Công thức tính thể tích hình nón (Kèm video hướng dẫn)
Hình nón là một trong những hình học không gian ba chiều. Nó có hình dáng tương tự như hình kim tự tháp
Ai Cập. Liên quan đến hình nón thì chúng ta có một số công thức liên quan đến nó như diện tích xung
quanh hình nón, diện tích toàn phần hình nón, diện tích bề mặt, thể tích hình nón. Những công thức này khá
quan trọng trong tính toán và đây là những kiến thức quan trọng nhất trong Toán học để học sinh THPT thi tốt nghiệp. 1. Hình nón là gì?
Hình nón là hình học không gian ba chiều đặc biệt có bề mặt và bề cong hướng về phía trên. Đầu nhọn của
hình nón được gọi là đỉnh, trong khi bề mặt phẳng được gọi là đáy. Ta có thể thấy trong thực tế các đồ vật
có hình nón như là: chiếc nón lá, chiếc mũ sinh nhật, cây kem,....
Trong hình học không gian, khi xoay một tam giác vuông quanh trục của nó ( một cạnh góc vuông) một vòng ta được hình trụ nón.
- Phân loại hình nón: Hình nón có thể có 3 loại, tùy thuộc vào vị trí của đỉnh nằm thẳng hay nằm xiên
+ Hình nón tròn: Một hình nón tròn là một hình có đỉnh vuông góc với mặt đáy, có nghĩa đường vuông góc
rơi chính xác vào tâm của mặt đáy tròn của hình nón. Hình trên chú thích h là chiều cao và r là bán kính hình.
+ Hình nón xiên: Nếu vị trí của đỉnh là bất kỳ vị trí nào và không vuông góc với mặt đáy đó được gọi là một hình nón xiên.
+ Hình nón cụt: Là hình nón có hai hình tròn song song với nhau
- Thuộc tính của hình nón:
+ Có một đỉnh hình tam giác
+ Một mặt tròn gọi là đáy hình nón
+ Đặc biệt nó không có bất kì cạnh nào
+ Chiều cao(h) là khoảng cách từ tâm của vòng tròn đến đỉnh của hình nón. Hình tạo bởi đường cao và bán
kính trong hình nón là một tam giác vuông.
2. Một số công thức cần lưu ý trong hình nón
2.1 Diện tích xung quanh hình nón
Diện tích xung quanh hình nón được xác định bằng tích của hằng số Pi( 3,1414...) nhân với bán kính đáy
hình nón(r) nhân với đường sinh hình nón (l). Đường sinh hình nón có thể là một đường thẳng hoặc một
đường cong phẳng. Với hình nón thì đường sinh của hình nón có chiều dài từ mép của vòng tròn đến đỉnh của hình nón. Sxq= Pi r l Trong đó:
Sxq: là kí hiệu diện tích xung quanh hình nón
Pi: là hằng số và có giá trị xấp xỉ 3,14
r: bán kính mặt đáy hình nón và bằng đường kính chia 2 (d/2)
l: đường sinh của hình nón
2.2. Diện tích đáy hình nón
Diện tích đáy hình nón bằng diện tích mặt đáy và là hình tròn nên được tính theo công thức Sđ= pi.r2
2.3. Diện tích toàn phần hình nón
Diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích xung quanh hình nón cộng diện tích mặt đáy hình nón.
Công thức tính diện tích toàn phần hình nón:
Stp= Sxq+ Sđ=pi.r.l+pi.r2
2.4. Thể tích hình nón
Thể tích hình nón bằng 1/3 diện tích đáy nhân với chiều cao của hình nón( khoảng cách từ tâm đến đỉnh)
Công thức tính diện tích hình nón
Vhình nón= 1/3.Sđáy.chiều cao= 1/3.pi.r2.h Trong đó: V: thể tích hình nón
pi: hằng số với giá trị xấp xỉ 3,14 r: bán kính mặt đáy
h: chiều cao hình nón( khoảng cách từ tâm đáy đến đỉnh) Đơn vị đo: m3
3. Các bước tính thể tích hình nón hoàn chỉnh
- Bước 1: Tìm bán kính
+ Nếu đề bài có sẵn số liệu ta chỉ việc thay số liệu vào công thức
+ Nếu đề bài chưa cho sẵn đại lượng này mà:
(i) Cho đường kính d .Yêu cầu tìm bằng kính: r=d/2
(ii) Cho chu vi hình tròn đáy: Lấy chu vi/2pi=r
(iii) Đề bài không cho bất kì dữ liệu nào: Lấy thước đo chính xác khoảng cách lớn nhất của hai điểm trên
đường tròn đáy- đường kính và chia số đo đó cho 2 thì ra bán kính r
- Bước 2: Tìm diện tích đáy hình nón
Khi đã biết bán kính r ta sẽ áp dụng công thức tính diện tích hình tròn: S=pi.r2. Vậy là tính được diện tích đáy hình nón
- Bướ 3: Tính chiều cao
+ Nếu đề bài đã có sẵn số liệu, ta chỉ cần thay vào công thức
+ Nếu đề bài chưa có ta có thể đo bằng thước
+ Nếu đề bài cho số liệu về đường sinh l, bán kính r, có thể tính chiều cao bằng cách áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông
- Bước 4: Sau khi đã biết được tất cả số liệu, bạn sử dụng công thức tính thể tích hình nón thay các số liệu
vào công thức để ra kêt quả chính xác nhất.
4. Cách xác định đường sinh, đường cao, bán kính đáy của hình nón
- Đường cao là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đỉnh của hình chóp
- Đường sinh là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên đường tròn dáy đến đỉnh của hình chóp
Do hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh xung quanh trục một cạnh góc vuông cuả
nó một vòng, nên có thể coi đường cao và bán kính đáy là 2 cạnh góc vuông của tam giác, còn đường sinh là cạnh huyền.
Do đó, khi biết đường cao và bán hình đáy, ta có thể tính được đường sinh bằng công thức sau: l2=r2+h2
Biết bán kính và đường sinh , ta tính đường cao theo công thức: h2=l2-r2
Biết được đường cao và đường sinh, ta tính bán kính đáy theo công thức: r2=l2-h2
5. Bài tập thực hành
Ví dụ 1: Cho r=3cm, h=4cm. Tính thể tích hình nón?( Lưu ý: phải vẽ hình minh họa)
Áp dụng công thức tính thể tích hình nón:
V nón= 1/3.Sđáy.h=1/3.pi.r2.h=1/3.pi.32.4=37,7m3
Ví dụ 2: Cho r=1,8m; l=3,2m. Tính thể tích hình nón( lưu ý: phải vẽ hình minh họa)
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông để tính chiều cao h ADCT ta có: h2+r2=l2
h=m. Sau khi tìm ra h rồi ta sẽ thay số liệu vào công thức tính thể tích hình nón ta sẽ có:
V hình nón=1/3.Sđáy.h=1/3.pi.r2.h=1/3.pi.(1.8)2.=?(m3)
Ví dụ 3: Cho biết diện tích toàn phần của hình nón là 375m2. Nếu đường sinh của nó gấp bốn lần bán kính,
thì đường kính cơ sở của hình nón là bao nhiêu? Sử dụng pi=3 Ta có: l=4r và pi=3 3.r.4.r+3.r2=375 12r2+3r2=375 15r2=375 r=5
Vậy bán kính mặt đáy hình nón là 5
Vậy đường kính hình nón mặt đáy là: 2r=2.5=10cm