rằng dân số của thành phố sau t năm tính từ 20 bây giờ l à p(t) 10 nghìn người
. Hãy tính tốc độ thay đổi phần trăm (t 1)2
của mức khí CO sau 1 năm? 10. Sau x tuần tín
h từ bây giờ, số người dùng hệ thống chuyên chở cộng đồng mới tăng
nhanh được xấp xĩ bằng N(x) = 6x3 + 500x +8.000.
(a) Tính tốc độ thay đổi số người sử dụng hệ thống theo thời gian sau 8 tuần.
(b) Số người sử dụng hệ thống sẽ thay đổi bao nhiêu trong tuần thứ 8 ?
11. Một dự án nhận định rằng sau t năm tính từ bây giờ, dân số của một thành phố nào
đó sẽ là P(t) = 3t + 6t3/2 + 6000 người. Tính sự thay đổi phần trăm dân số trong tháng 1 năm thứ 5?
12. Tại một nhà máy nào đó, đầu ra hằng ngày là Q(L) = 6000L1/2 đơn vị, trong đó L là lượng lao động tín
h bằng số giờ làm việc. Hiện tại nhà máy có 900 giờ làm việc
của lao động được sử dụng mỗi ngày. Dùng các phép tính để ước tính sự thay đổi
trong đầu ra nếu lao động buộc phải cắt giảm chỉ còn 880 giờ làm việc.
13. Tổng sản phẩm nội địa GDP của một quốc gia nào đó là N(t) = t2 + 6t + 300 tỉ đôla sau t năm tín
h từ năm 2008. Dùng các phép tính để dự đoán sự tăng trưởng phần
trăm trong GDP trong quý ba của năm 2014.
14. Đầu ra tại một nhà máy nào đó l
à Q(L) = 600L2/3 đơn vị, trong đó L l à lượng lao
động. Nhà sản xuất muốn tăng đầu ra thêm 1.2%. Dùng các phép tính để ước tín h
phần trăm tăng lên của lao động.
15. Một công ty bất động sản đầu t
ư xây 80 căn hộ cao cấp trên cùng một diện tích đất và họ ước tín
h rằng lợi nhuận trung bình trên một căn hộ l
à 55 nghìn đôla. Họ dự
định xây thêm căn hộ trên cùng diện tích đất đó và ước tín h rằng nếu xây thêm
một căn hộ thì lợi nhuận trun
g bình sẽ giảm 500 đôla/căn hộ. Hỏi công ty nên xây
bao nhiêu căn hộ trên cùng diện tích đất đó để tổng lợi nhuận lớn nhất?
16. Công ty G bán bóng đèn với giá 6$/ bóng và tại gi
á bán này, khách hàng sẽ mua
3000 bóng mỗi tháng. Nhân dịp tết công ty quyết định tăng giá bán và họ ước tính
rằng cứ mỗi 1 $ tăng lên trong giá thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 50 bóng. Biết rằng
công ty có thể sản xuất bóng đèn với chi phí là 4$/cái. Côn g ty nên bóng đèn với
giá nào để lợi nhuận thu được là lớn nhất ?
17. Dân số của một thành phố nào đó sau t năm tính từ năm 2005 là p(t) t2 2t 50 (trăm người). 10
a) Hãy ước tính dân số của quốc gia đó sẽ tăng lên bao nhiêu trong quý 3 của năm 2015 ? b) Hãy ước tín
h thay đổi phần trăm dân số của quốc gia đó tron g quý 3 của năm 2015 ?
18. Giả sử 1000$ được đầu tư hằng năm với lãi suất 7%. Tính số dư sau 10 năm nếu
tiền lãi được thanh toán : (a) Hàng năm (c) Hàng thán g (b) Hàng quý (d) Liên tục.
19. Bạn nên đầu tư ngay tư bây giờ là bao nhiêu để sau 10 năm bạn nhận được 20 triệu
USD để thành lập công ty, nếu lãi suất hằng năm l
à 8% và tiền lãi được tín h hàng tháng ?
20. Tổng số tiền được đầu tư với lãi suất không đổi và tiền lãi được tính hàng quý. Sau
6 năm số dư gấp đôi số tiền ban đầu. Hỏi lãi suất hàng năm mà ngân hàng phải trả là bao nhiêu?
21. Giả sử bạn co 40 triệu đồng gởi tiết kiệm va sau 3 năm sô dư tăng 60% so vơ i sô
tiên ban đâu. Hỏi lãi suất hàng năm mà ngân hàng phải trả l
à bao nhiêu nếu tiền lãi được tính: (a) Hàng tháng (b) Liên tục
22. Giả sử ông A dự định mua một căn nhà với giá 500 triêu đô ng s u a 3 năm nưa. Vây ông A nên đầu t
ư bao nhiêu tiền ngay tư bây giờ với lãi suất
9%/năm đê đu tiên
mua nha nếu tiền lãi được thanh toán: (a) Hàng quý (b) Liên tục
23. Một nhà sản xuất độc quyền ước tín
h rằng nếu x đơn vị sản phẩm được sản xuất 1
thì tổng chi phí sẽ là C(x) x2 6x 40 đôla và giá một đơn vị sản phẩm trên 4
thị trường là p(x) 48 1 x đôla. Giả sử nhà nước đưa ra mức thuế là t đôla/đơn 4 vị .
a) Hãy xác định mức thuế t định trên một đơn vị sản phẩm để thu được của nhà
sản xuất nhiều thuế nhất nhưng vẫn đảm bảo lợi nhuận của nhà sản xuất lớn nhất.
b) Nếu muốn công ty sản xuất ít nhất 42 đơn vị thì mức thuế tối đa là bao nhiêu?
24. Môt công ty đôc quyên nhâp khâu môt loai san phâm . Biêt ham cung va ham câu
vê loại sản phẩm này ở thị trường nội địa là S( p) 1200 3p ; D( p) 8000 p
(vơ i p la gia ban /đơn vi ơ thi trươ ng nôi đia ) và giá bán sản phẩm này trên thị
trươ ng quô c tê la 1400 (đvtt).
a) Xác định mức thuế t định trên mỗi đ ơn vi san phâm nhâp khâu đê thu đươc cu a
công ty nhiêu thuê nhât sao cho vân
đam bao lơi nhuân cu a công ty lơ n nhât .
b) Nêu muô n gia ban san phâm ơ thi trươ ng nôi đia không thâp hơn 2000 (đvtt) thì 11
mư c thuê t ít nhât cân đin h trên môi đơn vi san phâm la bao nhiêu ?
25. Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm chi phí sản xuất (chưa tín
h thuế) của q đơn vị sản phẩm là C(q) q2 1000q 100 và giá bán
một đơn vị sản phẩm là p 2(4100 q) . 12
a) Xác định mức thuế t định trên một sản phẩm của công ty để thu được của công ty nhiều thuế nhất .
b) Nếu muốn công ty sản xuất ít nhất 1200 đơn vị sản phẩm trong một đơ n vị thời
gian thì mức thuế tối đa định trên một sản phẩm là bao nhiêu?
26. Khi giá của một mặt hàng nào đó l
à p đôla /đơn vị thì nha san xuât se cung câp x
trăm đơn vị , trong đó x2 2xp p2 32 . Hỏi lươn g cung sẽ thay đổi với tốc độ
như thê nao theo thời gian khi giá l à
4 đôla/đơn vị và đang giảm với tốc độ 40 cent/tháng?
27. Đầu ra Q tại một nhà máy nào đó liên hệ với các đầu vào x và y bởi phương trình
Q = x3 + 2xy3 + 2y3. Nếu hiện tại đầu vào của nhà máy l à x = 10 và y = 20, dùng
các phép tính hãy ước tính thay đổi trong đầu vào y để bù lại đầu vào x giảm 0.5
sao cho đầu ra của nhà máy vẫn giữ ở mức hiện tại . 1 2
28. Tại một nhà máy nào đó, đầu ra đựơc cho bởi Q 60K 3 L3 đơn vị, trong đó K l à
vốn đầu từ (nghìn đôla) và L là lượng lao động, tính bằng giờ lao động. Nếu đầu ra
vẫn giữ không đổi, vốn đầu từ sẽ thay đổi với tốc độ bao nhiêu tương ứng với thời gian khi vốn đầu tư l
à 8000 đôla và lượng lao động l
à 1000 giờ và đang tăng với
tốc độ 25 giờ lao động trên tuần?
29. Người ta ước tính rằng sau x năm tín
h từ bây giờ dân số tại một tỉnh nào đó tăng
với tốc độ 200ln 2x 1 người/năm. Hiện tại dân số của tỉnh là 2000 người. Hỏi dân số của tỉnh đó l à bao nhiêu sau 5 năm? 1
30. Một cây được trồng và sau x năm nó tăng trưởng với tốc độ h' (x) 0.5 (2x 1)2
mét trên năm. Cây sẽ tăng trưởng bao nhiêu trong năm thứ hai ?
31. Người ta dự đoán rằng sau t ngày tín
h từ bây giờ vụ thu hoạch của người nông dân
sẽ tăng với tốc độ 0.3t2 0.6 2t 1 1 giạ trên ngày. Giá trị của vụ th u hoạch sẽ tăng bao nhi u
ê trong 4 ngày tới nếu giá trên thị vẫn không đổi là 3$ trên giạ ?
32. Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x thán
g tính từ bây giờ, dân số của một thàn h phố
nào đó sẽ tăng với tốc độ 10 2 2x 1 người trên tháng. Dân số của thành phố sẽ tăng bao nhi u ê trong 4 tháng tới ?
33. Người ta dự đoán rằng sau t ngày tín
h từ bây giờ vụ thu hoạch của người nông dân
sẽ tăng với tốc độ 0.5t2 4(t 1) 1 giạ trên ngày. Giá trị của vụ thu hoạch sẽ tăng
bao nhiêu trong 6 ngày tới nếu giá trên thị trường vẫn không đổi là 2$ trên giạ ?
34. Sau t giờ làm việc, một người công nhân có thể sản xuất được 100t e 0,5t đơn vị/
giờ. Giả sử người đó đến là
m việc từ lúc 8 giờ sáng, thì người đó sẽ sản xuất được
bao nhiêu đơn vị sản phẩm giữa 10 giờ sáng và trưa ?
35. Người ta ước tính rằng sau t tuần tính từ bây giờ, giá của sản phẩm A sẽ tăng với
tốc độ 0.2t2 0.6 2t 1 1 nghìn đồng/tuần. Hiện tại giá của sản phẩm A l à 13
80,000 đồng/đơn vị sản phẩm. Hỏi giá của sản phẩm A sẽ là bao nhiêu sau 4 tuần? 36. Qua điều tr
a các nhà phân tích kinh tế đã nhận định rằng tốc độ tăng trưởng kinh tế (GDP) của một quốc gi
a nào đó sau t năm tính từ năm 2007 sẽ là: 30 1 5 t tỷ 2
USD/năm. Hãy dự đoán GDP của quốc gia đó tăng bao nhiêu trong suốt năm 2017? 14
37. Qua khảo sát các nhà kinh tế đã nhận định rằng sau t tháng tín
h từ bây giờ, tốc độ tăng 1
giá dầu trên thế giới là: (t 1) t 2 USD/ thù g
n . Hỏi giá dầu trên thế giới sẽ 2 tăng bao nhi u ê trong 7 tháng đầu?
38. Tìm nghiệm tổng q á
u t của phương trình vi phâ n sau. dy dy a) x 3 1 e x 2 y x 1.(2 y 1) b) (x 1) dx dx
39. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện đã cho. dy x2 1 x3 3x 1.
thỏa điều kiện y = 2 khi x = 0. dx y2 1 dy ln x 2. ; y = 100 khi x = 1. dx y dy xy ; y = 2 khi x = 0. 3. dx 1 x2 dx 4.
e 4 x (t 2) t 4 thỏa điều kiện x = 0 khi t = 0. dt dx 5.
(2x 1)ln(t 1) thỏa điều kiện x = 1 khi t = 0. dt dy y x2 6. xe ; y = 0 kh i x = 1. dx dx 7.
te 2 x ln t thỏa điều kiện x = 1 khi t = 1. dt
1. Cửa hàng DTU kinh doanh hai loại mặt hàng ký hiệu I và II (đơn vị: chiếc). Chủ của hàng DTU
ước tính rằng khi mặt àng h
I bán với giá x triệu đồng/chiếc và mặt hàng II bán với giá y triệu
đồng/chiếc, thì hàng tháng của hàng bán được lần lượt là 37 – 6x + 5y chiếc loại I và 201 + 6x –
9y chiếc mặt hàng II. Biết rằng: giá mua ào cho mỗi chiếc loại v
I là 22 triệu đồng và giá mua vào
cho mỗi chiếc loại II là 22 triệu đồng. a)Lập hàm lợi nhuận hàng tháng tại của hàng DTU theo x
và y.b)Hãy cho biết của hàng DTU nên đưa ra giá bán cho mỗi loại bao nhiêu để hàng tháng lợi nhuận đạt lớn nhất
2. Một công ty hàng tháng sản xuất x đơn vị sản phẩm A và y đơn vị sản phẩm B (đơn vị nghìn
chiếc). Hàm lợi nhuận hàng tháng (nghìn USD) được cho bằng P(x,y) = – 22 x^2 + 22xy – 11y^2 + 110x – 44y
– 23.Hỏi mỗi tháng công ty nên sản xuất bao nhiêu đơn vị mỗi loại để lợi nhuận lớn
nhất? Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu? 15
3. Giả sử công ty ABC hàng tháng chuyên cung cấp hai loại khẩu trang loại A và B ( đơn tính
nghìn chiếc). Khi x nghìn chiếc chiếc khẩu trang loại A và y nghìn chiếc khẩu trang loại B cung
cấp cho thị trường thì lợi nhuận hàng tháng (nghìn USD) được cho bởi P(x,y) = – 66 x^2 + 132xy
– 99y^2 + 132x – 66y – 19.a) Hàng tháng công ty nên cung cấp cho thị trường bao nhiêu đơn vị
mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất? b) Tính lợi nhuận lớn nhất thu được?
4. Một công ty sản xuất hai loại tai nghe mỗi năm: x nghìn cái cho loại A và y nghìn cái cho loại
B. Nếu phương trình doanh thu và chi phí hàng năm là (nghìn USD)R(x,y) = 2x+3yvà C(x,y) = x^2
– 2xy + 2y^2 + 6x – 9y +5.Hãy xác định bao nhiêu tai nghe mỗi loại nên được sản xuất mỗi
năm để lợi nhuận đạt mức tối đa. Lợi nhuận tối đa là bao nhiêu?
5. Một công ty sản xuất hai loại ghế mỗi năm: x nghìn cái cho loại A và y nghìn cái cho loại B.
Hàm lợi nhuận hàng năm cho bởi P(x,y) = –4x^2 + 4xy – 3y^2 + 4x + 10y +81 (nghìn $)Mỗi năm
công ty nên sản xuất bao nhiêu ghế mỗi loại để lợi nhuận đạt mức tối đa. Lợi nhuận tối đa là bao nhiêu? 6. M t
ộ công ty sản xuất 2 loại bánh A và B. Hàm cầu và chi phí được cho như sau: p = 260 – 8x
+2y; q =140 +2x –2y C(x,y) = 200+120x +40y trong đó $p là giá của một hộp bánh A và $q là giá
của một hộp bánh B, x là nhu cầu m i ng ỗ ày c a
ủ bánh A, y là nhu cầu m i ỗ ngày c a ủ bánh B và C(x, y) là hàm t ng ổ chi phí. H i
ỏ công ty nên sản xuất bao nhiêu hộp mỗi loại bánh để t ng ổ lợi nhuận hàng ngày lớn nhất?
7. Giả sử bạn An có 100$ được đầu tư tại mức lãi kép liên tục là 6%. Tính
a) Số tiền trong tài khoản sau 2 năm?
b) Tiền lãi kiếm được sẽ là bao nhiêu? ĐS. a) 112,75$ b) 12,7 $
8. Hỏi sau thời gian bao lâu để một khoản đầu tư trị giá $5,000 sẽ tăng lên $8,000 nếu nó được đầu
tư với mức lãi suất kép liên tục là 5% (chọn giá trị gần đúng nhất) ĐS. 9 năm 5 tháng
9. Hỏi sau thời gian bao lâu để số tiền tăng lên gấp đôi nếu nó được đầu tư với mức lãi suất kép
liên tục là 6.5 % (chọn giá trị gần đúng nhất) ĐS. 10 năm 8 tháng
10. Một tạp chí thời trang trực tuyến có 64,000 thuê bao. Do sự cạnh tranh của một tạp chí mới, số
thuê bao C(t) dự kiến sẽ giảm với tốc độ C’(t) = –600 t^(1/3) thuê bao mỗi tháng, với t là thời gian
tính bằng tháng kể từ khi tạp chí mới bắt đầu xuất bản. Sau bao lâu thì số lượng thuê bao của tạp
chí thời trang trực tuyến này giảm xuống còn 46,000? ĐS. ~ 16 tháng
11. Tốc độ biến thiên của doanh số hàng tháng của một game bóng đá mới phát hành được cho bởi
S’(t) = 500 t^(1/4), S(0) = 0với t là số tháng kể từ khi trò chơi được phát hành và S(t) là số lượng
bản game bán được từng tháng. Tìm S(t). ĐS. 400 t^(5/4)
12. Ban điều hành khách sạn Hương Giang nhận định rằng, khi cho thuê mỗi phòng với giá 6 triệu
đồng thì mỗi ngày khách sạn sẽ có 80 phòng được thuê. Khách sạn tiến hành giảm giá và ước tính
rằng cứ giảm đi 0.2 triệu đồng trong giá thuê thì mỗi ngày sẽ có thêm 4 phòng được thuê. Hãy xác
giá cho thuê của mỗi phòng để doanh thu mỗi ngày của khách sạn lớn nhất ? ĐS. 5 triệu đồng 16