Một số bài tập kèm gợi ý giải về giá trị riêng, vec-tơ riêng của ma-trận .... Ngày 22 tháng 3 năm 2020 2
Bài 1. Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng (ứng với giá trị riêng) của mỗi ma-trận sau:      5 6 −3 0 2 1 3 4 A = B = C = . 5 2  −1 0 1  −2 0 3 1 2 −1 −1 −3 0
Hỏi ma-trận nào trong chúng chéo hóa được? Gợi ý.
Ma-trận A có đa thức đặc trưng là 3  − λ 4 P (λ) :=     = λ2 − 5λ − 14.  5 2 − λ
Giá trị riêng của A là nghiệm của phương trình λ2 − 5λ − 14 = 0 ↔ λ1 = 7, λ2 = −2.
Với giá trị riêng λ , vec-tơ riêng tương ứng là nghiệm i x  1 x2 của hệ phương trình 3      − λi 4 x1 0 = . 5 2 × − λi x2 0
Với λ1 = 7, hệ trên trở thành −4x1 + 5x2 = 0 4x1 − 5x2 = 0
Hệ này tương đương với x2 = 4 x Do đó, các véc-tơ riêng của A ứng với giá 5 1
trị riêng λ1 = 7 có dạng  x  1 4 x 5 1
(với x tùy ý). Hệ trên cũng tương đương với 1
x1 = 5t, x2 = 4t với t tùy ý,
nên các véc-tơ ứng với giá trị riêng cũng có thể viết dưới dạng 5t   hay 5 t 4t 4 3
(với t tùy ý) hay viết dưới dạng vec-tơ dòng là t(5, 4).
Làm tương tự, véc-tơ riêng của A ứng với giá trị riêng −2 là u(1, −1) (với u tùy ý).
Vậy, A có hai họ véc-tơ riêng là t(5, 4) và u(1, −1) tương ứng với hai giá
trị riêng 7, −2. Ma-trận A là ma-trận vuông cấp 2, có đủ 2 nghiệm nên chéo
hóa được, dạng chéo là 7 0  . 0 −2
Giá trị riêng của B là nghiệm của phương trình 5   − λ 6 −3     −1 0 − λ 1  = 0.    1 2 −1 − λ
Phương trình này tương đương với λ3 − 4λ+2λ + 4 = 0, có ba nghiệm = √ √ 2, 1 +
3, 1 − 3. Do số nghiệm phân biệt của đa thức đặc trưng bằng cấp
của ma-trận, ta có thể kết luận ngay là B chéo hóa được và dạng chéo của
nó gồm các giá trị riêng trên đường chéo (các phần tử khác bằng 0).
Vec-tơ riêng ứng với giá trị riêng 2 là nghiệm của  3 6      −3 x1 0 1 2 1 0  − −  × x2 =  .  1 2 −3 x3 0 Hay là 3x1 + 6x2 − 3x3 = 0  −x1 − 2x2 + x3 = 0  x1 + 2x2 x − 3 3 = 0
Hệ này có phương trình thứ nhất và thứ hai tương đương, nên hệ tương đương với −x1 x x − 2 2 + 3 = 0 x1 + 2x2 x − 3 3 = 0 ↔ −x1 x − 2x2 + 3 = 0 −2x3 = 0
(thay phương trình thứ hai bởi tổng 2 phương trình). Hệ có nghiệm (x1, x2, x3) = (−2x
tùy ý). Vậy, vec-tơ riêng ứng với giá trị
2, x2, 0) = x2(−2, 1, 0) (với x2 riêng 2 là x2(−2, 1, 0). 4
Vec-tơ riêng ứng với giá trị riêng √ 1 + 3 là nghiệm của hệ √
(4 − 3)x1 + 6x2 − 3x3 = 0  √ −x1 − (1 + 3)x2 + x3 = 0 √  x1 + 2x2 − (2 − 3x3 = 0
Đưa phương trình thứ 3 lên đầu rồi biến đổi ma-trận của hệ tuyến tính thuần nhất, ta có √ √  1 2    −2 − 3 1 2 3 √ −2 − √ √  4 − 3 6 −3 0 3 2 + 2 3 √  →  −2 +√ √  −1 −1 − 3 1 0 1 − 3 −1 − 3
Hai dòng cuối tỷ lệ, nên ta có thể bỏ đi một. Ta còn hệ √  x1 + 2x2 − (2 + 3)x3 = 0 √ √ (1 − 3x2 − (1 + 3)x3 = 0 Hệ này có nghiệm √ √ √ (x trước, sau 1, x2, x3) = t(−3−3 3, 1+ 3, 1− 3) (lấy x3
đó từ phương trình 2 tính được x theo
, thay lên phương trình đầu tính 2 x3 x1.
Bài 2. Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng (ứng với giá trị riêng) của  2 5  −1 .  −1 −3 0  2 3 −2
Hỏi ma-trận có chéo hóa được không?
Gợi ý. Đa thức đặc trưng chỉ có 1 nghiệm (bội 3) là λ = −1. Ứng với giá trị
riêng đó, vec-tơ riêng là t(1, 1, −1) (t tùy ý). Như vậy, đa thức đặc trưng đủ
nghiệm (1 nghiệm nhưng có bội 3) nhưng chỉ có 1 tham số (t) trong vec-tơ
riêng ứng với giá trị riêng, nên ma-trận không chéo hóa được.
Bài 3. Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng (ứng với giá trị riêng) của  1 1 0  −1  1 1 −1 0   . 0   −1 1 1  −1 0 1 1 5
Hỏi ma-trận có chéo hóa được không?
Gợi ý. Để tính đa thức đặc trưng ta phải tính định thức 1   − λ 1 0 −1     1 1 − λ −1 0   . 0   −1 1 − λ 1     −1 0 1 1 − λ
Cộng tất cả các cột khác vào cột đầu tiên ta sẽ được ma-trân có cột đầu
tiên là 4 số 1 − λ. Rút 1 − λ ra ngoài, rồi lấy cột thứ 2 trừ cột đầu tiên (toàn
số 1), lấy cột cuối cộng cột đầu tiên ta được dòng đầu là 1 0 0 0, ta chuyển về ma-trận cấp 3.
Đa thức đặc trưng có 3 nghiệm λ = 1 (nghiệm kép), −1, 3.
- Với giá trị riêng 1 vec-tơ riêng có dạng (t, t′, t, t′) (với 2 tham số) [Số
tham số bằng số bội]. Để giải hệ, ta có thể biến đổi ma-trận của hệ.
- Với giá trị riêng 3, vec-tơ riêng có dạng u(−1, , −1, 1 1).
- Với giá trị riêng -1, vec-tơ riêng có dạng s(1, −1, −1, 1). Vậy đa thức đặc
trưng đủ nghiệm (4 nghiệm, trong đó có 1 nghiệm bội), vec-tơ riêng ứng với
mỗi giá trị riêng có số biến bằng số bội của giá trị riêng nên ma-trận chéo hóa được.