Nắm trọn chuyên đề hàm số Toán 12

–



 –

–

 Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng

K

.

 Định nghĩa 1.

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và







y f x

là một hàm số xác định

trên K, ta nói:

Hàm số







y f x

được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu









1 2 1 2 1 2

, ,    

x x K x x f x f x

Hàm số







y f x

được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu









1 2 1 2 1 2

, ,    

x x K x x f x f x

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.

 Nhận xét.

 Nhận xét 1.

 Nếu hàm số





f x

và





g x

cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số











f x g x

c

ũng

đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu











f x g x

.

 Nhận xét 2.

 Nếu hàm số





f x

và





g x

là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì

hàm số









.

f x g x

cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi

các hàm số









,

f x g x

không là các hàm số dương trên D.

 Nhận xét 3.

 Cho hàm số







u u x

, xác định với





;



x a b

và









;



u x c d

. Hàm số





 

 

f u x

cũng xác

định với





;



x a b

. Ta có nhận xét sau:

 Giả sử hàm số







u u x

đồng biến với





;



x a b

. Khi đó, hàm số





 

 

f u x

đồng biến với









; 

x a b f u

đồng biến với





;



u c d

.

 Giả sử hàm số







u u x

nghịch biến với





;



x a b

. Khi đó, hàm số





 

 

f u x

nghịch biến với









; 

x a b f u

nghịch biến với





;



u c d

.

 Định lí 1.

 Giả sử hàm số

f

có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì





' 0,

  

f x x K

.

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì





' 0,

  

f x x K

.

 Định lí 2.

 Giả sử hàm số

f

có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

Nếu





' 0,

  

f x x K

thì hàm số

f

đồng biến trên K.

Nếu





' 0,

  

f x x K

thì hàm số

f

nghịch biến trên K.

Nếu





' 0,

  

f x x K

thì hàm số

f

không đổi trên K.

 Định lý về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

 Giả sử hàm số

f

có đạo hàm trên khoảng

K

. Khi đó:

Nếu





0

f x





,

x K

 

và





0

f x





chỉ tại hữu hạn điểm thuộc

K

thì hàm số

f

đồng biến

trên

K

.

Nếu





0

f x





,

x K

 

và





0

f x





chỉ tại hữu hạn điểm thuộc

K

thì hàm số

f

nghịch biế

n

trên

K

Bài toán 1. Tìm tham số

m

để hàm số





;

y f x m



đơn điệu trên khoảng





;

 

.

 Bước 1: Ghi điều kiện để





;

y f x m



đơn điệu trên





;

 

. Chẳng hạn:

 Đề yêu cầu





;

y f x m



đồng biến trên





;

 





; 0

y f x m

 

  

.

 Đề yêu cầu





;

y f x m



nghịch biến trên





;

 





; 0

y f x m

 

  

.

 Bước 2: Độc lập

m

ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là





g x

, có hai trường hợp thường gặp :







m g x



,





;

x

 

 

 





;

max

m g x

 

 

.







m g x



,





;

x

 

 

 





;

min

m g x

 

 

.

 Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số





g x

trên

D

(hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Từ đó suy ra

m

.

Bài toán 2. Tìm tham số

m

để hàm số

ax b

y

cx d







đơn điệu trên khoảng





;

 

.

 Tìm tập xác định, chẳng hạn

d

x

c

 

. Tính đạo hàm

y



.

 Hàm số đồng biến

0

y



 

(hàm số nghịch biến

0

y



 

). Giải ra tìm được

m





1

.

 Vì

d

x

c

 

và có





;

x

 



nên

 

;

d

c

 

 

. Giải ra tìm được

m





2

.

 Lấy giao của





1

và





2

được các giá trị

m

cần tìm.

 Cần nhớ: “Nếu hàm số





f t

đơn điệu một chiều trên miền

D

(luôn đồng biến hoặc luôn nghịch

biến) thì phương trình





0

f t



có tối đa một nghiệm và

u



,

v D



thì









f u f v u v

  

.

VÍ DỤ MINH HỌA

Lời giải

Chọn C

Ta có

      

     



 



        

 

2

2 2

2 2 4 2 2 5

9 4 2 3 3 2 2

y f x x x x x x x x x x .

Cho



   

0 3

y x

hoặc

 

2

x

hoặc



0

x

hoặc



2

x

hoặc



3

x

.

Ta có bảng xét dấu của



y

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số







2

y f x

nghịch biến trên





 

; 3

và





0;3

.

Lời giải

Chọn B

Ta có





 

 

2

2 . 1

y x f x .

 

   

 

 



 

             



 







 



 

  



 

2 2 2

2

2 2

0 0

0

0 2 . 1 0 1 2 1 1

1

1 0 1

x x

x

y x f x x x x

x

x x

Ta có bảng biến thiên

VÍ DỤ 2. Cho hàm số







y f x

xác định và liên tục trên



có đồ thị hàm







f x

như hình vẽ bên. Hỏi

hàm số





 

2

1

y f x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.







1;0

. B.





0;1

. C.







;0

. D.







0;

.

VÍ DỤ 1. Cho hàm số







y f x

có đạo hàm

    



  

2

9 4

f x x x x

. Khi đó hàm số







2

y f x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.







3;

. B.







3;0

. C.





 

; 3

. D.







2; 2

.

Nhìn bảng biến thiên hàm số

 

2

( 1)y f x

nghịch biến trên khoảng

 

0;1

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

   

 

   

2

' 2 1 . ' 2g x x f x x

. Để hàm số

 

g x

đồng biến trên khoảng

 

1;

   

 

           

2

' 0 1; ' 2 0 1;g x x f x x x

       

 

             

2 2

2 2 2 2

2 2 2 5 0 1;x x x x x x m x x x

   

          

2

2 2

2 2 5 0 1 1;x x m x x x

.

Đặt

  

2

2t x x

,

 

   1; 0x t

.

Khi đó

 

1

trở thành

     

            

2

5

5 0 0; 2 0;t mt t t m t

t

Để

 

1

nghiệm đúng với mọi

   

  1; 2x

nghiệm đúng với mọi

 

 0;t

.

Ta có

 

  

5

2 5h t t

t

với

 

  0;t

. Dấu bằng xảy ra khi

  

5

5t t

t

.

Suy ra

 

 



0;

2 5

t

Min h t



 

2

nghiệm đúng

 

  0;t

     2 5 2 5m m

.

Vậy số giá trị nguyên âm của

m

là

4

.

VÍ DỤ 3.Cho hàm số





y f x

có đạo hàm













   

2 2

' 2 5f x x x x mx

với

 



x

. Số giá trị

nguyên âm của

m

để hàm số

 

  

2

2g x f x x

đồng biến trên khoảng

 

1;

là

A.

3

. B.

4

. C.

5

. D.

7

.

VÍ DỤ 4. Cho hàm số





y f x

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Bất phương trình

 

 

2

x

f x e m

đúng với mọi

 

 1;1x

khi và chỉ khi

A.





 0 1m f

. B.





  1m f e

. C.





 0 1m f

. D.





  1m f e

.

Lời giải

Chọn C

Có









    

2

, 1;1

x

f x e m x













      

2

, 1;1 (1)

x

m g x f x e x

Ta có









 

 

2

2 .

x

g x f x x e

có nghiệm





  

0 1;1

x

và









   





   







  





0, 1;0

0, 0;1

g x x

.

Bảng biến thiên:

Do đó

 















  

1;1

max 0 0 1

g x g f

. Ta được









  

1 0 1

m f

.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

 

    

2 2

( ) 3e ( ) 3e

x x

f x m f x m

.

Đặt













 

 

    

2 2

( ) 3e 3

x x

h x f x h x f x e

.

Vì











   

2; 2 , 3

x f x và















      

2 4

2;2 2 0;4 3 3;3

x

x x e e

Nên



















 

           

2 4

3 0, 2; 2 (2) 3e ( 2) 3

x

h x f x e x f h x f

.

Vậy bất phương trình



 

2

( ) 3e

x

f x m

có nghiệm





 

2; 2

x

khi và chỉ khi





 

4

2 3

m f e

.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện xác định: sin

x m



VÍ DỤ 5. Cho hàm số







y f x

. Hàm số









y f x

có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình



 

2

( ) 3e

x

f x m

có nghiệm





 

2; 2

x

khi và chỉ khi:

A.





  

2 3

m f . B.





 

4

2 3

m f e

. C.





 

4

2 3

m f e

. D.





  

2 3

m f .

VÍ DỤ 6. Tổng các giá trị nguyên của tham số

m

trên khoảng





2020 2020

;

để hàm số

sin 3

sin

x

y

x m







đồng biến trên khoảng

0;

4



 

 

 

.

A.

2039187



. B. 2022. C. 2093193. D. 2021.

Ta có

sin 3

sin

x

y

x m















 

2

cos sin sin 3 cos

sin

x x m x x

y

x m

  



 







 

2

cos 3

sin

x m







.

Vì

0;

4

x



 



 

 

nên

2

cos 0; sin 0;

2

x x

 

 

 

 

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

0;

4



 

 

 

3 0

0

2

3

2

m

 

















 





 

















.

Vì









2019 2018 1 0 1 2

m m ; ;...; ; ;

      



Vậy tổng các giá trị của tham số

m

là:

2019 0

2020 1 2 2039187

2

S .

 

    

.

Lời giải

Chọn A

Cách 1:

Ta có:









2

1 2

g x f x x x

   









2 1 2 2 1

g x f x x

 

     

.

Hàm số nghịch biến

   

1 2

0 1 2

2

x

g x f x



 

     

.

Xét sự tương giao của đồ thị hàm số





y f t





và

2

t

y

 

.

Dựa vào đồ thị ta có:

 

2 0

4

2

t

f t

t

  





  







.

Khi đó:

 

1 3

2 1 2 0

2 2

' 0

1 2 4 3

2

x

g x

x



 



   



  



 





 





.

Cách 2:

Ta có:









2

1 2

g x f x x x

   









2 1 2 2 1

g x f x x

 

     

.

VÍ DỤ 7. Cho hàm số





f x

. Hàm số





'



y f x

có đồ thị như hình bên.

Hàm số









2

1 2

   

g x f x x x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A.

3

1;

2

 

 

 

. B.

1

0;

2

 

 

 

. C.





2; 1

 

. D.





2;3

.

x

y

– 2

4

1

– 2

O

   

1 2

0 ' 1 2

2

x

g x f x





    

.

Xét sự tương giao của đồ thị hàm số

 

y f t





và

2

t

y  

.

Từ đồ thị ta có:

 

2

' 0

2

4

t

f t t

t

 





   







. Khi đó:

 

3

2

1 2 2

1

0 1 2 0

2

1 2 4

3

2

x

g x x x

x







  







     



 







 





. Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến trên các khoảng

3

;

2

 

 

 

 

và

1 3

;

2 2

 

 

 

.

Lời giải

Chọn B

Ta có đạo hàm:

     

2

h x f x g x a

  

  

. Để hàm số đồng biến thì

 

0h x





.

   

2

a f x g x

 

  

. Từ đồ thị, ta có

   

2

12 12f x g x a

 

   

.

Suy ra số giá trị nguyên dương của

a

thỏa mãn là

 

1; 2; 3a

.

Vậy tổng các giá trị của

a

thỏa mãn là

6

.

VÍ DỤ 7. Cho hàm số





f x

và





g x

có một phần đồ thị biểu diễn đạo hàm





f x



và





g x



như hình

vẽ dưới đây. Biết rằng hàm số

     

2

2021y h x f x g x a x    

luôn tồn tại một khoảng đồng biến là

 

;m n

. Tổng các giá trị nguyên dương

a

thỏa mãn là?

A.

5

. B.

6

. C.

7

. D.

8

.

Câu 1: Hàm số nào dưới đây luôn đồng biến trên tập



?

A.

  

2

2 1y x x

B.

  sin .y x x

C. . D.

 

 ln 3y x

.

Câu 2: Hàm số

  

3 2

1 5

6

3 2

y x x x

nghịch biến trên khoảng nào?

A.

 

2;3

. B.

 

1; 6

. C.

 

 6; 1

. D.

 

 3; 2

.

Câu 3: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số







3 1

2

x

y

x

là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

 

; 2

và

 

2;

.

B. Hàm số đồng biến trên

 



\ 2

.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng

 

; 2

và

 

2;

.

D. Hàm số nghịch biến trên

 



\ 2

.

Câu 4: Cho hàm số

  

3 2

3 2y x x

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

0; 2

. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

; 0

.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

0; 2

. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

 2;

.

Câu 5: Hàm số nào sau đây đồng biến trên

 

; 2

và

 

2;

?

A.







1

2

x

y

x

. B.





1

2

y

x

C.







2 5

2

x

y

x

. D.







1

2

x

y

x

.

Câu 6: Cho hàm số

   

3 2

6 9 1y x x x

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

1; 3

. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

3;

.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

1;

. D. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

; 3

.

Câu 7: Cho hàm số

 

   

3 2

3

6

3 2 4

x x

f x x

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

2; 3

. B. Hàm số nghịch biến trên

 

 ; 2

.

C. Hàm số đồng biến trên

 

 2;

. D. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

2; 3

.

Câu 8: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng D. Hàm số đồng biến trên .

Câu 9: Hàm số

  

2

4 5 0z z

đồng biến trên khoảng

A.

 

 

 

 

1

;

2

B.

 

 

 

 

1

;

2

C.

 

0;

D.

 

;0

Câu 10: Trong các hàm sau đây, hàm số nào không nghịch biến trên



.

3 2

5 7

x

y

x







2

1

y x

 





1;







;0



(0; ).







;

 

A.  



2

1

y

x

. B.

 



 



 

2

2 3

x

y . C.

   

3 2

2 7

y x x x

. D.

  

4 cos

y x x

.

Câu 11: Cho hàm số







y f x

có đạp hàm







 

2

1

f x x

,

 



x

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng







1;1

. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng







;0

.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng





 

;

. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng







1;

.

Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến trên tập

xác định của nó.

 



 



2 1

.

1

x

y

x

,





    

4 2

. 2

y x x

,





   

3

. 3 4

y x x

.

A.









 

; . B.









 &

II

. C.









 

; . D.





II

.

Câu 13: Cho hàm số

    

3 2

1

3

y x x x

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên



.

B. Hàm số đồng biến trên



.

C. Hàm số đồng biến trên





 

1;

và nghịch biến trên







;1

.

D. Hàm số đồng biến trên







;1

và nghịch biến trên





 

1;

.

Câu 14: Cho hàm số







1

x

y

x

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng







;1

và







1; .

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng







;1

và







1; .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng









  

;1 1; .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng









  

;1 1; .

Câu 15: Cho các hàm số







1

2

x

y

x

,



tan

y x

,    

3 2

4 2017

y x x x . Số hàm số đồng biến trên



là

A.

0

. B.

3

. C.

1

. D.

2

.

Câu 16: Tìm tất cả giá trị của tham số

m

để hàm số





  

2

6

y mx m x

nghịch biến trên khoảng





 

1;

A.

  

2 0

m

. B.

  

2 0

m

. C.

 

2

m

. D.

 

2

m

.

Câu 17: Cho hàm số





 

2 1

1

x

y

x

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên







\ 1

B. Hàm số nghịch biến trên







\ 1

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng







; 1

và





 

1;

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng







; 1

và





 

1;

Câu 18: Cho hàm số







y f x

có đạo hàm







 

2

f x x x

,

 



x

. Hàm số





 2

y f x

đồng biến trên

khoảng

A.







2;0

. B.





0; 2

. C.







2; . D.





 

; 2

.

Câu 19: Cho hàm số

  

4 2

1

2 1

4

y x x

. Chọn khẳng định đúng.

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng







2; 0

và







2;

.

B. Hàm đồng biến trên các khoảng





 

; 2

và





0;2

.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng







2;0

và







2;

.

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng





 

; 2

và







2;

.

Câu 20: Hàm số nào sau đây đồng biến trên



?

A. 

4 2

– 2 – 1

y x x . B.

   

3 2

1 1

3 1

3 2

y x x x .C.







1

2

x

y

x

. D.

  

3 2

4 3 – 1

y x x x

.

Câu 21: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên







1;

?

A.



3

log

y x

. B.







2

1

2

x

y

x

. C.

 



 

 

1

2

x

y

. D.







3

2

x

y

x

.

Câu 22: Hàm số

   

4 2

4 1

y x x nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây?

A.







2; . B.







3;0

;







2; .C.









 

2;0 ; 2; . D.







2; 2

.

Câu 23: Hàm số

 

3 2

3

y x x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.







1;1

. B.







;1

. C.





0;2

. D.





 

2;

.

Câu 24: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng





0;2

?

A.   

3 2

3

y x x

. B.





2

4

x

y

x

. C.







2 1

1

x

y

x

. D. 

ln

x

y

x

.

Câu 25: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên





1; 3

?

A.

   

3 2

1

2 3 1

3

y x x x .B.







1

2

x

y

x

. C.

 





2

2 1

2

x x

y

x

. D.

 

2

1

y x

.

Câu 26: Cho hàm số







2 5

1

x

y

x

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số luôn luôn nghịch biến trên









\ 1

.

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng





 

; 1

và





 

1;

.

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng





 

; 1

và





 

1;

.

D. Hàm số luôn luôn đồng biến trên









\ 1

.

Câu 27: Hàm số

  

4 2

2 1

y x x đồng biến trên khoảng nào?

A.

 



x

. B.







1;0

và







1; . C.







1;0

. D.







1; .

Câu 28: Hàm số nào sau đây đồng biến trên



?

A. 



1

x

y

x

. B.

 

1

y x

. C.

 

4

1

y x . D.

 

2

1

y x .

Câu 29: Hàm số

 

4

2

y x nghịch biến trên khoảng nào?

A.

 

 



 

1

;

2

. B.







;0

. C.

 

 



 

1

;

2

. D.







0;

.

Câu 30: Cho hàm số

 





 

3 1

1

x

f x

x

. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A.





f x

nghịch biến trên



. B.





f x

đồng biến trên







;1

và







1;

.

C.





f x

nghịch biến trên









   

; 1 1;

. D.





f x

đồng biến trên



.

Câu 31: Cho hàm số

   

3 2

2 1

y x x x

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

 

 

   

 

 

1

; 1;

3

.

B. Hàm số đồng biến trên

 

 

   

 

 

1

; 1;

3

.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

 

 

 

1

;

3

.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

 

 

1

;1

3

.

Câu 32: Cho hàm

  

2

6 5

y x x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng







5; .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng







3; .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng







;1 .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng







;3 .

Câu 33: Hàm số

   

4 2

2 2

y x x nghịch biến trên.

A.









 

1;0 ; 1;

. B.







1;1

. C.



. D.









 

; 1 ; 0;1

.

Câu 34: Hàm số nào sau đây đồng biến trên



?

A.

  

3

3 1

y x x . B.

  

3

3 1

y x x

. C.

 

2

1

y x . D.

  

2 1

y x .

Câu 35: Hàm số







2

1

x

y

x

nghịch biến trên các khoảng:

A.





 

1; . B.







1; . C.









 

;1 ; 1; . D.







3; .

Câu 36: Cho hàm số







3

x

y

x

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên







\ 3

.

B. Hàm số đồng biến trên







\ 3

.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng







;3

và







3; .

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng







;3

và







3; .

Câu 37: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số

 

2

9

y x

.

A.







0; . B.







;0

. C.







3;0

. D.





0;3

.

Câu 38: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó?

A.

  

4 2

2 5y x x

. B.

   

3

2 3 5y x x

. C.

  

4 2

y x x

. D.





 

1

3

x

y

x

.

Câu 39: Hàm số nào sau đây đồng biến trên



?

A.

  

4 2

2 3y x x

B.







1

3

x

y

x

C.

   

3

2y x x

D.

   

3 2

2 1y x x x

Câu 40: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên



?

.

A.

   

3 2

3 3 2y x x x

. B.







1

x

y

x

. C.

  

4 2

2 1y x x

. D.

   

3

3 2

3

x

y x

.

Câu 41: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

    



  

2

9 4f x x x x

. Khi đó hàm số

 



2

y f x

nghịch

biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

3;

. B.

 

3;0

. C.

 

 ; 3

. D.

 

2; 2

.

Câu 42: Cho

 

f x

mà đồ thị hàm số

 



y f x

như hình bên. Hàm số

 

   

2

1 2y f x x x

đồng biến

trên khoảng

A.

 

1; 2 .

B.

 

1;0 .

C.

 

0;1 .

D.

 

 2; 1 .

Câu 43: Cho hàm số

 ( )y f x

có đạo hàm

 



 

2

2f x x x

với mọi





x

. Hàm số

 





     

2 2

2 1 1 3g x f x x

đồng biến trên các khoảng nào dưới đây?

A.

 

 2; 1

. B.

 

1;1

. C.

 

1; 2

. D.

 

2; 3

.

Câu 44: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đạo hàm

   

 



   

2 2

2 6f x x x x x m

với mọi

x R

. Có bao nhiêu số nguyên

m

thuộc đoạn

 

 

2019;2019

để hàm số

   

 1g x f x

nghịch

biến trên khoảng

 

 ; 1

?

A.

2012

. B.

2011

. C.

2009

. D.

2010

.

Câu 45: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

     



  

2

1 2f x x x x

với mọi





x

. Hàm số

 

 



 



 

2

5

4

g fx

x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.

 

 ; 2

. B.

 

2;1

. C.

 

0; 2

. D.

 

2; 4

.

Câu 46: Cho hàm số

 

f x

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Xét hàm số

 

  

    

 

 

3

2

1 3

2 3

2 3 2

x x

g x f x x

. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số

 

g x

nghịch biến trong khoảng

 

1;0

.

B. Hàm số

 

g x

đồng biến trên khoảng

 

0;2

.

C. Hàm số

 

g x

nghịch biến trong khoảng

 

 4; 1

.

D. Hàm số

 

g x

đồng biến trên khoảng

 

2;3

.

Câu 47: Tìm tập hợp

S

tất cả các giá trị của tham số thực

m

để hàm số

     

3 2 2

1

(m 1) (m 2 m) 3

3

y x x x

nghịch biến trên khoảng

 

1;1

.

A.

  

 

1;0S

. B.

 S

. C.

 

 1S

. D.

 

 1S

.

Câu 48: Tổng tất cả các giá trị thực của

m

để hàm số

 

      

2 5 3 2 2

1 1

10 20 1

5 3

y m x mx x m m x

đồng biến trên



bằng

A.

5

2

. B.

2

. C.

1

2

. D.

3

2

.

Câu 49: Cho hàm số có . Hàm số đồng biến trên

khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 50: Cho hàm số

 

y f x

. Đồ thị của hàm số

 



y f x

như hình bên. Đặt

   

 g x f x x

. Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

A.

     

  1 1 2g g g

. B.

     

  1 1 2g g g

.

C.

     

  2 1 1g g g

. D.

     

  2 1 1g g g

.





y f x



















2 5 1

f x x x x



   





2

y f x







0;1





1;0







2; 1

 





2;0



O

y

1

2

1



1



x

Câu 1: Chọn B

Ta có hàm số

 

sin

y x x

có tập xác định





D

và



  

1 cos 0

y x

với mọi





x

nên luôn

đồng biến trên



.

Câu 2: Chọn A

Ta có:



  

2

5 6

y x x ;



       

2

0 5 6 0 2 3

y x x x

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng





2;3

.

Câu 3: Chọn A

Ta có

 





   



2

5

0, 2

2

y x

x

.

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng







;2

và







2;

.

Câu 4: Chọn C

Ta có:



 

2

3 6

y x x

;







 







0

2

x

y

x

.

Bảng xét dấu:

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng





0; 2

và đồng biến trên các khoảng







; 0

;





 

2; .

Câu 5: Chọn C

Câu 6: Chọn A

Câu 7: Chọn A

Ta có







  

2

6

f x x x

có hai nghiệm phân biệt là



2

và

3

.











   

0 2;3

f x x

. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng







2; 3

.

Câu 8: Chọn A

Hàm số có tập xác định nên loại A, B, D.

Câu 9: Chọn C





3

8

y x



   

0 0

y x



   

0 0

y x

;



  

0 0

y x

.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng







0;

Câu 10: Chọn A









; 1 1;D

    

Với

 



2

1

y

x

ta có

 







2

1

x

y

x



 0y

khi

 0x

và



 0y

khi

 0x

nên hàm số không nghịch biến trên



Câu 11: Chọn C

Ta có

 



     



2

1 0, f x x x

Hàm số đồng biến trên khoảng

 

 ;

.

Câu 12: Chọn D

 

I

: TXĐ:

 

 



\ 1D

.

 

 



    





2

1

0 \ 1

1

y x

x



 

I

không thỏa.

( Nhận xét: đây là hàm nhất biến nên không thỏa).

 

II

: TXĐ:





D

,



  

3

4 2y x x

,









  



 





0

2

0

2

x

y x

x

.

Bảng xét dấu.

.

Vậy

 

II

thỏa.

(Nhận xét,



 0y

là phương trình bậc ba có đủ

3

nghiệm nên luôn đổi dấu trên



nên

 

II

thỏa).

 

III

: TXĐ:





D

,



    



2

3 3 0y x x

. Vậy

 

III

không thỏa.

Câu 13: Chọn A



   

2

2 1y x x

=

 

    



2

1 0,x x

nên hàm số nghịch biến trên



.

Câu 14: Chọn A

Hàm số







1

x

y

x

có tập xác định

 





\ 1D

và có đạo hàm

 



 



2

0

1

y

x

 x D

nên

khẳng định A đúng.

Câu 15: Chọn C

Loại hai hàm số







1

2

x

y

x

,

 tany x

vì không xác định trên



.

Với hàm số

   

3 2

4 2017y x x x

ta có

     



2

' 3 2 4 0,y x x x

nên hàm số đồng biến trên



.

Câu 16: Chọn A

 



  2 6y mx m

. Theo yêu cầu bài toán ta có

 



    0, 1;y x

.

Ta có

 

    



6

2 6 0

2 1

mx m m

x

.

Xét hàm số

 





6

2 1

g x

x

với





  

1;x

.

Vậy

  

2 0

m

.

Câu 17: Chọn C

Tập xác định









\ 1

D

Ta có

 



 

 

2

3

0

1

y

x

với mọi



1

x

.

Hàm số đồng biến trên các khoảng







; 1

và





 

1;

.

Câu 18: Chọn B

Ta có:









 

       

2

2 2 4 0 0;2

y f x x x x .

Suy ra: Hàm số





 2

y f x

đồng biến trên khoảng





0;2

Câu 19: Chọn C

Phân tích: Xét phương trình





0

y

  

3

4 0

x x

 





 



0

2

x

.

Theo dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số

 

1

0

4

a nên ở đây ta có thể xác định

nhanh hàm số đồng biến trên







2;0

và







2; , hàm số nghịch biến trên





 

; 2

và





0;2

.

Câu 20: Chọn B

Hàm số

   

3 2

1 1

3 1

3 2

y x x x có

 



        

 

 



2

1 11

3 0,

2 4

y x x x x

.

Câu 21: Chọn A

Ta có hàm số  

, log

x

a

y a y x

đồng biến trên tập xác định nếu



1

a

.

Do đó hàm số 

3

log

y x

đồng biến trên







0; .

.

Câu 22: Chọn C







          

3 2

4 8 4 2 0 0, 2

y x x x x x x

.

Câu 23: Chọn C

Ta có



 

2

3 6

y x x





 

3 2

x x .

Do đó,



   

0 0 2

y x

.

Theo dấu hiệu nhận biết tính đơn điệu của hàm số, hàm số nghịch biến trên





0;2

.

Câu 24: Chọn A

Xét hàm số   

3 2

3

y x x

có



  

2

3 6

y x x

.



      

2

0 3 6 0 0

y x x x hoặc



2

x

.

Xét dấu



y

ta có hàm số đồng biến trên





0;2

.

Câu 25: Chọn A

Xét hàm số

   

3 2

1

2 3 1

3

y x x x .Ta có



  

2

4 3

y x x .







 







1

0

3

x

y

x

.

Bảng biến thiên.

.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng





1; 3

.

Câu 26: Chọn C

 





 



2

3

0

1

y

x



Hàm số nghịch biến trên các khoảng





 

; 1

và





 

1;

.

Câu 27: Chọn B

.

Hàm số

  

4 2

2 1

y x x đồng biến trên mỗi khoảng









 

1; 0 ; 1;

.

Câu 28: Chọn B

Hàm số

 

1

y x

xác định trên



và có đạo hàm



   



1 0,

y x

nên hàm số đồng biến trên



.

Câu 29: Chọn B

Ta có:





3

y x

. Hàm số nghịch biến



    

3

0 0

y x x

.

Câu 30: Chọn B

Tập xác định









\ 1

D

.

 



 

 

2

4

0

1

f x

x

,

 

1

x

.

Vậy hàm đã cho đồng biến trên các khoảng







;1

và







1;

.

Câu 31: Chọn D

Ta có



  

2

3 4 1

y x x

.





0

y

















1

3

x

.

Bảng xét dấu



y

:

-+

-

+

0

1

0-1

+∞

-∞

y

y'

x

Dựa vào bảng xét dấu ta có

 



  

 

 

1

0 ;1

3

y x

nên hàm số nghịch biến trên khoảng

 

 

 

1

;1

3

.

Câu 32: Chọn A

Tập xác định:





     

 

;1 5;D

. Ta có





 

 

2

3

0

6 5

x

y

x x

,





  

5;x

.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng







5; .

Câu 33: Chọn A

Ta có



  

3

4 4

y x x

.







 



 



0

1

x

y

x

.

Bảng biến thiên:

.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng









 

1;0 ; 1;

.

Câu 34: Chọn A

Hàm số

  

2 1

y x luôn nghịch biến trên



.

Hàm số

  

3

3 1

y x x

có



 

2

3

y x nên hàm số không thể đồng biến trên



.

Hàm số

 

2

1

y x

có





2

y x

nên hàm số không thể đồng biến trên



.

Hàm số

  

3

3 1

y x x có:



   

2

3 3 0

y x x

.

Câu 35: Chọn C

TXĐ:









\ 1

D

.

 





   



2

3

0,

1

y x D

x

.

Suy ra: Hàm số nghịch biến trên các khoảng









 

;1 ; 1;

.

Câu 36: Chọn D

Tập xác định









\ 3

D .

Ta có

 





   



2

6

0,

3

y x D

x

do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng







;3

và







3;

.

Câu 37: Chọn C

Tập xác định

  

 

3; 3

D .

Ta có







/

2

9

x

y

x

;



/

0

y





 

0;3

x

, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên







3;0

.

Câu 38: Chọn B

Hàm trùng phương không nghịch biến trên tập xác định của nó.

Với





 

1

3

x

y

x

ta có:

 



   

 

2

4

0, 3

3

y x

x

. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Với

   

3

2 3 5y x x

ta có:



     



2

6 3 0, y x x

. Hàm số nghịch biến trên



.

Câu 39: Chọn D

Xét hàm:

   

3 2

2 1y x x x

.

Ta có:



   

2

3 2 2 0y x x

 



x

, nên hàm số luôn đồng biến trên



.

Câu 40: Chọn A

Ta có

 



            



2

3 2 2

3 3 2 3 6 3 3 1 0y x x x y x x x x

và



 0y

chỉ tại

 1x

.

Vậy

   

3 2

3 3 2y x x x

đồng biến trên



.

Câu 41: Chọn C

Ta có

      

     



 



        

 

2

2 2

2 2 4 2 2 5

9 4 2 3 3 2 2y f x x x x x x x x x x

.

Cho



   0 3y x

hoặc

 2x

hoặc

 0x

hoặc

 2x

hoặc

 3x

.

Ta có bảng xét dấu của



y

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số

 



2

y f x

nghịch biến trên

 

 ; 3

và

 

0; 3

.

Câu 42: Chọn A

Ta có

 

   

2

1 2y f x x x

Khi đó

 

 

   1 2 2y f x x

. Hàm số đồng biến khi



 0y

     



    1 2 1 0 1f x x

Đặt

  1t x

thì

 

1

trở thành:

 



 2 0f t t

 



  2f t t

.

Quan sát đồ thị hàm số

 



y f t

và

2y t

trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó ta thấy với

 

 0; 1t

thì đồ thị hàm số

 



y f t

luôn nằm trên đường thẳng

2y t

.

Suy ra

   



   2 0, 0;1f t t t

. Do đó

 

  1; 2x

thì hàm số

 

   

2

1 2y f x x x

đồng biến.

Câu 43: Chọn A

Ta có







 

   

 

2

2 2

( ) 2 1 .

1 1

x x

g x f x

x x







 



   

 

 



2

2 1 1

1

x

f x

x

.

Vì

   



    

2

2 1 1

f x x x x

nên



 

( ) 1

f x

,

 



x

hay







 

1 0

f x

,

 



x

.







       

2

1 2 1 1

f x x x x

. Do đó







    

2

2 1 1 1 0

f x

,

 



x

.

Và









 

              

2 2 2

2 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0

f x f x x x

.

BBT:

Dựa vào BBT, suy ra hàm số





g x

đồng biến trên khoảng







;0

.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên





 

2; 1

.

Câu 44: Chọn B

Ta có:

         

 

   

 



 

                

2 2

1 . 1 1 1 4 5 1 1 4 5

g x f x x x x x x m x x x x m

.

Để hàm số nghịch biến trên khoảng





 

; 1

thì









0

g x

, bằng không tại một số điểm hữu hạn

với mọi





  

; 1

x

.

Do

   

  

2

1 1 0

x x

với mọi





  

; 1

x , nên









0

g x với mọi





  

; 1

x

    

2

4 5 0

x x m

với mọi





  

; 1

x

    

2

4 5

m x x

với mọi





  

; 1

x .

Xét hàm số





   

2

4 5

h x x x trên





 

; 1

. Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra



9

m

, kết hợp với điều kiện

m

nguyên và thuộc đoạn

 

 

2019;2019

suy ra có

2011

số nguyên

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

∞

0

g

x

( )

0

x

g'

x

( )

0

+

∞

Câu 45: Chọn D

Cho

     

 





     







2

0

0 1 2 1(nghiem_kep)

2

x

f x x x x x

x

Ta có

 





   









 



2

2 2

2

5 20 5

4

g

x x

f

x

. Cho

 

   



  

 



 





2

2 2

2

5 20 5

0 0

4

x x

f

x

g x

Dựa và







f x

ta có:



  



  









































2

5 20 0

5

2

0

4

0

5

1

p

nghiem_kep

k

( )

1

4

4(

nghiem_ e

)

5

2

4

x

Bảng xét dấu

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng





2; 4

.

Câu 46: Chọn B

Cách 1: Ta có

 

  



  

 

 





2

1 1

3 2

2 2

x

x f x xg





 





 





 



  





  

 



 

 























1 5

2 2

4

1

2

0

1 1 2

2

2 2

7

1

3

2

x

f

x x

x

;

 

 



  

  



  



 

  

 





 





1 5

4

1

2 2

0

1 1 2 7

2

3

2 2

x

f

x x

Bảng xét dấu cho các biểu thức

Từ bảng xét dấu đáp án B sai, vì

 

(0;1) (0;2)

x

thì









0

g x . Hàm số nghịch biến.

Cách 2: Thử trực tiếp

Ta có

 

  



  

 

 





2

1 1

3 2

2 2

x

x f x xg

Đáp án A: chọn

   

1

( 1;0)

2

x

thì

   

 

    

   

   

1 1 3 15

0

2 2 4 4

g f

Đáp án B: chọn  

1

(0; 2)

2

x thì

   

 

   

   

   

1 1 1 3

0

2 2 4 4

g f , sai

Tương tự cho các đáp án còn lại.

Câu 47: Chọn C

Ta có     

' 2 2

2(m 1) (m 2m)

y x x .

Để hàm số nghịch biến trên khoảng







1;1

thì









            

' 2 2

0 1;1 2(m 1) (m 2 m) 0 1;1

y x x x x

.

Ta có

 

       



 



' 2 2

0 2(m 1) (m 2 m) 0

2

x m

y x x

x m

.

Bảng xét dấu

'

y

:

Từ bảng xét dấu ta thấy để hàm số nghịch biến trên khoảng







1;1

thì

    

   

 

   

 

1 1

1

2 1 1

m m

m

m m

.

Câu 48: Chọn C

 



              

2 5 3 2 2 2 4 2 2

1 1

10 20 1 20 20 0

5 3

y m x mx x m m x y m x mx x m m .

Hàm số đã cho đồng biến trên





       

2 4 2 2

20 20 0

y m x mx x m m ,

 



x

và dấu



" "

xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.

Điều kiện cần:

Ta thấy phương trình





0

y

có một nghiệm

 

1

x

nên để





0

y

,

 



x

thì



y

không đổi

dấu khi qua

 

1

x

, khi đó phương trình





0

y

có nghiệm kép là

 

1

x

(

 

1

x

không thể là

nghiệm bội 4 của phương trình





0

y

vì



y

không chứa số hạng

3

x

).

Ta suy ra được

 

  





       









2

1 0 4 2 20 0 .

5

2

m

y m m

m

Điều kiện đủ:

Với

 

2

m

, ta có

 

 



        

 

 

2

4 2 2

5

4 2 20 14 4( 1) 1 0

2

y x x x x x

,

 



x

nên hàm số đồng biến trên



.

Suy ra

 

2

m

thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Với



5

2

m

, ta có

 

 



        

 

 

2

4 2 2

25 5 65 25 8

20 ( 1) 1 0

4 2 4 4 5

y x x x x x

,

 



x

nên hàm số đồng biến trên



. Suy ra



5

2

m

thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Vậy

 2m

,



5

2

m

là các giá trị cần tìm. Khi đó tổng các giá trị thực của

m

thỏa mãn yêu

cầu bài toán là

  

5 1

2

2 2

.

Câu 49: Chọn B

Xét dấu :

Ta có:

Chọn ta có Do đó, cả khoảng âm.

Từ đó ta có trục xét dấu của như sau:

Từ trục xét dấu trên ta thấy: Hàm số đồng biến trên .

Câu 50: Chọn C

Xét hàm số

   

 g x f x x

,

   

 

   1g x f x

,

   

 

  0 1g x f x

  



 







1

2

x

.

Bảng biến thiên

Vậy

     

  2 1 1g g g

.





f x



   

 

2

2 2

2

0

2

( ) 2 . 0 2 .

0

5

2

1

x

y f x x f x x

f x

x























 

      







 







 



  







1 0; 2

x  













2

1 2.1. 1 2. 1 0.

y f f

  

  





0; 2

 

2

y f x









2

y f x







1;0







Câu 1. Cho đồ thị hàm số

 

 2y f x

như hình vẽ

Hàm số

 

 

2

3y f x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

0;1

. B.

 

1; 3

. C.

 

 ; 1

. D.

 

1;0

.

Câu 2. Cho hàm số

 

f x

có bảng xét dấu đạo hàm

 



f x

như sau:

Hàm số

 

 

2

2y f x x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

2;1

. B.

 

 4; 3

. C.

 

0;1

. D.

 

 2; 1

.

Câu 3. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và hàm số

 



y f x

có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số

 

    

2

1 2 2020y g x f x x

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

1;0

. B.

 

0;1

. C.

 

2;3

. D.

 

3; 5

.

Câu 4. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

     



  

2 3

. 2 5f x x x x

. Hàm số

   

 10 5g x f x

đồng

biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

;1

. B.

 

1; 2

. C.

 

2;

. D.

 

1; 3

.

Câu 5. Cho hàm số



( )

y f x

có đạo hàm



  

2

( ) ( 1) ( 2)

f x x x x với mọi giá trị thực của

x

. Xét hàm số

 



 



 

2

5

( )

4

x

g x f

x

. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(0;1)

. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0;4)

.

C. Hàm số đạt cực đại tại



0

x

. D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại



1

x

Câu 6. Cho hàm số





f x

. Hàm số









y f x

có đồ thị như hình bên.

Hỏi hàm số









   

2 2

2 6 3

g x f x x x x

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 



 

 

1

;0

4

. B.

 

 

 

1

;1

4

. C.





0;1

. D.







;0

.

Câu 7. Cho hàm số







y f x

có đạo hàm

     

   

2 2

' (3 ) 10 3 2

f x x x x

với mọi





.

x

Hàm số

   

   

2 3

1

3 ( 1)

6

g x f x x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.







;0 .

B.





0;1 .

C.







1; .

D.

 

 

 

 

1

; .

2

Câu 8. Cho hàm số





f x

có bảng biến thiên như sau

Hàm số

 





 





 

3 2

3

y f x f x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.





2; 3

. B.





1; 2

. C.





3; 4

. D.





 

; 1

.

Câu 9. Cho hàm số







y f x

, hàm số











    



3 2

, ,f x x ax bx c a b c có đồ thị như hình vẽ

Hàm số

   

 



g x f f x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

1;

. B.

 

 ; 2

. C.

 

1;0

. D.

 



 

 

3 3

;

3 3

.

Câu 10. Cho hàm số

 

y f x

liên tục có đạo hàm trên



. Biết hàm số

 

'f x

có đồ thị cho như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

thuộc

 

 

2019;2019

để hàm só

 

  2019 2

x

g x f mx

đồng biến trên

 

 

0;1

A.

2028

. B.

2019

. C.

2011

. D.

2020

Câu 11. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên



và có đồ thị hàm

 



f x

như hình vẽ dưới đây. Hàm số

 

 

2

g x f x x

đồng biến trên khoảng nào?

A.

 

 

 

1

;1

2

. B.

 

1; 2

. C.

 



 

 

1

1;

2

. D.

 

 ; 1

.

Câu 12. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên



. Biết hàm số

 



y f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số





 

2

1y f x

đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A.

   

 ; 3 , 0; 3

. B.

   

  ; 3 , 3;

.

C.

   

 3;0 , 3;

. D.

 

  ; 3 , 0;

.

Câu 13. Cho hàm số

 

y f x

. Hàm số

 



y f x

có đồ thị như hình

bên. Hàm số

 

 

2

y f x x

nghịch biến trên khoảng nào

dưới đây.

A.

 

 

 

 

1

;

2

. B.

 

 

 

 

3

;

2

. C.

 



 

 

3

;

2

. D.

 



 

 

1

;

2

.

Câu 14. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên



. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

 



y f x

(

 



y f x

liên tục trên



). Xét hàm số

 

 

2

3g x f x

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số

 

g x

đồng biến trên

 

1;0

. B. Hàm số

 

g x

nghịch biến trên

 

 ; 1

.

C. Hàm số

 

g x

nghịch biến trên

 

1; 2

. D. Hàm số

 

g x

đồng biến trên

 

2;

.

Câu 15. Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên



, bảng xét dấu của

biểu thức

 



f x

như bảng dưới đây.

Hàm số

 



 

 

2

2 1

f x x

y g x

f x x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

;1

. B.

 



 

 

5

2;

2

. C.

 

1; 3

. D.

 

2;

.

Câu 16. Cho hàm số

 

f x

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số

 

 

3 2

3.y f x f x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

1 ; 2

. B.

 

3 ; 4

. C.

 

 ; 1

. D.

 

2 ; 3

.

O

x

y

1

2

y

O

x

2



1

2

1



4

Câu 17. Cho hàm số







y f x

đạo hàm liên tục trên



có đồ thị hàm số







f x

như hình vẽ

Hỏi hàm số





 

2

y f x x

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.







1;0

. B.





0;1

. C.





1; 3

. D.







2;

.

Câu 18. Cho hàm số





f x

có đạo hàm, liên tục trên



, có đồ thị như hình vẽ

Hỏi hàm số

 

 



 

2

y f x

nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.







1;1

. B.

 

 

 

5

0;

2

. C.

 

 

 

5

;4

2

. D.





 

2; 1

.

Câu 19. Cho hàm số







y f x

có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu số nguyên



2019

m

để hàm số









  

2

g x f x x m

đồng biến trên khoảng







1;

?

A. 2016. B. 2015. C. 2017. D. 2018.

Câu 20. Cho hàm số



( )

y f x

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số

   

 

2

( ) (3 )

g x f x

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.



( 2;5)

. B.

(1;2)

. C.

(2;5)

. D.



(5; )

.

Câu 21. Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trong khoảng nào

dưới đây ?

A.

 

0;1

. B.

 

1;1

. C.

 

0;2

. D.

 

1; 2

.

Câu 22. Cho hàm số

 

 .y f x

Đồ thị hàm số

 



y f x

như hình bên dưới

Hàm số

 

 3g x f x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A.

 

 ; 1 .

B.

 

1;2 .

C.

 

2; 3 .

D.

 

4;7 .

Câu 23. Cho hàm số bậc ba

 

y f x

, hàm số

 



y f x

có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số

 

 1g x f x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

1,

. B.

 

1,0

. C.

 

1,2

. D.

 

,1

.

Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

nhỏ hơn 10 để hàm số

   

4 3 2

3 4 12y x x x m

nghịch biến trến khoảng

 

 ; 1

?

A.

4

. B.

6

. C.

3

. D.

5

.

Câu 25. Cho hàm số

 

y f x

. Đồ thị hàm số

 



y f x

như hình vẽ sau:





y f x



Hàm số

 

 4 2g x f x

nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.

 

 

 

1 3

;

2 2

. B.

 

 ; 2

. C.

 

 

 

5

;7

2

. D.

 

 

 

3 5

;

2 2

.

Câu 26. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

   

 



  

2

1 2f x x x x

, với

 



x

. Số giá trị nguyên của

tham số

m

để hàm số

 

  

3 2

3g x f x x m

có

8

điểm cực trị là

A.

2

. B.

3

. C.

1

. D.

4

.

Câu 27. Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới và

với mọi . Đặt . Có bao nhiêu giá trị

dương của tham số để hàm số có đúng hai điểm cực trị?

A. 4. B. 7. C. 8. D. 9.

Câu 28. Cho hàm số đa thức bậc bốn

 

y f x

, biết hàm số có ba điểm cực trị

   3, 3, 5x x x

. Có tất

cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

sao cho hàm số

 



 

3 2

3x x

g x f e m

có đúng

7

điểm cực trị

A.

3

B.

4

C.

5

D.

6

Câu 29. Cho hàm số

 ( )y f x

có đạo hàm

 

  



   

2 2

4 3f x x x x x

,

 



x

. Tính tổng tất cả các giá

trị nguyên của tham số m để hàm số

 

 

2

g x f x m

có 3 cực trị.

A. 0. B. 6. C. 3. D. 2.





y f x







'

y f x







' 0

f x











; 3, 4 9;x

    









5

g x f x mx

  

m





g x

Câu 30. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ .

Xét hàm số

 

   

3

2 1 .g x f x x m

Tìm

m

để

 

 

 

 

0;1

max 10.g x

A.

 3m

. B.

 12m

.

C.

 13m

. D.

 6m

.

Câu 31. Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm trên



là

    



  1 3f x x x

.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

 

 

10; 20

để hàm số

 

  

2

3y f x x m

đồng biến trên khoảng

 

0;2

?

A.

18

. B.

17

. C.

16

. D.

20

.

Câu 32. Cho các hàm số

 

  

3

4f x x x m

và

 

    

   

2 3

2 2 2

2018 2019 2020g x x x x

. Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số

  

 

2020; 2020m

để hàm số

 

g f x

đồng biến trên

 

2;

?

A.

2005

. B.

2037

. C.

4016

. D.

4041

.

Câu 33. Cho hàm số có đạo hàm

   

 



   

2

1 2 1f x x x x mx

với mọi Có bao nhiêu

số nguyên âm

m

để hàm số

   

 2 1g x f x

đồng biến trên khoảng

 

3; 5

?

A.

3

B.

2

C.

4

D.

6

Câu 34. Cho hàm số

 

f x

xác định và liên tục trên

R

. Hàm

số

 



y f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ.

Xét hàm số

     

    

2

1

2 2 2020

2

g x f x m m x

,

với

m

là tham số thực. Gọi

S

là tập hợp các giá trị

nguyên dương của

m

để hàm số

 

y g x

nghịch

biến trên khoảng

 

3; 4

. Hỏi số phần tử của

S

bằng

bao nhiêu?

A.

4

. B.

2

.

C.

3

. D. Vô số.

Câu 35. Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



và có đạo hàm

   

 



   

2 2

2 6f x x x x x m

với mọi





x

. Có bao nhiêu số nguyên

m

thuộc đoạn

 

 

2020;2020

để hàm số

   

 1g x f x

nghịch biến

trên khoảng

 

 ; 1

?

A.

2016

. B.

2014

. C.

2012

.

D.

2010

.

Câu 36. Cho hàm số

 ( )y f x

có đồ thị



( )f x

như hình vẽ. Có bao

nhiêu giá trị nguyên

 

 2020 ; 2020m

để hàm số

   

 

    

2

2 3 ln 1 2g x f x x mx

đồng biến trên

 

 

 

1

;2

2

?

A.

2020

. B.

2019

.

C.

2021

. D.

2018

.





y f x



.

x





x

y

4

-2 -1

0

1

Câu 37. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số

 

     

2 3 2

4 3 6 2020g x f x x x x x

đồng biến trên

khoảng nào sau đây ?

A.

 



 

 

1

1;

2

. B.

 

2;0

.

C.

 

1;

. D.

 

0;1

.

Câu 38. Cho hàm số

 

y f x

xác định trên



và có bảng xét dấu đạo

hàm như sau:

Biết

 

  



2,f x x

. Xét hàm số

   

 

    

3 2

3 2 3 2020g x f f x x x

. Khẳng định nào sau

đây đúng?

A. Hàm số

 

g x

đồng biến trên khoảng

 

 2; 1

.

B. Hàm số

 

g x

nghịch biến trên khoảng

 

0;1

.

C. Hàm số

 

g x

đồng biến trên khoảng

 

3; 4

.

D. Hàm số

 

g x

nghịch biến trên khoảng

 

2;3

.

Câu 39. Cho hàm số

 ( )y f x

xác định trên



. Hàm số

 

   ( ) ' 2 3 2y g x f x

có đồ thị là một parabol

với tọa độ đỉnh

 

2; 1I

và đi qua điểm

 

1; 2A

. Hỏi hàm số

 ( )y f x

nghịch biến trên khoảng

nào dưới đây?

A.

 

5;9

. B.

 

1; 2

. C.

 

; 9

. D.

 

1; 3

.

Câu 40. Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm cấp

3

liên tục trên



và thỏa mãn

       



  

2 3

. 1 4f x f x x x x

với mọi





x

và

       

 

 

 

 

2

2 .g x f x f x f x

. Hàm số

 

 

2

2h x g x x

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

;1

. B.

 

2;

. C.

 

0;1

. D.

 

1; 2

.

Câu 1. Chọn A

Gọi là đồ thị hàm số .

Tịnh tiến sang trái 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số .

Lấy đối xứng đồ thị hàm số qua Oy ta được đồ thị hàm số .

Ta có ; .

Bảng xét dấu

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .





C









  

2

y g x f x





C









   

2

y g x f x





 

y f x







y f x









 

    

2 2

3 2 . 3

y f x y x f x

 

 





       





 





 

 



2

0

0 3 0 3

3 0

3 3

6

x

y x x

f x

x



y





 

2

3

y f x





0;1

Câu 2. Chọn D

Đặt: ; .

. ( là các nghiệm bội chẵn của phương trình: ).

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .

Chú ý: Cách xét dấu :

Chọn giá trị (dựa theo bảng xét dấu của

hàm ). Suy ra , . Sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “lẻ đổi, chẵn

không” suy ra dấu của trên các khoảng còn lại.

Câu 3. Chọn B

Ta có .

.

Bảng biến thiên:









  

2

y g x f x x















 

2

g x f x x











  

2

2 2 . 2

x f x x









0

g x











   

2

2 2 . 2 0

x f x x

 

  







 





2

2 2 0

2 0

x

f x x

 

  



  







 



 



2

1

2 2

2 1

2 3

x

x x vo nghiem

x x

  



  



   







 





1

1 2

1

3

x

  

1 2

x

 

2

2 1

x x





 

2

y f x x





 

2; 1







g x





    

0 1; 1 2

x

  

2

2 0

x x









 

  

0 0 0

g f







f x









0

g x





    

1; 1 2

x







g x













 

   

2

2 2 . 1 2

g x x f x x

 

  



 





  





2

2 2 0

0

1 2 0

x

g x

f x x

 



    



   



2

1

1 2 2

1 2 1

x

x x







 



 



 



 



1

3

1 3

x

Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trên khoảng và và

.

Mà nên hàm số đồng biến trên .

Câu 4. Chọn B

Ta có .

.

Bảng xét dấu

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

Câu 5. Chọn C

Ta có: .

.





g x





 

; 1







1 3 ;1







1 3 ;3

 

(0;1) (1 3;1)









    

2

1 2 2020

y g x f x x

(0;1)

       



  

     

10 5 . 10 5 5. 10 5

g x x f x f x

   

 

  



 

         



 









2

10 5 0

12

0 10 5 0 10 5 2

5

10 5 5

1

x

g x f x x x

x



( )

g x





g x





1; 2

 



   

 



   

 

   

2 2

5 5

4 4

x x

g x f

x x

 

     

    

    

  

    





2

2 2 2 2

2

20 5 5 5 5

1 2 ,

4 4 4

4

x x x x

x

x x x

x

 





















 













2

20 5

0

4

5

0

( ) 0

4

5

1

4

5

2

4

x

g x

x



 





















2

0

1

4

x

( )

g x



 

2

1

 

12

5







0

Bảng biến thiên của hàm số :

Vậy hàm số đạt cực đại tại .

Câu 6. Chọn A

Ta có:

.

 







  





 



 



 





2

1

4

2 1

2 0

2 2

x

x x vo nghiem

x x

x x nghiem kep

 











 































1

4

1

2

0

1

2

1 17

4

1 17

4

x

x nghiem kep

.

Ta có : dựa vào đồ thì ta thấy

.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Xét dấu ta được .

Suy ra đồng biến trên các khoảng và và và .



( )

y g x



( )

y g x



0

x









   

2 2

2 6 3

g x f x x x x













 

     

2

4 1 2 12 3

g x x f x x x









 



   

 

2

4 1 2 3

x f x x

 

  



 





  





2

4 1 0

0

2 3

x

g x

f x x









   

' 2 9 '(10) 3

g f





'

f x









    

' 10 3 ' 10 3 0

f f





  

' 2 0

g







g x

 

   

     



       

   

   

1 1 1 1 17 1 17

0, ;0 ; 1; ;

2 4 2 4 4

g x x





g x

 



 

 

1

;0

2

 

 

 

1 1

;

4 2

 



 

 

1 17

1;

4

 





 

 

1 17

;

4

Mà nên hàm số

 

   

2 2

2 6 3g x f x x x x

đồng biến trên khoảng

.

Câu 7. Chọn D

Ta có .

Theo giả thiết nên

Từ đó suy ra

Khi đó

 









  



 





0( )

' 0 1( )

1

2

x nghiem kep

g x x nghiem kep

x

Bảng biến thiên

Khi đó hàm số đồng biến trên

Câu 8. Chọn A

Ta có ; ; .

+ ; ; .

+ Bảng xét dấu của

   

  

   

   

1 1

;0 ;0

4 2

 



 

 

1

;0

4









    

2 2

' ' 3 ( 1)

g x f x x x

     

   

2 2

' (3 ) 10 3 2

f x x x x

     

   

2 2

' 3 3 1 1

f x x x x

     

     

2 2

' 3 1 1 ( 1)

g x x x x x x

 

         

 

2 2 2 2 2

( 1) (3 1) ( 1) ( 1) ( 8 4 )

x x x x x x x x

   

2 2

( 1) ( 8 4)

x x x

 

 

 

 

1

; .

2

 





     

  

 

2

3 . 6 .

y f x f x f x f x













 

 

 

 

3 . 2

y f x f x f x





 











  









0

0 0

2

f x

y f x

f x

 













 













1

2

0

3

4

x

f x

x

 

  

 







1

0

4

x x

f x

x

 





 



 



 



 



 







2 1

3

4

;1

1; 2

2

4

3

x x x

x x

f x

x x

x



y

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .

Câu 9. Chọn B

Vì các điểm thuộc đồ thị hàm số nên ta có hệ:

Ta có:

Xét

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có nghịch biến trên

Câu 10. Chọn D

Ta có .

Ta lại có hàm số đồng biến trên .

Với thì mà hàm đồng biến trên nên hàm

đồng biến trên

 





 





 

3 2

3

y f x f x





2; 3















1;0 , 0; 0 , 1;0









y f x

   

      

 



         

 

 

    

 

3 2

1 0 0

0 1 '' 3 1

1 0 0

a b c a

c b f x x x f x x

a b c c





























   

  

. ''

g x f f x g x f f x f x

     

 

  



 



 



    

        



  



 



3

3 2

3

2

0

1

0 ' . 0 3 1 0

1

3 1 0

x x

g x g x f f x f x f x x x

x x

x





 







  



  



 





1 1

2 2

1

0

( 1,325 )

( 1,325)

3

x

x x x

x





g x





 

; 2









 

' 2019 ln 2019. ' 2019

x x

g x f m



2019

x

y

 

 

0;1

  

 

0;1

x

  

 

2019 1;2019

x







'

y f x







1;







' 2019

x

y f

 

 

0;1

Mà nên hàm đồng biến

trên

Hay

Do vậy hàm số đồng biến trên đoạn

Vì nguyên và có giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 11. Chọn C













 

   

2

2 1

g x x f x x

.

Từ đồ thị ta có . Xét dấu :

Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoảng .

Câu 12. Chọn C

Xét hàm số .

Bảng biến thiên





     

 

2019 1; ' 2019 0 0;1

x x

f x











2019 ln2019. ' 2019

x x

h x f

 

 

0;1









     

 

0 0, 0;1

h x h x





g x

 

 

0;1





     

 

' 0, 0;1

g x x





     

 

2019 ln2019. ' 2019 , 0;1

x x

m f x









 

 

   

0;1

min 0 0

x

m h x h

m

   

 

2019;2019m

2020

m









 

2

g x f x x

 



















  





      





 





 

 











2

1

2

0

2

2 1 0

0 0 1

0

1

2

x

g x x x x

f x x

x

x x

x







f x

 







     



 



2 2

2

0 2

1

x

f x x x x

x







g x





g x

 



 

 

1

1;

2





 

2

1

y f x





 

  



2

1

x

y f x

x













 



 





2

0

1 0

x

y

f x

 



  



  



 



 



2

0

1 1

1 0

1 1

1 2

x

 



  



 





2

0

1 1

1 2

x

 



  



 



2

0

1 1

1 4

x

 



  







0

3

x

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng .

Câu 13. Chọn D

Đặt

Cho .

Ta có ( Luôn đúng với mọi )

Vậy .

Hay hàm số nghịch biến trên khoảng .

Câu 14. Chọn C

Ta có nên .

Ta có bảng xét dấu:

-

|

-

|

-

0

+

|

+

|

+

- | -

+

-

+

-

+

Từ bảng xét dấu ta thấy đáp án C đúng

Câu 15. Chọn C

.





 

2

1

y f x









 

3;0 , 3;









  

2

y g x f x x

 

   

 



  

      

2 2 2

. 1 2

g x f x x x x x f x x









0

g x

 

  







 





2

1 2 0

0

x

f x x

 



 



  



 





2

1 2 0

1 ptvn

2 ptvn

x

x x

 

1

2

x

 



  

     





 





2

1 1

' 0 0

2

x x x

f x f x x

x

x x





x

 

     

1

' 0 1 2 0

2

g x x x









 

2

g x f x x

 



 

 

1

;

2

 



 

2

3

g x f x

   



  

2 2

3 3

x f x







 

2

2 3

xf x









0

f x

  

2

x

 

2

'( 3) 0

f x

   

2

3 2

x

 

2

1

x

   

1 1

x





2



1

0

1

2



2x



2

'( 3)

f x

0

'( )

g x

0

 

   

 



 

   



 

   

2 2 2

2 2

2 . 2 2 2 . 2

2 1 2 1

x x f x x x f x x

g x

f x x f x x

Ta có bảng xét dấu của :

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

Câu 16. Chọn D

Ta có

Lập bảng xét dấu ta có

Do đó ta có hàm số nghịch biến trên khoảng .

Câu 17. Chọn A

Có .

Do đó .

Ta có bảng xét dấu đạo hàm như sau

 

 



  

  





     





 

  













 



2

1

2 2 0

2 2

0 1

2 0

2 1

3

2 3

x

x x

g x x

f x x

x x

x

x x







g x







y g x





 

; 1





1; 3

 





     

  

 

2

3. . 6. .

y f x f x f x f x













 





 

= 3 . . 2

f x f x f x









   



   





         



  





1 1

2 3 4 1 2 3 4

0 ,4| 1

0 2 , ,3, | 1 2;4

' 0 1,2,3,4

f x x x x

y f x x x x x x x x x

f x x





2 ; 3









 

  

2

2 2 2

y x f x x





0

y

 

 







 





2

1

2 0

x

f x x

 



  







 



 



2

1

2 2

2 0

2 3

x

x x

 







 



 







1

0

2

1

3

x

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, hàm số đồng biến trên các khoảng

.

Câu 18. Chọn C

Có . Do đó .

Ta có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, hàm số nghịch biến trên các khoảng

.

Câu 19. Chọn A

Ta có .

Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi và

tại hữu hạn điểm

Xét hàm số , ta có bảng biến thiên





 

2

y f x x













 

1;0 , 1;2 , 3;









 

 2

y f x f x





0

y





 

















0

f x

  







 







 



2

0

5

2

4

1

x

 

 



 

2

y f x

   

 

  

 

 

5

; 2 , 1;0 , ;4

2

 

   

 



  

        

2 2 2

2 2 2 1 2

g x x x m f x x m x f x x m







y g x







1;











   

0, 1;g x x









0

g x















       

2

2 1 2 0, 1;x f x x m x











      

2

2 0, 1;f x x m x





 



     





     





2

2 2, 1;

2 0, 1;

x x m x

  

2

y x x m

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Trường hợp 1: .

Trường hợp 2: : Không có giá trị thỏa mãn.

Vậy có 2016 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 20. Chọn C

Từ bảng biến thiên suy ra .

Ta có .

Xét .

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng và

Câu 21. Chọn D

Thực hiện liên hoàn biến đổi đồ thị thành đồ thị , sau đó biến đổi

đồ thị

thành đồ thị .

Dựa vào đồ thị hàm số

ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

.

Câu 22. Chọn B

Dựa vào đồ thị, suy ra và





          

2

2 2, 1; 1 2 3

x x m x m m





     

2

2 0, 1;x x m x

m



2019

m

       

 

( ) 0, (3 ) 0,

f x x f x x

   

'( ) 2 '(3 ). (3 )

g x f x f x

       

 

 

 

     

  

          

  

2 3 1 2 5

0 2 3 . 3 0 3 0

3 2 1

x x

g x f x f x f x

x x





g x



( ;1)

(2; 5)







y f x







y f x







y f x







y f x







y f x





1; 2

 



  



 







1 1

0

4

x

f x

x

 



 



 



 



1

0 .

1 4

x

f x

x

 Với khi đó

. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng

 Với khi đó

. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng

Câu 23. Chọn B

Ta có: .

Xét

.

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên thì ta có nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên

khoảng .

Câu 24. Chọn D

Xét hàm số ;

Bảng biến thiên:



3

x









  

3g x f x









 

  

3 0

g x f x



   





 



1 3 1

3 4

x



 









2 4

7

x





g x





3;4 ,







7; .



3

x





















  

         

3 3 0 3 0

g x f x g x f x f x









   

 



  

  





4

3 1

1 3 4

1 2

x loai

x





g x







1; 2 .

 

 

 

1

x

g x f x

x

 

  











  

 

      











 

  



 

 



00

0

1 ( )

1 0

0 1 0

1 0

1 2 1

xx

x

x L

x

g x f x

x

f x

x x

 







 







0

1

x









 

1

g x f x







1,1









   

, 1 1,











       

4 3 2 3 2

3 4 12 12 12 24

f x x x x m f x x x x

 

  





  







1

2

1

2

0

x

f x x

x

Để hàm số nghịch biến trên

Do yêu cầu là số nguyên nhỏ hơn nên ta có . Vậy có 5 giá trị m thỏa yêu

cầu..

Câu 25. Chọn A

Trường hợp 1: . Khi đó .

Ta có ,

So điều kiện ta được nghịch biến trên .

Trường hợp 2: Khi đó .

Ta có ,

So điều kiện ta được nghịch biến trên .

Câu 26. Chọn C

Ta có .

.

Vì khi đi qua các nghiệm của phương trình (nếu có) dấu của

không đổi nên dấu của chỉ phụ thuộc các nghiệm của hai phương trình còn lại.

Vậy hàm số có 8 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình và

phải có ba nghiệm phân biệt (khác và khác ).

Xét hàm số , ta có ; .

Bảng biến thiên của hàm số







y f x





      

; 1 5 0 5

m m

m

10







5;6;7;8;9

m



2

x









 

4 2

g x f x









 

  

2 4 2

g x f x

   





 

   





    



  

 





3

4 2 2

4 2 0

1 3

1 4 2 3

2

0

2

g x

x

f x

x



2

x





g x

 

 

 

1 3

;

2 2



2.

x









 

2 4

g x f x









 

 

2 2 4

g x f x

   







 



   



    

















5

1

2 2 4 1

2

2 4 0

2 3 7

2

0

4

x

f x

x

g x



2

x





g x

   



   

   



7

; ;

2

5

2

2;













 

   

2 3 2

3 6 . 3

g x x x f x x m

 







 







  





     



  



  



  





  



2

3 2

0

3 6 0

2

3 1

0 3 1

3 0

3 2

x

x x

x

x x m

g x x x m

x x m

  

3 2

3 1

x x m







 

3 2

3

f x x m







g x







y g x

  

3 2

3 0

x x m

  

3 2

x x m

0

2





  

3 2

3

h x x x







  

2

3 6

h x x x

 







 







0

2

x

h x

x







y h x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy điều kiện để mỗi phương trình và

phải có ba nghiệm phân biệt (khác và khác ) là

.

Vậy chỉ có một giá trị nguyên của thỏa mãn là .

Câu 27. Chọn C

Ta có ; . Để hàm số có

đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm bội lẻ phân biệt

. Khi đó . Vậy có giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề

bài.

Câu 28. Chọn D

Ta có:

Hàm số có điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm đơn và bội lẻ, khác và

của các phương trình là .

Xét hàm số có .

Ta có .

Bảng biến thiên:

  

3 2

3

x x m

   

3 2

x x m

0

2

      

0 2 4 2 4

m m m

m



3

m









g x f x m

 

 









0 0

g x f x m

 

   





f x m



 





y g x







0

g x





5

10 13

m









 









1,2,3,4,5,10,11,12

m

8

m

 









 



 





3 2 3 2

2 3 3

3 6 .

x x x x

g x x x e f e m

 









 

 

    

3 2 3 2

2 3 3

0 3 6 . 0

x x x x

g x x x e f e m









 

   

 



3 2

3

0

2

3

5

x x

x

e m

 









 



  



 



 





3 2

3

0

2

3 1

3 2

5 3

x x

x

e m





g x

7

0



2













1 , 2 , 3

5









3 2

3

x x

h x e













 

3 2

2 3

3 6

x x

h x x x e

 





 

 

 



0

2

x

h x

x

Khi đó có trường hợp sau:

Trường hợp 1:

Khi đó:

Do nguyên nên .

Trường hợp 2:

Khi đó: .

Trường hợp 3:

3

 

    

 



 

      

 

 

4 4

3 3 51,6

1 3 4 3 57,6

m e m e

m







52; 53;54; 55;56;57

m

 

    

 

         

 

 

    

 

4 4

5 5 49,6

1 3 2 3

0 3 1 3 4

m e m e

m e m e m

m m

Khi đó: .

Vậy có giá trị nguyên của tham số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 29. Chọn C

Ta có

Lại có

Do có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn ; các phương trình , có nghiệm không chung

nhau và nên:

Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm bội lẻ

Vì

. Vậy tổng các giá trị nguyên bằng 3.

Câu 30. Chọn C

Đặt với Ta có

Suy ra hàm số đồng biến nên

Từ đồ thị hàm số ta có

Theo yêu cầu bài toán ta cần có:

Câu 31. Chọn A

Ta có .

Theo đề bài ta có:



  



 





 



4

1 5

3 1

3 0

m e

m



    



    









4

4 5 49,6

2

3

m e

m m

m

6

m

     

 





     







2

0

1 3 0 1

3

x

f x x x x x

x

 

 



 

 

 



 

     





 

 

 







 

 



2

2 2

2

0

1

0

2 . 0

0

1 2

1

3

3 3

x

x m

x

x m

g x x f x m

f x m

x m





2





1





3

  

3

m m





g x







 

0

g x

  

   



 



3 0

0 3

0

m





m





 

0;1;2

m





  

3

2 1

t x x x

  

 

0;1 .

x







      

 

2

6 1 0, 0;1 .

t x x x





t x

      

   

0;1 1;2 .

x t









    

   

 

    

 

1; 2 1; 2

max 3 max 3 .

f t f t m m

     

3 10 13.

m m













  

      

2 2

3 2 3 3

y f x x m x f x x m















  

1 3

f x x x

suy ra và .

Hàm số đồng biến trên khoảng khi

.

Do nên . Do đó, ta có:

.

Do , nên có giá trị nguyên của thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 32. Chọn B

Ta có ,

.

Suy ra , .

Và

.

Dễ thấy và , .

Do đó , .

Hàm số đồng biến trên khi , , .

, , .

Vì

và nên có 2037 giá trị thỏa mãn .

Câu 33. Chọn A

Ta có:

Đặt

Để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi

 



 



 







3

0

1

x

f x

x







    

0 3 1

f x x





0;2







  

0, 0; 2

y x















      

2

2 3 3 0, 0;2

x f x x m x







0; 2

x





   

2 3 0, 0; 2

x x

 

 

      

 

        

 

     

 

 

2 2

2

2 2

3 3 3 3

0, 0;2 3 0

3 1 3 1

x x m m x x

y x f x x m

x x m m x x





 

 

 

 

 



  







 



 

  







2

0;2

2

0;2

max 3 3

13

1

min 3 1

m x x

m

m x x

  

 

10; 20

m





m

18

m





  

3

4

f x x x m

 













        

2 3

2 2 2 12 10 2

12 10 2 0

2018 2019 2020 ...

g x x x x a x a x a x a







 

2

3 4

f x x







   

11 9

12 10 2

12 10 ... 2

g x a x a x a x

 

   

 



 



   

 

 

 

11 9

12 10 2

12 10 ... 2

g f x f x a f x a f x a f x

     

 







   

10 8

12 10 2

12 10 ... 2

f x f x a f x a f x a



12 10 2 0

; ;...; ; 0

a a a a







  

2

3 4 0

f x x

 

2

x

   

 







   

10 8

12 10 2

12 10 ... 2 0

f x a f x a f x a

 

2

x









g f x







2;

 



 



 

0

g f x

 

2

x









0

f x

 

2

x



  

3

4 0

x x m

 

3

x



  

3

4

m x x

 

2

x













    

3

2;

max 4 16

m x x

  

 

2020;2020

m





m







        

2 2

2 '(2 1) 2(2 1)(2 2) [(2 1) 2 (2 1) 1]

g x f x x x x m x

 

2 1

t x





g x





3; 5











  

0, 3; 5

g x x

Xét hàm số trên , có

BBT:

Dựa vào BBT ta có

Vì .

Câu 34. Chọn B

Ta có .

Đặt . Từ đồ thị hàm số

và đồ thị hàm số trên hình vẽ suy

ra: .

Ta có

.

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng .

Mặt khác, do nguyên dương nên . Vậy số phần tử của bằng 2.

Từ đó chọn đáp án B.

Câu 35. Chọn C

Ta có:

     

 

               

2

2 2

1

( 2 1) 0, 7;11 2 1 0, 7;11 2 , 7;11

t

t t mt t t mt t m t

t

 



2

1

( )

t

h t

t

 

 

7;11

 



2

1

'( )

t

h t

t

   

 

 

 

       

2

7;11

1 50

2 , 7;11 2 max

14

t

m t m h t m

t



     



{ 3; 2; 1}

m m













   

' ' 2 2

g x f x m m x













  

'

h x f x x







'

y f x

 

y x

   



  

    







3 1

0 '

3

x

h x f x x

x

   

 

       

    

 

   

 

3 2 1 2 3 2 1

' 2 0

2 3 2 3

x m m x m

g x h x m

x m x m







y g x





 

2 3; 2 1

m m





 

2 3;m







y g x





3; 4





 



 







 

 









 



2 3 3

3

2 1 4

2

0

2 3 3

m









  

2; 3 2; 3

m S

S

           

 

 

          

 

 

2 2

1 1 1 1 6 1

g x f x x x x x m

Hàm số nghịch biến trên khoảng

, (dấu xảy ra tại hữu hạn điểm).

Với thì và nên

.

Xét hàm số trên khoảng , ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra .

Kết hợp với thuộc đoạn và nguyên nên .

Vậy có số nguyên thỏa mãn đề bài.

Câu 36. Chọn B

Ta có . Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi

Đặt , khi đó .

Từ đồ thị hàm suy ra và khi .

Tức là khi .

Xét hàm số trên khoảng . Ta có và

.

Bảng biến thiên của hàm số trên như sau:

   





     

2

1 1 4 5

x x x x m





g x





 

; 1







    

0, 1

g x x





*



" "

 

1

x

 

 

2

1 0

x

 

1 0

x





*

       

2

4 5 0, 1

x x m x

       

2

4 5, 1

m x x x

   

2

4 5

y x x





 

; 1



9

m

 

 

2020;2020

m







9;10;11;...;2020

m

2012

m

   

 

   



2

2 2 3 2

1

x

g x f x m

x





g x

 

 

 

1

;2

2

     

 

 

         

 



 

2

1

0, 1;2 2 3 , ; 2

2

1

x

g x x m f x x

x

 

 



 

 

 



   

 



 

2

1

;2

2

min 2 3

1

x

m f x

x





1

 

2 3

t x

 

 

   

 

 

1

; 2 2;1

2

x t







f x











   

0, 2;1

f t t









0

f t

 

1

t

 

 



   

 

 

1

2 3 0, ;2

2

f x x





 



 

 



  

1

;2

2

min 2 3 0

x

f x



1

x





2

 

 



2

1

x

h x

x

 

 

 

1

;2

2

 









2

1

x

h x

x







      

2

0 1 0 1

h x x x





h x

 

 

 

1

;2

2

Từ bảng biến thiên suy ra khi .

Từ , và suy ra .

Kết hợp với , thì .

Vậy có tất cả giá trị cần tìm.

Câu 37. Chọn D

Ta có .

Từ đồ thị hàm số suy ra . Do đó

.

Ta có bảng xét dấu :

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

Câu 38. Chọn D

Ta có: .

Vì nên

Từ bảng xét dấu suy ra

 

 

1

2

h x

 

 



 

 

  

1

;2

2

1

min

2

x

h x



1

x





3





1





2





3

 

1

2

m





m





 

2020;2020

m





    

2019; 2018;....; 2; 1

m

2019

m













 

     

2 2

2 1 12 6 6

g x x f x x x x







y f x







    

0 1 2

f x x

 

 

       

 



       

 

    

 

 



2 2

2

2 2

1 1 0;

0 2 1

2 2 0

x x x x x

f x x x

x x x x







g x





g x

 



 

 

1

;1

2

















    

2

' 2 ' ' 3 2 3 6

g x f x f f x x x





  



2,f x x





  

3 2 1

f x

 



x





'

f x









   



' 3 2 0,f f x x

Từ đó ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu trên, loại trừ đáp án suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .

Câu 39. Chọn A

Xét hàm số có đồ thị là một Parabol nên có phương trình dạng:

Vì có đỉnh nên

.

đi qua điểm nên

Ta có hệ phương trình nên .

Đồ thị của hàm là

Theo đồ thị ta thấy .

Đặt khi đó .

Vậy nghịch biến trên khoảng .

Câu 40. Chọn D

Ta có

Khi đó

. Ta có bảng xét dấu của

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .





g x





2;3





  

( ) ' 2 3 2

g x f x





   

2

( )

y g x ax bx c P





P







2; 1

I

 





    



 

  

       

 



 



2

4 4 0

2

4 2 1 4 2 1

2 1

b

b a a b

a

a b c a b c

g





P





1; 2

A





    

1 2 2

g a b c

    

 

      

 

 

   

 

4 0 3

4 2 1 12

2 11

a b a

a b c b

a b c c





  

2

3 12 11

g x x x



( )

y g x

        

'(2 3) 0 '(2 3) 2 2 1 3

f x f x x



   

3

2 3

2

t

t x x



      

3

'( ) 0 1 3 5 9

2

t

f t t



( )

y f x





5;9





































      

    

2 2 . 2 . 2 . ;

g x f x f x f x f x f x f x f x f x

 

    



          

2 3

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4

h x x g x x x x x x x x x

 

 









 







 





0

1

0

2

1 2

x

h x

x







h x









 

2

h x g x x





1; 2

8

6

4

2

4

5 5

Câu 1: Cho hàm số đa thức

 

f x

có đạo hàm trên



. Biết

 

0 0f 

và đồ thị hàm số

 

y f x





như

hình sau.

Hàm số

   

2

4g x f x x 

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

4; .

B.

 

0; 4 .

C.

 

; 2 . 

D.

 

2; 0 .

Câu 2: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



. Hàm số

 

'y f x

có đồ thị như hình vẽ. Số

tham số m nguyên thuộc đoạn

20; 20 

 

để hàm số

 

g x

nghịch biến trên khoảng

 

1; 2

biết

 

     

2

3 3 3

3 3 3 2 6 2 6g x f x x m x x m x x m          

.

A.

23

. B.

21

. C.

5

. D.

17

.

Câu 3: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

2021;2021m   

 

để hàm số

   

3 2

3 3 2 1g x x mx m x m     

đồng biến trên khoảng

 

0;3

?

A.

4041

. B.

4042

. C.

2021

. D.

4039

.

Câu 4: Cho hàm số

( )y f x

liên tục trên

R

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số

 

3 2

3 2 1 4 15 18 1y f x x x x     

đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A.

 

3; 

. B.

3

1;

2

 

 

 

. C.

5

;3

2

 

 

 

. D.

5

2;

2

 

 

 

.

Câu 5: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

   

 

2 2

' 4 2 9f x x x x mx   

với

x 



. Số giá trị

nguyên âm của

m

để hàm số

 

2

3 4g x f x x  

đồng biến trên

 

1;  

?

A.

1

. B.

3

. C.

2

. D.

4

.

Câu 6: Cho hàm số

 

4 2

4 2020f x x m x    

và

 

3 2

5 2020 2021g x x x x    

. Có bao nhiêu

giá trị nguyên dương của

m

để

   

h x g f x

 



 

đồng biến trên

 

2;

.

A.

13

. B.

12

. C.

7

. D.

6

.

Câu 7: Cho hàm số

   

1g x f x 

có đạo hàm

       

2021 2020

2

' 3 2 2 3 6g x x x x m x m

 

      

 

với mọi . Có bao nhiêu số nguyên dương để hàm số

 

f x

nghịch biến trên khoảng

 

0; 

.

A.

0

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 8: Cho hàm số

( )y f x

có đạo hàm liên tục trên



. Đồ thị hàm số

( )y f x





được cho như hình

bên dưới. Hỏi hàm số

2

( ) 4 ( ) 4 2021g x f x x x   

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

( ; 1) 

. B.

( 2;0)

. C.

(0;2)

. D.

(2; )

Câu 9: Cho hàm số

 

y f x

liên tục và xác định trên



, biết rằng

 

2

2 3 2f x x x



   

. Hàm số

 

2

4 7y f x x  

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

2; 1 

. B.

 

3; 1 

. C.

 

1; 

. D.

 

2;0

.

Câu 10: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên



và thoả

   

1

3 3

2

f f  

. Biết rằng hàm số

 

y f x





là một hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ sau:

Hỏi hàm số

     

2

3 3g x f x f x

 

   

 

nghịch biến trên khoảng nào sau đây:

x





m

A.

 

3;1

. B.

 

; 3 

. C.

 

0;2

. D.

 

2; 6

.

Câu 11: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị hàm số

 

y f x

như hình vẽ.

Biết rằng hàm số

 

3

3 1f x x 

nghịch biến trên các khoảng lớn nhất

     

; ; ; ; ;a b m n p q

. Giá

trị của biểu thức

 

2 2 2 2 2 2

a b m n p q    

bằng:

A.

9

. B.

12

. C.

14

. D.

10

.

Câu 12: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có bảng xét đấu đạo hàm

 

f x



như hình vẽ

bên dưới. Hàm số

 





2

4 4g x f x  

đồng biến trên:

A.

 

0;1

. B.

 

1; 2

. C.

 

1;0

. D.

 

3; 1 

.

Câu 13: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có bảng xét đấu đạo hàm

 

f x



như hình

vẽ bên dưới. Hàm số

 





2

1 7 6g x f x x    

nghịch biến trên:

A.

 

5;6

. B.

 

1;2

. C.

 

2;3

. D.

 

3; 5

.

Câu 14: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị hàm số

 

y f x

như hình vẽ dưới

đây. Hỏi hàm số

 

f f x

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

0;2

. B.

 

3; 1 

. C.

 

3; 5

. D.

 

5; 3 

.

Câu 15: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục và xác định trên



có biểu thức đạo hàm được cho

bởi

    

' 2 1f x x x x  

. Hỏi tham số thực

m

thuộc khoảng nào dưới đây thì hàm số

 

3

g x f x m 

đồng biến trên khoảng

 

1; 

?

A.

1

0;

2

 

 

 

. B.

 

1; 4

. C.

1

;1

2

 

 

 

. D.

 

0;1

.

Câu 16: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị hàm số

 

'y f x

như hình vẽ

bên dưới. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực

m

thuộc đoạn

20;20 

 

để hàm số

 

2

2g x f x x m  

đồng biến trên khoảng

 

1; 3

?

A.

19

. B.

23

. C.

18

. D.

17

.

Câu 17: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị

 

y f x





như hình vẽ bên dưới. Hỏi

có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

30; 30m  

 

để hàm số

 

3

3g x f x x m  

đồng

biến trên

2; 1  

 

.

A.

24

. B.

25

. C.

26

. D.

31

.

Câu 18: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

20; 20m   

 

để hàm số

2

2 2 1

2 3 2 2

x x

y

m x x

  



   

đồng biến trên

 

;1

?

A.

21

. B.

19

. C.

22

. D.

20

.

Câu 19: Cho hai hàm số

 

4x a

f x

x b







và

 

2

x b

g x

x a







cùng đồng biến trên từng khoảng xác

định của nó. Gọi

o

a

và

o

b

lần lượt là những số nguyên dương nhỏ nhất của a và b thỏa mãn. Giá

trị của biểu thức

o o

T a b 

tương ứng bằng:

A. 25. B. 26. C. 27. D. 28.

Câu 20: Cho hàm số

   

 

3 2 2

1 3 1 3 1 1y f x m x m m x m x m         

với m là tham số. Biết

rằng với mọi tham số m thì hàm số luôn nghịch biến trên

 

;a b

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

 

b a

bằng:

A.

4 7

. B.

2 3

. C. 4. D.

4 6

.

Câu 21: Cho hàm số

   

2 4 3 2

3 8 6 12 2 1 1f x m x mx x m x     

với m là tham số. Biết rằng với mọi

tham số m thì hàm số luôn đồng biến trên

;a b 

 

; với a, b là những số thực. Giá trị lớn nhất của

biểu thức

 

2b a

sẽ bằng:

A. 2. B.

2 2

. C.

5

. D.

6

.

Câu 22: Cho hàm số

( )y f x

có đồ thị được cho như hình vẽ. Hỏi hàm số

1

( ) 3

y

f x





nghịch biến trên

khoảng nào dưới đây?

A.

( 3; 2) 

. B.

( 2;1)

. C.

( 1; 2)

. D.

(3; )

.

Câu 23: Cho hàm số

( )y f x

có đồ thị như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số



20; 2021m  



để hàm số

( ) 5

( )

f x

y

f x m







nghịch biến trên

 

1; 4

?

A.

19

. B.

21

. C.

20

. D.

22

.

Câu 24: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị được cho như hình vẽ. Hỏi hàm số

 

2

y f x

đồng biến trên

khoảng nào dưới đây?

A.

 

1; 3

. B.

 

2;3

. C.

 

2;

. D.

 

3; 1 

.

Câu 25: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị được cho như hình vẽ. Hỏi hàm số

     

2

6g x f x f x

 

 

 

nghịch

biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

3;1

. B.

 

7;14

. C.

 

14; 

. D.

 

1;7

.

Câu 26: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị

 

y f x





như hình vẽ bên dưới. Hỏi

có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

30; 30m  

 

để hàm số

 

2

2g x f x x m  

nghịch

biến trên

 

1; 2

.

A.

0

. B.

1

. C.

28

. D.

23

.

Câu 27: Cho hàm số

 

f x

. Hàm số

 

'y f x

có đồ thị như hình bên. Hàm số

   

2

1 2g x f x x x   

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A.

3

1;

2

 

 

 

. B.

1

0;

2

 

 

 

. C.

 

2; 1 

. D.

 

2; 3

.

Câu 28: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

40; 40m  

 

để hàm số

 

2

4 3g x x mx m   

nghịch biến trên khoảng

 

2; 1 

.

A.

79

. B.

39

. C.

80

. D.

40

.

Câu 29: Cho hàm số

( )f x

liên tục trên



có đồ thị hàm số

( )y f x





cho như hình vẽ

Hàm số

 

2

( ) 2 1 2 2020g x f x x x    

đồng biến trên khoảng nào?

A.

(0;1)

. B.

( 3;1)

. C.

(1;3)

. D.

( 2;0)

.

Câu 30: Cho hàm số

( )y f x

liên tục trên



có đồ thị hàm số

( )y f x





cho như hình vẽ.

Hàm số

 

2

( ) 2 1 2 2020g x f x x x    

đồng biến trên khoảng nào?

A.

 

0; 1

. B.

 

13;

. C.

 

1; 3

. D.

 

02;

.

Câu 31: Cho hàm số

( )f x

,

( )g x

có đồ thị như hình vẽ. Biết hai hàm số

(2 1)y f x 

,

( )y g ax b 

có

cùng khoảng nghịch biến lớn nhất. Khi đó giá trị của biểu thức

 

4a b

bằng:

x

y

– 2

4

1

– 2

O

A.

0

. B.

2

. C.

4

. D.

3

.

Câu 32: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị hàm số như hình vẽ. Khi đó hàm

số

 

3

3 1f x x 

nghịch biến trên:

A.

 

1; 2

. B.

 

0;1

. C.

1

2;

2

 

 

 

 

. D.

1

;0

2

 



 

 

.

Câu 33: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên



, bảng xét dấu của

biểu thức

 

f x



như bảng dưới đây.

Hàm số

 

2

2 1

f x x

y g x

f x x



 

 

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

;1

. B.

5

2;

2

 



 

 

. C.

 

1; 3

. D.

 

2;

.

Câu 34: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm trên



và

 

1 1f 

. Đồ thị hàm số

 

y f x





như hình bên. Có

bao nhiêu số nguyên dương

a

để hàm số

 

4 sin cos2y f x x a  

nghịch biến trên

0;

2



 

 

 

?

A.

2

. B.

3

. C. Vô số. D.

5

.

Câu 35: Giả sử

 

f x

là đa thức bậc 4. Đồ thị của hàm số

 

' 1y f x 

được cho như hình bên. Hỏi hàm

số

 

2

3g x f x 

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.

 

2;1

. B.

 

1;0

. C.

 

1; 2

. D.

 

0;1

.

Câu 36: Cho hàm số

( )f x

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thỏa mãn

10 10m  

và hàm số

2

( 2 )y f x x m  

đồng biến trên khoảng

(0;1)

?

A.

5

. B.

4

. C.

6

D.

1

.

Câu 37: Cho hàm số

4 3 2

, 0y ax bx cx dx e a     

. Hàm số

 

'y f x

có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng

 

6;6

của tham số

m

để hàm số

     

2 2

3 2 3 2g x f x m x m x m      

nghịch biến trên

 

0;1

. Khi đó, tổng giá trị các phần

tử của S là

A. 12. B. 9. C. 6. D. 15.

Câu 38: Có bao nhiêu giá trị thực của

m

để hàm số

   

9 2 6 3 2 4

x 3 2 2y m m m x m m m x m       

đồng biến trên



?

A. Vô số. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 39: Cho hàm số

 

2 5 3 2

2 8

20 1

5 3

f x m x mx m m x     

(

m

là tham số). Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số

m

để hàm số đã cho đồng biến trên



?

A.

7

. B.

9

. C.

8

. D.

10

.

Câu 40: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị

 

y f x





như hình vẽ bên. Đặt

     

2

1

1 2019

2

g x f x m x m     

, với

m

là tham số thực. Gọi

S

là tập hợp các giá trị

nguyên dương của

m

để hàm số

 

y g x

đồng biến trên khoảng

 

5; 6

. Tổng tất cả các phần

tử trong

S

bằng:

A.

4

. B.

11

. C.

14

. D.

20

.

Câu 41: Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

 

   

 

3

3 2 2 2

( ) 2 1 3 5 4 6 3 6 19 32 1 1f x m x m m x m m x x          

đồng biến trên

khoảng

 

1; 

. Số phần tử của tập hợp

S

là

A.

3

. B.

0

. C.

1

. D.

2

.

Câu 42: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị hàm số

 

2

2y f x x



 

như hình

vẽ bên. Hỏi hàm số

 

2 3

2

1 1

3

y f x x   

đồng biến trên khoảng nào?

A.

 

3; 2 

. B.

 

1; 2

. C.

 

2; 1 

. D.

 

1; 0

.

Câu 43: Cho hàm số

 

y f x

là hàm đa thức có đồ thị hàm số

 

y f x





như hình vẽ.

Hàm số

   

 

3 2

3 1 3 2 2 3 5g x f x x x x     

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

   

; 2 , 1;  

. B.

 

3;0

. C.

 

; 1 

. D.

 

1; 2

.

Câu 44: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị hàm số

 

' 2 1y f x 

như hình vẽ. Hàm số

   

2

1 1

4 2

g x f x x x  

. Đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.

 

; 3 

. B.

 

3;0

. C.

 

1; 4

. D.

 

4;

.

Câu 45: Cho hàm số bậc bốn

 

f x

. Đồ thị hàm số

 

' 3 2y f x 

được cho như hình bên. Hàm số

 

2

1y f x 

nghịch biến trên khoảng nào?

A.

 

;0

. B.

 

0;1

. C.

 

2;

. D.

 

1; 0

.

Câu 46: Cho hàm số

   

,y f x y g x 

liên tục và có đạo hàm trên



, trong đó hàm số

   

 

2 'g x f x 

là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ như dưới

Hàm số

 

2 3 2

2 2 2021y f x x x x     

nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.

 

; 1 . 

B.

 

0;1 .

C.

 

1; 2 .

D.

 

2; .

Câu 47: Cho hai hàm số

( ); ( )f x g x

có đạo hàm liên tục trên



. Đồ thị

 

2

4y f x x



 

như hình vẽ.

Hàm số

 

2 3

2

( ) 4 2021

3

g x f x x   

nghịch biến trong khoảng nào?

A.

 

0;3

. B.

 

3; 5

. C.

 

2,3

. D.

 

4; 6

Câu 48: Cho hàm số

 

f x

và

 

g x

xác định và liên tục trên



, trong đó

 

2

4g x f x



 

 

 

là hàm bậc

ba có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số

m

để hàm số

 

2

h x f x x m  

đồng biến trên

 

0;1

.

A.

0

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 49: Cho hàm số

 

y f x

là hàm đa thức và hàm số

 

2

1y f x 

có bảng biến thiên

Hàm số

 

3

2g x f x x 

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.

1 1

;

6 6

 



 

 

. B.

1

;

6

 

 

 

 

. C.

1

;1

6

 

 

 

. D.

1

;

6

 

 

 

 

.

Câu 50: Cho hàm số

2

( 2)y f x 

là hàm số bậc 4 có bảng biến thiên như sau.

Hàm số

 

3

3 3g x f x x  

đồng biến trong khoảng nào sau đây?

A.

 

; 2 

. B.

 

2; 1

. C.

 

1; 2

. D.

 

1;  

.

Câu 1: Chọn B

Xét hàm số

   

2

4h x f x x 

trên



.

Vì

 

f x

là hàm số đa thức nên

 

h x

cũng là hàm số đa thức và

   

0 4 0 0h f 

.

Ta có

   

4 2h x f x x

 

 

. Do đó

   

1

0

2

h x f x x

 

   

.

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số

 

y f x





và đường thẳng

1

2

y x 

, ta có

   

0 2;0; 4h x x



   

Suy ra bảng biến thiên của hàm số

 

h x

như sau:

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số

   

g x h x

như sau:

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số

 

g x

đồng biến trên khoảng

 

0; 4

.

Câu 2: Chọn A

 

     

2

3 3 3

3 2

3 3 3

3 3 2 3 3 3

3 3 2 3 6 3

g x f x x m x x m x x m

f x x m x x m x x m

           

           

Ta có

 

         

2

2 3 2 3 2 3

' 9 1 ' 3 18 1 3 36 1 3g x x f x x m x x x m x x x m               

Để hàm số nghịch biến trên

 

1;2

   

     

 

     

 

2

3 3 3

2

3 3 3

' 0 1;2 ' 3 2 3 4 3 0 1;2

' 3 2 3 4 3 1;2

g x x f x x m x x m x x m x

f x x m x x m x x m x

                   

               

Đặt

3

3t x x m   

. Với

 

1; 2x  

có

   

2

' 3 3 0 1;2 14; 4t x x t m m          

Xét bất phương trình

 

1

   

2

' 2 4 1f t t t  

Đồ thị hàm số

 

'y f t

và

2

2 4y t t  

trên cùng hệ trục tọa độ:

Để

 

1

luôn đúng

 

14, 4

1

4 1 3

1

14 2 16

14, 4

2

t m m

t

m m

t

m m

t m m

t





  







  





    









   







 



  



  

  























.

Do

20; 20m  

 

nên số giá trị của

m

là

   

3 20 1 20 16 1 23      

.

Câu 3: Chọn A

Xét hàm số

     

3 2

3 3 2 1g x f x x mx m x m      

có

   

2

3 6 3 2f x x mx m



   

Để hàm số đồng biến trên

 

0;3

thì:

 

2

0 0

0

, 0; 3, 0; 3

0 3 6 3 2 0

0 0 0

, 0; 3

0

3 6 3 2 0

f

f x

xx

f x x mx m

f x f

x

f x

x mx m











  





    





 





 

 





 

 







   









 

2

2 0

2

,

2

1

0;

;

2

2 1

1

2 0 2

2

3

0 3

2

,

1

m

x

m

x

m

m m

m

x

m x

x



  







  













 



  



 



  





 





 

    

































. Vì

2021 2

2021;2021

1 2021

m

   

   



 

 



Vậy có tất cả

4041

giá trị

m

thỏa mãn đề bài.

Câu 4: Chọn B

Ta đặt:

 

3 2

( ) 2 1 4 15 18 1y g x f x x x x      

.

   

2 2

( ) 6 2 1 12 30 18 6 2 1 2 5 3g x f x x x f x x x

 

  

          

 

.

Có

 

1

2 1 1

3

2 1 2

2

2 1 0

2 1 3 2

2 1 4 5

2

x

f x

x x

x

 



  





 





   



  



 











.

Từ đó, ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu trên, ta kết luận hàm số

( )g x

đồng biến trên khoảng

3

1;

2

 

 

 

.

Câu 5: Chọn B

Ta có

   

 

2

' 2 3 ' 3 4g x x f x x   

.

Hàm số đồng biến trên

 

1;  

khi

 

       

  

2 2

2 2 2 2

2 3 ' 3 4 0, 1; ' 3 4 0, 1;

3 4 3 3 4 2 3 4 9 0, 1; 1

x f x x x f x x x

x x x x x x m x x x

               

 

              

 

 

Đặt

 

2

3 4 0t x x t   

do

 

1;x   

   

 

2 2 2

1 4 2 9 0, 0 2 9 0, 0

1 9

, 0 3

2

t t t mt t t mt t

m t t m

t

            

 

        

 

 

Do

m

nguyên âm nên

 

3; 2; 1m   

.

Câu 6: Chọn D

Ta có

         

' ' . ' 0h x g f x h x g f x f x

   

   

   

 

     

 

2

2 2

3

3 2

3 10 2020 0

' 0

4 4

4 4 0

' 0

f x f x vn

g f x

m m

x x

x m

f x



   

 



 

 



     

   







Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên

 

2;

khi và chỉ khi

2

3

4

2 6 6

4

m



    

.

Vậy có

6

giá trị nguyên dương

m

thỏa mãn.

Câu 7: Chọn C

Ta có

x 



,

       

' ' 1 ' 1 'g x f x f x g x      

.

Suy ra

       

2021 2020

2

' 1 3 2 2 3 6f x x x x m x m

 

         

 

         

2021 2020

2

' 1 2 1 3 1 1 1 2 5f x x x x m x m

 

   

            

   

 

 

Vậy

     

 

2021 2020

2

' 2 3 . 2 5f x x x x m x m      

Hàm số

 

f x

nghịch biến trên khoảng

 

0;

     

 

2021 2020

2

' 2 3 . 2 5 0f x x x x m x m        

 

0;x  

2

2 5 0x mx m    

,

 

0;x  

2

5

2

x

m

x



 



 

0;x  

.

 

*

Xét

 

2

5 9

2

2 2

x

h x x

x x



   

 

,

 

0;x  

 

2

9

1

2

h x

x



  



 

2

9

0 1 0

2

h x

x



    



2 3 1

2 3 5

x x

   

 

 

    

 

Bảng biến thiên

 

* 2m 

, mà nguyên dương suy ra

 

1; 2m 

. Vậy có 2 giá trị của thỏa mãn.

Câu 8: Chọn C

Xét hàm số:

2

( ) 4 ( ) 4 2021 ( ) 4. ( ) 2 4 4 ( ) 1

2

x

g x f x x x g x f x x f x

 

 

  

            

 

 

 

 

m

Để hàm số nghịch biến thì:

( ) 4 ( ) 1 0 ( ) 1

2 2

x x

g x f x f x

 

   

  

         

 

   

   

 

Trên hệ trục ta nhận thấy đường thẳng

: 1

2

x

y   

đi qua ba điểm

( 2;2),(0;1),(2;0)

.

Để

( ) 1

2

x

f x

 



  

 

 

thì đồ thị hàm số

 

( )y f x





phải nằm dưới đường thẳng



.

Tương ứng với miền

2

0 2

x

  



 



.

Câu 9: Chọn C

Ta có:

    

2

2 3 2 1 2f x x x x x



      

       

2 1 2 2 3 4f x x x x x



        

.

Khi đó:

 

3

0

4

x

f x

x







 







. Đặt

 

2

4 7y g x f x x   

.

Ta có:

   

 

2

2 4 0

2 4 . 4 7 0

4 7 0

x

g x x f x x

f x x



 

 

     





  





2

4 7 3

4 7 4

x

x x

  



   



  



 

2

2 0

1

3

x

  

  

 



   



 



 





 



.

Bảng xét dấu

 

g x



:

x

( )

g x











3



0



2



0



1



Dựa vào bảng biến thiên, ta có: hàm số

 

2

4 7y g x f x x   

đồng biến trên khoảng

 

1; 

Câu 10: Chọn D

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:

Suy ra

 

1

2

f x x

  



Mặt khác:

















2 3 3 3

g x f x f x f x

  

     













3 2 3 1

f x f x



    

Ta có





0

g x



 













3 2 3 1 0

f x f x



    





3 0

f x



  

3 3

3 3 1

x



 





   



0

2 6

x









 



Do đó hàm số

g

đồng biến trên khoảng





2;6

.

Câu 11: Chọn B

Đặt













3 3

3 1 3 1

u x x g x f u f x x

       













2 3

3 3 3 1

g x x f x x

 

    

 

3

1

0

1

0 3 1 1 3

1

3 1 1

2

x

g x x x x

x

x x

x

  





  





         



 



  











Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng





 





3; 1 , 0;1 , 3; 2

  .

Vậy giá trị của biểu thức





2 2 2 2 2 2

12

a b m n p q

     

Câu 12: Chọn C

Cách 1: Tập xác định của hàm số





2

4 4

f x

  là

2;2

 

 

Đạo hàm:

 





2

4 4

4

x

g x f x

x

 

  



Hàm số đồng biến thì





0

g x





. Từ tập xác định ta có:

 





 









 

2

2 2

2

0; 2

3 4 4 1

4 4 1

4 4 0

4 4 4

2;0 2;02;0

4 4 0 1 4 4 4 1 4 4

4 4 3

x

f x

x VN

x xx

f x x x

VN

x

































    



 





  







 







  





  



 



 



  



  



  



    





 













 







         









 











 







   



 















2

0; 2

4 3

2;0

4 3

x















 









  









 











 

0; 2

2;0

x

VN

x



















   





 

















.

Cách 2: Sử dụng pp ghép trục:

 





 

2 2

4 4 , 4 4

g x f x f u u x

      

, với

2; 2

x

  

 

Bảng biến thiên kép

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng





2; 0



.

Câu 13: Chọn D

Cách 1:

Tập xác định của hàm số

 





2

1 7 6

g x f x x

     là

1;7

D

  

 

Đạo hàm:

 





2

3

1 7 6

7 6

x

g x f x x

x x



 

    

 

Hàm số nghịch biến:





0

g x





Từ tập xác định, ta có các trường hợp sau:

 





 









 

2

1; 3

1 1 7 6 2

1 7 6 0

7 6 3

3;7

3;7 3;7

1 7 6 1

7 6 3

1 7 6 0

1 7 6 2

x

x x

f x x

x x

x

x x

f x x

x x





 





 







 













      









    





  





 









 





 



 

 









     

 





  



    

 















    













 

1; 3

3 7

1 3 7

3 7

3 3 7

3;7

3 7 3 7

x





 









 







   



 



 











  

















   









.

Cách 2: Sử dụng phương pháp ghép trục

 





 

2

1 7 6

g x f x x f u

      với

2

1 7 6

u x x

    

và

2; 2

x

  

 

Bảng biến thiên kép

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng

 

1; 3 7 

và

 

3;3 7

Câu 14: Chọn A

Xét hàm số:

   

 

     

' ' . 'g x f f x g x f x f f x

 

  

 

Hàm số đồng biến khi

     

' ' . ' 0g x f x f f x

 

 

 

 

1

' 0

3

4

' 0

1

4

1 3

3

5

' 0

5

1 3

' 0

4 5

1 3

x

f x

x

f f x

f x

x

f x

x

f x

x

f f x

x

f x





  





  

































  







 







 

 

 

 

 









      



 





































 

  

  







 













  













Câu 15: Chọn B

Xét hàm số

 

3

g x f x m 

có biểu thức đạo hàm:

 

     

2 3 2 3 3 3

' 3 . ' 3 . 2 1g x x f x m x x m x m x m       

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng

 

1; 

thì ta phải có:



3

2 1 1 1;m m m       



Câu 16: Chọn C

Xét hàm số

 

   

 

2 2

2 ' 2 1 . ' 2g x f x x m g x x f x x m       

Với

 

1; 3 1 0x x    

Để hàm số đồng biến trên khoảng

 

1; 3

thì:

   

2 2

' 2 1 . ' 2 0 ' 2 0g x x f x x m f x x m        

 

2 2

2 2 2

2 3 2 3

, 1; 3

3 2 1 2 1 2 3

x x m m x x

x

x x m x x m x x

 

     

   

 

          

 

 

Suy ra với





1; 3

x  ta có:





   

2

2 2

min 2 3

4 20 4

2 2 2

max 2 1 min 2 3

m x x

m m

x x m x x



  

 

    



 

 



  

     

 



Do đó có

18

giá trị

m

nguyên thỏa mãn.

Câu 17: Chọn C

Ta có:













2 3

3 1 3

g x x f x x m

 

    . Với

2

2; 1 1 0

x x

       

 

Để hàm số









3

g x f x x m

   đồng biến trên

2; 1

  

 

thì:









2 3

3 1 3 0, 2; 1

x f x x m x



        

 

 

3

3 3, 2; 1

3 0, 2; 1

1 3 3, 2; 1

x x m x

f x x m x

x x m x



        

 



         



 

        



 



 

3

3 3, 2; 1

1

1 3

, 2; 1

3 3

x x m x

m x x

x

m x x



       

 







  





    





 

  









Xét hàm số

   

3 2

1 2; 1

3 3 3 0

1 2; 1

x

h x x x h x x

x



    

 



      



     



 



Ta có:





2 2

h

  

và









2; 1

1 2 max 2

h h x

 

 

 

   

và





2; 1

min 2

h x

  

 

 

Từ





1





 

2; 1

max 3

2 3 5

1 min

5

1 2 3

3 2 1

3 max

h x m

m m

m h x

m

m m

m h x

  

 

  

 

  

 



 

    



 





 

    

     

 





 



 



   

 

 

 









.

Mà

30; 30 5 30

m m

     

 

, do đó có

26

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18: Chọn A

Đặt

2

2 2

u x x

  

. Xét trên





;1



thì





1;u

 

Để





;1



nằm trong TXĐ của hàm số đã cho thì:

 

2

2 3 2 2, ;1

m x x x      

2 3 1 2

m m

    

Ta có hàm số

2 2

2

1 2 2 2 2 1

2 3

(2 3 ) (2 3 )

2 2

u m m x

y y u

m u

m u m u

x x

   

 

     

 

   

 

Để hàm số đồng biến trên





;1



thì

 

2

2 2 1

0, ;1

(2 3 )

2 2

m x

y x

m u

x x

 



     

 

 

Suy ra

2 2 0 1

m m

   

Từ, suy ra

1

m



, mà





20; 20 , 20, 19,...,0

m m m       

 



.

Vậy có 21 giá trị

m

nguyên thỏa mãn yêu cầu.

Câu 19: Chọn B

Ta có:

 

2

4

' 0 4 *

4 4 5

' 0 * *

o

b a

f x b a

x b

a a a a

a b

g x a b

x a





   







     







   







Từ





0

* 4 20 21 26

o

b a b T

      

.

Câu 20: Chọn D

Ta có

















2 2

' 3 1 6 1 3 1

f x m x m m x m

      

Hàm số luôn nghịch biến trên





;

a b

nên





















 

   

 

   

 

2 2

2 2 2

2

4 2

2

max

' 3 1 6 1 3 1 0 ;

1 2 1 1 0 ;

2 2 1 2 1 0 ;

0

5 2 6;5 2 6

1 10 1 0

1 8 1 0

5 2 6 5 2 6

f x m x m m x m x a b

m x m m x m x a b

xm x x m x x x a b

x

x x x

b a

         

         

          

         

 

 

 

     

 

 

   

     

 



      4 6

Câu 21: Chọn C

Hàm số luôn đồng biến trên

;

a b

 

 

suy ra:









 

   

 

2 3 2

2

2 3 2

' 12 24 12 12 2 1 0 ;

2 2 1 0 ;

0

1 5

0

1 5

1

2

1 1 1 1 0

1 5

1

2

f x m x mx x m x a b

m x mx x m x a b

m x x m x x a b

m

x

x x x x x x

x

         

 

         

 

         

 

 







 





 





   

 





         

 









 









Suy ra

 

max

1 5

1 2 5

2

a b b a



     

.

Câu 22: Chọn A

Ta luôn có:

( ) 2 3

f x

  

phương trình mẫu số

( ) 3 0

f x

 

vô nghiệm.

Suy ra hàm số

1

( ) 3

y

f x





có tập xác đinh là



.

Đạo hàm:

2

( )

[ ( ) 3]

f x

y

f x



 



Hàm số nghịch biến thì:

2

( ; 2)

( )

0 ( ) 0

(1;3)

[ ( ) 3]

x

f x

y f x

x

f x

   



 

     









Câu 23: Chọn C

Tập xác định của hàm số

( ) 5

( )

f x

y g x

f x m



 



là

{ ( ) }

D x R f x m

   

∣

Để khoảng

(1;4)

D

 

phương trình

( )

f x m

 

phải không có nghiệm

(1;4)

x



.

Suy ra:

 

4 4

1

2 2

m m



    





   





Đạo hàm:

 

2

5

( ) ( ) ;

( )

m

y g x f x

f x m



  

  



Để ý rằng trên luôn có

( ) 0

f x





Để hàm số

( ) 5

( )

f x

y g x

f x m



 



nghịch biến trên thì:

 

2

5

( ) ( ) 0

( )

m

g x f x

f x m



 

  



với

(1;4)

x

 

Suy ra:

 

2

5

0 5 0 5 2

( )

m

m m

f x m



     



Kết hợp





1

và





2

và điều kiện 𝑚 nguyên



20; 2021

m  



.

Ta suy ra:

20 4 20 4

2 5 2 4

m m



       





   





. Có 20 giá trị nguyên của 𝑚 thỏa mãn.

Câu 24: Chọn D

Đạo hàm:









2 .

y f x f x

 



Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số

 





2

y f x

 đồng biến trên các khoảng













3; 1 , 1;2 , 3;

  

.

Câu 25: Chọn B

Xét hàm số

     

2

6

g x f x f x

 

 

 

.





























2 . 6 2 3

g x f x f x f x f x f x

   

   

.

Hàm số nghịch biến khi

     

 





 

0

3 0

2 3 0

0

3 0

f x

g x f x f x

f x















 







 

   

















 









3

7

1 14

7 14

3 1

3 7

7 1

14

x





  





















  



 













 

    

 







  

  









  

















.

Câu 26: Chọn A

Ta có:













2

2 1 2

g x x f x x m

 

   

Để hàm số









3

g x f x x m

  

nghịch biến trên





1; 2



thì:

















2

2 1 2 0, 1;2

g x x f x x m x

 

       













 

2

2 1 2 0, 1;1

1

2 1 2 0, 1;2

x f x x m x





      









     





 









 

2

2 0, 1;1

1

2 0, 1;2

f x x m x





     









    





 

2 2

2 3 2 3

, 1;1 , 1;1

3 2 1 3 2 1

2

1 2 3 1 2 3

, 1; 2 , 1;2

2 3 2 3

x x m x x m

x x

x x m m x x m

x x

x x m x x m

 

 

     

     

 

 

         

 

 

 

 

 

 

        

 

   

 

 

      

 

 

 

Xét hàm số









2

2 2 2 0 1

h x x x h x x x



       

Với





1;1

x  





2 2 0

h x x



   





















1 1 1 3, 1;1

h h x h h x x          

Với





1; 2

x 





2 2 0

h x x



   





















1 2 1 0, 1; 2

h h x h h x x        

Câu 27: Chọn A

Ta có :









2

1 2

g x f x x x

   









' 2 ' 1 2 2 1

g x f x x

     

Đặt









1 2 2

t x g x f t t

 

     

   

' 0 '

2

t

g x f t

   

Vẽ đường thẳng

2

x

y

 

và đồ thị hàm số





'

f x

trên cùng một hệ trục

Hàm số

 

g x

nghịch biến

   

2 0

' 0 '

4

2

t

g x f t

t

  

     







Như vậy

 

1 3

2 1 2 0

1 2

2 2

1 2

3

4 1 22

2

x

f x

x



 





   





   



 





 





.

Vậy hàm số

   

2

1 2g x f x x x   

nghịch biến trên các khoảng

1 3

;

2 2

 

 

 

và

3

;

2

 

 

 

 

.

Mà

3 1 3

1; ;

2 2 2

   



   

   

nên hàm số

   

2

1 2g x f x x x   

nghịch biến trên khoảng

3

1;

2

 

 

 

Từ

 

2

1 3 4

3 1 2

4

3 1 2

2

3 2

1 1 2

3

0 3 3

m m

m

m m

m

m m

m

m m

 

    

 

 

    

  

 

 

 





 

 

  



 

  

  

    

  

     

     

  

  

 

  



   



  

 

 

 

 

  

 

 

.

Vậy không có giá trị nguyên của

30; 30m  

 

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 28: Chọn C

Xét hàm số

   

2

4 3g x f x x mx m    

có

 

' 2 4f x x m 

Để hàm số nghịch biến trên

 

1; 3

thì

 

1 0

, 2; 1

' 2 4 0

1 0

, 2; 1

' 2 4 0

f

x

f x x m

f

x

f x x m





 





   



  











 





   





  









 

, 40;40

2

5 2 0

5

, 2; 1

1

2

1 40

2

.

2

5

40 1

5 2 0

1

2

, 2; 1

5

2

1

m Z m

m

x

m

x

m

   

 







  









   











 

  











   





   

  





 















   























 





Vậy có

80

giá trị nguyên

m

thỏa mãn.

Câu 29: Chọn A

Ta có đường thẳng

y x

cắt đồ thị hàm số

( )y f x





tại các điểm

1; 1; 3x x x   

như hình

vẽ sau:

Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có

1

( )

1 3

x

f x x

x

  



 



 



và

1 1

( )

3

x

f x x

x

  



 







.

Trường hợp 1:

1 0 1x x   

, khi đó ta có

 

2

( ) 2 1 2 2020g x f x x x    

.

Ta có

 

( ) 2 1 2(1 )g x f x x

 

    

.

   

1 1 1 0 2

( ) 0 2 1 2(1 ) 0 1 1

1 3 2

x x

g x f x x f x x

x x

      

  

            

 

   

 

.

Kết hợp điều kiện ta có

0 1

( ) 0

2

x

g x

x

  



 



 



.

Trường hợp 2:

1 0 1x x   

, khi đó ta có

 

2

( ) 2 1 2 2020g x f x x x    

.

 

( ) 2 1 2( 1)g x f x x

 

   

   

1 1 0

( ) 0 2 1 2( 1) 0 1 1

1 1 3 2 4

x x

g x f x x f x x

x x

 

   

  

           

 

    

 

.

Kết hợp điều kiện ta có

( ) 0g x



 

2 4x 

.

Vậy hàm số

 

2

( ) 2 1 2 2020g x f x x x    

đồng biến trên khoảng

(0;1)

.

Câu 30: Chọn A

Với

1x 

, ta có

     

2

2 1 1 2021g x f x x    

     

2 1 2 1g x f x x

 

    

.

Hàm số đồng biến

       

2 1 2 1 0 1 1 *f x x f x x

 

        

.

Đặt

1t x 

, khi đó

   

1 3 2 4

*

1 0 ( )

t x

f t t

t x loai

    



   

 

  

 

.

Với

1,x 

ta có

     

2

2 1 1 2021g x f x x    

     

2 1 2 1g x f x x

 

     

Hàm số đồng biến

       

2 1 2 1 0 1 1 * *f x x f x x

 

         

.

Đặt

1t x 

, khi đó

   

1 1 0 2 0 1

* *

3 2 2

t x x

f t t

t x x

        



    

  

    

  

.

Vậy hàm số

 

g x

đồng biến trên các khoảng

 

; 2 

,

 

0;1

,

 

2; 4

.

Câu 31: Chọn B

Xét hàm số





(2 1) (2 1) ' 2 '(2 1)

y f x f x f x

     

nghịch biến khi





0

f x









(2 1) ' 2. '(2 1) 0 '(2 1) 0 1 2 1 3 1 2

f x f x f x x x

              

.

Xét hàm số





( ) ( ) ' . '( )

y g ax b g ax b a g ax b

     

nghịch biến khi xảy ra hai trường hợp

0

'( ) 0

2

0

'( ) 0

0 2

2

a

b

a

x

a

ax b

g ax b

b

ax b

x

a

g ax b

ax b

b b

x

a a



 





 



 











 









  



 





 















 

 









 

 

















 













  













   









Nếu

0

a



thì hàm số

( )

y g ax b

 

nghịch biến trên

2

; ; ;

b b

a a

     

 

   

   

không thỏa mãn điều

kiện có khoảng nghịch biến là





1; 2

.

Nếu

0

a



thì hàm số

( )

y g ax b

 

nghịch biến trên

2

;

b b

a a

   



 

 

Yêu cầu bài toán là hai hàm số

(2 1)

y f x

 

,

( )

y g ax b

 

có cùng khoảng nghịch biến lớn nhất

nên

2

1

2

4 4

4

2

b

a

a b

b b

a

 

 



  



    

 

 











.

Câu 32: Chọn B

Xét hàm số









3

3 1

g x f x x

  

Đạo hàm hàm hợp





















2 3 2 3

' 3 3 . ' 3 1 3 1 . ' 3 1

g x x f x x x f x x

       

.

Để hàm số nghịch biến thì













2 3

' 3 1 . ' 3 1 0

g x x f x x

    





 

3 3

2

3

2

' 3 1 0 1 3 1 3

3 0

0 1.

3 4 0

1 4 0

f x x x x

x x

x

x x

x x x

        



 



 

 

    

 

  

   





Câu 33: Chọn C

 

   

 

2 2 2

2 2

2 . 2 2 2 . 2

2 1 2 1

x x f x x x f x x

g x

f x x f x x



 

   



 

   

.

 

2

1

2 2 0

2 2

0 1

2 0

2 1

3

2 3

x

x x

g x x

f x x

x x

x

x x

 



  

  





     





 

  













 



Ta có bảng xét dấu của





g x



:

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số





y g x

 nghịch biến trên các khoảng





; 1

 

và





1; 3

.

Câu 34: Chọn B

Đặt

       

2

4 sin cos2 4 sin cos2

g x f x x a g x f x x a

 

      

 

.

 









 

2

4cos . sin 2sin 2 4 sin cos2

4 sin cos2

x f x x f x x a

g x

f x x a

   



  

   



 

 

 

 

.

Ta có









4cos . sin 2sin 2 4cos sin sin

x f x x x f x x

 

 

  

 

.

Với

0;

2

x



 



 

 

thì









cos 0,sin 0;1 sin sin 0

x x f x x



    

.

Hàm số





g x

nghịch biến trên

0;

2



 

 

 

khi

 

4 sin cos 2 0, 0;

2

f x x a x



 

    

 

 

 

2

4 sin 1 2sin , 0;

2

f x x a x



 

     

 

 

.

Đặt

sin

t x



được









2

4 1 2 , 0;1

f t t a t    

.

Xét





















2

4 1 2 4 4 4 1

h t f t t h t f t t f t

 

  

       

 

.

Với





0;1

t  thì









0

h t h t



  nghịch biến trên





0;1

.

Do đó









2

1 4 1 1 2.1 3

a h f

     

. Vậy có 3 giá trị nguyên dương của a thỏa mãn.

Câu 35: Chọn D

Đặt

















1 1 ' ' 1

t x f t f x f t f x

        

Ta có

   

0 1

' 0 ' 1 0 2 1

3 2

x t

f t f x x t

x t

   

 

        

 

  

 

   

0 1

' 0 ' 1 0

2 3 2 1

x t

f t f x

x t

   

     

 

     

 

BBT của





f t

Mặt khác









2

' 2 . ' 3

g x x f x

 

Nên

 

2

0

' 0 2 . ' 3 0

' 3 0

x

g x x f x

f x

 

    



 





Ta có

 

2

2 2

2

3 1

' 3 0 3 1 2

3 2 1

x

f x x x

x x

  



 



        



    



 

2

3 1

' 3 0

2 1

2 3 1

1 2

x

f x

x

 



 



 



   



   

    





 



Bảng xét dấu của

 

'g x

Dựa vào bảng xét dấu

 

'g x

suy ra hàm số

 

g x

nghịch biến trên

 

0;1

Câu 36: Chọn C

Xét

2

( ) ( 2 )y g x f x x m   

Ta có:

2

' '( ) 2( 1) '( 2 )y g x x f x x m    

Vì

1 0 (0;1)x x   

nên để hàm số

2

( 2 )y f x x m  

đồng biến trên khoảng

(0;1)

khi và chỉ

khi

2

'( 2 ) 0 (0;1)f x x m x    

, do hàm số

2

2x x m 

luôn đồng biến trên

(0;1)

nên

Đặt

2

2t x x m  

. Vì

(0;1)x

nên

( ; 3)t m m 

Dựa vào bảng xét dấu của

'( )f x

ta có:

3 2

5

0

3 3

m

   

  





 











 





Mà

10 10m  

nên

{ 9; 8; 7; 6; 5;0}m      

Vậy có tất cả

6

giá trị nguyên của tham số

m

thỏa mãn đề bài.

Câu 37: Chọn B

Xét

     

' 2 ' 3 2 2 3g x f x m x m      

. Xét phương trình

 

' 0g x 

Đặt

3 2t x m  

thì phương trình trở thành

 

2

2. ' 0 4

2

0

t

f t t

t

  

  



    

 



 







.

Từ đó,

 

1 2 3

5 3 1

' 0 , ,

2 2 2

m m m

g x x x x

   

    

. Lập bảng xét dấu, đồng thời lưu ý nếu

1

x x

thì

1

t t

nên

 

0f x 

. Và các dấu đan xen nhau do các nghiệm đều làm đổi dấu đạo hàm

nên suy ra

  

2 1 3

' 0 ; ;g x x x x x       

  

.

Vì hàm số nghịch biến trên





0;1

nên









' 0, 0;1

g x x   từ đó suy ra

3 5

0 1

2 2

1

2

m m

m



 

  



 









và giải ra các giá trị nguyên thuộc





6;6

 của

m

là -3; 3; 4; 5.

Câu 38: Chọn B

Ta có:









8 2 5 3 2 3

9 6 3 2 4 2

y mx m m x m m m x



      













3 5 2 2 3 2

9 6 3 2 4 2

x mx m m x m m m

      

Để hàm số luôn đồng biến trên



thì

0,

y x



  



.

Mặt khác ta thấy

0

y





có nghiệm bội lẻ

0

x



, do đó để

0,

y x



  



thì phương trình









5 2 2 3 2

9 6 3 2 4 2 0

mx m m x m m m

      

có nghiệm

0

x



3 2

1

2 0

2

0

m

m m m m

m

 



      







.

Thử lại:

Với

0

m



5

12x

y



  .

Với

1

m



8

9x 0,y x



    



.

Với

1

2

m

 

8 5

9 45

2 2

y x x



   

.

Vậy có 1 giá trị của

m

.

Câu 39: Chọn B

Ta có:

 

2 5 3 2

2 8

20 1

5 3

f x m x mx m m x

     

.





2 4 2 2

2 8 20

f x m x mx m m



     

Để hàm số đã cho đồng biến trên



thì





2 4 2 2

0, 2 8 20 0,f x x m x mx m m x



          

 

.

Đặt

2

, 0

t x t

 

ta có:





2 2 2

2 8 20 0 *

m t mt m m     ,

0

t

 

nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1:

0

m



: khi đó bpt





*

trở thành

20 0



. Nên

0

m



thỏa mãn.

Trường hợp 2:

2 4 3 2

0

64 8 8 160 0

m

m m m m









     





2

0

3 4

12 0

m

m m





 



 

 

  

  





.

Trường hợp 3:

2 4 3 2

0

64 8 8 160 0

m

m m m m

 





     





2

0

4

3

12 0

m

m m

 







 





 

  







.

Khi đó: Yêu cầu bài toán



phương trình

2 2 2

2 8 20 0

m t mt m m

    

có hai nghiệm phân

biệt thoả mãn

1 2

0

S

t t

P





  







2

4

0

4 0

4 5

20

20 0

0

2

m

m m

m







 

 

      

  

  

  

   













.

Kết hợp điều kiện ta có:

4 3m   

Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên



thì

 

3 4

4 4, 4; 3; 2; 1;0;1;2; 3;4

4 3

m

m m m

m

  

          



   





.

Câu 40: Chọn C

Ta có

     

1g x f x m x m

 

    

Cho

   

0 1g x f x m x m

 

     

Đặt

 

' 1x m t f t t    

Khi đó nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

 

y f t





và và đường

thẳng

1y t 

Dựa vào đồ thị hàm số ta có được

 

1

1 1

3

t

f t t t

t

  





   







Bảng xét dấu của

 

g t



Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số

 

g t

đồng biến trên khoảng

 

1;1

và

 

3; 

Hay

1 1 1 1 1 1

3 3 3

t x m m x m

t x m x m

            

 

  

    

  

Để hàm số

 

g x

đồng biến trên khoảng

 

5;6

thì

1 5 6 1 5 6

3 5 6 2

m m m

m m

 

      



 

   

 

Vì

m

là các số nguyên dương nên

 

1; 2; 5;6S 

Vậy tổng tất cả các phần tử của

S

là:

1 2 5 6 14   

.

Câu 41: Chọn D

Ta có

2 2 2

'( ) 6. ( 1) ( 5 4) 8 1 3 6 19

f x m x m m x x m m

 

         

 

Hàm số đồng biến trên khoảng





1;

 





'( ) 0, 1;f x x

     





2 2 2

( 1) ( 5 4) 8 1 3 6 19 0, 1;m x m m x x m m x

             

     

2

8

3 . 1 2 1 0 3 . ( ) 0, 1;

1 2

x m x m m x g x x

x

 

                

 

 

 

 

Với

 

2

8

( ) 1 2 1

1 2

g x m x m m

x

     

 

Điều kiện cần:

 

2 2

0

(3) 0 3 1 2 1 2 0 0

1

m

g m m m m m

m





           



 



Điều kiện đủ:

Với

0

m



ta có

 

8

'( ) 3 1

1 2

f x x x

x

 

   

 

 

 

       





 

 

 

 

 

        

 

 

 

   

 

 

 

 

2 1 2

8

3 3 2 3 3

1 2 1 2

x

x x x x

x x

 

2

3 1 0, 1;

1 2

x x

x

 

 

       

 

 

 

 

0

m

 

thỏa mãn

Với

1

m

 

ta có:

   





 

2

2 1 2

2 3

8

'( ) 3 2 3 . 0, 1;

1 2 1 2

1 2

x

f x x x x

x x

x

 



 

          

 

   

 

 

1

m

  

thỏa mãn.

Câu 42: Chọn C

Đặt

1 1

t x t x

    

.

Khi đó

 

3

2

2 1 1

3

y t f t t t

    

.

   





   





2

2 2

2 1 2 2 1 2 1 2 1

y t t f t t t t f t t t

 

  

         

 

 

2

1

0 0;1

2 1

2

2; 3

t

y t t a

f t t t

t

t b







 



 





    





  











 





 

0

2

1 1;0

1

1 1; 2

x

x a

x

x b







 



    







  





Với

2 3x t  

, ta có

 

2

1 0

0

2 0

t

y

f t t

  





 





 





. Ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng

 

2; 1 

.

Câu 43: Chọn C

Ta có,

   

 

2

3 3 1 18 12 9 0g x f x x x

 

     

 

2

2 2

2 11 2 11

3 1 6 4 3 9 6 1 3 1 .

3 3 3 3

f x x x x x x



           

Đặt

3 1t x 

, ta được

 

2

2 11

3 3

f t t



 

.

Vẽ Parabol

 

2

2 11

:

3 3

P y t 

trên cùng hệ trục tọa độ

Oty

với đồ thị hàm số

( )y f t





như hình

vẽ sau.

Ta thấy,

 

2

2 11

3 3

f t t



 

với mọi

   

; 2 1;t     

3 1 2 1

.

3 1 1 0

x x

 

    

 

 

  

 

Câu 44: Chọn D

Ta có

   

2

1 1

4 2

g x f x x x  

có

   

1 1

g' '

2 2

x f x x  

Cho:

     

1 1

g' 0 ' 1

2 2

x f x x   

Đặt

2 1x t 

, phương trình

     

1 1

1 ' 2 1 2 1

2 2

f t t    

 

' 2 1 1f t t   

.

Dựa vào đồ thị hàm số

 

' 2 1y f x 

phương trình có các nghiệm:

 

2 3

' 2 1 1 0 1

2 5

t x

f t t t x

t x

     

 

      

 

 

 

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng

   

3;1 , 5; 

.

Câu 45: Chọn D

Đặt

   

3 2 ' ' 3 2t x f t f x    

. Cho

   

1 5

' 0 ' 3 2 0 0 3

2 1

x t

f t f x x t

x t

    



       



   



.

Từ đó ta có bảng biến thiên của

 

f x

:

Xét

 

2

1g x f x 

, ta có

 

2

' 2 ' 1g x xf x 

.

 

2

0

1 1

' 0 2 ' 1 0 2

' 1 0

1 3

2

1 5

x

g x xf x x

f x

x

 



 



  



        



 





 





 





.

Ta có bảng biến thiên sau:

Do đó hàm số

 

2

1f x 

nghịch biến trên

 

1; 0

.

Câu 46: Chọn C

Hàm số

 

g x

là hàm số bậc 3 nên có dạng:

   

 

         

2 ' 4 1 4 , 0 ' 2 4 1 4g x f x a x x x a f x a x x x             

Đặt

     

2 ' 6 2 1t x f t a t t t      

Đạo hàm của hàm số

 

2 3 2

2 2 2021y f x x x x     

là

     

 

2 2 2 2 2

1

' 2 ' 2 3 4 1 2 4 4 1 3 1

3

y xf x x x ax x x x x x

 

 

            

 

 

 

 

Lập bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu trên ta có hàm số đã cho nghịch biến trên

 

1; 2 .

Câu 47: Chọn B

Ta có

   

2 2 2

( ) 2 4 2 2 4g x xf x x x f x x

 

  

     

 

. Đặt

2 2t x x t    

Suy ra:

 

2

( ) 2 2 4 2g t t f t t t

 

 

    

 

;

 

2

4 2

' 0

2

f t t t

g t

t





  

 



 



2

0

1

3

t

  





















Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

0 2 0 2

1 3 1 2 3 3 5

t x x

      

 

  

      

  

Câu 48: Chọn D

Ta có:

 

   

2 2

4 2 4g x f x xf x



 



   

 

Dựa trên đồ thị ta có

    

 

2

1 1 1g x kx x x kx x    

;

0k 

Vì vậy,

   

2 2

4 1

2

k

f x x



  

;

0k 

. Đặt

2

4, 4t x t   

ta có

   

3

2

k

f t t



 

;

0k 

Phương trình đạo hàm:

 

0 3f t t



   

. Bảng xét dấu

Hàm số

 

2

h x f x x m  

đồng biến trên

 

0;1

khi:

   

 

2

2 1 0, 0;1h x x f x x m x

 

      

mà

 

2 1 0, 0;1x x   

nên:

   

0, 0;1h x x



  

 

   

2 2

0, 0;1 3, 0;1f x x m x x x m x



            

 

2 2

0;1

3, 0;1 max 3 3

x

m x x x m x x



 

 

             

vì

 

2

0;1

max 3 3

x

x x



 

 

    

tại

0x 

Kết luận: có 3 giá trị nguyên âm của

m

thỏa đề là

1; 2; 3m    

.

Câu 49: Chọn A

Xét

 

2

2y f x x 

có

 

2

2 1y xf x

 

 

;

 

2

0

1 0

x

y

f x







 





 





.

Có

2x  

là nghiệm bội lẻ của

 

2

1 0f x



 

và

 

1 0f





.

Xét

 

3

2g x f x x 

, cho

 

   

2 3

6 1 2g x x f x x

 

  

Cho

 

3

1

0

6

1

2 1

x

g x

x

x x



 





  





 



.

Hàm số

 

g x

đồng biến trên các khoảng

1 1

;

6 6

 



 

 

và

 

1; 

.

Câu 50: Chọn C

Ta có

 

2

' 2 . ' 2y x f x 

, dựa vào bảng biến thiên ta thấy

1

' 0 0

1

x

y x

x

  



  







do đó

 

2

1

' 2 0

1

x

f x

x

  

  







và do đó

'( ) 0 1f x x  

.

Xét

 

3

3 3g x f x x  

ta có

 

   

2 3

' 3 3 ' 3 3g x x f x x   

 

2

3

1

3 3 0

1

' 0 1

3 3 1

' 3 3 0

2

x

g x x

x x

f x x

x

  



 

  



    



  







 



Ta có bảng xét dấu





'

g x

Vậy hàm số đồng biến trên





1; 2

.

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

 

    

5 2

5 5 1 8y x x m x

nghịch biến

trên khoảng

 

;1 ?

A.

2.

B.

0.

C.

4.

D.

1.

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

để hàm số

  

3

2 1y x mx

đồng biến trên

khoảng

 

1; ?

A.

2.

B.

6.

C.

3.

D.

4.

Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

nhỏ hơn

10

để hàm số

   

4 3 2

3 4 12y x x x m

nghịch biến trên khoảng

 

 ; 1

?

A.

6

. B.

4

. C.

3

. D.

5

.

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của

m

để hàm số

   

4 3

2 2y x x mx

đồng biến trên khoảng

 

  1; ?

A.

 1m

. B.

m

. C.

 0 1m

. D.

 0m

.

 Hàm số





y f x

đồng biến trên





  



;

khi và chỉ khi

  

 

 







     















0, ;

0

y x

y

.

  

 

 







     















0, ;

0

y x

y

.

 Hàm số

 

y f x

đồng biến trên

 

 

;

khi và chỉ khi

   

 

  







  













0, ;

0

y x

y

.

   

 

  







  













0, ;

0

y x

y

.

 Các dạng đồng biến

 

y f x

trên



 



;a

,

 

 

 

;

ta thực hiện tương tự.

 Hàm số hỏi nghịch biến làm ngược lại.

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

m

thuộc đoạn

 

 

10;10

để hàm số













       

3 2 2

3 1 3 2 3

y x m x m m x m m đồng biến trên khoảng





0;1

?

A.

21

. B.

10

. C.

8

. D.

2

.

Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên

m

thuộc khoảng







4;4

để hàm số

   

3 2

1

3

y x x mx

đồng biến

trên







1;

?

A.

5

. B.

4

. C.

3

. D.

6

.

Câu 7: Tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc của

m

để hàm số

đồng biến trên là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn

 

 

2019;2019

của tham số thực

m

để hàm số









    

3 2

3 2 3 4

y x m x m m x

đồng biến trên khoảng





0;4

?

A.

4033

. B.

4032

. C.

2018

. D.

2016

.

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của



5

m

để hàm số



   

3 2

1

3 2

y x x x m

đồng biến trên



(0, )

?

A.

2

B.

4

C.

6

D.

8

Câu 10: Có bao nhiêu số nguyên dương

m

để hàm số

  

5

4

y x mx

đồng biến trên khoảng







1; .

A.

4

. B.

5

. C.

6

. D.

7.

Câu 11: Có bao nhiêu số nguyên

m

thuộc khoảng







10;10

để hàm số

  

3

2 2 3

y x mx đồng biến

trên khoảng







1;

?

A.

12

. B.

8

. C.

11

. D.

7

.

Câu 12: Cho hàm số

  

5

1

y x mx . Gọi

S

là tập tất cả các số nguyên dương

m

sao cho hàm số đồng

biến trên



 



1;

. Tính tổng tất cả các phần tử của

S

.

A.

15

B.

14

C.

12

D.

13

Câu 13: Cho hàm số

   

2

( ) 2 2

f x x mx m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc



[ 9;9]

để hàm số đồng biến trên khoảng

(0;2)

?

A.

3

B.

2

C.

16

D.

9

Câu 14: Cho hàm số

      

3 2 2

1 1 2

( ) (2 3) ( 3 )

3 2 3

f x x m x m m x

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số

m

thuộc



[ 9;9]

để hàm số nghịch biến trên khoảng

(1;2)

?

A.

3

. B.

2

. C.

16

. D.

9

.

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên





 

20;20

m để hàm số

   

4 3 2

3 4 12

y x x x m

nghịch biến trên

khoảng







1;

.

 

 

5;5

   

     

3 2

1 2

( ) 1 2 3

3 3

g x x m x m x





1;5

1



1

0

2

A.

4

. B.

30

. C.

8

. D.

15

.

Câu 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm

m

để hàm số

  

4 2

9

y x mx

đồng biến trên khoảng







1;

.

A.

3

. B.

6

. C.

7

. D.

4

.

Câu 17: Cho hàm số

   

     

3 2

1 1

3 2 3 1

3 2

y x m x m x

. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên

dương

m

để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng







4;

. Chọn mệnh đề sai?

A.

S

có 4 phần tử.

B. Tổng các giá trị của

m

thuộc

S

bằng 6.

C. Tích các giá trị của

m

thuộc

S

bằng 0.

D. Giá trị

m

lớn nhất thuộc

S

bằng 4.

Câu 18: Cho hàm số









   

3

2 5 2018

f x x m x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc

 

 

2019;2019

để hàm số đồng biến trên khoảng





1; 3

?

A.

3032

. B.

4039

. C.

0

. D.

2021

.

Câu 19: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số













     

3 2

3 1 3 2

y g x x m x m m x

đồng biến trên nửa đoạn



 



0; biết rằng

  

2021 2021

m

?

A.

2020

. B.

2021

. C.

2022

. D.

2019

.

Câu 20: Gọi



   



;S a

là tập tất cả các giá trị của tham số

m

để hàm số

    

3 2

3 3 1

y x x mx m

đồng biến trên khoảng





  

2 ; . Khi đó

a

bằng

A.



3

. B.

19

. C.

3

. D.



2

.

Câu 21: Tính tổng

S

tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

trong đoạn

 

 

10;10

để hàm số





 

3

2

mx

y

x m

đồng biến trên





 

1;

.

A.



55

S

. B.



54

S

. C.



3

S

. D.



5

S

.

Câu 22: Tìm m để hàm số

 





2 1

x m

y

x m

đồng biến trên







1;

A.

 

1

1.

3

m

B.

 

  

 

 

 

1

1;1 \ .

3

m C.

  

1

1 .

3

m

D.

 

1

1.

3

m

Câu 23: Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên

A. . B. . C. vô số. D. .

Câu 24: Tìm tất cả các giá thực của tham số để hàm số đồng biến trên

.

A. B.

C. D.

  





2

2 2 2

1

x x m

y

x



  



3; ?

4

5

6

m

  

2

y x m

x



 



1;

 

1.

m

  

1 1.

m



1.

m



0.

m

Câu 25: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của sao cho hàm số đồng biến trên

là .Tính .

A. . B. . C. . D. .

Câu 26:

Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số







1

x m

y

x

đồng biến trên khoảng







1;

A.

 

1

m

. B.



1

m

. C.

  

1 1

m

. D.

  

1 1

m

Câu 27: Tính tổng tất cả các giá trị nguyên dương của

m

để hàm số

 





3

2 2

1

x mx

y

x

đồng biến trên

khoảng





 

2;

A.

3

B.

4

C.

2

D.

5

Câu 28: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 29: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của

m

để hàm số



  



1

5

2

m

y x

x

đồng biến trên



  



5;

?

A.

11

. B.

10

. C.

8

. D.

9

.

Câu 30: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên

khoảng ?

A. . B. . C. . D. Vô số.

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để hàm số

 





1

x m

y

x m

đồng biến trên khoảng









1;

.

A.



1

2

m

hoặc



2

m

. B.

 

1

2

m

. C.





1

2

m

. D.

 

1

2

m

.

Câu 32: Cho hàm số

     

2 2 1

2

m

y x x x . Có bao nhiêu giá trị

m

nguyên để hàm số nghịch biến

trên

(0;1)

A.

4

B.

2

. C.

3

. D.

5

.

Câu 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số





 

5;5

m

để hàm số    

2

3 2 3

y x x m

nghịch

biến trên





2;3

?

A.

2

. B.

3

. C.

5

. D.

9

.

Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ðể hàm số ðồng

biến trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. .

m

 

  



2

2 1

1

m m

y x

x







2;

 

 

;

a b

.

a b



10



9

2



7

m





 

3

x m

y

x m







2;

4

2

3

1

m

  





2

2 3

1

x x m

y

x





 

3;

7

5

4

  

 

0;10

m

   

2

2 3

y x m x x







1;

11

10

12

9

Câu 35: Cho hàm số , trong đó là tham số thực. là tập hợp tất cả các

giá trị nguyên của trên đoạn để hàm số đồng biến trên khoảng

. Số phần tử của tập là

A. 2018. B. 2017. C. 2019. D. 4039.

Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm số đồng biến trên

khoảng ?

A. . B. . C. . D. Vô số.

Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

     

2 2

4 2 3 5 5

y x x x m đồng

biến trên khoảng

 

(1; )

?

A.

9

B.

6

C.

11

D.

8

Câu 38: Cho hàm số      

2 2

( ) 3 2 5

y f x x x m m

.Hỏi thuộc khoảng nào trong các khoảng sau

để hàm số đồng biến trên .

A. . B. . C. . D. .

Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số nhỏ hơn để hàm số đồng

biến trên khoảng ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 40: Tổng các giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số     

3 2

3 9 5

2

m

y x x x có

5

điểm cực trị

là.

A.

2016

. B.

1952

. C.



2016

. D.



496

.

Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số đồng biến

trên khoảng

A. B. C. D.

Câu 42:

Có bao nhiêu giá trị

m

nguyên để hàm số









      

3 2 2 2

( ) 3 3 5 12 3 cos

y f x x x m x m x

đồng biến trên







0;

A.

3

. B.

5

. C.

4

. D. Vô số

Câu 43: Các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 44: Cho hàm số Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên sao cho hàm số

đồng biến trên Tính số phần tử của .

 

    

2

2 2

f x x x x m

m

S

m

 

 

2019;2019





f x





  

1;

S

m

   

2

3 1

y x x m







1;

5

6

4

m

( )

f x



(1; )



 



;0

(1;4)



( ;2)



  



3;

m

10

   

2

6

y x x m





0;3

6

4

3

10

  

 

2020;2020

m

   

2

1 1

y x mx





1; 2

4042

4039

4040

4041

m

  

sin cos

y x x m

 

 



 

 

;

4 2



2

m



2

m



1

m



1

m

  

3

sin .sin 1 .

y x m x

S

m



 

 

 

0; .

2

S

A. . B. . C. . D. .

Câu 45: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

thuộc

 

 

5;5

để hàm số  

3 2

cos 3 cos

y x m x

nghịch biến

trên



 

 

 

0;

2

.

A.

1

. B.

11

. C.

5

. D.

6

Câu 46: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để đồng biến trên đoạn .

A. . B. . C. . D. .

Câu 47: Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương và nhỏ hơn 2020 để hàm số



   

1

4 .2 2

x x

y m m

đồng

biến trên khoảng

(0;1)

?

A.

2018

. B.

2019

. C.

2

. D.

3

.

Câu 48: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

để hàm số nghịch biến trên khoảng ?

A. . B. Vô số. C. . D. Không tồn tại

m

.

Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương , để hàm số nghịch biến

trên ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 50: Giá trị lớn nhất của m để hàm số đồng biến trên là

A. . B. . C. . D. .

Câu 51: Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đồng biến trên .

A. . B. . C. . D. .

Câu 52: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng của tham số để hàm số

đồng biến trên đoạn ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 53: Có bao nhiêu số nguyên



2020

m

để hàm số





  

ln 2

y mx x nghịch biến trên





1;4

?

A. 2018. B. 2019. C. 1. D. vô số.

Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên

m

thuộc







2020;2020

để hàm số





    

2 2

ln 2 2 1

y x x m mx

luôn

đồng biến trên





0;10

.

A.

4038

. B.

2020

. C.

2017

. D.

2017

.

Câu 55: Có bao nhiêu số nguyên của tham số trong đoạn để hàm số

đồng biến trên nửa khoảng

A. B. . C. . D. .

1

2

3

0

m

   

9 3 1

x x

y m

 

 

0;1

1

4

3

6

 

 

   

2 2 1

1 1

3 2 5 (1)

x x

y e e m





2;4

234

40

 

( 2019;2020)

m



  

2 2

x x

y e e m





1;

e

401

0

2019

2016

  

2x x

y e e m





1;2

e



2

e e

2

e

2

m

   

tan tan

8 3.2 2

x x

y m

 

 







 

;

4 2



29

8

m 

29

8

m 

29

8

m 

29

8

m







100;100

m

  

2

ln3 4

y x x m

 

 

2

1;

e

101

102

103

100

m

 

 

3;3





  

3

ln 2

y x mx







1;3 ?

7.

4

6

5

Câu 56: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng của

tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ?

A. 10. B. 6. C. 9. D. 5.

Câu 57: Tổng các giá trị nguyên thuộc sao cho hàm số nghịch biến

trên bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 58: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

đồng biến trên .

A. . B. . C. . D. .

Câu 59: Tổng các giá trị nguyên của

m

trên

 

 

10;10

để hàm số





    

2

( ) ln

y g x x x m x

đồng

biến trên







1;3

là

A.

50

. B.

100

. C.

52

. D.

105

.

Câu 60: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số





2021;2021

m   để phương trình

1 3

3 0

1 2 4

x x x

x x m

x x x

 

      

  

có đúng 3 nghiệm thực

x

. Số phần tử của tập

S

là:

A.

2018

. B.

2021

. C.

2019

. D.

2022

.





   

2

ln 1

y x mx m







10;10

m

 



 

 

1

;1

2

m

 

 

5;5





   

3

ln 3x 1

y x m

 

 

0;1

10

11

12

13

  

 

10;10

m





   

3 2

3

log 1

y x x mx



 



1;

13

12

11

10

Câu 1: Chọn D

Xét hàm số









    

5 2

5 5 1 8.

f x x x m x

Trường hợp 1:







0

f x

có nghiệm





 

0

;1

x

thì hàm số







y f x

không thể nghịch biến

trên khoảng







;1 .

Trường hợp 2:







0

f x không có nghiệm





 

0

;1

x .

Ta có:











   

4

5 10 5 1 .

f x x x m

Khi đó

     

      

5 2 2

5 5 1 8

y x x m x f x f x

nên





2

( ). ( )

( )

f x f x

y

f x

.

Hàm số nghịch biến trên







;1

khi và chỉ khi





0

y

với





  

;1

x

 









   









( ). ( ) 0

, ;1

0

f x f x

x

f x

 

 

   









( ) 0

, ;1

( ) 0

f x

x

f x

( vì







 

lim

x

f x )













 





       







  





4

5 10 5 1 0, ;1

1 5 17 0

f x x x m x

f m

 





     

      



 

 

 



 









4

3

;1

3

max 2 1 1

2 1, ;1

2. 2

17

5

m x x

m x x x

m



     



3

3 17

1 3.

5

2. 2

m

m m

Câu 2: Chọn C

Xét hàm số





  

3

2 1.

f x x mx

Trường hợp 1:







0

f x có nghiệm





 

0

1;x thì hàm số







y f x

không thể đồng biến trên

khoảng







1; .

Trường hợp 2:







0

f x

không có nghiệm





 

0

1;x

. Ta có:







 

2

6 .

f x x m

Khi đó

   

    

3 2

2 1

y x mx f x f x

nên





2

( ). ( )

( )

f x f x

y

f x

.

Hàm số đồng biến trên khoảng

 

1;

khi và chỉ khi



 0y

với

 

  1;x

 



 



   









( ). ( ) 0

, 1;

0

f x f x

x

f x

 

 

   









( ) 0

, 1;

( ) 0

f x

x

f x

( vì

 



 lim

x

f x

)

 



  



   



 





3

2

2 1 0

, 1;

6 0

x mx

x

x m

 







  



 

 

 











1 0

2 1 0

6 0

1 0

f

m

f

 

   3 1;2;3m m

.

Câu 3: Chọn D

Xét hàm số

 

   

4 3 2

3 4 12f x x x x m

 



      

3 2 2

12 12 24 12 2f x x x x x x x

 



  0f x

  



 







1

0

2

x

Bảng biến thiên:

Nhận thấy: hàm số

 

y f x

nghịch biến trên khoảng

 

 ; 1

  5 0m

  5m

.

Lại do

 









10

m

 

  5;6;7;8;9m

. Vậy có

5

giá trị của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: Chọn C

Đặt

 

   

4 3

2 2f x x x mx

 



   

3 2

4 6f x x x m

;

   

4 3

2 2y x x mx

 

 f x

.

Ta có

 



 lim

x

f x

nên hàm số đồng biến trên

 

  1;

khi và chỉ khi

   

 





     





 





0, 1;

1 0

f x x

f

 



       







 





3 2

4 6 0, 1;

1 0

x x m x

m

 



       







 





3 2

4 6 , 1;

1 0

m x x x

m

 

 



  













3 2

1;

max 4 6

1

m x x

m

 









0

1

m

  0 1m

.

Câu 5: Chọn B

Xét hàm số

       

      

3 2 2

3 1 3 2 3f x m x m m x mx m

trên khoảng

 

0;2

.

     

     

2

' 3 6 1 3 2f x x m x m m

   

 

     

 

2

3 2 1 2x m x m m

.

 

' 0f x

 





 



2

x m

 

  2m m

. Nhận xét:

 

 

 



 



0

3

x m

f x

x m

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số

 

y f x

đồng biến trên khoảng

 

0;1

khi

   



 

       

  



 

   

   



 



0;1 ; 2

0 1 2 1 0

3 0 3

0;1 3;

m m

m m m

m m

m

.

Mà

m

nguyên thuộc khoảng

 

 

10;10

nên có 10 giá trị

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6: Chọn A

Xét hàm số:

   



       

3 2 2

1

1 2

3

f x x x mx f x x x m

. Ta có:



  1 m

Trường hợp 1:



      0 1 0 1m m

. Suy ra

   



    0, 1;f x x

.

Vậy yêu cầu bài toán

 

  

 

  

    

  



   



 



 

1 1

1

1 1

1 0

0

3 3

m m

m

f

m m

.

Kết hợp với điều kiện

 

  



; 4;4m m

ta được

 

   3; 2; 1;0;1m

. Ta có 5 giá trị của

m

thoả mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2:



   0 1m

. Suy ra

 

' 0f x

có 2 nghiệm phân biệt

1 2

,x x

 



1 2

x x

Ta có bảng biến thiên:

Vậy yêu cầu bài toán

 

 























 

       

  

 

  





 











1 2

1

1 0

1

1 1 0

1 0

2

(1) 0

m

f

x x m

S

f

Vậy tất cả có 5 giá trị của

m

thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 7: Chọn B

Xét hàm số

   

     

3 2

1 2

( ) 1 2 3

3 3

f x x m x m x

Ta có:

 



    

2

( ) 2 1 2 3f x x m x m

;

  



 



 



1

( ) 0

3 2

x

f x

x m

.

Hàm số

( )g x

đồng biến trên

 

1;5

khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1:

















( ) ®ång biÕn trªn 1;5

(1) 0

f x

f



 







  





3 2 1

1

3 4 0

3

m

















1

13

3

m

 

13

9

m

Kết hợp điều kiện

m

nguyên và thuộc

 

 

5;5

ta được







2;3;4;5

m

Trường hợp 2:

















( ) nghich bien tren 1;5

(1) 0

f x

f



 







  





5 3 2

1

3 4 0

3

m



 













1

13

3

m

  

1

m

Kết hợp điều kiện

m

nguyên và thuộc

 

 

5;5

ta được





     

1; 2; 3; 4; 5

m

Vậy tổng tất cả các số nguyên của

m

để hàm số đồng biến trên

 

 

5;5

là:



1

.

Câu 8: Chọn A

Xét hàm số













    

3 2

3 2 3 4

f x x m x m m x

trên khoảng





0;

4













    

2

' 3 6 2 3 4

f x x m x m m









 

    

 

2

3 2 2 4

x m x m m







' 0

f x

 





 



4

x m





 

4

m m

Nhận xét: Đồ thị hàm số







y f x

luôn đi qua điểm





0;0

O

.

Trường hợp 1: Nếu



0

m

Từ bảng biến thiên, suy ra

hàm số







y f x

đồng biến trên khoảng





0;4









 

0;4 0;

m

 

4

m

Kết hợp với



0

m

, ta có



4

m

.

Trường hợp 2: Nếu

  

0 4

m m

   

4 0

m

Từ bảng biến thiên, suy ra

hàm số







y f x

đồng biến trên khoảng





0;4









  

0;4 0; 4

m

  

4 4

m

 

0

m

Kết hợp với

  

4 0

m

, ta có



0

m

.

Trường hợp 3: Nếu

 

4 0

m

  

4

m

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số







y f x

luôn đồng biến trên khoảng





 

0; nên hàm số







y f x

đồng biến trên khoảng





0;4

với mọi

 

4

m

.Vậy

 







 



4

0

4

m

Mà

m

nguyên thuộc khoảng

 

 

2019;2019

nên có 4033 giá trị

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Chọn B

Xét hàm số



   

3 2

1

3 2

y x x x m

ta có



     

2

1 0, .

y x x x R

Suy ra hàm số



   

3 2

1

3 2

y x x x m

luôn đồng biến trên

R

.

Do đó điều kiện hàm số



   

3 2

1

3 2

y x x x m

đồng biến trên



(0, )

là



(0)

0

y

 

0.

m

Lại có

m

nguyên dương và



5

m

vậy có 4 giá trị của

m

Câu 10: Chọn B

Ta có:





 



    







     





5 5

4 4 0

x mx khi x mx

y

x mx khi x mx

;





 



   







    





4 5

5 4 0

'

5 4 0

x m khi x mx

y

x m khi x mx

Trường hợp 1:







  

 

        

  

 

  

 









4

5

4

5

5 0 5

' , 1 , 1 5.

4

1 4

4 0

m x

x m m

y x x m

m

x mx

m x

x

Trường hợp 2:



  



  



  





4

5

5 0

' , 1.

4 0

x m

y x

x mx

Hệ vô nghiệm vì







   

5

lim 4 .

x

x mx

Vậy

 



 



 











5

1,2,3,4,5 .

m

Câu 11: Chọn A

Xét hàm số:





  

3

2 2 3

f x x mx có





 

2

' 6 2

f x x m

Trường hợp 1: Hàm số





f x

đồng biến trên khoảng







1; và







1 0

f







   

 



 

  

    

  

 







 



2

3 1;

3

6 2 0

5

2

5 2 0

2

m x x

m

x m

m

Suy ra có 12 giá trị

m

thỏa yêu cầu

Trường hợp 2: Hàm số





f x

nghịch biến trên khoảng







1; và







1 0

f

Trường hợp này không xảy ra do







 

lim

x

f x . Vậy có tất cả 12 giá trị

m

thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 12: Chọn A

Ta có :

 

 

 

 

5

4

5

1

' . 5

1

x mx

y x m

x mx

Để hàm số đồng biến trên



 



1;

thì













    

5 4

1 5 0 (*)

g x x mx x m

,

 

1

x

.

Với



0

m

ta có









    

5 4

0 1 .5 0, 1

g x x x .

Với



0

m

. Do

 

m







*

luôn có 1 nghiệm là

4

5

m

. Ta chú ý







 

lim

x

g x .

Do vậy, điều kiện cần để







0

g x ,

 

1

x

là



4

1

5

m





5

m

.

Với



1

m

,



2

m

;



3

m

;



4

m

;



5

m

, thay vào (*) kiểm tra bảng xét dấu thấy đúng



nhận

 

1; 2

m m

;



3

m

;



4

m

;



5

m

Vậy



{1;2;3;4;5}

S

. Tồng các phần tử của

S

là

15

.

Câu 13: Chọn A

Xét hàm

   

2

( ) 2 2

g x x mx m . Ta có

 

'( ) 2 2

g x x m

.

Hàm số

( )

f x

đồng biến trên khoảng

(0;2)

khi và chỉ khi





 







(0) 0

, (0;2)

'( ) 0

g

x

g x

hoặc





 







(0) 0

, (0;2)

'( ) 0

g

x

g x

.

Trường hợp 1:

 

  

      

 

  

 

(0) 0 2 0

, (0;2) 2 0

'( ) 0 2 0

g m

x m

g x m

.

Trường hợp 2:

  

    

   

  

   

  

(0) 0 2 0 2

, (0;2)

'( ) 0 2 0 0

g m m

x

g x m m

vô nghiệm.

Do m là nguyên thuộc



[ 9;9]

nên



{-2, -1, 0}

m

.

Câu 14: Chọn B

Xét hàm

      

3 2 2

1 1 2

( ) (2 3) ( 3 )

3 2 3

g x x m x m m x

. Ta có

          

2 2

'( ) (2 3) ( 3 ) ( )( 3).

g x x m x m m x m x m

Hàm số

( )

f x

nghịch biến trên khoảng

(1;2)

khi và chỉ khi





 







(2) 0

, (1;2)

'( ) 0

g

x

g x

hoặc





 







(2) 0

, (1;2)

'( ) 0

g

x

g x

.

Trường hợp 1.



      

   



       

  

  

    



 



2

(2) 0 ( ; 2] [1; )

2 2 4 0

, (1;2) , (1;2) 1.

'( ) 0 [ 1;1]

( )( 3) 0

g m

m m

x x m

g x m

x m x m

Trường hợp 2.



   

   



        

  

     

    



 



2

(2) 0 [ 2;1]

2 2 4 0

, (1;2) , (1;2) 2.

'( ) 0 ( , 2] [2; )

( )( 3) 0

g m

m m

x x m

g x m

x m x m

Do m là nguyên thuộc



[ 9;9]

nên



{1, -2}

m

.

Câu 15: Chọn D

Ta có





 



      







       





4 3 2 4 3 2

3 4 12 3 4 12 0

x x x m x x x m

y

x x x m x x x m

Nên





 



     









      





3 2 4 3 2

12 12 24 3 4 12 0

x x x x x x m

y

x x x x x x m

Yêu cầu bài toán tương đương với

Trường hợp 1:



  



 



   





3 2

4 3 2

12 12 24 0

, 1

3 4 12 0

x x x

x

x x x m

        

4 3 2

3 4 12 , 1 5

m x x x x m

Trường hợp 1:



   



 



   





3 2

4 3 2

12 12 24 0

, 1

3 4 12 0

x x x

x

x x x m



Hệ này vô nghiệm.

Vậy







5;6;...;19

m . Có

15

số nguyên thỏa mãn.

Câu 16: Chọn A

Ta có





 



    







     





4 2 4 2

9 9 0

x mx x mx

y

x mx x mx

nên





 



   









    





3 4 2

4 2 9 0

x mx x mx

y

x mx x mx

Yêu cầu bài toán tương đương với

Trường hợp 1:



 



 



  





3

4 2

4 2 0

, 1

9 0

x mx

x

x mx







  



 





2

, 1

9

m x

x

m x

x







  



 





2

, 1

9

m x

x

m x

x





   

2 0;1;2

m m

Trường hợp 2:



  



 



  





3

4 2

4 2 0

, 1

9 0

x mx

x

x mx

Hệ này vô nghiệm vì khi

 

x

thì

   

4 2

9

x mx

.

Câu 17: Chọn D

Đặt

   

     

3 2

1 1

( ) 3 2 3 1

3 2

f x x m x m x

.

Ta có:





    

2

'( ) 3 2 3

f x x m x m .

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng







4; khi và chỉ khi:







   











'( ) 0, 4;

(4) 0

f x x

f

hoặc







   











'( ) 0, 4;

(4) 0

f x x

f

Trường hợp 1:







   











'( ) 0, 4;

(4) 0

f x x

f













 



       







    





2

3 2 3 0, 4;

16 4 3 2 3 0

x m x m x

m m

 



 

   

















2

3 3

, 4;

2

7

2

x x

m x

x

m









 



















2

4;

3 3

min

2

7

2

x x

m

x

m







  











7

2

7

2

m

Trường hợp 2:







   











'( ) 0, 4;

(4) 0

f x x

f

Hệ vô nghiệm vì















     

2

lim 3 2 3

x

x m x m

.

Vậy



7

,

2

m m

nguyên dương nên







0;1;2;3

m

.

Câu 18: Chọn A

Xét hàm số









   

3

2 5 2018

f x x m x

, có đạo hàm









  

2

3 2 5

f x x m

.

Hàm số







y f x

đồng biến trên khoảng





1;3

thì đồ thì của hàm số trong khoảng





1;3

phải

có hình dạng như sau:

Trường hợp 1: Hàm số





f x

đồng biến trong khoảng





1; 3

và không âm trên





1;3

tức là:





   











   





 

   

  





  

 









2

1 0

2 3 5 1;3

4

4.

1012

0 1;3

2024 2 0

f

m x x

m

f x x

m

Trường hợp 2: Hàm số





f x

nghịch biến trong khoảng





1;3

và không dương trên





1; 3

tức

là:





   











   





 

   

  





  

 









2

1 0

2 3 5 1;3

4

1012.

1012

0 1;3

2024 2 0

f

m x x

m

f x x

m

Kết hợp với điều kiện ta được kết quả

     

   

2019;4 1012;2019

m . Vây có

3032

giá trị của

m

.

Câu 19: Chọn A

Xét hàm số:













     

3 2

3 1 3 2

y f x x m x m m x

. Tập xác định :





D

Ta có:









    

2

' 3 6 1 3 2

y x m x m m

;

 

 

    



 



' 0 2,

2

x m

y m m m

x m

.

Bảng biến thiên

.

Gọi





1

C

là phần đồ thị của hàm số









    

3 2

3 1 3 2

y x m x m m x

nằm trên

0x

.

Gọi





2

C

là phần đồ thị của hàm số









    

3 2

3 1 3 2

y x m x m m x

nằm dưới

0x

.

Gọi







2

C

là phần đồ thị đối xứng với





2

C

qua

0x

.

Suy ra đồ thị hàm số













     

3 2

3 1 3 2

y g x x m x m m x

gồm













1 2

C C

.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: hàm số













     

3 2

3 1 3 2

y g x x m x m m x

đồng biến

trên nửa đoạn



 



0;

khi và chỉ khi

 



 











2 0

0 0

m

f

  

2

m

.

Kết hợp với điều kiện

  

2021 2021

m

, ta suy ra có

2020

giá trị của

m

thỏa mãn yêu cầu đề

bài.

Câu 20: Chọn B

Đặt











        

3 2 2

3 3 1 3 6

f x x x mx m f x x x m

.

Trường hợp 1:









 





     





 





0, 2 ;

2 0

f x x

f

.









 













     

 

               

  

 

  

 

 

 



 



2 2

0, 2 ;

3 6 0, 2 ; 3 6 , 2 ;

2 0

19 19

f x x

x x m x m x x x

f

m m

 





  



  

 



  

 











2

2;

max 3 6

3

19

x

m x x

m

.

Trường hợp 1:









 





     





 





0, 2 ;

2 0

f x x

f

.









 













     

 

               

  

 

  

 

  

 



 



2 2

0, 2 ;

3 6 0, 2 ; 3 6 , 2 ;

2 0

19 0 19

f x x

x x m x m x x x

f

m m

 





 



  











2

2;

min 3 6

19

m x x

m

.

Vì







   

2

lim 3 6

x

x x



hàm số

  

2

3 6

y x x

không có giá trị nhỏ nhất. Vì vậy TH2 không

có giá trị

m

thỏa mãn. Vậy tập các giá trị

m

cần tìm là



  



19 ;S

.

Câu 21: Chọn B

Xét hàm số





 

3

2

mx

y

x m

với

  

2

x m

, có

 

 



 

2

2 3

'

2

m m

y

x m

.

Hàm số





 

3

2

mx

y

x m

đồng biến trên





 

1; khi xảy ra một trong hai trường hợp sau :

Trường hợp 1:

 



 



  

 





  



 







     





  







  

 



 

  



    



2

2 3

2 3 0

' 0

3

2

3

, 1 1

1

0

1 0

3

2 1

2 1;

m m

y

m

x m

m

x m

m

y

m

.

Trường hợp 2:

 



 



  

 



 





    



 





 

  



    



2

2 3

2 3 0

' 0

2

3

, 1

0

1 0

3

2 1

2 1;

m m

y

x m

m

x m

y

m

.

Vậy





  

1;m , lại do

 





  



 





10;10

m

suy ra







2;3;4;5;6;7;8;9;10

m , vậy



54

S

.

Câu 22: Chọn B

Đặt

 





2 1

( )

x m

f x

x m

. Điều kiện:

 

x m

khi đó

 







2

3 1

'( )

m

f x

x m

Để hàm số đồng biến trên

   

      

'( ). ( )

1; ' 0, 1;

( )

f x f x

y x

f x





 



   











'( ) 0, 1;

(1) 0

f x x

I

f

hoặc





 



   











'( ) 0, 1;

(1) 0

f x x

II

f

Ta có

 





 



     















3 1 0

1

1 1

3

2 2

0

1

m

I m m

m

;

 





 



    















3 1 0

1

2 2

0

1

m

II m m

m

. Vậy

 

1

1.

3

m

Câu 23: Chọn A

Tập xác định:









\ 1 .

D

Xét hàm số

 

  





2

2 2 2

1

x x m

f x

x

có

 

 





2

2 2

'

1

x x m

f x

x

Khi đó

   









 

   

2

' .

'

f x f x

y f x f x y

f x

Hàm số đồng biến trên



        

 

3; ' 0, 3;y x









 







 



 



 

 

           

 

 

 

 

 

. 0 0

, 3; , 3;

0 ' 0

f x f x f x

x x

f x f x

(vì







 

lim

x

f x

)

 





  









     





 











2

2 2 2

0

1

, 3;

2 2

0

1

x x m

x

x x m

x





   



     





  





2

2 2 2 0

, 3;

2 2 0

x x m

x

x x m







 













   



      

 

      

  





 









2

3;

2

3;

2 2 max 2

2 2 2 2 2 3

, 3;

2 3

2 2

2 min 2

m x x

m x x m

x

m

m x x



 















5

2

3

2

m

. Vì





    



2; 1;0;1 .

m m

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 24: Chọn C

Ta có:

 

     

 

 

2

2 2

y x m x m

x x

  

  

  

  

 

 

 

 

 

2

2 2

1

'

2

x m

x

y

x m

x

Hàm số đồng biến trên



 



1;



    



' 0, 1;y

 



 

  



 

 



 

          



 

 

 

 



 

 



 



2

0

2

, 1; 0, 1;

2

1 0

x m

x

x m

x

 



 





 

             

 

 

 

 

   

 

 

1;

2 2

0, 1; , 1;

2

max *

x m m x

x x

m x

x

Xét hàm số

  

      



2

, 1;g x x x

x

  

        



2

' 1 0, 1;g x x

x



 



 

  

 

 

     

 

 

1; 1;

2

max max 1 1

g x x g

x

. Vậy





 

* 1.

m

Câu 25: Chọn A

Xét hàm số

 

 

  



2

2 1

1

m m

f x x

x

. Ta có

 

 



 



2

2 1

1

m m

f x

x

Khi đó

   

 

    



2

2 1

1

m m

y x f x f x

x

nên









 





2

.

'

f x f x

y

f x

Hàm số đồng biến trên







2; khi và chỉ khi





0

y

với





  

2;x









 









   









. 0

, 2;

0

f x f x

x

f x





 









   









0

, 2;

0

f x

x

f x

( vì







 

lim

x

f x

)

 



 

  





    



 

       

 

 

   

 

 









2

2 1

1 0

2 1 1

1

, 2; , 2;

2 1

2 1 1

1 0

1

m m

x

m m x

x

x x

m m

m m x

x

 





 

      



 

  



 

      

 

  







    



2

2;

2

2;

2 1 1 9

2 8 0

1 11 1 11

2 10 0

2 1 min 1 9

m m max x

m m

m

m m

m m x

Câu 26:

Chọn D

Điều kiện xác định:

 

1

x

. Đặt

 







1

x m

f x

x

 



 



2

1

'

1

m

f x

x

.

Khi đó ta có

   









 

   

2

'

f x f x

y f x f x y

f x

Hàm số đồng biến trên







1;

nếu





   

' 0 1;y x













    

' . 0 1;f x f x x

Trường hợp 1:

   

 

  



   

 

 

     

  



 





 



1 0

' 0 1;

1

1 1

1

0

1 0

2

m

f x x

m

f

Trường hợp 2:

   

 

  



   

 

 

    

  



 





 



1 0

' 0 1;

1

0

1 0

2

m

f x x

m

f

Vậy



 



1;1

m

là giá trị cần tìm.

Câu 27: Chọn A

Xét hàm số

 

 





3

2 2

1

x mx

f x

x

. Ta có:

 

  







3 2

2

2 3 2 2

1

x x m

f x

x

.

Khi đó

   

 

  



3

2

2 2

1

x mx

y f x f x

x

nên









 





2

.

f x f x

y

f x

.

Hàm số đồng biến trên khoảng





 

2;

khi và chỉ khi





0

y

với





   

2;x









 









    









. 0

, 2;

0

f x f x

x

f x





 







    











0

, 2;

0

f x

x

f x

( do







 

lim

x

f x )





 









  



    









3 2

2

2 0

2 3 2 2

0, 2;

1

f

x x m

x

 

  







       





3 2

10 4 0

2 3 2 2 0, 2;

m

x x m x

 













       



3 2

5

2

2 2 3 2 , 2;

m

m x x x



 

 

















   



3 2

2;

5

2

2 max 2 3 2

x

m

m x x













 



5

2

2 2

m













 



5

2

1

m

   

5

1

2

m

Vì







m

nên







1;2

m

. Vậy tổng các giá trị nguyên dương của

m

là 3.

Câu 28: Chọn A

Đặt

 





 

3

x m

f x

x m

. Tập xác định:





  



\ 3

D m

. Ta có

 







 

2

2 3

3

m

f x

x m

.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng







2;









 



     

.

0, 2;

f x f x

y x

f x















    

. 0, 2;f x f x x

.

Trường hợp 1:

   

 



 



 





   



          

  



  



   

 







3

2 3 0

2

0, 2;

3 2 1 1 2

2 0

2 5 2

0

5

m

f x x

m m m

f

m m

m

.

Trường hợp 2:

   

 



 



 





   



      

  



  



    

 







3

2 3 0

2

0, 2;

3 2 1

2 0

2 2 5

0

5

m

f x x

m m

f

m m m

m

(không có

m

thỏa mãn).

Vậy

  

1 2

m

, mà





m





  

1;0;1;2

m . Vậy có 4 số nguyên m thoả mãn.

Câu 29: Chọn C

Tập xác định:







\ 2

D R

.

Xét hàm số

 



  



1

5

2

m

f x x

x

. Đạo hàm:

 

   

   



  

 

2

2 2

1 4 3

1

2 2

m x x m

f x

x x

.

Khi đó

   

 

2

y f x f x

nên









 





2

.

f x f x

y

f x

.

Hàm số đồng biến trên



  



5;

khi và chỉ khi





     



0, 5;y x









 







 



 



 

 

           

 

 



 

 

 

. 0 0

, 5; , 5;

0 0

f x f x f x

x x

f x f x

(vì







 

lim

x

f x )

 



 

  







     







 







2

1

5 0

2

, 5;

1

1 0

2

m

x

m

x





  



     





   





2

3 9

, 5;

4 3

m x x

x

m x x







 















  



  

 

     

 

   





2

5;

2

5;

min 3 9

5 3.5 9

8 31

5 4.5 3

max 4 3

m x x

m

m x x

.

Mà

m

nguyên âm nên ta có:





        

8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1

m .

Vậy có

8

giá trị nguyên âm của

m

để hàm số



  



1

5

2

m

y x

x

đồng biến trên



  



5;

.

Câu 30: Chọn A

Đặt

   

 

     



  



2 2

2

2 3 2 2 2

1

x x m x x m

f x f x

x

Khi đó

   









 



   

2

.

f x f x

y f x f x y

f x

Hàm số đồng biến trên khoảng





 

3; khi







    

0, 3;y x









 



     

2

.

0, 3;

f x f x

x

f x









 









    









. 0

, 3;

0

f x f x

x

f x





 

   











      











0

, 3; ,do lim

0

x

f x

x f x

f x





   













    





3 0

0, 3;

f

f x x

 

 











       



2

9 2

0

2

2 2 2 0, 3;

m

x x m x

 













      



2

9

2

2 2 2 , 3;

m

x x m x

 









 

     

 

 

      









2

9

9 5

2

5

2 2

2 2 2 , 3;

2

m

x x m x

m

Ta có





m

nên





    

4; 3; 2; 1;0;1;2

m

.

Câu 31: Chọn C

Đặt

 

 





1

x m

f x

x m

,





 

x

m



 







2

2 1

'

m

f x

x m

Để hàm số

y

đồng biến trên khoảng









1;

thì









 



  

0 0

'

f x x

f x

f

y

,





  



1;x

Trường hợp 1:









 



 











 



' 0, 1;

1 0

x

f

xf

















 







2 1 0

1

2

0

1

m





















 

 

1

1 2

2

m





m

Trường hợp 2:









 



 











 



' 0, 1;

1 0

x

f

xf











 

 









2 1 0

1

2

0

1

m





 

 















1

2

1

1 2

m



 

1

2

m

Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng









1;

thì

 

1

2

m

.

Câu 32: Chọn A

Đặt

     

( ) 2 2 1

2

m

f x x x x

. Ta có



   

 

1 1

( )

2

2 2 2 2

m

f x

x x

Do hàm số liên tục tại

 

0; 1

x x

nên để hàm số nghịch biến trên

(0;1)

ta xét 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1:





     

    

 

 



 

 











1 1

, 0;1

( ) 0, 0;1

2

2 2 2 2

(1) 0

m

x

f x x

x x

f



     



 



 







 





1 1

, 0;1

2

2 2 2 2

3

2

m

x

x x

m

 

 



 

 

 



    

 



 



 



0;1

1 1

min

2

2 3 0

2 2 2 2

2 3

x

m

x x

m

Trường hợp 2:





     

    

 

 



 

 











1 1

, 0;1

( ) 0, 0;1

2

2 2 2 2

(1) 0

m

x

f x x

x x

f



     



 



 







 





1 1

, 0;1

2

2 2 2 2

3

2

m

x

x x

m

 

 



 

 

 



 

 







 





0;1

1 1

max

2

2 2 2 2

3

2

x

m

x x

m



 









 



1

3

2 3

m

(vô nghiệm). Do

m

nguyên nên

m

nhận các giá trị sau

  

3; 2; 1;0

Câu 33: Chọn B

Xét hàm số

 

   

2

3 2 3

f x x x m

. Ta có:

   

 

 

   

 

2

2 2

2 3

2

3 3

x x x

f x f x

x x

.

Cho

 



      

2

0 2 3 0 2

f x x x x .

Ta thấy











  

0, 2;3

f x x nên hàm số





f x

nghịch biến trên





2;3

.

Để    

2

3 2 3

y x x m

nghịch biến trên





2;3

thì

 



      

6 6

3 0 6 6 3 0

3

f m m

Do





 

5;5

m nên





   

2; 3; 4

m .

Câu 34: Chọn A

Tập xác định:





D

. Xét hàm số

 

   

2

2 3

f x x m x x

.

Ta có:

 





 

 

2

1

2 3

x

f x m

x x

Hàm số đồng biến trên khoảng







1;









 

   

 







   























   



















0, 1;

1 0

0, 1;

1 0

f x x

f

f x x

f

.

Trường hợp 1:

     





         

 

2

1

0, 1; 1 0, 1;

2 3

x

f x x m x

x x

   

.

        

2

2 3 1 0 , 1;x x m x x

Đặt

        

2

1, 0 2 0 0

t x t t mt t ,

 

   

2

0

t

m t

t

Xét

 



2

( )

t

f t

t

,

t > 0



  



2 2

2

( ) 0

2

f t

t t

.BBT:

Từ bảng biến thiên, ta có

   

 

  





    

 



  

   



  



 





1

0, 1;

1

1 0

1 . 2 0

2

m

f x x

m

f

m

.

Trường hợp 2:

     





         

 

2

1

0, 1; 1 0, 1;

2 3

x

f x x m x

x x

   

.

        

2

2 3 1 0 , 1;x x m x x

Đặt

 

,

        

2

1, 0 2 0 * 0

t x t t mt t

Mà









   

2

0

lim 2 2 0

t

t mt

nên với mỗi giá trị của

m

luôn có giá trị của

t

dương đủ nhỏ để

VT của





*

lớn hơn 0. Suy ra không có gía trị nào của

m

để TH2 thỏa mãn.

Vậy có

11

giá trị nguyên của m thỏa mãn là





0;1;2; 3;4;5;6;7;8;9;10

.

Câu 35: Chọn A

Xét hàm số

 

    

2

2 2

g x x x x m

trên khoảng





  

1; .

Ta có,

 

    

      

   

2

2 2

1 1 2 2

' 1 0, 1

2 2 2 2

x x x x

g x x

x x x x

(Do

   

            

2

1 2 2 1 1 1 0, 1

x x x x x x

)

Vậy hàm số





g x

nghịch biến trên khoảng





  

1; .

Suy ra, hàm số











f x g x

đồng biến trên khoảng





  

1;









    

0, 1 1

g x x

Do hàm số





g x

liên tục trên



  



1;

và nghịch biến trên khoảng





  

1;

nên hàm số





g x

nghịch biến trên



  



1;

.

Vậy





1







 



 

1;

max 0

g x







   

1 2 0

g m

  

2

m

. Vậy





   

2019 ; 2018;...; 2

S

Câu 36: Chọn A

Xét hàm số

 

   

2

3 1

f x x x m

 



  



2

3

1

x

f x

x

.

Trên







1;







 

0

f x

.

Bảng biến thiên:

Nhận thấy: hàm số







y f x

đồng biến trên khoảng







1;

   

3 2 1 0

m

   

3 2 1

m

mà













0

m





      

5; 4; 3; 2; 1

m .

Vậy có

5

giá trị của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 37: Chọn A

Xét hàm số

     

2 2

( ) 4 2 3 5 5

f x x x x m xác định trên



. Ta có



 

 

2

4( 1)

'( ) 5

2 3

x

f x

x x

Với

  

1 '( ) 0

x f x



( )

f x

đồng biến trên





 

1; .

Vậy để hàm số



( )

y f x

đồng biến trên

        

2

(1; ) (1) 0 10 4 6 0

f m

        

2

10 4 6 2 6 2 6

m m

Mà





      



, 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ;1 ; 2 ; 3 ; 4

m m suy ra chọn đáp án A

Câu 38: Chọn A

Đặt     

2 2

( ) 3 2 5

g x x x m m

. Ta có



      



2

( ) 2 0 (1; ).

3

x

g x x

x

Dế thấy

( )

g x

liên tục trên



  



1; và



    

( ) 0 x (1; )

g x

nên

( )

g x

đồng biến trên



  



1;

 

(1) 0

g

   

2

5 4 0

m m

(*)

Nên

 

( ) | ( )|

y f x g x

đồng biến trên



  



1;

 

(1) 0

f

kết hợp với (*) ta có:





   







2

1

5 4 0

4

m

m m

m

.







  





   





;1

4;

m

.Mà



     

 

;0 ;1

m

.

Câu 39: Chọn D

Tập xác định:

  

 

0;6

D

.

Xét hàm số

 

   

2

6

f x x x m

 

 



    

 

2

2 6

0 3.

6

x

f x x

x x

Bsngr biến thiên

Hàm số

 

y f x

đồng biến trên khoảng

 

0;3

  0m

.

Lại do

 









10

m

 

  0;1;2; 3;4;5;6;7;8;9m

.

Vậy có 10 giá trị của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 40: Chọn A

Xét hàm số

 

    

3 2

3 9 5

2

m

f x x x x

. Ta có

 



   

2

3 6 9 0f x x x

  









1

3

x

.

Ta có bảng biến thiên

Do

 

   







 



 





, 0

f x f x

y f x

f x f x

nên

 Nếu

  0 0

2

m

thì

 

 0f x

có nghiệm



0

3x

, ta có bảng biến thiên của hàm số đã

cho là

Trường hợp này hàm số đã cho có

3

điểm cực trị.

 Nếu

   32 0 64

2

m

thì

 

 0f x

có nghiệm

 

0

1x

,ta có bảng biến thiên của hàm

số đã cho là

Trường hợp này hàm số đã cho có

3

điểm cực trị.

 Nếu







  





 





0

2

0 64

32 0

2

m

thì

 

     

3 2

3 9 5 0

2

m

f x x x x

có ba nghiệm

1

x

;

2

x

;

3

x

với

    

1 2 3

1 3

x x x

, ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho là

Trường hợp này hàm số đã cho có

5

điểm cực trị.

Như vậy, các giá trị nguyên của

m

để hàm số đã cho có

5

điểm cực trị là







1;2;3;...;63

m .

Tổng các giá trị nguyên này là:







      

63 1 63

1 2 3 ... 63 2016

2

S

.

Câu 41: Chọn D

Đặt

   

2

( ) 1 1

f x x mx . Ta có

 



2

'( )

1

x

f x m

x

Vì hàm số liên tục tại

 

1; 2

x x

nên để hàm số



( )

y f x

đồng biến trên khoảng





1; 2

ta xét

hai trường hợp sau:

Trường hợp 1:



     



    



 



 





 







 



2

0, 1; 2

'( ) 0, 1; 2

1

(1) 0

2 1

x

m x

f x x

x

f

m

 

 

 



 



    





 



 

 

    



  

 

 

 



2

1; 2

, 1; 2

min

2 1 1

1

2 1

x

m x

m

x

m

Trường hợp 2:



     



    



 



 





 







 



2

0, 1; 2

'( ) 0, 1; 2

1

(1) 0

2 1

x

m x

f x x

x

f

m

 

 

 



 



    





 



 

 

   



  

 

 

 



2

1; 2

, 1; 2

max

2 5

2

1

5

2 1

x

m x

m

x

m

Từ (1) và (2) ta có







 



2 5

5

2 1

m

Do

 





  



 





2020; 2020

m

nên có 4041 giá trị của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 42:

Chọn B

Đặt













     

3 2 2 2

3 3 5 12 3 cos

h x x x m x m x

.

Ta có















     

2 2 2

3 6 3 5 12 3 sin

h x x x m m x

.

         





         

2

3 1 12 1 sinx 3 1 sin 0 0; .

h x x m x x

Vậy hàm số





h x

luôn đồng biến trên







0;

.

Để



( )

y f x

đồng biến trên







0;

. Thì









       

 

2

0 0 12 3 0 2;2

h m m .

Kết luận: có 5 giá trị

m

nguyên thỏa mãn.

Câu 43: Chọn B

Xét hàm số





  

sin cos

f x x x m



 

  

 

 

2 sin

4

x m

 



 



  

 

 

2 cos

4

f x x .

Khi đó

   

    

2

sin cos

y x x m f x f x

. Nên









 





2

.

f x f x

y

f x

.

Hàm số

  

sin cos

y x x m

đồng biến trên khoảng

 

 



 

 

;

4 2

 

 



    

 

 

0; ;

4 2

y x

.









 

 







 



   



 



 





. 0

, ; 1

4 2

0

f x f x

x

f x

.

Với

    

       

4 2 2 4 4

x x

  

   

     

   

   

cos 0, ;

4 4 2

x x .

 

 

 



    

 

 

0, ;

4 2

f x x

.

Nên

   

 

 

    

 

 

1 0, ;

4 2

f x x



 

  

 

 

0

4

f





     

2. 1 0 2

m m

.

Câu 44: Chọn A

Trên khoảng



 

 

 

0; ,

2

hàm số



sin

y x

đồng biến. Đặt

 



 

   

 

 

sin , 0; 0;1

2

t x x t

.

Khi đó hàm số

  

3

sin .sin 1

y x m x đồng biến trên khoảng



 

 

 

0;

2

khi và chỉ khi





   

3

1

y g t t mt

đồng biến trên





0;1

Xét hàm số





   

3

1

y f t t mt

trên khoảng





0;1

có







 

2

3 .

f t t m

Khi











       

2 3

0 : 3 0, 1

m f t t t y f t t đồng biến trên





0;1

và đths





  

3

1

y f t t

cắt trục hoành tại điểm duy nhất

 

1

t





    

3

1

y g t t mt đồng biến trên





0;1

 

0

m

thỏa mãn

Khi







 

0 : 0

m f t

có 2 nghiệm phân biệt

  

1 2

,

3 3

m m

t t

.

Hàm số





   

3

1

y f t t mt

đồng biến trên các khoảng

 

 

 

 

;

3

m

và

 



 

 

;

3

m

Trường hợp 1:

      

0 1 0 3

3 3

m m

m

Hàm số





   

3

1

y f t t mt

nghịch biến trên khoảng

 

 

 

0;

3

m

và đồng biến trên khoảng

 

 

 

;1

3

m



Không có giá trị của

m

để





   

3

1

y g t t mt

đồng biến trên





0;1

Trường hợp 2:

     

0 1 3

3 3

m m

m

Để





   

3

1

y g t t mt

đồng biến trên





0;1

thì





    

3

1 0, 0;1

t mt t

   

         

3 2

1

1, 0;1 , 0;1

mt t t m t t

t

  

3

4

m

Không có giá trị của

m

thỏa

mãn. Vậy chỉ có giá trị



0

m

thỏa mãn

Câu 45: Chọn B

Đặt



cos

t x

, vì

 



 

  

 

 

0; 0;1

2

x t

. Vì



cos

t x

là hàm số nghịch biến trên



 

 

 

0;

2

nên

Yêu cầu bài toán trở thành tìm

m

nguyên thuộc

 

 

5;5

để hàm số

 

3 2

3

y t m t

đồng biến trên





0;1

. Xét









  

3 2 2

3 ; 0;1

f t t m t t ;





 

2 2

' 3 3

f t t m

.

Trường hợp 1: Nếu













     0 ' 0; 0;1

m f t t f t

luôn đồng biến trên





0;1

.

Mà









  0 0

f y f t

luôn đồng biến trên





 

0;







y f t

đồng biến trên





0;1

.

Do đó



0

m

thỏa mãn bài toán





1

.

Trường hợp 2:

 





   



 



0 ' 0

t m

m f t

t m

;

 



 



  







3

0 0

3

t m

f t t

t m

Với



0

m

, ta có BBT sau:

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số







| |

y f t

đồng biến trên





0;

m

.

Yêu cầu bài toán tương đương













  

0;1 0; 1 2

m m

.

Với



0

m

, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số







| |

y f t

đồng biến trên





0;

m

.

Yêu cầu bài toán tương đương













    

0;1 0; 1 3

m m .

Từ













1 ; 2 ; 3

vậy có

11

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn bài toán.

Câu 46: Chọn C

Đặt

    

 

3 1;3

x

t t vì

  

 

0;1

x .

 

   



     



          

  

2 2

2

2 2

2

2. 1 . 1

1 1

2. 1

t t m t t m

y t t m t t m y

t t m

Để hàm số đồng biến trên đoạn

  

 

1;3

t thì









   



     

 

  

2

2 1 . 1

0 1;3

1

t t t m

y t

t t m

Với mọi giá trị của

  

 

1;3

t thì



2 1

t

>0 nên

Để



    

 

0 1;3

y t thì:





                

   

2 2

1 0 1;3 1 1;3

t t m t m t t g t t





 

 

     

1;3

1 min 2 3

m g t m

. Vậy có 3 giá trị nguyên





1;2;3

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 47: Chọn A

Xét hàm số



   

1

( ) 4 .2 2

x x

f x m m (1) trên khoảng

(0;1)

. Đặt



2

x

t

,



(1;2)

t

.

Hàm số (1) trở thành

   

2

( ) 2 . 2

h t t m t m

trên khoảng

(1;2)

. Suy ra

 

'( ) 2 2

h t t m

.

Ta có 

( )

y f x

đồng biến trên khoảng

ñoàngbieán treân

nghòch bieán treân

































( ) (0;1)

(0) 0

(0;1)

( ) (0;1)

(0) 0

f x

f

f x

f

(*).

Vì hàm số



2

x

t

đồng biến trên

(0;1)

.

Do đó,

ñoàngbieán treân

nghòchbieán treân

 

     

 

 

   

 

 

 

 

     

 

 

   

 

 

 

( ) (1; 2) 2 2 0 (1;2)

3 0 3 0

(*)

( ) (1;2) 2 2 0 (1;2)

3 0 3 0

h t t m t

m m

h t t m t

m m



 















 





 















1

3

1

3

2

3

m

. Vậy có 2018 số nguyên dương nhỏ hơn 2020 thỏa ycbt.

Câu 48: Chọn C

Đặt







1

x

t e

, ta có

 

 

 



   



      

 



 



1 1

2 3

1 1

2

1 2

. . 0 2;3 ;

1

x x

x

t e e x t e e

x

, đồng thời

x

và

t

sẽ ngược chiều biến thiên.

Khi đó hàm số trở thành

 

       

2

2 2

3 2 5 3 2 5 (2)

y t t m t t m

Ta có:









 









 

       



 

     

2 2

2 3 2 5 . 2 3 3 2 5 . 2 3

.

2 3 2 5 3 2 5

t t m t t t m t

y

t t m t t m

Hàm số

(1)

nghịch biến trên khoảng





2;3



hàm số

(2)

đồng biến trên khoảng





2 3

;

e e









 

   

   

          

  

2

2 3 2 2 3

2

2 3 2 5 . 2 3

0 ; 3 2 5 0 ;

2 3 2 5

t t m t

t e e t t m t e e

t t m

 

 

    

2

2 3

3 5

( ) ; .

2

t t

m g t t e e

Có

 

      



        

4 2 6 4 4 2

2 3

2 3 3 5 3 5 3 5

( ) 0 ; ( )

2 2 2 2

t e e e e e e

g t t e e g t m

.

Với điều kiện m là số nguyên dương ta tìm được 40 giá trị của

m

.

Câu 49: Chọn A

Đặt

 



      

2 2 2 2

( ) ( ) 2 2

x x x x

f x e e m f x xe xe

Ta có





 



   

2

( )

( ) ( )

f x f x

y f x f x y

f x

Yêu cầu bài toán







   

0, 1; .

y x e

(*)

Vì







1;

x e

nên





 



    

2

2 2

2

2 1

2 2 0, 1;

x

x x

x

x e

xe xe e

e

Khi đó,













   

* 0, 1;

f x x e









 

          

2 2 2 2

0, 1; , 1;

x x x x

e e m x e e e m x e

Ta có giá trị lớn nhất của hàm số







  

2 2

, 1;

x x

y e e x e

là





2 2

e e

nên



  

2 2

1618,18

e e

m e e

Vậy có

401

giá trị nguyên dương

m

thỏa mãn.

Câu 50: Chọn B

Đặt

     

     

2 2x x

f x e e m y f x f x

. Ta có









 



2

'

f x f x

y

f x

Hàm số đồng biến trên









   

1;2 ' 0 1;2

y x









 







  









' 0

1;2

0

f x f x

x

f x

Vì









    

2

' 2 0 1;2

x x

f x e e x

Nên

















              

2 2

' 0 1;2 0 1;2 1;2

x x

y x f x x m e e x m e e

Câu 51: Chọn C

Đặt



tan

2

x

t

vì

 

 

 





 

;

4 2

x

suy ra

 

tan 1

x

nên



1

2

t

. Khi đó ta có hàm số:

   

3

3 2

y t t m (1).

Để hàm số ban đầu đồng biến trên

 

 







 

;

4 2

thì hàm số (1) phải đồng biến trên

 







 

1

;

2

.

Xét hàm số





   

3

3 2

f t t t m . Ta có:







   

2

3 3 0,

f t t t

.

Khi đó

   

 

2

y f t f t

nên









 





2

.

f t f t

y

f t

.

Hàm số đồng biến trên

 







 

1

;

2

khi và chỉ khi

 



   





 

1

0, ;

2

y t

.

 

 

    





 

1

0, ;

2

f t t

 

       





 

3

1

3 2 0, ;

2

t t m t

 

      





 

3

1

3 2, ;

2

m t t t ,







.

Xét hàm số:

 

 

     





 

3

1

3 2, ;

2

g t t t t

.







   

2

3 3 0,

g t t t

. Vậy hàm số





g t

luôn đồng biến trên



nên

 

 



 

 

1

2

g t g .

Từ







suy ra:

 

 

 

 

1 29

2 8

m g

.

Câu 52: Chọn B

  

2

ln3 4

y x x m

. Điều kiện



0

x

. Xét hàm số





  

2

g ln 3 4

x x x m

trên

 

 

2

1;

e

.

 



 



      

 

2

1 1 8

g 8 0, 1;

x

x x x e

x x







g x

nghịch biến trên

 

 

2

1;

e

.



hàm số





   

2

g ln3 4

y x x x m

đồng biến trên đoạn

 

 

2

1;

e

      

ln3 4 0 4 ln 3

m m

.

Mà

m

nguyên thuộc khoảng







100;100

nên





   

99; 98;...; 1;0;1;2

m

.

Vậy có 102 giá trị

m

nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 53: Chọn A

Xét









  

ln 2

f x mx x

. Dễ thấy





    

1;4 : 0 0

x mx m

.

Khi đó:

   



    

1

1 0 , 1;4

f x x

x

. Do đó





f x

luôn nghịch biến trên





1;4

.

Yêu cầu bài toán tương đương với

   

      

2

4 0 ln 4 2 0 1,6

4

e

f m m

.

Vậy

  

 

2;2019

m có 2018 số nguyên thỏa mãn.

Câu 54: Chọn C

Ta xét hàm số









    

2 2

ln 2 2 1

f x x x m mx trên





0;10

.

Điều kiện hàm số có nghĩa là





    

2

2 0, 0;10

x x m x





    

2

2 , 0;10

x x m x





1

Ta lại có





   

2

2 2 0

x x x x

với mọi







0;10

x

nên điều kiện





1

cho ta



0

m





2

Đạo hàm

 





 

 

2

2 2

4

2

x

f x mx

x x m

do



0

m

và







0;10

x

nên



  

 

2

2 2

0; 4 0

2

x

mx

x x m

suy

ra









0

f x hàm số đồng biến trên





0;10

.

Từ đó để hàm số









     

2 2

ln 2 2 1

y x x m mx f x

đồng biến trên





0;10

điều kiện đủ là







0

f x

với mọi







0;10

x





3

.

Trường hợp 1 :



0

m

khi đó









  

2

ln 2 1

f x x x có









 

0

lim

x

f x

không thỏa mãn





3

Trường hợp 2 : Xét



0

m

, do hàm số





f x

đồng biến nên ta chỉ cần







0 0

f





   

ln 1 0

m

     

m e m e

.

Từ đó ta được:



   









2020

m e

m





     

2019; 2018; 2017;....; 3

m

có 2017 giá trị

m

thỏa

mãn bài toán.

Câu 55: Chọn C

Điều kiện xác định:

  

3

2 0.

x mx

Xét hàm số









  

3

ln 2

f x x mx . Ta có:

 







 

2

3

.

2

x m

f x

x mx

Hàm số đồng biến trên nửa khoảng







1; 3





 

  

 

  











  



























  



















0

, 1;3 1

0

, 1;3 2

0

f x

x

f x

x

f x

.

Trường hợp 1:

 





 



  



  



         

 

 





 

  

 



3

2

3

2 1

ln 2 0

1 , 1;3 3 0 , 1;3

3

0

2 0

2

x mx

x x m x

x m

x mx



 











 



    



 

  

 

 

       

 



 

   

 







2

1;3

2

1;3

1

max 2

, 1;3 2.

max 3 3

3

m x

x

x m

x

m x

Trường hợp 2:

 





 



  



  



         

 

 





 

  

 



3

2

3

2 1

ln 2 0

2 , 1;3 3 0 , 1;3

3

0

2 0

2

x mx

x x m x

x m

x mx









  

 



 

          

 



 

 

 

  

    

 





 



2

1;3

1

28

3

3 , 1;3 27 .

2

max 3

m x

m

x

m x x m m

m x

x

Từ hai trường hợp suy ra

 

2

m

. Vì chỉ lấy

  

 

3;3

m

nên





  

2; 1;0; 1; 2; 3

m

.

Câu 56: Chọn D

Đặt









   

2

ln 1

f x x mx m .

Hàm số đồng biến trên khoảng

 



 

 

1

;1

2

 





 

     





 

 









 





   





 

 









 



   



 



 









 



     



 



 







 







   



 



 







 



   



 





 





2

1

0, ;1

2

1

0, ;1 1

2

1

0, ;1

2

1

0, ;1

2

1

0, ;1 2

2

1

0, ;1

2

x mx m x

f x x

x mx m x

f x x

.

Xét

 

     

 

 

2

1

0, ;1

2

x mx m x

 

 

     

 

 

2

1

1 , ;1

2

x m x x

 

    

 



 

2

1

, ;1

1 2

x

m x

x

.

Đặt

 





2

1

x

g x

x

. Khi đó,

 

   

        

   



   

2

1 1

, ;1 , ;1

1 2 2

x

m x g x m x

x

.

Ta có:

 

  



1

g x x

x

 



  



2

1

g x

x

;

 



 

  



 

 





 



 

   



 

 



1

0 ;1

2

0

1

2 ;1

2

x

g x

x

.

Bảng biến thiên của hàm số







y g x

trên khoảng

 



 

 

1

;1

2

.

Từ bảng biến thiên của hàm số







y g x

suy ra

 

 

   

 

 

1

;1

2

g x m x





  

0 0

m g .

Ta có:

 







 

2

x m

f x

x mx m

.

 













 

    



 

 









1

2

0

1

1 2 , ;1

2

lim 0

x

m

x m x

f x









  





 



  

 



 



0

1

1 1

ln 1 0

4 2

m

  





 



 

 



 



1

ln 1

4 2

m

  







 





1

4 2

m

e

  





  











1

1 4

2

m

e

m

e

m

.

 













 

    



 

 









1

2

0

1

2 2 ;1

2

lim 0

x

m

x m x

f x









 





 



  

 



 



0

2

1

ln 1 0

4 2

m

suy ra không tồn tại

m

.

Vậy





1 4

2

e

m

. Mà

m

nguyên,

  

10 10

m

nên có 5 giá trị

m

thỏa mãn bài toán

Câu 57: Chọn C

Đặt









   

3

ln 3x 1

f x x m , ta có

 







 

2

3

3 3

3

x

f x

x x m

.

Điều kiện xác định của





f x

là

  

3

3 0

x x m

.

Điều kiện cần để hàm số







y f x

nghịch biến trên

 

 

0;1

là

                

   

3 3

3 0, 0;1 3 , 0;1 2

x x m x m x x x m

(1).

Với mọi

  

 

0;1

x

, ta có

 

2

3 3 0

x

. Do đó từ điều kiện (1) ta suy ra

 





     

 

 

2

3

3 3

0, 0;1

3

x

f x x

x x m

.

Điều kiện đủ để hàm số







y f x

nghịch biến trên

 

 

0;1

là





    

 

0, 0;1

f x x





        

 

3

ln 3 1 0, 0;1

x x m x

        

 

3

1

3 , 0;1

m x x x

e

   

1

2 2,37

m

e

.

Do

m

nguyên thuộc





   

 

5;5 3;4;5

m

. Vậy tổng các giá trị của

m

bằng 12.

Câu 58: Chọn A

Đặt









   

3 2

3

log 1

f x x x mx nên

 

 



  

2

3 2

'

1 ln3

x x m

f x

x x mx

.

Hàm số đồng biến trên







y f x

đồng biến trên



 



1;





 























    



























0

' 0

, 1;

0

' 0

f x

x

f x

.

Trường hợp 1:

 









   







 

            

 

 



 



  





3 2

3

3 2

2

log 1 0

0

, 1; 1 0 , 1;

' 0

3 2 0

x x mx

f x

x x x mx x

f x

x x m

.

 

 

     

 

         

 

 

   

 

 

3 2 2

2 2

1 1

, 1; , 1;

3 2 3 2

x x mx m x x

x x

x x m m x x

.







 











 







   

 



 







2

1;

2

1;

min

2

5

min 3 2

m x x

m

m x x

.

Trường hợp 2:

 









   







 

            

 

 



 



  





3 2

3

3 2

2

log 1 0

0

, 1; 1 0 , 1;

' 0

3 2 0

x x mx

f x

x x x mx x

f x

x x m

.

 



 



   



               

 

 

 

 





 



2

3 2

3 2 2

2

1 1

1

1 0 , 1; , 1;

3 2

x x m

x x mx

x x mx x x x m x

x

x x m

.

Ta có:















         



2 2

1;

, 1; max ,m x x x m x x

.

Vì







  

2

lim

x

x x

nên không tồn tại

m

thỏa mãn







. Do đó trường hợp 2 không tồn tại giá

trị nào của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Suy ra



2

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán. Mặt khác

 





  



 





10;10

m

nên có

13

giá trị của

m

thỏa

mãn yêu cầu bài toán.

Câu 59: Chọn C

Xét hàm số









   

2

ln

f x x x m x

trên khoảng







1;3

.

Điều kiện xác định là:

  

2

0

x x m

với mọi





 

1;3

x

.

Khi đó

 





   

 

   

2

2 2

2 1 3 1

1

x x x m

f x

x x m x x m

.

Hàm số





g x

đồng biến trên







1;3

 





  







   







   















  







   









   









2

0

3 1 0 1

ln 0

0

3 1 0 2

ln 0

x x m

x x m x

x x m

x x m x

với mọi





 

1;3

x

.

Xét hệ bất phương trình





1

:

 



  



   





   





2

0

3 1 0

ln 0

x x m

x x m x

đúng với mọi





 

1;3

x

.

Ta có:









            

2 2

0, 1;3 , 1;3

x x m x m x x x

.

Khảo sát tính biến thiên của hàm số

  

2

y x x

trên khoảng







1;3

ta suy ra

Với

 



    

2

1;3

1

max

4

m x x m

Lại có









              

2 2

3 1 0, 1;3 3 1, 1;3

x x m x m x x x

.

Khảo sát tính biến thiên của hàm số

   

2

3 1

y x x

trên khoảng







1;3

ta suy ra:







     

[ 1;3

2

]

max 3 1 1

m x x m

Ngoài ra















              

2 2

ln 0, 1;3 , 1;3

x

x x m x x m x x e x .

Đặt







   

2

x

k x x x e

,











       



2 1 0, 1;3

x

k x e x x

.

Do đó







        

2

, 1;3

x

m x x e x m e

.

Vậy





1

tương đương



m e

.

Với hệ bất phương trình





2

ta cũng làm tương tự như trên thì được

 









  



           

 

 

       





2

2 2

1

0

4

3 1 0 1;3 19

ln 0 ln 0

m

x x m

x x m x m m

x x m x x x m x

.

Vậy hàm số





    

2

( ) ln

y g x x x m x

đồng biến trên







1;3

khi và chỉ khi



m e

, mà

m

là

số nguyên thuộc

 

 

10;10

nên







3;4;5;6;7;8;9;10

m

. Do đó tổng các giá trị nguyên của

m

thỏa mãn là

52

.

Câu 61: Chọn D

Phương trình đã cho

   

1 3

3

1 2 4

x x x

x x m f x g x

x x x

 

        

  

.

Xét hàm số

   

     

2 2 2

1 3 1 1 1

0

1 2 4

x x x

f x f x

x x x

 



       

  

.

Hàm số

 

f x

có tập xác định là

\{ 1; 2; 4}D    



và có

 

lim 3

7

3

2

x

f x

f











 





.

Xét hàm số

 

2 3 3

3

3 3

x m neu x

g x x x m

m neu x

    



    



  



.

Bảng biến thiên:

Để phương trình

   

f x g x

có 3 nghiệm thực

x

thì

3 0 0m m   

.

Kết hợp

 

, 2021;2021m m  



suy ra có 2022 giá trị nguyên

m

thỏa mãn.

LÝ THUY

ẾT

 Định nghĩa

 Giả sử hàm số

f

xác định trên tập K và

0

x K



. Ta nói:



0

x

là điểm cực tiểu của hàm số

f

nếu tồn tại một khoảng





;

a b

chứa

0

x

sao cho





;

a b K



và

















0 0

, ; \

f x f x x a b x

  

. Khi đó





0

f x

được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

f

.



0

x

là điểm cực đại của hàm số

f

nếu tồn tại một khoảng





;

a b

chứa

0

x

sao cho





;

a b K



và

















0 0

, ; \

f x f x x a b x

  

. Khi đó





0

f x

được gọi là giá trị cực đại của hàm số

f

.

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải

là một điểm trong tập hợp K.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

 Nếu

0

x

là điểm cực trị của hàm số thì điểm









0 0

;

x f x

được gọi là điểm cực trị của đồ thị

hàm số

f

.

 Quy tắc tìm cực trị

 Quy tắc 1:

 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm





.

f x



 Bước 2: Tìm các điểm

i

x





1; 2;...

i  mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên

tục nhưng không có đạo hàm.

 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu





f x



. Nếu





f x



đổi dấu khi đi qua

i

x

thì hàm

số đạt cực trị tại

i

x

.

 Định lý

 Giả sử





y f x



có đạo hàm cấp 2 trong khoảng





0 0

;

x h x h

 

với

0.

h



Khi đó:

 Nếu





0

0,

f x









0

f x





thì hàm số

f

đạt cực đại tại

0

.

x

 Nếu





0

0,

f x









0

f x





thì hàm số

f

đạt cực tiểu tại

0

.

x

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

 Quy tắc 2:

 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm





.

f x



 Bước 2: Tìm các nghiệm

i

x





1; 2;...

i 

của phương trình





0.

f x





 Bước 3: Tính





f x



và tính





.

i

f x



Nếu





0

i

f x





thì hàm số

f

đạt cực đại tại điểm

.

i

x

Nếu





0

i

f x





thì hàm số

f

đạt cực tiểu tại điểm

.

i

x

VÍ D

Ụ MINH HỌA

Chọn B

Ta có hàm số

3 2

1

3 1

3

y x x x   

có tập xác định

D 



.

2

2 3y x x



  

;

1

0

3

x

y

x

 



 



 



.

2 2y x



 

;

 

3 4 0y



   

;

 

1 4 0y



 

.

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm

1x 

.

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số

   

3 2

3 1 3 7 3y x m x m x    

(1)

   

2

3 6 1 3 7 3y x m x m



     

.

Ta có:

 

2

0 2 1 7 3 0y x m x m



      

(2)

Hàm số đã cho không có cực trị



Phương trình

0y





vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

 

   

2

0 1 1. 7 3 0m m



       

2

5 4 0m m   

1 4m  

.

Do

m

là số nguyên nên

 

1; 2 ; 3 ; 4m 

. Vậy tập

S

có 4 phần tử.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số

 

f x

VÍ DỤ 1. Hàm số

3 2

1

3 1

3

y x x x   

đạt cực tiểu tại điểm

A.

1x  

. B.

1x 

. C.

3x  

. D.

3x 

.

VÍ DỤ 2. Cho hàm số









3 2

3 1 3 7 3y x m x m x    

. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

tham số

m

để hàm số không có cực trị. Số phần tử của

S

là

A. 2. B. 4. C. 0. D. Vô số.

VÍ DỤ 3. Cho hàm số





y f x

có đạo hàm













2

1 4f x x x



  

với mọi

x



. Hàm số

   

3g x f x 

có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Ta có

   

3g x f x 



   

3g x f x

 

 

.

Từ bảng biến thiên của hàm số

 

f x

ta có

 

0g x





 

3 0f x



  

3 1 4

1 3 4 1 2

x x

 

   

 

 

     

 

.

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số

 

g x

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số

 

g x

có một điểm cực đại.

Lời giải

Chọn B

Gọi đồ thị của hàm số

 

y f x

là

 

C

.

Đặt

   

g x f x

và gọi

 

C



là đồ thị của hàm số

 

y g x

. Đồ thị

 

C



được suy ra từ đồ thị

 

C

như sau:

Giữ nguyên phần đồ thị của

 

C

phía trên

Ox

ta được phần I.

Với phần đồ thị của

 

C

phía dưới

Ox

ta lấy đối xứng qua

Ox

, ta được phần II.

Hợp của phần I và phần II ta được

 

C



.

Từ cách suy ra đồ thị của

 

C



từ

 

C

, kết hợp với bảng biến thiên của hàm số

 

y f x

ta có

bảng biến thiên của hàm số

   

y g x f x 

như sau:

VÍ DỤ 4. Cho hàm số

( )y f x

có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số

( )y f x

là

A.

7

.

B.

5

.

C.

6

.

D.

8

.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số

( )y f x

có 5 điểm cực trị.

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

4 3 2

4 2 1y x m x mx



   

 

2 2

4 2 1x x m x m

 

   

 

.

Dễ thấy

0x 

là một nghiệm của đạo hàm

y



. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại

0x 

khi và chỉ khi

y



đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nghiệm

0x 

. Ta thấy dấu của

y



là dấu của hàm số

   

2

4 2 1g x x m x m   

. Hàm số

 

g x

đổi dấu khi đi qua giá trị

0x 

khi

0x 

là nghiệm

của

 

g x

. Khi đó

 

0 0g 

0m 

.

Thử lại, với

0m 

thì

 

2

4g x x x 

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua giá trị

0x 

.

Vậy có 1 giá trị

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Chọn B

Ta có

3 2

3 2 3 3y x mx y x m



     

. Hàm số

3

3 2y x mx  

có 2 điểm cực trị



phương trình

2

3 3 0y x m



  

có hai nghiệm phân biệt



0m 

 

1

Ta có:

1

. 2 2

3

y x y mx



  

.

Suy ra phương trình đường thẳng



đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là

2 2 2 2 0y mx mx y      

Đường thẳng



cắt đường tròn tâm

 

1;1I

, bán kính

1R 

tại hai điểm phân biệt

,A B

VÍ DỤ 5. Cho hàm số

 

5

4 3

2 1 2019

5 3

x m

y m x x    

. Có bao nhiêu giá trị của tham số

m

để hàm

số đạt cực tiểu tại

0x 

?

A.Vô số . B.1 . C.2 . D.0 .

VÍ DỤ 6. Tìm tất cả các giá trị của

m

để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

3

3 2y x mx  

cắt đường tròn tâm

 

1;1I

, bán kính

1R 

tại hai điểm phân biệt

,A B

sao cho diện

tích tam giác

IAB

đạt giá trị lớn nhất?

A.

1 3

2

m





. B.

2 3

2

m





. C.

2 5

2

m





. D.

2 3

3

m





.



 

2

2 1

; 1

4 1

m

d I R

m



   



2

2 1 4 1 4 0

m m m

      

luôn đúng do

0

m



Ta có

 

1 1 1

. .IB.sin .sin

2 2 2

IAB

S IA AIB AIB

  

. Dấu bằng xảy ra





sin 1 90

AIB AIB

   

.

Khi đó tam giác

IAB

vuông cân tại

I

có

1

IA



nên

 

2

;

2

d I  

2

2 1

2

4 8 1 0

2

4 1

m

m m

m



      



2 3

2

m



 thỏa mãn đk





1

Vậy diện tích tam giác

IAB

đạt giá trị lớn nhất khi

2 3

2

m





.

Lời giải

Chọn C

Ta có:





4 2

2 2 3 2

y x m x m

    

;









3 2

' 4 4 2 4 2

y x m x x x m

     

2

0

' 0

2 (1)

x

y

x m

 

 



 



Để hàm số có ba điểm cực trị  phương trình

' 0

y



có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác

0



2 0 2

m m

   

.

Lời giải.

Chọn B

Ta có :

 

2 2

1

( ) 0 ( 1) 4 0 0

4

x

f x x x x x

x

  





      







, trong đó

1

x

 

là nghiệm kép.

















2 2

( ) 2 12 4 12 2 12

g x f x x m g x x f x x m

 

       

Xét













2

4 12 20

12 0

x fx x x mg



 



  

(*)

 

2

2 2

3

2 12 1 ( )

2 12 1

2 12 0

2 12 4 2 12 4 2

x

x x m l

x x m

x x m x x m

 



   



 



  

  



     



( Điểm cực trị của hàm số





g x

là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình

2

2 12 1

x x m

   

). Xét hàm số

2

2 12

y x x

 

có đồ thị (C) có

' 4 12

y x

 

VÍ DỤ 7. Tìm tất cả giá trị của tham số

m

để hàm số





4 2

2 2 3 2

y x m x m

    

có ba điểm cực trị.

A.





2;m

 

. B.





2; 2

m  

. C.





;2

m  

. D.





0; 2

m 

.

VÍ DỤ 8. Cho hàm số





f x

có đạo hàm





22

( ) ( 1) 4

f x x x x



  

.Có bao nhiêu giá trị nguyên dương

của tham số

m

để hàm số





2

( ) 2 12

g x f x x m

   có đúng 5 điểm cực trị ?

A.

18.

B.

17.

C.

16.

D.

19.

Ta có bảng biến thiên

Để





g x

có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình









1 ; 2

đều có hai nghiệm phân biệt

3



Do đó, mỗi đường thẳng

4

y m

 

và

y m

 

phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành

độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng

4

y m

 

luôn nằm trên đường thẳng

y m

 

.

Ta có:

18

m

  

18

m

 

. Vậy có

17

giá trị

m

nguyên dương .

Lời giải

Chọn D

Ta có





2

2 2 1 8

y x m x m



    

.

Vì





f x

là hàm chẵn













do

f x f x

 

, nên đồ thị hàm





f x

đối xứng qua trục

Oy

. Do đó,

khi hàm





f x

có hai cực trị dương thì hàm





f x

sẽ có thêm hai cực trị đối xứng qua trục

Oy

và

một cực trị còn lại chính là giao điểm của đồ thị hàm





f x

và trục

Oy

.

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình

0

y





có 2 nghiệm dương phân biệt.

Điều kiện tương đương là

   

2

4 3 7 0

2 1 8 0

0

1

0 2 1 0

2

0 8 0

8

m m

S m m

P m

m



  



   



 



  

     

  

  

  





 



7

1

4

1 7

;8

2 4

8

m m

m



   



 



   



 

 









. Vậy

7

4

a



,

8

b



và

. 14

a b



.

VÍ DỤ 9. Cho hàm số

     

3 2

1

2 1 8 2

3

y f x x m x m x

      

với

m





. Tập hợp tất cả các giá trị

của

m

để hàm số





y f x

 có 5 cực trị là khoảng





;

a b

. Tích

.

a b

bằng

A. 12. B. 16. C. 10. D. 14.

Câu 1: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên



là

     



   

4

2018 2019 2020f x x x x

. Hàm số

đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Câu 2: Hàm số

   

3 2

1

3 1

3

y x x x

đạt cực tiểu tại điểm

A.

 1x

. B.

 1x

. C.

 3x

. D.

 3x

.

Câu 3: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm

       

     



2 3

' 1 3 2 3 ,f x x x x x

. Số cực trị của hàm số đã

cho là

A.

1

. B.

2

. C.

0

. D.

3.

Câu 4: Cho hàm số

 

f x

có

    



  

5

2

1 2f x x x x

. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 5: Hàm số

  

3 2

2 5y x x

có điểm cực đại là

A.



1

3

x

. B.

 0x

. C.

 

0;5M

. D.

 5y

.

Câu 6: Cho hàm số

 

f x

có

    



  

2

1 2f x x x x

. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A.

2

. B.

3

. C.

4

. D.

1

.

Câu 7: Hàm số







2 5

1

x

y

x

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Câu 8: Đồ thị hàm số

   

3 2

3 9 1y x x x

có hai điểm cực trị

A

và

B

. Điểm nào dưới đây thuộc đường

thẳng

AB

?

A.

 

0; 1M

. B.

 

1;10Q

. C.

 

1;0P

. D.

 

1; 10N

.

Câu 9: Số nào sau đây là điểm cực đại của hàm số

   

4 3 2

2 2y x x x

.

A.

1

2

. B.

1

. C.

0

. D.

2

.

Câu 10: Cho

 

y f x

có đạo hàm

 

  

2

' ( 2)( 3)f x x x

. Khi đó số cực trị của hàm số

 

 2 1y f x

là

A.

0

. B.

2

. C.

1

. D.

3

.

Câu 11: Cho hàm số

  

4 2

2 1y x x

. Xét các mệnh đề sau đây

1) Hàm số có 3 điểm cực trị; 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng

 

1;0

;

 

1;

3) Hàm số có 1 điểm cực trị; 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng

 

 ; 1

;

 

0;1

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên?

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Câu 12: Hàm số

 

    

0 1 2 2 2019 2019

2019 2019 2019 2019

...f x C C x C x C x

có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

0

. B.

2018

. C.

1

. D.

2019

.

Câu 13: Cho hàm số

  

3

3 2

y x x . Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

A.







2;0

. B.







1; 4

. C.





0;1

. D.





1; 0

.

Câu 14: Cho hàm số     

1 2 2 10 10

10 10 10

( ) 1 ... .

f x C x C x C x

Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng

A.

10

. B.

0

. C.

9

. D.

1

.

Câu 15: Cho hàm số







y f x

có đạo hàm



















   

2

1 2 3 1

x

f x x x x ,

 



x

. Số điểm cực trị của

hàm số đã cho bằng

A.

2

. B.

1

. C.

3

. D.

4

.

Câu 16: Cho hàm số





f x

có đạo hàm

 











  

2

2 2

9 3

f x x x x

,

 



x

. Gọi

T

là giá trị cực đại của

hàm số đã cho. Chọn khẳng định đúng.

A.







0

T f

. B.







9

T f

. C.





 

3

T f

. D.







3

T f

.

Câu 17: Cho hàm số





f x

có đạo hàm

 











  

2

2 2

9 3

f x x x x

,

 



x

. Gọi

T

là giá trị cực đại của

hàm số đã cho. Chọn khẳng định đúng.

A.







0

T f

. B.







9

T f

. C.





 

3

T f

. D.







3

T f

.

Câu 18: Gọi

A

,

B

,

C

là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

  

4 2

2 4

y x x . Bán kính đường tròn nội

tiếp tam giác

ABC

bằng

A.



2 1

. B.

2

. C.



2 1

. D.

1

.

Câu 19: Cho hàm số

  

4 2

2 1

y x x có đồ thị





.

C

Biết rằng đồ thị





C

có ba điểm cực trị tạo thành ba

đỉnh của một tam giác, gọi là



.

ABC

Tính diện tích



.

ABC

A.



2

S

. B.



1

S

. C.



1

2

S

. D.



4

S

.

Câu 20: Cho hàm số









    

3 2

3 1 3 7 3

y x m x m x

. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

tham số

m

để hàm số không có cực trị. Số phần tử của

S

là

A. 2. B. 4. C. 0. D. Vô số.

Câu 21: Cho hàm số



( )

y f x

có đúng ba điểm cực trị là

 

2; 1; 0

và có đạo hàm liên tục trên



. Khi

đó hàm số

 

2

( 2 )

y f x x

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6. B. 4. C. 5. D. 3.

Câu 22: Cho hàm số  

2 3

( ) ( 1)

x

f x x x e

có một nguyên hàm là hàm số

( )

F x

. Số điểm cực trị của hàm số

( )

F x

là

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D.

0

.

Câu 23: Số điểm cực trị của hàm số

 

sin

4

x

y x ,





 

 

;

x là

A.

2

. B.

4

. C.

3

. D.

5

.

Câu 24: Biết phương trình

   

3 2

0

ax bx cx d







0

a

có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số

   

3 2

y ax bx cx d

có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

4

. B.

5

. C.

2

. D.

3

.

Câu 25: Số điểm cực trị của hàm số

 







2

2 d

1

x

t t

f x

t

là

A.

0

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 26: Cho hàm số

   

3 2

( )f x ax bx cx d

có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số

  

2

( 2 4 )y f x x

là.

A.

3

. B.

4

. C.

2

. D.

5

.

Câu 27: Biết rằng đồ thị hàm số

  

2

1 1

3

2

y x x

x

có ba điểm cực trị thuộc một đường tròn

 

C

. Bán

kính của

 

C

gần đúng với giá trị nào dưới đây?

A.

12,4

. B.

6,4

. C.

4,4

. D.

27

.

Câu 28: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

   

 



     



2

3 1 2 ,f x x x x x

. Hỏi hàm số

 



  

2

1y f x x

có bao nhiêu điểm cực tiểu.

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Câu 29: Cho hàm số







ax b

y

cx d

có đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số

   

3 2

y ax bx cx d

có hai điểm cực trị trái dấu.

B. Đồ thị hàm số

   

3 2

y ax bx cx d

cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.

C. Đồ thị hàm số

   

3 2

y ax bx cx d

có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung.

D. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số

   

3 2

y ax bx cx d

nằm bên trái trục tung.

Câu 30: Cho hàm số

 

  

4 2

f x ax bx c

với

 0a

,

 2018c

và

   2018a b c

. Số điểm cực trị của

hàm số

 

  2018y f x

là

A.

1

. B.

3

. C.

5

. D.

7

.

Câu 31: Hàm số

 

 



2

1

x

f x m

x

có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A.

2

. B.

3

. C.

5

. D.

4

.

Câu 32: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

 



  

2

1 4f x x x

với mọi





x

. Hàm số

   

 3g x f x

có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 33: Cho hàm số

 ( )y f x

có đạo hàm liên tục trên



và bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số

      

4 2 6 4 2

3 ( 4 6) 2 3 12y f x x x x x

có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.

Câu 1: Chọn A

Tập xác định:





D

.

Ta có:

 

 





  







2018

0 2019

2020

x

f x x

x

.

Bảng xét dấu của







f x

:

Dựa vào bảng xét dấu của







f x

ta thấy







f x

đổi dấu qua hai điểm

 

2018; 2019

x x

nên hàm

số đã cho có hai điểm cực trị.

Câu 2: Chọn B

Ta có hàm số

   

3 2

1

3 1

3

y x x x có tập xác định





D

.



  

2

2 3

y x x ;

 



 



 



1

0

3

x

y

x

;



 

2 2

y x

;







   

3 4 0

y

;







 

1 4 0

y

.

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm



1

x

.

Câu 3: Chọn B

Ta có





'

f x

đổi dấu khi qua các giá trị



3

x

và





3

2

x nên hàm số có 2 cực trị.

Câu 4: Chọn B

Xét phương trình









0

f x

 



 



 



0

1

2

x

Ta có bảng xét dấu sau:

Dễ thấy







f x

đổi dấu khi qua

 

2

x

và







f x

đổi dấu khi qua



1

x

nên hàm số có 2 điểm cực

trị.

Câu 5: Chọn B

Ta có

 

   

2

6 2 , 12 2.

y x x y x ;









 









0

0 .

1

3

x

y

x







    

0 2 0 0

y x

là điểm cực đại của hàm số

  

3 2

2 5

y x x .

Chú ý: phân biệt điểm cực đại của hàm số là

c

đ

x

, còn điểm cực đại của đồ thị hàm số là





; .

cđ cđ

x y

Câu 6: Chọn A

Ta có

 

 





  



 



0

0 1 .

2

x

f x x

x

Nhận thấy

 

    

2

2 0 2

x x









f x

không đổi dấu khi qua nghiệm

 

2

x

nên

 

2

x

không phải là điểm cực trị hàm số.

Ngoài ra





'

f x

cùng dấu với tam thức bậc hai





  

2

1

x x x x

nên suy ra

 

0; 1

x x

là hai

điểm cực trị của hàm số.

Câu 7: Chọn B

Tập xác định





 



\ 1

D

. Ta có

 





 



2

3

0

1

y

x

 

x D

.

Do



y

không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.

Câu 8: Chọn D

Cách 1: Xét hàm số





    

3 2

3 9 1

y f x x x x ,







  

2

3 6 9

f x x x .

Ta có

   

 



   

 

 

1 1

. 8 2

3 3

f x x f x x

.

Đồ thị hàm số





f x

có hai điểm cực trị

A

và

B

nên









 

 

0

A B

f x f x

.

Suy ra





 



   





   





8 2

A A A

B B B

y f x x

Do đó phương trình đường thẳng

AB

là

  

8 2

y x

.

Khi đó ta có







1; 10

N

thuộc đường thẳng

AB

.

Cách 2: Xét hàm số





    

3 2

3 9 1

y f x x x x

,







  

2

3 6 9

f x x x .







    

2

0 3 6 9 0

f x x x

 





 



3

1

x

.

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là







3; 26

A

và







1;6

B

.

Ta có









4; 32

AB

cùng phương với









1;8

u

.

Phương trình đường thẳng

AB

đi qua







1; 6

B và nhận









1;8

u

làm vecto chỉ phương là

 

   





 





1

6 8

x t

t

y t

Khi đó ta có







1; 10

N

thuộc đường thẳng

AB

.

Câu 9: Chọn A

Tập xác định :





D

.

Ta có



  

3 2

4 6 2

y x x x

;

 











      









2

0

0 2 2 3 1 0 1

1

2

x

y x x x x

x

.

Bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta có điểm cực đại của hàm số đã cho là



1

2

x

.

Câu 10: Chọn C

       

 

         

2 2

2. 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 2

y f x x x x x

.









 









1

0

2

1

x

y

x

. Nên hàm số có một cực trị.

Câu 11: Chọn D

   



       



   



3

0 1

' 4 4 ' 0 1 0

1 0

x y

y x x y x y

x y

Bảng xét dấu:

Hàm số có

3

điểm cực trị, đồng biến trên khoảng







1; 0

;







1; và nghịch biến trên khoảng





 

; 1

;





0;1

. Vậy mệnh đề

1

,

2

,

4

đúng.

Câu 12: Chọn A

Ta có:

   

      

2019

0 1 2 2 2019 2019

2019 2019 2019 2019

... 1f x C C x C x C x x





  

2018

' 2019.(1 )

f x x





    

' 0 1

f x x

Vì

 

1

x

là nghiệm bội chẵn nên

 

1

x

không phải là điểm cực trị của hàm số.

Câu 13: Chọn D

Ta có:





     



 



2 2

1

' 3 3 0 1

1

x

y x x

x

;









       

'' 6 '' 1 6 0; '' 1 6 0

y x y y

.

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là





1; 0

.

Câu 14: Chọn D

Áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn, ta có:

 

         

9

1 2 2 10 10 10

10 10 10

( ) 1 ... (1 ) '( ) 10 1

f x C x C x C x x f x x

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị

 

1

x

.

Câu 15: Chọn C

Ta có:









0

f x













    

2

1 2 3 1 0

x

x x x

 



 







0

1

2

x

.

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 16: Chọn C

Ta có









0

f x









   

2

2 2

9 3 0

x x x

   

   

3

2

3 3 0

x x x



 









3

0

x

.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là





 

3

T f

.

Câu 17: Chọn C

Ta có









0

f x









   

2

2 2

9 3 0

x x x

   

   

3

2

3 3 0

x x x



 









3

0

x

.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là





 

3

T f .

Câu 18: Chọn C

Cách 1:

Ta có

 

3

' 4 4

y x x

. Khi đó







 



 



0

1

x

y

x

.

Suy ra đồ thị hàm số

  

4 2

2 4

y x x có ba điểm cực trị là





0; 4

A

,





1; 3

B

và







1; 3

C

.

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

, ta có

  

   

BC. . . 0

IA AC IB AB IC

.

Mà

 

2

AB AC

và



2

BC

nên suy ra

 



 



 

4 3 2

0;

1 2

I .

Phương trình đường thẳng

BC

là



3

y

.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

là

  

( , ) 2 1

r d I BC

.

Cách 2:

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

ta có:

  

   

( )( )( )

2 1

ABC

S

p a p b p c

r

p p

trong đó

 

      2; 2 ;

2

a b c

a BC b c AB AC p

Cách 3:

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

ta có:

   

( )tan 2 1

2

A

r p a

với



 

   

  

3

0

3

( 2) 8.1

cos 0 A 90

( 2) 8 1

A

.

Câu 19: Chọn B

Ta có





 

   



 



3

0

4 4 ; 0

1

x

y x x y

x

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:





0;1

A ,







1; 0

B ,





1; 0

C









    

 

1; 1 ; 1; 1

AB AC











 





 

. 0

.

2

AB AC

Suy ra



ABC

vuông cân tại

A

do đó

 

1

. 1.

2

S AB AC

Câu 20: Chọn B

Xét hàm số









    

3 2

3 1 3 7 3

y x m x m x











     

2

3 6 1 3 7 3

y x m x m

.

Ta có:







      

2

0 2 1 7 3 0

y x m x m

. Hàm số đã cho không có cực trị



Phương trình





0

y

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

 

   



       

2

0 1 1. 7 3 0

m m

   

2

5 4 0

m m

  

1 4

m

.

Do

m

là số nguyên nên

 

 1; 2 ; 3 ; 4m

. Vậy tập

S

có 4 phần tử.

Câu 21: Chọn D

Do hàm số

 ( )y f x

có đúng ba điểm cực trị là

 2; 1; 0

và có đạo hàm liên tục trên



nên



( ) 0f x

có ba nghiệm là

    2; 1; 0x x x

.

Đặt

     

 

     

2 2

( 2 ) 2 2 . ( 2 )g x f x x g x x f x x

. Vì



(x)f

liên tục trên



nên



( )g x

cũng

liên tục trên



. Do đó những điểm



( )g x

có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn

  

 



  



 



  









 



2

2 2 0

1

2 2

0

2 1

2

2 0

x

x x

x

x x

x

x x

.

Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số

( )g x

có ba điểm cực trị.

Câu 22: Chọn A

Hàm số

 

f x

có TXĐ là



, có một nguyên hàm là hàm số

 

F x



'( ) ( )F x f x

,

 



x

nên



     

2 3

( ) 0 ( ) 0 ( 1) 0

x

F x f x x x e

 









0

1

x

.

Ta có bảng xét dấu



( )F x

như sau

Dựa vào bảng trên, ta thấy hàm số

( )F x

có một điểm cực trị.

Câu 23: Chọn D

Xét hàm số

 

  sin

4

x

y f x x

với

 

 

  ;x

.

Ta có

 



 

1

cos

4

f x x

.

 





 

  



 

 





   



 

 



 

 



1

2

;0

2

1

0 cos

4

0;

2

x x

f x x

x x

.

 



        

1 1

15 15

sin 0

4 4 4 4 8

x x

f x x

.

 



      

2 2

15 15

sin 0

4 4 4 4 8

x x

f x x

.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt khác

1 2

,

x x

. Suy ra hàm số

 

sin

4

x

y x , với





 

 

;

x có

5

điểm cực trị.

Câu 24: Chọn D

Phương trình

   

3 2

0

ax bx cx d

,



0

a

là sự tương giao của đồ thị hàm số

   

3 2

0

ax bx cx d

,



0

a

và trục hoành.

Do phương trình

   

3 2

0

ax bx cx d

,



0

a

có đúng hai nghiệm thực nên phương trình

   

3 2

0

ax bx cx d

có thể viết dưới dạng

   

  

2

1 2

0

a x x x x

với

1 2

,

x x

là hai nghiệm thực

của phương trình . Khi đó đồ thị hàm số





    

3 2

0

y ax bx cx d a

tiếp xúc trục hoành tại

điểm có hoành độ

1

x

và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

2

x

.

Đồ thị hàm số





    

3 2

0

y ax bx cx d a ứng với từng trường hợp



0

a

và



0

a

:

Đồ thị hàm số





    

3 2

0

y ax bx cx d a

tương ứng là

Vậy đồ thị hàm số





    

3 2

0

y ax bx cx d a có tất cả

3

điểm cực trị.

Câu 25: Chọn D

Gọi





F t

là nguyên hàm của hàm số 



2

1

t

y

t

.

Khi đó:

   

 

  

2

x

f x F t F x F x













  

  

2

2 . 2 2

f x x F x F x

 

 

2

4 2

2 4

2 . 2.

1 1 4

x x

x

x x

 

  

 



 

 

5 3

4 2

8 4 8

1 1 4

x x x

f x

x x

.







    

5 3

0 8 4 8 0

f x x x x





   

4 2

4 2 2 0

x x x











    



    



 



 



 

  





2

1

2

0

1 17 1 17

4 2

1 17

0

4

2

x

x x x

x

x x

.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số có

3

điểm cực trị.

Câu 26: Chọn D

Quan sát đồ thị

( )

f x

, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị

  

2; 0

x x

vì vậy

  

2

'( ) 3 2

f x ax bx c

có hai nghiệm

  

2; 0

x x

nên

 

'( ) 3 ( 2)

f x a x x

.

Ta có:

 

            

 

       

2 2 2

2 2

' ( 2 4 ) ' ( 4 4) '( 2 2 ) ( 4 4)( 2 4 )

3 ( 4 4)( 2 4 )( 2 4 2)

y f x x x f x x x x x

a x x x x x

.

      

2

' 48 ( 2)( 1)( 2 1)

y ax x x x x .











  



 



 



0

1

' 0 2

1 2

x

y x

x

và dấu của

'

y

đổi khi

x

qua mỗi nghiệm trên.

Vậy hàm số đã cho có

5

điểm cực trị.

Câu 27: Chọn B

TXĐ:









    

;0 0;D

 



   

3 2

2 2

1 3 1

3

x x

y x

x x

 





      





 



1

3 2

2

3

2,8794

0 3 1 0 0,6527

0,5321

x

y x x x

x

.



Tọa độ các điểm cực trị:













     

2,879; 4,84 , 0,653; 3,277 , 0,532 ; 3,617

A B C

.

Gọi





    

2 2

: 2 2 0

C x y ax by c





1

là đường tròn đi qua ba điểm cực trị.

Thay tọa độ ba điểm

, ,

A B C

vào





1

ta được hệ phương trình 3 ẩn sau:

   



  





   



5,758 9,68 31,71

1,306 6,554 11,17

1,064 7,234 13,37

a b c

 



 





 



5,374

1,0833

11,25

a

b

c

     

2 2

41,3 6,4

R a b c

Câu 28: Chọn D

Ta có







    

3 2

3 3 3

f x x x x









 



 

 

2

3 4 3

2 xf x xy x

.





  

2 13

0

3

y x ;



  

6 4

y x

;

 





  

 

 

2 13

2 13 0

3

y

;

 





 

 

 

2 13

2 13 0

3

y

Suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.

Câu 29: Chọn A

Từ đồ thị ta có:

 

 

 

 

  

 

  

 

 

  

 

 

 

 

0 0 1

0 0 2

0 0 3

0 0 4

. . 0

. . 0 5

a a

c c

d d

c c

b b

d d

b b

a a

a d b c

A. Hàm số

   

3 2

y ax bx cx d

có hai điểm cực trị trái dấu

   

2

' 3 2

y ax bx c

có hai nghiệm trái dấu

   

3 . 0 . 0

a c a c

. Đúng với





1

B. Đồ thị hàm số

   

3 2

y ax bx cx d

cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.

Sai Suy ra



0

d

Chưa đủ để kết luận



0

d

c

vì ở đây



0

c

hoặc



0

c

ví dụ như hàm số

  

 

  

2 2

;

3 5 3 5

x x

y y

x x

rõ ràng



 



2 2

0

5 5

.

C. Đồ thị hàm số

   

3 2

y ax bx cx d

có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung.

Sai vì

 

   

 

    

 

 

 

 

 

' '

' 0 ' 0

2

0 0

3

0 0

3

y y

b b

a a

c c

a a

Trái với

 

1

D. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số

   

3 2

y ax bx cx d

nằm bên trái trục tung.

Sai vì

Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của

   '' 0

3

b

y x

a

Yêu cầu của đề hoành độ tâm đối xứng âm nên

   0 0

3

b b

a a

Trái với

 

3

Câu 30: Chọn D

Xét hàm số

   

     

4 2

2018 2018g x f x ax bx c

.

Ta có

   

 

  

 

 

   

 

0 0

2018 0

2018 2018

a a

c b

a b c c

 . 0a b



hàm số

 

y g x

là hàm trùng phương có 3

điểm cực trị.

Mà

   

   0 2018 0 0g c g

,

     

       1 2018 0 1 0

CT

g a b c g x g



đồ thị hàm số

 

y g x

cắt trục hoành tại

4

điểm phân biệt.

Đồ thị hàm số

 

y g x

có dáng điệu như sau

Từ đồ thị

 

y g x

, ta giữ nguyên phần phía trên trục

Ox

, phần dưới trục

Ox

ta lấy đối xứng

qua trục

Ox

, ta được đồ thị hàm số

 

y g x

.

Từ đó ta nhận thấy đồ thị

 

y g x

có 7 điểm cực trị.

Câu 31: Chọn D

Xét hàm số

 

 



2

1

x

g x m

x

, TXĐ:



.

Ta có

 









2

1

x

g x

x

;

 

 



 



 



1

0

1

x

g x

x

.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số

 

y g x

luôn có hai điểm cực trị.

Xét phương trình

 

 0g x

      



2

0 0

1

x

m mx x m

x

, phương trình này có nhiều nhất

hai nghiệm.

Vậy hàm số

 

f x

có nhiều nhất bốn điểm cực trị.

Câu 32: Chọn B

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số

 

f x

Ta có

   

 3g x f x



   

 

 3g x f x

.

Từ bảng biến thiên của hàm số

 

f x

ta có

 



 0g x

 



  3 0f x

    

 

 

     

 

3 1 4

1 3 4 1 2

x x

.

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số

 

g x

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số

 

g x

có một điểm cực đại.

Câu 33: Chọn D

Có

 

        

3 4 2 5 3

(12 24 ). ( 4 6) 12 12 24y x x f x x x x x

 



        

2 4 2 4 2

12 ( 2). ( 4 6) 12 2x x f x x x x x

 



       

2 4 2 2

12 ( 2). ( 4 6) 1x x f x x x

.

Khi đó

 





       





 



4 2 2

2

0

' 0 ( 4 6) ( 1) 0

2 0

x

y f x x x

x

 



  







    



4 2 2

0

2

( 4 6) 1

x

f x x x

.

Ta có

          



4 2 2 2

4 6 ( 2) 2 2,x x x x

.

Do đó

 

 

       



4 2

( 4 6) 2 0, f x x f x

. Mà

   



2

1 1, x x

.

Do đó phương trình

    

4 2 2

'( 4 6) 1f x x x

vô nghiệm.

Hàm số

      

4 2 6 4 2

3 ( 4 6) 2 3 12y f x x x x x

có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Vậy hàm số

      

4 2 6 4 2

3 ( 4 6) 2 3 12y f x x x x x

có 2 điểm cực tiểu.

Câu 1: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có bảng xét dấu đạo hàm

 

'f x

như sau

Hàm số

 

    

2

2 1 1g x f x x x

có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

8

. B.

7

. C.

9

. D.

10

.

Câu 2: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



biết

 

1 1f

và có đồ thị như hình vẽ dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

 

 2020; 2021m

để hàm số sau đây có tất cả

9

điểm

cực trị

     

  

3 2

3

2

g x f x f x m

.

A.

1

B.

2

C.

0

D.

4

Câu 3: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số

     

   

   

   

3 2

2 9 12 2021y f x f x f x

có bao nhiêu điểm cực đại?

A.

5

. B.

10

.

C.

7

. D.

9

.

Câu 4: Cho hàm số bậc bốn

 

f x

có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số

   

 

  

 

2

1 2021g x f x

là

A.

5

. B.

4

. C.

3

. D.

7

.

Câu 5: Cho hàm số

 

f x

xác định và liên tục trên

 





\ 3

, thỏa mãn

     

   

3 2 2

1 2 'x x f x xf x f x

và

 

1 0f

. Hàm số

   

 

 

 

2

2 1g x f x

có bao nhiêu điểm

cực tiểu?

A.

0

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 6: Cho hàm số bậc năm

 

y f x

có đồ thị

 



y f x

như hình vẽ dưới đây

Tìm tất cả các giá trị của

m

để số điểm cực trị của hàm số

 

  

2

3g x f x x m

là

5

.

A.

 

2;

. B.

 



 

 

17

;

4

. C.

 



 

 

9

;

4

. D.

 

 

 

9 17

;

4 4

.

Câu 7: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đạo hàm

   

 



  

2020

2

12 2f x x x x

. Có bao nhiêu

giá trị nguyên của

 

 2020; 2020m

để hàm số

 

  

2

2020 2021y f x x m

có 3 điểm cực trị

dương.

A. 4038. B. 2021. C. 2020. D. 2019.

Câu 8: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên



,

 ( 2) 0g

. Đồ thị hàm số

 

 'y f x

như hình vẽ bên

dưới.

Số điểm cực trị của hàm số

      

      

2

2 2 1 3 log 2021y g x f x x x

là

A.

2

. B.

1

. C.

3

. D.

4

.

Câu 9: Cho hàm số

 

    

3 2

y f x ax bx cx d

có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị

m

nguyên để hàm số

   

 

  

2

2y f f x f x m

có 17 cực trị.

A.

4

. B.

0

. C.

2

. D.

6

.

Câu 10: Cho

 

f x

là hàm số bậc bốn thỏa mãn

 

0 0f

. Hàm số

 

'f x

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số

 

 

3

6g x f x x

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 B. 4 C. 5 D. 3

Câu 11: Cho

 

f x

là hàm số bậc bốn thỏa mãn

 

0 0f

. Hàm số

 

'f x

có bảng biến thiên như sau:

Tìm

m

nguyên để hàm số

 

   

3 2

3 1g x f x m x m

có nhiều điểm cực trị nhất có thể. Thì

giá trị m nhỏ nhất thỏa mãn thuộc khoảng nào dưới đây?

A.

 

2;0

. B.

 

1;1

. C.

 

 

 

3

1;

2

. D.

 

 

 

3

;3

2

.

Câu 12: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị hàm số

 



y f x

như hình vẽ dưới đây.

Hàm số

 

  

2

1g x x x

có bao nhiêu điểm cực đại

A.

3

. B.

4

. C.

5

. D.

7

.

Câu 13: Cho hàm số bậc bốn

 

y f x

, có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số

 

   

        

3 6 4 3 2

8 3 3 2 12 16 18 48 1g x f x x x x x x x

là

A.

5

. B.

3

. C.

7

. D.

9

.

Câu 14: Cho hai hàm số bậc bốn

 

y f x

và

 

y g x

có các đồ thị như hình dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số

         

  

2 2

2h x f x g x f x g x

là

A.

5

. B.

4

. C.

6

. D.

3

.

Câu 15: Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ

Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

 





  

2

1y f x m

có

3

điểm cực trị. Tổng các phần tử của

S

là

A.

2.

B.

4.

C.

8.

D.

10.

Câu 16: Cho hàm số

   

     

4 3 2

, 0f x ax bx cx dx e a

có đồ thị của đạo hàm

'( )f x

như hình vẽ.

Biết rằng

e n

. Số điểm cực trị của hàm số

 



  2y f f x x

bằng

A.

7

. B.

10

. C.

14

. D.

6

.

Câu 17: Cho hàm số

 

y f x

có bẳng biến thiên như sau

Số điểm cực đại của hàm số

 

 

 

 

2

2g x f x x

là

A.

3

. B.

4

. C.

2

. D.

1

.

Câu 18: Cho hàm số bậc bốn trùng phương

( )f x

có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số

   

 

4

1

( ) 1y f x

x

là

A.

6

. B.

7

. C.

5

. D.

4

.

Câu 19: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để đồ thị hàm số

     

  

2

h x f x f x m

có đúng

3

cực

trị.

A.



1

4

m

. B.

 1m

. C.

 1m

. D.



1

4

m

.

Câu 20: Cho hàm số bậc bốn

 

f x

có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số

 





 





 



 

4

3

2

1

x

g x

f x

là

A.

7

. B.

4

. C.

5

. D.

6

.

Câu 21: Cho hàm số







y f x

liên tục trên các khoảng







;2

và







2;

có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số









  

2 1 2

g x f x

là

A.

5

. B.

4

. C.

2

. D.

3

.

Câu 22: Cho hàm đa thức bậc bốn







y f x

, hàm số







'

y f x

có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực tiểu của hàm số









  

4 3

2 1

g x f x x là

A.

3

. B.

6

. C.

4

. D.

5

.

Câu 23: Cho hàm bậc ba







y f x

có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số

 

 

 

 

2

1

y xf x

là

A.

9

. B.

7

. C.

6

. D.

5

.

Câu 24: Cho bảng biến thiên của hàm số

(2 1)f x

như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số





 

2

4 3 4f x x

tương ứng là

A.

3

. B.

5

. C.

4

. D.

7

Câu 25: Cho bảng biến thiên của hàm số

 

3 2f x

như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số

 



2

2f x x

đồng

biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

2;0

. B.

 

1; 2

. C.

 

 2;

. D.

 

 ; 2

.

Câu 26: Cho hàm số

 

f x

liên tục và xác định trên



. Biết rằng hàm số

 

f x

có 2 điểm cực trị là

  ; 8x a x a

. Bên dưới cho bảng biến thiên của hàm số

 

 

2

2 3f x x

. Số điểm cực trị của

hàm số

 

 

3 2

3 1f x x

là

A.

3

. B.

4

. C.

8

. D.

6

Câu 27: Cho bảng biến thiên của hàm số

( )f x

như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số

  

 

2

4

( ) . ( )g x x f x

là:

A.

9

. B.

6

. C.

5

. D.

7

Câu 28: Cho bảng biến thiên của hàm số

 

f x

như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số

   

 

 

 

6

2

. 2g x x f x

là

∞

07

∞

+3

1

y

x

2

-1

A.

5

. B.

12

. C.

7

. D.

9

Câu 29: Cho đồ thị hàm đa thức

 

y f x

như hình vẽ. Hỏi hàm số

     

 . 2 1g x f x f x

có tất cả bao

nhiêu điểm cực trị?

A.

5

. B.

6

. C.

7

. D.

9

Câu 30: Cho bảng biến thiên của hàm đa thức

 

f x

như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số

     

 

  

 

2

3

2 1g x x f x

là:

A.

8

. B.

5

. C.

7

. D.

6

.

Câu 31: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



. Biết đồ thị hàm số

 

 

2

y f x x

như hình vẽ. Hỏi hàm

số

 

    

2 2

2y f x mx x m m

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị.

A.

7

. B.

3

. C.

5

. D.

9

Câu 32: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



. Biết đồ thị hàm số

 

f x

được cho như hình

vẽ. Gọi

S

là tập các giá trị nguyên của tham số

  

 

21;21m

để hàm số

 

    2021 2 1y f x m m

có đúng

5

điểm cực trị. Số phần tử của

S

là:

A.

5

. B.

2

. C.

1

. D.

3

.

Câu 33: Cho đồ thị hàm số

 

y f x

như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị thực của tham số

m

sao cho

hàm số

 

   

3 2

5 4y f x mx x m

có 6 điểm cực trị?

A. 1. B. 2. C. 4. D. 5.

Câu 34: Cho bảng biến thiên của hàm số

( )f x

như hình vẽ bên dưới. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số

m

để hàm số

    

 

3

( ) 3 ( )y f x m f x

có đúng

9

điểm cực trị?

A.

4.

B.

5.

C.

6.

D.

3.

Câu 35: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục xác định trên



, có đồ thị hàm số

 

y f x

như hình vẽ

bên dưới. gọi

S

là tập hợp chứa các giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

 

   

    

3 2

. 2 3 2021y f x m f x m f x

có đúng 4 điểm cực trị. Số phần tử của tập

S

là:

A. 11. B. 8. C. 10. D. 9.

Câu 36: Cho hàm số

( )f x

có đạo hàm liên tục và xác định trên R, đồ thị hàm số

 ( )y f x

như hình vẽ

dưới. gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số

  

 

20; 20m

để hàm số

   

    

2

( ) 2 2 ( ) 3 12y f x m f x m

có đúng 5 điểm cực trị. Số phần tử của tập S là:

A. 35 B. 32 C. 33 D. 34

Câu 37: Cho hàm số

( )f x

có đạo hàm liên tục và xác định trên R, đồ thị hàm số

 ( )y f x

như hình vẽ

dưới. gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số

  

 

20; 20m

để hàm số

 

 

2

( )y f x m

có

đúng 5 điểm cực trị. Số phần tử của tập S là:

A.

20

B.

22

C.

21

D.

19

Câu 38: Cho hàm số

 ( )y f x

có đạo hàm liên tục và xác định trên R và có bảng biến thiên của hàm số

như hình vẽ. Hàm số

      

   

3 2

( ) 6 ( ) 2021y f x f x

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A.

3

B.

5

C.

6

D.

7

Câu 39: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị

 



y f x

như hình vẽ dưới đây.

Biết rằng

     

   10 30 6 30 5 30f f f

. Hỏi hàm số

 

  3 9y f f x x

có tất cả bao nhiêu

điểm cực trị?

A.

7

. B.

3

. C.

5

. D.

9

Câu 40: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có bảng biến thiên như sau. Hỏi hàm số

 

  

3 2

3 1y f x x

có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

7

. B.

3

. C.

5

. D.

9

Câu 41: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị hàm số

 



y f x

như hình vẽ

dưới đây. Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

 

 



3

3 2

2

x x

f m

có đúng

9

điểm cực trị. Số phần tử của tập

S

là:

A.

8

. B.

6

. C.

4

. D.

10

Câu 42: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục và xác định trên toàn



. Biết rằng biểu thức đạo hàm

 

  



      

  

  

2 2

5 1 4 8

4 4

m m

f x x x x x

. Gọi

S

là tập hợp các giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

 

f x

có

5

điểm cực trị. Số phần tử của tập

S

là

A.

31

. B.

35

. C.

33

. D.

37

Câu 43: Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá tị

nguyên của tham số

m

để hàm số

     

   

3

3 11 2g x f x mf x m

có đúng

9

điểm cực trị?

A.

3

. B.

5

. C.

8

. D.

9

Câu 44: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Đặt

   







2

2018

x x

f x g t dt

. Số điểm cực trị

của hàm số

 

f x

tương ứng là:

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D.

5

Câu 45: Cho hàm số

 

  

3

3 1f x x x

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

  

 

60; 60m

để phương trình

 

 

2

2 1f x mx

có đúng

3

điểm cực trị?

A.

2

. B.

3

. C.

4

. D.

1

Câu 46: Cho hàm số

   

    

3 2

3 3 2 1f x x mx m x m

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số

  

 

2022; 2022m

để hàm số

 

f x

có đúng

5

điểm cực trị nằm về phía bên phải của trục

tung

Oy

?

A.

2019

. B.

2020

. C.

2021

. D.

2022

Câu 47: Cho hàm số

 

 3 2y f x

như hình vẽ. Biết rằng tất cả các giá trị thực của tham số

m

để hàm

số

 



2

2f x m x

có đúng

7

điểm cực trị là







;a b

. Giá trị của biểu thức

 

 

2 2

2P a b

là:

A.

5

. B.

10

. C.

15

. D.

20

Câu 48: Cho hàm số

 

y f x

như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số

m

để hàm

số

 

  

3 2

2f x mx x m

có đúng

6

điểm cực trị?

A.

3

. B.

1

. C.

4

. D.

2

Câu 49: Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Số giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

 

   

3 2

3 1y f x x m

có

10

điểm cực trị?

A.

2

. B.

3

. C.

0

. D.

1

Câu 50: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

     

 

  

2

2g x f f x f x m

có

51

điểm cực trị?

A.

2

. B.

3

. C.

0

. D.

1

Câu 51: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Số điểm cực trị của hàm số

 

 

 

 

3

2 2

1g x x f x

là

A.

5

. B.

7

. C.

9

. D. l

Câu 52: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên



và có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực đại của hàm số

 

    

2 2

8 7 3g x f x x x

là:

A.

6

. B.

7

. C.

8

. D.

9

Câu 1: Chọn B

Ta có:

 

2

1

' 2 2 . ' 2 1 1

1

x

g x x f x x x

x

 



      

 



 

 

2 2

2 1 1

1

1 2 . ' 2 1 1 1 . ' 2 1 1

1 1

x

x f x x x x f x x x

x x

   

 

            

   

 

   

Phương trình +

1 0 1

x x

   

Khi:

3

1

2

2. 1 1 0 1

1

2

x

x x

x







      









Khi:

 

2

2 2

1 1 1 0

2 1 1 1

' 2 1 1 0 2 1 1 0 1 1 0

2 1 1 1

1 1 1 0

x x

x x x

f x x x x x x x x

x x x

x x



    



     



               



    



    





Giải các phương trình trên ta được

1 0

1 1

1 5

1

2

x





 



 







 





1

2

0

3 5

2

1 5

2

x













 

























' 0

g x

 

có

7

lần đổi dấu . Vậy hàm số có

7

điểm cực trị.

Câu 2: Chọn C

Số cực trị của hàm số

     

3 2

3

2

g x f x f x m

  

bằng số cực trị của hàm số

     

3 2

3

2

h x f x f x m

  

cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số

     

3 2

3

2

h x f x f x m

  

và đường thẳng:

0

y



.

Xét hàm số:

     

3 2

3

2

h x f x f x m

  

.

Có:

































2

3 3 3 1

 

  

   

 

h x f x f x f x f x f x f x f x' . . .

Giải phương trình:

 

0

3

0 0

1

0

 

 













   







 





 





x

f x

x

h x f x

x

f x

x

'

,

.

Bảng biến thiên

Ta có

 

1

2

h m

 

. Nên để đồ thị hàm số





g x

có

9

điểm cực trị

1 1

0 0

2 2

m m m



      

. Đối chiếu điều kiện suy ra không có giá trị nào của

m

.

Câu 3: Chọn A

Hàm số

       

3 2

2 9 12 2021

y g x f x f x f x    

   

   

liên tục trên



.

Ta có





















2

6. . 18 . 12 '

y f x f x f x f x f x

  

  













2

6 3 2

f x f x f x



 

  

 

.

Giải phương trình đạo hàm:









   

' 0 1

0 1 2

2 3

f x

y f x

f x







  







.

Từ





1

, ta có

 

1

2

' 0

3

4

x

f x

x











 











.

Từ





2

, ta có

 





 

;1

2 nghiem

1

3;4

4;

x a

x kep

f x

x b

x c

  







 



 



  



.

Từ

 

3

, ta có

 

;1

1;2

2

3

;

x d a

x e

f x

x nghiem kep

x u c

 





 



 







  



.

Lập bảng xét dấu, ta có

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số

 

y g x

có

5

điểm cực đại.

Câu 4: Chọn B

Ta có:

     

2 1 1g x f x f x

 

  

     

 

1 1 1 0

1 1 0 1 0 1

1 0 1 1 1 2

1 0

0 2 1 . 1 0

1 1 1 2

1 0

1 1 0

1 0 1

1 1 2

x a a x a x

x b b x b x

x c c x c x

f x

g x f x f x

x d d x d x

f x

x x

 

      

 

 

        

 

       

 

  

 

 



       

     

 



 



 



 

   

 

 

  

 

  

 

 

1 1 0

1 0

0 1 1 1 2

x x

f x

x x

   

 



   

 

    

 

Vậy hàm số

 

y g x

có 4 điểm cực tiểu.

Câu 5: Chọn D

Ta có:

             

2

3 2 2 2 2

1 2 ' 1 ' 2x x f x xf x f x f x x x xf x f x x x f x

 

           

 

 

2

2 2

1 ' 1 '

1

d d

2

f x f x

x

x x x x C

x f x

x f x x f x

 

       



 

   

   

 

Do

 

1 1 3

1 0

1 1 2 2

f C C

f

       



Khi đó:

 

   

 

2

1 3 2 4

' 1

2 3

3

x x

f x x f x

x f x x

x



        

 



Suy ra:

     

2

3

2

0 3 2 0 1 2 0 1 2

3

f x x x x x x x x

x

                



Và

 

2

2 4 2 4 2

1

' 0 4 3 4 6 9 6 4 9 0

2

x

f x x x x x x x x x

x a





             



 



Khi đó:

     

1

2 1 2

2

' 4 ' 2 1 2 1 0 2 1 1 1

2 1 1 3

2 2

x

g x f x f x x x

x a a

x



 



  



        



  



 





Ta có:

 

f x

không xác định khi

 

3x g x   không xác định khi

3 1

2 1 3

2

x x

 

    

Mặt khác:

     

4 8

' 1 4. ' 3 . 3 4. . 0

3 3

g f f

 

      

 

 

và

 

3 1

2

lim

x

g x



 

 



 

 

 

,

 

3 1

2

lim

x

g x



 

 



 

 

 

,

   

3 1 3 1

2 2

lim , lim ,

x x

g x g x

 

   

  

 

   

   

   

   

lim , lim

x x

g x g x

 

   

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra

 

g x

có 3 điểm cực tiểu

Câu 6: Chọn C

Ta có:

   

 

2

2 3 . 3g x x f x x m

 

   

. Cho

 

2

2 3 0

1

0

3 0 2

x

g x

f x x m

 





 





  





.

Ta có:

 

3

1

2

 x

.

Và

 

2 2

3 0 3

2 3 2 2 3

3 , 2 3

x x m m x x

x x m a a m a x x

 

     

 

        

 

       

 

.

Với

2

3 2

x x m

  

thì





0

g x





có nghiệm kép.

Xét hàm số

2

3

y x x

 

ta có đồ thị

Do

2

a



, suy ra

9

4

m



phương trình





0





g x

có

5

nghiệm đơn phân biệt nên





g x

có 5

điểm cực trị khi và chỉ khi

9

4

m



Câu 7: Chọn D

Ta có:





2

2020 2021

y f x x m

  









2

2 2020 2020 2021

y x f x x m

 

    

 













2020

2 2 2

2 2020 2020 2021 12 2020 2021 2020 2021 2

x x x m x x m x x m

         

 

2

2 2020 0

1

2020 2021 12 0

2

0

3

2020 2021 0

4

2020 2021 2 0

x

x x m

y

x x m

 





   





 



  



    



Dễ thấy













2 , 3 , 4

không có nghiệm chung, và





2020

2

2020 2021 12 0,x x m x

     



nên

hàm số





2

2020 2021

y f x x m

  

có 3 điểm cực trị dương khi hai phương trình









3 , 4

có 2

nghiệm trái dấu khác 1010 .





3

có 2 nghiệm trái dấu khác 1010

2

2021 0

0

1010 2020.1010 2021 0

m





  



  







4

có 2 nghiệm trái dấu khác 1010

2

2021 2 0

2

2021

1010 2020.1010 2021 2 0

m

 



  



   



Vậy

0

m



thì hàm số có 3 cực trị dương.

Do





2020;2020

m   nên có 2019 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 8: Chọn C

Xét hàm số

      

2

2 2 1 3 log 2021g x f x x x     

Ta có

   

2 2 2 4g x f x x

 

   

. Cho

     

0 2 2g x f x x

 

     

.

Đặt

2t x 

ta được

 

f t t



 

.

 

1

 

1

là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị

 

y f t





và đường thẳng

d

:

y t 

Dựa vào đồ thị của

 

y f t





và đường thẳng

y t 

ta có

 

f t t



 

1 2 1

0 2 0

1 2 1

2 2 2

t x

    

 

 

  

 

 

 

  

 

  

 

3

2

1

0

x

 





 







 







.

Bảng biến thiên của hàm số

 

g x

Suy ra hàm số

      

2

2 2 1 3 log 2021g x f x x x     

có 2 điểm cực trị và

 

0g x 

có 1

nghiệm bội lẻ .

Vậy hàm số

      

2

2 2 1 3 log 2021y g x f x x x      

có 3 điểm cực trị.

Câu 9: Ta thấy hàm số

 

y f x



đạt cực trị tại các điểm

2x

 

và

1x



Ta có:

   

 

   

 

   

 

2 2

2

2 2

2

f x f x m f x f x m

y f f x f x m

f x f x m



   

 

  

 

   

 

   

 

   

       

 

2

2 2

2

0

2 1 2

2 2 2 1

2

f x f x f x f x m

f x f x m f x f x m

f x f x m



 



  

 

      

 

 

 







 

       

2 2

0 2; 1

1 , ,

0

2 0 2

2 1 2 1

f x x x

f x x a x b x c

y

f x f x m f x f x m



    



    





 



     



      



Xét hàm số













2

2 

g x f x f x

;













2 1

 

 

 

 

g x f x f x

 













 

   

2

1 2.1 1

0 2; 1

0 ; 2 4 2.4 8

1 , ,

1 ( 1) 2. 1 3

g a g b g c

f x x x

g x g

f x x a x b x c

g



     



    







     





    







    





Bảng biến thiên hàm số





g x

Số nghiệm bội lẻ của

' 0

y



phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số





g x

với 3 đường

thẳng

1 2 3

: 1, : , : 1

d y m d y m d y m

    

.

Yêu cầu bài toáng tương đương với 3 trường hợp sau.

Trường hợp 1:

1 2 3

, ,

d d d

đều cắt đồ thị hàm số





g x

tại 4 điểm phân biệt không trùng với các

điểm





2;1; ; ;

x a b c

 

.

3 2 8 1 6

3 8 3 8 5 6 5

3 2 8 5 10

m

m m

m m m m

m m



    

 

 

          

 

 

    

 



.

Trường hợp 2: 2 đường thẳng

1 2

,

d d

cắt đồ thị hàm số





g x

tại 6 điểm phân biệt và

3

d

không

cắt hoặc tiếp xúc đồ thị hàm số





g x

tại điểm có tung độ bằng

1



.

 

1 2 3 3 1

1 3 1 3 1 1 0 2

2 1 1

m

m m

m m m m

m m



      

 

 

             

 

 

   

 



.

Trường hợp 3: Hai đường thẳng

1

d

cắt đồ thị hàm số





g x

tại 2 điểm phân biệt và

2

d

cắt đồ

thị hàm số





g x

tại hai điểm phân biệt,

3

d

cắt





g x

tại 6 điểm phân biệt.

 

2 8 6

3 8 3 8 3

1 2 3 1 5

m m

m m m

m m

  

 

 

       

 

 

     

 

Từ













1 , 2 & 3



có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 10: Chọn D

Xét hàm số









3

6

h x f x x

 

có









2 3

' 3 ' 6

h x x f x

 

.

Ta có

 

3

2

' 0 ' *

h x f x

x



  

Ta dễ dàng thấy được

   

3 2

3

'' ( 1)( 2) ' 2

3 2

x x

f x a x x f x a x C

 

       

 

 

Từ bảng biến thiên:

   

13

' 2 3, ' 1

4

f f

   

ta tìm được

3 4

,

2 3

a C

   

, từ đó





' 0 2 0

f

 

Với

0

x



,





' 0

f x



nên kéo theo





3

' 0

f x



mà

2

0

x





nên phương trình





*

không có

nghiệm và





' 0

h x



.

Với

0

x



,





'

f x

là hàm sô nghịch biến, còn

2

x



là hàm số đồng biến nên phương trình





*

có

nhiều nhất 1 nghiệm. Ta có





' 0h

 

và





'h

  

nên phương trình





*

có nghiệm duy

nhất

0

x c

 

. Từ đó ta có bảng biến thiên của





h x

Do ta có





0 (0) 6.0 0

h f

  

nên





0

h c



Từ đó suy ra hàm số









g x h x



có 3 cực trị.

Câu 11: Chọn D

Xét hàm số









3 2

3 1

h x f x m x m

   

có









2 3 2

' 3 ' 6

h x x f x m

 

.

Nếu

0

m



thì









3

h x f x



nên

 





3 2

3 1

g x f x m x m

   

có 3 cực trị

Xét với

0

m



Ta có

 

2

3

2

' 0 ' *

m

h x f x

x



  

Ta dễ dàng thấy được

   

3 2

3

'' ( 1)( 2) ' 2

3 2

x x

f x a x x f x a x C

 

       

 

 

Từ bảng biến thiên:

   

7

' 2 1, ' 1

6

f f

   

ta tìm được

1

1,

3

a C

   

, từ đó

 

1

' 0 0

3

f

 

Với

0

x



,





' 0

f x



nên kéo theo





3

' 0

f x



mà

2

0

m

x





nên phương trình





*

không có

nghiệm và





' 0

h x



.

Với

0

x



,





'

f x

là hàm số nghịch biến, còn

2

m

x



là hàm số đồng biến nên phương trình





*

nhiều nhất 1 nghiệm. Ta có

 

2

3

2

0

2

lim '

x

m

f x

x



 

  

 

 

và

 

2

3

2

lim '

x

m

f x

x



 

  

 

 

nên

phương trình





*

có nghiệm duy nhất

0

x c

 

.

Từ đó ta có bảng biến thiên của

 

h x

Dựa vào bảng biến thiên và

 

0 (0) 1 1h f m m    

nên hàm số

   

g x h x

có nhiều nhất

3 cực trị nếu

 

0h c 

. Từ đó ta cần

 

0 0 1h m  

. Vậy

0m 

.

Câu 12: Chọn A

Từ đồ thị của

 

y f x





, suy ra bảng biến thiên của

 

y f x

như sau

Đặt

2

1u x x  

.

Ta có bảng ghép trục sau:

Vậy hàm số

 

2

1g x f x x  

có ba điểm cực đại.

Câu 13: Chọn A

Ta có:

 

     

2 3 5 3 2

8 3 3 3 3 12 48 48 36 48 .g x x f x x x x x x

 

        

   

 

3

2 3

2

3

3 3 1

24 1 3 3 ;

2

1 0 1.

0

3 3 1

3 3 1 .

2

x x

x f x x

x x

g x

x x

f x x

 

  



 

    

 

 



    





 

  





  





Từ đồ thị hàm số

 

y f x

, ta có:

Đặt

3

3 3t x x  

. Phương trình

 

1

trở thành:

 

1

2

5

t

f t t

t

 









  







.

Với

1t  

ta có:

3

3 3 1x x   

. Phương trình này có

1

nghiệm.

Với

1t 

ta có:

3

1

3 3 1

2

x

x x

x





   



 



, trong đó

1x 

là nghiệm kép.

Với

5t 

ta có:

3

2

3 3 5

1

x

x x

x





   



 



, trong đó

1x  

là nghiệm kép.

Như vậy

 

0g x





có

3

nghiệm đơn phân biệt và

2

nghiệm bội ba.

Câu 14: Chọn A

Ta có:

               

2

' 2 ' .h x f x g x h x f x g x f x g x



     

     

     

 

     

0 1

0

' 0 2

f x g x

h x

f x g x

 



 





 





Từ đồ thị ta thấy phương trình

 

1

có đúng

3

nghiệm phân biệt là

1x  

;

 

1 1

1;3x x x  

;

3x 

, và

   

f x g x

đổi dấu khi đi qua các nghiệm này. Do đó các nghiệm trên là nghiệm bội

lẻ của

 

1

. Mà

 

f x

và

 

g x

đều là đa thức bậc

4

nên bậc của phương trình

 

1

nhỏ hơn hoặc

bằng

4

. Từ đó suy ra phương trình

 

1

là phương trình bậc

3

.

Do phương trình

 

1

là phương trình bậc

3

có

3

nghiệm phân biệt nên phương trình

 

2

phải

có

2

nghiệm phân biệt không trùng các nghiệm của phương trình

 

1

.

Suy ra

 

0h x





có

5

nghiệm phân biệt và

 

h x



đổi dấu khi đi qua các nghiệm đấy, nên hàm

 

h x

có

5

điểm cực trị.

Câu 15: Chọn A

Xét hàm số

 

2

1y f x m  

có đạo hàm

   

 

2

2 1 1y x f x m

 

   

.

Cho

 

2 2

1 1

' 0 1 1 1 1

1 3 1 3

x x

y x m x m

x m x m

 

 

 

          

 

     

 

 

Để hàm số có

3

điểm cực trị thì





1 0 3 1 3 1;0;1;2

m m m m           

Vậy tổng các phần tử của

S

là

2

.

Câu 16: Chọn A

Ta có





























' 2 '. '' 2 '( ) 2 . '' 2

y f x x f f x x f x f f x x

      .





 

' 2 0

' 0

'' 2 0

f x

y

f f x x

 

 



 





.

Khi









' 2 0 ' 2

f x f x

   

có 3 nghiệm.

Khi

 





 

2 (1)

'' 2 0

2 (2)

f x x m

f f x x

f x x n

 

  



 





.

Xét phương trình













1 : 2 0

f x x m m

  

, đặt

















2 ' ' 2

g x f x x g x f x

    

.

Phương trình đạo hàm

   

1

2

' 0 ' 2 0

x x m

g x f x x

x x n

 





    



 



.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên



phương trình





1

có 2 nghiệm.

Xét phương trình













2 : 2

f x x n n e

  

, đặt

















2 ' ' 2

h x f x x h x f x

    

.

   

1

2

' 0 ' 2 0

x x m

h x f x x

x x n

 





    



 



.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên



phương trình có 2 nghiệm.

Vậy hàm số









2

y f f x x



 

có 7 điểm cực trị.

Câu 17: Chọn C

Ta có

 





 

2

2 2 2

2 2 2 4 1 2

g x f x x f x x x f x x



 

 

     

 

.

 

2

1 1 8

1

2 1

4

2 0

1

0 4 1 0

4

12 1

2 0

2

2 2

1

a

x a

x x a a

f x x

x

g x x

x x

f x x

x

x x

x



  

 





  





 



 





     



 



 









  





 



.

Vì

1a 

nên có thứ tự các nghiệm của

 

0g x





là:

1 2 3 4 5

1 1 8 1 1 1 1 8

1

4 4 2 4

a a

x x x x x

     

          

.

Vậy

 

0g x





có

5

nghiệm đơn như trên suy ra

 

g x



đổi dấu khi

x

chạy qua các nghiệm đơn.

Với

 

3 4

1 1

0 ; 0 ;

4 2

x x

 

  

 

 

. Xét

     

0 2. 0 0 0g f f

 

 

. Suy ra

 

0g x





trên khoảng

1 1

;

4 2

 



 

 

hay khoảng

 

3 4

;x x

. Ta có bảng xét dấu của

 

g x



như sau

Ta có hàm

 

f x

liên tục trên



nên hàm số

 

2

2g x f x x

 

 

 

cũng liên tục trên



.

Vậy hàm số

 

2

2g x f x x

 

 

 

có

2

điểm cực đại là

2

1x x   và

4

1

2

x x 

.

Câu 18: Chọn C

Giả sử

4 2

( ) .  f x ax bx c

Từ

'(0) 0

2

(0) 1

4

'( 1) 0

1

( 1) 0













 

  

 

 

 







 



f

a

f

b

f

c

f

. Suy ra

4 2

( ) 2 4 1.  f x x x

Khi đó

4

4 2 4 4 2 4

4

1

2 4 2 ( 2)

 

   

 

y x x x x

x

. Có

4 3 2 3 2

' 2 .4. .( 2) .(3 2)  y x x x

.

Và

' 0 y

0x

;

2 x

;

2

3

 x

. Do đó, hàm số

y

có

5

cực trị.

Câu 19: Chọn D

Xét

     

2

g x f x f x m  

       

' 2 ' ' 0g x f x f x f x   

 

' 0

1

2

f x









 





.

Ta có:





' 0

f x





có hai nghiệm là

0; 3

x x

 

và

 

1

2

f x

  

có một nghiệm là

0

x a

 

nên hàm số





x

g

có ba cực trị. Do đó để đồ thị hàm số













2

h x f x f x m

  

có đúng

3

cực trị thì phương trình









2

0

f x f x m

  

vô nghiệm

1

1 4 0

4

m m

      

.

Câu 20: Chọn C

Từ bảng biến thiên



phương trình





0

f x





có ba nghiệm là

1

x

 

;

0

x



;

1

x







f x





có dạng

















3

1 1

f x kx x x k x x



    

, với

k





và

0

k



 

4 2

x x

f x k C

 

   

 

 

,

C

là một hằng số

Mà đồ thị hàm số





f x

đi qua





1;3

và





0; 1



1

3

4

1

k C

kC



 

  



 



 





 



16

1

16

k

C

 















 

4 2

1

16 4 8 1

4 2 16

x x

f x x x

 

        

 

 

     

4 2

1 4 1 8 1 1

f x x x

       













4 3 2 2

1 4 4 6 4 1 8 2 1 1

f x x x x x x x

           





4 3 2

1 4 16 16 3

f x x x x

      





3 2

1 16 48 32

f x x x x



     

Ta có:

 

         

 

3 2

3 4

6

4 2 1 2 .3 1 . 1

1

x f x x f x f x

g x

f x



     

   

   





 

 

 

       

 

















 

3

3 4

4 4

2 4 1 3 2 1

4 2 1 3 2 1

1 1

x f x x f x

g x

f x f x



    

 



    

 



  

 

   

   

Do đó:





0

g x





     

2 0 2

4 1 3 2 1 0

x x

f x x f x

   









    



Phương trình:













4 1 3 2 1 0

f x x f x



    













4 3 2 3 2

4 4 16 16 3 3 2 16 48 32 0

x x x x x x x

          





4 3 2 4 3 2

16 64 64 12 3 16 16 64 64 0

x x x x x x x

          

4 3 2 4 3 2

16 64 64 12 48 48 192 192 0

x x x x x x x

         

4 3 2

32 16 256 192 12 0

x x x x

     

4 3 2

8 4 64 48 3 0

x x x x

     

Xét hàm số





4 3 2

8 4 64 48 3

h x x x x x

    

Ta có:





3 2

32 48 128 12 0

h x x x x



    

1

2

3

x x







 







với

1 2 3

1 0 1 2

x x x

      

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình

 

0h x 

có

4

nghiệm phân biệt

Mà

 

2 233h  

2x 

không là nghiệm của phương trình

 

0h x 

 Phương trình

 

0g x





có

5

nghiệm phân biệt

Vậy hàm số

 

4

3

2

1

x

g x

f x





 

 

có

5

điểm cực trị.

Câu 21: Chọn C

 

2 2 1

2 1 2 ' ' 2 1 2

2 1

x

g x f x g x f x

x



      



Ta có:

 

2 1 2 1

1

' 0 ' 2 1 2 0 2 1 2 2 1 2 4

2

2 1 2 4

x VN

g x f x x VN x

x



   



            



  





3

2 1 2

2

2 1 2

2 1 2 1

2

x







 



    



  





 





 

'g x

không xác định tại

1

2

x 

và

 

'g x

đổi dấu tại

1

2

x 

, nhưng tại

1

2

x 

thì

 

g x

không

xác định . Vậy hàm số có 2 điểm cực trị là

1 3

,

2 2

x x



 

.

Câu 22: Chọn C

Ta có:

 

4 3

2 1g x f x x  

 

   

3 4 2 2 4

' 4 . ' 6 2 . 2 . ' 3g x x f x x x x f x

 

    

 

Xét

 

2

4

0

' 0

3

' *

2

x

g x

f x

x







 









 

4

4 4 4 4

44

4

4 4 4

4

44

4

0

3

'

2

*

0 0

1

3

1

'

2

x f

x

x a

x

x c

f x

x f x a x c x d

x

x d

x x

x

x x b x e

f x

x b

x

x e



 



 





 





 







 









      

 



    



 

 











    





























Bảng biến thiên:

Vậy hàm số





g x

có 4 điểm cực tiểu.

Câu 23: Chọn B

Đặt:





3 2

f x ax bx cx d

   





2

3 2

f x ax bx c



   

.

Ta có: đồ thị giao với trục

Oy

tại điểm





0;1

1

d

 

.

Đồ thị hàm số





y f x



có hai điểm cực trị là









1;3 ; 1; 1

 

nên

3 2 0

1 1

1 3

a b c

  





  







    



    



0

1

3

b

a

c







 





 







3

3 1

f x x x

   

.

       

3

3 2 2

1 1 3 1 1 3 3 1 3 6

f x x x x x f x x x



             

.

Có

   

2

1g x xf x

  

 

 

















2 1 1 1

g x xf x f x xf x

 

    

 

 

.













3 2 3 2

2 3 3 4 9 3

g x x x x x x



     

.

Suy ra

 

3 2

0

2,532

0

1,347

0 3 3 0 0,879

2,076

4 9 3 0

0,694

0,52

x

g x x x x

x

x x

x





















       





  









 



.

Phương trình





g x



là phương trình bậc 7 và có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số





g x

có 7 điểm

cực trị.

Câu 24: Chọn A

Ta có

 

 

2

4 4 2 0;2

    x x x









2 2

2

4 3 4 3 4 3 4

4



 

      



x

y f x x y f x x

x x

 

2

2 0

0

4 3 4 0

 







 



  





x

y

f x x

 

2

5 3 4

4 3 4 2 1 0

2

 

 

 

    

 

 

x x

f x x f

Ta có

 

 

2

4 4 2 0;2

    x x x

nên

2

5 3 4 1 5

;

2 2 2

 

 

 

 

 

x x

2

5 3 4

2 1 0

2

 

 



 

 

 

x x

f

2

5 3 4 1

2 4

2 3

 

    

x x

.

Phương trình này có 2 nghiệm

Vậy



y

có 3 nghiệm, và qua mỗi nghiệm này thì



y

đổi dấu, do đó hàm số có 3 cực trị.

Câu 25: Chọn B

Trước hết ta khôi phục bảng biến thiên của hàm số





f x

từ bảng biến thiên của hàm













3 2

f v t f t

 

như sau:

Ta có thể vẽ lại bảng biến thiên của hàm số





f x

cho dễ nhìn như sau:

Xét hàm số









2 2

2 ; 2

f x x f u u x x

   

. Ta có bảng biến thiên ghép





; ;

x u f u

 

 

từ kỹ năng

ghép trục như sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên





1 6 ;1 2

 

,





1;1 2



,





1 6 ;

  

.

Mà

 





1;2 1;1 2

 

. Nên hàm số đồng biến trên





1;2

.

Câu 26: Chọn B

Chọn hàm số

3 2

1

( ) 4 12 4

3

f x x x x

    

liên tục và xác định trên



.

Khi đó

2

'( ) 0 8 12 0

f x x x

     

2

6 8

x a

  





  





hàm số

( )

f x

có 2 điểm cực trị là

; 8

x a x a

  

.

Ta có

       

3 2

2 2 2 2

1

2 3 2 3 4 2 3 12 2 3 4

3

f x x x x x x x x

            

 

2 2

2 3 0 2 2 2 3 0

f x x x f x x



 



        

 

 

2

1

2 2 0

2 3 2

2 3 0

2 3 6

x

x x

f x x

x x

 

  



    





  







  



0

1

3 5 2

x

x x

 



   



  



Bảng biến thiên của hàm số





2

2 3

f x x

 

thỏa đề bài.

Mặt khác:

     

3 2 2 3 2

3 1 0 3 6 3 1 0

f x x x x f x x



 



       

 

 

2

3 2

3 6 0

3 1 2

3 1 0

3 1 6

x x

f x x

x x



 



 



    





  





  



0

2

3,103

3,425

x

 





















(4 nghiệm đơn)

Vậy hàm số





3 2

3 1

f x x

 

có 4 điểm cực trị.

Câu 27: Chọn D

Ta có :

 

2

0

,( 2)

. ( ) 0

, 2 0

4

x

x a a

x f x

x b b

x







  



 



   







, trong đó

0

x



là nghiệm bội chẵn,

,

x a x b

 

là nghiệm

bội lẻ,

4

x



là nghiệm bội chẵn.

Suy ra





2

4

( ) . ( ) 0

g x x f x

 

có bốn nghiệm bội chẵn suy ra ĐTHS

( )

g x

tiếp xúc với trục

Ox

tại bốn điểm. Mặt khác hàm số

( )

g x

có đạo hàm trên



và

lim ( )

x

g x



 

nên ta có thể phác

họa đồ thị hàm số

( )

g x

như sau :

Vậy hàm số có 7 cực trị.

Câu 28: Chọn D

Ta có:

 

2

6

0

2 0

x

g x

f x









  



 

   





 



 

0 0

2 2 2 4

2 , 2;0 2 4; 2

2 , 0;2 2 2;0

2 2 2 0

x x

x a x a

x b b x b

x c c x c

x d x d

 

 

 

       

 

          

 

      

 

     

 

Suy ra đồ thị hàm số

 

y g x

cắt trục hoành tại

5

điểm phân biệt, và cả

5

nghiệm đều là

nghiệm kép.

Ta suy ra hình dáng đồ thị

 

y g x

như sau

Dựa vào đồ thị ta suy ra hàm số có 9 điểm cực trị.

Câu 29: Chọn A

Ta có:

     

 

3 3

1 1

0

3 3

0 . 2 1 0

2 1 3 2

2 1 0

2 1 1 0

2 1 3 1

x x

f x

x x

g x f x f x

x x

f x

x x

   

 

 

 

 

 

 

 

      



 

    

 



 



 

  

 

  

 

Suy ra đồ thị hàm số

 

y g x

cắt trục hoành tại

6

điểm, trong đó các nghiệm

 

3;3; 2;0 

là nghiệm đơn và

1x 

là nghiệm kép

Ta có hình dáng đồ thị

 

y g x

như sau

Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.

Câu 30: Chọn D

Nhận xét

 

   

0, 2

lim , lim

x x

g x x

g x g x

 



  



  





   





,

Cho

 

0g x



 

3

2

2 0

2

1 0

x

f x



 











 



 

 



 





 

2

1 2

1 2 1

1 1

1 2

x

x a a

x b b

x

x c c







   



     



 



  





 

2

1 1

1 1;2

1 3

x

x a

x b

x c







   



   



  



.

Do đó

 

0g x

có

4

nghiệm phân biệt trong đó có ba nghiệm bội chẵn và 1 nghiệm bội lẻ

Hay đồ thị

 

g x

có 3 điểm tiếp xúc với trục hoành và một điểm giao điểm với trục hoành mà

tại đó hàm số đổi dấu

Vậy hàm số

 

g x

có 6 cực trị.

Câu 31: Chọn C

Ta có





2

y f x m x m

   

Đặt









2

g x f x x

 

. Suy ra









2

g x f x x

 

. Suy ra









2

g x m f x m x m

    

Ta biết số điểm cực trị của hàm





g x

và





g x m

 là như nhau.

Hàm số





g x

có

2

điểm cực trị dương nên hàm





g x

có 5 điểm cực trị.

Suy ra hàm





g x m



có tất cả là 5 điểm cực trị.

Câu 32: Chọn B

Hàm số





2021 2 1

y f x m m

    

có cùng số điểm cực trị với hàm số





2 1

y f x m

   

.

Sơ đồ biến đổi đồ thị:

















( ) ( ) 2 1 2 1 2 1

f x f x f x m f x m f x m

             

Các điểm cực trị của hàm số





f x

là: (

1

x a

  

); (

2

1

x

 

);





3

x

 

;





4

3

x b

   

Suy ra các điểm cực trị của hàm số













2 1 2 1

f x m f x m

      

là





1

2 1

x a m

   

;













2 3 4

1 2 1 ; 3 2 1 ; 2 1

x m x m x b m

          

Để hàm số





2 1

y x m

   

có đúng

5

điểm cực trị thì hàm số





2 1

y f x m

   

có đúng 2

giá trị của m.

Câu 33: Chọn B

Ta có:

 

2

0

2

x

f x

x



 



 



















 

     

3 2 2 3 2

2

3 2

2

5 4 3 2 5 . 5 4 0

3 2 5 0

5 4 2

5 4 0

5 4 2

3 2 5 0 1

2 2 2 1 0 2

2 2 2 1 0 3

y f x mx x m y x mx f x mx x m

x mx

x mx x m

f x mx x m

x mx x m

x mx

x x m x m

 

           



  



  



      





   





   





  



 

      

 



 

     

 



Có

2

1

2

3

15 0

4 8 0

m

m m



   



    





    



Nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt, (2) luôn có 3 nghiệm phân biệt, (3) luôn có 3 nghiệm phân

biệt.

Để hàm số





3 2

5 4

y f x mx x m

    có 6 điểm cực trị thì (1) có 2 nghiệm trùng với các nghiệm

của (2) hoặc (3).

Trường hợp 1: Phương trình (1) nhận

2

x

 

là nghiệm

7

4

m

 

(thử lại thỏa mãn).

Trường hợp 2: Phương trình (1) nhận

2

x



là nghiệm

7

4

m



 

(thử lại thỏa mãn).

Vậy có 2 giá trị

7

4

m

 

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 34: Chọn A

Ta có:

3

( ) 3 ( ) 3

y f x m f x m m

        

   

 

2

3 ( ) 3 0

' 3 ( ) 3 . '( ) ' 0

'( ) 0

( ) 1(1)

( ) 1

( ) 1(2)

'( ) 0

'( ) 0(3)

f x m

y f x m f x y

f x

f x m

f x



    

 

         

 







  



   



 

   













Nhận xét: số điểm cực trị của hàm số

    

 

3

( ) 3 ( )

y f x m f x

là tổng số nghiệm bội lẻ của ba

phương trình (1);(2);(3).

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy để hàm số

3

( ) 3 ( )

y f x m f x

    

 

có 9 điểm cực trị thì phương trình (1) và (2) có 6 nghiệm

phân biệt bội lẻ.

Căn cứ vào bảng biến thiên, có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt.

1 2 1

1 3 2.

2 1 2 1 3

m Z

m m



   

       

 

      

 

Khi

1 2 1

m m

   

thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bội

chẵn nên

1

m



(thỏa mãn).

Trường hợp 2: Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.

2 1 2 3 1

3 1 2.

5 1 2 4

m Z

m m



       

          

 

        

 

Khi

1 2 1

m m

     

thì phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bội

chẵn nên

1

m

 

(thỏa mãn).

Vậy





2; 1;1;2

m   

.

Câu 35: Chọn D

Ta có:

           

   

 

   

2

3 2 . . 2 3 .

3 2 2 3

y f x f x m f x f x m f x

f x f x mf x m

 

   

   

 

 



   

 

 

Cho





 

   

2

0

3 2 2 3 0

f x

y

f x mf x m











 



   



Dựa vào đồ thị





0

f x



 

có 4 nghiệm đơn phân biệt.

Để hàm số có 4 cực trị

 





   

2

3 2 2 3 0

f x mf x m

    

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Đặt









2

3 2 2 3 0

t f x t mt m

     

Phương trình vô nghiệm:





2 2

0 3 2 3 0 6 9 0 3 3 2 3 3 2

m m m m m



                 

Vậy có 9 giá trị của tham số

m

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 36: Chọn C

Ta có









2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2

y f x f x m f x f x f x m

   

     

( ) 0 ( )

0

( ) 2

f x

y

f x m





 



 



 



Dựa vào đồ thị thì

( )



có 4 nghiệm

Do đó để hàm số có 5 điểm cực trị

2 3 5

2 6 4

m m

 

    

 

 

  

 

. Vậy có 33 giá trị

m

.

Câu 37: Chọn B

Ta có:





2 ( ) . ( )

y f x m f x

 

 

( )

( ) 2

0

( ) 0 4

7

f x m

f x m x

y

f x x

x



 



    





  





 











Hàm số có 5 điểm cực trị khi

2 2

2 5 5 2

m m

    



 

      

 

. Vậy có 22 giá trị

m

Câu 38: Chọn B

Ta có:

2

3 ( ). ( ) 12 ( ). ( )y f x f x f x f x

  

  

 

3 ( ). ( ) ( ) 4f x f x f x





 

2

2 0

0 3

( ) 0

3

0 ( ) 0

2

( ) 4

0

3

2

x a a

x b b

x c c

f x

x d d

y f x

x

f x

x



  



   



  



 



 

 

   



 



 













 





Bảng xét dấu.

Dựa vào bảng xét dấu

y



thì hàm số có 4 điểm cực tiểu

Câu 39: Chọn A

Xét hàm số

   

 

   

 

3 9 3 3 9y g x f f x x g x f x f f x x

  

        

.

Giải phương trình đạo hàm:

 

3 ( )

0

3 9 0

f x co mot nghiemboile

g x

f f x x









 





  





Để xét phương trình

 

3 9 0f f x x



  

thì ta cần khảo sát hàm số

   

3 9h x f x x  

.

Ta có:

     

3 0 3 ;h x f x f x x c x a

  

       

.

Bảng biến thiên:

Xét

 

   

     

   

3 9 5 2

3 9 0 3 9 0;5 2

3 9 5 2

h x f x x nghiemboi le

f f x x h x f x x b nghiemboi le

h x f x x nghiemboile

     





         



    



Như vậy phương trình đạo hàm

 

0g x





có

7

nghiệm bội lẻ ứng với

7

điểm cực trị.

Câu 40: Chọn A

Đặt

3 2 2

3 1 3 6u x x u x x



     

.

Sử dụng phương pháp ghép trục như sau:

Như vậy hàm số có tất cả

7

điểm cực trị.

Câu 41: Chọn B

Xét hàm số

 

3 3 3

3 2 2 3 2 3 2

2 3 1 .2 . 2 .ln 2

x x x x x x

g x f m g x x f m

     

 

     

.

Cho

 

3

2

3 2

1 0 1 2

0

2 0

x x

x x co nghiem boi le

g x

f m

 



     





 



 





.

Để thoả mãn yêu cầu bài toán thì phương trình

 

3

3 2

2 0

x x

f m

 



 

phải có

7

nghiệm bội lẻ.

Ta có:

 

3 3

3 3 3

3 3

3 2 3 2

3 2 3 2 3 2

3 2 3 2

2 2 2 2

2 0 2 1 2 1

2 4 2 4

x x x x

x x x x x x

x x x x

m m

f m m m

m m

   

     

   

 

     

 



 

        

 

   

 

 

Xét sự biến thiên của ba hàm số

3

3 2

2 2

x x 



,

3

3 2

2 1

x x 



,

3

3 2

2 4

x x 



trên cùng một hệ trục toạ

độ

Để phương trình

 

3

3 2

2 0

x x

f m

 



 

phải có

7

nghiệm bội lẻ thì

 

12 15 15 12

14; 13; 12; 3; 2; 1

0 3 3 0

m

m m

m

m m



      

 

        

 

     

 



.

Vậy có

6

giá trị nguyên của tham số

m

thoả mãn.

Câu 42: Chọn C

Hàm số liên tục và xác định trên toàn



và có đạo hàm không triệt tiêu trên một lân cận chứa

điểm

0x 

nên hàm số

 

f x

đạt cực trị tại điểm

0x 

.

Để hàm số

 

f x

có

5

điểm cực trị thì hàm số

 

f x

phải có hai điểm cực trị dương.

Ta có:

 

2 2

5 1 4 8 0

4 4

m m

f x x x x x

  



       

  

  

 

2

5 1 0

4 5 1

4

4 4 8

4 8 0

4

m

x x

x x m f x

m

x x m g x

x x



   



   



 



    



   







Vẽ hai đồ thị hàm số

   

,f x g x

trên cùng một hệ trục toạ độ như sau:

Để có đúng hai điểm cực trị dương thì

16 4 16 3

32 21 31 21

17 17

20 20

m

m m



     

 

 

       

 

 

 

   

 

   

 



có tất cả

33

giá trị nguyên của tham số

m

thoả mãn.

Câu 43: Chọn C

Có:

   

 

2

0 3 : 3; 0; 1

3 . 0

0

f x co nghiem don x x x

g x f x m f x

f x m



     

 

   



 





Để hàm số

 

g x

có đúng

9

điểm cực trị thì phương trình

 

2

0f x m 

phải có

6

nghiệm bội

lẻ.

Suy ra:

 

f x m







 



. Xét sự tương giao của hai hàm số

 

f x

và

 

f x

trên cùng một bảng

biến thiên như hình vẽ sau đây:

Suy ra 1 3 1 9m m      có

8

giá trị nguyên

m

thoả mãn.

Câu 44: Chọn C

Ta có:

     

 

2

2018

2

2 2018

2018

x x

f x g t dt G t G x x G



    



.

Đạo hàm

 

2 2

2 2 2 2 .2 1f x G x x x g x x x

 

     

.

Xét phương trình

 

2

2 2

2

1

2 3

2 .2 1 0

2 0 2 0

2 7 1 2 2

x nghiem boi le

x x vo nghiem

g x x x

g x x x x a co hai nghiem kep

x x x hai nghiem boi le

 







  



   



      



     





Suy ra phương trình đạo hàm có

3

nghiệm bội lẻ nên hàm số có

3

điểm cực trị.

Câu 45: Chọn A

Xét hàm số

 

   

 

2 2

2 1 2 2 1g x f x mx g x x m f x mx

 

       

.

Cho

 

2 2

2

1

0 2 1 1 2 0 2 *

2 1 0

2 1 1

2 2 0 3

x m

g x x mx x mx

f x mx

x mx















        





  







   

  



Bài toán yêu cầu phương trình

 

*

phải có đúng

3

nghiệm bội lẻ. Đã có một nghiệm bội lẻ ở

phương trình

 

1

, vậy nên trong hai phương trình bậc hai còn lại phải có một phương trình có

hai nghiệm phân biệt và phương trình còn lại không có nghiệm phân biệt.

Ta có:

2

4m 

và

 

2

3

2

3

0

4 0

4 8 1 .

2 2

4 8 0

m

m m

m







  

 

       

 

  

   







Vậy có hai giá trị nguyên của

m

thoả mãn.

Câu 46: Chọn C

Đặt

   

3 2

3 3 2 1g x x mx m x m    

.

Hình vẽ minh hoạ:

Đạo hàm

   

 

2 2

3 6 3 2 1 3 3 2 1 0 1; 2 1g x x mx m x mx m x x m



            

.

Yêu cầu bài toán tương đương với đồ thị hàm số

 

y g x

có hai điểm cực trị và hai điểm cực

trị này nằm phía bên phải

Oy

và nằm về hai phía của trục hoành, đồng thời

 

0 0g 

. Suy ra:

   

 

2

1

2 1 1

2

1

2 1 0

2 2

2

1 . 2 1 0

2

2 2 4 12 10 2 0

2 2

0 0

0

2

0

m

g g m

m m m m

g m

m













 





 







  



   



  



 

  



     

  





  





 















Kết hợp điều kiện

 

2022;2022

2 2022

m

 



  



. Vậy có tất cả

2021

giá trị thoả mãn.

Câu 47: Chọn B

Hàm số

 

3 2f x

đạt cực trị tại

3 3 2 9

1 3 2 5

4 3 2 5

x x

    





    



    



.

Vậy ta coi như hàm số

 

f x

sẽ đạt cực trị tại các điểm

5; 5; 9x x x   

.

Ta đặt

 

2 2

2 2g x f x mx g x f x m x    

.

Nhận thấy hàm số









2

g x f x mx

 

xác định tại điểm

0

x



và không phải là hằng số trong

một khoảng chứa điểm

0

x



, nên hàm số









2

g x f x m x

 

sẽ đặt cực trị tại

0

x



.

Để hàm số









2

g x f x m x

 

có

7

điểm cực trị thì hàm số









2

g x f x mx

 

có

3

điểm

cực trị dương.

Ta có:

   

 





 

2

1

2 9 0 2

2 9

2 2 2 0

2 5

2 5 0 3

2 5

2 5 0 4

x m

x mx

g x x m f x mx

x mx









  

 



 

    



 

  



   

  



Dễ thấy phương trình





2

và





3

mỗi phương trình cho ta một nghiệm đơn và dương. Phương

trình





4

nếu có nghiệm đơn và dương thì sẽ có hai nghiệm phân biệt. Vì vậy phương trình





4

không thể có hai nghiệm phân biệt dương, tức là phải có hai nghiệm phân biệt âm hoặc không

có hai nghiệm phân biệt và phương trình





1

có nghiệm dương.

Suy ra:

 



   

2

4

2 2 2

2

4

0

' 5 0

0

0 5 0; 5 2 2 0 5 10

5

' 5 0

2 0

m

a

m m P a b

b

m









   













          

 









   

























Câu 48: Chọn D

Xét hàm số





















3 2 2 3 2

2 3 2 2 2

g x f x mx x m g x x mx f x mx x m

 

          

.

Yêu cầu bài toán xảy ra khi phương trình đạo hàm phải có

6

nghiệm bội lẻ:

Ta có:

 

2

3 2

2 2 0

3 2 2 0

0

2 1

2 0

2 1

x mx

g x

x mx x m

f x mx x m

x mx x m



  



  





  





    





   





   



.

Phương trình

2

3 2 2 0

x mx

  

luôn cho hai nghiệm phân biệt. Suy ra hai phương trình còn lại

phải cho đúng

4

nghiệm bội lẻ:

   





 

   

 

2

3 2

2

1 1 1 0 1

2 1

1 1 1 0 2

x x m x m

x mx x m

x x m x m



     



    







   

     



Nhận thấy hai phương trình









1 , 2

luôn cho hai nghiệm phân biệt, và các nghiệm của hai

phương trình này là không trùng nhau.

Để hai phương trình có đúng

4

nghiệm bội lẻ thì:

Trường hợp 1:

1

x



là nghiệm của













2

1 1 1 0

x x m x m

     

và

1

x

 

không phải là

nghiệm của













2

1 1 1 0

x x m x m

     

.

Trường hợp 2:

1

x

 

là nghiệm của













2

1 1 1 0

x x m x m

     

và

1

x



không phải là

nghiệm của













2

1 1 1 0

x x m x m

     

.

Suy ra:

 

1

2

1 1 1 0

1

1 1 1 0

1

2

1

1 1 1 0

2

1 1 1 0

1

2

m

m m

m

m m

m

m m

m

m m

m















    











 

    



 

 

   



     















    













 









.

Vậy có hai giá trị thực của

m

thoả mãn.

Câu 49: Chọn C

Ta có:

      

3 2

2 1 2

3 2

x x

f x a x x f x a x b

 



       

 

 

.

Đồ thị hàm số đi qua









2;4 , 1; 1

A B

 

nên ta có:

10 10

4

3 9

7 8

1

6 27

a b a

a b b

 

  

 



 

 

    

 

 

.

Hàm số ban đầu là

 

3 2

10 8

2

9 3 2 27

x x

f x x

 

   

 

 

.

Đặt

   

3 2

3 1

2

0

1

u x x m

x

f x f x

x



   





 





  











.

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi:

 

2 3 1

1 1 2

3 2 1 1 1

1 1 1 0 2

2 1 1

1 1 0

m m

loai

m m

m m m

m m

loai

m m

      

 

 

 

   

 

 

         

 

 



 

      

 

 

 

     

 

 

 

 

  

 

 

.

Vậy





0;1m

 

không có giá trị nào của

m

thoả mãn.

Câu 50: Chọn D

Đặt

   

 

       

2

2 . 2

u f x f x m

u x f x f x f x

h x f x



  



  

  









.

Giải phương trình đạo hàm:

 

   

0 1;5;9

0

1 ; ; ;

f x x

u x

f x x a b c d



  



 



  





.

Lại có:

   

0 9; 5; 1;0h x x



     

.

Bảng biến thiên:

Để hàm số

 

g x

có

51

điểm cực trị thì

9 1 8

5 1 4

1 8 7 4 6

5 8 3

9 15 6

m m

m m m

m m

    

 

 

    

 

      

 

 

  

 

  

 

 

.

Vậy có một giá trị

5m 

thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 51: Chọn B

Ta có:

 

2

3

2 2 2

2

0

1 1

0

1 0 1 0,5

1 0

1 0,5

1 1

x

g x x f x x

f x

x







  









 

       



 



 







 



 





.

 

0; 0,5; 1,5; 2x     .

Phác họa nhanh đồ thị:

Câu 52: Chọn B

Xét hàm số

2 2

8 7 3y x x x    

, tập xác định trên



.

Ta có:

2

4 8 1 7

2 8 4 1 7

8 1 7

8 10 1 7

x neu x hoac x

x x neu x hoac x

y y

neu x

x neu x

  



   





  

 

 

  



.

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số có một điểm cực trị

1

x



.

Đặt

2 2

8 7 3

u x x x

    

. Sử dụng phương pháp ghép trục:

Suy ra hàm số





y f u



có

7

điểm cực đại.

Câu 1: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị hàm số

 

3y f x



 

như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số

 

2

2 3y f x x  

là

A.

3

. B.

7

. C.

6

. D.

5

.

Câu 2: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị hàm số

 

1 2y f x



 

như hình

vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của

 

2021;2021m  

để hàm số

 

2

2 2020y f x x m    

có

7 điểm cực trị

A. Không có giá trị nào. B.

5

giá trị. C.

6

giá trị. D.

7

giá trị.

Câu 3: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục trên



. Biết hàm số

   

3g x f x 

có bảng biến thiên

như bên dưới

Hàm số

 

2

1h x f x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1. B.

2

. C. 3. D.

4

.

Câu 4: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục trên



. Biết hàm số

 

3

g x f x x  

có bảng biến thiên như bên dưới

Hàm số









2

h x f x x

 

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1. B.

2

. C. 3. D.

4

.

Câu 5: Cho hàm đa thức bậc ba





3

6

y f x



 

có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Hỏi hàm số





2

( ) 4

g x f x x

 

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 7.

Câu 6: Cho hàm số





2

2 4 3

y f x x

  

có đạo hàm và liên tục trên



(bảng biến như hình sau)

Hỏi hàm số





3 2

( ) 3

g x f x x

 

có ít nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.

Câu 7: Cho hàm đa thức





y f x



liên tục trên



, có bảng xét dấu của như sau:

Số điểm cực đại của hàm số





2

1

y f x x

  

là

A.

3

. B.

2

. C.

4

. D.

1

.

Câu 8: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



và hàm số





3 4

y f x

 

có bảng biến thiên

như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số

 

2

2 10y f x x  

là

A.

6

. B.

5

. C.

4

. D.

3

.

Câu 9: Đồ thị của hàm

 

1 4y f x



 

như hình vẽ đưới đây. Số các giá trị nguyên của

 

2021;2021m  

để số điểm cực trị của hàm số

 

2

4 3 2g x f x x m   

nhiều nhất là

A.

4040

. B.

2024

. C.

4002

. D.

2020

.

Câu 10: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị hàm số

 

' 3 2y f x 

như hình vẽ. Hàm số

 

2

3g x f x 

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A.

4

. B.

1

. C.

3

. D.

5

.

Câu 11: Cho hàm số

 

y f x

liên tục và có đạo hàm trên

R

. Hàm số

 

2

' 1g x f x 

là hàm số bậc

bốn có đồ thị như hình vẽ như dưới

x

y

-1

3

O

1

Hàm số

 

2

2y f x x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

3.

B.

5.

C.

7.

D.

9.

Câu 12: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục trên



. Đồ thị của hàm số

 

5 2y f x 

như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

m

thuộc khoảng

 

9;9

thoả mãn

2m



và hàm số

 

3

1

2 4 1

2

y f x m   

có 5 điểm cực trị?

A.

2 6

. B.

2 5

. C.

2 4

. D.

2 7

.

Câu 13: Giả sử

 

f x

là một đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số

 

1y f x 

được cho như hình bên.

Hỏi hàm số

 

2

2g x f x 

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A.

3

. B.

0

. C.

1

. D.

2

.

Câu 14: Cho hàm số

 

2

2y f x x 

có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Biết hàm số

 

f x

có đúng hai điểm cực trị là

2x  

và

x a

. Hàm số

 

2

4 4f x x 

có bao

nhiêu điểm cực trị?

A.

5

. B.

3

. C.

1

. D.

4

.

Câu 15: Cho hàm đa thức





2

2y f x x



 

 

 

 

có đồ thị như hình vẽ

Tổng giá trị nguyên của

 

 

 

10;10m

để hàm số

 

  

2g x f x m

có 5 cực trị

A.



52

. B.

55

. C.



55

. D.

56

.

Câu 16: Cho hàm số

 

3 2

' 2 3y f x x x   

là hàm số bậc 3 có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Biết

(0) 0, ( 1) 0f f  

. Hàm số

 

4 2

2g x f x x 

có mấy điểm cực tiểu?

A.

3

. B.

2

. C.

5

. D.

6

.

Câu 17: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên



và

 

'

f x

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số

 

2

2 2

x

g x f e x  

có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

9.

B.

11.

C.

5.

D.

7.

x

y



3



1

O

1



2

Câu 18: Cho hàm số

 

f x

thỏa mãn

 

0 0f 

. Đồ thị hàm số

 

'y f x

cho bởi hình vẽ dưới đây.

Hàm số

 

3g x f x x 

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A.

2

. B.

3

. C.

4

. D.

5

.

Câu 19: Cho hàm số

 

y f x

, hàm số

 

y f x





có đồ thị như hình bên. Hàm số

 

2

5sin 1

2 3

2 4

x

g x f



 

  

 

 

có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng

 

0;2



?

A. 9. B. 7. C. 6. D. 8.

Câu 20: Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ sau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số

m

thuộc đoạn

 

20;20

để hàm số

 

1g x f x m  

có 5 điểm cực trị?

A. 14. B. 15. C. 16. D. 17.

Câu 1: Xét hàm số





2

2 3

y f x x

  

ta có

 

2

1

2 2 2 3 0

2 3 0

x

y x f x x

f x x





 

     





  





.

Giải





2

2 3 0

f x x



  

, đặt

2

2 3 3

x x t

   

từ đồ thị hàm số





3

y f t



 

ta có

 

2

2 2

2

2 3 9

2 3 6

2 3 0 2 3 4

2 3 1

2 3 3

x x

f x x x x

x x



  



  





      



   



   





2

2 6 0

1

2 3 0

3

2 1 0

1 2

2 4 0

1 7

2 6 0

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x



  

 





  







    



 



  



 



  





.

Phương trình





2

2 3 0

f x x



  

có

7

nghiệm bội đơn phân biệt suy ra hàm số hàm số





2

2 3

y f x x

  

có đúng

7

điểm cực trị.

Câu 2: Xét hàm số





2

2 2020

y f x x m

    

ta có













2

2 2 . 2 2020

h x x f x x m

 

      

.

 

2

1

0

2 2020 0, *

x

h x

f x x m







 





    





.

Giải





*

, đặt

2

2 2020 1 2

x x m x

     

, ta có

 

2

2 2

2

2 2020 7

2 2020 0 2 2020 3

2 2020 11

x x m

f x x m x x m

x x m



     





          



    



2

2 2013

2 2023

2 2031

m x x



  



   



  



.

hàm số





2

2 2020

y f x x m

    

có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số





2

2 2020

y f x x m

    

có 3 điểm cực trị dương, từ đồ thị hàm số ta suy ra

2012 2013

m

 

, do





2021;2021

m 

suy ra m



.

Câu 3: Ta có

   

3g x f x

 

  

;

 

1

0

3

x

g x

x







 







.

Suy ra

1; 3x x 

là các nghiệm của phương trình

 

3 0f x



 

.

Do đó

   

0 0; 2 0f f

 

 

.

Ta có

 

2

2 1h x xf x

 

 

;

 

2

0

0 1 0 1

1 0

1

1 2

x

h x x x

f x

x

















       





 









 



.

Bảng xét dấu

Vậy hàm số

 

h x

có 3 điểm cực trị.

Câu 4: Ta có

 

   

2 3

3 1g x x f x x

 

    

;

 

0

1

x

g x

x







 







.

Suy ra

0; 1x x 

là các nghiệm của phương trình

 

3

0f x x



  

.

Do đó

   

0 0; 2 0f f

 

  

.

Ta có

   

 

2

4 1 2h x x f x x

 

  

;

 

2

1

4

0 2 0 0

2 0

1

2 2

2

x

h x x x x

f x x

x x

x















      





 



  











.

Bảng xét dấu

Vậy hàm số

 

h x

có 3 điểm cực trị.

Câu 5: Ta có:

 

   

3

6 1 1 3f x a x x x



    

(với

0a 

).

Với

1x  

thì

 

5 0.f





Với

1x 

thì

 

7 0.f





Với

3x 

thì

 

33 0.f





Suy ra

5

( ) 0 7 .

33

x

f x x

x









  







Ta có:

 

2

( ) 2 4 4 .g x x f x x

 

  

 

2

2 4 0 1

4 5

( ) 0 .

4 0

3

4 7

4 33

29

x

x x

x

g x

f x x

x

 





   



 





    





 

 

 







  

 



Vậy hàm số

( )

g x

có 7 điểm cực trị.

Câu 6: Ta có









2

4 4 2 4 3 0.

y x f x x

 

    

   

 

2 2

4 4 0 1

.

2 4 3 0 2 4 3 0 1

x x

f x x f x x

  

 

 

 

 

     

 

 

Từ bảng biến thiên ta thấy

0

y





có 3 nghiệm bội lẻ

5, 1, 6

x x x

   

.

Như vậy phương trình





1

có nghiệm bội lẻ

5

x

 

hoặc

6

x



.

Thay

5

x

 

vào





1

ta được:





73 0.

f





Thay

6

x



vào





1

ta được:





51 0.

f





73

( ) 0 .

51

x

f x

x







  







Ta có:









2 3 2

( ) 3 6 3 0.

g x x x f x x

 

   

 

2

3 2

0

3 6 0

2

3 73 .

3,382....

3 0

3 51

5,022...

x

x x

x

x x

x

f x x

x x

x





 





 

 



    







 





 





 



Vậy hàm số

( )

g x

có ít nhất 4 điểm cực trị.

Câu 7: Từ bảng xét dấu của





1

f x





ta có:

















1 1 1

f x x x x h x



   

với





0 ,h x x

  























1 1 2 1 1 1

f x x x x h x



       

.

Đặt

1

t x

 

khi đó

















1 2 .

f t t t t U t



  

với









1 0

t x h x U t

    

với mọi

t

thỏa

mãn điều kiện.

Vậy

 

0

0 1

2

t

f t t

t









  







.

Mặt khác ta có:





















2 2

1 2 1 1 0

g x f x x g x x f x x

 

        

2

0

1

2x 1 0

1 5

1 0

2

1 1

1 5

2

1 2

1

2

x

x x

x

x x

x

 





 





  



 







  



 



  

 









   















.

Ta có bảng biên thiên sau:

Vì









2

1

y g x f x x

   

và









2

1

g x f x x

  

đối xưng nhau qua trục tung nên hàm số





2

1

y f x x

  

có một điểm cực đại.

Vậy hàm số

 

1

2

x

g x y f

x



 

 

 



 

có tối đa

6

điểm cực trị.

Câu 8:





2

2 10

y f x x  









2

2 2 2 10

y x f x x

 

    

.

 

2

1

0

2 10 0

x

y

f x x







 





  





Xét





2

2 10 0

f x x



  

.

Đặt

2

2 10 3 4

x x t

   

.

Ta có

 

3 3 4 9

3 4 0

2 3 4 5

t t

f t

t t

    





  



    



.

Nên

 

2

1 2

2 10 9 1 2

2 10 0

2 10 5

1 6

x

x x x

f x x

x x

x



 





     





    



   

 





 



.

Vậy hàm số





2

2 10

y f x x  

có

5

điểm cực trị.

Câu 9:

Từ giả thiết ta có

 

1 1 4 5

1 4 0 1 1 4 3

3 1 4 11

x x

f x x x

x x

   

 

 



       

 

   

 

Từ đó suy ra

 

5

' 0 3

11

t

f t t

t







   



 



.

Ta có





















2 2

4 3 2 ' 2 4 ' 4 3 2

g x f x x m g x x f x x m

         

 

   





2

2 2 4 2 4

2

4 3 2 5

4 3 7

' 0

4 3 2 3

4 3 1

4 3 2 11

4 3 9

x

x x m

g x

x x m



      

 





   



  



  



    

  



     



  



Lập bảng biến thiên của hàm số

2

4

y x x

 

ta được









2

4 2 4

Min x x y

    



.

Vậy hàm số









2

4 3 2

g x f x x m

   

có nhiều điểm cực trị nhất khi

5

3 9 4

3

m m

    

.

Vì giá trị nguyên của





2021;2021

m 

nên





2;3...;2021

m

. Vậy có

2020

số.

Câu 10: Ta có

     

2

' 3 2 2 1

y f x a x x

    

với

0

a



Với

2

 

x

ta có





' 7 0

f



Với

1

x



ta có





' 1 0

f



Suy ra

 

7

' 0

1

x

f x

x





 







trong đó

7

x



là nghiệm bội hai.

Ta có:

 





 

2

2 2 2

2

3

3 3 ' . ' 3

3

x x

g x f x f x g x f x

x



 

      

 



 

 

2

0

' 0 2

3 1

2

x

g x x

x









    



 







 



và

2

3 0 3

x x

    

thì





'

g x

không xác định

Xét

   

3.6

' 3 ' 6

6

g f



 

. Ta có

 

3

' 6 ' 3 2.

2

f f



 

 

 

 

Nên

 

2

3 3 3

' 6 ' 3 2. 2 1 0

2 2 2

f f a



     

       

     

     

vì

0

a



suy ra





' 3 0

g

 

Bảng xét dấu:

Hàm số có

4

điểm cực tiểu.

Câu 11:

Hàm số





g x

là hàm số bậc 4 nên có dạng

































2 2 2

2 1 1 2 , 0 ' 1 4 1

g x a x x x x a f x a x x

          

Đặt









2

1 ' 3

t x f t at t

    

      

2 2 2 2

2 2

2 1

2 2 2 2 1 2 2 3

x

y f x x y x f x x ax x x x x

x x

   

 

          

   

   

2

1

0

1

2

x

y

x

 





 







 













Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số

 

2

2y f x x 

có 5 điểm cực trị.

Câu 12:

Đặt

5 2t x 

. Khi

 

5 2y f x 

có 3 điểm cực trị

0, 2, 4x x x  

thì

 

y f t

có 3 điểm

cực trị

5, 1, 3t t t   

và

     

9

5 0, 1 , 3 4

4

f f f    

.

Bảng xét dấu

 

y f t

như sau:

Xét

 

2

3

3 2 3

3 3

3

0

4 1 5 1

1

2 4 1 24 4 1 0

2

4 1 1 0

1

4 1 3

x

x x

g x f x m g x x f x

x x

x











  



 

         



  



 



  



 

y g x 

có 3 điểm cực trị.

Xét phương trình

   

3 3

1 1

2 4 1 0 4 1

2 4 2

m

f x m f x       

.

Đặt

3

4 1 .u x u   



Số nghiệm

 

3

1

4 1

4 2

m

f x   

bằng số nghiệm phương trình

   

1

4 2

m

f u f t  

.

Để

 

3

1

2 4 1

2

y f x m   

có 5 điểm cực trị thì

 

1

4 2

m

f t  

có 2 nghiệm đơn phân biệt

Suy ra

1 9

4

4 2 4

1 17

1

4 0

2 2

4 2

m



 

 









 



   







. Vì

 

9;9m  

và

2m 



nên có 26 giá trị.

Câu 13: Đồ thị hàm số

 

1y f x 

tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ

2x  

và

1x 

.

Suy ra

     

2 2

1 2 . 1y f x a x x    

trong đó

0a 

.

     

2 2

1 3 1 . 1y f x a x x

   

      

   

.

Do đó,

         

2

3 . 2 . 3 . 3 2f x a x x f x ax x x



     

.

Ta có bảng xét dấu của

 

f x



:

 

2

0

2 0

2 . 2 0 1

3

2

1

2

2 3

x

g x x f x x

x











 



 

     



 



 





 



.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số

 

2

2g x f x 

có

2

điểm cực tiểu.

Câu 14: Đặt

2

2t x x 

.

Ta có một phần bảng biến thiên của hàm số

 

f t

như sau

Ta vẽ lại một phần bảng biến thiên của hàm số

 

f x

như sau

Suy ra hàm số

 

f x

có đúng hai điểm cực trị là

2x  

và

15x 

.

Xét hàm số

 

   

 

2 2 2

2

4 4 2 4 4 4 0 4 4 2

4 4 15

x

g x f x x g x x f x x x x

x x







 

             



  



.

Phương trình

2

4 4 2x x   

vô nghiệm.

Phương trình

2

4 4 15

x x

  

có hai nghiệm phân biệt khác

2

.

Vậy hàm số





2

4 4

f x x

 

có

3

điểm cực trị.

Câu 15: Ta có:





 





          

2 2

2 2 2 2 3 2 1 1 0

f x x x f x x a x x x x x a



 



         

 

 





     











         

2 2 2

2 3 2 1 2 3 2

2 2

a a

f x x x x x x x x x x

Đặt

   



    

2

2 3

2

a

t x x f t t t

.

Ta có

 







 



    



  







2

2 0

2

x

g f x m

f x m

x

Để hàm số





g x

có 5cực trị



  





  





2 0

2 3

x m

phải có 4 nghiệm phân biệt

 

  

 

   

 

  

 

 

0 0

0

3 0 3

m m

m

m m

.

Suy ra





   

10; 9;...; 1

m . Tổng giá trị

m

nguyên là



55

.

Vậy hàm số





f x

nghịch biến trên khoảng





5;9

.

Câu 16: Từ đồ thị ta thấy

 

3 2

1

' 2 3 0 0

2

x

f x x x x

x







     







do đó ta có





' 0 3

f x x

  

.

Xét









4 2

2

h x f x x

 

ta có













3 4 2

' 4 4 ' 2

h x x x f x x

  

,

 

   

 

3 4 2

4 2

0

' 0 4 4 ' 2 0 1

' 2 0

x

h x x x f x x x

f x x







      



 





4 2

0 0

1 1

2 3

3

x x

x



 



   



 





(Tất cả các nghiệm đều bội lẻ)

Ta có bảng biến thiên của hàm số









4 2

2

h x f x x

 

như sau:

Do hàm số





3 2

' 2 3

y f x x x

   

là hàm bậc 3 suy ra





'

y f x



là hàm bậc nhất có hệ số bậc

nhất âm và





' 3 0

f



do đó





3 (0)

f f



, theo giả thiết

(0) 0, ( 1) 0

f f

  

nên kết hợp với bảng

biến thiên của hàm số









4 2

2

h x f x x

 

ta suy ra hàm số

 





4 2

2

g x f x x

 

có 6 điểm cực tiểu.

Câu 17: Dựa vào bảng biến thiên của

 

'

f x

Ta thấy

 

'

; 1

1;0

0

0;1

1;

x a

x b

f x

x c

x d



   



  



 



 



  



Đặt

 

2

2 2

x

h x e x  

   

' 2 ' 2

2 2 0 1 0

x x

h x e h x e x       

 

2

0,92

0 2 2 0

0,57

x

h x e x

x







  



     



 





Nên ta có bảng biến thiên sau:

Sử dụng phương pháp ghép trục, ta có bảng biến thiên của hàm số

 

2

2 2

x

g x f e x f u   

như sau:

Vậy hàm số

 

2

2 2

x

g x f e x  

có 9 điểm cực trị.

Câu 18: Đặt:

         

3 ' ' 3h x f x x h x f x     

Từ đồ thị hàm

 

'y f x

ta có bảng biến thiên:

Số điểm cực trị dương của hàm

 

h x

là

2

.

Do đó số điểm cực tiểu của

 

g x

là:

2.2 1 5 

.

Câu 19: Đặt

5sin 1

2

x

t





Suy ra

   

2

2 3g t f t t  

Ta có

     

2 2 0g t f t t f t t

  

     

1

3

t

 





 



 



Bảng biến thiên:

Suy ra:

.

Câu 20:

 

f x

có hai cực trị là

     

3 2

0, 2 2 .

3

a

x x f x ax x f x x ax C



        













3 2

0 2, 1 4 3, 2 3 2

f f a c f x x x

           

.

 





 

3

1 , khi 0

3 4, khi 0

1 1

1 , khi 0

3 4, khi 0

f x x

x x x

f x f x

f x x

x x x

 



   

 

    

 

 

  





.

Ta có đồ thị của





1

f x



như sau:

Đặt









1 .

h x f x m

  

Ta có









g x h x



.





g x

có 5 cực trị



phương trình





0

h x



có 2 nghiệm đơn

4

m

 

.

Vậy có 17 giá trị

m

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 1: Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



có đồ thị đạo hàm

 

y f x





như hình vẽ. Gọi tập

S

là tập

chứa tất cả các giá trị nguyên

 

21;21m 

để hàm số

 

2

2 1f x mx  có đúng

7

điểm cực trị.

Số phần tử của

S

là:

A.

1

. B.

0

. C.

2

. D.

3

.

Câu 2: Cho hàm số

 

y f x

liên tục và xác định trên R và có đồ thị đạo hàm

   

' 1y f x x x  

. Số

điểm cực trị của hàm số

 

2 1 1y f x  

là:

A.

4

. B.

5

. C.

3

. D.

1

.

Câu 3: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục và xác định trên R và có biểu thức đạo hàm

   

' 2y f x x x  

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

 

2y f x m m  

có đúng ba điểm cực trị

A.

3

. B.

1

. C.

2

. D.

0

.

Câu 4: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục trên



và có biểu thức đạo hàm

    

' 6f x x x m x m   

, với

m

là tham số. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số

30;30m

 

 

 

 

để hàm số

 

3 2 1f x  

có đúng

5

điểm cực trị?

A.

1

. B.

3

. C.

4

. D.

2

Câu 5: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục trên



và có biểu thức đạo hàm

 

2

' 2 12f x x x mx m   

, với

m

là tham số. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số

30;30m

 

 

 

 

để hàm số

 

2

2f x m m 

có đúng

5

điểm cực trị?

A.

27

. B.

26

. C.

25

. D.

29

Câu 6: Cho đồ thị hàm số

 

'y f x

như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

30;30m

 

 

 

 

để hàm số

 

3 2

3f x m x

có đúng

11

điểm cực trị?

A.

29

. B.

23

. C.

21

. D.

22

Câu 7: Cho hàm số

 

y f x

như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để

hàm số

   

 

g x f f x m 

có đúng

11

điểm cực trị?

A.

3

. B.

4

. C.

1

. D.

0

.

Câu 8: Cho hàm số

 

2

1

2 4 1

3

4 2 1 3

x

x m x neu

x

y f x

x m a x b neu x

 



  







 







    



, với

a

và

b

là những số thực xác

định và hàm số liên tục trên toàn



. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để

hàm số có đúng

3

điểm cực trị?

A.

2

. B.

1

. C.

3

. D.

4

.

Câu 9: Cho hàm số

 

2

1

9 1

mx n neu x

f x

x nx m neu x

  







    



, với hai tham số thực

m

và

n

. Hỏi có tất cả

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

 

30;30m  

để hàm số

 

f x

có đúng 2 điểm cực trị?

A. 6. B. 36. C. 11. D. 5

Câu 10: Cho hàm số

 

f x

có biểu thức đạo hàm

 

2

2 3 1f x x x



  

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số

 

30;30m 

để hàm số

 

2

4 3f x x mx   có 9 điểm cực trị?

A. 3. B. 1. C. 2. D. 31

Câu 11: Cho hàm số

1 1 2 2 1y x x x x       

. Hàm số đạt cực tiểu tại

A.

2x 

B.

1x 

C.

1x  

D.

0x 

Câu 12: Cho hàm số

2

1 2 3 4 5 1

y x x x x x m x

           

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để hàm số có cực trị?

A. 4 B. 1 C. 3 D. 5

Câu 13: Cho hàm số





1 3 2 5 3

f x x x x mx

       ; với

m

là tham số. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá

trị nguyên của tham số

m

để hàm số có cực trị?

A.

17

. B.

15

. C.

16

. D. vô số.

Câu 14: Cho hàm số





1 2 3 ...

f x x x x x n

        

. với

n

là số nguyên dương không lớn hơn

2021. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số

n

để hàm số có cực trị?

A.

1010

. B.

1011

. C.

1009

. D.

2020

.

Câu 15: Số điểm cực trị của hàm số





2

4 3 1

f x x x x

    

là:

A.

0

. B.

3

. C.

2

. D.

1

.

Câu 16: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số

m

để hàm số





2

2 1 4

y f x x mx x

    

có điểm cực đại với giá trị cực đại tương ứng nằm trong khoảng





3; 4

và đồng thời thỏa mãn

10

m

là số nguyên. Số phần tử của tập

S

là

A.

5

. B.

4

. C.

2

. D.

3

.

Câu 17: Cho hàm số





y f x



có đồ thị đạo hàm





'

y f x



như hình vẽ. Hàm số





2

6

y f x x

 

có số

điểm cực trị là.

A.

9

. B.

7

. C.

13

. D.

11

Câu 18: Cho hàm số





y f x



liên tục trên



. Biết đồ thị hàm số





2

y f x x

 

như hình vẽ. Hỏi hàm

số





2 2

2

y f x mx x m m

     có tất cả bao nhiêu điểm cực trị.

A.

7

. B.

3

. C.

5

. D.

9

Câu 19: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



. Biết đồ thị hàm số

 

2

4y f x x 

được cho như hình vẽ.

Hỏi hàm số

 

2

8 12y f x x  

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A.

3

. B.

5

. C.

9

. D.

7

.

Câu 20: Cho hàm số

( )f x

liên tục và xác định trên



và có đồ thị đạo hàm

'( )y f x

như hình vẽ. Hỏi

hàm số

( 1)f x x 

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D.

4

.

Câu 1: Chọn A

Hàm số

 

f x

có ba điểm cực trị là:

0; 1; 1x a x x b    

Xét hàm số

 

2

2 1f x mx 

 

f u

. Ta có bảng biến thiên của

2

2 1u x mx  

như sau:

Do SĐCT

 

3u 

nên để hàm số

 

f u

có

7

điểm cực trị thì SNBL

4

1

u a

u b

u

  



 



 

 



 







 

2

1 1 m  

0m 

. Vậy có

1

giá trị của tham số

m

.

Câu 2: Chọn B

Hàm số

 

y f x

đạt cực trị tại 2 điểm

0; 1.x x 

Xét hàm số

 

2 1 1y f x f u   

. Bảng biến thiên của

2 1 1u x  

như sau:

Ta có SĐCT

 

f u 

SĐCT

 

u



SNBL

0

4 1 5

1

u

 





  

 







 

.

Câu 3: Chọn C

Hàm số

 

y f x

đạt cực trị tại 2 điểm

0; 2.x x 

Xét hàm số

 

2y f x m m f u   

. Bảng biến thiên của

2u x m m  

như sau:

Ta có SĐCT

 

f u 

SĐCT

 

u



SNBL

0

2

u

 





 







 

1 1

3 1 2

2 2

u u

SNBL SNBL

u u

   

 

 

    

   

 

 

 

   

Suy ra

0 2m  

hay

 

2 0 1;0m m     

.

Câu 4: Chọn D

Nhận xét: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



khi đó

 

y f ax b c  

luôn có cực trị tại

điểm

b

x

a

 

.

 

2

3 1

3

3 2 1

2

3 3

3

f x khi x

y f x

f x khi x





 



   





  





, tại

2

3

x 

là một điểm cực trị của hàm số.

 

   

2

3 ' 3 1

3

'

2

3 ' 3 3

3

2

3 3 1 3 1 3 7

3

'

2

3 3 3 3 3 3 3

3

f x khi x

y

f x khi x

x x m x m khi x

y

x x m x m khi x





 









   









     



 





         





Hàm số có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi

' 0y 

có 4 nghiệm phân biệt khác

2

3

Khi:

1

1 2

2

1 2

1 5

1 5 1 5

2

3 3

' 0

1 7

7 2 3

3

3 3

m

x

m m

x y

m m

m x x m

x









 



 

 



 

   





 



      

  



 

  

  





  

 

 











Khi

3

3 4

4

3 2

1 5 1 5

2

3 3

' 0

3 2 3

3

3 3

m

x

m m

x y

m x x m

x







 

 

 

   



 

     

 



 

  



 

 

 





Vậy

   

1;5 \ 3m 

và

m  

nên có 2 giá trị nguyên thỏa yêu cầu.

Câu 5: Xét hàm số

 

2

2f x m m f u  

Bảng biến thiên của hàm số

2

2u x m m  

như sau

Ta có số điểm cực trị của hàm số

u

là 1 điểm.

Nhận xét, nếu hàm số

 

f x

có đúng 1 điểm cực trị thì cùng lắm hàm số

 

f u

có 3 điểm cực trị.

Do đó, xét trường hợp

2

12 0 3 4m m m m       

thì hàm số

 

f x

có 3 điểm cực

trị là

2

0; 12x x m m m    

Áp dụng công thức:

Số điểm cực trị

 

f u 

số điểm cực trị

u

+ số nghiệm bội lẻ của phương trình

2

0

12

u

u m m m







   



   





suy ra

0

12

m













 





kết hợp với điều kiện

3 4m m   

suy ra

3

12

m





 













và

30;30m

m



 



 



 



 













suy ra có 26 giá trị nguyên.

Câu 6: Hàm số đạt cực trị tại

1; 1; 4x a x x     

Xét hàm số

 

3

3f x mx f u 

Bảng biến thiên của hàm số

3

3 0u x mx  

suy ra chỉ có phương trình

3

3 4u x mx  

cho ta nghiệm bội lẻ.

Nếu

0m 

suy ra số điểm cực trị

u

là 1, suy ra số nghiệm bội lẻ của phương trình

4u 

tối

đa 2 nghiệm bội lẻ. Không thỏa yêu cầu.

Khi

0m 

số điểm cực trị

u

là 5, ta có bảng biến thiên của hàm số

3

3u x mx 

Áp dụng công thức:

Số điểm cực trị của hàm số





f u

= Số nghiệm bội lẻ của phương trình

4

u



+ số điểm cực trị

của

u

.

Suy ra

3

0

4

2 4

m

m m









 











kết hợp

30;30

m











 



 

 



 







suy ra có 29 giá trị nguyên thỏa yêu

cầu.

Câu 7: Chọn C

Ta có

 

3

0

3

x

f x

x







 



 



.

Ta lại có:

   

 

   

 

( )

. .

f x m

g x f f x m f x f f x m

f x m



  

   



.

 





 

   

0

3

f x

f x m

g x

f x m

f x m ptvn









 





 



 



  





   

3

1

3 2

3 3

x

f x m

 













 



 



.

Để hàm số

   





g x f f x m

 

có đúng

11

điểm cực trị thì các phương trình













1 ; 2 ; 3

mỗi

phương trình phải có 3 nghiệm phân biệt

2 6 2 6

2 3 6 5 3 1 3

2 3 6 1 9

m m

m m m

m m

     

 

 

           

 

 

     

 

.

Vì

m

nguyên nên

2

m



.

Câu 8: Chọn D

Tập xác định của hàm số đã cho là

D





.

Khi đó:

+)

















1

3

lim 1 2 8; lim 3 6 32

x

f x f m f x f m







       

+)









1 3

lim 2 2 4; lim 6 6 36

x x

f x a b m f x a b m

 

 

       

Hàm số liên tục trên



thì hàm số phải liên tục tại

1; 3

x x

 













   

1 1

3 3

lim lim 1

2 2 4 2 8

6 6 36 6 32

lim lim 3

x x

f x f x f

a b m m

f x f x f

 

 

 

     





 

 

     

 







2 4 2

6 4 8

a b a

a b b

   

 

 

 

   

 

.

Từ đó

 

2

1

2 4 1

3

4 2 2 8 1 3

x

x m x neu

x

y f x

x m x neu x

 



  







 







    



.

Để hàm số có đúng

3

điểm cực trị thì hoành độ đỉnh của các parabol phải thỏa mãn điều kiện:

4 1

5

2 5

4 3

7

7 10

2

2 10

1 3

4

m

  



 







 



  





 



 





 





 

 







.

Vì

m

nguyên nên





3;4;8;9

m 

.

Câu 9: Đạo hàm:

 

1

2 1

m neu x

f x

x n neu x

 









  



.

Khi đó, ta có bảng biến thiên của





f x

như sau:

Hàm số





f x

phải liên tục và xác định tại

1

x

 

. Suy ra

 

0

1 8

1

2

m

f m n n m

n









       





  



.

0

4 0 6 1 5

2 1

2 2

m

n m m m

n m











        





     





.

Vậy có tất cả 5 giá trị tự nhiên

m

thỏa mãn bài toán.

Câu 10: Ta có:





 

1

5

4

1

4

2

SDCT u

u

SDCT u SNBL

u

SNBL

u



  





 



  

  

  









 

  







 



 



{Không thỏa mãn}

Như vậy, bắt buộc

u

phải có 3 điểm cực trị. Khi đó phải có:

2

2 4 4.3 2

m

    

(*)

Khi đó, ta có bảng biến thiên của

2

4 3

u x x

  

như sau:

Suy ra

 

1

3 6

1

2

u

SDCT u SNBL

u

  



 



  

 





 



 

Từ bảng biến thiên, suy ra:

2

1

2

1

3

4 14 0

2

1 8 4

4 14

2 4

8 4

1

4

m

m m

m

m m













   









 

  











 









(**)

Kết hợp (*) và (**), suy ra:









, 30;30

4 14 0 0

m m

  

     



.

Vậy có đúng 1 giá trị

m

nguyên thỏa mãn bài toán.

Câu 11: Chọn A

Với

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 5 3

x y x x x x x x x x x

                     

Tương tự, ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại

2

x



.

Câu 12: Chọn C

Với





2 2

1 1 2 3 4 5 1 5 16

x y x x x x x m x m x

                  

Tương tự, ta có bảng biến thiên:

Để hàm số có cực trị thì ít nhất phải có 1 đoạn





f x



phải đổi dấu từ âm sang dương:





2

5 5 5 0; 1; 2

m

m m m



        



Thử lại

1

m

 

thì





f x

là hàm hằng (Loại)

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn

Câu 13: Chọn B

Ta có bảng xét hàm và bảng biến thiên ghép làm một như sau:

Để hàm số có cực trị thì đạo hàm phải đổi dấu ít nhất một lần. Mà ta lại có :

9 7 1 9

m m m m

         

. Suy ra số nhỏ nhất phải âm và số lớn nhất phải dương, đồng

thời trên các khoảng





1; 2

,





2; 3

đạo hàm phải khác 0. Tức là :

9 0

9 9

9 0

7

7 0

1

1 0

m



  

  



 

 

   

 

  

 







  





vậy có tất cả 15 giá trị

m

nguyên thỏa mãn.

Câu 14: Chọn B

Dạng bài toán này chúng ta xét một số giá trị cụ thể của số nguyên dương

n

rồi rút ra quy luật

về những giá trị của tham số

n

để hàm số có cực trị như sau:

Trường hợp 1:

Xét

2

n



, ta có





1 2

y f x x x

    

Hàm số không có cực trị.

Trường hợp 2:

Xét

3

n



, ta có





1 2 3

y f x x x x

      

Hàm số có cực trị.

Nhận xét thấy khi

n

là số nguyên dương lẻ thì hàm số

1 2 3 ...

y x x x x n

        

có

điểm cực trị. Khi

n

là số nguyên dương chẵn thì không tồn tại điểm cực trị.

Suy ra

1 2021

n

 

và

n

lẻ nên có 1011 giá trị

n

nguyên dương thỏa mãn.

Câu 15: Chọn B

Những hàm trị tuyệt đối cụ thể luôn được tối ưu bằng bảng xét hàm như sau :

x



1



1

5 / 2

3



1

x



1

x

 

1

x



1

x



1

x



2

2 3

x x

 

2

4 3

x x

 

2

4 3

x x

 

2

4 3

x x

  

2

4 3

x x

 





f x

2

5 2

x x

 

2

3 4

x x

 

2

5 2

x x

  

2

3 4

x x

 





f x



2 5

x



2 3

x



2 5

x

 

2 3

x







f x







0





Suy ra hàm số có một điểm cực tiểu tại

1

x



;

3

x



và một điểm cực đại tại

5

2

x



.

Câu 16: Chọn C

Xét phương trình





2

2 1 0 *

x mx  

, có

2

1

m



  

.

Nếu

2

1 0

m



   

thì hàm số









2 2

2 1 4 2 2 1

y f x x mx x x m x

        

không có điểm

cực đại.

Nếu

2

1

1 0

1

m



 



    







thì phương trình





*

có hai nghiệm phân biệt là

2

1

x m m

  

và

2

1

x m m

  

.

Với

1

2

x x











thì









2 2

2 1 4 2 2 1

y f x x mx x x m x

        

không có điểm cực đại.

Với

1 2

x x x

 

thì





2 2

2 1 4 2 2 1

y x mx x x m x

         

.

Hàm số này đạt cực đại tại

2

x m

 

và giá trị cực đại là

2

4 3

CD

y m m

  

.

Vậy điều kiện để hàm số có cực đại là

2 2

1 2

2

1 2 1

3 4 3 4

0 4 1

x x m x

m m m m m

m m



    

      

 



 

   

   

 



2

5

1 2

4 1 0 2 5 2 5 2 5 4

4

4 0

0

m

m m m m

m

m m

m





 











 





 

                

 

 

  

 

 















.

Do

10

m

là số nguyên nên có hai giá trị thỏa mãn là

42

10

m   và

41

10

m

 

.

Câu 17: Chọn D

Từ đồ thị





'

f x

, ta suy ra hàm số





y f x

 có 4 điểm cực trị.

Đặt









2

6

g x f x x

  . Ta suy ra





y g x

 . Do đó số điểm cực trị của hàm

y

sẽ bằng số điểm

cực trị dương của hàm số





g x

cộng thêm 1.

Ta có













2

' 6 2 ' 6

g x x f x x

  

, cho

 

2

3

6 0

' 0 6 0

6 0 9

6 9

x

x x a

g x x x b

x x c c

x x d







  



    



   



  





Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy phương trình





' 0

g x



có tất cả là 5 nghiệm dương phân biệt.

Suy ra số điểm cực trị của





g x

là

5

. Do đó số điểm cực trị của





y g x

 là

11

.

Câu 18: Chọn C

Ta có





2

y f x m x m

   

Đặt









2

g x f x x

 

. Suy ra









2

g x f x x

 

. Suy ra









2

g x m f x m x m

    

Ta biết số điểm cực trị của hàm





g x

và





g x m

 là như nhau.

Hàm số





g x

có

2

điểm cực trị dương nên hàm





g x

có 5 điểm cực trị.

Suy ra hàm





g x m



có tất cả là 5 điểm cực trị.

Câu 19: Chọn D

Ta có

   





 

2

2 2

8 12 4 4 4 8 2 4 2 2

y f x x f x x x f x x g x

             

.

Ta thấy hàm số





y g x



có các điểm cực trị

1, 2, 2

x x x c

    

. Suy ra hàm số





2

y g x

 

có các điểm cực trị là

1, 4, 2

x x x c

   

(3 điểm cực trị dương).

Vậy hàm số









2

2 8 12

y g x f x x     có 7 điểm cực trị.

Lí giải:









2

4 2

y f x x g x

   

, với









2

4 8 12 2

x x x x

  

        

.

Câu 20: Chọn B

Hàm số

( )

f x

đạt cực trị tại 3 điểm là

0; (0;1); 1

x a x b x c

     

Xét hàm số

( ) ( 1)

f u f x x

  

với

1

u x x

  

Ta có bảng khảo sát hàm số

1

u x x

  

Ta có:

( ( ))' '. '( )

f u u f u



nên số điểm cực trị của hàm số

( )

f u

là: số điểm cực trị của

u

cộng

với số nghiệm bội lẻ của phương trình

'( ) 0

f u



hay

u a

u b

u c















Hàm

u

không có điểm cực trị

u a



vô nghiệm;

u b



vô nghiệm;

u c



có 2 nghiệm; Vậy:

( )

f u

có hai điểm cực trị.

Câu 1: Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



có đồ thị đạo hàm

 

y f x





như hình vẽ. Gọi tập

S

là tập

chứa tất cả các giá trị nguyên

 

21;21m 

để hàm số

 

2

2 1f x mx  có đúng

7

điểm cực trị.

Số phần tử của

S

là:

A.

1

. B.

0

. C.

2

. D.

3

.

Câu 2: Cho hàm số

 

y f x

liên tục và xác định trên R và có đồ thị đạo hàm

   

' 1y f x x x  

. Số

điểm cực trị của hàm số

 

2 1 1y f x  

là:

A.

4

. B.

5

. C.

3

. D.

1

.

Câu 3: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục và xác định trên R và có biểu thức đạo hàm

   

' 2y f x x x  

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

 

2y f x m m  

có đúng ba điểm cực trị

A.

3

. B.

1

. C.

2

. D.

0

.

Câu 4: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục trên



và có biểu thức đạo hàm

    

' 6f x x x m x m   

, với

m

là tham số. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số

30;30m

 

 

 

 

để hàm số

 

3 2 1f x  

có đúng

5

điểm cực trị?

A.

1

. B.

3

. C.

4

. D.

2

Câu 5: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục trên



và có biểu thức đạo hàm

 

2

' 2 12f x x x mx m   

, với

m

là tham số. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số

30;30m

 

 

 

 

để hàm số

 

2

2f x m m 

có đúng

5

điểm cực trị?

A.

27

. B.

26

. C.

25

. D.

29

Câu 6: Cho đồ thị hàm số

 

'y f x

như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

30;30m

 

 

 

 

để hàm số

 

3 2

3f x m x

có đúng

11

điểm cực trị?

A.

29

. B.

23

. C.

21

. D.

22

Câu 7: Cho hàm số

 

y f x

như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để

hàm số

   

 

g x f f x m 

có đúng

11

điểm cực trị?

A.

3

. B.

4

. C.

1

. D.

0

.

Câu 8: Cho hàm số

 

2

1

2 4 1

3

4 2 1 3

x

x m x neu

x

y f x

x m a x b neu x

 



  







 







    



, với

a

và

b

là những số thực xác

định và hàm số liên tục trên toàn



. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để

hàm số có đúng

3

điểm cực trị?

A.

2

. B.

1

. C.

3

. D.

4

.

Câu 9: Cho hàm số

 

2

1

9 1

mx n neu x

f x

x nx m neu x

  







    



, với hai tham số thực

m

và

n

. Hỏi có tất cả

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

 

30;30m  

để hàm số

 

f x

có đúng 2 điểm cực trị?

A. 6. B. 36. C. 11. D. 5

Câu 10: Cho hàm số

 

f x

có biểu thức đạo hàm

 

2

2 3 1f x x x



  

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số

 

30;30m 

để hàm số

 

2

4 3f x x mx   có 9 điểm cực trị?

A. 3. B. 1. C. 2. D. 31

Câu 11: Cho hàm số

1 1 2 2 1y x x x x       

. Hàm số đạt cực tiểu tại

A.

2x 

B.

1x 

C.

1x  

D.

0x 

Câu 12: Cho hàm số

2

1 2 3 4 5 1

y x x x x x m x

           

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để hàm số có cực trị?

A. 4 B. 1 C. 3 D. 5

Câu 13: Cho hàm số





1 3 2 5 3

f x x x x mx

       ; với

m

là tham số. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá

trị nguyên của tham số

m

để hàm số có cực trị?

A.

17

. B.

15

. C.

16

. D. vô số.

Câu 14: Cho hàm số





1 2 3 ...

f x x x x x n

        

. với

n

là số nguyên dương không lớn hơn

2021. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số

n

để hàm số có cực trị?

A.

1010

. B.

1011

. C.

1009

. D.

2020

.

Câu 15: Số điểm cực trị của hàm số





2

4 3 1

f x x x x

    

là:

A.

0

. B.

3

. C.

2

. D.

1

.

Câu 16: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số

m

để hàm số





2

2 1 4

y f x x mx x

    

có điểm cực đại với giá trị cực đại tương ứng nằm trong khoảng





3; 4

và đồng thời thỏa mãn

10

m

là số nguyên. Số phần tử của tập

S

là

A.

5

. B.

4

. C.

2

. D.

3

.

Câu 17: Cho hàm số





y f x



có đồ thị đạo hàm





'

y f x



như hình vẽ. Hàm số





2

6

y f x x

 

có số

điểm cực trị là.

A.

9

. B.

7

. C.

13

. D.

11

Câu 18: Cho hàm số





y f x



liên tục trên



. Biết đồ thị hàm số





2

y f x x

 

như hình vẽ. Hỏi hàm

số





2 2

2

y f x mx x m m

     có tất cả bao nhiêu điểm cực trị.

A.

7

. B.

3

. C.

5

. D.

9

Câu 19: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



. Biết đồ thị hàm số

 

2

4y f x x 

được cho như hình vẽ.

Hỏi hàm số

 

2

8 12y f x x  

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A.

3

. B.

5

. C.

9

. D.

7

.

Câu 20: Cho hàm số

( )f x

liên tục và xác định trên



và có đồ thị đạo hàm

'( )y f x

như hình vẽ. Hỏi

hàm số

( 1)f x x 

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D.

4

.

Câu 1: Chọn A

Hàm số

 

f x

có ba điểm cực trị là:

0; 1; 1x a x x b    

Xét hàm số

 

2

2 1f x mx 

 

f u

. Ta có bảng biến thiên của

2

2 1u x mx  

như sau:

Do SĐCT

 

3u 

nên để hàm số

 

f u

có

7

điểm cực trị thì SNBL

4

1

u a

u b

u

  



 



 

 



 







 

2

1 1 m  

0m 

. Vậy có

1

giá trị của tham số

m

.

Câu 2: Chọn B

Hàm số

 

y f x

đạt cực trị tại 2 điểm

0; 1.x x 

Xét hàm số

 

2 1 1y f x f u   

. Bảng biến thiên của

2 1 1u x  

như sau:

Ta có SĐCT

 

f u 

SĐCT

 

u



SNBL

0

4 1 5

1

u

 





  

 







 

.

Câu 3: Chọn C

Hàm số

 

y f x

đạt cực trị tại 2 điểm

0; 2.x x 

Xét hàm số

 

2y f x m m f u   

. Bảng biến thiên của

2u x m m  

như sau:

Ta có SĐCT

 

f u 

SĐCT

 

u



SNBL

0

2

u

 





 







 

1 1

3 1 2

2 2

u u

SNBL SNBL

u u

   

 

 

    

   

 

 

 

   

Suy ra

0 2m  

hay

 

2 0 1;0m m     

.

Câu 4: Chọn D

Nhận xét: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



khi đó

 

y f ax b c  

luôn có cực trị tại

điểm

b

x

a

 

.

 

2

3 1

3

3 2 1

2

3 3

3

f x khi x

y f x

f x khi x





 



   





  





, tại

2

3

x 

là một điểm cực trị của hàm số.

 

   

2

3 ' 3 1

3

'

2

3 ' 3 3

3

2

3 3 1 3 1 3 7

3

'

2

3 3 3 3 3 3 3

3

f x khi x

y

f x khi x

x x m x m khi x

y

x x m x m khi x





 









   









     



 





         





Hàm số có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi

' 0y 

có 4 nghiệm phân biệt khác

2

3

Khi:

1

1 2

2

1 2

1 5

1 5 1 5

2

3 3

' 0

1 7

7 2 3

3

3 3

m

x

m m

x y

m m

m x x m

x









 



 

 



 

   





 



      

  



 

  

  





  

 

 











Khi

3

3 4

4

3 2

1 5 1 5

2

3 3

' 0

3 2 3

3

3 3

m

x

m m

x y

m x x m

x







 

 

 

   



 

     

 



 

  



 

 

 





Vậy

   

1;5 \ 3m 

và

m  

nên có 2 giá trị nguyên thỏa yêu cầu.

Câu 5: Xét hàm số

 

2

2f x m m f u  

Bảng biến thiên của hàm số

2

2u x m m  

như sau

Ta có số điểm cực trị của hàm số

u

là 1 điểm.

Nhận xét, nếu hàm số

 

f x

có đúng 1 điểm cực trị thì cùng lắm hàm số

 

f u

có 3 điểm cực trị.

Do đó, xét trường hợp

2

12 0 3 4m m m m       

thì hàm số

 

f x

có 3 điểm cực

trị là

2

0; 12x x m m m    

Áp dụng công thức:

Số điểm cực trị

 

f u 

số điểm cực trị

u

+ số nghiệm bội lẻ của phương trình

2

0

12

u

u m m m







   



   





suy ra

0

12

m













 





kết hợp với điều kiện

3 4m m   

suy ra

3

12

m





 













và

30;30m

m



 



 



 



 













suy ra có 26 giá trị nguyên.

Câu 6: Hàm số đạt cực trị tại

1; 1; 4x a x x     

Xét hàm số

 

3

3f x mx f u 

Bảng biến thiên của hàm số

3

3 0u x mx  

suy ra chỉ có phương trình

3

3 4u x mx  

cho ta nghiệm bội lẻ.

Nếu

0m 

suy ra số điểm cực trị

u

là 1, suy ra số nghiệm bội lẻ của phương trình

4u 

tối

đa 2 nghiệm bội lẻ. Không thỏa yêu cầu.

Khi

0m 

số điểm cực trị

u

là 5, ta có bảng biến thiên của hàm số

3

3u x mx 

Áp dụng công thức:

Số điểm cực trị của hàm số





f u

= Số nghiệm bội lẻ của phương trình

4

u



+ số điểm cực trị

của

u

.

Suy ra

3

0

4

2 4

m

m m









 











kết hợp

30;30

m











 



 

 



 







suy ra có 29 giá trị nguyên thỏa yêu

cầu.

Câu 7: Chọn C

Ta có

 

3

0

3

x

f x

x







 



 



.

Ta lại có:

   

 

   

 

( )

. .

f x m

g x f f x m f x f f x m

f x m



  

   



.

 





 

   

0

3

f x

f x m

g x

f x m

f x m ptvn









 





 



 



  





   

3

1

3 2

3 3

x

f x m

 













 



 



.

Để hàm số

   





g x f f x m

 

có đúng

11

điểm cực trị thì các phương trình













1 ; 2 ; 3

mỗi

phương trình phải có 3 nghiệm phân biệt

2 6 2 6

2 3 6 5 3 1 3

2 3 6 1 9

m m

m m m

m m

     

 

 

           

 

 

     

 

.

Vì

m

nguyên nên

2

m



.

Câu 8: Chọn D

Tập xác định của hàm số đã cho là

D





.

Khi đó:

+)

















1

3

lim 1 2 8; lim 3 6 32

x

f x f m f x f m







       

+)









1 3

lim 2 2 4; lim 6 6 36

x x

f x a b m f x a b m

 

 

       

Hàm số liên tục trên



thì hàm số phải liên tục tại

1; 3

x x

 













   

1 1

3 3

lim lim 1

2 2 4 2 8

6 6 36 6 32

lim lim 3

x x

f x f x f

a b m m

f x f x f

 

 

 

     





 

 

     

 







2 4 2

6 4 8

a b a

a b b

   

 

 

 

   

 

.

Từ đó

 

2

1

2 4 1

3

4 2 2 8 1 3

x

x m x neu

x

y f x

x m x neu x

 



  







 







    



.

Để hàm số có đúng

3

điểm cực trị thì hoành độ đỉnh của các parabol phải thỏa mãn điều kiện:

4 1

5

2 5

4 3

7

7 10

2

2 10

1 3

4

m

  



 







 



  





 



 





 





 

 







.

Vì

m

nguyên nên





3;4;8;9

m 

.

Câu 9: Đạo hàm:

 

1

2 1

m neu x

f x

x n neu x

 









  



.

Khi đó, ta có bảng biến thiên của





f x

như sau:

Hàm số





f x

phải liên tục và xác định tại

1

x

 

. Suy ra

 

0

1 8

1

2

m

f m n n m

n









       





  



.

0

4 0 6 1 5

2 1

2 2

m

n m m m

n m











        





     





.

Vậy có tất cả 5 giá trị tự nhiên

m

thỏa mãn bài toán.

Câu 10: Ta có:





 

1

5

4

1

4

2

SDCT u

u

SDCT u SNBL

u

SNBL

u



  





 



  

  

  









 

  







 



 



{Không thỏa mãn}

Như vậy, bắt buộc

u

phải có 3 điểm cực trị. Khi đó phải có:

2

2 4 4.3 2

m

    

(*)

Khi đó, ta có bảng biến thiên của

2

4 3

u x x

  

như sau:

Suy ra

 

1

3 6

1

2

u

SDCT u SNBL

u

  



 



  

 





 



 

Từ bảng biến thiên, suy ra:

2

1

2

1

3

4 14 0

2

1 8 4

4 14

2 4

8 4

1

4

m

m m

m

m m













   









 

  











 









(**)

Kết hợp (*) và (**), suy ra:









, 30;30

4 14 0 0

m m

  

     



.

Vậy có đúng 1 giá trị

m

nguyên thỏa mãn bài toán.

Câu 11: Chọn A

Với

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 5 3

x y x x x x x x x x x

                     

Tương tự, ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại

2

x



.

Câu 12: Chọn C

Với





2 2

1 1 2 3 4 5 1 5 16

x y x x x x x m x m x

                  

Tương tự, ta có bảng biến thiên:

Để hàm số có cực trị thì ít nhất phải có 1 đoạn





f x



phải đổi dấu từ âm sang dương:





2

5 5 5 0; 1; 2

m

m m m



        



Thử lại

1

m

 

thì





f x

là hàm hằng (Loại)

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn

Câu 13: Chọn B

Ta có bảng xét hàm và bảng biến thiên ghép làm một như sau:

Để hàm số có cực trị thì đạo hàm phải đổi dấu ít nhất một lần. Mà ta lại có :

9 7 1 9

m m m m

         

. Suy ra số nhỏ nhất phải âm và số lớn nhất phải dương, đồng

thời trên các khoảng





1; 2

,





2; 3

đạo hàm phải khác 0. Tức là :

9 0

9 9

9 0

7

7 0

1

1 0

m



  

  



 

 

   

 

  

 







  





vậy có tất cả 15 giá trị

m

nguyên thỏa mãn.

Câu 14: Chọn B

Dạng bài toán này chúng ta xét một số giá trị cụ thể của số nguyên dương

n

rồi rút ra quy luật

về những giá trị của tham số

n

để hàm số có cực trị như sau:

Trường hợp 1:

Xét

2

n



, ta có





1 2

y f x x x

    

Hàm số không có cực trị.

Trường hợp 2:

Xét

3

n



, ta có





1 2 3

y f x x x x

      

Hàm số có cực trị.

Nhận xét thấy khi

n

là số nguyên dương lẻ thì hàm số

1 2 3 ...

y x x x x n

        

có

điểm cực trị. Khi

n

là số nguyên dương chẵn thì không tồn tại điểm cực trị.

Suy ra

1 2021

n

 

và

n

lẻ nên có 1011 giá trị

n

nguyên dương thỏa mãn.

Câu 15: Chọn B

Những hàm trị tuyệt đối cụ thể luôn được tối ưu bằng bảng xét hàm như sau :

x



1



1

5 / 2

3



1

x



1

x

 

1

x



1

x



1

x



2

2 3

x x

 

2

4 3

x x

 

2

4 3

x x

 

2

4 3

x x

  

2

4 3

x x

 





f x

2

5 2

x x

 

2

3 4

x x

 

2

5 2

x x

  

2

3 4

x x

 





f x



2 5

x



2 3

x



2 5

x

 

2 3

x







f x







0





Suy ra hàm số có một điểm cực tiểu tại

1

x



;

3

x



và một điểm cực đại tại

5

2

x



.

Câu 16: Chọn C

Xét phương trình





2

2 1 0 *

x mx  

, có

2

1

m



  

.

Nếu

2

1 0

m



   

thì hàm số









2 2

2 1 4 2 2 1

y f x x mx x x m x

        

không có điểm

cực đại.

Nếu

2

1

1 0

1

m



 



    







thì phương trình





*

có hai nghiệm phân biệt là

2

1

x m m

  

và

2

1

x m m

  

.

Với

1

2

x x











thì









2 2

2 1 4 2 2 1

y f x x mx x x m x

        

không có điểm cực đại.

Với

1 2

x x x

 

thì





2 2

2 1 4 2 2 1

y x mx x x m x

         

.

Hàm số này đạt cực đại tại

2

x m

 

và giá trị cực đại là

2

4 3

CD

y m m

  

.

Vậy điều kiện để hàm số có cực đại là

2 2

1 2

2

1 2 1

3 4 3 4

0 4 1

x x m x

m m m m m

m m



    

      

 



 

   

   

 



2

5

1 2

4 1 0 2 5 2 5 2 5 4

4

4 0

0

m

m m m m

m

m m

m





 











 





 

                

 

 

  

 

 















.

Do

10

m

là số nguyên nên có hai giá trị thỏa mãn là

42

10

m   và

41

10

m

 

.

Câu 17: Chọn D

Từ đồ thị





'

f x

, ta suy ra hàm số





y f x

 có 4 điểm cực trị.

Đặt









2

6

g x f x x

  . Ta suy ra





y g x

 . Do đó số điểm cực trị của hàm

y

sẽ bằng số điểm

cực trị dương của hàm số





g x

cộng thêm 1.

Ta có













2

' 6 2 ' 6

g x x f x x

  

, cho

 

2

3

6 0

' 0 6 0

6 0 9

6 9

x

x x a

g x x x b

x x c c

x x d







  



    



   



  





Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy phương trình





' 0

g x



có tất cả là 5 nghiệm dương phân biệt.

Suy ra số điểm cực trị của





g x

là

5

. Do đó số điểm cực trị của





y g x

 là

11

.

Câu 18: Chọn C

Ta có





2

y f x m x m

   

Đặt









2

g x f x x

 

. Suy ra









2

g x f x x

 

. Suy ra









2

g x m f x m x m

    

Ta biết số điểm cực trị của hàm





g x

và





g x m

 là như nhau.

Hàm số





g x

có

2

điểm cực trị dương nên hàm





g x

có 5 điểm cực trị.

Suy ra hàm





g x m



có tất cả là 5 điểm cực trị.

Câu 19: Chọn D

Ta có

   





 

2

2 2

8 12 4 4 4 8 2 4 2 2

y f x x f x x x f x x g x

             

.

Ta thấy hàm số





y g x



có các điểm cực trị

1, 2, 2

x x x c

    

. Suy ra hàm số





2

y g x

 

có các điểm cực trị là

1, 4, 2

x x x c

   

(3 điểm cực trị dương).

Vậy hàm số









2

2 8 12

y g x f x x     có 7 điểm cực trị.

Lí giải:









2

4 2

y f x x g x

   

, với









2

4 8 12 2

x x x x

  

        

.

Câu 20: Chọn B

Hàm số

( )

f x

đạt cực trị tại 3 điểm là

0; (0;1); 1

x a x b x c

     

Xét hàm số

( ) ( 1)

f u f x x

  

với

1

u x x

  

Ta có bảng khảo sát hàm số

1

u x x

  

Ta có:

( ( ))' '. '( )

f u u f u



nên số điểm cực trị của hàm số

( )

f u

là: số điểm cực trị của

u

cộng

với số nghiệm bội lẻ của phương trình

'( ) 0

f u



hay

u a

u b

u c















Hàm

u

không có điểm cực trị

u a



vô nghiệm;

u b



vô nghiệm;

u c



có 2 nghiệm; Vậy:

( )

f u

có hai điểm cực trị.





n x a



     





   

( 1)

' ... 0

n

f a f a f a

 



( )

0

n

f a



 



( )

0

n

f a

a



 



( )

0

n

f a

a



 

f x

a



2n 

Câu 1: Cho hàm số

 

y f x

xác định trên

 



\ 1

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như hình vẽ

Hàm số

 

y f x

có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

4

. B.

3

. C.

2

. D.

5

.

Câu 2: Tập hợp các số thực

m

để hàm số

   

      

3 2

4 5 2 6y x m x m x m

đạt cực tiểu tại

 2x

là

A.



. B.



. C.

 

2

. D.

 

2

.

Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số

m

để hàm số

  

3 2

3y x x mx

đạt cực đại tại

 0.x

A.

 1m

. B.

 2m

. C.

 2m

. D.

 0m

.

Câu 4: Tìm tập tất cả các giá trị của

m

để hàm số

 

    

3 2 2

3 1 3y x m x m x

đạt cực tiểu tại

 1.x

A.

 

5;1

. B.

 

5

. C.



. D.

 

1

.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để hàm số

 

     

3 2 2

1

1 1

3

y x mx m m x

đạt cực đại tại

điểm

 1x

?

A.

 2m

hoặc

 1m

. B.

 2m

hoặc

 1m

.

C.

 1m

. D.

 2m

.

Câu 6: Tìm

m

để hàm số

   

3 2

2 1y x mx mx

đạt cực tiểu tại

 1x

( )

f x

n

( )

f x

n

( )

f x

n

A. không tồn tại

m

. B.

 1m

. C.

 1m

. D.

 

 1;2m

.

Câu 7: Cho hàm số

 

f x

với bảng biến thiên dưới đây

Hỏi hàm số

 

y f x

có bao nhiêu cực trị?

A.

3

. B.

1

. C.

7

. D.

5

.

Câu 8: Tìm

m

để hàm số

 

   

4 2

1 1y mx m x

đạt cực đại tại

 0x

A.

 0m

. B.

 1m

. C.

 1m

. D.

  1 1m

Câu 9: Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số bằng

A.

2

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 10: Cho hàm số

 

y f x

. Hàm số

 



y f x

có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số

 

y f x

là:

A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.

Câu 11: Tập hợp các số thực

m

để hàm số

 

    

3 2

3 2y x mx m x m

đạt cực tiểu tại

 1x

là

A.

 

1

. B.

 

1

. C.



. D.



.

Câu 12: Tìm các giá trị thực của tham số

m

để hàm số

 

    

3 2 2

1

4 3

3

y x mx m x

đạt cực đại tại

 3x

A.

 1, 5m m

. B.

 5m

. C.

 1m

. D.

 1m

.

Câu 13: Tìm m hàm số

 

    

3 2

3 1 2y x mx m x m

đạt cực trị tại điểm

 1x

A.

 1m

. B.

 2m

. C.

 0m

. D.

 1m

.

x

y

O

Câu 14: Tìm

m

để hàm số

 

    

3 2 2

1 2 3y mx m x x

đạt cực tiểu tại

 1x

.

A.

3

2

. B.



3

2

. C.

0

. D.

1

.

Câu 15: Tìm tất cả tham số thực

m

để hàm số

 

    

4 2 2

1 2 2019y m x m x

đạt cực tiểu tại

 1x

A.

 0m

. B.

 2m

. C.

 1m

. D.

 2m

.

Câu 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

     

9 7 2 6

( 2) ( 4) 7y x m x m x

đạt cực

tiểu tại

 0x

?

A.

3

. B.

4

. C. Vô số. D.

5

.

Câu 17: Cho hàm số

 

    

5

4 3

2 1 2019

5 3

x m

y m x x

. Có bao nhiêu giá trị của tham số

m

để hàm số

đạt cực tiểu tại

 0x

?

A. Vô số. B. 1. C. 2. D. 0.

Câu 18: Cho hàm số

 ( )y f x

là một hàm đa thức có bảng xét dấu của

'( )f x

như sau.

Số điểm cực trị của hàm số

 

 

2

( )g x f x x

là

A.

5

. B.

3

. C.

7

. D.

1

.

Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

thuộc khoảng

 

2019; 2019

để hàm số

 

   

5 4

1 2

5

5 4

m m

y x x m

đạt cực đại tại

 0?x

A.

110

. B.

2016

. C.

100

. D.

10

.

Câu 20: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đạt cực

tiểu tại

A. . B. . C. . D. Vô số.

Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

 

     

2018 5 2 4

5 25 1y x m x m x

đạt

cực đại tại điểm

 0x

.

A.

4.

B.

5.

C.

9.

D.

10.

Câu 22: Có bao nhiêu cặp số nguyên

 

,a b

thỏa mãn

 

 , 20,20a b

để hàm số

   

8 7 6

1y x ax bx

đạt

cực tiểu tại điểm

 0.x

A.

722.

B.

742.

C.

703.

D.

685.

Câu 23: Có bao nhiêu nguyên của tham số

m

để hàm số

     

8 5 2 4

( 3) ( 9) 1y x m x m x

đạt cực tiểu

tại điểm

 0.x

A.

7.

B. Vô số. C.

6.

D.

4.

Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên

m

để hàm số

 

    

6 5 2 4

10 1y x mx m m x

đạt cực tiểu tại điểm

 0x

.

A.

9

. B.

10

. C.

11

. D.

8

.









8 5 2 4

2 4 1

y x m x m x

     

0.

x



3

5

4

Câu 25: Có bao nhiêu số nguyên

m

để hàm số









     

6 4 2 3

1 4 1

y x m x m x đạt cực tiểu tại điểm



0

x

.

A.

4

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số









     

8 5 2 4

4 16 1

y x m x m x đạt

cực tiểu tại điểm



0

x

.

A.

7

. B. Vô số. C.

6

. D.

8

.

Câu 27: Cho hàm số







y f x

có đạo hàm trên



thỏa mãn









   

2

f x h f x h h

,

 



x

,

 

0.

h

Đặt

     







   

 

       

   

2019 29

4 2 2

29 100 sin 1

m

g x x f x x f x m m x ,

m

là tham số nguyên

và



27

m

. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

m

sao cho hàm số





g x

đạt cực tiểu

tại



0

x

. Tính tổng bình phương các phần tử của

S

.

A. 108. B. 58. C. 100. D. 50.

Câu 28: Có bao nhiêu số nguyên

m

để hàm số









     

9 7 2 6

2 4 7

y x m x m x đạt cực tiểu tại điểm



0

x

.

A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5.

Câu 29: Cho hàm số





      

5 4 3 2 3

3 4 12 1

y x mx m m m x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

để

hàm số đã cho đạt cực đại tại



0

x

?

A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.

Câu 1: Chọn A

Từ bảng biến thiên của hàm số

 

y f x

, suy ra bảng biến thiên của hàm số

 

y f x

là

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra hàm số có

4

điểm cực trị.

Câu 2: Chọn A

Ta có

 

    

2

' 3 2 4 5 2y x m x m

;

 

  '' 6 2 4y x m

Để hàm số đạt cực tiểu tại

 2x

thì

 



 





 





' 2 0

'' 2 0

y

 



    







 

 



   





12 4 4 5 2 0

2

12 2 8 0

m m

m

Vậy không có giá trị

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3: Chọn D

TXĐ:





D

;



  

2

3 6 ,y x x m



 6 6.y x

Hàm số

  

3 2

3y x x mx

đạt cực đại tại

 0x



 (0) 0y

  0.m

Với

 0m

ta có:



  (0) 6 0y

  0x

là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Vậy

 0m

là giá trị cần tìm.

Câu 4: Chọn B

Kiến thức cần nhớ: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm cấp một trên

 

;a b

chứa điểm

0

x

và

 

y f x

có đạo hàm cấp hai khác

0

tại

0

x

, khi đó:

Nếu

 















0

' 0

'' 0

f x

thì hàm số

 

y f x

đạt cực tiểu tại điểm

0

x

.

Nếu

 















0

' 0

'' 0

f x

thì hàm số

 

y f x

đạt cực đại tại điểm

0

x

.

Áp dụng ta có

   

      

2 2

' 3 2 3 1 ; '' 6 2 3 1y x m x m y x m

.

Xét phương trình

     





            







2

2 2

1

' 1 0 3 1 2 3 1 0 6 5 0

5

m

y m m m m

m

Với





        

1 '' 6 4 '' 1 2 0

m y x y

nên hàm số đạt cực đại tại

 

1.

x

Với





       

5 '' 6 28 '' 1 22 0

m y x y

nên hàm số đạt cực tiểu tại

 

1.

x

Vậy



5

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5: Chọn D

TXĐ





D

;

    

2 2

' 2 1

y x mx m m .

Hàm số

 

     

3 2 2

1

1 1

3

y x mx m m x đạt cực đại tại điểm



1

x

 





            







2 2 2

1

' 1 0 1 2 .1 1 0 3 2 0 .

2

m

y m m m m m

m

Với



1

m

,

 

          



2

' 2 1 1 0 , ' 0 1

y x x x x y x .



Hàm số

 

     

3 2 2

1

1 1

3

y x mx m m x

đồng biến trên



khi



1

m

.

Vậy



1

m

không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với



2

m

,





        







2 2

1

' 4 3, ' 0 4 3 0

3

x

y x x y x x

x

.

 

'' 2 4.

y x





     

'' 1 2.1 4 2 0

y

.



Hàm số

 

     

3 2 2

1

1 1

3

y x mx m m x đạt cực đại tại điểm



1

x

khi



2

m

.

Câu 6: Chọn C

Để



1

x

là điểm cực tiểu của hàm số





 





















1 0

y

 



  



   

 

 









1

3 4 0

1.

3

6 4 0

2

m

m m

m

Thử lại với



1,

m

ta có

   

3 2

2 1

y x x x

;



  

2

3 4 1

y x x

.









     









2

1

0 3 4 1 0 .

1

3

x

y x x

x

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy



1

m

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 7: Chọn C

Hàm số







y f x

trên



là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục

Oy

là trục đối xứng và gồm hai

phần, phần 1 trùng với phần đồ thị hàm số







y f x

ứng với



0

x

; phần 2 lấy đối xứng phần 1

qua trục tung.

Bảng biến thiên của hàm số







y f x

.

Bảng biến thiên của hàm số

 

y f x

Vậy hàm số

 

y f x

có 7 cực trị.

Câu 8: Chọn B



  

3 2

4 1y mx m

Để hàm số đạt cực tại tại

 0x

thì

 



      

2

0 0 1 0 1y m m

Với



       

4 3

1 1, 4 0 0m y x y x x

. Khảo sát hàm số ta thấy, hàm số đạt cực tiểu tại

 0x

suy ra

 1m

không thỏa mãn.

Với



          

4 3

1 1, 4 0 0m y x y x x

. Khảo sát hàm số ta thấy, hàm số đạt cực đại tại

 0x

.

Câu 9: Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số bằng 3 tại

 2x

hoặc

 2x

.

Câu 10: Chọn C

Hàm số xác định và liên tục trên



.

Từ đồ thị ta thấy

 

 





  







1

2

0 0

x x

f x x

x x

.

Bảng biến thiên:

Khi đó hàm số

 

y f x

đạt cực tiểu tại



1

x x

hay hàm số

 

y f x

có 1 điểm cực trị.

Câu 11: Chọn C

Ta có



   

2

3 6 2y x mx m

và



 6 6y x m

.

++

00

x

2

+

0

x



+



x

1

y'

y

Hàm số





    

3 2

y x mx m x m

đạt cực tiểu tại



1

x





 





















1 0

y



   





 



3 6 2 0

6 6 0

m m

m













1

m



không có giá trị của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 12: Chọn B

Tập xác định:





D

.

Ta có:

   

2 2

' 2 4

y x mx m

và

 

" 2 2

y x m

.

Hàm số đạt cực đại tại



3

x

suy ra

 





     







2

1

' 3 0 6 5 0

5

m

y m m

m

.

Thử lại:

Với



1

m

thì





 

" 3 4 0

y

, suy ra



3

x

là điểm cực tiểu của hàm số.

Với



5

m

thì





  

" 3 4 0

y , suy ra



3

x

là điểm cực đại của hàm số.

Vậy



5

m

là giá trị cần tìm.

Câu 13: Chọn C

Ta có





   

2

' 3 2 3 1

y x mx m

Điều kiện cần:- Giả sử hàm số này đạt cực trị tại





      

1 ' 1 0 0

x y m

Điều kiện đủ: Thử lại



0

m

ta được

 

3

y x x

Hàm số đạt cực đại tại

 

1

x

.

Câu 14: Chọn A

Hàm số đã cho xác định với

 



x

.

Đạo hàm





   

2 2

' 3 2 1 2

y mx m x

.

Hàm số đạt cực tiểu tại



1

x









' 1 0

y

 

     

 

 

2

3

2 3 0 0;

2

m m m

.

Thử lại:

Với



0

m

thì

   

2

2 2 3

y x x và

  

' 2 2

y x



Hàm số đạt cực đại tại



1

x

(KTM)

Với



3

2

m

thì

  

2

9 13

' 2

2 2

y x x

;

 

  

 

 

4

' 0 1;

9

y x

. Hàm số

y

là hàm số bậc ba có

 

3

0

2

a nên hàm số đạt cực đại tại



4

9

x và đạt cực tiểu tại



1

x

(Thỏa mãn).

Vậy



3

2

m

.

Câu 15: Chọn D

Tập xác định:





.

D

Ta có:











   

3 2

4 1 2 2

y m x m x

* Điều kiện cần:

Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại

 

1

x

là





 

' 1 0

f









     

2

4 1 2 2 0

m m

  

2

2 4 0

m m













0

2

m

.

* Điều kiện đủ:

Trường hợp 1:



0

m

hàm số trở thành    

4 2

2 2019

y x x

Ta có:



' 0

y

   

3

4 4 0

x x

  



 







1

0

1

x

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại

 

1

x

nên loại



0

m

.

Trường hợp 2:



2

m

hàm số trở thành   

4 2

2 2019

y x x .

Ta có:



' 0

y

  

3

4 4 0

x x

  



 







1

0

1

x

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại

 

1

x

. Chọn



2

m

.

Vậy với



2

m

thì hàm số









    

4 2 2

1 2 2019

y m x m x đạt cực tiểu tại

 

1

x

.

Cách 2: Kiểm tra điều kiện đủ

- Với



0

m

, hàm số trở thành

   

4 2

2 2019

y x x

.



  

3

4 4

y x x

,



  

2

12 4

y x .

Ta có:





 





 







   





1 0

1 8 0

y

, suy ra hàm số đạt cực đại tại

 

1

x

nên loại



0

m

.

- Với



2

m

, hàm số trở thành   

4 2

2 2019

y x x .



 

3

4 4

y x x

,



 

2

12 4

y x .

Ta có:





 





 







  





1 0

1 8 0

y

, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại

 

1

x

nên chọn



2

m

.

Kết luận:



2

m

.

Câu 16: Chọn A













 

        



8 6 2 5

9 7 2 6 4 0 0,y x m x m x y m .













 

        



7 5 2 4

9.8 7.6 2 6.5 4 0 0,y x m x m x y m .

Ta nhận thấy























    



4 5

0 0 0 0,y y y m

Ta có









    

(6) 3 2

9.8.7.6.5.4 7.6.5.4.3.2 2 6.5.4.3.2.1 4

y x m x m









   

(6) 2

0 6.5.4.3.2.1 4

y m .

Trường hợp 1:

 





 



 



(6)

2

0 0

2

m

y

m

thì:

+



     



8

2 9 0,m y x x nên hàm số đồng biến trên



nên không đạt cực trị tại



0

x

.

+







    

6 2

2 9 28

m y x x không đổi dấu khi qua



0

x

nên không đạt cực trị tại



0

x

.

Trường hợp 2:





   

(6)

0 0 2

y m

Khi đó để hàm số đạt cực tiểu tại



0

x

thì cần thêm













              

(6) 2 2

0 0 6.5.4.3.2.1 4 0 4 0 2 2 1;0;1

y m m m m .

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số

m

.

Câu 17: Chọn B

Ta có







   

4 3 2

4 2 1

y x m x mx





 

   

 

2 2

4 2 1

x x m x m

.

Dễ thấy



0

x

là một nghiệm của đạo hàm



y

. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại



0

x

khi và chỉ khi



y

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nghiệm



0

x

. Ta thấy dấu của



y

là dấu của hàm số









   

2

4 2 1

g x x m x m

. Hàm số





g x

đổi dấu khi đi qua giá trị



0

x

khi



0

x

là nghiệm

của





g x

. Khi đó







0 0

g

 

0

m

.

Thử lại, với



0

m

thì





 

2

4

g x x x

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua giá trị



0

x

.

Vậy có 1 giá trị

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18: Chọn A

TXĐ:





.

D

Ta có

 

 

 

   

 

 

2

1

2 0

g x x f x x

x





  



 







 





2

1

0 ( )

1

2 0

x x

x l

x





 







 





1 5

2

1

2

x

.







g x

không xác định tại



0

x

.

Bảng xét dấu

Vậy

 

g x

có

5

điểm cực trị.

Câu 19: Chọn B

Ta có

 



   

4 3

( 1) 2y m x m x

.

Trường hợp 1:

 1m

. Khi đó



   

4 3

3

6 3

4

y x y x

.

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại

 0x

(loại).

Trường hợp 2:

 1m

. Khi đó

 





 





 







1

2

0

2

1

x

y

m

x

m

.

Nhận thấy nếu



          



4

2 1

0 2 3 0x x m y x x



Hàm số luôn nghịch biến trên



nên hàm số không có cực trị ( loại)

Vì vậy yêu cầu bài toán tương đương với



 



  





  















   

 



  





  























1 2

1

1 0

2 1

2

1

1 0

2

1

m

x x

m

x x

m

.

Suy ra số giá trị

m

nguyên thuộc khoảng

 

2019; 2019

là 2016.

Câu 20: Chọn C

Ta có ,

Nếu .Kiểm tra trực tiếp thấy với thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

.Với thì hàm số đã cho không đạt cực tiểu tại .

Nếu thì hàm số đã cho đạt cực đại tại .

Nếu thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại .

Tóm lại có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2: Có .Đặt

;

Nếu thì tồn tại số sao cho đổi dấu từ dương sang

âm khi đi qua Hàm số đã cho đạt cực đại tại .

Nếu thì tồn tại số sao cho đổi dấu từ

âm sang dương khi đi qua Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại .

Nếu .Kiểm tra trực tiếp thấy với thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

.Với thì hàm số đã cho không đạt cực tiểu tại .

(3)

'(0) ''(0) (0) 0

y y y

  

(4) 2

(0) 4!( 4)

y m

  

(4)

(0) 0 2

y m

   

2

m



0

x



2

m

 

0

x



(4)

(0) 0

y



0

x



(4)

(0) 0 2 2

y m

    

0

x



7 4 2 3

' 8 5( 2) 4( 4)

y x m x m x

    

3 4 2

(8 5( 2) 4( 4))

x x m x m    

4 2

( ) 8 5( 2) 4( 4)

g x x m x m

    

2

(0) 4( 4)

g m

  

(0) 0

g



0

h



( ) 0 ( ; )

g x x h h

   



'

y

x

0



0

(0) 0 2 2

g m

    

0

h



( ) 0 ( ; )

g x x h h

   



'

y

x

0



0

(0) 0 2

g m

   

2

m



0

x



2

m

 

0

x



Tóm lại có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 3:Ta có: .

Ta xét các trường hợp sau

* Nếu

Khi

là điểm cực tiểu.

Khi

không là điểm cực tiểu.

* Nếu Khi đó ta có

Số cực trị của hàm bằng số cực trị của hàm

Nếu là điểm cực tiểu thì . Khi đó

Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

Cách 4: Ta có: .

Ycbt .

Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

Nhận xét: Ta thấy rằng, hàm số đạt cực tiểu tại khi và đổi dấu từ sang

khi qua điều này tương đương số hạng bậc thấp nhất của phải bậc lẻ và dương.

Câu 21: Chọn D

Ta có

























 

     

3

(4) 2

0 0 0 0, ; 0 4! 25 .

y y y m y m

Nếu









       

4

2

0 0 25 0 5 5

y m m hàm số đạt cực tiểu tại



0

x

(thỏa mãn).

Nếu











4

0 0

y ,hàm số đạt cực đại tại



0

x

(loại).

Nếu









      

4

2

0 0 25 0 5.

y m m

Với







      

2017 4 4 3

5 2018 50 2018 50

m y x x x x không đổi dấu khi đi qua



0

x

(loại).

Với



  

2017

5 2018

m y x

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua



0

x

(thỏa mãn).

Vậy





     

5 5 4,...,5 .

m m Có 10 số nguyên thỏa mãn.

 

7 4 2 3 3 4 2

8 5 2 4 4 8 5 2 4 4

g x

y x m x m x x x m x m



 

 



         

 

 



2

4 0 2.

m m

    

7

2 8 0

m y x x



    

2

m

 





4 4

8 20

y x x



  

0

x

 

2

4 0 2.

m m

    

 





2 5 2 2

8 5 2 4 4

y x x m x m x

 



    

 









8 5 2 4

2 4 1

y x m x m x

     





g x



   





   

 

5 2 2

4 2

8 5 2 4 4

40 100 2 4 4

g x x m x m x

g x x m x m





    







    





0

x







0 0

g













2 2

4 4 0 4 0 2 2 1;0;1

m m m m            

 

7 4 2 3 3 4 2

8 5 2 4 4 8 5 2 4 4

g x

y x m x m x x x m x m



 

 



         

 

 



 





 

2

5 2 5 4 0

2

2 2

4 4 0



    







 



  



  



m m

m

0

x







0 0

y





y















0

x



y



Câu 22: Chọn B

Ta có





































 

      

3 4 5 6

0 0 0 0 0 0, , . 6! .

y y y y y a b y b

Trường hợp 1: Nếu









  

6

0 0 0

y b hàm số đạt cực tiểu tại



0

x

(thỏa mãn).

Vậy trường hợp này





 

19,...,19 ,

a

có 39 cách chọn;







1,...,19 ,

b

có 19 cách chọn



Có



39.19 741

cặp.

Trường hợp 2: Nếu









  

6

0 0 0

y b hàm số đạt cực đại tại



0

x

(loại).

Trường hợp 3: Nếu





 

6

0 0.

y b

Khi đó



   

7 6 6

8 7 (8 7 )

y x ax x x a

đổi dấu từ âm sang

dương khi qua điểm

  

0 0

x a

.

Vậy trường hợp này có duy nhất 1 cặp











; 0; 0

a b

.

Vậy có tất cả 742 cặp số nguyên thỏa mãn.

Câu 23: Chọn C

Ta có

























  

     

4

2

0 0 0 0, 0 4! 9 .

f f f f m

Nếu













       

4

2

0 4! 9 0 3 3

f m m

hàm số đạt cực tiểu tại điểm



0

x

(thỏa mãn).

Nếu













         

4

2

0 0 4! 9 0 3 3

f m m m

hàm số đạt cực đại tại điểm



0

x

(loại).

Nếu













         

4

2

0 0 4! 9 0 3 3.

f m m m

Với







  

7

3 8

m f x x

đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm



0

x

(thỏa mãn).

Với











      

7 4 4 3

3 8 30 2 4 15

m f x x x x x

không đổi dấu khi đi qua điểm



0

x

(loại).

Vậy





     

3 3 2,...,3 .

m m Có 6 số nguyên thỏa mãn.

Câu 24: Chọn B

Ta có













  

   

0 0 0 0,

y y y m

;









 

4

2

4! 10

y m m

.

Nếu











4

0 0

y





  

2

4! 10 0

m m

  

0 10

m

hàm số đạt cực tiểu tại điểm



0

x

.

Nếu











4

0 0

y





  

2

4! 10 0

m m









    

;0 10;m hàm số đạt cực đại tại điểm



0

x

(loại).

Nếu











4

0 0

y





  

2

4! 10 0

m m













0

10

m

.

Với



  

5

0 6

m y x

. Ta có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua



0

x

(thỏa mãn).

Với







     

5 4 4

10 6 50 2 3 25

m y x x x x

. Ta có đạo hàm không đổi khi qua



0

x

(loại).

Kết luận: Có 10 giá trị

m

nguyên thỏa mãn.

Câu 25: Chọn B

Ta có









 

  

0 0 0,

y y m

;







 

2

3! 4

y m .

Nếu









0 0

y





  

2

3! 4 0

m

  

2

m

.

Hàm số không đạt đạt cực trị tại điểm



0

x

(loại) vì



3

n

lẻ.

Nếu









0 0

y





  

2

3! 4 0

m

  

2

m

.

Với







      

5 3 3 2

2 6 12 6 2

m y x x x x . Ta có đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua



0

x

(loại).

Với







     

5 3 3 2

2 6 4 2 3 2

m y x x x x . Ta có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua



0

x

(thỏa mãn). Vậy



2

m

thỏa mãn.

Câu 26: Chọn D

Ta có













  

   

0 0 0 0,

y y y m

;









  

4

2

4! 16

y m

.

Nếu











4

0 0

y





   

2

4! 16 0

m

   

4 4

m

hàm số đạt cực tiểu tại điểm



0

x

.

Nếu











4

0 0

y





   

2

4! 16 0

m









     

; 4 4;m

hàm số đạt cực đại tại điểm



0

x

(loại).

Nếu











4

0 0

y





   

2

4! 16 0

m



 









4

m

.

Với



  

7

4 8

m y x

. Ta có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua



0

x

(thỏa mãn).

Với







      

7 4 4 3

4 8 40 8 5

m y x x x x . Ta có đạo hàm không đổi khi qua



0

x

(loại).

Kết luận: Vậy





  

3; 2;...; 4

m

hay có 8 giá trị

m

nguyên thỏa mãn.

Câu 27: Chọn C

Chú ý: Định nghĩa đạo hàm tại điểm

0

x

:

 











 





0 0

0

lim

h

f x h f x

f x

h

 



x

,

 

0

h

,

   









  

     

2

f x h f x h

f x h f x h h h

h

.

Do đó

























  

      

   

0 0 0

lim 0 lim lim 0

h h h

f x h f x h f x h f x f x f x h

h h h













  

    

0 0

f x f x f x ,

 



x

.

Suy ra











     

2019 29 4 2 2

29 100 sin 1

m

g x x x m m x .

Khi đó:













    

 







     







      





2018 28 4 2

2017 27 4 2

2019 29 29 100 sin 2

2019.2018 29 28 29 100 .2cos2

m

g x x m x m m x

g x x m m x m m x

Có









0 0

g ,











   

4 2

0 2 29 100

g m m .

Trường hợp 1:









0 0

g



Hàm số





g x

đạt cực đại tại



0

x

.

Trường hợp 2:

 

  



        



   



4 2 2

2 5

0 0 29 100 0 4 25

5 2

m

g m m m

m

.

Khi đó hàm số





g x

đạt cực tiểu tại



0

x

.

Trường hợp 3:

 



 



 



 



5

0 0

2

m

g

m

. Thay lại ta có với

 

5

m

,







g x

đổi dấu từ âm sang

dương khi đi qua



0

x

. Khi đó hàm số





g x

đạt cực tiểu tại



0

x

.

Vậy





   

5; 4 ; 3; 3 ; 4 ; 5

S

. Tổng bình phương các phẩn tử của

S

bằng 100.

Câu 28: Chọn A

Ta có











    

8 6 2 5

9 7 2 6 4

y x m x m x

















 

     



5

0 0 ... 0 0,y y y m

,













  

6

2

0 6! 4

y m

.

Trường hợp 1:











6

0 0

y



y

đạt cực đại tại



0

x

.

Trường hợp 2:









    

6

0 0 2 2

y m . Hàm số đạt cực tiểu tại



0

x

. Do đó

 

0; 1

m

thỏa

ycbt.

Trường hợp 3:









   

6

0 0 2

y m . Thay

 

2

m

vào



y

, ta thấy



y

không đổi dấu khi đi

qua



0

x

. Do đó

y

không đạt cực tiểu tại



0

x

.

Vậy có 3 số nguyên

m

thỏa ycbt.

Câu 29: Chọn C

Ta có







     

4 3 3 2 2

5 4 3 3 4 12

y x mx m m m x









 

 

0 0 0

y y

,



m

và













   

3

3 2

0 6 3 4 12

y m m m

.

Trường hợp 1:











3

0 0

y

thì hàm số đã cho không đạt cực trị tại



0

x

.

Trường hợp 2:













   

3

0 0 2;3

y m

Với

 

2

m







    

4 3 3

5 8 5 8

y x x x x

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua



0

x

nên hàm

số đạt cực tiểu tại



0

x

.

Với







     

4 3 3

2 5 8 5 8

m y x x x x

đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua



0

x

nên hàm số

đạt cực đại tại



0

x

.

Với







     

4 3 3

3 5 12 5 12

m y x x x x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua



0

x

nên hàm

số đạt cực đại tại



0

x

.

Vậy có 2 giá trị nguyên của

m

thỏa ycbt.

Câu 1: Cho hàm số

   

     

3 2

2 3 1 6 2 1y x m x m x

với

m

là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị

của

m

để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng

 

2; 3

A.

   

 1; 4 \ 3m

. B.

 

 3; 4m

. C.

 

 1;3m

. D.

 

 1; 4m

.

Câu 2: Với

m

là một tham số thực sao cho đồ thị hàm số

  

4 2

2 1y x mx

có ba điểm cực trị tạo thành

một tam giác vuông. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

 2m

. B.

 0 2m

. C.

  2 0m

. D.

 2m

.

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để hàm số

    

3

2

2 1

3

x

y mx mx

có hai điểm cực trị.

A.

 0 2m

. B.

 2m

. C.

 0m

. D.

 







2

0

m

.

Câu 4: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm

   

 



     



3

2

1 1 2 ,f x x x x x

. Số điểm cực trị của hàm

số đã cho là:

A. 3. B. 2. C. 1. D. 5.

Câu 5: Cho hàm số

( )f x

có đồ thị

'( )f x

như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số

( )f x

là

A.

3

. B.

4

. C.

2

. D.

1

.

Câu 6: Tất cả các giá trị của tham số

m

để hàm số

 

   

4 2

2019 2018y x m x

có ba điểm cực trị là

A.

 2019m

. B.

 2019m

. C.

 2018m

. D.

 1009m

.

Câu 7: Tìm tập hợp các giá trị của tham số

m

để đồ thị hàm số

 

    

4 2 2

4 1y x m x m

có một điểm

cực trị

A.

 

2;2

. B.

   

   ; 2 2;

.

C.

 

 

2; 2

. D.

 

     

 

; 2 2;

.

Câu 8: Cho hàm số

  

4 2

2y x mx m

. Tất cả các giá trị thực của

m

để hàm số có

3

cực trị là

A.

 0m

. B.

 0m

. C.

 0m

. D.

 0m

.

Câu 9: Số giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

 

   

4 2 2

3y mx m x m

không có điểm cực đại là

A. 2. B. vô số. C. 0. D. 4.

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để đồ thị hàm số





   

2 4 2 2

2019 1

y m x m m x có

đúng một điểm cực trị.

A.

2019

. B.

2020

. C.

2018

. D.

2017

.

Câu 11: Tìm số điểm cực trị của hàm số  

2

sin cos

y x x

trên



 

 

0;2

.

A.

4

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực

m

để hàm số

    

3 2

2 ( 2) 1

y mx mx m x không có cực

trị.

A.









    

; 6 0;m

. B.





 

6; 0

m

. C.



 



6; 0

m

. D.

  

 

6;0

m

.

Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để hàm

   

      

3 2 3

1

3 4 3

3

y x m x m x m m

đạt cực

trị tại

1 2

,

x x

thỏa mãn

  

1 2

1

x x

.

A.

  

3 1

m

. B.

   

7

3

2

m

. C.



 







3

1

m

. D.

   

7

2

m

.

Câu 14: Tập hợp tất cả các giá trị tham số thực

m

để đồ thị hàm số





    

3 2 2 3

3 3 1

y x mx m x m

có

hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành là





;

a b

. Khi đó giá trị



2

a b

bằng

A.

3

2

. B.

4

3

. C.

1

. D.

2

3

.

Câu 15: Tìm tất cả giá trị của tham số

m

để hàm số





    

4 2

2 2 3 2

y x m x m có ba điểm cực trị.

A.





 

2;m . B.





 

2; 2

m . C.





 

;2

m . D.







0; 2

m .

Câu 16: Cho hàm số





  

4 2

2 1 1

y x mx . Tổng lập phương các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số





1

có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua

3

điểm này có bán kính



1

R

bằng

A.



5 5

2

. B.



1 5

2

. C.



2 5

. D.

 

1 5

.

Câu 17: Tìm số thực

k

để đồ thị hàm số

  

4 2

2

y x kx k

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận

điểm

 

 

 

1

0;

3

G

làm trọng tâm.

A.

  

1

1;

2

k k . B.

 

1

1;

3

k k

. C.

 

1

1;

2

k k . D.

 

1 1

;

3 2

k k

.

Câu 18: Cho hàm số





x m m x m

     

4 2 2

2 1 1

y . Tìm

m

để hàm số có ba điểm cực trị và khoảng

cách giữa hai điểm cực tiểu là nhỏ nhất.

A.

m



1.

B.

m



1.

C.

m=

1.

D.

m =



1

2

Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của

m

để khoảng cách từ gốc tọa độ

O

đến đường thẳng đi

qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

  

3

y x x m

nhỏ hơn hoặc bằng

5

.

A.

5

. B.

2

. C.

11

. D.

4

.

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số    

3 2

1

( 2)

3

y x mx m x

có cực trị và giá trị của hàm số

tại các điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương.

A.



2

m

. B.

 





 

 

2 2 7

2;

3

m . C.



  

2 2 7

1

3

m . D.

 

1

m

.

Câu 21: Cho hàm số

   

4 2

2 3 2

y x mx m . Có bao nhiêu giá trị của tham số

m

để đồ thị hàm số có ba

điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ?

A.

2

. B.

0

. C.

3

. D.

1

.

Câu 22: Biết



0

m m

;





0

m

là giá trị của tham số

m

để đồ thị hàm số

  

4 2

2 1

y x mx có ba điểm

cực trị tạo thành một tam giác vuông. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.







0

0; 3

m

. B.



  



0

5; 3

m

. C.



  



0

3;0

m

. D.







0

3;7

m

.

Câu 23: Cho hàm số

    

4 2 2

2( 1)

y x m m x m

có đồ thị





C

. Tìm

m

để đồ thị hàm số





C

có 3 điểm

cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu nhỏ nhất.

A.



1

.

2

m B.

 

1

.

2

m C.



3.

m

D.



0.

m

Câu 24: Tìm tất cả giá trị thực của tham số

m

để hàm số     

3 2

3( 1) 12 2019

y x m x mx có 2 điểm

cực trị

1 2

,

x x

thỏa mãn

   

1 2 1 2

2 8.

x x x x

A.

 

1.

m

B.



2.

m

C.



1.

m

D.

 

2.

m

Câu 25: Gọi

1 2

,

x x

là hai điểm cực trị của hàm số

   

3 2

1 1

4 10

3 2

y x mx x

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức









  

2 2

1 2

1 1

S x x

.

A.

9

. B.

4

. C.

0

. D.

8

.

Câu 26: Cho hàm số

    

3 2 2 3

3 3( 1)

y x mx m x m

với

m

là tham số, gọi





C

là đồ thị của hàm số đã

cho. Biết rằng, khi

m

thay đổi, điểm cực đại của đồ thị





C

luôn nằm trên một đường thẳng

d

cố định. Xác định hệ số góc

k

của đường thẳng

d

.

A.

 

3

k

. B.



1

3

k . C.



3

k

. D.

 

1

3

k .

Câu 27: Cho hàm số









      

3 2

2 1 1 1

y x m x m x m . Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên



20

m

để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành?

A.

18

. B.

19

. C.

21

. D.

20

.

Câu 28: Tìm tất các giá trị thực của tham số

m

để đồ thị hàm số   

3 2 2

3 3

y x mx m

có hai điểm cực trị

là

,

A B

mà



OAB

có diện tích bằng

24

.

A.



2

m

. B.



1

m

. C.

 

2

m

. D.

 

1

m

.

Câu 29: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để đồ thị hàm số

      

3 2 2 2

( 1) ( 2) 3

y x m x m x m

có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về cùng

một phía đối với trục hoành?

A.

4

. B.

1

. C.

3

. D.

2

.

Câu 30: Cho hàm số

 

     

3 2 2

1

2 1 2 1

3

y x mx m x m (

m

là tham số). Xác định khoảng cách lớn nhất

từ gốc tọa độ





0; 0

O

đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.

A.

2

9

. B.

3

. C.

2 3

. D.

10

3

.

Câu 31: Các giá trị của

m

để đồ thị hàm số

 

    

3

2

1

6 2019

3

y x mx m x có 5 điểm cực trị là

A.

 

2

m

. B.

  

2 0

m

. C.

 

0 3

m

. D.



3

m

.

Câu 32: Hỏi hàm số

 

sin 2

y x x

có bao nhiêu điểm cực trị trên





 



;

?

A.

5

. B.

3

. C.

4

. D.

7

.

Câu 33: Cho hàm số





    

3 2

2 2 5 1

y x m x x

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

sao cho hàm

số có hai điểm cực trị

1

x

,

2

x







1 2

x x

thỏa mãn

  

1 2

2

x x .

A.

7

2

. B.



1

. C.

1

2

. D.

5

.

Câu 34: Xét các hàm số





f x

có đạo hàm















  

2 3

3

f x x x x x

với mọi





x

. Hàm số





 

1 2019

y f x

có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A.

9

. B.

7

. C.

8

. D.

6

.

Câu 35: Cho hàm số

    

3 2

3 3 1

y x mx m với

m

là tham số thực. Giá trị của

m

thuộc tập hợp nào để

đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng

  

: 8 74 0

d x y

.

A.



  



1;1

m . B.



   



3; 1

m . C.



 



3; 5

m . D.



 



1; 3

m .

Câu 36: Cho hàm số







y f x

có đạo hàm liên tục trên



. Đồ thị hàm số







'

y f x

như hình vẽ sau:

.

Số điểm cực trị của hàm số





   

2018 2019 1

y f x x

là

A.

2.

B.

1.

C.

3.

D.

4.

Câu 37: Cho hàm số

  

3

6 4

y x mx

có đồ thị





m

C

. Gọi

0

m

là giá trị của

m

để đường thẳng đi qua

điểm cực đại, điểm cực tiểu của





m

C

cắt đường tròn tâm





1; 0

I , bán kính

2

tại hai điểm phân

biệt

,

A B

sao cho tam giác

IAB

có diện tích lớn nhất. Chọn khẳng định đúng

A.







0

3; 4

m . B.







0

1; 2

m . C.







0

0;1

m . D.







0

2; 3

m .

Câu 38: Biết hai hàm số





   

3 2

2 1

f x x ax x

và





    

3 2

3 1

g x x bx x có chung ít nhất một điểm

cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

P a b

A.

30

. B.

2 6

. C.



3 6

. D.

3 3

.

Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của

m

để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

  

3

3 2

y x mx cắt đường tròn tâm





1;1

I

, bán kính



1

R

tại hai điểm phân biệt

,

A B

sao cho

diện tích tam giác

IAB

đạt giá trị lớn nhất?

A.





1 3

2

m

. B.





2 3

2

m

. C.





2 5

2

m

. D.





2 3

3

m .

Câu 40: Tìm các giá trị của

m

để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

  

3

3 2

y x mx cắt đường tròn

   

  

2

: 1 2

C x y

có tâm

I

tại hai điểm phân biệt

,

A B

sao

cho diện tích tam giác

IAB

đạt giá trị lớn nhất.

A.



3

8

m . B.

















1 3

2

1 3

2

m

. C.



8

3

m . D.













3

2

1

2

m

.

Câu 41: Cho hàm số

   

      

3 2

1

1 1 2 3

3

y m x m x mx m , với

m

là tham số thực. Có bao nhiêu giá

trị nguyên dương nhỏ hơn 2019 của tham số

m

để hàm số trên không có cực trị?

A.

2018

. B.

2019

. C.

1

. D.

3

.

Câu 42: Biết

0

m

là giá trị của tham số

m

để hàm số

   

3 2

3 1

y x x mx có hai điểm cực trị

1

x

,

2

x

sao

cho

  

2 2

1 2 1 2

13

x x x x . Mệnh đề nào sau đấy đúng?

A.





 

0

1;7

m . B.







0

7;10

m . C.





  

0

7; 1

m . D.





  

0

15; 7

m .

Câu 43: Cho hàm số

      

3 2

(1 2 ) (2 ) 2

y x m x m x m

. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có

điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

A.

 

5 7

4 5

m

. B.













5

4

7

5

m

. C.



 



 





1

5 7

4 5

m

. D.













5

4

7

5

m

.

Câu 44: Cho hàm số

   

3

3 1

y x mx m có đồ thị





C

, với

m

là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số

m

để đồ thị





C

có hai điểm cực trị là

,

A B

cùng với điểm







0; 1

C

tạo thành một

tam giác có diện tích nhỏ hơn

10

?

A.

7

. B.

9

. C.

12

. D.

4

.

Câu 45: Đồ thị hàm số









     

3 2

2 3 2 1 6 1 1

y x m x m m x

có hai điểm cực trị

A

và

B

. Điểm





3

2 ;

M m m

tạo với hai điểm

A

và

B

một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị tham

số

m

thuộc khoảng nào dưới đây?

A.





 

7; 3

. B.







3;3

. C.





3;7

. D.





7;13

.

Câu 46: Cho hàm số





    

3 2

2 3

y x x m x m

(

m

là tham số), có đồ thị





m

C

. Tìm tất cả các giá

trị thực của

m

để





m

C

có hai điểm cực trị và điểm







9; 5

M nằm trên đường thẳng đi qua

hai điểm cực trị của





m

C

.

A.

 

5

m

. B.



3

m

. C.



2

m

. D.

 

1

m

.

Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để đường thẳng

d

:





   

3 1 3

y m x m

vuông

góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

  

3 2

3 1

y x x .

A.



1

6

m . B.





1

3

m . C.



1

3

m . D.





1

6

m .

Câu 48: Cho hàm số





   

4 2

1 2 1

y m x x

. Tìm tất cả các giá trị thực của

m

để

hàm số đã cho có ba điểm cực trị đều nhỏ hơn

1

.

A.

  

1 0

m

. B.

 

1

m

. C.

 

0 1

m

. D.



0

m

.

Câu 49: Cho hàm số









    

4 2

2 1 3

y m x m x

. Tìm tất cả các giá trị thực của

m

để hàm số đã cho

có đúng

1

điểm cực trị.

A.



  



2;m

. B.





    



;1 2;m

.

C.



  



;1

m

. D.





     

 

;1 2;m

.

Câu 50: Tìm tập hợp các giá trị của tham số

m

để hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm

số





   

4 2

2 1 1

y x m x

đều thuộc khoảng







1;1

.

A.







1;1 .

B.

 



 

 

4

;0 .

5

C.







2;0

. D.







1; 0

.

Câu 51: Tìm tập hợp các giá trị của tham số

m

để đồ thị hàm số





     

4 2 2

2 1 1

y x m m x m có 3

điểm cực trị, đồng thời hoành độ hai điểm cực tiểu

1

x

;

2

x

thỏa điều kiện

 

1 2

2

x x

.

A.

 











 

0

13 1

;

2

. B.

 

 

 

 

1 13 13 1

;

2 2

. C.







0;1

. D.

 

 

0;1 .

Câu 52: Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để đồ thị hàm số   

4 2 2

2 2

y x m x m

có ba điểm cực trị

A

,

B

,

C

sao cho

O

,

A

,

B

,

C

là bốn đỉnh của một hình thoi.

A.

 

1

m

. B.



1

m

. C.



2

m

. D.



3

m

.

Câu 53: Cho hàm số    

4 2 2 4

2 2

y x mx m m

có đồ thị





C

. Biết đồ thị





C

có ba điểm cực trị

A

,

B

,

C

và

ABDC

là hình thoi trong đó







0; 3

D

,

A

thuộc trục tung. Khi đó

m

thuộc khoảng nào?

A.

 



 

 

9

;2

5

m . B.

 

 

 

 

1

1;

2

m . C.







2; 3

m . D.

 



 

 

1 9

;

2 5

m .

Câu 54: Gọi

S

là tập hợp các giá trị thực của tham số

m

để đồ thị hàm số

 





2 2

1

x mx m

y

x

có hai điểm

cực trị

,

A B

. Khi



 

90

AOB

thì tổng bình phương tất cả các phần tử của

S

bằng:

A.

1

16

. B.

8

. C.

1

8

. D.

16

.

Câu 55: Cho hàm số

















        

4 3 2

2 1 4 5 6 2 12

f x x m x m x m x m , với

m

là tham số. Có bao

nhiêu giá trị nguyên của

m

thuộc đoạn

 

 

10; 10

để hàm số







y f x

có số điểm cực trị nhiều

nhất?

A.

15

. B.

16

. C.

13

. D.

14

.

Câu 1: Chọn A

Xét hàm số









     

3 2

2 3 1 6 2 1.

y x m x m x Ta có











    

2

6 6 1 6 2

y x m x m .

 

  



       



 



2

1

0 1 2 0

2

x

y x m x m

x m

.

Hàm số có 2 điểm cực trị



 

0

y

có 2 nghiệm phân biệt

   

2 1

m

 

3

m

.

Hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng







2; 3



   

    



   



2 1 3

1 4

2 2 3

m

.

Kết hợp điều kiện



3

m

, ta được









 

1; 4 \ 3

m

.

Câu 2: Chọn C

Cách 1:

Hàm số

  

4 2

y ax bx c

có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông khi và chỉ khi

 

3

8

b a

. Áp dụng vào bài toán ta có:

 

       

3

2 8 1 1

m m m

.

Cách 2:

Ta có:



 

3

4 4

y x mx

.

 

 



 



 





2

0

0 1

x

y

x m

.

Để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị thì phương trình





1

phải có hai nghiệm phân biệt

khác

0

, nghĩa là



0

m

. Khi đó



  



 



     





2

0 1

0

1

x y

y

x m y m

.

Gọi





0;1

A

,





  

2

;1

B m m

và





 

2

;1

C m m

lần lượt ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Theo tính chất của hàm số đã cho thì tam giác

ABC

luôn cân tại

A

, vậy tam giác

ABC

chỉ có

thể vuông tại

A

. Ta có:





 



2

;

BA m m

,





  



2

;

CA m m

.

Ta có:





    



 



 

4

0

. 0 0

1

m

BA CA m m

m

. So với điều kiện ta nhận

 

1

m

.

Câu 3: Chọn D

Ta có:



   

2

2 2

y x mx m

Hàm số

    

3

2

2 1

3

x

y mx mx

có hai điểm cực trị



  0y

có hai nghiệm phân biệt

 



     







2

2 0

0

m

m m

m

.

Câu 4: Chọn B

Xét

 



 0f x

 

    

3

2

1 1 2 0x x x

     

    

4 3

1 1 2 0x x x

  



 



 



1

2

x

.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

Lưu ý: có thể dùng tính chất nghiệm bội chẵn, nghiệm bội lẻ để giải bài toán nhanh hơn.

Câu 5: Chọn C

Từ đồ thị

 



f x

ta có bảng xét dấu của đạo hàm

 



f x

Ta có

 

  





  







1

5

0

4

3

x

f x x

x

.

Khi đi qua điểm

 1x

,

 



f x

đổi dấu từ

" "

sang

" "

nên

 1x

điểm cực đại của

( )f x

.

Khi đi qua điểm



5

4

x

,

 



f x

không đổi dấu nên



5

4

x

không là điểm cực trị của

( )f x

.

Khi đi qua điểm

 3x

,

 



f x

đổi dấu từ

" "

sang

" "

nên

 3x

điểm cực tiểu của

( )f x

.

Do đó số điểm cực trị của hàm số

 

y f x

là

2

.

Câu 6: Chọn A

Cách 1: Ta có

 

 





       











3 2

2

0

4 2 2019 2 2 2019 0

2019

(*)

2

x

y x m x x x m

m

x

.

Hàm số đã cho có 3 cực trị



  0y

có 3 nghiệm phân biệt



PT có 2 nghiệm phân biệt khác

0

  2019m

.

Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh hàm số

  

4 2

y ax bx c

có 3 cực trị

 . 0a b

. Do đó

hàm số

 

   

4 2

2019 2018y x m x

có ba điểm cực trị

 

    1. 2019 0 2019m m

.

Câu 7: Chọn D

Ta có











     

3 2 2 2

4 2 4 2 4

y x m x x x m

Hàm số đã cho là hàm số trùng phương nên có đúng một cực trị khi





0

y

có một nghiệm.

Hay





  

2 2

2 4 0

x x m có đúng một nghiệm



 

   







2

4 0

2

m

.

Chú ý: Hàm số

  

4 2

y ax bx c

có đúng một cực trị khi và chỉ khi

 





 





2 2

0

.

0

ab

a b





1

Đặc biệt: Hàm số trùng phương





   

4 2

0

y ax bx c a

có đúng một cực trị khi và chỉ khi



0

ab

. Hàm số

  

4 2

y ax bx c

có ba cực trị khi và chỉ khi



0.

ab





2

Câu 8: Chọn A

TXĐ:





D

;



 

3

4 4

y x mx





 

2

4

x x m

.

 

 



 









2

0

*

x

y

x m

.

Hàm số

  

4 2

2

y x mx m

có

3

điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình





0

y

có

3

nghiệm

phân biệt



phương trình





*

có 2 nghiệm phân biệt khác

0

 

0

m

.

Câu 9: Chọn D

Trường hợp 1:



0

m

thì 

2

3

y x

. Hàm số không có điểm cực đại. Vậy



0

m

.

Trường hợp 2:



0

m

Hàm số là hàm bậc bốn trùng phương

Ta có











     

3 2

4 2 3 2 2 3

y mx m x x mx m

Để hàm số không có điểm cực đại thì



0

m

và





0

y

có một nghiệm.





0

y

có một nghiệm

   

2

2 3 0

mx m

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép



0

x



    

3

0 0 3

2

m

. Vì

m

nguyên nên







1; 2; 3

m . Vậy

m

có 4 giá trị nguyên.

Câu 10: Chọn C

Xét



0

m

thì



1

y

đồ thị hàm số không có cực trị.

Xét



0

m

Để đồ thị hàm số có 1 cực trị





      

2 2

2019 0 0 2019

m m m m

Do

m

nguyên nên có 2018 giá trị của

m

.

Câu 11: Chọn A

Ta có



 

cos 2 sin .cos

y x x x





0

y





  

cos 1 2sin 0

x x

 







 





cos 0

1

sin

2

x





 



    



 







2

2 ,

6

7

2

6

x k

x k k

x k

.

Trên



 

 

0;2

, phương trình





0

y

có 4 nghiệm đơn

   

   

3 11 7

; ; ;

2 2 6 6

x x x x .

Suy ra trên



 

 

0;2

, hàm số đã cho có

4

điểm cực trị.

Câu 12: Chọn D

Ta có



   

2

3 4 2

y mx mx m

• Nếu



0

m

thì





2

y

nên hàm số không có cực trị.

• Nếu



0

m

thì



   

2

3 4 2

y mx mx m là tam thức bậc hai.

Hàm số không có cực trị

   

     

2

2 3 2 0

m m m





     



0

2

6 0 6;0

m

m m m

.

Kết hợp các trường hợp ta có

  

 

6;0

m

thì hàm số không có cực trị.

Câu 13: Chọn B

Ta có











    

2

2 3 4 3

y x m x m

Đặt

    

1 1

t x x t

. Khi đó







    

2

2 2 2 7

y t m t m

Hàm số đạt cực trị tại

1 2

,

x x

thỏa mãn

  

1 2

1

x x









     

2

2 3 4 3 0

x m x m

có hai

nghiệm phân biệt

1 2

,

x x

thỏa mãn

  

1 2

1

x x





     

2

2 2 2 7 0

t m t m

có hai nghiệm

phân biệt dương. Điều này tương đương với

 





 









    





           

 

 

  





 





2

3

12 3 0

7

2 2 0 2 3

2

7

2 7 0

2

m

mm m

S m m m

P m

m

.

Cách 2

Ta có











     

2

(x) 2 3 4 3

y f x m x m

Hàm số đạt cực trị tại

1 2

,

x x

thỏa mãn

  

1 2

1

x x









     

2

2 3 4 3 0

x m x m có hai

nghiệm phân biệt

1 2

,

x x

thỏa mãn

  

1 2

1

x x

. Điều này tương đương với







 



 





 



0

. ( 1) 0

1

2

a f

S





  



     





 



 



2

2 3 0

1 2( 3) 4( 3) 0

2( 3)

1

2

m m

m





 











  





 





3

1

7

2

3

m



  

7

3

2

m

.

Câu 14: Chọn D

Ta có

   

2 2

' 3 6 3( 1)

y x mx m . Xét



  

    



  



2 2

1

3 6 3( 1) 0

1

x m

x mx m

x m

.

Hai nghiệm trên phân biệt với mọi

m

.

Đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị là

  

2

y x m

.

Vậy nên các giá trị cực trị

   

( 1) 3 2

y m m

,

   

( 1) 3 2

y m m

.

Theo yêu cầu bài toán ta phải có

  

      

2 2

3 2 3 2 0

3 3

m m m

. Vậy

 

2

3

a b

.

Câu 15: Chọn C

Ta có:





    

4 2

2 2 3 2

y x m x m









     

3 2

' 4 4 2 4 2

y x m x x x m ;

 

 



 



2

0

' 0

2 (1)

x

y

x m

y

có ba điểm cực trị  phương trình



' 0

y

có ba nghiệm phân biệt

 phương trình có hai nghiệm phân biệt khác

0



   

2 0 2

m m

.

Câu 16: Chọn D





        

3 2

' 4 4 4 ; ' 0 0;

y x mx x x m y x x m

với



0

m

Gọi

 









    

2 2

0;1 , ; 1 , ; 1

A B m m C m m

là 3 điểm cực trị của hàm số; khi đó tam giác



ABC

cân tại

,

A I

là tâm đường tròn đi qua

, ,

A B C

nên



I Oy

, gọi





0;

I b

Ta có:

      

1 1 1 0

IA R b b

;

          

4 2 4 2

1 2 1 1 2 0

IB R m m m m m m

 

 

        

2

1 2 3,4

1 5

1 1 0 0; 1;

2

m m m m m m m

Kết hợp điều kiện



0

m

nên loại

4

m

và

1

m

. Ta có

   

3 3

2 3

1 5

m m

.

Câu 17: Chọn C

Ta có:







   

3 2

4 4 4

y x kx x x k

.;

 





 









2

0

' 0

1

x

y

x k

.

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị



 

0

y

có ba nghiệm phân biệt và



y

đổi dấu khi

x

đi qua 3

nghiệm đó







1

PT

có hai nghiệm phân biệt khác không

 

0

k

. Khi đó ba điểm cực trị của

đồ thị hàm số là





0;

A k

,





 

2

;

B k k k

,







2

;

C k k k

.

Từ yêu cầu bài toán ta có:









   

 

  

2 2

1

3 3 3

A B C

G

k k k k k

y y y

y

 



     









2

1

2 3 1 0

1

2

k

k k

k

.

Câu 18: Chọn D









y' x m m x = x x m +m

     

3 2 2 2

4 4 1 4 1 .

 

x

y x x m + m

x m m+

 

     



 



2 2

0

' 0 4 1 0

1

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình

y'



0

có ba nghiệm phân biệt hay phương

trình x m +m

  

2 2

1 0

có hai nghiệm phân biệt khác không

m m+ m

 

      

 

 

2

1 3

1 0 0

2 4

luôn đúng

m

 



.

Khi đó phương trình

y'



0

có ba nghiệm phân biệt x m m x m m x

       

2 2

1 2 3

1, 1, 0.

Bảng biến thiên.

Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là





B m m y

  

2

1

1;

và





C m m y

 

2

1

1;

.

Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là

BC = m m m

 

     

 

 

2

1 3

2 1 2 3.

2 4

Dấu



" "

xảy ra khi

m =



1

2

Câu 19: Chọn A

Ta có



 

2

3 3

y x ;







    



 



2

1

0 3 3 0

1

x

y x

x

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là







1; 2

A m

,





 

1; 2

B m

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là

  

2

y x m

Theo giả thiết







; 5

d O AB







5

m



 

5

m



  

5 5

m

.

Mà

m

nguyên dương nên có

5

giá trị.

Câu 20: Chọn B

Cách 1:

Ta có:



   

2

2 2

y x mx m ;







     

2

0 2 2 0 1

y x mx m

.

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình





1

có hai nghiệm phân biệt.

 



 



      







2

1

0 2 0 *

2

m

m m

m

Phương trình đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của hàm số là:

 

 

     

 

 

2

2 2 4 1

2

3 3 3 3

y m m x m m

.

Gọi









1 1 2 2

; , ;

A x y B x y

là hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số, khi đó để hàm số có giá

trị cực đại, và giá trị cực tiểu dương thì

 

1 2

0

y y và đồ thị hàm số    

3 2

1

( 2)

3

y x mx m x

cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

Theo định lý vi-et ta có  

1 2

2

x x m

Nên

   

 

         

 

 

2

1 2 1 2

2 2 4 2

0 2 0

3 3 3 3

y y m m x x m m

x



1

x

0

2

x



y'



0



0



0



y



1

y

2

y

1

y



   

 

      

 

 

2

2 2 4 2

2 2 0

3 3 3 3

m m m m m





    

2

2 2 3 6 0

m m m

 

   

 

   

   

   

3 57 3 57

; 0; * *

4 4

m .

Để đồ thị hàm số    

3 2

1

( 2)

3

y x mx m x

cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phương trình



0

y

có

1

nghiệm đơn duy nhất, khi đó

 

   

3 2

1

( 2) 0 2

3

x mx m x có

1

nghiệm đơn duy

nhất. Ta có:

 

        

3 2 2

1

( 2) 0 3 3 6 0

3

x mx m x x x mx m

 

 





   





2

0

3 3 6 0 3

x

x mx m

.

Để phương trình





1

có

1

nghiệm đơn duy nhất thì phương trình





3

vô nghiệm, khi đó điều

kiện là

    

2

9 12 24 0

m m

 

 

  

2 2 7 2 2 7

* * *

3 3

m

.

Kết hợp













* , * * , * * *

ta được tập các giá trị của

m

thỏa mãn là



 

2 2 7

2

3

m

.

Cách 2:

Ta có:



   

2

2 2

y x mx m ;







     

2

0 2 2 0 1

y x mx m

.

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình





1

có hai nghiệm phân biệt, khi đó

 



 



      







2

1

0 2 0 *

2

m

m m

m

Để hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu dương thì đồ thị hàm số    

3 2

1

( 2)

3

y x mx m x

cắt trục

hoành tại 1 điểm duy nhất và giá trị của hàm số tại điểm uốn luôn dương.

Để đồ thị hàm số    

3 2

1

( 2)

3

y x mx m x

cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phương trình



0

y

có nghiệm duy nhất, khi đó

 

   

3 2

1

( 2) 0 2

3

x mx m x có

1

nghiệm đơn duy nhất.

Ta có:

 

        

3 2 2

1

( 2) 0 3 3 6 0

3

x mx m x x x mx m

 









   





2

0

3 3 6 0 3

x

x mx m

.

Để phương trình





1

có nghiệm đơn duy nhất thì phương trình





3

vô nghiệm, khi đó điều kiện:

    

2

9 12 24 0

m m

 

 

  

2 2 7 2 2 7

* *

3 3

m .

Để giá trị của hàm số tại điểm uốn luôn dương:

 

     

2

2 2, 2 2

y x mx m y x m



     

0 2 2 0

y x m x m

. Ta có:

   

     

3

0 2 0

3

m

y m m m m





    

2

2 3 6 0

m m m

 

   

 

   

   

   

3 57 3 57

; 0; * * *

4 4

m

Kết hợp













* , * * , * * *

ta được tập các giá trị của

m

thỏa mãn là



 

2 2 7

2

3

m

Câu 21: Chọn A

Ta có



      

4 2 3

2 3 2 4 4

y x mx m y x mx

. Khi







 



 





0

x

y

x m

.

Với



0

m

thì đồ thị hàm số có

3

điểm cực trị và các điểm cực trị là







0; 3 2

A m

,





  

2

; 3 2

B m m m và





   

2

; 3 2

C m m m .

Điểm

A

đã nằm trên trục tung, vậy để các điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ thì hai điểm

B

và

C

phải nằm trên trục hoành, suy ra





    







2

3 2 0

1

m

m m

m

.

Vậy có

2

giá trị của tham số

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 22: Chọn C

Cách 1.

Ta có



 

3

4 4

y x mx

. Xét phương trình

 



    



 



3

2

0

0 4 4 0

x

y x mx

x m

.

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi



0

m

. Khi đó 3 điểm cực trị là





0 ;1

A

,





 

2

;1

B m m

,





  

2

;1

C m m

.

Ta thấy



ABC

cân tại

A

. Nên



ABC

vuông khi và chỉ khi



ABC

vuông cân tại

A

.

Do đó

 





       



 



 

4 3

0

. 0 0 1 0

1

m

AB AC m m m m

m

. Kết hợp



0

m

ta có

 

1

m

.

Cách 2.

Gọi

, ,

A B C

là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.



ABC

vuông cân

 

           

3

3 3

8 2 8 1 1

b a m m m

.

Câu 23: Chọn B

Ta có:







   

3 2

4 4 1

y x m m x





 

    

 

2 2

4 1 0

x x m m



   



 



  





2

1

2

3

1

0

1

x m m

x

x m m

.

Khoảng cách giữa 2 điểm cực tiểu:

 

        

 

 

2

3 1

1 3

2 1 2 3

2 4

d x x m m m

.

Dấu bằng xảy ra khi

 

1

2

m

.

Câu 24: Chọn A

   

2

' 3 6( 1) 12

y x m x m

;

          

2 2

' 0 3 6( 1) 12 0 2( 1) 4 0 (1)

y x m x m x m x m .

Để hàm số có 2 cực trị

1 2

,

x x



Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

       

2

' 0 ( 1) 0 1

m m .

Với điều kiện



1

m

ta có



  







1 2

2( 1)

4

x x m

.

Do đó

           

1 2 1 2

2 8 2 2 8 8 1.

x x x x m m m

Vậy

 

1

m

thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Câu 25: Chọn A

Ta có:

       

3 2 2

1 1

4 10 ' 4

3 2

y x mx x y x mx ;

    

2

' 0 4 0

y x mx .

    

2

16 0,

m m

nên phương trình



' 0

y

luôn có hai nghiệm phân biệt

1 2

,

x x

.

Áp dụng định lí viet:

 

  







  





1 2

. 4

b

x x m

a

c

x x

a

.

       

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( 1)( 1) ( ) [( ) 2 . ] 1

S x x x x x x x x

      

2 2

16 ( 8) 1 9 9

m m

.

Câu 26: Chọn A

Ta có:



       

2 2 2 2

3 6 3( 1) 3( 2 1)

y x mx m x mx m



 



     



 



2 2

1

0 2 1

1

x m

y x mx m

x m

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại của đồ thị





C

là điểm





  

1; 3 2

M m m

.

Nhận xét:





               

3 2 3( 1) 1 3 1 : 3 1, .

M M

y m m x M d y x m

Vậy: khi

m

thay đổi, điểm cực đại của đồ thị





C

luôn nằm trên một đường thẳng

d

cố định có

phương trình:

  

3 1

y x

. Vậy đường thẳng

d

có hệ số góc

 

3

k

.

Câu 27: Chọn B

Ta có:









    

2

1 2 1

y x x mx m

.

Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi đồ thị

y

cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt.









      

2

1 2 1 0

y x x mx m có ba nghiệm phân biệt.

    

2

2 1 0x mx m

có hai nghiệm phân biệt khác 1.





 













  





 

 

 





 



 



 



2

1 5

2

1 0

1 5

2 3 0

2

3

m

m m

m

.

Do

 , 20m N m

nên

 1 20m

. Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.

Câu 28: Chọn C

Xét

 



   

2

3 6 3 2y x mx x x m

.

 

 



    







0

0 3 2 0

2

x

y x x m

x m

.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

  0m

.

Tọa độ hai điểm cực trị là

   



2 2 3

0; 3 , 2 ;3 4A m B m m m

.

Phương trình đường thẳng

OA

:

 0x

.

Ta có:

 

  



2

1 1

. ; 3 . 2 24

2 2

OAB

S OA d B OA m m

    

2

8 2m m m

.

Câu 29: Chọn C

Tập xác định của hàm số đã cho là



.

 



    

2 2

3 2 1 2y x m x m

có



    

2

2 2 7m m

.

Để đồ thị hàm số

      

3 2 2 2

( 1) ( 2) 3y x m x m x m

có hai điểm cực trị thì



y

đổi dấu hai

lần, tức là



y

có hai nghiệm phân biệt, tương đương

 



         

2

1 15 1 15

0 2 2 7 0

2 2

m m m

. Vì





m

nên được

 

 1; 0; 1; 2m

.

Lúc này, hai nghiệm

1 2

,x x

của



y

lần lượt là hoành độ các điểm cực trị của hàm số.

Hai điểm cực trị đó nằm về cùng một phía đối với trục hoành khi và chỉ khi

   



1 2

. 0f x f x

,

tương đương đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm, tức là, phương trình

      

3 2 2 2

( 1) ( 2) 3 0x m x m x m

có duy nhất một nghiệm thực.

Xét

 1m

thì phương trình là

  

3

2 0x x

: phương trình này có đúng một nghiệm thực nên

chọn

 1m

.

Xét

 0m

thì phương trình là

   

3 2

2 3 0x x x

: phương trình này có đúng một nghiệm thực

nên chọn

 0m

.

Xét



1

m

thì phương trình là

   

3 2

2 2 0

x x x

: phương trình này có ba nghiệm thực phân biệt

nên không chọn



1

m

.

Xét



2

m

thì phương trình là

   

3 2

3 2 1 0

x x x

: phương trình này có đúng một nghiệm thực

nên chọn



2

m

. Đáp số:





 

1; 0; 2

m .

Câu 30: Chọn D

Ta có



   

2

4 1

y x mx m . Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình





0

y

có hai

nghiệm phân biệt



     

2

4 1 0

m m

  



m

.

Mà

   

   



       

   

   

2 2

1 2 8 2 2 8 2

. 1

3 3 3 3 3 3 3

m

y x y x x m m x m m

.

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là đường thẳng



:

 

      

 

 

2 2

8 2 2 8 2

1

3 3 3 3 3

y m m x m m

.

Ta thấy đường thẳng



luôn qua điểm cố định

 

 

 

1

1;

3

A

.

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

O

lên



. Khi đó ta có





  ;

d O OH OA

Do đó khoảng cách lơn nhất khi



H A

hay

 

OA

.

Vậy khoảng cách lớn nhất là



10

3

OA

.

Câu 31: Chọn D

Xét hàm số:

 

    

3 2

1

6 2019

3

y x mx m x .

TXĐ:





D

. Ta có:







   

2

2 6

y x mx m

.

Để đồ thị hàm số

 

    

3

2

1

6 2019

3

y x mx m x có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số

 

    

3 2

1

6 2019

3

y x mx m x có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục tung



phương trình







    

2

2 6 0

y x mx m có hai nghiệm dương phân biệt





    



   

 

 

  



2

0 6 0

0 2 0

0 6 0

m m

S m

P m

 

3

m

.

Câu 32: Chọn A

Xét hàm số





 

sin 2

f x x x

có







 

2cos 2 1

f x x

.

 

 



            



1 2

0 cos 2 2 2 ,

2 3 3

f x x x k x k k .

H

O

A

Vì

 



 





 



  



 





3

;

2

3

x

.

   

    

       

   

   

2 3 2 3

0; 0.

3 2 3 3 2 3

f f

   

   

      

   

   

3 2 3 2

0; 0

3 2 3 3 2 3

f f

.

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: trên

 

 

 ;

đồ thị hàm số

 

 sin 2f x x x

có

4

điểm cực trị và cắt

trục hoành tại duy nhất một điểm có hoành độ

 0x

. Do đó hàm số

 sin 2y x x

có

5

điểm

cực trị trên

 

 

 ;

.

Câu 33: Chọn C

Tính được:

 



   

2

3 4 2 5y x m x

.

Khi đó

 



    

2

4 2 15 0m

nên hàm số luôn có hai điểm cực trị

1

x

,

2

x

 



1 2

x x

.

Nhận xét

. 0a c

nên

 

1 2

0x x

Suy ra:

  

1 2

2x x

    

1 2

2x x

  2

b

a

 



  

4 2

2

3

m

 

1

2

m

.

Câu 34: Chọn B

Nhận xét: Số cực trị của hàm số

 

 1 2019y f x

bằng tổng số nghiệm của phương trình

 

 1 2019 0f x

và số cực trị của hàm số

 

 1 2019y f x

.

Ta có

   

  



   

2

1 3 3f x x x x x

.

   



 



   

 

1 2019 2019 1 2019f x f x

.

Do đó

     

  



 

          

 

2

1 2019 0 1 2019 1 2019 1 1 2019 3 1 2019 3 0f x x x x x































1

2019

0

1 3

2019

1 3

2019

x

.

Bảng biến thiên của

 

 1 2019y f x

Do đó phương trình

 

 1 2019 0f x

có tối đa

4

nghiệm và hàm số

 

 1 2019y f x

có ba

điểm cực trị.

Vậy hàm số

 

 1 2019y f x

có tối đa

7

điểm cực trị.

Câu 35: Chọn D



  

2

3 6y x mx

;



    0 0 2y x x m

.

Hàm số có CĐ, CT khi và chỉ khi PT



 0y

có

2

nghiệm phân biệt

  0m

.

Khi đó

2

điểm cực trị là:

 

 0; 3 1A m

;

 

 

3

2 ; 4 3 1B m m m

 

 



3

2 ; 4AB m m

.

Trung điểm

I

của

AB

có toạ độ:

 

 

3

;2 3 1I m m m

.

Đường thẳng

d

:

  8 74 0x y

có một VTCP

 

 



8; 1u

.

và

B

đối xứng với nhau qua

d

 









I d

AB d

 



  



    



  



 

  

 

  

 







 



 





 

3

16 23 82 0

8 2 3 1 74 0

16 23 82 0

0

16 4 0

. 0

2

m m

m m m

m m

m

m m

AB u

m

  2m

. Suy ra



 



1; 3 .m

Câu 36: Chọn B

 

   2018 2019 1y f x x

 

   ' ' 2018 2019y f x

.

Do đó

 

   ' 0 ' 2018 2019y f x

.

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

 

 'y f x

với đường thẳng

 2019y

.

Từ đồ thị hàm số

 

 'y f x

ta thấy chỉ có 1 nghiệm đơn. Vậy hàm số

 

   2018 2019 1y f x x

chỉ có

1

điểm cực trị.

Câu 37: Chọn C

Xét hàm số

  

3

6 4

y x mx có tập xác định



.



    

2 2

3 6 ; ' 0 2

y x m y x m

.

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị





y

đổi dấu

2

lần



 

0

y

có hai nghiệm phân biệt

 

0

m

. Ta có

  

1

'. 4 4

3

y y x mx .

Gọi









1 1 2 2

; , ;

M x y N x y

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Ta có

   



 

 





  





    

 

  







   





1 2

1 1

1 1 1 1 1

2 2

2 2 2 2 2

0

4 4

1

. 4 4

4 4

3

1

. 4 4

3

y x y x

y mx

y y x y x x mx

y mx

y y x y x x mx

.

Suy ra

,

M N

thuộc đường thẳng

d

có phương trình

  

4 4

y mx

.

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của





m

C

là:

  

4 4

y mx

.

Gọi





T

là đường tròn có tâm





1; 0

I

và bán kính



2

R

.

Đường thẳng

d

cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt

,

A B

và tạo thành tam giác

IAB









     

0 , 0 , 2

d I d R d I d

 



 











2

1

4 4

2

16 1

m

.

Cách 1:

Do đường thẳng

d

luôn đi qua điểm





0; 4

K

,

 

17

IK R



K

nằm ngoài đường tròn nên

tồn tại hai điểm

,

A B

là giao điểm của

d

với đường tròn để tam giác

IAB

vuông tại

I

.

Do đó:



 

1 1

. .sin .

2 2

IAB

S IA IB AIB IA IB

.

Dấu bằng xảy ra

 

IA IB

 

  

, 1

2

R

d I d

).

 

   



2

4 4

15

1 .

32

16 1

m

Bình luận: Nếu đường thẳng

d

luôn đi qua điểm

K

cố định mà



2

R

IK

thì sẽ không có vị trí

của đường thẳng

d

để tam giác

IAB

vuông tại

I

. Khi đó, nếu làm như trên sẽ bị sai. Trong

trường hợp đó thì ta phải đặt









  

, 0

d I d t t l

, với

l

là độ dài đoạn thẳng

IK

, rồi tính









IAB

S f t

và tìm giá trị lớn nhất của





f t

trên nửa khoảng







0;

l

.

Cách 2: Phương trình đường tròn là:

 

  

2

1 2

x y





C

Xét hệ

 

   



  



     



  





2

2 2

1 2

16 1 2 16 1 15 0 1

4 4

x y

m x m x

y mx

.

d

cắt





C

tại hai điểm phân biệt

,

A B







1

có 2 nghiệm phân biệt

,

a b

   

    

2

16 1 15 16 1 0

m m

.

Khi đó

   





 



   



    



   





1; 4 4

; 4 4 , ; 4 4

1; 4 4

IA a ma

A a ma B b mb

IB b mb









 

         

 

 

2

. 16 1 1 0

IA IB ab a b m ab m a b









       

2

16 16 17 0

ab a b m ab m a b













      

2

16 1 16 1 17 0

m ab m a b









 

       

 

2 2

2 16 1 16 1

15

15 17 0 16

32

16 1 16 1

m m

m

m m

.

Câu 38: Chọn A

Ta có







  

2

3 2 2

f x x ax . Hàm số







y f x

có cực trị khi:





      

2

6 0 6 6 1

a a a

.







   

2

3 2 3

g x x bx . Hàm số







y g x

có cực trị khi





      

2

9 0 3 3 2

b b b .

Giả sử

0

x

là điểm cực trị của cả hai hàm số







y f x

và







y g x

 

    

 



  

  

  

  

   

   



 



   

   

 

   

 

0

2

0 0

2

0 0

1 1 3

2 2

3 2 2 0

3 1 3 1

3 2 3 0

2 2

a b a x

x x

x ax

x bx

b x b x

x x

 

       

 

 

0 0 0

1 3 3 1 5

3

2 2 2

P a b x x x

x x x

        

2 2 2

0 0

2 2

0 0

25 25

9 15 2 .9 15 30 30

4 4

P x x P

x x

Dấu “=” xảy ra khi:



  

  



  

 

  

   

 

 



 

 



0 0

0

2

0

2

0

1 3 1

0

2

5

6

25

5

9

4

6

x x

x

.

Với hai giá trị

0

x

, ta tìm được hai cặp giá trị

,

a b

thoả và. Vậy



min 30

P

.

Câu 39: Chọn B

Ta có



     

3 2

3 2 3 3y x mx y x m

. Hàm số

  

3

3 2y x mx

có 2 điểm cực trị



phương trình



  

2

3 3 0y x m

có hai nghiệm phân biệt



 0m

 

1

Ta có



  

1

. 2 2

3

y x y mx

.

Suy ra phương trình đường thẳng



đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là

      2 2 2 2 0y mx mx y

Đường thẳng



cắt đường tròn tâm

 

1;1I

, bán kính

 1R

tại hai điểm phân biệt

,A B



 



   



2

2 1

; 1

4 1

m

d I R

m

      

2

2 1 4 1 4 0m m m

luôn đúng do

 0m

Ta có

 

  

1 1 1

. .IB.sin .sin

2 2 2

IAB

S IA AIB AIB

Dấu bằng xảy ra



 

   sin 1 90AIB AIB

.

Khi đó tam giác

IAB

vuông cân tại

I

có

 1IA

nên

 

 

2

;

2

d I



      



2

2 1

2

4 8 1 0

2

4 1

m

m m

m





2 3

2

m

thỏa mãn đk

 

1

Vậy diện tích tam giác

IAB

đạt giá trị lớn nhất khi





2 3

2

m

.

Câu 40: Chọn A

Ta có

 



   

2 2

3 3 3y x m x m

,



  

2

0y x m

.

Suy ra hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

 0.m

Ta có

 



  

 

 

1

. 2 2

3

y y x mx

nên đường thẳng đi qua hai điểm cựa trị của đồ thị hàm số là

   : 2 2y mx

hay

   : 2 2 0.mx y

Đường tròn





C

có tâm

(1;0)

I

, bán kính



2

R

.

Đường thẳng

d

cắt đường tròn





C

tại hai điểm phân biệt

,

A B

khi

 



  



2

2 2

d , 2

4 1

m

I

m

    

2 2

4 8 4 8 2

m m m

   

2

4 8 2 0.

m m

Khi đó, diện tích tam giác

IAB

là







1

. .sin

2

IAB

S IA IB AIB

.

Mà



1

. .sin

2

IA IB AIB



1

.

2

IA IB

 

2

1

2

R

.

Như thế diện tích tam giác

IAB

đạt giá trị lớn nhất khi





sin 1

AIB





 

90

AIB

.

Từ đó







d ,

I



1

2

AB

 

1

. 2 1

2

R



 



2

2 2

1

4 1

m

    

2 2

4 8 4 4 1

m m m

 

3

8

m .

Vậy giá trị

m

cần tìm là



3

8

m .

Câu 41: Chọn A

Trường hợp 1: Với

   

1 2 4

m y x

là hàm số đồng biến trên



nên không có cực trị.

Trường hợp 2: Với







1 *

m , khi đó ta có:











    

2

1 2 1 2

y m x m x m

.

Hàm số không có cực trị



phương trình





0

y

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

   







           



 



2

1

1 2 1 0 1 0

1

m

m m m m

m

.

Kết hợp với điều kiện





*

ta có







 



1

m

.

Vậy

 



 





 

 







 





*

1

1; 2; 3;...; 2018

, 2019

m

m m



có

2018

giá trị của tham số thực

m

.

Câu 42: Chọn D

Tập xác định





D

.



  

2

3 6

y x x m

.

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình





0

y

có hai nghiệm phân biệt



    

9 3 0

m

 

3

m

. Hệ thức Vi-ét:

  











1 2

2

3

x x

m

x x

.

Ta có

  

2 2

1 2 1 2

13

x x x x

 

   

2

1 2 1 2

3 13

x x x x

.

Thay hệ thức Vi-ét vào, ta được

 

4 13

m

  

9

m

.

Câu 43: Chọn C

    

2

' 3 2(1 2 ) (2 )

y x m x m

.

YCBT



Phương trình



' 0

y

có hai nghiệm phân biệt

1 2

,

x x

thỏa mãn

 

1 2

1

x x .

 



    



   





 



' 2

1 2

4 5 0

( 1)( 1) 0 1

2

m m

x x

Hệ thức Vi-ét:

  

 















1 2

2(1 2 )

3

2

3

m

x x

m

x x

 

 

     

 



 

  

 



      

 



 

 





  

 

 

 

 

5 5

1; 1;

4 4

1

2 2(1 2 ) 7

1 1 0

5 7

3 3 5

4 5

2(1 2 ) 2

2 0

3

m m m m

m

m m

m

m m

.

Câu 44: Chọn D

Ta có:







     

2 2

0 3 3 0 *

y x m x m

Để đồ thị





C

có 2 điểm cực trị thì





*

phải có 2 nghiệm phân biệt

 

0

m

.

Khi đó:



   0

y x m

.

Đặt:





  

; 2 1

A m m m m

và





  

;2 1

B m m m m

.

Và









     

 

; 2 ; ; 2

CA m m m m CB m m m m

.

Ta lại có:













      

1

. 2 . 2

2

ABC

S m m m m m m m m m m

.

Theo đề:

      

3

10 10 100 100

ABC

S m m m m

Kết hợp với điều kiện



0

m

ta được

 

3

0 100

m

. Suy ra







1; 2 ; 3; 4

m .

Vậy: có 4 giá trị nguyên của tham số

m

thỏa yêu cầu.

Câu 45: Chọn B











    

2

6 6 2 1 6 1

y x m x m m

;

  

 



      



 



0 6 1 0

1

x m

y x m x m

x m

.

Đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị với



m

.

Với



x m

   

3 2

2 3 1

y m m





  

3 2

;2 3 1

A m m m .

Với

 

1

x m

  

3 2

2 3

y m m





  

3 2

1; 2 3

B m m m

.

Có





   



1; 1 2

AB AB .

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

A

và

B

là:

     

3 2

2 3 1 0

x y m m m

.

Diện tích tam giác

MAB

nhỏ nhất khi và chỉ khi





,

d M AB

nhỏ nhất.

 

      



  

3 3 2 2

2

2 2 3 1 3 1

3 1

,

2 2 2

m m m m m m

m

d M AB

 

 

1

,

2

d M AB .

Dấu = xảy ra



0

m

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của

 

 

1 1

, .

2 2

MAB

S d M AB AB , đạt khi



0

m

.

Câu 46: Chọn B

Ta có



   

2

3 4 3

y x x m .





m

C

có hai điểm cực trị khi: phương trình





0

y

có hai nghiệm phân biệt

Hay:



 

0

 

     

13

4 3 3 0

3

m m .

Ta có:

   



     

   

   

1 2 2 26 7 2

.

3 9 3 9 9 3

m m

y y x x

.

Nên phương trình đường thẳng

d

đi qua hai điểm cực trị của





m

C

là:

 

   

 

 

2 26 7 2

.

3 9 9 3

m m

y x

Đường thẳng

d

đi qua







9; 5

M

nên:

 

     

 

 

2 26 7 2

.9 5

3 9 9 3

m m



3

m

.

Câu 47: Chọn D

Ta có



 

2

3 6

y x x

Ta có:

 

   

 

 

1 1

' 2 1

3 3

y x y x

.

Gọi



là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho

    

: 2 1

y x

d

vuông góc với



nên:

   

      

1

3 1 . 2 1

6

m m .

Câu 48: Chọn D

Trường hợp 1: Nếu

    

1 0 1

m m

thì hàm số đã cho trở thành:

 

2

2 1

y x , hàm số này

có một điểm cực trị, do đó ta loại trường hợp này.

Trường hợp 2: Nếu

    

1 0 1

m m

Ta có









 



   

 

 

3 2

4 1 4 4 1 1

y m x x x m x .

 





 





  



  













2

0

1

1 1 0

1

x

y

m x

x

m

.

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị đều nhỏ hơn 1 khi phương trình





1

có hai nghiệm phân biệt

khác

0

và nhỏ hơn

1

, hay:

 

  

 

 



 

 

      

  

  







  

 







 

 

 

1 1

1

0 0

1

1 1

0 1 0

1

1 0

0

1 1

m

m m

m

m m

.

Câu 49: Chọn D

Trường hợp 1: Nếu

   

2 0 2

m m

thì hàm số đã cho trở thành

 

2

3

y x , có

1

điểm cực

trị.

Trường hợp 2: Nếu

   

2 0 2

m m

.

Ta có













 



       

 

3 2

4 2 2 1 2 2 2 1

y m x m x x m x m

 

 





   





   











2

0

0 1

1

2 2 1 0

2 2

x

y m

x

m x m

m

Hàm số đã cho có đúng

1

điểm cực trị khi phương trình



' 0

y

có nghiệm duy nhất hay phương

trình





1

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép



0

x

, hay:

 







 









2

1

0

1

2 2

m

.

Kết hợp với trường hợp 1 ta được:





     

 

;1 2;m

.

Cần nhớ:

Hàm số

  

4 2

y ax bx c

có đúng một cực trị khi và chỉ khi

 





 





2 2

0

.

0

ab

a b





1

Hàm số

  

4 2

y ax bx c

có ba cực trị khi và chỉ khi



0.

ab





2

Câu 50: Chọn D

Hàm số đã cho có ba cực trị





        

0 2 1 0 1

ab m m

.











     

3 2

4 4 1 4 1

y x m x x x m

.







  







  



 



  



2

0 1;1

0

1

x

y

x m

.

Hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu đều thuộc khoảng







1;1

khi và chỉ khi





   

1 1;1

m

  

1 1

m

   

1 0

m

.

Kết hợp điều kiện hàm số có 3 cực trị ta được tập hợp các giá trị của

m

là







1;0

.

Câu 51: Chọn D

Hàm số đã cho có ba cực trị





          

2 2

0 2 1 0 1 0

ab m m m m ,

 



.

m

.

Ta có











       

3 2 2 2

4 4 1 4 1 .

y x m m x x x m m

Phương trình

 



  



  

   





2 2

2

0

0 .

1

x

y

x m m

Nhận thấy



0

x

là điểm cực đại của hàm số nên suy ra

   

2

1,2

1

x m m .

Do đó

               

2 2 2

1 2

2 2 1 2 1 1 0 0 1.

x x m m m m m m m

Vậy tập hợp các giá trị của

m

cần tìm là

 

 

0;1 .

Câu 52: Chọn B

Ta có







    

3 2 2 2

4 4 4 0.

y x m x x x m Phương trình







 



 



0

x

y

x m

.

Vậy với điều kiện



0

m

hàm số có 3 điểm cực trị là





0; 2

A m

,





  

4

; 2

B m m m

,





 

4

; 2

C m m m

.

Ta có





   



4

; 2

OB m m m

;





 



4

;

CA m m

.

Vì tứ giác

ABOC

có hai đường chéo

AO

và

BC

vuông góc và



AB AC

nên nó là hình bình

hành khi và chỉ khi:

 









        









 

4 4 3

0

2 2 1 0

1

m l

OB CA m m m m m

m

.

Câu 53: Chọn D

Ta có







 

2

4

y x x m

 



  







2

0

x

y

x m

.

Với điều kiện



0

m

đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là







4 2

0; 2

A m m

;





 

4 2

; 3

B m m m

;







4 2

; 3

C m m m

. Để

ABDC

là hình thoi điều kiện là



BC AD

và trung điểm

I

của

BC

trùng với trung điểm

J

của

AD

. Do tính đối xứng ta luôn có



BC AD

nên chỉ cần



I J

với







4 2

0; 3 ,

I m m

 

 

 

 

4 2

2 3

0;

2

m m

J

.

Điều kiện:    

4 2 4 2

2 3 2 6

m m m m

   

4 2

4 3 0

m m















1

3

m

 

 

 

 

1 9

;

2 5

m

.

Câu 54: Chọn A









 

    







2 2

2

2 1

1

x m x x mx m

y

x





 

  





2 2

2

1

x x m m

x

.

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

,

A B

thì





0

y

phải có hai nghiệm phân biệt khác 1





    







   





2

1 0

m m

  



m

.

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là

 



 

  





2 2

2

1

x mx m

y x m

x

.

Gọi

;

A

x

B

x

là hoành độ của

A

,

B

khi đó

;

A

x

B

x

là nghiệm của phương trình





   

2 2

2 0

x x m m .

Theo định lí Viet ta có

 

2

A B

x x ;

  

2

.

A B

x x m m

.

 

2

A A

y x m

;

 

2

B B

y x m

.



 

90

AOB

  

. . 0

A B A B

x x y y





     

2

4 2 0

A B A B A B

x x x x m x x m





     

2 2

5 4 0

m m m m

   

2

4 0

m m

   

1

0;

4

m m

.

Tổng bình phương tất cả các phần tử của

S

bằng:

 

  

 

 

2

1 1

0

4 16

.

Câu 55: Chọn D

Tập xác định của hàm số







y f x

là



và cũng là tập xác định của hàm số







y f x

.

Ta có, hàm số







y f x

là hàm số bậc

4

nên nó có tối đa

3

điểm cực trị là

1

x

,

2

x

,

3

x

và đồ thị

hàm số







y f x

cắt trục hoành tại tối đa

4

điểm phân biệt có hoành độ là

4

x

,

5

x

,

6

x

,

7

x

.

Do đó, hàm số







y f x

có nhiều nhất là

7

điểm cực trị, chính là các điểm

1

x

,

2

x

,

3

x

,

4

x

,

5

x

,

6

x

,

7

x

.

Vậy để hàm số







y f x

có nhiều điểm cực trị nhất thì đồ thị hàm số







y f x

cắt trục hoành

tại

4

điểm phân biệt hay







0

f x

có

4

nghiệm phân biệt.

Ta có

















          

4 3 2

0 2 1 4 5 6 2 12 0

f x x m x m x m x m













      

2

1 2 2 6 0

x x x mx m

Suy ra







0

f x

có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi





   

2

2 6

g x x mx m

có hai nghiệm

phân biệt khác



1

và khác

2

 





    





 





   



 



 

 









2

6 0

3

1 0

2

7

2 0

m m

m

g

m

g

.

Từ đó ta được





      

10; 9; 8; 6; 5; 4; 3; 4; 5;6;7 ;8;9 ;10

m . Có 14 số nguyên thỏa mãn.

 Định nghĩa.

Cho hàm số







y f x

xác định trên tập

.

D

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số







y f x

trên

D

nếu:



  



  



0 0

( ) ,

, ( )

f x M x D

x D f x M

.

 Kí hiệu:





max ( )

x D

M f x

.

 Số

m

gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số







y f x

trên

D

nếu:



  



  



0 0

( ) ,

, ( )

f x m x D

x D f x m

.

 Kí hiệu:





min ( )

x D

m f x

.

 Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

O Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 Bước 1: Tính







f x

và tìm các điểm



1 2

, ,...,

n

x x x D

mà tại đó









0

f x

hoặc hàm số không có

đạo hàm.

 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

 Bước 1:

Hàm số đã cho







y f x

xác định và liên tục trên đoạn

 

 

; .

a b

Tìm các điểm

1 2

, ,...,

n

x x x

trên khoảng





;

a b

, tại đó









0

f x

hoặc







f x

không xác định.

 Bước 2: Tính





















1 2

, , ,..., , .

n

f a f x f x f x f b

 Bước 3: Khi đó:





























 

 



1 2

,

max max , ,..., , , .

n

a b

f x f x f x f x f a f b





























 

 



1 2

,

min min , ,..., , , .

n

a b

f x f x f x f x f a f b

o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

 Bước 1: Tính đạo hàm



( )

f x

.

 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm 

( ; )

i

x a b

của phương trình





( ) 0

f x

và tất cả các điểm





( ; )

i

a b

làm cho



( )

f x

không xác định.

 Bước 3. Tính







lim ( )

x a

A f x

,







lim ( )

x b

B f x

,

( )

i

f x

,



( )

i

f .

 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận



( ; )

max ( )

a b

M f x

,



( ; )

min ( )

a b

m f x

.

 Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là

A

hoặc

B

thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

LÍ THUY

ẾT

 Nếu







y f x

đồng biến trên

 

 

;

a b

thì









   

 

 

 

 















;

min

max

a b

f x f a

f x f b

.

 Nếu







y f x

nghịch biến trên

 

 

;

a b

thì





 

 

 

 

 















;

min ( )

.

max ( )

a b

f x f b

f x f a

 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

 Bất đẳng thức trị tuyệt đối:

 Cho hai số thực

,

a b

khi đó ta có:

    

a b a b a b

.

 Dấu “ = ” vế trái xảy ra khi

,

a b

cùng dấu. Dấu “ = ” vế phải xảy ra khi

,

a b

trái dấu.

 Tính chất của hàm trị tuyệt đối:

 

  

,

2

a b a b

max a b

.

 Phương pháp chung để giải các bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

 Bước 1: Xét hàm số







y f x

trên

 

 

,

a b

.

Tính đạo hàm









.

y f x

Giải phương trình









0

f x

và tìm các nghiệm

i

a

thuộc

 

 

,

a b

.

 Bước 2: Giải phương trình







0

f x và tìm các nghiệm

j

b

thuộc

 

 

,

a b

.

 Bước 3: Tính các giá trị

















; ; ;

i j

f a f b f a f b

. So sánh và kết luận.

Lời giải

Chọn A

Với mọi

  

 

2; 5x

có





'( )

2 1

m

f x

x

. Ta thấy dấu của

'( )f x

phụ thuộc vào dấu của m

  0m

thì

( )f x

đơn điệu trên

 

 

2; 5



    

[2;5]

min ( ) max ( ) (2) (5) 2f x f x f f m m

Từ giả thiết ta được

 

       



 



2 2

5

10 2 3 10 0 .

2

m

m m m m m

m

Vậy

 

1 2

3m m

.

Lời giải

Chọn A

Đặt

 

    

2

3

( ) 3 1y f x x x m

là hàm số xác định và liên tục trên đoạn

 

 

1;1

.

Ta có

  

 

     

3 2

( ) 2 3 1 3 3y f x x x m x

;

  



 



    



3

1

( ) 0

3 1 ( )

x

f x

m x x g x

.

Ta khảo sát hàm số

( )g x

trên đoạn

 

 

1;1

. Bảng biến thiên của

( )g x

Nếu

  

 

3;1m

thì luôn tồn tại

  

 

0

1;1x

sao cho



0

( )m g x

hay



0

( ) 0f x

. Suy ra

 

 



1;1

min 0y

, tức là không tồn tại

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nếu

  

 

3;1m

thì



      

 

( ) 0 1 1;1f x x

.

Ta có:

 

 

 

    

2 2

1;1

min ( ) min (1); ( 1) min ( 1) ;( 3)f x f f m m

Trường hợp 1:

 1m

tức là

   3 1 0m m

 

 

 

    







2

1;1

2 ( )

min ( ) ( 1) 1

0 ( )

m TM

f x m

m KTM

Trường hợp 2:

 3m

tức là

   1 3 0m m

 

 

  

    



 



2

1;1

4 ( )

min ( ) ( 3) 1

2 ( )

m TM

f x m

m KTM

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Cho hàm số

 ( ) 1f x m x

(m là tham số thực khác 0). Gọi

1 2

,m m

là hai giá trị của m thỏa

mãn

  

2

[2;5]

min ( ) max ( ) 10f x f x m

. Giá trị



1 2

m m

bằng

A.

3.

B.

5.

C.

1

0.

D.

2.

VÍ DỤ 2: Cho hàm số

 

   

2

3

3 1y x x m

. Tổng tất cả các giá trị của tham số

m

sao cho giá trị nhỏ

nhất của hàm số trên đoạn

 

 

1;1

bằng

1

là

A.



2

.

B.

4

.

C.



4

.

D.

0

.

Vậy có hai giá trị của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán:

  

2; 4

m m

, từ đó tổng tất cả các giá trị

của

m

là



2

.

Lời giải

Chọn C

Cách 1:

Ta có:

 



 

 

 

 



   

     







 



 

  

 



 

     

   

 





 





0;3

0

0 0

0

0 0

20 16

36

, 0; 3

20, 0; 3

1

min 20

36

20 16

0; 3 : 20

0; 3 :

1

x

m x

mx x

x x

x

y

x

x mx

x m

x

x x

(*)

(vì





 

0 36 20

y ).

Xét hàm số

 







20 16

1

x

g x

x x

trên







0; 3

.

Ta có:

 

  



 



 

2

20 32 16

'

1

x x

g x

x x

;

 





 







      



 





2

' 0 20 32 16 0

2

5

x tm

g x x x

x l

.

Bảng biến thiên:

Do đó, từ





*

suy ra



4

m

. Vậy

 

2 4

m

.

Cách 2:

Ta có:







0 36

y

,





 

3 3 9

y m

;

 

     

 



2

36

' , 0; 3

1

y m x

x

.







 

0 36

y m

,

 

 

9

' 3

4

y m

.

Mà

 



     

 



3

72

0, 0;3

1

y x

x

. Bảng biến thiên

VÍ DỤ 3: Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số  



36

1

y mx

x

trên đoạn

 

 

0; 3

bằng

20

(với

m

là tham

số). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

 

0 2

m

. B.

 

4 8

m

. C.

 

2 4

m

. D.



8

m

.

Trường hợp 1:



9

4

m

. Khi đó

    

 

' 0, 0; 3

y x

. Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn

 

 

0; 3

.

Do đó, ta có

 

 

 

       

0;3

11

min 20 3 20 3 9 20

3

y y m m

(không thỏa mãn).

Trường hợp 2:



36

m

. Khi đó

    

 

' 0, 0; 3

y x

. Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn

 

 

0; 3

.

Do đó, ta có





 

 

 

0;3

min 0 36

y y

(không thỏa mãn).

Trường hợp 3:

 

9

36

4

m

. Khi đó

 

     

6

' 0 1 0;3

y x

m

.

Do đó, ta có





 

 

 





 

         



 





 



0;3

4

6

min 20 1 20 12 20

100

m tm

y y m m

m l

m

.

Do đó



4

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy

 

2 4

m

.

Lời giải

Chọn D

Ta có





  

5

' 6 2

f x x ax b

. Do hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại



0

1

x nên







    

1 0 2 6

f b a

Do hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại



0

1

x nên









  



1 ,f x f x .









            

 

6 2

1 , 2 1 3 2 ,f x f x x ax bx a b a b x





            



6 2

2 6 2 2 6 1 3 2 ,x ax a x a a a b x (do

  

2 6

b a

)





   

 

        

          



2 6

2 2

4 3 2

2 1 6 5,

1 1 2 3 4 5 , *

a x x x x x

a x x x x x x x

Mà





         

4 3 2

max 2 3 4 5 3 1

x x x x x nên (*) xảy ra khi

 

3

a

.









   

3 3 705 min 3 696

f a f

.

Lời giải

Chọn A

VÍ DỤ 4: Cho hàm số





     

6 2

2

y f x x ax bx a b

với

,

a b

là các số thực. Biết hàm số đạt giá trị

nhỏ nhất tại



0

1

x

. Giá trị nhỏ nhất có thể của





3

f

bằng bao nhiêu?

A.

128

.

B.

243

.

C.

81

.

D.

696

.

VÍ DỤ 5: Cho     

2

( ) 5 4 .

y f x x x mx

Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

m

sao cho

giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )

f x

lớn hơn

1

. Tính số phần tử của

.

S

A.

7.

B.

8.

C.

6.

D.

5.

Vì









min 1

f x nên

    

2

( ) 5 4 1

f x x x mx

với

 



x

Với



  



4;x , ta có

 

           

2

3

5 4 1 5, 4

f x mx x x m x x

x

Đặt

     

3

( ) 5, 4.

g x x x

x

Ta có





        



2

3 1

( ) 1 0, 4; , (4)

4

g x x g

x

.

Do đó

   

 

1

4

g x g

. Vì

    

        



1

4; 4 .

4

m g x x m g m

(1)

Tương tự, với



 



1; 4

x

. Ta có





          



2

5 4 1 1;4 1

f x x x mx x m

. (2)

Với



(0;1)

x

. Ta có

   

             

2

3

5 4 1 0; 1 5 1

f x x x mx x m x m

x

(3)

Với





 

;0

x

. Ta có









       

2

5 4 1 ;0

f x x x mx x

   

          

3

5 ;0 5 2 3 4

m x x m

x

Với



0

x

luôn đúng.

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có

  

1 5 2 3

m

Vậy







2; 3; 4; 5;6;7;8

S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Lời giải

Chọn B

Ta có:



 



 



 

 



 



 

 

sin

sin sin

sin 1 sin 2 sin

3

1 .

2

4 .6

9 4

3

4

2

x

x x

x x x

m

y .

Đặt

 



 

 

sin

3

2

x

t

với

 



 

 

2 3

;

3 2

t

khi đó

 



 



2

1

4

mt

y f t

t

Yêu cầu bài toán tương đương với:

Tồn tại





 

 

 

2 3

;

3 2

max

f t

( điều này luôn đúng) và

 



1

3

f t có nghiệm

 



 

 

2 3

;

3 2

t .

Xét

 

    

2

1 1 4

1

3 3 3

f t mt t

 



 

2

1

3 1

t

m

t

.

Đặt

 





2

1

t

g t

t

,

 

    

2

1

' 1 0 1

g t t

t

.

Bảng biến thiên của hàm





g t

:

VÍ DỤ 6: Tìm tất cả các giá trị thực của

m

để giá trị lớn nhất của hàm số







sin sin

sin 1 sin

4 .6

9 4

x x

m

y

không nhỏ

hơn

1

.

3

A.



2

3

m . B.



2

3

m . C. 

13

18

m . D.  

2 13

3 18

m .

Yêu cầu bài toán tương đương

 

1

có nghiệm hay

 

3m g t

có nghiệm

 



 

 

2 3

;

3 2

t

 

     

2

3 1 3 2 .

3

m g m m

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số trên đoạn

, .

Từ bảng biến thiên, ta có:

Và , nên đồng biến trên

, nên vô nghiệm.

Do đó, chỉ có nghiệm là và .

Ta có .

. Vậy .













3

g x f x f x

 





1;2















2

3 1

g x f x f x

 

 

  

 





0

g x













   

2

0 1

1 2

f x













 





 

1 1;2

1

2 1;2

x



   





  







0

f x









1;2

x  





f x





1;2



   

10

1

3

f x f

   





1

f x

 





2

1

f x

 





1;2

x  





2





0

g x





2

1

x

 

2

x















3

1 1 3 1

g f f

    

3

10 10 730

3

3 3 27

   

  

   

   













3

2 2 3 2

g f f 

   

3

6 3 6 198

  

 

   

1;2

730

min 1

27

g x g



  

VÍ DỤ 7: Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số liên tục trên tập số thực và có

bảng biến thiên như sau:

Biết rằng , . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .





y f x







f x







y f x





 

10

1

3

f

 





2 6

f















3

g x f x f x

 





1;2



10

3

820

27

730

27

198

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Với nên đồng biến trên .

Với nên nghịch biến trên .

Suy ra: Vì nghịch biến trên nên

và Từ đây, ta suy ra: .

Lời giải

Chọn D

Ta có

     

 

  2 2 1g x f x x

.

Giải phương trình:

         



   

 



  

             



 



    



 



3 4; 3

0 2 2 1 0 1 1 4; 3

4 4; 3

x

g x f x x f x x x

x





6 4 2

( ) ( ) 3 2

f x x f x x x x

   

2 6 4 2

( ) ( ) 3 2

f x xf x x x x

    

2 6 4 2

4 ( ) 4 ( ) 4 12 8

f x xf x x x x

    

2 2 6 4 2

4 ( ) 4 ( ) 4 12 9

f x xf x x x x x

     





2

3 2

2 ( ) (2 3 )

f x x x x

   

3

2 ( ) 2 3

f x x x x



  





   



3

( ) 2

( )

f x x x



 





  



3 2

( ) 2 ( ) 3 2 0,f x x x f x x x



       



( )

f x



3 ' 2

( ) ( ) 3 1 0,f x x x f x x x



         



( )

f x



3

( ) .

f x x x

  

( )

f x



 

1;2

max ( ) (1) 2

M f x f

   

 

1;2

min ( ) (2) 10.

m f x f

   





3 3. 2 10 4

M m

    

VÍ DỤ 8: Cho hàm số nghịch biến trên . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Biết rằng hàm số

 

y f x

và thỏa mãn

. Giá trị của bằng

A. B. C. D.

( )

y f x





M

m

( )

y f x







1;2





6 4 2

( ) ( ) 3 2 ,f x x f x x x x x

     



3

M m



4.

28.



3.



33.

VÍ DỤ 9: Cho hàm số





f x

. Biết hàm số







f x

có đồ thị như hình dưới đây. Trên đoạn

 

 

4; 3

, hàm

số

     

  

2

2 1g x f x x

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm?

A.

 3x

. B.

 4x

. C.

 3x

. D.

 1x

.

Tương giao đồ thị như sau

Bảng biến thiên:

Vậy trên đoạn

 

 

4; 3

, hàm số

 

g x

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

 1x

.

Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số

  

2

4y x x

trên khoảng

 

0; 3

là:

A. 4. B. 2. C. 0. D. -2.

Câu 2: Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 1.

B. Hàm số có đúng một cực trị.

C. Hàm số đạt cực đại tại

 1x

và đạt cực tiểu tại

 3x

.

D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.

Câu 3: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình bên dưới

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

 

 

2; 3

bằng

A.

3

. B.

4

. C.

5

. D.

2

.

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

      

     1 2 3 4 2019f x x x x x

là

A.

2017

. B.

2020

. C.

2018

. D.

2019

.

Câu 5: Cho hàm số

 

y f x

và có bảng biến thiên trên







5;7

như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.



 







5;7

min 2f x

và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên







5;7

.

B.



 







5;7

max 6f x

và



 







5;7

min 2f x

.







y f x



+



1

+

2



+

1

y

y'

x

3

0

C.













5;7

max 9

f x

và















5;7

min 2

f x

.

D.















5;7

max 9

f x và













5;7

min 6

f x .

Câu 6: Gọi

m

là giá trị nhở nhất của hàm số

 

4

y x

x

trên khoảng







0;

. Tìm

m

A.



4

m

. B.



2

m

. C.



1

m

. D.



3

m

.

Câu 7: Cho hàm số







y f x

và hàm số







y g x

có đạo hàm xác định trên



và có đồ thị như hình vẽ

dưới đây:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình





 



f x

m

g x

có nghiệm thuộc

 

 

2; 3

?

A. 4. B. 5. C. 7. D. 6.

Câu 8: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập số thực bằng



1

6

.

B. Giá trị cực đại của hàm số bằng 0.

C. Giá trị lớn nhất của hàm số trên tập số thực bằng 0.

D. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0.

Câu 9: Cho hàm số







y f x

liên tục trên



sao cho





 

 



1; 2

max 3

f x

. Xét









  

3 1

g x f x m

. Tìm tất

cả các giá trị của tham số

m

để





 

 

 

0;1

max 10

g x

.

A.

13

. B.



7

. C.



13

. D.



1

.

Câu 10: Giá trị lớn nhất của hàm số

 

3

3sin 4sin

y x x

trên khoảng

 

 



 

 

;

2 2

bằng:

A. 1. B. 3. C.



1

. D. 7.

Câu 11: Cho hàm số





 

2

sin 1

.

sin sin 1

x

y

x x

Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số

đã cho. Chọn mệnh đề đúng.

A.



3

2

M m

. B.

 

3

2

M m

. C.

 

2

3

M m

. D.

 1M m

.

Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

 



2

2 1

2 2

f x

x

trên khoảng

 

0;1

A.

 





0;1

54 25 5

min

20

f x

. B.

 





0;1

11 5 5

min

4

f x

.

C.

 





0;1

10 5 5

min

4

f x

. D.

 





0;1

56 25 5

min

20

f x

.

Câu 13: Gọi

M

và

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số







2

1

2

x

y

x

trên tập



 

    

 



 

3

; 1 1;

2

D

. Tính giá trị

T

của

.m M

.

A.



3

2

T

. B.

 0T

. C.

 

3

2

T

. D.



1

9

T

.

Câu 14: Cho hàm số

  

3 2

3

1

2

y x x

. Gọi

M

là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng

 



 

 

11

25;

10

. Tìm

M

.

A.

 1M

. B.



129

250

M

. C.

 0M

. D.



1

2

M

.

Câu 15: Giá trị lớn nhất của hàm số

   

3

3 1y x x

trên khoảng

 

0;

bằng:

A.

3

. B.

1

. C.

1

. D.

5

.

Câu 16: Trên khoảng

 (0; )

thì hàm số

   

3

3 1y x x

.

A. Có giá trị lớn nhất là

Max –1y

. B. Có giá trị nhỏ nhất là

Min –1y

.

C. Có giá trị lớn nhất là

Max 3y

. D. Có giá trị nhỏ nhất là

Min 3y

.

Câu 17: Cho hàm số

  

4 2

2 5y x x

. Khẳng định nào sau đây đúng:

A. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.

B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn nhất.

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn nhất.

Câu 18: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm cấp hai trên



. Biết

 



0 3f

,

 



 2 2018f

và bảng xét

dấu của

 



f x

như sau:

Hàm số

 

  2017 2018y f x x

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

0

x

thuộc khoảng nào sau đây?

A.

 

 ; 2017

. B.

 

2017;

. C.

 

0; 2

. D.

 

2017; 0

.

Câu 19: Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình

 

  

3 2

2 2 3f x x m x

nghiệm đúng với mọi

 

 1; 3x

khi và chỉ khi

A.

 10m

. B.

 5m

. C.

 3m

. D.

 2m

.

Câu 20: Có bao nhiêu số thực

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

    

2

4 3 4y x x m x

bằng

5

.

A.

2

. B.

3

. C.

0

. D.

1

.

Câu 1: Chọn B

Tập xác định

  

 

0; 4

D

. Xét hàm số   

2

4

y x x

trên khoảng





0; 3

Ta có:

 





 

2

4

x

y

x x

có



  

0 2

y x

.

Bảng biến thiên

Trên khoảng





0; 3

giá trị lớn nhất của hàm số là



2

y

.

Câu 2: Chọn C

Từ bảng biến thiên, ta dễ dàng thấy được A, B, D sai, C đúng.

Câu 3: Chọn B

Từ đồ thị của hàm số







y f x

ta thấy rằng hàm số







y f x

xác định và liên tục trên đoạn

 

 

2; 3

và ta có





  

 

2; 4

f x

với mọi





x

. Nên ta có











 

 

 

2;3

max 3 4

f x f .

Câu 4: Chọn C

Tập xác định:



D= .

Biến đổi:





























           

2 2

1 2 3 4 2019 5 4 5 6 2019.

f x x x x x x x x x

Đặt

 

           

 

 



2

5 9 9

5 4 .

2 4 4

t x x t x t x

Hàm số đã cho trở thành

   

        

2

9

2 2019 1 2018 2018 .

4

f t t t t t

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng

2018

tại

 

   





 

9

1 ; .

4

t

Câu 5: Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên dễ dàng ta thấy















5;7

min 2

f x

khi



1

x

.















5;7

max 6

f x là sai vì





f x

sẽ nhận các giá trị

7; 8

lớn hơn

6

khi



7

x

.















5;7

max 9

f x

là sai vì





f x

không bằng

9

mà chỉ tiến đến

9

khi



7

x

,







7

x .

Câu 6: Chọn A

Ta có:  

2

4

' 1y

x

;





      

' 0 2; 2 0; .

y x x

Bảng biến thiên:

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

  

2) 4 4.

(

y m

Câu 7: Chọn D

Xét hàm số

 





 



f x

h x

g x

. Dựa vào đồ thị, ta thấy các hàm số





f x

và





g x

liên tục và nhận giá

trị dương trên

 

 

2; 3

, do đó





h x

liên tục và nhận giá trị dương trên

 

 

2; 3

.

Ngoài ra với

  

 

2; 3

x

, dễ thấy







6

f x

,







1

g x

nên

 





 

 

6

f x

h x

g x

, mà

 





 

  

0

6

0 6

1

0

f

h

g

nên







 

 



2; 3

max 6

h x .

Lại có







0

h x với mọi

  

 

2; 3

x và





 

2 1

h nên







 

 

 

2; 3

0 min 1

h x

.

Phương trình





 



f x

m

g x

có nghiệm trên

 

 

2; 3

khi và chỉ khi











 

 

 

 

2; 3

min max

h x m h x

.

Từ





1

,





2

và





3

, kết hợp với





m

, ta có







1;2;3; 4; 5;6

m

. Chọn D

Câu 8: Chọn B

Từ bảng biên thiên ta nhận thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm 0

nên hàm số đạt cực đại tại 0 và giá trị cực đại của hàm số bằng 0.

Câu 9: Chọn C

Ta có:













     

     

 

     

 

0;1 0;1 0;1

max max 3 1 max 3 1

g x f x m m f x

.

Đặt

 

3 1

t x

. Ta có hàm số





t x

đồng biến trên



. Mà

      

   

0;1 1;2

x t .

Suy ra:









   

   

  

0;1 1; 2

max 3 1 max 3

f x f t

. Suy ra





 

 

 

0;1

max 3

g x m

.

Do đó





 

 

        

0;1

max 10 3 10 13

g x m m

.

Câu 10: Chọn A

Đặt



sin

x t

Khi đó







  

2

12 3

f t t ;

 



   

1

0

2

f t t . So sánh

 

 

 

1

2

f và

 



 

 

1

2

f

ta thấy GTLN là

 



 

 

1

2

f

.

Câu 11: Chọn D





  

1;1

t

Đặt

   

sin , 1 1

t x t



  

 

2

1

( )

1

t

y f t

t t

,

 

 





 

2

( )

1

t t

f t

t t



   

 



 



    



 



0 1;1

( ) 0

2 1;1

t

f t

t

    

2

(0) 1, ( 1) 0, (1)

3

f f f . Vậy

 

1, 0

M m

Câu 12: Chọn B

Hàm số xác định và liên tục trên





0;1

và có

 



  



3 2

4 1

2 1

f x

x

.

Giải phương trình









0

f x



   

3 2

8 16 8 0

x x x











   

2

2 6 4 0

x x x



 

3 5

x

.

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

 





0;1

11 5 5

min

4

f x .

Câu 13: Chọn B







2

1

2

x

y

x

. Tập xác định









     

 

; 1 1; \ 2

.





   



 

 



 

    

  

2

2 2

2

1

2 1 1

1

; 0

2

2 1 2

x x

x

y y x

x x x

Từ bảng biến thiên suy ra



0;

M

 

5

m

. Vậy



. 0

M m

Câu 14: Chọn A

Ta có

 



   







2

1

3 3 0

0

x

y x x

x

.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

 1M

.

Câu 15: Chọn A

Ta có:



  

2

3 3y x

,

 

 



 



 





1

0

1

x

y

x l

.

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số

   

3

3 1y x x

trên khoảng

 

0;

bằng

3

.

Câu 16: Chọn C

Ta có



  

2

3 3y x

,

 



 



 



1

0

1

x

y

x

.

Ta có bảng biến thiên



Hàm số có giá trị lớn nhất là

 3Max y

.

Câu 17: Chọn C

Ta có: TXĐ:





D



 

3

4 4y x x

,



 0y

 



 



 



0

1

x

.

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.

Câu 18: Chọn A

Dựa vào bảng xét dấu của

 



f x

ta có bảng biến thiên của hàm sồ

 



f x

Đặt

  2017t x

.

Ta có

     

      2017 2018 2018 2017.2018y f x x f t t g t

.

   

 

  2018g t f t

.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số







f x

suy ra phương trình







g t

có một nghiệm đơn







 

;0

và một nghiệm kép



2

t

.

Ta có bảng biến thiên





g t

Hàm số





g t

đạt giá trị nhỏ nhất tại







  

0

;0

t

.

Suy ra hàm số





  

2017 2018

y f x x

đạt giá trị nhỏ nhất tại

0

x

mà









      

0 0

2017 ;0 ; 2017

x x

.

Câu 19: Chọn B





  

3 2

2 2 3

f x x m x

nghiệm đúng với mọi





 

1; 3

x

   

 



        

3 2

1;3

3

, 1;3 min

2 2

x x

f x m x m g x

Quan sát đồ thị, ta thấy

 











  

1;3

min 2 3

f x f

Xét hàm

 

 

3 2

3

2 2

x x

h x ,





  

1; 3

x

. Ta có:

 



 

2

3

2

x

h x x

;

 







 







0

2

x

h x

x

Bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên trên, ta suy ra

 











  

1;3

min 2 2

h x h

Từ và suy ra

 











  

1;3

min 2 5

g x g

. Vậy

 

5

m

là giá trị thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 20: Chọn D

Xét





   

2

4 3

f x x x m

có



  

1

m

.

 Trường hợp 1.



1

m

:





      

2

0 8 3

f x x y x x m

.

   min 5 8y m

.

 Trường hợp 2.

 1m

:

 

 0f x

có hai nghiệm

  

1

2 1x m

;

  

2

2 1x m

.

 Nếu

 



1 2

;x x x

:

   

2

3y x m

và

 



   





   





1

2

8 4 1

y x m

.

   

 

1 2

y x y x

 

      

1 2

;

min 8 4 1 8

x x

y m

.

 Nếu

 



1 2

;x x x

:

   

2

8 3y x x m

.

)

    

2

4 1 3x m

:



     min 13 5 8y m m

.

)

   

2

4 3x m

:

      min 8 4 1 8y m

. Vậy có 1 giá trị của

m

.

Câu 1: Cho hàm số

 

20 7

2

m

f x x x



  

, với

m

là tham số nguyên dương. Hỏi có bao nhêu giá trị

nguyên của tham số

m

để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên



.

A.

6

. B.

5

. C.

7

. D.

10

.

Câu 2: Cho hàm số

 

30 6

1

m

f x x x



  

, với

m

là tham số nguyên dương. Hỏi có bao nhêu giá trị

nguyên của tham số

m

để hàm số có giá trị lớn nhất trên



.

A.

6

. B.

8

. C.

7

. D.

3

.

Câu 3: Cho hàm số

 

2 11 6 3

3 3f x m m x mx x    

, với

m

là tham số. Hỏi có bao nhêu giá trị thực

của tham số

m

để hàm số có giá trị lớn nhất trên



.

A.

0

. B.

2

. C. Vô số. D.

1

.

Câu 4: Cho hàm số

 

3 13 6 4

( ) 1f x m m x mx x    

, với

m

là tham số. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị

thực của tham số

m

để hàm số

 

f x

có giá trị nhỏ nhất trên



?

A.

1

. B.

0

. C.

2

. D.

3

.

Câu 5: Cho hàm số

 

4 3 2

( ) 1 2 1f x x x m x mx     

. Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

0

0x 

thì

giá trị của tham số

m

nằm trong khoảng nào dưới đây?

A.

 

3; 1 

. B.

 

1; 3

. C.

 

3; 4

. D.

 

1;1

.

Câu 6: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số

21; 21m   

 

để giá trị nhỏ nhất của

hàm số

 

4 3 2

( ) 2 4 2 2 2021f x x mx mx m x     

đạt tại

0

2x 

. Số phần tử của tập

S

là

A.

1

. B.

0

. C.

2

. D.

12

.

Câu 7: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

để hàm số

 

4 3 2

2 . 3 . 2 2021f x x m x m x mx     

đạt giá trị lớn nhất tại

0

1x 

. Số phần tử của tập

S

là:

A.

3

B.

2

C.

1

D.

0

Câu 8: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số

21;21m   

 

để giá trị nhỏ nhất của hàm

số

   

 

6 5 2 4

2 11 2021f x x m x m x     

đạt tại

0

0x 

. Số phần tử của tập

S

là:

A.

34

B.

42

C.

35

D.

37

Câu 9: Cho hàm số

  

 

2

( ) 1 2 2021.f x x x x ax b     

Biết hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2021.

Giá trị của biểu thức

4S a b 

tương ứng bằng:

A.

5

B.

0

C.

10

D.

14

Câu 10: Cho hàm số

 

6 2

2 ,f x x ax bx a b    

với

,a b

là hai số thực. Biết hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

tại

0

1x 

. Giá trị nhỏ nhất có thể của

 

3f

bằng bao nhiêu?

A.

128

. B.

243

. C.

81

. D.

696

.

Câu 11: Cho hàm số

 

4 3 2

1.f x x x ax bx b     

Biết rằng hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

0

1x 

. Hỏi

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

20; 20a   

 

thỏa mãn bài toán?

A.

30

. B.

23

. C.

22

. D.

24

.

Câu 12: Cho hàm số





7 4 3 2

( 2) ( 2 1) (2 1) 2.

f x m n x x m n x x n x

          

Với

m

và

n

là hai tham

số thực. Biết hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

0

2

x



. Giá trị của biểu thức

16 2

T m n

 

bằng:

A.

22

. B.

38

. C.

46

. D.

79

.

Câu 13: Cho hàm số





4 3 2

2 2 2

f x x ax bx cx b

    

với

, ,

a b c

là những tham số thực. Biết hàm số đạt

giá trị nhỏ nhất tại

1

x



và

2

x



. Giá trị của biểu thức

2

T a b

 

bằng:

A.

7

. B.

8

. C.

3

. D.

9

.

Câu 14: Cho hàm số





4 3 2

1

f x x ax bx cx

    

với

, ,

a b c

là những tham số thực. Biết hàm số đạt giá

trị nhỏ nhất tại

1

0

x



và

2

1

x



. Giá trị của biểu thức

2

T a b c

  

bằng:

A.

1

. B.

0

. C.

2

. D.

3



.

Câu 15: Cho hàm số





6 5 4

2 1

f x x ax bx

   

với

,

a b

là hai tham số thực. Biết hàm số đạt giá trị nhỏ

nhất tại

1

0

x



và

2

1

x



. Giá trị của biểu thức

3 4

T a b

 

bằng:

A.

7

. B.

8

. C.

5

. D.

0

.

Câu 16: Cho hàm số

4 3 2

( ) 1

f x x ax bx cx

    

, với

, ,

a b c

là những tham số thực. Biết hàm số đạt giá

trị nhỏ nhất bằng

( )

b

. Giá trị của biểu thức

3

T a b c

  

bằng:

A.

3

. B.

5

. C.

6



. D.

1



.

Câu 17: Cho hàm số

8 5 4

( ) 2021

f x x ax bx cx    

, với

,

a b

là những tham số thực. Biết hàm số đạt

giá trị nhỏ nhất tại

0

x



. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T a b

 

bằng:

A.

1



. B.

1

. C.

2



. D.

3

.

Câu 18: Cho hàm số

6 5 4

( ) 1

f x x ax bx

   

, với

,

a b

là những tham số thực. Biết hàm số đạt giá trị nhỏ

nhất tại

0

x



. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

T a b

 

bằng:

A.

4

. B.

8

. C.

16

. D.

2



.

Câu 19: Cho hàm số









4 3 2

4 1 1

f x x x m x mx

     

với m là tham số thực. Biết rằng





min

f x





Giá trị lớn nhất của



bằng:

A. 1. B. -1. C. -2. D. 0.

Câu 20: Cho hàm số









4 3 2

4 1 1

f x x x m x mx

     

với m là tham số thực. Biết rằng





min

f x





. Khi



đạt giá trị lớn nhất thì ;

o o

x x m m

  . Giá trị của biểu thức





o o

x m



bằng:

A. 0. B.

1

2

. C. -1. D.

3

4



.

Câu 21: Cho hàm số





4 3 2

( ) 2 2

f x x x mx m x

     

, với

m

là tham số thực. Biết rằng





max

f x





. Khi



đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A.

0

. B.

2

. C.

1

. D.

1



.

Câu 22: Cho hàm số

6 5

( ) 6 5 ,

f x x a x b

   với

a

và

b

là hai số thực không âm. Biết rằng hàm số đạt giá

trị nhỏ nhất bằng

5



. Giá trị lớn nhất của biểu thức

ab

tương ứng bằng:

A.

1

. B.

6

7

. C.

2

7 6

. D.

6

7 7

.

Câu 23: Cho hai số thực

,

x y

thỏa mãn

 

2 2

4 4

x y . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 





2

2 1

2 2

x xy

P

y

lần lượt là

M

và

m

. Giá trị của biểu thức

 

4 4

T M m

bằng:

A.

113

. B.

36

. C.

12

. D.

64

.

Câu 24: Biết rằng để giá trị lớn nhất của hàm số





 



3

1

x

mx

f x trên đoạn

 

 

1; 2

bằng

4

thì giá trị

thực của tham số



,

m

a

b

trong đó

,

a b

là những số nguyên dướng và phân số



m

a

b

tối giản.

Giá trị của biểu thức

 

T a b

bằng:

A.

7

. B.

8

. C.

9

. D.

5

Câu 25: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

  

 

50; 50

m

để giá trị lớn nhất của

hàm số





 

4

f x x mx

trên đoạn

 

 

1; 3

nhỏ hơn hoặc bằng

60?

A.

53

. B.

44

. C.

58

. D.

8

Câu 26: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

  

 

50; 50

m

để giá trị lớn nhất của

hàm số





 

3

f x x mx

trên đoạn

 

 

1; 3

lớn hơn hoặc bằng

40?

A.

52

. B.

51

. C.

49

. D.

50

Câu 27: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để giá trị lớn nhất của hàm số

 

3 2

( )

f x x mx

trên đoạn

 

 

1; 2

nằm trong





6; 20

?

A.

1.

B.

2.

C.

4.

D.

3.

Câu 28: Để giá trị nhỏ nhất của hàm số  

3 2

( )

f x x mx

trên đoạn

 

 

1; 2

bằng 1 thì giá trị thực của tham

số

m

bằng:

A.



1.

B.

1.

C.



2.

D.

0.

Câu 29: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

  

 

30; 30

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số







( )

1

x x mx

f x

x

trên đoạn

 

 

1; 4

lớn hơn hoặc bằng 2.

A.

3.

B.

27.

C.

28.

D.

33.

Câu 30: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc

 

 

30; 30

để giá trị nhỏ nhất của

hàm số

 

 





2

1

x mx

f x

x

trên đoạn

 

 

1; 2

nhỏ hơn hoặc bằng

3

?

A.

35

. B.

26

. C.

11

. D.

31

Câu 31: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

thuộc







44; 44

để giá trị nhỏ nhất

của hàm số





  

3

1

f x x mx

trên

 

 

0; 3

nằm trong

 

 

2;0

. Số phần tử của tập

S

là:

A.

41

. B.

45

. C.

72

. D.

5

Câu 32: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

 





 

2

1

x mx

f x

x x

bằng



1

2

. Tổng bình phương tất cả các phần tử của tập

S

bằng:

A.

13

8

. B.

1

. C.

11

4

. D.

5

2

Câu 33: Gọi

S

là tập chứ tất cả các giá trị nguyên của tham số

  

 

30; 30

m để giá trị nhỏ nhất của hàm

số

 





 

2

2 2

x m

f x

x x

lớn hơn



1

3

. Số phần tử của tập

S

bằng:

A.

31

. B.

32

. C.

11

. D.

2

Câu 34: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

 



 

2

2 4

2 3

x mx

f x

x x

nhỏ hơn

1

4

. Số phần tử của tập

S

bằng :

A.

2

. B.

3

. C.

59

. D.

58

Câu 35: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số

m

để giá trị lớn nhất của hàm số

 

 



 

2

3

2 2

x mx

f x

x x

bằng

2

. Tổng bình phương các phần tử của tập

S

bằng :

A.

32

. B.

36

. C.

40

. D.

48

Câu 36: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

để giá trị lớn nhất của hàm số

 

 



 

2

1

x mx

f x

x x

nhỏ hơn 4. Số phần tử của tập

S

bằng

A.

2

. B.

10

. C.

8

. D.

9

.

Câu 37: Gọi

S

là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số

  

 

30; 30

m

để giá trị lớn nhất của hàm

số

 

 



 

2

2 3

2 2

x mx

f x

x x

lớn hơn 6. Số phần tử của tập

S

bằng

A.

17

. B.

16

. C.

43

. D.

35

.

Câu 1: Trường hợp 1:









13 2 min 2

m f x f x

    



. Vậy

13

m



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2:





13 *

m 

Khi đó một hàm đa thức có giá trị nhỏ nhất trên





bậc cao nhất phải là bậc chẵn và hệ số của

nó phải dương

1 13

20 7 1 13 4 9

7 19

20 2 20 2 20 2

2 2

20 2

, , ,

,

m

m m k

k

m k m k m k

m k

m k m k m k

m k

  



  



  

     



 

  



         

   

   

 

  

  









  







2; 4;6; 8;10;12

m 

(thỏa mãn điều kiện





*

).

Vậy có

7

giá trị

m

nguyên dương thỏa mãn.

Câu 2: Chọn C

Trường hợp 1:









24 1 max 1

m f x f x

    



. Vậy

24

m



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2:





24 *

m 

Khi đó một hàm đa thức có giá trị lớn nhất trên





bậc cao nhất phải là bậc chẵn và hệ số của

nó phải âm

 

0 30 6 24 30

24; 25;26; 27;28; 29; 30

m m

m

m m

 

     

 

   

 

 

 

 

 

Trong trường hợp này kết hợp với





*

ta có





25; 26; 27; 28; 29; 30

m 

.

Vậy





24; 25; 26; 27; 28; 29; 30

m 

. Suy ra có

7

giá trị

m

nguyên dương thỏa mãn.

Câu 3: Chọn D

Một hàm đa thức có giá trị lớn nhất trên





bậc cao nhất phải là bậc chẵn và hệ số của nó phải

âm, suy ra

2

0

3 0

3

m

m m

m





  







.

Với





3

0 3

m f x x

    

không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số





f x

trên



.

Với





6 3

3 3 3

m f x x x

      

tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số





f x

trên



.

Vậy có duy nhất một giái trị thực của tham số

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: Chọn C

Hàm đa thức





y f x



đạt giái trị nhỏ nhất trên



khi và chỉ khi bậc cao nhất phải là bậc chẵn

suy ra

3

0

1

m

m m

m





  



 



Với





4

0 1

m f x x

   

, tồn tại giá trị nhỏ nhất trên



nên

0

m



thỏa mãn.

Với





6 4

1 1

m f x x x

     

, không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên



nên

1

m



không thỏa

mãn.

Với





6 4

1 1

m f x x x

     

, tồn tại giá trị nhỏ nhất trên



nên

1

m

 

thỏa mãn.

Vậy có 2 giá trị thực của

m

thỏa mãn bài toán.

Câu 5: Chọn D

Ta có:

















3 2 2

4 3 2 1 2 , 12 6 2 1

f x x x m x m f x x x m

 

        

Hàm đa thức đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

0

x



thì hàm số phải đạt cực tiểu tại

0

x



. Suy ra:





 

0 2 0

0

0 2 2 0

f m

m

f m





 



 





   





Thử lại: với





4 3 2

0 1

m f x x x x

     

và





0 1

f



Xét













4 3 2 2 2

0 1 0,f x f x x x x x x x

         



Suy ra

0

m



thỏa mãn bài toán.

Câu 6: Chọn B





 

3 2

2

4 6 28 2 2

12 12 8

f x x mx mx m

f x x mx m



    



  

Hàm đa thức đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

0

2

x



thì hàm số phải đạt cực tiểu tại

0

2

x



. Suy ra:





 

2 30 10 0

3

0 48 16 0

f m

m

f m





  



 





  





Thử lại: với





4 3 2

3 6 12 8 2021

m f x x x x x      

và





2 2021

f  

Xét

     





2

4 3 2 2

2 6 12 8 2 2

f x f x x x x x x x

       

không thảo mãn điều kiện không âm,

x

 



Suy ra không có giá trị nào của

m

thỏa mãn bài toán.

Câu 7: Chọn C

Ta có:









3 2 2

' 4 6 6 2 ; '' 12 12 6

f x x mx mx m f x x mx m

        

Hàm đa thức đạt giá trị lớn nhất tại điểm

0

1

x



thì hàm số phải đạt cực đại tại

0

1

x



.Suy ra:





 

' 1 4 2 0

2

'' 1 12 6 0

f m

m

f m



   



  



   





Thử lại:

Với





4 3 2

2 4 6 4 2021

m f x x x x x         và





1 2020

f  

Xét:

     

4

4 3 2

1 4 6 4 1 1 0

f x f x x x x x

          

đúng với

x

 



Suy ra:

2

m

 

thỏa mãn bài toán.

Câu 8: Chọn C

Cách 1: Lập luận bản chất theo tư duy bất phương trình:

Ta có:

















6 5 2 4

2 11 2021 0 2021

f x x m x m x f        với

x

 











4 2 2 2 2

. 2 11 0 2 11 0

x x m x m x m x m

 

           

 

với

x

 



 

2

; 21;21

2

2 2 37

21 5

3

2 4 11 0

4 21

2 2 37

3

m m

m

m m

m

   

 



 





   



        



 



 











Vậy có tất cả 35 giá trị nguyên

m

thỏa mãn bài toán.

Cách 2: Áp dụng kiến thức GTLN và GTNN hàm đa thức trên



Ta có:

























5 4 2 3 4 3 2 2

' 6 5 2 4 11 ; '' 30 20 2 12 11

f x x m x m x f x x m x m x

         

Hàm đa thức đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

0

x



thì:





 

0

' 0

'' 0

f x

m

f x







 









Thử lại. Xét:

























6 5 2 4 4 2 2

0 2 11 . 2 11 0

f x f x m x m x x x m x m

           

 

2

2 2

2 11 0

x m m

    

với

x

 



 

2

; 21;21

2

2 2 37

21 5

3

2 4 11 0

4 21

2 2 37

3

m m

m

m m

m

   

 



 





   



        



 



 











Vậy có tất cả 35 giá trị nguyên

m

thỏa mãn bài toán.

Câu 9: Chọn D

Cách 1: Áp dụng kiến thức GTLN và GTNN hàm đa thức trên



Ta có:





















2 2

' 2 3 3 2 2

f x x x ax b x x x a

       





























2 2

'' 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2

f x x ax b x x a x x a x x

           

Hàm đa thức đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

0

1

x



thì hàm số phải đạt cực tiểu tại





 

0

' 0

:

'' 0

f x

x

f x















Nhận thấy rằng













min 2021 1 2 .

f x f f  

Tức là hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

1; 2

x x

 

Suy ra





 

' 1 1 0

' 2 4 2 0

3

2

'' 1 2 2 0

'' 2 16 6 2 0

f a b

a

b

f b

f a b



   



   

 





 



  





   



Thử lại:

Với

    





   

2 2

2

3; 2 1 2 3 2 2021 1 2 2021 2021

a b f x x x x x x x             





TM

Suy ra

3; 2

a b

 

thỏa mãn.Suy ra:

4 14.

a b

 

Cách 2: Theo cách tư duy bất phương trình:

Ta có

























2 2

( ) 1 2 2021 2021 1 2 0

f x x x x ax b x x x ax b

            

với

x



Suy ra:

 

2

1; 2

1 0 3

0

4 2 0 2

x x

a b a

x ax b

a b b

 

     

    

 

   

 

Thử lại:

Với

3, 2

a b

 

thỏa mãn. Suy ra:

4 14.

a b

 

Câu 10: Chọn D

Có đạo hàm

   

5 4

6 2 ; 30 2f x x ax b f x x a

 

    

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

0

1x 

, suy ra hàm số đạt giá trị cực tiểu tại

0

1x 

. Suy ra:

(1) 6 2 0 2 6

(1) 30 2 0 15

f a b b a

f a a





       





 



    





Thử lại:

Với

 

6 2

2 6

2( 3) 6

15

b a

f x x ax a x

a

   

     



 



và

 

1 11f a  

 

6 2 2 4 3 2

(1) 2( 3) 5 ( 1) ( 2 3 4 5) 0f x f x ax a x a x x x x x a              

với

x R 

4 3 2

2 3 4 5 0x x x x a      

với

x R 

Xét hàm số:

 

4 3 2

2 3 4 5g x x x x x a     

có:

 

3 2 2

4 6 6 4 ( 1)(4 2 4)g x x x x x x x



       

Khảo sát nhanh hàm số:

 

y g x

ta có bảng biến thiên:

Để

4 3 2

( ) 2 3 4 5 0g x x x x x a      

với

x R 

thì

3 0 3a a    

Có

(3) 11 4 729 11 4( 2 6) 729 3 705 3.( 3) 705 696f a b a a a             

Suy ra giá trị nhỏ nhất cùa

(3)f

là

696

.

Câu 11: Chọn B

Ta có:

   

3 2 2

4 3 2 ; 12 6 2f x x x ax b f x x x a

 

      

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

0

1x 

, thì:

(1) 2 7 0 2 7

(1) 2 18 0 9

f a b b a

f a a





       





 



    





Thử lại: Xét

2 7

9

b a

a

   



 



suy ra

 

4 3 2

( 2 7) 2 8f x x x ax a x a       

và

 

1 3 13f a  

Xét

 

4 3 2 2 2

(1) ( 2 7) 5 ( 1) ( 3 5) 0f x f x x ax a x a x x x a              

với

x R 

2

3 5 0x x a    

với

x R 

; 20;20

2

11

3 4( 5) 0 2 20

4

a Z a

a a a

   

 

           

Vậy có tất cả 23 giá trị

a

nguyên thỏa mãn bài toán.

Câu 12: Chọn D

Điều kiện để hàm số tồn tại giá trị nhỏ nhất là:

2 0 2 .m n m n     





4 3 2

( 1) (2 1) 2.

f x x n x x n x

      









3 2 2

4 3( 1) 2 2 1; 12 6( 1) 2

f x x n x x n f x x n x

 

         

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

0

2

x



, thì:

(2) 2 47 0

47

.

(1) 62 12 0

14

f n

n

f n



   

  





  



Thử lại: Thay

47

14

n  

vào ta được

     

2

4 3 2 2

33 54 100 23 25

2 2 ( ) 0

14 7 7 14 7

f x f x x x x x x x

          

với

x R

 

Suy ra

47 75

; 2 2 3 79.

14 14

n m n T n m        

Câu 13: Chọn A

Ta có:





3 2

' 4 3 4 2

f x x ax bx c

   

;





2

'' 12 6 4

f x x ax b

  

.

Để hàm đa thức đạt giá trị nhỏ nhất tại đồng thời hai điểm

1

x



và

2

x



, thì phải có:









 

1 2

7 6 2 15

6

' 1 0

3 4 2 4

13

' 2 0 12 8 2 32

2

12 6 4 0

'' 1 0

6

48 12 4 0

'' 2 0

f f

a b c

a

f

a b c

f a b c b

a b

f

c

a b

f





    



  







   



 

       

  

  

  



 

  



  

 







.

Thử lại, thay

13

6; ; 6

2

a b c

    

vào ta được





4 3 2

6 13 12 13

f x x x x x

    

và





1 9

f



.

Xét

       

2 2

4 3 2

1 6 13 12 4 1 2 0

f x f x x x x x x

         

thỏa mãn.

Vậy

2 7

T a b

  

.

Câu 14: Chọn B

Ta có:





3 2

' 4 3 2

f x x ax bx c

   

;





2

'' 12 6 2

f x x ax b

  

.

Để hàm đa thức đạt giá trị nhỏ nhất tại đồng thời hai điểm

1

0

x



và

2

1

x



, thì phải có:









 

0 1

1

' 0 0

0 2

' 1 0 3 2 4 1

2 0 0

'' 0 0

12 6 2 0

'' 1 0

f f

a b c

f

c a

f a b c b

b c

f

a b

f





    







   



 

       

  

  

 





 

  

 







.

Thử lại, thay

2; 1; 0

a b c

   

vào ta được





4 3 2

2 1

f x x x x

   

và





0 1

f



.

Xét

     

2

4 3 2 2

1 2 1 0

f x f x x x x x

      

thỏa mãn.

Vậy

2 0

T a b c

   

.

Câu 15: Chọn B

Ta có:





5 4 3

' 6 5 8

f x x ax bx

   ;





4 3 2

'' 30 20 24

f x x ax bx

   .

Để hàm đa thức đạt giá trị nhỏ nhất tại đồng thời hai điểm

1

0

x



và

2

1

x



, thì phải có:









 

0 1

2 1

' 0 0

0 0

2

' 1 0 5 8 6

1

0 0

2

'' 0 0

30 20 24 0

'' 1 0

f f

a b

f

a

f a b

b

f

a b

f





   









 



 

      

  



  







 

  

 







.

Thử lại, thay

1

2;

2

a b

 

vào ta được





6 5 4

2 1

f x x x x

   

và





0 1

f



.

Xét

     

2

6 5 4 4

1 2 1 0

f x f x x x x x

      

thỏa mãn.

Vậy

3 4 8

T a b

  

.

Câu 16: Chọn C

Dễ thấy:

( 1) (1)

2

f f

b

 



Ta có

min ( ) ( 1)

( 1) (1)

min ( ) (1)

2

f x b f

f f

b

f x b f



  

 

 



 



Bài toán cho dấu

" "



xảy ta nên

min ( ) ( 1) (1)

f x f f

  

.

Ta có

3 2 2

( ) 4 3 2 ; ( ) 12 6 2

f x x ax bx c f x x ax b

 

      

Để hàm số đa thức đạt giá trị nhỏ nhất tại đồng thời hai điểm

1 2

1, 1

x x

  

thì phải có:

( 1) (1)

( 1) 0 4 3 2 0 0

(1) 0 4 3 2 0 2

( 1) 0 12 6 2 0 0

(1) 0 12 6 2 0

f f a b c a b c

f a b c a

f a b c b

f a b c

f a b

        

 



        

 

  



        

  

  



     



 



   

 

 

Thử lại, thay

0, 2, 0

a b c

   

vào ta được

4 2

( ) 2 1, (1) 2

f x x x f b

     

Xét

4 2 2 2

( ) 2 1 ( 1) ( 1) 0

f x b x x x x

       

thỏa mãn.

Vậy

0, 2, 0 3 6

a b c T a b c

         

.

Câu 17: Chọn A

Ta có

min ( ) (0) ( ) (0) 2021,

f x f f x f x

     



Dễ thấy để xuất hiện

( )

a b



thì ta xét

(1) 1 2021 (0) 2021 1

f a b f a b

         

.

Dấu

" "



xảy khi

(1) (0)

f f



tức là khi đó

min ( ) (0) (1)

f x f f

 

Ta có

7 4 3 6 3 2

( ) 8 5 4 ; ( ) 56 20 12

f x x ax bx f x x ax bx

 

     

Để hàm số đa thức đạt giá trị nhỏ nhất tại đồng thời hai điểm

1 2

0, 1

x x

 

thì phải có:

(0) (1) 1

(0) 0 0 0

4

(1) 0 5 4 8

3

(0) 0 0 0

(1) 0 56 20 12 0

f f a b

f

a

f a b

b

f

f a b

     

 



 

 



 

 



     

  





 



 

 



   

 

 

Thử lại, thay

4, 3

a b

  

vào ta được

8 5 4

( ) 4 3 2021, (0) 2021

f x x x x f    

Xét

8 5 4 4 2 2

( ) (0) 4 3 ( 1) ( 2 3) 0

f x f x x x x x x x

        

thỏa mãn.

Vậy

min min

4, 3 ( ) 1

a b T a b

       

.

Câu 18: Ta có

min ( ) (0) ( ) (0) 1,

f x f f x f x

     



Dễ thấy để xuất hiện

(2 )

a b



thì ta xét

( 2) 64 32 16 1 (0) 1 2 4

f a b f a b

         

.

Dấu

" "



xảy khi

( 2) (0)

f f

 

tức là khi đó

min ( ) (0) ( 2)

f x f f

  

Ta có

5 4 3 4 3 2

( ) 6 5 4 ; ( ) 30 20 12

f x x ax bx f x x ax bx

 

     

Để hàm số đa thức đạt giá trị nhỏ nhất tại đồng thời hai điểm

1 2

0, 2

x x

  

thì phải có:

(0) ( 2) 2 4

(0) 0 0 0

4

( 2) 0 5 2 12

4

(0) 0 0 0

( 2) 0 480 160 48 0

f f a b

f

a

f a b

b

f

f a b

     

 



 

 





 



     

  





 



 

 



    

 

 

Thử lại, thay

4, 4

a b

 

vào ta được

6 5 4

( ) 4 4 1, (0) 1

f x x x x f

    

Xét

6 5 4 4 2

( ) (0) 4 4 ( 2) 0

f x f x x x x x

      

thỏa mãn.

Vậy

max max

4, 4 (2 ) 4

a b T a b

     

.

Câu 19: Chọn B

Ta có:

















4 3 2 2 4 3 2

4 1 1 4 1

f x x x m x mx m x x x x x

           

Dễ thấy:

2

0

1

x

x x

x





  







Biết rằng









min ,f x f x x



   



. Suy ra





 

0 1

1 1

f





 



   



  





Ta tìm điều kiện dấu bằng xảy ra:









min 1 1

f x f



   

Tức là ta tìm điều kiện để hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại

1

o

x



Ta có:













3 2 2

' 4 12 2 1 ; '' 12 24 2 2

f x x x m x m f x x x m

        





 

' 1 6 0

6

'' 1 2 10 0

f m

m

f m



  



 



  





Thay m=6 ta được:









     

 

4 3 2

2

4 3 2 2

4 7 6 1; 1 1

1 4 7 6 2 1 2 2 0,

f x x x x x f

f x f x x x x x x x x

      

            



Vậy khi m=6 thì









min 1 1

f x f



   

là giá trị lớn nhất của



.

Câu 20: Chọn D

Ta có:

















4 3 2 2 4 3

4 1 1 2 3

f x x x m x mx m x x x x

           

Dễ thấy:

2

1

2 3 0

3

x

x x

x



 

    







Biết rằng:









min f x f x x



   



. Suy ra:





 

1 0

3 108

f





  



   



 





Dấu bằng xảy ra:

   

min 1 0f x f



   

hay hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

1

o

x  

Ta có:

   

3 2 2

' 4 3 2 2 ; '' 12 6 2f x x x mx m f x x x m      

 

' 1 4 1 0

1

4

'' 1 6 2 0

f m

m

f m



   



 



   





Thử lại: thay

1

4

m 

vào ta được

   

4 3 2

1 1 3

; 1 0

4 2 4

f x x x x x f      

Xét:

     

2

4 3 2 2

1 1 3 3

1 1 0,

4 2 4 4

f x f x x x x x x x x

 

             

 

 



Vậy khi

     

1

min 1 0

4

o o

m m f x f x f



       

là giá trị lớn nhất của



Suy ra

 

3

4

o o

x m  

Câu 21: Chọn A

Ta có:

4 3 2

( ) 2 2 ( )f x x x x m x x     

,

x 



ta có

 

0 0

max 0

1 1

f

f x

f







 



 





. Ta chỉ ra tồn tại

m

để

 

max 0f x 

tại

0x 

. Khi

đó hàm số đạt cực đại tại

 

0 0 0 2.x f m



     

Thử lại với

2m  

thì

4 3 2 3 2

( ) 2 2 ( ) 4 6 4f x x x x f x x x x



        

.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy với

2m  

thì

 

max 0f x 

.

Câu 22: Chọn D

Ta có

6 5 5 5

( ) 6 5 ( ) 6 6 ; ( ) 0f x x a x b f x x a f x x a

 

        

.

Ta có bảng biến thiên:

Theo bài ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng

6 6

5 5 5 5 1 .a b b a        

Giả sử

 

6 7 6

6

1

. 1 1 7 0

7

h a a b a a a a h a a a



          

.

Ta có bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức

ab

bằng

6

7 7

.

Câu 23: Chọn A

Nếu

 0y





2

4x

khi đó



5

2

P

.

Nếu

 0y

ta có:

 





2

4 8 4

8 8

x xy

P

y

 





2 2

5 8 4

2 16

x xy y

x y

   

 

   

   



 



 

 

2

5 8 4

2 16

x x

y y

x

y

.

Đặt



x

t

y

ta được:

 





2

5 8 4

2 16

t t

P

t

   

     

2

5 2 8 4 16 0 2P t t P

.

Nếu



5

2

P

thì



9

2

t

.

Nếu



5

2

P

thì phương trình

 

2

là phương trình bậc hai.

  

    

2

4 5 2 4 16P P

 

   

2

16 20 88 32P P

   

2

32 88 4P P

   

2

32 88 4 0P P



 

  

11 113 11 113

8 8

y



  

11 113

Max

8

P M

,



 

11 113

Min

8

P m

   4 4 113T M m

.

Câu 24: Chọn A

Ta có:

 

 

 

        

 

 

3

1;

2

1 1 4, 1;24M xmx mxax x x



    

 



3

, 1;2

x

m

;

 

 

 



 

 

 

3

1; 2

3 5

2

x

Max

x

m

Dấu “=” xảy ra khi

   

5

5, 2

2

m a b

     5 2 7.T a b

Câu 25: Chọn B

Ta có:

 

 

 

        

 

44

1; 2

60 1 60, 1; 3M mx mx xax x x

     

 



4

60, 1;3x xmx

Với

 0,x

thỏa mãn.

Với

 0x

ta xét





















 













 

 

 



      

 



 

 

 



 

 



     

 



 

 





 







4 4

4

1;0

4 4

4

0; 2

1;0

60 60

, 1;0 min 59

60

59

0; 2

60 60

, 0;2 min 7

60

7

m

x x

x m

x x

mx x

m

x x

x m

x x

m m

m

x x

Kết hợp với điều kiện





     

 

, 50; 50 7;8;...;50

m mm



Có 44 giá trị nguyên

m

thỏa mãn.

Câu 26: Chọn C

Ta có:





 

 

      

 



1 3

3

;

3

3 3 40, 1;3

40m xmx mxax x x

 

 





 

 

       

 









3 3

1; 3

40 40 13

1; 3

3 9

,

3

x

x m Max

x

m

x x

Suy ra, để giá trị lớn nhất của hàm số lớn hơn hoặc bằng

40

thì

 

13

9

m

Kết hợp với





        

 

, 50;50 50; 49;...; 2

m mm



có

49

số thỏa mãn.

Câu 27: Chọn D

Đặt

M

là giá trị lớn nhất của hàm số  

3 2

( )

f x x mx

trên đoạn

 

 

1; 2

. Ta có:

 

6 20

M

Để



20

M

thì

 

3 2

20

x mx

   

 

1; 2

x

.

Từ đó suy ra:





3

2

20

x

m

x

   

 

1; 2

x

 

 



  

3

2

1;2

20

min 3

x

m

x

.

Tương tự để



6

M

thì

 

3 2

6

x mx

   

 

1; 2

x

 

 

 

  

3

2

1;2

6 1

Min

2

x

m

x

.

Do đó để



6

M

thì





1

2

m . Vậy



 

1

3

2

m , do đó có 3 giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 28: Chọn D

Để giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

3 2

( )

f x x mx

trên đoạn

 

 

1; 2

bằng 1 thì:

 

3 2

1

x mx

   

 

1; 2

x

và dấu “=” phải xảy ra. Khi đó ta có:

 

 



 

3

2

1;2

1

min 0.

x

m

x

Câu 29: Chọn C

Để giá trị nhỏ nhất của hàm số







( )

1

x x mx

f x

x

trên đoạn

 

 

1; 4

lớn hơn hoặc bằng 2 thì:







2

1

x x mx

x

   

 

1; 4

x

   

2 2

mx x x x

   

 

1; 4

x

 

 

2 2

x x x

m

x

   

 

1; 4

x

 

 

 

 

1;4

2 2

min

x x x

m

x

.

Lại có: đặt

 



2 2

( )

x x x

g x

x

thì

  

2

1 2

'( ) 0

2

g x

x

   

 

1; 4

x

.

Do đó:

 

 

 

   

1;4

2 2

Min (1) 3

x x x

m g

x

. Vậy có tất cả 28 giá trị của

m

thỏa mãn.

Câu 30: Chọn A

Vì

 

 





2

1

x mx

f x

x

là hàm liên tục trên

 

 

1; 2

nên





f x

có giá trị nhỏ nhất trên

 

 

1; 2

.

Ta có:

   

 

 

    

            

   



2 2

1;2

1 3 2

3 1;2 : 3 1;2 : 1

1

x mx x x

min f x x x m

x x

Đặt:

 

  



2

3 2

x x

g x

x

. Khi đó









 

 

   

1;2

1 4.

m Max g x m

Như vậy có

35

giá trị

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 31: Chọn B

Vì hàm số





  

3

1

f x x mx

là hàm liên tục trên

 

 

0; 3

nên





f x

có giá trị nhỏ nhất trên

 

 

0; 3

.

Ta có:













   

   

      

 

0;3 0;3

2;0 2 0 1

min f x min f x

.

Ta thấy:





   

0 1 0

f m

nên





 

 

 

0;3

0

min f x m

. Suy ra:















 

 





                  

   

 

              

 



 

3

0;3

2 2 3

3

0;3

1 2 2 0;3 1 2 0; 3

1 1 1

0; 3 2

4

min f x f x x x mx x

m x x m max x m

x x

Vậy số giá trị nguyên của

m

thuộc







44; 44

thỏa mãn yêu cầu bài toán là

45

.

Câu 32: Chọn A

Ta có : Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 





 

2

1

x mx

f x

x x

bằng



1

2

 

    



1

2

f x x

và phương

trình

 

 

1

2

f x

có nghiệm





      



2

3 4 1 1 0x m x x

và phương trình





   

2

3 4 1 1 0

x m x

có nghiệm

 



    



          



    





2

4 1 12 0

4 1 12 0 16 8 11 0

4 1 12 0

m

m m m

m

Theo định lý Vi-et, ta có phương trình

  

2

16 8 11 0

m m

có hai nghiệm phân biệt

1 2

,

m m

thỏa

mãn:

 



  



     





 





1 2

2

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2

1

13

2

2 .

11

8

.

16

m m

m m m m m m

m m

.

Vậy tổng bình phương tất cả các phần tử của tập

S

bằng

13

8

Câu 33: Chọn A

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất thì



 









' ' '

' '

a b c

a b

. Dễ thấy



' '

a b

nên hàm số luôn có giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất.

Khi đó

   



         

 

2

2 2

2

1

min 3 3 2 2

3

2 2

x m

f x f x x m x x

x x

đúng với mọi





x

.

    

2

4 2 3 2 0

x x m

đúng với mọi





x

.

Suy ra

   

 

          

 , 30;30

7

' 1 12 8 0 0 30

12

m m

m m m

.

Vậy có

31

giá trị của

m

thỏa mãn.

Câu 34: Chọn D

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất thì



 









' ' '

' '

a b c

a b

.

Trường hợp 1: Ta có



    

1 2 4

' ' ' 1 2 3

a b c m

a b c

nên vô nghiệm.

Trường hợp 2:



     

1 2

1

' ' 1 2

a b m

m

a b

. Khi đó hàm số có cả giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất. Ta sẽ đi tìm điều kiện để

 



1

min

4

f x

Khi đó

   

 

        

 

2

2 2

2

2 4 1

min 4 8 16 2 3

4

2 3

x mx

f x f x x mx x x

x x

đúng với mọi





x

.

Suy ra





   

2

3 2 4 1 13 0

x m x

với mọi





x

.

Suy ra

 

   

       

2

1 39 1 39

' 4 1 39 0

4 4

m m

Suy ra để

 



1

min

4

f x thì

    

 



 







   







 



 









1, 30;30 ,

1 39

30 2

4

2 30

1 39

4

m m m

m

Có tất cả 58 giá trị của

m

thỏa mãn.

Câu 35: Chọn C

Để hàm số có giá trị lớn nhất thì



 









' ' '

' '

a b c

a b

.

Trường hợp 1:



       

1 3

2

' ' ' 1 2 2

a b c m

m

a b c

.

Trường hợp 2:

   

2

' '

a b

m

a b

.

Khi đó ta tìm điều kiện để







max 2

f x .

Mặt khác :

   

 

  

 

2

3

max 2

2 2

x mx

f x f x

x x

đúng với mọi





x

.

Phải có điều kiện dấu bằng xảy ra.

Ta suy ra





   

2

4 1 0

x m x

đúng với mọi





x

.

Suy ra

 

         

2

4 4 0 6 2

m m . Kết hợp điều kiện suy ra

 

6

m

.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta suy ra









      

6; 2 6; 2

m S .

Tổng bình phương các giá trị của

S

bằng 40.

Câu 36: Chọn D

Để hàm số có giá trị lớn nhất thì



 

 



  

  

   



  





 



 



1 2

1

1 1 1

1 1

a b c

m

a b c

m

a b m m

a b

.

Ta có:

   

 

  

 

2

max 4

1

x mx

f x f x

x x

đúng

 



x





     

2 2

2 4 1

x mx x x đúng

 



x





    

2

3 4 2 0

x m x

đúng

 



x

 

             

2

0 4 24 0 4 2 6 4 2 6

m m







         



8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0

m

Vậy có tất cả 9 giá trị của

m

thỏa mãn điều kiện.

Câu 37: Chọn D

Để hàm số có giá trị lớn nhất thì



 

 





  



    



  





 



 





2 3

1 2 2

4

2 4

1 2

a b c

m

VN

a b c

m

a b m m

a b

.

Để tìm điều kiện của

m

để







max 6

f x

ta đi tìm điều kện để







max 6

f x

Ta có:

   

 

  

 

2

2 3

max 6

2 2

x mx

f x f x

x x

đúng

 



x





     

2 2

2 3 6 2 2

x mx x x

đúng

 



x





    

2

4 12 9 0

x m x

đúng

 



x

 

         

2

0 12 144 0 0 24

m m

Vậy để







max 6

f x

thì











0

24

m

    

 

  







   







 





 , 4, 30 ;30

4

30 1

25 30

m m m

m

Vậy có tất cả 35 giá trị của

m

thỏa mãn điều kiện.

Câu 1: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ sau

Cho

   

a f x f x  ,

2

3

4

b a a   

và

   

2 2

2

3

3 2

1 1 . 2

8

1 . 2

S b b b

b b

 

    

 

 

.

Có giá trị lớn nhất của

S

bằng

m

n

và

 

2

m n

k

mn





. Khẳng định đúng là

A.

1k 

. B.

49

6

C.

25

4

. D.

9

4

.

Câu 2: Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m

sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

 

3

3f x x x m  

trên đoạn

 

0;3

bằng

16

. Tổng tất cả các phần tử của

S

bằng

A.

16

. B.

16

. C.

12

. D.

2

.

Câu 3: Cho hàm số

   

 

2

3

1

2

f x x x m m   

(

m

là số thực). Gọi tổng các giá trị của

m

sao cho

 

 

 

 

1;2

9

max min

4

f x f x 

là

 

1

2

S a b 

(với

,a b 



). Giá trị

b

a

bằng

A.

5

18

. B.

9

5

. C.

36

5

. D.

18

5

.

Câu 4: Cho hàm số

 

f x

, đồ thị của hàm số

 

y f x





là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất

của hàm số

   

2 4g x f x x 

trên đoạn

3

;2

2

 



 

 

bằng

A.

 

0f

. B.

 

3 6f  

. C.

 

2 4f 

. D.

 

4 8f 

.

Câu 5: Cho hàm số

 

4 3 2

y f x ax bx cx dx    

,

 

, , ,a b c d 



, biết đồ thị hàm số

 

y f x

như

hình vẽ.

Gọi

S

là tập hợp các giá trị của

x

sao cho hàm số

 

   

2

2 2

f x

g x

f x f x





 

đạt giá trị lớn nhất

hoặc đạt giá trị nhỏ nhất. Số phần tử của tập

S

là

A.

3

. B.

4

. C.

5

. D.

7

.

Câu 6: Cho hàm số

( )

1

x m

f x

x







. Số giá trị của

m

thỏa mãn

 

 

 

 

1;2

16

min max

3

f x f x 

là

A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.

Câu 7: Cho hàm

 

f x

liên tục trên đoạn

 

4;4

và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số

m

thuộc đoạn

 

4;4

để hàm số

 

3

2 3g x f x x f m  

có giá trị lớn nhất trên đoạn

 

1;1

bằng

8

?

A.

12

. B.

11

. C.

9

. D.

10

.

Câu 8: Cho hàm số

 

4 3 2

8f x x ax bx cx d    

thỏa mãn

 

 

1, 1;1f x x   

. Tính

2 2 2 2

S a b c d   

?

A.

60

. B.

75

. C.

70

. D.

65

.

Câu 9: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ và hàm số

 

2 4 2 6 4

2 1 2 3

x x x x

g x

x x

     



  

.

Đặt

   

 





2 2

3 2 2 4h x f g x f x x f m      

. Gọi

M

là giá trị lớn nhất của

 

h x

.

Giá trị lớn nhất của

M

thuộc khoảng nào sau đây:

A.





0;2

. B.





2;4

. C.





4;5

. D.





5;10

.

Câu 10: Cho hàm số

 

4

2 4

2

x mx

f x

x

 





, với

m

là tham số. Tìm tham số

m

để

 

 

1;1

3

min

4

f x





?

A.

1

4

m



. B.

1

5

m



. C.

m





. D.

1 5

4 4

m

 

.

Câu 11: Cho các số thực

,

x y

thỏa mãn

3 1 3 2

x x y y

    

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P x y

 

là

A.

9 3 21

min

2

P





. B.

min 9 3 15

P  

. C.

min 63

P

 

. D.

min 91

P

 

.

Câu 12: Cho hàm số





3

f x x x

 

và









2 cos

g x f x m

  

(

m

là tham số thực) gọi

S

là tập hợp

tất cả các giá trị của

m

sao cho









3max min 100

g x g x 



. Tổng giá trị tất cả các phần tử

của

S

bằng

A.

16.



B.

12.

C.

32.



D.

28.



Câu 13: Cho hàm số

2

( )

2 2

ax b

y f x

x



 



. Gọi

,

M m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

( )

f x

. Có bao nhiêu cặp số





,

a b

với ,a b





sao cho

2 2

5

M m

 

?

A.

51

. B.

89

. C.

198

. D.

102

.

Câu 14: Cho hàm số

 

3 2 2

1

2 3 3 1

3

y x m x m x

     

. Tìm

2

;0

3

m

 

 

 

 

để giá trị lớn nhất của

hàm số đã cho trên đoạn





1;1



bằng 4.

A.

1 2

2

m



 . B.

1 3

4

m



 . C.

1 2

4

m



 . D.

1 5

6

m



 .

Câu 15: Tìm số giả trị của tham số

m

để giá trị lớn nhất của hàm số

4 3 2

3 4 6 12

y x x mx mx m

    

trên đoạn





1;2

bằng

18

.

A.

0

. B.

3

. C.

1

. D.

2

.

Câu 16: Cho hàm số

 

y f x

đồng biến trên



và thỏa mãn

   

6 4 2

. 3 2 ,f x x f x x x x x     

 

 



. Gọi

M

và

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của hàm số

 

y f x

trên đoạn

 

1; 2

. Giá trị của

3M m

bằng

A.

33

. B.

3

. C.

4

. D.

28

.

Câu 17: Có bao nhiêu số thực

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

2 4y x x m x    bằng

1

.

A.

0

. B.

3

. C.

2

. D.

1

.

Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

để giá trị lớn nhất của hàm số

 

3

12f x x x m  

trên

 

1;3

không vượt quá

20

.

A.

33

. B.

34

. C.

35

. D.

36

.

Câu 19: Gọi

M

là giá trị lớn nhất của hàm số

 

2

f x x ax b  

trên đoạn

 

1;3

. Giá trị của biểu thức

2a b

khi

M

nhỏ nhất là

A.

3

. B.

4

. C.

2

. D.

4

.

Câu 20: Cho hàm số bậc bốn

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số

m

thuộc đoạn

 

0;20

sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

     

2 4 3g x f x m f x    

trên đoạn

 

2;2

không bé hơn 1?

A. 18. B. 19. C. 20. D. 21.

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của

a

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

4 4 3y ax x x   

lớn hơn 2?

A.

1

2

a 

B.

1a  

C.

1 3

2 2

a 

D.

0a 

Câu 22: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

để hàm số

 

2 2 4 8

2

mx x

f x

x

 





có

giá trị nhỏ nhất trên đoạn

 

1;1

là

a

thỏa mãn

0 1a 

.

A.

3

. B.

4

. C.

5

. D.

2

.

Câu 23: Cho hàm số bậc bốn

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá

trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

 

1;20

sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

     

2 4 3 2g x f x m f x m     

trên đoạn

 

2;2

không bé hơn 2. Tổng tất cả các phần

tử của

S

bằng:

A.

207

. B.

209

. C.

210

. D.

212

.

Câu 24: Gọi

S

là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

5 4y x x mx   

lớn hơn 1. Số phần tử của

S

là:

A.

7

. B.

6

. C.

8

. D.

3

.

Câu 25: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên



, bảng biến thiên của hàm số

 

y f x

như hình vẽ

và

   

0, 0;f x x



   

.

Biết

,a x

thay đổi trên đoạn

 

0;2

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

     

 

2

1 2 0 6

2 4 2 2 4 2

f x f a x f a

S

f x f x f x f a

 

  

   

 

 



   

     

   

bằng

m

n

(phân số tối giản, ,m n







).

Tổng m n thuộc khoảng nào dưới đây?

A.

 

20;25

. B.

 

95;145

. C.

 

45;75

. D.

 

75;95

.

Câu 26: Cho đồ thị hàm số

   

f x f x





như hình vẽ. Biết rằng

       

0 3 5 1f f f f  

. Gọi M, m lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

f x

trênđoạn

0; 5 

 

. Đáp án đúng là

A.

   

5 ; 1M f m f 

. B.

   

0 ; 1M f m f 

.

C.

   

3 ; 0M f m f 

. D.

   

1 ; 5M f m f 

.

Câu 27: Đặt

2

4M max x x mx  

. Giá trị nhỏ nhất của

M

là

A.

1

. B.

2

. C.

3

2

. D.

2

.

Câu 28: Cho đồ thị hàm số

( )y f x





như hình vẽ. Biết rằng

2 (6) (0) (2).f f f 

Gọi

M

và

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )f x

trên đoạn

[0;6]

. Đáp án đúng là

A.

(6); (0)M f m f 

. B.

(2); (6)M f m f 

.

C.

(2); (0)M f m f 

. D.

(6); (0)M f m f 

.

Câu 29: Cho đồ thị hàm số

( )y f x





như hình vẽ. Biết rằng

(0) (2) (1) (3)f f f f  

và

(0) (1) (3) (5).f f f f  

Gọi

M

và

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số

( )f x

trên đoạn

[0;5]

. Đáp án đúng là

A.

(3); (1)M f m f 

. B.

(0); (1)M f m f 

.

C.

(0); (5)M f m f 

. D.

(3); (5)M f m f 

.

Câu 30: Cho hàm số

( )y f x

đạt giá trị nhỏ nhất trên



tương ứng là

.m

Khi đó giá trị nhỏ nhất

của hàm số

2

( ) 3 ( ) 2g x f x x x  

thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?

A.

min ( ) 3g x m

. B.

min ( ) 3 2g x m 

.

C.

min ( ) 3 2g x m 

. D.

min ( ) 3 1g x m 

.

Câu 31: Cho hàm số

 

y f x

đạt giá trị nhỏ nhất trên



tương ứng là

3

và giá trị nhỏ nhất của hàm số

   

2

4 4g x f x x x  

tương ứng bằng

8

. Kết luận nào dưới đây luôn đúng?

A.

 

2 3f 

. B.

 

2 3f 

. C.

 

3 3f 

. D.

 

3 4f 

.

Câu 32: Cho hai hàm số





y f x



và





y g x



liên tục và xác định trên



, có giá trị lớn nhất lần lượt là

3

và

6

. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số









3 2

y f x g x

 

luôn thỏa mãn điều kiện nào dưới

đây?

A.













max 3 2 21

f x g x

 

. B.













max 3 2 24

f x g x

 

.

C.













max 3 2 30

f x g x

 

. D.













max 3 2 21

f x g x

 

.

Câu 33: Cho hai hàm số





y f x



và





y g x



liên tục và xác định trên



, có giá trị lớn nhất của hàm

số





y f x



là

6

và giá trị nhỏ nhất





y g x



là

3

. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số









2 3 2

y f x g x

  

luôn thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?

A.













max 2 3 2 5

f x g x

  

. B.













max 2 3 2 3

f x g x

  

.

C.













max 2 3 2 5

f x g x

  

. D.













max 2 3 2 2

f x g x

  

.

Câu 34: Cho hàm số





y f x

 liên tục trên



, có giá trị lớn nhất là 2. Biết hàm số





2

2 6

y f x x x

  

có

giá trị lớn nhất bằng 8. Chọn đáp án đúng trong các đáp án sau?

A.





0 4

f



. B.





3 1

f



. C.





2 0

f



. D.





2 2

f



.

Câu 35: Cho hàm số





y f x



liên tục và xác định trên



, có





min 4

f x



. Khi đó kết luận đúng về

nghiệm của bất phương trình





4

f x



sẽ là:

A. luôn có nghiệm. B. luôn vô nghiệm.

C. có thể có nghiệm có thể vô nghiệm. D. luôn có đúng một nghiệm duy nhất.

Câu 36: Cho hàm số





4

2 6 3

y f x x ax a

    

có giá trị nhỏ nhất bằng m. Nhận xét nào trong các đáp

án dưới đây luôn đúng?

A.

3

m

 

. B.

3

m

 

. C.

78

m



. D.

3

m



.

Câu 37: Cho hàm số





y f x



liên tục trên



, có giá trị lớn nhất và nhỏ bằng

M

và

m

. Biết rằng









2 18

f a f b

 

, trong đó

a

và

b

là hai số thực dương. Nhận xét nào trong các đáp án dưới

đây là luôn đúng?

A.

3

m



. B.

9

M



. C.

5

m



. D.

6

M



.

Câu 38: Cho hàm số





y f x



liên tục trên



, có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là

M

và

m

. Biết rằng









2 12

f a f b

 

, trong đó

a

và

b

là hai số thực dương. Khi đó giá trị biểu thức









2 5

M m

 

có thể bằng

A.

1



. B.

3



. C.

0

. D.

10

.

Câu 39: Cho hàm số





4

2 4 7

f x x ax a

   

, có giá trị nhỏ nhất là

m

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên dương mà

m

có thể nhận?

A.

11

. B.

8

. C.

9

. D.

10

.

Câu 40: Cho đồ thị hàm số





y f x

 như hình vẽ. Biết rằng

m

là tham số thực, giá trị nhỏ nhất của hàm

số





2 2

2 1

f x x mx m

   

tương ứng bằng:

A.

1

. B.

3

. C.

1

. D.

2

.

Câu 41: Cho đồ thị hàm số

 

y f x

như hình vẽ. Biết rằng

m

là tham số thực, giá trị nhỏ nhất của hàm

số

 

2 2

2 3 4 4 1f x x mx m    

bằng

4

thì tham số

m

bằng:

A.

1

. B.

0

. C.

1

2



. D.

2

.

Câu 42: Cho đồ thị hàm số

 

y f x

như hình vẽ. Biết rằng

m

là tham số thực. Gọi

S

là tập chứa tất cả

các giá trị thực của tham số

m

để hàm số

 

2

3 2 2f x m f x x  

đạt giá trị lớn nhất. Tổng các

giá trị của tất cả các phần tử thuộc tập

S

bằng:

A.

6

. B.

3

. C.

0

. D.

2

.

Câu 43: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết rằng

m

,

n

là hai số thực. Để hàm số

   

2

3 3 4f x m f x n x x    

đạt giá trị lớn nhất thì

 

2m n

bằng

A.

3

. B.

0

. C.

5

. D.

1

.

Câu 44: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của

tham số

m

để hàm số

   

 

2 2 4

2g x x m x m f f x   

đạt giá trị nhỏ nhất?

A.

6

. B.

4

. C.

3

. D.

8

.

Câu 45: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết rằng

m

,

n

là hai số thực. Để hàm số

   

2

2 2 3 2f x m f x n x x    

đạt giá trị nhỏ nhất thì

2 3T m n 

bằng

A.

11

. B.

7

. C.

13

. D.

5

.

Câu 46: Cho hàm số

 

2

2f x x mx 

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

30; 30m  

 

để hàm số

 

f x

tồn tại giá trị nhỏ nhất trên

 

1; 3

?

A.

3

. B.

2

. C.

5

. D.

4

.

Câu 47: Cho hàm số

   

2

2 2 1f x x m x   

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

30; 30m   

 

để hàm số

 

f x

tồn tại giá trị nhỏ nhất trên



3;11 



?

A.

6

. B.

31

. C.

4

. D.

5

.

Câu 48: Cho hàm số

3

y x mx

  . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

30; 30

m

  

 

để

hàm số





f x

tồn tại giá trị nhỏ nhất nhất trên





1; 3

?

A.

8

. B.

9

. C.

7

. D.

11

.

Câu 49: Cho hàm số

3 2

3

y x mx

  . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

30; 30

m

  

 

để

hàm số





f x

tồn tại giá trị nhỏ nhất trên





2; 3



?

A.

30

. B.

18

. C.

32

. D.

1

.

Câu 1: Ta có:

   





   

0 0

2 0

khi f x

f x f x

f x khi f x







 









Từ đồ thị hàm số





y f x





   





0;1 ,a f x f x x

    



.

Có

 

2

3 3

;1 , 0;1

4 4

b a a a

 

      

 

 

. Xét

     

2 2

2

1 1 . 2

g b b b b

 

   

 



           

2 2 2

2 2

' 2 1 1 . 2 1 2 . 2 2 . 2

g b b b b b b b b b

   

        

   

 





 





 





 

   

 

2 2 2 3 2 3

2 3 4 2 3 4 2 3 3 4 2 3

4 3 2

2

2 1 1 . 4 4 1 . 4 4 1 . 2

2 1 1 4 4 4 4 4 4 2 2

2 1 3 8 2 4 1

2 1 2 3 2 2 1

b b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b b b b b

b b b b b

 

           

 

 

              

 

 

     

 

 

     

 

Ta có

2

3

;1 2 0;3 2 2 0

4

b b b b

 

      

 

 

 

3

' 0, ;1

4

g b b

 

   

 

 



Hàm số

     

2 2

2

1 1 . 2

g b b b b

 

   

 

đồng biến trên

3

;1

4

 

 

 

   

3

1 8, ;1

4

g b g b

 

    

 

 

Xét

 

2

1 . 2

h b

b b

 

 



 

2

4 3

'

2 1 . 2

b

h b

b b b



 

  

 

3

' 0, ;1

4

h b b

 

   

 

 

   

3

1 1, ;1

4

h b h b

 

     

 

 

   

2 2

2

3

3 2 3 1

1 1 . 2 8 1

8 8 4

1 . 2

S b b b

b b

 

         

 

 

. Đẳng thức xảy ra khi

1

b



.



Giá trị lớn nhất của

S

bằng

1

4



và

9

4

k



.

Câu 2: Ta có :





 

3

3 16 0;3

16 3 16 0;3

x x m x

m x x m x

    

       

        

Xét hàm số

 

3

3g x x x 

với

 

0;3x

. Khi đó :

 

 

 

 

0;3

max 18

min 2

g x









 





18 16

14 2

2 16

m

 



     



   



.

Dấu ‘



’ xảy ra khi

14

2

m

 





 



. Tổng tất cả các phần tử của

S

bằng

16

.

Câu 3:

   

 

2

' 1 3 2 1f x x x m   

.

   

 

2

' 0 1 3 2 1 0f x x x m     

 

2

1 1;2

1 2

1; 2

3

x

m

x m

 











  





Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

 

 

1;2

3

min

2

f x m 

và

 

 

2

1;2

3

max 2 0

2

f x m m m    

.

Xét phương trình

 

 

 

   

1;2

9

max min 1

4

f x f x 

.

Trường hợp 1:

3

0 0

2

m m   

.

 

2 2

3 10

3 3 9 1

2

1 2 3 0

2 2 4 4

3 10

2

m

m m m m m

m









         











.

Do

0m 

nên

3 10

2

m





.

Trường hợp 2:

3

0 0

2

m m   

.

   

9

1 max

4

f x 

 

2

3 3

max max ; 2

2 2

m m

f x m

 

  

 

 

 

2

3 9

9 3

2 4

max

3 3

4 2

2

2 2

m

f x m

m m

m







   





  





(nhận)

 

2

3 9

2

9

2 4

max

3 3

4

2

2 2

m

f x

m m

m



  



 





  





 

3 13

4

3 13

4

m ktm





















Vậy

 

3 10 3 1

36 10

2 2 2

S



   

nên

36, 10

a b

 

giá trị

10 5

36 18

b

a

 

.

Câu 4: Xét









2 4

g x f x x

 





*

Đặt

 

3

2 , ;2 3;4

2

u x x u

 

     

 

 

Khi đó theo cách đặt





*

trở thành:









1

2

g u f u u

 

   

1

2

g u f u



  

,

   





 

1

0 3;4

0 2

2 3;4

u

g u f u

u

   



   



  





Ta có bảng biến thiên của hàm số





1

g u

trên





3;4



Từ bảng biến thiên suy ra

 













1 1

3;4

max 2 2 4

g u g f



  

.

Câu 5: Đặt





f x t



,

( ; ], 2

t a a

  

Ta có

 





   

2 2

2 2 2 2

f x

t

g x

f x f x t t



 

   

.

Đặt

 

2

2 2

t

h t

t t





 

,

( ; ], 2

t a a

  

.

 





 

2

2 2

0

' 0

2

2 2

t t

t

h t

t

t t

 





  







 

.

Ta có bảng biến thiên của hàm số





h t

.

Ta có

 

2

2 2

0 2

2 2

a

h a a

a a



   

 

nên từ bảng biến thiên suy ra:













;

max max 1 2

a

g x h t t



   



hay





2

f x



(phương trình này có 3 nghiệm).













;

min min 1 0

a

g x h t t



    



hay





0

f x



(phương trình này có 4 nghiệm).

Vậy có tất cả 7 giá trị của

x

sao cho hàm số





g x

đạt giá trị lớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 6: Ta có:

   

1;2 1;2

16

min ( ) max ( )

3

f x f x 

(1). Đặt

 

1

x m

h x

x







có đạo hàm:

 

2

1

'

1

m

h x

x







.

Nếu

1

m



thì

 





 





1;2

min max 1

f x f x

 

(loại)

Nếu

1

m



thì





0, 1

h x x



  

và

   

1 2

1 ; 2

2 3

m m

h h

 

 

Trường hợp 1:









1 , 2 0

h h



khi đó

1

m

 

Phương trình

(1)



1 2 16

2 3 3

m m

 

 

5

m

 

(TM)

Trường hợp 2:









1 , 2 0

h h



khi đó

2

m

 

Phương trình 1

(1)



1 2 16

2 3 3

m m

 

  

39

5

m



 

(TM)

Trường hợp 3:









1 . 2 0

1 2

2 3

h h

m m







 







khi đó

7

1

5

m

   

Phương trình

(1)



2 16

3 3

m





14

m

 

(không TM)

Trường hợp 4:









1 . 2 0

2 1

3 2

h h

m m







 







khi đó

7

2

5

m



  

Phương trình

(1)



1 16

2 3

m



 

35

3

m

  

(không TM)

Vậy

39

5,

5

m m



 

nên có 2 giá trị của

m

thỏa mãn.

Câu 7: Cách 1:

Đặt





3

2

t f x x

  . Vì





1;1

x 

nên





6;5

t  

. Khi đó,





g x t n

 

với





3

n f m



.

Do đó,

 

 

 

1;1

5 8

3

5 6

max max 5 ; 6 8

6 8

2

6 5

n

n n

g x n n

n

n n





  



 





  







    



  





  





  







Với









3 3. 3 1

n f m f m

    

, suy ra có

5

giá trị của

m

.

Với

   

2

2 3. 2

3

n f m f m



      

, suy ra có

6

giá trị của

m

.

Vậy có

11

giá trị của

m

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Cách 2:

Vì





1;1

x 

nên





3 3

3 3 3 6 3 5.

x x f x x

        

.

Ta có :





 





3

3 3 8, 1;1

f x x f m x     













3

8 3 3 8, 1;1

f x x f m x        





 

 

3

3 8 3

1;1

8 3 3

f x x f m

x

f m f x x



  



   



   





 





 

1

5 8 3

.

2

8 3 6

3

f m



 

 

 

 

   

 





Do đó

 





 

3

1

max 3 3 8

2

3

f m

f x x f m

f m





   



 





.

Với





1,

f m



có

5

giá trị của

m

. Với

 

2

,

3

f m





có

6

giá trị của

m

.

Vậy có

11

giá trị của

m

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 8: Ta có:





 

1 1

8 1

1

2 1

2

2 2 2

0 1 1

1

2 1

1

2

2 2 2

2

8 1

1 1

f

a b c d

a b c

f

d

f d

a b c

d

f

a b c d

f



 



    



 



 

    



 



 



 

  

 

 

 

 

    



 

 

 

 

    







4 2 2 2 2 2 1

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c a b c b

b d d d d

                

Tương tự:

16 2 2 2 8 1

b d b d

      

Dấu “=” xảy ra kết hợp với

1

d



khi:

2 1

2

1

8 1

8

1

b

d

b d

b

d



   





 

   

 

 











Khi đó:

1 1

2 2 2

1 1

2 2 2

1 1

a c



   



   







  



  





dấu “=” xảy ra khi

0

a c

 

Vậy





4 2

8 8 1

f x x x

  

Suy ra:

2 2 2 2

65

a b c d

   

Chú ý: Ta có thể suy luận như sau để được nhanh đáp số:

Vì





4 2

cos 4 8cos 8cos 1

t t t

  

nên nếu đặt

cos

x t



thì





4 2

cos 4 8 8 1

t x x

  

và như vậy

hàm





4 2

8 8 1

f x x x

  

thỏa mãn









1, 1;1

f x x   

Câu 9: Điều kiện:





0;2

x 

. Ta có:

 

2 4 2 6 4

2

2 1 2 3 2 1 2 3

x x x x

x x

g x

x x x x

     

 

  

     

.

Do





 

2

2 2 2 2 4

x x x x

     

vì

 





2 1, 0;2

x x x   

.

2 2 2 1 3 2

x x x x

       





2 3

g x

  













4 1

f g x 

.

Dấu

" "



xảy ra

1

x

 

.

Ta có:









2

3 2 2;3 , 0;2

x x x    









2

3 2 0 2

f x x    

.

Dấu

" "



xảy ra

1

x

 

.

Ta có:

 





 

2 2

2 4 0;2 2 4 4 3

m f m      

Dấu

" "



xảy ra

0

m

 

.

Từ













1 , 2 , 3





4 0 4 8

h x

    





max 8 1; 0

h x x m

    

.

Câu 10: Ta có:

 

   

 

 

 

 

 

 

1;1

3

, 1;1 1

3 3

4

min , 1;1

3

4 4

, 1;1 2

4

f x x

f x f x x

f x x





   



      



    





.

Trường hợp 1:

 

 

3

, 1;1

4

f x x   

.

Nhận thấy

 

3

0 2

4

f

  

. Nên trường hợp (1) không tìm được

m

.

Trường hợp 2:

 

 

3

, 1;1 .

4

f x x    

Ta có:

 

 

3

, 1;1 .

4

f x x    

   

 









 

4

4 3

3

2 4 3

, 1;1 8 4 16 3 6, 1;1

2 4

0 10, 0

10

4 8 3 10, 1;1 4 8 3 , 0;1 *

10

4 8 3 , 1;0

x mx

x x mx x x

x

khi x

mx x x x m x x

x

m x x

x

 

              







  



            





     





Xét hàm số

 

3

10

8 3g x x

x

  

có

 

4

2

2 2

10 24 10

24 0, 0

x

g x x x

x x





      .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên:

 





 





 

0;1

1;0

1

0

4 1

1 5

4

* 4 max .

4 5 5

4 4

4 min

4

m khi x

m

m g x m

m

m g x







  











      

  





 











Câu 11: Cách 1:

Đặt

1, 2X x Y y   

với

, 0X Y



suy ra:

2 2

1, 2x X y Y   

Ta có:

3 1 3 2x x y y    

2 2

3 3 3 0X Y X Y     

(1)

Tập hợp các điểm

 

,M X Y

thỏa mãn phương trình (1) là đường tròn

 

C

có tâm

3 3

;

2 2

I

 

 

 

, bán

kính

30

2

R 

. Gọi

   

3 21

0;

2

A C Oy A

 



 

 

 



;

   

3 21

;0

2

B C Ox B

 



 

 

 



. Vì

, 0X Y



nên ta chỉ xét các điểm



M AmB .

Ta có:

2 2 2

3 3P x y X Y OM      

suy ra

min min

P OM OA OB  

.

Mặt khác:

2

3 21 3 21

0

2 2

OA

 

 

  

 

 

.

Vậy

2

3 21 9 3 21

min 3 3

2 2

P OA

 

 

    

 

 

.

Cách 2:

ĐK:

1; 2

x y

  

. Ta có:

3 1 3 2 3 1 3 2

x x y y x y x y

          

,





0

x y



.

      

2

9 3 18 1 2

x y x y x y

       

   

2

9 3 21

9 27 0

2

x y x y x y



       

Đẳng thức xảy ra

1

11 3 21

2

x

y

 

















hoặc

2

13 3 21

2

y

x

 















Vậy

9 3 21

min

2

P



 khi và chỉ khi

1

11 3 21

2

x

y

 















hoặc

2

13 3 21

2

y

x

 















.

Câu 12: Đặt





2 cos , 1;3 .

t x t  

Ta có





3

f t t t

 

;





3

1

3

g t t t m

  

Xét hàm số





3

h t t t m

  

trên đoạn





1;3

;

 

2

1 ( )

3 3 0

1 ( )

t tm

h t t

t l







   



 



.









1 2, 3 18.

h m h m   

Trường hợp 1 :

 





 

 

1

1;3

1

1;3

min 2

2

max 18

g t m

m

g t m



 



 



 





Từ giả thiết bài toán ta có :





3 18 2 100 12 (tm)

m m m     

Trường hợp 2 :

 





 

 

1

1;3

1

1;3

min 18

18

max 2

g t m

m

g t m



  



  



  





Từ giả thiết bài toán ta có :





3 2 18 100 28 (tm)

m m m       

Trường hợp 3 :

 





 

 

 

1

1;3

1

1;3

min 0

18 2

max max 2 ; 18

g t

m

g t m m







   



  





Nếu

2 18 8.

m m m

     

Từ giả thiết bài toán ta có :

106

( )

3

3 2 100

94

( )

3

m l

m

m l







  













vì

18 8

m

   

Nếu

18 2 8.

m m m

     

Từ giả thiết bài toán ta có :

 

154

( )

3

3 18 100

46

3

m l

m

m l









  









vì

8 2

m

  

Vậy





12; 28 12 28 16

S

     

Câu 13: Cách 1:

Tập xác định

 

2

: 2 2 0 1

2 2

ax b

D x y yx ax y b

x



         



 

Để có

max , min

y y

thì phương trình

(1)

phải có nghiệm

x

Trường hợp 1:

0

y



, khi đó

(1) 0

ax b

   

. Phương trình có nghiệm

0

a b

a

 











.

Với

0

a b

 

thì

0,y x



 



, do đó

min max 0 5

y y

  

(thoả mãn).

Với

0

a



thì 0

b

y x

a

   

.

Trường hợp 2:

0

y



. Xét

2 2

16 8

y by a

    

.

(1)

có nghiệm

2 2 2 2

2 2

0 16 8 0

4 4

b a b b a b

y by a y

   

         

2 2 2 2

;

4 4

b a b b a b

M m

   

  

2 2

2 2 2 2

2

5 2 40(*)

8

a b

M m a b



     

.

Suy ra

2

20 4 4

b b

    

(do

b





).

Nhận xét nếu

2

a

M



thì có

2 1

M









 

số nguyên

a

thoả mãn.

Với

2

4 8

b a

 

. Có

5

số nguyên

a

thoả mãn.Vậy có

10

cặp





;

a b

.

Với

2

3 22

ab

  

 . Có

9

số nguyên

a

thoả mãn.Vậy có

18

cặp





;

a b

.

Với

2

2 32

ab

  

 . Có

11

số nguyên

a

thoả mãn.Vậy có

22

cặp





;

a b

.

Với

2

1 38

ab

  

 . Có

13

số nguyên

a

thoả mãn.Vậy có

26

cặp





;

a b

.

Với

2

0 40

ab

 



. Có

13

số nguyên

a

thoả mãn.Vậy có

13

cặp





;

a b

.

Tổng cộng có

89

cặp





;

a b

cần tìm.

Cách 2:

 

2

( ) :

2 2

2 1

ax b ax bx a

C y y

x

   



  



Nếu

0

a b

 

thì 0,y x



 



, do đó

2 2

5

0 MM mm  



(thoả mãn).

Xét

,

a b

không đồng thời bằng

0

. Khi đó

0

y





luôn có 2 nghiệm phân biệt

1 2

,

x x

Ta có

1 2

2

. 1

b

x x

a

x x





 







 



(Giả sử

1 2

x x



)

lim 0

x

y





nên

( )

C

có dạng

hoặc

,

M m

nhận





1

y x

,





2

y x

.

Ta có công thức cực trị của hàm số





 

u x

y

v x



là

 

ct

4

y

u a

v

x







2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2

4

2 5 2 40.

4 4 16

a a a b

M m b a

x x a

 

         

 

 

(đến đây thực hiện tương tự cách 1.)

Câu 14: Đặt

   

 

3

2 2

2 3 3 1

3

x

f x m x m x

     

. Suy ra

















2 2

2 2 3 3 1 3 3

f x x m x m x m x m



         

.

 

1

2

1

0

3 3 .

x m

f x

x m

 





 



 



. Vì

2

;0

3

m

 

 

 

 

nên

 

 

2

1

2

1

5

1;

3

1;1

1;3

.,

x

x x

x

 



 

  

 













Do đó hàm số





f x

đơn điệu trên đoạn





1;1



. Suy ra

 

 

 

   





1;1 1;1

max max 1 ; 1

f x f f

 

  .

 

2 2

7 7

1 3 3

3 3

f m m m m

       

 

2 2

13 13

1 3 3

3 3

f m m m m

        

.

 

 

2

1;

2

1

1 4

1 5

max 4

6

7

3 4

3

13

3 4

3

7

3

4

3

1

1 4

3

3 4

3

f

y m

f

m m







   













 















 









   















 

























   















   









.

Câu 15: Đặt





4 3 2

3 4 6 12

f x x x mx mx m

    

. Ta có:





1 7 1

f m

 

và





2 16

f m

 

.

Điều kiện cần: giả sử

 





1;2

max 18

f x







 

1 7 1 18

17

2

7

2 16 18

f m

m

f m



  



    



  





.

Vậy chỉ cần xét

17

;2

7

m

 

 

 

 

.

Điều kiện đủ: Ta có:













2

12 1

f x x x m



   .

Trường hợp 1:

17

1

7

m  

, khi đó:

 

 

0, 1;2f x x



  

suy ra hàm số

 

f x

đồng biến trên

 

1;2

, mà

   

2 16 0;17f m  

nên yêu cầu bài toán tương đương

 

17

1 7 1 18

7

f m m      

.

Trường hợp 2:

1 2m 

, khi đó:

 

0f x





có nghiệm duy nhất

 

1; 2x m 

Bảng biến thiên:

Với:

   

2 2

3 4 6 12 3 2 2 0f m m m m m m m m m m m m m m          .

Do đó YCBT

 

19

1 7 1 18

( )

7

2 16 18

2

f m

m l

f m

m



  







 



  









.

Vậy có hai giá trị

m

thỏa mãn là:

17

, 2

7

m m  

.

Câu 16:

       

 

6 4 2 3 3

. 3 2 . 2 2 ,f x x f x x x x f x x f x x x x x x x

 

              

   

 



   

 

3

3 3

3

2

2 . 0

f x x x

f x x x f x x x

f x x x



 

   

      



   

  





Vì

 

f x

là hàm đồng biến trên



nên loại

 

3

f x x x  

.

 

3

2f x x x  

 

2

3 2 0,f x x x



     



 

 

   

 

 

1;2

1 3 min ; 2 12 maxf f x m f f x M      

Suy ra:

3 3.12 3 33M m   

Câu 17: Yêu cầu bài toán

1,y x    



và

1y  

có nghiệm.

Ta có

2

1, 2 4 1,y x x x m x x           

 

 

2

2 4 1, *x x m x x       



2

1

2 4 1,

4

1

2 4 1,

4

x x m x x



      







       





( vì

1

4

x  

thì (*) luôn đúng)

2

1

6 1,

4

1

2 1,

4

m x x x



      







      





0

m

 

(1).

Ta có

1

y

 

có nghiệm



2

2 4 1

x x m x

    

có nghiệm

2

2 4 1

x x m x



   





    





có

nghiệm

1

4

x

 

2

6 1

2 1

m x x



   





   





có nghiệm

1

4

x

 

9

16

0

m



 











0

m

 

(2).

Từ (1) và (2) suy ra

0

m



Câu 18: Đặt





3

12

g x x x m

  







2

3 12

g x x



 

,

 





 

2

1;3

1;

0

3

x

g x

x





 









 

Ta có:





1 11

g m

 

;





2 16

g m

 

;





3 9

g m

 

 





 





1;3

min 16;max 9

g x m g x m

    

Do đó:

 









1;3

max max 9 ; 16

f x m m  

9 20

20 9 20 11 29

4 29

20 16 20 4 36

16 20

m

m m

m

m m

m

  

      

 



     

  

      

 

 





.

Vậy có 34 giá trị nguyên của

m

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 19:

M

là giá trị lớn nhất của hàm số





2

f x x ax b

  

trên đoạn





1;3







 

1

3

2 2 1

M f

 





 









1

9 3

2 2 1

M a b

   



   





  



4 1 9 3 2 1

M a b a b a b

          

1 9 3 2 2 2

a b a b a b

        

4 8 2

M M

   

min

2

M

 

.

Dấu bằng xảy ra khi:

1 2

2

3 9 2

1

1 2

a b

a

a b

b

a b

   



 





   

 

 





   



.

Thử lại thấy thỏa

2

M



là giá trị lớn nhất của hàm số





f x

trên đoạn





1;3



.

Vậy

2 4

a b

  

.

Câu 20: Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy









2;2

f x  

với





2;2

x  

.

Đặt





2

t f x

 

với





2;2

x 





0;4

t 

với





2;2

x 

.

Xét





2 1 2 1 1

h t t m t t m t t m

          

(vì

2 0

t m

 

do









0;4 , 0;20

mt  

).

Trường hợp 1: Xét

1 0 1

m m

   

 





 





2;2 0;4

1

Min g x Min h t m



   

1 2

m

  

(tm)

Trường hợp 2: Xét

1 0

0 1

3 0

m

 



  



 



(do





0;20

m 

)

 





 





2;2 0;4

0 1

x t

Min g x Min h t

  

   

(ktm).

Trường hợp 3: Xét

3 0 3

m m

    

(không thõa mãn





0;20

m 

).

Ta có

 





2;2

1 1 1 2

Min g x m m



     

mà





, 0;20

m m 



nên





2;3;...;20 .

m

Suy ra có 19 giá trị nguyên

m

thỏa mãn đề bài.

Câu 21:

Để giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

4 4 3

y ax x x

   

lớn hơn 2 thì:

2

4 4 3 2

ax x x

   

với mọi

x





Suy ra

2

4 3 2 4

x x ax

   

với mọi x





Hàm số

2

4 3

y x x

  

có đồ thị





C

Đường thẳng

: 2 4

d y ax

 

đi qua điểm cố định





0;2

.

Đường thẳng

: 2 4

d y ax

 

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2

4 3 ( 1)

y x x x

   

2

1

2

1

1 : 2 2

2 4 4 3

2

3

4 2 4

1 : 2 6

2

x a d y x

ax x x

a x

x a d y x



     





   

 





  





      





.

Để

2

4 3 2 4

x x ax

    với mọi

x





thì

: 2 4

d y ax

 

nằm giữa

1

d

,

2

d

1 3

2 2

a

  

.

Câu 22: Đặt

2

t x

 

với





1;1

x  

1; 3

t

 

 

 

và

2

x t

 

.

Hàm số đã cho trở thành

 

2

2 4 4

mt t m

g t

t

 

 . Khi đó:

 









1;1

1; 3

min min

f x g t



 

 



.

Xét hàm số

 

2

2 4 4

mt t m

h t

t

 



trên đoạn

1; 3

 

 

.

x

y

d

1

d

2

1

2

3-1 0 1

 

2

4

4 8

0, 1; 3

t mt

h t t

t



 



   

 

và

0

m



.

suy ra





1; 3

min 2 4

h t m

 

 

  

và

 

1; 3

2 4 3

max

3

m

h t

 

 





Điều kiện cần: Ta có:









1; 3

min 0;1

g t a

 

 

 

 





1 . 3 0

h h

 

 

2 4 3

2 4 0

3

m

 



   

 

 

2 2 3

   m .

Vì

m

nguyên dương nên





1;2;3

m

.

Điều kiện đủ:





1;2;3

m

Khi đó:

   

 

 

1; 3

2 4 3

min min 1 ; 3 min 2 4 ;

3

m

g t g g m

 

 

 



 

  

 

 

 

.

+

1



m

:

 

1; 3

4 3 2

min min 6;

3

g t

 

 

 



 



 

 

 

4 3 2

1

3



 

(loại).

+

2



m :

 

1; 3

4 3 4

min min 8;

3

g t

 

 

 



 



 

 

 

 

4 3 4

0;1

3



 

(nhận).

+

3



m

:

 

1; 3

4 3 6

min min 10;

3

g t

 

 

 



 



 

 

 

 

4 3 6

0;1

3



 

(nhận).

Vậy





2;3

m

nên có 2 giá trị

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 23: Với

*

, 20

m m

 



, ta có













2;2 2;2

x t f x     

.

Khi đó









2 4 3 2 2 0, 2;2

h t t m t m t          









2 2 3 2 0, 2;2

h t t m t m t          

Trường hợp 1:





2 3 3 4

t m h t t m

    

+)





 

   

2;2

2 3 2;2

6

0 1

min 2 3 6 5 0

5

m

m m

h t h m m



   



    



    





+)

 

   

 

2;2

2 3 2

3

2;3;...;20

min 2 4 6 0

2

m

m m

h t h m



  





   



    









1;2;...;20

m 

Trường hợp 2:

2 3

t m

 

không cần xét nữa vì đã lấy tất cả các giá trị

m

nguyên thuộc đoạn

cho trong đề bài.

Vậy tổng các phẩn tử của

S

là





1 20 20

1 2 .... 20 210

2



     .

Câu 24: Ta có













 

 

2

5 4, x ;1 4;

5 4

5 4, x 1,4

x m x

y x x mx

x m x



      



    



    





Trường hợp 1:

5 5

0 3 1 4

2 2

m m

m

 

     

Bảng biến thiên của hàm số đã cho

Từ đó để giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

5 4y x x mx   

lớn hơn 1 thì

1m 

, kết hợp với điều

kiện

3m 

và

m

nguyên dương ta được

2m 

.

Trường hợp 2:

5

4

2

3

5

1

2

m









 













Bảng biến thiên của hàm số đã cho

Từ đó để giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

5 4y x x mx   

lớn hơn 1 thì

2

2 2

10 9

1 10 9 4 10 13 0 5 2 3 5 2 3

4

m m

m m m m m

  

               . Kết

hợp với điều kiện

3m 

và

m

nguyên dương ta được



3;4;5;6;7;8}m 

.

Gộp hai trường hợp ta được tập các giá trị

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán



2;3;4;5;6;7;8}S 

.

Câu 25: Do

   

0, 0;f x x



   

nên

 

f x

có đồ thị lồi trên

 

0;

, tức là tiếp tuyến ở phía trên đồ

thị. Suy ra

        

0 0 0

, 0;f x f x x x f x x



     

        

0 0 0 0 2f a f a f af

 

     

.

Xét trên

 

0;2

, ta có

Suy ra

 

2 4 2 2 4f x f    , do đó

 

2 4 2 0 6f a f x af



     .

Ta chứng minh

                

2 0 6 0 6 2 0 *f a x f a af a f x a f a

    

        

Thật vây:

Nếu

x a

thì

   

* 0 *VT VP 

.

Nếu

x a

thì

   

2 0

0

a x a

f f a

   







 







nên

 

*

đúng.

Do đó

     

 

2 0 6

1

2 4 2

f a x f a

f x f a

 

  



  

.

Lại có

 

2

1 1f x



 

 

 

và

 

   

2 4 2 2 2 8f x f x f     nên suy ra

1

64

S 

.

Dấu

" "

xảy ra khi

0; 2a x 

. Như vậy

1, 64 65m n m n    

.

Câu 26: Chọn B

Bảng biến thiên của hàm số

 

f x

trên đoạn

0; 5 

 

như sau:

Suy ra:

   

0;5

min 1

x

f x f m

 

 

 

và

   

0;5

max 0

max 5

x

f x f



 

 

 

 













.

Từ giả thiết:

                   

0 3 5 1 5 0 1 3 0 5 0f f f f f f f f f f         

.

Suy ra,

   

0;5

max 0

x

f x f M

 

 

 

.

Câu 27: Ta có:

 

2

4 , 0;4x x mx M x    

và

0M 

Với

0x 

thỏa mãn.

Với





0;4x 

ta có:

 





2

4

1

4 , 0;4

4

1

M

m g x

x x

M x x mx M x

M

m h x

x x



   



       





   





+ Ta có

 

g x

nghịch biến trên

 

0;4

nên:





   

0;4

min 4

4

M

m g x g

  

+Ta có

   

2 2

2

4 4

' 0 4 Max

4 4

M M

h x x h x

M M



     



Vậy:

2

4

2 2 2

4 4

Min

M M

m M M M

M



       

Câu 28: Chọn C

Bảng biến thiên của

( )f x

trên đọan

[0;6]

như sau:

Suy ra:

[0;6]

max ( ) (2)

x

f x f M



 

Và

[0 ,6]

min ( ) (0)

x

f x f





;

[0;6]

min ( ) (6)

x

f x f





Từ giả thiết:

2 (6) (0) (2) (6) (0) (2) (6) 0 (6) (0)f f f f f f f f f        

Suy ra:

[0;6]

min ( ) (0)

x

f x f m



 

Câu 29: Chọn D

Bảng biến thiên của

( )f x

trên đọan

[0;5]

như sau:

Suy ra:

[0,5]

max ( ) (0)

max ( ) (3)

x

f x f



 



 



và

[0 ,5]

min ( ) (1)

min ( ) (5)

x

f x f



 









Từ giả thiết:

(0) (2) (1) (3) (0) (3) (1) (2) 0 (0) (3)f f f f f f f f f f         

Suy ra:

[0 ,5]

max ( ) (3)

x

f x f M



 

Từ giả thiết:

(0) (1) (3) (5) (1) (5) (3) (0) 0 (1) (5)f f f f f f f f f f         

Suy ra:

[0 ,5]

min ( ) (5)

x

f x f m



 

Câu 30: Chọn D

Tồn tại một giá trị

0

x R

sao cho:

 

0

( )f x f x m 

với

x 



Suy ra:

 

0

3 ( ) 3 3f x f x m 

với

x 



Lại có:

2 2

2 ( 1) 1 1

x x x

     

Suy ra:

2

3 ( ) 2 3. ( 1) 3 1.

y f x x x m m

       

Suy ra

min ( ) 3 1

f x m

 

Câu 31: Chọn A

Ta có:





3,f x x

  



Mà:

       

2

4 4 4 2 4 4.3 4 8

g x f x x x f x x

         

Dấu

" "



xảy ra





 

2

3

2 3

2

2 0

f x

f

x









 

   

 



 





.

Câu 32: Chọn A

Ta có:





3,f x x

  



và





6,g x x

  











3 2 3.3 2.6 21

y f x g x

     













max 3 2 21

f x g x

  

.

Câu 33: Chọn C

Ta có:





6,f x x

  



và





3,g x x

  











2 3 2 2.6 3.3 2 5

y f x g x

       













max 2 3 2 5

f x g x

   

.

Câu 34: Chọn A

Theo giả thiết ta có:









2

2 6 8

y g x f x x x

    

.

Do đó:













0 2 0 8 0 4.

g f f

   

     

1

3 2 3 9 8 3 .

2

g f f

     













2 2 2 8 8 2 0.

g f f

    

Câu 35: Chọn C

Nếu





4

f x



là hàm hằng trên



thì bất phương trình





4

f x



vô nghiệm.(Đáp án A sai)

Nếu





2

4

f x x

 

liên tục và xác định trên



thì bất phương trình





2

4 0

f x x

  

0

x

 

có vô số nghiệm.(Đáp án B, D sai)

Câu 36: Chọn C

Ta có





4

2 6 3 , .

y f x x ax a m x

       



Suy ra





4

3 3 2 .3 6 3 78 .

f a a m m

      

Câu 37: Chọn D

Ta có:





m y f x M

  

,

x

 



.

Từ giá thiết ta có





 

   

18 2 2 3 6

f a m

f a f b m m m m

f b m







       









.

Tương tự ta cũng có





 

   

18 2 2 3 6

f a M

f a f b M M M M

f b M







       









.

Câu 38: Chọn B

Ta có





m y f x M

  

,

x

 



.

Từ giả thiết ta có





 

     

12 2 2 3 4 5 1

f a m

f a f b m m m m m

f b m







           









.

Tương tự, ta cũng có được:





 

   

12 2 2 3 4 2 2

f a M

f a f b M M M M M

f b M







          









.

Suy ra









2 5 2

M m

   

.

Câu 39: Chọn D

Ta có:





,m f x x

  



.

Suy ra





2 9

m f

 

. Suy ra các giá trị nguyên dương của

m

thỏa

1 9

m

 

.

Có

9

giá trị.

Câu 40: Chọn D

Ta thấy









min 1 3

f x f

   

.

Xét hàm số

       

2

2 2

2 1 1

g x f x x mx m f x x m

        

.

Có









 

       

2

1 3

1 3 0 1 2

0

f x f

g x f x x m

x m



   



          



 





.

Dấu bằng xảy ra khi:

1

x

m

x m



 

  







. Khi đó









min 1 2

g x g

   

.

Câu 41: Chọn A

Ta thấy









min 1 3

f x f

   

.

Xét hàm số

     

2

2 3 2 1 3 0 1 4

g x f x x m

          

.

Dấu bằng xảy ra khi:





2 3 3

2 3 1 2

2 1

2 0

f x

x x

x m m

x m



  

 

    



 

  

  

 



 



.

Câu 42: Chọn C

+) Ta thấy

















3 4 3 4,maxf x f f x f x

     



.

+) Ta có









 

2

3 3 4

2 2 3 2.4 4 12

2 3 4

f x m f

f x x f x m

f x x f



  



      



  





.

Dấu bằng xảy ra khi:

 

2

3 3

6;6

1

2 3

3

m x

x m

m S

x

x x

x

  



 



    

  

 

 

 











.

Vậy tổng các phần tử thuộc tập

S

bằng

0

.

Câu 43: Chọn C

Ta thấy









max 3 4

f x f

 

nên





     

2

3 4

4 3 3 4 20

4 4

f x m

f x n f x m f x n x x

x x



 



        





  





.

Để xảy ra dấu bằng thì

2 2

3 3 3

3 1

x x

x m m

x n n

   

 

   

 

 

  

 

.

Vậy

2 5

m n

 

.

Câu 44: Chọn A

Ta thấy









max 3

f x f

 

nên













3

f f x f

   

.

Mặt khác,





2

2 2 4 2

2 0

x m x m x m

    

.

Từ đó, ta có

















2 2 4

2 3

g x x m x m f f x f

      

Để xảy ra dấu bằng thì

 

2

3

x m

f m

f x







  



 





(*)

Dựa vào đồ thị hàm số





y f x



và (*) tồn tại

0

a b c d

   

để

2

m a

m b

m c

m d







 







  







 











.

Vậy có

6

giá trị của

m

thỏa mãn.

Câu 45: Chọn C

Ta thấy









   

max 0 5

min 4 3

f x f



 





  





nên





     

2

2 3

3 5 2 2 3 2 12

2 1

f x m

f x n f x m f x n x x

x x



  



         





  





.

Để xảy ra dấu bằng thì

1 1

2 4 2

3 0 3

x x

x m m

x n n

   

 

    

 

 

   

 

Vậy

2 3 13

T m n

   

.

Câu 46: Chọn A

Ta có đạo hàm:





2 2

f x x m



  .

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán

 

; 30;30

1; 3 0 2

m m

  

 

 

     



.

Vậy có tất cả

3

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 47: Chọn B

Ta có đạo hàm:

 

2 4 2f x x m



   

.

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán

; 30;30

3 2 1 1 0 30

m m

m m m

   

 

         



.

Vậy có tất cả

31

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 48: Ta có đạo hàm:

2

3 3y x m



 

. Hàm số

3

3y x mx 

tồn tại giá trị nhỏ nhất trên

 

1; 3

khi có

điểm cực tiểu trên

 

1; 3

và giá trị cực tiểu nhỏ hơn giá trị của hàm số tại hai đầu mút.

Nhận thấy, khi

0m 

thì hàm số

 

f x

đồng biến trên



(cũng đồng biến trên

 

1; 3

) nên không

tồn tại giá trị nhỏ nhất nhất trên

 

1; 3

.

Khi

0m 

, hàm số có điểm cực tiểu là

x m

Khi đó, ta phải có:

 

1; 3

1 9

1 1

3 3

m

f m f f m f

 



 

 

  

 

 

 

 

.

Yêu cầu bài toán tương đương với





1; 3 1 9 2 8

m

m m m



      



.

Vậy có tất cả

7

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 49: Ta có đạo hàm:

2

3 6

y x mx



  . Hàm số

3 2

3

y x mx

  tồn tại giá trị nhỏ nhất trên





1; 3

khi có

điểm cực đại trên





2; 3



và giá trị cực đại lớn hơn giá trị của hàm số tại hai đầu mút.

Nhận thấy, khi

0

m



thì hàm số





f x

đồng biến trên



(cũng đồng biến trên





2; 3



) nên

không tồn tại giá trị lớn nhất nhất trên





2; 3



.

Khi

0

m



thì

2

3 6 0 0; 2y x mx x x m



      

hàm số đạt cực đại tại

0

x



Khi đó ta phải có:

 

   

0

0 2;3

0 8 12 1

0 2

0 27 27

0 3

m

m m

f f

m

f f

 



 

 



     

 

 

 

 









Khi

0

m



thì

2

3 6 0 0; 2y x mx x x m



      

hàm số đạt cực đại tại

2

x m



Khi đó ta phải có:

 

   

3

0

1 0

2 2; 3

4 8 12

2 2

4 27 27

2 3

m

m m vo nghiem

f m f

m m

f m f

 

  



 



     

 

 

 

  









Kết hợp lại ta được:

; 30;30

1 1 30

m m

  

 

 

   



.

Vậy có tất cả

30

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

DẠNG 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Câu 1. Gọi

,M m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

  

2

4 5y x x

trên đoạn

 

 

3;0

. Khi đó tổng

M m

là

A.

5

. B.

9

. C. 14. D.

8

.

Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số

  

3 2

3 7y x x

trên đoạn

 

 

0; 4

là

A.

0

. B.

11

. C.

9

. D.

7

.

Câu 3. Cho hàm số

  

4 2

16 7y x x

, gọi

,M m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số trên đoạn

 

 

0; 4

. Tính giá trị biểu thức

 2M m

.

A.

14

. B.

57

. C.

64

. D.

60

.

Câu 4. Gọi

M

,

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 







2 1

2

x

f x

x

trên đoạn

 

 

1;1

. Giá trị của biểu thức

2 3M m

là

A.

1

. B.

1

3

. C.

0

. D. 6.

Câu 5. Gọi

M

,

m

lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số

 





2

3 3

1

x x

y

x

trên đoạn

 



 

 

1

2;

2

. Giá trị của biểu thức

3M m

bằng

A.

27

2

. B.

10

. C.



40

3

. D.

16

.

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

 

   

3 2

e 4e 4e 10

x x x

f x

trên đoạn

 

 

0 ; ln 4

A.

9

. B.

6

. C.

10

. D.

5

.

Câu 7. Gọi

,M m

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

  

2

ln 2ln 3f x x x

trên

đoạn

 

 

2

1; e

. Giá trị

M m

bằng

A.

4

. B.

7

. C.

5

. D.

3

.

Câu 8. Giả sử

,M m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

  cos 2 2sin 3y x x

trên



 

 

 

3

0;

2

. Tính

 4M m

.

A.

6

. B.

0

. C.

2

. D.

3

.

Câu 9. Gọi

M

,

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

   

2 2

1 3y x x

. Khi

đó

  

4

a

M m b c

, với

a

,

b

,

c

nguyên. Tính

 T a bc

.

A.

7

. B.

9

. C.

12

. D.

8

.

Câu 10. Gọi

M

,

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

    

2

1 5 3f x x x x

trên đoạn

 

 

2; 4

. Tính giá trị biểu thức

 T M m

.

A.

 18T

. B.

 19T

. C.

 20T

. D.

 2T

.

Câu 11. Tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

    

2 2

4 3 1y x x x

trên

 

 

4; 2

bằng

A.

200

. B.

200

. C.

50

. D.

0

.

Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

    

2

3 2 3y x x x

là

2

a

. Tìm

a

.

A.

0

. B.

2

. C.

3

. D.

1

.

Câu 13. Cho hàm số

    

2

3 1 1 2y x x

. Gọi

,M m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số trên đoạn

 

 

 

3

0;

2

. Giả sử



M a

m b

(

a

b

là phân số tối giản), biểu thức

 T a b

có giá

trị bằng

A. 37. B. 40. C. 13. D. 20.

Câu 14. Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



, có đồ thị

 

C

như hình vẽ sau

Gọi

,M m

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

y f x

trên đoạn

 

 

0; 4

.

Khi đó biểu thức

 2M m

có giá trị

A.

4

. B.

1

. C.

8

. D.

0

.

Câu 15. Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như sau

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

 

  1 1y f x

trên đoạn

 

 

2; 2

.

A.

2

. B.

1

. C.

3

. D.

4

.

Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

  

2

2f x x x m

trên

 

 

1; 2

bằng 5.

A.

3

. B.

1

. C.

2

. D.

4

.

Câu 17. Tính tích tất cả các số thực

m

để hàm số

   

3 2

4

6 8

3

y x x x m

có giá trị nhỏ nhất trên đoạn

 

 

0; 3

bằng

18

là.

A.

432

. B.



216

. C.



432

. D.

288

.

Câu 18. Cho hàm số





   

4 2

2 1

x x mf x . Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị của tham số

m

sao

cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 

 

0; 2

bằng

18

. Tổng tất cả các phần tử của

S

bằng

A.



5

. B.

4

. C.



14

. D.



10

.

Câu 19. Cho hàm số

 







2

1

x m

f x

x

. Gọi

S

là tập hợp tất các giá trị của

m

để





 

 



2; 0

min 2

f x

.Tổng các

phần tử của tập

S

là

A.

2

. B.



8

. C.



5

. D.

3

.

Câu 20. Cho hàm số

 

  



2

1

x

y f x m

x

(

m

là tham số thực). Gọi

S

là tập hợp các giá trị của

m

sao

cho





 

 



2; 3

min 5

f x

. Số phần tử của

S

là

A.

3

. B.

2

. C.

1

. D.

4

.

Câu 21. Cho hàm số





   

2

y f x ax bx c

có đồ thị nhự hình vẽ. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên

của tham số

m

sao cho giá trị lớn nhất của hàm số









 

g x f x m

trên đoạn

 

 

0; 4

bằng

9

.

A.



10

. B.



6

. C.

4

. D.

8

.

Câu 22. Cho hàm số





 

3

f x x x

. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m

sao cho giá

trị lớn nhất của hàm số





  

sin 1

y f x m

bằng 4. Tổng các phần tử của

S

bằng

A. 4. B. 2. C. 0. D. 6.

Câu 23. Biết đồ thị hàm số





  

4 2

f x ax bx c

có đúng ba điểm chung với trục hoành và











  

1 1; 1 0

f f

. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số

m

để bất

phương trình





 

12

f x m nghiệm đúng

   

 

0; 2

x . Số phần tử của

S

là

A.

10

. B.

16

. C.

11

. D.

0

.

Câu 24. Cho hàm số

 







2020

x

f x

x m

(

m

là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số

m

sao cho





 

 



0;2019

max 2020

f x

.

A.

2

. B.

1

. C.

3

. D.

4

.

Câu 25. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị của tham số

m

sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

 

 





2

2 4

2

x mx m

x

f x

trên đoạn

 

 

1;1

bằng

3

. Tổng tất cả các phần tử của

S

bằng

A.

1

. B.



1

2

. C.

1

2

. D.



3

2

.

Câu 26. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên lớn hơn 6 của tham số

m

sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm

số





   

2

1

y x m x m

trên

  

 

2; 1

m nhỏ hơn 2020.

A.

2043210

. B.

2034201

. C.

3421020

D.

3412020

.

Câu 27. Cho hàm số

    

3 2

9

6 3

2

y x x x m

. Tổng các giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

 

 

10;10

để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 

 

0; 3

không bé hơn 5.

A.

1

. B.



1

. C.

0

. D.



7

.

Câu 28. Cho hàm số

   

4 3 2

1

4

y x x x m

. Tính tổng tất cả các số nguyên

m

để

 

 



1;2

max 11

y

.

A.



19

. B.



37

. C.



30

. D.



11

.

Câu 29. Có bao nhiêu số nguyên

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

    

2

4cos 2sin 4

y x x m trên

đoạn



 

 

 

0;

2

nhỏ hơn hoặc bằng 4?

A. 12. B. 14. C. 13. D. 15.

Câu 30. Cho hàm số





  

2

2 3

f x x mx . Có bao nhiêu giá trị

m

nguyên để giá trị lớn nhất của





f x

trên đoạn

 

 

1; 2

không lớn hơn

3

?

A.

2

. B.

3

. C.

1

. D.

4

.

Câu 31. Cho hàm số

   

3 2

3 9

y x x x m

(với

m

là tham số thực). Gọi

S

là tập hợp các giá trị nguyên

của tham số

m

để

 

 



2;3

max 50

y . Tổng các phần tử của

M

là

A.

0

. B.

737

. C. 759. D.



215

.

Câu 32. Cho hàm số

   

4 3 2

2

y x x x a

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

a

để

 

 



1; 2

max 100

y .

A.

197

. B.

196

. C.

200

. D.

201

.

Câu 33. Cho hàm số

  

sin cos

y x x m

, có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

để hàm số có giá trị lớn

nhất bé hơn

2

.

A.

0

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 34. Gọi

M

là giá trị nhỏ nhất của hàm số

  

2

y x x m

trên đoạn

 

 

2;1

. Với

  

 

3; 3

m

, giá

trị lớn nhất của

M

bằng

A.

1

. B. 2. C.

3

. D.

4

.

Câu 35. Gọi

M

là giá trị nhỏ nhất của hàm số

   

3 2

3 1

y x x m trên đoạn

 

 

1;1

. Với

  

 

4; 3

m

, giá trị lớn nhất của

M

bằng

B.

1

. B. 2. C.

3

. D.

4

.

Câu 36. Cho hàm số





   

4 3 2

4 4

f x x x x m

. Khi

m

thuộc

 

 

3; 3

thì giá trị nhỏ nhất của hàm số





f x

trên đoạn

 

 

0; 2

đạt giá trị lớn nhất bằng

A.

4

. B.

3

. C.

2

. D.

1

.

Câu 37. Cho hàm số

   

2

4 2 3

y x x m với

m

là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn

 

 

1; 3

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

a

khi



m b

. Tính

 

2

P b a

.

A.

1

2

. B.

13

4

. C.



9

4

. D.

6

.

Câu 38. Cho hàm số





    

3 2 2

1 27

y x x m x

. Gọi

S

là tập tất cả các giá trị của tham số

m

sao cho

giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

  

 

3; 1

có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tích các phần tử của

S

là

A.

4

. B.



4

. C.

8

. D.



8

.

Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để giá trị lớn nhất của hàm số

   

4 2

1 19

30

4 2

y x x x m

trên đoạn

 

 

0; 2

đạt giá trị nhỏ nhất?

A.

2

. B.

3

. C.

0

. D.

1

.

Câu 40. Gọi

S

là tập hợp các giá trị thực của tham số

m

sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

  

2

y x x m

trên đoạn

 

 

0; 2

bằng 3. Số phần tử của

S

là

A.

2

. B.

1

. C.

0

. D.

4

.

Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

   

3 2

9 9

y x mx x m

trên đoạn

 

 

2; 2

đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

3

. B.

5

. C.

4

. D.

6

.

Câu 42. Có bao nhiêu số nguyên

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số





    

4 2

8

y f x x x m

trên đoạn

 

 

1; 3

đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

23

. B.

24

. C.

25

. D.

26

.

Câu 43. Cho hàm số

   

4 3 2

2

y x x x a

. Có bao nhiêu số thực

a

để

 

 

 

1; 2

min max 10

y y

A.

1

. B.

5

. C.

3

. D.

2

.

Câu 44. Cho hàm số

 



2

4

x ax

y

x

(

a

là tham số). Gọi

M

,

m

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của hàm số trên

 

 

1; 4

. Có bao nhiêu giá trị thực của

a

để

 

2 7

M m

?

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D.

4

Câu 45. Cho hàm số

  

4 3

( ) 2

f x x x m

(

m

là tham số thực). Tìm tổng tất cả các giá trị của

m

sao cho

 

 

 

0;1

max ( ) 2min ( ) 10

f x f x

.

A.

4

. B.



3

. C.

1

. D.

2

.

Câu 46. Cho hàm số





  

3 2

3

f x x x m

. Tìm tất cả các giá trị của

m

thỏa mãn









 

 

 

1;3

3max 2min 17

f x f x

.

A.





 

9; 5; 29

m . B.

  

 

 

 

5

9; 5;

3

m . C.





 

9; 5

m . D.





 

9; 5; 5

m .

Câu 47. Cho hàm số





   

3

y f x x x m

. Tích tất cả các giá trị của tham số

m

để









 

 

 

0;2

min max 6

f x f x

là

A.



16

B.



9

C.

16

D.

144

Câu 48. Cho hàm số

 





 2

x m

f x

x

(

m

là tham số thực). Gọi

S

là tập hợp các giá trị của

m

sao cho

   

 

 

 

0;1

2max 3min 6f x f x

. Số phần tử của

S

là

A.

6

. B.

2

. C.

1

. D.

4

.

Câu 49. Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên trên đoạn

 

 

4; 4

như sau

Có bao nhiêu giá trị của tham số

  

 

4; 4m

để giá trị lớn nhất của hàm số

 

  

3

3g x f x x f m

trên đoạn

 

 

1;1

bằng

11

2

.

A.

2

. B.

3

. C.

4

. D.

5

.

Câu 50. Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ

Đặt

   

 

  

   

 

 

1 2 1 2

1 2

2 2

m m

g x f x x f

. Với giá trị nào của

m

thì giá trị nhỏ nhất

của hàm số

 

g x

là

0

.

A.



1

2

. B.

0

. C.

1

2

. D. Không tồn tại.

Câu 1. Chọn C

Xét





  

2

4 5

g x x x

liên tục trên đoạn

 

 

3;0

.

Ta có







 

2 4

g x x

,







      

 

0 2 3;0

g x x

.

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn

 

 

3;0

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số suy ra









 

 

     

-3;0

max max 8 ; 9 ; 5 9

M g x

,









 

 

     

-3;0

min min 8 ; 9 ; 5 5

m g x

. Vậy

 

14

M m

.

Câu 2. Chọn B

Xét hàm số





  

3 2

3 7

f x x x liên tục trên đoạn

 

 

0; 4

.

Ta có:







 

2

3 6

f x x x

,

 



   

 



    



   



 



2

0 0;4

0 3 6 0

2 0; 4

x

f x x x

x

.

Ta có:





 

0 7

f ,





 

2 11

f ,







4 9

f .

Bảng biến thiên của hàm số





f x

trên đoạn

 

 

0; 4

Khi đó





 

 



0;4

max 9

f x

,





 

 

 

0;4

min 11

f x

. Suy ra





 

 



0;4

max 11

f x

.

Câu 3 . Chọn B

Xét hàm số

  

4 2

16 7

y x x

liên tục trên

 

 

0; 4

.

Ta có

 



 

3

4 32f x x x

;

 



   

 







     

 



    



 



0 4 0;4

0 2 2 0; 4

2 2 0; 4

x

f x x

x

Có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra:

       

 

 

 

    

0;4

min 0 4 7; max 2 2 71f x f f f x f

.

Vậy

 2 57M m

.

Câu 4. Chọn D

Xét hàm số

 







2 1

2

x

g x

x

liên tục trên đoạn

 

 

1;1

.

 



 



2

5

0

2

g x

x

,

   

 

1;1x

. Do đó hàm số

 

y g x

đồng biến trên đoạn

 

 

1;1

.

 

  1 3g

;

 



1

3

g

.

Ta có bảng biến thiên của

 

g x

và

 

f x

trên đoạn

 

 

1;1

:

Suy ra

   

       

     

 

    

 

 

1;1 1;1 1;1

1

max max max 3 ; 3

3

M f x g x

khi

 1x

.

Và

   

       

     

 

    

 

 

1;1 1;1 1;1

1

min min min 3 ;0; 0

3

m f x g x

khi



1

2

x

.

Vậy

   2 3 2.3 3.0 6M m

.

Câu 5. Chọn D.

Đặt

 

 

 



2

3 3

1

x x

y f x

x

. Hàm số xác định và liên tục trên

 

 

 

 

1

2;

2

D

.

Ta có

 









2

1

x x

f x

x

,









0

f x



 





 



0

2

x D

.

Bảng biến thiên

Ta có

 

  

13

2

3

f ,

 

 

 

 

1 7

2 2

f ,





 

0 3

f .

Suy ra





 



 

 

 

1

2;

2

max 3

f x tại



0

x

,

 

 



 

 





1

2;

2

13

min

3

f x

tại

 

2

x

.

Từ đó ta có,

 

 



 

 

 

1

2;

2

13

max

3

M f x tại

 

2

x

,





 



 

 

 

1

2;

2

min 3

m f x tại



0

x

.

Vậy

 

3 16

M m

.

Câu 6. Chọn C

Đặt



e

x

t

. Ta có

 

0 ln 4

x

  

0 ln 4

e e e

x

  

1 4

t

.

Khi đó hàm số





f x

trên đoạn

 

 

0; ln 4

trở thành





   

3 2

4 4 10

g t t t t , với

  

 

1; 4

t

.

Xét hàm số





   

3 2

4 4 10

h t t t t . Hàm số xác định và liên tục trên đoạn

 

 

1; 4

.





  

2

' 3 8 4

h t t t

;

 



   

 



 



   

 





2 1; 4

' 0

2

1; 4

3

t

h t

t

;





 

1 9

h ,





 

2 10

h ,







4 6

h .

Khi đó





 

 



1;4

max 6

h t

,





 

 

 

1;4

min 10

h t

.

Suy ra









   

   

 

0;ln4 1;4

max max 10

f x h t

khi

  

2 ln 2

t x

.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số





f x

trên đoạn

 

 

0 ; ln4

là 10.

Câu 7. Chọn B

Xét





  

2

ln 2ln 3

u x x x trên

 

 

2

1;

e

;





u x

xác định và liên tục trên

 

 

2

1;

e

.

Ta có

 



 

2ln 2

x

u x

x x

,











     

2

0 ln 1 1;

u x x x e e

.

Ta có













     

2

1 3, 4, 3.

u u e u e

       









   

   

   

2 2

2

1; 1;

max max max 1 , , 4

e e

M f x u x u u e u e

khi



x e

.

       









   

   

   

2 2

2

1; 1;

min min min 1 , , 3

e e

m f x u x u u e u e

khi



1

x

.

Vậy

   4 3 7.M m

Câu 8 . Chọn B

Xét hàm số

 

  cos 2 2sin 3u x x x

với



 



 

 

3

0;

2

x

.

 

u x

liên tục trên



 

 

 

3

0;

2

.

+)

 



 -2sin 2 2cosu x x x

.

+)

 



 0u x

  -2sin 2 2cos 0x x

 

  cos 2sin 1 0x x

 





 



cos 0

2sin 1 0

x

 





 



   



 







2

6

5

2

6

x k

x k k

x k

. Mà



 



 

 

3

0;

2

x

nên

   

 



 

 

3 5

; ; ;

2 2 6 6

x

.

+)

 

 0 2u

,



 

 

 

 

3

6

2

u

,



 

 

 

 

2

u

,



 

 

 

 

3

6 2

u

,



 

 

 

 

5 3

6 2

u

.

Khi đó:

 

 

 

 

 

3π

0;

2

3

max

2

u x

,

 



 

 

 

 

3

0;

2

min 6u x

.

Suy ra:

 

 

 

 

 

3π

0;

2

max 6M u x

khi





3

2

x

,

 



 

 

 

 

3

0;

2

3

min

2

m u x

khi

 

 



 

 

5

;

6 6

x

.

Vậy

 4 0M m

.

Câu 9. Chọn D

Tập xác định:

 

 

 

3; 3D

. Đặt

 

  

 

2

3 , 0; 3t x t

.

Khi đó hàm số đã cho trở thành:

      

2 2

2 2y t t t t

.

Xét

 

  

2

2g t t t

liên tục trên đoạn

 

 

0; 3

ta có:

 



    

1

2 1 0

2

g t t t

.

Bảng biến thiên của

 

y g t

và

 

y g t

trên đoạn

 

 

0; 3

.

Từ bảng biến thiên ta có:

 

 

 

 

1 9

2 4

M g

;

 

  3 3 1m g

.

   

5

3

4

M m

 

5

a

;



1

b

;



3

c

. Vậy

    

5 1.3 8

T a bc

.

Câu 10. Chọn A

Tập xác định:





D

.

Ta có

 



  



     



  





2

4 2 1

1 5 3

6 4 1

x x khi x

f x x x x

x x khi x

.

Với



1

x

: Ta có





  

2

4 2

f x x x

. Đạo hàm:







 

2 4

f x x

;







  

0 2

f x x

(nhận).

Với



1

x

: Ta có





  

2

6 4

f x x x

. Đạo hàm:







 

2 6

f x x

;







  

0 3

f x x

(loại).





 

2 20

f ;





 

2 2

f ;







4 2

f .

Bảng biền thiên của hàm số





    

2

1 5 3

f x x x x

trên đoạn

 

 

2; 4

.

Ta có









 

 

 

   

2;4

max 2 20

x

M f x f

;









  

 

   

2;4

min 2 2

x

m f x f

. Vậy

  

18

T M m

.

Câu 11. Chọn D

Tập xác định:





D

.

Ta có:









 



     







 





2

2 4 2 khi ;1 3;

4 4 khi 1; 3

x x x

y

x x





 



      



 

 









4 4 ;1 3;

'

4 1;3

x khi x

y

khi x

.

Có



' 0

y

(Vô nghiệm).

Bảng biến thiên

Ta có:





 



 















4 50

1 0

2 4

y

. Suy ra

 

 



4;2

max 50

y tại

 

4

x

 

 



4;2

;min 0

y tại



0

x

.

Vậy

 



 

 

 



 

 

4;2

max . min 0

y y .

Câu 12 Chọn B

Ta có



   



    



     



    



  



2

4 1 khi 3

2 5 khi 3 1

3 2 3

4 1 khi 1 2

2 5 khi 2

x x x

y x x x

x x x

.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là

   

4 2 4 2

a

.

Câu 13. Chọn D

Ta có



   



    









    



   





2

3 2 khi 2

1

3 2 khi 2

3

1

3 2 2 khi 2

3

3 2 2 khi 2

x x x

y

x x x

.

Xét trên đoạn

 

 

 

3

0;

2

ta có:



    



    









   



   



2

1

3 2 khi 0

3

1 2

3 4 khi

3 3

2

3 khi 2

3

3 4 khi 2

2

x x x

y

x x x

.

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn

 

 

 

3

0;

2

Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra

 

 

 

   

3

0;

2

26 14

max ; min

9 9

M y m y

.

Vậy



13

7

M

m

hay

     

13; 7 20

a b T a b

.

Câu 14 . Chọn A

Từ đồ thị hàm số







y f x

ta suy ra đồ thị hàm số







y f x

như sau:

Giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành và phía trên trục hoành của

 

C

( ứng với

 

 0f x

) ,

lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị phía dưới trục hoành của

 

C

( ứng với

 

 0f x

). Bỏ

phần đồ thị phía dưới trục hoành của

 

C

.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

 

 

 

 

0;4

max 4M f x

, đạt được khi

 0x

hoặc

 3x

.

 

 

 

 

0; 4

min 0m f x

, đạt được khi

 1x

hoặc

 4x

. Vậy

 2 4M m

.

Câu 15. Chọn C

Xét hàm số

   

  1g x f x

. Ta có bảng biến thiên

Khi đó hàm số

 

   

   1p x g x f x

là hàm chẵn nên có bảng biến thiên như sau

Xét hàm số

 

   

 

      1 1 1 1h x f x g x p x

. Ta có bảng biến thiên

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số









   1 1

y f x h x

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của hàm số





  

1 1

y f x

trên đoạn

 

 

2; 2

là

3

tại



2

x

.

Câu 16. Chọn C

Đặt





  

2

g x x x m

. Ta có:





 

,

2 2

g x x





      

,

0 2 2 0 1

g x x x

.

Ta có:





 



  



 











1 3

1 1

2

g m

. Suy ra





 

 

 



 

 



 





 





1;2

min 1

max 3

g x m

.

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1:

   

1 0 1

m m

suy ra







 

 

 

1;2

min 1

f x m



   

1 5 6

m m

( thoả mãn).

Trường hợp 2:

    

3 0 3

m m

suy ra





 

 

  

1;2

min 3

f x m



     

3 5 8

m m

(tm).

Trường hợp 3:

       

1 0 3 3 1

m m m

suy ra







 

 



1;2

min 0

f x

mà theo bài







 

 



1;2

min 5

f x

nên không có

m

thỏa mãn.

Vậy có hai giá trị của tham số

m

thỏa mãn.

Câu 17. Chọn C

Xét hàm số

 

   

3 2

4

6 8

3

f x x x x m

liên tục trên đoạn

 

 

0; 3

.

Ta có







  

2

4 12 8

f x x x ;

 



   

 



     



   



 



2

1 0; 3

0 4 12 8 0

2 0; 3

x

f x x x

x

.

Mặt khác:

       

      

10 8

0 ; 1 ; 2 ; 3 6

3 3

f m f m f m f m

.

Khi đó





























         

 

 

 

 

 

 



   





  





0;3

max max 0 ; 1 ; 2 ; 3 3 6

min min 0 ; 1 ; 2 ; 3 0

f x f f f f f m

.

Suy ra





 

 

 

0;3

min min 0; ; 6

y m m

.

Trường hợp 1.



0

m

suy ra

 

 

  

0;3

min 18

y m m (thỏa mãn).

Trường hợp 2.

    

6 0 6

m m

suy ra

 

 

         

0;3

min 6 6 18 24

y m m m (tm).

Trường hợp 3.





 

 

      



0;3

min 0

6 0 6 0m ym m

(loại).

Kết luận: tích các số thực

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

  

24.18 432

.

Câu 18. Chọn A

Xét hàm số





   

4 2

2 1

g x x x m

liên tục trên đoạn

 

 

0; 2

có







 

3

4 4

g x x x

.









0

g x



    

 



   



 



   



 



1 0; 2

0 0;2

1 0; 2

x

;





 

0 1

g m ,





 

1 2

g m ,





 

2 7

g m .





 

 

  

0; 2

min 2

x

g x m ,







 

 

 

0; 2

max 7

x

g x m









 

 

   

0; 2

0,

min min 2 , 7

x

f x m m

.

Trường hợp 1:



2

m

suy ra







 

 

    

 

0; 2

2 18 20

min 2

x

m mf x m

( nhận).

Trường hợp 2:

    

7 0 7

m m









 

 

      

  

0; 2

7 18 25

min 7

x

m mf x m

(nhận).

Trường hợp 3:









      

2 7 0 7 2

m m m









 

 



0; 2

min 0

x

f x

(loại).

Suy ra





 

20; 25

m . Vậy tổng tất cả các phần tử của

S

bằng



5

.

Câu 19. Chọn B

Tập xác định:





\{1}

D

.

Với



2

m

. Ta có

 



  



2 2

2

1

x

f x

x

nên





 

 



2; 0

min 2

f x

. Vậy



2

m

(nhận).

Với



2

m

. Khi đó,

 









 

2

1

2

,

1

m

f

x

xx

.

Ta có

 

 

 

4

2

3

m

f ,





 

0

f m

;

    

( ) 0 2

2

m

f x x m x

. Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Đồ thị hàm số



( )

y f x

cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ thuộc

 

 

2; 0

tức là

      

2 0 4 0

2

m

. Khi đó





 

 



2; 0

min 0

f x

(loại).

Trường hợp 2: Đồ thị hàm số



( )

y f x

không cắt trục hoành hoặc cắt trục hoành tại một điểm

có hoành độ nằm ngoài đoạn

 

 

2; 0

, tức là



 





 













2

0

2

4

2

0

m

m m

(*).

Khi đó:

     

 

 

 

   

  

    

   

   

2; 0

4 4

min min 2 ; 0 min ; min ;

3 3

m m

f x f f m m

.

Nếu

      





    

 

 

2 2

4

4 3 4 3 4 2 4 4 0

3

m

m m m m m m m















2

1

m

(**) thì

 

 

 





2; 0

4

min

3

m

f x .

Ta có

 

  



  

 

    

 



4 6 2 (loai, )

4

2

4 6 10 (nhan)

3

2

m m m

m

m m

(do điều kiện (*) và (**)).

Nếu





4

3

m



  

1 2

m

thì





 

 



2; 0

min

f x m

.

Ta có

 

 



 



2 (loai)

2

2 (loai)

m

. Suy ra

 

{2; 10}

S

. Vậy tổng các phần tử của

S

là



8

.

Câu 20. Chọn B

Hàm số

 

  



2

1

x

y f x m

x

liên tục trên đoạn

 

 

2; 3

có

 









2

1

x x

f x

x

.

Ta có

 







 







0

2

x

f x

x

;





  

0, 2 2; 3

x x

và





 

2 4

f m

,

 

 

9

3

2

f m

.

Nếu

   

     

9

2 . 3 0 4

2

f f m

thì





 

 



2; 3

min 0

f x

. Trường hợp này không thoả yêu cầu bài

toán.

Ta xét trường hợp

   



 



 



 





9

2 . 3 0

2

4

m

f f

m

.

Khi đó

















 

 



2; 3

min min 2 ; 3

f x f f

 

  

 

 

9

min 4 ;

2

m m .

Trường hợp 1:





 

 

  

2; 3

min 4 5

f x m



 





 







 





   

 

 



 

 



















1

9

4 5

19

1

9

5

2

1

2

m

(thoả mãn).

Trường hợp 2:

 

 

 

  

2; 3

9

min 5

2

f x m

















 





 

    

 





 

 



  













1

2

9

5

19

2

4 5

9

1

m

(thoả mãn).

Vậy có

2

giá trị của

m

thỏa mãn bài toán.

Câu 21. Chọn B

Từ đồ thị hàm số





   

2

y f x ax bx c

ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng



2

x

là trục đối

xứng, mà









  

0 5 4 5

f f

. Suy ra:





     

 

1 5, 0;4

f x x

.

Xét hàm số









 

g x f x m

,

   

 

0; 4

x

.

Ta có:









 

 

  

0;4

1 ; 5

max g x max m m

.

Trường hợp 1:

 

 

 

  



  

  



 

    

 

  



 





 



 





0;4

3

1 5

3

10

8

9

1 9

10

m

m m

m

max g x

m

.

Trường hợp 2:

 

 

 

  



  

  



 

   

 

  



 





 



 





0;4

3

1 5

3

4

9

5 9

14

m

m m

m

max g x

m

.

Vậy tổng tất cả giá trị nguyên của

m

là:

   

10 4 6

.

Câu 22. Chọn C

Đặt





    

 

sin 1 0;2

t x t , khi đó









       

3

sin 1 3

y f x m f t m t t m

.

Xét hàm số





  

3

u t t t m

liên tục trên đoạn

 

 

0; 2

có







 

2

3 3

u t t

.

 



   

 



    



    



 



2

1 0; 2

0 3 3 0

1 0; 2

t

u t t

t

.

Ta có













    

0 ; 1 2; 2 2

u m u m u m





 

 

  

0;2

max 2

u x m

,





 

 

 

0;2

min 2

u x m

.

Khi đó





  

max max 2 ; 2

y m m .

Trường hợp 1:









 





   

 

 



  

 







6

2 4

2

2 2

0

m

m m

m

.

Trường hợp 2:









 





  

 

 



  

 







2

2 4

2

6

2 2

0

m

m m

m

.

Vậy





     

2; 2 2 2 0

S

.

Câu 23. Chọn B

Đồ thị hàm số





  

4 2

f x ax bx c

có đúng ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số tiếp

xúc với trục hoành tại gốc toạ độ, suy ra









  0 0 0

f c I

.

Ta có







 

3

4 2

f x ax bx

.

Theo giả thiết





 



 



   





 

 











1 1

1

4 2 0

1 0

f

a b c

II

a b

f

.

Từ





I

và





II

suy ra





      

4 2

1; 2; 0 2

a b c f x x x

.

Xét hàm số

  

4 2

2

y x x m

trên đoạn

 

 

0; 2

.

Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn

 

 

0; 2

và có



   

 





        



 



    



 



3

0 0; 2

0 4 4 0 1 0; 2

1 0; 2

x

y x x x

x

.

Khi đó





 

0

y m

;





  

1 1

y m

;





  

2 8

y m

.

 

 

 

 

   







  





0;2

max 8

min 1

y m

.

Theo bài ra

 





  







    







             



 



  









    









4 2

8 12

8 1

2 12, 0;2 max 1 ; 8 12

1 12

1 8

m

m m

x x m x m m

m

m m



  













  







     



  



 





















4 20

7

4

2

4 11

7

13 11

11

2

7

2

m

. Suy ra

S

có 11 phần tử.

Câu 24. Chọn A

Hàm số





f x

xác định với mọi



x m

.

Nếu

 

2020

m

thì





   

1, 2020

f x x

không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nếu

 

2020

m

thì





f x

đơn điệu trên mỗi khoảng







;

m

và







;m

nên yêu cầu bài toán





 

 

 

0;2019

max 2020

f x

   

 



  

 











0;2019

max 0 ; 2019 2020

m

f f



  

 



 





 



 





 



 



0; 2019

2020 4039

max ; 2020

2019

m

m m

. Ta

xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1:



 



  







 







 

      

 

 





 











0

0; 2019

2019

2020

2020 1 1

4039

2020

4039

2019

2020

2019

m

m m

m

.

Trường hợp 2:



















  



 





 





 

    



 





 

 



 



 



 









0

2019

0; 2019

4082419

2021

4039 4082419

2020

2020 2021

4074341

2020

2019

2017

2020

m

.

Vậy có 2 giá trị của tham số

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 25. Chọn B

Tập xác định





 

\ 2

D R

.

Xét hàm số

 

 





2

2 4

2

x mx m

g x

x

trên đoạn

 

 

1;1

. Hàm số xác định và liên tục trên

 

 

1;1

.

Ta có

 









2

4

2

x x

g x

x

.

 



   

 



    



    



 



2

0 1;1

0 4 0

4 1;1

x

g x x x

x

.

Ta có







0 2

g m

;





  

1 2 1

g m

;

 

 

1

1 2

3

g m .





 

 

  

1;1

max 2 1

g x m

;







 

 



1;1

min 2

g x m

.

Suy ra









 

 

 

1;1

max max 2 1 ; 2

f x m m

. Ta có

 

 

 





 











 









  



 

















 









1;1

2 1 3

1

2 1 2

max 3

3

2 3

2

2 2 1

m

m m

f x

m

m m

.

Suy ra

 

 

 

 

3

1;

2

S

. Vậy tổng các phần tử thuộc tập

S

bằng



1

2

.

Câu 26. Chọn A

Cách 1:

Xét hàm số









   

2

1

f x x m x m

liên tục trên

  

 

2; 1

m

với



6

m

.

Ta có:

     



 

         

 

1

2 1 ; 0 2; 1

2

m

f x x m f x x m .

Khi đó:

 





 



  

      

 

 

2

1

2 2 ; ; 1 2 .

2 4

m

f m f f m m

Vì







     

2

1

2 0 , 6

4

m

m m nên

     



 

  

   

 

 

 

 

[2; 1]

1

max max 2 ; ; 1 2

2

m

f x f f f m m

;

và

     







 

  

   

 

 

 

 

2

[2;m-1]

1

min min 2 ; ; 1

2 4

m

f x f f f m .

Do đó:

 

 



 

    

 

 

 

2

[2;m-1]

1

min min 2 ; 2

4

m

y m m

Theo yêu cầu bài toán:

          2 2020 2020 2 2020 2018 2022m m m

Vì





m

và

 6m

nên

 





7;8; 9; ; 2021m

.

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

là:

 





 



2021

7

7 2021 2015

2043 210

2

n

.

Cách 2:

Xét hàm số

   

   

2

1f x x m x m

liên tục trên

  

 

2; 1m

với

 6m

.

   

 

      







2

1

0 1 0

x

f x x m x m

x m

. Do

 6m

nên ta có:

 











 





1

2

1

2

m

.

 



  

      

 

 

2

1

2 2 ; ; 1 2 .

2 4

m

f m f f m m

Từ bảng biến thiên suy ra:

 

 

[2;m-1]

min 2f x m

Theo bài ra ta có:

 

     

[2;m-1]

min 2020 2 2020 2022f x m m

.

Kết hợp với điều kiện

 6m

suy ra

 

 7;8;...;2021m

.

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

là:

 





 



2021

7

7 2021 2015

2043 210

2

n

.

Câu 27. Chọn D

Xét hàm số

 

    

3 2

9

6 3

2

f x x x x m

liên tục trên đoạn

 

 

0; 3

.

Ta có

 



  

2

3 9 6f x x x

;

 



   

 



 



   



 



1 0; 3

0

2 0; 3

x

f x

x

.

 

  0 3f m

;

 

  

1

2

f m

;

 

  2 1f m

;

 

 

3

2

f m

.

Suy ra

 

 

 

 

0;3

3

max

2

f x m

;

 

 

 

  

0;3

min 3f x m

.

Trường hợp 1:

 

 

   

 

 

3

3 0

2

m m

. Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số

y

trên đoạn

 

 

0; 3

là

0 (loại).

Trường hợp 2:

 

 

   

 

 

3

3 0

2

m m

. Khi đó:

 

 

 

   

 

 

0;3

3

min min ; 3

2

y m m

.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 

 

0; 3

không bé hơn 5





   













  











   















 









3

2

3 5

3

2

3

5

2

m m

m

m m

m



























 









































 











3

4

8

2

3

4

7

2

13

2

m

 







 





8

13

2

m

.

Suy ra các giá trị

  

 

10;10

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán là





    

10; 9; 8; 7;8;9;10

S

.

Vậy tổng các giá trị

m

cần tìm là



7

.

Câu 28. Chọn C

Xét hàm số

 

   

4 3 2

1

4

f x x x x m

liên tục trên đoạn

 

 

1; 2

.

Ta có







  

3 2

f x x x x

.

 



   

 





         



 



   



 



3 2

0 1;2

0 3 2 0 1 1;2

2 1;2

x

f x x x x x

x

.

       

      

9 1

1 ; 0 ; 1 ; 2

4 4

f m f m f m f m

.

Khi đó

         

 

 

         

 

   

 

 

 

 



     







    



1;2

9

max max 1 ; 0 ; 1 ; 2 1

4

min min 1 ; 0 ; 1 ; 2 0 2

f x f f f f f m

f x f f f f f f m

.

Vậy

 

 

 

 

 

 

0;3

9

max max ,

4

y m m

, theo yêu cầu bài toán

 

 



0;3

max 11

y





 













 



























 









9

11

4

9

4

11

9

4

m

m m

m

m m





  











  







 





     







     











 









53 35

4 4

9 35

9

35

8 4

11

8

9

4

1111 11

8

9

8

m

mm

m

.

Vì

m

nguyên nên





  

11; 10;...;8

m .

Kết luận: tổng các số nguyên

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

      

11 10 9 ... 8 30

.

Câu 29 . Chọn D

Ta có:

    

2

4cos 2sin 4

y x x m





   

2

4 1 cos 2sin

x x m

  

2

4sin 2sin

x x m

.

Đặt



sin

t x

, do



 



 

 

0;

2

x

nên suy ra

  

 

0;1

t

.

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

  

2

4 2

y t t m

trên đoạn

 

 

0;1

.

Xét hàm số





  

2

4 2

f t t t m

liên tục trên đoạn

 

 

0;1

, ta có:







 

8 2

f t t

;

 



      

 

1

0 0;1

4

f t t .







0

f m

;





 

1 6

f m

.

Trường hợp 1: Nếu



0

m

 

 

 

0;1

min

y m

. Kết hợp với giả thiết ta có

 

0 4

m

.





1

Trường hợp 2: Nếu

 

6 0

m



 

6

m

 

 

   

0;1

min 6

y m . Kết hợp với giả thiết ta có



  



 



6 4

6

m



   

10 6

m

.





2

Trường hợp 3: Nếu





 

6 0

m m



  

6 0

m

 

 

  

0;1

min 0 4

y

. Trường hợp này thỏa mãn.





3

Từ









1 , 2

và





3

ta được

  

 

10; 4

m

. Vì

m

là số nguyên nên





   

10, 9, 8,...,2,3,4

m

.

Vậy có 15 số nguyên

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 30. Chọn A

Ta có giá trị lớn nhất của





f x

trên đoạn

 

 

1; 2

không lớn hơn 3, tức là





 

 



1;2

max 3

f x



      



 





       



 



2

2 3 3, 1; 2

2 3 3, 1;2

x mx x



    

 









    



 



2

2 , 1;2

6

2 , 1;2

m x x

x

m x

x









 

 

 

 

 











 







 



 



1; 2

2

1; 2

2 max 1

6

2 min 2

m x

x

m

x

.





   

1 2 2 1.

m m

Xét hàm

 



  

2

6 6

x

g x x

x x

với

  

 

1; 2

x

có

 



 

2

6

1g x

x

.

Suy ra:







    

 

0, 1;2

g x x









 

 

  

1;2

min 2 5

g x g

. Do đó

 

 

5

2

m .

Vậy

 

5

1

2

m

, mà





m

nên







1; 2

m

.

Câu 31. Chọn B

Xét hàm số





   

3 2

3 9

f x x x x m

liên tục trên đoạn

 

 

2; 3

. Ta có







  

2

3 6 9

f x x x

.

 



 



     







2

1

0 3 6 9 0

3

x

f x x x

x

. Có













       

2 2; 1 5; 3 27

f m f m f m

.

Suy ra





 

 

 

2;3

max 5

f x m

;







 

 

 

2;3

min 27

f x m

.

Do đó





 

 

   

2;3

max max 5 ; 27

M y m m

.



 





  





  









  



 

   



  



      



   

 

  













   



 













5 27

2 22 0

5 50

11; 45

50 5 50

50 23;45

23;11

2 22 0

5 27

50 27 50

27 50

m m

m

M m

m

m m

m

.

Do đó





    

22; 21; 20;...; 1;0;1;2;...; 44

S

.

Vậy tổng các phần tử của

M

là 737.

Câu 32: Chọn A

Xét

   

4 3 2

2

u x x x a

liên tục trên đoạn

 

 

1; 2

có   

3 2

' 4 6 2

u x x x

.

Giải phương trình





   

 



     



 



   

 





0 1;2

' 0 1 1;2

1

1;2

2

x

u x

x

Suy ra

           

 

 

 

 



 

 

       



 

 

 



 



 

 



     

 

 



 

 



1; 2

1

max max 1 , 0 , , 1 , 2 1 2 4

2

1

min min 1 , 0 , , 1 , 2 0 1

2

M u u u u u u u u a

m u u u u u u u u a

.

Vậy

 

 

 



  

   

    



  

  





1; 2

4 100

100 2

max max 4 , 100

2 96

4 100

a a

a

y a a

a

a a

.

Vậy





  

100, 99,..., 96

a

có

197

số nguyên thỏa mãn.

Câu 33. Chọn B

Xét hàm số





  

sin cos

f x x x m

, có tập xác định:





D

.

Ta có:

      

2 sin cos 2

m x x m m

,

 



x

.

Suy ra





    

2 2

m f x m

,

 



x

.

Vậy:  

max 2

D

y m hoặc  

max 2

D

y m .

Yêu cầu bài toán





 









    









  



 





 

 



 

    





 





















  









2 2

2 2 2 2

2 2

0

2 2 2 2

2 2

0

2 2

m

m m

m

m m



  

      



   



0 2 2

2 2 2 2

2 2 0

m

.

Do

  



0

m m

. Vậy chỉ có một giá trị nguyên của

m

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 34. Chọn B

Xét





  

2

f x x x m

liên tục trên

 

 

2;1

. Ta có:







 

2 2

f x x ;











     

0 1 2;1

f x x

;





 

2

f m

;





 

1 3

f m

;





  

1 1

f m

;

Trường hợp 1:









      

1 3 0 3 1

m m m

, lúc đó

 

 

 

2;1

min 0

M y .

Trường hợp 2:

  



 

   







3

1 3 0

1

m

m m

m

(*).

Do đó:





 

 

   

2;1

min min 1 ; 3

M y m m

.

Khi

   

         

2 2

1 3 1 3 1

m m m m m

, kết hợp với điều kiện (*) ta được



1

m

,

lúc đó:



 

 

  

2;1

min 1

M y m

.

Khi

  

1 3

m m

  

1

m

, kết hợp với điều kiện (*) ta được

 

3

m

, lúc đó:

 

 

  

2;1

min 3

M y m

.

Xét các giá trị

  

 

3; 3

m

   



  



 

 

  





0 khi 3 1

1 khi 1 3

m

M

m m

.

Dễ dàng nhận thấy M đạt giá trị lớn nhất bằng

2

khi



3

m

.

Câu 35. Chọn B

Xét





   

3 2

3 1

f x x x m

trên

 

 

1;1

.

Ta có:







 

2

3 6

f x x x

;

 



   

 



 



    



 



0 1;1

0

2 1;1

x

f x

x

.





  

1 1

f m

;





 

0 1

f m

;





 

1 3

f m

;

Trường hợp 1:









      

1 3 0 3 1

m m m ,

 

 

 

1;1

min 0

M y .

Trường hợp 2:

  





   



 



1

1 3 0

3

m

m m

m

(*).

Do đó:





 

 

   

1;1

min min 1 ; 3

M y m m

.

Khi

   

         

2 2

1 3 1 3 1m m m m m

, kết hợp với điều kiện (*) ta được

 1m

,

lúc đó:

 

 

  

1;1

min 1M y m

.

Khi

  1 3m m

  1m

, kết hợp với điều kiện (*) ta được

 3m

, lúc đó:



 

 

  

1;1

min 3M y m

.

Xét các giá trị

  

 

4; 3m

:



    



   





  



3 4 3

0 3 1

1 1 3

m khi m

M khi m

m khi m

Dựa vào đồ thị, M đạt giá trị lớn nhất bằng

2

khi

 3m

.

Câu 36. Chọn B

Tập xác định:





D

. Xét

 

   

4 3 2

4 4u x x x x m

liên tục trên

 

 

0; 2

.

Ta có

 



  

3 2

4 12 8u x x x x

,

 

 





  







0

0 1

2

x

u x x

x

. Ta có:

 







 











0

1 1

2

u m

.

Suy ra:

 









 





[0;2]

min

max 1

u x m

.

 

 

 

 

 

0; 2

min min 0 ; ; 1f x m m

hoặc

 

 

 



0; 2

min 0f x

, với

  

 

3; 3m

(*).

Trường hợp 1:

 

     1 0 1 0m m m

suy ra

 

 

 



0; 2

min 0f x

Trường hợp 2:

 0m

kết hợp với (*) ta có:

 0 3m

suy ra

 

 

 



0; 2

min f x m

.

Trường hợp 3:

    1 0 1m m

kết hợp với (*) ta có

   3 1m

suy ra

 

 

 

 

0; 2

min 1f x m

.

Khi đó:

 







 





    







  



 



[0;2]

, 0;3

min 1 , 3; 1

0 , 1;0

m m

f x m m

m

.

Dựa vào đồ thị ta thấy

 

[0;2]

min f x

đạt giá trị lớn nhất bằng

3

khi

 3m

.

Câu 37. Chọn D

Xét hàm số

 

    

2

4 2 3y f x x x m

liên tục trên đoạn

 

 

1; 3

.

 



 2 4f x x

;

 



     

 

0 2 1;3f x x

;

 

 1 2 6f m

,

 

 2 2 7f m

,

 

 3 2 6f m

.

Khi đó

 

 

 

 

   

1;3

max max 2 6 ; 2 7f x m m M

.

Ta có:



 



         



   





2 6

2 2 6 7 2 2 6 7 2 1

2 7 7 2

M m

M m m m m

M m m

 

1

2

M

.

Dấu

" "

xảy ra

  



   



  





  



1

2 6 2 7

13

2

4

2 6 7 2 0

m m

m

m m

.

Do đó

 

1

2

M a

khi

 

13

4

m b

   2 6P b a

.

Câu 38. Chọn D

Xét hàm số

 

    

3 2 2

1 27f x x x m x

liên tục trên đoạn

  

 

3; 1

.

Ta có

 



    

2 2

3 2 1 0f x x x m

với

    

 

3; 1x

.

Ta có

 

  

2

3 6 3f m

;

 

  

2

1 26f m

.

Khi đó

 

 

  

 

   

2 2

3; 1

max max 6 3 ; 26f x m m M

.

Lại có

 

   

 

    

 

   

 

 

2 2

6 3 6 3

4 72 18

26 3 3 78

M m M m

M M

M m M m

.

Dấu bằng xẩy ra khi

  



   







  





  



 







2 2

2

2 2

6 3 26 18

2 2

8

6 3 3 78 0

2 2

m m

m

m m

m

.

Vậy với







 



2 2

m

thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

  

 

3; 1

có giá trị nhỏ nhất.

Khi đó tích các giá trị là





  

2 2. 2 2 8

.

Câu 39. Chọn D

Xét hàm số

 

   

4 2

1 19

30

4 2

f x x x x m

liên tục trên đoạn

 

 

0; 2

.

Ta có







  

3

19 30

f x x x

;

 



    

 





     



 



   



 



5 0; 2

0 3 0; 2

2 0; 2

x

f x x

x

.

Ta có :









  

0 ; 2 26

f m f m .

Khi đó









 

 

 

0; 2

max max ; 26

f x m m

 

26

m

;









 

 

 

0; 2

min min ; 26

f x m m



m

.

Suy ra









 

 

 

0; 2

max max ; 26

f x m m



M

.

Ta có



  





 





26

M m m

M m

    

2 26

M m m

  

 

26

2

m m

M

  



26

2

m m



13

.

Dấu bằng xảy ra khi

 



  





  





26 13

26 0

m m

  

13

m

.

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số

   

4 2

1 19

30

4 2

y x x x m

trên đoạn

 

 

0; 2

đạt giá trị nhỏ

nhất bằng

13

khi

 

13

m

. Vậy có

1

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 40. Chọn A

Xét

  

2

u x x m

liên tục trên trên đoạn

 

 

0; 2

.

Ta có:



 

2 2

u x

;



        

 

0 2 2 0 1 0; 2

u x x

.













   

0 , 1 1, 2

u m u m u m

Khi đó:





















 

 

   

0;2

max max 0 , 1 , 2 ax , 1,

u u u u m m m m m

.





















 

 

    

0;2

min min 0 , 1 , 2 min , 1, 1

u u u u m m m m

.

Suy ra

 

 

 





















 















   





 



        



 

   















 

 

















 







0;2

3

1 1

max max 1 , 3 3, 2

1 3 4

2

1

m

m m m m

y m m m m

m m

m

m m

.

Vậy số phần tử của

S

là 2.

Câu 41. Chọn B

Đặt





   

3 2

9 9

f x x mx x m

. Dễ thấy





 

 



2;2

min 0

f x

, dấu



" "

xảy ra khi và chỉ khi phương

trình







0

f x

có nghiệm

  

 

2; 2

x

.

Ta có:





















      

2 2

9 9

f x x x m x m x x m

;

 

 



   







3

0 3

x

f x x

x m

.

Do đó điều kiện cần và đủ để







0

f x

có nghiệm

  

 

2; 2

x

là

  

 

2; 2

m

.

Mà





m

nên





  

2; 1; 0;1;2

m

.

Vậy có

5

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 42. Chọn D

Ta có





    

4 2

8

y f x x x m

=

 

     

2

4 2 2

8 4 16

x x m x m

.

Đặt





 

2

4

t x

, vì

  

 

1; 3

x

, suy ra

  

 

0; 25

t

.

Khi đó





   

16

y g t t m

.

Ta có













    

   

   

1;3 0; 25

min min min 9 , 16

f x g t m m

.

Nếu

   

9 0 9

m m

, khi đó





 

 

1;3

min

f x

=

 

9 0

m

, khi đó

 

 

 

 



 

 

1;3

min min 0

f x

, khi



9

m

.

Nếu

    

16 0 16

m m

, khi đó





  

 

1;3

min

x

f x

=

  

16 0

m

, khi đó

 

 

 

 



 

 

1;3

min min 0

f x

, khi

 

16

m

.

Nếu









      

9 16 0 16 9

m m m , khi đó





 

 

 

1;3

min

x

f x

=

0

, khi đó

 

 

 

 



 

 

1;3

min min 0

f x .

Vậy

 

 

 

 



 

 

1;3

min min 0

f x

, khi

  

16 9

m

.

Vì





m

, nên có

26

số nguyên

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 43. Chọn D

Xét hàm số

   

4 3 2

2

u x x x a

liên tục trên đoạn

 

 

1; 2

có



  

3 2

4 6 2

u x x x

.





   

 





     



 



   

 





0 1; 2

0 1 1;2

1

1; 2

2

x

u x

x

           

 

 



 

 



 

 

       



 

 

 



 





 

 



     

 

 



 

 



1;2

1

max max 1 , 2 , 0 , , 1 1 2 4.

2

1

min min 1 , 2 , 0 , , 1 0 1

2

M u u u u u u u u a

m u u u u u u u u a

Trường hợp 1: Nếu

 

 

     

1;2

0 0 min ; max .

m a y m y M

Ta có điều kiện





 



  



0

3

4 10

a

a a

( thoả mãn).

Trường hợp 2: Nếu

   

0 4

M a

. Khi đó:

 

 

   

1;2

min ; max

y M y m

.

Ta có điều kiện

 



 



  



   





4

7

4 10

a

a a

( thoả mãn).

Trường hợp 3:

     

0 4 0

m M a

.

Khi đó:









 

 

      

1;2

min 0; max max 4 , max 4; 10

y y a a a a

.

Suy ra

 

 

   

1;2

min max 0 10 10

y y ( loại).

Vậy có 2 giá trị của tham số

a

thỏa mãn đề bài là

 



 



3

7

a

.

Câu 44. Chọn B

Xét hàm số

 

 



2

4

x ax

g x

x

liên tục trên đoạn

 

 

1; 4

.

Ta có

 





 

2

4

0

x

g x

x

   

 

1; 4

x



Hàm số đồng biến trên

 

 

1; 4









   

 

 

 

 



  







  





1;4

min 1 3

max 4 3

g x g a

.

Trường hợp 1:

   

3 0 3

a a

.

Ta có



  





  





3 3

a a







 

 

 

 

 



  





  





1;4

min 3

max 3

m g x a

M g x a

.

Khi đó

 

2 7

M m





    

3 2 3 7

a a  

10

3

a (thỏa mãn).

Trường hợp 2:

    

3 0 3

a a

.

Ta có



   





   





3 3

a a







 

 

 

 

 



   





   





1;4

min 3

max 3

m g x a

M g x a

.

Khi đó

 

2 7

M m





      

3 2 3 7

a a

  

10

3

a

(thỏa mãn).

Trường hợp 3:

       

3 0 3 3 3

a a a

.

Ta có



  





   





3 3

a a





   

 

 

 

 



 







    





1;4

min 0

max max 3; 3

m g x

M g x a a

Khi đó

 

2 7

M m

 

    

 

 

    

 

 

    

 

      

 

 

    

 

 

 

3 2.0 7 4

3 3 0

4

3 2.0 7 4

3 3 0

a a

a a a

a

a a

a a a

(không thỏa mãn).

Vậy có 2 giá trị của

a

thỏa mãn yêu cầu bài toán là:  

10

3

a .

Câu 45. Chọn C

Ta xét

  

4 3

( ) 2

f x x x m

liên tục trên đoạn

 

 

0;1

,  

3 2

'( ) 4 6

f x x x

.



   

 



 



   

 





0 0;1

'( ) 0

3

0;1

2

x

f x

x

.

  

(0) ; (1) 1

f m f m

.

Ta xét các trường hợp sau:

Nếu



0

m

thì

 

 

   

0;1

max ( ) 1 ; min ( )

f x m f x m

.

Khi đó:

 

 

         

0;1

max ( ) 2 min ( ) 10 (1 ) 2( ) 10 3

f x f x m m m

( thỏa điều kiện).

Nếu



1

m

thì

 

 

  

0;1

max ( ) ; min ( ) 1

f x m f x m

.

Khi đó:

 

 

       

0;1

max ( ) 2min ( ) 10 2( 1) 10 4

f x f x m m m

(thỏa điều kiện).

Nếu

 

1

2

m

thì

 

 

 

0;1

max ( ) ; min ( ) 0

f x m f x .

Khi đó:

 

 

   

0;1

max ( ) 2min ( ) 10 10

f x f x m

( không thỏa điều kiện).

Nếu

 

1

0

2

m

thì

 

 

  

0;1

max ( ) 1 ; min ( ) 0

f x m f x

.

Khi đó:

 

 

       

0;1

max ( ) 2 min ( ) 10 1 10 9

f x f x m m ( không thỏa điều kiện).

Do đó có hai giá trị

 

3

m

và



4

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy tổng tất cả các giá trị của

m

sao cho

 

 

 

0;1

max ( ) 2 min ( ) 10

f x f x

là

1

.

Câu 46: Chọn C

Hàm số





  

3 2

3

f x x x m

liên tục trên đoạn

 

 

1; 3

.

Xét hàm số

  

3 2

3

y x x m

Ta có



 

2

3 6

y x x

;



   

 



 



   



 



0 1; 3

0

2 1; 3

x

y

x

Khi đó





















     

 

 

 

 

 



     





    





1;3

min min 1 ; 3 ; 2 min 2; ; 4 4

max max 1 ; 3 ; 2 max 2; ; 4

y y y y m m m m

Nếu





 

 

 

 

 



 



    









1;3

min 4

4 0 4

max

f x m

m m

f x m

.

Ta có













 

 

       

1;3

3max 2min 17 3 2 4 17 9

f x f x m m m

(thoả mãn).

Nếu





 

 

 

 

 



 



 



 





1;3

min

0

max 4

f x m

m

f x m

.

Ta có













 

 

        

1;3

3max 2min 17 3 4 2 17 5

f x f x m m m

( thoả mãn).

Nếu





 

 

 

 

 







  



 





1;3

min 0

0 2

max 4

f x

m

f x m

.

Ta có

     

 

 



      

1;3

5

3max 2min 17 3 4 17

3

f x f x m m ( không thoả mãn).

Nếu





 

 

 

 

 







  









1;3

min 0

2 4

max

f x

m

f x m

.

Ta có

   

 

 

     

1;3

17

3max 2min 17 3 17

3

f x f x m m (không thoả mãn).

Vậy





 

9; 5

m

.

Câu 47. Chọn B

Xét hàm số:





  

3

f x x x m

trên

 

 

0; 2

Ta có:







 

2

3 3

f x x

.

Khi đó

 









 

 



1

0

1

x

f x

x

.

Ta có:





 







  





 





0

1 2

2 2

f m

suy ra





 

 

 

 

 



  





 





0;2

max

min 2

2

f x m

.

Trường hợp 1:

  



 

    







2

2 2 0

2

m

m m

m

.

Khi đó:









 

 

       

0;2

min max 6 2 2 6

f x f x m m

.

Nếu

 

2

m

ta có:

      

2 2 6 3

m m m

(thỏa).

Nếu



2

m

ta có:

      

2 2 6 3

m m m

(thỏa).

Trường hợp 2:









       

2 2 0 2 2

m m m

(*)

Khi đó:





 

 



0;2

min 0

f x

và













 

   

 

   

   

0;2

0;2 0;2

min max 6 6

maxf x f x f x

.





   





   







 



   

 





 

  



 

 

   













   

  















2 2

2 6

4 8

4

2 2

4 8

2 6

m m

m

m m

m

m m

m

(không thỏa (*))

Vậy tích các giá trị của tham số

m

thỏa yêu cầu bài toán là:

  

3.3 9

.

Câu 48. Chọn B

Ta thấy hàm số

 







2

x m

f x

x

liên tục trên đoạn

 

 

0;1

,

   



 

1

0 ; 1

2 3

m m

f f và đồ thị hàm

số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

 

x m

.

Trường hợp 1: Nếu

      

0 1 1 0

m m

thì

 

 

 

 





 

 

0;1

1

max max ;

2 3

m m

f x ;





 

 



0;1

min 0

f x

.

Do đó

   

 

 



  





    









 





0;1

6

2 6

2

2max 3min 6 8

1

2 6

10

3

m

f x f x m

m

(không thỏa mãn).

Trường hợp 2: Nếu

   

0 0

m m

thì

 

 

 

  



 

 

0;1

1

max max ;

2 3

m m

f x ;

 

 

 

  



 

 

0;1

1

min min ;

2 3

m m

f x

.

Ta có

 

 

1 2

2 3 6

m m m

suy ra

 

 









  





1

khi 2

2 3

1

khi 0 2

2 3

m m

m

m m

m

.

Với



2

m

, ta có

   

 

 

       

0;1

5

2max 3min 6 1 6

2

f x f x m m m ( thỏa mãn).

Với

 

0 2

m

, ta có

   

 

 



      

0;1

1 32

2max 3min 6 2. 3. 6

3 2 13

m m

f x f x m ( không thỏa mãn).

Trường hợp 3: Nếu

    

1 1

m m

thì

   

 

 

     

     

   

   

0;1

1 1

max max ; ; min min ;

2 3 2 3

m m m m

f x f x .

Ta có

  

      

1 2

0, 1

2 3 6

m m m

m suy ra



    

1

khi 1

2 3

m m

m . Do đó:

   

 

 

  

       

0;1

1 7

2max 3min 6 2. 3. 6

2 3 2

m m

f x f x m

( thỏa mãn).

Vậy có

2

giá trị của

m

thỏa mãn bài toán.

Câu 49. Chọn C

Xét hàm số







y g x

trên đoạn

 

 

4; 4

.

Ta có

   



       



   



 





4; 4 4;4

x x

g x g x





 

y g x

là hàm số chẵn trên

 

 

4; 4

.

Do đó:

   

   

   

 

1;1 0;1

11

max max

2

g x g x

.

Xét

  

 

0;1

x khi đó:













  

3

g x f x x f m

Đặt

 

3

u x x

,



      

 

2

3 3 0, 0;1

u x x

. Suy ra









    

0 1 0 4

u u u u

.

Hàm số trở thành

     

 h u f u f m

với

  

 

0; 4u

.

         

   

   

    

0;1 0;4

max max 0 3g x h u f f m f m

Mà

 

 

 



0;1

11

max

2

g x

   

    

11 5

3

2 2

f m f m

.

Từ bảng biến thiên của hàm số

 

y f x

suy ra có 4 giá trị của

m

.

Câu 50. Chọn A

Với

 

 

 

 

1 1

;

2 2

m

điều kiện xác định của

 

g x

là:

     

1 1

1 2 0

2 2

x x

.

Trên tập

 

 

 

 

1 1

;

2 2

D

hàm số

 

f x

có đồ thị

Do đó đồ thị hàm số

 

y f x

có dạng :

Ta có

 

 

    

 

 

1 1

0 1, ;

2 2

f x x

và

        

0 1 2 1 1 1 2 0

x x

 

     

1 1 2 1

f x x .

Do đó

 

 



 

 

 

  

  

 

 

1 1

;

2 2

1 2 1 2

min 1

2 2

m m

g x f vị trí



0

x

.

Theo yêu cầu bài toán

 

 



 

 

 

  

  

 

 

1 1

;

2 2

1 2 1 2

min 0 1

2 2

m m

g x f .

Đặt

  



1 2 1 2

2 2

m m

t ,

 

 

 

 

1 1

;

2 2

m

.

Ta có

 



     

 

 

 

1 1 1 1 1

0, ;

2 2

2 2 1 2 1 2

t m

m m



t

đồng biến trên

 



 

 

1 1

;

2 2

   

1 1

2 2

t

.

Khi đó

 

  

      

1 1 2 1 2 1

1

2 2

m m

f t t

  

1

2

m .

Vậy

 

1

2

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 1: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh như hình vẽ bên. Người ta chia

elip bởi parabol có đỉnh , trục đối xứng và đi qua các điểm . Sau đó sơn phần tô

đậm với giá đồng/ và trang trí đèn led phần còn lại với giá đồng/ . Hỏi

kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng .

A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.

Câu 2: Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật

 

  

3 2

4 12s t t t

, trong đó

t

là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của

chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi

t

bằng bao nhiêu?

A. 2. B.

8

3

. C. 0. D.

4

3

.

Câu 3: Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật

ABCD

nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính

10cm

.

A.

2

160cm

. B.

2

100cm

. C.

2

80cm

. D.

2

200cm

.

Câu 4: Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích

 



3

18V m

, biết đáy bể là hình chữ

nhật có chiều dài gấp

3

lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao

h

bằng

bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất?

A.

 

2 m

. B.

 

5

2

m

. C.

 

1 m

. D.

 

3

2

m

.

Câu 5: Một cốc hình trụ có bán kính đáy là

2cm

, chiều cao

20cm

. Trong cốc đang có một ít nước,

khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là

12cm

. Một con quạ muốn uống được nước trong cốc

thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá

6cm

. Con quạ thông minh mổ những viên đá hình

cầu có bán kính

0,6cm

thả vào cốc để mực nước dâng lên. Để uống được nước thì con quạ cần

thả vào cốc ít nhất bao nhiêu viên đá?

1 2 1 2

, , ,

A A B B

1

B

1 2

B B

,

M N

200.000

2

m

500.000

2

m

1 2 1 2

4 , 2 , 2

A A m B B m MN m

  

N

M

B

1

B

2

A

2

A

1

2.341.000

2.057.000

2.760.000

1.664.000

A.

30

. B.

27

. C.

28

. D.

29

.

Câu 6: Một sợi dây có chiều dài

28

m

được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một

hình tròn. Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích

của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất?

A.





56

4

. B.





112

4

. C.





84

4

. D.





92

4

.

Câu 7: Để chuẩn bị cho đợt phát hành sách giáo khoa mới, một nhà xuất bản yêu cầu xưởng in phải đảm

bảo các yêu cầu sau: Mỗi cuốn sách giáo khoa cần một trang chữ có diện tích là

2

384

cm

, lề trên

và lề dưới là

3

cm

, lề trái và lề phải là

2

cm

. Muốn chi phí sản xuất là thấp nhất thì xưởng in

phải in trang sách có kích thước tối ưu nhất, với yêu cầu chất lượng giấy và mực in vẫn đảm bảo.

Tìm chu vi của trang sách.

A.

82

cm

. B.

100

cm

. C.

90

cm

. D.

84

cm

.

Câu 8: Với tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước

30 ; 40

cm cm

. Người ta phân chia tấm nhôm như hình

vẽ và cắt bỏ một phần để được gấp lên một cái hộp có nắp. Tìm

x

để thể tích hộp lớn nhất.

A.

35 5 13

3

cm

. B.

35 4 13

3

cm

. C.

35 5 13

3

cm

. D.

35 4 13

3

cm

.

Câu 9: Ông A dự định sử dụng hết

2

6,5m

kính để làm một bể cá bằng kính có dạng khối hình hộp chữ

nhật chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao

nhiêu?

A.

3

2,26 m

. B.

3

1,01m

. C.

3

1,33m

. D.

3

1,50 m

.

Câu 10: Một vật chuyển động theo quy luật

  

3 2

1

6

3

s t t

với

t

là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt

đầu chuyển động và

s

là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong

khoảng thời gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng

bao nhiêu?

A. 243. B. 144. C. 27. D. 36.

Câu 11: Một bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích

2

3200cm

, tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng

2

. Hãy xác định diện tích của

đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

A.

2

1200cm

. B.

2

120cm

. C.

2

160cm

. D.

2

1600cm

.

Câu 12: Ông An có một khu đất hình elip với độ dài trục lớn

10

m và độ dài trục bé

8

m. Ông An muốn

chia khu đất thành hai phần, phần thứ nhất là một hình chữ nhật nội tiếp elip dùng để xây bể cá

cảnh và phần còn lại dùng để trồng hoa. Biết chi phí xây bể cá là

1000000

đồng trên

2

1

m

và chi

phí trồng hoa là

1200000

đồng trên

2

1

m

. Hỏi ông An có thể thiết kế xây dựng như trên với tổng

chi phí thấp nhất gần nhất với số nào sau đây?

A.

67398224

đồng. B.

67593346

đồng. C.

63389223

đồng. D.

67398228

đồng.

Câu 13: Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí

K

cách bờ

AB

là

1

m

và cách bờ

AC

là

8

m

, rồi dùng một cây sào ngăn một góc nhỏ của hồ để

thả bèo. Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào

2

bờ

AB

,

AC

và cây

cọc

K

.

A.

5 65

4

. B.

5 5

. C.

9 2

. D.

5 71

4

.

Câu 14: Một mảnh đất hình chữ nhật

ABCD

có chiều dài



25m

AB

, chiều rộng



20m

AD

được chia

thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn

MN

(

,

M N

lần lượt là trung điểm

BC

và

AD

). Một

đội xây dựng làm một con đường đi từ

A

đến

C

qua vạch chắn

MN

, biết khi làm đường trên

miền

ABMN

mỗi giờ làm được

15m

và khi làm trong miền

CDNM

mỗi giờ làm được

30m

.

Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ

A

đến

C

.

A.

2 5

3

. B.



10 2 725

30

. C.



20 725

30

. D.

5

.

Câu 15: Để thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao

60cm

, thể tích là

3

96.000cm

, người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành là

70.000

đồng/

2

m

và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là

100.000

đồng/

2

m

. Chi phí thấp nhất để làm bể cá là

A.

283.000

đổng. B.

382.000

đồng. C.

83.200

đồng. D.

832.000

đồng.

Câu 16: Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng

48

và chiều dài gấp đôi chiều rộng.

Chất liệu làm đáy và

4

mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp

hộp. Gọi

h

là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết



m

h

n

với

m

,

n

là các

số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng



m n

là

A.

12

. B.

13

. C.

11

. D.

10

.

Câu 17: Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol





P

có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng

bằng

4

m,



4

AB

m. Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật

CDEF

, phần còn lại dùng

để trang trí. Biết chi phí để trang trí phần tô đậm là

1.000.000

đồng/

2

m

. Hỏi số tiền ít nhất dùng

để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?

A.

4.450.000

đồng. B.

4.605.000

đồng. C.

4.505.000

đồng. D.

4.509.000

đồng.

Câu 18: Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng

48

và chiều dài gấp đôi chiều rộng.

Chất liệu làm đáy và

4

mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp

hộp. Gọi

h

là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết



m

h

n

với

m

,

n

là các

số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng

m n

là

A.

12

. B.

13

. C.

11

. D.

10

.

Câu 19:

Một trang trại rau sạch mỗi ngày thu hoạch được một tấn rau. Mỗi ngày, nếu bán rau với giá

30000

đồng/kg thì hết rau sạch, nếu giá bán rau tăng

1000

đồng/kg thì số rau thừa tăng thêm

20

kg. Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá

2000

đồng/kg. Hỏi tiền bán rau

nhiều nhất trang trại có thể thu được mỗi ngày là bao nhiêu?

A.

32400000

đồng. B.

34400000

đồng. C.

32420000

đồng. D.

34240000

đồng.

Câu 20: Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào GARA Ô TÔ nhà cô Hiền. Đoạn đường đầu tiên có

chiều rộng bằng

(m)x

, đoạn đường thẳng vào cổng GARA có chiều rộng

2,6 (m)

. Biết kích

thước xe ô tô là

5m 1,9m

. Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô người ta coi ô tô như một

khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài

5 (m)

, chiều rộng

1,9 (m)

. Hỏi chiều rộng nhỏ nhất

của đoạn đường đầu tiên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị bên dưới để ô tô có thể đi vào

GARA được?

A.

 3,7 (m)x

. B.

 2,6 (m)x

. C.

 3,55 (m)x

. D.

 4,27 (m)x

.

Câu 21: Cho hàm số





2

1

x

y

x

có đồ thị

 

C

và điểm

J

thay đổi thuộc

 

C

như hình vẽ bên. Hình chữ

nhật

ITJV

có chu vi nhỏ nhất bằng:

A.

2 2

. B.

6

. C.

4 2

. D.

4

.

Câu 22: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm cấp hai trên



. Biết

 



0 3f

,

 



 2 2018f

và bảng xét

dấu của

 



f x

như sau:

Hàm số

 

  2017 2018y f x x

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm thuộc khoảng nào sau đây?

A.

 

0; 2

. B.

 

 ; 2017

. C.

 

2017 ;0

. D.

 

  2017 ;S

.

Câu 23: Cho hàm số







2

4

ax b

y

x

với

 0a

và

,a b

là các số thực. Biết rằng



max 5

x R

y

và



 



min 2

x

y

. Giá

trị của biểu thức



2

P a b

bằng

A.

7680

. B.

1920

. C.

3840

. D.

1920

.

Câu 24: L;,Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m

sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

 



  

2

3

34

3 2 1

f x

x x m

trên đoạn

 

 

0; 3

bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của

S

bằng

A.

8

. B.

8

. C.

6

. D.

1

.

Câu 25: Cho hai hàm số và là hai hàm số liên tục trên có đồ thị hàm số

là đường cong nét đậm, đồ thị hàm số là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba

giao điểm

, ,A B C

của và trên hình vẽ lần lượt có hoành độ là

, ,a b c

. Tìm

giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

A.

   

 

 



;

min 0

a c

h x h

. B.

   

 

 



;

min

a c

h x h a

. C.

   

 

 



;

min

a c

h x h b

. D.

   

 

 



;

min

a c

h x h c

.

Câu 26: Cho hàm số bậc bốn

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ. Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số

  

 

0;20m

sao cho giá trị nhỏ

nhất của hàm số

     

    2 4 3g x f x m f x

trên đoạn

 

 

2; 2

không bé hơn 1?

A.

18

. B.

19

.

C.

20

. D.

21

.

Câu 27: Cho hàm số







2

( )

1

x m

f x

x

(

m

là tham số thực). Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị thực của

m

sao cho

 

[0 ; 1]

max ( ) min ( ) 3.f x f x

Số phần tử của

S

là

A.

2

. B.

3

. C.

1

. D.

0

.





y f x







y g x









y f x









y g x









y f x









y g x

















h x f x g x

 





; ?

a c

Câu 28: Cho hàm số   

4 2

2 3

y x x m

với

m

là tham số. Biết rằng có đúng hai giá trị

1 2

,

m m

của

m

để

giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 

 

1; 2

bằng

2021

. Tính giá trị



1 2

m m

A.

1

3

. B.

4052

3

. C.

8

3

. D.

4051

3

.

Câu 29: Cho hàm số

 

 





4

2 4

2

x mx

f x

x

. Gọi

S

là tập hợp các giá trị nguyên của

m

sao cho

 



 

 



1;1

3

min

4

f x . Số phần tử của

S

là

A.

4

. B.

2

. C.

1

. D.

3

.

Câu 30: Cho hàm số

 







log

log 2

x m

f x

x

(

m

là tham số thực). Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị của

m

sao cho









 

 

 

 

1

;1

10

min max 2

f x f x

. Tổng số phần tử của

S

bằng

A.



2

3

. B.

2

. C.

4

3

. D.

10

3

.

Câu 31: Cho hàm số

    

4 3 2

( ) 3 4 24 48

x x x x

f x e e e e m

. Gọi

,

A B

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của hàm số đã cho trên

 

 

0;ln 2

. Gọi

S

là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số

m

thuộc

  

 

23; 10

thỏa mãn



3

A B

. Tổng các phần tử của tập

S

bằng

A.



33

. B.

0

. C.



111

. D.



74

.

Câu 32: Cho hàm số

( )

f x

liên tục trên đoạn

 

 

4;4

và có bản biến thiên như hình vẽ bên dưới

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số

  

 

4;4

m để hàm số   

3

( ) ( 2 ) 3 ( )

g x f x x f m

có giá trị lớn nhất trên đoạn

 

 

1;1

bằng

8

?

A.

12

. B.

11

. C.

9

. D.

10

.

Câu 33: Cho

, ,

a b c

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

  



 

4 4 3

3

3 12 25 2

2

a b c

H

a b c

thuộc tập hợp nào dưới đây?

A.

 

 

 

5

;2

6

A . B.

 

 

 

13

;2

18

. C.

 

 

 

2

;2

3

. D.

 

 

 

1

0;

3

.

Câu 34: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

 





2019

2020

mx x

y

x

trên tập





   

|1 2018

D x x không vượt quá

1

2

. Số các phần tử của

S là:

A. 2110. B. 2108. C. 1054. D. 1009.

Câu 35: Cho hàm số

 







2 1

2

t

f t

t

và

,

x y

là các số thực thỏa mãn

  

2 2

5 2 9

x xy y . Giá trị lớn nhất

của

 



 

 

 

6 6

4 9

x

f

x y

bằng

A.

1

3

. B.

2

3

. C.



3

. D.



1

3

.

Câu 36: Cho hàm số





  

2

y x x m

. Tổng tất cả các giá trị thực của tham số

m

để

 

 



2;2

min 4

y bằng

A. 

23

4

. B.



31

4

. C.



8

. D.

9

4

.

Câu 1: Chọn A

Phương trình đường Elip là: . Diện tích hình Elip là

Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ: .

Vậy .

Parabol đối xứng qua có dạng .

Vì .

Diện tích phần tô đậm là:

• Tính . Đặt Đổi cận

B

1

-1

1

y

x

O

1

-1 2-2

M

N

2 2

1

4 1

x y

 

 

.

E

S a b









2

m





,

M N

2 2

1

3

1

4 1

2

x

x y

y

 



 



 

 



 



3 3

1; , N 1;

2 2

M

   



   

   





P

Oy





2

0

y ax c a

  

   

1

3

0; 1 , 1;

3

2

1

2

c

B N P

a

 



 



  

 



 

 

 





 

2

3

: 1 1

2

P y x

 

   

 

 

1

2

1

0

3

2 1 1 1

4 2

x

S x dx

 

 

    

 

 

 

 

 



1

2

1

0

1

4

x

I dx

 



sin cos .

2 2

x dx

t tdx

  

0 0

.

1

6

x t



  







  





Suy ra .

• Tính

Vậy .

Tổng số tiền sử dụng là: đồng

Câu 2: Chọn D











  

2

3 8

v t s t t t

.







 

6 8

v t t

. Có

 



  

4

0

3

v t t .

Dựa vào bảng biến thiên ta có









 

  

 

 

0;

4 16

min

3 3

v v

.

Vậy vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi



4

3

t .

Câu 3: Chọn B

Đặt



OA x





 

0 10

x

. Suy ra:



2 ;

AB x

   

2 2 2

100

AD OD OA x

.

Khi đó:

     

2 2 4

. 2 . 100 2 100

ABCD

S S AB AD x x x x

Suy ra:







3

2 4

200 4

'

100

x x

S

x x



 



       



 



3

0

' 0 200 4 0 5 2 5 2

5 2

x

S x x x x

x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật

ABCD

bằng

cm

2

100 khi

cm

 5 2x .

Câu 4: Chọn D

 

6 6 6

2 2

1

0 0 0

1 sin .2cos 2cos 1 cos2

I t tdt tdt t dt

  

    

  

6

0

1 3

sin 2

2 6 4

t t



 

   

 

 

1

3

2

0

3 3 3 2

1 1 1 .

2 2 3 6 3

x

I x dx x

   

   

          

   

   

   

   

   



1

3 3 2

2

6 4 6 3

S



 

   

 

 

3 4

3 6 3



  

2

m

 





1 1

.200000 .500000 2.341.000

E

S S S  

Gọi

x







0

x

là chiều rộng hình chữ nhật đáy bể, suy ra chiều dài hình chữ nhật đáy bể là

3 .

x

  

2

. .3 .3 18

V h x x h x







0

x

.

  

2 2

18 6

3

h

x x

,

Gọi

P

là diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy bể của hình hộp chữ nhật.

Nguyên vật liệu ít nhất khi

P

nhỏ nhất.

       

2 2 2

2 2

6 6 48

2 2. .3 3 2. . 2. .3 3 3 .

P hx h x x x x x x

x

x x

Đặt

 

 

2

48

3

f x x

x

,







0

x

.

Ta có

 





 

2

48

6

f x x

x

,

 





       

3

2

48

0 6 0 8 2

f x x x x

x

.

Bảng biến thiên:

Suy ra vật liệu ít nhất khi

 

  

2

6 6 3

4 2

h m

x

.

Câu 5: Chọn C

Gọi bán kính hình trụ là

r

, bán kính viên đá hình cầu là

R

.

Thể tích một viên đá là

 

 



3

4 4

. 0,6

3 3

R .

Gọi

n

là số viên đá con quạ thả vào cốc,

n

nguyên dương.

Thể tích nước cần đổ thêm vào cốc để mực nước cách miệng cốc

6

cm

là

 



2

. .2 8

r

.

Để con quạ uống được nước thì lượng đá bỏ vào cốc phải làm mực nước dâng lên cách miệng

cốc không quá

6

cm

nên ta phải có:

 

 



3

4

. . . 0,6 8

3

n

 

 

3

24

4. 0,6

n  

250

9

n .

Do

n

nguyên dương nên suy ra



28

n

.

Vậy con quạ cần thả vào cốc ít nhất

28

viên đá.

Câu 6: Chọn B

Gọi

1

l

,

2

l





m

lần lượt là chu vi hình vuông và hình tròn.





 

1 2

0 , 28

l l

Gọi

a

,

R





m

lần lượt là cạnh của hình vuông và bán kính của hình tròn. Khi đó ta có:

 

1 2

28

l l

;

  

1

4

l

l a a ;



 



   

2 1

2

28

2

2 2

l l

l R R

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là:

 



  

   

 

 

2

2 2

1 1

28

. .

16 2

l l

S a R

,

 

1

0 28

l

Yêu cầu bài toán tương đương với tìm







1

0,28

l

để

S

đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:

 

  

    

 



 

1 1

1

28

112

' 0

8 2 4

l l

S l

Lập bảng biến thiên ta được

S

đạt giá trị nhỏ nhất tại







1

112

4

l .

Câu 7: Chọn B

Ta thấy muốn chi phí sản xuất nhỏ nhất thì kích thước tối ưu là khi diện tích mỗi trang sách phải

nhỏ nhất đồng thời vẫn bảo đảm yêu cầu đề ra.

Gọi

,

x y

thứ tự là chiều dài và chiều rộng của trang sách, đơn vị

cm

, điều kiện:

 

6; 4

x y

.

Diện tích phần chữ trên mỗi trang là:









        

6 4 384 4 6 360 2 4 .6 360

x y xy x y x y

.

Khi đó

      

4 6 360 0 10 6 600

xy xy xy xy

, dấu “=” xảy ra khi

  



 

 

 

600 30

4 6 20

xy x

x y y

.

Vậy chu vi trang sách khi sản xuất theo kích thước tối ưu là









 

2 100 .

x y cm

Câu 8: Chọn C

Khối hộp chữ nhật thu được có kích thước là



30 2

x

;



20

x

;

x

với

  

 

0;15

x

.

Khi đó

      

 

 

 



     

 

 

0;15

35 5 13

30 2 20 max

3

V x x x f x f x f .

Dấu



" "

đạt tại





35 5 13

.

3

x

Câu 9: Chọn D

y

2x

x

Gọi chiều rông của bể cá là





m

x , chiều cao là











m , 0

y x y , khi đó chiều dài bể cá là





2 m

x

. Diên tích kính sử dụng là





  

2 2

2 2 4 m

S x xy xy .

Theo bài ra ta có:

 

     

2 2

2

6.5 2 13 4

2 2 4 6,5

6 12

x x

x xy xy y

x x

.

Thể tích bể cá là

 





2

13 4

2 .

12

x

V x x

x





 





2

3

13 4

m

6

x x

.

Ta xét hàm số

 









2

13 4

6

x x

V x với

 



 

 

13

0;

2

x .

Suy ra

 





2

13 12

'

6

x

V x

 



   

39

0

6

V x x .

Ta có



( )

V x

đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua



39

6

x

nên hàm số đạt cực đại tại điểm



39

6

x

.

Trên khoảng

 

 

 

13

0;

2

hàm số





V x

chỉ có một điểm cực đại nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại



39

.

6

x

Thể tích của bể cá có giá trị lớn nhất là

 

 

 

 

 

  

 

 

3

13

0;

2

39 13 39

max 1,50 m

6 54

V x V .

Vậy bể cá có dung tích lớn nhất bằng

1,50

3

m

.

Cách 2: Xử lý tìm giá trị lớn nhất của

( )

V x

bằng bất đẳng thức Cauchy.

Theo cách 1, ta tính được

 









2

13 4

6

x x

V x với

 



 

 

13

0;

2

x .

Ta có

 







 

 

2

2 2 2

13 4

1 8 (13 4 )(13 4 )

6 6 8

x x

x x x

V x

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

 

   

   

 

 

3

2 2 2 3

2 2 2

8 13 4 13 4 26

8 (13 4 )(13 4 )

3 27

x x x

.

Suy ra

  

3

1 26 13 39

( ) 1,50

6 8.27 54

V x

Dấu “



” xảy ra khi và chỉ khi

    

2 2

13 39

8 13 4

12 6

x x x

.

Vậy bể cá có dung tích lớn nhất bằng

1,50

3

m

.

Câu 10: Chọn D

Ta có

   



 



      

 

 

3 2 2

1

6 12

3

v t s t t t t t

. Tập xác định





D

.

Vì

 

      

2

12 6 36 36t t t

với mọi

 0t

.

Suy ra

 





0

max 36

t

v t

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

 

   

2

6 0 6t t

.

Vậy trong khoảng thời gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt

được bằng 36.

Câu 11: Chọn C

Gọi

,x y

lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hố ga;

h

là chiều cao của hố ga

 

, , 0x y h

Ta có:



    

2

1600

2 3200

h x

V xyh x y y

x

Diện tích bề mặt sử dụng của hố ga không nắp là

      

2 2

8000

2 2 4 5 4S xy xh yh x xy x

x

Đặt

 

 

2

8000

4f x x

x

. Ta có

 



 

2

8000

8f x x

x

;

 



  0 10f x x

Bảng biến thiên

Vậy

S

nhỏ nhất khi

  10 16x y

.

Diện tích đáy hố ga khi đó là

2

160cm

.

Câu 12: Chọn A

Gắn mảnh vườn hình elip của ông An vào hệ trục tọa độ như hình vẽ. Độ dài trục lớn 10m và độ

dài trục bé bằng 8m nên ta có

 5a

và

 4b

.

Phương trình của elip là:

 

 

2

: 1

25 16

y

x

E

.

Diện tích của elip là:

 

 

  20

E

S ab

.

Hình chữ nhật

DABC

nội tiếp elip. Đặt

 2xAB

 

 0 5x

  

2

D 8 1

25

x

A

.

Diện tích hình chữ nhật

DABC

là:

 

2

D

16x 1

25

ABC

x

S

.

Diện tích phần còn lại trồng hoa là:



  

2

20 16 1

25

hoa

x

S x

.

Tổng chi phí xây dựng là:



 

 

    

 

 

2 2

x x

16000000.x 1 1200000. 20 16x 1

25 25

T



  

2

24000000 3200000 1

25

x

.

Mặt khác ta có:

 

  

2 2

2

1

25 25

16000000. 1 16000000. 8000000

5 25 2

x x

.

 

      

2

24000000 3200000x 1 24000000 8000000 67398223.69

25

x

T

.

Dấu

" "

xảy ra khi

   

2

5 2

1

5 25 2

x x

x

.

Vậy tổng chi phí thiết kế xây dựng thấp nhất gần với số

67398224

.

Câu 13: Chọn B

Đặt

AP a

,

AQ b

 

, 0a b

. Gọi

E

và

F

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

K

xuống

AB

và

AC

. Suy ra

 1KE

,

 8KF

.

K

A

C

B

P

Q

E

F

Ta có:



KE PK

AQ PQ

;



KF QK

AP PQ

  

1

KF KE

AP AQ

hay

 

8 1

1

a b

.

Cách 1:

Ta có:

 

2 2 2

PQ a b

. Vì

 

8 1

1

a b

  

8

k k

k

a b

 

0

k

.

   

     

   

   

2 2 2 2

8

k k

a b k a b

a b

   

     

   

   

2 2

4 4

2 2

k k k k

a b

a a b b

 

2

3

2

3

3 16 3

4

k

k .

Suy ra

PQ

nhỏ nhất

 

2 2

a b

nhỏ nhất







 





 





2

4

2

8 1

1

k

a

k

b

a b

 



 









250

10

5

k

a

b

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của

PQ

là



2 2

a b



125



5 5

. Từ đó suy ra chiều dài ngắn nhất của

cây sào để cây sào có thể chạm vào

2

bờ

AB

,

AC

và cây cọc

K

là

5 5

.

Cách 2:

Vì

 

8 1

1

a b

 



8

a

b

a

với



8

a

. Khi đó

 

2 2 2

PQ a b

 

 

 



 

2

8

a

với



8

a

.

Xét hàm số

 

 

 

 



 

2

8

a

f a a

a

với



8

a

.

Ta có

 





 



2

2 8

2 .

8

a

f a a

a

 

 

 

 

 





3

2 8 8

8

a a

a

;









0

f a

 

10

a

.

Bảng biến thiên của





f a

:

Vậy giá trị nhỏ nhất của





f a

là

125

khi



10

a

.

Từ đó suy ra chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào

2

bờ

AB

,

AC

và cây

cọc

K

là



125 5 5

.

Câu 14: Chọn A

Do cần thời gian xây là ngắn nhất nên con đường làm trên mỗi miền phải là những đường thẳng.

Gọi

AE

và

EC

lần lượt là đoạn đường cần làm. Với







m

NE x

.





  

25 m

EM x

.

Ta được

 



   





    





2 2 2

2

2 2

100

100 25

AE AN EN x

EC MC EM x

.



Thời gian để làm đoạn đường từ

A

đến

C

là:

 

 



   

2

25 100

100

h

15 30 15 30

x

AE EC x

t x

 





  



 

2 2

25

15 100

30. 25 100

x x

t x

x

.

Xét

 





   



 

2 2

25

0 0

15 100

30. 25 100

x x

t x

x

     





 

           

2 2 2

2 25 100 25 100 4 25 100 25 100

x x x x x x x x













 





       





       

      

        

2 2 2

2 2

2 2 2

2

4 25 400 100 25 25 0

4 25 25 20 25 0

5 4 25 5 45 0 5

x x x x x x

x x x x

x x x x x x

.

Ta được

 























4 29

0

6

2 5

5

3

1 29

25

3

t

.

Vậy thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ

A

đến

C

là

 

2 5

h

3

.

Cách 2:

Xét

 

     

     



  

2 2 2

2 2

25 10 20 2 25 10

10

15 30 30

x x x

x

t x .

Lại có

       

       

2 2 2 2

2 2

20 2 25 10 45 2 10

x x x x





  

   

do

u v u v

.

     

       

2 2 2

2 2

20 2 25 10 5 5 2000x x x

.

Do đó

 

 

  

2

5 5 2000

2000 2 5

30 30 3

x

t x

.

Vậy

   



min

2 5

h

3

t x

khi và chỉ khi

 

 5 mx

.

Vậy thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ

A

đến

C

là

 

2 5

h

3

.

Câu 15: Chọn C

Gọi

 

mx

là chiều dài của hình chữ nhật đáy

 

 0x

.

Khi đó chiều rộng là:



0,096 4

.

0,6 25x x

Khi đó diện tích mặt xung quanh là:

 



 

 

4

1,2

25

x

.

Chi phí để làm mặt xung quanh là:

   

  

   

   

4 4

70.1,2 84

25 25

x x

.

Diện tích mặt đáy là:



4 4

. .

25 25

x

Cho phí để làm mặt đáy là:



4

100. 16

25

.

Chi phí để làm bể cá thấp nhất khi và chỉ khi chi phí làm mặt bên thấp nhất

Xét hàm số

   





     

2

2 2

4 4 25 4

, 0; 1

25

25 25

x

f x x x f x

x

x x

 



     

2

0 25 4 0 .

5

f x x x

Bảng biến thiên

Khi đó chi phí thấp nhất là:

 

4

84. 16 83.200

5

đồng.

Câu 16: Chọn C

Gọi chiều rộng của hộp là

x

(

 0x

)



Chiều dài của hình hộp là

2x

.

Thể tích của hộp là

 .2 . 48V x x h

 

2

24

h

x

.

Tổng diện tích mặt đáy và

4

mặt bên của hộp là

    

2 2 2

2

24 144

2 6 2 6 . 2x xh x x x

x

.

Diện tích nắp hộp là

2

2x

.

Giá thành hộp thấp nhất

 

 

   

 

 

2 2

144

3 2 2f x x x

x

đạt giá trị nhỏ nhất với

 0x

.

Ta có

 

      

2 2 2

3

432 216 216 216 216

8 8 3. 8 . . 216f x x x x

x x x x x

.

Vậy

 





0;

216min f x

xảy ra khi và chỉ khi



2

216

8x

x

 

3

27x

  3x

  

24 8

9 3

h

.

Vậy

 8m

;

 3n     8 3 11m n

.

Câu 17: Chọn D

Xét

   

   

2

: 0P y ax bx c a

có toạ độ đỉnh

 

0;4

và qua điểm có toạ độ

 

2;0

.

Ta có hoành độ đỉnh:



  0 0

2

b

a

;

 

P

qua điểm

 

0;4

  4c

và

 

P

qua điểm

 

2;0

  1a

. Suy ra:

 

  

2

: 4P y x

Xét đường thẳng qua

,E D

:

y m

. Khi đó

 

 4 ;E m m

và

 

4 ;D m m

là giao điểm của

 

P

và đường thẳng

y m

. Suy ra:

 2 4ED m

,

EF m

.

Yêu cầu của bài toán đạt được khi diện tích hình chữ nhật

CDEF

phải lớn nhất.

Ta có:

  . 2 4 .

CDEF

S ED EF m m

. Đặt

 4t m

     

2 2

4 4t m m t

Khi đó:

 

     

2 3

2 4 2 8

CDEF

S f t t t t t

;

 



   

2

6 8 0f t t

  

2

3

t

Suy ra:



32 3

9

CDEF

MaxS

khi

  

2 8

3

t m

Mặt khác diện tích của chiếc cổng:



   



2

32

4

3

S x

(

2

m

)

Suy ra diện tích nhỏ nhất của phần dùng để trang trí là:

 

CDEF

S MaxS

 

32 32 3

4,5083

3 9

(

2

m

)

Vậy số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm:

 4,5083 1.000.000 4.508.300

.

Câu 18: Chọn C

Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là

2x

và

x

( 0)x

. Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là

    

2 2 2

2 . 2 . 48 . 24V x h x h x h

Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là

3,

giá thành làm nắp hộp là

1

nên giá thành làm hộp là

 

   

2 2

3 2 2 4 2L x xh xh x

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số không âm, ta được

   

2

8 9 9L x xh xh

3

2

3 8 .9 .9x xh xh

 

 

2

3

3 648 216x h

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi















2

8 9

24

x xh

x h



















2

3

2

9

8

9

. 24

8

h

x

h

 













3

8

3

x

h

Vậy

 8m

,

 3n

và

  11m n

.

Câu 19: Chọn C

Gọi số lần tăng giá là

 

 0y y

Giá bán rau sau mỗi lần tăng giá là

30000 1000y

đồng/kg.

Số rau thừa được thu mua cho chăn nuôi là

 

20 50y y

kg

.

Số rau bán được trước khi thu mua cho chăn nuôi là



1000 20

y

kg.

Tổng số tiền bán rau thu được mỗi ngày là:





 

        

  

2

1000 20 .(30000 1000 ) 20 .2000 20000 440000 3000

0000.

32420000 20000 11 .

P y y y P y y

P y

Ta có:





  

 

2

32420000 20000 11 32420000

32420000.

y

P

 

max

324200000

P khi







11 .

y N

Câu 20: Chọn A

Chọn hệ trục

Oxy

như hình vẽ. Khi đó







2,6 ;

M x

.

Gọi







; 0

B a suy ra







2

0 ; 25

A a

. Phương trình

  



2

: 1 0

25

y

x

AB

a

.

Do

//

CD AB

nên phương trình

  



2

: 0

25

y

x

CD T

a

.

Mà khoảng cách giữa

AB

và

CD

bằng

1,9( )

m

nên



   



 



 

 



 

2 2

2

1

9,5

1,9 1

25

1 1

25

T

a a

a

.

Điều kiện để ô tô đi qua được là

,

M O

nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng

CD

.

Suy ra:



   



 

2 2

2,6 9,5

1 0

25 25

x

a

a a a

 

    

2

9,5 2,6 25

25

a

x a

a a

Để cho nhanh, chúng ta dùng chức năng TABLE trong máy tính Casio570ES PLUS.

 

   

2

9,5 2,6 25

(X) 25

X

f X

X X

với STEP =

5

29

; START = 0; END = 5.

Thấy giá trị lớn nhất của

 

 

   

2

9,5 2,6 25

25

X

f X X

X X

xấp xỉ

3,698

.

Vậy chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên gần nhất với giá trị ở câu A.

Câu 21: Chọn C

Đồ thị





C

có tiệm cận đứng là



1

x

và tiệm cận ngang là



2

y

với

     

 

        

 

 



 

2 2 2

; ;TCD 1 , , 2

1 1

1

x x

J x C TJ d J x JV d J TCN

x x

x

Khi đó, chu vì hình chữ nhật

ITJV

là:

 

       

 

 

 

2 2

2( ) 2 1 2.2 1 . 4 2

1 1

P TJ JV x x

x x

Dấu



" "

xảy ra khi:

 





 



 



 



      







 

 







2

1 2;2 2

1 2

2

1 1 2

1

1 2

1 2;2 2

J

x

x x

x

J

Vậy hình chữ nhật

ITJV

có chu vi nhỏ nhất bằng

4 2

.

Câu 22: Chọn B

Ta có





 

  

2017 2018

y f x ;





 

    

0 2017 2018

y f x , ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

 







  

  



    



 

 





2017 0

2017

2017 2018

2015.

2017 2

x t t

x t

f x

x

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số





  

2017 2018

y f x x

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại    

0

2017 2017

x t .

Vậy





 

0

; 2017

x

.

0

x

Câu 23: Chọn B

Xét phương trình ẩn

x

:

 



     



2

4 0 1

4

ax b

y yx ax y b

x

.

Trường hợp 1:

 

0

y

phương trình





1

trở thành:

 

b

x

a

.

Trường hợp 2:

 

0

y

phương trình





1

có nghiệm khi và chỉ khi

   

             

2

2 2 2 2

0 4 4 0 16 4 0 0 *

4 16

b a

a y y b y by a y y

.

Vì



  

max 5,min 2

x R

y y nên

    



          

2

2 5 2 5 0 3 10 0 *

y y y y y .

Từ





*

và

 



*

suy ra







 

 

   

 













2

3

12

4

1920

160

10

16

b

P a b

a

.

Câu 24: Chọn B

Hàm số

 



  

2

3

34

3 2 1

f x

x x m

đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn

 

 

0; 3

bằng 2 khi và chỉ khi

hàm số   

3

3 2

y x x m

đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

 

 

0; 3

bằng 16.

Xét hàm số





  

3

3 2

g x x x m

trên đoạn

 

 

0; 3

, ta có











 

2

3 1

g x x .

Ta có bảng biến thiên:

Suy ra









 

 

  

0;3

max max 2 2 , 2 18

g x m m

.

Do đó

 

 

 





 







 





 





  



 



 











 









0;3

2 2 16

2 18 16

7

max 16

1

2 2 16

2 18 16

m

g x

m

. Vậy





  

7; 1

S .

Câu 25: Chọn C

Ta có:













  

 

h x f x g x

. Theo bài ra ta có:

 

 





  







0

x a

h x x b

x c

Bảng biến thiên của hàm số





h x

:

Suy ra:









 

 



;

min

a c

h x h b

.

Câu 26: Chọn B

Dựa vào đồ thị, ta có













             

   

2 2, 2; 2 * 2 4 0, 2;2

f x x f x x

.

Vì

  

 

0;20

m

nên













           

 

2 4 0 2 4 2 4, 2;2

f x m f x m f x m x

Khi đó

























            

2 4 3 2 4 3 1

g x f x m f x f x m f x f x m

Với









       

 

0 1 , 2;2 .

m g x f x x

















               

 

* 1 1 3 0 1 3 0 3, 2; 2

f x f x g x x





 

 

   

2;2

ming 0 0

x m

không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Với













          

 

1; 20 1 0 1.

m f x m g x f x m

Từ (*) ta có











 

 

      

2;2

1 1 min 1.

f x m m g x m

Yêu cầu bài toán





 

 

          

 

2;2

min 1 1 1 2 2; 20 .

g x m m m

Vậy có 19 giá trị nguyên của tham số

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 27: Chọn A

Với



1

2

m : ta có





    

 

1, 0; 1

f x x .

Do đó

















   

   

    

0; 1 0; 1

max min 1 max min 2

f x f x f x f x

(không thỏa mãn đề bài).

Với



1

2

m , ta có:

 





     

 



2

1 2

0, 0; 1

1

m

f x x

x

. Có

   



 

2 1

0 2 ; 1

2

m

f m f .

Nếu

 

 



  



 





0

2 2 1 0

1

2

m

m m

m

. Khi đó





 

 

0;1

max

f x

và





 

 

0;1

min

f x

là một trong 2 giá trị



2 1

2 ;

2

m

. Khi đó:

   

 

 



        

0; 1

2 1

max min 3 2 3 2 2 2 1 6

2

m

f x f x m m m

.

Xét



0

m

: phương trình

     

5

4 2 1 6

6

m m m (thỏa mãn).

Xét

 

1

2

m

: phương trình

 



      

7

4 2 1 6

6

m m m (thỏa mãn).

Nếu

 

     

1

2 2 1 0 0

2

m m m

.

Khi đó:

 

 

 

 





 

 

0; 1

2 1

max ; 2

2

m

f x m

và





 

 



0; 1

min 0

f x

.

Ta xét



 









 













 





2

3

2 3

5

2 1

2

3

2

7

2

m

. Ta thấy các giá trị này không thỏa mãn

  

1

0

2

m

.

Vậy, ta có tập

 

 

 

 

7 5

;

6 6

S

, do đó số phần tử của tập

S

bằng 2.

Câu 28: Chọn D

Xét hàm số   

4 2

( ) 2 3

f x x x m

Ta có:

 

        

3

( ) 4 4 ( ) 0 0 1

f x x x f x x x

 

 

 

 

      

1;2

( ) 8 3 ; ( ) 3 1

Max f x m A Min f x m a

Yêu cầu bài toán

  







      



 





1

3

. 0 3 1 8 3 0

8

3

m

A a m m

m

Khi đó:

 

 

  

 

1;2

( ) 2021

2

A a A a

Min f x







 

     



 





4044

7 6 9

6

2021 7 6 4051 ( / )

4058

2

6

m

m t m

m

  

1 2

4051

3

m m .

Câu 29: Chọn C

Ta có

 

 

 



 

    



 





 

  



    

 







4

1;1

2 4 3

, 1;1 1

3

2 4

min

4

2 4 3

, 1;1 2

2 4

x mx

x

f x

x mx

x





 

1 m

do





1

không thỏa với



0

x

.









        

 

4

2 8 4 3 10 0 * , 1;1

x mx x x

Nhận xét



0

x

thỏa (*) nên

 





 



     













     







3

10

4 8 3 , 0;1

2 3

10

4 8 3 , 1;0

m x x

x

m x x

x

Xét

   

     

 

3

10

8 3 , 1;1 \ 0

g x x x

x

có

 



    

2

10

24 0, 0

g x x x

x

 





   







4 1

1 5

3

4 5

4 4

m

. Do





m

suy ra



1

m

.

Câu 30: Chọn C

Đặt



log

t x

, vì

 



 

 

1

;1

10

x

nên miền giá trị của

t

là

 

 

1; 0

.

Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số







2

t m

y

t

thỏa









 

 

 

1;0

max min 2

f t f t

.

Tập xác định





 



\ 2

D ta có

 









2

m

f x

t

.

Trường hợp 1:



2

m

. Ta có







1

f t

, khi đó









 

 

 

1;0

max min 2

f t f t

(thỏa mãn).

Trường hợp 2:



2

m



hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng của tập xác định nên đơn điệu trên

 

 

1; 0

. Ta có

   

   

0 , 1 1

2

m

f f m và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm







;0

m .

Khi

 

    

. 1 0 0 1

2

m

m m

, ta có

 

 

 

 

 

 

 











 





1;0

max

2

min 0,

max 1

m

f t

f t m

.

Khi đó

   

 



 

 

 







 



   







 





 





1;0

4

2

4

2

max min 2

3

1 2

1

m

f t f t

m

( không thỏa mãn

 

0 1

m

).

Khi

 





  







1

. 1 0

0

2

m

khi đó

   

 

 

     

1;0

max min 2 1 2

2

m

f t f t m

.

Với



0

m

, ta có

             

2

1 2 1 2 3 2

2 2 3

m m

m m m m

Với

 

1, 2

m m

, ta có

          

1 2 1 2 3 6 2

2 2

m m

m m m m

(không thỏa mãn

 

1, 2

m m

).

Kết hợp trường hợp 1 và trường hợp 2 ta có

 

 

 

 

2

; 2

3

S

.

Tổng số phần tử của S bằng

  

2 4

2

3 3

.

Câu 31: Chọn A

Đặt



x

t e

thì

  

 

1; 2

t . Khi đó

     

4 3 2

( ) ( ) 3 4 24 48

f x g t t t t t m

.

Xét

       

 

4 3 2

( ) 3 4 24 48 , 1;2

h t t t t t m t

có



   

3 2

( ) 12 12 48 48

h t t t t

.



 













  







 



( ) 0

1

1; 2

2

h t

t



( )

h t

nghịch biến trên

 

 

1; 2

;

   

(1) 23 , (2) 16

g m g m

.

Nếu









  

16 23 0

m m

thì







min 0

g t

, suy ra

  

0 max ( ) 3min ( ) 0

g t g t

hay



( ) 0

g t

   

 

1; 2

t

(vô lý).

Nếu



 

  



 



16 0

16

23 0

m

.

Khi đó

       

max ( ) 3min ( ) 23 3( 16) 12,5

g t g t m m m



 

12,5

m

(1).

Nếu



 

  



 



16 0

23

23 0

m

Ta không cần xét tiếp trường hợp này do đề bài chỉ yêu cầu tìm

 

23

m

.

Từ (1) và

   

 



23;10

m

ta có





    

12; 11; 10; 9;...;8;9;10

m

.

Vậy tổng các giá trị

m

thỏa là



33

.

Câu 32: Chọn B

Đặt

  

3

( ) 2

t u x x x

ta có

 

    

2

( ) 3 2 0,

t u x x x

do đó

 

3

2

t x x

là một hàm số tăng vì

vậy

  

 

1;1

x

thì

  

 

3; 3

t

.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

( )

f x

trên đoạn

 

 

3; 3

ta có

 

 



3;3

max ( ) 5

f t và

 

 

 

3;3

min ( ) 6

f t .

Từ đây ta có

 

   

   

 

1;1 3;3

max ( ) max ( ) 3 ( )

g x f t f m

hoặc

 



 

 

 

3;3

1;1

max ( ) min ( ) 3 ( )

g x f t f m

Trường hợp 1:

 

 

 

 



 





 

 



 

   

 



  





3;3

max ( ) 3 ( ) 8

5 3 ( ) 8

5 3 ( ) 6 3 ( )

max ( ) 3 ( ) min ( ) 3 ( )

f t f m

f m

f m f m

f t f m f t f m



 









 

  













( ) 1

13

( )

( ) 1

3

1

( )

2

f m

Từ bảng biến thiên phương trình



( ) 1

f m

có

5

nghiệm, như vậy trường hợp này có

5

giá trị

thực của

m

thỏa mãn.

Trường hợp 2:

 

 

 

 

 



 





  

 



 

   

 



  





3;3

-3;3

min ( ) 3 ( ) 8

6 3 ( ) 8

6 3 ( ) 5 3 ( )

min ( ) 3 ( ) max ( ) 3 ( )

f t f m

f m

f m f m

f t f m f t f m





 













   

















2

( )

3

2

14

( )

3

1

( )

2

f m

Từ bảng biến thiên phương trình

 

2

( )

3

f m

có

6

nghiệm, như vậy trường hợp này có

6

giá

trị thực của

m

thỏa mãn.

Vậy có tất cả là

11

giá trị thực của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 33: Chọn C

Ta có:

      

4

4 4 4 4 4 4 4 3

3 1 1 4 . . 4a a a a a a a a

 

      

3

4

4 4 4 4 4 4 4

12 1 4 4 4 1 4 4 .4 .4 4 2b b b b b b b b

Suy ra

 

   

 

 

   

 

 

  

 

  

     

2

3

2 3

3 3

4 4 3

3 3 3

4 2 2 2 25

4 4 2 25

3 12 25 2

2 2 2

a b a b ab c

a b c

H

a b c a b c a b c

 

   

 

 

 

 

 

  



 



 

   

 

   

  

 

   



 

 

2 2

3

3 3 3

2 2

4 2 25

2

25

2 4

2 25

22 2

1

a b a b

a b c

a b

a b c

c

a ba b c a b c

c

Đặt



 

2

, 0

a b

x x

c

. Xét

 







3

25

1

x

f x

x

với

 

 0;x

 

   

 

       



  

  

3 2

2 3 2 3 2

6 4 4

3 1 3 1 25 3 1 3 25 3 25

1 1 1

x x x x x x x x

f x

x x x

 



  0 5f x x

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 





0;

25

min

36

f x

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

H

là

 



 

 

25 2

;2

36 3

.

Câu 34: Chọn A

Xét hàm số

 

 





2019

2020

mx x

f x

x

với





   

|1 2018

D x x .

Đặt

   

    

   

2019 1; 2018 2020; 4037

t x t

Ta được hàm số mới:

 





 





2

2019

1

m t t

h t

t

 

 



 



2

4040 1

1

t mt

h x

t









0

h t cho ta hai nghiệm

 



   







   



2

1

2

2020 2020 1

t m m

Trường hợp 1:

 

    

 

1 2

2

1

0 0; 1

2020 2020 1

m t t

m m

Ta có bảng biến thiên sau:

Theo đề, giá trị nhỏ nhất của





h t

không vượt quá

1

2

 









 



     







 







2018 1

2019

2018

1

2019 2

2

1055

2021

2

2020 1

2020

2

2021 2

m

h t m

m

Kết hợp điều kiện:

 

0 1055

m

(1)

Trường hợp 2:     

1 2

1 0; 4037

m t t

Ta có bảng biến thiên sau:

Theo đề, giá trị nhỏ nhất của





h t

không vượt quá

1

2

 



 





  



      



 



 







2018 1

2019

2018

1

2019 2

2

1054

2021

2

2020 1

2020

2

2021 2

m

h t m

m

Kết hợp điều kiện:

   

1054 1

m

(2)

Từ (1) và (2) ta được

  

1054 1055

m

. Do đó tập nghiệm tổng cộng 2110 phần tử.

Câu 35: Chọn A

Ta có:

   

       

2 2

5 2 2 9 2 9

x xy y x y x y

.

Đặt

   

2 3sin , 3cos

x y t x y t

với

 

  

 

2 ; 2

t

.

  

sin cos

x t t

và

 

sin 2cos

y t t

.

    

  

       

6 6 6sin 6 cos 6 6sin 6cos 6

4 9 4(sin cos ) sin 2cos 9 3sin 6cos 9

x t t t t

K

x y t t t t t t

.









     

3 6 sin 6 6 cos 9 6

K t K t K

.

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là

     

        

2 2 2

3 6 6 6 9 6 1 1

K K K K

Xét hàm số







2 1

( )

2

t

f t

t

trên

 

 

1;1

Ta có:

 



   



2

5

'( ) 0, 2

2

f t t

t

. Suy ra

 

 

  

1;1

1

( ) ( 1)

3

Max f t f .

Câu 36: Chọn A

Đặt

 

2

t x x

, vì

 

     

 

 

1

2; 2 ;6

4

x t .

Khi đó

 

 

2

y t m

 

  

 

 

1

, ;6

4

t









 2

y t m

. Ta có



   

0

y t m

.

Biện luận theo tham số

m

:

Trường hợp 1 :

    

6 6

m m

, khi đó

y

nghịch biến trên

 



 

 

1

;6

4

nên

   

 



 

 

  

2

1

;6

4

min 6 6

y y m

. Ta có

 



 

  



 



2

8

6 4

2

m

. Nhận

 

8

m

.

Trường hợp 2:

    

1 1

4 4

m m , khi đó

y

đồng biến trên

 



 

 

1

;6

4

nên

 



 

 

   

    

   

   

2

1

;6

4

1 1

min

4 4

y y m

. Ta có







 

   



 

 



 





2

9

1

4

7

4

m

. Nhận



9

4

m

.

Trường hợp 3:

       

1 1

6 6

4 4

m m

, khi đó

y

đồng biến trên







;6

m

và nghịch biến

trên

 

 

 

 

1

;

4

m

, nên





 



 

 

  

1

;6

4

min 0

y y m . Do đó không







y g x

có giá trị

m

thỏa

 



 

 



1

;6

4

min 4

y

.

Vậy tổng giá trị của tham số

m

thỏa

 

 



2; 2

min 4

y là

   

9 23

8

4 4

.

LÝ THUY

ẾT

 Đường tiệm cận ngang

 Cho hàm số



( )

y f x

xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng









 

; , ;

a b

hoặc





 

;

). Đường thẳng



0

y y

là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị

hàm số



( )

y f x

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

 

 

0 0

lim ( ) , lim ( )

x x

f x y f x y

.

 Đường tiệm cận đứng

 Đường thẳng



0

x x

được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số



( )

y f x

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

 

 

   

0 0

lim ( ) , lim ( ) ,

x x x x

f x f x

 

 

   

0 0

lim ( ) , lim ( )

x x x x

f x f x

Lưu ý:

 Với đồ thị hàm phân thức dạng

 



   



0; 0

ax b

y c ad bc

cx d

luôn có tiệm cận ngang là



a

y

c

và tiệm cận đứng

 

.

d

x

c

 Dấu hiệu nhận biết các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

 Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.

 Hàm phân thức mà bậc của tử



bậc của mẫu có TCN.

 Hàm căn thức dạng:

           

     , ,

y f x g x y f x g x y g x f x

có tiệm cận

ngang. (dùng liên hợp)

 Hàm





  

, 0 1

x

y a a có tiệm cận ngang



0

y

.

 Hàm số





  

log , 0 1

a

y x a

có tiệm cận đứng



0

x

.

 Cách tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

 Tiệm cận đứng: ta đi tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử.

 Tiệm cận ngang: tính 2 giới hạn:



lim

x

y

hoặc



lim

x

y

 Một số chú ý trong quá trình tìm tiệm cận.

 Nếu

      

2

0

x x x x x

.

 Nếu

       

2

0

x x x x x

.

VÍ DỤ MINH HỌA

Lời giải

Chọn B

Vì









 

1

lim

x

f x

nên đồ thi hàm số có tiệm cận đứng



1

x

.

Lời giải

Chọn C

Xét phương trình



 

   



 



2

1

5 4 0

4

x

x x

x

, hai nghiệm này đều không là nghiệm của tử số nên

đây là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác:







 

2

lim 2

5 4

x

x x

, nên đường



2

y

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

  

 

  

   

 

      

2

3 2 1 1

, 1

3 2

1 2 3 2 2 3 2

x x

x

x x

x x x x x

.

Khi đó ta thấy



2

x

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác:

 





  

1

lim 0

2 3 2

x

x x

, nên đồ thị hàm số nhận



0

y

làm tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Lời giải

Chọn B

VÍ DỤ 2. Cho hàm số





 

2

5 4

x x

y

x x

. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:

A.

2

B.

1

C.

3

D.

4

VÍ DỤ 3. Cho hàm số

 



 

2

3 2

x

y

x x

. Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận.

A.

3

B.

1

C.

4

D.

2

VÍ DỤ 4. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số



  

2 2

1

( )

2 5 2 3

f x

x x x x

A.

  

2; 2

y y

. B.

  

2; 2

y y . C. 

2

y . D.



2

y

.

VÍ DỤ 1. Cho hàm số







y f x

có









 

1

lim

x

f x

và











1

lim 2

x

f x

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng



1

x

.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận. D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang



2

y

.

Tập xác định

 

 

   

 

 

5

;0 ;

2

D . Ta có

 

  

  



2 2

2 5 2 3

lim ( ) lim 2

2

x x

x x x x

f x

x

Và

 

  

 



2 2

2 5 2 3

lim ( ) lim 2

2

x x

x x x x

f x

x

.

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là đường thẳng

 

2

y

Lời giải

Chọn A

Điều kiện xác định:



( ) 0

f x

.

Từ đồ thị ta thấy



( ) 0

f x

khi

 

4

x

,

 

1

x

và



2

x

.

Khi đó

   

( ) ( 4)( 1)( 2)

f x a x x x

có 3 nghiệm.

Do đó đồ thị hàm số







y g x

có 3 đường tiệm cận đứng.

Lời giải

Chọn A

Đồ thị hàm số

 

  





2

3 5

2

x ax b

y

x

không có tiệm cận đứng





     

3 5 0

f x x ax b có nghiệm kép



2

x

.

 

   





 

  

  

  

 







 











1 2 0

3

2 0

3

2

0

2 0

2

2 2.3 5

a b

f

a

f

b

.

Vậy

 

     

 

 

3

4 4. 2 8

2

a b .

VÍ DỤ 5. Cho hàm số

    

3 2

( )

y f x ax bx cx d

có đồ thị như hình bên dưới.

Hỏi đồ thị hàm số

 

 

2

x

y g x

f x

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.

3

B.

1

C.

4

D.

2

VÍ DỤ 6. Biết đồ thị hàm số

 

  





2

3 5

2

x ax b

y

x

không có tiệm cận đứng. Khi đó



4

a b

bằng:

A.



8

. B.

10

. C.



4

. D.

8

.

Lời giải

Chọn A

Ta có









     

2

1 3 3 0 1

x x x x

Trường hợp 1:

Nếu



0

m

thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Do đó đồ thị hàm số không thể có ba

đường tiệm cận.

Trường hợp 2:

Nếu



0

m

thì đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang



0.

y

Do đó đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận



  

2

2 3 0

mx x

có hai nghiệm phân biệt

1 2

,

x x

thuộc nửa khoảng



 



1;

  

   



 



   





   





1 2

' 0

1 1 0

x x



  

 







       

 

 

 



 









1

1 3 0

3

1 1

0 0 0

3

1

0

m

m m

m

. Vậy

 

 

 

 

1

;0

3

m

Lời giải

Chọn C

Ta có

 







2

3

2

y

x

.

Với

 

2

x m

  

3

1y

m

:

 

 

  

 

 

3

2;1 0

A m m

m

.

Phương trình tiếp tuyến

d

của





C

:

 

    

2

3 3

2 1y x m

m

.

Đồ thị





C

có tiệm cận ngang



1

y

và tiệm cận đứng

 

2

x

.

VÍ DỤ 7. Tìm tập hợp các giá trị của tham số

m

để đồ thị hàm số

 





  



 

2

1 3 3

2 3

x x x

y

mx x

có đúng 3

đường tiệm cận.

A.

 

 

 

 

1

;0

3

m

. B.

 

  

 

 

1

;

3

m

C.

 

 





 

1

;0

3

m

. D.

 

 





 

1

;0

3

m

.

VÍ DỤ 8. Cho hàm số







1

2

x

y

x

có đồ thị





C

, gọi

d

là tiếp tuyến với





C

tại điểm có hoành độ bằng



2

m

. Biết đường thẳng

d

cắt tiệm cận đứng của





C

tại điểm





1 1

;

A x y

và cắt tiệm cận ngang của





C

tại điểm





2 2

;

B x y

. Gọi

S

là tập hợp các số

m

sao cho

  

2 1

5

x y . Tính tổng bình phương các

phần tử của

S

.

A.

0

. B.

4

. C.

10

. D.

9

.

Tọa độ điểm

A

là nghiệm của hệ:

 



    







 



2

3 3

2 1

2

y x m

m

x



 









 



6

1

2

y

m

x

nên

 

1

6

1y

m

.

Tọa độ điểm

B

là nghiệm của hệ:

 



    











2

3 3

2 1

1

y x m

m

y









 



1

2 2

y

x m

nên

 

2

2 2

x m .

Suy ra

 

2 1

x y

   

6

2 1 5

m

   

2

2 4 6 0

m m

 





 



1

3

m

.

Vậy tổng bình phương các phần tử của

S

là

 

  

2

1 3 10

.

Câu 1: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2

5 4 1

1

x x

y

x

 





là

A.

0.

B.

1.

C.

2.

D.

3.

Câu 2: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số

2

5 4

1

x x

y

x

 





.

A.

2

B.

3

C.

0

D.

1

Câu 3: Đồ thị hàm số

2

4

x

y

x







có mấy tiệm cận.

A.

3

B.

1

C.

2

D.

0

Câu 4: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2

9 3x

y

x x

 





là

A.

1

B.

2

C.

0

D.

3

Câu 5: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2

2 1 3

5 6

   



 

x x x

y

x x

.

A.

3x

và

2x

. B.

3x

. C.

3 x

và

2 x

. D.

3 x

.

Câu 6: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2

16 4x

y

x x

 





là

A.

3

B.

2

C.

1

D.

0

Câu 7: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2

4 2x

y

x x

 





là

A.

3

. B.

0

. C.

1

. D.

2

.

Câu 8: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

4 6 2

2

x x

y

x

 





là?

A.

1

B.

3

C.

2

D.

4

Câu 9: Cho hàm số

2

4 2

2 3

3 2

x x

y

x x

 



 

. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

4

. B.

5

. C.

3

. D.

6

.

Câu 10: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2

2 1

3 2

 



 

x

y

x x

là

A.

4

B.

1

C.

3

D.

2

Câu 11: Đồ thị hàm số

2

3 1

x x x

y

x

 





có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

2

. B.

3

. C.

0

. D.

1

.

Câu 12: Đồ thị hàm số

2

5 1 1

2

x x

y

x x

  





có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

0

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 13: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1

4 3 1 3 5

x

y

x x





  

.

A.

2

. B.

3

. C.

1

. D.

0

.

Câu 14: Cho hàm số

2

4 2

2 3

3 2

x x

y

x x

 



 

. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

4

. B.

5

. C.

3

. D.

6

.

Câu 15: Đồ thị hàm số

2

4 2 1

1

x x x

y

x

  





có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

1

. B.

0

. C.

2

. D.

3

.

Câu 16: Gọi

S

là tập hợp các giá trị nguyên

m

để đồ thị hàm số

2

6 2





 

x

y

x x m

có hai đường tiệm

cận đứng. Số phần tử của

S

là

A. vô số. B.

12

. C.

14

. D.

13

.

Câu 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

để đồ thị hàm số

2

1

8

x

y

x x m





 

có 3 đường

tiệm cận?

A.

14

. B.

8

. C.

15

. D.

16

.

Câu 18: Cho hàm số

 

3 2 2

3

3 2 1

x

y

x mx m x m





   

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc

đoạn





2020;2020



để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận?

A. 4039. B. 4040. C. 4038. D. 4037.

Câu 19: Có bao nhiêu số nguyên của

m

thuộc đoạn





100;100



để đồ thị hàm số

 

2

1

2

y

x m x x



 

có đúng hai đường tiệm cân?

A.

200.

B.

2.

C.

199.

D.

0.

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực

m

để đồ thị hàm số

2

3 2

x m

y

x x





 

có đúng hai đường

tiệm cận.

A.

1

m

 

B.

{1;4}

m



C.

4

m



D.

{ 1; 4}

m

  

Câu 21: Cho hàm số

 

2

1

2 4

x

y f

m

x





 



. Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để đồ thị có ba đường

tiệm cận

A.

2

m



B.

2

5

2

m

 







 





C.

2

5

2

m













 







 





D.

2

m

 









Câu 22: Biết rằng đồ thị của hàm số





3 2017

3

n x n

y

x m

  



 

(

,

m n

là các số thực) nhận trục hoành làm

tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tính tổng

m n



.

A.

0

B.

3



C.

3

D.

6

Câu 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để đồ thị hàm số

2

1

8 2





 

x

y

mx x

có đúng bốn

đường tiệm cận?

A.

8

B.

6

C.

7

D. Vô số

Câu 24: Với giá trị nào của hàm số

m

để đồ thị hàm số

2

3 7

   

y x mx x

có tiệm cạn ngang.

A.

1



m

B.

1

 

m

C.

1

 

m

D. Không có

m

Câu 25: Cho hàm số

1

.

2







ax

y

bx

Tìm

,

a b

để đồ thị hàm số có

1



x

là tiệm cận đứng và

1

2



y

là tiệm

cận ngang.

A.

1; 2

  

a b

. B.

4; 4

 

a b

. C.

1; 2

 

a b

. D.

1; 2

   

a b

.

Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên





10;10

m 

sao cho đồ thị hàm số

2

1

2 6 3

x

y

x x m





  

có hai

đường tiệm cận đứng?

A.

19

. B.

15

. C.

17

. D.

18

.

Câu 27: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

để tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm

số

2

3 4

2

mx mx

y

x

 





bằng 3?

A.

4

. B.

2

. C. Vô số. D.

3

.

Câu 28: Tổng các giá trị của tham số

m

để đồ thị của hàm số

 

2 2

1

2 1 2

x

y

x m x m





   

có đúng một

tiệm cận đứng.

A.

1

2



. B.

2

. C.

3



. D.

3

2

.

Câu 29: Cho hàm số





3 2 2

3

3 2 1

x

y

x mx m x m





   

. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn





6;6



của tham số

m

để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận?

A.

12

. B.

9

. C.

8

. D.

11

.

Câu 30: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

2

2 3

 





x x m

y

x m

không có tiệm

cận đứng.

A.

1



m . B.

1



m . C.

1



m và

0



m . D.

0



m .

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực

m

thuộc đoạn





2017;2017



để đồ thị hàm số

2

4

x

y

x x m





 

có hai tiệm cận đứng.

A.

2019

. B.

2021

. C.

2018

. D.

2020

.

Câu 32: Cho hàm số

( )

y f x



thỏa mãn

lim ( ) 2019

x

f x m





,

4

lim ( ) 2020

x

f x m





. Hỏi có tất cả bao

nhiêu giá trị của

m

để đồ thị của hàm số

( )

y f x



có duy nhất một tiệm cận ngang?

A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.

Câu 33: Cho hàm số

 

2

1

2 1 2

y

x m x m x m



 

   

 

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để đồ

thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

A.

0 1

1

2

m

 













. B.

1

2

m















. C.

1

m



. D.

0 1

1

2

m

 













.

Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

để đồ thị hàm số

  

2 2

6 3

6 3 9 6 1

x

y

mx x x mx





   

có đúng

1 đường tiệm cận?

A.

0.

B. 2. C.

1.

D. Vô số.

Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số:

2

1

y x mx

  

có tiệm cận ngang.

A.

0 1.

m

 

B.

1.

m



C.

1.

m



D.

1.

m



Câu 36: Cho hàm số

2

2 4

x

y

mx x





 

. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số

m

để đồ thị hàm số có

đúng hai đường tiệm cận?

A.

0

. B.

2

. C.

3

. D.

1

.

Câu 37: Gọi S là tập các giá trị nguyên của

m

sao cho đồ thị hàm số

2

2019

17 1

x

y

x m x



 

có bốn đường

tiệm cận. Tính số phần tử của tập S.

A. Vô số B. 3 C. 5 D. 4

Câu 38: Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực

m

sao cho đồ thị hàm số

3

3 4 2

( )

1 1

x

f x

x mx x x m x



     

nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tổng các phần

tử của

S

bằng

A.

1

2

. B.

1

2



. C.

1

3

. D.

1

3



.

Câu 39: Có bao nhiêu giá trị

m

nguyên thuộc khoảng





10;10



để đồ thị hàm số

( ) 1

2

x x m

y

x

 





có

đúng ba đường tiệm cận?

A.

12

. B.

11

. C.

0

. D.

10

.

Câu 40: Cho hàm số

3 2

1

3 1

y

x x m



  

với

m

là tham số. Tìm tất cả các giá trị của

m

để đồ thị hàm

số đã cho có

4

đường thẳng tiệm cận.

A.

1 5

m

 

. B.

1 2

m

  

. C.

1

m



hoặc

5

m



. D.

2

m



hoặc

1

m

 

.

Câu 41: Hàm số

 

2

3 1

1

x ax b

y

x

  





không có tiệm cận đứng. Khi đó hiệu

a b



bằng:

A.

1

2

.

B.

3

4



. C.

5

4



.

D.

1

2



.

Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham để

m

đồ thị hàm số

2

2016 2017 24 7

x x

y

x m

   





có

tiệm cận đứng?

A. vô số.

B.

2

. C.

2017

D.

2019

.

Câu 43: Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực

m

sao cho đồ thị hàm số

3

3 4 2

( )

1 1

x

f x

x mx x x m x



     

nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tổng các phần

tử của

S

bằng

A.

1

2

. B.

1

2



. C.

1

3

. D.

1

3



.

Câu 44: Có bao nhiêu giá trị

m

nguyên thuộc khoảng





10;10



để đồ thị hàm số

( ) 1

2

x x m

y

x

 





có

đúng ba đường tiệm cận?

A.

12

. B.

11

. C.

0

. D.

10

.

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của

m

sao cho đồ thị hàm số

1

2





x

mx

y

có đúng một đường tiệm

cận.

A. 01







m . B. 01





m . C. 1





m . D. 0



m .

Câu 1: Chọn C

Tiệm cận ngang:

Ta có:

2

4 1

5

5 4 1

lim lim lim lim 5

1

x x x x

x

x x

x

y

x

   

 

 

 

 

 

   

 



 

 

nên đồ thị hàm

số có một tiệm cận ngang

5

y



.

Tiệm cận đứng:

Cho

2

1

x





 



 



Ta có:









  

2

1 1 1 1

5 1 1

5 4 1 5 1 6

lim lim lim lim 3

1 1 1 2

1

x x x x

x x

x x x

y

x x x

x

   

 

  

    

  



nên

1

x



không là tiệm

cận đứng.

     

  

 

2 2 2

2

1 1 1 1

5 4 1 5 4 1 1 5 4 1

lim lim lim lim .

1 1 1 1

1

x x x x

x x x x x x

y

x x x x

x

   

       

 

     

    

 

   



 

vì

 

1

2

1

lim

1

5 4 1

lim 4 0

1

x

x x

x



 



 









 



  







.

Khi đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng

1

x

 

.

Tổng cộng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Câu 2: Chọn A

Tập xác định:





\ 1

D

 



Ta có:

2

5 4

1

5 4

lim lim lim 1

1

x x x

x x

y

x

  

 

  



1

y

 

là đường tiệm cận ngang.

Mặc khác:









  





 

2

1 1

1 4 4

5 4 3

lim lim lim lim

1 1 1 1 2

x x

x x x

x x

y

x x x x

 

  

 

    

   

1

x

 

không là đường tiệm cận đứng.

   









  

 





 

2

1

1 1 1

1 4 4

5 4

lim lim lim lim

1 1 1 1

x

x x x

x x

y

x x x x

   



     

  

 

    

   

     









  

 





 

2

1 1 1 1

1 4 4

5 4

lim lim lim lim

1 1 1 1

x x x x

x x x

x x

y

x x x x

   

       

  

 

    

   

1

x

  

là đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận

Câu 3: Chọn C

Ta có

2

4 0 2

x x

    

2

2 1

lim

4 4

x





 



 



 

nên đường thẳng

2

x



không phải là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số.

2

2 2

2 1

lim lim ,

4 2

x x

x

x x

 

 



 

  

 

 

 

   

2

2 2

2 1

lim lim ,

4 2

x x

x

x x

 

   



 

  

 

 

 

nên đường thẳng

2

x

 

là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số.

2

lim 0

4

x





 



 



 

nên đường thẳng

0

y



là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy có đồ thị có hai đường tiệm cận.

Câu 4: Chọn A

Tập xác định của hàm số:









9; \ 0; 1

D

   

Ta có:

 

1

lim

x

y



 



 

2

1

9 3

lim

x

x x



 

 



 

và

 

1

lim

x

y



 

 

2

1

9 3

lim

x

x x



 

 





 

.



TCĐ:

1

x

 

.

0

lim

x

y







2

0

9 3

lim

x

x x





 



 

2

0

lim

9 3

x

x x x







  

 

0

1

lim

1 9 3

x

x x







  

1

6



.

0

lim

x

y







2

0

9 3

lim

x

x x





 



 

2

0

lim

9 3

x

x x x







  

 

0

1

lim

1 9 3

x

x x







  

1

6



.



0



x không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có

1

tiệm cận đứng.

Câu 5: Chọn B

Tập xác định





2;3

\



D

 





 





2

2 2

2

2 2

2

2 1 3

lim lim

5 6

5 6 2 1 3

2 1 3

lim

5 6 2 1 3

x x

x

x x x

x x

x x x x x

x x x

x x x x x

 



 



   



 

     

   



     

 





2

(3 1) 7

lim

6

3 2 1 3







  

    

x

x x x x

Tương tự

2

2 1 3 7

lim

5 6 6





   

 

 

x

x x x

x x

. Suy ra đường thẳng

2



x không là tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số đã cho.

2 2

3 3

2 1 3 2 1 3

lim ; lim

5 6 5 6

 

 

       

   

   

x x

x x x x x x

x x x x

. Suy ra đường thẳng

3



x là tiệm

cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 6: Chọn C

Tập xác định hàm số









16; \ 1;0

D    

.

Ta có

 

0 0 0 0

16 4 1 1

lim lim lim lim

1 8

1 16 4 1 16 4

x x x x

x x

y

x x

x x x x x

   

 

   



     

.

   

 

1 1 1

16 4 1

lim lim lim

1

1 16 4

x x x

x

y

x x

  

     

 

   



  

.

vì

 





1

lim 16 4 15 4 0

x



 

    

,

 





1

lim 1 0

x



 

 

và

 

1

x



 

thì

1 1 0

x x

    

.

Tương tự

   

 

1 1

1

lim lim

1 16 4

x x

y

x x

 

   

  

  

.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là

1

x

 

.

Câu 7: TXĐ:









4; \ 1;0

D    

.

Ta có:

   

2

1 1

4 2

lim lim

x x

x

y

x x

 

   

 

  



Nên đường thẳng

1

x

 

là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.









 

2

0 0 0 0

4 2 4 2

4 2 1 1

lim lim lim lim

4

1 4 2 1 4 2

x x x x

x x

x

y

x x

x x x x x

   

   

 

   



     

Nên đường thẳng

0

x



không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng

1

x

 

.

Câu 8: Chọn C

 

6 2

4

4 6 2

lim lim 2

2

1

x x

x

 

 

 



 

6 2

4

4 6 2

lim lim 2

2

1

x x

x

 

  

 

  



 

  

   

 

2 2 2

4 6 2

2 4 2

4 2 5

lim lim lim

2 2

4 6 2

2 4 6 2

x x x

x x

x

x x

x x x

  

  

 

 

  



 

  

Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang

2

y

 

.

Câu 9: Điều kiện:





 





; 2 1;1 2;x

      

.

Do

lim lim

x x

y y

 



2

4 2

2 3

lim

3 2

x

x x



 



 

2

2 4

2 3

1

lim 1

3 2

1

x

x x



 

 

 

1

y

 

là đường tiệm cận

ngang của đồ thị hàm số.

Có

1

lim

x

y





 

nên đường thẳng

1

x



là đường tiệm cận đứng.

Có

   

  

 

   

 

1 1 1

1 2

lim lim lim 0

1 2 1 2 2 1 2

x x x

x x

y

x x x x x x x

  

     

 

  

      

nên

đường thẳng

1

x

 

không là đường tiệm cận đứng.

Có

 

2

lim

x

y





 

nên đường thẳng

2

x  là đường tiệm cận đứng.

Có

 

2

lim

x

y



 

 

nên đường thẳng

2

x   là đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có

4

đường tiệm cận (

1

tiệm cận ngang,

3

tiệm cận đứng).

Câu 10: Chọn D

Đkxđ:

2

2 0

2

2, 1

3 2 0

 





  

 

 

  



x

x x

Ta có:

2

2 1

lim

3 2





 

 

 

 

 

 

x

x x

nên đường thẳng

2



x

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2

2 1

lim 0

3 2



 

 



 

 

 

x

x x

nên đường thẳng

0



y

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 11: Chọn A

Xét hàm số

2

3 1

x x x

y

x

 





có tập xác định



 



1

;0 1; \

3

D

 

    

 

 

.

Ta có

2

1

3

2

lim

3 1

x

x x x

x



 



 

2

1

2

3

lim

3 1 2

x

x x

x x x x







  

1

2

3

lim

2

x

x x x





 

1

4



;

2

0

2

lim 0

3 1

x

x x x

x





 





và

2

1

2 1

lim

3 1 2

x

x x x

x





 





nên đồ thị không có tiệm cận đứng.

2

1 1

3 3

1 1

2 1 2 1

2 1

lim lim lim

1

3 1 3 1 3

3

x

x x

x x x

x x

x



 

   

 

  

 



,

và

2

1 1

3 3

1 1

2 1 2 1

2

lim lim lim 1

1

3 1 3 1

3

x

x x

x x x

x x

x



 

   

 

  

 



nên đồ thị có hai tiệm cận ngang

là

1

3

y



và

1

y



.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.

Câu 12: Chọn C

Tập xác định của hàm số là









1;0 2;D

   

. Ta có

 

2

0 0 0

25 9 25 9 9

lim lim lim

4

2 5 1 1 2 5 1 1

x x x

y

x x x x x x x

     

 

   

       

.

2

lim

x

y

 

 

.

2 3 4

5 1 1 1

lim lim 0

2

1

x x

x x x x

y

x

 

  

 



.

Vậy đồ thị của hàm số có hai đường tiệm cận có phương trình

2

x



và

0

y



.

Câu 13: Chọn A

Tập xác định:

 

1

; \ 1

3

D

 

  





 

+ Ta có:

 





 

2

1 1 1

1 4 3 1 3 5

lim lim lim

9 1

4 3 1 3 5

9 1

x x x

x

x x

x

  

  

   

   

 

  

 

do đó đường thẳng

1

x



là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+

2

1

1 1

lim lim

3

4 3 1 3 5 3 1 5

4 3

x x

x

x x

x x x

 



  

  

do đó đường thẳng

1

3

y

 

là đường

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Câu 14: Chọn B

Tập xác định





 





; 2 1;1 2;D

      

.

   

1 1

2 2

lim lim lim lim

x x

y y y y

   

  

    

.



Các đường tiệm cận đứng của đồ thị là

2

x

 

,

1

x

 

.

lim lim 1

x x

y y

 

 



đồ thị có một tiệm cận ngang

1

y



.

Câu 15: Chọn C

Hàm số

2

4 2 1

1

x x x

y

x

  





xác định

2

1 5

4

4 2 1 0

1 5

1 0

4

1

x

x x

x





 













  



 



 

 

 













 





.

Tập xác định của hàm số đã cho là

 

1 5 1 5

; 1 1; ;

4 4

D

   

   

      

 

 

 

   

.

2

2 1

4

4 2 1

lim lim lim

1 1

x x x

x x

x x x

x x

y

x x

  

  

 

 

2 2

2 1 2 1

4 4 1

lim lim 1

1

x x

x x x x

x

 

       

   



.

1

y

  

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi

x

 

.

2

2 1

4

4 2 1

lim lim lim

1 1

x x x

x x

x x x

x x

y

x x

  

  

 

 

2 2

2 1 2 1

4 4 1

lim lim 3

1

x x

x x x x

x

 

     

  



.

3

y

 

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi

x

 

.

 













 





2 2 2

1 1 1 1

2 2

1 3 1

4 2 1 4 2 1

lim lim lim lim 2.

1

1 4 2 1 1 4 2 1

x x x x

x x

x x x x x x

y

x

x x x x x x x x

   

 

     

    



       

Vậy đồ thị hàm số

2

4 2 1

1

x x x

y

x

  





có

2

đường tiệm cận.

Câu 16: Chọn B

Điều kiện xác định

2

2 0

6 2 0

 





  



x

x x m

.

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình

2

6 2 0

  

x x m có hai nghiệm

phân biệt

1 2

,

x x

lớn hơn

2



   

1 2

2

9

9 2 0

9

2

2 3 2

2

8

4 12 2 0

2 6 2 2 0











   









 

       

  

  

 

  



     





m

x x

m

.

Do đó tập





7; 6; 5;...;4

   S

có

12

giá trị.

Câu 17: Chọn A

Ta có

2 2

1 1

lim lim 0

8 8

x x

x x m x x m

 

 

 

   

nên hàm số có một tiện cận ngang

0

y



.

Hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi hàm số có hai đường tiệm cận đứng



phương trình

2

8 0

x x m

  

có hai nghiệm phân biệt khác

1

Δ 16 0 16

7 0 7

m m



   

 

 

 

  

 

.

Kết hợp với điều kiện

m

nguyên dương ta có





1;2;3;...;6;8;...;15

m

. Vậy có

14

giá trị của

m

thỏa mãn đề bài.

Câu 18: Chọn D

Ta có

lim 0, lim 0

x x

y y

 

 



đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang.

Do đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có 3 tiệm cận đứng





*

.

Có













3 2 2 2

3 2 1 2 1

x mx m x m x m x mx

       

 

3 2 2

2

3 2 1 0

2 1 0 2

x m

x mx m x m

x mx





     



  







*







3 2 2

3 2 1 0

x mx m x m

    

có 3 nghiệm phân biệt khác

3

.



3

m



và





2

có 2 nghiệm phân biệt khác

m

và khác 3.

2

3

5

3,

2 . 1 0

3

1

3 2 .3 1 0

1

1 0

m

m m

m m m

m





 



  

 

 

 





  

 



 

 







   



Do đó tập tất cả giá trị nguyên của

m

thỏa ycbt là





2020; 2019;...; 2;2;4;5;...;2020

  

.

Vậy có 4037 giá trị

m

thỏa ycbt.

Câu 19: Chọn A

Ta có điều kiện xác định là

 

0;2

x m

x















, khi đó đồ thị hàm số sẽ không có tiệm cận ngang.

Ta có

0 2

lim , lim

x x

y y

 

 

   

Suy ra

0, 2

x x

 

là hai đường tiệm cận đứng

Vậy để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì

0

2

m











, theo bài

m

thuộc đoạn





100;100



. Vậy có 200 số nguyên của

m

thỏa mãn đầu bài.

Câu 20:

  

2 2

2

3 2 1 2

x m x m

y

x x x x

 

 

   

.

lim 1

x

y



 

1

y



là đường tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số

2

3 2

x m

y

x x





 

có đúng hai đường tiệm cận



đồ thị hàm số có đúng một tiệm

cận đứng



pt

2

0

x m

 

nhận nghiệm

1

x



hoặc

2

x



.

Khi đó:

1

4

m

 





 



.

Với

1

m

 

có một tiệm cận đứng

2

x



.

Với

4

m

 

có một tiệm cận đứng

1

x



.

Vậy

{ 1; 4}

m

  

.

Câu 21: Chọn C

Để đồ thị có ba đường tiệm cận thì

2

2 4 0

x mx

  

có hai nghiệm phân biệt

1

 

   

2

0

2

1 2 1 4 0

5

2

m

 







 



 

 



 

 

    





  





Câu 22: Chọn A

Theo công thức tìm nhanh tiệm cận của đồ thị hàm số

ax b

y

cx d





ta có

Đồ thị hàm số nhận

3 0

d

x m

c

     

làm TCĐ

3

m

  

Đồ thị hàm số nhận

3 0

a

y n

c

   

làm TCN

3

n

 

.

Vậy

0

m n

 

.

Câu 23: Trường hợp 1:

0



m suy ra tập xác định của hàm số là





1 2

;



D x x

, (

1 2

;

x x

là nghiệm của

phương trình

2

8 2 0

  

mx x

). Do đó

0



m không thỏa yêu cầu của bài toán.

Trường hợp 2:

1

0

8 2



  

 

x

m y

x

suy ra tập xác định của hàm số là





;4

 D

.

4

lim ; lim







   

x

y y

. Khi đó ta có

4

 

x là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Do đó

0



m không thỏa yêu cầu của bài toán

Trường hợp 3:

0



m suy ra tập xác định của hàm số là









1 2

; ;

   

D x x

(

1 2

;

x x

là

nghiệm của phương trình

2

8 2 0

  

mx x

). Do đó đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi

phương trình

2

8 2 0

  

mx x

có hai nghiệm phân biệt khác

 

16 2 0 8

1 0; 0; 1;2;3;4;5;7

8 2 0 6

  

 

 

       

 

 

   

 

 

m m

m m m m m

m m

. Suy ra có tất cả

6

giá trị nguyên của

tham số

m

thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Câu 24: Chọn A

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang



Hàm số xác định trên một trong các miền













; , ; , ,

  

a a a

hoặc





;



a

0



m

Trường hợp 1:

0 3 7, lim



       

x

m y x x y

đồ thị không có tiệm cận ngang

Trường hợp 2:

2

0, 3 7

    

m y x mx x

Khi

2

3 7 3

lim lim

2



 

    

 

 

x

y x x m

x x

đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi

1



m

.

Vậy

1



m

Cách trắc nghiệm:

Thay

1



m





2 2

3

3 7 lim 3 7

2



         

x

y x x x x x x

đồ thị hàm số có tiệm cận ngang





2

lim 3 7



     

x

x x x

không có tiệm cận ngang.

Thay

1

 

m





2 2

3 7 lim 3 7



          

x

y x x x x x x

không xác định.





2

lim 3 7



   

x

x x x

không xác định. Vậy

1



m

Câu 25: Chọn C

+

0

 

b

đồ thị hàm số

1

2







ax

y

không có tiệm cận.

+

0



b

, tập xác định của hàm số

1

2







ax

y

bx

là

2

\

 



 

 

D R

b

.

1

lim lim lim

2

  



  



x x x

a

ax a

x

y

bx b

b

x

.



đồ thị hàm số

1

2







ax

y

bx

có tiệm cận ngang là đường thẳng

1

2

    

a a

y b a

b b

.

2 2

1

lim lim

2

 

 







 









x x

b b

ax

y

bx

.



đồ thị hàm số

1

2







ax

y

bx

có tiệm cận đứng là đường thẳng

2 2

1 2 1

      

x b a

b b

.

Vậy

1; 2

 

a b

.

Câu 26: Chọn C

Ta có đồ thị hàm số

2

1

2 6 3

x

y

x x m





  

có hai đường tiệm cận đứng khi phương trình

2

2 6 3 0

x x m

   

có hai nghiệm phân biệt khác

1





2

3 2 3 0

2.1 6.1 3 0

m



   







   





15

2

5

m



 













Từ đó ta suy ra tập các giá trị nguyên của

m

thỏa mãn là





7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,6,7,8,9,10

      

. Vậy có

17

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 27: Chọn B

Đồ thị hàm số

2

3 4

2

mx mx

y

x

 





có nhiều nhất một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.

Điều kiện để đồ thị hàm số

2

3 4

2

mx mx

y

x

 





có 3 tiệm cận là nó có đúng 1 tiệm cận đứng và

2 tiệm cận ngang.

Xét điều kiện tồn tại

lim

x

y



và

lim

x

y



Trường hợp 1:





2

3 4 0

g x mx mx

   

với

x

 



2

0

16

0

9

9 16 0

m

m m









   









   





Trường hợp 2:





2

3 4 0

g x mx mx

   

với









1 2

; ;x x x

    

với

1

x

;

2

x

là nghiệm

của





g x

2

0

16

9

9 16 0

m

m m





  



   



Vậy

0

m



thì tồn tại

lim

x

y



và

lim

x

y



Khi đó:

2

3 4

lim lim lim

2

1

x x x

m

mx mx

x x

y m

x

  

 

  



2

3 4

lim lim lim

2

1

x x x

m

mx mx

x x

y m

x

  

  

 

   



Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là

0

m



Xét trường hợp

2

x

 

là nghiệm của tử số

2

x

  

là nghiệm của





2

3 4

g x mx mx

  







2 0 2

g m

   

Khi đó

2

2 6 4

2

x x

y

x

 





  

 

2 2

2 1 2

2 1

lim lim

2 2

x x

x

y

x x

 

 

 

 



     

 

 

 

 



Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng

2

x

 



2

m



thỏa mãn

Xét trường hợp

2

x

 

không là nghiệm của tử số, để

2

x

 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm

số thì





 

2 0

2 0 4 2 0 2

2 0

g

g m m

g

 





       



 







đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng

2

x

 

với





0;2

m 

Vậy điều kiện để đồ thị hàm số

2

3 4

2

mx mx

y

x

 





có 3 tiệm cận là





0;2

m 

Vậy có hai giá trị nguyên của

m

thỏa mãn đề bài là

1

m



;

2

m



.

Câu 28: Chọn A

Đặt









2 2

2 1 2

x m mf x x

   



Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi





0

f x



có 2 nghiệm phân biệt trong

đó có 1 nghiệm

1

x



hoặc





0

f x



có nghiệm kép

 

2

3

1 2 0

0

1

2

1 2 1 2 0

1 0 3

1; 3

3

0

2

m m

m

m m

f m

m m

m









   



 









 









 







    

 

      

  















 















.

Vậy tổng các giá trị

m

thỏa mãn là:

1

2



.

Câu 29: Chọn B

lim lim 0

x x

y y

 

 

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng

0

y



.

Do đó, đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình





3 2 2

3 2 1 0

x mx m x m

    

có 3 nghiệm phân biệt

3

x



.

Xét phương trình





3 2 2

3 2 1 0

x mx m x m

    

ta có





3 2 2

3 2 1 0

x mx m x m

    









2

2 1 0

x m x mx

    

2

2 1 0

x m

x mx











  



.

Phương trình có ba nghiệm phân biệt

3

x



khi và chỉ khi

3

m



và phương trình

2

2 1 0

x mx

  

có hai nghiệm phân biệt

3

x



2

3

1

1 0

1

3 2.3. 1 0

5

3

m

























   

 



 





 

  













.

Do

m

nguyên và





6;6

m

 

nên





6; 5; 4; 3; 2;2;4;5;6

m

     

.

Vậy có

9

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn đề bài.

Câu 30: Chọn C

Tập xác định:





\



m

.

Có

2 2

2 3 2 2

lim lim 2 2 3

 

 

  

   

 

 

 

x m x m

x x m m m

x m

x m x m

.

Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì phải tồn tại

2

2 3

lim



 



x m

x x m

x m

,

2

0

2 2 0

1





   







m

m m

m

Câu 31: Chọn D

Để đồ thị hàm số

2

4

x

y

x x m





 

có hai tiệm cận đứng thì phương trình

2

4 0

x x m

  

có

hai nghiệm phân biệt khác

2



   

2017 4

4 0

12 2017; 2016;..;3 \ 12

12 0

m

m m

m



  





 



 

        

 

 

 















.

Do đó số giá trị nguyên của tham số

m

thỏa đề bài là:

3 ( 2017) 1 1 2020

    

giá trị.

Câu 32: Chọn B

Đồ thị hàm số





y f x



có duy nhất một tiệm cận ngang

4

3

0

2019 2020

2019

2020

m

m m

m







  









.

Vậy có 2 giá trị của

m

thỏa bài toán

Câu 33: Chọn A

Điều kiện

.

x m



Ta có

lim 0 0

x

y y



  

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Xét phương trình

 

2

2 1 2 0

2 1 2 0(*)

x m

x m x m x m

x m x m





 

     



 

   



Để hàm số có 4 đường tiệm cận thì phương trình

(*)

có 2 nghiệm phân biệt

1 2

m x x

 

.

 

    

2

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2

1 1

2 1 0

2 2

1

0 0 0

2

0 1

1 0

2 2 1 2

m m

m

x m x m x x m x x m m m

m

x x m m m

 

 



 

 





 



   

            

   

   

 





   



 



 

 

.

Câu 34: Chọn C

Đặt





2

6 3

f x mx x

  

và





2

9 6 1

g x x mx

  

. Ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1:

0

m



khi đó ta có

 

2

6 3

6 3 9 1

x

y

x x





  

đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận

ngang là đường thẳng

0

y



do đó

0

m



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2:

0

m



và cả hai tam thức





f x

và





g x

đều vô nghiệm

2

' 0

9 3 0

3

' 0 1 1

9 9 0

f

g

m

 

 







 

    

  

    

 









.

Trường hợp 3: Tam thức





g x

nhận

1

2

x



làm nghiệm

1 13

0

2 12

g m

 

   

 

 

khi đó





f x

luôn có 2 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số đã cho có nhiều hơn 1 đường tiệm cận.

Vậy có 1 giá trị nguyên của

m

để đồ thị hàm số

  

2 2

6 3

6 3 9 6 1

x

y

mx x x mx





   

có đúng 1

đường tiệm cận

Câu 35: Chọn B

Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số:

2

1

y x mx

  

có tiệm cận ngang là tồn tại số thực k

sao cho:

2

lim ( 1) k

x

x mx











  



  





Hiển nhiên nếu

0

m



thì giới

2

lim ( 1)

x

x mx



 

không hữu hạn

Nếu

0

m



ta có

2

lim ( 1) .

x

x mx



   

2

1

x(1 )

(1 ) 1

lim y lim ( 1) lim lim

1

x x x x

m

x m

x

x mx

m

x

   

 

    

 

 

Để giới hạn trên hữu hạn khi và chỉ khi m=1.

Câu 36: Chọn D

Với

0

m



; ta có hàm số

2

2 4

x

y

x



   

 

Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với

0

m



, ta có:

2

lim 0

2 4

x

mx x





 

 

0

y



là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận



đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng



2

2 4 0

mx x

  

có nghiệm duy nhất hoặc

2

2 4 0

mx x

  

có hai nghiệm phân biệt trong đó có

một nghiệm

2

x



.

2

2 4 0

mx x

  

có nghiệm duy nhất

1

0 1 4 0

4

m m



       

.

2

2 4 0

mx x

  

có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm

2

x



.

1

0

4

4 0

0

m





 







 

 













0

m



không thỏa mãn điều kiện.

Vậy chỉ có một giá trị của

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 37: Chọn C

2019 2019

lim , lim

17 17

x x

y y

m m

 

 

 

.

Với

17

m  thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là

2019 2019

,

17 17

y y

m m

 

 

.

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi phương trình

 

2

17 1 0 1

x m x  

có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Ta có:

 

2

2 2

2 2 2

0

1 17 1

17 1 2

17 1

m

x m x

m x

x m x











    

 

 







Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt

khác 0

2

0

0 17

17 0

m





   



 



.

Suy ra





0,1,2,3,4

S 

.

Câu 38: Chọn B

Ta có:

33 4 2

0 0

1

lim ( ) lim

1 1

x x

f x

x mx x x m x

x

 



     

.

Mà

3

3 4 2

0

1 1

lim

x

x mx x x m x

x



     

33 4 2

0

3 4

2

33 4 2 4

0

3

1 1 1 1

lim

lim .

( 1 1) ( ( 1) 1 1)

x

x mx x x m x

x x x

x mx x x

m

x x mx x x x x x



 

     

  

 

 

 

 

  

 

          

 

Đồ thị hàm số

( )

f x

nhận trục tung làm tiệm cận đứng

2 3

2 2

33 4 2 4

0

3

( ) ( 1) 1

lim( ) 0 0

2 3

( 1 1) ( 1) 1 1

x

x m x m

m m

x mx x x x x



 

       

        

.

2

6 3 2 0

m m

   

Vậy

1 2

1

.

2

m m

  

Câu 39: Chọn A

Xét









1

g x x x m

  

.

Ta có

( ) 1

lim 1

2

x

x x m

x



 





và

( ) 1

lim 1

2

x

x x m

x



 

 



. Nên đồ thị hàm số luôn có hai

đường tiệm cận ngang

1

y



và

1

y

 

.

Trường hợp 1:

0

m



khi đó hàm số là

1

2

x

y

x







. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

2

x

 

.

Vậy

0

m



thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2:

0

m



. Hàm số





g x

có tập xác định là









;0 ;D m

   

.

2

x D

  

.





( 2) 2 2 1 0

g m

    

nên

2

x

 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vậy

1

m



,

2

m



,.

9

m



thỏa mãn. Nên có

9

giá trị

m

.

Trường hợp 3:

0

m



. Hàm số





g x

có tập xác định là









; 0;D m

   

.

Để

2

x

 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì trước hết 2

x D

 

hay

2

m

 

. Nên chỉ

có

2

m



,

1

m



thỏa mãn

Với

1

m

 

ta có





( ) 1 1

g x x x

  

,

( 2) 2 1 0

g

   

nên

2

x

 

là tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số.

Với

2

m

 

ta có





( ) 2 1

g x x x

  

,





( 2) 2 1 1 0

g x x

     

nên

2

x

 

là

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy

12

giá trị

m

nguyên thỏa mãn yêu cầu.

Câu 40: Ta có

3 2

1

lim lim 0

3 1

x x

y

x x m

 

 

  

,

3 2

1

lim lim

3 1

x x

y

x x m

 



  

không tồn tại. Suy ra

0

y



là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó, để đồ thị hàm số đã cho có

4

đường thẳng tiệm cận thì phương trình

3 2

3 1 0

x x m

   

có

3

nghiệm phân biệt.

Xét hàm số





3 2

3 1

g x x x m

   

. Tập xác định

D





.





2

3 6

g x x x



 

;

 

0

2

x

g x

x







 







.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình

3 2

3 1 0

x x m

   

có

3

nghiệm phân biệt khi và chỉ

khi

5 0 1 1 5

m m m

      

.

Câu 41: Chọn A

Do hàm số không có tiệm cận đứng nên

     

2

3 1 1

f x x ax b x g x

     

.

Suy ra

 

3

2 0

1 0

1

4

3

5

2

0

' 1 0

4

a b

a

f

a b

a

f

b



  

 







  

    

  

 





 



 









đáp án A.

Chú ý: Với

     

0

n

f x x x g x

 

thì ta luôn có





















1

0 0 0 0

' '' ... 0

n

f x f x f x f x



    

.

Câu 42: Chọn C

Biểu thức:

2

2016 2017

x x  

có nghĩa khi

2

2016 2017 0 1 2017

x x x       

.

Đặt

 

2

2016 2017

f x x x    .

Xét 0

x m x m

   

. Vậy đồ thị nếu có tiệm cận đứng chỉ có thể là

x m



, khi đó điều kiện

là:

 









 

2

1;2017 1

1 2017

0

2016 2017

24 7 *

m

x

f m

m m



 

  



 



 





   







Ta có

   

2

1

* 2016 2015 0 2

2015

m

m m

m





    







Từ

















1 , 2 1;2017 \ 1;2015

m



   



có

2019 2 2017

 

số nguyên

m

thỏa mãn bài

toán



đáp án C.

Câu 43: Chọn B

Ta có:

33 4 2

0 0

1

lim ( ) lim

1 1

x x

f x

x mx x x m x

x

 



     

.

Mà

3

3 4 2

0

1 1

lim

x

x mx x x m x

x



     

33 4 2

0

3 4

2

33 4 2 4

0

3

1 1 1 1

lim

lim .

( 1 1) ( ( 1) 1 1)

x

x mx x x m x

x x x

x mx x x

m

x x mx x x x x x



 

     

  

 

 

 

 

  

 

          

 

Đồ thị hàm số

( )

f x

nhận trục tung làm tiệm cận đứng

2 3

2 2

33 4 2 4

0

3

( ) ( 1) 1

lim( ) 0 0

2 3

( 1 1) ( 1) 1 1

x

x m x m

m m

x mx x x x x



 

       

        

.

2

6 3 2 0

m m

   

Vậy

1 2

1

.

2

m m

  

Câu 44: Chọn A

Xét









1

g x x x m

  

.

Ta có

( ) 1

lim 1

2

x

x x m

x



 





và

( ) 1

lim 1

2

x

x x m

x



 

 



. Nên đồ thị hàm số luôn có hai

đường tiệm cận ngang

1

y



và

1

y

 

.

Trường hợp 1:

0

m



khi đó hàm số là

1

2

x

y

x







. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

2

x

 

.

Vậy

0

m



thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2:

0

m



. Hàm số





g x

có tập xác định là









;0 ;D m

   

.

2

x D

 

.





( 2) 2 2 1 0

g m

    

nên

2

x

 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vậy

1

m



,

2

m



,.

9

m



thỏa mãn. Nên có

9

giá trị

m

.

Trường hợp 3:

0

m



. Hàm số





g x

có tập xác định là









; 0;D m

   

.

Để

2

x

 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì trước hết 2

x D

 

hay

2

m

 

. Nên chỉ

có

2

m



,

1

m



thỏa mãn

Với

1

m



ta có





( ) 1 1

g x x x

  

,

( 2) 2 1 0

g

   

nên

2

x

 

là tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số.

Với

2

m

 

ta có





( ) 2 1

g x x x

  

,





( 2) 2 1 1 0

g x x

     

nên

2

x

 

là

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy

12

giá trị

m

nguyên thỏa mãn yêu cầu.

Câu 45: Chọn A

Nếu

0

m



thì

1

y

x





. Hàm số này có tập xác định





\ 1

D

 



.

Ta có

1

lim 0

1

x







nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

0

y



.

 

1

lim

1

x



 

 



nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

1

x

 

.

Vậy với

0

m



thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

Nếu

0

m



thì

2

1 0

mx

 

với mọi

x

và tập xác định của hàm số là





\ 1

D

 



.

2

1

lim

1

x

mx

x





2

1

lim

1

x

m

x

m

x





 



,

2

1

lim

1

x

mx

x





2

1

lim

1

x

m

x

m

x



 

  



. Suy ra đồ thị

hàm số có hai tiệm cận ngang là

y m



và

y m

 

.

 

2

1

lim

1

x

mx

x



 



 



nên

1

x

 

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy

0

m



không thỏa mãn.

Nếu

0

m



thì tập xác định của hàm số là

 

1 1

; \ 1

D

m m

 

    

 

 

.

Trường hợp này đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Để đồ thị hàm số có đúng một đường

tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có một tiệm cận đứng. Điều này xảy ra khi

1

m

   

1

m

  

1

m

  

1

m

  

.

Vậy với

1 0

m

  

thì đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.

Câu 1: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn

của tham số để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận?

A. . B. . C. . D. .

Câu 2: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của sao cho đồ thị hàm số có đúng hai

đường tiệm cận đứng

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ.

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây:

Đồ thị của hàm số có bao nhiêu đường tiện cận đứng

A. . B. . C. . D. .

3 2 2

3

3 (2 1) x m





   

x

y

x mx m





2020;2020



m

4039

4040

4038

4037

2

20 6

8 2

x x

y

x x m

 



 

m





6;8

m





6;8

m





12;16

m 





0;16

m





y f x







 





 

4

2 3

4 3 1

1

x x x

y

f f x

  





6

5

3

4

3 2

y ax bx cx d

   

 

   

2

3 2

3 6

x x

g x

f x f x

 





5

4

3

2

Câu 5: Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: Cho hàm trùng phương có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số

có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Biết đồ thị hàm số

 

  





2

3 1

5

x ax b

y

x

không có tiệm cận đứng. Tính



2 3

a b

A.

4841

152

. B.

4814

152

. C.

4841

152

. D.

4814

152

.





y f x



 

2 7 3 4 5

1

x x

g x

f x

  





4

3

2

5





3 2

f x ax bx cx d

   

 

   

2

3 2 1

x x x

g x

x f x f x

  



 



 

3

5

6

4

4 2

y ax bx c

  









   

2 2

2

4 2

2 3

x x x

y

f x f x

 



 

 

 

5

2

3

4

Câu 9: Biết rằng tích phân



 

    

 

 



2

3

2

1

3

4 1

1 . d 3.

3

a c

x

x b d

I x e x e e

x

, trong đó các phân số

;

a c

b d

tối giản.

Hãy xác định phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số







ax b

y

cx d

.

A.



25

3

y

. B.



25

53

y

. C.



25

9

y

. D.

 3y

.

Câu 10: Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ.

Tổng các giá trị nguyên của tham số

m

để đồ thị hàm số

 



 

2020

1

g x

f f x m

có

4

đường

tiệm cận bằng

A.

15

. B.

1

. C.

13

. D.

11

.

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

m

để đồ thị hàm số

   

 

  

3 2

6 3 2 3

( )

3 14 20 8

x mx m

y f x

x x x

có

đúng hai đường tiệm cận?

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D. Vô số.

Câu 12: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

 





 

  





3

2

3

9 2 ln 1x x

f x

x x

là:

A.

0

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 13: Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như sau

Gọi

,M m

lần lượt là số tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

    



 

2 2 4 2

2

2 3 . . 17 16

2 . 2 3

x x x x x x

y

f x x x

. Khi đó mệnh đề nào đúng?

A.

2 3M m

. B.

 3M m

. C.

 2M m

. D.

M m

.

Câu 14: Đồ thị hàm số

 





  



    

2

2 3 2 8

2 1 . 4 4 2

x x x

y

x x x x

có tổng số đường tiệm cận đứng, tiệm cận

ngang là

A.

2

. B.

3

. C.

4

. D.

6

.

Câu 15: Đồ thị hàm số

   



 





  





   





2

2 2

2

4 1 2 2

x x

khi x

y f x x x

x x x khi x

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D.

4

.

Câu 16: Cho hàm số

 

   

 

    

3 2

2 2

4 20 24 2

20 14 9 14 11 2 1

x x m x m

y f x

x x x x

có đồ thị là

 

C

. Gọi

S

là tập hợp

các giá trị của

m

để

 

C

có đúng một tiệm cận đứng. Tổng các giá trị trong

S

là

A.

1

. B.

3

. C.

5

. D.

7

.

Câu 17: Cho đồ thị hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đúng hai đường tiệm cận ngang

  5, 1 y y

. Tìm giá trị của tham số

m

sao cho đồ thị hàm số

 

 y f x m

có đúng một đường tiệm cận

ngang.

A.

 1m

. B.

 2m

. C.

 2m

. D.

 3m

.

Câu 18: Cho hàm số

 





     

3

3 2 2

. 1 2 1f x x ax bx x x

. Biết rằng đồ thị hàm số có một đường tiệm

cận ngang bằng



5

4

y

. Giá trị

a b

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

.

A.

 

 5; 3

. B.

 

3;0

. C.

 

0; 3

. D.

 

3; 5

.

Câu 19: Cho hàm số bậc ba

 

3 2

f x ax bx cx d   

 

, , ,a b c d 



có đồ thị như hình vẽ sau đây:

Đồ thị hàm số

 

   

2

( 2)

2

x x

g x

f x f x







có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 2 B. 4. C. 3. D. 1.

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để đồ thị của hàm số

2

1

2 4

x

y

x mx





 

có 3 đường

tiệm cận.

A.

2

m



. B.

2 2

m

  

. C.

2

5

2

m

 









 













. D.

2

m







 



.

Câu 21: Gọi

S

là tập các giá trị của

m

sao cho đồ thị hàm số

2 2

1

2 2 6

x

y

x mx m m





   

có đúng hai

đường tiệm cận. Số phần tử của

S

là:

A.

2

. B.

3

. C.

0

. D.

1

.

Câu 22: Cho hàm số





3 2

    

y f x ax bx cx d





0

a



có đồ thị như hình dưới đây.

Gọi

S

là tập các giá trị nguyên của

m

thuộc khoảng





2019;2020



để đồ thị hàm số

 

   

 

2

1

2 2 2

x f x

g x

f x x mx m





   

có 5 đường tiệm cận (tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang).

Số phần tử của tập

S

là

A.

2016.

B.

4034.

C.

4036.

D.

2017.

Câu 23: Cho hàm số bậc ba





3 2

f x ax bx cx d

   

có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số

 





     

2

2 1

3 3

x x x

g x

x f x f x

 



 

 

 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.

4

. B.

3

. C.

5

. D.

6

.

Câu 1: Chọn B

Ta có suy ra là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng đường tiệm cận

đứng, hay khi có nghiệm phân biệt khác

Ta có

Để phương trình có nghiệm phân biệt khác khi phương trình có nghiệm phân

biệt khác và khi

Vì là số nguyên thuộc đoạn nên có giá trị của tham số .

Câu 2: Chọn B

Ta có tập xác định của hàm số phải thỏa mãn .

Điều kiện để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là phương trình có 2 nghiệm

phân biệt thỏa mãn .

Ta có: . Đặt .

Ta có bảng biến thiên của hàm trên đoạn .

Yêu cầu bài toán .

Câu 3: Chọn A

Hàm số bậc bốn có dạng . Ta có: .

lim lim 0,

x x

y y

 

 

0

y



4

3





3 2 2

3 (2 1) x m 0 1

x mx m    

3

3.









3 2 2 2

3 (2 1) x m 0 2 1 0

x mx m x m x mx

         

   

2

2 1 0 2

x m

f x x mx









   







1

3





2

3

m

 

2

2 2

1

1 0

0

1

5

3 0 3 6 1 0 .

1

3

2 1 0

0

1

m

f m m

m

m m

f m

m

 







 









 

 



 







       

  







  

  





 





m





2020;2020



4038

m

2

6 0 0 6

x x x

    

2

8 2 0

x x m

  

1 2

,

x x

1 2

0 6

x x

  

2

8 2

x x m

  





2

8

f x x x

 





f x





0;6

16 2 12 6 8

m m

        





4 3 2

0

y ax bx cx dx e a

     

3 2

4 3 2

y ax bx cx d



   

Từ đồ thị trong hình vẽ đã cho ta thấy: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

với . Ngoài ra đồ thị hàm số đi qua các điểm .

Từ đó ta có: .

Suy ra bậc bốn .

Ta có: .

Từ đó ta có hàm số

.

Xét .

Ta có: ; ; ; ; ;

; .

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Câu 4: Chọn C













0 0

1;0 , ; , 2;0

x y

0 0

0 1; 0

x y

  









2;3 , 3;3







 

1 0

4 3 2 0

1

2 0

32 12 4 0

2

1 0

0

3

16 8 4 2 0

2 0

4

16 8 4 2 3

2 3

4

81 27 9 3 3

3 3

y

a b c d

a

y

a b c d

b

y

a b c d e

c

a b c d e

y

d

a b c d e

y

e

a b c d e

y



 



    

















   



 



 



    

 

   

  

    



  



  

    

 



  



    













4 3 2

2 3 4 4

y f x x x x x

     

     

2 2

4 3 2

2 3 4 4 1 2

f x x x x x x x       





 





 

4

2 3

4 3 1

1

x x x

y

f f x

  









 





   

 

4

2 3

2 2

4 3 1

1 2 1

x x x

y

f x x

  

 

  





















   

 

   

 

4 4

2

2 2

2 2 2 2

2 2 3 1 1

1 2 1 2 3

x x x x x x

y

x x x x

     

 

    





















       

 

4 4

2

4 4 2 2

2 2 3 1 1

1 2 1 2 3

x x x x x x

y

x x x x

     

 

    

 

      





   

4 4

2

2 2

4 4

2 2

2 2 3 1 1

1 2 2 3 2 3

x x x x x x

y g x

x x x x x x

     

  

       

   









2 2

4 4

2 2

1 2 2 3 2 3 0

x x x x x x

        

1

2

3

4

1

2

1 9 4 3

2

1 9 4 3

2

1 9 4 3

2

1 9 4 3

2

x

x x

 









 



 



 





 



  

 



 

 









1

lim

x

g x



 

 

2

256

lim

81

x

g x











1

lim

x x

g x



 





2

lim

x x

g x



 





3

lim

x x

g x



 





4

lim

x x

g x



 





lim 0

x

g x





5

1

Xét phương trình .

Dựa vào đồ thị ta suy ra:

Phương trình , với là nghiệm đơn và là nghiệm kép.

Suy ra: .

Phương trình , các nghiệm đều là nghiệm đơn.

Suy ra .

Khi đó:

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

Cách 2: Chọn hàm số . Ta có

Đồ thị hàm số qua 4 điểm .

suy ra hay

 Khi đó:

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

Câu 5: Chọn B

Hàm số xác định khi

Ta có là hàm bậc ba và dựa vảo bảng biến thiên ta có

.

   





 

2

0

3 6 0

2

f x

f x f x

f x





  









 

2

0

1

x

f x

x

 



 







2

x

 

1

x



      

2

2 1 , 0

f x a x x a

   

   

 

0

2 2 1

1

x

f x x m m

x n n







      



 



















2 , 0

f x ax x m x n a

    

 









   









     

2

1 3 2 1 3 2

3 2

3 2 1

x x x x

g x

f x f x

a x x x x m x n

   

 

 

   

 





    

 

2

3 2

, 0

3 2 1

x

a

a x x x x m x n



 

   





g x

5





f x





3 2

f x ax bx cx d

   

















2;0 , 1;4 , 0;2 , 1;0

A B C D 

1

0

3

2

a

b

c

d













 











3

3 2

f x x x

  

 

   

 

  

 

2 2 2

2

3 3

2

3 2 3 2 3 2

3 6

3 2

3 3 2 3

1 3 2

3 2 1 3

x x x x x x

g x

f x f x

x x x x

x x

x x x x

     

  



  

 



  





g x

5





g x

 

5

4

1

x

f x



 







 







y f x







2

1

y a x



 

3

a

y x ax b

   

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

(vì

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tiện cận ngang là và tiệm cận đứng là

Câu 6: Chọn C

Điều kiện xác định của hàm số

 

g x

là .

 

3

1 3

3

3 1

1 1

1

3

a

a b

y

a

y x x

y

a b



   





 





 

     

  

 









   





 

2 3 5 6

3

2 3 3

2 7 4 5

3

2 7 3 4 5

lim lim lim 0

3 1 1

1

x x x

x x

x x x x

g x

x x

x x x

  

  

  

  

0

y

 

 





 





 

2

4 8 4 1

2 7 3 4 5

1

1 2 7 3 4 5

x x f x

x x

g x

f x

f x x x

  

  

 



   

   





 

2

4 1 1

1 1 2 7 3 4 5

x f x

f x f x x x

 



    

   





  

 

2

4 1 1

3 3 2 1 2 7 3 4 5

x f x

x x x x x x x

 



      

 





  

 

4 1

3 3 2 2 7 3 4 5

f x

x x x x x x





     

  

 

0

3 3 2 2 7 3 4 5

3

x

x x x x x x

x





      







5

4

x

 





 

0

lim

0

lim

x

g x

x

g x









 



 



 









 

3

lim

3

lim

x

g x

x

g x









 



 



 





0

y



3

y 

1

x



Xét phương trình









 

 

 

2

0

x f x f x .

Xét phương trình







0

f x

có nghiệm kép và nghiệm đơn .

Xét phương trình







1

f x

có ba nghiệm đơn . Ta thấy





 







 





 





lim

x

f x

Nên không mất tính tổng quát, ta có

+

Do đó:

Khi đó

+ không tồn tại giới hạn không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

+ .

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

+

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

+

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

+

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .











. . 1 0

x f x f x

 

 

 



 

0

1

x

f x















2

x



1

x



, 1 2

, 1 2,

, 2

x a a

x b b b a

x c c

  





   



 







0

f x





  

2

1 2 0

x x

  





1

f x

















0

x a x b x c

   

 

   

      

2 2

2

3 2 1 3 2 1

1 2

x x x x x x

g x

x f x f x

x x x x a x b x c

     

 

 



    

 





 

0

lim

x

g x



















0

x







g x

 

      

2

1 1

3 2 1

lim lim

1 2

x x

x x x

g x

x x x x a x b x c

 

 

  

  

    



1

x







g x

 

      

 

      

2

2 2

2

2 2

3 2 1

lim lim

1 2

3 2 1

lim lim

1 2

x x

x x x

g x

x x x x a x b x c

x x x

g x

x x x x a x b x c

 

 

 



  

  



    





  



  



    





2

x







g x

 

      

 

      

2

3 2 1

lim lim

1 2

3 2 1

lim lim

1 2

x a x a

x x x

g x

x x x x a x b x c

x x x

g x

x x x x a x b x c

 

 

 



  

  



    





  



  



    





x a







g x

 

      

 

      

2

3 2 1

lim lim

1 2

3 2 1

lim lim

1 2

x b x b

x x x

g x

x x x x a x b x c

x x x

g x

x x x x a x b x c

 

 

 



  

  



    





  



  



    





x b







g x

+

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

+ .

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .

Vậy đồ thị hàm số có 6 đường tiệm cận.

Câu 7: Chọn D

Ta có: .

Xét .

Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm là các nghiệm kép (nghiệm bội 2).

Do đó đa thức có bậc là 8.

Suy ra .

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng là .

Câu 8: Chọn A

Xét hàm số





   

3 1

f x x ax b

có

 



 



3

2 3 1

f x a

x

Để hàm số không có tiệm cận đứng:

     

 

2

5 .

f x x g x

 



   





 

 

 



 











3.5 1 .5 0

5 0

3

0

5 0

2 3.5 1

a b

f

a

f





   





 

 

 





 









17

5 4

8

3

8

a b

b

a

Nên

      

   

   

   

2 3

1 3 4814

2 2 152

a b

Câu 9: Chọn B

Ta có

 

 

  

 

 

 

2 2

3 3

2

1 1

3 3

4

e d . d

x x

I x x e x

x

 

1 2

I I

, với







2

3

1

3

e d

x

I x

;



 

 

 

 



2

3

2

1

3

4

. d

x

I x e x

x

.

 

      

 

      

2

3 2 1

lim lim

1 2

3 2 1

lim lim

1 2

x c x c

x x x

g x

x x x x a x b x c

x x x

g x

x x x x a x b x c

 

 

 



  

  



    





  



  



    





x c







g x

 

      

2

3 2 1

lim lim 0

1 2

x x

x x x

g x

x x x x a x b x c

 

  

 

    



0

y







g x





g x









   

2 2

2

4 2

2 3

x x x

y

f x f x

 



 

 

 

    

   

  

   

2

2 2

2 2 2 2 2

2 3 2 3

x x x x x x x

f x f x f x f x

    

 

   

   

   

   

2

2 3 0

f x f x

 

  

 





 

1

3

f x









 



, 2

0

, 2

2

x m m

x

x n n

x

  











 







 



0; 2

x x

  

   

2

2 3

f x f x

 

 

 

  

      

2

2 2

x x x

y

a x x x x m x n

 



   

   

2

1

2

a x x x m x n



  

0, 2, ,

x x x m x n

   

Tính







2

3

1

3

e d

x

I x

. Đặt





 



 



 





 

 

 









2

3

4

d 1 d

d d

x

u e x

u e

x

v x

.

Ta có

 

 

  

 

 



2 2

3

2 2

3

1

2

1

3

4

. . d

x x

I x e x e x

x



  

25 53

9 3

2

1

3

e e I

.

Do vậy



   

25 53

9 3

1 2

1

3

I I I e e

.

Ta có

   25; 9; 53; 3.a b c d

Suy ra hàm số







25 9

53 3

x

y

x

.

Khi đó đồ thị hàm số







25 9

53 3

x

y

x

có phương trình đường tiệm cận ngang



25

53

y

.

Câu 10: Chọn D

Ta thấy đồ thị hàm số

 

g x

có

1

đường tiệm cận ngang là

 0y

.

Để đồ thị hàm số

 

g x

có

4

đường tiệm cận thì phương trình

 

  1 0f f x m

có

3

nghiệm

phân biệt.

Đặt

   

 

  1h x f f x

. Khi đó,

     

 

  

 . 1h x f x f f x

.

 



 0h x



 











 





0

1 0

f x

f f x



 









 



 





0

1 1

1 2

f x



 



















0

1

f x



 

















1 2 3

4 5 6

1,2

; ;

x

x x x x

.

 

      

1 4 5 2 3 6

1 2x x x x x x

Ta có

       

 

    

1 2 3 1

1 2h x h x h x f f x

;

       

 

     

4 5 6 4

1 1h x h x h x f f x

;

   

 

  1 1 1 14h f f

;

   

 

   2 2 1 13h f f

Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên để phương trình

 

  1 0f f x m

có ba nghiệm phân biệt thì:



 



   



2 14

13 1

m

.

Câu 11: Chọn B

Điều kiện xác định:

















1

2

3

x

. Ta có



   



  

3 2

6 3 2 3

lim 0

3 14 20 8

x

x mx m

x x x

với mọi





m

.

Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang



0

y

.

Ta có

   

   

 

 

2

6 3 2 3

( )

2 3 2

x mx m

y f x

x x

.

Yêu cầu bài toán trở thành, tìm

m

để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng



2

x

hoặc



2

3

x .

Nếu

   

6 3 2 3

x mx m nhận



2

3

x là nghiệm thì

 

3

2

m

. Khi đó

   

 

 

 



 

 

 

  

 

 

2

2 2

3 3

3

6 3

3 9

2

lim lim

32

3

2 3 2

4 2 6 3

2

x x

x x x

   

 

 

 

 



  

 

 

  

 

 

2

2 2

3

6 3

3

2

lim lim

3

2 3 2

4 2 6 3

2

x x

x x x

.

Suy ra



2

x

là đường tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số.

Nếu

 

 

      

 

 

 

6

6 3 2 3 2

6 3 3

x mx m x m

x

nhận



2

x

là nghiệm kép thì

 

1

m

.

Khi đó

   

 

 

   

 

   

   

   

  

   

 

2

2 2

3 3

6 3 1 1

lim lim

3 2 6 3 1

2 3 2

x x

x x x

x x

   

 

 

   

  

   

 

2

2 2

6 3 1 1 1

lim lim

24

3 2 6 3 1

2 3 2

x x

x x x

x x

Suy ra



2

3

x là đường tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số.

Vậy có hai giá trị của

 

  

 

 

3

1;

2

m

thỏa mãn bài toán.

Câu 12: Chọn C

Tập xác định:









  

1; \ 0;1

D

.

Ta có :

 

 

 

 

  







3

2

9 2 ln 1

0

lim

3

x x

x

x x

.

 

   

   

   

    



  

 

 

 

3 3

2 2

9 2 ln 1 9 2

ln 1

3

. 2 9

lim lim

3 2

1

0 0

x x x

x

x x x

x x

.

 

   

   

   

    



  

 

 

3 3

2 2

9 2 ln 1 9 2

ln 1

3

. 2 9

lim lim

3 2

1

0 0

x x x

x

x x x

x x

 





 









   

   

   

 

 

 

 

 

 

  

 



 



   

    

3

2

9 2 ln 1

1 ln 1

lim lim

3

2

3

2 2 2

3

1 1

1 9 2 9 4

x x

x x x x









 

 

 

 

 

 

 

  



 

   

ln 1

.

lim

2

3

2 2

3

1

9 2 9 4

x

x x x

 





 









 

 

 

 

 

 

  

 



 



 

    

3

2

9 2 ln 1

1 ln 1

lim lim

3

2

1 1

3

2 2 2

3

1 9 2 9 4

x x

x x x x









 

 

 

 

 





   

ln 1

1

ln 2.

lim

12

2

1

3

2 2

3

9 2 9 4

x

x x x

Tương tự

 

 

 

 

  







3

2

9 2 ln 1

1

ln 2

lim

3

12

1

x x

x

.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận



0

y

và

 

1

x

.

Câu 13: ChọnC

Từ giả thiết, ta có





  

3 2

3 4

f x x x

.

Gọi





C

là đồ thị hàm số

 





 

    

 

  

2 2 4 2

3 2 2

2 3 . . 17 16

3 2 . 2 3

x x x x x x

y g x

x x x x

.

Điều kiện xác định:

 



 



  





   





2

4 2

3 2 2

0

17 16 0

3 2 . 2 3 0

x x

x x x x

  



     







4

1 1 3 0

4

x

.

Ta có:

 

 

 



 

    



 

 



 



   

  



   

   





 



     

 



 

 



 

   



   

   



   



2 2 4

3

2 2 4

3

2 3 1 17 16

1 . 1 . 1

1

lim lim

2

3 2 3

1 . 2

2 3 1 17 16

1 . 1 . 1

1

lim lim

2

3 2 3

1 . 2

x x

x x x

g x

x x

x

x x

x x x

g x

x x

x



đường thẳng



1

2

y là tiệm cận ngang của





C

.

 





 

 

 

    

  

   

2 4 2

3 2

0 0

2 3 . 1 . 17 16

lim lim

3 2 . . 2 3

x x

x x x x x

g x

x x x x



đường thẳng



0

x

là tiệm cận đứng của





C

.

 





 

 

   

    

  

  

2 2 4 2

3 2 2

1 3 1 3

2 3 . . 17 16

lim lim

3 2 . 2 3x x

x x x x x x

g x

x x x x



đường thẳng

 

1 3

x

là tiệm cận đứng của





C

. Vậy

 

2; 1

M m

nên



2

M m

.

Câu 14: Chọn A

Gọi





C

là đồ thị hàm số

 





 





  

 

    

2

2 3 2 8

2 1 . 4 4 2

x x x

y f x

x x x x

.

Ta có









     

2

2 1 . 4 4 2 0

x x x x



 







   



2

2 1

4 4 2

x

x x x

   





 







 





2 1

0

4 0

x

  



  



 



1

3

4

x

.

Suy ra tập xác định của hàm số







y f x

là:





     



; 4 2;D

.

+)

   





 





 

   

  



    

2

4 4

2 3 2 8

lim lim

2 1 . 4 4 2

x x

x x x

y

x x x x

 

    





   



 

       



  

2

4

2 3 2 4 4 4 2

lim

3 . 4

x

x x x x x x

x x

 





 



 

     

  

  

2

4

2 3 2 4 4 2

lim

3 . 4

x

x x x x x

x x

Suy ra đường thẳng

 

4

x

là tiệm cận đứng của





C

.

+)





 





 

  



   

2

2 3 2 8

lim lim

1 . 4 4 2

x x

x x x

y

x x x x



 

  

 

 

 

 

   

 

 

2

3 2 8

2 1

1

lim

2

1 1 4

1 . 4 2

x

x x

x

x x

x

.

+)





 





 

  



    

2

2 3 2 8

lim lim

3 . 4 4 2

x x

x x x

y

x x x x

 





  



     



  

2 2

2 3 2 8 4 4 2

lim

3 4

x

x x x x x x

x x

 



 

  

      

 

  

 

  

   

 

  

 

  

  

 

  

 

2 2

2 8 1 4

1 4 2

lim 2 3 .

3 4

1 1

x

x x

x

x x

.

Suy ra đường thẳng



1

2

y

là tiệm cận ngang của





C

.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Câu 15: Chọn C

Gọi





C

là đồ thị hàm số







y f x

;

 

  

 

  

  



 

 

2

5 6

2 2

1 1 2

2

2 2

lim lim lim 0

2 2

1

x x x

x x

x

x x

y

x x

x

.

Suy ra





C

nhận đường thẳng



0

y

là đường tiệm cận ngang.





   



       

  

   

2

1

1 1

lim lim 4 1 2 lim lim

4

1 1

4 1 2

4 2

x x x x

x

y x x x

x x x

x

.

Suy ra





C

nhận đường thẳng

 

1

4

y

là tiệm cận ngang.

 





 

   

   

 

    

    

  

   

4

2 3 2

2 2

2

2 2 2 2

4 2

2 2 2 4 4

lim lim lim lim

2 2 2

2 2 2 2

x x x x

x x

x x x x x

y

x x x x

x x x x x x

.

Suy ra





C

nhận đường thẳng



2

x

là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Câu 16: Chọn C

Ta có

   

     

2 2

20 14 9 14 11 2 1 0 1

x x x x

 

      

2 2

315 35

350 245 14 11 2 1 0

2 2

x x x x

 

   

           

   

   

2

2 2 2 2

35 35 35 1225 7 315 35

14 2 14 . 2 1 2 1 2 1 0

4 4 4 16 8 8 8

x x x x x x

 

 

        

 

 

2

2 2 2

35 35 7 315 35

14 2 1 2 1 0 2

4 4 8 8 8

x x x x

.

Nhận thấy phương trình (2) vô nghiệm nên phương trình (1) vô nghiệm.

Do đó

 

    

2 2

20 14 9 14 11 2 1

x x x x





 





 

    



    

2

2 2

20 14 9 14 11 2 1

x x x x

 

   



    

4 3 2

2 2

8 56 118 5 40

20 14 9 14 11 2 1

x x x x









 

  



    

2

2 2

2 2 4 12 5

20 14 9 14 11 2 1

x x x

x x x x

.

Khi đó hàm số

 









 

  

 

      

 

 

  

2

2 2

2

2 4 12

. 20 14 9 14 11 2 1

2 2 4 12 5

x x x m

y f x x x x x

x x x

 

 

 

      

 

 

  

2

2 2

2

4 12

. 20 14 9 14 11 2 1

2 2 4 12 5

x x m

y x x x x

x x x

.

Hàm số







y f x

có TXĐ là

 



 



 

 

 



3 14

\ 2;

2

D .

Dễ thấy để đồ thị





C

của hàm số







y f x

có đúng 1 tiệm cận đứng thì phương trình





  

2

4 12 0 1

x x m

phải có đúng hai trong ba nghiệm



3 14

2;

2

.

Nếu





1

có hai nghiệm phân biệt

1 2

,

x x

thì

  



1 2

3x x . Do đó,





1

phải có hai nghiệm là



3 14

2

, suy ra

 

5

m

. Do đó





 

5

S

.

Vậy tổng các giá trị trong

S

là



5

.

Câu 17: Chọn C

Đồ thị hàm số







y f x

có hai đường tiệm cận ngang

  

5, 1

y y

.



Đồ thị hàm số





 

y f x m

có hai đường tiệm cận ngang

    

5 , 1

y m y m

Do đó đồ thị hàm số





 

y f x m

có đúng một đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi hai đường

thẳng

    

5 , 1

y m y m

đối xứng qua trục

Ox

     

5 1 0

m m

 

2

m

.

Câu 18: Chọn D

Trường hợp 1:

 





 

 

       

 

 

3

3 2 2

5 5

lim lim . 1 2 1

4 4

x x

f x x ax bx x x



 

      

 

 

2

3

2

1 1 5

lim . 1 2 1

4

x

b

x a

x x

x

Suy ra

   

3

2 0 8

a a . Thay lại ta được





   





 





   

 



 

     

 

 

 

          

 

 

 

 

 



  

 

   

 

       

 

 

3

3 2 2

3

3 2 2

3 2

2

3 3

3 2 3 2

5

lim . 8 1 2 1

4

5

lim . 8 1 2 1 2 1 4 4 4

4

12 6

3 5

lim

4

2 1 4 4 4

8 1 2 1 8 1 2 1

x

x x bx x x

x x bx x x x x

b x x

x

x x x

x bx x x bx x

Do

 



 

 

 



 

   

 

2

3 3

lim

4

2 1 4 4 4

x

x x x

và

 





5

lim

4

x

f x

nên

 





   



 

 

 

 

       

 

 

3 2

2

3 3

3 2 3 2

12 6

lim

8 1 2 1 8 1 2 1

x

b x x

x bx x x bx x

phải hữu han.

Do đó





    

12 0 12

b b thay lại ta được





   



 

 

 



 

       

 

 

2

3 3

3 2 3 2

6 1

lim

2

8 12 1 2 1 8 12 1 2 1

x

x x x x x x

Thay lai được

 



 

5

lim

4

x

f x

không thỏa mãn

Trường hợp 2: Xét

 





 

 

       

 

 

3

3 2 2

5 5

lim lim . 1 2 1

4 4

x x

f x x ax bx x x



 

      

 

 

2

3

2

1 1 5

lim . 1 2 1

4

x

b

x a

x x

x

Suy ra

    

3

2 0 8

a a

.

Thay lại ta được







 

      

 

 

3

3 2 2

5

lim . 8 1 2 1

4

x

x x bx x x

   







 

           

 

 

3

3 2 2

5

lim . 8 1 2 1 2 1 4 4 4

4

x

x x bx x x x x

 





   

 



 

 

 



  

 

   

 

         

 

 

3 2

2

3 3

3 2 3 2

12 6

3 5

lim

4

2 1 4 4 4

8 1 2 1 8 1 2 1

x

b x x

x

x x x

x bx x x bx x

Do

 



 



 

 

 

   

 

2

3 3

lim

4

2 1 4 4 4

x

x x x

và

 





5

lim

4

x

f x

nên

 





   



 

 

 

 

         

 

 

3 2

2

3 3

3 2 3 2

12 6

lim

8 1 2 1 8 1 2 1

x

b x x

x bx x x bx x

hữu han.

Do đó





   

12 0 12

b b

thay lại ta được





   



 

 



 

         

 

 

2

3 3

3 2 3 2

6 1

lim

2

8 12 1 2 1 8 12 1 2 1

x

x x x x x x

Từ đó suy ra

 





5

lim

4

x

f x

thỏa mãn. Vậy ta được





  

4 3; 5

a b

.

Câu 19: Chọn C

Điều kiện:

   

2

0

2 0

x

f x f x









 





. Xét phương trình:

   





 

2

0

2 0

2

f x

f x f x

f x





  









Từ đồ thị



phương trình

 

1

0

2

x

f x

x

 



 







1

x

 

không là tiệm cận đứng do đk

0

x



.

2

x



là nghiệm kép và tử số có một nghiệm

2 2

x x

  

là một đường tiệm cận đứng.

Từ đồ thị



phương trình

 

0

2 1

( 2)

x a

f x x

x b b

 





  



 



x a



không là tiệm cận đứng (vì

0

x



)

1,

x x b

 

là hai đường tiệm cận đứng.

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số





g x

là 3.

Câu 20: Chọn C

lim 0, lim 0

x x

y y

 

 

nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang

0,

y m

 

.

Do đó đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận



phương trình

2

2 x 4 0

x m

  

có hai nghiệm phân biệt khác

1



2

0

4 0

5

2

m



 



 



 



 



 



5

2

m





















 





.

Câu 21: Chọn B

Ta có

2

1 1

lim lim 0

2 2 6

1

x x

x

y

m m m

x

 



 

 

 

.

Nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là

0

y



.

Do đó để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phương trình:

2 2

2 2 6 0

x mx m m

    

có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm

bằng 1.

Khi đó

2

2 6 0

4 5 0

 





 









  





m

m m

3

1

5

 





 











 



















m

3

1

5

m

 





  







.

Vậy





3; 1;5

S   

. Nên tập

S

có

3

phần tử.

Câu 22: Chọn A

Điều kiện.





 

2

0

2

2 2 0

f x

x mx m













   



Nếu





0

f x





2

x

 

Nếu





2

f x





2

1

x







 



(

1

x



là nghiệm kép).

Nếu





0

f x





2

1

x

 









(

1

x



là nghiệm kép).

Khi đó.

 

    

  

 

2

1 2 1

2 1 2 2

  



    

x a x x

g x

a x x x mx m

 

  

 

2

1 2

0

2 1 2 2

 

 

    

x a x

a

a x x x mx m

.

Ta có





lim 0

x

g x





, nên hàm số có 1 tiện cận ngang

0

y







2

lim

x

g x



 

, nên hàm số có tiện cận đứng

2

x







1

lim

x

g x



 

, nên hàm số có tiện cận đứng

1

x

 

Để hàm số





g x

có 5 đường tiệm cận (tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang). Thì phương trình





2

2 2 0

h x x mx m

    

có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn

2



và





1;1;2

x  

.



 

' 0

. 2 0

2

1 0

2 0

h x

a h

S

h

 





 



 







 















2

2 0

5 6 0

2

3 3 0

3 0

6 3 0

m m

m



  



 



 





 



 



 







1

2

6

5

2

1

3

2

m



 













 





 



 













6

1

5

2

3



   



















m

.

Do

m

có giá trị là nguyên và

m

thuộc khoảng





2019;2020



Vậy có 2016 giá trị nguyên của

m

thuộc khoảng





2019;2020



là





4;5;6.....; 2019

Câu 23:

Điều kiện:

   

2

1

3 0

x

f x f x









  

 

 







 



.

Ta có

     





 

2

3 L

3 3 0 0

3

x

x f x f x f x

f x





 

    



 



 



. Dựa vào đồ thị ta có





 

1

2

3

1;0

( ) 0 0;1

2;

x x

f x x x

x x

  



   



  



(loại

3

2

x



), do đó có 2 tiệm cân đứng

1

x x



,

2

x x



.

4 4

, 0

( ) 3

2 (L)

x x x

f x

x

 



  







, do đó có 1 tiệm cận đứng

4

x x



.

Vậy đồ thị hàm số





g x

có 3 đường tiệm cận đứng.

 Khảo sát một số hàm đa thức và phân thức

1. Hàm số bậc ba

 

    

3 2

0y ax bx cx d a

 Trường hợp 1: phương trình



'

0y

có hai nghiệm phân biệt

Với

 0.a

Với

 0.a

 Trường hợp 2: phương trình



'

0y

có nghiệm kép

Với

 0.a

Với

 0.a

 Trường hợp 2: phương trình



'

0y

vô nghiệm

Với

 0.a

Với

 0.a

2. Hàm số trùng phương

 

   

4 2

0y ax bx c a

 Đạo hàm:

 

   

3 2

' 4 2 2 2y ax bx x ax b

,

 

 



 



2

0

' 0

2 0

x

y

ax b

 Để hàm số có 3 cực trị:

 0ab

x

y

1

O

1

x

y

1

O

1

LÍ THUY

ẾT

 Nếu











0

a

b

hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu

 Nếu











0

a

b

hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu



Để hàm số có 1 cực trị



0

ab

 Nếu











0

a

b

hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại

 Nếu











0

a

b

hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu

 Trường hợp 1: phương trình



'

0

y có 3 nghiệm phân biệt







0 .

ab

Với



0.

a

Với



0.

a

 Trường hợp 2: phương trình



'

0

y

có 1 nghiệm

Với



0.

a

Với



0.

a

3. Hàm số bậc nhất

 



   



0, 0

ax b

y c ad bc

cx d

 Tập xác định:

 

 

 

 

\

d

D R

c

Đạo hàm:

 







2

ad bc

y

cx d

 Nếu

 

0

ad bc

hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4.

 Nếu

 

0

ad bc

hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.

 Đồ thị hàm số có: TCĐ:

 

d

x

c

và TCN:



a

y

c

 Đồ thị có tâm đối xứng:

 



 

 

;

d a

I

c c

x

y

O

1

x

y

1

O

1

x

y

1

O

1

x

y

O

1

 Các phép biến đổi đồ thị

1. Dạng 1: Từ đồ thị









:

C y f x

suy ra đồ thị











:

C y f x

.

Ta có:

 





 







 



 





khi 0

f x x

y f x

f x x

và







y f x

là hàm chẵn nên đồ thị







C

nhận Oy làm trục đối xứng.

 Cách vẽ







C

từ





C

:

Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị









:

C y f x

.

Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của





C

, lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

2. Dạng 2: Từ đồ thị









:

C y f x

suy ra đồ thị











:

C y f x

.

Ta có:

 









   







 



 





khi 0

f x f x

y f x

f x f x

 Cách vẽ







C

từ





C

:

Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):







y f x

.

Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

3. Dạng 3: Từ đồ thị













: .

C y u x v x

suy ra đồ thị















: .

C y u x v x

.

Ta có:

   

















       



 



 



  





. khi 0

.

. khi 0

u x v x f x u x

y u x v x

u x v x f x u x

 Cách vẽ







C

từ





C

:

Giữ nguyên phần đồ thị trên miền







0

u x của đồ thị









:

C y f x

.

Bỏ phần đồ thị trên miền







0

u x

của





C

, lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua

Ox

.

VÍ DỤ 1: Từ đồ thị









  

3

: 3

C y f x x x

suy ra đồ thị

 



 

3

: 3

C y x x

.

 Bỏ phần đồ thị của





C

bên trái

,

Oy

giữ nguyên





C

bên phải

.

Oy

 Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua

Oy

.

 



 

3

: 3

C y x x

x

y

O

-2

2

-1

1

x

y

O

-2

-1

1

Câu 1: Cho hàm số

  

4 2

y ax bx c

có đồ thị như hình bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

  0, 0, 0.a b c

B.

  0, 0, 0.a b c

C.

  0, 0, 0.a b c

D.

  0, 0, 0.a b c

Câu 2: Tìm

a

,

b

,

c

để hàm số







2ax

y

cx b

có đồ thị như hình vẽ sau:

A.

   1; 1; 1a b c

. B.

   1; 2; 1a b c

.

C.

  1; 2; 1a b c

. D.

    2; 2; 1a b c

.

Câu 3: Hàm số

  

4 2

y ax bx c

,

 

 0a

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

 0a

,

 0b

,

 0c

. B.

 0a

,

 0b

,

 0c

. C.

 0a

,

 0b

,

 0c

. D.

 0a

,

 0b

,

 0c

.

Câu 4: Cho hàm số







bx c

y

x a

(

 0a

và

a

,

b

,





c

) có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào dưới đây

đúng?

O

x

y

2



2



1



1

2

BÀI T

ẬP R

ÈN LUY

ỆN

A.

 0a

,

 0b

,

  0c ab

. B.

 0a

,

 0b

,

  0c ab

. C.

 0a

,

 0b

,

  0c ab

. D.

 0a

,

 0b

,

  0c ab

.

Câu 5: Cho hàm số







1ax

y

x b

có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

.

A.

 0a b

. B.

  0a b

. C.

  0a b

. D.

 0a b

.

Câu 6: Cho hàm số





1

ax b

y

x

có đồ thị như hình dưới.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.

 0b a

. B.

 0 b a

. C.

  0b a

. D.

 0 a b

.

Câu 7: Cho hàm số

   

3 2

y ax bx cx d

có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

O

y

x

O

x

y

1



1

2



2

A.

   0, 0, 0, 0a b c d

. B.

   0, 0, 0, 0a b c d

.

C.

   0, 0, 0, 0a b c d

. D.

   0, 0, 0, 0a b c d

.

Câu 8: Cho hàm số

 

  

4 2

f x ax bx c

(với

 0ab

).

Chọn điều kiện đúng của

, a b

để hàm số đã cho có dạng đồ thị như hình bên.

A.

 







0

a

b

. B.

 







0

a

b

. C.

 







0

a

b

. D.

 







0

a

b

.

Câu 9: Cho hàm số







ax b

y

cx d

có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

 0ab

,

 0cd

. B.

 0bc

,

 0ad

. C.

 0ac

,

 0bd

. D.

 0bd

,

 0ad

.

Câu 10: Cho hàm số

 

    

3 2

y f x ax bx cx d

có đồ thị như hình vẽ ở bên. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

A.

 0a

,

 0b

,

 0c

,

 0d

. B.

 0a

,

 0b

,

 0c

,

 0d

.

C.

 0a

,

 0b

,

 0c

,

 0d

. D.

 0a

,

 0b

,

 0c

,

 0d

.

Câu 11: Cho hàm số

  

4 2

y ax bx c

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A.

  0, 0, 0a b c

.

B.

  0, 0, 0a b c

. C.

  0, 0, 0a b c

. D.

  0, 0, 0a b c

.

Câu 12: Cho hàm số







ax b

y

x c

có đồ thị như hình bên với





, , .a b c

Tính giá trị của biểu thức

  3 2T a b c

?

A.

 9T

. B.

 7T

. C.

 12T

. D.

 10T

.

Câu 13: Cho hàm số

 

      



3 2

( ) , , , , 0y f x ax bx cx d a b c d a

có đồ thị là

 

C

. Biết rằng đồ thị

 

C

đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số

 '( )y f x

cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị

 (4) (2)H f f

?

A.

 64H

. B.

 51H

. C.

 58H

. D.

 45H

.

Câu 14: Cho hàm số

 

y f x

liên tục và có đạo hàm cấp hai trên



. Đồ thị của các hàm số

     

 

  , ,y f x y f x y f x

lần lượt là đường cong nào trong hình bên?

.

A.

     

3 2 1

, ,C C C

. B.

     

1 3 2

, ,C C C

. C.

     

3 1 2

, ,C C C

. D.

     

1 2 3

, ,C C C

.

Câu 15: Cho hàm số

 

y f x

. Biết

 

f x

có đạo hàm là

 

'f x

và hàm số

 

 'y f x

có đồ thị như hình

vẽ sau. Kết luận nào sau đây là đúng?

.

A. Hàm số

 

y f x

chỉ có hai điểm cực trị.

B. Đồ thị của hàm số

 

y f x

chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía của trục hoành.

C. Hàm số

 

y f x

nghịch biến trên khoảng

 

; 2

.

D. Hàm số

 

y f x

đồng biến trên khoảng

 

1; 3

.

Câu 16: Cho hàm số

 

y f x

xác định và liên tục trên



và hàm số

 



y f x

có đồ thị như hình vẽ

dưới đây

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

 

f x

đạt cực đại tại

 0x

. B.

 

f x

đạt cực đại tại

 1x

.

C.

 

f x

đạt cực đại tại

 2x

. D.

 

f x

đạt cực đại tại

 1x

.

Câu 17: Hình vẽ bên là một phần của đồ thị hàm số nào?

A.

 





1

x

y

x

. B.







1

x

y

x

. C.







1

x

y

x

. D.



 1

x

y

x

.

Câu 18: Cho hàm số







2

2 1

x

y

x

có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A.







2

.

2 1

x

y

x

B.







2

.

2 1

x

y

x

C.







2

.

2 1

x

y

x

D.







2

.

2 1

x

y

x

Câu 19: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

.

A. . B. .

C. . D. .

Câu 20: Cho hàm số







y f x

xác định, liên tục trên đoạn

 

 

2; 2

và có đồ thị là đường cong trong hình

vẽ bên dưới. Các giá trị của tham số

m

để phương trình







f x m

có 6 nghiệm thực phân biệt

là

A.

 

0 2

m

. B.



0

m

. C.



2

m

. D.

 

0 2

m

.

Câu 21: Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của hàm số







ax b

y

cx d

với

a

,

b

,

c

,

d

là các số thực. Mệnh

đề nào dưới đây đúng?.





ln 1 ln 2

y x  

ln

y x



ln 1 ln 2

y x  

ln

y x



A.



  

0, 2

y x

. B.



  

0, 1

y x

. C.



  

0, 2

y x

. D.



  

0, 1

y x

.

Câu 22: Cho hàm số







y f x

xác định trên



và có đồ thị như hình vẽ.

Tìm các giá trị thực của tham số

m

để phương trình







f x m

có

6

nghiệm phân biệt.

A.

 

3 4

m

. B.

 

0 3

m

. C.

   

4 3

m

. D.

 

0 4

m

.

Câu 23: Cho đồ thị

( )

C

có phương trình







2

1

x

y

x

, biết rằng ĐTHS



( )

y f x

đối xứng với

( )

C

qua trục

tung. Khi đó

( )

f x

là

A.







2

( )

1

x

f x

x

. B.



 



2

( )

1

x

f x

x

. C.



 



2

( )

1

x

f x

x

. D.







2

( )

1

x

f x

x

.

Câu 24: Cho đồ thị của ba hàm số







y f x

,









y f x

,









y f x

được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi

đồ thị các hàm số







y f x

,









y f x

và









y f x

theo thứ tự, lần lượt tương ứng với

đường cong nào?

A.













3 2 1

; ;

C C C

. B.













2 1 3

; ;

C C C

. C.













2 3 1

; ;

C C C

. D.













1 3 2

; ;

C C C

.

Câu 25: Cho đồ thị của ba hàm số







y f x

,









y f x

,









y f x

được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi

đồ thị các hàm số







y f x

,









y f x

và









y f x

theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường

cong nào?

A.













3 2 1

; ;

C C C

. B.













2 1 3

; ;

C C C

. C.













2 3 1

; ;

C C C

. D.













1 2 3

; ;

C C C

.

Câu 26: Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Đặt

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 5 điểm cực

trị?

A. 3. B. 4. C. 5. D. Vô số.

Câu 27: Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Đặt

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng 5 điểm

cực trị?

A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số.

Câu 28: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị khi

A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.

Câu 29: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.





y f x







'

y f x











g x f x m

 

m





g x





y f x







'

y f x











g x f x m

 

m





g x





y f x











2

2018

g x f x m

  





y f x



Với thì hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.

Câu 30: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị.

A. . B. . C. . D. .

Câu 31: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số có đúng điểm

cực trị.

A. B. C. D.

Câu 32: Cho hàm số ( với là các tham số) có bảng biến thiên như sau:

Xét bốn phát biểu sau: .

Số phát biểu đúng trong bốn phát biểu đã nêu là

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Cho hàm số

 







5

ax

f x

bx c

,









, ,a b c có bảng biến thiên như sau:

1

m

 









g x f x m

 





y f x



m









g x f x m

 

1

m

 

1

m

 

1

m



1

m







y f x



m













2

h x f x f x m

  

3

1

.

4

m 

1

.

4

m 

1.

m



1.

m



1

ax

y

bx c







, ,

a b c





1 1

c







2 0

a b

 





3 0

a b c

  





4 0

a



4

3

2

1

Trong các số

a

,

b

và

c

có bao nhiêu số âm?

A.

0

. B.

1

. C.

3

. D.

2

.

Câu 34: Cho hàm số

   



 





, ,

1

ax b

f x a b c

cx

có đồ thị như hình vẽ:

Trong các số

, ,

a b c

có bao nhiêu số dương?

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D.

0

.

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C 7.B 8.D 9.B 10.B

11.C 12.A 13.C 14.C 15.D 16.A 17.B 18.C 19.B 20.A

21.A 22.A 23.D 24.A 25.D 26.D 27.B 28.B 29.C 30.A

31.B 32.C 33.B 34.B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Chọn A

Do đồ thị cắt

Oy

tại





0;

M c

nằm dưới trục

Ox

nên



0

c

.

Vì





 

lim

x

y

nên



0

a

.

Hàm số có ba điểm cực trị nên

  

0 0

ab b

Câu 2: Chọn B

Để đường tiệm cận đứng là



2

x

thì

    

2 2

b

b c

c

.

Để đường tiệm cận ngang là



1

y

thì

  

1

a

a c

c

.

Khi đó







2

cx

y

cx c

. Để đồ thị hàm số đi qua điểm







2 ;0

thì



1

c

. Vậy ta có

   

1; 2; 1

a b c

.

Câu 3: Chọn D

Dựa vào đồ thị ta có

 













0

. 0

0

a

a b

c

 



 









0

a

b

c

.

Câu 4: Chọn A

Dựa vào hình vẽ, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

 

0

y b

, tiệm cận đứng

 

0

x a

.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định nên

 

0

c ab

, đáp án B đúng.

Câu 5: Chọn A

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là



x b

. Theo như hình vẽ thì



0

b

.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là



y a

. Theo như hình vẽ thì



0

a

.

Do đó ta có

 

0

a b

.

Câu 6: Chọn C

Nhìn vào đồ thị ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang



y a

và tiệm cận đứng



1

x

.Đồ thị

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

 

1

b

x

a

. Ta có:









    











1

1 0

1

a

b a

b

a

.

Câu 7: Chọn B

Đồ thị đã cho là hàm bậc 3. Vì khi

     

, 0

x y a

.

(hay phía bên phải đồ thị hàm bậc 3 đồ thị đi lên nên



0

a

).

Xét

 

   

2

3 2 , 0

y ax bx c y có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên suy ra

  

. 0 0

a c c

.

Loại được đáp án

C

và

D

.

Xét





    6 2 0

3

b

y ax b x

a

, dựa vào đồ thị ta thấy hoành độ của điểm uốn dương.



   

0 0.

3

b

a

Suy ra

   

0, 0, 0, 0

a b c d

.

Câu 8: Chọn D

Hàm bậc 4 trùng phương có hướng quay lên thì



0

a

. Đồ thị chỉ có một cực trị nên phương trình

 

 



 



2

0

' 0

2 0

x

y

ax b

chỉ có một nghiệm, do đó

  

0 0

ab b

.

Câu 9: Chọn B

Vì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên

 

0

ad bc

, với mọi

 

d

x

c

nên



ad bc

Mặt khác







C Ox

 

 

 

 

;0

b

A

a

và

 

0

b

a

nên



0

ab





1



Loại A

Và







C Oy

 



 

 

0;

b

B

d

và



0

b

d

nên



0

bd





2



Loại C

Từ





1

và





2

ta có



0

ad



Loại D

Mặt khác, phương trình đường tiệm cận đứng

  

0

d

x

c

nên



0

cd

. Suy ra



0

bc

.

Câu 10: Chọn B

Dựa vào đồ thị ta thấy nhánh cuối cùng bên phải hướng lên trên suy ra



0

a

.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm



1

x

  

1 0

d

.

Hàm số có 2 điểm cực trị

 

1

1 0

x ,

 

2

3 0

x

  

1 2

0

x x

  

2

0

3

b

a

 

0

b

.



1 2

0

x x

 

0

3

c

a

 

0

c

. Vậy



0

a

,



0

b

,



0

c

,



0

d

.

Câu 11: Chọn C

Do đồ thị hàm số có ba điểm cực trị và







 

lim

x

f x

  

0, 0

a b

.

Mặt khác điểm cực đại của đồ thị hàm số có tung độ dương

 

0

c

.

Câu 12: Chọn A

Đồ thị hàm số có



1

x

là tiệm cận đứng nên

 

1

c

.

Đồ thị hàm số có

 1y

là tiệm cận ngang nên

 1a

.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

2

nên

 2

b

c

do đó

 2b

.

Vậy

  3 2T a b c

 

      1 3.2 2 1 9

.

Câu 13: Chọn C

Theo bài ra

 

      



3 2

( ) , , , , 0y f x ax bx cx d a b c d a

do đó

 



y f x

là hàm bậc hai có

dạng

 

   

   

2

y f x a x b x c

.

Dựa vào đồ thị ta có:



 



  

  





  

  



1

4

c

a b c



 





 











3

0

1

a

b

c

 



   

2

3 1y f x x

.

Gọi

S

là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường

 



y f x

, trục

Ox

,

 4,x

 2x

.

Ta có

 

  



4

2

3 1 dx 58S x

. Lại có:

       



   



4

2

dx 4 2S f x f x f f

.

Do đó:

   

  4 2 58H f f

.

Câu 14: Chọn C

Gọi hàm số của các đồ thị

1 2 3

( );( );( )C C C

tương ứng là

     

1 2 3

, ,f x f x f x

.

Ta thấy đồ thị

 

3

C

có các điểm cực trị có hoành độ là nghiệm của phương trình

 



1

0f x

nên

hàm số

 



1

y f x

là đạo hàm của hàm số

 



3

y f x

.

Đồ thị

 

1

C

có các điểm cực trị có hoành độ là nghiệm của phương trình

 



2

0f x

nên hàm số

 



1

y f x

là đạo hàm của hàm số

 



2

y f x

.

Vậy, đồ thị các hàm số

 ( )y f x

,



 ( )y f x

và



 ( )y f x

theo thứ tự, lần lượt tương ứng với

đường cong

3 1 2

( );( );( )C C C

.

Câu 15: Chọn D

Vì



 0y

có ba nghiệm phân biệt nên hàm số hàm số

 

y f x

có ba điểm cực trị. Do đó loại

hai phương án A và D.

Vì trên

 

; 2

thì

 



f x

có thể nhận cả dầu âm và dương nên loại phương án C.

Vì trên

 

1; 3

thì

 



f x

chỉ mang dấu dương nên

 

y f x

đồng biến trên khoảng

 

1; 3

.

Câu 16: Chọn A

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại

 0x

.

Câu 17: Chọn B

Từ đồ thị, ta có tập xác định hàm số





D

nên loại phương án B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm

 

1; 0

nên loại phương án C, D.

Câu 18: Chọn C

Sử dụng cách suy đồ thị của hàm số







y f x

từ đồ thị





f x

.

Câu 19: Chọn B

Ta có .

Câu 20: Chọn A

Từ đồ thị của hàm số







y f x

ta có phương trình







f x m

có

6

nghiệm thực phân biệt khi

và chỉ khi

 

0 2

m

.

Câu 21: Chọn A

Hàm số giảm trên







;2

và







2;

nên



  

0, 2

y x

.

Câu 22: Chọn A

Từ đồ thị hàm số







y f x

ta suy ra được đồ thị hàm số







y f x

như hình bên dưới.

Dựa và đồ thị suy ra để phương trình







f x m

có

6

nghiệm phân biệt thì

 

3 4

m

.

Câu 23: Chọn D

Gọi

   

( ; ) ( ) ( ; ) ( )

M x y f x N x y C

, ta có

  

 

  

2 2

1 1

x x

y

x x

.

Câu 24: Chọn A

Trong khoảng







0; thì





2

C

nằm trên trục hoành và





3

C

“đi lên”.

Trong khoảng







;0

thì





2

C

nằm dưới trục hoành và





3

C

“đi xuống”.

Đồ thị





1

C

nằm hoàn toàn trên trục hoành và





2

C

“đi lên”.

Hoặc:

ln , 1

ln

ln , 1

x x

y x

x x





 



 



x

y

2

1

-2

-1 2

O

1

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị





2

C

cắt trục

Ox

tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị hàm số





3

.

C

Đồ thị





2

C

đồng biến trên



mà đồ thị





1

C

lại nằm hoàn toàn trên trục hoành.

Câu 25: Chọn D

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị





2

C

cắt trục

Ox

tại 3 điểm là 3 điểm cực trị của của đồ thị hàm số





1

.

C

Đồ thị





3

C

cắt trục

Ox

tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số





2

.

C

Câu 26: Chọn D

Từ đồ thị hàm số ta thấy cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương (và điểm

có hoành độ âm)

có điểm cực trị dương

có điểm cực trị

có điểm cực trị với mọi (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh

hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn D

Chú ý: Đồ thị hàm số có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.

Đồ thị hàm số có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

Câu 27: Chọn B

Từ đồ thị ta có Suy ra bảng biến thiên của

Yêu cầu bài toán hàm số có điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua

ta được đồ thị hàm số có đúng điểm cực trị).

Từ bảng biến thiên của suy ra luôn có điểm cực trị dương tịnh tiến

(sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn

Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn đơn vị

Tịnh tiến sang phải không vượt quá đơn vị

Suy ra

Câu 28: Chọn B

Vì hàm đã cho có điểm cực trị nên cũng luôn có điểm cực trị (do

phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị với trục hoành là

Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là ta cần

Tịnh tiến đồ thị xuống dưới tối thiểu đơn vị vô lý

Hoặc tịnh tiến đồ thị lên trên tối thiểu đơn vị nhưng phải nhỏ hơn đơn vị





f x







f x



2

1





f x



2





f x



5





f x m

 

5

m





f x m







f x m







f x



 

2

0 1 .

2

x

f x x

x



 





  











f x







f x m



2

Oy





f x m



5





,

f x





f x m



2







f x

1

1.

m

 

2

2.

m

 





2 1 2; 1;0 .

m

m m



      







f x

3





2

2018

 

f x m

3







2

2018

 

f x m

2.





2

2018

 

f x m

2,





f x

2

2 :

  

m





f x

2

6

 

2

2 6

2 6 2;2 .

6 2





 



      



   





m

m

m m

m

Câu 29: Chọn C

Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới

tịnh tiến. Lấy đối xứng trước ta được đồ thị hàm số như hình bên dưới

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy có điểm cực trị cũng luôn có điểm cực

trị (vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). Chọn C

Câu 30: Chọn A

Nhận xét: Hàm là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục là

một điểm cực trị của hàm số.

Ta có với

Để hàm số có điểm cực trị có nghiệm phân biệt khác

Cách 2.

Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

Để hàm số có điểm cực trị hàm số có điểm cực trị dương. Do đó ta

phải tịnh tiến điểm cực đại của đồ thị hàm số qua phía bên phải trục tung nghĩa là tịnh tiến

đồ thị hàm số sang phải lớn hơn đơn vị

Câu 31: Chọn B

Xét

Ta tính được

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số có điểm cực trị.





f x m







f x





f x





f x

3





f x m

 

3









g x f x m

 

Oy

0

x

 

 

.

x

g x f x m

x

 

 

0.

x



 

theo do thi

1 1

0 0 .

1 1

f x

x m x m

g x f x m

x m x m

 

   

 

 

      

 

     

 

 





*





g x

5







*

4

0

1 0

1 0 1.

1 1

m

m m



 



     





   









f x m







f x





f x m



5







f x m



2





f x





f x

1

1.

m

 

























2

2 1 .

g x f x f x m g x f x f x

 

 

     

 

 





theo do thi

1

0

0 3 .

2 1

0

f x

x

f x

g x x

f x

x a a

















   



 





 





     

 

2

1 1 1

3 .

1

2

g f f m m

g m

g a m





   









 









g x





g x

3

Suy ra đồ thị hàm số có điểm cực trị khi và chỉ

khi đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục (kể cả tiếp xúc)

Chọn B

Câu 32: Chọn C

Đồ thị có tiệm cận đứng , tiệm cận ngang . Hàm số đồng biến

trên các khoảng xác định.

Suy ra

đúng.

Câu 33: Chọn B

Theo bảng biến thiên ta có

 

  



       



5

lim lim lim 2 2

x x x

a

ax a

x

f x a b

c

bx c b

b

x





1

.

Theo bảng biến thiên, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

 

2

x

nên suy ra

    

2 2

c

c b

b





2

.

Mặt khác hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên

 





 



2

5

0

ac b

y

bx c

hay

 

5 0

ac b





3

.

Thay





1

,





2

vào





3

ta có:

     

2

5

4 5 0 0

4

b b b . Từ đó ta có



0

c

,



0

a

.

Câu 34: Chọn B

Đồ thị hàm số







1

ax b

y

cx

có các tính chất:

Đường tiệm cận ngang là

    

1

a a

y a c

c c

Đường tiệm cận đứng là

    

1 1

x c

c c

Cắt trục tung tại điểm có tung độ

      

0 0

y b b b

Vậy có



, 0

a c

và



0

b

tức là trong các số

, ,

a b c

có hai giá trị dương.

       

2

1 1

2 4

h x f x f x m f x m

 

 

      

 

 

3





g x

Ox

1

.

4

m 

1

ax

y

bx c







2

x



1

y



1

ax

y

bx c







 

2

2 0

lim

lim 1 1 2

2 0

0

0,

x

b c

y

a b

a

y c b

b

b b

ac b b

ac b

y x

c

bx c











 



 







  

     

  

  

  





 

 





   







1 1

0 0

2 2

0

2

2 0

1

0

1

2

b b

a b

a b a b

c b

c b a b c

b

c



      







   

   

 

 

     

 

  

















2 , 3



 Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

 Phương pháp: Cho 2 hàm số

   

 ,y f x y g x

có đồ thị lần lượt là

 

C

và

 



C

.

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của

 

C

và

 



C

:

     

 *f x g x

 Giải phương trình tìm

x

từ đó suy ra

y

và tọa độ giao điểm.

 Số nghiệm của (*) là số giao điểm của

 

C

và

 



C

.

 Tương giao của đồ thị hàm bậc 3

 Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị)

 Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng

 

, 0F x m

(phương trình ẩn

x

tham số

m

)

 Cô lập

m

đưa phương trình về dạng

 

m f x

 Lập bảng biến thiên cho hàm số

 

y f x

.

 Dựa và giả thiết và bảng biến thiên từ đó suy ra

m

.

 Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên khi

m

độc lập với

x

.

 Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

 Lập phương trình hoành độ giao điểm

 

, 0F x m

 Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử



0

x x

là 1 nghiệm của phương trình.

 Phân tích:

     

 

 

    









0

, 0 . 0

0

x x

F x m x x g x

g x

(là

 

 0g x

là phương trình bậc

hai ẩn

x

tham số

m

).

 Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc hai

 

 0g x

.

 Phương pháp 3: Cực trị

 Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm.

 Quy tắc:

 Lập phương trình hoành độ giao điểm

   

, 0 1F x m

. Xét hàm số

 

 ,y F x m

 Để

 

1

có đúng 1 nghiệm thì đồ thị

 

 ,y F x m

cắt trục hoành tại đúng

1

điểm.

 Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên





hàm số không có cực trị

 ' 0y

hoặc vô nghiệm

hoặc có nghiệm kép

  

'

0

y

 Hoặc hàm số có cực đại, cực tiểu và

. 0

cd ct

y y

(tham khảo hình vẽ)

LÍ THUY

ẾT

 Để





1

có đúng

3

nghiệm thì đồ thị





 ,y F x m

cắt trục hoành tại

3

điểm phân biệt



Hàm số có cực đại, cực tiểu và

. 0

cd ct

y y

(tham khảo hình vẽ).

 Để

 

1

có đúng

2

nghiệm thì đồ thị

 

 ,y F x m

cắt trục hoành tại

2

điểm phân biệt



Hàm số có cực đại, cực tiểu và

. 0

cd ct

y y

(tham khảo hình vẽ)

 Tương giao của hàm số phân thức

 Cho hàm số

 







ax b

y C

cx d

và đường thẳng

 :d y px q

. Phương trình hoành độ giao điểm

của

 

C

và

 

d

:

 



   



, 0

ax b

px q F x m

cx d

(phương trình bậc 2 ẩn

x

tham số

m

).

 Các câu hỏi thường gặp:

 Tìm

m

để

d

cắt

 

C

tại

2

điểm phân biệt

 

 1

có 2 nghiệm phân biệt khác



d

c

.

 Tìm

m

để

d

cắt

 

C

tại

2

điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C)

 

 1

có 2

nghiệm phân biệt

1 2

,x x

và thỏa mãn

  

1 2

:

d

x x

c

.

 Tìm

m

để

d

cắt

 

C

tại

2

điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của

 

C

 

 1

có 2

nghiệm phân biệt

1 2

,x x

và thỏa mãn

  

1 2

d

x x

c

.

 Tìm

m

để

d

cắt

 

C

tại

2

điểm phân biệt thuộc hai nhánh của

 

C

 

 1

có 2 nghiệm

phân biệt

1 2

,x x

và thỏa mãn

  

1 2

d

x x

c

.

 Tìm

m

để

d

cắt

 

C

tại

2

điểm phân biệt

A

và

B

thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:

 Đoạn thẳng

AB kS

 Tam giác

ABC

vuông.

 Tam giác

ABC

có diện tích

0

S

 Quy tắc:

 Tìm điều kiện tồn tại A, B



(1) có 2 nghiệm phân biệt.

 Xác định tọa độ của A và B (chú ý Vi ét)

 Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m. Từ đó suy ra m.

 Chú ý: Công thức khoảng cách:



     

 

   

2

; , ; :

B

A A B B B A A

A x y B x y AB x x y y







 



 



  



   







0 0

2 2

0 0

;

,

: 0

Ax By C

M x y

d M

Ax By C

A B

 Tương giao của hàm số bậc 4

 Nghiệm của phương trình bậc bốn trùng phương:





  

4 2

0 1

ax bx c

 Nhẩm nghiệm:

 Nhẩm nghiệm: Giả sử



0

x x

là một nghiệm của phương trình.

 Khi đó ta phân tích:

 

  

   









0

2 2

0

, 0

0

x x

f x m x x g x

g x

 Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc hai







0

g x

 Ẩn phụ - tam thức bậc 2:

 Đặt





 

2

, 0

t x t

. Phương trình:

  

2

0

at bt c





2

.

 Để





1

có đúng

1

nghiệm thì





2

có nghiệm

1 2

,

t t

thỏa mãn:



 



 



1 2

0

t t

 Để





1

có đúng

2

nghiệm thì





2

có nghiệm

1 2

,

t t

thỏa mãn:



 



 



1 2

0

t t

 Để





1

có đúng

3

nghiệm thì





2

có nghiệm

1 2

,

t t

thỏa mãn:

 

1 2

0

t t



Để





1

có đúng

4

nghiệm thì





2

có nghiệm

1 2

,

t t

thỏa mãn:

 

1 2

0

t t

 Bài toán: tìm

m

để









  

4 2

: 1

C y ax bx c

cắt

Ox

tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp

số cộng.

 Đặt





 

2

, 0

t x t . Phương trình:

  

2

0

at bt c

(2).

 Để





1

cắt

Ox

tại 4 điểm phân biệt thì





2

phải có 2 nghiệm dương







1 2 1 2

,

t t t t

thỏa mãn



2 1

9

t t

.

 Kết hợp 

2 1

9

t t

vơi định lý vi – ét tìm được m.

Lời giải

Chọn D

Ta có

 

1

y m





d

và

  

4 2

3 2

y x x





C

.

Xét phương trình tương giao:

   

4 2

3 2 1

x x m





    

4 2

3 3 0

x x m

.





1

Đặt

 

2

0,

t x phương trình





1

trở thành:





   

2

3 3 0

t t m .





2

Phương trình





2

có tích

   

. 3 0

a c m

khi

m

là số thực dương.

Suy ra phương trình





2

luôn có hai nghiệm trái dấu

 

1 2

0 .

t t

Từ đó suy ra phương trình





1

có hai nghiệm đối nhau   

1 2 2 2

,

x t x t

đồng thời





d

và





C

cắt nhau tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua

Oy

là









  

2 2

; 1 , , 1 .

M t m N t m

Mặt khác tam giác

OMN

vuông tại

O

thì



 

. 0

OM ON

 

  

2

1

t m

.

Thay

 

 

2

1

t m

vào phương trình





2

ta được:

     

     

4 2

1 3 1 3 0

m m m

     

       

4 2

1 3 1 1 2 0

m m m

.

Đặt

  

1 1

a m

ta được phương trình

   

4 2

3 2 0

a a a









     

3 2

2 2 1 0

a a a a

 

2

a

(do



1

a

nên

   

3 2

2 1 0

a a a

).

Từ đó ta được

 

1 2

m

 

1

m

(thỏa mãn



0

m

). Vậy



1.

m

Lời giải

Chọn D

VÍ DỤ 1: Gọi

m

là số thực dương sao cho đường thẳng

 

1

y m

cắt đồ thị hàm số

  

4 2

3 2

y x x tại

hai điểm phân biệt

,

M N

thỏa mãn tam giác

OMN

vuông tại

O

(

O

là gốc tọa độ). Kết luận nào sau

đây là đúng?

A.

 



 

 

11 15

;

4 4

m . B.

 



 

 

1 3

;

2 4

m . C.

 



 

 

7 9

;

4 4

m . D.

 



 

 

3 5

;

4 4

m .

VÍ D

Ụ

2

:

Cho hàm số



( )

y f x

xác định trên



\{1}

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như hình vẽ sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m

sao cho phương trình





 

1

f x m

có đúng

ba nghiệm thực phân biệt.

A.







4; 2

. B.



 



;2

. C.







4; 2

. D.







3;3

.

VÍ DỤ MINH HỌA

Phương trình









    

1 1

f x m f x m có đúng ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị

hàm số







y f x

và đường thẳng

 

1

y m

cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số







y f x

ta được

       

4 1 2 3 3.

m m

Vậy





 

3; 3 .

m

Lời giải

Chọn C

Phương trình hoàn độ giao điểm của

   

3 2

3 1

y x x mx

và



1

y

là:

 

 

        



  





3 2 2

2

0

3 1 1 6 0

6 0 *

x

x x mx x x x m

x x m

Để đồ thị hàm số







y f x

cắt đồ thị hàm số



1

y

tại ba điểm phân biệt





0;1 ,

A





1 1

; ,

B x y





2 2

;

C x y

thì phương trình





*

có hai nghiệm phân biệt khác

0.

 



 

 

   









0

9

9 4 0

4

m

. Theo hệ thức Viet ta có



  







1 2

3

.

x x

x x m

Để tiếp tuyến của đồ thị hàm số







y f x

tại

,

B

C

vuông góc với nhau thì

















 

        

2 2

1 2 1 1 2 2

. 1 3 6 . 3 6 1

f x f x x x m x x m













          

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

9 18 3 6 36 1 0

x x x x x x m x x m x x x x m









 



        











2

9 65

9 65 9 65 9

8

4 9 1 0 .

8 8 4

9 65

8

m

m m S

m

Lời giải

VÍ DỤ 3: Cho hàm số





   

3 2

3 1.

f x x x mx

Gọi

S

là tổng tất cả giá trị của tham số

m

để đồ thị

hàm số







y f x

cắt đường thẳng



1

y

tại ba điểm phân biệt





0;1 ,

A

,

B

C

sao cho các tiếp tuyến của

đồ thị hàm số







y f x

tại

,

B

C

vuông góc với nhau. Gía trị của

S

bằng

A.

9

.

2

B.

9

.

5

C.

9

.

4

D.

11

.

5

VÍ DỤ 4: Cho hàm số

 





1

x

y C

x

và điểm







1;1 .

A Tìm

m

để đường thẳng

  

: 1

d y mx m

cắt





C

tại hai điểm phân biệt

,

M N

sao cho 

2 2

AM AN

đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

 

1

m

. B.



0

m

. C.

 

2

m

. D.

 

2

3

m .

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của





C

và

d

là:

  



1

x

mx m

x

(đk:



1

x

)









                

2 2

1 1 1 2 1 0 (*)

x x mx m x mx m mx mx x mx mx m

Để





C

và

d

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

,

M N

thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác

1

 

 



       





   



2

0

' 1 0

2 1 0

m

m m m m

m m m

 

0

m

Giả sử









1 1 2 2

; , ;

M x y N x y

. Theo hệ thức viét :



  

1 2 1 2

1

2;

m

x x x x

m





          

1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

y y m x x m m m

và

       

          

2

1 2 1 2 1 2 1 2

. 1 1 1 1

y y mx m mx m m x x m m x x m

   

       

2

( 1) 2 1 1 1

m m m m m m

Ta có:

       

        

2 2 2 2

2 2

1 1 2 2

1 1 1 1

AM AN x y x y

         

           

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 1 1 2 2 1 1

x x x x y y y y

       





             

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 1 2 2 1

x x x x x x y y y y y y

     

 

  

            

 

 

2 2

1

2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1

m

    

             

 

 



   

1 1 1

18 2 2 18 2 2. 2 16 2. ( ) 16 2.2 20

m

m m m

(BĐT Cauchy)

Suy ra: 

2 2

AM AN

đạt giá trị nhỏ nhất là

20

khi





    



 





2

1

m

m m

m

Vậy

 

1

m

(vì



0

m

)

Lời giải

Chọn B

Vì đường thẳng

d

cắt đồ thị hàm số

( )

C

tại 3 điểm phân biệt nên đường thẳng

d

là đường thẳng

có hệ số góc dạng

 

y ax b

.

Phương trình hoành độ giao điểm của

d

và

( )

C

là:

  

4 2

2

x x ax b

.

Mà phương trình là phương trình bậc 4 nên phương trình muốn có 3 nghiệm phân biệt thì trong

đó sẽ có 1 nghiệm kép gọi là

1

x

, hai nghiệm còn lại là

2 3

,

x x

.

Suy ra đường thẳng

d

là tiếp tuyến của đồ thị

( )

C

, không mất tính tổng quát giả sử đường thẳng

d

tiếp xúc với đồ thị hàm số

( )

C

tại

1

x

.

VÍ DỤ 5: Cho hàm số

 

4 2

2

y x x

có đồ thị

( )

C

, có bao nhiêu đường thẳng

d

có đúng 3 điểm chung với

đồ thị

( )

C

và các điểm chung có hoành độ

1 2 3

, ,

x x x

thỏa mãn

   

3 3 3

1 2 3

1

x x x .

A.

0

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Gọi

d

là tiếp tuyến của

( )C

tại điểm có hoành độ

1

x

,

d

cắt

( )C

tại 2 điểm phân biệt có hoành độ



2 3 1

, ( )x x x

thỏa mãn

   

3 3 3

1 2 3

1x x x

. Ta có:

    

3 4 2

1 1 1 1 1

: (4 4 )( ) 2d y x x x x x x

.

Phương trình hoành độ giao điểm của

d

và

( )C

là:

     

4 2 3 4 2

1 1 1 1 1

2 (4 4 )( ) 2 (1)x x x x x x x x

Yêu cầu bài toán

 (1)

có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn

   

3 3 3

1 2 3

1x x x

.

 



      



    





1

2 2 2

1 1 1

2 2

1 1

(1) ( ) ( 2 3 2) 0

( ) 2 3 2 0

x x

x x x x x x

f x x x x x

Để phương trình

(1)

có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn

   

3 3 3

1 2 3

1x x x

thì phương trình

( ) 0f x

phải có 2 nghiệm phân biệt

2 3

,x x

khác

1

x

và thỏa mãn định lí Vi – ét:

   





 





2 3 1

2

2 3 1

2

. 3 2

x x x

Ta có:



    



   





     



2 2

1 1

2 2 2

1 1 1

3 3

1 2 3 2 3 2 3

' 3 2 0

2 3 2 0

( ) 3 ( ) 1

x x

x x x

x x x x x x x



  



 





      



1

2

1

3 3 2

1 1 1 1

1 1

3 1 0

( 2 ) 3(3 2).( 2 ) 1

x

x x x x

 

 

1

11 165

22

x

. Vậy có đúng 1 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Chọn D

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm bậc ba đã cho là

 

     

3 2

3 1 6 4x x x m x



 

    

3 2

3 3 0x x m x

 

1

.

Giả sử

1

x

,

2

x

,

3

x

là ba nghiệm phân biệt của phương trình

 

1

.

Theo hệ thức viet đối với phương trình bậc ba ta có :

    



   





 



1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

1

3

x x x

x x x x x x m

x x x

.

Nhận thấy tung độ của ba giao điểm thỏa mãn phương trình

 

  6 4y m x

nên ta có được

 

  

1 1

4 6y m x

,

 

  

2 2

4 6y m x

và

 

  

3 3

4 6y m x

.

Khi đó

  

  

1 2 3

1 1 1 2

4 4 4 3y y y



     

  

  

1 2 3

1 1 1 2

3

6 6 6m x m x m x



 





1 2 2 3 3 1

1 2 3

1 2

.

6 3

x x x x x x

m x x x







 

1 3 2

.

6 3 3

m



 9m

.

VÍ DỤ 6: Có bao nhiêu số thực của tham số

m

để đường thẳng





  6 4y m x

cắt đồ thị hàm số

   

3 2

3 1y x x x

tại ba điểm phân biệt có tung độ

1

y

,

2

y

,

3

y

thỏa mãn

  

  

1 2 3

1 1 1 2

4 4 4 3y y y

.

A.

2

.

B.

0

.

C.

3

.

D.

1

.

Thử lại với

 9m

suy ra phương trình hoành độ giao điểm

   

3 2

6 3 0x x x

có ba nghiệm

phân biệt thỏa mãn giả thiết cho (Dùng casio để kiểm tra) . Vậy có một số thực

m

thỏa mãn .

Lời giải

Chọn D

Do đường thẳng cắt đồ thị hàm số

 

4 2

2y x x

tại điểm có hoành độ là

0

nên phương trình

đường thẳng có dạng

y ax

.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng

y ax

với đồ thị hàm số

 

4 2

2y x x

là :

 

4 2

2x x a x    

4 2

2 0x x a x

 

   

3

2 0x x x a

.

Do phương trình có bốn nghiệm là

0

,

1

,

m

,

n

nên ta có :

 

   

     

3

2 1x x x a x x x m x n

 

       

3 2

2x x a x mx x m x n

          

3 3 2 2 2

2x x a x nx mx mnx x nx mx mn

   

           

3 3 2

2 1x x a x n m x m n mn x mn

 

   



  



            

 

 





  



2

2 2

1 0

1

2 2 3

1

m n

m n mn S m n m n mn

mn

mn a

.

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

     

2

2 2

3 8 2 0x x m x x m

   

 

       

 

 

2

2 2 2

3 2 8 2 0x x m x x x m

    

        

2 2 2

4 2 2 4 0x x m x x m x x m

  

      

2 2

4 2 2 0x x m x x m

 



  





   





2

4 0 1

2 2 0 2

x x m

.

Yêu cầu bài toán



mỗi phương trình

 

1

và

 

2

có

2

nghiệm phân biệt không trùng nhau.

Phương trình

 

1

và

 

2

có

2

nghiệm phân biệt

VÍ DỤ 7: Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số

 

4 2

2y x x

tại bốn điểm phân biệt có hoành độ là

0

,

1

,

m

và

n

. Tính

 

2 2

S m n

.

A.



0

S

.

B.



1

S

.

C.



2

S

.

D.



3

S

.

VÍ DỤ 7: Cho phương trình





     

2

2 2

3 8 2 0x x m x x m

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

 

 

20; 20

để phương trình đã cho có

4

nghiệm phân biệt?

A.

19

.

B

.

18

.

C

.

17

.

D

.

20

.





     

     

  



      

 

1

2

0 4 0 4

1

0 1 2 0 1

m m

m

m m

.

Giả sử phương trình





1

và





2

có nghiệm

0

x

trùng nhau



Hệ sau có nghiệm





 



  







   





2

4 0 1

2 2 0 2

x x m





       

2 2

0 0 0 0

4 2 2 0

x x m x x m

  

0

1

x .

Với

 

0

1

x thay vào





1

ta được

 

5

m

.



Với

 

5

m

phương trình





1

và





2

không có nghiệm trùng nhau.

Kết hợp

m

là số nguyên thuộc đoạn

 

 

20; 20









   



20; 1 \ 5

m

.

Vậy có

18

số nguyên

m

thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 1: Cho hàm số bậc ba

( )y f x

có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân

biệt của phương trình





2 2

1

4 1

2021

f x x   

là

A.

24

. B.

14

. C.

12

. D.

10

.

Câu 2: Cho hai hàm số

 

2

3

x

u x

x







và

 

f x

, trong đó đồ thị hàm số

 

y f x

như hình vẽ bên.

Hỏi có bao nhiêu số nguyên

m

để phương trình

 

f u x m

có đúng

3

nghiệm phân biệt?

A.

1

. B.

4

. C.

3

. D.

2

.

Câu 3: Cho hàm số

( )y f x

có đạo hàm cấp hai trên

R

và có đồ thị

'( )y f x

là đường cong trong

hình vẽ bên.

Đặt

( ) ( '( ) 1)g x f f x 

. Gọi

S

là tập nghiệm của phương trình

'( ) 0g x 

. Số phần tử của tập

S

là

A.

8

B.

6

C.

10

D.

9

Câu 4: Cho hàm số

( )f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

2

3sin cos 1

2 ( 2) 4

2cos sin 4

x x

f f m

x x

   

   

 

 

 

có nghiệm?

A.

3

. B.

5

. C.

4

. D.

2

.

Câu 5: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Gọi

 

1

C

và

 

2

C

lần

lượt là đồ thị của hai hàm số

     

2

.y f x f x f x

 

   

 

và 2021

x

y  .Số giao điểm của

 

1

C

và

 

2

C

là

A.

1

B.

0

C.

2

D.

4

Câu 6: Biết hàm số

 

3 2

f x ax bx cx d   

đạt cực trị tại

1x 

và

2021x 

. Có bao nhiêu số nguyên

m

để phương trình

   

f x f m

có ba nghiệm phân biệt?

A.

4037

. B.

2019

. C.

4001

. D.

2021

.

Câu 7: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



có đồ thị hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

4 2 cosf f x m 

có nghiệm

0;

2

x



 



 

 

A.

4

. B.

5

. C.

3

. D.

2

.

Câu 8: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu số nguyên

m

để phương trình

 

3

1

2 6 2 5

2

f x x m   

có 6 nghiệm phân biệt

thuộc đoạn

 

1;2

?

A.

4

. B.

3

. C.

2

. D.

1

.

Câu 9: Cho hàm số

 

y f x



liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình

 

2f f x



là

A.

4

. B.

5

. C.

9

. D.

7

.

Câu 10: Cho hàm số

 

2

y f x ax bx c   

có đồ thị

 

C

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

2

2 3 0f x m f x m    

có 6 nghiệm phân biệt?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Câu 11: Biết đồ thị hàm số bậc bốn

 

y f x

được cho bởi hình vẽ bên dưới. Tìm số giao điểm của đồ

thị hàm số

       

2

.y g x f x f x f x

 

   

 

và trục hoành:

A.

4

. B.

0

. C.

6

. D.

2

.

Câu 12: Cho hàm số

2

( ) 1

f x x x

  

. Số giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

1 4 1

( ) 0

1 4 1

x m

xf x

f x m

  

 

   

có hai nghiệm phân biệt là

A.

2

. B.

3

. C.

6

. D.

4

.

Câu 13: Cho hàm số













3 3 2 2 3

1 3 3 2 2 2

f x m x mx m m x m m

        với

m

là tham số. Có bao

nhiêu số nguyên





2020;2021

m 

sao cho





0

f x



với mọi





2020;2021

x 

?

A.

2023

. B.

2022

. C.

2021

. D.

2020

.

Câu 14: Cho hàm số





3 2

2 3 1

y f x x x

   

. Tập hợp các giá trị

m

để phương trình

 

2sin 1

2

x

f f f m

  

 



 

 

có nghiệm là đoạn





;

a b

. Khi đó giá trị

2

4 8

a b



thuộc khoảng nào

sau đây?

A.

23

7;

2

 

 

 

. B.





2;5



. C.

43 39

;

3 2

 

 

 

. D.

37 65

;

3 4

 

 

 

.

Câu 15: Cho hàm số

 

2

5 2

2 1

x x

f x

x

 





. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

để bất

phương trình





2 2

2021 3 18 28 3 18 28 4042

f x x m x x m      

nghiệm đúng với

mọi

x

thuộc đoạn





2;4

.

A.

673

. B.

808

. C.

135

. D.

898

.

Câu 16: Cho hàm số

( )

y f x



liên tục trên



và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình





4 2

3 4 2

2 1 0

x x

f

 

 

là

A.

2

. B.

3

. C.

6

. D.

5

.

Câu 17: Cho hàm số

 

f x

có đồ thị như bên dưới

Số nghiệm phương trình

 

2 1 6 3 1f x x   

là

A.

3

. B.

4

. C.

6

. D.

5

.

Câu 18: Cho hàm số

 

3

1

8,

2

f x x mx m x    



với

m

là một hằng số khác

0

. Biết rằng phương

trình

 

0f x 

có đúng hai nghiệm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của

k

thỏa mãn

phương trình

 

f x k

có 3 nghiệm phân biệt ?

A.

3

. B.

34

. C.

6

. D.

34

.

Câu 19: Cho hàm đa thức

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ.

Đặt

 

2

g x f x

. Số nghiệm của phương trình

   

. 2 1 0g x g x   

 

là

A. 11. B. 10. C. 13. D. 12.

Câu 20: Hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình

 

2

2 3 2 5f x    có bao nhiêu nghiệm?

A.

3

. B.

5

. C.

6

. D.

4

.

Câu 21: Cho hai hàm

 

y f x

và

 

y g x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ. Khi đó tổng số

nghiệm của phương trình

 

0f g x 

và

 

0g f x 

là

A.

25

. B.

22

. C.

21

. D.

26

.

Câu 22: Cho

 

f x

là hàm số bậc ba. Hàm số

 



f x

có đồ thị như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để phương trình

 

1 0   

x

f e x m

có hai nghiệm

thực phân biệt.

A.

 

2m f

. B.

 

2 1 m f

. C.

 

1 ln 2 m f

. D.

 

1 ln 2 m f

.

Câu 23: Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

 

3

1 0f x f x  

là

A.

6

. B.

8

. C.

5

. D.

4

.

Câu 24: Cho hàm số

 

4 3 2

y f x ax bx cx dx e     

với

( , , , , )a b c d e 



. Biết hàm số

 

y f x





có

đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

trên

 

5;5

để phương trình

 

2

2f x x m e   

có bốn

nghiệm phân biệt.

A.

0

. B.

2

. C.

5

. D.

7

.

Câu 25: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số

m

để phương trình

 

4 2 cosf f x m 

có nghiệm

0;

2

x



 







 

.

A.

4

. B.

3

. C.

2

. D.

5

.

Câu 26: Cho hàm số

 

3

2

m

f x x x  

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

f f x x

có nghiệm thuộc đoạn

 

1;2

.

A.

3.

B.

4.

C.

0.

D.

2.

Câu 27: Cho hàm số dcxbxaxxfy 

23

)( có đồ thị như hình dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

 

5;5m

để phương trình

 

2

( ) ( 4) ( ) 2 4 0 *f x m f x m    

có

6

nghiệm phân biệt

A.

2

. B.

4

. C.

3

. D.

5

.

Câu 28: Cho hàm số





y f x



có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình









2

2 0

f x f x

 

là

A.

8

. B.

12

. C.

6

. D.

9

.

Câu 1: Chọn D





2 2

( ) 4 1

y g x f x x

    

với

1

( )

2021

g x 

Ta đặt:

 

2

4 , 2;2

t x x    

thì suy ra





 

2

( ) 3 , 0;2

y g t f t t t     

Suy ra:

2

3, 0; 3

( ) 3

3, 3;2

t t t

h t t t

t t t



 

  

  

   



 

   



 



.

Từ đó ta có BBT của hàm số

( )

h t

như hình vẽ bên:

Đặt

2

3

u t t

  

thì ta cũng có BBT của

u

như sau:

Nhìn vào đồ thị

( )

y f x



trên ta có được:

3 2

( ) , 0

2

0

3

(1) (2) 0, "(1) 0

f x ax bx cx a

a

f f f



   

   



  



Như vậy ta suy ra

  

2

( ) 1 2

3

f x x x x

  

. Mà hàm số đó có cực trị bằng

4 3

9



tại

0

x x



nên

suy ra

 

0 0

4 3 3 3

9 3

f x x

 

  

Như vậy:

 

3 3 4 3

(3) 4, 3 0,2,

3 9

f f f

 

 

   

 

 

2

0

3

1

0 0

3

13 3

202

t t

2

3

t t

2

3

t

x

Từ đó, ta phác họa được đồ thị

 

y f u

với

2

3u t t   như sau:

Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình

1

( )

2021

g x 

có tất cả 10 nghiệm phân biệt.

Câu 2: Chọn C

Đặt

 

2

3

x

t u x

x



 



;

 

2

2 2

3

3 3

3

'

3

3 3

x x

x

u x

x

x x



 





 



 

;

 

' 0 1u x x  

.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

  



1;2u x  

.

Phương trình

 

f u x m

trở thành

 

f t m

,





1;2t  

.

Dựa vào đồ thị đã cho ta có:

Khi

2m 

: phương trình

 

0

2

t

f t

t





  







phương trình

 

f u x m

có

2

nghiệm phân

biệt.

Khi

1m 

: phương trình

 

1f t 

có

3

nghiệm

     

1 2 3

1;0 , 0;1 , 1;2t t t    

phương

trình

 

f u x m

có

4

nghiệm phân biệt.

Khi

 

0; 1; 2m   

: phương trình

 

f t m

có

2

nghiệm

   

1 2

0;1 , 1;2t t  

phương trình

 

f u x m

có

3

nghiệm phân biệt.

Khi

3m  

: phương trình

 

f t m

có

1

nghiệm

1t  

phương trình

 

f u x m

có

1

nghiệm.

Vậy

 

0; 1; 2m   

.

Câu 3: Chọn C

Ta có:

( ) ( '( ) 1) '( ) "( ). '( '( ) 1)

g x f f x g x f x f f x

    

Phương trình

''( ) 0 ''( ) 0

'( ) 0

'( ) 0 '( ) 1 1 '( ) 0

'( '( ) 1) 0

'( ) 1 2 '( ) 3

f x f x

f x

g x f x f x

f f x

f x f x

 

 





 

       



 

 



 

  

 

Ta có đồ thị

'( )

y f x



có cực trị tại

0

1

2

3

(1;2)

x

x x

















 





0

"(1) 0

2

" 0

3

''( ) 0

f

f x











 

 



 

 







''( ) 0

f x

 

có 3 nghiệm

0

1

;

2

3

x

x x

x



















cùng với

1

x



là nghiệm bội chẵn

Tại phương trình

'( ) 0

f x



ta thấy có 2 nghiệm bội lẻ

1, 2

x x

  

và nghiệm bội chẵn

1

x



Tại phương trình

'( ) 3

f x



ta thấy có 2 nghiệm mà đường thẳng

3

y



cắt đồ thị

( )

y f x



đó là

hai điểm

1

( ; 1)

x x

   

và

2

(2; )

x x

  

Vậy từ đó ta thấy phương trình

'( ) 0

g x



tổng cộng có tất cả 10 nghiệm.

Câu 4: Chọn B

Ta có:

1 sin 1, 1 cos 1

x x

     

nên suy ra

2cos sin 4 0,x x x

    



.

Đặt

3sin cos 1

(2cos sin 4) 3sin cos 1

2cos sin 4

x x

t t x x x x

x x

 

      

 

(2 1)cos ( 3)sin (4 1)

t x t x t

      

.

Phương trình trên có nghiệm khi

2 2 2

9

(2 1) ( 3) (4 1) 1 2 2 3

11

t t t t t



           

.

Nhìn vào hình trên ta thấy hàm số

( )

f x

luôn đồng biến trên





2;3

nên phương trình





2

3sin cos 1

2 ( 2) 4

2cos sin 4

x x

f f m

x x

   

   

 

 

 

hay phương trình

 





2

2 ( 2) 4

f t f m

   

có nghiệm khi và chỉ khi phương trình

2

2 ( 2) 4

t m

   

có nghiệm

t

thỏa mãn điều kiện

2 2 3

t

  

2 2

2 ( 2) 4 3 4 1 0 2 5 2 5

m m m m             

.

Mà m





nên có tất cả 5 giá trị

m

thỏa mãn.

Câu 5: Chọn B

Số giao điểm





1

C

và





2

C

là nghiệm của phương trình

       

2

. 2021 *

x

f x f x f x

 

 

 

 

Từ đồ thị ta thấy





f x

cắt trục

Ox

tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là

1 2 3 4

; ; ;

x x x x

nên phương trình





0

f x



có bốn nghiệm phân biệt

1 2 3 4

; ; ;

x x x x





















1 2 3 4

f x a x x x x x x x x

     

Nếu

 

1

2

3

4

0

x x

f x

x x











 











thay vào





*

ta thấy vế trái âm,vế phải dương nên phương trình





*

vô nghiệm

Nếu





0

f x



nên ta có phương trình ta có phương trình





*

tương đương với

2

2 2 2

( ) ( ) ( )

2021 ( ) 2021

[ ( )] [ ( )] ( ) [ ( )]

x x

f x f x f x

f x

f x f x f x f x



 



 

 

 

 

  

 

 

Ta có:

















    

1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4

( )

1 1 1 1

( )

1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1

( ) ( )

( )

f x a x x x x x x x x

x x x x x x x x

f x

f x f x

x x x x x x x x f x x x x x x x x x



    

 

        

 

   

 

 

         

 

       

 

Khi đó:

1 2 3 4

( ) 1 1 1 1

( )

f x

f x x x x x x x x x



 

   

 

   

 

       

2 2 2 2

1 2 3 4

1 1 1 1

0

x x x x x x x x

 

     

 

   

 

Mà

2

2021

0

[ ( )]

x

f x



nên phương trình

2

( ) 2020

( ) [ ( )]

x

f x

f x f x



 



 

 

vô nghiệm,do đó phương trình vô

nghiệm.

Câu 6: Chọn A

Ta có

   

3 2 2

3 2

f x ax bx cx d f x ax bx cx



       

Do hàm số có 2 điểm cực trị là:

1

x



và

2

2021

x 

.

Nên:

1 2

2

2022

3033

3

3 6063

. 2021

3

b

x x

b a

a

c a

x x

a



   



 







 







 





Xét phương trình:









f x f m



3 2 3 2

ax bx cx d am bm cm d

      









 

3 3 2 2

0

a x m b x m c x m

      

   

 

3 3 2 2

3033 6063 0a x m a x m x m      

 

2 2

3033 3033 6063 0x m x mx m x m       

2 2

0

3033 3033 6063 0 (*)

x m

x mx m x m

 







     



Để phương trình

   

f x f m

có 3 nghiệm phân biệt thì pt có 2 nghiệm phân biệt khác

m

.

 

2

2 2

3033 4 3033 6063 0

3033 3033 6063 0

m m m

m m m m m





     









     



 

2 2 2

2 2

6063 3033 4 4.3033 4.6063 0

3033 3033 6063 0

m m m m

m m m m m



     







     





1009 3031

2021; 1

m

m m

  







 



Vậy:

   

1009;3031 \ 1;2021m  

có 4037 giá trị

m

nguyên.

Câu 7: Chọn A

Đặt cost x , với

0;

2

x



 



 

 

 

0;1t 

.

Từ đồ thị suy ra

           

2;0 4 2 0;4 4 2 0;2f t f t u f t        

.

Ta có

 

f u m

với

 

0;2u 

.

Phương trình đã cho có nghiệm

0;

2

x



 



 

 

khi và chỉ khi phương trình

 

f u m

có nghiệm

 

0;2u 

2 2m   

.

Do

m



nên

 

2; 1;0;1m  

.

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số

m

thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 8: Chọn B

Đặt:

 

3

2 6 2g x f x x  

;

 

   

2 3

6 6 . 2 6 2g x x f x x

 

   





0

g x





⇔

 

2

3

6 6 0 (1)

2 6 2 0 (2)

x

f x x



 







  





Giải:

2

6 6 0

x

 

⇔

1

x

 









Giải:





3

2 6 2 0

f x x



  

⇔

3

2 6 2 2

2 6 2 0

2 6 2 3

2 6 2 6

x x



   



  



  



  



⇔





 

2 1;2

1 (nghi m k p)

1,87 1;2

0,34

1,53

1,64 1;2

0,16

1.81

1 (nghi m k p)

2

x



   













   















    



 









 









Ö Ð

Bảng biến thiên của





g x

trên đoạn





1;2



Số nghiệm của phương trình

 

3

1

2 6 2 5

2

f x x m

   

bằng số giao điểm của đồ thị hàm số









3

2 6 2

g x f x x

  

và đường thẳng

1

5

2

y m

 

.

Kẻ đường thẳng

1

5

2

y m

 

trên cùng bảng biến thiên của





g x

. Điều kiện để đường thẳng

1

5

2

y m

 

cắt đồ thị hàm số









3

2 6 2

g x f x x

  

tại 6 điểm phân biệt là:

1

0 5 2

2

m

  

⇔

10 14

m

 

. Vì m





⇒





11;12;13

m

Vậy có 3 số nguyên

m

thỏa mãn ycbt.

Câu 9: Chọn D

Ta có:

 









 





2

f f x







 



 





. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

 













   





; 4

2

3;

f x a a

f f x

f x b b



   



 



  





.

x

1



0.16



0.34

1

1,53

1,81

2





g x



0 + 0



0 + 0



0 + 0



0





g x

13

4



7

2

0

2

0

7

2

13

4



1

5

2

y m

 









2

f f x

 





   

 

   





4

1;3

3;

f x

f x d d

f x e e



 



  



   





.













; 4

f x a a

   

vô nghiệm;













3;f x b b

   

có

2

nghiệm.





4

f x



có

1

nghiệm;













1;3

f x d d

 

có

2

nghiệm.













3;f x e e

   

có 2 nghiệm









2

f f x

 

có 7 nghiệm.

Câu 10: Chọn B

Xét phương trình













2

2 3 0

f x m f x m

    

.

Nhận thấy

   





 

1

1 2 3 0

3

f x

m m

f x m



 



     

 





.

Từ đồ thị hàm số





f x

, suy ra đồ thị hàm số





f x

như sau:

Với





1

f x

 

, ta được 2 nghiệm

x

.

Để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt, tức là phương trình





3

f x m

 

có 4 nghiệm

phân biệt.

Hay





1 3 3 0 4 1;2;3

m

m m m



        



.

Như vậy có 3 giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 11: Chọn B

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị





y g x



và

Ox

là:

           

 

2 2

. 0 . 0 0

f x

f x f x f x f x f x f x

f x



 

   

      

   

 

   

 

Ta thấy đồ thị hàm số





y f x



cắt trục

Ox

tại

4

điểm phân biệt có hoành độ

1 2 3 4

, , ,

x x x x

.

Giả sử





















1 2 3 4 1 2 3 4

, 0,

f x a x x x x x x x x a x x x x

        

Ta có:





























2 3 4 1 3 4

f x a x x x x x x a x x x x x x



       

























1 2 4 1 2 3

a x x x x x x a x x x x x x

       

Ta có:





 

1 2 3 4

1 1 1 1

f x

f x x x x x x x x x



   

   

Ta có:

 

       

2 2 2 2

1 2 3 4

1 1 1 1

0 0

f x

x x x x x x x x



 

      

 

   

 

vô nghiệm.

Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số





y g x



và trục hoành bằng

0

.

Câu 12: Chọn D

Ta có:

2

( ) 1 '( ) 1 0,

1

x

f x x x f x x

x

        





.

Suy ra hàm số

2

( ) 1

f x x x

  

luôn đồng biến trên



.

Mặt khác, ta lại có:

2

1 1

( ) 1

( )

1

f x x x

f x

x x

      

 

.

Nên phương trình tiếp theo tương đương với:

 

1 4 1

( ) 0

1 4 1

x m

xf x

f x m

  

 

   

.









( ) 1 4 1 1 4 1 0

xf x x m f x m

        

.









( ) 1 4 1 1 4 1

xf x x m f x m

       

.

Đến đây ta xét hàm đặc trưng





2 2 2

( ) ( ) . 1 1

y g t tf t t t t t t t

       

.

Có

2

'( ) 2 1 0,

1

t

g t t t t

t

      





nên suy ra

( )

g t

luôn đồng biến trên



.





( ) 1 4 1 1 4 1 4 1 1

g x g x m x x m x m x

              

.

Do

4 1 0

x m

  

nên suy ra

 

2

1 0

1

6 2

4 1 1

x

m x x

x m x

 











 

  

   





.

Xét hàm

2

( ) 6 2, 1 ( ) 2 6 0 3

y p x x x x p x x x



           

.

Ta có bảng biến thiên của hàm

( )

p x

như sau:

Dựa vào BBT trên để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì









(3); (1) 7; 3

m p p m

    

.

Như vậy, ta kết luận có tất cả 4 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 13: Chọn B

















     

 

3 3 2 2 3

3 3

1 3 3 2 2 2 0 2020;2021

2 2 2020;2021 (1)

f x m x mx m m x m m x

x m x m mx mx x

          

       

Xét hàm số

3 2

( ) 2 , '( ) 3 2 0

f t t t f t t t

     

Vậy hàm số

( )

f t

đồng biến trên



nên





1

suy ra

   

2021

2020;2021 2020;2021 .

1 2020

x

x m mx x m x m

x

         



Vậy trên đoạn





2020;2021



có

2022

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 14: Chọn D

Ta có:

2

6 6

y x x



 

;

0

y





0

1

x













.

Bảng biến thiên:

Ta có:

2sin 1 1 1 3

sin ;

2 2 2 2

x



 

   

 

 

suy ra

 

2sin 1

0;1

2

x

f



 



 

 

nên

 

2sin 1

0;1

2

x

f f

  

 



 

 

.

Phương trình

 

2sin 1

2

x

f f f m

  

 



 

 

có nghiệm





0 1

f m

  

3 2

2 3 1 0

2 3 0

m m



  







 





1 3

2 2

m

   

.

Vậy

2

1 3

4 8 4. 8. 13

4 2

a b

   

.

Câu 15: Chọn A

Đặt

  

2 2

3 18 28 3( 3) 1 3 2 4 4

u x x x x x

         

do đó ta có với





2;4

x  thì





1;2

u 

.

Biến đổi BPT ta được





2021 . 4042

f u m u m

  









2021 2 1

f u m u

     

 

.

Ta có

 

2

5 2

2 1

x x

f x

x

 





nên

 

2 2

5 2

2 2

2 1 2 1

u u u u

f u

u u

  

   

 

do vậy bất phương trình được

biến đổi tiếp





 

2

2021

1

2 1 2 1

u u

u

m u m

u u



   

 

.

Lúc này yêu cầu bài toán tương đương

 

2021

, 1;2

2 1

u

m u

u

  



 

1;2

min ( )

u

m g u



 

.

Xét hàm số

 

2021

( ) , 1;2

2 1

u

g u u

u

 



ta có

 

 

2

2021

( ) 0, 1;2

2 1

g u u

u



   



do vậy hàm số





g u

tăng trên đoạn





1;2

. Vì vậy

 

 

1;2

2021 2021

min ( ) 1

2 1 3

u

g u g

u



  



.

Kết hợp với

m

là các số nguyên dương ta được





1;2;3;...;673

m



.

Vậy tìm được

673

số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 16: Chọn C

Câu 17: Chọn B

Đặt

1 6 3t x x   

,

1

2

x  

.

Ta có

3

1 0 1

6 3

t x

x



    



. Khi đó bảng biến thiên của hàm số là

Phương trình đã cho trở thành

 

1

2

f t 

. Dựa và đồ thị ta thấy phương trình có 3 nghiệm là

 

1;0

1;2

2;3

t a

t b

t c

  



 



 



.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

1 6 3t x x   

ta có

Phương trình 1 6 3t a x x a      có

2

nghiệm và phương trình

1 6 3t b x x b      có

1

nghiệm và Phương trình 1 6 3t c x x c      có

1

nghiệm.

Vậy phương trình

 

2 1 6 3 1f x x    có

4

nghiệm.

Câu 18: Chọn D

Ta có: hệ số

1 0a  

và

 

0f x 

có đúng hai nghiệm phân biệt.

 Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị và 1 điểm thuộc trục hoành.

 

2

3

2

m

f x x



 

.

   

0 0

6

m

f x x m



    

.

Trường hợp 1 :

3

1

8 0

6 2 6

m m

 

   

 

 

24m 

.

 

3

24 : 12 16m f x x x   

.

 

f x k

có 3 nghiệm phân biệt 

 

0;32k 

.

Có 31 giá trị nguyên của

k

thỏa mãn.

Trường hợp 1 :

3

1

8 0

6 2 6

m m

 

    

 

 

6m 

.

 

3

6 : 3 2m f x x x   

.

 

f x k

có 3 nghiệm phân biệt 

 

4;0k  

.

Có 3 giá trị nguyên của

k

thỏa mãn.

Vậy có 34 giá trị nguyên của

k

thỏa mãn.

Câu 19: Chọn D

Ta có

   

 

2

0 1

0 0

1

. 2 1 0 2

1

2

1

3

2

f x

g x f x

g x g x f x

g x

f x









 



      

 











 



.

Từ đồ thị hàm số

 

y f x

suy ra

+)

   

2

1

1 0;1

1

x a

x b

x c



  



  



 



. Suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

+)

 

   

 

2

1,

2 0;1 ,

1,

x d d a

x e e b

x f f c



   



   



  





. Suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt khác 4 nghiệm

phân biệt của phương trình.

+)

 

   

 

2

1, ,

3 0;1 , ,

1, ,

x m m d a

x n n e b

x p p f c



   



   



  





. Suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt khác 4 nghiệm

phân biệt của phương trình và 4 nghiệm phân biệt của phương trình.

Vậy phương trình

   

. 2 1 0g x g x   

 

có tất cả 12 nghiệm

Câu 20: Chọn A

Gọi

 

2

2 3 2g x f x  

. Ta có:

 

2

' 4 . ' 2 3g x x f x 

.

 

2

0

' 0 2 3 1 0

2 3 3

x

g x x x

x







      



 



.

Ta có bảng biến thiên:

Mà

 

5

g x



 



 





. Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm.

Câu 21: Chọn C

Ta có

 

   

 

2 (1)

0 , 0;1 (2)

3 (3)

f x

g f x f x

f x

 

 



   









.

Dựa vào đồ thị hàm số

 

g x

suy ra phương trình

 

1

có 4 nghiệm; phương trình

 

2

có 5

nghiệm và phương trình

 

3

có 1 nghiệm. Vậy phương trình

 

0g f x 

có 10 nghiệm.

Ta có

 

   

 

   

 

3 (4)

1 (5)

0 1 (6)

, 1;2 (7)

, 4;5 (8)

g x

f g x g x

g x a a

g x b b



 



 



  



 



 





.

Dựa vào đồ thị hàm số

 

g x

suy ra phương trình

 

4

có 1 nghiệm; phương trình

     

5 ; 6 ; 7

mỗi phương trình có 3 nghiệm và phương trình

 

8

có 1 nghiệm. suy ra phương trình

 

0f g x 

có 11 nghiệm.

Vậy tổng số nghiệm của phương trình

 

0f g x 

và

 

0g f x 

là 21.

Câu 22: Chọn A

Ta có:

   

 

1 0 1 1       

x x

f e x m f e x m

.

Đặt 1 0,



      



x x

t e t e x . Ta có bảng biến thiên:

Với

 

1 ln 1    

x

t e x t

. Ta có:

       

1 ln 1 2   f t t m

.

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình

 

2

có

hai nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1.

Xét hàm số

     

ln 1 , 1    g t f t t t

ta có:

       

1 1

, 0

1 1

   

    

 

g t f t g t f t

t t

.

Dựa vào đồ thị các hàm số

 



y f x

và

1





y

x

ta có:

 

1

2

1



  



f t t

t

.

Ta có bảng biến thiên của hàm số

 

g t

:

Số nghiệm của phương trình

 

2

bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

 

g t

và đường thẳng

y m

.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình

 

2

có hai nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1

     

2 2 ln1 2      m g m f m f

.

Câu 23: Phương trình

 

     

   

3

3 3 3

3

3 1 1

1 0 1 5 3 2

0 3

x f x a a

f x f x f x f x x f x b b

x f x



    



          









.

Xét phương trình

   

3

k

x f x k f x

x

  

.

Đặt

 

3

k

g x

x



,

 

4

3

0, 0

k

g x x

x





   

và

0k 

.

   

lim lim 0

x x

g x g x

 

 

,

 

0

lim

x

g x





 

,

 

0

lim

x

g x





 

.

Ta có bảng biến thiên của hàm số

 

g x

Dựa vào bảng biến thiên và đề bài, suy ra trong mỗi khoảng





;0



và





0;



phương trình









f x g x



có đúng một nghiệm.

Vì

, 0

a b



nên phương trình





1

và





2

mỗi phương trình có

2

nghiệm phân biệt khác nhau.

Xét phương trình

   

 

3

0

3 : 0

0

x

x f x

f x

x c





  





 



, với

c

khác các nghiệm của





1

và





2

.

Vậy phương trình









3

1 0

f x f x

 

có đúng

6

nghiệm.

Câu 24: Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số





'

y f x



, suy ra hàm số





'

y f x



là hàm số bậc 3 qua 0 không đổi

dấu và đi qua 3 đổi dấu từ + sang -. Mặt khác





lim '

x

f x



 

nên

0

k



.

Do đó, hàm số





'

y f x



có dạng









2

' . . 3

f x k x x

 

.

Vì





' 2 1

f



nên

1

4

k

 

. Suy ra

   

3 2 4 3

1 3 1 1

'

4 4 16 4

f x x x f x x x e

       

Xét phương trình

     

   

 

4 3

2 2 2

2

3

2 2

2

1 1

2 2 2 0

16 4

2 0 1

2 2 4 0

2 4 0 2

f x x m e x x m x x m

x x m

x x m x x m

x x m

             



   

         



    





Phương trình





2

f x x m e

   

có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình





1

,





2

đều có hai nghiệm phân biệt

1 0

3

1 4 0

m

 



  



  



.

Mặt khác,

m

là số nguyên trên





5;5



nên





4;5

m

.

Vậy có 2 giá trị nguyên của

m

thoả yêu cầu bài toán.

Câu 25: Chọn A

Đặt

cos

t x



. Do

0;

2

x



 







 

nên





0;1

t 









2;0

f t  

   





4 2 cos 4 2 0;2

f x f t    

 









4 2 cos 2;2

f f x   

Vậy phương trình

 





4 2 cos

f f x m

 

có nghiệm

0;

2

x



 







 

2 2

m

   

Do

m

nguyên nên





2; 1;0;1

m   

Vậy có bốn giá trị của tham số

m

để phương trình

 





4 2 cos

f f x m

 

có nghiệm

0;

2

x



 







 

.

Câu 26: Chọn B

Đặt:





y f x



ta có hệ:





 

     

*

y f x

f y y f x x

f y x







   









Xét hàm số:









3

2 2

m

g t f t t t t

    





2

3 2 0g t t t



     







g t



luôn đồng biến trên



Từ phương trình





*

ta có













3 3

2 2

m m

g y g x y x f x x x x x x

          

Để phương trình









f f x x



có nghiệm thuộc đoạn





1;2

thì

   

3 3

1;2 1;2

2

m

x x

Min x Max x

 

 

1 2 8 0 3

m

     

,

m

là số nguyên nên





0;1;2;3

m

Vậy Chọn B

Câu 27: Chọn C

Ta có

2

( ) ( 4) ( ) 2 4 0

f x m f x m

    

  





 

( ) 2 1

( ) 2 ( ) 2 0

( ) 2 2

f x

f x f x m

f x m

 

     



 





Phương trình





1

có 4 nghiệm phân biệt

Vậy để phương trình





*

có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình





2

có 2 nghiệm phân biệt khác

nghiệm của phương trình





1

.

Phương trình





2

có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương





1

khi và chi khi

2 0 2

2 4 2

m m

   

 



 

  

 

. Vì





; 5;5

m Z m  

nên





2;3;4

m  

Vậy

m

có 3 giá trị.

Câu 28: Ta có:

















2 2

2 0 2

f x f x f x f x

    





   

2

0

0;1

2;3

3;4

x f x













 







 



 



.





2

0

x f x



 

0

x

f x













. Phương trình





0

f x



có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

Xét phương trình





2

x f x m



với

0

m



. Rõ ràng

0

x



không là nghiệm của phương trình.

Do đó ta có:





2

x f x m



 

2

m

f x

x

 

.

Xét hàm số

 

2

m

g x

x



có

 

3

2

m

g x

x







. Từ đó ta có BBT của





g x

:

Suy ra đồ thị hàm số





y g x



luôn cắt đồ thị hàm số





y f x



tại 2 điểm phân biệt có hoành

độ khác 0 và khác hai nghiệm của phương trình





0

f x



.

Vậy mỗi phương trình









2

0;1

x f x



 

,









2

2;3

x f x



 

,









2

3;4

x f x



 

có hai

nghiệm phân biệt. Các nghiệm của các phương trình này không trùng nhau, khác 0 và khác hai

nghiệm của phương trình





0

f x



.

Do đó phương trình









2

2 0

f x f x

 

có 9 nghiệm thực phân biệt.

Câu 1: Cho hai hàm số

1 1 2

1 2 3

x x x x

y

x x x x

  

   

  

và

2y x x m   

(

m

là tham số thực) có đồ

thị lần lượt là

   

1 2

,C C

. Tập hợp tất cả các giá trị của

m

để

 

1

C

và

 

2

C

cắt nhau tại đúng

bốn điểm phân biệt là

A.

 

2;  

. B.





; 2 

. C.





2;  

. D.

 

; 2 

.

Câu 2: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số

m

để đồ thị hai hàm số

 

2

2 1 1y x x  

và

11 1

11

3 4 2

y m

x x

   

 

cắt nhau tại

2

điểm phân biệt?

A.

 

;0

. B.

 

;1

. C.





;1

. D.





;2

.

Câu 3: Có bao nhiêu cặp số thực

( ; )a b

để bất phương trình

  

 

2

1 2 2 0x x ax bx    

nghiệm

đúng với mọi

x 



A.

3

. B.

2

. C.

0

. D.

1

.

Câu 4: Cho 2 hàm số

7 5 3

3 1y x x x m    

và

2 2y x x m   

(

m

là tham số thực) có đồ thị lần

lượt là

 

1

C

,

 

2

C

. Tập hợp tất cả các giá trị của

m

để

 

1

C

cắt

 

2

C

là

A.

m 



. B.

 

2;m  

. C.

 

;2m  

. D.





2;m 

.

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực

m

thuộc đoạn

 

2019;2019

để phương trình

   

2

3 2 3 1 5 1 2 4 2 3x x m x x m x x          

có nghiệm thực?

A.

2019

. B.

4032

. C.

4039

. D.

4033

.

Câu 6: Có bao nhiêu

m

nguyên dương để hai đường cong

 

1

2

: 2

10

C y

x

 



và

 

2

: 4C y x m 

cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương?

A. 35. B. 37. C. 36. D. 34.

Câu 7: Cho hàm số

( ) ( 1).( 2)...( 2020).f x x x x   

Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

thuộc đoạn

 

2020;2020

để phương trình

( ) . ( )f x m f x





có 2020 nghiệm phân biệt?

A. 2020. B. 4040. C. 4041. D. 2020.

Câu 8: Cho hai hàm số

2

ln





x

y

x

và

3 1

4 2020

2

   



y m

x x

, Tổng tất các các giá trị nguyên của

tham số

m

để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất là

A.

506

. B.

1011

. C.

2020

. D.

1010

.

Câu 9: Cho hai hàm số

   

 

1 2 1 3 1 2y x x x m x    

;

4 3 2

12 22 10 3y x x x x      có đồ thị

lần lượt là

 

1

C

,

 

2

C

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

trên đoạn

 

2020;2020

để

 

1

C

cắt

 

2

C

tại 3 điểm phân biệt?

A.

4040

. B.

2020

. C.

2021

. D.

4041

.

Câu 10: Cho hai hàm số

6 4 2

6 6 1y x x x   

và

 

3

15 3 15y x m x m x    có đồ thị lần lượt là

 

1

C

và

 

2

C

. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

 

2019;2019

để

 

1

C

và

 

2

C

cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Số phần tử của tập hợp

S

bằng

A.

2006

. B.

2005

. C.

2007

. D.

2008

.

Câu 11: Cho hàm số

 

4 3 2

y f x =ax bx cx dx e    

có đồ thị như hình vẽ bên đây, trong đó

a,b,c,d ,e

là các hệ số thực. Số nghiệm của phương trình

 

   

2 1 0f f x f x f x   

là

A. 3. B. 4. C. 2. D. 0.

Câu 12: Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

2

6 4f x x m 

có ít nhất ba

nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng

 

0; 

?

A. 25. B. 30. C. 29. D. 24.

Câu 13: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên đoạn

 

1;4

và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị

nguyên của

m

thuộc đoạn

 

10;10

để bất phương trình

 

2f x m m 

đúng với mọi

x

thuộc đoạn

 

1;4

.

A.

6

. B.

5

. C.

7

. D.

8

.

Câu 14: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi

S

là tập hợp tất

cả giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

sin 2 2sinf x m x  

có nghiệm thuộc

khoảng

 

0;



. Tổng các phần tử của

S

bằng

A.

4

. B.

1

. C.

3

. D.

2

.

Câu 15: Cho hàm số

 

3

2f x x x  

. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương

trình

   

 

3 3

3

2f f x f x m x x     

có nghiệm

 

1;2x 

?

A.

1750

. B.

1748

. C.

1747

. D.

1746

.

Câu 16: Cho hàm số

( )f x

liên tục trên

 

2;4

và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá

trị nguyên của

m

để phương trình

2

2 2 . ( )x x x m f x  

có nghiệm thuộc đoạn

 

2;4

?

A.

6

. B.

5

. C.

4

. D.

3

.

Câu 17: Cho hàm số







y f x

liên tục và có đạo hàm trên đoạn





2; 4



và có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để hệ phương trình

 

2

3

9

4 0

6 2 1 8 6 0



 







     



x

f x x x m

có ba nghiệm phân biệt?

A.

9

. B.

11

. C.

10

. D.

8

.

Câu 1: Chọn B

Xét phương trình hoành độ giao điểm

 

1 1 2 1 1 2

2 2 1

1 2 3 1 2 3

x x x x x x x x

x x m x x m

x x x x x x x x

     

               

     

Xét

   

1 1 2

2 , \ 3; 2; 1;0

1 2 3

x x x x

f x x x x D

x x x x

  

           

  



Ta có

 

1

2

1 1 2

2, 2;

1 2 3

1 1 2

2 2, ; 2

1 2 3

x x x x

x D D

x x x x

f x

x x x x

x x D D

x x x x

  



         



  





  



         



  



Có

 

     

1

2 2 2

2

2 2 2

2

1 1 1 1

,

1 2 3

1 1 1 1

2,

1 2 3

x D

x

x x x

f x

x D

x

x x x



    



  











     



  



Dễ thấy





1 2

0,

f x x D D



   

, ta có bảng biến thiên

Hai đồ thị cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biện khi và chỉ khi phương trình





1

có đúng 4 nghiệm

phân biệt, từ bảng biến thiên ta có:

2 2

m m

    

.

Câu 2: Chọn C

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

 

2

11 1

2 1 1 11 *

3 4 2

     

 

x x m

x x

Điều kiện:

1 0 1

4 4

3 3

2 2

  

 

 

  

 

 

 

 

 

x x

Ta có:





*



 

2

11 1

2 1 1 11

3 4 2

x x m

x x

     

 

-



2

-



-



-



+



+



+



+



-



+

f(x)

f'(x)

+



-



x

-3

-2

1 0

+

Xét hàm số

 

2

11 1

( ) 2 1 1 11

3 4 2

f x x x

x x

     

 

trên





4

1; \ ;2

3

 

 

 

 

Nhận thấy, hàm số

 

f x

liên tục trên các khoảng

 

4 4

1; , ;2 , 2;

3 3

   



  



   

Ta có,

 

2

11 1

( ) 2 1 1 11

3 4 2

f x x x

x x



 



     

 

 

 

 

   

2

2 2

1 33 1

4 1 2 1

2 1

3 4 2

x x x

x

x x

     



 

   

2

2 2

10 8 1 33 1

0

2 1

3 4 2

x x

x

x x

 

   



 

với





4

1; \ ;2

3

 

   

 

 

x

Suy ra, hàm số

 

f x

đồng biến trên





4

1; \ ;2

3

 

 

 

 

.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hai hàm số

 

2

2 1 1y x x  

và

11 1

11

3 4 2

y m

x x

   

 

cắt nhau tại

2

điểm phân biệt khi





;1m 

.

Câu 3: Chọn C

Đặt

    

 

2

1 2 2f x x x ax bx    

Giả sử

1x 

không phải là nghiệm của phương trình

   

 

2

2 2 0g x x ax bx    

thì hàm

số

    

 

2

1 2 2f x x x ax bx    

sẽ đổi dấu khi qua điểm

1x 

, nghĩa là

  

 

2

1 2 2 0x x ax bx    

không có nghiệm đúng với mọi

x 



.

Do đó, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là

   

 

2

2 2 0g x x ax bx    

có nghiệm

1x 

suy ra

2 0a b  

Lí luận tương tự có

   

 

2

1 2 0h x x ax bx    

cũng phải nhận

2x  

là nghiệm, suy ra

4 2 2 0a b  

Từ và ta có hệ

2 0 1

4 2 2 0 1

a b a

a b b

    

 



 

    

 

Điều kiện đủ:

Với

1

a

b

 





 



có

    

 

   

2 2

2

1 2 2 1 2 0f x x x x x x x          

,

x 



.

Vậy không tồn tại cặp số thực

( ; )a b

nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

7 5 3

3 1 2 2x x x m x x m       

7 5 3

2 5 1 (1)x x x x x m        

.

Xét hàm số

7 5 3

( ) 2f x x x x x x     

.

Ta có





 

7 5 3

2 khi 2;

( )

2 2 khi ;2

x x x x

f x

x x x x x



    







     





.

 

6 4 2

7 5 3 0 khi 2;

( )

7 5 3 2 0 khi ;2

x x x x

f x

x x x x



    









     





.

 

lim

x

f x



 

;

 

lim

x

f x



 

.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình

 

1

luôn có nghiệm với mọi

m



.Vậy để

 

1

C

cắt

 

2

C

thì

m 



.

Câu 5: Chọn B

Đk:

 

3;1x  

.

Phương trình đã cho

  

 

11 3 4 3 1 2 1 3 0x x x m x x         

.

Đặt

 

2 1 3t x x g x    

, với

 

  

2

3;1 11 3 4 3 1 4x x x x t        

.

Có

   

1 1

0, 3;1

1 2 3

g x x

x x





     

 

. Suy ra

 

g x

nghịch biến trên khoảng

 

3;1

.

 

   

3;1

min 1 2g x g



   

:

 

   

 

3;1

max 3 4 2;4g x g t



     

.

Từ

2

4 0t mt   

.

Nếu

0 0 4 0t    

.

Nếu

 

2;4 \{0}t  

, ta có

 

2

4 4t

m t f t

t t

 

    

.

Có

   

2

4

, 0 2

t

f t f t t

t



 

    

.

Bảng biến thiên

+∞

∞

+

2 +∞

∞

f '(x)

f(x)

x

+

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có nghiệm thực khi và chỉ khi

4

m







 



.

Do đó





 

2019;2019

4

2019; 2018;....; 4;4;...;2018;2019

4

m



 









    





 











.

Vậy có





2019 4 1 .2 4032

  

giá trị nguyên của tham số thực

m

.

Câu 6: ChọnC

Điều kiện:

10

4

x

m

x















.

Xét trên









0; \ 10



, phương trình hoành độ giao điểm của





1

C

và





2

C

là

2

2 2 18

2 4 4

10 10

x

x m m x

x x



 

     

 

 

 

.

Đặt

 

2

2 18

4

10

x

g x x

x



 

 

 



 

với









0; \ 10

x  

.

Ta có:

 

3

2 18

4 1

10

x

g x

x

 





 

 



 

;

 

4

4 34

10

x

g x

x

 







.





g x



có bảng biến thiên như sau

Suy ra phương trình





0

g x





có một nghiệm duy nhất

17

;10

2



 



 

 

. Lại có





9,22 0

g





nên





9,22;10





. Ta có bảng biến thiên của





g x

trên









0; \ 10



:

Từ đó suy ra phương trình





m g x



có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

 

81

25

m g





 

.

Trên khoảng

 

9,22;10

thì

2

4 40

2 18

3

10

x











 



 





 



nên

     

37 36;37g x g



  

.

Vậy những giá trị

m

nguyên dương thỏa mãn yêu cẩu bài toán là 1; 2; 3; …; 36 hay có 36 giá

trị của

m

cần tìm.

Câu 7: Chọn B

Ta có nhận xét: khi

( ) 0f x 

thì phương trình

( ) . ( )f x m f x





vô nghiệm.

Do đó:

( )

( ) . ( ) .

( )

f x

f x m f x m

f x



  

Xét hàm số

( ) 1 1 1 1

( )

( ) 1 2 3 2020

f x

g x

f x x x x x



     

   



.

Ta có

       

 

2 2 2 2

1 1 1 1

( ) 0, \ 1;2;3...;2020

1 2 3 2020

g x x

x x x x

   



       

   

 

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, phương trình

( ) . ( )f x m f x





có 2020 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

0m 

hoặc

0m 

.

Kết hợp với điều kiện

m

là số nguyên thuộc

 

2020;2020

nên

 

| 2020 2020, 0 .m n n n     



Vậy có tất cả 4040 giá trị

m

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 8: Chọn A

+ Phương trình hoành độ điểm chung của hai đồ thị hàm số là

2 3 1 2 3 1

ln 4 2020 ln 4 2020 (*)

2 2

 

        

 

x x

m m

x x x x x x

Đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi có duy nhất một

nghiệm.

+ Xét hàm số

1

2

3

3 1

( ) ln( 2) ln khi 2

2

2 3 1 3 1

ln ( ) ln(2 ) ln khi 0 2

2 2

3 1

( ) ln(2 ) ln( ) khi 0

2



     











          



 



      







g x x x x

x x

x

y g x x x x

x x x x x

g x x x x

x x

Ta có

2

/

1

2 2 2 2

2

/

2

2 2 2 2

2

/

3

2 2 2 2

1 1 3 1 4( 1)

( ) khi 2

2 ( 2) ( 2)

1 1 3 1 4( 1)

( ) khi 0 2

2 ( 2) ( 2)

1 1 3 1 4( 1)

( ) khi 0

2 ( 2) ( 2)





     



  



 



      



  



 

     



  





x

g x x

x x x x x x

x

g x x

x x x x x x

x

g x x

x x x x x x

, do vậy

1

0

1

 



 







x

y

x

bảng biến thiên hàm số như sau

+ Qua bảng biến thiên này ta có có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

506

4 2020 4

2020 ln 3

4 2020 ln3

4

 



 











 

 



m



+ Tư đây yêu cầu bài toán xãy ra khi và chỉ khi

506m

.

Câu 9: Chọn C

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

 

1

C

và

 

2

C

:

   

 

4 3 2

1 2 1 3 1 2 12 22 10 3x x x m x x x x x         

Để đồ thị

 

1

C

cắt

 

2

C

tại 3 điểm phân biệt thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Với

1 1

1; ;

2 3

x

 

   

 

 

: Không là nghiệm của phương trình.

Với

1 1

1; ;

2 3

x

 

   

 

 

ta có:

 

   

4 3 2

12 22 10 3 1 1 1

1 2 2 2

1 2 1 3 1 1 2 1 3 1

x x x x

m x m x x

x x x x x x

    

         

     

.

Xét hàm số

 

1 1 1

2 2

1 2 1 3 1

f x x x

x x x

     

  

,

1 1

\ 1; ;

2 3

x

 

    

 

 



.

Suy ra:

 

     

2 2 2

2

2 1 2 3

2

1 2 1 3 1

x

f x

x x x

x



     

  

.

Ta có:

 

     

 

     

 

2 2 2

1 2 3

4 khi 0;

1 2 1 3 1

1 2 3 1 1

khi ;0 \ 1; ;

2 3

1 2 1 3 1

x

x x x

f x

x

x x x



     



  









 



      

 



 

  



và

 

f x



không

xác định tại

0x 

.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì

0m 

. Do đó có 2021

giá trị nguyên của tham số

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 10: Chọn A

Ta biết

 

1

C

cắt

 

2

C

tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

   

6 4 2 3

6 6 1 15 3 15 1x x x x m x m x       có hai nghiệm phân biệt.

Điều kiện:

 

15 0 15 *m x m x   

.

Nếu

0x 

thì phương trình

 

1

vô nghiệm. Suy ra

0x 

.

Khi đó

   

3 2

3

1

1 6 6 15 3 15x x x m x m x

x

       

 

3

1 1

3 15 3 15x x m x m x

x x

   

       

   

   

.

Xét hàm số

 

3

3f t t t 

. Tập xác định

D 



.

 

2

3 3 0,f t t t



    



. Suy ra hàm số

 

3

3f t t t 

đồng biến trên



.

Do đó

   

1

1 15 2x m x

x

   

.

Nếu

1

0 0x x

x

   

 Phương trình

 

2

vô nghiệm

0x 

.

Khi đó

0

1

0

m

x









 





nên

 

2 2

1 1

2 2 15 2 15x m x m x x

x x

         

.

Đặt

 

2

1

2 15 , 0g x x x x

x

    

.

 

3

2

2 15g x x

x



  

.

Phương trình

 

0g x





có một nghiệm

1

2

x 

trên khoảng

 

0;

.

Bảng biến thiên

Suy ra





1

có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

55

4

m 

.

Kết hợp với

m

nguyên và





2019;2019

m 

ta có được

m

nguyên và





14;2019

m

.

Khi đó

S

có

2019 14 1 2006

  

phần tử.

Câu 11: Chọn B

Từ hình vẽ ta có dạng đồ thị của hàm trùng phương nên





4 2

0

b d f x ax cx e

     

Ta có





3

4 2

f x ax cx.



 

Từ đồ thị





 

4 2

1 0

4 2 0 1

0 0 0 0 2

1 2

1 1

f

a c a

f e e f x x x .

a c e c

f





  

 



 

        

  

  

   



 







2

f x x x

  

và

 





   

2

f f x f x f x .

 

Như vậy phương trình

 





   

2 1 0

f f x f x f x .

   

       

2

2 2 1 0

f x f x f x f x

     

với





0

f x .



Đặt









0

t f x t

 

ta được phương trình





0

g t



với





2

3 2 1

g t t t t .

   

Nhận thấy: Hàm số





g t

liên tục trên đoạn





0 1

;

và









0 1 0

g .g







0

g t

 

có ít nhất 1 nghiệm thuộc





0 1

;

.

Hàm số





g t

liên tục trên đoạn





1 4

;

và









1 4 0

g .g







0

g t

 

có ít nhất 1 nghiệm thuộc





1 4

;

.

Mà





0

g t



là phương trình bậc hai chỉ có tối hai nghiệm nên





0

g t



có duy nhất một nghiệm

thuộc





0 1

;

. Suy ra

 





   

2 1 0

f f x f x f x

   

có duy nhất một nghiệm









0 1

f x ; .



Suy ra phương trình





f x a



với





0 1

a ;



luôn có 4 nghiệm x phân biệt.

Câu 12: Chọn B

Ta đặt:









2

4

g x f x x

 

.













2

2 4 4

g x x f x x

 

  

















2 2 2

2 2 4 4 4 2 4

x x x x x x x

      

 





 

3

2

2 2 4 2 4

x x x x x

    

.

Mặt khác:









0 0 3

g f

  

;









 

2 2 2 2 2 2

g g f

     

;









2 4 2

g f

   

;









4 0 3

g f

  

. Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta được: yêu cầu bài toán tương đương

3 2

6

m

  

18 12m   

. Vậy có tất cả 30 giá trị của tham số

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 13: Chọn C

Để bất phương trình

 

2f x m m 

có nghiệm ta suy ra điều kiện

0m 

.

   

2 2 2f x m m m f x m m      

 

3f x m

f x m

 













.

Bất phương trình

 

2f x m m 

đúng với mọi

x

thuộc đoạn

 

1;4

 

3f x m

f x m

 













đúng

với mọi

x

thuộc đoạn

 

1;4

 

 

 

 

1;4

3 min

max

m f x



 















.

Từ đồ thị hàm số

 

y f x

ta suy ra

 

 

 

 

1;4

min 2; max 3f x f x



  

.

 

 

 

 

1;4

2

3 min

3 2

3

max

3

m f x

m

m f x

m



 



  





 

    

  





 





Vậy trên đoạn

 

10;10

có

7

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 14: Chọn D

Đặt

sint x

, với

 

0;x









0;1t 

.

Ta được phương trình:

   

2 2 2 2f t t m f t t m      

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số





y f t



và đường thẳng





2 2

y t m r

  

.

Gọi





: 2 1

p y x

 

song song với đường thẳng





: 2

y t

 

và đi qua điểm





0;1

A

.

Gọi

: 2 3

q y x

 

song song với đường thẳng





: 2

y t

 

và đi qua điểm





1; 1

B



.

Để phương trình





sin 2 2sin

f x m x

  

có nghiệm thuộc khoảng





0;



thì phương trình

phải có nghiệm





0;1

t 

, suy ra đường thẳng

r

nằm trong miền nằm giữa hai đường thẳng

q

và

p









3 2 1 1 3 1;0;1;2 1;0;1;2

m m m S              

.

Do đó tổng các phần tử là:

1 0 1 2 2

    

.

Câu 15: Chọn A

Xét hàm số

3

( ) 2

f t t t

  

, ta có

2

( ) 3 1 0,f t t t



    



.

Do đó hàm số

f

đồng biến trên



.

Ta có





3

( ) ( ) ( )

f f x f x m f x

   

3 3 3

3

( ) ( ) ( ) ( ) 0 (1)

x f x f x m f x f x x m         

Xét

3 3

( ) ( ) ( )

h x f x f x x m

   

trên đoạn

[ 1;2]



.

Ta có

2 2 2 2

( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 1 3 .

h x f x f x f x x f x f x x

     

      

 

Ta có

2

( ) 3 1 0, [ 1;2] ( ) 0, [ 1;2]

f x x x h x x

 

           .

Hàm số

( )

h x

đồng biến trên

[ 1;2]



nên

[ 1;2]

min ( ) ( 1) 1, max ( ) (2) 1748.

h x h m h x h m



      

Phương trình

(1)

có nghiệm khi và chỉ khi

















  

[ 1;2]

min max 0 1 2

1 1748 0

1748 1.

h x h x h h

m m

m



    

   

   

Do

m

nguyên nên tập các giá trị

m

thỏa mãn là

{ 1748; 1747; ;0;1}

S

   

.

Vậy có tất cả 1750 giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 16: Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 





2;4

(4) 2

Min f x f

 

và

 





2;4

(2) 4

Max f x f

 

Hàm số

2

( ) 2 2

g x x x x

  

liên tục và đồng biến trên





2;4

Suy ra

 





2;4

(2) 2

Min g x g

 

và

 





2;4

(4) 4 4 2

Max g x g  

Ta có

2

2 2 ( )

2 2 . ( )

( ) ( )

x x x g x

x x x m f x m m

f x f x

 

      

Xét hàm số

( )

g x

h x

f x



liên tục trên





2;4

Vì





g x

nhỏ nhất và





f x

lớn nhất đồng thời xảy ra tại

2

x



nên

 





 

 

2;4

2

1

( ) (2)

2 2

Min g x

g

Min h x h

Max f x f

   

Vì





g x

lớn nhất và





f x

nhỏ nhất đồng thời xảy ra tại

4

x



nên

 





 

 

2;4

4

( ) (4) 2 2 2

4

Max g x

g

Max h x h

Min f x f

    

Từ đó suy ra phương trình ( )

h x m



có nghiệm khi và chỉ khi

1

2 2 2

2

m  

.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm.

Câu 17: Chọn D

Ta có:

 

2

2 2

3 3

9 4 0

9 9 4 3 3

4 0 0 ; \ 0

2 2

0



  

 





 

        

 

 



 









x

x x

x

.

Xét phương trình









3 3

6 2 1 8 6 0 6 2 1 8 6

           

f x x x m m f x x x

Xét hàm số









3

6 2 1 8 6

    

g x f x x x

, với

 

3 3

; \ 0

2 2

 

 

 

 

x

.

Ta có













2 2

12 2 1 24 6 6 2 2 1 4 1

  

 

           

 

g x f x x f x x

Từ giả thiết ta suy ra

 

2 1 2

1 1

2 1 0

2 2

  





       



  



x

f x x

x

;

 

1 3

2 2 1 0

2 2

2 1 0

2 2 1 4 3 1

2 2



 



    





    



   





   





x

f x

x

.

Bảng biến thiên của hàm số









3

6 2 1 8 6

    

g x f x x x

trên

 

3 3

; \ 0

2 2

 



 

 

.

Từ bảng biến thiên ta suy ra hệ có đúng ba nghiệm



có đúng ba nghiệm

 

3 3

; \ 0

2 2

 

 

 

 

x

4 14

9

 











m

. Vì

5;6;7;8;10;11;12;13

  



m m

. Vậy có

8

số nguyên

m

.

–

 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm





0 0

;

M x y

thuộc đồ thị hàm số:

 Cho hàm số









:

C y f x



và điểm









0 0

;

M x y C



. Viết phương trình tiếp tuyến với đường

cong





C

tại điểm

M

.

 Bước 1: Tính đạo hàm





'

f x

. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là





0

'

f x

.

 Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:









0 0

'

y f x x x y

  

.

 Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc

k

cho trước.

 Bước 1: Gọi







là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

 Giả sử





0 0

;

M x y

là tiếp điểm. Khi đó

0

x

thỏa mãn:









0

' 1

f x k

.

 Giải





1

tìm

0

x

. Suy ra





0 0

y f x



.

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:





0 0

y k x x y

  

 Điều kiện để hai hàm số tiếp xúc

 Cho hai hàm số









:

C y f x



và









' :

C y g x



. Đồ thị





C

và





C



tiếp xúc nhau khi chỉ

khi hệ phương trình:









   







 







f x g x

có nghiệm.

LÍ THUY

ẾT

Lời giải

Chọn A

Tập xác định:





\ 1



D 

. Ta có:

 

2

1

y

x



 



,

1

x

 

.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang

1

y



và đường tiệm cận đứng

1

x



.

Giả sử













; 1

M

M m y C m

 

1 2

1

1 1

M

m

y

m m



   

 

;

 

2

1

y m

m



 



.

Phương trình tiếp tuyến



là:

 

2

2 2

1

y x m

m

    



 

2

2 1 2 1 0

x m y m m

      

.

Gọi

A

là giao điểm của



và đường tiệm cận ngang. Tọa độ điểm

A

là nghiệm của hệ phương

trình:

 

2

1

2 2

2 1

1

y

x m

y x m

m







  



    











2 1;1

A m 

.

Gọi

B

là giao điểm của



và đường tiệm cận đứng. Tọa độ điểm

B

là nghiệm của hệ phương

trình:

 

2

1

3 4

2 2

1

1 1

1

x

m

y

y x m

m m

m









   



    

 







4

1;1

1

B

m

 

 

 



 

.

Suy ra:

   

 

2

2 2 4

2

4 16 2

2 2 4 1 1 4

1 1

1

AB m m m

m m

m

 

        

 

 

 



.

 

2

4

2 1

;

4 1

m m

d O

m

  

 

 

.

 

2

4

2 1

1 1 2

; . . . 1 4

2 2 1

4 1

OAB

m m

S d O AB m

m



  

     



 

2

2 1

1 1

m m

  

 

 

 

(vì

1

m



)

2 2

3 4 1

1 1

m m

      

 

.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số

1

m



và

2

1

m



:

 

2

1 2 2

1

m

  



 

2

4 1 4 2 2

1

m

     



.

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Cho hàm số

 

1

x

y C

x







. Điểm

M

thuộc





C

có hoành độ lớn hơn

1

, tiếp tuyến của





C

tại

M

cắt hai tiệm cận của





C

lần lượt tại

A

,

B

. Diện tích nhỏ nhất của tam giác

OAB

bằng

A.

4 2 2



.

B.

4

.

C.

4 2

.

D.

4 2



.

Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác

OAB

bằng

4 2 2

 khi

2

1

1 2

1

m



 



  











.

Lời giải

Chọn D

Gọi

3 2

1 3

; 2

2 2

A a a a

 

 

 

 

và

3 2

1 3

; 2

2 2

B b b b

 

 

 

 

với

a b



là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị





C

mà tiếp tuyến tại

A

và

B

song song với nhau.

Ta có

   

2 2

3 3

2 2

f a f b a a b b

 

    





2 2

2

a b a b

   

2

a b

  

.

Gọi

   

3 3 2 2

1 3

; 2

2 4 4

a b

I a b a b



 

   

 

 

là trung điểm của đoạn

AB

.

Với

2

a b

 

ta có





3 4 2

8 6

1; 2

4 4

ab

I



 



 

 

 

hay





1;1

I

.

Lại có

   

3 3 2 2

1 3

;

2 2

AB b a b a b a

 

   

 

 



cùng phương với





 





2 2

2; 3

u a b ab a b

   



.

Hay





2; 2

u ab

 



. Nên đường thẳng

AB

có một véc tơ pháp tuyến là





2 ;2

n ab



.

Suy ra phương trình đường thẳng

AB

là













2 1 2 1 0

ab x y

    

.

Do đường thẳng

AB

đi qua





5;3

D

nên





4 2 4 0

ab

  

4 12 0 3

ab ab

     

.

Thay

3

ab

 

vào phương trình

AB

ta được:

2 1 0

x y

  

.

Cách 2 – trắc nghiệm: Đồ thị hàm số

 

3 2

1 3

2

2 2

y x x C

  

có điểm uốn là





1;1

I

.

Do đó đường thẳng

AB

đi qua





5;3

D

và





1;1

I

có phương trình là

2 1 0

x y

  

.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

'

2

3

( 1)

y

x







,

1

x



.

VÍ DỤ 3: Cho hàm số

2

1

x

y

x







có đồ thị





C

và điểm





0;

A a

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên

của

a

trong đoạn





2018;2018



để từ điểm

A

kẻ được hai tiếp tuyến đến





C

sao cho hai tiếp điểm

nằm về hai phía của trục hoành?

A.

2020

. B.

2018

. C.

2017

. D.

2019

.

VÍ DỤ 2: Cho hàm số

 

3 2

1 3

2

2 2

y x x C

  

. Xét hai điểm





;

A

A a y

và





;

B

B b y

phân biệt của đồ

thị





C

mà tiếp tuyến tại

A

và

B

song song. Biết rằng đường thẳng

AB

đi qua. Phương trình của

đường thẳng

AB

là

A.

2 0

x y

  

. B.

8 0

x y

  

. C.

3 4 0

x y

  

. D.

2 1 0

x y

  

.

Phương trình đường tiếp tuyến tại điểm

0

x

:

 

0

2

0

3 2

1

x

y x x

x

 

  



.

Tiếp tuyến tại điểm





0;

A a

là:









 

0 0 0

2

0

3 2 1

1

x x x

a

x

  





'

2

3

( 1)

y

x







.





2

0 0

( 1) 2( 2) 2 0 1

a x a x a      

.

Để từ điểm

A

kẻ được 2 tiếp tuyến đến

( )

C







1

có hai nghiệm phân biệt

    

2

'

0 2 1 2 0 2

a a a a

           

.

Theo định lí Vi-et ta có:

1 2

2( 2)

1

2

1

a

x x

a

x x

a





 

















.

Để hai tiếp điểm nằm về hai phía trục hoành thì:

1 2

( ) ( ) 0

y x y x



1 2 1 2 1 2

( 2)( 2) 2( ) 4 9 6 2

0 0 0

( 1)( 1) ( ) 1 3 3

x x x x x x a

a

x x x x x x

      

       

     

Mà





2018;2018

a

 

;

a









0;2018

a

 

.

Lời giải

Chọn C

Ta có

2 2

y x p



 

.

Gọi





2

0 0 0

; 2

M x x px q

 

là tiếp điểm, tiếp tuyến với





P

tại

M

có phương trình:









2 2

0 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 0

y x p x x x px q x xx px q y

           

.

Tiếp tuyến đi qua





2;1

A

nên:

2

0 0

4 4 1 0

x x p q

    





1

.

Vì qua





2;1

A

luôn kẻ được tiếp tuyến đến





P

nên phương trình





1

luôn có nghiệm.

Do đó:

0



 

4 3 0

p q

   





2

.





;

M p q

thuộc miền nghiệm của bất phương trình

0

ax by c

  

nên

0

ap bq c

  





3

.

Từ





2

và





3

suy ra

4 1 3

a b c

m

  

 

, điều kiện:





0

m



4

3

a m

b m

c m







  





 



2

2 9

T m m

   

2

81 9 81

2

8 4 8

m

 

   

 

 

.

Vậy

T

không thể nhận giá trị bằng

11

nên ta chọn đáp án C.

VÍ DỤ 4: Cho parabol





P

:

2

y x px q

  

. Biết rằng qua





2;1

A

luôn kẻ được tiếp tuyến đến





P

và tập hợp tất cả các điểm





;

M p q

là miền nghiệm của bất phương trình

0

ax by c

  

. Biểu thức

2

3 2

T a b c

  

không thể nhận giá trị nào sau đây?

A.

10

. B.

9

. C.

11

. D.

2



.

Lời giải

Chọn D

Ta có













0 4 0

f x x m x m

     

4

x m









 



.

Suy ra









0 0

g x f f x

  

 

 





 

4

f x m







 









 

2 2

4 4 1

4 4 4 2

x x m m m



   





    





.

Trường hợp 1: Nếu

4 2

m m m

   

.

Từ









1 ; 2

suy ra

 

2

2 2

0 4 2 0

2 2

x

g x x x

x



 

     



 





. Hai nghiệm này là hai nghiệm

kép của phương trình





0

g x



nên đồ thị hàm số





y g x



tiếp xúc với

Ox

.

Trường hợp 2: Nếu

4 2

m m m

   

.Khi đó









1 ; 2

không có nghiệm chung.

Để đồ thị hàm số





y g x



tiếp xúc với

Ox







1

có nghiệm kép hoặc





2

có nghiệm kép





 

2

3 4 0

5 8 0

m m VN



  





  





. Tức không có giá trị nào của

m

thỏa mãn trong trường hợp này.

Vây

2

m



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Chọn D

Gọi



là đường thẳng qua

( ; 2)

A a



và có hệ số góc là

k

.

Đường thẳng



có phương trình:

( ) 2

y k x a

  

.

Vì



là tiếp tuyến của đồ thị





C

nên hệ sau có nghiệm:





3 2

2

3 2 2

3 6

x x k x a

k x x



    





 





.

Suy ra









3 2 2

3 2 3 6 2

x x x x x a

     

       

2

2 1 2 3

x x x x x a

     

   

2

2 3 1 2 0 *

x

x a x







   



Trường hợp

1

: Phương trình





*

có nghiệm kép

2

9 6 15 0

a a

   

5

3

1

a











 



.

VÍ DỤ 5: Cho hàm số





2 2

4 4

y f x x x m m

    

. Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số









g x f f x



 

 

tiếp xúc với

Ox

.

A.

3

. B.

2

. C.

4

. D.

1

.

VÍ DỤ 6: Cho hàm số









3 2

y f x x x C

   

. Và

( ; 2)

A a



. Từ

A

kẻ được ít nhất hai tiếp tuyến

đến đồ thị





C

. Gọi

S

là tập các hợp các giá trị của

a

để tổng các hệ số góc bằng

9

. Tính tổng các phần

tử trong

S

.

A.

2 6

. B.

2

. C.

6

. D.

2 6

3

.

Với

5

3

a



thì có hai tiếp tuyến của đồ thị





C

tại

1

x



và

2

x



có tổng hệ số góc của hai tiếp

tuyến của đồ thị





C

tại

1

x



và

2

x



là:









2 2

3.2 6.2 3.1 6.1 3

    

( không thỏa mãn).

Với

1

a

 

thì có hai tiếp tuyến của đồ thị





C

tại

1

x

 

và

2

x



có tổng hệ số góc của hai

tiếp tuyến của đồ thị





C

tại

1

x

 

và

2

x



là:





 





2

3.2 6.2 3. 1 6.1 9

    

(thỏa mãn).

Trường hợp

2

: Phương trình





*

có nghiệm bằng

2

khi

2

a



khi đó phương trình





*

có hai

nghiệm phân biệt là

2

x



hoặc

1

2

x



Với

2

a



thì có hai tiếp tuyến của đồ thị





C

tại

1

2

x



và

2

x



có tổng hệ số góc của hai tiếp

tuyến của đồ thị





C

tại

1

2

x



và

2

x



là:

 

2

1 1 9

3.2 6.2 3. 6.

2 2 4

 

    

 

 

(không tm).

Trường hợp

3

: Phương trình





*

có nghiệm khác

2

9 6 15 0

2

a a

a



  









5

3

1

2

a



















 









(**).

Khi đó có ba tiếp tuyến của đồ thị





C

tại

1 2

;

x x

và

2

x



với

1 2

;

x x

là nghiệm phương trình





*

, có tổng hệ số góc của ba tiếp tuyến của đồ thị





C

tại

1 2

;

x x

và

2

x



là:

2 2

1 1 2 2

3 6 3 6 9

x x x x

   

2

1 2 1 2 1 2

3( ) 6( ) 6 9

x x x x x x

     

2

3 1 3 1

3 6 6 9

2 2

a a 

   

   

   

   

2

27 54 45 0

a a

   

3 2 6

3

3 2 6

3

a





















Kết hợp điều kiện (**) ta có

3 2 6

3

a





. Vậy tổng các phần tử của S bằng

2 6

3

.

Lời giải

Chọn B.

Gọi

4 2

1 14

;

3 3

A a a a

 



 

 

là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến tại

A

là

 

3 4 2

4 28 1 14

:

3 3 3 3

d y a a x a a a

 

    

 

 

.

VÍ DỤ 7: Cho hàm số

4 2

1 14

3 3

y x x

  có đồ thị





C

. Có bao nhiêu điểm

A

thuộc





C

sao cho tiếp

tuyến của





C

tại

A

cắt





C

tại hai điểm phân biệt





1 1

;

M x y

,





2 2

;

N x y

(

M

,

N

khác

A

) thỏa mãn





1 2 1 2

8

y y x x

   ?

A.

1

. B.

2

. C.

0

.

D.

3

.

Phương trình hoành độ giao điểm của





C

và

d

là:

 

4 2 3 4 2

1 28 4 28 1 14

3 3 3 3 3 3

x x a a x a a a

 

     

 

 

 

2

2 2

2 3 14 0

2 3 14 0 1

x a

x a x ax a

x ax a





      



   



Đồ thị





C

cắt

d

tại

3

điểm phân biệt



Phương trình





1

có hai nghiệm phân biệt khác

a

 

2

0

7

7; 7 \

6 14 0

3

a

 

 



 

    

  

 

 



 

.

Theo đề bài:

     

3

1 2 1 2 1 2 1 2

4 28

8 8

3 3

y y x x a a x x x x

 

       

 

 

3

4 28

8 1

3 3

2

a

a a a

a







     



 



.

Đối chiếu điều kiện:

1

2

a

 





 



. Vậy có

2

điểm

A

thỏa đề bài.

Câu 1. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

3 2

2 2019y x x x   

tại điểm có hoành độ

0

1x  

là

A.

8 2016y x 

. B.

8 2007y x 

. C.

8 2014y x 

. D.

8 2023y x 

.

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

 

2

4 –y x x

tại điểm

 

0

1 ; 9M

là

A.

3 12y x 

. B.

3 8y x 

. C.

3 3y x 

. D.

3 6y x 

.

Câu 3. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

4 2

2 1y x x  

tại điểm có hoành độ

0

2x  

là

A.

40 80.y x  

B.

40 57.y x  

C.

40 103y x  

. D.

40 25y x  

.

Câu 4. Cho hàm số

4 2

2 3y x x  

có đồ thị

 

C

. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

C

tại

 

1 ; 6M

là

A.

8 2y x 

. B.

8 5y x 

. C.

8 8y x 

. D.

8 14y x 

.

Câu 5. Cho hàm số

1

2

x

y

x







có đồ thị

( )C

. Tiếp tuyến của

( )C

tại điểm có tung độ bằng

4

là

A.

3 5y x 

. B.

3 13y x  

. C.

3 13y x 

. D.

3 5y x  

.

Câu 6. Cho hàm số

1

y

x





có đồ thị

( )C

. Tiếp tuyến của

( )C

tại điểm có tung độ bằng

1

tạo với hai

trục tọa độ

,Ox Oy

một tam giác có diện tích bằng

A.

1

. B.

1

2

. C.

9

. D.

9

2

.

Câu 7. Cho hàm số

ln( 1) lny x x  

có đồ thị

( )C

, điểm

( )M C

có tung độ bằng

ln 2

. Phương trình

tiếp tuyến của

( )C

tại điểm

M

là

A.

3

3 ln 2

2

y x   

. B.

3 3

ln 2

2 2

y x  

. C.

3 1y x 

. D.

3 1

2 2

y x 

.

Câu 8. Cho hàm số

ln( 1)y x x 

có đồ thị

( )C

. Phương trình tiếp tuyến của

( )C

tại giao điểm của

( )C

với trục hoành là

A.

0y 

. B.

1y x 

. C.

2 4y x 

. D.

2 4y x 

.

Câu 9. Cho hàm số

3 2

6 9 1y x x x   

có đồ thị

( )C

. Phương trình tiếp tuyến của

( )C

tại điểm có tung

độ bằng

0

15y  

là

A.

24 9y x 

. B.

24 39y x 

. C.

15y  

. D.

24 39y x 

.

Câu 10. Cho hàm số

3 2

2 5y x x x   

có đồ thị

( )C

. Trong các tiếp tuyến của

( )C

, thì tiếp tuyến có

hệ số góc nhỏ nhất tiếp xúc với

( )C

tại điểm có tung độ bằng

A.

1

3

. B.

151

27

. C.

113

27

. D.

5

3

.

Câu 11. Cho hàm số

2

3

log

2

x

y

x







có đồ thị

 

C

. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tại giao điểm

của đồ thị

 

C

với đường thẳng

: 2d y 

là:

A.

5 5

4ln 2 4 ln 2

y x 

. B.

1 5

2

4ln 2 4 ln 2

y x  

.

C.

5

2

4 ln 2

y x  

. D.

5 5

2

4 ln 2 4ln 2

y x  

.

Câu 12. Biết đường thẳng

2ln 4.

y x m

 

là tiếp tuyến của đường cong

2

4

x

y  khi đó giá trị tham số

m

bằng

A.

2ln 4 1



. B.

1

hoặc 3. C.

1

. D. 1 hoặc

2ln 4 1



.

Câu 13. Cho hàm số

3 2

4 3 3

y x x x

   

có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) song song

với đường thẳng



:

2 1 0

x y

  

?

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D.

0

.

Câu 14. Cho hàm số

3 2

3 7 2

y x x x

    

. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc lớn nhất có phương

trình là

A.

4 1

y x

 

. B.

4 1

y x

 

. C.

4 1

y x

  

. D.

4 1

y x

  

.

Câu 15. Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

4 2

23

y ax bx

  

tại điểm





2; 5

A



vuông góc với đường

thẳng

4 2019 0

x y

  

. Tình

2 4

a b

 

.

A.

15

. B.

23

. C.

23



. D.

15



.

Câu 16. Đường thẳng

y m



tiếp xúc với đồ thị hàm số









4 2

: 8 35

C f x x x

  

tại hai điểm phân biệt.

Tìm tung độ tiếp điểm.

A.

35



. B. 35. C.

19



. D. 19.

Câu 17. Cho hàm số

 

2

1

ln 2 2

2

y x x

  

có đồ thị





C

. Số tiếp tuyến với đồ thị





C

của hàm số vuông

góc với đường thẳng

2

y x

  

là

A.

0

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 18. Cho hàm số

x x

y e e



  có đồ thị





C

. Tiếp tuyến của đồ thị





C

có hệ số góc nhỏ nhất là

A.

0

y



. B.

2 1

y x

 

. C.

2

y x

 

. D.

2

y x



.

Câu 19. Cho hàm số

3 2

3 6 1

y x x x

   

có đồ thị





C

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị





C

biết

tiếp tuyến đi qua điểm

(0 ;1)

N

.

A.

33

11

4

y x

  

. B.

33

12

4

y x

  

. C.

33

1

4

y x

  

. D.

33

2

4

y x

  

.

Câu 20. Cho hàm số

3 2

y x x

  

. Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm





1;0

A

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D.

4

.

Câu 21. Cho hàm số

2

3

x x

y

x

 





có đồ thị





C

. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị





C

đi qua điểm





4;1

A ?

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D.

0

.

Câu 22. Cho hàm số

2

1

x

y

x





có đồ thị

 

C

. Biết rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị

 

C

đi qua điểm

 

0;1A

. Tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng

A.

1

. B.

1

. C.

2

. D.

2

.

Câu 23. Gọi

S

là tập các giá trị của tham số

m

để đồ thị hàm số

3 2

9 9y x mx x m   

tiếp xúc với trục

hoành. Tổng các phần tử của

S

bằng

A.

1

. B.

0

. C.

3

. D.

3

.

Câu 24. Xét đồ thị

 

C

của hàm số

3

3y x ax b  

với

,a b

là các số thực. Gọi

M

,

N

là hai điểm phân

biệt thuộc

 

C

sao cho tiếp tuyến với

 

C

tại hai điểm đó có hệ số góc bằng

3

. Biết khoảng

cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng

MN

bằng

1

. Khi đó giá trị lớn nhất của

2 2

a b

bằng

A.

0

. B.

3

2

. C.

2

. D.

2

3



.

Câu 25. Cho hàm số

 

f x

thỏa mãn





2 2

1 1f x x x x    

với

x 



. Gọi



là tiếp tuyến của đồ

thị hàm số

 

f x

tại điểm có hoành độ

0

1

2

x 

. Giả sử



cắt

Ox

tại điểm

A

và cắt

Oy

tại điểm

B

. Khi đó diện tích của tam giác

OAB

bằng

A.

1

. B.

2

. C.

4

. D.

8

.

Câu 26. Cho hàm số:

2 2

1

x

y

x







có đồ thị

 

C

. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tại

điểm

   

0 0

;M x y C

thỏa mãn phương trình

0

2 0x  

là

A.

4 1

9 9

y x  

,

4 14y x 

. B.

4 2

9 9

y x  

,

4 1y x 

.

C.

4 1

9 9

y x  

,

4 1y x 

. D.

4 2

9 9

y x  

,

4 14y x  

.

Câu 27. Cho hàm số

   

2 4

4 1y x x x C  

. Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của

 

C

với parabol

 

2

: P y x

là

A.

0y 

;

1y 

;

24 6y x 

. B.

9y 

;

1y 

;

24 6y x 

.

C.

0y 

;

5y 

;

24 63y x 

. D.

0y 

;

1y 

;

24 63y x 

.

Câu 28. Cho hàm số

2 1

1

x

y

x







có đồ thị là

( )C

. Gọi

I

là giao điểm 2 đường tiệm cận. Gọi

 

0 0

,M x y

,

0

3x  

là một điểm trên

( )C

sao cho tiếp tuyến với

( )C

tại

M

cắt hai đường tiệm cận lần lượt

tại

,A B

thỏa mãn

2 2

40AI IB 

. Khi đó tích

0 0

x y

bằng

A.

1

. B.

12

. C.

7

. D.

12

.

Câu 29. Cho hàm số

1

( )

1

x

f x

x







có đồ thị

 

H

. Tìm trên

Oy

tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất

một tiếp tuyến tới

 

H

.

A.

(0;1)M

. B.

1

(0;1)M

và

2

(0; 1)M 

.

C. Không tồn tại. D.

(0; 1)M 

.

Câu 30. Cho hàm số

2 1

1

x

y

x







có đồ thị

( )

C

. Viết phương trình tiếp tuyến của

( )

C

biết tiếp tuyến này

cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm

,

A B

phân biệt thỏa mãn

82.

AB OB



.

A.

1 13

9 9

y x  

và

1 25

9 9

y x  

. B.

1 25

9 9

y x  

.

C.

1 13

9 9

y x  

. D.

1 17

9 9

y x  

và

1 25

9 9

y x 

.

Câu 31. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

2

1

x

y

x





tại điểm có hoành độ

0

x

là nghiệm của phương trình

2

16 2 8 6 2 1

x x x

   

là

A.

3 1

4 4

y x

 

. B.

3 9

4 4

y x

 

. C.

9

2

y



. D.

4 1

3 4

y x

 

.

Câu 32. Cho hàm số

1

2

x

y

x







có đồ thị

( )

C

. Viết phương trình tiếp tuyến của

( )

C

tại điểm

M

có hoành

độ không nhỏ hơn

3,

biết tiếp tuyến cắt hai tia

,

Ox Oy



lần lượt tại hai điểm

,

A B



sao cho tam

giác

OAB

cân.

A.

5

y x

 

. B.

5

y x

  

. C.

1

y x

 

. D.

1

y x

  

.

Câu 33. Cho hàm số

3 1

1

x

y

x







có đồ thị

( )

C

. Biết

y ax b

 

là phương trình tiếp tuyến của

( )

C

có hệ

số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm là số nguyên dương. Tính

2

a b



.

A.

2



. B.

9

. C.

7

. D.

5

.

Câu 34. Cho hàm số

3

1

x

y

x







có đồ thị

( )

C

và đường thẳng

: 4

y x m

    

. Tính tổng tất cả các giá trị

của

m

thỏa mãn



là tiếp tuyến của

( ).

C

A.

10

. B.

3

. C.

13



. D.

10



.

Câu 35. Cho hàm số





2 2

2

y x x

 

có đồ thị





C

. Gọi

(0 ; )

M b

là điểm thuộc trục

Oy

mà từ đó kẻ được

4

tiếp tuyến đến





C

. Giá trị của

b

là

A.

0 1

b

 

. B.

0

1

3

b













. C.

1 1

b

  

. D.

1

0

3

b

 

.

Câu 36. Cho hàm số

1

x

y

x







có đồ thị





C

. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

a

để

có hai tiếp tuyến của





C

qua





; 2

A a

với hệ số góc

1

k

,

2

k

thỏa mãn

2 2

1 2 1 2

10 . 0

k k k k

  

. Tổng

các phần tử của

S

bằng

A.

7

. B.

7

2

. C.

7 5

2



. D.

5 5

2



.

Câu 37. Cho hàm số

3 2

3 4

y x x

  

có đồ thị là





C

. Có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên thuộc trục

hoành sao cho từ đó có thể kẻ đến





C

duy nhất một tiếp tuyến?

A.

1

. B.

2

. C.

3

. D. Vô số.

Câu 38. Cho hàm số

2

1

x

y

x







có đồ thị là

 

C

. Tìm

a

để từ điểm

 

0;A a

có thể kẻ đến

 

C

hai tiếp

tuyến sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục hoành.

A.

2

1

a

  







. B.

2

3

1

a



 









. C.

2

3

1

a



 











. D.

2

3

a   

.

Câu 39. Cho hàm số

3 2

4y x mx x m    

có đồ thị

( )

m

C

và

A

là điểm cố định có hoành độ âm của

( )

m

C

. Giá trị của

m

để tiếp tuyến tại

A

của

( )

m

C

vuông góc với đường phân giác góc phần tư

thứ nhất là

A.

6m  

. B.

2m 

. C.

3m  

. D.

7

2

m





.

Câu 40. Cho hàm số

2 1

2 2

x

y

x







có đồ thị

 

C

. Gọi

 

0 0

;M x y

(với

0

1x 

) là điểm thuộc

 

C

, biết tiếp

tuyến của

 

C

tại

M

cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại

A

và

B

sao cho

8

OIB OIA

S S

 



(trong đó

O

là gốc tọa độ,

I

là giao điểm hai tiệm cận). Tính giá trị của

0 0

4 .S x y 

A.

8S 

. B.

17

4

S 

. C.

23

4

S 

. D.

2S 

.

Câu 41. Cho hàm số

1

x

y

x







có đồ thị

 

C

. Gọi

 

;

A A

A x y

,

 

;

B B

B x y

là hai điểm thuộc

 

C

sao cho tiếp tuyến của

 

C

tại

A

,

B

song

song với nhau

 

A B

x x

. Tiếp tuyến tại

A

cắt đường tiệm cận

ngang của

 

C

tại

D

,

tiếp tuyến tại

B

cắt đường tiệm cận đứng

của

 

C

tại

C

(tham khảo hình vẽ bên dưới). Chu vi tứ giác

ABCD

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

A.

16

. B.

8

.

C.

20

. D.

12

.

Câu 42. Cho hàm số

1

x

y

x







có đồ thị

 

C

. Gọi

A

,

B

là hai điểm thuộc hai

nhánh của

 

C

và các tiếp tuyến của

 

C

tại

A

,

B

cắt các đường tiệm

cận ngang và tiệm cận đứng của

 

C

lần lượt tại các điểm

M

,

N

,

P

,

Q

(tham khảo hình vẽ bên dưới). Diện tích tứ giác

MNPQ

có giá trị

nhỏ nhất bằng

A.

16

. B.

32

. C.

8

.

D.

4

.

Câu 43. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số

m

để đồ thị hàm số

4 2

2 3y x mx m  

tiếp xúc với trục

hoành tại hai điểm phân biệt?

A.

0

. B.

1

. C.

2

D. Vô số.

Câu 44. Cho hàm số

4 3 2 2 2

2

1

x x m x m x

y

x

  





. Có bao nhiêu giá trị của

m

để đồ thị hàm số đã cho tiếp

xúc với trục hoành?

A.

2

. B.

0

. C.

4

. D.

3

.

Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để đồ thị hàm số

e

x

y m 

tiếp xúc với đồ thị hàm

số

 

ln 1y x 

.

A.

em 

. B.

1.m 

C.

em  

. D.

1m  

.

Câu 46. Số tiếp tuyến chung của hai đồ thị

 

4

2

1

: 2 4

4

x

C y x  

và

 

2

: 4C y x 

là

A. 0. B. 1. C. 4. D. 5.

Câu 47. Cho hai hàm số

2

y x

(

1

C

) và

2

41

5

16

y x  

(

2

C

). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ

thị

   

1 2

,C C

có hệ số góc dương là

A.

1 1

2 16

y x



 

. B.

1 1

4 16

y x 

. C.

1 1

4 16

y x



 

. D.

1 1

2 16

y x 

.

Câu 48. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

( )y f x

tại điểm có hoành độ

1,x 

biết

2 3

(1 2 ) (1 )f x x f x   

là đường thẳng nào sau đây?

A.

3 7 6 0x y  

. B.

7 6 0x y  

. C.

7 6 0x y  

. D.

3 7 6 0x y  

.

Câu 49. Cho hai hàm số

 

y f x

và

 

y g x

đều có đạo hàm trên



và thỏa mãn

     

3 2 2

2 2. 2 3 . 36 0f x f x x g x x     

,

x 



. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

y f x

tại

2

o

x 

là

A.

3y x 

. B.

2 4y x 

. C.

2y x  

. D.

y x

.

Câu 50. Cho hàm số

2 1

1

x

y

x







có đồ thị là

 

C

. Gọi điểm

I

là giao của hai đường tiệm cận của

 

C

.

M

là một điểm bất kì trên

 

C

và tiếp tuyến của

 

C

tại

M

cắt hai tiệm cận tại

,A B

. Biết chu

vi tam giác

IAB

có giá trị nhỏ nhất bằng

a b

với

,a b 



. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

4 0a b  

. B.

2 0a b 

. C.

2 2

100a b 

. D.

log 2

a

b 

.

Câu 51. Cho hàm số

4 2

( 1) 4y x m x m   

có đồ thị

 

m

C

. Tìm tham số

m

để

 

m

C

tiếp xúc với đường

thẳng

 

: 3d y 

tại hai điểm phân biệt

A.

1

3

m

 







. B.

1

16

m

 







. C.

2

13

m

 







. D.

1

13

m

 







.

Câu 52. Giá trị

m

để đường thẳng

: (2 ) 2y m x   

cắt đồ thị

3 2

( ) :

y x x

C

 

 

tại 3 điểm phân

biệt

(2 ; 2), ,A B C

sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị

( )C

tại

B

và

C

đạt giá trị

nhỏ nhất là:

A.

1m 

. B.

2m  

. C.

2m 

. D.

1m  

.

Câu 53. Cho hàm số





2

2 2

x

y x x e



    có đồ thị





C

. Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị





C

cắt các

trục

Ox

,

Oy

lần lượt tại

A

,

B

(với

A

,

B

khác

O

) sao cho



5

cos

26

ABO  .

A.

0

. B.

1

. C.

2

. D.

3

.

Câu 54. Biết rằng tồn tại duy nhất một giá trị thực của tham số

m

để đồ thị hàm số

2

6

y x x m

  

tiếp

xúc với đồ thị hàm số

2

5

y x

 

. Giá trị

m

thuộc khoảng nào được cho dưới đây?

A.





; 6

 

. B.





6; 0



. C.





0;6

. D.





6;



.

Câu 55. Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên





0;

 

thỏa mãn

 





2

4 3 ,

f x

f x x x x

x



    



và





1 2

f



. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





y f x

 tại điểm có hoành độ

2

x



là

A.

16 20

y x

  

. B.

16 20

y x

 

. C.

16 20

y x

 

. D.

16 20

y x

  

.

Câu 56. Cho hàm đa thức bậc bốn





y f x



có đồ thị





C

. Hàm số





y f x





có đồ thị như hình vẽ dưới

đây. Gọi đường thẳng



là tiếp tuyến của đồ thị





C

tại điểm có hoành độ bằng

1

. Hỏi



và





C

có bao nhiêu điểm chung?

A.

2

. B.

3

. C.

1

. D.

4

.

Câu 57. Cho hàm số

3

1

x

y

x







có đồ thị là





C

, điểm

M

thay đổi thuộc đường thẳng

: 1 2

d y x

 

sao

cho qua

M

có hai tiếp tuyến của





C

với hai tiếp điểm tương ứng là

A

,

B

. Biết rằng đường

thẳng

AB

luôn đi qua điểm cố định là

H

. Độ dài đoạn

OH

là

A.

34

. B.

10

. C.

29

. D.

58

.

Câu 58. Cho hàm số









3

1 2 1 1

y m x m x m

     

có đồ thị





m

C

, biết rằng đồ thị





m

C

luôn đi qua

ba điểm cố định

A

,

B

,

C

thẳng hàng. Có bao nhiêu số nguyên

m

thuộc đoạn

10;10

 

 

để





m

C

có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng chứa ba điểm

A

,

B

,

C

?

A.

19

. B.

1

. C.

20

. D.

10

.

Câu 59. Cho đồ thị





3 2

: 3

C y x x

 

. Có bao nhiêu số nguyên





10;10

b  

để có đúng một tiếp tuyến

của





C

đi qua điểm





0; ?

B b

A. 2. B. 9. C. 17. D. 16.

Câu 1. Chọn D

Với

0 0

1 2015

x y    . Ta có





2

3 4 1 1 8

y x x y

 

     

.

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

0

1

x

 

có phương trình





8 1 2015

y x  

hay

8 2023

y x

 

.

Câu 2. Chọn D

Ta có

 

2

3 2 2

8 16 3 16 16

4 –y x x x x x y x x



     

 

nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm

là:





1 3

y





.

Tiếp tuyến tại điểm





0

1 ; 4

M

có phương trình





3 1 9

y x

  

hay

3 6

y x

 

.

Câu 3. Chọn B

Với

0 0

2 23

x y

   

. Ta có

3

4 4

y x x



 





2 40

y



   

.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

0

2

x

 

là





40 2 23

y x

   

hay

40 57

y x

  

.

Câu 4. Chọn A

Ta có

3

4 4

y x x



 

Với

0 0

1 ( ) (1) 8

x y x y

 

   

. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị





C

tại





1 ; 6

M là





8 1 6

y x

  

hay

8 2

y x

 

.

Câu 5. Chọn B

Điều kiện

2

x



. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

1

4 1 4( 2) 3

2

x

x x x

x



      



(thỏa mãn)

Ta có:

2

3

(3) 3

( 2)

y y

x



 

   



.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm

3( 3) 4

y x

   

hay

3 13

y x

  

.

Câu 6. Chọn D

Điều kiện

1

x



.

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình

1

1 1 1 2

1

x x

x

     



(thỏa mãn)

Ta có:

2

1

(2) 1

( 1)

y y

x



 

   



.

Phương trình tiếp tuyến

1( 2) 1

y x

   

hay

3

y x

  

.

Tiếp tuyến cắt

,

Ox Oy

lần lượt tại hai điểm

(3 ; 0); (0 ; 3)

A B

.

Do đó diện tích tam giác

OAB

là

9

2

.

Câu 7. Chọn B

Điều kiện:

0

x



.

Hoành độ tiếp điểm

M

là nghiệm phương trình









ln ln 1 ln 2 , 0

x x x

   

 

2

2 0

ln ln 1 ln 2 1

0

x x

x x x

x



  



     









   

1 1 3

ln ln 1 ' ' 1

1 2

y x x y y

x x

       



.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm

 

3

1 ln 2

2

y x  

hay

3 3

ln 2

2 2

y x  

.

Câu 8. Chọn C

Điều kiện:

1

x



. Tung độ tiếp điểm bằng

0

.

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm phương trình

ln( 1) 0 ln( 1) 0 2

x x x x

      

(do

1

x



)

 

' ln 1

1

x

y x

x

  







' 2 2

y

 

.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là





2 2

y x

 

hay

2 4

y x

 

Câu 9. Chọn A

Gọi





0 0

;

M x y

là tọa độ tiếp điểm, do

0

15

y

 

nên hoành độ

0

x

là nghiệm của phương trình

3 2 3 2

0 0 0 0 0 0 0

15 6 9 1 15 6 9 16 0

y x x x x x x

            

0

1

x

  

Ta có

2

3 12 9

y x x



  

nên





1 24

y



 

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:





24 1 15 24 9

y x x

    

.

Câu 10. Chọn B

Gọi





0 0

;

M x y

là điểm trên





C

. Khi đó tiếp tuyến của





C

tại

M

có hệ số góc

k

là

 

2

2 2

0 0 0 0 0 0

2 1 5 1 5 5

3 2 2 3 3

3 9 3 3 3 3

k y x x x x x x

   



           

   

   

Do đó ta có

5

min

3

k



đạt được khi

0 0

1 151

3 27

x y  

.

Câu 11. Chọn D

Gọi





,

M a b

là giao điểm của đồ thị





C

với đường thẳng

d

.

Ta có





M C



 

2

3

log , 3 2

2

a

b a

a



    



và





M d



2

b

 

1

a

 





1; 2

M .

Phương trình cần là









1 . 1 2

y y x



  

.

Lại có

  

5

2 3 ln 2

y

x x





 

 

5

1

4ln 2

y



 

. Vậy

5 5

2 .

4ln 2 4ln 2

y x  

Câu 12. Chọn C

Đường thẳng

2ln 4.

y x m

 

là tiếp tuyến của đường cong

2

4

x

y  khi và chỉ khi hệ phương

trình

2

4 2ln 4.

2.4 ln 4 2 ln 4

x

x m



 











có nghiệm.

Ta có

2

4 2ln 4.

2.4 ln 4 2 ln 4

x

x m



 











2

4 2ln 4.

0

x

x m

x



 













1

m

 

.

Câu 13. Chọn A

Ta có :

2

3 8 3

y x x



  

.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng



:

2 1 0

x y

  

nên hệ số góc của tiếp tuyến là

2

k

 

, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

2

1

3 8 3 2

5

3

x

x x

x







    









.

Với

1 3

x y

   

ta có phương trình tiếp tuyến là





2 1 3 2 1

y x y x

       

(loại vì

trùng với đường thẳng



).

Với

5 121

3 27

x y   

ta có phương trình tiếp tuyến là

5 121 31

2 2

3 27 27

y x y x

 

       

 

 

.

Câu 14. Chọn D

Ta có:

2

3 6 7

y x x



   

 

2

3 1 4 4

x

     

. Dấu

" "



xảy ra khi

1 3

x y

   

.

Do đó, tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc lớn nhất bằng

4



và là tiếp tuyến tại điểm





1 ; 3

M



.

Phương trình tiếp tuyến là





4 1 3

y x

   



4 1

y x

  

.

Câu 15. Chọn D

Ta có





3 2

4 2 2 2

y ax bx x ax b



   

.

Đường thẳng

4 2019 0

x y

  

có hệ số góc

1

4

k

 

.

Suy ra





2 4

f









4 8 4 8 1

a b a b

     

.





2; 5

A



thuộc đồ thị hàm số nên

16 4 23 5 4 7

a b a b

       

.

Ta có hệ phương trình:

8 1 2

2 4 15

4 7 15

a b a

a b

a b b

   

     

 

    

 

.

Câu 16. Chọn D

Cách 1 :

Đường thẳng

y m



tiếp xúc với đường cong









4 2

: 8 35

C f x x x

  

khi hệ sau có nghiệm

 

4 2

3

4 2

8 35

8 35 1

4 16 0 2

8 13

x x m

x x

x x m



  



  

 



 



 



  

 



.

Từ (2)

3

0

4 16 0 2

2

x

x x x

x

 



    



 



.

Với

0

x



thay vào





1

ta được

35

m



.

Với

2

x



thay vào





1

ta được

19

m



.

Với

2

x

 

thay vào





1

ta được

19

m



.

Vì đường thẳng

y m



tiếp xúc với đồ thị









4 2

: 8 35

C f x x x

  

tại hai điểm phân biệt, tức

là phương trình





2

có 2 nghiệm kép. Thử lại, ta có

19

m



thỏa mãn.

Khi đó, tung độ tiếp điểm là

19

y



.

Cách 2:

Dựa vào dạng đồ thị của hàm trùng phương ta thấy đường thằng

y m



(song song với trục Ox)

tiếp xúc với đồ thị hàm số









4 2

: 8 35

C f x x x

  

chỉ có thể tại hai điểm cực tiểu hoặc điểm

cực đại. Do đường thẳng

y m



tiếp xúc tại hai điểm phân biệt nên

y m



đi qua hai điểm cực

tiểu.

Ta có

 

3

0

4 16 0 2

2

x

f x x x x

x

 





    



 



.

Bảng biến thiên

Kết luận: Đường thẳng

19

y



tiếp xúc với





C

tại hai điểm cực tiểu hay tung độ tiếp điểm là

19.

Câu 17. Chọn B

Xét hàm số

   

2

1

ln 2 2

2

f x x x

  

. Điều kiện

1

x



.

Đường thẳng

2

y x

  

có hệ số góc

1

k

 

, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là

2

1

k



.

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình





1

f x





.

Ta có





1

f x







1

x

 





2

2 0 2

x x x

   

(do điều kiện

1

x



).

Vậy có

1

tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18. Chọn D

Gọi





;

a a

M a e e



 là tọa độ tiếp điểm. Ta có

x x

y e e





  .

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị





C

tại điểm

M

là





a a

y a e e





 

.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

2 2

a a a a

e e e e

 

  

.

Dấu đẳng thức xảy ra khi

0

a a

e e a



  

.

Vậy tiếp tuyến tại điểm





0 ; 0

M

có hệ số góc nhỏ nhất

2

k



.

Khi đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm là

2

y x



.

Câu 19. Chọn C

Gọi





3 2

0 0 0 0

; 3 6 1

M x x x x

  

là tọa độ tiếp điểm. Ta có:

2

3 6 6

y x x



  

.

Phương trình tiếp tuyến với





C

tại

M

có dạng:

2 3 2

0 0 0 0 0 0

(3 6 6)( ) 3 6 1

y x x x x x x x

       

.

Tiếp tuyến đi qua

(0 ;1)

N

2 3 2

0 0 0 0 0 0

1 (3 6 6)( ) 3 6 1

x x x x x x

        

3 2

0 0 0

2 3 0 0

x x x

    

hoặc

0

3

2

x

 

.

Với

0

x



, suy ra phương trình tiếp tuyến:

6 1

y x

  

.

Với

0

3

2

x

 

, suy ra phương trình tiếp tuyến:

33

1

4

y x

  

.

Câu 20. Chọn A

Gọi





3 2

0 0 0

; 3 2

M x x x

 

là tọa độ tiếp điểm. Ta có

2

3 6

y x x



 

.

Phương trình tiếp tuyến với





C

tại

M

có dạng:









2 3 2

0 0 0 0 0

3 6 3 2

y x x x x x x

     

.

Tiếp tuyến đi qua





1;0

A









2 3 2

0 0 0 0 0

3 6 1 3 2 0

x x x x x

      

3 2

0 0 0

2 6 6 2 0

x x x

     

0

1

x

 

. Vậy có duy nhất một tiếp tuyến cần tìm.

Câu 21. Chọn B

Ta có

 

2

6 5

3

x x

y

x

 







. Gọi

2

0 0

0

2

;

3

x x

M x

x

 

 

 



 

là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến với





C

tại

M

có dạng:

 

2 2

0 0 0 0

0

2

0

6 5 2

3

x x x x

y x x

x

   

  



Tiếp tuyến đi qua





4;1

A

 

2 2

0 0 0 0

0

2

0

6 5 2

1 4

3

x x x x

x

   

   



0

2

0 0

0

1

3

17

5 22 17 0

5

x

x x

x

 

 





 





  











. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm.

Câu 22. Chọn A

Ta có

 

2

1

y

x







. Gọi

0

2

;

1

x

M x

x

 

 



 

là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến với





C

tại

M

có dạng:

 

0

2

0

2

1

x

y x x

x

  



Tiếp tuyến đi qua





0;1

A

 

0

2

0

2

1

x

   



   

0

2

0 0

0 0 0 0

0

1

1 2

2 1 0

1 2 2 1

1 2

x

x x

x x x x

x



  

 

 



  

 

  

    



  







.

Suy ra tích hệ số góc cần tìm là:









   

2 2

1 2 . 1 2 . 1

1 2 1 1 2 1

y y

 

   

   

.

Câu 23. Chọn B

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phương trình:





 

3 2

2

9 9 0 1

3 2 9 0 2

x mx x m

x mx



   





  





Giải

















1 3 3 0

x x x m

    

.

Với

3

x



, thay vào





2

ta được

3

m

 

.

Với

3

x

 

, thay vào





2

ta được

3

m



.

Với

x m

 

, thay vào





2

ta được

3

m

 

.

Vậy





3; 3

S  

. Khi đó tổng các phần tử của

S

bằng 0.

Câu 24. Chọn D

Giả sử









1 1 2 2

; , ;

M x y N x y

.

Ta có

2

3 3

y x a



 

suy ra

2 2

1 2

3 3 3 3 3

x a x a

   



2 2

1 2

1

x a x a

   

.

Mặt khác,

3

1 1 1

3

y x ax b

  

3

1 1 1

2

x ax ax b

   





2

1 1 1

2

x x a ax b

   





1

2 1

a x b

  

.

Tương tự





2 2

2 1

y a x b

  

.

Suy ra phương trình đường thẳng

MN

là





2 1 0

a x y b

   

.

Giả thiết có





, 1

d O MN





 

2

1

2 1 1

b

a



 



2 2

4 4 2

b a a

  

.

Vậy

2 2 2

3 4 2

a b a a

    

2

2 2 2

3

3 3 3

a

  

    

 

 

.

Giá trị lớn nhất của

2 2

a b



bằng

2

3



khi

2 10

,

3 3

a b



   .

Câu 25. Chọn B

Đặt

2

1

t x x

  

suy ra

0

t



( vì

2

1

x x

 

với mọi

x

và

0

x x

 

với mọi

x

).

Ta có









2 2

1 1 1

x x x x

     

suy ra

2

1

1x x

t



  

.

Vậy

 

1

f t

t





với

0

t



hay

 

1

f x

x





với

0

x



.

Có

 

2

1

f x

x







1

4

2

f

 





 

 

suy ra tiếp tuyến của đồ thị hàm số





f x

tại điểm có hoành độ

0

1

2

x



là đường thẳng



có phương trình:

1 1 1

4 4

2 2 2

y f x f x

    



    

    

    

.

Khi đó



cắt

Ox

tại điểm





1 ; 0

A

và cắt

Oy

tại điểm





0 ; 4

B



nên diện tích của

OAB



là

1 1

. . 1 . 4 2

2 2

OAB

S OA OB



   

.

Câu 26. Chọn D

Hàm số đã cho xác định với

1

x

 

. Ta có:

 

2

4

'

1

y

x







Gọi













0 0 0

; , 1

M x y C x

 

là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của





:

C

 

0

2

0

2 2

4

1

x

y x x

x





  



với

 

0

2

0

4

'

1

y x

x







và

0

2 2

1

x

y

x







Do

0

2 0x

  

0

2

x

 

, hay

2

2;

3

M

 



 

 

,





2;6

M

.

Phương trình tiếp tuyến tại

2

2;

3

M

 



 

 

là

4 2

9 9

y x

  

.

Phương trình tiếp tuyến tại





2; 6

M là

4 14

y x

  

.

Vậy có

2

tiếp tuyến thỏa đề bài

4 2

9 9

y x

  

,

4 14

y x

  

.

Câu 27. Chọn D

Ta có:





2 4 4 3 2 3 2

4 1 4 4 ' 4 12 8

y x x x x x x y x x x

         

. Gọi









0 0

;

M x y C

 là tiếp

điểm.

Phương trình tiếp tuyến của





C

tại





0 0

;

M x y

là









3 2 4 3

0 0 0 0 0 0 0

4 12 8 4 4

y x x x x x x x x

      

Phương trình hoành độ giao điểm của





C

và parabol :

0

4 3 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

0

4 4 ( 4 3) 0 1

3

x

x x x x x x x x

x

 



        







.



0

x



ta có phương trình tiếp tuyến là:

0

y



.



0

1

x



ta có phương trình tiếp tuyến là:

1

y



.



0

3

x



ta có phương trình tiếp tuyến là:

24 63

y x

 

.

Câu 28. Chọn B

Ta có

 

2

2 1 3

'

1

x

y y

x



  



.

Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại





0 0

,

M x y

là

 

0

2

0

2 1

3

1

x

y x x

x



  



.

Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang

2

y



là





0

2 1;2

A x 

,

0

2 1

IA x

 

.

Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng

1

x

 

là

0

2 4

1;

x

B

x

 



 



 

,

0

6

1

IB

x





.

Theo bài ra

2 2

40

AI IB

 

 

   

2 4 2

0 0 0

2

0

36

4 1 40 4 1 40 1 36 0

1

x x x

x

         



.

 

2

0

0 0 0

2

0 0 0

0

1 9

1 3 2; 4

1 1 0; 2

1 1

x

x x x

x



 

 

     



  

 



     

  



.

Do

0

3

x

 

nên

0

4

x

 

suy ra điểm





4; 3

M 

. Vậy

0 0

12

x y

 

.

Câu 29. Chọn B







2

:

P y x

Ta gọi





0;

M a

là điểm cần tìm. Phương trình đường thẳng

d

đi qua

M

có dạng

y kx a

 

.

Đường thẳng

d

là tiếp tuyến duy nhất của

 

2

1

(1)

1

2

(2)

1

x

kx a

x

H

k

x

 

 





















có nghiệm duy nhất.

Thế

(2)

vào

(1)

ta có phương trình

 

2

1 2

*

1

x

x a

x

 

 



Điều kiện

1

x



.

Ta có













2

* 1 2( 1) 1 0 0 (**)

a x a x a g x        

Yêu cầu bài toán dẫn đến phương trình

(**)

có một nghiệm

1

x



.

 

1

; 1

1

2

; 1

2

0; 1

1

0; 1

2 0

0

1 0

a

x

x a

a

x a

g



 













 









 



  



   







  











 

 



















Vậy có hai điểm thõa mãn là





1

0;1

M và

2

(0; 1)

M



.

Câu 30. Chọn A

Ta có

 

2

1

'

1

y

x







. Gọi

 

2 1

; , 1

1

a

M a a

a

  



 



 

là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến tại

M

là

 

2

1 2 1

( )

1

a

y x a

a

 

  



.

Tiếp tuyến cắt trục

Ox

tại

2

(2 2 1;0)

A a a 

; cắt trục

Oy

tại

2

2 2 1

0;

( 1)

a a

B

a

 

 

 



 

.

Tam giác

OAB

vuông tại

2 2 2

O OA OB AB

  

. Mặt khác

82.

AB OB



2 2 2

82. 9 (1)

OA OB OB OA OB     .

Từ

(1)

ta có

2

2 2 1

2 2 1 9.

4

( 1)

a

a a

a



 

 

   









Với

2

a

 

ta có phương trình tiếp tuyến là

1 13

9 9

y x  

.

Với

4

a



ta có phương trình tiếp tuyến là

1 25

.

9 9

y x  

Câu 31. Chọn A

Điều kiện

1

2

x



. Ta có





2

2 2

16 2 8 6 2 1 16 3 2 1

x x x x x       









2 1 3 4 2 1 3 4 0

x x x x

       

2 1 4 3

x x

   

vì

1

2 1 3 4 0

2

x x x

     

2

16 26 10 0

1

3

4

x x

x



  



  









. Lại có

 

2

' .

1

x x

y

x







Với

1

x



1

.

2

y

 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2

1

x

y

x





tại

1

1;

2

M

 

 

 

là

 

3 1 3 1

1

4 2 4 4

y x y x

     

.

Câu 32. Chọn B

Ta có

 

2

1

( 2)

y f x

x



 

 



.

Phương trình tiếp tuyến của

( )

C

tại điểm





0 0

; ( )

M x y C

  

(

0

3

x



) có dạng









0 0 0

y f x x x y



  

.

Do tiếp tuyến cắt hai tia

,

Ox Oy



lần lượt tại hai điểm

,

A B



và tam giác

O A B

cân nên tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng

y x



.

Suy ra

 

0

2

0

1

1 1

3

1

2

x





 

 









. So điều kiện thì ta loại

0

1.

x



Với

0

3

x



ta có phương trình tiếp tuyến là

5

y x

  

.

Câu 33. Chọn D

Ta có

 

2

1

y f x

x



 

 



.

Phương trình tiếp tuyến của

( )

C

tại điểm





0 0

; ( )

M x y C

  

có dạng









0 0 0

y f x x x y



  

.

Ta có

 

0

2

0

2

1

f x

x









đạt giá trị nhỏ nhất khi

 

2

0

1

x 

đạt giá trị nhỏ nhất mà

0

x

phải là số

nguyên dương khác 1 nên

0

2

x



thỏa mãn yêu cầu.

Suy ra phương trình tiếp tuyến là:





2 2 5 2 9

y x y x

       

.

Câu 34. Chọn D

Ta có

 

2

4

1

y f x

x



 

 



.

Phương trình tiếp tuyến của

( )

C

tại điểm





0 0

; ( )

M x y C

  

có dạng









0 0 0

y f x x x y



  

.

Đường thẳng

: 4

y x m

    

là tiếp tuyến của

( )

C

suy ra

 

0

4

2

x

f x

x

 



  



 



.

Với

0

x



ta có phương trình tiếp tuyến là





4 0 3 4 3

y x y x

       

.

Với

0

2

x

 

ta có phương trình tiếp tuyến là





4 2 5 4 13

y x y x

       

.

Vậy có 2 giá trị

m

thỏa mãn yêu cầu là

3; 13

m m

   

suy ra tổng các giá trị

m

là

10



.

Câu 35. Chọn D

Phương trình đường thẳng

d

qua

(0; )

M b

có hệ số góc

k

là

:

d y kx b

 

.

d

là tiếp tuyến với





C

khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

4 2

3

2

3 2

4 4

x x kx b

b x x

x x k



  



   



 









1

.

Xét hàm số:





4 2

3 2

g x x x

  

.





3

12 4

g x x x



  

;

 

0

1

3

x

g x

x

 





 



 





.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số

y b



là đường thẳng song song với trục hoành.

Qua

(0; )

M b

kẻ được

4

tiếp tuyến đến





C

khi phương trình





1

có

4

nghiệm hay đường

thẳng

y b



cắt đồ thị hàm số





g x

tại

4

điểm.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi

1

0

3

b

 

.

Câu 36. Chọn C

Đường thẳng

d

đi qua





; 2

A a

với hệ số góc

k

có phương trình





2

y k x a

  

.





d

tiếp xúc với





C

khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

 

2

1

2

1

2

1

x

k x a

x

k

x





  























 

2

1

2

1

x a

x

 



  



 

2

1

6 2 3 0 1

x

x x a











   





.

Có

2

tiếp tuyến của





C

qua

A

suy ra phương trình





1

có hai nghiệm phân biệt khác

1

0

2 2 0

a



 





 



3

1

a

















*

.

Hệ số góc của các tiếp tuyến là

 

1

2

1

2

1

k

x







,

 

2

1

k

x







với

1

x

,

2

x

là các nghiệm của

phương trình





1

. Ta có:

   

1 2

2 2

1 2

1 1

2

1 1

k k

x x

 

 

   

 

 

 

   

 

2

1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2

2 2 2

2

1

x x x x x x

x x x x

 

    

 

 

 

  

 

 

2

2 10

1

a







.

  

1 2

2

1 2

4

.

1 1

k k

x x



 

 

 

 

2

1 2 1 2

4

1

x x x x



 

  

 

 

2

1

a





.

Từ giả thiết:

2 2

1 2 1 2

10 . 0

k k k k

  

   

2 4

2 10 10

0

1 1

a

a a



  

 

3 2

1

2 14 22 0

a

a a a

 







  





0

7 5

2

a

 















.

Kết hợp với điều kiện





*

ta đươc:

0

a



hoặc

7 5

2

a





.

Vậy tổng các phần tử của

S

bằng

7 5

2



.

Câu 37. Chọn B

Đường thẳng

( )

d

qua





; 0

A a Ox



,

a





có hệ số góc

k

có phương trình là





y k x a

 

.





d

là tiếp tuyến duy nhất với





C

khi hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm





 

3 2

2

3 4

3 6

x x k x a

I

x x k



   





 





.





I













 

2

2 2

3 2

x x x k x a

x x k



    







 













2

2 2 3 1 2 0

x x a x

 

     

 

.

   

2

2 0

2 3 1 2 0 *

x

x a x



 





   





.

Hệ





I

có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình





*

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

2

x



Trường hợp 1: Phương trình





*

vô nghiệm



5

0 1

3

a

     

. Vì

a





nên

0

1

a











Trường hợp 2: Phương trình





*

có nghiệm kép

2

x





0

3 1

2

4

a

 













1

5

3

a





 

























a

  

.

Vậy tồn tại hai điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn là





0 ; 0

A

hoặc





1 ; 0

A

.

Câu 38. Chọn C

Tập xác định:





\ 1

D 



. Ta có

 

2

3

1

y

x









.

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị





C

tại điểm

0

2

;

1

x

M x

x

 



 



 

có phương trình:

 

0

2

0

2

3

1

x

y x x

x



   



.

Tiếp tuyến đi qua





0 ;

A a

nên

 

0 0

2

0

3 2

1

x x

a

x



 



    

0

2

0 0 0 0

1

3 2 1 1

x

x x x a x

 







    





     

0

2

0 0

1

1 2 2 2 0 1

x

a x a x a

 







     





.

Để từ

 

0 ;A a

kẻ đến

 

C

hai tiếp tuyến thì phương trình

 

1

có

2

nghiệm phân biệt khác

1

.

    

   

2

1 0

1

' 2 1 2 0

2

1 2 2 2 0

a

a a a

a

a a a

  



 



        

 

 





     





.

 

*

Gọi

1 2

;x x

là các nghiệm của phương trình

 

1

.

Khi đó tọa độ các tiếp điểm là

1 2

2 2

; ; ;

1 1

x x

E x F x

x x

   

 

   

 

   

.

Để các tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi

1 2

2 2

. 0

1 1

x x

 



 

 

1 2 1 2

2 4

0

1

x x x x

  

 

  

 

2 2

2

2 4

1 1

0

2 2

2

1

1 1

a

a a

a

a a



 

 

 



 

 

9 6 2

0 9 6 0

3 3

a

a a



       



. Kết hợp với điều kiện

 

*

suy ra

2

3

1

a



 











.

Câu 39. Chọn C

Gọi

 

0 0

;A x y

với

0

0x 

là điểm cố định cần tìm.

3 2

0 0 0 0

4 ,y x mx x m m      

2 3

0 0 0 0

( 4) 0,x m x x y m      

 

2

0 0

0

3

0

0 0 0

2 vì 0

4 0

( 2;10)

100

x x

x

A

yx x y

 

  

 

 

   

 

   





.

Ta có

2

3 2 1 ( 2) 4 13y x mx y m

 

        

.

Phương trình tiếp tuyến của

( )

m

C

tại

( 2;10)A 

là

( 4 13)( 2) 10y m x    

hay

( 4 13) 8 16 ( )y m x m     

.

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình

:d y x

.

Vì

4 13 1 3d m m         

.

Câu 40. Chọn A

Tập xác định:

 

\ 1



. Tiệm cận đứng:

 

1

1 x d

, tiệm cận ngang:

 

2

1 y d

 

1; 1I

.

Ta có

 

2

2 2

y

x









Phương trình tiếp tuyến



tại điểm





0 0

;

M x y

có dạng

 

0

2

0

2 1

2

2 2

x

y x x

x



  



1

A d

  

0

1;

1

x

A

x

 



 



 

;

2

B d

  





0

2 1 ;1

B x 

;





0

2 2;0

IB x 



,

0

1

0 ;

1

IA

x

 



 



 



.

Ta có

8

OIB OIA

S S

 





1 1

. . .sin 8. . . .sin A

2 2

OI IB OIB OI IA OI

 

8

IB IA

 

( vì



0

A 135

OIB OI

 

)

0

1

2 2 8

1

x

  



 

2

0

1 4

x

  

0

3

x

 

(do

0

1

x



)

0

5

4

y

 

0 0

4

S x y

  

5

3 4. 8

4

  

Câu 41. Chọn D

Tiệm cận đứng:





1

x d



, tiệm cận ngang:





2

1

y d



.

Gọi

1



,

2



lần lượt là tiếp tuyến của





C

tại

A

,

B

.

Ta có

 

2

1

y

x









.

1 2

//

 

   

2 2

1 1

A B

y x y x

x x

 

 

   

 





2

A B

x x l

x x









 





.

Đặt

A

x m



với

1

m



. Suy ra

1

;

1

m

A m

m

  

 



 

,

3

2 ;

1

m

B m

m

  



 



 

.

Tiếp tuyến tại

A

là

1



:

 

2

2 1

1

m

y x m

m

 

  



.

Tiếp tuyến tại

B

là

2



:

 

2

2 3

2

1

m

y x m

m

 

   



.

1 2

D d

  





2 1 ; 1

D m 

;

2 1

C d

  

5

1;

1

m

C

m

  



 



 

.

Ta có

4

2 2 ;

1

AB DC m

m

  

  

 



 

 



AB C D

là hình bình hành.

2

1;

1

BC m

m

  

 

 



 



. Chu vi

P

hình bình hành

AB C D

bằng

   

 

2 2 2

16 4 4

2 2 4 1 1 6 1

1 1 1

P AB BC m m m

m m m

 

 

          

 

  

 

.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm

 

2

1

m



và

 

2

4

1

m

, ta có:

 

2

4

6 2 1 . 12

1

P m

m

  



. Dấu “



” xảy ra

 

2

4

1 1 2

1

m m

m

     



.

Câu 42. Chọn A

Tiệm cận đứng:





1

x d

 

, tiệm cận ngang:





2

1

y d



. Ta có

 

2

1

y

x







.

Xét điểm

 

2

1;

a

A a C

a

  

 

 

 

,

0

a



. Tiếp tuyến tại

A

là

1



:

 

2

2 2

1

a

y x a

a



   

1 2

M d

  





2 1 ; 1

M a 

;

1 1

N d

  

4

1;

a

N

a

  

 

 

 

.

Xét điểm

 

2

1;

b

B b C

b

  

 

 

 

,

0

b



. Tiếp tuyến tại

B

là

2



:

 

2

2 2

1

b

y x b

b



   

2 2

P d

  





2 1;1

P b 

;

1 1

Q d

  

4

1;

b

Q

b

  

 

 

 

.





2 2 ;0

MP b a

 



,

4 4

0;NQ

a b

 

 

 

 



Ta có

 





2

2 2

4 2

4

1 1 1 1

. .2 .4

2 2

MNPQ

a b ab

a b

MP NQ S MP NQ a b

a b ab ab

 



       

 

.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm

2

a

và

2

b

, ta có:

2 2 2 2

2 . 2

a b a b ab

   





4 4

16

MNPQ

ab

S

ab



  



. Dấu “



” xảy ra khi và chỉ khi

a b

 

.

Câu 43. Chọn B

Tập xác định

D





;





3 2

4 4 4

y x mx x x m



   

;

2

0

x

y

x m

 



 







.

Đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị đó có

hai điểm cực trị (trong bài toán này là hai cực tiểu) thuộc trục hoành.

Khi đó ta có

 

0

m

f m

 











2 2

0

2 3 0

m

m m m

 





  



 

0

3 0

m

m m

 







 





3.

m

 

Vậy có 1 giá trị của tham số

m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 44. Chọn D

Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

     

 

4 3 2 2 2

2

3 2 2 2 2 4 3 2 2 2

2

0

1

4 3 2 . 1 .2

0

1

x x m x m x

x

I

x x m x m x x x m x m x x

x



  











       











.

Ta có

 

  

 

4 3 2 2 2

2

3 2 2 2 2 4 3 2 2 2

2 2

0

1

4 3 2 1 .2

0

1 1

x x m x m x

x

I

x x m x m x x x m x m x x

x x



  













      



 



 







 

4 3 2 2 2

3 2 2 2

0 1

4 3 2 0 2

x x m x m x

x x m x m



   







   





.

















2 2

1 1 0 0;1;

x x m x x m

      

Khi

0

x



thay vào





2

suy ra

0

m



.

Khi

1

x



thay vào





2

suy ra

2

1 1

m m

   

.

Khi

x m



thay vào





2

suy ra

3 2

2 2 0 1, 0

m m m m

    

.

Khi

x m



thay vào





2

suy ra

3 2

2 2 0 1, 0

m m m m

      

.

Vậy có ba giá trị của

m

. Chọn đáp án D

Câu 45. Chọn D

Đồ thị hàm số

e

x

y m

 

tiếp xúc với đồ thị hàm số





ln 1

y x

 

khi và chỉ khi hệ phương

trình sau có nghiệm





 





 

e ln 1

1

2

e

e ln 1

1

x

m x

x



  



  

 



 





 

  

 

 







Dễ thấy rằng hàm số

e

x

y



đồng biến trên



, hàm số

1

y

x





nghịch biến trên khoảng





1 ;

  

và

0

x



là nghiệm của phương trình (2) nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất là

0

x



.

Thay

0

x



vào phương trình (1) ta được

1.

m

 

Câu 46. Chọn D

Gọi phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị là

y ax b

 

, hoành độ tiếp điểm của









1 2

,

C C

lần lượt là

1 2

,

x x

. Ta có

 

4

2

1

1 1

3

1 1

2

2 2

2

2 4 1

4

4 2

4 3

2 4

x

x ax b

x x a

x ax b

x a



   



 





  







.

Từ





4

ta có

2

a

x



, thế vào





3

suy ra

 

2

4 5

4

a

b   .

Thế





2

vào





5

ta được





 

2

3

1 1

4

4 6

4

x x

b



  .

Thế





2

và





6

vào





1

ta có

 





 

2

3

4

1 1

2 3 2 2 2 4 2

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

4

2 4 4 4 8 4 16 8 16 0

4 4

x x

x

x x x x x x x x x



              

 

1

2 4 2

1 1 1 1

1

0

11 24 0 3

8

x

x x x x

x

 



       



 



. Thế vào





2

ta được 5 giá trị của

a

là

0

a



,

3

a 



,

8 2

a

 

. Do vậy hai đồ thị có 5 tiếp tuyến chung.

Câu 47. Chọn D

Gọi

d

là phương trình tiếp tuyến chung của









1 2

,

C C

và

0

x a



là hoành độ tiếp điểm của

d

với





1

C

thì phương trình

d

là













2 2

0 0 0

2 2

y f x x x y a x a a ax a



       

.

d

tiếp xúc với





2

C

khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 

2 2

2

41

5 2 1

16

2 2

5

x ax a

x

a

x



   

















Thế (2) vào (1) ta có

2 2

2

41

5

16

4(5 )

5

x x

x



   



. Đặt

2

5

t x

 

(ĐK:

0

t



)

Ta có phương trình

2 2

2

41 5 5

45 80 20 0

2

16

4

9

t

t t

t t t

t

 

 



       











.

Do điều kiện:

0

t



nên nhận

2

t



. Với

2

t



suy ra

1

x







 



, thế vào (2) ta có

1

4

1

4

a

















.

Do đó









1 2

,

C C

có hai tiếp tuyến chung là

1 1

2 16

1 1

2 16

y x

 

 



 





. Vậy phương trình tiếp tuyến chung

của hai đồ thị









1 2

,

C C

có hệ số góc dương là

1 1

2 16

y x

 

.

Câu 48. Chọn C

Ta có:









22 3 3

(1 2 ) (1 2) 1 1

x

f fx x fx x xf    





.

Đạo hàm hai vế









2 3

2 1 1

f x f x x

   

, ta có

















2

4. 2 1 . 2 1 3 1 . 1 1

f x f x f x f x

 

     

.

Cho

0

x



ta được

















2

4 1 . 1 3. 1 . 1 1

f f f f

 

 













1 . 1 . 4 3 1 1

f f f

 



  

 

.





1

Từ









2 3

2 1 1

f x f x x

   

, cho

0

x



ta có









2 3

1 1 0

f f

 





 

1 0

1 1

f









 





.

Nếu





1 0

f



thì mâu thuẫn với





1

, do đó





1 1

f

 

, khi đó













1 1 . 4 3 1

f



   

 

1

7

f



  

.

Phương trình tiếp tuyến

 

1

1 1

7

y x

   

1 6

7 7

y x

   

hay

7 6 0

x y

  

.

Câu 49. Chọn D

3 2 2

(2 ) 2 (2 3 ) . ( ) 36 0

f x f x x g x x

     

,

x

 







1

.

Vì





1

đúng

x

 



nên cũng đúng với

3 2

0 (2) 2 (2) 0

x f f

   

(2) 0

(2) 2

f













.

Lấy đạo hàm hai vế của





1

ta có:

2 2

3 (2 ). '(2 ) 12 (2 3 ). (2 3 ) 2 . ( ) . ( ) 36 0 ,f x f x f x f x x g x x g x x

 

           



.

Cho

0

x



2

3 (2). (2) 12 (2). (2) 36 0

f f f f

 

    





2

.

Ta thấy

(2) 0

f



không thỏa mãn





2

nên

(2) 2

f



, khi đó

(2) 1

f





.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





y f x



tại

2

o

x



là













2 2 2

y f x f



  

y x

 

.

Câu 50. Chọn A

Ta có

 

2

1

y

x









. Giả sử













0 0 0

; , 1

M x y C x

 

suy ra tiếp tuyến của





C

tại điểm

M

có

phương trình

 

0

2

0

2 1

1

x

y x x

x



  



.

Vì

1 1

2 1 2 1

lim ,lim

1 1

x x

 

 

 

   

 

nên đường thẳng

1

x



là tiệm cận đứng của





C

.

Mà

2 1

lim 2

1

x









nên đường thẳng

2

y



là tiệm cận ngang của





C

, suy ra





1 ; 2

I

.

Điểm

0

2

1 ;

1

x

A

x

 

 



 

là giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến, điểm





0

2 1 ; 2

B x 

là giao

điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến.

Ta có chu vi của tam giác

IAB

bằng

IA IB AB

 

 

2

0 0

2

0

2 4

2 1 4 1

1

x x

x

     



.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

2 4 4.2 4 8

IA IB AB      .

Đẳng thức xảy ra khi

0

1 1

2

x





  







Vậy chu vi tam giác

IAB

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

4 8



khi





0 ; 1

M hoặc





2 ; 3

M .

Suy ra

4, 8

a b

 

nên

4 0

a b

  

.

Câu 51. Chọn D

Ta có





m

C

tiếp xúc với đường thẳng





d

tại điểm có hoành độ

0

x

khi hệ

4 2

0 0

3

0 0

( 1) 4 3 (1)

4 2( 1) 0 (2)

x m x m

x m x



   





  





có nghiệm

0

x

.

Từ phương trình

0

(2) 0

x

 

hoặc

2

0

1

2

m

x





.

Nếu

0

x



thay vào (1) ta được

3

4

m



.

-Nếu

2

0

1

2

m

x





thay vào (1) ta được

2

1 ( 1)

4 3

2 2

m m

m

   

  

 

 

2

1

14 13 0

13

m

m m

m





    







Thử lại:

Khi

3

4

m



thì





m

C

tiếp xúc với





d

tại chỉ một điểm





0; 3

nên

3

4

m



không thỏa mãn yêu

cầu của bài toán.

Khi

1

m



thì

2

0 0

1 1

x x

   

, suy ra





m

C

tiếp xúc với





d

tại hai điểm









1; 3 ; 1;3



Khi

13

m



thì

2

0 0

7 7

x x    , suy ra





m

C

tiếp xúc với





d

tại hai điểm









7 ; 3 , 7 ; 3



Vậy các giá trị

m

cần tìm là

1; 13

m m

 

.

Câu 52. Chọn D

Ta có :

3 2

y x x 

 

;

2

3 6

y x x



  

Phương trình hoành độ giao điểm của



và

( )

C

:

3 2

3 2 (2 ) 2 (1)

x x m x     

2

2 ( 2)

2 0 (2)

x y

x x m

  





   



.

Đường thẳng



cắt đồ thị

( )

C

tại

3

điểm phân biệt

(2 ; 2), ,

A B C



(1)

có 3 nghiệm phân biệt



(2)

có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

2

9

0

4 9 0

(*)

4

0

(2) (2) 2 0

0

m



 

  

 

 

  

  

 

   





 





.

Với điều kiện (*), phương trình (2) có

2

nghiệm phân biệt

B

x

và

C

x

.

Theo định lý Viet, ta có:

1

. 2

B C

x x

x x m

  





  





.

Tích hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị

( )

C

tại

B

và

C

là

2 2 2 2

. ( ) ( ) ( 3 6 )( 3 6 ) 9( 2 )( 2 )

B C B C B B C C B B C C

k k f x f x x x x x x x x x

 

         .

2 2 2

9 2 ( ) 4 9 ( 2) 2( 2)

B C B C B C B C

x x x x x x x x m m

   

       

   

2 2

9 ( 1) 1 9( 1) 9 9

m m

 

       

 

.

Dấu "=" xảy ra khi

1

m

 

(thỏa điều kiện (*)). Vậy

1

m

 

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 53. Chọn B

Từ



2

1

1 tan

os

ABO

c ABO

 





2

1 26 1

tan 1 1

25 25

os

ABO

c ABO

    

.





1

tan

5

ABO



hay



tan 5

OAB



(do



90

OAB ABO

  

).

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là



tan 5

k OAB

   

.

Ta có

2

0

x

y x e





 

,

x

 



.

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

5

y







2

5

x

x e





.

Xét hàm số





2

x

g x x e





. Ta có





2

( ) 2

x

g x x x e





 

;





0

g x







0

2

x











.





lim

x

g x



 

;





lim 0

x

g x





.

Bảng biến thiên:

Nhận thấy

2

4. 5

e





nên suy ra phương trình

2

5

x

x e





có một nghiệm duy nhất.

Vậy có duy nhất một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 54. Chọn D

Đồ thị hàm số

2

6

y x x m

  

tiếp xúc với đồ thị hàm số

2

5

y x

 

khi và chỉ khi hệ phương

trình sau có nghiệm





 

2 2

2

5 6

1

2

2 6

5 6

5

x x x m

x

x x x m

x



   





 





 

   

 







Phương trình (2) tương đương với

2

2 6 0

5

x

  



. (3)

Xét hàm số

 

2

2 6

5

x

y f x x

x

   



xác định, liên tục trên khoảng

 

5 ; 5

và

 





3

2

5

2 0

5

f x

x



  



,

 

5 ; 5x  

. Suy ra, hàm số

 

y f x

đồng biến trên khoảng

 

5 ; 5

. Lúc đó, phương trình (3) tương đương với

   

2 2.f x f x  

Thay

2x 

vào phương trình (1) ta được

9m 

.

Câu 55. Chọn B

Ta có

 

   

2 3 2

4 3 . 4 3

f x

f x x x x f x f x x x

x

 

      

.

 

3 2 3 2 4 3

. 4 3 . 4 3 dx .x f x x x x f x x x x f x x x C



         



.

Vì

   

1 2 1. 1 2 2 2 0f f C C C        

.

Suy ra

   

4 3 3 2

.x f x x x f x x x    

.

Khi đó:

     

2

3 2 ; 2 16; 2 12f x x x f f

 

   

.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

y f x

tại điểm có hoành độ

2x 

là

 

16 2 12 16 20y x y x     

.

Câu 56. Chọn B

Ta có tiếp tuyến



của

 

C

tại

1x 

là

    

1 1 1y f x f



  

.

Dựa vào đồ thị của hàm số

 

f x



, ta có

 

1 0f





.

Vậy

 

: 1y f 

.

Gọi

1

a

,

2

a

là hai nghiệm còn lại của

 

f x



. Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 

: 1y f 

và

 

C

có ba điểm chung.

Câu 57. Chọn D

Gọi

 

;1 2M m m d 

. Gọi



là đường thẳng đi qua

M

có hệ số góc là

k

, khi đó phương trình

đường thẳng

 

: 1 2y k x m m    

.

Để



là tiếp tuyến của đồ thị

 

C

thì hệ phương trình

 

2

3

1 2

1

4

1

x

k x m m

x

k

x

 

   









 







có nghiệm.

Thay

 

2

4

1

k

x

 



vào phương trình

 

3

1 2

1

x

k x m m

x



   



ta được

 

2

2 2 2 0mx m x m    

 

*

.

Qua

M

kẻ được hai tiếp tuyến với

 

C

khi và chỉ khi phương trình

   

2

2 2 2 0g x mx m x m     

có hai nghiệm phân biệt

1x 

   

 

2

0

2 2 0

1

1 4 2 2 0

a m

m

m m m

m

g m m m

  











       

 







     





.

Gọi

 

;

A A

A x y

,

 

;

B B

B x y

là hai tiếp điểm, với

A

x

,

B

x

là hai nghiệm của phương trình

 

*

.

Theo địnhlý Vi-et ta có

 

2 2

2

A B

m

x x

m

x x

m





 









 





.

Gọi

I

là trung điểm của đoạn thẳng

AB

thì

2 3

;

1

m m

I

m m

   

 



 

.

Mặt khác

 

2

;

1

B A

m x x

AB x x

m

 



 

 



 





một vectơ pháp tuyến của đường thẳng

AB

là

 

2 ;1n m m 



.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

AB

có một vectơ pháp tuyến





2 ;1

n m m

 



và đi

qua điểm

2 3

;

1

m m

I

m m

   

 



 

là





2 1 7 0

mx m y m

    

.

Gọi





;

H H

H x y

là điểm cố định mà đường thẳng

AB

đi qua.

Khi đó,









2 1 7 0 2 1 7 0

H H H H H

mx m y m m x y y

          

với mọi

0

m



và

1

m



.

Suy ra

 

2 1 0 3

3; 7

7 0 7

H H H

H H

x y x

H

y y

 

    

   

 

   

 

. Vậy

   

2 2

3 7 58

OH     

.

Câu 58. Chọn C

Gọi





;

A A

A x y

,





;

B B

B x y

,





;

C C

C x y

Ta có:

A

là điểm cố định mà đồ thị





m

C

luôn đi qua nên





,

m

A C m

 









3

1 2 1 1,

A A A

y m x m x m m

       





3 3

3 3 3

3 3

2 1 1 0,

2 1 0 2 1 0 2 1 0

1 0 2 1 2 2

A A A A A

A A A A A A

A A A A A A A A A

m x x x x y m

x x x x x x

x x y y x x x y x

        

  

        

  

  

  

          

  

  

Tương tự ta cũng chứng minh được:

2

B B

y x

 

và

2

C C

y x

 

.

Hay ba điểm

A

,

B

,

C

thuộc đường thẳng

: 2

y x

  

.

Ta lại có:









2

3 1 2 1

y m x m



   

và gọi





0 0

;

M x y

là tiếp điểm

Khi đó để





m

C

có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng



thì phương trình

 

1

o

y x

k







  

phải có nghiệm









2

0

3 1 2 0 *

m x m    phải có nghiệm

Xét





1 : * 2 0

m

   

(vô lí) nên loại

1

m

 

Xét

 

2

0

2

1 : *

3 1

m

m x

m

   



Để





*

có nghiệm thì

 

  

2

0 ; 1 0;

3 1

m

        





So với điều kiện

m





và

10;10

m

  

 

ta được

m





và



10 ; 1 0 ;10

m

     

  

Hay





10; 9 ; 8; 7 ; 6 ; 5; 4 ; 3; 2;0;1; 2; 3 ; 4; 5; 6 ;7 ; 8;9 ;1

0

m          

Vậy có

20

số

m

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 59. Chọn C

Gọi





3 2

0 0 0 0

; 3

M x x x

 là tiếp điểm.

Tiếp tuyến



của

( )

C

tại

0

M

có dạng









2 3 2

0 0 0 0 0

3 6 3

y x x x x x x

    



qua









2 3 2 3 2

0 0 0 0 0 0 0

(0; ) 3 6 0 3 2 3 (*)

B b b x x x x x b x x          .

Có đúng một tiếp tuyến của





C

đi qua điểm





0; (*)

B b  có đúng 1 nghiệm

0

x

.

Đặt





3 2

2 3

g x x x

 

;





2

g 6 6

x x x



 

;

 

0

1

x

g x

x







 







.

Ta có bảng biến thiên của hàm

( )

g x

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình





*

có đúng 1 nghiệm

0 0

1 1

b b

 

  

 

 

   

 

.

Vì

b

nguyên và





10;10

b   , suy ra





9; 8;...; 1; 2; 3;....; 9

b     , có 17 giá trị của

b

.

 Cơ sở của phương pháp ghép trục giải quyết bài toán hàm hợp

 





g f u x

. Ta thực hiện theo

các bước sau đây:

 Bước 1: Tìm tập xác định của hàm

 

g f u x

. Giả sử tập xác định tìm được như sau:

     

1 2 3 4 1

; ; .... ;

n n

D a a a a a a



   

, ở đây có thể

1

;

n

a a   

 Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm

 

u u x

và hàm

 

y f x

Lập bảng biến thiên kép, xét sự tương quan giữa

 

;x u u x

 



 

và

 

;u g f u

 



 

(Bảng biến thiên này thường có 3 dòng)

 Dòng 1: Xác định các điểm đặc biệt của hàm

 

u u x

, sắp xếp các điểm này theo thứ tự

tăng dần từ trái qua phải, giải sử như sau:

1 2 1

....

n n

a a a a



   

(xem chú ý số 1).

 Dòng 2: Điền các giá trị

 

i i

u u a

, với

 

1,.....,i n

.

Trên mỗi khoảng

 

1

;

i i

u u



, với

 

1, 1i n 

cần bổ sung các điểm kì dị

1 2

, ,....

k

b b b

của hàm

số

 

y f x

.

Trên mỗi khoảng

 

1

;

i i

u u



, với

 

1, 1i n 

, sắp xếp các điểm

;

i k

u b

theo thứ tự, chẳng hạn:

1 2 1

....

i k i

u b b b u



    

hoặc

1 2 1

....

i k i

u b b b u



    

(xem chú ý số 2).

 Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm dựa vào bảng biến thiên của hàm

 

y f x

bằng cách hoán đổi

u

đóng vai trò của

x

;

 

f u

đóng vai trò của

 

f x

.

Sau khi hoàn thiện bảng biến thiên

 

g f u x

ta sẽ thấy được hình dạng của đồ thị hàm

số này.

 Bước 4: Dùng bẳng biến thiên hàm hợp

 

g f u x

để giải quyết các yêu cầu của bài toán

và đưa ra kết luận.









g f u x



LÍ THUY

ẾT

 Một số chú ý quan trọng khi sử dụng phương pháp ghép trục để giải quyết các bài toán về hàm hợp.

 CHÚ Ý 1:

 Các điểm đặc biệt của





u u x



gồm: các điểm biên của tập xác định

D

, các điểm cực

trị của hàm số





u u x



.

 Nếu xét hàm





u u x

 thì ở dòng 1 các điểm đặc biệt còn có nghiệm của phương trình





0

u x



( là hoành độ giao điểm của hàm số





u u x



với trục

Ox

).

 Nếu xét hàm





u u x

 thì ở dòng 1 các điểm đặc biệt còn có số

0

( là hoành độ giao

điểm của





u u x



và trục

Oy

).

 CHÚ Ý 2:

 Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của





u u x



.

 Điểm đặc biệt của hàm số





y f x



gồm: các điểm tại đó





f x

và





f x



không xác

định, các điểm cực trị của hàm số





y f x



.

 Nếu xét hàm









g f u x



thì trong dòng 2 các điểm đặc biệt còn có nghiệm của phương

trình





0

f x



.

 Nếu xét hàm









g f u x



thì trong dòng 2 các điểm đặc biệt còn có số

0

.

Lời giải

Chọn B

Tiến hành đặt

2

os osu c x c x 

. Đạo hàm

 

2.cos .sin sin sin 1 2cosu x x x x x



    

.

Giải phương trình:

sin 0 0; ; 2

0

1 5 7

cos 2 ; ;

2 3 3 3 3

x x k x

u

x x k x

  

   



     





 



       





Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình

 

1

5

f u 

có tất cả

10

nghiệm phân biệt.

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn

5

;

2 2

 

 



 

 

của hàm số

 

2

5 cos cos 1f x x 

là

A.

11

.

B.

10

.

C.

9

.

D.

12

.

Lời giải

Chọn D

Đặt

 

2u f x 

. Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực trị tại

2x 

và

5x 

.

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên, phương trình có

3

nghiệm phân biệt

11 2

8 26

2

22 4

4 13

2

m

m m



   



  

 



   





 





Vậy có

34

giá trị của

m

thỏa mãn.

VÍ DỤ 2: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ

Gọi

S

là tập hợp các giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

2

m

f f x  

có

3

nghiệm phân biệt. Số phần tử của tập

S

là?

A.

10

. B.

32

. C.

9

. D.

34

.

Lời giải

Chọn B

Đặt

 

  

 

3 2

2

3 3

2

3

3 3 3

3 3

3

x x x

u x x x x u

x x

 



     



.

Giải phương trình đạo hàm

  

 

3 2

2

3

0

3 3 3

0 1

3

x

x x x

u x

x x

x





 





    





 



.

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số

2 ; 2  

 

có

17

điểm cực trị.

VÍ DỤ 3: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi phương trình

 

3

3f x x

có bao nhiêu điểm cực trị thuộc đoạn

2; 2 

 

?

A.

10

.

B.

17

.

C.

12

.

D.

15

.

Lời giải

Phương trình đã cho tướng tương với

 

3 10

5 2 1 3cos

7

m

f x



  

.

Đặt

3sin

5 2 1 3cos

1 3cos

x

u x u

x



    



.

Giải phương trình đạo hàm

3sin

0 0

1 3cos

x

u x

x



   



.

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán

3 10 4

2

7 3

m



     

VÍ DỤ 4: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

7 5 2 1 3 cos 3 10f x m   

có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc

;

2 2

 

 



 

 

A.

10

. B.

1

. C.

15

. D.

2

.

Câu 1: Cho hàm số

 

3 2

y f x ax bx cx d    

có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thuộc khoảng

3

;3

2



 



 

 

của phương trình

   

2

sin 5 sin 6 0f x f x  

là

A.

13

. B.

12

. C.

11

. D.

10

Câu 2: Cho hàm số

 

5 4 3 2

y f x ax bx cx dx ex f      

có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

 

4 5 2 3 0f x    

là:

A.

8

. B.

4

. C. 10. D. 6

Câu 3: Cho hàm số

 

f x

có bảng biến thiên như sau:

Hỏi phương trình

 

1 2 1 1f x x   

có bao nhiêu nghiệm thực?

A.

12

. B.

4

. C.

5

. D.

8

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 4: Cho bảng biến thiên hàm số

 

5 2f x

như hình vẽ dưới.

Hỏi phương trình

 

2

2 4 3 1 3f x x    có bao nhiêu nghiệm thực

x

tương ứng?

A.

6

. B.

5

. C.

7

. D.

4

Câu 5: Cho bảng biến thiên của hàm số

 

3 2f x

như hình vẽ. Biết

   

4 3; 0 0f f 

. Hỏi có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

3

3 2 2f x x m    có nhiều nghiệm

nhất?

A.

7

. B.

6

. C.

5

. D.

2

Câu 6: Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



, thỏa mãn

   

  1 2 5f f

và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình

 





   

3

2cos 2cos 5 2cos 2f x x x

trên khoảng



 

 

 

5

0;

2

là?

A.

2

. B.

1

. C.

5

. D.

3

Câu 7: Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình bên.

Số giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

     

2

cos 3 cos 2 10 0f x m f x m    

có

đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn

;

3



 



 

 

là

A.

5

. B.

6

. C.

7

. D.

4

.

Câu 8: Cho

( )f x

là hàm đa thức bậc

6

và có đồ thị hàm số

( )y f x





như hình vẽ dưới đây

Hỏi hàm số

 

2

( ) 4 5y g x f x x   

có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

2

. B.

5

. C.

3

. D.

1

.

Câu 9: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có bảng xét đấu đạo hàm

 

f x



như hình

vẽ bên dưới. Hàm số

 

2

4 4g x f x  

đồng biến trên:

A.

 

0;1

. B.

 

1; 2

. C.

 

1;0

. D.

 

3; 1 

.

Câu 10: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên



và có bảng xét đấu đạo hàm

 

f x



như hình

vẽ bên dưới. Hàm số

 

2

1 7 6g x f x x    

nghịch biến trên:

A.

 

5;6

. B.

 

1;2

. C.

 

2; 3

. D.

 

3;5

.

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.D 3.C 4.D 5.D 6.A 7.B 8.C 9.C 10.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Cho hàm số

 

3 2

y f x ax bx cx d    

có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thuộc khoảng

3

;3

2



 



 

 

của phương trình

   

2

sin 5 sin 6 0f x f x  

là

A.

13

. B.

12

. C.

11

. D.

10

Bài làm:

Chọn A

Ta giải phương trình:

   

 

2

sin 3

sin 5 sin 6 0

sin 2

f x

f x f x

f x











 



    



 













.

Bảng biến thiên:

Kết hợp bảng biến thiên và đồ thị tương giao:

Ta thấy:

Với mọi

 

1;1x 

thì phương trình luôn có

3

nghiệm.

Với mọi

 

0;1x

thì phương trình có duy nhất

1

nghiệm.

Vậy số nghiệm của phương trình thuộc khoảng

3

;3

2



 



 

 

là

3.4 1 13 

.

Câu 2: Cho hàm số

 

5 4 3 2

y f x ax bx cx dx ex f      

có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

 

4 5 2 3 0f x    

là:

A.

8

. B.

4

. C. 10. D. 6

Bài làm:

Đặt

     

 

2

4 4 5

4 5 2 4 5 2

4 5

x

g x x x g x

x





       



.

Giải phương trình

 

2

4 4 5

5

0

4

4 5

x

g x x

x





    



.

Ta lập bảng biến thiên của hàm số

 

g x

như sau:

Yêu cầu bài toán trở thành: tìm số nghiệm phân biết của phương trình

 

3 0f g x  

.

Kẻ đường thẳng

3y 

lên đồ thị như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy, số nghiệm của phương trình thuộc





2;

 

bằng số nghiệm của

phương trình thuộc





; 2

 

. Mà trên





2;

 

phương trình có

3

nghiệm nên trên





; 2

 

cũng có

3

nghiệm. Vậy phương trình có

3 3 6

 

nghiệm phân biệt.

Câu 3: Cho hàm số





f x

có bảng biến thiên như sau:

Hỏi phương trình





1 2 1 1

f x x

   

có bao nhiêu nghiệm thực?

A.

12

. B.

4

. C.

5

. D.

8

Lời giải

Chọn C

Điều kiện xác định:

1

x



. Ta có:

 





 

1 2 1 1

f x x



   



    



    





.

Đặt

1

1 2 1 1 0 2.

1

u x x u x

x



         



Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có

5

nghiệm phân biệt.

Câu 4: Cho bảng biến thiên hàm số





5 2

f x



như hình vẽ dưới.

Hỏi phương trình

 

2

2 4 3 1 3f x x    có bao nhiêu nghiệm thực

x

tương ứng?

A.

6

. B.

5

. C.

7

. D.

4

Lời giải

Chọn D

Đặt

5 2x t 

, đưa bảng biến thiên hàm số

 

5 2f x

về bảng biến thiên hàm số

 

f x

.

Ta có bảng biến thiên của hàm số

 

f x

như sau:

Đặt

2

4 3u x x  

, phương trình trở thành

 

2

2 1 3

1

f u



  



 





.

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình có tất cả

4

nghiệm thực

x

.

Câu 5: Cho bảng biến thiên của hàm số

 

3 2f x

như hình vẽ. Biết

   

4 3; 0 0f f 

. Hỏi có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

3

3 2 2f x x m    có nhiều nghiệm

nhất?

A.

7

. B.

6

. C.

5

. D.

2

Lời giải

Chọn D

Đưa về bảng biến thiên của hàm số

 

f x

bằng cách đặt

   

3 2 3 2x t f x f t    

.

Bảng biến thiên của hàm số

 

f x

như sau:

Đặt

3

3 2u x x  

thì phương trình trở thành

 

2

f u m

 

  



 





.

Sử dụng phương pháp ghép trục

Để phương trình có nhiều nghiệm nhất

 

3 2 8

2 5 3;4

0 2 3

m

m m

m

  



     



  



.

Câu 6: Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



, thỏa mãn

   

  1 2 5f f

và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình

 





   

3

2cos 2cos 5 2cos 2f x x x

trên khoảng



 

 

 

5

0;

2

là?

A.

2

. B.

1

. C.

5

. D.

3

Lời giải

Chọn A

Ta đặt

 

 

 

 

       

 

 

 

2

3

3cos 1

2cos 2cos 5 2cos ' sin 2 0

2cos 2cos 5

x

u x x x u x

x x

Giải phương trình

 



 

 



 

 





  







 



 



 



5

0;

2

3

sin 0 ;2 .

0

3cos 1

2 0

2cos 2 cos 5

voi x

x x

u

x

vo nghiem

x x

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 7: Cho hàm số

 

f x

liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình bên.

Số giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

     

2

cos 3 cos 2 10 0f x m f x m    

có

đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn

;

3



 



 

 

là

A.

5

. B.

6

. C.

7

. D.

4

.

Lời giải

Chọn B

Đặt

0

cos sin 0

x

u x u x

x









     







( với

;

3

x



 

 

 

 

).

Khi đó phương trình đã cho trở thành

     

 

2

3 2 10 0

5

f u

f u m f u m

f u m



     



 





.

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Do phương trình

 

2f u 

có 3 nghiệm nên yêu cầu bài toán tương đương với phương trình

 

5f u m 

có duy nhất một nghiệm

4 5 2 1 7m m      

 

1;2;3;4;5;6

m



 



.

Câu 8: Cho

( )f x

là hàm đa thức bậc

6

và có đồ thị hàm số

( )y f x





như hình vẽ dưới đây

Hỏi hàm số

 

2

( ) 4 5y g x f x x   

có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

2

. B.

5

. C.

3

. D.

1

.

Lời giải

Chọn C

Đặt

2

4 5 2 4 0 2.u x x u x x



         

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có

3

điểm cực trị.

Câu 9: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



và có bảng xét đấu đạo hàm





f x



như hình

vẽ bên dưới. Hàm số

 





2

4 4

g x f x

  

đồng biến trên:

A.





0;1

. B.





1; 2

. C.





1;0



. D.





3; 1

 

.

Lời giải

Đặt

 





 

2 2

4 4 , 4 4

g x f x f u u x

      

, với





2;2

x  

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng





2;0

 .

Câu 10: Cho hàm số





y f x



có đạo hàm liên tục trên



và có bảng xét đấu đạo hàm





f x



như hình

vẽ bên dưới. Hàm số

 





2

1 7 6

g x f x x

    

nghịch biến trên:

A.





5;6

. B.







1; 2

. C.





2; 3

. D.





3;5

.

Lời giải

Đặt:

 





 

2

1 7 6

g x f x x f u

     

với

2

1 7 6

u x x

    

và





2;2

x  

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng





1;3 7

 

và





3;3 7



.

Câu 1: Cho hàm số

 

f x

có đạo hàm liên tục trên



,

 

2 7f  

và có bảng biến thiên như dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

 

2

1 2f x m  

có đúng 6

nghiệm thực phân biệt?

A.

9

. B.

8

. C.

7

. D.

6

.

Câu 2: Cho hàm số bậc bốn

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số

m

để phương trình

 

3 1 logf x x m  

có ít nhất năm nghiệm phân biệt?

A.

990

. B.

991

. C.

989

. D.

913

.

Câu 3: Cho hàm số

 

3 2

3, ,y f x x ax bx a b    

là các tham số thực thỏa mãn

 

2 0

24 3 3 0

a b

  







  





. Hỏi phương trình

     

2

2. . '' 'f x f x f x  

 

có bao nhiêu nghiệm?

A.

2

. B.

4

. C.

3

. D.

1

.

Câu 4: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thực của phương trình

 

3

2 6 2 2f x x   là

A. 15. B. 14. C. 12. D. 13.

Câu 5: Cho hàm số

 

y f x

xác định và liên tục trên



,có đồ thị

 

'f x

như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của

 

10;10m  

để hàm số

 

3

4 2

1

(2 1)( 2 2019)

2

x

g x f m x x

 



    

 

 

đồng biến trên khoảng

 

0; 

?

A.

8

. B.

9

. C.

11

. D.

10

.

Câu 6: Cho hàm số bậc bốn

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số

m

để phương trình

 

3 1 logf x x m  

có ít nhất năm nghiệm phân biệt ?

A.

990

. B.

991

. C.

989

. D.

913

.

Câu 7: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên



và có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực đại của hàm số

 

2 2

8 7 3    g x f x x x

là

A.

6

. B.

7

. C.

8

. D.

9

.

Câu 8: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thuộc đoạn

3

2 ;

2



 



 

 

của phương trình

 

2 sin 2 5 0  f x

là

A.

11

. B.

15

. C.

7

. D.

9

.

Câu 9: Cho hàm sô

 

4 3 2

, , , ,y ax bx cx dx e a b c d e     



, biết

 

1

2

f





và đồ thị hàm số

 

y f x





như hình vẽ. Hàm số

   

2

2 2g x f x x x  

đồng biến trên khoảng

A.

 

2;

. B.

 

1;1

. C.

 

1;2

. D.

 

; 1 

.

Câu 10: Cho hàm số bậc bốn

   

4 3 2

, , , ,f x ax bx cx dx e a b c d e     



, biết

 

1

2

f  

và đồ thị

hàm số

 

'y f x

như hình vẽ. Hàm số

   

2

2 2g x f x x x  

đồng biến trên khoảng

A.

 

2;

. B.

 

1;1

. C.

 

1;2

. D.

 

; 1 

.

Câu 11: Cho hàm số

 

y f x



có đạo hàm liên tục trên



và có đồ thị hàm số

 

2

2y f x x



 

như

hình vẽ. Hỏi hàm số

 

2 3

2

1 1

3

y f x x

   

đồng biến trên khoảng nào?

A.

 

3; 2

 

. B.

 

1;2

. C.

 

2; 1

 

. D.

 

1;0



.

Câu 12: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đồ thị là đường cong trơn (không bị gãy khúc),

tham khảo hình vẽ bên. Gọi hàm số

   

g x f f x  

 

. Hỏi phương trình

 

' 0g x 

có bao nhiêu

nghiệm phân biệt?

A.

14

. B.

10

. C.

12

. D.

8

.

Câu 13: Cho hàm số

 

f x

thỏa mãn

 

0 0f 

. Đồ thị hàm số

 

'y f x

cho bởi hình vẽ dưới đây.

Hàm số

 

3g x f x x 

có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A.

2

. B.

3

. C.

4

. D.

5

.

Câu 14: Cho hàm số

9

( )

9 3

x

y f x 



. Tìm m để phương trình

2

1

3 sin (cos ) 1

4

f m x f x

 

  

 

 

có đúng

8

nghiệm phân biệt thuộc

 

0;3



Câu 15: Cho hàm số

 

y f x

có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn

9

0;

2



 

 

 

phương trình

 

cos 2f f x 

là

A.

9

. B.

6

. C.

5

. D.

7

.

Câu 16: Cho hàm số

 

4 3 2

bx cx dx ey f x ax    

với

0a 

có đồ thị như hình vẽ. Phương trình

 

2

logf f x m

(với

m

là tham số thực dương), có tối đa bao nhiêu nghiệm?

A.

18

. B.

3

. C.

5

. D.

7

.

Câu 17: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị như hình dưới. Có bao nhiêu số nguyên

m

để phương trình

 

3

2 6 2 2 1f x x m    có 6 nghiệm phân biện thuộc đoạn

1;2

 



 

?

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Câu 18: Cho hàm số

 

y f x

, hàm số

 

y f x





có đồ thị như hình bên. Hàm số

 

2

5sin 1

2 3

2 4

x

g x f



 

  

 

 

có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng

 

0;2



?

A. 9. B. 7. C. 6. D. 8.

Câu 19: Cho

 

f x

là hàm số bậc bốn thỏa mãn

 

0 0f 

. Hàm số

 

f x



có bảng biến thiên như sau:

Hàm số

 

3

3g x f x x  có bao nhiêu điểm cực trị

A. 5. B. 4. C. 2. D. 3

Câu 20: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt

của phương trình

 

f f x x

là

A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.

Câu 21: Cho hàm số

 

f x

bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tìm số điểm cực trị của hàm số

 

g x

, biết

 

3

2 2

1g x x f x

 



 

 

.

A. 5. B. 6. C. 9. D. 10.

Câu 22: Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ sau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số

m

thuộc đoạn

 

20;20

để hàm số

 

1g x f x m  

có 5 điểm cực trị?

A. 14. B. 15. C. 16. D. 17.

Câu 23: Cho hàm số

 

y f x

có đồ thị hàm số

 

'y f x

như hình vẽ dưới đây.

Hàm số

 

2

1g x f x x  

có bao nhiêu điểm cực đại?

A.

3

. B.

4

. C.

5

. D.

7

.

Câu 24: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên



và có đồ thị như hình bên dưới.

Số giá trị nguyên của tham số

m

sao cho phương trình

   

2sinf x f m

có 5 nghiệm phân

biệt thuộc đoạn

3

0;

2



 

 

 

là

A.

1

. B.

3

. C.

2

. D.

0

.

Câu 25: Cho hàm số bậc ba

 

y f x

có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

thuộc đoạn

 

20;20

để hàm số

 

1g x f x m  

có 5 điểm cực trị.

A.

14

. B.

13

. C.

11

. D.

12

.

Câu 26: Cho hàm số

3

( ) 3y f x x x   . Số điểm cực tiểu của hàm số

3

sin 3 (sin 3 cos )

2

f x x x

 

 

 

 

trên

13

;

6 6

 

 



 

 

là?

A.

6

.

B.

5

.

C.

7

. D.

8

Câu 27: Cho hàm số

( )y f x

có đạo hàm liên tục trên



,

( 2) 7f  

và có bảng biến thiên như hình

dưới đây.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình





2

1 2

f x m

  

có đúng 6

nghiệm thực phân biệt?

A.

9

. B.

8

. C.

7

. D.

6

Câu 28: Cho hàm số bậc ba





y f x



và hàm số bậc nhất





y g x



có đồ thị như hình dưới đây

Hàm số

   





0

f x

h x g t dt





nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.





3; 2 .

 

B.





2; 1 .

 

C.





1;1 .



D.





1;3 .

Câu 1: Đặt





2

2 1

1 2 '

1

x x

u x u

x



    



với

1

x

 

.

Ta có:

0

' 0 1

1

x

u x

x







  



 



.

Ghép trục ta được:

Để phương trình





2

1 2

f x m

  

có đúng 6 nghiệm thực phân biệt thì

1 7

m

  

.

Suy ra





0;1;2;3;4;5;6

m 

.

Câu 2: Ta có bảng biến thiên của hàm số





y f x



Đặt

     

2

3 1 3 . 1

u x x x x

     

 

   









 

2

2 2

3 2 2

3

' . 1 3

3 3

x x

x

u x x

x x

 



     

 

Ta có bảng biến thiên của hàm số





u u x



Ghép trục ta được:





log

f u m



có ít nhất 5 nghiệm phân biệt

4 log 0

1 log 3

m

  







 



4

3

10 1

10 10

m





 





 



và m









1;10;11;...;999

m 

.

Câu 3: Ta có





 

   

 

lim

1 2 0

3 9 3 24 24 3 3 0

lim

x

f x

f a b

f a b a b

f x





 





   





      



 





Suy ra





0

f x



có 3 nghiệm phân biệt

1 2 3

1 3

x x x

   

.

Mặt khác:

           

2 2

2. . '' ' 2. . '' ' 0

f x f x f x f x f x f x

   

   

   

Xét

       

2

2. . '' '

g x f x f x f x

 

 

 









































' 2. ' . '' 2 . ''' 2 ' . '' 2 . ''' 12 .

g x f x f x f x f x f x f x f x f x f x

     

Khi đó

     





 

1

2

3

;1

' 0 12 0 0 1;3 .

3;

x x

g x f x f x x x

x x

  



       



  



Bảng biến thiên

Do

         

2 2

2 2 2 2 2

2. . '' ' ' 0g x f x f x f x f x       

   

nên

 

0g x 

có hai nghiệm phân

biệt.

Câu 4:

Ta có:

 

   

3 3

3

3 3

2 6 2 2 2 6 2 0

2 6 2 2

2 6 2 2 2 6 2 0

f x x khi f x x

f x x

f x x khi f x x



     



   



      





Theo đồ thị:

   

2 2 1f  

     

2 0 3 2f a a  

     

2 3 6 3f b b  

     

2 6 4f c c 

Với

 

1

thì

3 3

2 6 2 2 2 6 4 0 2; 1x x x x x x            (2 nghiệm).

Với

 

2

thì

3 3

2 6 2 2 6 2 0x x a x x a       

(3 nghiệm).

Với

 

3

thì

3 3

2 6 2 2 6 2 0x x b x x b       

(3 nghiệm).

Với

 

4

thì

3

2 6 2x x c  

(1 nghiệm).

Vậy

 

3

2 6 2 2f x x  

có 2+3+3+1 = 9 nghiệm.

Với

 

3

2 6 2 2f x x   

thì có 3 trường hợp là

 

2f d  

với

2d  

;

 

2f e  

với

3 6e 

và

 

2f f  

với

6f 

.

Với

2d  

thì

3

2 6 2x x d  

có 1 nghiệm.

Với

3 6e 

thì

3

2 6 2x x e  

có 3 nghiệm.

Với

6f 

thì

3

2 6 2x x f  

có 1 nghiệm.

Trường hợp

 

3

2 6 2 2f x x   

có 1+3+1 = 5 nghiệm.

Vậy tổng cộng

 

3

2 6 2 2f x x   có 9 + 5 = 14 nghiệm.

Câu 5: Chọn C

Ta có

 

3

2 3

3 1

' ' (2 1)(4 4 )

2 2

x

g x x f m x x

 



   

 

 

.

Hàm số đồng biến trên





0;

 

khi và chỉ khi









' 0, 0;g x x  

 

 

3

2 3

3

2

0

3 1

' (2 1)(4 4 ) 0,

2 2

3 1

2 1 . '

;

0;,

8 8 2

x

x f m x x x

x x

m f x

x

 

 



      

 

 

 



    

 



 

 

Với

0

x



thì

3 3

1 1

0 ' 2.

2 2

x x

f

 

 

   

 

 

Đẳng thức xảy ra khi

3

1

1 1.

2

x



  

Mặt khác,

2

3 3 3

0

1

8 8 16

8( )

x

  



Suy ra

3 3

2 2

3 1 3 3 1 3

. ' ( 2). . ' .

8 8 2 16 8 8 2 8

x x x x

f f

x x

   

  

   

   

 

   

Đẳng thức xảy ra khi

1

x



. Như vậy:

3 5

2 1 .

8 16

m m



   

Vì m





và





10;10

m  

nên





10; 9; 8;... 1;0

m      . Có 11 giá trị.

Câu 6: Đặt

       

2

3 1 3 1

     

u x x x x x

 

  

 

    

 

  

 

2

2 2 2

3 1 3 1 3 3 2x+2

' 3

3 3 3

      

    

  

x x x x x x

u x x

x x x

 

3

' 0

1

x

u x

x



 

 



 



Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình đã cho có ít nhất năm nghiệm khi :

4

3

4 log 0 1

10 1

1 log 3 10,11,12,....,999

10 10

m m

m

m m

m





 

   

 

 



 

  

 

 



Vậy có

991

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 7: Xét hàm số

2 2

8 7 3

    

y x x x

Tập xác định của hàm số là



Ta có

2

2 2

2 8 4, 1 7

8 7 3

8 10, 1 7



    

     



  



x x x x

y x x x

x x

4 8, 1 7

'

8 , 1 7

x x x

y

x

   







 



Đặt

2 2

8 7 3    t x x x

. Khi đó bảng biến thiên của hàm số

 

y f t

là

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số

 

y f t

cho có 7 điểm cực đại.

Câu 8: Đặt

sin 2,1 3   t x t

Phương trình

 

2 sin 2 5 0  f x

trở thành:

 

1

2

3

4

0;1

1;2

5

2

2;3

3;4

  



 



 



 



  



t t PTVN

t t

f t

t t

t t PTVN

BBT:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

+.

2

t t

có 3 nghiệm phân biệt

x

thuộc

3

2 ;

2



 



 

 

+.

3

t t

có 4 nghiệm phân biệt

x

thuộc

3

2 ;

2



 



 

 

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt.

Câu 9: Xét hàm số

       

2

2 2 2 2 2h x f x x x h x f x x

 

      

     

0 1 1h x f x x

 

   

Vẽ đường thẳng

1

y x

 

. Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng

1

y x

 

cắt đồ thị hàm số





y f x





tại ba điểm. Khi đó phương trình

 

1

1 1

2

x

 





 















2

1 2 1 2 0

h f x x

   

Ta có bảng biến thiên của hàm số





h x

như sau:

Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số









g x h x



.

Câu 10: Xét









2

2 2

h x f x x x

  









' 2 ' 2 2

h x f x x

   













' 0 2 ' 2 2 0 ' 1

h x f x x f x x

       

Dựa vào đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số

 

'y f x

và đường thẳng

1y x 

cắt nhau tại 3 điểm có

hoành độ là

1; 1; 2x x x   

Do đó phương trình

 

1

' 1 1

2

x

f x x x

x

 





   







Bảng biến thiên

Bảng biến thiên của hàm số

   

g x h x

Vậy hàm số

   

2

2 2g x f x x x  

đồng biến trên khoảng

 

1;2

.

Câu 11: Xét hàm số

 

2 3

2

1 1

3

g x f x x

   

Ta có:

 

   

2 2 2

' 2 . ' 1 2 2 ' 1g x x f x x x f x x

 

     

 

 

 

2

0

' 0

' 1 1

x

g x

f x x







 



  





Xét

 

1

: Đặt

1x t

 

Khi đó ta có:

 

2

1

0;1

' 2 1

2

2;3

t

t a a

f t t t

t

t b b



 



 



    







 





 

2

1 1 1;0

1

1 1 1;2

x

x a a

x

x b b



 



    











   





Ta có:

Từ bảng xét dấu trên ta thấy hàm số

 

g x

đồng biến trên khoảng

 

2; 1

 

.

Câu 12: Ta có

 

2; 1

0

' 0

1;2

2

x a

x

f x

x b

x

   







 



 









Từ đồ thị ta có

 

, 3f a M M 

và

   

, 0;1f b m m 

.

Đặt

 

u f x

, ta có hàm số

   

g x f u

.

Số nghiệm phân biệt của phương trình

 

' 0g x 

chính là số cực trị của hàm số

   

g x f u

.

Dựa vào đồ thi hàm số

 

y f x

ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số

   

g x f u

có 12 cực trị.

Vậy phương trình

 

' 0g x 

có 12 nghiệm phân biệt.

Câu 13: Đặt:

         

3 ' ' 3h x f x x h x f x     

Từ đồ thị hàm

 

'y f x

ta có BBT:

Số điểm cực trị dương của hàm

 

h x

là

2

.

Do đó số điểm cực tiểu của

 

g x

là:

2.2 1 5 

.

Câu 14: Ta có

1

9 9 9 3

( ) (1 ) 1

9 3 9 3 9 3 9 3

x x x

x x x x

f x f x x



       

   

Do đó

2

2 2

1

3 sin (cos ) 1

4

1 1

3 sin cos 1 3 sin sin .

4 4

f m x f x

m x x m x x

 

  

 

 

      

Kết luận:

1 1

3 0 0

64 192

m m

 

    

.

Câu 15: Đặt

cosu x

,

 

t f u

Phương trình trở thành:

( ) 2f t 

.

Ta có bảng biến thiên hàm số

( )y f t

Số nghiệm phương trình

 

cos 2f f x 

bằng số giao điểm của đường thẳng

2y 

và đồ thị

hàm số

( )y f t

, từ bảng biến thiên  phương trình

( ) 2f t 

có 9 nghiệm.

Vậy phương trình

 

cos 2f f x 

có 9 nghiệm.

Câu 16: Đặt

 

t f x

Phương trình trở thành:

 

2

logf t m

Số nghiệm phương trình

 

2

logf f x m

bằng số giao điểm của đường thẳng

2

logy m

và

đồ thị hàm số

( )y f t

, từ bảng biến thiên  phương trình có tối đa 18 nghiệm.

Câu 17: Đặt

3

2 6 2t x x  

Khi đó

2

6 6t x



 

,

1

0

1

x

t

x







 



 



 

3

2 6 2 2 1f x x m    có 6 nghiệm phân biệt

0 2 1 2m   

1 3

2 2

m  

Lại có

1m m  



. Vậy có duy nhất 1 số nguyên

m

thoả mãn bài toán.

Câu 18: Đặt

5sin 1

2

x

t





. Suy ra

   

2

2 3g t f t t  

Ta có

     

2 2 0g t f t t f t t

  

     

1

3

t

 





 



 



Bảng biến thiên:

Suy ra:

.

Câu 19: Đặt

3

t x x t   .Ta có

 

   

3

3 3h x f x x h t f t t    

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra

   

3

2

1

0h x f t t a

t

 

     

3

t a x a  

Suy ra hàm số





( )

g x h x



có 3 cực trị

Câu 20: Xét phương trình









f f x x







1

Nhận xét:





















2 2 1

x f x x f f x f x x        không có nghiệm

2

x



.





















2 2 1

x f x x f f x f x x          không có nghiệm

2

x

 

.

Ta xét bảng biến thiên của









f f x

với

2 2

x

  

như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình









f f x x



có 9 nghiệm.

Câu 21:

 

2

0

1 0

x

g x

f x







 



 





.

2

0 0

x x

  

(nghiệm kép, loại).

 





 

2

1 1

1

1 1 0

1 0 1

2

1 1

x l

x a

x a a

f x x b

x b b

x



  



  



    



      



   



 







 



. Vậy





g x

có 6 cực trị.

Câu 22:





f x

có hai cực trị là

     

3 2

0, 2 2 .

3

a

x x f x ax x f x x ax C



        













3 2

0 2, 1 4 3, 2 3 2

f f a c f x x x

           

.

 





 

3

1 , khi 0

3 4, khi 0

1 1

1 , khi 0

3 4, khi 0

f x x

x x x

f x f x

f x x

x x x

 



   

 

    

 

 

  





.

Ta có đồ thị của





1

f x



như sau:

Đặt









1 .

h x f x m

  

Ta có









g x h x



.





g x

có 5 cực trị



phương trình





0

h x



có 2 nghiệm đơn

4

m

 

.

Vậy có 17 giá trị

m

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 23: Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số





y f x

 có 3 điểm cực trị là

1; 1; 2

x x x

   

.

Đặt

 

2

1, 1

1, 0 1

1

1, 1 0

1, 1

x x x

u x x x

x x x



  



    



   



     



   



;

 

1

2

' 0

1

2

x

u x

x







 



 





.

Bảng biến thiên ghép trục

Hàm số













g x f u x

 có

3

điểm cực đại và

4

điểm cực tiểu.

Câu 24: Từ đồ thị hàm số





y f x



ta thấy hàm số có các cực trị

1; 1

x x

  

.

Đặt

2sin ' 2cos

t x t x

  

;

' 0 , .

2

t x k k



    



Ta có bảng ghép trục.

Phương trình









2sin

f x f m



có 5 nghiệm phân biệt thuộc đoạn

3

0;

2



 

 

 

khi









3 0 .

f m f  

Từ đồ thị hàm số





y f x



ta thấy









3 0

f m f  









 

2; 1

0;1 .

1;2

m a

m b

m c

   





  



 



Vì m





nên

0.

m



Câu 25: Đặt









1 1

t x f x f t

    

Bảng ghép trục:

Phương trình





g x

trở thành









g t f t m

 

YCBT trở thành:





0

f t m

 

có 2 nghiệm phân biệt

Để





0

f t m

 

có 2 nghiệm phân biệt thì:

 

20;20

8 8

m

m m



 

     



có 13 giá trị m

Câu 26: Ta có:

3

sin(3 ) 3sin 4sin 6sin

3 3 3

y f x x f x x

  



   

     

        

     



  

     

   

Vậy hàm số trên có 6 điểm cực tiểu.

Câu 27: Đặt





2

2 . 1

1 2 '

1

x x

u x u

x



    



Ta có bảng biến thiên như sau

Từ bảng biến thiên để phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt khi

1 7

m

  

Suy ra





0,1,2,3,4,5,6

m

.

Câu 28: Đặt









. 2 , 0

g x k x k

  

   

 

2

0

2 2 .

2 2

f x

x

h x g t dt k x k f x

 

     

 

 



f(-2)=7

f(0)=-1

f(-1)=-2

f(1)=-2

f(-1)=-2

+∞

1

-1

0

-1

0

+∞

-2

-1

1-1

0

+∞

-∞

f(u)

u

x

     

 





 

1

2

3 1

4 2

2;0

' 0 0;2

' . ' 2 ' 0

2 2;

;2

x x

f x x x

h x k f x f x h x

f x x x x

x x x





 





  



      



   







 



Bảng biến thiên

Dưạ vào bảng biến thiên suy ra hàm số h(x) nghịch biến trên khoảng





3; 2 .

 

.

+

_

+ +0

0

00

0

-2

x

3

x

1

0

x

2

x

4

2

-



-



h(x)

h'(x)

x

Nắm trọn chuyên đề hàm số Toán 12

Tài liệu liên quan:

Kĩ Thuật Giải Nhanh Cực Trị Hàm Bậc 4 Trùng Phương | Toán 12

Chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số từ cơ bản đến nâng cao

Chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12

Chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao

Ôn kiến thức, luyện kỹ năng bài giảng tính đơn điệu của hàm số