Phần 5 Hệ Thống Công Thức Phần Thống Kê Môn Xác Suất Thống Kê

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức othk.vn PHẦN 5
HỆ THỐNG CÔNG THỨC PHẦN THỐNG KÊ
Gọi X là ……………… (đơn vị).
Theo giả thiết: 𝑋~𝑛(𝜇, 𝜎2)
Ta có bảng phân phối thực nghiệm 𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 … …… … . 𝑥𝑘 𝑛𝑖 𝑛 … …… … . 1 𝑛2 𝑛𝑘
Ta thu được các kết quả sau: k
n = ∑ ni = … . (đơn vị). i=1 1 k
𝓍 = n∑xini = ….(đơn vị). i=1 k 𝓈 = √ 1
n − 1 × ∑(𝓍i − 𝓍)2. ni = … . (đơn vị). i=1
Chú ý: Nếu đề bài ước lượng mà không cho độ tin cậy thì tức là ước lượng không chệch( ước
lượng điểm) : Ta có: Ước lượng không chệch của giá trị trung bình là 𝓍; Ước lượng không chệch
của phương sai là 𝓈 2, Ước lượng không chệch của độ lệch chuẩn là 𝓈 , ƯL không chệch của tỷ
lệ P trong tổng thể là tỷ lệ mẫu f
PHẦN 1 : ƯỚC LƯỢNG GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ (TRƯỜNG HỢP CHƯA BIẾT μ VÀ σ2) Bài làm mẫu : Gọi…. là……..
Từ mẫu có… . (Chú ý : ước lượng P phải kèm điều kiện)
Với độ tin cậy γ = 1 − α = . …=> α = ….
Tra :… chú ý đối với ước lượng trung bình cần quan sát X theo phân phối chuẩn hay không chuẩn.
Ta có khoảng tin cậy ….cho giá trị … là : …………………≈…
Vậy: … (ước lượng P thì có kèm kết luận bằng %)
“ Thà để giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn để giọt nước mắt rơi trên đề thi” 1
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức othk.vn
I, Ước lượng tham số μ ( Giá trị trung bình, kỳ vọng ) (Trường hợp 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2))
1, Khoảng tin cậy đối xứng hoặc 2 phía cho giá trị μ là:
( 𝓍 − tα(n − 1). 𝓈 ; 𝓍 + tα (n − 1). 𝓈 ≈……… 2 √n 2 √n)
2, (Ước lượng tối thiểu) Khoảng tin cậy bên phải cho giá trị μ là: 𝓈 ( 𝓍 − tα(n − 1). ∞) ≈… √n ; +
3, (Ước lượng tối đa,không vượt quá) Khoảng tin cậy bên trái cho giá trị μ là :
( −∞ ; 𝓍 + tα(n − 1). 𝓈 ≈ ⋯ √n )
4, BT phụ : Độ chính xác. Từ công thức: P {|X − μ| < tα (n − 1). 𝓈 } = γ = 1 − α 2 √n +, Ta có độ 𝓈
chính xác trong ước lượng đối xứng của μ là ε = tα (n − 1). ≈. 2 √n
(Ngoài ra ta còn có độ dài khoảng tin cậy I = 2ε = 2. tα (n − 1). 𝓈 ≈. ) 2 √n
+,Với đề thi cho trước độ chính xác ε và yêu cầu tìm kích thướ ặc độ 0 c mẫu ho tin cậy thì ta có cách xử lý như sau :
-, Tìm kích thước mẫu n với độ cho trướ 0 chính xác ε0 c => n = 0 ( tα(n − 1) . 𝓈0 )2 2 ε0
(Dấu của n ngược lại dấu của ε n u => => n ) 0 ế ε0 ≥ n0 ≤ ; 𝑛ế𝑢 ε0 ≤ 0 ≥ √
-, Tìm độ tin cậy γ = 1 − α với độ chính xác ε cho trướ 0 c tα (n − 1) = ε0 . n 2 𝓈0
Dựa vào kết quả trang giá trị của đề bài ta sẽ tính đượ α c γ = 1 − α 2 =>
Chú ý : Nếu n ≥ 30 thì tα(n − 1) ≈ Uα và t α(n − 1) ≈ Uα 2 2
** X tuân theo phân phối bất kỳ thì ta chuyển tα(n − 1) thành Uα và t 1) thành α(n− Uα 2 2
II, Ước lượng tham số 𝛔𝟐 ( Ước lượng phương sai, độ lệch chuẩn, mức độ biến động, đồng đều,
phân tán, rủi ro) chỉ xảy ra trong bài toán mà X ~ N(μ , σ2)
1, Khoảng tin cậy đối xứng hoặc 2 phía của giá trị σ2 là: ((n−1)(𝓈)2 ) ≈ χ2 ; (n−1)(𝓈)2 .. α (n−1) χ2 (n−1) 2 1−α2
2, (Ước lượng tối thiểu) Khoảng tin cậy bên phải của giá trị σ2 là: ((n−1)(𝓈)2 χ2 ; +∞) ≈.. α (n−1)
3, (Ước lượng tối đa,không vượt quá) Khoảng tin cậy bên trái của giá trị σ2 là: (0 ; (n−1)(𝓈)2 χ2 ) ≈.. 1−α (n−1)
“ Thà để giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn để giọt nước mắt rơi trên đề thi” 2
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức othk.vn
III, Ước lượng P ( Ước lượng tỷ lệ, số lượng M hoặc N )
Gọi P là tỷ lệ ……….. trong tổng thể M . Ta có P = ếu ước lượ ề ố ọ ặ N (N
ng v s lượng thì g i M ho c N
– Thường đề bài cho trước N tổng thể) Tỷ lệ mẫ m u là : f = n
Bài toán thỏa mãn điều kiện sau : {n. f > 10 n. (1 − f) > 10
1, Khoảng tin cậy đối xứng hoặc 2 phía của giá trị P là: (f – U 1−f 1−f α . √f( ) . √f( )) ≈.. 2 n ; f + Uα2 n
2, (Ước lượng tối thiểu) Khoảng tin cậy bên phải của giá trị p là: P > f − Uα. √f(1−f) n ≈..
3, (Ước lượng tối đa,không vượt quá) Khoảng tin cậy bên trái cho giá trị p là: P < f + Uα. √f(1−f) n ≈.. 1−f
4, BT phụ : Độ chính xác. Từ công thức P {|f − p| < Uα . √f( )} = γ = 1 − α 2 n +, Ta có độ 1−f
chính xác trong ước lượng đối xứng của p là ε = Uα . √f( ) Độ ả 2 n ( chú ý : dài kho ng
tin cậy là I = 2𝜀 )
+,Với đề thi cho trước độ chính xác ε và yêu cầu tìm kích thướ ặc độ 0 c mẫu ho tin cậy thì ta có cách xử lý như sau :
-, Tìm kích thước mẫu n v chính xác c => = 0 ới độ ε0 cho trướ n0 (Uα)2. f(1−f) 2 ε02
-, Tìm độ tin cậy γ = (1 − α) với độ chính xác ε cho trướ 0 c => Uα = ε0.√n 2 √f(1−f) => γ = 1 − α
“ Thà để giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn để giọt nước mắt rơi trên đề thi” 3
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức othk.vn
PHẦN 2 : KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
I, Kiểm định 𝛍. (Kiểm định giá trị trung bình, kỳ vọng)
Bước 1 : Gọi 𝛍 là …… ; Từ mẫu ta có : Gọi 𝝁 𝟎 = … là …..
Với mức ý nghĩa α =. Ta cần kiểm định cặp giả thuyết : {𝐇𝟎: " = ; ≤; ≥ " 𝐇 0
𝟏 : " ≠ ; > ; < " ; Tuy nhiên H
thường để dấu ‘‘ = ’’
Bước 2: Ta sử dụng tiêu chuẩn kiểm định (TCKĐ) T = 𝐗−𝛍𝟎 . √n ~ T(n-1) 𝐒
Bước 3: Miền bác bỏ : 𝐖α (Dựa vào dấu 𝐇𝟏 để suy luận)
Trường hợp X không nhất thiết chuẩn và n ≥ 30
1, Cặp giả thuyết {H0: "μ = μ0" H 1 : μ ≠ μ0
Miền bác bỏ 𝐖α = (−∞; −tα (n − 1) ) ∪ (tα(n − 1) ; +∞) ≈. 2 2
2, Cặp giả thuyết {H0: "μ = μ0" H
ỏ 𝐖α = (tα(n − 1) ; +∞) ≈..
1 : "μ > μ0" Miền bác b
3, Cặp giả thuyết {H0: "μ = μ0" H ề
ỏ 𝐖α = ( −∞; −tα(n−1)) ≈.. 1 : "μ < μ0" Mi n bác b
Chú ý : nếu n ≥ 30 thì tα (n − 1) ≈ Uα và t α(n − 1) ≈ Uα 2 2
Với X tuân theo quy luật bất kỳ thì ta chuyển tα (n − 1) thành Uα và t 1) thành α(n− Uα 2 2
Bước 4: Có giá trị quan sát của TCKĐ là Tqs ≈ ⋯
Bước 5 : Kết luận :
+, Nếu Tqs ∈ 𝐖α .Thì ta nên bác bỏ giả thuyết H0 => Kết luận:……………
+, Nếu Tqs ∉ 𝐖α . Thì ta chưa có cơ sở để bác bỏ giả thuyết H0. Do đó ta nên tạm chấp nhận H0=> Kết luận:….
“ Thà để giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn để giọt nước mắt rơi trên đề thi” 4
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức othk.vn
II, Kiểm định 𝛔𝟐 (kiểm định phương sai, độ lệch chuẩn, mức độ biến động, đồng đều, phân tán, rủi ro)
Chú ý : Riêng độ đồng đều (hay sự ổn định) càng lớn thì giá trị 𝛔𝟐 càng nhỏ và ngược lại. Còn
các giá trị khác như độ biến động,phân tán,rủi ro thì tỉ lệ thuận với 𝛔𝟐
Bước 1 : Gọi 𝛔𝟐 là ….. ; từ mẫu ta có :
Gọi 𝛔𝟐𝟎 = .. là …………
Ta cần kiểm định cặp giả thuyết : {𝐇𝟎: " = ; ≤; ≥ " 𝐇 0 thường để ấu ‘‘ = ’’
𝟏 : " ≠ ; > ; < " ; Tuy nhiên H d
Bước 2: Ta sử dụng tiêu chuẩn kiểm định (TCKĐ) 𝜒2 = (𝐧−𝟏)(𝐒)𝟐 𝛔𝟐 ~ 𝜒2(𝑛 − 1) 𝟎
Bước 3: Miền bác bỏ : 𝐖α (Dựa vào dấu 𝐇𝟏 để suy luận) "σ2 2"
1, Cặp giả thuyết : {H0 : = σ0 H 2 1 : "σ2 ≠ σ " 0 Miền bác bỏ 𝐖 2 2
α = (−∞; χ1−α (n − 1)) ∪ (χα(n − 1); +∞) ≈.. 2 2 2 "
2 , Cặp giả thuyết: {H0: "σ2 = σ0 H 2 1 : "σ2 > σ0" Miền bác bỏ 𝐖 2
α = (χα(n − 1); +∞) ≈.. "σ2 2"
3 , Cặp giả thuyết: {H0: = σ0 H 2 1 : "σ2 < σ0" Miền bác bỏ 𝐖 2
α = (0; χ1−α(n − 1)) ≈..
Bước 4: Có giá trị quan sát của TCKĐ là 𝜒2𝑞𝑠 ≈ ⋯
Bước 5 : Kết luận :
+, Nếu 𝜒2𝑞𝑠 ∈ 𝐖α .Thì ta nên bác bỏ giả thuyết H0 , chấp nhận giả thuyết H1=> Kết luận:…………… 2
+, Nếu 𝜒𝑞𝑠 ∉ 𝐖α . Thì ta chưa có cơ sở để bác bỏ giả thuyết H0. Do đó ta nên tạm chấp nhận H0=> Kết luận:….
“ Thà để giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn để giọt nước mắt rơi trên đề thi” 5
Trung tâm bồi dưỡng kiến thức othk.vn
III, Kiểm định P.(Kiểm định về tỷ lệ và số lượng)
Bước 1 : Gọi P là…….. ; Từ mẫu ta có :
𝑮ọ𝒊 𝑷𝟎 = … là …..
Với mức ý nghĩa α = ….. Ta cần kiểm định cặp giả thuyết : {𝐇𝟎: " = ; ≤; ≥ " 𝐇 0
𝟏 : " ≠ ; > ; < " ; Tuy nhiên H
thường để dấu ‘‘ = ’’
Bước 2: Vì {n. p0 > 5 n. (1 − p ta
ng tiêu chuẩn kiểm định 0) > 5 nên sử dụ (TCKĐ) U = (f − p0).√n √p0(1−p0) ~ N(0,1)
Bước 3: Miền bác bỏ : 𝐖α (Dựa vào dấu 𝐇𝟏 để suy luận)
1, Cặp giả thuyết {H0: "p = p0" H 1 : p ≠ p0
Miền bác bỏ 𝐖α = (−∞; −Uα ) ∪ (Uα; +∞) ≈. 2 2
2, Cặp giả thuyết {H0: "p = p0" H1 : "p > p0"
Miền bác bỏ 𝐖α = (Uα ; +∞) ≈..
3, Cặp giả thuyết {H0: "p = p0" H1 : "p < p0"
Miền bác bỏ 𝐖α = ( −∞; −Uα) ≈..
Bước 4: Có giá trị quan sát của TCKĐ là Uqs ≈ ⋯
Bước 5 : Kết luận
+, Nếu Uqs ∈ 𝐖α .Thì ta nên bác bỏ giả thuyết H0 => Kết luận:……………
+, Nếu Uqs ∉ 𝐖α. Thì ta chưa có cơ sở để bác bỏ giả thuyết H0. Do đó ta nên tạm chấp nhận H0=> Kết luận:…. M
Chú ý. Một số đề thi kiểm định về số lượng thì nhớ p = 0 ới N là kích thướ ủ ổ ể N (V c c a t ng th và
M là số lượng giá trị mà đề bài cần kiểm định)
“ Thà để giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn để giọt nước mắt rơi trên đề thi” 6