Preview text:
ÔN THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Nguyễn Văn Thùy Khoa Toán-Tin học
Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên
Đại học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh
Ngày 25 tháng 6 năm 2025 (Tài liệu ôn tập) Mục lục Mục lục 1 1
Vấn đề 1: Khái niệm không gian véc tơ 2 2 Vấn đề 2: Không gian con 3 3
Vấn đề 3: Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 3 4
Vấn đề 4: Không gian con sinh bởi một tập hợp 4 5
Vấn đề 5: Cơ sở và số chiều 4 6
Vấn đề 6: Không gian nghiệm 5 7
Vấn đề 7: Tổng các không gian con 6 8
Vấn đề 8: Tọa độ, Ma trận chuyển cơ sở 7 9
Vấn đề 9: Không gian dòng của ma trận 8
10 Vấn đề 10: Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính và các tính chất căn bản 9
11 Vấn đề 11: Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 10
12 Vấn đề 12: Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 11
13 Vấn đề 13: Toán tử tuyến tính 12
14 Vấn đề 14: Trị riêng, Véc tơ riêng, Đa thức đặc trưng và Không gian con riêng 13
15 Vấn đề 15: Vấn đề chéo hóa một ma trận vuông 16 Tài liệu 17 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS 1
Vấn đề 1: Khái niệm không gian véc tơ Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 1.1 (Không gian véc tơ). Một không gian véc tơ trên một trường F (thường
là R hoặc C) là một tập hợp V khác rỗng, cùng với hai phép toán:
1. Phép cộng véc tơ: (u, v) 7→ u + v từ V × V vào V .
2. Phép nhân vô hướng: (c, v) 7→ c · v (hoặc cv) từ F × V vào V .
Thỏa mãn 8 tiên đề sau đây, với mọi u, v, w ∈ V và mọi c, d ∈ F:
(i) u + v = v + u (Giao hoán của phép cộng).
(ii) (u + v) + w = u + (v + w) (Kết hợp của phép cộng).
(iii) Tồn tại một phần tử 0 ∈ V , gọi là véc tơ không, sao cho v + 0 = v với mọi v ∈ V .
(iv) Với mỗi v ∈ V , tồn tại một phần tử −v ∈ V , gọi là véc tơ đối của v, sao cho v + (−v) = 0.
(v) c(u + v) = cu + cv (Phân phối của nhân vô hướng với cộng véc tơ).
(vi) (c + d)u = cu + du (Phân phối của nhân vô hướng với cộng vô hướng).
(vii) c(du) = (cd)u (Kết hợp của nhân vô hướng).
(viii) 1 · u = u, với 1 là phần tử đơn vị của trường F.
Các phần tử của V được gọi là véc tơ. Các phần tử của F được gọi là vô hướng. Ví dụ 1.1 (Không gian n n
R ). Tập hợp R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R} với các phép toán
thành phần thông thường là một không gian véc tơ trên R.
Ví dụ 1.2 (Không gian các đa thức Pn(R)). Tập hợp Pn(R) gồm tất cả các đa thức bậc
nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ số thực, cùng với đa thức không, với phép cộng đa thức và
nhân đa thức với số thực thông thường, là một không gian véc tơ trên R.
Ví dụ 1.3 (Không gian các ma trận Mm×n(F)). Tập hợp các ma trận kích thước m × n
với các phần tử từ trường F, cùng với phép cộng ma trận và nhân ma trận với một vô
hướng, là một không gian véc tơ trên F. Bài tập mẫu Bài tập 1.1. Cho V = 2
R . Với u = (u1, u2), v = (v1, v2) trong V và c ∈ R, xét các phép
toán: Phép cộng: u⊕v = (u1 +v1 +1, u2 +v2 +1). Phép nhân vô hướng: c⊙u = (cu1, cu2).
V với hai phép toán này có phải là không gian véc tơ không? 2 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS 2 Vấn đề 2: Không gian con Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 2.1 (Không gian con). Cho V là một không gian véc tơ trên trường F. Một
tập con W ⊆ V được gọi là một không gian con của V nếu W cũng là một không gian
véc tơ trên F với các phép toán cộng véc tơ và nhân vô hướng được kế thừa từ V .
Định lý 2.2 (Tiêu chuẩn không gian con). Một tập con W khác rỗng của không gian
véc tơ V là một không gian con của V khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Với mọi u, v ∈ W , ta có u + v ∈ W (đóng kín với phép cộng).
2. Với mọi u ∈ W và mọi vô hướng c ∈ F, ta có cu ∈ W (đóng kín với phép nhân vô hướng).
Hoặc, một cách tương đương: W ̸= ∅ và với mọi u, v ∈ W , mọi c, d ∈ F, ta có cu + dv ∈
W . Một điều kiện cần (và thường dùng để kiểm tra trước) là 0V ∈ W . Bài tập mẫu
Bài tập 2.1. Trong không gian P2(R) các đa thức bậc không quá 2, xét tập W = {p(x) ∈
P2(R) | p(1) = 0}. W có phải là không gian con của P2(R) không?
Bài tập 2.2. Trong M2×2(R), xét tập U = {A ∈ M2×2(R) | det(A) = 0}. U có phải là không gian con không? 3
Vấn đề 3: Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 3.1 (Tổ hợp tuyến tính). Cho S = {v1, v2, . . . , vk} là một tập hợp các véc
tơ trong không gian véc tơ V . Một véc tơ v ∈ V được gọi là một tổ hợp tuyến tính của
các véc tơ trong S nếu tồn tại các vô hướng c1, c2, . . . , ck ∈ F sao cho
v = c1v1 + c2v2 + · · · + ckvk
Định nghĩa 3.2 (Độc lập tuyến tính và Phụ thuộc tuyến tính). Cho S = {v1, v2, . . . , vk}
là một tập hợp các véc tơ trong không gian véc tơ V .
1. S được gọi là độc lập tuyến tính nếu phương trình véc tơ
c1v1 + c2v2 + · · · + ckvk = 0
chỉ có nghiệm tầm thường là c1 = c2 = · · · = ck = 0.
2. S được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính, tức là tồn tại các
vô hướng c1, c2, . . . , ck, không đồng thời bằng không, sao cho c1v1+c2v2+· · ·+ckvk = 0. 3 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS Mệnh đề 3.3.
• Một tập hợp chứa véc tơ không là phụ thuộc tuyến tính.
• Một tập hợp gồm hai véc tơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một véc tơ là bội của véc tơ kia.
• Một tập hợp S = {v1, . . . , vk} với k ≥ 2 là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít
nhất một véc tơ trong S là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại. Bài tập mẫu Bài tập 3.1. Trong 3
R , xét tính độc lập tuyến tính của hệ véc tơ: S = {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2), v3 = (−2, 0, 1)}.
Bài tập 3.2. Trong P2(R), xét tính độc lập tuyến tính của hệ đa thức: S = {p1(x) =
1 − x, p2(x) = x − x2, p3(x) = 1 − x2}. 4
Vấn đề 4: Không gian con sinh bởi một tập hợp Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 4.1 (Không gian con sinh bởi một tập hợp). Cho S = {v1, v2, . . . , vk} là
một tập hợp các véc tơ trong không gian véc tơ V . Không gian con sinh bởi S, ký hiệu
là span {S} hoặc span{v1, . . . , vk}, là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong S.
span {S} = {c1v1 + c2v2 + · · · + ckvk | c1, c2, . . . , ck ∈ F}
Nếu S = ∅, ta quy ước span {∅} = {0}. span {S} là không gian con nhỏ nhất của V chứa
S. Nếu span {S} = V , ta nói S là một hệ sinh của V , hay S sinh ra V . Bài tập mẫu Bài tập 4.1. Trong 3
R , cho v1 = (1, 0, 1) và v2 = (0, 1, 1). Mô tả không gian con
W = span {v1, v2}. Một véc tơ u = (x, y, z) ∈ W nếu nó là tổ hợp tuyến tính của v1, v2.
Bài tập 4.2. Cho S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, −1)} trong 3 3
R . Tập S có sinh ra R không? 5
Vấn đề 5: Cơ sở và số chiều Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 5.1 (Cơ sở). Một tập hợp các véc tơ B = {v1, v2, . . . , vn} trong không gian
véc tơ V được gọi là một cơ sở của V nếu:
1. B là một hệ độc lập tuyến tính.
2. B sinh ra V (tức là span {B} = V ).
Định lý 5.2. Nếu B = {v1, . . . , vn} là một cơ sở của V , thì mọi véc tơ v ∈ V đều có
thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong B. 4 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS
Định nghĩa 5.3 (Số chiều). Nếu không gian véc tơ V có một cơ sở gồm n véc tơ, thì n
được gọi là số chiều của V , ký hiệu là dim (V ) = n. Nếu V = {0}, ta quy ước dim (V ) = 0.
Nếu V không có cơ sở hữu hạn, V được gọi là không gian vô hạn chiều.
Định lý 5.4. Mọi cơ sở của một không gian véc tơ hữu hạn chiều đều có cùng số lượng véc tơ.
Mệnh đề 5.5 (Các tính chất liên quan đến số chiều). Cho V là không gian véc tơ n-chiều.
• Mọi hệ độc lập tuyến tính trong V có tối đa n véc tơ.
• Mọi hệ sinh của V có ít nhất n véc tơ.
• Một hệ gồm n véc tơ trong V là cơ sở nếu nó độc lập tuyến tính hoặc nó là hệ sinh. Bài tập mẫu
Bài tập 5.1. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W = {(x, y, z) ∈ 3 R | x + 2y − z = 0}.
Bài tập 5.2. Trong P2(R), cho S = {1 + x, x + x2, 1 + x2}. S có phải là cơ sở của P2(R) không? 6
Vấn đề 6: Không gian nghiệm Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 6.1 (Không gian nghiệm). Cho A là một ma trận m × n trên trường F.
Không gian nghiệm (hay không gian hạt nhân - null space) của A, ký hiệu là Nul(A)
hoặc Ker (() A), là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ax = 0. Nul(A) = {x ∈ n F | Ax = 0}
Nul(A) là một không gian con của n
F . Số chiều của Nul(A) được gọi là số chiều rỗng (nullity) của A.
Định lý 6.2 (Định lý về hạng và số chiều rỗng). Nếu A là một ma trận m × n, thì
rank (A) + nullity(A) = n (số cột của A). Bài tập mẫu
Bài tập 6.1. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của ma trận A = 1 2 2 −1 2 4 5 0 . −1 −2 −1 3
Bài tập 6.2. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất sau: x 1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 0 2x1 + 5x2 + x3 + 4x4 = 0 x1 + x2 − 4x3 + 5x4 = 0 5 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS 7
Vấn đề 7: Tổng các không gian con Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 7.1 (Tổng của hai không gian con). Cho U và W là hai không gian con của
không gian véc tơ V . Tổng của U và W , ký hiệu là U + W , được định nghĩa là tập hợp:
U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W }
U + W cũng là một không gian con của V , và nó là không gian con nhỏ nhất chứa cả U
và W . Giao của hai không gian con U ∩ W = {v ∈ V | v ∈ U và v ∈ W } cũng là một không gian con của V .
Định lý 7.2 (Công thức số chiều cho tổng và giao). Nếu U và W là các không gian con
hữu hạn chiều của một không gian véc tơ V , thì
dim (U + W ) = dim (U ) + dim (W ) − dim (U ∩ W )
Định nghĩa 7.3 (Tổng trực tiếp). Tổng U + W được gọi là tổng trực tiếp, ký hiệu
U ⊕ W , nếu U ∩ W = {0}. Nếu V = U ⊕ W , thì mọi véc tơ v ∈ V có thể được viết
duy nhất dưới dạng v = u + w với u ∈ U, w ∈ W . Trong trường hợp tổng trực tiếp,
dim (U ⊕ W ) = dim (U ) + dim (W ). Bài tập mẫu Bài tập 7.1. Trong 3
R , cho U = span {(1, 1, 0), (0, 1, 1)} và W = span {(1, 0, 1)}. Tìm
một cơ sở cho U, W, U ∩ W, U + W . Kiểm tra công thức số chiều.
Bài tập 7.2. Trong không gian véc tơ 3 R , cho hai không gian con:
• U = span {u1 = (1, −1, 2), u2 = (2, 0, 1)}.
• W là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: (x1 + x2 − x3 = 0 2x1 − x2 + 4x3 = 0 Hãy tìm:
(a) Một cơ sở và số chiều của U .
(b) Một cơ sở và số chiều của W .
(c) Một cơ sở và số chiều của U ∩ W .
(d) Một cơ sở và số chiều của U + W .
(e) Kiểm tra công thức số chiều: dim (U + W ) = dim (U ) + dim (W ) − dim (U ∩ W ).
Bài tập 7.3. Trong không gian các đa thức P2(R) (các đa thức bậc không quá 2 với hệ
số thực), cho hai không gian con:
• U = span {p1(x) = 1 + x, p2(x) = x − x2}. 6 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS
• W = {q(x) = a0 + a1x + a2x2 ∈ P2(R) | a0 − a1 = 0}. Hãy tìm:
(a) Một cơ sở và số chiều của U .
(b) Một cơ sở và số chiều của W .
(c) Một cơ sở và số chiều của U ∩ W .
(d) Một cơ sở và số chiều của U + W .
(e) Kiểm tra công thức số chiều. 8
Vấn đề 8: Tọa độ, Ma trận chuyển cơ sở Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 8.1 (Tọa độ của véc tơ). Cho B = {b1, b2, . . . , bn} là một cơ sở của không
gian véc tơ V . Với mỗi x ∈ V , tồn tại duy nhất các vô hướng c1, . . . , cn sao cho x = c n
1b1 + · · · + cnbn. Tọa độ của véc tơ x đối với cơ sở B, ký hiệu là [x]B , là véc tơ trong F : c1 c2 [x] B = . .. cn
Định nghĩa 8.2 (Ma trận chuyển cơ sở - theo quy ước HCMUS). Cho B = {b1, . . . , bn}
và C = {c1, . . . , cn} là hai cơ sở của không gian véc tơ V . Ma trận chuyển cơ sở từ B
sang C, ký hiệu là (B → C), là ma trận n × n có các cột là các véc tơ tọa độ của các véc
tơ trong cơ sở C đối với cơ sở B: (B → C) = [c 1]B [c2]B . . . [cn]B
Nếu P = (B → C), thì công thức liên hệ giữa tọa độ của một véc tơ x đối với hai cơ sở này là: [x]B = P [x]C Từ đó suy ra: [x]C = P −1[x]B
Ma trận (B → C) là khả nghịch và (B → C)−1 = (C → B).
Lưu ý quan hệ với cơ sở chính tắc E của n
F : Nếu B = {b1, . . . , bn} là một cơ sở của n
F , và E là cơ sở chính tắc, thì ma trận có các cột là bi chính là PB = b1 . . . bn . Khi
đó, tọa độ của một véc tơ x trong n
F (tức là [x]E = x) liên hệ với [x]B qua: x = PB[x]B.
Tương tự, x = PC[x]C. Do đó, PB[x]B = PC[x]C =⇒ [x]B = P −1P B C [x]C . So sánh với
công thức [x]B = (B → C)[x]C, ta có: (B → C) = P −1P B C
trong đó PB là ma trận có các cột là véc tơ của cơ sở B (viết theo cơ sở chính tắc E), và
PC là ma trận có các cột là véc tơ của cơ sở C (viết theo cơ sở chính tắc E). 7 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS Bài tập mẫu Bài tập 8.1. Trong 2
R , cho cơ sở B = {b1 = (1, 1), b2 = (−1, 0)} và cơ sở C = {c1 = (1, −1), c2 = (0, 2)}.
(a) Tìm véc tơ tọa độ [x]B nếu x = (3, 5).
(b) Tìm ma trận chuyển cơ sở (B → C).
(c) Dùng ma trận (B → C) và công thức liên hệ tọa độ để tìm [x]C từ [x]B.
Bài tập 8.2. Trong không gian các đa thức P1(R) (các đa thức bậc không quá 1 với hệ
số thực), cho hai cơ sở:
• B = {b1(x) = 1, b2(x) = x} (cơ sở chính tắc).
• C = {c1(x) = 1 + 2x, c2(x) = 3 − x}.
Cho đa thức P (x) = 5 − 4x.
(a) Tìm véc tơ tọa độ [P (x)]B.
(b) Tìm ma trận chuyển cơ sở (B → C).
(c) Sử dụng ma trận (B → C) và công thức liên hệ tọa độ để tìm [P (x)]C. 9
Vấn đề 9: Không gian dòng của ma trận Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 9.1 (Không gian dòng và Không gian cột). Cho A là một ma trận m × n trên trường F.
• Các dòng của A có thể được xem là các véc tơ trong n n F . Không gian con của F
sinh bởi các véc tơ dòng của A được gọi là không gian dòng của A, ký hiệu Row(A).
• Các cột của A có thể được xem là các véc tơ trong m m F . Không gian con của F sinh
bởi các véc tơ cột của A được gọi là không gian cột của A, ký hiệu Col(A). Định lý 9.2.
1. Nếu hai ma trận A và B tương đương dòng (tức là B thu được từ A
qua các phép biến đổi sơ cấp trên dòng), thì Row(A) = Row(B).
2. Các véc tơ dòng khác không của một ma trận dạng bậc thang (hoặc bậc thang rút
gọn) là độc lập tuyến tính, và do đó tạo thành một cơ sở cho không gian dòng của ma trận đó.
3. Số chiều của không gian dòng bằng số chiều của không gian cột, và giá trị này chính
là hạng của ma trận: dim (Row(A)) = dim (Col(A)) = rank (A).
4. Một cơ sở cho không gian cột Col(A) được tạo thành từ các cột của A ban đầu tương
ứng với các cột chứa phần tử dẫn đầu (pivot) trong dạng bậc thang rút gọn của A. 8 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS Bài tập mẫu 1 −1 2 1
Bài tập 9.1. Cho ma trận A = 2 −2 5 4 . −1 1 −4 −5
(a) Tìm một cơ sở cho không gian dòng của A (Row(A)).
(b) Tìm một cơ sở cho không gian cột của A (Col(A)).
(c) Tìm một cơ sở cho không gian nghiệm của A (Nul(A)).
(d) Xác định hạng của A (rank(A)) và số chiều không gian nghiệm của A (nullity(A)).
Kiểm tra Định lý về hạng và số chiều rỗng. 10
Vấn đề 10: Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính và các tính chất căn bản Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 10.1 (Ánh xạ tuyến tính). Cho V và W là hai không gian véc tơ trên cùng
một trường F. Một ánh xạ T : V → W được gọi là một ánh xạ tuyến tính (hay biến đổi
tuyến tính, toán tử tuyến tính nếu V = W ) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau với mọi
u, v ∈ V và mọi vô hướng c ∈ F:
1. T (u + v) = T (u) + T (v) (Bảo toàn phép cộng).
2. T (cu) = cT (u) (Bảo toàn phép nhân vô hướng).
Hai điều kiện trên có thể được kết hợp thành một điều kiện duy nhất: T (cu + dv) =
cT (u)+dT (v) với mọi u, v ∈ V và c, d ∈ F. Hoặc thường dùng: T (cu+v) = cT (u)+T (v).
Mệnh đề 10.2 (Tính chất của ánh xạ tuyến tính). Nếu T : V → W là một ánh xạ tuyến tính, thì:
1. T (0V ) = 0W (Ánh xạ tuyến tính biến véc tơ không thành véc tơ không). 2. T (−v) = −T (v).
3. T (c1v1 + · · · + ckvk) = c1T (v1) + · · · + ckT (vk) (Bảo toàn tổ hợp tuyến tính).
Một ánh xạ tuyến tính được hoàn toàn xác định bởi ảnh của các véc tơ trong một cơ sở của V . Bài tập mẫu
Bài tập 10.1. Xác định xem ánh xạ T : 2 3
R → R cho bởi T (x, y) = (x + y, x − y, 2x) có
phải là ánh xạ tuyến tính không.
Bài tập 10.2. Cho T : P1(R) → R xác định bởi T (p(x)) = R 1 p(x)dx. T có tuyến tính 0 không? 9 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS 11
Vấn đề 11: Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 11.1 (Ma trận của ánh xạ tuyến tính). Cho f : V → W là một ánh xạ
tuyến tính. B = {b1, . . . , bn} là một cơ sở của không gian nguồn V (với dim (V ) = n) và
C = {c1, . . . , cm} là một cơ sở của không gian đích W (với dim (W ) = m). Ma trận của
ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở B và C, ký hiệu là [f ]B,C, là ma trận m × n có các cột
là các véc tơ tọa độ của ảnh của các véc tơ cơ sở của B qua f , biểu diễn trong cơ sở C: [f ] B,C = [f (b1)]C [f (b2)]C . . . [f (bn)]C
Với ma trận này, ta có mối liên hệ quan trọng cho mọi x ∈ V : [f (x)]C = [f ]B,C[x]B Nếu V = n m F , W = F
và B, C là các cơ sở chính tắc tương ứng, thì ma trận [f ]B,C được
gọi là ma trận chuẩn của f . Nếu f : V → V là một toán tử tuyến tính (tức W = V ), và
ta chọn cùng một cơ sở B cho cả không gian nguồn và không gian đích, thì ma trận được
ký hiệu là [f ]B (thay vì [f ]B,B). [f ] B = [f (b1)]B [f (b2)]B . . . [f (bn)]B
Và công thức liên hệ là [f (x)]B = [f ]B[x]B.
Định lý 11.2 (Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi thay đổi cơ sở). 1. Trường hợp tổng
quát (V ̸= W hoặc V = W nhưng cơ sở khác nhau):
Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Giả sử B, B′ là hai cơ sở của V , và
C, C′ là hai cơ sở của W . Gọi P = (B → B′), Q = (C → C′). Khi đó, ma trận của
f theo cặp cơ sở mới (B′, C′) liên hệ với ma trận của f theo cặp cơ sở cũ (B, C) bởi công thức: [f ]B′,C′ = Q−1[f ]B,CP
(Lưu ý: Q−1 = (C′ → C) là ma trận chuyển từ C′ sang C).
2. Trường hợp toán tử tuyến tính (f : V → V ):
Cho f : V → V là một toán tử tuyến tính. Giả sử B và B′ là hai cơ sở của V . Gọi
P = (B → B′) là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′. (Tức là [x]B = P [x]B′) Khi
đó, ma trận của f đối với cơ sở B′ liên hệ với ma trận của f đối với cơ sở B bởi công thức: [f ]B′ = P −1[f ]BP
(Công thức này là trường hợp đặc biệt của công thức trên khi W = V, C = B, C′ =
B′. Khi đó Q = P ). Hai ma trận A = [f ]B và A′ = [f ]B′ được gọi là đồng dạng. Bài tập mẫu
Bài tập 11.1. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 2
R → R xác định bởi f (x1, x2, x3) = (x1 −
x2, x2 + x3). Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc E3 = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e 3 2 3 = (0, 0, 1)} của R
và E2 = {f1 = (1, 0), f2 = (0, 1)} của R . (Ký hiệu là [f ]E ) 3,E2 10 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS
Bài tập 11.2. Cho f : P2(R) → P1(R) xác định bởi f (p(x)) = p′(x) (phép lấy đạo hàm).
Tìm ma trận [f ]B,C với B = {1, x, x2} là cơ sở của P2(R) và C = {1, x} là cơ sở của P1(R).
Bài tập 11.3 (Ứng dụng Định lý thay đổi cơ sở - Trường hợp tổng quát). Cho ánh xạ tuyến tính f : 2 2
R → R xác định bởi f (x, y) = (2x − y, x + y).
(a) Tìm ma trận [f ]E,E của f đối với cơ sở chính tắc E = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} cho
cả không gian nguồn và không gian đích.
Xét các cơ sở mới: B′ = {b′ = (1, 1), b′ = (1, −1)} cho không gian nguồn 2. C′ = {c′ = 1 2 R 1
(1, 0), c′ = (1, 1)} cho không gian đích
2. (Lưu ý: E là cơ sở cũ cho cả nguồn và đích, 2 R tức B = E, C = E).
(b) Tìm ma trận chuyển cơ sở P = (E → B′) và Q = (E → C′).
(c) Sử dụng công thức [f ]B′,C′ = Q−1[f ]E,EP để tìm ma trận [f ]B′,C′.
Bài tập 11.4 (Ứng dụng Định lý thay đổi cơ sở - Trường hợp toán tử tuyến tính). Cho toán tử tuyến tính f : 2 2
R → R có ma trận đối với cơ sở chính tắc E là [f ]E = A =
4 −1. Xét cơ sở mới B′ = {b′ = (1, 1), b′ = (1, 2)}. 2 1 1 2
(a) Tìm ma trận chuyển cơ sở P = (E → B′).
(b) Sử dụng công thức [f ]B′ = P −1[f ]EP để tìm ma trận [f ]B′. 12
Vấn đề 12: Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 12.1 (Không gian nhân và Không gian ảnh). Cho T : V → W là một ánh xạ tuyến tính.
1. Không gian nhân (hay hạt nhân) của T , ký hiệu Ker (T ) (hoặc Nul(T )), là tập hợp
tất cả các véc tơ trong V được ánh xạ vào véc tơ không của W :
Ker (T ) = {v ∈ V | T (v) = 0W }
Ker (T ) là một không gian con của V .
2. Không gian ảnh (hay ảnh) của T , ký hiệu Im (T ) (hoặc Range(T )), là tập hợp tất
cả các ảnh của các véc tơ trong V :
Im (T ) = {T (v) | v ∈ V } = {w ∈ W | ∃v ∈ V, T (v) = w}
Im (T ) là một không gian con của W . Mệnh đề 12.2.
• T là đơn ánh (one-to-one) khi và chỉ khi Ker (T ) = {0V }.
• T là toàn ánh (onto) khi và chỉ khi Im (T ) = W .
• Nếu A = [T ]B,C là ma trận của T , thì Ker (T ) ∼ = Nul(A) và Im (T ) ∼ = Col(A). 11 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS
Định lý 12.3 (Định lý về hạng và số chiều không gian nhân - Rank-Nullity Theorem).
Cho T : V → W là một ánh xạ tuyến tính, với V là không gian hữu hạn chiều. Khi đó:
dim (Ker (T )) + dim (Im (T )) = dim (V )
Số chiều của Im (T ) còn được gọi là hạng của T , rank (T ). Số chiều của Ker (T ) còn được
gọi là số chiều rỗng của T , nullity (T ). Vậy, nullity (T ) + rank (T ) = dim (V ). Bài tập mẫu 1 0 −1 2
Bài tập 12.1. Cho ánh xạ tuyến tính T : 4 3
R → R có ma trận chuẩn A = 2 1 0 3 . 0 1 2 −1
Tìm cơ sở cho Ker (T ) và Im (T ).
Bài tập 12.2. Cho ánh xạ tuyến tính T : P2(R) → P1(R) xác định bởi:
T (a0 + a1x + a2x2) = (a0 + a1) + (a1 + a2)x
(a) Tìm một cơ sở cho không gian nhân Ker (T ) và tính số chiều dim (Ker (T )).
(b) Tìm một cơ sở cho không gian ảnh Im (T ) và tính số chiều dim (Im (T )).
(c) Kiểm tra Định lý về hạng và số chiều không gian nhân (Rank-Nullity Theorem) cho ánh xạ T . 13
Vấn đề 13: Toán tử tuyến tính Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 13.1 (Toán tử tuyến tính). Một ánh xạ tuyến tính f : V → V từ một không
gian véc tơ V vào chính nó được gọi là một toán tử tuyến tính trên V .
Đối với toán tử tuyến tính, ta thường quan tâm đến ma trận [f ]B của f đối với một
cơ sở B của V . Ma trận này được định nghĩa là: [f ] B = [f (b1)]B [f (b2)]B . . . [f (bn)]B
trong đó B = {b1, . . . , bn} là cơ sở của V . Công thức liên hệ tọa độ là: [f (x)]B = [f ]B[x]B cho mọi x ∈ V .
Định lý 13.2 (Ma trận của toán tử tuyến tính khi thay đổi cơ sở). Cho f : V → V là
một toán tử tuyến tính. Giả sử B và B′ là hai cơ sở của V . Gọi P = (B → B′) là ma
trận chuyển cơ sở từ B sang B′. Khi đó, ma trận của f đối với cơ sở B′ (ký hiệu [f ]B′)
liên hệ với ma trận của f đối với cơ sở B (ký hiệu [f ]B) bởi công thức: [f ]B′ = P −1[f ]BP
Hai ma trận [f ]B và [f ]B′ được gọi là đồng dạng. 12 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS Bài tập mẫu
Bài tập 13.1. Cho toán tử f : 2 2
R → R xác định bởi f (x, y) = (2x − y, x + y).
(a) Tìm ma trận [f ]E của f đối với cơ sở chính tắc E = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}.
(b) Cho cơ sở B′ = {b′ = (1, 1), b′ = (1, −1)}. Tìm ma trận [f ] 1 2 B′ . 14
Vấn đề 14: Trị riêng, Véc tơ riêng, Đa thức đặc
trưng và Không gian con riêng Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 14.1 (Trị riêng và Véc tơ riêng của Toán tử tuyến tính). Cho f : V → V
là một toán tử tuyến tính trên không gian véc tơ V (trên trường F).
• Một vô hướng λ ∈ F được gọi là một trị riêng (eigenvalue) của f nếu tồn tại một
véc tơ v ∈ V , v ̸= 0V , sao cho f (v) = λv.
• Véc tơ v đó được gọi là một véc tơ riêng (eigenvector) của f ứng với trị riêng λ.
Định nghĩa 14.2 (Trị riêng và Véc tơ riêng của Ma trận vuông). Cho A là một ma trận
vuông n × n với các phần tử từ trường F.
• Một vô hướng λ ∈ F được gọi là một trị riêng của A nếu tồn tại một véc tơ cột x ∈ n F , x ̸= 0, sao cho Ax = λx.
• Véc tơ x đó được gọi là một véc tơ riêng của A ứng với trị riêng λ.
Phương trình Ax = λx có thể viết lại dưới dạng (A − λIn)x = 0, trong đó In là ma trận
đơn vị cấp n. Để phương trình này có nghiệm x ̸= 0, ma trận (A − λIn) phải là ma trận
suy biến (tức là không khả nghịch).
Định nghĩa 14.3 (Đa thức đặc trưng và Phương trình đặc trưng). • Cho ma trận vuông
A cấp n × n. Đa thức đặc trưng của A, ký hiệu pA(λ) hoặc χA(λ), được định
nghĩa là pA(λ) = det(A − λIn). Đây là một đa thức bậc n theo biến λ.
• Phương trình pA(λ) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của A. Các nghiệm
của phương trình đặc trưng chính là các trị riêng của A.
• Nếu f : V → V là một toán tử tuyến tính và A = [f]B là ma trận của f đối với một
cơ sở B bất kỳ của V , thì đa thức đặc trưng của f , pf (λ), được định nghĩa là pA(λ).
Đa thức này không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở B (vì các ma trận đồng dạng
có cùng đa thức đặc trưng).
Định nghĩa 14.4 (Không gian con riêng). Cho f : V → V là một toán tử tuyến tính
(hoặc A là một ma trận vuông) và λ là một trị riêng của f (hoặc A).
• Tập hợp tất cả các véc tơ riêng của f ứng với trị riêng λ, cùng với véc tơ không 0V ,
tạo thành một không gian con của V . Không gian con này được gọi là không gian
con riêng (eigenspace) của f ứng với trị riêng λ, ký hiệu là Eλ(f ) hoặc đơn giản là Eλ.
Eλ(f ) = {v ∈ V | f (v) = λv} = Ker (() f − λIV )
trong đó IV là toán tử đồng nhất trên V . 13 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS
• Tương tự, đối với ma trận A, không gian con riêng ứng với trị riêng λ là: E n λ(A) = {x ∈ F | Ax = λx} = Nul(A − λIn)
Định nghĩa 14.5 (Bội đại số và Bội hình học).
• Bội đại số (algebraic multiplicity)
của một trị riêng λ là số lần λ xuất hiện như một nghiệm của đa thức đặc trưng p(λ) = 0.
• Bội hình học (geometric multiplicity) của một trị riêng λ là số chiều của không
gian con riêng tương ứng Eλ, tức là dim (Eλ).
Định lý 14.6. Với mọi trị riêng λ của một toán tử tuyến tính (hoặc ma trận), ta luôn có:
1 ≤ Bội hình học của λ ≤ Bội đại số của λ
Quy trình tìm trị riêng, véc tơ riêng và không gian con riêng: Cho toán tử
f : V → V (với V hữu hạn chiều) hoặc ma trận A: 1. Nếu cho toán tử f , chọn một cơ sở
B cho V và tìm ma trận A = [f ]B. 2. Lập ma trận A − λI. 3. Tính đa thức đặc trưng
pA(λ) = det(A − λI). 4. Giải phương trình đặc trưng pA(λ) = 0 để tìm tất cả các trị riêng
λ1, λ2, . . . , λk. Xác định bội đại số của mỗi trị riêng. 5. Với mỗi trị riêng λi: a. Giải hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất (A − λiI)x = 0 (nếu làm việc với ma trận A) hoặc
tìm Ker (() f − λiIV ) (nếu làm việc trực tiếp với toán tử). b. Nghiệm khác không của hệ
này là các véc tơ riêng (hoặc tọa độ của véc tơ riêng) ứng với λi. c. Tìm một cơ sở cho
không gian nghiệm (không gian con riêng Eλ ). Số véc tơ trong cơ sở này là bội hình học i
của λi. d. Nếu ban đầu làm việc với toán tử f và ma trận A = [f ]B, các véc tơ nghiệm
x là tọa độ [v]B. Cần chuyển về véc tơ v trong V nếu đề bài yêu cầu véc tơ riêng của f .
Một số tính chất quan trọng của trị riêng
Cho A là một ma trận vuông n × n trên trường F, và λ1, λ2, . . . , λn là các trị riêng của
A (có thể lặp lại, nếu tính cả bội đại số).
1. Tổng các trị riêng bằng vết của ma trận (Sum of Eigenvalues equals
Trace): Tổng của tất cả các trị riêng của A (tính cả bội đại số) bằng tổng các phần
tử trên đường chéo chính của A (vết của A). n n X X λi = tr(A) = aii i=1 i=1
2. Tích các trị riêng bằng định thức của ma trận (Product of Eigenvalues
equals Determinant): Tích của tất cả các trị riêng của A (tính cả bội đại số) bằng định thức của A. n Y λi = det(A) i=1
3. Trị riêng của ma trận tam giác (Eigenvalues of a Triangular Matrix): Các
trị riêng của một ma trận tam giác (tam giác trên hoặc tam giác dưới) chính là các
phần tử nằm trên đường chéo chính của nó. 14 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS
4. Ma trận suy biến và trị riêng bằng không (Singular Matrix and Zero
Eigenvalue): Một ma trận A là suy biến (không khả nghịch) khi và chỉ khi det(A) =
0. Điều này tương đương với việc A có ít nhất một trị riêng bằng 0.
5. Trị riêng của ma trận Ak (Eigenvalues of Ak): Nếu λ là một trị riêng của A
với véc tơ riêng tương ứng x, thì λk là một trị riêng của Ak (với k là số nguyên
dương) với cùng véc tơ riêng x. Tức là, Ax = λx =⇒ Akx = λkx.
6. Trị riêng của ma trận A−1 (Eigenvalues of A−1): Nếu A khả nghịch và λ là
một trị riêng của A (do đó λ ̸= 0), thì 1/λ là một trị riêng của A−1 với cùng véc tơ
riêng tương ứng. Tức là, Ax = λx =⇒ A−1x = 1 x. λ
7. Trị riêng của ma trận A + cI (Eigenvalues of A + cI): Nếu λ là một trị riêng
của A với véc tơ riêng tương ứng x, thì λ + c là một trị riêng của ma trận A + cI
(với c là một vô hướng, I là ma trận đơn vị) với cùng véc tơ riêng x. Tức là,
Ax = λx =⇒ (A + cI)x = (λ + c)x.
8. Trị riêng của ma trận cA (Eigenvalues of cA): Nếu λ là một trị riêng của A
với véc tơ riêng tương ứng x, thì cλ là một trị riêng của ma trận cA (với c là một
vô hướng) với cùng véc tơ riêng x. Tức là, Ax = λx =⇒ (cA)x = (cλ)x.
9. Trị riêng của ma trận chuyển vị AT (Eigenvalues of AT): Ma trận A và ma
trận chuyển vị của nó AT có cùng các trị riêng (và cùng đa thức đặc trưng). Tuy
nhiên, các véc tơ riêng tương ứng có thể khác nhau. det(A−λI) = det((A−λI)T) =
det(AT − λIT) = det(AT − λI).
10. Véc tơ riêng ứng với các trị riêng phân biệt là độc lập tuyến tính (Linearly
Independent Eigenvectors): Nếu v1, v2, . . . , vk là các véc tơ riêng của A ứng với
các trị riêng phân biệt λ1, λ2, . . . , λk, thì tập hợp {v1, v2, . . . , vk} là độc lập tuyến
tính. (Hệ quả: Nếu ma trận n × n có n trị riêng phân biệt thì nó chéo hóa được).
11. Trị riêng của ma trận đối xứng thực (Eigenvalues of Real Symmetric
Matrices): Nếu A là một ma trận đối xứng thực (A = AT và các phần tử là số
thực), thì tất cả các trị riêng của A đều là số thực. Hơn nữa, các véc tơ riêng ứng
với các trị riêng phân biệt là trực giao với nhau.
12. Trị riêng của ma trận lũy đẳng (Idempotent Matrices, A2 = A): Các trị
riêng của một ma trận lũy đẳng chỉ có thể là 0 hoặc 1. (Chứng minh: Ax = λx =⇒
A2x = λAx = λ2x. Vì A2 = A, nên Ax = λ2x. Do đó λx = λ2x =⇒ (λ2 − λ)x =
0. Vì x ̸= 0, nên λ2 − λ = 0 =⇒ λ(λ − 1) = 0).
13. Trị riêng của ma trận lũy linh (Nilpotent Matrices, Ak = 0 for some
k ≥ 1): Tất cả các trị riêng của một ma trận lũy linh đều bằng 0. (Chứng minh:
Ax = λx =⇒ Akx = λkx. Vì Ak = 0, nên 0 = λkx. Vì x ̸= 0, nên λk = 0 =⇒ λ = 0). Bài tập mẫu 4 −1
Bài tập 14.1. Cho ma trận A =
. Tìm đa thức đặc trưng, các trị riêng, các 2 1
véc tơ riêng tương ứng và các không gian con riêng của A. 15 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS 2 1 0
Bài tập 14.2. Cho ma trận A = 0 2 0
. Tìm đa thức đặc trưng, các trị riêng (kèm 0 0 3
bội đại số), các không gian con riêng (kèm cơ sở và bội hình học).
Bài tập 14.3 (Trị riêng và Véc tơ riêng trong không gian đa thức). Cho toán tử tuyến
tính f : P1(R) → P1(R) xác định bởi:
f (a0 + a1x) = (4a0 + 2a1) + (−a0 + a1)x
(a) Tìm ma trận [f ]B của f đối với cơ sở chính tắc B = {1, x} của P1(R).
(b) Tìm đa thức đặc trưng, các trị riêng và bội đại số của f .
(c) Với mỗi trị riêng, tìm một cơ sở cho không gian con riêng tương ứng và xác định bội hình học.
(d) Các véc tơ riêng của f là những đa thức nào?
Bài tập 14.4 (Ứng dụng tính chất của trị riêng). Cho A là một ma trận vuông 3 × 3 có
các trị riêng là λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 3. (a) Tính det(A) và tr(A).
(b) Ma trận A có khả nghịch không? Tại sao?
(c) Tìm các trị riêng của ma trận A2.
(d) Tìm các trị riêng của ma trận A − 2I, với I là ma trận đơn vị 3 × 3.
(e) Nếu A khả nghịch, tìm các trị riêng của A−1. 15
Vấn đề 15: Vấn đề chéo hóa một ma trận vuông Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa 15.1 (Ma trận chéo hóa được). Một ma trận vuông A cấp n × n được gọi
là chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P và một ma trận chéo D sao cho
A = P DP −1 (hay P −1AP = D). Ma trận P được gọi là ma trận làm chéo hóa A.
Định lý 15.2 (Điều kiện chéo hóa). Một ma trận A ∈ Mn(F) là chéo hóa được khi và
chỉ khi A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính trong n
F . Nếu A chéo hóa được, thì:
• Các cột của ma trận P là n véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A.
• Các phần tử trên đường chéo chính của D là các trị riêng tương ứng của A (theo
thứ tự các véc tơ riêng trong P ).
Hệ quả 15.3. Nếu ma trận A ∈ Mn(F) có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được.
(Vì véc tơ riêng ứng với các trị riêng phân biệt là độc lập tuyến tính).
Định lý 15.4 (Điều kiện chéo hóa qua bội đại số và bội hình học). Một ma trận A ∈
Mn(F) là chéo hóa được trên F khi và chỉ khi: 16 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS
1. Đa thức đặc trưng pA(λ) của A có thể phân tích thành tích các nhân tử tuyến tính
trên F (tức là tất cả các nghiệm của pA(λ) = 0 đều thuộc F).
2. Với mỗi trị riêng λi của A, bội hình học của λi (số chiều của không gian con riêng
Eλ ) bằng bội đại số của λ i
i (bội của λi như là nghiệm của đa thức đặc trưng).
Một toán tử tuyến tính T : V → V được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một cơ sở
B của V sao cho ma trận [T ]B là ma trận chéo. Điều này xảy ra khi và chỉ khi V có một
cơ sở gồm các véc tơ riêng của T . Bài tập mẫu 4 0 1
Bài tập 15.1. Xét tính chéo hóa được của ma trận A = −2 1 0 . Nếu chéo hóa −2 0 1
được, tìm P và D. (Bài này đã giải ở phản hồi trước, tôi sẽ tóm tắt lại các bước)
Bài tập 15.2 (Chéo hóa toán tử trên không gian đa thức). Cho toán tử tuyến tính
f : P1(R) → P1(R) xác định bởi:
f (a0 + a1x) = (3a0 + a1) + (2a0 + 4a1)x
(a) Tìm ma trận [f ]B của f đối với cơ sở chính tắc B = {1, x} của P1(R).
(b) Tìm các trị riêng và các cơ sở cho không gian con riêng tương ứng của f .
(c) Toán tử f có chéo hóa được không? Nếu có, hãy tìm một cơ sở B′ của P1(R) sao
cho ma trận [f ]B′ là ma trận chéo. Viết rõ ma trận [f ]B′. Tài liệu
[1] Howard Anton, Chris Rorres. Elementary Linear Algebra: Applications Version.
Wiley. (Đây là một cuốn giáo trình kinh điển, rất phù hợp cho sinh viên năm nhất
với nhiều ví dụ và ứng dụng.)
[2] Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press. (Cách
tiếp cận của GS. Strang rất trực quan và tập trung vào hiểu biết sâu sắc các khái
niệm, được sử dụng rộng rãi tại MIT.)
[3] Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right. Springer. (Cuốn sách này có cách tiếp
cận hiện đại hơn, thường ít dựa vào định thức ở phần đầu, rất tốt cho việc hiểu lý thuyết sâu.)
[4] Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence. Linear Algebra. Pearson.
(Một giáo trình chuẩn, toàn diện và có độ khó cao hơn, thường được dùng ở các trường ĐH hàng đầu.)
[5] David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald. Linear Algebra and Its Applications.
Pearson. (Một cuốn sách phổ biến khác, cân bằng giữa lý thuyết và ứng dụng, có nhiều ví dụ thực tế.) 17 Nguyễn Văn Thùy, HCMUS
[6] Nguyễn Hữu Việt Hưng. Đại số tuyến tính. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. (Một
giáo trình tiếng Việt chất lượng.)
[7] David Poole. Linear Algebra: A Modern Introduction. Cengage Learning. (Cuốn sách
này cũng rất tốt, nhấn mạnh vào hình học véc tơ và ứng dụng).
[8] Bùi Xuân Hải (Chủ biên). Đại số tuyến tính. NXB Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí
Minh. (Giáo trình chính ở HCMUS) 18
Document Outline
- Mục lục
- Vấn đề 1: Khái niệm không gian véc tơ
- Vấn đề 2: Không gian con
- Vấn đề 3: Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính
- Vấn đề 4: Không gian con sinh bởi một tập hợp
- Vấn đề 5: Cơ sở và số chiều
- Vấn đề 6: Không gian nghiệm
- Vấn đề 7: Tổng các không gian con
- Vấn đề 8: Tọa độ, Ma trận chuyển cơ sở
- Vấn đề 9: Không gian dòng của ma trận
- Vấn đề 10: Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính và các tính chất căn bản
- Vấn đề 11: Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính
- Vấn đề 12: Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
- Vấn đề 13: Toán tử tuyến tính
- Vấn đề 14: Trị riêng, Véc tơ riêng, Đa thức đặc trưng và Không gian con riêng
- Vấn đề 15: Vấn đề chéo hóa một ma trận vuông
- Tài lịu
