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Phân dạng và bài tập tam giác đồng dạng Toán 8 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

177

Tài liệu gồm 144 trang, được tổng hợp và biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Bỉnh Khôi, phân dạng và tuyển chọn các bài tập chuyên đề tam giác đồng dạng trong chương trình môn Toán 8 bộ sách Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống. Mời các bạn đón đọc!

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8 293 tài liệu

Môn: Toán 8 2.4 K tài liệu

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Mai Nguyệt

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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
1
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
9
Chûúng
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
33
Baâi
1 Các ví dụ
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng
cVí dụ 1. Cho ABC và A
′
B
′
C
′
là hai tam giác đều có AB = 4 cm, A
′
B
′
= 3 cm. Chứng minh rằng
△A
′
B
′
C
′
∽ △ABC và tìm tỉ số đồng dạng.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 2. Trong hình dưới, các đường thẳng AB, CD, EF song song với nhau. Hãy liệt kê ba cặp tam giác
(phân biệt) đồng dạng.
O
A
B
C
D
E
F
Lời giải.
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cVí dụ 3.
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33. HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
2
Quan sát hình vẽ. Cho biết DE ∥ BC, EF ∥ AB.
Chứng minh rằng △ADE ∽ △EF C.
A
B C
D E
F
Lời giải.
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cVí dụ 4.
Quan sát hình vẽ, cho biết DC ∥ M P, EF ∥ M Q.
a) Chứng minh rằng △EP F ∽ △DCQ.
b) △ICF có đồng dạng với △M P Q không? Tại sao?
M
P
Q
E D
C F
I
Lời giải.
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cVí dụ 5. Hai tam giác sau có đồng dạng hay không? Vì sao?
C B
A
4
2
√
3
2
90
◦
30
◦
60
◦
P N
M
3
3
√
3
6
90
◦
30
◦
60
◦
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
3
cVí dụ 6.
Quan sát hình bên và sử dụng kí hiệu để viết các cặp tam giác đồng dạng, biết tứ
giác BMN P là hình bình hành.
B C
A
P N
M
Lời giải.
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cVí dụ 7.
Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng
minh △GMN ∽ △GBC.
B C
A
N M
G
|
|
|| ||
Lời giải.
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cVí dụ 8. Cho △ABC, lấy điểm M thuộc AB sao cho
AM
MB
=
2
3
. Kẻ hai đường thẳng qua M lần lượt song
song với AC và BC cắt BC và AC lần lượt tại D và F .
a) Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng.
b) Với mỗi cặp tam giác đồng dạng, hãy viết tỉ số đồng dạng tương ứng.
Lời giải.
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33. HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
4
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cVí dụ 9. Trong các tam giác được vẽ trên ô lưới vuông, có một cặp tam giác đồng dạng. Hãy chỉ ra cặp
tam giác đó, viết đúng kí hiệu đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng của chúng.
A
B C
D
F E
H
G
K
Lời giải.
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cVí dụ 10. Cho hình vẽ
4 5
6
6
7, 5
9
A
B C
A
′
B
′
C
′
△A
′
B
′
C
′
∽ △ABC với tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?
Lời giải.
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cVí dụ 11. Quan sát hình vẽ, cho biết △ADE ∽ △AMN, △AM N ∽ △ABC, DE là đường trung bình
của tam giác AM N , M N là đường trung bình của tam giác ABC. Tam giác ADE đồng dạng với tam giác
ABC theo tỉ số là bao nhiêu?
Lời giải.
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Dạng 2. Tính góc, độ dài đoạn thẳng dựa vào hai tam giác đồng dạng
cVí dụ 12. Cho △ABC ∽ △M NP và
b
A = 45
◦
,
“
B = 60
◦
. Tính các góc C, M, N, P .
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 13. Cho △ABC ∽ △M NP và AB = 4, BC = 6, CA = 5, M N = 5. Tính độ dài các cạnh N P, P M.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 14. Cho △A
′
B
′
C
′
∽ △ABC. Tìm x.
B C
A
x
B
′
C
′
A
′
45
◦
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 15.
5/144 5/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
33. HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
6
Quan sát hình vẽ, cho biết △AM N ∽ △ABC.
a) Hãy viết tỉ số các cạnh tương ứng và tính tỉ số đồng dạng.
b) Tính
÷
AMN.
?
12
4
65
◦
A
B C
M N
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 16. Cho △MNP ∽ △DEF và △DEF ∽ △ABC, biết
c
M = 48
◦
. Tính
b
A.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 17. Cho biết △MNP ∽ △ABC.
a) Hãy viết các cặp góc bằng nhau.
b) Cho MN = 15cm, AB = 6cm, tính tỉ số
MP
AC
.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 18. Cho △ABC ∽ △A
′
B
′
C
′
, biết AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm. Cạnh lớn nhất của
△A
′
B
′
C
′
là 25 cm. Tính cạnh nhỏ nhất của △A
′
B
′
C
′
.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 19. Cho △ABC ∽ △DEF , tỉ số đồng dạng bằng
2
3
. Biết chu vi △ABC là 24 cm. Tính chu vi
△DEF .
6/144
6/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
7
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 20. Có một chiếc bóng điện được mắc trên đỉnh (điểm A) của cột đèn thẳng đứng. Để tính chiều
cao AB của cột đèn, bác Dương cắm một chiếc cọc gỗ (đoạn CD) thẳng đứng trên mặt đất rổi đo chiều dài
bóng của cọc gỗ do ánh đèn điện tạo ra và đo khoảng cách từ điểm E đến chân cột đèn (điểm B) (H.9.1).
Theo em, bác Dương đã tính như thế nào để ra được chiều cao cột đèn?
A
BC
E
D
Lời giải.
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cVí dụ 21.
Cho hình vẽ, biết ABCD là hình bình hành. Cho biết CB = 3BE
và AI = 9cm. Tính độ dài DC.
A
B
C
D
I
E
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho △ABC ∽ △MNP , khẳng định nào sau đây không đúng?
7/144 7/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
33. HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
8
△MNP ∽ △ABC.a) △BCA ∽ △NP M .b)
△CAB ∽ △P MN.c) △ACB ∽ △M NP .d)
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.
b) Hai tam giác bất kì đồng dạng với nhau.
c) Hai tam giác đều bất kì đồng dạng với nhau.
d) Hai tam giác vuông bất kì đồng dạng với nhau.
e) Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 3. Trong hai khẳng định sau, khẳng định nào đúng? khẳng định nào sai? Tại sao?
a) Hai tam giác bằng với nhau thì đồng dạng với nhau.
b) Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 4.
a) Trong hình vẽ bên, cho biết △ABC ∽ △A
′
B
′
C
′
. Viết tỉ số các cạnh tương ứng và chỉ ra các cặp góc tương
ứng.
A
B C
A
′
B
′
C
′
b) Trong hình vẽ bên, cho biết △DEF ∽ △D
′
E
′
F
′
. Tính số đo
c
D
′
và
c
F
′
.
78
◦
?
57
◦
?
D
E F
D
′
E
′
F
′
8/144 8/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
9
c) Trong hình vẽ bên, cho biết △M N P ∽ △M
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N
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P
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. Tính độ dài các đoạn thẳng MN và M
′
P
′
.
6
15
12
N
M
P
N
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P
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M
′
Lời giải.
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Bài 5.
Cho các hình sau, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng trong mỗi hình
và viết tỉ số đồng dạng Hình a, b.
A
B C
D
E
Hình a
A
B C
D E
Hình b
Lời giải.
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Bài 6.
Cho các hình sau, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng trong mỗi hình và
viết tỉ số đồng dạng.
A
B
C
D
E
Hình a
A
B C
M N
Hình b
9/144 9/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
33. HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
10
Lời giải.
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Bài 7. Cho ∆ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM =
2
5
BC. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC
cắt AB tại N .
a) Chứng minh ∆NBM ∽ ∆ABC.
b) Tính
MN
AC
.
Lời giải.
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Bài 8.
Cho ABC là tam giác không cân; M, N, P lần lượt là trung điểm của
BC, CA, AB. Hãy tìm trong hình năm tam giác khác nhau mà chúng
đôi một đồng dạng với nhau. Giải thích vì sao chúng đồng dạng.
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A
B C
P N
M
Lời giải.
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Bài 9.
Cho tam giác ABC, các điểm M , N thuộc cạnh AB thỏa mãn AM = MN = N B,
các điểm P , Q thuộc cạnh AC thỏa mãn AP = P Q = QC. Tam giác AM P đồng
dạng với những tam giác nào?
B C
A
N
M
Q
P
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10/144 10/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
11
Lời giải.
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Bài 10. Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua D lần lượt cắt đoạn thẳng BC và tia AB tại M
và N sao cho điểm M nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh:
△NBM ∽ △NAD;a) △NBM ∽ △DCM;b) △NAD ∽ △DCM.c)
Lời giải.
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Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M . Biết rằng
’
BAC =
÷
P MN , AB =
2MN. Chứng minh △M N P ∽ △ABC và tìm tỉ số đồng dạng.
Lời giải.
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33. HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 12. Cho tam giác ABC, hãy vẽ một tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng k =
1
2
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Lời giải.
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Bài 13.
Trong hình vẽ bên, cho biết AB ∥ CD.
a) Chứng minh rằng △AEB ∽ △DEC.
b) Tìm x.
3
x =?
10
5
A
B
E
D
C
Lời giải.
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Bài 14. Cho ∆ABC ∽ ∆DEF theo tỉ số đồng dạng k =
3
5
a) ∆DEF ∽ ∆ABC theo tỉ số động dạng bao nhiêu?
b) Giả sử DE = 10 cm. Tính AB.
Lời giải.
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Bài 15. Cho △ABC ∽ △DEF theo tỉ số đồng dạng k =
2
5
.
a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.
b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 36 cm, tính chu vi mỗi tam giác.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Lời giải.
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Bài 16.
Người ta ứng dụng hai tam giác đồng dạng để đo khoảng cách BC ở hai
địa điểm không thể đến được (xem hình vẽ). Biết DE ∥ BC.
a) Chứng minh rằng △ADE ∽ △ABC.
b) Tính khoảng cách BC.
22m
16m
30m
A
B C
D
E
Lời giải.
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Bài 17. Ba vị trí A, B, C trong thực tiễn lần lượt được mô tả bởi ba đỉnh của tam giác A
′
B
′
C
′
trên bản vẽ. Biết
tam giác A
′
B
′
C
′
đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số
1
1000000
và A
′
B
′
= 4 cm, B
′
C
′
= 5 cm, C
′
A
′
= 6 cm.
Tính khoảng cách giữa hai vị trí A và B, B và C, C và A trong thực tiễn (theo đơn vị kilômét).
Lời giải.
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Bài 18.
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33. HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
14
Trong Hình bên, độ rộng của khúc sông được tính bằng khoảng cách giữa hai vị
trí C, D. Giả sử chọn được các vị trí A, B, E sao cho △ABE ∽ △ACD và đo
được AB = 20 m, AC = 50 m, BE = 8 m. Tính độ rộng của khúc sông đó.
C
D
A
B
E
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
15
BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC
34
Baâi
1 Các ví dụ
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng (cạnh - cạnh - cạnh)
cVí dụ 1. Tìm trong hình dưới các cặp tam giác đồng dạng.
21 9
25
a)
14 14
6
b)
3 7
8
1
3
c)
7
7
3
d)
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 2. Tìm trong hình dưới các cặp tam giác đồng dạng.
CB
A
6
5
4
a)
E
D
F
2,2
3
2
b)
N
M
P
2,5
3
2
c)
S
Q R
4
6
4,4
d)
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
16
cVí dụ 3. Cho tam giác ABC và tam giác DEF có kích thước các cạnh như hình dưới. Chứng minh rằng
△ABC ∽ △DEF .
4 6
7
A
B C
10 15
17, 5
D
E F
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 4. Cho các tam giác ABC và M N P có 3AB = 4BC = 8CA, M N = 8 cm, NP = 6 cm, P M = 3
cm. Chứng minh rằng △ABC ∽ △M NP .
Lời giải.
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cVí dụ 5. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm và tam giác DEF có chu vi bằng 27 cm. Biết rằng
AB = 4 cm, BC = 6 cm, DE = 6 cm, F D = 12 cm. Chứng minh △ABC ∽ △DEF .
Lời giải.
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cVí dụ 6. Cho tam giác ABC có M, N , P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB và
I, H, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng N P , P M , M N . Chứng minh △IHK ∽ △ABC.
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Dạng 2. Chứng minh hai tam giác đồng dạng (c.g.c)
cVí dụ 7. Cho hai tam giác DEF và ABC có DE = 3 cm, DF = 5 cm, AB = 9 cm, AC = 15 cm,
“
D =
b
A
(Hình dưới). Chứng minh rằng △DEF ∽ △ABC.
3 5
D
E F
9
15
A
B
C
Lời giải.
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cVí dụ 8. Cho tam giác ADE và tam giác ACF có các kích thước như hình dưới. Chứng minh rằng
△ADE ∽ △ACF .
3
6
4
8
A
D C
E
F
Lời giải.
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34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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cVí dụ 9. Quan sát hình vẽ và chỉ ra hai cặp tam giác đồng dạng:
2
3
45
◦
A
B
C
2, 2
3, 6
45
◦
G
D E
1, 8
1, 1
45
◦
H
I K
1, 4
2, 1
45
◦
R
P
Q
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 10. Cho hai tam giác ABC và A
′
B
′
C
′
thỏa mãn AB = 2, AC = 3, A
′
B
′
= 6, A
′
C
′
= 9 và
b
A =
c
A
′
.
Chứng minh
“
B =
c
B
′
,
“
C =
c
C
′
.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 11.
Quan sát hình vẽ,
chứng minh
b
A =
“
D,
“
C =
“
B.
4
5
10
3
6
A
B
C
D
I
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 12. Cho △A
′
B
′
C
′
∽ △ABC và M, M
′
lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B
′
C
′
. Chứng minh
rằng △A
′
B
′
M
′
∽ △ABM .
18/144 18/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
19
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cVí dụ 13. Cho △A
′
B
′
C
′
∽ △ABC. Trên tia đối của các tia CB, C
′
B
′
lẩn lượt lấy các điểm M, M
′
sao cho
MC
MB
=
M
′
C
′
M
′
B
′
. Chứng minh rằng △A
′
B
′
M
′
∽ △ABM .
Lời giải.
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cVí dụ 14. Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy các điểm A, B sao cho OA = 2cm, OB = 9cm. Trên tia Oy lấy
các điểm M, N sao cho OM = 3cm, ON = 6cm. Chứng minh
÷
OBM =
’
ONA.
Lời giải.
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cVí dụ 15. Cho △ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy điểm D và E
sao cho AD = 8 cm, AE = 6 cm. Chứng minh rằng △ABC ∽ △A
′
B
′
C
′
.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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19/144 19/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Dạng 3. Chứng minh hai tam giác đồng dạng (g.g)
cVí dụ 16. Cho △A
′
B
′
C
′
∽ △ABC và AM, A
′
M
′
lẩn lượt là các đường phân giác của tam giác ABC và
tam giác A
′
B
′
C
′
. Chứng minh rằng △A
′
B
′
M
′
∽ △ABM .
Lời giải.
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cVí dụ 17.
Cho các điểm A, B, C, D như hình bên. Biết rằng
’
ABC =
’
ADB. Hãy chứng
minh △ABC ∽ △ADB và AB
2
= AD · AC.
A B
C
D
Lời giải.
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cVí dụ 18. Trong hình dưới, cho biết AD ∥ BC , BE ∥ DC. Chứng minh rằng △ADC ∽ △CBE.
A
D C
B
E
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
21
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cVí dụ 19. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có AB = 6 m, CD = 15 m, OD = 8 m (hình bên). Tính độ
dài đoạn thẳng OB.
6
8
15
A
D C
B
O
Lời giải.
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cVí dụ 20.
Hai tam giác DEG và ABC bên có đồng dạng hay không?
Vì sao?
A
B C
D
E G
65
◦
45
◦
45
◦
70
◦
Lời giải.
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cVí dụ 21. Cho hai tam giác ABC và M NP thoả mãn
b
A = 50
◦
,
“
B = 60
◦
,
“
N = 60
◦
,
“
P = 70
◦
. Chứng minh
△ABC ∽ △M NP .
Lời giải.
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34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
22
cVí dụ 22.
Cho hình vẽ. Chứng minh:
△OAD ∽ △OCBa) OA · OB = OC · OD.b)
A
B
C
D
O
Lời giải.
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cVí dụ 23. Cho tam giác ABC có góc A lớn hơn góc C. Điểm D thuộc cạnh BC thoả mãn
’
BAD =
’
BCA.
Chứng minh BA
2
= BC · BD.
Lời giải.
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cVí dụ 24. Cho △ABC có
“
B >
“
C. Trên AC lấy điểm D sao cho
’
ABD =
“
C. Chứng minh rằng △ABC ∽
△ADB.
Lời giải.
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Dạng 4. Vận dụng tam giác đồng dạng để tính góc, độ dài đoạn thẳng
22/144 22/144
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
23
cVí dụ 25. Quan sát hình dưới.
4
6
79
◦
60
◦
A
B C
6
79
◦
41
◦
A
′
B
′
C
′
a) Chứng minh rằng △ABC ∽ △A
′
B
′
C
′
.
b) Tính độ dài cạnh B
′
C
′
.
Lời giải.
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cVí dụ 26. Cho △ABC có AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 9 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = 4
cm. Tính độ dài cạnh AD.
Lời giải.
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cVí dụ 27. Cho hình thang ABCD có
b
A =
“
D = 90
◦
, AB = 10 cm, CD = 30 cm, AD = 35 cm. Trên cạnh
AD lấy điểm M sao cho AM = 15 cm. Tính số đo góc
÷
BMC.
Lời giải.
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23/144 23/144
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34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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cVí dụ 28. Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD, AB = 4 cm, BD = 6 cm, CD = 9 cm và góc
’
ADB = 35
◦
.
Tính góc
’
BCD.
Lời giải.
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cVí dụ 29. Cho △ABC và △M N P có
b
A =
c
M,
“
B =
“
N, AB = 5 cm, BC = 7 cm, M N = 10 cm, M P = 8
cm. Tính độ dài các cạnh còn lại của hai tam giác.
Lời giải.
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cVí dụ 30. Cho △ABC có
b
A >
“
C. Trên BC lấy điểm D sao cho
’
BAD =
“
C. Biết AB = 5 cm, BC = 10
cm. Tính độ dài các cạnh BD, CD.
Lời giải.
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cVí dụ 31.
Trong môn bóng đá, độ khó của mỗi pha ghi bàn còn được tính bởi góc
sút vào cầu môn là rộng hay hẹp. Nếu biết độ rộng của khung thành là
7,32 m, trái bóng cách hai cột gôn lần lượt là 10,98 m và 14,64 m thì
em có cách nào để đo được góc sút ở vị trí này bởi các dụng cụ học tập
không?
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
25
Lời giải.
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Dạng 5. Chứng minh đẳng thức hình học
cVí dụ 32. Cho △ABC. Lấy D thuộc AB, E thuộc AC sao cho
’
ACD =
’
ABE. Chứng minh rằng
AB
AC
=
AE
AD
.
Lời giải.
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cVí dụ 33. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có
b
A =
’
CBD. Chứng minh rằng BD
2
= AB · CD.
Lời giải.
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cVí dụ 34. Cho tam giác ABC vuông tại B với AB = 2BC. Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC = CD,
điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE. Chứng minh rằng AD
2
= AB · AE.
Lời giải.
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GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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cVí dụ 35. Cho tam giác MNP thỏa mãn 3
c
M +2
“
N = 180
◦
. Chứng minh rằng P N
2
+M P ·M N −MN
2
= 0.
Lời giải.
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1 Bài tập vận dụng
Bài 1. Khẳng định nào sau đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng?
a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tam giác kia.
b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau.
c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia.
d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.
Lời giải.
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Bài 2. Cho hai tam giác đổng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là 4 cm, 8 cm và 10 cm. Tam giác thứ
hai có chu vi là 33 cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây?
6 cm, 12 cm, 15 cm.a) 8 cm, 16 cm, 20 cm.b)
6 cm, 9 cm, 18 cm.c) 8 cm, 10 cm, 15 cm.d)
Lời giải.
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26/144 26/144
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
27
Bài 3. Quan sát hình bên dưới và chỉ ra những cặp tam giác đồng dạng.
C
B
A
7,5
6
9
a)
E
D
F
6 4.5
9
b)
N
M
P
12
18
9
c)
S
Q
R
15
18
12
d)
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 4.
a) Tam giác AF E và MGN ở hình bên có đồng dạng với nhau hay không? Vì sao?
b) Biết tam giác AF E có chu vi bằng 15 cm. Tính chu vi tam giác MNG.
b
c
a
A
F E
3b
3c
3a
M
N G
Lời giải.
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Bài 5. Xét xem cặp tam giác nào trong hình dưới đồng dạng.
27/144 27/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
28
12
18
120
◦
B
A
C
9
6
120
◦
E
D
F
10
8
50
◦
M
N P
50
◦
5
4
D
C E
Lời giải.
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Bài 6. Trong hình bên, cho biết DE = 6 cm, EF = 7,8 cm, NP = 13 cm, MN = 10 cm,
“
E =
“
N và
“
P = 42
◦
. Tính
“
F .
7,8
6
E
F
D
42
◦
13
10
N
P
M
Lời giải.
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Bài 7.
28/144 28/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
29
Cho Hình vẽ bên.
a) Chứng minh △MNP ∽ △ABC.
b) Tìm x.
4
√
2 4
√
3
x
3
√
3
60
◦
45
◦
60
◦
45
◦
A B
C
M N
P
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 8. Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A
′
M
′
, B
′
N
′
, C
′
P
′
là các đường trung
tuyến của tam giác A
′
B
′
C
′
. Biết rằng △A
′
B
′
C
′
∽ △ABC. Chứng minh rằng
A
′
M
′
AM
=
B
′
N
′
BN
=
C
′
P
′
CP
.
Lời giải.
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Bài 9. Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm. Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao
cho AM = 10 cm, AN = 8 cm. Chứng minh rằng △ABC ∽ △AN M .
Lời giải.
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Bài 10. Cho góc BAC và các điểm M, N lẩn lượt trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho
’
ABN =
÷
ACM .
a) Chứng minh rằng △ABN ∽ △ACM .
b) Gọi I là giao điểm của BN và CM . Chứng minh rằng IB ·IN = IC · IM .
Lời giải.
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29/144 29/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
30
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Bài 11.
Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt
là 3 m và 2 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột
kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm, hãy tính độ cao h của điểm
đó so với mặt đất.
3 m
2 m
h
Lời giải.
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Bài 12. Tam giác ABC có độ dài AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 9 cm. Tam giác A
′
B
′
C
′
đồng dạng với tam
giác ABC và có chu vi bằng 66,5 cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác A
′
B
′
C
′
.
Lời giải.
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Bài 13.
a) Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Trên cạnh AB, lấy điểm E sao cho
AE = 10 cm. Trên cạnh AC, lấy điểm F sao cho AF = 8 cm (hình a). Tính độ dài đoạn EF .
b) Trong hình b, cho biết F D = F C, BC = 9 dm, DE = 12 dm, AC = 15 dm, M D = 20 dm. Chứng minh rằng
△ABC ∽ △M ED.
30/144 30/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
31
10
8
18
12
15
A
B C
E
F
a)
||
||
A
B C
F
D
M
E
b)
Lời giải.
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Bài 14.
Trong hình bên, cho biết M N ∥ BC, MB ∥ AC.
a) Chứng minh rằng △BNM ∽ △ABC.
b) Tính
“
C.
48
◦
?
A
B C
N
M
Lời giải.
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31/144 31/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
32
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Bài 15.
a) Trong hình 8a, cho biết
“
N =
“
E,
c
M =
“
DMP = 18 m, DF = 24 m, EF = 32 m, N P = a + 3 (m). Tìm a.
b) Cho ABCD là hình thang (AB ∥ CD) (hình 8b). Chứng minh rằng △AM B đồng dạng với △CM D. Tìm
x, y.
a + 3
18
M
NP
a)
32
24
D
EF
8
x
y
6
10
15
A
D C
B
M
b)
Lời giải.
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Bài 16.
a) Trong hình 9a, cho biết
’
HOP =
’
HP E,
’
HP O =
’
HEP , OH = 6 cm và HE = 4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng
HP .
b) Trong hình 9b, cho biết
÷
AME =
÷
AF M. Chứng minh rằng AM
2
= AE · AF .
32/144 32/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
33
6
4
P
H E
O
a)
M
F
A
E
b)
Lời giải.
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Bài 17. Cho hai tam giác ABC và MNP có AB = 2, BC = 5, CA = 6, MN = 4, NP = 10, P M = 12. Hãy
viết các cặp góc tương ứng bằng nhau của hai tam giác trên và giải thích kết quả.
Lời giải.
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Bài 18. Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. Các điểm M, N , P lần lượt thuộc các tia OA, OB,
OC sao cho
OA
OM
=
OB
ON
=
OC
OP
=
2
3
. Chứng minh △ABC ∽ △M NP .
Lời giải.
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Bài 19.
33/144 33/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
34
Cho hình vẽ, biết AB = 4, BC = 3, BE = 2, BD = 6. Chứng minh:
a) △ABD ∽ △EBC.
b)
’
DAB =
’
DEG.
c) Tam giác DGE vuông.
D
A C
E
G
B
Lời giải.
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Bài 20.
Cho các hình bình hành ABCD và BMNP như ở hình bên. Chứng minh:
a)
BM
BA
=
BP
BC
;
b) △MNP ∽ △CBA.
N
P
M
A B
CD
Lời giải.
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Bài 21.
Cho hình vẽ.
a) Chứng minh △ABC ∽ △M NP .
b) Góc nào của tam giác MNP bằng góc B.
c) Góc nào của tam giác ABC bằng góc P .
4
5
60
◦
C
A B
3 3.75
60
◦
M
N P
Lời giải.
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34/144 34/144
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
35
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Bài 22.
Cho hình vẽ, chứng minh:
a) △IAB ∽ △IDC.
b) △IAD ∽ △IBC.
2
6
3
4
A
B C
D
I
Lời giải.
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Bài 23.
Cho hình vẽ, chứng minh:
a)
’
ABC =
’
BED.
b) BC ⊥ BE.
2
3
4
6
A B
C
D
E
Lời giải.
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Bài 24. Cho △ABC ∽ △MNP
a) Gọi D và Q lần lượt là trung điểm của BC và NP . Chứng minh △ABD ∽ △M NQ.
b) Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP . Chứng minh △ABG ∽ △MNK.
Lời giải.
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GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
36
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Bài 25.
Cho hình vẽ, biết AH
2
= BH · CH. Chứng minh:
a) △HAB ∽ △HCA.
b) Tam giác ABC vuông tại A.
A
B C
H
Lời giải.
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Bài 26. Cho hai tam giác ABC và P MN thoả mãn
b
A = 70
◦
,
“
B = 80
◦
,
c
M = 80
◦
,
“
N = 30
◦
. Chứng minh
AB
P M
=
BC
MN
=
CA
NP
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Lời giải.
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Bài 27. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) △ACD ∽ △BCE và CA · CE = CB · CD;
b) △ACD ∽ △AHE và AC · AE = AD · AH.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Lời giải.
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Bài 28.
Cho hình vẽ với
’
OAD =
’
OCB. Chứng minh:
a) △OAD ∽ △OCB;
b)
OA
OD
=
OC
OB
;
c) △OAC ∽ △ODB
A
B
CDO
Lời giải.
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34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
38
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) △ABC ∽ △HBA và AB
2
= BC · BH;
b) △ABC ∽ △HAC và AC
2
= BC · CH;
c) △ABH ∽ △CAH và AH
2
= BH · CH;
d)
1
AH
2
=
1
AB
2
+
1
AC
2
.
A
B
C
H
Lời giải.
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Bài 30. Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD (AB ∥ CD) và AB ⊥ BD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau
tại G. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn GE không cắt đường
thẳng CD. Trên đoạn CD lấy điểm F sao cho DF = GB. Chứng minh rằng
△F DG ∽ △ECG.a) GF ⊥ EF .b)
Lời giải.
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38/144 38/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
39
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Bài 31. Cho △ABC có AB =
BC
2
. Gọi M là trung điểm của BC, D là trung điểm của BM . Chứng minh rằng
AD =
AC
2
.
Lời giải.
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Bài 32. Giả sử D là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC sao cho
’
ADB =
’
ACB +90
◦
và AC ·BC = AD·BC.
Chứng minh rằng
AB · CD
AD · BC
=
√
2.
Lời giải.
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Bài 33. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có AB = 4 cm, BD = 8 cm, CD = 16 cm. Chứng minh rằng
BC = 2AD.
39/144 39/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
40
Lời giải.
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Bài 34. Cho △ABC đều có O là trung điểm cạnh BC. Vẽ góc
‘
xOy = 60
◦
sao cho các tia Ox, Oy cắt các cạnh
AB, AC lần lượt tại E, F . Chứng minh rằng
BC
2
= 4BE · F C.a) EO là phân giác
’
BEF .b)
Lời giải.
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Bài 35. Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BH, AH.
Chứng minh rằng
△ABM ∽ △CAN .a) AM ⊥ CN .b)
Lời giải.
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Bài 36. Cho △ABC có
“
C = 2
b
A và AC = 2BC. Chứng minh rằng △ABC vuông.
Lời giải.
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Bài 37. Cho △ABC có
“
B = 2
“
C và AB = 8 cm, AC = 12 cm. Tính độ dài cạnh BC.
40/144 40/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
41
Lời giải.
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Bài 38. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là điểm trong hình bình hành sao cho
÷
MAB =
÷
MCB. Chứng minh
rằng
÷
MBC =
÷
MDC.
Lời giải.
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Bài 39.
Trong hình bên, bạn Minh dùng một dụng cụ để đo chiều cao của cây. Cho biết khoảng
cách từ mắt bạn Minh đến cây và đến mặt đất lần lượt là AH = 2,8 m và AK = 1,6 m.
Em hãy tính chiều cao của cây.
A
B
C
H
K
Lời giải.
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Bài 40.
41/144 41/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
42
Một công viên có hai đường chạy bộ hình tam giác đồng dạng như hình bên. Kích
thước của con đường bên trong lần lượt là 300 m, 350 m và 550 m. Cạnh ngắn
nhất của con đường bên ngoài là 600 m. Nam chạy bốn vòng trên con đường bên
trong, Hùng chạy hai vòng trên con đường bên ngoài. So sánh quãng đường chạy
được của hai bạn.
Lời giải.
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Bài 41. Đường đi và khoảng cách từ nhà anh Thanh (điểm M) đến công ty (điểm N ) được thể hiện trong hình
bên. Hãy tìm con đường ngắn nhất để đi từ nhà của anh Thanh đến công ty.
4,73 km
4,27 km
7,8 km
2,4 km
1,84 km
1,16 km
A
B
C
D
I
M
N
(Nhà)
(Công ty)
Lời giải.
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Bài 42. Bác Hùng vẽ bản đồ trong đó dùng ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P
trong thực tiễn. Bác Duy cũng vẽ một bản đồ, trong đó dùng ba đỉnh A
′
, B
′
, C
′
của tam giác A
′
B
′
C
′
lần lượt mô
tả ba vị trí M, N, P đó. Tỉ lệ bản đồ mà bác Hùng và bác Duy vẽ lần lượt là 1 : 1000000 và 1 : 1500000. Chứng
minh △A
′
B
′
C
′
∽ △ABC và tính tỉ số đồng dạng.
42/144 42/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
43
Lời giải.
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Bài 43.
Bạn Hoa vẽ trên giấy một tam giác ABC và đoạn thẳng MN với
các kích thước như hình bên. Bạn Hoa đố bạn Thanh vẽ điểm
P thoả mãn
÷
P MN =
’
ACB,
÷
P NM =
’
BAC mà không sử dụng
thước đo góc. Em hãy giụp bạn Thanh sử dụng thước thẳng (có
chia khoảng milimét) và compa để vẽ điểm P và giải thích kết quả
tìm được.
B
A
C M N
8
3
6 4.5
Lời giải.
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34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
44
LUYỆN TẬP CHUNG
1 Bài tập vận dụng
Bài 1.
Cho các điểm A, B, C, D, E như hình bên, biết rằng AB = 6 cm,
AC = 9 cm, AD = 8 cm, BC = 12 cm, BD = 4cm. Chứng minh rằng
△ABC ∽ △BDA và △BD E ∽ △ACE.
B D
AC
E
Lời giải.
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Bài 2.
Cho góc xOy, các điểm A, B nằm trên tia Ox và các điểm C, D nằm
trên tia Oy như hình bên, sao cho OA = 2 cm, OB = 6 cm, OC = 3
cm, OD = 4 cm. Biết AD cắt BC tại E. Hãy tính tỉ số
BE
DE
.
O
y
x
C D
A
B
E
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
45
Bài 3. Cho △ABC ∽ △DEF . Biết
b
A = 60
◦
,
“
E = 80
◦
, hãy tính số đo góc
“
B,
“
C,
“
D,
“
F .
Lời giải.
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Bài 4. Cho △ABC ∽ △A
′
B
′
C
′
. Biết AB = 3 cm, A
′
B
′
= 6 cm và tam giác ABC có chu vi bằng 10 cm. Hãy
tính chu vi tam giác A
′
B
′
C
′
.
Lời giải.
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Bài 5.
Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có
’
DAB =
’
DBC.
a) Chứng minh rằng △ABD ∽ △BDC.
b) Giả sửa AB = 2 cm, AD = 3 cm, BD = 4 cm. Tính độ dài các cạnh
BC và DC.
D
A B
C
Lời giải.
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Bài 6.
Cho các điểm A, B, C, D, E, F như hình bên. Biết rằng DE ∥ AB, EF ∥ BC,
DE = 4 cm, AB = 6 cm. Chứng minh rằng △AEF ∽ △ECD và tính tỉ số đồng
dạng.
B D C
A
EF
Lời giải.
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34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
46
Bài 7.
Cho các điểm A, B, C, D, E như hình bên. Biết rằng
’
BAC =
’
CDB. Chứng
minh rằng △AED ∽ △BEC.
A
B
D
C
E
Lời giải.
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Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) và các điểm M, N lần lượt trên cạnh AD và BC sao cho 2AM = MD,
2BN = NC. Biết AB = 5 cm, CD = 6 cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng M N.
Lời giải.
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Bài 9.
Cho △ECD. Trên các cạnh ED, EC lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho
’
EAB =
’
ECD.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh △EAB ∽ △ECD.
b) Chứng minh △EAC ∽ △EBD.
c) Chứng minh OA · OC = OB · OD.
C D
E
B
A
O
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
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Bài 10.
Cho △ABC có AB = 2 cm, AC = 4 cm. Qua B dựng đường thẳng cắt
AC tại D sao cho
’
ABD =
’
ACB.
a) Chứng minh △ABD ∽ △ACB.
b) Tính AD và DC.
c) Gọi AH là đường cao của △ABC, AE là đường cao của △ABD.
Chứng minh rằng diện tích △ABH gấp 4 lần diện tích △ADE.
C
B
A
H
D
E
Lời giải.
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Bài 11.
Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ CE ⊥ AB tại E, kẻ CF ⊥ AD
tại F , kẻ BH ⊥ AC tại H, kẻ DK ⊥ AC tại K.
a) Chứng minh AB · AE = AH · AC.
b) Chứng minh AD · AF = AK · AC.
c) Chứng minh AC
2
= AB · AE + AD · AF .
A
B
E
H
K
D
F
C
Lời giải.
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Bài 12.
Cho △ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH. Trên HC lấy điểm K sao cho
HK = HA. Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại D.
a) Chứng minh △DKC ∽ △AHC.
b) Chứng minh △DKC ∽ △BAC.
c) Chứng minh △CKA ∽ △CDB.
CD
B
A
K
H
Lời giải.
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34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 13.
Cho △ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy D
sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là
trung điểm của BE.
a) Chứng minh △DEC ∽ △ABC.
b) Chứng minh △ADC ∽ △BEC.
c) Chứng minh AB · AC = BC · AH.
d) Chứng minh
÷
AHM = 45
◦
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CE
B
A
D
H
M
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Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
51
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Bài 14.
Cho △ABC nhọn có hai đường cao AH và CK cắt nhau tại O.
a) Chứng minh △ABH ∽ △ACK.
b) Chứng minh △AHK ∽ △ABC.
c) Từ K kẻ KI ⊥ AC tại I. Chứng minh △COH ∽ △CKI.
d) Chứng minh △KBO ∽ △ICK, từ đó suy ra
KB · KC = KI · BO.
C
K
H
B
A
O
I
Lời giải.
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Bài 15.
Cho △ABC nhọn có AB < AC, hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh △ABD ∽ △ACE.
b) Chứng minh HD · HB = HE · HC.
c) AH cắt BC tại F . Kẻ F I ⊥ AC tại I. Chứng minh
IF
IC
=
F A
F C
.
C
H
B
A
D
I
E
F
51/144 51/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
52
Lời giải.
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Bài 16.
Cho △ABC vuông tại A, biết AB = 3 cm, BC = 5 cm. Tia phân giác góc
’
ABC cắt
AC tại D.
a) Vẽ tia Cx vuông góc với BD tại E và tia Cx cắt đường thẳng AB tại F . Chứng
minh △ABD ∽ △EBC.
b) Tia F D cắt BC tại H. Kẻ đường thẳng qua H và vuông góc với AB tại M.
Chứng minh MH · AB = F H · M B.
A
B
C
D
E
F
H
M
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 17.
Cho △KBC vuông tại K có KB < KC. Tia phân giác góc
“
B cắt KC tại
H. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BH tại I.
a) Chứng minh △BHK ∽ △CIH.
b) Chứng minh CI
2
= IH · IB.
c) Tia BK cắt CI tại A, tia AH cắt BC tại D. Chứng minh KC là
phân giác
’
IKD.
A
B C
K
I
H
D
Lời giải.
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34. BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
54
Cho △ABC nhọn có ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh BD · BC = BF · BA.
b) Chứng minh △BDF ∽ △BAC, từ đó suy ra
’
BDF =
’
BAC.
c) Chứng minh
’
CDE =
’
BAC.
d) Chứng minh DH là tia phân giác
’
F DE.
C
D
E
B
A
F
H
Lời giải.
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Bài 19.
Cho △ABC nhọn, các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh AF · AB = AE · AC và
’
AEF =
’
ABC.
b) Chứng minh EB là phân giác
’
DEF .
c) Gọi giao điểm của AD và EF là K. Chứng minh AK · HD = HK · AD.
C
D
E
B
A
F
H
K
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
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ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG
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Baâi
1 Các ví dụ
Dạng 1. Tính toán về độ dài và diện tích
cVí dụ 1. Tìm độ dài của x và y trong hình vẽ
1
1
x
y
1
√
5
Lời giải.
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cVí dụ 2. Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = x (cm).
a) Tính x trong trường hợp tam giác ABC vuông tại B (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
b) Tìm x để tam giác ABC vuông tại A.
Lời giải.
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cVí dụ 3.
Trên giấy kẻ ô vuông (cạnh ô vuông bằng 1 cm), cho các điểm A, B, C như
hình vẽ bên. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
A
B
C
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
57
cVí dụ 4.
a) Cho tam giác ABC vuông tại C có hai cạnh góc vuông là a = 4 cm, b = 3 cm. Tính độ dài cạnh huyền
của tam giác vuông đó.
b) Cho tam giác vuông MNP có cạnh huyền N P = 10 dm và cạnh M N = 6 dm. Tính độ dài cạnh MP .
Lời giải.
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cVí dụ 5. Tính độ dài cạnh EF , M N của các tam giác vuông trong hình sau.
5 cm
12 cm
a)
D
E F
3 cm
4 cm
b)
M
N
P
Lời giải.
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35. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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cVí dụ 6. Cho △ABC có các góc B, C nhọn. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết AB = 20 cm, BH = 16 cm,
HC = 5 cm. Tính AH, AC.
Lời giải.
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cVí dụ 7. Từ điểm A người ta không thể đi thẳng đến C mà phải đi từ A đến D, rồi từ D đến C hoặc là
đi từ A đến B, rồi từ B đến C. Biết rằng △ABC vuông tại B; △ACD vuông tại C như hình vẽ. Theo bạn
đường đi A → B → C, A → D → C, đường đi nào ngắn hơn?
B C
A
D
6 km
6 km
3 km
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
59
cVí dụ 8. Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh huyền dài 51 cm. Tính
độ dài hai cạnh góc vuông.
Lời giải.
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cVí dụ 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12, BC = 13. Tính độ dài cạnh AC và tính diện tích
tam giác ABC.
Lời giải.
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cVí dụ 10. Cho tam giác ABC có các góc B, C nhọn. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết AB = 20 cm,
BH = 16 cm, HC = 5 cm. Tính AH; AC.
Lời giải.
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cVí dụ 11. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Tính diện tích tam giác ABC biết
AH = 5 và BK = 6.
Lời giải.
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35. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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cVí dụ 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Hãy tính độ dài cạnh BC, đường
cao AH và các đoạn thẳng BH , CH.
Lời giải.
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cVí dụ 13. Cho các tam giác vuông với kích thước như Hình 9.39. Hãy tính độ dài x và cho biết những tam
giác nào đồng dạng, viết đúng ký hiệu đồng dạng.
x
12
13
13
5
6
2,5
A
B
C E
D
F
MN
P
Lời giải.
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cVí dụ 14.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Để đón được một người khách, một xe taxi xuất phát từ vị trí điểm A,
chạy dọc một con phố dài 3 km đến điểm B thì rẽ vuông góc sang trái,
chạy được 3 km đến điểm C thi tài xế cho xe rẽ vuông góc sang phải, chạy
1 km nữa thì gặp người khách tại điểm D (H.9.40). Hỏi lúc đầu, khoảng
cách từ chỗ người lái xe đến người khách là bao nhiêu kilômét?
1 km
3 km
3 km
AB
CD M
Lời giải.
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cVí dụ 15.
Hãy tính chiều cao theo đơn vị centimet của một tam giác đều cạnh 2 cm (làm tròn
kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2 cm
B CH
A
Lời giải.
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Dạng 2. Sử dụng định lí Py-ta-go đảo để nhận biết tam giác
○ Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác.
○ So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia.
○ Nếu hai kết quả bằng nhau thì đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền.
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35. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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cVí dụ 16. Trong các độ dài sau, ba số đo nào là ba số đo ba cạnh của một tam giác vuông?
6 cm, 10 cm, 8 cm;a) 6 cm, 9 cm, 11 cm.b)
Lời giải.
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cVí dụ 17. Tìm tam giác vuông trong các tam giác sau:
a) Tam giác ABC có AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 4 cm.
b) Tam giác M N P có MN = 20 m, N P = 12 m, P M = 16 m.
c) Tam giác OHK có OH = 6 dm, OK = 8 dm, KH = 12 dm.
Lời giải.
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Dạng 3. Chứng minh các tính chất hình học
○ Tính từng vế của đẳng thức theo định lí Py-ta-go.
○ Hoặc biến đổi một vế theo định lí Py-ta-go rồi suy ra vế kia của đẳng thức.
cVí dụ 18. Các đường cao của tam giác ABC có độ dài bằng 60, 65 và 156. Chứng minh tam giác ABC
vuông.
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
63
cVí dụ 19. Cho hai đoạn thẳng AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại O. Chứng minh rằng
AB
2
+ CD
2
= AD
2
+ BC
2
Lời giải.
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cVí dụ 20. Cho tam giác ABC có
b
A = 90
◦
. Gọi M là trung điểm AC. Chứng minh rằng
BM
2
= BC
2
−
3
4
AC
2
.
Lời giải.
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cVí dụ 21. Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, tổng các bình phương của các đường trung tuyến
bằng
3
2
bình phương của cạnh huyền.
Lời giải.
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35. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
64
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cVí dụ 22. Cho hai đoạn AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại O. Chứng minh rằng AB
2
+CD
2
=
AD
2
+ BC
2
.
Lời giải.
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cVí dụ 23. Cho △ABC(AB = AC),
b
A < 90
◦
. Kẻ BH vuông góc với AC. Chứng minh rằng
AB
2
+ AC
2
+ BC
2
= 3 · BH
2
+ 2 · AH
2
+ CH
2
.
Lời giải.
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cVí dụ 24.
Một chiếc cột có chiều cao h dựng thẳng đứng trên mặt đất tại điểm M , người
ta kéo căng các sợi dây từ đỉnh cột (điểm A ) lần lượt đến các điểm C và D
trên mặt đất. Biết rằng CM = c, DM = d và c < d. Hãy chứng minh rằng
a < b.
c
d
a
h b
A
C DM
Lời giải.
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GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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cVí dụ 25. Trước đây chúng ta thừa nhận định lí về trường hợp bằng nhau đặc biệt của hai tam giác vuông:
“Nếu một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và cạnh huyền của
tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau”. Áp dụng định lí Pythagore, em hãy chứng minh
định lí trên.
GT △ABC ,△A
′
B
′
C
′
,
b
A =
c
A
′
= 90
◦
,
AB = A
′
B
′
, BC = B
′
C
′
KL △ABC = △A
′
B
′
C
′
A C
B
A
′
C
′
B
′
Lời giải.
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Dạng 4. Ứng dụng thực tế
cVí dụ 26.
Một chiếc ti vi màn hình phẳng có chiều rộng và chiều dài đo được lần lượt là 72 cm và
120 cm. Tính độ dài đường chéo chiếc ti vi đó theo đơn vị inch (biết 1 inch ≈ 2,54 cm).
Lời giải.
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cVí dụ 27.
a) Nam dự định làm một cái êke từ ba thanh nẹp gỗ. Nam đã có hai thanh làm hai cạnh góc vuông dài 6 cm
và 8 cm.
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35. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
66
Hỏi thanh nẹp còn lại Nam phải làm có độ dài bao nhiêu? (Giả sử các mối nối
không đáng kể.)
b) Một khung gỗ ABCD (Hình 6) được tạo thành từ 5 thanh nẹp có độ dài như
sau: AB = CD = 36 cm; BC = AD = 48 cm ; AC = 60. Chứng minh rằng
’
ABC và
’
ADC là các góc vuông.
A D
CB
Lời giải.
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cVí dụ 28.
Một cái phòng như hình vẽ chiều dài 8 m, chiều rộng 6 m, chiều cao của
trần nhà so với sàn nhà là 24 m. Tìm độ dài đường chéo sàn nhà và độ dài
từ điểm A
′
trần nhà xuống điểm C của sàn nhà?
A
′
A
B
B
′
C
D
D
′
A
8m
6m
24m
Lời giải.
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cVí dụ 29. Tại thời điểm ban đầu, hai chiếc tàu ở cùng một vị trí. Sau đó, chiếc tàu thứ nhất đi đúng về
hướng Bắc với vận tốc 16 km/h, một chiếc tàu thứ hai đi đúng về hướng Đông với vận tốc
55
3
km/h. Hỏi sau
3 giờ khoảng cách giữa 2 chiếc là bao nhiêu.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Lời giải.
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cVí dụ 30. Trong một hồ nước có một bông sen. Cả bông sen và nhánh sen nhô lên mặt nước 0,5 m. Chợt
có một ngọn gió thổi tới làm bông sen bị dạt xuống, chìm hẳn vào nước. Bằng mắt thường ta ước lượng được
khoảng cách theo chiều ngang (tính theo mặt nước) từ chỗ ban đầu của bông sen (đúng hơn là nhánh sen)
đến chỗ mà bông sen vừa chìm hẳn vào nước là 1,5 m. Hỏi hồ nước sâu bao nhiêu mét?
Lời giải.
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cVí dụ 31. Tính khoảng cách giữa hai điểm A, B trong hình sau.
12 m
32 m
41 m
A
B
Lời giải.
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35. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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cVí dụ 32.
Trở lại tình huống mở đầu. Xem thành cầu thang như cạnh huyền BC
của tam giác vuông ABC. Từ đó, hãy tính độ dài cạnh BC để suy ra
chiều dài cầu thang cần xây.
3 m
mặt sàn
4 m
sân thượng
Lời giải.
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1 Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho △ABC vuông tại A, biết AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính độ dài cạnh BC.
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 2. Cho △ABC vuông tại A, biết AB = 4 cm, BC = 5 cm. Tính độ dài cạnh AC.
Lời giải.
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Bài 3. Xác định dạng của △ABC, biết AB = 0,25 cm, BC = 0,2 cm, AC = 0,15 cm.
Lời giải.
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Bài 4. Tìm tam giác vuông trong các tam giác sau:
a) Tam giác EF K có EF = 9 m, F K = 12 m, EK = 15 m.
b) Tam giác P QR có P Q = 17 cm, QR = 12 cm, P R = 10 cm.
c) Tam giác DEF có DE = 8 m, DF = 6 m, EF = 10 m.
Lời giải.
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35. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào
sai?
AB
2
+ BC
2
= AC
2
.a) BC
2
− AC
2
= AB
2
.b)
AC
2
+ BC
2
= AB
2
.c) BC
2
− AB
2
= AC
2
.d)
Lời giải.
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Bài 6. Những bộ ba số đo nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?
1 cm, 1 cm, 2 cm.a) 2 cm, 4 cm, 20 cm.b)
5 cm, 4 cm, 3 cm.c) 2 cm, 2 cm, 2
√
2 cm.d)
Lời giải.
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Bài 7. Tính các độ dài x ,y, z, t trong Hình 9.45
2
4
x
4
y
5
z
√
5
2
√
5
2
1
t
H.9.45
70/144 70/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
71
Lời giải.
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Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, chiều cao AH = 3 cm và cạnh đáy BC = 10 cm. Hãy tính độ dài các
cạnh bên AB ,AC.
Lời giải.
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71/144 71/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
35. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 9. Hãy tính diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 8 cm và đường chéo dài 17 cm.
Lời giải.
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Bài 10. Tính các độ dài P N và BC trong hình sau.
25 cm
30 cm
12 cm
O
M N
P
7 cm
4 cm
10 cm
A B
CD
Lời giải.
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Bài 11. Cho △ABC nhọn. Vẽ đường cao AH (H ∈ BC). Tính chu vi △ABC, biết AC = 13 cm, AH = 12 cm,
BH = 9 cm.
Lời giải.
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35. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
74
Bài 12. Cho △ABC có
b
A = 90
◦
. Gọi M là trung điểm cạnh AC. Chứng minh rằng
BM
2
= BC
2
−
3
4
· AC
2
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Lời giải.
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Bài 13. Cho △ABC có các góc B, C nhọn. Kẻ AH vuông góc với BC, biết AC = 15 cm, HB = 5 cm, HC = 9
cm. Tính độ dài cạnh AB.
Lời giải.
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Bài 14. Cho △ABC vuông tại A có AB = AC = 17 cm, AB − AC = 7 cm. Tính độ dài cạnh BC.
Lời giải.
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Bài 15. Cho △ABC đều có điểm M nằm bên trong tam giác đó thỏa mãn MA
2
= MB
2
+ M C
2
. Tính số đo
góc
÷
BMC.
Lời giải.
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Bài 16. Một cây sồi mọc thẳng đứng trên mặt đất bị sét đánh gãy. Chỗ bị gãy cách góc cây 3 “phút”, ngọn cây
đỗ xuống cách góc cây 4 “phút”. Hỏi độ cao cây sồi là bao nhiêu “phút”?
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A.
a) Tính độ dài cạnh BC nếu biết AB = 7 cm, AC = 24 cm.
b) Tính độ dài cạnh AB nếu biết AC = 2 cm, BC =
√
13 cm.
c) Tính độ dài cạnh AC nếu biết BC = 25 cm, AB = 15 cm.
Lời giải.
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Bài 18. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông trong các trường hợp sau:
a) AB = 8 cm, AC = 15 cm, BC = 17 cm.
b) AB = 29 cm, AC = 21 cm, BC = 20 cm.
c) AB = 12 cm, AC = 37 cm, BC = 35 cm.
Lời giải.
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35. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 19. Cho biết thang của một xe cứu hoả có chiều dài 13 m, chân thang cách mặt đất 3 m và cách tường của
toà nhà 5 m. Tính chiều cao mà thang có thể vươn tới.
Lời giải.
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Bài 20.
Hình vẽ bên mô tả một cánh buồm có dạng tam giác vuông, được buộc vào cột buồm
thẳng đứng với độ dài hai cạnh góc vuông là 12m và 5m. Tính chu vi và diện tích của
cánh buồm đó.
12 m
5 m
76/144 76/144
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
77
Lời giải.
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Bài 21. Một con thuyền đang neo ở một điểm cách chân tháp hải đăng 180 m. Cho biết tháp hải đăng cao 25
m. Hãy tính khoảng cách từ thuyền đến ngọn hải đăng.
Lời giải.
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Bài 22.
Hình bên mô tả mặt cắt đứng của một sân khấu ngoài trời có mái che. Chiều cao
của khung phía trước khoảng 7m, chiều cao của khung phía sau là 6m, hai khung
cách nhau một khoảng 5m. Chiều dài mái che sân khấu đó là bao nhiêu mét (làm
tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
7 m
6 m
5 m
?
Lời giải.
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Bài 23.
Hình bên mô tả một thanh gỗ dài 3,5m dựa vào bức tường thẳng đứng. Chân thanh
gỗ cách bức tường một khoảng là 2,1m. Khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào bức
tường đến mặt đất là bao nhiêu mét?
3,5 m
2,1 m
?
Lời giải.
77/144 77/144
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35. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
78
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Bài 24.
Chú cún bị xích bởi một sợi dây dài 6 m để canh một mảnh vườn giới hạn bởi các
điểm A, B, E, F , D trong hình vuông ABCD có cạnh 5 m như hình 9.46. Đầu xích
buộc cổ cố định tại điểm A của mảnh vườn. Hỏi chú cún có thể chạy đến tất cả các
điểm của mảnh vườn mình phải canh không?
1 m
2m3 m
4 m
A
B C
D
E
F
Lời giải.
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78/144 78/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
79
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC
VUÔNG
36
Baâi
1 Các ví dụ
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng
cVí dụ 1.
Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H.
Chứng minh rằng
a) HA · HD = HB · HE = HC · HF ;
b) △AEF ∽ △ABC.
A
B C
E
F
D
H
Lời giải.
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cVí dụ 2. Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh △HBA ∽ △HAC.
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
80
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cVí dụ 3. Giả sử các chân đường cao H, H
′
lần lượt hạ từ đỉnh A và A
′
của hai tam giác ABC và A
′
B
′
C
′
nằm trên các cạnh BC, B
′
C
′
thỏa mãn
A
′
B
′
AB
=
A
′
H
′
AH
=
A
′
C
′
AC
. Chứng minh rằng △A
′
B
′
C
′
∽ △ABC.
A
B CH
A
′
B
′
C
′
H
′
Lời giải.
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cVí dụ 4.
Một ngôi nhà với hai mái lệch AB, CD được thiết kế như
hình bên sao cho CD = 6 m, AB = 4 m, HA = 2 m, AC = 1
m. Chứng tỏ rằng
’
ABD =
’
CDB.
B H D
A
C
4 m
2 m
1 m
6 m
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
81
cVí dụ 5. Trong Hình 4, tam giác nào đồng dạng với tam giác DEF ?
8
20
6
15
3
6
4
12
A
B
C M
N
P
D
E
F
R
S
T
Lời giải.
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cVí dụ 6.
a) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình a). Chứng minh rằng △ABC ∽ △HBA.
b) Tam giác vuông M P N và tam giác vuông DEF có các kích thước như Hình b có đồng dạng với nhau
không?
10
5
2,5
5
a) b)
A
B
C
H
D F
E
M
N
P
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
82
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cVí dụ 7.
Cho hai tam giác vuông ABC và ADE có các kích thước như Hình 3.
Chứng minh rằng △ ADE ∽ △ ABC.
20
12
10 6
A
B
CD
E
Lời giải.
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Dạng 2. Tính độ dài đoạn thẳng
Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng để tìm cặp đoạn thẳng tỉ lệ. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng cần
tim.
cVí dụ 8. Cho △ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết AB = 15 cm, BC = 25 cm. Tính độ dài cạnh
AH.
Lời giải.
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cVí dụ 9. Cho △ABC nhọn có AD là đường cao, H là trực tâm. Biết BD = 4 cm, DC = 10 cm, AD = 8
cm. Tính HD.
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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cVí dụ 10. Cho hình thang vuông ABCD (
b
A =
“
D = 90
◦
) có hai đường chéo AC và BD vuông góc với
nhau. Biết AB = 16 cm, AD = 20 cm. Tính độ dài CD.
Lời giải.
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Dạng 3. Chứng minh hệ thức hình học
cVí dụ 11.
Cho tam giác DEF vuông tại D có DH là đường cao. Chứng minh
rằng DE
2
= EH · EF .
E F
D
H
Lời giải.
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cVí dụ 12. Cho △ABC nhọn có các đường cao AI, BD, CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
BH · BD = BI · BC;a) BH · BD + CH · CE = BC
2
b)
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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cVí dụ 13. Cho △ABC,
“
C = 90
◦
, CH là đường cao. Lấy E thuộc CH. Kẻ BD vuông góc với AE (D thuộc
đường thẳng AE). Chứng minh
a) AE · AD + BA · BH = AB
2
;
b) AE · AD −HA ·HB = AH
2
Lời giải.
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cVí dụ 14. Cho △ABC có
b
A = 90
◦
, AH là đường cao. Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC, E ∈
AB, F ∈ AC. Chứng minh AB · AE + AC · AF = 2EF
2
.
Lời giải.
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Dạng 4. Tính diện tích đa giác
○ Lập tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.
○ Thay số rồi tính.
84/144 84/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
85
cVí dụ 15. Cho △ABC vuông tại A, AH là đường cao. Gọi I, K thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC.
Tính diện tích tứ giác AIHK biết BC = 5 cm, AH = 2 cm.
Lời giải.
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cVí dụ 16. Cho △ABC có điểm M trên cạnh AC. Kẻ MN song song với BC (N ∈ AB). Kẻ M P song song
với AB (P ∈ BC). Biết diện tích △AM N và △CMP lần lượt là 4 cm
2
và 9 cm
2
. Tính diện tích △ABC.
Lời giải.
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cVí dụ 17. Cho △ABC vuông tại A có AH là đường cao. Biết BH = 4 cm, HC = 9 cm. Tính diện tích
△ABC.
Lời giải.
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cVí dụ 18. Cho hình bình hành ABCD có diện tích là 30 cm
2
. Lấy M là trung điểm AB, lấy N thuộc CD
sao cho DN =
1
3
CD. AN cắt DM tại O. Tính diện tích △AOM.
85/144 85/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
86
Lời giải.
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cVí dụ 19.
Trong Hình bên, biết △M N P ∽ △ABC với tỉ số đồng dạng
k =
MN
AB
, hai đường cao tương ứng là MK và AH.
A
B C
H
M
N P
K
a) Chứng minh rằng △MNK ∽ △ABH và
MK
AH
= k.
b) Gọi S
1
là diện tích tam giác MNP và S
2
là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng
S
1
S
2
= k
2
.
Lời giải.
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Dạng 5. Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng
○ Để đo gián tiếp chiều cao, chúng ta cần tìm hai tam giác đồng dạng rồi lập tỉ số giữa các cạnh tương
ứng.
○ Để đo gián tiếp khoảng cách, chúng ta sử dụng tam giác đồng dạng hoặc định lí Ta-lét để lập tỉ số.
cVí dụ 20. Bạn An đặt một cái gương nhỏ trên mặt đất sao cho bạn ấy nhìn thấy ngọn cây A hiện trong
gương. Biết khoảng cách từ mắt tới đất là DC = 1,6 cm và đo được DE = 2 m, EB = 20 m. Tính chiều cao
của cây BA.
Lời giải.
86/144 86/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
87
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cVí dụ 21.
Thường ngày đến công trường, bác Hoan dùng một chiếc thang lớn dựng
lên một bức tường cao 6 m. Khi đặt chân thang cách chân tường 1,5 m
thì vừa dựng thang lên đúng mặt trên bức tường. Hôm nay, bác Hoan
chỉ có một chiếc thang nhỏ dài bằng
2
3
chiếc thang lớn. Để đảm bảo an
toàn, bác đặt chân thang cách chân tường 1 m. Hỏi khi dựng chiếc thang
nhỏ lên thì điểm cao nhất của thang cách mặt trên mức tường bao nhiêu
mét?
A
A
′
B
B
′
C
C
′
Lời giải.
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cVí dụ 22.
Bóng của một cột cờ trên mặt đất dài 6m. Cùng thời điểm
đó một thanh sắt cao 2,4m cắm vuông góc với mặt đất có
bóng dài 1,8m. Tính chiểu cao của cột cờ.
6 m1,8 cm
2,4 cm
A
B
C
D
E
F
Lời giải.
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87/144 87/144
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
88
cVí dụ 23. Nam và Việt muốn đo chiều cao của cột cờ ở sân trường mà hai bạn không trèo lên được. Vào
buổi chiều, Nam đo thấy bóng của cột cờ dài 6 m và bóng của Việt dài 70 cm. Nam hỏi Việt cao bao nhiêu,
Việt trả lời là cao 1,4 m. Nam liền reo lên: "Tớ biết cột cờ cao bao nhiêu rồi đấy!". Vậy cột cờ cao bao nhiêu
và làm sao bạn Nam biết được?
Lời giải.
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1 Bài tập vận dụng
Bài 1. Quan sát hình dưới đây và chỉ ra hai tam giác đồng dạng
2
3
4
62
4
4
8
A
B
C
I
H
K
M
N
P
D
E
F
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 2.
Cho tứ giác ABCD có AB = 9, AC = 6, AD = 4,
’
ADC =
’
ACB = 90
◦
(hình bên) . Chứng minh
tia AC là tia phân giác của góc BAD.
A
B
C
D
9
6
4
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
89
Bài 3.
Cho hai tam giác ABC và A
′
B
′
C
′
có:
b
A =
c
A
′
= 90
0
,
A
′
B
′
AB
=
A
′
C
′
AC
. Chứng minh
△A
′
B
′
C
′
∽ △ABC.
C
A B
C
′
A
′
B
′
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 4. Quan sát hình vẽ và chỉ ra hai cặp tam giác đồng dạng:
2
3
C
A B
3
4
F
D E
4
6
P
M N
4, 5
6
K
I H
Lời giải.
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Bài 5. Điều kiện nào dưới đây chứng tỏ rằng hai tam giác vuông đồng dạng?
a) Một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia.
b) Cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác kia.
c) Một cạnh góc vuông của tam giác này bằng một cạnh góc vuông của tam giác kia.
d) Hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia.
Lời giải.
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Bài 6. Cặp tam giác vuông nào đồng dạng với nhau trong hình dưới đây?
89/144 89/144
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
90
1
1
2
4
1
2
4
2
a) b)
60
◦
70
◦
1
3
4,5
1,5
c) d)
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 7. Cho góc nhọn xOy, các điểm A, N nằm trên tia Ox, các điểm B, M nằm trên tia Oy sao cho AM, BN
lần lượt vuông góc với Oy, Ox. Chứng minh rằng tam giác OAM đồng dạng với tam giác OBN .
Lời giải.
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Bài 8. Cho hai hình chữ nhật ABCD và A
′
B
′
C
′
D
′
thỏa mãn AC = 3AB, B
′
D
′
= 3A
′
B
′
.
a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC đồng dạng với tam giác A
′
B
′
C
′
.
b) Nếu A
′
B
′
= 2AB và diện tích hình chữ nhật ABCD là 2 m
2
thì diện tích hình chữ nhật A
′
B
′
C
′
D
′
là bao
nhiêu?
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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90/144 90/144
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 9. Cho tam giác A
′
B
′
C
′
đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k. Gọi A
′
H
′
và AH lần lượt là các đường
cao đỉnh A
′
và A của tam giác A
′
B
′
C
′
và tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)
A
′
H
′
AH
= k;
b) Diện tích tam giác A
′
B
′
C
′
bằng k
2
lần diện tích tam giác ABC.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 10. Một người ở vị trí điểm A muốn đo khoảng cách đến điểm B ở bên kia sông mà không thể qua sông
được. Sử dụng giác kế, người đó xác định được một điểm M trên bờ sông sao cho AM = 2 m, AM vuông góc với
AB và đo được số đo góc AMB. Tiếp theo, người đó vẽ trên giấy tam giác A
′
M
′
B
′
vuông tại A
′
, có A
′
M
′
= 1
cm,
◊
A
′
M
′
B
′
=
÷
AMB và đo được A
′
B
′
= 5 cm. Hỏi khoảng cách từ A đến B là bao nhiêu mét?
2 m
1 cm
5 cm
A B
M
A
′
B
′
M
′
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 11. Hãy tìm cặp tam giác vuông đồng dạng trong hình 6.
91/144 91/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
92
6
4
9
12
9 6
10
7,5
48
◦
42
◦
a) b) c)
d) e) f)
A
B
C
T
U
V
M
N
K
Q
P
R
D
E
F
GI
H
Hình 6
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 12.
Cho hình bên, biết MB = 20 m, MF = 2 m, EF = 1,65 m.
Tính chiều cao AB của ngọn tháp.
1,65 m
2 m
20 m
A
B
M
F
E
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 13.
92/144 92/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
93
Hình bên cho biết
“
B =
“
C, BE = 25 cm, AB = 20 cm,
DC = 15 cm. Tính độ dài đoạn thẳng CE.
25
20
15
A
B
E
D
C
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 14.
Cho hình bên. Chứng minh rằng
a) △ABH ∽ △DCB;
b)
BC
BE
=
BD
BA
.
B
A
H
J
E
C
D
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bài 15. Một người đo chiều cao của một toà nhà nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 3 m và đặt cách xa toà
nhà 27 m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 1,2 m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh toà nhà cùng nằm trên một
đường thẳng. Hỏi toà nhà cao bao nhiêu mét, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,5 m?
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB tại M .
a) Chứng minh rằng △AMH ∽ △AHB.
b) Kẻ HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh rằng AM · AB = AN · AC.
c) Chứng minh rằng △ANM ∽ △ABC.
d) Cho biết AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tính diện tích tam giác AM N.
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 17.
Hai tam giác IM N và IP Q ở Hình 85 có đồng dạng hay không? Vì sao?
MN
Q
P
I
Lời giải.
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Bài 18. Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Chứng minh HA·HD = HB ·HE.
Lời giải.
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Bài 19. Cho hình thang vuông ABCD có
b
A =
“
D = 90
◦
; BC ⊥ BD; AB = 1 cm; CD = 4 cm. Tính số đo góc
C.
Lời giải.
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Bài 20. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB = 13 cm, BC = 10 cm. Đường cao BE. Tính độ dài đoạn EC.
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 21. Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD và AC cắt BD tại O. Biết AB = 2 cm, CD = 8 cm, diện tích hình
thang là 25 cm
2
. Tính diện tích △COD.
Lời giải.
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Bài 22. Tính diện tích hình bình hành ABCD biết hai đường cao của nó bằng 12 cm, 15 cm và chu vi là 72
cm.
Lời giải.
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Bài 23. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi CM là trung tuyến. Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với MC
cắt BC ở H. Tính tỉ số
BH
HC
.
Lời giải.
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Bài 24. Để đo chiều rộng AB của một con sông. Người ta đóng đường thẳng xy vuông góc với AB tại A rồi
xác định về hai phía hai điểm D và E. Dùng dụng cụ đo, ta đo được
’
DEB =
’
EDC, AD = 10 m. AC = 20 m,
AE = 30 m. Tính chiều rộng AB của khúc sông.
A
D
B
C
E
Khúc sông
Bờ sông
Lời giải.
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Bài 25.
Hai tam giác IM N và IP Q ở Hình 85 có đồng dạng hay không? Vì sao?
MN
Q
P
I
Lời giải.
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Bài 26. Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Chứng minh HA·HD = HB ·HE.
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 27. Cho hình thang vuông ABCD có
b
A =
“
D = 90
◦
; BC ⊥ BD; AB = 1 cm; CD = 4 cm. Tính số đo góc
C.
Lời giải.
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Bài 28. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB = 13 cm, BC = 10 cm. Đường cao BE. Tính độ dài đoạn EC.
Lời giải.
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Bài 29. Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD và AC cắt BD tại O. Biết AB = 2 cm, CD = 8 cm, diện tích hình
thang là 25 cm
2
. Tính diện tích △COD.
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
99
Bài 30. Tính diện tích hình bình hành ABCD biết hai đường cao của nó bằng 12 cm, 15 cm và chu vi là 72
cm.
Lời giải.
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Bài 31. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi CM là trung tuyến. Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với MC
cắt BC ở H. Tính tỉ số
BH
HC
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Lời giải.
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Bài 32. Để đo chiều rộng AB của một con sông. Người ta đóng đường thẳng xy vuông góc với AB tại A rồi
xác định về hai phía hai điểm D và E. Dùng dụng cụ đo, ta đo được
’
DEB =
’
EDC, AD = 10 m. AC = 20 m,
AE = 30 m. Tính chiều rộng AB của khúc sông.
A
D
B
C
E
Khúc sông
Bờ sông
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
100
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
101
LUYỆN TẬP CHUNG
1 Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 5 cm, AH = 4 cm.
a) Chứng minh △AHB ∽ △CHA.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AC.
Lời giải.
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Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 3 cm, BC = 5 cm. Cho AH là đường cao của tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
a) AB
2
= BH · BC; AC
2
= CH · BC.
b) AH
2
= BH · CH.
c) Gọi M, N lẩn lượt là trung điểm của AH, BH. Chứng minh rằng △AN B ∽ △CM A.
Lời giải.
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101/144 101/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
102
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Bài 3. Cho △ABC với kích thước như hình vẽ. Tính độ dài cạnh AC.
5 cm
7 cm
A
B C
Lời giải.
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Bài 4. Tính độ dài AD trong hình vẽ.
600
600
300
A
B
C
D
Lời giải.
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Bài 5. Tính độ dài x trong các hình vẽ sau (Hình ở giữa, △ABC cân tại A).
102/144 102/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
103
138
4 x
A
B C
H
3 cm
1 cm
x
A
B C
H
x
2
x
A
B
C
Lời giải.
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Bài 6. Cho △ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC tại H. Tính độ dài AH, biết HB = 2 cm, HC = 8 cm.
2 cm
8 cm
A
B
C
H
Lời giải.
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Bài 7. Cho △ABC cân tại A có AB = AC = 17 cm. Kẻ BD ⊥ AC. Tính cạnh BC biết BD = 15 cm.
17 cm
15 cm
A
B C
D
Lời giải.
103/144 103/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
104
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Bài 8.
Cho △ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC.
a) Chứng minh rằng AB
2
+ CH
2
= AC
2
+ BH
2
.
b) Giả sử AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính AH, BH, HC.
6 cm 8 cm
A
B C
H
Lời giải.
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Bài 9.
Cho △AB có BC = 52 cm, AB = 20 cm, AC = 48 cm.
a) Chứng minh △ABC vuông tại A.
b) Kẻ AH ⊥ BC. Tính AH.
20 cm
48 cm
52 cm
A
B C
H
Lời giải.
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Bài 10. Cho △ABC vuông tại A có AC = 5 cm, AB = 12 cm. Từ trung điểm M của cạnh BC kẻ đường thẳng
vuông góc với BC, cắt cạnh AB tại N. Biết M N = 2,7 cm. Tính NB.
104/144 104/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
105
12 cm 5 cm
2,7 cm
A
B C
M
N
Lời giải.
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Bài 11. Cho △ABC có AM là trung tuyến. Gọi M D và ME lần lượt là phân giác của
÷
AMB,
÷
AMC.
a) Chứng minh DE ∥ BC.
b) Tìm điều kiện của △ABC để DE là đường trung bình của △ABC.
A
B C
D E
M
Lời giải.
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Bài 12. Cho △DEF có DE = 6 cm, DF = 12 cm. Trên cạnh DF lấy điểm B sao cho BD = 3 cm.
a) Chứng minh △EBD ∽ △F DE.
b) Kẻ phân giác trong DA của △DEF . Chứng minh AE · DF = AF · DE.
c) Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của BE và F E. Gọi H là giao điểm P Q và DA. Chứng minh
HP · DF
HQ · DE
= 1.
105/144 105/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
106
E
D F
A
P
Q
B
H
Lời giải.
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Bài 13. Cho △ABC có đường phân giác trong AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho
’
ECD =
’
BAD.
a) Chứng minh AD · DE = BD · CD.
b) Chứng minh AD · AE = AB · AC.
c) Chứng minh AD
2
= AB · AC − BD · CD.
1
2
1
2
A
B C
D
E
Lời giải.
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106/144 106/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
107
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Bài 14. Cho △ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Đường cao AH và phân giác BD cắt nhau tại I.
a) Chứng minh △ABC ∽ △HBA từ đó suy ra AB
2
= BH · BC.
b) Chứng minh
IH
IA
=
AD
CD
.
c) Tính diện tích △BCD.
A
B
C
D
H
I
Lời giải.
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Bài 15. Cho △ABC vuông tại A có AB = 4,5 cm, BC = 7,5 cm. Kẻ đường cao AH. Tia phân giác góc
“
B cắt
AC tại D, cắt AH tại K.
a) Chứng minh △ABC ∽ △HBA từ đó suy ra AB · AH = AC · BH.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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c) Chứng minh
KH
KA
=
DA
DC
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A
B
C
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H
K
Lời giải.
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Bài 16. Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường phân giác
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ABC cắt AC tại D và cắt AH tại E.
a) Chứng minh △ABC ∽ △HBA và AB
2
= BC · BH.
b) Biết AB = 9 cm, BC = 15 cm. Tính DC, AD.
c) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh
’
BIH =
’
ACB.
1
2
1
2
/
/
A
B C
D
H
E
I
Lời giải.
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Bài 17. Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH, tia phân giác
’
AHC cắt AC tại D. Chứng minh
HB
HC
=
AD
2
DC
2
.
A
B
C
D
H
Lời giải.
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Bài 18. Cho △ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm, đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho
AB = BE.
a) Chứng minh △HBA ∽ △ABC.
b) Chứng minh BE
2
= BH · BC.
c) Tính BC và AH.
d) Tia phân giác
’
ABC cắt AC tại D. Tính
S
CED
S
ABC
.
A
B C
D
H
E
Lời giải.
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Bài 19. Cho △ABC vuông tại B, đường cao BH.
a) Chứng minh △ABH ∽ △ACB suy ra AB
2
= AH · AC.
b) Tính AC, BH biết AB = 6cm, BC = 8cm.
c) Đường phân giác của góc
’
CAB cắt BH và BC lần lượt tại D và E. Chứng minh DH · EC = EB · DB.
A
B C
D
H
E
Lời giải.
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Bài 20. Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH. Biết rằng BH = 16 cm, CH = 9 cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AH.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC.
Lời giải.
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Bài 21. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho
BM = 4 cm. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng M P vuông góc với AB tại P .
a) Chứng minh rằng △BMP ∽ △M CN .
b) Tính độ dài đoạn thẳng AM.
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 22. Trong hình vẽ, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao
của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng:
a) △AEH ∽ △AHB.
b) △AF H ∽ △AHC.
c) △AF E ∽ △ABC.
A
B CH
E
F
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
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Bài 23. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Chứng minh △HBM ∽ △HAN .
Lời giải.
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Bài 24. Vào gần buổi trưa, khi bóng bạn An dài 60 cm thì bóng cột cờ dài 3 m.
a) Biết rằng bạn An cao 1,4 m. Hỏi cột cờ cao bao nhiêu mét?
b) Vào buổi chiều khi bóng bạn An dài 3 m, hỏi bóng cột cờ dài bao nhiêu mét?
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 25.
Cho ∆ABC có AB = 4 cm, AC = 3 cm, BC = 5 cm. Cho AH là đường cao
của ∆ABC. Chứng minh rằng (Hình 14)
a) AB
2
= BH · BC và AC
2
= CH · BC.
b) AH
2
= BH · CH.
c) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AH, BH. Chứng minh rằng
∆ANB ∽ ∆CMA.
Hình 14
A
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Lời giải.
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Bài 26. Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. (Hình 15)
a) Chứng minh △AHB ∽ △CAB và AH.CB = AB.AC.
b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Tứ giác DHEA là hình gì? Vì sao?
c) Giả sử với AB = 9cm, AC = 12cm. Tính DE.
d) Chứng minh rằng AH
2
= DA.DB + EA.EC.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
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Bài 27. Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên
AB, AC. (Hình 16)
a) Chứng minh △ABC ∽ △HBA.
b) Giả sử HB = 4cm, HC = 9cm. Tính AB, DE.
c) Chứng minh AD.AB = AE.AC và AM ⊥ DE
A
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Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 28. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của △ABD (Hình 17)
a) Chứng minh △AHB ∽ △BCD.
b) Chứng minh AD
2
= DH.DB.
c) Tính độ dài đoạn AH.
A B
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Lời giải.
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Bài 29. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, AD = 3cm. Vẽ đường cao AH của △ADB (Hình 18)
a) Chứng minh △AHB ∽ △BCD.
b) Chứng minh AD
2
= DH.DB.
c) Tính độ dài đoạn thẳng DH và AH
A B
C
H
D
Lời giải.
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Bài 30. Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD. Kẻ AH ⊥ BD tại H. Cho biết HD = 4cm, BD = 16cm (Hình
19)
a) Chứng minh △AHD ∽ △BAD
b) Tính AD
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH. Chứng minh MH.CD = AH.MN
A B
C
H
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Bài 31. Cho hình chữ nhật ABCD vẽ BH ⊥ AC tại H. (Hình 20)
a) Chứng minh △ABH ∽ △ACB.
b) Gọi O là giao điểm AC và BD, K là trung điểm của AB, BH cắt OK tại G, đường thẳng AG cắt OB tại
L. Chứng minh LH ∥ AB
A B
C
H
D
O
K
G
L
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 32. Cho △ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HI ⊥ AB và HK ⊥ AC.
a) Chứng minh AH
2
= AI.AB.
b) Chứng minh △AIK ∽ △ACB.
A
B
C
H
D
E
Lời giải.
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Bài 33. Cho △ABC vuông tại A có đường cao AH. Qua C vẽ đường thẳng song song với AB và cắt AH tại D.
Biết AB = 20cm, AC = 15cm
a) Chứng minh △ABC ∽ △HBA và tính BC, AH (Hình 22)
b) Chứng minh AC
2
= AB.DC.
c) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh I, H, K thẳng hàng.
A
B
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I
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Lời giải.
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Bài 34. Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD ⊥ AB tại D . Gọi I là giao điểm của AH và CD .
Đường thẳng BI cắt AC tại K. Chứng minh rằng:
a) △ADH ∽ △AHB.
b) AD.AB = HB.HC.
A
B
C
H
D
I
K
Lời giải.
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Bài 35. Cho △ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AH ⊥ BC tại H.
a) Chứng minh △HBA ∽ △ABC.
b) Tính độ dài các cạnh BC và AH nếu AB = 9cm, AC = 12cm
c) Trên HC lấy điểm M sao cho HM = HA. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại I. Qua C
vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia phân giác
’
IM C tại K. Chứng minh H, I, K thẳng hàng.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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A
B
C
H
I
M
K
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Bài 36. Cho △ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH. Trên tia AH lấy điểm E sao cho H nằm giữa A
và E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia AB kéo dài tại F .
a) Chứng minh △BHA ∽ △BAC và AB
2
= BH.BC.
b) Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với EB cắt AC tại K (K nằm giữa A và C). Chứng minh AF.BE = BK.EF
A
B
C
H
K
E
F
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
121
Bài 37. Cho △ABC vuông tại A có AB < AC và đường cao AH.
a) Chứng minh △BHA ∽ △BAC.
b) Trên AH lấy điểm E. Gọi D là hình chiếu của C trên BE. Chứng minh BH.BC = BE.BD.
A
B
C
H
D
E
Lời giải.
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Bài 38. Cho △ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH. (Hình 27)
a) Chứng minh △HAC ∽ △ABC.
b) Chứng minh HA
2
= HB.HC.
c) Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB, BC. Chứng minh CH.CB = 4.DE
2
.
d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC tại B và đường thẳng DE. Gọi N là giao điểm của
AH và CM. Chứng minh N là trung điểm của AH.
A
B
C
H
D
E
M
N
−
−
//
//
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 39. Cho △ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AH ⊥ BC tại H. Lấy D trên HC sao cho HB = HD. (Hình
28)
a) Chứng minh △ABC ∽ △HBA.
b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt AD tại E. Chứng minh AH.CD = CE.AD.
c) Chứng minh △ABC ∽ △EDC.
d) Biết AH cắt CE tại F . Tia F D cắt cạnh AC tại K. Chứng minh KD là tia phân giác của
÷
HKE.
A
B
C
H
D
E
F
K
−
−
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 40. Cho △ABC vuông tại A có AB < AC. Đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB,
AC. (Hình 29)
a) Chứng minh △ABC ∽ △HBA và AB
2
= BH.BC
b) Chứng minh
AB
2
AC
2
=
BM
AM
.
c) Gọi I là giao điểm của BN và CM . Chứng minh S
BIC
= S
AMIN
A
B
C
H
M
N
I
Lời giải.
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Bài 41. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm bất kì trên cạnh BC (M = B, C). AM cắt CD tại E. DM cắt
BE tại F . DM cắt AB tại G, CF cắt BG tại H. (Hình 30)
a) Chứng minh
BH
CE
=
HG
CD
. Từ đó suy ra
BH
CE
=
BG
DE
.
b) Chứng minh BH.DE = AB.CD = BC.AD.
c) Chứng minh △BHC ∽ △DEA.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
124
A B
C
H
D
M
E
F
G
−
−
Lời giải.
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Bài 42. Cho △ABC nhọn có AB < AC. Đường cao AH. Qua H vẽ HM ⊥ AB và HN ⊥ AC.
a) Chứng minh △AMH ∽ △AHB
b) Chứng minh AN.AC = AH
2
.
c) Vẽ đường cao BD cắt AH tại E. Qua D vẽ đường thẳng song song với M N cắt AB tại F . Chứng minh
’
AEF =
’
ABC.
A
B
C
H
M
N
E
D
F
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 43. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Kẻ BH ⊥ AC và DM ⊥ AC (Hình 32)
a) Chứng minh △ABH ∽ △ACB và suy ra AN.AH = AB
2
.
b) Tính độ dài AC, BH, CH.
c) Gọi I sao cho H là trung điểm của BI. Chứng minh DM = IH và ACID là hình thang cân.
A B
C
H
D
I
M
−
−
Lời giải.
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Bài 44. Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD . Kẻ AH ⊥ BD, AH cắt CD tại K.
a) Chứng minh △AHD ∽ △BAD. Tính AB biết AD = 5cm, AH = 4cm.
b) Chứng minh HA
2
= HB.HD.
c) Gọi I là trung điểm của CD. Tia BK cắt AD tại M , tia M I cắt AC tại N , tia BN cắt CD tại E. Chứng
minh DK = CE.
A B
C
H
D
K I
M
N
E
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
126
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
127
ÔN TẬP CHƯƠNG IX
1 Bài tập nâng cao
Câu 1. Cho ABC là tam giác không cân. Biết △A
′
B
′
C
′
∽ △ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A △A
′
C
′
B
′
∽ △ACB. B △B
′
C
′
A
′
∽ △BAC. C △B
′
A
′
C
′
∽ △BCA. D △A
′
C
′
B
′
∽ △ABC.
Lời giải.
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Câu 2. Cho △A
′
B
′
C
′
∽ △ABC với tỉ số đồng dạng bằng 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A
AB
A
′
B
′
= 2. B
AB
A
′
C
′
= 2. C
A
′
B
′
AB
= 2. D
A
′
B
′
AC
= 2.
Lời giải.
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Câu 3. Trong các bộ ba số đo dưới đây, đâu là số đo ba cạnh của một tam giác vuông?
A 3 m; 5 m; 6 m. B 6 m; 8 m; 10 m. C 1 cm; 0, 5 cm; 1, 25 m. D 9 m; 16 m; 25 m.
Lời giải.
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Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB = AC) và tam giác DEF vuông tại D (DE = DF ). Điều nào dưới
đây không suy ra △ABC ∽ △DEF
A
“
B =
“
E. B
“
C =
“
F . C
“
B +
“
C =
“
E +
“
F . D
“
B −
“
C =
“
E −
“
F .
Lời giải.
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Câu 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau. B Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
C Hai tam giác bằng nhau thì không đồng dạng. D Hai tam giác cân thì luôn đồng dạng.
Lời giải.
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Câu 6. Nếu △ABC ∽ △MNP theo tỉ số k = 3 thì △M N P ∽ △ABC theo tỉ số
A
1
3
. B
1
9
. C 3. D 9.
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
128
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Câu 7. Nếu tam giác ABC có M N ∥ AB (với M ∈ AC, N ∈ BC ) thì
A △CM N ∽ △ABC. B △CN M ∽ △CAB. C △CN M ∽ △ABC. D △MN C ∽ △ABC.
Lời giải.
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Câu 8. Cho △ABD ∽ △DEF với tỉ số đồng dạng k =
1
3
, biết AB = 9 cm. Khi đó DE bằng
A 6 cm. B 12 cm. C 3 cm. D 27 cm.
Lời giải.
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Câu 9. Nếu tam giác ABC và tam giác EF G có
b
A =
“
E,
“
B =
“
F thì
A △ABC ∽ △EGF . B △ABC ∽ △EF G. C △ACB ∽ △GF E. D △CBA ∽ △F GE.
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
129
Câu 10. Cho △XY Z ∽ △EF G, biết XY = 6 cm; EF = 8 cm; EG = 12 cm. Khi đó XZ bằng
A 10 cm. B 9 cm. C 12 cm. D 16 cm.
Lời giải.
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Câu 11. Cho △ABC ∽ △DEF , biết
b
A = 85
◦
,
“
B = 60
◦
. Khi đó số đo
“
F bằng
A 60
◦
. B 85
◦
. C 35
◦
. D 45
◦
.
Lời giải.
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Câu 12. Cho hình thang ABCD(AB ∥ CD), có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết AB = 8 cm,
CD = 20 cm. Khi đó △AOB ∽ △CO D với tỉ số đồng dạng là
A k =
2
3
. B k =
3
2
. C k =
2
5
. D k =
5
2
.
Lời giải.
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Câu 13. Cho △DEG ∽ △M N P,
“
E = 60
◦
,
c
M = 40
◦
. Số đo góc D bằng bao nhiêu độ?
A 40
◦
. B 50
◦
. C 60
◦
. D 80
◦
.
Lời giải.
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129/144 129/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
130
Câu 14. Cho △DEG ∽ △M N P,
“
E = 60
◦
,
c
M = 40
◦
. Số đo góc N bằng bao nhiêu độ?
A 40
◦
. B 50
◦
. C 60
◦
. D 80
◦
.
Lời giải.
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Câu 15. Cho △DEG ∽ △M N P,
“
E = 60
◦
,
c
M = 40
◦
. Số đo góc P bằng bao nhiêu độ?
A 40
◦
. B 50
◦
. C 60
◦
. D 80
◦
.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Câu 16. Cho △DEG ∽ △M N P, DE = 2 cm, DG = 4 cm, M N = 4 cm, N P = 6 cm. Độ dài cạnh EG là
A 2 cm. B 3 cm. C 4 cm. D 8 cm.
Lời giải.
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Câu 17. Cho △DEG ∽ △M N P, DE = 2 cm, DG = 4 cm, M N = 4 cm, N P = 6 cm. Độ dài cạnh M P là
A 2 cm. B 3 cm. C 4 cm. D 8 cm.
Lời giải.
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Câu 18. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A
′
B
′
C
′
theo tỉ số đồng dạng k.
a) Gọi AM, A
′
M
′
lần lượt là các đường trung tuyến của tam giác ABC, A
′
B
′
C
′
. Chứng minh △ABM ∼
△A
′
B
′
M
′
và
AM
A
′
M
′
= k.
b) Gọi AD, A
′
D
′
lần lượt là các đường phân giác của tam giác ABC, A
′
B
′
C
′
. Chứng minh △ABD ∼ △A
′
B
′
D
′
và
AD
A
′
D
′
= k.
c) Gọi AH, A
′
H
′
lần lượt là các đường cao của tam giác ABC , A
′
B
′
C
′
và
’
ABC < 90
◦
. Chứng minh △ABH ∼
△A
′
B
′
H
′
và
AH
A
′
H
′
= k.
Lời giải.
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130/144 130/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
131
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Câu 19. Cho Hình vẽ. Chứng minh
△HAB ∽ △HBC;a) HB = HD = 6 cm.b)
131/144 131/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
132
A
B
C
D
H
4 cm 9 cm
Lời giải.
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Câu 20. Cho Hình 106. Chứng minh
AH
2
= AB · AI = AC · AK;a)
’
AIK =
’
ACH.b)
A
B C
I
K
H
Hình 106
Lời giải.
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Câu 21.
Cho hình vẽ. Chứng minh
a) △ABN ∽ △AIP và AI · AN = AP · AB;
b) AI · AN + BI · BM = AB
2
.
A B
M
N
I
P
Lời giải.
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Câu 22.
Cho hình vẽ. Hình nào đồng dạng phối cảnh với
Tam giác OAB?a) Tam giác OBC?b)
Tam giác OCD?c) Tứ giác ABCD?d)
A
B C
DO Q
M
N P
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Câu 23.
Hình bên có ghi thứ tự của 6 lá mầm, trong đó có nhiều cặp lá mầm gợi nên những cặp hình đồng
dạng. Hãy viết 6 cặp lá mầm gợi nên những hình đồng dạng.
1
2
3
4
5
6
Lời giải.
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2 Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hình vẽ, biết rằng MN ∥ AB, M P ∥ AC. Hãy liệt kê ba cặp hai tam giác (khác nhau) đồng dạng có
trong hình.
A
B C
M
P
N
Lời giải.
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Bài 2. Cho hình vẽ, biết rằng
’
ABD =
’
ACE. Chứng minh rằng △ABD ∽ △ACE và △BOE ∽ △CO D.
A
B
C
D
E
O
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 3. Hai đường trung tuyến BM , CN của tam giác ABC cắt nhau tại điểm G. Chứng minh rằng tam giác
GMN đồng dạng với tam giác GBC và tìm tỉ số đồng dạng.
A
B C
M
N
G
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Lời giải.
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Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 4 cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ
từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB.
a) Chứng minh rằng △HDA ∽ △AHC;
b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD.
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 5. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH = 12 cm, CH = 9 cm, BH = 16 cm. Lấy M , N lần lượt
là trung điểm AH, BH.
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A
BC
H N
M
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A;
b) Chứng minh rằng MN ⊥ AC và CM ⊥ AN;
c) Tính diện tích tam giác AMN.
Lời giải.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm D, E, F như Hình 9.80 sao cho AD là phân giác của góc BAC,
DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:
a)
BD
BC
=
AB
AB + AC
, từ đó suy ra AE =
AB · AC
AB + AC
;
b) △DF C ∽ △ABC;
c) DF = D B.
A
B C
D
E
F
Lời giải.
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Bài 7. Để tính được chiều cao gần đúng của kim tự tháp Ai Cập, người ta cắm 1 cây cọc cao 1 m vuông góc với
mặt đất và đo được bóng cây cọc trên mặt đất là 1, 5 m. Khi đó chiều dài bóng của kim tự tháp trên mặt đất là
208,2 m. Hỏi kim tự tháp cao bao nhiêu mét?
Lời giải.
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Bài 8. Một xe taxi xuất phát từ điểm A để đón khách tại điểm B. Biết rằng đầu tiên người lái xe đi thẳng 3
km, sau đó rẽ vuông góc sang bên phải và đi được một đoạn 3 km nữa thì rẽ vuông góc sang trái. Người lái xe đi
thẳng tiếp 1 km nữa thì đến được điểm B. Hỏi khoảng cách giữa A và B bằng bao nhiêu?
137/144 137/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
138
Lời giải.
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Bài 9. Từ căn hộ chung cư nhà mình, bạn Lan đứng cách cửa sổ 1 m nhìn sang toà nhà đối diện thì vừa nhìn
thấy đúng tất cả 6 tầng của toà nhà đó. Biết rằng cửa sổ nhà Lan cao 80 cm và mỗi tầng của toà nhà đối diện
cao 4 m. Hỏi khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến toà nhà đối diện là bao nhiêu?
Lời giải.
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Bài 10. Trong Hình 1, cho biết
’
ABD =
’
ACB, AC = 9 cm, AD = 4 cm.
4
9
B C
A
D
a) Chứng minh tam giác △ABD ∽ △ACB.
b) Tính độ dài cạnh AB.
Lời giải.
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Bài 11.
a) Cho hình thang ABCD(AB ∥ CD), biết
’
ADB =
’
DCB (Hình 2a). Chứng minh rằng BD
2
= AB · CD.
138/144 138/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
139
D C
A B
b) Cho hình thang EF GH(EF ∥ GH),
’
HEF =
’
HF G, EF = 9 m, GH = 16 m (Hình 2b).
9
16
x
E F
GH
Tính độ dài x của HF .
Lời giải.
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Bài 12.
a) Tính khoảng cách HM của mặt hồ ở hình sau.
12 m
3 m
5 m
76
◦
76
◦
H
E
F
M
N
139/144 139/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
140
b) Tính khoảng cách MN của một khúc sông ở hình sau.
17 m
50 m
15 m
I
F E
M
N
Lời giải.
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Bài 13. Bóng của một căn nhà trên mặt đất có độ dài 6 m. Cùng thời điểm đó một cọc sắt cao 2 m cắm vuông
góc với mặt đất có bóng dài 1,5 m. Tính chiều cao ngôi nhà.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
141
M AE
N
C
B
2 m
1,5 m 6 m
Lời giải.
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Bài 14. Người ta đo khoảng cách giữa hai điểm D và K ở hai bờ một dòng sông. Cho biết KE = 90 m, KF = 160
m. Tính khoảng cách DK.
FE
D
K
90 m 160 m
Lời giải.
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Bài 15. Cho △ABC nhọn có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng
△AEB ∽ △AF C.a)
HE
HC
=
HF
HB
.b) △HEF ∽ △HCB.c)
Lời giải.
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141/144 141/144
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI – 0909 461 641
36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
142
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Bài 16. Cho △ABC nhọn có hai đường cao BM ,CN cắt nhau tại H.
a) Chứng minh △AMN ∽ △ABC.
b) Phân giác của
’
BAC cắt MN và BC lần lượt tại I và K. Chứng minh
IM
IN
=
KB
KC
.
Lời giải.
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Bài 17. Cho △ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH (H ∈ BC).
a) Chứng minh △ABH ∽ △CBA suy ra AB
2
= BH · BC.
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Chương 9. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
143
b) Vẽ HE vuông góc với AB tại E. Vẽ HF vuông góc với AC tại F .
Chứng minh AE · AB = AF · AC.
c) Chứng minh △AF E ∽ △ABC.
d) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HF tại I. Vẽ IN vuông góc BC tại N . Chứng
minh △HNF ∽ △HIC.
Lời giải.
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36. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG TÀI LIỆU TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC
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Bài 18. Quan sát hình vẽ. Vẽ vào tờ giấy tam giác DEF với EF = 4 cm,
“
E = 36
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,
“
F = 76
◦
.
25 m
A
M C
36
◦
76
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a) Chứng minh △DEF ∽ △AMC.
b) Dùng thước đo chiều dài cạnh DF của tam giác DEF . Tính khoảng cách giữa hai điểm A và C ở hai bờ
sông trong Hình 6.
Lời giải.
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