Một số bài tập + giải về giá trị riêng vecto riêng cảu ma trận | Đại học Sư phạm Hà Nội
Một số bài tập + giải về giá trị riêng vecto riêng cảu ma trận | Đại học Sư phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống.
Môn: Nhập môn lý thuyết ma trận
Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Một số bài tập kèm gợi ý giải về giá trị riêng, vec-tơ riêng của ma-trận .... Ngày 22 tháng 3 năm 2020 2
Bài 1. Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng (ứng với giá trị riêng) của mỗi ma-trận sau: 5 6 −3 0 2 1 3 4 A = B = C = . 5 2 −1 0 1 −2 0 3 1 2 −1 −1 −3 0
Hỏi ma-trận nào trong chúng chéo hóa được? Gợi ý.
Ma-trận A có đa thức đặc trưng là 3 − λ 4 P (λ) := = λ2 − 5λ − 14. 5 2 − λ
Giá trị riêng của A là nghiệm của phương trình λ2 − 5λ − 14 = 0 ↔ λ1 = 7, λ2 = −2.
Với giá trị riêng λ , vec-tơ riêng tương ứng là nghiệm i x 1 x2 của hệ phương trình 3 − λi 4 x1 0 = . 5 2 × − λi x2 0
Với λ1 = 7, hệ trên trở thành −4x1 + 5x2 = 0 4x1 − 5x2 = 0
Hệ này tương đương với x2 = 4 x Do đó, các véc-tơ riêng của A ứng với giá 5 1
trị riêng λ1 = 7 có dạng x 1 4 x 5 1
(với x tùy ý). Hệ trên cũng tương đương với 1
x1 = 5t, x2 = 4t với t tùy ý,
nên các véc-tơ ứng với giá trị riêng cũng có thể viết dưới dạng 5t hay 5 t 4t 4 3
(với t tùy ý) hay viết dưới dạng vec-tơ dòng là t(5, 4).
Làm tương tự, véc-tơ riêng của A ứng với giá trị riêng −2 là u(1, −1) (với u tùy ý).
Vậy, A có hai họ véc-tơ riêng là t(5, 4) và u(1, −1) tương ứng với hai giá
trị riêng 7, −2. Ma-trận A là ma-trận vuông cấp 2, có đủ 2 nghiệm nên chéo
hóa được, dạng chéo là 7 0 . 0 −2
Giá trị riêng của B là nghiệm của phương trình 5 − λ 6 −3 −1 0 − λ 1 = 0. 1 2 −1 − λ
Phương trình này tương đương với λ3 − 4λ+2λ + 4 = 0, có ba nghiệm = √ √ 2, 1 +
3, 1 − 3. Do số nghiệm phân biệt của đa thức đặc trưng bằng cấp
của ma-trận, ta có thể kết luận ngay là B chéo hóa được và dạng chéo của
nó gồm các giá trị riêng trên đường chéo (các phần tử khác bằng 0).
Vec-tơ riêng ứng với giá trị riêng 2 là nghiệm của 3 6 −3 x1 0 1 2 1 0 − − × x2 = . 1 2 −3 x3 0 Hay là 3x1 + 6x2 − 3x3 = 0 −x1 − 2x2 + x3 = 0 x1 + 2x2 x − 3 3 = 0
Hệ này có phương trình thứ nhất và thứ hai tương đương, nên hệ tương đương với −x1 x x − 2 2 + 3 = 0 x1 + 2x2 x − 3 3 = 0 ↔ −x1 x − 2x2 + 3 = 0 −2x3 = 0
(thay phương trình thứ hai bởi tổng 2 phương trình). Hệ có nghiệm (x1, x2, x3) = (−2x
tùy ý). Vậy, vec-tơ riêng ứng với giá trị
2, x2, 0) = x2(−2, 1, 0) (với x2 riêng 2 là x2(−2, 1, 0). 4
Vec-tơ riêng ứng với giá trị riêng √ 1 + 3 là nghiệm của hệ √
(4 − 3)x1 + 6x2 − 3x3 = 0 √ −x1 − (1 + 3)x2 + x3 = 0 √ x1 + 2x2 − (2 − 3x3 = 0
Đưa phương trình thứ 3 lên đầu rồi biến đổi ma-trận của hệ tuyến tính thuần nhất, ta có √ √ 1 2 −2 − 3 1 2 3 √ −2 − √ √ 4 − 3 6 −3 0 3 2 + 2 3 √ → −2 +√ √ −1 −1 − 3 1 0 1 − 3 −1 − 3
Hai dòng cuối tỷ lệ, nên ta có thể bỏ đi một. Ta còn hệ √ x1 + 2x2 − (2 + 3)x3 = 0 √ √ (1 − 3x2 − (1 + 3)x3 = 0 Hệ này có nghiệm √ √ √ (x trước, sau 1, x2, x3) = t(−3−3 3, 1+ 3, 1− 3) (lấy x3
đó từ phương trình 2 tính được x theo
, thay lên phương trình đầu tính 2 x3 x1.
Bài 2. Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng (ứng với giá trị riêng) của 2 5 −1 . −1 −3 0 2 3 −2
Hỏi ma-trận có chéo hóa được không?
Gợi ý. Đa thức đặc trưng chỉ có 1 nghiệm (bội 3) là λ = −1. Ứng với giá trị
riêng đó, vec-tơ riêng là t(1, 1, −1) (t tùy ý). Như vậy, đa thức đặc trưng đủ
nghiệm (1 nghiệm nhưng có bội 3) nhưng chỉ có 1 tham số (t) trong vec-tơ
riêng ứng với giá trị riêng, nên ma-trận không chéo hóa được.
Bài 3. Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng (ứng với giá trị riêng) của 1 1 0 −1 1 1 −1 0 . 0 −1 1 1 −1 0 1 1 5
Hỏi ma-trận có chéo hóa được không?
Gợi ý. Để tính đa thức đặc trưng ta phải tính định thức 1 − λ 1 0 −1 1 1 − λ −1 0 . 0 −1 1 − λ 1 −1 0 1 1 − λ
Cộng tất cả các cột khác vào cột đầu tiên ta sẽ được ma-trân có cột đầu
tiên là 4 số 1 − λ. Rút 1 − λ ra ngoài, rồi lấy cột thứ 2 trừ cột đầu tiên (toàn
số 1), lấy cột cuối cộng cột đầu tiên ta được dòng đầu là 1 0 0 0, ta chuyển về ma-trận cấp 3.
Đa thức đặc trưng có 3 nghiệm λ = 1 (nghiệm kép), −1, 3.
- Với giá trị riêng 1 vec-tơ riêng có dạng (t, t′, t, t′) (với 2 tham số) [Số
tham số bằng số bội]. Để giải hệ, ta có thể biến đổi ma-trận của hệ.
- Với giá trị riêng 3, vec-tơ riêng có dạng u(−1, , −1, 1 1).
- Với giá trị riêng -1, vec-tơ riêng có dạng s(1, −1, −1, 1). Vậy đa thức đặc
trưng đủ nghiệm (4 nghiệm, trong đó có 1 nghiệm bội), vec-tơ riêng ứng với
mỗi giá trị riêng có số biến bằng số bội của giá trị riêng nên ma-trận chéo hóa được.