Nhập môn lý thuyết ma trận | Đại học Sư Phạm Hà Nội
Nhập môn lý thuyết ma trận | Đại học Sư Phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
lOMoAR cPSD| 40439748
NHẬP MÔN LÝ THUYẾT MA-TRẬN
(Bản sơ thảo bài giảng)
Bộ môn Đại số và Bộ môn Hình học
Khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm Hà Nội lOMoAR cPSD| 40439748 MỤC LỤC Chương I. MA TRẬN 5
§1. Tập hợp và Ánh xạ ............................................. 5
1.1. Khái niệm tập hợp ............................................... 5
1.2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau................................ 6
1.3. Các phép toán trên tập hợp ...................................... 6
§2. Phép thế và dấu của phép thế................................. 12
§3. Ma trận và các phép toán trên ma trận ........................ 14
3.1. Mở đầu......................................................... 14
3.2. Ma trận ........................................................ 14
3.3. Một số loại ma trận đặc biệt thường gặp ........................ 15
3.4. Các phép toán trên ma trận..................................... 17
3.5. Ma trận nghịch đảo. ............................................ 19
§4. Định thức của ma trận........................................ 22
§5. Giá trị riêng và chéo hoá ma trận ............................. 31
5.1. Ví dụ mở đầu................................................... 31
5.2. Giá trị riêng và véc tơ riêng ..................................... 34
5.3. Chéo hoá ma trận .............................................. 37
Chương II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 45
§1. Hệ phương trình tuyến tính ................................... 45
§2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss ..... 50
§3. Hệ Cramer.................................................... 60 3 2
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 MA TRẬN
§1. Tập hợp và Ánh xạ
1.1. Khái niệm tập hợp a)
Khái niệm. Tập hợp là một khái niệm cơ bản, nghĩa là, tập hợp là một khái
niệm không được định nghĩa, mà được hiểu một cách trực giác như là một sự tụ tập
của những sự vật hoặc những đối tượng theo một qui tắc nào đó (có thể liệt kê ra
được hoặc có cùng một số tính chất chung nào đó). Mỗi sự vật hoặc đối tượng đó
được gọi là một phần tử của tập hợp. Ta cũng nói tắt "tập hợp" là "tập". b)
Kí hiệu. Một tập hợp thường được kí hiệu bởi một chữ cái in hoa, chẳng hạn
như A,B,C,X,Y, Z,... Các phần tử của một tập hợp thường được kí hiệu bởi các chữ cái
in thường, chẳng hạn như a, b,c, x, y,z,... Nếu phần tử x thuộc tập hợp X, ta kí hiệu x ∈
X. Nếu phần tử x không thuộc tập hợp X, ta kí hiệu x 6∈ X. c)
Tập rỗng. Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, và kí hiệu là ;. d)
Biểu diễn tập hợp.
(1) Liệt kê các phần tử của tập hợp. Chẳng hạn như, tập các số tự nhiên N được
biểu diễn ở dạng liệt kê như sau
N= {0,1,2,...,n,...,}. (2) Chỉ rõ các tính chất đặc trưng
cho các phần tử của tập hợp. Cụ thể là, nếu tập hợp A gồm tất cả các phần tử x có tính
chất P(x), ta viết A = {x : P2(, xácx)}. Chẳng hạn như, trong mặt phẳng tọa độ Ox y,
đồ thị G của hàm số y = x định trên R, được biểu diễn như sau
G = {(x, y) : x ∈ R, y = x2}.
(3) Để có một hình ảnh trực quan về tập hợp, ta thường biểu diễn một tập 5 lOMoAR cPSD| 40439748
hợp bởi một miền phẳng, giới hạn bởi một đường cong khép kín, không tự cắt. Hình
biểu diễn đó được gọi là biểu đồ Ven của tập hợp.
1.2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau
a) Định nghĩa. Cho A và B là hai tập hợp.
(i) Tậpmỗi phần tử củaA được gọi làAtập concũng là một phần tử của tậpcủa tập
B, và kí hiệu làB. NếuA ⊂ BAhoặc⊂ B vàB A⊃=6.A, nếuB thì
ta nói A là tập con thực sự của tập B, và kí hiệu là A( B hoặc B ) A
(ii) Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, và kí hiệu là A = B, nếu mỗi phần
tử của A là một phần tử của tập B và mỗi phần tử của B cũng là một phần tử của tập A. b) Mệnh đề. (1) X = X.
(2) Nếu X = Y thì Y = X.
(3) Nếu X = Y và Y = Z thì X = Z. (4) X ⊂ X.
(5) Nếu X ⊂ Y và Y ⊂ X thì X = Y.
(6) Nếu X ⊂ Y và Y ⊂ Z thì X ⊂ Z.
(7) ; ⊂ X, với mọi tập hợp X.
Chú ý. Việc chứng minh mệnh đề trên, cũng như các mệnh đề và các tính chất trong
Mục 1.1 và 1.2 dưới đây, là không không khó, và dành cho bạn bạn đọc coi như là một bài tập.
1.3. Các phép toán trên tập hợp a)
Phép hợp.tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợpCho
hai tập hợp A và B. Hợp của A và B, kí hiệu làA hoặcA∪B. Như vậy,B, là một 4
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
A∪ B = {x : x ∈ A hoặc x ∈ B}. b)
Phép giao. Cho hai tập hợp A và B. Giao của A và B, kí hiệu là A∩B, là một
tập hợp gồm các phần tử thuộc đồng thời hai tập hợp A và B. Như vậy,
A∩ B = {x : x ∈ A và x ∈ B}. lOMoAR cPSD| 40439748
tập hợp gồm các phần tử thuộcc) Phép hiệu. Cho hai tập hợpAAmà không thuộcvà B.
Hiệu của AB. Như vậy,và B, kí hiệu là A\B, là một
A\B = {x : x ∈ A và x 6∈ B}.
Nếu B ⊂ A, A\B còn được gọi là phần bù của B trong A, và kí hiệu là CAB. Chú ý.
1. Đối với các phép toán tập hợp, ta có một số tính chất sau. (i) Tính chất giao hoán:
A∪ B = B ∪ A,
A∩ B = B ∩ A.
(ii) Tính chất kết hợp:
(A∪ B)∪ C = A∪(B ∪ C), (A∩
B)∩ C = A∩(B ∩ C).
(iii) Tính chất phân phối:
A∩(B ∪ C)=(A∩ B)∪(A∩ C), A∪(B ∩
C)=(A∪ B)∩(A∪ C). (iv) Công thức De Morgan:
X\(A∪ B)=(X\A)∩(X\B), X\(A∩
B)=(X\A)∪(X\B).
2. Một cách tổng quát, các phép toán hợp và giao có thể mở rộng cho một họ tùy ý
các tập hợp như sau. Cho {Ai}i∈I là một họ các tập hợp. Hợp của họ các một trong các
tập hợptập hợp {Ai}i∈I, kí hiệu làAi, với∪i∈IiA∈i, là một tập hợp gồm các phần tử thuộc
ít nhấtI nào đó. Như vậy, 6
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
∪i∈IAi = {x : x ∈ Ai với một i ∈ I nào đó}.
Giao của họ các tập hợp {Ai}i∈I, kí hiệu là ∩i∈IAi, là một tập hợp gồm các phần tử thuộc
đồng thời các tập hợp Ai, với i ∈ I. Như vậy,
∩i∈IAi = {x : x ∈ Ai với mọi i ∈ I}.
Khi đó, ta có công thức De Morgan đối với họ tùy ý các tập hợp
X\(∪i∈IAi)= ∩i∈I(X\Ai),
X\(∩i∈IAi)= ∪i∈I(X\Ai).
d) Phép tích Descartes. Cho A1,...,An là n tập hợp. Tích Descartes của n tập
(hợpx1,...,A1,...,xn) An, kí hiệu lài i
A1 × ... × An, là một tập hợp gồm các bộ sắp thứ tự. Như vậy,
, với x ∈ A với mọi i = 1,...,n
A1 ×...× An = {(x1,..., xn) : xi ∈ Ai với mọi i = 1,...,n}.
DescartesNếu A1 =bậc···n=của tập hợpAn = A, thìA, và kí hiệu làA × ... × A (nAthừa số)
còn được gọi làn. lũy thừa 1.2. Ánh xạ
1.2.1. Định nghĩa về ánh xạ.
a) Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ f từ X
đếntử yY∈là một qui tắc đặt tương ứng mỗi phần tửY. Ánh xạ. Phần tửf từy
∈XYđếnđược gọi là ảnh của phần tửY được kí hiệu là
x ∈ Xx với một và chỉ một
phầnqua ánh xạ f , và kí hiệu 7
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 là f (x)
f : X → Y, x 7→ y = f (x). Tập X được gọi là
tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích của ánh xạ f . b) Ví dụ.
(1) Ánh xạ X → X, x 7→ x, được gọi là ánh xạ đồng nhất, và được kí hiệu là idX .
Chú ý rằng, nếu(2) Với A ⊂ X, ánh xạA= X thìj :jA=→idXX ., x →7 x, được gọi là ánh xạ nhúng chính tắc.
(3) Với y0 là một phần tử cố định của Y, ánh xạ f : X → Y, x 7→ y0, được gọi là ánh xạ hằng.
1.2.2. Ảnh và ảnh ngược.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một ánh xạ.
(i) Vớif (XA) ⊂ X, tập f (A) = {f (x) : , hayx ∈ Atập giá trị} được gọi làcủa ảnhf , và
kí hiệu làcủa A qua fImf. Tập.
còn được gọi là ảnh của f
(ii) Với B ⊂ Y, tập−1(fy−)1(còn được viết làB) = {x ∈ X : ff(−x1)(∈y).B} được gọi là
ảnh ngược của B qua f . Tập f
b) Mệnh đề. Cho f : X → Y là một ánh xạ. Khi đó,
(1) f (A∪ B)= f (A)∪ f (B),
(2) f (A∩ B) ⊂ f (A)∩ f (B),
(3) f −1(A∪ B)= f −1(A)∪ f −1(B),
(4) f −1(A∩ B)= f −1(A)∩ f −1(B),
(5) f −1(A\B)= f −1(A)\f −1(B). 8
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
1.2.3. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một ánh xạ.
(i) Ánh xạ f được gọi là một đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử phân biệt là phân
biệt, nghĩa là, nếu x1 6= x2, thì f (x1) 6= f (x2). Một phát biểu tương đương, f là đơn ánh nếu
[f (x1)= f (x2) ⇒ x1 = x2].
(ii) Ánh xạ f được gọi là một toàn ánh nếu f (X) = Y. Một phát biểu tương đương, f
là toàn ánh nếu mỗi phần tử của Y đều có tạo ảnh, nghĩa là, với mỗi y ∈ Y, tồn
tại x ∈ X sao cho f (x)= y.
(iii) Ánh xạ f được gọi là một song ánh nếu f là đơn ánh và f là toàn ánh. Điều này
có nghĩa là, với mỗi y ∈ Y, tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f (x)= y. b) Ví dụ.
(1) Ánh xạ f : [0,+∞) → R, x 7→ x2, là đơn ánh, và không là toàn ánh.
(2) Ánh xạ f : R → [0,+∞), x 7→ x2, là toàn ánh, và không là đơn ánh.
(3) Ánh xạ f : [0,+∞) → [0,+∞), x 7→ x2, là song ánh.
1.2.4. Hợp thành của hai ánh xạ.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ. Hợp thành của hai ánh
xạ f và g, là một ánh xạ g ◦ f : X → Z được xác định bởi
(g ◦ f )(x)= g(f (x)) với mọi x ∈ X. b) Mệnh đề.
(1) Với các ánh xạ f : X → Y, g : Y → Z, và h : Z → W, ta có
h◦(g ◦ f )=(h◦ g)◦ f. 9
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
(2) Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ. Khi đó, nếu f và g là các đơn ánh
(tương ứng, toàn ánh, song ánh), thì g◦ f cũng là một đơn ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh).
1.2.5. Ánh xạ ngược.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mỗi y ∈ Y, tồn tại duy
nhất x ∈ X sao cho f (x)= y. Ánh xạ
f −1 : Y → X, y →7
f −1(y)= x,
với f (x)= y, được gọi là ánh xạ ngược của song ánh f . b) Mệnh đề.
(1) Nếu f : X → Y là một song ánh và f 1
− : Y → X là ánh xạ ngược của f thì f −1 ◦ f =
idX và f ◦ f −1 = idY .
(2) Nếu f : X → Y, và g : Y → Z là hai song ánh thì (g ◦ f ) 1 1 1
− = f − ◦ g− .
(3) Nếu f : X → Y là song ánh thì f 1 1
− (B)=(f − )(B), với B ⊂ Y. BÀI TẬP
1: Tìm mối liên hệ giữa các tập hợp sau (bằng, chứa, chứa trong):
(a) A= {x ∈ R : x2+2x > 1} và B = {x ∈ R : x > p2−1}.
(b) Ax4=−{14n ∈x2Z−:32n2=<0.18} và B là tập các nghiệm nguyên của phương trình
2: Cho A,B,C là các tập hợp. Chứng minh rằng
(a) A∩(B\C)=(A∩ B)\(A∩ C).
(b) A∪(B\A)= A∪ B. 10
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
(c) A\(A\B)= A∩ B.
(d) (A\B)\C =(A\C)\(B\C).
(e) (A\B)\(B\C)= A\B.
(f) A×(B ∪ C)=(A× B)∪(A× C). (g) A×(B ∩ C)=(A× B)∩(A× C).
(h) (A∩ B)×(C ∩ D)=(A× C)∩(B × B).
(i) A∩ B = ; ⇔ (A× B)∩(B × A)= ;.
3: Với mỗi ánh xạ f cho dưới đây, hãy tìm f (1), f 1 1
− (1), f ((0,1)), f − ((0,1)), và Imf .
(a) f : R → R, x 7→ f (x)= x2+4x −5. 1
(b) f : R\{0} → R, x 7→ f (x)= x3+
x 3 + x + 1x .
4: Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi x với x
f (x)=23 ≤ 0, x với x > ¨ 0.
Chứng minh rằng f là song ánh, và tìm ánh xạ ngược của f .
5: Cho hai ánh xạ f : R\{0} → R và g : R → R xác định bởi
f (x)= 1, và g(x)= 3x . x 1+ x2
(a) Tìm Imf và Img.
(b) Xét các tính chất đơn ánh và toàn ánh của f và g.
(c) Xác định ánh xạ hợp thành g ◦ f , và tìm Im(g ◦ f ). 11
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
6: Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ, và h = g ◦ f là ánh xạ hợp thành của f và g. Chứng minh rằng
(a) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh.
(b) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh.
(c) Cho ví dụ chứng tỏ rằng các khẳng định ngược lại của (a) và (b) là khôngđúng.
§2. Phép thế và dấu của phép thế
Định nghĩa. Cho n là một số nguyên dương. Mỗi song ánh từ tập hợp {1,2,...,n} vào
chính nó được gọi là một phép thế cấp n. Các phép thế thường được ký hiệu bởi chữ
cái Hy Lạp, ví dụ σ,τ. Ký hiệu Sn là tập tất cả các phép thế cấp n.
Chú ý. Phép thế còn được gọi là hoán vị. Phép thế cấp n hay phép thế bậc n là như
nhau. Các phép thế thường được biểu diễn dưới dạng bảng hai dòng. Ví dụ bảng sau σ= 1 2 ...
n thể hiện một phép thế σ cấp n. σ(1) σ(2) ... σ(n)
Nhận xét. Dễ thấy, từ kiến thức THPT, số lượng phép thế cấp n là n!.
Nhận xét. Do mỗi phép thế σ ∈ S 1
n là một song ánh, nên nó có ánh xạ ngược σ− . Khi đó, σ 1
− cũng là một phép thế cấp n.
Định nghĩa (Tích hai phép thế). Cho hai phép thế σ,τ ∈ Sn. Tích của σ và τ là hợp
thành của hai ánh xạ đó. Để cho tiện, ta ký hiệu τσ thay cho τ ◦ σ. Tích của các phép
thế nói chung không giao hoán, tức là nói chung τσ =6 στ với σ,τ ∈ Sn.
Định nghĩa (Xích). Bây giờ ta xét một số phép thế cấp n đặc biệt. Cho k số tự nhiên
phân biệt i1,i2,...,ik ∈ {1,2,...,n}. Xét phép thế σ ∈ Sn được xác định như sau: σ(i1)= i2,
σ(i2)= i3,..., σ(ik−1)= ik, σ(ik)= i1 và σ(j)= j với mọi j ∈ {1,2,...,n}\{i1,i2,...,ik}. Khi đó, σ
được gọi là một xích có độ dài k. Ký
hiệu xích này như sau: σ=(i1,i2,...,ik) hoặc bỏ dấu phẩy σ=(i1i2...ik). Tập hợp {i1,i2,...,ik}
được gọi là tập nền của xích (i1i2...ik). Hai xích được gọi là rời nhau nếu tập nền của
chúng rời nhau (tức có giao bằng rỗng).
Nếu k = 2 thì ta gọi là σ là chuyển trí. 12
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Chú ý. Một số tài liệu dùng từ "chu trình" hoặc "vòng xích" thay cho "xích"; "phép
thế sơ cấp" thay cho "chuyển trí"; "các xích rời rạc" hoặc "các xích độc lập" thay cho "các xích rời nhau".
Mệnh đề 2.1. Mỗi phép thế cấp n đều là tích của các xích rời nhau.
Mệnh đề 2.2. Mỗi xích là tích các phép chuyển trí. Chứng minh. Nhận xét
(i1i2...ik)=(i1i2)(i2i3)...(ik−1ik).
Hệ quả 2.3. Mỗi phép thế đều là tích của các phép chuyển trí.
Định nghĩa. Cho σ ∈ Schạy trongn. Do σ là song ánh, nên các cặp{1,2,...,n} tuy nhiên có thể
khác về thứ tự.{σ(i),σ(j)} cũng chính là các cặp {i, j1}≤ikhi≤ni, j có cùng giá
trị tuyệt đối với Q1 i
n(j − i).
Do đó tích(σ(j) − σ(i)) ≤ ≤ Ta định nghĩa Yisgn(σ)= 1≤ ≤n
là dấu của phép thế σ.
Ví dụ 2.1. sgn(Id)= 1.
Nhận xét. Dấu của phép thế có tính nhân tính, tức là, nếu σ,τ ∈ Sn thì sgn(τσ)=
sgn(τ)·sgn(σ).
Mệnh đề 2.4. Dấu của chuyển trí là −1, tức là, sgn(i1i2)= −1 với 1 ≤ i1 < i2 ≤ n.
Hệ quả 2.5. Dấu của xích độ dài k là (−1)k 1 − . 13
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Định nghĩa. Cho phép thế σ ∈ Sn. Cặp số phân biệt i, j ⊂ {1,2...,n} được gọi là một
nghịch thế của σ nếu σ(j)−σ(i) trái dấu với j−i. Như vậy, từ định nghĩalà dấu của σ, ta
suy ra dấu của σ là 1 hay -1 là tùy theo số nghịch thế của σ chẵn hay lẻ.
Định nghĩa. Phép thế được gọi là phép thế chẵn nếu dấu của nó bằng 1. Phép thế được
gọi là phép thế lẻ nếu dấu của nó bằng −1.
Trước khi kết thúc tiết này, ta có lưu ý sau.
Nhận xét. Để tính dấu của một phép thế, ta có thể thực hiện theo hai cách: một là tách
phép thế đó thành tích các xích rời nhau, và sử dụng tính chất nhân tính của dấu; hai
là đếm số nghịch thế của phép thế xem nó là chẵn hay lẻ. Bài tập
1: Thực hiện các phép nhân sau đây, viết các phép thế thu được thành tích các xích rời
nhau và tính dấu của chúng. Xác định thêm ánh xạ ngược của các phép thế thu được. (a) 1 2 3 4 5·14 23 53 14 52. 2 4 5 1 3 (b) 13 25 34 41 52·14 23 31 45 52.
(c) (1,2)(2,3)···(n−1,n).
2: Cho phép thế σ ∈ SnGiả sử số nghịch thế của. Đặt τ(i) = σ(n + 1 − i)σvớilà1k≤thì số
nghịch thế củai ≤ n. Khi đó τ cũngτ là một phép thế cấp n. bằng bao nhiêu?
§3. Ma trận và các phép toán trên ma trận 3.1. Mở đầu
Chúng ta từng gặp bài toán giải hệ phương trình sau 14
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
2x1+ x2+ x3 = 1
3x1+ x2+2x3 = −1 x1 − x2 = 0
Để giải quyết bài toán này chúng ta thường biến đổi bằng cách nhân các phương trình
với các số thực khác 0 rồi cộng hoặc trừ các phương trình đó để tìm các nghiệm của
hệ phương trình. Khi đó thực chất là chúng ta nhân các hệ số của các phương trình
với các số thực khác 0 rồi cộng hoặc trừ các hệ số tương ứng hay chính là cách chúng
ta biên đổi các dòng của bảng sau: 2 1 1 1 A=3 1 2 −1 . 1 −1 0 0
Để giải quyết các bài toán hệ phương trình đó hay các hệ phức tạp hơn khi số ẩn và số
phương trình nhiều lên chúng ta có một cách xử lý rất hữu hiệu là dùng lý thuyết ma trận. 3.2. Ma trận
Định nghĩa.gọi là ma trận thực cỡcủa ma trận A làMột bảng gồmaij. m× n. Ta kí hiệu
phần tử nằm ở giao của dòngm×n số thực được sắp xếp trên m dòng, nicột đượcvà cột j a21 a11
a12 ... ... a1n A= a22 a2n ... ... ... ... 15
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 am1 am2 ... amn
Để ký hiệu A là ma trận cỡ m× n có phần tử ở dòng i cột j là aij ta thường viết A=(aij) m×n
Khi m = n, ma trận A được gọi là ma trận vuông gồm n dòng n cột, và ta gọi là ma trận vuông cấp n.
Tập tất cả các ma trận cỡ m×n với phần tử thuộc R ký hiệu là Mat(m×n,R). Ví dụ. A= 1 2 3 4 5 6
là ma trận cỡ 2 × 3 với các phần tử a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3, a21 = 4, a22 = 5, a23 = 6. B = 2 1 3
là ma trận cỡ 3×1 với các phần tử b11 = 1, b21 = 2, b31 = 3. C =111 0 212 13
là ma trận cỡ 1×3 với các phần tử c = 1, c = 0, c = 2.
3.3. Một số loại ma trận đặc biệt thường gặp a) Ma trận không:
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử đều là số 0. 16
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 Ví dụ. A= 0 0 0 , B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b) Ma trận đối xứng:
Ma trận vuông A = (aij) cấp n được gọi là ma trận đối xứng nếu aij = aji, ∀i, j = 1,n.
Hay nói cách khác một ma trận vuông cấp n là ma trận đối xứng nếu phần tử nằm trên
dòng i cột j bằng phần tử nằm trên dòng j cột i với mọi i, j = 1,n. Ví dụ. Ma trận A= 2 0 1 1 2 0 0 1 4 là ma trận đối xứng. c) Ma trận chuyển vị:
Giả sử A=(aij)m n là ma trận cỡ m× n. Đổi dòng thành cột (cột thành dòng) ×
của ma trận A, ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu At. Vậy
At =(aji)n m. ×
Nếu A có mdòng, n cột thì At có n dòng, m cột. 4 1 Ví dụ. A=3 0 thì At = 4 3 2 . 1 0 7 2 7 d) Ma
trận chéo - Ma trận đơn vị.
Cho A là ma trận vuông cấp n. 17
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
a2111 a2212 ··· a1n an1 ann an2 ...
A=··· a2n a a ··· ··· ··· ···
Đường thẳng đi qua a11,a22,··· ,ann được gọi là đường chéo chính của ma trận A, mỗi
phần aii gọi là phần tử chéo của A.
Ma trận vuông cấp A = (aij) cấp n được gọi là ma trận chéo cấp n nếu aij = 0,
∀i 6= j, tức là A có dạng a11 0 ... ... 0 0 a ... 0 22 ... ... A= ... 0 ann ... 0 Ví dụ. Ma trận 1 0 0 A=0 2 0 0 0 3
là ma trận chéo cấp 3. Ma trận vuông cấp n 1 0 ... 0 0 1 ... 0 I = . ... ... ... ... 0 0 ... 1
trong đó các phần tử chéo đều bằng 1 còn tất cả các phần tử khác đều bằng 0, gọi là ma
trận đơn vị cấp n. 18
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Dễ thấy, nếu A là ma trận vuông cấp n và I là ma trận đơn vị cấp n thì A· I = e) Ma
trận vuôngI ·A= A. A được gọi là ma trận tam giác trên (tương ứng, tam giác dưới) nếu nó có dạng
a11 a12 ··· a2n 0 a a 1n 22 ... ... ···... ... , 0 ··· tương ứng 0 amn 0 ··· 0 a...21 a22 a ···... 11 ...
am1 am2 ··· amn 0... . f) Ma t
rận cấp tùy ý được gọi
là hình thang nếu nó có dạng
a11 a2212 ··· a21ss ··· a21nn
0 a ··· a...ss ······ a...sn . ... ... ··· 19
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
0 0 ··· a ··· a 0 0 ··· 0 ··· 0 ···
··· ··· ··· ··· ··· 0 0 ··· 0 ··· 0
Định nghĩa. Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các
phần tử ở cùng vị trí bằng nhau, tức là
A=(aij)m×n,B =(bij)m×n và aij = bij, ∀i, j.
3.4. Các phép toán trên ma trận
Định nghĩa (Phép cộng ma trận). Cho hai ma trận cùng cỡ A = (aij)m n,B = × (bij)m n. ×
Tổng của hai ma trậnA+ B =(aij + bij)m n, Atức là nếuvà B là ma trận ký hiệu làA+ B
=(cij)m n thìAc+ij B=cỡaijm+×bijnvới mọixác định bởii, j. × ×
Như vậy muốn cộng hai ma trận cùng cỡ ta cộng các phần tử cùng vị trí. 20
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 Ví dụ. 2 3 5 7 2+5 3+7 7 10 + = = −1 4 2 −3(−1)+2 4+(−3) 1 1
Tính chất: Cho các ma trận cùng cỡ ta có các tính chất sau:
Mệnh đề 3.1. 1) A+ B = B + A.
2) A+ O = O + A= A.
3) (A+ B)+ C = A+(B + C).
4) Nếu đặt −A=(−aij)m×n thì A+(−A)=(−A)+ A= O.
Định nghĩa (Phép nhân một số thực với một ma trận ). Giả sử A=(aij)m×n,k ∈
Rxác định bởi. Tích của một số thựck · A = (k · akijvới ma trận)m×n. Như vậy, nhân
một số thực với một ma trận làA, ký hiệu là k.A, là một ma trận cỡ m×n nhân tất cả
các phần tử của ma trận với số thực đó. Ví dụ. 2.3 −2=2.3 2.(−2)= 6 −4 7 4 2.7 2.4 14 8
Tính chất: Các tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa phép cộng và phép nhân
một số thực với một ma trận:
2)Mệnh đề 3.2.(k + h)·A=1)k ·kA(+A+h·BA)=. k ·A+ k · B. 3)
k ·(h·A)=(k ·h)·A. 4) 1·A= A. 21
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 Ví dụ. 5)
0 · A = O, trong đó 0 ở vế trái là phần tử không của R còn O ở vế phải là ma
trận không cỡ m× n (nếu A cỡ m× n). Định nghĩa (Tích hai ma trận). Cho hai ma trận
A = (aij)m p,B = (bij)p n, × ×
trong đó số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B. Ta gọi là tích của hai ma
trận A,B, ký hiệu A· B, là ma trận C =(cij)m×n có m dòng, n cột mà phần tử cij được tính bởi công thức p
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j +···+ aip · bpj =Xk=1 aik · bkj,
hay phần tử ở dòng i cột j của ma trận tích bằng tổng của các tích các phần tử trên
dòng i của ma trận A nhân tương ứng với các phần tử trên cột j của ma trận B. 1 2 3 3 2
=1·1+2·3+3·1 1·2+2·2+3·4=10 18 1 2 4 1 2 1
44·1+1·3+2·1 4·2+1·2+2·4 9 18 Chú ý. i)
Để có thể nhân hai ma trận A,B(A bên trái, B bên phải), tức là để có tích A· B
ta phải có số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B. Do đó nếu có tích
A· B thì chưa chắc đã có tíchvàB ·BA·.ATrường hợp đặc biệt khiđều tồn tại. A,B là hai
ma trận vuông cùng cấp thì tích A· B ii)
Nếu có tích A· B và B · A thì chưa chắc đã có A· B = B · A. Hay nói khác, tích
hai ma trận nói chung không giao hoán. Ví dụ. 22
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 Ví dụ. A=−1 0; B =1 2 2 3 3 0 A· B =−111
−142; B ·A=−33 06.
Rõ ràng A· B 6= B ·A. nhưng A· B = 0. iii) Có những ma
trận A6= O, B 6= O Ví dụ. A=1 2; B = 2 −6 2 4 −1 3 A· B =0 0 0 0
Tính chất: Phép nhân hai ma trận có tính chất sau:
Mệnh đề 3.3.2)3) (kB·(+BC·t)C·)=(A=t 1)kB·tA·.BA·)(+·BCC+=·CAB.)=·(Ak ·· CB)+. A· C.
4) (A· B) = B ·A
3.5. Ma trận nghịch đảo.
Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao
cho A·B = B·A= I thì ta nói A là ma trận khả nghịch và B là ma trận nghịch đảo của
ma trận A, ký hiệu là B = A−1. A=1 2 thì A 1 − =−21 vì 3 4 3/2 −1/2 23
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 Ví dụ. 1 2−21 =1 0=−2 1 1 2 3 4 3/2 −1/2 0 1 3/2 1/2 3 4
Định lí 3.4. Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Ma trận nghịch đảo A 1
− của A nếu có là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử B và C đều là các ma trận nghịch đảo của A. Theo định nghĩa
A· B = B ·A= I,A· C = C ·A= I.
Từ A· B = I suy ra C · (A· B)= C · I. Do đó (C · A) · B = C, tức là I · B = C. Vậy B = C.
Định lí 3.5. Giả sử A,B là các ma trận vuông cấp n khả nghịch. Khi đó, ma trận A· B
cũng khả nghịch và ta có
(A· B)−1 = B−1 ·A−1. Chứng minh. Ta có
(A· B)· B−1 ·A−1 = A·(B · B−1)·A−1 = A· I ·A−1 = A·A−1 = I và
B−1 ·A−1 ·(A· B)= B−1 ·(A−1 ·A)· B = B−1 · I · B = B−1 · I · B = B−1 · B = I.
Vậy A· B khả nghịch và B 1 1
− ·A− là ma trận nghịch đảo của A· B. Hệ quả 3.6.
Nếu ma trận vuông A cấp n có ma trận nghịch đảo A 1 1
− thì a) A− cũng khả nghịch và (A 1 1 − )− = A.
b) Am cũng khả nghịch và (Am) 1 1
− =(A− )m, m là số nguyên dương.
c) Với mọi k 6= 0 thì k ·A cũng khả nghịch và 1 1 1
(k ·A)− = k ·A− . 24
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 Ví dụ. BÀI TẬP
1) Thực hiện các phép tính: 25
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 a) 1 −2 3−4+7 8 −4 5 . 0 2 1 3 9 −6 −5 −3 b) −2 3 −2 3 −4 2 1 1 1 −1 3 1 0 −34 −1 · 02 3 c) 2 0 0 1 1 2 1 3 − − −2 0 · 2 1 0 . 1 3 2 1 2 1 2) Cho các ma trận A= 3 −41 và B = 1 2 3 . Tính AB,
BA, AAt, AtA. 2 1 0 −4 −5 −6
3) Cho ma trận A=1 2. 2 3
a) Tìm tất cả các ma trận vuông cùng cấp giao hoán với ma trận A.
b) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A. 2 1 0 4) Cho ma trận B =0 2 1 . 0 0 2 26
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
a) Tìm tất cả các ma trận vuông cùng cấp giao hoán với ma trận B.
b) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Bt.
5) Chứng minh rằng nếu A= a b c d
thì A2 =(a + d)A−(ad − bc)I2.
§4. Định thức của ma trận
Định nghĩa. Giả sử A là ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc trường K a21 a11
a12 ... ... a1n A= a22 a2n ... ... ... ... an1 an2 ... ann
Định thức của ma trận A là tổng
Dn =Xf sign(f )· a1f (1) · a2f (2) ···anf (n),
trong đó f chạy qua tất cả các phép thế bậc n và sign(f ) là dấu của phép thế f . Dn
được gọi là định thức cấp n và ký hiệu là: Dn = 2111 2212 n a a ... a1n a a ... a2n n an1 an2 ... ann ... ... ... ...
Ngoài ra để chỉ D là định thức của ma trận A ta còn dùng ký hiệu D = |A| hoặc Dn = detA. 27
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Nhận xét. Vì ta có tất cả là n! phép thế bậc n nên Dn là một tổng đại số gồm n! hạng
tử. Mỗi hạng tử của Dn là một tích của n phần tử nằm trên các dòng khác nhau và các
cột khác nhau của ma trận A.
Hạng tử a1f (1) · a2f (2) ···anf (n) sẽ có dấu (+) hay (-) tuỳ theo phép thế f = 1 2 3 ... n
f (1) f (2) f (3) ... f (n)
là chẵn hay lẻ. Và vì số các phép thế chẵn bằng số các phép thế lẻ nên sẽ có một nửa
số hạng mang dấu cộng và một nửa số hạng mang dấu trừ.
Trong trường hợp n = 2, từ định nghĩa ta có: D 2
=a1121 a1222= a11a22 − a21a12. a a Với n =
D2 =a21 a22
a23= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a32a21 a13 3 a11 a33 13 31 22 23 32 11 12 21 33 a12 a31 −a
a a − a a a − a a a . a32
Chúng ta thấy lại công thức tính định thức cấp 2,3 đã học ở trường phổ thông. Từ
định nghĩa của định thức ta dễ dàng suy ra các tính chất sau:
1) Nếu A là ma trận nửa tam giác trên hoặc nửa tam giác dưới thì |A| bằng tích các
phần tử trên đường chéo chính.
2) Giả sử A là ma trận vuông cấp n, At là ma trận chuyển vị của A. Thế thì
|Hay nói cách khác: Định thức của một ma trận không thay đổi qua một phépA| = |At|.
chuyển vị. Do vậy các tính chất dưới đây của định thức phát biểu đúng với các dòng
thì cũng đúng với các cột. 2) Giả sử D là một định thức cấp n 28
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
a2111n1 a2212n2 ¶...
¶a2na a ... a1n D =
... ... ... ... a a ... ann a)
Nếu đối với một dòng thứ i nào đó; 1 i n, ta có: a ′ ′′
ij = aij + aij (j = 1,2,··· ,n)
thì D = D′ + D′ trong đó: a a ... a a a ... a1n ...11 ...12 ...
...1n ...11ni11 ...12ni22 ... ...in
D′ =ani′11 ani′22 ... annin′
, D′′ = a′′ a′′ ... a′′
... ... ... ... ... ... ... ... a a ... a a a ... ann b)
Nếu đối với một dòng thứ i nào đó (1 ¶ i ¶ n), ta có aij = λaij′ , j = 1,2,··· ,n với
λ nào đó thuộc K, thì D =λD′, trong đó D′ có dạng ở trên. c)
Nếu có hai dòng i và k trùng nhau, tức aij = akj (1 ≤ j ≤ n) thì D = 0. Từ tính
chất (1) và (2) ta dễ dàng suy ra các tính chất sau:
3) Nếu ta đổi chỗ hai dòng của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu. 4) Một định
thức bằng 0 nếu có hai dòng tỉ lệ với nhau, nghĩa là có hai dòng i và k sao cho: aij 29
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
=λakj, j = 1,2,··· ,n với λ nào đó thuộc K. Mở rộng khái niệm tỉ lệ ta đi tới khái niệm tổ hợp tuyến tính:
Ta nói rằng dòng thứ i của định thức D là tổ hợp tuyến tính của các dòng i1,i2,··· ,ik
nếu có λ1,λ2,··· ,λk ∈ K sao cho aij =λ1ai1 j+λ2ai2 j+···+λkaik j, j = 1,2,··· ,n.
Khi đó áp dụng tính chất 2a) và tính chất 4) một số lần ta được:
5) Một định thức bằng 0 nếu có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại.
6) Nếu ta cộng vào một dòng của một định thức một tổ hợp tuyến tính của các dòng
khác thì định thức không thay đổi.
7) det(A· B)= detA·detB với mọi ma trận vuông A,B cấp n.
Dựa vào các tính chất trên của định thức, với một ma trân vuông A∈ Mat(n;K) cho
trước, để tính định thức của A, ta có thể thực hiện các biến đổi sau: -
Đổi chỗ hai dòng (cột) của định thức và đổi dấu của định thức. -
Cộng vào một dòng (cột) của định thức một tổ hợp tuyến tính của các dòng (cột) còn lại. -
Nhân một dòng (cột) của định thức với một số khác không và chia định thức cho số đó. -
Đưa định thức về định thức của ma trận dạng tam giác trên hoặc dưới và tính
định thức của ma trận đó.
Ví dụ. a) Tính định thức của ma trận vuông cấp 3 sau. D = 132 −131 52 0− 000 14
410 31−1((( 3) D1+ D2,2 30
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 1 −1 2 = 0 − − ×× D1+ D3) 01 −11 2 = −3
đổi chỗ hai dòng 2 và dòng 3) −1(( 4) 1 −1 2 = −3 −
× D2+ D3) −13 = 13.
b) Tính định thức cấp 4 sau 1 3 2 4 1 3 2 4 D =22 2 57
14 513=1 −082((52 4)1403D4(đổi chỗ dòng 2 và dòng 4+ D1,( 3) ) 8 2 1 0 2 2 1 1 =−− − − × − × D4+ D3) 31
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 −28154 −221−112 001 −124
−317 100000(2D3+ D1,( 1) = − −2 −2 1 17 × − × D3+ D2) 13 0 0 0 = −−1224 −231
110010(3 × D2+ D1) = −39.
Chú ý: Khi sử dụng phương pháp Gauss để biến đổi ma trận, tại mỗi bước ta chỉ
được biến đổi tất cả hoặc theo dòng hoặc theo cột. Trong cùng một bước, những dòng
(cột) đã bị biến đổi thì không được sử dụng để cộng hoặc trừ vào các dòng (cột) khác. 32
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Định nghĩa (Định thức con và phần bù đại số). Giả sử D là định thức cấp n.
Ta gọi định thức M của ma trận vuông cấp k (1 ¶ k ¶ n), gồm các phần tử nằm ở giao
của k dòng và k cột tuỳ ý của định thức D là một định thức con cấp k của định thức D.
Đặc biệt định thức con cấp n của D chính là D, định thức con cấp 1 của D là một
phần tử tuỳ ý của D.
Ta gọi định thức con bù của định thức con M trong định thức D là định thức con M′
thu được từ D bằng cách xoá đi k dòng và k cột lập nên định thức con M.
Ta gọi phần bù đại số của phần tử aij là Aij −1 · Mij, =( )i+j
trong đó Mij là định thức con bù của aij. Ví dụ. Cho định thức cấp 4 a11 a12 a13 a14
a2131 a2232 a2333 a24 43 44 41 42 Định
thức con bù của định thức con M =a a a 24 21 a34 31 là định thức con D = 33
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 a a a a34 a a a a
M′ =a1242 a13a a43
Định lí 4.1 (Về sự khai triển định thức theo một dòng hay một cột). Giả sử
D là một định thức cấp n. Giả sử ai1,··· ,ain là các phần tử nằm trên dòng thứ i của D. Khi đó:
D = ai1Ai1+···+ ainAin,
trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij.
Chứng minh. Xem trong [?] trang 73−74.
Chú ý. Định lý trên vẫn còn đúng nếu ta thay chữ dòng bằng chữ cột.
Ví dụ. Tính định thức: D = 132 −131 52 − −1
Khai triển D theo các phần tử của dòng thứ nhất ta có: 34
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 D =11·5(−1) + 1 + +
1 133 5−51+(−31)(−11)1 2−32 −51+2(−1)1 3−32 1 3 =3 −1+−2 −1+2−2 3= 13 D n k
Định lí 4.2 (Định lý Laplace). Giả sử trong định thức cấp ta đã chọn dòng
(hoặc k cột) tuỳ ý (1 ¶ k ¶ n −k lập được trên1). Thế thì định thứck dòng (hoặcD bằng
tổng của tất cả cáck cột) đó với phần bù tích của các định thức con cấp đại số của chúng.
Ta có thể sử dụng Định lý Laplace, để tính định thức D = −2231 54 240 1301 3 0 0 −7
Ta thấy có 6 định thức con cấp được lập nên trên hai dòng đầu nhưng chỉ có duy
nhất một định thức con cấp 2 khác 0, do đó khai triển D theo hai dòng đầu ta được: D =(−1) 1 3 2 1 6 2 5 4 3=(−1)·2 = −2 A 35
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Định lí 4.3 (Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo). Nếu ma trận vuông cấp n
khả nghịch thì detA6= 0.
Chứng minh.tính chất của định thứcNếu A khả nghịch thì tồn tại ma trậndet(A·A 1)= det I, tức là A 1 1
− sao cho A·A− = I. Theo
− detA·detA−1 = det I.
Do đó detA·detA−1 = 1. Vậy detA6= 0 và detA−1 6= 0.
Định lí 4.4. Nếu detA6= 0 thì A khả nghịch và ma trận nghịch đảo A 1
− được tính bởi công thức sau: A A ... An1 A−1 = 1·A˜t = det 1 A
A...11211n A...22221n......A...n2 , detA A A ... Ann
trong đó Aij =(−1)i+j · Mij là phần bù đại số của phần tử aij.
Chứng minh. Theo Định lý 4.1 và tính chất (4) của định thức ta có:
ak1Ai1+ ak2Ai2+···+ aknAin = 0 nếu k 6= i. detA nếu k = i,
và aikA1j + a2kA2j +···+ ankAnj = 0detA nếunếukk=6=jj,.
Do đó nhân A·A˜t và áp dụng kết quả thứ nhất ở trên ta được: t0 detA ... 0 detA 0 ... 0 A· C = ... ... ... ... . 36
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 0 0 ... detA
Nhân A˜t ·A và áp dụng kết quả thứ 2 ta cũng được như thế. 1 0 ... 0 1 ... ... 0 ... ... ... Vậy ta có: det
1 A ·A·A˜t = det
1 A ·A˜t 0 1 ·A= ...0 0 nên A 1 − = 1
·A˜t. Định lý được chứng minh. detA BÀI TẬP
1) Tính các định thức cấp hai sau: a)2−3; b) 2 1 ; c) sinα cosα; 4 1 4
−1−cosα sinα d)a c + di; c) 1 −tanα . c − di b tanαα 1
2) Tính các định thức cấp ba sau:
1 0 + i i 1 a− − −i 1 0 )−11 1 1 0 0 1 0 1 1 b)101 1 1 1 c)11 i −1 1 37
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
3) Biết rằng x′ y′ z′ x y
z Tính các định thức sau x′′ y′′ z′′
a)x′ y′ z′′ b)x′ y′ z′ x y z x′ y′ z′′ x′ y′ z′ x y z 4) Giải phương trình 1 1 1 1 1 x x2 x3 5) Chứng minh rằng 1 2 4 8 = 0 38
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 1 3 9 27 x x n
x−1 xx2n−1 ···
xn2 = n≥Yi>j≥1(xi − x j). x1 ··· xn−1
6) Tính các định thức sau:
a)−31 −2425 b)−1021 −1411
−3213−5312 c)−1231 −2111−2111321 −2 −3 −1 − − − − −1 7)
Tính các định thức sau: x a a ··· a x a a 2 3 ··· n
x111 a222 333 ··· n 39
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
a x a ··· a 1 x 3 ··· n a x a ··· an a). . ., b) 1 2 x n , c) a a x an a a a ··· x 1 2 3 ··· x a1 a2 a3 ··· x n
8) Tính các định thức sau: ··· − 1
cos(α1 −β2) ··· cos(α1 −βn) ··· cos(α 2 −β2) .
a +a. b a +0b.. b ···a a +00. b
b)coscoscos(((ααα21n. . ··· −ββ1)) cos(α cos(α n −β2) 2 −βn) . . . cos(αn −βn) ··· ··· b . 0 −β1) 9) Cho ma trận A= −23 −424 22 . 0 −1 Tính A100.
10) Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: . . . . . . . . . 40
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 1 −1 −1 2 −1 0 01 −1 −1 −1 a) −3−2−−5 b) −1 1 −1 −−1−01 c) −−−111−−111−−1 1 −−111 0 1 1 2 1 1 1 0 1 1
11) Cho A=(aij) là một ma trận vuông cấp n thoả mãn aij = 0 nếu i < j. Chứng minh
rằng detA= a11 · a22···ann. 12) Cho ma trận a1 0 0 ··· 0 A=0 a2 0 ··· 0 , ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 0 ··· an trong đó a 1
1a2...an 6= 0. Chứng minh rằng A khả nghịch và tìm A− .
13) Cho A = (aij) là một ma trận vuông cấpn 1 n thoả mãn aij = 1 − δij . Chứng minh
rằng detA=(n−1)(−1) − .
14) Cho A = (aij) là một ma trận vuông cấp n. Ta định nghĩa ma trận vuông B = (bij)
cấp n xác định bởi công thức bij = (−1)i+jaij. Chứng minh rằng detB = detA. 41
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
15) Tính det(|i − j|)n×n.
16) Cho A ∈ Mat(n × n,K ). Chứng minh rằng detA 6= 0 khi và chỉ khi các cột của A độc lập tuyến tính.
17) Cho ma trận vuông thực A thoả mãn A2 + 2A+ 3I = 0. Chứng minh rằng A+ k · I là
ma trận khả nghịch với mọi số thực k.
18) Cho ma trận vuông thực A thoả mãn điều kiện A3 = 0. Chứng minh rằng I + A là
một ma trận khả nghịch.
Hãy tổng quát hóa bài toán.
§5. Giá trị riêng và chéo hoá ma trận
5.1. Ví dụ mở đầu
Để tìm hiểu và nghiên cứu các vấn đề trong thế giới quanh ta hiện nay như sự thay
đổi thời tiết của một vùng, sự biến động kinh tế của một quốc gia hay sự đa dạng của
một hệ sinh thái - những vấn đề rất phức tạp với sự ảnh hưởng của nhiều yếu tố tự
nhiên và xã hội - là một việc không hề đơn giản. Có nhiều phương pháp khác nhau đã
được đưa ra nhằm giải quyết các bài toán trên, và một trong những phương pháp như
vậy là phương pháp chéo hoá sẽ được nghiên cứu trong chương này. Phương pháp
chéo hoá có thể coi là một trong những kĩ thuật quan trọng nhất của lý thuyết ma trận
nói riêng và của đại số tuyến tính nói chung.
Để thấy được tầm quan trọng của phương pháp chéo hoá, chúng ta cùng xét bài toán
sau đây về mô hình tăng trưởng nhân số của một loài chim trong một quần thể nào đó.
Trước hết chúng ta giả sử rằng mỗi một cá thể chim non khi sinh ra sẽ mất 1 năm để
trưởng thành, và chỉ khi trưởng thành chúng mới có khả năng sinh sản. Chúng ta cũng
đưa ra ba giả định sau đây về tỉ lệ sinh sản và tỉ lệ sống sót của loài chim này.
a) Số lượng chim non được sinh ra trong mỗi năm gấp đôi số lượng chimtrưởng
thành còn sống trong năm trước đó. (Tỉ lệ sinh sản là 2.)
b) Một nửa số lượng chim trưởng thành ở mỗi năm còn sống đến năm tiếptheo. (Tỉ
lệ sống sót là .) 42
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
c) Một phần tư số lượng chim non ở mỗi năm còn sống và trưởng thành ởnăm tiếp
theo. (Tỉ lệ sống sót của chim non là .)
Giả sử ban đầu có tất cả 40 chim non và 100 chim trưởng thành. Hỏi sau k năm thì số
lượng chim non và chim trưởng thành của loài chim này sẽ là bao nhiêu?
Để giải quyết bài toán trên, ta kí hiệu ak và bk lần lượt là số lượng chim trưởng thành
và chim non sau k năm. Ta cần tìm công thức tính ak + bk với k ∈ N. Từ giả định đầu tiên ta có bk+1 = 2ak
và từ hai giả định tiếp theo ta có
ak+1 = ak + bk.
Nếu ta đặt xk =akk và A =12 41 thì hai phương trình trên có thể được viết b 2 0
dưới dạng ma trận như sau 1 1
xk+1 = abkk++11= 2ak2+ak4bk!= Aabkk= Axk.
Áp dụng liên tiếp công thức trên ta nhận được
xk = Axk 1 = A2xk 2 = ··· = Akx0 với mọi k = 0,1,2,.... − − 43
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Với điều kiện ban đầu đã cho ta cók
x0 =a00=100, vì vậy để tính xk ta chỉ b 40
cần tính A với k ∈ N.
Tuy nhiên dễ thấy rằng việc tính toán Ak một cách trực tiếp (ngay cả khi A có cỡ nhỏ
như trong trường hợp này) là rất phức tạp và mất nhiều thời gian. Vì vậy ta đưa ra một
phương pháp khác để tính các luỹ thừa Ak của A như sau. Ý tưởng của phương pháp
này là đưa ma trận A về dạng chéo, tức là tìm một ma trận P khả nghịch sao cho
P−1AP = D
là một ma trận chéo. Khi đó A= PDP 1 − nên ta có
A2 = AA=(PDP−1)(PDP−1)= PD(P−1P)DP−1 = PD2P−1.
Tương tự ta cũng nhận được
A3 = AA2 =(PDP−1)(PD2P−1)= PD(P−1P)D2P−1 = PD3P−1, và bằng
phương pháp quy nạp ta có thể chứng minh Ak = PDkP−1.
Lưu ý rằng D là ma trận chéo nên D có dạng d 0 1 02 ··· . . d.n 0 ··· 0 0 d ···.. .. . .. .. Vì vậy ta nhận được 0. k d1k 02k ··· 0 44
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 k D = 0... d... ···...0...k k k 1 0 0 ··· dn
và khi đó ta có thể tính A một cách dễ dàng từ công thức A = PD P− . 1 1
Quay trở lại bài toán ban đầu, với ma trận A =2 4 ta có thể tìm được ma 2 0
trận khả nghịch P =2 4 1 −1 thoả mãn 1 1
D = P−1AP =1 0 0 −
là ma trận chéo. Từ đó ta tính được
Ak = PDkP−1 =21 − 1 021 k 1=423 + (−1 2)k 11 −2((−6211)kk 1 1 0 (− ) + − ) và nhận được
k 23 + (−21)k 1
(−12)k 100 2203 + 3 k x k = A x0 =k = 1 k. 45
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 −40
Do đó số lượng chim trưởng thành và chim non sau k năm lần lượt là ak = k và
bk = 440 − 320(3−21)k . 3 3
Như vậy để tìm lời giải cho bài toán thực tế ban đầu, điểm mấu chốt là đưa được ma
trận vuông A về dạng chéo, hay nói cách khác là chéo hoá ma trận A. Trong các phần
tiếp theo của chương này chúng ta sẽ trình bày các kiến thức cần thiết để có thể thực
hiện việc chéo hoá một ma trận.
5.2. Giá trị riêng và véc tơ riêng
Định nghĩa. Cho A là một ma trận n×n. Một số thực λ được gọi là giá trị riêng của A
nếu tồn tại một ma trận cột x 6= 0 thuộc Rn sao cho
Ax =λx.
Khi đó ta cũng nói x là một véctơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ.
Dưới đây là một ví dụ về giá trị riêng và véctơ riêng trong trường hợp A là ma trận 2×2.
Ví dụ 5.1. Cho A=3
5 . Với x =5 ta dễ dàng kiểm tra được 1 −1 1 Ax =3 5 5=20= 4x, 1 −1 1 4
do đó 4 là một giá trị riêng của A với x là một véctơ riêng tương ứng. 46
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Chú ý rằng trong ví dụ trên, 4 không phải là giá trị riêng duy nhất của A. Để tìm tất
cả các giá trị riêng của một ma trận A cỡ n× n, ta có kết quả sau.
Định lí 5.1. Cho A là một ma trận n× n. Số thực λ là một giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu
det(λIn − A)= 0,
ở đó In là ma trận đơn vị cấp n.
Chứng minh. Theo định nghĩa λ là một giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu tồn tại ma
trận cột x 6= 0 thuộc Rn sao cho Ax =λx. Điều này tương đương với việc hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất
(λIn − A)x = 0
có nghiệm không tầm thườngnày xảy ra nếu và chỉ nếu ma trận hệ sốx 6= 0. Theo kết
quả đã biết về định thức, điềuλIn − A có định thức bằng 0.
Từ Định lý 5.1, để tiện cho việc tính toán giá trị riêng của ma trận, ta đưa ra khái niệm sau đây.
Định nghĩa.định nghĩa bởiCho A là một ma trận n × n. Đa thức đặc trưng pA(t) của A được
pA(λ)= det(tIn − A).
Chú ý rằng pA(t) thực sự là một đa thức của t, và đa thức này có bậc n nếu
A là ma trậnA n × n. Theo Định lý 5.1, số thựclà nghiệm của đa thứcλpAlà giá trị riêng
của(t). Ta tóm tắt lại nhận xét nàyA nếu và chỉ nếu p (λ)= 0, tức là λ trong hệ quả sau đây.
Hệ quả 5.2. Cho A là một ma trận n× n. 47
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
(i) Giá trị riêng λ là nghiệm của đa thức đặc trưng pA(t) của A.
(ii) Véctơ riêng x ứng với giá trị riêng λ là nghiệm không tầm thường của hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất (λIn − A)x=0.
Trong trường hợp A là ma trận vuông cấp 2 (hoặc cấp 3), việc tìm giá trị riêng và
véctơ riêng của A là khá dễ dàng: theo hệ quả trên, giá trị riêng của A là nghiệm của
một đa thức bậc 2 (hoặc bậc 3), trong khi véctơ riêng của A là nghiệm không tầm
thường của một hệ phương trình tuyến tính gồm 2 ẩn và 2 phương trình (hoặc 3 ẩn và 3 phương trình).
Hai ví dụ dưới đây sẽ minh hoạ cách tìm giá trị riêng và véctơ riêng trong hai
trường hợp cụ thể vừa nêu. Ví dụ 5.2. Tìm tất cả các giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A=3 5 . 1 −1
Để tìm các giá trị riêng của A, ta tìm đa thức đặc trưng pA(t) = det(tI2 − A) của A. Trước hết ta có
tI2 − A=0t
0t−13 −51=t−−13 t +5 1.
Do đó pA(t)= dett−−13 t +5 1= t2 −2t −8 =(t −4)(t +2). Hai nghiệm của pA(t) là λ1 =
4 và λ2 = −2 nên đây cũng là các giá trị riêng của A.
Để tìm véctơ riêng x = xx12 ứng với giá trị riêng λ2 = −2, chú ý rằng trong trường hợp này
λ2I2 − A=λ2−−13 λ2−+51=−−15−−15, 48
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
do đó hệ phương trình tuyến tính (λ2I2 − A)x = 0 trở thành
−5x1 −5x2 = 0
−x1 − x2 = 0.
Hệ này có nghiệm x = t 1 với t là một số thực bất kì. Do đó các véctơ riêng −1
ứng với giá trị riêng λ2 = −2 có dạng x = t −11 với t =6 0 tuỳ ý.
Hoàn toàn tương tự ta cũng tìm được các véctơ riêng ứng với giá trị riêng λ1 = 4 có
dạng x = t 51 với t 6= 0. 2 0 0
Ví dụ 5.3. Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A= 1 2 −1 . 1 3 −2
Tương tự ví dụ trước, ta bắt đầu bằng việc tìm đa thức đặc trưng pA(t) của A. Ta có A 3t −2 0 0
p (t)= det(tI − A)= det−1 t −2 1
=(t −2)(t −1)(t +1). −1 −3 t +2
Do đó các giá trị riêng của A là λ1 = 2, λ2 = 1 và λ3 = −1. 49
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 x x3
Để tìm các véctơ riêng x =x21 ứng với giá trị riêng λ1 = 2, chú ý rằng
λ1I3 − A=
1−1 λ1 −2 1 = −1 0 1 λ −2 0 0 0 0 0 −1 −3 λ1+2 −1 −3 4
nên hệ phương trình tuyến tính (λ1I3 − A)x = 0 trở thành −x1 + x3 = 0
−x1 −3x2+4x3 = 0.
Hệ này có nghiệm x =
t1 với t là một số thực bất kì. Do đó các véctơ riêng 1 1 1
ứng với giá trị riêng λ1 = 2 có dạng x = t 1 với t 6= 0 tuỳ ý. 1 2
Tương tự ta cũng tìm được các véctơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 1 là x = t1 và
các véctơ riêng ứng với giá trị riêng λ3 = −1 là x = t 1 với t là 0 3 0 1 một số thực tuỳ ý khác 0. 50
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
5.3. Chéo hoá ma trận
Trong phần này chúng ta trình bày phương pháp để đưa một ma trận vuông về dạng chéo (nếu có thể).
Trước hết nhắc lại rằng ma trận chéo là ma trận vuông có các phần tử nằm ngoài
đường chéo chính đều bằng 0. Nói cách khác ma trận chéo là ma trận có dạng 0 ··· 0 d2 ... ···... d 1 0 0... 0 ··· . ... dn Ta có định nghĩa sau. 0
Định nghĩa. Cho A là một ma trận n×n. Ta nói A chéo hoá được nếu tồn tại một ma
trận khả nghịch P sao cho P−1AP là ma trận chéo.
Khi đó việc tìm ma trận P như trên và tìm dạng chéo của ma trận P 1
− AP được gọi là
chéo hoá ma trận A.
Kết quả sau đây cho phép ta tìm ma trận khả nghịch P cũng như P 1 − AP trong trường
hợp A là ma trận chéo hoá được. Định lí 5.3. Cho A là một ma trận n× n.
(i) Ma trận A chéo hoá được nếu và chỉ nếu A có các véctơ riêng x1,x2,...,xn thoả
mãn P =[x1x2 ... xn] là ma trận khả nghịch. λ1 02 ··· 0 i
(ii) Khi đó P−1AP x=
0... λ... ···... 0...
là ma trận chéo với λ là giá trị riêng 0 0 ··· λn 51
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 của A ứng với i.
Chứng minh. Giả sử P là ma trận khả nghịch thoả mãn P 1
− AP = D là ma trận chéo.
Chú ý rằng điều kiện P 1
− AP = D tương đương với AP = PD. λ1 02 ··· 0 Giả sử D =
0... λ...···... 0...n
và kí hiệu các cột của ma trận P lần lượt là 0 0 ··· λ
x1,x2...,xn thì đẳng thức AP = PD trở thành λ1 0 ··· 0 0 λ2
A[x1x2 ... xn]=[x1x2 ... ... ···... xn] ... 0 0... ··· . 0 λn
Theo định nghĩa của phép nhân ma trận, đẳng thức trên tương đương với
[Ax1Ax2 ... Axn]=[λ1x1λ2x2 ... λnxn],
tức là Axi =λixi với mọi i. Nói cách khác P 1
− AP = D là ma trận chéo nếu và chỉ nếu các phần tử trên đường
chéo chính của D chính là các giá trị riêng của A, đồng thời các cột của P là các véctơ
riêng tương ứng với các giá trị riêng đó. Như vậy ta đã chứng minh được Định lý 5.3.
Theo Định lý 5.3, nếu A là ma trận chéo hoá được thì ma trận P trong định nghĩa sẽ
có các cột được cho bởi các véctơ riêng của ma trận A. Hơn nữa các phần tử trên
đường chéo chính của ma trận chéo P 1
− AP chính là các giá trị riêng của ma trận A. Ta
minh hoạ kết quả này qua các ví dụ dưới đây. 52
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 2 0 0
Ví dụ 5.4. Chéo hoá ma trận A=1 2 −1 trong Ví dụ 5.3. 1 3 −2 1 2 3
Trong Ví dụ 5.3 ta đã tìm được các giá trị riêng của A là λ = 2, λ = 1, λ = −1 và các
véctơ riêng tương ứng lần lượt là x1 =1 , x2 = 1 , x3 = 1 . 1 1 3 1 0 0 1 0 0
Do ma trận P = [x1x2x3] =1 1
1 có định thức bằng 2 nên P là ma trận 1 1 3 1
khả nghịch. Vì vậy theo Định lý 5.3 ta nhận được P 1 − AP = 0 λ2 0 = λ 0 0 0 0 λ3 2 0 0 0 1
0 = D là một ma trận chéo. Bạn đọc có thể dễ dàng kiểm tra lại 0 0 −1
đẳng thức AP = PD.
Chú ý. Trong Ví dụ 5.4, ta có thể đặt 53
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Q =[x2x1x3]=1 1 1 0 1 0 1 1 3
là ma trận tạo bởi các véctơ riêng x1,x2,x3 của A nhưng theo một thứ tự khác. Khi đó Q
vẫn là một ma trận khả
nghịch (detQ = −2) và vì vậy theo Định lý 5.3 ta nhận được Q−1AQ
=02 λ1 0 = 0 2 0 λ 0 0 1 0 0 0 0 λ3 0 0 −1
vẫn là một ma trận chéo, nhưng các phần tử trên đường chéo chính, tức các giá trị
riêng λ1,λ2,λ3 của A, xuất hiện theo thứ tự mới tương ứng với thứ tự xuất hiện của các
véctơ riêng x1,x2,x3.
Lưu ý rằng trong phát biểu của Định lý 5.3 các giá trị riêng λ1,λ2,...,λn của ma trận A
không nhất thiết phải phân biệt. Hãy cũng xem xét ví dụ sau. 0 1 1 1 1 0
Ví dụ 5.5. Chéo hoá ma trận A=1 0 1 .
Trước hết ta tìm đa thức đặc trưng của A. Ta có
pA(t)= det(tI3 − A)= det −1 t
−1 =(t −2)(t +1)2. t −1 −1 −1 −1 t 54
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Như vậy các giá trị riêng của A là λ1 = 2 và λ2 = −1, ở đó λ2 xuất hiện 2 lần
(và ta nói λ2 có bội 2). Với λ1 = 2, hệ phương trình (λ1I3 − A)x trở thành
2x1 − x2 − x3 = 0
−x1+2x2 − x3 = 0 .
−x1 − x2+2x3 = 0
Hệ này có nghiệm x = t1 nên ta có thể chọn véctơ
riêng ứng với λ1 = 2 là 1 1 x1 = 1 . 1 1 2 2 3
Với giá trị riêng λ = −1, hệ phương trình (λ I − A)x = 0 tương đương với chỉ một phương trình sau
x1+ x2+ x3 = 0.
Để giải phương trình trên, ta có thể đặt x2 = s và x3 = t với s, t tuỳ ý, khi đó x1 = −s − t
và nghiệm của phương trình trên có thể được viết dưới dạng x
=x2 = s 1 + t 0 .
x1 −1 −1 x3 0 1 Đặt x2 = 1 và x3
= 0 thì x2 và x3 đều là các véctơ riêng ứng với giá 1 1 − − 0 1 2
x1x2x3]= 11
−11−01 thì P là ma trận khả
trị riêng λ = −1. Nếu đặt P =[ 1 0 1 55
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
nghịch (det P = 3), do đó theo Định lý 5.3 ta có P 1 − AP
=01 λ2 0 = 0 −1 0 λ 0 0 2 0 0 0 0 λ2 0 0 −1 là một ma trận chéo.
Ví dụ 5.5 ta vừa xét ở trên là ví dụ điển hình về các ma trận chéo hoá được. Để mô
tả các ma trận chéo hoá được trong trường hợp tổng quát, ta cần khái niệm sau đây.
Định nghĩa. Ta nói giá trị riêng λ của ma trận A có bội đại số m, hoặc đơn giản là có
bội m, nếu λ là nghiệm bội m của đa thức đặc trưng pA(t).
Trong Ví dụ 5.5 vừa xét ở trên, giá trị riêng λ2 = −1 có bội 2. Hơn nữa hệ
phương trình tuyến tínhtham số s và t. Lưu ý rằng số tham số bằng đúng số bội của
giá trị riêng. Trên(λ2I3 − A)x = 0 có nghiệm được biểu diễn theo đúng 2 thực tế, đây là
một điều kiện đủ để ma trận A là chéo hoá được. Ta thừa nhận kết quả sau đây.
Định lí 5.4. Cho A là ma trận n × n. Ma trận A là chéo hoá được nếu và chỉ nếu hai
điều kiện sau được thoả mãn.
(i) Đa thức đặc trưng pA(t) của A có đủ nghiệm thực.
(ii) Nếu giá trị riêngđược cho bởi đúngλ của A có bộim tham số.m thì nghiệm của
hệ phương trình (λIn −
A)x=0
Một trường hợp đặc biệt của Định lý 5.4 có thể được phát biểu như sau.
Định lí 5.5. Cho A là ma trận n× n. Nếu A có đúng n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hoá được.
Chứng minh của các Định lý 5.4 và 5.5 đòi hỏi các kĩ thuật và kiến thức cao hơn
của đại số tuyến tính, do đó sẽ không được trình bày trong cuốn giáo trình này. Tuy
nhiên ta có thể minh hoạ tầm quan trọng của Định lý 5.4 qua ví dụ sau đây. 56
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Ví dụ 5.6. Chứng minh rằng ma trận A=1
1 là không chéo hoá được.2 0 1
Đa thức đặc trưng của ma trận A là pA(t) = (t − 1) nên A chỉ có một giá trị riêng duy
nhất λ= 1 với bội 2. Khi đó hệ phương trình (λI2−A)x = 0 có nghiệm x1 tuỳ ý, x2 = 0,
tức là nghiệm của hệ có dạng x =x12= s1. Do nghiệm chỉ x 0
được cho bởi 1 tham số nên ma trận A không chéo hoá được.
Ta cũng có thể chứng minh ma trận A không chéo hoá được bằng phương pháp
phản chứng như sau. Giả sử A chéo hoá được, do A chỉ có giá trị riêng là
λ= 1 nên tồn tại ma trận khả nghịch P để P 1 − AP =1 0= I2. Nhưng khi đó 0 1
ta nhận được A= PI2P−1 = I2, vô lý! Vậy ma trận A không chéo hoá được.
Để kết thúc chương này, chúng ta tóm tắt phương pháp để chéo hoá một ma trận như dưới đây.
Phương pháp chéo hoá ma trận: Cho A là một ma trận n × n. Để chéo hoá ma
trận A ta tiến hành các bước sau.
a) Tìm đa thức đặc trưng pA(t) của A. Giải phương trình pA(t)= 0 để tìm các giá trị riêng của A.
b) Với mỗi giá trị riêng λ của A, giải hệ phương trình1 1 2(λ2 In − A)xkx=k. Chọn
các0 và biểu diễn nghiệm của hệ dưới dạng tham số x = s x +s x +···+s
véctơ riêng ứng với giá trị riêng λ chính là các “nghiệm cơ sở” x1,x2,...,xk của hệ.
c) Ma trận A chéo hoá được nếu tổng số các véctơ riêng được chọn như trên bằng n. 57
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
d) Nếu A chéo hoá được, gọi P là ma trận có các cột được cho bởi n véctơ riêng
của A được chọn như trên. Khi đó P là ma trận khả nghịch và P 1 − AP
là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng của A. Bài tập
a) Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm đa thức đặc trưng, giá trị riêng, véctơriêng
của ma trận A, đồng thời xác định ma trận khả nghịch P (nếu có) để P 1 − AP là ma trận chéo. (a) A=1 2 3 2 0 −4 5 0 7 0 −2 (c) A=0 5 0 1 1 0 0 0 1 −3 0 6 0 −1 5 (d) A=3 2 2 0 0 0 0 1 1 (e) A=2 58
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 1 (b) A=2 −4 −1 −1 2 (f) A=0 0 9 −3 4 −1 1 (g) A=0 6 −1 0 b)
Xác định An trong các trường hợp sau. (a) A=6 −5 2 −1 (b) A=−7 −12 6 10
c) Chứng minh rằng nếu λ= 0 là một giá trị riêng của ma trận A thì ma trận A không khả nghịch.
d) Tìm tất cả các giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận đơn vị.
e) Cho ma trận vuông A. Giả sử tổng tất cả các phần tử trên mỗi dòng của A đều
bằng λ. Chứng minh rằng λ là một giá trị riêng của A. 59
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 Đáp án a) 1 2
(a) p(t)= t2 −3t −4, λ
1 = −1, λ2 = 4, P =−1 3 4 1
(b) p(t)= t2 − t −6, λ1 = 3, λ2 = −2, P =−1 1 4 0 0 1 (c)
p(t)= t3 −10t2+31t −30, λ 1
1 = 2, λ2 = 5, λ3 = 3, P =0 5 0 1 (d)
p(t)= t3 −3t −2, λ1 = −1 (bội 2), λ2 = 1, không tồn tại P (e)
p(t)= t3 −6t2+12t −8, λ= 2 (bội 3), không tồn tại P 0 0 1
(f) p(t)= t3 −5t2+8t −4, λ1 = 1, λ2 = 2 (bội 2), P =0 1 0 1 0 0 3 0 1
(g) p(t)= t3 −4t2+5t −2, λ1 = 2, λ2 = 1 (bội 2), P =1 1 0 2 3 0 b) (a) 2/3 −2/34n 06 −5 −2/3 5/3 0 1 2 −1 (b)6 9
2n0−4/3 −3/2 −6 −8 0 1 1 1 c) detA= 0 60
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
d) λ= 1, mọi véctơ đều là véctơ riêng
e) Ma trận A−λI có tổng các véctơ cột bằng 0. 61
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
§1. Hệ phương trình tuyến tính
Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã gặp các phương trình và hệ phương
trình bậc nhất, chẳng hạn như các hệ phương trình sau: x +2y = 3 x + y + z = 1
4x +5y = 6,x +4y − z = 2 3x + z = 3.
Các hệ phương trình trên cũng có thể được viết lại thành dạng ma trận. Chẳng hạn hệ
phương trình thứ nhất được viết lại là: x +2y =3 hay 1 2x=3. 4x +5y 6 4 5 y 6 Tương tự, hệ phương
trình thứ hai có thể viết lại dưới dạng ma trận là: 1 4 −1 y = 2 . 1 1 1 x 1 3 0 1 z 3
Nhận xét rằng trong các hệ phương trình trên, các phương trình đều là phương trình
bậc nhất và mỗi hệ đều có số ẩn và số phương trình bằng nhau. Tuy nhiên, người ta
cũng gặp những phương trình và hệ phương trình mà số ẩn và số phương trình khác
nhau. Chẳng hạn, phương trình 2x + y = 1 có nghiệm là tập hợp các điểm trên một
đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Ox y, hay hệ phương trình
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
¨x + y + z = 1 x +2y + z = 0 45
có nghiệm là tất cả các điểm trên một đường thẳng trong không gian ba chiều Ox yz.
Các hệ phương trình quen thuộc nêu trên đều là hệ phương trình tuyến tính, được
định nghĩa một cách tổng quát như dưới đây.
Định nghĩa.gồm m phương trình bậc nhất củaHệ phương trình tuyến tínhn ẩn, có
dạng như sau:cỡ m × n (m phương trình, n ẩn) là hệ
a2111x11+ a2212x22+···+ a21nnxnn = b21 a
x + ax +···+ a x = b (1.1) ···
am1x1+ am2x2+···+ amnxn = bm,
trong đó các aij và bi là các số thực, còn x1,..., xn là các ẩn số. Hệ phương trình này
cũng được viết lại dưới dạng ma trận như sau:
a2111 a2212 ... a21nn
x12 b2 a a ... a x b1 = , (1.2) ··· ··· ··· ··· ··· am1 ... amn xn ··· bm am2
hay AX = b, trong đó 63
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 a a ... a x b1 a1121 a1222 ... xn bm a12nn
am1 am2 ... amn x12 b2 A=, X = , b = . ··· ··· ··· ··· ··· ···
Hệ viết dưới dạng (1.1) được gọi là dạng đại số, còn (1.2) được gọi là dạng ma trận
của hệ phương trình tuyến tính (1.1). Ma trận A được gọi là ma trận các hệ số, hay
ma trận liên kết hệ (1.1). Ngoài ra, ma trận đầy đủ hơn dưới đây gọi là ma trận đầy
đủ hay ma trận bổ sung của hệ (1.1): a2111
a2212 ... a21nn b2 a a ... a b1
A=(A| b)=··· ··· ··· ··· ···
am1 am2 ... amn bm Nếu ma trận A là một ma trận
vuông không suy biến thì hệ (1.1) được gọi là hệ
Cramer. Nếu b1 = b2 = ··· = bm = 0, thì hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất. Khi đó hệ có dạng AX = 0, hay 64
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 a = 0
11x1+ a12x2+···+ a1nxn = 0 = 0.
a21x1+ a22x2+···+ a2nxn
Nhận xét. Ta xét một
số trường hợp m,n nhỏ. ···
am1x1+ am2x2+···+ amnxn (i) Hệ cỡ 1 × 1 chính là phương trình
bậc nhất một ẩn:với a, b là các số thực, còn x là ẩn.a11x1 = b1, thông thường ta
viết là ax = b,
(ii) Hệ cỡ 2×2 là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: a
x + a x = b ¨ 2111 11 2212 22
21hay a1121 a1222x21=b1. a
x + a x = b a a x b2
Thông thường hệ phương trình cỡ 2 × 2 được viết dưới dạng hai ẩn x, y quen thuộc như sau: hay a
bx=c. ax + by
= c a′x + b′ y = c′ a′ b′ y c′
(iii) Hệ cỡ 3×3 là hệ có dạng a
21x1+ a22x2+ a23x3 = b2 hay
a21 a22 a23 x2 = b2 .
a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1a11 a12 a13 x1 b1
a31x1+ a32x2+ a33x3 = b3
a31 a32 a33 x3 b3
Cũng có thể viết hệ này với ba ẩn x, y,z như sau 65
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
a x + b y + c z = d a b c x d
a12x + b12y + c12z = d12hay a12 b12 c12 y = d21 .
a3x + b3y + c3z = d3 a3 b3 c3 z d3
(iv) Hệ cỡ 1×2 chính là phương trình đường thẳng trong mặt phẳng:
ax + by = c.
(v) Hệ cỡ 1×3 chính là phương trình mặt phẳng trong không gian:
ax + by + cz = d.
(vi) Hệ cỡ 2 × 3 là phương trình đường thẳng trong không gian (giao của hai mặt phẳng):
ax + by + cz = d a′x + b′ y + c′z = d′. (vii) Nhận xét
¨ t hêm rằng, khi n = 2 tức là hệ phương trình (1.1) có
hai ẩn, kí hiệu hai ẩn là x, y thì mỗi phương trình
của hệ là phương trình của một đường thẳng trong
mặt phẳng toạ độ Ox y. Khi đó nghiệm của hệ
phương trình chính là toạ độ của các điểm chung của
tất cả các đường thẳng đó. Tương tự, nếu n = 3, thì
mỗi phương trình của hệ (1.1) chính là phương trình
của một mặt phẳng trong không gian ba chiều, do đó
nghiệm của hệ là tập hợp các điểm chung của tất cả các mặt phẳng đó.
Ví dụ 1.1. (i) Hệ phương trình ¨4xx++25yy == 36, là một hệ cỡ 2 × 2, có ma trận liên
kết và ma trận đầy đủ lần lượt là: 66
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 A= 1 2 và A =1 2 3. 4 5 4 5 6
Vì A là một ma trận vuông và detA = 14 25 = −3 6= 0 nên hệ này là một hệ Cramer. (ii) Hệ phương trình
x + y + z = 1 x
+4y − z = 2 3x + z = 3
là hệ cỡ 3×3 với ma trận liên kết và ma trận đầy đủ lần lượt là: B = 1 4 −1 và B = 1 4 −1 2 . 1 1 1 1 1 1 1 3 0 1 3 0 1 3 67
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Tương tự như trên, hệ này cũng là một hệ Cramer. (iii) Hệ phương trình
¨x11+2x22 − x3+5x44= 0 2x − x −3x = 0
là một hệ thuần nhất cỡ 2×4, có ma trận liên kết là C =1 2 −1 5 . 2 −1 0 −3 BÀI TẬP
2.1. Xác định cỡ, ma trận liên kết, ma trận đầy đủ của mỗi hệ phương trình tuyến tính
sau. Mỗi hệ đó có là hệ Cramer hay hệ thuần nhất hay không? x −2y +3z = 1
2x − y − z = 0 (a)y −2z = 2 (b)
x − y −2z = 0 3x − z = 0 7x + y −2 = 0
(c)2x1+3x2+ x3 − x4+ x5 = 1 x1 −
x2+3x3+7x4 = 2
2.2. Hãy viết hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và một hệ phương trình tuyến tính
không thuần nhất có ma trận liên kết là mỗi ma trận sau và xét xem hệ đó có
phải là hệ Cramer không. 1 2 1 2 3 1 2 3 (a)(b) 3 4 (c) 4 5 6 4 5 6 5 6 7 8 9
2.3. Hãy diễn đạt lại các bài toán sau bằng một hệ phương trình tuyến tính. 68
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
(a) Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 40 cm, xuấtphát
cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 40
giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 8 giây chúng
lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
(b) Một vật có khối lượng 131g và thể tích 16 cm3 là hợp kim của đồng và
kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng, bao nhiêu gam kẽm, biết
khối lượng riêng của đồng là 8,9g/cm3 và khối lượng riêng của kẽm là 7g/cm3.
(c) Ba tổ sản suất A,B,C có số sản phẩm trung bình (của một công nhân trong
một tháng) lần lượt là 37, 23, 41 sản phẩm. Số sản phẩm trung bình của hai
tổ A,B là 29, còn số sản phẩm trung bình của hai tổ B,C là 33. Hãy tính số
sản phẩm trung bình của cả ba tổ.
§2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Mục này sẽ giới thiệu một cách giải thông dụng của hệ phương trình tuyến tính.
Trước hết ta trở lại với hệ phương trình tuyến tính hai phương trình hai ẩn. Hãy lần
lượt xem các ví dụ cụ thể. Ví dụ 2.1. Trước tiên, xét hệ phương trình 3x + 2y = 1 (2.1) 3y = 15.
Dễ thấy từ phương trình thứ hai ta có thể tính ngay được y, rồi thay vào phương trình
thứ nhất để tính x:
§ 3x + 23yy == 115 ⇔ § 3yx == 5−2y +1 ⇔ § xy == 5.−3
Ví dụ 2.2. Tiếp theo, ta xét hệ sau: 3x − y = 2 (1) (2.2) −x + 2y = 1. (2)
Một phương pháp quen thuộc để giải hệ (2.2) là khử x hoặc y để đưa về hệ dạng (2.1).
Muốn vậy, ta chỉ cần nhân (2) với 3 rồi cộng với (1), khi đó ta nhận được hệ tương đương 69
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 3x − y = 2 5y = 5.
Tương tự hệ (2.1) ta giải x + 2y − = 1
được x = 1, y = 1. z −2y + z = 2 (2.3)
Ví dụ 2.3. Tiếp tục xét 2z = −4. hệ phương trình 3 ẩn:
Hệ này mặc dù có nhiều biến nhưng cũng dễ dàng giải được: từ phương trình cuối
cùng tính được z, rồi thay vào phương trình thứ hai để tính y, và thay y,z vừa tính
được vào phương trình đầu tiên để tính x. x + 2y − z = 1
x = −z2y + z +1 x = 3 −2y + z = 2 ⇔ y = 2 −1 ⇔ y = −2 2z = −4 z = −2. z = −2.
Ví dụ 2.4. Bây giờ xét một hệ phương trình tuyến tính ba ẩn tổng quát hơn:
x + 2y + z = 1 (1) 2x − y + 3z = 2 (2) (2.4) −x + y − 2z = 3 (3).
Nhận xét. Nhận thấy rằng hệ (2.1) và hệ (2.3) dễ dàng giải được vì chúng có ma trận
liên kết là một ma trận tam giác. Đối với hệ bất kì như hệ (2.2) và hệ (2.4) ta có thể
tìm cách biến đổi nó về một hệ có ma trận liên kết dạng tam giác. Hệ (2.4) được biến đổi như sau:
• Trước hết khử x ở phương trình thứ hai và phương trình thứ ba: (2) cộng với - 2
lần (1) và (3) cộng với (1) ta được hệ tương đương:
x + 2y + z = 1 (1) (2.4) ⇔ −
35yy −+ zz == 40 ((32′′)). 70
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
• Tiếp theo khử tiếp y ở phương trình (3′): nhân (3′) với 5 rồi cộng với 3 lần (2′): x + 2y − z = 1 (2.4) ⇔− 5y + z = 0 −2z = 20.
Ta nhận được một hệ có ma trận liên kết dạng tam giác, hệ này dễ dàng giải
được tương tự như hệ (2.3).
Thay vì viết phép biến đổi tương đương hệ phương trình, ta có thể biến đổi ma trận
đầy đủ của hệ đó. Chẳng hạn, ta có thể viết các phép biến đổi trên của (2.4) như sau: A = 2 −1 3 2 −→ 0 −5 1 0 −→ 0 −4 1 0 . 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 −1 1 −2 3 0 3 −1 4 0 0 −2 20
Ví dụ 2.5. Trong ví dụ này ta xét một hệ phương trình mà số ẩn nhiều hơn số phương trình:
2x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 1 (2.5) 2x1 − x2 + x3 + x4 = 2.
§ Tương tự ví dụ trên, ta có thể biến đổi ma trận đầy đủ của hệ
như sau: dòng 2 trừ đi dòng 1 A= 22
−−21 31−11 121 −2→ 20 −12 −32 3−31411.
Bây giờ nếu ta chỉ giữ lại hai biến x , x , còn các biến x , x ta chuyển sang vế phải và
coi như tham số, thì ta nhận được một hệ có ma trận liên kết dạng tam giác, do đó có
thể giải được tương tự như các hệ (1.1) và (2.1). 71
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 ⇔ ⇔ ⇔ R bất kì).
Như vậy hệ (2.5) có vô số nghiệm được cho bởi công thức trên, trong đó cứ cho bất kì
một giá trị của cặp (x3, x4) ta sẽ nhận được một nghiệm: 1 5 3
(x1, x2, x3, x4)=(2x3 − 2x4+ 2,2x3 −3x4+1, x3, x4).
Cũng có thể viết nghiệm dưới dạng ma trận cột: 1 5 3 5 xx123 =
22xx33−−3243xx44++12 = x3 2 + x4 −32 + 1 (x3, x4 ∈ R). x4 x 1 0 0 x x 0 1 0
Phương pháp giải hệ phương trình trong Ví dụ 2.4 và Ví dụ 2.5 là phương pháp khử
Gauss: Biến đổi tương đương hệ phương trình (hoặc biến đổi ma trận đầy đủ của
phương trình) để đưa về hệ có ma trận liên kết dạng bậc thang (ma trận tam giác trên
như Ví dụ 2.4 hoặc có một ma trận vuông con cấp cao nhất dạng tam giác trên như Ví
dụ 2.5), khi đó dễ dàng tính được nghiệm của hệ.
Trước khi mô tả cụ thể phương pháp khử Gauss, ta cần một số nhận xét sau: 72
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 (i)
Dưới đây là hình minh hoạ một ma trận bậc thang tổng quát nhất, trongđó tất
cả các phần tử đầu dòng trên đường biên bên trái đều khác không (hoặc, đặc
biệt hơn, tất cả các phần tử đầu dòng trên đường biên bên trái bằng 1).
Chẳng hạn, các ma trận dạng dưới đây là ma trận bậc thang (dấu ∗ là một phần tử bất kì): .
(ii) Trong trường hợp hệ AX = b hệ là hệ Cramer, tức là A là ma trận vuông không
suy biến, thì hệ có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: X = A 1 − b.
(iii) Nếu ma trận liên kết của một hệ có dạng tam giác trên với định thức
kháckhông (các phần tử trên đường chéo chính khác không), thì ta dễ dàng tính
được nghiệm duy nhất của hệ.
(iv) Các phép biến đổi ma trận dưới đây là các phép biến đổi tương đương hệphương trình. (1) Đổi chỗ hai dòng.
(2) Nhân vào một dòng một số khác không.
(3) Cộng vào một dòng α lần một dòng khác.
(4) Bỏ đi một trong hai dòng tỉ lệ.
Các phép biến đổi này được gọi là các phép biến đổi sơ cấp theo dòng của ma trận. 73
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
(v) Mọi ma trận đều có thể đưa được về ma trận bậc thang bởi các phép biếnđổi sơ
cấp theo dòng nêu trên, với các bước sau đây:
- Bỏ qua các cột đầu tiên gồm toàn số 0 (nếu có), bắt đầu thực hiện các
bước sau đây với ma trận con còn lại.
- Đổi chỗ các dòng sao cho phần tử đầu tiên của dòng 1 khác không.
- Giữ nguyên dòng 1, và dùng dòng này để khử sao cho tất cả các phần tử
phía dưới phần tử đầu tiên của dòng 1 bằng không.
- Lặp lại ba bước trên cho ma trận con còn lại sau khi bỏ qua dòng 1 và cột 1.
- Cứ tiếp tục lặp lại các bước trên cho đến dòng cuối cùng (không còn phần
tử nào phía dưới để khử thành 0 nữa).
Từ các nhận xét trên, ta có thể mô tả phương pháp khử Gauss để giải hệ phương
trình tuyến tính như sau:
• Bước 1: Lập ma trận đầy đủ của hệ.
• Bước 2: Biến đổi ma trận đầy đủ về dạng bậc thang bởi các phép biến đổi sơ
cấp theo dòng bằng phương pháp khử như trong Nhận xét (v) ở trên.
• Bước 3: Từ ma trận nhận được ở Bước 2, ta nhận được hệ phương trình tương
đương với hệ ban đầu và giải hệ này. Có ba trường hợp xảy ra: (i)
Nếu ma trận liên kết trở thành một ma trận tam giác trên có địnhthức
khác không thì hệ có nghiệm duy nhất và ta dễ dàng tính được nghiệm
nhờ dạng tam giác của ma trận này (xem Ví dụ 2.6).
(ii) Nếu ma trận liên kết nhận được không phải là ma trận tam giác vàcó một
ma trận vuông con cấp cao nhất dạng tam giác có định thức khác không,
thì giữ lại các ẩn nằm trong ma trận vuông con này, và biểu diễn một
cách duy nhất các ẩn này theo các ẩn còn lại. Khi đó hệ có vô số nghiệm (xem Ví dụ 2.8, 2.9).
(iii) Nếu ma trận liên kết bậc thang nhận được không phải một trong haidạng
trên thì nó sẽ có một dòng gồm toàn số 0, mà phần tử cuối cùng ở dòng
đó trong ma trận đầy đủ là khác 0. Khi đó hệ vô nghiệm (xem Ví dụ 2.7).
Chú ý. Trong phương pháp khử Gauss ta cần chú ý rằng:
(i) Khi biến đổi ma trận thay cho biến đổi tương đương phương trình thì chỉ biến đổi dòng. 74
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
(ii) Trong trường hợp (ii), ma trận vuông con cấp cao nhất dạng tam giáckhông suy
biến không nhất thiết là ma trận vuông con ngoài cùng bên trái, nên các ẩn
được giữ lại (để tính theo các ẩn còn lại) không nhất thiết là các biến đầu tiên (xem Ví dụ 2.9).
Dưới đây là một vài ví dụ minh hoạ. Ví
dụ 2.6. Giải hệ phương trình 3x − y + z = 2 x + y − 2z = −1 −2x + 4y − z = 0.
Biến đổi ma trận đầy đủ của hệ: 3 −1 1 2 1 1 −2 − 1 A=1 1 −2 −1 −→ 3 −1 1 2L1 ←→ L2 −2 4 −1 0 −2 4 −1 0 1 1 −4 −17 −51 0 −→ 00
L3 −→ (1/11)L3
Hệ phương trình trở thành: −2 −1 75
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 −→0 −4 7
5L2 −→ L2−3L1 0 6
−5 −2 L3 −→ L3+2L1 1 1 −2 −1 −→0 −4 7 5 0 0
11 11 L3 −→ 2L3+3L2 1 1 2 1 x + y − 2z = −1
x = −y +2z −1 x = 1/2
−4y + 7z = 5 ⇔−4y = −7z +5 ⇔ y = 1/2 z = 1 z = 1 z = 1.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x, y,z)=( ,1).
Ví dụ 2.7. Giải hệ phương trình x − 4y − z = 2 2x + y + 3z = 2 4 − 7y + z = 3.
Biến đổi ma trận đầy đủ của hệ: 1 −4 −1 2 1−4 −1 2 A=2 1 3 2 −→ 0
95 −2 L2 −→ L2−2L1 76
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 4 −7 13 0 9 5
−5L3 −→ L3−4L1 1 −4 −1 2 −→ 0 9 5 −2 0 0 0
−3L3 −→ L3− L2
Dòng thứ ba của ma trận trên có nghĩa là 0z = −3. Điều này là vô lý nên hệ vô nghiệm.
Ví dụ 2.8. Giải hệ phương trình
x1 + x2 + 2x3 − x4 = 2 2x1 − x2 + x3 − 2x4 = 1 x1 + x2 − x3 + 2x4 = 2.
Biến đổi ma trận đầy đủ của hệ: 1 1 2 −1 2 1 1 2 −1 2 A=2 −1 1 −2 1 −→ 0 −3 −3 0 −3
L2 −→ L2−2L1 1 1 −1 2 2 0 0 −3 3
0L3 −→ L3− L1
Hệ phương trình trở thành
x1 + x2 + 2x3 − x4 = 2 − 3x2 − 3x3 = −3 77
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
1 2 −33x3 +4 3x4 = 0 x + x + 2x = x
+2 ⇔ − 3x2 − 3x3 = −3 1 2
−3 3x43 = −3x4 1
x = −x −2x + x +2 x = −1 ⇔x2 = −x3+3 ⇔ x2
= −x4+3 x3 = x4 x3 = x4.
Vậy hệ có vô số nghiệm với công thức là x14 −414 4 0 −1 4 R xx23 =
−xx4+3 = x −11 + 03 (x ∈ ). x x 1 0
Ví dụ 2.9. Giải hệ phương trình x1 −
2x2 − x3 + 2x4 = 1 2x1 − 4x2 − x3 + x4 = 1
Biến đổi ma trận đầy đủ của hệ:
A= 21−−42−−1112 11 −→ 10−02−11
−23 −11 L2 −→ L2−2L1 78
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Ma trận con dạng tam giác có định thức khác không gồm cột 1 và cột 3 nên tasẽ tính
x1, x3 theo x2, x4. Hệ phương trình trở thành x1 −
2x2 − x3 + 2x4 = 1 x3 − 3x4 = −1 §
⇔§x1 −xx33 == 2x23−x42−x41+1
⇔¨xx13 == 3x3x4+−21x2 −2x4+1 ⇔ ¨xx13 == 23xx24+−1x4 −2
Vậy hệ có vô số nghiệm với công thức là x1 2x2+4x24 −2 2 2 4 1 −2 2 4 R x2 x 1 0
0 x3 = 3x 4−1 = x 0 + x 3 + −1 (x , x ∈ ). x4 x 0 1 0
Để kết thúc mục này, ta trở lại việc tìm ma trận nghịch đảo trong mối quan hệ với
việc giải các hệ phương trình tuyến tính. Cho A=(aij) là một ma trận vuông cấp n
không suy biến. Khi đó C là ma trận nghịch đảo của A nếu AC = I, trong đó I là ma
trận đơn vị cấp n. Theo công thức nhân ma trận, việc tìm ma trận C tương đương với
việc giải n hệ phương trình tuyến tính: AX = Ei, trong đó Ei là ma trận cột thứ i của ma
trận đơn vị I. Nghiệm của hệ phương trình này là cột thứ i của C. Chẳng hạn hệ AX = E1 là hệ 79
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
a11x1+ a12x2+···+ a1nxn = 1
a21x1+ a22x2+···+ a2nxn = 0 ···
an1x1+ an2x2+···+ annxn = 0.
Các hệ phương trình AX = Ei có cùng ma trận liên kết, nên ta có thể áp dụng phương pháp khử Gauss đồng
thời cho cả n hệ bằng cách biến đổi ma trận cỡ n×2n sau:
a2111 a2212 ... a21nn 0 1 ... 0 a a ... a 1 0 ... 0
E =(A|I)=··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· . an1 an2 ... ann 0 0 ... 1
Để giải đồng thời n hệ, sau khi biến đổi ma trận E để phần ma trận A trở thành dạng
tam giác trên, ta tiếp tục dùng phương pháp Gauss khử phần tam giác phía trên, để
biến đổi phần ma trận này trở thành ma trận đơn vị. Như vậy, bằng các phép biến đổi
tương đương phương trình: (i) Đổi chỗ hai dòng (ii)
Nhân vào một dòng một số khác không
(iii) Cộng vào một dòng α lần một dòng khác ta đưa E về dạng: 1 0 ... 0 c c ... c1n 0 1
...0 c1121n1 c1222n2 ...c2n i 80
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 F =. ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 ... 1 c c ... cnn
Khi đó cột thứ i của ma trận (cij) chính là nghiệm của phương trình AX = E , do đó nó
là cột thứ i của C, hay C =(cij) chính là ma trận cần tìm. Đây là phương pháp Gauss-
Jordan tìm ma trận nghịch đảo. Hãy xem ví dụ dưới đây. 0 −1 −1 V
í dụ 2.10. Cho ma trận A =1 1
2 . Ta sẽ tính ma trận nghịch đảo −2 0 −1
của A bằng phương pháp Gauss-Jordan. Thực hiện phép biến đổi ma trận: 0 −1 −1 1 0 0 −2 0 −1 0 0 1 1 1 2 0 1 0 −→0 −1 −1 1 0 0 L1 ←→ L2 −2 0 −1 0 0 1 81
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 E =(A|I)= 1 1 201 0 1 1 2 0 1 0 −→0 −1 −1 1 0 0 0 2 3 0 2 1
L3 −→ L3+2L1 1 1 2 0 1 0 −→0 −1 −1 1 0 0 0 0 1 2 2 1
L3 −→ L3+2L2 1
1 0 −4 −3 −2 L1 −→ L1−2L3 −→ 0 −1 0 3 2 1 L2 −→ L2+ L3 0 0 1 2 2 1 1 0 0 −1 −1 −1
L1 −→ L1+ L2 −→0 −1 0 3 2 1 0 0 1 2 2 1 1 0 0 −1 −1 −1 −→ 0 1
0 −3 −2−1 L2 −→ (−1)L2 82
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 0 0 1 2 2 1 Từ đó A−1 = −3 −2 −1 . −1 −1 −1 2 2 1 BÀI TẬP
2.4. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss.
(a) Các hệ trong Bài tập 2.1. 2x1 − x2 − x3 + x4 = −1 (b)
x11 + 2x222 33 − x444 = 1 −x − x + 2x + 3x = −2 1 x 2 −
3x 3 + x 4 = −9. 3x − 2x + 4x − x = 0 (c) x1 1 − 2x22 + x33 + x44 = 0 −2x + x − x + 2x = 0
2.5. Dùng phương pháp Gauss để giải tiếp các bài toán trong Bài tập 2.3.
2.6. Dùng phương pháp Gauss-Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: 83
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 1 1 1 1 2 1 0 −1 1 1 (a)11 1 0 1 1 10 00 (b) 12 −02 −−12 (c) −11 −1 1−−0 1− 01 . §3. Hệ Cramer
Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình của n ẩn a2111x11+
a2212x22+···+ a21nnxnn = b21 a x + a x +···+ a x = b (3.1) ···
an1x1+ an2x2+···+ annxn = bn. a21 a a ··· a x b1
a11 a322212 a332313 ···a321nnn x21 b2 Ký hiệu A= a31 a a ··· a , x = ... và b = ... . ··· ··· ··· ··· ··· x b
an1 an2 an3 ··· ann n n
Khi đó hệ phương trình (3.1) được viết lại thành Ax = b.
Nếu định thức detA6= 0 thì hệ (3.1) được gọi là hệ Cramer. 84
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Trong phần trước, ta sử dụng phương pháp Gauss để tìm nghiệm của hệ phương
trình 3.1. Sau đây chúng ta tìm hiểu thêm một phương pháp khác trong việc tìm
nghiệm cho hệ phương trình Cramer này.
Định lí 3.1 (Qui tắc Cramer). Giả sử hệ phương trình (3.1) là hệ Cramer. Ký hiệu D
= detA và Di = detAi, trong đó Ai là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i
của ma trận A bởi cột hệ số tự do b. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó được
tính bởi công thức sau: Di xi =
; i = 1,2,...,n. D
Chứng minh. Với mỗi i = 1,2,...,n, ký hiệu Ii là ma trận có được từ ma trận đơn vị cấp
n bằng cách thay cột thứ i bởi cột các biến số x và Ai là ma trận có được từ ma trận A
bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do b, chẳng hạn x2 x1 0 0 0
b1 a12 a13
··· a2n a1n I1 = x3 ··· 0 a ··· b 22 a23 2 a3n . 1 0 a32 a33 ··· ···x ··· ··· ··· ··· 0 0 ;A a ··· ··· ann 1 = 3 n2 an3 n 1 ··· ··· ··· ··· ···1 0 0 ··· b ···b n
Khi đó ta có AIi = Ai. Suy ra det(A).det(Ii)= det(Ai) hay D.xi = Di. Do đó Di xi =
; i = 1,2,...,n. D
Ví dụ 3.1. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer: 5x +7y = 1 ¨ 2x +3y = 3. 85
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
Lời giải. Hệ được viết dưới dạng ma trận 2 3y 3 5 7 x 1 = . Ta có 5 7 1 7 5 1 D =2 3=
11, D1 =33= −2 18, D2 =2 3= 13. D D
Vậy nghiệm của hệ là x = D = −18, y = D = 13.
Ví dụ 3.2. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:
5x +7y −2z = 1
2x +3y +6z = 3
3x −2y +4z = 7.
Lời giải. Hệ được viết dưới dạng ma trận 25 37 −62 xy = 13 3 −2 4 z 7 86
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 5 −2 Ta có D = 2 73 6 = 216 và 1 − −2 5 7 1
1 = 337−2624=288; D =25 31 6 = 7 D 3 2 −150; D3 = 2 3 3 = 87. 7 −2 4
3 7x =4288 ; y = 150;z3= −872
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất − . 216 216 216
Ví dụ 3.3. Xét hệ phương trình
5x + ay −2z = 3, x + y + z = −2,
a 3x −2y + az = 1.
a) Với những giá trị nào của thì hệ đã cho là hệ Cramer.
b) Khi hệ đã cho là hệ Cramer, hãy giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer.
Lời giải. Hệ được viết dưới dạng ma trận 87
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 15 1a−12 xy = 31 −2 . 3 −2 a z
D =5 a2 −a2= a2+8a +20 =(a +2)(10 a) Ta có13 1 1 − D = 0 a = 2− a. = 10 − a) Để hệ
đã cho là hệ Cramer thì 6 . Do đó 6 − và 6 . b) Ta có 3 a −2 2 D1 =−2 1 1 = 2a +4a; 1 −2 a 5 3 −2 D2 =1 −21 = −13a −10; 3 3 1 a 88
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748 5 a 3 D =1 1 −2= −7a −30. 3 −2 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 2 x =
BÀI TẬP 2.7. Giải các hệ
phương trình sau bằng phương pháp Cramer:
a) ¨−2x +5y = 1b) ¨x −3y = −2
3x −2y = 3. x + y = 1. 2.8.
Tìm điều kiện của số thực a để hệ sau là hệ Cramer, sau đó giải các hệ đó theo a. a)ax +4y = 1
b) ¨ax +(a −2)y = 1 4x + ay = a. x + ay = 1. 2.9.
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:
−x +2y +2z = 3 x +2y +3z = 5
3x − y +4z = 7. 89
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com) lOMoAR cPSD| 40439748
2.10. Xét hệ phương trình
−x + ay +2z = 1 (a
−1)x +2y +3z = 2 3x
− y +(a −2)z = 3.
a) Tìm tất cả các giá trị của a để hệ đã cho là hệ Cramer.
b) Giải hệ phương trình theo phương pháp Cramer với các giá trị của a tìm được. ĐÁP SỐ
2.7. a) x = 17 , y = . b) x = .
2.8. a) a 6= ±2
, hệ đã cho là hệ Cramer.
b) Với mọi số thực a
2.9. x = ; y = 0;z = .
2.10. a) D = −a3+3a2+3a −9; D =6 0 ⇔ a 6= 3,p3,−p3. 90
Downloaded by kim kim (ngothiphuongvtath4@gmail.com)