Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN I. Trắc nghiệm 1. Cho A ; B
. Điều kiện để phép cộng A  B thực hiện được là: m×n k×p A. m = n; k = p B. m = k, n = p C. m = p; n = k D. Với mọi m, n, k, p 2. Cho A B  C . Xác định m, n? 42 n7 m 7 
A. m = 4, n = 7 B. m = 7, n = 4 C. m = 4, n = 2 D. m = 2, n = 4
3. Ma trận tam giác trên là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện:
A. Tất cả các phần tử nằm phía trên đường chéo chính bằng 0.
B. Tất cả các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính bằng 0.
C. Tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 0.
D. Tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1.    2 1  2 3 1   4.     Cho hai ma trận A   và B  3 5 . Khi đó T A  B là ma trận 1 5 0          1 0        2 1  4 6 2  2 3 1   A.        B. C. 3 5
D. Phép toán không xảy ra. 2 10 0       1 5 0       1 0     1  5 1  5.   Cho ma trận A   . Khi đó -3A là ma trận 3 2 4       3 5 1   1 15 1    3 15 1     3 15 3    A.          B. C. D. 9 2 4          3 6  4  9 6  4  9 6 12        
6. Trong các ma trận sau, ma trận nào có dạng bậc thang hàng? A. B. C. D.
7. Xác định ma trận A, biết ? 1
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN A. B. C. D.
8. Cho ma trận A2x3. Phép biến đổi nào sau đây không phải là phép biến đổi sơ cấp hàng trên A? A. h  2h B. h  0h C. h  h  2h D. h  h 1 1 1 1 1 1 2 1 2
9. Cho ma trận A . Khẳng định nào sau đây đúng? 4 4  A. 2A  2 A B. 2A  4 A C. 2A  8 A D. 2A  16 A 10. Ma trận con của ma trận là ma trận: A. B. C. D. 11. h  3h
Cho phép biến đổi ma trận sau: 1 1 A     B . Khi đó: A. A  B B. A   B C. A  3 B D. 3 A  B 12. h h  2  h
Cho phép biến đổi ma trận sau: 2 2 1
A    B và A  6 . Khi đó: h  2h 3h 3 3 1 A. B  6 B. B  12 C. B  18 D. B  36
13. Xác định giá trị của định thức ? A. B. C. D.  2 1 14. Cho A     , det A  0 khi: m 5   A. m > 10 B. m < 10 C. m =10 D. với mọim   1 2 3 3  2 5
15. Cho hai định thức: D  3 2 5 ; D  1 2
3 . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 2 a b c 3a 3b 3c A. D  3D B. D  3D C. D  3D D. D  3D 2 1 2 1 1 2 1 2 2
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN  1 2 3     1 1  4   16. Cho hai ma trận A  1 0 6       , B  2 0 2   . Khi đó,  4 2 0     3 6 0       A. A  B B. A   B C. A  2 B D. đáp án khác
17. Ma trận nào sau đây là ma trận khả nghịch? A. B. C. D. 1 1 18.  
Ma trận nghịch đảo của ma trận A   là: 0 1     1  1 1 0 1 1   1 0 A. 1 A    B. 1 A    C. 1 A    D. 1 A    0  1        1 1 0 1 1 1         4 2 1   19. Cho ma trận A 0 m + 1 0  
. Tìm giá trị m để ma trận A khả nghịch? 0 3 0      A. m = -1 B. m  -1 C. với mọi m
D. không tồn tại giá trị của m 1 3 8
20. Xác định hạng của ma trận A     : 0 0 0     A. r(A) = 1 B. r(A) = 2 C. r(A) = 3 D. r(A) = 4 7 1 0    21.   Cho ma trận A  0 0 m 
 . Tìm giá trị của m để r A  2 ?   2 0 0 m 1   A. m = 0 B. m = 1 C. A.,B. đều đúng D. A.,B. đều sai
22. Cho ma trận A . Khẳng định nào sau đây đúng? 4 7  A. r A  4 B. r A  4 C. 4  r   A  7 D. r   A  7 23. Cho ma trận A . Nếu ma trận A khả nghịch thì: m×n m×n 3
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN A. m > n B. m = n C. m < n
D. m, n nhận giá trị bất kì
24. Với A  0 , hãy tìm công thức tính ma trận X của phương trình AX B ? B A. X  B. 1 X  A B C. 1 X BA 
D. không tồn tại ma trận X A
25. Trong các hệ sau đây, hệ nào không phải là hệ phương trình tuyến tính?  x  y  7 A. B. C.  D. x   y  5  
26. Trong các hệ sau đây, hệ nào là hệ Cramer? A. B. C. D.
27. Số nghiệm của một hệ Cramer là: A. Vô nghiệm B. 1 nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm
28. Tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là: A. Tập rỗng B. 1 phần tử C. ít nhất 1 phần tử D. vô số các phần tử
29. Hệ phương trình AX = B có vô số nghiệm nếu: A. B. C. D. 1 2 3 2   30.  
Hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A  0 1 1 0 
 thì họ nghiệm tổng quát   0 0 0 0   của hệ có: A. 1 ẩn cơ bản B. 2 ẩn cơ bản C. 3 ẩn cơ bản D. vô số ẩn cơ bản Giải: Ta có r   A  r  
A  2 và hệ phương trình tuyến tính có 3 ẩn nên số ẩn cơ bản của
hệ là bằng hạng của r A  r   A  2 . Chọn B.
31. Ma trận hệ số của hệ phương trình là: 4
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN A. B. C. D. 1  0 3    32.  
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là A  0 5 6   có vô   2 0 5 m  2m  6   số nghiệm khi: A. m  0 B. m 2
C. m 0 và m 2 D. m 0 hoặc m 2
Giải: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất .
A X  O có vô số nghiệm (có nghiệm không m  0 tầm thường)  r   A  số ẩn  det  A  0 2 m 2m 0       . Chọn D m  2  2  1 0 0   33.  
Tìm giá trị m để hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A  0 3 1  0   vô   2 0  0 m 1 0   nghiệm? A. m  1 B. m 1 C. m 1  D. không có giá trị m
Giải: Đây là ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . A X  O .
Tuy nhiên, hệ thuần nhất luôn có nghiệm, nên ta không tìm được giá trị của m để hệ vô nghiệm. Chọn D.
34. Cho không gian vector V ; x,y,z V  ;
 . Phát biểu nào sai? A. x  y  y  x
B. x  θ  θ  x  θ V V V C. x  
y  z  x y  z D. x y    y  x
35. Cho không gian vector V ; x,y,z V  ;
 . Phát biểu nào đúng?
A. x y  y  x B. x  θ  θ V V C.
D.   x V : x  x    θ V
36. Vector đối của vector
là vector y thỏa mãn điều kiện: A. y  θ B. y  θ  θ
C. x  y  y  x  θ D. y  V V V V V
37. Mọi cơ sở trong một không gian vector n chiều đều là hệ: 5
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN
A. độc lập tuyến tính B. hệ sinh C. có n vector
D. cả A.,B.,C. đều đúng
38. Số chiều của một không gian vector V là: A. 0
B. Số vector trong một cơ sở C. n D. Một số bất kỳ
39. Một hệ các vector của không gian vector V là cơ sở nếu nó: A. Độc lập tuyến tính
B. Phụ thuộc tuyến tính C. Hệ sinh D. Cả A. và C.
40. Tọa độ của một vector đối với hai cơ sở khác nhau trong cùng một không gian vector thì A. giống nhau B. khác nhau C. bất kì D. cả A.,B.,C. đều sai
41. Ma trận chuyển cơ sở trong một không gian vector n chiều là ma trận A. đơn vị B. vuông C. bậc thang D. bất kì
42. Cho X, Y là hai cơ sở trong một không gian vector. Khẳng định nào sai? A. det P  0 B. det P  0 Y X  X Y  C. det P det P  0 D. det P det P  0 X Y   YX  X Y   YX
43. Vector không của không gian vector là: A. 0 B. C. (0;0;0) D. (1;0;0)
44. Vector đối của vector a  1,2,3 trong không gian vector 3  là: A. a    1  , 2,  3 B. a   1, 2  , 3 C. a   1,2, 3   D. a   1,2,  3 45. Trong không gian vector 2
 , cho các vector 3,6;4,  1 ;m, 
3 . Xác định giá trị m để 3,  6
là tổ hợp tuyến tính của 4,1; m,3? Giải: 46. Tìm m để hệ   1,  3 ;5, 
m  độc lập tuyến tính trong không gian 2  ? A. m  15 B. m  15
C. với mọi giá trị m   D. không có giá trị m
Giải: DÙNG ĐỊNH THỨC, chọn B
47. Tìm m để hệ 2,0,0;1,5,0;4,2,m m  1  phụ thuộc tuyến tính trong không gian 3  ? A. m  0 B. m  1 C. cả A., B. đều đúng D. cả A., B. đều sai 6
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN 2 0 0 m  0
Giải: Dùng định thức: 1 5 0 2.5.m m  1 0      . Chọn C m   1 4 2 m m  1  
48. Trong các hệ sau, hệ nào là cơ sở của không gian vector 2  ? A.  1  , 3 ; 3, 9   B.  1  , 3 ;  3  , 9  C.   1  , 3; 3  , 9
  D. cả A.,B.,C. đều đúng
Giải: Chỉ cần kiểm tra độc lập tuyến tính của các đáp án, vì số vectơ trong mỗi hệ bằng 2 bằng số chiều của 2
 . Kiểm tra dùng định thức, chọn C. 49. Trong không gian vector 2
 , tọa độ của x  4, 
9 đối với cơ sở B   1,0;0,  1  là: A. x  4,  9 B. x    4
 , 9 C. x   4, 9   D. x  4,  9 B B B B Giải: Quá dễ chọn A. 50. Trong không gian vector 2
 , cho x  2, 
1 đối với cơ sở B   1,  5 ;2,3. Khi đó: B A. x  2,10 B. x  2,3 C. x  4,1  3 D. x  2,1  0 Giải: Quá dễ chọn C. II. Trả lời ngắn 2 7 6    1.   Cho ma trận A  0 3 1  
 . Xác định cấp của ma trận A, liệt kê phần tử cơ sở của ma trận   0 0 0    
A. Ma trận A có đặc điểm gì?
2. Cho ví dụ về ma trận vuông, bậc thang, đơn vị…
3. Nêu điều kiện của phép cộng/phép nhân/phép lũy thừa/… trên ma trận. Giải: Phép lũy thừa n A n  
 thực hiện được khi ma trận A vuông. (Cộng nhân xem lại).
4. Thế nào là: Ma trận vuông? Ma trận khả nghịch? Hai ma trận bằng nhau?...
5. Viết điều kiện của hệ phương trình có nghiệm? 7
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN x    y  2 6. 
Cho hệ phương trình tuyến tính 
. Xác định giá trị của m để hệ đã cho là x   my  3   hệ Cramer? 1 1
Giải: Hệ đã cho là hệ Cramer khi det A  0  m  1 . 1 m 3  2 1 0  7.  
Viết công thức nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A  0  0 2 1    
Giải: Hệ phương trình tuyến tính tương ứng là   x  t  4   x   4y  1  0  2x  2y  z  0   1 4t    y     1   t  . (chẳng qua đặt , sau 4    x  t  2z  1  z         1 2  z     2
đó rút y theo t mà thôi. Các bạn có thể đặt y  t ).
8. Phát biểu sau đây đúng hay sai: Trong không gian vector 2
 , hệ 0;0; 1;3;  2  , 5 phụ thuộc tuyến tính. Giải: Trong không gian 2
 có chiều bằng 2, mọi hệ có 3 vectơ là phụ thuộc tuyến tính. Nên
phát biểu trên là đúng.
9. Có bao nhiêu vector trong một cơ sở của không gian vector 6 chiều?
Giải: Trong không gian vectơ 6 chiều, mọi cơ sở có 6 vectơ. 10. Trong không gian vector 2  , cho hai cơ sở:
H  a  1;2;b   1
 ; 3 ;G  x 2;  5 ;y  4;  3  .
Viết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở G sang cơ sở H.
III. Ứng dụng: giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, tìm điểm cân bằng thị trường,…
1. Xét thị trường có ba lọai hàng hóa biết hàm cung và hàm cầu ba loại hàng tiêu theo giá là:
Qs1 = 10p1 – p2 – 30; Qd1 = 143 - 9p1 + p2 + p3; Qs2 = 12p2 – p3 -13; Qd2 = 80 + p1 - 10p2;
Qs3 = - p1 + 9p3 -20; Qd3 = 79 + 2p2 – 8p3. 8
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN
+ Tìm điểm cân bằng thị trường.
+ Nếu cứ một đơn vị thời gian người ta xuất đi 10 dơn vị hàng thứ nhất, 15 đơn vị hàng thứ ba và
nhập về 8 đơn vị hàng thứ hai. Hãy tìm điểm cân bằng mới.
2. Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C. Mỗi sản phẩm phải qua 3 công đoạn: CĐ1,
CĐ2 và CĐ3 với thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn như sau:
Sản phẩm A: CĐ1 - 0.6 giờ , CĐ2 - 0.6 giờ, CĐ3 - 0.2 giờ
Sản phẩm B: CĐ1 - 1 giờ, CĐ2 - 0.9 giờ, CĐ3 - 0.3 giờ
Sản phẩm C: CĐ1 - 1.5 giờ, CĐ2 - 1.2 giờ, CĐ3 - 0.5 giờ
Các công đoạn 1, 2, 3 có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là 380, 330 và 120 giờ
công. Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu mỗi tuần để nhà máy
hoạt động hết công suất?
3. Trong tháng 1 hai tổ sản xuất được tổng cộng 800 (đvsp). Tháng 2, tổ 1 sản xuất vượt mức
15%, tổ 2 sản xuất vượt mức 20% nên tổng sản phẩm là 945 (đvsp). Tính số đvsp mỗi tổ sản xuất được trong tháng 1.
4. Một đội xe cần chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành đội xe được điều thêm 3 xe nữa nên mỗi
xe chở ít hơn dự định 8 tấn hàng. Tính số xe ban đầu của đội xe. (Giả sử rằng các xe đều giống nhau) 9