Những câu hỏi nâng cao rèn luyện kĩ năng giải toán môn Toán – Đoàn Văn Bộ, Huỳnh Anh Kiệt

Cuốn sách “Những câu hỏi nâng cao rèn luyện kĩ năng giải toán môn toán” với mong muốn giúp cho các bạn học sinh có thêm nguồn tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để có thể thi tốt kì thi Trung học Phổ thông Quốc gia.

Chủ đề:

Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 257 tài liệu

Môn:

Toán 1.9 K tài liệu

Thông tin:
176 trang 1 năm trước
Tác giả:
N
Nguyễn Vân
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Những câu hỏi nâng cao rèn luyện kĩ năng giải toán môn Toán – Đoàn Văn Bộ, Huỳnh Anh Kiệt

Cuốn sách “Những câu hỏi nâng cao rèn luyện kĩ năng giải toán môn toán” với mong muốn giúp cho các bạn học sinh có thêm nguồn tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để có thể thi tốt kì thi Trung học Phổ thông Quốc gia.

90 45 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 257 tài liệu

Môn: Toán 1.9 K tài liệu

Thông tin:

176 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
PHÂN TÍCH SAI LẦM
TỔNG HỢP CÂU HỎI NÂNG CAO
Hướng dẫn giải chi tiết
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
HCM, 5-2017, LƯU HÀNH NỘI BỘ
Giấy A5
PHÂN TÍCH SAI LẦM
TỔNG HỢP CÂU HỎI NÂNG CAO
Hướng dẫn giải chi tiế
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
HCM, 5-2017, LƯU HÀNH NỘI BỘ
LỜI NÓI ĐẦU
Ở bất kì hình thức thi nào trong một cuộc thi nào thì cũng
có những sai lầm mà học sinh vấp phải và cũng có những bài
toán khó ở trong đề thi. Năm 2016 trở về trước, với hình thức
thi tự luận thì các câu hỏi khó thường rơi vào hình học giải
tích trong mặt phẳng, phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình và các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Và bắt đầu năm
2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đổi từ hình thức thi tự luận sang
hình thức thi trắc nghiệm khách quan thì cũng không tránh
khỏi là không ra những câu hỏi khó. Đặc biệt là những lỗi sai
cơ bản của học sinh, nhằm đánh giá đúng năng lực của học
sinh. Dựa trên vấn đề đó, chúng tôi biên soạn ra cuốn sách
“Những câu hỏi nâng cao rèn luyện kĩ năng giải toán môn toán” với
mong muốn giúp cho các bạn học sinh có thêm nguồn tư liệu
tham khảo, trau dồi kiến thức để có thể thi tốt kì thi Trung học
Phổ thông Quốc gia và đạt được ước mơ vào ngôi trường Đại
học mà mình mong muốn.
Cuốn sách này gồm có các phần sau:
PHẦN I: PHÂN TÍCH SAI LẦM QUA NHỮNG BÀI
TOÁN CỤ THỂ
PHẦN II: TỔNG HỢP CÂU HỎI NÂNG CAO
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Chuyên đề 2: Mũ – logarit
Chuyên đề 3: Tích phân
Chuyên đề 4: Số phức
Chuyên đề 5: Hình học không gian
Chuyên đề 6: Phương pháp tọa độ trong không gian
PHẦN III: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Cuốn sách này được chúng tôi biên soạn dựa trên các bài
toán trong các đề thi thử trên cả nước, từ các nhóm học tập
trên facebook. Trong mỗi bài toán, chúng tôi luôn đưa ra
những hướng dẫn giải chi tiết. Thêm vào đó, những bài tập
nào có kiến thức mới thì chúng tôi cũng có đưa vào, tuy nhiên
do thời gian hạn hẹp nên chúng tôi cũng không có viết thêm
lý thuyết được nhiều. Chúng tôi đưa những kiến thức mới,
nằm ngoài sách giáo khoa nhằm giúp các bạn học sinh có
những kiến thức mới, vận dụng nhanh chóng vào các câu hỏi
nâng cao. Qua đó cũng giúp các bạn học sinh có cái nhìn mới
về Toán học. Các kiến thức mới này nằm ngoài chương trình
học của các bạn học sinh nên có thể rất bỡ ngỡ với. Các bạn
học sinh có thể đọc và tự chứng minh để kiểm chứng những
kiến thức mới đó. Ngoài ra, chúng tôi còn thêm những bài
tập tương tự sau những bài tập hướng dẫn giải. Tuy nhiên,
cũng chỉ là một chút ít trong số những bài tập mà chúng tôi
có phân tích và hướng dẫn.
Vì chúng tôi còn là sinh viên nên còn phải học trên ghế
nhà trường. Do đó thời gian biên soạn của chúng tôi có hạn.
Vì vậy, nội dung của cuốn sách này có thể còn có những
khuyết điểm và chưa được phong phú cho lắm. Với tinh thần
ham học hỏi, chúng tôi luôn mong nhận được sự đóng góp
từ quý bạn đọc để một ngày nào đó cuốn sách này có thể
hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, chúc các bạn học sinh có thể thi tốt kì thi
Trung học Phổ thông Quốc gia.
Các tác giả
Đoàn Văn Bộ - Huỳnh Anh Kiệt
(Sinh viên Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh)
--------------------------------
Mọi sự đóng góp vui lòng gửi về
1
:
Facebook: https://www.facebook.com/dvboo
Gmail: K40.101.183@hcmup.edu.vn
1
Học sinh muốn tệp pdf đầy đủ vui lòng nhắn tin qua facebook hoặc
gmail. Vì một số lí do nên không đăng bản đầy đủ.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 7 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................. 4
PHẦN I: PHÂN TÍCH SAI LẦM QUA NHỮNG BÀI TOÁN
CỤ THỂ ........................................................................................ 8
PHẦN 2: TỔNG HỢP CÂU HỎI NÂNG CAO .................... 39
Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN
LIÊN QUAN .......................................................................... 39
Chuyên đề 2: MŨ – LOGARIT ............................................ 54
Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ................. 64
Chuyên đề 4: SỐ PHỨC ....................................................... 87
Chuyên đề 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ..................... 107
Chuyên đề 6: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN .................................................................... 130
PHẦN III: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN .......................... 167
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................... 175
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 8
PHẦN I: PHÂN TÍCH SAI LẦM QUA NHỮNG
BÀI TOÁN CỤ THỂ
Câu 1.
Cho hàm số
y f x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
đồng biến trên
;.ab
B.
0, ;f x x a b f x

đồng biến trên đoạn
;ab

C.
fx
đồng biến trên khoảng
;ab
0, ; .f x x a b
D.
fx
nghịch biến trên
; 0, ; .a b f x x a b
Giải:
Với câu này, chắc hẳn nhiều học sinh hoang mang, không
biết chọn đáp án A hay C. Với câu hỏi như thế này, nếu
không nắm vững lý thuyết thì sẽ không trả lời đúng câu này.
Học sinh quen làm với hàm bậc ba, trùng phương hay bậc
hai trên bậc nhất thì học sinh sẽ chọn ngay đáp án C. Bởi vì
với lý luận mà học sinh hay làm bài tập là: “Hàm số đồng biến
trên
;ab
khi và chỉ khi
0, ;f x x a b
”.
Sai lầm của học sinh khi chọn đáp án C là ngộ nhận
những kiến thức của bài tập mà học sinh hay làm.
Đáp án D sai vì nếu
0, ;f x x a b
thì
fx
nghịch
biến trên khoảng
;ab
.
Đáp án B sai vì nếu hàm số
fx
có thể không xác định
tại a, b nhưng vẫn đồng biến trên
;ab

. Ví dụ xét hàm
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 9 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
, 0;1f x x x

có
1
2
f
x
.
Rõ ràng
fx
không xác định tại
0x
nhưng hàm số
vẫn đồng biến trên
0;1

.
Đáp án C sai vì thiếu
0fx
tồn tại hữu hạn điểm. Mặt
khác nếu xét
ax b
y
cx d
có
2
00
ad bc
y ad bc
cx d
và
suy ra hàm phân thức đó là hàm hằng. Dẫn đến không thỏa
mãn với yêu cầu.
Đáp án A đúng vì theo định lý SGK cơ bản 12 trang 6.
Câu 2.
Cho hàm số
1
3
x
y
x
. Xét các mệnh đề sau:
(1) Hàm số luôn nghịch biến trên
\3D
.
(2) Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là
1x
; một tiệm
cận ngang là
3y
.
(3) Hàm số đã cho không có cực trị.
(4) Đồ thị hàm số nhận giao điểm
3;1I
của hai đường
tiệm cận là tâm đối xứng.
Chọn các mệnh đề đúng.
A. (1),(3), (4)
B. (3), (4)
C. (2), (3),(4)
D. (1), (4)
Giải:
Sai lầm thường gặp:
Tập xác định
\3D
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 10
Ta có
2
2
0,
3
y x D
x
.
Hàm số nghịch biến trên
\3
hoặc
;3 3;
Suy ra (1) đúng.
Tiệm cận đứng
3x
, tiệm cận ngang
1y
. Suy ra (2) sai.
Mệnh đề (3) đúng.
Đến đây học sinh chọn ngay đáp án A. Mà đáp án A sai.
Phân tích sai lầm: Học sinh nhớ định nghĩa đồng biến
(nghịch biến) trên khoảng nhưng lại không biết đến rằng
mình không có học định nghĩa trên hai khoảng hợp nhau.
Học sinh ngộ nhận rằng nghịch biến trên
;3
và
3;
thì gộp thành
;3 3;
hoặc
\3
và dẫn đến nói
câu này đúng. Như vậy, học sinh cần phải nhớ rõ rằng, chỉ
học định nghĩa đồng biến (nghịch biến ) trên khoảng, đoạn,
nửa đoạn; không có trên những khoảng hợp nhau.
Mệnh đề (1) sai (giải thích ở trên). Sửa lại: Hàm số nghịch
biến trên
;3
và
3;
.
Mệnh đề (2) sai.
Mệnh đề (3) đúng. Hàm bậc nhất trên bậc nhất không có
điểm cực trị.
Mệnh đề (4) đúng vì giao điểm hai đường tiệm cận của
đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất chính là tâm đối xứng
của đồ thị hàm số.
Vậy đáp án B.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 11 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Câu 3.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
: 6 0P x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 12S x y z
. Có
bao nhiêu mặt phẳng
Q
song song với
P
và tiếp xúc
với
.S
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
Giải:
Gọi
0;0;0O
và
23R
lần lượt là tâm và bán kính của
mặt cầu
.S
Vì
//QP
nên
:0Q x y z D
(*).
Vì
Q
tiếp xúc với
S
nên
;d O Q R
.
222
23
111
D


(1)
Đến đây học sinh kết luận ngay là có 2 mặt phẳng.
Ngoài ra nếu làm tiếp thì
66DD
(2).
Học sinh cũng kết luận có hai mặt phẳng cần tìm.
Như vậy, nếu học sinh nào chọn C thì sai.
Phân tích sai lầm: Học sinh thấy
AB
với
0B
thì sẽ
tồn tại hai giá trị của A thỏa mãn điều đó nên kết luận liền.
Tuy nhiên với (2), học sinh cũng sai. Lỗi sai ở (1) và (2) là học
sinh quên đặt điều kiện của D ở (*) nên dẫn đến không loại
đáp án. Ở (1) học sinh ngộ ngay sẽ có hai giá trị D thỏa mãn.
Do
//QP
nên
6D 
. Vậy đáp án B.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 12
Câu 4.
Cho hàm số
42
22y x x
. Cực đại của hàm số bằng
A. 0
B. 1
C. 2
D.
1
Giải:
Ta có
3
44y x x

;
0
0
1
x
y
x



Bảng biến thiên
x

1
0 1

y
y

2

1 1
Nhìn vào bảng biến thiên, thấy ngay được cực đại của
hàm số. Tuy nhiên nếu không hiểu rõ các khái niệm về vấn
đề này thì sẽ mắc sai lầm câu này và phân vân giữa đáp án
A, C.
Ở đáp án A, đó là điểm cực đại chứ không phải cực đại
của hàm số.
Nhắc lại khái niệm: “Nếu hàm số
y f x
đạt cực đại (cực
tiểu) tại điểm
0
x
thì
0
x
được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của
hàm số,
0
fx
được gọi là giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số
còn gọi tắt là cực đại (cực tiểu)”. Nắm vững khái niệm này thì
có thể chọn đáp án câu này đúng.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 13 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Câu 5.
Tìm tham số m để hàm số
2cos 3
2cos
x
y
xm
nghịch biến trên
khoảng
0;
3



?
A.
31
2
m
m
B.
3
2
m
m
C.
3m 
D.
3m 
Giải:
Nhận thấy, cả tử và mẫu đều có
cosx
nên dùng phương
pháp đổi biến để làm bài toán dễ dàng hơn.
Đặt
cos ,tx
với
0;
3
x



thì
1
;1
2
t



.
Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số
23
2
t
y
tm
nghịch biến trên
1
;1
2



.
Điều kiện xác định
2
m
t
.
Ta có
2
23
2
m
y
tm

Hàm số nghịch biến trên
1
;1
2



khi và chỉ khi
3
31
1
0, ;1
1
;1
2
2
22
m
m
yt
m
m






Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 14
Với cách giải trên thì chọn đáp án A. Đáp án A là đáp án
sai. Nguyên nhân sai lầm là do đâu?
Phân tích sai lầm: Nếu đặt
costx
thì hàm số ban đầu
là hàm hợp của các hàm
23
2
t
y f t
tm

và
costx
. Khi
đó
.
tx
y f t
Yều cầu bài toán tìm m để hàm số
y f x
nghịch biến trên
0;
3



nên
0, 0;
3
yx



. 0, 0;
3
tx
f t x




. Mà sau khi đổi biến như vậy thì ta có
0, 0;
3
x
tx



. Như vậy thì ta phải có
1
0, ;1
2
t
ft



.
Chứ không phải như
0y
như cách giải ở trên. Sai lầm dẫn
đến sai là không để ý đến biến mới nó biến thiên như thế nào
để ta có bài toán mới. Ngoài ra, nhiều học sinh là quen nhiều
dạng toán mà yêu cầu bài toán vẫn giữ nguyên nên dẫn đến
ngộ nhận bài toán này như vậy. Đáp án chính xác được nêu
ở phần hai.
Câu 6.
Cho hàm số
yx
. Chọn mệnh đề đúng.
A. Hàm số không có đạo hàm tại
0x
và cũng không đạt
cực tiểu tại
0x
.
B. Hàm số không có đạo hàm tại
0x
nhưng đạt cực tiểu
tại
0x
.
C. Hàm số có đạo hàm tại
0x
nên đạt cực tiểu tại
0x
.
D. Hàm số có đạo hàm tại
0x
nhưng không đạt cực tiểu
tại
0x
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 15 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Giải:
Chắc hẳn có nhiều học sinh chọn đáp án B vì
2
y x x
,
2
1, 0
1, 0
neux
x
y
neux
x



Học sinh kết luận ngay hàm số không có đạo hàm tại
0x
và cũng kết luận ngay không đạt cực tiểu tại
0x
. Tại
sao lại như vậy?
Phân tích sai lầm: Học sinh đã ngộ nhận ngay định lý
“Nếu hàm số
y f x
đạt cực trị tại
0
x
thì
0
0fx
” là điều
kiện cần và đủ để hàm số có cực trị. Nghĩa là đạo hàm tại
điểm đó mà không bằng 0 thì không có cực trị. Nguyên nhân
là không nắm vững lý thuyết về cực trị. Đặc biệt là định lý
trên chỉ có một chiều, không phải hai chiều. Tức là chiều
ngược lại có thể không đúng.
Nhắc lại một chút về điều kiện đủ để điểm
0
x
là điểm cực
trị của hàm số: “
fx
đổi dấu qua
0
x
thì
0
x
gọi là điểm cực trị
của hàm số” hoặc nếu nhìn vào đồ thị hàm số thì “đồ thị hàm
số đổi chiều qua điểm
0
x
thì
0
x
gọi là điểm cực trị”. Do đó, hàm
số
y f x
có thể không có đạo hàm tại
0
x
nhưng vẫn có thể
đạt cực trị tại điểm
0
x
. Trong quá trình học lý thuyết, chúng
ta nên học thật kĩ, hiểu tường tận bản chất của định nghĩa
khái niệm đó để tránh khỏi mắc phải những sai lầm không
đánh kể.
Như vậy đối với hàm số trên thì rõ ràng
y
đổi dấu qua
0x
nên
0x
là điểm cực trị. Ở câu hỏi này thì
0x
chính
là điểm cực tiểu của hàm số.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 16
Câu 7.
Cho số phức
z a bi
,
,ab
. Mệnh đề nào sau đây là
sai?
A. Đối với số phức z, a là phần thực.
B. Điểm
;M a b
trong hệ trục tọa độ Oxy được gọi là điểm
biểu diễn số phức z.
C. Đối với số phức z,
bi
là phần ảo.
D. Đối với số phức z, b là phần ảo.
Giải:
Đối với câu này thì rất nhiều học sinh bối rối trong việc
chọn đáp án giữa C, D. Có nhiều học sinh sẽ chọn đáp án D.
Phân tích sai lầm: Bởi vì học sinh không nhớ hoặc nhớ
nhầm giữa các phần thực, phần ảo của số phức z. Học sinh
hay cho rằng phần ảo chính là
bi
. Nhắc lại một chút lý
thuyết: “Cho số phức
z a bi
với
,ab
thì a được gọi là phần
thực, b được gọi là phần ảo còn i được gọi là đơn vị ảo”.
Như vậy thì phần ảo của số phức z không có chứa i. Vậy
mệnh đề C sai.
Phân tích từng mệnh đề:
Mệnh đề A, D đúng (theo phân tích lý thuyết ở trên).
Mệnh đề B đúng. Với mỗi số phức có dạng
z a bi
thì
;M z a b
được gọi là điểm biểu diễn số phức z.
Mệnh đề C sai (theo phân tích lý thuyết trên).
Lưu ý: Với những câu lý thuyết thì cần phải nắm vững lý
thuyết.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 17 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Câu 8.
Cho số phức
12
3 2 , 6 5z i z i
. Tìm số phức liên hợp
của số phức
12
56z z z
.
A.
51 40i
B.
51 40i
C.
48 37i
D.
48 37i
Giải:
Ta có
12
5 6 5 3 2 6 6 5 51 40z z z i i i
.
Ở đây có lẽ nhiều học sinh chọn ngay đáp án A.
Phân tích sai lầm: Đây là một bài toán dễ, nhưng nhiều
học sinh lại mất điểm câu này. Lý do học sinh đọc đề không
kĩ và hấp tấp trong việc chọn đáp án. Đề bài yêu cầu là số
phức liên hợp của số phức z chứ không phải số phức z.
Câu 9.
Tìm tất các các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
2
1
2 3 4
x
y
x mx m
có đúng một đường tiệm cận đứng.
A.
1
4
m
m
B.
1
4
m
m
C.
14m
D.
5; 1;4m
Giải:
Sai lầm thường gặp:
Nhận thấy hàm số có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên đồ thị
hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng khi mẫu bằng 0
có đứng một nghiệm hay phương trình
2
2 3 4 0x mx m
có nghiệm kép
2
1
3 4 0
4
m
mm
m
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 18
Như vậy học sinh chọn ngay đáp án A.
Phân tích sai lầm: Học sinh đã xét thiếu trường hợp. Nếu
mẫu có hai nghiệm phân biệt và có một nghiệm là của tử thì
đồ thị hàm số vẫn có đúng một tiệm cận đứng.
Xét thêm trường hợp
2
2 3 4 0x mx m
có nghiệm
1x 
thì ta có
5m 
.
Thử lại thì thấy
5m 
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 10.
Đồ thị hàm số
2
1
1
x
y
mx
không có tiệm cận ngang khi
và chỉ khi
A.
0m
B.
0m
C.
0m
D.
0m
Giải:
Có lẽ nhiều học sinh chọn đáp án C.
Phân tích sai lầm:
Nguyên nhân thứ nhất: Học sinh quên xét trường
hợp
0m
. Nếu
0m
thì đồ thị hàm số
1yx
cũng không có tiệm cận ngang.
Nguyên nhân thứ hai: Không hiểu rõ mệnh đề và
phủ định sai. Vì ban đầu học sinh có thể tìm m để
đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trước. Và giải tìm
được điều kiện như sau:
0m
. Phụ định lại, đồ
thị hàm số không có tiệm cận ngang khi và chỉ khi
0m
. Như vậy, đã phủ định sai mệnh đề.
Những sai lầm của học sinh đa số rơi vào xét thiếu trường
hợp. Mặt khác, cũng có nhiều học sinh cũng hay làm theo
kiểu phụ định mệnh đề và làm thông qua một bài toán mới.
Nhưng khi phủ định lại mệnh đề thì lại bị sai.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 19 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Nhắc lại kiến thức về mệnh đề phủ định, hai mệnh đề
tương đương:
“Cho mệnh đề P. Mệnh đề không phải P được gọi là mệnh đề
phủ định của P và kí hiệu
P
. Mệnh đề P và mệnh đề phủ định
P
là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu
P
đúng thì
P
sai,
nếu P sai thì
P
đúng.
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu
Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu
PQ
.
Nếu
PQ
thì
PQ
và ngược lại.
Ví dụ: cho hàm số
32
y ax bx cx d
với
0a
.
Ta có
2
32y ax bx c
có
2
3b ac
.
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
0

. Ngược lại
hàm số không có cực trị khi và chỉ khi
0

.”
Phân tích đáp án:
Ta có
2
2
1
1
11
lim lim lim
1
1
x x x
x
x
y
m
mx
xm
x
  
2
2
1
1
11
lim lim lim
1
1
x x x
x
x
y
m
mx
xm
x
  


Như vậy, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi
0m
. Phủ định lại, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
khi và chỉ khi
0m
.
Vậy chọn đáp án A.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 20
Câu 11.
Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
2
22
24
2 2 4
x mx m
y
x m x m
có đúng một đường tiệm cận và
đó là tiệm cận ngang.
A.
2m
B.
2m
C.
1
2
m
m

D.
1
2
m
m

Giải:
Với dạng toán này, học sinh nhận thấy đồ thị hàm số luôn
có một đường tiệm cận ngang. Và nói rằng để đồ thị hàm số
có đúng một tiệm cận ngang thì
22
2 2 4 0x m x m
vô nghiệm hay
2
2
2 4 0 2m m m
. Học sinh
sẽ chọn đáp án A.
Phân tích sai lầm: Học sinh đã xét thiếu trường hợp. Nếu
2
2 4 0x mx m
có hai nghiệm
12
,xx
và
22
2 2 4 0x m x m
cũng có hai nghiệm
12
,xx
thì giá
trị của m tìm được trong trường hợp này vẫn xảy ta. Hay nói
cách khác
2
1 2 4
1
22
4
mm
m
m


. Với hệ này ta giải được
1m
. Khi đó với
1m
ta có đồ thị hàm số
2
2
23
23
xx
y
xx


có tiệm cận ngang là
1y
. Do đó thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm cũng có thể là không hiểu rõ
bản chất của vấn đề.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 21 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Câu 12.
Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số
2 3 2
1
23
3
y m m x mx x
đồng biến trên .
A.
0m
B.
13m
C.
0
3
m
m

D.
0
3
m
m

Giải:
Tập xác định
D
.
Ta có
22
2 2 3y m m x mx
.
Hàm số đồng biến trên
22
2
2
2
3 2 0
2 6 0 0
3
20
20
m m m
m m m
m
mm
mm




Đến đây, học sinh sẽ chọn đáp án C.
Phân tích sai lầm: Học sinh quên xét trường hợp
2
20mm
. Đối với bài toán tìm m để hàm số đơn điệu của
hàm bậc ba, hay trùng phương. Nếu hệ số bậc cao nhất có
chứ tham số thì phải xét trường hợp hệ số đó bằng 0 trước
xem có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không? Lỗi sai này rất
hay gặp, học sinh hay quên. Như vậy, để làm đúng dạng toán
này. Trường hợp đầu tiên, ta thấy hệ số bậc cao nhất chứa
tham số thì xét trường hợp đó đầu tiên.
Lời giải đúng:
Tập xác định
D
.
Ta có
22
2 2 3y m m x mx
.
TH1: Nếu
2
0
20
2
m
mm
m

.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 22
Xét
0m
thì
30y

(nhận, hàm số đồng biến trên )
Xét
2m
thì
43yx

(loại, vì
3
0
4
yx
, không
phải đúng với mọi
x
).
Xét
2
20mm
.
Hàm số đồng biến trên
22
2
2
2
3 2 0
2 6 0 0
3
20
20
m m m
m m m
m
mm
mm




Kết hợp 2 trường hợp được đáp án D.
Câu 13.
Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị
C
. Gọi giao điểm của đồ
thị hàm số
C
với đường thẳng
:d y x m
là A, B. Tìm
tất cả các giá trị của tham số m để OAB là một tam giác
thỏa mãn
11
1
OA OB

.
A.
0
2
m
m

B.
2m
C.
0
3
m
m

D.
3m
Phân tích lời giải: Đối với dạng toán này, chắc hẳn nhiều
học sinh nghĩ đến tương giao của hai đồ thị hàm số. Như vậy,
công việc đầu tiên là phương trình hoành độ giao điểm, sau
đó thu gọn sẽ được một phương trình ẩn x tham số m. Với
bài trên thì đó chính là phương trình bậc hai ẩn x tham số m.
Chắc hẳn, nhiều bạn nghĩ đến dùng vi-et, nếu không dùng
được thì sẽ không làm được bài này và bỏ cuộc. Bài toán này
có mẹo giải là phải kết hợp với phương trình bậc hai để thu
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 23 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
gọn biểu thức. Từ đó tìm được tham số m (kết hợp với giá
thiết).
Giải:
Sai lầm thường gặp:
Phương trình hoành độ giao điểm của
C
và d
2
1
1
x
x m x
x
2
2 0, 1x mx m x
.(1)
Để
C
cắt d tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi
1
có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
khác 1.
2
2
4 2 0
4 8 0
1 2 0
mm
m m m
mm
Gọi
1 1 2 2
; , ,A x x m B x x m
.
2
2 2 2
1 1 1 1
22OA x x m x mx m
Do
1
x
là nghiệm của (1) nên
22
1 1 1 1
2 0 2 2 4 2x mx m x mx m
(đây chính là mẹo mà đã nói ở trên)
Khi đó
2
24OA m m
.
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 4OB x x m x mx m m m
Khi đó, theo giả thiết có
2
2
0
2
1 2 0
2
24
m
mm
m
mm


Đến đây học sinh so sánh với điều kiện thì sẽ chọn đáp
án A. Đây là đáp án sai. Tại sao học sinh lại sai câu này.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 24
Phân tích sai lầm: Học sinh đọc đề bài không kĩ và khi
làm ra giá trị của tham số m thì kết luận liền. Với câu này,
đánh vào khả năng đọc đề và nhận thức của học sinh. Đề bài
yêu cầu “OAB là tam giác”. Như vậy điểm O không thuộc
và đường thẳng d hay
0m
. Suy ra loại đáp án
0m
. Và
chọn B. Sai lầm của học sinh là đọc đề học kĩ, đọc lượt và giải
ra kết quả rồi quên thử lại.
Lời giải đúng:
Phương trình hoành độ giao điểm của
C
và d
2
,1
1
x
x m x
x
2
2 0, 1x mx m x
.(1)
Để
C
cắt d tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi
1
có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
khác 1.
2
2
4 2 0
4 8 0
1 2 0
mm
m m m
mm
.
Mặt khác
OAB
là tam giác nên
Od
hay
0m
.
Gọi
1 1 2 2
; , ,A x x m B x x m
.
2
2 2 2
1 1 1 1
22OA x x m x mx m
Do
1
x
là nghiệm của (1) nên
22
1 1 1 1
2 0 2 2 4 2x mx m x mx m
Khi đó
2
24OA m m
.
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 4OB x x m x mx m m m
Theo giả thiết có
2
2
0
2
1 2 0
2
24
m
mm
m
mm


Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 25 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Kết hợp điều kiện được
2m
.
Vậy chọn đáp án B.
Câu 14.
Số nghiệm của phương trình của phương trình sau
22
2
2 2 2
1
log 1 log 1 log 2
2
x x x
.
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
Giải:
Sai lầm thường gặp:
Điều kiện
2
2
2
10
1
20
12
10
x
x
x
x
x



Phương trình đã cho tương đương với
2
2
2 2 2
2
2
22
2
2
2
log 1 log 1 log 2
log 1 log 1 2
1 1 2 1 1 2
2 1 0 1 2
x x x
x x x
x x x x x x
x x x
Kết hợp điều kiện ta được
12x 
. Chọn đáp án C.
Phân tích sai lầm: Học sinh đã áp dụng công thức
log log
k
aa
b k b
một cách tự nhiên mà không để ý đến điều
kiện của b, k. Nguyên nhân sai lầm: Học sinh ngộ nhận công
thức. Trong sách giáo khoa phát biểu: “Cho
01a
,
0b
.
Khi đó
log log ,
k
aa
b k b k
”. Chính vì nguyên nhân này
mà học sinh áp dụng công thức mà không để ý đến điều kiện.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 26
Lời giải đúng:
Điều kiện
2
2
2
10
1
20
12
10
x
x
x
x
x



Phương trình đã cho tương đương với
2
2
2 2 2
2
2
22
log 1 log 1 log 2
log 1 log 1 2
x x x
x x x
2
2
1 1 2 1 1 2x x x x x x
(1)
Xét
2 0 2xx
.
Khi đó
2
1 1 1 2 2 1 0x x x x x
1 2 1 2 2x x x
.
Xét
1
12
x
x

.
Khi đó
2
1 1 1 2 3 3x x x x x
.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm.
Câu 15.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
2 3 7.zi
A. Đường thẳng
B. Elip
C. Đường tròn
D. Hình tròn
Giải:
Đây là một câu dễ, tuy nhiên lại làm cho học sinh lúng
túng trong việc chọn đáp án. Nguyên nhân chính là không
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 27 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
nắm vững kiến thức, định nghĩa về đường tròn, hình tròn.
Để phân biệt hai định nghĩa này, sau đây nhắc lại một chút
về định nghĩa đường tròn, hình tròn. Nhắc lại các khái niệm
này:
“Đường tròn: Đường tròn tâm I bán kính là
0R
là hình gồm
những điểm cách đều điểm I một khoảng bằng R. Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy, đường tròn tâm
;I a b
bán kính R có phương trình
là
22
2
x a y b R
.
Hình tròn: Hình tròn là tập hợp những điểm nằm trong và nằm
trên đường tròn hay là tập hợp những điểm cách tâm một khoảng
nhỏ hơn hoặc bằng bán kính. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình
tròn tâm
;I a b
bán kính R có phương trình là
22
2
x a y b R
.”
Giả sử
;,z x yi x y
. Khi đó,
22
2 3 7 2 3 49x y i x y
.
Như vậy, với lý thuyết này ta sẽ chọn đáp án C.
Lưu ý: Cần phân biệt rõ đường tròn và hình tròn để tránh sai
sót và mất điểm không đáng những câu như thế này.
Câu 16.
Để tìm cực trị của hàm số
53
45y x x
, một học sinh lập
luận ba bước sau:
Bước 1: Hàm số có tập xác định là
D
.
Ta có
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 28
33
0
20 1 , 0 1 0
1
x
f x x x f x x x
x


Bước 2: Đạo hàm cấp 2
2
20 4 3 .f x x x


Suy ra
0 0, 1 20 0ff
.
Bước 3: Từ các kết quả trên ta kết luận:
Hàm số không có cực trị tại điểm
0x
.
Hàm số đạt cực tiểu tại
1x
Vậy hàm số có một điểm cực tiểu và đạt tại
1x
.
Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước
nào?
A. Lời giải đúng
B. Sai ở bước 1
C. Sai ở bước 2
D. Sai ở bước 3
Giải:
Bài này cũng có nhiều học sinh làm sai. Đặc biệt đó cũng
là cách làm của một số học sinh và cho rằng bài toán này hoàn
toàn đúng và chọn đáp án A.
Phân tích sai lầm: Sai lầm về mặt luận cứ: Do áp dụng
sai định lý. Tức là học sinh đã ngộ nhận định lý sau có hai
chiều:
“Giả sử tồn tại khoảng
;ab
chứa điểm
0
x
sao cho
;ab
chứa
trong tập xác định của hàm số
y f x
. Hàm số
y f x
có đạo
hàm cấp một trên
;ab
và có đạo hàm cấp hai tại
0
x
. Khi đó
- Nếu
0
0fx
và
0
0fx

thì
0
x
là điểm cực tiểu của
hàm số
fx
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 29 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
- Nếu
0
0fx
và
0
0fx

thì
0
x
là điểm cực đại của hàm
số
fx
”.
Như vậy, với định lý này chỉ đúng khi
0
0fx

. Còn
0
0fx

thì không thể kết luận được
0
x
có phải là điểm cực
trị hay không mà phải lập bảng biến thiên.
Câu 17. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Đề minh họa
THPT Quốc gia – lần 1
Cho hàm số
y f x
xác định, liên tục trên và có bảng
biến thiên:
x

0 1

y
+ || - 0 +
y
0


1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có đúng một điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và nhỏ nhất bằng
1
D. Hàm số đạt cực đại tại
0x
và đạt cực tiểu tại
1x
.
Giải:
Với câu này, chắc không hẳn nhiều học sinh sẽ chọn đáp
án A. Học sinh sẽ loại dần đáp án B, C, D và cuối cùng chọn
đáp án A.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 30
Phân tích sai lầm: Học sinh nhìn vào bảng biến thiên,
thấy tại
0x
,
y
không xác định. Mặc định cho rằng hàm số
sẽ không đạt cực trị tại điểm đó. Tại điểm
1x
,
10y
nên
hàm số đạt cực trị tại
1x
. Từ đó loại đi đáp án D. Chọn
ngay đáp án A. Đề không nhầm lẫn, cần nhớ nhanh như sau:
“
y f x
đạt cực trị tại
0
x
fx
đổi dấu tại
0
x
”
Phân tích từng câu:
A sai vì hàm số có hai điểm cực trị.
B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng
1
khi
1x
.
C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
trên .
Câu 18.
Tìm tham số m để hàm số
cot 1
cot 1
x
y
mx
đồng biến trên
khoảng
;
42




?
A.
1m
B.
0
01
m
m


C.
1m
D.
0m
Giải:
Sai lầm đầu tiên ở câu 5. Bây giờ, giả sử học sinh biết đổi
biến đúng.
Sai lầm thường gặp
Đặt
cot , 0;1t x t
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 31 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số
1
1
t
y
mt
nghịch biến trên
0;1
.
Ta có
2
1
1
m
y
mt
Hàm số nghịch biến trên
0;1
khi và chỉ khi
1
10
01
0, 0;1
0
1
0
0;1
01
m
m
m
yt
m
m
m
m





.
Chọn đáp án B.
Phân tích sai lầm: Xét thiếu trường hợp
0m
. Khi đặt
điều kiện cho mẫu, nghĩa là
10mt 
mà học sinh tương
đương với
1
t
m
mà chưa biết m đã khác 0 hay chưa?
Cách giải đúng (Ở phía sau).
Câu 19. Đề minh họa THPT Quốc gia – Lần 2
Cho hàm số
y f x
xác định và
liên tục trên đoạn
2;2

và có đồ
thị là đường cong như hình vẽ. Hàm
số đạt cực đại tại điểm nào dưới
đây?
A.
2x 
B.
1x 
C.
1x
D.
2x
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 32
Phân tích sai lầm: Học sinh nhìn vào đồ thị thấy hàm số
đạt cực đại tại đỉnh của đồ thị hàm số. Nhưng lại chiếu qua
trục tung và nói hàm số đạt cực đại tại
2x
, trong khi đó, ta
phải chiếu xuống trục hoành được
1x 
. Những câu cho
điểm trong đề thi THPT Quốc gia, học sinh cần phải thận
trong, đừng hấp tấp như câu này dẫn đến mất điểm.
Câu 20. Đề minh họa THPT Quốc gia – Lần 2
Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
2 1 3
56
x x x
y
xx

A.
3x 
và
2x 
B.
3x 
C.
3x
và
2x
D.
3x
Giải:
Sai lầm thường gặp:
Tập xác định
\ 2;3D
.
Học sinh kết luận ngay, đồ thị hàm số có hai tiệm cận
đứng là
2x
và
3x
. Chọn đáp án C.
Phân tích sai lầm: Học sinh ngộ nhận các nghiệm của
mẫu bằng 0 đều là các tiệm cận đứng mà không hiểu đến
định nghĩa của tiệm cận đứng. Hay học sinh ám ảnh cái câu:
“Muốn tìm tiệm cận đứng, ta giải phương trình mẫu bằng 0 và
ngộ nhận luôn như vậy mà không kiểm tra lại”. Nhắc lại định
nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y f x
:
“Đường thẳng
xa
được gọi là đường tiệm cận đứng (tiệm
cận đứng) của đồ thị hàm số
y f x
nếu thỏa mãn một trong các
điều kiện sau:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 33 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
(1)
lim
xa
y
(2)
lim
xa
y
(3)
lim
xa
y
(4)
lim
xa
y
”
Như vậy, khi giải phương trình mẫu bằng 0, ta cần kiểm
tra lại xem nó có đúng là tiệm cận đứng hay không bằng định
nghĩa đã nói trên.
Câu 21.
Cho hàm số
y f x
có bảng biến thiên như sau:
X

1
0 1

y
+ 0
+ 0
Y
2

1
3
1
2
Hàm số có bao điểm cực trị?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Giải:
Với câu này, nhiều học sinh chọn các đáp án A, B, C.
Phân tích sai lầm:
Sai lầm thứ nhất, học sinh chọn đáp án A vì nghĩ hàm số
đạt cực đại tại hai điểm
1x 
nên xem nó là một cực trị và
chọn đáp án A.
Sai lầm thứ hai, học sinh chọn đáp án C vì thấy
y
đổi dấu
qua
0x
thì hàm số đạt cực trị tại
0x
và có thêm 2 cực trị
khác là
1x 
. Nhắc lại định nghĩa điểm cực trị:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 34
“Cho hàm số
y f x
xác định và liên tục trên khoảng và
điểm
0
x
.
Nếu tồn tại số
0h
sao cho
0
f x f x
với mọi
00
;x x h x h
và
0
xx
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
0
x
.
Nếu tồn tại số
0h
sao cho
0
f x f x
với mọi
00
;x x h x h
và
0
xx
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
0
x
.”
Như vậy, với định nghĩa trên thì hàm số
y f x
phải
xác định và liên tục tại điểm
0
x
. Khi nhìn vào bảng biến thiên
thì thấy
0x
là điểm làm cho hàm số không xác định và
cũng không liên tục. Vậy
0x
không phải là điểm cực trị
của hàm số
y f x
.
Hàm số chỉ có hai điểm cực trị là
1x 
. Chọn B.
Câu 22.
Cho hàm số
2
1
1
x
y
x
. Đồ thị hàm số có tổng cộng bao
nhiên tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Giải:
Học sinh 1.
Ta có
2
1 0 1xx
.
Với
1x 
thì
2
1 1 1
11
1
1. 1
xx
y
xx
x
xx



.
Kết luận đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng
1x 
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 35 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Do bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên đồ thị hàm số có một tiệm
cận ngang là
0y
. Vậy đồ thị có tổng cộng ba tiệm cận đứng
và tiệm cận ngang. Chọn C.
Học sinh 2
Điều kiện xác định
1x
. Khi đó,
11
11
11
x
y
xx
xx



.
Hàm số suy biến tại
1x
nên không có tiệm cận đứng
1x
. Do
1x 
không thuộc tập xác định nên
1x 
không
phải là tiệm cận đứng.
Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên có tiệm cận ngang là
0y
.
Chọn A.
Phân tích sai lầm:
Với cách giải của học sinh 1, sai lầm ở chỗ, học sinh 1 quên
đặt điều kiện xác định để hàm số có nghĩa. Chính vì vậy, học
sinh đã không trả lời được đường thẳng
1x 
có phải là
tiệm cận đứng hay không? Như vậy, nếu đặt điều kiện xác
định cho hàm số thì sẽ kiểm tra được rằng giới hạn (từ định
nghĩa tiệm cận đứng) có tồn tại hay không?
Với cách giải của học sinh thứ 2, học sinh dùng máy tính
để tính giới hạn của hàm số khi
x
tiến về
1
. Khi bấm máy
tính, chẳng hạn nhập
1,0000001x
(ở đây không nhập
0,99999x
điều kiện xác định của hàm số là
1x
nên chỉ
tồn tại
1x
) thì thấy giá trị của y chỉ là một con số không
đủ lớn để học sinh có thể kết luận rằng
y 
. Do đó học
sinh loại đi đường thẳng
1x
không phải là tiệm cận đứng.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 36
Dẫn đến chọn đáp án A. Chắc hẳn cũng có học sinh bấm
0,99999x
để kiểm tra.
Lời giải đúng
Tập xác định
1;D 
.
2
1
11
11
lim lim lim
1
11
x
xx
x
y
x
xx





.
Suy ra
1x
là tiệm cận đứng.
2
1
lim lim 0
1
xx
x
y
x
 

. Suy ra
0y
là tiệm cận ngang.
Câu 23. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Toán Học và
Tuổi trẻ - Lần 8
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số
22
1
x x m
y
x

đạt cực đại tại điểm
1x
là:
A.
B.
C.
2
D.
2
Giải:
Tập xác định
\1D
.
Ta có
2
1
m
yx
x

,
2
2
1
1
m
y
x

.
Hàm số đạt cực đại tại
1x
2
1 0 1 0 2
4
m
ym
.
Đến đây, nhiều học sinh chọn ngay đáp án D.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 37 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm: Sai về mặt lập lập luận: “Hàm số đạt
cực trị tại
0
xx
thì
0
fx
”. Ở đây, chỉ có chiều suy ra không
có chiều ngược lại. Do đó ở bước lí luận phải dùng dấu suy
ra. Sau khi giải xong thì thử lại xem có thỏa mãn hay không?
Sửa lại: Hàm số đạt cực đại tại
1x
2
1 0 1 0 2
4
m
ym
. Bây giờ, thử lại
Với
2m 
, ta có
2
4
1
1
y
x

. Dùng máy tính casio
kiểm tra xem
1x
có phải là điểm cực đại.
Nhập
2
1
4
1
1
x
d
dx
x




. Nếu lớn hơn 0 thì loại, nhỏ hơn
không thì nhận.
Với
2m 
thì loại. Học sinh lại chọn đáp án C.
Phân tích sai lầm: Học sinh thường hay nghĩ rằng, bài
toán tìm tham số m luôn luôn tồn tại giá trị m, khi có hai giá
trị như trên. Nếu cái này không tồn tại thì giá trị còn lại tồn
tại. Cứ như thế, không chịu kiểm tra hết lại các giá trị.
Với
2m
,
2
4
1
1
y
x

, giống với trường hợp
2m 
Như vậy, với
2m
cũng không thỏa mãn.
Đến đây thì học sinh lại phân vân không biết chọn đáp án
nào? A hay B? Học sinh thấy các đáp án C, D đều có ngoặc
nhọn nên nghĩ đáp án đúng là
. Vậy chọn B.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 38
Phân tích sai lầm: Học sinh không phân biệt được rõ tập
hợp. Ở đây, tập hợp các giá trị của m là tập rỗng và kí hiệu là
nên không chọn đáp án A. Còn đáp án B, kí hiệu
là
tập hợp chứa phân tử rỗng.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 39 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
PHẦN 2: TỔNG HỢP CÂU HỎI NÂNG CAO
Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI
TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1.
Tìm tham số m để hàm số
2cos 3
2cos
x
y
xm
nghịch biến trên
khoảng
0;
3



?
A.
3m 
B.
3
2
m
m
C.
3m 
D.
31
2
m
m
Giải:
Cách 1: Hàm số xác định khi
cos
2
m
x
.
2
2
2sin 2cos 2cos 3 2sin
2cos
2 3 sin
2cos
x x m x x
y
xm
mx
xm
Để hàm số nghịch biến trên
0;
3



khi và chỉ khi
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 40
0, 0;
3
yx



3m 
(do
3m 
nên
2cos 0xm
vô nghiệm)
Cách 2: Đặt
1
cos , ;1
2
t x t




. Khi đó bài toán trở thành
tìm m để hàm số
23
2
t
y
tm
đồng biến trên
1
;1
2



.
Ta có
2
23
2
m
y
tm

Hàm số đồng biến trên
1
;1
2



khi và chỉ khi
3
1
0, ;1 3
1
;1
2
22
m
y t m
m






Câu 2. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 2
Tìm tham số m để hàm số
cot 1
cot 1
x
y
mx
đồng biến trên
khoảng
;
42




?
A.
1m
B.
0
01
m
m


C.
1m
D.
0m
Giải:
Cách 1: Ta có:
2
2
1 cot 1
cot 1
xm
y
mx

Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 41 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Hàm số đồng biến trên
;
42




khi và chỉ khi
cot 1 0, ;
0, ;
42
42
10
m x x
yx
m









tan , ; (1)
42
1
m x x
m




Giải điều kiện (1). Xét hàm số
tan , ;
42
f x x x




.
Dễ thấy hàm f đồng biến trên khoảng
;
42




nên điều
kiện (1) tương đương với
1
4
mf




. Vậy
1m
.
Cách 2: Đặt
cot , 0;1t x t
. Khi đó bài toán trở thành
tìm m để hàm số
1
1
t
y
mt
nghịch biến trên
0;1
.
TH1: Nếu
0m
thì
1yt
, hiển nhiên nghịch biến trên
khoảng
0;1 .
TH2: Nếu
0m
Ta có
2
1
1
m
y
mt
Hàm số nghịch biến trên
0;1
khi và chỉ khi
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 42
1
10
01
0, 0;1
0
1
0
0;1
01
m
m
m
yt
m
m
m
m





.
Vậy
1m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3.
Biết các hàm số
y f x
và
2
5
1
fx
y
fx
đồng biến trên
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1 3 2
1 3 2
fx
fx
B.
5 26
5 26
fx
fx
C.
5 26 5 26fx
D.
1 3 2 1 3 2fx
Phân tích lời giải: Đây là dạng toán tìm mệnh đề đúng.
Thông thường các câu hỏi khác, chúng ta đi phân tích từng
mệnh đề xem mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai. Đối với
bài này thì khác, chúng ta không thể loại đáp án trực tiếp từ
các đáp án được mà phải biến đổi trực tiếp từ các hàm đã
cho. Sau đó áp dụng giả thiết để có điều cần mong muốn.
Chúng ta đã có công cụ đạo hàm để để giải các bài toán hàm
số đồng biến, nghịch biến mà không cần dùng đến định
nghĩa nữa. Như vậy,
Bước 1: Tính
fx
và
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 43 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
2
22
2
10 1
5
...
1
1
f x f x f x
fx
y
fx
fx








Bước 2: Do hàm số
y f x
và
2
5
1
fx
y
fx
đồng biến
nên có được điều gì?
Bước 3: Giải điều đó sẽ biết được mệnh đề nào đúng,
mệnh đề nào sai.
Giải:
Ta có
2
2
2
1 2 5
1
f x f x f x f x f x
y
fx







2
2
2
10 1
1
f x f x f x
y
fx





Để hai hàm số cùng đồng biến trên thì
2
10 1 0 5 26 5 26f x f x f x
Lưu ý: Thuật toán dạng này, còn được áp dụng cho những bài
sau nữa, mời bạn đọc.
Câu 4. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 1
Dynano là một nhà ảo thuật gia đại tài người Anh nhưng
người ta thường nói Dynano làm ma thuật chứ không phải
làm ảo thuật. Bất kì màn trình diễn nào của anh chàng trẻ
tuổi tài cao này đều khiến người xem há hốc miệng kinh
ngạc vì nó vượt qua giới hạn của khoa học. Một lần đến
NewYork anh ngẫu hứng trình diễn khả năng bay lơ lửng
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 44
trong không trung của mình bằng cách di chuyển từ tòa
nhà này đến toàn nhà khác và trong quá trình di chuyển
đấy có một lần anh đáp đất tại một điểm trong khoảng
cách giữa hai tòa nhà (biết mọi di chuyển của anh đều là
đường thẳng). Biết tòa nhà ban đầu Dynano đứng có chiều
cao là a (m), tòa nhà sau đó Dynano đến có chiều cao là b
(m)
ab
và khoảng cách giữa hai tòa nhà là c (m).Vị trí
đáp đất cách cách tòa nhà thứ nhất một đoạn là x (m). Hỏi
x bằng bao nhiêu để quãng đường di chuyển của Dynano
là bé nhất.
A.
3ac
x
ab
B.
3
ac
x
ab
C.
ac
x
ab
D.
2
ac
x
ab
Giải:
Giả sử có mô hình bài toán như trên,
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 45 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Cách 1: Dùng kiến thức “Ứng dụng giá trị lớn nhất – giá
trị nhỏ nhất của hàm số”. Như vậy, ứng với cách này ta cần
phải xác định được một hàm số và tập xác định của nó.
; ; ;AB c AC a BD b AM x
Khi đó
2
2 2 2 2 2 2
;2CM a x MD b c x x cx b c
Khi đó ta có
2 2 2 2 2
2T MC MD x a x cx b c
Với
0 xc
, xét hàm số
2 2 2 2 2
2T x x a x cx b c
.
2 2 2 2 2
2
x x c
Tx
x a x cx b c

.
2 2 2 2 2
00
2
x x c
Tx
x a x cx b c
2 2 2 2 2
2x x cx b c c x x a
22
2 2 2 2
x x c b c x x a
2
2 2 2
ac
b x a x c bx a c x x
ab
Lập bảng biến thiên ta có ngay
min
ac
T x x
ab

.
Cách 2: Dùng kiến thức hình học đề giải.
Gọi
D
là điểm đối xứng của
D
qua AB.
Khi đó
MC MD MC MD CD

.
Do đó
min
MC MD CD

.
Dấu “=” xảy ra khi
M CD
.
Khi đó, áp dụng định lý Thales, ta có
x a ac
x
c x b a b

Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 46
Câu 5. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 1
Cho các hàm số
3
,,
1
fx
y f x y g x y
gx
. Hệ số góc
của các tiếp tuyến của các đồ thị các hàm số đã cho tại
điểm có hoành độ
1x
bằng nhau và khác 0. Khẳng định
nào dưới đây là khẳng định đúng.
A.
11
1
4
f 
B.
11
1
4
f 
C.
11
1
4
f 
D.
11
1
4
f 
Giải:
Phân tích lời giải: Xuất phát từ giả thiết: “Cho các hàm
số và hệ số góc của các tiếp tuyến của các đồ thị các hàm số
đã cho tại điểm có hoành độ
1x
. Như vậy, chúng ta cần
phải nhớ hệ số góc tiếp tuyến của một đường cong tại điểm
00
,M x y
chính là đạo hàm của hàm số tại điểm
0
x
. Không
còn các nào khác là phải làm bước này đầu tiên và theo giả
thiết thì ba hệ só góc này bằng nhau nên ta có:
2
1 1 1 1 1 3
11
11
f g g f
fg
g





Do
1 1 0fg


nên điều trên tương đương với:
2
2
1 1 2
1 1 1 1 1 2
11
gf
g g f
g





Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 47 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Ở các đáp án, thấy bất đẳng thức đều chứa
1f
không
hề có
1g
. Chứng tỏ rằng, ta phải đánh giá
1f
thông
1g
.
2
2
1 11 11
1 1 1 3 1
2 4 4
f g g g



Như vậy, chọn ngay được đáp án A.
Lưu ý: Học sinh cần phải nhớ làm sao để đưa tam thức bậc hai
về dạng
2
0
a x x b
để dễ dàng đánh giá bất đẳng thức. Ngoài
ra, nếu nhớ đến hàm số parabol
2
y ax bx c
thì ta có thể làm
nhanh như sau:
Nếu
0a
thì hàm số đạt GTNN là
4a
khi
2
b
x
a

Nếu
0a
thì hàm số đạt GTLN là
4a
khi
2
b
x
a

Câu 6. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Toán học và Tuổi
trẻ - Lần 8
Cho hàm số

42
2y x x
. Gọi
là đường thẳng đi qua
điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho và có hệ số góc là
m. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho tổng
khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho
đến
nhỏ nhất là:
A. 0
B.
1
2
C.
D.
1
Phân tích đề bài: Khi đọc đề xuất hiện các điểm cực tiểu
và cực đại thì giải liền phương trình y’=0 (do đây là hàm
trùng phương). Kết hợp với hình dáng đồ thị để xác định
nhanh điểm cực tiểu và cực đại. Sau đó nhớ tới khoảng cách
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 48
từ một điểm tới một đường trong mặt phặng hệ trục tọa độ
Oxy. Kết hợp với một số bất đẳng thức đã học trong phổ
thông kết hợp để giải.
Giải:
Ta có
3
' 4 4y x x
0 0 0;0
' 0 1 1 1; 1
1 1 1; 1
x y A
y x y B
x y C
Do
10a 
nên ta nhận thấy A là điểm cực đại và điểm
B, C là điểm cực tiểu.
Gọi
là đường thẳng qua điểm cực đại và có hệ số góc
m là
:0y mx
Gọi
12
,dd
lần lượt là khoảng cách từ điểm B và C tới
Ta có:
22
12
22
22
11
( 1) ( 1)
11
11
mm
mm
dd
mm
mm




12
22
22
1 1 2
11
mm
dd
mm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 4
1 1 0 1 0
1 1 ( 1)
4 ( 1) 1 1
m m m
m m m
m m m m
Vậy chọn đáp án D.
Một cách khác:
Từ
12
d d d
, bình phương hai vế được:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 49 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
22
22
2
2 2 2 2
2 1 2 1
11
22
1 1 1 1
mm
mm
d
m m m m


Do
2
10m 
nên
2
2d
hay
2d
.
Và cũng có được dấu “=” xảy ra khi
2
1 0 1mm
.
Lưu ý: Ngoài ra còn một cách khác nữa: dùng khảo sát
hàm số để giải. Như vậy, một bài có nhiều cách giải. Vì vậy,
độc giả đọc sách cần lưu ý điều này, để có thể có lựa chọn
cách phù hợp cho việc giải toán của mình. Tuy nhiên với bài
trên, tác giả không có nhiều thời gian để tìm hiểu nhiều cách
giải khác nhau.
Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng
Cho x, y là các số thực thỏa mãn
1 2 2x y x y
.
Gọi M, m là lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
22
2 1 1 8 4P x y x y x y
.
Tính giá trị biểu thức
Mm
A. 44
B. 41
C. 43
D. 42
Giải:
Ta có
22
2
2 2 2 8 4
2 8 4 2
P x y xy x y x y
x y x y x y
Đặt
t x y
. Khi đó
2
2 8 4P t t t
.
Mặt khác ta có
1 2. 1 3. 3t x y x y x y t
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 50
Do đó
2
0
0
3 4 0 3
4 0 3
t
t
t t t t
tt




Xét hàm số
2
2 8 4 2, 0;3f t t t t t

.
4
22
4
f t t
t
;
2
0 1 0 1 4 2
4
f t t t t
t
2
32
1 4 4 2 7 0 0t t t t t t
.
Ta có
0 18, 25ff
. Vậy
25, 28Mm
và
43Mm
Câu 8.
Cho hàm số
32
3 3 3f x x ax x
có đồ thị
C
và
32
3 9 5g x x bx x
có đồ thị
H
, với a, b là các tham
số thực. Đồ thị
C
,
H
có chung ít nhất 1 điểm cực trị.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2P a b
A.
21
B.
2 6 6
C.
3 5 3
D.
26
Phân tích đề toán: Phương trình
' 0, ' 0f x g x
có ít
nhất một nghiệm chung. Do phương trình
0,fx
0gx
bậc hai nên nếu có hai nghiệm trùng nhau thì
f x kg x

với
,0kk
điều này là vô lý vì hệ số tự
do trong phương trình
0, 0f x g x


không tỉ lệ với
nhau. Vậy cho hai phương trình
0, 0f x g x


trừ nhau
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 51 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
giải ra được nghiệm sau đó sử dụng công thức nghiệm ở
từng phương trình, sau đó tìm được liên hệ a,b thay vào P.
Giải
Ta có:
2
2
' 3 6 3 0 1
1
66
' 3 6 9 0
f x x ax
x a b x
ab
g x x bx
Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình (1)
2
2
6 36 36
1
6
aa
x a a
TH1:
2
1x a a
Ta có
22
2
11
1 2 1
1
a a b a a a
ab
aa

Từ đó
22
2 4 2 1 ; 5 2 1P a b a a a P a a
Xét
2
2
2
5 2 1; 5
1
a
f a a a f a
a
2
25
0 5 1 2
21
f a a a a
25
21 21
21
fP




Tương tự với trường hợp 2 cũng sẽ ra
21P
Chọn câu A.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 52
Câu 9.
Gọi S là tập hợp tất các các giá trị thực của tham số m đề
đồ thị hàm số
3 2 2
1
1
3
y x mx m x
có hai điểm cực trị
A, B sao cho nằm khác phía và các đều đường thẳng
59yx
. Tính tổng các phần tử của S.
A. 6
B. 3
C.
6
D. 0
Phân tích lời giải: Đây là hàm số bậc ba nên nếu hàm số
có hai điểm cực trị thì hai điểm cực trị đó sẽ đối xứng qua
tâm của đồ thị hàm số, hay nói cách khác, hai điểm cực trị đó
sẽ đối xứng qua điểm uốn của đồ thị hàm số. Như vậy, để đồ
thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về khác phía so với đường
thẳng thì trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị.
Hay nói cách khác, yêu cầu bài toán chính là tìm tất cả các
giá trị của tham số m để điểm uốn thuộc và đường thẳng
: 5 9d y x
.
Giải:
Ta có
22
21y x mx m
.
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
m
.
2 2 ; 0y x m y x m
.
Suy ra điểm uốn
3
;
3
m
I m m



.
3
3
5 9 18 9 0
3
m
I d m m m m
2
1
23
3
3 3 9 0
3
m
m m m
mm
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 53 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Vậy
1 2 3
0m m m
. Chọn D.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 54
Chuyên đề 2: MŨ – LOGARIT
Câu 1. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Lương Thế Vinh – Hà Nội
Cho
11f
;
f m n f m f n mn
,
,*mn
.
Giá trị của biểu thức
96 69 241
log
2
ff
T

là:
A. 4
B. 3
C. 6
D. 9
Giải:
Cho
1m
, ta có
1 1 1f n f n f n f n n
.
Với
1n
, ta có
2 1 2ff
Với
2n
, ta có
3 2 3ff
…
Với
nk
thì
11f k f k k
Cộng vế theo vế ta được
2 ... 1 2 ... 1 2 ... 1f f k f f f k k
Suy ra
1
1 2 ... 1 2 ...
2
kk
f k f k k
.
Vậy hàm cần tìm là
1
2
nn
fn
.
Ta có
96.97
96 4656
2
f 
;
69.70
69 2415
2
f 
.
Suy ra
4656 2415 241
log log1000 3
2
T

.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 55 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Câu 2. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Hàm Rồng
Cho hàm số
4
42
x
x
fx
. Hãy tính giá trị biểu thức sau:
2 2 2
2 1008
sin sin ... sin
2016 2016 2016
P f f f
A.
1007
2
B.
3025
6
C.
1511
3
D. 504
Giải:
Nhận xét: Nếu
1ab
thì
1f a f b
. Thật vậy,
1
1
4 4 4 4
4 2 4 2 4 2 4 2
a b a b
a b a b
f a f b
4 4 4 2
1
4 2 4 2.4 4 2
aa
a a a
.
Ta có
2 2 2 2
1007
sin sin sin cos 1
2016 2016 2016 2016
.
Suy ra
22
1007
sin sin 1
2016 2016
ff


.
Tương tự ta có
22
2 1006
sin sin 1
2016 2016
ff


…
22
503 505
sin sin 1
2016 2016
ff


Sau khi ta nhóm theo cặp xong thì còn
2 2 2 2
504 1008
sin sin sin sin
2016 2016 4 2
f f f f
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 56
1
2
1
2
1 4 4 7
1
2 4 2 6
42
ff



Vậy
7 3025
503
66
P
Câu 2.
Cho hàm số
2
2
log
log 1
x
fx
x
. Tính tổng
100 99 2 0 1 98
2 2 ... 2 2 2 ... 2S f f f f f f
A.
99S
B.
100S
C.
200S
D.
198S
Giải:
Với dạng toán này, ta cần ghép các hai giá trị với nhau và
tìm ra quy luật của bài toán.
22
22
2 2 2 2
22
2 2 2 2
2 2 2 2
log log
log 1 log 1
log log 1 log log 1
log 1 log 1
2log log log log
log log log log 1
ab
f a f b
ab
a b b a
ab
a b a b
a b a b




Như vậy, ta cần chọn a, b sao cho tử rút gọn được mẫu.
Đối với câu 2, ta đã chọn tổng
a b k
. Tại sao lại như vậy?
Vì
.
m n m n
a a a
. Còn đối với bài này thì chọn
ab k
vì
log log log
a a a
bc b c
(biểu thức đã cho có nghĩa).
Nếu
1
4
ab
thì
2 2 2 2
1
log log log log 2
4
a b ab
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 57 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Suy ra
22
22
2log log 2
2
log log 1
ab
f a f b
ab
.
Với bài trên thì sẽ ghép
100 98
22ff
vì
100 98 2
1
2 .2 2
4


.
Khi đó
100 98 99 97
20
99 2
2 2 2 2 ...
... 2 2 2 2 ... 2 198
so
S f f f f
ff



Câu 4.
Xét các số thực a, b thỏa mãn
1ab
. Biết rằng biểu thức
1
log
log
a
ab
a
P
ab

đạt giá trị lớn nhất khi
k
ba
. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A.
2;3k
B.
3
;2
2
k



C.
1;0k 
D.
3
0;
2
k



Phân tích lời giải: Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức logarit. Như vậy, ta cố gắng biến đổi sao cho về
log
x
y
và sau đó đổi biến, đưa về biểu thức không chứa
logarit. Thông thường thì sẽ là một biểu thức một ẩn và sẽ
dẫn đến xét hàm hoặc dùng những bất đẳng thức cơ bản như
bất đẳng thức Cauchy hai số, ba số; bất đẳng thức Cauchy –
Schwarz, bất đẳng thức Bunhiacopxki...
Giải:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 58
Ta có
1
log log 1 log
log
1 log 1 log
a a a
ab
aa
a
P ab b
ab
bb
Đặt
log
a
tb
. Khi đó
11P t t
.
Do
1ab
nên
log 1
a
b
hay
1t
.
Xét hàm số
1 1 , 1f t t t t
;
1 2 1 1
1
2 1 2 1
t
ft
tt


.
3
0 2 1 1 0
4
f t t t
.
Lập bảng thiến ta được
93
max
44
Pt
3
4
3
log
4
a
b b a
. Chọn D.
Câu 5. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Nguyễn Đăng Đạo – Lần 2
Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình
2
2
2
2
22
log 3 3
32
xx
xx
xx


.
Tính giá trị biểu thức
22
12
T x x
.
A.
15T
B.
13T
C.
25
4
T
D.
33
4
T
Phân tích lời giải: Đây là phương trình vừa có biểu thức
logarit vừa có đa thức. Phương pháp giải có thể là đánh giá,
hàm số để giải. Gần đây, phương pháp sử dụng đơn điệu của
hàm số rất ưa chuộng.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 59 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Nhắc lí thuyết “phương pháp hàm số đề giải phương
trình, bất phương trình và hệ phương trình”:
“Định lý 1: Nếu hàm số
fx
liên tục và đơn điệu trên D thì
phương trình
0fx
có nhiều nhất một nghiệm thuộc D.
Định lý 2: Nếu
fx
liên tục, đồng biến trên D;
gx
liên
tục, nghịch biến (hoặc hàm hằng) trên D và ngược lại thì phương
trình
f x g x
có nhiều nhất một nghiệm thuộc D.
Định lý 3: Nếu
0fx
có một nghiệm trên
;ab
thì
phương trình
0fx
có nhiều nhất hai nghiệm trên
;ab
. Tổng
quát nếu
0
n
fx
có n nghiệm phân biệt trên
;ab
thì
1n
fx
có nhiều nhất
1n
nghiệm trên
;ab
.
Định lý 4: Nếu
fx
đồng biến trên
;ab
thì
f u f v u v
. Ngược lại, nếu
fx
nghịch biến trên
;ab
thì
f u f v u v
với mọi
,;u v a b
.
Định lý 5: Nếu
fx
liên tục và đơn điệu trên D thì
,,f u f v u v u v D
.”
Khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương
trình, điều kiện rất quan trọng. Như vậy, ưu tiên đầu tiên là
đặt điều kiện xác định. Nếu không sau khi giải ra sẽ không
biết nghiệm nào nhận, nghiệm nào loại.
Giải:
Điều kiện
x
.
Phương trình tương đương với
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 60
2 2 2
22
22
2
22
2
22
log 2 2 log 3 2 3 3
log 2 2 2 2 2 2
log 3 2 3 2
2 2 2 3 2 1
x x x x x x
x x x x
x x x x
f x x f x x
Xét hàm số
2
logf t t t
,
0t
. Nhận thấy hàm số này
đồng biến trên
0;
. Khi đó
22
2
1 2 2 2 3 2
3 17
3 2 0
2
x x x x
x x x
Vậy
22
12
13T x x
.
Câu 6. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Sở Giáo Dục và
Đạo tạo Hà Nội
Cho hàm số
22
11
1
1
x
x
f x e

. Biết rằng
1 . 2 . 3 ... 2017
m
n
f f f f e
với m, n là các số tự nhiên
và
m
n
tối giản. Tính
2
mn
.
A.
2
2018mn
B.
2
2018 mn
C.
2
1mn
D.
2
1 mn
Phân tích lời giải: Trong đề toán dữ kiện quan trọng cần
xoáy vào là hàm số ban đầu. Tập trung rút gọn số mũ để xuất
hiện được điều gì đó mới mẻ hơn.
Phân tích mũ của hàm số:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 61 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
4 3 2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
4 3 2
22
22
2
1 1 2 2 1
1
1
1
2 3 2 1 1
1
1
11
1
1
x x x x x x
x
x
xx
xx
x x x x
xx
x x x x
xx









Suy ra
22
11
1
11
1
1
1
x
x
xx
f x e e



Do đó
1 1 1 1 1 1
11
1 1 1
1
2 3 3 4 2017 2018
12
2
2
1 . 2 . 3 ... 2017 . . ...
1 2018 1
2018 1
2018 2018
m
n
f f f f e e e e e
mm
mn
nn


Chọn đáp án D
Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- THPT Kim Liên-
Hà Nội lần 2
Cho ba số thực
1
, , ,1
4



a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
1 1 1
log log log .
4 4 4
a b c
P b c a
A.
3
B.
6
C.
33
D.
1
Phân tích lời giải: Cần chú ý vào khoảng mà ba số thực
nằm trong đó và có bất đẳng thức phụ
2
1
4
aa
.
Giải:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 62
Ta có: Vì
1
, , ,1
4



a b c
nên
22
11
log log 2log
44
a a a
b b b b b



Tương tự sẽ được
11
log 2log ;log 2log
44
b b c c
c c a a
Từ đó
3
2 log log log 2.3 log log log 6
a b c a b c
P b c c b c a
Dấu bằng xảy ra khi
1
2
a b c
. Vậy chọn đáp án B.
Câu 8. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Sở Giáo dục &
Đào tạo Vũng Tàu
Cho hai số thực
,ab
thỏa mãn
0,0 2ab
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2
2
22
2
2
a
aa
a
aa
b
b
P
b
b

.
A.
9
4
B.
7
4
C.
13
4
D.
4
Giải:
Ta có:
2
2
12
.1
2
2
1
a
a
a
b
P
b
a













Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 63 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Đặt
2
a
t
b



. Khi đó
2
1
2
1
tt
P
t
.
Do
02b
nên
22
11
a
bb



.
Xét hàm số
2
1, 1
2
1
tt
f t t
t
.
2
11
, 0 3
2
1
t
f t f t t
t

.
Vậy
min
13
3
4
Pf
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 64
Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Câu 1.
Cho hàm số
y f x
liên tục trên và
1
0
9f x dx
và
9
1
2f x dx
. Tính giá trị biểu thức
3
0
3
3
x
f f x dx






.
A.
92
3
B.
4
C. 9
D.
9
Giải:
Dễ thấy
9 1 9
0 0 1
9 2 11f x dx f x dx f x dx
.
Nhận xét như sau:
...
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du
Ta có
3 3 3
12
0 0 0
33
33
xx
I f f x dx f dx f x dx I I



Tính
1
I
:
Đặt
3
3
x
t dx dt
. Đổi cận
0 0; 3 1x t x t
.
Khi đó
1
1
0
3 27I f t dt
.
Tính
2
:I
Đặt
3
3
dt
t x dx
, đổi cận
0 0; 3 9x t x t
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 65 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Khi đó
9
2
0
1 11
33
I f t dt
. Vậy
92
3
I
Câu 2.
Cho hàm số
fx
thỏa mãn
4
0
4f x dx
,
3
2
2f x dx
.
Khi đó giá trị của tổng
24
03
f x dx f x dx

bằng
A. 2
B. 4
C.
2
D. 6
Giải:
Phân tích lời giải: Nhìn thấy ở đề bài và yêu cầu của bài
toán thì thấy có các cận , 0, 2, 3, 4. Như vậy, nghĩ đến công
thức chèn cận
b c d b
a a c d
f x dx f x dx f x dx f x dx
. Ở
đây, ta chèn bao nhiêu cận cũng được, tùy vào bài toán.
Ta có
4 2 3 4
0 0 2 3
f x dx f x dx f x dx f x dx
Suy ra
2 4 4 3
0 3 0 2
4 2 2f x dx f x dx f x dx f x dx
Câu 3.
Cho biết đồ thị hàm số
42
f x ax bx c
cắt trục hoành
tại bốn điểm phân biệt. Gọi
1
S
là diện tích của hình phẳng
giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số
fx
nằm
dưới trục hoành. Gọi
2
S
là diện tích của hình phẳng giới
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 66
hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số
fx
nằm phía
trên trục hoành. Cho biết
2
5 36b ac
. Tính tỉ số
1
2
S
S
.
A. 2
B.
1
4
C.
1
2
D. 1
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
42
0ax bx c
.
Để phương trình có bốn nghiệm
2
40
0
0
b ac
b
a
c
a

Ta có
22
22
54
4 0, 0
99
bb
b ac b b
Khi đó, gọi
1 2 3 3
, , ,x x x x
lần lượt là bốn nghiệm của
phương trình
0y
và
1 2 3 3
x x x x
. Không mất tính tổng
quát, giả sử
0a
.
Khi đó,
2
2
3
26
bb
b
x
aa

;
2
2
5
3
26
bb
b
x
aa

(
0b
)
Suy ra
1 2 3 4
55
, ; ;
6 6 6
b b b b
x x x x
a a a a
Do đồ thị hàm số
fx
đối xứng qua trục tung nên ta có
2 4 4 4
1 3 3 3
42
1
22
x x x x
x x x x
S f x dx f x dx f x dx ax bx c dx
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 67 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
5 3 3
5 3 3
33
44
34
22
22
22
5 3 5 3
ax b x
ax b x
cx cx
3 3 3
2
42
2
00
5 3 3
33
3
22
22
2
53
x x x
x
S f x dx f x dx ax bx c dx
ax b x
cx
Suy ra
5 3 3
44
2 1 4
22
2
53
ax b x
S S cx
2
2
2 25 5 2 5 5 5
. . . 2 .
5 6 3 6 6 6
36
a b b b b b b
c
a a a a
a



2 2 2
5 5 5 5 5 36
2 2 . 0
6 36 18 6 36
b b b b b ac
c
a a a a a




Vậy
12
SS
hay
1
2
1
S
S
.
Hướng giải khác: Do đề bài đúng với mọi
,,a b c
thỏa mãn
điều kiện như đề bài nên chỉ cần chọn a, b, c đơn giản. Sau đó
giải bì toán trên trường hợp đơn giải đó.Ví dụ:
Chọn
1; 6; 5a b c
. Ta có
2
5 36b ac
.
4
65y x x
;
1
0
5
x
y
x


.
Khi đó
1
1
1
44
7
S f x dx

;
15
2
1
5
44
7
S f x dx f x dx

Vậy
1
2
1
S
S
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 68
Câu 4. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Hàm Rồng
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
0x
và
1x
, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng
P
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
01x
là một hình chữ nhật có độ dài lần lượt là x và
2
ln 1x
.
A.
ln2 1
2
V
B.
1
ln2
2
V 
C.
1
ln2 1
2
V 
D.
ln2 1V 
Giải:
Lưu ý: Thể tích vật thể đối với những dạng toán như thế
này là:
b
a
V S x dx
.
Ta có diện tích hình chữ nhật
2
ln 1S x x x
.
Vậy
11
2
00
1
ln 1 ln2
2
V S x dx x x dx

.
Rất nhiều học sinh không biết đến công thức này hoặc là
nhớ nhầm sang công thức khác.
Câu 5. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Hàm Rồng
Trong trung tâm công viên có một khuôn viên hình elip có
độ dài trục lớn bằng 16m, đồ dài trục nhỏ bằng 10m. Giữa
khuôn viên là một cái đài phun nước hình tròn có đường
kính bằng 8m, phần còn lại của khuôn viên người ta thả
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 69 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
cá. Số cá thả vào khuôn viên đó gần nhất với số nào dưới
đây, biết rằng mật độ thả cá là 5 con trên 1m
2
mặt nước.
A. 378
B. 375
C. 377
D. 376
Phân tích lời giải: Bài toán yêu cầu thả bao nhiêu còn cá
vào khuôn viên thỏa mãn mật độ 5 con trên 1m
2
mà khuôn
viên nước là hình elip. Từ trước tới giờ chưa hề học công thức
tính diện tích của hình elip nên ta nghĩ đến ứng dụng tích
phân trong tính diện tích hình phẳng. Như vậy phải lập
phương trình elip. Nhắc lại kiến thức viết phương trình elip.
Phương trình chính tắc của elip là
2
2
22
1
y
x
ab

. Trong đó
2a, 2b lần lượt là độ dài trục lớn, trục bé. Nhận dạng elip nếu
đề cho
12
2MF MF a
với
12
;0 , ;0F c F c
thì tập hợp điểm
M là elip thỏa mãn
12
2F F c
và
22
b a c
.
Với bài toán này thì diện tích phần còn lại để thả cá là
c e t
S S S
, trong đó
e
S
là diện tích hình elip,
t
S
là diện tích
hình tròn ở giữa. Như vậy, tính số cá bằng
5
c
S
là xong.
Giải:
Phương trình chính tắc của elip là
2
2
22
1
85
y
x

. Do trục
tung và trục hoành chia elip thành bốn phần bằng nhau nên
ta chỉ cần tính cái phần ở góc phần tư thứ nhất rồi nhân bốn
lên là xong.
88
2
2 2 2
2
00
5
4 5 . 1 8
2
8
e
x
S dx x dx




.
Đặt
8sin 8cosx t dx tdt
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 70
Đổi cận
0 0, 8
2
x t x t
.
Khi đó
22
2 2 2 2
00
2
0
5
8 8 sin .8cos 160 cos
2
80 1 cos2 40
e
S t tdt tdt
t dt


Diện tích hình tròn có đường kính bằng 8m là:
16
t
S
.
Suy ra
24
c e t
S S S
và số cá bằng
24 .5 377
(con).
Lưu ý: Công thức tính diện tích của hình elip khi biết độ dài
trục lớn
2a
và độ dài trục bén
2b
là
S ab
(Dùng ứng dụng tích
phân để chứng minh).
Câu 6. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Toán học và Tuổi
trẻ - Lần 8
Cho
fx
liên tục trên đoạn
0;10

thỏa mãn
10
0
( ) 7,f x dx
6
2
3f x dx
. Khi đó giá trị của biểu thức
2 10
06
P f x dx f x dx

là:
A. 10
B. 4
C. 3
D. -4
Phân tích lời giải : Bài toán dạng này chủ yếu cần thấy
được sự tách cận ra hợp lý và kết hợp với phép cộng trừ nhân
chia để tìm ra được giá trị biểu thức mà đề yêu cầu.
Giải
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 71 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Ta có :
2 10 10 6
0 6 0 2
( ) ( ) 7 3 4P f x dx f x dx f x dx f x dx
Vậy chọn đáp án B
Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 - Toán học và Tuổi
trẻ - Lần 8
Xét hàm số
y f x
liên tục trên miền
;D a b

có đồ thị
là một đường cong
C
. Gọi S là phần giới hạn bởi
C
và
các đường thẳng
;x a x b
. Người ta chứng minh được
rằng diện tích mặt cong tròn xoay tạo thành khi xoay S
quanh Ox bằng
2
21
b
a
S f x f x dx

. Theo kết quả
trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay tạo thành
khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
2 ln
4
xx
fx
và các đường thẳng
1;x x e
quanh Ox
A.
2
21
8
e
B.
4
49
64
e
C.
42
4 16 7
16
ee

D.
4
49
16
e
Phân tích lời giải: Đây là một câu người hỏi muốn kiểm
tra khả năng đọc hiểu.
Giải:
Ta có
2
21
b
a
S f x f x dx

.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 72
Trong đó
2
2 ln
4
xx
fx
và a và b lần lượt là 1, e và
1
4
f x x
x

.
Thay vào và sử dụng máy tính bỏ túi để tính bấm máy
được kết quả sau đó lưu vào A sau đó lấy A trừ cho các đáp
án. (Đã hướng dẫn ở sách “Máy tính bỏ túi – Kỹ thuật và sai
lầm”)
Câu 8.
Cho hàm số
4
22
22
4
x
y m x
. Tập hợp tất cả các giá trị
của tham số thực m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có
cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương
với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình
phẳng có diện tích bằng
64
15
là
A.
B.
1
C.
2
2





D.
1
2



Phân tích lời giải: Do hệ số
10a 
nên đồ thị của hàm
số sẽ có 2 cực tiểu và 1 cực đại. Bài toán nếu đọc nhanh lướt
qua sẽ dễ nghĩ bài thuộc phần hàm số nhưng thật ra nó là
thuộc phần tích phân. Nhận thấy rằng phần cần tính diện
tích đối xứng nhau qua trục Oy nên cần tích một bên và nhân
đôi lên sẽ có được phần đề yêu cầu
Giải
Ta có
32
'4y x m x
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 73 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
44
44
0 2 0;2
' 0 2 2 4 2 ;2 4
2 2 4 2 ;2 4
x y C
y x m y m A m m
x m y m B m m
Để phương trình có 3 điểm cực trị thì
0m
Đường thẳng qua C và song song với Ox có dạng là:
2y
Giao điểm của
C
và d là
2 2 ;2 ; 2 2 ;2E m F m
Diện tích phần cần tính là
2 2 2 2
44
2 2 2 2
00
22
22
4 5 3
2 2 2 5
0
0
2 2 2 2 2 2
44
128 2
2 2 2 2
4 20 3 15
mm
m
m
xx
S m x dx m x dx
x x x
m x dx m m




Theo giả thiết
64
15
S
nên
1
2
m
. Chọn câu C.
Câu 9.
Cho hàm số
fx
có đạo hàm liên tục trên
0;1

và thỏa
mãn
1
0
21x f x dx f

.
Tính giá trị biểu thức
1
0
I f x
A. 0
B. 1
C.
1
D. Không tính được
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 74
Phân tích lời giải: Nhận thấy rằng, không thể biến đổi
ngay từ yêu cầu bài toán được. Do đó, ta xuất phát từ giả
thiết. Và biến đổi sao cho có tích phân
1
0
f x dx
.
Giải:
Theo giả thiết
1 1 1
0 0 0
2 1 2 1x f x dx f xf x dx xdx f

1
0
11xf x dx f
(1)
Nhìn vào phương trình sau khi biến đổi, tích phân
1
0
xf x dx
thấy hàm dưới dấu tích phân là tích của hai hàm
x và
fx
. Do đó nghĩ đến phương pháp tích phân từng
phần để có
1
0
f x dx
.
Đặt
u x du dx
dv f x dx v f x





.
1
1
0
0
1 1 1xf x f x dx f
1
0
1f x dx
.
Chọn đáp án C.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 75 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Câu 10. Group Nhóm Toán
Cho hàm số
fx
liên tục trên và thỏa mãn
2 cosf x f x x
(1). Tính tích phân
2
2
I f x dx
.
A.
4
3
I
B.
1
3
I
C.
2
3
I
D.
1I
Giải:
Cách 1: Thay
x
bởi
x
ta được,
2 cosf x f x x
(2). Lấy (2) –(1) được
f x f x
Do đó
1
cos
3
f x x
. Vậy
22
22
12
cos
33
I f x dx xdx




Cách 2: Lấy tích phân hai vế từ (1) được
22
22
2 cosf x f x dx xdx




22
22
22f x dx f x dx




2 2 2
2 2 2
2
22
3
f t dt f x dx f x dx
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 76
Bài tập tương tự:
Bài 1. Đề minh họa THPT Quốc gia 2017 – Lần 3
Cho hàm số liên tục trên đoạn và
thỏa mãn
2 2cos2f x f x x
, . Giá
trị của tích phân bằng?
A.
6
B. 0
C. 2
D. 6
Câu 11. Group Nhóm Toán
Cho hàm số có đồ thị
m
C
với m là tham số thực. Giả sử
m
C
cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ:
Gọi
1 2 3
,,S S S
là diện tích các miền gạch chéo được cho trên
hình vẽ. Tìm tham số m để
1 2 3
S S S
.
A.
5
2
m 
B.
5
4
m 
C.
5
2
m
D.
5
4
m
y f x
33
;
22




33
;
22
x




3
2
3
2
f x dx
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 77 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích lời giải: Đây là bài toán tìm tham số m và các
đáp án A, B, C, D có giá trị m cụ thể. Như vậy, để đơn giản,
ta thử từng đáp án.
Giải:
Với
5
2
m 
, ta có
42
5
3
2
y x x
.
2
3 19
0
2
yx
(loại vì
2
3 19
0
2
x

). Loại A.
Với
5
4
m 
, ta có
42
5
3
4
y x x
.
2
3 14
0
2
yx
(loại vì
2
3 14
0
2
x

). Loại B
Với
5
2
m
, ta có
42
5
3
2
y x x
.
0( )y VN
.
Loại C.
Như vậy, chọn đáp án D.
Nếu bài toán đổi đề. Với giá trị m đó và yêu cầu tình giá
trị biểu thức nào đó và những bài toán liên quan khác thì với
cách giải trên thì sẽ không giải quyết được vấn đề khác. Vậy
có cách giải tổng quát nào cho dạng toán này.
Giả sử
m
C
cắt
Ox
tại bốn điểm
1 2 3 4
x x x x
và do
đồ thị hàm số đối xứng nhau qua
Oy
nên
12
SS
và
3
4
3
0
x
x
x
y dx y dx

và áp dụng điều này.
Điều kiện để
m
C
cắt Ox tại 4 điểm.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 78
9 4 0
9
3 0 0
4
0
m
m
m
Với điều kiện này thì loại ngay đáp án A, B, C và chọn D.
Tiếp tục giải bài toán này để người đọc hiểu rõ hơn bài
này.
Theo như nhận định trên thì
3
4
3
3 2 4 2
0
33
x
x
x
x x m dx x x m dx

3
4
3
4 2 4 2
0
33
x
x
x
x x m dx x x m dx

4
4
5
4 2 3
0
0
3 0 0
5
x
x
x
x x m dx x mx



5
3 4 2
4
4 4 4 4
0 5 5 0
5
x
x mx x x m
(1)
Mặt khác
4
x
là nghiệm của
42
44
30x x m
(2)
Lấy (2)-(1) được
2
4
2xm
.
Thay vào (2) và được
2
5
4 6 0
4
m m m m
.
Bình luận: Đây là một câu cho đáp án không hay. Vì nếu
học sinh chỉ cần làm đến những bước kia thì có thể chọn ngay
đáp án mà không cần làm tiếp.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 79 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Câu 12. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Đề thi off thầy
Đoàn Trí Dũng
Cho hàm số
1
y
x
có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây.
Gọi S là diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các
đường
1
, , 1y x a x
x
và trục hoành. Gọi
S
là diện tích
của hình phẳng được giới hạn bởi các đường
1
, 1,yx
x

xb
và trục hoành. Trong đó
01ab
. Để
SS
thì
khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1ab
B.
22
1ab
C.
a b ab
D.
a b e
Giải:
Ta có
1
1
ln
a
S dx a
x
,
1
ln
b
dx
Sb
x

.
ln ln 1S S a b ab
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 80
Câu 13. Group Nhóm Toán 12
Cho hàm số
3
8 27y x x
có đồ thị
C
và đường thẳng
: yc
với
0c
. Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục
tọa độ, gọi
1
S
và
2
S
là diện tích của hai hình phẳng gới hạn
bởi
C
và trục tung như hình vẽ dưới đây. Biết rằng
c
thỏa mãn
12
SS
. Chọn khẳng định đúng trong cách
khẳng định sau:
A.
1
0
2
c
B.
3
2
2
c
C.
1
1
2
c
D.
3
1
2
c
Giải:
Đồ thị
C
cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ
26
0;
9
xx
.
Như vậy, trong góc phần tư thứ nhất, đồ thị
C
cắt trục
hoành tại
0x
và
26
9
x
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 81 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Điểm cực đại của hàm số là
22
9
x
. Suy ra
1,7
CD
y
.
Do đó
0 1,7c
. Như vậy có thể loại ngay đáp án B.
Phương trình hoành độ giao điểm
3
8 27 *x x c
.
Giả sử (*) có hai nghiệm
12
xx
. Khi đó:
1
3
1
0
8 27
x
S c x x dx
và
22
11
33
2
8 27 27 8
xx
xx
S x x c dx x x c dx

2
3
12
0
27 8 0
x
S S x x c dx
2
42
0
27
40
4
x
x x cx



3
22
27
40
4
x x c
3
42
27 16 4 0 1x x c
Mặt khác
2
x
là nghiệm của phương trình (*) nên
33
2 2 2 2
27 8 0 27 8x x c x x c
(2). Thế vào (1)
22
3
8 3 0
8
c
x c x
.
Thế vào (2) được
3
2
3 32
27. 2 729 1024
8 27
c
c c c



.
Vậy
3
1;
2
c



. Chọn D.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 82
Câu 14. Group Nhóm Toán 12
Cho hia đường tròn
1
;5O
và
2
;3O
cắt nhau tại hai điểm
A, B sao cho AB là đường kính của đường tròn
2
O
. Gọi
D là hình phẳng giới hạn bởi hai đường (ở ngoài đường
tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay quanh
D quay quanh trục
12
OO
được một khối tròn xoay. Tính
thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
A.
14
3
B.
68
3
C.
40
3
D.
36
Phân tích lời giải: Bài toán có nhiều cách giải. Tùy vào
độc giả thích giải theo cách nào. Sau đây, xin giới thiệu đến
hai cách:
Cách thứ nhất: Áp dụng công thức tính thể tích chỏm cầu.
khi đó thể tích cần tìm là
2
;3
1
2
cc
O
VV
. Vấn đề công thức tính
chỏm cầu là gì?
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 83 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
“Cho một khổi chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h. Khi đó
thể tích khối chỏm cầu:
2
3
h
V h R




.
Cho khối cầu có bán kính R.Thể tích khối cầu:
3
4
3
VR
”.
Cách 2: Ứng dụng tích phân vào tính thể tích khối tròn
xoay. Vậy vấn đề là cần xây dựng hệ trục tọa độ. Chọn hệ
trục sao cho dễ tính nhất có thể. Tùy vào mỗi người có một
cách chọn hệ trục tọa độ riêng.
Giải:
Cách 1: Khi quay quanh trục
12
OO
đường tròn tâm
2
O
bán kính bằng 3. Ta được một khối cầu có bán kính bằng 3.
Khi đó thể tích khối cầu là
1
3
,3
4
3 36
3
O
V


.
Khi quanh quanh trục
12
OO
thì cung nhỏ AB tạo thành
một khối chỏm cầu có bán kính bằng 5. Và bây giờ ta cần xác
định được chiều cao của nó. Dễ thấy
12
5h O O
.
Xét tam giác
12
O O A
vuông tại
2
O
có
22
12
5 3 4OO
. Suy ra
1h
.
Vậy
1 14
5
33
cc
V




.
Do đó
14 40
18
33
ct
V
. Chọn C.
Cách 2: Xét hệ trục tọa độ
Oxy
với
1 1 2
,,O O O O Ox AB Oy
. Khi đó
1
O
,
2
O
lần lượt
có phương trình là:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 84
2
2
1
: 4 25O x y
,
22
2
:9O x y
.
Thể tích cần tìm là:
31
2
2
00
40
9 25 4
3
V x dx x dx


Câu 15. Trích đề thầy Lê Phúc Lữ
Trong giải tích, với hàm số
y f x
liên tục trên miền
;D a b

có đồ thị là một đường cong C. Người ta có thể
tính đồ dài của C bằng công thức
2
1
b
a
L f x dx



. Với
thông tin đó, hãy tính độ dài đường cong C cho bởi
2
ln
8
x
yx
trên
1;2

.
A.
3
ln2
8
B.
31
ln4
24
C.
3
ln2
8
D.
31
ln4
24
Phân tích lời giải: Dạng toán đọc hiểu bổ đề của một bài
toán. Và chỉ việc áp dụng công thức sau đó giải.
Giải:
Ta có
1
4
x
y
x

. Khi đó,
22
2
2
2
1 1 1 1
11
4 2 16 4
x x x
y
xx
x
.
Suy ra
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 85 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
2
2 2 2
2
1 1 1
2
2
1
11
1
44
3
ln ln2
88
xx
L y dx dx dx
xx
x
x



Chọn C.
Câu 16.
Tính tích phân
2
3
0
max ,x x dx
.
A. 2
B. 4
C.
15
4
D.
17
4
Phân tích lời giải: Đây là một câu khá lạ. Rõ ràng đây là
một câu tính tích phân. Tuy nhiên hàm dưới dấy tích phân là
max của của hai hàm. Vậy có cách nào để giải dạng này?
Nhắc một chút kiến thức về phần này?
“Cho hai hàm f, g liên tục trên . Khi đó
(1)
max ,
2
f g f g
fg
(2)
min ,
2
f g f g
fg
“
Như vậy, với bài toán tính giá trị tích phân mà hàm dưới
dấu giá trị tích phân sẽ chuyển về tính tích phân với hàm
dưới dấu tích phân là hàm trị tuyệt đối mà đã biết cách giải.
Nghĩa là:
max ,
2
bb
aa
f x g x f x g x
f x g x dx dx

Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 86
min ,
2
bb
aa
f x g x f x g x
f x g x dx dx

Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách này.
Bước 1: Giải phương trình
0f x g x
. Từ đó tìm các
nghiệm thỏa
12
...
n
a x x x b
Bước 2: Xét dấu
f x g x
trên các khoảng nghiệm.
Bước 3: Tách thành cách tích phân và giải.
Giải:
Cách 1:
33
2 2 1 2
33
0 0 0 1
17
max ,
24
x x x x
x x dx dx xdx x dx
Cách 2:
Ta có
3
0
1
x
xx
x



Do
0;2x

nên
0, 1xx
.
Lại có
3
xx
âm trên khoảng
0;1
dương trên khoảng
1;2
nên
3 3 3
0;1 1;2
max , ,max ,x x x x x x

.
Vậy
2 1 2
33
0 0 1
17
max ,
4
x x dx xdx x dx
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 87 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Chuyên đề 4: SỐ PHỨC
Câu 1. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội
Cho số phức z thỏa mãn
1z
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
1 2 1T z z
.
A.
25
B.
2 10
C.
35
D.
32
Phân tích lời giải: Cách giải thuần túy, đặt
;z x yi
,xy
. Sau đó biến đổi giả thiết và biểu thức cần mà đề bài
đề bài yêu cầu. Ngoài ra, có thể dùng bất đẳng thức. Nhắc
lại:
“Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với hai bộ số
; , ;a b x y
thì
2
2 2 2 2
ax by a b x y
”.
Giải:
Cách 1: Giả sử
;,z x yi x y
. Khi đó
22
1xy
.
22
22
1 2 1 1 2 1
2 2 2 2 2
T x yi x yi x y x y
xx
Xét hàm số
2 2 2 2 2f x x x
,
1;1x

Ta có
12
2 2 2 2
fx
xx


3
0 2 2 2 2 2
5
f x x x x
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 88
14f 
;
3
25
5
f




;
12f
. Vậy
max 2 5T
Cách 2:
22
2
1 2 1 1 2 1 1T z z z z
Ta có đẳng thức
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2z z z z z z
.
Khi đó ta có
2
5.2 1 2 5Tz
.
Vậy
max 2 5T
.
Lưu ý: Học sinh phải nhớ đẳng thức bình hành:
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2z z z z z z
Câu 2. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Thanh Chương 1 – Nghệ An
Cho
12
,zz
là hai số phức thỏa mãn
22z i iz
, biết
12
1zz
. Tính giá trị biểu thức
12
P z z
.
A.
3
2
P
B.
2P
C.
2
2
P
D.
3P
Giải:
Gọi
;,z x yi x y
. Biến đổi
22z i iz
ta được
22
1xy
. Gọi
,AB
là điểm biểu diễn hai số phức
12
,zz
.
Khi đó ta có
12
1z z OA OB BA AB
.
Suy ra tam giác OAB đều cạnh bằng 1.
Gọi M là trung điểm AB.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 89 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Ta có
12
3
2 2. 3
2
P z z OA OB OM
.
Câu 3. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định
Cho các số phức z thoả mãn
12z 
. Biết rằng tập hợp
các điểm biểu diễn số phức
1 3 2w i z
là một
đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó
A.
16r
B.
4r
C.
25r
D.
9r
Phân tích lời giải: Đây là dạng toán, cho số phức z thỏa
mãn điều kiện nào đó và tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
w với biểu thức w thông qua z. Để giải dạng toán này, ta cần
rút ngược lại z theo w và thế vào điều kiện của z để tìm điều
kiện của w. Một số kiến thức áp dụng trong bài toán này:
“Cho
12
,zz
. Khi đó
1
1
2
2
z
z
z
z
”
Giải:
Ta có
2
1 3 2
13
w
w i z z
i
. Thế vào điều kiện:
33
2 3 3
1 2 2 2
1 3 1 3
13
wi
w w i
ii
i


33
2 3 3 4
13
wi
wi

. Vậy
4r
.
Lưu ý: Cho
12
,zz
. Khi đó
1 2 1 2
.z z z z
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 90
Câu 4.
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
2 4 5zi
.
Tìm giá trị lớn nhất của
Pz
.
A.
max 3 5P
B.
max 5P
C.
max 5P
D.
max 13P
Giải:
Cách 1: Gọi
;,z x yi x y
. Khi đó
22
P x y
.
Ta có
22
2 4 5 2 4 5x yi i x y
.
Đặt
2 5 sin , 4 5 cos , 0;2x t y t t

.
Suy ra
22
2 5 sin 4 5 cos
25 4 5 sin 8 5 cos
P t t
tt
Do
20 4 5 sin 8 5cos 20tt
nên
5 3 5P
.
Vậy
max 3 5P
.
Cách 2: Từ cách 1, ta có
tập hợp điểm
Mz
là
đường tròn tâm
2;4I
và
bán kính
5R
.
Vậy
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 91 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
22
max
2 4 5 3 5
P OM OI R
Cách 3: Áp dụng công thức giải nhanh (đã nói ở tài liệu
công thức giải nhanh):
Ta có
24Ai
,
0B
;
5k
.
22
25T A B AB AB
Vậy
2 5 5 2 5 5P
hay
5 3 5P
.
Nếu đề bài hỏi:
a. Tìm
min z
thì
min 5z ON OI R
(cách 2).
(cách 1, 3 hiển nhiên ta có
min z
.
b. Tìm số phức có môđun nhỏ nhất lớn nhất.
Ứng với cách 1 thì không giải được.
Ứng với cách 2: Phương trình đường thẳng OI là:
2yx
.
Khi đó toạ độ M, N là nghiệm của hệ:
22
1
2
2
3
2 4 5
6
x
yx
y
x
xy
y



Số phức có môđun lớn nhất là
36zi
. Số phức có
môđun nhỏ nhất là:
12zi
.
Ứng với cách 3:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 92
Ta giải hệ
2 4 5
min ...
zi
z
dể tìm số phức có môđun nhỏ
nhất và
2 4 5
max ...
zi
z
để tìm số phức có môđun lớn nhất.
Câu 5. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Khoa học Tự nhiên – Lần 1
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
1 1 7 2.i z i
Tìm giá trị lớn nhất của
z
.
A. 4
B. 3
C. 7
D. 6
Giải:
Cách 1: Ta có
1 7 2
1 1 7 2
1
1
i
i z i z
i
i
3 4 1zi
. Lúc này chuyển về bài toán đã giải ở
trên.
34Ai
;
0; 1Bk
.
22
5T A B AB AB
Suy ra
46P
. Vậy
max 6z
.
Cách 2: Xét bài toán tổng quát: “Trong các số phức z thỏa
mãn
11
z z r
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
P z z
”
Đặt
2 1 2
r z z
. Khi đó
12
maxP r r
;
12
min P r r
.
Thực chất đây chính là công thức giải nhanh ở cách 1, chỉ
là biểu diễn ở dạng khác dễ nhớ hơn.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 93 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Từ cách biến đổi
1
34zi
;
2
0z
. Suy ra
2
5r
.
Câu 6.
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
2 4 2 .z i z i
Biết số phức
z x yi
với
,xy
có môđun nhỏ nhất.
Tính giá trị biểu thức
22
P x y
.
A. 10
B. 8
C. 16
D. 26
Giải:
2 4 2 2 4 2z i z i x y i z y i
2 2 2
2
2 4 2 4x y x y y x
2
2 2 2 2
2
4 2 8 16
2 2 8 2 2
z x y x x x x
x
Vậy
8P
.
Lưu ý: Gặp dạng bài mà có tập các điểm biểu diễn số phức
z là một đường thẳng
0ax by c
thì rút y theo x rồi thế
vào yêu cầu bài toán. Chẳng hạn như bài trên.
Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Toán Học Tuổi Trẻ
- lần 5.
Cho số phức z thỏa mãn
4 4 10zz
. Giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của
z
lần lượt là:
A. 10 và 4
B. 5 và 4
C. 4 và 3
D. 5 và 3
Giải:
Gọi
;,z x yi x y
.
Theo giả thiết ta có:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 94
4 4 10 4 4 10z z z yi x yi
22
22
4 4 10 1x y x y
Gọi
12
; , 4;0 , 4;0M x y F F
thì
12
1 10MF MF
.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là elip với
1 2 1 2
2 ; 2F F c MF MF a
22
5; 4 3a c b a b
.
Phương trình chính tắc
của elip là:
2
2
1
25 9
y
x

.
Vẽ hình, ta thấy
max 5z OA OA
;
min 3z OB OB
.
Câu 8.
Biết số phức
;,x yi x y
thỏa mãn đồng thời hai điều
kiện
3 4 5zi
và
22
2P z z i
đạt giá trị lớn
nhất. Tính môđun số phức z.
A.
33
B. 50
C.
10
D.
52
Giải:
Ta có
22
3 4 5 3 4 5z i x y
(1).
22
22
22
2 2 1P z z i x y x y
Suy ra
4 2 3 0x y P
(2).
Cách 1: Từ (2) suy ra
3
2
2
P
yx
Thế vào (1) ta được:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 95 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
2
2
11
3 2 5
2
P
xx


2
2
11
5 2 8 4 0
4
P
x P x
Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2
2
11
8 5 4 0 13 33
4
P
PP




Vậy
max 33P
.
Dấu bằng xảy ra khi
33 8
55
5
xy
Suy ra
5 5 5 2z i z
.
Cách 2: Dễ thấy (1) là phương trình đường thẳng. Khi đó
ta tìm P sao cho
và đường tròn
C
có điểm chung
12 8 3
; 5 23 10
20
P
d I R P

13 33P
.
Vậy
max 33P
. Dấu “=” xảy ra khi
22
4 2 30 0
5
5
3 4 5
xy
x
y
xy


Câu 9.
Biết số phức
;,x yi x y
thỏa mãn đồng thời hai điều
kiện
43z z i
và
1 2 3P z i z i
đạt giá trị
nhỏ nhất. Tính giá trị
2P x y
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 96
A.
61
10
P 
B.
253
50
P 
C.
41
5
P 
D.
18
5
P 
Giải:
Ta có
4 3 4 3z z i x yi x y i
22
22
4 3 8 6 25 0x y x y x y
2 2 2 2
1 1 2 3
1 1 2 3
P x y i x y i
x y x y ME MF
Trong đó
1;1 ; 2; 3EF
,
;M x y
.
Khi đó bài toán trở tình tìm
sao cho
ME MF
đạt giá
trị nhỏ nhất. Kiểm tra được E, F nằm cùng một phía so với
Gọi
E
là điểm đối xứng của E qua
.
Suy ra
EE
đi qua E và vuông góc với
có phương trình
là:
3 4 7 0xy
.
Gọi
H
là giao điểm của
EE
với
suy ra
71 19
;
25 25
H




Suy ra
117 44
;
25 25
E




(H là trung điểm
EE
).
Ta có
. Dấu “=” xảy ra khi và
chỉ khi
M E F
.
Phương trình
EF
đi qua hai điểm
,EF
là:
31 167 439 0xy
Vậy
67 119
;
50 50
M




. Suy ra
61
2
10
P x y
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 97 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Câu 10.
Cho số phức z thỏa mãn
1z
. Gọi M và m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
11P z z z
. Tính giá trị của M.m
A.
13 3
4
B.
39
4
C.
33
D.
13
4
Giải:
Giả sử
z x yi
;
,xy
. Khi đó
22
1xy
.
2 2 2
1 1 1 1 2 1P z z z x yi x y x y x i
2
22
2 2 2 2
1 1 2 1x y x y x y x
2
2
22
2 2 2 1 2 1x x x x x
2
2 2 2 1xx
Nếu
1
1
2
x
thì
2 2 2 1P x x
.
Xét hàm số
2 2 2 1f x x x
với
1
;1
2
x



.
11
2 0, ;1
2
22
f x x
x



.
Suy ra
max 1 3f x f
,
1
min 3
2
f x f




.
Nếu
1
1
2
x
thì
2 2 1 2P x x
.
Xét hàm số
2 2 1 2f x x x
với
1
1;
2
x



.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 98
1
2
22
fx
x

;
7
0
8
f x x
.
Lập bảng biến thiên ta được
7 13
max
84
f x f



.
Kết hợp cả 2 trường hợp ta được:
13
max ;min 3
4
PP
. Suy ra
13 3
.
4
Mm
.
Câu 11. Đề minh họa THPT Quốc gian 2017 – Lần 2
Xét số phức z thỏa mãn
10
1 2 2i z i
z
. Mệnh đề nà
dưới đây đúng?
A.
3
2
2
z
B.
2z
C.
13
22
z
D.
1
2
z
Giải:
Ta có
10 10
1 2 2 2 2 1i z i z z i
zz
22
10 10
2 2 1 2 2 1z z i z z
z
z
2 4 2
2
1 2 0 1z z z z
z
.
Câu 12.
Cho các số phức
12
0, 0zz
thỏa mãn điều kiện
1 2 1 2
2 1 1
z z z z

(1). Tính giá trị biểu thức
12
21
zz
P
zz

.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 99 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
A.
1
2
P
B.
2
C. 2
D.
32
2
Giải:
22
2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 2 2 0z z z z z z z z z z z z
Nhận thấy đây là phương trình đẳng cấp và
2
0z
nên
chia cả hai vế cho
2
2
z
.
2
12
11
12
22
12
1
2. 2 0 2
1
z i z
zz
zz
zz
z i z



Do đó
12
12
21
21
1 3 2
2
2
2
zz
zz
P
zz
zz
. Chọn D.
Câu 13.
Cho hai số phức u, v thỏa mãn điều kiện
10uv
và
3 4 2017uv
. Tính
43M u v
.
A.
2983
B.
2883
C.
2893
D.
24
Phân tích lời giải: Cần chú ý ở hệ số của u và v. Vì giả
thiết cho là
34uv
và hỏi là
43uv
. Khi nhắc tới môđun sẽ
nhớ tới căn bình phương và đặc biệt là thấy ở cả u và v là
22
3 4 5
Giải:
Ta có
2
.z z z
. Đặt
34N u v
. Khi đó
22
2
3 4 3 4 9 16 12N u v u v u v uv uv
22
2
4 3 4 3 16 9 12M u v u v u v uv uv
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 100
Do đó
22
22
25 5000M N u v
2
5000 5000 2017 2983MN
. Chọn câu A
Lưu ý: Kỹ thuật liên hợp của số phức rất qua trọng. Bài trên
áp dụng rất thành công và nhanh chóng ra kết quả. Nếu bạn đọc
giải theo cách truyền thống đặt
z x yi
thì sẽ rất lâu.
Câu 14.
Nếu hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
12
1zz 
và
12
1zz
thì số phức
12
12
1
zz
w
zz
có phần ảo bằng
A. 0
B. 1
C.
1
D. 2
Phân tích lời giải: Với bài này, có thể chọn
12
,zz
thỏa mãn
yêu cầu bài toán và tính số phức
w
theo
12
,zz
. Từ đó có được
kết quả. Tuy nhiên để hiểu rõ vẫn đề, ta cần có một lời giải
hoàn chỉnh cho bài này. Bài này sử dụng một số phần lý
thuyết như sau:
“Cho số phức
12
,zz
.
(1)
1 2 1 2
z z z z
(2)
1 1 1 2
.z z z z
(3)
11
2
2
zz
z
z
(4)
1 1 1
z z z
là số thực (5)
11
1
1
1zz
z
”
Giải:
Cách 1: Chọn
12
1,z z i
, ta có
1
1
1
i
w
i

.
Vậy phần ảo của
w
bằng 0.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 101 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Cách 2: Do
12
1zz
nên
12
12
11
,zz
zz

. Khi đó,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
12
11
11
11
. 1 1
1.
z z z z z z z z z z
ww
z z z z
z z z z
zz


Vậy w là số thực hay phần ảo bằng 0.
Câu 15. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Đặng Thúc Hứa – Nghệ An
Cho số phức
z a bi
thỏa mãn điều kiện
2
42zz
.
Đặt
22
8 12P b a
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
2Pz
B.
2
2
4Pz
C.
2
4Pz
D.
2
2
2Pz
Giải:
Giả thiết tương đương với
2
2
2
22
4 4 4 4 4z z z z zz



22
22
2
2
2
. 4 4 16 4
2 4 12 0
z z z z zz
zz z z



2
2
2
2
4 12 2z z z



Đặt
z a bi
thì
2 2 2
2z a b abi
,
2
22
2z a b abi
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 102
Suy ra
2
2 2 2
2z z a b
.
Suy ra
2
22
82P b a z
.
Câu 16. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Toán học & Tuổi
trẻ - Lần 8
Cho số phức z thỏa mãn
1
3z
z

. Tổng giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của
z
.
A. 0
B. 3
C. 2
D. 4
Giải:
2
1 1 1 1
3 9 9z z z z
z z z
z
2
2
22
2
22
11
9 1 9
.
zz
z z z z z
zz




2
4 2 2
2 1 9z z z z z
.
Ta có
2
0zz
nên
2 4 2 4 2
2
9 2 1 11 1 0
11 3 13 11 3 3 3 13 3 13
2 2 2 2
z z z z z
zz
Vậy
max min 13zz
.
Tổng quát hóa: Cho
,,a b c
là các số thực dương và số phức
z khác 0 thỏa mãn
b
az c
z

. Khi đó
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 103 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
22
44
22
c c ac c c ab
z
aa

Câu 17. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Toán học và tuổi
trẻ - Lần 8
Xét số phức z thỏa mãn
2 1 3 2 2z z i
. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A.
13
22
z
B.
1
2
z
C.
2z
D.
3
2
2
z
Phân tích lời giải: Sử dụng bất đẳng thức
u v u v
.
Giải:
Cách 1: Ta có
2 2 2 1 2 2 1z z i z i i z i
Suy ra
01z i z i z
. Chọn D.
Cách 2: Sử dụng hình học để giải:
Giả sử
z x yi
có điểm biểu diễn là
;M x y
.
Số phức
1z
có điểm biểu diễn là
1;A x y
,
zi
có
điểm biểu diễn là
;1B x y
. Khi đó
2 1 3 2 2 2 3 2 2 2z z i OA OB AB
Mặt khác
2 3 2 2 2OA OB OA OB OB AB OB
.
Do đó
2 2 0AB OB AB OB B O z i
Câu 18. Đề minh họa THPT Quốc gia 2017 – lần 3
Xét số phức z thỏa mãn
2 4 7 6 2z i z i
. Gọi m,
M lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
1zi
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 104
Tính
P m M
A.
13 73P 
B.
5 2 2 73
2
P
C.
5 2 73P 
D.
5 2 73
2
P
Giải:
Gọi
;M x y
là điểm biểu diễn số phức
z x yi
.
2 2 2 2
2 4 7 6 2
2 1 4 7 6 2
z i z i
x y x y
Và
22
1 1 1T z i x y
Cách 1:
Đặt
12
2;1 , 4;7 , 1; 1F F A
. Khi đó
12
62MF MF
và
T MA
.
Mặt khác ta có
12
62FF
. Do đó điểm
M
thuộc vào
đoạn thẳng
12
.FF
Phương trình đường thẳng
12
: 3 0F F x y
.
Kiểm tra được, hình chiếu của C lên đường thẳng
12
FF
thuộc ngay vào đoạn thẳng
11
FF
.
Ta có
1 2 1 2
52
13, 73, ;
2
CF CF d C F F
.
Vậy
max min
52
73,
2
TT
và
5 2 2 73
2
P
. Chọn B.
Bình luận: Nếu hình chiếu của điểm C lên đường thẳng
12
FF
nằm ngoài đoạn thẳng
12
FF
thì cách giải trên có còn áp dụng được
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 105 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
không? Học sinh cần lưu ý, nếu hình chiếu không nằm trên đoạn
12
FF
thì khi đó giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đạt được chính tại hai
điểm đầu mút của đoạn thẳng.
Cách 2:
Áp dụng bất dẳng thức
22
2 2 2 2
x y a b x a y b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
y
x
ab
.
Ta có
2 2 2 2
2
6 2 2 1 4 7
2 4 1 7 6 2
x y x y
x x y y
Do đó “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
30
47
y
x
xy
xy

Từ đó rút ra được
3yx
. Thay vào T được:
22
2
1 4 2 6 19T x x x x
Do điểm
,xy
thỏa mãn biểu thức
2 2 2 2
2 1 4 7 6 2x y x y
Nên có
2 4 6xx
đúng với mọi
2;4x

.
Như vậy,
Xét hàm số
2
2 6 19y x x
với
2;4x

.
Do đó
25
max 73,min
2
yy
trên đoạn
2;4

Suy ra
52
max 73,min
2
TT
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 106
Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức môđun
1 2 1 2
z z z z
và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
0z
hoặc
2
0z
hoặc tồn
tại
0k
,
k
sao cho
12
z kz
.
Ta có
2 4 7 2 4 7 6 2z i z i z i i z
.
Vậy áp dụng dấu bằng xảy ra:
TH1:
2zi
. Suy ra
13T
.
TH2:
47zi
. Suy ra
73T
.
TH3: Tồn tại số
0k
thỏa
2 4 7z i k z i
.
Ở đây, chọn
1k
và thỏa mãn. Tập hợp các điểm biểu
diễn của z thỏa mãn
2 4 7z i z i
chính là đường
thẳng
30xy
và quay về cách 2.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 107 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Chuyên đề 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 1.
Cho tứ diện ABCD có
AB CD a
. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AD, BC. Biết
3
3
12
ABCD
a
V
,
;.d AB CD a
Xét các mệnh đề sau:
(1). Góc
0
, 60AB CD
(2).
2
a
MN
(3).
3
3
24
MNCD
a
V
(4).
3
2
a
MN
Có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Giải:
Bài toán phụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo AB và CD,
là góc giữa hai đường thẳng
đó. Khi đó thể tích tứ diện ABCD là:
1
. . .sin
6
ABCD
V ABCD d
Chứng minh:
Cách 1: Dựng hình hộp
AEBF. MDNC.
Vì
//AEBF MDNC
nên
chiều cao của hình hộp bằng
khoảng cách d giữa AB và CD.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 108
Ta có
.
11
.
33
1 1 1
. . . .sin . . . .sin
3 2 6
ABCD AEBF MDNC MDNC
V V S d
MN CD d ABCD d



Cách 2: Dựng hình bình hành ABCE. Khi đó:
..A BCD E BCD
VV
(do AE //
BCD
) (1)
..E BCD B ECD
VV
(2)
.
1
. . ,
3
B ECD ECD
V S d B CDE
(3)
11
. . .sin . .sin
22
ECD
S CECD ECD ABCD

(4)
,,d B CDE d AB CD
(do AB //
CDE
) (5)
Từ (2), (2), (3), (4), (5) suy ra
1
. . .sin
6
ABCD
V ABCD d
.
Áp dụng:
Ta có
11
. . .sin . . . .sin
66
ABCD
V ABCD d a a a


Suy ra
3
sin
2
hay
0
60
.
Gọi
P
là trung điểm
BD
. Khi đó ta có
2
a
MP NP
.
Và
//MP AB
và
//NP CD
.
Do đó
;,AB CD MP NP
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 109 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
TH1: Góc
0
60MPN
. Suy ra tam giác MNP đều và
2
a
MN
.
TH2: Góc
0
120MPN
.
Áp dụng định lý cosin cho tam giác MNP có:
2 2 2 2
3
2 . .cos
4
MN MP NP MP NP MPN a
Suy ra
3
2
a
MN
.
Câu 2.
Cho hình nón tròn xoay
N
có đỉnh S và đáy là hình tròn
tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng
P
, đường cao
SO h
. Điểm O’ thay đổi trên đoạn SO sao cho
SO x
,
0 xh
. Hình trụ tròn xoay
T
có đáy thứ nhất là hình
tròn tâm O bán kính
r
,
0 rr

nằm trên mặt phẳng
P
, đáy thứ hai là hình tròn tâm O’ bán kính r’ nằm trên mặt
phẳng
Q
,
Q
vuông góc với SO tại O’ ( đường tròn đáy
thứ hai của
T
là giao tuyến của
Q
với mặt xung quanh
của
N
. Hãy xác định giá trị của x để thể tích phần không
gian nằm phía trong
N
nhưng nằm phía ngoài của
T
, đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
2
h
x
B.
3
h
x
C.
2
3
h
x
D.
4
h
x
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 110
Phân tích lời giải: Đề bài này yêu cầu người giải phải biết
được công thức tính thể tích hình nón và thể tích hình trụ
ngoài ra còn phải đọc hiểu đề một cách chắc chắn.
Giải:
Nhận xét: Thể tích cần tìm là sẽ bằng phần thể tích nón
lớn (đỉnh S đáy là đường tròn tâm O bán kính r) trừ nón nhỏ
(đỉnh S đáy là hình tròn tâm
O
bán kính
r
) trừ thể tích hình
trụ.
, , ,
2 2 2
11
.
33
ct
S O S O O O
V V V V
h r x r h x r





Thể tích cần tìm nhỏ nhất
22
1
3
A x r h x r


lớn
nhất do
2
1
.
3
hr
là không đổi.
Ta có
x r xr
r
h r h
Do đó
22
2 2 2
2
1 2 2
.
3 3 3
xr
A x r h x r r h x h x
h
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 111 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Xét
2 2 2 2 3 2
22
22
3
3
x r x r x r
f x h x
h
hh



,
0;xh
2 2 2
2
0
22
; ' 0
x
xr x r
f x f x
xh
h
h


Do
0 xh
nên
0fx
.
Do hàm đồng biến trên
0;h
nên nhìn đáp án.
Chọn câu C.
Câu 3:
Cho mặt phẳng (P) chứa hình vuông ABCD. Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy điểm M. Trên
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại C, lấy điểm
N (N cùng phía M so với mặt phẳng (P)) . Gọi I là trung
điểm của MN. Thể tích tứ diện MNBD luôn có thể tính
được bằng công thức nào sau đây ?
A.
1
..
3
IBD
V AC S
B.
1
..
3
BDN
V AC S
C.
1
..
3
BMN
V BD S
D.
1
..
3
MBD
V BD S
Phân tích lời giải:
Bài toán này yêu cầu cần
chọn chính xác mặt đáy là mặt
nào. Nếu chọn đường cao là BD
sau đó tách khối cần tìm thể tích
thành hai khối nhỏ là
;DOMN BOMN
thì sẽ dễ dàng
lúc đầu nhưng lâm vào bế tắc
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 112
lúc sau do đáp án không có
OMN
S
Vậy tại sao không bắt đầu
từ AC thử xem nào ? Tại sao đề gợi nhắc điểm I nhưng vẫn
chưa được sử dụng ? Hãy thử tách khối cần tìm thành 2 khối
nhỏ MIBD;NIBD về ý tưởng nó xem xem như trên nhưng lợi
thế ở đây là có đáy là IBD và trong đáp án có IBD. Điều khó
ở hướng này là đường cao.
Giải:
Gọi I là trung điểm MN, O là tâm hình vuông.
Ta có:
,( ) ,( )
11
..
33
MNBD MIBD NIBD IBD IBD
M IBD N IBD
V V V d S d S
Lại có
,,d M IBD d N IBD
(do I là trung điểm
MN).
Do
//AM IO
nên
( ;( )) ( ;( ))
//
M IBD A IBD
AM IBD d d AO
Suy ra
21
..
33
MNBD IBD IBD
V AO S AC S
Vậy chọn đáp án A.
Câu 4:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
cạnh bên hợp với đáy một góc
0
60
. Gọi M là điểm đối
xứng của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng
BMN
chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích
giữa hai phần trên.
A.
7
5
B.
1
7
C.
7
3
D.
6
5
Giải:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 113 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Cách xác định thiết diện của mặt
BMN
như hình vẽ.
Ta có
E SD MN
nên E là trọng tâm tam giác SCM.
Do DF // BC nên F là trung điểm BM.
Ta có
0
, 60SD ABCD SDO
.
Tính được
22
67
,
22
aa
SO SF SO OF
.
Ta có
2
6 1 7
, ; .
24
27
SAD
aa
d o SAD OH S SF AD
Lại có
1
..
6
MEFD
MNBC
V
ME MF MD
V MN MB MC

.
3
5 5 1 1 5 6
. , .
6 6 3 2 72
BFDCNE MNBC SBC
a
V V d M SAD S
3
.
16
.
36
S ABCD ABCD
a
V SO S
3
.
76
36
SABFEN S ABCD BFDCNE
a
V V V
. Suy ra
7
5
SABFEN
BFDCNE
V
V
Câu 5.
Cho khối lập phương
.ABCD A B C D
cạnh a. Các điểm E
và F lần lượt là trung điểm của
CB

và
CD

. Mặt phẳng
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 114
AEF
cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi
1
V
là thể tích khối chứa điểm
A
và
2
V
là thể tích khối chứa
điểm
.C
Khi đó
1
2
V
V
là:
A.
25
47
B.
1
C.
17
25
D.
8
17
Phân tích đề bài: Để làm những dạng bài cần tạo thành
nó 1 thiết diện như bài tập xác định thiết diện lớp 11. Cần kéo
dài mặt thiết diện ra ngoài khối chóp để kết hợp mặt khối
chóp tạo thành 1 tứ diện . Sau đó sử dụng công thức tỷ số thể
tích trong tứ diện để thao tác.
Giải
Đường thẳng EF cắt
AD

và
AB

tại N, M, AN cắt
DD
tại P, AM cắt
BB
tại Q khi đó mặt phẳn
AEF
cắt khối lập
phương làm hai phần riêng biệt và xác định được
12
;
AA QB EFD P ABCDC QEFP
V V V V

Gọi
. 3 . 4 5
, , , .
ABCD A B C D A A MN PFD N PFD N
V V V V V V V V
Do tính đối xứng của hình lập phương nên ta có
45
VV
.
Nhận thấy :
3
3
1 1 3 3 3
. . . .
6 6 2 2 8
a a a
V AA A M A N a
3
4
11
. . . . .
6 6 3 2 2 72
a a a a
V PD D F D N
33
1 3 4 2 1
25 47
2 , 2
72 72
aa
V V V V V V
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 115 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
1
2
25
47
V
V

. Vậy chọn A.
Câu 6. Group Nhóm Toán 12
Cho hình nón
N
có đỉnh S, có đáy là hình tròn
O
tâm
O, bán kính R. Người ta cắt
N
bằng một mặt phẳng
P
song song với mặt đáy của
N
, được thiết diện là đường
tròn
O
tâm
O
bán kính r,
P
cách mặt đáy một đoạn
bằng h. Gọi phần hình nón gồm giữa
P
và mặt đáy của
hình nón là khối
T
và có thể tích là
2
3
bh
. Phần đường
sinh của hình nón được giới hạn bởi mặt
P
và mặt đáy
bằng a và được gọi là cạnh bên của
T
. Tính R theo a, b, h.
A.
2 2 2
22
14
23
b h a
R a h





B.
2 2 2
22
14
23
b h a
R a h





C.
2 2 2
22
12
23
b h a
R a h





D.
2 2 2
22
12
23
b h a
R a h





Phân tích lời giải: Ở đây, chúng ta có một khái niệm mới
đó là hình nón cụt. Đó là phần của khối
T
. Hình nón cụt là
gì?
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 116
“Khi cắt hình nón bởi một
mặt phẳng song song với
đáy thì phần mặt phẳng
nằm trong hình nón là một
hình tròn. Phần hình nón
nằm giữa mặt phẳng nói
trên và mặt đáy được gọi là
một hình nón cụt.”
Trong sách giải tích 12
nâng cao, có đề cập đến
công thức tính thể tích
hình chóp cụt:
“Gọi
B
và
B
lần lượt là diện tích của đáy lớn và đáy nhỏ của
hình chóp cụt; h là chiều cao của nó (h chính là khoảng cách giữa
hai mặt phẳng chứa hai đáy; cũng bằng khoảng cách từ một điểm
bất kì của đáy này đến mặt phẳng chứa đáy kai. Khi đó thể tích khối
chóp cụt:
3
h
V B B BB

.”
Từ thể tích của khối chóp chụt, ta có thể tính được thể tích
khối nón cụt.
“Gọi
,,R r h
lần lượt là bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ của
hình nón cụt. Khi đó thể tích khối nón cụt:
22
3
h
V R r Rr
”.
Sau đây, nhắc một số kiến thức liên qua tới hình nón cụt.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 117 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
“(1) Diện tích xung quanh của hình nón cụt:
xq
S R r l

.
(2) Diệc tích toàn phần
22
tp xq dn dl
S S S S R r R r l
”.
Bài toán sẽ áp dụng kiến thức trên để giải và áp dụng một
số kiến thức liên quan khác. Chẳng hạn như: Định lý Ta – lét.
Giải:
Thể tích khối
T
là:
2
2 2 2 2 2
33
T
h b h
V R r Rr R r Rr b

(1)
Vấn đề bây giờ, cần biểu diễn r theo a, b, h.
Mặt khác, hình nón cụt được sinh ra khi quay hình thang
vuông
OO AB
quay quanh trục
OO
nên ta có
, , ,O A r OB R OO h AB a

.
Gọi
H
là hình chiếu của A lên OB. Khi đó ta có
OH r
và
HB R r
. Xét tam giác AHB vuông tại H nên
22
.R r a h
Suy ra
22
r R a h
. Thế vào (1) được
2
2 2 2 2 2 2
0R R a h R R a h b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
20R R R a h a h R R a h b
2 2 2 2 2 2
3 3 0R R a h a h b
2 2 2 2 2 2 2 2
9 12 12 3a h a h b b a h
Do đó
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 118
2 2 2 2
2 2 2
22
3 12 3
6
14
23
a h b a h
R
b a h
ah





Chọn đáp án B mà không cần làm tiếp nghiệm thứ 2.
Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Sở Giáo dục &
Đào tạo Nam Định
Cho tứ diện
ABCD
có
AD ABC
, đáy
ABC
thỏa mãn
điều kiện
cot cot cot
2 . . .
A B C BC CA AB
AB AC BA BC CACB

.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và
BC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp
.A BCHK
.
A.
4
3
V
B.
32
3
V
C.
8
3
V
D.
4
33
V
.
Phân tích lời giải: Bước đầu tiên, xác định mặt cầu của
tam hình chóp A.BCHK có hình dạng như thế nào? Hay nói
các khác nó có đặc điểm gì đặc biệt hay không? Bởi vì, đề bài
không hề cho đường cao của tứ diện bằng bao nhiêu, cho
những giả thuyết như điều kiện đáy của ABC và H, K lần lượt
là hình chiếu của A lên DB, DC. Do đó, có phải chẳng bán
kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó dựa vào giả thiết
đáy ABC. Muốn có được điều này thì cần phải xác định được
mặt cầu đó có tâm và bán kính như thế nào?
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 119 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn
cố định cho trước là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
chứa đường tròn tại tâm của nó.
Như vậy, để xác định tâm mặt cầu chứa hai hai đường
tròn cắt nhau chính là giao điểm của hai đường thẳng lần
lượt vuông góc với hai mặt phẳng chứa đường tròn đó tại
tâm của hai đường tròn đó.
Đối với bài toán này thì đã hoàn toàn xác định hai đường
tròn ngoại tiếp tam giác AHB, AKC của hình chóp A.BCKH
bởi vì hai tam giác đó đều là tam giác vuông. Như vậy chỉ
cần từ tâm của hai đường tròn đó, kẻ một đường thẳng
vuông góc với tới mặt phẳng chứa hai đường tròn đó tại tâm
của hai đường tròn. Giao hai đường thẳng đó thì được tâm
mặt cầu.
“Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB. Kẻ các dường
thẳng
,dd
lần lượt vuông góc với
,AC AB
tại E, F. Do
,DA d DA d

(
DA ABC
) nên
,d DAC
d DAB
.
Do đó d và
d
chính là hai đường thẳng mà ta đã nói ở trên. Gọi I
là giao điểm của
,dd
thì I chính là tâm mặt cầu chứa hai đường
tròn ngoại tiếp tam giác AHC, AKC.
Thật vậy, trong mặt phẳng
ABC
ta có I là giao điểm của hai
đường trung trực hai cạnh của một tam giác nên I là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó
IA IB IC
. Mặt khác, ta
có một điểm nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp thì đều cách
điều các điểm trên đường tròn đó nên
IA IH IB
. Tương tự ta
có
IA IK IC
. Từ đó suy ra
IA IB IC IH IK
. Vậy I
chính là tâm mặt cầu ngoài tiếp tứ hình chóp
.A BCKH
và bán kính
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 120
bằng
IA R
, cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC”.
Đến lúc này, ta đã hoàn
toàn xác định được tâm và
bán kính. Vấn đề còn lại là
tính bán kính. Chính là dựa
vào giả thiết đáy ABC thỏa
mãn điều kiện trên.
Một số liên kiến thức liên
quan tới hệ thức lượng trong
tam giác.
“Cho tam giác ABC, gọi
AH
là đường cao, R, r lần lượt
là bán kính ngoại tiếp và nội tiếp
tam giác, p là nửa chu vi. Kí
hiệu
,,a BC b AC c AB
, diện tích là S
(1) Định lý cosin:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
(2) Định lý sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
(3) Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A (kí hiệu
a
m
)
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 121 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
4
2
4
2
4
a
b
c
b c a
m
a c b
m
a b c
m



(4) Các công thức tính diện tích tam giác
111
222
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
4
a b c
S h a h b h c
bc A ac B ab C
abc
pr p p a p b p c
R

”
Ngoài ra, còn một số hệ thức lượng nâng cao khác như:
“(1) Định lý tan:
tan
2
tan
2
AB
ab
AB
ab
;
tan tan
22
;
tan tan
22
B C C A
b c c a
B C C A
b c c a





(2) Định lý cotan:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cot ;cot ;cot
4 4 4
b c a a c b a b c
A B C
S S S
Suy ra
2 2 2
cot cot cot
4
a b c
A B C
S

”
Việc chứng minh công thức hệ thức lượng trong tam giác
(nâng cao) dành cho bạn đọc.
Sau đó, ta sẽ áp dụng vào giải tìm R.
Giải:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 122
Việc xác định tâm và bán kính đã nêu ở trên, ở đây không
nói lại và vào thẳng vấn đề xác định bán kính R.
Áp dụng định lý cotang cho tam giác ABC ta có:
2 2 2
cot cot cot
2 . . .
8 . . .
ABC
A B C BC CA AB
AB AC BA BC CA CB
AB AC BC BC CA AB
S AB AC BA BC CA CB


2 2 2 2 2 2
8 . .
ABC
AB AC BC BC AC AB
S AB AC BC

..
8 . . 8 . . 2
4
ABC
AB AC BC
S AB AC BC AB AC BC R
R
Vậy
3
4 32
33
VR

.
Lưu ý: Học sinh chỉ học những hệ thức lượng như trong
sách giáo khoa lớp 10 (cả nâng cao, lẫn cơ bản) nên việc giải
bài này rất khó khăn.
Câu 8. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Sở Giáo dục &
Đào tạo Bắc Ninh
Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng bán kính là r, trong
đó có ba mặt cầu tiếp xúc với đáy, tiếp xúc với nhau và
tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư
tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên và tiếp xúc với mặt phẳng
xung quanh của hình nón. Tính chiều cao của hình nón.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 123 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
A.
23
13
3
r





B.
26
22
3
r





C.
26
13
3
r





D.
26
16
3
r





Giải:
Gọi
1 2 3 4
, , ,I I I I
lần lượt là tâm của mặt cầu và giả sử
4
I
là
tâm mặt cầu thứ tự như đề.
Khi đó ta có
1 2 1 3 2 3
2I I I I I I r
(do ba mặt cầu tiếp xúc
với nhau). Tương tự cũng có
4 1 4 2 4 3
2I I I I I I r
.
Do đó bốn điểm
1 2 3 4
, , ,I I I I
tạo thành tứ diện đều cạnh
bằng
2r
.
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
1 2 3
I I I
thì
1
23
3
r
IG
.
Gọi hình nón đó sinh bởi tam giác
SOA
vuông tại O với
SO
là đường cao, OA là bán kính. Khi đó SO đi qua các điểm
4
,.IG
Suy ra
44
SO SI I G GO
. Dễ thấy
GO r
.
Bây giờ cần tính
44
,SI I G
theo r.
Do
4
IG
là đường cao của tứ diện đều
1 2 3 4
I I I I
nên
22
4 1 4 1
26
3
r
I G I I I G
. Như vậy đến đây có thể loại được
đáp án A, B.
Gọi
,CD
lầm lượt là các điểm tiếp xúc của mặt cầu
14
, , ,I r I r
tiếp xúc với hình nón. Khi đó có được
14
II
// CD.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 124
Do đó
1 4 4
I I G DSI
mà hai tam giác
3
SDI
và
14
IIG
là
hai tam giác vuông nên
4 4 1
SDI I GI
.
Suy ra
4 4 4
4 1 4
1 4 1 1
3
. .2 3
2
SI I D I D
r
SI I I r r
I I I G I G r
.
Vậy chọn C.
Câu 9:
Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy là
ABCD
là tứ giác
lồi và góc tạo bởi
, , ,SAB SBC SCD SDA
với mặt đáy
lần lượt là
90 ,60 ,60 ,60
. Biết rằng tam giác
SAB
vuông
cân tại
S
có
AB a
và chu vi tứ giác
ABCD
là
9a
.Tính
thể tích hình chóp
.S ABCD
.
A.
3
3a
B.
3
3
4
a
C.
3
23
9
a
D.
3
3
9
a
Phân tích đề toán: Do mặt
SAB
tạo với đáy một góc
vuông nên mặt
SAB
vuông góc với đáy và do tam giác
SAB
vuông cân nên đường cao từ đỉnh S của tam giác
SAB
cũng
là chiều cao khối chóp. Cần nhớ thêm diện tích của một hình
lớn có thể tính bằng tổng các hình nhỏ cộng lại.
Giải:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 125 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Kẻ SH vuông góc với
AB trong tam giác SAB
(H thuộc AB). Từ phân
tích đề bài có được H là
chân đường cao của
hình chóp S.ABCD.
Trong mặt đáy, kẻ
HE vuông với BC ở E,
HF vuông góc với CD ở
F, HG vuông góc với AD
ở G. Từ đó xác định được
60SEH SFH SGH
.
Do tam giác SAB vuông cân ở S và có
AB a
nên
2
a
SH
Từ SH và
60SEH SFH SGH
nên
3
6
a
HE HF HG
Ta có
98
1 1 1 1 3
. . . . .8
2 2 2 2 6
P ABCD AB BC CD DA a BC CD DA a
a
HE BC HF CD HG AD a
Do
3
6
a
HE HF HG
nên
2
23
3
ABCD
a
S
.
Thể tích khối chóp là
2
3
1 1 2 3 3
. . .
3 3 2 3 9
SABCD ABCD
aa
V SH S a
Vậy chọn đáp án D.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 126
Câu 10. Đề minh họa THPT Quốc gian 2017 – Lần 3
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng
P
thay
đổi cắt mặt cầu giao tuyến là đường tròn
C
. Hình nón
N
có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn
C
và có chiều cao là h
hR
. Tính h để thể tích khối nón tạo
bởi
N
có giá trị lớn nhất.
A.
3hR
B.
2hR
C.
4
3
R
h
D.
3
2
R
h
Phân tích lời giải: Nhận thấy rằng đây là câu tìm h để thể
tích khối nón đạt giá trị lớn nhất. Xuất phát từ đây, bước đầu
cần phải xác định được thể tích khối nón như thế nào. Bài
toán đặt ra, thể tích lớn nhất nên nghĩ đến đó chính là bài
toán tìm cực trị. Phương pháp đầu tiên nghĩ đến đó chính là
dùng kiến thức giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số để tìm
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức thể tích khối nón.
Muốn làm được điều này thì cần phải biến đổi thể tích khối
nón về cùng một biến, lúc đó thì mới có thể xét hàm được.
Một chút kiến thức về phần này:
“(1) Thể tích khối nón có bán kính đáy r, chiều cao h:
2
1
3
V r h
(2) Cho mặt cầu
;S O R
và mặt phẳng
P
, gọi d là khoảng
cách từ O tới
P
và H là hình chiếu của O trên
P
. Khi đó
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 127 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Nếu
dR
thì mặt phẳng
P
cắt mặt cầu
S
theo giao
tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng
P
có tâm là H và có
bán kính
22
r R d
.
Nếu
dR
thì mặt phẳng
P
cắt mặt cầu tại duy nhất
một điểm là H.
Nếu
dR
thì mặt phẳng
P
không cắt mặt cầu
S
.”
Giải:
Gọi x là khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng
P
. Khi
đó
h R x
(do
hR
) và bán kính đường tròn giao tuyến là
22
r R x
.
Thể tích khối nón cần tìm là:
2 2 2
2
11
33
1
3
V r h R x R x
R x R x

Xét hàm số
2
f x R x R x
với
0 xR
.
2
23f x R x R x R x R x R x
0
3
R
f x x
Lập bảng biến thiên được
max
3
R
Vx
.
Vậy
4
33
RR
hR
. Chọn C.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 128
Câu 11. Đề minh họa THPT Quốc gian 2017 – Lần 3
Cho khối tứ diện có thể tích bằng V. Gọi
V
là thể tích của
khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh
của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số
V
V
.
A.
1
2
V
V
B.
1
4
V
V
C.
2
3
V
V
D.
5
8
V
V
Phân tích lời giải: Giả sử hình bài toán như hình dưới. Ý
tưởng xuất phát từ bài này chính là dùng tỉ lệ thể tích. Tuy
nhiên, nếu dùng tỉ lệ thể tích này thi nó chỉ đúng cho khối tứ
diện. Như vậy, cần phải tìm cách chia nhỏ ra thành các tứ
diện nhỏ hơn (từ hình lớn). Tuy nhiên, nếu vẽ hình rồi thì
việc chia nhỏ thành các tứ diện nhỏ hơn thì sẽ gặp khó khăn.
Do đó, ta nghĩ đến dùng phần bù thì sẽ dễ dạng hơn, nghĩa
là
. . . .A MRQ B MNR C NMR D PQR
V V V V V V
.
Dễ thấy thì các thể tích mà thể
tích tứ diện trừ đi đều dễ dàng
tính theo V ban đầu và nó bằng
1
8
V
. Vậy, áp dụng theo cách này
thì sẽ nhanh hơn.
Giải:
Ta có
.
.
1 1 1 1
. . . .
2 2 2 8
A MQR
A BCD
V
AM AR AQ
V AB AC AD
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 129 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Suy ra
.
1
8
A MQR
VV
. Tương tự các thể tích còn lại.
Vậy
11
22
V V V V
. Chọn A.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 130
Chuyên đề 6: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Câu 1. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Thanh Chương 1 – Nghệ An
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
m
S
2 2 2
2 2 1 2 0x y z mx m y mz m
. Với
mọi
m
, mặt cầu
m
S
luôn đi qua một đường tròn cố
định. Tìm bán kính của đường tròn cố định đó.
A.
3r
B.
2r
C.
3r
D.
2r
Phân tích lời giải: Với những dạng bài như thế này thì ta
thấy rằng nó rất giống với dạng bài tìm điểm cố định của đồ
thị hàm số đi qua. Trước đây giải những dạng bài đó thì tìm
các điều kiện để nó đúng với mọi tham số m. Tức là đưa về
dạng
1
10
... 0 1
nn
mm
a m a m a
, với các
i
a
chứa các ẩn x,
y. Do đó điều kiện để phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
m thì
0,
i
ai
, và từ đó tìm được điểm cố định. Với dạng bài
này cũng thế, ta sẽ đưa về dạng của phương trình (1). Như
vậy, bài toán trên được giải như sau:
Giải:
Giả sử
0 0 0
;;M x y z C
cố định. Khi đó
m
MS
.
Hay
2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2 1 2 0x y z mx m y mz m
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
2 2 1 2 2 0m x y z x y z y
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 131 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
(do nghiệm đúng với mọi m)
Khi đó, tập hợp điểm M là giao tuyến giữa mặt cầu
S
có phương trình là
2 2 2
2 2 0x y z y
, tâm
0; 1;0I
;
3R
và mặt phẳng
: 2 2 1 0P x y z
.
Ta có
,1d I P
, suy ra
3 1 2r
. Chọn đáp án B.
Câu 2.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
1;2;4 .M
Viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua M và
cắt các trục Ox, Oy, Oz về phía dương tại các điểm A, B, C
sao cho tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
1
3 6 12
y
xz
B.
1
4 6 2
y
xz
C.
3 9 0xyz
D.
2 4 21 0xyz
Phân tích lời giải: Đây là dạng toán viết phương trình
mặt phẳng theo đoạn chắn. Như vậy, cần gọi các điểm
;0;0Aa
;
0; ;0Bb
;
0;0;Cc
(tùy theo đề bài có các điều
kiện a, b, c). Đối với bài này thì
, , 0a b c
. Khi đó mặt phẳng
cần tìm có dạng
1
y
xz
a b c
. Do M thuộc và
P
nên có
1 2 4
1
a b c
. Đây chính là điều kiện của bài toán. Tiếp theo
lại có thể tích tứ diện OABC bằng
1
..
66
abc
OAOBOC
. Khi đó
yêu cầu bài toán tương đương với tìm giá trị nhỏ nhất của
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 132
biểu thức
P abc
sao cho
1 2 4
1
a b c
và
, , 0a b c
. Đến đây
chuyển về bài toán bất đẳng thức mà đã học trước đây.
Thông thường dùng bất đẳng thức Cauchy.
Giải:
Giả sử
;0;0Aa
;
0; ;0Bb
;
0;0;Cc
với
, , 0a b c
. Khi
đó mặt phẳng
P
là:
1
y
xz
a b c
.
Do M thuộc
P
nên ta có
1 2 4
1
a b c
.
Thể tích tứ diện OABC là:
1
6
OABC
V abc
.
Theo bất đẳng thức Cauchy:
3
1 2 4 1.2.4
1 3 216abc
a b c abc
216
36
6
OABC
V
, dấu bằng xảy ra khi
1 2 4 1
3a b c

Giải được
3; 6; 12a b c
.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
:1
3 6 12
y
xz
P
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 133 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Câu 3.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
1;2;3 .M
Mặt phẳng
P
đi qua M và cắt các trục Ox, Oy,
Oz tại các điểm A, B, C sao cho
2 2 2
9 4 1
T
OA OB OC
đạt
giá trị nhỏ nhất. Khi đó vecto pháp tuyến của mặt phẳng
là:
A.
18;9;6n
B.
2;3;6n
C.
9;6;18n
D.
3;2;6n
Giải:
Giả sử
;0;0Aa
;
0; ;0Bb
;
0;0;Cc
với
, , 0a b c
.
Khi đó mặt phẳng
P
là:
1
y
xz
a b c
.
Do M thuộc
P
nên ta có
1 2 3
1
a b c
(*).
2 2 2
9 4 1
T
a b c
Theo bất đẳng thức B.C.S:
2 2 2
1 3 2 1 1 9 4 1
1 . 3. 1 9
39a b c
a b c
9
91
T
, dấu bằng xảy ra khi
923
a b c
t
Thế vào (*) ta được
19
9
t
. Suy ra
38 19
19; ;
93
a b c
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 134
9
93
: 1 18 9 6 38 0
19 38 19
y
xz
P x y z
Câu 4.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho sáu điểm
;0;0Aa
;
0; ;0Bb
;
0;0;Cc
;
;0;0Aa

;
0; ;0Bb

;
0;0;Cc

thỏa mãn
0aa bb cc
;
aa
,
bb
,
cc
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
;;d O ABC d O A B C
B.
OABC OA B C
VV
C. Chỉ có 4 điểm
, , ,A A B C
cùng thuộc một mặt cầu.
D. Tồn tại mặt cầu đi qua 6 điểm trên.
Giải:
Ta có
1
6
OABC
V abc
;
1
6
OA B C
V a b c
Suy ra
OABC
OA B C
V
abc
V a b c
.
Từ điều kiện
3
2 2 2
abc t
aa bb cc t
a b c
a b c
.
Từ đó suy ra được
OABC
V
có thể khác
OA B C
V
. Loại B.
Phương trình mặt phẳng
ABC
là:
1
y
xz
a b c
hay
0bcx acy abz abc
Phương trình mặt phẳng
A B C
là:
1
y
xz
a b c
hay
0b c x a c y a b z a b c
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 135 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
2 2 2
;
abc
d O ABC
ab bc ca

2 2 2
;
a b c
d O ABC
a b b c c a

Tương tự loại A.
Giả sử
;;I x y z
là tâm mặt cầu ngoại đi qua 4 điểm A,
,A
B, C. Khi đó ta có
22
IA IA IB IC
22
2 2 2 2
22
2 2 2 2
22
2 2 2 2
x a y z x a y z
x a y z x y b z
x a y z x y z c
22
22
22
22
22
22
ax a a x a
ax a by b
ax a cz c

22
;;
2 2 2
a a b aa c aa
x y z
bc
Suy ra
22
;;
2 2 2
a a b aa c aa
I
bc



.
Như vậy ta đã có 4 điểm cùng thuộc 1 mặt cầu.
Kiểm tra xem
,BC

có thuộc mặt cầu trên không?
22
2
22
2
2 2 2
a a aa b c aa
IB
b


Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 136
2
22
2
2
22
2 2 2
2 2 2
a a b aa c aa
IB b
bc
a a b aa c aa
bc





Suy ra
IB IB

B
thuộc mặt cầu nói trên. Tượng tự
C
Câu 5.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp
tứ giác đều S.ABCD, biết
3;2;4S
,
1;2;3B
,
3;0;3D
.
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Mặt
phẳng
chứa BI và song song với AC nhận vectơ nào
sau đây là vectơ pháp tuyến?
A.
3;4; 1n 
B.
1;1;0n
C.
1; 1;0n 
D.
3;5;4n
Giải:
Gọi
H
là tâm hình vuông. Khi đó
2;1;3H
.
Ta có
1; 1; 1SH
.
Phương trình đường thẳng
SH
là:
3
2
4
xt
yt
zt


Ta có
I SH
nên
3 ;2 ;4I t t t
.
; ; , 2; ; 1SI t t t BI t t t
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 137 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Do I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều
S.ABCD nên
22
2 2 2 2
5
3 2 1
6
SI BI t t t t t
.
Suy ra
1
1
7; 5;1
6
u BI
.
Tới đây, loại được đáp án B, C.
Do
,SH BD
có giá vuông góc với
AC
nên
2
, 2 1;1; 2u SH BD


Suy ra
12
, 9; 15; 12n u u


.
Vậy VTPT là
3;5;4n
Câu 6. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Võ Nguyên Giáp
Trong không gian Oxyz, cho điểm
;0;0Aa
;
0; ;0Bb
;
0;0;Cc
với a, b, c dương thỏa mãn
4a b c
. Biết a, b,
c thay đổi thì tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc
mặt phẳng
P
cố định. Tính khoảng cách d từ điểm
1;1; 1M
đến mặt phẳng
P
.
A.
3d
B.
3
2
d
C.
3
3
d
D.
0d
Phân tích lời giải: Đầu tiên phải tìm được tâm của mặt
cầu
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 138
Giả sử phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm
0;0;0O
;
;0;0Aa
;
0; ;0Bb
;
0;0;Cc
có dạng:
2 2 2
: 2 2 2 0S x y z a x b y c z

Từ đó ta có hệ
2
2
2
2
20
20
2
20
2
a
a
AS
a a a
b
B S b b c b
c c c
CS
c
c




Suy ra
;;
222
a b c
I



và
2 2 2
2
a b c
R

.
Với
;;I x y z
bất kì là tâm mặt cầu, ta luôn có
; ; 2 0
2 2 2 2
a b c a b c
x y z x y z x y z

Vậy I luôn thuộc mặt phẳng
: 2 0P x y z
.
1 1 1 2
3
;
3
111
d M P


Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 1
Trông không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm
1; 2;1A
,
0;2; 1B
,
2; 3;1C
. Điểm
M
thỏa mãn
2 2 2
T MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của
biểu thức
2 2 2
23
M M M
P x y z
A.
101P
B.
134P
C.
114P
D.
162P
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 139 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích lời giải:
Giả sử ta có điểm I, khi đó:
2 2 2
2 2 2 2
2
T MI IA MI IB MI IC
MI MI IA IB IC IA IB IC
Khi đó, ta cần chọn điểm I sao cho
0IA IB IC
.
Như vậy,
2 2 2
T IA IB IC
và dấu bằng “=” xảy ra khi
MI
.
Tại sao lại chọn điểm I như vậy? Lí do mà chọn đơn giản
là phải có được tích vô hướng
20MI IA IB IC
mà điểm
M cần tìm nên chỉ có thể chọn điểm I sao cho
0IA IB IC
Giả sử
;;I x y z
thỏa
0IA IB IC
nên
3; 7;3I
.
Vậy điểm
3; 7;3M
và
134P
.
Lưu ý: Khó khăn của bài này là phải nghĩ ra được vì sao phải
chọn điểm I như vậy.
Câu 8. Đề minh họa THPT Quốc gia 2017 – Lần 2
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét các điểm
0;0;1A
,
;0;0Bm
,
0; ;0Cn
,
1;1;1D
, với
0, 0mn
thỏa mãn
1mn
. Biết rằng khi m, n thay đổi, tồn tại một
mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
ABC
và đi qua D. Tính
bán kính R của mặt cầu đó.
A.
1R
B.
2
2
R
C.
3
2
R
D.
3
2
R
Giải:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 140
Gọi
;;I a b c
và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu cố
định. Khi đó, ta có
2 2 2
1 1 1ID a b c R
(*).
Phương trình mặt phẳng
ABC
là:
1
1
y
xz
mn
hay
0nx my mnz mn
2 2 2 2
;
1
na mb mnc mn na mb mnc mn
d I ABC R
mn
m n m n


1na mb mnc mn R mn
.
Với
1nm
, ta có
1 1 1 1 1m a mb m m c m m R m m
22
1 1 1c m a b c m a R m m
(1)
TH1:
22
1 1 1 1c m a b c m a R m m
1
1
1
c R a R
a b c R b R
a R c R




Khi đó
2
2
* 2 1 1R R R R
.
TH1: Làm tương tự.
Câu 9.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
:P
2
3 5 1 4 20 0mx m y mz
. Biết rằng khi m thay
đổi trên đoạn
1;1

thì mặt phẳng
P
luôn tiếp xúc với
một mặt cầu
S
cố định. Tìm bán kính mặt cầu đó.
A.
5R
B.
3R
C.
2R
D.
4R
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 141 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Giải:
Ta đã biết mặt phẳng
P
:
0Ax By Cz D
tiếp xúc
với mặt cầu
S
có tâm
;;I a b c
và bán kính
R
khi và chỉ khi
;d I P R
hay
2 2 2
Aa Bb Cc D
R
A B C

. Như vậy, ta có:
Ta có VTPT
2
3 ;5 1 ;4n m m m
nên
2 2 2
9 25 1 16 5n m m m
Do đó ta cần chọn điểm
;;I a b c
sao cho
2
3 5 1 4 20ma m b mz k
không đổi.
Vậy ta có
0;0;0O
Khi đó
20
;4
5
d O P 
. Hay mặt phẳng
P
tiếp xúc
với mặt cầu
S
có tâm
0;0;0O
và
4R
.
Câu 10.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
:P
2 2 2
1 2 2 1 5 4 12 0m x my m z m m
. Biết
rằng khi m thay đổi thì mặt phẳng
P
luôn tiếp xúc với
một mặt cầu
S
cố định và tâm của mặt cầu đó thuộc mặt
phẳng
: 2 3 0Q x y z
. Tìm bán kính mặt cầu đó.
A.
71 5
10
R
B.
3R
C.
5R
D.
4R
Giải:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 142
Với mỗi
;;I x y z
, ta có:
2 2 2
22
2 2 2
2
2
1 2 2 1 5 4 12
;
1 4 4 1
2 5 2 2 2 12
5. 1
m x my m z m m
d I P
m m m
m x z m y x z
m
Để
P
luôn tiếp xúc với mặt
S
cố định thì
;d I P k
không đổi. Nghĩa là tử và mẫu phải tỉ lệ với nhau.
Do đó
2 0 2
2 5 2 12 17
1 1 2
yy
x z x z
x




Do đó
17
; 2;
2
Iz




. Mặt khác
IQ
nên
17
.2 3. 2 0 11
2
zz
Vậy
17
; 2;11
2
I



và
71 5
10
R
Câu 11. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
6; 3;4A
;
;;B a b c
. Gọi
,,M N P
lần lượt là giao điểm
của đường thẳng AB với các mặt phẳng tọa độ
,,Oxy Oxz
Oyz
. Biết rằng
,,M N P
nằm trên đoạn AB
sao cho
AM MN NP PB
. Tính giá trị tổng của
a b c
.
A. 11
B.
11
C. 17
D.
17
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 143 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Giải:
Phương trình
:0Oxy z
,
:0Oyz x
,
:0Oxz y
Giả sử
; ;0
MM
M x y
,
;0;
NN
N x z
,
0; ;
PP
P y z
.
Theo giả thiết ta có M là trung điểm của AN.
4
53
; ;0
2 2 2
3
2 6 ; ; 4
2
N
MM
N
M N M N
z
x
xy
x x y z
Suy ra
3
; ;0 , ;0; 4
2
MN
M x N x




.
Mặt khác ta có N là trung điểm MP
3
;0 ; 4 2 ; ; 8
2 2 2 2
M M P
P
N N M P P
x y y
z
x x x y z
Từ đó suy ra được
33
4; ;0 , 2;0; 4 , 0; ; 8
22
M N P
.
Lại có
2AB AN
với
6; 3; 4 ; 4;3; 8AB a b c AN
Suy ra
2; 3; 12a b c
. Vậy
11a b c
.
Câu 12. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Toán học và tuổi
trẻ - Lần 8
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện
ABCD cón
2;3;1 , 4;1; 2 , 6;3;7 , 1; 2;2 .A B C D
Các
mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện ABCD chia không
gian Oxyz thành số phần là:
A. 9
B. 12
C. 15
D. 16
Giải:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 144
Ta có 3 đường thẳng chia mặt phẳng thành 7 phần.
3 mặt phẳng chia không gian thành 8 phần, mặt phẳng
thứ 4 cắt 3 mặt phẳng trước thành 3 giao tuyến, 3 giao tuyến
này chia mặt phẳng thứ 4 thành 7 phần, mỗi phần lại chia 1
phần của không gian thành 2 phần.
Vậy 4 mặt phẳng chia không gian thành
8 7 15
.
Câu 13. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Toán học và tuổi
trẻ - Lần 8
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường
thẳng
4
14
:
3 2 1
y
xz


và các điểm
2;3; 4 , 4;6; 9AB
. Gọi C , D là các điểm thay đổi trên
đường thẳng
sao cho
14CD
và mặt cầu nội tiếp tứ
diện ABCD có thể tích lớn nhất. Khi đó trung điểm của CD
A.
79 64 102
;;
35 35 35



B.
181 104 42
;;
5 5 5




C.
101 13 69
;;
28 14 28



D.
2;2;3
Phân tích lời giải: Bài này là một bài khá lạ. Đề bài không
đề cập đến đường cao của tứ diện. Để làm được bài này cần
nhớ tới một công thức đã được chứng minh ở trên là
1
. . , .sin ,
6
V ABCD d AB CD AB CD
(1) và một công thức
đó là
3
ABCD
tp
V
r
S
(2) (Công thức này sẽ được chứng minh ở
cuối câu này). Một công thức cũng giúp ích không kém là
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 145 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
1
,
2
ABC
S AB AC

(3). Bài này yêu cầu học sinh nhớ nhiều
công thức và cần phải thao tác một cách nhanh và chính xác.
Giải:
Do
,CD
nên
1 1 1 2 2 2
1 3 ;4 2 ;4 ; 1 3 ;4 2 ;4C t t t D t t t
1 1 1
2;3; 5 ; 3 3 ;1 2 ;8 ;AB AC t t t
2 2 2
3 3 ;1 2 ;8AD t t t
Ta có
2 2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
14 9 4 1CD t t t t t t t t
21
1tt
(do vai trò của
12
,tt
như nhau)
c
V
lớn nhất
r lớn nhất
Từ công thức (1) thấy
ABCD
V
không đổi.
Công thức số (2) thì r lớn nhất
tp
S
nhỏ nhất.
Mặt khác
tp ABC ABD BCD ADC
S S S S S
Do
;
BCD ADC
SS
không đổi nên cần tìm min của
ABC ABD
SS
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1
,,
2
, 29 13 1 13 11 13
, 29 13 1 13 11 13
16 13 14 13 2 13
ABC ABD
S S AB AC AB AD
AB AC t t t
AB AD t t t
t t t


Với
21
1tt
.
Đặt
1
13xt
. Khi đó
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 146
2 2 2
2 2 2
22
29 1 11
26 14 2
3 78 963 3 456
f x x x x
x x x
x x x
22
3 39 3
3 78 963 3 456
xx
fx
x x x

1
13 1
0
22
f x x t
. Vậy
2;2;3I
.
Chứng minh Công thức số (2):
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD
Ta có:
1 1 1 1
. . . .
3 3 3 3
11
.
33
3
ABCD IBCD IACD IABD IABC
BCD ACD ABD ABC
BCD ABD ACD ABC tp
ABCD
tp
V V V V V
r S r S r S r S
r S S S S r S
V
r
S

Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 147 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Một cách giải khác tham khảo từ giáo viên khác (Thầy
Võ Quang Mẫn)
Hạ CH, DK vuông góc với AB. Chú ý
1
. . , .sin ,
6
V ABCD d AB CD AB CD
.
Tương tự cách xác định các giá trị không đổi và xác định
được thể tích tứ diện ABCD lớn nhất
CH+DK nhỏ nhất.
Dựng hình chữ nhật CHKE.
Khi đó
onst, ; =const.ED c d K ED
Dựng tam giác E’KD’ cân tại E và
E D ED

. Dựng tam
giác EKE” cân tại K , khi đó D’ là trung điểm của DE” và
2DK CH DK EK DK E K KD D K E K
Dấu bằng xảy ra khi
KI DE
hay MP là đoạn vuông góc
chung của AB và CD. Suy ra
2;2;3M
. Chọn D
Câu 14:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
S
có phương trình
2 2 2
1 2 3 4x y z
và
1
:
( 1)
xt
d y mt
z m t


, với m là
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 148
tham số thực . Giả sử
P
và
P
là hai mặt phẳng qua d,
tiếp xúc với
S
lần lượt tại T và T’. Khi m thay đổi, tính
giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng TT’
A.
4 13
5
B.
22
C.
2
D.
2 11
3
Phân tích lời giải: Đề toán này gây một phần khó khăn ở
phần suy nghĩ vẽ hình. Sau khi vẽ hình được thì cần cố gắng
xác định các giá trị không đổi quy các giá trị thay đổi về giá
trị không đổi.
Giải:
Gọi
1;2;3I
,
2R
lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Gọi E là điểm nằm trên đường d sao cho nằm chung mặt
phẳng
’OTT
và thuộc trung trực của TT’. Gọi M là giao
điểm của TT’ và IE.
Dễ dàng chứng minh được IE là trung trực của TT’. Từ
đó M là trung điểm của TT’ . Lấy D là hình chiếu của I trên
d.
Ta có:
22
22
2
22
min min
. 2.
' 2 2 2.
4
16 16 1
'
IT ET IE IT
TT MT
IE IE
IE IT
TT
IE IE
TT IE E D


Do
Ed
nên
1 ; ; 1I t mt m t
; 2; 1 3IE t mt m t
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 149 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
,
2
2
,
2
2
2
2
,
2
;
, 1;0;0
4 9 5 2
4 9 5 2
2 2 2
11
25 20 17
2 2 2
d
Id
d
Id
Id
u AI
d IE A d
u
m
m
d
mm
mm
mm
d
mm






Xét
2
2
25 20 17
()
2 2 2
xx
fx
xx


với
x
.
2
2
2
1
10 32 6
'( ) ; '( ) 0
5
2 2 2
3
x
xx
f x f x
xx
x

Lập bảng biến thiên được
2
1 25 25 4 13
min ( ) '
5 3 3 5
f x f IE TT



.
Vậy chọn đáp án A
Câu 15. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Sở Giáo dục &
Đào tạo Nam Định
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
1;2;0A
,
2; 3;2B
. Gọi
S
là mặt cầu đường kính AB.
,Ax By
là hai tiếp tuyến của
S
và
Ax By
. Gọi M, N lần
lượt là điểm di động trên
,Ax By
sao cho đường thẳng
MN
luôn tiếp xúc với mặt cầu
S
. Tính giá trị của
.AM BN
.
A.
. 19AM BN
B.
. 18AM BN
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 150
C.
. 38AM BN
D.
. 48AM BN
Phân tích lời giải (Hình ở dưới): Nhắc lại một chút lý
thuyết về tiếp tuyến của mặt cầu:
“Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu
;S O R
thì qua A có vô số
tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó:
(1) Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng
nhau.
(2) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt
cầu.”.
Như vậy, đối với bài này, nếu MN tiếp xúc với
S
tại
điểm C thì
;AM MC BN NC
. Khi đó
..AM BN MC NC
và
AM BN MN
(chuyển hai đoạn thẳng rời rạc về đoạn
thẳng chung điểm thì dễ dàng làm hơn). Nếu để ý thì ta có
,AM BN AM AB
nên
. Như
vậy để tính được tích
.AM BN
thì áp dụng định lý Pythagore
cho tam giác AMN là xong.
Giải:
Gọi I là tâm mặt cầu
S
. MN tiếp xúc với
S
tại C. Khi
đó
,AM MC BN NC
.
Ta có
,AM BN AM AB
AM ABN AM AN
.
2 2 2
MN AM AN
(định lý Pythagore trong
AMN
)
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 151 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Mặt khác,
2 2 2
AN AB BN
(do
BN là tiếp tuyến nên
BN AB
và
áp dụng định lý Pythagore).
Do đó
2 2 2 2
MN AM AB BN
hay
2
2 2 2
AM BN AM BN AB
2
.
2
AB
AB BN
Ta có
2; 5;2 38AB AB
.
Vậy
. 19AM BN
(đáp án A)
Câu 16. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Đề thi off thầy
Đoàn Trí Dũng
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu
S
và
S
tiếp xúc ngoài tại điểm
2;1;1A
. Một tiết diện
chung ngoài của hai mặt cầu lần lượt tiếp xúc với
S
tại
3;1; 2B
và tiếp xúc với
S
tại
C
. Xác định tọa độ điểm
C biết C nằm trên đường thẳng
1
:
3 1 1
y
xz
d

A.
11
0; ;
33



B.
11
2; ;
33
C



C.
1;0;0C
D.
4;1; 1C
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 152
Phân tích bài toán: Một tính chất cũ ở hình học lớp 9
AB AC
. Nếu nhớ được tính chất đó thì bài toán sẽ không
còn quá khó.
Giải:
Chứng minh tính chất đã đề cập ở trên thông qua tính
chất 2 tiếp tuyến cắt nhau cũng ở lớp 9 thì có
AFE=90ADE
và EF,ED lần lượt là đường phân giác
của 2 góc kề bù
,AEC AEB
nên
=90DEF
. Từ đó ADEF
là hình chữ nhật nên
AB AC
Ta có
2;1;1 , 3;1; 2 , 3 1; ;
1;0; 3 , 3 1; 1; 1
.0
11
0; ;
33
A B C t t t
AB AC t t t
AB AC AB AC
C


Chọn câu A
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 153 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Câu 17. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Đặng Thúc Hứa – Nghệ An
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
1
23
:
2 2 3
y
xz

và hai điểm
1; 1; 1A 
,
2; 1;1B 
. Gọi C, D là hai điểm phân biệt di động trên
đường thẳng
sao cho tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD
luôn nằm trên tia Ox. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
A.
12 17
17
B.
17
C.
3 17
11
D.
13
Phân tích lời giải: Bài toán trên đã có hai mặt phẳng hoàn
toàn xác định được là
ACD
và
BCD
. Gọi I là tâm mặt
cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện. Khi đó dễ dạng
áp dụng được điều kiện tiếp xúc đối với hai mặt phẳng
ACD
và
BCD
. Kết hợp với điểm I thuộc tia Ox nên sẽ
tìm được tọa độ điểm I và bán kính mặt cầu đó. Yêu cầu bài
toán là tìm độ dài CD. Do đó cần xác định được tọa các điểm
C, D. Ta lại áp dụng điều kiện tiếp xúc đối với mặt phẳng
CAB
hay
DAB
để tìm tọa độ điểm C, D. Nhắc lại cách
viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
và qua
điểm M không thuộc
:
“Cho đường thẳng
có phương trình
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct


; cho điểm
;;
M M M
M x y z 
. Khi đó các bước viết phương trình:
Bước 1: Lấy điểm
A
, tính
AM
. Xác định VTCP của
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 154
Bước 2: Tính
, ; ;n AM u A B C



. Đây chính là VTPT
của mặt phẳng.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng qua
,M
nhận VTPT
n
có dạng
0
M M M
A x x B y y C x x
”
Giải:
Với cách viết phương trình mặt phẳng như trên được:
: 2 2 1 0ACD x y z
;
: 2 2 2 0BCD x y z
.
Gọi
;0;0I t Ox
. Khi đó
;d I ACD d I BCD
2 1 2
1
1
33
tt
t
t



Do I thuộc tia Ox nên
0t
. Do đó
1t
.
Suy ra
1;0;0I
và
1r
.
Gọi
2 2;2 1; 3 3C t t t
.
2 1; 2 2;3 2CA t t t
;
2 4; 2 2; 3 4CB t t t
.
Ta có
, 4 4;5 4;6 6n CA CB t t t


.
Phương trình mặt phẳng
ABC
là:
4 4 1 5 4 1 6 6 1 0t x t y t z
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 155 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
4 4 5 4 6 6 7 6 0t x t y t z t
.
2 2 2
11 10
; 1 1
4 4 5 4 6 6
t
d I ABC
ttt
1
8
11
t
t

.
Suy ra
0; 1;0C
;
6 5 9
;;
11 11 11
D




hoặc ngược lại.
Do đó
222
6 6 9 3 17
11 11 11 11
CD
. Chọn C.
Câu 18.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
1;2; 3A
và mặt phẳng
: 2 2 9 0P x y z
. Đường
thẳng d qua A có vectơ chỉ phương
3;4; 4u 
cắt
P
tại
điểm B. Điểm M thay đổi trong
P
sao cho M luôn nhìn
đoạn AB dưới góc
0
90
. Khi độ dài MB lớn nhất, đường
thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
A.
2; 1;3H 
B.
1; 2;3I 
C.
3;0;15K
D.
3;2;7J
Giải:
Phương trình đường thẳng
2
13
:
3 4 4
y
xz
d


.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 156
Do
Bd
nên
3 1;4 2; 4 3B b b b
mà
BP
nên
1b 
. Suy ra
2; 2;1B 
.
Gọi
A
là hình chiếu của A lên mặt phẳng
P
.
Khi đó phương trình
2
13
:
2 2 1
y
xz
AA


.
Và dễ dàng tìm được tọa độ điểm
3; 2; 1A
.
Do M nhìn AB dưới góc
0
90
nên
2 2 2
MA MB AB
.
Mặt khác ta có
MA AA
(tính chất cạnh góc vuông cạnh
huyền). Do đó
2 2 2 2 2
AB MA MB MB AA
.
Suy ra
2 2 2 2
MB AB AA A B

.
Vậy
maxMB A B M A

. Từ đó viết được phương
trình và kiểm tra xem điểm nào thuộc.
Câu 19.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
0;0;4A
, điểm M nằm trên mặt phẳng
Oxy
và
MO
.
Gọi D là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là trung
điểm của OM. Biết đường thẳng DE luôn đi qua tiếp xúc
với một mặt cầu cố định. Tìm bán kính mặt cầu đó.
A.
2R
B.
1R
C.
4R
D.
2R
Phân tích lời giải: Do các điểm
, , ,A D M E
cùng thuộc
một mặt phẳng
OAM
nên sẽ chuyển những điểm đó về
hình học phẳng và chứng minh các tính chất đó giống như
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 157 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
trong hình học phẳng trước đây đã học. Ta có các nhận định
sau:
Tam giác OAM
vuông tại O.
O, A không đổi nên
gọi I là trung điểm OA thì
I cố định. Và D thuộc mặt
cầu cố định đường tâm I
và đường kính OA.
Tam giác ODM
vuông tại D và E là trung
điểm OM nên góc
ODE DOE
.
Tam giác OAD vuông tại D nên
2IA IO ID
không đổi nên dự định đây chính là bán kính mặt cầu tiếp
xúc với DE. Như vậy cần phải chứng minh được
ID DE
.
Giải:
Bạn đọc tự chứng minh các nhận định 1, 2, 3 (theo thứ tự
trên. Bây giờ chứng minh nhận định 4.
Ta có góc
ODI IOD
. Từ đó suy ra
0
90IDE IDO ODE IOD DOE IOE
Suy ra
ID DE
. Vậy DE luôn tiếp xúc với mặt cầu cố
định tâm I bán kính bằng 2. Chọn A.
Câu 20.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu
2 2 2
1
: 4 2 0S x y z x y z
2 2 2
2
: 2 0S x y z x y z
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 158
Cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn
C
và ba điểm
1;0;0A
,
0;2;0B
,
0;0;3C
. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt
cầu tâm thuộc mặt phẳng chứa đường tròn
C
và tiếp
xúc với ba đường đường thẳng AB, AC,BC.
A. 1
B. 2
C. 4
D. vô số
Phân tích lời giải: Như đã biết, trong mặt phẳng có 4
đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác. Và ở đây,
cũng dự đoán rằng sẽ có 4 mặt cầu tiếp xúc với ba đường
thẳng đó.
Sau đây, xin nhắc một số kiên thức về vấn đề tập hợp tâm
của một mặt cầu thỏa mãn điều kiện nào đó.
Bài toán 1. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa
một đường tròn cố định cho trước.
Giải. Giả sử đường tròn cố định
C
tâm I bán kính r nằm
trên mặt phẳng
P
. Xét đường thẳng d qua I và vuông góc
với mặt phẳng
P
. Đường thẳng d được gọi là trục của
đường tròn. Giả sử O là tâm của mặt cầu
S
chứa đường
tròn
C
thì O cách đều mọi điểm của
C
. Vì vậy chân
đường vuông góc hạ từ O xuống mặt phẳng
P
chính là tâm
I của
C
. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi điểm
Od
.
Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một
đường tròn cố định cho trước là đường thẳng d vuông góc
với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.
Bài toán 2. Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng
tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 159 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Giải. Giả sử tam giác ABC cho trước nằm trong mặt phẳng
.P
Mặt cầu
S
tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC sẽ
giao với mặt phẳng
P
theo một đường tròn tiếp xúc với ba
cạnh của tam giác ABC, chính là đường tròn nội tiếp tam giác
ABC. Theo bài toán 1, tập hợp tâm các mặt cầu luôn tiếp xúc
với ba cạnh của tam giác ABC là trục đường tròn nội tiếp
tam giác ABC.
Như vậy, muốn kiểm tra xem có bao nhiêu mặt cầu có
tâm thuộc mặt phẳng
P
và tiếp xúc với ba cạnh thì ta cần
xác định rằng có bao nhiêu điểm I với I là tâm mặt cầu đó.
Và ta cần xác định tới 4 trường hợp. Vì với một tam giác, có
tới 4 đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác.
Giải:
Mặt phẳng
ABC
là
1 6 3 2 1 0
123
y
xz
x y z
.
Gọi
P
mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai
mặt cầu
12
,SS
.
Khi đó, tập hợp các điểm trên mặt phẳng
P
thỏa mãn
hệ:
2 2 2
2 2 2
4 2 0
6 3 2 0
20
x y z x y z
x y z
x y z x y z
.
Vậy phương trình mặt phẳng
: 6 3 2 0P x y z
.
Dễ thấy
P
song song với
ABC
. Như vậy, ứng với mỗi
đường tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC thì ta tìm được
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 160
duy nhất một tâm mặt cầu. Vậy có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu
cầu bài toán. Chọn C.
Câu 21. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 - Trường THPT
chuyên KHTN - Hà Nội – Lần 5
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện
ABCD có tọa độ các đỉnh lần lượt là
6; 1;1 , 4;0; 2 ,AB
5;1; 1 , 3;2; 6CD
. Các điểm P,Q di chuyển trong
không gian thỏa mãn
,,PA QB PB QC PC QD
,
PD QA
. Biết rằng mặt phẳng trung trực của PQ luôn đi
qua điểm X cố định. Vậy X sẽ nằm trong mặt phẳng nào
dưới đây ?
A.
3 3 9 0xyz
B.
3 3 3 0x y z
C.
3 3 6 0x y z
D.
2 2 6 39 0x y z
Vì lý do đề làm sai đáp án nên chúng tôi đã sửa lại các điểm
A, B, C, D sao cho phù hợp với đáp án và có chút thay đổi đáp án.
Phân tích đề bài: Mặt phẳng trung trực của PQ, điều này sẽ
giúp liên tưởng tới trung điểm của đoạn PQ. Ngoài ra để có
thể làm được câu này cần nhớ tới
2
2
PQ PQ
Giải
Gọi I là trung điểm của PQ .
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD nên
91
; ; 2
22
G



.
Ta có:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 161 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
, , ,
; ; ;
0
2 . 2 . 2 . 2
PA QB PB QC PC QD PD QA
PA QB PB QC PC QD PD QA
PA QA PB QB PC QC PD QD
AI PQ BI PQ CI PQ DI
.0
8 . 0
PQ
IG PQ IG PQ
Vậy G là điểm cố định mà mặt phẳng trung trực PQ đi
qua. Thay vào các đáp án thấy đáp án A thỏa.
Câu 22. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
huyên Lam Sơn – Thanh Hóa
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho phương
trình ba mặt phẳng lần lượt là:
: 2 1 0P x y z
,
: 2 8 0Q x y z
;
: 2 4 0R x y z
. Một đường
thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng
,,P Q R
lần lượt tại
ba điểm A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
144
T AB
AC

A.
3
min 72 3T
B.
3
min 54 2T
C.
min 108T
D.
3
min 72 4T
Phân tích lời giải: Dễ thấy ba mặt phẳng
,,P Q R
song song với nhau. Một đường thẳng d cắt cả ba mặt tại ba
điểm A, B, C nên ta nghĩ đến một kiến thức cũ: “Định lý
Thales trong không gian”. Định lý phát biểu như sau:
“Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến
bất kì trên các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Nghĩa là, nếu ba mặt
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 162
phẳng đôi một song song
,,P Q R
cắt các đường thẳng
,aa
lần lượt tại A, B, C và
,,A B C
thì
AB BC CA
A B B C C A

”.
Nhân tiện, nhắc lại “Định lý Thales đảo”. Định lý phát
biểu như sau:
“Giả sử trên các đường thẳng chéo nhau a và
a
lần lượt lấy
các điểm
,,A B C
và
,A B C
sao cho
AB BC CA
A B B C C A

. Khi đó,
ba đường thẳng
,,AA BB CC
lần lượt nằm trên ba mặt phẳng
song song, tức là chúng song song với cùng một mặt phẳng.”
Như vậy, với kiến thức trên, ta sẽ áp dụng như thế nào?
Yêu cầu bài toán, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Ta sẽ
nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức để giải. Chẳng hạn như
dùng bất đẳng thức Cauchy. Nếu áp dụng bất đẳng thức này
thì cần phải đưa về về cùng ẩn là AB hoặc AC. Do đó, áp
dụng định lý Thales để có thể biểu diễn AB theo AC hoặc
ngược lại. Nếu vậy, cần phải xác định đường đường thẳng
d
cắt ba mặt phẳng
,,P Q R
sao cho có được tỉ lệ.
Đường đó chính là đường thẳng vuông góc với cả ba mặt
phẳng đó. Vì sao lại vậy? Do khoảng cách giữa hai măt phẳng
song song, ta có thể tính được các khoảng cách chính là đoạn
giao điểm của hai mặt phẳng với đường thẳng vuông góc đó.
Từ đó áp dụng định lý Thales được.
Giải:
Giử sử
d
cắt ba mặt phẳng
,,P Q R
lần lượt tại
,,A B C
. Khi đó theo định lý Thales có
AB AC
A B A C
hay
.
AC
AC AB
AB


.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 163 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Lấy
0;0;1M
. Từ đó có
18
9
,
1 4 1 6
A B d M Q


14
3
;
1 4 1 6
A C d M R


Suy ra
1
3
AC AB
. Và
2 2 2
3
22
3
144 432 216 216
216 216
3 . . 3 216 108
T AB AB AB
AC AB AB AB
AB
AB AB
Câu 23:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ điểm
1;0;2 , 2;0;5 , 0; 1;7A B C
. Một điểm S di động trên
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
ABC
tại A. Gọi
D,E lần lượt là hình chiếu của A trên SB,SC. Biết rằng khi
S di động trên d thì đường thẳng DE luôn đi qua 1 điểm F
cố định. Tính khoảng cách từ F đến mặt phẳng
: 2 2 9 0P x y z
A. 6
B. 3
C. 4
D. 5
Phân tích bài toán: Do nếu điểm cố định thì nằm trong
mặt đáy vì đáy là mặt đã cố định và DE hướng xuống nên
dự đoán F là giao điểm của tiếp tuyến tại A của đường trong
tâm tam giác ABC và BC.
Giải:
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 164
Ta có :
3,0,3 , 1; 1;5 , 2; 1;2AB AC BC
.
Kiểm tra được tam giác ABC vuông tại B
Chứng minh được
; ,AFAD SBC BC SAB SAC
Gọi
D
là giao điểm của EF và
SB. Do
BC SAB
nên
1BC AD
Do
,SC AE AF SC
2SC AEF SC AD
Từ (1) và (2) suy ra được
D
là
hình chiếu của A lên mặt
SBC
mà
D cũng là hình chiếu của A lên mặt
SBC
nên D trùng
D
. Vậy đã có được điểm F.
Phương trình đường thẳng
22
:0
52
xt
BC y t
zt


Do
F BC
nên
2 2 ; ;5 2F t t t
Lại có
. 0 1 . 2 3 1 5. 2 3 0AF AC t t t
2 6;2;1tF
và
,
3
FP
d
. Vậy chọn B.
Câu 24: Đề minh họa THPT Quốc gia 2017 – lần 3
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
: 2 2 3 0P x y z
và mặt cầu
2 2 2
: 2 4 2 5 0S x y z x y z
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 165 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Giả sử điểm
MP
và
NS
sao cho vectơ
MN
cùng
phương với vectơ
1;0;1u
và khoảng cách giữa M và N
lớn nhất. Tính MN.
A.
3MN
B.
1 2 2MN 
C.
32MN
D.
14MN
Phân tích lời giải: Nhận thấy góc giữa mặt phẳng
P
và
đường thẳng MN bằng
0
45
không đổi. Hay nói cách khác,
gọi H là hình chiếu của N lên mặt phẳng
P
thì góc
0
45NMH
không đổi. Khi đó
0
2
sin45
NH
MN NH
. Do
đó dẫn đến MN lớn nhất khi và chỉ khi
NH
lớn nhất. NH lớn
nhất khi và chỉ khi NH đi qua tâm mặt cầu. Như vậy, hoàn
toàn tính được NH và suy ra
2MN NH
là xong.
Giải:
Mặt cầu
S
có tâm
1;2;1I
và bán kính
1R
.
Mặt cầu
S
có tâm
1;2;1I
và bán kính
1R
.
Ta có
,2d I P
. Suy ra
,3NH NI d I P
.
Vậy
2 3 2MN NH
.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 166
Câu 25: (Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Đề thi của thầy
Đoàn Trí Dũng)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ điểm
và đường thẳng . Gọi M là một điểm
di động trên trục hoành, N là một điểm di động trên sao
cho . Khi đó MN luôn tiếp xúc với một
cầu cố định có bán kính bằng bao nhiêu?
A.
B.
C.
D.
Phân tích bài toán: Cách thức chọn tâm đã nêu ở câu 10,
chuyên đề này.
Giải:
Gọi
.
Xét điểm .
Ta có:
Đề và đáp án thực hiện bởi Thầy Đoàn Trí Dũng
0;0;2A
0
:
2
x
yt
z


OM AN MN
3
2
R
1
2
R
1R
2
2
R
;0;0 , 0; ;2M m N n
22
42m n m n mn
0;0;1I
; ;2 , 0; ;1 , ; ;MN m n IN n MN IN n m mn


2 2 2 2
22
;1
4
m n m n
d I MN
mn


Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 167 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
PHẦN III: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A,
B lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy. Có bao nhiêu điểm M
trong không gian thỏa mãn
2 2 2
MA MB MO
.
A. 1
B. 2
C. 5
D. Vô số
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
,,A B C
di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho
1 1 1 1
2017OA OB OC
. Biết rằng mặt phẳng
ABC
luôn đi
qua điểm cố định
;;M m n p
. Giá trị của biểu thức
m n p
là :
A. 2017
B. 2016
C. 2015
D. 2018
Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng
22
2
: 1 1 861S x y z
và ba điểm
1;1;1A
,
1;2;0B
,
3; 1;2C
. Gọi điểm
;;M a b c
thuộc
S
sao
cho
2 2 2
2 7 4MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng
giá trị
a b c
bằng:
A. 8
B. 5
C. 3
D.
5
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
12
:
1 2 2
y
xz
d


và các điểm
1;0;0 , 2; 1;2AB
,
1;1;3C
. Gọi
S
là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng
d và cắt mặt phẳng
ABC
theo giao tuyến là đường tròn có
bán kính nhỏ nhất ? Chọn đáp án đúng
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 168
A.
min
2R
B.
min
5R
C.
min
3R
D.
min
4R
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
222
: 2 1 3 9S x y z
và mặt phẳng
: 2 2 16 0P x y z
. Hai điểm M, N di động trên
P
và
P
. Độ dài nhỏ nhất của đoạn MN bằng ?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Bài 6. Cho hình nón tròn xoay có tỉ lệ bán kính đáy và chiều
cao là
3: 4
nội tiếp một hình chóp cho trước, đỉnh của hình
chóp và hình nón trùng nhau. Gọi
12
,VV
lần lượt là thể tích
của khối chóp và khối nón đó. Giả sử tồn tại một khối cầu có
thể tích là
3
V
sao cho hình chóp đã cho ngoại tiếp khối cầu
này. Khi đó
1 2 3
::V V V
là bao nhiêu ? Biết rằng diện tích toàn
phần của hình chóp là
2
3 h
(h là chiều cao của hình nón tròn
xoay)
A. 12:8:3
B. 12:8:5
C. 16:8:3
D. 16:8:5
Bài 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều
có cạnh là 5, chiều cao bằng 5 . Điểm M thay đổi trên đoạn
AB’ sao cho mặt phẳng qua M và vuông góc với AB cắt đoạn
BC’ tại N. Xác định tỉ số
'
AM
BM
sao cho giá trị biểu thức:
22
24
AM MN
nhỏ nhất.
A.
7
9
B.
9
7
C.
9
16
D.
7
16
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 169 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh
a và hình chiếu của S lên mặt phẳng
ABC
là điểm H nằm
trong tam giác ABC sao cho
120 , 90 .AHB BHC CHA CHA
Biết tổng diện
tích mặt cầu ngoại tiếp của ác hình chóp
S.HAB,S.HBC,S.HCA là
2
31
3
a
.Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC.
A.
3
2
a
B.
3
6
a
C.
3
3
a
D.
3
4
a
Bài 9. Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa
hình vuông ABCD có cạnh là a và tâm O . Lấy điểm S di động.
Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh SB.Gọi O’ là điểm đối
xứng của tâm O qua các cạnh AB. Biết khi S di động trên Ax
thì đường thẳng O’H luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Tính thể tích của khối cầu đó.
A.
3
2
3
a
B.
3
2
3
a
C.
3
3
a
D.
3
3
3
a
Bài 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho có
4;0;0 , 0;0; , 2,4,0A B m C m R
. Gọi D là hình chiếu
vuông góc của O lên đường thẳng AB. Biết rằng có một mặt
cầu luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng CD tại điểm D. Tính
bán kính mặt cầu đó.
A.
3
B.
5
C.
7
D.
3
Bài 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho lăng
trụ đứng ABC.A’B’C’ có
;0;0 , ;0;0 ,A a B a
0; 1;0C
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 170
;0;B a b
với
,0
4
ab
ab


. Khoảng cách lớn nhất giữa 2
đường thẳng
BC
và
AC
là:
A. 1
B. 2
C.
2
D.
2
2
Bài 12. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn
1, 1, 1c a b c a b c
. Tìm tất cả cá giá trị thực của
tham số m để hàm số
32
6 2 3 6f x x m ax bx cx
đồng
biến trên
1,1

.
A.
11 m
B.
55
44
m
C.
44
55
m
D.
11
22
m
Bài 13. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
4; 4;2A
và mặt phẳng
: 2 2 0P x y z
.Gọi M là điểm
nằm trong
P
,N là trung điểm của OM, H là hình chiếu
vuông góc của O lên AM. Biết rằng khi M thay đổi thì đường
thẳng HN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán R
của mặt cầu đó.
A.
23R
B.
3R
C.
32R
D.
6R
Bài 14. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
: 2 2 15 0P x y z
.Gọi M là điểm di động trên
P
,N là
điểm thuộc tia OM, sao cho
. 10OM ON
. Hỏi khoảng cách
từ N đến mặt phẳng
P
có giá trị nhỏ nhất là?
A. 4
B. 5
C. 2
D. 3
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 171 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Bài 15. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 1 2 1 2 5 0S x y z m x m y z
. Biết rằng
khi m thay đổi thì mặt cầu
S
luôn chứa một đườg tròn
C
cố định. Tìm bán kính r của đường tròn
C
A.
7r
B.
2r
C.
1r
D.
3r
Bài 16. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
1;2;0 , 2; 3;2AB
. Gọi
S
là mặt cầu đường kính AB và
Ax là tiếp tuyến của
S
tại A, By là tiếp tuyến của
S
tại B
và
Ax By
. Hai điểm M,N lần lượt di động trên Ax,By sao
cho MN là tiếp tuyến của
S
. Hỏi tứ diện AMBN có diện tích
toàn phần nhỏ nhất là ?
A.
19 3
B.
19 2 3
C.
19 2 3
D.
19 2 6
Bài 17. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
0; 3;0 , 0;0;2AB
và hai điểm CD di động trên trục Ox sao
cho
13CD
. Tính thể tích khối tứ diện ABCD ?
A.
13V
B.
6 13V
C.
13V
D.
2 13V
Bài 18. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
0;0;3 , 2;0;0 , 2;0;0S A B
và các điểm C,D di độgn trên
mặt Oxy sao cho ABCD là một tứ giác lồi có chu vi bằng 36.
Các mặt
,,SAD SCD SBC
cùng tạo với mặt phẳng Oxy
góc
60
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 172
A.
18 3
B. 48
C.
16 3
D. 54
Bài 19. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
0;1;1 , 1; 2; 3 , 1;0; 3A B C
. Gọi D là điểm di động
trên mặt cầu
2 2 2
: 2 2 2 0S x y z x z
. Hỏi giá trị lớn
nhất của thể tích khối tứ diện ABCD là ?
A.
10 6
3
B.
86
3
C.
40
3
D.
20
3
Bài 20. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường
thẳng
12
1
12
: , :
2 1 1 1 2 1
yy
x z x z
dd

. Mặt phẳng
P
vuông góc
1
d
, cắt trục Oz tại A và cắt
2
d
tại B. Hỏi độ dài nhỏ
nhất của đoạn AB ?
A.
2 31
5
B.
24
5
C.
2 30
5
D.
30
5
Bài 21. Cho x,y là các số thực dương thỏa
1
4, , 1.
2
xy x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
22
log log 1 .A x y
A.
3
4
B.
1
2
C.
11
D. 5
Bài 22. Cho hàm số
3
.
33
x
x
f x x
Tính
2 2 2 2
sin 0 sin 1 ... sin 89 sin 90S f f f f
A.
91
2
B.
45
C. 46
D.
93
2
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 173 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Bài 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
22
2
: 2 1 1 4S x y z
. Mặt phẳng
P
cắt mặt
cầu
S
theo thiết diện là đường tròn lớn và cắt các trục
Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm
;0;0 , 0; ;0 ,A a B b
0;0;3C
,0ab
. Tính tổng
T a b
khi thể tích tứ diện OABC đạt
giá trị nhỏ nhất.
A.
18T
B.
9T
C.
11T
D.
3T
Bài 23. Cho parabol
P
có đỉnh
1;0I
và cắt đường thẳng d tại
2;1 , 1;4AB
như hình vẽ bên
cạnh. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn parabol
P
và đường
thẳng d.
A.
9
2
S
B.
13
2
S
C.
5
6
S
D.
21
2
S
Bài 25. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
: 2 2 18 0P x y z
.Gọi M là điểm di chuyển trên
P
; N
là điểm nằm trên tia OM sao cho
. 24OM ON
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng
P
.
A.
min , 2d N P
B.
min , 0d N P
C.
min , 4d N P
D.
min , 6d N P
Bài 26. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
: 2 1 1 9S x y z
và
;;
o o o
M x y z S
sao
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 174
cho
22
o o o
A x y z
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tổng
.
o o o
xyz
A. 2
B.
1
C.
2
D. 1
Bài 27. Cho hàm số
3 1 10
3 3 1 1
mx
y
xm

. Biểu diễn tập hợp
các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng
0;5
thành dạng
;;ab
. Tính tổng
S a b
.
A.
1S 
B.
8S
C.
8S 
D.
1S
Bài 28. Biết tập nghiệm bất phương trình
22
35
log 2 1 3log 3 4x x x x
là
,ab
.
Tính
2ab
?
A. 3
B. 0
C. 2
D.
3
Bài 29. Cho khối hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
. Gọi M
là trung điểm của
BB
mặt phẳng
MDC
chia khối hình
hộp chữ nhật thành hai khối đa diện, một khối chứa đỉnh C
và một khối chứa đỉnh
A
. Gọi
12
,VV
lần lượt là thể tích hai
khối đa diện chứa C và
A
. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
1
2
7
8
V
V
B.
1
2
7
17
V
V
C.
1
2
3
4
V
V
D.
1
2
7
24
V
V
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
DVBO – HAK ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 175 Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TRẦN VĂN HẠO (Tổng Chủ Biên) – VŨ TUẤN (Chủ
Biên) – LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG – NGUYỄN TIẾN TÀI –
CẤN VĂN TUẤT (2013), Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt
Nam.
2. VŨ TUẤN (Chủ Biên) – LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG –
NGUYỄN THU NGA – PHẠM THU – NGUYỄN TIẾN TÀI
– CẤN VĂN TUẤT (2013), Bài tập Giải tích 12, NXB Giáo dục
Việt Nam.
3. ĐOÀN QUỲNH (Tổng Chủ Biên) – NGUYỄN HUY
ĐOAN (Chủ Biên) – TRẦN PHƯƠNG DUNG – NGUYỄN
XUÂN LIÊM – ĐẶNG HÙNG THẮNG (2013), Giải tích 12
Nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam.
4. NGUYỄN HUY ĐOAN (Chủ Biên) – TRẦN PHƯƠNG
DUNG – NGUYỄN XUÂN LIÊM – PHẠM THỊ BẠCH
NGỌC – ĐOÀN QUỲNH – ĐẶNG HÙNG THẮNG (2013),
Bài tập Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam.
5. TRẦN VĂN HẠO (Tổng Chủ Biên) – NGUYỄN
MỘNG HY (Chủ Biên) – KHU QUỐC ANH – TRẦN ĐỨC
HUYÊN – (2013), Hình học 12, NXB Giáo dục Việt Nam.
6. NGUYỄN MỘNG HY (Chủ Biên) – KHU QUỐC ANH
– TRẦN ĐỨC HUYÊN – TRẦN VĂN HẠO (2013), Bài tập
hình học 12, NXB Giáo dục Việt Nam.
7. ĐOÀN QUỲNH (Tổng Chủ Biên) – VĂN NHƯ
CƯƠNG (Chủ Biên) - PHẠM KHẮC BAN – LÊ HUY HÙNG
– TẠ MẪN (2013), Hình học 12 Nâng cao, NXB Giáo dục Việt
Nam.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Trang 176
8. VĂN NHƯ CƯƠNG (Chủ Biên) - PHẠM KHẮC BAN
– LÊ HUY HÙNG – TẠ MẪN (2013), Bài tập Hình học 12 Nâng
cao, NXB Giáo dục Việt Nam.
9. Bài tập từ các nhóm: Nhóm pi, nhóm toán 12, nhóm
toán,…
10. Tham khảo các đề thi thử từ trang web:
http://toanhocbactrungnam.vn/download/De-thi-THPT-
Quoc-gia-2017/
| 1/176

Tài liệu khác của Toán

Preview text:

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  PHÂN TÍCH SAI LẦM
 TỔNG HỢP CÂU HỎI NÂNG CAO
Hướng dẫn giải chi tiết
HCM, 5-2017, LƯU HÀNH NỘI BỘ Giấy A5
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  PHÂN TÍCH SAI LẦM
 TỔNG HỢP CÂU HỎI NÂNG CAO
Hướng dẫn giải chi tiế
HCM, 5-2017, LƯU HÀNH NỘI BỘ LỜI NÓI ĐẦU
Ở bất kì hình thức thi nào trong một cuộc thi nào thì cũng
có những sai lầm mà học sinh vấp phải và cũng có những bài
toán khó ở trong đề thi. Năm 2016 trở về trước, với hình thức
thi tự luận thì các câu hỏi khó thường rơi vào hình học giải
tích trong mặt phẳng, phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình và các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Và bắt đầu năm
2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đổi từ hình thức thi tự luận sang
hình thức thi trắc nghiệm khách quan thì cũng không tránh
khỏi là không ra những câu hỏi khó. Đặc biệt là những lỗi sai
cơ bản của học sinh, nhằm đánh giá đúng năng lực của học
sinh. Dựa trên vấn đề đó, chúng tôi biên soạn ra cuốn sách
“Những câu hỏi nâng cao rèn luyện kĩ năng giải toán môn toán” với
mong muốn giúp cho các bạn học sinh có thêm nguồn tư liệu
tham khảo, trau dồi kiến thức để có thể thi tốt kì thi Trung học
Phổ thông Quốc gia và đạt được ước mơ vào ngôi trường Đại học mà mình mong muốn.
Cuốn sách này gồm có các phần sau:
PHẦN I: PHÂN TÍCH SAI LẦM QUA NHỮNG BÀI TOÁN CỤ THỂ
PHẦN II: TỔNG HỢP CÂU HỎI NÂNG CAO
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Chuyên đề 2: Mũ – logarit Chuyên đề 3: Tích phân Chuyên đề 4: Số phức
Chuyên đề 5: Hình học không gian
Chuyên đề 6: Phương pháp tọa độ trong không gian
PHẦN III: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Cuốn sách này được chúng tôi biên soạn dựa trên các bài
toán trong các đề thi thử trên cả nước, từ các nhóm học tập
trên facebook. Trong mỗi bài toán, chúng tôi luôn đưa ra
những hướng dẫn giải chi tiết. Thêm vào đó, những bài tập
nào có kiến thức mới thì chúng tôi cũng có đưa vào, tuy nhiên
do thời gian hạn hẹp nên chúng tôi cũng không có viết thêm
lý thuyết được nhiều. Chúng tôi đưa những kiến thức mới,
nằm ngoài sách giáo khoa nhằm giúp các bạn học sinh có
những kiến thức mới, vận dụng nhanh chóng vào các câu hỏi
nâng cao. Qua đó cũng giúp các bạn học sinh có cái nhìn mới
về Toán học. Các kiến thức mới này nằm ngoài chương trình
học của các bạn học sinh nên có thể rất bỡ ngỡ với. Các bạn
học sinh có thể đọc và tự chứng minh để kiểm chứng những
kiến thức mới đó. Ngoài ra, chúng tôi còn thêm những bài
tập tương tự sau những bài tập hướng dẫn giải. Tuy nhiên,
cũng chỉ là một chút ít trong số những bài tập mà chúng tôi
có phân tích và hướng dẫn.
Vì chúng tôi còn là sinh viên nên còn phải học trên ghế
nhà trường. Do đó thời gian biên soạn của chúng tôi có hạn.
Vì vậy, nội dung của cuốn sách này có thể còn có những
khuyết điểm và chưa được phong phú cho lắm. Với tinh thần
ham học hỏi, chúng tôi luôn mong nhận được sự đóng góp
từ quý bạn đọc để một ngày nào đó cuốn sách này có thể hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, chúc các bạn học sinh có thể thi tốt kì thi
Trung học Phổ thông Quốc gia. Các tác giả
Đoàn Văn Bộ - Huỳnh Anh Kiệt
(Sinh viên Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh)
--------------------------------
Mọi sự đóng góp vui lòng gửi về1:
Facebook: https://www.facebook.com/dvboo
Gmail: K40.101.183@hcmup.edu.vn
1 Học sinh muốn tệp pdf đầy đủ vui lòng nhắn tin qua facebook hoặc
gmail. Vì một số lí do nên không đăng bản đầy đủ.
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................. 4
PHẦN I: PHÂN TÍCH SAI LẦM QUA NHỮNG BÀI TOÁN
CỤ THỂ ........................................................................................ 8
PHẦN 2: TỔNG HỢP CÂU HỎI NÂNG CAO .................... 39
Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN
LIÊN QUAN .......................................................................... 39
Chuyên đề 2: MŨ – LOGARIT ............................................ 54
Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ................. 64
Chuyên đề 4: SỐ PHỨC ....................................................... 87
Chuyên đề 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ..................... 107
Chuyên đề 6: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN .................................................................... 130
PHẦN III: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN .......................... 167
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................... 175
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 7
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
PHẦN I: PHÂN TÍCH SAI LẦM QUA NHỮNG BÀI TOÁN CỤ THỂ Câu 1.
Cho hàm số y f x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f x  0, x
 a;b  f x đồng biến trên a;b.
B. f x  0, x
  a;b  f  
x đồng biến trên đoạn a;b   C. f x đồng biến trên khoảng a;b
f x  0, x
 a;b.
D. f x nghịch biến trên a; b  f x  0, x
 a;b. Giải:
Với câu này, chắc hẳn nhiều học sinh hoang mang, không
biết chọn đáp án A hay C. Với câu hỏi như thế này, nếu
không nắm vững lý thuyết thì sẽ không trả lời đúng câu này.
Học sinh quen làm với hàm bậc ba, trùng phương hay bậc
hai trên bậc nhất thì học sinh sẽ chọn ngay đáp án C. Bởi vì
với lý luận mà học sinh hay làm bài tập là: “Hàm số đồng biến
trên a; b khi và chỉ khi f x  0, x
 a;b”.
Sai lầm của học sinh khi chọn đáp án C là ngộ nhận
những kiến thức của bài tập mà học sinh hay làm.
Đáp án D sai vì nếu f x  0, x
 a;b thì f x nghịch
biến trên khoảng a; b.
Đáp án B sai vì nếu hàm số f x có thể không xác định
tại a, b nhưng vẫn đồng biến trên a; b   . Ví dụ xét hàm
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 8
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 1
f x  x, x 0;1   có f   . 2 x
Rõ ràng f x không xác định tại x  0 nhưng hàm số
vẫn đồng biến trên 0;1   .
Đáp án C sai vì thiếu f x  0 tồn tại hữu hạn điểm. Mặt ax b ad bc khác nếu xét y y 
 0  ad bc  0 và cx  có dcxd2
suy ra hàm phân thức đó là hàm hằng. Dẫn đến không thỏa mãn với yêu cầu.
Đáp án A đúng vì theo định lý SGK cơ bản 12 trang 6. Câu 2. x  1
Cho hàm số y x . Xét các mệnh đề sau: 3
(1) Hàm số luôn nghịch biến trên D   \  3 .
(2) Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x  1; một tiệm
cận ngang là y  3.
(3) Hàm số đã cho không có cực trị.
(4) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I 3;1 của hai đường
tiệm cận là tâm đối xứng.
Chọn các mệnh đề đúng.
A. (1),(3), (4) B. (3), (4)
C. (2), (3),(4) D. (1), (4) Giải:
Sai lầm thường gặp:
Tập xác định D   \  3 .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 9
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK 2  Ta có y      x D . x  3 0, 2
 Hàm số nghịch biến trên  \ 
3 hoặc ; 3 3;  Suy ra (1) đúng.
Tiệm cận đứng x  3 , tiệm cận ngang y  1. Suy ra (2) sai. Mệnh đề (3) đúng.
Đến đây học sinh chọn ngay đáp án A. Mà đáp án A sai.
Phân tích sai lầm: Học sinh nhớ định nghĩa đồng biến
(nghịch biến) trên khoảng nhưng lại không biết đến rằng
mình không có học định nghĩa trên hai khoảng hợp nhau.
Học sinh ngộ nhận rằng nghịch biến trên ; 3 và 3; 
thì gộp thành ; 3 3;  hoặc  \  3 và dẫn đến nói
câu này đúng. Như vậy, học sinh cần phải nhớ rõ rằng, chỉ
học định nghĩa đồng biến (nghịch biến ) trên khoảng, đoạn,
nửa đoạn; không có trên những khoảng hợp nhau.
Mệnh đề (1) sai (giải thích ở trên). Sửa lại: Hàm số nghịch
biến trên ; 3 và 3;  . Mệnh đề (2) sai.
Mệnh đề (3) đúng. Hàm bậc nhất trên bậc nhất không có điểm cực trị.
Mệnh đề (4) đúng vì giao điểm hai đường tiệm cận của
đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Vậy đáp án B.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 10
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Câu 3.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P: xy z 6  0 và mặt cầu S 2 2 2
: x y z  12 . Có
bao nhiêu mặt phẳng Q song song với P và tiếp xúc với S. A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số Giải:
Gọi O 0; 0; 0  và R  2 3 lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu S.
Vì Q / / P nên Q : x y z D  0 (*).
Vì Q tiếp xúc với S nên d ;
O Q  R. D   2 3 (1) 2 2 2 1  1  1
Đến đây học sinh kết luận ngay là có 2 mặt phẳng.
Ngoài ra nếu làm tiếp thì D  6  D  6  (2).
Học sinh cũng kết luận có hai mặt phẳng cần tìm.
Như vậy, nếu học sinh nào chọn C thì sai.
Phân tích sai lầm: Học sinh thấy A B với B  0 thì sẽ
tồn tại hai giá trị của A thỏa mãn điều đó nên kết luận liền.
Tuy nhiên với (2), học sinh cũng sai. Lỗi sai ở (1) và (2) là học
sinh quên đặt điều kiện của D ở (*) nên dẫn đến không loại
đáp án. Ở (1) học sinh ngộ ngay sẽ có hai giá trị D thỏa mãn.
Do Q / / P nên D  6  . Vậy đáp án B.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 11
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK Câu 4. Cho hàm số 4 2
y x  2x  2 . Cực đại của hàm số bằng A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 Giải:x  0 Ta có 3
y  4x  4x ; y  0   x  1   Bảng biến thiên x  1 0 1  y      2  y 1 1
Nhìn vào bảng biến thiên, thấy ngay được cực đại của
hàm số. Tuy nhiên nếu không hiểu rõ các khái niệm về vấn
đề này thì sẽ mắc sai lầm câu này và phân vân giữa đáp án A, C.
Ở đáp án A, đó là điểm cực đại chứ không phải cực đại của hàm số.
Nhắc lại khái niệm: “Nếu hàm số y f x đạt cực đại (cực
tiểu) tại điểm x thì x được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của 0 0
hàm số, f x được gọi là giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số 0 
còn gọi tắt là cực đại (cực tiểu)”. Nắm vững khái niệm này thì
có thể chọn đáp án câu này đúng.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 12
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Câu 5. 2 cos x  3
Tìm tham số m để hàm số y  2cosx nghịch biến trên m    khoảng 0;  ?  3  3  m  1 m  3 A.B.m   2 m   2 C. m  3  D. m  3  Giải:
Nhận thấy, cả tử và mẫu đều có cos x nên dùng phương
pháp đổi biến để làm bài toán dễ dàng hơn.     1 
Đặt t  cos x, với x 0;  thì t  ;1 .  3   2  2t  3
Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số y  2t m  1 
nghịch biến trên  ;1 .  2  m
Điều kiện xác định t  . 2 2  m  3 Ta có y   2t m2  1 
Hàm số nghịch biến trên  ;1 khi và chỉ khi  2  m  3   1    3   m  1 y  0, t   ;1   m  1     2     ;1 m  2  2  2 
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 13
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Với cách giải trên thì chọn đáp án A. Đáp án A là đáp án
sai. Nguyên nhân sai lầm là do đâu?
Phân tích sai lầm: Nếu đặt t  cos x thì hàm số ban đầu t
là hàm hợp của các hàm y f t 2 3  t x . Khi 2t  và cos m
đó y  f .t Yều cầu bài toán tìm m để hàm số y f xt x       nghịch biến trên  0;  nên y  0, x  0;   3   3    
f .t  0, x  0;
. Mà sau khi đổi biến như vậy thì ta có t x   3      1  t  0, x  0;
. Như vậy thì ta phải có f   0, t   ;1 . x    3  t  2 
Chứ không phải như y  0 như cách giải ở trên. Sai lầm dẫn
đến sai là không để ý đến biến mới nó biến thiên như thế nào
để ta có bài toán mới. Ngoài ra, nhiều học sinh là quen nhiều
dạng toán mà yêu cầu bài toán vẫn giữ nguyên nên dẫn đến
ngộ nhận bài toán này như vậy. Đáp án chính xác được nêu ở phần hai. Câu 6.
Cho hàm số y x . Chọn mệnh đề đúng.
A. Hàm số không có đạo hàm tại x  0 và cũng không đạt
cực tiểu tại x  0 .
B. Hàm số không có đạo hàm tại x  0 nhưng đạt cực tiểu tại x  0 .
C. Hàm số có đạo hàm tại x  0 nên đạt cực tiểu tại x  0 .
D. Hàm số có đạo hàm tại x  0 nhưng không đạt cực tiểu tại x  0 .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 14
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Giải:
Chắc hẳn có nhiều học sinh chọn đáp án B vì x 1  ,neu x  0 2
y x x , y    2 1,neu x   0 x
Học sinh kết luận ngay hàm số không có đạo hàm tại
x  0 và cũng kết luận ngay không đạt cực tiểu tại x  0 . Tại sao lại như vậy?
Phân tích sai lầm: Học sinh đã ngộ nhận ngay định lý
“Nếu hàm số y f x đạt cực trị tại x thì f x  0 ” là điều 0  0
kiện cần và đủ để hàm số có cực trị. Nghĩa là đạo hàm tại
điểm đó mà không bằng 0 thì không có cực trị. Nguyên nhân
là không nắm vững lý thuyết về cực trị. Đặc biệt là định lý
trên chỉ có một chiều, không phải hai chiều. Tức là chiều
ngược lại có thể không đúng.
Nhắc lại một chút về điều kiện đủ để điểm x là điểm cực 0
trị của hàm số: “ f x đổi dấu qua x thì x gọi là điểm cực trị 0 0
của hàm số” hoặc nếu nhìn vào đồ thị hàm số thì “đồ thị hàm
số đổi chiều qua điểm x thì x gọi là điểm cực trị”. Do đó, hàm 0 0
số y f x có thể không có đạo hàm tại x nhưng vẫn có thể 0
đạt cực trị tại điểm x . Trong quá trình học lý thuyết, chúng 0
ta nên học thật kĩ, hiểu tường tận bản chất của định nghĩa
khái niệm đó để tránh khỏi mắc phải những sai lầm không đánh kể.
Như vậy đối với hàm số trên thì rõ ràng y đổi dấu qua
x  0 nên x  0 là điểm cực trị. Ở câu hỏi này thì x  0 chính
là điểm cực tiểu của hàm số.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 15
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK Câu 7.
Cho số phức z a bi , a,b
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đối với số phức z, a là phần thực.
B. Điểm M a; b trong hệ trục tọa độ Oxy được gọi là điểm
biểu diễn số phức z.
C. Đối với số phức z, bi là phần ảo.
D. Đối với số phức z, b là phần ảo. Giải:
Đối với câu này thì rất nhiều học sinh bối rối trong việc
chọn đáp án giữa C, D. Có nhiều học sinh sẽ chọn đáp án D.
Phân tích sai lầm: Bởi vì học sinh không nhớ hoặc nhớ
nhầm giữa các phần thực, phần ảo của số phức z. Học sinh
hay cho rằng phần ảo chính là bi . Nhắc lại một chút lý
thuyết: “Cho số phức z a bi với a,b
thì a được gọi là phần
thực, b được gọi là phần ảo còn i được gọi là đơn vị ảo”.
Như vậy thì phần ảo của số phức z không có chứa i. Vậy mệnh đề C sai.
Phân tích từng mệnh đề:
Mệnh đề A, D đúng (theo phân tích lý thuyết ở trên).
Mệnh đề B đúng. Với mỗi số phức có dạng z a bi thì
M z  a; b được gọi là điểm biểu diễn số phức z.
Mệnh đề C sai (theo phân tích lý thuyết trên).
Lưu ý: Với những câu lý thuyết thì cần phải nắm vững lý thuyết.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 16
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Câu 8.
Cho số phức z  3  2i, z  6  5i . Tìm số phức liên hợp 1 2
của số phức z  5z  6z . 1 2
A. 51 40i
B. 51 40i
C. 48  37i
D. 48  37i Giải:
Ta có z  5z  6z  5 3  2i  6 6  5i  51  40i . 1 2    
Ở đây có lẽ nhiều học sinh chọn ngay đáp án A.
Phân tích sai lầm: Đây là một bài toán dễ, nhưng nhiều
học sinh lại mất điểm câu này. Lý do học sinh đọc đề không
kĩ và hấp tấp trong việc chọn đáp án. Đề bài yêu cầu là số
phức liên hợp của số phức z chứ không phải số phức z. Câu 9.
Tìm tất các các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số x  1 y
có đúng một đường tiệm cận đứng. 2
x  2mx  3m  4 m  1  m  1  A.B.m   4 m   4 C. 1   m  4 D. m  5;  1  ;  4 Giải: Sai lầm thường gặp:
Nhận thấy hàm số có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên đồ thị
hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng khi mẫu bằng 0
có đứng một nghiệm hay phương trình 2
x  2mx  3m  4  0 có nghiệm kép m  1  2
   m  3m  4  0   m   4
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 17
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Như vậy học sinh chọn ngay đáp án A.
Phân tích sai lầm: Học sinh đã xét thiếu trường hợp. Nếu
mẫu có hai nghiệm phân biệt và có một nghiệm là của tử thì
đồ thị hàm số vẫn có đúng một tiệm cận đứng. Xét thêm trường hợp 2
x  2mx  3m  4  0 có nghiệm x  1  thì ta có m  5  .
Thử lại thì thấy m  5
 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 10. x  1
Đồ thị hàm số y
không có tiệm cận ngang khi 2 mx  1 và chỉ khi
A. m  0
B. m  0
C. m  0
D. m  0 Giải:
Có lẽ nhiều học sinh chọn đáp án C.
Phân tích sai lầm:
 Nguyên nhân thứ nhất: Học sinh quên xét trường
hợp m  0 . Nếu m  0 thì đồ thị hàm số y x  1
cũng không có tiệm cận ngang.
 Nguyên nhân thứ hai: Không hiểu rõ mệnh đề và
phủ định sai. Vì ban đầu học sinh có thể tìm m để
đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trước. Và giải tìm
được điều kiện như sau: m  0 . Phụ định lại, đồ
thị hàm số không có tiệm cận ngang khi và chỉ khi
m  0 . Như vậy, đã phủ định sai mệnh đề.
Những sai lầm của học sinh đa số rơi vào xét thiếu trường
hợp. Mặt khác, cũng có nhiều học sinh cũng hay làm theo
kiểu phụ định mệnh đề và làm thông qua một bài toán mới.
Nhưng khi phủ định lại mệnh đề thì lại bị sai.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 18
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Nhắc lại kiến thức về mệnh đề phủ định, hai mệnh đề tương đương:
“Cho mệnh đề P. Mệnh đề không phải P được gọi là mệnh đề
phủ định của P và kí hiệu P . Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P
là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P đúng thì P sai,
nếu P sai thì P đúng.
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu
Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu P Q .
Nếu P Q thì P Q và ngược lại. Ví dụ: cho hàm số 3 2
y ax bx cx d với a  0 . Ta có 2
y  3ax  2bx c có 2 
  b  3ac .
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
  0 . Ngược lại
hàm số không có cực trị khi và chỉ khi    0 .” Phân tích đáp án: 1 1  x  1 1 Ta có lim  lim  lim x yx x 2 mx  1 x 1 m x m  2 x 1 1  x  1 1  lim  lim  lim x yx x 2 mx  1 x 1 mx m  2 x
Như vậy, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi
m  0 . Phủ định lại, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
khi và chỉ khi m  0 . Vậy chọn đáp án A.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 19
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK Câu 11.
Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2
x  2mx m  4 y
có đúng một đường tiệm cận và 2
x  2 m  2 2 x m  4 đó là tiệm cận ngang. m  1 m  1
A. m  2
B. m  2 C. D. m   2 m   2 Giải:
Với dạng toán này, học sinh nhận thấy đồ thị hàm số luôn
có một đường tiệm cận ngang. Và nói rằng để đồ thị hàm số
có đúng một tiệm cận ngang thì 2
x  m   2 2
2 x m  4  0 2 vô nghiệm hay 
  m   2 2
m  4  0  m  2 . Học sinh sẽ chọn đáp án A.
Phân tích sai lầm: Học sinh đã xét thiếu trường hợp. Nếu 2
x  2mx m  4  0 có hai nghiệm x , x và 1 2 2
x  m   2 2
2 x m  4  0 cũng có hai nghiệm x , x thì giá 1 2
trị của m tìm được trong trường hợp này vẫn xảy ta. Hay nói 1 2  m m  4 cách khác  
. Với hệ này ta giải được 1 2 m  2 2 m  4 2 x  2x  3
m  1. Khi đó với m  1 ta có đồ thị hàm số y  2 x  2x  3
có tiệm cận ngang là y  1. Do đó thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm cũng có thể là không hiểu rõ
bản chất của vấn đề.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 20
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Câu 12.
Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số 1 y   2 m  2m 3 2
x mx  3x đồng biến trên . 3 m  0 m  0
A. m  0
B. 1  m  3 C. D. m   3 m   3 Giải:
Tập xác định D  . Ta có y   2 m m 2 2
x  2mx  3.
Hàm số đồng biến trên 2 m 3 2 m  2m 2  0  2
m  6m  0 m  0       2 2
m  2m  0
m  2m  0 m  3
Đến đây, học sinh sẽ chọn đáp án C.
Phân tích sai lầm: Học sinh quên xét trường hợp 2
m  2m  0 . Đối với bài toán tìm m để hàm số đơn điệu của
hàm bậc ba, hay trùng phương. Nếu hệ số bậc cao nhất có
chứ tham số thì phải xét trường hợp hệ số đó bằng 0 trước
xem có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không? Lỗi sai này rất
hay gặp, học sinh hay quên. Như vậy, để làm đúng dạng toán
này. Trường hợp đầu tiên, ta thấy hệ số bậc cao nhất chứa
tham số thì xét trường hợp đó đầu tiên. Lời giải đúng:
Tập xác định D  . Ta có y   2 m m 2 2
x  2mx  3. m  0 TH1: Nếu 2
m  2m  0   . m   2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 21
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Xét m  0 thì y  3  0 (nhận, hàm số đồng biến trên ) 3
Xét m  2 thì y  4x  3 (loại, vì y  0  x   , không 4
phải đúng với mọi x ). Xét 2
m  2m  0 .
Hàm số đồng biến trên 2 m 3 2 m  2m 2  0  2
m  6m  0 m  0       2 2
m  2m  0
m  2m  0 m  3
Kết hợp 2 trường hợp được đáp án D. Câu 13. x  2 Cho hàm số y
C . Gọi giao điểm của đồ
x  có đồ thị   1
thị hàm số C  với đường thẳng d : y  x m là A, B. Tìm
tất cả các giá trị của tham số m để OAB là một tam giác 1 1 thỏa mãn   1. OA OBm  0 m  0 A.
B. m  2 C.
D. m  3 m   2 m   3
Phân tích lời giải: Đối với dạng toán này, chắc hẳn nhiều
học sinh nghĩ đến tương giao của hai đồ thị hàm số. Như vậy,
công việc đầu tiên là phương trình hoành độ giao điểm, sau
đó thu gọn sẽ được một phương trình ẩn x tham số m. Với
bài trên thì đó chính là phương trình bậc hai ẩn x tham số m.
Chắc hẳn, nhiều bạn nghĩ đến dùng vi-et, nếu không dùng
được thì sẽ không làm được bài này và bỏ cuộc. Bài toán này
có mẹo giải là phải kết hợp với phương trình bậc hai để thu
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 22
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
gọn biểu thức. Từ đó tìm được tham số m (kết hợp với giá thiết). Giải: Sai lầm thường gặp:
Phương trình hoành độ giao điểm của C  và d
x  2  xmx  1 2
x mx m  2  0,x  1 .(1) x  1
Để C  cắt d tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi 1
có hai nghiệm phân biệt x , x khác 1. 1 2 2
m  4m 2  0 2  
m  4m  8  0  m 1   
m m  2  0
Gọi A x ; x m , B x ,x m . 1 1   2 2 
OA x  x m2 2 2 2
 2x  2mx m 1 1 1 1
Do x là nghiệm của (1) nên 1 2 2
x mx m  2  0  2x  2mx  4  2m 1 1 1 1
(đây chính là mẹo mà đã nói ở trên) Khi đó 2
OA m  2m  4 .
OB x  x m2 2 2 2 2
 2x  2mx m m  2m  4 2 2 2 2
Khi đó, theo giả thiết có 2 m  0 2
 1  m  2m  0   2 m     2 m 2m 4
Đến đây học sinh so sánh với điều kiện thì sẽ chọn đáp
án A. Đây là đáp án sai. Tại sao học sinh lại sai câu này.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 23
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Phân tích sai lầm: Học sinh đọc đề bài không kĩ và khi
làm ra giá trị của tham số m thì kết luận liền. Với câu này,
đánh vào khả năng đọc đề và nhận thức của học sinh. Đề bài
yêu cầu “OAB là tam giác”. Như vậy điểm O không thuộc
và đường thẳng d hay m  0 . Suy ra loại đáp án m  0 . Và
chọn B. Sai lầm của học sinh là đọc đề học kĩ, đọc lượt và giải
ra kết quả rồi quên thử lại. Lời giải đúng:
Phương trình hoành độ giao điểm của C  và d
x  2  xm,x  1 2
x mx m  2  0,x  1 .(1) x  1
Để C  cắt d tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi 1
có hai nghiệm phân biệt x , x khác 1. 1 2 2
m  4m 2  0 2  
m  4m  8  0  m . 1   
m m  2  0
Mặt khác OAB là tam giác nên O d hay m  0 .
Gọi A x ; x m , B x ,x m . 1 1   2 2 
OA x  x m2 2 2 2
 2x  2mx m 1 1 1 1
Do x là nghiệm của (1) nên 1 2 2
x mx m  2  0  2x  2mx  4  2m 1 1 1 1 Khi đó 2
OA m  2m  4 .
OB x  x m2 2 2 2 2
 2x  2mx m m  2m  4 2 2 2 2 Theo giả thiết có 2 m  0 2
 1  m  2m  0   2 m     2 m 2m 4
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 24
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Kết hợp điều kiện được m  2 . Vậy chọn đáp án B. Câu 14.
Số nghiệm của phương trình của phương trình sau x    x 2 1 log 1 log
1  log x  22 2 . 2 2 2 2 A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 Giải: Sai lầm thường gặp: Điều kiện 2 x 1  0      x  2 x 1 2  0   1  x    2 x  2 1  0
Phương trình đã cho tương đương với
log x 1  log x  12 2  log x  2 2 2 2  
 log x 1  log x 12 2 x  2 2 2  
x 1  x 12 2
x2  x1 x1x2 2
x  2x 1  0  x  1 2
Kết hợp điều kiện ta được x  1  2 . Chọn đáp án C.
Phân tích sai lầm: Học sinh đã áp dụng công thức log k
b k log b một cách tự nhiên mà không để ý đến điều a a
kiện của b, k. Nguyên nhân sai lầm: Học sinh ngộ nhận công
thức. Trong sách giáo khoa phát biểu: “Cho 0  a  1, b  0 . Khi đó log k
b k log b, k
”. Chính vì nguyên nhân này a a
mà học sinh áp dụng công thức mà không để ý đến điều kiện.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 25
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK Lời giải đúng: Điều kiện 2 x 1  0      x  2 x 1 2  0   1  x    2 x  2 1  0
Phương trình đã cho tương đương với
log x 1  log x  12 2  log x  2 2 2 2
 log x 1  log x 12 2 x  2 2 2
x   x 2 2 1
1 x  2  x 1  x   1 x  2 (1)
 Xét x  2  0  x  2 .
Khi đó    x   x  x   2 1 1 1
2  x  2x  1  0
x  1 2  x  1 2 x  2. x  1  Xét  . 1  x   2
Khi đó    x   x    x 2 1 1 1 2
x  3  x   3 .
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm. Câu 15.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  2  3i  7. A. Đường thẳng B. Elip C. Đường tròn D. Hình tròn Giải:
Đây là một câu dễ, tuy nhiên lại làm cho học sinh lúng
túng trong việc chọn đáp án. Nguyên nhân chính là không
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 26
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
nắm vững kiến thức, định nghĩa về đường tròn, hình tròn.
Để phân biệt hai định nghĩa này, sau đây nhắc lại một chút
về định nghĩa đường tròn, hình tròn. Nhắc lại các khái niệm này:
“Đường tròn: Đường tròn tâm I bán kính là R  0 là hình gồm
những điểm cách đều điểm I một khoảng bằng R. Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy, đường tròn tâm I a; b bán kính R có phương trình 2 2
là        2 x a y b R .
Hình tròn: Hình tròn là tập hợp những điểm nằm trong và nằm
trên đường tròn hay là tập hợp những điểm cách tâm một khoảng
nhỏ hơn hoặc bằng bán kính. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình tròn tâm
I a; b bán kính R có phương trình là   2   2 2 x a y b R .”
Giả sử z x yi; x, y  . Khi đó,
x   y  i   x  2  y  2 2 3 7 2 3  49 .
Như vậy, với lý thuyết này ta sẽ chọn đáp án C.
Lưu ý: Cần phân biệt rõ đường tròn và hình tròn để tránh sai
sót và mất điểm không đáng những câu như thế này. Câu 16.
Để tìm cực trị của hàm số 5 3
y  4x  5x , một học sinh lập luận ba bước sau:
Bước 1: Hàm số có tập xác định là D  . Ta có
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 27
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK   f xx 0 3
 20x x 1, f x 3
 0  x x 1  0   x   1
Bước 2: Đạo hàm cấp 2 f  x 2
 20x 4x  3.
Suy ra f  0  0, f  1  20  0 .
Bước 3: Từ các kết quả trên ta kết luận:
 Hàm số không có cực trị tại điểm x  0 .
 Hàm số đạt cực tiểu tại x  1
Vậy hàm số có một điểm cực tiểu và đạt tại x  1.
Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Lời giải đúng B. Sai ở bước 1 C. Sai ở bước 2 D. Sai ở bước 3 Giải:
Bài này cũng có nhiều học sinh làm sai. Đặc biệt đó cũng
là cách làm của một số học sinh và cho rằng bài toán này hoàn
toàn đúng và chọn đáp án A.
Phân tích sai lầm: Sai lầm về mặt luận cứ: Do áp dụng
sai định lý. Tức là học sinh đã ngộ nhận định lý sau có hai chiều:
“Giả sử tồn tại khoảng a; b chứa điểm x sao cho a; b chứa 0
trong tập xác định của hàm số y f x. Hàm số y f x có đạo
hàm cấp một trên a; b và có đạo hàm cấp hai tại x . Khi đó 0
- Nếu f x  0 và f x  0 thì x là điểm cực tiểu của 0  0  0
hàm số f x.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 28
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
- Nếu f x  0 và f x  0 thì x là điểm cực đại của hàm 0  0  0
số f x ”.
Như vậy, với định lý này chỉ đúng khi f x  0 . Còn 0 
f x  0 thì không thể kết luận được x có phải là điểm cực 0  0
trị hay không mà phải lập bảng biến thiên.
Câu 17. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Đề minh họa THPT Quốc gia – lần 1
Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên: x  0 1  y + || - 0 + 0  y  1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có đúng một điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và nhỏ nhất bằng 1
D. Hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  1. Giải:
Với câu này, chắc không hẳn nhiều học sinh sẽ chọn đáp
án A. Học sinh sẽ loại dần đáp án B, C, D và cuối cùng chọn đáp án A.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 29
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Phân tích sai lầm: Học sinh nhìn vào bảng biến thiên,
thấy tại x  0 , y không xác định. Mặc định cho rằng hàm số
sẽ không đạt cực trị tại điểm đó. Tại điểm x  1, y1  0 nên
hàm số đạt cực trị tại x  1. Từ đó loại đi đáp án D. Chọn
ngay đáp án A. Đề không nhầm lẫn, cần nhớ nhanh như sau:
“ y f x đạt cực trị tại x f x đổi dấu tại x ” 0 0 Phân tích từng câu:
A sai vì hàm số có hai điểm cực trị.
B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 khi x  1.
C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên . Câu 18. cot x  1
Tìm tham số m để hàm số y mcotx đồng biến trên 1     khoảng  ;  ?  4 2  m  0
A. m  1 B.
C. m  1
D. m  0 0  m   1 Giải:
Sai lầm đầu tiên ở câu 5. Bây giờ, giả sử học sinh biết đổi biến đúng.
Sai lầm thường gặp
Đặt t  cot x,t  0;  1 .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 30
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT t  1
Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số y mt  1
nghịch biến trên 0;1. m  1 Ta có y   mt  2 1
Hàm số nghịch biến trên 0;1 khi và chỉ khi m     1 m 1 0      y  t    0 m 1 0, 0;1   1 .     m    0;  0 1  m  0 m 0  m  1 Chọn đáp án B.
Phân tích sai lầm: Xét thiếu trường hợp m  0 . Khi đặt
điều kiện cho mẫu, nghĩa là mt 1  0 mà học sinh tương 1 đương với t
mà chưa biết m đã khác 0 hay chưa? m
Cách giải đúng (Ở phía sau).
Câu 19. Đề minh họa THPT Quốc gia – Lần 2
Cho hàm số y f x xác định và
liên tục trên đoạn  2  ; 2   và có đồ
thị là đường cong như hình vẽ. Hàm
số đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x  2  B. x  1  C. x  1 D. x  2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 31
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Phân tích sai lầm: Học sinh nhìn vào đồ thị thấy hàm số
đạt cực đại tại đỉnh của đồ thị hàm số. Nhưng lại chiếu qua
trục tung và nói hàm số đạt cực đại tại x  2 , trong khi đó, ta
phải chiếu xuống trục hoành được x  1  . Những câu cho
điểm trong đề thi THPT Quốc gia, học sinh cần phải thận
trong, đừng hấp tấp như câu này dẫn đến mất điểm.
Câu 20. Đề minh họa THPT Quốc gia – Lần 2
Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2
2x  1  x x  3 y  2 x  5x  6 A. x  3  và x  2  B. x  3 
C. x  3 và x  2 D. x  3 Giải:
Sai lầm thường gặp:
Tập xác định D   \ 2;  3 .
Học sinh kết luận ngay, đồ thị hàm số có hai tiệm cận
đứng là x  2 và x  3 . Chọn đáp án C.
Phân tích sai lầm: Học sinh ngộ nhận các nghiệm của
mẫu bằng 0 đều là các tiệm cận đứng mà không hiểu đến
định nghĩa của tiệm cận đứng. Hay học sinh ám ảnh cái câu:
“Muốn tìm tiệm cận đứng, ta giải phương trình mẫu bằng 0 và
ngộ nhận luôn như vậy mà không kiểm tra lại”. Nhắc lại định
nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x :
“Đường thẳng x a được gọi là đường tiệm cận đứng (tiệm
cận đứng) của đồ thị hàm số y f x nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 32
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
(1) lim y  
(2) lim y   x a  x a 
(3) lim y  
(4) lim y   ” x a  x a 
Như vậy, khi giải phương trình mẫu bằng 0, ta cần kiểm
tra lại xem nó có đúng là tiệm cận đứng hay không bằng định nghĩa đã nói trên. Câu 21.
Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: X  1 0 1  y + 0  + 0  2 3 Y  1 1 2
Hàm số có bao điểm cực trị? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Giải:
Với câu này, nhiều học sinh chọn các đáp án A, B, C. Phân tích sai lầm:
Sai lầm thứ nhất, học sinh chọn đáp án A vì nghĩ hàm số
đạt cực đại tại hai điểm x  1
 nên xem nó là một cực trị và chọn đáp án A.
Sai lầm thứ hai, học sinh chọn đáp án C vì thấy y đổi dấu
qua x  0 thì hàm số đạt cực trị tại x  0 và có thêm 2 cực trị khác là x  1
 . Nhắc lại định nghĩa điểm cực trị:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 33
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
“Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng và điểm x . 0
Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x  f x với mọi 0 
x  x h; x h và x x thì hàm số đạt cực đại tại điểm x . 0 0  0 0
Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x  f x với mọi 0 
x  x h; x h và x x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x .” 0 0  0 0
Như vậy, với định nghĩa trên thì hàm số y f x phải
xác định và liên tục tại điểm x . Khi nhìn vào bảng biến thiên 0
thì thấy x  0 là điểm làm cho hàm số không xác định và
cũng không liên tục. Vậy x  0 không phải là điểm cực trị
của hàm số y f x .
Hàm số chỉ có hai điểm cực trị là x  1  . Chọn B. Câu 22. x  1 Cho hàm số y
. Đồ thị hàm số có tổng cộng bao 2 x  1
nhiên tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Giải: Học sinh 1. Ta có 2
x 1  0  x  1  . x  1 x  1 1 Với x  1  thì y    . 2 x  1
x 1x 1
x  1.x   1
Kết luận đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng x  1  .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 34
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Do bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên đồ thị hàm số có một tiệm
cận ngang là y  0. Vậy đồ thị có tổng cộng ba tiệm cận đứng
và tiệm cận ngang. Chọn C. Học sinh 2
Điều kiện xác định x  1. Khi đó, x  1 1 y    . x   1 x   1
x  1 x   1
Hàm số suy biến tại x  1 nên không có tiệm cận đứng
x  1. Do x  1
 không thuộc tập xác định nên x  1  không
phải là tiệm cận đứng.
Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên có tiệm cận ngang là y  0. Chọn A.
Phân tích sai lầm:
Với cách giải của học sinh 1, sai lầm ở chỗ, học sinh 1 quên
đặt điều kiện xác định để hàm số có nghĩa. Chính vì vậy, học
sinh đã không trả lời được đường thẳng x  1  có phải là
tiệm cận đứng hay không? Như vậy, nếu đặt điều kiện xác
định cho hàm số thì sẽ kiểm tra được rằng giới hạn (từ định
nghĩa tiệm cận đứng) có tồn tại hay không?
Với cách giải của học sinh thứ 2, học sinh dùng máy tính
để tính giới hạn của hàm số khi x tiến về 1 . Khi bấm máy
tính, chẳng hạn nhập x  1, 0000001 (ở đây không nhập
x  0,99999 điều kiện xác định của hàm số là x  1 nên chỉ tồn tại x 1
 ) thì thấy giá trị của y chỉ là một con số không
đủ lớn để học sinh có thể kết luận rằng y   . Do đó học
sinh loại đi đường thẳng x  1 không phải là tiệm cận đứng.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 35
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Dẫn đến chọn đáp án A. Chắc hẳn cũng có học sinh bấm
x  0,99999 để kiểm tra. Lời giải đúng
Tập xác định D  1;  . x  1 1 lim y  lim  lim   .  2 x 1  x 1  x 1 x 1    
x  1 x   1
Suy ra x  1 là tiệm cận đứng. x  1 lim y  lim
 0 . Suy ra y  0 là tiệm cận ngang. 2 x
x x  1
Câu 23. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Toán Học và
Tuổi trẻ - Lần 8
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số 2 2
x x m y
đạt cực đại tại điểm x  1 là: x  1 A.B.    C.   2 D.   2 Giải:
Tập xác định D   \   1 . 2 m 2 m
Ta có y x  , y  1  . x  1 x12
Hàm số đạt cực đại tại x  1    2 m y 1  0  1  0  m  2  . 4
Đến đây, nhiều học sinh chọn ngay đáp án D.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 36
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Phân tích sai lầm: Sai về mặt lập lập luận: “Hàm số đạt
cực trị tại x x thì f x ”. Ở đây, chỉ có chiều suy ra không 0  0
có chiều ngược lại. Do đó ở bước lí luận phải dùng dấu suy
ra. Sau khi giải xong thì thử lại xem có thỏa mãn hay không?
Sửa lại: Hàm số đạt cực đại tại x  1    2 m y 1  0  1  0  m  2  . Bây giờ, thử lại 4 4 Với m  2
 , ta có y  1  . Dùng máy tính casio x  2 1
kiểm tra xem x  1 có phải là điểm cực đại.   d 4 Nhập 1
 . Nếu lớn hơn 0 thì loại, nhỏ hơn dx  x 2 1    x1 không thì nhận. Với m  2
 thì loại. Học sinh lại chọn đáp án C.
Phân tích sai lầm: Học sinh thường hay nghĩ rằng, bài
toán tìm tham số m luôn luôn tồn tại giá trị m, khi có hai giá
trị như trên. Nếu cái này không tồn tại thì giá trị còn lại tồn
tại. Cứ như thế, không chịu kiểm tra hết lại các giá trị. 4
Với m  2 , y  1  
, giống với trường hợp m  2 x  2 1
Như vậy, với m  2 cũng không thỏa mãn.
Đến đây thì học sinh lại phân vân không biết chọn đáp án
nào? A hay B? Học sinh thấy các đáp án C, D đều có ngoặc
nhọn nên nghĩ đáp án đúng là    . Vậy chọn B.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 37
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Phân tích sai lầm: Học sinh không phân biệt được rõ tập
hợp. Ở đây, tập hợp các giá trị của m là tập rỗng và kí hiệu là
 nên không chọn đáp án A. Còn đáp án B, kí hiệu    là
tập hợp chứa phân tử rỗng.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 38
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
PHẦN 2: TỔNG HỢP CÂU HỎI NÂNG CAO
Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1. 2 cos x  3
Tìm tham số m để hàm số y  2cosx nghịch biến trên m    khoảng  0;  ?  3  m  3 A. m  3  B.m   2 3  m  1 C. m  3  D.m   2 Giải: m
Cách 1: Hàm số xác định khi cos x  . 2 2
 sin x2cos x m 2cos x  3 2  sin xy  2cosxm2
2 m  3sin x
 2cosxm2   
Để hàm số nghịch biến trên  0;  khi và chỉ khi  3 
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 39
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK    y  0, x   0;    m  3   3  (do m  3
 nên 2cosx m  0 vô nghiệm)  1 
Cách 2: Đặt t  cos x,t   ;1 . Khi đó bài toán trở thành  2  2t  3  1 
tìm m để hàm số y   ;1 . 2t  đồng biến trên m  2  2  m  3 Ta có y   2t m2  1 
Hàm số đồng biến trên  ;1 khi và chỉ khi  2  m  3   1   y  0, t   ;1  
m  1   m  3   2     ;1  2  2 
Câu 2. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 2 cot x  1
Tìm tham số m để hàm số y mcotx đồng biến trên 1     khoảng  ;  ?  4 2  m  0
A. m  1 B.
C. m  1
D. m  0 0  m   1 Giải:  2
1  cot x1 m
Cách 1: Ta có: y  
m cot x  12
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 40
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT    
Hàm số đồng biến trên  ;  khi và chỉ khi  4 2          
mcot x 1  0, x   ;  y  0, x   ;     4 2   4 2  1m   0     
m  tan x, x   ; (1)    4 2  m   1    
Giải điều kiện (1). Xét hàm số f x  tan x, x   ;  .  4 2     
Dễ thấy hàm f đồng biến trên khoảng  ;  nên điều  4 2    
kiện (1) tương đương với m f
  1. Vậy m  1.  4 
Cách 2: Đặt t  cot x,t  0; 
1 . Khi đó bài toán trở thành t  1
tìm m để hàm số y  0; 1 .
mt  nghịch biến trên   1
TH1: Nếu m  0 thì y  1t , hiển nhiên nghịch biến trên khoảng 0;1.
TH2: Nếu m  0 m  1 Ta có y   mt  2 1
Hàm số nghịch biến trên 0;1 khi và chỉ khi
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 41
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK m     1 m 1 0      y  t    0 m 1 0, 0;1   1 .     m    0;  0 1  m  0 m 0  m  1
Vậy m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 3. f x  5
Biết các hàm số y f x và y  đồng biến trên 2 f x  1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
f x  1   3 2 A. f  x  1   3 2
f x  5   26 B. f  x  5   26 C. 5
  26  f x  5   26 D. 1
  3 2  f x  1   3 2
Phân tích lời giải: Đây là dạng toán tìm mệnh đề đúng.
Thông thường các câu hỏi khác, chúng ta đi phân tích từng
mệnh đề xem mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai. Đối với
bài này thì khác, chúng ta không thể loại đáp án trực tiếp từ
các đáp án được mà phải biến đổi trực tiếp từ các hàm đã
cho. Sau đó áp dụng giả thiết để có điều cần mong muốn.
Chúng ta đã có công cụ đạo hàm để để giải các bài toán hàm
số đồng biến, nghịch biến mà không cần dùng đến định nghĩa nữa. Như vậy,
Bước 1: Tính f x và
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 42
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
f x 5  f x 2  f
x10 f x1 y     ...  2  f  x1  f  x 2 2  1 f x  5
Bước 2: Do hàm số y f x và y  đồng biến 2 f x  1
nên có được điều gì?
Bước 3: Giải điều đó sẽ biết được mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai. Giải: f x 2  f
 x 1  2 f  
xf x f x5 Ta có y   f  x 2 2 1 f x 2  f
x10 f x1  y   f  x 2 2  1
Để hai hàm số cùng đồng biến trên thì 2
f x10 f x1 0  5
  26  f x  5   26
Lưu ý: Thuật toán dạng này, còn được áp dụng cho những bài
sau nữa, mời bạn đọc.
Câu 4. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 1
Dynano là một nhà ảo thuật gia đại tài người Anh nhưng
người ta thường nói Dynano làm ma thuật chứ không phải
làm ảo thuật. Bất kì màn trình diễn nào của anh chàng trẻ
tuổi tài cao này đều khiến người xem há hốc miệng kinh
ngạc vì nó vượt qua giới hạn của khoa học. Một lần đến
NewYork anh ngẫu hứng trình diễn khả năng bay lơ lửng
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 43
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
trong không trung của mình bằng cách di chuyển từ tòa
nhà này đến toàn nhà khác và trong quá trình di chuyển
đấy có một lần anh đáp đất tại một điểm trong khoảng
cách giữa hai tòa nhà (biết mọi di chuyển của anh đều là
đường thẳng). Biết tòa nhà ban đầu Dynano đứng có chiều
cao là a (m), tòa nhà sau đó Dynano đến có chiều cao là b
(m) a b và khoảng cách giữa hai tòa nhà là c (m).Vị trí
đáp đất cách cách tòa nhà thứ nhất một đoạn là x (m). Hỏi
x bằng bao nhiêu để quãng đường di chuyển của Dynano là bé nhất. 3ac ac A. x x a B. b 3a bac ac C. x x a D. b 2 a bGiải:
Giả sử có mô hình bài toán như trên,
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 44
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Cách 1: Dùng kiến thức “Ứng dụng giá trị lớn nhất – giá
trị nhỏ nhất của hàm số”. Như vậy, ứng với cách này ta cần
phải xác định được một hàm số và tập xác định của nó.
AB c; AC a; BD b; AM x Khi đó
CM a x MD b  c x2 2 2 2 2 2 2 ;
x  2cx b c Khi đó ta có 2 2 2 2 2
T MC MD x a x  2cx b c
Với 0  x c , xét hàm số T x 2 2 2 2 2
x a x  2cx b c .   x x c T x   . 2 2 2 2 2 x a
x  2cx b c   x x c T x  0    0 2 2 2 2 2 x a
x  2cx b c 2 2 2
x x cx b c  c x 2 2 2 x a
  2    2 2 2  2 2 x x c b c x x a      2 2 2 2      ac b x a x c
bx a c x x ab ac
Lập bảng biến thiên ta có ngay T x  x  min a  . b
Cách 2: Dùng kiến thức hình học đề giải.
Gọi D là điểm đối xứng của D qua AB.
Khi đó MC MD MC MD  CD .
Do đó  MC MD  CD . min
Dấu “=” xảy ra khi M CD . x a ac
Khi đó, áp dụng định lý Thales, ta có   x c x b a b
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 45
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Câu 5. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 1 f x  3
Cho các hàm số y f x , y gx   , y  . Hệ số góc g x  1
của các tiếp tuyến của các đồ thị các hàm số đã cho tại
điểm có hoành độ x  1 bằng nhau và khác 0. Khẳng định
nào dưới đây là khẳng định đúng. A. f   11 1   B. f   11 1   4 4 C. f   11 1   D. f   11 1   4 4 Giải:
Phân tích lời giải: Xuất phát từ giả thiết: “Cho các hàm
số và hệ số góc của các tiếp tuyến của các đồ thị các hàm số
đã cho tại điểm có hoành độ x  1. Như vậy, chúng ta cần
phải nhớ hệ số góc tiếp tuyến của một đường cong tại điểm
M x , y chính là đạo hàm của hàm số tại điểm x . Không 0 0  0
còn các nào khác là phải làm bước này đầu tiên và theo giả
thiết thì ba hệ só góc này bằng nhau nên ta có:             
f    g  f   1 g   1 1 g   1 f   1 3 1 1  g    2 1  1
Do f 1  g1  0 nên điều trên tương đương với:
g 1  f 1  2 1   g  1 2
 1  g 1  f 1  2 2      g  1  1
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 46
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Ở các đáp án, thấy bất đẳng thức đều chứa f 1 không
hề có g 1 . Chứng tỏ rằng, ta phải đánh giá f 1 thông g 1 . 2   f   2
 g    g     g  1 11 11 1 1 1 3 1        2  4 4
Như vậy, chọn ngay được đáp án A.
Lưu ý: Học sinh cần phải nhớ làm sao để đưa tam thức bậc hai
về dạng ax x 2  b để dễ dàng đánh giá bất đẳng thức. Ngoài 0
ra, nếu nhớ đến hàm số parabol 2
y ax bx c thì ta có thể làm nhanh như sau: b
Nếu a  0 thì hàm số đạt GTNN là khi x   4a 2ab
Nếu a  0 thì hàm số đạt GTLN là khi x   4a 2a
Câu 6. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Toán học và Tuổi trẻ - Lần 8 Cho hàm số y  4 x  2
2x . Gọi  là đường thẳng đi qua
điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho và có hệ số góc là
m. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho tổng
khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến  nhỏ nhất là: 1 A. 0
B. C. D. 1  2
Phân tích đề bài: Khi đọc đề xuất hiện các điểm cực tiểu
và cực đại thì giải liền phương trình y’=0 (do đây là hàm
trùng phương). Kết hợp với hình dáng đồ thị để xác định
nhanh điểm cực tiểu và cực đại. Sau đó nhớ tới khoảng cách
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 47
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
từ một điểm tới một đường trong mặt phặng hệ trục tọa độ
Oxy. Kết hợp với một số bất đẳng thức đã học trong phổ
thông kết hợp để giải. Giải: Ta có 3
y'  4x  4x
x  0  y  0  A0;0 
y '  0  x  1  y  1   B1; 1   x  1   y  1   C  1;  1
Do a  1  0 nên ta nhận thấy A là điểm cực đại và điểm
B, C là điểm cực tiểu.
Gọi  là đường thẳng qua điểm cực đại và có hệ số góc
m là  : y mx  0
Gọi d ,d lần lượt là khoảng cách từ điểm B và C tới  1 2 Ta có: 2 2 m  1 m  1 (m  1) (m  1) d d     1 2 2 2 2 2   m  1 m  1 m 1 m 1 2  m 2m
d d  1  1  2 1 2 2 2 m  1 m  1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2  2  m  2m  4m 1 1  0  1     0 2 2 2 2  m  1  m  1  (m  1) 2 2 2 2
 4m  (m 1)  m  1  m  1  Vậy chọn đáp án D. Một cách khác:
Từ d d d , bình phương hai vế được: 1 2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 48
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
m12 m12 2 2 2 m  1 2 m  1 2 d     2   2 2 2 2 2 m  1 m  1 m  1 m  1 Do 2 m  1  0 nên 2
d  2 hay d  2 .
Và cũng có được dấu “=” xảy ra khi 2
m 1  0  m  1  .
Lưu ý: Ngoài ra còn một cách khác nữa: dùng khảo sát
hàm số để giải. Như vậy, một bài có nhiều cách giải. Vì vậy,
độc giả đọc sách cần lưu ý điều này, để có thể có lựa chọn
cách phù hợp cho việc giải toán của mình. Tuy nhiên với bài
trên, tác giả không có nhiều thời gian để tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau.
Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng
Cho x, y là các số thực thỏa mãn x y x  1  2y  2 .
Gọi M, m là lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P x y  2x   1 y  
1  8 4  x y .
Tính giá trị biểu thức M m A. 44 B. 41 C. 43 D. 42 Giải: Ta có 2 2
P x y  2xy  2 x y  2  8 4  x y
 x y2  2x y  8 4 x y  2
Đặt t x y . Khi đó 2
P t  2t  8 4  t . Mặt khác ta có
t x y x  1  2. y  1  3. x y  3t
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 49
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK t   0 t   0   Do đó 2 t   3t t   4  0  t  3   t  4 0  t  3  
Xét hàm số f t 2
t  2t  8 4 t  2,t 0; 3   . f t 4  2t  2  ; 4  t f t 2  0  t 1  0  t   1 4  t  2 4  t
t 2  t 3 2 1 4  4  t
  2t 7t  0  t  0 .
Ta có f 0  18, f 25 . Vậy M  25,m  28 và M m  43 Câu 8.
Cho hàm số f x 3 2
x  3ax  3x  3 có đồ thị C và g x 3 2
x  3bx  9x  5 có đồ thị H , với a, b là các tham
số thực. Đồ thị C  , H  có chung ít nhất 1 điểm cực trị.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a  2 b A. 21 B. 2 6  6 C. 3  5 3 D. 2 6
Phân tích đề toán: Phương trình f 'x  0, g'x  0 có ít
nhất một nghiệm chung. Do phương trình f x  0,
gx  0 bậc hai nên nếu có hai nghiệm trùng nhau thì
f x  kgx với k  , k  0 điều này là vô lý vì hệ số tự
do trong phương trình f x  0, gx  0 không tỉ lệ với
nhau. Vậy cho hai phương trình f x  0, gx  0 trừ nhau
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 50
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
giải ra được nghiệm sau đó sử dụng công thức nghiệm ở
từng phương trình, sau đó tìm được liên hệ a,b thay vào P. Giải Ta có:  f 'x 2
 3x  6ax  3   0   1 1 
x a b   x g'  x 6   6 2
 3x  6bx  9   0 a b
Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình (1) 2 6
a  36a  36 2 x
 a a 1 6 TH1: 2
x  a a  1 Ta có 1 2 1 2
 a a 1  b a
 2a a 1 2 a b a a  1 Từ đó 2 2
P a  2 b a  4a  2 a  1 ; P  5a  2 a  1 Xét   2  a a f a 2a f a 5 2 1;  5  2 a  1 f a 2 25
 0  5 a 1  2
a a   21  25   f 
   21  P  21  21   
Tương tự với trường hợp 2 cũng sẽ ra P  21 Chọn câu A.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 51
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK Câu 9.
Gọi S là tập hợp tất các các giá trị thực của tham số m đề 1 đồ thị hàm số 3 2 y
x mx   2 m  
1 x có hai điểm cực trị 3
A, B sao cho nằm khác phía và các đều đường thẳng
y  5x  9 . Tính tổng các phần tử của S. A. 6 B. 3 C. 6  D. 0
Phân tích lời giải: Đây là hàm số bậc ba nên nếu hàm số
có hai điểm cực trị thì hai điểm cực trị đó sẽ đối xứng qua
tâm của đồ thị hàm số, hay nói cách khác, hai điểm cực trị đó
sẽ đối xứng qua điểm uốn của đồ thị hàm số. Như vậy, để đồ
thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về khác phía so với đường
thẳng thì trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị.
Hay nói cách khác, yêu cầu bài toán chính là tìm tất cả các
giá trị của tham số m để điểm uốn thuộc và đường thẳng
d : y  5x  9 . Giải: Ta có 2 2
y  x  2mx m  1 .
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m .
y  2x  2 ;
m y  0  x m . 3  m
Suy ra điểm uốn I m;  m .  3  3 m 3 I d
m  5m  9  m 18m 9  0 3  m   m  3 3 2
m  3m  9 1  0   . m m  3   2 3
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 52
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Vậy m m m  0 . Chọn D. 1 2 3
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 53
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Chuyên đề 2: MŨ – LOGARIT
Câu 1. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Lương Thế Vinh – Hà Nội
Cho f 1  1 ; f m n  f m  f n  mn , m  ,n * .
f 96  f 69  241
Giá trị của biểu thức T  log là: 2 A. 4 B. 3 C. 6 D. 9 Giải:
Cho m  1, ta có f n  1  f n  f 1  n f n  n  1.
Với n  1, ta có f 2  f 1  2
Với n  2 , ta có f 3  f 2  3 …
Với n k thì f k  f k  1  k  1
Cộng vế theo vế ta được
f 2  ...  f k  f 1  f 2  ...  f k  1  2  ...  k  1 k k
Suy ra f k  f    1
1  2  ...  k  1 2  ...  k  . 2 n n
Vậy hàm cần tìm là f n  1  . 2 Ta có f   96.97 96 
 4656 ; f   69.70 69   2415 . 2 2 4656  2415  241 Suy ra T  log  log1000  3. 2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 54
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Câu 2. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT Hàm Rồng x
Cho hàm số f x 4 
. Hãy tính giá trị biểu thức sau: 4x  2          2 2 2 2 1008 P f sin  f sin  ...     f sin   2016   2016   2016  1007 3025 1511 A. B. C. D. 504 2 6 3 Giải:
Nhận xét: Nếu a b  1 thì f a  f b  1. Thật vậy, 
f a  f ba b a 1 4 4 4 4 b     a b a 1 4  2 4  2 4  2 4 b  2 4a 4 4a  2     1 . 4a  2 4  2.4a 4a  2  1007   Ta có 2 2 2 2 sin  sin  sin  cos  1. 2016 2016 2016 2016       Suy ra 2 2 1007 f sin  f sin      1 .  2016   2016   2   1006  Tương tự ta có 2 2 f sin  f sin      1  2016   2016  …       2 503 2 505 f sin  f sin      1  2016   2016 
Sau khi ta nhóm theo cặp xong thì còn             2 504 2 1008 2 2 f sin  f sin  f sin        f sin   2016   2016   4   2 
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 55
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK 1  1   ff   2 4 4 7 1      1  2  4  2 6 2 4  2 7 3025 Vậy P  503   6 6 Câu 2. log x
Cho hàm số f x 2  . Tính tổng log x  1 2 S
f  100  f  99  f  2    
 f  0 f  1  f  98 2 2 ... 2 2 2 ... 2 
A. S  99
B. S  100
C. S  200
D. S  198 Giải:
Với dạng toán này, ta cần ghép các hai giá trị với nhau và
tìm ra quy luật của bài toán.
f a  f b log a log b 2 2  
log a  1 log b  1 2 2
log a log b  1  log b log a  1 2  2  2  2   
log a  1 log b  1 2  2 
2 log a log b  log a  log b 2 2 2 2
 log alog blog alog b1 2 2 2 2
Như vậy, ta cần chọn a, b sao cho tử rút gọn được mẫu.
Đối với câu 2, ta đã chọn tổng a b k . Tại sao lại như vậy? Vì mn m  . n a
a a . Còn đối với bài này thì chọn ab k vì
log bc  log b  log c (biểu thức đã cho có nghĩa). a a a 1 1 Nếu ab
thì log a  log b  log ab  log  2  . 4 2 2 2 2 4
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 56
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
2 log a log b  2
Suy ra f a  f b 2 2   2 .
log a log b  1 2 2
Với bài trên thì sẽ ghép
f  100   f  98 2 2  vì 1  00 98 2  1 2 .2  2  . 4 Khi đó
S   f  100 2  f  98
2    f  99 2  f  97 2  ...      ...   f   2 2   f  0
2   2  2  ... 2  198  99 so2 Câu 4.
Xét các số thực a, b thỏa mãn a b  1. Biết rằng biểu thức 1 a P   log
đạt giá trị lớn nhất khi k
b a . Khẳng log a a b ab
định nào sau đây đúng?  3 
A. k 2; 3
B. k   ; 2   2   3 
C. k  1; 0
D. k  0;   2 
Phân tích lời giải: Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức logarit. Như vậy, ta cố gắng biến đổi sao cho về
log y và sau đó đổi biến, đưa về biểu thức không chứa x
logarit. Thông thường thì sẽ là một biểu thức một ẩn và sẽ
dẫn đến xét hàm hoặc dùng những bất đẳng thức cơ bản như
bất đẳng thức Cauchy hai số, ba số; bất đẳng thức Cauchy –
Schwarz, bất đẳng thức Bunhiacopxki... Giải:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 57
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK Ta có 1 a P   log
 log ab  1 log b log a a a a b ab
 1 log b  1 log b a a
Đặt t  log b . Khi đó P  1 t  1 t . a
Do a b  1 nên log b  1 hay t  1 . a Xét hàm số  t
f t  1 t  1 t ,t  1; f t 1 2 1 1  1  . 2 1  t 2 1  t f t 3
 0  2 1t 1  0  t  . 4
Lập bảng thiến ta được 9 3 3 3 max P   t  4
 log b   b a . Chọn D. 4 4 a 4
Câu 5. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Nguyễn Đăng Đạo – Lần 2
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 1 2 2 x  2x  2 2 log
x  3x  3. 2 2 3x x  2
Tính giá trị biểu thức 2 2
T x x . 1 2 25 33
A. T  15
B. T  13 C. T D. T 4 4
Phân tích lời giải: Đây là phương trình vừa có biểu thức
logarit vừa có đa thức. Phương pháp giải có thể là đánh giá,
hàm số để giải. Gần đây, phương pháp sử dụng đơn điệu của hàm số rất ưa chuộng.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 58
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Nhắc lí thuyết “phương pháp hàm số đề giải phương
trình, bất phương trình và hệ phương trình”:
“Định lý 1: Nếu hàm số f x liên tục và đơn điệu trên D thì
phương trình f x  0 có nhiều nhất một nghiệm thuộc D.
Định lý 2: Nếu f x liên tục, đồng biến trên D; g x liên
tục, nghịch biến (hoặc hàm hằng) trên D và ngược lại thì phương
trình f x  g x có nhiều nhất một nghiệm thuộc D.
Định lý 3: Nếu f x  0 có một nghiệm trên a; b thì
phương trình f x  0 có nhiều nhất hai nghiệm trên a; b. Tổng nquát nếu f
x  0 có n nghiệm phân biệt trên a;b thì n 1 f
x có nhiều nhất n1 nghiệm trên a;b.
Định lý 4: Nếu f x đồng biến trên a; b thì
f u  f v  u v . Ngược lại, nếu f x nghịch biến trên
a;b thì f u  f v  u v với mọi u,va;b.
Định lý 5: Nếu f x liên tục và đơn điệu trên D thì
f u  f v  u v, u
 ,vD .”
Khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương
trình, điều kiện rất quan trọng. Như vậy, ưu tiên đầu tiên là
đặt điều kiện xác định. Nếu không sau khi giải ra sẽ không
biết nghiệm nào nhận, nghiệm nào loại. Giải: Điều kiện x .
Phương trình tương đương với
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 59
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK log  2
x  2x  2  log  2
3x x  2 2
x  3x  3 2 2  log 2 2
x  2x  2  2 2 x  2x  2 2   log  2
3x x  2 2
 3x x  2 2  f 2 2
x  2x  2  f  2
3x x  21
Xét hàm số f t  log t t , t  0 . Nhận thấy hàm số này 2
đồng biến trên 0;  . Khi đó
 1  2 2x 2x2 2
 3x x  2  2 3 17
x  3x  2  0  x  2 Vậy 2 2
T x x  13 . 1 2
Câu 6. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Sở Giáo Dục và
Đạo tạo Hà Nội 1 1 1  2 2 x x1 Cho hàm số f x    e . Biết rằng   m
1 . 2. 3... 2017  n f f f f
e với m, n là các số tự nhiên m và tối giản. Tính 2 m n . n A. 2
m n  2018 B. 2 m n  2018  C. 2 m n  1 D. 2 m n  1 
Phân tích lời giải: Trong đề toán dữ kiện quan trọng cần
xoáy vào là hàm số ban đầu. Tập trung rút gọn số mũ để xuất
hiện được điều gì đó mới mẻ hơn.
Phân tích mũ của hàm số:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 60
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 4 3 2 2 2 1 1
x  2x x x  2x  1  x 1    2 xx12 x x2 2
x x x x  x x1 2 3 2 1 2 2 2 4 3 2  1            x x 1 2 x x2 2 2 x  x 1 2  1 1   1     x x  1  1 1 1  2 2 1 1 x 1 x 1    Suy ra f x   x x1  ee Do đó   m        
1 . 2. 3... 2017 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2017 2018  . . ... n f f f f e e e ee 2 1 m 2018  1 m 2  2018    
m n  1  2018 n 2018 n Chọn đáp án D
Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- THPT Kim Liên- Hà Nội lần 2  1 
Cho ba số thực a,b,c   ,1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu  4   1   1   1  thức P  log b   log c   log a a   b   c  .  4   4   4  A. 3 B. 6 C. 3 3 D. 1
Phân tích lời giải: Cần chú ý vào khoảng mà ba số thực 1
nằm trong đó và có bất đẳng thức phụ 2 a   a . 4 Giải:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 61
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK  1 
Ta có: Vì a,b,c   ,1 nên  4  1   2 1 b
b  log b   log b    b a a  2  2 log 4  4 a  Tương tự sẽ được  1    c   c a       a b b   1 log 2 log ; log 2 log c c    4   4  Từ đó P   b c c 3 2 log log log
 2.3 log blog c log a  6 a b c a b c 1
Dấu bằng xảy ra khi a b c  . Vậy chọn đáp án B. 2
Câu 8. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Sở Giáo dục &
Đào tạo Vũng Tàu
Cho hai số thực a, b thỏa mãn a  0,0  b  2 . Tìm giá trị  a 2b 2a  2 a b
nhỏ nhất của biểu thức P    . a a  2 2 a 2 b b 9 7 13 A. B. C. D. 4 4 4 4 Giải: Ta có: a  2  a    b  1  2  P   .    1 2 a   2  b   2      1  a     
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 62
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT a  2  t t
Đặt t    . Khi đó P    1.  b  t  2 2 1 a 2  2  Do 0  b  2 nên  1     1. bb t t
Xét hàm số f t      . t   1,t 1 2 2 1  f tt 1 1  
 , f t  0  t  3 . 2   t   2 1 13 Vậy Pf 3  . min   4
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 63
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Câu 1. 1
Cho hàm số y f x liên tục trên và f
 xdx  9 và 0 9 3   x   f
 xdx  2 . Tính giá trị biểu thức f
   f 3xdx.   3   1 0 92 A. B. 4 C. 9 D. 9  3 Giải: 9 1 9 Dễ thấy f
 xdx f
 xdxf
 xdx  92 11. 0 0 1 b b b Nhận xét như sau: f
 xdx f
 tdt f
 udu  ... a a a Ta có 3   x          x I f f 3x 3 3 dx f
  dxf
 3xdx I    I 1 2   3    3  0 0 0 Tính I : 1 x Đặt t
dx  3dt . Đổi cận x  0  t  0; x  3  t  1. 3 1
Khi đó I  3 f t dt  27  . 1   0 Tính I : 2 dt
Đặt t  3x dx
, đổi cận x  0  t  0; x  3  t  9 . 3
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 64
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 9 1 11 92 Khi đó I f t dt   . Vậy I  2   3 3 3 0 Câu 2. 4 3
Cho hàm số f x thỏa mãn f
 xdx  4 , f
 xdx  2 . 0 2 2 4
Khi đó giá trị của tổng f
 xdxf
 xdx bằng 0 3 A. 2 B. 4 C. 2 D. 6 Giải:
Phân tích lời giải: Nhìn thấy ở đề bài và yêu cầu của bài
toán thì thấy có các cận , 0, 2, 3, 4. Như vậy, nghĩ đến công b c d b thức chèn cận f
 xdx f
 xdx f
 xdx f
 xdx . Ở a a c d
đây, ta chèn bao nhiêu cận cũng được, tùy vào bài toán. 4 2 3 4 Ta có f
 xdx f
 xdxf
 xdx f  xdx 0 0 2 3 Suy ra 2 f  x 4 dx f  x 4 dx f  x 3 dx f
 xdx  42  2 0 3 0 2 Câu 3.
Cho biết đồ thị hàm số   4 2
f x ax bx c cắt trục hoành
tại bốn điểm phân biệt. Gọi S là diện tích của hình phẳng 1
giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f x nằm
dưới trục hoành. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới 2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 65
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f x nằm phía S
trên trục hoành. Cho biết 2
5b  36ac . Tính tỉ số 1 . S2 1 1 A. 2 B. C. D. 1 4 2 Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm 4 2
ax bx c  0 .  2
b  4ac  0  b
Để phương trình có bốn nghiệm    0 a  c  0 a 2 2 b b Ta có 2 2 5 4
  b  4ac b    0, b   0 9 9
Khi đó, gọi x , x , x , x lần lượt là bốn nghiệm của 1 2 3 3
phương trình y  0 và x x x x . Không mất tính tổng 1 2 3 3
quát, giả sử a  0 . 2  2 b bb b b 5b Khi đó, 2 3 x    ; 2 3 x    ( b  0 ) 2a 6a 2a 6a 5b b b 5b Suy ra x    , x    ; x   ; x   1 2 3 4 a 6a 6a 6a
Do đồ thị hàm số f x đối xứng qua trục tung nên ta có x x x x 2 S f  x 4 dx f  x 4 dx  2  f  x 4 dx  2    4 2
ax bx c dx 1  x x x x 1 3 3 3
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 66
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 5 3 3 5 3 3 2ax 2b x 2ax 2b x 3 3 4 4    2cx    2cx 3 4 5 3 5 3 x x x 3 S f  x 3 dx  2 f  x 3 dx  2   4 2
ax bx c dx 2  x 0 0 2 5 3 3 2ax 2b x 3 3    2cx3 5 3 5 3 3 2ax 2b x Suy ra 4 4 S S    2cx 2 1 4 5 3 2 2a 25b 5b 2b  5b  5b 5b  . .   .    2 . c    2 5 36a 6a 3  6a  6a 6a 2 2 2 5b  5b 5b  5b 5  b  36ac  2     c  2  .  0
6a  36a 18a  6a 36a S
Vậy S S hay 1  1. 1 2 S2
Hướng giải khác: Do đề bài đúng với mọi a,b,c thỏa mãn
điều kiện như đề bài nên chỉ cần chọn a, b, c đơn giản. Sau đó
giải bì toán trên trường hợp đơn giải đó.Ví dụ:
Chọn a  1; b  6; c  5 . Ta có 2 5b  36ac . x  1  4
y x  6x  5 ; y  0   . x   5 Khi đó 1 44 1  5 44 S f x dx   ; S f x dx f x dx    2     1    7 7 1  5 1 S Vậy 1  1. S2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 67
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Câu 4. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT Hàm Rồng
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và
x  1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng P
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0  x  1
là một hình chữ nhật có độ dài lần lượt là x và  2 ln x   1 . ln 2  1 1 A. V
B. V  ln 2  2 2 1 C. V  ln 2  1
D. V  ln 2 1 2 Giải:
Lưu ý: Thể tích vật thể đối với những dạng toán như thế b
này là: V S  xdx. a
Ta có diện tích hình chữ nhật Sx  x  2 ln x   1 . 1 1 1
Vậy V Sxdx x ln  2
x  1dx  ln 2    . 2 0 0
Rất nhiều học sinh không biết đến công thức này hoặc là
nhớ nhầm sang công thức khác.
Câu 5. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT Hàm Rồng
Trong trung tâm công viên có một khuôn viên hình elip có
độ dài trục lớn bằng 16m, đồ dài trục nhỏ bằng 10m. Giữa
khuôn viên là một cái đài phun nước hình tròn có đường
kính bằng 8m, phần còn lại của khuôn viên người ta thả
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 68
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
cá. Số cá thả vào khuôn viên đó gần nhất với số nào dưới
đây, biết rằng mật độ thả cá là 5 con trên 1m2 mặt nước. A. 378 B. 375 C. 377 D. 376
Phân tích lời giải: Bài toán yêu cầu thả bao nhiêu còn cá
vào khuôn viên thỏa mãn mật độ 5 con trên 1m2 mà khuôn
viên nước là hình elip. Từ trước tới giờ chưa hề học công thức
tính diện tích của hình elip nên ta nghĩ đến ứng dụng tích
phân trong tính diện tích hình phẳng. Như vậy phải lập
phương trình elip. Nhắc lại kiến thức viết phương trình elip. 2 2 x y
Phương trình chính tắc của elip là   1 . Trong đó 2 2 a b
2a, 2b lần lượt là độ dài trục lớn, trục bé. Nhận dạng elip nếu
đề cho MF MF  2a với F c; 0 , F c; 0 thì tập hợp điểm 1   2   1 2
M là elip thỏa mãn F F  2c và 2 2
b a c . 1 2
Với bài toán này thì diện tích phần còn lại để thả cá là
S S S , trong đó S là diện tích hình elip, S là diện tích c e t e t
hình tròn ở giữa. Như vậy, tính số cá bằng 5S là xong. c Giải: 2 2 x y
Phương trình chính tắc của elip là   1 . Do trục 2 2 8 5
tung và trục hoành chia elip thành bốn phần bằng nhau nên
ta chỉ cần tính cái phần ở góc phần tư thứ nhất rồi nhân bốn lên là xong. 8 2 8   2 x 5 2 2 S  4 5 .  1 dx  8  x dx  . e 2  8  2 0 0
Đặt x  8sint dx  8costdt .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 69
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Đổi cận x  0  t  0, x  8  t  . 2 Khi đó   2 2 5 2 2 2 2 S
8  8 sin t.8 cos tdt  160 cos tdt   e 2 0 0  2
 801cos2tdt  40 0
Diện tích hình tròn có đường kính bằng 8m là: S  16 . t
Suy ra S S S  24 và số cá bằng 24.5  377 (con). c e t
Lưu ý: Công thức tính diện tích của hình elip khi biết độ dài
trục lớn 2a và độ dài trục bén 2b là S   ab (Dùng ứng dụng tích
phân để chứng minh).
Câu 6. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Toán học và Tuổi trẻ - Lần 8 10
Cho f x liên tục trên đoạn 0;10 
 thỏa mãn f (x)dx  7,  0 6 f
 xdx  3 . Khi đó giá trị của biểu thức 2 2 P f  x 10 dx f
 xdx là: 0 6 A. 10 B. 4 C. 3 D. -4
Phân tích lời giải : Bài toán dạng này chủ yếu cần thấy
được sự tách cận ra hợp lý và kết hợp với phép cộng trừ nhân
chia để tìm ra được giá trị biểu thức mà đề yêu cầu. Giải
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 70
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Ta có : 2 10 10
P f (x)dx
f (x)dx f    x 6 dx f
 xdx  7 3  4 0 6 0 2 Vậy chọn đáp án B
Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 - Toán học và Tuổi trẻ - Lần 8
Xét hàm số y f x liên tục trên miền D  a; b   có đồ thị
là một đường cong C  . Gọi S là phần giới hạn bởi C  và
các đường thẳng x a; x b . Người ta chứng minh được
rằng diện tích mặt cong tròn xoay tạo thành khi xoay S b
quanh Ox bằng S   f x  
fx2 2 1 dx . Theo kết quả a
trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay tạo thành
khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   2 2x  ln x f x
và các đường thẳng x  1; x e quanh Ox 4 2 2e  1 4 4e  9 A.B.  8 64 4 2 4e  16e  7 4 4e  9 C. D.  16 16
Phân tích lời giải: Đây là một câu người hỏi muốn kiểm
tra khả năng đọc hiểu. Giải: b Ta có S   f x  
fx2 2 1 dx . a
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 71
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK x x
Trong đó f x 2 2 ln 
và a và b lần lượt là 1, e và 4 f x 1  x  . 4x
Thay vào và sử dụng máy tính bỏ túi để tính bấm máy
được kết quả sau đó lưu vào A sau đó lấy A trừ cho các đáp
án. (Đã hướng dẫn ở sách “Máy tính bỏ túi – Kỹ thuật và sai lầm”) Câu 8. 4 x Cho hàm số y   2 2
2m x  2 . Tập hợp tất cả các giá trị 4
của tham số thực m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có
cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương
với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình 64
phẳng có diện tích bằng là 15  2     1  A. B.   1 C.   D.    2    2 
Phân tích lời giải: Do hệ số a  1  0 nên đồ thị của hàm
số sẽ có 2 cực tiểu và 1 cực đại. Bài toán nếu đọc nhanh lướt
qua sẽ dễ nghĩ bài thuộc phần hàm số nhưng thật ra nó là
thuộc phần tích phân. Nhận thấy rằng phần cần tính diện
tích đối xứng nhau qua trục Oy nên cần tích một bên và nhân
đôi lên sẽ có được phần đề yêu cầu Giải Ta có 3 2
y '  x  4m x
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 72
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
x  0  y  2  C0;2  4
y'  0  x  2m y  2  4m A 4 2 ; m 2  4m   4 x  2
m y  2  4m B   4 2  ; m 2  4m
Để phương trình có 3 điểm cực trị thì m  0
Đường thẳng qua C và song song với Ox có dạng là: y  2
Giao điểm của C và d là E2 2 ; m 2; F 2  2 ; m 2
Diện tích phần cần tính là 2 2m 4 2 2m 4  x  2 2 x 2 2 S  2 2   
 2m x  2dx  2   2m x dx   4  4 0 0 2 2m 2 2m 4 5 3  x    2 2 x 2 x 128 2 5  2    2m x dx  2   2m   m  4   20 3  15 0 0 64 1
Theo giả thiết S  nên m  . Chọn câu C. 15 2 Câu 9.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1   và thỏa 1 mãn x
  fx2dx f 1. 0 1
Tính giá trị biểu thức I f  x 0 A. 0 B. 1 C. 1
D. Không tính được
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 73
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Phân tích lời giải: Nhận thấy rằng, không thể biến đổi
ngay từ yêu cầu bài toán được. Do đó, ta xuất phát từ giả 1
thiết. Và biến đổi sao cho có tích phân f xdx  . 0 Giải: Theo giả thiết 1 x
  fx2dx f 1 1  xf   x 1
dx  2xdx f  1 0 0 0 1  xf
 xdx f 11 (1) 0
Nhìn vào phương trình sau khi biến đổi, tích phân 1 xf
 xdx thấy hàm dưới dấu tích phân là tích của hai hàm 0
x và f x . Do đó nghĩ đến phương pháp tích phân từng 1
phần để có f xdx  . 0 u   x du    dx Đặt    . dv f   xdx v    f  x  1
1  xf x 1 1  f
 xdx f 11  f xdx  1   . 0 0 0 Chọn đáp án C.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 74
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Câu 10. Group Nhóm Toán
Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn  2
f x  2 f x  cos x (1). Tính tích phân I f  xdx.   2 4 1 2 A. I B. I C. I D. I  1 3 3 3 Giải:
Cách 1: Thay x bởi x ta được,
f x  2 f x  cos x (2). Lấy (2) –(1) được f x  f x   2 2 1 2
Do đó f x 1
 cos x . Vậy I
f xdx  cos xdx    3   3 3   2 2
Cách 2: Lấy tích phân hai vế từ (1) được   2
  f x2 f x 2 dx  cos xdx      2 2   2  f  x 2 dx  2 f
 xdx  2     2 2    2  f t 2 dt f x 2 dx   f x 2 2 2 dx        3    2 2 2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 75
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Bài tập tương tự:
Bài 1. Đề minh họa THPT Quốc gia 2017 – Lần 3     Cho hàm số y  3 3
f x liên tục trên đoạn  ;   và  2 2   3 3 
thỏa mãn f x  f x  2  2cos 2x , x    ;   . Giá  2 2  3 2 trị của tích phân f
 xdx bằng? 3  2 A. 6  B. 0 C. 2 D. 6
Câu 11. Group Nhóm Toán
Cho hàm số có đồ thị C với m là tham số thực. Giả sử m
C cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ: m
Gọi S ,S ,S là diện tích các miền gạch chéo được cho trên 1 2 3
hình vẽ. Tìm tham số m để S S S . 1 2 3 5 5 5 5 A. m  
B. m   C. m D. m  2 4 2 4
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 76
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Phân tích lời giải: Đây là bài toán tìm tham số m và các
đáp án A, B, C, D có giá trị m cụ thể. Như vậy, để đơn giản, ta thử từng đáp án. Giải: 5
Với m   , ta có 4 2 5
y x  3x  . 2 2   2 3 19
y  0  x  (loại vì 2 3 19 x   0 ). Loại A. 2 2 5
Với m   , ta có 4 2 5
y x  3x  . 4 4   2 3 14
y  0  x  (loại vì 2 3 14 x   0 ). Loại B 2 2 5 Với m  , ta có 4 2 5
y x  3x  . y  0(VN) . 2 2 Loại C.
Như vậy, chọn đáp án D.
Nếu bài toán đổi đề. Với giá trị m đó và yêu cầu tình giá
trị biểu thức nào đó và những bài toán liên quan khác thì với
cách giải trên thì sẽ không giải quyết được vấn đề khác. Vậy
có cách giải tổng quát nào cho dạng toán này.
Giả sử C cắt Ox tại bốn điểm x x x x và do m  1 2 3 4
đồ thị hàm số đối xứng nhau qua Oy nên S S và 1 2 x3 x4 y dx y dx   và áp dụng điều này. 0 x3
Điều kiện để C cắt Ox tại 4 điểm. m
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 77
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK 9  4m  0  9 3  0  0  m  4 m  0 
Với điều kiện này thì loại ngay đáp án A, B, C và chọn D.
Tiếp tục giải bài toán này để người đọc hiểu rõ hơn bài này.
Theo như nhận định trên thì x3 x4 3 2 4 2
x  3x m dx
x  3x m dx   0 x3 x3    x 4 2
x  3x m 4 dx     4 2
x  3x mdx 0 x3 x x  x  
x  3x m 4 4 5 4 2 3 dx  0  
x mx  0  5 0  0 5 x4 3 4 2 
x mx  0  x  5x  5m  0 (1) 4 4 4 4 5
Mặt khác x là nghiệm của 4 2
x  3x m  0 (2) 4 4 4 Lấy (2)-(1) được 2 x  2m . 4 Thay vào (2) và được 2 5
4m  6m m  0  m  . 4
Bình luận: Đây là một câu cho đáp án không hay. Vì nếu
học sinh chỉ cần làm đến những bước kia thì có thể chọn ngay
đáp án mà không cần làm tiếp.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 78
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Câu 12. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Đề thi off thầy Đoàn Trí Dũng 1 Cho hàm số y
có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây. x
Gọi S là diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các 1 đường y
, x a, x  1 và trục hoành. Gọi S là diện tích x 1
của hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  , x  1, x
x b và trục hoành. Trong đó 0  a  1  b . Để S S thì
khẳng định nào sau đây đúng? A. ab  1 B. 2 2
a b  1 C. a b ab D. a b e Giải: 1 1 b dx Ta có S dx   ln a  , S   lnb  . x x a 1
S S  ln a  lnb ab  1.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 79
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Câu 13. Group Nhóm Toán 12 Cho hàm số 3
y  8x  27x có đồ thị C  và đường thẳng
 : y c với c  0 . Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục
tọa độ, gọi S và S là diện tích của hai hình phẳng gới hạn 1 2
bởi C  và trục tung như hình vẽ dưới đây. Biết rằng c
thỏa mãn S S . Chọn khẳng định đúng trong cách 1 2 khẳng định sau: 1 1 3 A. 0  c
B. 3  c  2 C.
c  1 D. 1  c  2 2 2 2 Giải:
Đồ thị C  cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ 2 6
x  0; x   . 9
Như vậy, trong góc phần tư thứ nhất, đồ thị C  cắt trục 2 6
hoành tại x  0 và x  . 9
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 80
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 2 2
Điểm cực đại của hàm số là x  . Suy ra y  1,7 . 9 CD
Do đó 0  c  1,7 . Như vậy có thể loại ngay đáp án B.
Phương trình hoành độ giao điểm 3
8x  27x c * .
Giả sử (*) có hai nghiệm x x . Khi đó: 1 2 x1 S    3
c  8x  27x dx và 1  0 x x 2 S    3
8x  27x c 2 dx     3
27x  8x c dx 2  x x 1 1 x2
S S    3
27x  8x c dx  0 1 2  0 x2  27  27 4 2 
x  4x cx    0 3 
x  4x c  0  4  2 2 4 0 3
 27x 16x  4c  0 1 4 2  
Mặt khác x là nghiệm của phương trình (*) nên 2 3 3
27x  8x c  0  27x  8x c (2). Thế vào (1) 2 2 2 2 3c 8
x  3c  0  x  . 2 2 8 3  3c  32 Thế vào (2) được 2 27.
 2c  729c  1024  c    .  8  27  3 
Vậy c  1;  . Chọn D.  2 
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 81
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Câu 14. Group Nhóm Toán 12
Cho hia đường tròn O ; 5 và O ; 3 cắt nhau tại hai điểm 2  1 
A, B sao cho AB là đường kính của đường tròn O . Gọi 2 
D là hình phẳng giới hạn bởi hai đường (ở ngoài đường
tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay quanh
D quay quanh trục O O được một khối tròn xoay. Tính 1 2
thể tích khối tròn xoay được tạo thành. 14 68 40 A. B. C. D. 36 3 3 3
Phân tích lời giải: Bài toán có nhiều cách giải. Tùy vào
độc giả thích giải theo cách nào. Sau đây, xin giới thiệu đến hai cách:
Cách thứ nhất: Áp dụng công thức tính thể tích chỏm cầu. 1
khi đó thể tích cần tìm là  V
V . Vấn đề công thức tính O ;3 2  2 cc chỏm cầu là gì?
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 82
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
“Cho một khổi chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h. Khi đó h
thể tích khối chỏm cầu: 2 V     h R    .  3  4
Cho khối cầu có bán kính R.Thể tích khối cầu: 3
V   R ”. 3
Cách 2: Ứng dụng tích phân vào tính thể tích khối tròn
xoay. Vậy vấn đề là cần xây dựng hệ trục tọa độ. Chọn hệ
trục sao cho dễ tính nhất có thể. Tùy vào mỗi người có một
cách chọn hệ trục tọa độ riêng. Giải:
Cách 1: Khi quay quanh trục O O đường tròn tâm O 1 2 2
bán kính bằng 3. Ta được một khối cầu có bán kính bằng 3. 4
Khi đó thể tích khối cầu là 3  V   3  36 . O ,3 1  3
Khi quanh quanh trục O O thì cung nhỏ AB tạo thành 1 2
một khối chỏm cầu có bán kính bằng 5. Và bây giờ ta cần xác
định được chiều cao của nó. Dễ thấy h  5 O O . 1 2
Xét tam giác O O A vuông tại O có 1 2 2 2 2
O O  5  3  4 . Suy ra h  1 . 1 2  1  14
Vậy V    5    . cc   3  3 14 40 Do đó V  18     . Chọn C. ct 3 3
Cách 2: Xét hệ trục tọa độ Oxy với
O O ,O O Ox, AB Oy . Khi đó O , O lần lượt 2  1  1 1 2 có phương trình là:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 83
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
O :x42 2
y  25, O : x y  9 . 2  2 2 1 Thể tích cần tìm là: 3 1  V    x dx   x  2 2 40 9 25 4 dx    3 0 0
Câu 15. Trích đề thầy Lê Phúc Lữ
Trong giải tích, với hàm số y f x liên tục trên miền
D  a; b 
 có đồ thị là một đường cong C. Người ta có thể b
tính đồ dài của C bằng công thức L    f    x 2 1  dx  . Với a
thông tin đó, hãy tính độ dài đường cong C cho bởi 2 x y
 ln x trên 1; 2   . 8 3 31 A.  ln 2 B.  ln 4 8 24 31 C. 3  ln 2 D.  ln 4 8 24
Phân tích lời giải: Dạng toán đọc hiểu bổ đề của một bài
toán. Và chỉ việc áp dụng công thức sau đó giải. Giải: x 1 Ta có y   . Khi đó, 4 x 2 2 2     2 x 1 1 x 1 x 1 1  y  1            . 2  4 x  2 16 x  4 x  Suy ra
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 84
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 2 2 2 2     2 x 1 x 1 L  1 ydx   dx        dx  4 x   4 x  1 1 1 2 2  x  3
   ln x    ln2  8  8 1 Chọn C. Câu 16. 2 Tính tích phân max 3
x, x dx  . 0 15 17 A. 2 B. 4 C. D. 4 4
Phân tích lời giải: Đây là một câu khá lạ. Rõ ràng đây là
một câu tính tích phân. Tuy nhiên hàm dưới dấy tích phân là
max của của hai hàm. Vậy có cách nào để giải dạng này?
Nhắc một chút kiến thức về phần này?
“Cho hai hàm f, g liên tục trên . Khi đó
f g f g
(1) max f ,  g 2
f g f g
(2) min f ,  g “ 2
Như vậy, với bài toán tính giá trị tích phân mà hàm dưới
dấu giá trị tích phân sẽ chuyển về tính tích phân với hàm
dưới dấu tích phân là hàm trị tuyệt đối mà đã biết cách giải. Nghĩa là: b     
f xg x
b f xg x
f xg x max , dx dx  2 a a
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 85
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK b     
f xg x
b f xg x
f xg x min , dx dx  2 a a
Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách này.
Bước 1: Giải phương trình f x  g x  0 . Từ đó tìm các
nghiệm thỏa a x x  ...  x b 1 2 n
Bước 2: Xét dấu f x  g x trên các khoảng nghiệm.
Bước 3: Tách thành cách tích phân và giải. Giải: Cách 1:     x x  3 3 2 2 1 2 x x x x 3 3 17 max , dx
dx xdx x dx      2 4 0 0 0 1 Cách 2:x  0 Ta có 3 x x   x    1 Do x  0; 2 
 nên x  0, x  1 . Lại có 3
x x âm trên khoảng 0;1 dương trên khoảng 1;2 nên max 3
x, x   x,max 3 x, x  3  x . 0;1 1;  2     2 1 2 17 Vậy max 3 x, x  3
dx xdx x dx     . 4 0 0 1
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 86
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Chuyên đề 4: SỐ PHỨC
Câu 1. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội
Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức T z  1  2 z  1 . A. 2 5 B. 2 10 C. 3 5 D. 3 2
Phân tích lời giải: Cách giải thuần túy, đặt z x yi;
x, y . Sau đó biến đổi giả thiết và biểu thức cần mà đề bài
đề bài yêu cầu. Ngoài ra, có thể dùng bất đẳng thức. Nhắc lại:
“Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với hai bộ số a; b ,x; y thì   2   2 2   2 2 ax by a b
x y  ”. Giải:
Cách 1: Giả sử z x yi; x, y  . Khi đó 2 2 x y  1 .
T x yi   x yi   x  2  y  x 2 2 2 1 2 1 1 2 1  y
 2x  2  2 2  2x
Xét hàm số f x  2x  2  2 2  2x , x   1  ;1  
Ta có f x 1 2   2x  2 2  2x f x 3
 0  2  2x  2 2x  2  x   5
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 87
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK  3  f  1    4 ; f   
 2 5 ; f 1  2 . Vậy maxT  2 5  5  Cách 2:
T z   z      2 2 2 1 2 1 1 2
z  1  z  1  2 2 2 2
Ta có đẳng thức z z
z z  2 z z . 1 2 1 2  1 2  2
Khi đó ta có T  5.2  z   1  2 5 . Vậy maxT  2 5 .
Lưu ý: Học sinh phải nhớ đẳng thức bình hành: 2 2 z z
z z  2 2 2 zz 1 2 1 2 1 2 
Câu 2. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Thanh Chương 1 – Nghệ An
Cho z , z là hai số phức thỏa mãn 2z i  2  iz , biết 1 2
z z  1 . Tính giá trị biểu thức P z z . 1 2 1 2 3 2 A. P B. P  2 C. P D. P  3 2 2 Giải:
Gọi z x yi; x, y
. Biến đổi 2z i  2  iz ta được 2 2
x y  1 . Gọi A, B là điểm biểu diễn hai số phức z , z . 1 2
Khi đó ta có z z OA OB BA AB  1. 1 2
Suy ra tam giác OAB đều cạnh bằng 1.
Gọi M là trung điểm AB.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 88
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 3
Ta có P z z OA OB  2OM  2.  3 . 1 2 2
Câu 3. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định
Cho các số phức z thoả mãn z  1  2 . Biết rằng tập hợp
các điểm biểu diễn số phức w  1 i 3z  2 là một
đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó A. r  16 B. r  4 C. r  25 D. r  9
Phân tích lời giải: Đây là dạng toán, cho số phức z thỏa
mãn điều kiện nào đó và tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
w với biểu thức w thông qua z. Để giải dạng toán này, ta cần
rút ngược lại z theo w và thế vào điều kiện của z để tìm điều
kiện của w. Một số kiến thức áp dụng trong bài toán này: z z
“Cho z , z . Khi đó 1 1  ” 1 2 z z 2 2 Giải: w
Ta có w    i  2 1
3 z  2  z
. Thế vào điều kiện: 1 i 3 w  3  i 3 w  2 w  3  i 3 1  2   2   2 1  i 3 1  i 3 1  i 3 w  3  i 3 
 2  w  3  i 3  4 . Vậy r  4 . 1  3
Lưu ý: Cho z , z . Khi đó z z z . z . 1 2 1 2 1 2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 89
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK Câu 4.
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  5 .
Tìm giá trị lớn nhất của P z .
A. max P  3 5 B. max P  5 C. max P  5 D. max P  13 Giải:
Cách 1: Gọi z x yi; x, y  . Khi đó 2 2
P x y . 2 2
Ta có x yi  2  4i  5  x  2  y  4  5.
Đặt x  2  5 sint, y  4  5 cost,t  0; 2    . Suy ra P    t2    t2 2 5 sin 4 5 cos
 25  4 5 sint  8 5 cost Do 2
 0  4 5 sint  8 5 cost  20 nên 5  P  3 5 . Vậy max P  3 5 .
Cách 2: Từ cách 1, ta có
tập hợp điểm M z là
đường tròn tâm I 2; 4 và bán kính R  5 . Vậy
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 90
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
max P OM OI R 2 2  2  4  5  3 5
Cách 3: Áp dụng công thức giải nhanh (đã nói ở tài liệu công thức giải nhanh): Ta có A  2
  4i , B  0 ; k  5 . 2 2 T
A B AB AB  2 5
Vậy 2 5  5  P  2 5  5 hay 5  P  3 5 .
Nếu đề bài hỏi:
a. Tìm min z thì min z ON OI R  5 (cách 2).
(cách 1, 3 hiển nhiên ta có min z .
b. Tìm số phức có môđun nhỏ nhất lớn nhất.
Ứng với cách 1 thì không giải được.
Ứng với cách 2: Phương trình đường thẳng OI là: y  2x .
Khi đó toạ độ M, N là nghiệm của hệ: x  1  y  2x  y  2    x  2 
2 y 42   5 x  3  y  6
Số phức có môđun lớn nhất là z  3  6i . Số phức có
môđun nhỏ nhất là: z  1 2i . Ứng với cách 3:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 91
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
 z  2  4i  5 Ta giải hệ 
dể tìm số phức có môđun nhỏ min z  ... 
 z  2  4i  5 nhất và 
để tìm số phức có môđun lớn nhất. max z  ... 
Câu 5. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Khoa học Tự nhiên – Lần 1
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
1iz17i  2. Tìm giá trị lớn nhất của z . A. 4 B. 3 C. 7 D. 6 Giải: i
Cách 1: Ta có   i 1 7 2 1
z  1 7i  2  z   1 i 1 i
z  3  4i  1 . Lúc này chuyển về bài toán đã giải ở trên. A  3
  4i ; B  0; k  1. 2 2 T
A B AB AB  5
Suy ra 4  P  6 . Vậy max z  6 .
Cách 2: Xét bài toán tổng quát: “Trong các số phức z thỏa
mãn z z r . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 1
P z z ” 2
Đặt r z z . Khi đó max P r r ; min P r r . 2 1 2 1 2 1 2
Thực chất đây chính là công thức giải nhanh ở cách 1, chỉ
là biểu diễn ở dạng khác dễ nhớ hơn.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 92
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Từ cách biến đổi z  3  4i ; z  0 . Suy ra r  5 . 1 2 2 Câu 6.
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i z  2i .
Biết số phức z x yi với x, y  có môđun nhỏ nhất.
Tính giá trị biểu thức 2 2
P x y . A. 10 B. 8 C. 16 D. 26 Giải:
z  2  4i z  2i x  2  y  4i z  y  2i
 x  2  y  2  x  y  2 2 2 4 2
y  4  x
z x y x  4  x2 2 2 2 2
 2x  8x 16
 2x  22  8  2 2 Vậy P  8 .
Lưu ý: Gặp dạng bài mà có tập các điểm biểu diễn số phức
z là một đường thẳng ax by c  0 thì rút y theo x rồi thế
vào yêu cầu bài toán. Chẳng hạn như bài trên.
Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Toán Học Tuổi Trẻ - lần 5.
Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 . Giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là: A. 10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3 D. 5 và 3 Giải:
Gọi z x yi; x, y  . Theo giả thiết ta có:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 93
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
z  4  z  4  10  z  4  yi x  4  yi  10
 x  2  y  x  2 2 2 4 4  y  10 1
Gọi M x; y , F 4
 ;0 ,F 4;0 thì 1  MF MF  10 . 1   2   1 2
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là elip với
F F  2c; MF MF  2a 1 2 1 2 2 2
a  5;c  4  b a b  3 . Phương trình chính tắc 2 2 x y của elip là:   1. 25 9 Vẽ hình, ta thấy
max z OA OA  5 ;
min z OB OB  3 . Câu 8.
Biết số phức x yi; x, y
thỏa mãn đồng thời hai điều 2 2
kiện z  3  4i  5 và P z  2  z i đạt giá trị lớn
nhất. Tính môđun số phức z. A. 33 B. 50 C. 10 D. 5 2 Giải: 2 2
Ta có z  3  4i  5  x  3  y  4  5 (1). 2 2 P z
z i  x 2  y x y  2 2 2 2 2 1
Suy ra 4x  2y  3  P  0 (2). P  3
Cách 1: Từ (2) suy ra y  2  x  2 Thế vào (1) ta được:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 94
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 2     x  2 P 11 3  2  x     5  2  P
 5x  28  P  112 2 x  4   0 4
Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi      P P 2 2 11 8  5 4 
  0  13  P  33  4    Vậy max P  33 . 33  8
Dấu bằng xảy ra khi x   5  y  5 5
Suy ra z  5  5i z  5 2 .
Cách 2: Dễ thấy (1) là phương trình đường thẳng. Khi đó
ta tìm P sao cho  và đường tròn C  có điểm chung    12  8  3  P d I;  R
 5  23  P  10 20  13  P  33.
Vậy max P  33 . Dấu “=” xảy ra khi
4x  2y  30  0  x  5     x  3 
2 y42  5 y  5 Câu 9.
Biết số phức x yi; x, y
thỏa mãn đồng thời hai điều
kiện z z  4  3i và P z  1  i z  2  3i đạt giá trị
nhỏ nhất. Tính giá trị P x  2y .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 95
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK 61 253 41 18 A. P   B. P   C. P   D. P   10 50 5 5 Giải:
Ta có z z  4  3i x yi x  4  y  3i
x y  x 2 y  2 2 2 4
3  8x  6y  25  0
P x  1  y  1i x  2  y  3i
 x 12  y 12  x  22  y  32  MEMF Trong đó E   1  ;1; F 2; 3
  , M x; y .
Khi đó bài toán trở tình tìm  sao cho ME MF đạt giá
trị nhỏ nhất. Kiểm tra được E, F nằm cùng một phía so với 
Gọi E là điểm đối xứng của E qua  .
Suy ra EE đi qua E và vuông góc với  có phương trình
là: 3x  4y  7  0 .  71 19 
Gọi H là giao điểm của EE với  suy ra H  ;     25 25   117 44  Suy ra E  ;  
 (H là trung điểm EE ).  25 25 
Ta có ME MF ME  MF E F
 . Dấu “=” xảy ra khi và
chỉ khi M E F   . Phương trình E F
 đi qua hai điểm E,F là:
31x 167y  439  0  67 119  61 Vậy M  ;  
 . Suy ra P x  2y   .  50 50  10
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 96
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Câu 10.
Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P z  1  z z  1 . Tính giá trị của M.m 13 3 39 13 A. B. C. 3 3 D. 4 4 4 Giải:
Giả sử z x yi ; x, y  . Khi đó 2 2 x y  1 . 2 2 2
P z  1  z z  1  x  1 yi x y x  1 y 2x   1 i 2 2 2  x   2  y   2 2
x y x   2 1
1  y 2x   1 2 2   x   2
x x   2 2 2 2
1 x 2x   1 
x    x  2 2 2 2 1 1
Nếu  x  1 thì P  2x  2  2x 1. 2  1 
Xét hàm số f x  2x  2  2x 1 với x  ;1   .  2    f x 1 1   2  0, x   ;1. 2x  2  2   
Suy ra max f x  f 1  3 , f x 1 min  f    3 .  2  1 Nếu 1
  x  thì P  2x  2 1 2x. 2  1 
Xét hàm số f x  2x  2  1 2x với x  1;   .  2 
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 97
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK f x 1 
 2 ; f x 7  0  x   . 2x  2 8  
Lập bảng biến thiên ta được f x 7 13 max  f     .  8  4
Kết hợp cả 2 trường hợp ta được: 13 13 3 max P
; min P  3 . Suy ra M.m  . 4 4
Câu 11. Đề minh họa THPT Quốc gian 2017 – Lần 2
Xét số phức z thỏa mãn   i 10 1 2 z
 2  i . Mệnh đề nà z dưới đây đúng? 3 1 3 1 A.
z  2 B. z  2 C.
z D. z 2 2 2 2 Giải: 10 10 Ta có
 1 2iz  2 i
z  2  2 z   1 i z z
z    z  i
  z  2  z  2 10 10 2 2 1 2 2 1 z z 2 2 4 2 
z 1  z z  2  0  z  1. z Câu 12.
Cho các số phức z  0, z  0 thỏa mãn điều kiện 1 2 2 1 1   z z P   . z z z
(1). Tính giá trị biểu thức 1 2 z z z 1 2 1 2 2 1
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 98
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 1 A. P 3 2 B. 2 C. 2 D. 2 2 Giải:
1  2z z z  z z z  2 2
z z z  2z z  2z  0 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2
Nhận thấy đây là phương trình đẳng cấp và z  0 nên 2 chia cả hai vế cho 2 z . 2 2  z zz  1   i z 1   2 1 1
    2.  2  0          z z z z z 1   i 2 1 2 z 2 2 1 2 z z z z 1 3 2 Do đó 1 2 1 2 P      2   . Chọn D. z z z z 2 2 2 1 2 1 Câu 13.
Cho hai số phức u, v thỏa mãn điều kiện u v  10 và
3u  4v  2017 . Tính M  4u  3v . A. 2983 B. 2883 C. 2893 D. 24
Phân tích lời giải: Cần chú ý ở hệ số của u và v. Vì giả
thiết cho là 3u  4v và hỏi là 4u  3v . Khi nhắc tới môđun sẽ
nhớ tới căn bình phương và đặc biệt là thấy ở cả u và v là 2 2 3  4  5 Giải: 2 Ta có z  .
z z . Đặt N  3u  4v . Khi đó
N   u v uv 2 2 2 3 4 3 4
 9 u 16 v 12uvuv
M   u v uv 2 2 2 4 3 4 3
 16 u  9 v 12uvuv
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 99
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK 2 2 Do đó 2 2
M N  25 u v   5000 2
M  5000  N  5000  2017  2983 . Chọn câu A
Lưu ý: Kỹ thuật liên hợp của số phức rất qua trọng. Bài trên
áp dụng rất thành công và nhanh chóng ra kết quả. Nếu bạn đọc
giải theo cách truyền thống đặt z x yi thì sẽ rất lâu. Câu 14.
Nếu hai số phức z , z thỏa mãn z z  1
 và z z  1 1 2 1 2 1 2 z z thì số phức 1 2 w  có phần ảo bằng 1  z z 1 2 A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
Phân tích lời giải: Với bài này, có thể chọn z , z thỏa mãn 1 2
yêu cầu bài toán và tính số phức w theo z , z . Từ đó có được 1 2
kết quả. Tuy nhiên để hiểu rõ vẫn đề, ta cần có một lời giải
hoàn chỉnh cho bài này. Bài này sử dụng một số phần lý thuyết như sau:
“Cho số phức z , z . 1 2 z z
(1) z z z z
(2) z z z .z (3) 1 1  1 2 1 2 1 1 1 2 z2 z2 1
(4) z z z là số thực
(5) z  1  z ” 1 1 1 1 1 z1 Giải: 1 i
Cách 1: Chọn z  1, z i , ta có w   1 1 2 1 . i
Vậy phần ảo của w bằng 0.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 100
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 1 1
Cách 2: Do z z  1 nên z  , z  . Khi đó, 1 2 1 2 z z 1 2 1 1  z z z z z z z z z z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 w       w 1 z z 1 1 z .z  1 1  z z 1 z z 1 2 1 2  1 2 1 2 1 . z z 1 2
Vậy w là số thực hay phần ảo bằng 0.
Câu 15. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Đặng Thúc Hứa – Nghệ An
Cho số phức z a bi thỏa mãn điều kiện 2
z  4  2 z . Đặt P   2 2
8 b a  12. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. P   z  2 2
B. P   z  2 2 4
C. P   z  2 4
D. P   z  2 2 2 Giải:
Giả thiết tương đương với 2 2 2   z   z   2 4 4 z  4 2
z  4  4zz   2 2 2 2
z .z  4z  4z 16  4zz    zz  22 2 2
 4 z z  12  0    
   z z      z  2 2 2 2 4 12 2 2
Đặt z a bi thì 2 2 2
z a b  2abi , 2 2
z a b  2abi .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 101
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK 2 Suy ra 2
z z   2 2 2 a b  .
Suy ra P  b a    z  2 2 2 8 2 .
Câu 16. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Toán học & Tuổi trẻ - Lần 8 1
Cho số phức z thỏa mãn z
 3 . Tổng giá trị lớn nhất z
và giá trị nhỏ nhất của z . A. 0 B. 3 C. 2 D. 4 Giải: 2 1 1  1  1  z   3  z   9  z z      9 z zz  z     z   2 2 1  z  1 2 2 2   2 2 
 9  z z z z 1  9 z . z z
z  z z2 4 2 2
 2 z  1  9 z .
Ta có z z2  0 nên 2 4 2 4 2
9 z z  2 z  1  z  11 z  1  0 11  3 13 2 11  3 3 3   13 3  13   z    z  2 2 2 2
Vậy max z  min z  13 .
Tổng quát hóa: Cho a,b,c là các số thực dương và số phức b
z khác 0 thỏa mãn az   c . Khi đó z
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 102
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 2 2
c c  4ac
c c  4abz  2a 2a
Câu 17. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Toán học và tuổi trẻ - Lần 8
Xét số phức z thỏa mãn 2 z  1  3 z i  2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 1 3 A.
z B. z C. z  2 D.z  2 2 2 2 2
Phân tích lời giải: Sử dụng bất đẳng thức u v u v . Giải: Cách 1: Ta có
2 2  2 z  1  2 z i z i  2 1 i z i
Suy ra z i  0  z i z  1. Chọn D.
Cách 2: Sử dụng hình học để giải:
Giả sử z x yi có điểm biểu diễn là M x; y .
Số phức z  1 có điểm biểu diễn là A x  1; y , z i có
điểm biểu diễn là Bx; y  1 . Khi đó
2 z  1  3 z i  2 2  2OA  3OB  2 2  2AB
Mặt khác 2OA  3OB  2OA  2OB OB  2AB OB .
Do đó 2AB OB  2AB OB  0  B O z i
Câu 18. Đề minh họa THPT Quốc gia 2017 – lần 3
Xét số phức z thỏa mãn z  2  i z  4  7i  6 2 . Gọi m,
M lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z  1  i
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 103
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Tính P m M 5 2  2 73
A. P  13  73 B. P  2 5 2  73
C. P  5 2  73 D. P  2 Giải:
Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi .
z  2  i z  4  7i  6 2
 x  22  y 12  x  42  y 72  6 2 2 2
Và T z  1 i  x   1  y   1 Cách 1: Đặt F 2
 ;1 ,F  4;7 , A 1; 1  . Khi đó 1   2    
MF MF  6 2 và T MA . 1 2
Mặt khác ta có F F  6 2 . Do đó điểm M thuộc vào 1 2 đoạn thẳng F F . 1 2
Phương trình đường thẳng F F : x y  3  0 . 1 2
Kiểm tra được, hình chiếu của C lên đường thẳng F F 1 2
thuộc ngay vào đoạn thẳng F F . 1 1 5 2
Ta có CF  13,CF  73,d C; F F  . 1 2  1 2 2 5 2 5 2  2 73 Vậy T  73,T  và P  . Chọn B. max min 2 2
Bình luận: Nếu hình chiếu của điểm C lên đường thẳng F F 1 2
nằm ngoài đoạn thẳng F F thì cách giải trên có còn áp dụng được 1 2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 104
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
không? Học sinh cần lưu ý, nếu hình chiếu không nằm trên đoạn
F F thì khi đó giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đạt được chính tại hai 1 2
điểm đầu mút của đoạn thẳng. Cách 2:
Áp dụng bất dẳng thức   
   2    2 2 2 2 2 x y a b x a y b x y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  . a b Ta có
6 2  x  22  y  2
1  x  42  y  72
 x  2  4  x2  y 1 7  y  6 2
Do đó “=” xảy ra khi và chỉ khi x  2 y  1 
x y  3  0 4  x 7  y
Từ đó rút ra được y x  3 . Thay vào T được:
T  x  2  x  2 2 1 4
 2x  6x  19
Do điểm x, y thỏa mãn biểu thức
x 2 y  2  x 2 y  2 2 1 4 7  6 2
Nên có x  2  x  4  6 đúng với mọi x  2; 4   . Như vậy, Xét hàm số 2
y  2x  6x  19 với x  2; 4   . 25
Do đó max y  73, min y  trên đoạn  2  ; 4   2 5 2
Suy ra maxT  73, minT  . 2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 105
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức môđun z z z z 1 2 1 2
và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z  0 hoặc z  0 hoặc tồn 1 2
tại k  0 , k  sao cho z kz . 1 2
Ta có z  2  i z  4  7i z  2  i  4  7i z  6 2 .
Vậy áp dụng dấu bằng xảy ra:
TH1: z  2  i . Suy ra T  13 .
TH2: z  4  7i . Suy ra T  73 .
TH3: Tồn tại số k  0 thỏa z  2  i k z  4  7i .
Ở đây, chọn k  1 và thỏa mãn. Tập hợp các điểm biểu
diễn của z thỏa mãn z  2  i z  4  7i chính là đường
thẳng x y  3  0 và quay về cách 2.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 106
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Chuyên đề 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Câu 1.
Cho tứ diện ABCD có AB CD a . Gọi M, N lần lượt là 3 a 3
trung điểm của AD, BC. Biết V
, d AB;CD  . a ABCD 12 Xét các mệnh đề sau: a (1). Góc  AB CD 0 ,  60 (2). MN  2 3 a 3 a 3 (3). V  (4). MN MNCD 24 2
Có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Giải:
Bài toán phụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo AB và CD, là góc giữa hai đường thẳng
đó. Khi đó thể tích tứ diện ABCD là: 1 VA . B C . D . d sin ABCD 6 Chứng minh:
Cách 1: Dựng hình hộp AEBF. MDNC.
Vì  AEBF / /  MDNC nên
chiều cao của hình hộp bằng
khoảng cách d giữa AB và CD.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 107
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK Ta có 1 1 VVS .d ABCD AEBF. 3 MDNC 3 MDNC 1 1 1  . .MN. . CD sin.d A . B . CD . d sin 3 2 6
Cách 2: Dựng hình bình hành ABCE. Khi đó: VV A.BCD E.BCD
(do AE // BCD ) (1) VV (2) . E BCD . B ECD 1 V
 .S .d B, CDE (3) B.ECD ECD    3 1 1 S  .C . E C . D sin ECD A . B C . D sin (4) ECD 2 2 d ,
B CDE  dAB,CD (do AB //CDE ) (5) 1
Từ (2), (2), (3), (4), (5) suy ra VA . B C . D . d sin . ABCD 6 Áp dụng: 1 1 Ta có VA . B C . D . d sin  . . a . a . a sin ABCD 6 6 3 Suy ra sin  hay 0   60 . 2 a
Gọi P là trung điểm BD . Khi đó ta có MP NP  . 2
Và MP / / AB và NP / /CD . Do đó  ;
AB CD   MP, NP .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 108
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT TH1: Góc 0
MPN  60 . Suy ra tam giác MNP đều và a MN  . 2 TH2: Góc 0 MPN  120 .
Áp dụng định lý cosin cho tam giác MNP có: 2 2 2 3 2
MN MP NP  2M . P N .
P cos MPN a 4 a 3 Suy ra MN  . 2 Câu 2.
Cho hình nón tròn xoay N có đỉnh S và đáy là hình tròn
tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng  P , đường cao
SO h . Điểm O’ thay đổi trên đoạn SO sao cho SO  x ,
0  x h . Hình trụ tròn xoay T  có đáy thứ nhất là hình
tròn tâm O bán kính r, 0  r  r nằm trên mặt phẳng  P
, đáy thứ hai là hình tròn tâm O’ bán kính r’ nằm trên mặt
phẳng Q , Q vuông góc với SO tại O’ ( đường tròn đáy
thứ hai của T  là giao tuyến của Q với mặt xung quanh
của N . Hãy xác định giá trị của x để thể tích phần không
gian nằm phía trong N  nhưng nằm phía ngoài của T
, đạt giá trị nhỏ nhất. h h 2h h A. x B. x C. x D. x 2 3 3 4
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 109
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Phân tích lời giải: Đề bài này yêu cầu người giải phải biết
được công thức tính thể tích hình nón và thể tích hình trụ
ngoài ra còn phải đọc hiểu đề một cách chắc chắn. Giải:
Nhận xét: Thể tích cần tìm là sẽ bằng phần thể tích nón
lớn (đỉnh S đáy là đường tròn tâm O bán kính r) trừ nón nhỏ
(đỉnh S đáy là hình tròn tâm O bán kính r ) trừ thể tích hình trụ. V VVV ctS ,O
S ,O
O ,O 1   2 1 2  . h r
xr  h   x 2 r  3  3  1
Thể tích cần tìm nhỏ nhất  2
A xr  h x 2 r lớn 3 1 nhất do 2 .
h r là không đổi. 3 x rxr Ta có   r  h r h Do đó 1     A
xr  h x 2 2 2 2 2 2 x r 2
r  .rh x   h     x  2 3  3  h  3 
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 110
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT x r  2  x r 2x r Xét f x 2 2 2 2 3 2  
h x    
, x  0; h 2 2 h  3  h 3h   f x 2 2 2 2xr 2x r x 0   
; f ' x  0   2   h h x   h
Do 0  x h nên f x  0 .
Do hàm đồng biến trên 0; h nên nhìn đáp án. Chọn câu C. Câu 3:
Cho mặt phẳng (P) chứa hình vuông ABCD. Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy điểm M. Trên
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại C, lấy điểm
N (N cùng phía M so với mặt phẳng (P)) . Gọi I là trung
điểm của MN. Thể tích tứ diện MNBD luôn có thể tính
được bằng công thức nào sau đây ? 1 1
A. V  .AC.S
B. V  .AC.S 3 IBD 3 BDN 1 1
C. V  .B . D S
D. V  .B . D S 3 BMN 3 MBD
Phân tích lời giải:
Bài toán này yêu cầu cần
chọn chính xác mặt đáy là mặt
nào. Nếu chọn đường cao là BD
sau đó tách khối cần tìm thể tích thành hai khối nhỏ là
DOMN; BOMN thì sẽ dễ dàng
lúc đầu nhưng lâm vào bế tắc
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 111
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
lúc sau do đáp án không có S
Vậy tại sao không bắt đầu OMN
từ AC thử xem nào ? Tại sao đề gợi nhắc điểm I nhưng vẫn
chưa được sử dụng ? Hãy thử tách khối cần tìm thành 2 khối
nhỏ MIBD;NIBD về ý tưởng nó xem xem như trên nhưng lợi
thế ở đây là có đáy là IBD và trong đáp án có IBD. Điều khó
ở hướng này là đường cao. Giải:
Gọi I là trung điểm MN, O là tâm hình vuông. Ta có: 1 1 VVVd Sd S MNBD MIBD NIBD  . . M ,( IBD) IBDN,(IBD) 3 3 IBD
Lại có dM,IBD  dN,IBD (do I là trung điểm MN).
Do AM / /IO nên AM / / IBD  ddAO ( M ;( IBD)) ( A;( IBD)) 2 1 Suy ra VA . O SAC.S MNBD 3 IBD 3 IBD Vậy chọn đáp án A. Câu 4:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
cạnh bên hợp với đáy một góc 0
60 . Gọi M là điểm đối
xứng của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng BMN
chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần trên. 7 1 7 6 A. B. C. D. 5 7 3 5 Giải:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 112
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Cách xác định thiết diện của mặt BMN như hình vẽ.
Ta có E SD MN nên E là trọng tâm tam giác SCM.
Do DF // BC nên F là trung điểm BM.
Ta có SD ABCD 0 ,  SDO  60 . a 6 a 7 Tính được 2 2 SO
,SF SO OF  . 2 2 a a
Ta có d o SAD 2 6 1 7 ,  OH  ;SSF.AD SAD 2 7 2 4 V ME MF MD 1 Lại có MEFD  . .  . V MN MB MC 6 MNBC aVVd M SAD SBFDCNE MNBC    3 5 5 1 1 5 6 . , . 6 6 3 2 SBC 72 3 1 a 6 VS . O SS.ABCD 3 ABCD 6 3 7a 6  V 7 VVV  . Suy ra SABFEN SABFEN S.ABCD BFDCNE 36 V 5 BFDCNE Câu 5.
Cho khối lập phương ABC . D A BCD
  cạnh a. Các điểm E
và F lần lượt là trung điểm của C B   và C D   . Mặt phẳng
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 113
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
AEFcắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V 1
là thể tích khối chứa điểm A và V là thể tích khối chứa 2 V
điểm C . Khi đó 1 là: V2 25 17 8 A. B. 1 C. D. 47 25 17
Phân tích đề bài: Để làm những dạng bài cần tạo thành
nó 1 thiết diện như bài tập xác định thiết diện lớp 11. Cần kéo
dài mặt thiết diện ra ngoài khối chóp để kết hợp mặt khối
chóp tạo thành 1 tứ diện . Sau đó sử dụng công thức tỷ số thể
tích trong tứ diện để thao tác. Giải
Đường thẳng EF cắt A D   và A B
  tại N, M, AN cắt DD
tại P, AM cắt BB tại Q khi đó mặt phẳn  AEF cắt khối lập
phương làm hai phần riêng biệt và xác định được V V     ; V V 1 AA QB EFD P 2 ABCDC QEFP Gọi V V        ,V V  ,V V  ,V V  . ABCD.A B C D 3 A .A MN 4 PFD N 5 PFD N
Do tính đối xứng của hình lập phương nên ta có V V . 4 5 Nhận thấy : 3 1 1 3a 3a 3a V AA .A . M A N   . a .  3 6 6 2 2 8 3 1 1 a a a a
V PD .D F  .D N   . . .  4 6 6 3 2 2 72 3 3 25a 47a
V V  2V
,V V  2V  1 3 4 2 1 72 72
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 114
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT V 25 1   . Vậy chọn A. V 47 2
Câu 6. Group Nhóm Toán 12
Cho hình nón N  có đỉnh S, có đáy là hình tròn O tâm
O, bán kính R. Người ta cắt N  bằng một mặt phẳng P
song song với mặt đáy của N  , được thiết diện là đường
tròn O tâm O bán kính r, P cách mặt đáy một đoạn
bằng h. Gọi phần hình nón gồm giữa  P và mặt đáy của 2 b h
hình nón là khối T  và có thể tích là . Phần đường 3
sinh của hình nón được giới hạn bởi mặt P và mặt đáy
bằng a và được gọi là cạnh bên của T  . Tính R theo a, b, h.  2 2 2 1 4b h a    A. 2 2 R  
a h 2  3     2 2 2 1 4b h a    B. 2 2 R  
a h 2  3     2 2 2 1 2b h a    C. 2 2 R  
a h 2  3     2 2 2 1 2b h a    D. 2 2 R    a h  2  3   
Phân tích lời giải: Ở đây, chúng ta có một khái niệm mới
đó là hình nón cụt. Đó là phần của khối T  . Hình nón cụt là gì?
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 115
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
“Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với
đáy thì phần mặt phẳng
nằm trong hình nón là một
hình tròn. Phần hình nón
nằm giữa mặt phẳng nói
trên và mặt đáy được gọi là
một hình nón cụt.” Trong sách giải tích 12
nâng cao, có đề cập đến
công thức tính thể tích hình chóp cụt:
“Gọi B và B lần lượt là diện tích của đáy lớn và đáy nhỏ của
hình chóp cụt; h là chiều cao của nó (h chính là khoảng cách giữa
hai mặt phẳng chứa hai đáy; cũng bằng khoảng cách từ một điểm
bất kì của đáy này đến mặt phẳng chứa đáy kai. Khi đó thể tích khối chóp cụt: h
V  B B BB .” 3
Từ thể tích của khối chóp chụt, ta có thể tính được thể tích khối nón cụt.
“Gọi R,r, h lần lượt là bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ của
hình nón cụt. Khi đó thể tích khối nón cụt: h V   2 2
R r Rr ”. 3
Sau đây, nhắc một số kiến thức liên qua tới hình nón cụt.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 116
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
“(1) Diện tích xung quanh của hình nón cụt: S   R r l . xq  
(2) Diệc tích toàn phần
S S S S    2 2
R r R r l ”. tp xq dn dl   
Bài toán sẽ áp dụng kiến thức trên để giải và áp dụng một
số kiến thức liên quan khác. Chẳng hạn như: Định lý Ta – lét. Giải:
Thể tích khối T  là: hb h V
R r Rr
R r Rr b (1) T   2 2 2 2 2 2 3 3
Vấn đề bây giờ, cần biểu diễn r theo a, b, h.
Mặt khác, hình nón cụt được sinh ra khi quay hình thang vuông OO A
B quay quanh trục OO nên ta có O A
  r,OB R,OO  h, AB a .
Gọi H là hình chiếu của A lên OB. Khi đó ta có OH r
và HB R r . Xét tam giác AHB vuông tại H nên 2 2
R r a h . Suy ra 2 2
r R a h . Thế vào (1) được
R  Ra h 2 2 2 2  R 2 2
R a h  2  b  0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
R R  2R a h a h R R a h b  0 2 2 2 2 2 2
 3R  3R a h a h b  0    2 2
a h    2 2 2
a h b  2  b   2 2 9 12 12 3 a h  Do đó
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 117
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK 2 2 2
3 a h  12b  3 2 a h R  6  2 2 2 1 4b a h    2 2    a h  2  3   
Chọn đáp án B mà không cần làm tiếp nghiệm thứ 2.
Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Sở Giáo dục &
Đào tạo Nam Định
Cho tứ diện ABCD có AD   ABC , đáy ABC thỏa mãn
cot A  cot B  cot C BC CA AB điều kiện    . 2 A . B AC B . A BC C . A CB
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và
BC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp . A BCHK . 4 4 32 8 D. V A. V B. V C. V 3 3 3 3 3 .
Phân tích lời giải: Bước đầu tiên, xác định mặt cầu của
tam hình chóp A.BCHK có hình dạng như thế nào? Hay nói
các khác nó có đặc điểm gì đặc biệt hay không? Bởi vì, đề bài
không hề cho đường cao của tứ diện bằng bao nhiêu, cho
những giả thuyết như điều kiện đáy của ABC và H, K lần lượt
là hình chiếu của A lên DB, DC. Do đó, có phải chẳng bán
kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó dựa vào giả thiết
đáy ABC. Muốn có được điều này thì cần phải xác định được
mặt cầu đó có tâm và bán kính như thế nào?
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 118
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn
cố định cho trước là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
chứa đường tròn tại tâm của nó.
Như vậy, để xác định tâm mặt cầu chứa hai hai đường
tròn cắt nhau chính là giao điểm của hai đường thẳng lần
lượt vuông góc với hai mặt phẳng chứa đường tròn đó tại
tâm của hai đường tròn đó.
Đối với bài toán này thì đã hoàn toàn xác định hai đường
tròn ngoại tiếp tam giác AHB, AKC của hình chóp A.BCKH
bởi vì hai tam giác đó đều là tam giác vuông. Như vậy chỉ
cần từ tâm của hai đường tròn đó, kẻ một đường thẳng
vuông góc với tới mặt phẳng chứa hai đường tròn đó tại tâm
của hai đường tròn. Giao hai đường thẳng đó thì được tâm mặt cầu.
“Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB. Kẻ các dường
thẳng d, d lần lượt vuông góc với AC, AB tại E, F. Do
DA d, DA d ( DA   ABC) nên d  DAC , d  DAB.
Do đó d và d chính là hai đường thẳng mà ta đã nói ở trên. Gọi I
là giao điểm của d, d thì I chính là tâm mặt cầu chứa hai đường
tròn ngoại tiếp tam giác AHC, AKC.
Thật vậy, trong mặt phẳng ABC ta có I là giao điểm của hai
đường trung trực hai cạnh của một tam giác nên I là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó IA IB IC . Mặt khác, ta
có một điểm nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp thì đều cách
điều các điểm trên đường tròn đó nên IA IH IB . Tương tự ta
có IA IK IC . Từ đó suy ra IA IB IC IH IK . Vậy I
chính là tâm mặt cầu ngoài tiếp tứ hình chóp . A BCKH và bán kính
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 119
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
bằng IA R , cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC”.
Đến lúc này, ta đã hoàn
toàn xác định được tâm và
bán kính. Vấn đề còn lại là
tính bán kính. Chính là dựa
vào giả thiết đáy ABC thỏa mãn điều kiện trên.
Một số liên kiến thức liên
quan tới hệ thức lượng trong tam giác.
“Cho tam giác ABC, gọi
AH là đường cao, R, r lần lượt
là bán kính ngoại tiếp và nội tiếp
tam giác, p là nửa chu vi. Kí
hiệu a BC,b AC,c AB , diện tích là S (1) Định lý cosin: 2 2 2
a b c  2bc cos A 2 2 2
b a c  2ac cos B 2 2 2
c a b  2ab cosC (2) Định lý sin: a b c    2R sin A sin B sinC
(3) Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A (kí hiệu m ) a
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 120
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 2  2 2 b c  2  a 2 m a 4 2  2 2 a c  2  b 2 m b 4 2  2 2 a b  2  c 2 m c 4
(4) Các công thức tính diện tích tam giác 1 1 1
S h a h b h c 2 a 2 b 2 c 1 1 1
bc sin A ac sin B absinC ” 2 2 2 abc
pr pp ap bp c 4R
Ngoài ra, còn một số hệ thức lượng nâng cao khác như:
“(1) Định lý tan: A B B C C A tan tan tan a b 2    b c 2 c a 2  ;  a ; b
A B b c B C c a C A tan tan tan 2 2 2 (2) Định lý cotan: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c a
a c b
a b c cot A  ; cot B  ; cot C 4S 4S 4S 2 2 2
a b c
Suy ra cot A  cot B  cotC ” 4S
Việc chứng minh công thức hệ thức lượng trong tam giác
(nâng cao) dành cho bạn đọc.
Sau đó, ta sẽ áp dụng vào giải tìm R. Giải:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 121
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Việc xác định tâm và bán kính đã nêu ở trên, ở đây không
nói lại và vào thẳng vấn đề xác định bán kính R.
Áp dụng định lý cotang cho tam giác ABC ta có:
cot A  cot B  cot C BC CA AB    2 A . B AC . BA BC C . A CB 2 2 2
AB AC BC BC CA AB     8S A . B AC . BA BC C . A CB ABC 2 2 2 2 2 2
AB AC BC
BC AC AB   8S A . B AC.BC ABC A . B AC.BC  8SA . B AC.BC  8 A .
B AC.BC R  2 ABC 4R 4 32 Vậy 3 V   R  . 3 3
Lưu ý: Học sinh chỉ học những hệ thức lượng như trong
sách giáo khoa lớp 10 (cả nâng cao, lẫn cơ bản) nên việc giải bài này rất khó khăn.
Câu 8. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Sở Giáo dục &
Đào tạo Bắc Ninh
Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng bán kính là r, trong
đó có ba mặt cầu tiếp xúc với đáy, tiếp xúc với nhau và
tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư
tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên và tiếp xúc với mặt phẳng
xung quanh của hình nón. Tính chiều cao của hình nón.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 122
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT  2 3   2 6 
A. r 1 3   
B. r  2  2   3     3     2 6   2 6 
C. r 1  3   
D. r 1 6   3      3   Giải:
Gọi I ,I ,I ,I lần lượt là tâm của mặt cầu và giả sử I là 1 2 3 4 4
tâm mặt cầu thứ tự như đề.
Khi đó ta có I I I I I I  2r (do ba mặt cầu tiếp xúc 1 2 1 3 2 3
với nhau). Tương tự cũng có I I I I I I  2r . 4 1 4 2 4 3
Do đó bốn điểm I , I , I , I tạo thành tứ diện đều cạnh 1 2 3 4 bằng 2r . 2r 3
Gọi G là trọng tâm tam giác I I I thì I G  . 1 2 3 1 3
Gọi hình nón đó sinh bởi tam giác SOA vuông tại O với
SO là đường cao, OA là bán kính. Khi đó SO đi qua các điểm I , . G 4
Suy ra SO SI I G GO . Dễ thấy GO r . 4 4
Bây giờ cần tính SI , I G theo r. 4 4
Do I G là đường cao của tứ diện đều I I I I nên 4 1 2 3 4 2 2 2r 6
I G I I I G
. Như vậy đến đây có thể loại được 4 1 4 1 3 đáp án A, B.
Gọi C, D lầm lượt là các điểm tiếp xúc của mặt cầu
I ,r , I ,r tiếp xúc với hình nón. Khi đó có được I I // CD. 1   4  1 4
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 123
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK Do đó II G D
SI mà hai tam giácSDI và I I G là 1 4 4 3 1 4
hai tam giác vuông nên SDI IGI . 4 4 1 SI I D I D r 3 Suy ra 4 4 4   SI  .I I  .2r r 3 . 4 1 4 I I I G I G 2r 1 4 1 1 Vậy chọn C. Câu 9:
Cho hình chóp tứ giác .
S ABCD có đáy là ABCD là tứ giác
lồi và góc tạo bởi SAB ,SBC ,SCD ,SDA với mặt đáy
lần lượt là 90,60,60,60 . Biết rằng tam giác SAB vuông
cân tại S có AB a và chu vi tứ giác ABCD là 9a .Tính thể tích hình chóp . S ABCD . A. 3 a 3 B. 3 3 a 4 C. 3 2 3 a D. 3 3 a 9 9
Phân tích đề toán: Do mặt SAB tạo với đáy một góc
vuông nên mặt SAB vuông góc với đáy và do tam giác SAB
vuông cân nên đường cao từ đỉnh S của tam giác SAB cũng
là chiều cao khối chóp. Cần nhớ thêm diện tích của một hình
lớn có thể tính bằng tổng các hình nhỏ cộng lại. Giải:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 124
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Kẻ SH vuông góc với
AB trong tam giác SAB
(H thuộc AB). Từ phân
tích đề bài có được H là chân đường cao của hình chóp S.ABCD. Trong mặt đáy, kẻ
HE vuông với BC ở E,
HF vuông góc với CD ở
F, HG vuông góc với AD
ở G. Từ đó xác định được SEH SFH SGH  60 . a
Do tam giác SAB vuông cân ở S và có AB a nên SH 2 Từ SH và SEH SFH SGH  60 nên a 3
HE HF HG  6 Ta có
P ABCD  AB BC CD DA  9a BC CD DA  8a 1 1 1 1 a 3  H .
E BC HF.CD H . G AD  . .8a 2 2 2 2 6 a 3 2 2 3a
Do HE HF HG  nên S  . 6 ABCD 3 Thể tích khối chóp là 2 1 1 a 2 3a 3 3 VSH.S  . .  a SABCD 3 ABCD 3 2 3 9
Vậy chọn đáp án D.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 125
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Câu 10. Đề minh họa THPT Quốc gian 2017 – Lần 3
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng P thay
đổi cắt mặt cầu giao tuyến là đường tròn C  . Hình nón
N có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn C
và có chiều cao là hh R . Tính h để thể tích khối nón tạo
bởi N  có giá trị lớn nhất. 4R 3R
A. h R 3 B. h R 2 C. h D. h  3 2
Phân tích lời giải: Nhận thấy rằng đây là câu tìm h để thể
tích khối nón đạt giá trị lớn nhất. Xuất phát từ đây, bước đầu
cần phải xác định được thể tích khối nón như thế nào. Bài
toán đặt ra, thể tích lớn nhất nên nghĩ đến đó chính là bài
toán tìm cực trị. Phương pháp đầu tiên nghĩ đến đó chính là
dùng kiến thức giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số để tìm
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức thể tích khối nón.
Muốn làm được điều này thì cần phải biến đổi thể tích khối
nón về cùng một biến, lúc đó thì mới có thể xét hàm được.
Một chút kiến thức về phần này:
“(1) Thể tích khối nón có bán kính đáy r, chiều cao h: 1 2 V   r h 3
(2) Cho mặt cầu S O; R và mặt phẳng P, gọi d là khoảng
cách từ O tới P và H là hình chiếu của O trên P. Khi đó
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 126
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Nếu d R thì mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao
tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng P có tâm là H và có bán kính 2 2
r R d .
Nếu d R thì mặt phẳng P cắt mặt cầu tại duy nhất một điểm là H.
Nếu d R thì mặt phẳng P không cắt mặt cầu S.” Giải:
Gọi x là khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng P . Khi
đó h R x (do h R ) và bán kính đường tròn giao tuyến là 2 2
r R x .
Thể tích khối nón cần tìm là: 1 2 1
V   r h    2 2
R x R x 3 3 1
  R x2 R x 3 2
Xét hàm số f x  R x R x với 0  x R .
f x  R xR x R x2 2
 RxR 3x   R
f x  0  x  3 R
Lập bảng biến thiên được Vx  . max 3 R 4R Vậy h   R  . Chọn C. 3 3
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 127
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Câu 11. Đề minh họa THPT Quốc gian 2017 – Lần 3
Cho khối tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V  là thể tích của
khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh V
của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số . V V  1 V  1 V  2 V  5 A.B.C. D.V 2 V 4 V 3 V 8
Phân tích lời giải: Giả sử hình bài toán như hình dưới. Ý
tưởng xuất phát từ bài này chính là dùng tỉ lệ thể tích. Tuy
nhiên, nếu dùng tỉ lệ thể tích này thi nó chỉ đúng cho khối tứ
diện. Như vậy, cần phải tìm cách chia nhỏ ra thành các tứ
diện nhỏ hơn (từ hình lớn). Tuy nhiên, nếu vẽ hình rồi thì
việc chia nhỏ thành các tứ diện nhỏ hơn thì sẽ gặp khó khăn.
Do đó, ta nghĩ đến dùng phần bù thì sẽ dễ dạng hơn, nghĩa
là V   V VVVV . A.MRQ B.MNR C.NMR D.PQR
Dễ thấy thì các thể tích mà thể
tích tứ diện trừ đi đều dễ dàng
tính theo V ban đầu và nó bằng
1 V . Vậy, áp dụng theo cách này 8 thì sẽ nhanh hơn. Giải: Ta có VA.MQR AM AR AQ 1 1 1 1  . .  . .  . V AB AC AD 2 2 2 8 A.BCD
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 128
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 1 Suy ra V
V . Tương tự các thể tích còn lại. A.MQR 8 1 1
Vậy V   V V V . Chọn A. 2 2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 129
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Chuyên đề 6: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Thanh Chương 1 – Nghệ An
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S 2 2 2
x y z  2mx  2 m  1 y mz m  2  0 . Với m
mọi m , mặt cầu S luôn đi qua một đường tròn cố m
định. Tìm bán kính của đường tròn cố định đó. A. r  3 B. r  2 C. r  3 D. r  2
Phân tích lời giải: Với những dạng bài như thế này thì ta
thấy rằng nó rất giống với dạng bài tìm điểm cố định của đồ
thị hàm số đi qua. Trước đây giải những dạng bài đó thì tìm
các điều kiện để nó đúng với mọi tham số m. Tức là đưa về dạng n n1 a m a m
 ... a  0 1 , với các a chứa các ẩn x, m m1 0   i
y. Do đó điều kiện để phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
m thì a  0, i
 , và từ đó tìm được điểm cố định. Với dạng bài i
này cũng thế, ta sẽ đưa về dạng của phương trình (1). Như
vậy, bài toán trên được giải như sau: Giải:
Giả sử M x ; y ; z C cố định. Khi đó M S . m  0 0 0    Hay 2 2 2
x y z  2mx  2 m  1 y mz m  2  0 0 0 0 0   0 0
m2x  2y z 1 2 2 2
x y z  2y  2  0 0 0 0 0 0 0 0
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 130
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
2x  2y z 1  0 0 0 0  
(do nghiệm đúng với mọi m) 2 2 2
x y z  2y  2  0 0 0 0 0
Khi đó, tập hợp điểm M là giao tuyến giữa mặt cầu S có phương trình là 2 2 2
x y z  2y  2  0 , tâm I 0; 1; 0 ;
R  3 và mặt phẳng P : 2x  2y z  1  0 .
Ta có dI,P  1, suy ra r  3 1  2 . Chọn đáp án B. Câu 2.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
M 1; 2; 4. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua M và
cắt các trục Ox, Oy, Oz về phía dương tại các điểm A, B, C
sao cho tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. x y z x y z A.    1 B.    1 3 6 12 4 6 2
C. 3x y z  9  0
D. x  2y  4z  21  0
Phân tích lời giải: Đây là dạng toán viết phương trình
mặt phẳng theo đoạn chắn. Như vậy, cần gọi các điểm
A a; 0; 0 ; B0; b; 0 ; C 0; 0; c (tùy theo đề bài có các điều
kiện a, b, c). Đối với bài này thì a,b,c  0 . Khi đó mặt phẳng x y z cần tìm có dạng
   1 . Do M thuộc và P nên có a b c 1 2 4
   1. Đây chính là điều kiện của bài toán. Tiếp theo a b c 1 abc
lại có thể tích tứ diện OABC bằng O . A O . B OC  . Khi đó 6 6
yêu cầu bài toán tương đương với tìm giá trị nhỏ nhất của
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 131
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK 1 2 4
biểu thức P abc sao cho  
 1 và a,b,c  0 . Đến đây a b c
chuyển về bài toán bất đẳng thức mà đã học trước đây.
Thông thường dùng bất đẳng thức Cauchy. Giải:
Giả sử A a; 0; 
0 ; B0; b; 0 ; C 0; 0; c với a,b,c  0 . Khi
đó mặt phẳng P là: x y z    1 . a b c 1 2 4
Do M thuộc P nên ta có    1. a b c 1
Thể tích tứ diện OABC là: Vabc . OABC 6
Theo bất đẳng thức Cauchy: 1 2 4 1.2.4 3 1     3  abc  216 a b c abc 216  1 2 4 1 V
 36, dấu bằng xảy ra khi    OABC 6 a b c 3
Giải được a  3; b  6; c  12 .
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:   x y z P :    1 3 6 12
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 132
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Câu 3.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
M 1; 2; 3. Mặt phẳng  P đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, 9 4 1
Oz tại các điểm A, B, C sao cho T    đạt 2 2 2 OA OB OC
giá trị nhỏ nhất. Khi đó vecto pháp tuyến của mặt phẳng là:
A. n  18; 9; 6
B. n  2; 3; 6
C. n  9; 6;18
D. n  3; 2; 6 Giải:
Giả sử A a; 0; 0 ; B0; b; 0 ; C 0; 0; c với a,b,c  0 .
Khi đó mặt phẳng P là: x y z    1 . a b c 1 2 3
Do M thuộc  P nên ta có    1 (*). a b c 9 4 1 T    2 2 2 a b c
Theo bất đẳng thức B.C.S: 1 3 2 1  1  9 4 1  1  .   3.   1 9      2 2 2 3 a b c  9  a b c  9  a b c T  , dấu bằng xảy ra khi    t 91 9 2 3 19 38 19
Thế vào (*) ta được t
. Suy ra a  19; b  ; c  9 9 3
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 133
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
  9x 9y 3z P :  
 1  18x  9y  6z  38  0 19 38 19 Câu 4.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho sáu điểm
A a; 0; 0 ; B0; b; 0 ; C 0; 0; c ; A  a ; 0; 0 ; B  0; b ; 0 ;
C  0; 0; c thỏa mãn aa  bb  cc  0 ; a a , b b ,
c c . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. d ;
O ABC  d ; O A BC   B. VV OABC OA BC  
C. Chỉ có 4 điểm A, A, B,C cùng thuộc một mặt cầu.
D. Tồn tại mặt cầu đi qua 6 điểm trên. Giải: 1 1 Ta có Vabc ; V        a b c OABC 6 OA B C 6 V abc Suy ra OABCV    .    a b c OA B C 3 abc t
Từ điều kiện aa  bb  cc  t   . 2 2 2 a b
c abc
Từ đó suy ra được V có thể khác V OABC OA BC   . Loại B.
Phương trình mặt phẳng  ABC là: x y z
   1 hay bcx acy abz abc  0 a b c
Phương trình mặt phẳng  A BC   là: x y z    1 b cx   a cy   a bz  a bc 
abc hay 0
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 134
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT abc
d O;  ABC 
ab2 bc2 ca2  a bc
d O;  ABC 
a b2 b c2 c a2 Tương tự loại A.
Giả sử I x; y; z là tâm mặt cầu ngoại đi qua 4 điểm A,
A, B, C. Khi đó ta có 2 2
IA IA  IB IC
xa2  y z  xa2 2 2 2 2  y z 
  x a2  y z x  y b2 2 2 2 2  z
xa2  y z x y zc2 2 2 2 2  2 2  2
ax a  2  a x   a  2 2   2
ax a  2  by b  2 2 2
ax a  2  cz c  2 2 a ab aac aa  x  ; y  ; z  2 2b 2c 2 2
a ab aac aa  Suy ra I  ; ;  .  2 2b 2c
Như vậy ta đã có 4 điểm cùng thuộc 1 mặt cầu.
Kiểm tra xem B,C có thuộc mặt cầu trên không? 2 2 2 2 2             2 a a aa b c aa IB           2   2b   2 
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 135
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK 2 2 2             2 a a b aa c aa IB       b     2   2b   2c  2 2 2
a a 
b aa   c aa            2 
 2b   2c
Suy ra IB IB  B thuộc mặt cầu nói trên. Tượng tự CCâu 5.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp
tứ giác đều S.ABCD, biết S 3; 2; 4 , B1; 2; 3 , D 3; 0; 3 .
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Mặt
phẳng   chứa BI và song song với AC nhận vectơ nào
sau đây là vectơ pháp tuyến?
A. n  3; 4;   1
B. n  1;1; 0 C. n  1; 1  ;0
D. n  3; 5; 4 Giải:
Gọi H là tâm hình vuông. Khi đó H 2;1; 3 . Ta có SH   1  ; 1  ;   1 . x  3  t
Phương trình đường thẳng SH là: y  2  t z  4 t
Ta có I SH nên I 3  t; 2  t; 4  t .
SI  t;t;t , BI  t  2;t;t   1 .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 136
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Do I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều 2 2 5 S.ABCD nên 2 2 2
SI BI  3t  t  2 2
t  t   1  t   . 6 1 Suy ra u BI  7; 5  ;1 . 1   6
Tới đây, loại được đáp án B, C.
Do SH, BD có giá vuông góc với AC nên u S
H,BD  2  1;1; 2  2     Suy ra n u  ,u   9  ; 1  5; 1  2 1 2     .
Vậy VTPT là n  3; 5; 4
Câu 6. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Võ Nguyên Giáp
Trong không gian Oxyz, cho điểm A a; 0; 0 ; B0; b; 0 ;
C 0; 0; c với a, b, c dương thỏa mãn a b c  4 . Biết a, b,
c thay đổi thì tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc
mặt phẳng P cố định. Tính khoảng cách d từ điểm M 1;1; 1
  đến mặt phẳng P . 3 3
A. d  3 B. d C. d
D. d  0 2 3
Phân tích lời giải: Đầu tiên phải tìm được tâm của mặt cầu
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 137
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Giả sử phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O 0; 0; 0 ;
A a; 0; 0 ; B0; b; 0 ; C 0; 0; c có dạng: S 2 2 2
: x y z  2a x   2b y   2c z  0 Từ đó ta có hệ  a    ASa 2     2 a 2a a 0        2 b B
S  b  2b c
  0  b     C   S 2 2 c  2c c   0   c c   2  a b c  2 2 2
a b c
Suy ra I   ; ;  và R  .  2 2 2  2
Với I x; y; z bất kì là tâm mặt cầu, ta luôn có a b c
a b c
x  ; y  ; z
x y z
x y z  2  0 2 2 2 2
Vậy I luôn thuộc mặt phẳng P : x y z  2  0 .    
d M P 1 1 1 2 3 ;   1  1  1 3
Câu 7. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Trường THPT
Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – Lần 1
Trông không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 2  ;1 , B0; 2; 1
 , C 2; 3;1. Điểm M thỏa mãn 2 2 2
T MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức 2 2 2
P x  2y  3z M M M
A. P  101
B. P  134
C. P  114
D. P  162
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 138
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Phân tích lời giải:
Giả sử ta có điểm I, khi đó:
T  MI IA2 MI IB2  MI IC2 2
MI MI IAIBIC 2 2 2 2
IA IB IC
Khi đó, ta cần chọn điểm I sao cho IA IB IC  0 . Như vậy, 2 2 2
T IA IB IC và dấu bằng “=” xảy ra khi M I .
Tại sao lại chọn điểm I như vậy? Lí do mà chọn đơn giản
là phải có được tích vô hướng 2MI IA IBIC  0 mà điểm
M cần tìm nên chỉ có thể chọn điểm I sao cho IA IB IC  0
Giả sử I x; y; z thỏa IA IB IC  0 nên I 3; 7  ; 3 . Vậy điểm M 3; 7
 ; 3 và P  134.
Lưu ý: Khó khăn của bài này là phải nghĩ ra được vì sao phải
chọn điểm I như vậy.
Câu 8. Đề minh họa THPT Quốc gia 2017 – Lần 2
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét các điểm
A 0; 0;1 , Bm; 0; 0 , C 0; ;
n 0 , D 1;1;1 , với m  0,n  0
thỏa mãn m n  1. Biết rằng khi m, n thay đổi, tồn tại một
mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  ABC và đi qua D. Tính
bán kính R của mặt cầu đó. 2 3 3
A. R  1 B. R C. R D. R 2 2 2 Giải:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 139
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Gọi I a; b; c và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu cố 2 2 2
định. Khi đó, ta có ID  a   1  b  
1  c  1  R (*).
Phương trình mặt phẳng  ABC là: x y z
   1 hay nx my mnz mn  0 m n 1 
na mb mnc mn
na mb mnc mn
d I;  ABC    R 2 2 2 2 1   mn m n m n
na mb mnc mn R1 mn .
Với n  1 m , ta có
 1mambm1mc m1m  R1m1m   c 2
m  a b c  m a R 2 1 1
1 m m  (1)
TH1:      c 2 m   a
  b c  ma R 2 1 1 1
1 m m  1   c Ra R  
 a b c 1  R b   R   a R c  1 R   Khi đó    R 2 2 * 2
1  R R R  1 . TH1: Làm tương tự. Câu 9.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P: 2
3mx  5 1  m y  4mz  20  0 . Biết rằng khi m thay
đổi trên đoạn 1;1 
 thì mặt phẳng P luôn tiếp xúc với
một mặt cầu S cố định. Tìm bán kính mặt cầu đó.
A. R  5
B. R  3
C. R  2
D. R  4
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 140
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Giải:
Ta đã biết mặt phẳng P : Ax By Cz D  0 tiếp xúc
với mặt cầu S có tâm I a; b; c và bán kính R khi và chỉ khi
Aa Bb Cc D
dI;P  R hay
R . Như vậy, ta có: 2 2 2
A B C Ta có VTPT n   2 3 ;
m 5 1 m ; 4m nên 2 n m   2  m  2 9 25 1  16m  5
Do đó ta cần chọn điểm I a; b; c sao cho 2
3ma  5 1 m b  4mz  20  k không đổi.
Vậy ta có O 0; 0; 0
Khi đó dO P 20 ; 
 4 . Hay mặt phẳng P tiếp xúc 5
với mặt cầu S có tâm O 0; 0; 0 và R  4 . Câu 10.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P:  2
m xmy   2  m  2 1 2 2 1
z  5m  4m  12  0 . Biết
rằng khi m thay đổi thì mặt phẳng  P luôn tiếp xúc với
một mặt cầu S cố định và tâm của mặt cầu đó thuộc mặt
phẳng Q : 2x  3y z  0 . Tìm bán kính mặt cầu đó. 71 5 A. R
B. R  3
C. R  5
D. R  4 10 Giải:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 141
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Với mỗi I x; y; z , ta có: 2 2 2       
d I P 1 m x 2my 21 m z 5m 4m 12 ; 
1m 2 4m 41m 2 2 2 2 2
m x  2z  5  2my  2  x  2z  12  5. 2 m  1
Để P luôn tiếp xúc với mặt S cố định thì dI;P  k
không đổi. Nghĩa là tử và mẫu phải tỉ lệ với nhau. y  2  0 y  2  
Do đó x  2z  5 x  2z  12   17  x      1 1  2  17  Do đó I  ; 2  
; z . Mặt khác I Q nên  2  17  .2  3. 2
   z  0  z  11 2  17  71 5 Vậy I   ;   2;11 và R   2  10
Câu 11. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 6; 3;
 4 ; Ba;b;c . Gọi M,N,P lần lượt là giao điểm
của đường thẳng AB với các mặt phẳng tọa độ
Oxy,Oxz, Oyz. Biết rằng M,N,P nằm trên đoạn AB
sao cho AM MN NP PB . Tính giá trị tổng của
a b c . A. 11 B. 11  C. 17 D. 17
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 142
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Giải:
Phương trình Oxy : z  0 , Oyz : x  0 , Oxz : y  0
Giả sử M x ; y ; 0 , N x ; 0; z
, P 0; y ; z . P P N N M M
Theo giả thiết ta có M là trung điểm của AN. 5  x 3 4  z x  ; y   ; 0 NM 2 M N 2 2 3
 2x  6  x ; y   ; z  4  M N M 2 N  3 
Suy ra M x ;  ; 0  , N x   . M  ;0; 4 N   2 
Mặt khác ta có N là trung điểm MP x y y z 3 M x  ; 0 M P  ; 4 P  
 2x x ; y  ; z  8  N 2 2 2 N M P 2 P  3   3 
Từ đó suy ra được M 4;  ; 0 , N 2; 0; 4  ,P 0; ; 8     .  2   2 
Lại có AB  2AN với
AB  a  6;b  3;c  4; AN   4;  3; 8  
Suy ra a  2; b  3; c  12 . Vậy a b c  11  .
Câu 12. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Toán học và tuổi trẻ - Lần 8
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện
ABCD cón A 2; 3;1 , B4;1; 2
 ,C 6;3;7,D1; 2  ; 2. Các
mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện ABCD chia không
gian Oxyz thành số phần là: A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 Giải:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 143
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Ta có 3 đường thẳng chia mặt phẳng thành 7 phần.
3 mặt phẳng chia không gian thành 8 phần, mặt phẳng
thứ 4 cắt 3 mặt phẳng trước thành 3 giao tuyến, 3 giao tuyến
này chia mặt phẳng thứ 4 thành 7 phần, mỗi phần lại chia 1
phần của không gian thành 2 phần.
Vậy 4 mặt phẳng chia không gian thành 8  7  15 .
Câu 13. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017- Toán học và tuổi trẻ - Lần 8
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường x  1 y  4 z  4 thẳng  :   3 2  1  và các điểm A 2; 3; 4  ,B4;6; 9
  . Gọi C , D là các điểm thay đổi trên
đường thẳng  sao cho CD  14 và mặt cầu nội tiếp tứ
diện ABCD có thể tích lớn nhất. Khi đó trung điểm của CD  79 64 102   181 104 42  A.  ; ;  B. ;  ;     35 35 35   5 5 5   101 13 69  C.  ; ;  D. 2; 2; 3  28 14 28 
Phân tích lời giải: Bài này là một bài khá lạ. Đề bài không
đề cập đến đường cao của tứ diện. Để làm được bài này cần
nhớ tới một công thức đã được chứng minh ở trên là 1 V A . B C .
D d AB,CD.sin AB,CD(1) và một công thức 6 V
đó là r  3 ABCD (2) (Công thức này sẽ được chứng minh ở Stp
cuối câu này). Một công thức cũng giúp ích không kém là
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 144
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT 1 S  AB, ACABC
(3). Bài này yêu cầu học sinh nhớ nhiều 2
công thức và cần phải thao tác một cách nhanh và chính xác. Giải:
Do C, D   nên C  1
  3t ; 4  2t ; 4  t ; D 1
  3t ; 4  2t ; 4  t 1 1 1   2 2 2  AB  2; 3; 5  ; AC   3
  3t ;1 2t ;8 t ; 1 1 1  AD   3
  3t ;1 2t ;8 t 2 2 2  Ta có
CD  14  9t t 2  4t t 2  t t 2  t t 2 2  1 1 2 1 2 1 2 1 2
t t 1 (do vai trò của t ,t như nhau) 2 1 1 2
V lớn nhất  r lớn nhất c
Từ công thức (1) thấy V không đổi. ABCD
Công thức số (2) thì r lớn nhất  S nhỏ nhất. tp
Mặt khác S SSSS tp ABC ABD BCD ADC Do S ;S
không đổi nên cần tìm min của SS BCD ADC ABC ABD 1 SS
AB AC  AB ADABC ABD  , ,      2 AB, AC   
2913t 2 113t 2 1113t 2 1 1 1 AB, AD   
2913t 2 113t 2 1113t 2 2 2 2
 16 13t 2  14 13t 2  2 13t 2 1 1 1
Với t t  1. 2 1
Đặt x  13t . Khi đó 1
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 145
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
f x  29  x2  1 x2  11 x2
 26  x2  14  x2  2  x2 2 2
 3x  78x  963  3x  456   3x  39 3x f x   2 2
3x  78x  963 3x  456 f x 13 1  0  x
t  . Vậy I 2;2;3 . 1 2 2
Chứng minh Công thức số (2):
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Ta có: VVVVV ABCD IBCD IACD IABD IABC 1 1 1 1  r.Sr.Sr.Sr.S 3 BCD 3 ACD 3 ABD 3 ABC 1  r SSSSr S BCD ABD ACD ABC  1 . 3 3 tp 3VABCDr Stp
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 146
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Một cách giải khác tham khảo từ giáo viên khác (Thầy Võ Quang Mẫn)
Hạ CH, DK vuông góc với AB. Chú ý 1 V A . B C .
D d AB,CD.sin AB,CD . 6
Tương tự cách xác định các giá trị không đổi và xác định
được thể tích tứ diện ABCD lớn nhất  CH+DK nhỏ nhất.
Dựng hình chữ nhật CHKE. Khi đó ED  on c
st,d K; ED =const.
Dựng tam giác E’KD’ cân tại E và E D
   ED . Dựng tam
giác EKE” cân tại K , khi đó D’ là trung điểm của DE” và
DK CH DK EK DK EK
  2KD  D K   E K
Dấu bằng xảy ra khi KI DE hay MP là đoạn vuông góc
chung của AB và CD. Suy ra M 2; 2; 3 . Chọn D Câu 14:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình x  1 t  
x  2  y  2  z  2 1 2
3  4 và d : y  mt , với m là
z  (m1)t
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 147
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
tham số thực . Giả sử P và P là hai mặt phẳng qua d,
tiếp xúc với S lần lượt tại T và T’. Khi m thay đổi, tính
giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng TT’ 4 13 2 11 A. B. 2 2 C. 2 D. 5 3
Phân tích lời giải: Đề toán này gây một phần khó khăn ở
phần suy nghĩ vẽ hình. Sau khi vẽ hình được thì cần cố gắng
xác định các giá trị không đổi quy các giá trị thay đổi về giá trị không đổi. Giải:
Gọi I 1; 2; 3 , R  2 lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Gọi E là điểm nằm trên đường d sao cho nằm chung mặt
phẳng OTT’ và thuộc trung trực của TT’. Gọi M là giao
điểm của TT’ và IE.
Dễ dàng chứng minh được IE là trung trực của TT’. Từ
đó M là trung điểm của TT’ . Lấy D là hình chiếu của I trên d. Ta có: 2 2 IT.ET 2. IE IT
TT '  2MT  2  2. IE IE 2 2    2 IE IT 4  TT  16  16 1   2 2 IEIE TT '  IEE D min min
Do Ed nên I 1 t; mt;m  1 t
IE  t; m
t  2;m  1 t  3
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 148
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT u ; AId   dIE
, A 1; 0; 0  d I ,d       ud
4  9  5m  22
4  9  5m  22  d   I ,d      2 2 2 2  2m  2 1 1 m m m 2
25m  20m  17  d I ,d 2 2  2m  2m 2
25x  20x  17 Xét f ( ) x  với x  . 2 2x  2x  2  1 2 10
x  32x  6 x f '(x)    f x   
2x  2x  2 ; '( ) 0 5 2 2 x  3
Lập bảng biến thiên được  1  25 2 25 4 13
min f (x)  f   IE   TT '    .  5  3 3 5
Vậy chọn đáp án A
Câu 15. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Sở Giáo dục & Đào tạo Nam Định
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
A 1; 2; 0 , B2; 3
 ; 2 . Gọi S là mặt cầu đường kính AB.
Ax, By là hai tiếp tuyến của S và Ax By . Gọi M, N lần
lượt là điểm di động trên Ax, By sao cho đường thẳng
MN luôn tiếp xúc với mặt cầu S . Tính giá trị của A . M BN . A. A . M BN  19 B. A . M BN  18
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 149
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK C. A . M BN  38 D. A . M BN  48
Phân tích lời giải (Hình ở dưới): Nhắc lại một chút lý
thuyết về tiếp tuyến của mặt cầu:
“Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S O; R thì qua A có vô số
tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó:
(1) Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
(2) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.”.
Như vậy, đối với bài này, nếu MN tiếp xúc với S tại
điểm C thì AM MC; BN NC . Khi đó A . M BN M . C NC
và AM BN MN (chuyển hai đoạn thẳng rời rạc về đoạn
thẳng chung điểm thì dễ dàng làm hơn). Nếu để ý thì ta có
AM BN , AM AB nên AM   ABN  AM AN . Như
vậy để tính được tích A .
M BN thì áp dụng định lý Pythagore
cho tam giác AMN là xong. Giải:
Gọi I là tâm mặt cầu S . MN tiếp xúc với S tại C. Khi
đó AM MC, BN NC .
Ta có AM BN , AM AB
AM  ABN  AM AN . 2 2 2
MN AM AN (định lý Pythagore trong AMN )
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 150
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT Mặt khác, 2 2 2
AN AB BN (do
BN là tiếp tuyến nên BN AB và
áp dụng định lý Pythagore). Do đó 2 2 2 2
MN AM AB BN hay   2 2 2 2 AM BN
AM BN AB 2 ABA . B BN  2 Ta có AB  2; 5
 ;2  AB  38 . Vậy A .
M BN  19 (đáp án A)
Câu 16. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Đề thi off thầy Đoàn Trí Dũng
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu
S và S tiếp xúc ngoài tại điểm A2;1;1. Một tiết diện
chung ngoài của hai mặt cầu lần lượt tiếp xúc với S tại B3;1; 2
  và tiếp xúc với S tại C . Xác định tọa độ điểm x  1 y z
C biết C nằm trên đường thẳng d :   3 1 1   1 1    A. 0;   ;  B. 1 1 C 2; ;     3 3   3 3 
C. C 1; 0; 0
D. C 4;1; 1
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 151
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Phân tích bài toán: Một tính chất cũ ở hình học lớp 9
AB AC . Nếu nhớ được tính chất đó thì bài toán sẽ không còn quá khó. Giải:
Chứng minh tính chất đã đề cập ở trên thông qua tính
chất 2 tiếp tuyến cắt nhau cũng ở lớp 9 thì có ADE  A
 FE=90 và EF,ED lần lượt là đường phân giác của 2 góc kề bù AEC, AEB nên D
EF=90 . Từ đó ADEF
là hình chữ nhật nên AB AC Ta có
A 2;1;1 , B3;1; 2
 ,C 3t 1;t; t   AB  1; 0; 3
 , AC  3t 1;t 1; t 1
AB AC A . B AC  0  1  1   C 0; ;   3 3  Chọn câu A
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 152
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Câu 17. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
Đặng Thúc Hứa – Nghệ An
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho x  2 y  1 z  3  :   A 1; 1; 1 , 2 2 3  và hai điểm   B 2  ; 1
 ;1 . Gọi C, D là hai điểm phân biệt di động trên
đường thẳng  sao cho tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD
luôn nằm trên tia Ox. Tính độ dài đoạn thẳng CD. 12 17 3 17 A. B. 17 C. D. 13 17 11
Phân tích lời giải: Bài toán trên đã có hai mặt phẳng hoàn
toàn xác định được là  ACD và BCD . Gọi I là tâm mặt
cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện. Khi đó dễ dạng
áp dụng được điều kiện tiếp xúc đối với hai mặt phẳng
ACD và BCD. Kết hợp với điểm I thuộc tia Ox nên sẽ
tìm được tọa độ điểm I và bán kính mặt cầu đó. Yêu cầu bài
toán là tìm độ dài CD. Do đó cần xác định được tọa các điểm
C, D. Ta lại áp dụng điều kiện tiếp xúc đối với mặt phẳng
CAB hay DAB để tìm tọa độ điểm C, D. Nhắc lại cách
viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng  và qua
điểm M không thuộc  :
x x at 0 
“Cho đường thẳng có phương trình y y bt ; cho điểm 0
z z ct  0
M x ; y ; z
  . Khi đó các bước viết phương trình: M M M
Bước 1: Lấy điểm A   , tính AM . Xác định VTCP của .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 153
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Bước 2: Tính n  AM,u   ; A ; B C  
. Đây chính là VTPT của mặt phẳng.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng qua M , nhận VTPT n
có dạng A x x   By y   C x x   0 ” M M M Giải:
Với cách viết phương trình mặt phẳng như trên được:
ACD: 2xy  2z 1 0 ; BCD: x 2y  2z  2  0 .
Gọi I t; 0; 0Ox . Khi đó 2t  1 t  2 t  1
dI;ACD  dI BCD     3 3 t  1  
Do I thuộc tia Ox nên t  0 . Do đó t  1 .
Suy ra I 1; 0; 0 và r  1 .
Gọi C 2t  2; 2t 1; 3  t 3  . CA   2  t 1; 2
t  2; 3t  2; CB   2  t  4; 2  t  2; 3  t  4. Ta có n C
A,CB  4t 4;5t 4;6t 6   .
Phương trình mặt phẳng  ABC là:
4t  4x15t  4y 16t 6z1  0
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 154
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
 4t  4x  5t  4 y  6t  6z  7t  6  0 . 
dI ABC 11t 10 ;  1   1
4t 42 5t 42 6t 62 t  1   8  . t    11  6 5 9  Suy ra C 0; 1  ;0 ; D ;  ;    hoặc ngược lại.  11 11 11  2 2 2  6   6   9  3 17 Do đó CD           . Chọn C.  11   11   11  11 Câu 18.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2; 3
  và mặt phẳng P : 2x  2y z  9  0 . Đường
thẳng d qua A có vectơ chỉ phương u  3; 4; 4
  cắt P tại
điểm B. Điểm M thay đổi trong  P sao cho M luôn nhìn
đoạn AB dưới góc 0
90 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường
thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. H  2  ; 1  ; 3 B. I  1  ; 2  ; 3
C. K 3; 0;15 D. J  3;  2;7 Giải: x  1 y  2 z  3
Phương trình đường thẳng d :   3 4 4  .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 155
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Do Bd nên B3b  1; 4b  2; 4
b  3 mà BP nên b  1
 . Suy ra B2; 2;1 .
Gọi A là hình chiếu của A lên mặt phẳng P . x  1 y  2 z  3
Khi đó phương trình AA :   2 2 1  .
Và dễ dàng tìm được tọa độ điểm A 3;  2  ; 1   .
Do M nhìn AB dưới góc 0 90 nên 2 2 2
MA MB AB .
Mặt khác ta có MA AA (tính chất cạnh góc vuông cạnh huyền). Do đó 2 2 2 2 2
AB MA MB MB AA . Suy ra 2 2 2 2
MB AB AA  A B  .
Vậy max MB A B
  M A . Từ đó viết được phương
trình và kiểm tra xem điểm nào thuộc. Câu 19.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
A 0; 0; 4, điểm M nằm trên mặt phẳng Oxy và M O .
Gọi D là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là trung
điểm của OM. Biết đường thẳng DE luôn đi qua tiếp xúc
với một mặt cầu cố định. Tìm bán kính mặt cầu đó.
A. R  2
B. R  1
C. R  4
D. R  2
Phân tích lời giải: Do các điểm A, D, M, E cùng thuộc
một mặt phẳng OAM nên sẽ chuyển những điểm đó về
hình học phẳng và chứng minh các tính chất đó giống như
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 156
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
trong hình học phẳng trước đây đã học. Ta có các nhận định sau:  Tam giác OAM vuông tại O.
O, A không đổi nên
gọi I là trung điểm OA thì
I cố định. Và D thuộc mặt
cầu cố định đường tâm I
và đường kính OA.  Tam giác ODM
vuông tại D và E là trung điểm OM nên góc ODE DOE .
 Tam giác OAD vuông tại D nên IA IO ID  2
không đổi nên dự định đây chính là bán kính mặt cầu tiếp
xúc với DE. Như vậy cần phải chứng minh được ID DE . Giải:
Bạn đọc tự chứng minh các nhận định 1, 2, 3 (theo thứ tự
trên. Bây giờ chứng minh nhận định 4.
Ta có góc ODI IOD . Từ đó suy ra 0 IDE IDOODE IODDOE IOE  90
Suy ra ID DE . Vậy DE luôn tiếp xúc với mặt cầu cố
định tâm I bán kính bằng 2. Chọn A. Câu 20.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu S  2 2 2
: x y z  4x  2y z  0 1 S  2 2 2
: x y z  2x y z  0 2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 157
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn C  và ba điểm
A 1; 0; 0 , B0; 2; 0 , C 0; 0; 3 . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt
cầu tâm thuộc mặt phẳng chứa đường tròn C  và tiếp
xúc với ba đường đường thẳng AB, AC,BC. A. 1 B. 2 C. 4 D. vô số
Phân tích lời giải: Như đã biết, trong mặt phẳng có 4
đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác. Và ở đây,
cũng dự đoán rằng sẽ có 4 mặt cầu tiếp xúc với ba đường thẳng đó.
Sau đây, xin nhắc một số kiên thức về vấn đề tập hợp tâm
của một mặt cầu thỏa mãn điều kiện nào đó.
Bài toán 1. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa
một đường tròn cố định cho trước.
Giải. Giả sử đường tròn cố định C tâm I bán kính r nằm
trên mặt phẳng  P . Xét đường thẳng d qua I và vuông góc
với mặt phẳng  P . Đường thẳng d được gọi là trục của
đường tròn. Giả sử O là tâm của mặt cầu S chứa đường
tròn C  thì O cách đều mọi điểm của C  . Vì vậy chân
đường vuông góc hạ từ O xuống mặt phẳng  P chính là tâm
I của C  . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi điểm Od .
Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một
đường tròn cố định cho trước là đường thẳng d vuông góc
với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.
Bài toán 2. Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng
tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 158
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Giải. Giả sử tam giác ABC cho trước nằm trong mặt phẳng
P. Mặt cầu S tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC sẽ
giao với mặt phẳng P theo một đường tròn tiếp xúc với ba
cạnh của tam giác ABC, chính là đường tròn nội tiếp tam giác
ABC. Theo bài toán 1, tập hợp tâm các mặt cầu luôn tiếp xúc
với ba cạnh của tam giác ABC là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Như vậy, muốn kiểm tra xem có bao nhiêu mặt cầu có
tâm thuộc mặt phẳng  P và tiếp xúc với ba cạnh thì ta cần
xác định rằng có bao nhiêu điểm I với I là tâm mặt cầu đó.
Và ta cần xác định tới 4 trường hợp. Vì với một tam giác, có
tới 4 đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác. Giải: x y z
Mặt phẳng  ABC là    1  6x  3y  2z  1  0 . 1 2 3
Gọi  P mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai
mặt cầu S , S . 1   2 
Khi đó, tập hợp các điểm trên mặt phẳng  P thỏa mãn hệ: 2 2 2
x y z  4x  2y z  0 
 6x  3y  2z  0 . 2 2 2
x y z  2x y z  0
Vậy phương trình mặt phẳng P : 6x  3y  2z  0 .
Dễ thấy  P song song với  ABC  . Như vậy, ứng với mỗi
đường tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC thì ta tìm được
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 159
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
duy nhất một tâm mặt cầu. Vậy có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu
cầu bài toán. Chọn C.
Câu 21. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 - Trường THPT
chuyên KHTN - Hà Nội – Lần 5
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện
ABCD có tọa độ các đỉnh lần lượt là A 6; 1  ;1,B4;0; 2  , C 5;1; 1  ,D3;2; 6
 . Các điểm P,Q di chuyển trong
không gian thỏa mãn PA QB, PB QC, PC QD ,
PD QA . Biết rằng mặt phẳng trung trực của PQ luôn đi
qua điểm X cố định. Vậy X sẽ nằm trong mặt phẳng nào dưới đây ?
A. x  3y  3z  9  0
B. 3x y  3z  3  0
C. 3x  3y z  6  0
D. 2x  2y  6z  39  0
Vì lý do đề làm sai đáp án nên chúng tôi đã sửa lại các điểm
A, B, C, D sao cho phù hợp với đáp án và có chút thay đổi đáp án.
Phân tích đề bài: Mặt phẳng trung trực của PQ, điều này sẽ
giúp liên tưởng tới trung điểm của đoạn PQ. Ngoài ra để có 2
thể làm được câu này cần nhớ tới 2 PQ PQ Giải
Gọi I là trung điểm của PQ .  9 1 
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD nên G ; ; 2    .  2 2  Ta có:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 160
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
PA QB, PB QC, PC QD, PD QA 2 2 2 2 2 2 2 2
PA QB ; PB QC ; PC QD ; PD QA 2 2 2 2 2 2 2 2
PA QA PB QB PC QC PD QD  0
 2AI.PQ  2BI.PQ  2CI.PQ  2DI.PQ  0  8I .
G PQ  0  IG PQ
Vậy G là điểm cố định mà mặt phẳng trung trực PQ đi
qua. Thay vào các đáp án thấy đáp án A thỏa.
Câu 22. Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Trường THPT
huyên Lam Sơn – Thanh Hóa
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho phương
trình ba mặt phẳng lần lượt là: P : x  2y z  1  0 ,
Q: x2y z 8  0; R: x2y z 4  0 . Một đường
thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng P ,Q ,R lần lượt tại
ba điểm A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 144 T AB AC A. 3 minT  72 3 B. 3 minT  54 2 C. minT  108 D. 3 minT  72 4
Phân tích lời giải: Dễ thấy ba mặt phẳng P ,Q ,R
song song với nhau. Một đường thẳng d cắt cả ba mặt tại ba
điểm A, B, C nên ta nghĩ đến một kiến thức cũ: “Định lý
Thales trong không gian”. Định lý phát biểu như sau:
“Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến
bất kì trên các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Nghĩa là, nếu ba mặt
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 161
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
phẳng đôi một song song P ,Q ,R cắt các đường thẳng a,a AB BC CA
lần lượt tại A, B, C và A, B,C thì   A B   B C   C A   ”.
Nhân tiện, nhắc lại “Định lý Thales đảo”. Định lý phát biểu như sau:
“Giả sử trên các đường thẳng chéo nhau a và a lần lượt lấy AB BC CA
các điểm A, B,C và A, B C   sao cho   A B   B C   C A   . Khi đó,
ba đường thẳng AA, BB,CC lần lượt nằm trên ba mặt phẳng
song song, tức là chúng song song với cùng một mặt phẳng.”
Như vậy, với kiến thức trên, ta sẽ áp dụng như thế nào?
Yêu cầu bài toán, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Ta sẽ
nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức để giải. Chẳng hạn như
dùng bất đẳng thức Cauchy. Nếu áp dụng bất đẳng thức này
thì cần phải đưa về về cùng ẩn là AB hoặc AC. Do đó, áp
dụng định lý Thales để có thể biểu diễn AB theo AC hoặc
ngược lại. Nếu vậy, cần phải xác định đường đường thẳng
d cắt ba mặt phẳng P ,Q ,R sao cho có được tỉ lệ.
Đường đó chính là đường thẳng vuông góc với cả ba mặt
phẳng đó. Vì sao lại vậy? Do khoảng cách giữa hai măt phẳng
song song, ta có thể tính được các khoảng cách chính là đoạn
giao điểm của hai mặt phẳng với đường thẳng vuông góc đó.
Từ đó áp dụng định lý Thales được. Giải:
Giử sử d cắt ba mặt phẳng P ,Q ,R lần lượt tại
A, B,C . Khi đó theo định lý Thales có AB AC    A C AC AB A B   A C   hay . A B   .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 162
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Lấy M 0; 0;1 . Từ đó có  A B
   dM Q 1 8 9 ,   1  4  1 6  A C
   dM R 1 4 3 ;   1  4  1 6 1 Suy ra AC AB . Và 3 2 144 2 432 2 216 216 T AB   AB   AB   AC AB AB AB 2 216 216 3 2 3  3 AB . .  3 216  108 AB AB Câu 23:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ điểm
A 1; 0; 2 , B 2  ;0; 5,C 0; 1
 ;7 . Một điểm S di động trên
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  ABC tại A. Gọi
D,E lần lượt là hình chiếu của A trên SB,SC. Biết rằng khi
S di động trên d thì đường thẳng DE luôn đi qua 1 điểm F
cố định. Tính khoảng cách từ F đến mặt phẳng
P: x 2y  2z 9  0 A. 6 B. 3 C. 4 D. 5
Phân tích bài toán: Do nếu điểm cố định thì nằm trong
mặt đáy vì đáy là mặt đã cố định và DE hướng xuống nên
dự đoán F là giao điểm của tiếp tuyến tại A của đường trong
tâm tam giác ABC và BC. Giải:
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 163
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK Ta có : AB   3
 ,0,3, AC   1  ; 1
 ; 5,BC  2; 1  ; 2 .
Kiểm tra được tam giác ABC vuông tại B
Chứng minh được AD  SBC; BC  SA
B ,AF  SAC
Gọi D là giao điểm của EF và SB. Do
BC  SAB nên
BC AD1 Do
SC AE, AF SC
SC  AEF  SC AD2
Từ (1) và (2) suy ra được D là
hình chiếu của A lên mặt SBC  mà
D cũng là hình chiếu của A lên mặt
SBC nên D trùng D. Vậy đã có được điểm F. x  2   2t
Phương trình đường thẳng BC : y  0  tz  5 2t
Do F BC nên F  2   2t; t  ; 5  2t
Lại có AF.AC  0   
1 .2t  3    1  t
  5.2t  3  0  t  2   F  6
 ; 2;1 và d    3 . Vậy chọn B. F , P
Câu 24: Đề minh họa THPT Quốc gia 2017 – lần 3
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P: x2y  2z 3  0 và mặt cầu S 2 2 2
: x y z  2x  4y  2z  5  0 .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 164
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Giả sử điểm M P và N S sao cho vectơ MN cùng
phương với vectơ u  1; 0; 
1 và khoảng cách giữa M và N
lớn nhất. Tính MN. A. MN  3
B. MN  1 2 2 C. MN  3 2 D. MN  14
Phân tích lời giải: Nhận thấy góc giữa mặt phẳng P và
đường thẳng MN bằng 0
45 không đổi. Hay nói cách khác,
gọi H là hình chiếu của N lên mặt phẳng  P thì góc 0 NH
NMH  45 không đổi. Khi đó MN   NH 2 . Do 0 sin 45
đó dẫn đến MN lớn nhất khi và chỉ khi NH lớn nhất. NH lớn
nhất khi và chỉ khi NH đi qua tâm mặt cầu. Như vậy, hoàn
toàn tính được NH và suy ra MN NH 2 là xong. Giải:
Mặt cầu S có tâm I  1
 ; 2;1 và bán kính R  1.
Mặt cầu S có tâm I  1
 ; 2;1 và bán kính R  1.
Ta có dI,P  2 . Suy ra NH NI dI,P  3 .
Vậy MN NH 2  3 2 .
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 165
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
Câu 25: (Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 – Đề thi của thầy
Đoàn Trí Dũng)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ điểm x  0 
A 0; 0; 2 và đường thẳng  : y t . Gọi M là một điểm z  2 
di động trên trục hoành, N là một điểm di động trên  sao
cho OM AN MN . Khi đó MN luôn tiếp xúc với một
cầu cố định có bán kính bằng bao nhiêu? 3 A. R  1 B. R C. R  2 1 D. R 2 2 2
Phân tích bài toán: Cách thức chọn tâm đã nêu ở câu 10, chuyên đề này. Giải:
Gọi M m; 0; 0 , N 0; ; n 2 2 2
m n m n  4  mn  2 .
Xét điểm I 0;0;  1 . Ta có: MN   ; m ;
n 2 , IN  0; ; n
1  MN, IN   ; n ; m mn    
m n m n d I; MN 2 2 2 2   1 2 2 4  m n
Đề và đáp án thực hiện bởi Thầy Đoàn Trí Dũng
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 166
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
PHẦN III: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A,
B lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy. Có bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn 2 2 2
MA MB MO . A. 1 B. 2 C. 5 D. Vô số
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A, B,C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho 1 1 1 1   
. Biết rằng mặt phẳng  ABC luôn đi OA OB OC 2017
qua điểm cố định M m; ;
n p . Giá trị của biểu thức m n p là : A. 2017 B. 2016 C. 2015 D. 2018
Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt 2 2
phẳng S x   2 :
1  y  z  
1  861 và ba điểm A 1;1;1 ,
B1; 2; 0, C 3; 1
 ; 2 . Gọi điểm M a;b;c thuộc S sao cho 2 2 2
2MA 7MB  4MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng
giá trị a b c bằng: A. 8 B. 5 C. 3 D. 5 
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x  1 y z  2 d :  
A 1; 0; 0 , B 2; 1  ; 2 , 1  và các điểm     2 2
C 1;1; 3 . Gọi S là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng
d và cắt mặt phẳng  ABC theo giao tuyến là đường tròn có
bán kính nhỏ nhất ? Chọn đáp án đúng
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 167
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK A. R  2 B. R  5 C. R  3 D. R  4 min min min min
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S x 2 y 2 z 2 : 2 1 3  9 và mặt phẳng
P: 2x 2y z 16  0. Hai điểm M, N di động trên P và
P . Độ dài nhỏ nhất của đoạn MN bằng ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Bài 6. Cho hình nón tròn xoay có tỉ lệ bán kính đáy và chiều
cao là 3 : 4 nội tiếp một hình chóp cho trước, đỉnh của hình
chóp và hình nón trùng nhau. Gọi V ,V lần lượt là thể tích 1 2
của khối chóp và khối nón đó. Giả sử tồn tại một khối cầu có
thể tích là V sao cho hình chóp đã cho ngoại tiếp khối cầu 3
này. Khi đó V : V : V là bao nhiêu ? Biết rằng diện tích toàn 1 2 3 phần của hình chóp là 2
3 h (h là chiều cao của hình nón tròn xoay) A. 12:8:3 B. 12:8:5 C. 16:8:3 D. 16:8:5
Bài 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều
có cạnh là 5, chiều cao bằng 5 . Điểm M thay đổi trên đoạn
AB’ sao cho mặt phẳng qua M và vuông góc với AB cắt đoạn AM
BC’ tại N. Xác định tỉ số
sao cho giá trị biểu thức: B' M 2 2 AM MN  nhỏ nhất. 2 4 7 9 9 7 A. B. C. D. 9 7 16 16
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 168
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh
a và hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho AHB BHC   C
HA  120, CHA  90 .  Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp của ác hình chóp 31 S.HAB,S.HBC,S.HCA là 2
a .Tính theo a thể tích khối chóp 3 S.ABC. 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 2 6 3 4
Bài 9. Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa
hình vuông ABCD có cạnh là a và tâm O . Lấy điểm S di động.
Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh SB.Gọi O’ là điểm đối
xứng của tâm O qua các cạnh AB. Biết khi S di động trên Ax
thì đường thẳng O’H luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Tính thể tích của khối cầu đó. 3 2a  3 a  2 3 a 3 a  3 A. B. C. D. 3 3 3 3
Bài 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho có
A 4; 0; 0 , B0; 0; m ,C 2,4,0m R . Gọi D là hình chiếu
vuông góc của O lên đường thẳng AB. Biết rằng có một mặt
cầu luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng CD tại điểm D. Tính bán kính mặt cầu đó. A. 3 B. 5 C. 7 D. 3
Bài 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho lăng
trụ đứng ABC.A’B’C’ có A a; 0; 0 , Ba; 0; 0 , C 0; 1  ;0
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 169
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK a,b  0
Ba; 0; b với 
. Khoảng cách lớn nhất giữa 2 a b   4 đường thẳng B C  và AC là: 2 A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 Bài 12. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn
c  1, a b c  1, a b c  1 . Tìm tất cả cá giá trị thực của
tham số m để hàm số f x  x m 3 2 6
2ax  3bx  6cx đồng biến trên 1,1   . 5  5 A. 1   m 1 B.m  4 4 4  4 1  1 C. m D.m  5 5 2 2
Bài 13. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A 4; 4; 2 và mặt phẳng P : 2x  2y z  0 .Gọi M là điểm
nằm trong  P ,N là trung điểm của OM, H là hình chiếu
vuông góc của O lên AM. Biết rằng khi M thay đổi thì đường
thẳng HN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán R của mặt cầu đó.
A. R  2 3 B. R  3
C. R  3 2
D. R  6
Bài 14. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P: 2x2y z 15  0 .Gọi M là điểm di động trên P ,N là
điểm thuộc tia OM, sao cho O .
M ON  10 . Hỏi khoảng cách
từ N đến mặt phẳng  P có giá trị nhỏ nhất là? A. 4 B. 5 C. 2 D. 3
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 170
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Bài 15. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S 2 2 2
: x y z  2 m  
1 x  21  my  2z  5  0 . Biết rằng
khi m thay đổi thì mặt cầu S luôn chứa một đườg tròn C
cố định. Tìm bán kính r của đường tròn C
A. r  7
B. r  2 C. r  1
D. r  3
Bài 16. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  1
 ; 2; 0 ,B2;3; 2 . Gọi S là mặt cầu đường kính AB và
Ax là tiếp tuyến của S tại A, By là tiếp tuyến của S tại B
và Ax By . Hai điểm M,N lần lượt di động trên Ax,By sao
cho MN là tiếp tuyến của S . Hỏi tứ diện AMBN có diện tích
toàn phần nhỏ nhất là ?
A. 19 3
B. 19 2  3 C. 192  3 D. 192  6
Bài 17. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A 0; 3; 0 ,B0; 0; 2 và hai điểm CD di động trên trục Ox sao
cho CD  13 . Tính thể tích khối tứ diện ABCD ?
A. V  13
B. V  6 13 C. V  13
D. V  2 13
Bài 18. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
S 0; 0; 3 , A2; 0; 0 ,B 2; 0; 
0 và các điểm C,D di độgn trên
mặt Oxy sao cho ABCD là một tứ giác lồi có chu vi bằng 36.
Các mặt SAD ,SCD ,SBC cùng tạo với mặt phẳng Oxy
góc 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 171
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK A. 18 3 B. 48 C. 16 3 D. 54
Bài 19. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 0;1; 
1 ,B1;2;  3 ,C  1; 0; 
3 . Gọi D là điểm di động
trên mặt cầu S 2 2 2
: x y z  2x  2z  2  0 . Hỏi giá trị lớn
nhất của thể tích khối tứ diện ABCD là ? 10 6 8 6 40 20 A. B. C. D. 3 3 3 3
Bài 20. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường x y  1 z x  1 y z  2 thẳng d :   ,d :   P 1 2 2 1  . Mặt phẳng   1 1 2 1
vuông góc d , cắt trục Oz tại A và cắt d tại B. Hỏi độ dài nhỏ 1 2
nhất của đoạn AB ? 2 31 24 2 30 30 A. B. C. D. 5 5 5 5 1
Bài 21. Cho x,y là các số thực dương thỏa xy  4, x  , y  1. 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A  log x2  log y  2 1 . 2 2 3 1 A. B. C. 11  D. 5 4 2 3x
Bài 22. Cho hàm số f x  x . Tính 3x  3 S f  2
 f  2   f  2  f  2 sin 0 sin 1 ... sin 89 sin 90 91 93 A. B. 45 C. 46 D. 2 2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 172
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
Bài 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S x  y 2 z 2 2 : 2 1
1  4 . Mặt phẳng  P cắt mặt
cầu S theo thiết diện là đường tròn lớn và cắt các trục
Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm Aa; 0; 0 , B0; ;
b 0, C 0; 0; 3
a,b  0. Tính tổng T ab khi thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.
A. T  18
B. T  9 C. T  11
D. T  3
Bài 23. Cho parabol P có đỉnh I  1
 ;0 và cắt đường thẳng d tại A  2
 ;1,B1;4 như hình vẽ bên
cạnh. Tính diện tích hình phẳng
giới hạn parabol  P và đường thẳng d. 9 13 5 21 A. S B. S C. S D. S 2 2 6 2
Bài 25. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
P: x 2y  2z 18  0 .Gọi M là điểm di chuyển trênP ; N
là điểm nằm trên tia OM sao cho OM.ON  24 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng  P .
A. min dN,P  2
B. min dN,P  0
C. min dN,P  4
D. min dN,P  6
Bài 26. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
S x 2 y 2 z 2 : 2 1
1  9và M x ; y ; z S sao o o o   
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 173
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
cho A x  2y  2z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tổng o o o
x y z . o o o A. 2 B. 1 C. 2 D. 1
m 3x  1  10
Bài 27. Cho hàm số y  . Biểu diễn tập hợp
3 3x  1  1  m
các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng
0;5 thành dạng  ;  a ; b  
. Tính tổng S ab. A. S  1  B. S  8 C. S  8  D. S  1
Bài 28. Biết tập nghiệm bất phương trình log  2
x x  2   1  3log  2
x x  3  4 là a,b . 3 5 
Tính 2a b ? A. 3 B. 0 C. 2 D. 3 
Bài 29. Cho khối hình hộp chữ nhật ABC . D A BCD   . Gọi M
là trung điểm của BB mặt phẳng  MDC chia khối hình
hộp chữ nhật thành hai khối đa diện, một khối chứa đỉnh C
và một khối chứa đỉnh A . Gọi V ,V lần lượt là thể tích hai 1 2 V
khối đa diện chứa C và A . Tính tỉ số 1 . V2 V 7 V 7 V 3 V 7 A. 1  B. 1  C. 1  D. 1  V 8 V 17 V 4 V 24 2 2 2 2
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 174
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao DVBO – HAK
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TRẦN VĂN HẠO (Tổng Chủ Biên) – VŨ TUẤN (Chủ
Biên) – LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG – NGUYỄN TIẾN TÀI –
CẤN VĂN TUẤT (2013), Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam.
2. VŨ TUẤN (Chủ Biên) – LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG –
NGUYỄN THU NGA – PHẠM THU – NGUYỄN TIẾN TÀI
– CẤN VĂN TUẤT (2013), Bài tập Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam.
3. ĐOÀN QUỲNH (Tổng Chủ Biên) – NGUYỄN HUY
ĐOAN (Chủ Biên) – TRẦN PHƯƠNG DUNG – NGUYỄN
XUÂN LIÊM – ĐẶNG HÙNG THẮNG (2013), Giải tích 12
Nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam.
4. NGUYỄN HUY ĐOAN (Chủ Biên) – TRẦN PHƯƠNG
DUNG – NGUYỄN XUÂN LIÊM – PHẠM THỊ BẠCH
NGỌC – ĐOÀN QUỲNH – ĐẶNG HÙNG THẮNG (2013),
Bài tập Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam.
5. TRẦN VĂN HẠO (Tổng Chủ Biên) – NGUYỄN
MỘNG HY (Chủ Biên) – KHU QUỐC ANH – TRẦN ĐỨC
HUYÊN – (2013), Hình học 12, NXB Giáo dục Việt Nam.
6. NGUYỄN MỘNG HY (Chủ Biên) – KHU QUỐC ANH
– TRẦN ĐỨC HUYÊN – TRẦN VĂN HẠO (2013), Bài tập
hình học 12, NXB Giáo dục Việt Nam.
7. ĐOÀN QUỲNH (Tổng Chủ Biên) – VĂN NHƯ
CƯƠNG (Chủ Biên) - PHẠM KHẮC BAN – LÊ HUY HÙNG
– TẠ MẪN (2013), Hình học 12 Nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam.
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 – Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Trang 175
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Phân tích sai lầm – Tổng hợp những câu hỏi nâng cao
ĐOÀN VĂN BỘ - HUỲNH ANH KIỆT DVBO - HAK
8. VĂN NHƯ CƯƠNG (Chủ Biên) - PHẠM KHẮC BAN
– LÊ HUY HÙNG – TẠ MẪN (2013), Bài tập Hình học 12 Nâng
cao, NXB Giáo dục Việt Nam.
9. Bài tập từ các nhóm: Nhóm pi, nhóm toán 12, nhóm toán,…
10. Tham khảo các đề thi thử từ trang web:
http://toanhocbactrungnam.vn/download/De-thi-THPT- Quoc-gia-2017/
Đoàn Văn Bộ - 0963196568 - Huỳnh Anh Kiệt - 0909052307
Tài liệu ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia
Trang 176