Nhập môn lý thuyết ma trận | Đại học Sư phạm Hà Nội
Nhập môn lý thuyết ma trận | Đại học Sư phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống.
Môn: Nhập môn lý thuyết ma trận
Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
NHẬP MÔN LÝ THUYẾT MA-TRẬN
(Bản sơ thảo bài giảng)
Bộ môn Đại số và Bộ môn Hình học
Khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm Hà Nội 2 MỤC LỤC Chương I. MA TRẬN 5
§1. Tập hợp và Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Khái niệm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§2. Phép thế và dấu của phép thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§3. Ma trận và các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. Một số loại ma trận đặc biệt thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5. Ma trận nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§4. Định thức của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§5. Giá trị riêng và chéo hoá ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1. Ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2. Giá trị riêng và véc tơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3. Chéo hoá ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chương II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 45
§1. Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss . . . . . 50
§3. Hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 4 Chương I MA TRẬN
§1. Tập hợp và Ánh xạ
1.1. Khái niệm tập hợp
a) Khái niệm. Tập hợp là một khái niệm cơ bản, nghĩa là, tập hợp là một khái
niệm không được định nghĩa, mà được hiểu một cách trực giác như là một sự
tụ tập của những sự vật hoặc những đối tượng theo một qui tắc nào đó (có thể
liệt kê ra được hoặc có cùng một số tính chất chung nào đó). Mỗi sự vật hoặc
đối tượng đó được gọi là một phần tử của tập hợp. Ta cũng nói tắt "tập hợp" là "tập".
b) Kí hiệu. Một tập hợp thường được kí hiệu bởi một chữ cái in hoa, chẳng
hạn như A, B, C, X , Y, Z, ... Các phần tử của một tập hợp thường được kí hiệu bởi
các chữ cái in thường, chẳng hạn như a, b, c, x, y, z, ... Nếu phần tử x thuộc tập
hợp X , ta kí hiệu x ∈ X . Nếu phần tử x không thuộc tập hợp X , ta kí hiệu x 6∈X .
c) Tập rỗng. Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, và kí hiệu là ;.
d) Biểu diễn tập hợp.
(1) Liệt kê các phần tử của tập hợp. Chẳng hạn như, tập các số tự nhiên N
được biểu diễn ở dạng liệt kê như sau
N = {0, 1, 2, . . . , n, . . . , }.
(2) Chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. Cụ thể là, nếu
tập hợp A gồm tất cả các phần tử x có tính chất P(x), ta viết A = {x : P(x)}.
Chẳng hạn như, trong mặt phẳng tọa độ Ox y, đồ thị G của hàm số y = x2, xác
định trên R, được biểu diễn như sau
G = {(x, y) : x ∈ R, y = x2}.
(3) Để có một hình ảnh trực quan về tập hợp, ta thường biểu diễn một tập 5
hợp bởi một miền phẳng, giới hạn bởi một đường cong khép kín, không tự cắt.
Hình biểu diễn đó được gọi là biểu đồ Ven của tập hợp.
1.2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau
a) Định nghĩa. Cho A và B là hai tập hợp.
(i) Tập A được gọi là tập con của tập B, và kí hiệu là A ⊂ B hoặc B ⊃ A, nếu
mỗi phần tử của A cũng là một phần tử của tập B. Nếu A ⊂ B và A 6= B thì
ta nói A là tập con thực sự của tập B, và kí hiệu là A ( B hoặc B ) A.
(ii) Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, và kí hiệu là A = B, nếu mỗi
phần tử của A là một phần tử của tập B và mỗi phần tử của B cũng là một phần tử của tập A. b) Mệnh đề. (1) X = X . (2) Nếu X = Y thì Y = X .
(3) Nếu X = Y và Y = Z thì X = Z. (4) X ⊂ X .
(5) Nếu X ⊂ Y và Y ⊂ X thì X = Y .
(6) Nếu X ⊂ Y và Y ⊂ Z thì X ⊂ Z.
(7) ;⊂ X , với mọi tập hợp X .
Chú ý. Việc chứng minh mệnh đề trên, cũng như các mệnh đề và các tính chất
trong Mục 1.1 và 1.2 dưới đây, là không không khó, và dành cho bạn bạn đọc coi như là một bài tập.
1.3. Các phép toán trên tập hợp
a) Phép hợp. Cho hai tập hợp A và B. Hợp của A và B, kí hiệu là A ∪ B, là một
tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A hoặc B. Như vậy,
A ∪ B = {x : x ∈ A hoặc x ∈ B}.
b) Phép giao. Cho hai tập hợp A và B. Giao của A và B, kí hiệu là A∩ B, là một
tập hợp gồm các phần tử thuộc đồng thời hai tập hợp A và B. Như vậy,
A ∩ B = {x : x ∈ A và x ∈ B}. 6
c) Phép hiệu. Cho hai tập hợp A và B. Hiệu của A và B, kí hiệu là A\B, là một
tập hợp gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Như vậy,
A\B = {x : x ∈ A và x 6∈B}.
Nếu B ⊂ A, A\B còn được gọi là phần bù của B trong A, và kí hiệu là CAB.
Chú ý. 1. Đối với các phép toán tập hợp, ta có một số tính chất sau. (i) Tính chất giao hoán: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A. (ii) Tính chất kết hợp:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(iii) Tính chất phân phối:
A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C). (iv) Công thức De Morgan:
X \(A ∪ B)=(X \A) ∩ (X \B),
X \(A ∩ B)=(X \A) ∪ (X \B).
2. Một cách tổng quát, các phép toán hợp và giao có thể mở rộng cho một họ
tùy ý các tập hợp như sau. Cho {Ai}i∈I là một họ các tập hợp. Hợp của họ các
tập hợp {Ai}i∈I, kí hiệu là ∪i∈IAi, là một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất
một trong các tập hợp Ai, với i ∈ I nào đó. Như vậy,
∪i∈IAi = {x : x ∈ Ai với một i ∈ I nào đó}.
Giao của họ các tập hợp {Ai}i∈I, kí hiệu là ∩i∈IAi, là một tập hợp gồm các phần
tử thuộc đồng thời các tập hợp Ai, với i ∈ I. Như vậy,
∩i∈IAi = {x : x ∈ Ai với mọi i ∈ I}. 7
Khi đó, ta có công thức De Morgan đối với họ tùy ý các tập hợp X \(∪i∈IAi)=∩i A ∈I (X \ i ), X \(∩i∈IAi)=∪i A ∈I (X \ i ).
d) Phép tích Descartes. Cho A n
1, . . . , An là n tập hợp. Tích Descartes của tập hợp A ×
1, . . . , An, kí hiệu là A1
. . . × An, là một tập hợp gồm các bộ sắp thứ tự
(x1, . . . , xn), với xi ∈ Ai với mọi i = 1, . . . , n. Như vậy, A × . . . × An = {(x n) : i ∈ A 1 1, . . . , x x
i với mọi i = 1, . . . , n}. Nếu A = · · ·= A 1
n = A, thì A × . . . × A (n thừa số) còn được gọi là lũy thừa
Descartes bậc n của tập hợp A, và kí hiệu là An. 1.2. Ánh xạ
1.2.1. Định nghĩa về ánh xạ.
a) Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ f từ X
đến Y là một qui tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một và chỉ một phần
tử y ∈ Y . Phần tử y ∈ Y được gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f , và kí hiệu
là f (x). Ánh xạ f từ X đến Y được kí hiệu là f : X → Y, x 7→y = f (x).
Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích của ánh xạ f . b) Ví dụ.
(1) Ánh xạ X → X , x 7→x, được gọi là ánh xạ đồng nhất, và được kí hiệu là idX .
(2) Với A ⊂ X , ánh xạ j : A → X , x 7→x, được gọi là ánh xạ nhúng chính tắc.
Chú ý rằng, nếu A = X thì j = idX .
(3) Với y là một phần tử cố định của Y , ánh xạ f 0
: X → Y, x 7→y0, được gọi là ánh xạ hằng.
1.2.2. Ảnh và ảnh ngược.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một ánh xạ.
(i) Với A ⊂ X , tập f (A)={ f (x) : x ∈ A} được gọi là ảnh của A qua f . Tập
f (X ) còn được gọi là ảnh của f , hay tập giá trị của f , và kí hiệu là Imf . 8
(ii) Với B ⊂ Y , tập f −1(B)={x ∈ X : f (x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B
qua f . Tập f −1( y) còn được viết là f −1( y).
b) Mệnh đề. Cho f : X → Y là một ánh xạ. Khi đó,
(1) f (A ∪ B)= f (A) ∪ f (B),
(2) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B),
(3) f −1(A ∪ B)= f −1(A) ∪ f −1(B),
(4) f −1(A ∩ B)= f −1(A) ∩ f −1(B),
(5) f −1(A\B)= f −1(A)\ f −1(B).
1.2.3. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một ánh xạ.
(i) Ánh xạ f được gọi là một đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử phân biệt là
phân biệt, nghĩa là, nếu x 6= x , thì f (x ) 6= f (x ). Một phát biểu tương 1 2 1 2
đương, f là đơn ánh nếu [ f (x )= f (x ) ⇒ x = x ] 1 2 1 2 .
(ii) Ánh xạ f được gọi là một toàn ánh nếu f (X )= Y. Một phát biểu tương
đương, f là toàn ánh nếu mỗi phần tử của Y đều có tạo ảnh, nghĩa là, với
mỗi y ∈ Y , tồn tại x ∈ X sao cho f (x)= y.
(iii) Ánh xạ f được gọi là một song ánh nếu f là đơn ánh và f là toàn ánh. Điều
này có nghĩa là, với mỗi y ∈ Y , tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f (x)= y. b) Ví dụ.
(1) Ánh xạ f : [0, +∞) → R, x 7→x2, là đơn ánh, và không là toàn ánh.
(2) Ánh xạ f : R → [0, +∞), x 7→x2, là toàn ánh, và không là đơn ánh.
(3) Ánh xạ f : [0, +∞) → [0, +∞), x 7→x2, là song ánh.
1.2.4. Hợp thành của hai ánh xạ.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ. Hợp thành của
hai ánh xạ f và g, là một ánh xạ g ◦ f : X → Z được xác định bởi
(g ◦ f )(x)= g( f (x))với mọi x ∈ X . 9 b) Mệnh đề.
(1) Với các ánh xạ f : X → Y , g : Y → Z, và h : Z → W , ta có
h ◦ (g ◦ f )=(h ◦ g) ◦ f .
(2) Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ. Khi đó, nếu f và g là các đơn
ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh), thì g ◦ f cũng là một đơn ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh).
1.2.5. Ánh xạ ngược.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mỗi y ∈ Y ,
tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f (x)= y. Ánh xạ
f −1 : Y → X , y 7→f −1( y)= x,
với f (x)= y, được gọi là ánh xạ ngược của song ánh f . b) Mệnh đề.
(1) Nếu f : X → Y là một song ánh và f −1 : Y → X là ánh xạ ngược của f thì f −1 ◦ f = id −1 X và f ◦ f = idY .
(2) Nếu f : X → Y , và g : Y → Z là hai song ánh thì (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1.
(3) Nếu f : X → Y là song ánh thì f −1(B) = (f −1)(B), với B ⊂ Y . BÀI TẬP
1: Tìm mối liên hệ giữa các tập hợp sau (bằng, chứa, chứa trong): p
(a) A = {x ∈ R : x2 + 2x > 1} và B = {x ∈ R : x > 2 − 1}.
(b) A = {n ∈ Z : n2 < 18} và B là tập các nghiệm nguyên của phương trình x4 − 14x2 − 32 = 0.
2: Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng
(a) A ∩ (B\C)=(A ∩ B)\(A ∩ C). (b) A ∪ (B\A)=A ∪ B. (c) A\(A\B)=A ∩ B. (d) (A\B)\C =(A\C)\(B\C). 10 (e) (A\B)\(B\C)=A\B.
(f) A × (B ∪ C)=(A × B) ∪ (A × C).
(g) A × (B ∩ C)=(A × B) ∩ (A × C).
(h) (A ∩ B) × (C ∩ D)=(A × C) ∩ (B × B).
(i) A ∩ B = ;⇔(A × B) ∩ (B × A)=;.
3: Với mỗi ánh xạ f cho dưới đây, hãy tìm f (1), f −1(1), f ((0, 1)), f −1((0, 1)), và Imf .
(a) f : R → R, x 7→f (x)= x2 + 4x − 5. 1 (b) 1
f : R\{0}→R, x 7→f (x)= x3 + + x + . x3 x
4: Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi ¨x3 vxớ2i xvớ ≤i 0, x > 0. f (x)=
Chứng minh rằng f là song ánh, và tìm ánh xạ ngược của f .
5: Cho hai ánh xạ f : R\{0}→R và g : R → R xác định bởi 1 3x f (x)= , và g(x)= . x 1 + x2 (a) Tìm Imf và Img.
(b) Xét các tính chất đơn ánh và toàn ánh của f và g.
(c) Xác định ánh xạ hợp thành g ◦ f , và tìm Im(g ◦ f ).
6: Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ, và h = g ◦ f là ánh xạ hợp thành
của f và g. Chứng minh rằng
(a) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh.
(b) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh.
(c) Cho ví dụ chứng tỏ rằng các khẳng định ngược lại của (a) và (b) là không đúng. 11
§2. Phép thế và dấu của phép thế
Định nghĩa. Cho n là một số nguyên dương. Mỗi song ánh từ tập hợp {1, 2, . . . , n}
vào chính nó được gọi là một phép thế cấp n. Các phép thế thường được ký hiệu
bởi chữ cái Hy Lạp, ví dụ σ, τ. Ký hiệu Sn là tập tất cả các phép thế cấp n.
Chú ý. Phép thế còn được gọi là hoán vị. Phép thế cấp n hay phép thế bậc n là
như nhau. Các phép thế thường được biểu diễn dưới dạng bảng hai dòng. Ví dụ bảng sau 1 2 . . . n σ =
thể hiện một phép thế σ cấp n σ( . 1) σ(2) . . . σ(n)
Nhận xét. Dễ thấy, từ kiến thức THPT, số lượng phép thế cấp n là n!.
Nhận xét. Do mỗi phép thế σ ∈ Sn là một song ánh, nên nó có ánh xạ ngược
σ−1. Khi đó, σ−1 cũng là một phép thế cấp n.
Định nghĩa (Tích hai phép thế). Cho hai phép thế σ, τ ∈ Sn. Tích của σ và
τ là hợp thành của hai ánh xạ đó. Để cho tiện, ta ký hiệu τσ thay cho τ ◦ σ.
Tích của các phép thế nói chung không giao hoán, tức là nói chung τσ 6= στ với σ, τ ∈ Sn.
Định nghĩa (Xích). Bây giờ ta xét một số phép thế cấp n đặc biệt. Cho k số tự nhiên phân biệt i1, i n
2, . . . , ik ∈{1, 2, . . . ,
}. Xét phép thế σ ∈ Sn được xác định như sau: σ(i )= i )= )= ik, σ(i và σ( j)= j với mọi 1 2, σ(i i 2 3, . . . , σ(ik−1 k)= i1 j ∈{1, 2, . . . , n}\{i i
1, 2, . . . , ik}. Khi đó, σ được gọi là một xích có độ dài k. Ký
hiệu xích này như sau: σ =(i i i
1, 2, . . . , ik) hoặc bỏ dấu phẩy σ =(i1 2 . . . ik).
Tập hợp {i1, i2, . . . , ik} được gọi là tập nền của xích (i i
1 2 . . . ik). Hai xích được
gọi là rời nhau nếu tập nền của chúng rời nhau (tức có giao bằng rỗng).
Nếu k = 2 thì ta gọi là σ là chuyển trí.
Chú ý. Một số tài liệu dùng từ "chu trình" hoặc "vòng xích" thay cho "xích"; "phép
thế sơ cấp" thay cho "chuyển trí"; "các xích rời rạc" hoặc "các xích độc lập" thay cho "các xích rời nhau".
Mệnh đề 2.1. Mỗi phép thế cấp n đều là tích của các xích rời nhau.
Mệnh đề 2.2. Mỗi xích là tích các phép chuyển trí.
Chứng minh. Nhận xét (i i )(i i ) 1 2 . . . ik)=(i i 1 2 2 3 . . . (ik− i 1 k). 12
Hệ quả 2.3. Mỗi phép thế đều là tích của các phép chuyển trí.
Định nghĩa. Cho σ ∈ Sn. Do σ là song ánh, nên các cặp {σ(i),σ(j)} cũng chính
là các cặp {i, j} khi i, j chạy trong {1, 2, . . . , n} tuy nhiên có thể khác về thứ tự. Q Q Do Ta đđóịn thích nghĩa
(σ( j) − σ(i))có cùng giá trị tuyệt đối với ( j − i). 1≤i< j≤n 1≤i< j≤n σ( j) − σ(i) Y ∈{±1} j − i sgn(σ)= 1≤i< j≤n
là dấu của phép thế σ.
Ví dụ 2.1. sgn(Id)=1.
Nhận xét. Dấu của phép thế có tính nhân tính, tức là, nếu σ, τ ∈ Sn thì sgn(τσ)= sgn(τ) · sgn(σ).
Mệnh đề 2.4. Dấu của chuyển trí là −1, tức là, sgn(i i )= − < ≤ 1 2 1 với 1 ≤ i i 1 2 n.
Hệ quả 2.5. Dấu của xích độ dài k là (−1)k−1.
Định nghĩa. Cho phép thế σ ∈ Sn. Cặp số phân biệt i, j ⊂{1,2..., n} được gọi
là một nghịch thế của σ nếu σ( j)−σ(i) trái dấu với j − i. Như vậy, từ định nghĩa
dấu của σ, ta suy ra dấu của σ là 1 hay -1 là tùy theo số nghịch thế của σ là chẵn hay lẻ.
Định nghĩa. Phép thế được gọi là phép thế chẵn nếu dấu của nó bằng 1. Phép
thế được gọi là phép thế lẻ nếu dấu của nó bằng −1.
Trước khi kết thúc tiết này, ta có lưu ý sau.
Nhận xét. Để tính dấu của một phép thế, ta có thể thực hiện theo hai cách: một
là tách phép thế đó thành tích các xích rời nhau, và sử dụng tính chất nhân tính
của dấu; hai là đếm số nghịch thế của phép thế xem nó là chẵn hay lẻ. Bài tập
1: Thực hiện các phép nhân sau đây, viết các phép thế thu được thành tích các
xích rời nhau và tính dấu của chúng. Xác định thêm ánh xạ ngược của các phép thế thu được. 1 2 3 4 5 (a) 1 2 3 4 5 · . 2 4 5 1 3 4 3 5 1 2 1 2 3 4 5 (b) 1 2 3 4 5 · . 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 13
(c) (1, 2)(2, 3) · · · (n − 1, n).
2: Cho phép thế σ ∈ Sn. Đặt τ(i)=σ(n + 1 − i) với 1 ≤ i ≤ n. Khi đó τ cũng
là một phép thế cấp n. Giả sử số nghịch thế của σ là k thì số nghịch thế của τ bằng bao nhiêu?
§3. Ma trận và các phép toán trên ma trận 3.1. Mở đầu
Chúng ta từng gặp bài toán giải hệ phương trình sau 2x + x + x = 1 2 3 1 3x + x + 2x = − 1 2 3 1 x − x = 1 2 0
Để giải quyết bài toán này chúng ta thường biến đổi bằng cách nhân các phương
trình với các số thực khác 0 rồi cộng hoặc trừ các phương trình đó để tìm các
nghiệm của hệ phương trình. Khi đó thực chất là chúng ta nhân các hệ số của
các phương trình với các số thực khác 0 rồi cộng hoặc trừ các hệ số tương ứng
hay chính là cách chúng ta biên đổi các dòng của bảng sau: 2 1 1 1 3 1 2 −1 A = . 1 −1 0 0
Để giải quyết các bài toán hệ phương trình đó hay các hệ phức tạp hơn khi số ẩn
và số phương trình nhiều lên chúng ta có một cách xử lý rất hữu hiệu là dùng lý thuyết ma trận. 3.2. Ma trận
Định nghĩa. Một bảng gồm m×n số thực được sắp xếp trên m dòng, n cột được
gọi là ma trận thực cỡ m × n. Ta kí hiệu phần tử nằm ở giao của dòng i và cột j của ma trận A là aij. a a 11 12 . . . a1n a a 21 22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . A = am a 1 m2 . . . amn 14
Để ký hiệu A là ma trận cỡ m × n có phần tử ở dòng i cột j là aij ta thường viết A =(aij)m×n
Khi m = n, ma trận A được gọi là ma trận vuông gồm n dòng n cột, và ta gọi là ma trận vuông cấp n.
Tập tất cả các ma trận cỡ m × n với phần tử thuộc R ký hiệu là Mat(m × n, R). Ví dụ. 1 2 3 A = là ma trận cỡ 4 a 5 = 6 2 × 3 với các phần tử 1, a = 2, a = 3, a = 4, a = 5, 11 12 13 21 22 a = 23 6. 1 2 B = 3
là ma trận cỡ 3 × 1 với các phần tử b = = = 11 1, b21 2, b31 3. C = 1 0 2
là ma trận cỡ 1 × 3 với các phần tử c = = = 11 1, c12 0, c13 2.
3.3. Một số loại ma trận đặc biệt thường gặp a) Ma trận không:
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử đều là số 0. 0 0 0 0 0 0 Ví dụ. 0 0 0 A = , B = 0 0 0 b) Ma trận đối xứng: 0 0 0
Ma trận vuông A =(aij) cấp n được gọi là ma trận đối xứng nếu aij =
aji, ∀i, j = 1, n. Hay nói cách khác một ma trận vuông cấp n là ma trận đối
xứng nếu phần tử nằm trên dòng i cột j bằng phần tử nằm trên dòng j cột i với mọi i, j = 1, n. Ví dụ. Ma trận 1 2 0 2 0 1 A = 0 1 4 15 là ma trận đối xứng. c) Ma trận chuyển vị:
Giả sử A =(aij)m×n là ma trận cỡ m × n. Đổi dòng thành cột (cột thành dòng)
của ma trận A, ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu At. Vậy At =(aji)n×m.
Nếu A có m dòng, n cột thì At có n dòng, m cột. 4 1 3 0 Ví dụ. 4 3 2 A = thì At = .
d) Ma trận chéo - Ma trận đơn vị. 1 0 7 2 7
Cho A là ma trận vuông cấp n. a a · · · a 11 12 1n a a · · · a 21 22 2n
· · · · · · · · · · · · A = an a a 1 n2 . . . nn
Đường thẳng đi qua a11, a22, ·· ·, ann được gọi là đường chéo chính của ma
trận A, mỗi phần aii gọi là phần tử chéo của A.
Ma trận vuông cấp A =(aij) cấp n được gọi là ma trận chéo cấp n nếu aij = 0,
∀i 6= j, tức là A có dạng a11 0 . . . 0 0 a22 . . . 0 . . . . . . . . . . . . A = 0 0 . . . ann Ví dụ. Ma trận 1 0 0 0 2 0 A = 0 0 3 là ma trận chéo cấp 3. Ma trận vuông cấp n 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . I = 0 0 . . . 1 16
trong đó các phần tử chéo đều bằng 1 còn tất cả các phần tử khác đều bằng 0,
gọi là ma trận đơn vị cấp n.
Dễ thấy, nếu A là ma trận vuông cấp n và I là ma trận đơn vị cấp n thì A · I = I · A = A.
e) Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên (tương ứng, tam giác dưới) nếu nó có dạng a a · · · a 11 12 1n 0 a · · · a 22 2n .. . . . , . .. .. .. 0 0 · · · amn tương ứng a11 0 · · · 0 a a · · · 21 22 0 .. . . . . . .. .. .. am am · · · a 1 2 mn
f) Ma trận cấp tùy ý được gọi là hình thang nếu nó có dạng a a · · · a a 11 12 1s · · · 1n 0 a · · · a 22 2s · · · a2n .. . . . . .. ··· .. ··· .. . 0 0 · · · ass · · · asn 0 0 · · · 0 · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · 0 · · · 0
Định nghĩa. Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ
và các phần tử ở cùng vị trí bằng nhau, tức là
A =(aij)m×n, B =(bij)m×n và aij = bij, ∀i, j.
3.4. Các phép toán trên ma trận
Định nghĩa (Phép cộng ma trận). Cho hai ma trận cùng cỡ A =(aij)m×n, B = (bij)m×n.
Tổng của hai ma trận A và B là ma trận ký hiệu là A + B cỡ m × n xác định bởi
A + B =(aij + bij)m×n, tức là nếu A + B =(cij)m×n thì cij = aij + bij với mọi i, j.
Như vậy muốn cộng hai ma trận cùng cỡ ta cộng các phần tử cùng vị trí. 17 Ví dụ. 2 3 5 7 2 + 5 3 + 7 7 10 + = = −1 4 2 −3 (−1)+2 4 +(−3) 1 1
Tính chất: Cho các ma trận cùng cỡ ta có các tính chất sau:
Mệnh đề 3.1. 1) A + B = B + A. 2) A + O = O + A = A. 3) (A + B)+ C = A +(B + C).
4) Nếu đặt −A =(−aij)m×n thì A +(−A)=(−A)+A = O.
Định nghĩa (Phép nhân một số thực với một ma trận ). Giả sử A =(aij)m×n, k ∈
R. Tích của một số thực k với ma trận A, ký hiệu là k.A, là một ma trận cỡ m × n
xác định bởi k · A =(k · aij)m×n. Như vậy, nhân một số thực với một ma trận là
nhân tất cả các phần tử của ma trận với số thực đó. Ví dụ. 3 −2 2.3 2.(−2) 6 −4 2. = = 7 4 2.7 2.4 14 8
Tính chất: Các tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa phép cộng và phép
nhân một số thực với một ma trận:
Mệnh đề 3.2. 1) k(A + B)= k · A + k · B.
2) (k + h) · A = k · A + h · A.
3) k · (h · A)=(k · h) · A. 4) 1 · A = A.
5) 0 · A = O, trong đó 0 ở vế trái là phần tử không của R còn O ở vế phải là ma
trận không cỡ m × n (nếu A cỡ m × n).
Định nghĩa (Tích hai ma trận). Cho hai ma trận A =(aij)m×p, B =(bij)p×n,
trong đó số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B. Ta gọi là tích của hai
ma trận A, B, ký hiệu A · B, là ma trận C =(cij)m×n có m dòng, n cột mà phần tử
cij được tính bởi công thức p cij = ai · b · b a a 1 1 j + ai2 2 j + · · · + ip · bp j = X ik · bk j , k=1
hay phần tử ở dòng i cột j của ma trận tích bằng tổng của các tích các phần tử
trên dòng i của ma trận A nhân tương ứng với các phần tử trên cột j của ma trận B. 18 Ví dụ. 1 2 3 2 1 2 3
1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 1 1 · 2 + 2 · 2 + 3 · 4 10 18 = = 4 1 2
4 · 1 + 1 · 3 + 2 · 1 4 · 2 + 1 · 2 + 2 · 4 9 18 1 4 Chú ý.
i) Để có thể nhân hai ma trận A, B(A bên trái, B bên phải), tức là để có tích A · B
ta phải có số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B. Do đó nếu có tích
A · B thì chưa chắc đã có tích B · A. Trường hợp đặc biệt khi A, B là hai ma trận
vuông cùng cấp thì tích A · B và B · A đều tồn tại.
ii) Nếu có tích A · B và B · A thì chưa chắc đã có A · B = B · A. Hay nói khác, tích
hai ma trận nói chung không giao hoán. Ví dụ. −1 0 1 2 A = ; B = 2 3 3 0 −1 −2 A · B = 3 6 ; B · A = . 11 14 −3 0 Rõ ràng A · B 6= B · A.
iii) Có những ma trận A 6= O, B 6= O nhưng A · B = 0. Ví dụ. 1 2 2 −6 A = ; B = 2 4 −1 3 0 0 A · B = 0 0
Tính chất: Phép nhân hai ma trận có tính chất sau:
Mệnh đề 3.3. 1) A · (B + C)=A · B + A · C.
2) (B + C) · A = B · A + C · A.
3) k · (B · C)=(k · B) · C = B · (k · C). 4) (A · B)t = Bt · At.
3.5. Ma trận nghịch đảo.
Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n
sao cho A· B = B ·A = I thì ta nói A là ma trận khả nghịch và B là ma trận nghịch
đảo của ma trận A, ký hiệu là B = A−1. 19 Ví dụ. 1 2 − A = thì 2 1 A−1 = vì 3 4 3/2 −1/2 1 2 −2 1 1 0 −2 1 1 2 = = Định lí 3.4. 3 Giả 4sử 3/ A 2 là −1 ma/2trận vu 0 ông 1cấp n. 3/2 Ma t 1 r / ậ 2 n ng 3
hịch 4đảo A−1 của A nếu có là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử B và C đều là các ma trận nghịch đảo của A. Theo định nghĩa
A · B = B · A = I, A · C = C · A = I.
Từ A · B = I suy ra C · (A · B)= C · I. Do đó (C · A) · B = C, tức là I · B = C. Vậy B = C.
Định lí 3.5. Giả sử A, B là các ma trận vuông cấp n khả nghịch. Khi đó, ma trận
A · B cũng khả nghịch và ta có (A · B)−1 = B−1 · A−1. Chứng minh. Ta có (A · B) · B−1 · A−1 −
= A · (B · B 1) · A−1 = A · I · A−1 = A · A−1 = I và
B−1 · A−1 · (A · B)= B−1 · (A−1 · A) · B = B−1 · I · B = B−1 · I · B = B−1 · B = I.
Vậy A · B khả nghịch và B−1 · A−1 là ma trận nghịch đảo của A · B.
Hệ quả 3.6. Nếu ma trận vuông A cấp n có ma trận nghịch đảo A−1 thì
a) A−1 cũng khả nghịch và (A−1 − ) 1 = A.
b) Am cũng khả nghịch và (Am)−1 =(A−1)m, m là số nguyên dương.
c) Với mọi k 6= 0 thì k · A cũng khả nghịch và 1 (k · A)−1 = · A−1. k BÀI TẬP
1) Thực hiện các phép tính: 20 a) 1 −2 3 −4 7 8 −4 5 + . 0 2 1 3 9 −6 −5 −3 b) −2 3 −4 2 1 3 1 −2 3 −4 0 −1 1 · 0 2 1 3 2 −1 3 c) 0 0 1 1 2 1 3 −2 0 2 1 0 · . 1 3 −2 1 2 −1 2 −1 3 4 2) Cho các ma trận 1 2 3 A = và B = t t A − . Tính AB, BA, AA , A . 4 −5 −6 1 0 3) a) C Th ì o m m t a ất tcrảận 1 2 c A ác = ma trận v .
uông cùng cấp giao hoán với ma trận A 2 3 .
b) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A. 2 1 0 0 2 1 4) Cho ma trận B = .
a) Tìm tất cả các ma t 0rận0vu 2
ông cùng cấp giao hoán với ma trận B.
b) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Bt. 5) Chứng minh rằng nếu a b A = c d
thì A2 =(a + d)A − (ad − bc)I . 2 21
§4. Định thức của ma trận
Định nghĩa. Giả sử A là ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc trường K a a 11 12 . . . a1n a a 21 22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . A = an a 1 n2 . . . ann
Định thức của ma trận A là tổng sign( f ) · a X
1 f (1) · a2 f (2) · · · an f (n), D f n =
trong đó f chạy qua tất cả các phép thế bậc n và sign( f ) là dấu của phép thế f .
Dn được gọi là định thức cấp n và ký hiệu là: a a 11 12 . . . a1n a a 21 22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . Dn = an an a 1 2 . . . nn
Ngoài ra để chỉ Dn là định thức của ma trận A ta còn dùng ký hiệu Dn = |A| hoặc Dn = det A.
Nhận xét. Vì ta có tất cả là n! phép thế bậc n nên Dn là một tổng đại số gồm n!
hạng tử. Mỗi hạng tử của Dn là một tích của n phần tử nằm trên các dòng khác
nhau và các cột khác nhau của ma trận A.
Hạng tử a1f (1) · a2f (2) ··· anf (n) sẽ có dấu (+) hay (-) tuỳ theo phép thế 1 2 3 . . . n
f = f (1) f (2) f (3) ... f (n)
là chẵn hay lẻ. Và vì số các phép thế chẵn bằng số các phép thế lẻ nên sẽ có một
nửa số hạng mang dấu cộng và một nửa số hạng mang dấu trừ.
Trong trường hợp n = 2, từ định nghĩa ta có: a a 11 12 D = = a a − a a 2 a a 11 22 21 12. 21 22 22 Với n = 3 a a a 11 12 13 a a a = a a a + a a a + a a a 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 32 21 D = 2 a a a 31 32 33 −a a a − a a a − a a a 13 31 22 23 32 11 12 21 33.
Chúng ta thấy lại công thức tính định thức cấp 2, 3 đã học ở trường phổ thông.
Từ định nghĩa của định thức ta dễ dàng suy ra các tính chất sau:
1) Nếu A là ma trận nửa tam giác trên hoặc nửa tam giác dưới thì |A| bằng tích
các phần tử trên đường chéo chính.
2) Giả sử A là ma trận vuông cấp n, At là ma trận chuyển vị của A. Thế thì |A| = |At|.
Hay nói cách khác: Định thức của một ma trận không thay đổi qua một phép
chuyển vị. Do vậy các tính chất dưới đây của định thức phát biểu đúng với các
dòng thì cũng đúng với các cột.
2) Giả sử D là một định thức cấp n a a a 11 12 . . . 1n a a a 21 22 . . . 2n . . . . . . . . . . . . D = an a 1 n2 . . . ann
a) Nếu đối với một dòng thứ i nào đó; 1 ¶ i ¶ n, ta có: aij = a′ + a′ i j ( j = 1, 2, · · ·, n) i j
thì D = D′ + D′ trong đó: a a a a a 11 12 . . . 1n 11 12 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a′ a′ . . . a′ a′ a′ . . . a′ i1 i2 in i1 i2 in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D′ = , D′ = an a an a 1 n2 . . . ann 1 n2 . . . ann
b) Nếu đối với một dòng thứ i nào đó (1 ¶ i ¶ n), ta có a , j = i j = λa′ i j
1, 2, · · ·, n với λ nào đó thuộc K, thì D = λD′, trong đó D′ có dạng ở trên.
c) Nếu có hai dòng i và k trùng nhau, tức aij = akj (1 ≤ j ≤ n) thì D = 0.
Từ tính chất (1) và (2) ta dễ dàng suy ra các tính chất sau: 23
3) Nếu ta đổi chỗ hai dòng của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu.
4) Một định thức bằng 0 nếu có hai dòng tỉ lệ với nhau, nghĩa là có hai dòng i
và k sao cho: aij = λakj, j = 1, 2, ···, n với λ nào đó thuộc K.
Mở rộng khái niệm tỉ lệ ta đi tới khái niệm tổ hợp tuyến tính:
Ta nói rằng dòng thứ i của định thức D là tổ hợp tuyến tính của các dòng i i a
1, 2, · · ·, ik nếu có λ1, λ2, · · ·, λk ∈ K sao cho ai j = λ i j +λ a 1 j +· · ·+λk ai 1 2 i2 k j , j = 1, 2, · · ·, n.
Khi đó áp dụng tính chất 2a) và tính chất 4) một số lần ta được:
5) Một định thức bằng 0 nếu có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại.
6) Nếu ta cộng vào một dòng của một định thức một tổ hợp tuyến tính của các
dòng khác thì định thức không thay đổi.
7) det(A · B)=det A · det B với mọi ma trận vuông A, B cấp n.
Dựa vào các tính chất trên của định thức, với một ma trân vuông A ∈ Mat(n; K)
cho trước, để tính định thức của A, ta có thể thực hiện các biến đổi sau:
- Đổi chỗ hai dòng (cột) của định thức và đổi dấu của định thức.
- Cộng vào một dòng (cột) của định thức một tổ hợp tuyến tính của các dòng (cột) còn lại.
- Nhân một dòng (cột) của định thức với một số khác không và chia định thức cho số đó.
- Đưa định thức về định thức của ma trận dạng tam giác trên hoặc dưới và
tính định thức của ma trận đó. 24
Ví dụ. a) Tính định thức của ma trận vuông cấp 3 sau. 1 −1 2 3 1 5 D = −2 3 −1 1 −1 2 0 4
−1 ((−3) × D1 + D2, 2 × D1 + D3) = 0 1 3 1 −1 2 0 1
3 (đổi chỗ hai dòng 2 và dòng 3) = − 0 4 −1 1 −1 2 0 1 3 ((−4) × D2 + D3) = − = 13.0 0 −13
b) Tính định thức cấp 4 sau 1 3 2 4 1 3 2 4 2 2 1 1
8 2 1 0 (đổi chỗ dòng 2 và dòng 4) 2 5 4 3 2 5 4 3 D = 8 2 1 0 = − 2 2 1 1 −7 −5 −2 0 8 2 1
0 ((−4)× D4+ D1,(−3)× D4+ D3) −4 −1 1 0 = − 2 2 1 1 −15 −7 0 0 12 3 0 0 −
(2 × D3 + D1, (−1) × D3 + D2) 4 −1 1 0 = − 2 2 1 1 13 0 0 0 12 3 0 0 7 ( × D − 2 + D1) 4 −1 1 0 3 = − 2 2 1 1 = −39.
Chú ý: Khi sử dụng phương pháp Gauss để biến đổi ma trận, tại mỗi bước ta
chỉ được biến đổi tất cả hoặc theo dòng hoặc theo cột. Trong cùng một bước, 25
những dòng (cột) đã bị biến đổi thì không được sử dụng để cộng hoặc trừ vào các dòng (cột) khác.
Định nghĩa (Định thức con và phần bù đại số). Giả sử D là định thức cấp n.
Ta gọi định thức M của ma trận vuông cấp k (1 ¶ k ¶ n), gồm các phần tử nằm
ở giao của k dòng và k cột tuỳ ý của định thức D là một định thức con cấp k của định thức D.
Đặc biệt định thức con cấp n của D chính là D, định thức con cấp 1 của D là
một phần tử tuỳ ý của D.
Ta gọi định thức con bù của định thức con M trong định thức D là định thức
con M′ thu được từ D bằng cách xoá đi k dòng và k cột lập nên định thức con M.
Ta gọi phần bù đại số của phần tử aij là Aij =(−1)i+j · Mij,
trong đó Mij là định thức con bù của aij. Ví dụ. Cho định thức cấp 4 a a a a 11 12 13 14 a a a a 21 22 23 24 a a a a 31 32 33 34 D = a a a a 41 42 43 44
Định thức con bù của định thức con a a 21 24 M = a a 31 34 là định thức con a a 12 13 M′ =
Định lí 4.1 (Về sự khai triển định th aức t a 42 h 4
e 3o một dòng hay một cột). Giả sử
D là một định thức cấp n. Giả sử ai i
1, · · ·, ain là các phần tử nằm trên dòng thứ của D. Khi đó: D = ai Ai + · · · + a 1 1 inAin,
trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij.
Chứng minh. Xem trong [?] trang 73 − 74. 26
Chú ý. Định lý trên vẫn còn đúng nếu ta thay chữ dòng bằng chữ cột.
Ví dụ. Tính định thức: 1 −1 2 3 1 5 D = −2 3 −1
Khai triển D theo các phần tử của dòng thứ nhất ta có: 1 5 3 5 3 1 D = 1 · (−1)1+1 +(−1)(−1)1+2 + 2(−1)1+3 3 −1 −2 −1 −2 3 1 5 3 5 3 1 = + + 2 = 13 3 −1 −2 −1 −2 3
Định lí 4.2 (Định lý Laplace). Giả sử trong định thức D cấp n ta đã chọn k dòng
(hoặc k cột) tuỳ ý (1 ¶ k ¶ n − 1). Thế thì định thức D bằng tổng của tất cả các
tích của các định thức con cấp k lập được trên k dòng (hoặc k cột) đó với phần bù đại số của chúng.
Ta có thể sử dụng Định lý Laplace, để tính định thức 1 3 0 0 2 5 0 0 −1 4 2 1 D = 3 −7 4 3
Ta thấy có 6 định thức con cấp 2 được lập nên trên hai dòng đầu nhưng chỉ
có duy nhất một định thức con cấp 2 khác 0, do đó khai triển D theo hai dòng đầu ta được: 1 3 2 1 D =(−1)6 =(−1) · 2 = −2 2 5 4 3
Định lí 4.3 (Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo). Nếu ma trận vuông A cấp
n khả nghịch thì detA 6= 0.
Chứng minh. Nếu A khả nghịch thì tồn tại ma trận A−1 sao cho A·A−1 = I. Theo
tính chất của định thức det(A · A−1)=det I, tức là det A · det A−1 = det I.
Do đó det A · det A−1 = 1. Vậy det A 6= 0 và det A−1 6= 0. 27
Định lí 4.4. Nếu det A 6= 0 thì A khả nghịch và ma trận nghịch đảo A−1 được tính bởi công thức sau: A A 11 21 . . . An1 1 1 A−1 = A A · ˜ At = 12 22 . . . An2 det A . . . . . . . . . . . . , A A det A 1n 2n . . . Ann
trong đó Aij =(−1)i+j · Mij là phần bù đại số của phần tử aij.
Chứng minh. Theo Định lý 4.1 và tính chất (4) của định thức ta có: det 0 A nếu nếku =k i,6= i. ak A + a A + · · · + a 1 i1 k2 i2 knAin = 0 nếu k 6= j. và det A nếu k = j, aikA A 1 j + a2k 2 j + · · · + ankAn j = Do đó nhân A · ˜
At và áp dụng kết quả thứ nhất ở trên ta được: det A 0 . . . 0 0 det A . . . 0 . . . . . . . . . . . . . A · C t = 0 0 . . . det A Nhân ˜
At · A và áp dụng kết quả thứ 2 ta cũng được như thế. 1 0 . . . 0 Vậy ta có: 1 1 0 1 . . . 0 · A · ˜ At = · ˜ det A det A . . . . . . . . . . . . At · A = 0 0 . . . 1 nên 1 A−1 = · ˜
At. Định lý được chứng minh. det A BÀI TẬP
1) Tính các định thức cấp hai sau: 2 −3 2 1 sin α cos α a) ; b) ; c) 4 a 1 c + di 4 −1 1 − − c t os an α α sin α ; d) c − di b ; c) . tan αα 1 28
2) Tính các định thức cấp ba sau: 1 1 1 1 1 0 1 + i i 1 −1 −1 0 1 0 1 −i 1 0 a) b) c) −1 0 1 0 1 1 1 i − 1 1 3) Biết rằng x y z x′ y′ z′ x′ y′ z′ Tính các định thức sau x y z x′ y′ z′ x′ y′ z′ x′ y′ z′ a) b) x′ y′ z′ x y z 4) Giải phương trình 1 x x2 x3 1 1 1 1 = 0 1 2 4 8 1 3 9 27 5) Chứng minh rằng 1 1 · · · 1 x x · · · x 1 2 n x2 x2 1 · · · x2 n (x 2 Y i − x j ). · · · · · · · · · · · · = n≥i>j≥1 xn−1 xn−1 · · · xn−1 1 2 n
6) Tính các định thức sau: − 1 −1 2 3 1 −1 2 3 1 −4 2 −1 4 −1 −2 −1 1 −1 2 3 2 −5 0 1 3 5 2 −1 1 −1 a) b) 2 −1 −3 1 c) 3 2 −1 1 −2 −3 1 29
7) Tính các định thức sau: x a a · · · a x 2 3 · · · n x a a · · · a 1 2 3 n a x a · · · a 1 x 3 · · · n a x a · · · a 1 2 3 n . . . 1 2 x n a a x a 1 2 3 n a) . . . . . . . . . , b) , c) a a a · ·· x 1 2 3 · · · x a a a · · · x 1 2 3 n
8) Tính các định thức sau: a + b b · · · 0
cos(α − β ) cos(α − β ) · · · cos(α − β 1 1 1 2 1 n) a a + b · · · 0
cos(α − β ) cos(α − β ) · · · cos(α − β 2 1 2 2 2 n) . . · · · . . . . . . · · · b b) . . . 0 0 a a + b
cos(αn − β ) cos(αn − β ) · · · cos(α 1 2 n − βn) 9) Cho ma trận −3 −4 2 2 4 2 A = . 0 2 −1 Tính A100.
10) Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: − − − 1 −1 0 0 1 −1 1 1 1 −1 2 −1 1 −1 0 −1 1 −1 −1 3 2 −5 0 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 a) b) 1 0 −1 1 c) −1 −1 −1 1 −2 −1 −1
11) Cho A =(aij) là một ma trận vuông cấp n thoả mãn aij = 0 nếu i < j. Chứng
minh rằng det A = a · a · · · ann. 11 22 30 12) Cho ma trận a · · · 1 0 0 0 0 a2 0 · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · · , A = 0 0 0 · · · an trong đó a a
1 2 . . . an 6= 0. Chứng minh rằng A khả nghịch và tìm A−1.
13) Cho A =(aij) là một ma trận vuông cấp n thoả mãn aij = 1 − δij . Chứng
minh rằng det A =(n − 1)(−1)n−1.
14) Cho A =(aij) là một ma trận vuông cấp n. Ta định nghĩa ma trận vuông
B =(bij) cấp n xác định bởi công thức bij =(−1)i+jaij. Chứng minh rằng det B = det A. 15) Tính det(|i − j|)n×n.
16) Cho A ∈ Mat(n × n, K ). Chứng minh rằng det A 6= 0 khi và chỉ khi các cột
của A độc lập tuyến tính.
17) Cho ma trận vuông thực A thoả mãn A2 + 2A + 3I = 0. Chứng minh rằng
A + k · I là ma trận khả nghịch với mọi số thực k.
18) Cho ma trận vuông thực A thoả mãn điều kiện A3 = 0. Chứng minh rằng
I + A là một ma trận khả nghịch.
Hãy tổng quát hóa bài toán.
§5. Giá trị riêng và chéo hoá ma trận
5.1. Ví dụ mở đầu
Để tìm hiểu và nghiên cứu các vấn đề trong thế giới quanh ta hiện nay như
sự thay đổi thời tiết của một vùng, sự biến động kinh tế của một quốc gia hay
sự đa dạng của một hệ sinh thái - những vấn đề rất phức tạp với sự ảnh hưởng
của nhiều yếu tố tự nhiên và xã hội - là một việc không hề đơn giản. Có nhiều
phương pháp khác nhau đã được đưa ra nhằm giải quyết các bài toán trên,
và một trong những phương pháp như vậy là phương pháp chéo hoá sẽ được 31
nghiên cứu trong chương này. Phương pháp chéo hoá có thể coi là một trong
những kĩ thuật quan trọng nhất của lý thuyết ma trận nói riêng và của đại số tuyến tính nói chung.
Để thấy được tầm quan trọng của phương pháp chéo hoá, chúng ta cùng xét
bài toán sau đây về mô hình tăng trưởng nhân số của một loài chim trong một
quần thể nào đó. Trước hết chúng ta giả sử rằng mỗi một cá thể chim non khi
sinh ra sẽ mất 1 năm để trưởng thành, và chỉ khi trưởng thành chúng mới có
khả năng sinh sản. Chúng ta cũng đưa ra ba giả định sau đây về tỉ lệ sinh sản
và tỉ lệ sống sót của loài chim này.
a) Số lượng chim non được sinh ra trong mỗi năm gấp đôi số lượng chim
trưởng thành còn sống trong năm trước đó. (Tỉ lệ sinh sản là 2.)
b) Một nửa số lượng chim trưởng thành ở mỗi năm còn sống đến năm tiếp
theo. (Tỉ lệ sống sót là 1 .) 2
c) Một phần tư số lượng chim non ở mỗi năm còn sống và trưởng thành ở
năm tiếp theo. (Tỉ lệ sống sót của chim non là 1 .) 4
Giả sử ban đầu có tất cả 40 chim non và 100 chim trưởng thành. Hỏi sau k năm
thì số lượng chim non và chim trưởng thành của loài chim này sẽ là bao nhiêu?
Để giải quyết bài toán trên, ta kí hiệu ak và bk lần lượt là số lượng chim trưởng
thành và chim non sau k năm. Ta cần tìm công thức tính ak + bk với k ∈ N. Từ
giả định đầu tiên ta có bk+ = 1 2ak
và từ hai giả định tiếp theo ta có 1 1 a a k+ = 1 b 2 k + k. 4 1 2 4 a 1 Nế dưuớita d đặt ạng x k ma trận nh v ư à A sau =
thì hai phương trình trên có thể được viết k = bk 2 0 1 ak + bk! 1 2 4 x ak+ a 1 = = A k = Ax k+ = 1 b k. k+ b 1 2a k k 32
Áp dụng liên tiếp công thức trên ta nhận được
xk = Axk− = A2x = ···= Akx với mọi k = 1 k−2 0 0, 1, 2, . . . . a 100
Với điều kiện ban đầu đã cho ta có x = 0 =
, vì vậy để tính x ta chỉ cần tính Ak với k ∈ N. 0 b k 0 40
Tuy nhiên dễ thấy rằng việc tính toán Ak một cách trực tiếp (ngay cả khi A có
cỡ nhỏ như trong trường hợp này) là rất phức tạp và mất nhiều thời gian. Vì vậy
ta đưa ra một phương pháp khác để tính các luỹ thừa Ak của A như sau. Ý tưởng
của phương pháp này là đưa ma trận A về dạng chéo, tức là tìm một ma trận P khả nghịch sao cho P−1AP = D
là một ma trận chéo. Khi đó A = PDP−1 nên ta có
A2 = AA =(PDP−1)(PDP−1)= PD(P−1P)DP−1 = PD2P−1.
Tương tự ta cũng nhận được A3 = AA2 1 1 =(PDP− − − −
)(PD2P 1)= PD(P 1P)D2P = PD3P−1,
và bằng phương pháp quy nạp ta có thể chứng minh Ak = PDkP−1.
Lưu ý rằng D là ma trận chéo nên D có dạng d1 0 · · · 0 0 d · · · 2 0 .. . . . . . .. .. .. 0 0 · · · dn Vì vậy ta nhận được dk 0 · · · 0 1 0 dk ··· 0 2 .. . . . . .. .. .. Dk = 0 0 · · · dk n
và khi đó ta có thể tính Ak một cách dễ dàng từ công thức Ak = PDkP−1. 33 1 2 4 1
Quay trở lại bài toán ban đầu, với ma trận A = ta có thể tìm được ma −1 2 4 2 0 1 trận khả nghịch P = thoả mãn 1 1 10 0 −1 D = P−1AP =
là ma trận chéo. Từ đó ta tính được 2 1 )k 1 )k −1 + (−12 − (−12 2 4 3 3 3 3 6 6 4 2 )k )k 1 4 1 1 0 (− 10 − 43 2 − 4(− 12 + 2(−12 Ak = PDkP−1 = = 3 3 3 1 1 )k 2 3 và nhận được 3 + (−1 )k )k )k 2 1 − (−12 + 80(−12 3 3 6 6 3 3 )k )k )k 2 4 − 4(−12 1 + 2(−12 2 4 2 4 0 0 − 320(−12 x 100 3 3 3 3 k = Akx = = . 0 40 3 3
Do đó số lượng chim trưởng thành và chim non sau k năm lần lượt là 220 )k 440 )k a 80( −12 320( −12 k = + và bk = − . 3 3 3 3
Như vậy để tìm lời giải cho bài toán thực tế ban đầu, điểm mấu chốt là đưa
được ma trận vuông A về dạng chéo, hay nói cách khác là chéo hoá ma trận A.
Trong các phần tiếp theo của chương này chúng ta sẽ trình bày các kiến thức
cần thiết để có thể thực hiện việc chéo hoá một ma trận.
5.2. Giá trị riêng và véc tơ riêng
Định nghĩa. Cho A là một ma trận n × n. Một số thực λ được gọi là giá trị riêng
của A nếu tồn tại một ma trận cột x 6= 0 thuộc Rn sao cho Ax = λx.
Khi đó ta cũng nói x là một véctơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ.
Dưới đây là một ví dụ về giá trị riêng và véctơ riêng trong trường hợp A là ma trận 2 × 2. 34 Ví dụ 5.1. 5 Cho 3 5 A = . Với x =
ta dễ dàng kiểm tra được 1 −1 1 3 5 Ax = 5 20 = = 4x, 1 −1 1 4
do đó 4 là một giá trị riêng của A với x là một véctơ riêng tương ứng.
Chú ý rằng trong ví dụ trên, 4 không phải là giá trị riêng duy nhất của A. Để
tìm tất cả các giá trị riêng của một ma trận A cỡ n × n, ta có kết quả sau.
Định lí 5.1. Cho A là một ma trận n × n. Số thực λ là một giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu det(λIn − A)=0,
ở đó In là ma trận đơn vị cấp n.
Chứng minh. Theo định nghĩa λ là một giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu tồn
tại ma trận cột x 6= 0 thuộc Rn sao cho Ax = λx. Điều này tương đương với việc
hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
(λIn − A)x = 0
có nghiệm không tầm thường x 6= 0. Theo kết quả đã biết về định thức, điều
này xảy ra nếu và chỉ nếu ma trận hệ số λIn − A có định thức bằng 0.
Từ Định lý 5.1, để tiện cho việc tính toán giá trị riêng của ma trận, ta đưa ra khái niệm sau đây.
Định nghĩa. Cho A là một ma trận n × n. Đa thức đặc trưng pA(t) của A được định nghĩa bởi pA(λ)=det(tIn − A).
Chú ý rằng pA(t) thực sự là một đa thức của t, và đa thức này có bậc n nếu
A là ma trận n × n. Theo Định lý 5.1, số thực λ là giá trị riêng của A nếu và chỉ
nếu pA(λ)=0, tức là λ là nghiệm của đa thức pA(t). Ta tóm tắt lại nhận xét này trong hệ quả sau đây.
Hệ quả 5.2. Cho A là một ma trận n × n.
(i) Giá trị riêng λ là nghiệm của đa thức đặc trưng pA(t) của A.
(ii) Véctơ riêng x ứng với giá trị riêng λ là nghiệm không tầm thường của hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất (λIn − A)x = 0. 35
Trong trường hợp A là ma trận vuông cấp 2 (hoặc cấp 3), việc tìm giá trị
riêng và véctơ riêng của A là khá dễ dàng: theo hệ quả trên, giá trị riêng của A
là nghiệm của một đa thức bậc 2 (hoặc bậc 3), trong khi véctơ riêng của A là
nghiệm không tầm thường của một hệ phương trình tuyến tính gồm 2 ẩn và 2
phương trình (hoặc 3 ẩn và 3 phương trình).
Hai ví dụ dưới đây sẽ minh hoạ cách tìm giá trị riêng và véctơ riêng trong hai
trường hợp cụ thể vừa nêu.
Ví dụ 5.2. Tìm tất cả các giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận 3 5 A = .
Để tìm các giá trị riêng của A, ta tìm đa thức đặc trưng p 1 − −1 A(t )=det(t I A) 2 của A. Trước hết ta có t 0 3 5 t − 3 5 tI − A = − = . 2 0 t 1 −1 −1 t + 1 t − Do p đó 3 5 pA(t)=det = 4 và λ = − nên đ = ây t2 cũ − ng2ltà−c8 = ác (gti − á tr )ị(tri + ên ) g .cH ủ ai a n A.ghiệm của A(t ) là λ1 2 − 4 2 12 t + 1 x trĐể ườ t n ìm g h v ợ é p ct nơ r ày iêng x = 1
ứng với giá trị riêng λ = − x 2, chú ý rằng trong 2 2 λ − 3 −5 −5 −5 λ I − A = 2 = , 2 2 −1 λ + −1 −
do đó hệ phương trình tuyến tính (λ I 2 1 1
− A)x = 0 trở thành 2 2 −5 − x − 5x = 0 1 1 2 2 0.
Hệ này có nghiệm x 1 = t
với t là một số thực bất kì. Do đó các véctơ riêng −1 ứng với giá trị riêng 1
λ = −2 có dạng x = t với t 6= 2 − 0 tuỳ ý.
Hoàn toàn tương tự ta cũng tìm được các véctơ riêng ứng với giá trị riêng 1 5 λ = 4 có dạng x = t với t 6= 0. 1 1 2 0 0 1 2 −1
Ví dụ 5.3. Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận . A = 1 3 −2 36
Tương tự ví dụ trước, ta bắt đầu bằng việc tìm đa thức đặc trưng pA(t) của A. Ta có t − 2 0 0 −1 t − 2 1 p =(t − 2)(t − 1)(t + 1). A(t )=det(t I − A)= 3 det −1 −3 t + 2
Do đó các giá trị riêng của A là λ = = λ = − 1 2, λ2 1 và 1. 3 x1
x2 ứng với giá trị riêng λ =
Để tìm các véctơ riêng x = 2, chú ý rằng 1 x3 λ − 0 0 0 1 2 0 0 −1 λ − − 1 2 1 1 0 1 λ I − A = = 1 3 −1 −3 λ + − 1 2 1 −3 4
nên hệ phương trình tuyến tính (λ I − A)x = 0 trở thành 1 3 −x − 3x + + 4 x x = = 0 1 2 3 3 0. 1 1
Hệ này có nghiệm x với = t
t là một số thực bất kì. Do đó các véctơ riêng 1 1 1 ứng với giá trị riêng với λ = t 6= 0 tuỳ ý. 1 2 có dạng x = t
Tương tự ta cũng tìm được các véctơ ri 1
êng ứng với giá trị riêng λ = 1 là 2 0 0 1 1 x với t là = t
và các véctơ riêng ứng với giá trị riêng λ = − 3 1 là x = t
một số 1thực tuỳ ý khác 0. 3
5.3. Chéo hoá ma trận
Trong phần này chúng ta trình bày phương pháp để đưa một ma trận vuông
về dạng chéo (nếu có thể). 37
Trước hết nhắc lại rằng ma trận chéo là ma trận vuông có các phần tử nằm
ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Nói cách khác ma trận chéo là ma trận có dạng d1 0 · · · 0 0 d · · · 2 0 .. . . . . . .. .. .. 0 0 · · · dn Ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa. Cho A là một ma trận n× n. Ta nói A chéo hoá được nếu tồn tại một
ma trận khả nghịch P sao cho P−1AP là ma trận chéo.
Khi đó việc tìm ma trận P như trên và tìm dạng chéo của ma trận P−1AP được
gọi là chéo hoá ma trận A.
Kết quả sau đây cho phép ta tìm ma trận khả nghịch P cũng như P−1AP trong
trường hợp A là ma trận chéo hoá được.
Định lí 5.3. Cho A là một ma trận n × n.
(i) Ma trận A chéo hoá được nếu và chỉ nếu A có các véctơ riêng x1, x2, . . . , xn thoả mãn P =[x x 1
2 . . . xn] là ma trận khả nghịch. λ1 0 · · · 0 0 λ · · · 2 0 .. . . . là ma trận chéo với λ . .. .. .. i là giá trị riêng (ii) Khi đó P−1AP = 0 0 · · · λn của A ứng với xi.
Chứng minh. Giả sử P là ma trận khả nghịch thoả mãn P−1AP = D là ma trận
chéo. Chú ý rằng điều kiện P−1AP = D tương đương với AP = PD. λ1 0 · · · 0 0 λ · · · 2 0 .. . . .
và kí hiệu các cột của ma trận P lần lượt là . .. .. .. Giả sử D = 0 0 · · · λn
x1,x2 ...,xn thì đẳng thức AP = PD trở thành λ1 0 · · · 0 0 λ · · · 2 0 .. . . . . . .. .. ..
A[x x . . . xn]=[x x . . . x 1 2 1 2 n] 0 0 · · · λn 38
Theo định nghĩa của phép nhân ma trận, đẳng thức trên tương đương với [Ax Ax x λ x 1 2x 1 2 . . . Axn]=[λ1 2 . . . λn n], tức là Ax x i = λi i với mọi i.
Nói cách khác P−1AP = D là ma trận chéo nếu và chỉ nếu các phần tử trên
đường chéo chính của D chính là các giá trị riêng của A, đồng thời các cột của P
là các véctơ riêng tương ứng với các giá trị riêng đó. Như vậy ta đã chứng minh được Định lý 5.3.
Theo Định lý 5.3, nếu A là ma trận chéo hoá được thì ma trận P trong định
nghĩa sẽ có các cột được cho bởi các véctơ riêng của ma trận A. Hơn nữa các
phần tử trên đường chéo chính của ma trận chéo P−1AP chính là các giá trị riêng
của ma trận A. Ta minh hoạ kết quả này qua các ví dụ dưới đây. 2 0 0 1 2 −1
Ví dụ 5.4. Chéo hoá ma trận trong Ví dụ 5.3. A =
Trong Ví dụ 5.3 ta đã tìm được c 1 ác g 3 iá t − rị 2riêng của A là λ = = = 1 2, λ2 1, λ3 1 0 0 1 1 1 .
−1 và các véctơ riêng tương ứng lần lượt là x = , x = , x = 1 2 3 1 0 0 1 1 3 1 1 1 Do ma trận
có định thức bằng 2 nên P là ma trận P =[x x ]= 1 2 x3 1 1 3 λ1 0 0 0 λ2 0
khả nghịch. Vì vậy theo Định lý 5.3 ta nhận được P−1AP = = 2 0 0 0 0 λ3 0 1 0
= D là một ma trận chéo. Bạn đọc có thể dễ dàng kiểm tra lại đ 0 ẳng0th − ứ 1 c AP = PD.
Chú ý. Trong Ví dụ 5.4, ta có thể đặt 0 1 0 1 1 1 Q =[x x ]= 2 1 x3 1 1 3
là ma trận tạo bởi các véctơ riêng x
của A nhưng theo một thứ tự khác. 1, x2, x3
Khi đó Q vẫn là một ma trận khả nghịch (det Q = −2) và vì vậy theo Định lý 5.3 39 ta nhận được λ 1 0 0 2 0 0 0 λ 0 2 0 1 0 Q−1AQ = = 0 0 λ3 0 0 −1
vẫn là một ma trận chéo, nhưng các phần tử trên đường chéo chính, tức các giá trị riêng λ
của A, xuất hiện theo thứ tự mới tương ứng với thứ tự xuất 1, λ2, λ3
hiện của các véctơ riêng x . 1, x2, x3
Lưu ý rằng trong phát biểu của Định lý 5.3 các giá trị riêng λ của 1, λ2, . . . , λn
ma trận A không nhất thiết phải phân biệt. Hãy cũng xem xét ví dụ sau. 0 1 1 1 0 1 Ví dụ 5.5. . Chéo hoá ma trận A =
Trước hết ta tìm đa thức đặc trưn 1 g c 1 ủa 0 A. Ta có t −1 −1 −1 t −1 p =(t − 2)(t + 1)2. A(t )=det(t I − A)= 3 det −1 −1 t
Như vậy các giá trị riêng của A là λ = = − xuất hiện 2 lần 1 2 và λ2 1, ở đó λ2
(và ta nói λ có bội 2). Với λ = I − A)x trở thành 2 1 2, hệ phương trình (λ1 3 2x − x − x = 1 2 3 0 −x + − x = . 1 2x2 3 0 −x − x + = 1 2 2x3 0 1 1
nên ta có thể chọn véctơ riêng ứng với λ = 2 là
Hệ này có nghiệm x = t 1 1 1 1 x . = 1Với 1 giá trị riêng λ = −
I − A)x = 0 tương đương với 2 1, hệ phương trình (λ2 3
chỉ một phương trình sau x + x + x = 1 2 3 0. 40
Để giải phương trình trên, ta có thể đặt x = s và x = t với s 2 3 , t tuỳ ý, khi đó
x = −s − t và nghiệm của phương trình trên có thể được viết dưới dạng 1 x1 −1 −1 x 1 0 2 x = = s + t . x3 0 1 −1 −1 1 0
thì x và x đều là các véctơ riêng ứng với giá Đặt x = và x = 2 3 2 3 0 1 1 −1 −1 1 1 0 trị riêng thì λ = − x ]= P là ma trận khả 2 x 2 1. Nếu đặt P =[x1 3
nghịch (det P = 3), do đó theo Định lý 5.3 ta có 1 0 1 λ 2 0 0 1 0 0 0 λ2 0 0 −1 0 P−1AP = = 0 0 λ2 0 0 −1 là một ma trận chéo.
Ví dụ 5.5 ta vừa xét ở trên là ví dụ điển hình về các ma trận chéo hoá được.
Để mô tả các ma trận chéo hoá được trong trường hợp tổng quát, ta cần khái niệm sau đây.
Định nghĩa. Ta nói giá trị riêng λ của ma trận A có bội đại số m, hoặc đơn giản
là có bội m, nếu λ là nghiệm bội m của đa thức đặc trưng pA(t).
Trong Ví dụ 5.5 vừa xét ở trên, giá trị riêng λ = − 2 1 có bội 2. Hơn nữa hệ
phương trình tuyến tính (λ I − A)x = 0 có nghiệm được biểu diễn theo đúng 2 2 3
tham số s và t. Lưu ý rằng số tham số bằng đúng số bội của giá trị riêng. Trên
thực tế, đây là một điều kiện đủ để ma trận A là chéo hoá được. Ta thừa nhận kết quả sau đây.
Định lí 5.4. Cho A là ma trận n × n. Ma trận A là chéo hoá được nếu và chỉ nếu
hai điều kiện sau được thoả mãn.
(i) Đa thức đặc trưng pA(t) của A có đủ nghiệm thực.
(ii) Nếu giá trị riêng λ của A có bội m thì nghiệm của hệ phương trình (λIn −
A)x = 0 được cho bởi đúng m tham số.
Một trường hợp đặc biệt của Định lý 5.4 có thể được phát biểu như sau. 41
Định lí 5.5. Cho A là ma trận n × n. Nếu A có đúng n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hoá được.
Chứng minh của các Định lý 5.4 và 5.5 đòi hỏi các kĩ thuật và kiến thức cao
hơn của đại số tuyến tính, do đó sẽ không được trình bày trong cuốn giáo trình
này. Tuy nhiên ta có thể minh hoạ tầm quan trọng của Định lý 5.4 qua ví dụ sau đây.
Ví dụ 5.6. Chứng minh rằng ma trận 1 1 A =
là không chéo hoá được.
Đa thức đặc trưng của ma trận A là pA(t 0
)=(t 1− 1)2 nên A chỉ có một giá trị
riêng duy nhất λ = 1 với bội 2. Khi đó hệ phương trình (λI −A)x = 0 có nghiệm 2 x 1 xđưtu ợ ỳ c cý, h x o b = ởi 0, 1 tứ h c là am ng số h n iêệm n c m ủ a a tr hệ ận có A dạn khô g n xc = 1 héo hoá = đ s ược. . Do nghiệm chỉ 1 2 x2 0
Ta cũng có thể chứng minh ma trận A không chéo hoá được bằng phương
pháp phản chứng như sau. Giả sử A chéo hoá được, do A chỉ có giá trị riêng là 1 0
λ = 1 nên tồn tại ma trận P−1 kh = Iả,ng v h ô ịlcýh ! P V đ ậy ểmP−1 a t A r P ận = = I . Nhưng khi đó ta nhận được A = PI A không chéo hoá được. 2 2 0 1 2
Để kết thúc chương này, chúng ta tóm tắt phương pháp để chéo hoá một ma trận như dưới đây.
Phương pháp chéo hoá ma trận: Cho A là một ma trận n × n. Để chéo hoá ma
trận A ta tiến hành các bước sau.
a) Tìm đa thức đặc trưng pA(t) của A. Giải phương trình pA(t)=0 để tìm các giá trị riêng của A.
b) Với mỗi giá trị riêng λ của A, giải hệ phương trình (λIn − A)x = 0 và biểu
diễn nghiệm của hệ dưới dạng tham số x = s x +s +· · ·+s x 1 2x 1 2 k k. Chọn các
véctơ riêng ứng với giá trị riêng λ chính là các “nghiệm cơ sở” x1, x2, . . . , xk của hệ.
c) Ma trận A chéo hoá được nếu tổng số các véctơ riêng được chọn như trên bằng n.
d) Nếu A chéo hoá được, gọi P là ma trận có các cột được cho bởi n véctơ
riêng của A được chọn như trên. Khi đó P là ma trận khả nghịch và P−1AP 42
là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng của A. Bài tập
a) Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm đa thức đặc trưng, giá trị riêng, véctơ
riêng của ma trận A, đồng thời xác định ma trận khả nghịch P (nếu có) để P−1AP là ma trận chéo. (a) 1 2 A = 3 2 (b) 2 −4 A = −1 −1 7 0 −4 0 5 0 (c) A = 5 0 −2 0 1 0 3 0 1 (d) A = 2 0 0 1 1 −3 2 0 6 (e) A = 1 −1 5 2 0 0 0 2 0 (f) A = 0 0 1 1 9 −3 0 4 −1 (g) A = 0 6 −1
b) Xác định An trong các trường hợp sau. (a) 6 −5 A = 2 −1 −7 − (b) 12 A = 6 10 43
c) Chứng minh rằng nếu λ = 0 là một giá trị riêng của ma trận A thì ma trận A không khả nghịch.
d) Tìm tất cả các giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận đơn vị.
e) Cho ma trận vuông A. Giả sử tổng tất cả các phần tử trên mỗi dòng của A
đều bằng λ. Chứng minh rằng λ là một giá trị riêng của A. Đáp án − a) (a) 1 2
p(t)= t2 − 3t − 4, λ = −1, λ = 4, P = 1 2 1 3 − (b) 4 1
p(t)= t2 − t − 6, λ = 3, λ = −2, P = 1 2 1 1 4 0 1 0 1 0
(c) p(t)= t3 − 10t2 + 31t − 30, λ = = = 1 2, λ2 5, λ3 3, P = 5 0 1
(d) p(t)= t3 − 3t − 2, λ = − = 1
1 (bội 2), λ2 1, không tồn tại P
(e) p(t)= t3 − 6t2 + 12t − 8, λ = 2 (bội 3), không tồn tại P 0 0 1 0 1 0
(f) p(t)= t3 − 5t2 + 8t − 4, λ = = 1 1, λ2 2 (bội 2), P = 1 0 0 3 0 1 1 1 0
(g) p(t)= t3 − 4t2 + 5t − 2, λ = = 1 2, λ2 1 (bội 2), P = 2 3 0 /3 −2/ 4n 0 6 −5 b) (a) 2 3 −2/3 5/3 0 1 2 −1 2n 0 −4/3 −3/2 (b) 6 9 −6 −8 0 1 1 1 c) det A = 0
d) λ = 1, mọi véctơ đều là véctơ riêng
e) Ma trận A − λI có tổng các véctơ cột bằng 0. 44 Chương II
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
§1. Hệ phương trình tuyến tính
Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã gặp các phương trình và hệ
phương trình bậc nhất, chẳng hạn như các hệ phương trình sau: x + y + z = 1 ¨ x + 4 y − z = 2 x + 2 y = 3 3x + z = 3. 4x + 5 y = 6,
Các hệ phương trình trên cũng có thể được viết lại thành dạng ma trận. Chẳng
hạn hệ phương trình thứ nhất được viết lại là: x + 2 y 3 x 3 = hay 1 2 = . 4x + 5 y 6 4 5 y 6
Tương tự, hệ phương trình thứ hai có thể viết lại dưới dạng ma trận là: 1 1 1 x 1 1 4 −1 y 2 = . 3 0 1 z 3
Nhận xét rằng trong các hệ phương trình trên, các phương trình đều là phương
trình bậc nhất và mỗi hệ đều có số ẩn và số phương trình bằng nhau. Tuy nhiên,
người ta cũng gặp những phương trình và hệ phương trình mà số ẩn và số
phương trình khác nhau. Chẳng hạn, phương trình 2x + y = 1 có nghiệm là
tập hợp các điểm trên một đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Ox y, hay hệ phương trình ¨x + y +z = 1 x + 2 y + z = 0 45
có nghiệm là tất cả các điểm trên một đường thẳng trong không gian ba chiều
Ox yz. Các hệ phương trình quen thuộc nêu trên đều là hệ phương trình tuyến
tính, được định nghĩa một cách tổng quát như dưới đây.
Định nghĩa. Hệ phương trình tuyến tính cỡ m × n (m phương trình, n ẩn) là hệ
gồm m phương trình bậc nhất của n ẩn, có dạng như sau: a x + a x + · · · + a 11 1 12 2 1n x n = b1 a x + a x + · · · + a 21 1 22 2 2n x n = b2 (1.1) · · · am x + am x + · · · + a 1 1 2 2 mn xn = bm,
trong đó các aij và bi là các số thực, còn x1, . . . , xn là các ẩn số. Hệ phương trình
này cũng được viết lại dưới dạng ma trận như sau: a a x b 11 12 . . . a1n 1 1 a a x b 21 22 . . . a2n 2 2 · · · · · · · · · ·· · · · · · · · , (1.2) a = m a x b 1 m2 . . . amn n m hay AX = b, trong đó a a a x b 11 12 . . . 1n 1 1 a a a x b 21 22 . . . 2n 2 2 · · · · · · · · · ·· · · · · · · · . A = am a a x b 1 m2 . . . mn , X = n , b = m
Hệ viết dưới dạng (1.1) được gọi là dạng đại số, còn (1.2) được gọi là dạng ma
trận của hệ phương trình tuyến tính (1.1). Ma trận A được gọi là ma trận các hệ
số, hay ma trận liên kết hệ (1.1). Ngoài ra, ma trận đầy đủ hơn dưới đây gọi là
ma trận đầy đủ hay ma trận bổ sung của hệ (1.1): a a a b 11 12 . . . 1n 1 a a a b 21 22 . . . 2n 2 · · · · · · · · · ·· · · · · A =(A | b)= am a b 1 m2 . . . amn m
Nếu ma trận A là một ma trận vuông không suy biến thì hệ (1.1) được gọi là hệ
Cramer. Nếu b = b = · · ·= b 1 2
m = 0, thì hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình 46
tuyến tính thuần nhất. Khi đó hệ có dạng AX = 0, hay a x + a x + · · · + a 11 1 12 2 1n x n = 0 a x + a x + · · · + a 21 1 22 2 2n x n = 0 · · · am x + a x + · · · + a 1 1 m2 2 mn xn = 0.
Nhận xét. Ta xét một số trường hợp m, n nhỏ.
(i) Hệ cỡ 1 × 1 chính là phương trình bậc nhất một ẩn: a x = b , thông 11 1 1
thường ta viết là ax = b, với a, b là các số thực, còn x là ẩn.
(ii) Hệ cỡ 2 × 2 là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: ¨aa x + a x = 2 x 1 + 1 a 2x 2 = 2 bb a a 11 1 12 2 12 x b hay 11 12 1 = 1 a a x b . 21 22 2 2
Thông thường hệ phương trình cỡ 2 × 2 được viết dưới dạng hai ẩn x, y quen thuộc như sau: ¨ax + by = c a b x c hay = a′ x + b′ y = c′ a′ b′ y c′ .
(iii) Hệ cỡ 3 × 3 là hệ có dạng a x + a x + a x = b 11 1 12 2 13 3 1 a a a x b 11 12 13 1 1 a x + a x + a x = b a a a x b 21 1 22 2 23 3 2 21 22 23 2 2 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3 hay = . a a a x b 31 32 33 3 3
Cũng có thể viết hệ này với ba ẩn x, y, z như sau a x + b y + c z = d 1 1 1 1 a b c x d 1 1 1 1 a x + b y + c z = d a b c y d 2 2 2 2 2 2 2 2 a x + b y + c z = d 3 3 3 3 hay = . a b c z d 3 3 3 3
(iv) Hệ cỡ 1 × 2 chính là phương trình đường thẳng trong mặt phẳng: ax + b y = c. 47
(v) Hệ cỡ 1 × 3 chính là phương trình mặt phẳng trong không gian: ax + b y + cz = d.
(vi) Hệ cỡ 2 × 3 là phương trình đường thẳng trong không gian (giao của hai mặt phẳng): ¨ax + by + cz = d
a′ x + b′ y + c′z = d′.
(vii) Nhận xét thêm rằng, khi n = 2 tức là hệ phương trình (1.1) có hai ẩn, kí
hiệu hai ẩn là x, y thì mỗi phương trình của hệ là phương trình của một
đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Ox y. Khi đó nghiệm của hệ phương
trình chính là toạ độ của các điểm chung của tất cả các đường thẳng đó.
Tương tự, nếu n = 3, thì mỗi phương trình của hệ (1.1) chính là phương
trình của một mặt phẳng trong không gian ba chiều, do đó nghiệm của hệ
là tập hợp các điểm chung của tất cả các mặt phẳng đó. ¨
là một hệ cỡ 2 × 2, có ma x4 + x + 5 y = 6, Ví dụ 1.1. 2 y = 3 (i) Hệ phương trình
trận liên kết và ma trận đầy đủ lần lượt là: 3 1 2 1 2 A = và A = . 4 5 4 5 6 1 2 V hìệAC lrà m am ộ
ert. ma trận vuông và det A =
= −3 6= 0 nên hệ này là một 4 5 (ii) Hệ phương trình x + y + z = 1 x + 4 y − z = 2 3x + z = 3
là hệ cỡ 3 × 3 với ma trận liên kết và ma trận đầy đủ lần lượt là: 1 1 1 1 1 1 1 1 4 −1 1 4 −1 2 B = và B = . 3 0 1 3 0 1 3
Tương tự như trên, hệ này cũng là một hệ Cramer. 48 (iii) Hệ phương trình ¨x + x − x + x = 1 2 5 0 2 3 4 2x − x − = 1 2 3x4 0
là một hệ thuần nhất cỡ 2 × 4, có ma trận liên kết là 1 2 −1 5 C = . 2 BÀ − I 1 TẬP 0 −3
2.1. Xác định cỡ, ma trận liên kết, ma trận đầy đủ của mỗi hệ phương trình
tuyến tính sau. Mỗi hệ đó có là hệ Cramer hay hệ thuần nhất hay không? x − 2 y + 3z = 1 2x − y − z = 0 y − 2z = 2 x − y − 2z = 0 (a) 3x − z = 0 (b) 7x + y − 2 = 0 ¨ 2x + − 3 x x+ +3 x − + x 7x + x = 1 = (c) 1 1 2 2 3 3 44 5 2
2.2. Hãy viết hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và một hệ phương trình
tuyến tính không thuần nhất có ma trận liên kết là mỗi ma trận sau và xét
xem hệ đó có phải là hệ Cramer không. 1 2 1 2 3 3 4 4 5 6 (a) 1 2 3 (b) (c) 4 5 6 5 6 7 8 9
2.3. Hãy diễn đạt lại các bài toán sau bằng một hệ phương trình tuyến tính.
(a) Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 40 cm, xuất
phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì
cứ 40 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 8
giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
(b) Một vật có khối lượng 131g và thể tích 16 cm3 là hợp kim của đồng và
kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng, bao nhiêu gam kẽm,
biết khối lượng riêng của đồng là 8,9g/cm3 và khối lượng riêng của kẽm là 7g/cm3.
(c) Ba tổ sản suất A, B, C có số sản phẩm trung bình (của một công nhân
trong một tháng) lần lượt là 37, 23, 41 sản phẩm. Số sản phẩm trung
bình của hai tổ A, B là 29, còn số sản phẩm trung bình của hai tổ B, C
là 33. Hãy tính số sản phẩm trung bình của cả ba tổ. 49
§2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Mục này sẽ giới thiệu một cách giải thông dụng của hệ phương trình tuyến
tính. Trước hết ta trở lại với hệ phương trình tuyến tính hai phương trình hai ẩn.
Hãy lần lượt xem các ví dụ cụ thể.
Ví dụ 2.1. Trước tiên, xét hệ phương trình § (2.1) 3 y = 15. 3x + 2 y = 1
Dễ thấy từ phương trình thứ hai ta có thể tính ngay được y, rồi thay vào phương
trình thứ nhất để tính x: § § § y = 5. 3x + 2 y = 1 3x = −2 y + 1 x = −3 ⇔ ⇔
Ví dụ 2.2. Tiếp the3oy , ta =x 15 ét hệ sau: y = 5 § (2.2) −x + 2 y = 1. (2) 3x − y = 2 (1)
Một phương pháp quen thuộc để giải hệ (2.2) là khử x hoặc y để đưa về hệ
dạng (2.1). Muốn vậy, ta chỉ cần nhân (2) với 3 rồi cộng với (1), khi đó ta nhận được hệ tương đương § 5 y = 5. 3x − y = 2
Tương tự hệ (2.1) ta giải được x = 1, y = 1.
Ví dụ 2.3. Tiếp tục xét hệ phương trình 3 ẩn: x + 2 y − z = 1 −2 y + z = 2 (2.3) 2z = −4.
Hệ này mặc dù có nhiều biến nhưng cũng dễ dàng giải được: từ phương trình
cuối cùng tính được z, rồi thay vào phương trình thứ hai để tính y, và thay y, z
vừa tính được vào phương trình đầu tiên để tính x. x = x + x = − 3 2 y − z = 1 2 y + z + 1 z −2 y + z = 2 y = − 1 y = −2 2 ⇔ z = −2. ⇔ z = −2. 2z = −4 50
Ví dụ 2.4. Bây giờ xét một hệ phương trình tuyến tính ba ẩn tổng quát hơn: x + 2 y + z = 1 (1) 2x − y + 3z = 2 (2) (2.4) −x + y − 2z = 3 (3).
Nhận xét. Nhận thấy rằng hệ (2.1) và hệ (2.3) dễ dàng giải được vì chúng có
ma trận liên kết là một ma trận tam giác. Đối với hệ bất kì như hệ (2.2) và hệ
(2.4) ta có thể tìm cách biến đổi nó về một hệ có ma trận liên kết dạng tam giác.
Hệ (2.4) được biến đổi như sau:
• Trước hết khử x ở phương trình thứ hai và phương trình thứ ba: (2) cộng
với - 2 lần (1) và (3) cộng với (1) ta được hệ tương đương: x + 2 y + z = 1 (1) − 5 y + z = 0 (2′) (2.4) ⇔ 3 y − z = 4 (3′).
• Tiếp theo khử tiếp y ở phương trình (3′): nhân (3′) với 5 rồi cộng với 3 lần (2′): x + 2 y − z = 1 − 5 y + z = 0 (2.4) ⇔ −2z = 20.
Ta nhận được một hệ có ma trận liên kết dạng tam giác, hệ này dễ dàng
giải được tương tự như hệ (2.3).
Thay vì viết phép biến đổi tương đương hệ phương trình, ta có thể biến đổi
ma trận đầy đủ của hệ đó. Chẳng hạn, ta có thể viết các phép biến đổi trên của (2.4) như sau: 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 −1 3 2 0 −5 1 0 0 −4 1 0 A = −→ −→ . −1 1 −2 3 0 3 −1 4 0 0 −2 20
Ví dụ 2.5. Trong ví dụ này ta xét một hệ phương trình mà số ẩn nhiều hơn số phương trình: § (2.5) 2x − x + x + x = 2. 2x 1 − 2x2 + 3x3 − x 4 = 1 2 3 4 1 51
Tương tự ví dụ trên, ta có thể biến đổi ma trận đầy đủ của hệ như sau: dòng 2 trừ đi dòng 1 1 1 2 −2 3 −1 A = 2 −2 3 −1 −→ . 2 −1 1 1 2 0 1 −2 3 1
Bây giờ nếu ta chỉ giữ lại hai biến x x , còn các biến x x ta chuyển sang vế 1, 2 3, 4
phải và coi như tham số, thì ta nhận được một hệ có ma trận liên kết dạng tam
giác, do đó có thể giải được tương tự như các hệ (1.1) và (2.1). §2x − 2xx − + = 2 + 3x2x3 − x3x4 = 11. (2.5) ⇔ 1 2 3 4 §2x − 2xx == −3x2x − + 2 3 + x3x4 + 11. ⇔ 1 2 3 4 1 1 x + x + ( 3 4 2 3 2 2 x x == x2x −− 3x + 1. ⇔ 1 2 2 3 4 5 3 ( x − x + 3 4 1 2 2 2 (x x ∈ R bất kì) 3, 4 . x x = ⇔ 1 = 2x − + 2 3 3x4 1
Như vậy hệ (2.5) có vô số nghiệm được cho bởi công thức trên, trong đó cứ cho
bất kì một giá trị của cặp (x x ) ta sẽ nhận được một nghiệm: 3, 4 1 5 3 (x , x , x , x )=( x − x + 1 2 3 4 2 3 2 4 , 2x − 3x + 1, x ). 2 3 4 3, x4
Cũng có thể viết nghiệm dưới dạng ma trận cột: 1 5 3 1 5 3 x x − x + − 1 3 4 x 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 x 2x − 3x + 3 4 1 (x x ∈ R). 3 x 1 0 0 3, 4 x = 3 = x + x + 4 x 3 0 4 1 0 4
Phương pháp giải hệ phương trình trong Ví dụ 2.4 và Ví dụ 2.5 là phương
pháp khử Gauss: Biến đổi tương đương hệ phương trình (hoặc biến đổi ma trận
đầy đủ của phương trình) để đưa về hệ có ma trận liên kết dạng bậc thang (ma
trận tam giác trên như Ví dụ 2.4 hoặc có một ma trận vuông con cấp cao nhất
dạng tam giác trên như Ví dụ 2.5), khi đó dễ dàng tính được nghiệm của hệ.
Trước khi mô tả cụ thể phương pháp khử Gauss, ta cần một số nhận xét sau: 52
(i) Dưới đây là hình minh hoạ một ma trận bậc thang tổng quát nhất, trong
đó tất cả các phần tử đầu dòng trên đường biên bên trái đều khác không
(hoặc, đặc biệt hơn, tất cả các phần tử đầu dòng trên đường biên bên trái bằng 1).
Chẳng hạn, các ma trận dạng dưới đây là ma trận bậc thang (dấu ∗ là một phần tử bất kì): 1 ∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 1 ∗ ∗ 0 1 ∗ ∗ ∗ 0 0 1 ∗ ∗ ∗ 0 0 1 ∗ 0 0 1 ∗ ∗ 0 0 0 1 ∗ ∗ . 0 0 0 1 0 0 0 1 ∗ 0 0 0 0 0 ∗
(ii) Trong trường hợp hệ AX = b hệ là hệ Cramer, tức là A là ma trận vuông
không suy biến, thì hệ có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: X = A−1 b.
(iii) Nếu ma trận liên kết của một hệ có dạng tam giác trên với định thức khác
không (các phần tử trên đường chéo chính khác không), thì ta dễ dàng
tính được nghiệm duy nhất của hệ.
(iv) Các phép biến đổi ma trận dưới đây là các phép biến đổi tương đương hệ phương trình. (1) Đổi chỗ hai dòng.
(2) Nhân vào một dòng một số khác không.
(3) Cộng vào một dòng α lần một dòng khác.
(4) Bỏ đi một trong hai dòng tỉ lệ.
Các phép biến đổi này được gọi là các phép biến đổi sơ cấp theo dòng của ma trận.
(v) Mọi ma trận đều có thể đưa được về ma trận bậc thang bởi các phép biến
đổi sơ cấp theo dòng nêu trên, với các bước sau đây: 53
- Bỏ qua các cột đầu tiên gồm toàn số 0 (nếu có), bắt đầu thực hiện
các bước sau đây với ma trận con còn lại.
- Đổi chỗ các dòng sao cho phần tử đầu tiên của dòng 1 khác không.
- Giữ nguyên dòng 1, và dùng dòng này để khử sao cho tất cả các phần
tử phía dưới phần tử đầu tiên của dòng 1 bằng không.
- Lặp lại ba bước trên cho ma trận con còn lại sau khi bỏ qua dòng 1 và cột 1.
- Cứ tiếp tục lặp lại các bước trên cho đến dòng cuối cùng (không còn
phần tử nào phía dưới để khử thành 0 nữa).
Từ các nhận xét trên, ta có thể mô tả phương pháp khử Gauss để giải hệ
phương trình tuyến tính như sau:
• Bước 1: Lập ma trận đầy đủ của hệ.
• Bước 2: Biến đổi ma trận đầy đủ về dạng bậc thang bởi các phép biến đổi
sơ cấp theo dòng bằng phương pháp khử như trong Nhận xét (v) ở trên.
• Bước 3: Từ ma trận nhận được ở Bước 2, ta nhận được hệ phương trình
tương đương với hệ ban đầu và giải hệ này. Có ba trường hợp xảy ra:
(i) Nếu ma trận liên kết trở thành một ma trận tam giác trên có định
thức khác không thì hệ có nghiệm duy nhất và ta dễ dàng tính được
nghiệm nhờ dạng tam giác của ma trận này (xem Ví dụ 2.6).
(ii) Nếu ma trận liên kết nhận được không phải là ma trận tam giác và
có một ma trận vuông con cấp cao nhất dạng tam giác có định thức
khác không, thì giữ lại các ẩn nằm trong ma trận vuông con này, và
biểu diễn một cách duy nhất các ẩn này theo các ẩn còn lại. Khi đó
hệ có vô số nghiệm (xem Ví dụ 2.8, 2.9).
(iii) Nếu ma trận liên kết bậc thang nhận được không phải một trong hai
dạng trên thì nó sẽ có một dòng gồm toàn số 0, mà phần tử cuối
cùng ở dòng đó trong ma trận đầy đủ là khác 0. Khi đó hệ vô nghiệm (xem Ví dụ 2.7).
Chú ý. Trong phương pháp khử Gauss ta cần chú ý rằng:
(i) Khi biến đổi ma trận thay cho biến đổi tương đương phương trình thì chỉ biến đổi dòng. 54
(ii) Trong trường hợp (ii), ma trận vuông con cấp cao nhất dạng tam giác
không suy biến không nhất thiết là ma trận vuông con ngoài cùng bên
trái, nên các ẩn được giữ lại (để tính theo các ẩn còn lại) không nhất thiết
là các biến đầu tiên (xem Ví dụ 2.9).
Dưới đây là một vài ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 2.6. Giải hệ phương trình 3x − y + z = 2 x + y − 2z = −1 −2x + 4 y − z = 0.
Biến đổi ma trận đầy đủ của hệ: 3 −1 1 2 1 1 −2 −1 1 1 −2 −1 3 −1 1 2 A = −→ L1 ←→L2 −2 4 −1 0 −2 4 −1 0 1 1 −2 −1 0 −4 7 5 −→ L2 −→L2 − 3L1 3 −→L3 + 2L1 0 6 −5 −2 1 1 −2 −1 0 −4 7 5 −→ 0 0 11 11 L3 −→2L3 + 3L2 1 1 −2 −1 0 −4 7 5 −→ 0 0 1 1 L3 −→(1/11)L3
Hệ phương trình trở thành: x + y − x = / 2z = −1 x = − y + 2z − 1 1 2 −4 y + 7z = 5 −4 y = −7z + 5 y = 1/2 ⇔ ⇔ z = 1. z = 1 1 z = 1 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z)=( , , 1). 2 2
Ví dụ 2.7. Giải hệ phương trình x − 4 y − z = 2 2x + y + 3z = 2 4 − 7 y + z = 3. 55
Biến đổi ma trận đầy đủ của hệ: 1 −4 −1 2 1 −4 −1 2 2 1 3 2 0 9 5 −2 A = −→ L2 −→L2 − 2L1 3 −→L3 − 4L1 4 −7 1 3 0 9 5 −5 1 −4 −1 2 0 9 5 −2 −→ 0 0 0 −3 L3 −→L3 − L2
Dòng thứ ba của ma trận trên có nghĩa là 0z = −3. Điều này là vô lý nên hệ vô nghiệm.
Ví dụ 2.8. Giải hệ phương trình x + x + − x = 1 2 2x3 4 2 2x − x + x − = 1 2 3 2x4 1 x + x − x + = 1 2 3 2x4 2.
Biến đổi ma trận đầy đủ của hệ: 1 1 2 −1 2 1 1 2 −1 2 2 −1 1 −2 1 0 −3 −3 0 −3 A = −→ L2 L −→L2 − 2L1 3 −→L3 − L1 1 1 −1 2 2 0 0 −3 3 0
Hệ phương trình trở thành x + x + 2x − x = 1 2 3 4 2 − 3x − = − 2 3x3 3 −3x + = 3 3x4 0 x + x + 2x = x + 1 2 3 4 2 − 3x − = − 2 3x3 3 ⇔ − 3x = − 3 3x4 x = −x − 2x + x + x = − 1 2 3 4 2 1 1 x = −x + x = −x + 2 3 3 2 4 3 ⇔ x = x x = x 3 4 ⇔ 3 4. 56
Vậy hệ có vô số nghiệm với công thức là x 0 1 −1 −1 x 3 2 −x + 3 −1 x 4x 1 0 3 4 (x ∈ R). x = x = x 1 + 0 4 4 4 4
Ví dụ 2.9. Giải hệ phương trình § x2x − − x + x = 1 − x 4x2 − x 3 + x4 = 1 1 2 2 2 3 4 1
Biến đổi ma trận đầy đủ của hệ: 1 1 1 −2 −1 2 A = 1 −2 −1 2 −→ 2 −4 −1 1 1 0 0 1 −3 −1 L2 −→L2 − 2L1
Ma trận con dạng tam giác có định thức khác không gồm cột 1 và cột 3 nên ta sẽ tính x x theo x
. Hệ phương trình trở thành 1, 3 2, x4 §x − x − xx − = − 3 + x 3x4 = 1 1 2 2 2 3 4 1 §x − xx = x − 3 = 2x −32x 4 +11 ⇔ 1 3 2 4 ¨ ¨ x = x + 2x − 2x + 1 x x = 2x = 3 + x x− − 1 2 ⇔ 1 3 2 4 ⇔ 1 3 2 4 4 x = 3x − 1 3 4
Vậy hệ có vô số nghiệm với công thức là x 2 1 1 2x + x − 2 −2 x 2 4 x 1 0 0 2 2 x 0 3 3 3x − 1 −1 (x ∈ R). x = 4 x = x 0 + x 1 + 0 2, x4 4 4 2 4
Để kết thúc mục này, ta trở lại việc tìm ma trận nghịch đảo trong mối quan hệ
với việc giải các hệ phương trình tuyến tính. Cho A =(aij) là một ma trận vuông
cấp n không suy biến. Khi đó C là ma trận nghịch đảo của A nếu AC = I, trong
đó I là ma trận đơn vị cấp n. Theo công thức nhân ma trận, việc tìm ma trận C
tương đương với việc giải n hệ phương trình tuyến tính: AX = Ei, trong đó Ei là 57
ma trận cột thứ i của ma trận đơn vị I. Nghiệm của hệ phương trình này là cột
thứ i của C. Chẳng hạn hệ AX = E là hệ 1 a x + a x + · · · + a 11 1 12 2 1n x n = 1 a x + a x + · · · + a 21 1 22 2 2n x n = 0 · · · an x + an x + · · · + a 1 1 2 2 nn xn = 0.
Các hệ phương trình AX = Ei có cùng ma trận liên kết, nên ta có thể áp dụng
phương pháp khử Gauss đồng thời cho cả n hệ bằng cách biến đổi ma trận cỡ n × 2n sau: a a 1 0 . . . 0 11 12 . . . a1n a a 0 1 . . . 0 21 22 . . . a2n
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · . E =(A|I)= an a 0 0 . . . 1 1 n2 . . . ann
Để giải đồng thời n hệ, sau khi biến đổi ma trận E để phần ma trận A trở thành
dạng tam giác trên, ta tiếp tục dùng phương pháp Gauss khử phần tam giác phía
trên, để biến đổi phần ma trận này trở thành ma trận đơn vị. Như vậy, bằng các
phép biến đổi tương đương phương trình: (i) Đổi chỗ hai dòng
(ii) Nhân vào một dòng một số khác không
(iii) Cộng vào một dòng α lần một dòng khác ta đưa E về dạng: 1 0 . . . 0 c c 11 12 . . . c1n 0 1 . . . 0 c c 21 22 . . . c2n
· · · · · · · · · ·· ·
· · · · · · · · · · · · . F = 0 0 . . . 1 cn c 1 n2 . . . cnn
Khi đó cột thứ i của ma trận (cij) chính là nghiệm của phương trình AX = Ei, do
đó nó là cột thứ i của C, hay C =(cij) chính là ma trận cần tìm. Đây là phương
pháp Gauss-Jordan tìm ma trận nghịch đảo. Hãy xem ví dụ dưới đây. 58 0 −1 −1 1 1 2
Ví dụ 2.10. Cho ma trận A =
. Ta sẽ tính ma trận nghịch đảo
của A bằng phương pháp Gau − ss-J 2ord 0 an. − T 1
hực hiện phép biến đổi ma trận: 0 −1 −1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 E =(A|I) = −2 1 01 −1 2 0 0 1 1 0 0 −1 −1 1 0 0 −→ L1 ←→L2 − 12 10 − 2 1 0 01 00 1 0 −1 −1 1 0 0 −→ 0 1 2 1 3 2 0 2 1 1 0 L3 −→L3 + 2L1 0 −1 −1 1 0 0 −→ 0 1 0 1 1 0 2 2 1 L3 −→L3 + 2L2 −4 −3 −2 L1 −→L1 − 2L3 0 −1 0 3 2 1 L2 −→L2 + L3 −→ 0 1 0 1 0 2 2 1 −1 −1 −1 L1 −→L1 + L2 0 −1 0 3 2 1 −→ 0 1 0 0 0 1 2 2 1 −1 −1 −1 0 1 0 −3 −2 −1 −→ L2 −→(−1)L2 0 0 1 2 2 1 −1 −1 −1 −3 −2 −1 Từ đó A−1 = . 2 2 1 BÀI TẬP
2.4. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss.
(a) Các hệ trong Bài tập 2.1. 59 2x − x − x + x = − 1 2 3 4 1 x + 2x − x = 1 2 4 1 −x − x + 2x + 3x = −2 (b) 1 2 3 4 x − 3x + x = − 2 3 4 9. 3x − + − x = 1 2x2 4x3 4 0 x − 2x + x + x = 1 2 3 4 0 (c) −2x + x − x + 2x = 1 2 3 4 0
2.5. Dùng phương pháp Gauss để giải tiếp các bài toán trong Bài tập 2.3.
2.6. Dùng phương pháp Gauss-Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: 1 1 1 1 2 1 0 −1 1 1 1 1 0 −1 0 −1 1 2 0 −2 1 −1 0 −1 . (a) (b) (c) 1 1 −1 0 1 0 0 1 −2 −1 §3. Hệ Cramer
Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình của n ẩn a x + a x + · · · + a 11 1 12 2 1n x n = b1 a x + a x + · · · + a 21 1 22 2 2n x n = b2 (3.1) · · · an x + an x + · · · + a 1 1 2 2 nn xn = bn. a a a · · · a 11 12 13 1n x b a a a · · · a 1 1 21 22 23 2n x b a a a · · · a 2 2 31 32 33 3n ... ... Ký hiệu . A =
· · · · · · · · · · · · · · · , x = x và b = n bn an an a · · · a 1 2 n3 nn
Khi đó hệ phương trình (3.1) được viết lại thành Ax = b.
Nếu định thức det A 6= 0 thì hệ (3.1) được gọi là hệ Cramer.
Trong phần trước, ta sử dụng phương pháp Gauss để tìm nghiệm của hệ
phương trình 3.1. Sau đây chúng ta tìm hiểu thêm một phương pháp khác trong
việc tìm nghiệm cho hệ phương trình Cramer này. 60
Định lí 3.1 (Qui tắc Cramer). Giả sử hệ phương trình (3.1) là hệ Cramer. Ký
hiệu D = det A và Di = det Ai, trong đó Ai là ma trận nhận được từ A bằng cách
thay cột thứ i của ma trận A bởi cột hệ số tự do b. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
và nghiệm đó được tính bởi công thức sau: D x i i = ; i = 1, 2, . . . , n. D
Chứng minh. Với mỗi i = 1, 2, ..., n, ký hiệu Ii là ma trận có được từ ma trận
đơn vị cấp n bằng cách thay cột thứ i bởi cột các biến số x và Ai là ma trận có
được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do b, chẳng hạn x · · · b a a · · · a 1 0 0 0 1 12 13 1n x · · · b a a · · · a 2 1 0 0 2 22 23 2n x · · · b a a · · · a . 3 0 1 0 3 32 33 3n I =
· · · · · · · · · · · · · · · =
· · · · · · · · · · · · · · · 1 ; A1 xn 0 0 · · · 1 bn an a · · · a 2 n3 nn
Khi đó ta có AIi = Ai. Suy ra det(A). det(Ii)=det(Ai) hay D.xi = Di. Do đó D x i i = ; i = 1, 2, . . . , n. D
Ví dụ 3.1. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer: ¨ 5x 2 + x 7 + y 3 = y 1 = 3.
Lời giải. Hệ được viết dưới dạng ma trận 5 7 x 1 = . 2 3 y 3 Ta có 5 7 1 7 5 1 D = = 1, D = = −18, D = = 13. 2 3 1 D 3 3 2 D 2 3
Vậy nghiệm của hệ là x = 1 = −18, y = 2 = 13. D D 61
Ví dụ 3.2. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer: 5x + 7 y − 2z = 1 2x + 3 y + 6z = 3 3x − 2 y + 4z = 7.
Lời giải. Hệ được viết dưới dạng ma trận 5 7 −2 x 1 2 3 6 y 3 = 3 −2 4 z 7 5 7 −2 2 3 6 = 216 và Ta có D = 3 −2 4 1 7 −2 5 1 −2 5 7 1 3 3 6 2 3 6 2 3 3 = 87. D = = = = − = 1 288; D2 150; D3 7 −2 4 3 7 4288 3 −2 87 7
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = −150 . ; y = ; z = 216 216 216
Ví dụ 3.3. Xét hệ phương trình 5x + a y − 2z = 3, x + y + z = −2, 3x − 2 y + az = 1.
a) Với những giá trị nào của a thì hệ đã cho là hệ Cramer.
b) Khi hệ đã cho là hệ Cramer, hãy giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer.
Lời giải. Hệ được viết dưới dạng ma trận 5 a −2 x 3 1 1 1 y −2 = . 3 −2 a z 1 5 a −2 1 1
1 = −a2 + 8a + 20 =(a + 2)(10 − a). Ta có D = a) Để hệ đ 3 ã c − h 2 o là a
hệ Cramer thì D 6= 0. Do đó a 6= −2 và a 6= 10. 62 b) Ta có 3 a −2 −2 1 1 = 2a2 + 4a; D = 1 1 −2 a 5 3 −2 1 −2 1 = −13a − 10; D = 2 3 1 a 5 a 3 1 1 −2 = −7a − 30. D = 3
Vậy nghiệm của hệ phương trì3 nh − l 2 à 1 2a2 + 4a 2a + 2 x = = −13a − 10 −7a − 30 . (a + 2)(10 − a) ; y = ; z = 10 − a (a + 2)(10 − a) (a + 2)(10 − a) BÀI TẬP
2.7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer: ¨ ¨ −2x + 5 y = 1 x − x 3+yy==−2 1. a) b) 3x − 2 y = 3.
2.8. Tìm điều kiện của số thực a để hệ sau là hệ Cramer, sau đó giải các hệ đó theo a. ¨ ¨ ax + 4 y = 1 ax + x (a + − a y2)=y = 1. 1 a) b) 4x + a y = a.
2.9. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer: −x + 2 y + 2z = 3 x + 2 y + 3z = 5 3x − y + 4z = 7.
2.10. Xét hệ phương trình −x + a y + 2z = 1 (a − 1)x + 2 y + 3z = 2 3x − y +(a − 2)z = 3. 63
a) Tìm tất cả các giá trị của a để hệ đã cho là hệ Cramer.
b) Giải hệ phương trình theo phương pháp Cramer với các giá trị của a tìm được. ĐÁP SỐ 2.7. 9 a) 17 x = , y = . 11 11 b) 1 3 x = , y = . 4 4 2.8. a) a 6= ±2
b) Với mọi số thực a, hệ đã cho là hệ Cramer. 2.9. 1 8 x = ; y = 0; z = . 5 5 p p
2.10. a) D = −a3 + 3a2 + 3a − 9; D 6= 0 ⇔ a 6= 3, 3, − 3. 64