Phân dạng và bài tập Hình học 11 học kỳ I – Lư Sĩ Pháp

Tài liệu phân dạng và bài tập chủ đề phép biến hình và đường thẳng, mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song trong chương trình HK1 Hình học 11.

110 55 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

95 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
TOAÙN 11
CHƯƠNG I
PHÉP DỜI HÌNH VÀ
PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG
MẶT PHẲNG
CHƯƠNG II
Đ
ƯỜNG THẲNG VÀ MẶT
PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
Giáo Viên Trư
ờ
ng THPT Tuy Phong
TẬP 1
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm
giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
Nội dung gồm 3 phần
Phần 1. Kiến thức cần nắm
Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị
Phần 3. Phần trắc nghiệm có đáp án.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh.
Mọi
góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916.620.899
Email: lsp0207@yahoo.com.vn
lsp02071980@gmail.com
Chân thành cảm ơn.
Tác giả
Lư Sĩ Pháp
Gv_Trường THPT Tuy Phong
LỜI NÓI ĐẦU
MỤC LỤC
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
§1. PHÉP BIẾN HÌNH Trang 1
§2. PHÉP TỊNH TIẾN Trang 1
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Trang 5
§4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Trang 10
§5. PHÉP QUAY Trang 13
§
6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU Trang 18
§7. PHÉP VỊ TỰ Trang 20
§8. PHÉP ĐỒNG DẠNG Trang 25
ÔN TẬP CHƯƠNG I Trang 29
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I Trang 33
ĐÁP ÁN Trang 39
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Trang 40
§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Trang 50
§3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Trang 57
§4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Trang 64
§5. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
Trang 70
ÔN TẬP CHƯƠNG II Trang 73
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II Trang 83
ĐÁP ÁN Trang 91
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
1
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
CHƯƠNG I
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
---o0o---
§ 1. PHÉP BIẾN HÌNH
KIỀN THỨC CẦN NẮM
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt
phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
- Ta thường kí hiệu phép biến hình là F và viết F(M) = M’ hay M’ = F(M), khi đó M’ gọi là ảnh
của điểm M qua phép biến hình F.
- Phép biến hình biến mỗi điểm của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
- Nếu H là mộ
t hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M),
với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành H’ hay H’ là ảnh của H qua phép
biến hình F.
- Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F, ta có thể chứng minh: Với điểm
M tuỳ ý
M H M F M H
' ( ') '
∈ ⇔ = ∈
- Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M thì ta cũng được một phép biến hình. Phép
biến hình đó gọi là phép đồng nhất.
§ 2. PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NẰM
I. Phép tịnh tiến
1. Định nghĩa phép tinh tiến
- Trong mặt phẳng cho vectơ
v
. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
MM v
'
=
được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
v
.
- Phép tịnh tiến theo vectơ
v
thường được kí hiệu là
v
T
. Như vậy
v
T M M MM v
( ) ' '
= ⇔ =
- Phép tịnh tiến theo vectơ_không được gọi là phép đồng nhất.
2. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm
M x y v a b
( ; ); ( ; )
=
. Gọi
v
M T M x y
' ( ) ( '; ')
= =
.
- Khi đó
x x a
y y b
'
'
= +
= +
gọi là biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến theo vectơ
v
.
- Vận dụng:
M x y M x y v a b
'( '; ') ( ; ) ( ; )
= +
3. Các tính chất của phép tịnh tiến
Phép tịnh tiến:
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ ba điểm đó;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng dã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
- Biến góc thành góc bằng góc đã cho.
II. Phép dời hình
1. Định nghĩa
- Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình, ta được một phép dời hình.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
2
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
2. Tính chất
Phép dời hình
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toan thứ tự ba điểm ấy;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
nó;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng đã cho, biến một góc thành góc bằng góc đã cho;
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình F và G, giả sử M là một điểm bất kì, phép biến hình F(M) = M’ và phép
biến hình G(M’) = M”. Khi đó phép biến hình biến điểm M thành điểm M” đươc gọi là hợp
thành của phép F và G, kí hiệu
F G
B. BÀI TẬP
Bài 2.1. Cho hai đường thẳng song song
a
và
a
'
. Tìm tất cả những phép tịnh tiến biến
a
thành
a
'
.
HD
Giải
Lấy điểm A trên
a
thì với mỗi điểm A’ trên
a
'
, phép tịnh tiến theo vectơ
AA
'
biến
a
thành
a
'
. Đó là tất
cả những phép tịnh tiến cần tìm.
Bài 2.2. Cho hai phép tịnh tiến
u
T
và
v
T
. Với điểm M bất kì,
u
T
biến điểm M thành M’,
v
T
biến điểm
M’ thành M”. Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành M” là một phép tịnh tiến.
HD
Giải
Ta có
MM MM M M u v
" ' ' ''
= + = +
nên phép biến điểm M thành M” là phép tịnh tiến theo vectơ
u v
+
Bài 2.3. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích
điểm M’ sao cho
MB MA MM
'
= +
.
HD
Giải
Ta gọi O và R là tâm và bán kính của đường tròn (O), Ta có
MM MB MA AB
'
= − =
nên phép tịnh tiến theo vectơ
AB
biến
điểm M thành M’. Điểm M chạy trên đường tròn (O) thì quỹ tích
của điểm M
’ là đường tròn (O’) có tâm O’ và bán kính R là ảnh
của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ
AB
.
M
O'
O
A
B
M'
Bài 2.4. Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O).
Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một
đường tròn.
HD
Giải
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC.
Tia OB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Vì
BCD
0
90
= nên DC // AH, tương tự ta có AD // CH
Do đó tứ giác ADCH là hình bình hành . Từ đó suy ra
AH DC OM
2= =
. Ta thấy rằng
OM
không đổi, nên H là ảnh
của A qua phép tịnh tiến theo vectơ 2
OM
.
Do vậy khi điểm A di động trên đường tròn (O) thì H di động
trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ
2
OM
.
C
B
O
D
H
M
A
Bài 2.5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho v
( 2;3)
−
và đường thẳng d có phương trình
x y
3 5 3 0
− + =
.
Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ
v
.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
3
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
HD
Giải
Cách 1.
Gọi
v
M x y d M T M x y
( ; ) , ' ( ) ( '; ')
∈ = =
. Khi đó
x x x x
y y y y
' 2 ' 2
' 3 ' 3
= − = +
⇒
= + = −
Ta có
M d x y x y M d
3( ' 2) 5( ' 3) 3 0 3 ' 5 ' 24 0 ' '
∈ ⇔ + − − + = ⇔ − + = ⇔ ∈
Vậy
d x y
':3 5 24 0
− + =
Cách 2.
Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M(-1; 0). Khi đó
v
M T M
' ( ) ( 3;3)
= = −
thuộc d’.
Vì d’ song song hoặc trung với d nên d’: 3x – 5y + c = 0.
Do
M d
' '
∈
nên 3(-3) – 5.3 + c = 0 suy ra c = 24. Vậy
d x y
':3 5 24 0
− + =
Cách 3.
Ta cũng có thể lấy hai điểm phân biệt M, N trên d, tìm toạ độ các ảnh M’, N’ tương ứng của chúng qua
v
T
. Khi đó d’ là đường thẳng M’N’
Bài 2.6.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x y x y
2 2
2 4 4 0
+ − + − =
. Tìm ảnh của (C)
qua phép tịnh tiến theo vectơ v
( 2;3)
−
.
HD
Giải
Cách 1.
Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 3. Gọi
v
I T I
' ( ) ( 1;1)
= = −
và (C’) là ảnh của
(C) qua
v
T
thì (C’) là đường tròn tâm I’, bàn kính R = 3. Do đó (C’): x y
2 2
( 1) ( 1) 9
+ + − =
Cách 2.
Gọi I(x; y) là tâm của đường tròn (C) và
v
I T I x y
' ( ) ( '; ')
= =
. Khi đó biểu thức toạ độ của
v
T
là
x x x x
y y y y
' 2 ' 2
' 3 ' 3
= − = +
⇒
= + = −
thay vào (C), ta được
x y x y x y
2 2 2 2
( ' 2) ( ' 3) 2( ' 2) 4( ' 3) 4 0 ( 1) ( 1) 9
+ + − − + + − − = ⇔ + + − =
Vậy (C’): x y
2 2
( 1) ( 1) 9
+ + − =
Bài 2.7.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-3;3), B(1;3) và đường tròn (C) có tâm I(3;1), bán kính R = 1.
Đường thẳng d: x + y – 1 = 0. Tìm trên d một điểm M và trên (C) điểm M’ sao cho
MM AB
'
=
.
HD
Giải
Ta có AB
(4;0)
=
,
AB
T M x y M x y
: ( , ) '( ', ')
→
, nên ta có biểu thức toạ độ theo
AB
T
:
x x x x
y y y y
' 4 ' 4
' '
= + = −
⇔
= =
.
AB
T d d
: '
→
, phương trình đường thẳng d’: x + y – 5 = 0.
Ta có
M d M d
' '
∈ ⇒ ∈
và
M C
' ( )
∈
, nên toạ độ của điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình :
x y
x y
x y
x y
2 2
5 0
3, 2
4, 1
( 3) ( 1) 1
+ − =
= =
⇔
= =
− + − =
Vậy M
1
’(3, 2) thì M
1
(-1,2) và M
2
’(4,1) thì M
2
(0,1).
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
4
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.8.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-3, 3) và B(-1, 6).
a) Tìm toạ độ điểm M’ là ảnh của M(4, -5) qua phép tịnh tiến
AB
T
;
b) Xác định phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d:
x t
y t
4 2
7 3
= +
= − +
qua phép tịnh
tiến
AB
T
;
c) Xác định phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 4x + 8y – 5 = 0 qua
phép tịnh tiến
AB
T
.
Bài 2.9. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ u
( 1;2)
−
, hai điểm A(3;5), B(-1;1) và đường thẳng d có phương
trình x – 2y + 3 = 0.
a) Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ
u
;
b) Tìm toạ độ điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ
u
;
c) Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ
u
.
Bài 2.10. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính R nằm về một phía đối với đường thằng
AB. Lấy điểm M trên (C), rối dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên
(C)
Bài 2.11. Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ
AD
.
Bài 2.12. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo
vectơ
AG
. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ
AG
biến D thành A.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
5
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M
qua d.
- Kí hiệu: Đ
d
(Đường thẳng d gọi là trục đối xứng)
- Nếu
M d
∈
thì Đ
d
(M) =
M M
'
≡
- Nếu
M d
'
∉
thì d là đường trung trực của đoạn MM’. Như vậy M’ = Đ
d
(M)
M M M M
0 0
'⇔ = −

,
với M
0
là hình chiếu của M trên d
- M’ = Đ
d
(M)
⇔
M = Đ
d
(M’)
2. Trục đối xứng của một hình
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nều Đ
d
biến H thành chính nó. Khi đó H được gọi
là hình có trục đối xứng.
3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, với mỗi điểm M(x; y).
Gọi M’ = Đ
d
(M) = (x’; y’)
• Nếu chọn d là trục Ox nghĩa là Đ
Ox
(M) = M’ khi đó ta có:
x x
y y
'
'
=
= −
• Nếu chọn d là trục Oy nghĩa Đ
Oy
(M) = M’ khi đó ta có:
x x
y y
'
'
= −
=
• Nếu chọn d là đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0 với A B
2 2
0
+ ≠
.
Đ
d
(M) = M’, khi đó ta có
A Ax By C
x x
A B
B Ax By C
y y
A B
2 2
2 2
2 ( )
'
2 ( )
'
+ +
= −
+
+ +
= −
+
4. Tính chất
Phép đối xứng trục
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng;
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó;
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. BÀI TẬP
Bài 3.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;-2) và B(3;1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua
phép đối xứng trục Ox.
HD
Giải
Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox, ta có biểu thức toạ độ
x x
y y
'
'
=
= −
Do đó Đ
Ox
(A) = A’(1;2), Đ
Ox
(B) = B’(3;-1) và Đ
Ox
(AB) = A’B’: 3x + 2y – 7 = 0.
Bài 3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình của
đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
HD
Giải
Cách 1. Lấy điểm bất kì
M x y d
( ; )
∈
. Gọi M’ = Đ
d
(M) = (x’; y’). Khi đó
x x x x
y y y y
' '
' '
= − = −
⇒
= =
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
6
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Ta có
M d x y
3 ' ' 2 0
∈ ⇔ − − + = ⇔
M’ thuộc đường thẳng d’ có phương trình 3x’ + y’ – 2 = 0.
Vậy d’: 3x + y – 2 = 0.
Cách 2.
Lấy hai điểm A(0;2) và B(-1;-1) thuộc d. Gọi A’ = Đ
d
(A) = (0;2) và B’ = Đ
d
(B) = (1;-1)
Khi đó d’ = Đ
Oy
(d) thì d’ qua hai điểm A’ và B’.
Vậy d’: 3x + y – 2 = 0.
Bài 3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1;5), đường thẳng d có phương trình x – 2y + 4 = 0 và đường
tròn (C): x y x y
2 2
2 4 4 0
+ − + − =
a) Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d.
HD
Giải
a) Gọi M’, d’ và (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó M
’(1;-5). d’: x + 2y + 4 = 0
Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3. Gọi I’ = Đ
Ox
(I) = (1;2). Do đó (C’) là đường tròn có
tâm I’ và bán kính bằng 3. Vậy (C’): x y
2 2
( 1) ( 2) 9
− + − =
b) Cách 1. Ta có
M d
∉
. Gọi M” = Đ
d
(M) = (x’; y’)
Biểu thức toạ độ đối xứng qua trục d:
A Ax By C
x
x x
A B
B Ax By C
y y y
A B
2 2
2 2
2 2 2 2
2.1(1 2.5 4)
2 ( )
' 1 3
'
1 ( 2)
2 ( ) 2.( 2)(1 2.5 4)
' ' 5 1
1 ( 2)
− +
+ +
= − =
= −
+ −
+
⇒
+ + − − +
= − = − =
+ + −
.
Vậy M’’(3;1)
Cách 2. (Vận dụng ND ĐN)
Ta có
M d
∉
. Gọi d
1
là đường thẳng qua M và vuông góc với d. Vậy d
1
: 2x + y – 7 = 0
Gọi giao điểm của d và d
1
là M
0
có toạ độ thoả mãn hệ phương trình
x y x
x y y
2 4 0 2
2 7 0 3
− + = =
⇔
+ − = =
Vậy M
0
(2;3). Gọi M” = Đ
d
(M) = (x’; y’)
M M M M
0 0
''⇔ = −
 
. Từ đó suy ra M”(3; 1)
Bài 3.4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho đường thẳng d: 2x – y – 3 = 0.
a) Tìm ảnh điểm M’ của điểm M(4; -1) qua phép đối xứng trục Đ
d
.
b) Viếi phương trình đường thẳng d
1
’ là ảnh của d
1
: x – 3y + 11 = 0 qua phép Đ
d
.
c) Viết phương trình (C’) là ảnh của đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 10x – 4y + 27 = 0 qua phép Đ
d
.
HD
Giải
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Đ
d
:
x y
x x x x y
x y
y y y x y
4(2 3) 3 4 12
' '
5 5 5 5
2(2 3) 4 3 6
' '
5 5 5 5
− −
= − = − + +
⇔
− −
= + = + −
a) Đ
d
:M(4; -1)
→
M’(x’; y’). Suy ra M
4 7
' ;
5 5
−
b) Lấy điểm tuỳ ý
M x y d
1
( ; )
∈
. Đ
d
:
M x y d M x y d
'
1 1
( ; ) '( '; ')
∈ → ∈
và ngược, nên ta có
x x y x x y
y x y y x y
3 4 12 3 4 12
' ' '
5 5 5 5 5 5
4 3 6 4 3 6
' ' '
5 5 5 5 5 5
= − + + = − + +
⇒
= + − = + −
Thay vào d
1
ta có được phương trình đường d
1
’: 3x + y – 17 = 0.
c) Phương trình đường tròn (C)
có tâm I(5; 2) và bán kính R
2
= . Do đó Đ
d
: I(5; 2)
→
I’(1; 4)
Khi đó Đ
d
: (C)
→
(C’) có tâm I’ và bán kính R
2
=
Vậy (C’): (x – 1)
2
+ (y – 4)
2
= 2
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
7
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Bài 3.5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho điểm M(3; -5), đường thẳng
∆
: 3x – 2y – 6 =
0 và đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của M, đường thẳng
∆
và đường tròn (C) qua
phép đối xứng trục d:
a) d là trục hoành
b) d là trục tung
c) d là đường thẳng x – y + 1 = 0.
HD
Giải
a) Khi d là trục hoành, nên biểu thức toạ độ của Đ
d
:
x x
y y
'
'
=
= −
Đ
d
:M
→
M’ nên M’(3; 5)
Đ
d
:
∆
→
'
∆
nên có phương trình: 3x + 2y – 6 = 0
Đ
d
: (C)
→
(C’) nên có phương trình: x
2
+ y
2
– 2x – 4y – 4 = 0.
b) Khi d là trục tung, nên biểu thức toạ độ của Đ
d
:
x x
y y
'
'
= −
=
Đ
d
:M
→
M’ nên M’(-3; -5)
Đ
d
:
∆
→
'
∆
nên có phương trình: 3x + 2y + 6 = 0
Đ
d
: (C)
→
(C’) nên có phương trình: x
2
+ y
2
+ 2x + 4y – 4 = 0.
c) Khi d là đường thẳng x – y + 1 = 0 nên có biểu thức toạ độ của Đ
d
:
x y
y x
' 1
' 1
= −
= +
Đ
d
:M
→
M’ nên M’(-6; 4)
Đ
d
:
∆
→
'
∆
nên có phương trình: 2x – 3y + 11 = 0
Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 3. Do đó Đ
d
:I
→
I’ nên I’(-3; 2)
Đ
d
: (C)
→
(C’) có tậm I’ và bán kính bằng 3.Vậy (C’): x
2
+ y
2
+ 6x – 4y + 4 = 0.
Bài 3.6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho hai đường thẳng d
1
: x – 5y + 7 = 0 và d
2
: 5x –
y – 13 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến đường thẳng d
1
thành đường thẳng d
2
.
HD
Giải
Phương trình đường thẳng d
1
: x – 5 y + 7 = 0 và d
2
: 5x – y – 13 = 0. Suy ra d
1
và d
2
cắt nhau nên phép đối
xứng trục biến đường thẳng d
1
thành đường thẳng d
2
có trục là đường phân giác của góc tạo bởi d
1
và d
2
.
Phưong trình đường phân giác của góc tạo bởi d
1
và d
2
là:
x y x y
x y
x y x y
x y
5 7 5 13
5 0
5 7 5 13
1 0
1 25 25 1 26 26
− + − −
+ − =
− + − −
= ⇔ = ± ⇔
− − =
+ +
Khi d có phương trình x + y – 5 = 0 ta có biểu thức toạ độ Đ
d
:
x y
y x
' 5
' 5
= − +
= − +
Khi d có phương trình x – y – 1 = 0 ta có biểu thức toạ độ Đ
d
:
x y
y x
' 1
' 1
= +
= −
Bài 3.8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho hai đường thẳng d
1
: x + 3y – 6 = 0 và d
2
: 3x +
y + 2 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến đường thẳng d
1
thành đường thẳng d
2
.
HD
Giải
Trục đối xứng biến đường thẳng d
1
thành đường thẳng d
2
là trục d: Đường phân giác của góc tạo bởi d
1
và
d
2
:
x y x y
x y
x y x y
x y
3 6 3 2
4 0
3 6 3 2
1 0
1 9 9 1 10 10
+ − + +
− + =
+ − + +
= ⇔ = ± ⇔
+ − =
+ +
Bài 3.9.
Cho đường thẳng a và hai điểm A, B. Hãy tìm điểm
M a
∈
sao cho: MA + MB đạt giá trị nhỏ
nhất khi A và B nằm cùng một phía đối với a.
HD
Giải
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
8
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục Đ
a
. M là điểm bất kì
thuộc a ta có:
MA MA MA MB MA MB A B
' ' '
= ⇒ + = + ≥
Do đó MA + MB đạt
giá trị nhỏ nhất khi bằng A’B
Điều này xảy ra ki và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng nghĩa là M là
giao điểm của A’B với a.
Vậy: MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M trùng với M’ là giao
điểm của A’B và đường thẳng a.
I
A'
A
M
M'
B
a
Bài 3.10. Trong mặt phẳng hệ trụa toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4), Tìm điểm M trên trục
hoành sao cho MA + MB bé nhất.
HD
Giải
Ta có y
A
.y
B
> 0 nên A, B nằm cùng phía đối với Ox.
Gọi A’
là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox và M(x; 0). Suy ra A’(1; -2)
Ta có MA + MB = MA’ + MB
A B
'
≥
Vậy (MA + MB) nhỏ nhất
⇔
(MA’ + MB) nhỏ nhất
MA MB A B
' '
⇔ + =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng. (1)
Ta lại có: A B A M x
' (2;6), ' ( 1;2)
= = −
Do (1)
⇔
A B
'
cùng phương
A M
'
x x
5
2.2 6( 1) 0
3
⇔ − − = ⇔ =
. Vậy M
5
;0
3
Bài 3.11. Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên Ox và điểm C
trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
HD
Giải
Xét tam giác bất kì ABC có B và C lần lượt nằm
trên hai tia Ox và Oy. Gọi A’ và A’’là các điểm đối
xứng của A qua các đường thẳng Ox, Oy. Gọi 2p
là chu vi của tam giác ABC
Ta có
p AB BC CA A B BC CA A A
2 ' " ' "
= + + = + + ≥
.
Dấu bằng xảy ra khi bốn điểm A’
, B, C, A” thẳng
hàng.
Suy ra chu vi của tam giác ABC bé nhất phải lấy B
và C lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng A’A”
với hai tia Ox, Oy.(các giao điểm này tồn được vì
góc xOy nhọn)
B
O
C
A
A'
A''
Bài 3.12.
Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng
minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.
HD
Giải
Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và đường tròn
(O). Ta có
BAH HCB
= (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
BAH BCH
'
= (cùng chắn một cung)
Vậy tam giác CHH’ cân tại C, suy ra H đối xứng với H’ qua
đường thẳng BC.
Khi A chạy trên đường tròn (O) thì H’ cũng chạy trên đường
tròn (O). Do đó H phải chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O)
q
ua phép đối xứng qua đường thẳng BC.
H'
H
O
O'
C
B
A
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
9
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Bài 3.13.
Cho đường thẳng d qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d. Hãy xác định
trên d hai điểm M và N sao cho
MN PQ
=
và AM + BN bé nhất.
HD
Giải
Giả sử hai điểm M và N nằm trên d sao cho
MN PQ
=
. Lấy điểm A’ sao cho
AA PQ
' =
thì A’ hoàn toàn
xác định và AMNA’ là hình bình hành nên AM = A’N
Vậy AM + BN = A’N + AN, như thế bài toán trở về bài 3.9.
Khi điểm N xác định được thì điểm M cũng xác định được với điều kiện
MN PQ
=
N
M
A'
A
B
d
Q
P
Bài 3.14. Cho tam giác ABC. Gọi d là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC và M là một
điểm bất kì thuộc d. Chứng minh rằng tam giác MBC có chu vi không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.
HD
Giải
Gọi C’ là ảnh của C đối xứng qua trục d. Khi đó
hiển nhiên A nắm giữa B và C’.
Với mọi
M d
∈
, ta có MC = MC’ và
MB MC MB MC BC
' '
+ = + ≥
Mà
BC AB AC AB AC
' '
= + = +
Vậy
MB MC BC AB AC BC
+ + ≥ + +
. Điều này
chứng tỏ rằng, tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
C
C'
M
d
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.15. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn (C
1
) và (C
2
) lần lượt có phương trình:
(C
1
): x
2
+ y
2
– 4x + 5y + 1 = 0; (C
2
): x
2
+ y
2
+ 10y – 5 = 0. Viết phươg trình ảnh của mỗi đường tròn trên
qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 2.16. Cho hai đường thẳng c, d và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó. Hãy dựng điểm C
trên c, điểm D trên d sao cho tứ giác ABCD là hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy (không cần biện
luận)
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
10
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
§4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
- Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho
I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.
- Kí hiệu : Đ
I
- Từ định nghĩa suy ra: Đ
I
(M) = M’
IM IM
'⇔ = −
- Từ đó suy ra:
Nếu
M I
≡
thì
M I
'
≡
Nếu M không trùng với I thì Đ
I
(M) = M’
⇔
I là trung điểm của MM’
Đ
I
(M) = M’
⇔
Đ
I
(M’) = M
2. Tâm đối xứng của một hình
Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi
đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.
3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng Oxy, Cho điểm I = (a; b). Gọi M = (x;y) và M’= Đ
I
(M) = (x’; y’)
Trường hợp 1: Khi tâm đối xứng I trùng với gốc toạ độ O(0; 0)
Đ
O
M x y M x y
: ( , ) '( ', ')
→
khi đó :
x x
y y
'
'
= −
= −
Trường hợp 2: Khi tâm đối xứng
(
)
I a b
,
Đ
I
M x y M x y
: ( , ) '( ', ')
→
khi đó :
x a x
y b y
' 2
' 2
= −
= −
4. Các tính chất
Phép đối xứng tâm
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- B
iến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. BÀI TẬP
Bài 4.1.Giả sử phép đối xứng tâm Đ
O
biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Chứng minh
a) Nếu d không đi qua tâm đối xứng O thì d’ song song với d, O cách đều d và d’
b) Hai đường thẳng d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi d đi qua O.
HD
Giải
a) Kẻ
OH d H d
( )
⊥ ∈
thì vì d không đi qua
O nên H không trùng với O. Phép Đ
O
(H) =
H’ thì O là trung điểm của HH’ và biến
đường thẳng d thành đường thẳng d’
vuông góc với OH’ tại H’. Suy ra d và d’
song song, cách đều điểm O.
H'
H
O
d
d'
b) Nếu d không qua O thì theo câu a), d’ // d nên d’ không trùng d. Nếu d đi qua O thì mọi điểm
M d
∈
biến thành
M d
'
∈
. Vậy d’ trùng với d.
Bài 4.2. Chỉ ra tâm đối xứng của các hình sau dây:
a) Hình gốm hai đường thẳng cắt nhau
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
11
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
b) Hình gồm hai đường thẳng song song
c) Hình gồm hai đường tròn bằng nhau
d) Đường elip
e) Đường hypebol
HD
Giải
a) Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường thẳng.
b) Tâm đối xứng là những điểm cách đều hai đường thẳng
c) Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn
d) Tâm đối xứng là trung điểm nối hai tiêu điểm của elip.
e) Tâm đối xứng là trung điểm nối hai tiêu điểm của hypebol.
Bài 4.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 =0 . Tìm
ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.
HD
Giải
Gọi A’ = Đ
O
(A) = (x’; y’). Theo biểu thức toạ độ, ta có
x x
y y
'
'
= −
= −
. Vậy A’(1; -3)
Gọi d’ = Đ
O
(d)
Cách 1. Lấy một điểm tuỳ ý
M x y d
( ; )
∈
. Khi đó ta có M’ = Đ
O
(M) = (x’; y’), nên thay x = - x’, y = - y’
vào phương trình của d. Ta có ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là d’: x – 2y – 3 = 0.
Cách 2. Lấy điểm
B d
( 3;0)
− ∈
. Khi đó B’ = Đ
O
(B) = (3;0) thuộc d’
d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O nên d’ song song hoặc trùng với d. Do đó d’: x – 2y + c = 0
B d
' '
∈
suy ra c = - 3. Vậy d’: x – 2y – 3 = 0.
Cách 3. Lấy hai điểm phân biệt M, N thuộc d và xác định ảnh của nó qua phép đối xứng tâm O, khi đó
đường thẳng d’ qua hai điểm M’ và N’.
Bài 4.4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho hai điểm I(1; 2), M(-2; 3), đường thẳng d
có phương trình 3x – y + 9 = 0 và đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 2x – 6y + 6 = 0. Hãy xác định toạ độ điểm M’,
phương trình đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d, (C) qua:
a) Phép đối xứng qua gốc toạ độ
b) Phép đối xứng qua tâm I
HD
Giải
a) Gọi M’, d’, (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O. Dùng biểu thức toạ độ
của phép đối xứng qua gốc toạ độ O ta có:
M’(2; -3), phương trình của d’: 3x – y – 9 = 0, phương trình đường tròn (C’): x
2
+ y
2
- 2x + 6y + 6 = 0
b) Gọi M’, d’, (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng tâm I. Dùng biểu thức toạ độ
của phép đối xứng qua tâm I ta có: M’(4; 1)
Vì d’ song song với d nên d’: 3x – y + c = 0, lấy điểm N(0; 9) thuộc d. Khi đó ảnh của N qua phép đối
xứng tâm I là N’(2; -5) thuộc d’. Từ đó suy ra c = -11
Vậy d’: 3x – y – 11 = 0.
Đường tròn (C) có tâm J(-1; 3) và bán kính R = 2. Ảnh J qua phép đối xứng tâm I là J’(3; 1). Vậy
phương trình (C’): (x – 3)
2
+ (y – 1)
2
= 4
Bài 4.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x – 2y + 2 = 0 và d’ có phương trình x
– 2y – 8 = 0. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó.
HD
Giải
Giao điểm của d và d’ với Ox là A(-2; 0) và A’(8; 0). Gọi I(a; b) là tâm của phép đối xứng
Ta có Đ
I
A x y A x y
: ( , ) '( ', ')
→
khi đó :
x a x a a
y b y b b
' 2 8 2 2 3
' 2 0 2 0 0
= − = + =
⇔ ⇒
= − = + =
Vậy phép đối xứng qua tâm I(3; 0) là phép cần tìm.
Bài 4.6. Cho đường tròn (O,R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ sao cho
MM MA MB
'
= +
. Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên (O,R).
HD
Giải
Gọi I là trung điểm của AB thì I cố định và
MA MB MI
2
+ =
.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
12
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Bởi vậy,
MM MA MB MM MI
' ' 2= + ⇔ =
nghĩa là I là trung điểm của MM’ hay Đ
I
(M) = M’
Vậy khi M chạy trên đường tròn (O,R) thì quỹ tích M’ là ảnh của đường tròn đó qua Đ
I
Nếu ta gọi O’ điểm đối cứng của O qua điểm I thì quỹ tích của M’ là đường tròn (O’,R).
I
O
M
O'
A
B
M'
Bài 4.7. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O, R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó.
Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn
cố định.
HD
Giải
Ta vẽ đường kính AM của đường tròn. Khi đó
BH // MC ( vì cùng vuông góc với AC), và CH
// BM (vì cùng vuông góc với AB) hay BHCM
là hình bình hành
Nếu gọi I là trung điểm của BC thì I cũng là
trung điểm của MH.
Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H
Khi A chạy trên (O, R) thì M chạy trên đường
tròn (O; R). Do đó, H nằm trên đường tròn là
ảnh của đường tròn (O, R) qua phép đối xứng
tâm I.
I
H
O
A
B
C
M
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 4.8. Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục gíc đều, hình nào có tâm đối
xứng ?
Bài 4.9. Tìm một hình có vô số tâm đối xứng
Bài 4.10. Cho tứ giác ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm D.
Bài 4.11. Chứng minh rằng trong phép đối xứng tâm I nếu điểm M biến thành chính nó thì M phải trùng
với I.
Bài 4.12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm I(2; -3) và đường thẳng d có phương trình 3x + 2y – 1 =
0. Tìm toạ độ điểm I’ và phương trình của đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của I và đường thẳng d qua
phép đối xứng tâm O.
Bài 4.13. Cho đường tròn (O;R), đường thẳng
∆
và điểm I. Tìm điểm A trên (O;R) và điểm B trên
∆
sao
cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
13
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
§5. PHÉP QUAY
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
- Trong mặt cho một điểm O cố định và góc lượng giác
ϕ
không đổi. Phép biến hình biến điểm O
thành chính nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng
OM OM
( , ')
ϕ
=
được gọi là phép quay tâm O góc quay
ϕ
.
- Điểm O gọi là tâm quay,
ϕ
gọi là góc quay.
- Kí hiệu:
( )
O
Q
,
ϕ
hoặc
Q
0
- Chiều dương của phép quay
( )
O
Q
,
ϕ
theo chiều dương của đường tròn lượng giác. Ngược lại là
chiều âm và còn kí hiệu
( )
O
Q
,
ϕ
−
Nhận xét:
Phép quay tâm O, góc quay
k k
2 ,
ϕ π π
= + ∈
ℤ
chính là phép đối xứng tâm O
Phép quay tâm O, góc quay
k k
2 ,
ϕ π
= ∈
ℤ
, chính là phép đồng nhất.
2. Tính chất
Phép quay
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
Chú ý: Giả sử phép quay tâm I góc quay
ϕ
biến đường thẳng d thành d’. Khi đó:
Nếu 0
2
π
ϕ
< ≤
thì góc giữa d và d’ bằng
ϕ
Nếu
2
π
ϕ π
< <
thì góc giữa d và d’ bằng
π ϕ
−
3. Biểu thức toạ độ của phép quay.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, xét phép quay
( )
I
Q
,
ϕ
Trường hợp 1: Khi tâm quay I trùng với gốc toạ độ O:
( )
O
Q M x y M x y
,
: ( , ) '( ', ')
ϕ
→
khi đó :
x x y
y x y
' cos sin
' sin cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= −
= +
Trường hợp 2: Khi tâm quay
(
)
I x y
0 0
,
( )
I
Q M x y M x y
,
: ( , ) '( ', ')
ϕ
→
khi đó :
x x x x y y
y y x x y y
0 0 0
0 0 0
' ( )cos ( )sin
' ( )sin ( )cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− = − − −
− = − + −
B. BÀI TẬP
Bài 5.1. Cho hình vuông ABCD tâm O.
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 90
0
.
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 90
0
.
HD
Giải
a) Gọi E là điểm đối xứng với C qua tâm D.
Khi đó
( )
A
Q C E
0
,90
( )
=
b)
( ) ( )
O O
Q B C Q C D
0 0
,90 ,90
( ) , ( )
= =
. Vậy ảnh
của đường thẳng BC qua phép quay tâm O
góc 90
0
là đường thẳng CD.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
14
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
C
B
A
O
E
Bài 5.2. Cho phép quay
Q
tâm O với góc quay
ϕ
và cho đường thẳng d. Hãy nêu cách dựng ảnh d’ của d
qua phép quay
Q
.
HD
Giải
Ảnh của đường thẳng d qua phép quay
( )
O
Q
,
ϕ
có thể dựng như sau:
Cách 1. Lấy hai điểm A, B phân biệt trên d, rối dựng ảnh A’, B’ của chúng. Đường thẳng d’ là đường
thẳng đi qua A’ và B’.
Cách 2. Trong trường hợp d không đi qua O. gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, dựng H’ là ảnh
của H. Đường thẳng vuông góc với OH’ tại H’ chính là ảnh d’ của d.
Từ cách dựng trên, ta suy ra: Phép quay với góc quay
2
π
±
biến đường thẳng d thành đường thẳng d’
vuông góc với d.
Bài 5.3. Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, OA. Tìm ảnh của tam
giác AMN qua phép quay tâm O, góc quay 90
0
.
HD
Giải
Xét phép quay
O
Q A D M M
0
( ,90 )
: , '
→ →
O
Q N N
0
( ,90 )
: '
⇒ → . N
là trung điểm của OA thì N’ là trung điểm của
OD. Suy ra:
O
Q AMN DM N
0
( ,90 )
: ' '
∆ → ∆ và
AMN DM N
' '
∆ = ∆
M'
M
D
A
B
O
N
N'
C
Bài 5.4. Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng
AB’ và nằm ngoài đường thẳng A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác OAA’ và OBB’.
Chứng minh GOG’ là tâm giác vuông cân.
HD
Giải
Gọi
Q
là phép quay tâm O, góc quay
2
π
( bằng
góc lượng giác (OA,OB)).
Khi đó
O O
Q A B Q A B
, ,
2 2
( ) , ( ') '
π π
= =
. Do đó
O
Q OAA OBB
,
2
( ') '
π
= .
Bởi vậy,
O
Q G G
,
2
( ) '
π
=
. Suy ra OG = OG’ và
GOG '
2
π
=
Vậy GOG’ là tam giác vuông cân tại đỉnh O.
O
A'
B'
B
A
G
G'
Bài 5.5. Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của
đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 60
0
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC. Chứng minh tam giác BMN đều.
HD
Giải
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
15
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
a) Xét phép quay
B
Q
0
( ,60 )
, khi đó :
B
Q E A C F
0
( ,60 )
: ,→ →
O
Q EC AF
0
( ,60 )
:⇒ → . Suy ra EC = AF và
(EC,AF) = 60
0
.
b) Ta có
B
Q N M
0
( ,60 )
: → , N là trung điểm
của EC và M là trung điểm của AF.
Nên BN = BM và
NBM
0
60
= . Do đó BMN là
tam giác đều.
C
E
B
F
A
N
M
Bài 5.6. Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB.
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 120
0
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 60
0
HD
Giải
a)
( ) ( )
O O
Q F B A C B D Q I J
0 0
,120 ,120
: , , :
→ → → ⇒ →
với J là trung điểm của CD.
Vậy
( )
O
Q AIF CJB
0
,120
: ∆ → ∆
b) Phép quay tâm E góc 60
0
biến A, O, F lần lượt
thành C, D, O. Vậy
( )
E
Q AOF CDO
0
,60
: ∆ → ∆
J
I
F
E
D
C
B
A
O
Bài 5.7. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và
gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng.
a) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D
b) Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ.
HD
Giải
a) Xét phép quay
( )
C
Q M A B I
0
,90
: ,
→ →
. Do đó MB bằng và vuông góc với AI
Trong tam giác ABM, có DP song song và bằng nửa BM và trong tam giác BAI có DO song song và
bằng nửa AI. Từ đó suy ra DP bằng và vuông góc với DO. Hay tam giác DOP vuông cân tại D.
b) Xét phép quay
( )
D
Q O P A Q
0
,90
: ,→ → . Do đó OA bằng và vuông góc với PQ.
C
B
J
A
E
F
N
I
O
Q
M
P
D
Bài 5.8. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam của tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông
cân tại A. Gọi I, M và J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC và CF. Chứng minh rằng tam giác IJM là
tam giác vuông cân.
HD
Giải
Xét phép quay tam A góc quay 90
0
.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
16
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
( )
A
Q E B C F
0
,90
: ,→ → .Từ đó suy EC = BF và
EC BF
⊥
Vì IM là trung bình của tam giác BEC nên IM //
EC và
IM EC
1
2
=
Tương tự, ta có MJ // BF và
MJ BF
1
2
= . Từ đó
suy ra IM = MJ và
IM MJ
⊥
Vậy tam giác IMJ là tam giác vuông cân tại M.
E
I
A
F
J
M
C
B
Bài 5.9. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía
ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn cố định.
HD
Giải
Xét phép quay tâm B góc quay 90
0
. Khi đó
( )
B
Q A E
0
,90
( )
=
. Khi A chạy trên nửa đường tròn
(O), E chạy trên nửa đường tròn (O’) là ảnh của
nửa đường tròn (O) qua phép quay tâm B, góc
quay 90
0
.
O
O'
E
F
A
C
B
Bài 5.10. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi
M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với FK và
AM FK
1
2
= .
HD
Giải
Gọi D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm A. Khi
đó AD = AB = AF và
AD AF
⊥
Xét
( )
A
Q D F C K
0
,90
: ,→ → . Do đó DC = FK và
DC FK
⊥
Vì AM là đường trung bình của tam giác BCD nên
A
M // CD và
AM CD
1
2
=
Vậy AM vuông góc với FK và
AM FK
1
2
=
F
E
B
M
C
I
K
D
A
Bài 5.11.
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho phép quay tâm O góc quay
4
π
.
Tìm ảnh qua phép quay
O
Q
,
4
π
của:
a) Điểm A(2, 2) b) Đường tròn (C): (x – 1)
2
+ y
2
= 4
HD
Giải
Biểu thức toạ độ của phép quay
O
Q M x y M x y
,
4
: ( , ) '( ', ')
π
→ là:
( )
( )
x x y x x y
x x y
y x y
y x y
y x y
2
' cos sin '
' cos sin
4 4 2
' sin cos
2
' sin cos
'
4 4
2
π π
ϕ ϕ
ϕ ϕ π π
= − = −
= −
⇔ ⇔
= +
= +
= +
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
17
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
a)
O
Q A A x y
,
4
: (2,2) '( ', ')
π
→ thì
( )
( )
x
x
y
y
2
' 2 2
' 0
2
' 2 2
2
' 2 2
2
= −
=
⇔
=
= +
. Vậy
(
)
A
0,2 2
b) Đường tròn (C) có tâm I(1, 0) và bán kính R = 2.
với (C’) là đường tròn tâm I
2 2
' ,
2 2
và có bàn kính R’ = 2. Vậy (C’): x y
2 2
2 2
4
2 2
− + − =
Bài 5.12.
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho phép quay
O
Q
,
4
π
.
a) Viết biểu thức toạ độ của phép quay đó.
b) Viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 6x + 6y + 14 = 0 qua phép
quay
O
Q
,
4
π
.
c) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d: x + y – 2 = 0 qua phép quay
O
Q
,
4
π
HD
Giải
a) Biểu thức toạ độ của phép quay
O
Q M x y M x y
,
4
: ( , ) '( ', ')
π
→ là:
( )
( )
x x y x x y
x x y
y x y
y x y
y x y
2
' cos sin '
' cos sin
4 4 2
' sin cos
2
' sin cos
'
4 4
2
π π
ϕ ϕ
ϕ ϕ π π
= − = −
= −
⇔ ⇔
= +
= +
= +
b) đường tròn (C) có tâm I(3, -3) và bán kính R = 2, nên
O
Q I I x y
,
4
: (3, 3) '( ', ')
π
− →
Do đó
(
)
I
' 3 2,0
. Vậy:
O
Q C C
,
4
:( ) ( ')
π
→ , với (C’) có tâm I’ và bán kính R’ = 2 là:
Vậy (C’):
(
)
x y
2
2
3 2 4
− + =
c) Lấy điểm
M d
(1;1)
∈
và
OM d
⊥
. Gọi M’ là ảnh của M quay phép quay
O
Q
,
4
π
thì
(
)
M
' 0; 2
Từ đó suy ra d’ phải qua M’ và vuông góc với OM’.
Vậy phương trình của d’: y
2
=
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 5.13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0.
Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 90
0
.
Bài 5.14. Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ có chung đỉnh O. Gọi C và D lần lượt là trung điểm của
các đoạn thẳng AA’ và BB’. Chứng minh rằng OCD là tam giác đều.
Bài 5.15. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d
1
: x + y – 2 = 0, d
2
: x + y – 8 = 0.
Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d
1
và d
2
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
O O
Q I I x y Q C C
, ,
4 4
: (1,0) '( ', '); :( ) ( ')
π π
→ →
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
18
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
§6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
- Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
- Nhận xét:
Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép
dời hình
Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời
hình.
2. Tính chất Phép dời hình:
- Biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm đó;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
n
ó;
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó;
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
B. BÀI TẬP
Bài 6.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(-3;2), B(-4;5) và C(-1;3).
a) Chứng minh rằng các điểm A’(2;3), B’(5;4) và C’(3;1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay
tâm O góc -90
0
.
b) Gọi tam giác A
1
B
1
C
1
là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép quay tâm O góc -90
0
và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác A
1
B
1
C
1
.
HD
Giải
a) Ta có OA OA
( 3;2), ' (2;3)
= − =
và OA OA
. ' 0
=
. Từ đó suy ra góc lượng giác (OA; OA’) = - 90
0
.
Mặt khác ta có OA OA
' 13
= = . Do đó phép quay tâm O góc 90
0
biến A thành A’. Các trường
hợp khác tương tự.
b
) Gọi A
1
B
1
C
1
là ảnh của tam giác A’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó A
1
(2; -3), B
1
(5; -4),
C
1
(3; -1).
Bài 6.2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD,
DA, KF, HC, KO. Chứng minh rằng hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.
HD
Giải
Gọi G là trung điểm OF. Phép đối xứng qua
đường thẳng EH biến hình thang AEJK thành hình
thang BEGF.
Phép tịnh tiến theo vectơ
EO
biến hình thang
FOIC thành hình thang FOIC. Nên hai hình thang
AEJK và FOIC bằng nhau.
K
I
F
H
O
J
G
C
B
D
E
Bài 6.3. Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng
biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A’B’C’.
HD
Giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC và G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
ABC và A’B’C’.
Gọi phép dời hình đó là F. Ta có F(AB) = A’B’, F(BC) = B’C’. Khi đó
F M M A B F N B C
( ) ' ' ', ( ) ' '
= ∈ ∈
Vậy F biến trung tuyến AM, CN của tam giác ABC tương ứng thành các trung tuyến A’M’, C’N’ của tam
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
19
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
giác A’B’C’.
Từ đó suy ra F biến trọng tâm G của tam giác ABC thành trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’ là giao điểm
của A’M’ và C’N’.
Bài 6.4. Chứng tỏ rằng hai hình chữ nhật cùng kích thước ( cùng chiều dài và chiều rộng) thì bằng nhau.
HD
Giải
Giả sử hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có AB = CD = A’B’ = C’D’, AD = BC = A’D’ = B’C’.
Khi đó ABC và A’B’C’ là hai tam giác vuông bằng nhau, do đó có phép dời hình
F ABC A B C
: ' ' '
∆ → ∆
và F biến trung điểm O của AC thành trung điểm O’ của A’C’. Nhưng vì O và O’ lần lượt là trung điểm
của BD và B’D’ nên F cũng biến D thành D’.
Vậy F biến ABCD thành A’B’C’D’, nên theo định nghĩa, hai hình chữ nhật đó bằng nhau.
Bài 6.5. Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình
bằng nhau.
HD
Giải
Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành
thì chia hình bình hành đó thành hai phần bằng
nhau, vì phép đối xứng qua tâm O sẽ biến phần
này thành phần kia.
Ta xét hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ lần
lượt có tâm O, O’.
Ta có O, O’ lần lượt là tâm đối xứng của hình
bình hành ABCD và A’B’C’D’ nên đường thẳng
bất kì qua tâm thì chia hình bình hành đó thành hai
hình bằng nhau.
Suy ra: Đường thẳng OO’ chia mỗi hình bình
hành ABCD và A’B’C’D’ thành hai hình bằng
nhau.
C
B
A
D
C'
B'
A'
O'
O
D'
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 6.6. Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho v
(2;0)
và điểm M (1; 1).
a) Tìm toạ độ điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép đối xứng trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ
v
.
b) Tìm toạ độ điểm M’’ là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép tịnh tiến theo vectơ
v
và phép đối xứng trục Oy.
Bài 6.7. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ
v
(3;1)
và đường thẳng d có phương trình 2x – y = 0. Tìm ảnh
của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép tịnh tiến
theo vectơ
v
.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
20
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
§7. PHÉP VỊ TỰ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Cho một điểm O cố định và một số k không đổi,
k
0
≠
. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M’ sao cho
OM kOM
' =
đựơc gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Kí hiệu:
O k
V
( , )
. Như vậy
O k
V M M OM kOM
( , )
: ' '→ ⇔ =
Nhận xét
- Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
- Khi k > 0, M và M’ nằm cùng phìa đối với O.
- Khi k < 0, M và M’ nằm khác phía đối với O.
- Khi k = - 1, M và M’ đối xứng với nhau qua tâm O
nên
O
V
( , 1)
−
= Đ
O
- Khi k = 1, thì
M M
'
≡
nên phép vị tự là phép đồng nhất
-
O k
O
k
V M M V M M
( , ) 1
( , )
( ) ' ( ')
= ⇔ =
2. Các tính chất của phép vị tự
a. Định lí 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì:
M N kMN
' ' =
và
MN k MN
=
b. Phép vị tự tỉ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng
đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với
k
;
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho và tỉ số đồng dạng là
k
, biến góc
thành góc bằng nó;
- Biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính
k
.R.
3. Biểu thức toạ độ.
Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho phép vị tự
I k
V
( , )
với
(
)
I x y
0 0
,
Ta có:
I k
x kx k x
V M x y M x y IM kIM
y ky k y
0
( , )
0
' (1 )
: ( , ) '( ', ') '
' (1 )
= + −
→ ⇔ = ⇔
= + −
Khi
I O
≡
thì
x kx
y ky
'
'
=
=
B. BÀI TẬP
Bài 7.1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 4 = 0.
a) Hãy viết phương trình đường thẳng d
1
là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.
b) Hãy viết phương trình đường thẳng d
2
là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số
k
2
= −
HD
Giải
a) Lấy hai điểm A(0; 4) và B(2; 0) thuộc d. Gọi A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A và B qua phép vị tự
tâm O tỉ số k = 3. Khi đó A’(0; 12) và B’(6; 0). d
1
chính là đường thẳng qua hai điểm A’ và B’
nên có phương trình 2x + y – 12 = 0.
b) Vì d
2
// d: 2x + y – 4 = 0 nên d
2
: 2x + y + c = 0. Lấy điểm A(4; 0) thuộc d và gọi
( )
I
A V A
, 2
' ( )
−
=
.
Khi đó ta có
A d
2
'( 3; 2)
− − ∈
nên suy ra c = 8. Vậy d
2
: 2x + y + 8 = 0.
Bài 7.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho phép vị tự tâm I(1; 3), tỉ số
k
2
= −
. Tìm ảnh của các đường sau qua
phép vị tự
I k
V
( , )
a) Đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0
b) Đường tròn (C): (x – 2)
2
+ (y + 1)
2
= 3
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
21
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
c) Parabol (P): y = x
2
– 3x + 2
HD
Giải
I k
V M x y M x y
( , )
: ( , ) '( ', ')
→ có biểu thức toạ độ:
x
x
x x
y y y
y
' 3
' 2 3
2
' 2 9 ' 9
2
− +
=
= − +
⇒
= − + − +
=
(*)
a)
I k
V M x y d M x y d
( , )
: ( , ) '( ', ') '
∈ → ∈
. Thay (*) vào phương trình của d, ta có:2x’ + y’ – 13 = 0
Vậy phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua
I k
V
( , )
là: 2x + y – 13 = 0.
Cách khác: Lấy điểm
M d
(0,1)
∈
,
I k
V M d M d
( , )
: (0,1) '(3,7) '
∈ → ∈
Vì phép vị tự biến đường thẳng d thành d’ song song hoặc trùng với d nên d’: 2x + y + c = 0 và
M d
'
∈
n
ên ta có c – 13. Vậy d’: 2x + y – 13 = 0.
b
)
I k
V M x y C M x y C
( , )
: ( , ) ( ) '( ', ') ( ')
∈ → ∈ .
Thay (*) vào phương trình đường tròn (C) ta có: (x’ + 1)
2
+ (y’ – 11)
2
= 12
Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)
2
+ (y – 11)
2
= 12
Cách khác: Tâm và bán kính của (C): J(2, - 1), R
3
=
I k
V J x y C J x y C J R
( , )
: ( , ) ( ) '( ', ') ( ') '( 1,11), ' 2 3
∈ → ∈ ⇒ − =
Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)
2
+ (y – 11)
2
= 12
c)
I k
V M x y P M x y P
( , )
: ( , ) ( ) '( ', ') ( ')
∈ → ∈ . Thay (*) vào phương trình (P), ta có : y x
2
1 19
' ( ')
2 2
= − +
Vậy phương trình (P’): y x
2
1 19
2 2
= − +
Bài 7.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình
(
)
(
)
x y
2 2
3 1 9
− + + =
. Hãy viết
phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = - 2.
HD
Giải
Đường tròn (C) có tâm J(3; -1) và bán kính R = 3. Gọi
( )
I
J V J
, 2
' ( )
−
=
nên J’(-3; 8).
Do vậy đường tròn (C’) có tâm là J’ và bán kính
R
' 2 .3 6
= − =
.
Vậy (C’):
(
)
(
)
x y
2 2
3 8 36
+ + − =
Bài 7.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 10x – 8y + 14 = 0 và (C’): x
2
+ y
2
+ 2y
– 11 = 0. Xác định phép vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’).
HD
Giải
Phương trình đường tròn (C) có tâm và bán kính: I
1
(5, 4), R
1
3 3
= và đường tròn (C’): I
2
(0, - 1),
R
2
2 3
= .
Xét
I k
V M x y C M x y C
( , )
: ( , ) ( ) '( ', ') ( ')
∈ → ∈ có biểu thức toạ độ là
x kx k x
y ky k y
0
' (1 )
' (1 )
= + −
= + −
Trong đó I(x
0
, y
0
) là tâm vị tự. Ta có R k R k
2 1
2
3
= ⇒ = ±
• Khi k
2
3
=
thì ta có:
x x x
y y y
0
0
2 1
'
3 3
2 1
'
3 3
= +
= +
và
I k
V I C I C
( , ) 1 2
: (5;4) ( ) (0,1) ( ')
∈ → ∈
Nên ta có:
x y
0 0
10, 11
= − = −
. Vậy phép vị tự có I(-10, -11) và k
2
3
=
biến (C) thành (C’).
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
22
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
• Khi k
2
3
= −
thì ta có:
x x x
y y y
0
0
2 5
'
3 3
2 5
'
3 3
= − +
= +
−
và
I k
V
( , )
I k
V I C I C
( , ) 1 2
: (5;4) ( ) (0,1) ( ')
∈ → ∈
Nên ta có: x y
0 0
2, 1
= =
. Vậy phép vị tự
I k
V
( , )
có I(2, 1) và k
2
3
= −
biến (C) thành (C’).
Bài 7.5. Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x – 1)
2
+ (y – 3)
2
= 1 và
(C’): (x – 3)
2
+ (y – 4)
2
= 4.
Xác định phép vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’).
HD
Giải
Phép vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) là:
• Tâm vị tự I(-2, 3) và tỉ số vị tự k = 2
• Tâm vị tự I(2, 3) và tỉ số vị tự k = - 2
Bài 7.6.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC và AB. Chứng minh rằng có
một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác MNP.
HD
Giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó:
GM GA GN GB GP GC
1 1 1
, ,
2 2 2
= − = − = −
. Suy ra, phép vị tự
tâm G, tỉ số k
1
2
= −
biến tam giác ABC thành tam giác MNP.
P
A
G
N
B
C
M
B
ài 7.7. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự
tâm H, tỉ số k
1
2
=
.
HD
Giải
Ảnh của tam giác A, B, C qua phép vị tự
H
V
1
,
2
là
A’, B’ và C’ lần lượt là trung điểm các cạnh HA,
HB, HC. Vậy
(
)
H
V ABC A B C
1
,
2
: ' ' '
∆ → ∆
B
A
H
C
A'
C'
B'
Bài 7.8. Tam giác ABC có hai đỉnh B,C cố định còn A chạy trên đường tròn (O,R) cố định không có điểm
chung với đường thẳng BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC.
HD
Giải
Gọi I là trung điểm BC thì I cố định. Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
IG IA
1
3
=

.
Như vậy, phép vị tự tâm I tỉ số
1
3
biến điểm A thành điểm G
Từ đó, suy ra khi A chạy trên đường tròn (O,R) thì quỹ tích G là ảnh của đường
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
23
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
tròn đó qua phép vị tự V, tức là đường tròn (O’,R’) mà
IO IO
1
'
3
=
và
R R
1
'
3
=
O
A
C
B
I
G
O'
Bài 7.9. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh
rằng
GH GO
2= −
( như vậy khi ba điểm G, H, O không trùng nhau thì chúng cùng nằm trên một đường
thằng, được gọi là đường thẳng Ơ-le).
HD
Giải
Gọi A’, B’ và C’ lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Ta có
OA BC
'
⊥
mà BC // B’C’ nên
OA B C
' ' '
⊥
.
Tương tự, ta cũng có
OB A C
' ' '
⊥
. Vậy O là trực
tâm của tam giác A’B’C’.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
GA GA GB GB
2 ', 2 '
= − = −

và
GC GC
2 '
= −
. Bởi
vậy phép vị tự
( )
G
V A B C ABC
, 2
: ' ' '
−
∆ → ∆
Điểm O là trực tâm của tam giác A’B’C’ nên
( )
G
V O H GH GO
, 2
: 2
−
→ ⇒ = −
. Điểu này chứng
tỏ ba điểm G, H, O thẳng hàng.
B
C'
A'
C
H
B'
A
G
O
Bài 7. 10.
Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh AB. Qua M vẽ các đường thẳng song song với trung tuyến
AA
1
và BB
1
cắt BC, CA tại P và Q. Tìm quỹ tích các điểm S sao cho tứ giác MPSQ là hình bình hành.
HD
Giải
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của MQ, MP với
AA
1
và BB
1
, G là trọng tâm tam giác ABC. Khi
đó:
ME MQ ME BG
ME MQ
BG BB MQ BB
1 1
2 2
3 3
= ⇒ = = ⇒ =
Tương tự:
MF MP
2
3
=
Ta có :
MG ME EG MQ MP MS
2 2 2
3 3 3
= + = + =
.
Suy ra:
GS GM
1
2
= −
Do đó: S là ảnh của M qua phép vị tự tâm G, tỉ số
k
1
2
= −
Khi M thuộc cạnh AB thì S thuôc đoạn A
1
B
1
là
nảh của AB qua
G
V
1
,
2
−
Vậy quỹ tích S là đoạn thẳng A
1
B
1
.
B
A
C
B
1
A
1
P
Q
S
G
F
E
M
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
24
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 7.11.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0.
a) Hãy viết phương trình đường thẳng d
1
là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = - 3
b) Hãy viết phương trình đường thẳng d
2
là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k
1
2
= −
Bài 7.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình
(
)
(
)
x y
2 2
2 3 16
− + + =
. Hãy viết
phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = - 2.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
25
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
§8. PHÉP ĐỒNG DẠNG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M, N và ảnh M’, N’
tương ứng của chúng, ta luôn có M’N’ = k.MN
Nhận xét:
- Phép dời hình là phép đồng dnạg tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số
k
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng.
- Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là họp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình
D.
2. Tính chất
Phép đồng dạng tỉ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn
thẳng;
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho và , biến góc thành góc bằng nó;
- Biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k.R.
Đặt biệt: Phép đồng dạng có một điểm kép O duy nhất là tích giao hoán của một phép vị tự và một phép
quay có cùng tâm O. khi đó, kí hiệu:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
O k O O k O k O
Z Q V V Q
, , , , , ,
. .
ϕ ϕ ϕ
= =
, O được gọi là tâm đồng dạng.
3. Hình đồng dạng
Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia
4. Biểu thức toạ độ của phép đồng dạng
( )
I k
Z
, ,
ϕ
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, cho phép đồng dạng
( )
I k
Z
, ,
ϕ
và M(x; y)
Gọi
( )
I k
M x y Z M
, ,
'( '; ') ( )
ϕ
=
K
hi tâm I trùng với gốc toạ độ O, toạ độ điểm M’ là
(
)
( )
x k x y
y k x y
' cos sin
' sin cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= −
= +
Khi tâm
(
)
I x y
0 0
,
, toạ độ điểm M’ là
x x k x x y y
y y k x x y y
0 0 0
0 0 0
' ( )cos ( )sin
' ( )sin ( )cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− = − − −
− = − + −
B. BÀI TẬP
Bài 8.1. Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L, và J lần lượt là trung điểm cùa
AD, BC, KC, và IC. Chứng minh rằng:
a) Hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau.
b) Hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.
HD
Giải
a) Gọi M là trung điểm AB. Phép vị tự tâm
C, tỉ số 2 biến hình thang JLKI thành
hình thang IKBA. Phép đối xứng qua
đường thẳng IM biến hình thang IKBA
thành hình thang IHAB. Do đó phép
đồng dạng có được bằng cách thực hiện
l
iên tiếp hai phép biến hình trên biến
h
ình thang JLKI thành hình thang IHAB.
Từ đó suy hai hình thang JLKI và IHAB
đồng dạng với nhau.
b
) Tương tự: Phép đối xứng tâm I biến
hình thang IHDC thành hình thang
IKBA. Phép vị tự tâm C tỉ số
1
2
biến
hình thang IKBA thành hình thang
JLKI. Do đó hai hình thang JLKI và
I
HDC đồng dạng với nhau.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
26
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
M
C
D
I
K
J
L
H
Bài 8.2. Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép vị tự tâm B tỉ số
1
2
và phép đối xứng qua đường trung trực của BC.
HD
Giải
Gọi A’, C’ tương ứng là trung điểm của AB và
BC. Phép vị tự tâm B, tỉ số
1
2
biến tam giác ABC
thành tam giác A’BC’. Phép đối xứng qua đường
t
rung trực cạnh BC biến tam giác A’BC’ thành
tam giác A’’CC’. Vậy ảnh của tam giác ABC qua
phép đồng đó là tam giác A”CC’.
B
A'
A
C'
A''
C
d
Bài 8.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Viế phương trình
đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-
1, -1) tỉ số k
1
2
=
và phép quay tâm O góc -45
0
.
HD
Giải
Gọi d
1
là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(-1, -1) tỉ số k
1
2
=
. Vì d
1
song song hoặc trủng với d nên phương
trình của nó có dạng: x + y + c = 0
Lấy điểm M(1, 1) thuộc d,
I
V M M O d
1
1
,
2
: '
→ ≡ ∈
Vậy phương trình của d
1
: x + y = 0.
Ảnh của d
1
qua phép quay tâm O góc -45
0
là đường thẳng Oy.
Vậy phương trình của d’: x = 0
B
ài 8.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: x
2 2
= . Hãy viết phương trình
đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O
tỉ số k
1
2
=
và phép quay tâm O góc quay 45
0
.
HD
Giải
Gọi d
1
là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k
1
2
=
thì phương trình của d
1
: x
2
=
Gọi d’ là ảnh của d
1
qua phép quay tâm O góc quay 45
0
. Lấy
(
)
A
2,0
và
(
)
B
2, 2
− thuộc d
1
thì ảnh
của nó qua phép quay nói trên là A’(1,1) và B’(2,0) thuộc d’.
Vậy phương trình d’: x + y – 2 = 0.
Bài 8.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4. Hãy viết phương trình đường
tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
k = -2 và phép đối xứng trục Ox.
HD
Giải
Dễ thấy bán kính của (C’) là R’ = 4. Tâm I’ của (C’) là ảnh của tâm I(1,2) của (C) qua phép đồng dạng
nói trên.
( )
O
V I I
1
, 2
: (1,2) ( 2, 4)
−
→ − −
và Đ
Ox
: I I
1
( 2, 4) '( 2,4)
− − → −
Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 2)
2
+ (y – 4)
2
= 16
Bài 8.6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, cho
0
45
ϕ
= và k = 2.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
27
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
a) Viết biểu thức toạ độ của phép đồng dạng
( )
O k
Z
, ,
ϕ
b) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x – 3 = 0 qua phép đồng dạng
( )
O k
Z
, ,
ϕ
.
HD
Giải
a) Phép đồng dạng
( )
( )
O k
O
Z Z M x y M x y
0
, ,
,2,45
: ( ; ) '( '; ')
ϕ
= →
M’ có toạ độ là
(
)
( )
( )
( )
x x y
x x y
y x y
y x y
0 0
0 0
' 2 cos45 sin45
' 2
(*)
' 2 sin45 cos45
' 2
= −
= −
⇔
= +
= +
b)
( )
O
Z M x y C M x y C
0
,2,45
: ( ; ) ( ) '( '; ') ( ')
∈ → ∈ . Từ (*) ta có
( )
( )
2
4
2
4
x x y
y x y
′ ′
= +
′ ′
= −
thay vào phương trình
đường tròn (C), ta có được:
(
)
(
)
x y x y
2 2
' ' 2 2 ' 2 2 ' 12 0
+ − − − =
Vậy phương trình đường tròn (C’): x y x y
2 2
2 2 2 2 12 0
+ − − − =
Cách khác: Tâm và bán kính đường tròn (C) là I(1; 0), R = 2
Khi đó, ta có
( )
(
)
O
Z I C I x y C I
0
,2,45
: (1;0) ( ) '( '; ') ( ') ' 2; 2
∈ → ∈ ⇒ và R’ = 2R = 4
Vậy phương trình đường tròn (C’):
(
)
(
)
x y
2 2
2 2 16
− + − =
Bài 8.7. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán
kính 2. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng
cách thực họên liên tiếp phép quay tâm O, góc 45
0
và phép vị tự tâm O, tỉ số
2
.
HD
Giải
Phép đồng dạng
( )
( )
O k
O
Z Z I I x y
0
, ,
, 2,45
: (1;1) '( '; ')
ϕ
= →
I’ có toạ độ là
(
)
( )
x x y
x x y
I
y x y
y x y
0 0
0 0
' 2 cos45 sin45
'
'(0;2)
'
' 2 sin45 cos45
= −
= −
⇔
⇒
= +
= +
Vậy phương trình của đường tròn tâm I bán kính 2 là phương trình đường tròn tâm I’(0; 2) bán kính
2 2
. Phương trình đó là: x
2
+ (y – 2)
2
= 8.
Bài 8.8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y)
thành điểm M’(2x – 1; – 2y + 3). Chứng minh F là một phép đồng dạng.
HD
Giải
Lấy điểm N(x
1
; y
1
), thì điểm N’(2x
1
– 1; -2y
1
+ 3) = F(N). Ta có
M’N’
2
= (2x
1
– 2x)
2
+ (–2y
1
+ 2y)
2
= 4[(x
1
– 2)
2
+ (y
1
– y)
2
] = 4MN
2
Từ đó suy ra với hai điểm M, N tuỳ ý và M’, N’ lần lượt là ảnh của chúng qua F ta có M’N’ = 2MN.
Vậy F là một phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng là 2.
Bài 8.9. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. M là một điểm bất kì trên (O). Dựng hình vuông
AMNP có các đỉnh theo chiều dương. Tìm quỹ tích các điểm N.
HD
Giải
Ta có
AN AM
2= và góc (AM,AN) = 45
0
Phép quay
( )
A
Q M M
0
,45
: '
→ và phép vị tự
( )
A
V M N
, 2
: ' →
Suy ra:
( ) ( )
( )
A
A A
Z V Q M N
0
0
,45
, 2 ,45 , 2
:= →
Vậy M thuộc đường tròn (O), đường kính AB =
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
28
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
2R nên N thuộc đường tròn (O’) là ảnh của (O)
qua phép đồng dạng
( )
A
Z
0
, 2,45
có tâm O’ là trung
điểm của cung AB và bán kính
R R
' 2
=
O
O'
M'
M
B
A
N
P
Bài 8.10. Chứng tỏ rằng phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì trọng tâm, trực
tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC lần lượt thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác A’B’C’.
HD
Giải
- Gọi D là trung điểm của BC thì phép đồng dạng F biến điểm D thành điểm D’ của đoạn thẳng B’C’và
vì thế trung tuyến AD của tam giác ABC biến thành trung tuyến A’D’ của tam giác A’B’C’. Đối với
hai trung tuyến còn lại cũng thế. Vì trọng tâm tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến nên
trọng tâm G của tam giác ABC biến thành trọng tâm G’ của A’B’C’.
- Gọi Ah là đường cao của tam giác ABC
H BC
( )
∈
. Khi đó phép đồng dạng F biến đường thẳng AH
thành đường thẳng A’H’. Vì
AH BC
⊥
nên
A H B C
' ' ' '
⊥
. Nói cách khác A’H’ là đường cao của tam
giác A’B’C’. Đối với hai đường cao còn lại ta cũng làm như thế. Vì trực tâm là giao điểm của các
đường cao nên trực tâm của tam giác ABC thành trực tâm của tam giác A’B’C’.
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì OA = OB = OC nên nếu điểm O biến thành O’
thì O’A’ = O’B’ = O’C’ = kOA = kOB = kOC. Do đó O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
A’B’C’.
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
B
ài 8.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4. Hãy viết phương trình đường
tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
k = 2 và phép đối xứng trục Oy.
Bài 8.13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm I(1; -3) bán kính 2. Viết phương trình ảnh của
đường tròn tâm (I; 2) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiên liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3
và phép đối xứng qua trục Ox.
Bài 8.14. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam
giác HBA thành tam giác ABC.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
29
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ
AB
b) Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE
c) Qua phép quay tâm O góc 120
0
.
HD
Giải
a) Phép tịnh tiến theo vectơ
AB
biến tam
giác AOF thành tam giác BCO
b) Phép đối xứng qua đường thẳng BE biến
tam giác AOF thành tam giác DOC
c) Phép quay tâm O góc 120
0
biến tam giác
AOF thành tam giác COB.
F
E
D
C
B
A
O
Bài 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d: 3x + y + 1 = 0. Tìm ảnh của A
và d
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ v
(2;1)
b) Qua phép đối xứng trục Oy
c) Qua phép đối xứng qua gốc toạ độ
d) Qua phép quay tâm O góc 90
0
HD
Giải
Gọi A’, d’ lần lượt là ảnh của A và d qua các phép biến hình trên
a) A’(1; 3) và d’: 3x + y – 6 = 0
b) A’(1; 2) và d’: 3x – y – 1 = 0
c) A’(1; -2) và d’: 3x + y – 1 = 0
d) A’(-2; -1) và d’: x – 3y – 1 = 0.
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm I(3; -2) và bán kính R = 3
a) Viết phương trình của đường tròn đó.
b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v
( 2;1)
−
.
c) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép đối xứng trục Ox.
d) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép đối xứng gốc toạ độ.
HD
Giải
a) Phương trình đường tròn (C): (x – 3)
2
+ (y + 2)
2
= 9. Gọi (C’) ảnh của đường tròn qua các phép
biến hình trên.
b)
v
T C C
( ) ( ')
→
suy ra (C’): (x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= 9.
c) Đ
Ox
(C)
→
(C’), suy ra (C’): (x – 3)
2
+ (y – 2)
2
= 9.
d) Đ
O
(C)
→
(C’), suy ra (C’): (x + 3)
2
+ (y – 2 )
2
= 9.
Bài 4. Cho hình chữ nhậ ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó. Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện
liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B, tỉ số 2.
HD
Giải
Phép đối xứng qua đường thẳng IJ biến tam giác
AEO thành tam giác BFO. Phép vị tự tâm B tỉ số 2
biến tam giác BFO thành tam giác BCD. Vậy
p
hép đồng dạng trên biến tam giác AEO thành
t
am giác BCD.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
30
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
E
D
C
F
O
J
I
Bài 5. Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi
điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN.
a) Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định.
b) Tìm quỹ tích trọng G của tam giác ABM.
HD
Giải
a
) Vì
MN AB
=
không đổi, nên có thể xem N
là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo
vectơ
AB
. Do đó khi M chạy trên đường
tròn (O) thì N chạy trên đường tròn (O’) là
ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ
AB
.
b) Gọi I là trung điểm của AB và G là trọng
tâm của tam giác ABC thì
IG IM
1
3
=
Vậy V I
1
,
3
biến điểm M thành điểm G. Từ
đó suy ra quỹ tích điểm G là đường tròn ảnh
của (O; R) qua phép vị tự V I
1
,
3
.
M
N
A
B
I
O
O'
G
Bài 6. Cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d song song với đường thẳng AB. Điểm C chạy trên
đường thẳng d. Tìm tập hợp các trọng tâm của tam giác ABC.
HD
Giải
Gọi I là trung điểm của AB, khi đó I cố định và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng CI sao
cho
IG IC
1
3
=
. Do đó G là ảnh của C qua V I
1
,
3
Vậy khi C chạy trên đường thẳng d thì G chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép V I
1
,
3
A
B
I
C
G
d'
d
Bài 7. Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường tròn đó. Với mỗi điểm A thay đổi trên đường
tròn, dựng hình vuông ABCD có tâm I.
a) Tìm quỹ tích điểm C
b) Tìm quỹ tích mỗi điểm B và D
c) Khi điểm I trùng với O, có nhận xét gi về ba quỹ tích trên ?
HD
Giải
a) Phép đối xứng tâm Đ
I
biến điểm A thành
điểm C. Vậy quỹ tích điểm C là đường
tròn (O
1
) là ảnh của đường tròn (O) qua
phép đối xứng đó.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
31
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
b) Phép quay Q tâm I góc quay
2
π
biến điểm
A thành điểm B và phép quay Q’ tâm I góc
quay
2
π
−
biến điểm A thành điểm D. Suy
ra quỹ tích B và D lần lượt là đường tròn
(O
2
), (O
3
) là ảnh của đường tròn (O) qua
phép quay Q và Q’.
c) Khi I trùng với O thì O
1
, O
2
, O
3
cũng trùng
với O nên ba quỹ tích nói trên đều là
đường tròn (O).
D
C
B
A
I
O
O
2
O
3
O
1
Bài 8. Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB.
a) Xét bốn tam giác APN, PBM, NMC, MNP. Tìm một phép dời hình biến tam giác APN lần lượt thành
ba tam giác còn lại.
b) Phép vị tự nào biến tam giác ABC thành tam giác MNP ?
HD
Giải
a) Phép tịnh tiến theo
AP
T
biến tam giác APN
thành tam giác PBM.
Phép tịnh tiến theo
AN
T
biến tam giác APN
thành tam giác NMC.
Gọi J là trung điểm của PN. Phép đối xứng
tâm Đ
J
biến tam giác APN thành tam giác
MNP
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có
GM GA GN GB
1 1
,
2 2
= − = −
và
GP GC
1
2
= −
. Vậy phép vị tự tâm G, tỉ số k
=
1
2
−
biến tam giác ABC thành tam giác
MNP.
C
N
P
G
J
M
Bài 9. Cho đường (O; R) và điểm A cố định. Một dây cung BC thay đổi của (O; R) có độ dài không đổi
BC = m. Tìm quỹ tích điểm G sao cho GA GB GC
0
+ + =
.
HD
Giải
Gọi I là trung điểm của BC. ta có
GA GB GC
0
+ + =
khi và chỉ khi
AG AI
2
3
=
, tức
là phép vị tự tâm A tỉ số
2
3
biến điểm I thành
điểm G.
Trong tam giác OIB, ta có
m
OI OB IB R R
2
2 2 2
'
2
= − = − =
Nên quỹ tích điểm I là đường tròn (O; R’) hoặc là
O (nếu lấy m = 2R). Do đó quỹ tích điểm G là ảnh
của điểm I qua phép vị tự đó.
C
B
A
I
O
G
Bài 10. Cho đường thẳng d và điểm G không nằm trên d. Với hai điểm A, B thay đổi trên d, ta lấy điểm C
sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm C.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
32
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
HD
Giải
Gọi M là trung điểm của AB thì phép vị tự V tâm G tỉ số k = - 2 biến điểm M thành điểm C. Vì M di
chuyển trên d nên quỹ tích của C là ảnh của d qua phép vị tự V.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(1;1), B(0;3), C(2;4). Xác định ảnh của tam giác
ABC qua các phép biến hình sau:
a) Phép tịnh tiến theo vectơ u
(2;1)
=
b) Phép quay tâm O góc 90
0
c) Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = - 2 và phép tịnh
tiến theo vectơ v
(1;2)
=
.
d) .
Bài 12. Cho hình vuông ABCD, tâm O. Vẽ hình vuông AOBE.
a) Tìm ảnh của hình vuông AOBE qua phép quay tâm A, góc (AO,AD)
b) Tìm phép biến hình biến hình vuông AOBE thành hình vuông ADCB
Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy. Cho v
(2; 1)
= −
, đường thẳng (d): 2x -3y + 3 = 0 và (d
1
): 2x – 3y – 5 = 0.
a) Viết phương trình của đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua
v
T
.
b) Tìm toạ độ của vectơ
w
có giá vuông góc với đường thẳng (d) để (d
1
) là ảnh của (d) qua
w
T
.
Bài 14. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Lấy một điểm M trên đường tròn. Gọi M’ là ảnh của M qua
phép tâm O góc quay 30
0
và M” là ảnh của M’qua phép đối xứng qua đường thẳng OM. Chứng minh
rằng OM’M” là tam giác đều.
Bài 15. Cho hình vuông ABCD tâm O. M, N lần lượt là trung điểm của AB và AO. Tìm ảnh của tam giác
AMN qua phép quay tâm O góc quay 90
0
.
Bài 16. Trong mp Oxy cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d
qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1; -1) tỉ số k
1
2
=
và phép
quay tâm O góc -45
0
.
Bài 17. Trong mp Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)
2
+ (y + 2)
2
= 4. Hãy viết phương trình đường tròn
(C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 và phép
v
T
với
v
(2; 1)
= −
.
Bài 18. Trong mp Oxy, cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường
tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm
O góc 45
0
và phép vị tự tâm O tỉ số k
2
= .
Bài 19. Cho hình bình hành ABCD tâm O với B, D là 2 điểm cố định, điểm A di động trên đường thẳng
vuông góc với BC. Tìm quĩ tích điểm C.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
33
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các hình dưới đây, hình nào có vô số tâm đối xứng ?
A. Đường elip. B. Hình lục giác đều.
C. Hai đường thẳng song song. D. Hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 2: Cho hai đường thẳng song song
d
và
d
′
. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d thành
d
′
?
A. Vô số. B. Một. C. Không có. D. Hai.
Câu 3: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng d có phương trình
2 3 0.
x y
− − =
Viết phương trình
( )
C
′
là ảnh của đường tròn
2 2
( ): 10 4 27 0
C x y x y
+ − − + =
qua phép phép đối xứng trục d.
A.
(
)
(
)
2 2
1 4 2.
x y
+ + + =
B.
(
)
(
)
2 2
1 4 2.
x y
− + − =
C.
(
)
(
)
2 2
5 2 16.
x y− + − =
D.
(
)
(
)
2 2
2 3 4.
x y
− + − =
Câu 4: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho
(
)
2;1
v =
và điểm
(
)
4;5 .
M
Trong các điểm dưới đây, M là ảnh của
điểm nào dưới đây qua phép tịnh tiến theo vectơ
.
v
A.
(
)
4
3;3 .
M
B.
(
)
3
2;6 .
M
C.
(
)
1
2;4 .
M
D.
(
)
2
6;6 .
M
Câu 5: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
(
)
1;1
I
và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của
đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực họên liên tiếp phép
quay tâm O, góc 45
0
và phép vị tự tâm O, tỉ số
2.
A.
(
)
(
)
2 2
1 1 4.
x y
− + − =
B.
(
)
(
)
2 2
1 2 8.
x y
+ + − =
C.
(
)
2
2
2 8.
x y
− + =
D.
(
)
2
2
2 8.
x y
+ − =
Câu 6: Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng ?
A. Một. B. Vô số. C. Hai. D. Không có.
Câu 7: Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc
,0 2 ,
α α π
≤ ≤
biến hình chữ nhật trên thành chính nó ?
A
. Không có. B. Bốn. C. Hai. D. Ba.
Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho điểm
(
)
; .
M x y
Tìm tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục
Ox.
A.
(
)
; .
x y
−
B.
(
)
; .
y x
−
C.
(
)
; .
x y
−
D.
(
)
; .
y x
− −
Câu 9: Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng ?
A. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.
B. Hình lục giác đều.
C. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp.
D. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.
Câu 10: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.
B. Phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.
C. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó.
D. Phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó.
Câu 11: Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng ?
A. Vô số. B
. Không có. C. Một. D. Hai.
Câu 12: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
(
)
2;3 .
M
Trong các điểm dưới đây, M là ảnh của điểm nào
dưới đây qua phép đối xứng trục
.
Oy
A.
(
)
4
2;3 .
M −
B.
(
)
3
3; 2 .
M
−
C.
(
)
2
3;2 .
M
D.
(
)
4
2; 3 .
M
−
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
34
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Câu 13: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hai hình chữ nhật bất kì luôn đồng dạng. B. Hai đường tròn bất kì luôn đồng dạng.
C. Hai đường thẳng bất kì luôn đồng dạng. D. Hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng.
Câu 14: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
(
)
1;5
M
và đường thẳng d có phương trình
2 4 0.
x y
− + =
Tìm
tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục d.
A.
(
)
2;1 .
B.
(
)
1;3 .
C.
(
)
3;2 .
D.
(
)
3;1 .
Câu 15: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
: 2.
x
∆ =
Trong bốn đường thẳng cho bởi các phương
trình sau đường thẳng nào là ảnh của
∆
qua phép đối xứng tâm O ?
A.
2.
x
=
B.
2.
y
=
C.
2.
y
= −
D.
2.
x
= −
Câu 16: Hình vuông có mấy trục đối xứng ?
A. 2. B. 1. C. Vô số. D. 4.
Câu 17: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
(
)
2;4 .
M −
Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số
2
k
= −
biến điểm M
thành điểm nào trong các điểm dưới đây ?
A.
(
)
8;4 .
H −
B.
(
)
4; 8 .
I
−
C.
(
)
4;8 .
H
D.
(
)
4; 8 .
J
− −
Câu 18: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng d có phương trình
2 0.
x y
+ − =
Viế phương trình
đường thẳng
d
′
là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm
(
)
1; 1
I
− −
tỉ số k
1
2
=
và phép quay tâm O góc
0
45 .
A.
2 1 0.
x y
+ − =
B.
0.
y
=
C.
0.
x y
+ =
D.
0.
x
=
Câu 19: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho
(
)
1;2
v =
và điểm
(
)
2;5 .
M
Trong các điểm dưới đây, điểm nào là
ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ
.
v
A.
(
)
3
1;6 .
M
B.
(
)
2
4;7 .
M
C.
(
)
4
3;1 .
M
D.
(
)
1
3;7 .
M
Câu 20: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
(
)
2;3 .
M
Trong các điểm dưới đây, điểm nào là ảnh của điểm
M qua phép đối xứng qua đường thẳng
0.
x y
− =
A.
(
)
2; 3 .
P
−
B.
(
)
3; 2 .
Q
−
C.
(
)
2;3 .
K −
D.
(
)
3;2 .
N
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho điểm
(
)
; .
M x y
Tìm tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục
Oy.
A.
(
)
; .
y x
B.
(
)
; .
x y
− −
C.
(
)
; .
x y
−
D.
(
)
; .
y x
−
Câu 22: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Phép dời hình là một phép đồng dạng. B. Phép đồng dạng là một phép dời hình.
C. Phép vị tự là một phép đồng dạng. D. Có phép vị tự không phải là phép dời hình.
Câu 23: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
:3 2 1 0.
d x y
− − =
Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép
đối xứng tâm
.
O
A.
3
:3 2 1 0.
d x y
+ − =
B.
1
:3 2 1 0.
d x y
− + =
C.
4
:3 2 1 0.
d x y
+ + =
D.
2
:3 2 1 0.
d x y
− − =
Câu 24: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc
2 ,
k k
α π
≠
là một số nguyên ?
A. Một. B. Vô số. C. Không có. D. Hai.
Câu 25: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng d có phương trình
x
2 2
=
. Hãy viết phương trình
đường thẳng
d
′
là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O
tỉ số
k
1
2
=
và phép quay tâm O góc quay
0
45 .
A.
2 0.
x y
+ + =
B.
2 0.
y
− =
C.
2 0.
x y
+ − =
D.
2 3 0.
x y
+ − =
Câu 26: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
35
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
B. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm hai đường thẳng vuông góc.
C. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là đường tròn.
D. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm những đường tròn đồng tâm.
Câu 27: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
: 4 0.
x y
∆ − + =
Hỏi trong bốn đường thẳng cho bởi
các phương trình sau đường thẳng nào có thể biến thành
∆
qua một phép đối xứng tâm ?
A.
2 2 3 0.
x y
+ − =
B.
2 4 0.
x y
+ − =
C.
1 0.
x y
+ − =
D.
2 2 1 0.
x y
− + =
Câu 28: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
(
)
2;5 .
M
Trong các điểm dưới đây, điểm nào là ảnh của điểm
M qua phép đối xứng trục
.
Ox
A.
(
)
3
2;3 .
M −
B.
(
)
4
3; 2 .
M
−
C.
(
)
2
2; 3 .
M
−
D.
(
)
1
3;2 .
M
Câu 29: Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc
,0 2 ,
α α π
≤ ≤
biến tam giác
trên thành chính nó ?
A. Hai. B. Bốn. C
. Ba. D. Một.
Câu 30: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
(
)
(
)
2 2
( ): 1 2 4.
C x y
− + + =
Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số
2
k
= −
biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ?
A.
(
)
(
)
2 2
2 4 16.
x y+ + + =
B.
(
)
(
)
2 2
4 2 16.
x y− + − =
C.
(
)
(
)
2 2
2 4 16.
x y− + − =
D.
(
)
(
)
2 2
4 2 4.
x y
− + − =
Câu 31: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
: 2 0.
d x y
+ − =
Hỏi phép dời hình có được bằng cách
thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ
(
)
3;2
v =
biến d thành đường thẳng
nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A.
3 3 2 0.
x y
+ − =
B.
3 0.
x y
+ − =
C.
2 0.
x y
+ + =
D.
2 0.
x y
− + =
Câu 32: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
B. Phép tịnh tiến trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
C. Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
D. Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Câu 33: Phép dời hình nào dưới đâyvkhông có tính chất “Biến một đường thẳng thành đường thẳng song
s
ong hoặc trùng với nó ?
A. Phép tịnh tiến. B. Phép đối xứng trục. C. Phép đối xứng tâm. D. Phép vị tự.
Câu 34: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó ?
A. Vô số. B. Một. C. Hai. D. Không có.
Câu 35: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục.
B. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.
C. Thực hiện liên tiếp phép quay và phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.
D. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm và phép đối xứng qua trục sẽ được một phép đối xứng
qua tâm.
Câu 36: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
:2 3 0.
d x y
+ − =
Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số
2
k
=
biến d
thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A.
2 3 0.
x y
+ − =
B.
4 2 5 0.
x y
+ − =
C.
2 6 0.
x y
+ − =
D.
4 3 0.
x y
− − =
Câu 37: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
: 2 0.
d x y
+ − =
Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số
2
k
= −
biến d
thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A.
4 0.
x y
+ + =
B.
2 2 0.
x y
+ =
C.
4 0.
x y
+ − =
D.
4 0.
x y
+ − =
Câu 38: Cho hai đường thẳng cắt nhau
d
và
d
′
. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành
d
′
?
A. Một. B
. Hai. C. Vô số. D. Không có.
Câu 39: Cho lục giác đều
ABCDEF
tâm O, gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD có hình vẽ bên.
Tìm một phép dời hình biến tam giác
AIF
thành tam giác
.
CJB
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
36
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
J
I
F
E
D
C
B
A
O
A. Phép tịnh tiến theo vectơ
.
AC
B. Phép quay tâm B góc
0
120 .
C. Phép quay tâm O góc
0
120 .
D. Phép đối xứng qua trục BO.
Câu 40: Trong các phép biến hình sau, phép nào không phải là phép dời hình ?
A. Phép đối xứng trục. B
. Phép đồng nhất.
C. Phép vị tự tỉ số
1.
−
D. Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng.
Câu 41: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
(
)
(
)
2 2
( ) : 2 2 4.
C x y
− + − =
Hỏi phép đồng có được bằng
cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
1
2
k
=
và phép quay tâm O góc
0
90
biến (C) thành đường
tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ?
A.
(
)
(
)
2 2
1 1 1.
x y
− + − =
B.
(
)
(
)
2 2
2 2 4.
x y
− + − =
C.
(
)
(
)
2 2
2 1 4.
x y
+ + − =
D.
(
)
(
)
2 2
1 1 1.
x y
+ + − =
Câu 42: Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho
( 2;3)
v
= −
và đường thẳng d có phương trình
x y
3 5 3 0
− + =
.
Viết phương trình đường thẳng
d
′
là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ
v
.
A.
3 5 24 0.
x y
− + =
B.
3 5 16 0.
x y
− + =
C.
2 0.
x y
+ + =
D.
3 5 24 0.
x y
+ − =
Câu 43: Cho hình vuông
ABCD
tâm O. Xét phép quay Q có tâm quay O góc quay
ϕ
. Với giá trị nào
dưới đây của
ϕ
, phép quay Q biến hình vuông
ABCD
thành chính nó ?
A.
.
6
π
ϕ
= B.
.
3
π
ϕ
= C.
.
4
π
ϕ
= D.
.
2
π
ϕ
=
Câu 44: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
(
)
2;4 .
M
Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện
liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
1
2
k
=
và phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M thành điểm nào trong các
điểm dưới đây ?
A.
(
)
1;2 .
N
B.
(
)
1;2 .
M −
C.
(
)
2;4 .
P −
D.
(
)
1; 2 .
Q
−
Câu 45: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng d có phương trình
2 3 0.
x y
− − =
Viếi phương trình
đường thẳng
′
∆
là ảnh của
: 3 11 0
x y
∆ − + =
qua phép đối xứng trục d.
A.
3 7 0.
x y
− − =
B.
3 17 0.
x y
+ − =
C.
3 17 0.
x y
+ + =
D.
3 2 15 0.
x y
+ − =
Câu 46: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
(
)
1;1 .
M
Trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép
quay tâm O, góc
0
45
?
A.
(
)
1;0 .
Q
B.
(
)
0; 2 .
N
C.
(
)
1;1 .
K −
D.
(
)
2;0 .
P
Câu 47: Cho tam giác hình tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc
,0 2 ,
α α π
≤ ≤
biến hình
vuông trên thành chính nó ?
A. Bốn. B
. Hai. C. Ba. D. Một.
Câu 48: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Có một phép tịnh tiến biến mọi điểm thành chính nó.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
37
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
B. Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó.
C. Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó.
D. Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó.
Câu 49: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho các điểm
(
)
(
)
3;2 , 4;5
A B− −
và
(
)
1;3 .
C −
Gọi tam giác
A B C
′ ′ ′
là
ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc
0
90
và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác
.
A B C
′ ′ ′
A.
(
)
(
)
(
)
2; 3 , 5; 4 , 3; 1 .
A B C
′ ′ ′
− − −
B.
(
)
(
)
(
)
2; 3 , 4;5 , 1;3 .
A B C
′ ′ ′
− −
C.
(
)
(
)
(
)
2;3 , 5;4 , 3; 1 .
A B C
′ ′ ′
− −
D.
(
)
(
)
(
)
2;3 , 5;4 , 3;1 .
A B C
′ ′ ′
−
Câu 50: Trong các hình dưới đây, hình nào có bốn trục đối xứng ?
A. Hình vuông. B. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. D. Hình thoi.
Câu 51: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
: 2 0.
d x y
− =
Hỏi phép đồng có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
2
k
= −
và phép đối xứng qua trục Oy biến d thành đường thẳng nào
trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A.
2 2 0.
x y
+ − =
B.
2 0.
x y
− =
C.
4 0.
x y
− =
D.
2 0.
x y
+ =
Câu 52: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
(
)
1;1 .
M
Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ
(
)
2;3
v =
biến M thành điểm nào trong các điểm
dưới đây ?
A.
(
)
2;0 .
P
B.
(
)
4;4 .
H
C.
(
)
1;3 .
K
D.
(
)
0;2 .
Q
Câu 53: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
:3 2 1 0.
d x y
− + =
Tìm ảnh của đường thẳng d qua
phép đối xứng trục
.
Ox
A.
2
:3 2 1 0.
d x y
+ − =
B.
4
:3 2 1 0.
d x y
− − =
C.
3
: 3 2 1 0.
d x y
− + − =
D.
1
:3 2 1 0.
d x y
+ + =
Câu 54: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho
(
)
2; 1
v
= −
và điểm
(
)
3;2 .
M −
Trong các điểm dưới đây, điểm nào
là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ
.
v
A.
(
)
1
1;1 .
M −
B.
(
)
2
5;3 .
M
C.
(
)
3
1;1 .
M
D.
(
)
4
1; 1 .
M
−
C
âu 55: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
: 2 1 0.
d x y
− + =
Tìm tọa độ của vectơ
v
để phép tịnh
tiến theo
v
biến d thành chính nó.
A.
(
)
2;1 .
v =
B.
(
)
2; 1 .
v
= −
C.
(
)
1;2 .
v =
D.
(
)
1;2 .
v = −
Câu 56: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn (C):
(
)
(
)
2 2
1 2 4.
x y
− + − =
Hãy viết phương trình đường
tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
2
k
= −
và phép đối xứng trục Ox.
A.
(
)
(
)
2 2
1 2 16.
x y− + − =
B.
(
)
(
)
2 2
2 4 16.
x y− + + =
C.
(
)
(
)
2 2
2 4 16.
x y− + − =
D.
(
)
(
)
2 2
2 4 16.
x y+ + − =
Câu 57: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
(
)
1;2
I
và
(
)
2;3 .
M
Trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M
qua phép đối xứng tâm I ?
A.
(
)
5; 4 .
P
−
B.
(
)
1;3 .
J −
C.
(
)
1;5 .
H −
D.
(
)
2;1 .
K
Câu 58: Cho hình vuông
ABCD
tâm O. Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc
0
90 .
A.
.
CD
B.
.
AC
C.
.
BA
D.
.
AD
Câu 59: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vuông thành chính nó ?
A. Bốn. B
. Một. C. Hai. D. Vô số.
Câu 60: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng cho trước thành chính nó ?
A. Không có. B. Vô số. C. Chỉ có hai. D. Chỉ có một.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
38
Hình học 11 Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Câu 61: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình
x y x y
2 2
2 4 4 0
+ − + − =
. Tìm ảnh
của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
( 2;3).
v
= −
A.
2 2
( 1) ( 1) 9.
x y
− + + =
B.
2 2
( 1) ( 1) 9.
x y
+ + − =
C.
2 2
( 1) ( 1) 9.
x y
− + − =
D.
2 2
( 2) ( 1) 9.
x y
+ + − =
Câu 62: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
(
)
(
)
2 2
( ): 1 2 4.
C x y
− + + =
Hỏi phép dời hình có được
bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ
(
)
2;3
v =
biến (C)
thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ?
A.
(
)
(
)
2 2
2 3 4.
x y
− + − =
B.
(
)
(
)
2 2
2 6 4.
x y
− + − =
C.
(
)
(
)
2 2
1 1 4.
x y
− + − =
D.
2 2
4.
x y
+ =
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
39
Hình h
ọc 11
Chương I. PDH & PĐD trong m
ặt phẳng
ĐÁP ÁN
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A
B
C
D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A
B
C
D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A
B
C
D
61 62
A
B
C
D
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
40
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
CHƯƠNG II
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. Các tính chất thừa nhận
Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt .
Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3. Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng
đều thuộc mặt phẳng đó.
Lưu ý: Đường thẳng d nằm trong
mp
( )
α
ta kí hiệu:
d hay d
( ) ( )
α α
⊂ ⊃
Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
Như vậy: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua
điểm chung ấy và đường thẳng đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Tính chất 6. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
II. Cách xác định mặt phẳng.
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:
1. Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng
2. Nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó
3. Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau
Kí hiệu
- (ABC) biểu thị mặt phẳng xác định bởi ba điểm phân biệt không thẳng hàng A, B, C.
- (M, d) biểu thị mặt phẳng xác định bởi đường thẳng d và điểm M không nằm trên d.
- (d
1
, d
2
) biểu thị mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d
1
và d
2
.
III. Hình chóp và hình tứ diện
1. Hình chóp
Trong mặt phẳng
( )
α
cho đa giác lồi
n
A A A
1 2
...
. Điểm S nằm ngoài
( )
α
. Lần lượt nối S với các đỉnh
n
A A A
1 2
, ,...,
ta được n tam giác
n
SA A SA A SA A
1 2 2 3 1
, ,..., . Hình gồm có đa giác
n
A A A
1 2
...
và n tam giác
n
SA A SA A SA A
1 2 2 3 1
, ,..., được gọi là hình chóp , kí hiệu
n
S A A A
1 2
. ...
2. Hình tứ diện
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được
gọi là hình tứ diện , kí hiệu ABCD.
B. BÀI TẬP
Vấn đề 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp: Ta đi tìm hai điểm chung phân bệt của hai mặt phẳng đó. Giao tuyến của chúng là đường
thẳng đi qua hai điểm đó.
Nghĩa là:
M
N MN
M N
α β
α β α β
∩ =
∩ = ⇒ ∩ =
≡
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
41
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Bài 1.1. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C và D. Trên đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao
cho
AM AN
BM NC
1; 2
= =
. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với các mặt (ABD), (ACD), (ABC)
và (BCD) .
HD
Giải
DMN ADB
( ) ( ) ?
∩ =
.
Ta có
D DMN ADB
( ) ( )
∈ ∩
M DMN
M AB ABD M ABD
M DMN ABD
( )
( ) ( )
( ) ( )
∈
∈ ⊂ ⇒ ∈
⇒ ∈ ∩
Vậy :
DM DMN ABD
( ) ( )
= ∩
DMN ACD DN
( ) ( )
∩ =
DMN ABC MN
( ) ( )
∩ =
DMN BCD
( ) ( ) ?
∩ =
Trong mp(ABC) có
AM AN
BM NC
≠ , nên
MN BC E
∩ =
Tương tự:
DMN BCD DE
( ) ( )
∩ =
M
B
E
C
A
D
Hình 1.1
N
Bài 1.2. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD).
HD
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có
S SAC SBD
( ) ( )
∈ ∩
O AC SAC
O SAC SBD
O BD SBD
( )
( ) ( )
( )
∈ ⊂
⇒ ∈ ∩
∈ ⊂
nên
SO SAC SBD
( ) ( )
= ∩
Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là
đường thẳng SO
Hình 1.2
O
D
C
B
A
S
Bài 1.3. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳnh hình thang ABCD (AB // CD và AB > CD). Tìm giao
tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
HD
Giải
Gọi I là giao điểm AD và BC. Ta có S và I là hai
điểm chung của (SAD) và (SBC), nên
SI SAD SBC
( ) ( )
= ∩
Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là
đường thẳng SI.
Hình 1.3
I
D
C
B
A
S
Bài 1.4. Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD
và BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD)
b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt trên hai đường thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(IBC) và (DMN).
HD
Giải
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
42
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
a)
IBC KAD KI
( ) ( )
∩ =
.
Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) và
(KAD) là đường thẳng KI.
b) Trong mp (ABD), gọi
E MD BI
= ∩
,
trong mp(ACD) , gọi
F ND CI
= ∩
Ta có:
IBC DMN EF
( ) ( )
∩ =
Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) và
(DMN) là đường thẳng EF.
Hình 1.4
F
E
N
M
K
I
D
C
B
A
Vấn đề 2. Tìm giao điểm của đường thẳng
d
và mặt phẳng
( )
α
Phương pháp: Để tìm giao điểm của một đường thẳng
d
và một mặt phẳng
( )
α
, ta có thể đưa về việc tìm
giao điểm của đường thẳng
d
với một đường thẳng
d
/
nằm trong mặt phẳng
( )
α
Nghĩa là:
mp phuï d
d d I
d d I
/
/
( )
( ) ( ) ( )
β
β α α
⊃
∩ = ⇒ ∩ =
∩ =
Bài 1.5. Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD). Gọi K là trung điểm của đoạn AD
và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK với mặt phẳng (BCD).
HD
Giải
Gọi J là giao điểm của AG và BC. Trong mặt
phẳng (AJD), ta có
AG AK
AJ AD
2 1
;
3 2
= =
nên GK và
JD cắt nhau. Gọi L là giao điểm của GK và JD.
Ta có
L GK
∈
L JD
L BCD
JD BCD
( )
( )
∈
⇒ ∈
⊂
Vậy L là giao điểm của GK và (BCD)
L
G
I
K
D
C
B
A
Hình 1.5
Bài 1.6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD, trên AD lấy điểm P
không trùng với trung điểm AD.
a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và BD. Tìm giao tuyến của hai mp (PMN) và (BCD)
b) Tìm giao điểm của hai mp (PMN) và BC.
HD
Giải
a )
MNP BCD EN
( ) ( )
∩ =
b) Trong mp (BCD), gọi
Q EN BC
= ∩
Ta có :
BC MNP Q
( )
∩ =
Q
Hình 1.6
E
M
P
D
N
C
B
A
Bài 1.7. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD với
AI IB
1
2
= và
AJ JD
2
3
= . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mặt phẳng (BCD).
HD
Giải
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
43
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Do
AI IB
AJ JD
1
2
2
3
=
=
nên IJ kéo dài cắt BD, gọi giao điểm là K. Khi đó
K IJ BCD
( )
= ∩
Hình 1.7
I
J
K
D
C
B
A
Bài 1.8. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J lần lựơt là hai
điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD.
a) Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IJM) và (ACD)
b) Lấy điểm N thuộc miền trong tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mp
(MNJ) và (ABC).
HD
Giải
a) Trong mp(BCD) có IJ không song song với CD
nên:
K IJ CD
= ∩
M là điểm chung thứ nhất của (ACD) và (IJM)
K là điểm chung thứ hai của (ACD) và (IJM)
Vậy:
IJM ACD MK
( ) ( )
∩ =
b) Với
L JN AB
= ∩
,
L là giao điểm thứ nhất của hai mp(MNJ) và
(ABC)
Trong mp(ABD), gọi
P JL AD Q PM AC
,
= ∩ = ∩
Ta có Q là giao điểm thứ hai của hai mp(MNJ) và
(ABC)
Vậy:
MNJ ABC LQ
( ) ( )
∩ =
Hình 1.8
N
Q
J
I
M
D
C
K
B
L
P
A
Bài 1.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm
M thuôc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) (SBM) và (SCD) b) (ABM) và(SCD) c) (ABM) và (SAC)
HD
Giải
a) Ta có ngay:
SBM SCD SM
( ) ( )
∩ =
b) Ta có:
M ABM SCD
( ) ( )
∈ ∩
Trong mp (ABCD) gọi
I AB CD
= ∩
Suy ra :
MI ABM SCD
( ) ( )
= ∩
c) Ta có:
A ABM SAC
( ) ( )
∈ ∩
.
Trong mp (SCD), gọi
J IM SC
= ∩
Suy ra:
J ABM SAC
( ) ( )
∈ ∩
Vậy:
AJ ABM SAC
( ) ( )
= ∩
Hình
1.9
J
I
S
M
D
C
B
A
Bài 1.10. Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong
các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mp (ABC).
a) Hãy xác định L
b) Tìm giao tuyến của mp(IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.
HD
Giải
a) Trong mp (ACD), gọi
N DK AC
∈ ∩
Trong mp (BCD), gọi
M DJ BC
= ∩
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
44
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Ta có
MN DJK ABC MN ABC
( ) ( ) ( )
= ∩ ⇒ ⊂
Vì
L ABC JK
( )
= ∩
nên dễ thấy
L JK MN
= ∩
b) Ta có:
I ABC IJK
( ) ( )
∈ ∩
và
L JK MN
= ∩
Nên có
IM ABC IJK
( ) ( )
= ∩
Trong mp(ABC) và (ACD) gọi
E IL AC
= ∩
và
F EK CD
= ∩
Suy ra:
EF ACD IJK
( ) ( )
= ∩
Trong mp (BCA), nối FJ cắt BD tại P.
Suy ra:
PF BCD IJK
( ) ( )
= ∩
và
PI ABD IJK
( ) ( )
= ∩
Hình
1.10
E
J
P
N
K
L
D
F
C
M
B
I
A
Bài 1.11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác, M và N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh
SC và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
HD
Giải
Gọi
O AC BD
= ∩
.Trong mp(SAC), gọi
K SO AM
= ∩
Trong mp(ABCD), gọi
L BD AN
= ∩
Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.
Và ta có:
LK SBD AMN
( ) ( )
= ∩
Mà trong mp (SBD), có
LK SD P
∩ =
Vậy:
P SD AMN
( )
= ∩
Hình 1.11
O
M
K
A
B
N
C
D
P
S
Vấn đề 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp: Để chứng ba điểm thẳng hàng, ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng
riêng biệt.
Bài 1.12. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao cho cắt AB tại I, EF cắt
BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.
HD
Giải
Ta có:
I DE
I DEF
DE DEF
( )
( )
∈
⇒ ∈
⊂
Và
I AB
I ABC
AB ABC
( )
( )
∈
⇒ ∈
⊂
Suy ra:
J MNK BCD
( ) ( )
∈ ∩
Lí luận tương tự ta có:
J, K cũng là điểm chung của hai mặt
phẳng (DEF) và (ABC)
Vậy I, J, K thuộc về giao tuyến của hai
mặt phẳng (DEF) và (ABC) nên I, J, K thẳng
hàng.
Hình
1.12
E
F
D
K
J
I
C
B
A
S
Bài 1.13. Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần
lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
HD
Giải
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
45
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Ta có M, N, P lần lượt thuộc về hai mặt phẳng (Q) và (ABC), nên M, N, P thuộc về giao tuyến của hai mặt
phẳng (Q) và (ABC). Vậy M, N, P thẳng hàng.
Hình
1.13
Q
P
N
M
C
B
A
Bài 1.14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác. AC cắt BD tại O. Mặt phẳng
( )
α
cắt SA, SB,
SC và SD lần lượt tại A
1
, B
1
, C
1
và D
1
. Gọi I là giao điểm của A
1
C
1
và B
1
D
1
. Chứng minh ba điểm S, I, O
thẳng hàng.
HD
Giải
Ta có
I AC BD
= ∩
O AC SAC
O BD SBD
I A C SAC
S SAC
I B D SBD S SBD
1 1
1 1
( )
(1)
( )
( )
( )
(2); (3)
( ) ( )
∈ ⊂
∈ ⊂
∈ ⊂
∈
∈ ⊂ ∈
Từ đó suy. S, I, O là ba điểm chung của hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD). Nên S, I, O thuộc về giao
tuyến hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Vậy S, I, O thẳng hàng.
Hình 1.14
D
1
C
1
B
1
A
1
I
O
D
C
B
A
S
Bài 1.15. Cho hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
cắt nhau theo một giao tuyến d. Trong
( )
α
lấy hai điểm A và B
sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài
( )
α
và
( )
β
sao cho OA và OB cắt
( )
β
tại A’ và B’.
a) Chúng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng
b) Trong
( )
α
lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt
( )
β
tại C’, BC cắt B’C’ tại J,
CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng
HD
Giải
a) I, A’, B’ là ba điểm chung của hai
mặt phẳng (OAB) và
( )
β
nên chúng thẳng hàng
b) I, J, K là ba điểm chung của hai mặt phẳng
(ABC) và (A’B’C’) nên chúng thẳng hàng
I
Hình 1.15
A'
B'
B
A
K
C'
C
O
Bài 1.16. Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong
của tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp(SAC)
d) Tìm giao điểm P của SC và mp(ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM).
HD
Giải
a) Gọi
N SM CD
= ∩
. Ta có
N CD SBM
( )
= ∩
b) Gọi
O AC BN
= ∩
.Ta có:
SBM SAC SO
( ) ( )
∩ =
c) Gọi
I SO BM
= ∩
Ta có
I BM SAC
( )
= ∩
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
46
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
d) Gọi
R AB CD
= ∩
,
P MR SC
= ∩
Ta có
P SC ABM
( )
= ∩
PM SCD ABM
( ) ( )
⇒ = ∩
Hình
1.16
P
M
I
O
B
R
C
N
D
A
S
Bài 1.17. Cho hình chóp S.ABCD. M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD, G là trọng tâm của tam
giác SCD. Tìm giao điểm của:
a) MG và mp(ABCD)
b) BN và mp(SAG)
HD
Giải
a) Do M là trung điểm SA nên
SM
SA
1
(1)
2
=
Tronh mp(SCD), có
E SG CD
= ∩
G là trọng tâm tam giác SDC nên
SG
SE
2
(2)
3
=
Từ (1) và (2) suy ra:
SM SG
SA SE
≠ nên
F MG AE
= ∩
. Vậy ta có
F MG
F MG ABCD
F AE ABCD
( )
( )
∈
⇒ = ∩
∈ ⊂
b) Trong mp (ABCD) có
I AE BD
= ∩
và trong
mp(SBD) có
K BN SI
= ∩
Ta có
K BN
K BN SAG
K SI SAG
( )
( )
∈
⇒ = ∩
∈ ⊂
Hình 1.17
G
I
D
F
E
C
B
K
N
A
M
S
Bài 1.18. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp(SAC)
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM)
HD
Giải
a) Gọi N = SM∩CD, O = AC∩BN. Khi đó SO =
(SAC) ∩ (SBM).
b) Trong mp(SBM), đường thẳng BM cắt SO tại I.
Ta có I=BM∩(SAC).
c) Trong mp(SAC), đường thẳng AI cắt SC tại P.
Ta có P và M là hai điểm chung của mp(ABM) và
mp(SCD).
vậy (ABM) ∩ (SCD) = PM. Đường thẳng PM cắt
SD tại Q. thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mp(ABM) là tứ giác ABPQ.
O
I
P
Q
M
N
D
C
B
A
S
Hình 1.18
Bài 1.19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB//CD, AB > CD). Gọi
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
47
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC), (SAC) và (SBD)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mp(AIJ)
c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(AIJ)
HD
Giải
a) Gọi K là giao điểm của AD và BC, khi đó hai
mặt phẳng (SAD) và (SBC) có hai điểm ching
là S và K. Vậy:
SAD ABC SK
( ) ( )
∩ =
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vậy
SAC ABD SO
( ) ( )
∩ =
b) Gọi M là giao điểm của SK và IJ. Khi đó
SAD AIJ AM
( ) ( )
∩ =
. Gọi E là giao điểm của
AM và SD thì E chính là giao điểm của SD
với mp(AIJ).
c
) Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(AIJ)
là tứ giác AIJE.
Hình 1.19
E
M
J
I
O
B
C
K
D
A
S
Bài 1.20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi O là tâm của đáy; M, N lần lượt là trung
điểm của SA, SC. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, N và B.
a) Tìm giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SAB), (SBC)
b) Tìm giao điểm I của SO với mp(P) và giao điểm K của SD với mp(P)
c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt phẳng (SAD), (SDC)
d) Xác định giao điểm E, F của mặt phẳng (P) với các đường thẳng DA, DC và chứng tỏ rằng ba điểm E,
B, F thẳng hàng.
HD
Giải
a)
P SAB BM P SBC BN
( ) ( ) ;( ) ( )
∩ = ∩ =
b) Xét mp(SAC), gọi I là giao điểm của SO và
MN thì I là giao điểm của SO và mp(P). Gọi K là
giao điểm của đường thẳng BI với SD thì K là
giao điểm của SD và (P).
c
)
P SAD MK P SDC KN
( ) ( ) ;( ) ( )
∩ = ∩ =
d) Trong mp(SAD) gọi E là giao điểm của đường
thẳng MK với đường thẳng AD thì E là giao điểm
của (P) và AD.
Tương tự, giao điểm F của KN và DC là giao
điểm của (P) và DC
Rõ ràng, B, E, F là ba điểm chung của hai mặt
p
hẳng (P) và mp(ABCD) nên chúng thẳng
hàng.
Hình
1.20
K
I
O
A
A
D
C
F
E
N
M
S
Bài 1.21. Cho tứ diện đều có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K
là điểm đối xứng với D qua B.
a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJK)
b) Tính diện tích của thiết diện xác định được ở câ a)
HD
Giải
a) Nối I và J cắt AC tại N. Nối I và K cắt AB tại
M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm.
b) Dễ thấy M là trọng tâm của tam giác ADK, N
là trọng tâm của tam giác ADJ. Từ đó:
AN AC AM AB
2 2
;
3 3
= = . Suy ra
AM AN a
2
3
= =
và
MN CB
/ /
.
Do đó
MN CB a
2 2
3 3
= =
Xét tam giác AIM, ta có
IM AI AM AI AM
a a a a
a
2 2 2 0
2 2
2
2 . cos60
4 2 1 13
2. . .
4 9 2 3 2 36
= + −
= + − =
a
MI
13
6
⇒ = . Tương tự:
a
IN
13
6
=
Vậy theo công thức Hê-rông, ta có:
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
48
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
IMN
a a
S a a a a
13 2 2 2 13 2
. .
6 6 6 6 6 6
∆
= + −
a
2
6
= (đvdt)
Hình
1.21
B
M
K
J
C
N
D
I
A
Bài 1.22. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K theo thứ tự là hai điểm trong tam giác
ABC và BCD. Giả sử đường thẳng IK cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Hãy xácđịnh giao điểm J đó.
HD
Giải
Xét mp(BIK), gọi
M BI CA N BK CD
,
= ∩ = ∩
.
Khi đó
BIK ACD MN
( ) ( )
∩ =
và MN cắt IK tại
điểm J. Vậy J là giao điểm của IK và mp(ACD).
Hình
1.22
I
M
B
K
C
N
D
A
J
Bài 1.23. Cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng (P) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P).
Gọi M là điểm giữa S và A; N là điểm nằm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN).
HD
Giải
a) Trog mặt phẳng (SCA), gọi I là giao điểm của
CM và SO. Khi đó
I CM CMN
( )
∈ ⊂
Vậy
I SO CMN
( )
= ∩
b
) Trong mặt phẳng (SBD), gọi
E NI SD
= ∩
Khi đó, ta có
M CMN SAD
( ) ( )
∈ ∩
và
E NI CMN
E CMN SAD
E SD SAD
( )
( ) ( )
( )
∈ ⊂
⇒ ∈ ∩
∈ ⊂
Vậy
ME CMN SAD
( ) ( )
= ∩
E
I
N
M
O
D
C
B
A
S
Bài 1.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác. Lấy điểm M, N và P lần lượt
là các điểm trên các đoạn SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm của
các đoạn ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp.
HD
Giải
Ta lần lượt tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP)
với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.
Trong mp(SAB), gọi
I MN SB
= ∩
Ta có:
I MN
I MNP
MN MNP
( )
( )
∈
⇒ ∈
⊂
Vậy:
I SB MNP
( )
= ∩
Tương tự: Trong mp(SBC), gọi
J IP BC
= ∩
Trong mp(ABCD), gọi
E NP CD
= ∩
Trong mp(SCD), gọi
K EJ SD
= ∩
Suy ra:
J SC MNP
( )
= ∩
;
E CD MNP
( )
= ∩
;
K SD MNP
( )
= ∩
Hình
1.24
P
R
L
D
C
E
I
B
N
A
M
S
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
49
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Bài 1.25. Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng
( )
α
có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là
điểm nằm ngoài mặt phẳng
( )
α
và M là trung điểm đoạn BC.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.
HD
Giải
a) Gọi
E AB CD
= ∩
. Ta có
MAB SCD ME
( ) ( )
∩ =
Gọi
N ME SD
= ∩
. Khi đó N là giao điểm của
SD và mặt phẳng (MAB)
b) Gọi
I AM BN
= ∩
T
a có
I AM BN
AM SAC
I SO
BN SBD
SAC SBD SO
( )
( )
( ) ( )
= ∩
⊂
⇒ ∈
⊂
∩ =
Điều này chứng tỏ I, S, O cùng thuộc về hai
mặt phẳng (SAC) và (SBD). Hay SO, AM, BN
đồng quy
Hình
1.25
I
O
B
C
M
N
D
A
E
S
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.26. Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Trên ba cạnh AB, AC và AD lần lượt lấy các điểm
M, N và K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H, đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại
I, đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J. Chứng minh ba điểm H, I, J thẳng hàng.
Bài 1.27. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC nhưng
không trùng với A, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNP)
Bài 1.28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng
qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E. Gọi C' là một điểm nằm
trên cạnh SC.
a
) Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C'AE)
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C'AE)
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
50
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A. KIẾN THỪC CẦN NẮM
I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có hai khả trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b
TH1. Có một mặt phẳng chứa a và b
1. a và b cắt nhau tại M, kí hiệu
a b M
∩ =
2. a và b song song với nhau, kí hiệu a // b hoặc b //a
3. a và b trùng nhau, kí hiệu
a b
≡
TH2. Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau.
II. Các định lí và tính chất
1. Định lí 1. Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ
một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
2. Định lí 2. (về giao tuyến ba mặt phẳng)
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba
giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
3. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng
đó.
4. Định lí 3. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với
nhau.
5. Ba đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện của một tứ diện đồng quy tại trung điểm G của
mỗi đoạn. Điểm G đó gọi là trọng tâm của tứ diện.
6. Một mặt phẳng được xác định nếu nó đi qua hai đường thẳng song song.
B. BÀI TẬP
Vấn đề 1. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
Phương pháp: Nếu hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
có điểm chung là S và lần lượt chứa hai đường thẳng song
song d và d’ thì giao tuyến của
( )
α
và
( )
β
là đường thẳng
∆
qua S và song song với d và d’.
Nghĩa là:
S
d d S d d
d d
( ) ( )
( ), ' ( ) ( ) ( ) ( , / / / / ')
/ / '
α β
α β α β
∈ ∩
⊂ ⊂ ⇒ ∩ = ∆ ∈∆ ∆
Bài 2.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của
(SAD) và (SBC); (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD).
HD
Giải
a) Ta có:
S SAC
S SAC SBD
S SBD
( )
( ) ( )
( )
∈
⇒ ∈ ∩
∈
Gọi
O AC BD
= ∩
O SAC
O SAC SBD
O SBD
SO SAC SBD
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
∈
⇒ ∈ ∩
∈
⇒ = ∩
b) Ta có:
S SAB
S SAB SCD
S SCD
( )
( ) ( )
( )
∈
⇒ ∈ ∩
∈
Ta lại có:
AB SAB
CD SCD
AB CD
SAB SCD Sx AB CD
( )
( )
/ /
( ) ( ) / / / /
⊂
⊂
⇒ ∩ =
c) Lập luận tương tự câu b) ta có
SAD SBC Sy AD BC
( ) ( ) / / / /
∩ =
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
51
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Hình 2.1
O
D
C
B
A
y
x
S
Bài 2.2. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao
cho
AM AN
AB AC
= . Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (DBC) và (DMN).
HD
Giải
Ta có:
M AB
MN ABC
N AC
( )
∈
⇒ ⊂
∈
Trong tam giác ABC ta có:
AM AN
MN BC
AB AC
/ /
= ⇒
Ta lại có:
D DBC DMN
( ) ( )
∈ ∩
BC DBC
MN DMN
BC MN
DBC DMN Dx BC MN
( )
( )
/ /
( ) ( ) / / / /
⊂
⊂
⇒ ∩ =
Hình
2.2
x
D
C
N
B
M
A
Bài 2.3. Cho tứ diện ABCD. Cho I, J tương ứng là trung điểm của BC và AC, M là một điểm trên cạnh
AD sao cho không trùng với trung điểm của AD.
a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD)
b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng CD và JM. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và
(MIJ).
HD
Giải
a) Ta có:
M MIJ
M AD ABD
( )
( )
∈
∈ ⊂
M MIJ ABD
( ) ( )
⇒
∈ ∩
Ta cũng có
IJ AB
IJ MIJ
AB ABD
MIJ ABD Mt IJ AB
/ /
( )
( )
( ) ( ) / / / /
⊂
⊂
⇒
∩ =
b) Ta có
K ABK
K JM MIJ
( )
( )
∈
∈ ⊂
K MIJ ABK
( ) ( )
⇒
∈ ∩
và
IJ AB
IJ MIJ
AB ABK
MIJ ABK Kx IJ AB
/ /
( )
( )
( ) ( ) / / / /
⊂
⊂
⇒
∩ =
Hình
2.3
x
t
D
K
M
J
I
C
B
A
Bài 2.4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC và
BD. Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt
nhau tại trung điểm mỗi đoạn, trung điểm đó gọi là trọng tâm của tứ diện.
HD
Giải
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
52
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Trong tam giác ABC ta có: MP//AC và
AC
MP
2
=
Trong tam giác ACD ta có: QN//AC và
AC
QN
2
=
Từ đó suy ra:
MP QN
MP QN
/ /
=
=> Tứ giác MPNQ
là hình bình hành.
Do vậy hai đường chéo MN và PQ cắt nhau
tại trung điểm G của mỗi đường
Tương tự: PR//QS và
AB
PR QS
2
= =
Do đó tứ giác PRQS là hình bình hành
Suy ra hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm G của PQ và OR = OS
Vậy ba đoạn thẳng MN, PQ, RS cắt nhau tại
trung điểm mỗi đoạn và tại G.
Hình
2.4
G
N
P
M
Q
D
C
B
A
Bài 2.5. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD.
Chứng minh rằng : IJ // CD.
HD
Giải
Gọi K là trung điểm của AB
Vì I là trọng tâm của tam giác ABC nên
I KC
∈
và vì J là trọng tâm tam giác
ABD nên
I KD
∈
Từ đó suy ra:
KI KJ
KC KD
1
3
= =
IJ CD
/ /
⇒
Hình 2.5
I
J
N
D
C
M
B
K
A
Bài 2.6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho 2SM =
MA, trên đoạn SB lấy điểm N sao cho 2SN = NB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC)
b) Chứng minh rẳng: MN//CD
c) Điểm P nằm trên cạnh SC không trùng với S, C. Tìm giao tuyến hai mp (MNP) và (SCD)
HD
Giải
a) Ta có:
SAC SBD SO
( ) ( )
∩ =
Ta có:
S SAD
S SAD SBC
S SBC
( )
( ) ( )
( )
∈
⇒ ∈ ∩
∈
Mặt khác, ta có:
AD SAD
BC SBC
AD BC
( )
( )
/ /
⊂
⊂
SAD SBC Sx AD BC
( ) ( ) / / / /
⇒ ∩ =
b) Từ giả thiết ta có:
SM SN
MA NB
1
2
= =
MN AB
/ /
⇒
và ABCD là hình bình hành
Suy ra MN//AB//CD.
c)
P MNP P SCD
MN MNP
CD SCD
MN CD
MNP SCD Py MN CD
( ), ( )
( )
( )
/ /
( ) ( ) / / / /
∈ ∈
⊂
⊂
⇒ ∩ =
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
53
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
y
Hình
2.6
M
N
O
P
x
D
C
B
A
S
Bài 2.7. Cho Tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm
của đoạn MN.
a) Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD).
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. Chứng minh ba điểm B, M’,
A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N
c) Chứng minh GA = 3GA’.
HD
Giải
a) Gọi
A BN AG
'
= ∩
, ta có:
A AG BCD
' ( )
= ∩
b) Ta có:
AA ABN
MM ABN
MM AA
' ( )
' ( )
'/ / '
⊂
⇒ ⊂
Ta có B, M’, A’ là điểm chung của hai mặt phẳng
(ABN) và (BCD) nên B, M’ và A’ thẳng hàng.
Trong tam giác NMM’, ta có: G là trung điểm NM
và GA’//MM’ suy ra: A’ là trung điểm của NM’
Tương tự trong tam giác BAA’, ta có M là trung
điểm BA và MM’//AA’ suy ra: M’ là trung điểm
của BA’. Vậy BM’ = M’A’ = A’N
c)
GA MM
GA AA GA GA
MM AA
1
' '
1
2
' ' 3 '
4
1
' '
2
=
⇒ = ⇒ =
=
Hình
2.7
M
G
A'
M'
D
N
C
B
A
Vấn đề 2. Tìm thiết điện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng
Phương pháp: Ta tìm giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt bên của hình chóp. Đoạn nối giữa các
giao tuyến cho ta một hình. Hình đó là thiết diện cần tìm.
Bài 2.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Hãy xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SBC) và (SAD)
b) M là điểm thuộc cạnh SC, tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABM). Thiết diện là hình gì?
HD
Giải
a) i).
SAB SCD
( ) ( ) ?
∩ =
Ta có
S SAB SCD AB SAB
( ) ( ); ( );
∈ ∩ ⊂
CD SCD AB CD
( ), / /
⊂
Nên
SAB SCD Sx AB CD
( ) ( ) / / / /
∩ =
ii)
SBC SAD
( ) ( ) ?
∩ =
Ta có
S SBC SAD BC SBC AD SAD
( ) ( ); ( ); ( ),
∈ ∩ ⊂ ⊂
BC AD
/ /
. Nên
SBC SAD Sy BC AD
( ) ( ) / / / /
∩ =
b
) Ta có:
ABM ABCD AB
( ) ( ) ;
∩ =
ABM SBC BM
( ) ( )
∩ =
;
ABM SDC MN AB DC N SD
( ) ( ) / / / / ,
∩ = ∈
ABM SAD AN
( ) ( )
∩ =
. Vậy thiết diện cần
tìm là tứ giác ABMN
Rõ ràng: ABMN là hình thang vì MN //
AB.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
54
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Hình
2.8
y
x
M
N
D
C
B
A
S
Bài 2.9. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E là một điểm thuộc cạnh AD
khác với A và D
a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJE)
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành
c) Tìm điều kiện của tứ diện và vị trí điểm E trên cạnh AD để thiết diện là hình thoi
HD
Giải
a) Ta có IJ là đường trung bình trong tam giác BCD nên IJ //CD
Mặt khác
IJ IJE CD ACD
( ); ( )
⊂ ⊂
. Suy ra:
EIJ ACD Ex IJ CD
( ) ( ) / / / /
∩ =
. Gọi
F Ex AC
= ∩
Thiết diện là hình thang EFIJ
b) Để thiết diện EFIJ là hình bình hành điều kiện cần và đủ là IF // JE. Điều này tương với JE //AB, tức là
khi và chỉ khi E là trung điểm của AD.
c) Thiết diện EFIJ là hình thoi khi và chỉ khi EFIJ là hình bình hành và IF = IJ khi và chỉ khi E là trung
điểm của AD và AB = CD (vì
IJ CD
1
2
= và khi E là trung điểm của AD thì
IF AB
1
2
= )
Hình
2.9
F
I
J
E
D
C
B
A
Vấn đề 3. Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp:
1. Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng và dùng phương pháp chứng minh hai đường thẳng
song song trong hình học phẳng( như tính chất đường trung bình của tam giác, định lí Talét đảo, tính chất
song song của hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba, …)
2. Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
3. Dùng tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng ấy. Tức là:
a
b
c a b
a b
c
( )
( )
/ / / /
/ /
( ) ( )
α
β
α β
∈
∈
⇒
∩ =
4. Dùng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng:
a
a b c
b
a b
c
/ / / /
, ñoàng quy
α γ
β γ
α β
∩ =
∩ = ⇒
∩ =
Bài 2.10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam
giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB.
a) Chứng minh rằng: MN // BD
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
55
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
b) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(MNE)
c) H và L lần lượt là giao điểm của mp(MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng: LH // BD
HD
Giải
a) Gọi M’, N’ lầm lượt là trung điểm của AB và
AD. Dễ thấy:
MN M N
MN BD
M N BD
/ / ' '
/ /
' '/ /
⇒
b)Ta có:
MN MNE
BD ABCD
MN BD
( )
( )
/ /
⊂
⊂
MNE ABCD Ex MN BD
( ) ( ) / / / /
⇒ ∩ =
Vậy từ E kẻ đường thẳng song song với BD
lần lượt cắt CD, AB tại F và I. Nối IM lần
lượt cắt SB và SA tại H, K; nối KN cắt SD
tại L. Thiết diện cần tìm là ngũ giác
KLFEH
c)Ta có:
MN MNE
BD SBD
MN BD
MNE SBD LH
( )
( )
/ /
( ) ( )
⊂
⊂
∩ =
LH BD
/ /
⇒
Hình
2.10
E
N'
M'
K
H
N
M
A
B
I
C
F
D
L
S
Bài 2.11. Cho tứ diện ABCD. Có các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD; điểm R nằm trên
cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD.
HD
Giải
Gọi
I RQ BD
= ∩
, E là trung điểm của BR. Khi
đó EB = ER = RC và RQ // ED.
Tam giác BRI có ED // RQ, suy ra
BD BE
DI ER
1
= =
Vậy DB = DI. Do đó AD và IP là hai đường
trung tuyến của tam giác ABI. Suy ra giao
điểm S của AD và IP là trọng tâm của tam giác
ABI và ta có AS = 2DS
Hình
2.11
S
I
D
Q
C
R
E
B
P
A
Bài 2.12. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD và BC cắt nhau. Hãy tìm điểm M nằm trên cạnh SD và
điểm N trên cạnh SC sao cho AM // BN.
HD
Giải
Gọi
I AD BC
= ∩
. Khi đó
SI SAD SBC
( ) ( )
= ∩
Giả sử
M SD N SC
,
∈ ∈
sao cho AM // BN. Khi
đó hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cắt nhau theo
g
iao tuyến SI phải song song với AM và BN. Từ
đó suy ra cách xác định điểm M và N như sau:
Từ A trong mp(SAD) ta kẻ đường thẳng song
s
ong với SI, cắt SD tại M; từ B trong mp(SBC)
ta kẻ đường thẳng song song với SI, cắt SC tại
N
. Khi đó M, N là hai điểm cần tìm.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
56
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Hình
2.12
N
M
D
C
B
A
I
S
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi G
1
, G
2
, G
3
, G
4
lần lượt là trọng tâm của
bốn tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Chứng minh rằng G
1
G
2
G
3
G
4
là hình thoi.
Bài 2.14. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định
giao điểm S của mp(PQR) với AD nếu:
a) PR // AC b) PR cắt AC.
Bài 2.15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC, N là trung điểm của
OB (O là giao điểm của BD và AC)
a) Tìm giao điểm I của SO và mặt phẳng (AMN)
b) Tính tỉ số
SI
ID
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
57
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
§3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Giữa đường thẳng d và mặt phẳng
( )
α
ta có ba vị trí tương đối như sau:
1. d và
( )
α
cắt nhau tại M, kì hiệu
{
}
d M
( )
α
∩ =
2. d song song với
( )
α
, kí hiệu d //
( )
α
hoặc
( )
α
// d. Như vậy: Một đường thẳng và một mặt phẳng
gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
3. d nằm trong
( )
α
, kí hiệu
d
( )
α
⊂
II. Định lí và tính chất
1. Định lí 1. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng
( )
α
và d song song với đường thẳng d’
nằm trong
( )
α
thì d song song với
( )
α
; nghĩa là:
d
d d d
d
( )
/ / ' / /( )
' ( )
α
α
α
⊂
⇒
⊂
2. Định lí 2. Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng
( )
α
. Nếu mặt phẳng
( )
β
chứa d và cắt
( )
α
theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d; nghĩa là
d
d d d
d
/ /( )
( ) / / '
( ) ( ) '
α
β
β α
⊃ ⇒
∩ =
3. Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường
thẳng nào đó trong mặt phẳng.
4. Hệ quả2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó; nghĩa là
d
d d d
d
( )/ /
( )/ / / / '
( ) ( ) '
α
β
α β
⇒
∩ =
5. Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhấ
t một mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia.
B. BÀI TẬP
Vấn đề 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng
( )
α
ta chứng minh d không nằm
trong
( )
α
và song song với đường thẳng a chứa trong
( )
α
. Tức là
d
a d
d a
( )
( ) / /( )
/ /
α
α α
⊄
⊂ ⇒
Bài 3.1. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB =
2MC. Chứng minh rằng MG // (ACD).
HD
Giải
Gọi I trung điểm của AD.
Trong tam giác CBI ta có,
BM BG
BC BI
2
3
= =
Nên MG // CI
Mà CI nằm trong mặt phẳng (ACD)
S
uy ra MG // (ACD).
Hình
3.1
M
G
I
D
C
B
A
Bài 3.2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
58
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
a) Xét vị trí tương đối của đường thẳng MN và mp(BCD)
b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mp(ABC)
HD
Giải
a) MN là đường trung bình của tam giác
ABC nên MN // BC. Suy ra MN // (BCD)
b) Vì MN // (BCD) nên (DMN) đi qua MN
cắt (BCD) theo giao tuyến d // MN. Do đó
d // (ABC).
Hình
3.2
N
M
d
D
C
B
A
Bài 3.3. Cho tứ diện ABCD. Gọi G
1
và G
2
lần lượt là trọng tậm của các tam giác ACD và BCD. Chứng
minh rằng G
1
G
2
song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)
HD
Giải
Gọi I là trung điểm CD
Vì G
1
là trọng tâm của tam giác ACD nên
G AI
1
∈
Vì G
2
là trọng tâm của tam giác BCD nên
G BI
2
∈
Ta có:
IG
IG IG
IA
G G AB
IA IB
IG
IB
1
1 2
1 2
2
1
3
/ /
1
3
=
⇒ = ⇒
=
AB ABC G G ABC
1 2
( ) / /( )
⊂ ⇒
Và
AB ABD G G ABD
1 2
( ) / /( )
⊂ ⇒
Hình
3.3
G
2
G
1
I
D
C
B
A
Bài 3.4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là giao điểm
của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF.
a) Chứng minh rằng OO’ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng MN // (CEF).
HD
Giải
a) Ta có: OO’ // DF (đường trung bình của tam
giác BDF)
Mà
DF ADF OO ADF
( ) '/ /( )
⊂ ⇒
Tương tự OO’ // EC (đường trung bình của tam
giác AEC)
Mà
EC BCE OO BCE
( ) '/ /( )
⊂ ⇒
b) Gọi I là trung điểm của AB
Vì M là trọng tâm của tam giác ABD nên
M DI
∈
Vì N là trọng tâm của tam giác ABE nên
N EI
∈
Ta có:
IM
IM IN
ID
MN DE
ID IE
IN
IE
1
3
/ /
1
3
=
⇒ = ⇒
=
Mà
CD AB
CD AB
EF AB
EF AB
/ /
/ /
=
=
Nên CD // EF và CD = EF, suy ra tứ giác
CDEF là hbh.
Do vậy:
MN DE
MN CEF
DE CEF
/ /
/ /( )
( )
⇒
⊂
Hình
3.4
N
M
I
O
O'
F
E
D
C
B
A
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
59
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Bài 3.5. Cho tứ hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác
SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trên đoạn AD sao cho AD = 3AM.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. CMR: NG // (SCD)
c) Chứng minh rằng MG // (SCD).
HD
Giải
a) Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng
(SAD) và (ABC)
Ta có:
AD SAD
BC SBC
AD BC
SAD SBC Sx AD BC
( )
( )
/ /
( ) ( ) / / / /
⊂
⊂
⇒ ∩ =
b
) Ta có: MN // IA //CD
AM IN
AD IC
1
3
⇒ = =
; mà
IG
IS
1
3
=
( G là trọng tâm
của tam giác SAB)
Nên
IG IN
GN SC
IS IC
1
/ /
3
⇒ = = ⇒
Mà
SC SCD GN SCD
( ) / /( )
⊂ ⇒
c) Gọi
K IM CD SK SCD
( )
= ∩ ⇒ ⊂
Mà
MN IN IM
MN CD
CK IC IK
1 1
/ /
3 3
⇒ = = ⇒ =
.
Ta có:
IG
IS
GM SK
M
IK
GM SCD
1
3
/ /
I 1
3
/ /( )
=
⇒
=
⇒
N
M
K
D
CB
I
A
G
x
S
Bài 3.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O là giao
điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
a) Chứng minh rằng OG // (SBC)
c) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB)
d) Giả sử I nằm trên đoạn SC sao cho
SC SI
3
2
= . Chứng minh rằng SA // (BID).
HD
Giải
a) Gọi H là trung điểm của SC, ta có:
DG
DH
2
(1)
3
=
OD OA AD OD
BC AB OD OB
OB OC BC BD
2
/ / 2 2 (2)
3
⇒ = = = ⇒ = ⇒ =
Từ (1) và (2)
DG OD
OG BH
DH BD
2
(1) / /
3
⇒ = = ⇒ . Mà
BH SBC OG SBC
( ) / /( )
⊂ ⇒
b) Gọi M’ là trung điểm của SA
MM AD
MM AD
'/ /
1
'
2
⇒
=
.
Mặt khác vì BC // AD và
BC AD
1
2
= (gt) và BC = MM’. Nên tứ giác BCMM’ là hình bình hành
Suy ra CM //BM’, mà
BM SAB CM SAB
' ( ) / /( )
⊂ ⇒
c) Ta có:
OC
OA
1
2
=
nên
OC
CA
1
3
=
.
Mặt khác vì
SC SI
3
2
= nên
CI
CS
1
3
=
CI OC
OI SA
CS CA
/ /
⇒ = ⇒ và
OI BID SA BID
( ) / /( )
⊂ ⇒
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
60
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Hình
3.6
H
I
G
O
C
B
D
A
M
M'
S
Bài 3.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB và CD.
a) Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB và SC đều song song với mp (MNP)
HD
Giải
a)Chứng minh MN //(SBC):
Ta có:
MN BC
MN SBC
BC SBC
/ /
/ /( )
( )
⇒
⊂
Chứng minh MN // (SAD):
Ta có:
MN AD
MN SAD
AD SAD
/ /
/ /( )
( )
⇒
⊂
b) Chứng minh SB // (MNP):
Ta có:
SB MP
SB MNP
MP MNP
/ /
/ /( )
( )
⇒
⊂
Chứng minh S // (MNP):
Gọi
Q AC MN
= ∩
. Khi đó Q là trung điểm
của AC.
Do đó: SC // PQ (T/c đường trung bình trong
tam giác SAC)
mà
PQ MNP
( )
⊂
. Vậy SC // (MNP)
Hình 3.7
N
Q
M
P
A
D
C
B
S
Bài 3.8. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và BCD.
a) Chứng minh rằng: MN // (ACD) và MN // (ABC)
b) Xác định giao tuyến của (DMN) và (ABC). Chứng minh giao tuyến này song song với MN. Tính
MN
IJ
HD
Giải
a) Gọi K là trung điểm của BD. Vì M, N là trọng
tâm của các tam giác ABD và BCD nên A, M, K
thẳng hàng và C, N, K thẳng hàng, tức là AM cắt
CN tại K
Ta có:
KM KN
KA KC
1 1
;
3 3
= =
KM KN
KA KC
⇒ =
MN AC
/ /
⇒
Tứ đó:
MN AC
MN ACD
AC ACD
/ /
/ /( )
( )
⇒
⊂
và
MN AC
MN ABC
AC ABC
/ /
/ /( )
( )
⇒
⊂
b) Trong mp (ABD): DM cắt AB tại I; trong
m
p(BCD): DN cắt BC tại J. Khi đó I, J là hai
điểm chung của hai (DMN) và (ABC). Suy ra
DMN ABC IJ
( ) ( )
∩ =
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
61
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
I, J lấn lượt là trung điểm của AB và BC nên IJ
là đường trung bình trong tam giác ABC
IJ AC IJ AC
1
/ / ;
2
⇒ = . Mà MN // AC (câu a)
nên MN // IJ.
Ta có
IJ AC
1
2
= ;
KM MN
MN AC
KA AC
1 1
3 3
= = ⇒ = . Từ đó
MN
IJ
2
3
=
Hình 3.8
N
J
K
M
I
D
C
B
A
Vấn đề 2. Dựng thiết diện song song với một đường thẳng
Phương pháp: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng
( )
α
. Nếu mặt phẳng
( )
β
chứa d và cắt
( )
α
theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d . Nghĩa là:
d
d d d
d
/ /( )
( ) / / '
( ) ( ) '
α
β
β α
⊃ ⇒
∩ =
Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước được
xác định bằng cách phối hợp hai cách xác định giao tuyến đã biết.
Bài 3.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là
trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng
( )
α
với hình chóp S.ABCD nếu
( )
α
qua M và đồng
thời song song với SC và AD.
HD
Giải
Vì
( )
α
song song với AD nên
( )
α
cắt hai mặt
phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song
song với AD.
Tương tự
( )
α
song song với SC nên
( )
α
cắt hai
mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo hai giao tuyến
song song với SC.
Gọi
O AC BD
= ∩
, ta có SC//OM( đường trung
bình trong tam giác SAC)
Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB
và CD tại Q và P. Qua M, kẻ đường thẳng song
song với AD cắt SD tại N.
Theo nhận xét trên, ta có MN // PQ // SC
Vậy thiết diện là hình thang MNPQ
A
Hình 3.9
P
N
D
C
O
Q
B
M
S
Bài 3.10. Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy điểm M. Cho
( )
α
là mặt phẳng qua M, song song với hai
đường thẳng AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của
( )
α
với các mặt của tứ diện
b) Thiết diên của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
( )
α
là hình gì?
HD
Giải
a) Giao tuyến của
( )
α
với các mặt của tứ
diện là các cạnh của tứ giác MNPQ có:
MN // PQ //AC và MQ // NP // BD
b) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
( )
α
với tứ
diện là hình bình hành MNPQ
Hình 3.10
Q
P
N
M
C
D
B
A
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
62
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Bài 3.11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
( )
α
đi qua O, song song với AB và
SC. Thiết diện đó là hình gì?
HD
Giải
Ta có:
AB
AB ABCD MN AB
ABCD MN
( )/ /
( ) / /
( ) ( )
α
α
⊂ ⇒
∩ =
SC
SC SBC MQ SC
SBC MQ
( )/ /
( ) / /
( ) ( )
α
α
⊂ ⇒
∩ =
AB
SC SAB PQ AB
SAB PQ
( )/ /
( ) / /
( ) ( )
α
α
⊂ ⇒
∩ =
Vậy MN // PQ. Do đó tứ giác MNPQ là hình
thang
Hình
3.11
O
N
M
Q
P
D
C
B
A
S
Bài 3.12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.
HD
Giải
Qua M vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD
tại N và cắt AC tại I. Qua M, I, N vẽ các đường
thẳng song song với SA lần lượt cắt SB, SC, SD
tại R, Q, P.
Thiết diện là ngũ giác MNPQR.
Hình
3.12
P
Q
R
I
N
M
D C
B
A
S
Bài 3.13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm di động trên đoạn AB.
Một mặt phẳng
( )
α
đi qua M và song song với SA và BC;
( )
α
cắt SB, SC và CD tại N, P, Q
a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
b) Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định.
HD
Giải
a) Vì
M SAB
( )
∈
và
AB
SA SAB
( )/ /
( )
α
⊂
nên
SAB MN
( ) ( )
α
∩ =
và MN // AB.
Tương tự
SBC NP
( ) ( )
α
∩ =
và NP // BC;
SCD PQ
( ) ( )
α
∩ =
;
ABCD MQ
( ) ( )
α
∩ =
và MQ
// BC. Từ đó suy ra, tứ giác ABCD là hình thang.
b) Ta có
S SAB SCD
AB SAB CD SCD
AB CD
( ) ( )
( ), ( )
/ /
∈ ∩
⊂ ⊂
SAB SCD Sx
( ) ( )
⇒ ∩ =
và Sx // AB // CD
MN PQ I
∩ =
I MN SAB
I PQ SCD
( )
( )
∈ ⊂
⇒
∈ ⊂
I SAB SCD I Sx
( ) ( )
⇒ ∈ ∩ ⇒ ∈
(
SAB) và (SCD) cố định nên Sx cố định.
D
ó đó I thuộc đường thẳng Sx cố định.
M
Hình 3.13
x
P
N
A
D
Q
C
B
I
S
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
63
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 3.14. Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng được một mặt phẳng
( )
α
song song với
AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, N và Q.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di
động trên đoạn thẳng AC.
Bài 3.15. Cho tứ diện ABCD. Trọng tâm G của tam giác ABD, điểm I nằm trên cạnh BC sao cho BI =
2IC. Chứng minh rằng IG song song với mặt phẳng (ACD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, Gọi M là trung điểm của cạnh SC; (P) là mặt phẳng
qua M và song song với BD.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P)
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SB và SD. Hãy tìm tỉ số diện tích của tam giác
SME với tam giác SBC và tỉ số diện tích của tam giác SMF với tam giác SCD.
c
) Gọi K là giao điểm của ME với CB, J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm K,
A, J nằm trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số
EF
KJ
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
64
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
§4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
A. KIẾN THỨC CẤN NẮM
I. Định nghĩa: Hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm
chung. Kí hiệu:
( )/ /( )
α β
hoặc
( )/ /( )
β α
. Như vậy ( )/ /( ) ( ) ( )
α β α β
⇔ ∩ = Ο
II. Tính chất.
1. Định lí 1. Nếu mặt phẳng
( )
α
chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song với mặt phẳng
( )
β
thì
( )
α
song song với
( )
β
; nghĩa là
a b
a b M
a b
( ), ( )
( )/ /( )
/ /( ), / /( )
α α
α β
β β
⊂ ⊂
∩ = ⇒
Hệ quả: Nếu mặt phẳng
( )
α
chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b, mặt phẳng
( )
β
chứa hai đường thẳng
cắt nhau a' và b' đồng thời a // a', b // b' thì mặt phẳng
( )
α
song song với mặt phẳng
( )
β
.
2. Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song
với mặt phẳng đã cho.
a) Hệ quả 1. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng
( )
α
thì trong
( )
α
có một đường thẳng song
song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng
( )
β
song song với
( )
α
.
b) Hệ quả 2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
c) Hệ quả 3. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng
( )
α
. Mọi đường thẳng đi qua A và song song với
( )
α
đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với
( )
α
.
3. Định lí 3. Cho hai mặt phẳng song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia
và hai giao tuyến song song với nhau.
Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
4. Định lí 4(Định lí Ta-lét). Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ.
C'
C
B'
B
A'
A
R
Q
P
AB AC BC
A B A C B C
' ' ' ' ' '
= =
5. Định lí Ta-lét đảo.
Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau lần lượt lấy các điểm A, B, C và A’, B’, C’ sao
cho
AB BC CA
= =
A'B' B'C' C'A'
Khi đó AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một
mặt phẳng.
III. Hình lăng trụ và hình chóp cụt
1. Hình lăng trụ
Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song (gọi là hai đáy) và tất cả
các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau (gọi là cạnh bên)
- Hai đáy của hình lăng trụ là các đa giác bằng nhau
- Các mặt khác hai đáy gọi là mặt bên: Mỗi mặt bên là
một hình bình hành
- Các mặt tạo bởi hai cạnh bên không liên tiếp gọi là mặt chéo: Mỗi mặt chéo là một hình bình hành
- Đường chéo của các mặt chéo là đường chéo của hình lăng trụ
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
65
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
- Tùy theo đáy, ta gọi hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ lục giác, . . .
Lăng trụ ngũ giác
Lăng trụ tứ giác
Lăng trụ tam giác
2. Hình hộp
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
- 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình bình hành
- Các đường chéo của hình bình hành đồng qui tại một đ
iểm là trung điểm của mỗi đường chéo
(điểm đó gọi là tâm của hình hộp)
- Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật
- Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương
D'
O
A'
B'
C'
D
C
BA
3. Hình chóp cụt
Cho hình chóp S.A
1
A
2
...A
n
. Một mặt phẳng
không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy
của hình chóp cắt các cạnh SA
1
, SA
2
, . . ., SA
n
lần lượt tại
n
A A A
' ' '
1 2
, ,...,
. Hình toạ bởi thiết
diện
n
A A A
' ' '
1 2
...
và đáy
n
A A A
1 2
...
của hình chóp
cùng các từ giác
n n
A A A A A A A A A A A A
' ' ' ' ' '
1 2 2 1 2 3 3 2 1 1
, ,..., được gọi là
hình chóp cụt, kí hiệu
n n
A A A A A A
' ' '
1 2 1 2
... . ..
Hình chóp cụt có:
- Hai đáy là hai da giác có cạnh tương ứng
song dong và tỉ số các cạnh tương ứng
bằng nhau
- Các mặt bên là những hình thang
- Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng
qui tại một điểm.
A'
4
A'
3
A'
5
A'
2
A'
1
A
5
A
4
A
3
A
2
A
1
S
P
B. BÀI TẬP
Vấn đề 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp:
1. Vận dụng định lí 1: Nếu mặt phẳng
( )
α
chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song với mặt
phẳng
( )
β
thì
( )
α
song song với
( )
β
:
a b
a
b M
a b
( ), ( )
( )/ /( )
/ /( ), / /( )
α α
α β
β β
⊂ ⊂
∩ = ⇒
2. Ta chứng minh hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
cùng song song với mặt phẳng thứ ba
( )
γ
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
66
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Bài 4.1. Cho từ diện ABCD. Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD.
Chứng minh mặt phẳng (G
1
G
2
G
3
) song song với mặt phẳng (BCD).
HD
Giải
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD,
DB. Ta có:
M AG
1
∈ và
AG
AM
1
2
3
=
N AG
2
∈ và
AG
AN
2
2
3
=
P AG
3
∈ và
AG
AP
3
2
3
=
Do đó
AG AG
G G MN
AM AN
1 2
1 2
/ /= ⇒
Vì MN nằm trong (BCD) nên
G G BCD
1 2
/ /( )
Tương tự
AG
AG
G G MP
AM AP
3
1
1 3
/ /= ⇒
Vì MP nằm trong (BCD) nên
G G BCD
1 3
/ /( )
.
Như vậy
G G G G G
G
G G G G
G G G G G G G G BCD
G G BCD
G G BCD
1 2 1 2 3
1 3 1 2 3
1 2 1 3 1 1 2 3
1 2
1 3
( )
( )
( )/ /( )
/ /( )
/ /( )
⊂
⊂
∩ = ⇒
Hình 4.1
G
3
G
2
G
1
P
N
M
D
C
B
A
Bài 4.2. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC
và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N
lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh:
a) (ADF) // (BCE)
b) M’N’ // DF
c) (DEF) // (MM’N’N) và MN // (DEF).
HD
Giải
a) Ta có:
AD BC
AD BCE
BC BCE
/ /
/ /( )
( )
⇒
⊂
AF BE
AF BCE
BE BCE
/ /
/ /( )
( )
⇒
⊂
mà
AD AF ADF
, ( )
⊂
Nên (ADF) // (BCE)
b) Vì ABCD và ABEF là các hình vuông nên AC
= BF.
Ta có:
AM AM
MM CD
AD AC
'
'/ / (1)
⇒ =
AN BN
NN AB
AF BF
'
'/ / (2)
⇒ =
Từ (1) và (2):
AM AN
M N DF
AD AF
' '
' '/ /
= ⇒
c) Từ chứng minh trên suy ra: DF // (MM’N’N)
NN AB NN EF
NN MM N N
EF MM N N
'/ / '/ /
' ( ' ' )
/ /( ' ' )
⇒
⊂
⇒
Mà DF, EF chứa trong (MM’N’N)
Nên (DEF) // (MM’N’N)
Vì MN chứa trong (MM’N’N) và
(DEF)//(MM’N’N)
Nên MN // (DEF)
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
67
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Hình
4.2
N'
M'
M
N
E
F
D
C
B
A
Bài 4.3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’.
a) Chứng minh rẳng: CB’ // (AHC’)
b) Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (ABC).
HD
Giải
a) Ta có tứ giác AA’C’C là hình bình hành
suy ra A’C cắt AC’ tại trung điểm I của
mỗi đường.
do đó IH // CB’(đường trung bình của tam
giác CB’A’)
Mà IH chứa trong (AHC’) nên CB’ //
(AHC’)
b) Ta có
A AB C
A ABC
( ' ')
( )
∈
∈
A AB C ABC
( ' ') ( )
⇒ ∈ ∩
Mà
B C BC
B C AB C
BC ABC
' '/ /
' ' ( ' ')
( )
⊂
⊂
Nên
AB C ABC Ax BC B C
( ' ') ( ) / / / / ' '
∩ =
Hình
4.3
x
I
H
A'
B'
C'
C
B
A
Bài 4.4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên AA’, BB’, CC’. Gọi I, I’ tương ứng là
trung điểm của hai cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh rằng: AI // A’I’
b) Tìm giao điểm của IA’ với mặt phẳng (AB’C’)
c) Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (A'BC).
HD
Giải
a) Ta có: II’ // BB’ và II’ = BB’
Mặt khác AA’ // BB’ và AA’ = BB’
nên AA’ // II’ và AA’ = II’
Suy ra AA’I’I là hình bình hành
Suy ra AI // A’I’
b) Ta có :
A AB C
A AA I I
( ' ')
( ' ' )
∈
∈
A AB C AA I I
( ' ') ( ' ' )
⇒ ∈ ∩
Tương tự :
I B C AB C
I AA I I
' ' ' ( ' ')
' ( ' ' )
∈ ⊂
∈
I AB C AA I I
' ( ' ') ( ' ' )
⇒ ∈ ∩
AI AB C AA I I
' ( ' ') ( ' ' )
⇒ = ∩
Khi đó
AI A I E
' '
∩ =
. Ta có
E IA
E AB C
E AI
'
( ' ')
'
∈
⇒ ∈
∈
Vậy E là giao điểm của A’I và (AB’C’)
c) Ta có:
M AB C
A B AB M
M ABC
( ' ')
' '
( ')
∈
∩ = ⇒
∈
Tương tự:
N AB C
AC A C N
N ABC
( ' ')
' '
( ')
∈
∩ = ⇒
∈
Vậy:
AB C A BC MN
( ' ') ( ' )
∩ =
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
68
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Hình
4.4
E
N
M
A'
B'
I'
C'
C
I
B
A
Bài 4.5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và
B’C’
a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’)
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM’M). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác
AB’C’.
HD
Giải
a) MM’ // BB’ và MM’ = BB’ =>MM’ // AB và
MM’ = AB(hình lăng trụ)
Suy ra tứ giác AA’M’M là hình bình hành => AM
// A’M’
b) Gọi
I A M AM
' '
= ∩
Ta có:
I AM AB C
I A M AB C
I A M
' ( ' ')
' ( ' ')
'
∈ ⊂
⇒ = ∩
∈
c)
C AB C
C AB C BA C
C BA C
' ( ' ')
' ( ' ') ( ' ')
' ( ' ')
∈
⇒ ∈ ∩
∈
AB A B O
O AB C
O AB C BA C
O BA C
' '
( ' ')
( ' ') ( ' ')
( ' ')
∩ =
∈
⇒ ⇒ ∈ ∩
∈
d C O AB C BA C
' ( ' ') ( ' ')
⇒ ≡ = ∩
d AB C
d d AM G
AM AB C
( ' ')
) '
' ( ' ')
⊂
⇒ ∩ =
⊂
G d
G AM M
G AM
( ' )
'
∈
⇒ ⇒ ∈
∈
Ta có
OC AM G
' '
∩ =
Mà OC’, AM’ là trung tuyến tam giác AB’C’
Vậy G là trọng tâm của tam giác AB’C’
Hình
4.5
G
I
O
B'
A'
M'
C'
M
C
B
A
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
69
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 4.6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC,
A’B’C’, A’CC’. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (IKG) song song với mặt phẳng (BB’CC’)
b) Xác định thiết điện của lăng trụ với mặt phẳng (IKG). Thiết diện là hình gì ?
c) Gọi H là trung điểm của BB’. Chứng minh (AHI) // (A’KG).
Bài 4.7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
a) (AB’D’) // (C’BD)
b) Bốn tâm đối xứng của bốn mặt bên là bốn đỉnh của một hình bình hành.
Bài 4.8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng
(
)
α
qua M của cạnh bên SA
và song song với mặt đáy. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
(
)
α
. Thiết diện là hình gì?
Bài 4.9. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và điềm M trên cạnh SC. Xác định thiết diện của hình chóp với
mặt phẳng qua M và song song với (SAB).
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
70
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
§5. PHÉP CHIẾU SONG SONG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Phép chiếu song song
- Cho mặt phẳng
( )
α
và đường thẳng
∆
cắt
( )
α
. Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng qua
M và song song hoặc trùng với
∆
cắt
( )
α
tại điểm M' xác định.
- Điểm M' gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng
( )
α
theo phương
∆
.
- Mặt phẳng
( )
α
được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của đường thẳng
∆
được gọi là phương chiếu.
- Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M' của nó trên mặt phẳng
( )
α
được
gọi là phép chiếu song song lên
( )
α
theo phương
∆
α
M'
M
2. Các tính chất của phép chiếu song song (với đường thẳng và đoạn thẳng không song song hoặc trùng
với phương chiếu)
- Phép chiều song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ
tự ba điểm đó;
- Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng;
- Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng
nhau;
- Phép chiều song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng
song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
3. Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng
- Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể là hình biểu diễn của một tam giác tuỳ ý cho trước ( có
thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, . . .);
- Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tuỳ ý
c
ho trước ( có thể là hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, . . .).
- Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tuỳ ý cho
trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình đã
cho.
- Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn.
B. BÀI TẬP
Bài 5.1. Tam giác ABC có hình chiếu song song là tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng trọng tâm của tam
giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm của tam giác A'B'C'.
HD
Giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC G' là hình chiếu song song của nó. Gọi M là trung điểm cùa BC thí
A, G, M thẳng hàng.
Gọi M' là hình chiếu của M. Khi đó theo tính chất của phép chiếu song song ta có:A', G' M' thẳng hàng và
A G AG
A M AM
' ' 2
(1)
' ' 3
= = ; B', M', C' thằng hàng và
B M BM
M C MC
' ' 2
(2)
' ' 3
= =
Từ (1) và (2) suy ra G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
71
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Hình
5.1
M'
M
G
G'
A'
B'
C'
C
B
A
Bài 5.2.
a) Vẽ hình biểu diển của một tứ diện và trọng tâm của nó.
b) Vẽ hình biểu diễn của tam giác vuông nột tiếp trong đường tròn.
HD
Giải
a) Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì trung
điểm G của MN sẽ biểu diễn cho trọng tâm của tứ diện.
b
) Vẽ elip tâm O là hình biểu diễn của đường tròn đã cho. Lấy hai điểm A và B là hai điểm trên elip
sao cho B, C, O thẳng hàng và một điểm A thuộc elip sao cho A khác với B và C. Khi đó, tam
giác ABC là hình biểu diễn của một tâm giác vuông nội tiếp trong một đường tròn.
Hình
5.2a
/
/
G
N
M
D
C
B
A
Hình
5.2b
O
C
B
A
Bài 5.3. Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu
( )
α
và phương chiếu của tam giác ABC trên
( )
α
là:
a) Một tam giác cân
b) Một tam giác đều
c) Một tam giác vuông
HD
Giải
a) Qua BC dựng một mặt phẳng
( )
α
không đi qua
A. Trong mặt
( )
α
ta dựng tam giác cân BCA
1
(BA
1
= CA
1
). Khi đó, phép chiếu song song lên
( )
α
theo phương chiếu
∆
= AA
1
biến tam giác ABC
thành tam giác cân A
1
BC.
b) Trong
( )
α
ở câu a), ta dựng tam giác BCA
2
và
c) Chọn phương chiếu
∆
= AA
2
. Trong mặt phẳng
( )
α
câu a), ta dựng tam giác vuông BCA
3
(
)
BA C
0
3
90
= và chọn phương
∆
= AA
3
.
Hình
5.3
/
/
α
A
3
A
2
A
1
C
B
A
Bài 5.4.
a) Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.
b) Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.
HD
Giải
a) Vẽ tam giác tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn (Theo bài 5.2). Qua O ta kẻ hai dây
ME và NF của elip lần lượt song song với AC và AB. Khi đó, tứ giác MNEF là hình biểu diễn của
một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.
b) Xét hình lục giác đều ABCDEF (Hình 5.4b
1
), ta nhận thấy:
- Tứ giác OABC là hình thoi
- C
ác điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O
Từ đó, suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều ABCDEF như sau:
- VẼ hình bình hành O'A'B'C' biểu diễn cho hình thoi OABC.
- Lấy cá điểm D', E', F' lần lượt đối xứng với các điểm A', B' C' qua O', ta được hình biểu diễn A'
B
'C'D'E'F' (hình 5.4 b
2
) của hình lục giác đều ABCDEF.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
72
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Hình 5.4a
O
N
E
D
F
B
M
A
Hình 5.4b
1
F
E
D
C
B
A
Hình 5.4b
2
F'
E'
D'
C'
B'
A'
Bài 5.5. Giả sử tam giác ABC là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hãy dựng hình biểu diễn của tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đó.
HD
Giải
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với
trọng tâm của tam giác đó, nên hình biểu diễn của
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều chính là
t
rọng tâm của O của tam giác ABC.
Hình 5.5
O
B'
C
A'
B
A
Bài 5.6. Cho một elip là hình biểu diễn của một đường tròn. Hãy vẽ hình biểu diễn của mỗi hình sau:
a) Một dây cung và đường kính vuông góc với dây cung đó của đường tròn
b) Hai đường kính vuông góc của đường tròn
c) Một tam giác đều nội tiếp đường tròn.
HD
Giải
a) Vẽ dây cung MN và một dây cung PQ đi qua tâm O của elip và trung điểm I của MN.
Khi đó MN và PQ lần lượt là hình biểu diễn của một dây cung và một đường kính vuông góc với
dây cung đó của đường tròn.
b) Sau bước câu a), vẽ dây cung AB qua O và song song với MN. Khi đó PQ và AB là hình biểu diễn
của hai đường kính vuông góc với đường tròn.
c) Sau câu a) b), ta vẽ hai dây cung AB và
PQ của elip là hình biểu diễn của hai
đường kính vuông góc với đường tròn. Từ
trung điểm J của OB, vẽ dây cung EF //
PQ. Khi đó tam giác AEF là hình biểu
diễn của một tam giác đều nội tiếp
đường tròn đã cho.
O
Hình
5.6
Q
P
F
E
J
I
N
M
B
A
Bài 5.7. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BC lần lượt lấy các điểm M và N không
trùng với các đỉnh của hình hộp. Trong hình bình hành A'B'C'D' lấy một điểm P. Hãy xác định thiết diện
của hình hộp khi cắt bởi mp(AMN).
HD
Giải
Trước hết, ta tìm giao điểm của Pm với mặt phẳng
(ABCD). Gọi P' là hình chiếu của P trên
mp(ABCD) theo phương chiếu AA'. Khi đó PM
cắt P'A tại I. Vì I thuộc mp(ABCD) nên IN cắt AB
tại K. Gọi E là giao điểm của KM với A'B'. Nối E
với P cắt A'D' và B'C' lần lượt tại F và G. Vậy
thiết diện cần tìm là ngũ giác MKNGF.
K
M
Hình 5.7
I
P
A'
D'
C'
B'
G
F
E
P'
D
N
C
B
A
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 5.8. Vẽ hình chiếu của tứ diện ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu AB (AB không song song
với (P)).
Bài 5.9. Vẽ hình chiếu của hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu AC
1
( AC
1
không song song với (P)).
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
73
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA CHƯƠNG II
DẠNG 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp 1. (áp dụng nội dung tính chất 5 của bài 1 sgk/47). Ta tìm hai điểm chung phân biệt của
hai mặt phẳng. Cụ thể:
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
M
N MN
M N
∈ α ∩ β
∈ α ∩ β ⇒ = α ∩ β
≡
Phương pháp 2. (Áp dụng HQ của nội dung Định lí 2 của bài sgk/57)
Cụ thể:
(
)
(
)
( )
( )
( ) ( )
/ /
, / / / /
a
a b
a b
a
b
≡ β
⇒ α ∩ β = ∆ ∆
⊂ α
⊂ β
hoặc trùng với một trong hai đường thẳng a và b.
Phương pháp 3. (Áp dụng nội dung Định lí 2 của bài 3 sgk/61)
Cụ thể:
(
)
( )
( ) ( )
/ /
, / /
a
b b a
a
α
⇒ β ∩ α =
⊂ β
DẠNG 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng
(
)
α
, phương pháp chung:
(
)
( )
/
/
d
I d
d d I
⊂ α
⇒ = ∩ α
∩ =
Chọn mặt phẳng
(
)
β
chứa đường thẳng d sao cho dễ tìm giao tuyến với
(
)
α
là
/
d
Cụ thể:
(
)
( ) ( ) ( )
/
/
d
d I d
d d I
⊂ β
β ∩ α = ⇒ = ∩ α
∩ =
DẠNG 3. Chứng đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp: (áp dụng nội dung Định lí 1 của bài 3 sgk/61)
Cụ thể:
(
)
( )
( )
/
/
/ / / /
d
d d d
d
⊂ α
⇒ α
⊂ α
DẠNG 4. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp: (Áp dụng nội dung Định lí 1 của bài 4 sgk/64)
Cụ thể:
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
,
/ / , / / / /
a b
a b
a b M
⊂ α
β β ⇒ α β
∩ =
DẠNG 5. Dựng thiết diện
Dựng thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng
(
)
α
:
Phương pháp chung: T
a tìm các giao tuyến (nếu có) của
(
)
α
với mặt đáy và các mặt bên của hình (H).
Đoạn nối giữa các giao tuyến cho ta một hình, hình đó là thiết diện cần tìm.
Lưu ý:
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
74
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Dựng thiết diện song song với một đường thẳng:
(
)
α
đi qua một điểm và song song với hai đường
thẳng trong hình (H) hoặc qua hai điểm và song song với một đường thẳng trong hình (H).
Phương pháp: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng
(
)
α
. Nếu mặt phẳng
(
)
β
chứa d và cắt
(
)
α
theo giao tuyến
/
d
thì
/
d
song song với d.
Dựng thiết diện song song với một mặt phẳng trong hình (H):
(
)
α
song song với một mặt phẳng
nào đó trong hình (H).
Phương pháp:
ÁP dụng: Khi
(
)
α
song song với một mặt phẳng
(
)
β
nào đó thì
(
)
α
sẽ song song với tất cả đường
thẳng trong
(
)
β
.
Để xác định giao tuyến của
(
)
α
với các mặt của hình (H), ta làm như sau:
Tìm đường thẳng d nằm trong
(
)
β
Vì
(
)
(
)
/ /
α β
nên
(
)
α
cắt những mặt phẳng chứa d theo các giao tuyến song song với d.
DẠNG 6. Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp:
1. Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng và dùng phương pháp chứng minh hai đường thẳng
song song trong hình học phẳng( như tính chất đường trung bình của tam giác, định lí Talét đảo, tính chất
song song của hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba, …)
2. Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
3. Dùng tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng ấy. Tức là:
a
b
c a b
a b
c
( )
( )
/ / / /
/ /
( ) ( )
α
β
α β
∈
∈
⇒
∩ =
4. Dùng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng:
a
a b c
b
a b
c
/ / / /
, ñoàng quy
α γ
β γ
α β
∩ =
∩ = ⇒
∩ =
DẠNG 7. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui.
P
hương pháp:
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó
chúng thuộc giao tuyến hai mặt phẳng đó.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này là điểm
chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.
B. BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF)
b) Lấy M là một điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao tuyến của đường thẳng AM với mp(BCE)
c) Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.
HD
Giải
a) Gọi
G AC BD H AE BF
;
= ∩ = ∩
Ta có
AEC BFD HG
( ) ( )
∩ =
Tương tự: Gọi
I AD BC K AF BE
;
= ∩ = ∩
Ta có:
BCE ADF IK
( ) ( )
∩ =
b) Gọi
N AM IK
= ∩
. Ta có:
N AM BCE
( )
= ∩
c
) Nếu AC và BF cắt nhau thì hai hình thang đã
c
ho cùng nằm trên một mặt phẳng. Điểu này
trái với giả thiết.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
75
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Hình 1
G
N
I
C
D
M
H
K
E
F
B
A
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang và AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là
trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)
Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).
HD
Giải
a) Gọi
E AD BC
= ∩
. Ta có
SAD SBC SE
( ) ( )
∩ =
b) Gọi
F SE MN P SD AF
,
= ∩ = ∩
Ta có:
P SD AMN
( )
= ∩
c) Thiết diện là tứ giác APNM
Hình
2
N
F
P
M
E
D
C
B
A
S
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm hai đường chéo, M,
N, P, theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng SA, BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp(MNP).
c) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNP).
HD
Giải
a) Ta có
SAC SBD SO
( ) ( )
∩ =
b) Gọi
H AC NP I SO MH
;
= ∩ = ∩
Ta có:
I SO MNP
( )
= ∩
c) Gọi
E AB NP F AD NP
;
= ∩ = ∩
R SB ME Q SD MF
;
= ∩ = ∩
Thiết diện cần tìm là ngũ giác MQPNR
Hình 3
E
I
H
O
P
N
R
M
F
Q
D
C
B
A
S
Bài 4. Từ các đỉnh của tam giác ABC ta kẻ các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’ song song , cùng chiều, bằng
nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi I, G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABC, ACC’, A’B’C’.
a) Chứng minh rằng (IGK) // (BB’C’C)
b) Chứng minh rằng (A’GK) // (AIB’).
HD
Giải
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
76
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
a) Gọi M, M’ tương ứng là trung điểm AC và
A’C’, ta có:
I BM G C M K B M
, ' , ' '
∈ ∈ ∈
, theo tính chất trọng
tâm ta có:
MI MG
IG BC
MB MC
1
/ / '
' 3
= = ⇒
MI M K
IK BB
MB M B
' 1
/ / '
' ' 3
= = ⇒
Ta có:
IG BC
IG BB C C
BC BB C C
IK BB
IK BB C C
BB BB C C
/ / '
/ /( ' ' )
' ( ' ' )
/ / '
/ /( ' ' )
' ( ' ' )
⇒
⊂
⇒
⊂
Mặt khác ta có:
IG IGK
IK IGK
IG IK I
( )
( )
⊂
⊂
∩ =
Từ đó suy ra: (IGK) // (BB’C’C)
Hình
4
O
F
B'
K
G
A'
C'
M'
M
I
E
C
B
A
b) Gọi E và F tương ứng là trung điểm của BC và B’C’, O trung điểm A’C.A, I, E thẳng hàng nên (AIB’)
chình là (AEB’). A’, G’ C thẳng hàng nên (A’GK) chính là (A’CF)
Ta có: B’E // CF (do B’FCE là hình bình hành và AE // A’F nên (AIB’) // (A’GK)
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AD và CC’ sao cho
AM CN
MD NC
'
= .
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’)
b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’).
HD
Giải
a) Vẽ MP song song với AC và cắt CD tại P
Ta có:
AM CP CN
MD PD NC
'
= =
Do đó: PN // DC’ // AB’
Đường thẳng MN chứa trong (MNP) và mặt
phẳng này có MP//AC, PN//AB’.
Vậy (MNP) // (ACB’). Suy ra MN // (ACB’)
b) Vì mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng
(ACB’) nên hai mặt phẳng đó sẽ cắt các mặt bên
của hình hộp theo các giao tuyến song song
Ta vẽ NQ //CB’, QR // C’A’ // CA, RS //
A
B’ //PN và SM // QN. Thiết diện của hình
hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua
MN và song song với mặt phẳng (ACB’) là
l
ục giác MPNQRS có các cạnh đối song
song với nhau từng đôi một: MP // RQ, PN
// SR, NQ // MS.
Hình
5
N
R
A'
S
C
P
M
D
D'
C'
Q
B'
B
A
Bài 6. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh rằng hai đường chéo AC’ và A’C cắt nhau và hai đường chéo BD’ và B’D cắt nhau
b) Cho E, F lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh MN = EF
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
77
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
HD
Giải
a) Hình bình hành ACC’A’ có hai đường chéo là
AC’ và A’C cắt nhau tại trung điểm M của mỗi
đường. Tương tự, hai đường chéo BD’ và B’D cắt
nhau tại trung điểm N của mỗi đường.
b) Trung điểm E của AC là hình chiếu của trung
điểm M của AC’ theo phương của cạnh hình lăng
trụ. Tương tự, trung điểm F là hình chiếu trung
điểm N của đường thẳng chéo BD’ trên BD. ta
có: EM // CC’ và
CC
EM
'
2
=
Mặt khác: FN // DD’ và
DD
FN
'
2
= . Từ đó suy
ra tứ giác MNFE là hình bình hành và ta có:
MN = EF
Hình 6
A'
B'
C'
D'
D
C
B
A
M
N
E
P
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Trên AD lấy trung điểm M, trên cạnh BC lấy một điểm N bất kì khác B và C.
Gọi (P) là mặt phẳng qua đường thẳng MN và song song với CD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mp(P).
b) Xác định vị trí N trên BC sau cho thiết diện là một hình bình hành.
HD
Giải
a) Ta có
CD ACD CD P ACD P MJ
( ), / /( ) ( ) ( )
⊂ ⇒ ∩ =
.
Sao cho MJ // CD ( J thuôc trên AC)
Tương tự, ta có:
BCD P NI
( ) ( )
∩ =
, sao cho
NI//CD và I thuộc BD.
Vậy thiết diện là hình thang MINJ (MJ // NI)
b) Ta có:
CD
MJ
2
= . Vậy để hình thang MINJ
là hình bình hành
NI MJ CD
1
2
⇔ = =
Suy ra: N là trung điểm của BC
Bài 8.Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I, J lần lượt là trung điểm các
đoạn AD, BC. Chứng minh rằng IB và JA không nằm trong cùng một mặt phẳng.
HD
Giải
Ta dùng phương pháp phản chứng.
Giả sử có một mặt phẳng
( )
α
chứa đồng thời IB
và JA. Khi đó ta có:
I
IB
B
( )
( )
( )
α
α
α
∈
⊂ ⇒
∈
J
J
A
A
( )
( )
( )
α
α
α
∈
⊂ ⇒
∈
C BJ
C
B
J
( )
( )
α
α
∈
⇒ ∈
⊂
D AI
D
AI
( )
( )
α
α
∈
⇒ ∈
⊂
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
78
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Vậy A, B, C, D cùng thuộc
( )
α
. Điều này vô lí vì
A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng
Hình 8
I
J
D
C
B
A
Bài 9. Cho tứ diện SABC có E, F lần lượt là trung điểm của SB, AB. Lấy G là một điểm trên đoạn AC
sao cho G không trùng với trung điểm của AC. Gọi I là giao điểm của GF và mặt phẳng (SBC)
a) Chứng minh I thuộc đường thẳng BC
b) Xác định thiết diện tạo bởi (EFG) và tứ diện SABC.
HD
Giải
a)
I FG
I ABC
FG ABC
( )
( )
∈
⇒ ∈
⊂
I ABC
I ABC SBC
I SBC
I BC
( )
( ) ( )
( )
∈
⇒ ∈ ∩
∈
⇒ ∈
( Hay nói cách khác, ta đi chứng minh ba điểm I,
B, C thẳng hàng)
b) Do EF // SA mà
EF EFG
( )
⊂
nên (EFG) // SA.
Vậy (EFG) cắt hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) lần
lượt theo hai giao tuyến EF và GH cùng song song
với SA(H thuộc SC). Ta có thiết diện cần tìm là
EFGH
Hình 9
H
G
F
E
I
C
B
A
S
Bài 10.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm di động trên cạnh SC và
( )
α
là
mặt phẳng qua AM và song song với BD.
a) Chứng minh
( )
α
luôn chứa một đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh SC
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của
( )
α
với các cạnh SB, SD. Hãy xác định điểm E, F
Gọi I, J lần lượt là giao điểm của ME với BC và MF với CD. Chứng minh rằng ba điểm I, J. A thẳng
hàng.
HD
Giải
a)
( )
α
song song với BD nên
( )
α
sẽ cắt
mp(ABCD) (chứa BD) theo một giao tuyến d đi
qua A( điểm chung) và song song với BD. Do A
cố định và BD cố định nên d chính là đường thẳng
cố định cần tìm
b) Gọi I là giao điểm của d với đường thẳng BC.
Giao điểm IM với SB chính là điểm E cần tìm
Tương tự: gọi J là giao điểm của d với đường
thẳng CD. Giao điểm của MJ với SD chình là
điểm F cần tìm
c) Theo chứng minh trên I, J, A cùng thuộc trên
d, nên chúng thẳng hàng.
Hình 10
d
J
I
F
E
M
D
C
D
A
S
α
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
79
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh: IA = 2IM
b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM). Chứng minh F là trung điểm của SD
c) Gọi N là một điểm tùy ý trên AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD).
HD
Giải
a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD):
Gọi
O AC BD
= ∩
. Trong mp (SAC), có
I SO AM
= ∩
khi đó
I AM
I SO SBD
I AM SBD
( )
( )
∈
∈ ⊂
⇒ = ∩
Chứng minh IA = 2IM:
Trong tam giác SAC: AM; SO là trung tuyến và
I SO AM
= ∩
⇒
I là trọng tâm của tam giác SAC => IA =
2IM.
b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM)
Trong (SBD), gọi
F SD BI
= ∩
,
khi đó:
F SD
F BI ABM
F SD ABM
( )
( )
∈
∈ ⊂
⇒ = ∩
Chứng minh F là trung điểm của SD: I là trọng
tâm tam giác SAC => SI = 2IO
Trong tam giác SBD có: SO là trung tuyến và
SI
= 2IO suy ra I là trọng tâm của tam giác
SBD.
Từ đó suy ra: F là trung điểm của SD
c) Tìm giao điểm của MN với (SBD):
Gọi
K MN BI
= ∩
,(Trong (ABM)), khi đó
K MN
K MN SBD
K BI SBD
( )
( )
∈
⇒ = ∩
∈ ⊂
Hình
11
I
K
M
B
O
C
D
F
A
S
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của
tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (S
BM) và (SAC)
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp(SAC)
d) Tìm giao điểm P của SC và mp(ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD và G là trọng tâm của
tam giác SCD. Tìm giao điểm của:
a) MG và mp(ABCD) b) BN và mp(SAG)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp(SAC)
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AB // CD, AB > CD). Gọi
I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC), (SAC) và (SBD)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mp(AIJ)
c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(AIJ)
Bài 5. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi M là điểm giữa S và A; N là điểm
nằm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (S
AD) và (CMN)
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (CMN).
Bài 6. C
ho hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF)
b) Lấy M là một điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao tuyến của đường thẳng AM với mp(BCE)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho 2SM =
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
80
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
MA, trên đoạn SB lấy điểm N sao cho 2SN = NB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC)
b) Chứng minh rẳng: MN // CD
c) Điểm P nằm trên cạnh SC không trùng với S, C. Tìm giao tuyến hai mp (MNP) và (SCD)
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Hãy xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SBC) và (SAD)
b) M là điểm thuộc cạnh SC, tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABM). Thiết diện là hình gì?
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang và AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là
trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Gọi
M, N, P, theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng SA, BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
.
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp(MNP).
c) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNP).
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB
và CD.
a) Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB và SC đều song song với mp (MNP)
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O là giao
điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
a) Chứng minh rằng OG // (SBC)
c) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB)
d) Giả sử I nằm trên đoạn SC sao cho
SC SI
3
2
= . Chứng minh rằng SA // (BID).
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AD // BC, AD > BC). Gọi M, N, E lần lượt là trung
điểm của AB, CD, SA.
a) Chứng minh rằng: (MEN) // (SBC)
b) Trong tam giác SAD vẽ E
F // AD
(
)
F SD
∈ . Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt phẳng (MNE)
với SD. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNE) là hình gì?
Bài 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD.
Chứng minh mặt phẳng (G
1
G
2
G
3
) song song với mặt phẳng (BCD).
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là
trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng
( )
α
với hình chóp S.ABCD nếu
( )
α
qua M và đồng
thời song song với SC và AD.
Bài 16. Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy điểm M. Cho
( )
α
là mặt phẳng qua M, song song với hai đường
thẳng AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của
( )
α
với các mặt của tứ diện
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
( )
α
là hình gì?
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
( )
α
đi qua O, song song với AB và SC.
Thiết diện đó là hình gì?
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi
M, N, P, theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng SA,
BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(MNP). Từ đó suy ra giao điểm của đường thẳng SO với
mp(M
NP).
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
81
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
(
)
α
qua M đồng thời song song với AB và
SC.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi
M, N, P, theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng SA, BC, CD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp(MNP).
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
(
)
P
qua M đồng thời song song với AB và SC.
Thiết diện là hình gì?
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
SA, CD.
a) Chứng minh rằng (OMN) // (SBC)
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (OMN)
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy A
BCD là hình bình hành tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm SB,
CD.
a) Chứng minh rằng: IJ //(SAD)
b) Gọi
(
)
α
là mặt phẳng qua IO và song song với SC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt
bởi mp
(
)
α
.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm
SC, AB.
a) Chứng minh rằng (OPQ) // (SAD)
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (OPQ)
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
SD, BC.
a) Chứng minh rằng: MN //(SAB)
Gọi
(
)
α
là mặt phẳng qua MO và song song với SA. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt
bởi mp
(
)
α
.
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SB và SC.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng A
N với mặt phẳng (SBD).
b) Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua MN và song song với CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng
( )
α
.
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy một điểm M trên cạnh SA nhưng
không trùng với S và A.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng CM với mặt phẳng (SBD).
b) Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua M và đồng thời song song với AB, SC. Xác định thiết diện của hình chóp cắt
bởi mặt phẳng
( )
α
.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SC và OB. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN).
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD; M là trung điểm của SD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
(
)
α
qua M,
song song với SO và BC.
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA và SD. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng (BMN).
Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt
bởi mặt phẳng
(
)
α
qua trung điểm M của CD, song song với AC và SD.
Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD, M là trung điểm của cạnh SA.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M, song song với SO và BC.
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
82
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (Q) qua O, song song với BM và SD
Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD // BC). Gọi M, N, G lần lượt là trung
điểm của AB, CD và trọng tâm tam giác SAD.
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD)
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNG)
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử đường thẳng SO cắt mặt phẳng (MNG) tại E. Hãy xác
định điểm E.
Bài 33. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và BC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng đi qua M, N và song
song với SB.
Bài 34. CHo hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vẽ thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng đi qua trung điểm
M, N của các cạnh AB, AD và tâm O của hình bình hành CDD'C'.
Bài 35. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' và các trung điểm E, F của các cạnh AB, DD'. Hãy xác
định các thiết diện của hình lập phương cắt bởi các mặt phẳng (EFB), (EFC), (EFC') và (EFK) với K là
trung điểm của cạnh B'C'.
Bài 36. Cho tứ diện đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB và BC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua M, N và song song với
SB.
Bài 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AD//BC, AD > BC). Gọi M, N, E lần lượt là trung
điểm của AB, CD, SA.
a) Chứng minh rằng: (MEN) // (SBC)
b) Trong tam giác SAD vẽ EF // AD
(
)
F SD
∈ . Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt phẳng
(MNE) với SD. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNE) là hình gì?
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
83
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
CHƯƠNG II
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
, ,
M N P
theo thứ tự là trung điểm
các đoạn thẳng
, ,
SA BC CD
. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành
ABCD
(như hình
vẽ). Xác định giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng
( )
MNP
:
H
O
P
N
M
D
C
B
A
S
A.
I SO NP
= ∩
B
.
I SO MH
= ∩
C.
I SO MP
= ∩
D.
I SO MN
= ∩
Câu 2: Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC; G là trọng tâm của tam
giác
BCD
. Khi ấy, giao điểm của đường thẳng
MG
và mặt phẳng
(
)
ABC
là:
A. Giao điểm của MG và đường thẳng BC
B. Điểm N
C. Điểm C
D. Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN
Câu 3: Tìm mệnh đề Đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt
( )
α
và
( )
β
thì
( )
α
và
( )
β
song song với nhau
B. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ đượ
c một và chỉ một đường thẳng song song
với mặt phẳng cho trước.
C. Nếu hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong
( )
α
đều song
song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( )
β
D. Nếu hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong
( )
α
đều song
song với
( )
β
Câu 4: Cho hình chóp
.
S ABCD
, có đáy
ABCD
là hình bình hành. Giả sử M thuộc đoạn thẳng SB . Mặt
phẳng (ADM) cắt hình chóp
.
S ABCD
theo một thiết diện là hình gì?
A. Hình chữ nhật B. Hình bình hành C. Tam giác D. Hình thang
Câu 5: Tìm mệnh đề Đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau
C. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau
D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau
Câu 6: Cho tam giác
ABC
, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài. Các mệnh đề nào sau đây là mệnh đề Sai ?
A.
( )
⊄
BI ABC
B.
( )
∈
I ABC
C.
( ) ( )
≡
ABC BIC
D.
( )
∈
A ABC
Câu 7: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b
cùng chứa trong một mặt phẳng là:
A
. 2 B. 1 C. 4 D. 3
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
84
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Câu 8: Cho tứ diện
SABC
có
,
E F
lần lượt là trung điểm của SB, AB . Lấy G là một điểm trên đoạn thẳng
AC sao cho G không trùng với trung điểm AC . Gọi I là giao điểm của GF và mặt phẳng (SBC). Thiết
diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng
( )
EFG
là:
G
F
E
C
B
A
S
A. Hình bình hành
B. Hình thang
C. Tam giác
D. Hình thoi
Câu 9: Khẳng định nào sau đây là khẳng định S
ai ?
A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu
có) cũng song song với đường thẳng đó.
B. Nếu mặt phẳng
( )
α
chứa hai đường thẳng cắt nhau
,
a b
và
,
a b
cùng song song với mặt phẳng
( )
β
thì
( )
α
song song với
( )
β
.
C. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước có nhiều hơn một mặt phẳng song song với mặt
phẳng đã cho.
D. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng
( )
α
và d song song với đường
/
d
nằm trong
( )
α
thì d song song với
( )
α
.
Câu 10: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành. Gọi
,
I J
lần lượt là trung điểm của
AB
và
CB
. Khi ấy, giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
SAB
và
(
)
SCD
là đường thẳng song song với :
A. Đường thẳng
AD
B. Đường thẳng
IJ
C. Đường thẳng
BI
D. Đường thẳng
BJ
Câu 11: Cho hai hình bình hành
ABCD
và
ABEF
nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào sau
đây là Đúng ?
A.
(
)
(
)
/ /
ABD EFC
B.
(
)
/ /
EC ABF
C.
(
)
/ /
AD BEF
D.
(
)
(
)
/ /
AFD BEC
C
âu 12: Trong các hình sau đây, hình nào biểu diễn cho hình lập phương ?
c)
b)
a)
A. Hình a) B. Hình a) và c) C. Hình b) D. Hình c) và b)
Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Đúng ?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể cắt nhau, trùng nhau, song song với
nhau
B. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau thì cắt nhau
C. Hình chiếu song song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau
D. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau
Câu 14: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Đúng ?
A. Nếu hai mặt phẳng song song thì mỗi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi
đường thẳng nằm trong mặt kia
B. Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song s
ong thì cắt đường thẳng còn lại
C. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt
phẳng kia
D
. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
85
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Câu 15: Cho hình lăng trụ tam giác
/ / /
.
ABC A B C
. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABC
và
/ / /
A B C
. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
( )
AIJ
với lăng trụ đã cho là:
C'
B'
A'
J
I
C
B
A
A.
Hình bình hành
B. Hình thang
C. Tam giác cân
D. Tam giác vuông
Câu 16: Cho tứ diện
ABCD
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC , E là điểm trên cạnh CD với
3
ED EC
=
. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
(
)
MNE
và tứ diện
ABCD
là:
E
A
C
D
B
M
N
A. Hình bình hành
MNEF
với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC
B. Hình thang
MNEF
với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC
C. Tam giác MNE
D. Tứ giác
MNEF
với F là điểm bất kì trên BD
Câu 17: Cho hình chóp
.
S ABCD
với đáy là tứ giác
ABCD
. Thiết diện của mặt phẳng
( )
α
tùy ý với hình
chóp không thể là:
A. Tứ giác B. Ngũ giác C. Tam giác D. Lục giác
Câu 18: Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì ba đường
thẳng đó:
A
. Cùng song song với một mặt phẳng B. Trùng nhau
C. Tạo thành một tam giác D. Đồng quy
Câu 19: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là một hình bình hành. Gọi
/ / / /
, , ,
A B C D
lần lượt là trung điểm
của các cạnh
, ,
SA SB SC
và
SD
. Tìm mệnh đề Đúng trong các mệnh đề sau ?
A.
/ /
/ /
A C BD
B.
(
)
/ /
/ /
A C SBD
C.
(
)
/ /
/ /
A B SAD
D.
(
)
(
)
/ / /
/ /
A C D ABC
Câu 20: Cho tứ diện
SABC
có
,
E F
lần lượt là trung điểm của SB, AB . Lấy G là một điểm trên đoạn
thẳng AC sao cho G không trùng với trung điểm AC . Gọi I là giao điểm của GF và mặt phẳng (SBC).
Khi đó điểm I thuộc :
G
F
E
C
B
A
S
A.
BC
B.
AB
C.
SA
D.
AC
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
86
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Câu 21: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC . Xét vị trí tương đối của
đường thẳng MN và mp(BCD) là:
A. MN nằm trong (BCD) B. MN không song song (BCD)
C. MN // (BCD) D. MN cắt (BCD)
Câu 22: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Sai ?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
B. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
D. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt
phẳng kia
Câu 23: Cho hai đường thẳng a và b song song với mặt phẳng
( )
α
. Mệnh đề nào Đúng trong các mệnh
đề sau ?
A. a và b trùng nhau B
. a và b có thể cắt nhau
C. a và b chéo nhau D. a và b song song với nhau
Câu 24: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
A. Không có mặt phẳng nào B. Ba mặt phẳng
C. Một mặt phẳng D. Hai mặt phẳng
Câu 25: Trong các mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề Đúng
A. Nếu
/ /
a b
và
( ), ( )
a b
⊂ α ⊂ β
thì
( ) / /( )
α β
B. Nếu
( ) / /( )
α β
và
( ), ( )
a b
⊂ α ⊂ β
thì
/ /
a b
C. Nếu
( ) / /( )
α β
và
/ /( )
b
β
thì
/ /
a b
D. Nếu
( ) / /( )
α β
và
( )
a
⊂ α
thì
/ /( )
a
β
Câu 26: Chọn phương án Đúng. Nếu đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
( )
α
thì
A. có mọi đường thẳng
b
không chứa trong
( )
α
song song với
a
B. có duy nhất mặt phẳng
( )
β
chứa
a
và song song với
( )
α
C. đường thẳng
a
chứa trong mặt phẳng
( )
α
D. có duy nhất mặt phẳng
( )
β
chứa
b
và
b
song song với
( )
α
Câu 27: Cho tứ diện
ABCD
có các cạnh đều bằng a . Gọi
1
G
và
2
G
lần lượt là trọng tâm các tam giác
BCD và ACD thì đoạn
1 2
G G
bằng bao nhiêu?
A.
2
3
a
B.
4
a
C.
3
a
D.
3
2
a
Câu 28: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Đúng ?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau
C. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì song song với nhau
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
Câu 29: Có bao nhiêu cách xác định một mặt phẳng ?
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Câu 30: Tìm mệnh đề Sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau
B. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
D. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
Câu 31: Cho tứ diện
ABCD
có các cạnh đều bằng
a
. Lấy điểm M trên AB với
3
a
AM
=
. Diện tích của
thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng qua M và song song với mp(BCD) là :
A.
2
3
12
a
B.
2
3
24
a
C.
2
3
18
a
D.
2
3
36
a
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
87
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Câu 32: Cho hình chóp
.
S ABCD
. Gọi
; ;
∩ = ∩ = ∩ =
AC BD I AB CD J AD BC K
. Đẳng thức nào Sai
trong các đẳng thức sau đây?
A.
( ) ( )
∩ =
SAC SBD SI
B.
( ) ( )
∩ =
SAC SAD AB
C.
( ) ( )
∩ =
SAB SCD SJ
D.
( ) ( )
∩ =
SAD SBC SK
Câu 33: Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
, , , , ,
M N P Q R S
lần lượt là trung điểm các cạnh
, , , , ,
AC BD AB CD AD BC
. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng ?
A.
, , ,
M P R S
B.
, , ,
M R S N
C.
, , ,
P Q R S
D.
, , ,
M N P Q
Câu 34: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Sai ?
A. Một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng còn lại
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không cùng thuộc một mặt phẳng
C. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau
D. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau
C
âu 35: Cho hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng. Có bao nhiêu vị trí tương đối
giữa hai đường thẳng đó ?
A. 3 B. 2 C. 2 D. 4
Câu 36: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Sai ?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau
B. Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu song song của nó
C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau
D. Một đường thẳng có thể song song hoặc trùng với hình chiếu song song của nó
Câu 37: Trong không gian,cho hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
( )
α
và
( )
β
?
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
Câu 38: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang và BA là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là
trung điểm của cạnh SB và SC . Thiết diện của hình chóp
.
S ABCD
cắt bởi mặt phẳng
( )
AMN
là:
N
M
D
C
B
A
S
A. Hình chữ nhật
B. Hình thanh
C. Hình bình hành
D. Tam giác
Câu 39: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Sai
?
A. Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau
B. Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau
C. Hình hộp là một hình lăng trụ
D. Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành
Câu 40: Ký hiệu nào sau đây sai
A.
( )
A P
∈
B.
( )
A P
∈
C.
( )
d P
∈
D.
∈
A d
Câu 41: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất ?
A. Bốn điểm B. Ba điểm
C. Một điểm và một đường thẳng D. Hai đường thẳng cắt nha
Câu 42: Giữa đường thẳng và mặt phẳng có bao nhiêu vị trí tương đối ?
A
. 2 B. 4 C. 3 D. 1
Câu 43: Cho hình chóp
.
S ABCD
, có đáy
ABCD
là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và (SBC) là đường thẳng song song với đường nào sau đây?
A. SC B. AC C. AD D. BD
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
88
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
Câu 44: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang và BA là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là
trung điểm của cạnh SB và SC . Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
SAD
và
( )
SBC
là:
N
M
D
C
B
A
S
A.
SE
với
E AD BC
= ∩
B. Đường thẳng
(
)
, , / /
S AD
∆ ∈∆ ∆
C.
SO
với
O AC BD
= ∩
D. Đường thẳng
(
)
, , / /
d S d d BC
∈
C
âu 45: Cho tứ diện
ABCD
có cạnh bằng
a
. Gọi
/
,
G G
lần lượt là trọng tâm của
ABC
và
ABD
. Diện
tích S của thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng
(
)
/
BGG
là:
A.
2
11
6
a
S =
B.
2
11
16
a
S =
C.
2
11
8
a
S =
D.
2
11
3
a
S =
Câu 46: Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận a và b chéo nhau
A. a và b là hai cạnh của một tứ diện B. a và b không nằm trên bất kì mặt phẳng nào.
C. a và b không có điểm chung D. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt
Câu 47: Trong các hình sau đây, hình nào biểu diễn của một tứ diện ?
d)c)
b)
a)
A. Hình a) , b) và d) B. Hình a) và c) C. Hình b) và d) D. Tất cả
Câu 48: Cho mặt phẳng
( )
α
và hai đường thẳng song song a, b. Mệnh đề nào Đúng trong các mệnh đề
sau ?
A. Nếu
( )
α
song song với a thì
( )
α
song song với b hoặc chứa b
B. Nếu
( )
α
cắt a thì
( )
α
có thể song song với b
C. Nếu
( )
α
không chứa a thì
( )
α
có thể song song với b
D. Nếu
( )
α
song song với a thì
( )
α
cũng song song với b
Câu 49: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào Đúng ?
A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau
B. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung
D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau
Câu 50: Cho tứ diện
ABCD
và ba điểm
, ,
I J K
lần lượt nằm trên các cạnh
, ,
AB AC AD
mà không
trùng với các đỉnh. Thiết diện của tứ diện
ABCD
khi cắt bởi mp
(
)
EFG
là:
A. Một tam giác B. Một tứ giác C. Một đoạn thẳng D. Một ngũ giác
Câu 51: Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng
( )
α
A
.
/ /
a b
thì
/ /( )
b
α
B.
( )
a
∩ α = ∅
C.
/ /( )
a
β
thì
( )/ /( )
β α
D.
/ /
a b
thì
( )
b
⊂ α
Câu 52: Hãy chọn phương án Đúng điền vào chỗ trống
“Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì . . . . . .”
A
. ba giao tuyến ấy đôi một song song với nhau
B. ba giao tuyến ấy hoặc trùng nhau hoặc đôi một song song với nhau
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
89
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
C. ba giao tuyến ấy đồng quy và đôi một song song với nhau
D. ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau
Câu 53: Cho tứ diện đều
SABC
có cạnh bằng
a
. Gọi I là trung điểm của AB, M là điểm di động trên
đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng
( )
α
song song với
( )
SCI
. Thiết diện tạo bởi
( )
α
và tứ diện là:
A. Hình thoi B. Tam giác đều C. Tam giác cân tại M D. Hình bình hành
Câu 54: Cho tứ diện
ABCD
và ba điểm
, ,
P Q R
lần lượt lấy trên ba cạnh
, ,
AB CD BC
. Tìm giao điểm S
của
AD
và mặt phẳng
(
)
PQR
, biết PR song song với AC .
Q
R
P
B
D
C
A
A.
(
)
∩ =
AD PQR S
với
/ / / /
QS PR AC
B.
(
)
∩ =
AD PQR S
với
= ∩
S AD PQ
C
.
(
)
∩ =
AD PQR S
với
= ∩
S AD PR
D.
(
)
∩ =
AD PQR S
với
/ / / /
PS BD RQ
Câu 55: Cho tam giác
ABC
. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh tam giác
ABC
?
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Câu 56: Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
,
I J
và
K
lần lượt là trung điểm của
,
AC BC
và
BD
. Giao tuyến của
hai mặt phẳng
(
)
ABD
và
(
)
IJK
là
A
C
D
B
I
J
K
A. IJ
B. KI
C. Đường thẳng qua K và song song với AB
D. KD
Câu 57: Cho tứ diện
ABCD
và ba điểm
, ,
P Q R
lần lượt lấy trên ba cạnh
, ,
AB CD BC
. Tìm giao điểm S
của
AD
và mặt phẳng
(
)
PQR
, biết PR cắt AC tại I .
I
A
C
D
B
P
R
Q
A.
(
)
∩ =
AD PQR S
với
= ∩
S IQ AD
B.
(
)
∩ =
AD PQR S
với
= ∩
S AC IQ
C.
(
)
∩ =
AD PQR S
với
= ∩
S AD PQ
D.
(
)
∩ =
AD PQR S
với
= ∩
S RQ AD
Câu 58: Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
a
. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC
. Cắt tứ diện bởi mặt
phẳng
( )
GCD
thì diện tích S của thiết diện là:
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
90
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
G
D
C
B
A
A.
2
2
2
a
S =
B.
2
2
4
a
S =
C.
2
2
6
a
S =
D.
2
3
4
a
S =
Câu 59: Cho tứ diện đều
SABC
có cạnh bằng
a
. Gọi I là trung điểm của AB, M là điểm di động trên
đoạn AI và
AM x
=
. Qua M vẽ mặt phẳng
( )
α
song song với
( )
SCI
. Thiết diện tạo bởi
( )
α
và tứ diện là
tam giác cân tại M. Chu vi của thiết diện là:
A.
(
)
2 1 3
x +
B.
(
)
1 3
x +
C.
(
)
3 1 3
x +
D.
(
)
2 1 2 3
x +
C
âu 60: Cho hình chóp
.
S ABCD
với đáy là tứ giác
ABCD
có các cạnh đối diện không song song. Giả
sử
;
∩ = ∩ =
AC BD I AD BC O
. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là:
A.
SB
B.
SI
C.
SO
D.
SC
Câu 61: Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ các điểm đó ?
A. 6 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 62: Cho tứ diện
ABCD
. Điểm M thuộc đoạn AC . Mặt phẳng
( )
α
qua M song song với AB và AD .
Thiết diện của
( )
α
với tứ diện ABCD là:
A. Hình chữ nhật B. Hình vuông C. Hình tam giác D. Hình bình hành
Toán 11 - http://www.toanmath.com/
GV. Lư Sĩ Pháp
91
HÌNH HỌC 11 Chương II. Quan hệ song song
ĐÁP ÁN
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A
B
C
D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A
B
C
D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A
B
C
D
61 62
A
B
C
D
| 1/95
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong TOAÙN 11 CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ
PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG TẬP 1 CHƯƠNG II
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT
PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG LỜI NÓI ĐẦU
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. Nội dung gồm 3 phần
Phần 1. Kiến thức cần nắm
Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị
Phần 3. Phần trắc nghiệm có đáp án.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh.
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916.620.899 Email: lsp0207@yahoo.com.vn lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn. Tác giả Lư Sĩ Pháp Gv_Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG §1. PHÉP BIẾN HÌNH Trang 1
§2. PHÉP TỊNH TIẾN Trang 1
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Trang 5
§4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Trang 10 §5. PHÉP QUAY Trang 13
§6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU Trang 18 §7. PHÉP VỊ TỰ Trang 20
§8. PHÉP ĐỒNG DẠNG Trang 25 ÔN TẬP CHƯƠNG I Trang 29
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I Trang 33 ĐÁP ÁN Trang 39
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Trang 40
§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Trang 50
§3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Trang 57
§4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Trang 64
§5. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHÔNG GIAN Trang 70 ÔN TẬP CHƯƠNG II Trang 73
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II Trang 83 ĐÁP ÁN Trang 91
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG I
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG ---o0o---
§ 1. PHÉP BIẾN HÌNH
KIỀN THỨC CẦN NẮM -
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt
phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. -
Ta thường kí hiệu phép biến hình là F và viết F(M) = M’ hay M’ = F(M), khi đó M’ gọi là ảnh
của điểm M qua phép biến hình F. -
Phép biến hình biến mỗi điểm của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. -
Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M),
với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành H’ hay H’ là ảnh của H qua phép biến hình F. -
Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F, ta có thể chứng minh: Với điểm
M tuỳ ý M ∈ H ⇔ M ' = F(M ')∈ H ' -
Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M thì ta cũng được một phép biến hình. Phép
biến hình đó gọi là phép đồng nhất.
§ 2. PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NẰM I. Phép tịnh tiến
1. Định nghĩa phép tinh tiến -
Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v . -
Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được kí hiệu là T . Như vậy T (M ) = M ' ⇔ MM ' = v v v -
Phép tịnh tiến theo vectơ_không được gọi là phép đồng nhất.
2. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến -
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(x; y); v = (a; b) . Gọi M ' = T (M) = (x '; y ') . v
x ' = x + a - Khi đó 
gọi là biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến theo vectơ v .
y ' = y + b -
Vận dụng: M '(x '; y ') = M(x; y) + v(a; b)
3. Các tính chất của phép tịnh tiến Phép tịnh tiến: -
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì; -
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ ba điểm đó; -
Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho; -
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng dã cho; -
Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho; -
Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính; -
Biến góc thành góc bằng góc đã cho. II. Phép dời hình 1. Định nghĩa -
Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì -
Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình -
Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình, ta được một phép dời hình. 1 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp 2. Tính chất Phép dời hình -
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toan thứ tự ba điểm ấy; -
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó; -
Biến một tam giác thành tam giác bằng đã cho, biến một góc thành góc bằng góc đã cho; -
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình F và G, giả sử M là một điểm bất kì, phép biến hình F(M) = M’ và phép
biến hình G(M’) = M”. Khi đó phép biến hình biến điểm M thành điểm M” đươc gọi là hợp
thành của phép F và G, kí hiệu F G B. BÀI TẬP
Bài 2.1. Cho hai đường thẳng song song a và a ' . Tìm tất cả những phép tịnh tiến biến a thành a ' . HDGiải
Lấy điểm A trên a thì với mỗi điểm A’ trên a ' , phép tịnh tiến theo vectơ AA ' biến a thành a ' . Đó là tất
cả những phép tịnh tiến cần tìm.
Bài 2.2. Cho hai phép tịnh tiến T và T . Với điểm M bất kì, T biến điểm M thành M’, T biến điểm u v u v
M’ thành M”. Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành M” là một phép tịnh tiến. HDGiải
Ta có MM " = MM ' + M ' M ' = u + v nên phép biến điểm M thành M” là phép tịnh tiến theo vectơ u + v
Bài 2.3. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích
điểm M’ sao cho MB = MA + MM ' . HDGiải
Ta gọi O và R là tâm và bán kính của đường tròn (O), Ta có O' M'
MM ' = MB − MA = AB nên phép tịnh tiến theo vectơ AB biến
điểm M thành M’. Điểm M chạy trên đường tròn (O) thì quỹ tích
của điểm M’ là đường tròn (O’) có tâm O’ và bán kính R là ảnh B M
của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ AB . O A
Bài 2.4. Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O).
Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn. HDGiải
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC.
Tia OB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Vì A BCD 0
= 90 nên DC // AH, tương tự ta có AD // CH D
Do đó tứ giác ADCH là hình bình hành . Từ đó suy ra
AH = DC = O
2 M . Ta thấy rằng OM không đổi, nên H là ảnh O
của A qua phép tịnh tiến theo vectơ 2 OM .
Do vậy khi điểm A di động trên đường tròn (O) thì H di động H
trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ B M C 2 OM .
Bài 2.5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho v(−2;3) và đường thẳng d có phương trình 3x − 5y + 3 = 0 .
Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v . 2 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp HDGiải Cách 1. x ' = x − 2 x = x '+ 2
Gọi M(x; y) ∈ d, M ' = T (M) = (x '; y ') . Khi đó  ⇒  vy ' = y + 3 y = y '− 3
Ta có M ∈ d ⇔ 3(x '+ 2) − 5(y '− 3) + 3 = 0 ⇔ 3x '− 5y '+ 24 = 0 ⇔ M '∈ d '
Vậy d ' : 3x − 5y + 24 = 0 Cách 2.
Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M(-1; 0). Khi đó M ' = T (M) = (−3;3) thuộc d’. v
Vì d’ song song hoặc trung với d nên d’: 3x – 5y + c = 0.
Do M ' ∈ d ' nên 3(-3) – 5.3 + c = 0 suy ra c = 24. Vậy d ' : 3x − 5y + 24 = 0 Cách 3.
Ta cũng có thể lấy hai điểm phân biệt M, N trên d, tìm toạ độ các ảnh M’, N’ tương ứng của chúng qua
T . Khi đó d’ là đường thẳng M’N’ v Bài 2.6. 2 2
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x + y − 2x + 4y − 4 = 0 . Tìm ảnh của (C)
qua phép tịnh tiến theo vectơ v(−2;3) . HDGiải Cách 1.
Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 3. Gọi I ' = T (I ) = (−1;1) và (C’) là ảnh của v 2 2
(C) qua T thì (C’) là đường tròn tâm I’, bàn kính R = 3. Do đó (C’): (x +1) + (y −1) = 9 v Cách 2.
Gọi I(x; y) là tâm của đường tròn (C) và I ' = T (I ) = (x '; y ') . Khi đó biểu thức toạ độ của T là v vx ' = x − 2 x = x '+ 2  ⇒ 
thay vào (C), ta được y ' = y + 3 y = y '− 3 x 2 + + y 2 −
− x + + y − − = ⇔ x 2 + + y 2 ( ' 2) ( ' 3) 2( ' 2) 4( ' 3) 4 0 ( 1) ( −1) = 9 2 2
Vậy (C’): (x +1) + (y −1) = 9 Bài 2.7.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-3;3), B(1;3) và đường tròn (C) có tâm I(3;1), bán kính R = 1.
Đường thẳng d: x + y – 1 = 0. Tìm trên d một điểm M và trên (C) điểm M’ sao cho MM ' = AB . HD Giải
Ta có AB = (4; 0) , T : M(x, y) → M '(x ', y ') , nên ta có biểu thức toạ độ theo T : AB ABx ' = x + 4 x = x '− 4  ⇔ 
. T : d → d ' , phương trình đường thẳng d’: x + y – 5 = 0. y ' = yy = y ' AB
Ta có M ∈ d ⇒ M '∈ d ' và M '∈ C
( ) , nên toạ độ của điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình :
x + y − 5 = 0 x = 3, y = 2  ⇔ (   x 2 − 3) + (y 2 −1) = 1 x = 4, y = 1
Vậy M1’(3, 2) thì M1(-1,2) và M2’(4,1) thì M2(0,1). 3 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.8.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-3, 3) và B(-1, 6).
a) Tìm toạ độ điểm M’ là ảnh của M(4, -5) qua phép tịnh tiến T ; ABx = 4 + t 2
b) Xác định phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d:  qua phép tịnh y = 7 − + t 3 tiến T ; AB
c) Xác định phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0 qua
phép tịnh tiến T . AB
Bài 2.9. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ u(−1;2) , hai điểm A(3;5), B(-1;1) và đường thẳng d có phương
trình x – 2y + 3 = 0.
a) Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ u ;
b) Tìm toạ độ điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ u ;
c) Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ u .
Bài 2.10. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính R nằm về một phía đối với đường thằng
AB. Lấy điểm M trên (C), rối dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C)
Bài 2.11. Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD .
Bài 2.12. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo
vectơ AG . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A. 4 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa
Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua d. -
Kí hiệu: Đd (Đường thẳng d gọi là trục đối xứng) -
Nếu M ∈ d thì Đ ' ≡ d(M) = M M -
Nếu M ' ∉ d thì d là đường trung trực của đoạn MM’. Như vậy M’ = Đ ⇔ ' = − d(M) M M M M 0 0 ,
với M0 là hình chiếu của M trên d -
M’ = Đd(M) ⇔ M = Đd(M’)
2. Trục đối xứng của một hình
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nều Đd biến H thành chính nó. Khi đó H được gọi
là hình có trục đối xứng. 3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, với mỗi điểm M(x; y).
Gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’)  ' = • x x
Nếu chọn d là trục Ox nghĩa là ĐOx (M) = M’ khi đó ta có:  y ' = −y  ' = − • x x
Nếu chọn d là trục Oy nghĩa ĐOy (M) = M’ khi đó ta có:  y ' = y • 2 2
Nếu chọn d là đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0 với A + B ≠ 0 . 
2A(Ax + By +C) x ' = x −  A2 + B2
Đd(M) = M’, khi đó ta có  2 
B(Ax + By + C) y ' = y −  A2 + B2 4. Tính chất Phép đối xứng trục -
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì; -
Biến đường thẳng thành đường thẳng; -
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó; -
Biến tam giác thành tam giác bằng nó; -
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. B. BÀI TẬP
Bài 3.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;-2) và B(3;1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua
phép đối xứng trục Ox. HDGiải x ' = x
Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox, ta có biểu thức toạ độ  y ' = −y
Do đó ĐOx (A) = A’(1;2), ĐOx (B) = B’(3;-1) và ĐOx (AB) = A’B’: 3x + 2y – 7 = 0.
Bài 3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình của
đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy. HDGiải x ' = −xx = −x '
Cách 1. Lấy điểm bất kì M(x; y) ∈ d . Gọi M’ = Đ  ⇒
d(M) = (x’; y’). Khi đó  y ' = yy = y ' 5 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Ta có M ∈ d ⇔ −3x '− y '+ 2 = 0 ⇔ M’ thuộc đường thẳng d’ có phương trình 3x’ + y’ – 2 = 0.
Vậy d’: 3x + y – 2 = 0. Cách 2.
Lấy hai điểm A(0;2) và B(-1;-1) thuộc d. Gọi A’ = Đd(A) = (0;2) và B’ = Đd(B) = (1;-1)
Khi đó d’ = ĐOy(d) thì d’ qua hai điểm A’ và B’.
Vậy d’: 3x + y – 2 = 0.
Bài 3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1;5), đường thẳng d có phương trình x – 2y + 4 = 0 và đường 2 2
tròn (C): x + y − 2x + 4y − 4 = 0
a) Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d. HDGiải
a) Gọi M’, d’ và (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó M’(1;-5). d’: x + 2y + 4 = 0
Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3. Gọi I’ = ĐOx(I) = (1;2). Do đó (C’) là đường tròn có 2 2
tâm I’ và bán kính bằng 3. Vậy (C’): (x −1) + (y − 2) = 9
b) Cách 1. Ta có M ∉ d . Gọi M” = Đd(M) = (x’; y’) 
2A(Ax + By + C)  2.1(1− 2.5+ 4) x ' = x x ' −  = 1− = 3 2 2  A2 + B2  1 + (−2)
Biểu thức toạ độ đối xứng qua trục d:  ⇒  . 2 
B(Ax + By + C) 2.(  −2)(1− 2.5 + 4) y ' = y − y ' = 5 − = 1  A2 + B2 2 2  1 + (−2) Vậy M’’(3;1)
Cách 2. (Vận dụng ND ĐN)
Ta có M ∉ d . Gọi d1 là đường thẳng qua M và vuông góc với d. Vậy d1: 2x + y – 7 = 0
x − 2y + 4 = 0 x = 2
Gọi giao điểm của d và d  ⇔
1 là M0 có toạ độ thoả mãn hệ phương trình 
2x + y − 7 = 0 y = 3 Vậy M ⇔ ' = −
0(2;3). Gọi M” = Đd(M) = (x’; y’) M M M M 0 0
. Từ đó suy ra M”(3; 1)
Bài 3.4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho đường thẳng d: 2x – y – 3 = 0.
a) Tìm ảnh điểm M’ của điểm M(4; -1) qua phép đối xứng trục Đd.
b) Viếi phương trình đường thẳng d1’ là ảnh của d1: x – 3y + 11 = 0 qua phép Đd.
c) Viết phương trình (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 10x – 4y + 27 = 0 qua phép Đd. HDGiải
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Đd: 
4(2x − y − 3)  3 4 12 x ' = x − x ' = − x + y +  5  5 5 5  ⇔  2(2  x − y − 3) 4 3 6 y ' y  = +
y ' = x + y −  5  5 5 5  4 7  a) Đ '− ;
d:M(4; -1) → M’(x’; y’). Suy ra M 5 5   
b) Lấy điểm tuỳ ý M(x; y) ∈ d ( ; )∈ → '( '; ')∈ 1 . Đd: M x y d M x y d' 1 1 và ngược, nên ta có  3 4 12  3 4 12 x ' = − x + y + x = − x '+ y '+  5 5 5  5 5 5  ⇒  4 3 6 4 3 6 y' x y  = + −
y = x '+ y '−  5 5 5  5 5 5
Thay vào d1 ta có được phương trình đường d1’: 3x + y – 17 = 0.
c) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(5; 2) và bán kính R = 2 . Do đó Đd: I(5; 2) → I’(1; 4) Khi đó Đ =
d: (C) → (C’) có tâm I’ và bán kính R 2
Vậy (C’): (x – 1)2 + (y – 4)2 = 2 6 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 3.5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho điểm M(3; -5), đường thẳng ∆ : 3x – 2y – 6 =
0 và đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của M, đường thẳng ∆ và đường tròn (C) qua
phép đối xứng trục d:
a) d là trục hoành b) d là trục tung
c) d là đường thẳng x – y + 1 = 0. HDGiải x ' = x
a) Khi d là trục hoành, nên biểu thức toạ độ của Đd:  y ' = −y
Đd :M → M’ nên M’(3; 5) Đ ∆ d: ∆ →
' nên có phương trình: 3x + 2y – 6 = 0
Đd: (C) → (C’) nên có phương trình: x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0. x ' = −x
b) Khi d là trục tung, nên biểu thức toạ độ của Đd:  y ' = y
Đd :M → M’ nên M’(-3; -5) Đ ∆ d: ∆ →
' nên có phương trình: 3x + 2y + 6 = 0
Đd: (C) → (C’) nên có phương trình: x2 + y2 + 2x + 4y – 4 = 0. x ' = y −1
c) Khi d là đường thẳng x – y + 1 = 0 nên có biểu thức toạ độ của Đd:  y ' = x +1
Đd :M → M’ nên M’(-6; 4) Đ ∆ d: ∆ →
' nên có phương trình: 2x – 3y + 11 = 0
Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 3. Do đó Đd :I → I’ nên I’(-3; 2)
Đd: (C) → (C’) có tậm I’ và bán kính bằng 3.Vậy (C’): x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0.
Bài 3.6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho hai đường thẳng d1: x – 5y + 7 = 0 và d2: 5x –
y – 13 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2. HDGiải
Phương trình đường thẳng d1: x – 5 y + 7 = 0 và d2: 5x – y – 13 = 0. Suy ra d1 và d2 cắt nhau nên phép đối
xứng trục biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2 có trục là đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2.
Phưong trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 là: x − 5y + 7 5x − y −13 x − 5y + 7 5x − y −13
x + y − 5 = 0 = ⇔ = ± ⇔  1+ 25 25 +1 26 26
x − y −1 = 0
x ' = −y + 5
Khi d có phương trình x + y – 5 = 0 ta có biểu thức toạ độ Đd: 
y ' = −x + 5 x ' = y +1
Khi d có phương trình x – y – 1 = 0 ta có biểu thức toạ độ Đd:  y ' = x −1
Bài 3.8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy cho hai đường thẳng d1: x + 3y – 6 = 0 và d2: 3x +
y + 2 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2. HDGiải
Trục đối xứng biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2 là trục d: Đường phân giác của góc tạo bởi d1 và x + 3y − 6 3x + y + 2 x + 3y − 6 3x + y + 2
x − y + 4 = 0 d = ⇔ = ± ⇔ 2 :  1+ 9 9 +1 10 10
x + y −1 = 0 Bài 3.9. ∈
Cho đường thẳng a và hai điểm A, B. Hãy tìm điểm M
a sao cho: MA + MB đạt giá trị nhỏ
nhất khi A và B nằm cùng một phía đối với a. HDGiải 7 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục Đa. M là điểm bất kì A thuộc a ta có:
MA ' = MA ⇒ MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B Do đó MA + MB đạt B
giá trị nhỏ nhất khi bằng A’B I
Điều này xảy ra ki và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng nghĩa là M là a M M'
giao điểm của A’B với a.
Vậy: MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M trùng với M’ là giao
điểm của A’B và đường thẳng a. A'
Bài 3.10. Trong mặt phẳng hệ trụa toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4), Tìm điểm M trên trục
hoành sao cho MA + MB bé nhất. HDGiải
Ta có yA.yB > 0 nên A, B nằm cùng phía đối với Ox.
Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox và M(x; 0). Suy ra A’(1; -2)
Ta có MA + MB = MA’ + MB ≥ A ' B
Vậy (MA + MB) nhỏ nhất ⇔ (MA’ + MB) nhỏ nhất ⇔ MA '+ MB = A ' B
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng. (1)
Ta lại có: A ' B = (2;6), A ' M = (x −1;2) 5  5 
Do (1) ⇔ A ' B cùng phương A ' M ⇔ 2.2 − 6(x −1) = 0 ⇔ x =  ; 0 3 . Vậy M 3   
Bài 3.11. Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên Ox và điểm C
trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. HDGiải
Xét tam giác bất kì ABC có B và C lần lượt nằm O
trên hai tia Ox và Oy. Gọi A’ và A’’là các điểm đối
xứng của A qua các đường thẳng Ox, Oy. Gọi 2p
là chu vi của tam giác ABC A'' B Ta có C 2 A'
p = AB + BC + CA = A' B + BC + CA" ≥ A ' A" .
Dấu bằng xảy ra khi bốn điểm A’, B, C, A” thẳng hàng.
Suy ra chu vi của tam giác ABC bé nhất phải lấy B A
và C lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng A’A”
với hai tia Ox, Oy.(các giao điểm này tồn được vì
góc xOy nhọn) Bài 3.12.
Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng
minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn. HDGiải
Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và đường tròn A (O). Ta có
BAH = HCB (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
BAH = BCH ' (cùng chắn một cung) O
Vậy tam giác CHH’ cân tại C, suy ra H đối xứng với H’ qua H đường thẳng BC.
Khi A chạy trên đường tròn (O) thì H’ cũng chạy trên đường B C
tròn (O). Do đó H phải chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) H'
qua phép đối xứng qua đường thẳng BC. O' 8 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp Bài 3.13.
Cho đường thẳng d qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d. Hãy xác định
trên d hai điểm M và N sao cho MN = PQ và AM + BN bé nhất. HDGiải
Giả sử hai điểm M và N nằm trên d sao cho MN = PQ . Lấy điểm A’ sao cho AA ' = PQ thì A’ hoàn toàn
xác định và AMNA’ là hình bình hành nên AM = A’N
Vậy AM + BN = A’N + AN, như thế bài toán trở về bài 3.9.
Khi điểm N xác định được thì điểm M cũng xác định được với điều kiện MN = PQ B A A' P Q d M N
Bài 3.14. Cho tam giác ABC. Gọi d là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC và M là một
điểm bất kì thuộc d. Chứng minh rằng tam giác MBC có chu vi không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC. HDGiải
Gọi C’ là ảnh của C đối xứng qua trục d. Khi đó C'
hiển nhiên A nắm giữa B và C’.
Với mọi M ∈ d , ta có MC = MC’ và
MB + MC = MB + MC ' ≥ BC ' d
Mà BC ' = AB + AC ' = AB + AC M
Vậy MB + MC + BC ≥ AB + AC + BC . Điều này A
chứng tỏ rằng, tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. B C
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.15. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có phương trình:
(C1): x2 + y2 – 4x + 5y + 1 = 0; (C2): x2 + y2 + 10y – 5 = 0. Viết phươg trình ảnh của mỗi đường tròn trên
qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 2.16. Cho hai đường thẳng c, d và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó. Hãy dựng điểm C
trên c, điểm D trên d sao cho tứ giác ABCD là hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy (không cần biện luận) 9 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
§4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa -
Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho
I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I. - Kí hiệu : ĐI - Từ định nghĩa suy ra: Đ ⇔ ' = − I(M) = M’ IM IM - Từ đó suy ra:
Nếu M ≡ I thì M ' ≡ I
 Nếu M không trùng với I thì ĐI(M) = M’ ⇔ I là trung điểm của MM’
 ĐI(M) = M’ ⇔ ĐI(M’) = M
2. Tâm đối xứng của một hình
Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi
đó H được gọi là hình có tâm đối xứng. 3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng Oxy, Cho điểm I = (a; b). Gọi M = (x;y) và M’= ĐI(M) = (x’; y’)
Trường hợp 1: Khi tâm đối xứng I trùng với gốc toạ độ O(0; 0) x ' = −x Đ : ( , ) → '( ', ') O M x y
M x y khi đó : y' = −y
Trường hợp 2: Khi tâm đối xứng I (a,b)
x ' = 2a − x Đ : ( , ) → '( ', ') I M x y
M x y khi đó : y' = 2b− y 4. Các tính chất Phép đối xứng tâm -
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì; -
Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho; -
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho; -
Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho; -
Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. B. BÀI TẬP
Bài 4.1.Giả sử phép đối xứng tâm ĐO biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Chứng minh
a) Nếu d không đi qua tâm đối xứng O thì d’ song song với d, O cách đều d và d’
b) Hai đường thẳng d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi d đi qua O. HDGiải
a) Kẻ OH ⊥ d (H ∈ d) thì vì d không đi qua d d'
O nên H không trùng với O. Phép ĐO(H) =
H’ thì O là trung điểm của HH’ và biến
đường thẳng d thành đường thẳng d’ O H' H
vuông góc với OH’ tại H’. Suy ra d và d’
song song, cách đều điểm O.
b) Nếu d không qua O thì theo câu a), d’ // d nên d’ không trùng d. Nếu d đi qua O thì mọi điểm
M ∈ d biến thành M '∈ d . Vậy d’ trùng với d.
Bài 4.2. Chỉ ra tâm đối xứng của các hình sau dây:
a) Hình gốm hai đường thẳng cắt nhau 10 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
b) Hình gồm hai đường thẳng song song
c) Hình gồm hai đường tròn bằng nhau d) Đường elip e) Đường hypebol HDGiải
a) Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường thẳng.
b) Tâm đối xứng là những điểm cách đều hai đường thẳng
c) Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn
d) Tâm đối xứng là trung điểm nối hai tiêu điểm của elip.
e) Tâm đối xứng là trung điểm nối hai tiêu điểm của hypebol.
Bài 4.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 =0 . Tìm
ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O. HDGiải x ' = −x
Gọi A’ = ĐO(A) = (x’; y’). Theo biểu thức toạ độ, ta có  . Vậy A’(1; -3) y ' = −y Gọi d’ = ĐO(d)
Cách 1. Lấy một điểm tuỳ ý M(x; y) ∈ d . Khi đó ta có M’ = ĐO(M) = (x’; y’), nên thay x = - x’, y = - y’
vào phương trình của d. Ta có ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là d’: x – 2y – 3 = 0.
Cách 2. Lấy điểm B(−3; 0)∈ d . Khi đó B’ = ĐO(B) = (3;0) thuộc d’
d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O nên d’ song song hoặc trùng với d. Do đó d’: x – 2y + c = 0
B '∈ d ' suy ra c = - 3. Vậy d’: x – 2y – 3 = 0.
Cách 3. Lấy hai điểm phân biệt M, N thuộc d và xác định ảnh của nó qua phép đối xứng tâm O, khi đó
đường thẳng d’ qua hai điểm M’ và N’.
Bài 4.4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho hai điểm I(1; 2), M(-2; 3), đường thẳng d
có phương trình 3x – y + 9 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0. Hãy xác định toạ độ điểm M’,
phương trình đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d, (C) qua:
a) Phép đối xứng qua gốc toạ độ
b) Phép đối xứng qua tâm I HDGiải
a) Gọi M’, d’, (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O. Dùng biểu thức toạ độ
của phép đối xứng qua gốc toạ độ O ta có:
M’(2; -3), phương trình của d’: 3x – y – 9 = 0, phương trình đường tròn (C’): x2 + y2 - 2x + 6y + 6 = 0
b) Gọi M’, d’, (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng tâm I. Dùng biểu thức toạ độ
của phép đối xứng qua tâm I ta có: M’(4; 1)
Vì d’ song song với d nên d’: 3x – y + c = 0, lấy điểm N(0; 9) thuộc d. Khi đó ảnh của N qua phép đối
xứng tâm I là N’(2; -5) thuộc d’. Từ đó suy ra c = -11
Vậy d’: 3x – y – 11 = 0.
Đường tròn (C) có tâm J(-1; 3) và bán kính R = 2. Ảnh J qua phép đối xứng tâm I là J’(3; 1). Vậy
phương trình (C’): (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4
Bài 4.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x – 2y + 2 = 0 và d’ có phương trình x
– 2y – 8 = 0. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó. HDGiải
Giao điểm của d và d’ với Ox là A(-2; 0) và A’(8; 0). Gọi I(a; b) là tâm của phép đối xứng
x ' = 2a − x 8  = 2a + 2 a = 3 Ta có Đ : ( , ) → '( ', ')  ⇔  ⇒ I A x y A x y khi đó : 
y ' = 2b − y 0 = 2b + 0 b = 0
Vậy phép đối xứng qua tâm I(3; 0) là phép cần tìm.
Bài 4.6. Cho đường tròn (O,R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ sao cho
MM ' = MA + MB . Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên (O,R). HD Giải
Gọi I là trung điểm của AB thì I cố định và MA + MB = 2MI . 11 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Bởi vậy, MM ' = MA + MB ⇔ MM ' = 2MI nghĩa là I là trung điểm của MM’ hay ĐI(M) = M’
Vậy khi M chạy trên đường tròn (O,R) thì quỹ tích M’ là ảnh của đường tròn đó qua ĐI
Nếu ta gọi O’ điểm đối cứng của O qua điểm I thì quỹ tích của M’ là đường tròn (O’,R). M O A I B O' M'
Bài 4.7. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O, R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó.
Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định. HDGiải
Ta vẽ đường kính AM của đường tròn. Khi đó A
BH // MC ( vì cùng vuông góc với AC), và CH
// BM (vì cùng vuông góc với AB) hay BHCM là hình bình hành
Nếu gọi I là trung điểm của BC thì I cũng là trung điểm của MH. H O
Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H
Khi A chạy trên (O, R) thì M chạy trên đường
tròn (O; R). Do đó, H nằm trên đường tròn là I C B
ảnh của đường tròn (O, R) qua phép đối xứng tâm I. M
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 4.8. Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục gíc đều, hình nào có tâm đối xứng ?
Bài 4.9. Tìm một hình có vô số tâm đối xứng
Bài 4.10. Cho tứ giác ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm D.
Bài 4.11. Chứng minh rằng trong phép đối xứng tâm I nếu điểm M biến thành chính nó thì M phải trùng với I.
Bài 4.12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm I(2; -3) và đường thẳng d có phương trình 3x + 2y – 1 =
0. Tìm toạ độ điểm I’ và phương trình của đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của I và đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.
Bài 4.13. Cho đường tròn (O;R), đường thẳng ∆ và điểm I. Tìm điểm A trên (O;R) và điểm B trên ∆ sao
cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. 12 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp §5. PHÉP QUAY
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa -
Trong mặt cho một điểm O cố định và góc lượng giác ϕ không đổi. Phép biến hình biến điểm O
thành chính nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng O
( M,OM ') = ϕ được gọi là phép quay tâm O góc quay ϕ . -
Điểm O gọi là tâm quay, ϕ gọi là góc quay. - Kí hiệu: ϕ ( Q hoặc Q O,ϕ ) 0 -
Chiều dương của phép quay ( Q
theo chiều dương của đường tròn lượng giác. Ngược lại là O,ϕ )
chiều âm và còn kí hiệu ( Q O,−ϕ) Nhận xét:
Phép quay tâm O, góc quay ϕ = π + k2π ,k ∈ ℤ chính là phép đối xứng tâm O
Phép quay tâm O, góc quay ϕ = k2π ,k ∈ ℤ , chính là phép đồng nhất. 2. Tính chất Phép quay -
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì; -
Biến một đường thẳng thành đường thẳng; -
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho; -
Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho; -
Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
Chú ý: Giả sử phép quay tâm I góc quay ϕ biến đường thẳng d thành d’. Khi đó: π
Nếu 0 < ϕ ≤ 2 thì góc giữa d và d’ bằng ϕ π Nếu < ϕ < π − 2
thì góc giữa d và d’ bằng π ϕ
3. Biểu thức toạ độ của phép quay.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, xét phép quay ( Q I,ϕ)
Trường hợp 1: Khi tâm quay I trùng với gốc toạ độ O:
x ' = x cosϕ − y sinϕ ( Q
: M(x, y) → M '(x ',y') khi đó :  O,ϕ )
y ' = x sinϕ + y cosϕ
Trường hợp 2: Khi tâm quay I ( x , y 0 0 )
x '− x = (x − x )cosϕ − (y − y )sinϕ 0 0 0 ( Q
: M(x, y) → M '(x ',y') khi đó :  I ,ϕ ) y '
 − y = (x − x )sinϕ + (y − y ) cosϕ 0 0 0 B. BÀI TẬP
Bài 5.1. Cho hình vuông ABCD tâm O.
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 900.
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900. HDGiải
a) Gọi E là điểm đối xứng với C qua tâm D.
góc 900 là đường thẳng CD. Khi đó ( Q ( ) = 0 C E A,90 ) b) ( Q ( ) = , ( ) = . Vậy ảnh 0 B C Q 0 C D O,90 ) (O,90 )
của đường thẳng BC qua phép quay tâm O 13 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp D E C O A B
Bài 5.2. Cho phép quay Q tâm O với góc quay ϕ và cho đường thẳng d. Hãy nêu cách dựng ảnh d’ của d
qua phép quay Q . HDGiải
Ảnh của đường thẳng d qua phép quay ( Q có thể dựng như sau: O,ϕ )
Cách 1. Lấy hai điểm A, B phân biệt trên d, rối dựng ảnh A’, B’ của chúng. Đường thẳng d’ là đường
thẳng đi qua A’ và B’.
Cách 2. Trong trường hợp d không đi qua O. gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, dựng H’ là ảnh
của H. Đường thẳng vuông góc với OH’ tại H’ chính là ảnh d’ của d. π
Từ cách dựng trên, ta suy ra: Phép quay với góc quay ± 2 biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ vuông góc với d.
Bài 5.3. Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, OA. Tìm ảnh của tam
giác AMN qua phép quay tâm O, góc quay 900. HDGiải Xét phép quay A M B Q : → , → ' ⇒ Q : → ' 0 N N 0 A D M M . N (O,90 ) (O,90 )
là trung điểm của OA thì N’ là trung điểm của N OD. Suy ra: Q : ∆ → ∆ ' ' M' 0 AMN DM N và (O,90 ) O
∆AMN = ∆DM ' N ' N' D C
Bài 5.4. Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng
AB’ và nằm ngoài đường thẳng A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác OAA’ và OBB’.
Chứng minh GOG’ là tâm giác vuông cân. HDGiải π B
Gọi Q là phép quay tâm O, góc quay 2 ( bằng góc lượng giác (OA,OB)). Khi đó Q (A) = B,Q
(A') = B'. Do đó  π   π  A'O,  O, 2 2      Q O ( AA') = OBB'.  π  O, 2    G' G Bởi vậy, Q G
( ) = G' . Suy ra OG = OG’ và  π  O, 2    B' O A π GOG ' = 2
Vậy GOG’ là tam giác vuông cân tại đỉnh O.
Bài 5.5. Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của
đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 600
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC. Chứng minh tam giác BMN đều. HDGiải 14 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp a) Xét phép quay Q , khi đó : B 0 ( ,60 ) F Q : → , → 0 E A C F (B,60 ) ⇒ Q : → E 0 EC
AF . Suy ra EC = AF và ( M O,60 ) (EC,AF) = 600. N b) Ta có Q : → 0 N
M , N là trung điểm (B,60 )
của EC và M là trung điểm của AF. C A B Nên BN = BM và NBM 0 = 60 . Do đó BMN là tam giác đều.
Bài 5.6. Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB.
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 600 HDGiải a) A F ( Q : → , → , → ⇒ : → 0 F B A C B D Q 0 I J O,120 ) (O,120 )
với J là trung điểm của CD. I Vậy ( Q : ∆ → ∆ 0 AIF CJB O,120 ) O B E
b) Phép quay tâm E góc 600 biến A, O, F lần lượt thành C, D, O. Vậy ( Q : ∆ → ∆ 0 AOF CDO E,60 ) C J D
Bài 5.7. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và
gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng.
a) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D
b) Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ. HDGiải a) Xét phép quay ( Q :
→ , → . Do đó MB bằng và vuông góc với AI 0 M A B I C ,90 )
Trong tam giác ABM, có DP song song và bằng nửa BM và trong tam giác BAI có DO song song và
bằng nửa AI. Từ đó suy ra DP bằng và vuông góc với DO. Hay tam giác DOP vuông cân tại D. b) Xét phép quay ( Q
: → , → . Do đó OA bằng và vuông góc với PQ. 0 O P A Q D,90 ) N F A P M Q D E C B O J I
Bài 5.8. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam của tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông
cân tại A. Gọi I, M và J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC và CF. Chứng minh rằng tam giác IJM là tam giác vuông cân. HDGiải
Xét phép quay tam A góc quay 900. 15 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp ( Q
: → , → .Từ đó suy EC = BF và 0 E B C F A,90 ) F EC ⊥ BF E
Vì IM là trung bình của tam giác BEC nên IM // 1 EC và IM = EC 2 J I 1 A
Tương tự, ta có MJ // BF và MJ = BF 2 . Từ đó
suy ra IM = MJ và IM ⊥ MJ B M C
Vậy tam giác IMJ là tam giác vuông cân tại M.
Bài 5.9. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía
ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn cố định. HDGiải
Xét phép quay tâm B góc quay 900. Khi đó F ( Q
( ) = . Khi A chạy trên nửa đường tròn 0 A E B,90 ) O' A
(O), E chạy trên nửa đường tròn (O’) là ảnh của
nửa đường tròn (O) qua phép quay tâm B, góc E quay 900. O B C
Bài 5.10. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi 1
M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với FK và AM = FK 2 . HDGiải
Gọi D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm A. Khi D đ K
ó AD = AB = AF và AD ⊥ AF Xét ( Q
: → , → . Do đó DC = FK và 0 D F C K A,90 ) F DC ⊥ FK A
Vì AM là đường trung bình của tam giác BCD nên I 1
AM // CD và AM = CD 2 E 1
Vậy AM vuông góc với FK và AM = FK B M C 2 Bài 5.11. π
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho phép quay tâm O góc quay 4 .
Tìm ảnh qua phép quay Q của:  π  O, 4    a) Điểm A(2, 2)
b) Đường tròn (C): (x – 1)2 + y2 = 4 HDGiải
Biểu thức toạ độ của phép quay Q
: M(x, y) → M '(x ',y') là:  π  O, 4    π π   2
x ' = x cos − y sin   x '  ' = cosϕ − sin =   (x −y x x y ) ϕ 4 4 2  ⇔  ⇔ 
y ' = x sinϕ + y cosϕ  π π  2 y ' = x sin + y cos y '  4 4 =  (x + y)  2 16 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp  2 x ' =  (2−2) x'= 0 2 a) Q
: A(2,2) → A'(x ',y') thì  ⇔  . Vậy A (0,2 2)  π  O,  2  ' = 2 2 4  y   y ' =  (2+2)  2
b) Đường tròn (C) có tâm I(1, 0) và bán kính R = 2. Q
: I(1,0) → I '(x ',y ');Q : C ( ) → C ( ')  π   π  O,  O, 4 4      2 2  2 2   2   2 
với (C’) là đường tròn tâm I ' ,   −  +  −  = 4  2
2  và có bàn kính R’ = 2. Vậy (C’): x y       2 2     Bài 5.12.
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho phép quay Q .  π  O, 4   
a) Viết biểu thức toạ độ của phép quay đó.
b) Viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 6y + 14 = 0 qua phép quay Q .  π  O, 4   
c) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d: x + y – 2 = 0 qua phép quay Q π  O, 4    HDGiải
a) Biểu thức toạ độ của phép quay Q
: M(x, y) → M '(x ',y') là:  π  O, 4    π π   2
x ' = x cos − y sin   x '  ' = cosϕ − sin =   (x −y x x y ) ϕ 4 4 2  ⇔  ⇔ 
y ' = x sinϕ + y cosϕ  π π  2 y ' = x sin + y cos y '  4 4 =  (x + y)  2
b) đường tròn (C) có tâm I(3, -3) và bán kính R = 2, nên Q
: I(3,−3) → I '(x ',y')  π  O, 4   
Do đó I '(3 2,0). Vậy: Q : C ( ) → C
( ') , với (C’) có tâm I’ và bán kính R’ = 2 là:  π   O, 4    2 2
Vậy (C’): (x −3 2) + y = 4
c) Lấy điểm M(1;1) ∈ d và OM ⊥ d . Gọi M’ là ảnh của M quay phép quay Q thì M '(0; 2)  π  O, 4   
Từ đó suy ra d’ phải qua M’ và vuông góc với OM’.
Vậy phương trình của d’: y = 2
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 5.13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0.
Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 900.
Bài 5.14. Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ có chung đỉnh O. Gọi C và D lần lượt là trung điểm của
các đoạn thẳng AA’ và BB’. Chứng minh rằng OCD là tam giác đều.
Bài 5.15. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0.
Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 17 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
§6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa -
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. - Nhận xét:
Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình
Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.
2. Tính chất Phép dời hình: -
Biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm đó; -
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó; -
Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó; -
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 3. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. B. BÀI TẬP
Bài 6.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(-3;2), B(-4;5) và C(-1;3).
a) Chứng minh rằng các điểm A’(2;3), B’(5;4) và C’(3;1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay tâm O góc -900.
b) Gọi tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép quay tâm O góc -900 và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác A1B1C1. HDGiải
a) Ta có OA = (−3;2),OA ' = (2;3) và OA O
. A' = 0 . Từ đó suy ra góc lượng giác (OA; OA’) = - 900 .
Mặt khác ta có OA = OA ' = 13 . Do đó phép quay tâm O góc 900 biến A thành A’. Các trường hợp khác tương tự.
b) Gọi A1B1C1 là ảnh của tam giác A’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó A1(2; -3), B1(5; -4), C1(3; -1).
Bài 6.2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD,
DA, KF, HC, KO. Chứng minh rằng hình thang AEJK và FOIC bằng nhau. HDGiải
Gọi G là trung điểm OF. Phép đối xứng qua AEJK và FOIC bằng nhau.
đường thẳng EH biến hình thang AEJK thành hình E B thang BEGF. A
Phép tịnh tiến theo vectơ EO biến hình thang
FOIC thành hình thang FOIC. Nên hai hình thang K F O J G D I C H
Bài 6.3. Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng
biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A’B’C’. HDGiải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC và G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’.
Gọi phép dời hình đó là F. Ta có F(AB) = A’B’, F(BC) = B’C’. Khi đó F(M ) = M '∈ A ' B ', F(N )∈ B 'C '
Vậy F biến trung tuyến AM, CN của tam giác ABC tương ứng thành các trung tuyến A’M’, C’N’ của tam 18 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp giác A’B’C’.
Từ đó suy ra F biến trọng tâm G của tam giác ABC thành trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’ là giao điểm của A’M’ và C’N’.
Bài 6.4. Chứng tỏ rằng hai hình chữ nhật cùng kích thước ( cùng chiều dài và chiều rộng) thì bằng nhau. HDGiải
Giả sử hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có AB = CD = A’B’ = C’D’, AD = BC = A’D’ = B’C’.
Khi đó ABC và A’B’C’ là hai tam giác vuông bằng nhau, do đó có phép dời hình F : ∆ABC → ∆A ' B 'C '
và F biến trung điểm O của AC thành trung điểm O’ của A’C’. Nhưng vì O và O’ lần lượt là trung điểm
của BD và B’D’ nên F cũng biến D thành D’.
Vậy F biến ABCD thành A’B’C’D’, nên theo định nghĩa, hai hình chữ nhật đó bằng nhau.
Bài 6.5. Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình bằng nhau. HDGiải
Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành
Suy ra: Đường thẳng OO’ chia mỗi hình bình
thì chia hình bình hành đó thành hai phần bằng
hành ABCD và A’B’C’D’ thành hai hình bằng
nhau, vì phép đối xứng qua tâm O sẽ biến phần nhau. này thành phần kia. C A
Ta xét hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ lần lượt có tâm O, O’. O A' D'
Ta có O, O’ lần lượt là tâm đối xứng của hình O'
bình hành ABCD và A’B’C’D’ nên đường thẳng B D
bất kì qua tâm thì chia hình bình hành đó thành hai B' C' hình bằng nhau.
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 6.6. Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho v(2; 0) và điểm M (1; 1).
a) Tìm toạ độ điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép đối xứng trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ v .
b) Tìm toạ độ điểm M’’ là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xứng trục Oy.
Bài 6.7. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ v(3;1) và đường thẳng d có phương trình 2x – y = 0. Tìm ảnh
của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ v . 19 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp §7. PHÉP VỊ TỰ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa
Cho một điểm O cố định và một số k không đổi, k ≠ 0 . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M’ sao cho OM ' = kOM đựơc gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Kí hiệu: V V
: M → M ' ⇔ OM ' = kOM
(O,k ) . Như vậy (O,k) Nhận xét -
Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó. -
Khi k > 0, M và M’ nằm cùng phìa đối với O. -
Khi k < 0, M và M’ nằm khác phía đối với O. -
Khi k = - 1, M và M’ đối xứng với nhau qua tâm O nên V( = Đ O,−1) O -
Khi k = 1, thì M ≡ M ' nên phép vị tự là phép đồng nhất - V
(M) = M ' ⇔ V (M ') = M (O,k) 1 (O, ) k
2. Các tính chất của phép vị tự
a. Định lí 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì:
M ' N ' = k MN và MN = k MN
b. Phép vị tự tỉ số k: -
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy; -
Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng
đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với k ; -
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho và tỉ số đồng dạng là k , biến góc thành góc bằng nó; -
Biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k .R. 3. Biểu thức toạ độ.
Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho phép vị tự V I x , y (I ,k) với ( 0 0 )
x ' = kx + (1− k)x0 Ta có: V
: M(x, y) → M '(x ', y') ⇔ IM ' = kIM ⇔ (  I ,k ) y ' 
= ky + (1− k)y0 x ' = kx
Khi I ≡ O thì  y ' = ky B. BÀI TẬP
Bài 7.1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 4 = 0.
a) Hãy viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.
b) Hãy viết phương trình đường thẳng d = −
2 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k 2 HDGiải
a) Lấy hai điểm A(0; 4) và B(2; 0) thuộc d. Gọi A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A và B qua phép vị tự
tâm O tỉ số k = 3. Khi đó A’(0; 12) và B’(6; 0). d1 chính là đường thẳng qua hai điểm A’ và B’
nên có phương trình 2x + y – 12 = 0. b) Vì d ' = ( )
2 // d: 2x + y – 4 = 0 nên d2: 2x + y + c = 0. Lấy điểm A(4; 0) thuộc d và gọi A ( V A . I ,−2)
Khi đó ta có A '(−3; −2)∈ d2 nên suy ra c = 8. Vậy d2: 2x + y + 8 = 0.
Bài 7.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho phép vị tự tâm I(1; 3), tỉ số k = −2 . Tìm ảnh của các đường sau qua
phép vị tự V(I,k)
a) Đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0
b) Đường tròn (C): (x – 2)2 + (y + 1)2 = 3 20 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
c) Parabol (P): y = x2 – 3x + 2 HDGiải  −x '+ 3 x =
x ' = −2x + 3  2 V
: M(x, y) → M '(x ',y')  ⇒ (
có biểu thức toạ độ:  (*) I ,k )
y ' = −2y + 9  −y '+ 9 y =  2 a) V
: M(x, y)∈d → M '(x ',y')∈ d ' (
. Thay (*) vào phương trình của d, ta có:2x’ + y’ – 13 = 0 I ,k )
Vậy phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua V(I,k) là: 2x + y – 13 = 0.
Cách khác: Lấy điểm M(0,1) ∈ d , V
: M(0,1)∈ d → M '(3,7)∈d ' ( I ,k )
Vì phép vị tự biến đường thẳng d thành d’ song song hoặc trùng với d nên d’: 2x + y + c = 0 và M ' ∈ d
nên ta có c – 13. Vậy d’: 2x + y – 13 = 0. b) V
: M(x, y)∈ C
( ) → M '(x ', y')∈ C ( ') ( . I ,k )
Thay (*) vào phương trình đường tròn (C) ta có: (x’ + 1)2 + (y’ – 11)2 = 12
Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)2 + (y – 11)2 = 12
Cách khác: Tâm và bán kính của (C): J(2, - 1), R = 3 V
: J(x, y)∈ C
( ) → J '(x ',y ')∈ C ( ') ⇒ J '( 1 − ,11), R' = 2 3 (I ,k)
Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)2 + (y – 11)2 = 12 1 19 c) V
: M(x, y)∈(P) → M '(x ',y ')∈(P ') ' = − ( ') + (
. Thay (*) vào phương trình (P), ta có : y x 2 I ,k ) 2 2 1 19
Vậy phương trình (P’): y = − x2 + 2 2 2 2
Bài 7.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình ( x − 3) + (y + ) 1 = 9. Hãy viết
phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = - 2. HDGiải
Đường tròn (C) có tâm J(3; -1) và bán kính R = 3. Gọi J ' = ( V (J) nên J’(-3; 8). I ,−2)
Do vậy đường tròn (C’) có tâm là J’ và bán kính R ' = −2 .3 = 6 . 2 2
Vậy (C’): ( x + 3) + (y − 8) = 36
Bài 7.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn (C): x2 + y2 – 10x – 8y + 14 = 0 và (C’): x2 + y2 + 2y
– 11 = 0. Xác định phép vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’). HDGiải
Phương trình đường tròn (C) có tâm và bán kính: I = 3 3 1(5, 4), R1
và đường tròn (C’): I2(0, - 1), R = 2 3 2 .
x ' = kx + (1− k)x0 Xét V
: M(x, y)∈ C
( ) → M '(x ', y')∈ C ( ') (
có biểu thức toạ độ là  I ,k ) y ' 
= ky + (1− k)y0 2 Trong đó I(x = ⇒ = ±
0, y0) là tâm vị tự. Ta có R k R k 2 1 3  2 1 2 x ' = x + x0 •  3 3 Khi k = V : I (5;4)∈ C
( ) → I (0,1)∈ C ( ') 3 thì ta có:  và 2 1 (I ,k) 1 2
y' = y + y0  3 3 2
Nên ta có: x = −10, y = −11 = 0 0
. Vậy phép vị tự có I(-10, -11) và k 3 biến (C) thành (C’). 21 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp  2 5 2
x ' = − x + x0 •  3 3 Khi k = − V V : I (5;4)∈ C
( ) → I (0,1)∈ C ( ') 3 thì ta có:  và 2 5 (I ,k) (I ,k) 1 2 y' = y + y0  −3 3 2
Nên ta có: x = 2, y = 1 V = − 0 0 . Vậy phép vị tự ( biến (C) thành (C’).
I ,k ) có I(2, 1) và k 3
Bài 7.5. Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 3)2 = 1 và
(C’): (x – 3)2 + (y – 4)2 = 4.
Xác định phép vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’). HDGiải
Phép vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) là:
• Tâm vị tự I(-2, 3) và tỉ số vị tự k = 2
• Tâm vị tự I(2, 3) và tỉ số vị tự k = - 2 Bài 7.6.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC và AB. Chứng minh rằng có
một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác MNP. HDGiải 1 1 1
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó: GM = − GA,GN = − GB,GP = − GC 2 2 2 . Suy ra, phép vị tự 1
tâm G, tỉ số k = − 2 biến tam giác ABC thành tam giác MNP. A N P G B M C
Bài 7.7. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự 1
tâm H, tỉ số k = 2 . HDGiải
Ảnh của tam giác A, B, C qua phép vị tự V là A  1   H ,2  
A’, B’ và C’ lần lượt là trung điểm các cạnh HA, A' HB, HC. Vậy V : ∆ → ∆ H
( ABC) A'B'C'  1  H ,2    B B' C' C
Bài 7.8. Tam giác ABC có hai đỉnh B,C cố định còn A chạy trên đường tròn (O,R) cố định không có điểm
chung với đường thẳng BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC. HDGiải 1
Gọi I là trung điểm BC thì I cố định. Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi IG = IA 3 . 1
Như vậy, phép vị tự tâm I tỉ số 3 biến điểm A thành điểm G
Từ đó, suy ra khi A chạy trên đường tròn (O,R) thì quỹ tích G là ảnh của đường 22 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp 1 1
tròn đó qua phép vị tự V, tức là đường tròn (O’,R’) mà IO ' = IO ' = 3 và R R 3 A B G O O' I C
Bài 7.9. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh
rằng GH = − G
2 O ( như vậy khi ba điểm G, H, O không trùng nhau thì chúng cùng nằm trên một đường
thằng, được gọi là đường thẳng Ơ-le). HDGiải
Gọi A’, B’ và C’ lần lượt là trung điểm của các A
cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Ta có OA ' ⊥ BC mà BC // B’C’ nên OA ' ⊥ B 'C ' .
Tương tự, ta cũng có OB ' ⊥ A 'C ' . Vậy O là trực
tâm của tam giác A’B’C’. C' B'
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên O H GA = − G 2 A',GB = 2
− GB' và GC = − G 2 C ' . Bởi G vậy phép vị tự ( V : A
∆ 'B'C ' → A ∆ BC G,−2) B C A'
Điểm O là trực tâm của tam giác A’B’C’ nên ( V
: O → H ⇒ GH = − G
2 O . Điểu này chứng G,−2)
tỏ ba điểm G, H, O thẳng hàng. Bài 7. 10.
Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh AB. Qua M vẽ các đường thẳng song song với trung tuyến
AA1 và BB1 cắt BC, CA tại P và Q. Tìm quỹ tích các điểm S sao cho tứ giác MPSQ là hình bình hành. HDGiải
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của MQ, MP với
Khi M thuộc cạnh AB thì S thuôc đoạn A1B1 là
AA1 và BB1, G là trọng tâm tam giác ABC. Khi
nảh của AB qua V 1 đó:  G,−   2  ME MQ ME BG 2 2 = ⇒ = = ⇒ ME = MQ
Vậy quỹ tích S là đoạn thẳng A1B1. BG BB MQ BB 3 3 1 1 A 2 Q Tương tự: MF = MP 3 E M 2 2 2 B
Ta có : MG = ME + EG =
MQ + MP = MS 1 3 3 3 . G 1 F
Suy ra: GS = − GM S 2
Do đó: S là ảnh của M qua phép vị tự tâm G, tỉ số B A C P 1 1 k = − 2 23 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 7.11.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0. a)
Hãy viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = - 3 1
b) Hãy viết phương trình đường thẳng d = −
2 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k 2 2 2
Bài 7.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình ( x − 2) + (y + 3) = 16 . Hãy viết
phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = - 2. 24 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
§8. PHÉP ĐỒNG DẠNG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Định nghĩa
Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M, N và ảnh M’, N’
tương ứng của chúng, ta luôn có M’N’ = k.MN Nhận xét: -
Phép dời hình là phép đồng dnạg tỉ số 1. -
Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k -
Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng. -
Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là họp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D. 2. Tính chất
Phép đồng dạng tỉ số k: -
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy; -
Biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; -
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho và , biến góc thành góc bằng nó; -
Biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k.R.
Đặt biệt: Phép đồng dạng có một điểm kép O duy nhất là tích giao hoán của một phép vị tự và một phép
quay có cùng tâm O. khi đó, kí hiệu: Z( = Q V . = V Q .
, O được gọi là tâm đồng dạng. O,k ,ϕ )
(O,ϕ) (O,k)
(O,k) (O,ϕ) 3. Hình đồng dạng
Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia
4. Biểu thức toạ độ của phép đồng dạng Z(I,k,ϕ)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, cho phép đồng dạng Z( và M(x; y) I ,k ,ϕ )
Gọi M '(x '; y ') = Z( (M) I ,k ,ϕ )
x' = k (x cosϕ − ysinϕ)
Khi tâm I trùng với gốc toạ độ O, toạ độ điểm M’ là y' = k
(xsinϕ + ycosϕ)
x'− x = k (x
− x )cosϕ − (y − y )sinϕ 0 0 0 
Khi tâm I ( x ,y 0
0 ) , toạ độ điểm M’ là 
y '− y = k (x  
− x )sinϕ + (y − y )cosϕ 0 0 0  B. BÀI TẬP
Bài 8.1. Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L, và J lần lượt là trung điểm cùa
AD, BC, KC, và IC. Chứng minh rằng:
a) Hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau.
b) Hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau. HDGiải
a) Gọi M là trung điểm AB. Phép vị tự tâm đồng dạng với nhau.
C, tỉ số 2 biến hình thang JLKI thành
b) Tương tự: Phép đối xứng tâm I biến
hình thang IKBA. Phép đối xứng qua
hình thang IHDC thành hình thang
đường thẳng IM biến hình thang IKBA 1
thành hình thang IHAB. Do đó phép
IKBA. Phép vị tự tâm C tỉ số 2 biến
đồng dạng có được bằng cách thực hiện
hình thang IKBA thành hình thang
liên tiếp hai phép biến hình trên biến
JLKI. Do đó hai hình thang JLKI và
hình thang JLKI thành hình thang IHAB.
IHDC đồng dạng với nhau.
Từ đó suy hai hình thang JLKI và IHAB 25 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp H D A M I J B K L C
Bài 8.2. Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên 1
tiếp phép vị tự tâm B tỉ số 2 và phép đối xứng qua đường trung trực của BC. HDGiải
Gọi A’, C’ tương ứng là trung điểm của AB và 1 A d
BC. Phép vị tự tâm B, tỉ số 2 biến tam giác ABC
thành tam giác A’BC’. Phép đối xứng qua đường A' A''
trung trực cạnh BC biến tam giác A’BC’ thành
tam giác A’’CC’. Vậy ảnh của tam giác ABC qua
phép đồng đó là tam giác A”CC’. B C' C
Bài 8.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Viế phương trình
đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(- 1
1, -1) tỉ số k = 2 và phép quay tâm O góc -450. HDGiải 1 Gọi d =
1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(-1, -1) tỉ số k
2 . Vì d1 song song hoặc trủng với d nên phương
trình của nó có dạng: x + y + c = 0
Lấy điểm M(1, 1) thuộc d, V
: M → M ' ≡ O ∈ d  1  1  I ,2  
Vậy phương trình của d1: x + y = 0.
Ảnh của d1 qua phép quay tâm O góc -450 là đường thẳng Oy.
Vậy phương trình của d’: x = 0
Bài 8.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: x = 2 2 . Hãy viết phương trình
đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O 1
tỉ số k = 2 và phép quay tâm O góc quay 450. HDGiải 1 Gọi d = =
1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k
2 thì phương trình của d1: x 2 Gọi d’ là ảnh của d 2,0 2,− 2
1 qua phép quay tâm O góc quay 450. Lấy A ( ) và B( ) thuộc d1 thì ảnh
của nó qua phép quay nói trên là A’(1,1) và B’(2,0) thuộc d’.
Vậy phương trình d’: x + y – 2 = 0.
Bài 8.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4. Hãy viết phương trình đường
tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
k = -2 và phép đối xứng trục Ox. HDGiải
Dễ thấy bán kính của (C’) là R’ = 4. Tâm I’ của (C’) là ảnh của tâm I(1,2) của (C) qua phép đồng dạng nói trên. ( V
: I(1,2) → I (−2, 4 − ) và Đ (−2, 4 − ) → '(−2,4) O, 2 − ) 1 Ox: I I 1
Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 2)2 + (y – 4)2 = 16 0
Bài 8.6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, cho ϕ = 45 và k = 2. 26 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
a) Viết biểu thức toạ độ của phép đồng dạng Z(O,k,ϕ)
b) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 3 = 0 qua phép đồng dạng Z( . O,k ,ϕ ) HDGiải
a) Phép đồng dạng Z( = Z : ( ; ) → '( '; ') 0 M x y M x y O,k ,ϕ ) (O,2,45 ) x ' 2  (x 0 cos 45 y 0 sin 45 )  = −
x ' = 2 ( x − y) M’ có toạ độ là  ⇔  (*) y ' = 2  (x 0 sin 45 + y 0 cos 45 ) y' = 2  (x + y)  2 x =  (x′+ y′) 4 b) Z(
: ( ; )∈( ) → '( '; ')∈( '). Từ (*) ta có  thay vào phương trình 0 M x y C M x y C O,2,45 )  2 y =  (x′−y′)  4 2 2
đường tròn (C), ta có được: (x ') + (y') − 2 2x '− 2 2y'−12 = 0 2 2
Vậy phương trình đường tròn (C’): x + y − 2 2x − 2 2y −12 = 0
Cách khác: Tâm và bán kính đường tròn (C) là I(1; 0), R = 2 Khi đó, ta có Z(
: (1;0)∈( ) → '( '; ')∈( ') ⇒ ' 2; 2 và R’ = 2R = 4 0 I C I x y C I O,2,45 ) ( ) 2 2
Vậy phương trình đường tròn (C’): (x − 2) + (y − 2) =16
Bài 8.7. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán
kính 2. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng
cách thực họên liên tiếp phép quay tâm O, góc 450 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2 . HDGiải Phép đồng dạng Z( = Z : (1;1) → '( '; ') 0 I I x y O,k ,ϕ ) (O, 2,45 ) x '  = 2 (x 0 cos45 − y 0
sin 45 ) x' = x − y I’ có toạ độ là  ⇔  ⇒  ' = 2  ( '(0;2) 0 0 sin 45 + cos45 ) I
y ' = x + y y x y
Vậy phương trình của đường tròn tâm I bán kính 2 là phương trình đường tròn tâm I’(0; 2) bán kính
2 2 . Phương trình đó là: x2 + (y – 2)2 = 8.
Bài 8.8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y)
thành điểm M’(2x – 1; – 2y + 3). Chứng minh F là một phép đồng dạng. HDGiải
Lấy điểm N(x1; y1), thì điểm N’(2x1 – 1; -2y1 + 3) = F(N). Ta có
M’N’2 = (2x1 – 2x)2 + (–2y1 + 2y)2 = 4[(x1 – 2)2 + (y1 – y)2] = 4MN2
Từ đó suy ra với hai điểm M, N tuỳ ý và M’, N’ lần lượt là ảnh của chúng qua F ta có M’N’ = 2MN.
Vậy F là một phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng là 2.
Bài 8.9. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. M là một điểm bất kì trên (O). Dựng hình vuông
AMNP có các đỉnh theo chiều dương. Tìm quỹ tích các điểm N. HDGiải (V : M ' → N A, 2 )
Ta có AN = 2AM và góc (AM,AN) = 450 Suy ra: Z = : → 0 V Q 0 M N Phép quay ( Q : → ' và phép vị tự (A, 2,45 ) (A, 2) (A,45 ) 0 M M A,45 )
Vậy M thuộc đường tròn (O), đường kính AB = 27 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
2R nên N thuộc đường tròn (O’) là ảnh của (O)
điểm của cung AB và bán kính R ' = 2R
qua phép đồng dạng Z( có tâm O’ là trung A 0 , 2 ,45 ) N M' O' M P O B A
Bài 8.10. Chứng tỏ rằng phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì trọng tâm, trực
tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC lần lượt thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác A’B’C’. HDGiải -
Gọi D là trung điểm của BC thì phép đồng dạng F biến điểm D thành điểm D’ của đoạn thẳng B’C’và
vì thế trung tuyến AD của tam giác ABC biến thành trung tuyến A’D’ của tam giác A’B’C’. Đối với
hai trung tuyến còn lại cũng thế. Vì trọng tâm tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến nên
trọng tâm G của tam giác ABC biến thành trọng tâm G’ của A’B’C’. -
Gọi Ah là đường cao của tam giác ABC (H ∈ BC) . Khi đó phép đồng dạng F biến đường thẳng AH
thành đường thẳng A’H’. Vì AH ⊥ BC nên A ' H ' ⊥ B 'C ' . Nói cách khác A’H’ là đường cao của tam
giác A’B’C’. Đối với hai đường cao còn lại ta cũng làm như thế. Vì trực tâm là giao điểm của các
đường cao nên trực tâm của tam giác ABC thành trực tâm của tam giác A’B’C’. -
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì OA = OB = OC nên nếu điểm O biến thành O’
thì O’A’ = O’B’ = O’C’ = kOA = kOB = kOC. Do đó O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’.
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 8.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4. Hãy viết phương trình đường
tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
k = 2 và phép đối xứng trục Oy.
Bài 8.13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm I(1; -3) bán kính 2. Viết phương trình ảnh của
đường tròn tâm (I; 2) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiên liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3
và phép đối xứng qua trục Ox.
Bài 8.14. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam
giác HBA thành tam giác ABC. 28 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ AB
b) Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE
c) Qua phép quay tâm O góc 1200. HD Giải
a) Phép tịnh tiến theo vectơ AB biến tam A F giác AOF thành tam giác BCO
b) Phép đối xứng qua đường thẳng BE biến
tam giác AOF thành tam giác DOC
c) Phép quay tâm O góc 1200 biến tam giác O B E AOF thành tam giác COB. C D
Bài 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d: 3x + y + 1 = 0. Tìm ảnh của A và d
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ v(2;1)
b) Qua phép đối xứng trục Oy
c) Qua phép đối xứng qua gốc toạ độ
d) Qua phép quay tâm O góc 900 HDGiải
Gọi A’, d’ lần lượt là ảnh của A và d qua các phép biến hình trên
a) A’(1; 3) và d’: 3x + y – 6 = 0
b) A’(1; 2) và d’: 3x – y – 1 = 0
c) A’(1; -2) và d’: 3x + y – 1 = 0
d) A’(-2; -1) và d’: x – 3y – 1 = 0.
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm I(3; -2) và bán kính R = 3
a) Viết phương trình của đường tròn đó.
b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v(−2;1) .
c) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép đối xứng trục Ox.
d) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép đối xứng gốc toạ độ. HDGiải
a) Phương trình đường tròn (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 9. Gọi (C’) ảnh của đường tròn qua các phép biến hình trên. b) T C ( ) → C
( ') suy ra (C’): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 9. v
c) ĐOx (C) → (C’), suy ra (C’): (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9.
d) ĐO (C) → (C’), suy ra (C’): (x + 3)2 + (y – 2 )2 = 9.
Bài 4. Cho hình chữ nhậ ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó. Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện
liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B, tỉ số 2. HDGiải
Phép đối xứng qua đường thẳng IJ biến tam giác
phép đồng dạng trên biến tam giác AEO thành
AEO thành tam giác BFO. Phép vị tự tâm B tỉ số 2 tam giác BCD.
biến tam giác BFO thành tam giác BCD. Vậy 29 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp I B A E F O D J C
Bài 5. Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi
điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN.
a) Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định.
b) Tìm quỹ tích trọng G của tam giác ABM. HDGiải
a) Vì MN = AB không đổi, nên có thể xem N
là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo
vectơ AB . Do đó khi M chạy trên đường O'
tròn (O) thì N chạy trên đường tròn (O’) là N
ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ B AB .
b) Gọi I là trung điểm của AB và G là trọng O M 1 I G
tâm của tam giác ABC thì IG = IM 3 A  1 
Vậy V I , 3 biến điểm M thành điểm G. Từ  
đó suy ra quỹ tích điểm G là đường tròn ảnh  1 
của (O; R) qua phép vị tự V I , 3.  
Bài 6. Cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d song song với đường thẳng AB. Điểm C chạy trên
đường thẳng d. Tìm tập hợp các trọng tâm của tam giác ABC. HDGiải
Gọi I là trung điểm của AB, khi đó I cố định và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng CI sao 1  1  cho IG = IC  , 3
. Do đó G là ảnh của C qua V I 3    1 
Vậy khi C chạy trên đường thẳng d thì G chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép V I , 3   C d d' G A I B
Bài 7. Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường tròn đó. Với mỗi điểm A thay đổi trên đường
tròn, dựng hình vuông ABCD có tâm I.
a) Tìm quỹ tích điểm C
b) Tìm quỹ tích mỗi điểm B và D
c) Khi điểm I trùng với O, có nhận xét gi về ba quỹ tích trên ? HDGiải
a) Phép đối xứng tâm ĐI biến điểm A thành
tròn (O1) là ảnh của đường tròn (O) qua
điểm C. Vậy quỹ tích điểm C là đường phép đối xứng đó. 30 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp π
b) Phép quay Q tâm I góc quay 2 biến điểm
A thành điểm B và phép quay Q’ tâm I góc O π 2 O quay − B A
2 biến điểm A thành điểm D. Suy
ra quỹ tích B và D lần lượt là đường tròn I
(O2), (O3) là ảnh của đường tròn (O) qua phép quay Q và Q’.
c) Khi I trùng với O thì O1, O2, O3 cũng trùng C D
với O nên ba quỹ tích nói trên đều là đường tròn (O). O O 1 3
Bài 8. Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB.
a) Xét bốn tam giác APN, PBM, NMC, MNP. Tìm một phép dời hình biến tam giác APN lần lượt thành ba tam giác còn lại.
b) Phép vị tự nào biến tam giác ABC thành tam giác MNP ? HDGiải
a) Phép tịnh tiến theo T biến tam giác APN 1 AP = −
biến tam giác ABC thành tam giác thành tam giác PBM. 2
Phép tịnh tiến theo T MNP. biến tam giác APN AN thành tam giác NMC. A
Gọi J là trung điểm của PN. Phép đối xứng
tâm ĐJ biến tam giác APN thành tam giác P J N MNP
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC G 1 1
Ta có GM = − GA,GN = − GB 2 2 và B C M 1 GP = − GC 2
. Vậy phép vị tự tâm G, tỉ số k
Bài 9. Cho đường (O; R) và điểm A cố định. Một dây cung BC thay đổi của (O; R) có độ dài không đổi
BC = m. Tìm quỹ tích điểm G sao cho GA + GB + GC = 0 . HDGiải
Gọi I là trung điểm của BC. ta có 2 B
GA + GB + GC = 0 khi và chỉ khi AG = AI 3 , tức I 2
là phép vị tự tâm A tỉ số 3 biến điểm I thành G C điểm G. Trong tam giác OIB, ta có A O 2   2 2 2 m
OI = OB − IB = R −   = R '  2 
Nên quỹ tích điểm I là đường tròn (O; R’) hoặc là
O (nếu lấy m = 2R). Do đó quỹ tích điểm G là ảnh
của điểm I qua phép vị tự đó.
Bài 10. Cho đường thẳng d và điểm G không nằm trên d. Với hai điểm A, B thay đổi trên d, ta lấy điểm C
sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm C. 31 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp HDGiải
Gọi M là trung điểm của AB thì phép vị tự V tâm G tỉ số k = - 2 biến điểm M thành điểm C. Vì M di
chuyển trên d nên quỹ tích của C là ảnh của d qua phép vị tự V.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(1;1), B(0;3), C(2;4). Xác định ảnh của tam giác
ABC qua các phép biến hình sau:
a) Phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;1) b) Phép quay tâm O góc 900
c) Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = - 2 và phép tịnh
tiến theo vectơ v = (1;2) . d) .
Bài 12. Cho hình vuông ABCD, tâm O. Vẽ hình vuông AOBE.
a) Tìm ảnh của hình vuông AOBE qua phép quay tâm A, góc (AO,AD)
b) Tìm phép biến hình biến hình vuông AOBE thành hình vuông ADCB
Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy. Cho v = (2; −1) , đường thẳng (d): 2x -3y + 3 = 0 và (d1): 2x – 3y – 5 = 0.
a) Viết phương trình của đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua T . v
b) Tìm toạ độ của vectơ w có giá vuông góc với đường thẳng (d) để (d1) là ảnh của (d) qua T . w
Bài 14. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Lấy một điểm M trên đường tròn. Gọi M’ là ảnh của M qua
phép tâm O góc quay 300 và M” là ảnh của M’qua phép đối xứng qua đường thẳng OM. Chứng minh
rằng OM’M” là tam giác đều.
Bài 15. Cho hình vuông ABCD tâm O. M, N lần lượt là trung điểm của AB và AO. Tìm ảnh của tam giác
AMN qua phép quay tâm O góc quay 900.
Bài 16. Trong mp Oxy cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d 1
qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1; -1) tỉ số k = 2 và phép quay tâm O góc -450.
Bài 17. Trong mp Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4. Hãy viết phương trình đường tròn
(C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 và phép T với v v = (2;−1) .
Bài 18. Trong mp Oxy, cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường
tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm
O góc 450 và phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 .
Bài 19. Cho hình bình hành ABCD tâm O với B, D là 2 điểm cố định, điểm A di động trên đường thẳng
vuông góc với BC. Tìm quĩ tích điểm C. 32 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các hình dưới đây, hình nào có vô số tâm đối xứng ? A. Đường elip.
B. Hình lục giác đều.
C. Hai đường thẳng song song.
D. Hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 2: Cho hai đường thẳng song song d và d′ . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d thành d′ ? A. Vô số. B. Một. C. Không có. D. Hai.
Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 2x − y − 3 = 0. Viết phương trình
(C )′ là ảnh của đường tròn 2 2
(C) : x + y −10x − 4y + 27 = 0 qua phép phép đối xứng trục d. 2 2 2 2 A. ( x + ) 1 + (y + 4) = 2. B. ( x − ) 1 + (y − 4) = 2. 2 2 2 2
C. ( x − 5) + (y − 2) = 16.
D. ( x − 2) + (y − 3) = 4.
Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho v = (2; )
1 và điểm M (4;5). Trong các điểm dưới đây, M là ảnh của
điểm nào dưới đây qua phép tịnh tiến theo vectơ v. A. M 3;3 . M 2;6 . M 2; 4 . M 6;6 . 4 ( ) B. 3 ( ) C. 1 ( ) D. 2 ( )
Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I (1; )
1 và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của
đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực họên liên tiếp phép
quay tâm O, góc 450 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2. 2 2 2 2 A. ( x − ) 1 + (y − ) 1 = 4. B. ( x + ) 1 + (y −2) = 8. C. ( x − )2 2 2 + y = 8.
D. x + (y − )2 2 2 = 8.
Câu 6: Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng ? A. Một. B. Vô số. C. Hai. D. Không có.
Câu 7: Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc α , 0 ≤ α ≤ 2π ,
biến hình chữ nhật trên thành chính nó ? A. Không có. B. Bốn. C. Hai. D. Ba.
Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M ( x; y). Tìm tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox.
A. (x;−y). B. ( ; y −x ).
C. (−x; y). D. (− ; y −x ).
Câu 9: Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng ?
A. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.
B. Hình lục giác đều.
C. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp.
D. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.
Câu 10: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.
B. Phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.
C. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó.
D. Phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó.
Câu 11: Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng ? A. Vô số. B. Không có. C. Một. D. Hai.
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M (2;3). Trong các điểm dưới đây, M là ảnh của điểm nào
dưới đây qua phép đối xứng trục Oy. A. M −2;3 . M 3; −2 . M 3;2 . M 2; −3 . 4 ( ) B. 3 ( ) C. 2 ( ) D. 4 ( ) 33 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 13: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hai hình chữ nhật bất kì luôn đồng dạng.
B. Hai đường tròn bất kì luôn đồng dạng.
C. Hai đường thẳng bất kì luôn đồng dạng.
D. Hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng.
Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M (1;5) và đường thẳng d có phương trình x − 2y + 4 = 0. Tìm
tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục d. A. (2; ) 1 . B. (1;3). C. (3;2). D. (3; ) 1 .
Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng ∆ : x = 2. Trong bốn đường thẳng cho bởi các phương
trình sau đường thẳng nào là ảnh của ∆ qua phép đối xứng tâm O ? A. x = 2. B. y = 2. C. y = −2. D. x = 2. −
Câu 16: Hình vuông có mấy trục đối xứng ? A. 2. B. 1. C. Vô số. D. 4.
Câu 17: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M ( 2
− ;4).Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 − biến điểm M
thành điểm nào trong các điểm dưới đây ? A. H (−8;4). B. I (4;−8). C. H (4;8).
D. J (−4;−8).
Câu 18: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình x + y − 2 = 0. Viế phương trình
đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm 1 I ( 1 − ;− ) 1 0 tỉ số k = 45 .
2 và phép quay tâm O góc
A. x + 2y −1 = 0. B. y = 0.
C. x + y = 0. D. x = 0.
Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy , cho v = (1;2) và điểm M (2;5). Trong các điểm dưới đây, điểm nào là
ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v. A. M 1; 6 . M 4; 7 . M 3;1 . M 3; 7 . 3 ( ) B. 2 ( ) C. 4 ( ) D. 1 ( )
Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M (2;3). Trong các điểm dưới đây, điểm nào là ảnh của điểm
M qua phép đối xứng qua đường thẳng x − y = 0. A. P (2;−3). B. Q (3;−2). C. K (−2;3). D. N (3;2).
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M ( x; y). Tìm tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy. A. ( ; y x ).
B. (−x;−y).
C. (−x; y). D. ( ; y −x ).
Câu 22: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Phép dời hình là một phép đồng dạng.
B. Phép đồng dạng là một phép dời hình.
C. Phép vị tự là một phép đồng dạng.
D. Có phép vị tự không phải là phép dời hình.
Câu 23: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 3x − 2y −1 = 0.Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.
A. d : 3x + 2y −1 = 0.
d : 3x − 2y +1 = 0.
d : 3x + 2y +1 = 0.
d : 3x − 2y −1 = 0. 3 B. 1 C. 4 D. 2
Câu 24: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc α ≠ k2π , k là một số nguyên ? A. Một. B. Vô số. C. Không có. D. Hai.
Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình x = 2 2 . Hãy viết phương trình
đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O 1 0 tỉ số k = 45 .
2 và phép quay tâm O góc quay
A. x + y + 2 = 0. B. y − 2 = 0.
C. x + y − 2 = 0.
D. x + 2y − 3 = 0.
Câu 26: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng. 34 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
B. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm hai đường thẳng vuông góc.
C. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là đường tròn.
D. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm những đường tròn đồng tâm.
Câu 27: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng ∆ : x − y + 4 = 0. Hỏi trong bốn đường thẳng cho bởi
các phương trình sau đường thẳng nào có thể biến thành ∆ qua một phép đối xứng tâm ?
A. 2x + 2y − 3 = 0.
B. 2x + y − 4 = 0.
C. x + y −1 = 0.
D. 2x − 2y + 1 = 0.
Câu 28: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M (2;5). Trong các điểm dưới đây, điểm nào là ảnh của điểm
M qua phép đối xứng trục Ox. A. M −2;3 . M 3; −2 . M 2; −3 . M 3; 2 . 3 ( ) B. 4 ( ) C. 2 ( ) D. 1 ( )
Câu 29: Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc α , 0 ≤ α ≤ 2π , biến tam giác trên thành chính nó ? A. Hai. B. Bốn. C. Ba. D. Một. 2 2
Câu 30: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : ( x − )
1 + (y + 2) = 4. Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k = 2
− biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ? 2 2 2 2
A. ( x + 2) + (y + 4) = 16.
B. ( x − 4) + (y − 2) = 16. 2 2 2 2
C. ( x − 2) + (y − 4) = 16.
D. ( x − 4) + (y − 2) = 4.
Câu 31: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn d : x + y − 2 = 0. Hỏi phép dời hình có được bằng cách
thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ v = (3;2) biến d thành đường thẳng
nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A. 3x + 3y − 2 = 0.
B. x + y − 3 = 0.
C. x + y + 2 = 0.
D. x − y + 2 = 0.
Câu 32: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
B. Phép tịnh tiến trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
C. Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
D. Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Câu 33: Phép dời hình nào dưới đâyvkhông có tính chất “Biến một đường thẳng thành đường thẳng song
song hoặc trùng với nó ? A. Phép tịnh tiến.
B. Phép đối xứng trục. C. Phép đối xứng tâm. D. Phép vị tự.
Câu 34: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó ? A. Vô số. B. Một. C. Hai. D. Không có.
Câu 35: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục.
B. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.
C. Thực hiện liên tiếp phép quay và phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.
D. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm và phép đối xứng qua trục sẽ được một phép đối xứng qua tâm.
Câu 36: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn d : 2x + y − 3 = 0.Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến d
thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A. 2x + y − 3 = 0.
B. 4x + 2y − 5 = 0.
C. 2x + y − 6 = 0.
D. 4x − y − 3 = 0.
Câu 37: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn d : x + y − 2 = 0. Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 − biến d
thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A. x + y + 4 = 0.
B. 2x + 2y = 0.
C. x + y − 4 = 0.
D. x + y − 4 = 0.
Câu 38: Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d′ . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d′ ? A. Một. B. Hai. C. Vô số. D. Không có.
Câu 39: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O, gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD có hình vẽ bên.
Tìm một phép dời hình biến tam giác AIF thành tam giác CJB. 35 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp AC A F
A. Phép tịnh tiến theo vectơ . 0 120 . I
B. Phép quay tâm B góc O 0
C. Phép quay tâm O góc 120 . B E
D. Phép đối xứng qua trục BO. C J D
Câu 40: Trong các phép biến hình sau, phép nào không phải là phép dời hình ?
A. Phép đối xứng trục.
B. Phép đồng nhất.
C. Phép vị tự tỉ số 1 − .
D. Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng. 2 2
Câu 41: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : ( x − 2) + (y − 2) = 4.Hỏi phép đồng có được bằng 1 0
cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = 90
2 và phép quay tâm O góc
biến (C) thành đường
tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ? 2 2 2 2 A. ( x − ) 1 + (y − ) 1 = 1.
B. ( x − 2) + (y − 2) = 4. 2 2 2 2
C. ( x + 2) + (y − ) 1 = 4. D. ( x + ) 1 + (y − ) 1 = 1.
Câu 42: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho v = (−2;3) và đường thẳng d có phương trình 3x − 5y + 3 = 0 .
Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
A. 3x − 5y + 24 = 0.
B. 3x − 5y + 16 = 0.
C. x + y + 2 = 0.
D. 3x + 5y − 24 = 0.
Câu 43: Cho hình vuông ABCD tâm O. Xét phép quay Q có tâm quay O góc quay ϕ . Với giá trị nào
dưới đây của ϕ , phép quay Q biến hình vuông ABCD thành chính nó ? π π π π A. ϕ = . ϕ = ϕ = ϕ = 6 B. . 3 C. . 4 D. . 2
Câu 44: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M (2;4). Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện 1
liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 và phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M thành điểm nào trong các điểm dưới đây ? A. N (1;2). B. M (−1;2). C. P ( 2 − ;4). D. Q (1;−2).
Câu 45: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 2x − y − 3 = 0. Viếi phương trình
đường thẳng ∆′ là ảnh của ∆ : x − 3y +11 = 0 qua phép đối xứng trục d.
A. 3x − y − 7 = 0.
B. 3x + y −17 = 0.
C. 3x + y + 17 = 0.
D. 3x + 2y −15 = 0.
Câu 46: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M (1; )
1 . Trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép 0 quay tâm O, góc 45 ? A. Q (1;0). B. N (0; 2). C. K (−1; ) 1 . D. P ( 2;0).
Câu 47: Cho tam giác hình tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc α , 0 ≤ α ≤ 2π , biến hình
vuông trên thành chính nó ? A. Bốn. B. Hai. C. Ba. D. Một.
Câu 48: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Có một phép tịnh tiến biến mọi điểm thành chính nó. 36 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
B. Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó.
C. Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó.
D. Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó.
Câu 49: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A (−3;2),B(−4;5) và C (−1;3). Gọi tam giác A B ′ C ′ ′ là 0
ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác A B ′ C ′ .′ A. A′(2; 3 − ),B′(5; 4 − ),C′(3;− ) 1 . B. A′(2; 3
− ),B′(4;5),C′(−1;3).
C. A′(−2;3),B′(5;4),C′(3;− ) 1 .
D. A′(2;3),B′(5;4),C′(−3; ) 1 .
Câu 50: Trong các hình dưới đây, hình nào có bốn trục đối xứng ? A. Hình vuông. B. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. D. Hình thoi.
Câu 51: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn d : 2x − y = 0. Hỏi phép đồng có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = 2
− và phép đối xứng qua trục Oy biến d thành đường thẳng nào
trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A. 2x + y − 2 = 0.
B. 2x − y = 0.
C. 4x − y = 0.
D. 2x + y = 0.
Câu 52: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M (1; )
1 . Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ v = (2;3) biến M thành điểm nào trong các điểm dưới đây ? A. P (2;0). B. H (4;4). C. K (1;3). D. Q (0;2).
Câu 53: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 3x − 2y + 1 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua
phép đối xứng trục Ox.
A. d : 3x + 2y −1 = 0.
d : 3x − 2y −1 = 0.
d : −3x + 2y −1 = 0.
d : 3x + 2y +1 = 0. 2 B. 4 C. 3 D. 1
Câu 54: Trong mặt phẳng Oxy , cho v = (2;− ) 1 và điểm M ( 3
− ;2). Trong các điểm dưới đây, điểm nào
là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v. A. M −1;1 . M 5;3 . M 1;1 . M 1; −1 . 1 ( ) B. 2 ( ) C. 3 ( ) D. 4 ( )
Câu 55: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 2x − y + 1 = 0. Tìm tọa độ của vectơ v để phép tịnh
tiến theo v biến d thành chính nó. A. v = (2; ) 1 . B. v = (2;− ) 1 . C. v = (1;2). D. v = (−1;2). 2 2
Câu 56: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C): ( x − )
1 + (y −2) = 4. Hãy viết phương trình đường
tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = 2
− và phép đối xứng trục Ox. 2 2 2 2 A. ( x − ) 1 + (y −2) =16.
B. ( x − 2) + (y + 4) = 16. 2 2 2 2
C. ( x − 2) + (y − 4) = 16.
D. ( x + 2) + (y − 4) = 16.
Câu 57: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I (1;2) và M (2;3). Trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M
qua phép đối xứng tâm I ? A. P (5;−4). B. J ( 1 − ;3). C. H (−1;5). D. K (2; ) 1 . 0
Câu 58: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 90 . A. CD. B. AC. C. B . A D. AD.
Câu 59: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vuông thành chính nó ? A. Bốn. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Câu 60: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng cho trước thành chính nó ? A. Không có. B. Vô số. C. Chỉ có hai. D. Chỉ có một. 37 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 61: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 . Tìm ảnh
của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (−2;3). A. 2 2
(x −1) + (y +1) = 9. B. 2 2
(x +1) + (y −1) = 9. C. 2 2
(x −1) + (y −1) = 9. D. 2 2
(x + 2) + (y −1) = 9. 2 2
Câu 62: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : ( x − )
1 + (y + 2) = 4. Hỏi phép dời hình có được
bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ v = (2;3) biến (C)
thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ? 2 2 2 2
A. ( x − 2) + (y − 3) = 4.
B. ( x − 2) + (y − 6) = 4. 2 2 C. ( x − ) 1 + (y − ) 1 = 4. D. 2 2 x + y = 4. 38 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp ĐÁP ÁN
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A B C D 61 62 A B C D 39 Hình học 11
Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG II
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. Các tính chất thừa nhận
Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt .
Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3. Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng
đều thuộc mặt phẳng đó.
Lưu ý: Đường thẳng d nằm trong mp(α ) ta kí hiệu: d ⊂ (α ) hay (α ) ⊃ d
Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
Như vậy: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua
điểm chung ấy và đường thẳng đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Tính chất 6. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
II. Cách xác định mặt phẳng.
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:
1. Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng
2. Nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó
3. Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau Kí hiệu
- (ABC) biểu thị mặt phẳng xác định bởi ba điểm phân biệt không thẳng hàng A, B, C.
- (M, d) biểu thị mặt phẳng xác định bởi đường thẳng d và điểm M không nằm trên d.
- (d1, d2) biểu thị mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d1 và d2.
III. Hình chóp và hình tứ diện 1. Hình chóp
Trong mặt phẳng (α ) cho đa giác lồi A A ...A α 1 2
. Điểm S nằm ngoài ( ) . Lần lượt nối S với các đỉnh n
A , A ,..., A
SA A , SA A ,..., SA A A A ...A 1 2 ta được n tam giác . Hình gồm có đa giác và n tam giác n 1 2 2 3 n 1 1 2 n
SA A , SA A ,..., SA A
S.A A ...A 1 2 2 3
được gọi là hình chóp , kí hiệu n 1 1 2 n 2. Hình tứ diện
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được
gọi là hình tứ diện , kí hiệu ABCD. B. BÀI TẬP
Vấn đề 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp: Ta đi tìm hai điểm chung phân bệt của hai mặt phẳng đó. Giao tuyến của chúng là đường
thẳng đi qua hai điểm đó. α  ∩ β = M  Nghĩa là: α
 ∩ β = N ⇒ α ∩ β = MNM  ≡ N 40 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 1.1. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C và D. Trên đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao AM AN cho = 1;
= 2 . Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với các mặt (ABD), (ACD), (ABC) BM NC và (BCD) .
HDGiải
(DMN) ∩ (ADB) = ? .
(DMN) ∩ (ABC) = MN
Ta có D ∈ (DMN ) ∩ (ADB)
(DMN) ∩ (BCD) = ? M ∈(DMN )  AM AN  Trong mp(ABC) có ≠ , nên
M ∈ AB ⊂ (ABD) ⇒ M ∈(ABD) BM NC
MN ∩ BC = E
⇒ M ∈(DMN) ∩(ABD)
Tương tự: (DMN ) ∩ (BCD) = DE
Vậy : DM = (DMN ) ∩ (ABD)
(DMN) ∩ (ACD) = DN A M D N Hình 1.1 B C E
Bài 1.2. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD).
HDGiải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có S
S ∈(SAC) ∩ (SBD)
O ∈ AC ⊂ (SAC) ⇒ O∈(SAC)∩(SBD)
O ∈ BD ⊂ (SBD) A
nên SO = (SAC) ∩ (SBD) D
Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là O đường thẳng SO B Hình 1.2 C
Bài 1.3. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳnh hình thang ABCD (AB // CD và AB > CD). Tìm giao
tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
HDGiải
Gọi I là giao điểm AD và BC. Ta có S và I là hai S
điểm chung của (SAD) và (SBC), nên
SI = (SAD) ∩ (SBC)
Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là A đường thẳng SI. D I Hình 1.3 C B
Bài 1.4. Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD)
b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt trên hai đường thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).
HDGiải 41 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
a) (IBC) ∩ (KAD) = KI .
trong mp(ACD) , gọi F = ND ∩ CI
Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) và
Ta có: (IBC) ∩ (DMN ) = EF
(KAD) là đường thẳng KI.
Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) và
b) Trong mp (ABD), gọi E = MD ∩ BI ,
(DMN) là đường thẳng EF. A I M E N F D B Hình 1.4 K C
Vấn đề 2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α )
Phương pháp: Để tìm giao điểm của một đường thẳng d và một mặt phẳng (α ) , ta có thể đưa về việc tìm
giao điểm của đường thẳng d với một đường thẳng d / nằm trong mặt phẳng (α )
mp phuï(β ) ⊃ d  /
Nghĩa là: (β ) ∩ (α ) = d  ⇒ d ∩ (α ) = I
d / ∩ d = I
Bài 1.5. Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD). Gọi K là trung điểm của đoạn AD
và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK với mặt phẳng (BCD).
HDGiải
Gọi J là giao điểm của AG và BC. Trong mặt A AG 2 AK 1 phẳng (AJD), ta có = ; = nên GK và AJ 3 AD 2 K
JD cắt nhau. Gọi L là giao điểm của GK và JD.
Ta có L ∈ GK G B D L ∈ JD  ⇒ L ∈(BCD) I JD ⊂ (BCD) Hình 1.5 L C
Vậy L là giao điểm của GK và (BCD)
Bài 1.6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD, trên AD lấy điểm P
không trùng với trung điểm AD.
a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và BD. Tìm giao tuyến của hai mp (PMN) và (BCD)
b) Tìm giao điểm của hai mp (PMN) và BC.
HDGiải
a ) (MNP) ∩ (BCD) = EN A P
b) Trong mp (BCD), gọi Q = EN ∩ BC M
Ta có : BC ∩ (MNP) = Q E B D Hình 1.6 Q N C 1
Bài 1.7. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD với AI = IB 2 và 2 AJ = JD 3
. Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mặt phẳng (BCD).
HDGiải 42 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp  1 AI = IB  2 Do 
nên IJ kéo dài cắt BD, gọi giao điểm là K. Khi đó K = IJ ∩ (BCD)  2 AJ = JD  3 A I J K B D Hình 1.7 C
Bài 1.8. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J lần lựơt là hai
điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD.
a) Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IJM) và (ACD)
b) Lấy điểm N thuộc miền trong tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mp (MNJ) và (ABC).
HDGiải P
a) Trong mp(BCD) có IJ không song song với CD A
nên: K = IJ ∩ CD Q
M là điểm chung thứ nhất của (ACD) và (IJM) L
K là điểm chung thứ hai của (ACD) và (IJM)
Vậy: (IJM) ∩ (ACD) = MK N
b) Với L = JN ∩ AB ,
L là giao điểm thứ nhất của hai mp(MNJ) và J M (ABC) B D
Trong mp(ABD), gọi P = JL ∩ AD,Q = PM ∩ AC I
Ta có Q là giao điểm thứ hai của hai mp(MNJ) và Hình 1.8 (ABC)
Vậy: (MNJ) ∩ (ABC) = LQ C K
Bài 1.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm
M thuôc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) (SBM) và (SCD)
b) (ABM) và(SCD)
c) (ABM) và (SAC)
HDGiải
a) Ta có ngay: (SBM) ∩ (SCD) = SM S
b) Ta có: M ∈ (ABM) ∩ (SCD)
Trong mp (ABCD) gọi I = AB ∩ CD
Suy ra : MI = (ABM) ∩ (SCD) M
c) Ta có: A ∈ (ABM) ∩ (SAC) . A D J
Trong mp (SCD), gọi J = IM ∩ SC
Suy ra: J ∈ (ABM) ∩ (SAC) Hình B 1.9 C
Vậy: AJ = (ABM) ∩ (SAC) I
Bài 1.10. Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong
các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mp (ABC). a) Hãy xác định L
b) Tìm giao tuyến của mp(IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.
HDGiải
a) Trong mp (ACD), gọi N ∈ DK ∩ AC
Trong mp (BCD), gọi M = DJ ∩ BC 43 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Ta có MN = (DJK) ∩ (ABC) ⇒ MN ⊂ (ABC) A
Vì L = (ABC) ∩ JK nên dễ thấy L
L = JK ∩ MN
b) Ta có: I ∈ (ABC) ∩ (IJK) E I Hình
và L = JK ∩ MN 1.10
Nên có IM = (ABC) ∩ (IJK)
Trong mp(ABC) và (ACD) gọi E = IL ∩ AC
và F = EK ∩ CD N
Suy ra: EF = (ACD) ∩ (IJK) K B
Trong mp (BCA), nối FJ cắt BD tại P. P D
Suy ra: PF = (BCD) ∩ (IJK) và M J
PI = (ABD) ∩ (IJK) F C
Bài 1.11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác, M và N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh
SC và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
HDGiải
Gọi O = AC ∩ BD .Trong mp(SAC), gọi S
K = SO ∩ AM P
Trong mp(ABCD), gọi L = BD ∩ AN
Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD. M
Và ta có: LK = (SBD) ∩ (AMN ) K
Mà trong mp (SBD), có LK ∩ SD = P
 Vậy: P = SD ∩ (AMN ) D A O C B N Hình 1.11
Vấn đề 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp: Để chứng ba điểm thẳng hàng, ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng riêng biệt.
Bài 1.12. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao cho cắt AB tại I, EF cắt
BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.
HDGiải I ∈ DE  S Ta có:
 ⇒ I ∈(DEF) F DE ⊂ (DEF) D I ∈ AB  Và
 ⇒ I ∈(ABC) E AB ⊂ (ABC) K A C
Suy ra: J ∈ (MNK) ∩ (BCD) Hình
Lí luận tương tự ta có: 1.12 B J
J, K cũng là điểm chung của hai mặt
phẳng (DEF) và (ABC)
Vậy I, J, K thuộc về giao tuyến của hai I
mặt phẳng (DEF) và (ABC) nên I, J, K thẳng hàng.
Bài 1.13. Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần
lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
HDGiải 44 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Ta có M, N, P lần lượt thuộc về hai mặt phẳng (Q) và (ABC), nên M, N, P thuộc về giao tuyến của hai mặt
phẳng (Q) và (ABC). Vậy M, N, P thẳng hàng. A Hình B 1.13 C M N P Q
Bài 1.14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác. AC cắt BD tại O. Mặt phẳng (α ) cắt SA, SB,
SC và SD lần lượt tại A1, B1, C1 và D1. Gọi I là giao điểm của A1C1 và B1D1. Chứng minh ba điểm S, I, O thẳng hàng.
HDGiải S
Ta có I = AC ∩ BD O
 ∈ AC ⊂ (SAC)  (1) O
 ∈ BD ⊂ (SBD) A D 1 1
I ∈ A C ⊂ (SAC)  I S ∈(SAC) 1 1  (2); (3) B1  C
I ∈ B D ⊂ (SBD) S ∈(SBD) 1 1 1 A D
Từ đó suy. S, I, O là ba điểm chung của hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD). Nên S, I, O thuộc về giao
tuyến hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). O B Vậy S, I, O thẳng hàng. Hình 1.14 C
Bài 1.15. Cho hai mặt phẳng (α ) và (β ) cắt nhau theo một giao tuyến d. Trong (α ) lấy hai điểm A và B
sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài (α ) và (β ) sao cho OA và OB cắt (β ) tại A’ và B’.
a) Chúng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng
b) Trong (α ) lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt (β ) tại C’, BC cắt B’C’ tại J,
CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng
HDGiải
a) I, A’, B’ là ba điểm chung của hai
mặt phẳng (OAB) và (β ) nên chúng thẳng hàng C'
b) I, J, K là ba điểm chung của hai mặt phẳng
(ABC) và (A’B’C’) nên chúng thẳng hàng I C B B' O A A' K Hình 1.15
Bài 1.16. Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong
của tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp(SAC)
d) Tìm giao điểm P của SC và mp(ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM).
HDGiải
a) Gọi N = SM ∩ CD . Ta có N = CD ∩ (SBM)
c) Gọi I = SO ∩ BM
b) Gọi O = AC ∩ BN .Ta có: (SBM) ∩ (SAC) = SO
Ta có I = BM ∩ (SAC) 45 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
d) Gọi R = AB ∩ CD , P = MR ∩ SC S
Ta có P = SC ∩ (ABM) ⇒ PM = (SCD) ∩ (ABM) M D P I A N O B Hình C 1.16 R
Bài 1.17. Cho hình chóp S.ABCD. M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD, G là trọng tâm của tam
giác SCD. Tìm giao điểm của: a) MG và mp(ABCD) b) BN và mp(SAG)
HDGiải K ∈ BN   ⇒ = ∩( ) SM 1 K BN SAG
a) Do M là trung điểm SA nên = (1)
K ∈ SI ⊂ (SAG) SA 2 S
Tronh mp(SCD), có E = SG ∩ CD SG 2
G là trọng tâm tam giác SDC nên = (2) SE 3 N M SM SG Từ (1) và (2) suy ra: ≠ nên SA SE G K D
F = MG ∩ AE . Vậy ta có A F ∈ MG  I
 ⇒ F = MG ∩ (ABCD) E
F ∈ AE ⊂ (ABCD) B Hình 1.17 F
b) Trong mp (ABCD) có I = AE ∩ BD và trong C
mp(SBD) có K = BN ∩ SI Ta có
Bài 1.18. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp(SAC)
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM)
HDGiải S
a) Gọi N = SM∩CD, O = AC∩BN. Khi đó SO = (SAC) ∩ (SBM).
b) Trong mp(SBM), đường thẳng BM cắt SO tại I. Ta có I=BM∩(SAC). Q
c) Trong mp(SAC), đường thẳng AI cắt SC tại P. M
Ta có P và M là hai điểm chung của mp(ABM) và mp(SCD). A D
vậy (ABM) ∩ (SCD) = PM. Đường thẳng PM cắt I P
SD tại Q. thiết diện của hình chóp khi cắt bởi N mp(ABM) là tứ giác ABPQ. O B C Hình 1.18
Bài 1.19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB//CD, AB > CD). Gọi 46 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC), (SAC) và (SBD)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mp(AIJ)
c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(AIJ)
HDGiải
a) Gọi K là giao điểm của AD và BC, khi đó hai S
mặt phẳng (SAD) và (SBC) có hai điểm ching
là S và K. Vậy: (SAD) ∩ (ABC) = SK
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vậy I
(SAC) ∩(ABD) = SO J
b) Gọi M là giao điểm của SK và IJ. Khi đó E ( M
SAD) ∩ (AIJ) = AM . Gọi E là giao điểm của A B
AM và SD thì E chính là giao điểm của SD O với mp(AIJ). Hình 1.19 C D
c) Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(AIJ) là tứ giác AIJE. K
Bài 1.20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi O là tâm của đáy; M, N lần lượt là trung
điểm của SA, SC. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, N và B.
a) Tìm giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SAB), (SBC)
b) Tìm giao điểm I của SO với mp(P) và giao điểm K của SD với mp(P)
c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt phẳng (SAD), (SDC)
d) Xác định giao điểm E, F của mặt phẳng (P) với các đường thẳng DA, DC và chứng tỏ rằng ba điểm E, B, F thẳng hàng.
HDGiải
a) (P) ∩ (SAB) = BM;(P) ∩ (SBC) = BN
Rõ ràng, B, E, F là ba điểm chung của hai mặt
b) Xét mp(SAC), gọi I là giao điểm của SO và
phẳng (P) và mp(ABCD) nên chúng thẳng
MN thì I là giao điểm của SO và mp(P). Gọi K là hàng.
giao điểm của đường thẳng BI với SD thì K là S
giao điểm của SD và (P).
c) (P) ∩ (SAD) = MK;(P) ∩ (SDC) = KN K N
d) Trong mp(SAD) gọi E là giao điểm của đường F
thẳng MK với đường thẳng AD thì E là giao điểm Hình M I 1.20 của (P) và AD. A C
Tương tự, giao điểm F của KN và DC là giao điểm của (P) và DC O E A D
Bài 1.21. Cho tứ diện đều có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K
là điểm đối xứng với D qua B.
a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJK)
b) Tính diện tích của thiết diện xác định được ở câ a)
HDGiải
a) Nối I và J cắt AC tại N. Nối I và K cắt AB tại Xét tam giác AIM, ta có
M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm.
IM 2 = AI 2 + AM2 − 2AI.AM 0 cos60
b) Dễ thấy M là trọng tâm của tam giác ADK, N a2 4a2 a 2a 1 13
là trọng tâm của tam giác ADJ. Từ đó: = + − 2. . . = a2 2 2 2 4 9 2 3 2 36
AN = AC; AM = AB = = 3 3 . Suy ra AM AN a 3 a 13 13 ⇒ a MI = . Tương tự: IN = và MN / /CB . 6 6 2 2
Vậy theo công thức Hê-rông, ta có:
Do đó MN = CB = a 3 3 47 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp  A a 13
2  2 2  a 13 2  S = 
+ a. a. a − a ∆IMN  6 6  6 6  6 6      I M a2 = 6 (đvdt) D B K N Hình 1.21 C J
Bài 1.22. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K theo thứ tự là hai điểm trong tam giác
ABC và BCD. Giả sử đường thẳng IK cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Hãy xácđịnh giao điểm J đó.
HDGiải
Xét mp(BIK), gọi M = BI ∩ CA, N = BK ∩ CD . J A
Khi đó (BIK) ∩ (ACD) = MN và MN cắt IK tại
điểm J. Vậy J là giao điểm của IK và mp(ACD). Hình 1.22 M I B D K N C
Bài 1.23. Cho hình bình hành ABCD nằm trong mặt phẳng (P) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P).
Gọi M là điểm giữa S và A; N là điểm nằm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN).
HDGiải
a) Trog mặt phẳng (SCA), gọi I là giao điểm của S
CM và SO. Khi đó I ∈CM ⊂ C ( MN)
Vậy I = SO ∩ C ( MN) E M
b) Trong mặt phẳng (SBD), gọi E = NI ∩ SD I
Khi đó, ta có M ∈ C
( MN) ∩(SAD)và D C
E ∈ NI ⊂ C
( MN)⇒ E∈ C(MN)∩(SAD)
E ∈ SD ⊂ (SAD)  O N Vậy ME = C ( MN) ∩(SAD) A B
Bài 1.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác. Lấy điểm M, N và P lần lượt
là các điểm trên các đoạn SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm của
các đoạn ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp.
HDGiải
Ta lần lượt tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP)
Suy ra: J = SC ∩ (MNP) ; E = CD ∩ (MNP) ;
với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.
K = SD ∩ (MNP)
Trong mp(SAB), gọi I = MN ∩ SB S I ∈ MN  R Ta có:
 ⇒ I ∈(MNP) MN ⊂ (MNP) M L A D N
Vậy: I = SB ∩ (MNP) B C P Hình 1.24 E
Tương tự: Trong mp(SBC), gọi J = IP ∩ BC
Trong mp(ABCD), gọi E = NP ∩ CD I
Trong mp(SCD), gọi K = EJ ∩ SD 48 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 1.25. Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α ) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là
điểm nằm ngoài mặt phẳng (α ) và M là trung điểm đoạn BC.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.
HDGiải
a) Gọi E = AB ∩ CD . Ta có S
(MAB) ∩(SCD) = ME
Gọi N = ME ∩ SD . Khi đó N là giao điểm của SD và mặt phẳng (MAB) M Hình
b) Gọi I = AM ∩ BN 1.25 N
I = AM ∩ BN  AM ⊂ (SAC) D E C I Ta có  ⇒ I ∈ SOBN ⊂ (SBD) O (  A
SAC) ∩ (SBD) = SO
Điều này chứng tỏ I, S, O cùng thuộc về hai B
mặt phẳng (SAC) và (SBD). Hay SO, AM, BN đồng quy
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.26. Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Trên ba cạnh AB, AC và AD lần lượt lấy các điểm
M, N và K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H, đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại
I, đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J. Chứng minh ba điểm H, I, J thẳng hàng.
Bài 1.27. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC nhưng
không trùng với A, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNP)
Bài 1.28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng
qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E. Gọi C' là một điểm nằm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C'AE)
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C'AE) 49 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A. KIẾN THỪC CẦN NẮM I.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có hai khả trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b
TH1. Có một mặt phẳng chứa a và b
1. a và b cắt nhau tại M, kí hiệu a ∩ b = M
2. a và b song song với nhau, kí hiệu a // b hoặc b //a
3. a và b trùng nhau, kí hiệu a ≡ b
TH2. Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau. II.
Các định lí và tính chất
1. Định lí 1. Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ
một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
2. Định lí 2. (về giao tuyến ba mặt phẳng)
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba
giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
3. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
4. Định lí 3. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
5. Ba đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện của một tứ diện đồng quy tại trung điểm G của
mỗi đoạn. Điểm G đó gọi là trọng tâm của tứ diện.
6. Một mặt phẳng được xác định nếu nó đi qua hai đường thẳng song song. B. BÀI TẬP
Vấn đề 1. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
Phương pháp: Nếu hai mặt phẳng (α ) và (β ) có điểm chung là S và lần lượt chứa hai đường thẳng song
song d và d’ thì giao tuyến của (α ) và (β ) là đường thẳng ∆ qua S và song song với d và d’. S ∈(α ) ∩ (β )  
Nghĩa là: d ⊂ (α ), d ' ⊂ (β ) ⇒ (α ) ∩ (β ) = ∆ (S ∈ ∆,∆ / /d / /d ')  d / /d ' 
Bài 2.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của
(SAD) và (SBC); (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD).
HDGiải AB ⊂ (SAB)  S ∈(SAC) ⊂ ( ) a) Ta có:
 ⇒ S ∈ (SAC) ∩ (SBD) CD SCD S ∈(SBD) Ta lại có:  AB / /CD
Gọi O = AC ∩ BD
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx / / AB / /CD
O ∈(SAC) ⇒ O∈(SAC)∩(SBD)
c) Lập luận tương tự câu b) ta có O ∈(SBD)
(SAD)∩(SBC) = Sy / / AD / /BC
⇒ SO = (SAC) ∩(SBD) S ∈(SAB)  b) Ta có:
 ⇒ S ∈(SAB) ∩ (SCD) S ∈(SCD) 50 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp x S y Hình 2.1 A D O C B
Bài 2.2. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao AM AN cho =
. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (DBC) và (DMN). AB AC
HDGiải A M ∈ AB Ta có:
 ⇒ MN ⊂ (ABC) N ∈ AC  M Trong tam giác ABC ta có: AM AN N = ⇒ MN / /BC D B AB AC x
Ta lại có: D ∈ (DBC) ∩ (DMN ) Hình 2.2
BC ⊂ (DBC)  C
MN ⊂ (DMN) BC / / MN
⇒ (DBC) ∩ (DMN) = Dx / /BC / /MN
Bài 2.3. Cho tứ diện ABCD. Cho I, J tương ứng là trung điểm của BC và AC, M là một điểm trên cạnh
AD sao cho không trùng với trung điểm của AD.
a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD)
b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng CD và JM. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ).
HDGiải M ∈(MIJ)  A a) Ta có: 
M ∈ AD ⊂ (ABD)
⇒ M ∈(MIJ) ∩ (ABD) t IJ / / AB x  IJ ⊂ (MIJ) Ta cũng có J AB M  ⊂ (ABD) K B
⇒ (MIJ) ∩ (ABD) = Mt / /IJ / / AB D K ∈(ABK)  b) Ta có  I
K ∈ JM ⊂ (MIJ) Hình 2.3
⇒ K ∈(MIJ) ∩ (ABK) C IJ / / AB  IJ ⊂ (MIJ) và AB  ⊂ (ABK)
⇒ (MIJ) ∩ (ABK) = Kx / /IJ / / AB
Bài 2.4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC và
BD. Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt
nhau tại trung điểm mỗi đoạn, trung điểm đó gọi là trọng tâm của tứ diện.
HDGiải 51 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Trong tam giác ABC ta có: MP//AC và
Do vậy hai đường chéo MN và PQ cắt nhau AC
tại trung điểm G của mỗi đường MP = 2 AB
Tương tự: PR//QS và PR = QS =
Trong tam giác ACD ta có: QN//AC và 2 AC
Do đó tứ giác PRQS là hình bình hành QN = 2
Suy ra hai đường chéo cắt nhau tại trung 
điểm G của PQ và OR = OS MP / /QN Từ đó suy ra:  => Tứ giác MPNQ
Vậy ba đoạn thẳng MN, PQ, RS cắt nhau tại MP = QN
trung điểm mỗi đoạn và tại G. là hình bình hành. A M Q G D B Hình N 2.4 P C
Bài 2.5. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD.
Chứng minh rằng : IJ // CD.
HDGiải A
Gọi K là trung điểm của AB
Vì I là trọng tâm của tam giác ABC nên
I ∈ KC và vì J là trọng tâm tam giác K J
ABD nên I ∈ KD I KI KJ 1 B Từ đó suy ra: = = N D KC KD 3 Hình 2.5 M ⇒ IJ / /CD C
Bài 2.6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho 2SM =
MA, trên đoạn SB lấy điểm N sao cho 2SN = NB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC) b) Chứng minh rẳng: MN//CD
c) Điểm P nằm trên cạnh SC không trùng với S, C. Tìm giao tuyến hai mp (MNP) và (SCD)
HDGiải
a) Ta có: (SAC) ∩ (SBD) = SO
⇒ MN / / AB và ABCD là hình bình hành S ∈(SAD) Suy ra MN//AB//CD. Ta có:
 ⇒ S ∈(SAD) ∩ (SBC) c) S ∈(SBC)
P ∈(MNP), P ∈(SCD) AD ⊂ (SAD)   MN ⊂ (MNP) 
Mặt khác, ta có: BC ⊂ (SBC)  CD ⊂ (SCD)   AD / / BCMN / /CD 
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx / / AD / /BC
⇒ (MNP) ∩ (SCD) = Py / /MN / /CD SM SN 1 b) Từ giả thiết ta có: = = MA NB 2 52 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp S x Hình M 2.6 y N A D P O C B
Bài 2.7. Cho Tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.
a) Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD).
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. Chứng minh ba điểm B, M’,
A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N c) Chứng minh GA = 3GA’.
HDGiải A
a) Gọi A ' = BN ∩ AG , ta có: A ' = AG ∩ (BCD) AA' ⊂ (ABN) b) Ta có: 
⇒ MM ' ⊂ (ABN) Hình MM '/ / AA ' 2.7 M
Ta có B, M’, A’ là điểm chung của hai mặt phẳng
(ABN) và (BCD) nên B, M’ và A’ thẳng hàng.
Trong tam giác NMM’, ta có: G là trung điểm NM
và GA’//MM’ suy ra: A’ là trung điểm của NM’ G B
Tương tự trong tam giác BAA’, ta có M là trung D
điểm BA và MM’//AA’ suy ra: M’ là trung điểm M'
của BA’. Vậy BM’ = M’A’ = A’N A' N  1 GA ' = MM '  2 1 c) 
⇒ GA ' = AA' ⇒ GA = G 3 A' C  1 4 MM ' = AA '  2
Vấn đề 2. Tìm thiết điện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng
Phương pháp: Ta tìm giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt bên của hình chóp. Đoạn nối giữa các
giao tuyến cho ta một hình. Hình đó là thiết diện cần tìm.
Bài 2.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Hãy xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SBC) và (SAD)
b) M là điểm thuộc cạnh SC, tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABM). Thiết diện là hình gì?
HDGiải
a) i). (SAB) ∩ (SCD) = ? b) Ta có: Ta có
(ABM)∩(ABCD) = AB;
S ∈(SAB) ∩ (SCD); AB ⊂ (SAB);
(ABM)∩(SBC) = BM ;
CD ⊂ (SCD), AB / /CD
(ABM)∩(SDC) = MN / / AB / /DC,N ∈SD
Nên (SAB) ∩ (SCD) = Sx / / AB / /CD
(ABM)∩(SAD) = AN . Vậy thiết diện cần
ii) (SBC) ∩ (SAD) = ? tìm là tứ giác ABMN Ta có
Rõ ràng: ABMN là hình thang vì MN //
S ∈(SBC) ∩ (SAD); BC ⊂ (SBC); AD ⊂ (SAD), AB.
BC / / AD . Nên (SBC) ∩ (SAD) = Sy / /BC / / AD 53 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp y S Hình 2.8 N x M D A B C
Bài 2.9. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D
a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJE)
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành
c) Tìm điều kiện của tứ diện và vị trí điểm E trên cạnh AD để thiết diện là hình thoi
HDGiải
a) Ta có IJ là đường trung bình trong tam giác BCD nên IJ //CD
Mặt khác IJ ⊂ (IJE);CD ⊂ (ACD) . Suy ra: (EIJ) ∩ (ACD) = Ex / / IJ / /CD . Gọi F = Ex ∩ AC
Thiết diện là hình thang EFIJ
b) Để thiết diện EFIJ là hình bình hành điều kiện cần và đủ là IF // JE. Điều này tương với JE //AB, tức là
khi và chỉ khi E là trung điểm của AD.
c) Thiết diện EFIJ là hình thoi khi và chỉ khi EFIJ là hình bình hành và IF = IJ khi và chỉ khi E là trung 1 1
điểm của AD và AB = CD (vì IJ = CD = 2
và khi E là trung điểm của AD thì IF AB 2 ) A E Hình F 2.9 B J D I C
Vấn đề 3. Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp:
1. Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng và dùng phương pháp chứng minh hai đường thẳng
song song trong hình học phẳng( như tính chất đường trung bình của tam giác, định lí Talét đảo, tính chất
song song của hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba, …)
2. Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
3. Dùng tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của a ∈(α)  b ∈(β )
chúng(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng ấy. Tức là: 
⇒ c / /a / /b a / /b (  α)∩(β) = c α  ∩γ = a
a / /b / /c
4. Dùng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng: β ∩ γ = b ⇒  
a,b ñoàng quy α  ∩ β = c
Bài 2.10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam
giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB.
a) Chứng minh rằng: MN // BD 54 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
b) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(MNE)
c) H và L lần lượt là giao điểm của mp(MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng: LH // BD
HDGiải
Vậy từ E kẻ đường thẳng song song với BD
a) Gọi M’, N’ lầm lượt là trung điểm của AB và
lần lượt cắt CD, AB tại F và I. Nối IM lần
MN / / M ' N '
lượt cắt SB và SA tại H, K; nối KN cắt SD AD. Dễ thấy:
 ⇒ MN / / BD
tại L. Thiết diện cần tìm là ngũ giác
M ' N '/ / BD  KLFEH b)Ta có: c)Ta có: MN ⊂ (MNE)  MN ⊂ (MNE)   BD ⊂ (ABCD)  BD ⊂ (SBD)  
 ⇒ LH / / BD MN / / BDMN / / BD
⇒ (MNE) ∩ (ABCD) = Ex / / MN / /BD
(MNE) (SBD) LH  ∩ =  S K Hình 2.10 N M H A M' B L I N' E D F C
Bài 2.11. Cho tứ diện ABCD. Có các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD; điểm R nằm trên
cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD.
HDGiải
Vậy DB = DI. Do đó AD và IP là hai đường
Gọi I = RQ ∩ BD , E là trung điểm của BR. Khi
trung tuyến của tam giác ABI. Suy ra giao
đó EB = ER = RC và RQ // ED.
điểm S của AD và IP là trọng tâm của tam giác BD BE ABI và ta có AS = 2DS
Tam giác BRI có ED // RQ, suy ra = = 1 DI ER A Hình P 2.11 S D I B E Q R C
Bài 2.12. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD và BC cắt nhau. Hãy tìm điểm M nằm trên cạnh SD và
điểm N trên cạnh SC sao cho AM // BN.
HDGiải
Gọi I = AD ∩ BC . Khi đó SI = (SAD) ∩ (SBC)
Từ A trong mp(SAD) ta kẻ đường thẳng song
Giả sử M ∈ SD, N ∈ SC sao cho AM // BN. Khi
song với SI, cắt SD tại M; từ B trong mp(SBC)
đó hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cắt nhau theo
ta kẻ đường thẳng song song với SI, cắt SC tại
giao tuyến SI phải song song với AM và BN. Từ
N. Khi đó M, N là hai điểm cần tìm.
đó suy ra cách xác định điểm M và N như sau: 55 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp S M Hình 2.12 A D I N B C
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi G1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng tâm của
bốn tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Chứng minh rằng G1G2G3G4 là hình thoi.
Bài 2.14. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định
giao điểm S của mp(PQR) với AD nếu: a) PR // AC b) PR cắt AC.
Bài 2.15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC, N là trung điểm của
OB (O là giao điểm của BD và AC)
a) Tìm giao điểm I của SO và mặt phẳng (AMN) SI b) Tính tỉ số ID 56 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
§3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α ) ta có ba vị trí tương đối như sau:
1. d và (α ) cắt nhau tại M, kì hiệu d ∩ (α ) = {M}
2. d song song với (α ) , kí hiệu d // (α ) hoặc (α ) // d. Như vậy: Một đường thẳng và một mặt phẳng
gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
3. d nằm trong (α ) , kí hiệu d ⊂ (α )
II. Định lí và tính chất
1. Định lí 1. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α ) và d song song với đường thẳng d’ d ⊂ (α )
nằm trong (α ) thì d song song với (α ) ; nghĩa là: d / /d '  ⇒ d / /(α )  d ' ⊂ (α )
2. Định lí 2. Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α ) . Nếu mặt phẳng (β ) chứa d và cắt d / /(α )  (α) 
theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d; nghĩa là (β ) ⊃ d  ⇒ d / /d ' (β ) (α)  ∩ = d '
3. Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường
thẳng nào đó trong mặt phẳng.
4. Hệ quả2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của (α) / /d  
chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó; nghĩa là (β ) / /d  ⇒ d / /d ' (α) (β )  ∩ = d '
5. Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia. B. BÀI TẬP
Vấn đề 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (α ) ta chứng minh d không nằm d ⊄ (α) 
trong (α ) và song song với đường thẳng a chứa trong (α ) . Tức là a ⊂ (α ) ⇒ d / /(α ) d / /a
Bài 3.1. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB =
2MC. Chứng minh rằng MG // (ACD).
HDGiải
Gọi I trung điểm của AD. A BM BG 2 Trong tam giác CBI ta có, = = BC BI 3 I Hình 3.1 Nên MG // CI
Mà CI nằm trong mặt phẳng (ACD) G D C Suy ra MG // (ACD). M B
Bài 3.2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. 57 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
a) Xét vị trí tương đối của đường thẳng MN và mp(BCD)
b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mp(ABC)
HDGiải
a) MN là đường trung bình của tam giác A
ABC nên MN // BC. Suy ra MN // (BCD)
b) Vì MN // (BCD) nên (DMN) đi qua MN M N
cắt (BCD) theo giao tuyến d // MN. Do đó d // (ABC). B C Hình 3.2 d D
Bài 3.3. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tậm của các tam giác ACD và BCD. Chứng
minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)
HDGiải Gọi I là trung điểm CD A Vì G ∈
1 là trọng tâm của tam giác ACD nên G AI 1 Vì G ∈
2 là trọng tâm của tam giác BCD nên G BI 2 Hình 3.3 IG 1  1 = 3 IG IG IA G Ta có: 1 2  ⇒ = ⇒ G G / / AB 1 IG 1 IA IB 1 2 D B 2  = G2 IB 3 I
AB ⊂ (ABC) ⇒ G G / /(ABC) 1 2 C
Và AB ⊂ (ABD) ⇒ G G / /(ABD) 1 2
Bài 3.4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là giao điểm
của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF.
a) Chứng minh rằng OO’ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng MN // (CEF).
HDGiải CD / / AB
a) Ta có: OO’ // DF (đường trung bình của tam CD = AB giác BDF) Mà 
Mà DF ⊂ (ADF) ⇒ OO '/ /(ADF) EF / / AB
Tương tự OO’ // EC (đường trung bình của tam EF = AB giác AEC)
Nên CD // EF và CD = EF, suy ra tứ giác
Mà EC ⊂ (BCE) ⇒ OO '/ /(BCE) CDEF là hbh.
b) Gọi I là trung điểm của AB MN / / DE
Vì M là trọng tâm của tam giác ABD nên M ∈ DI Do vậy:  ⇒ MN / / C ( EF) DE ⊂ C ( EF)
Vì N là trọng tâm của tam giác ABE nên N ∈ EI IM 1 =  ID 3 IM IN Ta có:  ⇒ = ⇒ MN / /DE IN 1 ID IE  = IE 3  C E B N O O' I M D Hình F 3.4 A 58 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 3.5. Cho tứ hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác
SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trên đoạn AD sao cho AD = 3AM.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. CMR: NG // (SCD)
c) Chứng minh rằng MG // (SCD).
HDGiải
a) Dễ thấy S là điểm chung của hai mặt phẳng IG 1  (SAD) và (ABC) =  IS 3  ⇒ / / AD ⊂ (SAD) GM SK I 1  Ta có: M  = BC ⊂ (SBC) IK 3 Ta có:  AD / / BC  ⇒ GM / /(SCD)
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx / / AD / /BC b) Ta có: MN // IA //CD S x AM IN 1 1 ⇒ = = IG ; mà = ( G là trọng tâm AD IC 3 IS 3 K của tam giác SAB) IG IN 1 Nên ⇒ = = ⇒ GN / /SC IS IC 3 G
Mà SC ⊂ (SCD) ⇒ GN / /(SCD) D
c) Gọi K = IM ∩ CD ⇒ SK ⊂ (SCD) A M MN IN 1 IM 1 Mà MN / /CD ⇒ = = ⇒ = . I CK IC 3 IK 3 N B C
Bài 3.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O là giao
điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
a) Chứng minh rằng OG // (SBC)
c) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB) 3
d) Giả sử I nằm trên đoạn SC sao cho SC = SI 2
. Chứng minh rằng SA // (BID).
HDGiải DG 2
a) Gọi H là trung điểm của SC, ta có: = (1) DH 3 OD OA AD OD 2 BC / / AB ⇒ = = = 2 ⇒ OD = O 2 B ⇒ = (2) OB OC BC BD 3 DG OD 2 Từ (1) và (2) ⇒ =
= (1) ⇒ OG / /BH . Mà BH ⊂ (SBC) ⇒ OG / /(SBC) DH BD 3 MM '/ / AD
b) Gọi M’ là trung điểm của SA ⇒  1 . MM ' = AD  2 1
Mặt khác vì BC // AD và BC = AD 2
(gt) và BC = MM’. Nên tứ giác BCMM’ là hình bình hành
Suy ra CM //BM’, mà BM ' ⊂ (SAB) ⇒ CM / /(SAB) OC 1 OC 1 c) Ta có: = nên = . OA 2 CA 3 3 CI 1 Mặt khác vì SC = SI = CI OC ⇒ = ⇒ OI / /SA ⊂ ( ) ⇒ / /( ) 2 nên và OI BID SA BID CS 3 CS CA 59 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp S M M' Hình 3.6 H G I D A O C B
Bài 3.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB và SC đều song song với mp (MNP)
HDGiải a)Chứng minh MN //(SBC): SB / / MP   ⇒ / /( ) MN / / BC Ta có: SB MNP  ⊂ ( ) Ta có:  ⇒ MN / /(SBC) MP MNPBC ⊂ (SBC) Chứng minh S // (MNP): Chứng minh MN // (SAD):
Gọi Q = AC ∩ MN . Khi đó Q là trung điểm MN / / AD của AC. Ta có:  ⇒ MN / /(SAD) AD ⊂ (SAD)
Do đó: SC // PQ (T/c đường trung bình trong tam giác SAC) b) Chứng minh SB // (MNP):
mà PQ ⊂ (MNP) . Vậy SC // (MNP) S P A D M N Q C B Hình 3.7
Bài 3.8. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và BCD.
a) Chứng minh rằng: MN // (ACD) và MN // (ABC) MN
b) Xác định giao tuyến của (DMN) và (ABC). Chứng minh giao tuyến này song song với MN. Tính IJ
HDGiải
a) Gọi K là trung điểm của BD. Vì M, N là trọng MN / / AC
tâm của các tam giác ABD và BCD nên A, M, K Tứ đó:
 ⇒ MN / /(ACD) và AC ⊂ (ACD)
thẳng hàng và C, N, K thẳng hàng, tức là AM cắt CN tại K MN / / AC
 ⇒ MN / /(ABC) Ta có: AC ⊂ (ABC) KM 1 KN 1 = ; = KM KN ⇒ = ⇒ MN / / AC
b) Trong mp (ABD): DM cắt AB tại I; trong KA 3 KC 3 KA KC
mp(BCD): DN cắt BC tại J. Khi đó I, J là hai
điểm chung của hai (DMN) và (ABC). Suy ra
(DMN) ∩(ABC) = IJ 60 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
I, J lấn lượt là trung điểm của AB và BC nên IJ A
là đường trung bình trong tam giác ABC 1
⇒ IJ / / AC; IJ = AC 2 . Mà MN // AC (câu a) I nên MN // IJ. M 1 Ta có IJ = AC 2 ; K D KM MN 1 1 2 B = = ⇒ MN
MN = AC . Từ đó = KA AC 3 3 IJ 3 N Hình 3.8 J C
Vấn đề 2. Dựng thiết diện song song với một đường thẳng
Phương pháp: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α ) . Nếu mặt phẳng (β ) chứa d và cắt (α ) d / /(α )  
theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d . Nghĩa là: (β ) ⊃ d  ⇒ d / /d ' (β ) (α)  ∩ = d '
Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước được
xác định bằng cách phối hợp hai cách xác định giao tuyến đã biết.
Bài 3.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là
trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (α ) với hình chóp S.ABCD nếu (α ) qua M và đồng
thời song song với SC và AD.
HDGiải
Theo nhận xét trên, ta có MN // PQ // SC
Vì (α ) song song với AD nên (α ) cắt hai mặt
Vậy thiết diện là hình thang MNPQ
phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song S song với AD.
Tương tự (α ) song song với SC nên (α ) cắt hai N M
mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo hai giao tuyến song song với SC.
Gọi O = AC ∩ BD , ta có SC//OM( đường trung A D bình trong tam giác SAC) Q
Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB P O
và CD tại Q và P. Qua M, kẻ đường thẳng song B
song với AD cắt SD tại N. Hình 3.9 C
Bài 3.10. Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy điểm M. Cho (α ) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của (α ) với các mặt của tứ diện
b) Thiết diên của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α ) là hình gì?
HDGiải
a) Giao tuyến của (α ) với các mặt của tứ
b) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α ) với tứ
diện là các cạnh của tứ giác MNPQ có:
diện là hình bình hành MNPQ
MN // PQ //AC và MQ // NP // BD A M Q B D N Hình 3.10 P C 61 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 3.11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α ) đi qua O, song song với AB và
SC. Thiết diện đó là hình gì?
HDGiải (α) / / AB  S 
Ta có: AB ⊂ (ABCD)
 ⇒ MN / / AB (α) ( 
∩ ABCD) = MN  P Q Hình (α) / /SC  3.11  SC ⊂ (SBC)  ⇒ MQ / /SC (α) (  ∩ SBC) = MQ D N A (α) / / AB  O  SC ⊂ (SAB) C
 ⇒ PQ / / AB M B (α) (  ∩ SAB) = PQ
Vậy MN // PQ. Do đó tứ giác MNPQ là hình thang
Bài 3.12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.
HDGiải
Qua M vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD S
tại N và cắt AC tại I. Qua M, I, N vẽ các đường Q
thẳng song song với SA lần lượt cắt SB, SC, SD P tại R, Q, P.
Thiết diện là ngũ giác MNPQR. R D C N Hình 3.12 I M B A
Bài 3.13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm di động trên đoạn AB.
Một mặt phẳng (α ) đi qua M và song song với SA và BC; (α ) cắt SB, SC và CD tại N, P, Q
a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
b) Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định.
HDGiải (  α) / / AB
(SAB) và (SCD) cố định nên Sx cố định.
a) Vì M ∈ (SAB) và  nên
Dó đó I thuộc đường thẳng Sx cố định. SA ⊂ (SAB)
(α)∩(SAB) = MN và MN // AB. S
Tương tự (α ) ∩ (SBC) = NP và NP // BC;
(α)∩(SCD) = PQ ; (α)∩(ABCD) = MQ và MQ I
// BC. Từ đó suy ra, tứ giác ABCD là hình thang.
S ∈(SAB) ∩(SCD) x N P 
b) Ta có AB ⊂ (SAB),CD ⊂ (SCD) D  A AB / /CD  M Q
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx và Sx // AB // CD  ∈ ⊂ ( ) B C Hình 3.13 MN ∩ PQ = I MN SAB
I ⇒ I ∈PQ ⊂ (SCD)
⇒ I ∈(SAB) ∩ (SCD) ⇒ I ∈ Sx 62 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 3.14. Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng được một mặt phẳng (α ) song song với
AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, N và Q.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di
động trên đoạn thẳng AC.
Bài 3.15. Cho tứ diện ABCD. Trọng tâm G của tam giác ABD, điểm I nằm trên cạnh BC sao cho BI =
2IC. Chứng minh rằng IG song song với mặt phẳng (ACD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, Gọi M là trung điểm của cạnh SC; (P) là mặt phẳng qua M và song song với BD.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P)
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SB và SD. Hãy tìm tỉ số diện tích của tam giác
SME với tam giác SBC và tỉ số diện tích của tam giác SMF với tam giác SCD.
c) Gọi K là giao điểm của ME với CB, J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm K, EF
A, J nằm trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số KJ 63 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
§4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
A. KIẾN THỨC CẤN NẮM
I. Định nghĩa: Hai mặt phẳng (α ) và (β ) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm
chung. Kí hiệu: (α ) / /(β ) hoặc (β ) / /(α ) . Như vậy (α ) / /(β ) ⇔ (α ) ∩ (β ) = Ο II. Tính chất.
1. Định lí 1. Nếu mặt phẳng (α ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song với mặt phẳng
a ⊂ (α ),b ⊂ (α ) (β) 
thì (α ) song song với (β ) ; nghĩa là a ∩ b = M  ⇒ (α ) / /(β ) 
a / /(β ),b / /(β ) 
Hệ quả: Nếu mặt phẳng (α ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b, mặt phẳng (β ) chứa hai đường thẳng
cắt nhau a' và b' đồng thời a // a', b // b' thì mặt phẳng (α ) song song với mặt phẳng (β ) .
2. Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
a) Hệ quả 1. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α ) thì trong (α ) có một đường thẳng song
song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng (β ) song song với (α ) .
b) Hệ quả 2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
c) Hệ quả 3. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α ) . Mọi đường thẳng đi qua A và song song với
(α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (α) .
3. Định lí 3. Cho hai mặt phẳng song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia
và hai giao tuyến song song với nhau.
Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
4. Định lí 4(Định lí Ta-lét). Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ. AB AC BC = = A' A ' B ' A 'C ' B 'C ' A P B B' Q C C' R 5. Định lí Ta-lét đảo.
Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau lần lượt lấy các điểm A, B, C và A’, B’, C’ sao AB BC CA cho = = A'B' B'C' C'A'
Khi đó AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.
III. Hình lăng trụ và hình chóp cụt 1. Hình lăng trụ
Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song (gọi là hai đáy) và tất cả
các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau (gọi là cạnh bên) -
Hai đáy của hình lăng trụ là các đa giác bằng nhau -
Các mặt khác hai đáy gọi là mặt bên: Mỗi mặt bên là một hình bình hành -
Các mặt tạo bởi hai cạnh bên không liên tiếp gọi là mặt chéo: Mỗi mặt chéo là một hình bình hành -
Đường chéo của các mặt chéo là đường chéo của hình lăng trụ 64 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp -
Tùy theo đáy, ta gọi hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ lục giác, . . . Lăng trụ tam giác Lăng trụ tứ giác Lăng trụ ngũ giác 2. Hình hộp
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. -
6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình bình hành -
Các đường chéo của hình bình hành đồng qui tại một điểm là trung điểm của mỗi đường chéo
(điểm đó gọi là tâm của hình hộp) -
Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật -
Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương D' C' A' B' O D C A B 3. Hình chóp cụt
Cho hình chóp S.A1A2...An. Một mặt phẳng S
không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy
của hình chóp cắt các cạnh SA1, SA2, . . ., SAn ' ' '
lần lượt tại A , A ,..., A 1 2 . Hình toạ bởi thiết n ' ' ' A'5 diện A A ...A A A ...A 1 2 và đáy của hình chóp n 1 2 n A'1 A'4 cùng các từ giác
A' A' A A , A' A' A A ,..., A' A' A A A'2 A'3 1 2 2 1 2 3 3 2 được gọi là n 1 1 n P ' ' '
hình chóp cụt, kí hiệu A A ...A .A A ..A 1 2 A n 1 2 n 5 Hình chóp cụt có: A1 A4 -
Hai đáy là hai da giác có cạnh tương ứng
song dong và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau A2 A3 -
Các mặt bên là những hình thang -
Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng qui tại một điểm. B. BÀI TẬP
Vấn đề 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp:
1. Vận dụng định lí 1: Nếu mặt phẳng (α ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song với mặt
a ⊂ (α ),b ⊂ (α )
phẳng (β ) thì (α ) song song với (β ) : a ∩ b = M  ⇒ (α ) / /(β ) 
a / /(β ),b / /(β ) 
2. Ta chứng minh hai mặt phẳng (α ) và (β ) cùng song song với mặt phẳng thứ ba (γ ) 65 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 4.1. Cho từ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD.
Chứng minh mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (BCD).
HDGiải
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, Như vậy DB. Ta có: GG ⊂ G ( G G ) 1 2 1 2 3 AG 2  M ∈ AG 1 = GG ⊂ G ( G G ) 1 và 1 3 1 2 3 AM 3 G
G ∩ G G = G ⇒ G ( G G ) / /(BCD) 1 2 1 3 1 1 2 3  AG 2 G G / /(BCD)  N ∈ AG 2 = 1 2 2 và AN 3 GG / /(BCD)  1 3 AG 2 P ∈ AG 3 = A 3 và AP 3 AG AG Do đó 1 2 = ⇒ G G / / MN AM AN 1 2
Vì MN nằm trong (BCD) nên G G / /(BCD) 1 2 G3 AG AG Tương tự 1 3 = ⇒ G G / / MP G1 G AM AP 1 3 2 P
Vì MP nằm trong (BCD) nên G G / /(BCD) 1 3 . B D Hình 4.1 M N C
Bài 4.2. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC
và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N
lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh: a) (ADF) // (BCE) b) M’N’ // DF
c) (DEF) // (MM’N’N) và MN // (DEF).
HDGiải a) Ta có: AM ' AN ' Từ (1) và (2): =
⇒ M ' N '/ /DF AD / / BC
 ⇒ AD / /(BCE) AD AF BC ⊂ (BCE)
c) Từ chứng minh trên suy ra: DF // (MM’N’N) '/ / ⇒ '/ /  AF / / BENN AB NN EF
 ⇒ AF / /(BCE)  ' ⊂ ( ' ' ) BE ⊂ (BCE) NN MM N N
mà AD, AF ⊂ (ADF)
⇒ EF / /(MM ' N ' N) Nên (ADF) // (BCE)
Mà DF, EF chứa trong (MM’N’N)
b) Vì ABCD và ABEF là các hình vuông nên AC Nên (DEF) // (MM’N’N) = BF.
Vì MN chứa trong (MM’N’N) và AM ' AM (DEF)//(MM’N’N)
Ta có: MM '/ /CD ⇒ = (1) Nên MN // (DEF) AD AC AN ' BN NN '/ / AB ⇒ = (2) AF BF 66 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp F E Hình 4.2 N' N A B M' M D C
Bài 4.3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’.
a) Chứng minh rẳng: CB’ // (AHC’)
b) Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (ABC).
HDGiải
a) Ta có tứ giác AA’C’C là hình bình hành
Nên (AB 'C ') ∩ (ABC) = Ax / / BC / / B 'C '
suy ra A’C cắt AC’ tại trung điểm I của mỗi đường. C' A'
do đó IH // CB’(đường trung bình của tam H giác CB’A’) B'
Mà IH chứa trong (AHC’) nên CB’ // (AHC’) I
A ∈(AB 'C ') Hình b) Ta có  4.3 A ∈ (ABC)
⇒ A ∈(AB'C ') ∩ (ABC) C A
B 'C '/ /BC x 
Mà B 'C ' ⊂ (AB 'C ') BC  ⊂ (ABC) B
Bài 4.4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên AA’, BB’, CC’. Gọi I, I’ tương ứng là
trung điểm của hai cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh rằng: AI // A’I’
b) Tìm giao điểm của IA’ với mặt phẳng (AB’C’)
c) Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (A'BC).
HDGiải
a) Ta có: II’ // BB’ và II’ = BB’
Khi đó AI '∩ A ' I = E . Ta có
Mặt khác AA’ // BB’ và AA’ = BB’ E ∈ IA'
nên AA’ // II’ và AA’ = II’ 
⇒ E ∈(AB 'C ') E ∈ AI '
Suy ra AA’I’I là hình bình hành Suy ra AI // A’I’
Vậy E là giao điểm của A’I và (AB’C’)
A ∈(AB'C ')
M ∈(AB'C ') ' ∩ ' ⇒ b) Ta có :  c) Ta có: A B AB = M   ∈( ')
A ∈(AA ' I ' I ) M ABC
⇒ A ∈(AB'C ') ∩ (AA'I 'I)
N ∈(AB 'C ')
Tương tự: AC '∩ A 'C = N ⇒  N ∈ (ABC ')
I '∈ B'C ' ⊂ (AB'C ')
Vậy: (AB 'C ') ∩ (A ' BC) = MN Tương tự : 
I ' ∈(AA ' I ' I )
⇒ I '∈(AB 'C ') ∩ (AA'I 'I )
⇒ AI ' = (AB'C ') ∩ (AA'I 'I) 67 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp A' C' I' B' E N M A C Hình I 4.4 B
Bài 4.5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’
a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’)
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM’M). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
HDGiải
a) MM’ // BB’ và MM’ = BB’ =>MM’ // AB và
Mà OC’, AM’ là trung tuyến tam giác AB’C’ MM’ = AB(hình lăng trụ)
Vậy G là trọng tâm của tam giác AB’C’
Suy ra tứ giác AA’M’M là hình bình hành => AM // A’M’ A' C'
b) Gọi I = A ' M ∩ AM ' M' Ta có:
I ∈ AM ' ⊂ (AB'C ') B' 
⇒ I = A' M ∩(AB 'C ') c)
I ∈ A ' M G C
 '∈(AB 'C ') 
⇒ C '∈(AB'C ') ∩(BA'C ') I C O
 '∈ (BA 'C ')
AB '∩ A' B = O O  ∈(AB'C ') ⇒ 
⇒ O ∈(AB 'C ') ∩ (BA'C ') A C O  ∈(BA 'C ')
⇒ d ≡ C 'O = (AB 'C ') ∩ (BA'C ') Hình M
d ⊂ (AB 'C ') 4.5 d) 
⇒ d ∩ AM ' = G B
AM ' ⊂ (AB 'C ') G  ∈ d ⇒ 
⇒ G ∈(AM ' M) G  ∈ AM '
Ta có OC '∩ AM ' = G 68 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 4.6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC,
A’B’C’, A’CC’. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (IKG) song song với mặt phẳng (BB’CC’)
b) Xác định thiết điện của lăng trụ với mặt phẳng (IKG). Thiết diện là hình gì ?
c) Gọi H là trung điểm của BB’. Chứng minh (AHI) // (A’KG).
Bài 4.7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng: a) (AB’D’) // (C’BD)
b) Bốn tâm đối xứng của bốn mặt bên là bốn đỉnh của một hình bình hành.
Bài 4.8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α ) qua M của cạnh bên SA
và song song với mặt đáy. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α ) . Thiết diện là hình gì?
Bài 4.9. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và điềm M trên cạnh SC. Xác định thiết diện của hình chóp với
mặt phẳng qua M và song song với (SAB). 69 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
§5. PHÉP CHIẾU SONG SONG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Phép chiếu song song -
Cho mặt phẳng (α ) và đường thẳng ∆ cắt (α ) . Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng qua
M và song song hoặc trùng với ∆ cắt (α ) tại điểm M' xác định. -
Điểm M' gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (α ) theo phương ∆ . -
Mặt phẳng (α ) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của đường thẳng ∆ được gọi là phương chiếu. -
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M' của nó trên mặt phẳng (α ) được
gọi là phép chiếu song song lên (α ) theo phương ∆ M M' α
2. Các tính chất của phép chiếu song song (với đường thẳng và đoạn thẳng không song song hoặc trùng với phương chiếu) -
Phép chiều song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó; -
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; -
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau; -
Phép chiều song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng
song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
3. Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng -
Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể là hình biểu diễn của một tam giác tuỳ ý cho trước ( có
thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, . . .); -
Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tuỳ ý
cho trước ( có thể là hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, . . .). -
Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tuỳ ý cho
trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình đã cho. -
Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn. B. BÀI TẬP
Bài 5.1. Tam giác ABC có hình chiếu song song là tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng trọng tâm của tam
giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm của tam giác A'B'C'.
HDGiải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC G' là hình chiếu song song của nó. Gọi M là trung điểm cùa BC thí A, G, M thẳng hàng.
Gọi M' là hình chiếu của M. Khi đó theo tính chất của phép chiếu song song ta có:A', G' M' thẳng hàng và A 'G ' AG 2 ' ' 2 = = (1) B M BM
; B', M', C' thằng hàng và = = (2) A ' M ' AM 3 M 'C ' MC 3
Từ (1) và (2) suy ra G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. 70 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp A C G M B A' C' G' Hình M' 5.1 B' Bài 5.2.
a) Vẽ hình biểu diển của một tứ diện và trọng tâm của nó.
b) Vẽ hình biểu diễn của tam giác vuông nột tiếp trong đường tròn.
HDGiải
a) Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì trung
điểm G của MN sẽ biểu diễn cho trọng tâm của tứ diện.
b) Vẽ elip tâm O là hình biểu diễn của đường tròn đã cho. Lấy hai điểm A và B là hai điểm trên elip
sao cho B, C, O thẳng hàng và một điểm A thuộc elip sao cho A khác với B và C. Khi đó, tam
giác ABC là hình biểu diễn của một tâm giác vuông nội tiếp trong một đường tròn. A B Hình A M 5.2a / Hình 5.2b G O B D / N C C
Bài 5.3. Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (α ) và phương chiếu của tam giác ABC trên (α ) là: a) Một tam giác cân b) Một tam giác đều c) Một tam giác vuông
HDGiải
a) Qua BC dựng một mặt phẳng (α ) không đi qua
A. Trong mặt (α ) ta dựng tam giác cân BCA1(BA1 = CA α
1). Khi đó, phép chiếu song song lên ( ) A theo phương chiếu ∆ = AA Hình 1 biến tam giác ABC 5.3 thành tam giác cân A1BC.
b) Trong (α ) ở câu a), ta dựng tam giác BCA2 và α
c) Chọn phương chiếu ∆ = AA2. Trong mặt phẳng / A1 C (α) /
câu a), ta dựng tam giác vuông BCA A3 3 A2 ( B BA C ) 0 = 90 3
và chọn phương ∆ = AA3. Bài 5.4.
a) Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.
b) Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.
HDGiải
a) Vẽ tam giác tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn (Theo bài 5.2). Qua O ta kẻ hai dây
ME và NF của elip lần lượt song song với AC và AB. Khi đó, tứ giác MNEF là hình biểu diễn của
một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.
b) Xét hình lục giác đều ABCDEF (Hình 5.4b1), ta nhận thấy: - Tứ giác OABC là hình thoi -
Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O
Từ đó, suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều ABCDEF như sau: -
VẼ hình bình hành O'A'B'C' biểu diễn cho hình thoi OABC. -
Lấy cá điểm D', E', F' lần lượt đối xứng với các điểm A', B' C' qua O', ta được hình biểu diễn A'
B'C'D'E'F' (hình 5.4 b2) của hình lục giác đều ABCDEF. 71 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp E B N A D A' B' A F C F' O C' M E' D' E D F B Hình 5.4b Hình 5.4b Hình 5.4a 1 2
Bài 5.5. Giả sử tam giác ABC là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hãy dựng hình biểu diễn của tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đó.
HDGiải
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với A
trọng tâm của tam giác đó, nên hình biểu diễn của
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều chính là B'
trọng tâm của O của tam giác ABC. O C B A' Hình 5.5
Bài 5.6. Cho một elip là hình biểu diễn của một đường tròn. Hãy vẽ hình biểu diễn của mỗi hình sau:
a) Một dây cung và đường kính vuông góc với dây cung đó của đường tròn
b) Hai đường kính vuông góc của đường tròn
c) Một tam giác đều nội tiếp đường tròn.
HDGiải
a) Vẽ dây cung MN và một dây cung PQ đi qua tâm O của elip và trung điểm I của MN.
Khi đó MN và PQ lần lượt là hình biểu diễn của một dây cung và một đường kính vuông góc với
dây cung đó của đường tròn.
b) Sau bước câu a), vẽ dây cung AB qua O và song song với MN. Khi đó PQ và AB là hình biểu diễn
của hai đường kính vuông góc với đường tròn.
c) Sau câu a) b), ta vẽ hai dây cung AB và
PQ. Khi đó tam giác AEF là hình biểu
PQ của elip là hình biểu diễn của hai
diễn của một tam giác đều nội tiếp
đường kính vuông góc với đường tròn. Từ đường tròn đã cho.
trung điểm J của OB, vẽ dây cung EF // Q F A Hình O 5.6 J M B I P E N
Bài 5.7. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BC lần lượt lấy các điểm M và N không
trùng với các đỉnh của hình hộp. Trong hình bình hành A'B'C'D' lấy một điểm P. Hãy xác định thiết diện
của hình hộp khi cắt bởi mp(AMN).
HDGiải
Trước hết, ta tìm giao điểm của Pm với mặt phẳng D' C'
(ABCD). Gọi P' là hình chiếu của P trên P
mp(ABCD) theo phương chiếu AA'. Khi đó PM G F E A' B'
cắt P'A tại I. Vì I thuộc mp(ABCD) nên IN cắt AB
tại K. Gọi E là giao điểm của KM với A'B'. Nối E C M D
với P cắt A'D' và B'C' lần lượt tại F và G. Vậy N
thiết diện cần tìm là ngũ giác MKNGF. P' A K Hình 5.7 B I
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 5.8. Vẽ hình chiếu của tứ diện ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu AB (AB không song song với (P)).
Bài 5.9. Vẽ hình chiếu của hình hộp ABCD.A1B1C1D1 lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu AC1( AC1 không song song với (P)). 72 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA CHƯƠNG II
DẠNG 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp 1. (áp dụng nội dung tính chất 5 của bài 1 sgk/47). Ta tìm hai điểm chung phân biệt của M ∈(α)∩(β) 
hai mặt phẳng. Cụ thể: N ∈ (α) ∩(β) ⇒ MN = (α) ∩(β) M  ≡ N
Phương pháp 2. (Áp dụng HQ của nội dung Định lí 2 của bài sgk/57) (a) ≡ (β)  a / /b Cụ thể: 
hoặc trùng với một trong hai đường thẳng a và b.
 ⊂ (α) ⇒ (α) ∩ (β) = ∆,∆ / /a / /b ab ⊂ (β  )
Phương pháp 3. (Áp dụng nội dung Định lí 2 của bài 3 sgk/61) a / / ( ) α 
Cụ thể: ⊂ (β)⇒(β)∩(α)= ,bb/ /a a 
DẠNG 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) , phương pháp chung: / d ( )  ⊂ α 
 ⇒ I = d ∩ α / ( )
d ∩ d = I  /
Chọn mặt phẳng (β) chứa đường thẳng d sao cho dễ tìm giao tuyến với (α) là d d ( )  ⊂ β  / 
Cụ thể: (β) ∩(α) = d  ⇒ I = d ∩ (α)  /
d ∩ d = I 
DẠNG 3. Chứng đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp: (áp dụng nội dung Định lí 1 của bài 3 sgk/61) d ( ) ⊂ α  / 
Cụ thể: d / / d  ⇒ d / / (α) /  d ⊂ (α)
DẠNG 4. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp: (Áp dụng nội dung Định lí 1 của bài 4 sgk/64) , a b ( )  ⊂ α 
Cụ thể: a / / (β),b / / (β) ⇒ (α) / / (β) 
a ∩ b = M 
DẠNG 5. Dựng thiết diện
Dựng thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (α) :
Phương pháp chung: Ta tìm các giao tuyến (nếu có) của (α) với mặt đáy và các mặt bên của hình (H).
Đoạn nối giữa các giao tuyến cho ta một hình, hình đó là thiết diện cần tìm. Lưu ý: 73 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Dựng thiết diện song song với một đường thẳng: (α) đi qua một điểm và song song với hai đường
thẳng trong hình (H) hoặc qua hai điểm và song song với một đường thẳng trong hình (H).
Phương pháp: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) . Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt (α) / /
theo giao tuyến d thì d song song với d.
Dựng thiết diện song song với một mặt phẳng trong hình (H): (α) song song với một mặt phẳng nào đó trong hình (H). Phương pháp:
ÁP dụng: Khi (α) song song với một mặt phẳng (β) nào đó thì (α) sẽ song song với tất cả đường thẳng trong (β) .
Để xác định giao tuyến của (α) với các mặt của hình (H), ta làm như sau:
Tìm đường thẳng d nằm trong (β)
Vì (α) / / (β) nên (α) cắt những mặt phẳng chứa d theo các giao tuyến song song với d.
DẠNG 6. Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp:
1. Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng và dùng phương pháp chứng minh hai đường thẳng
song song trong hình học phẳng( như tính chất đường trung bình của tam giác, định lí Talét đảo, tính chất
song song của hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba, …)
2. Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
3. Dùng tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của a ∈(α)  b ∈(β )
chúng(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng ấy. Tức là: 
⇒ c / /a / /b a / /b (  α)∩(β) = c α  ∩γ = a
a / /b / /c
4. Dùng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng: β ∩ γ = b ⇒  
a,b ñoàng quy α  ∩ β = c
DẠNG 7. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui. Phương pháp:
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó
chúng thuộc giao tuyến hai mặt phẳng đó.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này là điểm
chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba. B. BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF)
b) Lấy M là một điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao tuyến của đường thẳng AM với mp(BCE)
c) Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.
HDGiải
a) Gọi G = AC ∩ BD; H = AE ∩ BF
c) Nếu AC và BF cắt nhau thì hai hình thang đã
Ta có (AEC) ∩ (BFD) = HG
cho cùng nằm trên một mặt phẳng. Điểu này
Tương tự: Gọi I = AD ∩ BC; K = AF ∩ BE trái với giả thiết.
Ta có: (BCE) ∩ (ADF) = IK
b) Gọi N = AM ∩ IK . Ta có: N = AM ∩ (BCE) 74 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp I N C Hình 1 D G B M E H K A F
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang và AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là
trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)
Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).
HDGiải
a) Gọi E = AD ∩ BC . Ta có S
(SAD) ∩(SBC) = SE
b) Gọi F = SE ∩ MN, P = SD ∩ AF M
Ta có: P = SD ∩ (AMN ) N A B
c) Thiết diện là tứ giác APNM P F Hình 2 D C E
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm hai đường chéo, M,
N, P, theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng SA, BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp(MNP).
c) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNP).
HDGiải
c) Gọi E = AB ∩ NP; F = AD ∩ NP
a) Ta có (SAC) ∩ (SBD) = SO
R = SB ∩ ME;Q = SD ∩ MF
b) Gọi H = AC ∩ NP; I = SO ∩ MH
Thiết diện cần tìm là ngũ giác MQPNR
Ta có: I = SO ∩ (MNP) S M Q I F A R D H O P Hình 3 B N C E
Bài 4. Từ các đỉnh của tam giác ABC ta kẻ các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’ song song , cùng chiều, bằng
nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi I, G và K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’.
a) Chứng minh rằng (IGK) // (BB’C’C)
b) Chứng minh rằng (A’GK) // (AIB’).
HDGiải 75 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
a) Gọi M, M’ tương ứng là trung điểm AC và
Từ đó suy ra: (IGK) // (BB’C’C) A’C’, ta có: A' M'
I ∈ BM,G ∈C ' M, K ∈ B ' M ' C' , theo tính chất trọng K tâm ta có: F MI MG 1 =
= ⇒ IG / /BC ' B' MB MC ' 3 O MI M ' K 1 = = G ⇒ IK / / BB ' MB M ' B ' 3 Ta có: A M C IG / /BC ' Hình I 
⇒ IG / /(BB 'C 'C) 4 E
BC ' ⊂ (BB 'C 'C) IK / /BB ' B 
⇒ IK / /(BB 'C 'C)
BB ' ⊂ (BB 'C 'C) IG ⊂ (IGK) 
Mặt khác ta có: IK ⊂ (IGK) IG  ∩ IK = I
b) Gọi E và F tương ứng là trung điểm của BC và B’C’, O trung điểm A’C.A, I, E thẳng hàng nên (AIB’)
chình là (AEB’). A’, G’ C thẳng hàng nên (A’GK) chính là (A’CF)
Ta có: B’E // CF (do B’FCE là hình bình hành và AE // A’F nên (AIB’) // (A’GK)
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AD và CC’ sao cho AM CN = . MD NC '
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’)
b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’).
HDGiải
a) Vẽ MP song song với AC và cắt CD tại P
Ta vẽ NQ //CB’, QR // C’A’ // CA, RS // AM CP CN
AB’ //PN và SM // QN. Thiết diện của hình Ta có: = = MD PD NC '
hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua Do đó: PN // DC’ // AB’
MN và song song với mặt phẳng (ACB’) là
Đường thẳng MN chứa trong (MNP) và mặt
lục giác MPNQRS có các cạnh đối song
phẳng này có MP//AC, PN//AB’.
song với nhau từng đôi một: MP // RQ, PN
Vậy (MNP) // (ACB’). Suy ra MN // (ACB’) // SR, NQ // MS.
b) Vì mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng
(ACB’) nên hai mặt phẳng đó sẽ cắt các mặt bên
của hình hộp theo các giao tuyến song song A M D P Hình 5 B C S A' N D' R B' Q C'
Bài 6. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh rằng hai đường chéo AC’ và A’C cắt nhau và hai đường chéo BD’ và B’D cắt nhau
b) Cho E, F lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh MN = EF 76 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
HDGiải
a) Hình bình hành ACC’A’ có hai đường chéo là
điểm N của đường thẳng chéo BD’ trên BD. ta
AC’ và A’C cắt nhau tại trung điểm M của mỗi CC '
đường. Tương tự, hai đường chéo BD’ và B’D cắt
có: EM // CC’ và EM = 2
nhau tại trung điểm N của mỗi đường. DD '
b) Trung điểm E của AC là hình chiếu của trung
Mặt khác: FN // DD’ và FN = . Từ đó suy
điểm M của AC’ theo phương của cạnh hình lăng 2
trụ. Tương tự, trung điểm F là hình chiếu trung
ra tứ giác MNFE là hình bình hành và ta có: MN = EF A' D' B' C' M N A D P E B Hình 6 C
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Trên AD lấy trung điểm M, trên cạnh BC lấy một điểm N bất kì khác B và C.
Gọi (P) là mặt phẳng qua đường thẳng MN và song song với CD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mp(P).
b) Xác định vị trí N trên BC sau cho thiết diện là một hình bình hành.
HDGiải CD
b) Ta có: MJ = 2 . Vậy để hình thang MINJ a) Ta có 1
CD ⊂ (ACD),CD / /(P) ⇒ (ACD) ∩ (P) = MJ .
là hình bình hành ⇔ NI = MJ = CD 2
Sao cho MJ // CD ( J thuôc trên AC)
Suy ra: N là trung điểm của BC
Tương tự, ta có: (BCD) ∩ (P) = NI , sao cho NI//CD và I thuộc BD.
Vậy thiết diện là hình thang MINJ (MJ // NI)
Bài 8.Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I, J lần lượt là trung điểm các
đoạn AD, BC. Chứng minh rằng IB và JA không nằm trong cùng một mặt phẳng.
HDGiảiJ ∈(α)
Ta dùng phương pháp phản chứng.
JA ⊂ (α ) ⇒ A∈(α)
Giả sử có một mặt phẳng (α ) chứa đồng thời IB và JA. Khi đó ta có: C  ∈ BJ  ⇒ C ∈(α) I ∈(α) BJ ⊂ (α )
IB ⊂ (α ) ⇒ B∈(α) D ∈ AI  ⇒ D ∈(α) AI ⊂ (α ) 77 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Vậy A, B, C, D cùng thuộc (α ) . Điều này vô lí vì A
A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng I D B J Hình 8 C
Bài 9. Cho tứ diện SABC có E, F lần lượt là trung điểm của SB, AB. Lấy G là một điểm trên đoạn AC
sao cho G không trùng với trung điểm của AC. Gọi I là giao điểm của GF và mặt phẳng (SBC)
a) Chứng minh I thuộc đường thẳng BC
b) Xác định thiết diện tạo bởi (EFG) và tứ diện SABC.
HDGiải S I ∈ FG H a)  ⇒ I ∈(ABC) FG ⊂ (ABC) I ∈(ABC) 
⇒ I ∈(ABC) ∩ (SBC) I ∈(SBC) F G ⇒ A I ∈ BC C
( Hay nói cách khác, ta đi chứng minh ba điểm I, B, C thẳng hàng) E Hình 9
b) Do EF // SA mà EF ⊂ (EFG) nên (EFG) // SA.
Vậy (EFG) cắt hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) lần B
lượt theo hai giao tuyến EF và GH cùng song song I
với SA(H thuộc SC). Ta có thiết diện cần tìm là EFGH Bài 10.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm di động trên cạnh SC và (α ) là
mặt phẳng qua AM và song song với BD.
a) Chứng minh (α ) luôn chứa một đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh SC
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (α ) với các cạnh SB, SD. Hãy xác định điểm E, F
Gọi I, J lần lượt là giao điểm của ME với BC và MF với CD. Chứng minh rằng ba điểm I, J. A thẳng hàng.
HDGiải
a) (α ) song song với BD nên (α ) sẽ cắt
c) Theo chứng minh trên I, J, A cùng thuộc trên
mp(ABCD) (chứa BD) theo một giao tuyến d đi d, nên chúng thẳng hàng.
qua A( điểm chung) và song song với BD. Do A α S
cố định và BD cố định nên d chính là đường thẳng cố định cần tìm M
b) Gọi I là giao điểm của d với đường thẳng BC. F
Giao điểm IM với SB chính là điểm E cần tìm E
Tương tự: gọi J là giao điểm của d với đường
thẳng CD. Giao điểm của MJ với SD chình là J D C điểm F cần tìm A D Hình 10 I d
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. 78 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh: IA = 2IM
b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM). Chứng minh F là trung điểm của SD
c) Gọi N là một điểm tùy ý trên AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD).
HDGiải
Trong tam giác SBD có: SO là trung tuyến và
a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD):
SI = 2IO suy ra I là trọng tâm của tam giác
Gọi O = AC ∩ BD . Trong mp (SAC), có SBD.
I = SO ∩ AM
Từ đó suy ra: F là trung điểm của SDI ∈ AM
c) Tìm giao điểm của MN với (SBD): 
Gọi K = MN ∩ BI ,(Trong (ABM)), khi đó
khi đó I ∈ SO ⊂ (SBD) K ∈ MN
⇒ I = AM ∩ (SBD) 
⇒ K = MN ∩(SBD)
K ∈ BI ⊂ (SBD) Chứng minh IA = 2IM:
Trong tam giác SAC: AM; SO là trung tuyến và S
I = SO ∩ AM
⇒ I là trọng tâm của tam giác SAC => IA = 2IM.
b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM)
Trong (SBD), gọi F = SD ∩ BI , F I M F ∈ SD K A B  N
khi đó: F ∈ BI ⊂ (ABM) Hình
⇒ F = SD ∩ (ABM) 11 O
Chứng minh F là trung điểm của SD: I là trọng
tâm tam giác SAC => SI = 2IO D C
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp(SAC)
d) Tìm giao điểm P của SC và mp(ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD và G là trọng tâm của
tam giác SCD. Tìm giao điểm của:
a) MG và mp(ABCD)
b) BN và mp(SAG)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp(SAC)
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AB // CD, AB > CD). Gọi
I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC), (SAC) và (SBD)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mp(AIJ)
c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(AIJ)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm giữa S và A; N là điểm
nằm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SO
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN)
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (CMN).
Bài 6. Cho hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF)
b) Lấy M là một điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao tuyến của đường thẳng AM với mp(BCE)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho 2SM = 79 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
MA, trên đoạn SB lấy điểm N sao cho 2SN = NB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC)
b) Chứng minh rẳng: MN // CD
c) Điểm P nằm trên cạnh SC không trùng với S, C. Tìm giao tuyến hai mp (MNP) và (SCD)
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Hãy xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SBC) và (SAD)
b) M là điểm thuộc cạnh SC, tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABM). Thiết diện là hình gì?
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang và AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là
trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Gọi
M, N, P, theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng SA, BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp(MNP).
c) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNP).
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB và SC đều song song với mp (MNP)
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O là giao
điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
a) Chứng minh rằng OG // (SBC)
c) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB) 3
d) Giả sử I nằm trên đoạn SC sao cho SC = SI 2
. Chứng minh rằng SA // (BID).
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AD // BC, AD > BC). Gọi M, N, E lần lượt là trung
điểm của AB, CD, SA.
a) Chứng minh rằng: (MEN) // (SBC)
b) Trong tam giác SAD vẽ EF // AD (F ∈ SD) . Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt phẳng (MNE)
với SD. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNE) là hình gì?
Bài 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD.
Chứng minh mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (BCD).
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là
trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (α ) với hình chóp S.ABCD nếu (α ) qua M và đồng
thời song song với SC và AD.
Bài 16. Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy điểm M. Cho (α ) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường
thẳng AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của (α ) với các mặt của tứ diện
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α ) là hình gì?
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α ) đi qua O, song song với AB và SC.
Thiết diện đó là hình gì?
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi
M, N, P, theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng SA, BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(MNP). Từ đó suy ra giao điểm của đường thẳng SO với mp(MNP). 80 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α ) qua M đồng thời song song với AB và SC.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi
M, N, P, theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng SA, BC, CD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp(MNP).
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M đồng thời song song với AB và SC. Thiết diện là hình gì?
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, CD.
a) Chứng minh rằng (OMN) // (SBC)
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (OMN)
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm SB, CD.
a) Chứng minh rằng: IJ //(SAD)
b) Gọi (α ) là mặt phẳng qua IO và song song với SC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp (α ) .
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm SC, AB.
a) Chứng minh rằng (OPQ) // (SAD)
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (OPQ)
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SD, BC.
a) Chứng minh rằng: MN //(SAB)
Gọi (α ) là mặt phẳng qua MO và song song với SA. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp (α ) .
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SB và SC.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD).
b) Gọi (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α ) .
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy một điểm M trên cạnh SA nhưng
không trùng với S và A.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng CM với mặt phẳng (SBD).
b) Gọi (α ) là mặt phẳng qua M và đồng thời song song với AB, SC. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α ) .
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SC và OB. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN).
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD; M là trung điểm của SD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α ) qua M,
song song với SO và BC.
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA và SD. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng (BMN).
Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt
bởi mặt phẳng (α ) qua trung điểm M của CD, song song với AC và SD.
Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD, M là trung điểm của cạnh SA.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M, song song với SO và BC. 81 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (Q) qua O, song song với BM và SD
Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD // BC). Gọi M, N, G lần lượt là trung
điểm của AB, CD và trọng tâm tam giác SAD.
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD)
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNG)
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử đường thẳng SO cắt mặt phẳng (MNG) tại E. Hãy xác định điểm E.
Bài 33. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và BC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng đi qua M, N và song song với SB.
Bài 34. CHo hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vẽ thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng đi qua trung điểm
M, N của các cạnh AB, AD và tâm O của hình bình hành CDD'C'.
Bài 35. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' và các trung điểm E, F của các cạnh AB, DD'. Hãy xác
định các thiết diện của hình lập phương cắt bởi các mặt phẳng (EFB), (EFC), (EFC') và (EFK) với K là
trung điểm của cạnh B'C'.
Bài 36. Cho tứ diện đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB và BC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua M, N và song song với SB.
Bài 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AD//BC, AD > BC). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.
a) Chứng minh rằng: (MEN) // (SBC)
b) Trong tam giác SAD vẽ EF // AD (F ∈ SD) . Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt phẳng
(MNE) với SD. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNE) là hình gì? 82 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG II
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm
các đoạn thẳng S ,
A BC,CD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD (như hình
vẽ). Xác định giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (MNP) : S
A. I = SO ∩ NP
B. I = SO ∩ MH M
C. I = SO ∩ MP A D
D. I = SO ∩ MN O P H B N C
Câu 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC; G là trọng tâm của tam
giác BCD . Khi ấy, giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng ( ABC) là:
A. Giao điểm của MG và đường thẳng BC B. Điểm N C. Điểm C
D. Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN
Câu 3: Tìm mệnh đề Đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (α ) và (β ) thì
(α ) và (β ) song song với nhau
B. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song
với mặt phẳng cho trước.
C. Nếu hai mặt phẳng (α ) và (β ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α ) đều song
song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (β )
D. Nếu hai mặt phẳng (α ) và (β ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α ) đều song song với (β )
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử M thuộc đoạn thẳng SB . Mặt
phẳng (ADM) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì? A. Hình chữ nhật B. Hình bình hành C. Tam giác D. Hình thang
Câu 5: Tìm mệnh đề Đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau
C. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau
D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau
Câu 6: Cho tam giác ABC , lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài. Các mệnh đề nào sau đây là mệnh đề Sai ?
A. BI ⊄ ( ABC)
B. I ∈ ( ABC)
C. ( ABC) ≡ (BIC)
D. A ∈ ( ABC)
Câu 7: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b
cùng chứa trong một mặt phẳng là: A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 83 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 8: Cho tứ diện SABC có E, F lần lượt là trung điểm của SB, AB . Lấy G là một điểm trên đoạn thẳng
AC sao cho G không trùng với trung điểm AC . Gọi I là giao điểm của GF và mặt phẳng (SBC). Thiết
diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (EFG) là: S A. Hình bình hành B. Hình thang E C. Tam giác G A C D. Hình thoi F B
Câu 9: Khẳng định nào sau đây là khẳng định Sai ?
A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu
có) cũng song song với đường thẳng đó.
B. Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng
(β) thì (α) song song với (β) .
C. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước có nhiều hơn một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. /
D. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường d nằm trong (α)
thì d song song với (α) .
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và
CB . Khi ấy, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng song song với :
A. Đường thẳng AD
B. Đường thẳng IJ
C. Đường thẳng BI
D. Đường thẳng BJ
Câu 11: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào sau đây là Đúng ?
A. ( ABD) / / (EFC)
B. EC / / ( ABF)
C. AD / / (BEF)
D. ( AFD) / / (BEC)
Câu 12: Trong các hình sau đây, hình nào biểu diễn cho hình lập phương ? a) b) c) A. Hình a) B. Hình a) và c) C. Hình b) D. Hình c) và b)
Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Đúng ?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể cắt nhau, trùng nhau, song song với nhau
B. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau thì cắt nhau
C. Hình chiếu song song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau
D. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau
Câu 14: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Đúng ?
A. Nếu hai mặt phẳng song song thì mỗi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi
đường thẳng nằm trong mặt kia
B. Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng còn lại
C. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau 84 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp / / /
Câu 15: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và / / /
A B C . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ) với lăng trụ đã cho là: A' A. Hình bình hành C' J B. Hình thang B' C. Tam giác cân D. Tam giác vuông A C I B
Câu 16: Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC , E là điểm trên cạnh CD với
ED = 3EC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là: A
A. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC
B. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC M C. Tam giác MNE N B D
D. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên BD E C
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD . Thiết diện của mặt phẳng (α ) tùy ý với hình chóp không thể là: A. Tứ giác B. Ngũ giác C. Tam giác D. Lục giác
Câu 18: Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì ba đường thẳng đó:
A. Cùng song song với một mặt phẳng B. Trùng nhau
C. Tạo thành một tam giác D. Đồng quy / / / /
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A , B ,C , D lần lượt là trung điểm của các cạnh S ,
A SB, SC và SD . Tìm mệnh đề Đúng trong các mệnh đề sau ? / /
A. A C / / BD B. / / A C / / (SBD) / / / C. / / A B / / (SAD)
D. ( A C D ) / / ( ABC)
Câu 20: Cho tứ diện SABC có E, F lần lượt là trung điểm của SB, AB . Lấy G là một điểm trên đoạn
thẳng AC sao cho G không trùng với trung điểm AC . Gọi I là giao điểm của GF và mặt phẳng (SBC).
Khi đó điểm I thuộc : S A. BC B. AB E C. SA G A C D. AC F B 85 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 21: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC . Xét vị trí tương đối của
đường thẳng MN và mp(BCD) là:
A. MN nằm trong (BCD)
B. MN không song song (BCD)
C. MN // (BCD)
D. MN cắt (BCD)
Câu 22: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Sai ?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
B. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
D. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia
Câu 23: Cho hai đường thẳng a và b song song với mặt phẳng (α ) . Mệnh đề nào Đúng trong các mệnh đề sau ?
A. a và b trùng nhau
B. a và b có thể cắt nhau
C. a và b chéo nhau
D. a và b song song với nhau
Câu 24: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
A. Không có mặt phẳng nào B. Ba mặt phẳng C. Một mặt phẳng D. Hai mặt phẳng
Câu 25: Trong các mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề Đúng
A. Nếu a / / b và a ⊂ (α), b ⊂ (β) thì (α) / /(β)
B. Nếu (α) / /(β) và a ⊂ (α), b ⊂ (β) thì a / /b
C. Nếu (α) / /(β) và b / /(β) thì a / /b
D. Nếu (α) / /(β) và a ⊂ (α) thì a / /(β)
Câu 26: Chọn phương án Đúng. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) thì
A. có mọi đường thẳng b không chứa trong (α) song song với a
B. có duy nhất mặt phẳng (β) chứa a và song song với (α)
C. đường thẳng a chứa trong mặt phẳng (α)
D. có duy nhất mặt phẳng (β) chứa b và b song song với (α)
Câu 27: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a . Gọi G G 1 và
2 lần lượt là trọng tâm các tam giác
BCD và ACD thì đoạn G G bằng bao nhiêu? 1 2 2a a a a 3 A. 3 B. C. D. 4 3 2
Câu 28: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Đúng ?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau
C. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì song song với nhau
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
Câu 29: Có bao nhiêu cách xác định một mặt phẳng ? A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Câu 30: Tìm mệnh đề Sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau
B. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau
D. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa. a
Câu 31: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a . Lấy điểm M trên AB với AM = 3 . Diện tích của
thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng qua M và song song với mp(BCD) là : 2 a 3 2 a 3 2 a 3 2 a 3 A. 12 B. 24 C. 18 D. 36 86 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi AC ∩ BD = I; AB ∩ CD = J ; AD ∩ BC = K . Đẳng thức nào Sai
trong các đẳng thức sau đây?
A. (SAC) ∩ (SBD) = SI
B. (SAC) ∩ (SAD) = AB
C. (SAB) ∩ (SCD) = SJ
D. (SAD) ∩ (SBC) = SK
Câu 33: Cho tứ diện
ABCD . Gọi M, N, P,Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh
AC, BD, A ,
B CD, AD, BC . Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng ?
A. M, P, R, S B. M, , R S, N
C. P, Q, R, S
D. M, N , P, Q
Câu 34: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Sai ?
A. Một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng còn lại
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không cùng thuộc một mặt phẳng
C. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau
D. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau
Câu 35: Cho hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng. Có bao nhiêu vị trí tương đối
giữa hai đường thẳng đó ? A. 3 B. 2 C. 2 D. 4
Câu 36: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Sai ?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau
B. Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu song song của nó
C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau
D. Một đường thẳng có thể song song hoặc trùng với hình chiếu song song của nó
Câu 37: Trong không gian,cho hai mặt phẳng (α ) và (β ) . Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa (α ) và (β ) ? A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và BA là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là
trung điểm của cạnh SB và SC . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN ) là: S A. Hình chữ nhật M B. Hình thanh N C. Hình bình hành A B D. Tam giác D C
Câu 39: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào Sai ?
A. Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau
B. Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau
C. Hình hộp là một hình lăng trụ
D. Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành
Câu 40: Ký hiệu nào sau đây sai
A. A ∈ (P)
B. A ∈ (P)
C. d ∈ (P)
D. A ∈ d
Câu 41: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất ? A. Bốn điểm B. Ba điểm
C. Một điểm và một đường thẳng
D. Hai đường thẳng cắt nha
Câu 42: Giữa đường thẳng và mặt phẳng có bao nhiêu vị trí tương đối ? A. 2 B. 4 C. 3 D. 1
Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và (SBC) là đường thẳng song song với đường nào sau đây? A. SC B. AC C. AD D. BD 87 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và BA là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là
trung điểm của cạnh SB và SC . Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là: = ∩ S
A. SE với E AD BC
B. Đường thẳng ∆,(S ∈ ∆,∆ / / AD) M
C. SO với O = AC ∩ BD N A B
D. Đường thẳng d,(S ∈ d,d / /BC) D C /
Câu 45: Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a . Gọi G,G lần lượt là trọng tâm của ABC và ABD . Diện /
tích S của thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (BGG ) là: 2 a 11 2 a 11 2 a 11 2 a 11 A. S = S = S = S = 6 B. 16 C. 8 D. 3
Câu 46: Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận a và b chéo nhau
A. a và b là hai cạnh của một tứ diện
B. a và b không nằm trên bất kì mặt phẳng nào.
C. a và b không có điểm chung
D. a và b nằm trên hai mặt phẳng phân biệt
Câu 47: Trong các hình sau đây, hình nào biểu diễn của một tứ diện ? a) b) c) d) A. Hình a) , b) và d) B. Hình a) và c) C. Hình b) và d) D. Tất cả
Câu 48: Cho mặt phẳng (α ) và hai đường thẳng song song a, b. Mệnh đề nào Đúng trong các mệnh đề sau ?
A. Nếu (α ) song song với a thì (α ) song song với b hoặc chứa b
B. Nếu (α ) cắt a thì (α ) có thể song song với b
C. Nếu (α ) không chứa a thì (α ) có thể song song với b
D. Nếu (α ) song song với a thì (α ) cũng song song với b
Câu 49: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào Đúng ?
A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau
B. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung
D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau
Câu 50: Cho tứ diện ABCD và ba điểm I, J, K lần lượt nằm trên các cạnh A ,
B AC, AD mà không
trùng với các đỉnh. Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mp (EFG) là: A. Một tam giác B. Một tứ giác
C. Một đoạn thẳng D. Một ngũ giác
Câu 51: Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (α )
A. a / / b thì b / /(α)
B. a ∩ (α) = ∅
C. a / /(β) thì (β) / /(α) D. a / /b thì b ⊂ (α)
Câu 52: Hãy chọn phương án Đúng điền vào chỗ trống
“Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì . . . . . .”
A. ba giao tuyến ấy đôi một song song với nhau
B. ba giao tuyến ấy hoặc trùng nhau hoặc đôi một song song với nhau 88 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp
C. ba giao tuyến ấy đồng quy và đôi một song song với nhau
D. ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau
Câu 53: Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm của AB, M là điểm di động trên
đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SCI ) . Thiết diện tạo bởi (α) và tứ diện là: A. Hình thoi B. Tam giác đều
C. Tam giác cân tại M D. Hình bình hành
Câu 54: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P,Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB,CD, BC . Tìm giao điểm S
của AD và mặt phẳng (PQR) , biết PR song song với AC . A
A. AD ∩ ( PQR) = S với QS / /PR / / AC
B. AD ∩ ( PQR) = S với S = AD ∩ PQ P
C. AD ∩ ( PQR) = S với S = AD ∩ PR B D Q
D. AD ∩ ( PQR) = S với PS / /BD / /RQ R C
Câu 55: Cho tam giác ABC . Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh tam giác ABC ? A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Câu 56: Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J và K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD . Giao tuyến của
hai mặt phẳng ( ABD) và (IJK ) là A A. IJ B. KI I
C. Đường thẳng qua K và song song với AB C D J K D. KD B
Câu 57: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P,Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB,CD, BC . Tìm giao điểm S
của AD và mặt phẳng (PQR) , biết PR cắt AC tại I . A
A. AD ∩ ( PQR) = S với S = IQ ∩ AD
B. AD ∩ ( PQR) = S với S = AC ∩ IQ P B D
C. AD ∩ ( PQR) = S với S = AD ∩ PQ Q R C
D. AD ∩ ( PQR) = S với S = RQ ∩ AD I
Câu 58: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Cắt tứ diện bởi mặt
phẳng (GCD) thì diện tích S của thiết diện là: 89 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp D 2 a 2 2 a 2 A. S = S = 2 B. 4 2 a 2 2 a 3 A C C. S = S = 6 D. 4 G B
Câu 59: Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm của AB, M là điểm di động trên
đoạn AI và AM = x . Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SCI ) . Thiết diện tạo bởi (α) và tứ diện là
tam giác cân tại M. Chu vi của thiết diện là: A. 2x (1+ 3) B. x (1+ 3) C. 3x (1+ 3) D. 2x (1+ 2 3)
Câu 60: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD có các cạnh đối diện không song song. Giả
sử AC ∩ BD = I; AD ∩ BC = O . Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là: A. SB B. SI C. SO D. SC
Câu 61: Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ các điểm đó ? A. 6 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 62: Cho tứ diện ABCD . Điểm M thuộc đoạn AC . Mặt phẳng (α ) qua M song song với AB và AD .
Thiết diện của (α ) với tứ diện ABCD là: A. Hình chữ nhật B. Hình vuông C. Hình tam giác D. Hình bình hành 90 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song
Toán 11 - http://www.toanmath.com/ GV. Lư Sĩ Pháp ĐÁP ÁN
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A B C D 61 62 A B C D 91 HÌNH HỌC 11
Chương II. Quan hệ song song