Nội dung ôn tập - Toán cao cấp c2 | Trường Đại Học Duy Tân

ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP C2
I. Trắc nghiệm 1. Cho A ; B
. Điều kiện để phép cộng A + B thực hiện được là: m×n k×p A. m = n; k = p B. m = k, n = p
C. m = p; n = k D. Với mọi m, n, k, p 2. Cho  = . Xác định m, n? 4 A 2 × Bn 7 × Cm 7 × A. m = 4, n = 7 B . m = 7, n = 4 C. m = 4, n = 2 D. m = 2, n = 4 2 −1  2 3 1  
3. Cho hai ma trận A =   và B = 3 5 . Khi đó T A + B là ma trận −1 5 0     1 0    2 −1  4 6 2  2 3 1    A.  B. C. 3 5 2 10 0 −  
D. phép toán không xảy ra   1 − 5 0     1 0    1  5 1  4. Cho ma trận A = . Khi đó -3A 3  2 4 − là ma trận   −3 5 1  1 − 15 1   3 − 1 − 5 1   3 − 1 − 5 3 −  A.  B. C. 9 2 4 − −     D.     3 −6 4 −   9 − 6 − 4 −   9 − 6 − 12  
5. Trong các ma trận sau, ma trận nào có dạng bậc thang? A. B. C. D.
6. Xác định ma trận A, biết ? A. B. C. D.
7. Cho ma trận A2x3. Phép biến đổi nào sau đây không phải là phép biến đổi sơ cấp hàng trên A? A. h → 2h B. h → 0h
C. h → h + 2h D. h ↔ h 1 1 1 1 1 1 2 1 2
8. Cho ma trận A4× . Khẳng định nào sau đây đúng? 4 ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 1 A. 2 A = 2 A B. 2 A = 4 A C. 2A = 8 A D. 2 A = 16 A 9. Ma trận con của ma trận là ma trận: A. B. C. D. 3 − →
10. Cho phép biến đổi ma trận sau: 1 h 1 h A  →B . Khi đó: A. A = B B. A = − B C. A = 3 B D. - 3 A = B h +2h h →
11. Cho phép biến đổi ma trận sau: 2 1 2 A  → . Khi đó: 2 B và A = 6 h 3 3 − 1 h → 3 h A. B = 6 B. B = 12 C. B = 18 − D. B = 36
12. Xác định giá trị của định thức ? A. B. C. D.  2 1 13. Cho A = 
 , det ( A) < 0 khi: m 5   A. m > 10 B. m < 10 C. m =10 D. với mọi m ∈  1 2 3 −3 2 5
14. Cho hai định thức: D = 3 − 2 5 ; D = 1 2
3 . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 2 a b c 3a 3b 3c A. D = 3 − D D = 3D D = 3D D = 3 − D 2 1 B. 2 1 C. 1 2 D. 1 2  1 2 3 1 −1 4    
15. Cho hai ma trận A = −1 0 6   , B = 2 0 2   . Khi đó,  4 2 0   3 6 0   A. A = B B. A = − B C. A = 2 B D. đáp án khác
16. Ma trận nào sau đây là ma trận khả nghịch? A. B. C. D. ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 2 1 1
17. Ma trận nghịch đảo của ma trận A =   là : 0 1   1 1  −   −   1 0 −   1 1 1 0 A. 1 A =   B. 1 A =   C. 1 A− =   D. 1 A− =   0 1   1 1   0 1   −1 1   4 2 1  
18. Cho ma trận A = 0 m + 1 0 
 . Tìm giá trị m để ma trận A khả nghịch ? 0 3 − 0 A. m = -1 B. m ≠ -1 C. với mọi m
D. không tồn tại giá trị của m 1 3 8
19. Xác định hạng của ma trận A =   : 0 0 0 A. r(A) = 1 B. r(A) = 2 C. r(A) = 3 D. r(A) = 4 7 1 0  20.  
Cho ma trận A = 0 0 m -1 
 . Tìm giá trị của m để r( A) =1? 2 0 0 m -1   A. m = -1 B. m = 1 C. A.,B. đều đúng D. A.,B. đều sa i
21. Cho ma trận A . Khẳng định nào sau đây đúng? 4×7
A. r ( A) < 4 B. r ( A) ≤ 4 C. 4 < r( ) A ≤ 7
D. r ( A) > 7
22. Cho ma trận A . Nếu ma trận A khả nghịch thì: m×n m×n A. m > n B. m = n C. m < n
D. m, n nhận giá trị bất kì
23. Với A ≠ 0 , hãy tìm công thức tính ma trận X của phương trình AX = B ? B − − A. X = B. 1 X = A B C. 1 X = BA
D. không tồn tại ma trận X A
24. Trong các hệ sau đây, hệ nào không phải là hệ phương trình tuyến tính? x + y = 7 A. B. C.  D. x − y =  5
25. Trong các hệ sau đây, hệ nào là hệ Cramer? A. B. C. D . ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 3
26. Số nghiệm của một hệ Cramer là: A . Vô nghiệm B. 1 nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm
27. Tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là: A. Tập rỗn g B. 1 phần tử C. ít nhất 1 phần tử D. vô số các phần tử
28. Hệ phương trình AX = B có vô số nghiệm nếu: A. B. C. D. 1 2 3 2  
29. Hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A = 0 1 − 1 0   thì họ nghiệm tổng 0 0 0 0   quát của hệ có: A. 1 ẩn cơ bản B. 2 ẩn cơ bản C. 3 ẩn cơ bản D. vô số ẩn cơ bản
30. Ma trận hệ số của hệ phương trình là: A. B. C. D. 1 0 3   
31. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là A = 0 5 6   2 0 5 m − 2m + 6 có vô số nghiệm khi: A. m ≠ 0 B. m ≠ 2
C. m≠ 0 và m≠ 2 D. m= 0 hoặc m= 2 2 1 0 0  
32. Tìm giá trị m để hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A = 0 3 −1 0   vô 2 0 0 m −1 0   nghiệm? A. m ≠ 1 B. m≠ −1 C. m= 1 ± D. không có giá trị m
33. Cho không gian vector V ; x, y, z V
∈ ; λ ∈ . Phát biểu nào sai? ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 4
A. x + y = y + x
B. x + θ = θ + x = θ V V V
C. (x + y ) + z = x + ( y + z ) D. λ( x + )
y = λ y + λx
34. Cho không gian vector V ; x, y, z V
∈ ; λ ∈  . Phát biểu nào đúng?
A. x − y = y − x B. x + θ = θ C. D. V V
∃ − x∈V : x + (−x) = θ V
35. Vector đối của vector
là vector y thỏa mãn điều kiện: A. y = θ B. y + θ = θ
C. x + y = y + x = θ D. y ∀ ∈V V V V V
36. Mọi cơ sở trong một không gian vector n chiều đều là hệ:
A.độc lập tuyến tính B. hệ sinh C. có n vecto
r D. cả A.,B.,C. đều đúng
37. Số chiều của một không gian vector V là :
A. 0 B. Số vector trong một cơ sở C. n D. Một số bất kỳ
38. Một hệ các vector của không gian vector V là cơ sở nếu nó:
A. Độc lập tuyến tính B. Phụ thuộc tuyến tính C. Hệ sinh D. Cả A. và C.
39. Tọa độ của một vector đối với hai cơ sở khác nhau trong cùng một không gian vector thì
A. giống nhau B. khác nhau C. bất kì D. cả A.,B.,C. đều sai
40. Ma trận chuyển cơ sở trong một không gian vector n chiều là ma trận
A. đơn vị B. vuông C. bậc thang D. bất kì
41. Cho X, Y là hai cơ sở trong một không gian vector. Khẳng định nào sai? A. det (P ≠ 0 det P ≠ 0 X Y → ) B. ( Y X → ) C. det (P det P ≠ 0 . det( P det P = 0 X Y → ) ( Y X → ) X Y → ) ( Y X → ) D
42. Vector không của không gian vector là: A. 0 B. C. (0;0;0) D. (1;0;0)
43. Vector đối của vector a = (1,2,3) trong không gian vector 3  là:
A. −a = (−1,2,3 ) B. −a = (1, 2 − ,3) C. −a = (1,2, 3 − ) D. −a = ( 1 − , 2 − , 3 − ) ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 5
44. Trong không gian vector 2
 , cho các vector (3,6); (4,1); (m,3) . Xác định giá trị m để
(3,6) là tổ hợp tuyến tính của ( { 4, )1;(m,3)}?
45. Tìm m để hệ {(1,3);(5,m)} độc lập tuyến tính trong không gian 2  ? A. m = 15 B. m ≠ 15
C. với mọi giá trị m ∈  D. không có giá trị m
46. Tìm m để hệ {(2,0,0); (1,5,0); (4,2,m (m −1))} phụ thuộc tuyến tính trong không gian 3  ? A. m = 0 B. m = 1
C. cả A., B. đều đúng D. cả A., B. đều sa i
47. Trong các hệ sau, hệ nào là cơ sở của không gian vector 2  ? A. ( { 1 − , ) 3 ;(3, 9 − )} B. {( 1 − ,3);( 3 − ,9)} C. {( 1 − ,3);( 3
− ,−9)} D. cả A.,B.,C. đều đúng
48. Trong không gian vector 2
 , tọa độ của x = (4, 9
− ) đối với cơ sở B = ( { 1, )0 (;0,− )1} là:
A. (x ) = (4,9 ) B. (x ) = ( 4 − ,9 ) C. (x ) = (4, 9 − ) D. (x ) = ( 4 − , 9 − ) B B B B
49. Trong không gian vector 2  , cho (x ) = đối với cơ sở B = ( { 1, )5 (;2, )3}. Khi đó: B (2, ) 1 A. x = (2,10) B. x = (2,3) C. x = (4,13) D. x = ( 2 − ,10)
50. Ma trận đơn vị I = a  n
 ij  là ma trận có: n n × A. a =1, i
∀ =1, n và a = 0, i ∀ ≠ j B. a = 0, i
∀ =1, n và a = 1, i ∀ ≠ j ii ij ii ij C. a =1, i ∀ = j D. a = 0, i ∀ ≠ j ij ij 1  0 0    51. Cho ma trận A = 0 1 1 
 . Khẳng định nào sau đây đúng. 0  0 1   
A. A là ma trận tam giác dưới.
B. A là ma trận tam giác trên.
C. A là ma trận đơn vị.
D. A là ma trận cấp 3. −2 1 3 
52. Cho ma trận A = 
. Khẳng định nào sau đây đúng:  5 7 4 − 
A. Ma trận A cấp 3 x 2. ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 6
B. Ma trận A cấp 6.
*C. Ma trận A cấp 2 x 3.
D. Ma trận A vuông cấp 3. −2 3 5  53   . Cho ma trận A = 1 6 0 
 . Khi đó phần tử a là: 23 −4 5 −1   A. a = 1 B. a = 6 C. a = 5 D. a = 0 . 23 23 23 23
54. Cho các ma trận sau, ma trận nào là ma trận bậc thang?  2 − 3  2 − 3 1  2 3 0 3         A. 1 0   B. 2 1   C. 0 0 1   D. 1 1    0 0    0 0   0  0 0   0 0   0 1 3 4 
56. Cho hai ma trận A = , B =  . Tính AB . 1 0   2 1 −  3  4  2 1 −  2 1 −  0 1 A. AB = B. AB =   C. AB =   D. AB =   2  1 −  3 4  3 4 −  2 0
57. Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n. Khẳng định nào sau đây là sai? A. ( + )T T T A B
= A + B B. ( )T T kA
= kA C. ( T )T A = A D. ( )T T T AB = A B 0 0 0 0   
58. Cho ma trận A = 0 2 4 1 − 
. Dùng phép biến đổi nào sau đây để đưa ma trận A về 0 0 2 0   
dạng ma trận bậc thang B? A. 1 h ↔h2 A  → B B. 1 h ↔ 3 h A  →B C. h2↔h3 A  → B D. ↔ 1 h 2 h A  → ↔ B h2 h3 a b 2 − a 3b 59. Cho ∆ = và 1 1 ∆ = . Hãy tính ∆ theo ∆ ? a b 1 2 − a 3b 1 1 1 A. ∆ = 6 − ∆ B. ∆ = 6∆ C. ∆ = 2 − ∆ D. ∆ = 3∆ 1 1 1 1 −2 0 1
60. Tính định thức det( ) A = 0 1 0 . 0 2 a A. det( ) A = −4a B. det( ) A = 2a C. det( ) A = 2 − a D. det( ) A = 2 ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 7 a b 1 61. Tính định thức ∆ = c d 1 . a + c b + d 1 2 2 A. ∆ = 0 B. ∆ = 1 C. ∆ = 1 − D. ∆ = a + b
62. Ma trận nào sau đây là ma trận không khả nghịch? 4 1  1 0  2 − 4  3 1 A.  B. C. D. 3 5          2 − 5  3 1 3 1
63. Cho ma trận A . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 3 × A. 4 A = 4 A B. 4 A = 12 A C. 4A = 64 A D. 4 A = 16 A  3 m
64. Tìm m để ma trận A =   khả nghịch? m 3 A. m ≠ 3 ± B. m ≠ 3 C. m ≠ 3 − D. m ≠ 0 1 1 − 2 1   
65. Tìm hạng của ma trận A = 2 − 2 4 0   1 1 − 2 1 −    A. r( ) A = 1 B. r( ) A = 3 C. r( ) A = 2 D. r( ) A = 0 1  2 2 5   
66. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là A = 0 1 − 4 1   thì họ 0  0 0 0   
nghiệm tổng quát của hệ có mấy ẩn cơ bản? A. 0 ẩn cơ bản B. 1 ẩn cơ bản C. 2 ẩn cơ bản D. 3 ẩn cơ bản
67. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm n ẩn số, có dạng ma trận AX = 0 chỉ có duy
nhất nghiệm tầm thường khi: A. r( ) A < n B. r( ) A = n C.r( )
A > n D. Không cần điều kiện gì cả
68. Khi lấy một hàng nhân với 2 thì định thức sẽ:
A. Nhân lên với 2 B. Không đổi. C. Bằng 0 D. Bằng một nửa. 69. Cho A = [− ]
3 . Khi đó định thức thức của ma trận A là: A. A = 3 B. A = 3 ± C. A = 0 D. A = 3 −  2 − 1  1  5 − 
70. Cho hai ma trận A = , B = 
. Tìm ma trận X = A − 2B . 3 5 2  3  −     ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 8  4 − 9 −  −4 11   0 11  −  4 11  A. X =   B. X =   C. X =   D. X =   1 − 1   7 11 −   −1 −11   1 − 11 −    1 − 2 1 7 2 + →
1. Cho ma trận A = 
, thực hiện phép biến đổi 1 h 2 h 2 h
A → B . Khi đó ma 2 3 0   trận B là:  1 − 2 1  2 − 4 2  2 − 4 2 −1 2 1 A. B =  B. B = C. B = D. B = 0 7 2          2 3 0  0 7 2  4 6 0
x + 2y − z = a 
72. Nghiệm của hệ phương trình 
y + z = −2 là:
 − y + z = 0  A. (−1,1, a +1) B. (−1, −1, a + 1) C. (a +1, 1 − , 1 − )
D. (a +1,1,1)
x − 2x + 3x + x = 2 1 2 3 4 
73. Tìm m để hệ sau có nghiệm. 2x + x − x + 3x = −  1 1 2 3 4 3
 x − x +2x +4x = m  1 2 3 4 A. m = 1 − B. m = 1 C. m =11 D. m = 1 − 1
74. Tìm a để hệ sau có 1 nghiệm duy nhất. 3
 x + 2 y − z =1   y + az = −2
 − y + z = 3  1 A. a = 1 − B. a = 1 C. a ≠ − D. a ≠ −1 2 −1 1
75. Ma trận nghịch đảo của ma trận A =   là :  0 1 1 1  1 − 0  1 − 1  1 0 A. 1 A− =   B. 1 A− =   C. 1 A− =   D. 1 A− =   0 1  1 1  0 1 −1 1  2 − 3
76. Cho ma trận A =  . Tìm ma trận = − 3 T X A A . 3 0    4 − 0  8 − 9  4 −6  6 −9 A. X =   B. X =   C. X =   D. X =    0 0  9 0 −6 0  −9 0  ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 9  3 − 1 77. Cho A =  . Tính 2 A . 1 3   10  0  9 1 0 1 1 0 A. 2 A =   B. 2 A =   C. 2 A =   D. 2 A =    0 10 1 9   1 0   0 1    3 − 2 1   78. Cho ma trận A = 0 1 1 
 . Tìm giá trị m để r( ) A = 2 .  0 m 1   A. m ≠ 0 B. m = 0 C. m = 1 D. Với mọi m  1 2 3 0   
79. Hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A = 0 −1 1 0   có vô số
 0 0 m m(m− 1)   nghiệm khi: A. m = 0
B. m = 1 C. m = 0 hoặc m = 1
D. Không có giá trị m
80. Tìm giá trị a để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường.
x + 2 y − z = 0   y − az = 0
 − ay + z = 0  A. a = 1 B. a = 1 ± C. a = 1 − D. a ≠ ±1
II. Câu hỏi trả lời ngắn. 50. Cho A ; B
. Điều kiện để phép cộng + m×n p×q
A B thực hiện được là ?
51. Cho A =  a  ; B = b  = ij ij    
. Điều kiện để A B là gì? m n × p q ×
52. Cho A = a  ; B = b   ij  ij
. Điều kiện để phép nhân AB là gì? m n × p q ×
53. Ma trận tam giác trên là ma trận như thế nào?
54. Ma trận tam giác dưới là ma trận như thế nào?
55. Ma trận đơn vị là ma trận như thế nào?
56. Ma trận bậc thang là ma trận như thế nào?
57. Ma trận vuông là ma trận như thế nào?
58. Nêu các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận?
59. Khi dùng phép biến đổi sơ cấp theo hàng thì ta thu được bao nhiêu ma trận bậc thang? ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 10
60. Ma trận chuyển vị Là ma trận như thế nào?
61. Khi đổi vị trí của hai hàng cho nhau thì định thức sẽ thế nào?
62. Khi định thức có hai hàng tỉ lệ nhau thì định thức sẽ thế nào?
63. Khi lấy một hàng nhân với số k ≠ 0 rồi cộng vào hàng khác thì định thức sẽ thế nào?
64. Khi lấy một hàng nhân với số k ≠ 0 thì định thức sẽ thế nào? 2 1 3 65. Cho ma trận   A = 0 m
0 . Tìm giá trị của m để ?   r ( A) = 2
0 m (m −1) 0   1  2 3  1 2 3     
66. Cho hai ma trận: A = 1 b c ; B = 0 b − 2 c −3   
 . Tính det(B) theo det( ) A . a  0 5 a  +2 b +2 c +    8 4 2 1  
67. Cho ma trận A = 0 m + 1 0 . Tìm giá trị m để ma trận khả nghịch?   A 0 −  3 0 1 2 3 0
68. Hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A 0 1 1 0 có vô số nghiệm khi 0 0 m mm-1 nào? 1 2 3 5
69. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là A 0 9 4 2 thì họ nghiệm 0 0 0 0
tổng quát của hệ có mấy ẩn cơ bản? 1 2 3 0
70. Hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A 0 1 1 0 vô nghiệm khi nào? 0 0 m mm-1 2 1 4 0
71. Hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A 0 5 2 1 vô số nghiệm khi 2 0 0 m 4 m+2 nào? ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 11 x + y = 2
72. Cho hệ phương trình tuyến tính 
. Xác định giá trị của m để hệ đã cho x + my = 3  là hệ Cramer?
73. Viết công thức nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là 3 2 1 − 0 A =   0 0 2 1  
74. Với giá thị nào của m thì hệ sau vô nghiệm?
x + my + z = m 
x + 2 y + 2z =1  2 2x 
+ (m + 2)y + (m + 2)z = 2m 1  1 − 2 1    75. Cho ma trận 2
A = 2 − 2 m + 5 m + 1 
 . Tìm m để r( ) A = 3 . 1  1 − 2 m 1 −   
76. Tìm m để hệ (
{ −2,0);(6,m- )1} phụ thuộc tuyến tính trong không gian vector 2 
77. Tìm m để họ sau là một cơ sở của 3  : u = ( ,
m 1,1); v = (1, m,1); w = (1,1, m)
78. Phát biểu sau đây đúng hay sai: Trong không gian vector 2  , hệ ( { 0;0);(1;3);( 2 − ,5)} phụ thuộc tuyến tính.
79. Có bao nhiêu vector trong một cơ sở của không gian vector 6 chiều?
80. Trong không gian vector 2  , cho hai cơ sở:
H = {a = (1;2);b = (−1;3)};G = {x = (2;5); y = (4;3)} .
Viết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở G sang H.
III. Ứng dụng: giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, tìm điểm cân bằng thị trường,…
1. Xét thị trường có ba lọai hàng hóa biết hàm cung và hàm cầu ba loại hàng tiêu theo giá là: Q = 4 − − − = − + + + 1 p 2 2 p 3 p 10; Q 2 1 p 2 p 3 p 8 S D 1 1 Q = − + − − = − + + 1 p 4 2 p 3 p 5; Q 2 1 p 2 p2 3 p 10 S D 2 ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 12
Q = − p − p + p − Q
= p + p − p + S 1 2 4 3 1; D 1 2 2 3 14 3 3
+ Tìm điểm cân bằng thị trường.
+ Nếu cứ một đơn vị thời gian người ta xuất đi 10 dơn vị hàng thứ nhất, 15 đơn vị hàng thứ
ba và nhập về 8 đơn vị hàng thứ hai. Hãy tìm điểm cân bằng mới.
2. Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C. Mỗi sản phẩm phải qua 3 công đoạn:
CĐ1, CĐ2 và CĐ3 với thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn như sau:
Sản phẩm A: CĐ1 - 0.6 giờ , CĐ2 - 0.6 giờ, CĐ3 - 0.2 giờ
Sản phẩm B: CĐ1 - 1 giờ, CĐ2 - 0.9 giờ, CĐ3 - 0.3 giờ
Sản phẩm C: CĐ1 - 1.5 giờ, CĐ2 - 1.2 giờ, CĐ3 - 0.5 giờ
Các công đoạn 1, 2, 3 có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là 380, 330 và 120
giờ công. Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu mỗi tuần để
nhà máy hoạt động hết công suất?
3. Trong tháng 1 hai tổ sản xuất được tổng cộng 800 (đvsp). Tháng 2, tổ 1 sản xuất vượt
mức 15%, tổ 2 sản xuất vượt mức 20% nên tổng sản phẩm là 945 (đvsp). Tính số đvsp
mỗi tổ sản xuất được trong tháng 1. ÔN TẬP TOÁN C2-KHTN 13