37 trang 163 lượt tải

Ôn tập kiểm tra cuối năm | Giáo án Toán 11 Cánh diều

325

Ôn tập kiểm tra cuối năm | Giáo án Toán 11 Cánh diều được biên soạn rất cẩn thận, trình bày khoa học giúp giáo viên có một cách dạy mạch lạc, rõ ràng, dễ hiểu từ đó giúp học sinh tiếp thu kiến thức tốt nhất. Thầy cô và các bạn xem, tải về ở bên dưới.

Chủ đề: Giáo án Toán 11 129 tài liệu

Môn: Toán 11 3.5 K tài liệu

Sách: Cánh diều

Tác giả:

Profile

Thùy Dương (H)

1 năm trước
Danh sách Quiz
/37
Trường ………………………..
Tổ ………………….
Họ và tên giáo viên: ……………………
Tiết
KẾ HOẠCH BÀI DẠY
TÊN BÀI DẠY: ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI NĂM HỌC
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán 11
Thời gian thực hiện: 01 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Ôn tập lại các kiến thức: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu nghép nhóm, Biến cố
hợp, giao, độc lập, các quy tắc xác suất. Các phép tính luỹ thừ, logarit, Hàm số Mũ, logarit. Phương
trình BPT Mũ, Logarit. Đạo hàm: định nghĩa, ý nghĩa, các quy tắc. Quan hệ vuông góc trong không
gian, phép chiếu vuông góc.
- Đối với học sinh khá giỏi: Vận dụng các kiến thức: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu
số liệu nghép nhóm, Biến cố hợp, giao, độc lập, các quy tắc xác suất. Các phép tính luỹ thừ, logarit,
Hàm số Mũ, logarit. Phương trình BPT Mũ, Logarit. Đạo hàm: định nghĩa, ý nghĩa, các quy tắc. Quan
hệ vuông góc trong không gian, phép chiếu vuông góc vào một số bài toán thực tế đơn giản.
2. Năng lực
- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ, thái độ học tập; tự đánh giá và điều
chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra những sai sót và khắc phục.
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức, trao đổi học hỏi bạn bè thông qua việc thực hiện nhiệm
vụ trong các hoạt động cặp đôi, nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong
giao tiếp.
- Năng lực hợp tác: Học sinh xác định được nhiệm vụ của tổ/nhóm, trách nhiệm của bản thân đề
xuất được những ý kiến đóng góp, góp phần hoàn thành nhiệm vụ học tập.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh tiếp cận hệ thống câu hỏi và bài tập, những tình huống có
vấn đề. Phân tích được các vấn đề để đưa ra những giải pháp xử lí tình huống, những vấn đề liên
quan đến bộ môn và trong thực tế.
- Năng lực sáng tạo: Học sinh biết vận dụng tính sáng tạo để giải quyết tình huống của từng bài
toán cụ thể.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.
3. Phẩm chất
- Trách nhiệm: Biết chịu trách nhiệm với thành quả của cá nhân, tập thể; không đổ lỗi cho người
khác. Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm
hợp tác xây dựng cao.
- Trung thực: Học sinh biết tôn trọng kết quả của bản thân, tôn trọng lẽ phải; thật thà, ngay thẳng
trong học tập và làm việc, lên án sự gian lận.
- Chăm chỉ: Chăm làm, ham học, có tinh thần tự học, chăm chỉ tích cực xây dựng bài, nhiệt tình
tham gia các công việc của tập thể, tinh thần vượt khó trong công việc.
- Nhân ái: Yêu con người, yêu cái đẹp của toán học, tôn trọng sự khác biệt, ý kiến trái chiều; sẵn
sàng học hỏi, hòa nhập và giúp đỡ mọi người
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Về phía giáo viên:
- Thước thẳng có chia khoảng, compa, bảng phụ ghi bài tập, phiếu học tập, máy chiếu, sách giáo
khoa, bài soạn...
2. Về phía học sinh:
- Dụng cụ học tập, sách giáo khoa, chuẩn bị bài trước khi đến lớp...
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC:
1. HOẠT ĐỘNG 1: KHỞI ĐỘNG
a) Mục tiêu:
- HS chuẩn bị tâm thế tốt cho tiết ôn tập cuối học kỳ 2
- Nắm bắt việc chuẩn bị và làm đề cương của học sinh.
b) Nội dung:
Câu hỏi 1: Trong các bài học của kỳ 2 lớp 11 em thích học bài nào nhất vì sao?
Câu hỏi 2: Trình bày khó khăn của em khi làm đề cương, e đã làm gic để giải quyết khó khăn đó
c) Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
Giáo viên cho học sinh các tổ kiểm tra việc làm đề cương của nhau sau
đó báo cáo kết quả.
Thực hiện
- HS di chuyển để kiểm tra, thống nhất đáp án một số câu hỏi
- HS suy nghĩa trả lời câu hỏi
- Mong đợi: HS chỉ ra được một nhóm câu hỏi cần giúp đỡ trong tiết
học này
Báo cáo thảo luận
HS đưa ra những nhận xét về việc làm đề cương của các bạn, nêu được
một số câu hỏi cần đưa ra thảo luận, giải đáp trong tiết học
Đánh giá, nhận xét,
tổng hợp
- Giáo viên đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh,
ghi nhận và tổng hợp kết quả.
- Hướng học sinh vào các câu hỏi trọng tâm của đề cương.
2. HOẠT ĐỘNG 2: LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu:
§ Hệ thống kiến thức, ôn tập các bài tập chuẩn bị kiểm tra.
b) Nội dung: Chữa đề cương cho học sinh
c) Sản phẩm: HS so sánh kết quả của việc làm đề cương tại nhà với kết quả của cô giáo và các bạn
chữa. sửa chữa bài tập để được Đề cương chữa hoàn thiện
SỞ GD & ĐT LÀO CAI
TRƯỜNG THPT ….
ĐỀ CƯƠNG KIỂM TRA HỌC KỲ 2
NĂM HỌC 2022-2023
Môn: Toán. Khối 11
I, PHẦN TRẮC NGHIỆM
Chương 5: Một số yếu tố thống kê và xác suất
Câu 1: [MĐ1] Tên gọi của bảng sau đây là:
A. Bảng tần số ghép nhóm.
B. Bảng tần số nhóm.
C. Bảng tần số, tần suất ghép nhóm.
D. Bảng ghép nhóm.
Lời giải
Chọn A
Đây là bảng phân bố tần số ghép lớp.
Câu 2: [MĐ1] Trong bảng tần số ghép nhóm,
là số nhóm,
là khoảng biến thiên,
là độ dài
nhóm. Khi đó điều kiện của
là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
k
R
L
L
Chọn B
Theo lí thuyết, ta có: .
Câu 3: [MĐ1] Số lượng khách hàng nữ mua bảo hiểm nhân thọ trong một ngày được thống kê trong
bảng tần số ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện của nhóm
là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có giá trị đại diện nhóm
là:
.
Câu 4: [MĐ1] Cân nặng của 28 học sinh lớp 11 được thống kê trong bảng tần số ghép nhóm sau:
Độ dài của nhóm
là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có độ dài của nhóm
là:
.
Câu 5: [MĐ2] Doanh thu bán hàng trong
ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được
ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng)
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có bảng sau:
Khi đó .
Câu 6: [MĐ2] Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá
nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
[
)
30; 40
40
30
35
9
[
)
30; 40
30 40
35
2
+
=
4, 5
47
4
28
49 45 4-=
20
[
)
7;9
[
)
9;11
[
)
11;13
[
)
13;15
2.6 7.8 7.10 3.12 1.14
9, 4
20
x
++ + +
==
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần bằng giá trị nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm .
Do đó , , , , .
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: .
Câu 7: [MĐ1] Một trường trung học phổ thông cần may đồng phục cho 200 học sinh khối 11. Cỡ áo
của học sinh được ghi trong bảng sau:
Cỡ áo
[36;38)
[38;40)
[40;42)
Số học sinh
100
73
27
Trung vị của mẫu số liệu:
A. 34. B. 36. C. 38. D. 40.
Lời giải
Chọn C
Ta có: nên trung vị của mẫu số liệu là
. Do nên trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
(theo chú ý SGK trang 139)
Câu 8: [MĐ1] Điều tra tuổi kết hôn của 100 người Việt Nam trong năm 2022 được cho trong bảng
sau:
Tuổi
[10;20)
[20;30)
[30;40)
[40;50)
[50;60)
Số người
10
30
35
15
10
Tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba là:
A. Q1 = 20; Q3 = 45. B. Q1 = 20; Q3 = 40.
C. Q1 = 25; Q3 = 40. D. Q1 = 25; Q3 = 45.
Lời giải
Chọn C
Số người được điều tra là n=100 người. Ta có: , ,
, ,
Ta có: tứ phân vị thứ nhất Q
1
là
tứ phân vị thứ ba Q
3
là
Tính Q
1
: ta có:
Suy ra: 25
Tính Q
3
: ta có:
19, 4
18, 4
20,4
21, 4
[
)
18; 22
18
m
u =
1
18
m
n
-
=
120
m
n =
1
45
m
n
+
=
1
22 18 4
mm
uu
+
-=-=
0
120 78 758
18 .4 19, 4
(120 78) (120 45) 39
M
-
=+ = »
-+ -
1100 101173 174 200
[36 ;38 ); [38;40); [40 ;42),.., ,.., ,..,ÎÎ Îxx x x x x
100 101
1
()
2
+xx
100 101
[36 ;38 ); [38; 40)ÎÎxx
38=
e
M
110
[10; 20),.., Îxx
11 40
[20;30),.., Îxx
41 75
[30 ;40),.., Îxx
76 90
[40;50),.., Îxx
91 100
[50 ;60),.., Îxx
25
[20;30)Îx
76
[40;50)Îx
1
100 ; 20; 10 ; 30 ; 30
+
=====
mmm
nu Cnu
11
100
10
44
.( ) 20 .(30 20)
30
+
--
=+ - =+ - =
mmm
m
n
C
Qu u u
n
1
100; 40; 10 30 35 75; 15; 50
+
===++===
jjj
nuC nu
Suy ra:
Câu 9: [MĐ2] Thời gian (phút) truy cập internet mỗi buổi tối của 56 học sinh được cho trong bảng
sau:
Thời gian
(phút)
[9,5;12,5)
[12,5;15,5)
[15,5;18,5)
[18,5;21,5)
[21,5;24,5)
Số học sinh
3
12
15
24
2
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
A. 17,0. B. 18,0. C. 17,1. D. 18,1.
Lời giải
Chọn D
Ta có: mẫu số liệu nên trung vị của mẫu số liệu là .
Ta xác định được:
Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Câu 10: [MĐ2] Cho bảng số liệu:
Giá trị
[1;1,7)
[1,7;2,4)
[2,4;3,1)
[3,1;3,8)
[3,8;4,5)
Tần số
4
1
16
20
2
Trung vị của mẫu số liệu thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. (2;3). B. (3;4). C. (4;5). D. (1;2).
Lời giải
Chọn B
Ta có: mẫu số liệu nên trung vị của mẫu số liệu là .
Ta xác định được:
Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Câu 11: [MĐ1] Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu .
B. Nếu thì .
C. Nếu thì .
D. Hai biến cố A và gọi là xung khắc.
Lời giải
Chọn B
Câu 12: [MĐ1] Cho , là hai biến độc lập với nhau, biết ; . Khi đó
bằng
31
33.100
75
44
.( ) 40 .(50 40) 40
15
+
--
=+ - = + - =
jjj
j
n
C
Qu u u
n
56=n
28 29
)
1
[15 8( ,)
2
5;1 ,5+Îxx
1
56 ; 15 ,5 ; 3 12 15; 15 ; 18, 5
+
== =+== =
mmm
nu C nu
1
56
15
22
.( ) 15,5 .(15,5 18 ,5) 18,1
15
+
--
=+ - = + - =
em m m
m
n
C
Mu u u
n
43=n
22
[3,1;3,8)Îx
1
43; 3,1; 4 1 16 21; 20 ; 3,8
+
===++== =
mmm
nu C n u
1
43
21
22
.( ) 3,1 .(3,8 3,1) 3,1175
20
+
--
=+ - = + - =
em m m
m
n
C
Mu u u
n
AB =Æ
AB =Æ
AB=
AB=
AB =Æ
A
A
B
( )
0, 4PA=
( )
0, 3PB=
( )
PAB
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Câu 13: [MĐ1] Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng là . Xác suất
người thứ hai bắn trúng là . Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là biến cố người thứ i bắn trúng
Vì là độc lập nên xác suất để hai người bắn trúng là:
.
Câu 14: [MĐ2] Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động
cơ I và II chạy tốt lần lượt là và . Tính xác suất để ít nhất một động cơ chạy tốt?
A. . B. . C. D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là biến cố: “Động cơ thứ i chạy tốt”.
.
Gọi là biến cố: “ít nhất một động cơ chạy tốt”.
Suy ra là biến cố: “hai động cơ đều chạy không tốt”.
.
Vậy .
Câu 15: [MĐ2] Có ba vận động viên cùng thi chạy vượt rào. Xác suất để ba vận động viên này vượt
qua được rào lần lượt là . Tìm xác suất để cả ba vận động viên vượt qua được rào.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi biến cố : “Cả ba vận động viên vượt qua được rào”.
: “Vận động viên thứ vượt qua được rào”; .
Vậy .
Câu 16: [MĐ2] Một người có một chùm chìa khóa gồm chiếc, bề ngoài của chúng giống hệt nhau
và chỉ có đúng hai chiếc mở được cửa nhà. Người đó thử ngẫu nhiên từng chìa. Xác suất để mở được
cửa trong lần mở thứ ba là?
A. B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Để mở được cửa trong lần mở thứ 3 thì lần thứ nhất và lần thứ hai không mở được và lần thứ 3 mở đượ
0,1
0,12
0, 58
0, 7
( ) ( ) ( )
.0,4.0,30,12PB BPA AP===
80%
70%
56%
32,6%
60%
50%
i
A
( )
1, 2i =
12
,AA
( ) ( ) ( )
12 1 2
80% .70% 56%PAA PA PA===
08,
07,
0, 56
0,06
0, 94
0,384
i
A
( ) ( )
08 07,; ,
III
PA PAfi= =
B
B
III
BAA=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
108107 006.,.,,
III
PB PA PAfi= =- -=
( )
( )
11006094,,PB PB=- =- =
0, 9 ; 0,8; 0, 7
0, 398P =
0, 994P =
0, 504P =
0, 72P =
A
i
A
i
{1; 2 ; 3}i Î
( ) ( ) ( ) ( )
123
0, 9.0, 8.0, 7 0, 504PA PA PA PA===
9
14
81
7
81
1
6
2
7
Xác suất để lần thứ nhất không mở được là .
Xác suất lần thứ 2 hai không mở được là .
Xác suất lần thứ 3 mở được là .
Vì ba lần mở cửa độc lập với nhau nên xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ 3 là .
Câu 17: [MĐ1] Một lớp học 40 học sinh gồm có 15 học sinh nam giỏi Toán và 8 học sinh nữ giỏi
Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để chọn được một nam sinh giỏi Toán hoặc một nữ
sinh giỏi Văn.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là biến cố: “chọn một nam sinh giỏi Toán”; là biến cố: “chọn một nữ sinh giỏi Văn”.
Khi đó là biến cố: “chọn được một nam sinh giỏi Toán hoặc một nữ sinh giỏi Văn”.
Ta thấy và là 2 biến cố xung khắc.
Số phần tử của không gian mẫu:
Số kết quả thuận lợi của biến cố lần lượt là: .
Suy ra: và .
Vậy xác suất cần tính là: .
Câu 18: [MĐ1] Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng của xạ thủ
thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là . Tình xác suất để cả ba xạ thủ cùng bắn trúng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là biến cố “Xạ thủ thứ bắn trúng”, với .
Gọi A là biến cố “Cả ba xạ thủ cùng bắn trúng”.
Ta có:
Vậy .
Câu 19: [MĐ1] Trong một kì thi có thí sinh đỗ. Hai bạn , cùng dự kì thi đó. Xác suất để
chỉ có một bạn thi đỗ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là: .
7
9
63
84
=
2
7
732 1
..
947 6
=
7
40
1
5
3
8
23
40
A
B
ABÈ
A
B
( )
40.n W=
,AB
( ) ( )
15 , 8nA nB==
( )
( )
( )
15 3
40 8
nA
PA
n
===
W
( )
( )
( )
81
40 5
nB
PB
n
===
W
( ) ( ) ( )
23
40
PA B PA PBÈ= + =
0, 6;0,7;0,8
0,42
0,336
0, 56
0,48
i
A
i
1; 3i =
123
AAAA=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
123 1 2 3
..PA PAAA PA PA PA==
42
0, 6.0, 7.0,8
125
==
60%
A
B
0,24
0, 36
0,16
0,48
( ) ( )
0, 6PA PB==
( ) ( )
0, 4PA PBÞ==
( )
( ) ( )
( )
. . 0,48PPAPB PAPB=+=
Câu 20: [MĐ2] Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác sao cho lần đầu xuất hiện
mặt 2 chấm.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Không gian mẫu của phép thử là
.
Biến cố lần đầu xuất hiện mặt 2 chấm .
Xác suất là .
Câu 21: [MĐ2] Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là .
Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục
tiêu là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi , , lần lượt là biến cố bắn trúng mục tiêu của viên đạn thứ nhất, viên đạn thứ hai, một viên
đạn trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu.
Khi đó .
Xác suất cần tìm .
Chương 6: Hàm số Mũ và hàm số Lograit
Câu 1: [MĐ 1] Với là số thực dương tùy ý, bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Với ta có
Câu 2: [MĐ 1] Với , , là các số thực bất kì. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Câu 3: [MĐ 1] Cho và . Tìm đẳng thức sai dưới đây.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Theo tính chất của phép tính lũy thừa thì đẳng thức Sai.
Câu 4: [MĐ 2] Rút gọn biểu thức với .
1
6
1
2
1
12
1
36
( ) { }
{ }
;,i,j1;2;3;4;5;6ijW= Î
( )
36nÞW=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( )
2;1 , 2; 2 , 2; 3 , 2; 4 , 2; 5 , 2; 6 , 6AnA==
( )
( )
( )
61
36 6
nA
pA
n
===
W
0, 7
0,45
0,42
0,48
0,24
1
A
2
A
X
12 12
XAAAA=+
( )
( ) ( )
12 12
PX PAA PAA=+
0, 7.0.3 0, 3.0, 7 0, 42=+ =
a
3
a
6
a
3
2
a
2
3
a
1
6
a
0a >
3
3
2
.aa=
0a >
0b >
,
ab
a
a
a
a
ab
b
-
=
.aa a
ab ab
+
=
aa
bb
ab
a
b
-
æö
=
ç÷
èø
( )
.ab ab
a
aa
=
,0xy>
,
ab
Î!
( )
.xy x y
a
aa
=
( )
xy xy
a
aa
+=+
( )
xx
b
aab
=
.xx x
ab ab
+
=
( )
xy xy
a
aa
+=+
=
5
3
3
:Qb b
> 0b
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
.
Câu 5: [MĐ 2] Cho là số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Câu 6: [MĐ 2] Cho a là số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức dưới dạng lũy thừa với
số mũ hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
. Vậy số mũ của biểu thức rút gọn bằng .
Câu 7: [MĐ1] Giá trị của bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Câu 8: [MĐ1] Với mọi dương thỏa mãn , khẳng định nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 9: [MĐ1] Tính giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Câu 10: [MĐ1] Với là các số thực dương, khác . Mệnh đề nào dưới đây sai?
-
=
4
3
Qb
=
4
3
Qb
=
5
9
Qb
=
2
Qb
===
5514
3
3333
::Qb bb b b
a
4
3
Pa a=
7
3
a
5
6
a
11
6
a
10
3
a
444111
1
33326
2
.Pa a aa a a
+
====
3
2018
2018
.aa
2
1009
1
1009
3
1009
2
3
2018
33142
2018
2018 2018 2018 2018 1009
..===aaaaaa
2
1009
2
1
log
16
4.
1
.
4
1
.
8
4.-
4
22
1
log log 2 4.
16
-
==-
,ab
22
log log 3ab-=
2
64ab=
2
64ab =
8ab-=
3
a
b
=
22 2
log log 3 log 3
a
ab
b
-=Û =
32
2 64
a
ab
b
Û=Û=
( )
2
log
2log
a
b
a
Pa=+
( )
0, 1aa>¹
2
a
Pb=+
Pab=-
2Pab=+
Pab=+
( )
2
log
2log
a
b
a
Paab=+ =+
,ab
1
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Câu 11: [MĐ2] Cho các số thực dương thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Câu 12: [MĐ2] Biết , . Tính theo và
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
[MĐ1] Tìm tập xác định của hàm số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định khi và chỉ khi: hay . Tập xác định là .
Câu 13: [MĐ1] Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Hàm số là hàm số mũ có cơ số bằng nên nghịch biến trên tập xác định .
Câu 14: [MĐ1] Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Vì là hàm đồng biến.
Câu 15: [MĐ1] Hình bên là đồ thị của hàm số nào sau
( )
333
log log logab a b=+
2022
2022
log
log
log
a
b
b
a
=
1log log
aa
a
b
b
-=
3
1
log log
3
aa
bb=
3
log 3log
aa
bb=
,ab
log 2 log 1ab+=
2
1ab+=
2 10ab+=
2
10ab =
2
10ab+=
222
log 2 log 1 log log 1 log 1 10ab ab ab ab+=Û+=Û =Û=
2
log 3a =
3
log 5b =
2
log 5
a
b
2
log 5
a
b
=
2
log 5
b
ba
=
-
2
log 5 ab=
2
log 5
b
a
=
223
log 5 log 3.log 5 ab==
( )
2
log 1yx=-
( )
;1D =-¥
( )
1;D =+¥
{ }
1D = R\
D = R
10x ->
1x >
( )
1;D =+¥
!
2
x
y
p
æö
=
ç÷
èø
3
x
y
p
æö
=
ç÷
èø
( )
2
log 4 1yx
p
=+
1
3
logyx=
2
x
y
p
æö
=
ç÷
èø
( )
2
0;1
p
Î
!
2
x
y
-
=
2
logyx
p
=
5
3
x
y
æö
=
ç÷
ç÷
èø
1
log
e
yx=
2
1 log
2
yx
p
p
>Þ =
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm .
Thay điểm vào các hàm số ta loại được đáp án và đáp án .
Câu 16: [MĐ2] Tập xác định của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: . Tập xác định là .
Câu 17: [MĐ2] Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị của các hàm số được cho trong hình vẽ
bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1.
Dựa vào đồ thị ta thấy
" Hàm số nghịch biến, suy ra .
" Hai hàm số và đồng biến, suy ra .
2
logyx=
1
2
logyx=
22
x
y =-
( )
2;1A
A
,BC
D
( )
2
log 2yx=-
!
{ }
\2!
( )
2; +¥
[
)
2; +¥
( )
2
20 2xx->Û¹
{ }
\2D = !
bca<<
acb<<
cab<<
abc<<
01a<<
x
yc=
1, 1bc>>
Với .
Vậy .
Cách 2.
Cho , từ đồ thị ta thấy .
Câu 18: [MĐ2] Nếu và thì
A. , . B. , . C. , . D. ,
.
Lời giải
Chọn A
Do và Þ .
Do và Þ .
Câu 19: [MĐ2] Hình vẽ bên dưới biểu diễn đồ thị hai hàm số . Mệnh đề nào sau
đây là mệnh đề đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Nhìn vào hình dáng đồ thị ta suy ra được suy ra
[MĐ1] Nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Câu 20: [MĐ1] Phương trình có nghiệm là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
01
1
xx
xx
xcb
cb
xcb
ì
<<Þ <
ï
Þ<
í
>Þ <
ï
î
acb<<
1x =
acb<<
3
2
3
2
aa>
34
log log
45
bb
æö æö
<
ç÷ ç÷
èø èø
01a<<
1b >
01b<<
1a >
1a >
1b >
01a<<
01b<<
32
32
<
3
2
3
2
aa>
01a<<
34
45
<
34
log log
45
bb
æö æö
<
ç÷ ç÷
èø èø
1b >
, log
x
b
yay x==
x
y
1
O
1
2
log 0
a
b >
log 0
a
b <
log 0
a
b >
log 0
b
a >
1, 0 1ab><<
log log 1 log 0
aa a
bb<Þ <
24
525
x-
=
3x =
2x =
1x =
1x =-
24
525
x-
=
24 2
55
x-
Û=
242xÛ-=
3xÛ=
( )
3
log 5 1 2x -=
2x =
8
5
x =
9
5
x =
11
5
x =
Ta có:
Câu 21: [MĐ1] Tập nghiệm của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Câu 22: [MĐ1] Tập nghiệm
của phương trình
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Vậy tập nghiệm bất phương trình là .
Câu 23: [MĐ2] Tổng các nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Tổng các nghiệm của phương trình là .
Câu 24: [MĐ2] Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Điều kiện .
So với điều kiện , vậy bpt có nghiệm . Mà nguyên dương, do đó .
Vậy có giá trị nguyên dương.
Câu 25: [MĐ2] Phương trình có bao nhiêu nghiệm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:
( )
3
2
510
log 5 1 2 5 10 2
513
x
xxx
x
->
ì
-=Û Û = Û=
í
-=
î
1
4
2
x
æö
<
ç÷
èø
( )
2;-+¥
( )
;2-¥
( )
;2-¥ -
( )
2; +¥
1
2
1
4log4 2
2
x
xx
æö
<Û> Û>-
ç÷
èø
S
( )
2
log 1 3x -<
( )
1; 9S =
( )
;9S =-¥
( )
;10S =-¥
( )
1;10S =
( )
2
3
10
1
log 1 3
9
12
x
x
x
x
x
->
ì
>
ì
ï
-<Û Û
íí
<
-<
ï
î
î
( )
2
log 1 3x -<
( )
1; 9S =
2
25
327
xx--
=
0
8-
2-
2
22
25 25 3 2 2
2
32733 253280
4
xx xx
x
xx xx
x
-- --
=-
é
=Û =Û--=Û--=Û
ê
=
ë
2
( )
11
33
log 3 log 4x -³
5
7
3
4
30 3xx-> Û >
( )
11
33
log 3 log 4 3 4 7xxx- £³-Û£Û
3x >
37x< £
x
{ }
4; 5; 6; 7x Î
4
( )
22
log log 3 2xx+-=
1
2
3
0
0
3.
30
x
x
x
>
ì
Þ>
í
->
î
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Câu 26: [MĐ2] Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
.
Số nghiệm nguyên của bất phương trình ta thấy các giá trị thỏa là
Chương 7: Đạo hàm
Câu 1: [MĐ1] Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số
tại ?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Câu 2: [MĐ1] Cho hàm số liên tục tại . Đạo hàm của tại là
A. .
B. .
C. (nếu tồn tại giới hạn).
D. (nếu tồn tại giới hạn).
Lời giải
Chọn C
Câu 3: [MĐ2] Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung
độ tiếp điểm bằng 1
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có: . Gọi là tiếp điểm
Ta có ,
Phương trình tiếp tuyến: .
Câu 4: [MĐ2] Cho hàm số (C). Tiếp tuyến song song với đường thẳng là
đường thẳng
A. B. C. D.
( ) ( )
( )
( )
2
22 2
1
log log 3 2 log 3 2 3 4 0
4
x loai
xx xx xx
x tm
=-
é
+-=Û -=Û--=
ê
éù
ëû
Û
ê
=
ë
4.x =
2
132
42
xxx--+
³
4
1
0
3
22
1322232
42 2 2
xxx x xx--+ - -+
³Û³
2
5401 4xx xÛ-+£Û££
{ }
1; 2;3; 4
()=yfx
0
x
0
0
()()
lim
D®
+D -
D
x
fx x fx
x
0
0
0
() ( )
lim
®
-
-
x
fx fx
xx
0
0
0
() ( )
lim
®
-
-
xx
fx fx
xx
0
0
()()
lim
D®
+D -
D
x
fx x fx
x
( )
fx
0
x
( )
fx
0
x
00
()()+-fx h fx
h
00
0
()()
lim
®
+-
h
fx h fx
h
00
0
()()
lim
®
+- -
h
fx h fx h
h
42
1=++yx x
2=y
1=y
3=y
4=y
3
'4 2=+yxx
( )
00
;Mx y
42
000 0
100=Û + = Û =yxx x
0
'( ) 0=yx
1=y
42
1=++yx x
61=-yx
62=-yx
67=-yx
68=-yx
63=-yx
Lời giải
Chọn D
Ta có: . Gọi là tiếp điểm
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng nên ta có:
Phương trình tiếp tuyến: .
Câu 5: [MĐ1] Số gia của hàm số ứng với số gia của đối số x tại là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Với số gia của đối số x tại ta có
Câu 6: [MĐ1] Cho hàm số , đạo hàm của hàm số ứng với số gia của đối số x tại x
0
là
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có
Nên
Vậy
Câu 7: [MĐ3] Tìm để hàm số có đạo hàm tại .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ;
Hàm có đạo hàm tại thì hàm liên tục tại (1)
3
'4 2=+yxx
( )
00
;Mx y
61=-yx
3
00000
'( ) 6 4 2 6 1 3=Û + =Û =Þ =yx x x x y
63=-yx
( )
2
2
=
x
fx
Dx
0
1=-x
( )
2
1
.
2
D-Dxx
( )
2
1
.
2
éù
D-D
ëû
xx
( )
2
1
.
2
éù
D+D
ëû
xx
( )
2
1
.
2
D+Dxx
Dx
0
1=-x
( ) ( )
( )
22
2
112
111
22 2 22
-+D +D - D
D= - = - = D -D
xxx
yxx
( )
2
=-fx x x
Dx
( )
( )
2
0
lim 2 .
D®
D+D-D
x
xxxx
( )
0
lim 2 1 .
D®
D+ -
x
xx
( )
0
lim 2 1 .
D®
D+ +
x
xx
( )
( )
2
0
lim 2 .
D®
D+D+D
x
xxxx
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
0000
2
22
00 0 00
2
0
2
2
D= +D - +D - -
=+ D+D --D-+
=D + D-D
yx x x x xx
xxxxxxxx
xxxx
( )
( )
( )
2
0
00
00 0
2
lim lim lim 2 1
D® D® D®
D+D-D
D
¢
== =D+-
DD
xx x
xxxx
y
fx x x
xx
( ) ( )
0
lim 2 1
D®
¢
=D+-
x
fx x x
,ab
2
1
()
1
ì
+³
=
í
+<
î
xxkhix
fx
ax b khi x
1=x
23
1
=
ì
í
=-
î
a
b
3
11
=
ì
í
=-
î
a
b
33
31
=
ì
í
=-
î
a
b
3
1
=
ì
í
=-
î
a
b
2
11
lim ( ) lim( ) 2
++
®®
=+=
xx
fx x x
11
lim ( ) lim( )
--
®®
=+=+
xx
fx ax b a b
1=x
1=x
2Û+=ab
2
111
() (1) 2
lim lim lim( 2) 3
11
+++
®®®
-+-
==+=
--
xxx
fx f x x
x
xx
(Do )
Hàm có đạo hàm tại .
Câu 8: [MĐ2] Một chất điểm chuyển động theo phương trình , trong đó tính
bằng giây và tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm giây.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Ta có
Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm giây là
Câu 9: [MĐ1] Cho hàm số có đồ thị là và điểm . Phương trình
tiếp tuyến với tại là
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn D
Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại là
hoặc
Câu 10: [MĐ1] Đạo hàm của hàm số bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Câu 11: [MĐ1] Tính đạo hàm của hàm số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Câu 12: [MĐ1] Chọn khẳng định đúng.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Câu 13: [MĐ1] Cho hai hàm số và . Tìm hàm hợp của hàm số
?
111
() (1) 2
lim lim lim
111
---
®®®
-+--
===
---
xxx
fx f ax b ax a
a
xxx
2=-ba
1=x
3
1
=
ì
Û
í
=-
î
a
b
2
31() += +tt ts
0,>t
t
()st
8=t
21 m/s.
26 m/s.
10 m/s.
25 m/s.
() () 2 3
¢
==+vt s t t
8=t
(8) 21 m/s=v
()=yfx
()C
( )
00 0
) ();( ÎMxf Cx
()C
0
M
( )( )
00
.
¢
=-yfxxx
( )( )
000
.
¢
=--yfxxx y
( )
000
().
¢
+= +yy fx xx
( )( )
000
.
¢
-= -yy fx xx
( ) ( )
00
;Mx y CÎ
( )( )
000
yfxxx y
¢
=-+
( )( )
000
.yy fx xx
¢
-= -
2023
x
ye x=+-
1
1
x
xe
-
+
1
2023
x
xe
-
+
1
x
e +
x
ex+
1
x
ye
¢
=+
cos lnyxx=-
sinyxx
¢
=+
1
cosyx
x
¢
=- -
1
cosyx
x
¢
=+
1
sinyx
x
¢
=- -
1
sinyx
x
¢
=- -
( )
'' 'uv uvuv-= -
( )
.' ' 'uv u v uv=-
( )
( )
2
..
;0
uuvuv
vvx
v
v
¢
¢¢
-
æö
==¹
ç÷
èø
( )
( )
2
.'.
,0
uuvuv
vvx
v
v
¢
¢
-
æö
==¹
ç÷
èø
( )
sinyfu u==
( )
23ugx x==+
( )
( )
yfgx=
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Câu 14: [MĐ2] Tính ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Câu 15: [MĐ2] Đạo hàm của hàm số
bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Câu 16: [MĐ2] Cho chuyển động được xác định bởi phương trình , trong đó được
tính bằng giây (s) và được tính bằng mét (m). Vận tốc của chuyển động khi là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: suy ra .
Câu 17: [MĐ2] Cho hàm số . Giải bất phương trình
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
.
Câu 18: [MĐ3] Hàm số có đạo hàm là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
( )
( )
( )
sin 2 3yfgx x==+
( )
( )
( )
sin .sin 2 3yfgx u x== +
( )
( )
( )
23.sinyfgx x u==+
( )
( )
2sin 3yfgx x==+
( )
( )
( ) ( )
23sin23yfgx fx x==+=+
0
sin 2
lim
x
x
x
®
1
4
2
0
000 0
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2
lim lim lim 2. 2.lim 2.1 2
1
22
.2
2
xxx x
xx x x
xxx
x
®®® ®
æö
== = ==
ç÷
èø
21
1
x
y
x
+
=
-
( )
2
2
1
y
x
-
¢
=
-
( )
2
3
1
y
x
¢
=
-
2y
¢
=-
( )
2
3
1
y
x
-
¢
=
-
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2222
21.1 1 .21 21 121
22 2 1 3
1111
xxxx xx
xx
y
xxxx
¢¢
+--- + ---+
-++
¢
====
----
32
235St t t=++
t
S
2ts=
( )
36 m/s
( )
m/s41
( )
24 m/s
( )
20 m/s
( )
vt
( )
st=¢
2
665tt=++
( )
241m/sv =
( )
32
3
292025
2
yfx x x x==--++
( )
0fx
¢
>
3
1
2
x-££
11x-< <
3
1
2
xhayx<- >
3
1
2
x-<<
( )
2
639yfx x x
¢¢
==--+
( )
2
3
06390 1
2
fx x x x
¢
>Û- - +>Û-<<
2
sin .cosyxx=
( )
2
sin . 3co s 1yx x
¢
=-
( )
2
sin . 3co s 1yx x
¢
=+
( )
2
sin . cos 1yxx
¢
=+
( )
2
sin . co s 1yxx
¢
=-
Chọn A
Ta có:
Câu 19: [MĐ3] Cho hàm số , ta có
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có:
.
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian, phép chiếu vuông góc.
Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt , , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu và cùng vuông góc với thì .
B. Nếu và thì .
C. Nếu góc giữa và bằng góc giữa và thì .
D. Nếu và cùng nằm trong mp thì góc giữa và bằng góc giữa và .
Lời giải
Chọn B
Nếu và cùng vuông góc với thì và hoặc song song hoặc chéo nhau.
C sai do:
( )
( )
22
sin .co s sin . co syxxxx
¢
¢
¢
=+
( )
2
2sin .cos .cos sin . sinyxxxxx
¢
=+-
23
2sin .cos sinyxxx
¢
=-
( )
22
sin . 2 co s sinyx xx
¢
=-
( )
2
sin . 3co s 1yx x
¢
=-
( )
2
1
1
x
yfx
x
-
==
+
x"Î!
( )
2
2
'
1
x
fx
x
=
+
( )
( )
( )
3
2
21
'
1
x
fx
x
-
=
+
( )
( )
3
2
1
'
1
x
fx
x
+
=
+
( )
( )
( )
3
2
2. 1
'
1
x
fx
x
+
=
+
( )
( ) ( )
(
)
22
2
1. 1 1. 1
1
xx x x
yfx
x
¢
¢
-+-- +
¢¢
==
+
( )
2
2
2
1. 1 1 .
1
1
x
xx
x
y
x
æö
+- -
ç÷
+
èø
¢
=
+
( )
( )
22
22
1
1. 1
xxx
y
xx
+- -
¢
=
++
( )
3
2
1
1
x
y
x
+
¢
=
+
a
b
c
a
b
c
//ab
//ab
ca^
cb^
a
c
b
c
//ab
a
b
( )
// c
a
a
c
b
c
a
b
c
a
b
Giả sử hai đường thẳng và chéo nhau, ta dựng đường thẳng là đường vuông góc chung của và
. Khi đó góc giữa và bằng với góc giữa và và cùng bằng , nhưng hiển nhiên hai đường
thẳng và không song song.
D sai do: giả sử vuông góc với , song song với , khi đó góc giữa và bằng , còn góc
giữa và bằng .
Do đó B đúng.
Câu 2: Cho tứ diện có , ( , lần lượt là trung điểm của và
). Số đo góc giữa hai đường thẳng và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi , lần lượt là trung điểm , .
Ta có:
là hình thoi.
Gọi là giao điểm của và .
Ta có: .
Xét vuông tại , ta có: .
Mà: .
Câu 3: Cho tứ diện có vuông góc với . Mặt phẳng song song với và
lần lượt cắt tại . Tứ giác là hình gì?
A. Hình thang. B. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật. D. Tứ giác không phải là hình thang.
Lời giải
Chọn C
a
b
c
a
b
a
c
b
c
90°
a
b
a
c
b
c
a
c
90°
b
c
0°
ABCD
AB CD a==
3
2
IJ
a
=
I
J
BC
AD
AB
CD
30°
45°
60°
90°
O
J
M
I
N
B
D
C
A
M
N
AC
BC
11
222
// // //
a
MI NI AB CD
MINJ
MI AB CD NI
ì
== = =
ï
Þ
í
ï
î
O
MN
IJ
∑
∑
2MIN MIO=
MIOD
O
∑ ∑
∑
3
3
4
cos 30 60
2
2
a
IO
MIO MIO MIN
a
MI
== =Þ =°Þ =°
( ) ( )
∑
,, 60===°AB CD IM IN MIN
ABCD
AB
CD
( )
P
AB
CD
, , , BC DB AD AC
, , , MNPQ
MNPQ
Ta có:
Tương tự ta có: .
Do đó tứ giác là hình bình hành
lại có .
Vậy tứ giác là hình chữ nhật.
Câu 4: Cho tứ diện đều , là trung điểm của cạnh . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện có cạnh bằng .
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Gọi là trung điểm
Ta có: .
Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của :
, .
Xét , ta có: .
Từ đó: .
( )
( ) ( )
//
// .
MNPQ AB
MQ AB
MNPQ ABC MQ
ì
ï
Þ
í
Ç=
ï
î
// , // , // DMN CD NP AB QP C
MNPQ
( )
MN MQ do AB CD^^
MNPQ
ABCD
M
BC
( )
cos ,AB DM
6
3
2
2
2
3
2
1
E
H
M
B
D
C
A
ABCD
a
H
( )
BCD AH BCDDÞ^
E
AC
( ) ( )
// , ,ME AB AB DM ME MDÞÞ =
( ) ( )
( )
∑
cos , cos , cos , cosAB DM ME MD ME MD EMD== =
!!! " !!! !"
MEDD
2
a
ME =
3
2
a
ED MD==
MEDD
∑
22
2
222
33
22 2
3
cos
2. 6
3
2. .
22
aa a
ME MD ED
EMD
ME MD
aa
æöæö
æö
+-
ç÷ç÷
ç÷
èø
+-
èøèø
== =
( )
33
cos ,
66
AB DM ==
Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và các cạnh bên đều bằng
. Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là tâm của hình vuông là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông (1).
Ta có: nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông (2).
Từ (1) và (2) .
Từ giả thiết ta có: (do là đường trung bình của ). .
Xét , ta có: vuông tại .
.
Câu 6: Cho tứ diện có . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của , ,
, . Góc giữa bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết ta có: (tính chất đường trung bình trong tam giác)
Từ đó suy ra tứ giác là hình bình hành.
Mặt khác: là hình thoi (tính chất hai đường
chéo của hình thoi)
.
Câu 7: [MĐ1] Cho hình chóp có . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới
đây.
A. . B. . C. . D. .
.S ABCD
ABCD
a
a
M
N
AD
SD
( )
,MN SC
30°
45°
60°
90°
N
M
O
D
A
B
C
S
O
ABCD
OÞ
ABCD
SA SB SC SD S== = Þ
ABCD
( )
SO ABCDÞ^
// MN SA
MN
( ) ( )
,,MN SC SA SCÞ=
( )
22222
2
22
2
22
SA SC a a a
SAC
AC a a
ì
+=+=
ï
ÞD
í
==
ï
î
S
SA SCÞ^
( ) ( )
,,90SA SC MN SCÞ= =°
ABCD
AB CD=
I
J
E
F
AC
BC
BD
AD
( )
,IE JF
30°
45°
60°
90°
J
I
F
E
B
D
C
A
// //
// //
IJ E F AB
JE IF CD
ì
í
î
IJEF
11
22
AB CD IJ AB JE CD ABCD=Þ= == Þ
IE JFÞ^
( )
,90IE JFÞ=°
.S ABCD
( )
SA ABCD^
SA SB^
SA CD^
SA BD^
SA BC^
Lời giải
Chọn A
Ta có nên , và .
Câu 8: [MĐ1] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là
trung điểm của và (tham khảo hình vẽ).
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có là đường trung bình của tam giác . Suy ra
Ta có
Câu 9: [MĐ1] (Chuyên đề - Quan hệ vuông góc - Strong - 2021-2022) Cho lăng trụ tam giác
có đáy là tam giác đều. Gọi là trung điểm (tham khảo hình vẽ).
( )
SA ABCD^
SA CD^
SA BD^
SA BC^
.S ABCD
ABCD
, MN
SC
SD
M
N
B
S
C
D
A
MN AC^
MN BD^
MN AB^
MN BC^
M
N
B
S
C
D
A
MN
SCD
//MN CD
//MN CD
MN BC
BC CD
ì
Þ^
í
^
î
.ABC A B C
¢¢¢
M
BC
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Do là tam giác đều nên .
Ta có .
Câu 10: [MĐ1] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và (tham khảo
hình dưới đây).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Câu 11: [MĐ2] Cho hình hộp chữ nhật có , , (tham
khảo hình vẽ)
M
B'
C'
A
C
B
A'
AM A B
¢¢
^
AM BB
¢
^
AM B C
¢¢
^
AM A C
¢¢
^
M
B'
C'
A
C
B
A'
ABC
AM BC^
//
AM BC
AM B C
BC B C
^
ì
¢¢
Þ^
í
¢¢
î
.S ABCD
ABCD
( )
SA ABC D^
SD
( )
ABCD
∑
ASD
∑
DAS
∑
SDA
∑
SDC
.
¢¢¢¢
ABCD A B C D
=AB a
2=AD a
3
¢
=AA a
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Mà: .
. Vậy .
Câu 12: [MĐ2] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, . Biểu thức
nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Câu 13: [MĐ2] (HSG - K11 - SGD Nam Định - Năm 2021 - 2022) Cho hai đường thẳng phân biệt
và mặt phẳng , trong đó . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu thì B. Nếu thì
¢
AC
( )
ABCD
30°
45°
90°
60°
( )
∑
(
)
∑
( )
∑
,,
¢¢¢
==AC ABCD AC AC ACA
2222
23=+=+=AC AB AD a a a
∑ ∑
3
tan 3 60
3
¢
¢¢
== =Þ =°
AA a
ACA ACA
AC
a
( )
∑
(
)
∑
,60
¢¢
==°AC ABCD ACA
.S ABCD
ABCD
( )
SA ABCD^
SD SB^
BD SC^
SC SB^
SD CD^
SA CD
AD CD
^
ì
í
^
î
( )
CD SADÞ^
CD SDÞ^
,ab
( )
P
( )
aP^
( )
bP^
// .ba
( )
//bP
.ba^
C. Nếu thì D. Nếu thì
Lời giải
Chọn D, vì b có thể chứa trong mp .
Câu 14: [MĐ2] Cho tứ diện có đôi một vuông góc. Đường thẳng vuông góc
với đường thẳng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Do mà nên .
Câu 15: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý nằm trong mỗi mặt phẳng.
B. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó
C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
D. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt vuông góc
với hai mặt phẳng đó.
Lời giải
Chọn B
Câu 16: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, vuông góc với mặt đáy (tham
khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng và bằng
A. Góc . B. Góc C. Góc . D. Góc
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 17: Cho hình chóp có đáy là hình thoi và vuông góc với mặt phẳng
. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng ?
A. B. C. D. .
//ba
( )
.bP^
ba^
( )
.//bP
( )
P
OABC
,,OA OB OC
OA
BC
AB
AC
OA
( )
OA OB
OA OBC
OA OC
^
ì
Þ^
í
^
î
( )
BC OBCÌ
OA BC^
.S ABCD
ABCD
SA
( )
SCD
( )
ABCD
∑
SDA
∑
SCA
∑
SCB
∑
ASD
C
D
B
A
S
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
∑
,
CD SAD
ABCD SCD SDA
ABCD SCD CD
^
ì
ï
Þ=
í
Ç=
ï
î
.S ABCD
ABCD
SB
( )
ABCD
( )
SBD
( )
SBC
( )
SAD
( )
SCD
( )
SAC
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Câu 18: Cho hình chóp có tam giác vuông cân tại , , ,
. Góc giữa hai mặt phẳng và là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có . Góc giữa hai mặt phẳng và là góc .
.
Câu 19: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, ; . Mặt bên
là tam giác cân đỉnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Biết .
Góc giữa hai mặt phẳng và bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trung điểm của , theo đề ra ta được .
( ) ( ) ( )
AC BD
AC SBD SAC SBD
AC SB
^
ì
Þ^ Þ ^
í
^
î
.S ABC
ABC
B
AB BC a==
3SA a=
( )
SA ABC^
( )
SBC
( )
ABC
o
45
o
60
o
90
o
30
( )
BC SAB^
BC SAÞ^
( )
SBC
( )
ABC
∑
SBA
∑
tan
SA
SBA
AB
=
3a
a
=
3=
∑
o
60SBAÞ=
.S ABCD
ABCD
AB a=
3
2
a
AD =
SAB
S
( )
ABCD
∑
120ASB =°
( )
SAD
( )
SBC
60°
30°
45°
90°
H
AB
( )
SH ABCD^
Dựng , lần lượt là hình chiếu của lên , và .
Vậy .
Xét tứ giác có hai góc vuông đối diện nhau nên là tứ giác nội tiếp do
.
Vậy .
Câu 20: Trong lăng trụ đều, khẳng định nào sau đây sai?
A. Đáy là đa giác đều.
B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
C. Các cạnh bên là những đường cao.
D. Các mặt bên là những hình bình hành.
Lời giải
Chọn D
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt
bên là những hình chữ nhật.
Câu 21: [MĐ1] Thể tích của khối chóp có chiều cao và diện tích đáy là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Câu 22: [MĐ1] Một hình lập phương có độ dài cạnh bằng . Thể tích khối lập phương đó là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Thể tích của khối lập phương là .
Câu 23: [MĐ1] Một khối chóp có thể tích bằng và diện tích đáy bằng . Chiều cao của khối chóp
đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Chiều cao của khối chóp .
Câu 24: [MĐ1] Cho hình lập phương có cạnh bằng Khoảng cách từ đến mặt
phẳng bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng .
Câu 25: [MĐ2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
Biết Thể tích của khối chóp là
T
K
H
SA
SB
( )
HT SADÞ^
( )
HK SBC^
( ) ( )
∑
(
)
∑
( )
; ; SAD SBC HT HK=
SKHT
SKHT
∑
60KHTÞ=°
∑
120ASB =°
( ) ( )
∑
(
)
∑
( )
∑
; ; 60SAD SBC HT HK KHT===°
h
B
3V Bh=
V Bh=
1
2
VBh=
1
3
VBh=
2a
3
4a
3
a
3
8a
3
22a
( )
3
3
28==Va a
12
4
3
4
9
9
1
3
3 3.12
9
4
V
h
S
== =
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
.a
A
¢
()ABCD
.
2
a
2.a
3.a
.a
A
¢
()ABCD
AA a
¢
=
,5,2.AB a AC a SA a== =
( )
.SA ABCD^
.S BCD
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Câu 26: [MĐ2] Cho khối lăng trụ đứng có , đáy là tam giác vuông cân
tại và (tham khảo hình vẽ)
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Vậy .
Câu 27: [MĐ2] Cho hình chóp có ba cạnh bên , , đôi một vuông góc
với nhau. Chiều cao của hình chóp bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Hạ , , ta có khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng .
3
.
4
S BCD
Va=
3
.
2
S BCD
Va=
3
.
2
3
SBCD
a
V =
3
.
4
3
SBCD
a
V =
3
.
11112
.....2.2..
33263
SBCD BCD
VSASSABCCDaaaa
D
== ==
.ABC A B C
¢¢¢
2BB a
¢
=
ABC
B
2AC a=
V
3
Va=
3
6
a
V =
3
3
a
V =
3
2
a
V =
22 2 22 22
22AB BC AC AB a AB a+=Þ =Þ=
223
11
...2
22
VABBB aaa
¢
===
.S ABC
1SA =
2SB =
3SC =
5
6
66
11
2
3
6
7
AK BC^
AH DK^
A
()BCD
AH
Xét , ta có .
Xét tam giác , ta có
Câu 28: [MĐ2] Cho hình hộp chữ nhật có (tham khảo hình vẽ
bên). Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có , kẻ .
Dễ thấy .
Câu 29: [MĐ1] Cho tam giác vuông cân tại và . Trên đường thẳng qua vuông góc
với lấy điểm sao cho . Tính số đo của góc giữa đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
ABCD
222
111
AK AB AC
=+
AKD
222222
222
111111
1 1 1 49
1 2 3 36
6
.
7
AH AD AK AD AB AC
AH
=+=++
=++=
Þ=
.ABCD A B C D
¢¢¢¢
;2AB a AD a==
A
BDD B
¢¢
5
2
a
5a
5
5
a
25
5
a
( ) ( )
ABCD BDD B
¢¢
^
( ) ( )
( )
,AH BD AH BDD B d A BDD B AH
¢¢ ¢¢
^Þ ^^ Þ =
22
.25
5
AD AB a
AH
AB AD
==
+
ABC
A
BC a=
A
( )
ABC
S
6
2
a
SA =
SA
( )
ABC
30°
45°
60°
90°
.
Câu 30: [MĐ1] Cho hình chóp có vuông góc . Góc giữa với là góc
giữa
A. và . B. và . C. và . D. và .
Lời giải
Chọn C
Ta có: là hình chiếu vuông góc của xuống nên góc giữa với là góc giữa
và .
Câu 31: [MĐ1] Cho hình lập phương , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
là hình lập phương góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
là
( ) ( )
( )
,90SA ABC SA ABC^Þ =°
.S ABC
SB
( )
ABC
SC
( )
ABC
SC
AB
SC
AC
SC
BC
SC
SB
BC
SC
( )
ABC
SC
( )
ABC
SC
BC
.ABCD EFGH
EG
( )
BCGF
0°
45°
90°
30°
.ABCD EFGH
( )
EF BCGFÞ^ Þ
EG
( )
BCGF
∑
45EGF =°
Câu 32: [MĐ1] Cho hình chóp có và . Góc phẳng nhị diện
là góc nào sau đây?
A. . B. . C. D. với là
trung điểm của .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
.
Góc phẳng nhị diện là .
Câu 33: [MĐ2] Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và đường cao bằng
cạnh đáy. Số đo của góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi .
Góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy là góc .
Ta có .
Tam giác ABC đều .
.
.S ABC
( )
SA ABC^
AB BC^
[ ]
,,ABCS
∑
SBA
∑
SCA
∑
.SCB
∂
SIA
I
BC
( )
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA
^
ì
Þ^ Þ^
í
^
î
( ) ( )
( )
∑
∑
,SBC ABC SBAÞ=
[ ]
,,ABCS
∑
SBA
.S ABC
a
SH
30°
45°
60°
75°
I BH AC=Ç
∑
SBH
∑
tan
SH a
SBH
HB HB
==
33
AB a
BHÞ==
∑ ∑
tan 3 60
3
a
SBH SBH
a
Þ==Þ=°
Câu 34: [MĐ2] Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật có ,
vuông góc với mặt phẳng , . Gọi là góc giữa đường thẳng và . Khi đó
?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có là hình chiếu của trên nên
, . Vậy .
Câu 35: [MĐ2] Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh bên vuông
góc với đáy. Biết , . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Vì nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc .
+Tam giác vuông cân tại nên suy ra
+Khi đó .
Câu 36: [MĐ2] Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , có
, , và . của góc phẳng nhị diện là:
.S ABCD
ABCD
3, 2AB a AD a==
SA
( )
ABCD
SA a=
j
SC
( )
ABCD
ta n
j
=
13
13
11
11
7
7
5
5
AC
SC
( )
ABCD
( )
( )
( )
∑
,,SC ABCD SC AC SCA
j
===
22
13AC AD AB a=+=
∑
13
tan
13
13
SA a
SCA
AC
a
== =
13
tan
13
j
=
.S ABC
ABC
B
SA
3SA a=
2AC a=
SB
( )
ABC
30°
45°
60°
90°
S
A
B
C
()SA ABC^
( )
ABC
∑
SBA
ABC
B
( )
2
2
22AB a=
AB a=
∑ ∑
0
3
tan 3 60
SA a
SBA SBA
AB a
== =Þ =
.S ABCD
ABCD
A
D
2AB a=
AD DC a==
SA a=
( )
SA ABCD^
Tan
[ ]
,,ABCS
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có
Góc phẳng nhị diện là
Ta có
II. PHẦN TỰ LUẬN.
Phần: Đại số
Câu 1: [MĐ3] Trong một hội thao cấp trường, thời gian chạy 100 m của một nhóm học sinh nữ được
ghi lại ở bảng sau:
Giá trị
[10,5;12,5)
[12,5;14,5)
[14,5;16,5)
[16,5;18,5)
[18,5;20,5)
Tần số
3
12
15
24
2
Dựa vào bảng số liệu trên, ban tổ chức muốn chọn ra khoảng 50% số vận động viên chạy nhanh nhất
để tiếp tục thi vòng 2. Ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá bao nhiêu
giây?
Lời giải
Số vận động viên tham gia chạy là: nên trung vị của mẫu số liệu là
.
Ta xác định được:
Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Vậy ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá 16,23 giây.
Câu 2: [MĐ 3] Rút gọn biểu thức với ta được kết quả trong đó
và là phân số tối giản. Tính ?
1
3
3
2
1
2
( ) ( )
( )
∑
∑
,SBC ABCD ACS=
[ ]
,,ABCS
∑
ACS
22
2AC AD DC a=+=
∑
1
tan
2
SA
ACS
AC
Þ==
3 12 15 24 2 56=+ + + + =n
28 29
)
1
[14 6( ,)
2
5;1 ,5+Îxx
1
56 ; 14,5; 3 12 15; 15; 16,5
+
== =+== =
mmm
nu C nu
1
56
15
22
.( ) 14,5 .(16,5 14,5) 16,23
15
+
--
=+ - = + - »
em m m
m
n
C
Mu u u
n
11
3
7
3
7
45
.
.
aa
A
aa
-
=
0a >
m
n
Aa=
,mn
*
NÎ
m
n
22
mn-
Lời giải
Ta có:
Mà , và là phân số tối giản
Câu 3: [MĐ2] Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức
, trong đó là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm ), là khối
lượng chất phóng xạ tại thời điểm , là chu kì bán rã. Biết chu kì bán rã của một chất phóng xạ là
giờ. Ban đầu có gam, hỏi sau giờ thì chất đó còn lại bao nhiêu gam (kết quả làm tròn đến hàng
phần chục)?
Lời giải
Công thức với gam, giờ gam.
Câu 4: [MĐ3] Chất phóng xạ polonium-210 có chu kì bán rã là 138 ngày. Điều này có nghĩa là cứ
sau 138 ngày, lượng polonium còn lại trong mẫu chỉ còn lại một nửa lượng ban đầu. Một mẫu 100 g có
khối lượng polonium-210 còn lại sau ngày được tính theo công thức . Điều
kiện về thời gian để mẫu chất ngày còn lại không nhiều hơn 25 g là
Lời giải
Theo đề bài, ta có:
ngày.
Câu 5: [MĐ3] Một con lắc lò so chuyển động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không
ma sát, có phương trình chuyển động , trong đó tính bằng giây và tính
bằng centimet . Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0?
Lời giải
Chọn A
Vận tốc tức thời của con lắc: .
.
Câu 6: [MĐ3] Một chiếc máy có hai động cơ hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và
động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.
11 7 11
19
3
76
333
7
523
7
45
4
77
..
.
.
aa aa a
Aa
aa
aa a
-
-
====
m
n
Aa=
,mn
*
NÎ
m
n
22
19, 7
312
mn
mn
Þ= =
Þ-=
( )
0
1
2
t
T
mt m
æö
=
ç÷
èø
0
m
0t =
( )
mt
t
T
24
250
36
( )
0
1
2
t
T
mt m
æö
=
ç÷
èø
0
250m =
24T =
Þ
( )
36
24
1
36 250. 88, 4
2
m
æö
=»
ç÷
èø
t
( ) ( )
138
1
100.
2
t
Mt g
æö
=
ç÷
èø
138 138 1
2
38
25 1
25 25 2 2760
100
11 1
10.
22 2 382 1
tt t
t
M t
æö æö æö
Û
ç÷ ç÷ ç÷
èø èø èø
æö
£Û £Û £ Û £ ³Û³
ç÷
èø
2cos 5
3
xt
p
p
æö
=--
ç÷
èø
t
( )
s
x
( )
cm
( )
2 sin
3
vt x t
p
pp
æö
¢
==- -
ç÷
èø
( ) ( )
0 2 sin 0 sin 0 ;
333
vt t t t k k
ppp
pp p p p
æö æö
=Û- - =Û - =Û - = Î
ç÷ ç÷
èø èø
!
( )
1
;
3
tkkÛ= + Î!
Lời giải
Gọi là biến cố “Động cơ I chạy tốt”. Theo đề bài ta có .
Gọi là biến cố “Động cơ II chạy tốt”. Theo đề bài ta có .
Khi đó, biến cố “Có ít nhất 1 động cơ chạy tốt” là .
Vậy xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là
Phần hình học:
Câu 1: Cho tứ diện ABCD , và . Tính
độ dài cạnh CD.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
.
.
vuông cân tại M.
.
Tương tự, ta cũng có vuông cân tại N
Đặt ta có:
.
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có:
.
.
Câu 2: [MĐ2] Cho khối lăng trụ mà mặt bên có diện tích bằng . Khoảng
cách giữa cạnh và bằng . Tính Thể tích khối lăng trụ?
Lời giải
A
( )
0,8PA=
B
( )
0, 7PB=
AB A B ABÈÈ
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0,8.0,7 0, 2.0,7 0,8.0,3 0,94P AB A B AB A P B P A P B P BP AP==È+ =È+ ++
AC AD BC BD a====
( ) ( )
ACD BCD^
( ) ( )
ABC ABD^
23
3
a
3
3
a
2a
22a
a
a
a
a
M
N
A
B
D
C
ABC ABD CM DMD=DÞ=
( ) ( )
∑
o
90ABC ABD CMD^Þ=
MCDÞD
MN CDÞ^
ABND
MN ABÞ^
( )
2,0CD x x a=<<
CN DN MN x== =
22
AN BN a x== -
22 2222
11 1 2 1 3
3
xa
AN BN MN a x x
+= Û =Û=
-
23
2
3
CD x aÞ==
.ABC A B C
¢¢¢
ABB A
¢¢
4
CC
¢
AB
¢
7
Có
Đồng thời
Suy ra .
Câu 3: [MĐ3] Hình chóp có đáy là tam giác vuông tại có , , vuông
góc với mặt phẳng đáy, Gọi là góc phẳng nhị diện . Tính
Lời giải
Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các cạnh , khi đó ta có.Ta có
Mặt khác (2).
Từ (1) và (2) (3).
Mặt khác ta lại có (4).
Từ (3) và (4) ta có .
Vậy .
Do hay tam giác vuông tại .
Ta có ; .
C'
B'
A
C
B
A'
( ) ( )
( )
( )
( )
,, ,dCC AB dCC ABBA dC ABBA
¢¢ ¢ ¢¢ ¢¢
==
( )
( )
,7dC ABBA
¢¢
Þ=
( )
( )
.
1128
,..4.7
333
CABBA ABBA
VdCABBAS
¢¢ ¢¢
¢¢
Þ= ==
... .
2
3
CABBA ABCABC CABC ABCABC
VV V V
¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢
=-=
..
3328
.14
223
ABC A B C C ABB A
VV
¢¢¢ ¢¢
===
.S ABC
B
AB a=
2AC a=
SA
2.SA a=
j
[ ]
,,ASC B
cos ?
j
=
A
C
B
S
K
H
H
K
A
SB
SC
( )
,1AH SB AK SC^^
( )
SA ABC SA BC^Þ^
BC AB^
( )
BC SABÞ^
BC AHÞ^
AH SCÞ^
AK SC^
( )
SC AHK^
SC HKÞ^
( ) ( )
( )
( )
∑
,,SAC SBC AK HK A KH==
( )
AH SBC AH HK^Þ^
AHK
H
22
.25
5
AB SA a
AH
AB SA
==
+
22
.
2
AC SA
AK a
AC SA
==
+
30
5
a
HKÞ=
Vậy .
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
GV: Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm
Giáo viên giao nhiệm vu chữa các câu hỏi cho các nhóm.
Thực hiện
GV: Quan sát các nhóm và đôn đốc các nhóm thực hiện theo yêu cầu
HS: Thực hiện yêu cầu của GV
Báo cáo thảo luận
GV: học sinh lên bảng trình bày vắn tắt lời giải và đáp án của câu hỏi mà
nhóm được giao
Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp
GV nhận xét câu trả lời của các đội, đánh giá thái độ làm việc, ghi nhận, tổng
hợp kết quả
15
cos
5
HK
AKH
AK
==

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:

Trường ………………………..
Họ và tên giáo viên: ……………………
Tổ …………………. Tiết
KẾ HOẠCH BÀI DẠY
TÊN BÀI DẠY: ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI NĂM HỌC
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán 11
Thời gian thực hiện: 01 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức
- Ôn tập lại các kiến thức: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu nghép nhóm, Biến cố
hợp, giao, độc lập, các quy tắc xác suất. Các phép tính luỹ thừ, logarit, Hàm số Mũ, logarit. Phương
trình BPT Mũ, Logarit. Đạo hàm: định nghĩa, ý nghĩa, các quy tắc. Quan hệ vuông góc trong không
gian, phép chiếu vuông góc.
- Đối với học sinh khá giỏi: Vận dụng các kiến thức: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu
số liệu nghép nhóm, Biến cố hợp, giao, độc lập, các quy tắc xác suất. Các phép tính luỹ thừ, logarit,
Hàm số Mũ, logarit. Phương trình BPT Mũ, Logarit. Đạo hàm: định nghĩa, ý nghĩa, các quy tắc. Quan
hệ vuông góc trong không gian, phép chiếu vuông góc vào một số bài toán thực tế đơn giản. 2. Năng lực
- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ, thái độ học tập; tự đánh giá và điều
chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra những sai sót và khắc phục.
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức, trao đổi học hỏi bạn bè thông qua việc thực hiện nhiệm
vụ trong các hoạt động cặp đôi, nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
- Năng lực hợp tác: Học sinh xác định được nhiệm vụ của tổ/nhóm, trách nhiệm của bản thân đề
xuất được những ý kiến đóng góp, góp phần hoàn thành nhiệm vụ học tập.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh tiếp cận hệ thống câu hỏi và bài tập, những tình huống có
vấn đề. Phân tích được các vấn đề để đưa ra những giải pháp xử lí tình huống, những vấn đề liên
quan đến bộ môn và trong thực tế.
- Năng lực sáng tạo: Học sinh biết vận dụng tính sáng tạo để giải quyết tình huống của từng bài toán cụ thể.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học. 3. Phẩm chất
- Trách nhiệm: Biết chịu trách nhiệm với thành quả của cá nhân, tập thể; không đổ lỗi cho người
khác. Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.
- Trung thực: Học sinh biết tôn trọng kết quả của bản thân, tôn trọng lẽ phải; thật thà, ngay thẳng
trong học tập và làm việc, lên án sự gian lận.
- Chăm chỉ: Chăm làm, ham học, có tinh thần tự học, chăm chỉ tích cực xây dựng bài, nhiệt tình
tham gia các công việc của tập thể, tinh thần vượt khó trong công việc.
- Nhân ái: Yêu con người, yêu cái đẹp của toán học, tôn trọng sự khác biệt, ý kiến trái chiều; sẵn
sàng học hỏi, hòa nhập và giúp đỡ mọi người
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Về phía giáo viên:
- Thước thẳng có chia khoảng, compa, bảng phụ ghi bài tập, phiếu học tập, máy chiếu, sách giáo khoa, bài soạn...
2. Về phía học sinh:
- Dụng cụ học tập, sách giáo khoa, chuẩn bị bài trước khi đến lớp...
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC:
1. HOẠT ĐỘNG 1: KHỞI ĐỘNG a) Mục tiêu:
- HS chuẩn bị tâm thế tốt cho tiết ôn tập cuối học kỳ 2
- Nắm bắt việc chuẩn bị và làm đề cương của học sinh. b) Nội dung:
Câu hỏi 1: Trong các bài học của kỳ 2 lớp 11 em thích học bài nào nhất vì sao?
Câu hỏi 2: Trình bày khó khăn của em khi làm đề cương, e đã làm gic để giải quyết khó khăn đó
c) Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh d) Tổ chức thực hiện: Chuyển giao
Giáo viên cho học sinh các tổ kiểm tra việc làm đề cương của nhau sau đó báo cáo kết quả. Thực hiện
- HS di chuyển để kiểm tra, thống nhất đáp án một số câu hỏi
- HS suy nghĩa trả lời câu hỏi
- Mong đợi: HS chỉ ra được một nhóm câu hỏi cần giúp đỡ trong tiết học này
Báo cáo thảo luận
HS đưa ra những nhận xét về việc làm đề cương của các bạn, nêu được
một số câu hỏi cần đưa ra thảo luận, giải đáp trong tiết học
Đánh giá, nhận xét,
- Giáo viên đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, tổng hợp
ghi nhận và tổng hợp kết quả.
- Hướng học sinh vào các câu hỏi trọng tâm của đề cương.
2. HOẠT ĐỘNG 2: LUYỆN TẬP a) Mục tiêu: §
Hệ thống kiến thức, ôn tập các bài tập chuẩn bị kiểm tra.
b) Nội dung: Chữa đề cương cho học sinh
c) Sản phẩm: HS so sánh kết quả của việc làm đề cương tại nhà với kết quả của cô giáo và các bạn
chữa. sửa chữa bài tập để được Đề cương chữa hoàn thiện SỞ GD & ĐT LÀO CAI
ĐỀ CƯƠNG KIỂM TRA HỌC KỲ 2 TRƯỜNG THPT …. NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán. Khối 11 I, PHẦN TRẮC NGHIỆM
Chương 5: Một số yếu tố thống kê và xác suất
Câu 1: [MĐ1] Tên gọi của bảng sau đây là:
A. Bảng tần số ghép nhóm.
B. Bảng tần số nhóm.
C. Bảng tần số, tần suất ghép nhóm.
D. Bảng ghép nhóm. Lời giải Chọn A
Đây là bảng phân bố tần số ghép lớp.
Câu 2: [MĐ1] Trong bảng tần số ghép nhóm, k là số nhóm, R là khoảng biến thiên, L là độ dài
nhóm. Khi đó điều kiện của L là: R A. L < R . B. L > k . C. L < k . D. L > . k k R R Lời giải Chọn B R
Theo lí thuyết, ta có: L > . k
Câu 3: [MĐ1] Số lượng khách hàng nữ mua bảo hiểm nhân thọ trong một ngày được thống kê trong
bảng tần số ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện của nhóm [30;40) là: A. 40 . B. 30 . C. 35 . D. 9 . Lời giải Chọn C 30 + 40
Ta có giá trị đại diện nhóm [30;40) là: = 35. 2
Câu 4: [MĐ1] Cân nặng của 28 học sinh lớp 11 được thống kê trong bảng tần số ghép nhóm sau: Độ dài của nhóm là: A. 4,5. B. 47 . C. 4 . D. 28 . Lời giải Chọn C
Ta có độ dài của nhóm là: 49 - 45 = 4 .
Câu 5: [MĐ2] Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được
ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng)
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. [7;9). B. [9;1 ) 1 . C. [11; ) 13 . D. [13;15). Lời giải Chọn B Ta có bảng sau: 2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 +1.14 Khi đó x = = 9,4. 20
Câu 6: [MĐ2] Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá
nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần bằng giá trị nào sau đây? A. 19, 4. B. 18, 4 . C. 20, 4. D. 21, 4. Lời giải Chọn A
Ta có nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm [18;22).
Do đó u = 18, n
=18, n =120, n = 45, u -u = 22 -18 = . 4 m m 1 - m m 1 + m 1 + m 120 - 78 758
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: M =18 + .4 = »19,4. 0 (120 - 78) + (120 - 45) 39
Câu 7: [MĐ1] Một trường trung học phổ thông cần may đồng phục cho 200 học sinh khối 11. Cỡ áo
của học sinh được ghi trong bảng sau: Cỡ áo [36;38) [38;40) [40;42) Số học sinh 100 73 27
Trung vị của mẫu số liệu: A. 34. B. 36. C. 38. D. 40. Lời giải Chọn C
Ta có: x ,.., x Î[36;38); x ,.., x Î[38;40); x ,.., x Î[40;42)nên trung vị của mẫu số liệu là 1 100 101 173 174 200
1 (x + x ). Do x Î[36;38);x Î[38;40)nên trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: M = 38 100 101 2 100 101 e
(theo chú ý SGK trang 139)
Câu 8: [MĐ1] Điều tra tuổi kết hôn của 100 người Việt Nam trong năm 2022 được cho trong bảng sau: Tuổi [10;20) [20;30) [30;40) [40;50) [50;60) Số người 10 30 35 15 10
Tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba là:
A. Q1 = 20; Q3 = 45. B. Q1 = 20; Q3 = 40.
C. Q1 = 25; Q3 = 40. D. Q1 = 25; Q3 = 45. Lời giải Chọn C
Số người được điều tra là n=100 người. Ta có: x ,.., x Î[10;20), x ,.., x Î[20;30) , 1 10 11 40
x ,.., x Î[30;40), x ,.., x Î[40;50), x ,.., x Î[50;60) 41 75 76 90 91 100
Ta có: tứ phân vị thứ nhất Q1 là x Î[20;30) 25
tứ phân vị thứ ba Q3 là x Î[40;50) 76
Tính Q1: ta có: n =100; u = 20; C =10; n = 30;u = 30 m m m 1 + n 100 -C -10 Suy ra: 4 4 Q = u + .(u -u ) = 20 + .(30 - 20) =25 1 m m 1 + m n 30 m
Tính Q3: ta có: n = 100; u = 40; C = 10 + 30 + 35 = 75; n = 15;u = 50 j j j 1 + 3n 3.100 - C - 75 Suy ra: 4 4 Q = u + .(u - u ) = 40 + .(50 - 40) = 40 3 j j 1 + j n 15 j
Câu 9: [MĐ2] Thời gian (phút) truy cập internet mỗi buổi tối của 56 học sinh được cho trong bảng sau: Thời gian [9,5;12,5) [12,5;15,5) [15,5;18,5) [18,5;21,5) [21,5;24,5) (phút) Số học sinh 3 12 15 24 2
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: A. 17,0. B. 18,0. C. 17,1. D. 18,1. Lời giải Chọn D 1
Ta có: mẫu số liệu n = 56 nên trung vị của mẫu số liệu là (x + x ) Î[15,5 8 ;1 , ) 5 . 28 29 2
Ta xác định được: n = 56; u =15,5; C = 3+12 =15; n =15;u =18,5 m m m 1 +
Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: n 56 - C -15 2 2 M = u + .(u - u ) =15,5+ .(15,5 -18,5) = 18, 1 e m m 1 + m n 15 m
Câu 10: [MĐ2] Cho bảng số liệu: Giá trị [1;1,7) [1,7;2,4) [2,4;3,1) [3,1;3,8) [3,8;4,5) Tần số 4 1 16 20 2
Trung vị của mẫu số liệu thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. (2;3). B. (3;4). C. (4;5). D. (1;2). Lời giải Chọn B
Ta có: mẫu số liệu n = 43 nên trung vị của mẫu số liệu là x Î[3,1;3,8). 22
Ta xác định được: n = 43; u = 3,1; C = 4 +1+16 = 21; n = 20;u = 3,8 m m m 1 +
Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: n 43 -C - 21 2 2 M = u + .(u -u ) = 3,1+ .(3,8 - 3,1) = 3,1175 e m m 1 + m n 20 m
Câu 11: [MĐ1] Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu AB = Æ .
B. Nếu AB = Æ thì A = B .
C. Nếu A = B thì AB = Æ.
D. Hai biến cố A và A gọi là xung khắc. Lời giải Chọn B
Câu 12: [MĐ1] Cho A , B là hai biến độc lập với nhau, biết P( A) = 0,4; P(B) = 0,3. Khi đó P( AB) bằng A. 0,1. B. 0,12 . C. 0,58. D. 0, 7 . Lời giải Chọn B Ta có: P( B
A ) = P( A).P(B) = 0,4.0,3 = 0,12.
Câu 13: [MĐ1] Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng là 80% . Xác suất
người thứ hai bắn trúng là 70% . Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng là: A. 56% . B. 32,6% . C. 60% . D. 50% . Lời giải Chọn A
Gọi A là biến cố người thứ i bắn trúng (i =1,2) i
Vì A , A là độc lập nên xác suất để hai người bắn trúng là: 1 2
P( A A = P A P A = 80%.70% = 56% 1 2 ) ( 1) ( 2) .
Câu 14: [MĐ2] Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động
cơ I và II chạy tốt lần lượt là 0, 8 và 0, 7 . Tính xác suất để ít nhất một động cơ chạy tốt? A. 0,56. B. 0,06 . C. 0,94 D. 0,384. Lời giải Chọn A
Gọi A là biến cố: “Động cơ thứ i chạy tốt”. i fi P (A = P A = I ) 0, 8; ( II ) 0,7.
Gọi B là biến cố: “ít nhất một động cơ chạy tốt”.
Suy ra B là biến cố: “hai động cơ đều chạy không tốt”.
B = A A fi P B = P A .P A = 1- 0, 8 . 1- 0, 7 = 0, 06.
( ) ( I ) ( II ) ( ) ( ) I II
Vậy P (B )= 1- P B = 1- 0, 06 = 0,94. ( )
Câu 15: [MĐ2] Có ba vận động viên cùng thi chạy vượt rào. Xác suất để ba vận động viên này vượt
qua được rào lần lượt là 0,9; 0,8; 0,7. Tìm xác suất để cả ba vận động viên vượt qua được rào.
A. P = 0, 398 .
B. P = 0, 994.
C. P = 0, 504. D. P = 0, 72. Lời giải Chọn C
Gọi biến cố A : “Cả ba vận động viên vượt qua được rào”.
A : “Vận động viên thứ i vượt qua được rào”; i Î{1;2;3}. i
Vậy P( A) = P( A P A P A = 0,9.0,8.0,7 = 0,504 1 ) ( 2) ( 3) .
Câu 16: [MĐ2] Một người có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc, bề ngoài của chúng giống hệt nhau
và chỉ có đúng hai chiếc mở được cửa nhà. Người đó thử ngẫu nhiên từng chìa. Xác suất để mở được
cửa trong lần mở thứ ba là? 14 7 1 2 A. B. . C. . D. . 81 81 6 7 Lời giải Chọn C
Để mở được cửa trong lần mở thứ 3 thì lần thứ nhất và lần thứ hai không mở được và lần thứ 3 mở đượ 7
Xác suất để lần thứ nhất không mở được là . 9 6 3
Xác suất lần thứ 2 hai không mở được là = . 8 4 2
Xác suất lần thứ 3 mở được là . 7 7 3 2 1
Vì ba lần mở cửa độc lập với nhau nên xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ 3 là . . = . 9 4 7 6
Câu 17: [MĐ1] Một lớp học 40 học sinh gồm có 15 học sinh nam giỏi Toán và 8 học sinh nữ giỏi
Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để chọn được một nam sinh giỏi Toán hoặc một nữ sinh giỏi Văn. 7 1 3 23 A. . B. . C. . D. . 40 5 8 40 Lời giải Chọn D
Gọi A là biến cố: “chọn một nam sinh giỏi Toán”; B là biến cố: “chọn một nữ sinh giỏi Văn”.
Khi đó A È B là biến cố: “chọn được một nam sinh giỏi Toán hoặc một nữ sinh giỏi Văn”.
Ta thấy A và B là 2 biến cố xung khắc.
Số phần tử của không gian mẫu: n(W) = 40.
Số kết quả thuận lợi của biến cố ,
A B lần lượt là: n( A) =15, n(B) = 8. n A 15 3 n B 8 1 Suy ra: P ( A) ( ) = = = và P(B) ( ) = = = . n (W) 40 8 n(W) 40 5
Vậy xác suất cần tính là: P( AÈ B) = P( A) + P(B) 23 = . 40
Câu 18: [MĐ1] Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng của xạ thủ
thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là 0,6;0,7;0,8. Tình xác suất để cả ba xạ thủ cùng bắn trúng. A. 0, 42. B. 0,336. C. 0,56. D. 0, 48. Lời giải Chọn B
Gọi A là biến cố “Xạ thủ thứ i bắn trúng”, với i = 1;3. i
Gọi A là biến cố “Cả ba xạ thủ cùng bắn trúng”.
Ta có: A = A A A 1 2 3
Vậy P( A) = P( A A A = 42
P A .P A .P A = 0,6.0,7.0,8 = 1 2 3 ) ( 1) ( 2) ( 3) . 125
Câu 19: [MĐ1] Trong một kì thi có 60% thí sinh đỗ. Hai bạn A , B cùng dự kì thi đó. Xác suất để
chỉ có một bạn thi đỗ là A. 0, 24. B. 0,36. C. 0,16 . D. 0, 48. Lời giải Chọn D
Ta có: P( A) = P(B) = 0,6 Þ P( A) = P(B) = 0,4.
Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là: P = P ( A).P(B) + P( A).P(B) = 0,48.
Câu 20: [MĐ2] Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác sao cho lần đầu xuất hiện mặt 2 chấm. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 2 12 36 Lời giải Chọn A
Không gian mẫu của phép thử là W = (
{ ;i j),i, jÎ{1;2;3;4;5; } 6 } Þ n(W) = 36.
Biến cố lần đầu xuất hiện mặt 2 chấm A = (
{ 2; )1,(2;2),(2; )3,(2;4),(2;5),(2;6)},n(A) =6. n A 6 1
Xác suất là p ( A) ( ) = = = . n (W) 36 6
Câu 21: [MĐ2] Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0, 7 .
Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là A. 0, 45. B. 0, 42. C. 0, 48. D. 0, 24. Lời giải Chọn B
Gọi A , A , X lần lượt là biến cố bắn trúng mục tiêu của viên đạn thứ nhất, viên đạn thứ hai, một viên 1 2
đạn trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu.
Khi đó X = A A + A A . 1 2 1 2
Xác suất cần tìm P ( X ) = P ( A A + P A A = 0,7.0.3+ 0,3.0,7 = 0,42 1 2 ) ( 1 2) .
Chương 6: Hàm số Mũ và hàm số Lograit
Câu 1: [MĐ 1] Với a là số thực dương tùy ý, 3 a bằng 3 2 1 A. 6 a . B. 2 a . C. 3 a . D. 6 a . Lời giải Chọn B 3 Với a > 0 ta có 3 2 a = a .
Câu 2: [MĐ 1] Với a > 0 , b > 0, a , b là các số thực bất kì. Đẳng thức nào sau đây sai? aa a a -b æ ö A. = aa-b .
B. aa .ab = a a aa+b . C. = .
D. aa .ba = (ab)a. ab ç ÷ bb è b ø Lời giải Chọn C Câu 3: [MĐ 1] Cho ,
x y > 0 và a,b Î! . Tìm đẳng thức sai dưới đây. b
A. (xy)a xa.ya = . B. x y (x y)a a a + = + . C. (xa ) xab = .
D. xa .xb = xa+b . Lời giải Chọn B
Theo tính chất của phép tính lũy thừa thì đẳng thức xa ya +
= (x + y)a Sai. 5
Câu 4: [MĐ 2] Rút gọn biểu thức Q = 3 3
b : b với b > 0. 4 5 -4 A. = 3 Q b . B. = 3 Q b . C. = 9 Q b . D. = 2 Q b . Lời giải Chọn B 5 5 1 4 Q = 3 3 b b = 3 3 b b = 3 : : b . 4
Câu 5: [MĐ 2] Cho a là số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức 3 P = a a bằng 7 5 11 10 A. 3 a . B. 6 a . C. 6 a . D. 3 a . Lời giải Chọn C 4 4 1 4 1 11 + Ta có: 3 3 2 3 2 6 P = a
a = a .a = a = a . 3
Câu 6: [MĐ 2] Cho a là số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức 2018 2018 a .
a dưới dạng lũy thừa với
số mũ hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó. 2 1 3 3 A. . B. . C. . D. . 1009 1009 1009 2 2018 Lời giải Chọn A 3 3 1 4 2 2 2018 2018 2018 2018 2018 1009 a . a = a .a = a = a
. Vậy số mũ của biểu thức rút gọn bằng . 1009 1
Câu 7: [MĐ1] Giá trị của log bằng 2 16 1 1 A. 4. B. . C. . D. 4. - 4 8 Lời giải Chọn D 1 Ta có: 4 log log 2- = = 4 - . 2 2 16
Câu 8: [MĐ1] Với mọi a,b dương thỏa mãn log
a - log b = 3, khẳng định nào dưới đây đúng? 2 2 a A. 2
a = 64b . B. 2 ab = 64.
C. a - b = 8. D. = 3. b Lời giải Chọn A a a Ta có log
a - log b = 3 Û log = 3 3 2 Û
= 2 Û a = 64b . 2 2 2 b b
Câu 9: [MĐ1] Tính giá trị của biểu thức log2
P = 2 a + log ( b a
(a > 0,a ¹ )1 a ) . A. = 2a P + b .
B. P = a - b .
C. P = 2a + b .
D. P = a + b . Lời giải Chọn D Ta có log2
P = 2 a + log ( b a = a + b a ) .
Câu 10: [MĐ1] Với a,b là các số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây sai? log b
A. log ab = log a + log b 2022 log b = 3 ( ) . B. . 3 3 a log a 2022 a 1
C. 1- log b = log . D. 3 log b = log b. a a b a 3 a Lời giải Chọn D Ta có: 3 log b = 3log b. a a
Câu 11: [MĐ2] Cho các số thực dương a,b thỏa mãn log a + 2log b =1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 a + b = . 1
B. a + 2b = 10. C. 2 ab = 10. D. 2 a + b = 10. Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 2
log a + 2logb =1 Û log a + logb =1 Û log ab =1 Û ab =10 .
Câu 12: [MĐ2] Biết a = log 3 b = log 5 log 5 2 , 3 . Tính 2
theo a và b a b b A. log 5 = . B. log 5 = .
C. log 5 = ab. D. log 5 = . 2 b 2 b - a 2 2 a Lời giải Chọn C
Ta có: log 5 = log 3.log 5 = ab. 2 2 3
[MĐ1] Tìm tập xác định của hàm số y = log x -1 2 ( ). A. D = (-¥ ) ;1 .
B. D = (1;+ ¥). C. D = { R\ } 1 .
D. D = R . Lời giải Chọn B
Hàm số xác định khi và chỉ khi: x -1 > 0 hay x > 1. Tập xác định là D = (1;+ ¥).
Câu 13: [MĐ1] Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực ! ? æ 2 x ö x æ p ö A. y = . B. y = . C. y = ( 2 log 4x + y = log x p )1. D. . ç p ÷ ç ÷ è ø è 3 ø 1 3 Lời giải Chọn A æ 2 x ö 2 Hàm số y =
là hàm số mũ có cơ số bằng Î(0; )
1 nên nghịch biến trên tập xác định ! . ç p ÷ è ø p
Câu 14: [MĐ1] Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó? x æ ö A. 2 x y - = . B. y = 5 log x. C. y = ç ÷ .
D. y = log x. p ç 3 ÷ 1 2 è ø e Lời giải Chọn B p Vì
>1Þ y = log x là hàm đồng biến. 2 p 2
Câu 15: [MĐ1] Hình bên là đồ thị của hàm số nào sau
A. y = log x.
B. y = log x . C. 2x y = . D. 2x y = - 2. 2 1 2 Lời giải Chọn A
Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm A(2 ) ;1 .
Thay điểm A vào các hàm số ta loại được đáp án B,C và đáp án D .
Câu 16: [MĐ2] Tập xác định của hàm số y = (x- )2 log 2 là A. ! . B. ! \{ } 2 . C. (2;+¥). D. [2;+¥). Lời giải Chọn B
Điều kiện: (x - )2
2 > 0 Û x ¹ 2. Tập xác định là D = ! \{ } 2 .
Câu 17: [MĐ2] Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị của các hàm số được cho trong hình vẽ bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. b < c < a .
B. a < c < b .
C. c < a < b .
D. a < b < c . Lời giải Chọn B Cách 1.
Dựa vào đồ thị ta thấy Hàm số x
y = a nghịch biến, suy ra 0 < a < 1. Hai hàm số x y = b và x
y = c đồng biến, suy ra b >1, c > . 1 0 ìï < x <1 x x Þ c < b Với í Þ c < b . ïîx >1 x x Þ c < b
Vậy a < c < b . Cách 2.
Cho x = 1, từ đồ thị ta thấy a < c < b . 3 2 æ 3 ö æ 4 ö Câu 18: [MĐ2] Nếu 3 2 a > a và log < log thì b ç ÷ ç ÷ è 4 b ø è 5 ø
A. 0 < a < 1, b > 1.
B. 0 < b < 1, a > 1.
C. a > 1, b > 1. D. 0 < a < 1, 0 < b < 1. Lời giải Chọn A 3 2 3 2 Do < và 3 2 a
> a Þ 0 < a <1. 3 2 3 4 æ 3 ö æ 4 ö Do < và log < log Þ b > 1. ç ÷ ç ÷ 4 5 b è 4 b ø è 5 ø
Câu 19: [MĐ2] Hình vẽ bên dưới biểu diễn đồ thị hai hàm số x
y = a , y = log x . Mệnh đề nào sau b
đây là mệnh đề đúng? y 1 x O 1 A. 2 log b > 0 .
B. log b < 0.
C. log b > 0 .
D. log a > 0. a a a b Lời giải Chọn B
Nhìn vào hình dáng đồ thị ta suy ra được a > 1,0 < b <
1 suy ra log b < log 1Þ log b < 0 a a a
[MĐ1] Nghiệm của phương trình 2x-4 5 = 25 là
A. x = 3.
B. x = 2 .
C. x = 1. D. x = 1 - . Lời giải Chọn A Ta có: 2x-4 5 = 25 2x-4 2 Û 5
= 5 Û 2x - 4 = 2 Û x = 3.
Câu 20: [MĐ1] Phương trình log 5x -1 = 2 3 ( ) có nghiệm là: A. x = 8 2 . B. x = 9 . C. x = 11 . D. x = . 5 5 5 Lời giải Chọn A 5 ì x -1 > 0
Ta có: log 5x -1 = 2 Û í
Û 5x =10 Û x = 2 3 ( ) 2 5 î x -1 = 3 1 x æ ö
Câu 21: [MĐ1] Tập nghiệm của bất phương trình < 4 là ç ÷ è 2 ø A. ( 2; - +¥). B. ( ;2 -¥ ). C. ( ; -¥ 2 - ). D. (2;+¥). Lời giải Chọn A æ 1 x ö Ta có:
< 4 Û x > log 4 Û x > 2 - ç ÷ 1 è 2 ø 2
Câu 22: [MĐ1] Tập nghiệm S log < 2 ( x - ) của phương trình 1 3
A. S = (1;9). B. S = (- ;9 ¥ ). C. S = (- ;1 ¥ 0). D. S = (1;10). Lời giải Chọn A ìx -1 > 0 ï ìx > 1 Ta có log - < Û í Û 2 ( x ) 1 3 . í 3 ïîx -1< 2 îx < 9
Vậy tập nghiệm bất phương trình log < S = (1;9) 2 ( x - ) 1 3 là .
Câu 23: [MĐ2] Tổng các nghiệm của phương trình 2x-2x 5 3 - = 27 là A. 0 . B. 8 - . C. 2 - . D. 2 . Lời giải Chọn D éx = 2 - Ta có 2 2 x -2x 5 - x -2x 5 - 3 2 2 3 = 27 Û 3
= 3 Û x - 2x - 5 = 3 Û x - 2x -8 = 0 Û . ê ëx = 4
Tổng các nghiệm của phương trình là 2 .
Câu 24: [MĐ2] Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình log x - 3 ³ log 4 1 ( ) là 1 3 3 A. 5 . B. 7 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D
Điều kiện x - 3 > 0 Û x > 3.
log x - 3 ³ log 4 Û x - 3 £ 4 Û x £ 7 1 ( ) 1 3 3
So với điều kiện x > 3 , vậy bpt có nghiệm 3 < x £ 7 . Mà x nguyên dương, do đó xÎ{4;5;6; } 7 .
Vậy có 4 giá trị nguyên dương.
Câu 25: [MĐ2] Phương trình log x + log x -3 = 2 2 2 (
) có bao nhiêu nghiệm A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn A ìx > 0 Điều kiện: í Þ x > 3. îx - 3 > 0 éx = 1 - (loai)
Ta có: log x + log x - 3 = 2 Û log éx x - 3 ù = 2 Û x - 3x - 4 = 0 2 2 ( ) 2 ë ( ) 2 û Û êêx = 4 ë (tm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.
Câu 26: [MĐ2] Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 x 1 - x 3 - x+2 4 ³ 2 là A. 4 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn A 2 2 x 1 - x -3x+2 2x-2 x -3x+2 4 ³ 2 Û 2 ³ 2 2
Û x -5x + 4 £ 0 Û1£ x £ 4.
Số nghiệm nguyên của bất phương trình ta thấy các giá trị thỏa là {1;2;3; } 4 Chương 7: Đạo hàm
Câu 1: [MĐ1] Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x ? 0
f (x + Dx) - f (x )
f (x) - f (x ) A. 0 lim . B. 0 lim . Dx 0 ® Dx x®0 x - x0
f (x) - f (x )
f (x + Dx) - f (x) C. 0 lim . D. 0 lim . x®x x - x D 0 x D 0 ® x 0 Lời giải Chọn C
Câu 2: [MĐ1] Cho hàm số f (x) liên tục tại x . Đạo hàm của f (x) tại x là 0 0
A. f (x0 ).
f (x + h) - f (x ) B. 0 0 . h
f (x + h) - f (x ) C. 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h®0 h
f (x + h) - f (x - h) D. 0 0 lim
(nếu tồn tại giới hạn). h®0 h Lời giải Chọn C
Câu 3: [MĐ2] Cho hàm số 4 2
y = x + x +
1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung
độ tiếp điểm bằng 1 A. y = 2 B. y = 1 C. y = 3
D. y = 4 Lời giải Chọn B Ta có: 3
y ' = 4x + 2x. Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm Ta có 4 2
y = 1 Û x + x = 0 Û x = 0, y '(x ) = 0 0 0 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến: y = . 1
Câu 4: [MĐ2] Cho hàm số 4 2
y = x + x +
1 (C). Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x -1là đường thẳng
A. y = 6x - 2
B. y = 6x - 7
C. y = 6x - 8
D. y = 6x - 3 Lời giải Chọn D Ta có: 3
y ' = 4x + 2x. Gọi M (x ; y 0 0 ) là tiếp điểm
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x - 1 nên ta có: 3
y '(x ) = 6 Û 4x + 2x = 6 Û x = 1Þ y = 3 0 0 0 0 0
Phương trình tiếp tuyến: y = 6x - 3. 2
Câu 5: [MĐ1] Số gia của hàm số ( ) = x f x
ứng với số gia Dx của đối số x tại x = - 1 là 2 0 1 1 1 1 A. (Dx)2 - D . x
B. é(Dx)2 - Dxù.
C. é(Dx)2 + Dxù. D. (Dx)2 + D . x 2 2 ë û 2 ë û 2 Lời giải Chọn A
Với số gia Dx của đối số x tại x = - 1 ta có 0 ( 1
- + Dx)2 1 1+ (Dx)2 - 2Dx 1 1 Dy = - = - = (Dx)2 - Dx 2 2 2 2 2
Câu 6: [MĐ1] Cho hàm số f (x) 2
= x - x, đạo hàm của hàm số ứng với số gia Dx của đối số x tại x0 là A. lim x x x x lim (Dx + 2x - ) 1 . x ( D )2 +2 D -D . D ®0 ) B. Dx 0 ®
C. lim (Dx + 2x + ) 1 . D. lim x x x x x ( D )2 +2 D +D . D ®0 ) Dx®0 Lời giải Chọn B Ta có
Dy = (x + Dx)2 - (x + Dx) - ( 2 x - x 0 0 0 0 )
= x + 2x Dx + Dx - x - Dx - x + x 0 0 ( )2 2 2 0 0 0
= (Dx)2 + 2x Dx - Dx 0 2 Dy
Dx + 2x Dx - Dx Nên f ¢(x ) ( ) 0 = lim = lim = lim Dx + 2x -1 0 ( 0 ) Dx®0 Dx®0 Dx®0 Dx Dx
Vậy f ¢(x) = lim (Dx + 2x - ) 1 Dx®0 2
ìx + x khi x ³1
Câu 7: [MĐ3] Tìm a,b để hàm số f (x) = í
có đạo hàm tại x = 1.
îax + b khi x <1 ìa = 23 ìa = 3 ìa = 33 ìa = 3 A. í B. í C. í D. í îb = -1 îb = -11 îb = -31 îb = 1 - Lời giải Chọn D Ta có: 2
lim f (x) = lim(x + x) = 2; lim f ( ) x = lim(ax + )
b = a + b x 1+ x 1+ ® ® x 1- x 1- ® ®
Hàm có đạo hàm tại x = 1 thì hàm liên tục tại x = 1 Û a + b = 2 (1) 2
f (x) - f (1) x + x - 2 lim = lim = lim(x + 2) = 3 x 1+ x - x 1+ x - x 1 1 1 + ® ® ®
f (x) - f (1) ax + b - 2 ax - a lim = lim = lim
= a(Do b = 2 - a ) x 1- x - x 1- x - x 1 1 1 - ® ® ® x -1 ìa = 3
Hàm có đạo hàm tại x = 1 Û í . îb = 1 -
Câu 8: [MĐ2] Một chất điểm chuyển động theo phương trình 2
s(t) = t + 3t + ,
1 trong đó t > 0, t tính
bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 8 giây. A. 21 m/s. B. 26 m/s. C. 10 m/s. D. 25 m/s. Lời giải Chọn A
Ta có v(t) = s (¢t) = 2t + 3
Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 8 giây là v(8) = 21 m/s
Câu 9: [MĐ1] Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C) và điểm M x ; f (x ) Î(C) 0 ( 0 0 ) . Phương trình
tiếp tuyến với (C) tại M là 0
A. y = f ¢(x x - x .
y = f ¢(x x - x - y . 0 ) ( 0 ) 0 ) ( 0 ) B. 0
C. y + y = f ¢ x (x + x ).
y - y = f ¢ x x - x . 0 ( 0)( 0 ) 0 ( 0) D. 0 Lời giải Chọn D
Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại M (x ; y Î C 0 0 ) ( )là
y = f ¢(x x - x + y
y - y = f ¢ x x - x . 0 ( 0)( 0 ) 0 ) ( 0 ) hoặc 0
Câu 10: [MĐ1] Đạo hàm của hàm số x
y = e + x - 2023 bằng A. x 1 xe - + . 1 B. x 1 xe - + 2023. C. x e + 1. D. x e + x . Lời giải Chọn C Ta có: x y¢ = e + . 1
Câu 11: [MĐ1] Tính đạo hàm của hàm số y = cos x - ln x .
A. y¢ = sin x + 1 x.
B. y¢ = -cos x - 1 .
C. y¢ = cos x + 1 .
D. y¢ = -sin x - . x x x Lời giải Chọn D 1
Ta có: y¢ = -sin x - . x
Câu 12: [MĐ1] Chọn khẳng định đúng.
A. (u -v)' = u'v -uv'. B. ( .
u v)' = u'v - uv'.
æ u ¢ö u .¢v - u.v¢ æ u ¢ö .
u v¢ - u '.v C. = ; v = v x ¹ 0 ç ÷ = , v = v x ¹ 0 ç ÷ 2 ( ( ) ) 2 ( ( ) ). D. . è v ø v è v ø v Lời giải Chọn C
Câu 13: [MĐ1] Cho hai hàm số y = f (u) = sinu và u = g (x) = 2x + 3. Tìm hàm hợp của hàm số
y = f (g (x))?
A. y = f (g (x)) = sin(2x + )
3 . B. y = f (g (x)) = sin .
u sin (2x + 3).
C. y = f (g (x)) = (2x + )
3 .sin u. D. y = f (g (x)) = 2sin x + 3. Lời giải Chọn A
Ta có: y = f (g (x)) = f (2x + ) 3 = sin (2x + ) 3 . sin 2x
Câu 14: [MĐ2] Tính lim ? x®0 x A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn C Ta có: sin 2x sin 2x æ sin 2x ö sin 2x lim = lim = lim 2. = 2.lim = 2.1 = 2. ç ÷ x®0 x®0 x 1 x®0 x®0 è 2x ø 2 .2 x x 2 +
Câu 15: [MĐ2] Đạo hàm của hàm số 2x 1 y = bằng 1 - x -2 3 - A. y¢ = . B. y¢ = . C. 3 y¢ = 2 - . D. y¢ = . (1- x)2 (x - )2 1 (x - )2 1 Lời giải Chọn B
(2x )1¢ .(1 x) (1 x)¢ + - - - .(2x + ) 1 2(1- x) - (- ) 1 (2x + ) 1 2 - 2x + 2x +1 3 Ta có: y¢ = = = = . (1- x)2 (x - )2 1 (x - )2 1 (x - )2 1
Câu 16: [MĐ2] Cho chuyển động được xác định bởi phương trình 3 2
S = 2t + 3t + 5t , trong đó t được
tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Vận tốc của chuyển động khi t = 2s là: A. 36 ( m/s). B. 41( m/s). C. 24 ( m/s). D. 20 ( m/s). Lời giải Chọn B
Ta có: v(t) = s¢(t) 2
= 6t + 6t + 5 suy ra v(2) = 41m /s. 3
Câu 17: [MĐ2] Cho hàm số y = f (x) 3 2 = 2
- x - x + 9x + 2025. Giải bất phương trình f ¢(x) > 0 2 3
A. - £ x £ 1. B. 1 - < x < 3 1.
C. x < - hay x > 3
1. D. - < x < 1. 2 2 2 Lời giải Chọn D
Ta có: y¢ = f ¢(x) 2 = 6 - x - 3x + 9. f ¢(x) 3 2 > 0 Û 6
- x - 3x + 9 > 0 Û - < x <1. 2
Câu 18: [MĐ3] Hàm số 2 y = sin .
x cos x có đạo hàm là A. y¢ = x ( 2 sin . 3cos x - ) 1 . B. y¢ = x ( 2 sin . 3cos x + ) 1 . C. y¢ = x ( 2 sin . cos x + ) 1 . D. y¢ = x ( 2 sin . cos x - ) 1 . Lời giải Chọn A Ta có: y ( 2 x)¢ 2 sin .cos x sin . x (cos x)¢ ¢ = + 2 y¢ = 2sin . x cos . x cos x + sin . x (-sin x) 2 3 y¢ = 2sin .
x cos x - sin x y¢ = x ( 2 2
sin . 2cos x - sin x) y¢ = x ( 2 sin . 3cos x - ) 1 x -1
Câu 19: [MĐ3] Cho hàm số y = f (x) = x " Î! , ta có 2 x +1 2x 2 1 - x
A. f '(x) = .
B. f '( x) ( ) = . 2 x +1 (x + )3 2 1 1+ x 2. 1 + x
C. f '( x) = .
D. f '( x) ( ) = . (x + )3 2 1 (x + )3 2 1 Lời giải Chọn C ( ¢ x - )¢ 2
1 . x +1 - ( x - ) 1 .( 2x +1)
Ta có: y¢ = f ¢( x) = 2 x +1 æ x ö 2
1. x +1 - ( x - ) 1 .ç ÷ 2 è x +1 y ø ¢ = 2 x +1 2 x +1- ( 2 x - x) y¢ = ( 2x + ) 2 1 . x +1 1+ x y¢ = . (x + )3 2 1
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian, phép chiếu vuông góc.
Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a , b , c . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b.
B. Nếu a // b và c ^ a thì c ^ b .
C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b.
D. Nếu a và b cùng nằm trong mp (a ) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.
Lời giải Chọn B
Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau. C sai do:
Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông góc chung của a và
b . Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng bằng 90° , nhưng hiển nhiên hai đường
thẳng a và b không song song.
D sai do: giả sử a vuông góc với c , b song song với c , khi đó góc giữa a và c bằng 90° , còn góc
giữa b và c bằng 0°. Do đó B đúng. a 3
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a , IJ =
( I , J lần lượt là trung điểm của BC và 2
AD ). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 30° . B. 45°. C. 60° . D. 90° . Lời giải Chọn C A J M O B D N I C
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC . Ta có: ì 1 1 a
ïMI = NI = AB = CD = í 2 2
2 Þ MINJ là hình thoi.
ïîMI // AB // CD // NI
Gọi O là giao điểm của MN và IJ . Ta có: ∑ ∑ MIN = 2MIO. a 3 IO 3 Xét MI
D O vuông tại O , ta có: ∑ 4 ∑ ∑ cos MIO = = =
Þ MIO = 30° Þ MIN = 60°. MI a 2 2
Mà: ( AB CD) = (IM IN) ∑ , , = MIN = 60°.
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD . Mặt phẳng (P) song song với AB và CD
lần lượt cắt BC, D , B ,
AD AC tại M , N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang.
B. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật.
D. Tứ giác không phải là hình thang. Lời giải Chọn C ( ì MNPQ ï )//AB Ta có: í Þ MQ//A . B ( ï MNPQ î )Ç( ABC) = MQ
Tương tự ta có: MN //C ,
D NP//AB, QP// D C .
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
lại có MN ^ MQ(do AB ^ CD ).
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos( , AB DM ) bằng 3 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 6 2 2 2 Lời giải Chọn A A E B D H M C
Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a .
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp BC
D D Þ AH ^ (BCD).
Gọi E là trung điểm AC Þ ME // AB Þ ( A ,
B DM ) = (ME,MD) !!!" !!!!" Ta có:
(AB DM ) = (ME MD) = (ME MD) ∑ cos , cos , cos , = cos EMD .
Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của M D ED : a a ME = 3 , ED = MD = . 2 2 2 2 2 æ a ö
æ a 3 ö æ a 3 ö + ç ÷ ç ÷ - ç ÷ 2 2 2
ME + MD - ED è 2 ø 2 2 è ø è ø 3 Xét M D ED , ta có: ∑ cos EMD = = = . 2ME.MD a a 3 6 2. . 2 2 Từ đó: (AB DM ) 3 3 cos , = = . 6 6
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng
a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc (MN,SC )bằng A. 30° . B. 45°. C. 60° . D. 90° . Lời giải Chọn D S N A B M O D C
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Þ O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1).
Ta có: SA = SB = SC = SD Þ S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).
Từ (1) và (2) Þ SO ^ ( ABCD).
Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của SA
D D). Þ (MN,SC) = (S , A SC). 2 2 2 2 2
ìSA + SC = a + a = 2a ï Xét SA D C , ta có: í 2 Þ SA
D C vuông tại S Þ SA ^ SC . 2 ïAC = î (a 2) 2 = 2a Þ ( ,
SA SC) = (MN,SC) = 90°.
Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB = CD . Gọi I , J , E , F lần lượt là trung điểm của AC , BC ,
BD , AD . Góc giữa (IE, JF ) bằng A. 30° . B. 45°. C. 60° . D. 90° . Lời giải Chọn D A F I B E D J C
ìIJ // EF // AB Từ giả thiết ta có: í
(tính chất đường trung bình trong tam giác)
îJE // IF // CD
Từ đó suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành. 1 1
Mặt khác: AB = CD Þ IJ = AB = JE = CD Þ ABCD là hình thoi Þ IE ^ JF (tính chất hai đường 2 2 chéo của hình thoi)
Þ (IE,JF) = 90°.
Câu 7: [MĐ1] Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ ( ABCD). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
A. SA ^ SB .
B. SA ^ CD .
C. SA ^ BD .
D. SA ^ BC . Lời giải Chọn A
Ta có SA ^ ( ABCD) nên SA ^ CD , SA ^ BD và SA ^ BC .
Câu 8: [MĐ1] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của SC và SD (tham khảo hình vẽ). S N M A D B C
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. MN ^ AC .
B. MN ^ BD .
C. MN ^ AB .
D. MN ^ BC . Lời giải Chọn D S N M A D B C
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCD . Suy ra MN //CD ìMN//CD Ta có í Þ MN ^ BC îBC ^ CD
Câu 9: [MĐ1] (Chuyên đề - Quan hệ vuông góc - Strong - 2021-2022) Cho lăng trụ tam giác . ABC A B ¢ C
¢ ¢ có đáy là tam giác đều. Gọi M là trung điểm BC (tham khảo hình vẽ). A' C' B' A C M B
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. AM ^ A¢B¢.
B. AM ^ BB¢.
C. AM ^ B C ¢ ¢.
D. AM ^ A¢C¢ . Lời giải Chọn C A' C' B' A C M B
Do ABC là tam giác đều nên AM ^ BC . ìAM ^ BC Ta có í Þ AM ^ B C ¢ ¢. BC//B C ¢ ¢ î
Câu 10: [MĐ1] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ^ ( ABCD) (tham khảo hình dưới đây).
Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD) là A. ∑ ASD. B. ∑ DAS . C. ∑ SDA. D. ∑ SDC. Lời giải Chọn C
Câu 11: [MĐ2] Cho hình hộp chữ nhật ABC . D ¢
A B¢C¢D¢ có AB = a , AD = a 2 , ¢ AA = 3a (tham khảo hình vẽ)
Góc giữa đường thẳng ¢
A C và mặt phẳng ( ABCD) bằng A. 30° . B. 45°. C. 90° . D. 60° . Lời giải Chọn D Ta có: ¢ A C ( ∑
( ABCD) = ¢AC AC = ¢ACA. ) ∑ ( ) ∑ , , Mà: 2 2 2 2
AC = AB + AD = a + 2a = a 3 . ∑ ¢ AA 3 ¢ a ∑ tan A CA = = = 3 Þ ¢ A CA = 60°. Vậy ¢ A C ( ∑
( ABCD) = ¢ACA= °. ) ∑ , 60 AC a 3
Câu 12: [MĐ2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ^ ( ABCD). Biểu thức nào sau đây đúng?
A. SD ^ SB .
B. BD ^ SC .
C. SC ^ SB .
D. SD ^ CD . Lời giải Chọn D ìSA ^ CD Ta có í
Þ CD ^ (SAD) Þ CD ^ SD. îAD ^ CD
Câu 13: [MĐ2] (HSG - K11 - SGD Nam Định - Năm 2021 - 2022) Cho hai đường thẳng phân biệt
a,b và mặt phẳng (P), trong đó a ^ (P). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu b ^ (P) thì b// . a
B. Nếu b// (P) thì b ^ . a
C. Nếu b//a thì b ^ (P) .
D. Nếu b ^ a thì b// (P). Lời giải
Chọn D, vì b có thể chứa trong mp (P).
Câu 14: [MĐ2] Cho tứ diện OABC có ,
OA OB,OC đôi một vuông góc. Đường thẳng OA vuông góc
với đường thẳng nào sau đây? A. BC . B. AB . C. AC . D. OA . Lời giải Chọn A OA ì ^ OB Do í
Þ OA ^ (OBC) mà BC Ì (OBC) nên OA ^ BC . OA î ^ OC
Câu 15: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý nằm trong mỗi mặt phẳng.
B. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó
C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
D. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Lời giải Chọn B
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy (tham
khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và ( ABCD) bằng A. Góc ∑ SDA. B. Góc ∑ SCA C. Góc ∑ SCB . D. Góc ∑ ASD Lời giải Chọn A S A D B C CD ì ^ ï (SAD) Ta có í
Þ (( ABCD) (SCD)) ∑ , = SDA. ( ï ABCD î )Ç(SCD) = CD
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SB vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng (SBD)? A. (SBC) B. (SAD) C. (SCD) D. (SAC). Lời giải Chọn D ìAC ^ BD Ta có í
Þ AC ^ (SBD) Þ (SAC) ^ (SBD). îAC ^ SB
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , AB = BC = a , SA = a 3 ,
SA ^ ( ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC) là A. o 45 B. o 60 C. o 90 D. o 30
Lời giải Chọn B SA
Ta có BC ^ (SAB) Þ BC ^ SA. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC) là góc ∑ SBA. ∑ tan SBA = AB a 3 = = 3 ∑ o Þ SBA = 60 . a a 3
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a ; AD = . Mặt bên SAB 2
là tam giác cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Biết ∑ ASB =120°.
Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng: A. 60° . B. 30° . C. 45°. D. 90° . Lời giải Chọn A
Gọi H là trung điểm của AB , theo đề ra ta được SH ^ ( ABCD).
Dựng T , K lần lượt là hình chiếu của H lên SA, SB Þ HT ^ (SAD) và HK ^ (SBC). Vậy (SAD) ∑ (
; (SBC) = HT; HK . ) ∑ ( )
Xét tứ giác SKHT có hai góc vuông đối diện nhau nên SKHT là tứ giác nội tiếp ∑ Þ KHT = 60° do ∑ ASB =120°. Vậy (SAD) ∑ (
(SBC) = HT HK = KHT = °. ) ∑ ( ) ∑ ; ; 60
Câu 20: Trong lăng trụ đều, khẳng định nào sau đây sai?
A. Đáy là đa giác đều.
B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
C. Các cạnh bên là những đường cao.
D. Các mặt bên là những hình bình hành. Lời giải Chọn D
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt
bên là những hình chữ nhật.
Câu 21: [MĐ1] Thể tích của khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy B là
A. V = 3Bh . B. V = 1 Bh . C. V = 1 Bh.
D. V = Bh. 2 3 Lời giải Chọn D
Câu 22: [MĐ1] Một hình lập phương có độ dài cạnh bằng 2a . Thể tích khối lập phương đó là A. 3 4a . B. 3 a . C. 3 8a . D. 3 2a 2 . Lời giải Chọn C
Thể tích của khối lập phương là V = ( a)3 3 2 = 8a .
Câu 23: [MĐ1] Một khối chóp có thể tích bằng 12 và diện tích đáy bằng 4 . Chiều cao của khối chóp đó bằng 4 1 A. 3. B. . C. 9 . D. . 9 3 Lời giải Chọn C 3V 3.12
Chiều cao của khối chóp h = = = 9. S 4
Câu 24: [MĐ1] Cho hình lập phương ABC . D A¢B C ¢ D ¢ ¢ có cạnh bằng .
a Khoảng cách từ A ¢ đến mặt phẳng (ABCD) bằng a A. . B. 2 . a C. 3 . a D. . a 2 Lời giải Chọn D
Khoảng cách từ A
¢ đến mặt phẳng (ABCD) bằng AA¢= a.
Câu 25: [MĐ2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = a, AC = a 5, SA = 2 .
a Biết SA ^ ( ABCD) .Thể tích của khối chóp S.BCD là 3 2a 3 4a A. 3 V = a . B. 3 V = a . C. V = . D. V = . . 4 S BCD . 2 S BCD S.BCD 3 S.BCD 3 Lời giải Chọn C 1 1 1 1 2 3 V = S . A S = .S . A BC.CD = .2 . a 2 . a a = a . S.BCD 3 B D CD 3 2 6 3
Câu 26: [MĐ2] Cho khối lăng trụ đứng ABC.A¢B C
¢ ¢ có BB¢ = 2a , đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B và AC = a 2 (tham khảo hình vẽ)
Thể tích V của khối lăng trụ đã cho bằng 3 3 3 A. 3 a a a V = a . B. V = . C. V = . D. V = . 6 3 2 Lời giải Chọn A Ta có 2 2 2 2 2 2 2
AB + BC = AC Þ 2AB = 2a Þ AB = a . 1 1 Vậy 2 2 3
V = AB .BB¢ = .a .2a = a . 2 2
Câu 27: [MĐ2] Cho hình chóp S.ABC có ba cạnh bên SA = 1, SB = 2, SC = 3 đôi một vuông góc
với nhau. Chiều cao của hình chóp bằng 5 66 2 6 A. . B. . C. . D. . 6 11 3 7 Lời giải Chọn D
Hạ AK ^ BC , AH ^ DK , ta có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng AH . 1 1 1 Xét ABC D , ta có = + . 2 2 2 AK AB AC
Xét tam giác AKD , ta có 1 1 1 1 1 1 = + = + + 2 2 2 2 2 2 AH AD AK AD AB AC 1 1 1 49 = + + = 2 2 2 1 2 3 36 6 Þ AH = . 7
Câu 28: [MĐ2] Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A¢B C ¢ D ¢ ¢ có AB = ;
a AD = 2a (tham khảo hình vẽ
bên). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BDD B ¢ ¢ bằng a 5 a 5 2a 5 A. . B. a 5 . C. . D. . 2 5 5 Lời giải Chọn D
Ta có ( ABCD) ^ (BDD B
¢ ¢), kẻ AH ^ BD Þ AH ^^ (BDD B ¢ ¢) Þ d ( , A (BDD B ¢ ¢)) = AH . . AD AB 2a 5 Dễ thấy AH = = . 2 2 AB + AD 5
Câu 29: [MĐ1] Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a . Trên đường thẳng qua A vuông góc a 6
với ( ABC) lấy điểm S sao cho SA =
. Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và ( ABC). 2 A. 30° . B. 45°. C. 60° . D. 90° . Lời giải Chọn D
SA ^ ( ABC) Þ ( ,
SA ( ABC)) = 90°.
Câu 30: [MĐ1] Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc ( ABC). Góc giữa SC với ( ABC) là góc giữa
A. SC và AB .
B. SC và AC .
C. SC và BC .
D. SC và SB . Lời giải Chọn C
Ta có: BC là hình chiếu vuông góc của SC xuống ( ABC) nên góc giữa SC với ( ABC) là góc giữa SC và BC .
Câu 31: [MĐ1] Cho hình lập phương ABC .
D EFGH , góc giữa đường thẳng EG và mặt phẳng (BCGF) là: A. 0°. B. 45°. C. 90° . D. 30° . Lời giải Chọn B ABC .
D EFGH là hình lập phương Þ EF ^ (BCGF) Þ góc giữa đường thẳng EG và mặt phẳng (BCGF) là ∑ EGF = 45°
Câu 32: [MĐ1] Cho hình chóp S.ABC có SA ^ ( ABC) và AB ^ BC . Góc phẳng nhị diện [ , A BC, S] là góc nào sau đây? A. ∑ SBA. B. ∑ SCA. C. ∑ S . CB D. ∂
SIA với I là
trung điểm của BC . Lời giải Chọn A ìBC ^ AB Ta có í
Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB. îBC ^ SA Þ ((SBC) ∑ (ABC)) ∑ , = SBA. Góc phẳng nhị diện [ , A BC, S] là ∑ SBA.
Câu 33: [MĐ2] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng
cạnh đáy. Số đo của góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng A. 30° . B. 45°. C. 60° . D. 75° . Lời giải Chọn C
Gọi I = BH Ç AC .
Góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy là góc ∑ SBH . SH a Ta có ∑ tan SBH = = . HB HB AB a
Tam giác ABC đều Þ BH = = . 3 3 ∑ a ∑ Þ tan SBH = = 3 Þ SBH = 60°. a 3
Câu 34: [MĐ2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 3a, AD = 2a , SA
vuông góc với mặt phẳng ( ABCD), SA = a . Gọi j là góc giữa đường thẳng SC và ( ABCD). Khi đó tanj =? 13 11 7 5 A. . B. . C. . D. . 13 11 7 5 Lời giải Chọn A
Ta có AC là hình chiếu của SC trên ( ABCD) nên j = (SC ( ABCD)) = (SC AC) ∑ , , = SC A 13 2 2 SA a
AC = AD + AB = 13a, ∑ 13 tan SCA = = = . Vậy tanj = . AC 13a 13 13
Câu 35: [MĐ2] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết SA = a 3 , AC = a 2. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC) bằng? A. 30° . B. 45°. C. 60° . D. 90° . Lời giải Chọn C S A C B
Vì SA ^ (ABC) nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ( ABC) là góc ∑ SBA.
+Tam giác ABC vuông cân tại B nên AB = (a )2 2 2
2 suy ra AB = a SA a 3 +Khi đó ∑ ∑ 0 tan SBA = = = 3 Þ SBA = 60 . AB a
Câu 36: [MĐ2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có AB = 2a
, AD = DC = a , SA = a và SA ^ ( ABCD). Tan của góc phẳng nhị diện [ , A BC, S] là: 1 1 A. . B. 3 . C. 2 . D. . 3 2 Lời giải Chọn D Ta có ((SBC) ∑(ABCD)) ∑ , = ACS Góc phẳng nhị diện [ , A BC, S] là ∑ ACS Ta có 2 2
AC = AD + DC = a 2 ∑ SA 1 Þ tan ACS = = AC 2 II. PHẦN TỰ LUẬN. Phần: Đại số
Câu 1: [MĐ3] Trong một hội thao cấp trường, thời gian chạy 100 m của một nhóm học sinh nữ được ghi lại ở bảng sau: Giá trị [10,5;12,5) [12,5;14,5) [14,5;16,5) [16,5;18,5) [18,5;20,5) Tần số 3 12 15 24 2
Dựa vào bảng số liệu trên, ban tổ chức muốn chọn ra khoảng 50% số vận động viên chạy nhanh nhất
để tiếp tục thi vòng 2. Ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá bao nhiêu giây? Lời giải
Số vận động viên tham gia chạy là: n = 3 +12 +15 + 24 + 2 = 56 nên trung vị của mẫu số liệu là
1 (x + x )Î[14,5 6 ;1 , ) 5 . 28 29 2
Ta xác định được: n = 56; u =14,5; C = 3+12 =15; n =15;u =16,5 m m m 1 +
Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: n 56 -C -15 2 2 M = u + .(u - u ) =14,5+ .(16,5 -14,5) »16, 23 e m m 1 + m n 15 m
Vậy ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá 16,23 giây. 11 3 7 3 a .a m
Câu 2: [MĐ 3] Rút gọn biểu thức A =
với a > 0 ta được kết quả n
A = a trong đó , m n 4 7 5 a . a- * Î m
N và là phân số tối giản. Tính 2 2 m - n ? n Lời giải 11 7 11 3 7 6 19 3 3 3 a .a a .a a Ta có: 7 A = = = = a 5 - 23 4 7 5 a . a- 4 7 7 a .a a m Mà n A = a , , m n * Î m
N và là phân số tối giản n Þ m = 19,n = 7 2 2 Þ m - n = 312
Câu 3: [MĐ2] Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức t ( ) æ 1 T ö m t = m
, trong đó m là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0 ), m(t) là khối 0 ç ÷ è 2 ø 0
lượng chất phóng xạ tại thời điểm t , T là chu kì bán rã. Biết chu kì bán rã của một chất phóng xạ là 24
giờ. Ban đầu có 250 gam, hỏi sau 36 giờ thì chất đó còn lại bao nhiêu gam (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)? Lời giải t 36 æ 1 T ö 24 æ 1 ö
Công thức m(t) = m
với m = 250 gam, T = 24 giờ Þ m(36) = 250. » 88,4 gam. 0 ç ÷ ç ÷ è 2 ø 0 è 2 ø
Câu 4: [MĐ3] Chất phóng xạ polonium-210 có chu kì bán rã là 138 ngày. Điều này có nghĩa là cứ
sau 138 ngày, lượng polonium còn lại trong mẫu chỉ còn lại một nửa lượng ban đầu. Một mẫu 100 g có t 138 æ 1
khối lượng polonium-210 còn lại sau ö
t ngày được tính theo công thức M (t) =100.ç ÷ (g). Điều è 2 ø
kiện về thời gian để mẫu chất ngày còn lại không nhiều hơn 25 g là Lời giải Theo đề bài, ta có: t t t 2 138 138 138 æ 1 ö æ 1 ö 25 æ 1 ö æ 1 ö t M £ 25 Û 0 1 0. £ 25 Û £ Û £ Û
³ 2 Û t ³ 276 ngày. ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø 100 è 2 ø è 2 ø 3 1 8
Câu 5: [MĐ3] Một con lắc lò so chuyển động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không æ p ö
ma sát, có phương trình chuyển động x = 2cos p t - - 5 ç ÷
, trong đó t tính bằng giây (s) và x tính è 3 ø
bằng centimet (cm). Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0? Lời giải Chọn A æ p ö
Vận tốc tức thời của con lắc: v (t) = x¢ = - 2p sin pt - ç ÷. è 3 ø æ p ö æ p ö p
v (t) = 0 Û - 2p sin pt - = 0 Û sin pt -
= 0 Û pt - = kp; (k Î ç ÷ ç ÷ !) è 3 ø è 3 ø 3 1
Û t = + k; (k Î !). 3
Câu 6: [MĐ3] Một chiếc máy có hai động cơ hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và
động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt. Lời giải = Gọi A P( A)
là biến cố “Động cơ I chạy tốt”. Theo đề bài ta có 0,8. = Gọi B P(B)
là biến cố “Động cơ II chạy tốt”. Theo đề bài ta có 0,7.
Khi đó, biến cố “Có ít nhất 1 động cơ chạy tốt” là A B È A B È A B .
Vậy xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là
P ( AB È A B È AB ) = P( A)P(B) + P(A )P(B) + P( A) P(B ) = 0,8.0,7 + 0,2.0,7 + 0,8.0,3 = 0,94 Phần hình học:
Câu 1: Cho tứ diện ABCD AC = AD = BC = BD = a , ( ACD) ^ (BCD) và ( ABC) ^ ( ABD). Tính
độ dài cạnh CD. 2 3 3 A. a . B. a . C. 2a. D. 2 2a . 3 3 Lời giải Chọn A C a a N A M B a a D
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. AB D C = AB
D D Þ CM = DM . (ABC) ^(ABD) ∑ o Þ CMD = 90 . Þ MC D
D vuông cân tại M. Þ MN ^ CD .
Tương tự, ta cũng có ABN D
vuông cân tại N Þ MN ^ AB Đặt CD = 2 ,
x (0 < x < a) ta có:
CN = DN = MN = x . 2 2
AN = BN = a - x .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có: 1 1 1 2 1 3 + = Û = Û x = a. 2 2 2 2 2 2 AN BN MN a - x x 3 2 3 Þ CD = 2x = a. 3
Câu 2: [MĐ2] Cho khối lăng trụ ABC.A¢B C
¢ ¢ mà mặt bên ABB A
¢ ¢ có diện tích bằng 4 . Khoảng
cách giữa cạnh CC¢ và A¢B bằng 7 . Tính Thể tích khối lăng trụ? Lời giải A C B A' C' B'
Có d (CC ,¢ A B
¢ ) = d (CC ,¢(ABB A
¢ ¢)) = d (C,(ABB A
¢ ¢)) Þ d (C,(ABB A ¢ ¢)) = 7 1 1 28 ÞV = ¢ ¢ ¢ ¢
d C, ABB A .S ¢ ¢ = .4.7 = C.ABB A ( ( )) 3 ABB A 3 3 2 Đồng thời V ¢ ¢ = V ¢ ¢ ¢ -V ¢ ¢ ¢ = V C.ABB A ABC.A B C C.A B C ABC. 3 A B ¢ C ¢ ¢ 3 3 28 Suy ra V ¢ ¢ ¢ = V ¢ ¢ = . =14. ABC.A B C C. 2 ABB A 2 3
Câu 3: [MĐ3] Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a , AC = 2a , SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, SA = 2 .
a Gọi j là góc phẳng nhị diện [ ,
A SC, B]. Tính cosj = ? Lời giải S K H A C B
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB , SC khi đó ta có.Ta có AH ^ S , B AK ^ SC ( ) 1
SA ^ ( ABC) Þ SA ^ BC
Mặt khác BC ^ AB Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ AH (2).
Từ (1) và (2) Þ AH ^ SC (3).
Mặt khác ta lại có AK ^ SC (4).
Từ (3) và (4) ta có SC ^ ( AHK ) Þ SC ^ HK .
Vậy ( SAC) (SBC)) = ( AK HK) ∑ , , = AKH .
Do AH ^ (SBC) Þ AH ^ HK hay tam giác AHK vuông tại H . . AB SA 2a 5 AC.SA a 30 Ta có AH = = ; AK = = a 2 Þ HK = . 2 2 AB + SA 5 2 2 AC + SA 5 HK 15 Vậy cos AKH = = . AK 5
d) Tổ chức thực hiện:
GV: Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm
Chuyển giao
Giáo viên giao nhiệm vu chữa các câu hỏi cho các nhóm.
GV: Quan sát các nhóm và đôn đốc các nhóm thực hiện theo yêu cầu
Thực hiện
HS: Thực hiện yêu cầu của GV
GV: học sinh lên bảng trình bày vắn tắt lời giải và đáp án của câu hỏi mà
Báo cáo thảo luận nhóm được giao
Đánh giá, nhận
GV nhận xét câu trả lời của các đội, đánh giá thái độ làm việc, ghi nhận, tổng
xét, tổng hợp hợp kết quả

Tài liệu liên quan: