Phần 1: Xác suất | Bài giảng môn Xác suất thống kê và quy hoạch thực nghiệm | Đại học Bách khoa hà nội

Phần 1: Xác suất. Tài liệu trắc nghiệm môn Xác suất thống kê và quy hoạch thực nghiệm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

28 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Xác suất thống kê và quy hoạch thực nghiệm

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

25 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Lê Na
PHẦN I: XAÙC SUAÁT
1. Bieán coá ngaãu nhieân & xaùc suaát cuûa bieán coá:
1.1. Coâng thöùc coäng xaùc suaát:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 bieán coá xung khaéc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B) p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-
[p(AB)+p(AC)+p(BC)]+p(ABC)
1.2. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 bieán coá ñoäc laäp)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A)
1 2 1 2 1 1 2 1
( ... ) ( ). ( / )... ( / .. )
n n n
p A A A p A p A A p A A A A
1.3. Coâng thöùc Bernoulli: cho 2 bieán coá A vaø
A
1.3.1.
()
x x n x
nn
p x C p q
, p=p(A), q=1-p
1.4. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû:
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
nn
p F p A p F A p A p F A p A p F A
1.5. Coâng thöùc Bayes:
( . ) ( ). ( / )
( / )
( ) ( )
i i i
i
p A F p A p F A
p A F
p F p F

2. Bieán ngaãu nhieân:
2.1. Baûng phaân phoái xaùc suaát (bieán ngaãu nhieân rôøi raïc)
2.2. Haøm maät ñoä xaùc suaát (
()fx
) (bieãn ngaãu nhieân lieân tuïc)
2.2.1.
()fx
0
2.2.2.
( ) 1f x dx


2.2.3.
2.3. Haøm phaân phoái xaùc suaát (
()Fx
) (duøng cho caû 2 loaïi bieán-thöôøng laø bieán ngaãu nhieân lieân
tuïc)
2.3.1.
()Fx
=p(
F
<x)
2.3.2.
'( ) ( )F x f x
2.3.3.
( ) ( )
x
F x f t dt

2.4. Kyø voïng
2.4.1.
1 1 2 2
( ) ...
nn
E x x p x p x p
(töø baûng phaân phoái xaùc suaát)
2.4.2.
( ) ( )E x xf x dx


2.5. Phöông sai:
2.5.1.
22
( ) ( ) [ ( )]V x E x E x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
2.5.2.
22
( ) ( ) [ ( ) ]V x x f x dx xf x dx
 
 


3. Moät soá phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng:
3.1. Phaân phoái chuaån toång quaùt:
2
~ ( ; )XN

3.1.1.
2
2
()
2
1
()
2
x
f x e

3.1.2.
( ) 1f x dx


3.1.3.
ModX MedX

;
2
( ) , ( )E x V x


3.1.4.
( ) ( ) ( )
ba
p a x b




3.1.5. Phaân phoái chuaån taéc
2
0, 1


3.1.5.1.
~ (0,1)TN
3.1.5.2.
2
2
1
()
2
t
f t e
3.1.5.3. Ñoåi bieán
X
T
3.1.5.4.
( ) ( ) ( )p a x b b a

3.2. Phaân phoái Poisson:
~ ( )XP
,
>0
3.2.1.
()
!
k
p k e
k

3.2.2.
( ) ( )E x V x

3.3. Phaân phoái nhò thöùc:
~ ( , )X B n p
3.3.1.
( ) ( ) , 1
k k n k
nn
p X k p k C p q p q
3.3.2.
0
( ) 1
n
k
p X k

3.3.3.
()E x np
,
00
,ModX x np q x np q
3.3.4. Khi n=1:
~ (1, )X B p
:phaân phoái khoâng-moät
3.3.4.1.
2
( ) , ( ) , ( )E x p E x p V x pq
3.3.5. Xấp xỉ phaân phoái nhò thöùc:
3.3.5.1. Baèng phaân phoái Poisson:
n
>50,
p
<0.1;
~ ( , ) ~ ( )X B n p X P
,
np
.
()
!
k
k k n k
n
p x k C p q e
k

Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
3.3.5.2. Baèng phaân phoái chuaån:
0.5, 0.5, ,np nq np npq

.
~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq
1
( ) ( )
k
p x k f


; p(
1
k
<X<
21
2
) ( ) ( )
kk
k





3.4. Phaân phoái sieâu boäi:
~ ( , , )
A
X H N N n
[N:toång soá phaàn töû,
A
N
:Soá phaàn töû coù tính chaát
A trong N, n: soá phaàn töû laáy ngaãu nhieân].Goïi X laø soá phaàn töû coù tính chaát A trong n.
.
()
AA
k n k
N N N
n
N
CC
p X k
C

3.4.1.
( ) ,
A
N
E X np p
N

;
( ) . , 1
1
Nn
V X npq q p
N
3.4.2. Xaáp xæ phaân phoái sieâu boäi baèng phaân phoái nhò thöùc:
0.05 ~ ( , )n N X B n p
;
( ) ,
k k n k
A
n
N
p X k C p q p
N
3.5. Bieán ngaãu nhieân 2 chieàu: X vaø Y ñoäc laäp
( ). ( )
ij i j
P p x q y
vôùi moïi i,j
3.6. Hieäp phöông sai vaø heä soá töông quan:
3.6.1. Hieäp phöông sai(cov):
cov( , ) ( ) ( ) ( )X Y E XY E X E Y
3.6.2. Heä soá töông quan
,XY
:
,
cov( , )
( ) ( )
XY
XY
XY

PHAÀN 2: THOÁNG KEÂ
1. Toång theå vaø maãu
1.1.Thöïc haønh tính toaùn treân maãu:
1.1.1. Tính trung bình (
n
X
):
1
1
n
ni
i
Xx
n
1.1.2. Tính tyû leä maãu: (
n
f
);
A
n
m
f
n
(
A
m
:soá phaàn töû mang tính chaát A; n: kích thöôùc maãu)
1.1.3. Tính phöông sai maãu:
2 2 2
1
1
[ ( ) ]
1
k
ii
S n x n X
n

1.2.Öôùc löôïng tham soá cuûa toång theå:
1.2.1. Öôùc löôïng ñieåm:
22
( ) , ( ) , ( )
nn
E X E f p E S

1.2.2. Öôùc löôïng khoaûng:
1.2.2.1. Öôùc löôïng khoaûng cho trung bình: Vôùi ñoä tin caäy 1-
cho tröôùc, 1 maãu
kích thöôùc n.
30n
,
2
bieát
30n
,
2
chöa bieát
X
,
12
,XX
X
,s
12
,XX
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
2
.u
n
(
1
0.5-
2
2
u
)
2
.
s
u
n
(
1
0.5-
2
2
u
)
n
<30,
2
bieát
n
<30,
2
chöa bieát
Nhö TH1
X
,s
12
,XX
( 1, )
2
.
n
s
t
n
1.2.2.2. Öôùc löôïng khoaûng cho tyû leä: toång theå coù tyû leä p chöa bieát, vôùi ñoä tin caäy
1
cho tröôùc, vôùi 1 maãu kích thöôùc n, tyû leä maãu
n
f
. Tìm 2 soá
12
,pp
thoaû:
12
( ) 1p p p p
,
1,2 n
pf
Coâng thöùc:
2
(1 )ff
u
n
1.2.2.3. Öôùc löôïng khoaûng cho phöông sai:Giaû söû toång theå coù
2
chöa bieát. Döïa
vaøo 1 maãu kích thöôùc n, vôùi ñoä tin caäy 1-
cho tröôùc.
TH1:
chöa bieát, bieát
2
S
. Khi ñoù ta coù
22
2
22
12
( 1) ( 1)
[ , ]
n S n S


trong ñoù
22
1
( 1, )
2
n


,
22
2
( 1,1 )
2
n

TH2:
bieát. Khi ñoù
2
22
12
( ) ( )
[ , ]
i i i i
n x n x




, trong ñoù
22
1
( , )
2
n

,
22
2
( ,1 )
2
n


1.2.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ:
1.2.3.1. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho
1.2.3.1.1. TH1:
2
bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
:
2
bieát (mieàn baùc boû
0
H
)
00
:H

1
:H
≠
0
0
{,
X
W u n u

>
2
u
}
00
:H

1
:H
<
0
0
{
X
W u n

,u<-
u
}
00
:H

1
:H
>
0
0
{
X
W u n

,u>
u
}
1.2.3.1.2. TH2:
30n
,
2
khoâng bieát
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
00
:H

1
:H
≠
0
0
{,
X
W u n u
s

>
2
u
}
00
:H

1
:H
<
0
0
{
X
W u n
s

,u<-
u
}
00
:H

1
:H
>
0
0
{
X
W u n
s

,u>
u
}
1.2.3.1.3. TH3:
n
<30,
2
khoâng bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
00
:H

1
:H
≠
0
0
{,
X
W t n t
s

>
( 1, )
2
n
t
}
00
:H

1
:H
<
0
0
{
X
W t n
s

,
t
<-
( 1, )
2
n
t
}
00
:H

1
:H
>
0
0
{,
X
W t n
s

t
>
( 1, )
2
n
t
}
1.2.3.2. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho tyû leä:
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
0: 0
H p p
1:
Hp
≠
0
p
0
00
{,
(1 )
fp
W u u
pp
n

>
2
u
}
0: 0
H p p
1:
Hp
<
0
p
0
00
{
(1 )
fp
Wu
pp
n

,
u
<-
u
}
0: 0
H p p
1:
Hp
>
0
p
0
00
{
(1 )
fp
Wu
pp
n

,
u
>
u
}
1.2.3.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho phöông sai:
1.2.3.3.1. TH1:
chöa bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
22
00
:H

2
1
:H
≠
2
0
2
2
2
0
( 1)
{
ns
W

,
2
<
2
1
hoaëc
2
>
2
2
2 2 2 2
12
( 1,1 ) ( 1, )
22
,
nn


Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
22
00
:H

2
1
:H
<
2
0
2
2
2
0
( 1)
{
ns
W

,
2
<
2
( 1,1 )n

22
00
:H

2
1
:H
>
2
0
2
2
2
0
( 1)
{
ns
W

,
2
>
2
( 1, )n
1.2.3.3.2. TH2:
bieát.
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
22
00
:H

2
1
:H
≠
2
0
2
2
2
0
()
{
ii
nx
W

,
2
<
2
1
hoaëc
2
>
2
2
2 2 2 2
12
( ,1 ) ( , )
22
,
nn


22
00
:H

2
1
:H
<
2
0
2
2
2
0
()
{
ii
nx
W

,
2
<
2
( ,1 )n
22
00
:H

2
1
:H
>
2
0
2
2
2
0
()
{
ii
nx
W

,
2
>
2
( , )n
1.2.4. So sánh 2 tham số của tổng thể:
1.2.4.1. So sánh 2 số trung bình:
1.2.4.1.1. TH1:
22
12
30, 30, ,mn


biết
GTTK
W
0 1 2
:H

1 1 2
:H

22
2
12
;
XY
W u u u
mn









0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
mn









0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
mn









1.2.4.1.2. TH2:
m
30,
n
30,
22
12
,

biết, X,Y có phân phối chuẩn
GTTK
W
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
0 1 2
:H

1 1 2
:H

22
2
12
;
XY
W u u u
mn









0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
mn









0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
mn









1.2.4.1.3. TH3:
22
12
30, 30, ,mn


không biết
GTTK
W
0 1 2
:H

1 1 2
:H

22
2
12
;
XY
W u u u
ss
mn








0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
ss
mn








0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
ss
mn








1.2.4.1.4. TH4:
m
30,
n
30, X,Y có phân phối chuẩn,
22
12

không biết
GTTK
W
0 1 2
:H

1 1 2
:H

2,
2
2
;
11
mn
XY
W t t t
s
mn














22
12
2
11
2
m s n s
s
mn

Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
0 1 2
:H

11
:H
2
2,
2
;
11
mn
XY
W t t t
s
mn











0 1 2
:H

11
:H
2
2,
2
;
11
mn
XY
W t t t
s
mn











1.2.4.1.5. TH5:
m
30,
n
30, X,Y có phân phối chuẩn,
22
12

chưa biết
GTTK
W
0 1 2
:H

1 1 2
:H

22
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
22
1, 1,
12
22
12
; ; , ; , ;
mn
s s t v t v
XY
W g g t t t t t v v t
m n v v
ss
mn









0 1 2
:H

11
:H
2
1 2 ( 1, )
1,
22
12
; ; ,
n
m
XY
W g g t t t t t
ss
mn








0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W g g t
ss
mn







1.2.4.2. So sánh 2 tỷ lệ:
GTTK
W
0 1 2
:H

1 1 2
:H

1 2 1 2
12
2
; ; ,
11
1
f f k k
W u u u f f
mn
ff
mn












0 1 2
:H

11
:H
2
12
;
11
1
ff
W u u u
ff
mn












Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
0 1 2
:H

11
:H
2
12
;
11
1
ff
W u u u
ff
mn












1.2.4.3. So sánh 2 phương sai:
GTTK
W
22
0 1 2
:H

22
1 1 2
:H

2
1
2
2
2
2
1
, ; 1, 1 ,
1, 1
s
W g g f hayg f f f m n f
s f n m







22
0 1 2
:H

22
1 1 2
:H

2
1
2
2
, ( 1, 1)
s
W g g f m n
s




Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
- 1 - Tóm tắt công thức
- 1 - XSTK
Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê
I. Phần Xác Suất
1. Xác suất cổ điển
Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
A
1
, A
2
,…, A
n
xung khắc từng đôi
P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
).
Ta có
o A, B xung khắc
P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung khắc từng đôi
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o
( ) 1 ( )
P A P A
.
Công thức xác suất có điều kiện:
( )
( / )
( )
P AB
P A B
P B
,
( )
( / )
( )
P AB
P B A
P A
.
Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).
A
1
, A
2
,…, A
n
độc lập với nhau
P(A
1
.A
2.
….A
n
)=P(A
1
).P(A
2
).….P( A
n
).
Ta có
o A, B độc lập
P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C độc lập với nhau
P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
Công thức Bernoulli: ( ; ; )
k k n k
n
B k n p C p q
, với p=P(A): xác suất để biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A
1
, A
2
,…, A
n
được gọi là một phép phân
hoạch của
1 2
. ; , 1,
...
i j
n
A A i j i j n
A A A
o Công thức xác suất đầy đủ:
1 1 2 2
1
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
n
i i n n
i
P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A
o Công thức Bayes:
( ). ( / )
( / )
( )
i i
i
P A P B A
P A B
P B
với
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
n n
P B P A P B A P A P B A P A P B A
2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Luật phân phối xác suất
với
( ), 1, .
i i
p P X x i n
Ta có:
1
1
n
i
i
p
và
f(
{a f(X) b}=
i
i
a x b
P p

X x
1
x
2
… x
n
P p
1
p
2
… p
n
- 2 - Tóm tắt công thức
- 2 - XSTK
Hàm phân phối xác suất
( ) ( )
i
X i
x x
F x P X x p
Mode
0 0
ModX max{ : 1, }
i
x p p i n
Median
0,5
( ) 0,5
MedX
( ) 0,5
0,5
i e
i e
i
x x
e
e
e
i
x x
p
P X x
x
P X x
p
Kỳ vọng
1 1 2 2
1
( . ) . . ... .
n
i i n n
i
EX x p x p x p x p
1 1 2 2
1
( ( )) ( ( ). ) ( ). ( ). ... ( ).
n
i i n n
i
E X x p x p x p x p
Phương sai
2 2
( ) ( )
VarX E X EX
với
2 2 2 2 2
1 1 2 2
1
( ) ( . ) . . ... .
n
i i n n
i
E X x p x p x p x p
b. Biến ngẫu nhiên liên tục.
f(x) là hàm mật độ xác suất của X
( ) 1


f x dx
,
{a X b} ( ).
b
a
P f x dx
Hàm phân phối xác suất
( ) ( ) ( )
x
X
F x P X x f t dt

Mode
0
ModX x
Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x
0
.
Median
1 1
( ) ( )
2 2
e
x
e X e
MedX x F x f x dx

.
Kỳ vọng
EX . ( )
x f x dx


.
( ( )) ( ). ( )
E X x f x dx


- 3 - Tóm tắt công thức
- 3 - XSTK
Phương sai
2 2
( ) ( )
VarX E X EX
với
2 2
EX . ( )
x f x dx


.
c. Tính chất
-
( ) , ( ) 0
E C C Var C
, C là một hằng số.
-
2
( ) , ( )
E kX kEX Var kX k VarX
- ( )
E aX bY aEX bEY
- Nếu X, Y độc lập thì
2 2
( ) . , ( )
E XY EX EY Var aX bY a VarX b VarY
- ( )
X VarX
: Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3. Luật phân phối xác suất
a. Phân phối Chuẩn
2
( ~ ( ; ))
X N
( )X
, EX=ModX=MedX=
,
2
VarX
Hàm mđxs
2
2
( )
2
1
( , , )
2
x
f x e

Với
0, 1:
2
2
1
( )
2
x
f x e
(Hàm Gauss)
(a X b) ( ) ( )
b a
P
với
2
2
0
1
( )
2
t
x
x e dt
(Hàm Laplace)
Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối
xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc
Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES
Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var
Tính
2
2
0
1
( )
2
t
x
x e dt
2
2
1
( )
2

t
x
F x e dt
Shift 3 2 x ) =
Shift 3 1 x ) =
Shift 1 7 2 x ) =
Shift 1 7 1 x ) =
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1
Lưu ý:
( ) 0,5 ( )
F x x
b. Phân phối Poisson
( ~ ( ))
X P
( )X
,
EX . odX=k -1 kVarX M

(X=k)=e ,
!
k
P k
k

- 4 - Tóm tắt công thức
- 4 - XSTK
c. Phân phối Nhị thức
( ~ ( ; ))
X B n p
( ) {0..n}
X
, EX=np, VarX=npq, ModX=k
( 1) 1 ( 1)
n p k n p
(X=k)=C . . , q p 0 ,
k k n k
n
P p q k n k

Nếu
( 30;0,1 0,9; 5, 5)
n p np nq thì
2
~ ( ; ) ( ; )
X B n p N với
. ,
n p npq

1
(X=k) ( ), 0 ,
k
P f k n k
 
(a X<b) ( ) ( )
b a
P
Nếu
( 30, 5)

n p np thì
~ ( ; ) ( )
X B n p P với
np
(X=k) e ,
!
k
P k
k

Nếu
( 30, 0,9, 5)
n p nq
(X=k) e ,
( )!
n k
P k
n k
với
nq
d. Phân phối Siêu bội
( ~ ( ; ; ))
A
X H N N n
( ) {max{0; ( )}..min{n;N }}
A A
X n N N
EX=np, VarX=npq
1
N n
N
với
A
N
p
N
, q=1-p.
( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 2
1
2 2
A A
N n N n
ModX k k
N N
.
(X=k)= , ( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P k X
C

Nếu
20
N
n
thì
~ ( ; ; ) ( ; )
A
X H N N n B n p
với
A
N
p
N
.
(X=k) C . . , ( ), 1
k k n k
n
P p q k X q p

.
- 5 - Tóm tắt công thức
- 5 - XSTK
X
Y
Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông
dụng:
n
30, np<5
p
0,1
=np
N>20n
p=
A
N
N
, q=1-p
n
30, np
5
, nq
5
0,1<p<0,9
1
( ) ( )
k
P X k f
( ) ( ) ( )
b a
P a X b
với ,
np npq

Siêu bội: X~H(N;N
A
;n)
.
( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P X k
C
Poisson: X~
( )
P
( )
!
k
P X k e
k
Nhị thức: X~B(n;p)
( ) . .
k k n k
n
P X k C p q
Chuẩn: X~
2
( ; )
N
2
2
( )
2
1
( ; ; ) .
2
x
f x e

Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1)
2
2
1
( ) .
2
y
f y e
- 6 - Tóm tắt công thức
- 6 - XSTK
II. Phần Thống Kê.
1. Lý thuyết mẫu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình
1
...
n
X X
X
n
1
...
n
x x
x
n
Phương sai không hiệu chỉnh
2 2
2
1
( ) ... ( )
ˆ
n
X
X X X X
S
n
2 2
2
1
( ) ... ( )
ˆ
n
x
x x x x
s
n
Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1
( ) ... ( )
1
n
X
X X X X
S
n
2 2
2
1
( ) ... ( )
1
n
x
x x x x
s
n
b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:
Khi đó
Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình
1 1
...
k k
x n x n
x
n
Phương sai không hiệu chỉnh
2 2
2
1 1
( ) ... ( )
ˆ
k k
x
x x n x x n
s
n
Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1 1
( ) ... ( )
1
k k
x
x x n x x n
s
n
c. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu
- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền
[ ; )
a b
hay
( ; ]
a b
thì ta sử dụng giá
trị đại diện cho miền đó là
2
a b
để tính toán.
Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES
Bật chế độ nhập tần số Không cần
Shift Mode
4 1
Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var
Nhập số liệu
1
x
Shift ,
1
n
M+
k
x
Shift ,
k
n
M+
Nếu
1
i
n
thì chỉ cần
nhấn
i
x
M+
X FREQ
1
x
=
k
x
=
1
n
=
k
n
=
i
x
1
x
2
x
…
k
x
i
n
1
n
2
n
…
k
n
- 7 - Tóm tắt công thức
- 7 - XSTK
Xóa màn hình hiển thị AC AC
Xác định:
Kích thước mẫu (n)
Giá trị trung bình
(
x
)
Độ lệch chuẩn không
hiệu chỉnh (
ˆ
x
s
)
Độ lệch chuẩn hiệu
chỉnh (
x
s
)
Shift 1 3 =
Shift 2 1 =
Shift 2 2 =
Shift 2 3 =
Shift 1 5 1 =
Shift 1 5 2 =
Shift 1 5 3 =
Shift 1 5 4 =
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1
2. Ước lượng khoảng.
a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình.
Trường hợp 1. (
đã biết)
Ước lượng đối xứng.
2 2 2
1
( ) . ; )
2
z z z x x
n
Ước lượng chệch trái.
( ) 0,5 . ; )
z z z x
n

Ước lượng chệch phải.
( ) 0,5 . )
z z z x
n
 
Trường hợp 2. (
chưa biết,
30
n
)
Ước lượng đối xứng.
2 2 2
1
( ) . ; )
2
s
z z z x x
n
Ước lượng chệch trái.
( ) 0,5 . ; )
s
z z z x
n

Ước lượng chệch phải.
( ) 0,5 . )
s
z z z x
n
 
Trường hợp 3. (
chưa biết, n<30)
Ước lượng đối xứng.
( 1; ) ( 1; )
2 2
1 . ; )
2
n n
s
t t x x
n

Ước lượng chệch trái.
( 1; ) ( 1; )
1 . ; )
n n
s
t t x
n

- 8 - Tóm tắt công thức
- 8 - XSTK
Ước lượng chệch phải.
( 1; ) ( 1; )
1 . ; )
n n
s
t t x
n

b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ.
Ước lượng đối xứng.
2 2 2
(1 )
1
( ) . ; )
2
f f
z z z f f
n
Ước lượng chệch trái.
(1 )
( ) 0,5 . ; )
f f
z z z f
n

Ước lượng chệch phải.
(1 )
( ) 0,5 . )
f f
z z z f
n
 
c) Khoảng tin cậy cho phương sai.
Trường hợp 1. (
chưa biết)
- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s (bằng máy
tính).
Ước lượng không chệch.
2
2
( 1; )
2
1
2
n
,
1
2
( 1;1 )
2
1 1
2
n
2 2
2 1
( 1) ( 1)
( ; )
n s n s
Ước lượng chệch trái.
2
2
1 ( 1;1 )
1
( 1)
1 (0; )
n
n s

Ước lượng chệch phải.
2
2
2 ( 1; )
2
( 1)
1 ( ; )
n
n s
Trường hợp 2. (
đã biết)
- Tính
2 2
1
( 1) .( )
k
i i
i
n s n x
Ước lượng không chệch.
2
2
( ; )
2
1
2
n
,
2
1
( ;1 )
2
1 1
2
n
2 2
2 1
( 1) ( 1)
( ; )
n s n s
- 9 - Tóm tắt công thức
- 9 - XSTK
Ước lượng chệch trái.
2
2
1 ( ;1 )
1
( 1)
1 (0; )

n
n s
Ước lượng chệch phải.
2
2
2 ( ; )
2
( 1)
1 ( ; )

n
n s
3. Kiểm định tham số.
a) Kiểm định giá trị trung bình.
Trường hợp 1. (
đã biết)
1
: , :
o o o
H H
2 2
1
( ) , .
2
o
x
z z z n
- Nếu
2
z z
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
2
z z
: Chấp nhận H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
- Nếu
z z
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
z z
: Chấp nhận H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
- Nếu
z z
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
z z
: Chấp nhận H
o
.
Trường hợp 2. (
chưa biết,
30
n
)
1
: , :
o o o
H H
2 2
1
( ) , .
2
o
x
z z z n
s
- Nếu
2
z z
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
2
z z
: Chấp nhận H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
s
- 10 - Tóm tắt công thức
- 10 - XSTK
- Nếu
z z
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
z z
: Chấp nhận H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
s
- Nếu
z z
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
z z
: Chấp nhận H
o
.
Trường hợp 3. (
chưa biết, n<30)
1
: , :
o o o
H H
( 1; )
2
, .
2
o
n
x
t t n
s
- Nếu
( 1; )
2
n
t t
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
( 1; )
2
n
t t
: Chấp nhận H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( 1; )
, .
o
n
x
t t n
s
- Nếu
( 1; )
n
t t
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
( 1; )
n
t t
: Chấp nhận H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( 1; )
, .
o
n
x
t t n
s
- Nếu
( 1; )
n
t t
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
( 1; )
n
t t
: Chấp nhận H
o
.
b) Kiểm định tỉ lệ.
1
: , :
o o o
H p p H p p
2 2
1
( ) , , .
2
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
- Nếu
2
z z
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
2
z z
: Chấp nhận H
o
.
1
: , :
o o o
H p p H p p
( ) 0,5 , , .
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
- 11 - Tóm tắt công thức
- 11 - XSTK
- Nếu
z z
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
z z
: Chấp nhận H
o
.
1
: , :
o o o
H p p H p p
( ) 0,5 , , .
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
- Nếu
z z
: Bác bỏ H
o
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
z z
: Chấp nhận H
o
.
c) Kiểm định phương sai.
Trường hợp 1. (
chưa biết)
- Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác
định s.
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
2 2
1
( 1;1 )
2
1
2
n
,
2 2
2
( 1; )
2
2
n
,
2
2
2
( 1)
o
n s
- Nếu
2 2
2
2 2
1
: Bác bỏ H
0
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
2 2 2
1 2
: Chấp nhận H
o
.
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
2 2
1 ( 1;1 )
1
n

,
2
2
2
( 1)
o
n s
- Nếu
2 2
1
: Bác bỏ H
0
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
2 2
1
: Chấp nhận H
o
.
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
2 2
2 ( 1; )
n
,
2
2
2
( 1)
o
n s
- Nếu
2 2
2
: Bác bỏ H
0
, chấp nhận H
1
.
- Nếu
2 2
2
: Chấp nhận H
o
.
4. Kiểm định so sánh tham số.
a) Kiểm định so sánh giá trị trung bình.
Trường hợp 1. (
1 2
,
đã biết)
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1
( ) ,
2
x x
z z z
n n
| 1/25
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

PHẦN I: XAÙC SUAÁT
1. Bieán coá ngaãu nhieân & xaùc suaát cuûa bieán coá:
1.1. Coâng thöùc coäng xaùc suaát:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 bieán coá xung khaéc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B)  p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)- [p(AB)+p(AC)+p(BC)]+p(ABC)
1.2. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 bieán coá ñoäc laäp)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A)  p(A A ...A )  p(A ).p(A / A )...p(A / A A ..A ) 1 2 n 1 2 1 n 1 2 n 1 
1.3. Coâng thöùc Bernoulli: cho 2 bieán coá A vaø A 1.3.1. p (x) x x n x C p q   , p=p(A), q=1-p n n
1.4. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû:
p(F)  p(A ).p(F / A )  p(A ).p(F / A ) ...  p(A ).p(F / A ) 1 1 2 2 n n 1.5. p A F p A p F A Coâng thöùc Bayes: ( . ) ( ). ( / )
p( A / F ) i i i   i p(F ) p(F )
2. Bieán ngaãu nhieân:
2.1. Baûng phaân phoái xaùc suaát (bieán ngaãu nhieân rôøi raïc)
2.2. Haøm maät ñoä xaùc suaát ( f (x) ) (bieãn ngaãu nhieân lieân tuïc)
2.2.1. f (x)  0 
2.2.2. f (x)dx 1    b
2.2.3. p(a x b)  f (x)dx a
2.3. Haøm phaân phoái xaùc suaát ( F(x)) (duøng cho caû 2 loaïi bieán-thöôøng laø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc)
2.3.1. F(x)=p( F
2.3.2. F '(x)  f (x) x
2.3.3. F(x)  f (t)dt 
2.4. Kyø voïng
2.4.1. E(x)  x p x p ... x p (töø baûng phaân phoái xaùc suaát) 1 1 2 2 n n 
2.4.2. E(x)  xf (x)dx 
2.5. Phöông sai: 2.5.1. 2 2
V (x)  E(x ) [E(x)]
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM   2.5.2. 2 2 V (x) 
x f (x)dx [ xf (x)dx]    
3. Moät soá phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng:
3.1. Phaân phoái chuaån toång quaùt: 2
X ~ N(; ) 2 ( x ) 1  3.1.1. 2  2 f (x)  e 2 
3.1.2. f (x)dx 1  
3.1.3. ModX MedX   ; 2
E(x)  ,V (x)   3.1.4. b   a 
p(a x b)  ( ) ( )  
3.1.5. Phaân phoái chuaån taéc 2   0, 1
3.1.5.1. T ~ N(0,1) 2 t 3.1.5.2. 1  2 f (t)  e 2 3.1.5.3.   Ñoåi bieán X T
3.1.5.4. p(a x  ) b  ( )
b (a)
3.2. Phaân phoái Poisson: X ~ P() ,>0 3.2.1. k  
p(  k)  e k !
3.2.2. E(x) V(x)  
3.3. Phaân phoái nhò thöùc: X ~ ( B , n p)
3.3.1. p(X k)  p (k) k k nk
C p q , p q 1 n n 3.3.2. n
p(X k) 1 k 0
3.3.3. E(x)  np , ModX x ,np q x np q 0 0
3.3.4. Khi n=1: X ~ B(1, p) :phaân phoái khoâng-moät 3.3.4.1. 2 E(x)  , p E(x )  ,
p V (x)  pq
3.3.5. Xấp xỉ phaân phoái nhò thöùc:
3.3.5.1. Baèng phaân phoái Poisson: n >50, p <0.1; X ~ ( B ,
n p)  X ~ P() ,   np . k   
p(x k) k k n kC p qe n k !
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM
3.3.5.2. Baèng phaân phoái chuaån:
np  0.5, nq  0.5,   n ,
p   npq . X ~ ( B ,
n p)  X ~ N(n , p npq) 1 k   k   k  
p(x k)  f ( ) ; p(      k 2 1 k ) ( ) ( ) 1 2  
3.4. Phaân phoái sieâu boäi: X ~ H(N, N , )
n [N:toång soá phaàn töû, N :Soá phaàn töû coù tính chaát A A
A trong N, n: soá phaàn töû laáy ngaãu nhieân].Goïi X laø soá phaàn töû coù tính chaát A trong n. k C . nk C
p( X k) N A N N A n CN 3.4.1. N N n
E(X )  np, A p
;V (X )  np . q
, q  1 p N N 1
3.4.2. Xaáp xæ phaân phoái sieâu boäi baèng phaân phoái nhò thöùc:  N
n  0.05N X ~ ( B ,
n p) ; p( X k) k k n kC p q , A p n N
3.5. Bieán ngaãu nhieân 2 chieàu: X vaø Y ñoäc laäp  P p(x ).q(y ) vôùi moïi i,j ij i j
3.6. Hieäp phöông sai vaø heä soá töông quan:
3.6.1. Hieäp phöông sai(cov): cov(X,Y)  E(XY)  E(X)E(Y) 3.6.2. cov( X ,Y )
Heä soá töông quan  :   X ,Y X ,Y  (X ) (Y) PHAÀN 2: THOÁNG KEÂ 1. Toång theå vaø maãu
1.1.Thöïc haønh tính toaùn treân maãu: 1.1.1. 1 n
Tính trung bình ( X ): X   x n n i n i 1  1.1.2. m
Tính tyû leä maãu: ( f ); A f
( m :soá phaàn töû mang tính chaát A; n: kích thöôùc maãu) n n n A 1.1.3. 1 k Tính phöông sai maãu: 2 2 2 S
[n x n(X ) ] n 1 i i 1
1.2.Öôùc löôïng tham soá cuûa toång theå:
1.2.1. Öôùc löôïng ñieåm: 2 2
E(X )  , E( f )  , p E(S )   n n
1.2.2. Öôùc löôïng khoaûng:
1.2.2.1. Öôùc löôïng khoaûng cho trung bình: Vôùi ñoä tin caäy 1- cho tröôùc, 1 maãu kích thöôùc n. n  30 , 2  bieát n  30 , 2  chöa bieát X , X ,s
  X ,   X 
  X ,   X  1 2 1 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM    s u .    u .  n n 2 2 (   1 0.5-  u ) (  )  1  0.5-  u 2 2 2 2 n <30, 2  bieát n <30, 2  chöa bieát Nhö TH1 X ,s
  X ,   X  1 2 s   t .  (n 1  , ) n 2
1.2.2.2. Öôùc löôïng khoaûng cho tyû leä: toång theå coù tyû leä p chöa bieát, vôùi ñoä tin caäy
1 cho tröôùc, vôùi 1 maãu kích thöôùc n, tyû leä maãu f . Tìm 2 soá p , p thoaû: n 1 2 f (1 f )
p( p p p )  1 , p
f   Coâng thöùc:    u 1 2 1,2 nn 2
1.2.2.3. Öôùc löôïng khoaûng cho phöông sai:Giaû söû toång theå coù 2  chöa bieát. Döïa
vaøo 1 maãu kích thöôùc n, vôùi ñoä tin caäy 1- cho tröôùc. 2 2 TH1:  chöa bieát, bieát (n 1)S (n 1)S 2 S . Khi ñoù ta coù 2  [ , ] trong ñoù 2 2   1 2   2 2
   (n 1, ) , 2 2
   (n 1,1 ) 1 2 2 2       TH2:  bieát. Khi ñoù n (x ) n (x ) 2  [ i i , i i ] , trong ñoù 2 2   1 2   2 2    ( , n ) , 2 2    ( , n 1 ) 1 2 2 2
1.2.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ:
1.2.3.1. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho  1.2.3.1.1. TH1: 2  bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ W : 2  bieát (mieàn baùc boû  H ) 0 H :      0 0 X W u n u > u } H :  ≠  0 { ,    1 0 2 H :      0 0 X W u n ,u<- u } H :  <  0 {    1 0 H :      0 0 X W u n ,u> u } H :  >  0 {    1 0
1.2.3.1.2. TH2: n  30, 2  khoâng bieát
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM
Giaû thuyeát thoáng keâ W (mieàn baùc boû  H ) 0 H :      0 0 X W u n u > u } H :  ≠  0 { ,   1 0 s 2 H :      0 0 X W u n ,u<- u } H :  <  0 {   1 0 s H :      0 0 X W u n ,u> u } H :  >  0 {   1 0 s
1.2.3.1.3. TH3: n <30, 2  khoâng bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ W (mieàn baùc boû  H ) 0 H :      0 0 X W t n t > t } H :  ≠  0 { ,   (n 1  , ) 1 0 s 2 H :      0 0 X W t
n , t <- t } H :  <  0 {   (n 1  , ) 1 0 s 2 H :      0 0 X W t n t > t } H :  >  0 { ,   (n 1  , ) 1 0 s 2
1.2.3.2. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho tyû leä:
Giaû thuyeát thoáng keâ W (mieàn baùc boû  H ) 0 H p p f p 0: 0 0 W  {u  , u }  > uH p ≠ p p (1 p ) 1: 0 0 0 2 n H p p f p 0: 0 0 W  {u  , }  u <- uH p < p p (1 p ) 1: 0 0 0 n H p p f p 0: 0 0 W  {u  , }  u > uH p > p p (1 p ) 1: 0 0 0 n
1.2.3.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho phöông sai:
1.2.3.3.1. TH1:  chöa bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ W (mieàn baùc boû  H ) 0 2 2 H :   2 (n 1)s 0 0 2 W  {  , 2   hoaëc 2    < 2 > 2 2 2 1 2 H : ≠ 2   1 0 0 2 2 2 2    ,    1  2  (n 1  ,1 ) (n 1  , ) 2 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 2 2 H :   2 (n 1)s 0 0 2 W  {  , 2    < 2    2 2 (n 1,1 ) H : < 2   1 0 0 2 2 H :   2 (n 1)s 0 0 2 W  {  , 2    > 2   2 2 (n 1, ) H : > 2   1 0 0 1.2.3.3.2. TH2:  bieát.
Giaû thuyeát thoáng keâ W (mieàn baùc boû  H ) 0 2 2 H :   2 n (x ) 0 0 2 W  { i i   , 2  < 2  hoaëc 2  > 2  2  1 2 H : ≠ 2  2  1 0 0 2 2 2 2    ,    1  2  (n,1 ) (n, ) 2 2 2 2 H :   2 n (x ) 0 0 2 W  { i i   , 2  < 2  2  (n,1   ) H : < 2  2  1 0 0 2 2 H :   2 n (x ) 0 0 2 W  { i i   , 2  > 2  2  (n, ) H : > 2  2  1 0 0
1.2.4. So sánh 2 tham số của tổng thể:
1.2.4.1. So sánh 2 số trung bình: 1.2.4.1.1. TH1: 2 2
m  30, n  30, , biết 1 2 GTTK W H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ; u u    2 2    2  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u     2 2     1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u    2 2     1 2   m n   
1.2.4.1.2. TH2: m 30, n 30, 2 2
 , biết, X,Y có phân phối chuẩn 1 2 GTTK W
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ; u u    2 2    2  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u     2 2     1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u    2 2     1 2   m n    1.2.4.1.3. TH3: 2 2
m  30, n  30, , không biết 1 2 GTTK W H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ; u u    2 2  s s 2  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u     2 2  s s  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u    2 2  s s  1 2   m n   
1.2.4.1.4. TH4: m 30, n 30, X,Y có phân phối chuẩn, 2 2    không biết 1 2 GTTK W H :      0 1 2   H :      
m 1 s n 1 s 2   21   2 1 1 2 X Y W t   ; t t 2       s  2,   1 1 m n    m n  2 2  2  s      m n     
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W t   ;t     t
mn2,    1 1  2  s     m n      H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W t   ;t t   
mn2,    1 1  2  s     m n     
1.2.4.1.5. TH5: m 30, n 30, X,Y có phân phối chuẩn, 2 2    chưa biết 1 2 GTTK W H :      0 1 2   H :    2 2  X Y s s t v t v  1 1 2 1 2 1 1 2 2 W  g
; g t;t t ,t t ;v  , v  ;t    1    2    1 2 2 2 m 1  , n 1  ,     m n v vs s  2   2  1 2  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W  g  ; g t  ;t t ,t t   1 m 1,    2 (n 1  , ) 2 2  s s  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W  g  ; g t   2 2  s s  1 2   m n   
1.2.4.2. So sánh 2 tỷ lệ: GTTK W H :      0 1 2   H :       1 1 2 f f k k 1 2 1 2 W u  
; u u ; f  , f     1 2     m n f 1 f  1 1 2     m n      H :      0 1 2   H :     f f  1 1 2 1 2 W u   ;u u        
f   f  1 1 1     m n     
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM H :      0 1 2   H :     f f  1 1 2 1 2 W u   ;u u       
f   f  1 1 1     m n     
1.2.4.3. So sánh 2 phương sai: GTTK W  2 2 H :     0 1 2 2  s 1  2 2 H :   1 W  g
, g f hayg f ; f f
m 1, n 1 , f    2    1 1 2 s f n 1, m 1  2 2      2 2 2 H :   2   0 1 2 s1 W  g
, g f (m 1, n 1) 2 2   H :   2 s   1 1 2 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM - 1 - Tóm tắt công thức
Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ điển
 Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
 A1, A2,…, An xung khắc từng đôi  P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).  Ta có
o A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung khắc từng đôi  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o P( A)  1 P( ) A . P( AB) P( AB)
 Công thức xác suất có điều kiện: P( A / B)  , P(B / ) A  . P(B) P( ) A
 Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).
 A1, A2,…, An độc lập với nhau  P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An).  Ta có
o A, B độc lập  P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C độc lập với nhau  P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
 Công thức Bernoulli: B(k; ; n p) k k n k n C p q  
, với p=P(A): xác suất để biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân 
A .A   i   j; i  , j 1, n hoạch của  i j     1 A  2 A  ...  n A  
o Công thức xác suất đầy đủ: n P(B) 
P( A ).P(B / A ) P  (  i i 1
A ).P(B / 1 A )  P( 2
A ).P(B / 2
A )  ...  P( A ).P(B / A ) n n i 1  o Công thức Bayes:
P(A ).P(B / A ) P( A / B) i ii P(B)
với P(B)  P( 1
A ).P(B / 1 A )  P( 2
A ).P(B / 2
A )  ...  P( A ).P(B / A ) n n 2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Luật phân phối xác suất X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn
với p P( X x ),i  1, . i i n  Ta có: n p  1  i và { P a  f(X)  b}=  i p i 1  af( i x b - 1 - XSTK - 2 - Tóm tắt công thức
 Hàm phân phối xác suất
F (x)  P(X x)  p Xi i x x  Mode
ModX  x p  max{ p : i  1, } n 0 0 i  Median  p  0,5 
P( X x )  0, 5 ix x MedX e i ex    e
P( X x )  0,5  p e 0, 5   iix ex  Kỳ vọng n EX  (x . p )  i i  1 x . 1 p  2 x . 2
p  ...  x . n pn i 1  n
E(( X )) 
(( x ). p )  (  i i 1 x ). 1
p (x2).p2  ...  (x ). n n p i 1   Phương sai 2 2
VarX E( X )  (EX ) n với 2 2 2 2 2 E( X )  (x . p )  i i  1 x . 1 p  2
x . p2  ...  x . n pn i 1 
b. Biến ngẫu nhiên liên tục. 
 f(x) là hàm mật độ xác suất của X  ( )  1  f x dx ,  b { P a  X  b}  f (x).dxa
 Hàm phân phối xác suất x
F (x)  P( X x)  f (t)dt X    Mode
ModX x  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x 0 0.  Median 1 e x 1
MedX x F (x )  
f (x)dx e X e  . 2 2   Kỳ vọng  EX  . x f (x)dx  .  
E(( X )) 
(x). f (x)dx   - 2 - XSTK - 3 - Tóm tắt công thức  Phương sai  2 2
VarX E( X )  (EX ) với 2 2 EX 
x . f (x)dx  .  c. Tính chất
- E(C)  C,V
ar(C)  0 , C là một hằng số. - 2
E(kX )  kEX , V
ar(kX )  k VarX
- E(aX bY )  aEX bEY
- Nếu X, Y độc lập thì 2 2
E( XY )  EX .EY , V
ar(aX bY )  a VarX b VarY
-( X )  VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3. Luật phân phối xác suất a. Phân phối Chuẩn 2
( X ~ N (; )) 
X ()   , EX=ModX=MedX= , 2 VarX 2 ( x) 1  2  Hàm mđxs 2 f (x, , )  e  
 Với  0,   1: 2 2 x 1  2 f (x)  e (Hàm Gauss) 2 2 x t b   a   1   P(a  X  b)  (  )  (  ) với 2 (  x)  e dt  (Hàm Laplace)   2 0
 Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối
xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES
Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Tính 2 x t 1  2 (  x)  e dt  Shift 3 2 x ) = Shift 1 7 2 x ) = 2 0 2 x t 1  2 F (x)   e dt Shift 3 1 x ) = Shift 1 7 1 x ) = 2 
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1
Lưu ý: F (x)  0,5  (  x)
b. Phân phối Poisson ( X ~ P()) 
X ()   , EX  VarX . M
 odX=k  -1  k  k
P(X=k)=e  , k    k ! - 3 - XSTK - 4 - Tóm tắt công thức
c. Phân phối Nhị thức ( X ~ B( ; n p)) 
X ()  {0..n}, EX=np, VarX=npq, ModX=k  (n 1) p 1  k  (n 1) p
P(X=k)=Ck . k p . nk q , q    p 0   k  , n n k     Nếu (n  30; 0
 ,1  p  0,9; np  5, nq  5) thì 2 X ~ B( ; n p)  N ( ;   ) với   . n p,  npq 1 k    P(X=k)  f ( ), 0
  k n, k      b   a    P(a  X )  (  )  
 Nếu (n  30, p   np  5) thì X ~ B( ;
n p)  P() với   np kP(X=k) e   , k    k !
 Nếu (n  30, p  0,9, nq  5) nk P(X=k) e   , k
   với   nq (n k )!
d. Phân phối Siêu bội ( X ~ H (N ; N ; n)) A
X ()  {max{0; n  (N N )}..min{n;N }} A A N n N  EX=np, VarX=npq với A p  , q=1-p. N 1 N
(N  1)(n 1)  2
(N 1)(n  1)  2  A ModX k  1 Ak  . N  2 N  2 k nk CN CNNP(X=k)= A A , k   X () n CN N N  Nếu
 20 thì X ~ H (N ; N ; n)  B( ; n p) A với A p  . n N
P(X=k)  Ck . k p . nk q , k
  X (), q   1 np . - 4 - XSTK - 5 - Tóm tắt công thức
Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông dụng: Siêu bội: X~H(N;NA;n) k nk C .C
P( X k ) N N N A An CN N>20n N p= A , q=1-p N n30, np<5 p0,1 Nhị thức: X~B(n;p) Poisson: X~ P  ( )  =np k k k n k
P( X k )  e P( X k )
C . p .q    n k !
n30, np  5 , nq  5 0,1

1 k
P( X k )  f ( ) b a
P(a X b)  ( ) ( )
với np,   npq X Y  Chuẩn: X~ 2
N (;)
Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1) 2 2 y ( x)  1 1  2 2 2 f ( ; x ; )  .e   f ( y)  .e 2 2 - 5 - XSTK - 6 - Tóm tắt công thức II. Phần Thống Kê. 1. Lý thuyết mẫu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể Giá trị trung bình X  ...  X x  ...  x 1 n X  1 n x n n
Phương sai không hiệu chỉnh 2 2 ( X X ) ... ( X X ) 2 2
(x x )  ...  (x x ) 2 1 ˆ     2 1 S n ˆs n X n x n Phương sai hiệu chỉnh 2 2
( X X )  ...  ( X X ) 2 2
(x x )  ...  (x x ) 2 1 S n 2 1 s n X n 1 x n 1
b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau: x x x … x i 1 2 k n n n … n i 1 2 k Khi đó
Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể
x n  ...  x n Giá trị trung bình 1 1 k k x n
Phương sai không hiệu chỉnh 2 2
(x x ) n  ...  (x x ) n 2 1 1 ˆs k k x n 2 2
(x x ) n  ...  (x x ) n Phương sai hiệu chỉnh 2 1 1 s k k x n 1
c. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu
- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [ ; a b) hay ( ;
a b] thì ta sử dụng giá a b
trị đại diện cho miền đó là để tính toán. 2 Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES
Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1
Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var
x Shift , n M+ 1 1  X FREQ
x Shift , n M+ x = n = k k 1 1 Nhập số liệu  
Nếu n  1 thì chỉ cần x = n = i k k nhấn x M+ i - 6 - XSTK - 7 - Tóm tắt công thức Xóa màn hình hiển thị AC AC Xác định:  Kích thước mẫu (n) Shift 1 3 = Shift 1 5 1 =  Giá trị trung bình ( x ) Shift 2 1 = Shift 1 5 2 =
 Độ lệch chuẩn không hiệu chỉnh ( ˆs ) Shift 2 2 = Shift 1 5 3 = x
 Độ lệch chuẩn hiệu Shift 2 3 = Shift 1 5 4 = chỉnh ( s ) x
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 2. Ước lượng khoảng.
a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình.
Trường hợp 1. (  đã biết)
 Ước lượng đối xứng. 1   (z ) 
z    z .   x   ;  x  )   2 n 2 2 2
 Ước lượng chệch trái. 
(z )  0,5    z    z .   ;  x  )   n
 Ước lượng chệch phải. 
(z )  0,5    z    z .
 x  )   n
Trường hợp 2. (  chưa biết, n  30 )
 Ước lượng đối xứng. 1  s (z ) 
z    z .   x   ;  x  )   2 n 2 2 2
 Ước lượng chệch trái. s
(z )  0,5    z    z .   ;  x  )   n
 Ước lượng chệch phải. s
(z )  0,5    z    z .
 x  )   n
Trường hợp 3. (  chưa biết, n<30)
 Ước lượng đối xứng.  s 1    t    t .   x   ;  x  )   2 (n 1  ; ) (n 1  ; ) n 2 2
 Ước lượng chệch trái. s 1     t         ( 1  ;) t( 1  ;) . ; x ) n n n - 7 - XSTK - 8 - Tóm tắt công thức
 Ước lượng chệch phải. s 1     t          ( 1  ;) t( 1  ;) . x ; ) n n n
b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ.
 Ước lượng đối xứng. 1  f (1 f ) (z ) 
z    z .   f   ;   f  )   2 n 2 2 2
 Ước lượng chệch trái. f (1 f )
(z )  0,5    z    z .   ;   f  )   n
 Ước lượng chệch phải. f (1 f )
(z )  0,5    z    z .
  f   )    n
c) Khoảng tin cậy cho phương sai.
Trường hợp 1. (  chưa biết)
- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s (bằng máy tính).
 Ước lượng không chệch.  2  1       , 2 1   1     2   2 (n 1  ; ) 1 2 (n 1  ;1 ) 2 2 2 2 (n 1)s (n 1)s  ( ; ) 2 1 
 Ước lượng chệch trái. 2 2 (n 1)s 1   1    ( 1  ;1)  (0; ) n 1 
 Ước lượng chệch phải. 2 2 (n 1)s 1      2   ( 1  ;) ( ; ) n 2
Trường hợp 2. (  đã biết) k - Tính 2 2 (n 1)s n .(x  )  i i i 1 
 Ước lượng không chệch.  2  1    2    , 2 1   1  1     2 (n; ) 2 (n;1 ) 2 2 2 2 (n 1)s (n 1)s  ( ; ) 2 1  - 8 - XSTK - 9 - Tóm tắt công thức
 Ước lượng chệch trái. 2 2 (n 1)s 1   1
   (n;1 )  (0; )  1 
 Ước lượng chệch phải. 2 2 (n 1)s 1      2   (n; )  ( ; )  2 3. Kiểm định tham số.
a) Kiểm định giá trị trung bình.
Trường hợp 1. (  đã biết)  H :    , 1 H : o o   o 1  x   (z )   z , oz  . n  2  2 2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2  H :    , 1 H : o o   o x  
(z )  0, 5    z , oz  . n  
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H :    , 1 H : o o   o x  
(z )  0, 5    z , oz  . n  
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 2. (  chưa biết, n  30 )  H :    , 1 H : o o   o 1  x   (z )   z , oz  . n  2 s 2 2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2  H :    , 1 H : o o   o x  
(z )  0, 5    z , oz  . n s - 9 - XSTK - 10 - Tóm tắt công thức
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H :    , 1 H : o o   o x  
(z )  0, 5    z , oz  . n s
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 3. (  chưa biết, n<30)  H :    , 1 H : o o   o x      t , o t   . n  2 (n 1  ; ) s 2 - Nếu t t
 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. (n 1  ; ) 2 - Nếu t t  : Chấp nhận Ho. (n 1  ; ) 2  H :    , 1 H : o o   o x  o   t(n 1  ;) , t   . n s - Nếu t t  (n 1
 ;) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu t t  (n 1  ;) : Chấp nhận Ho.  H :    , 1 H : o o   o x  o   t(n 1  ;) , t   . n s
- Nếu t t(n 1
 ;) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu t t(n 1  ;) : Chấp nhận Ho. b) Kiểm định tỉ lệ. 
H : p p ,H1 : o o p o p 1  k f p (z )   z , f  , oz  . n  2 n p (1 p ) 2 2 o o
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2 
H : p p ,H1 : o o p po k f p
(z )  0,5    z , f  , oz  . n n p (1 p ) o o - 10 - XSTK - 11 - Tóm tắt công thức
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho. 
H : p p ,H1 : o o p o p k f p
(z )  0,5    z , f  , oz  . n n p (1 p ) o o
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
c) Kiểm định phương sai.
Trường hợp 1. (  chưa biết)
- Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác định s.  2 2 2 2 H :    , 1 H : o o   o  2 2 2  (n 1)s   1  2 1     , 2 2    2    ,  2 (n 1  ;1 ) 2 (n 1  ; ) 2  2 2 o 2 2    - Nếu 2 
: Bác bỏ H0, chấp nhận H1. 2 2   1   - Nếu 2 2 2 1
    2 : Chấp nhận Ho.  2 2 2 2 H :    , 1 H : o o   o 2 2 2 (n 1)s   1   2 1    (n 1  ;1) ,   2 o - Nếu 2 2   1
 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1. - Nếu 2 2   1  : Chấp nhận Ho.  2 2 2 2 H :    , 1 H : o o   o 2 2 2 (n 1)s    2 2   (n 1  ;) ,   2 o - Nếu 2 2
  2 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1. - Nếu 2 2
  2 : Chấp nhận Ho.
4. Kiểm định so sánh tham số.
a) Kiểm định so sánh giá trị trung bình. Trường hợp 1. ( 1  ,2 đã biết)  H : 1   2, 1 H : o 1   2 1  1 x  2 x (z )   z ,z   2 2 2 2 2 1  2  1 n 2 n - 11 - XSTK