-
Thông tin
-
Quiz
Ôn tập Toán kinh tế 1 | Học viện Ngân Hàng
Ôn tập Toán kinh tế 1 | Học viện Ngân Hàng với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Toán kinh tế (HVNH) 45 tài liệu
Trường: Học viện Ngân hàng 1 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Nhóm 1:
Bài 1: cho mô hình thị trường của hàng hóa A
S 0,3 p 0 1
D 0,1p M q
0;0 1; 0
Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu nhập khả
dụng, q là giá hàng hóa B. a.
Giải thích ý nghĩa kinh tế của . b.
Hai hàng hóa A và B có quan hệ bổ sung hay thay thế.
Lời giải: a.
Khi giá hàng hóa A tăng 1% thì lượng cung hàng hóa A tăng %. b. D
.0,1pM q 0 q
Khi giá hàng hóa B tăng thì cầu hàng hóa A tăng. Vậy A và B là hai hàng hóa thay thế.
Bài 2: cho mô hình thị trường của hàng hóa A
S 0,3 p 0 1 D
0,1p M q 0;0 1; 0
Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng hóa B.
Phân tích ảnh hưởng của M, của q tới giá cân bằng.
Lời giải: Phương trình cân bằng:
S D 0,3p 0,1p M q 0,3p 0,1p M q 0 Gọi giá cân bằng là p* Đặt *
F( p , M , q) 0,3( *
p ) 0,1( p*) M q F * * 1 p 0,1. p M q M 0 *( 1 ) *( 1 ) M F 0,3. .p 0,1. .p M q * p
Vậy khi thu nhập tăng thì giá cân bằng trên thị trường hàng hóa A tăng. F * * 1 p q 0,1.. p M q 0 *( 1) *( 1) q F 0,3..p 0,1..p M q * p
Vậy khi giá hàng hóa B tăng, các yếu tố khác không đổi thì giá cân bằng trên thị trường hàng hóa A tăng.
Bài 3: cho mô hình thị trường của hàng hóa A 0,5 S 0,3p 2 0,7 1 D 0,1p M q
Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng hóa B.
Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng.
Lời giải: Phương trình cân bằng: 0,5 2 0,7 1 0,5 2 0,7 1
S D 0,3p
0,1p M q 0,3p 0,1p M q 0
Gọi giá cân bằng là p*, lượng cân bằng là Q*: Đặt F p M q
p 0,5 p ( 2) * * * 0,7 1 ( , , ) 0,3 0,1 M q Q S p 0,5 * * * 0,3 * * * Q S p * 2 0,3 1 0 ,5 * 0,1.0,7 0,15 p M q p 0 * *( 0 ,5) *( 3 ) 0,7 1 M p M 0,3.0,5.p 0,1.0.p M q
Vậy khi thu nhập tăng, p và q không đổi thì sản lượng cân bằng tăng.
Bài 4: cho mô hình thị trường của hàng hóa A
S 0,7 p 120
D 0,3M 0, 4 p 100
Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu nhập khả dụng.
Có ý kiến cho rằng lượng cân bằng không phụ thuộc vào thu nhập. ý kiến đó đúng hay sai.
Lời giải:
Điều kiện cân bằng S D 0,7 p 120 0,3M 0,4p 100 1,1p 0,3M 220
Gọi giá cân bằng là p* thì *
1,1p 0,3M 220 và p * phụ thuộc vào M.
Vậy ý kiến trên là sai.
Bài 5: cho mô hình thị trường của hàng hóa A
S 0,7 p 120
D 0,3M 0, 4 p 100 d
Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, Md là thu nhập khả dụng, M là thu nhập.
Giả sử nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t (0tới giá cân bằng.
Lời giải:
Thu nhập khả dụng là M (1t)M d Điều kiện cân bằng
S D 0,7 p 1
20 0,3(1t)M 0,4 p 100 1,1p 220 0,3(1t)M 0
Gọi giá cân bằng là p* , đặt F * p t M * , ,
1,1p 220 0,3(1 t)M F * p 0,3M t 0 t F 1,1 * p
Vậy khi các yếu tố khác không đổi, tăng thuế sẽ làm giá cân bằng giảm .
Bài 6: cho mô hình thị trường của hàng hóa A
S 0,7 p 120
D 0,3M 0, 4 p 100
Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu nhập.
Tại mức thu nhập M = 200 USD, giá hàng hóa p = 2USD . Lượng cầu hàng hóa A thay đổi thế
nào nếu thu nhập tăng 5% và giá hàng hóa giảm 2%
Lời giải: D M D 200 75 M . 0,3. M D 159,2 199 D p D 2 1 p . 0,4. p D 159,2 199
Nếu thu nhập tăng 5% và giá hàng hóa tăng 2% thì sự thay đổi của lượng cầu là 75 1 .5% .2% 1,8744% 199 199
Vậy lượng cầu tăng xấp xỉ 1,8744%.
Bài 7: cho mô hình thị trường của hàng hóa A 0,3 0 ,05 S 2,5p T 0,5 0,5 0,1 D 0,5p M q
Trong đó S, D là hàm cung, hàm cầu hàng hóa A, p là giá hàng hóa A, M là thu nhập khả dụng,
q là giá hàng hóa B, T là thuế. a.
Cho biết quan hệ giữa hai hàng hóa A và B. b.
Lượng cung thay đổi như thế nào khi giá hàng hóa A tăng 5% và thuế tăng 1%. Lời giải : a. D 0,5 0,5 0,9 0,5.0,1. p M q 0 q
Khi giá hàng hóa B tăng thì cầu hàng hóa A tăng. Vậy A và B là hai hàng hóa thay thế. b. S p S . 0,3 p p S S T S . 0 ,05 T T S
Nếu giá hàng hóa A tăng 5% và thuế tăng 1%. thì sự thay đổi của lượng cung là 0,3.5% 0,05.1% 1,45% Nhóm 2:
Bài 1: giả sử hàm cầu về một hàng hóa A có dạng D = 200 – 50p (p là giá, đơn vị triệu đồng).
một doanh nghiệp có 50 cơ sở giống hệt nhau cùng sản xuất mặt hàng A với hàng chi phí mỗi
cơ sở là TC = q2 (với q là sản lượng, đơn vị tấn). Hãy xác định lượng cung tối ưu của mỗi cơ sở
và giá cân bằng của thị trường.
Lời giải: Mô hình thị trường: S 50q D 200 50 p
Giá cân bằng thị trường p* = 4-q.
Hàm lợi nhuận của một cơ sở: 2
(4 q)q q max
Giải bài toán này tìm được q*=1 (tấn) và giá cân bằng thị trường là p* = 3 (triệu đồng). 2
Bài 2: cho hàm sản xuất ngắn hạn 3 2 Q
L 10L trong đó Q là sản lượng, L là số đơn vị lao 3 động. a.
Tìm mức sử dụng lao động để sản lượng tối đa. b.
Tính hệ số co giãn của Q theo L tại mức L = 5 và giải thích ý nghĩa kinh tế.
Lời giải: a. L thuộc (0,15)
Đk cần: Q’=-2L2+20L=0 nên L = 10.
Đk đủ: Q’’ = -4L+20. Q’’(10) <0
Vậy sản lượng đạt cực đại tại L = 10. b. dQ L Q 1,5 L dL Q
Tại mức sử dụng L = 5, nếu tăng số đơn vị lao động lên 1% thì sản lượng tăng xấp xỉ 1,5%. 3 Q
Bài 3: Một doanh nghiệp có hàm 2
TR 58Q 0,5Q và hàm tổng chi phí 2 TC
8,5Q 97Q FC 3
.a. Cho FC = 100, tìm mức cung Q* để lợi nhuận đạt tối đa.
b. Phân tích ảnh hưởng của FC tới Q* và * .
Lời giải: 3 a. Q FC = 100, 2 8Q 39Q 1 00 max 3
Điều kiện cần để đạt cực đại: 2
' Q 16Q 39 0 Q 3,Q 13 1 2
Điều kiện đủ để đạt cực đại : ' 2 Q 16
'(Q ) 10 0 L , '(Q ) 1 0 0(TM ) 1 2
Vậy mức cung Q* = 13 thì lợi nhuận đạt tối đa. 3 b. Q 2
8Q 39Q FC max 3
Sản lượng tối đa Q* thỏa mãn phương trình ’(Q*) = 0. Trong phương trình này không chứa * FC nên dQ 0 dFC
Vậy chi phí cố định không ảnh hưởng đến sản lượng tối ưu. Ta có: 3 ( * Q ) 2 * 8( * Q ) 39 * Q FC 3 * d 1
nên khi các yếu tố khác không đổi thì chi phí cố định tăng lên bao nhiêu đơn vị thì lợi dFC nhuận tối ưu g ả
i m đi bấy nhiêu đơn vị.
Bài 4: Một nhà độc quyền có hàm cầu và hàm tổng chi phí như sau: 2 p 200 ,
Q TC Q . Trong đó p là giá, Q là sản lượng.
Chính phủ đánh thuế với mức thuế t = 0,2USD trên mỗi sản phẩm bán ra. a.
Tìm mức cung để tối đa hóa lợi nhuận. b.
Sản lượng làm tối đa hóa lợi nhuận thay đổi như thế nào khi t thay đổi.
Lời giải: a. Hàm chi phí mới 2
TC Q 0, 2Q Hàm lợi nhuận mới 2 ( )
Q 200Q 2Q 0, 2Q 0 Q 200
Giải điều kiện cần và điều kiện đủ ta có mức cung để tối đa hóa lợi nhuận * Q 49, 95 . b. 2 ( )
Q 200Q 2Q tQ0 Q 20 0
Giải điều kiện cần và điều kiện đủ ta có mức cung để tối đa hóa lợi nhuận 200 * t Q 4 * Ta có dQ 1
0 nên thuế tăng, các yếu tố khác không đổi thì mức cung để tối đa hóa lợi dt 4 nhuận giảm.
Bài 5: Một hãng độc quyền có 3 2
TC Q Q 700Q FC , và doanh thu trung bình AR 2000 Q . a.
Phân tích tác động của FC tới mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận b.
Phân tích tác động của FC tới mức lợi nhuận tối đa.
Lời giải: a.
FC không tác động tới mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận b. Hàm lợi nhuận: 2 3 2 3
TR TC 2000Q Q Q Q 700Q FC Q
2700Q FC
Chi phí cố định tác động ngược chiều tới lợi nhuận tối đa. 1
Bài 6: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí 3 2 TC
Q 5Q 150 và chấp 3
nhận giá của thị trường p = 2000. (Q > 0) a.
Tìm sản lượng sao cho doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. b.
Nếu chính phủ đánh thuế T = 1500 thì sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và lợi nhuận
của doanh nghiệp thay đổi như thế nào ? Giải: 1 3 2
2000Q Q 5Q 150 3
a. Giải điều kiện cần và điều kiện đủ của cực trị ta tìm được Q*=40 b. 1 3 2
2000Q Q 5Q 1501500 3 Giải như câu a. Nhóm 3:
Bài 1: Cho mô hình thu nhập quốc dân
Y C I 0 G 0 C
150 0,8Y T T 0,2Y
Trong đó Y – Thu nhập, C – Tiêu dùng, T- Thuế, I0 – Đầu tư, G0 Chi tiêu chính phủ. a.
Tìm trạng thái cân bằng khi I0 = 300, G0 = 900. b.
Do suy thoái kinh tế nên MPC đối với thu nhập sau thuế chỉ còn 0,75. Gỉa sử I0 =
300, G0 bằng bao nhiêu thì ổn định được thu nhập.
Trả lời: Y C 1200 Y 3750 a.
Khi I0 = 300, G0 = 900 mô hình có dạng 0,8Y
C 0,8T 150 C 2550 0,2 Y T 0 T 750 b.
Theo giả thiết MPC = 0,75 và I0 = 300 nên mô hình có dạng
Y C 300 G0
0,75Y C 0,75T 150 0,75Y Y 300 G 0,75.0,2Y 150 0 0,2Y T 0 * 450 0 0,4 450 G Y G Y 0 0,4
Để ổn định được thu nhập quốc dân thì * 450 0 G Y
3750 G 1050 0 0,4
Bài 2: Cho mô hình thu nhập quốc dân
Y C I G0
C b b Y a , b 0 , i a b 1 0 1 i i 1 1 I a 0 1 a Y a2 0 r
Trong đó Y – Thu nhập, C – Tiêu dùng, r0 – lãi suất, I – Đầu tư, G0 - Chi tiêu chính phủ.
a. Xác định Y, C ở trạng thái cân bằng.
b. Cho b0 = 200, b1 = 0,7, a0 = 100, a1 = 0,2, a2 = 10, r0 = 8, G0 = 400; khi tăng chi
tiêu chính phủ lên 1% thì thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào?
Lời giải: a. Mô hình có dạng
Y C I G 0 1 b Y C 0 b a
1Y I a 2r0 a 0 1 1 1
Ta có D b 1
0 1 a b 0 1 1 1 a 0 1 1 G 1 1 0 D b 1 0 G
a a r b 0 Y 0 0 0 2 0 0 a a r 0 1 0 2 0 1 G 1 0 D b b
0 b b a a r a b b G 0 C 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 0 a a a r 1 1 0 2 0
Khi đó tại trạng thái cân bằn g G
a a r b
b b a a r a b b G * 0 0 2 0 0 * 0 1 0 2 0 1 0 1 0 Y , C 1 a b 1 1 1 1 a 1 b
b. Thay b0 = 200, b1 = 0,7, a0 = 100, a1 = 0,2, a2 = 10, r0 = 8, G0 = 400 vào thu nhập cân bằng ta có: 4 00 1 00 1 0.8 200 * Y 6200 1 0,2 0,7 * Y G Y 1 400 400 0 . . 10. 6452 0 G * G Y
1 a b 6200 6200 0 1 1
Khi tăng chi tiêu chính phủ lên 1% , các yếu tố khác không đổi thì thu nhập cân bằng tăng xấp xỉ 0,6452%. Bài 3: Cho mô hình
Y C I G X N
C 20 0,75Yd
G 20 0,1Y Y
(1t )Y (0 t 1) d
Trong đó Yd – Thu nhập khả dụng, C – Tiêu dùng, NX – Xuất khẩu ròng, I – Đầu tư, G- Chi
tiêu chính phủ, t – thuế suất.
Cho I = 100, NX = 60, tìm t để cân đối ngân sách.
Lời giải: Ta có I NX 40 * Y 0,75t 0,15 I = 100, NX = 60, thì 100 60 40 200 * Y 0,75t 0,15 0,75t 0,15 Thu thuế là: 200 * * t T tY 0,75t 0,15 Chi tiêu chính phủ 200 20 * G 20 0,1. 20 0,75t 0,15 0,75t 0,15
Để cân đối ngân sách thì 20 200 * * t
G T 20
0,75t 0,15 0,75t 0,15 t 23 20 0,75
0,15 20 200t t 12,4324% 185 Bài 4: Cho mô hình Y
C I 0
G0 EX 0 IM C 0,8Yd IM 0,2Y d Y t Y d (1 )
Trong đó Yd – Thu nhập khả dụng, Y – Thu nhập, C – Tiêu dùng, IM – Nhập khẩu, I0 – Đầu tư,
G0- Chi tiêu chính phủ,EX0 – xuất khẩu, t – thuế suất. Cho I0 = 300, EX0 = 200, t = 0,5. a.
Để thu nhập cân bằng là 2000 thì G0 bằng bao nhiêu? b.
Với thu nhập cân bằng là 2000, nếu G0 tăng 1% thì nhập khẩu IM thay đổi như thế nào?
Trả lời: a. Ta có hệ Y
C IM I 0 G0 EX 0 * I 0 G0 EX 0 C 0,8(1 ) t Y
Y 0,4 0,6t IM 0,2(1 t)Y
Thay I0 = 300, EX0 = 200, t = 0,5, ta có * 300 G 200 500 0 0 G Y 0,4 0,6.0,5 0,7 500 G
Để thu nhập cân bằng là 3000 thì 0 2000 G . 0 900 0,7 b.
I G EX * * IM t Y t 0 0 0 0,2(1 ) 0,2(1 ) 0,4 0,6t
Với thu nhập cân bằng là 2000, G0 = 900 * *
IM 0, 2(1t )Y 0,2(1t ) 500 G 500 900 0 0, 2(1 0,5) 200 0,7 0,7 * * IM G IM 0,2(1 0,5) 900 0 . 0,6429 0 G * G IM 0,4 0,6.0,5 200 0
Nếu G0 tăng 1%, các yếu tố khác không đổi thì nhập khẩu tăng xấp xỉ 0,6429%. Nhóm 4: k
Bài 1: lượng cầu hàng hóa A phụ thuộc vào giá hàng hóa A như sau D
(k ,n 0) . Hệ số co n p
giãn của cầu hàng hóa A theo giá có phụ thuộc vào giá hàng hóa đó không? Giải: Ta có dD p D .
n 0 không phụ thuộc vào giá p. p dp D
Bài 2: Lợi nhuận hàng năm (Y) của một công ty có dạn g 0,1 0,05 Y 0,4R T
trong đó R là doanh thu của công ty, T là thuế suất phải nộp cho nhà nước.
Khi thuế suất tăng 5% và doanh thu của công ty tăng 10% thì lợi nhuận của công ty thay đổi như thế nào? Lời giải:
Do hàm Y có dạng hàm Cobb-Douglas nên Y 0,1 Y 0 ,05 R T
Khi thuế suất tăng 5% và doanh thu của công ty tăng 10% thì lợi nhuận của công ty thay đổi là: 5. Y 10 Y 5.( 0 ,05) 10.0,1 0,75 T R
Vậy khi thuế suất tăng 5% và doanh thu của công ty tăng 10% thì lợi nhuận của công ty tăng 0,75%.
Bài 3: mức cầu dầu mỏ (D) của một quốc gia phụ thuộc vào giá dầu trên thế giới (p), thu nhập
quốc dân (M), sản lượng than (A) của quốc gia đó có dạng: 0,3 0,2 0 ,3 D p M A a.
Nếu các yếu tố p, M, A đều tăng 1 % thì mức cầu sẽ b ế i n động như thế nào? b.
Nếu giá dầu trên thị trường quốc tế tăng 10%, thu nhập không đổi mà muốn ổn
định mức tiêu thụ dầu, quốc gia cần có biện pháp gì?
Bài 4: Cho hàm sản xuất 0,4 0,6 Q 20L K a.
Cho biết việc tăng quy mô thì hiệu quả sản xuất như thế nào? b.
Tính hệ số co giãn toàn phần của Q theo các yếu tố và giải thích ý nghĩa kinh tế. Lời giải :
a. Việc tăng quy mô không làm tăng hiệu quả sản xuất.
b. Hệ số co giãn toàn phần của Q theo các yếu tố bằng 1.
Bài 5 : Cho hàm lợi ích của hộ gia đình như sau 0,3 2
U 2X X trong đó X1, X2 là số đơn vị hàng 1 2
hóa 1 và 2. Tại X1 = 10, X2 = 20, nếu giảm X2 đi một đơn vị thì X1 thay đổi như thế nào để lợi
ích của hộ gia đình không thay đổi ?
Bài 6: Cho hàm chi phí trung bình AC=60+3Q. a. Tìm hàm MC. b.
Tại mức sản lượng Q = 7, khi tăng sản lượng lên 1% thì tổng chi phí thay đổi như thế nào?
Lời giải: a. 2 TC = 60Q+3Q MC=TC’=60+6Q b. dTC Q TC Q 7 . 60 6.7 1,2593 dQ TC 60.7 3.49
Tại mức sản lượng Q = 7, khi tăng sản lượng lên 1% thì tổng chi phí tăng xấp xỉ 1,593%. Nhóm 5:
Bài 1: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất 0,5 0,5 Q K
L trong đó Q là sản lượng. Giá của một
đơn vị K là 5 USD, giá của một đơn vị L là 2 USD và ngân sách cố định (M) là 3500 USD. a.
Hãy xác định giá trị K, L để tối đa hóa sản lượng. b.
Phân tích tác động của ngân sách, giá của các yếu tố đầu vào tới mức sản lượng tối đa Trả lời: a. Mô hình hóa
Bài toán tối đa hóa sản lượng có dạng: Tìm K, L sao cho 0,5 0,5 Q K
L max với điều kiện ràng
buộc về ngân sách: 5K 2L 3500
Biến nội sinh là Q, K,L .
Giải mô hình: Lập hàm Lagrange 0,5 0,5 La K
L 3500 5K 2L
Điều kiện cần của cực trị: giải hệ phương trình: La 0 ,5 0,5K 5 0 (1) K L a 0,5 0,5L 2 0 (2) L L
a 35005K 2L 0 (3)
Từ (1) và (2) suy ra: L 5 L 25 25 L K K 2 K 4 4
Thay vào phương trình (3) ta được: 25 * * * 1 3500 5K 2.
K 0 K 200 L 1250, 4 100 2
Điều kiện đủ của cực trị: Tại điểm (K*, L*, *) = (200, 1250, lập định thức √ 0 g1 g 2 H 1 g 1 L 1 1 L 2 2 g 2 L 1 2 L 2
Với g g ' 5, g g ' 2, ' L La 0. 1 K 2 L 12 KL ' 1 ,5 1 ,5 ' 1 ,5 1 ,5 L La 0,5.(0,5)K
0,25.200 ; L La 0,5.(0,5)L 0,25.1250 11 KK 22 LL 0 5 2 Ta có 1 ,5 H 5 0, 25.200 0 0 1 ,5 2 0 0 ,25.1250
Vậy, với ngân sách cố định M=3500, khi K* = 200, L* = 1250 thì sản lượng tối đa.
b. Gọi sản lượng tối đa tại mức ngân sách 3500 là Q*. Ta có: * Q 1 * 0,01414 0 M 100 2
Vậy, tại mức ngân sách M=3500, khi ngân sách tăng 1 đơn vị thì sản lượng tối đa tăng xấp xỉ là 0,01414 đơn vị.
Bài 2: Hàm lợi ích của hộ gia đình khi tiêu thụ hàng hóa A, B có dạng 0,25 0,5 U 40X X trong đó A B
XA, XB là mức tiêu dùng hàng A, B, giá hàng tương ứng là pA = 2, pB = 5. a.
Xác định mức cầu hàng hóa A, B của hộ gia đình để tối đa hóa lợi ích nếu thu nhập là M=300. b.
Khi Thu nhập M tăng 1 đơn vị thì lợi ích tối đa thay đổi như thế nào? Lời giải:
a. Mô hình hóa: Ta có mô hình: Tìm X 0,25 0,5
A, XB sao cho U 40X X max với điều kiện A B 2X X . A 5 B 300 Giải mô hình:
Điều kiện cần: lập hàm Lagrăng 0,25 0,5 L 40X X
300 2X 5X A B A B Xét hệ phương trình: L 0 ,75 0,5 10 X X A B 2 0 X A 0,75 0,5 5X X A B L 0,25 0 ,5 0,25 0 ,5 20X X A B 5 0 4X X A B X B 300
2X 5X 0 A B L
300 2X 5X 0 A B Do đó: 0,75 0,5 0,25 0 ,5 5X X 4X X 5X 4X A B A B B A
Thay vào phương trình thứ 3: 300 2X 4X 0 X 50, X 40 . A A A B
Điều kiện đủ: lập định thức 0 g1 g 2 H 1 g 1 L 1 1 L 2 2 g 2 L 1 2 L 2 Với g g '
2, g g ' 5 , ' 0,75 0,5 0,75 0,5 L L 5X X 5.50 .40 1 X 2 X 12 X X A B A B A B ' 1 ,75 0,5 1 ,75 0,5 ' 0,25 1 ,5 0,25 1 ,5 L L 7,5X X 7,5.50
.40 ;L L 10X X 10.50 .40 2 2 11 X A B 22 X A B A B 0 1 g g2 Ta có H g L L 0 1 11 12 2 g 2 L 1 2 L 2 Vậy X X
thì lợi ích được tối đa. A 50, B 40
b. Gọi lợi ích tối đa là U* thì ta có:
Vậy khi thu nhập M tăng 1 đơn vị thì lọi ích tối đa tăng 1,6818 đơn vị.
Bài 3: Bài 31 trong sách bài tập Nhóm 6: Bài 2: Cho bài toán
f(x) = -6x1 + 14x2 – 5/2x3 + 4 x4 min -3x1 - 2x2 +2x3 -72 (1) -3x2 + x3 + 2 x4 = 60 (2)
4x1 + 3x 2 + 2x3 - 2x4 = -36 (3) xj 0 (j = 1, 2, 3, 4)
a. Viết bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho và chỉ rõ các cặp ràng buộc đối ngẫu.
b. Xác định tập phương án tối ưu của cặp bài toán đối ngẫu.
c. Tìm các phương án cực biên tối ưu của bài toán gốc và một PATU của bài toán gốc có x3=4. Gi¶i: a) Bµi to¸n ®èi ngÉu: ~ f ( )
y = -72 y + 60 y - 36y ma x 1 2 3 - 3y + 4y - 1 3 6 (1’) - 2y - 3y + 3y 1 2 3 14 (2’) 2y + y + 2y -5/2 (3’) 1 2 3 2 y - 2y 2 3 4 (4’) y 0 1
C¸c cÆp rµng buéc ®èi ngÉu: x 0 1 (1’) x 0 2 (2’) x 0 3 (3’) x 0 4 (4’) (1) y 0 1
b) - Gi¶i bµi to¸n gèc b»ng ph- ¬ng ph¸p ®¬n h×nh f(x) = -6x + 14x 1 2 – 5/2x + 4 x min 3 4 3x + 2x -2x + x = 72 1 2 3 5 -3x + x + 2 x = 60 2 3 4 -4x - 3x - 2x + 2x = 36 1 2 3 4 xj 0 (j = 1, …, 5) Lập bài toán phụ: P = xg g 2 + x 3 min 3x1 + 2x2 -2x3 + x5 = 72 -3x2 + x3 + 2 x4 + xg2 = 60 -4x g 1 - 3x 2 - 2x3 + 2x4 + x 3 = 3 6 x g g
j 0 (j = 1, …, 5); x 2 , x 3 0 Bảng đơn hình: -6 14 -5/2 4 0 1 1 Hệ Cơ sở P. Án x1 x2 x3 x4 x5 xg2 xg3 số 0 x5 72 3 2 -2 0 1 0 0 1 xg2 60 0 -3 1 2 0 1 0 1 xg3 36 -4 -3 -2 2 0 0 1 P(x, x ) g 96 -4 -6 -1 4 0 0 0 0 x5 72 3 2 -2 0 1 0 1 xg2 24 4 0 3 0 0 1 0 x4 18 -2 -3/2 -1 1 0 0 P(x, x ) g 24 4 0 3 0 0 0 0 x5 54 0 2 -17/4 0 1 -6 x1 6 1 0 3/4 0 0 4 x4 30 0 -3/2 1/2 1 0 f(x) 84 0 -20 0 0 0
- Bµi to¸n chÝnh t¾c t- ¬ng ®- ¬ng víi bµi to¸n ®· cho cã PACB tèi - u lµ :
*=(6, 0, 0, 30, 54) vµ f(x) = 84 min
- Bµi to¸n ®· cho ph- ¬ng ¸n tèi - u x* = (6, 0, 0, 30) vµ f(x) = 84. min
- X¸c ®Þnh tËp PATU cña bµi to¸n gèc :
Tõ PACBTUx*=(6, 0, 0, 30, 54), vµ ph- ¬ng kh«ng ®æi z3 = ( -3/4, 0, 1, -1/2, 17/4) ta ®- îc c¸c
PATU cña bµi to¸n chÝnh t¾c t- ¬ng ®- ¬ng víi bµi to¸n ®· cho:
x() = *+ .z3 / 0 8
hay x()=(6 - 3/4, 0, , 30 - 1/2, 54 + 17/4. )/ 0 8
VËy tËp PATU cña bµi to¸n gèc: X = x = (6 - 3/4, 0, , 30 - 1/2)/ 0 8.
- X¸c ®Þnh tËp PATU cña bµi to¸n ®èi ngÉu: Do PATU x* cña bµi to¸n gèc tháa m·n láng c¸c
rµng buéc (1), x 0, x 0 nªn mäi PATU y cña bµi to¸n ®èi ngÉu ph¶i tháa m·n hÖ ph- ¬ng 1 4 tr×nh sau: y 1 0 y 0 1 1
3y 4y 6 y 1 3 2 2
2y 2y 4 2 3 y 3 3/ 2
Vecto y* = ( 0, 1/2, -3/2) tháa m·n tÊt c¶ c¸c rµng buéc cßn l¹i cña bµi to¸n ®èi ngÉu, tøc lµ y*
= ( 0, 1/2, -3/2) lµ Ph- ¬ng ¸n cña bµi to¸n ®èi ngÉu nªn y* = ( 0, 1/2, -3/2) lµ PATU duy nhÊt cña bµi to¸n ®èi ngÉu.
VËy tËp PATU cña bµi to¸n ®èi ngÉu: Y = y* = ( 0, 1/2, -3/2)
c)-T×m c¸c PACB tèi - u cña bµi to¸n gèc:
Cho = 0 ta t×m ®- îc PACB TU x* = (6, 0, 0, 30)
Cho =8 ta t×m ®- îc PACB TU x1 = (0, 0, 8, 26)
- PATU cña bµi to¸n gèc cã x =4 = 4 nªn PATU cÇn t×m cña bµi to¸n gèc lµ: 3 x2 =(3,0, 4, 28). Bµi 3: T×m x = (x , x ) sao cho 1 2, …, x5
f(x) = -x1 - 14x2 - 2x3 - 3x4 + 8x5 min
9/2x2 +2x4 - 3/2x5 - 7 (1) x1 + 4x2 + x4 - 2x5 = 50 (2) -7/2x2 - x + 4 3/2x5 -40 (3) x2 +2 x3 - x5 = 10 (4) xj 0 (j = 5 , 1 )
a)T×m tËp ph- ¬ng ¸n tèi - u cña cÆp bµi to¸n ®èi ngÉu.
b) T×m c¸c ph- ¬ng ¸n tèi - u cùc biªn cña bµi to¸n ®· cho. Giải HS CS PA -1 -14 -2 -3 8 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 x6 7 0 -9/2 0 -2 3/2 1 0 -1 x1 50 1 4 0 1 -2 0 0 0 x7 40 0 7/2 0 1 -3/2 0 1 -2 x3 5 0 [1/2 1 0 -1/2 0 0 f(x) -60 0 9 0 2 -5 0 0 0 x6 52 0 0 9 -2 -3 1 0 -1 x1 10 1 0 -8 1 2 0 0 0 x7 5 0 0 -7 1 [2 0 1 -14 x2 10 0 1 2 0 -1 0 0 dc f(x) -150 0 0 -18 2 4 0 0 0 x6 119/2 0 0 -3/2 -1/2 0 1 3/2 -1 x1 5 1 0 -1 0 0 0 -1 8 x5 5/2 0 0 -7/2 1/2 1 0 1/2 dc -14 x2 25/2 0 1 -3/2 1/2 0 0 1/2 f(x) -160 0 0 -4 0 0 0 -2 a)
(C¸ch tr×nh bµy t-¬ng tù nh- bµi tËp trªn, ë ®©y c« lµm t¾t)
Bµi to¸n gèc cã Pat- x* = (5, 25/2, 0, 0, 5/2)
-TËp PAT¦ cña bµi to¸n gèc:
X = x=(5, 25/2 -1/2. , 0, , 5/2-1/2.) 0 5.
-TËp PAT¦ cña bµi to¸n ®èi ngÉu: Y = y* = (0, -1, 2, 3)
b) TËp c¸c ph- ¬ng ¸n tèi - u kh«ng cùc biªn cña bµi to¸n gèc
X’ = x=(5, 25/2 -1/2. , 0, , 5/2-1/2.) 0 < < 5. Bµi 4:
Cho bµi to¸n: T×m x = (x1, x2, …, x5) sao cho 3 f(x) = -2x1 + x2 + x 2 3 + 3x4 - x5 max
2x1 - 3x2 - x3 - 2x4 + 6x5 = -12 (1) 7 -5x1 + x 2 2 +3x4 - 5x5 22 (2)
8x1 - x2 - 2x4 + 4x5 76 (3) xj 0 (j = 5 , 1 )
a)T×m tËp ph- ¬ng ¸n tèi - u cña cÆp bµi to¸n ®èi ngÉu.
b)Khi f(x) min, t×m tËp ph- ¬ng ¸n tèi - u cña bµi to¸n ®èi ngÉu. cJ J xJ -2 1 3/2 3 -1 0 0 1 x1 x 2 x 3 x4 x5 x6 x7 xg2 0 x3 12 -2 [3 1 2 -6 0 0 0 1 xg2 22 -5 7/2 0 3 -5 -1 0 1 0 x7 76 8 -1 0 -2 4 0 1 0 P 22 -5 7/2 0 3 -5 - 1 0 0 0 x2 4 -2/3 1 1/3 2/3 -2 0 0 0 dc 1 xg2 8 -8/3 0 -7/6 2/3 [2 - 1 0 1 0 x7 80 22/3 0 1/3 -4/3 2 0 1 0 P 8 -8/3 0 1 x2 12 -10/3 1 -5/6 [4/3 0 -1 0 -1 x5 4 -4/3 0 -7/12 1/3 1 -1/2 0 * 0 x7 72 10 0 3/2 -2 0 1 1 f x) 8 0 0 -7/4 -2 0 -1/2 0 3 x4 9 -5/2 3/4 -5/8 1 0 -3/4 0 * -1 x5 1 -1/2 -1/4 -3/8 0 1 -1/4 0 0 x7 90 5 3/2 1/4 0 0 -1/2 1 f(x) 26 -5 3/2 -3 0 0 -2 0
a)Tõ b¶ng ®¬n h×nh thø 4, ta cã = -2 < 0 mµ x 0 (jJ) nªn bµi to¸n gèc kh«ng gi¶i 6 j6
®- îc, do ®ã bµi to¸n ®èi ngÉu còng kh«ng gi¶i ®- îc. TËp PATU cña cÆp bµi to¸n ®èi ngÉu lµ tËp rçng.
b) C¸c PACB ë b¶ng ®¬n h×nh thø 3 vµ thø 4 cña bµi to¸n ®· cho còng lµ PACB khi f(x)
min. Tõ b¶ng ®¬n h×nh thø 3 ta ®- ¬c:
Bµi to¸n bµi to¸n chÝnh t¾c t- ¬ng ®- ¬ng víi bµi to¸n gèc cã PAT¦ x* = (0, 12, 0, 0, 4, 0, 72) víi f(x) = 8, min
Tõ PAT¦ x* = (0, 12, 0, 0, 4, 0, 72) vµ ph- ¬ng kh«ng ®æi z1 = (1, 10/3, 0, 0, 4/3, 0, -10) ta
suy ra bµi to¸n chÝnh t¾c ®- ¬ng ®- ¬ng vãi bµi to¸n gèc cã c¸c PATU
x() = x* + .z1 / 0 7,2
-TËp PAT¦ cña bµi to¸n gèc:
X = (, 12+10/3, 0, 0, 4+4/3) 0 7,2.
- X¸c ®Þnh tËp PAT¦ cña bµi to¸n ®èi ngÉu: (c¸ch tr×nh bµy nh- c©u b) cña bµi 2 nhÐ) ta cã hÖ p.tr×nh 1 y 0 y 3 1 4
3 y 7 / 2 y y 1 1 1 2 3 y 2
6y 5y 4y 1 2 1 2 3 y 0 3
VËy tËp PAT¦ cña bµi to¸n ®èi ngÉu: Y = y* = (1/4, 1/2, 0) Nhóm 7:
Bài 1: T×m x = (x1, x2, …, x5) sao cho
f(x) = -x1 - 14x2 - 2x3 - 3x4 + 8x5 min
9/2x2 +2x4 - 3/2x5 - 7 (1) x1 + 4x2 + x4 - 2x5 = 50 (2) -7/2x2 - x + 4 3/2x5 -40 (3) x2 +2 x3 - x5 = 10 (4) xj 0 (j = 5 , 1 ) a)
Gi¶i bµi to¸n ®· cho b»ng ph- ¬ng ph¸p ®¬n h×nh. b)
T×m tËp ph- ¬ng ¸n tèi - u cña cÆp bµi to¸n ®èi ngÉu. c)
T×m mét ph- ¬ng ¸n tèi - u cña bµi to¸n gèc cã thµnh phÇn x = 3 4
d) T×m c¸c ph- ¬ng ¸n tèi - u kh«ng cùc biªn cña bµi to¸n ®· cho. Giải
a) f(x) = -x1 - 14x2 - 2x3 - 3x4 + 8x5 min -9/2x2 -2x4 + 3/2x5 + x6 = 7 (1) x1 + 4x2 + x4 - 2x5 = 50 (2) 7/2x2 + x - 4 3/2x5 +x7 = 40 (3) 1/2x2 + x3 -1/2x5 = 5 (4) xj 0 (j = 1,7 ) cJ J xJ -1 -14 -2 -3 8 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 x6 7 0 -9/2 0 -2 3/2 1 0 -1 x1 50 1 4 0 1 -2 0 0 0 x7 40 0 7/2 0 1 -3/2 0 1 -2 x3 5 0 [1/2 1 0 -1/2 0 0 f(x) -60 0 9 0 2 -5 0 0 0 x6 52 0 0 9 -2 -3 1 0 -1 x1 10 1 0 -8 1 2 0 0 0 x7 5 0 0 -7 1 [2 0 1 -14 x2 10 0 1 2 0 -1 0 0 dc f(x) -150 0 0 -18 2 4 0 0 0 x6 119/2 0 0 -3/2 -1/2 0 1 3/2 -1 x1 5 1 0 -1 0 0 0 -1 8 x5 5/2 0 0 -7/2 1/2 1 0 1/2 dc -14 x2 25/2 0 1 -3/2 1/2 0 0 1/2 f(x) -160 0 0 -4 0 0 0 -2
a) Bµi to¸n gèc cã Pat- x* = (5, 25/2, 0, 0, 5/2)
-X¸c ®Þnh tËp PAT¦ cña bµi to¸n gèc:
Tõ b¶ng ®¬n h×nh thø 3 ta cã: x *=(5, 25/2, 0, 0, 5/2, 119/2, 0)
z4 =(0, -1/2, 0, 1, -1/2, 1/2, 0) XÐt c¸c PA :
x()= x*+.z4 = (5, 25/2-1/2, 0, , 5/2 -1/2,119/2+1/2, 0) víi 0 5
Ta cã f(x()=f( x *)-. = -160 = f(x) 4 min
x() là c¸c PATU cña bµi to¸n chÝnh t¾c t- ¬ng ®- ¬ng víi bµi to¸n ®· cho.
VËy tËp PAT¦ cña bµi to¸n gèc:
X= x = (5, 25/2-1/2, 0, , 5/2 -1/2) 0 5.
-TËp PAT¦ cña bµi to¸n ®èi ngÉu: Y = y* = (0, -1, 2, -3)
b) TËp c¸c ph- ¬ng ¸n tèi - u kh«ng cùc biªn cña bµi to¸n gèc
X’ = x = (5, 25/2-1/2, 0, , 5/2 -1/2,119/2+1/2, 0) 0 < < 5. Bµi 2:
Cho bµi to¸n: T×m x = (x , x ) sao cho 1 2, …, x5 3
f(x) = -2x + x + x + 3x - x max 1 2 2 3 4 5
2x - 3x - x - 2x + 6x = -12 (1) 1 2 3 4 5 7 -5x + x + 3x - 5x 22 (2) 1 2 2 4 5 8x - x - 2x + 4x 76 (3) 1 2 4 5 x 0 (j = 5 , 1 ) j
a)T×m tËp ph- ¬ng ¸n tèi - u cña cÆp bµi to¸n ®èi ngÉu.
b)Khi f(x) min, t×m tËp ph- ¬ng ¸n tèi - u cña bµi to¸n ®èi ngÉu. Gi¶i a)
Gi¶i bµi to¸n gèc b»ng ph- ¬ng ph¸p ®¬n h×nh:
- §- a bµi to¸n ®· cho vÒ d¹ng chÝnh t¾c víi vÕ ph¶i cña c¸c p.tr×nh kh«ng ©m. 3
f(x) = -2x + x + x + 3x - x ma x 1 2 2 3 4 5 -2x + 3x + x + 2x - 6x = 12 1 2 3 4 5 7 -5x + x + 3x - 5x - x = 22 1 2 2 4 5 6 8x - x - 2x + 4x + x = 76 1 2 4 5 7 x 0 (j = , 1 7) j -
Bµi to¸n trªn kh«ng ph¶i d¹ng chuÈn nªn ta lËp bµi to¸n phô : P = xg min 2
-2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 - 6x5 = 12 7 -5x1 + x 2 2 +3x4 - 5x5- x6 +xg2= 22
8x1 - x2 - 2x4 + 4x5 + x7 = 76 x g j 0 (j = , 1 7) ; x 2 0 cJ J xJ -2 1 3/2 3 -1 0 0 1 x1 x 2 x 3 x4 x5 x6 x7 xg2 0 x3 12 -2 [3 1 2 -6 0 0 0 1 xg2 22 -5 7/2 0 3 -5 -1 0 1 0 x7 76 8 -1 0 -2 4 0 1 0 P 22 -5 7/2 0 3 -5 - 1 0 0 0 x2 4 -2/3 1 1/3 2/3 -2 0 0 0 dc 1 xg2 8 -8/3 0 -7/6 2/3 [2 - 1 0 1 0 x7 80 22/3 0 1/3 -4/3 2 0 1 0 P 8 -8/3 0 -7/6 2/3 2 -1 0 0 1 x2 12 -10/3 1 -5/6 [4/3 0 -1 0 -1 x5 4 -4/3 0 -7/12 1/3 1 -1/2 0 * 0 x7 72 10 0 3/2 -2 0 1 1 f(x) 8 0 0 -7/4 -2 0 -1/2 0 3 x4 9 -5/2 3/4 -5/8 1 0 -3/4 0 * -1 x5 1 -1/2 -1/4 -3/8 0 1 -1/4 0 0 x7 90 5 3/2 1/4 0 0 -1/2 1 f(x) 26 -5 3/2 -3 0 0 -2 0
a)Tõ b¶ng ®¬n h×nh thø 4, ta cã = -2 < 0 mµ x 0 (jJ) nªn bµi to¸n gèc kh«ng gi¶i 6 j6
®- îc, do ®ã bµi to¸n ®èi ngÉu còng kh«ng gi¶i ®- îc.
VËy tËp PAT¦ cña cÆp BT§N lµ .
b) Khi f(x) min, tõ b¶ng ®¬n h×nh thø 3 ta ®- ¬c:
Bµi to¸n chÝnh t¾c t- ¬ng víi bµi to¸n ®a cho cã PACBTU:
* = (0, 12, 0, 0, 4, 0, 72)
z1 = (1, 10/3, 0, 0, 4/3, 0, -10) XÐt c¸c PA :
x()= *+.z1 = (, 12+10/3, 0, 0, 4+4/3, 0, 72-10) víi 0 5
Ta cã f(x()=f( *)-. = 8 = f(x) 1 min
VËy tËp PAT¦ cña bµi to¸n gèc:
X = x = (, 12+10/3, 0, 0, 4+4/3 ) 0 7,2.
- X¸c ®Þnh tËp PAT¦ cña bµi to¸n ®èi ngÉu: ta cã hÖ p.tr×nh 1 y 0 y 3 1 4
3y 7 / 2y y 1 1 2 3 1 y
6y 5y 4y 1 2 2 1 2 3 y 3 0
VËy tËp PAT¦ cña bµi to¸n ®èi ngÉu: Y = y* = (1/4, 1/2, 0) Nhóm 8: Bài 1: Cho bài toán
f(x) = 2x1 + 6x2 + 2x3 + 7/2x4 + x5 - 5x6 - x7 min
x1 - 3x2 - x3 + x4 - 3/2x6+ 4x7 = -48 (1) -4x1 + 3x2 - 2x4 + 3x - 6 6x7 = 24 (2) x1 - 3x2 + x - 5 7x + 6 5x7 = 5 (3) -6x1 + 6x2 - 3x4 + 4x - 6 8x =7 7 2 (4) xj 0 (j = 1, 2,…, 7)
a) Tìm tập PATƯ của cặp bài toán đối ngẫu và một PATƯ của bài toán gốc có x7 = 8.
b) Khi c6 = -6, hãy tìm tập PATƯ của cặp bài toán đối ngẫu. Giải:
Đưa bài toán về dạng chính tắc và lập bài toán phụ P= xg2+ xg4 min
-x1 + 3x2 + x3 - x4 + 3/2x6 -4x7 = 48 -4x1 + 3x2 - 2x4 + 3x - 6 6x7 +xg 2 = 24 x1 - 3x2 + x5 - 7x + 6 5x7 = 5 -6x1 + 6x2 - 3x4 + 4x - 6 8x7 + xg4 =72
xj 0 (j = 1, 2,…, 7); xg2, xg4 0 cJ J xJ 2 6 2 7/2 1 -5 -1 1 1 x1 x 2 x 3 x4 x5 x6 x7 xg2 xg4 0 x3 48 -1 3 1 -1 0 3/2 -4 0 0 1 xg2 24 -4 [3 0 -2 0 3 -6 1 0 0 x5 5 1 -3 0 0 1 -7 5 0 0 1 xg4 72 -6 6 0 -3 0 4 8 0 1 P 96 -10 9 0 -5 0 7 -14 0 0 0 x3 24 3 0 1 1 0 -3/2 2 0 0 x2 8 4/3 1 0 -2/3 0 1 -2 0 * 0 x5 29 -3 0 0 -2 1 -4 -1 0 1 xg4 24 2 0 0 1 0 -2 [4 1 P 24 2 0 0 1 0 -2 4 0 2 x3 12 2 0 1 1/2 0 -1/2 0 6 x2 20 -1/3 1 0 -1/6 0 0 0 1 x5 35 -5/2 0 0 7/4 1 -9/2 0 -1 x7 6 1/2 0 0 1/4 0 -1/2 1 * f(x) 173 -3 0 0 -11/2 0 0 0
a) Bài toán gốc có PATU x* = (0, 20, 12, 0, 35, 0, 6) víi f* = 173
- Tập PATU của bài toán gốc:
X = (0, 20, 12+1/2, 0, 35+9/2, , 6+1/2) 0
x7 = 8 6 + 1/2 = 8 = 4. PAT¦ cã x7 = 8:
x = (0, 20, 14, 0, 53, 4, 8)
- Xác định tập PATU của bài toán đối ngẫu: ta giải hệ phương trình y 2 1 y 1 3 y 3 2 4 y 2
Vậy tập PATU của bài toán đối ngẫu: Y = y* = (-2, -3, 1, 2)
b) Khi c6 =-7 , từ bảng đơn hình thứ 3 ta có: 6 = 2 > 0 mà xj6 0 nên bài toán gốc không
giải được. Vì vậy bài toán đối ngẫu không giải được. Bài 2: Cho bài toán f(x) = 2x + x -12x - +3x - x 1 2 3 9x4 5 6 min 3x 1 - x3 + x + 2x - = 45 (1) 4 5 3x6 -2x 1 + x +2x - - x + 2x = 8 (2) 2 3 x4 5 6 x 2x 1 -3x3 - 4 +x5 = 20 (3) xj 0 (j = 1, 2,…, 6)
a) Dùng thuật toán đơn hình tìm PACB của bài toán.
b) Tìm một PATƯ khi có thêm điều kiện f(x) 52.
c) Tìm tập PATƯ của cặp bài toán đối ngẫu khi f(x) max. Giải:
a. Lập bài toán phụ và giải bài toán phụ cJ J xJ 2 1 -12 -9 3 -1 1 1 x1 x 2 x 3 x4 x5 x6 xg1 xg3 1 xg1 45 3 0 -1 1 2 -3 1 0 0 x2 8 -2 1 2 -1 -1 2 0 0 1 xg3 20 1 0 -3 -2 1 0 0 1 P 65 4 0 -4 -1 3 -3 0 0 0 x1 15 1 0 -1/3 1/3 2/3 -1 1 dc 0 x2 38 0 1 4/3 -1/3 1/3 0 0 1 xg3 5 0 0 -8/3 - 7/3 1 /3 1 1 P 5 0 0 -8/3 -7/3 1/3 1 0 2 x1 20 1 0 -3 -2 1 0 dc 1 x2 38 0 1 4/3 -1/3 1/ 3 0 -1 x6 5 0 0 -8/3 - 7/3 1/3 1 f(x) 73 0 0 10 7 -1 0
Bài toán có PATU x0 = (20, 38, 0 , 0, 0, 5)
b. Nếu f(x) 52 thì PA x là tối ưu f(x) = 52.
Từ bảng đơn hình thứ 3 ta có:
PACB x0 = (23, 52, 1, 0, 0, 0) và phương giảm vô hạn z4 =(2, 1/3, 0, 1, 0, 7/3) ta tìm
được các phương án của bài toán:
x()=x0+.z4 = (20+2., 38+1/3., 0, , 0 ; 5+ 7/3) với 0
f(x()) = f(x0)- .4 52 = 73- .7 = 3
Vậy PATU cần tìm là x1 = (26, 39, 0, 3, 0, 12 )
c. Khi f(x) max thì các PACB của bài toán đã cho cũng là PACB của bài toán mới. PACB ở
bảng đơn hình thứ 3 chưa phải là PATU khi f(x) max. Từ bảng đơn hình thứ 3, tiếp tục
biến đổi ta được: (CY: Bài toán f(x)
max, ta chọn ẩn đưa vào ứng với Mink (mà chọn ạ ố
k<0, khi chọn ẩn lo i ra thì 2 bài toán làm gi ng nhau) . 2 x1 20 1 0 -3 -2 1 0 dc 1 x2 38 0 1 4/3 -1/3 1/ 3 0 -1 x6 5 0 0 -8/3 -7/3 1/3 1 f(x) 73 0 0 10 7 -1 0 2 x1 5 1 0 5 5 0 -3 1 x2 33 0 1 4 2 0 -1 3 x5 15 0 0 -8 -7 1 3 dc f(x) 88 0 0 2 0 0 3
Bµi to¸n gèc cã Pat- x* = (5, 33, 0, 0, 15, 0) ; f(x)max = 88
Cách tìm tập PATU của cặp bài toán đối ngẫu làm tương tự các câu trên. Chú ý rằng với câu
này, khi viết BTĐN thì phải xét hàm mục tiêu f(x) max