Phân loại và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức – bất phương trình

Tài liệu gồm 174 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, tóm tắt lý thuyết, phân loại và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức – bất phương trình, giúp học sinh lớp 10 tham khảo khi học chương trình Đại số 10 chương 4 (Toán 10).

219 110 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 10

Môn: Toán 10

Thông tin:

174 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 261
CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
1. Khái niệm bất đẳng thức
Các mệnh đề dạng
'' ''ab<
hoặc
ab
được gọi là bất đẳng thức.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề
""ab cd
đúng thì ta nói bất đẳng thức
cd
là bất đẳng thức hệ quả của bất
đẳng thức
ab
và cũng viết là
""ab cd
Nếu bất đẳng thức
ab
là hệ quả của bất đẳng thức
cd
và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức
tương đương với nhau và viết là
.ab cd
3. Tính chất của bất đẳng thức
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức
ab
ta chỉ cần chứng minh
0ab
Tổng quát hơn, khi so
sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của
bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau
Tính chất
Tên gọi
Điều kiện Nội dung
ab acbc
Cộng hai vế của bất đẳng thức
với một số
0c
ab acbc
Nhân hai vế của bất đẳng thức
với một số
0c
ab acbc
ac
và
cd
abcd
Cộng hai bất đẳng thức cùng
chiều
0; 0ac
ab
và
cd
ac bd
Nhân hai bất đẳng thức cùng
chiều
*
n
21 21nn
ab a b

Nâng hai vế của bất đẳng thức
lên một lũy thừa
*
n
và
0a
22nn
ab a b
0a
ab a b
Khai căn hai vế của một bất
đẳng thức
33
ab a b
Chú ý
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 262
Ta còn gặp các mệnh đề dạng
ab
hoặc
ab
Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng
thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng
ab
hoặc
ab
là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất
đẳng thức không ngặt. II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG
BÌNH NHÂN
1. Bất đẳng thức Cô-si
Định lí
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

,,0.1
2
ab
ab a b

Đẳng thức
2
ab
ab
xảy ra khi và chỉ khi ab
.
2. Các hệ quả
Hệ quả 1
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng
2
1
2, 0.aa
a

Hệ quả 2
Nếu
,
x
y
không âm và có tổng không đổi thì tích
x
y
lớn nhất khi và chỉ khi
.
x
y
Hệ quả 3
Nếu
,
x
y
không âm và có tích không đổi thì tổng
xy
nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
x
y
III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Điều kiện Nội dung
0, ,
x
xxx x
0a
x
aaxa

x
axa
hoặc
x
a
ababab

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 263
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng1:Chứngminhbấtđẳngthứcdựavàođịnhnghĩavàtínhchất
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT)
AB³
ta có thể sử dụng các cách sau:
Ta đi chứng minh
0AB-³
. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân
tích
AB- thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.
Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.
Ví dụ 1 : Cho hai số thực
,,abc
. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau
a)
22
2
ab
ab
+
£
b)
2
2
ab
ab
æö
+
÷
ç
£
÷
ç
÷
÷
ç
èø
c)

2
222
3 abc abc
d)

2
3a b c ab bc ca
Lời giải
a) Ta có
22 2 22
2()0 2ab abab ab ab+- =- ³ +³ . Đẳng thức
ab=
.
b) Bất đẳng thức tương đương với
2
0
2
ab
ab
æö
+
÷
ç
-³
÷
ç
÷
÷
ç
èø

2
22
24 0a abb ab ab (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
ab=
c) BĐT tương đương

222 222
3222abc abc abbcca 

222
0ab bc ca (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
abc==
d) BĐT tương đương
222
2223a b c ab bc ca ab bc ca

222
22 0abc abbcca

222
0ab bc ca
 (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
abc==
Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng
thức khác.
Ví dụ 2 : Cho năm số thực
,,,,abcde
. Chứng minh rằng
222 22
()abcdeabcde+++ +³ +++
.
Lời giải
Ta có :
222 22
()abcdeabcde+++ +- +++=
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 264
222 2
22 22
()()( )()
444 4
aaa a
ab b ac c ad d ae e=-++-++-++-+
22 22
()()()()0
2222
aaa a
bcde=- +- +- +- ³ đpcm.
Đẳng thức xảy ra
2
a
bcde====
.
Ví dụ 3 : Cho
1ab ³
. Chứng minh rằng :
22
11 2
1
11
ab
ab
+³
+
++
.
Lời giải
Ta có
22 2 2
112 11 12
()()
111
11 1 1
ab ab ab
ab a b
+-= - + -
+++
++ + +
22 22
22 22 22
().
11
( 1)(1 ) ( 1)(1 ) 1 1 (1 )(1 )
aba abb ab b a abbaabba
ab ab
aabbab ba ba
--- --+-
=+=-=
++
++ ++ + + + +
2
22 22
()(1) ()(1)
.0
1
(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
ababab abab
ab
ba abba
--- - -
== ³
+
++ + ++
(Do
1)ab ³
.
Nhận xét : Nếu
11b-< £ thì BĐT có chiều ngược lại :
22
11 2
1
11
ab
ab
+£
+
++
.
Ví dụ 4: Cho số thực
x
. Chứng minh rằng
a)
4
34xx+³ b)
42
54
x
xx c)
12 4 9
1
x
xxx

Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương với
4
430xx-+³



2
32 2
1301230xxxx x xx 

22
1110xx



(đúng với mọi số thực
x
)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
x
.
b) Bất đẳng thức tương đương với
42
450xx x

2
2
42 2 2
21 440 1 20xx xx x x 
Ta có


22
22
22
10, 20 1 20xx xx
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
10
20
x
x


(không xảy ra)
Suy ra

2
2
2
120xx ĐPCM.
c) Bất đẳng thức tương đương với
12 9 4
10xxxx
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 265
+ Với 1
x
: Ta có
12 9 4 12 4 5
111
x
xxx x x x x
Vì
1
x
nên
5
10,1 0xx do đó
12 9 4
10x xxx

.
+ Với
1
x
: Ta có
12 9 4 9 3 3
1111xxxx xx xx
Vì
1
x
nên
3
10x -³
do đó
12 9 4
10xxxx-+-+>
.
Vậy ta có
12 4 9
1xx xx++>+.
Ví dụ 5: Cho
,,abc là các số thực. Chứng minh rằng
a)
44
420ab ab+- +³
b)
()()
(
)
2
2
42
21 121ab ab++ + ³ +
c)
(
)
(
)
22 2 2
34211ab ab ab ba+-+³ ++ +
Lời giải
a) BĐT tương đương với
()( )
44 22 22
22420ab ab ab ab+- + - + ³
()
(
)
2
2
22
210ab ab- + -³ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1ab==.
b) BĐT tương đương với
()( )( )
442 22
21 212 210abb abab++ + +- + +³
(
)
(
)
(
)
44 22 2 2 4 2
2242 410ab ab a abb a a+- + -+ +-+³
222 2 2 2
()2( 0)( 1)ab ab a- +- -³+ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1ab==.
c) BĐT tương đương với
(
)
(
)
22 2 2
6284110ab ab ab ba+- +- ++ +³
() ()( )
22 2 22 2 2 2
4141 4141 2 0aab b bba a aabb
éùéù
- ++ ++- ++ ++-+³
êúêú
ëûëû
()()
(
)
2
2
2
22
21 21 0aab ba b-+ ++-+³- (đúng)
Đẳng thức không xảy ra.
Ví dụ 6: Cho hai số thực
,xy thỏa mãn xy³ . Chứng minh rằng;
a)
(
)
(
)
3
33
4 xy xy-³-
b)
33
34 3xx yy-+³-
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 266
a) Bất đẳng thức tương đương
(
)
(
)
(
)
3
22
40xyx xyy xy-++--³
(
)
()
(
)
(
)
2
22 2 2
40330xy x xyy xy xy x xyy
éù
éù
- ++ -- ³- + + ³
êú
ë
û
ëû
()
2
2
3
30
24
yy
xyx
éù
æö
êú
÷
ç
- ++ ³
÷
ç
êú
÷
÷
ç
èø
êú
ëû
(đúng với
xy³
) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
xy= .
b) Bất đẳng thức tương đương
33
334xy xy-³--
Theo câu a) ta có
()
3
33
1
4
xy xy-³ -
, do đó ta chỉ cần chứng minh
()
3
1
334
4
xy x y-³--
(*), Thật vậy,
BĐT (*)
(
)
(
)
3
12 16 0xy xy- - -+³
(
)
(
)
(
)
2
2280xy xy xy
éù
-- - + --³
êú
ëû
(
)
(
)
2
240xy xy-- -+³ (đúng vớixy³ )
Đẳng thức xảy không xảy ra.
Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh
Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng
buộc đặc biệt
* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng
(
)
(
)
;0aaaab a b
éù
Î--£
ëû
(
)
*
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,, ; 0**abc a b c a b cab a a a b b b
éù
Î---+---³
ëû
Ví dụ 1 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng :
222
2( )abc abbcca++< ++ .
Lời giải
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có :
2
abc acbc c+> + > . Tương tự
22
; bc ba b ca cb c+> +> cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm
Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam
giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c.
Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT
||ab c-< rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 267
Ví dụ 2 : Cho
,, [0;1]abcÎ
. Chứng minh :
222 2 2 2
1abc abbcca++£+ + +
Lời giải
Cách 1: Vì
222
,, [0;1] (1 )(1 )(1 ) 0abc a b cÎ- --³
22 22 2 2 222 2 2 2
1 ab bc ca abc a b c+ + + - ³ + + (*)
Ta có :
222 22 22 2 2 2 2 2
0; abc ab bc ca ab bc ca³++£++ nên từ (*) ta suy ra
222 222222 2 2 2
11abc abbcca abbcca+ + £+ + + £+ + +
đpcm.
Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với
(
)
(
)
(
)
222
a1 1 1 1bb cc a-+ -+ - £
Mà
,, 0;1abc
éù
Î
ëû
222
,,aabbcc£ £ £ do đó
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
111111a bb cc aabbcca-+ -+ - £ -+ -+ -
Ta chỉ cần chứng minh
(
)
(
)
(
)
1111abbcca-+ -+ - £
Thật vậy: vì
,, 0;1abc
éù
Î
ëû
nên theo nhận xét
(
)
** ta có
(
)
(
)
(
)
111 0abc a b c+- - -³
(
)
1abc abbcca++- + + £
(
)
(
)
(
)
1111abbcca-+ -+ - £
vậy BĐT ban đầu được chứng minh
Ví dụ 3 : Cho các số thực a,b,c thỏa mãn :
222
1abc++=. Chứng minh :
2(1 ) 0abcabbcca abc++++ + + + ³.
Lời giải
Vì
222
1,,[1;1]abc abc++= Î- nên ta có :
(1 )(1 )(1 ) 0 1 0a b c abcabbccaabc+++³+++++++³ (*)
Mặt khác :
2
(1 )
01 0
2
abc
abcabbcca
+++
³++++ + + ³
(**)
Cộng (*) và (**) ta có đpcm.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu
4, 5, 6abc³³³ và
222
90abc++= thì
16abc++³
Lời giải
Từ giả thiết ta suy ra
9, 8, 7abc<<£ do đó áp dụng
(
)
* ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4 9 0, 5 8 0, 6 7 0aa bb cc--£--£--£ nhân ra và cộng các BĐT cùng chiều
lại ta được:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 268
222
a 13( ) 118 0bc abc++- +++ £
suy ra
()
222
1
118 16
13
abc a b c++³ + + + =
vì
222
90abc++=
vậy
16abc++³
dấu “=” xảy ra khi 4, 5, 7abc===
Ví dụ 5: Cho ba số
,,abc thuộc
1; 1
éù
-
ëû
và không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng
42 4
2012
242
2012 2012
3
2
ab bc
ba
ca
c
++
+
+
³
+
Lời giải
Vì ba số
,,abc
thuộc 1; 1
éù
-
ëû
nên
222
0,,1abc££
Suy ra
224
(1 )(1 ) 0bba-+-³
4442
1abab+- £ (*)
Mặt khác
20 124412 20
,aabb³³ đúng với mọi ,ab thuộc 1; 1
é
ù
-
ë
û
Suy ra
20124442 2401 22
ababa b ab+- + -³ (**)
Từ (*) và (**) ta có
2012 201 422
1baab£++ hay
2012
2012 20
42
12 2012
1
1
ba
b
c
ac++
++
³
Tương tự ta có
2012
2012 20
42
12 2012
1
1
bc a
bac
+
++
+
³
và
2012
2012 20
42
12 2012
1
1
ca b
bac
+
++
+
³
Cộng vế với ta được
4 2 4 2012 2012 2012
2012 2012 201
24
2
2
3
3
ab bc ca b
b
ac
ac
++
++
+++
³
+
Hay
42 4
2012
242
2012 2012
3
2
ab bc
ba
ca
c
++
+
+
³
+
ĐPCM.
Dạng toán 2: sử dụng bất đẳng thức cauchy(côsi) để chứng minh bất đẳng thức và
tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất.
1. Phương pháp giải.
Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi:
* Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm
* BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
* Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau
* Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng
Đối với hai số:
2
2
22 22
()
2; ;
22
xy
xy
x y xy x y xy
+
æö
+
÷
ç
+³ +³ £
÷
ç
÷
÷
ç
èø
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 269
Đối với ba số:
3
333
,
33
abc abc
abc abc
æö
++ ++
÷
ç
££
÷
ç
÷
÷
ç
èø
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi
Ví dụ 1: Cho ,ab là số dương thỏa mãn
22
2ab+=
. Chứng minh rằng
a)
22
4
aba b
ba
ba
æöæ ö
÷÷
çç
++³
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
èøè ø
b)
(
)
(
)
(
)
5
22
16 1 1ab ab a b+³ + +
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
22 22
2
2. 2, 2 .
ab ab a b ab
ba ba
ba ba
ab
+³ = + ³ =
Suy ra
22
4aba b
ba
ba
ab
æöæ ö
÷÷
çç
++³
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
èøè ø
(1)
Mặt khác ta có
22 22
2221ab ab abab=+³ = £
(1)
Từ (1) và (2) suy ra
22
4
aba b
ba
ba
æöæ ö
÷÷
çç
++³
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
èøè ø
ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1ab==.
b) Ta có
(
)
(
)
(
)
5
223223
233ab a abba ab abb+=++ + + +
Áp dụng BĐT côsi ta có
()
22 22
222 4a ab b ab a b ab++³ += và
()()()()()()
32 23 3223 22
33 233 41 1aab abb aababb abba+++³ + += + +
Suy ra
()( )()()
223223 22
2331611aabbaababb aba b++ + + +³ + +
Do đó
(
)
(
)
()
5
22
16 1 1ab ab a b+³ + + ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1ab==
.
Ví dụ 2: Cho
,,abc là số dương. Chứng minh rằng
a)
111
8abc
bca
æöæöæö
÷÷÷
ççç
+++³
÷÷÷
ççç
÷÷÷
÷÷÷
ççç
èøèøèø
b)
22222 2
(1 ) (1 ) (1 ) 6abbcca abc++ ++ + ³
c)
()
3
3
(1 )(1 )(1 ) 1abc abc+++³+
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 270
d)
22 2 333
abc bac cab a b c++£++
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
111
2, 2, 2
ab c
abc
bbccaa
+³ +³ +³
Suy ra
111
8.. 8
abc
abc
bca bca
æöæöæö
÷÷÷
ççç
+++³ =
÷÷÷
ççç
÷÷÷
÷÷÷
ççç
èøèøèø
ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc==.
b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
22
122aaa+³ =, tương tự ta có
22
12,12bbcc+³ +³
Suy ra
(
)
22222 2 222
(1 ) (1 ) (1 ) 2abbcca abbcca++ ++ + ³ ++
Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
222 222
3.. 3ab bc ca abbcca abc++ ³ =
Suy ra
22222 2
(1 ) (1 ) (1 ) 6abbcca abc++ ++ + ³ . ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1abc===.
c) Ta có
(
)
(
)
(1 )(1 )(1 ) 1abc abbccaabcabc+++=+++++++
Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
()
2
33
3.. 3ab bc ca ab bc ca abc++ ³ = và
3
3abc abc++³
Suy ra
()
()
23
33 3
(1 )(1 )(1 ) 1 3 3 1a b c abc abc abc abc+++³+ + +=+ ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc==.
d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
22 22 22
,,
222
bc ac ab
abc a bac b cab c
æö æö æö
+++
÷÷÷
ççç
£££
÷÷÷
ççç
÷÷÷
÷÷÷
ççç
èø èø èø
Suy ra
22 2222
22 2
2
ab ba ac ca bc cb
abc bac cab
+++++
++£
(1)
Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có
333 333 333
22 2
,, ,
333
aab bba aac
ab ba ac
++ ++ ++
£££
33 3 333 333
222
,,
333
cca bbc ccb
ca bc cb
++ ++ ++
£££
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 271
Suy ra
()
22 2222 333
2ab ba ac ca bc cb a b c+++++£ ++
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
22 2 333
abc bac cab a b c++£++
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc==
.
Ví dụ 3: Cho
,,,abcd là số dương. Chứng minh rằng
a)
4
4
abcd
abcd
+++
³
b)
()()
33 3 3
16
abcd
abbc
bcda
æö
÷
ç
+++ + +³
÷
ç
÷
÷
ç
èø
c)
3
8
4.
()()()
abc abc
abbcca
abc
++
+³
+++
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
2, 2dab abcd c+³ +³ và
4
2. 2dab cd ab cd abc+³ =
Suy ra
4
22
44
abcd ab cd
abcd
+++ +
³³
ĐPCM.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
abcd===.
b) Áp dụng câu a) ta có
4
33 3 3 3333
4
4...
abcd abcd
bcda bcda
abcd
+++ ³ =
Suy ra
()()
33 3 3
4
.2 .2 16
abcd
abcd ab cd
bcda
abcd
æö
÷
ç
+++ + +³ =
÷
ç
÷
÷
ç
èø
ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abcd===.
c) Áp dụng câu a) ta có
()
++
=+
+++
æö
++
++
÷
ç
³=
÷
ç
÷
÷
ç
+++ +++
èø
3
3
3
4
4
3
8
3.
()()()
3
8
8
44
()()() 27()()()
3
abc abc
VT
abbcca
abc
abc
abc abc
abbcca abbcca
abc
Như vậy ta chỉ cần chứng minh
()
3
4
8
44
27( )( )( )
abc
abbcca
++
³
+++
(
)
(
)
(
)
(
)
3
827abc abbcca++³ + + + (*)
Áp dụng BĐT côsi cho ba số ta có
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 272
()()()
(
)
(
)
(
)
(
)
33
8
327
ab bc ca abc
abbcca
æö
+++++ ++
÷
ç
÷
ç
+++£ =
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Suy ra BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc==.
Nhận xét: BĐT câu a) là bất đẳng côsi cho bốn số không âm. Ta có BĐT côsi cho
n
số không âm như sau:
Cho
n số không âm , 1,2,...,
i
ai n= .
Khi đó ta có
12
12
...
...
n
n
n
aa a
aa a
n
+++
³
.
Ví dụ 4: Cho
,,abc là số dương thỏa mãn
222
3abc++=
. Chứng minh rằng
a)
222
3ab bc ca++ £
b)
222
3
4
333
ab bc ca
cab
++£
+++
Lời giải
a) Ta có
(
)
22 22
2
222 44 224
22 992abc abc ab bc cb++=+++++=
(1)
Áp dụng BĐT côsi ta có
44 2244 224 4 22
2, 2, 2ab abbc bcca ca+³ +³ +³
Cộng vế với vế lại ta được
444 222222
abcabbcca++³ + + (2)
Từ (1) và (2) ta có
22 22 2 2
3ab bc ca++ £ (3)
Áp dụng BĐT côsi ta có
222 222 2
2. 2aab aab ab+³ =, tương tự ta có
222 2222 2
2, 2b bc bc c ca ca+³ +³
Cộng vế với vế ta được
(
)
22 2222 222 2 2 2
2ab bc ca ab bc cabc a+++³ ++++ (4)
Từ giả thiết và (3), (4) suy ra
222
3ab bc ca++ £
ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1abc===.
b) Áp dụng BĐT côsi ta có
( )()()()()
2222222
333 3 3 233abcbcbc+=+-- =- +- ³ - -
()()
22 2 2 2 2
222222222
22
11 1
.
24 4
33333
23 3
bc bc b c b c b c
acbcbbaca
bc
æöæ ö
÷÷
çç
£ = £ + = +
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
+----++
èøè ø
--
Tương tự ta có
22 2 2
22222 22222
11
,
44
33
ab a b ca c a
cacbc bcbab
æöæö
÷÷
çç
£+ £+
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
++++++
èøèø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 273
Cộng vế với vế ta được
222
3
4
333
ab bc ca
cab
++£
+++
ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1abc===.
Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.
Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu
thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.
Khi gặp BĐT có dạng
xyzabc++³++
(hoặc
xyz abc³
), ta thường đi chứng minh
2xy a+³ (hoặc
2
ab x£ ), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy
ra điều phải chứng minh.
Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra
khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).
Ví dụ 1: Cho
,,abc
là số dương. Chứng minh rằng:
a)
ab bc ac
abc
cab
++ ³++
b)
22 2
111abc
abc
bca
++ ³++
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
2. 2
ab bc ab bc
b
ca ca
+³ =
Tương tự ta có
2, 2
bc ac ac ba
ca
ab bc
+³ +³.
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
()
22
ab bc ac ab bc ac
abc abc
cab cab
æö
÷
ç
++ ³ ++ ++³++
÷
ç
÷
÷
ç
èø
ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi
abc== .
b) Áp dụng BĐT côsi ta có
22
112
2.
aa
aab
bb
+³ =
Tương tự ta có
22
12 12
,
bc
bc ca
ca
+³ +³
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
22 2 22 2
111222 111abc abc
abcabc abc
bca bca
+++++³++++ ³++
ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi
abc== .
Ví dụ 2: Cho
,,abc dương sao cho
222
3abc++=. Chứng minh rằng
a)
33 33 3 3
3
ab bc ca
abc
cab
++ ³
b)
3
ab bc ca
cab
++ ³.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 274
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
33 33 33 33
3
2. 2
ab bc ab bc
bac
ca ca
+³ =
Tương tự ta có
33 33 33 33
33
2, 2
bc ca ca ab
abc a bc
ab bc
+³ +³
Cộng vế với vế ta có
()
33 33 3 3
222
22
ab bc ca
abc a b c
cab
æö
÷
ç
++ ³ ++
÷
ç
÷
ç
÷
èø
33 33 3 3
3
ab bc ca
abc
cab
++³. ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi
1abc=== .
b) BĐT tương đương với
2
9
ab bc ca
cab
æö
÷
ç
++ ³
÷
ç
÷
÷
ç
èø
()
22 2 22 2
222
29 3
ab bc ca ab bc ca
abc
cab cab
æö æö æö æö æö æö
÷÷÷ ÷÷÷
ççç ççç
+++++³++³
÷÷÷ ÷÷÷
ççç ççç
÷÷÷ ÷÷÷
÷÷÷ ÷÷÷
ççç ççç
èø èø èø èø èø èø
Áp dụng BĐT côsi ta có
22 22
2
2. 2
ab bc ab bc
b
ca ca
æö æö æöæö
÷÷ ÷÷
çç çç
+³ =
÷÷ ÷÷
çç çç
÷÷ ÷÷
÷÷ ÷÷
çç çç
èø èø èøèø
Tương tự ta có
22 22
22
2, 2a
bc ca ca ab
c
ab bc
æö æö æö æö
÷÷ ÷÷
çç çç
+³ +³
÷÷ ÷÷
çç çç
÷÷ ÷÷
÷÷ ÷÷
çç çç
èø èø èø èø
Cộng vế với vế và rút gọn ta được
22 2
3
ab bc ca
cab
æö æö æö
÷÷÷
ççç
++ ³
÷÷÷
ççç
÷÷÷
÷÷÷
ççç
èø èø èø
ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi
1abc=== .
Ví dụ 3: Cho
,,abc
là số dương thỏa mãn 3abc++=. Chứng minh rằng
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
8333abbcca a b c+++£+ ++
b)
(
)
(
)
(
)
32 32 32abcabc---£
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
()()
(
)
(
)
(
)
22
3
24
ab bc a
abbc
æö
+++ +
÷
ç
÷
ç
++£ =
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Tương tự ta có
()()
(
)
()()
(
)
22
33
,
44
ca
bcca caab
++
++£ + +£
Nhân vế với vế lại ta được
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
64 3 3 3abbcca a b c
éùéù
+++£ + ++
ëûëû
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 275
Suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
8333abbcca a b c+++£+ ++ ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi
1abc===
.
b) * TH1: Với
(
)
(
)
(
)
32 32 32 0abc---£: BĐT hiển nhiên đúng.
* TH2: Với
(
)
(
)
(
)
32 32 32 0abc--->:
+ Nếu cả ba số
(
)
(
)
(
)
32,32,32abc---
đều dương. Áp dụng BĐT côsi ta có
()()
(
)
(
)
2
2
32 32
32 32
2
ab
ab c
æö
-+-
÷
ç
÷
ç
--£ =
÷
ç
÷
÷
ç
èø
, tương tự ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
22
32 32 ,32 32bca cab--£--£
Nhân vế với vế ta được
(
)
(
)
(
)
2
222
32 32 32abcabc
éù
---£
ëû
Hay
(
)
(
)
(
)
32 32 32abcabc---£
.
+ Nếu hai trong ba số
(
)
(
)
(
)
32,32,32abc--- âm và một số dương. Không mất tính tổng quát giả sử
32 0,32 0ab-< -<
suy racó 62 2 0 0ab c--<<(không xảy ra)
Vậy BĐT được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra
1abc===
.
Ví dụ 4: Cho
,,abc
là số dương. Chứng minh rằng
22 2
2
abcabc
bcca ab
++
++³
++ +
.
Lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có :
22
2.
44
abc abc
a
bc bc
++
+³ =
++
.
Tương tự ta có
22
;
44
bca cab
bc
ca ab
++
+³ +³
++
.
Cộng ba BĐT này lại với nhau ta đươc :
22 2
2
abcabc
abc
bcca ab
++
+++ ³++
++ +
22 2
2
abcabc
bcca ab
++
++³
++ +
Đẳng thức xảy ra
abc== .
Lưu ý :Việc ta ghép
2
4
abc
bc
+
+
+
và đánh giá như trên là vì những lí do sau:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 276
Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số), chẳng hạn đại
lượng
2
a
bc+
khi đó ta sẽ áp dụng BĐT côsi cho đại lượng đó với một đại lượng chứa bc+ .
Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở BĐT côsi là khi hai số đó bằng nhau. Ta dự đoán dấu
bằng xảy ra khi
abc== khi đó
2
2
aa
bc
=
+
và 2bc a+= do đó ta ghép như trên.
Ví dụ 5: Cho
,,abc là số dương thỏa mãn
3abc++=
. Chứng minh rằng:
a)
32
2
111
abc
bca
++ ³
+++
b)
33 3
3
3332
abc
bca
++ ³
+++
Lời giải
a) Đặt
111
abc
P
bca
=++
+++
Áp dụng BĐT côsi ta có
(
)
(
)
3
21 21
32
3..
442
11 11
ab ab
aa aa a
bb bb
++
++ ³ =
++ ++
Tương tự ta có
(
)
(
)
21 21
32 32
,
42 42
11 11
bc ca
bb bcc c
cc aa
++
++ ³ ++ ³
++ ++
Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được
()()
232
2
42
Pabbccaabc abc++++++³ ++
()
15 2 2
88
Pabbcca³ - ++
(vì 3abc++=)
Mặt khác ta có
(
)
(
)
2
3abc abbcca++ ³ + + (theo ví dụ 1)
Do đó
3ab bc ca++ £
Suy ra
15 2 2 3 2
.3
88 2
P³ - =
ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
1abc===.
b) Đặt
33 3
333
abc
Q
bca
=++
+++
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 277
Ta có
(
)
(
)
(
)
222
333
abc
Q
ab bc ca
=++
+++
Áp dụng BĐT côsi ta có
(
)
(
)
4324343ab ab a b+= +£++
Suy ra
(
)
22
4
43
3
aa
ab
ab
³
++
+
, tương tự ta có
(
)
(
)
222 2
44
,
43 43
33
bbcc
bc ca
bc ca
³³
++ ++
++
Cộng vế với vế lại ta được
222
444
434343
abc
QL
ab bc ca
³++=
++ ++ ++
Áp dụng BĐT côsi ta có
() ()
22
41 41
432 .43
4 3 16 4 3 16
aa
ab ab a
ab ab
+++³ ++=
++ ++
Tương tự ta có
() ()
22
41 41
43, 43
4 3 16 4 3 16
bc
bc b ca c
bc ca
+++³ +++³
++ ++
Cộng vế với vế lại ta được
()
1
59
16
Labcabc
éù
++++³++
ëû
Vì
3abc++= nên
3
2
L ³
suy ra
3
2
Q ³
ĐPCM
Đẳng thức xảy ra
1abc===.
Ví dụ 6: Cho
,,abc là số dương thỏa mãn 1abc = . Chứng minh rằng
()
222
111
32abc
abc
+++³ ++
.
Lời giải
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
11 11 11 1 1 10ab bc ca a b c
éùéùéù
-- -- --=- - -³
ëûëûëû
Do đó không mất tính tổng quát giả sử
(
)
(
)
(
)
(
)
110 1 2 12a b ab a b ab c a b c--³+³+ ++³++
Do đó ta chỉ cần chứng minh
()
222
111
32 1ab c
abc
+++³ ++
()
222
111
12ab c
abc
+++³ +
Áp dụng BĐT côsi ta có
22 2
11 2 1 2
2, 1 2cab
ab c
ab c
+³ = +³=
(do 1abc = )
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 278
Cộng vế với vế ta được
()
222
111
12ab c
abc
+++³ +
ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
1abc===.
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a)
(
)
2
1
()
2
x
fx
x
-
=
-
với 2x > b)
(
)
2
1
() 2
1
gx x
x
=+
+
với 1x >-
c)
()
3
hx x
x
=+
với 2x ³ d)
()
2
1
2kx x
x
=+
với
1
0.
2
x<£
Lời giải
a) Ta có
2
21 1
() 2 2
22
xx
fx x
xx
-+
==-++
--
Do
2x > nên
1
20, 0
2
x
x
-> >
-
. Áp dụng BĐT côsi ta có
()
11
222.2
22
xx
xx
-+ ³ - =
--
Suy ra
(
)
4fx ³
Đẳng thức xảy ra
()
2
1
2211
2
xxx
x
-= - ==
-
(loại) hoặc 3x = (thỏa mãn)
Vậy
(
)
min 4fx = khi và chỉ khi 3x = .
b) Do
1x >-
nên
10x +>
. Áp dụng BĐT côsi ta có
()()
(
)
()()
(
)
3
22
11
() 1 1 2 3 1. 1. 2 1
11
gx x x x x
xx
=++++ -³ + + -=
++
Đẳng thức xảy ra
(
)
()
3
2
1
1110
1
xxx
x
+= + ==
+
(thỏa mãn)
Vậy
(
)
min 1gx = khi và chỉ khi 0x = .
c) Ta có
()
33
44
xx
hx
x
æö
÷
ç
=+ +
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Áp dụng BĐT côsi ta có
33 33
2. 3
44
xx
xx
+³ =
Mặt khác
2x ³ suy ra
()
33 2 7
3
44 42
xx
hx
x
æö
÷
ç
=+ +³+=
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 279
Đẳng thức xảy ra
33
2
4
2
x
x
x
x
ì
ï
ï
=
ï
=
í
ï
ï
=
ï
î
Vậy
()
7
min
2
hx =
khi và chỉ khi 2x = .
d) Ta có
()
22
17
88
kx x x
xx
=++ +
Áp dụng BĐT côsi ta có
3
22
113
3..
2
88
xx xx
xx
++ ³ =
Mặt khác
2
177
0
22
8
x
x
<£ ³
suy ra
()
37
5
22
kx ³+=
Đẳng thức xảy ra
2
1
1
8
1
2
2
x
x
x
x
ì
ï
ï
=
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
Vậy
(
)
min 5kx = khi và chỉ khi
1
2
x =
.
Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa
Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra(để tách ghép cho hợp lí) chúng ta cần đưa tham số vào rồi
chọn sau sao cho dấu bằng xảy ra.
Ví dụ 1: Cho
,,abc là số dương thỏa mãn
222
1abc++=. Tìm giá trị lớn nhất của
(
)
(
)
12 12Aabc=+ +
Phân tích
Rõ ràng ta sẽ đánh giá biểu thức
A để làm xuất hiện
222
abc++
.
Trước tiên ta sẽ đánh giá
a qua
2
a
bởi
2
22
22
a
am ma a m
m
+³ £+
(với
0m >
)
Do
,bc
bình đẳng nên dự đoán dấu bằng
A
đạt giá trị nhỏ nhất khi
bc=
nên ta đánh giá
22
2bc b c£+.
Suy ra
()
2
22
11
a
Am bcB
m
æö
÷
ç
£++ ++=
÷
ç
÷
ç
÷
èø
. Tiếp tục ta sẽ sử dụng BĐT côsi dưới dạng
2
2
xy
xy
æö
+
÷
ç
£
÷
ç
÷
÷
ç
èø
để là xuất hiện
222
abc++ nên ta sẽ tách như sau
()()
(
)
(
)
2
22 22
22 22
1
11
1
2
amm bc
Bammbc
mm
æö
+ + +++
÷
ç
÷
ç
=++++£
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Suy ra
()
2
2
1
A2
4
mm
m
£++
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 280
Dấu bằng xảy ra khi
22 22
,, 1ambca m m b c==++=++ và
222
1abc++=.
Từ đây ta có
2
3
m =
. Do đó ta có lời giải như sau:
Lời giải
Áp dụng BĐT côsi ta có
2
2
44 3 2
2
93 2 3
a
aaa+³ £ +
và
22
2bc b c£+
Suy ra
()
2
22
32
11
23
a
Abc
æö
÷
ç
£++ ++
÷
ç
÷
ç
÷
èø
Áp dụng BĐT côsi ta có
() ()
2
222
2
22 2 22
10
1
32 3 10 3 98
9
11 1
23 2 9 2 2 27
abc
a
bc a bc
æö
÷
ç
++++
÷
ç
æö
æö
÷
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
++ + + = + + + £ =
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
ç
÷
ç÷
ç
÷
èø
èø
ç
÷
÷
ç
÷
ç
èø
Suy ra
98
A
27
£
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
222
222
2
3
2
3
10
5
1
9
18
1
a
a
bc
abc
bc
abc
ì
ï
ï
=
ï
ì
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
=
ï
ï
ïï
íí
ïï
ïï
+=++
==
ïï
ïï
ï
î
ï
ï
++=
ï
ï
î
Vậy
98
max
27
A =
khi và chỉ khi
2
3
a =
và
5
18
bc==
.
Ví dụ 2: Cho
,,abc
là số dương thỏa mãn
2
243 68abc++ =. Tìm giá trị nhỏ nhất của
223
Aa b c=++.
Phân tích
Ta cần đánh giá biểu thức
A qua biểu thức
2
243abc++ . Do đó ta sẽ cho thêm vào các tham số vào
và đánh giá như sau (
,,mnp
dương)
22 22
2, 2am ambn bn+³ +³ và
33
32
43
22
cc
ppc++ ³
Suy ra
223 2 2 3
42 23a b c m n p am bn pc+++ + + ³ + + (*)
Để
2
223am bn pc++
có thể bội số của
2
243abc++ thì
223
243 2
mnp n
mp====
Mặt khác dấu bằng ở BĐT (*) xảy ra khi
,,2ambnc p===
Hay
(
)
(
)
2
,2,2 2 4.2 32 68ambmcm m m m== =+ + =
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 281
2
12 10 68 0 2mm m+-==
(nhận) hoặc
17
6
m =-
(loại)
Suy ra
2, 4pn== do đó ta có lời giải như sau
Lời giải
Áp dụng bĐT côsi ta có
22
44, 168aab b+³ + ³ và
33
2
32 6
22
cc
c++³
Cộng vế với vế ta được
223 2
52 4 8 6abc abc+++ ³ + + , kết hợp với
2
243 68abc++ =
Suy ra
223
84abc++³
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2, 4, 4abc===
Vậy
min A 84 2, 4, 4abc== = =.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a)
2
3
3
1
xx
A
x
-+
=
-
với 1x <
b)
22
421 310Bxx xx=-+ + --+ + với 25x-£ £.
Lời giải
a) Ta có
(
)
(
)
2
2
3
11
xx
A
xx x
-+
=
-++
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
()
()
()
(
)
2
2
22
21 1
11 3
1121.1
2
22 22
xxx
xx
xx x x x x
-+++
-+
-++= - ++£ =
Suy ra
2
2
3
22
3
22
xx
A
xx
-+
³=
-+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
()
22
313
21 1 3 1 0
2
xxx x x x
-
-=+++-==
Vậy
1
min A 2 2
x <
= khi
313
2
x
-
=
b) Ta có
22
11 11
( 3)(7 ) ( 2)(5 )
421 310
xx
B
xxxx
xx xx
++
==
+-++-
-+ + +-+ +
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 282
Với
25x-£ £
thì 11 ; 3 ; 7 ; 2 ; 5xx xx x++-+- là các số không âm nên theo BĐT côsi ta
có :
11(26)(7)13
(3)(7) (26)(7)
2
22 22
xxx
xx xx
æö
++- +
÷
ç
+-= +-£ =
÷
ç
÷
÷
ç
èø
(1)
11(24)(5)9
(2)(5) (24)(5)
2
22 22
xxx
xx xx
æö
++- +
÷
ç
+-= +-£ =
÷
ç
÷
÷
ç
èø
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
11
( 3)(7 ) ( 2)(5 )
2
x
xxxx
+
+-++-£
, từ đó ta có 2B ³ .
Dấu bằng xảy ra
(1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng
1
3
x=
.
Vậy
25
1
min 2
3
x
Bx
-££
==.
Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu.
Ví dụ 1: Cho ,,abc là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của
222
bc ca ab
P
abcbcacab
=++
+++
.
Lời giải
Áp dụng BĐT côsi ta có
11
11
22
22
bc a a
abc
abc abc
æöæö
÷÷
çç
=- £-
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
++
èøèø
++
Tương tự ta có
11
1, 1
22
22
ca b ab c
abc abc
bca cab
æö æö
÷÷
çç
£- £-
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
++ ++
èø èø
++
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
1
31
2
abc
P
abcabcabc
æö
÷
ç
£- - - =
÷
ç
÷
÷
ç
++ ++ ++
èø
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc==
Vậy
min 1Pabc===
Ví dụ 2: Cho
,,abc
là các số thực không âm thỏa mãn 3abc++=. Chứng minh rằng
a)
22 2
3
2
111
abc
bca
++ ³
+++
.
b)
222
33 3
1
222
abc
abbcca
++ ³
+++
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 283
()
22
22
22 2
1
22
11 1
abb
aababab
aaa
b
bb b
+-
==-³-=-
++ +
Tương tự ta có
2
2
1
bbc
b
c
³-
+
và
2
2
1
cca
c
a
³-
+
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
22 2
3
22
111
a b c abbcca abbcca
abc
bca
++ ++
++ ³++- =-
+++
Mặt khác ta có
(
)
(
)
2
33abc abbcca abbcca++ ³ + + + + £.
Do đó
22 2
33
3
22
111
abc
bca
++ ³-=
+++
ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1abc===
b) Theo bất đẳng thức Côsi ta có :
()
33
3
232
33
3
6
22
22
3
22
3
aa b ab
aabba
aa
ab ab
ab
+-
=³-=-
++
.
Tương tự ta có
33
22
33
22
,
33
22
bcbcac
bc
bc ca
³- ³-
++
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
()
222
333
222
33 3
2
3
222
abc
abc ba ac cb
abbcca
++ ³++- ++
+++
Mặt khác
3abc++=
do đó ta chỉ cần chứng minh:
333
22 2
3ba cb ac++ £.
Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi ta có :
()
3
2
12
.1
33
ab b
ba ba a
+
£++=
Tương tự ta có
33
22
22
,
33
bc c ca a
cb ac
++
££
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có:
()()
333
22 2
222 2 1
3333 3
ab b bc c ca a
ba cb ac ab bc ca a b c
+++
++ £ + + = +++++
Từ đó suy ra:
333
22 2
21
.3 .3 3
33
ba cb ac++ £+=
ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1abc===.
Ví dụ 3: Cho
,,abc là các số thực không âm thỏa mãn
222
1abc++=.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 284
Chứng minh rằng
1
111
cba
ab ac bc
++³
+++
Lời giải
Đặt
111
cba
P
ab ac bc
=++
+++
Áp dụng BĐT côsi ta có
(
)
(
)
11 2 4
2
ca cb
cabcabc cacb
ccc c
ab ab
ab
+
=- ³- =- ³-
++
Tương tự ta ta có
,
1414
b ba bc a ab ac
ba
ac bc
++
³- £-
++
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
2
ab bc ca
Pabc
++
³++-
Mặt khác
(
)
(
)
2
222
112abc abc abbcca++= ++ =+ ++
(*)
Hay
(
)
2
1
2
abc
ab bc ca
++ -
++ =
Suy ra
(
)
2
(1)(3)
1
4
1
4
abc a
abc
Pa
b
b
c
c
++ -
³++-
++- ---
+=
(1)
Từ giả thiết ta có
,, [0;1] 3 0abc a b cÎ---³ (2)
Và từ (*) suy ra
1abc++³
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
1P ³ . ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a, b, c có một số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0.
Dạng 3: đặt ẩn phụ trong bất đẳng thức.
1. Phương pháp giải.
Điều quan trọng trong kĩ thuật này là phát hiện ra ẩn phụ (ẩn phụ có thể là
(
)
(
)
(
)
,, , ,, , ,,xfabcygabczhabc===
hoặc là chỉ một ẩn phụ
(
)
;;tfabc=
). Ẩn phụ có
thể có ngay trong biểu thức của bất đẳng hoặc qua một số phép biến đổi, đánh giá.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho các số dương
,,.abc
a) Chứng minh rằng
68 32
7
2
ab b c a bc
abc ab bc
++++
++ ³
++ + +
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 285
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
4a 16
ab bc ca
P
abcbc ca b
++ +
=+ +
++ ++ ++
.
Lời giải
a) Đặt
,2,x abcy abz bc=++ = + =+
Suy ra
,2 2,2axzb xy zc xyz=- =- ++ = --
Bất đẳng thức trở thành
424
7
xyz x y zxy
xyz
-+ + - + +
++³
44
12 7
yz x zxy
xx y y zz
- + + + - + + + ³
44z
10
yx zx y
xy xz yz
æöæöæö
÷÷ ÷
ççç
+ +++ +³
÷÷ ÷
ççç
÷÷ ÷
÷÷ ÷
ççç
èøèøèø
(*)
Áp dụng BĐT côsi ta có
44z
4, 2, 4
yx zx y
xy xz yz
+³ +³ +³
Suy ra BĐT (*) đúng. ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
2
22
2
xy
xz
xy z
zy
ì
=
ï
ï
ï
ï
=
==
í
ï
ï
=
ï
ï
î
suy ra không tồn tại ,,.abc
Dấu đẳng thức không xảy ra.
b) Đặt
,4,16xabcybc azca b=++ =++ =++
Suy ra
21 5
,,
315 15
yx zx x yz
abc
-- --
===
Khi đó ta có
65 4 16
15 3 15
xyz xy xz
P
xyz
-+ + - -
=++
4164
3315155
yxz x
P
xy y z
=+++-
Áp dụng BĐT côsi ta có
44z16 8
,
333151515
yx y
xy y z
+³ + ³
Suy ra
48416
3155 15
P ³+ -=
, đẳng thức xảy ra
55
42
37
bc
xyza====
Vậy
16
min
15
P =
khi và chỉ khi
55
37
bc
a ==
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 286
Ví dụ 2: Cho
,,abc
là ba cạnh của tam giác có chu vi là
2p
. Chứng minh rằng
abcbccaab
pa pb pc pa pb pc
+++
++³ + +
--- - - -
Lời giải
Đặt
;;xpaypbzpc=- =- =-suy ra ;;ayzbzxcxy=+ =+ =+.
Do
,,abc
là ba cạnh của tam giác nên
,,xyz
dương
Bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng:
222
yz zx xy yz zx xy
xyz x y z
+++ + + +
+ + ³+ ++ ++
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
42 2 4 6
yz yz yz
xxx
æö
+++
÷
ç
+£+ +=+
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Tương tự ta có
42 6,42 6
zx zx xy xy
yy z z
++ ++
+£+ +£+
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
42 2 2 18
yz zx xy yz zx xy
xyzxyz
æö
++++++
÷
ç
÷
+++++ £+++
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh
1
18
4
yz zx xy yz zx xy
xyz xyz
æö
+++ +++
÷
ç
++³ +++
÷
ç
÷
÷
ç
èø
6
yz zx xy
xyz
+++
++³.
Ta có
yzzxxy yx yz xz
x y z xyzyzx
æöæöæö
++ +
÷÷÷
ççç
++=+++++
÷÷÷
ççç
÷÷÷
÷÷÷
ççç
èøèøèø
Áp dụng BĐT côsi ta có
2. 2, 2, 2
yx yx yz xz
xy xy zy zx
+³ = +³ +³
Suy ra
6
yz zx xy
xyz
++ +
++³. ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc== hay tam giác đều.
Nhận xét : Đối với BĐT có giả thiết
,,abc là ba cạnh của tam giác thì ta thực hiện phép đặt ẩn phụ
,,
22 2
abc abc abc
xyz
+- -+ -++
=== thì khi đó ;;ayzbzxcxy=+ =+ =+ và
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 287
,,xyz dương. Ta chuyển về bài toán với giả thiết ,,xyz dương không còn ràng buộc là ba cạnh của tam
giác.
Ví dụ 3: Cho
,,xyz
là số dương. Chứng minh rằng
()
3
333
1590
23
1331
xyz xyz++³ ++
Lời giải
Ta có BĐT
333
23
xyz
xyz xyz xyz
æöæöæö
÷÷÷
ççç
+ + ³
÷÷÷
ççç
÷÷÷
÷÷÷
ççç
++ ++ ++
èøèøèø
Đặt
,, ,,
xyz
abc abc
xyz xyz xyz
===
++ ++ ++
dương và
1abc++=
BĐT trở thành
333
1590
23
1331
abc++³
Áp dụng BĐT côsi ta có
33
3
6618
11 11 11
aa
æö æö
÷÷
çç
++³
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
èø èø
,
33
3
3318
22 2
11 11 11
bb
æö æö
÷÷
çç
++³
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
èø èø
,
33
3
2218
33 3
11 11 11
cc
æö æö
÷÷
çç
++³
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
èø èø
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
()
333
588 18 18
23
1331 11 11
abc abc+++ ³ ++=
Suy ra
333
1590
23
1331
abc++ ³
.
Nhận xét: Phương pháp đặt ẩn phụ trên được áp dụng khi BĐT là đồng bậc(Người ta gọi là phương pháp
chuẩn hóa)
Ví dụ 4: Cho
,,xyz là số dương thỏa mãn
3
2
xyz++£
Chứng minh rằng
11115
2
xyz
xyz
+++++ ³
.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
3
111 1
3
xyz xyz
++³
và
3
3xyz xyz++³
nên
111 9
xyzxyz
++³
++
Suy ra
111 9
xyz xyz
xyz xyz
+++++ ³+++
++
Đặt
3
0
2
txyz t=++<£
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 288
Khi đó ta chỉ cần chứng minh
9915
2
xyz t
xyz t
+++ =+³
++
Áp dụng BĐT côsi ta có
9927 92715
2.
44 4 32
4.
2
tt t
ttt t
+=+ + ³ + =
ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
2
xyz===
.
Ví dụ 5:
Cho ba số thực dương
,,abc thỏa mãn
111
1
222abc
++=
+++
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
3
4
Pabc
abc
=+++
.
Lời giải
Ta có
111
14
222
abcabbcca
abc
++==+++
+++
Áp dụng BĐT côsi ta có
(
)
2
3
3ab bc ca abc++ ³
Suy ra
(
)
2
32
3
433abc ab bc ca abc abc t t=+++³+ =+
, với
3
tabc=
.
(
)
(
)
2
32
340 1 2 0 1tt t t t+ -£- + ££
Cũng theo BĐT côsi ta có
3
33
44
3Pabc abc
abc abc
=+++ ³ +
Suy ra
431
33Pt t
ttt
æö
÷
ç
³+= ++
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Áp dụng BĐT côsi ta có
33
323.6tt
tt
+³ =
, mặt khác
1
11t
t
£³
Do đó
4
37Pt
t
³+³
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1t = hay 1abc===
Vậy
min 7 1Pabc====
Ví dụ 6: Cho
, , xyz
dương thỏa mãn
111
111 8
xyz
æöæöæö
÷÷÷
ççç
+++=
÷÷÷
ççç
÷÷÷
÷÷÷
ççç
èøèøèø
.
Tìm giá trị lớn nhất của
(
)
222
2
14
415
xyz xyz
P
xyz xyz
+++
=
++ +
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 289
Lời giải
Ta có
111
111 881xyz x y z xy yz zx xyz
xyz
æöæöæö
÷÷÷
ççç
+++==+++++++
÷÷÷
ççç
÷÷÷
÷÷÷
ççç
èøèøèø
(
)
(
)
(
)
2
222
14 2 2 1xyz xyz xyz xyz+++ =++ + +++
Áp dụng BĐT côsi ta có:
()
1118
81 1 1 12xyz
xyz
xyz
æöæöæö
÷÷÷
ççç
=+ + + ³ ³
÷÷÷
ççç
÷÷÷
÷÷÷
ççç
èøèøèø
Từ (1) và (2) ta có
(
)
(
)
(
)
2
2
22
22
22
415
415
xyz xyz
tt
P
t
xyz
++ + ++ +
++
£=
+
++ +
với 0xyz t++=>.
Xét
(
)
2
22
222
3
221 69
0
3
415 1245 1245
t
tt tt
ttt
-
++ -+-
-= =- £
+++
Suy ra
2
2
221
3
415
tt
t
++
£
+
do đó
1
3
P £
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3t =
hay
1xyz===
Vậy
1
max
3
P =
khi và chỉ khi 1xyz===
Dạng 4: sử dụng bất đẳng thức phụ.
1. Phương pháp giải.
Điều quan trọng dạng toán này là cần phát hiện ra được bất đẳng thức phụ. Bất đẳng thức phụ có thể là
những BĐT cơ bản đã có hoặc là chúng ta từ đặc điểm của BĐT cần chứng minh chúng ta dự đoán và đưa ra
BĐT phụ từ đó vận dụng vào bài toán.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho ,,abc là số dương. Chứng minh rằng:
a)
33 3
abcabc
abc
bca
++
++ ³
b)
33 33 3 3
1111
abc
ababcbcabccaabc
++ £
++ ++ ++
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh
33 2 2
ab abba+³ + .
BĐT tương đương với
332 2 2 2
0()()0ababba aabbba+- - ³ -+ -³
2
()()0abab- +³ (đúng với mọi 0, 0ab>> )
33 2 2
ababba+³ +. Đẳng thức xảy ra khi ab= .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 290
a) Ta có
33 2 2
322
111a
ab abba
ab
ba b
+³ + + ³+
Hoàn toàn tương tự ta có
32 2 32 2
111 111
,
bc
bc ac
cb c ac a
+³+ +³+
Cộng vế với vế rút gọn ta được
33 3
111abc
abc
bca
++ ³++
Hay
33 3
abcabc
abc
bca
++
++ ³
, đẳng thức xảy ra khi abc==.
b) Theo bài toán trên ta có :
33 2 2
()ab abbaabab+³ + = +
33
33
11
()
()()
c
ababcababc
ababc abcabc
ababc
++ ³ ++ £ =
++ ++
++
Tương tự :
33 3 3
11
;
() ()
ab
abc a b c abc a b c
bcabc caabc
££
++ ++
++ ++
Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi
abc==.
Ví dụ 2: Cho
,ab là các số thực. Chứng minh rằng:
a)
2
3( 1) 1 3ab ab++ +³ .
b)
(
)
33 2 2
6
2
64 ( )aa b bba+£+
Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức
2
2
ab
ab
æö
+
÷
ç
£
÷
ç
÷
÷
ç
èø
nên ta chứng minh
22
3
3( 1) 1 ( )
4
ab ab++ +³ +
(*)
Thật vậy :
22
(*) 12( ) 24( ) 16 3( )ab ab ab++++³+
22
9( ) 24( ) 16 0 (3 3 4) 0ab ab a b++ ++³++³(đúng) ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
3
ab==-
.
b) Dễ thấy bất đẳng thức đúng khi
0ab £ .
Xét
0ab > . Áp dụng BĐT
2
2
ab
ab
æö
+
÷
ç
£
÷
ç
÷
÷
ç
èø
ta có
()
2
2
22
33 2 2
6
22 2
2
2
1
()
64 ( ) (62 16
22
)
ab ab a b
a b ab abba abab
éù
æö
++
÷
ç
éù
êú
=£ =+
÷
ç
÷
ëû
÷
ç
êú
èø
ë
+
û
+
+
Suy ra
(
)
33 2 2
6
2
64 ( )aa b bba+£+
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 291
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ab=
.
Ví dụ 3: Cho
a
là số dương và
b
là số thực thỏa mãn
22
5ab+=
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
3
2
21
2
aa
Pb
a
++
=-
.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức
()()
(
)
2
222 2
abcd acbd++³+(*), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ad bc= .
Ta có
(
)
(
)
(
)
2
22
14 25 2 2 5ab ab ab++=³++£
Suy ra
25ba-³-
Do đó
33
22 2
2121 11
2535
aa aa
Pbaa
a
aa a
++ ++
=-³+-=++-
(1)
Áp dụng BĐT côsi ta có
2
11
2, 3aaa
a
a
+³ ++ ³
Do đó
2
11
35a
a
a
++ ³
(2)
Từ (1) và (2) suy sa
0P ³ . Đẳng thức xảy ra khi 1, 2ab==.
Vậy
min 0 1, 2Pab== =
.
Nhận xét: Bất đẳng thức (*) là bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số. Ta có thể tổng quát bất đẳng thức
Cho
2n số
12 12
, ,.., , , ,...,
nn
aa abb b
. Khi đó ta có bất đẳng thức
222 222 2
11 22 1 2 1 2
( ... ) ( ... )( ... )
nn n n
ab ab a b a a a b b b+++ £+++ +++.
Ví dụ 4: Cho a, b, c dương thỏa mãn
3abc++= . Chứng minh rằng
a)
333
3
abc
bc ca ab
++³
b)
222
222
111
abc
abc
++³++
Lời giải
a) Áp dụng BĐT
222
abcabbcca++³ ++ này hai lần ta có :
444 22 22 22 222222 2 2 2
() () () () () ()a b c a b c ab bc ca ab bc ca++= + + ³ + + = + + ³
.. . ( )3ab bc bc ca ca ab abc a b c abc³++ = ++=(vì 3abc++= )
Suy ra
444
3
abc
abc
++
³ hay
333
3
abc
bc ca ab
++³ ĐPCM.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 292
Đẳng thức xảy ra
abc==
b) Áp dụng
222
abcabbcca++³ ++ ta có
222
111 111 3
ab bc ca abc
abc
++³ ++ =
Do đó ta cần chứng minh
()
222 222
3
3abc abcabc
abc
³++ ++ £
(*)
Lại áp dụng
(
)
(
)
2
3abc abbcca++ ³ + + (ví dụ 1) ta có
()()
(
)
2
2
3
9
ab bc ca
ab bc ca abc a b c abc
++
++ ³ ++ £
(**)
Áp dụng bất đẳng thức
3
3
abc
abc
æö
++
÷
ç
£
÷
ç
÷
÷
ç
èø
và (**) ta có
()
()
()
()
3
2
2
222
222
1
3
993
ab bc ca a b c
abc
abc a b c
æö
++ ++
++
÷
ç
÷
ç
÷
++ £ £ =
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Vậy BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM..
Đẳng thức xảy ra
abc==.
Ví dụ 5: Cho
,,abc
là số dương. Chứng minh rằng
a)
1111111
()
222 24abc a bc ab c abc
++£++
++ + + ++
b)
111 1 1 1
3332 2 2a bb cc a abca bcab c
++ ³ + +
+ + + ++++++
lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có:
2
11 1
()( )2.2 4
11 1
2
ab ab
ab ab
ab ab
ab ab
ü
ï
+³
ï
ï
ï
+ +³ =
ý
ï
+³
ï
ï
ï
þ
Suy ra
11 4
ab ab
+³
+
(*). Đẳng thức xảy ra
ab=
.
a) Áp dụng BĐT (*) ta có:
111111211
()()
2()()4 16abc ab ac abac abc
=£+£++
++ + + + + +
Tương tự ta có
1112111112
(); ()
216 216abcabcabcabc
£++ £++
++ ++
Cộng ba BĐT trên ta có được đpcm. Đẳng thức xảy ra
abc==.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 293
b) Áp dụng BĐT (*) ta có:
11 4 2
322422ababc abcabc
+³ =
+++ ++ ++
.
Tương tự
11 211 2
;
32 2 3 2 2bcabcabccaabc abc
+³ +³
+ +++++ ++ ++
Cộng ba BĐT trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra
abc==.
Ví dụ 6: Cho
,,abc dương thỏa mãn 1abc++=. Chứng minh rằng
a)
3
1114
abc
abc
++£
+++
.
b)
222
1111
30
ab bc ca
abc
+++³
++
Lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có :
3
3
3
3
3
111 1
()( )3.39
111 1
3
abc abc
abc abc
abc
abc
abc
abc
ü
ï
++³
ï
ï
ï
++ ++³ =
ý
ï
++³
ï
ï
ï
þ
Suy ra
111 9
abcabc
++³
++
(*) . Đẳng thức xảy ra abc==.
a) Ta có BĐT
11 11 11 3
1114
abc
abc
+- +- +-
++£
+++
11131119
3( )
1114 1114abc abc
- + + £ + + ³
+++ +++
.
Áp dụng BĐT (*) ta có
111 9 9
111 34abcabc
++³ =
+++ +++
đpcm.
Đẳng thức xảy ra
1
3
abc===
.
b) Áp dụng BĐT (*) ta có :
111 9
ab bc ca ab bc ca
++ ³
++
222 222
1111 1 9
ab bc ca ab bc ca
abc abc
+++³+
++
++ ++
222
1117
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
abc
=+++
++ ++ ++
++
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 294
Mặt khác :
2
117
() 21
33
ab bc ca a b c
ab bc ca
++ £ ++ = ³
++
222 222
111 9
9
2( )
ab bc ca ab bc ca
abc abc abbcca
++³ =
++ ++
++ +++ ++
Suy ra :
222
1111
921 30
ab bc ca
abc
+++³+=
++
đpcm.
Đẳng thức xảy ra
1
3
abc===
.
Ví dụ 7: Cho
,,abc là các số thuộc 0;1
éù
ëû
thỏa mãn
444
1236
7
454545abc
++=
+++
.
Tìm giá trị lớn nhất của
23
Pabc=
Lời giải
Ta chứng minh bất đẳng thức sau
Với ,xy thuộc [0,1], ta luôn có
44 22
11 2
45454 5xyxy
+£
++ +
(*)
Thật vậy, BĐT (*)
()()()()
44 22 4 4
2 2 54 5 4 54 5xy xy x y++ +£+ +
()( )
44 22 4 4 22
810 54 0xy xy x y xy- ++- ³
22 2 22
(5 4 )( ) 0xy x y- - ³ (đúng với ,[0,1]xyÎ )
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy= .
Áp dụng BĐT (*) ta có:
44 2244 22
11 211 2
,
45454 545454 5acacbcbc
+£ +£
++ +++ +
Suy ra
444 2222 2
112 2 2 4
4545454 54 54 5abcacbcabc
++£ + £
+++ + + +
(1)
Và
4242
11 2 11 2
,
77
45 5
4. 5 4. 5
22
bbcc
+£ +£
++
++
Suy ra
44 2 2
1122 2 4
7
4545
4. 5
4. 5 4. 5
2
22
bc
bc b c
++£+£
++
+
++
(2)
Ta lại có
2
23
44 8
45
4. 5
4. 5
2
2
bc
abc
ab c
+£
+
+
+
(3)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 295
Từ (1), (2) và (3) ta có
444
23
12328
7
454545
4. 5
2
abc
ab c
+++£
+++
+
Kết hợp giả thiết suy ra
23
23
88 2
74
4. 5
2
ab c
ab c
³ £
+
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4
1
2
abc===
Vậy
1
max
16
P =
khi và chỉ khi
4
1
2
abc===
.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
.
ab
acbd
cd

B.
.
ab
acbd
cd

C.
.
ab
ad bc
cd

D.
0
.
0
ab
acbd
cd



Lời giải
Chọn C
Ta có .
ab ab ab
ad bc
cd c d d c






Câu 2:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai?
A.
.
2
ab
bc
a
ac

B.
.
ab
acba
ac

C.
.ab acbc
D.
.ab cacb
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:
2
2
ab
bc
aabc abc a
ac

A đúng.
ab
aabc acba
ac

B đúng.
 
ab a c b c acbc  
C đúng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 296
ab a b cacb
D sai.
Câu 3:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. .
ab
ac cd
cd

B. .
ab
ac cd
cd

C.
0
.
0
ab
ac bd
cd



D. .
ab
ac bd
cd
 
Lời giải
Chọn C
Ta có
0
.
0
ab
ac bd
cd



Câu 4:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
A. .ab acbc B. .a b ac bc

C.
.cab acbc
D. .
0
ab
ac bc
c

Lời giải
Chọn D
Xét bất phương trình
.ab
Khi nhân cả hai vế của
với
,c
ta được
0
.
0
c
ab acbc
c
ab acbc



Câu 5:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0
.
0
ab
ab
cd
cd



B.
0
.
0
ab
ab
cd
cd



C.
.
ab
ab
cd
cd

D.
0
.
0
ab
ad
cd
bc



Lời giải
Chọn D
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:
0
0
11
0
0
ab
ab
cd
dc






Chưa đủ dữ kiện để so sánh
,
ab
cd
A sai.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 297
0
0
11
0
0
ab
ab
cd
dc






Chưa đủ dữ kiện để so sánh
,
ab
cd
B sai.
ab
ab
cd
cd

C sai vì chưa thiếu điều kiện
,,,.abcd
1
0
1
0
1
a
ab
adad
b
cd d
bcbc
c




D đúng.
Câu 6:
Nếu
22acbc
thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. 33.ab B.
22
.ab
C. 22.ab D.
11
.
ab
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết, ta có 22 22.acbcab ab
Câu 7:
Nếu
aba
và
bab
thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
0.ab
B.
.ba
C.
0.ab
D.
0a
và
0.b
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết, ta có
00
0.
00
aba b a
ab
bab a b






Câu 8:
Nếu
01a
thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
1
.a
a
B.
1
.a
a
C. .aa D.
32
.aa
Lời giải
Chọn A
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

11
11 1
0,0;1
aaa
aa
aaa
aa a a


A đúng.

2
11
11 1
0,0;1
aa
a
aaa
aa a a


B sai.


10 , 0;1aa aa aaa C sai.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 298
32 2 3 2
10 , 0;1aaaa aa a D sai.
Câu 9:
Cho hai số thực dương
,ab
. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
2
4
1
.
2
1
a
a
B.
1
.
12
ab
ab
C.
2
2
11
.
2
2
a
a
D. Tất cả đều
đúng.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:


2
2
224 2
4 4
44
1
12 1 1
0,
22
11
21 21
a
aaa a
a
aa
aa




A sai.


2
1
12 1 1
0,,0
12 2 1 2 1 12
ab
ab ab ab ab
ab
ab ab ab ab



B sai.


2
2
222 2
2 2
22
11
112 1 2 11
0,
22
22
22 22
a
aaa a
a
aa
aa





C
đúng.
Câu 10:
Cho
,0ab
và
22
11
,.
11
ab
xy
aa bb



Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
.
x
y B. .
x
y
C.
.
xy
D. Không so sánh được.
Lời giải
Chọn B
Giả sử




22
22
11
11 11
11
ab
x
yabbbaa
aa bb





2222
2222 22
11
0
bb aabab aa babab
babaab ab abab
 
 
0ababab
luôn đúng với mọi
0ab
. Vậy
.
xy
Dấu
""
xảy ra
1
12.
2
1
1
x
x
x
x


Vậy
22 1.m
Câu 11:
Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số

2
2
5
.
4
x
fx
x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 299
A.
2.m
B.
1.m
C.
5
.
2
m
D. Không tồn tại
.m
Lời giải
Chọn C
Sai lầm thường gặp
Ta có

2
22
22 2
41 1 1
424.2.
44 4
x
fx x x
xx x



Dấu
""
xảy ra khi và chỉ khi
22
2
1
43
4
xx
x

.
Vậy hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải đúng
Đặt
2
42tx t
.
Lúc đó :
() ()
()
2
23
2
11 135
2
442
ttt
fx gt t dot
ttt
³
³
+
== =+=++³ ³
Vậy
() ()
1
55
20
4
22
2
t
gt Mingt khi t x
t
t
ì
ï
ï
=
ï
³ = ==
í
ï
ï
³
ï
î
Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số

2
22
1
xx
fx
x
với
1.x 
A.
0.m
B.
1.m
C.
2.m
D.
2.m
Lời giải
Chọn C.
Ta có


2
2
11
211 1
1.
11 1
x
xx
fx x
xx x




Theo bất đẳng thức Côsi, ta có

11
121.2.
11
xx
xx


Dấu
""
xảy ra
1
0.
1
1
1
x
x
x
x



Vậy
2.m
Câu 13:
Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số

28xx
fx
x
với
0.x
A.
4.m
B.
18.m
C.
16.m
D.
6.m
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 300
Lời giải
Chọn B.
Ta có

2
28
10 16 16
10.
xx
xx
fx x
xxx



Theo bất đẳng thức Côsi, ta có

16 16
2 . 8 18.xx fx
xx

Dấu
""
xảy ra
0
4.
16
x
x
x
x

Vậy
18.m
Câu 14: Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số

4
1
x
fx
x
x

với
10.x
A.
2.m
B.
4.m
C.
6.m
D.
8.m
Lời giải
Chọn D.
Ta có

41
444
44 .
111
x
x
xx x
fx
x
xxxxx x
 

Vì

0;1 0
1
x
x
x

nên theo bất đẳng thức Côsi, ta có




41 41
42.48.
11
xx
xx
fx fx
xxxx



Dấu
""
xảy ra

10
2
.
41
3
1
x
x
x
x
xx


Vậy
8.m
Câu 15:
Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số

11
1
fx
x
x

với
01.x
A.
2.m
B.
4.m
C.
8.m
D.
16.m
Lời giải
Chọn B.
Cách 1.
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có

11 11 2
2. .
11
1
xxxx
x
x


Mặt khác





2
1
111
1124.
44 2
1
xx
xx xx fx
xx

 
Dấu
""
xảy ra
10
1
.
1
2
x
x
xx



Vậy
4.m
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 301
Cách 2. Ta có

111 1 1
2.
111
xx xx x x
fx
xx x x x x



Theo bất đẳng thức Côsi, ta có

11
2. 2 4.
11
xx xx
fx
xxxx



Dấu
""
xảy ra
10
1
.
1
2
1
x
x
xx
xx


Câu 16:
Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số


2
32
42
x
fx
x
với
2.x
A.
1
.
2
m
B.
7
.
2
m
C.
4.m
D.
8.m
Lời giải
Chọn C.
Ta có



22
32 4 36 2 9 2 9
1.
4242 4 24 2
xx x x
fx
xx x x



Theo bất đẳng thức Côsi, ta có

29 29
2. 3 314.
4242
xx
fx
xx



Dấu
""
xảy ra
2
8.
29
42
x
x
x
x

Vậy
4.m
Câu 17:
Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số

3
24x
fx
x
với
0.x
A.
2.m
B.
4.m
C.
6.m
D.
10.m
Lời giải
Chọn C.
Ta có

3
22
24 4 22
22 .
x
fx x x
x
xxx

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có
22
3
3
22 22
232..386.xx
xx xx

Dấu
""
xảy ra
2
0
1.
2
2
x
x
x
x

Vậy
6.m
Câu 18:
Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số

4
3x
fx
x
với
0.x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 302
A.
4.m
B.
6.m
C.
13
.
2
m
D.
19
.
2
m
Lời giải
Chọn A.
Ta có

4
33
3 3 111
.
x
fx x x
x
xxxx

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có

33
4
111 111
4... 4 4.xxfx
xxx xxx

Dấu
""
xảy ra
3
0
1.
1
x
x
x
x

Vậy
4.m
Câu 19:
Tìm giá trị lớn nhất
M
của hàm số
6352fx x x

với
13
;
22
x




A. 0.M
B.
24.M
C.
27.M
D.
30.M
Lời giải
Chọn C.
Áp dụng bất đẳng thức hệ quả của Côsi

2
,
4
ab
ab
ta được



2
2152
3 2 1 5 2 3. 27 27.
4
xx
fx x x fx


Dấu
""
xảy ra
15
1.
22
2152
x
x
xx



Vậy 27.M
Câu 20:
Tìm giá trị lớn nhất
M
của hàm số

1x
fx
x
với
1.x
A.
0.M
B.
1
.
2
M
C.
1.M
D.
2.M
Lời giải
Chọn B.
Ta có


2
11 1
.
11
11
xx x
fx
xx
x



Theo bất đẳng thức Côsi, ta có
 
22
112 1.12 1.xxx

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 303

11
.
2
21
x
fx
x

Dấu
""
xảy ra 2.x Vậy
1
.
2
M
Câu 21:
Tìm giá trị lớn nhất
M
của hàm số

2
4
x
fx
x
với
0.x
A.
1
.
4
M
B.
1
.
2
M
C.
1.M
D.
2.M
Lời giải
Chọn A.
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có
22
42 .44
x
xx

1
.
44
x
fx
x

Dấu
""
xảy ra 2.x
Vậy
1
.
4
M
Câu 22:
Tìm giá trị lớn nhất
M
của hàm số


2
1
x
fx
x
với
0.x
A.
0.M
B.
1
.
4
M
C.
1
.
2
M
D.
1.M
Lời giải
Chọn B.
Ta có


22
.
21
1
xx
fx
xx
x

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có
22 2
12 .12 2 14
x
xxxxx 

1
.
44
x
fx
x

Dấu
""
xảy ra
1.x
Vậy
1
.
4
M
Câu 23:
Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất
M
của hàm số
36fx x x

A.
2, 3mM
B.
3, 3 2.mM
C.
2, 3 2.mM
D.
3, 3.mM
Lời giải
Chọn B.
Hàm số xác định khi
30
36
60
x
x
x



nên TXĐ
D3;6.
Ta có

2
92 36
f
xxx
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 304
Vì

36 0, 3;6xx x
nên suy ra
2
93.fx fx
Dấu
'' ''
xảy ra 3x hoặc 6.x
Vậy 3.m
Lại có

23 6 3 6 9xx xx 
nên suy ra

2
18 3 2.fx fx
Dấu
'' '' xảy ra
3
36 .
2
xxx
Vậy
32.M
Vậy
3, 3 2.mM
Câu 24:
Tìm giá trị nhỏ nhất m
và lớn nhất
M
của hàm số
248
f
xx x

A.
0, 4 5.mM
B.
2, 4.mM
C.
2, 2 5.mM
D.
0, 2 2.mM
Lời giải
Chọn C.
Hàm số xác định khi
40
48
80
x
x
x



nên TXĐ
D4;8.
Ta có
 
2
384 48 3 44 48 4.fx x x x x x x 
Vì


40
,4;8
48 0
x
x
xx



nên suy ra
2
44.fx fx
Dấu
'' '' xảy ra
4.x
Vậy
2.m
Với
4;8 ,x
áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

416 1684
424. .
55 5
5
x
xx x

1

44 4 4 4 8
828. .
55
5
x
xx x
x

2
Lấy
12
theo vế, ta được
8448 444
8.
55
5
xx
xx


Suy ra

4
8448
8825.
55
fx
xx
fx

 
Dấu
""
xảy ra
36
.
5
x
Vậy 25.M
Vậy
2, 2 5.mM
Câu 25:
Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số
72 3 4fx x x

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 305
A.
3.m
B.
10.m
C.
23.m
D.
87
.
3
m
Lời giải
Chọn D.
Hàm số xác định khi
72 0
47
340
32
x
x
x



nên TXĐ
47
D;.
32

Ta có

2
2
72 3 4 72 272 3 4 3 4yxx xxxx

129
11 2 7 2 3 4 3 4 2 7 2 3 4 .
33
xxxxxx
Vì

340
47
,;
32
72 3 4 0
x
x
xx



nên suy ra
 
2
29 87
.
33
fx fx
Dấu
'' '' xảy ra
4
.
3
x
Vậy
87
.
3
m
Câu 26:
Tìm giá trị lớn nhất
M
của hàm số

2
8.
f
xx x
A.
1.M
B.
2.M
C.
22.M
D.
4.M
Lời giải
Chọn D.
Ta có

2
222222
8288828.
f
xx x xx x x x x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
2
22 2
28 8 8xxx x

 
22
82 8 8816 4.fx x x fx

Dấu
'' ''
xảy ra
2
22
2
8
2.
28 8
xx
x
xx



Vậy
4.M
Câu 27: Cho hai số thực
,
x
y
thỏa mãn
22
3xyxy
. Tập giá trị của biểu thức
Sxy
là:
A.
0;3
. B.
0; 2
. C.
2; 2
. D.
2; 2
.
Lời giải
Chọn
C.
Ta có


2
2
22
33
4
x
y
xyxy xy xy
  .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 306
Suy ra

2
42 2.xy xy
Câu 28:
Cho hai số thực
,
x
y
thỏa mãn
22
1xyxy
. Tập giá trị của biểu thức
Pxy
là:
A.
1
0;
3



. B.
1; 1 . C.
1
;1
3
. D.
1
1;
3



.
Lời giải
Chọn
D.
Ta có


2
22
2
22
1
113 0
3
.
11 0 1
x y xy xy x y xy
x y xy xy x y xy


Câu 29:
Cho hai số thực
,
x
y
thỏa mãn

3
42xy xy

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Sxy
là:
A.
3
2 . B. 1. C. 8 . D.
3
2 .
Lời giải
Chọn
B.
Với mọi
,
x
y
ta có

2
4
x
yxy
.
Suy ra

32 3
42xy xy xy xy
hay

32
21.xy xy xy

Câu 30: Cho hai số thực
,
x
y
thỏa mãn
22
x
yxyxy
 . Tập giá trị của biểu thức
Sxy
là:
A.
0; 
. B.
;0
. C.
4;
. D.
0; 4
.
Lời giải
Chọn
D.
Ta có
22
x
yxyxy
 
2222
22
31
3.
44
xy
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y

Suy ra

2
1
04.
4
xy xy xy 
Câu 31:
Cho hai số thực
,
x
y
thỏa mãn
22
340xy xy

. Tập giá trị của biểu thức
Sxy
là:
A.
2; 4
. B.
0; 4
. C.
0; 2
. D.
2; 4
.
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 307
Chọn D.
Từ giả thiết, ta có


2
22
34
2
x
y
xy x y


2
6802 4.xy xy xy
Câu 32: Cho hai số thực dương
,
x
y
thỏa mãn
1xy
. Giá trị nhỏ nhất của
14
S
x
y

là:
A.
4
. B. 5. C. 9. D.
2
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có

14 14 14 4 4
1. 5 5 2 . 9.
xy xy
xy
xy xy xy y x yx
 
 
 
 
Dấu
'' '' xảy ra khi
12
;
33
xy
.
Câu 33:
Cho hai số thực dương ,
x
y
thỏa mãn điều kiện
22
3
x
yxy xy xy. Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
Sxy
là:
A. 1. B. 2 . C.
3
. D. 4 .
Lời giải
Chọn
D.
Từ giả thiết, ta có
3
x
yx y x y xy
.
*
Vì
0, 0xy
nên
0xy
. Do đó

11 4
*33xy
xy xy


2
1
340 4
4
xy
xy xy xy
xy

 

.
Câu 34: Cho hai số thực dương
,
x
y
thỏa mãn
44
1
2xy xy
xy

. Giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất của biểu thức
Pxy
lần lượt là:
A.
1
2
và
1. B.
0
và
1. C.
1
4
và
1. D. 1
và
2 .
Lời giải
Chọn
A.
Ta có
44 22
2
x
yxy , kết hợp với giả thiết ta được
22
1
22 .xy x y
x
y

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 308
Đặt
0xy t
, ta được

232
1
22 2 21 0tt ttt
t
 
 
1
1 121 0 121 0 1.
2
tt t t t t
Câu 35: Cho hai số thực
a,b
thuộc khoảng
0;1
và thỏa mãn
33
110abababa b. Giá trị lớn nhất của biểu thức
P
ab
bằng
A.
1
9
. B.
1
4
. C.
1
3
. D. 1.
Lời giải
Chọn
A
Giả thiết

33
11
abab
ab
ab


.
*
●



33
22
2.2 4.
abab
ab
a b ab ab ab
ab b a





1
●
11 1 12 .a b a b ab ab ab  
2
Từ

1 ,
2 và kết hợp với
* , ta được
412ab ab ab
1
32 100 .
9
ab ab ab
Câu 36: Cho hai số thực ,
x
y
thuộc đoạn
0;1
và thỏa mãn
4.
xy
x
y
Tập giá trị của biểu thức
Pxy
là:
A.
0;1 .
B.
1
0; .
4
C.
1
0; .
3
D.
11
;.
43



Lời giải
Chọn
D
Ta có
1
42 .
4
xy x y xy xy
Do
,0;1xy
, suy ra
11 01 0xy xyxy
.
*
Kết hợp
*
và giả thiết, ta được
1
14 0 .
3
xy xy xy

Câu 37: Cho hai số thực dương
,
x
y
thỏa mãn
20xyxy

. Giá trị nhỏ nhất của
2Sx y
là
A. 2 . B. 4 . C.
8
. D.
1
4
.
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 309
Chọn C
Từ giả thiết, ta có

2
2
11
2..2.
224
x
y
xyxy xy


228028xyxy xy  

.
Câu 38: Cho hai số thực dương
,
x
y
thỏa mãn
7xyxy

. Giá trị nhỏ nhất của
2Sx
y

là:
A.
8
. B.
5
. C.
7
. D. 11 .
Lời giải
Chọn
B
Từ giả thiết
7 2 1 1 16.xyxy x y
Ta có

2
122
16 2 1 1 1 2 2
2
xy
xy x y






2
25
23 64 25
211
xy
xy xy
xy



.
Câu 39: Cho hai số thực
,
x
y
thỏa mãn
23 7xy
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
Pxyxy
là:
A.
3
. B.
5
. C.
6
. D. 2 .
Lời giải
Chọn
B.
Ta có



22
2233 75
61 12233 36
44
xy
xy x y


.
Suy ra
5xyxy
.
Câu 40: Cho hai số thực
,
xy
không âm và thỏa mãn
212xy
. Giá trị lớn nhất của
Px
y
là:
A.
13
4
. B.
4
. C. 8. D. 13.
Lời giải
Chọn
C
Từ giả thiết, ta có
2
16 4 2 4 2 2 4 .2
xy
x
y
x
y
 .
Suy ra
8xy
. Dấu '' '' xảy ra khi
2; 4.xy
Câu 41: Cho ,
x
y
là hai số thực thỏa mãn
x
y
và
1000xy
Biết biểu thức
22
x
y
F
x
y
đạt giá
trị nhỏ nhất khi
x
a
yb
. Tính
22
1000
ab
P
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 310
A.
2.P
B.
3.P
C.
4.P
D.
5.P
Lời giải
Chọn C
Ta có

2
22 2 2
2.1000
2 2 2.1000
.
xy
xy x xyy xy
Fxy
x
yxy xy xy




Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

2.1000 2.1000
2. 405.
Fxy xy
xy xy


Dấu
""
xảy ra
1000
1000
.
2.1000
0
20 5
xy
xy
xy
xy
xy





Vậy
min
45F khi

22
2
22
1000
2 4000 4.
1000
20 5
ab
ab
ab ab ab
ab


Câu 42: Cho
,
x
y
là các số thực dương và thỏa mãn
3xy
Tìm giá trị nhỏ nhất
min
F
của biểu
thức
11
2
Fxy
x
y

A.
min
1
4.
2
F
B.
min
32.F
C.
min
1
4.
3
F
D.
min
2
4.
3
F
Lời giải
Chọn A
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương, ta có
111
2. 2. 1
22 22
4
xx
xx
 và
22
2. 2.
22
yy
yy

Khi đó
12 1 2 3 1
12 4.
222222 2
xy x y
Fxy
xy x y


 




Dấu
""
xảy ra
3
1
.
12
;
2
22 2
xy
x
xy
y
xy




Vậy
min
1
4.
2
F
Câu 43:
Cho
80.xy
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1
8
Fx
yx y

là
A.
3,
B.
6.
C.
8.
D.
9.
Lời giải
Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 311
Ta có



11
88 .
88
Fx x y y
yx y yx y


Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có


3
3
1
38.8. 386.
8
Fxyy
yx y

Dấu
""
xảy ra

8
1
88 .
1
8
2
x
xyy
yx y
y

Câu 44:
Cho hai số thực
,
x
y
thỏa mãn
12 2 3xy x y
 . Tập giá trị của biểu thức
Sxy
là:
A.

1; 7 . B.
3; 7 . C.
3; 7 1 . D.
7;7 .
Lời giải
Chọn
C
Điều kiện:
2
3
x
y

, suy ra
10xy

.
● Ta có
12 2 3
4243 9
2223
22 2
xy x y
xyxy
xy
 


.
Suy ra
9
17
2
xy
xy xy


.
● Lại có
12 2 3xy x y 



2
14 12 2 34 1xy xy x y xy
Suy ra

2
10 10 1
14 1 .
11
xy xy xy
xy xy
xy xy xy
 

 

 

Câu 45: Cho
,,abc
là các số thực thỏa mãn
0, 0ab
và
2
=ax 0fx bx c
với mọi
x
Tìm giá trị nhỏ nhất
min
F
của biểu thức
4ac
F
b
A.
min
1.F B.
min
2.F
C.
min
3.F
D.
min
5.F
Lời giải
Chọn B
Do hàm số

22
0
0, 4 .
0
a
f
xaxbxc x acb
 

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 312
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
2
42422
2.
ac ac b b
F
bbbb

Dấu
"" xảy ra khi
2
4
4.
4
ca
bc a
bac

Câu 46:
Cho ba số thực
,,abc
không âm và thỏa mãn
222
4a b c abc

. Giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của biểu thức
222
Sabc

lần lượt là:
A. 1
và
3
. B. 2
và
4 . C. 2
và
3
. D.
3
và
4 .
Lời giải
Chọn
D
Từ giả thiết suy ra
222
4.abc
Ta có
222 222 222
4.abcabcabc abc 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
3
222
222
27
abc
abc

.
Từ đó suy ra

3
222
222
4
27
abc
abc


hay
3
434.
27
S
SS
Câu 47: Cho ba số thực dương
,,
x
yz
. Biểu thức

222
1
2
x
yz
Pxyz
yz zx xy
 có giá trị
nhỏ nhất bằng:
A.
11
2
. B.
5
2
. C.
9
2
. D.
9
.
Lời giải
Chọn
C.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
222 2
3
3. . . 3; 3; 3.
yz yz xz xy
xxy z
zx xy zx xy yz xy yz zx

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên, ta được
222
29
xyz
xyz
yz zx xy




.
Suy ra
9
2
P
. Khi
1xyz
thì
9
.
2
P
Câu 48: Cho ba số thực dương , ,
x
yz thỏa mãn điều kiện
3xyz

. Giá trị lớn nhất của biểu
thức

333
3
3
3
3
P
xyz x y z
bằng:
A.
12
. B.
3
. C.
5
. D.
11
2
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 313
Lời giải
Chọn
A
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
3
333
4
x
xxxx hay
3
3
34
x
xx.
Tương tự:
3
3
34yyy
và
3
3
34zzz
.
Suy ra

333
3
3
3
3 4 12.Px y z x y z xyz
Khi
1xyz
thì
12.P
Câu 49:
Cho ba số thực dương
,,
x
yz
thỏa mãn điều kiện
2xyz

. Giá trị lớn nhất của biểu
thức
P
xy yz zx
bằng:
A. 3. B.
3
3
. C. 23. D.
1
.
Lời giải
Chọn
C
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

4
4
3
.
32
xy
xy


;

4
4
3
.
32
yz
yz

và

4
4
3
.
32
zx
zx


.
Suy ra
  
444
... 24.
333
xy yz zx xyz
Do đó
23.Pxyyzzx
Khi
2
3
xyz

thì 23.P
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 314
BÀI 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
1. Bất phương trình một ẩn
Bất phương trình ẩn
x
là mệnh đề chứa biến có dạng
() () () ()
()
()
1fx gx fx gx<£
trong đó
()
f
x
và
()
g
x
là những biểu thức của
.
x
Ta gọi
()
f
x
và
()
g
x
lần lượt là vế trái của bất phương trình
()
1.
Số thực
0
x
sao cho
() () () ()
()
0000
f
xgxfxgx<£
là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình
()
1.
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô
nghiệm.
Chú ý:
Bất phương trình
()
1
cũng có thể viết lại dưới dạng sau:
() () () ()
()
.
g
xfxgxfx>³
2. Điều kiện của một bất phương trình
Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số
x
để
(
)
f
x
và
()
g
x
có nghĩa là điều
kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình
()
1.
3. Bất phương trình chứa tham số
Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem
như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét
xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm
các nghiệm đó.
II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Hệ bấ
t phương trình ẩn
x
gồm một số bất phương trình ẩn
x
mà ta phải tìm nghiệm chung của
chúng.
Mỗi giá trị của
x
đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một
nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.
III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất ph
ương trình tương đương
Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương
đương và dùng kí hiệu
"" để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với
nhau và dùng kí hiệu
"" để chỉ sự tương đương đó.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 315
2. Phép biến đổi tương đương
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương
trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình)
đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép
biến đổi tương đương.
3. Cộng (tr
ừ)
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của
bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
() () () () () ()
Px Qx Px f x Qx f x<+<+
4. Nhân (chia)
Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không
làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân
(chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay
đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất ph
ương trình
tương đương.
() () () () () () ()
() () () () () () ()
..,0,
..,0,
Px Qx Px f x Qx f x f x x
Px Qx Px f x Qx f x f x x
< < >"
< > <"
5. Bình phương
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện
của nó ta được một bất phương trình tương đương.
() () () () () ()
22
,0,0,
P
xQx PxQxPx Qx x< < ³ ³"
6. Chú ý
Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý
những điều sau
1) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình
có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của
x
thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
2) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình
() ()
Px Qx<
với biểu thức
()
f
x
ta cần lưu ý đến điều
kiện về dấu của
()
.
f
x
Nếu
(
)
f
x
nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng
trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình.
3) Khi giải bất phương trình
() ()
Px Qx<
mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường
hợp
a)
() ()
,Px Qx
cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.
b)
() ()
,Px Qx
cùng có giá trị âm ta viết
() () () ()
Px Qx Qx Px<-<-
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 316
rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.
B.PHÂNLOẠIVÀPHƯƠNGPHÁPGIẢIBÀITẬP
Dạng1.Điềukiệnxácđịnhcủabấtphươngtrình
1.Phươngpháp
2.Cácvídụrènluyệnkĩnăng
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình
13
12xx
Lời giải
Điều kiện của bất phương trình là:
10
20
x
x
1
2
x
x
.
Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của của bất phương trình
Lời giải
Điều kiện xác định của BPT :
4
130
4
2
2
20
2
x
x
x
x
x
x
x






.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
62yxm x=---
có tập xác định
là một đoạn trên trục số.
Lời giải
Hàm số xác định khi
0
.
62 0 3
x
mxm
xx
ìì
-³ ³
ïï
ïï
íí
ïï
-³ £
ïï
îî
Nếu
3m =
thì tập xác định của hàm số là
{
}
3.D =
Nếu
3m >
thì tập xác định của hàm số là .D =Æ
Nếu
3m <
thì tập xác định của hàm số là
[
]
;3 .Dm=
3.Bàitậptrắcnghiệm
Câu 1:
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 2212.
x
xx-+<+ -
A. .x Î B.
(
]
;2 .x Î-¥
C.
1
;.
2
x
æù
ç
ú
Î-¥
ç
ç
ú
è
û
D.
1
;2 .
2
x
éù
êú
Î
êú
ëû
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình xác định khi
20
12 0
x
x
ì
-³
ï
ï
í
ï
-³
ï
î
2
1
.
1
2
2
x
x
x
ì
£
ï
ï
ï
£
í
ï
£
ï
ï
î
Câu 2: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình
1
24.
5
x
x
x
x
-
+>--
+
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 317
A.
[
]
5;4 .x Î-
B.
(]
5;4 .x Î-
C.
[
)
4; .x Î+¥
D.
()
;5.x Î-¥-
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình xác định khi
50 5
54.
40 4
xx
x
xx
ìì
+> >-
ïï
ïï
-<£
íí
ïï
-³ £
ïï
îî
Câu 3: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình
()
2
1
1.
2
x
x
x
+
<+
-
A.
[
)
1; .x Î- +¥
B.
()
1; .x Î- +¥
C.
[
)
{
}
1; \ 2 .x Î- +¥
D.
()
{
}
1; \ 2 .x Î- +¥
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình xác định khi
()
2
1
0
10 1
2.
20 2
20
x
xx
x
xx
x
ì
+
ï
ï
³
ìì
+³ ³-
ï
ïï
ïïï
-
ííí
ïïï
-¹ ¹
ïï
ïîî
ï
-¹
ï
î
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
21ymxx=--+
có tập xác định
là một đoạn trên trục số.
A.
2.m <-
B.
2.m >
C.
1
.
2
m >-
D.
2.m >-
Lời giải
Chọn D.
Hàm số xác định khi
20
.
2
10
1
m
mx
x
x
x
ì
ï
ï
ì
-³
£
ï
ï
ï
íí
ïï
+³
ï
îï
³-
ï
î
Nếu 12
2
m
m=- =- thì tập xác định của hàm số là
{
}
D1.=-
Nếu 12
2
m
m<- <- thì tập xác định của hàm số là D.=Æ
Nếu 12
2
m
m>- >- thì tập xác định của hàm số là D1;.
2
m
é
ù
ê
ú
=-
ê
ú
ë
û
Dạng2.Cặp bấtphươngtrìnhtươngđương
1.Phươngpháp
2.Cácvídụrènluyệnkĩnăng
Ví dụ 1: Bất phương trình
33
25
24 24
x
xx
+<+
--
tương đương với:
A.
25.x <
B.
5
2
x < và
2x ¹
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 318
C.
5
2
x <
. D. Tất cả đều đúng.
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: 2.x ¹ Bất phương trình tương đương với:
5
25
2
xx<<
kết hợp với điều kiện
ta có
5
2
x <
và
2x ¹
.
Ví dụ 3: Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?
A. 20x -£ và
()
2
20.xx-£
B.
20x -<
và
()
2
20.xx->
C.
20x -<
và
()
2
20.xx-<
D.
20x -³
và
()
2
20.xx-³
Lời giải
Chọn A.
Ta xét từng bất phương trình trong đáp án A:
20 2.xx-£ £
()
2
20 2.xx x-££
Cả hai bất phương trình có cùng tập nghiệm nên chúng tương đương.
Ví dụ 4: Với giá trị nào của
a
thì hai bất phương trình
()
120axa+-+>
và
()
–
130axa-+>
tương
đương:
A.
1.a =
B.
5.a =
C.
1.a =-
D.
2.a =
Lời giải
Chọn B.
Phương pháp trắc nghiệm: Thay lần lượt từng đáp án vào hai phương trình.
● Thay
1a =
, ta được
()
()
1
120210
2
–1 3 0 0 2 0
axa x x
axa x x
ì
ï
ï
+-+>¾¾+>«>-
ï
ï
í
ï
ï
-+> ¾¾+>«Î
ï
ï
î
. Không thỏa.
● Thay
5a =
, ta được
()
()
1
120630
2
1
–1 3 0 4 2 0
2
axa x x
axa x x
ì
ï
ï
+-+>¾¾->«>
ï
ï
ï
í
ï
ï
-+> ¾¾->«>
ï
ï
ï
î
.
3.Bàitậptrắcnghiệm
Câu 1:
Bất phương trình
33
23
24 24
x
xx
+<+
--
tương đương với
A.
23.x <
B.
3
2
x <
và
2x ¹
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 319
C.
3
2
x <
. D. Tất cả đều đúng.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện:
2x ¹
. Bất phương trình tương đương với:
3
23
2
xx<<
(thỏa mãn điều kiện).
Câu 2: Bất phương trình 210x -³ tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A.
11
21 .
33
x
xx
-+ ³
--
B.
11
21 .
33
x
xx
-- ³-
++
C.
()
2 1 2018 2018.xx x-- ³-
D.
21 1
.
2018 2018
x
xx
-
³
--
Lời giải
Chọn B.
Nếu ta cộng
1
3x -
vào hai vế bất phương trình 210x -³ thì điều kiện của bất phương
trình sẽ thay đổi suy ra đáp án A sai.
Tương tự nếu ta nhân hoặc chia hai vế bất phương trình đã cho với
2018x -
thì điều
kiện của bất phương trình ban đầu cũng sẽ thay đổi suy ra đáp án C và D sai.
Câu 3: Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình
50x +>
?
A.
()( )
2
–
150.xx+>
B.
()
2
50.xx+>
C.
()
550.xx++>
D.
()
550.xx+->
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình 50 5.xx+> >-
Bất phương trình
()( )
2
1
–
150 .
5
x
xx
x
ì
¹
ï
ï
+>
í
ï
>-
ï
î
Đáp án A sai.
Bất phương trình
()
2
0
50 .
5
x
xx
x
ì
¹
ï
ï
+>
í
ï
>-
ï
î
Đáp án B sai.
Bất phương trình
()
550 5.xx x++>>-
Câu 4: Bất phương trình
()
10xx+£ tương đương với
A.
()
2
10xx+£. B.
()
10xx+< C.
()
2
10.xx+£
D.
()
2
10xx+<
Lời giải
Chọn C.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 320
Bất phương trình
()
10xx+£
có điều kiện
()
0100.³ + £=xxxx
Ta có:
() ()
22
1
10 10 .
0
x
xx xx
x
é
=-
ê
+£ +=
ê
=
ë
Đáp án A sai.
Ta có:
()
10xx+<vô nghiệm vì từ điều kiện
()
010xxx³ + ³. Đáp án B sai.
Ta có:
()
2
100.xx x+£=
Câu 5: Bất phương trình
1
x
x-³
tương đương với
A.
() ()
12 1 12.
x
xxx--³-
B.
() ()
21 1 21.xxxx+-³ +
C.
() ()
22
111.
x
xxx--³-
D.
2
1.
x
xx-£
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình
22
11
1.
110
xx
xx x
xxxx
ìì
³³
ïï
ïï
-³ ¾¾ ÎÆ
íí
ïï
-³ - +£
ïï
îî
Ta có:
() ()
2
1
1
12 1 12 1.
10
1
x
x
xx x x x
xx
xx
ì
ì
³
³
ï
ï
ïï
--³- ³
íí
ïï
-+³
-£
ïï
î
î
Đáp án A sai.
Ta có:
() ()
2
1
1
21 121 .
10
1
x
x
xxxx x
xx
xx
ì
ì
³
³
ï
ï
ïï
+-³+ ÎÆ
íí
ïï
-+£
-³
ïï
î
î
Câu 6: Với giá trị nào của
m
thì hai bất phương trình
()
21mxm+£+
và
()
31 1mx x-£--
tương
đương:
A.
3.m =-
B.
2.m =-
C.
1.m =-
D.
3.m =
Lời giải
Chọn D.
Viết lại
() ()
21 1mxm+£+ và
() ()
31 31 2.mxm+£-
● Thay
3m =- , ta được
()
()
21 22
5
31 31 8 10
4
mxm x x
mxm x x
ì
ï
+£+¾¾- £- « ³
ï
ï
ï
í
ï
+£-¾¾- £- « ³
ï
ï
ï
î
. Không thỏa mãn.
● Thay
2m =- thì hệ số của
x
ở
()
1 bằng 0 , hệ số của
x
ở
()
2 khác 0 . Không thỏa mãn.
● Thay
1m =-
thì hệ số của
x
ở
()
1 dương, hệ số của
x
ở
()
2 âm. Suy ra nghiệm của hai
bất phương trình ngược chiều. Không thỏa.
Đến đây dùng phương pháp loại trừ thì chỉ còn đáp án D.
● Thay
3m = , ta được
()
()
4
2154
5
4
31 31 108
5
mxm x x
mxm x x
ì
ï
ï
+£+¾¾£«£
ï
ï
ï
í
ï
ï
+£-¾¾£«£
ï
ï
ï
î
.
Câu 7: Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình
()
336mxm+³-
và
()
21 2mxm-£+
tương
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 321
đương:
A.
1.m =
B.
0.m =
C.
4.m =
D.
0m =
hoặc
4.m =
Lời giải
Chọn B.
Thay 1m = , thì hệ số của
x
ở
()
1 dương, hệ số của
x
ở
()
2 dương. Suy ra nghiệm của hai
bất phương trình ngược chiều. Không thỏa.
Thay
0m =
, ta được
()
()
336 3 6 2
21 2 2 2
mxm x x
mxm x x
ì
ï
+³-¾¾³-«³-
ï
ï
í
ï
-£+¾¾- £ « ³-
ï
ï
î
. Ta thấy thỏa mãn nhưng chưa
đủ kết luận là đáp án B vì trong đáp án D cũng có
0m = . Ta thử tiếp 4m = .
Thay
4m =
, thì hệ số của
x
ở
()
1
dương, hệ số của
x
ở
()
2
dương. Suy ra nghiệm của hai
bất phương trình ngược chiều. Không thỏa mãn.
Vậy với
0m =
thỏa mãn.
Dạng3.Bấtphươngtrìnhbậcnhấtmộtẩn
1.Phươngpháp
2.Cácvídụrènluyệnkĩnăng
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
25 3
32
xx
Lời giải
Bất phương trình đã cho
22 5 3 3xx
41039xx
 1
x
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1;
.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
2316xx
có tập nghiệm là
Lời giải
Ta có :
2316xx
273
273
273
73 0
x
x
xx
x
x
x




5
25
2
9
49 9
4
4
7
7
3
3
x
x
x
x
x
x
x






.
Ví dụ 3: Bất phương trình
()
()
22
4214 59 12mx m m x m-++-³
nghiệm đúng với mọi
x
khi
A. 1.m =- B.
9
.
4
m =
C. 1.m = D.
9
.
4
m =-
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 322
Chọn B.
Bất phương trình tương đương với
()
22
459412mmxm m-- ³ -
.
Dễ dàng thấy nếu
2
1
4590
9
4
m
mm
m
ì
¹-
ï
ï
ï
--¹
í
ï
¹
ï
ï
î
thì bất phương trình không thể có nghiệm
đúng với mọi
x Î .
Với
1m =-
bất phương trình trở thành 016x ³ : vô nghiệm.
Với
9
4
m =
bất phương trình trở thành
27
0
4
x ³-
: nghiệm đúng với mọi x Î .
Vậy giá trị cần tìm là
9
4
m =
.
Ví dụ 4: Bất phương trình
()
2
19 3mx x m³-+
nghiệm đúng với mọi
x
khi
A.
1.m =
B.
3.m =-
C. .m =Æ D.
1.m =-
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình tương đương với
()
22
93.mxmm-³+
Dễ dàng thấy nếu
2
90 3mm-¹ ¹
thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng
x"Î
Với
3m =
bất phương trình trở thành
018x >
: vô nghiệm
Với
3m =-
bất phương trình trở thành 00x ³ : nghiệm đúng với mọi
.x Î
Vậy giá trị cần tìm là
3.m =-
3.Bàitậptrắcnghiệm
Câu 1:
Bất phương trình
0ax b+>
vô nghiệm khi:
A.
0
.
0
a
b
ì
¹
ï
ï
í
ï
=
ï
î
B.
0
.
0
a
b
ì
>
ï
ï
í
ï
>
ï
î
C.
0
.
0
a
b
ì
=
ï
ï
í
ï
¹
ï
î
D.
0
.
0
a
b
ì
=
ï
ï
í
ï
£
ï
î
Lời giải
Chọn D.
Nếu
0a >
thì
0ax b+>
b
x
a
>-
nên
;
b
S
a
æö
÷
ç
=- +¥¹Æ
÷
ç
÷
ç
èø
.
Nếu
0a < thì 0ax b+>
b
x
a
<-
nên ;
b
S
a
æö
÷
ç
=-¥- ¹Æ
÷
ç
÷
ç
èø
.
Nếu
0a = thì 0ax b+> có dạng 00xb+>
Với
0b >
thì .S =
Với 0b £ thì .S =Æ
Câu 2: Bất phương trình
0ax b+>
có tập nghiệm là
khi:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 323
A.
0
.
0
a
b
ì
=
ï
ï
í
ï
>
ï
î
B.
0
.
0
a
b
ì
>
ï
ï
í
ï
>
ï
î
C.
0
.
0
a
b
ì
=
ï
ï
í
ï
¹
ï
î
D.
0
.
0
a
b
ì
=
ï
ï
í
ï
£
ï
î
Lời giải
Chọn A.
Nếu
0a >
thì
0ax b+>
b
x
a
>-
nên ;
b
S
a
æö
÷
ç
=- +¥¹Æ
÷
ç
÷
ç
èø
.
Nếu
0a < thì 0ax b+>
b
x
a
<-
nên ;
b
S
a
æö
÷
ç
=-¥- ¹Æ
÷
ç
÷
ç
èø
.
Nếu
0a = thì 0ax b+> có dạng 00xb+>
Với
0b £ thì .S =Æ
Với 0b > thì .S =
Câu 3:
Bất phương trình 0ax b+£ vô nghiệm khi:
A.
0
.
0
a
b
ì
=
ï
ï
í
ï
>
ï
î
B.
0
.
0
a
b
ì
>
ï
ï
í
ï
>
ï
î
C.
0
.
0
a
b
ì
=
ï
ï
í
ï
¹
ï
î
D.
0
.
0
a
b
ì
=
ï
ï
í
ï
£
ï
î
Lời giải
Chọn A.
Nếu
0a >
thì
0ax b+£
b
x
a
£-
nên
;
b
S
a
æù
ç
ú
=-¥- ¹Æ
ç
ç
ú
è
û
.
Nếu
0a < thì 0ax b+£
b
x
a
³-
nên
;
b
S
a
é
ö
÷
ê
=- +¥¹Æ
÷
÷
ê
ø
ë
.
Nếu
0a =
thì 0ax b+£ có dạng 00xb+£
Với
0b £ thì .S =
Với
0b >
thì
.S =Æ
Câu 4: Tập nghiệm S của bất phương trình
2
51 3
5
x
x -³ +
là:
A. .S = B.
()
;2 .S =-¥
C.
5
;.
2
S
æö
÷
ç
=- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
20
;.
23
S
éö
÷
ê
=+¥
÷
÷
ê
ø
ë
Lời giải
Chọn D.
Bất phương trình
2
51 3
5
x
x -³ +
20
25 5 2 15 23 20 .
23
xx x x-³+³³
Câu 5:
Bất phương trình
35 2
1
23
xx
x
++
-£ +
có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn
10 ?-
A.
4.
B. 5. C.
9.
D.
10.
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 324
Chọn B.
Bất phương trình
35 2
1
23
xx
x
++
-£ +
9156246 5.xxxx+-£++£-
Vì
,10 5xxÎ-<£-
nên có 5 nghiệm nguyên
Câu 6: Tập nghiệm
S
của bất phương trình
()
12 322x-<- là:
A.
()
;1 2 .S =-¥ - B.
()
12; .S =- +¥
C.
.S =
D.
.S =Æ
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình
()
12 322x-<-
()
2
12
322
12.
12 12
x
-
-
> = =-
--
Câu 7: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình
()()()
2761xxxx x-³ -- -
trên đoạn
[
]
10;10-
bằng:
A. 5. B.
6.
C.
21.
D.
40.
Lời giải
Chọn D.
Bất phương trình
()()()
2761xxxx x-³ -- -
[]
{
}
10;10
22
27666 6;7;8;9;10
x
x
xx xx x x x
Î-
Î
- ³ - - + ³ ¾¾¾¾Î
.
Câu 8:
Bất phương trình
( )() ()()
2
21 331 1 3 5xx x xx x-+-+£-++-
có tập nghiệm
A.
2
;.
3
S
æö
÷
ç
=-¥-
÷
ç
÷
ç
èø
B.
2
;.
3
S
é
ö
÷
ê
=- +¥
÷
÷
ê
ø
ë
C. .S = D. .S =Æ
Lời giải
Chọn D.
Bất phương trình
( )() ()()
2
21 331 1 3 5xx x xx x-+-+£-++-
tương đương với
222
25331 23 50. 6 .xx x xx x x x S+--+£+-+- £-Îƾ¾=Æ
Câu 9: Tập nghiệm
S
của bất phương trình
()( )
51 7 2
x
xx x+- - >-
là:
A. .S = B.
5
;.
2
S
æö
÷
ç
=- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
C.
5
;.
2
S
æö
÷
ç
=-¥
÷
ç
÷
ç
èø
D. .S =Æ
Lời giải
Chọn A.
Bất phương trình
(
)
(
)
51 7 2
x
xx x+- - >-
tương đương với:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 325
22
557 2 50 .xxxxx x S+- + >- +> Î ¾¾=
Câu 10: Tập nghiệm S của bất phương trình
()() ( )
22 2
2
1315 4xx xx-+-+<+-
là:
A.
()
;0 .S =-¥
B.
()
0; .S =+¥
C. .S = D. .S =Æ
Lời giải
Chọn D.
Bất phương trình tương đương
22 22
21 6915 816xx xx xxx-++-++<+-+
0. 9x<-
: vô nghiệm S
¾
¾=Æ.
Câu 11: Tập nghiệm S của bất phương trình
()()
23 1xx x x+< + - là:
A.
()
;3 .S =-¥
B.
()
3; .S =+¥
C.
[
)
3; .S =+¥
D.
(]
;3 .S =-¥
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện:
0.x ³
Bất phương trình tương đương
(
)
22 3 3 3 3 3;xxx x x x x S+ < - + --<- > ¾¾= +¥
Câu 12: Tập nghiệm
S
của bất phương trình
22 2xx x+-£+-
là:
A. .S =Æ B.
(]
;2 .S =-¥
C.
{
}
2.S =
D.
[
)
2; .S =+¥
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện:
2.x ³
Bất phương trình tương đương
22xx£¾¾=
.
Câu 13:
Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình
24
44
x
xx
-
£
--
bằng:
A.
15
. B. 11 . C.
26
. D.
0
.
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện:
4.x >
Bất phương trình tương đương :
2 4 6 4 6, 5; 6 5 6 11.x x xx xx S-£ £ < £ Î = = ¾¾=+=
Câu 14: Tập nghiệm S của bất phương trình
()
320xx--³
là:
A.
[)
3;S =+¥
. B.
()
3;S =+¥
.
C.
{} [ )
23;S =È+¥
. D.
{
}
()
23;S =È+¥
.
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 326
Chọn C.
Điều kiện:
2.x ³
Bất phương trình tương đương với
2
20
.
3
30
x
x
x
x
é
é
=
-=
ê
ê
ê
ê
³
-³
ê
ë
ë
Câu 15: Bất phương trình
()
13mx->
vô nghiệm khi
A.
1.m ¹
B.
1.m <
C.
1.m =
D.
1.m >
Lời giải
Chọn C.
Rõ ràng nếu
1m ¹
bất phương trình luôn có nghiệm.
Xét
1m = bất phương trình trở thành 03x > : vô nghiệm.
Câu 16: Bất phương trình
()
2
322mmxm x-+<-
vô nghiệm khi
A.
1.m ¹
B.
2.m ¹
C.
1, 2.mm==
D. .m Î
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình tương đương với
()
2
32 2mm x m-+ <-
.
Rõ ràng nếu
2
1
0
2
32mm
m
m
ì
¹
ï
ï
¹
í
-+
ï
¹
ï
î
bất phương trình luôn có nghiệm.
Với
1m = bất phương trình trở thành
01x <
: vô nghiệm.
Với
2m =
bất phương trình trở thành
00x <
: vô nghiệm.
Câu 17: Tập nghiệm S của bất phương trình
()()
22
332xx+³-+
là:
A.
3
;.
6
S
éö
÷
ê
÷
=+¥
÷
ê
÷
÷
ø
ê
ë
B.
3
;.
6
S
æö
÷
ç
÷
ç
=+¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
C.
3
;.
6
S
æù
ç
ú
ç
=-¥
ç
ú
ç
è
ú
û
D.
3
;.
6
S
æö
÷
ç
÷
ç
=-¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Lời giải
Chọn A.
Bất phương trình
()()
22
332xx+³-+
tương đương với:
22
33
23 3 23 3 2 43 2 ; .
66
xxxx xx S
é
ö
÷
ê
÷
++³-++ ³³¾¾= +¥
÷
ê
÷
÷
ø
ê
ë
Câu 18: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình
()
2
mmxm-<
vô nghiệm.
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải
Chọn B.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 327
Rõ ràng nếu
2
1
0
0
m
m
mm
ì
¹
ï
ï
¹
í
-
ï
¹
ï
î
bất phương trình luôn có nghiệm.
Với
1m =
bất phương trình trở thành
01x <
: nghiệm đúng với mọi
x Î
.
Với
0m =
bất phương trình trở thành
00x <
: vô nghiệm
Câu 19: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
()
2
62mmxm x-+<-
vô nghiệm. Tổng các phần tử trong S bằng:
A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình tương đương với
()
2
62mm x m-- <--
.
Rõ ràng nếu
2
6
2
0
3
m
m
mm
ì
¹-
ï
ï
¹
í
--
ï
¹
ï
î
bất phương trình luôn có nghiệm.
Với
2m =- bất phương trình trở thành 00x < : vô nghiệm.
Với
3m =
bất phương trình trở thành
05x <-
: vô nghiệm.
Suy ra
{
}
2;3 2 3 1.S =- ¾¾- + =
Câu 20: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình
2mx x m-£-
vô nghiệm.
A.
0.
B.
1.
C.
2.
D. Vô số.
Lời giải
Chọn A.
Bất phương trình tương đương với
()
12.mx m-£-
Rõ ràng nếu
1m ¹
bất phương trình luôn có nghiệm.
Xét
1m = bất phương trình trở thành
01x £
: nghiệm đúng với mọi
x
.
Vậy không có giá trị nào của
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 21: Bất phương trình
()
()
2
93 16mxmx++³-
nghiệm đúng với mọi
x
khi
A. 3.m ¹ B. 3.m = C. 3.m ¹- D. 3.m =-
Lời giải
Chọn D.
Bất phương trình tương đương với
()
2
33mxm+³-
.
Với
3m =-
bất phương trình trở thành
06x ³-
: nghiệm đúng với mọi x Î .
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
()
34xmmx x++>+
có tập
nghiệm là
()
2;m--+¥
.
A. 2.m = B. 2.m ¹ C. 2.m > D. 2.m <
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 328
Lời giải
Chọn C.
Để ý rằng, bất phương trình 0ax b+> (hoặc
0, 0, 0<³£
)
● Vô nghiệm
()
S =Æ
hoặc có tập nghiệm là S = thì chỉ xét riêng
0.a =
● Có tập nghiệm là một tập con của
thì chỉ xét
0a >
hoặc
0.a <
Bất phương trình viết lại
()
2
24mx m->-
.
Xét
20 2mm-> « >
, bất phương trình
()
2
2
2
;
4
2
m
xmS
m
m
-
> =--=--
-
+¥
.
Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
()
1mx m x-³-
có tập
nghiệm là
(]
;1m-¥ +
.
A.
1.m =
B.
1.m >
C.
1.m <
D.
1.m ³
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình viết lại
()
2
11mxm-³-
.
Xét
10 1mm-> « >
, bất phương trình
[)
2
1;
1
1
1
m
xmSm
m
-
³ = + ¾= +¾
-
+¥
.
Xét
10 1mm-< « < , bất phương trình
(]
2
;1
1
1
1
m
xmS
m
m
-
£ = + ¾ =-¥¾ +
-
.
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để bất phương trình
()
12 3mx x-< -
có nghiệm.
A. 2m ¹ . B. 2m > . C. 2m = . D. 2m < .
Lời giải
Chọn A.
Bất phương trình viết lại
()
23mxm-<-
.
● Rõ ràng
20 2mm-¹« ¹
thì bất phương trình có nghiệm.
● Xét
20 2mm-=« =
, bất phương trình trở thành
01x <-
(vô lí).
Vậy bất phương trình có nghiệm khi
2m ¹
.
Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để bất phương trình
()
13mx x-<-
có nghiệm.
A.
1m ¹
. B.
1m =
. C.
m Î
. D.
3m ¹
.
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình viết lại
()
13mxm+<+
.
Rõ ràng
10m +¹
thì bất phương trình có nghiệm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 329
Xét
10 1mm+= « =-
, bất phương trình trở thành
02x <
(luôn đúng với mọi
x
).
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi
m
.
Câu 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để bất phương trình
()
2
61mm xm+- ³+
có nghiệm.
A.
2m ¹
. B.
2m ¹
và
3m ¹
. C. m Î . D.
3m ¹
.
Lời giải
Chọn A.
Rõ ràng
2
60mm+-¹ thì bất phương trình có nghiệm.
Xét
2
6
203
0.
302
mS
m
mS
m
x
x
é
=¾¾³¾¾=Æ
ê
=«
ê
=- ¾¾³-¾¾
+-
=
ê
ë
Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm khi
2m ¹
.
Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để bất phương trình
2
1mx mx m-< +
có nghiệm.
A. 1.m = B. 0m = . C.
0; 1.mm==
D. m Î .
Lời giải
Chọn D.
Bất phương trình viết lại
()
2
1mmxm-<+
.
Rõ ràng
2
0mm-¹
thì bất phương trình có nghiệm.
Xét
2
001
0.
102
mxS
m
mm
xS
é
=¾¾<¾¾=
ê
=«
ê
=¾¾<¾¾=
-
ê
ë
Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm với mọi
m Î .
Câu 28: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình
62 3mx x m+< +
với
2m <
. Hỏi tập hợp nào
sau đây là phần bù của tập
S
?
A.
()
3;+¥
. B.
[)
3;+¥
. C.
()
;3-¥
. D.
(]
;3-¥
.
Lời giải
Chọn D.
Bất phương trình tương đương với
()
236.mxm-<-
Với
2m <
, bất phương trình tương đương với
()
36
33;
2
m
xS
m
-
>=¾¾= +¥
-
Suy ra phần bù của
S là
(]
;3 .-¥
Câu 29: Tìm giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
()
1221xxm ³+-
có tập nghiệm là
[
)
1; .+¥
A.
3m =
B.
1m =
C.
1m =-
D.
2.m =-
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 330
Chọn A.
Bất phương trình tương đương với
()
22 1.mxm-³+
· Với
1m =
, bất phương trình trở thành 02x ³ : vô nghiệm. Do đó
1m =
không thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
·
Với
1m >
, bất phương trình tương đương với
11
;.
22 22
mm
xS
mm
éö
++
÷
ê
³¾¾= +¥
÷
÷
ê
ø
--
ë
Do đó yêu cầu bài toán
1
13
22
m
m
m
+
==
-
: thỏa mãn
1m >
.
· Với
1m <
, bất phương trình tương đương với
11
;
22 22
mm
xS
mm
æù
++
ç
ú
£¾¾=-¥
ç
ç
ú
è
--
û
: không
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy
3m =
là giá trị cần tìm.
Câu 30:
Tìm giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
()
231xm x-< -
có tập nghiệm là
()
4; .+¥
A. 1.m ¹ B. 1.m = C. 1.m =- D. 1.m >
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình tương đương với
2333.
x
mx x m-< ->-
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
()
3;Sm=-+¥
Để bất phương trình trên có tập nghiệm là
(
)
4;+¥
thì
34 1.mm-= =-
Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để bất phương trình
40mx +>
nghiệm đúng với mọi
8x <
.
A.
11
;.
22
m
éù
êú
Î-
êú
ëû
B.
1
;.
2
m
æù
ç
ú
Î-¥
ç
ç
ú
è
û
C.
1
;.
2
m
éö
÷
ê
Î- +¥
÷
÷
ê
ø
ë
D.
11
;0 0; .
22
m
é
öæ ù
÷
ç
ê
ú
Î- È
÷
ç
÷
ç
ê
ú
øè
ë
û
Lời giải
Chọn A.
Yêu cầu bài toán tương đương với
() ( )
40, 8;8fx mx x=+>"Î-
đồ thị của hàm số
()
yfx=
trên khoảng
()
8;8-
nằm phía trên trục hoành hai đầu mút của đoạn thẳng đó
đều nằm phía trên trục hoành
()
()
1
80
840
11
2
840 1
22
80
2
m
f
m
m
m
f
m
ì
ï
ï
£
ì
ï
ï-³
ì
-+³
ï
ï
ï
ïï
 -££
íí í
ïï ï
+³
³
ï
ïî ï
î
³-
ï
ï
ï
î
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 331
Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
()
2
250mx mx x-- ++<
nghiệm đúng với mọi
[
]
2018;2x Î-
.
A.
7
2
m <
. B.
7
2
m =
. C.
7
2
m >
. D. m Î .
Lời giải
Chọn C.
Cách 1.
Bất phương trình
()
2
22
2
25
125
1
m
mm x m x
mm
-
-+< -¾¾<
-+
2
2
25
;
1
m
S
mm
æö
-
÷
ç
÷
¾¾=-¥
ç
÷
ç
÷
ç
-+
èø
(vì
2
2
13
10,
24
mm m m
æö
÷
ç
-+= - +> "Î
÷
ç
÷
ç
èø
)
Yêu cầu bài toán
[]
22
22
25 25 7
2018;2 ; 2
2
11
mm
m
mm mm
æö
--
÷
ç
÷
- Ì-¥ « < « >
ç
÷
ç
÷
ç
-+ -+
èø
.
Cách 2. Ta có
() ()
2222
125 12 50mm x m mm xm-+ < - -+ - +<
.
Hàm số bậc nhất
()
22
12 5ymm xm=-+- +
có hệ số
2
10mm-+> nên đồng biến.
Do đó yêu cầu bài toán
()
()
22
7
20 1.22 50
2
ymmm m<-+-+<>
.
Câu 33: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
()
2
20mx mx-++³
có
nghiệm
[
]
1; 2x Î-
.
A.
2m ³-
. B. 2m =- . C.
1m ³-
. D.
2m £-
.
Lời giải
Chọn A.
Bất phương trình
()
2
22
2
2
12
1
mm
mxmm x
m
-
+³-¾¾³
+
2
2
2
;.
1
mm
S
m
é
ö
-
÷
ê
÷
¾¾= +¥
÷
ê
÷
+
ø
ë
Yêu cầu bài toán
[]
22
22
22
1; 2 ; 2 2.
11
mm mm
m
mm
éö
--
÷
ê
÷
- Ç +¥ ¹Æ¬¾£«³-
÷
ê
÷
++
ø
ë
Dạng4.Hệbấtphươngtrìnhbậcnhấtmộtẩn
1.Phươngpháp
2.Cácvídụrènluyệnkĩnăng
Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình:
3127
43219
xx
xx


.
Lời giải
Ta có
3127 6 6
8
43219 216 8
xx x x
x
xx x x






.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 332
Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình:
21
1
3
43
3
2
x
x
x
x
ì
-
ï
ï
<- +
ï
ï
ï
í
ï
-
ï
<-
ï
ï
ï
î
l
Lời giải
Ta có
21
4
1
21 33 5 4
4
3
5
43 62 2
43
5
2
3
2
x
x
xx x
x
x
xxx
x
x
x
ì
-
ï
ï
ì
>- +
ï
ï
ï
ìì
->- + >
>
ïï
ï
ï
ïï ï
>
íí íí
ïï ïï
-<- -<
-
ïï
ïî îï
>-
<-
ïï
î
ï
ï
î
.
Ví dụ 3: Tìm
m
để hệ bất phương trình
()
2
2
371
285
xxx
mx
ì
ï
-³++
ï
í
ï
£+
ï
î
có nghiệm duy nhất.
Lời giải
Bất phương trình
()
2
222
8
3716971
13
xxxxxxxx- ³++«-+³++«£
1
8
;.
13
S
æù
ç
ú
¾¾=-¥
ç
ç
ú
è
û
Bất phương trình
2
28 28
285 ;
55
mm
mxx S
é
ö
--
÷
ê
£+ ³ ¾¾= +¥
÷
÷
ê
ø
ë
.
Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất
12
SSÇ là tập hợp có đúng một phần tử
82 8 72
.
13 5 13
m
m
-
= =
Ví dụ 4: Tìm m để hệ bất phương trình
210
2
x
xm
ì
->
ï
ï
í
ï
-<
ï
î
có nghiệm
Lời giải
Bất phương trình
210x ->
có tập nghiệm
1
1
;.
2
S
æö
÷
ç
=+¥
÷
ç
÷
ç
èø
Bất phương trình
2xm-<
có tập nghiệm
()
2
;2.mS =-¥ +
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
12
13
2.
22
SmSmǹÆ+>>-
Ví dụ 5: Tìm giá trị thực của tham số
m
để hệ bất phương trình
()
3
39
mx m
mxm
ì
£-
ï
ï
í
ï
+³-
ï
î
có nghiệm duy
nhất.
Lời giải
Giả sử hệ có nghiệm duy nhất thì
39
1.
3
mm
m
mm
--
==
+
Thử lại với
1m =
, hệ bất phương trình trở thành
2
2
2
x
x
x
ì
£-
ï
ï
=-
í
ï
³-
ï
î
.
Vậy
1m =
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 333
3.Bàitậptrắcnghiệm
Câu 1:
Tập nghiệm S của hệ bất phương trình
20
21 2
x
xx
ì
->
ï
ï
í
ï
+< -
ï
î
là:
A.
()
;3.S =-¥-
B.
()
;2 .S =-¥
C.
()
3;2 .S =-
D.
()
3; .S =- +¥
Lời giải
Chọn A.
Ta có
20 2 2
3.
21 2 3 3
xxx
x
xx x x
ììì
-> > <
ïïï
ïïï
<-
ííí
ïïï
+< - <- <-
ïïï
îîî
Câu 2: Tập nghiệm S của hệ bất phương trình
1
1
2
52
3
2
x
x
x
x
ì
-
ï
ï
<- +
ï
ï
ï
í
ï
-
ï
+>
ï
ï
ï
î
là:
A.
1
;.
4
S
æö
÷
ç
=-¥-
÷
ç
÷
ç
èø
B.
()
1; .S =+¥
C.
1
;1 .
4
S
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
èø
D.
.S =Æ
Lời giải
Chọn C.
Ta có
1
1
1
12233
2
.
1
52 62 52 4 1
3
4
2
x
x
x
xx x
xxxx
x
x
ì
-
ï
ï
ì
<
<- +
ï
ï
ï
ìì
-<- + <
ïï
ï
ï
ïï ï

íí íí
ïï ïï
-+>- >-
>-
ïï
ïî îï
+>
ïï
î
ï
ï
î
Câu 3: Tập nghiệm S của hệ bất phương trình
2 1 2017
2018 2
3
2
xx
x
x
ì
-<-+
ï
ï
ï
í
-
ï
+>
ï
ï
î
là:
A. .S =Æ B.
2012 2018
;.
83
S
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
èø
C.
2012
;.
8
S
æö
÷
ç
=-¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
2018
;.
3
S
æö
÷
ç
=+¥
÷
ç
÷
ç
èø
Lời giải
Chọn B.
Ta có
2018
2 1 2017
3 2018 3 2018
3
2018 2
6 6 2018 2 8 2012 2012
33
2
8
xx
x
xx
x
xxx
x
x
ì
ï
ï
ì
-<-+
>
ï
ï
ï
ìì
<>
ïï
ï
ï
ïïï

íííí
-
ïïïï
+> - >
+>
ïï
ïîîï
>
ïï
î
ï
ï
î
2018 2012
38
x<<
.
Câu 4: Tập
3
1;
2
S
éö
÷
ê
=-
÷
÷
ê
ø
ë
là tập nghiệm của hệ bất phương trình sau đây ?
A.
2( 1) 1
.
1
x
x
ì
-<
ï
ï
í
ï
³-
ï
î
B.
2( 1) 1
.
1
x
x
ì
->
ï
ï
í
ï
³-
ï
î
C.
2( 1) 1
.
1
x
x
ì
-<
ï
ï
í
ï
£-
ï
î
D.
2( 1) 1
.
1
x
x
ì
-<
ï
ï
í
ï
£-
ï
î
Lời giải
Chọn A.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 334
Ta có
()
211
23
33
11;.
1
22
1
x
x
xS
x
x
ì
ì
ï-<
<
é
ö
ï
ïï
÷
ê
-£<¾¾=-
÷
íí
÷
ïï
ê
ø
³-
³-
ë
ï
ïî
î
Chọn A.
Ta có
()
3
211
23
33
;.
2
1
22
1
1
x
x
x
xS
x
x
x
ì
ï
ì
ï
ì
ï->
>æö
>
ï
ï
ïï
÷
ç
>¾¾= +¥
÷
ííí
ç
÷
ç
ïïï
èø
³-
³-
ï
ïîï
î
³-
ï
î
B sai.
Ta có
()
(]
3
211
23
1;1.
2
1
1
1
x
x
x
xS
x
x
x
ì
ï
ì
ï
ì
ï-<
<
<
ï
ï
ïï
£-¾¾=-¥-
ííí
ïïï
£-
£-
ï
ïîï
î
£-
ï
î
C sai.
Ta có
()
3
211
23
.
2
1
1
1
x
x
x
xS
x
x
x
ì
ï
ì
ï
ì
ï->
>
>
ï
ï
ïï
Îƾ¾=Æ
ííí
ïïï
£-
£-
ï
ïîï
î
£-
ï
î
D sai.
Câu 5: Tập nghiệm S của bất phương trình
()
()
21 3
23 1
xx
xx
ì
ï
-<+
ï
í
ï
£+
ï
î
là:
A.
()
3;5 .S =-
B.
(]
3;5 .S =-
C.
[
)
3;5 .S =-
D.
[]
3;5 .S =-
Lời giải
Chọn C.
Ta có
()
()
21 3
22 3
233
23 1
xx
xx
xx
xx
ì
ï-<+
ì
-<+
ï
ï
ï
íí
ïï
£+
£+
ï
ïî
î
[)
5
35 3;5.
3
x
xS
x
ì
<
ï
ï
-£<¾¾=-
í
ï
³-
ï
î
Câu 6: Biết rằng bất phương trình
12 3
53
3
2
35
xx
x
x
xx
ì
-< -
ï
ï
ï
ï
-
ï
£-
í
ï
ï
ï
ï
£+
ï
î
có tập nghiệm là một đoạn
[
]
;ab
. Hỏi
ab+
bằng:
A.
11
.
2
B.
8.
C.
9
.
2
D.
47
.
10
Lời giải
Chọn D.
Bất phương trình
2
12 3 2
11 11 5
53 2 6 11 5
55 2
35 25
5
2
x
xx x
xx x x x
xx x
x
ì
>
ï
ï
ìì
-< - <
ïï
ï
ïï
ï
ïï
ï
ïï
-£- £³££
ï
íí
ï
ïïí
ïï
ï
ïï
£+ £
ï
ïï
îî
ï
ï
£
ï
ï
ï
î
.
Suy ra
11 5 47
.
5210
ab+= + =
Câu 7: Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình
5
647
7
83
225
2
xx
x
x
ì
ï
ï
+> +
ï
ï
ï
í
ï
+
ï
<+
ï
ï
ï
î
là:
A. Vô số. B. 4 . C.
8.
D.
0.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 335
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình
42 5 28 49 14 44
83450 4 47
xx x
xx x
ìì
+> + >
ïï
ïï

íí
ïï
+< + <
ïï
îî
{}
44
44 47
14
4;5;6;7;8;9;10;11 .
47
14 4
4
x
x
xx
x
Î
ì
ï
ï
>
ï
ï
ï
<<¾¾¾Î
í
ï
ï
<
ï
ï
ï
î
Câu 8: Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình
()
2
2
5245
2
xx
xx
ì
-< +
ï
ï
í
ï
<+
ï
î
bằng:
A. 21. B. 27. C. 28. D. 29.
Lời giải
Chọn A.
Bất phương trình
22
5245
77
44 1
44
xx
xx
xx
xx x
ì
ìì
-< +
<<
ï
ïï
ïïï

ííí
ïïï
-< -<
<++
ïï
ïîî
î
{}
7
17 0;1;2;3;4;5;6.
1
x
x
xx
x
Î
ì
<
ï
ï
-<<¾¾¾Î
í
ï
>-
ï
î
Suy ra tổng bằng 21.
Câu 9: Cho bất phương trình
()
()
2
2
3
32
184
26139
xxx
xxxx
ì
ï
-£-+
ï
ï
í
ï
+<+ + +
ï
ï
î
. Tổng nghiệm nguyên lớn nhất và
nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình bằng:
A.
2.
B.
3.
C.
6.
D. 7.
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình
22
32 32
12 84
6128 6139
xx xx
xx x xx x
ì
ï
-+£-+
ï
í
ï
+++<+++
ï
î
{}
7
12 84 2 7
7
10;1;2;3.
2
12 8 13 9 1
2
1
x
xx x
x
xx
xx x
x
Î
ì
ï
ï
ìì
-£- £
£
ïï
ï
ïï
-<£¾¾¾Î
ííí
ïïï
+< + -<
ïï
îîï
>-
ï
î
Suy ra tổng cần tính là
033+=
.
Câu 10: Hệ bất phương trình
()
36 3
5
7
2
x
xm
ì
ï
-<-
ï
ï
ï
í
+
ï
>
ï
ï
ï
î
có nghiệm khi và chỉ khi:
A.
11.m >-
B.
11.m ³-
C.
11.m <-
D.
11.m £-
Lời giải
Chọn A.
Bất phương trình
()
36 3x -<-
có tập nghiệm
()
1
;5 .S =-¥
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 336
Bất phương trình
5
7
2
xm+
>
có tập nghiệm
2
;.
14
5
S
m
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
+
èø
-
=¥
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
12
14
5 11.
5
m
SmS
-
Ç¹Æ <>-
Câu 11: Hệ bất phương trình
2
10
0
x
xm
ì
ï
-£
ï
í
ï
->
ï
î
có nghiệm khi và chỉ khi:
A.
1.m >
B.
1.m =
C.
1.m <
D.
1.m ¹
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình
2
10x -£
có tập nghiệm
[
]
1
1;1S =-
.
Bất phương trình
0xm->
có tập nghiệm
()
2
;Sm=+¥
.
Hệ có nghiệm
12
1SS m¹Æ< .
Câu 12: Hệ bất phương trình
()
2
20
14
x
mx
ì
-³
ï
ï
ï
í
ï
+<
ï
ï
î
có nghiệm khi và chỉ khi:
A.
1.m >
B.
1.m <
C.
1.m <-
D.
11.m-< <
Lời giải
Chọn D.
Bất phương trình
22xx-³ ³
có tập nghiệm
[
)
1
2;S =+¥
.
Bất phương trình
()
2
2
4
14
1
mx x
m
+<<
+
(do
2
10m +>
).
Suy ra
2
2
4
;
1
S
m
æö
÷
ç
=-¥
÷
ç
÷
ç
èø
+
.
Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
12
2
4
2
1
SS
m
ǹƬ¾>
+
Giải bất phương trình
()
222
2
4
242 1 22 1 1 1
1
mmmm
m
>> + > <-< <
+
.
Câu 13: Hệ bất phương trình
()
()
12
22 1
mmx
mmx m
ì
ï
-<
ï
í
ï
-³ +
ï
î
có nghiệm khi và chỉ khi:
A.
1
.
3
m <
B.
1
0.
3
m¹<
C.
0.m ¹
D.
0.m <
Lời giải
Chọn B.
Hệ bất phương trình tương đương với
2
2
2
41
mx m
mx m
ì
ï
<+
ï
í
ï
³+
ï
î
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 337
Với
0m =
, ta có hệ bất phương trình trở thành
02
01
x
x
ì
<
ï
ï
í
ï
³
ï
î
: hệ bất phương trình vô nghiệm.
Với
0m ¹
, ta có hệ bất phương trình tương đương với
2
2
2
41
m
x
m
m
x
m
ì
+
ï
ï
<
ï
ï
ï
í
ï
+
ï
³
ï
ï
ï
î
.
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
22
24 1 1
3
mm
m
mm
++
><
.
Vậy
1
0
3
m¹<
là giá trị cần tìm.
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hệ bất phương trình
213
0
x
xm
ì
-³
ï
ï
í
ï
-£
ï
î
có nghiệm
duy nhất.
A.
2m >
. B.
2m =
. C.
2m £
. D.
2m ³
.
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình
[
)
1
213 2 2; .xxS-³ « ³ ¾¾=+¥
Bất phương trình
(]
2
0;
x
mxmS m-£«£ ¾¾=-¥
.
Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất
12
SSÇ là tập hợp có đúng một phần tử
2.m=
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hệ bất phương trình
2
6
31 5
mx x
xx
ì
ï
³-
ï
í
ï
-£ +
ï
î
có nghiệm duy
nhất.
A.
1m =
. B.
1m =-
. C.
1m =
. D.
1m ³
.
Lời giải
Chọn C.
Bất phương trình
()
22
2
6
616
1
mx x m x x
m
³-« + ³« ³
+
1
2
6
;.
1
S
m
éö
÷
ê
¾¾= +¥
÷
÷
ê
ø
+
ë
Bất phương trình
(]
2
31 5 3 ;3xx x S-£ + « £ ¾¾=-¥
.
Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất
12
SSÇ là tập hợp có đúng một phần tử
2
2
6
31 1.
1
mm
m
===
+
Câu 16: Tìm giá trị thực của tham số
m
để hệ bất phương trình
()
21 3
434
mx x
mx x
ì
ï
+³+
ï
í
ï
+³
ï
î
có nghiệm duy
nhất.
A.
5
.
2
m =
B.
3
.
4
m =
C.
35
; .
42
mm==
D.
1.m =-
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 338
Lời giải
Chọn B.
Hệ bất phương trình tương đương với
()
()
21 32
.
44 3
mx m
mx
ì
ï
-³-
ï
í
ï
-³-
ï
î
Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì
32 3
2144
m
mm
--
=
--
2
3
826150
4
mm m-+==
hoặc
5
2
m =
.
Thử lại
·
Với
3
4
m =
, hệ trở thành
33
13
3
3
22
3
3
x
x
x
x
x
ì
æö
ï
÷
ï
ç
ì
-³-
³
÷
ï
ïç
ïï
÷
ç
èø
=
íí
ïï
£
ï
ïî
ï-³-
ï
î
: thỏa mãn.
·
Với
5
2
m =
, hệ trở thành
42
1
63
2
x
x
x
ì
³-
ï
ï
³-
í
ï
³-
ï
î
: không thỏa mãn.
Vậy
3
4
m =
là giá trị cần tìm.
Câu 17: Hệ bất phương trình
34 9
12 3 1
xx
xm x
ì
+>+
ï
ï
í
ï
-£-+
ï
î
vô nghiệm khi và chỉ khi:
A.
5
.
2
m >
B.
5
.
2
m ³
C.
5
.
2
m <
D.
5
.
2
m £
Lời giải
Chọn D.
Bất phương trình
1
55
34 925 ; .
22
xx x x S
æö
÷
ç
+>+« >« > ¾¾= +¥
÷
ç
÷
ç
èø
Bất phương trình
(]
2
12 3 1 ;
x
mx xm S m-£-+«£¾¾=-¥
.
Để hệ bất phương trình vô nghiệm
12
5
.
2
SS mÇ=Æ£
Câu 18: Hệ bất phương trình
2781
52
xx
mx
ì
+³ +
ï
ï
í
ï
+<
ï
î
vô nghiệm khi và chỉ khi:
A.
3.m >-
B.
3.m ³-
C.
3.m <-
D.
3.m £-
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình
(]
1
2781 6 6 1 ;1.xx x x S+³ +«- ³-« £¾¾=-¥
Bất phương trình
2
55
52 ;
22
mm
mxx S
æö
++
÷
ç
+< « > ¾¾= +¥
÷
ç
÷
ç
èø
.
Để hệ bất phương trình vô nghiệm
12
5
13.
2
m
SS m
+
Ç=Æ£ ³-
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 339
Câu 19: Hệ bất phương trình
()
2
2
371
285
xxx
mx
ì
ï
-³++
ï
í
ï
£+
ï
î
vô nghiệm khi và chỉ khi:
A.
72
.
13
m >
B.
72
.
13
m ³
C.
72
.
13
m <
D.
72
.
13
m £
Lời giải
Chọn A.
Bất phương trình
()
2
222
3716971xxxxxxx-³++«-+³++
1
88
6971813 ;.
13 13
xx xx S
æù
ç
ú
«- + ³ + « ³ « £ ¾¾=-¥
ç
ç
ú
è
û
Bất phương trình
2
28 28
285285 ;
55
mm
mxmxx S
é
ö
--
÷
ê
£+ « -£ « ³ ¾¾= +¥
÷
÷
ê
ø
ë
.
Để hệ bất phương trình vô nghiệm
12
82 8 72
.
13 5 13
m
SS m
-
Ç=Æ < >
Câu 20: Hệ bất phương trình
()()
()
22
35 1
219
12
xx
xx
mx m x m
ì
+³-
ï
ï
ï
ï
ï
+£-+
í
ï
ï
ï
+> - +
ï
ï
î
vô nghiệm khi và chỉ khi:
A.
3.m >
B.
3.m ³
C.
3.m <
D.
3.m £
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình
[
)
1
35 12 6 3 3; .xx x x S+³-« ³-« ³-¾¾=-+¥
Bất phương trình
()()
22
22
21944219xx xxxx+£-+«++£-++
(]
2
44 21966 1 ;1.xx xxS«+£-++«£«£¾¾=-¥
Suy ra
[
]
12
3;1SSÇ=-
.
Bất phương trình
()
12 1 2mx m x m mx mx x m+> - + « +> - +
3
11
12 2 1 ; .
22
mm
xm xm x S
æö
--
÷
ç
«>- + « > -« > ¾¾= +¥
÷
ç
÷
ç
èø
Để hệ bất phương trình vô nghiệm
()
12 3
1
13.
2
m
SS S m
-
ÇÇ=Æ ³³
Câu 21: Hệ bất phương trình
()()
2354
11
xx
mx x
ì
ï-< -
ï
í
ï
+£ -
ï
î
vô nghiệm khi và chỉ khi:
A.
1.m >
B.
1.m ³
C.
1.m <
D.
1.m £
Lời giải
Chọn B.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 340
Bất phương trình
()()
1
14 14
2354 ;
33
xxx S
æö
÷
ç
-< -«> ¾¾= +¥
÷
ç
÷
ç
èø
.
Bất phương trình
()
11 1 2mx x m x+£ -« - £-
.
()
*
Với
1m =
, khi đó
(
)
*
trở thành
02x £-
: vô nghiệm ¾¾ hệ vô nghiệm.
¾¾
trong trường hợp này ta chọn
1m =
.
Với
1m >
, ta có
()
2
22
*;
11
xS
mm
æù
--
ç
ú
«£ ¾¾=-¥
ç
ç
ú
è
--
û
¾¾ hệ bất phương trình vô nghiệm
12
214
13
SS
m
-
Ç=Æ £
-
()
()
()
()
14 1
64
614 1
3131 7
m
mm
mm
-
-
£ -£-³
--
(do với
110mm> ->
).
¾¾ trong trường hợp này ta chọn
1m >
.
Với
1m <
, ta có
()
2
22
*;
11
xS
mm
é
ö
--
÷
ê
«³ ¾¾= +¥
÷
÷
ê
ø
--
ë
.
Khi đó
12
SSÇ luôn luôn khác rỗng nên
1m <
không thỏa mãn.
Vậy
1m ³
thì hệ bất phương trình vô nghiệm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 341
BÀI 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
1. Nhị thức bậc nhất
Nhị thức bậc nhất đối với
x
là biểu thức dạng
()
f
xaxb=+
trong đó ,ab là hai số đã cho,
0.a ¹
2. Dấu của nhị thức bậc nhất
Định lí
Nhị thức
()
f
xaxb=+
có giá trị cùng dấu với hệ số
a
khi
x
lấy các giá trị trong khoảng
;,
b
a
æö
÷
ç
-+¥
÷
ç
÷
ç
èø
trái dấu với hệ số
a
khi
x
lấy giá trị trong khoảng
;.
b
a
æö
÷
ç
-¥ -
÷
ç
÷
ç
èø
x
-¥
b
a
-
+¥
()
f
xaxb=+
trái dấu với
a
0 cùng dấu với a
Minh họa bằng đồ thị
II – XÉT DẤU TÍCH, THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Giả sử
()
f
x
là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất
có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong
()
f
x
ta suy ra được dấu của
(
)
.
f
x
Trường hợp
()
f
x
là một thương cũng được xét tương tự.
III – ÁP DỤNG VÀO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Giải bất phương trình
()
0fx>
thực chất là xét xem biểu thức
()
f
x
nhận giá trị dương với những
giá trị nào của
x
(do đó cũng biết
(
)
f
x
nhận giá trị âm với những giá trị nào của
x
), làm như vậy
ta nói đã xét dấu biểu thức
(
)
.
f
x
1. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Ví dụ. Giải bất phương trình
1
1.
1 x
³
-
Giải.
Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 342
11
110 0
11 1
x
xx x
³ -³ ³
-- -
Xét dấu biểu thức
()
1
x
fx
x
=
-
Ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là
01.x£<
2. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ. Giải bất phương trình
21 35.xx-++-<
Giải.
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có
()
2 1 neu 2 1 0
21
21neu210.
xx
x
xx
ì
-+ -+³
ï
ï
-+=
í
ï
-- + - + <
ï
î
Do đó, ta xét phương trình trong hai khoảng
a) Với
1
2
x
£ ta có hệ bất phương trình
()
1
2
21 35
x
xx
ì
ï
ï
£
ï
ï
í
ï
ï
-++-<
ï
ï
î
hay
1
.
2
7
x
x
ì
ï
ï
£
ï
í
ï
ï
-<
ï
î
Hệ này có nghiệm là
1
7.
2
x-< £
b) Với
1
2
x >
ta có hệ bất phương trình
()
1
2
21 35
x
xx
ì
ï
ï
>
ï
ï
í
ï
ï
-+-<
ï
ï
î
hay
1
.
2
3
x
x
ì
ï
ï
>
ï
í
ï
ï
<
ï
î
Hệ này có nghiệm là
1
3.
2
x<<
Tổng hợp lại tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng
1
7;
2
æù
ç
ú
-
ç
ç
ú
è
û
và
1
;3 .
2
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Kết luận. Bất phương trình đã cho có nghiệm là
73.x-< <
Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng
()
f
xa£
và
()
f
xa³
với
0a >
đã cho.
Ta có
() ()
f
xa afxa£-£ £
(
)
0a >
() ()
f
xafx a³ £-
hoặc
()
f
xa³
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 343
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1. Xét dấu nhị thức bậc nhất
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho biểu thức Tập hợp tất cả các giá trị của để là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có

1
003602
36
fx x x
x
  
. vậy
;2x
Ví dụ 2: Cho biểu thức Tập hợp tất cả các giá trị của thỏa mãn bất phương
trình là
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có

0530 5;3fx x x x x  .
Bảng xét dấu
x
-¥
5-
3
+¥
5x +
-
0
+
+
3
x
-
+
+
0
-
()
f
x
-
0
+
0
-
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
() ( ]
[
)
0;53;.fx x£Î-¥-È +¥
Ví dụ 3: Cho biểu thức Tập hợp tất cả các giá trị của thỏa mãn bất phương
trình là
A. B.
C. D.
Lời giải
()
1
.
36
fx
x
=
-
x
()
0fx£
(]
;2 .x Î-¥
()
;2 .x Î-¥
()
2; .x Î+¥
[
)
2; .x Î+¥
() ( )( )
53 .
f
xx x=+ -
x
()
0fx£
()()
;5 3; .x Î-¥ È +¥
()
3; .x Î+¥
()
5;3 .x Î-
(]
[
)
;5 3; .x Î-¥- È +¥
()
()()
32
.
1
x
x
fx
x
+-
=
-
x
()
0fx>
()()
;3 1; .x Î-¥- È +¥
()( )
3;1 2; .x Î- È +¥
()()
3;1 1;2 .x Î- È
()()
;3 1;2.x Î-¥- È
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 344
Chọn D
Phương trình
30 3xx
;
20 2xx

và
10 1
x
x

.
Bảng xét dấu
x
-¥
3-
1
2
+¥
3x +
-
0
+
+
+
2
x
-
+
+
+
0
-
1x -
-
-
0
+
+
(
)
f
x
+
0
-
+
0
-
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
() ( ) ( )
0;31;2.fx x>Î-¥-È
Ví dụ 4: Cho biểu thức Tập hợp tất cả các giá trị của thỏa mãn bất phương
trình là
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A
Phương trình
480 2xx
;
20 2xx

;
40 4xx

.
Bảng xét dấu
x
-¥
2-
2
4
+¥
48x -
-
-
0
+
+
2x +
-
0
+
+
+
4
x
-
+
+
+
0
-
()
f
x
+
0
-
0
+
-
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
() ( ]
[
)
0;22;4.fx x x³ÎÎ-¥-È
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho biểu thức
()
24.fx x=-
Tập hợp tất cả các giá trị của
x
để
()
0fx³
là
()
()()
482
.
4
x
x
fx
x
-+
=
-
x
()
0fx³
(]
[
)
;2 2;4.x Î-¥- È
()
3; .x Î+¥
()
2;4 .x Î-
()( )
2;2 4; .x Î- È +¥
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 345
A.
[
)
2; .x Î+¥
B.
1
;.
2
x
é
ö
÷
ê
Î+¥
÷
÷
ê
ø
ë
C.
(]
;2 .x Î-¥
D.
()
2; .x Î+¥
Lời giải
Chọn A
Ta có

0240 2fx x x
2;x

.
Câu 2: Cho biểu thức
() ( )( )
23 .
f
xxx x=--
Tập hợp tất cả các giá trị của
x
thỏa mãn bất
phương trình
()
0fx<
là
A.
()( )
0;2 3; .x ÎÈ+¥
B.
()()
;0 3; .x Î-¥ È +¥
C.
(]()
;0 2; .x Î-¥ È +¥
D.
()()
;0 2;3 .x Î-¥ È
Lời giải
Chọn A
Ta có

02300;2;3fx xx x x x x  .
Bảng xét dấu
x
-¥
0
2
3
+¥
x
-
0
+
+
+
2x -
-
-
0
+
+
3
x
-
+
+
+
0
-
()
f
x
+
0
-
0
+
0
-
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
() ( ) ( )
00;23;fx x<Î È +¥
Câu 3: Cho biểu thức
()
2
91.fx x=-
Tập hợp tất cả các giá trị của
x
để
()
0fx<
là
A.
11
;.
33
x
éù
êú
Î-
êú
ëû
B.
11
;;.
33
x
æöæö
÷÷
çç
Î-¥- È +¥
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
C.
11
;;.
33
x
æùéö
÷
ç
úê
Î-¥- È +¥
÷
ç
÷
ç
úê
èø
ûë
D.
11
;.
33
x
æö
÷
ç
Î-
÷
ç
÷
ç
èø
Lời giải
Chọn D
Ta có

2
11
09 10 31310 ;
33
fx x x x x x  
.
Bảng xét dấu
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 346
x
-¥
1
3
-
1
3
+¥
31x -
-
-
0
+
31x +
-
0
+
+
()
f
x
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
()
11
0;.
33
fx x
æö
÷
ç
<Î-
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 4: Cho biểu thức
() ( )
()
3
21 1.fx x x=- -
Tập hợp tất cả các giá trị của
x
thỏa mãn bất
phương trình
()
0fx³
là
A.
1
;1 .
2
x
éù
êú
Î
êú
ëû
B.
()
1
;1;.
2
x
æö
÷
ç
Î-¥- È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
C.
[)
1
;1; .
2
x
æù
ç
ú
Î-¥ È +¥
ç
ç
ú
è
û
D.
1
;1 .
2
x
æö
÷
ç
Î
÷
ç
÷
ç
èø
Lời giải
Chọn C
Ta có
32
21 10 21 1 10xx xxxx
Phương trình
1
210
2
xx
;
10 1
x
x

và
2
2
13
10
24
xx x




Bảng xét dấu
x
-¥
1
2
1
+¥
21x -
-
0
+
+
1x -
-
-
0
+
2
1xx++
+
-
+
()
f
x
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra
() [)
1
0;1;.
2
fx x
æù
ç
ú
³Î-¥ È +¥
ç
ç
ú
è
û
Câu 5: Cho biểu thức
()
()
()()
3
.
51
xx
fx
x
x
-
=
--
Tập hợp tất cả các giá trị của
x
thỏa mãn bất phương
trình
()
0fx³
là
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 347
A.
(]()
;0 3; .x Î-¥ È +¥
B.
(]()
;0 1;5 .x Î-¥ È
C.
[
)
[
)
0;1 3;5 .x ÎÈ
D.
()()
;0 1;5 .x Î-¥ È
Lời giải
Chọn C
Ta có
0x ; 30 3xx ; 50 5xx
 và 10 1
x
x
 .
Bảng xét dấu
x
-¥
0
1
3
5
+¥
x
-
0
+
+
+
+
3x -
-
-
-
0
+
+
5x -
-
-
-
-
+
1
x
-
+
+
-
-
-
()
f
x
-
0
+
-
0
+
-
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
()
[
)
[
)
00;13;5.fx x³Î È
Câu 6: Cho biểu thức
()
2
412
.
4
x
fx
x
x
-
=
-
Tập hợp tất cả các giá trị của
x
thỏa mãn bất phương trình
()
0fx£
là
A.
(]( )
0;3 4; .x ÎÈ+¥
B.
(]
[
)
;0 3;4 .x Î-¥ È
C.
()
[
)
;0 3;4 .x Î-¥ È
D.
()()
;0 3;4 .x Î-¥ È
Lời giải
Chọn B
Ta có
()
()
2
412412
.
44
xx
fx
xxxx
--
==
--
Phương trình
4120 3; 0xxx-== = và
40 4.xx-= =
Bảng xét dấu
x
-¥
0
3
4
+¥
412x -
-
-
0
+
+
x
-
0
+
+
+
4x -
-
-
-
0
+
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 348
(
)
f
x
-
+
0
-
+
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra
() ( )
[
)
0;03;4.fx x£Î-¥ È
Câu 7: Cho biểu thức
()
2
2.
1
x
fx
x
-
=+
+
Tập hợp tất cả các giá trị của
x
thỏa mãn bất phương
trình
()
0fx<
là
A.
()
;1.x Î-¥-
B.
()
1; .x Î- +¥
C.
()
4; 1 .x Î- -
D.
()()
;4 1; .x Î-¥- È- +¥
Lời giải
Chọn C
Ta có
()
()
221
24
2.
111
xx
xx
fx
xxx
-+ +
-+
=+= =
+++
Phương trình
40 4xx+==- và 10 1.xx+= =-
Bảng xét dấu
x
-¥
4-
1-
+¥
4x +
-
0
+
+
1x +
-
-
0
+
()
f
x
+
0
-
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
() ( )
04;1.fx x<Î--
Câu 8: Cho biểu thức
()
2
1.
32
x
fx
x
-
=-
-
Tập hợp tất cả các giá trị của
x
thỏa mãn bất phương
trình
()
0fx£
là
A.
2
;1 .
3
x
æö
÷
ç
Î
÷
ç
÷
ç
èø
B.
()
2
;1;.
3
x
æö
÷
ç
Î-¥ È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
C.
2
;1 .
3
x
æù
ç
ú
Î
ç
ç
ú
è
û
D.
()
2
;1 ; .
3
x
æö
÷
ç
Î-¥ È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
Lời giải
Chọn C
Ta có
()
232244
1.
32 32 32
xx xx
fx
xxx
---+-
=- = =
---
Phương trình
440 1xx-= =
và
2
320 .
3
xx-= =
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 349
Bảng xét dấu
x
-¥
2
3
1
+¥
44x -
-
-
0
+
32x -
-
0
+
+
()
f
x
+
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
()
2
0;1.
3
fx x
æù
ç
ú
£Î
ç
ç
ú
è
û
Câu 9: Cho biểu thức
()
43
.
312
fx
x
x
-
=-
+-
Tập hợp tất cả các giá trị của
x
thỏa mãn bất phương
trình
()
0fx>
là
A.
[)
11 1
;2;.
53
x
æö
÷
ç
Î- - È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
B.
()
11 1
;2;.
53
x
æö
÷
ç
Î- - È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
C.
11 1
;;2.
53
x
æùæö
÷
çç
ú
Î-¥- È-
÷
çç
÷
çç
ú
èèø
û
D.
11 1
;;2.
53
x
æöæö
÷÷
çç
Î-¥- È-
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Lời giải
Chọn B
Ta có
()
()( )
4334 511
.
312 231 231
x
fx
xxxxxx
+
=- - = - =
+- - + - +
Phương trình
11
5110 ; 20 2
5
xxxx+==- -==
và
1
310 .
3
xx+= =-
Bảng xét dấu
x
-¥
11
5
-
1
3
-
2
+¥
511x +
-
0
+
+
+
2x -
-
-
-
0
+
31x +
-
-
0
+
+
(
)
f
x
-
0
+
-
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
() ()
11 1
0;2;.
53
fx x
æö
÷
ç
>Î- - È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 10: Cho biểu thức
()
12 3
.
43
fx
xx x
=+ -
++
Tập hợp tất cả các giá trị của
x
thỏa mãn bất
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 350
phương trình
()
0fx<
là
A.
()()
12; 4 3;0 .x Î- - È-
B.
()
11 1
;2;.
53
x
æö
÷
ç
Î- - È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
C.
11 1
;;2.
53
x
æùæö
÷
çç
ú
Î-¥- È-
÷
çç
÷
çç
ú
èèø
û
D.
11 1
;;2.
53
x
æöæö
÷÷
çç
Î-¥- È-
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Lời giải
Chọn A
Ta có
()
()()
12 3 12
00.
43 34
x
fx
xx x xx x
+
=+ - < <
++ ++
Phương trình
12 0 12; 3 0 3xxxx+==- +==- và 40 4.xx+= =-
Bảng xét dấu
x
-¥
12-
4-
3-
0
+¥
12x +
-
0
+
+
+
+
x
-
-
-
-
0
+
3x +
-
-
-
0
+
+
4x +
-
-
0
+
+
+
(
)
f
x
+
0
-
+
-
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
() ( ) ( )
012;43;0.fx x<Î- - È-
Câu 11: Cho biểu thức
()
()()
2
32
.
1
xx
fx
x
-+
=
-
Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của
x
thỏa
mãn bất phương trình
()
1fx<
?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời giải
Chọn C
Ta có
()
()()
()()
2
22
32
65
11 1 .
11
11
xx
xx x
fx
xx
xx
-+
-- +
-=- =- =
-+
--
Phương trình
50 5; 10 1xxxx+= =- -= =
và
10 1.xx+= =-
Bảng xét dấu
x
-¥
5-
1-
1
+¥
5x +
-
0
+
+
+
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 351
1x -
-
-
-
0
+
1x +
-
-
0
+
+
()
1
f
x-
-
0
+
-
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
() ( ) ( )
105;11;.fx x->Î--È+¥
Vậy có tất cả
3
giá trị nguyên âm của
x
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 2. Bất phương trình tích
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Đặt
() ( )( )
31fx x x=+ -
Phương trình
30 3xx+= =- và
10 1.xx-= =
Ta có bảng xét dấu
x

3
1

3
x
0
1
x
0
f
x
0
0
Từ bảng xét dấu ta có
()()
[
]
3103 1 3;1.xx x x+-£-££Î-
Suy ra các nghiệm nguyên của bất phương trình là
3, 2, 1, 0,1.---
Suy ra tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng
5.-
Ví dụ 2: Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Đặt
() ( )( )
21.fx xx x=- +
Phương trình
0; 2 0 2xx x=-== và 10 1.xx+= =-
Ta có bảng xét dấu
()()
310xx+-£
1.
4.-
5.-
4.
()()
210xx x-+>
2. 3. 4.
5.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 352
x
-¥ 1-
0
2
+¥
x
-
-
0
+
+
2x -
0
+
1x +
-
0
+
+
()
f
x
-
0
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
() ( ) ( )
01;02;.fx x>Î- È +¥
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là
3.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình
()()
281 0xx+->
có dạng
()
;.ab
Khi đó
ba-
bằng
A.
3.
B.
5.
C.
9.
D. không giới
hạn.
Lời giải
Chọn B
Đặt
() ( )( )
281
f
xx x=+-
Phương trình
280 4xx+= =- và
10 1.xx-= =
Ta có bảng xét dấu
x
-¥ 4- 1
+¥
28x +
-
0
+
+
1
x
-
+
+
0
-
()
f
x
-
0
+
0
-
Từ bảng xét dấu ta có
() ( )
04 1 4;1.fx x x>-<<Î-
Khi đó
1, 4 5 .ba ba==--=
Câu 2: Tập nghiệm
()
4;5S =-
là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 353
A.
()()
450.xx++<
B.
()( )
4 5 25 0.xx+-<
C.
()( )
45 25 0.xx+-³
D.
()()
450.xx--<
Lời giải
Chọn B
Phương trình
40 4xx+==- và 50 5.xx+= =-
Phương trình
40 4xx-= =
và
5 250 50 5.xxx-=-==
Ta có bảng xét dấu
x
-¥ 5- 4- 4 5
+¥
5x +
-
0
+
+
+
+
4x +
-
-
0
+
+
+
4x -
-
-
-
0
+
+
5x -
-
-
-
-
0
+
()()
45xx++
+
0
-
0
+
+
+
()()
45xx+-
+
+
0
-
-
0
+
()()
45xx--
+
+
+
0
-
0
+
Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm
()
4;5S =-
là nghiệm của bất phương trình
()( )
4 5 25 0.xx+-<
Câu 3: Tập nghiệm
[
]
0;5S =
là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.
()
50.xx-<
B.
()
50.xx-£
C.
()
50.xx-³
D.
()
50.xx->
Lời giải
Chọn B
Đặt
() ( )
5.fx xx=-
Phương trình
0x =
và
50 5.xx-= =
Ta có bảng xét dấu
x
-¥
0
5
+¥
x
-
0
+
+
5x -
-
-
0
+
()
f
x
+
0
-
0
+
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 354
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
[
]() ()
0;5 0 5 0.xfxxxÎ £-£
Câu 4: Tập nghiệm
()()
;3 5;7S =-¥ È
là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.
()()( )
351420.xx x+- -£
B.
()()( )
351420.xx x-- ->
C.
()()( )
351420.xx x-- -<
D.
()()( )
351420.xx x+- -<
Lời giải
Chọn C
Phương trình
30 3;xx+= =-
30 3.xx-= =
Và 50 5;xx-= =
14 2 0 7.xx-==
Ta có bảng xét dấu
x

3
3
5 7
+¥
3x +
-
0
+ + + +
3x -
-
-
0
+
+
+
5x -
-
-
-
0
+
+
14 2
x
-
+
+
+
+
0
-
()()( )
35142
x
xx+- -
+
0
-
0
+
+
0
-
()()( )
35142
x
xx-- -
+
+
0
-
0
+
0
-
Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm
()()
;3 5;7S =-¥ È
là tập nghiệm của bất phương trình
()()( )
351420.xx x-- ->
Câu 5: Hỏi bất phương trình
()()()
2130xx x-+-£
có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
A.
1.
B.
3.
C.
4.
D.
2.
Lời giải
Chọn D
Đặt
() ( )( )( )
213
f
xxx x=- + -
Phương trình
20 2;10 1xxx x-== +==-
và
30 3.xx-==
Ta có bảng xét dấu
x
-¥ 1- 2
3
+¥
2
x
-
+
+
0
-
-
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 355
1x +
-
0
+
+
+
3
x
-
+
+
+
-
()
f
x
-
0
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
() ( ]
[
]
0;12;3.fx x£Î-¥-È
Vậy bất phương trình đã cho có
2
nghiệm nguyên dương.
Câu 6: Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương
trình
()()()()
36 2 2 10xxxx--+->
là
A.
9.- B. 6.- C. 4.- D.
8.
Lời giải
Chọn A
Bất phương trình
( )()()() ()()()
2
36 2 2 103 2 2 10xxxx x xx--+->- +->
Vì
()
2
20, 2xx->"¹
nên bất phương trình trở thành
()()
2
.
210
x
xx
ì
¹
ï
ï
í
ï
+->
ï
î
Đặt
() ( )( )
21.fx x x=+ -
Phương trình 20 2xx+= =- và
10 1.xx-= =
Ta có bảng xét dấu
x
-¥
2-
1
+¥
2x +
-
0
+ +
1x -
-
-
0
+
(
)
f
x
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
()
0fx>
()()
;2 1; .xÎ-¥-È +¥
Kết hợp với điều kiện
2,x ¹
ta được
()()()
;2 1;2 2; .xÎ-¥-È È +¥
Do đó, nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình là
3- và nghiệm nguyên dương
nhỏ nhất của bất phương trình là
3.
Vậy tích cần tính là
(
)
3.3 9.-=-
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình
()()()
24 3 3 0xx x x--+>
là
A. Một khoảng B. Hợp của hai khoảng.
C. Hợp của ba khoảng. D. Toàn trục số.
Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 356
Đặt
() ( )( )( )
24 3 3 .
f
xxx x x=--+
Phương trình
20 0;xx== 40 4;xx-= =
Và
30 3;xx-= = 30 3.xx+= =-
Ta có bảng xét dấu
x
-¥
3-
0
3
4
+¥
3x +
-
0
+
+
+
+
2
x
-
-
0
+
+
+
3
x
-
-
-
-
0
+
+
4
x
-
-
-
-
-
0
+
(
)
f
x
+
0
-
0
+
0
-
0
+
Từ bảng xét dấu ta có
() ( ) ( ) ( )
4
00 3 ;30;34; .
3
x
fx x x
x
é
>
ê
ê
> <<Î-¥- È È +¥
ê
ê
<-
ë
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là hợp của ba khoảng.
Câu 8: Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
()( )
120xxx-+³
là
A.
2.x =- B. 0.x = C. 1.x = D. 2.x =
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình
()( )
() ()
10 1
120 .
20 20
xx
xxx
xx xx
ìì
-³ ³
ïï
ïï
-+³
íí
ïï
+³ +³
ïï
îî
Đặt
() ( )
2.fx xx=+
Phương trình
0x =
và 20 2.xx+= =-
Bảng xét dấu
x
-¥
2-
0
+¥
x
-
-
0
+
2x +
-
0
+
+
()
f
x
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
()
0
0.
2
x
fx
x
é
³
ê
³
ê
£-
ë
Kết hợp với điều kiện
1,x ³
ta được tập nghiệm
[
)
1; .S =+¥
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là
1.x =
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 357
Dạng 3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Bất phương trình có tập nghiệm là
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình
Đặt Ta có và
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Ví dụ 2: Bất phương trình có tập nghiệm là
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn A
Bất phương trình
3
1
2 x
<
-
()
1; 2 .S =-
[
)
1; 2 .S =-
()()
;1 2; .S =-¥- È +¥
(]
[
)
;1 2; .S =-¥- È +¥
33 1
110 0.
22 2
x
xx x
+
< -< <
-- -
()
1
.
2
x
fx
x
+
=
-
10 1xx+= =-
20 2.xx-==
x
-¥
1-
2
+¥
2
x
-
+ +
0
-
1x +
-
0
+ +
()
f
x
-
0
+
-
()
1
0.
2
x
fx
x
é
<-
ê
<
ê
>
ë
()()
;1 2; .S =-¥- È +¥
35
121xx
³
-+
12
;;1.
211
S
æöéö
÷÷
ç
ê
=-¥- È
÷÷
ç
÷÷
ç
ê
èøø
ë
()
12
;1;.
211
S
æö
÷
ç
=- È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
12
;;1.
211
S
æùéö
÷
ç
úê
=-¥- È
÷
ç
÷
ç
úê
èø
ûë
12
;;1.
211
S
æöæö
÷÷
çç
=-¥- È
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
()( )
35 112
0.
121121
x
xx xx
-
³ ³
-+-+
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 358
Đặt Ta có
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
12
;;1
211
S




.
Ví dụ 3: Bất phương trình có tập nghiệm là
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình
Đặt Ta có
Bảng xét dấu
()
()( )
11 2
.
121
x
fx
xx
-
=
-+
2
11 2 0 ;
11
xx-= =
10 1
.
1
210
2
xx
xx
ì
-==
ï
ï
ï
í
ï
+= =-
ï
ï
î
x
-¥
1
2
-
2
11
1
+¥
11 2x -
- -
0
+ +
1
x
-
+ + +
0
-
21x +
-
0
+ + +
()
f
x
+
-
0
+
-
()
1
2
0.
2
1
11
x
fx
x
é
ê
<-
ê
³
ê
ê
£<
ê
ê
ë
21
2
11
x
xx
-£
+-
()
1
1; 1; .
3
S
æù
ç
ú
=- È +¥
ç
ç
ú
è
û
(]()
;1 1; .S =-¥- È +¥
()
1
1; 1; .
3
S
æö
÷
ç
=- È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
(]
1
;1 ;1.
3
S
æö
÷
ç
=-¥- È
÷
ç
÷
ç
èø
()()
21 13
20.
11 11
xx
xx xx
-
-£ £
+- -+
()
()()
13
.
11
x
fx
xx
-
=
-+
10 1
1
13 0 ; .
10 1
3
xx
xx
xx
ì
-= =
ï
ï
-==
í
ï
+= =-
ï
î
x
-¥
1-
1
3
1
+¥
13
x
-
+ +
0
- -
1x -
- - -
0
+
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 359
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Bất phương trình
2
0
21
x
x
-
³
+
có tập nghiệm là
A.
1
;2 .
2
S
æö
÷
ç
=-
÷
ç
÷
ç
èø
B.
1
;2 .
2
S
é
ù
ê
ú
=-
ê
ú
ë
û
C.
1
;2 .
2
S
æù
ç
ú
=-
ç
ç
ú
è
û
D.
1
;2 .
2
S
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
èø
Lời giải
Chọn C
Ta có Đặt
()
2
.
21
x
fx
x
-
=
+
Ta có
20 2xx-==
và
1
210 .
2
xx+= =-
Bảng xét dấu
x
-¥
1
2
-
2
+¥
2
x
-
+
+
0
-
21x +
-
0
+
+
()
f
x
-
+
0
-
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
()
1
02.
2
fx x³-<£
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1
;2 .
2
S
æù
ç
ú
=-
ç
ç
ú
è
û
Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình
()()
32
0
1
xx
x
--
£
+
là
A.
(]
[
)
1; 2 3; .S =- È +¥
B.
()
[
]
;1 2;3 .S =-¥ È
C.
[
]
[
)
1; 2 3; .S =- È +¥
D.
()( )
1; 2 3; .S =- È +¥
Lời giải
Chọn A
1x +
-
0
+ + +
()
f
x
+
-
0
+
-
()
1
1
0.
3
1
x
fx
x
é
ê
-< £
ê
£
ê
ê>
ë
()
1
1; 1; .
3
S
æù
ç
ú
=- È +¥
ç
ç
ú
è
û
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 360
Đặt
()
()()
32
.
1
xx
fx
x
--
=
+
Ta có
30 3
;
20 2
xx
xx
ì
-= =
ï
ï
í
ï
-= =
ï
î
10 1.xx+= =-
Bảng xét dấu
x
-¥
1-
2
3
+¥
3
x
-
+
+
+
0
-
2x -
-
-
0
+
+
1x +
-
0
+
+
+
()
f
x
+
-
0
+
0
-
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
()
12
0.
3
x
fx
x
é
-< £
ê
£
ê
³
ë
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
(]
[
)
1; 2 3; .S =- È +¥
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình
2
2
3
1
4
xx
x
+-
³
-
là
A.
()()
;2 1;2.S =-¥- È-
B.
(]( )
2;1 2; .S =- È +¥
C.
[)( )
2;1 2;S =- È +¥
D.
(]
[
)
2;1 2; .S =- È +¥
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình
()()
22
22
33 1
110 0.
22
44
xx xx x
xx
xx
+- +- +
³ -³ ³
-+
--
Đặt
()
()()
1
.
22
x
fx
xx
+
=
-+
Ta có 10 1xx+= =- và
()()
2
220 .
2
x
xx
x
é
=-
ê
-+=
ê
=
ë
Bảng xét dấu
x
-¥
2-
1-
2
+¥
1x +
-
-
0
+
+
2x -
-
-
-
0
+
2x +
-
0
+
+
+
()
f
x
-
+
0
-
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
()
21
0.
2
x
fx
x
é
-< £-
ê
³
ê
>
ë
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 361
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
(]()
2; 1 2; .S =- - È +¥
Câu 4: Bất phương trình
12 3
43xx x
+<
++
có tập nghiệm là
A.
()()()
;12 4;3 0; .S =-¥- È- È +¥
B.
[
)( )
12; 4 3;0 .S =- - È-
C.
()
[
]( )
;12 4;3 0; .S =-¥- È- È +¥
D.
()()
12; 4 3;0 .S =- - È-
Lời giải
Chọn D
Bất phương trình
()()
12 3 12
0.
43 34
x
xx x xx x
+
+< <
++ ++
Đặt
()
()()
12
.
34
x
fx
xx x
+
=
++
Ta có
30 3
12 0 12; .
40 4
xx
xx
xx
ì
+= =-
ï
ï
+==-
í
ï
+==-
ï
î
Bảng xét dấu
x
-¥
12-
4-
3-
0
+¥
12x +
-
0
+
+
+
+
x
-
-
-
-
0
+
3x +
-
-
-
0
+
+
4x +
-
-
0
+
+
+
()
f
x
+
0
-
+
-
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
()
12 4
0.
30
x
fx
x
é
-<<-
ê
<
ê
-< <
ë
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
()()
12; 4 3;0 .S =- - È-
Câu 5: Bất phương trình
()
2
11
1
1
x
x
<
+
-
có tập nghiệm S là
A.
()()
[
]
;1 0;1 1;3.T =-¥- È È
B.
[
)( )
1; 0 3; .T =- È- +¥
C.
()()()
;1 0;1 1;3.T =-¥- È È
D.
(]( )
1; 0 3; .T =- È- +¥
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình
() ()
22
11 11
0.
11
11
xx
xx
<-<
++
--
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 362
()()
()()
()
()()
()
2
22
1
11 3
00
3
0
11 11
1
x
xx xx
xx
xx xx
x
ì
¹
ï
ï
--+ -
ï
ï
<<
í
-
ï
<
+- +-
ï
ï
+
ï
î
(vì
()
2
10,xx->"Î
).
Đặt
()
()
3
.
1
xx
fx
x
-
=
+
Ta có
30 3xx-= =
và 10 1.xx+= =-
Bảng xét dấu
x
-¥
1-
0
3
+¥
x
-
-
0
+
-
3x -
-
-
-
0
+
1x +
-
0
+
+
+
()
f
x
-
+
0
-
0
-
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
()
1
0.
03
x
fx
x
é
<-
ê
<
ê
<<
ë
Kết hợp với điều kiện
1,x ¹
ta được tập nghiệm
()()()
;1 0;1 1;3.S =-¥- È È
Câu 6: Bất phương trình
22
42 4
3
93
x
x
x
x
xx
+
-<
+
--
có nghiệm nguyên lớn nhất là
A.
2.x =
B.
1.x =
C. 2.x =- D. 1.x =-
Lời giải
Chọn A
Bất phương trình tương đương với
()
()()
()
()()
()
()()
()()
423 43
322
0.
33 33 33 33
xx xx xx
x
xx x xx x xx x x x
+- +
+
-<-<
-+ -+ -+ -+
Đặt
()
()()
322
.
33
x
fx
xx
+
=
-+
Ta có
30 3
22
3220 ; .
30 3
3
xx
xx
xx
ì
-= =
ï
ï
+==-
í
ï
+= =-
ï
î
Bảng xét dấu
x
-¥
22
3
-
3-
3
+¥
322x +
-
0
+
+
+
3x -
-
-
-
0
+
3x +
-
0
-
+
+
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 363
(
)
f
x
-
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
() ()
22
0;3;3.
3
fx x
æö
÷
ç
<Î-¥- È-
÷
ç
÷
ç
èø
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là
2.x =
Dạng 4. Bất phương trình chứa trị tuyệt đối
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Nghiệm của bất phương trình là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có
Ví dụ 2: Bất phương trình có nghiệm là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Ví dụ 3: Bất phương trình: có nghiệm là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có
V
ậy tập nghiệm của bất phương trình là
231x -£
13.x££
11.x-£ £
12.x££
12.x-£ £
231 123122 41 2.xxxx-£-£ -££ £££
13 2x->
()
1
;1;.
3
æö
÷
ç
-¥ - È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
()
1; .+¥
1
;.
3
æö
÷
ç
-¥ -
÷
ç
÷
ç
èø
1
;.
3
æö
÷
ç
-¥
÷
ç
÷
ç
èø
1
13 2 1 3
13 2 .
3
13 2 3 3
1
xx
x
x
xx
x
é
éé
-> -> ê
<-
êê
ê
->
êê
ê
-<- >
ëë
ê>
ë
()
1
;1;.
3
S
æö
÷
ç
=-¥- È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
3321xx-£ +
[
)
4; .+¥
2
;.
5
æù
ç
ú
-¥
ç
ç
ú
è
û
2
;4 .
5
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
(]
;4 .-¥
()()
22 2 2
3321 33 21 33 21 0xx x x x x-£ + - £ + - - + £
()( )()()
2
332133210 4520 4.
5
xxxx xx x--- -++£- -£££
2
;4 .
5
S
é
ù
ê
ú
=
ê
ú
ë
û
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 364
Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình là
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
TH1. Với ta có
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm
TH2. Với ta có
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Ví dụ 5: S
ố nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình là
A. B.
19
C. D.
Lời giải
Chọn B
TH1. Với ta có
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm
TH2. Với ta có
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là
Vậy số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình là
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tất cả các giá trị c
ủa
x
thoả mãn
11x -<
là
A.
22.x-< < B.
01.x<<
C.
2.x <
D.
02.x<<
1
1
2
x
x
-
<
+
1
;.
2
S
æö
÷
ç
=- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
()
1
;2 ; .
2
S
æö
÷
ç
=-¥- È- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
()
1
;2;.
2
S
æö
÷
ç
=-¥- È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
1
2; .
2
S
æö
÷
ç
=- -
÷
ç
÷
ç
èø
20 2.xx+¹ ¹-
10 1,xx-³ ³
1
13
1102.
222
x
x
x
xxx
-
-
< < > >-
+++
1,x ³
(
)
1
1; .S =+¥
10 1,xx-< <
1
1
121
11 0 .
2
222
2
x
x
xx
xxx
x
é
-
ê
>-
-+
ê
< < >
ê
++ +
<-
ê
ë
1,x <
()
2
1
;2 ; .
2
S
æö
÷
ç
=-¥- È- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
()
12
1
;2 ; .
2
SSS
æö
÷
ç
=È=-¥-È-+¥
÷
ç
÷
ç
èø
12 2 4xx+³ -
5.
11. 16.
240 2,xx-³ ³
12 2 4 12 2 4 16.xxxxx+³ -+³-£
2,x ³
[
]
1
2;16 .S =
240 2,xx-< <
8
12 2 4 3 8 .
3
xxxx+³-+ ³-³-
2,x <
2
8
;2 .
3
S
é
ö
÷
ê
=-
÷
÷
ê
ø
ë
12
8
;16 .
3
SSS
é
ù
ê
ú
=È=-
ê
ú
ë
û
x
19.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 365
Lời giải
Chọn D
Ta có
11 1 11 0 2.xxx-<-<-<< <
Câu 2: Bất phương trình
342x -£
có nghiệm là
A.
[)
2
;2; .
3
æù
ç
ú
-¥ È +¥
ç
ç
ú
è
û
B.
2
;2 .
3
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
C.
2
;.
3
æù
ç
ú
-¥
ç
ç
ú
è
û
D.
[
)
2; .+¥
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
342 2342236 2.
3
xxxx-£-£ -³£ £££
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình
31x ->-
là
A.
()
3; .+¥
B.
()
;3 .-¥
C.
()
3;3 .-
D. .
Lời giải
Chọn D
Vì
30,xx-³ "Î
nên suy ra
31, .xx->-"Î
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
.S =
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình
546x -³
có dạng
(
]
[
)
;;.Sab=-¥ È +¥
Tính tổng
5.
P
ab=+
A.
1.
B.
2.
C.
0.
D.
3.
Lời giải
Chọn C
Cách 1. Bất phương trình
2
546 510
546 .
2
54 65 2
5
x
xx
x
xx
x
é
³
éé
-³ ³ ê
êê
ê
-³
êê
ê
-£- £-
£-
ëë
ê
ë
Cách 2. TH1. Với
540,x -³ bất phương trình
546546 2.xxx-³ -³³
TH2. Với
540,x -<
bất phương trình
2
546 5465 2 .
5
xxxx-³- +³ £-£-
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là
[)
2
;2;.
5
S
æù
ç
ú
=-¥- È +¥
ç
ç
ú
è
û
Mặt khác
(]
[
)
;;Sab=-¥ È +¥
suy ra
2
2
55.20.
5
5
2
a
ab
b
ì
ï
ï
æö
=-
ï
÷
ç
+=-+=
÷
í
ç
÷
ç
ï
èø
ï
=
ï
î
Câu 5: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên
x
thỏa mãn bất phương trình
2
2
1
x
x
-
³
+
?
A.
1.
B.
2.
C.
4.
D.
3.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 366
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
10 1.xx+¹ ¹-
Bất phương trình
()
()
22 3
22001
2
11 1
2
22 4
1
220 02
11 1
xx x
x
xx x
xx x
x
xx x
é
éé
--
êê ê
³-³-³
êê ê
-
++ +
³
êê ê
êê ê
-- +
+
ê£-ê+£ê£
ê
êê
++ +
ë
ëë
Giải
()
1,
ta có bất phương trình
()
1010.
1
x
x
x
£-<£
+
Giải
()
2,
ta có bất phương trình
()
24 1.x- £ <-
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là
[
)( ]
4; 1 1;0 .S =- - È-
Vậy có tất cả
4 giá trị nguyên
x
cần tìm là
{
}
4; 3; 2;0 .x =- - -
Câu 6: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
124x£-£
là
A.
2.
B.
4.
C.
6.
D.
8.
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình
42426
24
124
21 3
21
21 1
xx
x
x
xx
x
xx
ìé
-£-£ -£ £
ï
ï
ì
ê
ï- £
ï
ï
ï
ê
éé
£-£
-³ ³
íí
ê
êê
ïï
-³
ïï
ê
î
êê
ï
-£- £
ê
ë
ë
ï
îë
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là
[
]
[
]
2;1 3;6 .S =- È
Vậy số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình là
8.
Câu 7: Bất phương trình
32 4xx-> +
có nghiệm là
A.
1
7; .
3
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
B.
1
7; .
3
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
C.
1
7; .
3
æö
÷
ç
--
÷
ç
÷
ç
èø
D.
()
1
;7 ; .
3
æö
÷
ç
-¥ - È - +¥
÷
ç
÷
ç
èø
Lời giải
Chọn C
Ta có
()( )
222 2
32 4 3 2 4 3 2 4 0xxx x x x-> + - > + - - + >
()()()()
1
32 4 32 4 0 73 1 0 7 .
3
xxxx xx x--- -+ +>-- +>-<<-
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1
7; .
3
S
æö
÷
ç
=- -
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 8: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên
x
trong
[
]
2017;2017-
thỏa mãn bất phương trình
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 367
213
x
x+<
?
A.
2016.
B.
2017.
C.
4032.
D.
4034.
Lời giải
Chọn A
TH1. Với
1
210 ,
2
xx+³ ³-
khi đó
213 213 1.xxxxx+< +< >
Kết hợp với điều kiện
1
2
x ³-
suy ra
(
)
1
1; .S =+¥
TH2. Với
1
210 ,
2
xx+< <-
khi đó
1
213 213 .
5
xxxxx+< - -< >-
Kết hợp với điều kiện
1
2
x <-
suy ra
2
.S =Æ
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
()
12
1; .SSS=È=+¥
Câu 9: Bất phương trình
34 3xx-³-
có nghiệm là
A.
7
;.
4
æù
ç
ú
-¥
ç
ç
ú
è
û
B.
17
;.
24
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
C.
1
;.
2
é
ö
÷
ê
+¥
÷
÷
ê
ø
ë
D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có
()
1
34 3
21
2
34 3 .
34 3
47 7
4
x
xx
x
xx
xx
x
x
é
ê
³
é
-³- é
³
ê
ê
ê
-³-
ê
ê
ê
-£- -
£
ê
ë
ë
£
ê
ê
ë
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
17
;.
24
S
é
ù
ê
ú
=
ê
ú
ë
û
Câu 10: Nghiệm của bất phương trình
2
2
xx
x
+-
£
là
A.
(
]
0;1 .
B.
()()
;2 1; .-¥ - È +¥
C.
()
[
)
;0 1; .-¥ È +¥
D.
[
]
0;1 .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
0.x ¹
TH1. Với
20 2,xx+³ ³- ta có
2
1
21
220.
0
xx
x
xx x
x
xxx
é
+-
³
+- -
ê
£ £ £
ê
<
ë
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 368
Kết hợp với điều kiện
2,x ³- ta được tập nghiệm
()
[
)
1
2;0 1; .S =- È +¥
TH2. Với
20 2,xx+< <-
ta có
2
222
222
xx
xx x
xxx
+-
--- +
£ £- £
0
1121
11 0 0 .
1
2
x
xxx
xxx
x
é
>
ê
+++
ê
- £ + ³ ³
ê
£-
ê
ë
Kết hợp với điều kiện
2,x <- ta được tập nghiệm là
2
1
;.
2
S
æù
ç
ú
=-¥-
ç
ç
ú
è
û
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
()
[
)
12
;0 1; .SSS=È=-¥È+¥
Câu 11: Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình
221 1xxx++- +£+
là
A.
3.
B.
5.
C.
2.
D.
0.
Lời giải
Chọn D
Ta có Xét bất phương trình
()
221 1 .xxx++- +£+ *
Bảng xét dấu
x
-¥
2-
1
2
+¥
2x +
-
0
+
|
+
21x-+
+
|
+
0
-
TH1. Với 2,x <- khi đó
() ( ) ( )
1
221 124 .
2
xxx xx*- - +- + £ + - £ ³-
Kết hợp với điều kiện
2,x <- ta được tập nghiệm
1
.S =Æ
TH2. Với
1
2,
2
x-£ <- khi đó
()
22 1 1 2 2 1.xxx xx* + - + £ + ³ ³
Kết hợp với điều kiện
1
2,
2
x-£ <
ta được tập nghiệm
2
.S =Æ
TH3. Với
1
,
2
x ³
khi đó
() ( )
221 120 0.xxxxx* + -- + £ + £ £
Kết hợp với điều kiện
1
,
2
x ³
ta được tập nghiệm
3
.S =Æ
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
123
.SSSS=ÈÈ=Æ
Câu 12: Bất phương trình
3
21
2
xxx+--<-
có tập nghiệm là
A.
()
2; .-+¥
B.
1
;.
2
æö
÷
ç
-+¥
÷
ç
÷
ç
èø
C.
3
;.
2
æö
÷
ç
-+¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
9
;.
2
æö
÷
ç
+¥
÷
ç
÷
ç
èø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 369
Lời giải
Chọn D
Xét bất phương trình
()
3
21 .
2
xxx+--£- *
Lập bảng xét dấu
x
-¥
2-
1
+¥
2x +
-
0
+
+
1x -
-
-
0
+
TH1. Với 2,x <- khi đó
()
33
21 .
22
xxx x*- - + - < - >-
Kết hợp với điều kiện
2,x <- ta được tập nghiệm
1
.S =Æ
TH2. Với
21,x-£ < khi đó
()
35
21 .
22
xxx x* + + - < - <-
Kết hợp với điều kiện
21,x-£ < ta được tập nghiệm
2
.S =Æ
TH3. Với
1,x ³
khi đó
()
39
21 .
22
xxx x* + - + < - >
Kết hợp với điều kiện
1,x ³ ta được tập nghiệm
3
9
;.
2
S
æö
÷
ç
=+¥
÷
ç
÷
ç
èø
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
123
9
;.
2
SSSS
æö
÷
ç
=ÈÈ= +¥
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình
123xx+- - ³
là
A.
[
]
1; 2 .-
B.
[
)
2; .+¥
C.
(
)
;1.-¥ -
D.
()
2;1 .-
Lời giải
Chọn B
Xét bất phương trình
()
123 .xx+- - ³ *
Bảng xét dấu
x
-¥
1- 2
+¥
1x +
-
0
+ | +
2x -
-
|
-
0 +
TH1. Với 1,x <- khi đó
()
12333xx*- -+ - ³ - ³
(vô lý) suy ra
1
.S =Æ
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 370
TH2. Với
12,x-£ < khi đó
()
12324 2.xx x x* + + - ³ ³ ³
Kết hợp với điều kiện
12,x-£ <
ta được tập nghiệm
2
.S =Æ
TH3. Với
2,x ³
khi đó
()
12333xx* +- + ³ ³
(luôn đúng).
Kết hợp với điều kiện
2,x ³ ta được tập nghiệm
[
)
3
2; .S =+¥
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
[
)
123
2; .SSSS=ÈÈ=+¥
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình
510
21xx
-
<
+-
là
A. một khoảng. B. hai khoảng. C. ba khoảng. D. toàn trục số.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
2
.
1
x
x
ì
¹-
ï
ï
í
ï
¹
ï
î
Bất phương trình
()
510 1 2
12 2 0 .
21 21
xx
xxxx
-
< <--+< *
+- +-
Bảng xét dấu:
x
-¥
2-
1
+¥
1x -
-
|
-
0
+
2x +
-
0
+
|
+
TH1. Với 2,x <- khi đó
() ( )
12 2 0 5.xx x*- ++ + < <-
Kết hợp với điều kiện
2,x <- ta được tập nghiệm
()
1
;5.S =-¥-
TH2. Với
21,x-< < khi đó
() ( )
12 2 0 3 3 1.xx x x*- +- + < >- >-
Kết hợp với điều kiện
21,x-< < ta được tập nghiệm
()
2
1;1 .S =-
TH3. Với
1x >
khi đó
() ( )
12 2 0 5.xx x* -- + < >-
Kết hợp với điều kiện
1,x >
ta được tập nghiệm
()
3
1; .S =+¥
Vậy tập nghiệm bất phương trình là
()()()
123
;5 1;1 1; .SSSS=ÈÈ=-¥-È- È +¥
Câu 15: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
23
1
1
x
x
-
£
+
là
A.
1.
B.
2.
C.
0.
D.
3.
Lời giải
Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 371
Điều kiện: 10 1.xx+¹ ¹-
TH1. Với
0,x ³
ta có
23
23 23 1 3
1111 .
11 142
x
xx
x
xx x
-
--
£ £-£ £ £ £
++ +
Kết hợp với điều kiện
0,x ³ ta được tập nghiệm
1
13
;.
42
S
é
ù
ê
ú
=
ê
ú
ë
û
TH2. Với
0,x <
ta có
23
23 23 3 1
1111 .
11 142
x
xx
x
xx x
-
++
£ £-£ £- £ £-
++ +
Kết hợp với điều kiện
0,x <
ta được tập nghiệm
2
31
;.
42
S
é
ù
ê
ú
=- -
ê
ú
ë
û
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là
12
13 3 1
;;.
42 4 2
SSS
é
ùé ù
ê
úê ú
=È= È--
ê
úê ú
ë
ûë û
Vậy số nghiệm nguyên
x
cần tìm là
()
11.x =
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang372
BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
,
x
y
có dạng tổng quát là
ax by c
(,;)ax by c ax by c ax by c  
trong đó
,,abc
là những số thực đã cho,
a
và
b
không đồng thời bằng
0,
x
và
y
là các ẩn số.
II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm
và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình
(1)
được gọi là
miền nghiệm của nó.
Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình
ax by c
như sau
Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
vẽ đường thẳng
:
ax by c
Bước 2. Lấy một điểm

000
;
M
xy
không thuộc
Bước 3. Tính
00
ax by và so sánh
00
ax by với
c
Bước 4. Kết luận
Nếu
00
ax by c thì nửa mặt phẳng bờ
chứa
0
M
là miền nghiệm của
00
ax by c
Nếu
00
ax by c thì nửa mặt phẳng bờ
không chứa
0
M
là miền nghiệm của
00
ax by c
Chú ý:
Miền nghiệm của bất phương trình
00
ax by c
bỏ đi đường thẳng
ax by c
là miền nghiệm của bất
phương trình
00
x
by c

Ví dụ. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình
23xy
Giải
Vẽ đường thẳng
:2 3xy
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang373
Lấy gốc tọa độ
(0;0)O
ta thấy O và có 2.0 0 3
nên nửa mặt phẳng bờ
chứa gốc tọa độ 0 là
miền nghiệm của bất phương trình đã cho .
III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tương tự hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn
,
x
y
mà ta phải tìm các
nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình
36
4
0
0
xy
xy
x
y
Giải.
Vẽ các đường thẳng
1
2
2
2
:3 6
:4
:0()
:0()
dxy
dxy
dx Oy
dy Ox


Vì điểm
0
(1;1)M có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt
phẳng bờ

1
d

2
d

3
d
4
d không chứa điểm
0
M
Miền không bị tô đậm trong hình vẽ là miền
nghiệm của hệ đã cho.
IV – ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ
Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải
chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang374
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1.
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A.
2530xyz
. B.
2
3240xx

. C.
2
253xy
. D.
235xy
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 2. Cặp số
1; 1 là nghiệm của bất phương trình
A.
41
x
y
. B.
20xy

. C.
0xy

. D.
310xy 
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có:
14 1 31.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A.
2
230xy B.
22
2xy
C.
2
0xy
D.
0xy
Lời giải
Chọn D
Theo định nghĩa thì 0xy+³là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Các bất phương trình còn lại
là bất phương trình bậc hai.
Câu 2.
Cho bất phương trình
2360xy
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Bất phương trình
(1)
chỉ có một nghiệm duy nhất.
B. Bất phương trình
(1)
vô nghiệm.
C. Bất phương trình
(1)
luôn có vô số nghiệm.
D. Bất phương trình
(1)
có tập nghiệm là
.
Lời giải
Chọn C
Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng
()
+-=:2 3 6 0dxy
chia mặt phẳng thành hai nửa mặt
phẳng.
Chọn điểm
()
0;0O
không thuộc đường thẳng đó. Ta thấy
()()
;0;0xy=
là nghiệm của bất phương
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang375
trình đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ
()
d
chứa điểm
()
0;0O
kể cả
()
d
.
Vậy bất phương trình
()
1
luôn có vô số nghiệm.
Câu 3. Miền nghiệm của bất phương trình:
32(3)4(1) 3xy x y

là nửa mặt phẳng chứa điểm:
A.
(3;0)
B.
(3;1)
C.
(2;1)
D.
(0;0)
Lời giải
Chọn C
Ta có
()()
32 3 331104xy x y xy³-++-+ -+³+
.
Vì
23.110-+ -> là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa
độ
()
2;1
.
Câu 4. Miền nghiệm của bất phương trình:
3( 1) 4( 2) 5 3
x
yx

là nửa mặt phẳng chứa điểm:
A.
(0;0)
B.
(4;2)
C.
(2;2)
D.
(5;3)
Lời giải
Chọn A
Ta có
()( )
314 25 23480xyxxy-+ - < - - + -<
.
Vì
2.0 4.0 8 0-+-< là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có
tọa độ
()
0;0
.
Câu 5. Miền nghiệm của bất phương trình
22( 2)2(1 )
x
yx

là nửa mặt phẳng không chứa
điểm nào trong các điểm sau?
A.
(0;0)
B.
(1;1)
C.
(4;2)
D.
(1; 1)
Lời giải
Chọn C
Ta có
()()
22 2 2 214xyyxx-++ - < - + <
.
Vì 42.24-+ < là mệnh đề sai nên
()
4;2-
không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Câu 6. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc nghiệm của bất phương trình:
450xy
A.
(5;0)
B.
(2;1)
C.
(0;0)
D.
(1; 3)
Lời giải
Chọn A
Vì 54.050-- + > là mệnh đề sai nên
()
5; 0-
không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Câu 7. Điểm
(1;3)A
là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:
A.
3240xy
B.
30xy
C.
30xy
D.
240xy
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang376
Lời giải
Chọn A
Vì
()
3. 1 2.3 4 0--+ ->
là mệnh đề đúng nên
()
1; 3A -
là điểm thuộc miền nghiệm của bất
phương trình
3240xy-+ ->
.
Câu 8. Cặp số
(2;3)
là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.
2310xy
. B.
0xy
. C.
43
x
y
. D.
370xy
.
Lời giải
Chọn B
Vì
23 0-<
là mệnh đề đúng nên cặp số
()
2;3
là nghiệm của bất phương trình
–
0xy<
.
Câu 9.
Miền nghiệm của bất phương trình
2xy
là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào,
trong các hình vẽ sau?
x
y
2
2
O
x
y
2
2
O
A. B.
x
y
2
2
O
x
y
2
2
O
C. D.
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng :20xyD+-= đi qua hai điểm
()()
2;0 , 0;2AB
và cặp số
()
0;0
thỏa mãn bất
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang377
phương trình
2xy-£
nên Hình 1 biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2xy+£.
Câu 10. Phần tô đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất
phương trình sau?
3
2
-3
O
y
x
A.
23xy
B.
23xy
C.
23xy
D.
23xy
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng đi qua hai điểm
3
;0
2
A
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
và
()
0; 3B -
nên có phương trình 23xy-=.
Mặt khác, cặp số
()
0;0
không thỏa mãn bất phương trình
23xy->
nên phần tô đậm ở hình trên
biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình
23xy->
.
Dạng 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.
Cho hệ bất phương trình
320
210
xy
xy


. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của
hệ bất phương trình?
A.
(0;1)M
B.
(1;1)N
C.
(1; 3)P
D.
(1;0)Q
Lời giải
Chọn B
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với
()
0;1 M
03.120
2.0 1 1 0
ì
+-³
ï
ï
í
ï
++£
ï
î
. Bất phương trình thứ hai sai nên A sai.
Với
()
–1;1 N
()
13.12 0
2. 1 1 1 0
ì
-+ - ³
ï
ï
í
ï
-++£
ï
î
: Đúng. Chọn B.
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang378
Câu 2. Cho hệ bất phương trình
2510
250
10
xy
xy
xy



. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm
của hệ bất phương trình?
A.
(0;0)O
B.
(1; 0)M
C.
(0; 2)N
D.
(0;2)P
Lời giải
Chọn C
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với
()
0;0 O
2.0 5.0 1 0
2.0 0 5 0
0010
ì
-->
ï
ï
ï
ï
++>
í
ï
ï
ï+ +<
ï
î
. Bất phương trình thứ nhất và thứ ba sai nên A sai.
Với
()
1; 0 M
2.1 5.0 1 0
2.1 0 5 0
1010
ì
-->
ï
ï
ï
ï
++>
í
ï
ï
ï+ + <
ï
î
. Bất phương trình thứ ba sai nên B sai.
Với
()
0; 3 -N
()
()
()
2.0 5. 3 1 0
2.0 2 5 0
0210
ì
ï--->
ï
ï
ï
+- + >
í
ï
ï
ï
+- + <
ï
î
: Đúng. Chọn C.
Câu 3.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
10
23
0
13
2
22
xy
x
y
x


chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
A.
(0;0)O
B.
(2;1)M
C.
(1;1)N
D.
(5;1)P
Lời giải
Chọn B
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với
()
0;0 O
00
10
23
00
13.0
02
22
ì
ï
ï
+-³
ï
ï
ï
ï
ï
³
í
ï
ï
ï
ï
+- £
ï
ï
ï
î
. Bất phương trình thứ nhất sai nên A sai.
Với
()
2;1 M
21
10
23
20
13.1
22
22
ì
ï
ï
+-³
ï
ï
ï
ï
ï
³
í
ï
ï
ï
ï
+- £
ï
ï
ï
î
: Đúng. Chọn B.
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang379
Câu 4. Miền nghiệm của hệ bất phương trình
39
3
28
6
xy
xy
yx
y


chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
A.
(0;0)O
B.
(1; 2)M
C.
(2;1)N
D.
(8;4)P
Lời giải
Chọn D
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Câu 5. Điểm
(0; 3)M
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trìnhnào sau đây?
A.
23
25128
xy
x
yx


B.
23
25128
xy
x
yx


C.
23
25128
xy
x
yx


D.
23
25128
xy
x
yx


Lời giải
Chọn A
Thay tọa độ
()
0; 3M -
lần lượt vào từng hệ bất phương trình.
Câu 6.
Cho hệ bất phương trình
20
2320
xy
xy


. Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền
nghiệm của hệ bất phương trình?
A.
(0;0)O
B.
(1;1)M
C.
(1;1)N
D.
(1;1)P 
Lời giải
Chọn C
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Câu 7.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
20
32
3
xy
xy
yx


là phần không tô đậm của hình vẽ nào
trong các hình vẽ sau?
A. B.
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang380
C. D.
Lời giải
Chọn A
Chọn điểm
()
0;1M
thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn.
Câu 8.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
10
2
23
xy
y
xy


là phần không tô đậm của hình vẽ nào
trong các hình vẽ sau?
O
y
x
1
2
1
-3
O
y
x
1
2
1
-3
A. B.
O
y
x
1
2
1
-3
O
y
x
1
2
1
-3
C. D.
Lời giải
Chọn B
Chọn điểm
()
0; 4M
thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn.
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang381
Câu 9. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây , biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào
trong các hệ bất phương trình sau?
Lời giải
Chọn B
A.
0
21
xy
x
y


B.
0
21
xy
x
y
C.
0
21
xy
x
y
D.
0
21
xy
x
y


Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án
A.
Chọn điểm
()
1; 0M
thử vào các hệ bất phương trình.
Xét đáp án B, ta có
10 0
2.1 0 1
ì
->
ï
ï
í
ï
->
ï
î
: Đúng và miền nghiệm không chứa biên.
Câu 10. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây , biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào
trong các hệ bất phương trình sau?
x
y
-2
2
1
A.
20
32
xy
xy


B.
20
32
xy
xy

C.
20
32
xy
xy

D.
20
32
xy
xy


Lời giải
Chọn D
Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A và C. Chọn điểm
(
)
0;1M
thử vào các hệ bất phương trình.
Xét đáp án B, ta có
02.10
03.1 2
ì
->
ï
ï
í
ï
+<-
ï
î
: Sai.
Dạng 3. Bài toán tối ưu
1. Phương pháp
Bài toán:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
(, )Txy ax by
với
(; )
x
y
nghiệm
đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền
nghiệm
S
là đa giác.
Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với
(; )
xy
là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
Bước 3: Kết luận:
·
Giá trị lớn nhất của
F
là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang382
·
Giá trị nhỏ nhất của
F
là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Fyx
trên miền xác định bởi hệ
22
24
5
yx
yx
xy



là
A.
min 1F
khi 2x ,
3y
. B.
min 2F
khi 0x
,
2y
.
C. min 3F khi 1
x
,
4y
. D. min 0F
khi 0x
,
0y
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Miền nghiệm của hệ
22
24
5
yx
yx
xy



là miền trong của tam giác
A
BC
kể cả biên
Ta thấy
Fyx
đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm
A
,
B
, C .
Tại
0; 2A
thì
2F
.
Tại
1; 4B
thì 3F
Tại
2; 3A
thì
1F
.
Vậy
min 1F
khi 2x ,
3y
.
Ví dụ 2 : Giá trị nhỏ nhất
min
F của biểu thức
(; ) 4 3
F
x
y
x
y
trên miền xác định bởi hệ
010
09
214
25 30
x
y
xy
xy



là
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang383
A.
min
23F
B.
min
26F
C.
32
mim
F
D.
min
67F
Lời giải
Chọn C
Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
vẽ các đường thẳng
12
:2 14 0, :2 5 30 0, : 9, ': 10.dxy dx y y x+-= +-= D= D =
x
y
'
d
2
d
1
5
2
6
4
5
D
C
B
A
O
2
10
9
7
14
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là
() ()()
5
5;4 , ;9 , 10;9 , 10;2 .
2
AB C D
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Ta có
()
()
()
min
5;4 32
5
;9 37
2
32.
10;9 67
10;2 46
F
F
F
F
F
ì
ï=
ï
ï
ï
æö
ï
÷
ï
ç
=
÷
ï
ç
÷
ï
ç
èø
¾¾=
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
î
Ví dụ 3: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210
g đường để pha chế nước cam và nước táo.
● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;
● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 đi
ểm thưởng.
Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?
A.
5
lít nước cam và 4 lít nước táo. B.
6
lít nước cam và
5
lít nước táo.
C. 4 lít nước cam và
5
lít nước táo. D. 4 lít nước cam và
6
lít nước táo.
Lời giải
Chọn C
Giả sử ,
x
y lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế.
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang384
Suy ra 30 10
x
y+ là số gam đường cần dùng;
x
y+
là số lít nước cần dùng;
4
x
y+ là số gam hương liệu cần dùng.
Theo giả thiết ta có
00
00
30 10 210 3 21 .
99
424 424
xx
yy
xy xy
xy xy
xy xy
ìì
³³
ïï
ïï
ïï
ïï
³³
ïï
ïï
ïï
+£+£
íí
ïï
ïï
ïï
+£ +£
ïï
ïï
ïï
+£ +£
ïï
îî
()
*
Số điểm thưởng nhận được sẽ là
60 80 .Pxy=+
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
với ,
x
y thỏa mãn
()
*
.
Ví dụ 4 :
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm
● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn;
● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn.
Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu
để có mức lời cao nhất?
A.
30
kg loại I và
40
kg loại II. B.
20
kg loại I và
40
kg loại II.
C.
30
kg loại I và
20
kg loại II. D.
25
kg loại I và
45
kg loại II.
Lời giải
Chọn B
Gọi
()
0, 0 kgxy³³
lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.
Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng:
2 4 200.xy+£
Tổng số giờ làm việc:
30 15 1200.xy+£
Lợi nhuận tạo thành:
40 30
L
xy=+ .
Thực chất của bài toán này là phải tìm
0,x ³ 0y ³ thoả mãn hệ
2 4 200
30 15 1200
xy
xy
ì
+£
ï
ï
í
ï
+£
ï
î
sao cho 40 30
L
xy=+đạt giá trị lớn nhất.
Vi dụ 5:
Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm
I
và
I
I
.
Mỗi sản phẩm
I
bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm
I
I
bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản
xuất được một sản phẩm
I
thì Chiến phải làm việc trong
3
giờ, Bình phải làm việc trong
1
giờ. Để sản xuất được một sản phẩm
I
I
thì Chiến phải làm việc trong
2
giờ, Bình phải làm
việc trong
6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một
tháng Chiến không thể làm việc quá
180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền
lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.
A. 32 triệu đồng. B. 35 triệu đồng. C.
14
triệu đồng. D. 30 triệu đồng.
Hướng dẫn giải
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang385
Chọn A.
Gọi
x
,
y
lần lượt là số sản phẩm loại
I
và loại
I
I
được sản xuất ra. Điều kiện
x
,
y
nguyên
dương.
Ta có hệ bất phương trình sau:
32180
6220
0
0
xy
xy
x
y


Miền nghiệm của hệ trên là
x
y
B
90
A
O
C
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là
0,5 0,4Txy
.
Ta thấy
T
đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm
A
,
B
, C . Vì C có tọa độ không nguyên
nên loại.
Tại
60; 0A
thì 30T triệu đồng.
Tại
40; 30B
thì 32T triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là
32 triệu đồng.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.
Biểu thức
(; )
F
xy y x
đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện
22
22
5
0
xy
xy
xy
x
tại điểm
M
có toạ độ
là:
A.
(4;1)
B.
87
;
33



C.
22
;
33



D.
(5;0)
Lời giải
Chọn A
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang386
Vẽ các đường thẳng :


1
2
3
:22
1
:1
2
:5
dy x
dy x
dy x



Khi đó miền nghiệm của hệ là miền trong của tam giác
A
BC
Tọa độ các đỉnh:

78 2 2
;;4;1; ;
33 3 3
ABC



Ta có :

min
22 4
4;1 3; ; 3
33 3
FF F

 


Câu 2. Cho
,
x
y
thoả mãn hệ
2 100 0
2800
0
0
xy
xy
x
y


Tìm giá trị lớn nhất
max
của biểu thức
( ; ) 40000 30000Px
y
x
y

A.
max
2000000P B.
max
2400000P
C.
max
1800000P
D.
max
1600000P
Lời giải
Chọn A
Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
vẽ các đường thẳng
12
: 2 100 0, : 2 80 0.dx y d x y+- = +-=
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang387
x
y
d
2
d
1
40
20
C
B
A
O
100
50
80
40
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là
()( )( )( )
,20;40, .0;0 , 0;50 40;0OA B C
Ta có
()
()
()
()
0
1500000
20;40 2000000
1600
0;0
0
000
;50
40;0
P
P
P
P
ì
ï=
ï
ï
ï
ï
=
ï
í
ï
=
ï
ï
ï
ï
=
ï
î
max
2000000.P¾¾=
Câu 3. Giá trị lớn nhất
max
F của biểu thức
(; ) 2
F
xy x y
trên miền xác định bởi hệ
04
0
10
2100
y
x
xy
xy



là
A.
max
6F B.
max
8F
C.
max
10F
D.
max
12F
Lời giải
Chọn C
Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
vẽ các đường thẳng
12
: 1 0, : 2 10 0, : 4.dxy dx y y--= + - = D =
x
y
d
2
d
1
D
C
B
A
1
2
4
O
3
4
-1
5
10
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là
()()()()()
0;0 , 1;0 , 4;3 , 2;4 , 0;4 .OABCD
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang388
Ta có
()
()
()
()
()
max
0;0 0
1; 0 1
4;3 10 10.
2;4 10
0;4 8
F
F
FF
F
F
ì
ï
=
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
=¾¾=
í
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
î
Câu 4.
Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin
A
và
B
đã thu
được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả
A
lẫn
B
và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin
A
và không quá 500 đơn vị vitamin
B
. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị
vitamin
B
không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin
A
và không nhiều hơn ba lần số đơn vị
vitamin
A
. Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí
rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin
A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin
B
có giá 7,5
đồng.
A. 600 đơn vị Vitamin
A
, 400 đơn vị Vitamin
B
B.
600
đơn vị Vitamin
A
,
300
đơn vị Vitamin
B
C.
500
đơn vị Vitamin
A
,
500
đơn vị Vitamin
B
D.
100
đơn vị Vitamin
A
,
300
đơn vị Vitamin
B
Lời giải
Chọn D
Gọi
0, 0xy³³ lần lượt là số đơn vị vitamin
A
và
B
để một người cần dùng trong một ngày.
Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả
A
lẫn
B
nên ta có:
400 1000.xy£+£
Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin
A
và không quá 500 đơn vị vitamin
B
nên
ta có:
600, 500.xy££
Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin
B
không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin
A
và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin
A
nên ta có: 0,5 3 .
x
yx££
Số tiền cần dùng mỗi ngày là:
()
,97,5.Txy x y=+
Bài toán trở thành: Tìm
0, 0xy³³ thỏa mãn hệ
0 600,0 500
400 1000
0,5 3
xy
xy
xy x
ì
££ ££
ï
ï
ï
ï
£+£
í
ï
ï
ï
££
ï
î
để
()
,97,5Txy x y=+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5.
Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B
1
, đựng cao Sao vàng và đựng
"Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước
giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau.
 Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B
1
, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.
 Cách thứ hai cắt được 2 hộp B
1
, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy
sâm phải có là 900 hộp, số hộp B
1
tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp.
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang389
Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?
A. Cắt theo cách một
100
tấm, cắt theo cách hai
300
tấm.
B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm.
C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
D. Cắt theo cách một
100
tấm, cắt theo cách hai
200
tấm.
Lời giải
Chọn A
Gọi 0, 0xy³³ lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai.
Bài toán đưa đến tìm
0, 0xy³³ thoả mãn hệ
32900
3 1000
6 900
xy
xy
xy
ì
+³
ï
ï
ï
ï
+³
í
ï
ï
ï+=
ï
î
sao cho
L
xy=+
nhỏ nhất.
Câu 6.
Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm
A
và sản phẩm
B
trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm
A
lãi
4
triệu đồng người ta sử
dụng máy
I
trong
1
giờ, máy
trong
2
giờ và máy
M
I
trong
3
giờ. Để sản xuất ra một tấn
sản phẩm
B
lãi được
3
triệu đồng người ta sử dụng máy
I
trong
6
giờ, máy
trong
3
giờ
và máy
M
I
trong
2
giờ. Biết rằng máy
I
chỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động
không quá
23
giờ và máy
M
I hoạt động không quá
27
giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho
nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất.
A. Sản xuất
9
tấn sản phẩm
A
và không sản xuất sản phẩm
B
B. Sản xuất
7
tấn sản phẩm A và
3
tấn sản phẩm
B
C. Sản xuất
10
3
tấn sản phẩm
A
và
49
9
tấn sản phẩm
B
D. Sản xuất
6
tấn sản phẩm
B
và không sản xuất sản phẩm
A
Lời giải
Chọn B
Gọi 0, 0xy³³ là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm
A
và sản phẩm .B Ta có:
6
x
y+
là thời gian hoạt động của máy .I
23
x
y+ là thời gian hoạt động của máy .II
32
x
y+ là thời gian hoạt động của máy .III
Số tiền lãi của nhà máy:
43Txy=+ .
Bài toán trở thành: Tìm
0, 0xy³³ thỏa mãn
636
2323
3227
xy
xy
xy
ì
+£
ï
ï
ï
ï
+£
í
ï
ï
ï+ £
ï
î
để 43Txy=+ đạt giá trị lớn
nhất.
Giáoviêncónhucầusởhữufilewordvuilòngliênhệ.
Face:TrầnĐìnhCư.SĐT:0834332133
Trang390
Câu 7. Một gia đình cần ít nhất
900
đơn vị protein và
400
đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kiogam thịt bò chứa
800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn
vị protein và
400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất
1, 6
kg thịt bò và
1,1
kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là
160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi
x
,
y
lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm
x
,
y
để tổng số tiền họ
phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
A. 0,3x và 1,1y . B. 0,3x
và 0,7y
. C. 0, 6x
và 0, 7y
. D. 1, 6x và 0, 2y
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là
160. 110.
x
y
với
x
,
y
thỏa mãn:
01,6
01,1
x
y


.
Số đơn vị protein gia đình có là
0,8. 0, 6. 0,9xy
86 9xy

1
d
.
Số đơn vị lipit gia đình có là
0,2. 0,4. 0,4 2 2xy xy

2
d
.
Bài toán trở thành: Tìm
,
x
y
thỏa mãn hệ bất phương trình
01,6
01,1
86 9
22
x
y
xy
xy




sao cho
160. 110.Txy
nhỏ nhất.
Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm
1, 6;1,1A
;

1, 6; 0, 2B
;
0,6;0,7C
;
0,3;1,1D
.
Nhận xét:

377TA
nghìn,
278TB
nghìn,
173TC
nghìn,

169TD
nghìn.
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì
0,6x
và
0,7y
.
O
x
y
A
B
C
D
12
1
2
1, 6x
1,1y
22xy
869xy
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 391
BÀI 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai đối với
x
là biểu thức có dạng
()
2
,
f
xaxbxc=++
trong đó
,,abc
là những hệ số,
0.a ¹
2. Dấu của tam thức bậc hai
Người ta đã chứng minh được định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây
Định lý
Cho
() ( )
22
0, 4 .
f
xaxbxca b ac=++ ¹D=-
Nếu
0D<
thì
(
)
f
x
luôn cùng dấu với hệ số
,a
với mọi
.x Î
Nếu
0D=
thì
()
f
x
luôn cùng dấu với hệ số
,a
trừ khi
.
2
b
x
a
=-
Nếu
0D>
thì
()
f
x
luôn cùng dấu với hệ số
a
khi
1
x
x< hoặc
2
,
x
x> trái dấu với hệ số
a
khi
12
x
xx<< trong đó
()
12 1 2
,
x
xx x<
là hai nghiệm của
()
.
f
x
Chú ý
Trong định lí trên, có thể thay biệt thức
2
4bacD= -
bằng biệt thức thu gọn
()
2
.bac
¢¢
D= -
Minh họa hình học
Định lí về dấu của tam thức bậc hai có minh họa hình học sau
II – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Bất phương trình bậc hai
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 392
Bất phương trình bậc hai ẩn
x
là bất phương trình dạng
2
0ax bx c++<
(hoặc
2
0,ax bx c++£
2
0,ax bx c++>
2
0ax bx c++³
), trong đó
,,abc
là những số thực đã cho,
0.a ¹
2. Giải bất phương trình bậc hai
Giải bất phương trình bậc hai
2
0ax bx c++< thực chất là tìm các khoảng mà trong đó
()
2
f
xaxbxc=++
cùng dấu với hệ số a (trường hợp 0a < ) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp
0a >
).
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1. Xét dấu của tam thức bậc hai áp dụng vào giải bất phương trình bậc hai đơn giản
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tam thức bậc hai
()
()
2
51 5fx x x=+ - - nhận giá trị dương khi và chỉ khi
A.
()
5;1 .x Î-
B.
()
5; .x Î- +¥
C.
()
()
;5 1; .x Î-¥- È +¥ D.
()
;1 .x Î-¥
Lời giải
Chọn C
Ta có
()
1
0
5
x
fx
x
é
=
ê
=
ê
=-
ê
ë
.
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu
()
()
()
0;51;.fx x>Î-¥- È +¥
Ví dụ 2: Tam thức bậc hai
()
2
32fx x x=- + -
nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
A.
()( )
;1 2;x Î-¥ È +¥
. B.
[
]
1; 2x Î
. `
C.
(]
[
)
;1 2;x Î-¥ È +¥
. D.
()
1; 2x Î
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
()
1
0
2
x
fx
x
é
=
ê
=
ê
=
ë
.
Bảng xét dấu
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 393
Dựa vào bảng xét dấu
()
01 2xxf ³££
.
Ví dụ 3: Tập nghiệm của bất phương trình
()
2
22110xx-++<
là:
A.
2
;1 .
2
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
B. .Æ
C.
2
;1 .
2
éù
êú
êú
êú
ëû
D.
()
2
;1;.
2
æö
÷
ç
÷
ç
-¥ È +¥
÷
ç
÷
÷
ç
èø
Lời giải
Chọn C
Ta có
()
()
2
22110
2
1
2
x
fx x x
x
é
ê
=
ê
=-++=
ê
ê
=
ë
.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu
()
2
01
2
fx x< <<
.
Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình
2
610xx+-£ là
A.
11
;
23
éù
êú
-
êú
ëû
. B.
11
;
23
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
.
C.
11
;;
23
æöæö
÷÷
çç
-¥ - È +¥
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
. D.
11
;;
23
æùéö
÷
ç
úê
-¥ - È +¥
÷
ç
÷
ç
úê
èø
ûë
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
()
2
1
3
610
1
2
x
fx x x
x
é
ê
=
ê
=+-
=
=
ë
-
ê
ê
ê
ê
.
Bảng xét dấu
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 394
Dựa vào bảng xét dấu
()
11
0
23
fx x£££-
.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho
() ( )
2
0.fx ax bx ca=++ ¹
Điều kiện để
()
0, fx x>"Î
là
A.
0
.
0
a
ì
>
ï
ï
í
ï
D£
ï
î
B.
0
.
0
a
ì
>
ï
ï
í
ï
D³
ï
î
C.
0
.
0
a
ì
>
ï
ï
í
ï
D<
ï
î
D.
0
.
0
a
ì
<
ï
ï
í
ï
D>
ï
î
Lời giải
Chọn C
()
0, fx x>"Î
khi 0a > và
0D<
.
Câu 2: Cho
() ( )
2
0fx ax bx ca=++¹
. Điều kiện để
()
³"Î0,fx x
là
A.
0
0
a
ì
>
ï
ï
í
ï
D£
ï
î
. B.
0
0
a
ì
>
ï
ï
í
ï
D³
ï
î
C.
0
0
a
ì
>
ï
ï
í
ï
D<
ï
î
D.
0
0
a
ì
<
ï
ï
í
ï
D>
ï
î
.
Lời giải
Chọn A
()
"γ 0, fx x
khi
0a >
và 0D£ .
Câu 3: Cho
() ( )
2
0fx ax bx ca=++¹
. Điều kiện để
()
<"Î0,fx x
là
A.
ì
<
ï
ï
í
ï
D£
ï
î
0
0
a
. B.
0
0
a
ì
<
ï
ï
í
ï
D=
ï
î
C.
0
0
a
ì
>
ï
ï
í
ï
D<
ï
î
D.
ì
<
ï
ï
í
ï
D<
ï
î
0
0
a
.
Lời giải
Chọn D
()
<"Î0, fx x
khi
0a <
và
0D<
.
Câu 4: Cho
() ( )
2
0fx ax bx ca=++¹
. Điều kiện để
()
0,fx x£"Î
là
A.
0
0
a
ì
<
ï
ï
í
ï
D£
ï
î
. B.
0
0
a
ì
<
ï
ï
í
ï
D³
ï
î
C.
0
0
a
ì
>
ï
ï
í
ï
D<
ï
î
D.
0
0
a
ì
<
ï
ï
í
ï
D>
ï
î
.
Lời giải
Chọn A
()
0, fx x£"Î
khi 0<a và
0D£
.
Câu 5: Cho
() ( )
2
0fx ax bx ca=++¹
có
2
40bacD= - <
. Khi đó mệnh đề nào đúng?
A.
()
0, fx x>"Î
. B.
()
0, fx x<"Î
.
C.
(
)
f
x
không đổi dấu. D. Tồn tại
x
để
()
0fx=
.
Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 395
Vì
0D<
và
0a ¹
nên
()
f
x
không đổi dấu trên
.
Câu 6: Tam thức bậc hai
()
2
225fx x x=++
nhận giá trị dương khi và chỉ khi
A.
()
0; .x Î+¥
B.
()
2; .x Î- +¥
C. .x Î D.
()
;2 .x Î-¥
Lời giải
Chọn C
Ta có
()
20
0, .
'12.5 90
a
fx x
ì
=>
ï
ï
>"Î
í
ï
D= - =- <
ï
î
Câu 7: Số giá trị nguyên của
x
để tam thức
()
2
279fx x x=--
nhận giá trị âm là
A.
3.
B.
4.
C. 5. D.
6.
Lời giải
Chọn B
Ta có
()
1
0
9
2
x
fx
x
é
=-
ê
ê
=
ê
=
ê
ë
. Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu
()
9
01 .
2
fx x<-<<
Mà
x
nguyên nên
{
}
0;1; 2;3; 4Îx
.
Câu 8: Tam thức bậc hai
()
()
2
13 853fx x x=+- -- :
A. Dương với mọi
x Î . B. Âm với mọi x Î .
C. Âm với mọi
()
23;123x Î- - + . D. Âm với mọi
()
;1x Î-¥
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
()
2
23
0
3
1x
x
fx
=+
é
=- -
ê
=
ê
ê
ë
.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu
()
023 123fx x<-- <<+ .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 396
Câu 9: Tam thức bậc hai
()
()()
2
12 542 326fx x x=- +- - +
A. Dương với mọi
x Î . B. Dương với mọi
()
3; 2x Î- .
C. Dương với mọi
()
4; 2x Î- . D. Âm với mọi x Î .
Lời giải
Chọn B
Ta có
()
3
0
2x
x
fx
=
é
=-
ê
=
ê
ê
ë
.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu
()
023fx x>-<< .
Câu 10: Cho
()
2
43fx x x=-+
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:
A.
() ( ]
[
)
0, ;1 3;fx x<"Î-¥È+¥
B.
()
[
]
0, 1;3fx x£"Î
C.
() ( ) ( )
0, ;1 3;fx x³"Î-¥È +¥
D.
()
[
]
0, 1;3fx x>"Î
Lời giải
Chọn B
Ta có
()
3
0
1x
x
fx
=
é
=
ê
=
ê
ë
.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu
()
01 3fx x£££
.
Câu 11: Dấu của tam thức bậc 2:
()
2
–
5–6fx x x=+
được xác định như sau:
A.
()
0fx<
với
23x<<
và
()
0fx>
với
2x <
hoặc
3x >
.
B.
()
0fx<
với
–
3–2x<<
và
()
0fx>
với
–
3x <
hoặc
–
2x >
.
C.
()
0fx>
với
23x<<
và
()
0fx<
với
2x <
hoặc
3x >
.
D.
()
0fx>
với
–
3–2x<<
và
()
0fx<
với
–
3x <
hoặc
–
2x >
.
Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 397
Ta có
()
3
0
2x
x
fx
=
é
=
ê
=
ê
ë
.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta được
(
)
0>fx
với 2 3<<x và
()
0<fx
với 2<x hoặc 3>x .
Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình:
2
2–7–15 0 xx³
là:
A.
[)
3
–;– 5;
2
æù
ç
ú
È
ç
ç
ú
è
û
¥+¥
. B.
3
–
;5
2
é
ù
ê
ú
ê
ú
ë
û
. C.
(]
3
;5 ;
2
é
ö
÷
ê
-¥ - È +¥
÷
÷
ê
ø
ë
. D.
3
5;
2
éù
êú
-
êú
ëû
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
2–7–15
3
2
5
0x
x
x
x
é
=
ê
ê
=
ê
ê
ë
=-
.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu
2
5
2–7–15 0 .
3
2
x
xx
x

Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình:
2
–
67 0 xx++³là:
A.
(]
[
)
;1 7;-¥ - È +¥
. B.
[
]
1;7-
. C.
(]
[
)
;7 1;-¥ - È +¥
. D.
[
]
7;1-
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
–67 0
1
7
x
x
xx
é
=
ê
+=
=-
ë
+
ê
.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu
2
–67 0 1 7.xx x

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 398
Câu 14: Tìm tập nghiệm của bất phương trình
2
2370.xx-+-³
A.
0.S =
B.
{
}
0.S =
C.
.S =Æ
D.
.S =
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
–
237 0xx+-=vô nghiệm.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu
2
2370xx x
.
Câu 15:
Tập nghiệm của bất phương trình
2
320xx-+< là:
A.
()( )
;1 2; .-¥ È +¥
B.
()
2; .+¥
C.
()
1; 2 .
D.
()
;1 .-¥
Lời giải
Chọn C
Ta có
()
2
2
203
1
x
fx x
x
x -
=
é
=
ê
=+=
ê
ë
.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu
()
01 2fx x<<<
.
Câu 16:
Tập nghiệm của bất phương trình
2
540xx-+ -<
là
A.
[
]
1; 4
. B.
()
1; 4
.
C.
()( )
;1 4;-¥ È +¥
. D.
(]
[
)
;1 4;-¥ È +¥
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
()
2
4
405
1
x
xxf
x
x
é
=
ê
=- =
=
-+
ê
ë
.
Bảng xét dấu
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 399
Dựa vào bảng xét dấu
()
1
0
4
x
fx
x
é
<
ê
<
ê
>
ë
.
Câu 17:
Số thực dương lớn nhất thỏa mãn
2
12 0xx -- £ là ?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời giải
Chọn D
Ta có
()
2
12
3
4
0x
x
x
fx x
é
=
ê
==-
=-
ë
-
ê
.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu
()
03 4fx x£-££
. Suy ra số thực dương lớn nhất thỏa
2
12 0xx -- £ là
4
.
Câu 18:
Cho bất phương trình
2
870xx -+³
. Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử
không phải là nghiệm của bất phương trình.
A.
(
]
0.;-¥
B.
[
)
8; .+¥
C.
(
]
1.;-¥
D.
[
)
6; .+¥
Lời giải
Chọn D
Ta có
()
2
1
087
7
x
fx x
x
x -+
=
é
=
ê
==
ê
ë
.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu
()
1
0
7
x
fx
x
£
³
³
é
ê
ê
ë
.
Tập nghiệm của bất phương trình là
(]
[
)
;1 7;S ¥È=- +¥
.
Vì
[)
13
6;
2
Î+¥
và
13
2
SÏ
nên
[)
6;+¥
thỏa yêu cầu bài toán.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 400
Dạng 2. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình tích
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1:
Biểu thức
()
()
2
310345xx x-+ -
âm khi và chỉ khi
A.
5
;.
4
x
æö
÷
ç
Î-¥
÷
ç
÷
ç
èø
B.
15
;;3.
34
x
æöæö
÷÷
çç
Î-¥ È
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
C.
()
15
;3;.
34
x
æö
÷
ç
ÎÈ+¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
1
;3 .
3
x
æö
÷
ç
Î
÷
ç
÷
ç
èø
Lời giải
Chọn B
Đặt
()
()
()
2
310345fx x x x=-+ -
Phương trình
2
3
31030
1
3
x
xx
x
é
=
ê
ê
-+=
ê
=
ê
ë
và
5
450 .
4
xx-= =
Lập bảng xét dấu
x
-¥
1
3
5
4
3
+¥
2
3103xx-+
+
0
-
-
0
+
45x -
- -
0
+ +
(
)
f
x
-
0
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
()
15
0;;3.
34
fx x
æöæö
÷÷
çç
<Î-¥ È
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Ví dụ 2:
Tập nghiệm của bất phương trình
32
3680xxx+--³ là
A.
[][)
4; 1 2; .x Î- - È +¥
B.
()()
4; 1 2; .x Î--È +¥
C.
[
)
1; .x Î- +¥
D.
(][]
;4 1;2.x Î-¥- È-
Lời giải
Chọn A
Bất phương trình
()
()
32 2
3680 2 540.xxx x xx+--³- ++³
Phương trình
2
4
540
1
x
xx
x
é
=-
ê
++=
ê
=-
ë
và
20 2.xx-= =
Lập bảng xét dấu
x
-¥
4-
1-
2
+¥
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 401
2
54xx++
+
0
-
0
+ +
2x -
-
-
-
0
+
()
()
2
254xxx-++
-
0
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng
()
()
[
]
[
)
2
2540 4;12;.xxx x-++³Î--È+¥
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giải bất phương trình
()
()
2
52 2.xx x+£ +
A.
1.x £
B.
14.x££
C.
(]
[
)
;1 4; .x Î-¥ È +¥
D.
4.x ³
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình
()
()
22 22
52 2 5 2 4 5 40xx x x x x x x+£ + + £ + - +³
Xét phương trình
()( )
2
1
540 1 40 .
4
x
xx x x
x
é
=
ê
-+=- -=
ê
=
ë
Lập bảng xét dấu
x
-¥
1
4
+¥
2
54xx-+
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
(]
[
)
2
540 ;14; .xx x-+³Î-¥È+¥
Câu 2:
Biểu thức
()( )( )
22 2
42359xx x x x-+-++
âm khi
A.
()
1; 2x Î
. B.
()()
3; 2 1;2x Î- - È
.
C.
4.x ³
D.
()()()
;3 2;1 2;x Î-¥- È- È +¥
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
()
()( )( )
22 2
42359fx x x x x x=- + - + +
Phương trình
2
2
40 .
2
x
x
x
é
=
ê
-=
ê
=-
ë
Phương trình
2
1
230 .
3
x
xx
x
é
=
ê
+-=
ê
=-
ë
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 402
Ta có
2
22
511
59 0 590 .
24
xx x xx x
æö
÷
ç
++=+ +>++=ÎÆ
÷
ç
÷
ç
èø
Lập bảng xét dấu:
x
-¥
3-
2-
1
2
+¥
2
4
x
-
-
-
0
+
0
+
0
-
2
23xx+-
+
0
-
-
0
+ +
2
59xx++
+
+
+ + +
()
f
x
-
0
+
0
-
0
+
0
-
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
()( )( )
22 2
3
42359021
2
x
xx x x x x
x
é
<-
ê
ê
-+-++<-<<
ê
ê
>
ë
()()()
;3 2;1 2; .x Î -¥ - È - È +¥
Dạng 3. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1:
Tập nghiệm S của bất phương trình
2
7
0
41912
x
xx
-
>
-+
là
A.
()
3
;4;7.
4
S
æö
÷
ç
=-¥ È
÷
ç
÷
ç
èø
B.
()
3
;4 7; .
4
S
æö
÷
ç
=È+¥
÷
ç
÷
ç
èø
C.
()
3
;4 4; .
4
S
æö
÷
ç
=È+¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
()
3
;7 7; .
4
S
æö
÷
ç
=È+¥
÷
ç
÷
ç
èø
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
()( )
2
4
419120 4430 .
3
4
x
xx x x
x
ì
¹
ï
ï
ï
-+¹- -¹
í
ï
¹
ï
ï
î
Phương trình
70 7xx-= =
và
2
4
419120 .
3
4
x
xx
x
é
=
ê
ê
-+=
ê
=
ê
ë
Bảng xét dấu:
x
-¥
3
4
4
7
+¥
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 403
7x -
-
-
-
0
+
2
41912xx-+
+
-
+ +
()
f
x
-
+
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình
2
3
4
7
0.
4
41912
7
x
x
xx
x
é
ê
<<
-
ê
>
ê
-+
>
ê
ë
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
()
3
;4 7; .
4
S
æö
÷
ç
=È+¥
÷
ç
÷
ç
èø
Ví dụ 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
x
thỏa mãn
22
31 2
2
42
x
x
x
x
xx
+
-<
+
--
?
A.
0.
B.
2.
C.
1.
D.
3.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
2
2
40
0
20 .
2
20
x
x
x
x
xx
ì
ï
-¹
ï
ì
¹
ï
ï
ïï
+¹
íí
ïï
¹
ï
ïî
ï
-¹
ï
î
Bất phương trình:
22222
31 2 31 2 29
00.
22
42 4 2 4
xxxxx
xx
xxxxxxx
++ +
-< -+ < <
++
-----
Bảng xét dấu:
x
-¥
9
2
-
2-
2
+¥
29x +
-
0
+
+
+
2
4x -
+
+
-
+
()
f
x
-
0
+
-
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
()
2
29 9
0;2;2.
24
x
x
x
æö
+
÷
ç
<Î-¥- È-
÷
ç
÷
ç
èø
-
Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của
x
()
1x =
thỏa mãn yêu cầu.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Biểu thức
()
2
11 3
57
x
fx
xx
+
=
-+-
nhận giá trị dương khi và chỉ khi
A.
3
;.
11
x
æö
÷
ç
Î- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
B.
3
;5 .
11
x
æö
÷
ç
Î-
÷
ç
÷
ç
èø
C.
3
;.
11
x
æö
÷
ç
Î-¥-
÷
ç
÷
ç
èø
D.
3
5; .
11
x
æö
÷
ç
Î- -
÷
ç
÷
ç
èø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 404
Lời giải
Chọn C
Ta có
()
2
22
53
57 57 0, .
24
xx xx x x
æö
÷
ç
-+-=- -+=-- -<"Î
÷
ç
÷
ç
èø
Do đó, bất phương trình
()
33
011 30 ; .
11 11
fx x x x
æö
÷
ç
> +<<- Î-¥-
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 2: Tập nghiệm
S
của bất phương trình
2
2
277
1
310
xx
xx
-++
£-
--
là
A. Hai khoảng. B. Một khoảng và một đoạn.
C. Hai khoảng và một đoạn. D. Ba khoảng.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
()()
2
2
3100 2 50 .
5
x
xx x x
x
ì
¹-
ï
ï
- - ¹ + - ¹
í
ï
¹
ï
î
Bất phương trình
()
22 2
22 2
277 277 43
1100.
310 310 310
xx xx xx
xx xx xx
-++ -++ -+-
£- + £ £ *
-- -- --
Bảng xét dấu
x
-¥
2-
1
3
5
+¥
2
43xx-+ -
-
-
0
+
0
-
-
2
310xx--
+
- - -
+
()
f
x
-
+
0
-
0
+
-
Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình
() ( )
[
]( )
;2 1;3 5; .x* Î-¥- È È +¥
Câu 3: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của
x
thỏa mãn bất phương trình
42
2
0
56
xx
xx
-
£
++
?
A.
0.
B.
2.
C.
1.
D.
3.
Lời giải
Chọn D
Bất phương trình
()
()
22
42
22
1
00.
56 56
xx
xx
xx xx
-
-
£ £ *
++ ++
Vì
2
0,xx³"Î
nên bất phương trình
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 405
()
()
2
2
2
2
2
0
0
.
1
1
0
0
56
56
x
x
x
x
fx
xx
xx
é
é
=
=
ê
ê
ê
ê
*
-
-
ê
ê
=£
£
ê
ê
++
++
ë
ë
Phương trình
2
1
10
1
x
x
x
é
=
ê
-=
ê
=-
ë
và
2
2
560 .
3
x
xx
x
é
=-
ê
++=
ê
=-
ë
Bảng xét dấu
x
-¥
3-
2-
1-
1
+¥
2
1x -
+
+
+
0
-
0
+
2
56xx++
+
-
+
+ +
(
)
f
x
+
-
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
() ( )
[
]
03;21;1fx x£Î-- È-
Kết hợp với
,x Î
ta được
{}
1; 0;1 .x =-
Vậy có tất cả
3
giá trị nguyên cần tìm.
Dạng 4. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập xác định của hàm số
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1:
Tìm tập xác định
D
của hàm số
2
252.yxx=-+
Lời giải
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
2
2520.xx-+³
Phương trình
()( )
2
2
2520 2210 .
1
2
x
xx x x
x
é
=
ê
ê
- += - -=
ê
=
ê
ë
Bảng xét dấu:
x
-¥
1
2
2
+¥
2
252xx-+
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
[)
2
1
2520 ;2; .
2
xx x
æù
ç
ú
-+³Î-¥È+¥
ç
ç
ú
è
û
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 406
Vậy tập xác định của hàm số là
[)
1
;2; .
2
D
æù
ç
ú
=-¥ È +¥
ç
ç
ú
è
û
Ví dụ 2:
Tìm tập xác định
D
của hàm số
2
3
.
43
x
y
x
x
-
=
--
Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi
2
43 0.xx-->
Phương trình
()( )
2
1
43 0 1 4 0 .
4
x
xx x x
x
é
=
ê
--=- +=
ê
=-
ë
Bảng xét dấu:
x
-¥
4-
1
+¥
2
43
x
x--
-
0
+
0
-
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
()
2
43 0 4;1.xx x-->Î-
Vậy tập xác định của hàm số là
()
4;1 .D =-
Ví dụ 2:
Tìm tập xác đinh
D
của hàm số
2
1
6.
4
yxx
x
=+-+
+
Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi
2
60
.
40
xx
x
ì
ï
+-³
ï
í
ï
+>
ï
î
Phương trình
2
2
60
3
x
xx
x
é
=
ê
+-=
ê
=-
ë
và 40 4.xx+= =-
Bảng xét dấu
x
-¥
4-
3-
2
+¥
2
6xx+-
+
+
0
-
0
+
4x +
-
0
+
+ +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
(][)
2
60
4; 3 2; .
40
xx
x
x
ì
ï
+-³
ï
Î--È +¥
í
ï
+>
ï
î
Vậy tập xác định của hàm số là
(]
[
)
4; 3 2; .D =- - È +¥
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giá trị nguyên dương lớn nhất để hàm số
2
54yxx=--
xác định là
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 407
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời giải
Chọn A
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
2
54 0.xx--³
Phương trình
()( )
2
1
54 0 1 5 0 .
5
x
xx x x
x
é
=
ê
--=- +=
ê
=-
ë
Bảng xét dấu
x
-¥
5-
1
+¥
2
54
x
x--
-
0
+
0
-
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
[
]
2
54 0 5;1.xx x--³Î-
Vậy nghiệm dương lớn nhất để hàm số xác định là
1.x =
Câu 2:
Tìm tập xác định
D
của hàm số
()()
2
2 5 15 7 5 25 10 5.yx x=- +- +-
A.
D.=
B.
()
D;1.=-¥
C.
[
]
D5;1.=-
D.
D5;5.
éù
=-
êú
ëû
Lời giải
Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi
()()
2
2 5 15 7 5 25 10 5 0.xx-+-+-³
Phương trình
()()
()
()
2
5
2 5 15 7 5 25 10 5 0 5 5 0 .
5
x
xx xx
x
é
=-
ê
-+-+-=+-=
ê
=
ê
ë
Bảng xét dấu
x
-¥
5-
5
+¥
()()
2
2 5 15 7 5 25 10 5xx-+-+-
-
0
+
0
-
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
()()
2
2 5 15 7 5 25 10 5 0 5; 5 .xx x
éù
-+-+-³Î-
êú
ëû
Vậy tâp xác định của hàm số là
D5;5.
é
ù
=-
ê
ú
ë
û
Câu 3:
Tìm tập xác định
D
của hàm số
2
2
1
.
341
x
y
xx
-
=
-+
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 408
A.
1
D\1;.
3
ìü
ïï
ïï
=
íý
ïï
ïï
îþ
B.
1
D;1.
3
æö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
èø
C.
()
1
D;1;.
3
æö
÷
ç
=-¥ È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
[)
1
D;1;.
3
æù
ç
ú
=-¥ È +¥
ç
ç
ú
è
û
Lời giải
Chọn C
Hàm số xác định khi và chỉ khi
2
3410.xx-+>
Phương trình
()( )
2
1
3410 1310 .
1
3
x
xx x x
x
é
=
ê
ê
-+=- -=
ê
=
ê
ë
Bảng xét dấu
x
-¥
1
3
1
+¥
2
341xx-+
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
()
2
1
3410 ; 1; .
3
xx x
æö
÷
ç
-+>Î-¥È+¥
÷
ç
÷
ç
èø
Vậy tập xác định của hàm số là
()
1
;1;.
3
D
æö
÷
ç
=-¥ È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 4: Tìm tập xác định
D
của hàm số
2
1
23 .
52
yx x
x
=+++
-
A.
5
D;.
2
éö
÷
ê
=+¥
÷
÷
ê
ø
ë
B.
5
D;.
2
æù
ç
ú
=-¥
ç
ç
ú
è
û
C.
5
D;.
2
æö
÷
ç
=+¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
5
D;.
2
æö
÷
ç
=-¥
÷
ç
÷
ç
èø
Lời giải
Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi
2
230
.
52 0
xx
x
ì
ï
++³
ï
í
ï
->
ï
î
Phương trình
2
230xx x++=ÎÆ
và
5
52 0 .
2
xx
-==
Bảng xét dấu
x
-¥
5
2
+¥
2
23xx++
+
+
52
x
-
+
0
-
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
2
230
5
;.
2
52 0
xx
x
x
ì
æö
ï
++³
ï
÷
ç
Î-¥
÷
í
ç
÷
ç
ï
èø
->
ï
î
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 409
Vậy tập xác định của hàm số là
5
;.
2
D
æö
÷
ç
=-¥
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 5:
Tìm tập xác định
D
của hàm số
()
2
33
1.
215
x
fx
xx
-
=-
-- +
A.
[
)
D4; .=+¥
B.
(
]
(
]
D5;33;4.=- - È
C.
()
D;5.=-¥-
D.
()(
]
D5;33;4.=- È
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định
()
2
22
33 12
10 0.
215 215
xxx
fx
xx xx
---
-³=³
-- + -- +
Phương trình
2
4
12 0
3
x
xx
x
é
=
ê
-- =
ê
=-
ë
và
2
5
2150 .
3
x
xx
x
é
=-
ê
-- + =
ê
=
ë
Bảng xét dấu
x
-¥
5-
3-
3
4
+¥
2
12xx--
+
+
0
-
-
0
+
2
215xx-- +
-
+
+
-
-
()
f
x
-
+
0
-
+
0
-
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
(](]
2
33
10 5;3 3;4.
215
x
x
xx
-
-³ Î- - È
-- +
Vậy tập xác định của hàm số là
(](]
5; 3 3; 4 .D =- - È
Câu 6:
Tìm tập xác định
D
của hàm số
2
2
54
.
231
xx
y
xx
++
=
++
A.
[)
1
D4;1 ;.
2
æö
÷
ç
=- - È- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
B.
(]
1
D;41;.
2
æö
÷
ç
=-¥- È- -
÷
ç
÷
ç
èø
C.
(]
1
D;4;.
2
æö
÷
ç
=-¥- È- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
1
D4;.
2
é
ö
÷
ê
=- -
÷
÷
ê
ø
ë
Lời giải
Chọn C
Hàm số xác định khi và chỉ khi
()
2
2
54
0.
231
xx
fx
xx
++
=³
++
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 410
Phương trình
2
1
540
4
x
xx
x
é
=-
ê
++=
ê
=-
ë
và
2
1
2310 .
1
2
x
xx
x
é
=-
ê
ê
++=
ê
=-
ê
ë
Bảng xét dấu
x
-¥
4-
1-
1
2
-
+¥
2
54xx++
+
0
-
0
+
+
2
231xx++
+
+
-
+
()
f
x
+
0
-
-
+
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
(]
2
2
54 1
0;4;.
2
231
xx
x
xx
æö
++
÷
ç
³Î-¥-È- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
++
Vậy tập xác định của hàm số là
(]
1
;4 ; .
2
D
æö
÷
ç
=-¥- È- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 7:
Tìm tập xác định
D
của hàm số
()
2
12 2 2.fx x x=+--
A.
(
]
D5;4.=-
B.
()()
D;54;.=-¥- È +¥
C.
(][)
D;43;.=-¥- È +¥
D.
(]
[
)
D;54;.=-¥- È +¥
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định khi và chỉ khi
2
2
12 2 2 0
.
12 0
xx
xx
ì
ï
+- - ³
ï
ï
í
ï
+- ³
ï
ï
î
2
22
2
12 8
12 8 20 0.
12 0
xx
xx xx
xx
ì
ï
+- ³
ï
+- ³ +- ³
í
ï
+- ³
ï
î
Phương trình
()()
2
5
20 0 5 4 0 .
4
x
xx x x
x
é
=-
ê
+- = + - =
ê
=
ë
Bảng xét dấu
x
-¥
5-
4
+¥
2
20xx+-
+
0
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy
(]
[
)
2
20 0 ; 5 4; .xx x+- ³ Î-¥-È +¥
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 411
Vậy tập xác định của hàm số là
(]
[
)
;5 4; .D =-¥- È +¥
Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai Vô nghiệm – có nghiệm – có hai
nghiệm phân biệt
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Câu 1:
Phương trình
()
2
110xmx-+ +=
vô nghiệm khi và chỉ khi
A.
1.m >
B. 31.m-< < C. 3m £-
hoặc
1.m ³
D. 31.m-£ £
Lời giải
Chọn B
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi
()
2
0140
x
mD< + - <
()( )
2
230 1 30 3 1mm mm m+-<- +<-<<
.
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình
() ( )
2
2223560mx mxm-+ -+-=
vô
nghiệm?
A.
0.m <
B.
2.m >
C.
3
.
1
m
m
é
>
ê
ê
<
ë
D.
2
.
13
m
m
ì
¹
ï
ï
í
ï
<<
ï
î
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình
() ( ) ()
2
2223560 .mx mxm-+ -+-= *
TH1. Với
20 2,mm-= =
khi đó
()
240 2.xx* + = =-
Suy ra với
2m =
thì phương trình
()
*
có nghiệm duy nhất 2.x =-
Do đó
2m =
không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2. Với
20 2,mm-¹ ¹
khi đó để phương trình
()
*
vô nghiệm
0
x
¢
D <
()()()
()
2
22
23 25604 1295 16120mmm mmmm--- -< -+- -+<
22
3
430 430 .
1
m
mm mm
m
é
>
ê
-+-<-+>
ê
<
ë
Do đó, với
3
1
m
m
é
>
ê
ê
<
ë
thì phương trình
()
*
vô nghiệm.
Kết hợp hai
TH, ta được
3
1
m
m
é
>
ê
ê
<
ë
là giá trị cần tìm.
Câu 3:
Phương trình
2
2( 2) 2 1 0xmxm++--=
(
m
là tham số) có nghiệm khi
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 412
A.
1
.
5
m
m
é
=-
ê
ê
=-
ë
B. 51.m-£ £- C.
5
.
1
m
m
é
<-
ê
ê
>-
ë
D.
5
.
1
m
m
é
£-
ê
ê
³-
ë
Lời giải
Chọn D
Xét phương trình
()
2
22210,xmxm++--=
có
()
2
221.
x
mm
¢
D=+++
Yêu cầu bài toán
22
044210650
x
mm m mm
¢
D ³ + + + + ³ + + ³
()()
1
150
5
m
mm
m
é
³-
ê
+ +³
ê
£-
ë
là giá trị cần tìm.
Câu 4:
Tìm các giá trị của
m
để phương trình
()
2
54 20mxmxm--+-=
có nghiệm.
A. 5.m ¹ B.
10
1.
3
m-££
C.
10
.
3
1
m
m
é
ê
£-
ê
ê
ê³
ë
D.
10
.
3
15
m
m
é
ê
£-
ê
ê
ê£ ¹
ë
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình
() ()
2
54 20 .mxmxm--+-= *
TH1. Với
50 5,mm-= =
khi đó
()
3
20 3 0 .
20
xx*- + = =
Suy ra phương trình
()
*
có nghiệm duy nhất
3
.
20
x =
TH2. Với
50 5,mm-¹ ¹
khi đó để phương trình
()
*
có nghiệm
0
x
¢
D ³
()( )( )
()
2
22
25204 7100mmm mmm- - - - ³ - - + ³
()( )
2
1
37100 13100 .
10
3
m
mm m m
m
é
³
ê
ê
+-³- +³
ê
£-
ê
ë
Do đó, với
51
10
3
m
m
é
¹³
ê
ê
ê
£-
ê
ë
thì phương trình
()
*
có nghiệm.
Kết hợp hai
TH, ta được
1
10
3
m
m
é
³
ê
ê
ê
£-
ê
ë
là giá trị cần tìm.
Câu 5:
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
sao cho phương trình
()( )
2
132320mx m x m-+-+-=
có hai nghiệm phân biệt?
A. m1 B.
26.m<<
C.
16.m-< <
D.
12.m-< <
Lời giải
Chọn A
Kiểm tra với m = 1 không thỏa mãn ycbt. Do đó
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 413
Yêu cầu bài toán
()()()
2
10
324 132 0
x
am
mmm
ì
=-¹
ï
ï
í
ï
D= - - - - >
ï
î
()
()
22
2
1
1
.
912442530
17 32 16 0
m
m
mm mm
mm
ì
¹
ì
ï
¹
ï
ï
ïï
*
íí
ïï
-+--+->
-+>
ïï
î
ï
î
Ta có
2
17 0
16 17.16 16 0
m
a
ì
=>
ï
ï
í
ï
¢
D= - =- <
ï
î
suy ra
2
17 32 16 0, .mm m-+>"Î
Do đó, hệ bất phương trình
()
1m* ¹
.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
sao cho phương trình sau vô nghiệm
(
)
22
21 4 20.mxmx+-+=
A.
.m Î B.
3.m >
C.
3
3.
5
m-< <
D.
3
.
5
m >-
Lời giải
Chọn A
Yêu cầu bài toán
()
2
22
210
,.
422120
x
am
m
mm
ì
ï
=+¹
ï
ï
"Î
í
ï
¢
D= - + =- <
ï
ï
î
Vậy phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi .m Î
Câu 2:
Phương trình
2
240mx mx-+=
vô nghiệm khi và chỉ khi
A.
04.m<<
B.
0
.
4
m
m
é
<
ê
ê
>
ë
C.
04.m££
D.
04.m£<
Lời giải
Chọn D
Xét phương trình
()
2
240 .mx mx-+= *
TH1. Với
0,m =
khi đó phương trình
()
40* =
(vô lý).
Suy ra với
0m =
thì phương trình
()
*
vô nghiệm.
TH2. Với
0,m ¹
khi đó để phương trình
()
*
vô nghiệm
0
x
¢
D<
()
2
40 400 4mm mm m-< -<<<
Kết hợp hai
TH, ta được
04m£<
là giá trị cần tìm.
Câu 3:
Phương trình
()
()
22
42230mxmx-+-+=
vô nghiệm khi và chỉ khi
A.
0.m ³
B.
2.m =
C.
2
.
4
m
m
é
³
ê
ê
<-
ë
D.
2
.
4
m
m
é
³
ê
ê
£-
ë
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 414
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình
()
() ()
22
42230 .mxmx-+-+= *
TH1. Với
2
2
40 .
2
m
m
m
é
=
ê
-=
ê
=-
ë
· Khi
()
230m =*=
(vô lý).
· Khi
()
3
2830.
8
mxx=- * - + = =
Suy ra với
2m =
thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
TH2. Với
2
2
40 ,
2
m
m
m
ì
¹
ï
ï
-¹
í
ï
¹-
ï
î
khi đó để phương trình
()
*
vô nghiệm
0
x
¢
D<
()
()
2
22 2 2
23 40 443 120 2 4160mm mmm mm-- -< - +- +<- - +<
()()
2
2
280 2 40 .
4
m
mm m m
m
é
>
ê
+->- +>
ê
<-
ë
Suy ra với
2
4
m
m
é
>
ê
ê
<-
ë
thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Kết hợp hai
TH, ta được
2
4
m
m
é
³
ê
ê
<-
ë
là giá trị cần tìm.
Câu 4:
Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trình
()
22
22 234 0xmx mm+++++=
có nghiệm?
A.
3.
B.
4.
C.
2.
D.
1.
Lời giải
Chọn A
Xét
()
22
22 234 0,xmx mm+++++=
có
()
()
2
2
22 43.
x
mmm
¢
D= + - + +
Yêu cầu bài toán
22 2
0442860 420
x
mm mm mm
¢
D ³ + + - - - ³ - - - ³
()
2
2
420 22 22 22.mm m m++£+£--££-+
Kết hợp với
,m Î
ta được
{
}
3; 2; 1m =- - -
là các giá trị cần tìm.
Câu 5: Tìm tất cả giá trị thực của tham số
m
sao cho phương trình
() ( )
2
123 20mx m xm--+-+=
có nghiệm.
A.
.mÎÆ
B. .m Î C. 13.m-< < D. 22.m-< <
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình
() ( ) ()
2
123 20 .mx m xm--+-+= *
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 415
TH1. Với
10 1,mm-= =
khi đó
()
1
2.4 1 2 0 .
8
xx*- -+ = =
Suy ra với
1m =
thì phương trình
()
*
có nghiệm duy nhất
1
.
8
x =
TH2. Với
10 1,mm-¹ ¹
khi đó để phương trình
()
*
có nghiệm
0
x
¢
D ³
()()()
()
2
22
312069 320mmmmmmm+-- -³++--+-³
2
2
379
231102 0,
48
mm m m
æö
÷
ç
++³++³"Î
÷
ç
÷
ç
èø
suy ra
0, .
x
m
¢
D³ " Î
Do đó, với
1m ¹
thì phương trình
()
*
luôn có hai nghiệm phân biệt.
Kết hợp hai
TH, ta được m Î là giá trị cần tìm.
Câu 6:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
sao cho phương trình
()
2
1
10
3
xmxm++ +-=
có nghiệm?
A. .m Î B.
1.m >
C.
3
1.
4
m-< <
D.
3
.
4
m >-
Lời giải
Chọn A
Xét
()
2
1
10,
3
xmxm++ +-=
có
()
2
2
17
14 2 .
33
x
mmmm
æö
÷
ç
D= + - - = - +
÷
ç
÷
ç
èø
Ta có
10
74
10
33
m
a
ì
=>
ï
ï
ï
í
ï
¢
D=- =- <
ï
ï
î
suy ra
2
7
20,
3
mm m-+>"Î
0, .
x
mD > " Î
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi .m Î
Câu 7:
Phương trình
()
2
12 10mx xm--++=
có hai nghiệm phân biệt khi
A.
{}
\0.m Î
B.
()
2; 2 .m Î-
C.
()
{}
2; 2 \ 1 .m Î-
D.
{
}
2; 2 \ 1 .m
é
ù
Î-
ê
ú
ë
û
Lời giải
Chọn C
Yêu cầu bài toán
() ( )( )
2
10
1110
x
am
mm
ì
=-¹
ï
ï
í
ï
¢
D=- - - + >
ï
î
()
{}
22
1
11
2; 2
1
\1
10 2
22
.
m
mm
m
mm
m
ì
ìì
¹
¹¹
ï
ïï
ïïï
 Î-
ííí
ïïï
-+> <
-<<
ïïï
îî
î
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
()
{
}
2; 1 .2\mÎ-
Câu 8:
Giá trị nào của
m
thì phương trình
()( )()
2
–
33–1 0mxm xm++ +=
có hai nghiệm phân
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 416
biệt?
A.
(){}
3
;1;\3.
5
m
æö
÷
ç
Î-¥- È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
B.
3
;1 .
5
m
æö
÷
ç
Î-
÷
ç
÷
ç
èø
C.
3
;.
5
m
æö
÷
ç
Î- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
{}
\3.m Î
Lời giải
Chọn C
Yêu cầu bài toán
()()()
2
30
34 3 10
x
am
mmm
ì
=-¹
ï
ï
í
ï
D= + + - + >
ï
î
()
22
2
3
3
694 230
5230
m
m
mm mm
mm
ì
¹
ì
ï
¹
ï
ï
ïï

íí
ïï
+++ -->
-->
ïï
î
ï
î
()( )
(){}
3
;1;\3
5
3
3
1
15 3 0
3
5
m
m
m
m
mm
m
ì
¹
ï
ï
ï
ì
ï
¹
ï
é
>
ï
ï

ê
íí
ïï
ê
-+>
ïï
î
ê
ï
<-
ï
ê
ï
æö
÷
ç
Î-¥- È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
ë
î
là giá trị cần tìm.
Dạng 6. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện
cho trước
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tìm
m
để phương trình
2
30xmxm-++= có hai nghiệm dương phân biệt.
A.
6.m >
B.
6.m <
C.
60.m>>
D.
0.m >
Lời giải
Chọn A
Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
()
2
2
12
12
430
0
4120
00 6.
0
0
30
mm
mm
Sxxm m
m
P
xx m
ì
ï
-+>
ì
D>
ï
ï
ï
ì
ï
ï
-->
ï
ï
ïï
> + => >
íí í
ïï ï
>
ïï ï
î
ïï
>
=+>
ï
î
ï
î
Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
sao cho phương trình
()
2
22 30mxmxm--++=
có hai nghiệm dương phân biệt.
A.
26.m<<
B.
3m <-
hoặc
26.m<<
C. 0m < hoặc 36.m-< < D. 36.m-< <
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 417
Chọn B
Yêu cầu bài toán
()()
2
20
0
230
26
0
2
.
0
3
0
2
0
3
0
2
m
a
mm m
m
m
m
S
m
P
m
m
ì
-¹
ï
ï
ï
ì
¹
ï
ï
-- +>
ï
ï
ï
ï
ï
ï
é
¢
<<
D>
ï
ï
ïï
ê

íí
>
ê
ïï
<-
>
ïï ë
-
ïï
ïï
>
ïï
+
ï
î
ï
>
ï
ï
-
ï
î
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để
()
2
21950xmxm+++-=
có hai nghiệm âm
phân biệt.
A. 6.m < B.
5
1
9
m<<
hoặc 6.m > C. 1.m > D. 16.m<<
Lời giải
Chọn B
Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
()( )
()
2
2
1950
0
6
760
0210 .
5
5
1
0
9
950
9
mm
m
mm
Sm
m
m
P
m
ì
ï
+- ->
ì
¢
D>
ì
ï
ï
é
>
ï
-+>
ï
ï
ï
ê
ï
ï
ï
ïï ï
ê
<- +<
íí í
ïï ï
ê
<<
>
ïï ï
ê
ïï ï
>
->
ë
ï
î
ï
î
ï
ï
î
Câu 4:
Phương trình
()
22
32 2 520xmxmm--+ --=
có hai nghiệm không âm khi
A.
2
;.
3
m
éö
÷
ê
Î+¥
÷
÷
ê
ø
ë
B.
541
;.
4
m
é
ö
+
÷
ê
÷
Î+¥
÷
ê
÷
÷
ø
ê
ë
C.
25 41
;.
34
m
éù
+
êú
Î
êú
êú
ëû
D.
541
;.
4
m
æù
-
ç
ú
ç
Î-¥
ç
ú
ç
è
ú
û
Lời giải
Chọn B
Phương trình đã cho có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi
()
()
2
2
2
22
3242 520
320
0
541
0 3 20 8 120 .
4
0
2520 2520
mmm
m
Sm mm m
P
mm mm
ì
ï
-- -->
ì
-³
ì
ï
ï
D>
ï
ï
ï
ï
ï
ï
+
ï
ïï ï
³ -³ + + ³³
íí í
ïï ï
ïï ï
ïï ï
³
--³ --³
ï
î
ïï
î
ï
î
Câu 5: Phương trình
()
22 2
212350xmmxmm--++ --=
có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và
chỉ khi
A.
1m <-
hoặc
5
.
2
m >
B.
5
1.
2
m-< <
C.
1m £-
hoặc
5
.
2
m ³
D.
5
1.
2
m-£ £
Lời giải
Chọn B
Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 418
()
2
5
02.2 3 50 1 .
2
ac m m m< - - <-< <
Câu 6:
Phương trình
()
222
32 2 50mmxmx-+ - -=
có hai nghiệm trái dấu khi
A.
()
1; 2 .m Î
B.
()( )
;1 2; .m Î-¥ È +¥
C.
1
.
2
m
m
ì
¹
ï
ï
í
ï
¹
ï
î
D.
.mÎÆ
Lời giải
Chọn B
Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
()
()
22
2
032.50320 .
1
m
ac m m m m
m
é
>
ê
< - + - < - +>
ê
<
ë
Câu 7:
Giá trị thực của tham số
m
để phương trình
()
22
21 20xmxmm--+-=
có hai nghiệm trái
dấu trong đó nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn là
A.
02.m<<
B.
01.m<<
C.
12.m<<
D.
1
.
0
m
m
é
>
ê
ê
<
ë
Lời giải
Chọn B
Phương trình
()
2222
2 1 20 2 220xmxmm xmxmxm--+-=-++-=
()() ()( )
2
1
2
20 20 .
2
xm
xm xm xmxm
xm
ì
=
ï
ï
- + - =- -+=
í
ï
=-
ï
î
Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu
()
12
12
02.
0
xx
m
xx
ì
¹
ï
ï
<<I
í
ï
<
ï
î
Với
()
0;2m Î
suy ra
1
2
0
,
0
x
x
ì
>
ï
ï
í
ï
<
ï
î
theo bài ra, ta có
22
22
21 2 1 21
0xx x x xx> > ->
()()( )( )
2121
0 2 202201.xxxx m mm m m m- +>-- -+>-<<
Kết hợp với
()
,I
ta được
01m<<
là giá trị cần tìm.
Câu 8:
Với giá trị nào của m thì phương trình
() ( )
2
122 30mx m xm---+-=
có hai nghiệm
phân biệt
12
,
x
x thỏa mãn điều kiện
1212
1xxxx++ <?
A.
12.m<<
B.
13.m<<
C.
2.m >
D.
3.m >
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình
() ( ) ()
2
122 30 ,mx m xm---+-= *
có
0.abc++=
Suy ra phương trình
()
*
()( )
()
1
11 30 .
13
x
xmxm
mxm
é
=
ê
éù
- - -+=
ëû
ê
-=-
ë
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 419
Để phương trình
()
*
có hai nghiệm phân biệt
()
10
1.
3
1
1
m
m
m
m
ì
-¹
ï
ï
ï
¹I
í
-
ï
¹
ï
ï
-
î
Khi đó, gọi
12
,
x
x là hai nghiệm của phương trình
()
*
suy ra
12
12
24
1
.
3
1
m
xx
m
m
xx
m
ì
-
ï
ï
+=
ï
ï
-
ï
í
ï
-
ï
=
ï
ï
-
ï
î
Theo bài ra, ta có
1212
37 26
1013.
11
mm
xxxx m
mm
--
++ = < <<<
--
Kết hợp với
(
)
,I
ta được
13m<<
là giá trị cần tìm.
Câu 9:
Tìm giá trị thực của tham số
m
để phương trình
()
2
12 20mxmxm+-+-=
có hai nghiệm
phân biệt
12
,
x
x khác
0
thỏa mãn
12
11
3?
xx
+<
A.
2 6.mm< >
B.
212 6.mm-< ¹-< >
C.
26.m<<
D.
26.m-< <
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình
() ()
2
12 20 ,mxmxm+-+-= *
có
2.m
¢
D= +
Phương trình
()
*
có hai nghiệm phân biệt khác
0
khi và chỉ khi
{}
()
0
10
1; 2
020 .
2
020
a
m
m
m
m
Pm
ì
ì
¹
+¹
ï
ï
ï
ï
ì
ï¹-
ï
ï
ïï ï
¢
D> + > I
íí í
ïï ï
>-
ïï ï
î
ïï
¹-¹
ï
î
ï
î
Khi đó, gọi
12
,
x
x là nghiệm của phương trình
()
*
suy ra
12
12
2
1
.
2
1
m
xx
m
m
xx
m
ì
ï
ï
+=
ï
ï
+
ï
í
ï
-
ï
=
ï
ï
+
ï
î
Theo bài ra, ta có
12
12 12
6
11 2 6
30.
2
22
m
xx
mm
m
xx xx m m
é
>
+
-
ê
+= = < >
ê
<
--
ë
Kết hợp với
()
,I
ta được
()()
6
2; 1 1;2
m
m
é
>
ê
ê
Î- - È-
ë
là giá trị cần tìm.
Câu 10:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
()
2
120xmxm-- ++=
có hai
nghiệm phân biệt
12
,
x
x khác
0
thỏa mãn
22
12
11
1.
xx
+>
A.
()()()
;2 2;1 7; .m Î-¥- È- - È +¥
B.
()
11
;2 2; .
10
m
æö
÷
ç
Î-¥- È- -
÷
ç
÷
ç
èø
C.
()()
;2 2;1.m Î-¥- È- -
D.
()
7; .m Î+¥
Lời giải
Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 420
Đặt
() ( )
2
12.fx x m x m=-- ++
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác
0
khi và chỉ khi:
(
)
0
00f
ì
D>
ï
ï
í
ï
¹
ï
î
2
7
670
.
1
20
2
m
mm
m
m
m
ì
é
ï
>
ï
ì
ê
ï
-->
ï
ïï
ê

<-
íí
ë
ïï
+¹
ïï
î
ï
¹-
ï
î
()
*
Gọi
12
,
x
x
là nghiệm của phương trình đã cho. Theo Viet, ta có
12
12
1
.
2
xx m
xx m
ì
+=-
ï
ï
í
ï
=+
ï
î
Yêu cầu bài toán
()
()
2
22
12 12
12
22 22 2
12 12
12
2
11
11 1
.
xx xx
xx
xx xx
xx
+-
+
+> > >
()( )
()
()
()
2
*
22
2
12 2
87
10 21.
7
22
8
m
mm
m
m
m
mm
ì
¹-
ï
ï
-- +
+
ï
><¾¾- ¹ <-
í
ï
<-
++
ï
ï
î
Dạng 7. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm
đúng
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tam thức
() ( )
2
3221 4fx x m x m=+ -++
dương với mọi
x
khi:
A.
11
1.
4
m-< <
B.
11
1.
4
m-<<
C.
11
1.
4
m-££
D.
1
.
11
4
m
m
é
<-
ê
ê
ê
>
ê
ë
Lời giải
Chọn A
Tam thức
()
f
x
có 30a =>. Do đó
()
0,fx
x
>"
khi
()()
2
2
11
'21 3 44 7 110 1
4
mmmm xD= - - + = - - < - < <
.
Câu 2:
Tam thức
() ( )
2
224fx x m x m=- + - - +
không dương với mọi
x
khi:
A.
{}
\6.m Î
B.
.mÎÆ
C. 6.m = D. .m Î
Lời giải
Chọn C
Tam thức
()
f
x
có 20a =- < . Do đó
()
0,fx
x
£"
(không dương) khi
()( )
2
2
81236024 6mmmm mD= + - +=£+-=-
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 421
Câu 3: Tam thức
() ( )
2
–
22–4fx x m x m=+++
âm với mọi
x
khi:
A.
14m <-
hoặc
2m >
. B. 14 2m-££. C.
214m-< <
. D.
14 2m-<<
.
Lời giải
Chọn D
Tam thức
()
f
x
có
20a =- <
. Do đó
()
0,fx
x
<"
khi
()()
2
2
81228014422 mmm mmD= + - £ --+ <=<+ .
Câu 4:
Tam thức
() ( )
2
281xm mfx x-+ + +=
không âm với mọi
x
khi:
A.
28.m >
B.
028.m££
C.
1.m <
D.
028.m<<
Lời giải
Chọn B
Tam thức
()
f
x
có
10a =>
nên
()
0,fx
x
³"
(không âm) khi
()( )
2
2
248 2800 281 mmmmmD= - £ =£+£+-
.
Câu 5:
Bất phương trình
2
0xmxm--³ có nghiệm đúng với mọi
x
khi và chỉ khi:
A.
4m £-
hoặc
0m ³
. B.
40m-< <
. C.
4m <-
hoặc
0m >
. D.
40m-£ £
.
Lời giải
Chọn D
Tam thức
2
()
f
xxmxm=- -
có hệ số 10a => nên bất phương trình
()
0fx³
nghiệm đúng
với mọi
x
"
khi và chỉ khi
2
40 4 0mm mD= + £ - £ £ .
Câu 6: Tìm các giá trị của tham số
m
để bất phương trình
()
2
21 0xmxm-+ - +<
có tập nghiệm
là
.
A.
1
.
2
m =
B.
1
.
2
m =-
C. .m Î D. Không tồn tại
m.
Lời giải
Chọn D
Tam thức
() ( )
2
21
f
xxmxm=- + - +
có hệ số
10a =- <
nên bất phương trình
()
0fx<
có
tập nghiệm là
khi
()
+D= - + < =ÎÆ
2
2
21 4 140mmmm
.
Câu 7:
Bất phương trình
()
2
220xm xm-+ ++£
vô nghiệm khi và chỉ khi:
A.
(]
[
)
;2 2;m Î-¥- È +¥
. B.
()()
;2 2;m Î-¥- È +¥
.C.
[
]
2;2m Î-
. D.
()
2;2m Î-
.
Lời giải
Chọn D
Bất phương trình
() ( )
=-+ ++£
2
220fx x m x m
khi và chỉ khi
()
0fx>
nghiệm đúng với
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 422
mọi
x
.
Tam thức
() ( )
=-+ ++
2
22fx x m x m
có hệ số
=>10a
nên
()
0fx>
nghiệm đúng với mọi
x
khi
()()
2
2
2240 242mmm m+ + = -<-D<-<=
.
Câu 8:
Tam thức
()
()
()
22
2211fx m x m x=+ -++
dương với mọi
x
khi:
A.
1
.
2
m <
B.
1
.
2
m £
C.
1
.
2
m >
D.
1
.
2
m ³
Lời giải
Chọn A
Tam thức
()
f
x
có hệ số
2
20,
x
am+> "= nên
()
f
x
dương với mọi
x
khi
()
()
2
2
1
12210
2
mm m m
¢
D= + - + = - < <
.
Câu 9:
Tam thức
() ( ) ( )
2
428 5fx m x m x m=- + - +-
không dương với mọi
x
khi:
A.
4.£m
B.
4.³m
C. 4.<m D. 4>m
.
Lời giải
Chọn A
Với
4m =
, ta có
()
=- <10fx
: đúng với mọi
x
.
Với
4m ¹
, yêu cầu bài toán
()( )
2
428 50, mx mxm x- + - +-£"Î
()()()
2
40
04
4
040
4450
m
am
m
m
mmm
ì
-<
ï
ìì
<<
ïï
ï
ïï
 <
íí í
ïï ï
D£ - £
--- -£
ïï
îï î
î
.
Kết hợp hai trường hợp ta được
4m £
là giá trị cần tìm.
Câu 10:
Tam thức
()
2
3f x mx mx m=-++
âm với mọi
x
khi:
A.
(
]
;4m Î-¥-
. B.
()
;4m Î-¥-
.
C.
(]
[
)
;4 0;m Î-¥- È +¥
. D.
(]()
;4 0;m Î-¥- È +¥
.
Lời giải
Chọn B
Với
0m =
thay vào ta được
()
30fx=<
( vô lý ) suy ra
0m =
không thỏa mãn.
Với
0m ¹
, yêu cầu bài toán
()
ì
<
ï
ï
ì
ìì
<
<<
ï
ïï
ï
ïï ï ï
é
 <-
<-
íí í í
ê
ïï ï ï
-+<
D< - - <
ïï
îï î ï
î
ê
ï
>
ë
ï
î
2
2
0
0
00
4
4
430
03120
0
m
m
mm
m
m
mmm
mm
m
.
Câu 11:
Tam thức
()() ()
2
222 3mx mxfx m++ +=++
không âm với mọi
x
khi:
A.
2.m ³-
B.
2.m £-
C.
2.m >-
D.
2.m <-
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 423
Lời giải
Chọn A
Với 2m =- , tam thức bậc hai trở thành 10> : đúng với mọi
x
.
Với 2m ¹- , yêu cầu bài toán
() ()
2
222 30, mx mxm x+ + + ++³"Î
()()()
2
20
020
2
'0 20
2230
m
am
m
m
mmm
ì
+>
ï
ìì
>+>
ïï
ï
ïï
 >-
íí í
ïï ï
D£ - - £
+-+ +£
ïï
îï î
î
.
Kết hợp hai trường hợp ta được
2m ³-
là giá trị cần tìm.
Câu 12:
Bất phương trình
()()
2
31 31 40mx mxm+-+++³
có nghiệm đúng với mọi
x
khi và chỉ
khi:
A.
1
.
3
m >-
B.
1
.
3
m ³-
C.
0.m >
D.
15.m >
Lời giải
Chọn B
Xét bất phương trình
()()
2
31 31 40.mx mxm+-+++³
()
*
TH1. Với
1
310 ,
3
mm+= =-
bất phương trình
()
*
trở thành
1
40
3
-³
(luôn đúng).
TH2. Với
1
310 ,
3
mm+¹ ¹-
bất phương trình
()
*
nghiệm đúng với mọi
x
()()()
2
2
310
310
0
1
.
3
0
346150
31431 40
m
m
a
m
mm
mmm
ì
+>
ì
ì
ï
+>
>
ï
ï
ï
ïï
 >-
íí í
ïï ï
¢
D£
++³
+- + +£
ïï ï
î
î
î
Kết hợp hai trường hợp, ta được
1
3
m ³-
là giá trị cần tìm.
Câu 13:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
()
()
22
232 2210mmx mx-- + - -£
có tập nghiệm là
.
A.
1
2.
3
m£<
B.
1
2.
3
m££
C.
1
.
3
m ³
D.
2.m £
Lời giải
Chọn B
Xét
2
1
2320
2
mm m--==-
hoặc 2m =
Khi
1
2
m =-
thì bất phương trình trở thành
1
510
5
xx--£³-
: không nghiệm đúng
với mọi
x
.
Khi
2m =
thì bất phương trình trở thành
10-£
: nghiệm đúng với mọi
x
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 424
Khi
1
2
2
m
m
ì
ï
ï
¹-
ï
í
ï
ï
¹
ï
î
thì yêu cầu bài toán
()
()
22
232 2210, mmx mx x--+--£"Î
2
2
1
2
'0 3 7 20
1
3
2
0
1
3
2320
2
2
m
mm
m
a
mm
m
ì
ï
ï
££
ï
ì
ì
ï
D£ - + £
ï
ï
ïï ï
 £<
íí í
ïï ï
<
--<
ï
îï ï
î
-< <
ï
ï
ï
î
.
Kết hợp hai trường hợp ta được
1
2
3
m££
là giá trị cần tìm.
Câu 14:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
()
()
22
4210mxmx-+-+<
vô nghiệm.
A.
[)
10
;2;.
3
m
æù
ç
ú
Î-¥- È +¥
ç
ç
ú
è
û
B.
()
10
;2;.
3
m
æù
ç
ú
Î-¥- È +¥
ç
ç
ú
è
û
C.
()
10
;2;.
3
m
æö
÷
ç
Î-¥- È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
[
)
2; .m Î+¥
Lời giải
Chọn A
Xét
2
40 2.mm-= =
Với
2m =-
, bất phương trình trở thành
1
410
4
xx-+<>
: không thỏa mãn.
Với
2m =
, bất phương trình trở thành
10<
: vô nghiệm. Do đó
2m =
thỏa mãn.
Xét
2
40 2mm-¹ ¹. Yêu cầu bài toán
()
()
22
4210, mxmx x- +-+³"Î
()
()
2
2
2
2
2
10
40
40
.
3
24 40
34200
2
m
m
m
mm
mm
m
é
ì
ï
ì
->
ï
->
ê
£-
ï
ïï
ê

íí
ïï
ê
D= - - - £
--+£
ïï
î
ê>
ï
î
ë
Kết hợp hai trường hợp, ta được
10
3
m £-
hoặc
2m ³
.
Câu 15:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
() ( ) ( )
2
4421fx m x m x m=+ ---+
xác định với mọi
x Î .
A.
0.m £
B.
20
0.
9
m-££
C.
20
.
9
m ³-
D.
0.m >
Lời giải
Chọn D
()
f
x
xác định với mọi x Î
()
0, .fx x³"Î
TH1: 4m =- thì
()
9
890 4
8
fx x x m=+³³-¾¾=-
không thỏa.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 425
TH2:
4m ¹-
, yêu cầu bài toán
2
4
0
20
0.
0
9
9200
m
a
m
mm
ì
ì
>-
>
ï
ï
ïï
 -££
íí
ïï
D£
+£
ï
îï
î
Câu 16:
Hàm số
() ()
2
1214ymx mx=+-++
có tập xác định là
D =
khi
A. 13.m-£ £ B.
13.m-< <
C. 13.m-< £ D.
1.m >-
Lời giải
Yêu cầu bài toán
() ( ) ( )
2
12140, .fxmx mx x=+-++³"Î
()
1
·
1m =-
thì
()
40, :fx x=> "Î
thỏa mãn.
·
1m ¹-
, khi đó
()
2
1
10 1
113.
'0 1 3
230
m
mm
m
m
mm
ì
ìì
>-
+> >-
ï
ïï
ïï ï
 -<£
íí í
ïï ï
D£ - £ £
--£
ïï
îï î
î
Kết hợp hai trường hợp ta được
13.m-£ £
Câu 17:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để biểu thức
()
()
22
2
4114
452
x
mx m
fx
xx
-+ + +-
=
-+-
luôn dương.
A.
5
.
8
m ³-
B.
5
.
8
m <-
C.
5
.
8
m <
D.
5
.
8
m ³
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
2
57
452 2 0
416
xx x
æö
÷
ç
-+-=---<
÷
ç
÷
ç
èø
với mọi x Î .
Do đó
()
()
22
2
4114
0,
452
xmx m
fx x
xx
-+ + +-
=>"Î
-+-
()
22
4114 0, xmx m x- + + + - < " Î
()
()
2
2
10
5
850
'4 1 14 0 8
a
mm
mm
ì
=- <
ï
ï
ï
+<<-
í
ï
D= + + - <
ï
ï
î
.
Câu 18:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
()
2
222 20xmxm-+ -+-<
có nghiệm.
A. .m Î B.
()()
;0 2; .m Î-¥ È +¥
C.
(]
[
)
;0 2; .m Î-¥ È +¥
D.
[
]
0;2 .m Î
Lời giải
Chọn A
Đặt
() ( )
2
222 2fx x m x m=- + - + -
và
()()
2
2
'222 2.mmmmD= - + - = -
·
()
20
'0 0,
a
fx x
=- <
D< ¾¾¾¾<"ξ¾
bất phương trình có nghiệm.
·
()
'0 0fxD= ¾¾=
tại
2
2
m
x
-
=
, còn ngoài ra thì
()
0fx<
nên bất phương trình có
nghiệm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 426
·
()
'0 0fxD> ¾¾=
có hai nghiệm phân biệt
12
x
x< . Khi đó bất phương trình đã cho
có nghiệm
()( )
12
;;.xxxÎ-¥ È +¥
Vậy cả ba trường hợp ta thấy bất phương trình đều có nghiệm.
Câu 19:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
()
2
222 20xmxm-+ -+-³
có nghiệm.
A.
.m Î
B.
()()
;0 2; .m Î-¥ È +¥
C.
(]
[
)
;0 2; .m Î-¥ È +¥
D.
[
]
0;2 .m Î
Lời giải
Chọn C
Đặt
() ( )
2
222 2fx x m x m=- + - + -
và
()()
2
2
'222 2.mmmmD= - + - = -
·
()
20
'0 0,
a
fx x
=- <
D< ¾¾¾¾<"ξ¾
bất phương trình vô nghiệm.
Do đó trường hợp này không có
m
thỏa mãn.
·
()
()
00 khi 1
2
'0
20 khi 0
2
b
mfxx
a
b
mfxx
a
é
ê
=¾¾= =-=-
ê
D=
ê
ê
=¾¾= =-=
ê
ê
ë
, còn ngoài ra thì
()
0fx<
nên bất
phương trình vô nghiệm.
Do đó trường hợp này có
0m = hoặc 2m = thỏa mãn.
·
()
0
'0 0
2
m
fx
m
é
<
ê
D> ¾¾=
ê
>
ë
có hai nghiệm phân biệt
12
x
x< . Khi đó bất phương
trình đã cho có nghiệm
[]
12
;.
x
xxÎ
Do đó trường hợp này có
0m < hoặc 2m > thỏa mãn.
Hợp các trường hợp ta được
(]
[
)
;0 2;m Î-¥ È +¥
thỏa mãn.
Câu 20:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
()
2
21 20mx m x m+++->
có nghiệm.
A. m Î . B.
1
;.
4
m
æö
÷
ç
Î-¥-
÷
ç
÷
ç
èø
C.
1
;.
4
m
æö
÷
ç
Î- +¥
÷
ç
÷
ç
èø
D.
{
}
\0.m Î
Lời giải
Chọn C
Đặt
() ( )
2
21 2fx mx m x m=+++-
và
()()
2
'1 241.mmm mD= + - - = +
·
0m =¾¾
bất phương trình trở thành
220 1.xx-> >
Do đó
0m =
thỏa mãn.
·
0m >
, ta biện luận các trường hợp như câu. Do đó
0m >
thỏa mãn.
·
0m <
, yêu cầu bài toán
()
1
'0 0
4
mfxD > >- ¾¾=
có hai nghiệm phân biệt
12
.
x
x<
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 427
Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm
()
12
;.
x
xxÎ
Do đó
1
0
4
m-< <
thỏa mãn. Hợp các trường hợp ta được
1
4
m >-
.
Dạng 8. Hệ bất phương trình bậc hai
1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tập nghiệm S của hệ bất phương trình
2
20
430
x
xx
ì
-³
ï
ï
í
ï
-+<
ï
î
là:
A.
[
)
1; 2 .S =
B.
[
)
1; 3 .S =
C.
(]
1; 2 .S =
D.
[)
2;3 .S =
Lời giải
Chọn C
Tập nghiệm của
20x-³
là
(]
1
;2 .S =-¥
Tập nghiệm của
2
430xx-+<
là
()
1
1; 3 .S =
Vậy tập nghiệm của hệ là
(]
12
1; 2 .SSS=Ç=
Câu 2: Tìm
x
thỏa mãn hệ bất phương trình
2
2
230
.
11 28 0
xx
xx
ì
ï
-->
ï
í
ï
-+³
ï
î
A.
3.x >
B.
37.x<£
C.
47.x££
D.
34.x<£
Lời giải
Chọn D
Tập nghiệm của
2
230xx-->
là
()()
1
;1 3; .S =-¥- È +¥
Tập nghiệm của
2
11 28 0xx-+³ là
(]
[
)
2
;4 7; .S =-¥ È +¥
Vậy tập nghiệm của hệ là
()(]
[
)
12
;1 3;4 7; .SSS=Ç=-¥-È È+¥
Câu 3:
Tập nghiệm S của hệ bất phương trình
2
2
430
680
xx
xx
ì
ï
-+>
ï
í
ï
-+>
ï
î
là:
A.
()( )
;1 3; .S =-¥ È +¥
B.
()( )
;1 4; .S =-¥ È +¥
C.
()()
;2 3; .S =-¥ È +¥
D.
()
1; 4 .S =
Lời giải
Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 428
Tập nghiệm của
2
430xx-+>
là
()( )
1
;1 3;S =-¥ +¥
.
Tập nghiệm của
2
680xx-+> là
()()
2
;2 4;S =-¥ +¥
.
Vậy tập nghiệm của hệ là
()( )
12
;1 4;SSS= = -¥ +¥
.
Câu 4: Tập nghiệm
S
của hệ bất phương trình
2
2
320
10
xx
x
ì
ï
-+£
ï
í
ï
-£
ï
î
là:
A.
1.S =
B.
{
}
1.S =
C.
[
]
1; 2 .S =
D.
[
]
1;1 .S =-
Lời giải
Chọn B
Tập nghiệm của
2
320xx-+£là
[
]
1
1; 2S =
.
Tập nghiệm của
2
10x -£ là
[
]
2
1;1S =-
.
Vậy tập nghiệm của hệ là
{
}
12
1SSS==
.
Câu 5: Giải hệ bất phương trình
2
2
3410
.
3520
xx
xx
ì
ï
-+>
ï
í
ï
-+£
ï
î
A.
1.x ³
B.
1
.
3
x £
C.
.
x
ÎÆ
D.
2
.
3
x £
Lời giải
Chọn C
Tập nghiệm của
2
3410xx-+> là
()
1
1
;1;.
3
S
æö
÷
ç
=-¥ È +¥
÷
ç
÷
ç
èø
Tập nghiệm của
2
3520xx-+£ là
2
2
;1 .
3
S
é
ù
ê
ú
=
ê
ú
ë
û
Vậy tập nghiệm của hệ là
12
.SSS=Ç=Æ
Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
x
thỏa mãn
2
2
2540
3100
xx
xx
ì
ï
--+<
ï
í
ï
-- + >
ï
î
?
A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.
Lời giải
Chọn C
Tập nghiệm của
2
2540xx--+<
là
1
557 557
;;.
44
S
æöæ ö
-- -+
÷÷
çç
÷÷
çç
=-¥ È +¥
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
èøè ø
Tập nghiệm của
2
3100xx-- + >
là
()
2
5;2 .S =-
Vậy tập nghiệm của hệ là
12
557 557
5; ; 2 .
44
SSS
æöæö
-- -+
÷÷
çç
÷÷
çç
=Ç=- È
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
èøèø
Do đó các giá trị nguyên của
x
thuộc tập S là
{
}
4;1 .-
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 429
Câu 7: Hệ bất phương trình
2
2
90
( 1)(3 7 4) 0
x
xxx
ì
ï
-<
ï
í
ï
-++³
ï
î
có nghiệm là:
A.
12.x-£ <
B.
4
3
3
x-< £-
hoặc
11.x-£ £
C.
4
1
3
x-££-
hay
13.x££
D.
4
1
3
x-££-
hoặc
13.x£<
Lời giải
Chọn D
Tập nghiệm của
2
90x -<
là
()
1
3;3 .S =-
Tập nghiệm của
2
(1)(3 7 4)0xxx-++³
là
[)
2
4
;1 1; .
3
S
é
ù
-
êú
=- +¥
êú
ë
û
Vậy tập nghiệm của hệ là
[)
12
4
;1 1;3.
3
SSS
é
ù
-
êú
==-
êú
ë
û

Câu 8: Tập nghiệm của hệ bất phương trình
2
760
213
xx
x
ì
ï
-+<
ï
í
ï
-<
ï
î
là:
A.
(
)
1; 2 .
B.
[
]
1; 2 .
C. ()(–;1 2 ).;È¥+¥ D.
.Æ
Lời giải
Chọn C
Tập nghiệm của
2
760xx-+<là
()
1
1; 6 .S =
Tập nghiệm của
213x -<
là
()
2
1; 2 .S =-
Vậy tập nghiệm của hệ là
()
12
1; 2 .SSS==
Câu 9: Hệ bất phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A.
2
2
230
.
210
xx
xx
ì
ï
-->
ï
í
ï
-+-<
ï
î
B.
2
2
230
.
210
xx
xx
ì
ï
--<
ï
í
ï
-+->
ï
î
C.
2
2
230
.
210
xx
xx
ì
ï
-->
ï
í
ï
++>
ï
î
D.
2
2
230
.
210
xx
xx
ì
ï
--<
ï
í
ï
-+>
ï
î
Lời giải
Chọn B
Đáp án A. Tập nghiệm của
2
230xx-->
là
()()
1
;1 3; .S =-¥- È +¥
Tập nghiệm của
2
210xx-+-<
là
2
.S =
Vậy tập nghiệm của hệ là
()()
12
;1 3; .SSS=Ç=-¥-È+¥
Đáp án
B. Tập nghiệm của
2
230xx--<
là
()
1
1; 3 .S =-
Tập nghiệm của
2
210xx-+->
là
2
.S =Æ
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 430
Vậy tập nghiệm của hệ là
12
.SSS=Ç=Æ
Đáp án
C. Tập nghiệm của
2
230xx--> là
()()
1
;1 3; .S =-¥- È +¥
Tập nghiệm của
2
210xx++>
là
2
.S =
Vậy tập nghiệm của hệ là
()()
12
;1 3; .SSS=Ç=-¥-È+¥
Đáp án
D. Tập nghiệm của
2
230xx--< là
()
1
1; 3 .S =-
Tập nghiệm của
2
210xx-+>
là
2
.S =
Vậy tập nghiệm của hệ là
()
12
1; 3 .SSS=Ç=-
Câu 10:
Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình
2
2
2
430
2100
2530
xx
xx
xx
ì
ï
++³
ï
ï
ï
-- £
í
ï
ï
ï
-+>
ï
î
là:
A.
2.
B.
3.
C.
4.
D.
5.
Lời giải
Chọn B
Tập nghiệm của
2
430xx++³ là
(]
[
)
1
;3 1; .S =-¥- - +¥
Tập nghiệm của
2
2100xx-- £ là
2
5
2; .
2
S
é
ù
ê
ú
=-
ê
ú
ë
û
Tập nghiệm của
2
2530xx-+>
là
()
3
3
;1 ; .
2
S
æö
÷
ç
=-¥ +¥
÷
ç
÷
ç
èø
Vậy tập nghiệm của hệ là
[)
123
35
1;1 ; .
22
SSS S
æù
ç
ú
==-
ç
ç
ú
è
û

Suy ra nghiệm nguyên là
{
}
1; 0; 2 .-
Câu 11: Hệ bất phương trình
()
()
2
201
3402
xm
xx
ì
ï
+<
ï
ï
í
ï
--£
ï
ï
î
vô nghiệm khi và chỉ khi:
A.
8
3
m >-
. B. 2m < . C.
2m ³
. D.
8
3
m ³-
.
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình

4
11 .
3
x
Suy ra
1
4
1;
3
S

Bất phương trình

2.
2
m
x
Suy ra
2
;.
2
m
S




Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi
12
SS

12.
2
m
m

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 431
Câu 12: Hệ bất phương trình
()
()
2
101
02
x
xm
ì
ï
-£
ï
ï
í
ï
->
ï
ï
î
có nghiệm khi:
A.
1.m >
B.
1.m =
C.
1.m <
D.
1.m ¹
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình

111.x
Suy ra
1
1; 1S 
.
Bất phương trình
2.
x
m
Suy ra
2
;.Sm

Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
12
SS

1.m
Câu 13: Hệ bất phương trình
()()()
()
34 01
12
xx
xm
ì
ï+ - >
ï
í
ï
<-
ï
î
có nghiệm khi và chỉ khi:
A. 5.m < B. 2.m >- C. 5.m = D. 5.m >
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình
134.x
Suy ra
1
3; 4S 
.
Bất phương trình có

2
;1.Sm
Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
12
SS

13 2.mm

Câu 14: Tìm
m
để
2
2
36
96
1
xmx
xx
+-
-< <
-+
nghiệm đúng với
x"Î
.
A. 36.m-< < B.
36.m-£ £
C. 3.m <- D. 6.m >
Lời giải
Chọn A
Bất phương trình đã cho tương tương với
() ()
22 2
913 661xx xmx xx--+<+-< -+
(do
2
10xx x-+>"Î
)
() ()
() ()
2
2
12 9 3 0 1
361202
xmx
xm x
ì
ï
+- +>
ï
ï
í
ï
-+ +>
ï
ï
î
Yêu cầu
(1) và (2) nghiệm đúng
x"Î
()
()
()
()
2
1
2
2
0
9 144 0
36
0
6 144 0
m
m
m
ì
ì
ï
D<
ï
-- <
ï
ï
ïï
 -<<
íí
ïï
D<
+- <
ïï
ï
î
ï
î
.
Câu 15:
Xác định m để với mọi
x
ta có
2
2
5
17.
232
xxm
xx
++
-£ <
-+
A.
5
1.
3
m-£ <
B.
5
1.
3
m<£
C.
5
.
3
m £-
D.
1.m <
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 432
Lời giải
Chọn A
Bất phương trình tương đương
2
2
2
2
322
0
232
13 26 14
0
232
ì
ï
+++
ï
³
ï
ï
-+
ï
í
ï
-+-
ï
ï
>
ï
-+
ï
î
xx m
xx
xx m
xx
()
()
2
2
322 01
13 26 14 0 2
ì
ï
+++³
ï
ï
í
ï
-+->
ï
ï
î
xx m
xx m
.
Yêu cầu
(1) và (2) nghiệm đúng
x"Î
()
()
()
()
2
1
2
2
0
24.32 0
0
26 4.13 14 0
m
m
ì
ì
D£
ï
ï
-+£
ï
ï
ïï

íí
ïï
D<
--<
ïï
ï
î
ï
î
5
3
1
m
m
ì
-
ï
ï
³
ï
í
ï
ï
<
ï
î
.
Câu 16: Hệ bất phương trình
2
10
210
x
xmx
ì
->
ï
ï
í
ï
-+£
ï
î
có nghiệm khi và chỉ khi:
A.
1.m >
B.
1.m =
C.
1.m <
D.
1.m ¹
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình
10 1xx-> >
. Suy ra
()
1
1;S =+¥
.
Bất phương trình
()
2
2222 2
210 2 1 1xmx xmxmm xmm-+£-+£--£-
22
11mxmm- - £ - £ -
(điều kiện:
2
1
10
1
m
m
m
é
³
ê
-³
ê
£-
ë
)
22
11mm xmm- -££+ -. Suy ra
22
2
1; 1Smm mm
é
ù
=- - + -
ê
ú
ë
û
.
Để hệ có nghiệm
2
11mm+ ->
2
11mm->-

2
2
2
10
1
10
11
1
10
1
1
11
m
m
m
mm
m
m
m
m
mm







Đối chiếu điều kiện, ta được
1m >
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 17: Tìm
m
để hệ
()
() ()
2
22
21 0 1
21 02
xx m
xmxmm
ì
ï
-+-£
ï
ï
í
ï
-+++£
ï
ï
î
có nghiệm.
A.
35
0.
2
+
<<m
B.
35
0.
2
+
££m
C.
35
0.
2
+
£<m
D.
35
0.
2
+
<£m
Lời giải
Chọn B
Điều kiện để (1) có nghiệm là
'0mD= ³
.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 433
Khi đó
()
1
có tập nghiệm
1
1;1Smm
é
ù
=- +
ê
ú
ë
û
.
Ta thấy (2) có tập nghiệm
[
]
2
;1Smm=+
.
Hệ có nghiệm
12
1
35
0
2
11
mm
SS m
mm
ì
ï
£+
+
ï
ï
Ç¹Æ ££
í
ï
-£+
ï
ï
î
.
Câu 18: Tìm
m
sao cho hệ bất phương trình
()
() ()
2
3401
1202
xx
mx
ì
ï
--£
ï
ï
í
ï
--³
ï
ï
î
có nghiệm.
A.
3
1.
2
m-£ £
B.
3
.
2
m ³
C.
.mÎÆ
D.
1.m ³-
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình
114.x
Suy ra
1
1; 4S 
.
Giải bất phương trình (2)
Với
10 1mm
thì bất phương trình (2) trở thành
02x
: vô nghiệm.
Với
10 1mm
thì bất phương trình (2) tương đương với
2
1
x
m
.
Suy ra
2
2
;
1
S
m



.Hệ bất phương trình có nghiệm khi
23
4.
12
m
m

Với
10 1mm
thì bất phương trình (2) tương đương với
2
1
x
m
.
Suy ra
2
2
;
1
S
m



.
Hệ bất phương trình có nghiệm khi
2
11
1
m
m
 
(không thỏa)
Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
3
.
2
m ³
Câu 19:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số
m
để hệ bất phương trình
(
)
(
)
2
10 16 0 1
312
xx
mx m
ì
ï
++£
ï
ï
í
ï
³+
ï
ï
î
vô
nghiệm.
A.
1
.
5
m >-
B.
1
.
4
m >
C.
1
.
11
m >-
D.
1
.
32
m >
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình

18 2.x 
Suy ra
1
8; 2S

.
Giải bất phương trình (2)
Với
0m
thì bất phương trình (2) trở thành
01
x
: vô nghiệm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 434
Với
0m
thì bất phương trình (2) tương đương với
31m
x
m
.
Suy ra
2
31
;
m
S
m



.
Hệ bất phương trình vô nghiệm khi
31 1
2.
5
m
m
m
 
Với
0m
thì bất phương trình (2) tương đương với
31m
x
m
.
Suy ra
2
31
;
m
S
m



.Hệ bất phương trình vô nghiệm khi
31 1
8
11
m
m
m


Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi
1
.
11
m >-
Câu 20: Cho hệ bất phương trình
()
()
22
2
2( 1) 1 0 2
6501
xaxa
xx
ì
ï
-+++£
ï
ï
í
ï
-+£
ï
ï
î
. Để hệ bất phương trình có nghiệm,
giá trị thích hợp của tham số
a
là:
A. 02a££. B. 04a££. C. 24a££. D. 08a££.
Lời giải
Chọn A
Bất phương trình

11 5.x
Suy ra
1
1; 5S
.
Ta thấy (2) có tập nghiệm
2
12;12Sa aa a
é
ù
=+- ++
ê
ú
ë
û
.
Hệ có nghiệm
12
121
02
12 5
aa
SS a
aa
ì
ï
++ ³
ï
ï
Ç¹Æ ££
í
ï
+- £
ï
ï
î
.
| 1/174
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
1. Khái niệm bất đẳng thức
Các mệnh đề dạng ''a < b' hoặc a b được gọi là bất đẳng thức.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề "a b c d " đúng thì ta nói bất đẳng thức c d là bất đẳng thức hệ quả của bất
đẳng thức a b và cũng viết là "a b c d "
Nếu bất đẳng thức a b là hệ quả của bất đẳng thức c d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức
tương đương với nhau và viết là a b c d.
3. Tính chất của bất đẳng thức
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a b ta chỉ cần chứng minh a b  0 Tổng quát hơn, khi so
sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của
bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung
Cộng hai vế của bất đẳng thức
a b a c b c với một số c  0
a b ac bc
Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số c  0
a b ac bc a c
Cộng hai bất đẳng thức cùng và c d
a b c d chiều  và
c d Nhân hai bất đẳng thức cùng
a  0; c  0 a bac bd chiều * n     2n 1 2n 1
a b ab
Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa *
n   và a  0 2n 2n
a b ab a  0 a b a b
Khai căn hai vế của một bất đẳng thức 3 3 a b a b Chú ý
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 261
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b hoặc a b Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng
thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng
a b hoặc a b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất
đẳng thức không ngặt. II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
1. Bất đẳng thức Cô-si Định lí
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng a b ab  , a  ,b  0.   1 2  Đẳng thức a b ab
xảy ra khi và chỉ khi a b 2 . 2. Các hệ quả Hệ quả 1
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2 1 a   2, a   0. a Hệ quả 2
Nếu x, y không âm và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x y. Hệ quả 3
Nếu x, y không âm và có tích không đổi thì tổng x y nhỏ nhất khi và chỉ khi x y.
III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Điều kiện Nội dung
x  0, x x, x  x
x a  a x a a  0
x a x  a hoặc x a
a b a b a b
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 262
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất 1. Phương pháp giải.
Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta có thể sử dụng các cách sau:
 Ta đi chứng minh A - B ³ 0 . Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân
tích A - B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.
 Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.
Ví dụ 1 : Cho hai số thực a, ,
b c . Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau 2 2 a + b 2 æa + b ö a) ab £ b) ab ç ÷ £ ç ÷ 2 çè 2 ÷ø
c)         2 2 2 2 3 2 a b c a b c
d) a b c  3ab bc caLời giải a) Ta có 2 2 2 2 2
a + b - 2ab = (a - b) ³ 0  a + b ³ 2ab . Đẳng thức  a = b . 2 æa + b ö
b) Bất đẳng thức tương đương với ç ÷ ç ÷ - ab ³ 0 ç è 2 ÷ø
a ab b ab  a b2 2 2 2 4  0 (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra  a = b c) BĐT tương đương  2 2 2
a b c  2 2 2 3
a b c  2ab  2bc  2ca
 a b2  b c2  c a2  0 (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra  a = b = c d) BĐT tương đương 2 2 2
a b c  2ab  2bc  2ca  3ab bc ca   2 2 2 2 2 2 2
a b c   2ab bc ca  0  a b  b c  c a  0 (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra  a = b = c
Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác.
Ví dụ 2 : Cho năm số thực a, , b ,
c d,e . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e ³ a(b + c + d + e). Lời giải Ta có : 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e - a(b + c + d + e) =
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 263
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 2 2 2 a a a a 2 2 2 2 = ( - ab + b ) + ( - ac + c ) + ( - ad + d ) + ( - ae + e ) 4 4 4 4 a a a a 2 2 2 2
= ( - b) + ( - c) + ( - d) + ( - e) ³ 0  đpcm. 2 2 2 2 a
Đẳng thức xảy ra  b = c = d = e = . 2 1 1 2
Ví dụ 3 : Cho ab ³ 1 . Chứng minh rằng : + ³ . 2 2 a + 1 b + 1 1 + ab Lời giải 1 1 2 1 1 1 2 Ta có + - = ( - ) + ( - ) 2 2 2 2 a + 1 b + 1 1 + ab a + 1 1 + ab b + 1 1 + ab 2 2 2 2 ab - a ab - b a - b b a
a - b b - a + a b - b a = + = ( - ) = . 2 2 2 2 2 2 (a + 1)(1 + ab) (b + 1)(1 + ab) 1 + ab 1 + b 1 + a
1 + ab (1 + b )(1 + a ) 2
a - b (a - b)(ab - 1)
(a - b) (ab - 1) = . = ³ 0 (Do ab ³ 1). 2 2 2 2
1 + ab (1 + b )(1 + a )
(1 + ab)(1 + b )(1 + a ) 1 1 2
Nhận xét : Nếu -1 < b £ 1 thì BĐT có chiều ngược lại : + £ . 2 2 a + 1 b + 1 1 + ab
Ví dụ 4: Cho số thực x . Chứng minh rằng a) 4 x + 3 ³ 4x b) 4 2
x  5  x  4x c) 12 4 9
x x 1  x x Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương với 4 x - 4x + 3 ³ 0
  x  x x x     x  2 3 2  2 1 3 0 1
x  2x  3  0
  x  2  x  2 1 1 1  0  
(đúng với mọi số thực x )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  1 .
b) Bất đẳng thức tương đương với 4 2
x x  4x  5  0
x x   x x    x  2  x  2 4 2 2 2 2 1 4 4 0 1 2  0 2 2 2
Ta có  x     x      x     x  2 2 2 1 0, 2 0 1 2  0 2 x 1  0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  (không xảy ra)  x  2  0 2
Suy ra  x     x  2 2 1 2  0 ĐPCM.
c) Bất đẳng thức tương đương với 12 9 4
x x x x 1  0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 264
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
+ Với x  1 : Ta có 12 9 4 12 4
x x x x   x x  5 1
1 x   1 x Vì x  1 nên 5
1 x  0, 1 x  0 do đó 12 9 4
x x x x 1  0 .
+ Với x  1 : Ta có 12 9 4 9
x x x x   x  3
x    x 3 1 1 x   1 1 Vì x  1 nên 3 x - 1 ³ 0 do đó 12 9 4
x - x + x - x + 1 > 0 . Vậy ta có 12 4 9
x + x + 1 > x + x .
Ví dụ 5: Cho a, ,
b c là các số thực. Chứng minh rằng a) 4 4
a + b - 4ab + 2 ³ 0 2 2 b) ( 4 a + ) + ( 2 2 1
b + 1) ³ 2(ab + 1) c) ( 2 2
a + b ) - ab + ³ ( 2 2 3 4
2 a b + 1 + b a + 1) Lời giải
a) BĐT tương đương với ( 4 4 2 2
a + b - a b ) + ( 2 2 2
2a b - 4ab + 2) ³ 0
 (a -b )2 + (ab - )2 2 2 2 1 ³ 0 (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1  .
b) BĐT tương đương với ( 4 a + ) + ( 4 2
b + b + ) - ( 2 2 2 1 2 1
2 a b + 2ab + 1) ³ 0  ( 4 4 2 2
a + b - a b ) + ( 2 2
a - ab + b ) + ( 4 2 2 2 4 2
a - 4a + 1) ³ 0 2 2 2 2 2 2
 (a - b ) + 2(a - b) + (a - 1) ³ 0 (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
c) BĐT tương đương với ( 2 2
a + b ) - ab + - ( 2 2 6 2 8
4 a b + 1 + b a + 1) ³ 0 é 2 2 a a b ê ( 2 b )ù é 2 2 b b a ë úû ê ( 2 a )ù  - + + + + - + + + + ë ú ( 2 2 4 1 4 1 4 1 4 1
a - 2ab + b ) ³ 0 û
 (a - b + )2 + (b - a + )2 2 2 2 1 2
1 + (a -b )2 ³ 0 (đúng)
Đẳng thức không xảy ra.
Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ³ y . Chứng minh rằng; a) ( - ) ³ ( - )3 3 3 4 x y x y b) 3 3
x - 3x + 4 ³ y - 3y Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 265
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a) Bất đẳng thức tương đương (x - y )(x + xy + y ) - (x - y )3 2 2 4 ³ 0
 (x - y )éê (x + xy + y ) - (x - y )2 2 2 ù ³  ú (x - y ) 2 2 4 0
é 3x + 3xy + y ù ³ 0 ë û ë û 2 é 2 ù ( æ ö x y ) y 3y 3 êç  - êçx ÷ ú + ÷ + ³ 0 ç
(đúng với x ³ y ) ĐPCM. è 2 ÷ø 4 ú ê ú ë û
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y .
b) Bất đẳng thức tương đương 3 3
x - y ³ 3x - 3y - 4 1
Theo câu a) ta có x - y ³ (x - y )3 3 3
, do đó ta chỉ cần chứng minh 4
1 (x -y)3 ³ 3x - 3y - 4 (*), Thật vậy, 4 3
BĐT (*)  (x - y ) - 12(x - y ) + 16 ³ 0 (x y )éê(x y)2 2 2(x y ) 8ù  - - - + - - ³ 0 ú ë û  (x - y - )2
2 (x - y + 4) ³ 0 (đúng vớix ³ y )
Đẳng thức xảy không xảy ra.
Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh
Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt
* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng a Î é ;
a b ù  (a - a)(a - b ) £ 0 ë û (*) a, , b c Î é ;
a b ù  (a - a)(b - a)(c - a) + (b - a )(b - b )(b - c ) ³ 0(* *) ë û
Ví dụ 1 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng : 2 2 2
a + b + c < 2(ab + bc + ca). Lời giải
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có : 2
a + b > c ac + bc > c . Tương tự 2 2
bc + ba > b ; ca + cb > c cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm
Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam
giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c.
Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT | a - b |< c rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 266
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ví dụ 2 : Cho a, ,
b c Î [0;1]. Chứng minh : 2 2 2 2 2 2
a + b + c £ 1 + a b + b c + c a Lời giải Cách 1: Vì 2 2 2 a, ,
b c Î [0;1]  (1 - a )(1 - b )(1 - c ) ³ 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 1 + a b + b c + c a - a b c ³ a + b + c (*) Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c ³ 0; a b + b c + c a £ a b + b c + c a nên từ (*) ta suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b + c £ 1 + a b + b c + c a £ 1 + a b + b c + c a đpcm.
Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với 2 ( - b ) 2 + b ( - c ) 2 a 1 1
+ c (1 - a ) £ 1 Mà a, , b c Î é 0;1ù ë û 2 2 2
a £ a,b £ ,
b c £ c do đó 2 a ( -b ) 2 + b ( - c ) 2 1 1
+ c (1 - a ) £ a (1 -b ) + b (1 - c ) + c (1 - a )
Ta chỉ cần chứng minh a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) £ 1 Thật vậy: vì a, , b c Î é 0;1ù ë
û nên theo nhận xét (* *) ta có
abc + (1 - a )(1 - b )(1 - c ) ³ 0
a + b + c - (ab + bc + ca ) £ 1
a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) £ 1
vậy BĐT ban đầu được chứng minh
Ví dụ 3 : Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : 2 2 2
a + b + c = 1. Chứng minh :
2(1 + a + b + c + ab + bc + ca) + abc ³ 0 . Lời giải Vì 2 2 2
a + b + c = 1  a, ,
b c Î [-1;1] nên ta có :
(1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ 0  1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ³ 0 (*) 2
(1 + a + b + c) Mặt khác :
³ 0  1 + a + b + c + ab + bc + ca ³ 0 (**) 2
Cộng (*) và (**) ta có đpcm.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu a ³ 4,b ³ 5,c ³ 6 và 2 2 2
a + b + c = 90 thì
a + b + c ³ 16 Lời giải
Từ giả thiết ta suy ra a < 9,b < 8,c £ 7 do đó áp dụng (*) ta có
(a - 4)(a - 9) £ 0,(b - 5)(b - 8) £ 0,(c - 6)(c - 7) £ 0 nhân ra và cộng các BĐT cùng chiều lại ta được:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 267
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 2 2
a + b + c - 13(a + b + c) + 118 £ 0 suy ra 1
a + b + c ³ ( 2 2 2
a + b + c + 118) = 16 vì 2 2 2
a + b + c = 90 13
vậy a + b + c ³ 16 dấu “=” xảy ra khi a = 4,b = 5,c = 7
Ví dụ 5: Cho ba số a, , b c thuộc é-1;1ù ë
û và không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng 4 2 4 2 4 2
a b + b c + c a + 3 ³ 2 2012 2012 2012 a + b + c Lời giải Vì ba số a, , b c thuộc é-1;1ù ë û nên 2 2 2
0 £ a ,b ,c £ 1 Suy ra 2 2 4
(1 - b )(1 + b - a ) ³ 0 4 4 4 2
a + b - a b £ 1 (*) Mặt khác 4 2012 4 1 20 2 a ³ a ,b ³ b
đúng với mọi a, b thuộc é-1;1ù ë û Suy ra 4 4 4 2 2012 2012 4 2
a + b - a b ³ a + b - a b (**) 4 2 2012 a b + c + 1 Từ (*) và (**) ta có 2012 2012 4 2 a + b £ a b + 1 hay ³ 1 2012 2012 2012 a + b + c 4 2 2012 b c + a + 1 4 2 2012 c a + b + 1 Tương tự ta có ³ 1 và ³ 1 2012 2012 2012 a + b + c 2012 2012 2012 a + b + c 4 2 4 2 4 2 2012 2012 2012
a b + b c + c a + a + b + c + 3 Cộng vế với ta được ³ 3 2012 2012 2012 a + b + c 4 2 4 2 4 2
a b + b c + c a + 3 Hay ³ 2 ĐPCM. 2012 2012 2012 a + b + c
Dạng toán 2: sử dụng bất đẳng thức cauchy(côsi) để chứng minh bất đẳng thức và
tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất. 1. Phương pháp giải.
Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi:
* Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm
* BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
* Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau
* Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng 2 2 (x +y) æ x + y ö Đối với hai số: 2 2 2 2
x +y ³ 2xy; x +y ³ ; xy ç ÷ £ ç ÷ . 2 çè 2 ÷ø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 268
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3 3 3 3 a + b + c
æa + b + c ö
Đối với ba số: abc £ , abc ç ÷ £ ç ÷ 3 çè 3 ÷ø
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi
Ví dụ 1: Cho a,b là số dương thỏa mãn 2 2
a + b = 2 . Chứng minh rằng æa b öæ a b ö 5 a) ç ÷ç ÷ ç + ÷ç + ÷ ³ 4 2 2 ç ÷
b) (a + b ) ³ 16ab (1 + a )(1 + b ) 2 2 èb a ÷øçèb a ÷ø Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có a b a b a b a b 2 + ³ 2 . = 2, + ³ 2 . = 2 2 2 2 b a b a b a b a ab æa b öæ a b ö 4 Suy ra ç ÷ç ÷ ç + ÷ç + ÷ ³ ç ÷ (1) 2 2 èb a ÷øçèb a ÷ø ab Mặt khác ta có 2 2 2 2
2 = a + b ³ 2 a b = 2ab ab £ 1 (1) æa b öæ a b ö Từ (1) và (2) suy ra ç ÷ç ÷ ç + ÷ç + ÷ ³ 4 ç ÷ ĐPCM. 2 2 èb a ÷øçèb a ÷ø
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. 5
b) Ta có (a + b ) = ( 2 2
a + ab + b )( 3 2 2 3 2
a + 3ab + 3a b + b ) Áp dụng BĐT côsi ta có 2 2
a + ab + b ³ ab ( 2 2 2 2 2
a + b ) = 4 ab và ( 3 2 a + ab ) + ( 2 3 a b + b ) ³ ( 3 2 a + ab )( 2 3 a b + b ) = ab ( 2 + b )( 2 3 3 2 3 3 4 1 a + 1) Suy ra ( 2 2
a + ab + b )( 3 2 2 3
a + ab + a b + b ) ³ ab ( 2 a + )( 2 2 3 3 16 1 b + 1) 5
Do đó (a + b ) ³ ab ( 2 + a )( 2 16 1 1 + b ) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Ví dụ 2: Cho a, ,
b c là số dương. Chứng minh rằng æ 1 öæ 1 öæ 1 ö a) çça ÷ç ÷çb ÷ç + + ÷çc ÷ + ÷ ³ 8 ç è b ÷øçè c ÷øçè a ÷ø b) 2 2 2 2 2 2
a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ 6abc c) + a + b
+ c ³ ( + abc )3 3 (1 )(1 )(1 ) 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 269
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 d) 2 2 2 3 3 3 a bc + b ac + c
ab £ a + b + c Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có 1 a 1 b 1 c a + ³ 2 , b + ³ 2 , c + ³ 2 b b c c a a æ 1öæ 1 öæ 1 ö a b c Suy ra çça ÷ç ÷çb ÷ç + + ÷çc ÷ + ÷ ³ 8 . . = 8 ç ĐPCM. è b ÷øçè c ÷øçè a ÷ø b c a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 2 2
1 + a ³ 2 a = 2a , tương tự ta có 2 2 1 + b ³ 2 ,
b 1 + c ³ 2c Suy ra 2 2 2 2 2 2 a + b + b + c + c + a ³ ( 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 )
2 a b + b c + c a )
Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a ³ 3 a . b b . c c a = 3abc Suy ra 2 2 2 2 2 2
a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ 6abc . ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .
c) Ta có (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (ab + bc + ca ) + (a + b + c ) + abc
Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
ab + bc + ca ³
ab bc ca = ( abc )2 3 3 3 . . 3 và 3
a + b + c ³ 3 abc 2 3 Suy ra + a + b
+ c ³ + ( 3 abc ) 3 + abc + abc = ( 3 (1 )(1 )(1 ) 1 3 3 1 + abc ) ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có æb + c ö æa + c ö æa + b ö 2 2 ç ÷ 2 2 ç ÷ 2 2 a bc £ a ç ÷, b ac £ b ç ÷, c ab £ c ç ÷ ç ÷ ç è 2 ÷ø çè 2 ÷ø çè 2 ÷ø 2 2 2 2 2 2
a b + b a + a c + c a + b c + c b Suy ra 2 2 2 a bc + b ac + c ab £ (1) 2
Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a + a + b b + b + a a + a + c 2 2 2 a b £ , b a £ , a c £ , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 c + c + a b + b + c c + c + b 2 2 2 c a £ , b c £ , c b £ 3 3 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 270
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Suy ra 2 2 2 2 2 2
a b + b a + a c + c a + b c + c b £ ( 3 3 3
2 a + b + c ) (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 3 3 3 a bc + b ac + c
ab £ a + b + c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . Ví dụ 3: Cho , a , b ,
c d là số dương. Chứng minh rằng
a + b + c + d a) 4 ³ abcd 4 æ a b c d ö b) ç ÷ ç + + +
÷(a + b )(b + c ) ³ 16 3 3 3 3 çèb c d a ÷ø a + b + c 8abc c) + ³ 4. 3 abc
(a + b)(b + c)(c + a) Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
a + b ³ 2 ab,c + d ³ 2 d c và 4 ab + cd ³ 2
ab. cd = 2 ab d c
a + b + c + d 2 ab + 2 cd Suy ra 4 ³ ³ abcd ĐPCM. 4 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d . b) Áp dụng câu a) ta có a b c d a b c d 4 4 + + + ³ 4 . . . = 3 3 3 3 3 3 3 3 b c d a b c d a abcd æ a b c d ö 4 Suy ra ç ÷ ç + + +
÷(a + b )(c + d ) ³
.2 ab.2 cd = 16 ĐPCM 3 3 3 3 çèb c d a ÷ø abcd
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d . c) Áp dụng câu a) ta có a + b + c 8abc VT = 3. + 3 3 abc
(a + b)(b + c)(c + a) æ 3
a + b + c ö3 8abc
8(a + b + c ) 4 ç ÷ ³ 4 ç ÷ = 4 ç 4 3 ÷
è 3 abc ø (a + b)(b + c)(c + a)
27(a + b)(b + c)(c + a)
8(a + b + c )3
Như vậy ta chỉ cần chứng minh 4 4 ³ 4
27(a + b)(b + c)(c + a)
 (a + b + c )3 8
³ 27(a + b )(b + c )(c + a ) (*)
Áp dụng BĐT côsi cho ba số ta có
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 271
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
æç(a +b) + (b + c) + (c + a ) 3ö 8 ÷
(a + b + c)3
(a + b)(b + c)(c + a ) £ ç ÷ = ç ÷ çè 3 ÷ø 27
Suy ra BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
Nhận xét: BĐT câu a) là bất đẳng côsi cho bốn số không âm. Ta có BĐT côsi cho n số không âm như sau:
Cho n số không âm a , i = 1,2,...,n . i
a + a + ... + a Khi đó ta có 1 2 n n ³ a a ...a . 1 2 n n
Ví dụ 4: Cho a, ,
b c là số dương thỏa mãn 2 2 2
a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a) 2 2 2
a b + b c + c a £ 3 ab bc ca 3 b) + + £ 2 2 2 3 + c 3 + a 3 + b 4 Lời giải 2 a) Ta có ( 2 2 2
a + b + c ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2
= 9  a + b + c + 2a b + 2b c + 2c b = 9 (1) Áp dụng BĐT côsi ta có 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2
a + b ³ 2a b , b + c ³ 2b c , c + a ³ 2c a
Cộng vế với vế lại ta được 4 4 4 2 2 2 2 2 2
a + b + c ³ a b + b c + c a (2) Từ (1) và (2) ta có 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a £ 3 (3) Áp dụng BĐT côsi ta có 2 2 2 2 2 2 2
a + a b ³ 2 a .a b = 2a b , tương tự ta có 2 2 2 2 2 2 2 2
b + b c ³ 2b ,
c c + c a ³ 2c a
Cộng vế với vế ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b + c + a b + b c + c a ³ ( 2 2 2
2 a b + b c + c a ) (4)
Từ giả thiết và (3), (4) suy ra 2 2 2
a b + b c + c a £ 3 ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .
b) Áp dụng BĐT côsi ta có 2 + a = + ( 2 2 - b - c ) = ( 2 - b ) + ( 2 - c ) ³ ( 2 - b )( 2 3 3 3 3 3 2 3 3 - c ) 2 2 2 2 2 2 bc bc 1 b c 1 æ b c ö 1 æ b c ö  £ = . ç ÷ ç ÷ £ ç + ÷ = ç + ÷ 2 3 + a ç ÷ - - - - è - - ç ÷ 2 (3 b )(3 c ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 c 3 b 4 3 c 3 b ø 4 èb + a c + a ø 2 2 2 2 ab 1 æ a b ö ca 1 æ c a ö Tương tự ta có ç ÷ £ ç + ÷, ç ÷ £ ç + ÷ 2 2 2 2 2 ç ÷ 2 2 2 2 2 3 c 4 èa c b c ÷ø 3 b 4 çèc b a b ÷ + + + + + + ø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 272
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ab bc ca 3
Cộng vế với vế ta được + + £ ĐPCM. 2 2 2 3 + c 3 + a 3 + b 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .
Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.
 Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu
thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.
 Khi gặp BĐT có dạng x + y + z ³ a + b + c (hoặc xyz ³ abc ), ta thường đi chứng minh
x + y ³ 2a (hoặc 2
ab £ x ), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy
ra điều phải chứng minh.
 Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra
khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).
Ví dụ 1: Cho a, ,
b c là số dương. Chứng minh rằng: ab bc ac a b c 1 1 1 a) + +
³ a + b + c b) + + ³ + + c a b 2 2 2 b c a a b c Lời giải ab bc ab bc
a) Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 2b c a c a bc ac ac ba Tương tự ta có + ³ 2 , c + ³ 2a . a b b c
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được æab bc ac ö ab bc ac 2ç ÷ ç + +
÷ ³ 2(a + b + c )  + +
³ a + b + c ç ĐPCM è c a b ÷ø c a b
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . a 1 a 1 2
b) Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 2 2 b a b a b b 1 2 c 1 2 Tương tự ta có + ³ , + ³ 2 2 c b c a c a
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được a b c 1 1 1 2 2 2 a b c 1 1 1 + + + + + ³ + +  + + ³ + + ĐPCM. 2 2 2 2 2 2 b c a a b c a b c b c a a b c
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .
Ví dụ 2: Cho a, , b c dương sao cho 2 2 2
a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 a b b c c a a) + + ³ 3abc c a b ab bc ca b) + + ³ 3 . c a b
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 273
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải 3 3 3 3 3 3 3 3 a b b c a b b c
a) Áp dụng BĐT côsi ta có 3 + ³ 2 . = 2b ac c a c a 3 3 3 3 3 3 3 3 b c c a c a a b Tương tự ta có 3 3 + ³ 2abc , + ³ 2a bc a b b c 3 3 3 3 3 3 æa b b c c a ö
Cộng vế với vế ta có ç ÷ ç + + ÷ ³ abc ç ÷ ( 2 2 2 2 2
a + b + c ) c a b ÷ è ø 3 3 3 3 3 3 a b b c c a  + + ³ 3abc . ĐPCM c a b
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . 2 æab bc ca ö
b) BĐT tương đương với ç ÷ ç + + ÷ ³ 9 ç è c a b ÷ø 2 2 2 2 2 2 æab ö æbc ö æca ö ç ç ç  ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ + ( æab ö æbc ö æca ö ÷ ÷ ÷ 2 2 2
2 a + b + c ) ³ 9 ç ÷ ç ÷ ç ÷  ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ 3 ç è c ÷ø çè a ÷ø çè b ÷ø çè c ÷ø çè a ÷ø çè b ÷ø 2 2 2 2 æab ö æbc ö æab ö æbc ö Áp dụng BĐT côsi ta cóç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 ç
÷ + ç ÷ ³ 2 ç ÷ .ç ÷ = 2b ç è c ÷ø çè a ÷ø
çè c ÷ø çè a ÷ø 2 2 2 2 æbc ö æca ö æca ö æab ö Tương tự ta có ç ÷ ç ÷ 2 ç ÷ ç ÷ 2 ç
÷ + ç ÷ ³ 2c , ç ÷ + ç ÷ ³ 2a ç è a ÷ø çè b ÷ø çè b ÷ø çè c ÷ø 2 2 2 æab ö æbc ö æca ö
Cộng vế với vế và rút gọn ta được ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ 3 ç ĐPCM. è c ÷ø çè a ÷ø çè b ÷ø
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 .
Ví dụ 3: Cho a, ,
b c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng
a) 8(a + b )(b + c )(c + a ) £ (3 + a )(3 + b )(3 + c )
b) (3 - 2a )(3 - 2b )(3 - 2c ) £ abc Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
æç(a +b) + (b + c) 2ö÷ (3 + a )2
(a + b)(b + c) £ ç ÷ = ç ÷ çè 2 ÷ø 4 ( + c)2 ( + a )2 3 3
Tương tự ta có (b + c )(c + a ) £
, (c + a )(a + b ) £ 4 4 2 2
Nhân vế với vế lại ta được é(a + b )(b + c )(c + a )ù £ 64 é(3 + a )(3 + b )(3 + c )ù ë û ë û
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 274
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Suy ra 8(a + b )(b + c )(c + a ) £ (3 + a )(3 + b )(3 + c ) ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 .
b) * TH1: Với (3 - 2a )(3 - 2b )(3 - 2c ) £ 0 : BĐT hiển nhiên đúng.
* TH2: Với (3 - 2a )(3 - 2b )(3 - 2c ) > 0 :
+ Nếu cả ba số (3 - 2a ), (3 - 2b ), (3 - 2c ) đều dương. Áp dụng BĐT côsi ta có
æç(3 - 2a ) + (3 - 2b) 2ö
(3 - 2a )(3 - 2b) ÷ 2 £ ç ÷ = c ç ÷ , tương tự ta có çè 2 ÷ø ( - b)( - c) 2
£ a ( - c )( - a ) 2 3 2 3 2 , 3 2 3 2 £ b
Nhân vế với vế ta được é( - a )( - b )( - c ) 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 ù £ a b c ë û
Hay (3 - 2a )(3 - 2b )(3 - 2c ) £ abc .
+ Nếu hai trong ba số(3 - 2a ), (3 - 2b ), (3 - 2c ) âm và một số dương. Không mất tính tổng quát giả sử
3 - 2a < 0, 3 - 2b < 0 suy racó 6 - 2a - 2b < 0  c < 0 (không xảy ra)
Vậy BĐT được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 . 2 2 2 a b c a + b + c
Ví dụ 4: Cho a, ,
b c là số dương. Chứng minh rằng + + ³ . b + c c + a a + b 2 Lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có : 2 2 a b + c a b + c + ³ 2 . = a . b + c 4 b + c 4 2 2 b c + a c a + b Tương tự ta có + ³ ; b + ³ c . c + a 4 a + b 4
Cộng ba BĐT này lại với nhau ta đươc : 2 2 2 a b c a + b + c + + +
³ a + b + c b + c c + a a + b 2 2 2 2 a b c a + b + c  + + ³ b + c c + a a + b 2
Đẳng thức xảy ra  a = b = c . 2 a b + c
Lưu ý :Việc ta ghép +
và đánh giá như trên là vì những lí do sau: b + c 4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 275
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số), chẳng hạn đại 2 a lượng
khi đó ta sẽ áp dụng BĐT côsi cho đại lượng đó với một đại lượng chứa b + c . b + c
Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở BĐT côsi là khi hai số đó bằng nhau. Ta dự đoán dấu 2 a a
bằng xảy ra khi a = b = c khi đó
= và b + c = 2a do đó ta ghép như trên. b + c 2
Ví dụ 5: Cho a, ,
b c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: a b c 3 2 a) + + ³ b + 1 c + 1 a + 1 2 3 3 3 a b c 3 b) + + ³ b + 3 c + 3 a + 3 2 Lời giải a b c a) Đặt P = + + b + 1 c + 1 a + 1 Áp dụng BĐT côsi ta có a a 2a (b + 1) a a 2a (b + 1) 3 2a 3 + + ³ 3 . . = b + 1 b + 1 4 b + 1 b + 1 4 2 Tương tự ta có b b 2b (c + 1) 3 2b c c 2c (a + 1) 3 2c + + ³ , + + ³ c + 1 c + 1 4 2 a + 1 a + 1 4 2
Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được 2 P +
(ab + bc + ca + a + b + c) 3 2 2 ³
(a + b + c) 4 2 15 2 2  P ³ -
(ab + bc + ca ) (vì a + b + c = 3) 8 8 2
Mặt khác ta có (a + b + c ) ³ 3(ab + bc + ca ) (theo ví dụ 1)
Do đó ab + bc + ca £ 3 15 2 2 3 2 Suy ra  P ³ - .3 = ĐPCM. 8 8 2
Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 . 3 3 3 a b c b) Đặt Q = + + b + 3 c + 3 a + 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 276
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 2 2 a b c Ta có Q = + + a (b + 3) b (c + 3) c (a + 3)
Áp dụng BĐT côsi ta có 4 a (b + 3) = 2 4a (b + 3) £ 4a + b + 3 2 2 a 4a Suy ra ³ , tương tự ta có a (b + 3) 4a + b + 3 2 2 2 2 b 4b c 4c ³ , ³ b (c + 3) 4b + c + 3 c (a + 3) 4c + a + 3 2 2 2 4a 4b 4c
Cộng vế với vế lại ta được Q ³ + + = L 4a + b + 3 4b + c + 3 4c + a + 3 Áp dụng BĐT côsi ta có 2 2 4a 1 + ( a + b + ) 4a 1 4 3 ³ 2 .
(4a + b + 3) = a 4a + b + 3 16 4a + b + 3 16 Tương tự ta có 2 2 4b 1 + ( b + c + ) 4c 1 4 3 ³ , b +
(4c + a + 3) ³ c 4b + c + 3 16 4c + a + 3 16 1
Cộng vế với vế lại ta được L +
é5(a + b + c) + 9ù ³ a + b + c 16 ë û 3 3
Vì a + b + c = 3 nên L ³ suy ra Q ³ ĐPCM 2 2
Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 .
Ví dụ 6: Cho a, ,
b c là số dương thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + +
+ 3 ³ 2(a + b + c ). 2 2 2 a b c Lời giải 2 2 2
Ta có é(a - 1)(b - 1)ù é(b - 1)(c - 1)ù é(c - 1)(a - 1)ù = (a - 1) (b - 1) (c - 1) ³ 0 ë û ë û ë û
Do đó không mất tính tổng quát giả sử
(a - 1)(b - 1) ³ 0  ab + 1 ³ a + b  2(ab + c + 1) ³ 2(a + b + c) 1 1 1
Do đó ta chỉ cần chứng minh + +
+ 3 ³ 2(ab + c + 1) 2 2 2 a b c 1 1 1  + +
+ 1 ³ 2(ab + c ) 2 2 2 a b c 1 1 2 1 2 Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ = 2 , c + 1 ³
= 2ab (do abc = 1 ) 2 2 2 a b ab c c
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 277
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 1 1
Cộng vế với vế ta được + +
+ 1 ³ 2(ab + c ) ĐPCM. 2 2 2 a b c
Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 .
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x - )2 1 1 a) f (x) = với x > 2
b) g(x) = 2x + với x > -1 x - 2 (x + 1)2 1 1 c) ( ) 3
h x = x + với x ³ 2
d) k (x ) = 2x + với 0 < x £ . x 2 x 2 Lời giải 2 x - 2x + 1 1
a) Ta có f (x) = = x - 2 + + 2 x - 2 x - 2 1
Do x > 2 nên x - 2 > 0,
> 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có x - 2 1 x - + ³ (x - ) 1 2 2 2 . = 2 x - 2 x - 2
Suy ra f (x ) ³ 4 1
Đẳng thức xảy ra  x - 2 =
 (x - 2)2 = 1  x = 1 (loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn) x - 2
Vậy min f (x ) = 4 khi và chỉ khi x = 3 .
b) Do x > -1 nên x + 1 > 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có
g x = (x + ) + (x + ) 1 1 ( ) 1 1 + - 2 ³ 3 x + x + - = 3 ( 1).( 1). 2 1 (x + 1)2 (x + 1)2 1
Đẳng thức xảy ra  x + 1 =
 (x + 1)3 = 1  x = 0 (thỏa mãn) (x + 1)2
Vậy min g (x ) = 1 khi và chỉ khi x = 0 . æ x ö x c) Ta có h (x ) 3 3 ç ÷ = ç + ÷ + ç è x 4 ÷ø 4 3 3x 3 3x Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 3 x 4 x 4 æ x ö x
Mặt khác x ³ 2 suy ra h (x ) 3 3 2 7 ç ÷ = ç + ÷ + ³ 3 + = ç è x 4 ÷ø 4 4 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 278
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï 3 3x ï = Đẳng thức xảy ra ï  íx 4  x = 2 ïï x = 2 ïî Vậy h (x ) 7 min
= khi và chỉ khi x = 2 . 2 1 7
d) Ta có k (x ) = x + x + + 2 2 8x 8x 1 1 3 Áp dụng BĐT côsi ta có 3 x + x + ³ 3 x.x. = 2 2 8x 8x 2 1 7 7 Mặt khác 0 < x £  ³ suy ra k (x ) 3 7 ³ + = 5 2 2 8x 2 2 2 ìï 1 ïx = ï 2 ï 1 Đẳng thức xảy ra 8x  í  x = ï 1 2 ïï x = ïî 2 1
Vậy min k (x ) = 5 khi và chỉ khi x = . 2
Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa
Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra(để tách ghép cho hợp lí) chúng ta cần đưa tham số vào rồi
chọn sau sao cho dấu bằng xảy ra.
Ví dụ 1: Cho a, ,
b c là số dương thỏa mãn 2 2 2
a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
A = (1 + 2a )(1 + 2bc ) Phân tích
Rõ ràng ta sẽ đánh giá biểu thức A để làm xuất hiện 2 2 2
a + b + c . 2 a
Trước tiên ta sẽ đánh giá a qua 2 a bởi 2 2
a + m ³ 2ma  2a £
+ m (với m > 0 ) m Do ,
b c bình đẳng nên dự đoán dấu bằng A đạt giá trị nhỏ nhất khi b = c nên ta đánh giá 2 2
2bc £ b + c . 2 æa ö Suy ra A ç £ ç + m ÷ + ÷ ç ÷( 2 2
1 1 + b + c ) = B . Tiếp tục ta sẽ sử dụng BĐT côsi dưới dạng m ÷ è ø 2 æ x + y ö xy ç ÷ £ ç ÷ ç để là xuất hiện 2 2 2
a + b + c nên ta sẽ tách như sau è 2 ÷ø 1
1 æç(a + m + m ) + (1 + b + c ) 2 2 2 2 2 ö÷ B = ( 2 2
a + m + m )( 2 2 1 + b + c ) £ ç ÷ ç ÷ m m çè 2 ÷ø 1 Suy ra A £ (m + m + 2)2 2 4m
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 279
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Dấu bằng xảy ra khi 2 2 2 2 a = , m b = ,
c a + m + m = 1 + b + c và 2 2 2
a + b + c = 1. 2 Từ đây ta có m =
. Do đó ta có lời giải như sau: 3 Lời giải 2 4 4 3a 2 Áp dụng BĐT côsi ta có 2 a + ³ a  2a £ + và 2 2
2bc £ b + c 9 3 2 3 2 æ 3a 2 ö Suy ra A ç £ ç + + 1÷÷ ç ÷( 2 2 b + c + 1) 2 3 ÷ è ø Áp dụng BĐT côsi ta có 2 æ 10 ö 2 2 2 ç ÷ 2 æ ö æ ö ça + + b + c + 1 3a 2 ÷ ç ÷ ç + + ÷ ç ÷( 3 10 3 ç ÷ 98 2 2 b + c + ) ç 2 = ça ÷ + ÷( 2 2 b + c + ) £ ç 9 1 1 1 ÷÷ = ÷ ç ÷ ç è 2 3 ø 2 è 9 ÷ø 2 ç 2 ÷÷ 27 ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ìï 2 ïa = ïï 3 ìï 2 ï ï 98 ï a b ï = c = ï ï ï Suy ra A £
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 í  í 27 ï 10 ï 2 2 2 5 ïïa + = b + c + 1 b ïï = c = ï 9 ï ï î 18 ï 2 2 2
ïa + b + c = 1 ïî 98 2 5 Vậy max A = khi và chỉ khi a = và b = c = . 27 3 18
Ví dụ 2: Cho a, ,
b c là số dương thỏa mãn 2
2a + 4b + 3c = 68 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 3
A = a + b + c . Phân tích
Ta cần đánh giá biểu thức A qua biểu thức 2
2a + 4b + 3c . Do đó ta sẽ cho thêm vào các tham số vào và đánh giá như sau ( , m , n p dương) 3 3 c c 2 2 2 2
a + m ³ 2a ,
m b + n ³ 2bn và 3 2 + + 4p ³ 3pc 2 2 Suy ra 2 2 3 2 2 3
a + b + c + m + n + 4p ³ 2am + 2bn + 3pc (*) Để 2
2am + 2bn + 3pc có thể bội số của 2
2a + 4b + 3c thì 2m 2n 3p n = =  m = = p 2 4 3 2
Mặt khác dấu bằng ở BĐT (*) xảy ra khi a = ,
m b = n,c = 2p
Hay a = m b = m c = m m + ( m ) + ( m )2 , 2 , 2 2 4. 2 3 2 = 68
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 280
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 17 2
 12m + 10m - 68 = 0  m = 2 (nhận) hoặc m = - (loại) 6
Suy ra p = 2,n = 4 do đó ta có lời giải như sau Lời giải Áp dụng bĐT côsi ta có 3 3 c c 2 2
a + 4 ³ 4a, b + 16 ³ 8b và 2 + + 32 ³ 6c 2 2
Cộng vế với vế ta được 2 2 3 2
a + b + c + 52 ³ 4a + 8b + 6c , kết hợp với 2
2a + 4b + 3c = 68 Suy ra 2 2 3
a + b + c ³ 84
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2,b = 4,c = 4
Vậy min A = 84  a = 2,b = 4,c = 4 .
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 2 x - x + 3 a) A = với x < 1 3 1 - x b) 2 2 B = x - + 4x + 21 - x -
+ 3x + 10 với -2 £ x £ 5 . Lời giải 2 x - x + 3 a) Ta có A = (1 - x )( 2 x + x + 1)
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 1 1 2(1 - x ) 2 2 ( + x + x + x - x + 1 - x )( 1 3 2 x + x + 1) = 2(1 - x ) 2 . x + x + 1 £ = 2 2 2 2 2 2 x - x + 3 Suy ra A ³ = 2 2 2 x - x + 3 2 2 -3  13
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2(1 - x ) 2 2
= x + x + 1  x + 3x - 1 = 0  x = 2 -3  13
Vậy min A = 2 2 khi x = x 1 < 2 x + 11 x + 11 b) Ta có B = = 2 2 x - + 4x + 21 + x - + 3x + 10
(x + 3)(7 - x) + (x + 2)(5 - x)
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 281
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Với -2 £ x £ 5 thì x + 11 ; x + 3 ; 7 - x ; x + 2 ; 5 - x là các số không âm nên theo BĐT côsi ta có : 1
1 æ(2x + 6) + (7 - x)ö x + 13 (x + 3)(7 - x) = (2x + 6)(7 - x) ç ÷ £ ç ÷ = ç ÷ (1) 2 2 è 2 ÷ø 2 2 1
1 æ(2x + 4) + (5 - x)ö x + 9 (x + 2)(5 - x) = (2x + 4)(5 - x) ç ÷ £ ç ÷ = ç ÷ (2) 2 2 è 2 ÷ø 2 2 x + 11
Từ (1) và (2) suy ra (x + 3)(7 - x) + (x + 2)(5 - x) £
, từ đó ta có B ³ 2 . 2 1
Dấu bằng xảy ra  (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng  x = . 3 1 Vậy min B = 2  x = . -2£x £5 3
Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu.
Ví dụ 1: Cho a, ,
b c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của bc ca ab P = + + . a + 2 bc b + 2 ca c + 2 ab Lời giải bc 1 æ a ö 1 æ a ö Áp dụng BĐT côsi ta có çç1 ÷ ç = - ÷ £ ç1 ÷ - ÷ ç ÷ + è + ø ç ÷ a 2 bc 2 a 2 bc 2 è
a + b + c ø ca 1 æ b ö ab 1 æ c ö Tương tự ta có çç1 ÷÷, ç £ - £ ç1 ÷ - ÷ ç ÷ + è + + ÷ø ç ÷ b 2 ca 2 a b c c + 2 ab 2 è
a + b + c ø
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được 1 æ a b c ö P ç £ ç3 ÷ - - - ÷ = 1 2 çè a + b + c a + b + c
a + b + c ÷ø
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Vậy min P = 1  a = b = c
Ví dụ 2: Cho a, ,
b c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a b c 3 a) + + ³ . 2 2 2 1 + b 1 + c 1 + a 2 2 2 2 a b c b) + + ³ 1 3 3 3 a + 2b b + 2c c + 2a Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 282
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a a ( 2 2 1 + b - b ) 2 2 ab ab ab = = a - ³ a - = a - 2 2 2 1 + b 1 + b 1 + b 2b 2 b bc c ca Tương tự ta có ³ b - và ³ c - 2 1 + c 2 2 1 + a 2
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: a b c
ab + bc + ca
ab + bc + ca + +
³ a + b + c - = 3 - 2 2 2 1 + b 1 + c 1 + a 2 2 2
Mặt khác ta có (a + b + c ) ³ 3(ab + bc + ca )  ab + bc + ca £ 3 . a b c 3 3 Do đó + + ³ 3 - = ĐPCM. 2 2 2 1 + b 1 + c 1 + a 2 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
b) Theo bất đẳng thức Côsi ta có : 2 a a ( 3 a + 2b ) 3 3 3 2 - 2ab 2ab 2b a = ³ a - = a - . 3 3 3 6 a + 2b a + 2b 3 ab 3 2 3 2 3 b 2c b c 2a c Tương tự ta có ³ b - , ³ c - 3 3 b + 2c 3 c + 2a 3
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: 2 2 2 a b c 2 + +
³ a + b + c - ( 3 2 3 2 3 2
b a + a c + c b 3 3 3 ) a + 2b b + 2c c + 2a 3
Mặt khác a + b + c = 3 do đó ta chỉ cần chứng minh: 3 2 3 2 3 2
b a + c b + a c £ 3 .
Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi ta có : 3 1 2ab + b 2 b a £ .
b (a + a + 1) = 3 3 2bc + c 2ca + a Tương tự ta có 3 2 3 2 c b £ , a c £ 3 3
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có: 3 2ab + b 2bc + c 2ca + a 2 1 2 3 2 3 2
b a + c b + a c £ + +
= (ab + bc + ca ) + (a + b + c ) 3 3 3 3 3 2 1 Từ đó suy ra: 3 2 3 2 3 2
b a + c b + a c £ .3 + .3 = 3 ĐPCM. 3 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 .
Ví dụ 3: Cho a, ,
b c là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2
a + b + c = 1.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 283
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 c b a Chứng minh rằng + + ³ 1 1 + ab 1 + ac 1 + bc Lời giải c b a Đặt P = + + 1 + ab 1 + ac 1 + bc Áp dụng BĐT côsi ta có c abc abc (ca )(cb) ca + cb = c - ³ c - = c - ³ c - 1 + ab 1 + ab 2 ab 2 4 b ba + bc a ab + ac Tương tự ta ta có ³ b - , £ a - 1 + ac 4 1 + bc 4
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
ab + bc + ca
P ³ a + b + c - 2 2 Mặt khác 2 2 2
a + b + c = 1  (a + b + c ) = 1 + 2(ab + bc + ca ) (*)
(a + b + c)2 - 1
Hay ab + bc + ca = 2
(a + b + c)2 - 1 (a + b + c - 1)(3 -a -b -c)
Suy ra P ³ a + b + c - = + 1 (1) 4 4
Từ giả thiết ta có a, ,
b c Î [0;1]  3 - a - b - c ³ 0 (2)
Và từ (*) suy ra a + b + c ³ 1 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra P ³ 1 . ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a, b, c có một số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0.
Dạng 3: đặt ẩn phụ trong bất đẳng thức. 1. Phương pháp giải.
Điều quan trọng trong kĩ thuật này là phát hiện ra ẩn phụ (ẩn phụ có thể là
x = f (a, ,
b c ), y = g (a, ,
b c ), z = h (a, ,
b c ) hoặc là chỉ một ẩn phụ t = f (a; ; b c )). Ẩn phụ có
thể có ngay trong biểu thức của bất đẳng hoặc qua một số phép biến đổi, đánh giá.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho các số dương a, , b . c a + b 6b + 8c
3a + 2b + c a) Chứng minh rằng + + ³ 7 a + b + c 2a + b b + c
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 284
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a + b b + c c + a
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = + + . a + b + c b + c + 4a
c + a + 16b Lời giải
a) Đặt x = a + b + , c y = 2a + ,
b z = b + c
Suy ra a = x - z, b = -2x + y + 2z, c = 2x - y - z x - + y + z
4x - 2y + 4z x + y
Bất đẳng thức trở thành + + ³ 7 x y z y z 4x 4z x y  -1 + + + - 2 + + + ³ 7 x x y y z z æ y 4x ö æ z x ö æ 4z y ö ç ÷ ç ÷ ç ÷  ç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ ³ 10 ç (*) è x y ÷ø çèx z ÷ø çè y z ÷ø y 4x z x 4z y Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 4, + ³ 2, + ³ 4 x y x z y z
Suy ra BĐT (*) đúng. ĐPCM. ìï2x = y ïï Đẳng thức xảy ra ï
 íx = z  2x = y = 2z suy ra không tồn tại a, , b . c ïïï2z = y ïî
Dấu đẳng thức không xảy ra.
b) Đặt x = a + b + ,
c y = b + c + 4a, z = c + a + 16b y - x z - x
21x - 5y - z Suy ra a = , b = , c = 3 15 15
-6x + 5y + z 4x - y 16x - z Khi đó ta có P = + + 15x 3y 15z y 4x z 16x 4  P = + + + - 3x 3y 15y 15z 5 y 4x 4 z 16y 8 Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ , + ³ 3x 3y 3 15y 15z 15 4 8 4 16 5b 5c Suy ra P ³ + - =
, đẳng thức xảy ra  4x = 2y = z a = = 3 15 5 15 3 7 16 5b 5c Vậy min P = khi và chỉ khi a = = . 15 3 7
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 285
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Ví dụ 2: Cho a, ,
b c là ba cạnh của tam giác có chu vi là 2p . Chứng minh rằng a b c b + c c + a a + b + + ³ + + p - a p - b p - c p - a p - b p - c Lời giải
Đặt x = p - a; y = p - ;
b z = p - c suy ra a = y + z; b = z + x; c = x + y . Do a, ,
b c là ba cạnh của tam giác nên x, , y z dương
Bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng: y + z z + x x + y y + z z + x x + y + + ³ 2 + + 2 + + 2 + x y z x y z y + z æ y + z ö y + z
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 4 2 ç + £ ç2 ÷ + ÷ + 4 = + 6 x çè x ÷ø x z + x z + x x + y x + y Tương tự ta có 4 2 + £ + 6, 4 2 + £ + 6 y y z z
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được æç y z z x x y ö + + + ÷ y + z z + x x + y 4ç 2 + + 2 + + 2 + ÷ £ + + + 18 ç ÷ çè x y z ÷ø x y z y + z z + x x + y 1 æy + z z + x x + y ö
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh ç + + ³ ç + + + 18÷÷ x y z 4 çè x y z ÷ø y + z z + x x + y  + + ³ 6 . x y z y + z z + x x + y æ y x ö æy z ö æ x z ö Ta có ç ÷ ç ÷ ç ÷ + + = ç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ x y z çèx y ÷ø çèz y ÷ø çè z x ÷ø y x y x y z x z Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 2, + ³ 2, + ³ 2 x y x y z y z x y + z z + x x + y Suy ra + + ³ 6 . ĐPCM. x y z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác đều.
Nhận xét : Đối với BĐT có giả thiết a, ,
b c là ba cạnh của tam giác thì ta thực hiện phép đặt ẩn phụ a + b - c a - b + c a - + b + c x = , y = , z =
thì khi đó a = y + z; b = z + x; c = x + y và 2 2 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 286
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x, ,
y z dương. Ta chuyển về bài toán với giả thiết x, ,
y z dương không còn ràng buộc là ba cạnh của tam giác. 1590
Ví dụ 3: Cho x, ,
y z là số dương. Chứng minh rằng x + 2y + 3z ³
(x + y + z )3 3 3 3 1331 Lời giải 3 3 3 æ x ö æ y ö æ z ö Ta có BĐT ç ÷  ç ÷ + 2ç ÷ ç ÷ + 3ç ÷ ç ÷ ³ ç
è x + y + z ÷ø
çèx + y + z ÷ø
çèx + y + z ÷ø x y z Đặt a = , b = , c =  a, ,
b c dương và a + b + c = 1 x + y + z x + y + z x + y + z 1590 BĐT trở thành 3 3 3
a + 2b + 3c ³ 1331 Áp dụng BĐT côsi ta có 3 3 æ 6 ö æ 6 ö 18 3 3 æ 3 ö æ 3 ö 18 3 3 æ 2 ö æ 2 ö 18 3 a ç ÷ ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ a 3 ç ÷ ç ÷ 3 ç ÷ ç ÷ ç , 2b + 2ç ÷ + 2ç ÷ ³
b , 3c + 3ç ÷ + 3ç ÷ ³ c è11÷ø çè11÷ø 11 çè11÷ø çè11÷ø 11 çè11÷ø çè11÷ø 11
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được 588 18 18 3 3 3
a + 2b + 3c + ³
(a + b + c) = 1331 11 11 1590 Suy ra 3 3 3
a + 2b + 3c ³ . 1331
Nhận xét: Phương pháp đặt ẩn phụ trên được áp dụng khi BĐT là đồng bậc(Người ta gọi là phương pháp chuẩn hóa) 3
Ví dụ 4: Cho x, ,
y z là số dương thỏa mãn x + y + z £ 2 1 1 1 15
Chứng minh rằng x + y + z + + + ³ . x y z 2 Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 1 1 1 1 1 1 1 9 + + ³ 3 3 và 3
x + y + z ³ 3 xyz nên + + ³ x y z xyz x y z x + y + z 1 1 1 9
Suy ra x + y + z + + +
³ x + y + z + x y z x + y + z 3
Đặt t = x + y + z  0 < t £ 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 287
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 9 9 15
Khi đó ta chỉ cần chứng minh x + y + z + = t + ³ x + y + z t 2 Áp dụng BĐT côsi ta có 9 9 27 9 27 15 t + = t + + ³ 2 t. + = ĐPCM. t 4t 4t 4t 3 2 4. 2 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . 2 1 1 1
Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a, , b c thỏa mãn + +
= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của a + 2 b + 2 c + 2 4
biểu thức P = a + b + c + . 3 abc Lời giải 1 1 1 Ta có + +
= 1  4 = abc + ab + bc + ca a + 2 b + 2 c + 2
Áp dụng BĐT côsi ta có ab + bc + ca ³ (abc)2 3 3 Suy ra 3
4 = abc + ab + bc + ca ³ abc + 3 (abc )2 3 2
= t + 3t , với 3 t = abc .  t + t - £
 (t - )(t + )2 3 2 3 4 0 1 2 £ 0  t £ 1 Cũng theo BĐT côsi ta có 4 3 4
P = a + b + c + ³ 3 abc + 3 3 abc abc 4 æ 3 ö 1 Suy ra P 3t ç ³ + = ç3t ÷ + ÷ + t çè t ÷ø t 3 3 1
Áp dụng BĐT côsi ta có 3t +
³ 2 3t. = 6 , mặt khác t £ 1  ³ 1 t t t 4
Do đó P ³ 3t +
³ 7 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1 hay a = b = c = 1 t
Vậy min P = 7  a = b = c = 1 æ 1 öæ 1 öæ 1 ö
Ví dụ 6: Cho x, ,
y z dương thỏa mãn çç1 ÷ç ÷ç1 ÷ç + + ÷ç1 ÷ + ÷ = 8 ç . è x ÷øçè y ÷øçè z ÷ø 2 2 2
x + y + z + 14xyz
Tìm giá trị lớn nhất của P =
4(x + y + z )2 + 15xyz
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 288
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải æ 1 öæ 1 öæ 1 ö Ta có çç1 ÷ç ÷ç1 ÷ç + + ÷ç1 ÷
+ ÷ = 8  8xyz = 1 + x + y + z + xy + yz + zx + xyz ç è x ÷øçè y ÷øçè z ÷ø
x + y + z +
xyz = (x + y + z )2 2 2 2 14
+ 2(x + y + z ) + 2 (1) æ 1 öæ 1 öæ 1 ö 8
Áp dụng BĐT côsi ta có: 8 çç1 ÷ç ÷ç1 ÷ç = + + ÷ç1 ÷ + ÷ ³  xyz ³ 1 (2) ç è x ÷øçè y ÷øçè z ÷ø xyz
(x + y + z )2 + 2(x + y + z ) 2 + 2 t + 2t + 2
Từ (1) và (2) ta có P £ =
với x + y + z = t > 0 .
(x + y + z )2 2 4t + 15 4 + 15 t + 2t + 2 1 t - + 6t - 9 (t - 3)2 2 2 Xét - = = - £ 0 2 2 2 4t + 15 3 12t + 45 12t + 45 2 t + 2t + 2 1 1 Suy ra £ do đó P £ 2 4t + 15 3 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 3 hay x = y = z = 1 1 Vậy max P =
khi và chỉ khi x = y = z = 1 3
Dạng 4: sử dụng bất đẳng thức phụ. 1. Phương pháp giải.
Điều quan trọng dạng toán này là cần phát hiện ra được bất đẳng thức phụ. Bất đẳng thức phụ có thể là
những BĐT cơ bản đã có hoặc là chúng ta từ đặc điểm của BĐT cần chứng minh chúng ta dự đoán và đưa ra
BĐT phụ từ đó vận dụng vào bài toán.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho a, ,
b c là số dương. Chứng minh rằng: a b c a + b + c a) + + ³ 3 3 3 b c a abc 1 1 1 1 b) + + £ 3 3 3 3 3 3
a + b + abc
b + c + abc
c + a + abc abc Lời giải
Trước tiên ta chứng minh 3 3 2 2
a + b ³ a b + b a . BĐT tương đương với 3 3 2 2 2 2
a + b - a b - b a ³ 0  a (a - b) + b (b - a) ³ 0 2
 (a - b) (a + b) ³ 0 (đúng với mọi a > 0,b > 0 ) 3 3 2 2
a + b ³ a b + b a . Đẳng thức xảy ra khi a = b .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 289
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a 1 1 1 a) Ta có 3 3 2 2
a + b ³ a b + b a  + ³ + 3 2 2 b a b ab b 1 1 1 c 1 1 1
Hoàn toàn tương tự ta có + ³ + , + ³ + 3 2 2 3 2 2 c b c bc a c a ac a b c 1 1 1
Cộng vế với vế rút gọn ta được + + ³ + + 3 3 3 b c a a b c a b c a + b + c Hay + + ³
, đẳng thức xảy ra khi a = b = c . 3 3 3 b c a abc
b) Theo bài toán trên ta có : 3 3 2 2
a + b ³ a b + b a = a ( b a + b) 1 1 c 3 3
a + b + abc ³ a (
b a + b + c)  £ = 3 3
a + b + abc a (
b a + b + c) ab (
c a + b + c) 1 a 1 b Tương tự : £ ; £ 3 3 3 3
b + c + abc ab (
c a + b + c) c + a + abc ab (
c a + b + c)
Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .
Ví dụ 2: Cho a,b là các số thực. Chứng minh rằng: a) 2
3(a + b + 1) + 1 ³ 3ab . 6 b) 3 3 2 2 2
64a b (a + b ) £ (a + b ) Lời giải 2 æa + b ö 3
a) Áp dụng bất đẳng thức ab ç ÷ £ ç ÷ ç nên ta chứng minh 2 2
3(a + b + 1) + 1 ³ (a + b) (*) è 2 ÷ø 4 Thật vậy : 2 2
(*)  12(a + b) + 24(a + b) + 16 ³ 3(a + b) 2 2
 9(a + b) + 24(a + b) + 16 ³ 0  (3a + 3b + 4) ³ 0 (đúng) ĐPCM 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = - . 3
b) Dễ thấy bất đẳng thức đúng khi ab £ 0 . 2 æa + b ö
Xét ab > 0 . Áp dụng BĐT ab ç ÷ £ ç ÷ ç ta có è 2 ÷ø 2 2 2 2
æa + b ö é ab + (a + b )ù 3 3 2 2
64a b (a + b ) = 6ab é2 (
ab a + b )ù £ 16ç ÷ ç ÷ ê ú = (a + b )6 2 2 2 2 2 1 ë û ç è 2 ÷ø ê 2 ú ë û 6 Suy ra 3 3 2 2 2
64a b (a + b ) £ (a + b )
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 290
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b .
Ví dụ 3: Cho a là số dương và b là số thực thỏa mãn 2 2 a + b = 5 . 3 2a + a + 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = - 2b . 2 a Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức ( + )( + ) ³ ( + )2 2 2 2 2 a b c d ac
bd (*), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc .
Ta có (a + b )( + ) = ³ (a + b )2 2 2 1 4 25 2  a + 2b £ 5
Suy ra -2b ³ a - 5 3 3 2a + a + 1 2a + a + 1 1 1 Do đó P = - 2b ³ + a - 5 = 3a + + - 5 (1) 2 2 2 a a a a 1 1
Áp dụng BĐT côsi ta có a + ³ 2, a + a + ³ 3 2 a a 1 1 Do đó 3a + + ³ 5 (2) 2 a a
Từ (1) và (2) suy sa P ³ 0 . Đẳng thức xảy ra khi a = 1, b = 2 .
Vậy min P = 0  a = 1, b = 2 .
Nhận xét: Bất đẳng thức (*) là bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số. Ta có thể tổng quát bất đẳng thức
Cho 2n số a ,a ,..,a ,b ,b ,...,b . Khi đó ta có bất đẳng thức 1 2 n 1 2 n 2 2 2 2 2 2 2
(a b + a b + ... + a b ) £ (a + a + ... + a )(b + b + ... + b ) . 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
Ví dụ 4: Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 3 3 3 a b c a) + + ³ 3 bc ca ab 1 1 1 b) 2 2 2 + +
³ a + b + c 2 2 2 a b c Lời giải a) Áp dụng BĐT 2 2 2
a + b + c ³ ab + bc + ca này hai lần ta có : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b + c = (a ) + (b ) + (c ) ³ a b + b c + c a = (ab) + (bc) + (ca) ³ ³ a . b bc + b .
c ca + ca.ab = ab (
c a + b + c) = 3abc (vìa + b + c = 3 ) 4 4 4 a + b + c 3 3 3 a b c Suy ra ³ 3 hay + + ³ 3 ĐPCM. abc bc ca ab
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 291
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Đẳng thức xảy ra  a = b = c 1 1 1 1 1 1 3 b) Áp dụng 2 2 2
a + b + c ³ ab + bc + ca ta có + + ³ + + = 2 2 2 a b c ab bc ca abc 3 Do đó ta cần chứng minh 2 2 2
³ a + b + c abc ( 2 2 2
a + b + c ) £ 3 (*) abc 2
Lại áp dụng (a + b + c ) ³ 3(ab + bc + ca )(ví dụ 1) ta có 2
(ab + bc + ca )2
(ab + bc + ca ) ³ 3abc(a + b + c)  abc £ (**) 9 3
æa + b + c ö
Áp dụng bất đẳng thức abc ç ÷ £ ç ÷ ç và (**) ta có è 3 ÷ø (ab bc ca ) (a b c ) æ ö + + + +
1 ç(a + b + c ) 3 2 2 2 2 2 ÷ abc ( 2 2 2
a + b + c ) ç ÷ £ £ ç ÷ = 3 9 9 ç 3 ÷÷ ç ÷ è ø
Vậy BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM..
Đẳng thức xảy ra  a = b = c .
Ví dụ 5: Cho a, ,
b c là số dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1 a) + + £ ( + + )
2a + b + c
2a + 2b + c
a + b + 2c 4 a b c 1 1 1 1 1 1 b) + + ³ + + a + 3b b + 3c c + 3a
2a + b + c
a + 2b + c
a + b + 2c lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có:
a + b ³ 2 ab üïïï 1 1 1
ïý  (a +b)( + ) ³ 2 ab.2 = 4 1 1 1 + ³ 2 ï a b ab ï a b ab ïïþ 1 1 4 Suy ra + ³
(*). Đẳng thức xảy ra  a = b . a b a + b
a) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 = £ ( + ) £ ( + + )
2a + b + c
(a + b) + (a + c) 4 a + b a + c 16 a b c 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 Tương tự ta có £ ( + + ); £ ( + + )
a + 2b + c 16 a b
c a + b + 2c 16 a b c
Cộng ba BĐT trên ta có được đpcm. Đẳng thức xảy ra  a = b = c .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 292
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
b) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 4 2 + ³ = . a + 3b
a + b + 2c
2a + 4b + 2c
a + 2b + c Tương tự 1 1 2 1 1 2 + ³ ; + ³ b + 3c
2a + b + c
a + b + 2c c + 3a
a + 2b + c
2a + b + c
Cộng ba BĐT trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra  a = b = c .
Ví dụ 6: Cho a, ,
b c dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a b c 3 a) + + £ . 1 + a 1 + b 1 + c 4 1 1 1 1 b) + + + ³ 30 2 2 2 a + b + c ab bc ca Lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có : 3
a + b + c ³ 3 abc üïïï 1 1 1 ï 3 1
ý  (a + b + c)( + + ) ³ 3 abc.3 = 9 1 1 1 1 3 + + ³ 3 ï a b c ï abc 3 a b c abc ïïþ 1 1 1 9 Suy ra + + ³
(*) . Đẳng thức xảy ra  a = b = c . a b c a + b + c a + 1 - 1 b + 1 - 1 c + 1 - 1 3 a) Ta có BĐT  + + £ a + 1 b + 1 c + 1 4 1 1 1 3 1 1 1 9  3 - ( + + ) £  + + ³ . a + 1 b + 1 c + 1 4 a + 1 b + 1 c + 1 4 1 1 1 9 9 Áp dụng BĐT (*) ta có + + ³ = đpcm. a + 1 b + 1 c + 1
a + b + c + 3 4 1
Đẳng thức xảy ra  a = b = c = . 3 1 1 1 9
b) Áp dụng BĐT (*) ta có : + + ³ ab bc ca
ab + bc + ca 1 1 1 1 1 9  + + + ³ + 2 2 2 2 2 2 a + b + c ab bc ca a + b + c
ab + bc + ca 1 1 1 7 = + + + 2 2 2 a + b + c
ab + bc + ca
ab + bc + ca
ab + bc + ca
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 293
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 1 7 Mặt khác : 2
ab + bc + ca £ (a + b + c) =  ³ 21 3 3
ab + bc + ca 1 1 1 9 + + ³ = 9 2 2 2 2 2 2 a + b + c
ab + bc + ca
ab + bc + ca
a + b + c + 2(ab + bc + ca) 1 1 1 1 Suy ra : + + + ³ 9 + 21 = 30 đpcm. 2 2 2 a + b + c ab bc ca 1
Đẳng thức xảy ra  a = b = c = . 3 1 2 3 6
Ví dụ 7: Cho a, ,
b c là các số thuộc é 0;1ù ë û thỏa mãn + + = . 4 4 4 4a + 5 4b + 5 4c + 5 7
Tìm giá trị lớn nhất của 2 3 P = ab c Lời giải
Ta chứng minh bất đẳng thức sau 1 1 2
Với x,y thuộc [0,1], ta luôn có + £ (*) 4 4 2 2 4x + 5 4y + 5 4x y + 5 Thật vậy, BĐT (*)  ( 4 4 x + y + )( 2 2 x y + ) £ ( 4 x + )( 4 2 2 5 4 5 4 5 4y + 5) 4 4 2 2
x y - x y + ( 4 4 x + y )( 2 2 8 10 5 - 4x y ) ³ 0 2 2 2 2 2
 (5 - 4x y )(x - y ) ³ 0 (đúng với x,y Î [0,1])
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y . 1 1 2 1 1 2 Áp dụng BĐT (*) ta có: + £ , + £ 4 4 2 2 4 4 2 2 4a + 5 4c + 5 4a c + 5 4b + 5 4c + 5 4b c + 5 1 1 2 2 2 4 Suy ra + + £ + £ (1) 4 4 4 2 2 2 2 2 4a + 5 4b + 5 4c + 5 4a c + 5 4b c + 5 4abc + 5 1 1 2 1 1 2 Và + £ , + £ 4 2 4 2 4b + 5 7 b c + 5 7 c 4. + 5 4. + 5 2 2 1 1 2 2 2 4 Suy ra + + £ + £ (2) 4 4 2 2 4b + 5 4c + 5 7 b c bc 4. + 5 4. + 5 4. + 5 2 2 2 4 4 8 Ta lại có + £ (3) 2 2 3 4abc + 5 bc 4. + 5 ab c 4. + 5 2 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 294
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 2 3 2 8 Từ (1), (2) và (3) ta có + + + £ 4 4 4 2 3 4a + 5 4b + 5 4c + 5 7 ab c 4. + 5 2 8 8 2
Kết hợp giả thiết suy ra 2 3 ³  ab c £ 2 3 ab c 7 4 4. + 5 2 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4
a = b = c = 2 1 1 Vậy max P = khi và chỉ khi 4
a = b = c = . 16 2
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? a ba b A.
a c b d. B.
a c b d. c dc da ba b  0 C.
a d b  . c D.
a c b d. c dc d  0 Lời giải Chọn C a ba ba b Ta có     
a d b  . c c d
 c   d
 d  c
Câu 2: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai? a b  a b A. b c   a  . B.
a c b  . a a c 2 a c
C. a b a c b  .
c D. a b c a c  . b Lời giải Chọn D
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:     a b       2 b c a a b c
a b c a    A đúng. a c 2    a b
a a b c a c b a   B đúng. a c
a b a  c  b  c  a c b c   C đúng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 295
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
a b   a  b c a c b   D sai.
Câu 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? a ba b A.
ac cd. B.
ac cd. c dc d 0  a ba b C.
ac bd. D.   ac bd  . 0  c dc d Lời giải Chọn C 0  a b Ta có 
ac bd. 0  c d
Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
A. a b ac b . c B.
a b ac  . bc a b
C. c a b ac b . c D.   ac  . bc c  0 Lời giải Chọn D
Xét bất phương trình a b . c  0 
a b ac bc
Khi nhân cả hai vế của  với c, ta được .  c  0 
a b ac bc
Câu 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? 0  a ba b  0 A. a b a b    . B.    . 0  c d c dc d  0 c da ba b  0 C. a b a d    . D.    . c d c dc d  0 b c Lời giải Chọn D
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: 0   0 a b    a ba b    1
1  Chưa đủ dữ kiện để so sánh ,   A sai. 0  c d 0    c dd c
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 296
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a b  0 a b  0   a b    1 1
Chưa đủ dữ kiện để so sánh ,   B sai. c d  0   0  c dd c    a b a b    
C sai vì chưa thiếu điều kiện a, b, c, d. c d c da 1 a b  0    b a      1 d a d      D đúng. c d  0 1 d b c b c    c
Câu 6: Nếu a  2c b  2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? 1 1 A. 3  a  3  . b B. 2 2
a b . C. 2a  2 . b D.  . a b Lời giải Chọn C
Từ giả thiết, ta có a  2c b  2c a b  2a  2 . b
Câu 7: Nếu a b a và b a b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. ab  0. B. b  . a C.
a b  0. D. a  0 và b  0. Lời giải Chọn A
a b a b   0 a  0 Từ giả thiết, ta có       ab  0. b   a b  a  0 b   0
Câu 8: Nếu 0  a  1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? 1 1
A. a. B. a  . C. a a. D. 3 2
a a . a a Lời giải Chọn A
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:  1 a1 1 1  a a a a   1  a  
 0   a, a   0;  1   A đúng. a a a a 2 1 a  1 a   1 a   1  1 a   
 0  a  , a   0;  1   B sai. a a a a
a a a a  
1  0  a a, a   0;  1   C sai.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 297
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  3 2 2
a a a a   3 2
1  0  a a , a  0;  1   D sai.
Câu 9: Cho hai số thực dương a,b . Bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2 a 1 ab 1 2 a  1 1 A.  . B.
 . C.  . D. Tất cả đều 4 a  1 2 ab  1 2 2 a  2 2 đúng. Lời giải Chọn C
Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: 1 2  1 a a a a  2 2 2 2 4 2 1  a 1      0, a        A sai. 4 a  1 2 2 4 a   1 2 4 a   4 1 a  1 2 1 2  1  ab ab ab ab 2 1  ab 1            B sai. ab  ab   ab   0 , a, b 0 1 2 2 1 2 1 ab  1 2   a  1
1 2 a 1  a  2  a 1 2 2 2 2 2 1 2   a 1 1      0   , a    C 2 a  2 2 2 2 a  2 2 2 a  2 2 a  2 2 đúng. 1  a 1  Câu 10: b
Cho a, b  0 và x  , y
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 1  a a 1  b b
A. x y. B. x y. C. x  . y D. Không so sánh được. Lời giải Chọn B 1  a 1  Giả sử b x y    1 a 2
1  b b   1 b 2 1  a a 2 2  1  a a 1  b b 2 2 2 2
 1 b b a ab ab  1 a a b ab a b 2 2 2 2
b ab a a b   2 2
a b   aba b  0
 a ba b ab  0 luôn đúng với mọi a b  0. Vậy x  .y x  1  Dấu "  " xảy ra  
2  x  1  2. Vậy m  2 2 1. x  1   x  1 2 x  5
Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x  . 2 x  4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 298
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 5
A. m  2. B. m  1. C. m  . D. Không tồn tại 2 . m Lời giải Chọn C Sai lầm thường gặp 2 x  4  1 1 1
Ta có f x 2 2   x  4   2 x  4.  2. 2 2 2 x  4 x  4 x  4 1
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi 2 2 x  4   x  3 . 2 x  4
Vậy hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất. Lời giải đúng Đặt 2 t
x  4  t  2 . 2 t +1 1 t 1 3t 5
Lúc đó : f (x)= g(t)= = t + = + + ³ (do t ³ 2) t t  4 t  4 2 2 ³ 3 ³2 ìï t 1 5 5 ï = Vậy ï g(t ) ³
Min g(t)= khi í4
t t = 2  x = 0 2 2 ïtïï ³2 î 2 x  2x  2
Câu 12: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x  với x  1.  x  1
A. m  0. B. m  1. C. m  2. D. m  2. Lời giải Chọn C.
x  2x  1  1 x   1
Ta có f x  2 2 1 1    x 1 . x  1 x  1 x  1 1 1
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 1  2 x   1 .  2. x  1 x  1 x  1  Dấu "  " xảy ra  
1  x  0. Vậy m  2. x  1   x  1 x  2 x  8
Câu 13: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x     với x  0. x
A. m  4. B. m  18. C. m  16. D. m  6.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 299
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn B. x x   
Ta có f x    2 2 8 x 10x 16 16    x  10. x x x 16 16
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x   2 . x
 8  f x  18. x xx  0  Dấu "  " xảy ra  
16  x  4. Vậy m  18. x   x Câu 14: x
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x 4   với 1  x  0. x 1  x A. m  2. B. m  4.
C. m  6. D. m  8. Lời giải Chọn D. 4 x 4 4x x 4 1  x Ta có      4    4 x f x      . x 1  x x x 1  x x 1  x Vì  0;  1 x x
 0 nên theo bất đẳng thức Côsi, ta có 1  x   41 xx 41 x  4    2 . x f x
 4  f x  8. x 1  x x 1  x 1   x  0  2
Dấu "  " xảy ra  41 x  x  . x
Vậy m  8.   3  x 1 x
Câu 15: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x 1 1   với 0  x  1. x 1  x A. m  2. B. m  4. C. m  8. D. m  16. Lời giải Chọn B. 1 1 1 1 2
Cách 1. Theo bất đẳng thức Côsi, ta có   2 .  . x 1 x x 1  x x 1  x 2 x  1  x 1 1 1
Mặt khác x 1 x     
x 1 x  
 2  f x  4. 4 4 2 x 1  x 1   x  0 1 Dấu "  " xảy ra  
x  . Vậy m  4. x  1 x 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 300
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133     
Cách 2. Ta có   1 1 1 x x 1 x x 1 x x f x        2. x 1  x x 1 x x 1  x 1 x x 1
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có   2
x . x  2  f x  4. x 1 x x 1 x 1   x  0  1
Dấu "  " xảy ra   x
1  x x  .  2 1   x x 2 x  32
Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x  với x  2. 4 x  2 1 7 A. m  . B. m  . C. m  4. m  2 D. 8. 2 Lời giải Chọn C. 2 2 x  32 x  4  36 x  2 9 x  2 9
Ta có f x         x   x   1. 4 2 4 2 4 x  2 4 x  2 x  2 9 x  2 9
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có   2 .
 3  f x  3 1  4. 4 x  2 4 x  2 x  2 
Dấu "  " xảy ra   x  2
9  x  8. Vậy m  4.   4 x  2 3 2x  4
Câu 17: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x  với x  0. x
A. m  2.
B. m  4.
C. m  6.
D. m  10. Lời giải Chọn C. 3 2x  4 4 2 2
Ta có f x 2 2 
 2x   2x   . x x x x 2 2 2 2
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 2 2 3 3 2x  
 3 2x . .  3 8  6. x x x xx  0  Dấu "  " xảy ra  
2  x  1. Vậy m  6. 2 2x   x 4 x  3
Câu 18: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x  với x  0. x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 301
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 13 19
A. m  4.
B. m  6. C. m  . D. m  . 2 2 Lời giải Chọn A. 4 x  3 3 1 1 1
Ta có f x 3 3 
x   x    . x x x x x 1 1 1 1 1 1
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 3 3 4 x
   4 x . . .  4  f x  4. x x x x x xx  0  Dấu "  " xảy ra  
1  x  1. Vậy m  4. 3 x   x  1 3
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x  6x  35x  2 với x   ;   Câu 19:  2 2
A. M  0.
B. M  24.
C. M  27.
D. M  30. Lời giải Chọn C. a b2
Áp dụng bất đẳng thức hệ quả của Côsi ab  , ta được 4 2   x    x
f x  32x   1 5  2x 2 1 5 2   3.
 27  f x  27. 4  1 5   x
Dấu "  " xảy ra   2 2
x  1. Vậy M  27.
2x 1 5 2x x Câu 20:
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x 1 với x 1. x 1
A. M  0. B. M  . C. M  1. M  2 D. 2. Lời giải Chọn B. x 1 x  1 x 1
Ta có f x    x x 1  1  x1 . 2 1 2 2
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có  x 1 1  2  x 1 .1  2 x 1.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 302
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133    f xx 1 1   . 2 x 1 2 1
Dấu "  " xảy ra  x  2. Vậy M  . 2 x
Câu 21: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x  với x  0. 2 x  4 1 1 A. M  . B. M  . C. M  1. M  4 D. 2. 2 Lời giải Chọn A.
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 2 2
x  4  2 x .4  4x   1 f xx 1 
 . Dấu "  " xảy ra  x  2. Vậy M  . 4x 4 4 x
Câu 22: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x  với x  0.  x  2 1 1 1
A. M  0. B. M  . C. M  . D. M  1. 4 2 Lời giải Chọn B. Ta có   x x f x   . x  2 2 1 x  2x  1
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 2 2 2
x  1  2 x .1  2x 
x  2x 1  4x   1 f xx 1 
 . Dấu "  " xảy ra  x  1. Vậy M  . 4x 4 4    
Câu 23: Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M f x x x của hàm số   3 6
A. m  2, M  3
B. m  3, M  3 2.
C. m  2, M  3 2.
D. m  3, M  3. Lời giải Chọn B. x  3  0 Hàm số xác định khi   3
  x  6 nên TXĐ D   3  ;6. 6  x  0 Ta có 2
f x  9  2  x  36  x .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 303
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
 Vì 3  x6  x  0, x
 3;6 nên suy ra 2
f x  9 
f x  3.
Dấu ''  '' xảy ra  x  3
 hoặc x  6. Vậy m  3.
 Lại có 2 3  x6  x  3  x  6  x  9 nên suy ra 2
f x  18 
f x  3 2. 3
Dấu ''  '' xảy ra  x  3  6  x x  . Vậy M  3 2. 2
Vậy m  3, M  3 2.
Câu 24: Tìm giá trị nhỏ nhất m f x x    x
và lớn nhất M của hàm số   2 4 8
A. m  0, M  4 5.
B. m  2, M  4.
C. m  2, M  2 5.
D. m  0, M  2 2. Lời giải Chọn C. x  4  0 Hàm số xác định khi 
 4  x  8 nên TXĐ D  4;  8 . 8   x  0  Ta có 2
f x  3x  8  4  x  48  x  3 x  4  4  x  48  x  4. x  4  0  Vì  , x  4;8 nên suy ra 2
f x  4 
f x  4.
  x  48  x  0 
Dấu ''  '' xảy ra  x  4. Vậy m  2.
 Với x 4; 
8 , áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có   4 16 16 8 x 4
x   x  4   2 x  4.  .   1 5 5 5 5   44 4 4 4 8
  8    2 8  . x x x x  . 2 5 5 x 5
8 x  4  4 8  x 4 44 Lấy  
1  2 theo vế, ta được  x    x  8. 5 5 5
8 x  4  4 8  x 4 f x Suy ra  8 
 8  f x  2 5. 5 5 36
Dấu "  " xảy ra  x
. Vậy M  2 5. 5
Vậy m  2, M  2 5.    
Câu 25: Tìm giá trị nhỏ nhất m f x x x của hàm số   7 2 3 4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 304
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 87
A. m  3.
B. m  10.
C. m  2 3. D. m  . 3 Lời giải Chọn D. 7  2x  0 4 7  4 7  Hàm số xác định khi 
   x  nên TXĐ D   ; . 3    x  4  0 3 2  3 2 2 Ta có 2
y   7  2x  3x  4   7  2x  2 7  2x3x  4  3x  4 x  
  x x   1   x   
  x x   29 11 2 7 2 3 4 3 4 2 7 2 3 4  . 3 3 3  x  4  0   4 7  29 87 Vì  nên suy ra 2 f x  
f x  .   x    7 2  
x3x  4 , ;  0  3 2  3 3 4 87
Dấu ''  '' xảy ra  x   . Vậy m  . 3 3   
Câu 26: Tìm giá trị lớn nhất M f x x x của hàm số   2 8 .
A. M  1.
B. M  2.
C. M  2 2.
D. M  4. Lời giải Chọn D.
Ta có f x  x   x 2 2 2 2 2 2 2 8
x  2x 8  x  8  x  8  2x 8  x .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có x
x x    x 2 2 2 2 2 8 8  8 2   f x 2
 8  2x 8  x  8  8  16 
f x  4. 
x   8  x 2 2 2
Dấu ''  '' xảy ra  
x  2. Vậy M  4.  2
2x 8  x  8
Câu 27: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 2
x y xy  3 . Tập giá trị của biểu thức S x y là: A. 0;  3 . B. 0;2 . C.  2;  2. D.  2;   2 . Lời giải Chọn C. x y
Ta có x y xy    x y  2 2 2 2 3  3  xy  . 4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 305
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Suy ra  x y2  4  2  x y  2.
Câu 28: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 2
x y xy  1 . Tập giá trị của biểu thức P xy là:  1 1   1 A. 0;  . B.  1  ;  1 . C. ;1 . D. 1; . 3   3     3   Lời giải Chọn D.
x y xy 113xy  x y2 1 2 2  0  xy   Ta có 3  .
x y xy 1  1 xy  x y2 2 2  0  xy  1  
Câu 29: Cho hai số thực x, y thỏa mãnx y3  4xy  2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S x y là: A. 3 2 . B. 1. C. 8 . D. 3  2 . Lời giải Chọn B.
Với mọi x, y ta có  x y2  4xy . Suy ra  3 2
x y 3   x y2   x y3  4xy  2 hay  x y   x y  2  x y  1.
Câu 30: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 2
x y x y xy . Tập giá trị của biểu thức S x y là: A. 0; . B.  ;0   . C. 4; . D. 0;4 . Lời giải Chọn D. Ta có 2 2
x y x y xy
x y x y xy  x y2  xy  x y2 3
 x y2 1 3
 x y2 2 2 . 4 4 1
Suy ra x y   x y2  0  x y  4. 4
Câu 31: Cho hai số thực x, y 2 2
thỏa mãn x y  3 x y  4  0 . Tập giá trị của biểu thức
S x y là: A. 2;  4 . B. 0;4 . C. 0;2 . D. 2;4 . Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 306
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn D. x y
Từ giả thiết, ta có  x y  2 2 2 3
 4  x y  2
 x y2  6x y  8  0  2  x y  4. 1 4
Câu 32: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y  1. Giá trị nhỏ nhất của S   là: x y A. 4 . B. 5 . C. 9 . D. 2 . Lời giải Chọn C. 1 4  1 4   1 4  4x y 4 Ta có   1.          5    5  2 x . y x y  9.   x yx y   x y y x y x 1 2
Dấu ''  '' xảy ra khi x  ; y  . 3 3
Câu 33: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện 2 2
x y xy x y  3xy . Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức S x y là: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D.
Từ giả thiết, ta có xy x y  x y  3xy .   * Vì x  0, 0
y  nên x y  0 . Do đó   1 1 4
*  x y    3   3 x y x y      
x y 2   x yx y 1 3  4  0 
x y  4  . x y  4 1
Câu 34: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4 4 x y
xy  2 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị xy
lớn nhất của biểu thức P xy lần lượt là: 1 1 A. và 1. B. 0 và 1. D. 1 và 2 . 2 và 1. C. 4 Lời giải Chọn A. 1 Ta có 4 4 2 2
x y  2x y , kết hợp với giả thiết ta được 2 2
xy  2  2x y  . xy
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 307
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1
Đặt xy t  0 , ta được 2 3 2
t  2  2t
 2t t  2t   1  0 t
 t  t   t     t   t   1 1 1 2 1 0 1 2 1  0   t  1. 2
Câu 35: Cho hai số thực a,b thuộc khoảng 0; 1 và thỏa mãn  3 3
a b a b  ab a   1 b  
1  0 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P ab bằng 1 1 1 A. . B. . C. . D. 1. 9 4 3 Lời giải Chọn A  3 3
a b a b Giả thiết 
 1 a1 b.   * ab  3 3
a b a b 2 2   ● a b
   a b  2 ab.2 ab  4 . ab   1 abb a
● 1 a1 b  1 a b  ab  1 2 ab  . ab 2 Từ  
1 , 2 và kết hợp với   * , ta được
4ab  1 2 ab  1
ab  3ab  2 ab  1  0  0  ab  . 9
Câu 36: Cho hai số thực x, y thuộc đoạn 0; 1 và thỏa mãn x y  4x .y Tập giá trị của biểu thức P xy là:  1   1 1 1 A. 0;  1 . B. 0; .  C. 0; . D. ; . 4         3  4 3 Lời giải Chọn D 1
Ta có 4xy x y  2 xy xy  . 4
Do x, y 0; 
1 , suy ra 1 x1 y  0  1  x y  xy  0 .   * 1 Kết hợp  
* và giả thiết, ta được 1 4xy xy  0  xy  . 3
Câu 37: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  2y xy  0 . Giá trị nhỏ nhất của S x  2y là 1 A. 2 . B. 4 . C. 8 . D. . 4 Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 308
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn C 1
1  x y2 2
Từ giả thiết, ta có x  2y xy  . . x 2 y  . 2 2 4
 x  2y x  2y  8  0  x  2y  8  .
Câu 38: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y xy  7 . Giá trị nhỏ nhất của S x  2y là: A. 8 . B. 5 . C. 7 . D. 11. Lời giải Chọn B
Từ giả thiết x y xy  7  2 x   1  y   1  16. 2
1 x  2y  2 
Ta có 16  2 x   1  y   1   x  
1 2y  2     2       x y  2 x 2y 5 2 3  64 
x  2y  5  .
x  2y  1  1
Câu 39: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2x  3y  7. Giá trị lớn nhất của biểu thức P x y xy là: A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn B. 2 2
2x  2  3y  3 7  5 Ta có 6 x   1  y  
1  2x  23y  3        36. 4 4
Suy ra x y xy  5 .
Câu 40: Cho hai số thực 
x, y không âm và thỏa mãn x  2y  12. Giá trị lớn nhất của P xy là: 13 A. . B. 4 . C. 8 . D. 13 . 4 Lời giải Chọn C Từ giả thiết, ta có   2 16
x  4  2y  4x  2 y  2 4 .2 x y .
Suy ra xy  8 . Dấu ''  '' xảy ra khi x  2; 4 y  . 2 2  Câu 41: x y
Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x y và xy  1000 Biết biểu thức F  đạt giá x y x a 2 2  trị nhỏ nhất khi a b  . Tính P  y b 1000
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 309
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
A. P  2.
B. P  3.
C. P  4.
D. P  5. Lời giải Chọn C x y
x  2xy y  2xyx y2 2 2 2 2  2.1000 2.1000 Ta có F     x y  . x y x y x y x y 2.1000 2.1000
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F x y
 2  x y.  40 5. x y x yxy  1000  xy  1000  Dấu "  " xảy ra   2.1000   . x y   0 
x y  20 5  x y 2 2 ab  1000   Vậy 2 a b F  4 5 khi 2 2 
a b  a b  2ab  4000   4. min
a b  20 5 1000
Câu 42: Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x y  3 Tìm giá trị nhỏ nhất mi F n của biểu 1 1
thức F x y   x 2y 1 1 2 A. F  4 . B. F  3 2. F  4 . D. F  4 . min 2 min C. min 3 min 3 Lời giải Chọn A
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương, ta có x 1 x 1 1   y 2 y 2 2 .  2.  1 và   2 .  2. 2 2x 2 2x 4 2 y 2 y 1 2 x yx 1   y 2  3 1
Khi đó F x y         1 2  4 .     2x y 2
 2 2x   2 y  2 2 x y  3  x  1 1
Dấu "  " xảy ra   x 1 y 2   . Vậy F  4 .  ;  min  y  2 2 2 2x 2 y 1
Câu 43: Cho x  8y  0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x  là
y x  8yA. 3, B. 6. C. 8. D. 9. Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 310
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 1
Ta có F x   
  x 8y  8y y x y
y x y . 8 8 1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F  3  x  8y 3 3 .8 . y  
y x y 3 8 6. 8 x  8 1 
Dấu "  " xảy ra  x  8y  8y   
y x  8y 1 . y   2
Câu 44: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y 1  2 x  2  y  3. Tập giá trị của biểu thức
S x y là: A.  1  ;7. B. 3;7 .
C. 3;7   1 . D.  7;  7. Lời giải Chọn C x  2 Điều kiện: 
, suy ra x y  1  0 . y  3 
● Ta có x y 1  2 x  2  y  3 .
4  x  2 4  y  3 x y  9
 2 x  2  2 y  3    2 2 2 x y  9
Suy ra x y 1 
x y  7 . 2
● Lại có x y 1  2 x  2  y  3
 x y  2
1  4x y 1 2 x  2 y  3  4x y   1
x y 1  0
x y 1  0 x y  1 
Suy ra  x y  2
1  4 x y   1    .   
x y 1  
x y 1  
x y  
Câu 45: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a  0,b  0 và f x 2
=ax  bx c  0 với mọi 4a c
x   Tìm giá trị nhỏ nhất  mi
F n của biểu thức F b A. F  1. B. F  2. F  3. F  5. min min C. min D. min Lời giải Chọn B a  0
Do hàm số f x 2 2
ax bx c  0, 4 x        ac b .   0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 311
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 4a c 2 4ac 2 b 2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có b F      2. b b b bc  4a Dấu "  " xảy ra khi 
b c  4 . a 2 b   4ac
Câu 46: Cho ba số thực a,b,c không âm và thỏa mãn 2 2 2
a b c abc  4 . Giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2
S a b c lần lượt là: A. 1 và 3. B. 2 và 4 . C. 2 và 3. D. 3 và 4 . Lời giải Chọn D Từ giả thiết suy ra 2 2 2
a b c  4. Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4  a b c abc a b c a b c .
a b c 3 2 2 2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2 2 2  a b c . 27
a b c 3 2 2 2  3 2 2 2 Từ đó suy ra 4  S
a b c  hay
 4  S  3  S  4. 27 27 1 Câu 47: x y z
Cho ba số thực dương x, y, z . Biểu thức P   2 2 2
x y z     có giá trị 2 yz zx xy nhỏ nhất bằng: 11 5 9 A. . B. . C. . D. 9 . 2 2 2 Lời giải Chọn C.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2 y z 2 y z 2 x z 2    3. x y x 3 x . .  3; y    3; z    3. zx xy zx xy yz xy yz zx  
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên, ta được 2 2 2    2 x y z x y z    9   .  yz zx xy  9 9
Suy ra P  . Khi x y z  1 thì P  . 2 2
Câu 48: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z  3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3
P x y z   3 3 3 3 x y z  bằng: 11 A. 12 . B. 3 . C. 5 . D. . 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 312
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn A
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 3 3 3 3 x x x x  4x hay 3 3
x  3 x  4x . Tương tự: 3 3
y  3 y  4 y và 3 3
z  3 z  4z . Suy ra 3 3 3
P x y z   3 3 3 3 x y
z   4 x y z  12.
Khi x y z  1 thì P  12.
Câu 49: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z  2 . Giá trị lớn nhất của biểu
thức P x y y z z x bằng: 3 A. 3 . B. . C. 2 3 . D. 1. 3 Lời giải Chọn C
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 4 4 4 x y y z z x   4 3 4 3 x y  4 3 . 
;  y z. 
và  z x.  . 3 2 3 2 3 2 4 4 4
Suy ra  x y.   y z.   z x.  x y z  2  4. 3 3 3 2
Do đó P x y y z z x  2 3. Khi x y z  thì P  2 3. 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 313
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
1. Bất phương trình một ẩn
Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng
f (x ) < g(x ) ( f (x ) £ g(x )) ( ) 1
trong đó f (x) và g(x) là những biểu thức của x.
Ta gọi f (x) và g(x) lần lượt là vế trái của bất phương trình ( )
1 . Số thực x sao cho 0 f (x < £
là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình ( ) 1 . 0 )
g(x0 ) ( f (x0 ) g(x0 ))
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. Chú ý: Bất phương trình ( )
1 cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x)> f (x) (g(x)³ f (x)).
2. Điều kiện của một bất phương trình
Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f (x) và g(x) có nghĩa là điều
kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình ( ) 1 .
3. Bất phương trình chứa tham số
Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem
như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét
xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng.
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một
nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.
III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình tương đương
Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương
đương và dùng kí hiệu "  " để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với
nhau và dùng kí hiệu "  " để chỉ sự tương đương đó.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 314
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
2. Phép biến đổi tương đương
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương
trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình)
đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép
biến đổi tương đương. 3. Cộng (trừ)
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của
bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P (x ) < Q(x )  P (x )+ f (x ) < Q(x )+ f (x ) 4. Nhân (chia)
Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không
làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân
(chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay
đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P (x ) < Q(x )  P (x ). f (x ) < Q(x ). f (x ), f (x ) > 0, "x
P (x ) < Q(x )  P (x ). f (x ) > Q(x ). f (x ), f (x ) < 0, "x 5. Bình phương
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện
của nó ta được một bất phương trình tương đương.
P (x ) < Q (x ) 2  P (x) 2
< Q (x), P (x)³ 0, Q(x)³ 0, "x 6. Chú ý
Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những điều sau
1) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình
có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x
thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
2) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x)<Q(x) với biểu thức f (x) ta cần lưu ý đến điều
kiện về dấu của f (x). Nếu f (x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng
trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình.
3) Khi giải bất phương trình P(x)<Q(x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp
a) P(x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.
b) P(x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết
P (x ) < Q(x )  -Q(x ) < -P (x )
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 315
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Điều kiện xác định của bất phương trình 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 1 3
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình  x 1 x  2 Lời giải x 1  0 x  1
Điều kiện của bất phương trình là:    . x  2  0 x  2 
Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của của bất phương trình Lời giải x  4 
 x 1 3  0  x  4 
Điều kiện xác định của BPT :   x  2   . 2  x  0  x  2 x  2 
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x -m - 6-2x có tập xác định
là một đoạn trên trục số. Lời giải ìïx -m ³ 0 ìï ³ Hàm số xác định khi x m ï ï í  í . 6 ï -2x ³ 0 ïx £ 3 ïî ïî
 Nếu m = 3 thì tập xác định của hàm số là D = { } 3 .
 Nếu m > 3 thì tập xác định của hàm số là D = . Æ
 Nếu m < 3 thì tập xác định của hàm số là D =[m;3].
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 2- x + x < 2 + 1-2x. æ ù é ù A. x Î .  B. x Î(- ;2 ¥ ]. C. 1 x Î ç- ç ; ¥ ú. ç D. 1 x Î ê ;2ú . è 2 úû ê2 ú ë û Lời giải Chọn C. ìïx £ 2 2 ìï - x ³ 0 ï
Bất phương trình xác định khi ï ï 1 í  í 1  x £ . 1 ï -2x ³ 0 ïî ïx £ 2 ïïî 2 Câu 2: x -
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 1 x + > 2 - 4 - x. x + 5
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 316
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. x Î[ 5; - 4]. B. x Î( 5; - 4]. C. x Î[4;+ ) ¥ . D. x Î(- ; ¥ - ) 5 . Lời giải Chọn B. ìïx +5 > 0 ìïx > -5
Bất phương trình xác định khiï ï í  í  5 - < x £ 4. ï4 - x ³ 0 ïx £ 4 ïî ïî Câu 3: x +1
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình < x +1. (x -2)2 A. x Î[ 1; - + ) ¥ . B. x Î( 1; - + ) ¥ . C. x Î[ 1; - + ) ¥ \ {2}. D. x Î( 1; - + ) ¥ \ {2}. Lời giải Chọn C. ìï x +1 ï ³ 0 ï ìïx +1³ 0 ìïx ³-1
Bất phương trình xác định khi ïí( ï ï x - 2)2  í  í . ï ïx -2 ¹ 0 ïx ¹ 2 ï ïî ïî ïx -2 ¹ 0 ïî
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m -2x - x +1 có tập xác định
là một đoạn trên trục số. A. m < -2. B. m > 2. C. 1 m > - . D. m > -2. 2 Lời giải Chọn D. ìï m ìï - ³ ï
Hàm số xác định khi m 2x 0 x £ ï ï í  í 2 . ïx +1³ 0 ï ïî ïïx ³-1 î
 Nếu m = -1  m = -2 thì tập xác định của hàm số là D = {- } 1 . 2  Nếu m < 1 -  m < 2
- thì tập xác định của hàm số là D = . Æ 2  é ù Nếu m > -1  m
m > -2 thì tập xác định của hàm số là D = ê-1; ú. 2 ê 2 ú ë û
Dạng 2. Cặp bất phương trình tương đương 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Bất phương trình 3 3 2x + < 5 + tương đương với: 2x - 4 2x - 4 A. 2x < 5. B. 5 x < và x ¹ 2 . 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 317
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 5 x < .
D. Tất cả đều đúng. 2 Lời giải Chọn B.
Điều kiện: x ¹ 2. Bất phương trình tương đương với: 5
2x < 5  x < kết hợp với điều kiện 2 ta có 5 x < và x ¹ 2 . 2
Ví dụ 3: Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?
A. x -2 £ 0 và 2 x (x -2) £ 0.
B. x -2 < 0 và 2
x (x -2) > 0. C. 2 2
x - 2 < 0 và x (x - 2) < 0.
D. x -2 ³ 0 và x (x -2)³ 0. Lời giải Chọn A.
Ta xét từng bất phương trình trong đáp án A:
x - 2 £ 0  x £ 2. 2
x (x - 2) £ 0  x £ 2.
Cả hai bất phương trình có cùng tập nghiệm nên chúng tương đương.
Ví dụ 4: Với giá trị nào của a thì hai bất phương trình (a + )
1 x -a + 2 > 0 và (a – )
1 x -a +3 > 0 tương đương: A. a = 1.
B. a = 5. C. a = -1. D. a = 2. Lời giải Chọn B.
Phương pháp trắc nghiệm: Thay lần lượt từng đáp án vào hai phương trình. ì(ïïa+ ï ) 1
1 x -a + 2 > 0 ¾¾
2x +1> 0 « > - ● Thay x ï a = 1 , ta được í 2 . Không thỏa. (
ïïï a– )1x -a+3>0 ¾¾0x +2>0 « x Î ïî  ì(ïïa+ ) 1
1 x -a + 2 > 0 ¾¾
6x -3 > 0 « x > ï ● Thay ï 2 a = 5 , ta được í . ï(ïïa ) 1
– 1 x -a + 3 > 0 ¾¾
 4x -2 > 0 « x > ïïî 2
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Bất phương trình 3 3 2x + < 3 + tương đương với 2x - 4 2x - 4 A. 2x < 3. B. 3 x < và x ¹ 2 . 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 318
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. 3 x < .
D. Tất cả đều đúng. 2 Lời giải Chọn D.
Điều kiện: x ¹ 2 . Bất phương trình tương đương với: 3
2x < 3  x < (thỏa mãn điều kiện). 2
Câu 2: Bất phương trình 2x -1³ 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây? A. 1 1 2x -1+ ³ . B. 1 1 2x -1- ³ - . x - 3 x - 3 x + 3 x + 3 C. ( - 2 x x - )
1 x -2018 ³ x -2018. D. 2 1 1 ³ . x - 2018 x - 2018 Lời giải Chọn B.
Nếu ta cộng 1 vào hai vế bất phương trình 2x -1³ 0 thì điều kiện của bất phương x -3
trình sẽ thay đổi suy ra đáp án A sai.
Tương tự nếu ta nhân hoặc chia hai vế bất phương trình đã cho với x -2018 thì điều
kiện của bất phương trình ban đầu cũng sẽ thay đổi suy ra đáp án C và D sai.
Câu 3: Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x + 5 > 0 ? A. (x )2 – 1 (x + 5)> 0. B. 2
x (x + 5) > 0.
C. x +5(x + ) 5 > 0.
D. x +5(x - ) 5 > 0. Lời giải Chọn C.
Bất phương trình x +5 > 0  x > -5. ìïx ¹1 Bất phương trình( ï x – )2 1 (x + 5)> 0  í . Đáp án A sai. ïx > -5 ïî ìïx ¹ 0 Bất phương trình 2 ï
x (x + 5) > 0  í . Đáp án B sai. ïx > -5 ïî
Bất phương trình x +5(x +5)> 0  x > -5.
Câu 4: Bất phương trình (x + ) 1
x £ 0 tương đương với
A. x (x + )2 1 £ 0 . B. (x + ) 1 x < 0 C. (x + )2 1 x £ 0. D. (x + )2 1 x < 0 Lời giải Chọn C.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 319
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Bất phương trình (x + ) 1
x £ 0 có điều kiện x ³ 0  (x + ) 1
x £ 0  x = 0. é = -
Ta có: x (x + )2 £  x (x + )2 x 1 1 0 1 = 0  ê . Đáp án A sai. êx = 0 ë Ta có: (x + ) 1
x < 0 vô nghiệm vì từ điều kiện x ³ 0  (x + ) 1
x ³ 0 . Đáp án B sai. Ta có: (x + )2 1
x £ 0  x = 0.
Câu 5: Bất phương trình x -1 ³ x tương đương với
A. (1-2x) x -1 ³ x (1-2x). B. (2x + ) 1 x 1 - ³ x (2x + ) 1 . C. ( 2
- x ) x - ³ x ( 2 1 1 1- x ). D. 2 x x -1 £ x . Lời giải Chọn B. ìïx ³1 ìïx ³1 Bất phương trình ï ï x -1 ³ x ¾¾ í  í  x Î . Æ 2 2 ïx -1³ x ïx - x +1£ 0 ïî ïî ìïx ³ 1 ìïx ³ 1 Ta có: (1 2 ï ï
- x) x -1 ³ x (1-2x) í  í
x ³ 1. Đáp án A sai. 2
ïï x -1 £ x ïx -x +1³ 0 î ïî ìïx ³ 1 ìïx ³ 1 Ta có: (2 ï ï x + ) 1 x -1 x ³ (2x + ) 1 í í  x Î . Æ 2
ïï x -1 ³ x ïx -x +1 £ 0 î ïî
Câu 6: Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình (m +2)x £ m +1 và 3m(x - ) 1 £ x - -1 tương đương: A. m = -3.
B. m = -2. C. m = -1. D. m = 3. Lời giải Chọn D.
Viết lại (m + 2)x £ m + 1 ( ) 1 và (3m + )
1 x £ 3m - 1 (2). (
ìï m +2)x £ m +1 ¾¾
-x £ -2 « x ³ 2 ï ● Thay ï m = -3 , ta được í . Không thỏa mãn. ( ïï m + ) 5 3
1 x £ 3m -1 ¾¾ 8
- x £ -10 « x ³ ïïî 4
● Thay m = -2 thì hệ số của x ở ( )
1 bằng 0 , hệ số của x ở (2) khác 0 . Không thỏa mãn.
● Thay m = -1 thì hệ số của x ở ( )
1 dương, hệ số của x ở (2) âm. Suy ra nghiệm của hai
bất phương trình ngược chiều. Không thỏa.
Đến đây dùng phương pháp loại trừ thì chỉ còn đáp án D. ì(ïïm + ) 4 2 x £ m +1 ¾¾
5x £ 4 « x £ ï ● Thay ïï 5 m = 3 , ta được í . ï(ïï m + ) 4 3
1 x £ 3m -1 ¾¾
10x £ 8 « x £ ïïî 5
Câu 7: Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình (m +3)x ³ 3m -6 và (2m - )
1 x £ m + 2 tương
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 320
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 đương: A. m = 1.
B. m = 0. C. m = 4. D.
m = 0 hoặc m = 4. Lời giải Chọn B.
Thay m =1, thì hệ số của x ở ( )
1 dương, hệ số của x ở (2) dương. Suy ra nghiệm của hai
bất phương trình ngược chiều. Không thỏa. (
ìï m +3)x ³ 3m -6 ¾¾ 3x ³ 6 - « x ³ 2 - Thay ï m = 0 , ta được í
. Ta thấy thỏa mãn nhưng chưa ( ïï 2m - )
1 x £ m + 2 ¾¾ x - £ 2 « x ³ 2 - ïî
đủ kết luận là đáp án B vì trong đáp án D cũng có m = 0 . Ta thử tiếp m = 4 .
Thay m = 4 , thì hệ số của x ở ( )
1 dương, hệ số của x ở (2) dương. Suy ra nghiệm của hai
bất phương trình ngược chiều. Không thỏa mãn.
Vậy với m = 0 thỏa mãn.
Dạng 3. Bất phương trình bậc nhất một ẩn 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 2x  5 x  3
Ví dụ 1: Giải bất phương trình  3 2 Lời giải
Bất phương trình đã cho  22x  5  3 x  3  4x 10  3x  9  x 1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1;  .
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2  x  3x 1  6 có tập nghiệm là Lời giải
2  x  7  3x
Ta có : 2  x  3x 1  6  2  x  7  3x  2  x  7   3x  7  3x  0  5  2  5 x x  2    4  x  9   9 9  
 x   x  .  7 4 4  x    7  3 x   3
Ví dụ 3: Bất phương trình 2 m ( x - ) ³ ( 2 4 2 1
4m + 5m + 9)x -12m nghiệm đúng với mọi x khi A. m = -1. B. 9 m = . C. m = 1. D. 9 m = - . 4 4 Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 321
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn B.
Bất phương trình tương đương với ( 2 m - m - ) 2 4 5
9 x ³ 4m -12m . m ìï ¹ -1 ï Dễ dàng thấy nếu 2 4 ï
m - 5m - 9 ¹ 0  í
9 thì bất phương trình không thể có nghiệm ï m ¹ ïïî 4
đúng với mọi x Î  .
Với m = -1 bất phương trình trở thành 0x ³16 : vô nghiệm. Với 9 m =
bất phương trình trở thành 27 0x ³ -
: nghiệm đúng với mọi x Î  . 4 4
Vậy giá trị cần tìm là 9 m = . 4
Ví dụ 4: Bất phương trình 2 m (x - )
1 ³ 9x + 3m nghiệm đúng với mọi x khi
A. m = 1. B. m = -3. C. m = . Æ D. m = -1. Lời giải Chọn B.
Bất phương trình tương đương với ( 2 m - ) 2
9 x ³ m + 3m. Dễ dàng thấy nếu 2
m -9 ¹ 0  m ¹ 3
 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng "x Î 
Với m = 3 bất phương trình trở thành 0x > 18 : vô nghiệm
Với m = -3 bất phương trình trở thành 0x ³ 0 : nghiệm đúng với mọi x Î . 
Vậy giá trị cần tìm là m = -3.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Bất phương trình ax + b > 0 vô nghiệm khi: ìï ¹ ìï > ìï = ìï = A. a 0 ï a a a í . B. 0 ïí . C. 0 ïí . D. 0 ïí . b ï = 0 ïî b ï > 0 ïî b ï ¹ 0 ïî b ï £ 0 ïî Lời giải Chọn D. æ ö Nếu b b
a > 0 thì ax + b > 0  x > - nên S = ç- ç ; ÷ +¥÷ ¹ Æ ç ÷ . a è a ø æ ö Nếu b
a < 0 thì ax + b > 0  x < - nên = ç- ç ; b S ÷ ¥ - ÷ ¹ Æ ç ÷ . a è aø
Nếu a = 0 thì ax +b > 0 có dạng 0x +b > 0
Với b > 0 thì S = . 
Với b £ 0 thì S = . Æ
Câu 2: Bất phương trình ax +b > 0 có tập nghiệm là  khi:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 322
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï = ìï > ìï = ìï = A. a 0 ï a a a í . B. 0 ïí . C. 0 ïí . D. 0 ïí . b ï > 0 ïî b ï > 0 ïî b ï ¹ 0 ïî b ï £ 0 ïî Lời giải Chọn A. æ ö Nếu b b
a > 0 thì ax + b > 0  x > - nên S = ç- ç ; ÷ +¥÷ ¹ Æ ç ÷ . a è a ø æ ö Nếu b
a < 0 thì ax + b > 0  x < - nên = ç- ç ; b S ÷ ¥ - ÷ ¹ Æ ç ÷ . a è aø
Nếu a = 0 thì ax +b > 0 có dạng 0x +b > 0
Với b £ 0 thì S = . Æ
Với b > 0 thì S = . 
Câu 3: Bất phương trình ax +b £ 0 vô nghiệm khi: ìï = ìï > ìï = ìï = A. a 0 ï a a a í . B. 0 ïí . C. 0 ïí . D. 0 ïí . b ï > 0 ïî b ï > 0 ïî b ï ¹ 0 ïî b ï £ 0 ïî Lời giải Chọn A. æ ù Nếu b
a > 0 thì ax + b £ 0  x £ - nên = ç- ç ; b S ¥ - ú ¹ Æ . a çè a úû é ö Nếu b b
a < 0 thì ax + b £ 0  x ³ - nên S = - ; ÷ ê +¥÷ ¹ Æ ÷ . a ê a ø ë
Nếu a = 0 thì ax +b £ 0 có dạng 0x +b £ 0
Với b £ 0 thì S = . 
Với b > 0 thì S = . Æ Câu 4: Tập nghiệm x
S của bất phương trình 2 5x -1 ³ + 3 là: 5 æ ö é ö A. S = .  B. S = (- ;2 ¥ ). C. 5 S = ç- ç ;+¥ . ÷÷ ÷ ç D. 20 S = ê ;+¥ . ÷ è 2 ÷ø 23 ÷ ê ø ë Lời giải Chọn D. Bất phương trình 2 20 5 1 x x - ³
+ 3  25x -5 ³ 2x +15  23x ³ 20  x ³ . 5 23 Câu 5: + +
Bất phương trình 3x 5 x 2 -1 £
+ x có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn -10 ? 2 3 A. 4. B. 5. C. 9. D. 10. Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 323
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn B.
Bất phương trình 3x +5 x + 2 -1 £
+ x  9x +15-6 £ 2x + 4 + 6x x £ -5. 2 3 Vì x Î ,
 -10 < x £ -5 nên có 5 nghiệm nguyên
Câu 6: Tập nghiệm S của bất phương trình (1- 2)x < 3-2 2 là: A. S = (- ;1 ¥ - 2). B. S = (1- 2;+ ) ¥ . C. S = .  D. S = . Æ Lời giải Chọn B. 3 2 2 ( - - )2 1 2
Bất phương trình (1- 2)x < 3-2 2  x > = = 1- 2. 1- 2 1- 2
Câu 7: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x (2-x)³ x (7-x)-6(x - ) 1 trên đoạn [ 10 - ;10] bằng: A. 5. B. 6. C. 21. D. 40. Lời giải Chọn D.
Bất phương trình x (2- x)³ x (7- x)-6(x - ) 1 2 2 x [ Î 10 - ;10]
 2x - x ³ 7x - x -6x + 6  x ³ 6 ¾¾¾¾ x Î {6;7;8;9;10} . x Î
Câu 8: Bất phương trình ( x - )(x + )- x + £(x - )(x + ) 2 2 1 3 3 1 1
3 + x -5 có tập nghiệm æ ö é ö A. 2 S = ç- ç ; ¥ - . ÷÷ ÷ ç B. 2 S = ê- ;+¥ . ÷ C. S = .  D. S = . Æ è 3÷ø 3 ÷ ê ø ë Lời giải Chọn D.
Bất phương trình ( x- )(x+ )- x+ ( £ x- )(x+ ) 2 2 1 3 3 1 1 3 +x 5 - tương đương với 2 2 2
2x +5x -3-3x 1
+ £ x +2x -3+x -5  0.x £ 6
-  x Îƾ¾ S  = . Æ
Câu 9: Tập nghiệm S của bất phương trình 5(x + )
1 - x ( 7 - x)> 2 - x là: æ ö æ ö A. S = .  B. 5 S = ç- ç ;+¥ . ÷÷ = ç ÷ ç C. 5 S - ç ; ¥ ÷. D. S = . Æ è 2 ÷ø çè 2÷ø Lời giải Chọn A.
Bất phương trình 5(x + )
1 - x ( 7 - x)> 2
- x tương đương với:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 324
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 2
5x +5-7x + x > 2
- x x +5 > 0  x Î  ¾¾ S = . 
Câu 10: Tập nghiệm 2 2 2
S của bất phương trình (x - ) +(x - ) 2 1
3 +15 < x +(x - 4) là: A. S = (- ;0 ¥ ). B. S = (0;+ ) ¥ . C. S = .  D. S = . Æ Lời giải Chọn D.
Bất phương trình tương đương 2 2 2 2
x -2x +1+ x -6x + 9 +15 < x + x -8x +16
 0.x < -9 : vô nghiệm ¾¾ S = Æ .
Câu 11: Tập nghiệm S của bất phương trình x + x <(2 x + ) 3 ( x - ) 1 là: A. S = (- ;3 ¥ ). B. S = (3;+ ) ¥ . C. S =[3;+ ) ¥ . D. S = (- ;3 ¥ ]. Lời giải Chọn B.
Điều kiện: x ³ 0.
Bất phương trình tương đương
x + x < 2x - 2 x + 3 x -3  x - < 3 -  x > 3 ¾¾ S = (3;+ ) ¥
Câu 12: Tập nghiệm S của bất phương trình x + x -2 £ 2 + x -2 là: A. S = . Æ B. S = (- ;2 ¥ ]. C. S = {2}. D. S =[2;+ ) ¥ . Lời giải Chọn C.
Điều kiện: x ³ 2. Bất phương trình tương đương x £ 2 ¾¾  x = 2 . Câu 13: x -
Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình 2 4 £ bằng: x - 4 x - 4 A. 15 . B. 11 . C. 26 . D. 0 . Lời giải Chọn B.
Điều kiện: x > 4. Bất phương trình tương đương :
x - 2 £ 4  x £ 6  4 < x £ 6, x Î   x = 5; x = 6 ¾¾ S = 5 + 6 = 11.
Câu 14: Tập nghiệm S của bất phương trình (x - ) 3 x -2 ³ 0 là: A. S =[3;+ ) ¥ .
B. S = (3;+¥) .
C. S = {2}È[3;+ ) ¥ .
D. S = {2}È(3;+ ) ¥ . Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 325
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn C.
Điều kiện: x ³ 2. é - = é =
Bất phương trình tương đương với x 2 0 x 2 ê  ê . ê êx -3 ³ 0 êx ³ 3 ë ë
Câu 15: Bất phương trình (m - )
1 x > 3 vô nghiệm khi A. m ¹ 1. B. m <1. C. m = 1.
D. m >1. Lời giải Chọn C.
Rõ ràng nếu m ¹ 1 bất phương trình luôn có nghiệm.
Xét m = 1 bất phương trình trở thành 0x > 3 : vô nghiệm.
Câu 16: Bất phương trình ( 2
m - 3m )x + m < 2 - 2x vô nghiệm khi A. m ¹ 1. B. m ¹ 2.
C. m =1,m = 2. D. m Î .  Lời giải Chọn C.
Bất phương trình tương đương với ( 2
m - 3m + 2)x < 2 - m . ìï ¹ Rõ ràng nếu m 1 2 ï
m - 3m + 2 ¹ 0  í
bất phương trình luôn có nghiệm. ïm ¹ 2 ïî
Với m = 1 bất phương trình trở thành 0x <1 : vô nghiệm.
Với m = 2 bất phương trình trở thành 0x < 0 : vô nghiệm. Câu 17: 2 2
Tập nghiệm S của bất phương trình (x + 3) ³(x - 3) +2 là: é ö æ ö æ ù æ ö A. 3 ÷ ç ÷ ç ç ÷ S ê = ;+ ÷ ¥÷. = ç + ÷ = ç ú = ç-¥ ÷ ê B. 3 S ; ¥ ç ÷. C. 3 S - ; ¥ . ç ú D. 3 S ; ç ÷. ê 6 ÷ø ç ÷ ç ÷ ë è 6 ÷ø çè 6 úû è 6 ø Lời giải Chọn A.
Bất phương trình (x + )2 ³(x - )2 3 3 + 2 tương đương với: 3 é 3 ö 2 2 ÷
x + 2 3x + 3 ³ x - 2 3x + 3 + 2  4 3x ³ 2  x ³ ¾¾ S ê = ;+ ÷ ¥÷. 6 ê ê 6 ÷ø ë
Câu 18: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình ( 2
m - m)x < m vô nghiệm. A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn B.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 326
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï ¹ Rõ ràng nếu m 1 2 ï
m - m ¹ 0  í
bất phương trình luôn có nghiệm. m ï ¹ 0 ïî
Với m = 1 bất phương trình trở thành 0x <1 : nghiệm đúng với mọi x Î  .
Với m = 0 bất phương trình trở thành 0x < 0 : vô nghiệm
Câu 19: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ( 2
m - m)x + m < 6x - 2 vô nghiệm. Tổng các phần tử trong S bằng: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B.
Bất phương trình tương đương với ( 2
m - m - 6)x < -2 - m . ìï ¹ - Rõ ràng nếu m 2 2 ï
m - m - 6 ¹ 0  í
bất phương trình luôn có nghiệm. ï m ¹ 3 ïî
Với m = -2 bất phương trình trở thành 0x < 0 : vô nghiệm.
Với m = 3 bất phương trình trở thành 0x < -5 : vô nghiệm. Suy ra S = { 2; - } 3 ¾¾ 2 - +3 =1.
Câu 20: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình mx -2 £ x -m vô nghiệm. A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn A.
Bất phương trình tương đương với (m - ) 1 x £ 2 - . m
Rõ ràng nếu m ¹ 1 bất phương trình luôn có nghiệm.
Xét m = 1 bất phương trình trở thành 0x £1 : nghiệm đúng với mọi x .
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 21: Bất phương trình ( 2
m + 9)x + 3 ³ m (1- 6x ) nghiệm đúng với mọi x khi A. m ¹ 3. B. m = 3. C. m ¹ -3. D. m = -3. Lời giải Chọn D.
Bất phương trình tương đương với (m + )2 3 x ³ m -3 .
Với m = -3 bất phương trình trở thành 0x 6
³- : nghiệm đúng với mọi x Î  .
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (x +m)m + x > 3x +4 có tập nghiệm là ( m - -2;+ ) ¥ . A. m = 2. B. m ¹ 2. C. m > 2. D. m < 2.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 327
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn C.
Để ý rằng, bất phương trình ax +b > 0 (hoặc < 0, 0, ³ 0 £ ) ● Vô nghiệm (S = )
Æ hoặc có tập nghiệm là S =  thì chỉ xét riêng a = 0.
● Có tập nghiệm là một tập con của  thì chỉ xét a > 0 hoặc a < 0.
Bất phương trình viết lại (m - ) 2 2 x > 4 -m . 2 Xét 4 -m
m - 2 > 0 « m > 2 , bất phương trình  x > = m - -2  S = ( m - - ; 2 +¥) . m - 2
Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m(x -m)³ x -1 có tập nghiệm là ( ; -¥ m + ] 1 . A. m = 1. B. m >1. C. m <1. D. m ³1. Lời giải Chọn C.
Bất phương trình viết lại (m - ) 2 1 x ³ m -1. 2 Xét m -1
m -1 > 0 « m > 1 , bất phương trình  x ³ = m +1 ¾ ¾ S = [m +1; ) +¥ . m -1 2 Xét m -1
m -1 < 0 « m < 1 , bất phương trình  x £ = m +1 ¾ ¾ S = (- ; ¥ m + ] 1 . m -1
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m(x - )
1 < 2x -3 có nghiệm. A. m ¹ 2 . B. m > 2 . C. m = 2 . D. m < 2 . Lời giải Chọn A.
Bất phương trình viết lại (m -2)x < m -3 .
● Rõ ràng m -2 ¹ 0 « m ¹ 2 thì bất phương trình có nghiệm.
● Xét m -2 = 0 « m = 2 , bất phương trình trở thành 0x < -1 (vô lí).
Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ¹ 2 .
Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m(x - )
1 < 3- x có nghiệm. A. m ¹ 1 . B. m = 1 . C. m Î  . D. m ¹ 3 . Lời giải Chọn C.
Bất phương trình viết lại (m + ) 1 x < m +3 .
Rõ ràng m +1 ¹ 0 thì bất phương trình có nghiệm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 328
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Xét m +1 = 0 « m = -1 , bất phương trình trở thành 0x < 2 (luôn đúng với mọi x ).
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi m .
Câu 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ( 2
m + m - 6)x ³ m +1 có nghiệm. A. m ¹ 2 .
B. m ¹ 2 và m ¹ 3 . C. m Î  .
D. m ¹ 3 . Lời giải Chọn A. Rõ ràng 2
m + m -6 ¹ 0 thì bất phương trình có nghiệm. ém = 2 ¾¾ 0x ³ 3 ¾¾  = Æ Xét S 2 m + m - 6 0 ê = « . ê êm = 3 - ¾¾ 0x ³ 2 - ¾¾ S = ë 
Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm khi m ¹ 2 .
Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2
m x -1 < mx + m có nghiệm. A. m = 1. B. m = 0 . C. m = 0; 1 m = . D. m Î  . Lời giải Chọn D.
Bất phương trình viết lại ( 2
m - m)x < m +1 . Rõ ràng 2
m -m ¹ 0 thì bất phương trình có nghiệm. ém = 0 ¾¾ 0x <1 ¾¾  =  Xét S 2 m - m 0 ê = « . ê êm = 1 ¾¾ 0x < 2 ¾¾ S = ë 
Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm với mọi m Î  .
Câu 28: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình mx + 6 < 2x +3m với m < 2 . Hỏi tập hợp nào
sau đây là phần bù của tập S ? A. (3; ) +¥ . B. [3; ) +¥ . C. ( ;3 -¥ ) . D. ( ;3 -¥ ] . Lời giải Chọn D.
Bất phương trình tương đương với (m -2)x < 3m -6. Với 3m -6
m < 2 , bất phương trình tương đương với x > = 3 ¾¾ S = (3;+¥) m - 2
Suy ra phần bù của S là ( ;3 -¥ ].
Câu 29: Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình m(2x - )
1 ³ 2x +1 có tập nghiệm là [1; ) +¥ .
A. m = 3 B. m = 1 C. m = -1 D. m = -2. Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 329
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn A.
Bất phương trình tương đương với (2m -2)x ³ m +1.
· Với m = 1 , bất phương trình trở thành 0x ³ 2 : vô nghiệm. Do đó m = 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. + é + ö · Với m m ÷
m > 1 , bất phương trình tương đương với 1 1 x ³ ¾¾ S = ê ;+¥÷. 2 ÷ m - 2 êë2m -2 ø Do đó yêu cầu bài toán m +1 
= 1  m = 3 : thỏa mãn m > 1 . 2m - 2 + æ + ù · Với m m
m < 1 , bất phương trình tương đương với 1 1 x £ ¾¾ S = ç- ç ; ¥ ú : không 2m -2 çè 2m -2 úû
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Câu 30: Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2x -m < 3(x - ) 1 có tập nghiệm là (4;+¥). A. m ¹ 1. B. m = 1. C. m = -1.
D. m >1. Lời giải Chọn C.
Bất phương trình tương đương với 2x -m < 3x -3  x > 3-m.
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (3-m;+ ) ¥
Để bất phương trình trên có tập nghiệm là (4; )
+¥ thì 3-m = 4  m = -1.
Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx + 4 > 0 nghiệm đúng với mọi x < 8 . é ù æ ù A. 1 1
m Î ê- ; ú . B. 1 m Î ç- ç ; ¥ ú. ê 2 2ú ë û çè 2úû é ö é ö æ ù C. 1 m Î - ;+¥ . ÷ ê ÷ D. 1 1
m Î ê- ;0÷÷Èçç0; ú. 2 ÷ ê ø ë ê 2 ÷ø çè ë 2 úû Lời giải Chọn A.
Yêu cầu bài toán tương đương với f (x)= mx + 4 > 0, x " Î( 8
- ;8)  đồ thị của hàm số
y = f (x) trên khoảng ( 8;
- 8) nằm phía trên trục hoành  hai đầu mút của đoạn thẳng đó
đều nằm phía trên trục hoành ìï 1 ï ( ï -8)³ 0 £ ì ì- ï 8 + 4 ³ 0 m f m ï ï ï ï 2 1 1  í  í  í  - £ £ . ïï f ( m 8) ³ 0 8 ï m + 4 ³ 0 ï 1 2 2 î ïî ïm ï ³ - ïïî 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 330
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 2
m để bất phương trình m (x -2)-mx + x + 5 < 0
nghiệm đúng với mọi x Î[ 20 - 18;2] . A. 7 m < . B. 7 m = . C. 7 m > . D. m Î  . 2 2 2 Lời giải Chọn C. 2
Cách 1. Bất phương trình  ( 2m -5 2 m - m + ) 2
1 x < 2m -5 ¾¾  x < 2 m - m +1 2 æ 2 2 m - 5 ö ç ÷ æ 1ö 3 ¾¾ S = - ç ; ¥ ÷ 2 - + = ç ÷ ç (vì m m
1 çm - ÷ + > 0, "m Î  ) 2 ÷ çè ç ÷ m - m +1÷ø è 2ø 4 2 2 æ - ö Yêu cầu bài toán  [- ] 2m 5 2m - ç ÷ 5 7 2018;2 Ì - ç ; ¥ ÷ « 2 < « m > ç . 2 ÷ 2 çè m - m +1÷ø m - m +1 2 Cách 2. Ta có ( 2 m - m + ) 2
x < m -  ( 2 m - m + ) 2 1 2 5
1 x -2m + 5 < 0 .
Hàm số bậc nhất y = ( 2 m - m + ) 2
1 x - 2m + 5 có hệ số 2
m -m +1 > 0 nên đồng biến.
Do đó yêu cầu bài toán  y(2)< 0  ( 7 2 m - m + ) 2
1 .2 - 2m + 5 < 0  m > . 2
Câu 33: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 2
m để bất phương trình m (x -2)+ m + x ³ 0 có nghiệm x Î[ 1; - 2] . A. m 2 ³- . B. m = -2 . C. m ³ 1 - . D. m 2 £- . Lời giải Chọn A. 2 2 é - ö Bất phương trình 2  ( 2 - 2 + ) 2 1 ³ 2 m m m m ÷ m x m - m ¾¾  x ³ ¾¾ S = ê ;+ ÷ ¥ . 2 ÷ m +1 2 ê m +1 ÷ø ë 2 2 é - ö
Yêu cầu bài toán  [- ] 2m m ÷ 2 - 1;2 Ç ê ; m m + ÷ ¥ ¹ Ƭ¾ £ 2 « m ³ -2. 2 ÷ 2 ê m +1 ÷ø m +1 ë
Dạng 4. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3
x 1 2x  7
Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình:  .
4x  3  2x 19
Lời giải 3
x 1  2x  7 x  6 x  6 Ta có       x  8.
4x  3  2x 19 2x 16 x  8
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 331
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï2x -1 ï < -x +1 ï
Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình: ïï 3 í l ï4 -3x ïï < 3- x ïïî 2 Lời giải ìï2x -1 ï > -x +1 ìï 4 ïï ìï - > - + ìï > ï Ta có 2x 1 3x 3 5x 4 ï 3 x > ï ï ï 4 í  í  í  í 5  x > . ï4 -3x
ï4 -3x < 6 -2x ï-x < 2 ï 5 ïï < 3 ïî ïî ï - x ïx > -2 î ïïî 2 ìï Ví dụ 3: Tìm ï x - ³ x + x +
m để hệ bất phương trình ( )2 2 3 7 1 í có nghiệm duy nhất. 2 ïï m £8+5x î Lời giải
Bất phương trình (x -3)2 8 2 2 2
³ x +7x +1 « x -6x + 9 ³ x +7x +1 « x £ 13 æ 8 ù ¾¾ S = ç- ç ; ¥ ú. 1 çè 13úû - é - ö Bất phương trình 2m 8 2m 8
2m £ 8 +5x x ³ ¾¾ S = ; ÷ ê +¥÷. 2 5 5 ÷ ê ø ë
Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất  S Ç là tập hợp có đúng một phần tử 1 S2 8 2m -8 72  =  m = . 13 5 13 ìï - > Ví dụ 4: Tìm x ï
m để hệ bất phương trình 2 1 0 í có nghiệm ïx -m < 2 ïî Lời giải æ ö Bất phương trình 1 2 = ç ÷
x -1 > 0 có tập nghiệm S ç ;+¥÷. 1 çè2 ÷ø
Bất phương trình x -m < 2 có tập nghiệm S = - ; ¥ m +2 . 2 ( )
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi 1 3
S Ç S ¹Æ  m + 2 >  m > - . 1 2 2 2 mx ìï £ m -3
Ví dụ 5: Tìm giá trị thực của tham số ï
m để hệ bất phương trình có nghiệm duy (
íï m +3)x ³m-9 ïî nhất. Lời giải
Giả sử hệ có nghiệm duy nhất thì m -3 m - 9 =  m = 1. m m + 3 ìï £ - Thử lại với x ï
m = 1 , hệ bất phương trình trở thành 2 í  x = -2 . ïx ³ -2 ïî
Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 332
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
3. Bài tập trắc nghiệm ìï - > Câu 1: x Tập nghiệm ï
S của hệ bất phương trình 2 0 í là: 2
ï x +1 < x -2 ïî A. S = (- ; ¥ - ) 3 . B. S = (- ;2 ¥ ). C. S =( 3; - 2). D. S = ( 3; - + ) ¥ . Lời giải Chọn A. ìï - > ìï > ìï < Ta có 2 x 0 2 x x 2 ï ï ï í  í  í  x < -3. 2
ï x +1 < x -2 ïx < -3 ïx < -3 ïî ïî ïî ìïx -1 ï < -x +1 ï Câu 2: ï Tập nghiệm 2
S của hệ bất phương trình í là: ï 5-2 3 x ïï + x > ïïî 2 æ ö æ ö A. 1 S = ç- ç ; ¥ - . ÷÷ = ç ÷ ç B. S = (1;+ ) ¥ . C. 1 S - ç ;1 . ÷ D. S = . Æ è 4 ÷ø çè 4 ÷ø Lời giải Chọn C. ìïx -1 ï < -x +1 ìïx <1 ï ì ï ï - < - + ìï < ï Ta có x 1 2x 2 3x 3 ï 2 ï ï ï í  í  í  í 1 . ï 5-2x 6
ï + 2x > 5-2x ï4x > -1 ï > - 3 ï ïî ï x î ï ï + x > ïî 4 ïïî 2 2
ìï x -1<-x +2017 ï Câu 3: Tập nghiệm ï
S của hệ bất phương trình í 2018 -2 là: 3 x ï + x > ïïî 2 æ ö A. S = . Æ B. 2012 2018 S = çç ; . ÷÷ ç è 8 3 ÷ø æ ö æ ö C. 2012 S = ç- ç ; ¥ . ÷÷ = ç ÷ ç D. 2018 S ç ;+¥ . ÷ è 8 ÷ø çè 3 ÷ø Lời giải Chọn B. ìï 2018 2
ìï x -1 < -x + 2017 ïx > ï ìï < ì ï ï > Ta có 3x 2018 3x 2018 ï ï ï ï ï 3 í 2018 -2  í  í  í 2018 2012  < x < . 3 ï +3 x x > 6
ï + 6x > 2018-2x 8 ï x > 2012 ï 2012 ï ïî ïî ï 3 8 ïî 2 ïx > ïïî 8 é ö Câu 4: Tập 3 S = 1; ÷ ê-
÷ là tập nghiệm của hệ bất phương trình sau đây ? 2÷ ê ø ë ìï - < ìï - > ìï - < ìï - < A. 2(x 1) 1 ï x x x í . B. 2( 1) 1 ïí . C. 2( 1) 1 ïí . D. 2( 1) 1 ïí . ïx ³ -1 ïî ïx ³-1 ïî ïx £-1 ïî ïx £-1 ïî Lời giải Chọn A.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 333
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 ìï (x - ) 1 <1 ìï < é ö Ta có 2x 3 3 3 ï ï í  í  -1 £ x < ¾¾ S = -1; ÷ ê ÷. ÷ Chọn A. ïïx ³-1 ïx ³ -1 2 ê î ïî ë 2ø ì 2 ï ( ï ì x - ) 3 > ìï > ï > æ ö Ta có 1 1 2x 3 x ï ï ï 3 3 í  í  í 2  x > ¾¾ S = çç ; ÷ +¥÷. B sai. ïï ³- ï ³ - ï ç ÷ x 1 x 1 2 è2 ø î ïî ïïx ³-1 î ì 2 ï ( ï ì x - ) 3 < ìï < ï Ta có 1 1 2x 3 x < ï ï ï í  í  í 2  x £ -1 ¾¾ S = (- ; ¥ - ] 1 . C sai. ïïx £-1 ïx £ -1 ï î ïî ïïx £-1 î ì 2 ï ( ï ì x - ) 3 > ìï > ï Ta có 1 1 2x 3 x > ï ï ï í  í  í 2  x Î Æ ¾¾ S = . Æ D sai. ïïx £-1 ïx £ -1 ï î ïî ïïx £-1 î 2 ìï (x - ) 1 < x +3 Câu 5: Tập nghiệm ï
S của bất phương trình í là: 2 ï x £ 3(x + ï ) 1 î A. S = ( 3; - ) 5 . B. S = ( 3; - 5]. C. S =[ 3; - ) 5 . D. S =[ 3; - 5]. Lời giải Chọn C. 2 ìï (x - ) 1 < x +3 2
ìï x -2 < x +3 ìï < Ta có ï ï x 5 í  í ï  í  -3 £ x < 5 ¾¾ S = [-3;5). 2
ïï x £ 3(x + ) 1 2 ï x £ 3x +3 ï î ïî x ³ -3 ïî
ìïx -1< 2x -3 ïïï Câu 6: 5-3x
Biết rằng bất phương trình ïí
£ x -3 có tập nghiệm là một đoạn [ ; a b]. Hỏi + ï a b 2 ïï3ïx £ x +5 ïî bằng: A. 11. B. 8. C. 9 . D. 47 . 2 2 10 Lời giải Chọn D. ìïx > 2
ìïx -1 < 2x -3 2 ìï < x ï ï ï ï ï ï ï Bất phương trình 11 11 5 5 í -3 ï ï
x £ 2x - 6  1
í 1 £ 5x  ïx ³  £ x £ . ï ï í 5 5 2 3 ï ï x £ x + 5 2x £ 5 ï ï ï ïî ïî ïï 5 ïïx £ ïïî 2 Suy ra 11 5 47 a + b = + = . 5 2 10 ìï 5 6
ï x + > 4x +7 ï Câu 7: ï
Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình ï 7 í là: ï8x +3 ïï < 2x + 25 ïïî 2 A. Vô số. B. 4 . C. 8. D. 0.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 334
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn C. ìï + > + ìï > Bất phương trình 42x 5 28x 49 14x 44 ï ï  í  í 8
ï x +3 < 4x +50 ï4x < 47 ïî ïî ìï 44 ïx > ïï 14 44 47 x  í  < x Î < ¾¾¾
 x Î {4;5;6;7;8;9;10;1 } 1 . ï 47 14 4 ïïx < ïïî 4 5
ìï x -2 < 4x +5
Câu 8: Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình ïí bằng:
ïïx <(x +2)2 2 î A. 21. B. 27. C. 28. D. 29. Lời giải Chọn A. 5
ìï x -2 < 4x +5 ìï < ìï < Bất phương trình x 7 x 7 ï ï ï  í  í  í 2 2
ïx < x + 4x + 4 ï-4x < 4 ï-x <1 ïî ïî ïî ìï x < 7 ï  í  -1 < x < 7 x Î ¾¾¾
 x Î {0;1;2;3;4;5;6}. Suy ra tổng bằng 21. ïx > -1 ïî ( ìïï 1-x)2 2 £ 8- 4x + x
Câu 9: Cho bất phương trình ïí
. Tổng nghiệm nguyên lớn nhất và ( ïï x +2)3 3 2
< x + 6x +13x + 9 ïî
nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình bằng: A. 2. B. 3. C. 6. D. 7. Lời giải Chọn B. 2 2 1
ìï -2x + x £ 8-4 + Bất phương trình x x ï  í 3 2 3 2
ïïx +6x +12x +8 < x +6x +13x +9 î ìï 7 1 ìï -2x £ 8-4x 2 ìï x £ 7 ïx £ ï ï ï 7  í  í  í 2  -1 x < x Î £ ¾¾¾  x Î {0;1;2; } 3 . 12
ï x +8 <13x + 9 ï-x <1 ï 2 ïî ïî ïïx >-1 î
Suy ra tổng cần tính là 0 + 3 = 3 . 3 ìï (x -6)<-3 ï Câu 10: ï
Hệ bất phương trình í5x + m
có nghiệm khi và chỉ khi: ïï > 7 ïïî 2 A. m > -11. B. m 11 ³- . C. m < -11. D. m 11 £- . Lời giải Chọn A.
Bất phương trình 3(x -6)< 3
- có tập nghiệm S = - ;5 ¥ . 1 ( )
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 335
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 æ - ö
Bất phương trình 5x + m 14 > 7 có tập nghiệm m S = çç ; ÷÷ ¥ . 2 2 ç + è 5 ÷ø
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi 14 -m S Ç S ¹Æ  < 5  m > -11. 1 2 5 2 ìï Câu 11: x -1 £ 0
Hệ bất phương trình ïí
có nghiệm khi và chỉ khi: ïx -m > 0 ïî A. m >1. B. m = 1. C. m <1. D. m ¹ 1. Lời giải Chọn C. Bất phương trình 2
x -1 £ 0 có tập nghiệm S = 1; - 1 . 1 [ ]
Bất phương trình x -m > 0 có tập nghiệm S = m;+¥ . 2 ( )
Hệ có nghiệm  S S ¹ Æ  m <1 . 1 2 ìïx -2 ³ 0
Câu 12: Hệ bất phương trình ï(í
có nghiệm khi và chỉ khi: 2 ï m + ï ) 1 x < 4 ïî A. m >1. B. m <1. C. m < -1.
D. -1 < m <1. Lời giải Chọn D.
Bất phương trình x -2 ³ x ³ 2 có tập nghiệm S = 2;+¥ . 1 [ ) Bất phương trình ( 4 2 m + )
1 x < 4  x < (do 2 m +1 > 0 ). 2 m +1 æ ö Suy ra 4 S = ç- ç ; ÷ ¥ ÷ . 2 2 ç ÷ è m +1ø
Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 4 S Ç S ¹ Ƭ¾  > 2 1 2 2 m +1
Giải bất phương trình 4 > 2  4 > 2( 2 m + ) 2 2
1  2 > 2m m <1  -1 < m <1 . 2 m +1 ìï m(mx - ) 1 < 2
Câu 13: Hệ bất phương trình ïí
có nghiệm khi và chỉ khi: m
ï (mx -2)³ 2m +1 ïî A. 1 m < . B. 1 0 ¹ m < . C. m ¹ 0. D. m < 0. 3 3 Lời giải Chọn B. 2 ìï
Hệ bất phương trình tương đương với m x < m + 2 ïí . 2 m ï x ³ 4m +1 ïî
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 336
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133  ìï < Với x ï
m = 0 , ta có hệ bất phương trình trở thành 0 2 í
: hệ bất phương trình vô nghiệm. ï0x ³1 ïî ìï m + 2 ï x < ï  2 Với ïï m
m ¹ 0 , ta có hệ bất phương trình tương đương với í . ï 4m +1 ïïx ³ 2 ïïî m
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m + 2 4m +1 1 >  m < . 2 2 m m 3 Vậy 1
0 ¹ m < là giá trị cần tìm. 3 ìï - ³ Câu 14: x
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số ï
m để hệ bất phương trình 2 1 3 í có nghiệm ïx -m £ 0 ïî duy nhất. A. m > 2 . B. m = 2 . C. m £ 2 . D. m ³ 2 . Lời giải Chọn B.
Bất phương trình 2x -1³ 3 « x ³ 2 ¾¾ S = 2;+¥ . 1 [ )
Bất phương trình x -m £ 0 « x £ m ¾¾ S = - ; ¥ . 2 ( m]
Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất  S Ç là tập hợp có đúng một phần tử 1 S2  2 = m. 2 ìï Câu 15: m x ³ 6 - x
Tìm tất cả các giá trị của tham số ï
m để hệ bất phương trình í có nghiệm duy 3 ï x -1 £ x +5 ïî nhất. A. m = 1 . B. m = -1 . C. m = 1 . D. m ³1 . Lời giải Chọn C. é ö Bất phương trình 6 6 2 ÷
m x ³ 6 - x « ( 2 m + ) 1 x ³ 6 « x ³ ¾¾ S = ê ;+¥÷. 2 1 ÷ m +1 2 êëm +1 ø
Bất phương trình 3x -1£ x +5 « x £ 3 ¾¾ S = - ; ¥ 3 . 2 ( ]
Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất  S Ç là tập hợp có đúng một phần tử 1 S2 6 2 
= 3  m = 1  m = 1. 2 m +1 2 ìï m(x + ) 1 ³ x + 3
Câu 16: Tìm giá trị thực của tham số ï
m để hệ bất phương trình í có nghiệm duy ïï4mx +3 ³ 4x î nhất. A. 5 m = . B. 3 m = . C. 3 5 m = ; m = . D. m = -1. 2 4 4 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 337
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn B. ( ìï 2m - ) 1 x ³ 3-2m
Hệ bất phương trình tương đương với ïí . ( ï 4m -4)x ³ 3 - ïî
Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì 3-2m -3 3 = 2
 8m -26m +15 = 0  m = hoặc 5 m = . 2m -1 4m - 4 4 2 Thử lại ìæ ï 3 ö 3 ïç ïç -1÷÷x ³ 3- ìïx ³ 3 · Với 3 ïç ÷ ï m = , hệ trở thành è í 2 ø 2  í
x = 3 : thỏa mãn. 4 ï ïx £ 3 ï ïî ï x - ³ 3 - ïî ìï ³ - · Với 5 x ï m = , hệ trở thành 4 2 1 í
x ³ - : không thỏa mãn. 2 ï6x ³ -3 2 ïî Vậy 3 m = là giá trị cần tìm. 4 ìï + > + Câu 17: x x
Hệ bất phương trình 3 4 9 ïí
vô nghiệm khi và chỉ khi: 1
ï -2x £ m -3x +1 ïî A. 5 m > . B. 5 m ³ . C. 5 m < . D. 5 m £ . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D. æ ö Bất phương trình 5 5
3x + 4 > x + 9 « 2x > 5 « x > ¾¾ S = çç ;+¥ .÷÷ 1 2 çè2 ÷ø
Bất phương trình 1-2x £ m -3x +1 « x £ m ¾¾ S = - ; ¥ . 2 ( m]
Để hệ bất phương trình vô nghiệm 5
S ÇS = Æ  m £ . 1 2 2 ìï + ³ + Câu 18: x x
Hệ bất phương trình 2 7 8 1 ïí
vô nghiệm khi và chỉ khi: m ï + 5 < 2x ïî A. m > -3. B. m ³ 3. - C. m < -3. D. m £ 3. - Lời giải Chọn B.
Bất phương trình 2x +7 ³ 8x +1 « 6 - x ³ 6 - « x £1 ¾¾ S = - ; ¥ 1 . 1 ( ] + æ + ö Bất phương trình m 5 m 5
m + 5 < 2x « x > ¾¾ S = çç ; ÷ +¥÷ . 2 2 çè 2 ÷ø
Để hệ bất phương trình vô nghiệm m + 5
S ÇS = Æ  1 £  m ³ -3. 1 2 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 338
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï Câu 19: ï x - ³ x + x +
Hệ bất phương trình ( )2 2 3 7 1 í
vô nghiệm khi và chỉ khi: 2 ïï m £ 8+5x î A. 72 m > . B. 72 m ³ . C. 72 m < . D. 72 m £ . 13 13 13 13 Lời giải Chọn A.
Bất phương trình (x - )2 2 2 2
3 ³ x + 7x +1 « x - 6x + 9 ³ x + 7x +1 8 æ 8 ù « 6
- x + 9 ³ 7x +1 « 8 ³ 13x « x £ ¾¾ S = ç- ç ; ¥ ú. 1 13 çè 13úû - é - ö Bất phương trình 2m 8 2m 8
2m £ 8 +5x « 2m -8 £ 5x « x ³ ¾¾ S = ; ÷ ê +¥÷ . 2 5 5 ÷ ê ø ë
Để hệ bất phương trình vô nghiệm 8 2m -8 72
S ÇS = Æ  <  m > . 1 2 13 5 13 3
ìï x +5 ³ x -1 ïï
Câu 20: Hệ bất phương trình (
ïí x +2)2 £(x - )2
1 + 9 vô nghiệm khi và chỉ khi: ïïmx
ïï +1>(m -2)x +m ïî A. m > 3. B. m ³ 3. C. m < 3. D. m £ 3. Lời giải Chọn B.
Bất phương trình 3x +5 ³ x -1« 2x ³ 6 - « x ³ 3 - ¾¾ S = 3 - ;+¥ . 1 [ )
Bất phương trình (x + )2 £(x - )2 2 2 2
1 + 9 « x + 4x + 4 £ x - 2x +1+ 9 « 4x + 4 £ 2
- x +1+ 9 « 6x £ 6 « x £1 ¾¾ S = - ; ¥ 1 . 2 ( ]
Suy ra S ÇS = 3; - 1 . 1 2 [ ]
Bất phương trình mx +1>(m -2)x +m « mx +1> mx -2x +m m -1 æm -1 ö
« 1> -2x + m « 2x > m -1 « x > ¾¾ S = çç ;+¥ . ÷÷ 3 2 çè 2 ÷ø
Để hệ bất phương trình vô nghiệm  ( m -1 S Ç S ÇS = Æ  ³1  m ³ 3. 1 2 ) 3 2 2
ìï (x -3)< 5(x -4)
Câu 21: Hệ bất phương trình ïí
vô nghiệm khi và chỉ khi: mx ïï +1£ x -1 î A. m >1. B. m ³1. C. m <1. D. m £1. Lời giải Chọn B.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 339
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 æ ö
Bất phương trình (x - )< (x - ) 14 14 2 3 5 4 « x > ¾¾ S = çç ; ÷ +¥÷. 1 3 çè 3 ÷ø
Bất phương trình mx +1£ x -1 «(m - ) 1 x £ 2 - . ( ) *
 Với m = 1, khi đó ( ) * trở thành 0x £ 2 - : vô nghiệm ¾¾  hệ vô nghiệm. ¾¾
 trong trường hợp này ta chọn m = 1 .  - æ - ù Với 2 2 m > 1 , ta có ( ) * « x £ ¾¾ S = ç- ç ; ¥ ú 2 m -1 çè m -1úû -2 14 ¾¾
 hệ bất phương trình vô nghiệm  S Ç = Æ  £ 1 S2 m -1 3 6 - 14(m - ) 1  £  - £ (m - ) 4 6 14 1  m ³
(do với m >1  m -1> 0 ). 3(m - ) 1 3(m - ) 1 7 ¾¾
 trong trường hợp này ta chọn m > 1 .  - é - ö Với 2 2 ÷ m < 1 , ta có ( ) * « x ³ ¾¾ S = ê ;+¥÷ . 2 ÷ m -1 êëm -1 ø
Khi đó S Ç luôn luôn khác rỗng nên m <1 không thỏa mãn. 1 S2
Vậy m ³1 thì hệ bất phương trình vô nghiệm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 340
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
1. Nhị thức bậc nhất
Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f (x)= ax +b trong đó ,
a b là hai số đã cho, a ¹ 0.
2. Dấu của nhị thức bậc nhất Định lí æ ö Nhị thức b
f (x ) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số ç ÷
a khi x lấy các giá trị trong khoảng - ç ;+¥÷, ç ÷ è a ø æ ö trái dấu với hệ số b ç ÷
a khi x lấy giá trị trong khoảng ç ; -¥ - . ÷ ç ÷ è aø x -¥ b - +¥ a
f (x ) = ax + b
trái dấu với a 0 cùng dấu với a Minh họa bằng đồ thị
II – XÉT DẤU TÍCH, THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Giả sử f (x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất
có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong
f (x ) ta suy ra được dấu của f (x). Trường hợp f (x ) là một thương cũng được xét tương tự.
III – ÁP DỤNG VÀO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Giải bất phương trình f (x)> 0 thực chất là xét xem biểu thức f (x) nhận giá trị dương với những
giá trị nào của x (do đó cũng biết f (x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x ), làm như vậy
ta nói đã xét dấu biểu thức f (x).
1. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Ví dụ. Giải bất phương trình 1 ³1. 1- x Giải.
Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 341
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 1 ³1  -1 ³ 0 x  ³ 0 1- x 1- x 1- x Xét dấu biểu thức ( ) x f x = 1- x
Ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là 0 £ x <1.
2. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ. Giải bất phương trình -2x +1 + x -3 < 5. Giải.
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có ì-
ï 2x +1 neu -2x +1 ³ 0 2 ï - x +1 = í ï ( - -2x + ) 1 neu -2x +1 < 0. ïî
Do đó, ta xét phương trình trong hai khoảng ìï 1 ï ì £ ï 1 ï a) Với 1 x ï x £ ï x £
ta có hệ bất phương trình í 2 hay í 2 . 2 ( ïï ï ï -2x + ) 1 + x -3 < 5 ï ïî - ï x < 7 î Hệ này có nghiệm là 1 -7 < x £ . 2 ìï 1 ï ì > ï 1 ï b) Với 1 x ï x > ï x >
ta có hệ bất phương trình í 2 hay í 2 . 2 ( ïï ï ï 2x - ) 1 + x -3 < 5 ï ïî ïx < 3 î
Hệ này có nghiệm là 1 < x < 3. 2 æ ù æ ö
Tổng hợp lại tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng 1 ç- ç 7; ú ç ÷ ç và 1 ç ;3÷. è 2úû çè2 ÷ø
Kết luận. Bất phương trình đã cho có nghiệm là -7 < x < 3.
Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng
f (x ) £ a và f (x ) ³ a với a > 0 đã cho. Ta có
f (x ) £ a  -a £ f (x ) £ a (a > 0)
f (x ) ³ a f (x ) £ -a hoặc f (x ) ³ a
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 342
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1. Xét dấu nhị thức bậc nhất 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho biểu thức f (x ) 1 =
. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f (x ) £ 0 là 3x -6 A. x Î (- ;2 ¥ ]. B. x Î (- ;2 ¥ ). C. x Î (2;+ ) ¥ . D. x Î[2;+ ) ¥ . Lời giải Chọn B
Ta có f x 1  0 
 0  3x  6  0  x  2 . vậy x  ;2   3x  6
Ví dụ 2: Cho biểu thức
f (x ) = (x + )
5 (3- x). Tập hợp tất cả các giá trị của
x thỏa mãn bất phương trình f (x ) £ 0 là A. x Î(- ;5 ¥ )È(3;+ ) ¥ . B. x Î(3;+ ) ¥ . C. x Î(-5;3). D. x Î(- ; ¥ -5]È[3;+¥). Lời giải Chọn D
Ta có f x  0   x  53 x  0  x  5  ; x  3 . Bảng xét dấu x -¥ -5 3 +¥ x + 5 - 0 + + 3- x + + 0 - f (x ) - 0 + 0 -
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x)£ 0  x Î(- ; ¥ -5]È[3;+¥). (x +3)(2- x)
Ví dụ 3: Cho biểu thức f (x ) =
. Tập hợp tất cả các giá trị của
x thỏa mãn bất phương x -1 trình
f (x ) > 0 là A. x Î (- ; ¥ - ) 3 È(1;+ ) ¥ . B. x Î (-3; ) 1 È(2;+ ) ¥ . C. x Î (-3; ) 1 È(1;2). D. x Î (- ; ¥ -3)È(1;2). Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 343
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn D
Phương trình x  3  0  x  3
 ; 2  x  0  x  2 và x 1  0  x 1. Bảng xét dấu x -¥ -3 1 2 +¥ x +3 - 0 + + + 2-x + + + 0 - x 1 - - - 0 + + f (x ) + 0 - + 0 -
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x)> 0  x Î(- ; ¥ -3)È(1;2). (4x -8)(2 + x)
Ví dụ 4: Cho biểu thức f (x ) =
. Tập hợp tất cả các giá trị của
x thỏa mãn bất phương 4 - x trình f (x ) ³ 0 là A. x Î (- ; ¥ 2 - ]È[2;4). B. x Î (3;+ ) ¥ . C. x Î (-2;4). D. x Î (-2;2)È(4;+ ) ¥ . Lời giải Chọn A
Phương trình 4x 8  0  x  2 ; 2  x  0  x  2
 ; 4  x  0  x  4 . Bảng xét dấu x -¥ -2 2 4 +¥ 4x -8 - - 0 + + x + 2 - 0 + + + 4 -x + + + 0 - f (x ) + 0 - 0 + -
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x)³ 0  x Î x Î (- ; ¥ -2]È[2;4).
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho biểu thức f (x) = 2x -4. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f (x)³ 0 là
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 344
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 é ö A. x Î[2;+ ) ¥ . B. 1 x Î ;+¥ . ÷ ê ÷ C. x Î (- ;2 ¥ ]. D. x Î (2;+ ) ¥ . 2 ÷ ê ø ë Lời giải Chọn A
Ta có f x  0  2x  4  0  x  2  x 2;  .
Câu 2: Cho biểu thức f (x)= x (x -2)(3-x). Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất
phương trình f (x)< 0 là
A. x Î(0;2)È(3;+ ) ¥ . B. x Î(- ;0 ¥ )È(3;+ ) ¥ . C. x Î(- ;0 ¥ ]È(2;+ ) ¥ . D. x Î(- ;0 ¥ )È(2;3). Lời giải Chọn A
Ta có f x  0  xx  23 x  0  x  0; x  2; x  3 . Bảng xét dấu x -¥ 0 2 3 +¥ x - 0 + + + x -2 - - 0 + + 3- x + + + 0 - f (x ) + 0 - 0 + 0 -
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x)< 0  x Î (0;2)È(3;+ ¥)
Câu 3: Cho biểu thức f (x) 2
= 9x -1. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f (x)< 0 là é ù æ ö æ ö A. 1 1 x Î ê- ; ú . B. 1 1 x Î ç- ç ; ÷ ¥ - ÷Èçç ;+¥ .÷÷ ê 3 3ú ë û çè 3÷ø çè3 ÷ø æ ù é ö æ ö C. 1 1 x Î ç- ç ; ¥ - ú È ê ; ÷ +¥÷. Îç ÷ ç D. 1 1 x - ç ; . ÷ è 3ú ê3 ÷ø û ë çè 3 3÷ø Lời giải Chọn D 1 1
Ta có f x 2
 0  9x 1  0  3x   1 3x  
1  0  x  ; x   . 3 3 Bảng xét dấu
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 345
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1 1 x -¥ - +¥ 3 3 3x 1 - - - 0 + 3x +1 - 0 + + f (x ) + 0 - 0 + æ ö
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x) 1 1 < 0  x Îç- ç ; . ÷÷ ç è 3 3÷ø
Câu 4: Cho biểu thức f (x)= ( x - )( 3 2 1 x - )
1 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất
phương trình f (x)³ 0 là é ù æ ö A. 1 1 x Î ê ;1ú . B. x Îç- ç ; ÷ ¥ - ÷È(1;+ ) ¥ . ê2 ú ë û çè 2÷ø æ ù æ ö C. 1 x Î ç- ç ; ¥ ú È[1;+ ) ¥ . Îç ÷ ç D. 1 x ç ;1÷. è 2úû çè2 ÷ø Lời giải Chọn C
Ta có  x   3
x      x   x   2 2 1 1 0 2 1
1 x x   1  0 1 2  1  3
Phương trình 2x 1  0  x  ; x 1  0  x 1 và 2
x x 1  x    0   2  2  4 Bảng xét dấu x -¥ 1 1 +¥ 2 2x -1 - 0 + + x 1 - - - 0 + 2 x + x +1 + - + f (x ) + 0 - 0 + æ ù
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra f (x) 1 ³ 0  x Îç- ç ; ¥ ú È[1;+ ) ¥ . ç è 2 úû x (x - 3)
Câu 5: Cho biểu thức f (x) =
. Tập hợp tất cả các giá trị của (
x thỏa mãn bất phương x - 5)(1- x )
trình f (x)³ 0 là
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 346
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. x Î(- ;0 ¥ ]È(3;+ ) ¥ . B. x Î(- ;0 ¥ ]È(1;5). C. x Î[0; ) 1 È[3; ) 5 . D. x Î (- ;0 ¥ )È(1;5). Lời giải Chọn C
Ta có x  0 ; x  3  0  x  3 ; x  5  0  x  5 và 1 x  0  x  1 . Bảng xét dấu x -¥ 0 1 3 5 +¥ x - 0 + + + + x -3 - - - 0 + + x -5 - - - - + 1-x + + - - - f (x ) - 0 + - 0 + -
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x)³ 0  x Î[0; ) 1 È[3;5). Câu 6: 4x -12
Cho biểu thức f (x)=
. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình 2 x - 4 x f (x ) £ 0 là
A. x Î(0;3]È(4;+ ) ¥ . B. x Î(- ;0 ¥ ]È[3;4). C. x Î(- ;0 ¥ )È[3;4). D. x Î(- ;0 ¥ )È(3;4). Lời giải Chọn B Ta có - - f (x ) 4x 12 4x 12 = = . 2 x - 4 x x (x - 4)
Phương trình 4x -12 = 0  x = 3; x = 0 và x -4 = 0  x = 4. Bảng xét dấu x -¥ 0 3 4 +¥ 4x 1 - 2 - - 0 + + x - 0 + + + x -4 - - - 0 +
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 347
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 f (x ) - + 0 - +
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra f (x)£ 0  x Î(- ; ¥ 0)È[3;4). Câu 7: -
Cho biểu thức ( ) 2 x f x =
+ 2. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương x +1
trình f (x)< 0 là A. x Î(- ; ¥ - ) 1 . B. x Î ( 1; - + ) ¥ . C. x Î(-4;- ) 1 . D. x Î (- ; ¥ -4)È( 1 - ;+ ) ¥ . Lời giải Chọn C 2 - x 2 - x + 2(x + ) 1 Ta có + f (x ) x 4 = + 2 = = . x +1 x +1 x +1
Phương trình x + 4 = 0  x = -4 và x +1 = 0  x = 1 - . Bảng xét dấu x -¥ -4 1 - +¥ x + 4 - 0 + + x +1 - - 0 + f (x ) + 0 - +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x)< 0  x Î(-4;- ) 1 . Câu 8: - Cho biểu thức ( ) 2 = 1 x f x -
. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương 3x -2
trình f (x)£ 0 là æ ö æ ö A. 2 2 x Î çç ;1÷÷. Îç ÷ ç B. x - ç ; ¥ ÷È(1;+ ) ¥ . è3 ÷ø çè 3÷ø æ ù æ ö C. 2 x Î çç ;1ú. Î -¥ Èç ÷ ç D. x ( ) 2 ;1 ç ;+¥÷. è3 úû çè3 ÷ø Lời giải Chọn C Ta có - - - + - f (x ) 2 x 3x 2 2 x 4x 4 = 1- = = . 3x -2 3x -2 3x -2
Phương trình 4x -4 = 0  x =1 và 2
3x -2 = 0  x = . 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 348
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Bảng xét dấu 2 x -¥ 1 +¥ 3 4x -4 - - 0 + 3x -2 - 0 + + f (x ) + - 0 + æ ù
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x) 2 £ 0  x Îçç ;1ú. ç è3 úû Câu 9: -
Cho biểu thức f (x) 4 3 = -
. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương 3x +1 2 - x
trình f (x)> 0 là æ ö æ ö A. 11 1 11 1 x Î ç- ç ; ÷ - ÷È[2;+ ) ¥ . Îç ÷ ç B. x - ç ;- ÷È(2;+ ) ¥ . è 5 3÷ø çè 5 3÷ø æ ù æ ö æ ö æ ö C. 11 1 x Î ç- ç ; ¥ - ú Èç- ç ;2 . ÷÷ Îç ÷ - ç ¥ - ÷Èç ÷ ç D. 11 1 x ; - ç ;2 . ÷ è 5 ú çè 3 ÷ø û çè 5 ÷ø çè 3 ÷ø Lời giải Chọn B Ta có + f (x ) 4 3 3 4 5x 11 = - - = - = . 3x +1 2 - x x - 2 3x +1 (x -2)(3x + ) 1 Phương trình 11
5x +11 = 0  x = -
; x - 2 = 0  x = 2 và 1
3x +1 = 0  x = - . 5 3 Bảng xét dấu 11 1 x -¥ - - 2 +¥ 5 3 5x +11 - 0 + + + x -2 - - - 0 + 3x +1 - - 0 + + f (x ) - 0 + - + æ ö
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x) 11 1 > 0  x Îç- ç ; ÷ - ÷È(2;+¥). ç è 5 3÷ø
Câu 10: Cho biểu thức f (x) 1 2 3 = + -
. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất x x + 4 x + 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 349
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
phương trình f (x)< 0 là æ ö A. 11 1 x Î ( 12 - ; 4 - )È( 3 - ;0). B. x Îç- ç ; ÷ - ÷È(2;+ ) ¥ . ç è 5 3÷ø æ ù æ ö æ ö æ ö C. 11 1 x Î ç- ç ; ¥ - ú Èç- ç ;2 . ÷÷ Îç ÷ - ç ¥ - ÷Èç ÷ ç D. 11 1 x ; - ç ;2 . ÷ è 5 ú çè 3 ÷ø û çè 5 ÷ø çè 3 ÷ø Lời giải Chọn A Ta có + f (x ) 1 2 3 x 12 = + - < 0  < 0. x x + 4 x + 3
x (x + 3)(x + 4)
Phương trình x +12 = 0  x = -12; x +3 = 0  x = -3 và x + 4 = 0  x = -4. Bảng xét dấu x -¥ 12 - -4 -3 0 +¥ x +12 - 0 + + + + x - - - - 0 + x +3 - - - 0 + + x + 4 - - 0 + + + f (x ) + 0 - + - +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x)< 0  x Î(-12;-4)È(-3;0). (x -3)(x +2)
Câu 11: Cho biểu thức f (x) =
. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của x thỏa 2 x -1
mãn bất phương trình f (x)<1 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C (x -3)(x + 2) 2 Ta có - - + - f (x) x x 6 x 5 1 = 1- = 1- = . 2 2 x -1 x -1 (x - ) 1 (x + ) 1
Phương trình x +5 = 0  x = -5; x -1 = 0  x =1 và x +1 = 0  x = 1 - . Bảng xét dấu x -¥ -5 1 - 1 +¥ x + 5 - 0 + + +
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 350
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x 1 - - - - 0 + x +1 - - 0 + + 1- f (x) - 0 + - +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng 1- f (x)> 0  x Î(-5;- ) 1 È(1;+¥).
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 2. Bất phương trình tích 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình (x + ) 3 (x - ) 1 £ 0 là A. 1. B. -4. C. -5. D. 4. Lời giải Chọn C
Đặt f (x)= (x + 3)(x - ) 1
Phương trình x +3 = 0  x = -3 và x 1 - = 0  x =1. Ta có bảng xét dấu  3 1 x  x  3  0   x 1   0 
f x  0  0 
Từ bảng xét dấu ta có (x + 3)(x - )
1 £ 0  -3 £ x £ 1  x Î [-3; ] 1 .
Suy ra các nghiệm nguyên của bất phương trình là -3,-2,-1,0,1.
Suy ra tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng -5.
Ví dụ 2: Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x (x -2)(x + ) 1 > 0 là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn B
Đặt f (x) = x (x -2)(x + ) 1 .
Phương trình x = 0; x -2 = 0  x = 2 và x +1 = 0  x = 1 - . Ta có bảng xét dấu
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 351
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 -¥ 1 - 0 2 +¥ x - - 0 + + x    0 + x -2 - 0  + + x +1 - 0 + 0 - 0 + f (x )
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f (x)> 0  x Î(-1;0)È(2;+¥).
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 3.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình (2x +8)(1-x)> 0 có dạng ( ;ab). Khi đó b-a bằng A. 3. B. 5. C. 9. D. không giới hạn. Lời giải Chọn B
Đặt f (x)= (2x + 8)(1- x)
Phương trình 2x +8 = 0  x = -4 và 1-x = 0  x =1. Ta có bảng xét dấu -¥ -4 1 x +¥ 2x +8 - 0 + + 1-x + + 0 - f (x ) - 0 + 0 -
Từ bảng xét dấu ta có f (x)> 0  -4 < x <1  x Î (-4; ) 1 .
Khi đó b =1, a = -4  b-a = 5.
Câu 2: Tập nghiệm S = (-4; )
5 là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 352
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
A. (x + 4)(x +5)< 0.
B. (x + 4)(5x -25)< 0.
C. (x + 4)(5x -25)³ 0.
D. (x -4)(x - ) 5 < 0. Lời giải Chọn B
Phương trình x + 4 = 0  x = -4 và x +5 = 0  x = -5.
Phương trình x -4 = 0  x = 4 và 5x -25 = 0  x -5 = 0  x = 5. Ta có bảng xét dấu -¥ 5 - 4 - 4 5 x +¥ x + 5 - 0 + + + + x + 4 - - 0 + + + x -4 - - - 0 + + x -5 - - - - 0 +
(x + 4)(x +5) + 0 - 0 + + +
(x + 4)(x -5) + + 0 - - 0 +
(x - 4)(x -5) + + + 0 - 0 +
Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S = (-4;5) là nghiệm của bất phương trình
(x + 4)(5x -25)< 0.
Câu 3: Tập nghiệm S =[0;5] là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. x (x - ) 5 < 0.
B. x (x - ) 5 £ 0.
C. x (x - ) 5 ³ 0.
D. x (x - ) 5 > 0. Lời giải Chọn B
Đặt f (x)= x (x -5).
Phương trình x = 0 và x -5 = 0  x = 5. Ta có bảng xét dấu -¥ 0 5 x +¥ x - 0 + + x -5 - - 0 + f (x ) + 0 - 0 +
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 353
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng x Î[0;5]  f (x)£ 0  x (x -5)£ 0.
Câu 4: Tập nghiệm S = (-¥ )
;3 È(5;7) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A. (x + ) 3 (x - ) 5 (14 -2x)£ 0. B. (x - ) 3 (x - ) 5 (14 -2x)> 0. C. (x - ) 3 (x - ) 5 (14 -2x)< 0.
D. (x +3)(x -5)(14 -2x)< 0. Lời giải Chọn C
Phương trình x +3 = 0  x = -3; x -3 = 0  x = 3. Và
x - 5 = 0  x = 5;
14 -2x = 0  x = 7. Ta có bảng xét dấu  3  3 5 7 +¥ x - 0 + + + + x +3 - - 0 + + + x -3 - - - 0 + + x -5 14 -2x + + + + 0 - + 0 ( - 0 + + 0 -
x + 3)(x - 5)(14 - 2 x )
(x -3)(x -5)(14 -2x) + + 0 - 0 + 0 -
Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S = (- ;3
¥ )È(5;7) là tập nghiệm của bất phương trình
(x -3)(x -5)(14 -2x)> 0.
Câu 5: Hỏi bất phương trình (2- x)(x + )
1 (3- x)£ 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương? A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải Chọn D
Đặt f (x)= (2 - x)(x + ) 1 (3 - x )
Phương trình 2- x = 0  x = 2; x +1 = 0  x = 1
- và 3- x = 0  x = 3. Ta có bảng xét dấu -¥ 1 - 2 3 x +¥ 2-x + + 0 - -
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 354
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x +1 - 0 + + + 3- x + + + - f (x ) - 0 + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x)£ 0  x Î (- ; ¥ - ] 1 È[2;3].
Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương.
Câu 6: Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương
trình (3x -6)(x -2)(x +2)(x - ) 1 > 0 là A. -9. B. -6. C. -4. D. 8. Lời giải Chọn A
Bất phương trình ( x - )(x - )(x + )(x - )>  (x - )2 3 6 2 2 1 0 3 2 (x +2)(x - ) 1 > 0 ìïx ¹ 2 Vì ( ï x - )2 2 > 0, x
" ¹ 2 nên bất phương trình trở thành í . ( ï x + 2)(x - ) 1 > 0 ïî
Đặt f (x)= (x + 2)(x - )
1 . Phương trình x + 2 = 0  x = -2 và x 1 - = 0  x =1. Ta có bảng xét dấu -¥ -2 1 +¥ x x + 2 - 0 + + x 1 - - - 0 + f (x ) + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x)> 0  x Î (-¥;-2)È(1;+¥).
Kết hợp với điều kiện x ¹ 2, ta được  x Î (- ; ¥ -2)È(1;2)È(2;+¥).
Do đó, nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình là -3 và nghiệm nguyên dương
nhỏ nhất của bất phương trình là 3. Vậy tích cần tính là (-3).3 = -9.
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình 2x (4 -x)(3-x)(3+ x)> 0 là A. Một khoảng
B. Hợp của hai khoảng.
C. Hợp của ba khoảng. D. Toàn trục số. Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 355
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Đặt f (x)= 2x (4 - x)(3- x)(3 + x).
Phương trình 2x = 0  x = 0; 4 - x = 0  x = 4;
Và 3- x = 0  x = 3; 3 + x = 0  x = -3. Ta có bảng xét dấu -¥ 3 - 0 3 4 +¥ x x +3 - 0 + + + + 2x - - 0 + + + 3- x - - - 0 + + 4 - x - - - - 0 + f (x ) + 0 - 0 + 0 - 0 + éx > 4 ê
Từ bảng xét dấu ta có f (x)> 0  ê0 < x < 3  x Î(- ; ¥ -3)È(0;3)È(4;+¥). ê êx <-3 ë
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là hợp của ba khoảng.
Câu 8: Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình (x - )
1 x (x +2) ³ 0 là A. x = -2. B. x = 0. C. x = 1.
D. x = 2. Lời giải Chọn C ìïx -1 ³ 0 ìïx ³1 Bất phương trình ( ï ï x - ) 1
x (x + 2) ³ 0  í  í . ïx (x + 2)³ 0 ïx (x + 2)³ 0 ïî ïî
Đặt f (x) = x (x + 2).
Phương trình x = 0 và x + 2 = 0  x = -2. Bảng xét dấu x -¥ -2 0 +¥ x - - 0 + x + 2 - 0 + + f (x ) + 0 - 0 + é ³
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x) x 0 ³ 0  ê . êx £ -2 ë
Kết hợp với điều kiện x ³1, ta được tập nghiệm S = [1;+¥).
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là x =1.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 356
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dạng 3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Bất phương trình 3 <1 có tập nghiệm là 2 - x A. S = ( 1; - 2). B. S =[ 1; - 2). C. S = (- ; ¥ - ) 1 È(2;+ ) ¥ . D. S = (- ; ¥ - ] 1 È[2;+ ) ¥ . Lời giải Chọn C Bất phương trình 3 3 x +1 <1  -1 < 0  < 0. 2 - x 2 - x 2 - x Đặt + f (x ) x 1 =
. Ta có x +1 = 0  x = 1
- và 2-x = 0  x = 2. 2 - x Bảng xét dấu x -¥ 1 - 2 +¥ 2-x + + 0 - x +1 - 0 + + f (x ) - 0 + - é < -
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x ) x 1 < 0  ê . êx > 2 ë
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (- ; ¥ - ) 1 È(2;+¥).
Ví dụ 2: Bất phương trình 3 5 ³ có tập nghiệm là 1- x 2x +1 æ ö é ö æ ö A. 1 2 1 2 S = ç- ç ; ÷ ¥ - ÷È ê ;1÷÷. B. S = ç- ç ; ÷÷È(1;+ ) ¥ . çè 2÷ø ê11 ÷ø ë çè 2 11÷ø æ ù é ö æ ö æ ö C. 1 2 1 2 S = ç- ç ; ¥ - ú È ê ;1 . ÷÷ D. = ç ÷ - ç ¥ - ÷Èç ÷ ç S ; ç ;1 . ÷ è 2ú ê11 ÷ø û ë çè 2÷ø çè11 ÷ø Lời giải Chọn A Bất phương trình 3 5 11x - 2 ³  ³ 0. 1- x 2x +1 (1- x)(2x + ) 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 357
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 1
ìï - x = 0  x = 1 ï Đặt - 2 ï f (x ) 11x 2 =
. Ta có 11x -2 = 0  x = ; í 1 . (1- x)(2x + ) 1 11 2
ï x +1 = 0  x = - ïïî 2 Bảng xét dấu 1 2 x -¥ - 1 +¥ 2 11 11x -2 - - 0 + + 1-x + + + 0 - 2x +1 - 0 + + + f (x ) + - 0 + - é 1 êx <-
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ê f (x ) 2 ³ 0  ê . ê 2 ê £ x <1 êë11  1   2 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;    ;1     .  2  11 
Ví dụ 3: Bất phương trình 2x 1 - £ 2 có tập nghiệm là x +1 x -1 æ ù A. 1 S = çç 1; - ú È(1;+ ) ¥ . B. S = (- ; ¥ - ] 1 È(1;+¥). çè 3úû æ ö æ ö C. 1 S = çç 1; ÷ - ÷È(1;+ ) ¥ . D. = -¥ - Èç ÷ ç S ( ] 1 ; 1 ç ;1 .÷ è 3÷ø çè3 ÷ø Lời giải Chọn C
Bất phương trình 2x 1 1-3 - £ 2 x  £ 0. x +1 x -1 (x - ) 1 (x + ) 1
1 ìïx -1 = 0  x = 1 Đặt ( ) 1-3x ï f x =
. Ta có 1-3x = 0  x = ; í . (x - ) 1 (x + ) 1
3 ïx +1 = 0  x = 1 - ïî Bảng xét dấu 1 x -¥ 1 - 1 +¥ 3 1-3x + + 0 - - x 1 - - - - 0 +
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 358
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x +1 - 0 + + + f (x ) + - 0 + - é 1 ê 1 - < £
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng ( ) x f x £ 0  ê 3 . ê êx > 1 ë æ ù
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 S = çç 1; - ú È(1;+ ) ¥ . çè 3úû
3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: -
Bất phương trình 2 x ³ 0 có tập nghiệm là 2x +1 æ ö é ù æ ù æ ö A. 1 S = ç- ç ;2 . ÷÷ = ç = ç ÷ ç B. 1 S = ê- ;2ú . C. 1 S - ç ;2ú. D. 1 S ç ;2 . ÷ è 2 ÷ø ê 2 ú ë û çè 2 úû çè2 ÷ø Lời giải Chọn C Ta có Đặt ( ) 2 - x f x =
. Ta có 2- x = 0  x = 2 và 1
2x +1 = 0  x = - . 2x +1 2 Bảng xét dấu x -¥ 1 - 2 +¥ 2 2-x + + 0 - 2x +1 - 0 + + f (x ) - + 0 -
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng f (x) 1
³ 0  - < x £ 2. 2 æ ù
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 S = ç- ç ;2ú. ç è 2 úû (3- x)(x -2)
Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình £ 0 là x +1 A. S = ( 1; - 2]È[3;+ ) ¥ . B. S = (-¥ ) ;1 È[2;3]. C. S =[ 1; - 2]È[3;+ ) ¥ . D. S =( 1; - 2)È(3;+ ) ¥ . Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 359
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 (3- x)(x -2) ìï - =  = Đặt x x ï f (x ) = . Ta có 3 0 3 í
; x +1 = 0  x = 1 - . x +1
ïx -2 = 0  x = 2 ïî Bảng xét dấu x -¥ 1 - 2 3 +¥ 3- x + + + 0 - x -2 - - 0 + + x +1 - 0 + + + f (x ) + - 0 + 0 - é- < £
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x) 1 x 2 £ 0  ê . êx ³ 3 ë
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (-1;2]È[3;+¥). 2 Câu 3: x + x -3
Tập nghiệm của bất phương trình ³1 là 2 x - 4 A. S = (- ; ¥ 2 - )È( 1 - ;2). B. S = ( 2; - ] 1 È(2;+ ) ¥ . C. S = [- ) 2;1 È(2;+¥) D. S =( 2; - ] 1 È[2;+ ) ¥ . Lời giải Chọn B 2 2
Bất phương trình x + x -3 x + x - 3 x +1 ³ 1  -1 ³ 0  ³ 0. 2 2 x - 4 x - 4 (x -2)(x + 2) é = - Đặt + x f (x ) x 1 =
. Ta có x +1 = 0  x = 1
- và (x - )(x + ) 2 2 2 = 0  ê . (x -2)(x + 2) êx = 2 ë Bảng xét dấu x -¥ -2 1 - 2 +¥ x +1 - - 0 + + x -2 - - - 0 + x + 2 - 0 + + + f (x ) - + 0 - + é- < £ -
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x) 2 x 1 ³ 0  ê . êx > 2 ë
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 360
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (-2;- ] 1 È(2;+¥).
Câu 4: Bất phương trình 1 2 3 + < có tập nghiệm là x x + 4 x + 3 A. S = (- ; ¥ 1 - 2)È(-4;3)È(0;+ ) ¥ . B. S =[ 12 - ;-4)È(-3;0). C. S = (- ; ¥ 1 - 2)È[-4;3]È(0;+ ) ¥ . D. S =( 12 - ;-4)È(-3;0). Lời giải Chọn D Bất phương trình 1 2 3 x +12 + <  < 0. x x + 4 x + 3
x (x + 3)(x + 4) ìï + =  = - Đặt + x x ï f (x ) x 12 = . Ta có 3 0 3
x +12 = 0  x = 1 - 2; í .
x (x + 3)(x + 4)
ïx + 4 = 0  x = -4 ïî Bảng xét dấu x -¥ 12 - -4 -3 0 +¥ x +12 - 0 + + + + x - - - - 0 + x +3 - - - 0 + + x + 4 - - 0 + + + f (x ) + 0 - + - + é- < < -
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x) 12 x 4 < 0  ê . ê-3 < x < 0 ë
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (-12;-4)È(-3;0). Câu 5: 1 1 Bất phương trình <
có tập nghiệm S là x +1 (x - )2 1 A. T = (- ; ¥ - ) 1 È(0; ) 1 È[1;3]. B. T =[ 1; - 0)È(-3;+ ) ¥ . C. T = (- ; ¥ - ) 1 È(0; ) 1 È(1;3). D. T = ( 1; - 0]È(-3;+ ) ¥ . Lời giải Chọn C Bất phương trình 1 1 1 1 <  - < 0. x +1 (x - )2 1 x +1 (x - )2 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 361
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï ¹ (x - )2 -(x + ) x (x - ) x 1 1 1 3 ï ï 0 0  <  <  íx x -3 (vì (x - )2 1 > 0, x " Î  ). 2 2 ( ) (x + ) 1 (x - ) 1 (x + ) 1 (x - ) 1 ïï < 0 ïïî x +1 x (x - ) 3 Đặt f (x) =
. Ta có x -3 = 0  x = 3 và x +1 = 0  x = 1 - . x +1 Bảng xét dấu x -¥ 1 - 0 3 +¥ x - - 0 + - x -3 - - - 0 + x +1 - 0 + + + f (x ) - + 0 - 0 - é < -
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x) x 1 < 0  ê . ê0 < x < 3 ë
Kết hợp với điều kiện x ¹1, ta được tập nghiệm S = (- ; ¥ - ) 1 È(0; ) 1 È(1;3). Câu 6: x + 4 2 4x Bất phương trình - <
có nghiệm nguyên lớn nhất là 2 2 x - 9 x + 3 3x - x A. x = 2. B. x = 1. C. x = -2. D. x = -1. Lời giải Chọn A
Bất phương trình tương đương với x (x + 4) 2x (x -3) 4x (x + 3) 3x + 22 - < -  < 0.
x (x - 3)(x + 3)
x (x - 3)(x + 3)
x (x - 3)(x + 3) (x -3)(x +3) ìï - =  = Đặt + 22 x x ï f (x ) 3x 22 = . Ta có 3 0 3
3x + 22 = 0  x = - ; í . (x -3)(x +3)
3 ïx + 3 = 0  x = -3 ïî Bảng xét dấu 22 x -¥ - -3 3 +¥ 3 3x +22 - 0 + + + x -3 - - - 0 + x +3 - 0 - + +
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 362
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 f (x ) - + 0 - 0 + æ ö
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f (x) 22 < 0  x Îç- ç ; ÷ ¥ - ÷È(-3; ) 3 . ç è 3 ÷ø
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 2.
Dạng 4. Bất phương trình chứa trị tuyệt đối 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Nghiệm của bất phương trình 2x -3 £1 là A. 1£ x £ 3. B. -1 £ x £1. C. 1£ x £ 2. D. 1 - £ x £ 2. Lời giải Chọn C
Ta có 2x -3 £1  -1 £ 2x -3 £1  2 £ 2x £ 4  1 £ x £ 2.
Ví dụ 2: Bất phương trình 1-3x > 2 có nghiệm là æ ö æ ö æ ö A. 1 ç 1 1 ç ; ÷ -¥ - ÷È(1;+ ) ¥ . B. (1; ) +¥ . C. çç ; -¥ - . ÷÷ D. ç ÷ ç ç ; -¥ ÷. è 3÷ø çè 3÷ø çè 3÷ø Lời giải Chọn C é 1 1 é -3x > 2 é 1 - > 3 ê < - Ta có x x 1-3x > 2  ê  ê  ê 3 . 1 ê -3x < -2 ê3x > 3 ê ë ë êx > 1 ë æ ö
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 S = ç- ç ; ÷ ¥ - ÷È(1;+¥). çè 3÷ø
Ví dụ 3: Bất phương trình: 3x -3 £ 2x +1 có nghiệm là æ ù é ù A. [ 2 2 4;+¥). B. ç ; -¥ ç ú. C. ê ;4ú. D. ç ( ;4 -¥ ]. è 5 ú êë5 ú û û Lời giải Chọn C Ta có 2 2
x - £ x +  x - £ x +
 ( x - )2 -( x + )2 3 3 2 1 3 3 2 1 3 3 2 1 £ 0
 ( x - - x - )( x - + x + )£  (x - )( x - ) 2 3 3 2 1 3 3 2 1 0 4 5 2 £ 0  £ x £ 4. 5 é ù
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 2 S = ê ;4ú . ê5 ú ë û
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 363
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x -1
Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình <1 là x + 2 æ ö æ ö A. 1 S = ç- ç ;+¥ . ÷÷ B. S = (-¥ - ) 1 ; 2 Èç- ç ; ÷ +¥÷. çè 2 ÷ø çè 2 ÷ø æ ö æ ö C. 1 1 S = ç- ç ; ÷ ¥ - ÷È(2;+ ) ¥ . D. = ç ÷ ç S - ç 2;- ÷. è 2÷ø çè 2÷ø Lời giải Chọn B Điều kiện:
x + 2 ¹ 0  x ¹ -2. x -1 - TH1. Với x 1 3
x -1 ³ 0  x ³1, ta có <1  <1  > 0  x > -2. x + 2 x + 2 x + 2
Kết hợp với điều kiện x ³1, ta được tập nghiệm S = 1;+ ¥ . 1 ( ) é 1 x -1 - + ê > - TH2. Với 1 x 2x 1 x
x -1 < 0  x <1, ta có <1  <1  > 0  ê 2 . x + 2 x + 2 x + 2 ê êx < -2 ë æ ö
Kết hợp với điều kiện 1 x <1, ta
được tập nghiệm là S = - ; ¥ -2 Èç- ç ; ÷ +¥÷. 2 ( ) çè 2 ÷ø æ ö
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1
S = S È S = - ; ¥ -2 Èç- ç ;+¥ . ÷÷ 1 2 ( ) çè 2 ÷ø
Ví dụ 5: Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x +12 ³ 2x -4 là A. 5. B.19 C. 11. D. 16. Lời giải Chọn B TH1. Với
2x -4 ³ 0  x ³ 2, ta có
x +12 ³ 2 x - 4  x +12 ³ 2 x - 4  x £ 16.
Kết hợp với điều kiện x ³ 2, ta được tập nghiệm S = 2;16 . 1 [ ]
TH2. Với 2x -4 < 0  x < 8
2, ta có x +12 ³ -2x + 4  3x ³ -8  x ³ - . 3 é ö
Kết hợp với điều kiện 8 x < 2, ta được tập nghiệm S = - ;2 . ÷ ê ÷ 2 3 ÷ ê ø ë é ù
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là 8
S = S È S = ê- ;16ú . 1 2 ê 3 ú ë û
Vậy số nghiệm nguyên x thỏa mãn bất phương trình là 19.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tất cả các giá trị của x thoả mãn x -1 <1 là
A. -2 < x < 2.
B. 0 < x <1. C. x < 2.
D. 0 < x < 2.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 364
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn D
Ta có x -1 <1  -1 < x -1 <1  0 < x < 2.
Câu 2: Bất phương trình 3x -4 £ 2 có nghiệm là æ ù é ù æ ù A. 2 çç ; -¥ ú È[2;+ ) ¥ . ç ç B. 2 ê ;2ú. C. 2 ; -¥ ç ú. D. [2; ) +¥ . è 3úû ê3 ú ë û çè 3 úû Lời giải Chọn B Ta có 2
3x - 4 £ 2  -2 £ 3x - 4 ³ 2  2 £ 3x £ 6  £ x £ 2. 3
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình x -3 > -1 là A. (3;+¥). B. (-¥ ) ;3 . C. (-3;3). D. .  Lời giải Chọn D
Vì x -3 ³ 0, "x Î  nên suy ra x -3 > -1, "x Î . 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = . 
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình 5x -4 ³ 6 có dạng S = (- ; ¥ a]È[ ; b +¥). Tính tổng P = 5a + . b A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn C éx ³ 2 é - ³ é ³ ê
Cách 1. Bất phương trình 5x 4 6 5x 10 5x - 4 ³ 6  ê  ê  ê 2 . ê5x -4 £ -6 ê5x £ -2 êx £ - ë ë êë 5
Cách 2. TH1. Với 5x -4 ³ 0, bất phương trình 5x - 4 ³ 6  5x - 4 ³ 6  x ³ 2.
TH2. Với 5x -4 < 0, bất phương trình 2
5x - 4 ³ 6  -5x + 4 ³ 6  5x £ -2  x £ - . 5 æ ù
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là 2 S = ç- ç ; ¥ - ú È[2;+ ) ¥ . ç è 5úû ìï 2 ï = - æ ö Mặt khác a ï 2 í  + = ç ÷ S = (- ; ¥ a]È[ ; b + ¥) suy ra 5 5a b 5. - ç ÷+ 2 = 0. ï çè 5÷ø b ïï = 2 î Câu 5: - x
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình 2 ³ 2 ? x +1 A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 365
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn C
Điều kiện: x +1 ¹ 0  x ¹ 1 - . é2 - x é2 - x é 3 ê ³ 2 ê -2 ³ 0 x ê- ³ 0 ( ) 1 - ê + ê + ê
Bất phương trình 2 x x 1 x 1 x +1 ³ 2  ê  ê  ê x +1 ê2 - x ê2 - x ê 4 + ê £ -2 ê + 2 £ 0 x ê £ 0 (2) êë x +1 êë x +1 êë x +1 Giải ( ) x
1 , ta có bất phương trình ( ) 1  £ 0  1 - < x £ 0. x +1
Giải (2), ta có bất phương trình (2)  -4 £ x < -1.
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = [-4;- ) 1 È(-1;0].
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên x cần tìm là x = {-4;-3;-2;0}.
Câu 6: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 1£ x -2 £ 4 là A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. Lời giải Chọn C ì- ï 4 £ x -2 £ 4 é-2 £ x £ 6 ìï x -2 £ 4 ï ê Bất phương trình ï ï 1 ï £ x -2 £ 4  í  íéx -2 ³1 ê  éx ³ 3 ï - ³ ïê ê ï x 2 1 ê î ïïê ê x - 2 £ 1 - ê ïîë ê x £1 ëë
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = [- ] 2;1 È[3;6].
Vậy số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình là 8.
Câu 7: Bất phương trình x -3 > 2x + 4 có nghiệm là æ ö æ ö A. 1 ç- ç 7; ÷÷. ç ÷ ç B. 1 7; ç - ÷. è 3÷ø çè 3÷ø æ ö æ ö C. 1 ç- ç 7; ÷ - ÷. -¥ - Èç ÷ ç D. ( ) 1 ; 7 - ç ;+¥ . ÷ è 3÷ø çè 3 ÷ø Lời giải Chọn C Ta có 2 2 x - > x +  x - > x +
 (x - )2 -( x + )2 3 2 4 3 2 4 3 2 4 > 0
 (x - - x - )(x - + x + )>  (-x - )( x + ) 1 3 2 4 3 2 4 0 7 3
1 > 0  -7 < x < - . 3 æ ö
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 S = ç- ç 7; ÷ - ÷. ç è 3÷ø
Câu 8: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x trong [-2017;2017] thỏa mãn bất phương trình
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 366
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2x +1 < 3x ? A. 2016. B. 2017. C. 4032. D. 4034. Lời giải Chọn A TH1. Với 1
2x +1 ³ 0  x ³ - , khi đó 2x +1 < 3x  2x +1 < 3x x > 1. 2
Kết hợp với điều kiện 1 x ³ - suy ra S = 1;+¥ . 1 ( ) 2 TH2. Với 1
2x +1 < 0  x < - , khi đó 1
2x +1 < 3x  -2x -1 < 3x x > - . 2 5
Kết hợp với điều kiện 1 x < - suy ra S = . Æ 2 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S ÈS = 1;+¥ . 1 2 ( )
Câu 9: Bất phương trình 3x -4 ³ x -3 có nghiệm là æ ù é ù é ö A. 7 ç ; -¥ ç ú. ÷ ç B. 1 7 ê ; ú. C. 1 ê ;+¥÷. D. .  è 4 ú û ê2 4ú ë û 2 ÷ ê ø ë Lời giải Chọn B é 1 3 4 3 ê ³ é - ³ - é2x ³1 x x x Ta có ê 2
3x - 4 ³ x -3  ê  ê  ê . ê 3x -4 £ ( - x -3) ê4x £ 7 ê 7 ë ë êx £ êë 4 é ù
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 7 S = ê ; ú . ê2 4ú ë û x + 2 - Câu 10: x
Nghiệm của bất phương trình £ 2 là x A. (0; ] 1 . B. ( ; -¥ -2)È(1;+¥). C. ( ;0 -¥ )È[1;+ ) ¥ . D. [0; ] 1 . Lời giải Chọn C
Điều kiện: x ¹ 0.
TH1. Với x + 2 ³ 0  x ³-2, ta có + - + - - é ³ x 2 x x 2 x 1 x x 1 £ 2  £ 2  £ 0  ê . x x x êx < 0 ë
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 367
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Kết hợp với điều kiện x ³-2, ta được tập nghiệm S = -2;0 È 1;+¥ . 1 ( ) [ ) x + 2 - TH2. Với x -x -2 - x 2x + 2
x + 2 < 0  x < -2, ta có £ 2  £ 2  - £ 2 x x x éx > 0 + + + ê x 1 x 1 2x 1  - £1  1+ ³ 0  ³ 0  ê 1 . x x x êx £ - êë 2 æ ù
Kết hợp với điều kiện 1
x < -2, ta được tập nghiệm là S = ç- ç ; ¥ - ú. 2 çè 2 úû
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S ÈS = - ;0 ¥ È 1;+¥ . 1 2 ( ) [ )
Câu 11: Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x +2 + 2
- x +1 £ x +1 là A. 3. B. 5. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn D
Ta có Xét bất phương trình x + 2 + -2x +1 £ x +1 (*). Bảng xét dấu 1 x -¥ -2 2 +¥ x +2 - 0 + | + 2 - x +1 + | + 0 -
TH1. Với x <-2, khi đó ( )
*  (-x - )+(- x + ) 1 2 2
1 £ x +1  -2 £ 4x x ³ - . 2
Kết hợp với điều kiện x <-2, ta được tập nghiệm S = . Æ 1 TH2. Với 1
-2 £ x < - , khi đó (*)  x + 2 -2x +1 £ x +1  2x ³ 2  x ³1. 2
Kết hợp với điều kiện 1
-2 £ x < , ta được tập nghiệm S = . Æ 2 2 TH3. Với 1 x ³
, khi đó (*)  x + 2 -(-2x + )
1 £ x +1  2x £ 0  x £ 0. 2
Kết hợp với điều kiện 1 x ³
, ta được tập nghiệm S = . Æ 2 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S ÈS ÈS = . Æ 1 2 3
Câu 12: Bất phương trình 3
x + 2 - x -1 < x - có tập nghiệm là 2 æ ö æ ö æ ö A. (-2;+ ) ¥ . B. 1 ç- ç ; ÷ +¥÷. ç ÷ ç ÷ ç C. 3 - ç ;+¥÷. D. 9 ç ;+¥ . ÷ è 2 ÷ø çè 2 ÷ø çè2 ÷ø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 368
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn D Xét bất phương trình 3
x + 2 - x -1 £ x - ( ) * . 2 Lập bảng xét dấu x -¥ -2 1 +¥ x + 2 - 0 + + x 1 - - - 0 +
TH1. Với x < -2, khi đó ( ) 3 3
*  -x -2 + x -1 < x -  x > - . 2 2
Kết hợp với điều kiện x <-2, ta được tập nghiệm S = . Æ 1
TH2. Với -2 £ x <1, khi đó ( ) 3 5
*  x + 2 + x -1 < x -  x < - . 2 2
Kết hợp với điều kiện -2 £ x <1, ta được tập nghiệm S = . Æ 2
TH3. Với x ³1, khi đó ( ) 3 9
*  x + 2 - x +1 < x -  x > . 2 2 æ ö
Kết hợp với điều kiện 9
x ³1, ta được tập nghiệm S = çç ;+¥ . ÷÷ 3 çè2 ÷ø æ ö
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 9
S = S È S È S = çç ;+¥ . ÷÷ 1 2 3 çè2 ÷ø
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình x +1 - x -2 ³ 3 là A. [ 1; - 2]. B. [2; ) +¥ . C. ( ; -¥ - ) 1 . D. (-2; ) 1 . Lời giải Chọn B
Xét bất phương trình x +1 - x -2 ³ 3 (*). Bảng xét dấu -¥ 1 - 2 x +¥ x +1 - 0 + | + x -2 - | - 0 +
TH1. Với x < 1,
- khi đó (*)  - x -1+ x - 2 ³ 3  -3 ³ 3 (vô lý) suy ra S = . Æ 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 369
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 TH2. Với 1
- £ x < 2, khi đó (*)  x +1+ x -2 ³ 3  2x ³ 4  x ³ 2.
Kết hợp với điều kiện 1
- £ x < 2, ta được tập nghiệm S = . Æ 2
TH3. Với x ³ 2, khi đó (*)  x +1- x + 2 ³ 3  3 ³ 3 (luôn đúng).
Kết hợp với điều kiện x ³ 2, ta được tập nghiệm S = 2;+¥ . 3 [ )
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S ÈS ÈS = 2;+¥ . 1 2 3 [ ) Câu 14: -
Tập nghiệm của bất phương trình 5 10 < là x + 2 x -1 A. một khoảng. B. hai khoảng. C. ba khoảng. D. toàn trục số. Lời giải Chọn C ìï ¹ - Điều kiện: x 2 ïí . ïx ¹ 1 ïî Bất phương trình -5 10 1 2 <  <
x -1 -2 x + 2 < 0 ( ) * . x + 2 x -1 x + 2 x -1 Bảng xét dấu: x -¥ -2 1 +¥ x 1 - - | - 0 + x + 2 - 0 + | +
TH1. Với x < -2, khi đó (*)  - x +1+ 2(x + 2)< 0  x < -5.
Kết hợp với điều kiện x <-2, ta được tập nghiệm S = - ; ¥ -5 . 1 ( )
TH2. Với -2 < x <1, khi đó (*)  -x +1-2(x + 2)< 0  3x > -3  x > -1.
Kết hợp với điều kiện -2 < x <1, ta được tập nghiệm S = -1;1 . 2 ( )
TH3. Với x >1 khi đó (*)  x -1-2(x + 2)< 0  x > -5.
Kết hợp với điều kiện x >1, ta được tập nghiệm S = 1;+¥ . 3 ( )
Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = S ÈS ÈS = - ; ¥ -5 È -1;1 È 1;+¥ . 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 2 -3 Câu 15: x
Số nghiệm nguyên của bất phương trình £1 là 1+ x A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 370
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Điều kiện: x +1 ¹ 0  x ¹ 1 - . 2 -3 TH1. Với x 2 -3x 2 -3x 1 3 x ³ 0, ta có £1  £1  1 - £ £1  £ x £ . 1+ x x +1 x +1 4 2 é ù
Kết hợp với điều kiện 1 3
x ³ 0, ta được tập nghiệm S = ê ; ú . 1 ê 4 2ú ë û 2 -3 TH2. Với x 2 + 3x 2 + 3x 3 1 x < 0, ta có £1  £1  1 - £ £1  - £ x £ - . 1+ x x +1 x +1 4 2 é ù
Kết hợp với điều kiện 3 1
x < 0, ta được tập nghiệm S = ê- ;- ú . 2 ê 4 2 ú ë û é ù é ù
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là 1 3 3 1
S = S È S = ê ; ú È ê- ;- ú . 1 2 ê 4 2ú ê 4 2ú ë û ë û
Vậy số nghiệm nguyên x cần tìm là 1 (x = ) 1 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 371
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
x, y có dạng tổng quát là ax by c
(ax by c, ax by  ;
c ax by c)
trong đó a,b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm
và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.
Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax by c như sau
Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng  : ax by c
Bước 2. Lấy một điểm M x ; không thuộc  0  0 0 y Bước 3. Tính  và so sánh  với 0 ax 0 by 0 ax b 0 y c
Bước 4. Kết luận Nếu a
 thì nửa mặt phẳng bờ  chứa   0 x 0 by c
M là miền nghiệm của 0 0 ax 0 by c Nếu 
 thì nửa mặt phẳng bờ  không chứa   0 ax 0 by c
M là miền nghiệm của 0 a 0 x 0 by c Chú ý:
Miền nghiệm của bất phương trình 
 bỏ đi đường thẳng 
 là miền nghiệm của bất 0 ax 0 by c ax by c phương trình    0 x 0 by c
Ví dụ. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2x y  3 Giải
Vẽ đường thẳng  : 2x y  3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 372
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Lấy gốc tọa độ O(0;0) ta thấy O  và có 2.0  0  3 nên nửa mặt phẳng bờ  chứa gốc tọa độ 0 là
miền nghiệm của bất phương trình đã cho .
III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tương tự hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các
nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
3x y  6  x y  4
Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình  x  0  y  0 Giải. Vẽ các đường thẳng
d : 3x y  6 1
d : x y  4 2 d : x  0 (Oy) 2 d : y  0 (Ox) 2
Vì điểm M (1;1) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt 0 phẳng bờ 
d d d không chứa điểm 4  3  2  1 d
M Miền không bị tô đậm trong hình vẽ là miền 0 nghiệm của hệ đã cho.
IV – ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ
Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải
chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 373
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. 2x  5y  3z  0 . B. 2
3x  2x  4  0 . C. 2
2x  5y  3 .
D. 2x  3y  5. Hướng dẫn giải Chọn D.
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 2. Cặp số  1; 
1 là nghiệm của bất phương trình
A. x  4y  1.
B. x y  2  0 .
C.x y  0 .
D.x  3y 1  0 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: 1 4  1  3  1.
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A. 2 2x  3y  0 B. 2 2 x y  2 C. 2 x y  0
D. x y  0 Lời giải Chọn D
Theo định nghĩa thì x + y ³ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Các bất phương trình còn lại
là bất phương trình bậc hai.
Câu 2. Cho bất phương trình 2x  3y  6  0 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Bất phương trình (1) chỉ có một nghiệm duy nhất.
B. Bất phương trình (1) vô nghiệm.
C. Bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm.
D. Bất phương trình (1) có tập nghiệm là  . Lời giải Chọn C
Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): 2x +3y -6 = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Chọn điểm O(0;0) không thuộc đường thẳng đó. Ta thấy ( ;
x y) = (0;0) là nghiệm của bất phương
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 374
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
trình đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ (d) chứa điểm
O(0;0) kể cả (d ) .
Vậy bất phương trình ( )
1 luôn có vô số nghiệm.
Câu 3. Miền nghiệm của bất phương trình: 3x  2( y  3)  4(x 1)  y  3 là nửa mặt phẳng chứa điểm: A. (3;0) B. (3;1) C. (2;1) D. (0;0) Lời giải Chọn C
Ta có 3x + 2(y + ) 3 ³ 4(x + )
1 - y +3- x +3y 1 - ³ 0 .
Vì -2+3.1-1> 0 là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ (2; ) 1 .
Câu 4. Miền nghiệm của bất phương trình: 3(x 1)  4( y  2)  5x  3 là nửa mặt phẳng chứa điểm: A. (0;0) B. (4; 2) C. (2; 2) D. (5;3) Lời giải Chọn A Ta có 3(x- )
1 + 4( y -2)< 5x-3-2x + 4y -8 < 0 .
Vì -2.0+ 4.0-8 < 0 là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ (0; ) 0 .
Câu 5. Miền nghiệm của bất phương trình x  2  2( y  2)  2(1 x) là nửa mặt phẳng không chứa
điểm nào trong các điểm sau? A. (0;0) B. (1;1) C. (4;2) D. (1; 1) Lời giải Chọn C Ta có x
- + 2 + 2(y -2)< 2(1- x)  x +2y < 4 .
Vì -4+ 2.2 < 4 là mệnh đề sai nên ( 4;
- 2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Câu 6. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc nghiệm của bất phương trình: x  4 y  5  0 A. (5;0) B. (2;1) C. (0;0) D. (1; 3) Lời giải Chọn A
Vì -5-4.0+5 > 0 là mệnh đề sai nên ( 5; - )
0 không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Câu 7. Điểm (
A 1;3) là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:
A. 3x  2 y  4  0
B. x  3y  0
C. 3x y  0
D. 2x y  4  0
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 375
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn A Vì - ( 3. - )
1 + 2.3-4 > 0 là mệnh đề đúng nên A( 1 - ; )
3 là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3
- x + 2y -4 > 0 .
Câu 8. Cặp số (2;3) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. 2x  3y 1  0 .
B. x y  0 .
C. 4x  3y .
D. x  3y  7  0 . Lời giải Chọn B
Vì 2-3 < 0 là mệnh đề đúng nên cặp số (2; )
3 là nghiệm của bất phương trình x – y < 0 .
Câu 9. Miền nghiệm của bất phương trình x y  2 là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau? y y 2 2 2 2 x x O O A. B. y y 2 2 x 2 x 2 O O C. D. Lời giải Chọn A
Đường thẳng D : x + y -2 = 0 đi qua hai điểm A(2;0), B(0;2) và cặp số (0; ) 0 thỏa mãn bất
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 376
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
phương trình x- y £ 2 nên Hình 1 biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y £ 2 .
Câu 10. Phần tô đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau? y 3 2 x O -3
A. 2x y  3
B. 2x y  3
C. x  2 y  3
D. x  2 y  3 Lời giải Chọn B æ ö
Đường thẳng đi qua hai điểm 3 A çç ;0÷÷ ç và B(0;- )
3 nên có phương trình 2x - y = 3 . è2 ÷ø Mặt khác, cặp số (0; )
0 không thỏa mãn bất phương trình 2x- y > 3 nên phần tô đậm ở hình trên
biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x- y > 3 .
Dạng 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm
x  3y  2  0
Câu 1. Cho hệ bất phương trình 
. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của
2x y 1  0 hệ bất phương trình? A. M (0;1) B. N (1;1) C. P(1;3) D. Q(1;0) Lời giải Chọn B
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. ìï + - ³ Với 0 3.1 2 0 ï M (0; ) 1  í
. Bất phương trình thứ hai sai nên A sai. ï2.0 +1+1£ 0 ïî ìï 1 - + 3.1- 2 ³ 0 Với ï N (–1; ) 1  í : Đúng. Chọn B. ï ( 2. - ) 1 +1+1£ 0 ïî
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 377
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
2x  5y 1  0 
Câu 2. Cho hệ bất phương trình  2x y  5  0 . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm
x y 1 0 
của hệ bất phương trình? A. O(0;0) B. M (1;0) C. N (0; 2) D. P(0; 2) Lời giải Chọn C
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. ìï2.0-5.0-1> 0 ï Với ï O(0; )
0  í2.0 + 0 +5 > 0 . Bất phương trình thứ nhất và thứ ba sai nên A sai. ï0ïï+0+1<0 ïî ìï2.1-5.0-1> 0 ï Với ï M (1; )
0  í2.1+ 0 +5 > 0 . Bất phương trình thứ ba sai nên B sai. ï1ïï+0+1<0 ïî ìï2.0-5 (.- ) 3 -1> 0 ïï Với ï N (0;- )
3  í2.0 +(-2)+5 > 0 : Đúng. Chọn C. ïï0ïï+(-2)+1<0 î  x y  1 0  2 3 
Câu 3. Miền nghiệm của hệ bất phương trình x  0
chứa điểm nào trong các điểm sau đây?  1 3yx    2  2 2 A. O(0;0) B. M (2;1) C. N (1;1) D. P(5;1) Lời giải Chọn B
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. ìï0 0 ï + -1³ 0 ïï2 3 ï Với ï O(0; ) 0  0 í ³ 0
. Bất phương trình thứ nhất sai nên A sai. ïïï 1 3.0 0 ïï + - £ 2 ïïî 2 2 ìï2 1 ï + -1³ 0 ïï2 3 ï Với ï M (2; ) 1  í2 ³ 0 : Đúng. Chọn B. ïïï 1 3.1 ïï2+ - £ 2 ïïî 2 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 378
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 3
x y  9  x y  3
Câu 4. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
chứa điểm nào trong các điểm sau đây? 2 y  8  x  y  6 A. O(0;0) B. M (1; 2) C. N (2;1) D. P(8; 4) Lời giải Chọn D
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Câu 5. Điểm M (0; 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trìnhnào sau đây?
2x y  3
2x y  3
2x y  3 
2x y  3  A. B. C. D.
2x  5y  12x  8
2x  5y  12x  8
2x  5y  12x  8
2x  5y  12x  8 Lời giải Chọn A
Thay tọa độ M (0; 3
- ) lần lượt vào từng hệ bất phương trình.
x y  2  0
Câu 6. Cho hệ bất phương trình 
. Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc miền
2x  3y  2  0
nghiệm của hệ bất phương trình? A. O(0;0) B. M (1;1) C. N (1;1)
D. P(1; 1) Lời giải Chọn C
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
x  2y  0 
Câu 7. Miền nghiệm của hệ bất phương trình x  3y  2
 là phần không tô đậm của hình vẽ nào y x  3 
trong các hình vẽ sau? A. B.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 379
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 C. D. Lời giải Chọn A Chọn điểm M (0; )
1 thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn.
x y 1  0 
Câu 8. Miền nghiệm của hệ bất phương trình y  2
là phần không tô đậm của hình vẽ nào
x  2y  3 
trong các hình vẽ sau? y y 2 2 1 1 x 1 x 1 -3 O -3 O A. B. y y 2 2 1 1 x 1 x 1 -3 O -3 O C. D. Lời giải Chọn B
Chọn điểm M (0;4) thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 380
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 9. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây , biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào
trong các hệ bất phương trình sau? Lời giải Chọn B x y  0 x y  0 x y  0 x y  0 A. B. C. D.  2x y 1
2x y  1
2x y  1 2x y 1
Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A.
Chọn điểm M (1;0) thử vào các hệ bất phương trình. ìï - > Xét đáp án B, ta có 1 0 0 ïí
: Đúng và miền nghiệm không chứa biên. ï2.1-0 >1 ïî
Câu 10. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây , biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào
trong các hệ bất phương trình sau? y 1 -2 x 2
x  2y  0
x  2y  0
x  2y  0
x  2y  0 A. B. C. D.
x  3y  2 
x  3y  2 
x  3y  2 
x  3y  2  Lời giải Chọn D
Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A và C. Chọn điểm M (0; )
1 thử vào các hệ bất phương trình. ìï - >
Xét đáp án B, ta có 0 2.1 0 ïí : Sai. 0 ï + 3.1< -2 ïî
Dạng 3. Bài toán tối ưu 1. Phương pháp
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T (x, y)  ax by với (x; y) nghiệm
đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền
nghiệm S là đa giác.
Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với (x; y) là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
Bước 3: Kết luận:
· Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 381
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
· Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
y  2x  2 
Ví dụ 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F y x trên miền xác định bởi hệ 2y x  4 là
x y  5 
A. min F 1 khi x  2 , y  3 .
B. min F  2 khi x  0 , y  2 .
C. min F  3 khi x  1, y  4 .
D. min F  0 khi x  0 , y  0 . Hướng dẫn giải Chọn A.
y  2x  2 
Miền nghiệm của hệ 2y x  4 là miền trong của tam giác ABC kể cả biên
x y  5 
Ta thấy F y x đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . Tại A0; 2  thì F  2 . Tại B 1; 4  thì F  3 Tại A2; 3  thì F 1.
Vậy min F 1 khi x  2 , y  3 . 0  x  10  0  y  9
Ví dụ 2 : Giá trị nhỏ nhất  
trên miền xác định bởi hệ mi F
của biểu thức F ( ; x y) 4x 3 n y
2x y 14 
2x 5y  30 là
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 382
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. F  23 B. F  26 C. F  32 D. F  67 min min mim min Lời giải Chọn C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng
d : 2x + y -14 = 0, d : 2x + 5 y -30 = 0, D : y = 9, D' : x = 10. 1 2 y 14 d1 B C 9 d2 6 ' 4 A D 2 O 5 7 10 x 5 2
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ. æ ö
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là A( ) 5 5;4 ,
B çç ;9÷÷, C ( 10;9), D ( 10;2). ç è2 ÷ø ìïF (5;4)= 32 ïïïï æ5 ö ïïF çç ;9÷÷= 37 Ta có ï ç í è2 ÷ø ¾¾  F = 32. min ïïïF(10;9)= 67 ïïïïF(10;2)=46 ïî
Ví dụ 3: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210
g đường để pha chế nước cam và nước táo.
● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;
● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng.
Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?
A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo.
B. 6 lít nước cam và 5 lít nước táo.
C. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo.
D. 4 lít nước cam và 6 lít nước táo. Lời giải Chọn C
Giả sử x, y lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 383
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Suy ra 30x +10y là số gam đường cần dùng;
x + y là số lít nước cần dùng;
x + 4 y là số gam hương liệu cần dùng. ìïx ³ 0 ìïx ³ 0 ï ï ï ï ïy ³ 0 ïy ³ 0 ï ï ï ï Theo giả thiết ta có 3 ïí 0 ï
x +10 y £ 210  3
í x + y £ 21 . ( ) * ï ï ï ï ïx + y £ 9 ïx + y £ 9 ï ï ï ï ïïx 4y 24 ï + £ î ïx + 4 y £ 24 î
Số điểm thưởng nhận được sẽ là P = 60x +80y.
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với x, y thỏa mãn ( ) * .
Ví dụ 4 : Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm
● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn;
● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn.
Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu
để có mức lời cao nhất?
A. 30 kg loại I và 40 kg loại II.
B. 20 kg loại I và 40 kg loại II.
C. 30 kg loại I và 20 kg loại II.
D. 25 kg loại I và 45 kg loại II. Lời giải Chọn B Gọi x ³ 0, 0 y ³ ( )
kg lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.
Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng: 2x + 4 y £ 200.
Tổng số giờ làm việc: 30x +15y £1200.
Lợi nhuận tạo thành: L = 40x +30y .
Thực chất của bài toán này là phải tìm x ³ 0, y ³ 0 thoả mãn hệ 2
ìï x + 4 y £ 200 ïí
sao cho L = 40x +30y đạt giá trị lớn nhất. 30
ï x + 15y £ 1200 ïî
Vi dụ 5: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm I và II .
Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản
xuất được một sản phẩm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1
giờ. Để sản xuất được một sản phẩm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm
việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một
tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền
lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là. A. 32 triệu đồng. B. 35 triệu đồng. C. 14 triệu đồng. D. 30 triệu đồng. Hướng dẫn giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 384
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn A.
Gọi x , y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x , y nguyên dương. 3
x  2y 180 
x  6y  220
Ta có hệ bất phương trình sau:  x  0  y  0
Miền nghiệm của hệ trên là y 90 B C x O A
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T  0,5x  0, 4y .
Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . Vì C có tọa độ không nguyên nên loại. Tại A60; 0
 thì T  30 triệu đồng. Tại B40; 3
0 thì T  32 triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.
3. Bài tập trắc nghiệm
2x y  2 
x  2y  2
Câu 1. Biểu thức F (x; y)  y x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện 
tại điểm M có toạ độ x y  5   x  0 là:  8 7   2 2  A. (4;1) B. ;    C. ;    D. (5;0)  3 3   3 3  Lời giải Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 385
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Vẽ các đường thẳng :
d : y  2x  2 1   1 d : y x 1 2  2
d : y  5 3  x
Khi đó miền nghiệm của hệ là miền trong của tam giác ABC  7 8   2 2 
Tọa độ các đỉnh: A ; ; B 4;  1 ;C ;       3 3   3 3   2 2  4  Ta có : F 4;  1  3  ; F ;   F  3    min  3 3  3
x  2y 100  0 
2x y 80  0
Câu 2. Cho x, y thoả mãn hệ 
Tìm giá trị lớn nhất ma P của biểu thức x x  0  y  0 P  ( ;
x y)  40000x  30000 y A. P  2000000 B. P  2400000 C. P 1800000 D. P 1600000 max max max max Lời giải Chọn A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng d : x + 2y -100 = 0, d : 2x + y -80 = 0. 1 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 386
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 y 80 A 50 B 40 C 100 x O 20 40 d1 d2
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là
O(0;0), A (0;50), B (20; 40),C (40;0). ìïP(0;0)= 0 ïïïïP(0;50)=1500000 Ta có ïí ¾¾  P = 2000000. ï max ïP (20;40) = 2000000 ïïïïP(40;0)=1600000 î 0  y  4  x  0
Câu 3. Giá trị lớn nhất  
trên miền xác định bởi hệ là max F
của biểu thức F (x; y) x 2 y
xy 1 0 
x  2y 10  0 A. F  6 B. F  8 C. F  10 D. F  12 max max max max Lời giải Chọn C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng d : x - y -1 = 0, d : x + 2y -10 = 0, D : y = 4. 1 2 y d1 5 C 4 D B 3 d2 A x O -1 1 2 4 10
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng tô màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là O(0;0), A( 1;0), B( 4; ) 3 , C ( 2;4), D( 0;4).
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 387
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìïF (0;0)= 0 ïïïïF(1;0)=1 ïï
Ta có ïíF (4;3)=10 ¾¾  F = 10. max ïïïïF(2;4)=10 ïïïïF(0;4)=8 ïî
Câu 4. Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin A và B đã thu
được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A
lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin
B . Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị
vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị
vitamin A . Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí
rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng.
A. 600 đơn vị Vitamin A , 400 đơn vị Vitamin B
B. 600 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B
C. 500 đơn vị Vitamin A , 500 đơn vị Vitamin B
D. 100 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B Lời giải Chọn D Gọi x ³ 0, 0
y ³ lần lượt là số đơn vị vitamin A và B để một người cần dùng trong một ngày.
Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên ta có:
400 £ x + y £1000.
Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên ta có: x £ 600, 500. y £
Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A
và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên ta có: 0,5x £ y £ 3x.
Số tiền cần dùng mỗi ngày là: T (x, y) = 9x +7,5y.
Bài toán trở thành: Tìm x ³ 0, 0 y ³ thỏa mãn hệ 0
ìï £ x £ 600,0 £ y £ 500
ïïí400£x +y £1000
để T (x, y)= 9x +7,5 đạt giá trị nhỏ nhất. ï y 0,
ïï 5x £ y £ 3x ïî
Câu 5. Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng
"Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước
giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau.
Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.
Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy
sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 388
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?
A. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm.
C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
D. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm. Lời giải Chọn A Gọi x ³ 0, 0
y ³ lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai. 3
ìï x + 2y ³ 900 ï Bài toán đưa đến tìm ï x ³ 0, 0
y ³ thoả mãn hệ íx + 3y ³ 1000 sao cho = + nhỏ nhất. ï L x y 6 ïï x + y = 900 ïî
Câu 6. Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A và sản phẩm B
trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm A lãi 4 triệu đồng người ta sử
dụng máy I trong 1 giờ, máy  trong 2 giờ và máy MI trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn
sản phẩm B lãi được 3 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy  trong 3 giờ
và máy MI trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động
không quá 23 giờ và máy MI hoạt động không quá 27 giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho
nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất.
A. Sản xuất 9 tấn sản phẩm A và không sản xuất sản phẩm B
B. Sản xuất 7 tấn sản phẩm A và 3 tấn sản phẩm B 10 49 C. Sản xuất
tấn sản phẩm A và tấn sản phẩm B 3 9
D. Sản xuất 6 tấn sản phẩm B và không sản xuất sản phẩm A Lời giải Chọn B Gọi x ³ 0, 0
y ³ là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm A và sản phẩm . B Ta có:
x + 6 y là thời gian hoạt động của máy I .
2x + 3y là thời gian hoạt động của máy II .
3x + 2 y là thời gian hoạt động của máy III .
Số tiền lãi của nhà máy: T = 4x +3y . ìïx +6y £ 36 ï Bài toán trở thành: Tìm ï x ³ 0, 0 y ³ thỏa mãn 2
í x + 3y £ 23 để T = 4x + 3 đạt giá trị lớn ï y 3 ïï x +2y £ 27 ïî nhất.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 389
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Câu 7.
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn
vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1
kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi
x , y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm x , y để tổng số tiền họ
phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
A. x  0,3 và y  1,1. B. x  0,3 và y  0,7 . C. x  0,6 và y  0,7 . D. x  1, 6 và y  0, 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. 0  x 1,6
Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là 160.x 110.y với x , y thỏa mãn:  . 0  y 1,1
Số đơn vị protein gia đình có là 0,8.x  0,6.y  0,9  8x  6y  9  . 1 d
Số đơn vị lipit gia đình có là 0, 2.x  0, 4.y  0, 4  x  2y  2 d . 2  0  x  1,6  0  y  1,1
Bài toán trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình  sao cho 8x  6y  9 
x  2y  2
T  160.x 110.y nhỏ nhất. y x 1  ,6 2 D A y 1  ,1 1 C B O 1 2 x x2y 2 8x6y 9
Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm A1,6;1, 
1 ; B1,6;0,2 ; C 0,6;0,7 ; D 0,3;1,  1 .
Nhận xét: T A  377 nghìn, T B  278 nghìn, T C 173 nghìn, T D 169 nghìn.
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì
x  0, 6 và y  0, 7 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Trang 390
Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
BÀI 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f (x ) 2 = ax +bx + , c trong đó , a ,
b c là những hệ số, a ¹ 0.
2. Dấu của tam thức bậc hai
Người ta đã chứng minh được định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây Định lý Cho f (x) 2
= ax +bx + c (a ¹ ) 2 0 , D = b -4a . c
Nếu D < 0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số ,
a với mọi x Î .  Nếu D = 0 thì b
f (x) luôn cùng dấu với hệ số ,
a trừ khi x = - . 2a
Nếu D > 0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x hoặc x > x , trái dấu với hệ số 1 2 a khi x < < trong đó x , <
là hai nghiệm của f (x). 1 x2 (x1 x2 ) 1 x x2 Chú ý
Trong định lí trên, có thể thay biệt thức 2
D = b -4ac bằng biệt thức thu gọn D¢ =(b¢)2 -a .c
Minh họa hình học
Định lí về dấu của tam thức bậc hai có minh họa hình học sau
II – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Bất phương trình bậc hai
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 391
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng 2
ax + bx + c < 0 (hoặc 2
ax + bx + c £ 0, 2
ax + bx + c > 0, 2
ax + bx + c ³ 0 ), trong đó , a ,
b c là những số thực đã cho, a ¹ 0.
2. Giải bất phương trình bậc hai
Giải bất phương trình bậc hai 2
ax + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó ( ) 2
f x = ax + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0 ) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0 ).
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Dạng 1. Xét dấu của tam thức bậc hai áp dụng vào giải bất phương trình bậc hai đơn giản 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tam thức bậc hai f (x) 2 = x +( 5 - )
1 x - 5 nhận giá trị dương khi và chỉ khi A. x Î(- 5; ) 1 . B. x Î (- 5;+ ) ¥ . C. x Î(- ; ¥ - 5)È(1;+¥). D. x Î (-¥ ) ;1 . Lời giải Chọn C éx = 1 Ta có f (x) 0 ê =  ê . êx = - 5 ë Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu f (x)> 0  x Î(- ; ¥ - 5)È(1;+¥).
Ví dụ 2: Tam thức bậc hai f (x) 2
= -x + 3x - 2 nhận giá trị không âm khi và chỉ khi A. x Î (-¥ ) ;1 È(2;+¥) .
B. x Î[1;2] . ` C. x Î (-¥ ] ;1 È[2;+¥) . D. x Î (1;2) . Lời giải Chọn B é = Ta có f (x) x 1 = 0 ê . êx = 2 ë Bảng xét dấu
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 392
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dựa vào bảng xét dấu f (x)³ 01£ x £ 2 .
Ví dụ 3: Tập nghiệm của bất phương trình 2 2x -( 2 + ) 1 x +1 < 0 là: æ ö A. ç 2 ç ;1 . ÷÷ ç ÷ B. . Æ çè 2 ÷ø é ù æ ö C. 2 ê ç 2 ;1ú. ÷ ç-¥ ÷ ê D. ; ç ÷È(1;+¥). 2 ú ê ç ÷ ë úû è 2 ø Lời giải Chọn C é 2 ê Ta có ( ) 2 = = 2 -( 2 + ) 1 +1 = 0 x f x x x  ê 2 . ê êx =1 ë Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu f (x) 2 < 0 < x <1. 2
Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình 2
6x + x -1 £ 0 là é ù æ ö A. 1 1 ê- ; ú . B. 1 1 ç- ç ; ÷÷ . ê 2 3ú ë û çè 2 3÷ø æ ö æ ö æ ù é ö C. 1 1 çç ; ÷ -¥ - ÷Èçç ; ÷ +¥÷ ç ÷ ç . D. 1 1 ç ; -¥ - ú È ê ;+¥÷. è 2÷ø çè3 ÷ø çè 2ú ê3 ÷ø û ë Lời giải Chọn A é 1 êx = Ta có ê f (x) 2 3
= 6x + x -1= 0 ê . ê 1 êx = - ëê 2 Bảng xét dấu
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 393
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dựa vào bảng xét dấu f (x) 1 1 £ 0- £ x £ . 2 3
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho f (x) 2
= ax +bx + c (
a ¹ 0). Điều kiện để f (x) > 0, x " Î  là ìï > ìï > ìï > ìï < A. a 0 ï a a a í . B. 0 ïí . C. 0 ïí . D. 0 ïí . ïD £ 0 ïî ïD ³ 0 ïî ïD < 0 ïî ïD > 0 ïî Lời giải Chọn C
f (x ) > 0, "x Î  khi a > 0 và D < 0 .
Câu 2: Cho f (x) 2
= ax +bx + c(a ¹ 0) . Điều kiện để f (x)³ 0, "x Î  là A. a ìï > 0 ï a ìï > a ìï > a ìï < í . B. 0 ï C. 0 ï D. 0 ï . ï í í í D £ 0 ïî ïD ³ 0 ïî ïD < 0 ïî ïD > 0 ïî Lời giải Chọn A f (x) ³ 0, "
x Î  khi a > 0 và D £ 0 .
Câu 3: Cho f (x) 2
= ax +bx + c(a ¹ 0) . Điều kiện để f (x)< 0, "x Î  là ìïa < ìïa < A. ï 0 a ìï < a ìï > 0 í . B. 0 ï C. 0 ï D. ï . ï í í í D £ ïî 0 ïD = 0 ïî ïD < 0 ïî ïD < ïî 0 Lời giải Chọn D f (x) < 0, "
x Î  khi a < 0 và D < 0 .
Câu 4: Cho f (x) 2
= ax + bx + c(a ¹ 0) . Điều kiện để f (x)£ 0, "x Î  là A. a ìï < 0 ï a ìï < a ìï > a ìï < í . B. 0 ï C. 0 ï D. 0 ï . ï í í í D £ 0 ïî ïD ³ 0 ïî ïD < 0 ïî ïD > 0 ïî Lời giải Chọn A
f (x) £ 0, x
" Î  khi a < 0 và D £ 0 .
Câu 5: Cho f (x) 2
= ax + bx + c(a ¹ 0) có 2
D = b -4ac < 0 . Khi đó mệnh đề nào đúng?
A. f (x)> 0, "x Î  .
B. f (x)< 0, "x Î  .
C. f (x) không đổi dấu.
D. Tồn tại x để f (x)= 0 . Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 394
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Vì D < 0 và a ¹ 0 nên f (x) không đổi dấu trên  .
Câu 6: Tam thức bậc hai f (x) 2
= 2x + 2x + 5 nhận giá trị dương khi và chỉ khi
A. x Î (0;+¥). B.
x Î (-2;+¥). C. x Î .  D. x Î (-¥;2). Lời giải Chọn C ìï = > Ta có a 2 0 ïí
f (x)> 0, . "x Î  ïD' = 1-2.5 = -9 < 0 ïî Câu 7:
Số giá trị nguyên của x để tam thức f (x) 2
= 2x -7x - 9 nhận giá trị âm là A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn B éx = -1 ê
Ta có f (x)= 0 ê 9 . Bảng xét dấu êx = êë 2
Dựa vào bảng xét dấu f (x) 9
< 0-1< x < . Mà x nguyên nên x Î {0;1;2;3; } 4 . 2
Câu 8: Tam thức bậc hai f (x) 2
= x +(1- 3)x -8-5 3 :
A. Dương với mọi x Î  .
B. Âm với mọi x Î  .
C. Âm với mọi x Î(-2- 3;1+2 3) .
D. Âm với mọi x Î (-¥ ) ;1 . Lời giải Chọn B éx = - - 3 Ta có ê f (x) 2 = 0 ê . êx =1+ 2 3 ë Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu f (x)< 0-2- 3 < x <1+ 2 3 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 395
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 9: Tam thức bậc hai f (x)= ( - ) 2 1
2 x +(5-4 2)x -3 2 + 6
A. Dương với mọi x Î  .
B. Dương với mọi x Î(-3; 2).
C. Dương với mọi x Î(-4; 2) .
D. Âm với mọi x Î  . Lời giải Chọn B éx = -3 Ta có f (x) 0 ê =  ê . êx = 2 ë Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu f (x)> 0-3 < x < 2 .
Câu 10: Cho f (x) 2
= x - 4x + 3 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:
A. f (x)< 0, "x Î(- ; ¥ ] 1 È[3;+¥)
B. f (x)£ 0, "x Î[ 1;3 ]
C. f (x)³ 0, "x Î (-¥; ) 1 È(3;+¥)
D. f (x)> 0, "x Î[ 1;3 ] Lời giải Chọn B é = Ta có f (x) x 3 = 0 ê . êx =1 ë Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu f (x)£ 01£ x £ 3.
Câu 11: Dấu của tam thức bậc 2: f (x) 2
= –x + 5x – 6 được xác định như sau:
A. f (x)< 0 với 2 < x < 3 và f (x)> 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
B. f (x)< 0 với –3 < x < –2 và f (x)> 0 với x < –3 hoặc x > –2 .
C. f (x)> 0 với 2 < x < 3 và f (x)< 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
D. f (x)> 0 với –3 < x < –2 và f (x)< 0 với x < –3 hoặc x > –2 . Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 396
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 é = Ta có f (x) x 3 = 0 ê . êx = 2 ë Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta được
f (x)> 0 với 2 < x < 3 và f (x) < 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình: 2
2x – 7x – 15 ³ 0 là: æ ù é ù é ö é ù A. 3 çç– ; ¥ – ú È[5;+ ) ÷ ç ¥ . B. 3 ê– ;5ú . C. (-¥ - ] 3 ; 5 È ê ;+¥÷ . D. 3 ê 5; - ú . è 2 úû ê 2 ú ë û 2 ÷ ê ø ë ê 2ú ë û Lời giải Chọn A éx = 5 ê Ta có 2
2x – 7x –15 = 0 ê 3 . êx ê = - ë 2 Bảng xét dấu x  5 Dựa vào bảng xét dấu 2
2x – 7x –15 0    3 .  x    2
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình: 2
–x + 6x + 7³ 0 là: A. ( ; -¥ - ] 1 È[7;+¥) . B. [-1;7]. C. ( ;
-¥ -7]È[1;+¥) . D. [- ] 7;1 . Lời giải Chọn B é = Ta có x 7 2
–x + 6x + 7= 0  ê . êx = -1 ë Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu 2
– x  6x  7  0  1  x  7.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 397
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 14: Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2 2
- x + 3x -7 ³ 0. A. S = 0. B. S = {0}. C. S = . Æ D. S = .  Lời giải Chọn C Ta có 2
–2x +3x - 7= 0 vô nghiệm. Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu 2 2
x  3x  7  0  x  .
Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình 2
x -3x + 2 < 0 là: A. (-¥ ) ;1 È(2;+¥). B. (2;+¥). C. (1;2). D. (-¥ ) ;1 . Lời giải Chọn C é = Ta có f (x) x 2 2
= x -3x + 2 = 0 ê . êx =1 ë Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu f (x)< 01< x < 2 .
Câu 16: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x - +5x -4 < 0 là A. [1;4] . B. (1;4) . C. (-¥ ) ;1 È(4;+¥). D. (-¥ ] ;1 È[4;+¥) . Lời giải Chọn C é = Ta có f (x) x 4 2
= -x + 5x - 4 = 0 ê . êx =1 ë Bảng xét dấu
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 398
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 é <
Dựa vào bảng xét dấu f (x) x 1 < 0 ê . êx > 4 ë
Câu 17: Số thực dương lớn nhất thỏa mãn 2
x - x -12 £ 0 là ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn D é = Ta có f (x) x 4 2
= x - x -12 = 0 ê . êx = -3 ë Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu f (x)£ 0-3 £ x £ 4 . Suy ra số thực dương lớn nhất thỏa 2
x - x -12 £ 0 là 4 .
Câu 18: Cho bất phương trình 2
x -8x + 7 ³ 0 . Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử
không phải là nghiệm của bất phương trình. A. ( ; -¥ 0]. B. [8;+¥). C. ( ; -¥ ] 1 . D. [6;+¥). Lời giải Chọn D é = Ta có f (x) x 1 2
= x -8x + 7 = 0 ê . êx = 7 ë Bảng xét dấu é £
Dựa vào bảng xét dấu f (x) x 1 ³ 0  ê . êx ³ 7 ë
Tập nghiệm của bất phương trình là S = ( ¥ - ] ;1 È[7;+ ) ¥ .
Vì 13 Î[6;+¥) và 13 Ï S nên [6; )
+¥ thỏa yêu cầu bài toán. 2 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 399
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Dạng 2. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình tích 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Biểu thức ( 2 3x 1 - 0x + ) 3 (4x - ) 5 âm khi và chỉ khi æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö A. 5 1 5 x Î ç- ç ; ¥ . ÷÷ Î ç ÷ - ç ¥ ÷Èç ÷ Îç ÷ Îç ÷ ç B. 1 5 x ;
ç ;3÷. C. x ç ; ÷È(3;+ ) ¥ . D. 1 x ç ;3 . ÷ è 4÷ø çè 3÷ø çè4 ÷ø çè3 4÷ø çè3 ÷ø Lời giải Chọn B
Đặt f (x)= ( 2
3x -10x + 3)(4x -5) é x = 3 ê Phương trình 2
3x -10x + 3 = 0  ê 1 và 5
4x -5 = 0  x = . êx = ê 4 ë 3 Lập bảng xét dấu 1 x -¥ 5 3 +¥ 3 4 2 3x -10x +3 + 0 - - 0 + 4x -5 - - 0 + + f (x) - 0 + 0 - 0 + æ ö æ ö
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f (x) 1 5 < 0  x Îç- ç ; ÷ ¥ ÷Èçç ;3 .÷÷ ç è 3÷ø çè4 ÷ø
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình 3 2
x + 3x - 6x - 8 ³ 0 là A. x Î[-4;- ] 1 È[2;+ ) ¥ . B. x Î(-4;- ) 1 È(2;+ ) ¥ . C. x Î[ 1; - + ) ¥ . D. x Î(- ; ¥ -4]È[ 1 - ;2]. Lời giải Chọn A Bất phương trình 3 2
x + x - x - ³  (x - )( 2 3 6 8 0
2 x + 5x + 4)³ 0. é = - Phương trình x 4 2
x + 5x + 4 = 0  ê và ê
x - 2 = 0  x = 2. x = 1 - ë Lập bảng xét dấu x -¥ -4 1 - 2 +¥
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 400
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 x + 5x + 4 + 0 - 0 + + x - 2 - - - 0 + (x - )( 2 2 x + 5x + 4) - 0 + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng (x - )( 2
2 x + 5x + 4)³ 0  x Î[-4;- ] 1 È[2;+¥).
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giải bất phương trình x (x + )£ ( 2 5 2 x +2). A. x £1. B. 1£ x £ 4. C. x Î(-¥ ] ;1 È[4;+ ) ¥ . D. x ³ 4. Lời giải Chọn C
Bất phương trình x (x + )£ ( 2 x + ) 2 2 2 5 2
2  x + 5x £ 2x + 4  x -5x + 4 ³ 0 é = Xét phương trình x 1 2
x - 5x + 4 = 0  (x - ) 1 (x - 4) = 0  ê . êx = 4 ë Lập bảng xét dấu x -¥ 1 4 +¥ 2 x -5x + 4 + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2
x -5x + 4 ³ 0  x Î (- ; ¥ ] 1 È[4;+ ) ¥ . Câu 2: Biểu thức ( 2 - x )( 2 x + x - )( 2 4 2
3 x +5x +9) âm khi A. x Î(1;2) .
B. x Î(-3;-2)È(1;2). C. x ³ 4. D. x Î(- ; ¥ 3 - )È( 2 - ; ) 1 È(2;+ ) ¥ . Lời giải Chọn D Đặt f (x)= ( 2 - x )( 2 x + x - )( 2 4 2 3 x + 5x + 9) é = Phương trình x 2 2 4 - x = 0  ê . êx = -2 ë é = Phương trình x 1 2
x + 2x - 3 = 0  ê . êx = -3 ë
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 401
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 æ ö Ta có 5 11 2 2
x + 5x + 9 = ççx ÷ + ÷ +
> 0  x + 5x + 9 = 0  x Î . Æ ç Lập bảng xét dấu: è 2÷ø 4 x -¥ -3 -2 1 2 +¥ 2 4 - x - - 0 + 0 + 0 - 2 x + 2x -3 + 0 - - 0 + + 2 x + 5x + 9 + + + + + f (x) - 0 + 0 - 0 + 0 - éx < -3 ê
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ( 2 4 - x )( 2 x + 2x -3)( 2
x + 5x + 9) < 0  ê-2 < x <1 ê êx > 2 ë  x Î( ; -¥ - ) 3 È( 2 - ; ) 1 È(2; ) +¥ .
Dạng 3. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tập nghiệm x -7
S của bất phương trình > 0 là 2 4x -19x +12 æ ö æ ö A. 3 3 S = ç- ç ; ÷ ¥ ÷È(4;7). = ç ÷ ç
B. S ç ;4÷È(7;+ ) ¥ . è 4 ÷ø çè4 ÷ø æ ö æ ö C. 3 3 S = çç ;4÷÷È(4;+ ) ¥ . = ç ÷ ç
D. S ç ;7÷È(7;+¥). è4 ÷ø çè4 ÷ø Lời giải Chọn B ìïx ¹ 4 ï Điều kiện: 2 4 ï
x -19x +12 ¹ 0  (x - 4)(4 x - 3) ¹ 0  í 3 . ïx ¹ ïïî 4 éx = 4 ê
Phương trình x -7 = 0  x = 7 và 2
4x -19x +12 = 0  ê 3 . êx = êë 4 Bảng xét dấu: x -¥ 3 4 7 +¥ 4
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 402
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 x -7 - - - 0 + 2 4x -19x +12 + - + + f (x) - + - 0 + é 3 - ê
Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình x 7 < x < 4 > 0  ê 4 . 2 4x -19x +12 ê êx > 7 ë æ ö
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 3 S = çç ;4÷÷È(7;+ ) ¥ . ç è4 ÷ø
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x + 3 1 2x x thỏa mãn - < ? 2 2 x - 4 x + 2 2x - x A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn C 2 ìïx -4 ¹ 0 ïï ìï ¹ Điều kiện: x 0 ï ï íx + 2 ¹ 0  í . Bất phương trình: ï ïx ¹ 2 ï 2 ïî 2 ï x - x ¹ 0 ïî x + 3 1 2x x + 3 1 2x 2x + 9 - <  - + < 0  < 0. 2 2 2 2 2 x - 4 x + 2 2x - x x - 4 x + 2 x - 2x x - 4 Bảng xét dấu: x -¥ 9 - -2 2 +¥ 2 2x + 9 - 0 + + + 2 x - 4 + + - + f (x) - 0 + - + + æ ö
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2x 9 9 < 0  x Îç- ç ; ÷ ¥ - ÷È(-2;2). 2 ç ÷ x - 4 è 2ø
Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x = ) 1 thỏa mãn yêu cầu.
3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: 11x + 3
Biểu thức f (x)=
nhận giá trị dương khi và chỉ khi 2 -x +5x -7 æ ö æ ö æ ö æ ö A. 3 x Î ç- ç ;+¥ . ÷÷ Îç ÷ Îç ÷ Îç ÷ ç B. 3 x - ç ;5 . ÷ C. 3 x - ç ; ¥ - . ÷ D. 3 x - ç 5;- . ÷ è 11 ÷ø çè 11 ÷ø çè 11÷ø çè 11÷ø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 403
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn C 2 æ ö Ta có 5 3 2
- x + 5x -7 = -( 2
x - 5x + 7) = -ççx ÷ - ÷ - < 0, "x Î . ç  è 2÷ø 4 æ ö
Do đó, bất phương trình f (x) 3 3
> 0  11x +3 < 0  x < -  x Îç- ç ; ¥ - . ÷÷ 11 çè 11÷ø 2 Câu 2: -2x +7x +7
Tập nghiệm S của bất phương trình £ 1 - là 2 x - 3x -10 A. Hai khoảng.
B. Một khoảng và một đoạn.
C. Hai khoảng và một đoạn. D. Ba khoảng. Lời giải Chọn C ìï ¹ - Điều kiện: x 2 2 ï
x - 3x -10 ¹ 0  (x + 2)(x -5) ¹ 0  í . ïx ¹ 5 ïî Bất phương trình 2 2 2 -2x +7x +7 -2x +7x +7 -x + 4x -3 £ 1 -  +1 £ 0  £ 0 ( ) * . 2 2 2 x -3x -10 x -3x -10 x -3x -10 Bảng xét dấu x -¥ -2 1 3 5 +¥ 2 - x + 4x -3 - - 0 + 0 - - 2 x -3x -10 + - - - + f (x) - + 0 - 0 + -
Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình ( ) *  x Î(- ; ¥ -2)È[1;3]È(5;+ ) ¥ . 4 2 Câu 3: x - x
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình £ 0 ? 2 x + 5x + 6 A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn D 2 - x ( 2 4 2 x x x - ) 1 Bất phương trình £ 0  £ 0 ( ) * . 2 2 x + 5x + 6 x + 5x + 6 Vì 2
x ³ 0, "x Î  nên bất phương trình
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 404
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 éx = 0 éx = 0 ê ê ( ) *  ê 2  ê 2 x -1 x -1 . ê £ 0 ê f (x)= £ 0 ê 2 ê 2 ë x +5x + 6 ë x + 5x + 6 é = é = - Phương trình x 1 x 2 2 x -1 = 0  ê và 2 + + =  ê ê x 5x 6 0 . x = 1 - ë êx = -3 ë Bảng xét dấu x -¥ -3 -2 1 - 1 +¥ 2 x -1 + + + 0 - 0 + 2 x + 5x + 6 + - + + + f (x) + - + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f (x)£ 0  x Î(-3;-2)È[ 1 - ; ] 1
Kết hợp với x Î ,
 ta được x = { 1; - 0; } 1 .
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên cần tìm.
Dạng 4. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập xác định của hàm số 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số 2
y = 2x -5x + 2. Lời giải
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 2
2x -5x + 2 ³ 0. éx = 2 ê Phương trình 2
2x -5x + 2 = 0  (x -2)(2x - ) 1 = 0  ê 1 . êx = êë 2 Bảng xét dấu: x -¥ 1 2 +¥ 2 2 2x -5x + 2 + 0 - 0 + æ ù
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 1 2
2x -5x + 2 ³ 0  x Î ç- ç ; ¥ ú È[2;+ ) ¥ . ç è 2úû
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 405
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 æ ù
Vậy tập xác định của hàm số là 1 D = ç- ç ; ¥ ú È[2;+ ) ¥ . ç è 2úû
Ví dụ 2: Tìm tập xác định - D của hàm số 3 x y = . 2 4 -3x - x Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi 2
4 -3x - x > 0. é = Phương trình x 1 2
4 -3x - x = 0  (x - ) 1 (x + 4) = 0  ê . êx = -4 ë Bảng xét dấu: x -¥ -4 1 +¥ 2 4 -3x - x - 0 + 0 -
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2
4 -3x - x > 0  x Î (-4; ) 1 .
Vậy tập xác định của hàm số là D = (- ) 4;1 .
Ví dụ 2: Tìm tập xác đinh D của hàm số 1 2 y = x + x - 6 + . x + 4 Lời giải 2 ìï
Hàm số xác định khi và chỉ khi x + x -6 ³ 0 ïí . ïx + 4 > 0 ïî é = Phương trình x 2 2
x + x - 6 = 0  ê và + =  = - ê x 4 0 x 4. x = -3 ë Bảng xét dấu x -¥ -4 -3 2 +¥ 2 x + x -6 + + 0 - 0 + x + 4 - 0 + + + 2 ìï
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x + x -6 ³ 0 ïí
x Î(-4;-3]È[2;+¥). ïx + 4 > 0 ïî
Vậy tập xác định của hàm số là D = (-4;-3]È[2;+ ) ¥ .
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giá trị nguyên dương lớn nhất để hàm số 2
y = 5 - 4x - x xác định là
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 406
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 2 5- 4x - x ³ 0. é = Phương trình x 1 2
5- 4x - x = 0  (x - ) 1 (x + 5) = 0  ê . êx = -5 ë Bảng xét dấu x -¥ -5 1 +¥ 2 5-4x - x - 0 + 0 -
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2
5-4x - x ³ 0  x Î[-5; ] 1 .
Vậy nghiệm dương lớn nhất để hàm số xác định là x = 1.
Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( - ) 2 2
5 x +(15-7 5)x + 25-10 5. A. D = .  B. D = (- ; ¥ ) 1 . C. D =[-5; ] 1 . D. D é 5; 5ù = - . êë úû Lời giải Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi ( - ) 2 2
5 x +(15-7 5)x +25-10 5 ³ 0. Phương trình ( éx = - 2 5) 5 2 x
(15 7 5)x 25 10 5 0 (x 5)(x 5) 0 ê - + - + - =  + - =  . ê êx = 5 ë Bảng xét dấu x -¥ -5 5 +¥ ( - ) 2 2
5 x +(15-7 5)x +25-10 5 - 0 + 0 -
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ( ) 2 2 5 é ù -
x +(15-7 5)x + 25-10 5 ³ 0  x Î -5; 5 . ê ë úû
Vậy tâp xác định của hàm số là D é 5; 5ù = - . ê ë úû 2 Câu 3: x -1
Tìm tập xác định D của hàm số y = . 2 3x - 4x +1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 407
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï ü æ ö A. 1 ï ï D  \ 1; = í ý. B. 1 D = çç ;1 .÷÷ ïî 3ï ï ïþ çè3 ÷ø æ ö æ ù C. 1 1 D = ç- ç ; ÷ ¥ ÷È(1;+ ) ¥ . = ç ç D. D - ç ; ¥ ú È[1;+ ) ¥ . è 3÷ø çè 3úû Lời giải Chọn C
Hàm số xác định khi và chỉ khi 2
3x -4x +1> 0. éx = 1 ê Phương trình 2
3x - 4x +1 = 0  (x - ) 1 (3x - ) 1 = 0  ê 1 . êx = êë 3 Bảng xét dấu 1 x -¥ 1 +¥ 3 2 3x -4x +1 + 0 - 0 + æ ö
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 1 2
3x -4x +1> 0  x Î ç- ç ; ÷ ¥ ÷È(1;+ ) ¥ . ç è 3÷ø æ ö
Vậy tập xác định của hàm số là 1 D = ç- ç ; ÷ ¥ ÷È(1;+ ) ¥ . çè 3÷ø Câu 4: 1
Tìm tập xác định D của hàm số 2 y = x + 2x + 3 + . 5-2x é ö æ ù æ ö æ ö A. 5 D = ; ÷ ê +¥÷. B. 5 D = ç- ç ; ¥ ú. C. 5 D = çç ;+¥ .÷÷ D. 5 D = ç- ç ; ¥ . ÷÷ 2 ÷ ê ø ë çè 2úû çè2 ÷ø çè 2÷ø Lời giải Chọn D 2 ìï
Hàm số xác định khi và chỉ khi x + 2x +3 ³ 0 ïí . 5 ï -2x > 0 ïî Phương trình 2
x + 2x + 3 = 0  x Î Æ và 5
5-2x = 0  x = . 2 Bảng xét dấu x -¥ 5 +¥ 2 2 x + 2x + 3 + + 5 - 2x + 0 - 2 ìï + + ³ æ ö
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy x 2x 3 0 5 ïí  x Îçç - ; ¥ . ÷÷ 5 ï -2 ç ÷ x > 0 è 2ø ïî
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 408
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 æ ö
Vậy tập xác định của hàm số là 5 D = çç - ; ¥ . ÷÷ ç è 2÷ø Câu 5: 3-3x
Tìm tập xác định D của hàm số f (x) = -1. 2 -x -2x +15 A. D =[4;+ ) ¥ . B. D =(-5;-3]È(3;4]. C. D = (- ; ¥ - ) 5 . D. D = (-5;3)È(3;4]. Lời giải Chọn B 2 Hàm số xác định 3-3x - -  - ³  f (x) x x 12 1 0 = ³ 0. 2 2 -x -2x +15 - x -2x +15 é = é = - Phương trình x 4 x 5 2
x - x -12 = 0  ê và 2 - - + =  ê ê x 2x 15 0 . x = -3 ë êx = 3 ë Bảng xét dấu x -¥ -5 -3 3 4 +¥ 2 x - x -12 + + 0 - - 0 + 2 - x - 2x +15 - + + - - f (x ) - + 0 - + 0 - 3-3x
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
-1 ³ 0  x Î (-5;-3]È(3;4]. 2 -x -2x +15
Vậy tập xác định của hàm số là D = ( 5; - 3 - ]È(3;4]. 2 Câu 6: x + 5x + 4
Tìm tập xác định D của hàm số y = . 2 2x + 3x +1 æ ö æ ö A. =[- - ) 1 D 4; 1 Èç- ç ;+¥ . ÷÷ = -¥ - Èç ÷ ç B. ( ] 1 D ; 4 ç 1 - ;- ÷. è 2 ÷ø çè 2÷ø æ ö é ö C. = (-¥ - ] 1 D ; 4 Èç- ç ;+¥ . ÷÷ ÷ ç D. 1 D = ê 4 - ;- . ÷ è 2 ÷ø 2÷ ê ø ë Lời giải Chọn C 2
Hàm số xác định khi và chỉ khi + + f (x ) x 5x 4 = ³ 0. 2 2x +3x +1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 409
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 é é = - = - x 1 ê Phương trình x 1 2
x + 5x + 4 = 0  ê và 2 + + =  ê ê 2x 3x 1 0 1 . x = -4 ë êx = - êë 2 Bảng xét dấu x -¥ -4 1 - 1 - +¥ 2 2 x + 5x + 4 + 0 - 0 + + 2 2x +3x +1 + + - + f (x) + 0 - - + 2 x + 5x + 4 æ 1 ö
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy ³ 0  x Î(- ; ¥ -4]Èç- ç ;+¥ . ÷÷ 2 2 ç ÷ x + 3x +1 è 2 ø æ ö
Vậy tập xác định của hàm số là D = (-¥ - ] 1 ; 4 Èç- ç ;+¥ . ÷÷ ç è 2 ÷ø
Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số f (x) 2 =
x + x -12 - 2 2 . A. D = (-5;4]. B. D = (- ; ¥ -5)È(4;+ ) ¥ . C. D = (- ; ¥ -4]È[3;+ ) ¥ . D. D =(- ; ¥ -5]È[4;+ ) ¥ . Lời giải Chọn B ì 2 ï
Hàm số xác định khi và chỉ khi ï x + x -12 -2 2 ³ 0 ïí . ï 2 ïx + x -12 ³ 0 ïî 2
ìïx + x -12 ³ 8 ï 2 2  í
x + x -12 ³ 8  x + x -20 ³ 0. 2
ïïx + x -12 ³ 0 î é = - Phương trình x 5 2
x + x - 20 = 0  (x + 5)(x - 4) = 0  ê . êx = 4 ë Bảng xét dấu x -¥ -5 4 +¥ 2 x + x -20 + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2
x + x -20 ³ 0  x Î (- ; ¥ -5]È[4;+ ) ¥ .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 410
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Vậy tập xác định của hàm số là D = (- ; ¥ -5]È[4;+ ) ¥ .
Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai Vô nghiệm – có nghiệm – có hai nghiệm phân biệt 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Câu 1: Phương trình 2 x -(m + )
1 x +1 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi
A. m >1. B.
-3 < m <1. C.
m £ -3 hoặc m ³1. D. -3 £ m £1. Lời giải Chọn B
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi D <  (m + )2 0 1 - 4 < 0 x 2
m + 2m -3 < 0  (m - )
1 (m +3)< 0  -3 < m <1 .
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số 2
m để phương trình (m -2) x + 2(2m -3) x + 5m -6 = 0 vô nghiệm? é ì A. m > ïm ¹ ï m < 0. B. m > 2. C. 3 ê . D. 2 ê í . m < 1 ë 1 ï < m < 3 ïî Lời giải Chọn C
Xét phương trình (m - ) 2 2 x + 2(2m - ) 3 x +5m -6 = 0 ( ) * .
TH1. Với m -2 = 0  m = 2, khi đó ( )
*  2x + 4 = 0  x = -2.
Suy ra với m = 2 thì phương trình ( )
* có nghiệm duy nhất x = -2.
Do đó m = 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2. Với m -2 ¹ 0  m ¹ 2, khi đó để phương trình ( ) * vô nghiệm  D¢ < 0 x
 ( m - )2 -(m - )( m - ) 2
<  m - m + -( 2 2 3 2 5 6 0 4 12 9
5m -16m +12)< 0 ém > 3 2 2
 -m + 4m -3 < 0  m - 4m + 3 > 0  ê . êm <1 ë é > Do đó, với m 3 ê thì phương trình ( ) * vô nghiệm. êm <1 ë é
Kết hợp hai TH, ta được m > 3 ê
là giá trị cần tìm. êm <1 ë
Câu 3: Phương trình 2
x + 2(m + 2)x - 2m -1 = 0 ( m là tham số) có nghiệm khi
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 411
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 é = - é < - é £ - A. m 1 ê m m . B. - £ £ - C. 5 ê D. 5 ê ê 5 m 1. . . m = -5 ë êm > -1 ë êm ³ -1 ë Lời giải Chọn D Xét phương trình 2
x + 2(m + 2) x -2m -1 = 0, có D¢ = (m + )2 2 + 2m +1. x Yêu cầu bài toán 2 2
 D¢ ³ 0  m + 4m + 4 + 2m +1 ³ 0  m + 6m + 5 ³ 0 x é ³ -  (m + )(m + ) m 1 1 5 ³ 0  ê
là giá trị cần tìm. êm £ -5 ë Câu 4:
Tìm các giá trị của m để phương trình (m - ) 2
5 x -4mx + m -2 = 0 có nghiệm. é 10 é ê 10 ê A. m £ - m £ - m ¹ 5. B. 10 - £ m £1. C. ê 3 . D. ê 3 . 3 ê ê êm ³1 ë 1 ê £ m ¹ 5 ë Lời giải Chọn C
Xét phương trình (m - ) 2
5 x -4mx + m -2 = 0 ( ) * .
TH1. Với m -5 = 0  m = 5, khi đó ( ) 3
*  -20x + 3 = 0  x = . 20 Suy ra phương trình ( ) * có nghiệm duy nhất 3 x = . 20
TH2. Với m -5 ¹ 0  m ¹ 5, khi đó để phương trình ( ) * có nghiệm  D¢ ³ 0 x
 (- m)2 -(m - )(m - ) 2 ³  m -( 2 2 5 2 0 4 m -7m +10) ³ 0 ém ³1 ê 2
 3m +7m -10 ³ 0  (m - ) 1 (3m +10) ³ 0  ê 10 . êm £ - êë 3 é5 ¹ m ³1 ê Do đó, với ê 10 thì phương trình ( ) * có nghiệm. êm £ - êë 3 ém ³1 ê
Kết hợp hai TH, ta được ê
10 là giá trị cần tìm. êm £ - êë 3
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m sao cho phương trình (m - ) 2
1 x +(3m -2)x +3-2m = 0 có hai nghiệm phân biệt? A. m  1 B.
2 < m < 6. C.
-1 < m < 6. D. -1 < m < 2. Lời giải Chọn A
Kiểm tra với m = 1 không thỏa mãn ycbt. Do đó
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 412
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a ìï = m -1 ¹ 0 Yêu cầu bài toán ï  í ïD ï
= (3m -2)2 -4(m - ) 1 (3-2m)> 0 x î m ìï ¹1 m ìï ¹1 ï ï  í  í * 9 ï m -12m + 4 -4 ï ( 2 - m +5m -3) ( ). 2 2 2 > 0 17
ï m -32m +16 > 0 ïî ïî a ìï = 17 > 0 Ta có ïí suy ra 2
17m -32m +16 > 0, . "m Î  2 ïD¢ = 16 -17.16 = 1 - 6 < 0 ïî m
Do đó, hệ bất phương trình ( ) *  m ¹ 1 .
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình sau vô nghiệm ( 2 m + ) 2 2
1 x -4mx +2 = 0. A. m Î .  B. m > 3. C. 3
- < m < 3. D. 3 m > - . 5 5 Lời giải Chọn A 2 a ìï = 2m +1 ¹ 0 Yêu cầu bài toán  ïí , "m Î .  2 ïD¢ = 4m -2 ï ( 2 2m + ) 1 = -2 < 0 x ïî
Vậy phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m Î . 
Câu 2: Phương trình 2
mx -2mx + 4 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi é < A. m
0 < m < 4. B. 0 ê . C.
0 £ m £ 4. D. 0 £ m < 4. ê m > 4 ë Lời giải Chọn D Xét phương trình 2 mx -2mx + 4 = 0 ( ) * .
TH1. Với m = 0, khi đó phương trình ( ) *  4 = 0 (vô lý).
Suy ra với m = 0 thì phương trình ( ) * vô nghiệm.
TH2. Với m ¹ 0, khi đó để phương trình ( ) * vô nghiệm  D¢ < 0 x 2
m -4m < 0  m(m -4)< 0  0 < m < 4
Kết hợp hai TH, ta được 0 £ m < 4 là giá trị cần tìm.
Câu 3: Phương trình ( 2 m - ) 2
4 x +2(m -2)x +3 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi é ³ é ³ A. m m m ³ 0. B. m =  2. C. 2 ê . D. 2 ê ê . m < - 4 ë êm £ -4 ë
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 413
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn C Xét phương trình ( 2 m - ) 2
4 x + 2(m -2)x + 3 = 0 ( ) * . é TH1. Với m = 2 2 m - 4 = 0  ê . êm = -2 ë · Khi m = 2  ( ) *  3 = 0 (vô lý). · Khi m = -  ( ) 3 2
*  -8x + 3 = 0  x = . 8
Suy ra với m = 2 thỏa mãn yêu cầu của bài toán. ìï ¹ TH2. Với m 2 2 ï m - 4 ¹ 0  í
, khi đó để phương trình ( ) * vô nghiệm  D¢ < 0 m ï ¹ -2 ï x î  (m - )2 - ( 2 m - ) 2 2 2 2 3
4 < 0  m - 4m + 4 -3m +12 < 0  -2m - 4m +16 < 0 ém > 2 2
m + 2m -8 > 0  (m -2)(m + 4)> 0  ê . êm < -4 ë é > Suy ra với m 2 ê
thỏa mãn yêu cầu của bài toán. êm < -4 ë é
Kết hợp hai TH, ta được m ³ 2 ê
là giá trị cần tìm. êm < -4 ë
Câu 4: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 x + (m + ) 2 2 2
2 x +3 + 4m + m = 0 có nghiệm? A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A Xét 2 2 x + (m + ) 2 2 2
2 x +3 + 4m + m = 0, có D¢ = (m + ) - ( 2 2 2 m + 4m + 3). x Yêu cầu bài toán 2 2 2
 D¢ ³ 0  m + 4m + 4 - 2m - 8m - 6 ³ 0  -m - 4m - 2 ³ 0 x
m + m + £  (m + )2 2 4 2 0
2 £ 2  -2 - 2 £ m £ -2 + 2.
Kết hợp với m Î ,
 ta được m = {-3;-2;- }
1 là các giá trị cần tìm.
Câu 5: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phương trình (m - ) 2 1 x -2(m + )
3 x -m + 2 = 0 có nghiệm. A. m . ÎÆ B. m Î .  C.
-1 < m < 3. D. -2 < m < 2. Lời giải Chọn B
Xét phương trình (m - ) 2 1 x -2(m + ) 3 x -m + 2 = 0 ( ) * .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 414
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
TH1. Với m -1= 0  m =1, khi đó ( ) 1
*  -2.4x -1+ 2 = 0  x = . 8
Suy ra với m = 1 thì phương trình ( ) * có nghiệm duy nhất 1 x = . 8
TH2. Với m -1¹ 0  m ¹1, khi đó để phương trình ( ) * có nghiệm  D¢ ³ 0 x
 (m + )2 -(m - )( -m) 2
³  m + m + -( 2 3 1 2 0 6 9 -m +3m -2)³ 0 2 æ 3 ö 79 2
 2m + 3m +11 ³ 0  2ççm ÷ + ÷ + ³ 0, "m Î D¢ ç  suy ra ³ 0, "m Î . è 4 ÷ø 8 x
Do đó, với m ¹ 1 thì phương trình ( )
* luôn có hai nghiệm phân biệt.
Kết hợp hai TH, ta được m Î  là giá trị cần tìm. Câu 6: 1
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x +(m + ) 1 x + m - = 0 3 có nghiệm? A. m Î .  B. m > 1. C. 3
- < m <1. D. 3 m > - . 4 4 Lời giải Chọn A æ ö Xét 1 1 7 2 D = + - ç ÷ x +(m + )
1 x + m - = 0, có m
çm - ÷ = m - m + x ( )2 2 1 4 2 . 3 çè 3÷ø 3 ìïa = 1> 0 ï Ta có ï 7 í 7 4 suy ra 2 m - 2m +
> 0, " Î   D > 0, . " Î  ï m m D¢ = 1- = - < 0 x ï 3 m ïî 3 3
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m Î . 
Câu 7: Phương trình (m - ) 2
1 x -2x + m +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi
A. m Î  \ {0}. B.
m Î (- 2; 2 ). C. é ù m Î (- 2; 2 )\ { } 1 . D. m Î - 2; 2 \ { } 1 . êë úû Lời giải Chọn C a ìï = m -1 ¹ 0 Yêu cầu bài toán ï  í ïD¢ ï = (- )2 1 -(m - ) 1 (m + ) 1 > 0 x î m ìï ¹ 1 m ìï ¹ 1 m ìï ¹1 ï ï ï  í  í  í  m Î (- 2; 2)\ { } 1 . 2 2 1 ï -m +1> 0 m ï < 2 ï ïî ï - î ï 2 < m < 2 î
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt  m Î(- 2; 2)\ { } 1 .
Câu 8: Giá trị nào của 2
m thì phương trình (m – 3)x +(m + ) 3 x m + – ( ) 1 = 0 có hai nghiệm phân
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 415
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 biệt? æ ö æ ö A. 3 m Î ç- ç ; ÷ ¥ - ÷È(1;+ ) ¥ \ { } 3 . Î ç ÷ ç B. 3 m - ç ;1÷. è 5÷ø çè 5 ÷ø æ ö C. 3 m Î ç- ç ;+¥ . ÷÷ ç D. m Î  \ { } 3 . è 5 ÷ø Lời giải Chọn C a ìï = m -3 ¹ 0 Yêu cầu bài toán ï  í ïD ï
= (m +3)2 + 4(m -3)(m + ) 1 > 0 x î m ìï ¹ 3 m ìï ¹ 3 ï ï  í  í 2 m ï + 6m + 9 + 4 ï ( 2 m - 2m -3) 2 > 0 5
ï m -2m -3 > 0 ïî ïî m ìï ¹ 3 ïï m ìï ¹ 3 ïé ï ï m > 1 æ 3ö  í  íê  m Î ç- ç ; ÷ ¥ - ÷È(1;+¥)\ { } 3 là giá trị cần tìm. ( ï ç ÷ m - ) 1 (5m + 3)> 0 ïê ïî ï 3 è 5ø ïêm < - ïïêîë 5
Dạng 6. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tìm m để phương trình 2
x -mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. A. m > 6. B. m < 6.
C. 6 > m > 0. D. m > 0. Lời giải Chọn A
Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi 2 ìD ï > 0 m ìï - 4(m + 3)> 0 ï ï 2 ï ï m ìï - 4m -12 > 0 ï ï ï S
í > 0  íx + x = m > 0  í  m > 6. 1 2 ï ï m ï > 0 ï ï ïî ïP > 0
ïx x = m + 3 > 0 ïî ï 1 2 î
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình (m - ) 2
2 x -2mx + m +3 = 0
có hai nghiệm dương phân biệt.
A. 2 < m < 6.
B. m < -3 hoặc 2 < m < 6.
C. m < 0 hoặc -3 < m < 6.
D. -3 < m < 6. Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 416
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Chọn B m ìï -2 ¹ 0 ïï a ìï ¹ 0 ï 2 ï m ï
-(m -2)(m +3)> 0 ï ï ïD¢ ï > 0 ï é ï ï 2 < m < 6 Yêu cầu bài toán  ï 2m í  í  ê . > 0 S ï > 0 ï êm <-3 ï ïm -2 ë ï ï ï ï ïP > 0 ï ïî m + 3 ïï > 0 ïïîm -2
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 2
m để x + 2(m + )
1 x + 9m -5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.
A. m < 6. B.
5 < m <1 hoặc m > 6. C. m >1. D.
1 < m < 6. 9 Lời giải Chọn B
Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi ì ìD ï ¢ > 0 ( ïï m + )2 1 -(9m -5)> 0 2 ï ï m ìï -7m + 6 > 0 ém > 6 ï ï ï ê ï ï ï S í < 0  - í 2(m + ) 1 < 0  í 5  ê 5 . ï ï ï ï m ïï > ê < m <1 ïP > 0 9 ï m -5 > 0 ï ïî ï î 9 êë9 ïî
Câu 4: Phương trình 2 x -( m - ) 2 3
2 x + 2m -5m -2 = 0 có hai nghiệm không âm khi é ö é ö A. 2 + ÷ m Î ;+¥ . ÷ ê ÷ B. 5 41 m ê Î ;+ ÷ ¥÷. 3 ÷ ê ø ë ê ê 4 ÷ø ë é ù æ ù C. 2 5 + 41 ç - m ê ; ú Î . Î ç ú ê D. 5 41 m - ; ¥ . 3 4 ú ç ú êë úû çè 4 úû Lời giải Chọn B
Phương trình đã cho có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi ì ìD ï > 0 ( ïï 3m -2)2 -4( 2 2m -5m -2)> 0 3 ìï m -2 ³ 0 ï ï ï ï ï ï 5 + 41 ï ï ï 2 S í ³ 0  3 í m -2 ³ 0  m í
+ 8m +12 ³ 0  m ³ . ï ï ï 4 ï ï 2 ï 2 ïP ³ 0 ïî 2 ï m -5m -2 ³ 0 2 ï m -5m -2 ³ 0 ï ïî ïî
Câu 5: Phương trình 2 x -( 2 m -m + ) 2 2
1 x +2m -3m -5 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi
A. m < -1 hoặc 5 m > . B. 5
- 1 < m < . C. m £ 1 - hoặc 5 m ³ . D. 5 - 1 £ m £ . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B
Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 417
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ac < 0  2.( 5 2
2m -3m -5)< 0  1
- < m < . 2
Câu 6: Phương trình ( 2 m - m + ) 2 2 3
2 x -2m x -5 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi ìï ¹ A. m ï m Î (1;2). B. m Î (-¥ ) ;1 È(2;+ ) ¥ . C. 1 í . D. m . ÎÆ ï m ¹ 2 ïî Lời giải Chọn B
Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ém > ac < 0  ( 2 2 m -3m + 2).(-5) 2
< 0  m -3m + 2 > 0  ê . êm <1 ë
Câu 7: Giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x - (m - ) 2 2
1 x + m -2m = 0 có hai nghiệm trái
dấu trong đó nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn là é > A. m
0 < m < 2. B.
0 < m <1. C.
1 < m < 2. D. 1 ê . êm < 0 ë Lời giải Chọn B Phương trình 2 x - (m - ) 2 2 2 2
1 x + m -2m = 0  x -2mx + m + 2x -2m = 0 ìï = ( - )2 x m ï
x m + 2(x -m) = 0  (x -m)(x -m + 2) 1 = 0  í . ïx = m -2 ïî 2 ìï ¹
Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu x ï 1 x2  í  0 < m < 2 (I). ïx x < 0 ïî 1 2 ìïx > 0 Với ï m Î (0;2) suy ra 1 í , theo bài ra, ta có 2 2 2 2
x > x x > x
x - x > 0 ï 2 1 2 1 2 1 x < 0 ïî 2
 (x - x x + x > 0  m -2-m m -2 +m > 0  2m -2 < 0  m <1. 2 1 )( 2 1 ) ( )( )
Kết hợp với (I), ta được 0 < m <1 là giá trị cần tìm.
Câu 8: Với giá trị nào của 2
m thì phương trình (m - )
1 x -2(m -2)x + m -3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x ,
x + x + x x < 1 ? 1
x thỏa mãn điều kiện 2 1 2 1 2
A. 1< m < 2. B.
1 < m < 3. C. m > 2. D. m > 3. Lời giải Chọn B
Xét phương trình (m - ) 2
1 x -2(m -2)x + m -3 = 0 ( )
* , có a + b + c = 0. éx = 1 Suy ra phương trình ( ) *  (x - ) 1 (ém - )
1 x -m + 3ù = 0  ê . ë û (êm - ) 1 x = m -3 ë
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 418
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 m ìï -1 ¹ 0 ï Để phương trình ( )
* có hai nghiệm phân biệt ï  ím -3  m ¹ 1 (I). ï ¹ 1 ïïîm -1 ìï 2m - 4 ïx + = ï 1 x2 Khi đó, gọi ïï m -1 x , í . 1
x là hai nghiệm của phương trình ( ) * suy ra 2 ï m - 3 ïïx = 1 x2 ïïî m -1 Theo bài ra, ta có 3m -7 2m -6
x + x + x x = <1 
< 0  1 < m < 3. 1 2 1 2 m -1 m -1
Kết hợp với (I), ta được 1< m < 3 là giá trị cần tìm.
Câu 9: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m + ) 2
1 x -2mx + m -2 = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 1 x , + < 3 ? 1 x khác 0 thỏa mãn 2 x1 x2 A. m < 2  m > 6.
B. -2 < m ¹ - <  1 2
m > 6. C. 2 < m < 6.
D. -2 < m < 6. Lời giải Chọn B
Xét phương trình (m + ) 2
1 x -2mx + m -2 = 0 ( ) * , có D¢ = m +2. Phương trình ( )
* có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi a ìï ¹ 0 m ìï +1 ¹ 0 ï ï ïï ï m ìï ¹ { 1; - 2} D í > 0 ï ï ¢  m í + 2 > 0  í (I). ï ï ï ï m ïï >-2 î ïP ¹ 0 m ï -2 ¹ 0 ïî ïî ìï 2m ïx + = ï 1 x2 Khi đó, gọi ïï m +1 x , í . 1
x là nghiệm của phương trình ( ) * suy ra 2 ï m - 2 ïïx = 1 x2 ïïî m +1 + - é > Theo bài ra, ta có 1 1 x x 2m m 6 m 6 1 2 + = = < 3  > 0  ê . x x x x m - 2 m - 2 êm < 2 1 2 1 2 ë ém > 6
Kết hợp với (I), ta được êê
là giá trị cần tìm. m Î (-2;- ) 1 È( 1 - ;2) ë
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 2
m để phương trình x -(m - )
1 x + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 1 x , + > 1. 1 x khác 0 thỏa mãn 2 2 2 x1 x2 æ ö A. m Î(- ; ¥ 2 - )È( 2 - ;- ) 1 È(7;+ ) ¥ . B. m Î(-¥ - ) 11 ; 2 Èçç 2 - ;- . ÷÷ ç è 10÷ø C. m Î(- ; ¥ 2 - )È( 2 - ;- ) 1 . D. m Î(7;+ ) ¥ . Lời giải Chọn C
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 419
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Đặt f (x) 2 = x -(m - ) 1 x + m + 2.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi: ìïé ì m > 7 D ï > 0 ì ï ï 2 m ï -6m -7 > 0 ê ï í ï ï  í  ê í m < 1 - . ( ) * ï ë f (0) ¹ 0 ïî m ï + 2 ¹ 0 ï ïî ïm ï ¹ -2 ïî
ìïx + x = m -1 Gọi ï x , í . 1
x là nghiệm của phương trình đã cho. Theo Viet, ta có 1 2 2 ïx x = m + 2 ïî 1 2 1 1 x + x (x + x -2x x 1 2 1 2 )2 2 2 Yêu cầu bài toán 1 2 + >1  >1  > 1 2 2 2 2 x x x .x (x x )2 1 2 1 2 1 2 ( ìï ¹ - m - )2 - (m + ) m 2 1 2 2 8m +7 ïï ( ) *  > 1  < 0  í 7 ¾¾-2 ¹ m < 1 - . (m + 2)2 (m + 2)2 m ï < - ïïî 8
Dạng 7. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tam thức f (x) 2 = 3x + 2(2m - )
1 x + m + 4 dương với mọi x khi: ém < -1 ê A. 11 -1< m < . B. 11 - < m <1. C. 11 - £ m £1. D. ê 11 . 4 4 4 êm > êë 4 Lời giải Chọn A
Tam thức f (x) có a = 3> 0 . Do đó f (x)> 0, x " khi D' = (2m- )2 1 -3(m + 4) 11 2
= 4m -7m-11< 0 -1< x < . 4
Câu 2: Tam thức f (x) 2 = 2
- x +(m -2)x -m + 4 không dương với mọi x khi:
A. m Î  \ { } 6 . B. m . ÎÆ C. m = 6. D. m Î .  Lời giải Chọn C
Tam thức f (x) có a = -2 < 0 . Do đó f (x)£ 0, x " (không dương) khi
D = (m - 2)2 + ( m - + 4) 2 8
= m -12m + 36 £ 0  m = 6 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 420
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Câu 3: Tam thức f (x) 2
= –2x +(m + 2)x + m – 4 âm với mọi x khi:
A. m < -14 hoặc m > 2 . B. 14 - £ m £ 2 .
C. -2 < m <14 .
D. -14 < m < 2 . Lời giải Chọn D
Tam thức f (x) có a = -2 < 0 . Do đó f (x)< 0, x " khi
D = (m + 2)2 + (m-4) 2 8
= m +12m- 28 £ 0 -14< m < 2 .
Câu 4: Tam thức f (x) 2
= x -(m +2)x +8m +1 không âm với mọi x khi:
A. m > 28. B. 0 £m £28. C. m < 1. D. 0 < m < 28. Lời giải Chọn B
Tam thức f (x) có a =1> 0 nên f (x)³ 0, x " (không âm) khi
D = (m + )2 - ( m + ) 2 2 4 8
1 = m - 28m £ 0  0 £ m £ 28 .
Câu 5: Bất phương trình 2
x - mx - m ³ 0 có nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi: A. m £ 4
- hoặc m ³0 . B. -4 < m < 0 .
C. m < -4 hoặc m > 0 . D. 4 - £ m £ 0 . Lời giải Chọn D Tam thức 2
f (x ) = x - mx - m có hệ số a = 1> 0 nên bất phương trình f (x) ³ 0 nghiệm đúng
với mọi "x khi và chỉ khi 2
D = m + 4m £ 0  -4 £ m £ 0 .
Câu 6: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 x - +(2m - )
1 x + m < 0 có tập nghiệm là  . A. 1 m = . B. 1 m = - . C. m Î .  D. Không tồn tại 2 2 m. Lời giải Chọn D Tam thức f (x) 2 = x - +(2m - )
1 x + m có hệ số a = -1 < 0 nên bất phương trình f (x)< 0 có
tập nghiệm là  khi D = ( m - )2 2 1 + 4m = 2
4m +1 < 0  m Î Æ .
Câu 7: Bất phương trình 2
x -(m + 2) x + m + 2 £ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi: A. m Î(- ; ¥ 2 - ]È[2;+ ) ¥ . B. m Î(- ; ¥ 2 - )È(2;+ ) ¥ .C. m Î[ 2; - 2] . D. m Î( 2; - 2) . Lời giải Chọn D
Bất phương trình f (x)= 2
x -(m + 2) x + m + 2 £ 0 khi và chỉ khi f (x) > 0 nghiệm đúng với
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 421
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 mọi x .
Tam thức f (x)= 2
x -(m + 2)x + m + 2 có hệ số a = 1 > 0 nên f (x) > 0 nghiệm đúng với mọi 2
x khi D = (m + ) - 4(m + ) 2 2
2 = m - 4 < 0  -2 < m < 2 .
Câu 8: Tam thức f (x)=( 2 m + ) 2 2 x -2(m + )
1 x +1 dương với mọi x khi: A. 1 m < . B. 1 m £ . C. 1 m > . D. 1 m ³ . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
Tam thức f (x) có hệ số 2
a = m + 2 > 0, "x nên f (x) dương với mọi x khi D¢ = (m + )2 1 -( 1 2
m + 2) = 2m-1< 0 m < . 2
Câu 9: Tam thức f (x)= (m - ) 2
4 x +(2m -8)x + m -5 không dương với mọi x khi:
A. m £ 4. B. m ³ 4. C. m < 4. D. m > 4 . Lời giải Chọn A
 Với m = 4 , ta có f (x)= -1< 0 : đúng với mọi x .  Với 2
m ¹ 4 , yêu cầu bài toán  (m - 4) x +(2m -8) x + m -5 £ 0, x " Î  a ìï < 0 ìï m - 4 < 0 ì ï ï ï m < 4 ï  í  í  í  m < 4 . ïD £ 0 ïî (
ïï m -4)2 -(m -4)(m -5)£ 0 m ï -4 £ 0 î ïî
Kết hợp hai trường hợp ta được m £ 4 là giá trị cần tìm.
Câu 10: Tam thức f (x) 2
= mx -mx + m +3 âm với mọi x khi: A. m Î(- ; ¥ 4 - ] . B. m Î(- ; ¥ 4 - ) . C. m Î(- ; ¥ 4 - ]È[0;+ ) ¥ . D. m Î(- ; ¥ 4 - ]È(0;+ ) ¥ . Lời giải Chọn B
 Với m = 0 thay vào ta được f (x)= 3 < 0 ( vô lý ) suy ra m = 0 không thỏa mãn.
 Với m ¹ 0 , yêu cầu bài toán ìïm < 0 ìïm < 0 ì ï ï m < 0 ìï m < 0 ï ï ï ï ï  í  í  m 4 m 4 . 2 í  2 íé < -  < - ïD < 0
ïm - 4m (m +3)< 0
ï-3m -12m < 0 ïê ïî ïî ïî ïïêm > ïîë 0
Câu 11: Tam thức f (x)=(m + ) 2
2 x + 2(m +2)x + m +3 không âm với mọi x khi: A. m 2. ³- B. m 2. £- C. m > -2. D. m <-2.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 422
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn A
 Với m = -2 , tam thức bậc hai trở thành 1> 0 : đúng với mọi x .
 Với m ¹ -2 , yêu cầu bài toán  (m + ) 2
2 x + 2(m + 2)x + m +3 ³ 0, "x Î  a ìï > 0 m ìï +2 > 0 m ì ï ï ï + 2 > 0 ï  í  í  í  m > 2 - . ïD' £ 0 ïî (
ïï m +2)2 -(m +2)(m + ) 3 £ 0 ï m - -2 £ 0 î ïî
Kết hợp hai trường hợp ta được m 2
³- là giá trị cần tìm.
Câu 12: Bất phương trình ( m + ) 2 3 1 x -(3m + )
1 x + m + 4 ³ 0 có nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi: A. 1 m > - . B. 1 m ³ - . C. m > 0. D. m > 15. 3 3 Lời giải Chọn B
Xét bất phương trình ( m + ) 2 3 1 x -(3m + )
1 x + m + 4 ³ 0. ( ) * TH1. Với 1
3m +1 = 0  m = - , bất phương trình ( ) * trở thành 1 4 - ³ 0 (luôn đúng). 3 3 TH2. Với 1
3m +1 ¹ 0  m ¹ - , bất phương trình ( )
* nghiệm đúng với mọi x 3 a ìï > 0 3 ìï m +1> 0 3 ìï m +1> 0 ï ï 1 ï  í  í  í  m > - . ïD¢ £ 0 ïî ( ïï 3m + )2 1 -4(3m + ) 1 (m + 4) 2 £ 0 3 ï î
ï m + 46m +15 ³ 0 3 î
Kết hợp hai trường hợp, ta được 1
m ³ - là giá trị cần tìm. 3
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ( 2 m - m - ) 2 2 3
2 x +2(m -2)x -1£ 0 có tập nghiệm là  .
A. 1 £ m < 2. B. 1 £ m £ 2. C. 1 m ³ . D. m £ 2. 3 3 3 Lời giải Chọn B Xét 1 2
2m -3m -2 = 0  m = - hoặc m = 2 2  Khi 1 m = -
thì bất phương trình trở thành 1
-5x -1 £ 0  x ³ - : không nghiệm đúng 2 5 với mọi x .
 Khi m = 2 thì bất phương trình trở thành 1
- £ 0 : nghiệm đúng với mọi x .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 423
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 ìï 1  ï Khi m ¹ - ïí
2 thì yêu cầu bài toán  ( 2 m - m - ) 2 2 3
2 x + 2(m -2)x -1 £ 0, " Î  ï x m ïï ¹ 2 î ìï1 ï 2 £ m £ 2 ìD ï ' £ 0 3
ìï m -7m +2 £ 0 ïï ï ï ï3 1  í  í  í  £ m < 2 . 2 a ï < 0 ïî 2
ïï m -3m -2 < 0 ï 1 3 î ï- ï < m < 2 ïïî 2
Kết hợp hai trường hợp ta được 1 £ m £ 2 là giá trị cần tìm. 3
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 2 2
m để bất phương trình (m -4)x +(m -2)x +1 < 0 vô nghiệm. æ ù æ ù A. 10 10 m Î ç- ç ; ¥ - ú È[2;+ ) ¥ . Îç ç B. m - ç ; ¥ - ú È(2;+ ) ¥ . è 3 úû çè 3 úû æ ö C. 10 m Î ç- ç ; ÷ ¥ - ÷È(2;+ ) ¥ . ç D. m Î[2;+ ) ¥ . è 3 ÷ø Lời giải Chọn A  Xét 2
m - 4 = 0  m = 2  .
Với m = -2 , bất phương trình trở thành 1
-4x +1 < 0  x > : không thỏa mãn. 4
Với m = 2 , bất phương trình trở thành 1 < 0 : vô nghiệm. Do đó m = 2 thỏa mãn.  Xét 2
m - 4 ¹ 0  m ¹ 2  . Yêu cầu bài toán  ( 2 m - ) 2
4 x +(m -2)x +1 ³ 0, "x Î  2 é ì 2 10 m ï - 4 > 0 ï m ìï - 4 > 0 êm £ - ï ï  í  í  ê 3 . ïD ï = (m -2)2 - 4( 2 m - 4) 2 £ 0 ï-
ï 3m - 4m + 20 £ 0 ê ïî î êm > 2 ë
Kết hợp hai trường hợp, ta được 10 m £ -
hoặc m ³ 2 . 3
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f (x) = (m + ) 2
4 x -(m - 4)x - 2m +1
xác định với mọi x Î  . A. m £ 0. B. 20 - £ m £ 0. C. 20 m ³ - . D. m > 0. 9 9 Lời giải Chọn D
f (x) xác định với mọi x Î   f (x ) ³ 0, x " Î . 
TH1: m = -4 thì f (x) 9
= 8x + 9 ³ 0  x ³ - ¾¾
m = -4 không thỏa. 8
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 424
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 a ìï > 0 m ìï > -4 TH2: 20 ï ï
m ¹ -4 , yêu cầu bài toán  í  í  - £ m £ 0. 2 ïD £ 0 9 ï m + 20m £ ï 0 9 î ïî
Câu 16: Hàm số y = (m + ) 2 1 x - 2(m + )
1 x + 4 có tập xác định là D =  khi A. 1 - £ m £ 3.
B. -1 < m < 3. C. 1 - < m £ 3. D. m > -1. Lời giải
Yêu cầu bài toán  f (x)= (m + ) 2 1 x -2(m + )
1 x + 4 ³ 0, "x Î .  ( ) 1
· m = -1 thì f (x) = 4 > 0, x " Î  : thỏa mãn. m ìï +1> 0 m ìï > -1 m ìï > -1 · ï ï ï m ¹ -1 , khi đó ( ) 1  í  í  í  -1 < m £ 3. 2 ïD' £ 0 m ï -2m -3 £ ï 0 ï-1 £ m £ 3 î ïî ïî
Kết hợp hai trường hợp ta được 1 - £ m £ 3. 2 -x + 4(m + ) 2 1 x +1- 4 Câu 17: m
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để biểu thức f (x) = 2 -4x + 5x -2 luôn dương. A. 5 m ³ - . B. 5 m < - . C. 5 m < . D. 5 m ³ . 8 8 8 8 Lời giải Chọn B 2 æ ö Ta có 5 7 2
-4x + 5x -2 = -çç2x ÷ - ÷ - < 0 ç
với mọi x Î  . è 4 ÷ø 16 2 -x + 4(m + ) 2 1 x +1- 4 Do đó ( ) m f x = > 0, "x Î  2 -4x + 5x -2 2  x - + (m + ) 2 4
1 x +1-4m < 0, x " Î  a ìï = -1< 0 ï 5 ï  í
 8m + 5 < 0  m < - . ïD' = 4 ï (m + )2 1 +( 2 1- 4m )< 0 8 ïî
Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 2
m để bất phương trình 2
- x + 2(m -2)x +m -2 < 0 có nghiệm. A. m Î .  B. m Î(- ;0 ¥ )È(2;+ )
¥ . C. m Î(- ;0 ¥ ]È[2;+ )
¥ . D. m Î[0;2]. Lời giải Chọn A Đặt 2 f (x ) 2 = 2
- x + 2(m -2)x +m -2 và D = (m - ) + (m - ) 2 ' 2 2 2 = m - 2m. · a 2 =- 0 ' 0 < D < ¾¾¾¾
f (x)< 0, x " Î  ¾¾
 bất phương trình có nghiệm. - · D' = 0 ¾¾  m
f (x ) = 0 tại 2 x =
, còn ngoài ra thì f (x)< 0 nên bất phương trình có 2 nghiệm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 425
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 · D' > 0 ¾¾
f (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x <
. Khi đó bất phương trình đã cho 1 x2 có nghiệm x Î(- ;
¥ x È x ;+¥ . 1 ) ( 2 )
Vậy cả ba trường hợp ta thấy bất phương trình đều có nghiệm.
Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 2
- x + 2(m -2)x +m -2 ³ 0 có nghiệm. A. m Î .  B. m Î(- ;0 ¥ )È(2;+ )
¥ . C. m Î(- ;0 ¥ ]È[2;+ )
¥ . D. m Î[0;2]. Lời giải Chọn C Đặt 2 f (x) 2 = 2
- x + 2(m -2)x +m -2 và D = (m - ) + (m - ) 2 ' 2 2 2 = m - 2m. · a 2 =- 0 ' 0 < D < ¾¾¾¾
f (x)< 0, x " Î  ¾¾
 bất phương trình vô nghiệm.
Do đó trường hợp này không có m thỏa mãn. é ê = 0 ¾¾  = ( ) 0 khi b m f x x = - = -1 ê · 2 D' = 0 a  ê
, còn ngoài ra thì f (x)< 0 nên bất ê ê = 2 ¾¾  = ( ) 0 khi b m f x x = - = 0 êë 2a phương trình vô nghiệm.
Do đó trường hợp này có m = 0 hoặc m = 2 thỏa mãn. ém < 0 · D' > 0  ê ¾¾
f (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt < . Khi đó bất phương ê x1 x2 m > 2 ë
trình đã cho có nghiệm x Î[x ;x . 1 2 ]
Do đó trường hợp này có m < 0 hoặc m > 2 thỏa mãn.
Hợp các trường hợp ta được m Î(- ;0 ¥ ]È[2;+ )
¥ thỏa mãn.
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 mx + 2(m + )
1 x + m -2 > 0 có nghiệm. æ ö æ ö A. m Î  . B. 1 m Î ç- ç ; ¥ - . ÷÷ Îç ÷ ç C. 1 m - ç ;+¥ . ÷
D. m Î  \ {0}. è 4÷ø çè 4 ÷ø Lời giải Chọn C Đặt 2 f (x ) 2 = mx + 2(m + )
1 x + m -2 và D' = (m + )
1 -m (m -2) = 4m +1. · m = 0 ¾¾
 bất phương trình trở thành 2x -2 > 0  x >1. Do đó m = 0 thỏa mãn.
· m > 0 , ta biện luận các trường hợp như câu. Do đó m > 0 thỏa mãn. 1
· m < 0 , yêu cầu bài toán  D' > 0  m > - ¾¾  f (x) = 0 4
có hai nghiệm phân biệt x < x . 1 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 426
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm x Î(x ;x . 1 2 ) Do đó 1
- < m < 0 thỏa mãn. Hợp các trường hợp ta được 1 m > - . 4 4
Dạng 8. Hệ bất phương trình bậc hai 1. Phương pháp
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3. Bài tập trắc nghiệm 2 ìï - x ³ 0 Câu 1: Tập nghiệm ï
S của hệ bất phương trình í là: 2
ïx - 4x + 3 < 0 ïî A. S =[1;2). B. S =[1;3). C. S =(1;2].
D. S =[2;3). Lời giải Chọn C
Tập nghiệm của 2 - x ³ 0 là S = - ;2 ¥ . 1 ( ] Tập nghiệm của 2
x - 4x + 3 < 0 là S = 1;3 . 1 ( )
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S ÇS = 1;2 . 1 2 ( ] 2
ìïx -2x -3 > 0 Câu 2: Tìm ï
x thỏa mãn hệ bất phương trình í . 2
ïïx -11x +28 ³ 0 î
A. x > 3. B.
3 < x £ 7. C.
4 £ x £ 7. D. 3 < x £ 4. Lời giải Chọn D Tập nghiệm của 2
x - 2x -3 > 0 là S = - ; ¥ 1 - È 3;+¥ . 1 ( ) ( ) Tập nghiệm của 2
x -11x + 28 ³ 0 là S = - ;4 ¥ È 7;+¥ . 2 ( ] [ )
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S ÇS = - ; ¥ 1 - È 3;4 È 7;+¥ . 1 2 ( ) ( ] [ ) 2
ìïx -4x +3 > 0 Câu 3: Tập nghiệm ï
S của hệ bất phương trình í là: 2
ïïx -6x +8 > 0 î A. S = (-¥ )
;1 È(3;+¥). B. S = (-¥ ) ;1 È(4;+ ) ¥ . C. S =(- ;2 ¥ )È(3;+ )
¥ . D. S = (1;4). Lời giải Chọn B
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 427
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Tập nghiệm của 2
x - 4 x + 3 > 0 là S = - ;1 ¥  3;+¥ . 1 ( ) ( ) Tập nghiệm của 2
x - 6x + 8 > 0 là S = - ;2 ¥  4;+¥ . 2 ( ) ( )
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S S = ;1 -¥  4;+¥ . 1 2 ( ) ( ) 2
ìïx -3x + 2 £ 0 Câu 4: Tập nghiệm ï
S của hệ bất phương trình í là: 2 ïïx -1£ 0 î A. S = 1. B. S = { } 1 . C. S =[1;2]. D. S =[ 1; - ] 1 . Lời giải Chọn B Tập nghiệm của 2
x - 3x + 2 £ 0 là S = 1;2 . 1 [ ] Tập nghiệm của 2
x -1 £ 0 là S = 1; - 1 . 2 [ ]
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S S = 1 . 1 2 { } 2 3
ìï x - 4x +1> 0
Câu 5: Giải hệ bất phương trình ïí . 2 3
ïï x -5x + 2 £ 0 î
A. x ³1. B. 1 x £ . C. x . ÎÆ D. 2 x £ . 3 3 Lời giải Chọn C æ ö Tập nghiệm của 2 1
3x - 4x +1> 0 là S = ç- ç ; ÷ ¥ ÷È 1;+¥ . 1 ( ) çè 3÷ø é ù Tập nghiệm của 2 2
3x - 5x + 2 £ 0 là S = ê ;1ú. 2 ê3 ú ë û
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S ÇS = . Æ 1 2 2 ìï 2
- x -5x + 4 < 0
Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của ï x thỏa mãn í ? 2 ïï x - -3x +10 > 0 î A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn C æ ö æ ö Tập nghiệm của ç - - ÷ ç- + 2 5 57 5 57 2 - ÷
x - 5x + 4 < 0 là S = ç- ; ¥ ÷ ç ÷Èç ;+ ÷ ¥ ç ÷ ç ÷. 1 è 4 ÷ø çè 4 ÷ø Tập nghiệm của 2 x
- -3x +10 > 0 là S = 5; - 2 . 2 ( ) æ ö æ ö
Vậy tập nghiệm của hệ là ç -5 - 57 ÷ ç-5 + 57 ÷
S = S Ç S = ç-5; ÷ ç ÷Èç ;2÷ ç ÷ ç ÷. 1 2 è 4 ÷ø çè 4 ÷ø
Do đó các giá trị nguyên của x thuộc tập S là {- } 4;1 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 428
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 ìïx -9 < 0
Câu 7: Hệ bất phương trình ïí có nghiệm là: 2 (
ïï x -1)(3x +7x + 4) ³ 0 î A. 1 - £ x < 2. B. 4 3 - < x £- hoặc 1 - £ x £1. 3 C. 4 - £ x £ 1 - hay 1£ x £ 3. D. 4 - £ x £ 1 - hoặc 1£ x < 3. 3 3 Lời giải Chọn D Tập nghiệm của 2
x - 9 < 0 là S = 3; - 3 . 1 ( ) é- ù Tập nghiệm của 4 2
(x -1)(3x + 7x + 4) ³ 0 là S = ê ; 1 - ú  1;+¥ . 2 [ ) ê 3 ú ë û é- ù
Vậy tập nghiệm của hệ là 4
S = S S = ê ; 1 - ú  1;3 . 1 2 [ ) ê 3 ú ë û 2
ìïx -7x + 6 < 0
Câu 8: Tập nghiệm của hệ bất phương trình ïí là: ï 2x -1 < 3 ïî A. (1;2). B. [1;2]. C. (– ; ¥ ) 1 È (2;+ ) ¥ . D. . Æ Lời giải Chọn C Tập nghiệm của 2
x -7x + 6 < 0 là S = 1;6 . 1 ( )
Tập nghiệm của 2x -1 < 3 là S = 1; - 2 . 2 ( )
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S S = 1;2 . 1 2 ( )
Câu 9: Hệ bất phương trình nào sau đây vô nghiệm? 2
ìïx -2x -3 > 0 2
ìïx -2x -3 < 0 A. ïí . B. ïí . 2 ïï 2 - x + x -1< 0 î 2 ïï 2 - x + x -1> 0 î 2
ìïx -2x -3 > 0 2
ìïx -2x -3 < 0 C. ïí . D. ïí . 2 2
ïï x + x +1> 0 î 2 2
ïï x - x +1> 0 î Lời giải Chọn B
Đáp án A. Tập nghiệm của 2
x - 2x -3 > 0 là S = - ; ¥ 1 - È 3;+¥ . 1 ( ) ( ) Tập nghiệm của 2 2
- x + x -1< 0 là S = .  2
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S ÇS = - ; ¥ 1 - È 3;+¥ . 1 2 ( ) ( )
Đáp án B. Tập nghiệm của 2
x - 2x -3 < 0 là S = 1; - 3 . 1 ( ) Tập nghiệm của 2 2
- x + x -1> 0 là S = . Æ 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 429
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S ÇS = . Æ 1 2
Đáp án C. Tập nghiệm của 2
x - 2x -3 > 0 là S = - ; ¥ 1 - È 3;+¥ . 1 ( ) ( ) Tập nghiệm của 2
2x + x +1> 0 là S = .  2
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S ÇS = - ; ¥ 1 - È 3;+¥ . 1 2 ( ) ( )
Đáp án D. Tập nghiệm của 2
x - 2x -3 < 0 là S = 1; - 3 . 1 ( ) Tập nghiệm của 2
2x - x +1> 0 là S = .  2
Vậy tập nghiệm của hệ là S = S ÇS = 1; - 3 . 1 2 ( ) 2
ìïx + 4x + 3 ³ 0 ïï
Câu 10: Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình ï 2 2
í x - x -10 £ 0 là: ïï 2 2
ïï x -5x +3> 0 î A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn B Tập nghiệm của 2
x + 4 x + 3 ³ 0 là S = - ; ¥ 3 -  1 - ;+¥ . 1 ( ] [ ) é ù Tập nghiệm của 5 2
2x - x -10 £ 0 là S = ê 2; - ú. 2 ê 2ú ë û æ ö Tập nghiệm của 2 3
2x -5x + 3 > 0 là S = - ;1 ¥  çç ; ÷ +¥÷. 3 ( ) çè2 ÷ø æ ù
Vậy tập nghiệm của hệ là 3 5
S = S S S = 1; - 1 çç ; ú. 1 2 3 [ ) çè2 2úû
Suy ra nghiệm nguyên là { 1; - 0;2}.
ìï2x + m < 0 ( ) 1
Câu 11: Hệ bất phương trình ïí
vô nghiệm khi và chỉ khi: 2 3
ïï x -x-4 £ 0 ( ) 2 ïî A. 8 m > - . B. m < 2 . C. m ³ 2 . D. 8 m ³ - . 3 3 Lời giải Chọn C
Bất phương trình   4  4  1  1
  x  . Suy ra S  1  ; 3 1  3    Bất phương trình   m  2 m
x   . Suy ra S   ;   .   2 2  2 
Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi    m    1   m  2. 1 S S2 2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 430
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 2 ìïx -1£ 0( ) 1
Câu 12: Hệ bất phương trình ïí có nghiệm khi:
ïïx-m > 0( ) 2 ïî A. m >1. B. m = 1. C. m <1.
D. m ¹ 1. Lời giải Chọn C
Bất phương trình   1  1
  x 1. Suy ra S  1;1 . 1  
Bất phương trình 2  x  . m Suy ra S  ; m  . 2  
Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi     m  1. 1 S S2 ( ìï x + ) 3 (4- x)> 0( ) 1
Câu 13: Hệ bất phương trình ïí
có nghiệm khi và chỉ khi: ïïx < m- ( 1 2) î A. m < 5. B. m > -2. C. m = 5.
D. m > 5. Lời giải Chọn B
Bất phương trình   1  3
  x  4. Suy ra S  3;4 . 1  
Bất phương trình có S   ;  m 1 . 2  
Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
   m 1  3   m  2  . 1 S S2 2 Câu 14: 3x + mx -6 Tìm m để 9 - <
< 6 nghiệm đúng với "x Î  . 2 x - x +1 A. 3 - < m < 6.
B. -3 £ m £ 6. C. m < 3. -
D. m > 6. Lời giải Chọn A
Bất phương trình đã cho tương tương với - ( 2 x - x + ) 2
< x + mx - < ( 2 9 1 3 6 6 x - x + ) 1 (do 2
x - x +1 > 0 x " Î  ) 2 12
ìï x +(m -9)x +3 > 0 ( ) 1 ï  í 2 3
ïï x -(m +6)x +12 > 0 (2) ïî
Yêu cầu  (1) và (2) nghiệm đúng "x Î  2 ìD ï < 0 ìï ï ( ) ï - - < 1 (m 9) 144 0 ï ï  í  í
 -3 < m < 6 . 2 ïD < 0 ï ï (2) ïî ( ï m + 6) -144 < 0 ïî 2 Câu 15:
x + 5x + m
Xác định m để với mọi x ta có 1 - £ < 7. 2 2x -3x + 2 A. 5
- £ m <1. B. 5 1 < m £ . C. 5 m £ - . D. m <1. 3 3 3
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 431
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Lời giải Chọn A
Bất phương trình tương đương 2 ìï3x + 2x + 2+ ï m ï ³ 0 2 ï 2 ì ï 2x -3x + 2 3
ï x + 2x + 2 + m ³ 0( ) 1 í ï  í . 2 13 ïï x -26x+14- 2 13
ïï x -26x +14-m > 0(2) ï m > 0 ïî ï 2 ïî 2x -3x + 2
Yêu cầu  (1) và (2) nghiệm đúng "x Î  2 ìD ï £ 0 ì ìï -5 ( ) ï 1 2 - 4.3(2 + m) £ 0 ï ï ï ³  m í  í  ïí 3 . 2 ïD < 0 ï ï ï ( ) ï - - < 2 26 4.13(14 m) 0 ïî ïî ïïm <1 î ìïx -1> 0
Câu 16: Hệ bất phương trình ïí
có nghiệm khi và chỉ khi: 2 ïx -2mx +1£ 0 ïî A. m >1. B. m = 1. C. m <1.
D. m ¹ 1. Lời giải Chọn C
Bất phương trình x -1> 0  x >1. Suy ra S = 1;+¥ . 1 ( )
Bất phương trình x - mx + £  x - mx + m £ m -  (x-m)2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 £ m -1 ém ³1 2 2
 - m -1 £ x -m £ m -1 (điều kiện: 2 m -1 ³ 0  ê ) êm £ -1 ë 2 2  é ù
m - m -1 £ x £ m + m -1 . Suy ra 2 2
S = m - m -1;m + m -1 . 2 ê ú ë û Để hệ có nghiệm 2  m + m 1 - >1  1   m  0 m 1  2  2  m 1  0      m 1 - >1-m m 1 m 1   m  1  1   m  0   m  1     m 1   1 m2 2 m 1
Đối chiếu điều kiện, ta được m >1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2
ìïx -2x +1-m £ 0 ( ) 1 Câu 17: Tìm ï m để hệ í có nghiệm. 2 ïïx -(2m + ) 2
1 x + m + m £ 0 (2) ïî A. 3+ 5 + + + 0 < m < . B. 3 5 0 £ m £ . C. 3 5 0 £ m < . D. 3 5 0 < m £ . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B
Điều kiện để (1) có nghiệm là D' = m ³ 0 .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 432
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Khi đó ( ) 1 có tập nghiệm é ù S = 1- m ;1+ . 1 m êë úû
Ta thấy (2) có tập nghiệm S = m;m +1 . 2 [ ] ìm ï £1+ Hệ có nghiệm m ï 3 + 5 ï
S ÇS ¹ Æ  í  0 £ £ . 1 2 m 1 ïï - m £ m +1 2 ïî 2
ìïx -3x-4 £ 0( ) 1 Câu 18: Tìm ï
m sao cho hệ bất phương trình í có nghiệm. ( ïï m- ) 1 x -2 ³ 0( ) 2 ïî A. 3
-1 £ m £ . B. 3 m ³ . C. m . ÎÆ D. m 1. ³- 2 2 Lời giải Chọn B
Bất phương trình   1  1
  x  4. Suy ra S  1;  4 . 1  
Giải bất phương trình (2)
Với m 1  0  m 1 thì bất phương trình (2) trở thành 0x  2 : vô nghiệm.
Với m 1  0  m 1 thì bất phương trình (2) tương đương với 2 x  . m 1 2 3 Suy ra  2  S
; .Hệ bất phương trình có nghiệm khi  4  m  . 2   m 1  m 1 2
Với m 1 0  m 1 thì bất phương trình (2) tương đương với 2 x  . m 1 Suy ra  2  S   ;  . 2    m 1 2
Hệ bất phương trình có nghiệm khi  1   m  1  (không thỏa) m 1
Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 3 m ³ . 2 2
ìïx +10x +16 £ 0( ) 1
Câu 19: Tìm tất cả giá trị thực của tham số ï
m để hệ bất phương trình í vô ïïmx ³3m+ ( 1 2) ïî nghiệm. A. 1 m > - . B. 1 m > . C. 1 m > - . D. 1 m > . 5 4 11 32 Lời giải Chọn C
Bất phương trình   1  8   x  2
 . Suy ra S  8;2 . 1  
Giải bất phương trình (2)
Với m  0 thì bất phương trình (2) trở thành 0x 1: vô nghiệm.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 433
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Với m
m  0 thì bất phương trình (2) tương đương với 3 1 x  . m Suy ra 3m 1  S  ;  . 2    m  3m 1 1
Hệ bất phương trình vô nghiệm khi  2   m   . m 5 Với m
m  0 thì bất phương trình (2) tương đương với 3 1 x  . m Suy ra  3 1   ; m S
.Hệ bất phương trình vô nghiệm khi 2    m  3m 1 1   8   m m 11
Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi 1 m > - . 11 2 2
ìïx -2(a +1)x + a +1£ 0(2)
Câu 20: Cho hệ bất phương trình ïí
. Để hệ bất phương trình có nghiệm, 2
ïïx -6x +5 £ 0( ) 1 ïî
giá trị thích hợp của tham số a là:
A. 0 £ a £ 2 . B. 0 £ a £ 4 .
C. 2 £ a £ 4 .
D. 0 £ a £ 8 . Lời giải Chọn A
Bất phương trình  
1  1  x  5. Suy ra S  1;5 . 1  
Ta thấy (2) có tập nghiệm é ù
S = a +1- 2a; a +1+ 2 . 2 a êë úû ìa ï +1+ 2a ³1 Hệ có nghiệm ï
S Ç S ¹ Æ  í  0 £ a £ 2 . 1 2 ïa ï +1- 2a £ 5 ïî
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng Trang 434
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133