Dạng 1 : Tập Xác Định Của Hàm Số
1. Khi tìm tập xác định của hàm số f (x) =10x + 3 , ta thu được kết quả là : Đáp số : D =
2. Khi tìm tập xác định của hàm số f (x) = 2x + 4 , ta thu được kết quả là :
Đáp số : D = [ − 2;+)
3. Khi tìm tập xác định của hàm số f (x) = ln(2x + 4), ta thu được kết quả là : Đáp số : D = ( 2 − ;+) 2 x +1
4. Khi tìm tập xác định của hàm số f ( ) x =
, ta thu được kết quả là : x − 3 Đáp số : D =
Dạng 2 : Giá Trị Của Hàm Số
1. Giả sử chi phí sản xuất ra x sản phẩm của công ty A là : C(x) = 10x + 200
triệu đồng. Chi phí sản xuất ra sản phẩm thứ 5 là : Đáp số : C(5)-C(4)
2. Giả sử chi phí sản xuất ra x sản phẩm của công ty A là : C(x) = 10x + 200
triệu đồng. Chi phí sản xuất ra 5 sản phẩm là : Đáp số : C(5)
3. Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản
phẩm là p =150 − x (nghìn đồng). Vậy doanh thu của công ty khi bán 6 sản phẩm là :
Đáp số : R(6) = 6 (.150 − ) 6 = 864 (nghìn đồng)
4. Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản
phẩm là p =120 − x (nghìn đồng). Biết rằng chi phí sản xuất x sản phẩm là 2
C(x) = x + 5x + 300 (nghìn đồng). Vậy lợi nhuận của công ty khi sản xuất 5 sản phẩm là: Đáp số : 2
P(5) = 5.(120 − 5) − (5 + 5.5 + 300) = 225 (nghìn đồng)
Dạng 3 : Hàm Tuyến Tính
1. Các nhà kinh tế nhận định rằng, giá của mặt hàng S trên thị trường đang giảm
với một tốc độ không đổi là 6 đôla/ tháng. Khi đó hệ số góc m của hàm biểu
diễn giá mặt hàng S theo thời gian là: Đáp số : m = 6 −
2. Các nhà kinh tế nhận định rằng, giá của mặt hàng S trên thị trường đang giảm
với một tốc độ không đổi là 4000 đồng/ tháng. Biết giá mặt hàng S hiện tại là
200 nghìn đồng. Hàm biểu diễn giá p(x) (đvt: nghìn đồng) của mặt hàng S theo thời gian x là:
Đáp số : p(x) = 4
− x + 200 (nghìn đồng)
3. Một công ty cho thuê thuyền đánh cá mua một cái thuyền mới có giá là
224,000 (đô la) và giả sử rằng nó có giá trị là 115,200 (đô la) sau 16 năm. Hãy
tìm một mô hình tuyến tính biểu diễn giá trị V của chiếc thuyền sau t năm khi nó được bán.
Đáp số : V (t) = 6
− 800t + 224000 (đô la)
4. Biểu thức đại số của hàm tuyến tính có dạng như thế nào ? Đáp số : y = .
a x + b với a  0 .
Dạng 4 : Hàm Bậc Hai
1. Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản
phẩm là p =150 − x(nghìn đồng). Hàm doanh thu của công ty là: Đáp số : 2 R(x) = .
x p = 150x− x
2. Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản
phẩm là p = 120 − x (nghìn đồng). Biết rằng chi phí sản xuất x sản phẩm là 2
C(x) = x + 5x + 300 (nghìn đồng). Hàm lợi nhuận của công ty là: Đáp số : 2
P(x) = R(x) − C(x) = 2
− x +115x − 300
Dạng 5 : Hàm Mũ Và Hàm Lôgarit
1. Nếu 2000 (đô la) được đầu tư trong tài khoản với lãi suất 10% mỗi năm và
lãi được tính theo Tháng. Thì số tiền có trong tài khoản sau 10 năm là :
Đáp số : A = 5414,08 (đô la)
2. Một người dự định mở một công ty với kinh phí 20 nghìn đô la sau 4 năm
nữa. Hỏi người đó nên đầu tư bao nhiêu tiền ngay từ bây giờ để đủ tiền thành
lập công ty, nếu lãi suất hàng năm là 7% và tiền lãi được tính hàng Quý.
Đáp số : P = 15,15 (nghìn đô la)
3. Bạn gửi 300 triệu đồng vào Ngân hàng Vietcombank với lãi suất 6%/năm.
Bạn chọn phương thức tính lãi theo Tuần. Hỏi trong thời gian bao lâu bạn sẽ
nhận được số dư là 350 triệu đồng khi đáo hạn.
Đáp số : t = 2,57 (năm)
4. Trong thời gian bao lâu thì số tiền trong tài khoản sẽ tăng gấp đôi, biết rằng
lãi suất hàng năm là 10% và tiền lãi được tính theo Năm ?
Đáp số : t = 7,27 (năm)
5. Nếu số tiền 400 (triệu đồng) được gửi vào ngân hàng, sau 10 năm thu được
số tiền 450 (triệu đồng) khi tiền lãi được tính theo Quý. Vậy hệ số lãi suất của ngân hàng là bao nhiêu ?
Đáp số : r = 0,01179 =1,18%
Dạng 6 : Đạo Hàm Và Phân Tích Cận Biên
1. Tổng lợi nhuận (tính bằng đô la) từ việc bán x ván trượt là 2
P(x) = 20x − 0.3x − 250 . Sử dụng lợi nhuận cận biên tính gần đúng lợi nhuận
từ việc bán ván trượt thứ 2 ? A. 18 đôla B. 18.8 đôla C. 19.4 đôla D. 19 đôla Đáp số : P(2) − (
P 1)  P '(1) = 19, 4
2. Giả sử rằng nhu cầu hàng ngày (tính bằng pound) về kẹo socola tại giá x đô
la mỗi pound được cho bởi 2
D = 1000− 20x . Nếu giá tăng từ 3.1 đô la mỗi
pound đến 3.3 đô la cho mỗi pound, tính gần đúng sự thay đổi trong nhu cầu ? A. Nhu cầu tăng 24.8 pound
B. Nhu cầu giảm 26.4 pound
C. Nhu cầu giảm 24.8 pound D. Nhu cầu tăng 26.4 pound
Đáp số : D(3,3) − D(3,1)  D'(3,1).0,2 = 2 − 4,8
3. Một Công ty sản xuất và bán hết x ti vi mỗi ngày thì tổng doanh thu là 2
R(x) = −3x + 150x triệu đồng. Dùng hàm doanh thu cận biên hãy tính doanh
thu gần đúng khi sản xuất và bán cái ti vi thứ 11 ? A. 87 triệu đồng B. 90 triệu đồng C. 84 triệu đồng D. 1287 triệu đồng
Đáp số : R(11) − R(10)  R'(10) = 90
Dạng 7 : Cực trị (Sự tối ưu)
1. Một công ty sản xuất và bán ra x cái máy tính mỗi tuần. P hương trình giá
bán - nhu cầu được cho như sau: p = 400 − 0.5x đôla/máy tình. Hỏi công ty
nên bán máy tính với giá bao nhiêu để doanh thu lớn nhất ? A. 400 đôla/máy tính. B. 300 đôla/máy tính. C. 200 đôla/máy tính D. 350 đôla/máy tính. Đáp số :
R(x) = x(400 − 0,5x)
R '(x) = 0  x = 400
p = 400 − 0,5.400 = 200
2. Một Resort có 200 phòng hoạt động hết công suất mỗi đêm khi giá cho thuê
mỗi phòng là 30 USD. Họ ước tính rằng cứ tăng thêm 1 USD trong giá cho thuê
thì sẽ có 5 phòng bị bỏ trống. Hãy xác định giá cho thuê của mỗi phòng để
doanh thu mỗi đêm của Resort là lớn nhất ? A. 65 USD B. 55 USD C. 45 USD D. 35 USD Đáp số :
R(x) = (30 + x)(200 − 5x)
R '(x) = 0  x = 5 Giá cho thuê là : 35 USD
Dạng 8 : Tích Phân Bất Định
1. Dân số tăng trưởng với tốc độ là ' ( ) = 4 t P t
e +10 (ngàn người/năm). Xác
định biểu thức hàm dân số. (với C là hằng số bất kì ) A. ( ) = 4 t P t
e +10t + C (ngàn người) B. ( ) = 4 t P t
e + C (ngàn người) C. ( ) = 4 t P t e (ngàn người) D. ( ) = 4 t P t
e + 10 + C (ngàn người)
Đáp số : Tìm ( ) =  '( ) = (4 t +10) = 4 t P t P t dt e dt
e +10t + C
2. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số 2
f (x) = 3x − 2x + 10 A. 3 2
F (x) = 3x − x +10 + C B. 3 2
F (x) = x − x +10x + C C. 3 2
F (x) = x − 2x +10x + C D. F(x) = 6x -2 Đáp số : 2 3 2
F (x) =  f ( )
x dx = (3x − 2x +10)dx = x − x +10x + C
3. Tốc độ thay đổi của doanh số bán hàng sau t tháng là S (t ) 1 2 ' = 30t
(đvsp/tháng). Hiện tại doanh số bán hàng đạt 1000 (đvsp). Xác định doanh số bán hàng sau 4 tháng. A. 1260 (đvsp) B. 1160 (đvsp) C. 1360 (đvsp) D. 1060 (đvsp) 1 1 + 1 2 3 t Đáp số : + Tìm S (t ) 2 2
= S '(t)dt = 30.t dt = 30.
+C = 20t +C   1 +1 2
+ Ta có : S (0) = 1000  C = 1000 . Suy ra : S (t) 3 2 = 20t +1000 + Vậy : S ( ) 3 2 4 = 20.4 +1000 = 1160
4. Tốc độ thay đổi của doanh số bán hàng sau t tháng là S (t ) 1 2 ' = 30t
(đvsp/tháng). Hiện tại doanh số bán hàng đạt 1000 (đvsp). Xác định khoảng thời
gian để doanh số bán hàng đạt 1160 (đvsp). A. Sau 4 tháng B. Sau 9 tháng C. Sau 1 tháng D. Sau 5 tháng 1 1 + 1 2 3 t Đáp số : + Tìm S (t ) 2 2
= S '(t)dt = 30.t dt = 30.
+C = 20t +C   1 +1 2
+ Ta có : S (0) = 1000  C = 1000 . Vậy : S (t ) 3 2 = 20t +1000 3 + Ta có : 2
20t +1000 = 1160 t = 4
Dạng 9 : Phương trình vi phân dA
1. Tìm số dư sau t năm, biết rằng = 0,02 A và ( A 0) = 1500 dt Đáp số : 0,02 =1500. t A e dA
2. Tìm số dư sau 5 năm, biết rằng = 0,04 A và ( A 0) = 4500 dt Đáp số : + Ta có : 0,04 ( ) = 4500. t A t e + Vậy : 0,04.5 ( A 5) = 4500.e = 5496,31
3. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là phương trình vi phân? dy A. 3 x + x = 1 B. = 4t dt C. y"− x = 0
D. dy = (x +1)dx Đáp án : 3 x +
x = 1 (vì không chứa đạo hàm hoặc vi phân) dy
4. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân : 2 x
= e và y(0) = 0 dx 1 x 1 x 1 A. 2 y = e − B. 2 y = e − 2 2 2 x 1 C. 2 = 2 x y e − 2 D. 2 y = e − 2 dy x x 1 Đáp số : + Ta có : 2 2 2x
= e  dy = e dx  y = e + C dx 2 1 1 + Ta có : y (0) 2.0
= 0  e + C = 0  C = − 2 2 1 x 1 + Vậy : 2 y = e − 2 2
5. Giá cận biên dp/dx của mức cung cấp x đvsp mỗi ngày tỉ lệ thuận k= 0.03 với
giá bán p. Mức cung bằng 0 với giá 10 đô la/đvsp [p(0) = 10]. Hỏi khi mức cung
là 50 đvsp thì giá là bao nhiêu? A. 44 đôla B. 11 đôla C. 44.8 đôla D. 43 đôla dp dp Đáp số : + Ta có : = . k p  =0,03 p dx dx + Ta có nghiệm là : 0,03 = . x p C e
+ Mà p(0) = 10 nên C = 10 . Suy ra : 0,03 = 10 x p e
+ Vậy giá bán khi mức cung x = 50 là : 0,03.50 p = 10e = 44,8 (đô la)
Dạng 10 : Tích phân xác định
1. Cho tốc độ thay đổi lợi nhuận sau t năm tính từ thời điểm hiện tại là P (t ) 2 ' = 3
− t +100t +3000 (đvtt/năm). Tính lợi nhuận thu được trong năm thứ 3. A. 3231 (đvtt) B. 9423 (đvtt) C. 6374 (đvtt) D. 6423 (đvtt) 3 3 Đáp số : 2
P(3) − P(2) = P '(t)dt = ( 3
− t +100t + 3000)dt = 3231 (đvtt) 2 2
2. Tốc độ thay đổi của dân số sau t năm là P ' (t ) (ngàn người/năm), tính từ
năm 2015. Tích phân nào dưới đây biểu diễn sự thay đổi của dân số từ năm 2016 đến năm 2020. 5 2020 A. P  = P '  (t )dt B. P  = P '  (t )dt 1 2016 5 5 C. P  = P '  (t )dt D. P  = P '  (t )dt 4 0
Đáp số : 2016 tương ứng với t = 1 và 2020 tương ứng với t = 5 .
3. Một công ty sản xuất xe đạp leo núi có hàm chi phí cận biên là : 1 C'( ) x = 500 −
x với C(x) tính bằng đô la và x là số lượng xe đạp sản xuất 3
mỗi tháng. Hãy tính toán mức tăng chi phí khi tăng mức sản xuất từ 300 xe mỗi
tháng tới mức 900 xe mỗi tháng. A. 180000 (đô la) B. 160000 (đô la) C. 170000 (đô la) D. 190000 (đô la) 900 Đáp số :
C(900) −C(300) =  C '( x) dx =180000 (đô la) 300 900
C(900) − C(300) = C '
 (x)dx =180 (nghìn đô la) 300
4. Doanh thu cận biên của một cửa hàng thể thao khi bán x đôi giày quần vợt
được cho bởi : R '(x) = 60 − 0,02x với R(x) là doanh thu tính bằng đôla. Hỏi
doanh thu thay đổi bao nhiêu khi số lượng bán ra tăng từ 400 đến 600 đôi giày. A. 32400 đôla. B. 22400 đôla C. 10000 đôla. D. 12000 đôla. 600 600
Đáp số : R(600) − R(400) = R '
 (x )dx =  (60 − 0,02x )dx =10000 (đô la) 400 400
Dạng 11 : Giá Trị Của Hàm 2 Biến
1. Một nhà máy nhỏ sản xuất hai mẫu ván lướt sóng: mẫu 1 và mẫu 2. Biết hàm
chi phí sản xuất mỗi tháng được cho là : C(x, y) = 6000 + 210x + 300y trong
đó x và y lần lượt là số lượng ván lướt mẫu 1 và 2 được sản xuất hàng tháng. Tính C(20,10) . A. 7200 B. 14100 C. 8100 D. 13200
Đáp số : C(20,10) = 6000 + 210.20 + 300.10
2. Một siêu thị bán hai nhãn hiệu cà phê: nhãn hiệu A với giá p đô la mỗi pound
và nhãn hiệu B với giá q đô la mỗi pound. Phương trình đường cầu hàng ngày
của nhãn hiệu A và B lần lượt là:
x = 200 - 5p + 4q , y = 300 + 2p - 4q
(cả hai đều tính bằng pound). Tìm hàm doanh thu hàng ngày R(p, q). A. 2 2
R( p,q) = 200 p − 5 p + 4 pq + 300q − 4q B. 2 2
R( p,q) = 200 p − 5 p + 6 pq + 300q − 4q C. 2 2
R( p,q) = 200 − 5 p + 4 pq + 300q − 4q D. 2 2
R( p,q) = 200 p − 5 p + 4 pq + 300 − 4q Đáp số : R( , p ) q = . x p + . y q
3. Lợi nhuận (triệu đồng) của công ty A khi sản xuất x sản phẩm loại 1 và y sản
phẩm loại 2 được cho bởi: 2 2
P(x, y) = 4xy − x − 3y + 50x + 40 y. Khi đó lợi
nhuận của công ty A khi sản xuất 3 sản phẩm loại 1 và 5 sản phẩm loại 2 là: A. 300 triệu đồng B. 320 triệu đồng C. 326 triệu đồng D. 350 triệu đồng Đáp số : 2 2
P(3,5) = 4.3.5 − 3 − 3.5 + 50.3 + 40.5
Dạng 12 : Đạo Hàm Riêng
1. Các đạo hàm riêng của hàm số 4
f (x, y) = (3x − 2 y) là: A. 3 3
f = 4(3x − 2y) , f = 8(3x − 2y) x y B. 3 3 f =12(3x − 2 )
y , f = 8(3x − 2 ) y x y C. 3 3 f =12(3x − 2 ) y , f = 8 − (3x − 2 ) y x y D. 3 3 f =12(3x − 2 )
y , f =12(3x − 2 ) y x y Đáp số : 4 1 − 3
f = 4.(3x − 2 y) .(3x − 2 y) ' = 12.(3x − 2 y) x 4 1 − 3
f = 4.(3x − 2 ) y .(3x − 2 )
y ' = −8(3x − 2 ) y y
2. Cho hàm số f ( x y) 2 2 ,
= 2xy − x + 4y . Tính f ( x, y . y )
A. f ( x, y ) = 4xy + 4 B. f
x y = xy − x + y ( ) 2 , 4 4 y
C. f ( x, y) = 4y + 4 D. f
x y = y − x + y ( ) 2 2 , 2 4 y
Đáp số : f ( x, y) = ( 2xy − x + 4y)' 2 2 = 4xy + 4 y ( y ) 3. Cho hàm số ( , ) x
f x y = e + xy . Tính " f ( 0, ) 1 . xy A. " f ( 0, ) 1 =1 B. " f = xy (0, ) 1 0 xy C. " f = e D. " f = + e xy ( 0, ) 1 1 xy (0,1) Đáp số : ' f ( , x y) = ( x e + xy)' x = e + y x ( ) x ' f ( , x ) y = ( x e + y = xy )' 1 ( y) " f ( 0, ) 1 =1 xy
Dạng 13 : Cực Trị (Sự Tối Ưu) 1. Với hàm số 2 biến 2 2
f (x, y) = x + 2xy + 2 y −10x −14 y , khi giải hệ  f ( , x y) = 0 x 
thì nghiệm thu được là :
f (x, y ) = 0 y  x = −3 x = 3 A.  B.  y  = −2 y  = 2 x = 3 x = −3 C.  D.  y = −2  y =  2  f ( , x y) = 0  + − =  = x 2x 2 y 10 0 x 3 Đáp số : Giải hệ     
f (x, y ) = 0 2x   + 4y − 14= 0 y  = 2 y
2. Khi tìm cực trị của hàm f (x, y) = 2xy thoả điều kiện x + y = 6 ta thu được điểm cực trị là : A. M (3;3) B. M (3; 3 − ) C. M ( 3 − ;3) D. M ( 3 − ; 3 − )
2xy − (x + y −6) ' = 0 ( x)  2  y −  = 0 x = 3    Đ '
áp số : Giải hệ 2xy − ( x + y − 6)  = 0  2
 x −  = 0  y = 3 ( y )    x + =  + y = 6  = 6 x y 6 