NHÓM –VÀNH – TRƯỜNG I/NHÓM 1/Định nghĩa
Cho G là một tập hợp , trên đó có phép toán hai ngôi . Ta nói G là một nhóm
nếu thỏa mãn ba điều kiện sau :
+Phép toán có tính kết hợp :
(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), ∀x, y, z ∈ G.
+Có một phân tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung hòa, với tính chất
x ◦ e = e ◦ x = x, ∀x ∈ G.
+ Với mọi x ∈, tồn tại phần tử x’ ∈ G, được gọi là nghịch đảo của x, sao cho : x ◦ x’ = x’ ◦ x = e
Nếu nhóm G thỏa mãn thêm điều điều kiện :
+Phép toán có tính giao hoán:
x ◦ y = y ◦ x, ∀x, y ∈ G
thì G được gọi là một nhóm aben hay nhóm giao hoán. Các 2/Tính chất
+ Tính chất 1:Phần tử đơn vị của một nhóm là duy nhất
+ Tính chất 2: Mỗi phần tử của nhóm chỉ có duy nhất một phần tử nghịch đảo
+ Tính chất 3:Tổng một nhóm luật đơn giản thực hiện được với mọi phần tử,
tức là từ đẳng thức a◦b=b◦a hoặc b◦a=c◦a kéo theo b=c
+ Tính chất 4:Trong nhóm (X, ◦) ta có:
(ab)−1=a−1b−1
anam= an+m với mọi m,n thuộc R
(an)m=an.m với mọi m,n thuộc R 3/Ví dụ
Tập hợp các số phức có moudul bằng 1 với phép nhân thông thường là một nhóm
Tâp các số hữu tỷ với phép cộng thông thường là một nhóm.
Tập các số hữu tỷ khác 0 với phép nhân thông thường là các nhóm.
Tập hợp gồm hai số 1,-1 với phép nhân là một nhóm.Tập hợp gồm bốn số 1,
-1,i,-i với phép nhân là một nhóm . II/VÀNH 1/Định nghĩa:
Cho R là một tập hợp, trên đó có hai phép toán hai ngôi, ký hiệu theo lối cộng
và nhân. Ta nói R là một vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
+R là một nhóm aben đối với phép cộng.
+Phép nhân có tính kết hợp:
(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R.
+Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng :
x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx, ∀x, y, z ∈ R
Vành R được gọi là vành giao hoán nếu thỏa mãn:
+Phép nhân có tính giao hoán: xy = yx, ∀x, y ∈ R.
Vành R được gọi là đơn vị nếu thỏa mãn:
+Phép nhân có đơn vị , tức là có phần tử 1 ∈ R , sao cho: 1x = x1 = x, ∀x ∈ R. 2/Tính chất
+ Với mọi z,y,z ∈ R, ta có: x(y-z) = xy - xz (y-z)x = yx- zx + Với mọi x ∈R , ta có: 0.x=x.0=0
+Với mọi x,y ∈ R, ta có: (-x)y=x(-y)=-xy (-x)(-y)=xy 3/Ví dụ
Tập hợp các số nguyên Z với phép cộng và nhân thông thường là một vành.
Tập các ma trận vuông cùng cấp n với phép cộng và nhân ma trận là một vành.
Tập các đa thức với hệ số trên trường số thực là một vành.
Vành số nguyên với phép toán cộng và nhân thông thường là vành Euclid, vành chính,và vành Gauss.
Các vành chính, vành Euclid, vành đa thức trên một trường K là các vành Gauss.
Tập các đa thức với hệ số trên trường số thực là một vành. III/ TRƯỜNG 1/Định nghĩa
Cho tập K là một tập khác rỗng có trang bị hai phép toán cộng (+) và phép
nhân (.). Ta nói (K,+, .) hay K là một trường nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
+ K là một vành giao hoán có đơn vị .
+ Với ∀ a ∈ K, a≠0,( phần tử trung hòa của luật cộng) thì tồn tại hần tử đối
xứng a’ của A đối với phép nhân (.), nghĩa là : a.a’= a’.a=1(a≠0) 1
a’ được gọi là nghịch đảo của a, ký hiệu a−1 hay . a 2/Tính chất
+ Trường K là một vành nguyên.
+ K là một trường thì K \{0} là một nhóm đối với phép nhân .
Hệ quả : Trong một trường có quy tắc giản ước
a.b=c.a, (a≠ 0¿⇒b=c
+ Trong một trường K thì phương trình a.x=b, a≠ 0
có nghiệm duy nhất : x=ba 3/Ví dụ:
Tập Q,R,C là trường tương ứng với các phép cộng và nhân thông thường , với
phần tử 0 là 0 và phần tử 1 là 1.
Tập Z với p là nguyên tố là trường tương ứng với phép cộng và nhân cho p
modul p, với phần tử 0 là 0 và phần tử 1 là 1
Document Outline

• + Tính chất 1:Phần tử đơn vị của một nhóm là duy nhất
• + Tính chất 2: Mỗi phần tử của nhóm chỉ có duy nhất một phần tử nghịch đảo
• + Tính chất 3:Tổng một nhóm luật đơn giản thực hiện được với mọi phần tử, tức là từ đẳng thức a◦b=b◦a hoặc b◦a=c◦a kéo theo b=c
• + Tính chất 4:Trong nhóm (X, ◦) ta có:
• =
• = với mọi m,n thuộc R
• = với mọi m,n thuộc R