Một số phương pháp giải phương trình mũ và logarit – THPT chuyên Quảng Bình

Các bài toán phương trình mũ và phương trình logarit trong đề thi Đại học. Các bài toán phương trình mũ và phương trình logarit trong đề thi Đại học

77 39 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

15 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
1
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
M
Ũ VÀ LÔGARIT
I. PH
ƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản.
D
ạng 1.
( ) ( )
1
0, 1
( ) ( )
f g
f x g x
a
x D D
a a
a a
f x g x
=
∈ ∩
= ⇔
> ≠
=
D
ạng 2.
( )
1
( )
0, 1, 0
( ) log
f x
a
a
f x b
a b
a a b
f x b
=
=
= ⇔
> ≠ >
=
D
ạng 3.
( ) ( )
0, 1, 0, 1
f x g x
a
a b
f x g x b
a a b b
=
⇔ =
> ≠ > ≠
2. Ph
ương trình mũ biến ñổi về dạng tích.
VD1. Ph
ương trình:
1 1
12.3 3.15 5 20 (4 5 )(3 5) 0
x x x x x+ +
+ − = ⇔ + − =
(
ðHuế - D2001)
VD2. Ph
ương trình:
3 2 3 2 3 2
2 .3 2.2 3.3 6 0 (2 3)(3 2) 0
x x x x x x− − − − − −
− − + = ⇔ − − =
3. Biến ñổi tương ñương.
VD. Gi
ải phương trình
2
lg10 lg lg100
4 6 2.3
x x x
− =
(1)
(1)
⇔
2lg lg
1 lg lg 2 2lg 2lg lg 2lg
2 2
4 6 2.3 4.2 6 18.3 4 18 0
3 3
x x
x x x x x x+ +
− = ⇔ − = ⇔ − − =
lg
lg
2 9
3 4
1
lg 2
100
2
2
3
x
x
x x
=
⇔ ⇔ = − ⇔ =
= −
4. Các phương trình mũ không mẫu mực.
VD1. Gi
ải phương trình
1 4 2
4 2 2 16
x x x+ + +
+ = +
HD.
1 4 2 2
4 2 2 16 4.4 16.2 4.2 16 4.2 12.2 16 0
x x x x x x x x+ + +
+ = + ⇔ + = + ⇔ + − =
ðặt
2 0
x
t
= >
VD2. Giải phương trình
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
HD.
ðặt
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 , 4 4
x x x x x x
u v uv
− + + + + +
= = ⇒ =
Pt
ñã cho tương ñương u + v = uv + 1
⇔
(u - 1)(1 - v) =0
VD3. Gi
ải phương trình
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
− =
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
2
HD.
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
− =
⇔
3 2
4.3 9.2 5.( 6) 4. 9 5 0
2 3
x x
x x x
− = ⇔ − − =
ðặt
3 2 1
0
2 3
x x
t
t
= > ⇒ =
VD4. Gi
ải phương trình
4 5 9
x x x
+ =
HD. i) x = 1 là nghi
ệm
ii)
4 5
4 5 9 1
9 9
x x
x x x
+ = ⇔ + =
x < 1:
4 4 5 5 4 5
, + 1
9 9 9 9 9 9
x x x x
> > ⇒ >
x > 1:
4 4 5 5 4 5
, + 1
9 9 9 9 9 9
x x x x
< < ⇒ <
VD5. V
ới giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm, có nghiệm duy
nh
ất:
1
1
3 2
3
x
m
−
= −
HD. Ta có
1
1
1
1
, x 1
1
3
1
3
, x 1
3
x
x
x
y
−
−
−
≥
= =
≤
=
1
3 , x 1
3
1
.3 , x 1
3
x
x
≥
≤
V
ẽ ñồ thị và dựavào ñồ thị, ta có kết quả:
i) Ph
ương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 < 3m - 2
≤
1
⇔
2
1
3
m
< ≤
.
ii) Ph
ương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 3m - 2 = 1
⇔
m = 1.
* Bài tập luyện tập:
1. Gi
ải phương trình:
2 2 2 2 4 4 6 6
4 5
2 2 1956 1958 1979 1981 1976 1982 54
x x x x x x x x+ +
+ + + + + + + =
2. Gi
ải phương trình:
2 2
1 1
2 2 5
x x− +
+ =
3. Gi
ải phương trình:
4 3 4 3 4 3
4.( 5 1) 3( 5 1) 2
x x x
− − −
− − + =
4. Gi
ải phương trình:
2 2
log log
2
(2 2) (2 2) 1
x x
x x
+ + − = +
5. Gi
ải phương trình:
3 2
(2 3) 2(2 3) 2(2 3) 1
x x x
+ + + − − =
6. Gi
ải phương trình:
nếu
n
ếu
nếu
n
ếu
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
3
(26 15 3) 2(7 4 3) 2(2 3) 1
x x x
+ + + − − =
7. Gi
ải phương trình:
64.9 84.12 27.16 0
x x x
− + =
8. Gi
ải phương trình:
0 0
( os72 ) ( os36 ) 3.2
x x x
c c
−
+ =
9. Gi
ải phương trình:
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x− − − − −
− + =
10. Gi
ải phương trình:
2 2 2
1 ( 1)
4 2 2 1
x x x x+ − +
+ = +
11. Gi
ải phương trình:
2 2
3.25 (3 10)5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
12.
Cho ph−¬ng tr×nh:
x x
7 3 5 7 3 5
a 8
2 2
+ −
+ =
1.
Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi a = 7.
2.
BiÖn luËn theo a sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.
13. Giải phương trình:
1956 1958 1979 1981 2001 5
x x x x x
+ + + + =
.
14. Gi
ải phương trình:
2 2
4 2. 2 2
sin x cos x
+ = +
15. Giải phương trình:
2
x
x x
=
II. PH
ƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Các bi
ến ñổi logarit (trong
R
).
•
ðịnh nghĩa:
y
a
log x y x = a
= ⇔
;
0,( 0, 1)
x a a
∀ > > ≠
•
Số 0 và số âm không có logarit.
•
a
log 1 0
=
,( 0, 1)
a a
> ≠
•
ðịnh nghĩa:
a
log 1
a
=
,( 0, 1)
a a
> ≠
•
Lôgarit hoá:
log ,
x
a
x a
=
, ( 0, 1)
x a a
•
Mũ hoá:
log
; 0,( 0, 1)
a
x
x a x a a
= ∀ > > ≠
•
a
log xy log x +log y , 0
a a
xy
= ≠
,
( 0, 1)
a a
> ≠
•
a
x
log log x log y , 0
y
a a
xy
= − ≠
,
( 0, 1)
a a
> ≠
•
log log , 0,( 0, 1)
a a
x x x a a
α
α
= ∀ ≠ > ≠
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
4
1
log log , 0, ( 0, 1)
a a
x x a a
x
= − ∀ ≠ > ≠
1
log log , 0,( 0, 1)
n
a a
x x x a a
n
= ∀ ≠ > ≠
•
1
log log , 0, 0,( 0, 1)
a
a
x x x a a
α
α
α
= ∀ ≠ ≠ > ≠
1
log log , 0,( 0, 1)
a
a
x x x a a
= − ∀ ≠ > ≠
1
log log , 0,( 0, 1)
a
a
x x x a a
= − ∀ ≠ > ≠
1
log log , 0,( 0, 1)
a a
x x a a
x
= − ∀ ≠ > ≠
log log , 0,( 0, 1)
n
a
a
x n x x a a
= ∀ ≠ > ≠
•
β
α
a
α
log x log , 0,
β 0,( 0, 1)
β
a
x x a a
= ∀ ≠ ≠ > ≠
•
a
log log
x = y , 0, 0, 1, 1,( 0, 1)
a
y x
x y x y a a
∀ > > ≠ ≠ > ≠
•
ðổi cơ số:
a a b
log = log b.log , 0,( 0, 1, 0, 1)
x x x a a b b
∀ ≠ > ≠ > ≠
a b
log b.log 1,( 0, 1, 0, 1)
a a a b b
= > ≠ > ≠
1 2 n - 1 n
a 2 a 3 a a 1
log a .log ...log .log . 1,( 0, 1, 1, )
n i i
a a a a a i n
= > ≠ =
•
Xuân Bang:
a b b a
log x log y log x log y , 0,( 0, 1, 0, 1)
xy a a b b
= ∀ ≠ > ≠ > ≠
•
Chú ý các biến hoá mũ và logarit:
VD:
( )
log
log
log
, 0,( 0, 1; , \{1})
n
n
m
m
a
a
a
m
x
x
m
x
n
n
a a a x x a a m n
∗
= = = ≠ > ≠ ∈ N
2. Phương trình logarit (trong
R
).
2.1. D
ạng cơ bản.
Dạng 1.
0, 1
log ( ) log ( ) ( ) ( )
( ) 0 ( ( ) 0)
a a
a a
f x g x f x g x
f x hay g x
> ≠
= ⇔ =
> >
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
5
VD. Giải phương trình
4 1
2
log log ( 2) 0
x x
+ − =
HD.
4 1
2
log log ( 2) 0
x x
+ − =
⇔
2 2 2 2
1
log log ( 2) 0 log log ( 2)
2
x x x x
− − = ⇔ = −
2 2 0 1 2
4
2 0 2 2 0
x x x x x x
x
x x x
= − − + = = − ∨ =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
− > > − >
D
ạng 2.
0, 1
log ( )
( )
a
b
a a
f x b
f x a
> ≠
= ⇔
=
VD. Gi
ải phương trình
3
3
log log ( 2) 2
x x
+ + =
HD.
3
3
log log ( 2) 2
x x
+ + =
2 2
3 3 3 3 3
log 2 log ( 2) 2 log log ( 2) 2 log ( 2) 2
x x x x x x
⇔ + + = ⇔ + + = ⇔ + =
⇔
x(x + 2)
2
=
9
D
ạng 3.
, 0; , 1;
log ( ) log ( ) ( ) 1
log ( ) log log ( )
a b
a b a
a b a b a b
f x f x f x
f x a f x
> ≠ ≠
= ⇔ ⇔ =
=
VD. Gi
ải phương trình
2 3
log (sin ) log ( )
x sinx
=
HD.
2 3
log (sin ) log ( )
x sinx
=
2 3 2 2 3 2
log (sin ) log 2 log ( ) log ( ).(log 2 1) 0 log ( ) 0 sin
1
x sinx sinx sinx x
⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
Dạng 4.
log ( ) log ( )
a b
f x g x
=
ðặt
log ( ) log ( )
a b
f x g x
=
= t
( )
( )
, 0; , 1;
f x
g x
a b a b a b
a t
a t
> ≠ ≠
⇔ =
=
: Khử x trong hệ, giải
ph
ương trình ẩn t.
VD1. Gi
ải phương trình
2 3
log (sin ) log (cos )
x x
=
HD.
2 3
log (sin ) log (cos )
x x
=
= t . Ta có hệ:
sin 2
cos 3
t
t
x
x
=
=
2
2
sin 4
cos 9
t
t
x
x
=
⇔
=
4 9 1
t t
⇔ + =
: Vô nghiệm
VD2. Giải phương trình
3 2
2log (cot ) log (cos )
x x
=
HD.
§Æt
3 2
2log cotx log cosx
=
= t ta cã:
2 2 2
2
2 2
2
cos 4 cos 4 cos 4
cos 2
cos 4 4
cot 3 3 sin 4 1
sin 3 3
cos 0,cot 0
cos 0,sin 0 cos 0,sin 0 cos 0,sin 0
t t t
t
t t
t t t
t t
x x x
x
x
x x
x
x x
x x x x x x
= = =
=
= ⇔ = ⇔ = ⇔ + =
> >
> > > > > >
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
6
2
cos 4
1
cos
1 2
2
3
sin 0
cos 0,sin 0
t
x
x
t x k
x
x x
π
π
=
=
⇔ = − ⇔ ⇔ = +
>
> >
2.2. Biến ñổi tương ñương.
VD1. Gi
ải phương trình
5 3 5 9
log x + log x = log 3log 225
HD.
5 3 5 9
log x + log x = log 3log 225
5 3 5 5 3 3 5 5 3 5
l g l g l g 15 l g 3.l g l g 1 l g 3 (1 l g 3)l g 1 l g 3
o x o x o o o x o x o o o x o⇔ + = ⇔ + = + ⇔ + = +
3
log 1 3
x x
⇔ = ⇔ =
VD2. Gi
ải phương trình
2 2
l g 2 l g 4 3
x
o o x
+ =
HD.
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
0, x 2 0, x 2
l g 2 l g 4 3
1 1
2 l g 3 l g 1
1 l g 1 l g
0, x 2
0, x 2
1, 4
l g 0 l g 2
l g 2l g 0
x
x x
o o x
o x o x
o x o x
x
x
x x
o x o x
o x o x
> ≠ > ≠
+ = ⇔ ⇔
+ + = + =
− −
> ≠
> ≠
⇔ ⇔ ⇔ = =
= ∨ =
− =
2.3. Biến ñổi về tích.
VD1. Gi
ải phương trình
2 2
(lg( 1) lg lg 2 0
x x x x x x
− − − + + =
HD.
ðK x > 0
Ptrình
⇔
2 2
(lgx 1) lg 2 lg 2 0 (lgx 1) (lg 1) 2(lg 1) 0
x x x x x x x x x
− − − + + = ⇔ − − − − − =
2
( - x - 2)(lgx 1) 0
x
⇔ − =
VD2. Giải phương trình
2 2
3 7 2 3
log (9 12 4 ) log (21 23 6 ) 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =
HD.
Ptrình
⇔
2
3 7 2 3
log (2 3) log (2 3)(3 7) 4
x x
x x x
+ +
+ + + + =
ðK:
2 3 0,2 3 1
3 7 0,3 7 1
x x
x x
+ > + ≠
+ > + ≠
Ph
ương trình ñã cho tương ñương với:
3 7 2 3 3 7 2 3
2
3 7
3 73 7
2log (2 3) 1 log (3 7) 4 2 log (2 3) log (3 7) 3
1
1
2 3
1,
2 3 1 0
2
log (2 3)
log (2 3)
log (2 3)
x x x x
x
xx
x x x x
t
t t
t t
t
t x
t x
t x
+ + + +
+
++
+ + + + = ⇔ + + + =
+ =
= =
− + =
⇔ ⇔ ⇔
= +
= +
= +
3 7
2 2
3 7
log (2 3) 1
2 3 3 7
4 4
1
log (2 3)
4 12 9 3 7 4 9 2 0
2 3 3 7
2
x
x
x
x x
x x
x x x x x x
x x
+
+
+ =
+ = +
= − = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ =
+ + = + + + =
+ = +
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
7
4
1
1
4
2,
4
x
x
x x
= −
⇔ ⇒ = −
= − = −
2.4. Gi
ải phương trình trên từng tập con của tập xác ñịnh.
VD. Gi
ải phương trình
(
)
2
3
1
log 3 1 2
2
x
x x
+
− − + =
HD.
(
)
2
3
1
log 3 1 2
2
x
x x
+
− − + =
( )
3
3 1 3
1
log 3 1
2
3 0, 3 1
x
x x
x
x x
+
− − = +
⇔ − − = ⇔
+ > + ≠
i) - 3 < x
≤
1, x
≠
- 2:
Pt t
ương ñương:
⇔
2 2
2 0 1
3 (1 ) 3 3 2
3 4 4 3 1 0
x x
x x x x
x x x x x
+ ≥ ≥ −
− − = + ⇔ + = + ⇔ ⇔
+ = + + + + =
3 5
1 1
2
x x
− +
− ≤ ≤ ⇒ =
ii) x
≥
1:
Pt tương ñương:
2 2
4 0 4
3 (1 ) 3 3 4
3 16 8 9 13 0
1 4
9 29
9 29
2
2
x x
x x x x
x x x x x
x
x
x
− ≥ ≤
− − = + ⇔ + = − ⇔ ⇔
+ = − + − + =
≤ ≤
−
⇔ ⇔ =
±
=
2.5. Các ph
ương trình logarit không mẫu mực.
VD1. Giải phương trình
2 2
3 3
log ( 1) log 2
x x x x x
+ + − = −
HD. x > 0.
2 2
3 3
log ( 1) log 2
x x x x x
+ + − = −
⇔
2
3
1
log 1 (1 ) 1
x x
x
+ + = − − +
3
1 1 1
2 1 3 log 1 1
x x x
x x x
+ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥
Mặt khác
2
(1 ) 1 1
x
− − + ≤
Ph
ương trình tương ñương
3
2
1
log 1 1
1
(1 ) 1 1
x
x
x
x
+ + =
⇔ =
− − + =
VD2. Gi
ải phương trình
2
lg( 6) lg( 2) 4
x x x x
− − + = + +
.
HD.
ðK
2
( 2)( 3) 0
6 0
3 0 3
2 0
2 0
x x
x x
x x
x
x
+ − >
− − >
⇔ ⇔ − > ⇔ >
+ >
+ >
Ph
ương trình tương ñương với:
lg( 3) 4
x x
− = −
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
8
* x = 4 là nghiệm
* x > 4:
lg( 3) 0,4 0
x x
− > − <
* 3 < x < 4:
lg( 3) 0, 4 0
x x
− < − >
**) Có thể nói, trên (3; +
∞
): y =
lg( 3) 0
x
− <
ñồng biến, còn y = 4 - x nghịch
bi
ến nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.
VD3. Gi
ải phương trình
2
3 3
( 2) l g ( 1) 4( 1) g ( 1) 16 0
x o x x lo x
+ + + + + − =
HD.
ðK: x > - 1
Do x > - 1 nên x + 2
≠
0.
ðặt
3
g ( 1)
lo x t
+ =
, phương trình trở thành:
2
( 2) 4( 1) 16 0
x t x t
+ + + − =
∆
= 4(x + 1)
2
+ 16(x + 2) = (2x + 6)
2
3
3
log ( 1) 4
4 80
2( 1) (2 6)
81
4
4
2
log ( 1)
2
2
2
x
t
x
x x
t
x
t
x
x
x
x
+ = −
= −
= −
− + ± +
= ⇒ ⇒ ⇒
+
=
+ =
=
+
+
VD4. Giải phương trình
6
log
2 6
l g ( 3 ) l g
x
o x o x
+ =
HD.
ðặt
6
l g 6
t
o x t x
= ⇔ =
Ph
ương trình ñã cho tương ñương
2
3
l g (6 3 ) 6 3 2 3 1
2
t
t t t t t t
o t
+ = ⇔ + = ⇔ + =
t = - 1 là nghi
ệm(xem phương trình không mẫu mực)
VD5.Gi
ải phương trình
( )
2
2
2
2.2 log (2 )
x
x
−
=
HD. ðK:
2
x
≥
( )
2
2
2
2.2 log (2 )
x
x
−
=
⇔
1 1
2 2
2 log (2 ) 2 log (2 ) 0 (*)
2 2
x x
x x
x x
− −
= − =
⇔
≥ ≥
ðặt f(x) =
1
2
2 log (2 ), 2
x
x x
−
− ≥
Suy ra f '(x) =
1
1
2 ln 2 , 2
ln 2
x
x
x
−
− ≥
f "(x) =
1 2
2
1
2 ln 2 0, 2
ln 2
x
x
x
−
+ > ∀ ≥
.
⇒
Trên (0; +
∞
) ñồ thị f(x) lõm và f(1) = 0, f(2) = 0
⇒
(0; +
∞
) phương trình
f(x) = 0 có
ñúng hai nghiệm. Vậy phương trình (*) có ñúng một nghiệm x =
2 tho
ả ñk
2
x
≥
.
Luy
ện tập:
1. Giải phương trình
2
log10x logx log100
4 -6 2.3
x
=
2. Gi
ải phương trình
2 3
ln(sin ) 1 sin 0
x x
− + =
3. Tìm m
ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2
2 2 7 2 2 7
log ( 1) log ( )
x m mx x
+ −
− + + −
(Xem phương trình không
m
ẫu
m
ực
)
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
9
4. Tìm tất cả các giá trị m ñể tổng bình phương các nghiệm của phương trình
sau l
ớn hơn 1:
2 2 2 2
4 1
2
2log (2 2 4 ) log ( 2 ) 0
x x m m x mx m
− + − + + − =
5. Gi
ải và biện luận phương trình sau theo tham số a:
2log log( 1) log
x x a
− − =
6. Gi
ải phương trình
7 3
log log ( 2)
x x
= +
7. Gi
ải phương trình:
(
)
(
)
2 2
log log
2
2 2 2 2 1
x x
x x
+ + − = +
8. Tìm t
ất cả các giá trị k ñể phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt, có 3
nghi
ệm phân biệt:
2
2 2
1
2
2
4 log ( 2 3) 2 log (2 2) 0
x k
x x
x x x k
− −
− +
− + + − + =
9. Gi
ải phương trình:
2 2
log log 1 log
2 3 3 0
x x x+
− + =
10. Giải phương trình: (x - 1)log
5
3 + log
5
(3
x + 1
+ 3) = log
5
(11.3
x
- 9)
13. Giải phương trình:
2
222
4log6log2log
3.24
xx
x =−
14.
Giải phương trình:
9 9 3
27
4 6.2 2 0
log x log x log
− + =
15.
Giải phương trình:
2 2
3 3
2 ( 16) ( 16) 1
2 2 24
log x log x− − +
+ =
ðạ
i học, cao ñẳng 2002 - 2008:
16. Giải phương trình:
3
2
3
27
16log 3log 0
x
x
x x
− =
17.
Giải phương trình:
8
4 2
2
1 1
log ( 3) log ( 1) log (4 )
2 4
x x x
+ + − =
18.
Giải phương trình:
(
)
5
log 5 4 1
x
x
− = −
19.
Tìm m ñể phương trình
(
)
2
2 1
2
4 log log 0
x x m
− + =
có nghiệm thuộc
kho
ảng (0; 1)
20. Giải phương trình:
3
3 3 2
3 1
log log log
2
3
x
x
x
− = +
21. Cho phương trình:
3 3
2 2
log log 1 2 1 0
x x m
+ + − − =
.
1) Giải phương trình khi m = 2
2) Tìm m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc
3
1;3
22. Giải phương trình:
4 2
2x 1
1 1
log (x 1) log x 2
log 4 2
+
− + = + +
23. Giải phương trình:
(
)
(
)
21x2log1xlog
3
2
3
=−+−
24.
Giải phương trình:
( )
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
=
−
−−
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
10
25. Giải phương trình:
( )
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
=
−
−−
26.
Giải phương trình:
2
2
log 2 2 log 4 log 8
x x
x
+ =
27.
Giải phương trình:
( ) ( )
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1 0
x x x
+ − − − − =
28.
Giải phương trình:
(
)
(
)
1
3 3
log 3 1 log 3 3 6
x x+
− − =
29. Giải phương trình:
( )
2 4 2
1
2 log 1 log log 0
4
x x
+ + =
30. Giải phương trình:
2
2 2
log ( 1) 6 log 1 2 0
x x
+ + + + =
31. Giải phương trình:
2 2
1
log (4 15.2 27) 2 log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
32. Giải phương trình:
2 2
2 3 1
2
3
log (4 15.2 28)log ( 3 3) log (4 15.2 28)log ( 3 3)
x x x x
x x x x
+ + − + = + + − +
III. H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Ph
ương pháp giải
1. Bi
ến ñổi về tích.
2. Gi
ải hệ trên từng tập con của tập xác ñịnh.
3. Bi
ến ñổi tương ñương.
4. S
ử dụng các phương pháp giải phương trình không mẫu mực.
•
ðặt ẩn phụ.
•
ðối lập.
•
PP hàm số dự ñoán và chứng minh không còn nghiệm.
•
Khảo sát hàm số.
•
Dùng dấu hiệu cần và ñủ.
•
Dùng min max.
•
PP toạ ñộ và PP hình học
VD1. Gi
ải hệ phương trình
(
)
2 2
2 2
log log ( 1)
1
x y
e e y x xy
x y
− = − +
+ =
HD. ðK: x > 0, y > 0.
Ta có từ ñiều kiện : xy + 1 > 0
N
ếu x > y > 0 thì
2 2 2 2
,log log 0,log log 0
x y x y
e e x y e e y x
> > ⇒ − > − <
(
)
2 2
0, log log ( 1) 0
x y
e e y x xy
⇒ − > − + <
N
ếu 0 < x < y thì
(
)
2 2
0, log log ( 1) 0
x y
e e y x xy
⇒ − < − + >
.
Suy ra x = y =
1
2
±
.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
11
VD2. Giải hệ phương trình
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log ( ) log 2 1 log ( 3 )
log ( 1) log (4 2 2 4) log 1
x y x x y
x
xy y y x
y
+ − + = +
+ − + − + = −
HD. ðKiện: x >, y > 0, 4y
2
+ 2y - 2x + 4 > 0.
H
ệ phương trình ñã cho tương ñương:
2 2
4 4
2
4 4
log 4( ) log 2 ( 3 )
log 4( 1) log (4 2 2 4)
x y x x y
x
xy y y x
y
+ = +
+ = + − +
2 2
2 2
2
2
4( ) 2 ( 3 )
3 2 0
4( 1) (4 2 2 4)
2 2 0
x y x x y
x xy y
x
xy y y x
xy x x y
y
+ = +
− + =
⇔ ⇔
+ = + − +
− + − =
2
( )( 2 ) 0
2 2 0
x y x y
xy x x y
− − =
⇔
− + − =
( )( 2 ) 0
( )(2 ) 0
x y x y
x y x
− − =
⇔
− − =
0
0
0
2 0
2 0
0
2 0
2 0
x y
x y
x y
x
x y
x y
x y
x
− =
− =
− =
− =
⇔
− =
− =
− =
− =
2
0 2, 1
2, 1
x y
x y x y
x y x y
x y
=
= = =
⇔ ⇔
= = = =
= =
VD3. B2007-TK2. Chứng minh rằng hệ
−
−=
−
−=
1x
x
2007e
1y
y
2007e
2
y
2
x
có ñúng 2
nghi
ệm thỏa mãn ñiều kiện x > 0, y > 0.
HD. ðặt: f(t) = e
t
,
( )
/
3
2
2
2
t 1
g t ;g (t) 0, t 1
t 1
(t 1)
−
= = < ∀ >
−
−
Ta có f tăng trên và g giảm trên từng khoảng
Xác
ñịnh.
Hệ phương trình (1)
(
)
(
)
( ) ( )
=+
=+
⇔
2007xgyf
2007
y
g
x
f
⇒ f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (∗)
Nếu x > y ⇒ f(x) > f(y) ⇒ g(y) < g(x) ( do(∗) )
⇒ y > x ( do g giảm ) ⇒ vô lý.
T
ương tự khi y > x cũng dẫn ñến vô lý.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
12
Do ñó, (1)
⇔
(2)
x
2
x
e 2007 0
x 1
x y
+ − =
−
=
Xét:
( )
2007
1x
x
exh
2
x
−
−
+=
(|x| > 1 )
N
ếu x < –1 thì h(x) < e
–1
– 2007 < 0 ⇒ hệ vô nghiệm
Khi x > 1
⇒
( )
( )
( )
2
3
2x
2
3
2
x
1xe
1x
1
ex'h
−
−−=
−
−=
( )
( )
( )
5
x 2 x
2
5
2
2
3 3x
h'' x e x 1 .2x e 0
2
x 1
−
= + − = + >
−
và
(
)
+∞=
+
→
x
h
lim
1x
,
(
)
x
lim h x
→+∞
= +∞
V
ậy h(x) liên tục và có ñồ thị là ñường cong lõm trên (1, +∞)
Do
ñó ñể chứng minh (2) có 2 nghiệm dương ta chỉ cần chứng minh tồn
tại x
0
> 1 mà h(x
0
) < 0
Ch
ọn x
0
= 2
( )
2
2
h 2 e 2007 0
3
⇒
= + − <
Suy ra: h(x) = 0 có
ñúng 2 nghiệm x
1
> 1, x
2
> 1
VD4. D2006. Chứng minh rằng với a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm
duy nh
ất.
y
e - e = ln(1 + x) - ln(1 + y)
y - x = a
x
HD. H
ệ ñã cho
⇔
x + a
y = x + a
e - e + ln(1 + x) - ln(1 + a + x) = 0
x
ðặt
x + a
f(x) = e - e + ln(1 + x) - ln(1 + a + x
)
x
, x > - 1.
1
lim ( ) , lim ( )
x
x
f x f x
+
→+∞
→−
= −∞ = +∞
, f '(x) > 0,
1
x
∀ > −
. Suy ra hệ có nghiệm duy
nh
ất.
VD5. D2006-TK2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
2 2
ln(1 + x) - ln(1 + y) = x - y
x - 12xy + 20y = 0
(x, y
∈
R
)
HD. H
ệ ñã cho tương ñương
ln(1+x) - x ln(1+y)
1, 1
10 2
y
x y
x y x y
= −
> − > −
= ∨ =
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
13
VD6. B2005. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
2 3
9 3
x - 1 + 2 - y = 1
3log (9x ) - log y = 3
(x, y
∈
R
)
HD. Hệ ñã cho tương ñương
3 3
x - 1 + 2 - y = 1 x - 1 + 2 - y = 1
3log (3x) - 3log y = 3 x = y
x > 0, y > 0
x > 0, y > 0
⇔
VD7
. TKA2007.
Giải hệ phương trình
−
−
+ − + = +
+ − + = +
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
(I)
y y 2y 2 3 1
HD.
ðặt u = x − 1, v = y − 1
(I) thành
+ + =
+ + =
2 v
2 u
u u 1 3
(II)
v v 1 3
Xét hàm f(x)
2
x x 1
= + +
f ´(x)
+
+ +
= + = > ≥
+ + +
2
2 2 2
x x
x x 1 x
1 0
x 1 x 1 x 1
Vậy f ñồng biến trên R.
Nếu u > v
⇒
f(u) > f(v)
⇒ >
v u
3 3
⇒
v > u ( vô lý )
Tương tự nếu v > u cũng dẫn ñến vô lý
Do ñó hệ (II)
+ + = = + −
⇔ ⇔
= =
2 u u 2
u u 1 3 1 3 ( u 1 u) (1)
u v u v
ðặt: g(u)
u 2
3 ( u 1 u)
= + −
⇒ = + − + −
+
u 2 u
2
u
g'(u) 3 ln3( u 1 u) 3 1
u 1
( )
(
)
Ru,0
1u
1
3lnu1u3u'g
2
2u
∈∀>
+
−−+=
Vậy g(u) ñồng biến trên R.
Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)
Nên (II) ⇔ u = 0 = v
Vậy (I) ⇔ x = y = 1.
* Bài tập luyện tập.
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
14
1. Gi
ải hệ phương trình:
lg lg
lg4 lg3
3 4
(4 ) (3 )
x y
x y
=
=
(ðHNN HN -A98)
2. Gi
ải hệ phương trình:
3 1 2 3
2
2 2 3.2
3 1 1
x y y x
x xy x
+ − +
+ =
+ + = +
(ðHSP2HN-A98)
3. Gi
ải hệ phương trình:
5( )
4
3
3 1
x
y
y x
x y
x y
−
+
−
=
=
(ðHKTQD-A99)
4. Giải hệ phương trình:
(
)
2 2
3 3
log log (2 )
16
x y
e e y x xy
x y
− = − +
+ =
(ðHNT-D99)
5.
Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
9 3
log (3 ) log (3 ) 1
x y
x y x y
− =
+ − − =
6. Gi
ải và biện luận theo k hệ phương trình:
log (3 ) 2
log (3 ) 2
x
y
x ky
y kx
+ =
+ =
7. Cho h
ệ phương trình:
log ( os sin ) log ( os + xsin ) 4
log ( os sin ).log ( os + xs in ) 4
x y
x y
xc y yc
xc y yc
α α α α
α α α α
+ + =
+ =
a) Giải hệ với
4
π
α
=
.
b) Cho 0 <
α
<
4
π
. Giải và biện luận hệ theo
α
.
8. Cho h
ệ phương trình:
log ( ) log ( + bx) 4
log ( ).log ( + bx) 4
x y
x y
ax by ay
ax by ay
+ + =
+ =
a) Gi
ải hệ với a = 3, b = 5.
b) Giải và biện luận hệ theo a > 0, b > 0.
9. Cho hệ phương trình:
2
3 3
3
2
1
log log 0
2
0
x y
x y ay
− =
+ − =
a) Gi
ải hệ với a = 2.
b) Tìm t
ất cả các giá trị a ñể hệ có nghiệm..
10. Giải hệ phương trình:
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y
+ =
− =
(ðHTCKT-A2000)
11. Gi
ải hệ phương trình:
2
1
2 .4 2
a x y xy
x y a
+ −
+ + =
=
(ðHMỏ-ðC-A2000)
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
15
12. Giải hệ phương trình:
2 2 2
3 3 3
3
log 3 log log
2
2
log 12 log log
3
x
x y y
y
x x y
+ = +
+ = +
(ðHTL-A2000)
13. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó PT sau có nghiÖm (x.y) với mọi gi¸ trÞ
cña tham sè b:
=++
=+−
24
55
)1(
1)1(
abyae
yxa
bx
(ðHDược-A2001)
14. 1) Giải phương trình:
6
(3 )
5
7
36 0
log x
x x
− =
2) Gi¶i hÖ phương trình:
=−+
=+
−
−
06)(8
13).(
4
4
4
4
yx
xy
yx
yx
(ðH Mỏ-ðC-A2001)
15. Gi¶i hÖ:
=+
=−+
−
−−
433
033.23
1
22
yx
yxyx
16. Cho hệ phương trình
2
1
, a > 0.
2
1.
x y
a a
x y b b
+ =
+ = − +
a) Giải hệ khi b = 1.
b) Tìm a
ñể hệ có nghiệm với mọi b
∈
[0; 1]
| 1/15
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LÔGARIT
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản. a = 1
x∈D ∩ D  Dạng 1. ( ) ( ) f g f x g x a = a ⇔ 
a > 0, a ≠ 1 
 f (x) = g(x) a = 1  D
 f (x) = b
ạng 2. f (x) a = b ⇔ 
a > 0, a ≠ 1,b > 0 
 f (x) = log b a f ( x) g ( x)  D = ạng 3. a b
⇔ f (x) = g(x) log b a
a > 0, a ≠ 1,b > 0,b ≠ 1
2. Phương trình mũ biến ñổi về dạng tích. VD1. Phương trình: x x x 1 + x x 1 12.3 3.15 5 20 (4 5 )(3 + + − = ⇔ + − 5) = 0 (ðHuế - D2001)
VD2. Phương trình: x−3 x−2 x−3 x−2 x−3 x−2 2 .3 − 2.2 − 3.3 + 6 = 0 ⇔ (2 − 3)(3 − 2) = 0
3. Biến ñổi tương ñương. 2
VD. Giải phương trình lg10x lg x lg100 4 6 2.3 x − = (1) 2lg x lg x     + x x + x x x x 2 2 (1) ⇔ 1 lg lg 2 2lg 2lg lg 2lg 4 − 6 = 2.3 ⇔ 4.2 − 6 = 18.3 ⇔ 4  −   −18 = 0  3   3  lg x  2  9   =  3  4 1 ⇔
⇔ lg x = −2 ⇔ x =  lg x   100 2   = −2  3 
4. Các phương trình mũ không mẫu mực.
VD1. Giải phương trình x 1+ x+4 x+2 4 + 2 = 2 +16 HD. x 1+ x+4 x+2 x x x 2 4 + 2 = 2
+16 ⇔ 4.4 +16.2 = 4.2 +16 ⇔ 4.2 x +12.2x −16 = 0
ðặt 2x = t > 0
VD2. Giải phương trình 2 2 2 x −3x+2 x +6 x+5 2 x +3x+7 4 + 4 = 4 +1 HD. ðặt 2 2 2 x −3x+2 x +6 x+5 2 x +3x+7 u = 4 , v = 4 ⇒ uv = 4
Pt ñã cho tương ñương u + v = uv + 1 ⇔ (u - 1)(1 - v) =0 x
VD3. Giải phương trình x x 2 4.3 − 9.2 = 5.6
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 1 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình x x x     HD. x x x 3 2 x x 2
4.3 − 9.2 = 5.6 ⇔ 4.3 − 9.2 = 5.( 6) ⇔ 4.  − 9  − 5 = 0     2 3     x x  3   2  1 ðặt t =   > 0 ⇒   =     2 3 t    
VD4. Giải phương trình 4x 5x 9x + =
HD. i) x = 1 là nghiệm x x     x x x 4 5
ii) 4 + 5 = 9 ⇔   +   = 1  9   9  x x x x  4   4   5  5  4   5 
x < 1:   >  ,   > ⇒   +   > 1  9   9   9  9  9   9  x x x x  4   4   5  5  4   5 
x > 1:   <  ,   < ⇒   +   < 1  9   9   9  9  9   9 
VD5. Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm, có nghiệm duy 1 nhất: = 3m − 2 1 3 x−  1 x   1  , n ế u x ≥ 1  3    , n ế u x ≥1 x 1 − HD. 1   Ta có 3  3  y = =  =  1 3 −x 1   , n ế u x ≤ 1 1 x nếu 1  .3 , x ≤ 1 3 −x 3
Vẽ ñồ thị và dựavào ñồ thị, ta có kết quả: 2
i) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 < 3m - 2 ≤ 1 ⇔ < m ≤ 1. 3
ii) Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 3m - 2 = 1 ⇔ m = 1.
* Bài tập luyện tập:
1. Giải phương trình: 2 2 2 2 4 4 6 6 x +4 x +5 2 + 2
+1956x +1958x +1979x +1981x +1976x +1982x = 54
2. Giải phương trình: 2 2 x 1 − x + 1 2 + 2 = 5
3. Giải phương trình: 4 x−3 4 x−3 4 x−3 4.( 5 −1) − 3( 5 +1) = 2
4. Giải phương trình: log2 x log2 x 2 (2 + 2) + x(2 − 2) = 1+ x
5. Giải phương trình: 3x 2 (2 3) 2(2 3) x 2(2 3)x + + + − − = 1
6. Giải phương trình:
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 2 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
(26 15 3)x 2(7 4 3)x 2(2 3)x + + + − − = 1
7. Giải phương trình:
64.9x 84.12x 27.16x − + = 0
8. Giải phương trình: 0 x 0 ( os72 ) ( os36 )x 3.2 x c c − + =
9. Giải phương trình: 2 2 x− x −5 x 1 − − x −5 4 −12.2 + 8 = 0
10. Giải phương trình: 2 2 2 x + x 1− x ( x 1 + ) 4 + 2 = 2 +1
11. Giải phương trình: x−2 x−2 3.25 + (3x −10)5 + 3 − x = 0 x x  7 3 5   7 3 5  + −
12. Cho ph−¬ng tr×nh:   + a   = 8  2   2 
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi a = 7.
2. BiÖn luËn theo a sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.
13. Giải phương trình:
1956x 1958x 1979x 1981x 2001x + + + + = 5 .
14. Giải phương trình: 2 2 4sin x 2.cos x + = 2 + 2 15. 2
Giải phương trình: x x = x
II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Các biến ñổi logarit (trong R ).
• ðịnh nghĩa: y log x = y ⇔ x = a a ; x
∀ > 0, (a > 0, a ≠ 1)
• Số 0 và số âm không có logarit. • log 1 = 0 a
, (a > 0, a ≠ 1)
• ðịnh nghĩa: log a = 1 a
, (a > 0, a ≠ 1) x
• Lôgarit hoá: x = log a , a x
∀ , (a > 0, a ≠ 1) a x • Mũ hoá: log x = a ; x
∀ > 0, (a > 0, a ≠ 1)
• log xy = log x + log y , xy ≠ 0 a a a
, (a > 0, a ≠ 1) x • log
= log x − log y , xy ≠ 0 a
, (a > 0, a ≠ 1) y a a α • log x = α log x , x
∀ ≠ 0,(a > 0, a ≠1) a a
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 3 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 1 log = − log x , x
∀ ≠ 0, (a > 0, a ≠ 1) a a x 1
log n x = log x , x
∀ ≠ 0,(a > 0,a ≠1) a a n 1 = ∀ ≠ α • log ≠ > ≠ α x log x , x 0, 0,(a 0,a 1) a a α log
x = −log x , x
∀ ≠ 0, (a > 0, a ≠ 1) 1 a a log
x = −log x , x
∀ ≠ 0, (a > 0, a ≠ 1) 1 a a 1 log = − log x , x
∀ ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1) a a x log x = n x x ∀ ≠ a > a ≠ n log , 0,( 0, 1) a a α α
log x = log x , x
∀ ≠ 0,β ≠ 0,(a > 0,a ≠1) • β a β a log y log x • a x = y a , x
∀ > 0, y > 0, x ≠1, y ≠1,(a > 0,a ≠1)
• ðổi cơ số: log x = log b.log x , x
∀ ≠ 0,(a > 0,a ≠1,b > 0,b ≠1) a a b
log b.log a =1,(a > 0,a ≠1,b > 0,b ≠1) a b log a .log a ...log
a .log a . =1,(a > 0,a ≠1,i =1, ) n 1 a 2 a2 3 an - 1 n an 1 i i • Xuân Bang:
log x log y = log x log y , x
∀ y ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1,b > 0,b ≠ 1) a b b a
• Chú ý các biến hoá mũ và logarit: VD: n m n ( n a )log x log x m m a a log x m n a a a x , x 0, (a 0, a 1; , m n ∗ = = = ≠ > ≠ ∈ N \ {1})
2. Phương trình logarit (trong R ).
2.1. Dạng cơ bản.
a > 0, a ≠ 1 D
ạng 1. log f (x) = log g(x) ⇔  f (x) = g(x) a a
f (x) > 0 (hay g(x) > 0)
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 4 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
VD. Giải phương trình log x + log (x − 2) = 0 4 1 2 HD. 1
log x + log (x − 2) = 0 ⇔
log x − log (x − 2) = 0 ⇔ log
x = log (x − 2) 4 1 2 2 2 2 2 2  x x 2 x x 2 0  = − − + =
x = −1∨ x = 2 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ x = 4 x − 2 > 0 x > 2 x − 2 > 0  D
a > 0, a ≠ 1
ạng 2. log f (x) = b ⇔  af (x) b = a
VD. Giải phương trình log x + log (x + 2) = 2 3 3
HD. log x + log (x + 2) = 2 3 3 2 2
⇔ log x + 2 log (x + 2) = 2 ⇔ log x + log (x + 2) = 2 ⇔ log x(x + 2) = 2 3 3 3 3 3 ⇔ x(x + 2)2 = 9
a,b > 0; a,b ≠ 1; a ≠ b
Dạng 3. log f (x) = log f (x) ⇔  ⇔ f (x) = 1 a b
log f (x) = log a log f (x) a b a
VD. Giải phương trình log (sin x) = log (sinx) 2 3
HD. log (sin x) = log (sinx) 2 3
⇔ log (sin x) = log 2 log (sinx) ⇔ log (sinx).(log 2 −1) = 0 ⇔ log (sinx) = 0 ⇔ sin x = 1 2 3 2 2 3 2
Dạng 4. log f (x) = log g(x) a b
a,b > 0; a,b ≠ 1; a ≠ b
ðặt log f (x) = log g(x) = t f ( x) ⇔ a = t : Khử x trong hệ, giải a bg(x) a = t phương trình ẩn t.
VD1. Giải phương trình log (sin x) = log (cos x) 2 3
HD. log (sin x) = log (cos x) = t . Ta có hệ: 2 3 s  in x = 2t 2 s  in x = 4t  ⇔  4t 9t ⇔ + = 1 : Vô nghiệm cos x = 3t 2 cos x = 9t
VD2. Giải phương trình 2log (cot x) = log (cos x) 3 2 HD.
§Æt 2log cotx = log cosx = t ta cã: 3 2 2 t 2 t 2  x =  x =  x = t cos 4 cos 4 cos 4t cos x = 2    2   x   t cos t 4t 4t 2 2 cot x = 3 ⇔  = 3 ⇔ s  in x = ⇔  + 4t = 1 2 sin x 3t 3t    
cos x > 0, cot x > 0 
cos x > 0,sin x > 0
cos x > 0,sin x > 0
cos x > 0,sin x > 0   
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 5 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 2 cos = 4t x  1  cos x = π ⇔ t  = −1 ⇔  2 ⇔ x = + k 2π 3  
cos x > 0,sin x > 0 s  in x > 0 
2.2. Biến ñổi tương ñương.
VD1. Giải phương trình log x + log x = log 3log 225 5 3 5 9 HD. log x + log x = log 3log 225 5 3 5 9
⇔ l o g x + l o g x = l o g 15 ⇔ l o g 3.l o g x + l o g x = 1+ l o g 3 ⇔ (1+ l o g 3) l o g x = 1+ l o g 3 5 3 5 5 3 3 5 5 3 5
⇔ log x = 1 ⇔ x = 3 3
VD2. Giải phương trình log 2 + log 4x = 3 2 2 x HD. x > 0, x ≠ 2 x > 0, x ≠ 2  
l o g 2 + l o g 4x = 3 ⇔  1 ⇔  1 2 2 + 2 + lo g x = 3 + lo g x = 1  2  2 x 1  − lo g x 1  − lo g x 2 2 x > 0, x ≠ 2 x > 0, x ≠ 2 ⇔  ⇔  ⇔ x = 1, x = 4 2
lo g x − 2lo g x = 0
lo g x = 0 ∨ lo g x = 2 2 2 2 2
2.3. Biến ñổi về tích.
VD1. Giải phương trình 2 2
x (lg(x −1) − x lg x − lg x + x + 2 = 0 HD. ðK x > 0 Ptrình ⇔ 2 2
x (lgx −1) − x lg x − 2 lg x + x + 2 = 0 ⇔ x (lgx −1) − x(lg x −1) − 2(lg x −1) = 0 2
⇔ (x - x - 2)(lgx −1) = 0
VD2. Giải phương trình 2 2 log
(9 +12x + 4x ) + log
(21+ 23x + 6x ) = 4 3x+7 2 x+3 HD. Ptrình ⇔ 2 log (2x + 3) + log
(2x + 3)(3x + 7) = 4 3x+7 2 x+3
2x + 3 > 0, 2x + 3 ≠ 1 ðK:  3
x + 7 > 0,3x + 7 ≠ 1
Phương trình ñã cho tương ñương với: 2 log (2x + 3) +1+ log (3x + 7) = 4 ⇔ 2 log (2x + 3) + log (3x + 7) = 3 3x+7 2 x+3 3x+7 2 x+3  1  1 2 2t + = 3
2t − 3t +1 = 0 t  = 1,t = ⇔  t ⇔  ⇔  2  t  = log (2x + 3) 3x+7 t  = log (2x + 3) t  = log (2x + 3) 3x+7 3x+7 log (2x + 3) = 1 3x+7
2x + 3 = 3x + 7 x = −4 x = −4  ⇔ 1 ⇔  ⇔  ⇔  2 2 log (2x + 3) =  + = +  + + = +  + + = + 2x 3 3x 7 4x 12x 9 3x 7 4x 9x 2 0 3x 7  2
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 6 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình x = 4 − 1  ⇔ 1 ⇒ x = − x = 2 − , x = − 4  4
2.4. Giải phương trình trên từng tập con của tập xác ñịnh. VD. 1 Giải phương trình log − − x + x = x+ ( 2 3 1 2 3 ) 2  HD. 1 3
 − 1− x = x + 3 log − − x + x = ⇔ log 3 − 1− x = ⇔  x+3 ( ) x+ ( 1 2 3 1 2 3 ) 2 2
x + 3 > 0, x + 3 ≠ 1
i) - 3 < x ≤ 1, x ≠ - 2: Pt tương ñương: 2 + x ≥ 0 x ≥ 1 − ⇔ 3 − (1− x) = x + 3 ⇔
x + 3 = 2 + x ⇔  ⇔  2 2
x + 3 = 4 + 4x + xx + 3x +1 = 0 3 − + 5
−1 ≤ x ≤ 1 ⇒ x = 2 ii) x ≥ 1: Pt tương ñương: 4 − x ≥ 0 x ≤ 4 3 − (1− x) = x + 3 ⇔
x + 3 = 4 − x ⇔  ⇔  2 2
x + 3 = 16 − 8x + x
x − 9x +13 = 0 1  ≤ x ≤ 4  9 − 29 ⇔  9 ± 29 ⇔ x = x = 2  2
2.5. Các phương trình logarit không mẫu mực.
VD1. Giải phương trình 2 2
log (x + x +1) − log x = 2x − x 3 3 HD. x > 0.  1  2 2
log (x + x +1) − log x = 2x − x ⇔ 2
log 1+ x +  = −(1− x) +1 3 3 3  x  1 1  1  x + ≥ 2 ⇒ 1+ x +
≥ 3 ⇒ log 1+ x +  ≥ 1 3 x xx  Mặt khác 2 −(1− x) +1 ≤ 1   1 
log 1+ x +  = 1
Phương trình tương ñương 3   x  ⇔ x = 1  2 −(1− x) +1 = 1
VD2. Giải phương trình 2
lg(x − x − 6) + x = lg(x + 2) + 4 . 2   HD.
x − x − 6 > 0
(x + 2)(x − 3) > 0 ðK  ⇔ 
⇔ x − 3 > 0 ⇔ x > 3 x + 2 > 0 x + 2 > 0
Phương trình tương ñương với: lg(x − 3) = 4 − x
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 7 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình * x = 4 là nghiệm
* x > 4: lg(x − 3) > 0, 4 − x < 0
* 3 < x < 4: lg(x − 3) < 0, 4 − x > 0
**) Có thể nói, trên (3; + ∞ ): y = lg(x − 3) < 0 ñồng biến, còn y = 4 - x nghịch
biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.
VD3. Giải phương trình 2
(x + 2) l o g (x +1) + 4(x +1)lo g (x +1) −16 = 0 3 3
HD. ðK: x > - 1
Do x > - 1 nên x + 2 ≠ 0.
ðặt lo g (x +1) = t , phương trình trở thành: 2
(x + 2)t + 4(x +1)t −16 = 0 3
∆ = 4(x + 1)2 + 16(x + 2) = (2x + 6)2 t = −4 log (x +1) = 4 −  80 3
−2(x +1) ± (2x + 6) x = −    t = ⇒ 4 ⇒ 4 ⇒ 81 x 2 t log (x 1)  + = + = 3   x = + 2 x 2 x + 2 (Xem phương trình không mẫu mực) VD4. log x Giải phương trình 6 log (x +3 ) = log x 2 6
HD. ðặt l g = ⇔ = 6t o x t x 6 t   t t t t t t 3
Phương trình ñã cho tương ñương l o g (6 + 3 ) = t ⇔ 6 + 3 = 2 ⇔ 3 +   = 1 2  2 
t = - 1 là nghiệm(xem phương trình không mẫu mực)
VD5.Giải phương trình ( x− )2 2 2.2 = log (2x) 2
HD. ðK: x ≥ 2 x 1 − x 1 2 = log (2x) 2 −   − log (2x) = 0 (*) ( x− )2 2 2.2 = log (2x) ⇔ 2 2  ⇔  2 x ≥ 2 x ≥ 2 ðặt f(x) = x 1
2 − − log (2x), x ≥ 2 2 x− 1 Suy ra f '(x) = 1 2 ln 2 − , x ≥ 2 x ln 2 x− 1 f "(x) = 1 2 2 ln 2 + > 0, x ∀ ≥ 2 . 2 x ln 2
⇒ Trên (0; + ∞ ) ñồ thị f(x) lõm và f(1) = 0, f(2) = 0 ⇒ (0; + ∞ ) phương trình
f(x) = 0 có ñúng hai nghiệm. Vậy phương trình (*) có ñúng một nghiệm x = 2 thoả ñk x ≥ 2 .
Luyện tập: 2 1. log10x logx log100 Giải phương trình 4 -6 2.3 x =
2. Giải phương trình 2 3
ln(sin x) −1+ sin x = 0
3. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 log
(x − m +1) + log (mx − x ) 2 2 + 7 2 2 − 7
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 8 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
4. Tìm tất cả các giá trị m ñể tổng bình phương các nghiệm của phương trình sau lớn hơn 1: 2 2 2 2
2 log (2x − x + 2m − 4m ) + log (x + mx − 2m ) = 0 4 1 2
5. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a:
2 log x − log(x −1) = log a
6. Giải phương trình log x = log ( x + 2) 7 3 log x log x 7. 2 2 2
Giải phương trình: (2 + 2 ) + x (2 − 2 ) = 1+ x
8. Tìm tất cả các giá trị k ñể phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt, có 3 2 − x−k 2 − x +2 x nghiệm phân biệt: 4
log (x − 2x + 3) + 2
log (2 x − k + 2) = 0 1 2 2 2 2 9. log x log x 1 + log x Giải phương trình: 2 − 3 + 3 = 0
10. Giải phương trình: (x - 1)log 3 + log (3x + 1 + 3) = log (11.3x - 9) 5 5 5 2
13. Giải phương trình: log2 2x log 2 6 log 2 4 4 − x = 3 . 2 x
14. Giải phương trình: log x log x log 27 9 9 3 4 − 6.2 + 2 = 0 2 2
15. Giải phương trình: 2log (x 1 − 6) log ( x 1 − 6) 1 + 3 3 2 + 2 = 24
ðại học, cao ñẳng 2002 - 2008:
16. Giải phương trình: 2 16 log x − 3log x = 0 3 3 27 x x 1 1 17. Giải phương trình: 8 log (x + 3) +
log (x −1) = log (4x) 4 2 2 2 4
18. Giải phương trình: log 5x − 4 = 1− x 5 ( )
19. Tìm m ñể phương trình 4(log x )2 − log x + m = 0 có nghiệm thuộc 2 1 2 khoảng (0; 1) 3 3 x 1
20. Giải phương trình: log − log = + log x 3 3 2 x 3 2 21. Cho phương trình: 2 2
log x + log x +1 − 2m −1 = 0 . 3 3
1) Giải phương trình khi m = 2
2) Tìm m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 3 1  ;3    1 1
22. Giải phương trình: log4(x −1) + = + log2 x + 2 log2x 1 4 2 +
23. Giải phương trình: log3(x − ) 1 2 + log (2x − ) 1 = 2 3 4
24. Giải phương trình: (2 − log x 3 )log 3 − = 1 9x 1− log x 3
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 9 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 4
25. Giải phương trình: (2 − log x 3 )log 3 − = 1 9x 1− log x 3
26. Giải phương trình: log 2 + 2 log 4 = log 8 x 2 x 2 x
27. Giải phương trình: log
x +1 − log (3 − x) − log ( x − )3 1 = 0 1 8 2 2
28. Giải phương trình: log (3x ) 1 log ( x 1 3 + − − 3 = 6 3 3 ) 1
29. Giải phương trình: 2(log x +1 log x + log = 0 2 ) 4 2 4 30. Giải phương trình: 2 log (x +1) + 6 log x +1 + 2 = 0 2 2 x x 1
31. Giải phương trình: log (4 +15.2 + 27) + 2 log = 0 2 2 4.2x − 3 32. Giải phương trình: x x 2 x x 2 log (4 1
+ 5.2 +28)log (x −3x+3) =log (4 1
+ 5.2 +28)log (x −3x+3) 2 3 1 2 3
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Phương pháp giải
1. Biến ñổi về tích.
2. Giải hệ trên từng tập con của tập xác ñịnh.
3. Biến ñổi tương ñương.
4. Sử dụng các phương pháp giải phương trình không mẫu mực. • ðặt ẩn phụ. • ðối lập.
• PP hàm số dự ñoán và chứng minh không còn nghiệm. • Khảo sát hàm số.
• Dùng dấu hiệu cần và ñủ. • Dùng min max.
• PP toạ ñộ và PP hình học x yVD1.
e − e = (log y − log x (xy +1) 2 2 )
Giải hệ phương trình  2 2 x + y = 1
HD. ðK: x > 0, y > 0.
Ta có từ ñiều kiện : xy + 1 > 0
Nếu x > y > 0 thì x y > , log > log x y e e x
y ⇒ e − e > 0, log y − log x < 0 2 2 2 2 x y
⇒ e − e > 0,(log y − log x (xy +1) < 0 2 2 ) Nếu 0 < x < y thì x y
⇒ e − e < 0,(log y − log x (xy +1) > 0 . 2 2 ) 1 Suy ra x = y = ± . 2
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 10 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình 2 2
log (x + y ) − log 2x +1 = log (x + 3y) 4 4 4 VD2.
Giải hệ phương trình  x 2
log (xy +1) − log (4 y + 2 y − 2x + 4) = log −1  4 4 4  y
HD. ðKiện: x >, y > 0, 4y2 + 2y - 2x + 4 > 0.
Hệ phương trình ñã cho tương ñương: 2 2
log 4(x + y ) = log 2x(x + 3y) 4 4   x 2 log 4(xy +1) = log
(4 y + 2 y − 2x + 4)  4 4  y 2 2
4(x + y ) = 2x(x + 3y) 2 2 
x − 3xy + 2y = 0
(x − y)(x − 2 y) = 0 ⇔  x ⇔  ⇔  2 2 4(xy +1) =
(4 y + 2 y − 2x + 4) 
xy − x + 2x − 2y = 0 2
xy − x + 2x − 2 y = 0  y
x − y = 0 
x − y = 0
x − y = 0   x = y  
(x − y)(x − 2 y) = 0 2 − x = 0 x = y = 2 x = y ⇔  ⇔   ⇔ ⇔ 
(x − y)(2 − x) = 0 x − 2 y = 0   x = y = 0 x = 2, y = 1  
x − y = 0 x = 2, y = 1 
x − 2 y = 0  2 − x = 0  x y e = 2007 −  y2 −1
VD3. B2007-TK2. Chứng minh rằng hệ  có ñúng 2  y x e 2007  = −  x2 −1
nghiệm thỏa mãn ñiều kiện x > 0, y > 0. HD. t 1 − ðặt: f(t) = et, g(t) / = ;g (t) = < 0,∀ t > 1 3 2 t −1 2 2 (t −1)
Ta có f tăng trên và g giảm trên từng khoảng Xác ñịnh. f(x)+ ( g y) = 2007
Hệ phương trình (1) ⇔  f(y) + ( g x) = 2007
⇒ f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (∗)
Nếu x > y ⇒ f(x) > f(y) ⇒ g(y) < g(x) ( do(∗) )
⇒ y > x ( do g giảm ) ⇒ vô lý.
Tương tự khi y > x cũng dẫn ñến vô lý.
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 11 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình  x x e + − 2007 = 0 Do ñó, (1) ⇔ (2)  2 x −1 x = y x x Xét: h(x) = e + − 2007 (|x| > 1 ) x2 −1
Nếu x < –1 thì h(x) < e–1 – 2007 < 0 ⇒ hệ vô nghiệm 3 1 Khi x > 1 ⇒ ' h (x) x x = e − = e − x − 1 − 3 ( 2 ) 2 ( 2 x − )2 1 5 3 − 3x h ' (x) x = e + ( 2 x − ) x 2 1 .2x = e + > 0 5 2 ( 2 x − )2 1
và lim h(x) = +∞ , lim h (x) = +∞ + x→1 x→+∞
Vậy h(x) liên tục và có ñồ thị là ñường cong lõm trên (1, +∞)
Do ñó ñể chứng minh (2) có 2 nghiệm dương ta chỉ cần chứng minh tồn
tại x0 > 1 mà h(x0) < 0 Chọn x ⇒ 0 = 2 ( ) 2 2 h 2 = e + − 2007 < 0 3
Suy ra: h(x) = 0 có ñúng 2 nghiệm x1 > 1, x2 > 1
VD4. D2006. Chứng minh rằng với a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất. x y  e - e = ln(1 + x) - ln(1 + y)   y - x = a  HD. y = x + a Hệ ñã cho ⇔  x + a  e
- ex + ln(1 + x) - ln(1 + a + x) = 0 ðặt x + a f(x) = e
- ex + ln(1 + x) - ln(1 + a + x) , x > - 1.
lim f (x) = −∞, lim f (x) = +∞ , f '(x) > 0, x
∀ > −1. Suy ra hệ có nghiệm duy x→ 1+ − x→+∞ nhất.
VD5. D2006-TK2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
ln(1 + x) - ln(1 + y) = x - y  (x, y ∈ R ) 2 2 x - 12xy + 20y = 0
ln(1+x) - x = ln(1+y) − y HD.
Hệ ñã cho tương ñương x > 1 − , y > 1 − 
x = 10 y ∨ x = 2 y
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 12 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình
VD6. B2005. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:  x - 1 + 2 - y = 1  (x, y ∈ R ) 2 3 3  log (9x ) - log y = 3 9 3  x - 1 + 2 - y = 1  x - 1 + 2 - y = 1  
HD. Hệ ñã cho tương ñương 3
 log (3x) - 3log y = 3 ⇔ x = y 3 3   x > 0, y > 0 x > 0, y > 0  
VD7. TKA2007. Giải hệ phương trình  2 y−1 x + x − 2x + 2 = 3 + 1  (I) 2 x−  1 y + y − 2y + 2 = 3 +  1
HD. ðặt u = x − 1, v = y − 1   2 v u + u +1 = 3 (I) thành (II)   2 u v + v +1 = 3 2 Xét hàm f(x) = x + x +1 2 x x +1 + x x + x f ´(x) = 1+ = > ≥ 0 2 2 2 x +1 x +1 x +1
Vậy f ñồng biến trên R. v u
Nếu u > v ⇒ f(u) > f(v) ⇒ 3 > 3 ⇒ v > u ( vô lý )
Tương tự nếu v > u cũng dẫn ñến vô lý  2 u   u 1 3  u 2 u + + = 1 = 3 ( u +1 − u) (1) Do ñó hệ (II) ⇔  ⇔  u = v u = v u 2
ðặt: g(u) = 3 ( u +1 − u)   u 2 u u
⇒ g '(u) = 3 ln 3( u +1 − u) + 3  −1  2   u +1    u 2 1 ' g (u) = 3 ( u +1 − u)ln3  − > , 0 u ∀ ∈ R   u2 + 1 
Vậy g(u) ñồng biến trên R.
Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1) Nên (II) ⇔ u = 0 = v Vậy (I) ⇔ x = y = 1.
* Bài tập luyện tập.
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 13 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình lg x lg y1. 3  = 4
Giải hệ phương trình:  (ðHNN HN -A98) lg 4 lg3 (4x) = (3y) 3x 1 + y −2 y +3 2 + 2 =  3.2 x
2. Giải hệ phương trình:  (ðHSP2HN-A98) 2
 3x +1+ xy = x +1 x  5( y − ) 3. y +4 x  3
Giải hệ phương trình: x = y  (ðHKTQD-A99) 3 1 x = y− x y4.
e − e = (log y − log x (2 + xy) 2 2 )
Giải hệ phương trình:  (ðHNT-D99) 3 3 x + y = 16 2 2 9  x − y = 3
5. Giải hệ phương trình: 
log (3x + y) − log (3x − y) = 1 3 3  6.
log (3x + ky) = 2
Giải và biện luận theo k hệ phương trình: x
log (3y + kx) = 2  y log (x o
c sα + y sinα ) + log ( y o c sα + xs inα ) = 4
7. Cho hệ phương trình: x y  log (x o
c sα + y sinα ).log ( y o c sα + xs inα ) = 4  x y π a) Giải hệ với α = . 4 π b) Cho 0 < α <
. Giải và biện luận hệ theo α . 4
log (ax + by) + log (ay + bx) = 4
8. Cho hệ phương trình: x y
log (ax + by).log (ay + bx) = 4  x y
a) Giải hệ với a = 3, b = 5.
b) Giải và biện luận hệ theo a > 0, b > 0. 1 2
log x − log y =  0
9. Cho hệ phương trình: 3 3  2 3  2
x + y − ay = 0  a) Giải hệ với a = 2.
b) Tìm tất cả các giá trị a ñể hệ có nghiệm.. log8 y log8 x10. x + y = 4
Giải hệ phương trình:  (ðHTCKT-A2000)
log x − log y = 1 4 4
x + y + a =1
11. Giải hệ phương trình:  (ðHMỏ-ðC-A2000) 2
2a .4x+y−xy = 2
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 14 6/2009
Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình  3x
x log 3 + log y = y + log  2 2 2 12.  Giải hệ phương trình: 2  (ðHTL-A2000) 2 y
xlog 12 + log x = y + log 3 3 3  3
13. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó PT sau có nghiÖm (x.y) với mọi gi¸ trÞ (a − 5 ) 1 x + 5 y = 1 cña tham sè b:  (ðHDược-A2001) ebx + (a + 4 ) 1 by = 2 a
14. 1) Giải phương trình: log (3x) 6 5 7 x − 36 x = 0 4 ( 4 x + y − y) 3 . x = 1
2) Gi¶i hÖ phương trình:  (ðH Mỏ-ðC-A2001)  4  ( 8 4
x + y) − x − 6 y = 0  2x− 3 2 y + x − 3 . 2 y − 3 = 0 15. Gi¶i hÖ:  3x + 1− 3 y = 4  x y 1
a + a = , a > 0.
16. Cho hệ phương trình  2  2
x + y = b − b +1. a) Giải hệ khi b = 1.
b) Tìm a ñể hệ có nghiệm với mọi b ∈[0; 1]
Phương trình và hệ phương trình mũ-lôgarit. 15 6/2009