Phần 1: Xác suất | Bài giảng môn Xác suất thống kê và quy hoạch thực nghiệm | Đại học Bách khoa hà nội

Phần 1: Xác suất. Tài liệu trắc nghiệm môn Xác suất thống kê và quy hoạch thực nghiệm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

PHẦN I: XAÙC SUAÁT
1. Bieán coá ngaãu nhieân & xaùc suaát cuûa bieán coá:
1.1. Coâng thöùc coäng xaùc suaát:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 bieán coá xung khaéc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B) p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-
[p(AB)+p(AC)+p(BC)]+p(ABC)
1.2. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 bieán coá ñoäc laäp)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A)
1 2 1 2 1 1 2 1
( ... ) ( ). ( / )... ( / .. )
n n n
p A A A p A p A A p A A A A
1.3. Coâng thöùc Bernoulli: cho 2 bieán coá A vaø
A
1.3.1.
()
x x n x
nn
p x C p q
, p=p(A), q=1-p
1.4. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû:
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
nn
p F p A p F A p A p F A p A p F A
1.5. Coâng thöùc Bayes:
( . ) ( ). ( / )
( / )
( ) ( )
i i i
i
p A F p A p F A
p A F
p F p F

2. Bieán ngaãu nhieân:
2.1. Baûng phaân phoái xaùc suaát (bieán ngaãu nhieân rôøi raïc)
2.2. Haøm maät ñoä xaùc suaát (
()fx
) (bieãn ngaãu nhieân lieân tuïc)
2.2.1.
()fx
0
2.2.2.
( ) 1f x dx


2.2.3.
2.3. Haøm phaân phoái xaùc suaát (
()Fx
) (duøng cho caû 2 loaïi bieán-thöôøng laø bieán ngaãu nhieân lieân
tuïc)
2.3.1.
()Fx
=p(
F
<x)
2.3.2.
'( ) ( )F x f x
2.3.3.
( ) ( )
x
F x f t dt

2.4. Kyø voïng
2.4.1.
1 1 2 2
( ) ...
nn
E x x p x p x p
(töø baûng phaân phoái xaùc suaát)
2.4.2.
( ) ( )E x xf x dx


2.5. Phöông sai:
2.5.1.
22
( ) ( ) [ ( )]V x E x E x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
2.5.2.
22
( ) ( ) [ ( ) ]V x x f x dx xf x dx
 
 


3. Moät soá phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng:
3.1. Phaân phoái chuaån toång quaùt:
2
~ ( ; )XN

3.1.1.
2
2
()
2
1
()
2
x
f x e

3.1.2.
( ) 1f x dx


3.1.3.
ModX MedX

;
2
( ) , ( )E x V x


3.1.4.
( ) ( ) ( )
ba
p a x b




3.1.5. Phaân phoái chuaån taéc
2
0, 1


3.1.5.1.
~ (0,1)TN
3.1.5.2.
2
2
1
()
2
t
f t e
3.1.5.3. Ñoåi bieán
X
T
3.1.5.4.
( ) ( ) ( )p a x b b a

3.2. Phaân phoái Poisson:
~ ( )XP
,
>0
3.2.1.
()
!
k
p k e
k

3.2.2.
( ) ( )E x V x

3.3. Phaân phoái nhò thöùc:
~ ( , )X B n p
3.3.1.
( ) ( ) , 1
k k n k
nn
p X k p k C p q p q
3.3.2.
0
( ) 1
n
k
p X k

3.3.3.
()E x np
,
00
,ModX x np q x np q
3.3.4. Khi n=1:
~ (1, )X B p
:phaân phoái khoâng-moät
3.3.4.1.
2
( ) , ( ) , ( )E x p E x p V x pq
3.3.5. Xp x phaân phoái nhò thöùc:
3.3.5.1. Baèng phaân phoái Poisson:
n
>50,
p
<0.1;
~ ( , ) ~ ( )X B n p X P
,
np
.
()
!
k
k k n k
n
p x k C p q e
k

Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
3.3.5.2. Baèng phaân phoái chuaån:
0.5, 0.5, ,np nq np npq

.
~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq
1
( ) ( )
k
p x k f


; p(
1
k
<X<
21
2
) ( ) ( )
kk
k





3.4. Phaân phoái sieâu boäi:
~ ( , , )
A
X H N N n
[N:toång soá phaàn töû,
A
N
:Soá phaàn töû coù tính chaát
A trong N, n: soá phaàn töû laáy ngaãu nhieân].Goïi X laø soá phaàn töû coù tính chaát A trong n.
.
()
AA
k n k
N N N
n
N
CC
p X k
C

3.4.1.
( ) ,
A
N
E X np p
N

;
( ) . , 1
1
Nn
V X npq q p
N
3.4.2. Xaáp xæ phaân phoái sieâu boäi baèng phaân phoái nhò thöùc:
0.05 ~ ( , )n N X B n p
;
( ) ,
k k n k
A
n
N
p X k C p q p
N
3.5. Bieán ngaãu nhieân 2 chieàu: X vaø Y ñoäc laäp
( ). ( )
ij i j
P p x q y
vôùi moïi i,j
3.6. Hieäp phöông sai vaø heä soá töông quan:
3.6.1. Hieäp phöông sai(cov):
cov( , ) ( ) ( ) ( )X Y E XY E X E Y
3.6.2. Heä soá töông quan
,XY
:
,
cov( , )
( ) ( )
XY
XY
XY

PHAÀN 2: THOÁNG KEÂ
1. Toång theå vaø maãu
1.1.Thöïc haønh tính toaùn treân maãu:
1.1.1. Tính trung bình (
n
X
):
1
1
n
ni
i
Xx
n
1.1.2. Tính tyû leä maãu: (
n
f
);
A
n
m
f
n
(
A
m
:soá phaàn töû mang tính chaát A; n: kích thöôùc maãu)
1.1.3. Tính phöông sai maãu:
2 2 2
1
1
[ ( ) ]
1
k
ii
S n x n X
n

1.2.Öôùc löôïng tham soá cuûa toång theå:
1.2.1. Öôùc löôïng ñieåm:
22
( ) , ( ) , ( )
nn
E X E f p E S

1.2.2. Öôùc löôïng khoaûng:
1.2.2.1. Öôùc löôïng khoaûng cho trung bình: Vôùi ñoä tin caäy 1-
cho tröôùc, 1 maãu
kích thöôùc n.
30n
,
2
bieát
30n
,
2
chöa bieát
X
,
12
,XX
X
,s
12
,XX
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
2
.u
n
(
1
0.5-
2
2
u
)
2
.
s
u
n
(
1
0.5-
2
2
u
)
n
<30,
2
bieát
n
<30,
2
chöa bieát
Nhö TH1
X
,s
12
,XX
( 1, )
2
.
n
s
t
n
1.2.2.2. Öôùc löôïng khoaûng cho tyû leä: toång theå coù tyû leä p chöa bieát, vôùi ñoä tin caäy
1
cho tröôùc, vôùi 1 maãu kích thöôùc n, tyû leä maãu
n
f
. Tìm 2 soá
12
,pp
thoaû:
12
( ) 1p p p p
,
1,2 n
pf
Coâng thöùc:
2
(1 )ff
u
n
1.2.2.3. Öôùc löôïng khoaûng cho phöông sai:Giaû söû toång theå coù
2
chöa bieát. Döïa
vaøo 1 maãu kích thöôùc n, vôùi ñoä tin caäy 1-
cho tröôùc.
TH1:
chöa bieát, bieát
2
S
. Khi ñoù ta coù
22
2
22
12
( 1) ( 1)
[ , ]
n S n S


trong ñoù
22
1
( 1, )
2
n


,
22
2
( 1,1 )
2
n

TH2:
bieát. Khi ñoù
2
22
12
( ) ( )
[ , ]
i i i i
n x n x




, trong ñoù
22
1
( , )
2
n

,
22
2
( ,1 )
2
n


1.2.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ:
1.2.3.1. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho
1.2.3.1.1. TH1:
2
bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
:
2
bieát (mieàn baùc boû
0
H
)
00
:H

1
:H
0
0
{,
X
W u n u

>
2
u
}
00
:H

1
:H
<
0
0
{
X
W u n

,u<-
u
}
00
:H

1
:H
>
0
0
{
X
W u n

,u>
u
}
1.2.3.1.2. TH2:
30n
,
2
khoâng bieát
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
00
:H

1
:H
0
0
{,
X
W u n u
s

>
2
u
}
00
:H

1
:H
<
0
0
{
X
W u n
s

,u<-
u
}
00
:H

1
:H
>
0
0
{
X
W u n
s

,u>
u
}
1.2.3.1.3. TH3:
n
<30,
2
khoâng bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
00
:H

1
:H
0
0
{,
X
W t n t
s

>
( 1, )
2
n
t
}
00
:H

1
:H
<
0
0
{
X
W t n
s

,
t
<-
( 1, )
2
n
t
}
00
:H

1
:H
>
0
0
{,
X
W t n
s

t
>
( 1, )
2
n
t
}
1.2.3.2. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho tyû leä:
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
0: 0
H p p
1:
Hp
0
p
0
00
{,
(1 )
fp
W u u
pp
n

>
2
u
}
0: 0
H p p
1:
Hp
<
0
p
0
00
{
(1 )
fp
Wu
pp
n

,
u
<-
u
}
0: 0
H p p
1:
Hp
>
0
p
0
00
{
(1 )
fp
Wu
pp
n

,
u
>
u
}
1.2.3.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho phöông sai:
1.2.3.3.1. TH1:
chöa bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
22
00
:H

2
1
:H
2
0
2
2
2
0
( 1)
{
ns
W

,
2
<
2
1
hoaëc
2
>
2
2
2 2 2 2
12
( 1,1 ) ( 1, )
22
,
nn


Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
22
00
:H

2
1
:H
<
2
0
2
2
2
0
( 1)
{
ns
W

,
2
<
2
( 1,1 )n

22
00
:H

2
1
:H
>
2
0
2
2
2
0
( 1)
{
ns
W

,
2
>
2
( 1, )n
1.2.3.3.2. TH2:
bieát.
Giaû thuyeát thoáng keâ
W
(mieàn baùc boû
0
H
)
22
00
:H

2
1
:H
2
0
2
2
2
0
()
{
ii
nx
W

,
2
<
2
1
hoaëc
2
>
2
2
2 2 2 2
12
( ,1 ) ( , )
22
,
nn


22
00
:H

2
1
:H
<
2
0
2
2
2
0
()
{
ii
nx
W

,
2
<
2
( ,1 )n
22
00
:H

2
1
:H
>
2
0
2
2
2
0
()
{
ii
nx
W

,
2
>
2
( , )n
1.2.4. So sánh 2 tham số của tổng thể:
1.2.4.1. So sánh 2 số trung bình:
1.2.4.1.1. TH1:
22
12
30, 30, ,mn


biết
GTTK
W
0 1 2
:H

1 1 2
:H

22
2
12
;
XY
W u u u
mn









0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
mn









0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
mn









1.2.4.1.2. TH2:
m
30,
n
30,
22
12
,

biết, X,Y có phân phối chuẩn
GTTK
W
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
0 1 2
:H

1 1 2
:H

22
2
12
;
XY
W u u u
mn









0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
mn









0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
mn









1.2.4.1.3. TH3:
22
12
30, 30, ,mn


không biết
GTTK
W
0 1 2
:H

1 1 2
:H

22
2
12
;
XY
W u u u
ss
mn








0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
ss
mn








0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W u u u
ss
mn








1.2.4.1.4. TH4:
m
30,
n
30, X,Y có phân phối chuẩn,
22
12

không biết
GTTK
W
0 1 2
:H

1 1 2
:H

2,
2
2
;
11
mn
XY
W t t t
s
mn














22
12
2
11
2
m s n s
s
mn

Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
0 1 2
:H

11
:H
2
2,
2
;
11
mn
XY
W t t t
s
mn











0 1 2
:H

11
:H
2
2,
2
;
11
mn
XY
W t t t
s
mn











1.2.4.1.5. TH5:
m
30,
n
30, X,Y có phân phối chuẩn,
22
12

chưa biết
GTTK
W
0 1 2
:H

1 1 2
:H

22
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
22
1, 1,
12
22
12
; ; , ; , ;
mn
s s t v t v
XY
W g g t t t t t v v t
m n v v
ss
mn









0 1 2
:H

11
:H
2
1 2 ( 1, )
1,
22
12
; ; ,
n
m
XY
W g g t t t t t
ss
mn








0 1 2
:H

11
:H
2
22
12
;
XY
W g g t
ss
mn







1.2.4.2. So sánh 2 tỷ lệ:
GTTK
W
0 1 2
:H

1 1 2
:H

1 2 1 2
12
2
; ; ,
11
1
f f k k
W u u u f f
mn
ff
mn












0 1 2
:H

11
:H
2
12
;
11
1
ff
W u u u
ff
mn












Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
0 1 2
:H

11
:H
2
12
;
11
1
ff
W u u u
ff
mn












1.2.4.3. So sánh 2 phương sai:
GTTK
W
22
0 1 2
:H

22
1 1 2
:H

2
1
2
2
2
2
1
, ; 1, 1 ,
1, 1
s
W g g f hayg f f f m n f
s f n m







22
0 1 2
:H

22
1 1 2
:H

2
1
2
2
, ( 1, 1)
s
W g g f m n
s




Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website:
TAILIEUHUST.COM
- 1 - m tắt công thức
- 1 - XSTK
Tóm tt công thc Xác Sut - Thng Kê
I. Phn Xác Sut
1. Xác sut c đin
ng thc cng xác sut: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
A
1
, A
2
,…, A
n
xung khc từng đôi
P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
).
Ta có
o A, B xung khc
P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung khc từng đôi
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o
( ) 1 ( )
P A P A
.
ng thc xác suất có điều kin:
( )
( / )
( )
P AB
P A B
P B
,
( )
( / )
( )
P AB
P B A
P A
.
ng thc nn xác sut: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).
A
1
, A
2
,…, A
n
độc lp vi nhau
P(A
1
.A
2.
….A
n
)=P(A
1
).P(A
2
).….P( A
n
).
Ta có
o A, B độc lp
P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C đc lp vi nhau
P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
ng thc Bernoulli: ( ; ; )
k k n k
n
B k n p C p q
, vi p=P(A): xác suất để biến c A
xy ra mi phép th và q=1-p.
ng thc xác suất đầy đủ - Công thc Bayes
o H biến c gm n phn t A
1
, A
2
,…, A
n
đưc gimt phép phân
hoch ca
1 2
. ; , 1,
...
i j
n
A A i j i j n
A A A
o Công thc xác suất đầy đủ:
1 1 2 2
1
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
n
i i n n
i
P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A
o Công thc Bayes:
( ). ( / )
( / )
( )
i i
i
P A P B A
P A B
P B
vi
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
n n
P B P A P B A P A P B A P A P B A
2. Biến ngu nhiên
a. Biến ngu nhiên ri rc
Lut phân phi xác sut
vi
( ), 1, .
i i
p P X x i n
Ta có:
1
1
n
i
i
p
f(
{a f(X) b}=
i
i
a x b
P p

X x
1
x
2
x
n
P p
1
p
2
p
n
- 2 - m tắt công thức
- 2 - XSTK
m phân phi xác sut
( ) ( )
i
X i
x x
F x P X x p
Mode
0 0
ModX max{ : 1, }
i
x p p i n
Median
0,5
( ) 0,5
MedX
( ) 0,5
0,5
i e
i e
i
x x
e
e
e
i
x x
p
P X x
x
P X x
p
K vng
1 1 2 2
1
( . ) . . ... .
n
i i n n
i
EX x p x p x p x p
1 1 2 2
1
( ( )) ( ( ). ) ( ). ( ). ... ( ).
n
i i n n
i
E X x p x p x p x p
Phương sai
2 2
( ) ( )
VarX E X EX
vi
2 2 2 2 2
1 1 2 2
1
( ) ( . ) . . ... .
n
i i n n
i
E X x p x p x p x p
b. Biến ngu nhiên liên tc.
f(x) là hàm mật độ xác sut ca X
( ) 1


f x dx
,
{a X b} ( ).
b
a
P f x dx
m phân phi xác sut
( ) ( ) ( )
x
X
F x P X x f t dt

Mode
0
ModX x
m mật độ xác sut f(x) của X đạt cực đại ti x
0
.
Median
1 1
( ) ( )
2 2
e
x
e X e
MedX x F x f x dx

.
K vng
EX . ( )
x f x dx


.
( ( )) ( ). ( )
E X x f x dx


- 3 - m tắt công thức
- 3 - XSTK
Phương sai
2 2
( ) ( )
VarX E X EX
vi
2 2
EX . ( )
x f x dx


.
c. Tính cht
-
( ) , ( ) 0
E C C Var C
, C là mt hng s.
-
2
( ) , ( )
E kX kEX Var kX k VarX
- ( )
E aX bY aEX bEY
- Nếu X, Y độc lp t
2 2
( ) . , ( )
E XY EX EY Var aX bY a VarX b VarY
- ( )
X VarX
: Đ lch chun ca X, có cùng th nguyên vi X và EX.
3. Lut phân phi xác sut
a. Phân phi Chun
2
( ~ ( ; ))
X N
( )X
, EX=ModX=MedX=
,
2
VarX
m mđxs
2
2
( )
2
1
( , , )
2
x
f x e

Vi
0, 1:
2
2
1
( )
2
x
f x e
(Hàm Gauss)
(a X b) ( ) ( )
b a
P
vi
2
2
0
1
( )
2
t
x
x e dt
(Hàm Laplace)
Cách s dng máy tính bỏ túi để tính giá tr hàm Laplace, hàm phân phi
c sut ca phân phi chun chun tc
Tác v Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES
Khởi động gói Thng Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var
Tính
2
2
0
1
( )
2
t
x
x e dt
2
2
1
( )
2

t
x
F x e dt
Shift 3 2 x ) =
Shift 3 1 x ) =
Shift 1 7 2 x ) =
Shift 1 7 1 x ) =
Thoát khii Thng kê Mode 1 Mode 1
Lưu ý:
( ) 0,5 ( )
F x x
b. Phân phi Poisson
( ~ ( ))
X P
( )X
,
EX . odX=k -1 kVarX M

(X=k)=e ,
!
k
P k
k

- 4 - m tắt công thức
- 4 - XSTK
c. Phân phi Nh thc
( ~ ( ; ))
X B n p
( ) {0..n}
X
, EX=np, VarX=npq, ModX=k
( 1) 1 ( 1)
n p k n p
(X=k)=C . . , q p 0 ,
k k n k
n
P p q k n k

Nếu
( 30;0,1 0,9; 5, 5)
n p np nq thì
2
~ ( ; ) ( ; )
X B n p N vi
. ,
n p npq

1
(X=k) ( ), 0 ,
k
P f k n k
 
(a X<b) ( ) ( )
b a
P
Nếu
( 30, 5)

n p np t
~ ( ; ) ( )
X B n p P vi
np
(X=k) e ,
!
k
P k
k

Nếu
( 30, 0,9, 5)
n p nq
(X=k) e ,
( )!
n k
P k
n k
vi
nq
d. Phân phi Su bi
( ~ ( ; ; ))
A
X H N N n
( ) {max{0; ( )}..min{n;N }}
A A
X n N N
EX=np, VarX=npq
1
N n
N
vi
A
N
p
N
, q=1-p.
( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 2
1
2 2
A A
N n N n
ModX k k
N N
.
(X=k)= , ( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P k X
C

Nếu
20
N
n
thì
~ ( ; ; ) ( ; )
A
X H N N n B n p
vi
A
N
p
N
.
(X=k) C . . , ( ), 1
k k n k
n
P p q k X q p

.
- 5 - m tắt công thức
- 5 - XSTK
X
Y
đồ tóm tt các dng phân phi xác sut thông
dng:
n
30, np<5
p
0,1
=np
N>20n
p=
A
N
N
, q=1-p
n
30, np
5
, nq
5
0,1<p<0,9
1
( ) ( )
k
P X k f
( ) ( ) ( )
b a
P a X b
vi ,
np npq

Siêu bi: X~H(N;N
A
;n)
.
( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P X k
C
Poisson: X~
( )
P
( )
!
k
P X k e
k
Nh thc: X~B(n;p)
( ) . .
k k n k
n
P X k C p q
Chun: X~
2
( ; )
N
2
2
( )
2
1
( ; ; ) .
2
x
f x e

Chun chun tc: Y~ N(0;1)
2
2
1
( ) .
2
y
f y e
- 6 - m tắt công thức
- 6 - XSTK
II. Phn Thng Kê.
1. thuyết mu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trđặc trưng Mu ngu nhiên Mu c th
Giá tr trung nh
1
...
n
X X
X
n
1
...
n
x x
x
n
Phương sai không hiu chnh
2 2
2
1
( ) ... ( )
ˆ
n
X
X X X X
S
n
2 2
2
1
( ) ... ( )
ˆ
n
x
x x x x
s
n
Phương sai hiệu chnh
2 2
2
1
( ) ... ( )
1
n
X
X X X X
S
n
2 2
2
1
( ) ... ( )
1
n
x
x x x x
s
n
b. Để d x ta viết s liu ca mu c thể dưới dng tn số như sau:
Khi đó
Các giá trđặc trưng Mu c th
Giá tr trung nh
1 1
...
k k
x n x n
x
n
Phương sai không hiệu chnh
2 2
2
1 1
( ) ... ( )
ˆ
k k
x
x x n x x n
s
n
Phương sai hiệu chnh
2 2
2
1 1
( ) ... ( )
1
k k
x
x x n x x n
s
n
c. Cách s dng máy tính b túi để tính các giá tr đặc trưng mẫu
- Nếu s liu thng kê thu thp theo min
[ ; )
a b
hay
( ; ]
a b
thì ta s dng giá
tr đại din cho min đó là
2
a b
để tính toán.
Tác v Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES
Bt chế đ nhp tn s Không cn
Shift Mode
4 1
Khi động gói Thng kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var
Nhp s liu
1
x
Shift ,
1
n
M+
k
x
Shift ,
k
n
M+
Nếu
1
i
n
thì ch cn
nhn
i
x
M+
X FREQ
1
x
=
k
x
=
1
n
=
k
n
=
i
x
1
x
2
x
k
x
i
n
1
n
2
n
k
n
- 7 - m tắt công thức
- 7 - XSTK
Xóa màn hình hin th AC AC
Xác đnh:
Kích thước mu (n)
Giá tr trung bình
(
x
)
Độ lch chun không
hiu chnh (
ˆ
x
s
)
Độ lch chun hiu
chnh (
x
s
)
Shift 1 3 =
Shift 2 1 =
Shift 2 2 =
Shift 2 3 =
Shift 1 5 1 =
Shift 1 5 2 =
Shift 1 5 3 =
Shift 1 5 4 =
Thoát khii Thng kê Mode 1 Mode 1
2. Ước lượng khong.
a) Khong tin cy cho giá tr trung bình.
Trường hp 1. (
đã biết)
Ước lượng đối xng.
2 2 2
1
( ) . ; )
2
z z z x x
n
Ước lượng chch trái.
( ) 0,5 . ; )
z z z x
n

Ước lượng chch phi.
( ) 0,5 . )
z z z x
n
 
Trường hp 2. (
chưa biết,
30
n
)
Ước lượng đối xng.
2 2 2
1
( ) . ; )
2
s
z z z x x
n
Ước lượng chch trái.
( ) 0,5 . ; )
s
z z z x
n

Ước lượng chch phi.
( ) 0,5 . )
s
z z z x
n
 
Trường hp 3. (
chưa biết, n<30)
Ước lượng đối xng.
( 1; ) ( 1; )
2 2
1 . ; )
2
n n
s
t t x x
n

Ước lượng chch trái.
( 1; ) ( 1; )
1 . ; )
n n
s
t t x
n

- 8 - m tắt công thức
- 8 - XSTK
Ước lượng chch phi.
( 1; ) ( 1; )
1 . ; )
n n
s
t t x
n

b) Khong tin cy cho t l.
Ước lượng đối xng.
2 2 2
(1 )
1
( ) . ; )
2
f f
z z z f f
n
Ước lượng chch trái.
(1 )
( ) 0,5 . ; )
f f
z z z f
n

Ước lượng chch phi.
(1 )
( ) 0,5 . )
f f
z z z f
n
 
c) Khong tin cậy cho phương sai.
Trường hp 1. (
chưa biết)
- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu c th thì phải xác đnh s (bng máy
tính).
Ước lượng không chch.
2
2
( 1; )
2
1
2
n
,
1
2
( 1;1 )
2
1 1
2
n
2 2
2 1
( 1) ( 1)
( ; )
n s n s
Ước lượng chch trái.
2
2
1 ( 1;1 )
1
( 1)
1 (0; )
n
n s

Ước lượng chch phi.
2
2
2 ( 1; )
2
( 1)
1 ( ; )
n
n s
Trường hp 2. (
đã biết)
- Tính
2 2
1
( 1) .( )
k
i i
i
n s n x
Ước lượng không chch.
2
2
( ; )
2
1
2
n
,
2
1
( ;1 )
2
1 1
2
n
2 2
2 1
( 1) ( 1)
( ; )
n s n s
- 9 - m tắt công thức
- 9 - XSTK
Ước lượng chch trái.
2
2
1 ( ;1 )
1
( 1)
1 (0; )

n
n s
Ước lượng chch phi.
2
2
2 ( ; )
2
( 1)
1 ( ; )

n
n s
3. Kiểm đnh tham s.
a) Kiểm đnh giá tr trung bình.
Trường hp 1. (
đã biết)
1
: , :
o o o
H H
2 2
1
( ) , .
2
o
x
z z z n
- Nếu
2
z z
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
2
z z
: Chp nhn H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
- Nếu
z z
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
z z
: Chp nhn H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
- Nếu
z z
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
z z
: Chp nhn H
o
.
Trường hp 2. (
chưa biết,
30
n
)
1
: , :
o o o
H H
2 2
1
( ) , .
2
o
x
z z z n
s
- Nếu
2
z z
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
2
z z
: Chp nhn H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
s
- 10 - Tóm tt công thức
- 10 - XSTK
- Nếu
z z
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
z z
: Chp nhn H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
s
- Nếu
z z
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
z z
: Chp nhn H
o
.
Trường hp 3. (
chưa biết, n<30)
1
: , :
o o o
H H
( 1; )
2
, .
2
o
n
x
t t n
s
- Nếu
( 1; )
2
n
t t
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
( 1; )
2
n
t t
: Chp nhn H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( 1; )
, .
o
n
x
t t n
s
- Nếu
( 1; )
n
t t
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
( 1; )
n
t t
: Chp nhn H
o
.
1
: , :
o o o
H H
( 1; )
, .
o
n
x
t t n
s
- Nếu
( 1; )
n
t t
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
( 1; )
n
t t
: Chp nhn H
o
.
b) Kiểm đnh t l.
1
: , :
o o o
H p p H p p
2 2
1
( ) , , .
2
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
- Nếu
2
z z
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
2
z z
: Chp nhn H
o
.
1
: , :
o o o
H p p H p p
( ) 0,5 , , .
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
- 11 - Tóm tt công thức
- 11 - XSTK
- Nếu
z z
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
z z
: Chp nhn H
o
.
1
: , :
o o o
H p p H p p
( ) 0,5 , , .
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
- Nếu
z z
: Bác b H
o
, chp nhn H
1
.
- Nếu
z z
: Chp nhn H
o
.
c) Kiểm đnh phương sai.
Trường hp 1. (
chưa biết)
- Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu c th t phi s dụng máy tính để xác
đnh s.
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
2 2
1
( 1;1 )
2
1
2
n
,
2 2
2
( 1; )
2
2
n
,
2
2
2
( 1)
o
n s
- Nếu
2 2
2
2 2
1
: Bác b H
0
, chp nhn H
1
.
- Nếu
2 2 2
1 2
: Chp nhn H
o
.
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
2 2
1 ( 1;1 )
1
n

,
2
2
2
( 1)
o
n s
- Nếu
2 2
1
: Bác b H
0
, chp nhn H
1
.
- Nếu
2 2
1
: Chp nhn H
o
.
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
2 2
2 ( 1; )
n
,
2
2
2
( 1)
o
n s
- Nếu
2 2
2
: Bác b H
0
, chp nhn H
1
.
- Nếu
2 2
2
: Chp nhn H
o
.
4. Kiểm đnh so sánh tham s.
a) Kiểm đnh so sánh giá tr trung nh.
Trường hp 1. (
1 2
,
đã biết)
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1
( ) ,
2
x x
z z z
n n
| 1/25

Preview text:

PHẦN I: XAÙC SUAÁT
1. Bieán coá ngaãu nhieân & xaùc suaát cuûa bieán coá:
1.1. Coâng thöùc coäng xaùc suaát:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 bieán coá xung khaéc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B)  p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)- [p(AB)+p(AC)+p(BC)]+p(ABC)
1.2. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 bieán coá ñoäc laäp)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A)  p(A A ...A )  p(A ).p(A / A )...p(A / A A ..A ) 1 2 n 1 2 1 n 1 2 n 1 
1.3. Coâng thöùc Bernoulli: cho 2 bieán coá A vaø A 1.3.1. p (x) x x n x C p q   , p=p(A), q=1-p n n
1.4. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû:
p(F)  p(A ).p(F / A )  p(A ).p(F / A ) ...  p(A ).p(F / A ) 1 1 2 2 n n 1.5. p A F p A p F A Coâng thöùc Bayes: ( . ) ( ). ( / )
p( A / F ) i i i   i p(F ) p(F )
2. Bieán ngaãu nhieân:
2.1. Baûng phaân phoái xaùc suaát (bieán ngaãu nhieân rôøi raïc)
2.2.
Haøm maät ñoä xaùc suaát ( f (x) ) (bieãn ngaãu nhieân lieân tuïc)
2.2.1. f (x)  0 
2.2.2. f (x)dx 1    b
2.2.3. p(a x b)  f (x)dx a
2.3. Haøm phaân phoái xaùc suaát ( F(x)) (duøng cho caû 2 loaïi bieán-thöôøng laø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc)
2.3.1. F(x)=p( F
2.3.2. F '(x)  f (x) x
2.3.3. F(x)  f (t)dt 
2.4. Kyø voïng
2.4.1. E(x)  x p x p ... x p (töø baûng phaân phoái xaùc suaát) 1 1 2 2 n n 
2.4.2. E(x)  xf (x)dx 
2.5. Phöông sai: 2.5.1. 2 2
V (x)  E(x ) [E(x)]
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM   2.5.2. 2 2 V (x) 
x f (x)dx [ xf (x)dx]    
3. Moät soá phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng:
3.1. Phaân phoái chuaån toång quaùt: 2
X ~ N(; ) 2 ( x ) 1  3.1.1. 2  2 f (x)  e 2 
3.1.2. f (x)dx 1  
3.1.3. ModX MedX   ; 2
E(x)  ,V (x)   3.1.4. b   a 
p(a x b)  ( ) ( )  
3.1.5. Phaân phoái chuaån taéc 2   0, 1
3.1.5.1. T ~ N(0,1) 2 t 3.1.5.2. 1  2 f (t)  e 2 3.1.5.3.   Ñoåi bieán X T
3.1.5.4. p(a x  ) b  ( )
b (a)
3.2. Phaân phoái Poisson: X ~ P() ,>0 3.2.1. k  
p(  k)  e k !
3.2.2. E(x) V(x)  
3.3. Phaân phoái nhò thöùc: X ~ ( B , n p)
3.3.1. p(X k)  p (k) k k nk
C p q , p q 1 n n 3.3.2. n
p(X k) 1 k 0
3.3.3. E(x)  np , ModX x ,np q x np q 0 0
3.3.4. Khi n=1: X ~ B(1, p) :phaân phoái khoâng-moät 3.3.4.1. 2 E(x)  , p E(x )  ,
p V (x)  pq
3.3.5. Xấp xỉ phaân phoái nhò thöùc:
3.3.5.1. Baèng phaân phoái Poisson: n >50, p <0.1; X ~ ( B ,
n p)  X ~ P() ,   np . k   
p(x k) k k n kC p qe n k !
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM
3.3.5.2. Baèng phaân phoái chuaån:
np  0.5, nq  0.5,   n ,
p   npq . X ~ ( B ,
n p)  X ~ N(n , p npq) 1 k   k   k  
p(x k)  f ( ) ; p(      k 2 1 k ) ( ) ( ) 1 2  
3.4. Phaân phoái sieâu boäi: X ~ H(N, N , )
n [N:toång soá phaàn töû, N :Soá phaàn töû coù tính chaát A A
A trong N, n: soá phaàn töû laáy ngaãu nhieân].Goïi X laø soá phaàn töû coù tính chaát A trong n. k C . nk C
p( X k) N A N N A n CN 3.4.1. N N n
E(X )  np, A p
;V (X )  np . q
, q  1 p N N 1
3.4.2. Xaáp xæ phaân phoái sieâu boäi baèng phaân phoái nhò thöùc:  N
n  0.05N X ~ ( B ,
n p) ; p( X k) k k n kC p q , A p n N
3.5. Bieán ngaãu nhieân 2 chieàu: X vaø Y ñoäc laäp  P p(x ).q(y ) vôùi moïi i,j ij i j
3.6. Hieäp phöông sai vaø heä soá töông quan:
3.6.1. Hieäp phöông sai(cov): cov(X,Y)  E(XY)  E(X)E(Y) 3.6.2. cov( X ,Y )
Heä soá töông quan  :   X ,Y X ,Y  (X ) (Y) PHAÀN 2: THOÁNG KEÂ 1. Toång theå vaø maãu
1.1.Thöïc haønh tính toaùn treân maãu: 1.1.1. 1 n
Tính trung bình ( X ): X   x n n i n i 1  1.1.2. m
Tính tyû leä maãu: ( f ); A f
( m :soá phaàn töû mang tính chaát A; n: kích thöôùc maãu) n n n A 1.1.3. 1 k Tính phöông sai maãu: 2 2 2 S
[n x n(X ) ] n 1 i i 1
1.2.Öôùc löôïng tham soá cuûa toång theå:
1.2.1. Öôùc löôïng ñieåm: 2 2
E(X )  , E( f )  , p E(S )   n n
1.2.2. Öôùc löôïng khoaûng:
1.2.2.1. Öôùc löôïng khoaûng cho trung bình: Vôùi ñoä tin caäy 1- cho tröôùc, 1 maãu kích thöôùc n. n  30 , 2  bieát n  30 , 2  chöa bieát X , X ,s
  X ,   X 
  X ,   X  1 2 1 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM    s u .    u .  n n 2 2 (   1 0.5-  u ) (  )  1  0.5-  u 2 2 2 2 n <30, 2  bieát n <30, 2  chöa bieát Nhö TH1 X ,s
  X ,   X  1 2 s   t .  (n 1  , ) n 2
1.2.2.2. Öôùc löôïng khoaûng cho tyû leä: toång theå coù tyû leä p chöa bieát, vôùi ñoä tin caäy
1 cho tröôùc, vôùi 1 maãu kích thöôùc n, tyû leä maãu f . Tìm 2 soá p , p thoaû: n 1 2 f (1 f )
p( p p p )  1 , p
f   Coâng thöùc:    u 1 2 1,2 nn 2
1.2.2.3. Öôùc löôïng khoaûng cho phöông sai:Giaû söû toång theå coù 2  chöa bieát. Döïa
vaøo 1 maãu kích thöôùc n, vôùi ñoä tin caäy 1- cho tröôùc. 2 2 TH1:  chöa bieát, bieát (n 1)S (n 1)S 2 S . Khi ñoù ta coù 2  [ , ] trong ñoù 2 2   1 2   2 2
   (n 1, ) , 2 2
   (n 1,1 ) 1 2 2 2       TH2:  bieát. Khi ñoù n (x ) n (x ) 2  [ i i , i i ] , trong ñoù 2 2   1 2   2 2    ( , n ) , 2 2    ( , n 1 ) 1 2 2 2
1.2.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ:
1.2.3.1. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho  1.2.3.1.1. TH1: 2  bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ W : 2  bieát (mieàn baùc boû  H ) 0 H :      0 0 X W u n u > u } H :  ≠  0 { ,    1 0 2 H :      0 0 X W u n ,u<- u } H :  <  0 {    1 0 H :      0 0 X W u n ,u> u } H :  >  0 {    1 0
1.2.3.1.2. TH2: n  30, 2  khoâng bieát
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM
Giaû thuyeát thoáng keâ W (mieàn baùc boû  H ) 0 H :      0 0 X W u n u > u } H :  ≠  0 { ,   1 0 s 2 H :      0 0 X W u n ,u<- u } H :  <  0 {   1 0 s H :      0 0 X W u n ,u> u } H :  >  0 {   1 0 s
1.2.3.1.3. TH3: n <30, 2  khoâng bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ W (mieàn baùc boû  H ) 0 H :      0 0 X W t n t > t } H :  ≠  0 { ,   (n 1  , ) 1 0 s 2 H :      0 0 X W t
n , t <- t } H :  <  0 {   (n 1  , ) 1 0 s 2 H :      0 0 X W t n t > t } H :  >  0 { ,   (n 1  , ) 1 0 s 2
1.2.3.2. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho tyû leä:
Giaû thuyeát thoáng keâ W (mieàn baùc boû  H ) 0 H p p f p 0: 0 0 W  {u  , u }  > uH p p p (1 p ) 1: 0 0 0 2 n H p p f p 0: 0 0 W  {u  , }  u <- uH p < p p (1 p ) 1: 0 0 0 n H p p f p 0: 0 0 W  {u  , }  u > uH p > p p (1 p ) 1: 0 0 0 n
1.2.3.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho phöông sai:
1.2.3.3.1. TH1:  chöa bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ W (mieàn baùc boû  H ) 0 2 2 H :   2 (n 1)s 0 0 2 W  {  , 2   hoaëc 2    < 2 > 2 2 2 1 2 H : ≠ 2   1 0 0 2 2 2 2    ,    1  2  (n 1  ,1 ) (n 1  , ) 2 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 2 2 H :   2 (n 1)s 0 0 2 W  {  , 2    < 2    2 2 (n 1,1 ) H : < 2   1 0 0 2 2 H :   2 (n 1)s 0 0 2 W  {  , 2    > 2   2 2 (n 1, ) H : > 2   1 0 0 1.2.3.3.2. TH2:  bieát.
Giaû thuyeát thoáng keâ W (mieàn baùc boû  H ) 0 2 2 H :   2 n (x ) 0 0 2 W  { i i   , 2  < 2  hoaëc 2  > 2  2  1 2 H : ≠ 2  2  1 0 0 2 2 2 2    ,    1  2  (n,1 ) (n, ) 2 2 2 2 H :   2 n (x ) 0 0 2 W  { i i   , 2  < 2  2  (n,1   ) H : < 2  2  1 0 0 2 2 H :   2 n (x ) 0 0 2 W  { i i   , 2  > 2  2  (n, ) H : > 2  2  1 0 0
1.2.4. So sánh 2 tham số của tổng thể:
1.2.4.1. So sánh 2 số trung bình: 1.2.4.1.1. TH1: 2 2
m  30, n  30, , biết 1 2 GTTK W H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ; u u    2 2    2  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u     2 2     1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u    2 2     1 2   m n   
1.2.4.1.2. TH2: m 30, n 30, 2 2
 , biết, X,Y có phân phối chuẩn 1 2 GTTK W
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ; u u    2 2    2  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u     2 2     1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u    2 2     1 2   m n    1.2.4.1.3. TH3: 2 2
m  30, n  30, , không biết 1 2 GTTK W H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ; u u    2 2  s s 2  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u     2 2  s s  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W u   ;u u    2 2  s s  1 2   m n   
1.2.4.1.4. TH4: m 30, n 30, X,Y có phân phối chuẩn, 2 2    không biết 1 2 GTTK W H :      0 1 2   H :      
m 1 s n 1 s 2   21   2 1 1 2 X Y W t   ; t t 2       s  2,   1 1 m n    m n  2 2  2  s      m n     
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W t   ;t     t
mn2,    1 1  2  s     m n      H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W t   ;t t   
mn2,    1 1  2  s     m n     
1.2.4.1.5. TH5: m 30, n 30, X,Y có phân phối chuẩn, 2 2    chưa biết 1 2 GTTK W H :      0 1 2   H :    2 2  X Y s s t v t v  1 1 2 1 2 1 1 2 2 W  g
; g t;t t ,t t ;v  , v  ;t    1    2    1 2 2 2 m 1  , n 1  ,     m n v vs s  2   2  1 2  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W  g  ; g t  ;t t ,t t   1 m 1,    2 (n 1  , ) 2 2  s s  1 2   m n    H :      0 1 2   H :     X Y  1 1 2 W  g  ; g t   2 2  s s  1 2   m n   
1.2.4.2. So sánh 2 tỷ lệ: GTTK W H :      0 1 2   H :       1 1 2 f f k k 1 2 1 2 W u  
; u u ; f  , f     1 2     m n f 1 f  1 1 2     m n      H :      0 1 2   H :     f f  1 1 2 1 2 W u   ;u u        
f   f  1 1 1     m n     
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM H :      0 1 2   H :     f f  1 1 2 1 2 W u   ;u u       
f   f  1 1 1     m n     
1.2.4.3. So sánh 2 phương sai: GTTK W  2 2 H :     0 1 2 2  s 1  2 2 H :   1 W  g
, g f hayg f ; f f
m 1, n 1 , f    2    1 1 2 s f n 1, m 1  2 2      2 2 2 H :   2   0 1 2 s1 W  g
, g f (m 1, n 1) 2 2   H :   2 s   1 1 2 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM - 1 - Tóm tắt công thức
Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ điển
 Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
 A1, A2,…, An xung khắc từng đôi  P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).  Ta có
o A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung khắc từng đôi  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o P( A)  1 P( ) A . P( AB) P( AB)
 Công thức xác suất có điều kiện: P( A / B)  , P(B / ) A  . P(B) P( ) A
 Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).
 A1, A2,…, An độc lập với nhau  P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An).  Ta có
o A, B độc lập  P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C độc lập với nhau  P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
 Công thức Bernoulli: B(k; ; n p) k k n k n C p q  
, với p=P(A): xác suất để biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân 
A .A   i   j; i  , j 1, n hoạch của  i j     1 A  2 A  ...  n A  
o Công thức xác suất đầy đủ: n P(B) 
P( A ).P(B / A ) P  (  i i 1
A ).P(B / 1 A )  P( 2
A ).P(B / 2
A )  ...  P( A ).P(B / A ) n n i 1  o Công thức Bayes:
P(A ).P(B / A ) P( A / B) i ii P(B)
với P(B)  P( 1
A ).P(B / 1 A )  P( 2
A ).P(B / 2
A )  ...  P( A ).P(B / A ) n n 2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Luật phân phối xác suất X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn
với p P( X x ),i  1, . i i n  Ta có: n p  1  i và { P a  f(X)  b}=  i p i 1  af( i x b - 1 - XSTK - 2 - Tóm tắt công thức
 Hàm phân phối xác suất
F (x)  P(X x)  p Xi i x x  Mode
ModX  x p  max{ p : i  1, } n 0 0 i  Median  p  0,5 
P( X x )  0, 5 ix x MedX e i ex    e
P( X x )  0,5  p e 0, 5   iix ex  Kỳ vọng n EX  (x . p )  i i  1 x . 1 p  2 x . 2
p  ...  x . n pn i 1  n
E(( X )) 
(( x ). p )  (  i i 1 x ). 1
p (x2).p2  ...  (x ). n n p i 1   Phương sai 2 2
VarX E( X )  (EX ) n với 2 2 2 2 2 E( X )  (x . p )  i i  1 x . 1 p  2
x . p2  ...  x . n pn i 1 
b. Biến ngẫu nhiên liên tục. 
 f(x) là hàm mật độ xác suất của X  ( )  1  f x dx ,  b { P a  X  b}  f (x).dxa
 Hàm phân phối xác suất x
F (x)  P( X x)  f (t)dt X    Mode
ModX x  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x 0 0.  Median 1 e x 1
MedX x F (x )  
f (x)dx e X e  . 2 2   Kỳ vọng  EX  . x f (x)dx  .  
E(( X )) 
(x). f (x)dx   - 2 - XSTK - 3 - Tóm tắt công thức  Phương sai  2 2
VarX E( X )  (EX ) với 2 2 EX 
x . f (x)dx  .  c. Tính chất
- E(C)  C,V
ar(C)  0 , C là một hằng số. - 2
E(kX )  kEX , V
ar(kX )  k VarX
- E(aX bY )  aEX bEY
- Nếu X, Y độc lập thì 2 2
E( XY )  EX .EY , V
ar(aX bY )  a VarX b VarY
-( X )  VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3. Luật phân phối xác suất a. Phân phối Chuẩn 2
( X ~ N (; )) 
X ()   , EX=ModX=MedX= , 2 VarX 2 ( x) 1  2  Hàm mđxs 2 f (x, , )  e  
 Với  0,   1: 2 2 x 1  2 f (x)  e (Hàm Gauss) 2 2 x t b   a   1   P(a  X  b)  (  )  (  ) với 2 (  x)  e dt  (Hàm Laplace)   2 0
 Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối
xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES
Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Tính 2 x t 1  2 (  x)  e dt  Shift 3 2 x ) = Shift 1 7 2 x ) = 2 0 2 x t 1  2 F (x)   e dt Shift 3 1 x ) = Shift 1 7 1 x ) = 2 
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1
Lưu ý: F (x)  0,5  (  x)
b. Phân phối Poisson ( X ~ P()) 
X ()   , EX  VarX . M
 odX=k  -1  k  k
P(X=k)=e  , k    k ! - 3 - XSTK - 4 - Tóm tắt công thức
c. Phân phối Nhị thức ( X ~ B( ; n p)) 
X ()  {0..n}, EX=np, VarX=npq, ModX=k  (n 1) p 1  k  (n 1) p
P(X=k)=Ck . k p . nk q , q    p 0   k  , n n k     Nếu (n  30; 0
 ,1  p  0,9; np  5, nq  5) thì 2 X ~ B( ; n p)  N ( ;   ) với   . n p,  npq 1 k    P(X=k)  f ( ), 0
  k n, k      b   a    P(a  X )  (  )  
 Nếu (n  30, p   np  5) thì X ~ B( ;
n p)  P() với   np kP(X=k) e   , k    k !
 Nếu (n  30, p  0,9, nq  5) nk P(X=k) e   , k
   với   nq (n k )!
d. Phân phối Siêu bội ( X ~ H (N ; N ; n)) A
X ()  {max{0; n  (N N )}..min{n;N }} A A N n N  EX=np, VarX=npq với A p  , q=1-p. N 1 N
(N  1)(n 1)  2
(N 1)(n  1)  2  A ModX k  1 Ak  . N  2 N  2 k nk CN CNNP(X=k)= A A , k   X () n CN N N  Nếu
 20 thì X ~ H (N ; N ; n)  B( ; n p) A với A p  . n N
P(X=k)  Ck . k p . nk q , k
  X (), q   1 np . - 4 - XSTK - 5 - Tóm tắt công thức
Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông dụng: Siêu bội: X~H(N;NA;n) k nk C .C
P( X k ) N N N A An CN N>20n N p= A , q=1-p N n30, np<5 p0,1 Nhị thức: X~B(n;p) Poisson: X~ P  ( )  =np k k k n k
P( X k )  e P( X k )
C . p .q    n k !
n30, np  5 , nq  5 0,1

1 k
P( X k )  f ( ) b a
P(a X b)  ( ) ( )
với np,   npq X Y  Chuẩn: X~ 2
N (;)
Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1) 2 2 y ( x)  1 1  2 2 2 f ( ; x ; )  .e   f ( y)  .e 2 2 - 5 - XSTK - 6 - Tóm tắt công thức II. Phần Thống Kê. 1. Lý thuyết mẫu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể Giá trị trung bình X  ...  X x  ...  x 1 n X  1 n x n n
Phương sai không hiệu chỉnh 2 2 ( X X ) ... ( X X ) 2 2
(x x )  ...  (x x ) 2 1 ˆ     2 1 S n ˆs n X n x n Phương sai hiệu chỉnh 2 2
( X X )  ...  ( X X ) 2 2
(x x )  ...  (x x ) 2 1 S n 2 1 s n X n 1 x n 1
b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau: x x x x i 1 2 k n n n n i 1 2 k Khi đó
Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể
x n  ...  x n Giá trị trung bình 1 1 k k x n
Phương sai không hiệu chỉnh 2 2
(x x ) n  ...  (x x ) n 2 1 1 ˆs k k x n 2 2
(x x ) n  ...  (x x ) n Phương sai hiệu chỉnh 2 1 1 s k k x n 1
c. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu
- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [ ; a b) hay ( ;
a b] thì ta sử dụng giá a b
trị đại diện cho miền đó là để tính toán. 2 Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES
Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1
Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var
x Shift , n M+ 1 1  X FREQ
x Shift , n M+ x = n = k k 1 1 Nhập số liệu  
Nếu n  1 thì chỉ cần x = n = i k k nhấn x M+ i - 6 - XSTK - 7 - Tóm tắt công thức Xóa màn hình hiển thị AC AC Xác định:  Kích thước mẫu (n) Shift 1 3 = Shift 1 5 1 =  Giá trị trung bình ( x ) Shift 2 1 = Shift 1 5 2 =
 Độ lệch chuẩn không hiệu chỉnh ( ˆs ) Shift 2 2 = Shift 1 5 3 = x
 Độ lệch chuẩn hiệu Shift 2 3 = Shift 1 5 4 = chỉnh ( s ) x
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 2. Ước lượng khoảng.
a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình.
Trường hợp 1. (  đã biết)
 Ước lượng đối xứng. 1   (z ) 
z    z .   x   ;  x  )   2 n 2 2 2
 Ước lượng chệch trái. 
(z )  0,5    z    z .   ;  x  )   n
 Ước lượng chệch phải. 
(z )  0,5    z    z .
 x  )   n
Trường hợp 2. (  chưa biết, n  30 )
 Ước lượng đối xứng. 1  s (z ) 
z    z .   x   ;  x  )   2 n 2 2 2
 Ước lượng chệch trái. s
(z )  0,5    z    z .   ;  x  )   n
 Ước lượng chệch phải. s
(z )  0,5    z    z .
 x  )   n
Trường hợp 3. (  chưa biết, n<30)
 Ước lượng đối xứng.  s 1    t    t .   x   ;  x  )   2 (n 1  ; ) (n 1  ; ) n 2 2
 Ước lượng chệch trái. s 1     t         ( 1  ;) t( 1  ;) . ; x ) n n n - 7 - XSTK - 8 - Tóm tắt công thức
 Ước lượng chệch phải. s 1     t          ( 1  ;) t( 1  ;) . x ; ) n n n
b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ.
 Ước lượng đối xứng. 1  f (1 f ) (z ) 
z    z .   f   ;   f  )   2 n 2 2 2
 Ước lượng chệch trái. f (1 f )
(z )  0,5    z    z .   ;   f  )   n
 Ước lượng chệch phải. f (1 f )
(z )  0,5    z    z .
  f   )    n
c) Khoảng tin cậy cho phương sai.
Trường hợp 1. (  chưa biết)
- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s (bằng máy tính).
 Ước lượng không chệch.  2  1       , 2 1   1     2   2 (n 1  ; ) 1 2 (n 1  ;1 ) 2 2 2 2 (n 1)s (n 1)s  ( ; ) 2 1 
 Ước lượng chệch trái. 2 2 (n 1)s 1   1    ( 1  ;1)  (0; ) n 1 
 Ước lượng chệch phải. 2 2 (n 1)s 1      2   ( 1  ;) ( ; ) n 2
Trường hợp 2. (  đã biết) k - Tính 2 2 (n 1)s n .(x  )  i i i 1 
 Ước lượng không chệch.  2  1    2    , 2 1   1  1     2 (n; ) 2 (n;1 ) 2 2 2 2 (n 1)s (n 1)s  ( ; ) 2 1  - 8 - XSTK - 9 - Tóm tắt công thức
 Ước lượng chệch trái. 2 2 (n 1)s 1   1
   (n;1 )  (0; )  1 
 Ước lượng chệch phải. 2 2 (n 1)s 1      2   (n; )  ( ; )  2 3. Kiểm định tham số.
a) Kiểm định giá trị trung bình.
Trường hợp 1. (  đã biết)  H :    , 1 H : o o   o 1  x   (z )   z , oz  . n  2  2 2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2  H :    , 1 H : o o   o x  
(z )  0, 5    z , oz  . n  
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H :    , 1 H : o o   o x  
(z )  0, 5    z , oz  . n  
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 2. (  chưa biết, n  30 )  H :    , 1 H : o o   o 1  x   (z )   z , oz  . n  2 s 2 2
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2  H :    , 1 H : o o   o x  
(z )  0, 5    z , oz  . n s - 9 - XSTK - 10 - Tóm tắt công thức
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H :    , 1 H : o o   o x  
(z )  0, 5    z , oz  . n s
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 3. (  chưa biết, n<30)  H :    , 1 H : o o   o x      t , o t   . n  2 (n 1  ; ) s 2 - Nếu t t
 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. (n 1  ; ) 2 - Nếu t t  : Chấp nhận Ho. (n 1  ; ) 2  H :    , 1 H : o o   o x  o   t(n 1  ;) , t   . n s - Nếu t t  (n 1
 ;) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. - Nếu t t  (n 1  ;) : Chấp nhận Ho.  H :    , 1 H : o o   o x  o   t(n 1  ;) , t   . n s
- Nếu t t(n 1
 ;) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu t t(n 1  ;) : Chấp nhận Ho. b) Kiểm định tỉ lệ. 
H : p p ,H1 : o o p o p 1  k f p (z )   z , f  , oz  . n  2 n p (1 p ) 2 2 o o
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1. 2
- Nếu z z : Chấp nhận Ho. 2 
H : p p ,H1 : o o p po k f p
(z )  0,5    z , f  , oz  . n n p (1 p ) o o - 10 - XSTK - 11 - Tóm tắt công thức
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho. 
H : p p ,H1 : o o p o p k f p
(z )  0,5    z , f  , oz  . n n p (1 p ) o o
- Nếu z z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z z : Chấp nhận Ho.
c) Kiểm định phương sai.
Trường hợp 1. (  chưa biết)
- Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác định s.  2 2 2 2 H :    , 1 H : o o   o  2 2 2  (n 1)s   1  2 1     , 2 2    2    ,  2 (n 1  ;1 ) 2 (n 1  ; ) 2  2 2 o 2 2    - Nếu 2 
: Bác bỏ H0, chấp nhận H1. 2 2   1   - Nếu 2 2 2 1
    2 : Chấp nhận Ho.  2 2 2 2 H :    , 1 H : o o   o 2 2 2 (n 1)s   1   2 1    (n 1  ;1) ,   2 o - Nếu 2 2   1
 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1. - Nếu 2 2   1  : Chấp nhận Ho.  2 2 2 2 H :    , 1 H : o o   o 2 2 2 (n 1)s    2 2   (n 1  ;) ,   2 o - Nếu 2 2
  2 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1. - Nếu 2 2
  2 : Chấp nhận Ho.
4. Kiểm định so sánh tham số.
a) Kiểm định so sánh giá trị trung bình. Trường hợp 1. ( 1  ,2 đã biết)  H : 1   2, 1 H : o 1   2 1  1 x  2 x (z )   z ,z   2 2 2 2 2 1  2  1 n 2 n - 11 - XSTK