Một số phương pháp giải phương trình mũ và logarit – THPT chuyên Quảng Bình

Các bài toán phương trình mũ và phương trình logarit trong đề thi Đại học. Các bài toán phương trình mũ và phương trình logarit trong đề thi Đại học

Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
1
PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH
M
Ũ LÔGARIT
I. PH
ƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bn.
D
ng 1.
( ) ( )
1
0, 1
( ) ( )
f g
f x g x
a
x D D
a a
a a
f x g x
=
=
>
=
D
ng 2.
( )
1
( )
0, 1, 0
( ) log
f x
a
a
f x b
a b
a a b
f x b
=
=
=
> >
=
D
ng 3.
( ) ( )
0, 1, 0, 1
f x g x
a
a b
f x g x b
a a b b
=
=
> >
2. Ph
ương trình mũ biến ñi v dng tích.
VD1. Ph
ương trình:
1 1
12.3 3.15 5 20 (4 5 )(3 5) 0
x x x x x+ +
+ = + =
(
ðHuế - D2001)
VD2. Ph
ương trình:
3 2 3 2 3 2
2 .3 2.2 3.3 6 0 (2 3)(3 2) 0
x x x x x x
+ = =
3. Biến ñổi tương ñương.
VD. Gi
i phương trình
2
lg10 lg lg100
4 6 2.3
x x x
=
(1)
(1)
2lg lg
1 lg lg 2 2lg 2lg lg 2lg
2 2
4 6 2.3 4.2 6 18.3 4 18 0
3 3
x x
x x x x x x+ +
= = =
lg
lg
2 9
3 4
1
lg 2
100
2
2
3
x
x
x x
=
= =
=
4. Các phương trình mũ không mu mc.
VD1. Gi
i phương trình
1 4 2
4 2 2 16
x x x+ + +
+ = +
HD.
1 4 2 2
4 2 2 16 4.4 16.2 4.2 16 4.2 12.2 16 0
x x x x x x x x+ + +
+ = + + = + + =
ðặt
2 0
x
t
= >
VD2. Gii phương trình
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x + + + + +
+ = +
HD.
ðặt
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 , 4 4
x x x x x x
u v uv
+ + + + +
= = =
Pt
ñã cho tương ñương u + v = uv + 1
(u - 1)(1 - v) =0
VD3. Gi
i phương trình
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
=
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
2
HD.
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
=
3 2
4.3 9.2 5.( 6) 4. 9 5 0
2 3
x x
x x x
= =
ðặt
3 2 1
0
2 3
x x
t
t
= > =
VD4. Gi
i phương trình
4 5 9
x x x
+ =
HD. i) x = 1 là nghi
m
ii)
4 5
4 5 9 1
9 9
x x
x x x
+ = + =
x < 1:
4 4 5 5 4 5
, + 1
9 9 9 9 9 9
x x x x
> > >
x > 1:
4 4 5 5 4 5
, + 1
9 9 9 9 9 9
x x x x
< < <
VD5. V
i giá tr nào ca m thì phương trình sau có nghim, có nghim duy
nh
t:
1
1
3 2
3
x
m
=
HD. Ta
1
1
1
1
, x 1
1
3
1
3
, x 1
3
x
x
x
y
= =
=
1
3 , x 1
3
1
.3 , x 1
3
x
x
V
ñồ th và davào ñồ th, ta có kết qu:
i) Ph
ương trình có nghim khi và ch khi 0 < 3m - 2
1
2
1
3
m
<
.
ii) Ph
ương trình có nghim duy nht khi và ch khi 3m - 2 = 1
m = 1.
* Bài tp luyn tp:
1. Gi
i phương trình:
2 2 2 2 4 4 6 6
4 5
2 2 1956 1958 1979 1981 1976 1982 54
x x x x x x x x+ +
+ + + + + + + =
2. Gi
i phương trình:
2 2
1 1
2 2 5
x x +
+ =
3. Gi
i phương trình:
4 3 4 3 4 3
4.( 5 1) 3( 5 1) 2
x x x
+ =
4. Gi
i phương trình:
2 2
log log
2
(2 2) (2 2) 1
x x
x x
+ + = +
5. Gi
i phương trình:
3 2
(2 3) 2(2 3) 2(2 3) 1
x x x
+ + + =
6. Gi
i phương trình:
nếu
n
ếu
nếu
n
ếu
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
3
(26 15 3) 2(7 4 3) 2(2 3) 1
x x x
+ + + =
7. Gi
i phương trình:
64.9 84.12 27.16 0
x x x
+ =
8. Gi
i phương trình:
0 0
( os72 ) ( os36 ) 3.2
x x x
c c
+ =
9. Gi
i phương trình:
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x
+ =
10. Gi
i phương trình:
2 2 2
1 ( 1)
4 2 2 1
x x x x+ +
+ = +
11. Gi
i phương trình:
2 2
3.25 (3 10)5 3 0
x x
x x
+ + =
12.
Cho ph−¬ng tr×nh:
x x
7 3 5 7 3 5
a 8
2 2
+
+ =
1.
Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi a = 7.
2.
BiÖn luËn theo a sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.
13. Gii phương trình:
1956 1958 1979 1981 2001 5
x x x x x
+ + + + =
.
14. Gi
i phương trình:
2 2
4 2. 2 2
sin x cos x
+ = +
15. Gii phương trình:
2
x
x x
=
II. PH
ƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Các bi
ến ñổi logarit (trong
R
).
ðịnh nghĩa:
y
a
log x y x = a
=
;
0,( 0, 1)
x a a
> >
S 0 và s âm không có logarit.
a
log 1 0
=
,( 0, 1)
a a
>
ðịnh nghĩa:
a
log 1
a
=
,( 0, 1)
a a
>
Lôgarit hoá:
log ,
x
a
x a
=
, ( 0, 1)
x a a
Mũ hoá:
log
; 0,( 0, 1)
a
x
x a x a a
= > >
a
log xy log x +log y , 0
a a
xy
=
,
( 0, 1)
a a
>
a
x
log log x log y , 0
y
a a
xy
=
,
( 0, 1)
a a
>
log log , 0,( 0, 1)
a a
x x x a a
α
α
= >
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
4
1
log log , 0, ( 0, 1)
a a
x x a a
x
= >
1
log log , 0,( 0, 1)
n
a a
x x x a a
n
= >
1
log log , 0, 0,( 0, 1)
a
a
x x x a a
α
α
α
= >
1
log log , 0,( 0, 1)
a
a
x x x a a
= >
1
log log , 0,( 0, 1)
a
a
x x x a a
= >
1
log log , 0,( 0, 1)
a a
x x a a
x
= >
log log , 0,( 0, 1)
n
a
a
x n x x a a
= >
β
α
a
α
log x log , 0,
β 0,( 0, 1)
β
a
x x a a
= >
a
log log
x = y , 0, 0, 1, 1,( 0, 1)
a
y x
x y x y a a
> > >
ðổi cơ s:
a a b
log = log b.log , 0,( 0, 1, 0, 1)
x x x a a b b
> >
a b
log b.log 1,( 0, 1, 0, 1)
a a a b b
= > >
1 2 n - 1 n
a 2 a 3 a a 1
log a .log ...log .log . 1,( 0, 1, 1, )
n i i
a a a a a i n
= > =
Xuân Bang:
a b b a
log x log y log x log y , 0,( 0, 1, 0, 1)
xy a a b b
= > >
Chú ý các biến hoá mũ và logarit:
VD:
( )
log
log
log
, 0,( 0, 1; , \{1})
n
n
m
m
a
a
a
m
x
x
m
x
n
n
a a a x x a a m n
= = = > N
2. Phương trình logarit (trong
R
).
2.1. D
ng cơ bn.
Dng 1.
0, 1
log ( ) log ( ) ( ) ( )
( ) 0 ( ( ) 0)
a a
a a
f x g x f x g x
f x hay g x
>
= =
> >
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
5
VD. Gii phương trình
4 1
2
log log ( 2) 0
x x
+ =
HD.
4 1
2
log log ( 2) 0
x x
+ =
2 2 2 2
1
log log ( 2) 0 log log ( 2)
2
x x x x
= =
2 2 0 1 2
4
2 0 2 2 0
x x x x x x
x
x x x
= + = = =
=
> > >
D
ng 2.
0, 1
log ( )
( )
a
b
a a
f x b
f x a
>
=
=
VD. Gi
i phương trình
3
3
log log ( 2) 2
x x
+ + =
HD.
3
3
log log ( 2) 2
x x
+ + =
2 2
3 3 3 3 3
log 2 log ( 2) 2 log log ( 2) 2 log ( 2) 2
x x x x x x
+ + = + + = + =
x(x + 2)
2
=
9
D
ng 3.
, 0; , 1;
log ( ) log ( ) ( ) 1
log ( ) log log ( )
a b
a b a
a b a b a b
f x f x f x
f x a f x
>
= =
=
VD. Gi
i phương trình
2 3
log (sin ) log ( )
x sinx
=
HD.
2 3
log (sin ) log ( )
x sinx
=
2 3 2 2 3 2
log (sin ) log 2 log ( ) log ( ).(log 2 1) 0 log ( ) 0 sin
1
x sinx sinx sinx x
= = = =
Dng 4.
log ( ) log ( )
a b
f x g x
=
ðặt
log ( ) log ( )
a b
f x g x
=
= t
( )
( )
, 0; , 1;
f x
g x
a b a b a b
a t
a t
>
=
=
: Kh x trong h, gii
ph
ương trình n t.
VD1. Gi
i phương trình
2 3
log (sin ) log (cos )
x x
=
HD.
2 3
log (sin ) log (cos )
x x
=
= t . Ta có h:
sin 2
cos 3
t
t
x
x
=
=
2
2
sin 4
cos 9
t
t
x
x
=
=
4 9 1
t t
+ =
: Vô nghim
VD2. Gii phương trình
3 2
2log (cot ) log (cos )
x x
=
HD.
§Æt
3 2
2log cotx log cosx
=
= t ta cã:
2 2 2
2
2 2
2
cos 4 cos 4 cos 4
cos 2
cos 4 4
cot 3 3 sin 4 1
sin 3 3
cos 0,cot 0
cos 0,sin 0 cos 0,sin 0 cos 0,sin 0
t t t
t
t t
t t t
t t
x x x
x
x
x x
x
x x
x x x x x x
= = =
=
= = = + =
> >
> > > > > >
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
6
2
cos 4
1
cos
1 2
2
3
sin 0
cos 0,sin 0
t
x
x
t x k
x
x x
π
π
=
=
= = +
>
> >
2.2. Biến ñi tương ñương.
VD1. Gi
i phương trình
5 3 5 9
log x + log x = log 3log 225
HD.
5 3 5 9
log x + log x = log 3log 225
5 3 5 5 3 3 5 5 3 5
l g l g l g 15 l g 3.l g l g 1 l g 3 (1 l g 3)l g 1 l g 3
o x o x o o o x o x o o o x o + = + = + + = +
3
log 1 3
x x
= =
VD2. Gi
i phương trình
2 2
l g 2 l g 4 3
x
o o x
+ =
HD.
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
0, x 2 0, x 2
l g 2 l g 4 3
1 1
2 l g 3 l g 1
1 l g 1 l g
0, x 2
0, x 2
1, 4
l g 0 l g 2
l g 2l g 0
x
x x
o o x
o x o x
o x o x
x
x
x x
o x o x
o x o x
> >
+ =
+ + = + =
>
>
= =
= =
=
2.3. Biến ñi v tích.
VD1. Gi
i phương trình
2 2
(lg( 1) lg lg 2 0
x x x x x x
+ + =
HD.
ðK x > 0
Ptrình
2 2
(lgx 1) lg 2 lg 2 0 (lgx 1) (lg 1) 2(lg 1) 0
x x x x x x x x x
+ + = =
2
( - x - 2)(lgx 1) 0
x
=
VD2. Gii phương trình
2 2
3 7 2 3
log (9 12 4 ) log (21 23 6 ) 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =
HD.
Ptrình
2
3 7 2 3
log (2 3) log (2 3)(3 7) 4
x x
x x x
+ +
+ + + + =
ðK:
2 3 0,2 3 1
3 7 0,3 7 1
x x
x x
+ > +
+ > +
Ph
ương trình ñã cho tương ñương vi:
3 7 2 3 3 7 2 3
2
3 7
3 73 7
2log (2 3) 1 log (3 7) 4 2 log (2 3) log (3 7) 3
1
1
2 3
1,
2 3 1 0
2
log (2 3)
log (2 3)
log (2 3)
x x x x
x
xx
x x x x
t
t t
t t
t
t x
t x
t x
+ + + +
+
++
+ + + + = + + + =
+ =
= =
+ =
= +
= +
= +
3 7
2 2
3 7
log (2 3) 1
2 3 3 7
4 4
1
log (2 3)
4 12 9 3 7 4 9 2 0
2 3 3 7
2
x
x
x
x x
x x
x x x x x x
x x
+
+
+ =
+ = +
= =
+ =
+ + = + + + =
+ = +
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
7
4
1
1
4
2,
4
x
x
x x
=
=
= =
2.4. Gi
i phương trình trên tng tp con ca tp xác ñịnh.
VD. Gi
i phương trình
(
)
2
3
1
log 3 1 2
2
x
x x
+
+ =
HD.
(
)
2
3
1
log 3 1 2
2
x
x x
+
+ =
( )
3
3 1 3
1
log 3 1
2
3 0, 3 1
x
x x
x
x x
+
= +
=
+ > +
i) - 3 < x
1, x
- 2:
Pt t
ương ñương:
2 2
2 0 1
3 (1 ) 3 3 2
3 4 4 3 1 0
x x
x x x x
x x x x x
+
= + + = +
+ = + + + + =
3 5
1 1
2
x x
+
=
ii) x
1:
Pt tương ñương:
2 2
4 0 4
3 (1 ) 3 3 4
3 16 8 9 13 0
1 4
9 29
9 29
2
2
x x
x x x x
x x x x x
x
x
x
= + + =
+ = + + =
=
±
=
2.5. Các ph
ương trình logarit không mu mc.
VD1. Gii phương trình
2 2
3 3
log ( 1) log 2
x x x x x
+ + =
HD. x > 0.
2 2
3 3
log ( 1) log 2
x x x x x
+ + =
2
3
1
log 1 (1 ) 1
x x
x
+ + = +
3
1 1 1
2 1 3 log 1 1
x x x
x x x
+ + + + +
Mt khác
2
(1 ) 1 1
x
+
Ph
ương trình tương ñương
3
2
1
log 1 1
1
(1 ) 1 1
x
x
x
x
+ + =
=
+ =
VD2. Gi
i phương trình
2
lg( 6) lg( 2) 4
x x x x
+ = + +
.
HD.
ðK
2
( 2)( 3) 0
6 0
3 0 3
2 0
2 0
x x
x x
x x
x
x
+ >
>
> >
+ >
+ >
Ph
ương trình tương ñương vi:
lg( 3) 4
x x
=
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
8
* x = 4 là nghim
* x > 4:
lg( 3) 0,4 0
x x
> <
* 3 < x < 4:
lg( 3) 0, 4 0
x x
< >
**) Có th nói, trên (3; +
): y =
lg( 3) 0
x
<
ñồng biến, còn y = 4 - x nghch
bi
ến nên phương trình có nghim duy nht x = 4.
VD3. Gi
i phương trình
2
3 3
( 2) l g ( 1) 4( 1) g ( 1) 16 0
x o x x lo x
+ + + + + =
HD.
ðK: x > - 1
Do x > - 1 nên x + 2
0.
ðặt
3
g ( 1)
lo x t
+ =
, phương trình tr thành:
2
( 2) 4( 1) 16 0
x t x t
+ + + =
= 4(x + 1)
2
+ 16(x + 2) = (2x + 6)
2
3
3
log ( 1) 4
4 80
2( 1) (2 6)
81
4
4
2
log ( 1)
2
2
2
x
t
x
x x
t
x
t
x
x
x
x
+ =
=
=
+ ± +
=
+
=
+ =
=
+
+
VD4. Gii phương trình
6
log
2 6
l g ( 3 ) l g
x
o x o x
+ =
HD.
ðặt
6
l g 6
t
o x t x
= =
Ph
ương trình ñã cho tương ñương
2
3
l g (6 3 ) 6 3 2 3 1
2
t
t t t t t t
o t
+ = + = + =
t = - 1 là nghi
m(xem phương trình không mu mc)
VD5.Gi
i phương trình
( )
2
2
2
2.2 log (2 )
x
x
=
HD. ðK:
2
x
( )
2
2
2
2.2 log (2 )
x
x
=
1 1
2 2
2 log (2 ) 2 log (2 ) 0 (*)
2 2
x x
x x
x x
= =
ðặt f(x) =
1
2
2 log (2 ), 2
x
x x
Suy ra f '(x) =
1
1
2 ln 2 , 2
ln 2
x
x
x
f "(x) =
1 2
2
1
2 ln 2 0, 2
ln 2
x
x
x
+ >
.
Trên (0; +
) ñồ th f(x) lõm và f(1) = 0, f(2) = 0
(0; +
) phương trình
f(x) = 0 có
ñúng hai nghim. Vy phương trình (*) có ñúng mt nghim x =
2 tho
ñk
2
x
.
Luy
n tp:
1. Gii phương trình
2
log10x logx log100
4 -6 2.3
x
=
2. Gi
i phương trình
2 3
ln(sin ) 1 sin 0
x x
+ =
3. Tìm m
ñể phương trình sau có nghim duy nht:
2
2 2 7 2 2 7
log ( 1) log ( )
x m mx x
+
+ +
(Xem phương trình không
m
u
m
c
)
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
9
4. Tìm tt c các giá tr m ñể tng bình phương các nghim ca phương trình
sau l
n hơn 1:
2 2 2 2
4 1
2
2log (2 2 4 ) log ( 2 ) 0
x x m m x mx m
+ + + =
5. Gi
i và bin lun phương trình sau theo tham s a:
2log log( 1) log
x x a
=
6. Gi
i phương trình
7 3
log log ( 2)
x x
= +
7. Gi
i phương trình:
(
)
(
)
2 2
log log
2
2 2 2 2 1
x x
x x
+ + = +
8. Tìm t
t c các giá tr k ñể phương trình sau có 4 nghim phân bit, có 3
nghi
m phân bit:
2
2 2
1
2
2
4 log ( 2 3) 2 log (2 2) 0
x k
x x
x x x k
+
+ + + =
9. Gi
i phương trình:
2 2
log log 1 log
2 3 3 0
x x x+
+ =
10. Gii phương trình: (x - 1)log
5
3 + log
5
(3
x + 1
+ 3) = log
5
(11.3
x
- 9)
13. Gii phương trình:
2
222
4log6log2log
3.24
xx
x =
14.
Gii phương trình:
9 9 3
27
4 6.2 2 0
log x log x log
+ =
15.
Gii phương trình:
2 2
3 3
2 ( 16) ( 16) 1
2 2 24
log x log x +
+ =
ðạ
i hc, cao ñẳng 2002 - 2008:
16. Gii phương trình:
3
2
3
27
16log 3log 0
x
x
x x
=
17.
Gii phương trình:
8
4 2
2
1 1
log ( 3) log ( 1) log (4 )
2 4
x x x
+ + =
18.
Gii phương trình:
(
)
5
log 5 4 1
x
x
=
19.
Tìm m ñể phương trình
(
)
2
2 1
2
4 log log 0
x x m
+ =
nghim thuc
kho
ng (0; 1)
20. Gii phương trình:
3
3 3 2
3 1
log log log
2
3
x
x
x
= +
21. Cho phương trình:
3 3
2 2
log log 1 2 1 0
x x m
+ + =
.
1) Gii phương trình khi m = 2
2) Tìm m ñể phương trình có ít nht mt nghim thuc
3
1;3
22. Gii phương trình:
4 2
2x 1
1 1
log (x 1) log x 2
log 4 2
+
+ = + +
23. Gii phương trình:
(
)
(
)
21x2log1xlog
3
2
3
=+
24.
Gii phương trình:
( )
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
=
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
10
25. Gii phương trình:
( )
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
=
26.
Gii phương trình:
2
2
log 2 2 log 4 log 8
x x
x
+ =
27.
Gii phương trình:
( ) ( )
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1 0
x x x
+ =
28.
Gii phương trình:
(
)
(
)
1
3 3
log 3 1 log 3 3 6
x x+
=
29. Gii phương trình:
( )
2 4 2
1
2 log 1 log log 0
4
x x
+ + =
30. Gii phương trình:
2
2 2
log ( 1) 6 log 1 2 0
x x
+ + + + =
31. Gii phương trình:
2 2
1
log (4 15.2 27) 2 log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
32. Gii phương trình:
2 2
2 3 1
2
3
log (4 15.2 28)log ( 3 3) log (4 15.2 28)log ( 3 3)
x x x x
x x x x
+ + + = + + +
III. H
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Ph
ương pháp gii
1. Bi
ến ñổi v tích.
2. Gi
i h trên tng tp con ca tp xác ñịnh.
3. Bi
ến ñổi tương ñương.
4. S
dng các phương pháp gii phương trình không mu mc.
ðặt n ph.
ðối lp.
PP hàm s d ñoán và chng minh không còn nghim.
Kho sát hàm s.
Dùng du hiu cn và ñủ.
Dùng min max.
PP to ñộ và PP hình hc
VD1. Gi
i h phương trình
(
)
2 2
2 2
log log ( 1)
1
x y
e e y x xy
x y
= +
+ =
HD. ðK: x > 0, y > 0.
Ta có t ñiu kin : xy + 1 > 0
N
ếu x > y > 0 thì
2 2 2 2
,log log 0,log log 0
x y x y
e e x y e e y x
> > > <
(
)
2 2
0, log log ( 1) 0
x y
e e y x xy
> + <
N
ếu 0 < x < y thì
(
)
2 2
0, log log ( 1) 0
x y
e e y x xy
< + >
.
Suy ra x = y =
1
2
±
.
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
11
VD2. Gii h phương trình
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log ( ) log 2 1 log ( 3 )
log ( 1) log (4 2 2 4) log 1
x y x x y
x
xy y y x
y
+ + = +
+ + + =
HD. ðKin: x >, y > 0, 4y
2
+ 2y - 2x + 4 > 0.
H
phương trình ñã cho tương ñương:
2 2
4 4
2
4 4
log 4( ) log 2 ( 3 )
log 4( 1) log (4 2 2 4)
x y x x y
x
xy y y x
y
+ = +
+ = + +
2 2
2 2
2
2
4( ) 2 ( 3 )
3 2 0
4( 1) (4 2 2 4)
2 2 0
x y x x y
x xy y
x
xy y y x
xy x x y
y
+ = +
+ =
+ = + +
+ =
2
( )( 2 ) 0
2 2 0
x y x y
xy x x y
=
+ =
( )( 2 ) 0
( )(2 ) 0
x y x y
x y x
=
=
0
0
0
2 0
2 0
0
2 0
2 0
x y
x y
x y
x
x y
x y
x y
x
=
=
=
=
=
=
=
=
2
0 2, 1
2, 1
x y
x y x y
x y x y
x y
=
= = =
= = = =
= =
VD3. B2007-TK2. Chng minh rng h
=
=
1x
x
2007e
1y
y
2007e
2
y
2
x
ñúng 2
nghi
m tha mãn ñiu kin x > 0, y > 0.
HD. ðặt: f(t) = e
t
,
( )
/
3
2
2
2
t 1
g t ;g (t) 0, t 1
t 1
(t 1)
= = < >
Ta có f tăng trên và g gim trên tng khong
Xác
ñịnh.
H phương trình (1)
(
)
(
)
( ) ( )
=+
=+
2007xgyf
2007
y
g
x
f
f(x) + g(y) = f(y) + g(x) ()
Nếu x > y f(x) > f(y) g(y) < g(x) ( do() )
y > x ( do g gim ) vô lý.
T
ương t khi y > x cũng dn ñến vô lý.
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
12
Do ñó, (1)
(2)
x
2
x
e 2007 0
x 1
x y
+ =
=
Xét:
( )
2007
1x
x
exh
2
x
+=
(|x| > 1 )
N
ếu x < –1 thì h(x) < e
–1
– 2007 < 0 h vô nghim
Khi x > 1
( )
( )
( )
2
3
2x
2
3
2
x
1xe
1x
1
ex'h
=
=
( )
( )
( )
5
x 2 x
2
5
2
2
3 3x
h'' x e x 1 .2x e 0
2
x 1
= + = + >
(
)
+∞=
+
x
h
lim
1x
,
(
)
x
lim h x
+∞
= +∞
V
y h(x) liên tc và có ñồ thñường cong lõm trên (1, +)
Do
ñó ñể chng minh (2) có 2 nghim dương ta ch cn chng minh tn
ti x
0
> 1 mà h(x
0
) < 0
Ch
n x
0
= 2
( )
2
2
h 2 e 2007 0
3
= + <
Suy ra: h(x) = 0 có
ñúng 2 nghim x
1
> 1, x
2
> 1
VD4. D2006. Chng minh rng vi a > 0, h phương trình sau có nghim
duy nh
t.
y
e - e = ln(1 + x) - ln(1 + y)
y - x = a
x
HD. H
ñã cho
x + a
y = x + a
e - e + ln(1 + x) - ln(1 + a + x) = 0
x
ðặt
x + a
f(x) = e - e + ln(1 + x) - ln(1 + a + x
)
x
, x > - 1.
1
lim ( ) , lim ( )
x
x
f x f x
+
→+
= −∞ = +∞
, f '(x) > 0,
1
x
>
. Suy ra h có nghim duy
nh
t.
VD5. D2006-TK2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
2 2
ln(1 + x) - ln(1 + y) = x - y
x - 12xy + 20y = 0
(x, y
R
)
HD. H
ñã cho tương ñương
ln(1+x) - x ln(1+y)
1, 1
10 2
y
x y
x y x y
=
> >
= =
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
13
VD6. B2005. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
2 3
9 3
x - 1 + 2 - y = 1
3log (9x ) - log y = 3
(x, y
R
)
HD. H ñã cho tương ñương
3 3
x - 1 + 2 - y = 1 x - 1 + 2 - y = 1
3log (3x) - 3log y = 3 x = y
x > 0, y > 0
x > 0, y > 0
VD7
. TKA2007.
Gii h phương trình
+ + = +
+ + = +
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
(I)
y y 2y 2 3 1
HD.
ðặt u = x 1, v = y 1
(I) thành
+ + =
+ + =
2 v
2 u
u u 1 3
(II)
v v 1 3
Xét hàm f(x)
2
x x 1
= + +
f ´(x)
+
+ +
= + = >
+ + +
2
2 2 2
x x
x x 1 x
1 0
x 1 x 1 x 1
Vy f ñồng biến trên R.
Nếu u > v
f(u) > f(v)
>
v u
3 3
v > u ( vô lý )
Tương t nếu v > u cũng dn ñến vô lý
Do ñó h (II)
+ + = = +
= =
2 u u 2
u u 1 3 1 3 ( u 1 u) (1)
u v u v
ðặt: g(u)
u 2
3 ( u 1 u)
= +
= + +
+
u 2 u
2
u
g'(u) 3 ln3( u 1 u) 3 1
u 1
( )
(
)
Ru,0
1u
1
3lnu1u3u'g
2
2u
>
+
+=
Vy g(u) ñồng biến trên R.
Ta có g(0) = 1. Vy u = 0 là nghim duy nht ca (1)
Nên (II) u = 0 = v
Vy (I) x = y = 1.
* Bài tp luyn tp.
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
14
1. Gi
i h phương trình:
lg lg
lg4 lg3
3 4
(4 ) (3 )
x y
x y
=
=
(ðHNN HN -A98)
2. Gi
i h phương trình:
3 1 2 3
2
2 2 3.2
3 1 1
x y y x
x xy x
+ +
+ =
+ + = +
(ðHSP2HN-A98)
3. Gi
i h phương trình:
5( )
4
3
3 1
x
y
y x
x y
x y
+
=
=
(ðHKTQD-A99)
4. Gii h phương trình:
(
)
2 2
3 3
log log (2 )
16
x y
e e y x xy
x y
= +
+ =
(ðHNT-D99)
5.
Gii h phương trình:
2 2
3 3
9 3
log (3 ) log (3 ) 1
x y
x y x y
=
+ =
6. Gi
i và bin lun theo k h phương trình:
log (3 ) 2
log (3 ) 2
x
y
x ky
y kx
+ =
+ =
7. Cho h
phương trình:
log ( os sin ) log ( os + xsin ) 4
log ( os sin ).log ( os + xs in ) 4
x y
x y
xc y yc
xc y yc
α α α α
α α α α
+ + =
+ =
a) Gii h vi
4
π
α
=
.
b) Cho 0 <
α
<
4
π
. Gii và bin lun h theo
α
.
8. Cho h
phương trình:
log ( ) log ( + bx) 4
log ( ).log ( + bx) 4
x y
x y
ax by ay
ax by ay
+ + =
+ =
a) Gi
i h vi a = 3, b = 5.
b) Gii và bin lun h theo a > 0, b > 0.
9. Cho h phương trình:
2
3 3
3
2
1
log log 0
2
0
x y
x y ay
=
+ =
a) Gi
i h vi a = 2.
b) Tìm t
t c các giá tr a ñể h có nghim..
10. Gii h phương trình:
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y
+ =
=
(ðHTCKT-A2000)
11. Gi
i h phương trình:
2
1
2 .4 2
a x y xy
x y a
+
+ + =
=
(ðHM-ðC-A2000)
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit.
6/2009
15
12. Gii h phương trình:
2 2 2
3 3 3
3
log 3 log log
2
2
log 12 log log
3
x
x y y
y
x x y
+ = +
+ = +
(ðHTL-A2000)
13. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham a ®Ó PT sau nghiÖm (x.y) vi mi gi¸ trÞ
cña tham sè b:
=++
=+
24
55
)1(
1)1(
abyae
yxa
bx
(ðHDưc-A2001)
14. 1) Gii phương trình:
6
(3 )
5
7
36 0
log x
x x
=
2) Gi¶i hÖ phương trình:
=+
=+
06)(8
13).(
4
4
4
4
yx
xy
yx
yx
(ðH M-ðC-A2001)
15. Gi¶i hÖ:
=+
=+
433
033.23
1
22
yx
yxyx
16. Cho h phương trình
2
1
, a > 0.
2
1.
x y
a a
x y b b
+ =
+ = +
a) Gii h khi b = 1.
b) Tìm a
ñể h có nghim vi mi b
[0; 1]
| 1/15

Preview text:

Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LÔGARIT
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bn. a = 1
xD D  Dng 1. ( ) ( ) f g f x g x a = a ⇔ 
a > 0, a ≠ 1 
 f (x) = g(x) a = 1  D
 f (x) = b
ng 2. f (x) a = b ⇔ 
a > 0, a ≠ 1,b > 0 
 f (x) = log b a f ( x) g ( x)  D = ạng 3. a b
f (x) = g(x) log b a
a > 0, a ≠ 1,b > 0,b ≠ 1
2. Phương trình mũ biến ñổi v dng tích. VD1. Phương trình: x x x 1 + x x 1 12.3 3.15 5 20 (4 5 )(3 + + − = ⇔ + − 5) = 0 (ðHuế - D2001)
VD2. Phương trình: x−3 x−2 x−3 x−2 x−3 x−2 2 .3 − 2.2 − 3.3 + 6 = 0 ⇔ (2 − 3)(3 − 2) = 0
3. Biến ñổi tương ñương. 2
VD. Giải phương trình lg10x lg x lg100 4 6 2.3 x − = (1) 2lg x lg x     + x x + x x x x 2 2 (1) ⇔ 1 lg lg 2 2lg 2lg lg 2lg 4 − 6 = 2.3 ⇔ 4.2 − 6 = 18.3 ⇔ 4  −   −18 = 0  3   3  lg x  2  9   =  3  4 1 ⇔
⇔ lg x = −2 ⇔ x =  lg x   100 2   = −2  3 
4. Các phương trình mũ không mu mc.
VD1. Giải phương trình x 1+ x+4 x+2 4 + 2 = 2 +16 HD. x 1+ x+4 x+2 x x x 2 4 + 2 = 2
+16 ⇔ 4.4 +16.2 = 4.2 +16 ⇔ 4.2 x +12.2x −16 = 0
ðặt 2x = t > 0
VD2. Giải phương trình 2 2 2 x −3x+2 x +6 x+5 2 x +3x+7 4 + 4 = 4 +1 HD. ðặt 2 2 2 x −3x+2 x +6 x+5 2 x +3x+7 u = 4 , v = 4 ⇒ uv = 4
Pt ñã cho tương ñương u + v = uv + 1 ⇔ (u - 1)(1 - v) =0 x
VD3. Giải phương trình x x 2 4.3 − 9.2 = 5.6
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 1 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình x x x     HD. x x x 3 2 x x 2
4.3 − 9.2 = 5.6 ⇔ 4.3 − 9.2 = 5.( 6) ⇔ 4.  − 9  − 5 = 0     2 3     x x  3   2  1 ðặt t =   > 0 ⇒   =     2 3 t    
VD4. Giải phương trình 4x 5x 9x + =
HD. i) x = 1 là nghiệm x x     x x x 4 5
ii) 4 + 5 = 9 ⇔   +   = 1  9   9  x x x x  4   4   5  5  4   5 
x < 1:   >  ,   > ⇒   +   > 1  9   9   9  9  9   9  x x x x  4   4   5  5  4   5 
x > 1:   <  ,   < ⇒   +   < 1  9   9   9  9  9   9 
VD5. Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm, có nghiệm duy 1 nhất: = 3m − 2 1 3 x−  1 x   1  , n ế u x ≥ 1  3    , n ế u x ≥1 x 1 − HD. 1   Ta có 3  3  y = =  =  1 3 −x 1   , n ế u x ≤ 1 1 x nếu 1  .3 , x ≤ 1 3 −x 3
Vẽ ñồ thị và dựavào ñồ thị, ta có kết quả: 2
i) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 < 3m - 2 ≤ 1 ⇔ < m ≤ 1. 3
ii) Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 3m - 2 = 1 ⇔ m = 1.
* Bài tp luyn tp:
1. Giải phương trình: 2 2 2 2 4 4 6 6 x +4 x +5 2 + 2
+1956x +1958x +1979x +1981x +1976x +1982x = 54
2. Giải phương trình: 2 2 x 1 − x + 1 2 + 2 = 5
3. Giải phương trình: 4 x−3 4 x−3 4 x−3 4.( 5 −1) − 3( 5 +1) = 2
4. Giải phương trình: log2 x log2 x 2 (2 + 2) + x(2 − 2) = 1+ x
5. Giải phương trình: 3x 2 (2 3) 2(2 3) x 2(2 3)x + + + − − = 1
6. Giải phương trình:
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 2 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
(26 15 3)x 2(7 4 3)x 2(2 3)x + + + − − = 1
7. Giải phương trình:
64.9x 84.12x 27.16x − + = 0
8. Giải phương trình: 0 x 0 ( os72 ) ( os36 )x 3.2 x c c − + =
9. Giải phương trình: 2 2 xx −5 x 1 − − x −5 4 −12.2 + 8 = 0
10. Giải phương trình: 2 2 2 x + x 1− x ( x 1 + ) 4 + 2 = 2 +1
11. Giải phương trình: x−2 x−2 3.25 + (3x −10)5 + 3 − x = 0 x x  7 3 5   7 3 5  + −
12. Cho ph−¬ng tr×nh:   + a   = 8  2   2 
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi a = 7.
2. BiÖn luËn theo a sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.
13. Giải phương trình:
1956x 1958x 1979x 1981x 2001x + + + + = 5 .
14. Giải phương trình: 2 2 4sin x 2.cos x + = 2 + 2 15. 2
Giải phương trình: x x = x
II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Các bi
ến ñổi logarit (trong R ).
ðịnh nghĩa: y log x = y ⇔ x = a a ; x
∀ > 0, (a > 0, a ≠ 1)
S 0 và s âm không có logarit. • log 1 = 0 a
, (a > 0, a ≠ 1)
ðịnh nghĩa: log a = 1 a
, (a > 0, a ≠ 1) x
Lôgarit hoá: x = log a , a x
∀ , (a > 0, a ≠ 1) a x Mũ hoá: log x = a ; x
∀ > 0, (a > 0, a ≠ 1)
log xy = log x + log y , xy ≠ 0 a a a
, (a > 0, a ≠ 1) x • log
= log x − log y , xy ≠ 0 a
, (a > 0, a ≠ 1) y a a α • log x = α log x , x
∀ ≠ 0,(a > 0, a ≠1) a a
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 3 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình 1 log = − log x , x
∀ ≠ 0, (a > 0, a ≠ 1) a a x 1
log n x = log x , x
∀ ≠ 0,(a > 0,a ≠1) a a n 1 = ∀ ≠ α • log ≠ > ≠ α x log x , x 0, 0,(a 0,a 1) a a α log
x = −log x , x
∀ ≠ 0, (a > 0, a ≠ 1) 1 a a log
x = −log x , x
∀ ≠ 0, (a > 0, a ≠ 1) 1 a a 1 log = − log x , x
∀ ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1) a a x log x = n x x ∀ ≠ a > a n log , 0,( 0, 1) a a α α
log x = log x , x
∀ ≠ 0,β ≠ 0,(a > 0,a ≠1) • β a β a log y log x a x = y a , x
∀ > 0, y > 0, x ≠1, y ≠1,(a > 0,a ≠1)
ðổi cơ s: log x = log b.log x , x
∀ ≠ 0,(a > 0,a ≠1,b > 0,b ≠1) a a b
log b.log a =1,(a > 0,a ≠1,b > 0,b ≠1) a b log a .log a ...log
a .log a . =1,(a > 0,a ≠1,i =1, ) n 1 a 2 a2 3 an - 1 n an 1 i i Xuân Bang:
log x log y = log x log y , x
y ≠ 0,(a > 0, a ≠ 1,b > 0,b ≠ 1) a b b a
Chú ý các biến hoá mũ và logarit: VD: n m n ( n a )log x log x m m a a log x m n a a a x , x 0, (a 0, a 1; , m n ∗ = = = ≠ > ≠ ∈ N \ {1})
2. Ph
ương trình logarit (trong R ).
2.1. D
ng cơ bn.
a > 0, a ≠ 1 D
ng 1. log f (x) = log g(x) ⇔  f (x) = g(x) a a
f (x) > 0 (hay g(x) > 0)
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 4 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
VD. Giải phương trình log x + log (x − 2) = 0 4 1 2 HD. 1
log x + log (x − 2) = 0 ⇔
log x − log (x − 2) = 0 ⇔ log
x = log (x − 2) 4 1 2 2 2 2 2 2  x x 2 x x 2 0  = − − + =
x = −1∨ x = 2 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ x = 4 x − 2 > 0 x > 2 x − 2 > 0  D
a > 0, a ≠ 1
ng 2. log f (x) = b ⇔  af (x) b = a
VD. Giải phương trình log x + log (x + 2) = 2 3 3
HD. log x + log (x + 2) = 2 3 3 2 2
⇔ log x + 2 log (x + 2) = 2 ⇔ log x + log (x + 2) = 2 ⇔ log x(x + 2) = 2 3 3 3 3 3 ⇔ x(x + 2)2 = 9
a,b > 0; a,b ≠ 1; a b
Dng 3. log f (x) = log f (x) ⇔  ⇔ f (x) = 1 a b
log f (x) = log a log f (x) a b a
VD. Giải phương trình log (sin x) = log (sinx) 2 3
HD. log (sin x) = log (sinx) 2 3
⇔ log (sin x) = log 2 log (sinx) ⇔ log (sinx).(log 2 −1) = 0 ⇔ log (sinx) = 0 ⇔ sin x = 1 2 3 2 2 3 2
Dng 4. log f (x) = log g(x) a b
a,b > 0; a,b ≠ 1; a b
ðặt log f (x) = log g(x) = t f ( x) ⇔ a = t : Khử x trong hệ, giải a bg(x) a = t phương trình ẩn t.
VD1. Giải phương trình log (sin x) = log (cos x) 2 3
HD. log (sin x) = log (cos x) = t . Ta có hệ: 2 3 s  in x = 2t 2 s  in x = 4t  ⇔  4t 9t ⇔ + = 1 : Vô nghiệm cos x = 3t 2 cos x = 9t
VD2. Giải phương trình 2log (cot x) = log (cos x) 3 2 HD.
§Æt 2log cotx = log cosx = t ta cã: 3 2 2 t 2 t 2  x =  x =  x = t cos 4 cos 4 cos 4t cos x = 2    2   x   t cos t 4t 4t 2 2 cot x = 3 ⇔  = 3 ⇔ s  in x = ⇔  + 4t = 1 2 sin x 3t 3t    
cos x > 0, cot x > 0 
cos x > 0,sin x > 0
cos x > 0,sin x > 0
cos x > 0,sin x > 0   
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 5 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình 2 cos = 4t x  1  cos x = π ⇔ t  = −1 ⇔  2 ⇔ x = + k 2π 3  
cos x > 0,sin x > 0 s  in x > 0 
2.2. Biến ñổi tương ñương.
VD1.
Giải phương trình log x + log x = log 3log 225 5 3 5 9 HD. log x + log x = log 3log 225 5 3 5 9
⇔ l o g x + l o g x = l o g 15 ⇔ l o g 3.l o g x + l o g x = 1+ l o g 3 ⇔ (1+ l o g 3) l o g x = 1+ l o g 3 5 3 5 5 3 3 5 5 3 5
⇔ log x = 1 ⇔ x = 3 3
VD2. Giải phương trình log 2 + log 4x = 3 2 2 x HD. x > 0, x ≠ 2 x > 0, x ≠ 2  
l o g 2 + l o g 4x = 3 ⇔  1 ⇔  1 2 2 + 2 + lo g x = 3 + lo g x = 1  2  2 x 1  − lo g x 1  − lo g x 2 2 x > 0, x ≠ 2 x > 0, x ≠ 2 ⇔  ⇔  ⇔ x = 1, x = 4 2
lo g x − 2lo g x = 0
lo g x = 0 ∨ lo g x = 2 2 2 2 2
2.3. Biến ñổi v tích.
VD1.
Giải phương trình 2 2
x (lg(x −1) − x lg x − lg x + x + 2 = 0 HD. ðK x > 0 Ptrình ⇔ 2 2
x (lgx −1) − x lg x − 2 lg x + x + 2 = 0 ⇔ x (lgx −1) − x(lg x −1) − 2(lg x −1) = 0 2
⇔ (x - x - 2)(lgx −1) = 0
VD2. Giải phương trình 2 2 log
(9 +12x + 4x ) + log
(21+ 23x + 6x ) = 4 3x+7 2 x+3 HD. Ptrình ⇔ 2 log (2x + 3) + log
(2x + 3)(3x + 7) = 4 3x+7 2 x+3
2x + 3 > 0, 2x + 3 ≠ 1 ðK:  3
x + 7 > 0,3x + 7 ≠ 1
Phương trình ñã cho tương ñương với: 2 log (2x + 3) +1+ log (3x + 7) = 4 ⇔ 2 log (2x + 3) + log (3x + 7) = 3 3x+7 2 x+3 3x+7 2 x+3  1  1 2 2t + = 3
2t − 3t +1 = 0 t  = 1,t = ⇔  t ⇔  ⇔  2  t  = log (2x + 3) 3x+7 t  = log (2x + 3) t  = log (2x + 3) 3x+7 3x+7 log (2x + 3) = 1 3x+7
2x + 3 = 3x + 7 x = −4 x = −4  ⇔ 1 ⇔  ⇔  ⇔  2 2 log (2x + 3) =  + = +  + + = +  + + = + 2x 3 3x 7 4x 12x 9 3x 7 4x 9x 2 0 3x 7  2
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 6 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình x = 4 − 1  ⇔ 1 ⇒ x = − x = 2 − , x = − 4  4
2.4. Gii phương trình trên tng tp con ca tp xác ñịnh. VD. 1 Giải phương trình log − − x + x = x+ ( 2 3 1 2 3 ) 2  HD. 1 3
 − 1− x = x + 3 log − − x + x = ⇔ log 3 − 1− x = ⇔  x+3 ( ) x+ ( 1 2 3 1 2 3 ) 2 2
x + 3 > 0, x + 3 ≠ 1
i) - 3 < x ≤ 1, x ≠ - 2: Pt tương ñương: 2 + x ≥ 0 x ≥ 1 − ⇔ 3 − (1− x) = x + 3 ⇔
x + 3 = 2 + x ⇔  ⇔  2 2
x + 3 = 4 + 4x + xx + 3x +1 = 0 3 − + 5
−1 ≤ x ≤ 1 ⇒ x = 2 ii) x ≥ 1: Pt tương ñương: 4 − x ≥ 0 x ≤ 4 3 − (1− x) = x + 3 ⇔
x + 3 = 4 − x ⇔  ⇔  2 2
x + 3 = 16 − 8x + x
x − 9x +13 = 0 1  ≤ x ≤ 4  9 − 29 ⇔  9 ± 29 ⇔ x = x = 2  2
2.5. Các phương trình logarit không mu mc.
VD1.
Giải phương trình 2 2
log (x + x +1) − log x = 2x x 3 3 HD. x > 0.  1  2 2
log (x + x +1) − log x = 2x x ⇔ 2
log 1+ x +  = −(1− x) +1 3 3 3  x  1 1  1  x + ≥ 2 ⇒ 1+ x +
≥ 3 ⇒ log 1+ x +  ≥ 1 3 x xx  Mặt khác 2 −(1− x) +1 ≤ 1   1 
log 1+ x +  = 1
Phương trình tương ñương 3   x  ⇔ x = 1  2 −(1− x) +1 = 1
VD2. Giải phương trình 2
lg(x x − 6) + x = lg(x + 2) + 4 . 2   HD.
x x − 6 > 0
(x + 2)(x − 3) > 0 ðK  ⇔ 
x − 3 > 0 ⇔ x > 3 x + 2 > 0 x + 2 > 0
Phương trình tương ñương với: lg(x − 3) = 4 − x
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 7 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình * x = 4 là nghiệm
* x > 4: lg(x − 3) > 0, 4 − x < 0
* 3 < x < 4: lg(x − 3) < 0, 4 − x > 0
**) Có thể nói, trên (3; + ∞ ): y = lg(x − 3) < 0 ñồng biến, còn y = 4 - x nghịch
biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.
VD3. Giải phương trình 2
(x + 2) l o g (x +1) + 4(x +1)lo g (x +1) −16 = 0 3 3
HD. ðK: x > - 1
Do x > - 1 nên x + 2 ≠ 0.
ðặt lo g (x +1) = t , phương trình trở thành: 2
(x + 2)t + 4(x +1)t −16 = 0 3
∆ = 4(x + 1)2 + 16(x + 2) = (2x + 6)2 t = −4 log (x +1) = 4 −  80 3
−2(x +1) ± (2x + 6) x = −    t = ⇒ 4 ⇒ 4 ⇒ 81 x 2 t log (x 1)  + = + = 3   x = + 2 x 2 x + 2 (Xem phương trình không mẫu mực) VD4. log x Giải phương trình 6 log (x +3 ) = log x 2 6
HD. ðặt l g = ⇔ = 6t o x t x 6 t   t t t t t t 3
Phương trình ñã cho tương ñương l o g (6 + 3 ) = t ⇔ 6 + 3 = 2 ⇔ 3 +   = 1 2  2 
t = - 1 là nghiệm(xem phương trình không mẫu mực)
VD5.Giải phương trình ( x− )2 2 2.2 = log (2x) 2
HD. ðK: x ≥ 2 x 1 − x 1 2 = log (2x) 2 −   − log (2x) = 0 (*) ( x− )2 2 2.2 = log (2x) ⇔ 2 2  ⇔  2 x ≥ 2 x ≥ 2 ðặt f(x) = x 1
2 − − log (2x), x ≥ 2 2 x− 1 Suy ra f '(x) = 1 2 ln 2 − , x ≥ 2 x ln 2 x− 1 f "(x) = 1 2 2 ln 2 + > 0, x ∀ ≥ 2 . 2 x ln 2
⇒ Trên (0; + ∞ ) ñồ thị f(x) lõm và f(1) = 0, f(2) = 0 ⇒ (0; + ∞ ) phương trình
f(x) = 0 có ñúng hai nghiệm. Vậy phương trình (*) có ñúng một nghiệm x = 2 thoả ñk x ≥ 2 .
Luyn tp: 2 1. log10x logx log100 Giải phương trình 4 -6 2.3 x =
2. Giải phương trình 2 3
ln(sin x) −1+ sin x = 0
3. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 log
(x m +1) + log (mx x ) 2 2 + 7 2 2 − 7
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 8 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
4. Tìm tất cả các giá trị m ñể tổng bình phương các nghiệm của phương trình sau lớn hơn 1: 2 2 2 2
2 log (2x x + 2m − 4m ) + log (x + mx − 2m ) = 0 4 1 2
5. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a:
2 log x − log(x −1) = log a
6. Giải phương trình log x = log ( x + 2) 7 3 log x log x 7. 2 2 2
Giải phương trình: (2 + 2 ) + x (2 − 2 ) = 1+ x
8. Tìm tất cả các giá trị k ñể phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt, có 3 2 − xk 2 − x +2 x nghiệm phân biệt: 4
log (x − 2x + 3) + 2
log (2 x k + 2) = 0 1 2 2 2 2 9. log x log x 1 + log x Giải phương trình: 2 − 3 + 3 = 0
10. Giải phương trình: (x - 1)log 3 + log (3x + 1 + 3) = log (11.3x - 9) 5 5 5 2
13. Giải phương trình: log2 2x log 2 6 log 2 4 4 − x = 3 . 2 x
14. Giải phương trình: log x log x log 27 9 9 3 4 − 6.2 + 2 = 0 2 2
15. Giải phương trình: 2log (x 1 − 6) log ( x 1 − 6) 1 + 3 3 2 + 2 = 24
ðại hc, cao ñẳng 2002 - 2008:
16. Giải phương trình: 2 16 log x − 3log x = 0 3 3 27 x x 1 1 17. Giải phương trình: 8 log (x + 3) +
log (x −1) = log (4x) 4 2 2 2 4
18. Giải phương trình: log 5x − 4 = 1− x 5 ( )
19. Tìm m ñể phương trình 4(log x )2 − log x + m = 0 có nghiệm thuộc 2 1 2 khoảng (0; 1) 3 3 x 1
20. Giải phương trình: log − log = + log x 3 3 2 x 3 2 21. Cho phương trình: 2 2
log x + log x +1 − 2m −1 = 0 . 3 3
1) Giải phương trình khi m = 2
2) Tìm m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 3 1  ;3    1 1
22. Giải phương trình: log4(x −1) + = + log2 x + 2 log2x 1 4 2 +
23. Giải phương trình: log3(x − ) 1 2 + log (2x − ) 1 = 2 3 4
24. Giải phương trình: (2 − log x 3 )log 3 − = 1 9x 1− log x 3
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 9 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình 4
25. Giải phương trình: (2 − log x 3 )log 3 − = 1 9x 1− log x 3
26. Giải phương trình: log 2 + 2 log 4 = log 8 x 2 x 2 x
27. Giải phương trình: log
x +1 − log (3 − x) − log ( x − )3 1 = 0 1 8 2 2
28. Giải phương trình: log (3x ) 1 log ( x 1 3 + − − 3 = 6 3 3 ) 1
29. Giải phương trình: 2(log x +1 log x + log = 0 2 ) 4 2 4 30. Giải phương trình: 2 log (x +1) + 6 log x +1 + 2 = 0 2 2 x x 1
31. Giải phương trình: log (4 +15.2 + 27) + 2 log = 0 2 2 4.2x − 3 32. Giải phương trình: x x 2 x x 2 log (4 1
+ 5.2 +28)log (x −3x+3) =log (4 1
+ 5.2 +28)log (x −3x+3) 2 3 1 2 3
III. H PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Phương pháp gii
1. Biến ñổi về tích.
2. Giải hệ trên từng tập con của tập xác ñịnh.
3. Biến ñổi tương ñương.
4. Sử dụng các phương pháp giải phương trình không mẫu mực. • ðặt ẩn phụ. • ðối lập.
• PP hàm số dự ñoán và chứng minh không còn nghiệm. • Khảo sát hàm số.
• Dùng dấu hiệu cần và ñủ. • Dùng min max.
• PP toạ ñộ và PP hình học x yVD1.
e e = (log y − log x (xy +1) 2 2 )
Giải hệ phương trình  2 2 x + y = 1
HD. ðK: x > 0, y > 0.
Ta có từ ñiều kiện : xy + 1 > 0
Nếu x > y > 0 thì x y > , log > log x y e e x
y e e > 0, log y − log x < 0 2 2 2 2 x y
e e > 0,(log y − log x (xy +1) < 0 2 2 ) Nếu 0 < x < y thì x y
e e < 0,(log y − log x (xy +1) > 0 . 2 2 ) 1 Suy ra x = y = ± . 2
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 10 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình 2 2
log (x + y ) − log 2x +1 = log (x + 3y) 4 4 4 VD2.
Giải hệ phương trình  x 2
log (xy +1) − log (4 y + 2 y − 2x + 4) = log −1  4 4 4  y
HD. ðKiện: x >, y > 0, 4y2 + 2y - 2x + 4 > 0.
Hệ phương trình ñã cho tương ñương: 2 2
log 4(x + y ) = log 2x(x + 3y) 4 4   x 2 log 4(xy +1) = log
(4 y + 2 y − 2x + 4)  4 4  y 2 2
4(x + y ) = 2x(x + 3y) 2 2 
x − 3xy + 2y = 0
(x y)(x − 2 y) = 0 ⇔  x ⇔  ⇔  2 2 4(xy +1) =
(4 y + 2 y − 2x + 4) 
xy x + 2x − 2y = 0 2
xy x + 2x − 2 y = 0  y
x y = 0 
x y = 0
x y = 0   x = y  
(x y)(x − 2 y) = 0 2 − x = 0 x = y = 2 x = y ⇔  ⇔   ⇔ ⇔ 
(x y)(2 − x) = 0 x − 2 y = 0   x = y = 0 x = 2, y = 1  
x y = 0 x = 2, y = 1 
x − 2 y = 0  2 − x = 0  x y e = 2007 −  y2 −1
VD3. B2007-TK2. Chứng minh rằng hệ  có ñúng 2  y x e 2007  = −  x2 −1
nghiệm thỏa mãn ñiều kiện x > 0, y > 0. HD. t 1 − ðặt: f(t) = et, g(t) / = ;g (t) = < 0,∀ t > 1 3 2 t −1 2 2 (t −1)
Ta có f tăng trên và g giảm trên từng khoảng Xác ñịnh. f(x)+ ( g y) = 2007
Hệ phương trình (1) ⇔  f(y) + ( g x) = 2007
⇒ f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (∗)
Nếu x > y ⇒ f(x) > f(y) ⇒ g(y) < g(x) ( do(∗) )
⇒ y > x ( do g giảm ) ⇒ vô lý.
Tương tự khi y > x cũng dẫn ñến vô lý.
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 11 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình  x x e + − 2007 = 0 Do ñó, (1) ⇔ (2)  2 x −1 x = y x x Xét: h(x) = e + − 2007 (|x| > 1 ) x2 −1
Nếu x < –1 thì h(x) < e–1 – 2007 < 0 ⇒ hệ vô nghiệm 3 1 Khi x > 1 ⇒ ' h (x) x x = e − = e − x − 1 − 3 ( 2 ) 2 ( 2 x − )2 1 5 3 − 3x h ' (x) x = e + ( 2 x − ) x 2 1 .2x = e + > 0 5 2 ( 2 x − )2 1
và lim h(x) = +∞ , lim h (x) = +∞ + x→1 x→+∞
Vậy h(x) liên tục và có ñồ thị là ñường cong lõm trên (1, +∞)
Do ñó ñể chứng minh (2) có 2 nghiệm dương ta chỉ cần chứng minh tồn
tại x0 > 1 mà h(x0) < 0 Chọn x ⇒ 0 = 2 ( ) 2 2 h 2 = e + − 2007 < 0 3
Suy ra: h(x) = 0 có ñúng 2 nghiệm x1 > 1, x2 > 1
VD4. D2006. Chứng minh rằng với a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất. x y  e - e = ln(1 + x) - ln(1 + y)   y - x = a  HD. y = x + a Hệ ñã cho ⇔  x + a  e
- ex + ln(1 + x) - ln(1 + a + x) = 0 ðặt x + a f(x) = e
- ex + ln(1 + x) - ln(1 + a + x) , x > - 1.
lim f (x) = −∞, lim f (x) = +∞ , f '(x) > 0, x
∀ > −1. Suy ra hệ có nghiệm duy x→ 1+ − x→+∞ nhất.
VD5. D2006-TK2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
ln(1 + x) - ln(1 + y) = x - y  (x, y ∈ R ) 2 2 x - 12xy + 20y = 0
ln(1+x) - x = ln(1+y) − y HD.
Hệ ñã cho tương ñương x > 1 − , y > 1 − 
x = 10 y x = 2 y
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 12 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình
VD6. B2005. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:  x - 1 + 2 - y = 1  (x, y ∈ R ) 2 3 3  log (9x ) - log y = 3 9 3  x - 1 + 2 - y = 1  x - 1 + 2 - y = 1  
HD. Hệ ñã cho tương ñương 3
 log (3x) - 3log y = 3 ⇔ x = y 3 3   x > 0, y > 0 x > 0, y > 0  
VD7. TKA2007. Giải hệ phương trình  2 y−1 x + x − 2x + 2 = 3 + 1  (I) 2 x−  1 y + y − 2y + 2 = 3 +  1
HD. ðặt u = x − 1, v = y − 1   2 v u + u +1 = 3 (I) thành (II)   2 u v + v +1 = 3 2 Xét hàm f(x) = x + x +1 2 x x +1 + x x + x f ´(x) = 1+ = > ≥ 0 2 2 2 x +1 x +1 x +1
Vậy f ñồng biến trên R. v u
Nếu u > v ⇒ f(u) > f(v) ⇒ 3 > 3 ⇒ v > u ( vô lý )
Tương tự nếu v > u cũng dẫn ñến vô lý  2 u   u 1 3  u 2 u + + = 1 = 3 ( u +1 − u) (1) Do ñó hệ (II) ⇔  ⇔  u = v u = v u 2
ðặt: g(u) = 3 ( u +1 − u)   u 2 u u
⇒ g '(u) = 3 ln 3( u +1 − u) + 3  −1  2   u +1    u 2 1 ' g (u) = 3 ( u +1 − u)ln3  − > , 0 u ∀ ∈ R   u2 + 1 
Vậy g(u) ñồng biến trên R.
Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1) Nên (II) ⇔ u = 0 = v Vậy (I) ⇔ x = y = 1.
* Bài tp luyn tp.
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 13 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình lg x lg y1. 3  = 4
Giải hệ phương trình:  (ðHNN HN -A98) lg 4 lg3 (4x) = (3y) 3x 1 + y −2 y +3 2 + 2 =  3.2 x
2. Giải hệ phương trình:  (ðHSP2HN-A98) 2
 3x +1+ xy = x +1 x  5( y − ) 3. y +4 x  3
Giải hệ phương trình: x = y  (ðHKTQD-A99) 3 1 x = yx y4.
e e = (log y − log x (2 + xy) 2 2 )
Giải hệ phương trình:  (ðHNT-D99) 3 3 x + y = 16 2 2 9  x y = 3
5. Giải hệ phương trình: 
log (3x + y) − log (3x y) = 1 3 3  6.
log (3x + ky) = 2
Giải và biện luận theo k hệ phương trình: x
log (3y + kx) = 2  y log (x o
c sα + y sinα ) + log ( y o c sα + xs inα ) = 4
7. Cho hệ phương trình: x y  log (x o
c sα + y sinα ).log ( y o c sα + xs inα ) = 4  x y π a) Giải hệ với α = . 4 π b) Cho 0 < α <
. Giải và biện luận hệ theo α . 4
log (ax + by) + log (ay + bx) = 4
8. Cho hệ phương trình: x y
log (ax + by).log (ay + bx) = 4  x y
a) Giải hệ với a = 3, b = 5.
b) Giải và biện luận hệ theo a > 0, b > 0. 1 2
log x − log y =  0
9. Cho hệ phương trình: 3 3  2 3  2
x + y ay = 0  a) Giải hệ với a = 2.
b) Tìm tất cả các giá trị a ñể hệ có nghiệm.. log8 y log8 x10. x + y = 4
Giải hệ phương trình:  (ðHTCKT-A2000)
log x − log y = 1 4 4
x + y + a =1
11. Giải hệ phương trình:  (ðHMỏ-ðC-A2000) 2
2a .4x+yxy = 2
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 14 6/2009
Trn Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Qung Bình  3x
x log 3 + log y = y + log  2 2 2 12.  Giải hệ phương trình: 2  (ðHTL-A2000) 2 y
xlog 12 + log x = y + log 3 3 3  3
13. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó PT sau có nghiÖm (x.y) với mọi gi¸ trÞ (a − 5 ) 1 x + 5 y = 1 cña tham sè b:  (ðHDược-A2001) ebx + (a + 4 ) 1 by = 2 a
14. 1) Giải phương trình: log (3x) 6 5 7 x − 36 x = 0 4 ( 4 x + y y) 3 . x = 1
2) Gi¶i hÖ phương trình:  (ðH Mỏ-ðC-A2001)  4  ( 8 4
x + y) − x − 6 y = 0  2x− 3 2 y + x − 3 . 2 y − 3 = 0 15. Gi¶i hÖ:  3x + 1− 3 y = 4  x y 1
a + a = , a > 0.
16. Cho hệ phương trình  2  2
x + y = b b +1. a) Giải hệ khi b = 1.
b) Tìm a ñể hệ có nghiệm với mọi b ∈[0; 1]
Phương trình và h phương trình mũ-lôgarit. 15 6/2009