Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng – Trần Quốc Nghĩa

Vấn đề 1. PHÉP BIẾN HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN – PHÉP DỜI HÌNH
+ Dạng 1. Tìm ảnh của hình H cho trước qua một phép tịnh tiến Tu
+ Dạng 2. Xác định phép tịnh tiến

38 19 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 5

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Ví dụ 9. Dựng tứ giác lồi

ABCD

, biết

và góc giữa

và

bằng



................................................................................................................................................................................

Dạng 5. Chứng minh hai hình bằng nhau.

Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép tịnh tiến



2. Áp dụng tính chất của phép tịnh tiến :

T M M MM u

 

  







3. Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 10. Cho tứ giác

ABCD

có

6 3cm

AB  ,

12cm





 



150

 



 

. Tính độ dài

các cạnh



và

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 11. Cho

ABC



. Gọi

1 1 1

, ,

A B C

lần lượt là trung điểm của các cạnh

và

;

lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp các

1 1

AC B

 ,

1 1

CAB

 ,

1 1

BC A

 .

Chứng minh

1 2 3 1 2 3

O O O I I I

   .

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 6

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 6. Tích của các phép tịnh tiến

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Áp dụng tích của các phép biến hình:

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 12. Cho hai phép tịnh tiến



và



. Với điểm

bất kì,



biến

thành





biến



thành



. Chứng tỏ rằng phép biến hình

thành



là một phép tịnh tiến.

.................................................................................................................................................................................

Dạng 7. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Biểu thức tọa độ: Cho phép tịnh tiến



với





;

u a b









;

M x y

và





;

M x y

  

thì:

 

x x a

T M M

y y b



 





 





 





B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 13. Trong mặt phẳng

Oxy

cho đường thẳng

: 2 – 1 0

d x y

 

và hai điểm





1;–2

A ,





5;1

B . Xác

định phương trình đường thẳng



là ảnh của

qua phép tịnh tiến



.................................................................................................................................................................................

M '

M''

g f

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 7

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Ví dụ 14. Trong mặt phẳng Oxy cho

(2;3)





và đường tròn





có phương trình

2 2

( 1) 4

x y

  

. Xác

định phương trình đường tròn

( )



là ảnh của





qua



................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1

Bài 1. Chứng minh:









v v

M T M M T M



 



 

Bài 2. Cho tam giác đều

ABE

và

BCD

bằng nhau trên hình bên.

Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm

, ,

A B E

theo thứ tự thành

ba điểm

, ,

B C D

Bài 3. Cho hình bình hành

ABCD

. Dựng ảnh của

ABC



qua phép tịnh tiến theo vectơ



Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho vectơ





1;2

v 



. Tìm tọa độ của điểm



là ảnh của điểm





3;–1

M qua phép tịnh tiến



Bài 5. Cho tam giác

ABC

có

là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác

ABC

qua phép tịnh tiến

theo vectơ



. Xác định điểm

sao cho phép tịnh tiến theo vectơ



biến

thành

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ





–2;3

v 



và đường thẳng

:3 – 5 3 0

d x y

 

. Viết phương trình của đường thẳng



là ảnh của

qua phép tịnh tiến

vectơ



Bài 7. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho vectơ





2; 3

 



và đường tròn





2 2

: – 2 4 – 4 0

C x y x y

  

Tìm ảnh của





qua phép



Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho





–1; –1

A ,





3;1

B ,





2;3

C . Tìm tọa độ điểm

sao cho tứ

giác

ABCD

là hình bình hành.

Bài 9. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho





2;–1

u 



, điểm





3;2

M . Tìm tọa độ điểm

sao cho :





A T M









M T A





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 8

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho





–2;1

u 



, đường thẳng

: 2 – 3 3 0

d x y

 

, đường thẳng

: 2 – 3 – 5 0

d x y



a) Viết phương trình của đường thẳng



là ảnh của

qua



b) Tìm tọa độ của vectơ



có giá vuông góc với đường thẳng

để

là ảnh của

qua



Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho vectơ





1;2

u 



, hai điểm









3;5 , –1;1

A B , đường thẳng

có phương trình:

– 2 3 0

x y

 

và đường tròn

     

2 2

: –1 –1 9

C x y

 

a) Tìm tọa độ của các điểm

A B

 

theo thứ tự là ảnh của

A B

qua phép tịnh tiến theo



b) Tìm tọa độ của điểm

sao cho

là ảnh của

qua



c) Tìm phương trình của đường thẳng



là ảnh của

qua



d) Tìm phương trình của đường tròn







là ảnh của





qua



Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường thẳng

:3 – – 9 0

d x y



. Tìm phép tịnh tiến theo

vectơ có phương song song với trục

biến

thành đường thẳng



đi qua gốc tọa độ và

viết phương trình đường thẳng



Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, xét các phép biến hình sau đây, phép nào là phép dời hình ?

a) Phép biến hình

biến mỗi điểm





;

M x y

thành





;–

M y x



;

b) Phép biến hình

biến mỗi điểm





;

M x y

thành





¢ 2 ;

M x y

;

Bài 14. Cho đoạn thẳng

và đường tròn





tâm

, bán kính

nằm về một phía của đường thẳng

. Lấy điểm

trên





rồi dựng hình bình hành

ABMM



. Tìm tập hợp các điểm



khi

di động trên





BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho đường thẳng

. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng

thành chính nó?

A. Không có phép nào B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép D. Có vô số phép

Câu 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau

và



. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng

thành



A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 3. Cho hai đường thẳng song song

và



. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng

thành đường thẳng



A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 4. Cho hai đường thẳng song song

và



. Một đường thẳng

không song song với chúng. Có

bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng

thành đường thẳng



và biến đường thẳng

thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 5. Cho bốn đường thẳng



trong đó



và

cắt

. Có bao nhiêu phép tịnh tiến

biến đường thẳng

thành đường thẳng



và biến mỗi đường thẳng

và



thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 9

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 6. Cho bốn đường thẳng



trong đó



và

cắt

. Có bao nhiêu phép tịnh

tiến biến các đường thẳng

và

lần lượt thành các đường thẳng



và



A. Không có phép nào B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép D. Có vô số phép

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đồ thị hàm số

sin

y x



. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đồ

thị đó thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho véctơ





3; 1

 



. Phép tịnh tiến theo véctơ



biến điểm





1; 4



thành điểm





4; 5





. B.





2; 3



 

. C.





3; 4





. D.





4;5



Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

nếu phép tịnh tiến biến





3;2

A thành điểm





2;3



thì nó biến

điểm





2;5

B thành:

A. Điểm





5;2



. B. Điểm





1;6



C. Điểm





5;5



. D. Điểm





1;1



Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

nếu phép tịnh tiến biến điểm





4;2

M thành điểm





4;5



thì

nó biến điểm





2;5

A thành điểm:

A. Điểm





5;2



. B. Điểm





1;6



. C. Điểm





2;8



. D. Điểm





2;5



Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, phép tịnh tiến theo véctơ





4;6

u 



biến đường thẳng

có

phương trình

9 0

x y

  

thành

A. đường thẳng

9 0

x y

  

. B. đường thẳng

9 0

x y

  

C. đường thẳng

9 0

x y

  

. D. đường thẳng

9 0

x y

   

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, phép tịnh tiến biến điểm





2; 1



thành điểm





3;0



thì nó

biến đường thẳng nào sau đây thành chính nó?

1 0

x y

  

. B.

100 0

x y

  

. C.

2 4 0

x y

  

. D.

2 1 0

x y

  

Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, nếu phép tịnh tiến biến điểm





2;1

A thành điểm





1;2



thì nó

biến đường thẳng

có phương trình

2 1 0

x y

  

thành đường thẳng có phương trình

2 1 0

x y

  

. B.

2 0

x y

 

2 6 0

x y

  

. D.

2 1 0

x y

  

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai đường thẳng song song

và



lần lượt có phương trình

3 2 0

x y

 

và

3 2 1 0

x y

  

. Phép tịnh tiến theo véctơ nào sau đây biến đường thẳng

thành

đường thẳng







1; 1

  



. B.





1; 1

 



. C.





1; 2

 



. D.





1;2

u  



Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai đường thẳng

và



lần lượt có phương trình

2 3 1 0

x y

  

và

2 3 5 0

x y

  

. Phép tịnh tiến theo véctơ nào sau đây không biến đường

thẳng

thành







0;2

u 



. B.





3;0

u  



. C.





3;4

u 



. D.





1; 1

 



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 10

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai đường thẳng

và



lần lượt có phương trình

3 4 5 0

x y

  

và

3 4 0

x y

 

. Phép tịnh tiến theo



biến đường thẳng

thành đường thẳng



. Khi đó độ dài nhất của véctơ



bằng bao nhiêu?

A. 5. B. 4. C.

. D. 1.

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

có phương trình

3 2 5 0

x y

  

phép tịnh

tiến theo véctơ





1; 2

 



biến đường thẳng đó thành đường thẳng



có phương trình

3 2 4 0

x y

  

. B.

3 2 0

x y

 

. C.

3 2 10 0

x y

  

. D.

3 2 7 0

x y

  

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho Parabol có đồ thị

y x



. Phép tịnh tiến theo véctơ





2; 3

 



biến Parabol đó thành đồ thị của hàm số:

4 1

y x x

  

. B.

4 1

y x x

  

. C.

4 1

y x x

  

. D.

4 1

y x x

  

Câu 19. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

A. Trong hệ trục tọa độ

Oxy

phép co về trục hoành là một phép dời hình.

B. Phép tịnh tiến là một phép dời hình.

C. Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng không phải là phép dời hình.

D. Hợp của hai phép dời hình là một phép dời hình.

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho phép biến hình

xác định như sau: Với mỗi





;

M x y

ta có





M f





sao cho





;

M x y

  

thỏa mãn:

2 1;

x x y



  

2 3

y x y



  

. Khi đó điểm





1; 2



sẽ biến thành điểm có tọa độ:





5;8

A . B.





5;8

A  . C.





5;6

A . D.





8;5

A .

Câu 21. Cho hai điểm

và

không nằm trên đường thẳng

. Hãy xác định điểm

trên

sao cho

AM BM



bé nhất. Một học sinh đã tiến hành như sau:

Bước 1: Lấy điểm



đối xứng với

qua

, ta

có:

AM BM A M BM



  

Bước 2: Mà

A M BM A B

 

 

, dấu bằng xảy ra

khi

là giao điểm của

A B



và

Vậy điểm

thỏa mãn bài toán là giao điểm của

A B



và

Học sinh đó đã:

A. Lí luận đúng hoàn toàn trong việc giải bài toán đó.

B. Lí luận sai ở bước 1.

C. Lí luận không đầy đủ.

D. Lí luận sai ở bước 2.

Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho phép biến hình

xác định như sau: Với mỗi





;

M x y

ta có





M f M



 sao cho





;

M x y

  

thỏa mãn

; ,

x x y ax by

 

  

với

;

a b

là các hằng số. Khi đó

;

a b

nhận giá trị nào trong các giá trị sau đây thì

trở thành phép biến hình đồng nhất?

1; 2

a b

 

. B.

1; 1

a b

 

. C.

a b

 

. D.

0; 1

a b

 

Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho hai đường thẳng

và

có phương trình lần lượt

là:

1 2

;

x x x x

 

trong đó:

1 2

x x



;





;

M x y

là một điểm bất kỳ. Phép đối xứng trục

biến

thành



và phép đối xứng trục

biến



thành



. Như thế phép biến hình biến điểm

thành



là một phép tịnh tiến theo véctơ có tọa độ là?









1 2

2 ;0

x x . B.









1 2

x x









2 1

2 ;0

x x . D.









1 2

x x .

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 11

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 24. Cho tam giác

ABC

với trọng tâm

, trực tâm

và tâm đường tròn ngoại tiếp

. Gọi



lần lượt là trung điểm các cạnh

của tam giác

ABC

. Hỏi qua phép biến hình

nào thì điểm

biến thành điểm

A. Phép quay tâm

, góc quay



. B. Phép vị tự tâm

, tỉ số



C. Phép vị tự tâm

, tỉ số

. D. Phép tịnh tiến theo vectơ



Câu 25. Giả sử phép dời hình

biến tam giác

ABC

thành tam giác

A B C

  

. Xét các câu sau:

(1) Trọng tâm tam giác

ABC

biến thành trọng tâm tam giác

A B C

  

(2) Trực tâm tam giác

ABC

biến thành trực tâm tam giác

A B C

  

(3) Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

ABC

biến thành tâm đường tròn ngoại tiếp,

nội tiếp tam giác

A B C

  

Trong

câu trên:

A. Có đúng hai câu sai. B. Cả ba câu đều đúng.

C. Có đúng một câu sai. D. Cả ba câu đều sai.

Câu 26. Một phép dời hình bất kì, chọn câu trả lời đúng.

A. Có thể có ba điểm bất động không thẳng hàng. (1)

B. Chỉ có ba điểm bất động khi nó là phép đồng nhất. (2)

C. Chỉ có 3 điểm bất động không thẳng hàng khi nó là phép đồng nhất. (3)

D. Cả (1); (2); (3) đều sai.

Câu 27. Trong hệ trục tọa độ

Oxy

cho phép biến hình

biến mỗi điểm





;

M x y

thành điểm





;

M x y

  

sao cho

x x y



 

;

2 1

y x y



   

. Gọi

là trọng tâm tam giác

ABC

với





1;2

A ;





2;3

B  ;





4;1

C . Phép biến hình

biến điểm

thành điểm



có tọa độ là





3;4

 . B.





8;3





5;1

. D.





0;6

Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho phép biến hình

biến điểm bất kỳ





;

M x y

thành điểm





;

M x y

  

sao cho:

2 2

x y





 









 





. Tập hợp những điểm bất động của

là:

A. Một tia. B. Một đoạn thẳng.

C. Một đường thẳng. D. Một đường tròn.

Câu 29. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vuông thành chính nó?

A. Không có. B. Vô số.

C. Một. D. Bốn.

Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, cho hình bình hành

ABCD

với





1;4

A ;





2;1

B  ;





7; 1



. Nếu

là phép tịnh tiến theo véctơ



biến đoạn thẳng

thành đoạn thẳng

thì

véctơ



có tọa độ là:





9;3

 . B.





9; 2



. C.





8;5

. D.





5; 4



Câu 31. Cho hai đường thẳng song song

và



. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến

thành



A. Có bốn phép tịnh tiến. B. Có duy nhất một phép tịnh tiến.

C. Không có phép tịnh tiến nào. D. Có vô số phép tịnh tiến.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 12

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, cho đường tròn





có phương trình:

2 2

2 8 0

x y x

   

Phép tịnh tiến theo véctơ





3; 1

 



biến đường tròn





thành đường tròn







có phương

trình là:

2 2

8 2 8 0

x y x y

    

. B.

2 2

6 4 2 0

x y x y

    

2 2

4 5 0

x y x y

    

. D.

2 2

4 4 3 0

x y x y

    

Câu 33. Cho hai đường tròn





2 2

: 2 2 1 0

C x y x y

    





2 2

: 4 2 4 0

C x y x y



    

. Biết rằng

   

C C







. Véctơ



là:





1;1

a 



. B.





1;0

a  







0; 1

 



. D.





1;0

a 



Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, cho đường tròn





2 2

2 3 0

x y x y

    

. Phép tịnh

tiến theo phương của trục hoành về phía bên phải 4 đơn vị biến đường tròn





thành đường

tròn







có phương trình là:

2 2

4 2 4 0

x y x y

    

. B.

2 2

5 4 5 0

x y x y

    

2 2

7 2 1 0

x y x y

    

. D.

2 2

9 2 17 0

x y x y

    

Câu 35. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó?

A. Hai. B. Không có. C. Vô số. D. Một.

Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, cho hai đường tròn





và







bằng nhau và có phương

trình lần lượt là:

   

2 2

1 2 16

x y

   

và

   

2 2

3 4 16

x y

   

. Giả sử

là phép tịnh tiến

theo véctơ



biến





thành







. Khi đó tọa độ của



là:





3; 5



. B.





8; 10

 .





4;6

 . D.





4; 6



Câu 37. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho điểm





2;5

A . Phép tịnh tiến theo véctơ





1;2



biến

thành điểm

nào trong các điểm sau?





3;1

B . B.





3;7

D .





4;7

E . D.





1;6

C .

Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, cho hai parabol





và





có phương trình lần lượt là:

y x



và

2 3

y x x

  

. Chọn câu sai trong các câu sau:

A. Không thể thực hiện được một phép tịnh tiến nào biến parabol này thành parabol kia.

B. Có vô số phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia.

C. Có duy nhất 1 phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia.

D. Có đúng 2 phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 13

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Vấn đề 2. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1. Phép đối xứng qua đường thẳng



là phép biến hình biến mỗi điểm

thành

điểm



đối xứng với

qua



. Kí hiệu:



2. Đường thẳng



gọi là trục của phép đối xứng hay trục đối xứng.

3. Phép đối xứng trục là một phép dời hình.

4. Các phép đối xứng trục với trục đặc biệt:

Trục là

: Trục là





M M









M M





5. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của một hình

nếu phép đối xứng trục

biến

thành chính

nó, tức là









H H





Dạng 1. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép đối xứng trục





M M







  

thì

IM IM





3. Áp dụng bất đẳng thức: Với ba điểm

, ,

A B C

bất kỳ, ta có:

AB BC AC

 

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 15. Cho đường thẳng a và hai điểm

và

nằm cùng phía đối với

. Tìm trên đường thẳng

điểm

sao cho

MA+MB

ngắn nhất.

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 16. Cho góc



xOy

và một điểm

nằm trong góc đó. Qua

dựng đường thẳng

cắt

tại

và

cắt

tại

sao cho

là trung điểm của

a) Chứng minh rằng

OPQ



có diện tích lớn nhất.

b) Hãy xác định điểm

trên

và điểm

trên

sao cho

ABC



có chu vi nhỏ nhất.

................................................................................................................................................................................



M '



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 14

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 17. Trong tất cả các tam giác có cùng diện tích và có chung một cạnh. Chứng minh rằng tam giác

cân có chu vi nhỏ nhất.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 18. Cho

ABC



, gọi

là đường phân giác ngoài tại đỉnh

của

ABC



và

là một điểm bất kỳ

thuộc

. Chứng minh

MBC



có chu vi không nhỏ hơn chu vi

ABC



.................................................................................................................................................................................

Dạng 2. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép đối

xứng trục



A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép đối xứng



biến điểm

M M





2. Tìm quỹ tích điểm

3. Từ quỹ tích của điểm

, dựa vào tính chất của phép đối xứng để suy ra quỹ tích của

điểm



B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 19. Cho đường tròn





;

O R

và hai điểm

A B

thuộc đường tròn. Đường tròn





;

I r

tiếp xúc ngoài

với đường tròn





;

O R

tại

. Một điểm

di động trên đường tròn





;

O R

, tia

cắt đường

tròn





;

I r

tại điểm thứ hai

. Qua

vẽ đường thẳng song song với

cắt đường thẳng

tại

. Tìm quỹ tích của điểm

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 15

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 20. Cho đường tròn





có dây cung

cố định và điểm

di động trên đường tròn





. Tìm

quỹ tích trực tâm

của tam giác

ABC

................................................................................................................................................................................

Dạng 3. Áp dụng phép đối xứng trục



vào dựng

hình

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Quy bài toán dựng hình về bài toán dựng điểm

nào đó phụ thuộc vào hai điều kiện

độc lập







và







2. Xác định phép đối xứng trục để tìm điều kiện







gọi là



và điều kiện







gọi là



3. Điểm

M H H

 

  .

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 21. Cho hai đường tròn









và đường thẳng

. Tìm trên

một điểm

sao cho tiếp tuyến

vẽ từ

đến









tạo thành một góc nhận

làm đường phân giác.

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 16

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Ví dụ 22. Dựng

ABC



biết ,

AB c AC b

 

và



B C



 

(



cho trước)

.................................................................................................................................................................................

Dạng 4. Áp dụng phép đối xứng trục



vào chứng

minh hình học

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép đối xứng trục.

2. Tính chất của phép đối xứng trục biến một hình thành hình bằng nó.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 23. Cho



xOy

, trên tia

lấy hai điểm

A B

và trên tia

lấy hai điểm



sao cho

OA OA





OB OB





Chứng minh giao điểm của



và



nằm trên đường phân giác của



xOy

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 24. Cho

ABC



, gọi

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và

là điểm nằm trong tam giác. Gọi



là các điểm đối xứng với

qua các đường thẳng

. Chứng minh rằng

các đường thẳng



đồng quy.

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 17

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 5. Tích của các phép đối xứng trục

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Áp dụng tích của các phép biến hình:

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 25. Chứng minh rằng:

a) Tích của hai phép đối xứng trục, có trục song song là một phép tịnh tiến.

b) Tích của ba phép đối xứng trục, có trục song song là một phép đối xứng trục.

c) Tích của phép đối xứng trục



với phép tịnh tiến



có đường thẳng chứa véctơ



vuông

góc với



là một phép đối xứng trục.

Dạng 6. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI



Trục là Ox:





M M







Trục là Oy:





M M







Trục là đường thẳng bất kỳ

2 2

: 0( 0)

d Ax By C A B

    

Cho điểm





;

M x y

và đường thẳng d. Tìm

( ; ) :

M x y

  





M M





Bước 1. Viết phương trình đường thẳng



qua

và vuông góc với

Bước 2. Gọi

là hình chiếu của

trên



là giao điểm của

và



Bước 3.

là trung điểm của





Tọa độ

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 26. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho điểm





1;5 ,

M đường thẳng

: – 2 4 0

d x y

 

và đường tròn





2 2

: – 2 4 – 4 0.

C x y x y

  

a) Tìm ảnh của





qua phép đối xứng trục

b) Tìm ảnh của





qua phép đối xứng trục

................................................................................................................................................................................

M '

M''

g f

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 18

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

.................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2

Bài 15. Qua phép đối xứng trục

(

là trục đối xứng), đường thẳng

biến thành đường thẳng



Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Khi nào thì

song song với



b) Khi nào thì

trùng với



c) Khi nào thì

cắt



? Giao điểm của

và



có tính chất gì ?

d) Khi nào thì

vuông góc với



Bài 16. Cho tứ giác

ABCD

. Hai đường chéo

và

cắt nhau tại

. Xác định ảnh của ABE qua

phép đối xứng qua đường thẳng

Bài 17. a) Tìm ảnh của các điểm





1;2

A ,





0; –5

B qua phép

b) Tìm ảnh của các điểm





1;2

A ,





5;0

B qua phép

c) Tìm ảnh của điểm





1;5

M qua phép

với

: – 3 4 0

d x y

 

d) Tìm ảnh của

:3 – 2 0

d x y

 

qua phép đối xứng trục

e) Tìm ảnh của

: – 2 1 0

d x y

 

qua phép đối xứng trục

f) Tìm ảnh của

: – 1 0

d x y

 

qua phép đối xứng trục

:2 – 0.

D x y



g) Tìm ảnh của đường tròn

     

2 2

: – 2 – 4 18

C x y

 

qua phép đối xứng trục

h) Tìm ảnh của đường tròn

     

2 2

: 2 –1 40

C x y

  

qua phép đối xứng trục

i) Tìm ảnh của đường tròn





2 2

: – 4 – 2 – 4 0

C x y x y

 

qua phép đối xứng trục

:2 0

D x y

 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 19

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho hai đường tròn





2 2

: – 4 5 1 0

C x y x y

   

và





2 2

: 10 – 5 0

C x y y

  

. Viết phương trình ảnh của mỗi đường tròn trên qua phép

Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường thẳng

: – 5 7 0

d x y

 

và

:5 – –13 0

d x y





. Tìm

phép đối xứng qua trục biến

thành



Bài 20. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường thẳng

:2 – 7 0

d x y

 

và

:2 – 13 0

d x y



 

. Tìm

phép đối xứng qua trục biến

thành



Bài 21. a) Trong các chữ cái sau, chữ nào có trục đối xứng: H A L O N G.

b) Tìm một số hình tứ giác có trục đối xứng.

Bài 22. a) Chỉ ra trục đối xứng (nếu có) của mỗi hình sau

MÂM, HOC, NHANH, HE, SHE, IS, IT, SOS, CHEO

b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng.

Bài 23. Cho hai điểm

cố định nằm trên đường tròn





;

O R

và điểm

thay đổi trên đường tròn

đó. Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H của

ABC



nằm trên một

đường tròn cố định.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 39. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến một đường thẳng

cho trước thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 40. Cho hai đường thẳng song song

và



. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường

thẳng đó thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 41. Cho hai đường thẳng song song

và



. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng

thành đường thẳng



A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 42. Cho hai đường thẳng cắt nhau

và



. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng

thành đường thẳng



A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 43. Cho hai đường thẳng

và

, một đường thẳng

vuông góc với chúng. Có bao nhiêu phép đối

xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 44. Cho hai đường thẳng song song

và

, một đường thẳng

vuông góc với chúng. Có bao

nhiêu phép đối xứng trục biến

thành

và biến

thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 45. Cho hai đường thẳng song song

và

, một đường thẳng c không vuông góc với chúng. Có

bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 20

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 46. Cho hai đường thẳng song song

và

, một đường thẳng

không vuông góc và cũng không

song song với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến

thành

và biến

thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 47. Cho bốn đường thẳng



trong đó



và

cắt

. Có bao nhiêu phép đối

xứng trục biến các đường thẳng

và

lần lượt thành các đường thẳng



và



A. Không có phép nào. B. Chỉ có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 48. Trong các hình dưới đây hình nào có một và chỉ một trục đối xứng?

A. Đường Elip B. Đường tròn C. Đường Hypebol D. Đường Parabol

Câu 49. Trong các hình dưới đây hình nào có ba trục đối xứng?

A. Đoạn thẳng. B. Đường tròn. C. Tam giác đều. D. Hình vuông.

Câu 50. Trong các hình dưới đây hình nào có bốn trục đối xứng?

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình thoi. D. Hình vuông.

Câu 51. Trong các hình dưới đây hình nào không có trục đối xứng?

A. Hình gồm hai đường tròn không bằng nhau.

B. Hình gồm một đường tròn và một đoạn thẳng tùy ý.

C. Hình gồm một đường tròn và một đưòng thẳng tùy ý.

D. Hình gồm một tam giác cân và đường tròn nội tiếp.

Câu 52. Trong các hình dưới đây hình nào không có vô số trục đối xứng?

A. Đường tròn. B. Đường thẳng.

C. Hình gốm hai đường thẳng song song. D. Hình đa giác đều

cạnh.

Câu 53. Trong các hình dưới đây hình nào không có trục đối xứng?

A. Đồ thị của hàm số

sin

y x



. B. đồ thị của hàm số

cos

y x



C. Đồ thị của hàm số

tan

y x



. D. Đồ thị của hàm số

y x



Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, phép đối xứng trục biến điểm





2;1

A thành





2;5



có trục đối

xứng là

A. Đường thẳng



. B. Đường thẳng



C. Đường thẳng



. D. Đường thẳng

3 0

x y

  

Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, nếu phép đối xứng trục biến điểm





1; 4



thành điểm





4;1



 thì có trục đối xứng là

A. đường thẳng

x y

 

. B. đường thẳng

x y

 

C. Đường thẳng

1 0

x y

  

. D. Đường thẳng

1 0

x y

  

Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, nếu phép biến đối xứng trục biến điểm





2;3

M thành điểm





3;2



thì nó biến điểm





1; 6



thành điểm





6;1



. B.





1;6



. C.





6; 1



 

. D.





6;1



 .

Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

nếu phép biến đối xứng trục biến điểm





3;1

M thành điểm





1; 3



 

thì nó biến điểm





3; 4

 

thành

A. điểm





3;4



. B. điểm





3; 4





. C. điểm





4; 3





. D. điểm





4;3



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 21

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, nếu phép đối xứng trục biến điểm





0;1

A thành điểm





1;0





thì nó biến điểm





5;5

B  thành điểm





5;5



 . B.





5;5



. C.





5; 5





. D.





1;1



 .

Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

phép đối xứng qua đường thẳng

x y

 

biến đường thẳng

4 5 1 0

x y

  

thành đường thẳng có phương trình:

4 5 1 0

x y

   

. B.

5 4 1 0

x y

  

. C.

5 4 1 0

x y

  

. D.

4 5 1 0

x y

  

Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

phép đối xứng qua đường thẳng

x y

 

biến đường tròn có

phương trình

2 2

2 1 0

x y x

   

thành đường tròn có phương trình

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

. B.

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

. D.

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường tròn





có phương trình

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

.Phép biến đổi xứng qua trục

biến đường tròn đó thành đường tròn







có phương trình:

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

. B.

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

. D.

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường tròn





có phương trình

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

Phép biến đổi xứng qua trục

biến đường tròn đó thành đường tròn







có phương trình:

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

. B.

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

. D.

2 2

2 3 1 0

x y x y

    

Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho Parabol





có phương trình

y x



. Phép đối xứng qua

đường thẳng

y x



biến





thành đường Parabol có đồ thị là

y x

 . B.

y x

  . C.

y x

 . D.

y x

  .

Câu 64. Cho





:2 2 0

d x y

  

và





: 0

x y

  

. Giả sử









1 2

d d



 . Lựa chọn phương án

đúng:





:3 2 3 0

d x y

  

. B.

2 2 0

x y

  

. C.

1 0

x y

  

. D.

2 3 3 0

x y

  

Câu 65. Cho tam giác

ABC

với





1;3

A ,





2;4

B ,





3;2

C xét đường thẳng

: 0

d x y

 

Giả sử

ABC A B C

  

  . Gọi



là trọng tâm tam giác

A B C

  

. Chọn Câu trả lời đúng





3;2



. B.





4;3



. C.





2;2



. D.





2;1



Câu 66. Hình





có bốn trục đối xứng. Lựa chọn phương án đúng. Chọn Câu trả lời đúng:





là hình tròn. B.





là hình chữ nhật.





là hình thoi. D.





là hình vuông.

Câu 67. Chọn câu trả lời đúng:

A. Mọi đường thẳng đều có trục đối xứng. B. Đường tròn có hữu hạn trục đối xứng.

C. Mọi tam giác bất kỳ đều có trục đối xứng. D. Đường thẳng không có trục đối xứng.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 22

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 68. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





2;3

M , hỏi điểm

là ảnh của điểm nào sau đây qua phép

đối xứng qua trục





2; 3



. B.





3; 2



. C.





2;3

D  . D.





3;2

A .

Câu 69. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





2; 3

M , hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của

qua

phép đối xứng qua đường thẳng

x y

 





2; 3



. B.





3; 2



. C.





2;3

D  . D.





3;2

A .

Câu 70. Chọn câu trả lời đúng:

A. Hình gồm một đường tròn và một đoạn thẳng tùy ý không có trục đối xứng.

B. Hình gồm một đường tròn và một đường thẳng tùy ý không có trục đối xứng.

C. Hình gồm một tam giác cân và đường tròn ngoại tiếp tam giác đó không có trục đối xứng.

D. Hình gồm hai đường tròn không bằng nhau không có trục đối xứng.

Câu 71. Đường thẳng

có phương trình:

5 3

y x

 

. Phép đối xứng trục

biến đường thẳng

thành đường thẳng

có phương trình là:

1 3

5 5

y x

  

. B.

1 3

5 5

y x

 

. C.

5 3

y x

 

. D.

5 3

y x

  

Câu 72. Cho hai điểm

và

cố định trên đường tròn





;

O R

, điểm

thay đổi trên





;

O R

là

trực tâm tam giác

ABC

và



là điểm đối xứng của

qua đường thẳng

. Mệnh đề nào

sau đây đúng?



luôn nằm trên một đường thẳng cố định song song với



luôn nằm trên đường tròn





;

O R



luôn nằm trên đường trung trực của cạnh



luôn nằm trên đường tròn





;

O R

đối xứng của





;

O R



qua đường thẳng

Câu 73. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

các đường có phương trình sau đây đường nào nhận trục

hoành làm trục đối xứng. Chọn câu trả lời đúng:

4 3

y x

  

. B.

y x x

 

2 2

4 2 0

x y x y

   

. D.

2 2

4 5 0

x y x

   

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 23

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Vấn đề 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

1. Phép đối xứng qua điểm

biến mỗi điểm

thành



đối xứng với

qua

, có nghĩa

là:

OM OM



 

  

hay

OM OM



 

 

hay

là trung điểm của



2. Kí hiệu phép đối xứng tâm:

(

gọi là tâm đối xứng).

3. Biểu thức tọa độ:

Cho





Đ M M



 với









; , ;

I I M M

I x y M x y

và

( ; )

M M

M x y

 



thì:

M I M

x x x

y y y



 





 



Đặc biệt nếu

I O



thì

M M

x x

y y



 





 



4. Điểm O gọi là tâm đối xứng của một hình

nếu phép đối xứng

tâm Đ

biến hình

thành thành chính nó, tức là:









Đ H H



5. Phép quay là một phép dời hình.

6. Các tính chất: Phép đối xứng tâm:

a) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

c) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với đoạn thẳng đã cho.

d) Biến tam giác thành tam giác bằng với tam giác đã cho.

e) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn đã cho.

Dạng 1. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng

phép đối xứng tâm

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép đối xứng

biến điểm

M M





2. Tìm quỹ tích điểm

3. Từ quỹ tích của điểm

, dựa vào tính chất của phép đối xứng để suy ra quỹ tích của

điểm



B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 27. Cho đường tròn





và một điểm

không nằm trên đường tròn. Với mỗi điểm

thay đổi trên

đường tròn, ta xét hình vuông

ABCD

có tâm

. Tìm quỹ tích các điểm

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 24

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Ví dụ 28. Cho đường thẳng

và một điểm

không nằm trên

. Với mỗi điểm

nằm trên

ta dựng

tam giác đều

ABC

có tâm là

. Tìm quỹ tích hai điểm

và

khi

chạy trên

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 29. Cho đường tròn





và

ABC



. Một điểm

thay đổi trên





Gọi

là điểm đối xứng

của

qua

là điểm đối xứng của

qua

là điểm đối xứng của

qua

Tìm quỹ tích của điểm

.................................................................................................................................................................................

Dạng 2. Áp dụng phép đối xứng tâm

vào dựng hình

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Quy bài toán dựng hình về bài toán dựng điểm M nào đó phụ thuộc vào hai điều kiện

độc lập







và







2. Xác định phép đối xứng tâm để tìm điều kiện







gọi là



và điều kiện







gọi là



3. Điểm

M H H

 

 

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 30. Cho ba điểm không thẳng hàng

. Hãy dựng

ABC



nhận

lần lượt là trung

điểm của các cạnh

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 25

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Ví dụ 31. Cho hai đường tròn





và





cắt nhau tại

và

. Qua

hãy dựng cát tuyến cắt hai

đường tròn tại

và

sao cho

AM AN



................................................................................................................................................................................

Ví dụ 32. Cho hai điểm

nằm ở trong



xOy

. Dựng hình bình hành có hai đỉnh

đối diện, còn

hai đỉnh kia nằm trên 2 cạnh của góc.

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 33. Cho hai đường thẳng

phân biệt và điểm

không nằm trên chúng. Hãy xác định hai

điểm

lần lượt nằm trên

và

sao cho

ABC



đều.

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 26

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 3. Áp dụng phép đối xứng tâm

vào chứng minh

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép đối xứng tâm.

2. Tính chất của phép đối xứng tâm biến một hình thành hình bằng nó.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 34. Cho

ABC



với trực tâm

và

là trung điểm của cạnh

. Chứng minh rằng ảnh của

qua phép đối xứng tâm

là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp

ABC



.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 35. Hình bình hành

MNPQ

có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình chữ nhật

ABCD

. Chứng

minh rằng hai hình này có cùng tâm đối xứng.

.................................................................................................................................................................................

Dạng 4. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cho









; , ;

I I M M

I x y M x y

và

( ; )

M M

M x y

 



thì:

 

M I M

x x x

Đ M M

y y y



 





 



 



Đặc biệt nếu

I O



thì

M M

x x

y y



 





 



B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 36. Cho hai điểm





1;2

I ,





–2;3

M đường thẳng

có phương trình

3 – 9 0

x y

 

và





2 2

: 2 – 9 6 0

C x y x y

   

. Hãy xác định tọa độ của điểm



và

( )



theo theo thứ tự

là ảnh của

và





qua :

a) Phép đối xứng qua gốc tọa độ. b) Phép đối xứng qua tâm

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 27

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 3

Bài 24. Chứng minh rằng:





( ) .

I I

Đ M M Đ M M

 

  

Bài 25. Cho hình bình hành

ABCD

. Gọi

là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng kẻ qua

và vuông góc với

, cắt

ở

và cắt

ở

. Hãy chỉ ra các cặp điểm trên hình vẽ đối

xứng với nhau qua tâm

Bài 26. Cho tứ giác

ABCE

. Dựng ảnh của tam giác

ABC

qua phép đối xứng tâm

Bài 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm





–1;3

A và đường thẳng

: – 2 3 0

d x y

 

. Tìm ảnh

của

và

qua phép đối xứng tâm

Bài 28. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho hai điểm





1;2

I ,





–2;3

M đường thẳng

:3 – 9 0

d x y

 

và

đường tròn





2 2

: 2 – 6 6 0

C x y x y

   

. Hãy xác định tọa độ của

, ,

M d

 

và

( )



theo thứ tự

là ảnh của





qua:

a) Phép đối xứng qua gốc tọa độ. b) Phép đối xứng qua tâm

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 28

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Bài 29. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường thẳng

: – 2 2 0

d x y

 

và

: – 2 – 8 0

d x y





. Tìm

phép đối xứng tâm biến

thành



và biến trục

thành chính nó.

Bài 30. Cho phép đối xứng tâm

và đường thẳng

không đi qua

. Hãy nêu cách dựng ảnh



của

đường thẳng

qua

. Tìm cách dựng



mà chỉ sử dụng compa một lần và thước thẳng 3 lần.

Bài 31. Trong các hình: Tam giác đều, tam giác cân, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình

nào có tâm đối xứng ?

Bài 32. Chỉ ra tâm đối xứng của các hình sau đây:

a) Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau. b) Hình gồm hai đường thẳng song song.

c) Hình gồm hai đường tròn bằng nhau. d) Đường elip

Bài 33. Cho đường tròn





;

O R

, đường thẳng



và điểm

. Tìm điểm

trên





;

O R

và điểm

trên



sao cho

là trung điểm của đoạn thẳng

Bài 34. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường thẳng

: 0

ax by c

   

và điểm





0 0

; .

I x y

Phép đối

xứng tâm

biến đường thẳng



thành đường thẳng





. Viết phương trình của





BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 74. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến một đường thẳng

cho trước thành chính no?

A. không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 75. Cho hai đường thẳng song song

và



. có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường

thẳng thành chính nó?

A. không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 76. Cho hai đường thẳng song song

và



. có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến

thành



A. không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 77. Cho hai đường thẳng cắt nhau

và



. có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng

đó thành chính nó?

A. không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 78. Cho hai đường thẳng cắt nhau

và



. có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến

thành



A. không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 79. Cho hai đường thẳng song song

và

và một đường thẳng

không song song với chúng. Có

bao nhiêu phép đối xứng tâm biến đường thẳng

thành đường thẳng

và biến đường thẳng

thành chính nó?

A. không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 80. Cho bốn đường thẳng



trong đó



và

cắt

. Có bao nhiêu phép đối

xứng tâm biến đường thẳng

thành đường thẳng



và biến mỗi đường thẳng

và



thành

chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 29

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 81. Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng?

A. đường Elip. B. Đường Hypebol.

C. Đường Parabol. D. Đồ thị hàm số

sin

y x



Câu 82. Trong các hình dưới đây hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng?

A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.

B. Hình gốm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.

C. Hình lục giác đều.

D. Hình gồm một đường tròn và một hình vuông nội tiếp.

Câu 83. Trong các hình dưới đây hình nào không có vô số taam đối xứng?

A. Đồ thị hàm số

sin

y x



. B. Đồ thị hàm số

sin 1

y x

 

C. Đồ thị hàm số

tan

y x



. D. Đồ thị hàm số



Câu 84. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

nếu phép đối xứng tâm biến điểm





5;2

A thành điểm





3;4





thì nó biến điểm





1; 1



thành điểm





1;7



. B.





1;6



. C.





2;5



. D.





1; 5





Câu 85. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

nếu phép đối xứng tâm có tâm là điểm gốc tọa độ. Khi đó nó biến

đường thẳng

3 4 13 0

x y

  

thành đường thẳng

3 4 13 0

x y

  

. B.

3 4 13 0

x y

  

. C.

3 4 13 0

x y

  

. D.

3 4 13 0

x y

   

Câu 86. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho phép đối xứng tâm là điểm





1; 1



. Khi nó biến đường

thẳng

2 3 5 0

x y

  

thành đường thẳng.

2 3 7 0

x y

  

. B.

2 3 7 0

x y

  

. C.

2 3 7 0

x y

  

. D.

2 3 4 0

x y

  

Câu 87. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai đường thẳng song song

và

lần lượt có phương trình

3 4 1 0

x y

  

và

3 4 5 0

x y

  

. Nếu phép đối xứng tâm biến

thành

thì tâm đối xứng

phải là điểm nào trong các điểm sau đây?





2; 2



. B.





2;2

I . C.





2;2

I  . D.





2;0

I .

Câu 88. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị nhận gốc tọa độ

làm tâm đối xứng? Chọn câu

trả lời đúng.

y x x

  

. B.

sin 1

y x x

 

. C.

2 3 1

y x x

  

. D.

tan

y x x

 .

Câu 89. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho đường tròn





có phương trình

2 2

8 10 32 0

x y x y

    

. Phương trình đường tròn







đối xứng với





qua gốc tọa độ

có phương trình. Chọn câu trả lời đúng.

   

2 2

4 5 9

x y

   

. B.

   

2 2

4 5 4

x y

   

   

2 2

4 5 16

x y

   

. D.

   

2 2

4 5 4

x y

   

Câu 90. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho điểm





2; 1



và đường thẳng

có phương trình

2 2 0

x y

  

. Ảnh của

qua phép đối xứng tâm

là đường thẳng có phương trình. Chọn

câu trả lời đúng.

2 6 0

x y

  

. B.

2 4 0

x y

  

. C.

2 2 0

x y

  

. D.

2 3 0

x y

  

Câu 91. Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng? chọn câu trả

lời đúng.

A. Một. B. Không có. C. Vô số. D. Hai.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 30

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 92. Cho đường tròn





2 2

: 4 2 4 0

x y x y

    

và điểm





2;2

I . Phép đối xứng tâm

biến





thành







. Chọn câu trả lời đúng.







có tâm





4;2

I  . B.







có phương trình

   

2 2

2 4 9

x y

   







có tâm





4; 2

 

. D.







có phương trình

   

2 2

2 3 9

x y

   

Câu 93. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho đường thẳng



có phương trình



. Trong bốn

đường thẳng cho bởi các phương trình sau, đường nào là ảnh của



qua phép đối xứng tâm

Chọn câu trả lời đúng.

 

. B.



. C.



. D.

 

Câu 94. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho hai điểm





0;1

A ,





2; 1



và parabol





có phương

trình

y x



. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm

và

theo thứ tự khi đó





thành







có phương trình là. Chọn câu trả lời đúng.

6 4

y x x

  

. B.

4 10

y x x

  

8 12

y x x

  

. D.

4 8

y x x

  

Câu 95. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho





có phương trình

y x x

 

và điểm





3;1

I  .

Phép đối xứng tâm

biến





thành







có phương trình là. Chọn câu trả lời đúng.

14 5

y x x

   

. B.

14 46

y x x

   

6 3

y x x

   

. D.

74 12

y x x

   

Câu 96. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho điểm





2; 1



và tam giác

ABC

với





1;4

A ,





2;3

B  ,





7;2

C . Phép đối xứng tâm

biến trọng tâm

của tam giác

ABC

thành điểm



có tọa độ là. Chọn câu trả lời đúng.





2;5

G  . B.





2;15

G . C.





2; 5



. D.





1;4

G  .

Câu 97. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho đường thẳng



có phương trình

4 0

x y

  

. Hỏi

trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau, đường thẳng nào có thể biến thành



qua

một phép đối xứng tâm. Chọn câu trả lời đúng.

2 2 1 0

x y

  

. B.

2 2 3 0

x y

  

2 4 0

x y

  

. D.

1 0

x y

  

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 31

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Vấn đề 4. PHÉP QUAY

1. Trong mặt phẳng cho một điểm

cố định và góc lượng giác



không đổi. Phép biế

n hình

biến điểm

thành điểm

, biến mỗi điểm M khác

thành



sao cho

OM OM





và





,OM OM







được gọi là phép quay tâm

góc quay



. Kí hiệu:

 



 

   

 

OM OM

Q M M

OM OM













 











2. Phép quay là một phép dời hình (có tất cả các tính chất của phép dời hình).

3. Các tính chất: Phép quay:

a) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng.

c) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với đoạn thẳng đã cho.

d) Biến tam giác thành tam giác bằng với tam giác đã cho.

e) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn đã cho.

4. Các chú ý:



 





Q d d







nếu:

∗



 

thì góc giữa

và



bằng



∗

 

 

thì góc giữa d và d’ bằng

 



 Nếu quay theo chiều dương thì





, ngược lại





Phép quay

 

, 2

I k



là phép đồng nhất,

 

, 2 1I k





là phép đối xứng tâm

Dạng 1. Xác định phép quay

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phép biến hình biến

thành

A M

 

AM A M

 



và





, .

AM A M



 



B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 37. Cho hình vuông

ABCD

có các đỉnh vẽ theo chiều dương. Gọi

M N

lần lượt là trung điểm

của

. Xác định phép quay biến



thành



................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 32

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 2. Tìm ảnh của một hình





cho trước qua

phéo quay

 



A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Lấy bất kỳ





M H



2. Dựng ảnh



của

qua phép quay

 

Q OM OM





 và





, .

OM O M



 



3. Dựa vào tính chất của phép quay để tìm tập hợp các điểm



. Từ đó suy ra hình







B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 38. Cho phép quay

 



và đường thẳng d không đi qua

a) Gọi

là hình chiếu của

trên

. Dựng ảnh



của

qua phép quay

 



b) Nêu cách dựng đường thẳng



là ảnh của

qua phép quay

 



c) Có nhận xét gì về góc tạo bởi hai đường thẳng



trong các trường hợp:

0 90



  

và

90 180



   

d) Nhận xét gì về hai đường thẳng



khi

180



 

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 39. Cho hình vuông

ABCD

tâm

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

. Tìm ảnh của

AMN



qua phép quay

 

,90



.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 33

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 3. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm)

bằng phép quay

 



A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép quay biến điểm

M M





2. Xác định quỹ tích điểm

3. Từ quỹ tích của điểm

, dựa vào tính chất của phép quay để suy ra quỹ tích của

điểm



B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 40. Cho điểm

cố định. Gọi



là hai điểm sao cho

IMM





vuông cân tại

a) Cho

chạy trên đường tròn





Tìm quỹ tích các điểm



b) Cho

chạy trên đường thẳng

. Tìm quỹ tích các điểm



c) Gọi

là hình chiếu của

lên



. Tìm quỹ tích các điểm

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 41. Cho ba điểm

cố định trên đường tròn





và điểm

thay đổi trên





Gọi

đối xứng với

qua

đối xứng với

qua

đối xứng với

qua

. Tìm quỹ

tích các điểm

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 34

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 4. Áp dụng phép quay

 



vào dựng hình

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Quy bài toán dựng hình về bài toán dựng điểm M nào đó phụ thuộc vào hai điều kiện

độc lập







và







2. Xác định phép quay để tìm điều kiện







gọi là



và điều kiện







gọi là



3. Điểm

M H H

 

 

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 42. Dựng tam giác đều có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng song song cho trước.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 43. Cho hai đường tròn





;

O R

và





1 1

;

O R

cắt nhau tại hai điểm

và

. Hãy dựng một đường

thẳng

qua

, cắt





;

O R

và





1 1

;

O R

lần lượt tại

sao cho

là trung điểm

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 44. Cho hình vuông

ABCD

và một điểm

nằm trên cạnh hình vuông. Tìm các điểm

nằm

trên cạnh hình vuông sao cho tam giác

MNP

là tam giác đều.

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 35

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 5. Áp dụng phép quay

 



vào chứng minh

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép quay

 



2. Tính chất của phép quay biến một hình thành hình bằng nó.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 45. Cho

OAB



vuông cân và

OA B

 



có chung đỉnh

sao cho

nằm trên đoạn



và nằm

ngoài đoạn thẳng

A B



. Gọi

và

lần lượt là trọng tâm của các tam giác

OAA



OBB



Chứng minh

GOG



là tam giác vuông cân.

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 46. Cho

ABC



. Trên các cạh

lấy các điểm

sao cho

AK BL CM

KB LC MA

  .

Nối

các đường thẳng này đôi một cắt nhau tạo thành một tam giác. Chứng

minh rằng tam giác đó là tam giác đều và có tâm trùng với tâm của

ABC



................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 36

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 6. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép quay

 



M M





  

thì

IM IM





3. Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác:

Với ba điểm

bất kỳ, ta có:

AB BC AC

 

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 47. Cho

ABC



là điểm tùy ý trong tam giác. Xác định vị trí của điểm

sao cho

MA MB MC

 

đạt giá trị nhỏ nhất.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 48. Cho

ABC



đều và một điểm

bất kì. Chứng minh rằng

BM CM AM

 

. Khi nào đẳng

thức xảy ra ?

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 37

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 7. Tích của các phép quay

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Áp dụng tích của các phép biến hình:

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 49. Cho hai phép quay

có tâm quay là

và

phân biệt và có cùng góc quay



. Gọi

A B

F Q Q





và

B A

F Q Q







. Chứng minh rằng



là những phép đối xứng tâm. Nêu rõ

cách xác định tâm đối xứng của các phép đó.

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 50. Cho

ABC



nội tiếp trong đường tròn tâm

, có trực tâm

và điểm

thuộc đường tròn.

Gọi

là các điểm lần lượt đối xứng với

qua các cạnh

. Chứng

minh các điểm

và

thẳng hàng. (Gọi là đường Steiner)

................................................................................................................................................................................

M '

M''

g f

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 38

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 8. Biểu thức tọa độ của phép quay

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho phép quay

 



 





: ; ( ; )

Q M x y M x y



  



Đặt

OM r



và





, .

Ox OM





Ta có:

cos

sin

x r

y r













Mà

 





 

cos

sin

x r

Ox OM M

y r

 



 





 

  





 





cos sin

sin cos

x x y

y x y

 



 











 



 Nếu

 





: ; ( ; )

Q M x y M x y





  

 thì

cos sin

sin cos

x x y

y x y

 

 

 





 

  



B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 51. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho phép quay tâm

, góc quay



. Tìm ảnh qua phép quay

;



 

 

 

của: a) Điểm





2;2

A b) Đường tròn

   

: –1 4

C x y

 

.................................................................................................................................................................................

M '





GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 39

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Ví dụ 52. Cho điểm





2;2

A và 2 đường thẳng

1 2

: – 2 0, : –8 0.

d x y d x y

   

Tìm tọa độ các điểm

và

lần lượt thuộc

và

sao cho

ABC



vuông cân tại

................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 4

Bài 35. Cho

ABC



và điểm

. Xác định ảnh của tam giác đó qua

 

,60



Bài 36. Cho

ABC



đều, tâm

a) Xác định ảnh của

AOB



qua

 

,90



. b) Xác định ảnh của

AOB



qua

 

,120



Bài 37. Xem hình bên, tìm ảnh của

AMN



qua

 

,90



Bài 38. Cho hình vuông

ABCD

tâm

a) Xác định ảnh của

qua

 

,90



b) Xác định ảnh của

qua

 

,90



Bài 39. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm





2;1

A và đường thẳng

: – 2 0.

d x y

 

Tìm ảnh của

và

qua

 

,90



(

là gốc tọa độ).

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 98. Cho hai đường thẳng bất kỳ

và



. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng

thành

đường thẳng



A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 40

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 99. Cho hai đường thẳng song song

và



, một đường thẳng

không song song với chúng. Có

bao nhiêu phép quay biến đường thẳng

thành đường thẳng



và biến đường thẳng

thành

chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 100. Cho bốn đường thẳng



trong đó



và

cắt

. Có bao nhiêu phép quay

biến các đường thẳng

và

lần lượt thành các đường thẳng



và



A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 101. Cho tam giác đều

ABC

với trọng tâm

. Phép quay tâm

với góc quay nào dưới đây biến

tam giác

ABC

thành chính nó?



. B.



. C.



. D.

120



Câu 102. Cho hình vuông

ABCD

có tâm

. Phép quay tâm

với góc quay nào dưới đây thì biến hình

vuông

ABCD

thành chính nó?



. B.



. C.



. D.

120



Câu 103. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho phép quay tâm

biến điểm





1;0

A thành điểm





0;1



Khi đó nó biến điểm





1; 1



thành điểm





1; 1



 

. B.





1;1



. C.





1;1



 . D.





1;0



Câu 104. Cho hình vuông

ABCD

trong đó





1;1

A ,





1;1

B  ,





1; 1

 





1; 1



. Xét phép quay

;

Q O



 

 

 

. Giả sử hình vuông

A B C D

   

là ảnh của

ABCD

qua phép quay đó. Gọi

là diện

tích phần hình vuông

A B C D

   

nằm ngoài hình vuông

ABCD

. Tính

6 4 2

S  

. B.

12 8 2

S  

. C.



. D.

S 

Câu 105. Cho phép quay





;

Q O



biến điểm

thành điểm

và các khẳng định sau:

cách đều

và

thuộc đường tròn đường kính



AOM





Số khẳng định đúng là:

. B.

. C.

. D.

Câu 106. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





1;1

M . Hỏi trong bốn điểm được cho ở các phương án dưới

đây, điểm nào là ảnh của

qua phép quay tâm

, góc quay







1;0

A . B.





0; 2

. C.





2;0

. D.





1;1

D  .

Câu 107. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





;

M x y

. Phép quay





;

Q O



biến điểm

thành điểm

Tọa độ điểm



là:





cos sin ; sin cos

M x y x y

   



  . B.





cos ; sin

M y x

 







cos sin ; sin cos

M x y x y

   



  . D.





cos ; sin

M x y

 



Câu 108. Cho tam giác đều

ABC

có tâm

và các đường cao



(các đỉnh của tam giác

ghi theo chiều quay của kim đồng hồ). Ảnh của đường cao



qua phép quay





;240

Q O



là:



. B. Một đoạn thẳng qua

và song song



. D.



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 41

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 109. Cho hình vuông tâm

. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm

, góc quay







0 2

 

  biến

hình vuông đã cho thành chính nó.

. B.

. C.

. D.

Câu 110. Xét phép quay tâm

, góc quay



với 2 ,

k k Z

 

 

. Hỏi có bao nhiêu điểm biến thành

chính nó qua





;

Q O



đã cho.

. B. Vô số. C. Không có D.

Câu 111. Trong mặt phẳng

Oxy

cho hai đường thẳng

:2 5 0

a x y

  

và

: 2 3 0

b x y

  

. Nếu có một

phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay đó có thể là góc

nào trong các góc cho dưới đây?



. B.



. C.

120



. D.



Câu 112. Cho hai đường tròn





và







bằng nhau, mỗi đường tròn đi qua tâm của đường tròn kia,

hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm

A B

. Đường cát tuyến đi qua giao điểm

của chúng cắt

đường tròn tại

và đường tròn kia tại

. Góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại

và

của hai

đường tròn bằng:



. B.



. C.

120



. D.



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 42

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Vấn đề 5. PHÉP DỜI HÌNH

VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

1. Phép dời hình: Xem vấn đề 1

2. Hình bằng nhau

 Hai hình gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

 Hai hình gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

Dạng 1. Sử dụng tọa độ cho phép dời hình

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cần nhớ biểu thức tọa độ của các pháp dời hình đã học. Khi đề bài đề cập đến phép dời

hình nào thì sử dụng biểu thức tọa độ của phép đó.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 53. Cho các điểm





3;2

A  ,





4;5

B  ,





1;3

C  .

a) Chứng minh rằng các điểm





2;3







5;4







3;1



theo thứ tự là ảnh của các điểm

qua phép quay tâm

góc

 

b) Gọi tam giác

A B C

  

là ảnh của tam giác

ABC

qua phép dời hình có được bằng cách thực

hiện liên tiếp phép quay tâm

góc

 

và phép đối xứng trục

. Tìm tọa độ các đỉnh

của tam giác

A B C

  

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 43

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 2. Chứng minh hai hình (H) và (H) bằng nhau

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Xác định phép dời hình biến hình





thành







và ngược lại.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 54. Cho hình chữ nhật

ABCD

. Gọi

là trung điểm của

và

. Gọi

theo thứ tự là

trung điểm của

và

. Chứng minh rằng các hình thang

AEIB

và

CFID

bằng nhau.

................................................................................................................................................................................

Ví dụ 55. Cho hình chữ nhật

ABCD

. Gọi

, , , , , ,

E F H K O I J

lần lượt là trung điểm của các cạnh

, , , , , ,

AB BC CD DA KF HC KO

. Chứng minh hai hình thang

AEJK

và

FOIC

bằng nhau.

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 44

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Ví dụ 56. Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến

ABC



thành tam giác

A B C

  



thì nó

cũng biến trọng tâm của

ABC



tương ứng thành trọng tâm của

A B C

  



.................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 5

Bài 40. Chứng minh rằng hai hình chữ nhật có cùng kích thước (cùng chiều dài và cùng chiều rộng) thì

bằng nhau.

Bài 41. Chứng minh rằng:

a) Hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau thì bằng nhau.

b) Hai góc có cùng số đo thì bằng nhau.

c) Hai đường tròn có bán kính bằng nhau thì bằng nhau.

Bài 42. Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng

bằng nhau thì bằng nhau.

b) Hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau

thì bằng nhau.

c) Hai tứ giác lồi có cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau không ?

Bài 43. Đa giác lồi

cạnh gọi là

- giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc

của nó bằng nhau. Chứng minh rằng hai

– giác đều bằng nhau khi và chỉ khi chúng có các

cạnh bằng nhau.

Bài 44. Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình

bằng nhau.

Bài 45. Cho hai tam giác

ABC

và

A B C

  

có các cạnh tương ứng bằng nhau:

AB A B

 



BC B C

 



AC A C

 



Chứng minh rằng có duy nhất một phép dời hình

biến

thành



thành



và

thành



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 45

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 113. Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là phép nào trong các phép

dưới đây?

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.

Câu 114. Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt nhau là phép nào trong các phép

dưới đây

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.

Câu 115. Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng vuông góc là phép nào trong các phép

dưới đây

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.

Câu 116. Hợp thành của hai phép tịnh tiến là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.

Câu 117. Hợp thành của hai phép đối xứng tâm là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục. B. phép đối xứng tâm.

C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.

Câu 118. Khi nào thì hợp thành của hai phép tịnh tiến



và



là phép đồng nhất?

A. Không khi nào. B. Khi

u v

 

  

. C. Khi

u v



 

. D. Khi

u v

 

  

Câu 119. Khi nào thì hợp thành của hai phép đối xứng trục

và

là phép đồng nhất?

A. Khi hai đường thẳng

và

trùng nhau.

B. Khi hai đường thẳng

và

song song.

C. Khi hai đường thẳng

và

vuông góc với nhau.

D. Không khi nào.

Câu 120. Khi nào thì hợp thành của hai phép quay





Q O



và





Q O



là phép quay đồng nhất?

A. Khi

 

  

. B. Khi

  

 

với

nguyên.

C. Khi

  

 

với

nguyên. D. Không khi nào.

Câu 121. Khi nào thì hợp thành của hai phép quay





Q O



và





Q O



là phép đối xứng tâm

A. Khi

 

 

. B. Khi

  

 

với

nguyên.

C. Khi

  

 

với

nguyên. D. Không khi nào.

Câu 122. Cho hình vuông

ABCD

.Gọi phép biến hình

là hợp thành của hai phép đối xứng trục

và

. Khi đó

là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép tịnh tiến theo véctơ



B. Phép quay tâm

với góc quay



C. Phép đối xứng qua giao điểm của

và

D. Phép đối xứng qua đường thẳng

Câu 123. Gọi

là hợp thành của hai phép đối xứng tâm

và



. Khi đó

là

A. Phép đối xứng qua trung điểm của



. B. Phép tịnh tiến theo véctơ





C. Phép tịnh tiến theo véctơ





. D. Phép đối xứng qua trung trực của



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 46

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 124. Cho hình chữ nhật

ABCD

với

M N

lần lượt là trung điểm của

và

. Gọi

là hợp

thành của phép tịnh tiến

theo véctơ



và phép đối xứng qua đường thẳng

. Khi đó

là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng qua điểm

B. Phép đối xứng qua điểm

C. Phép đối xứng qua tâm

của hình chữ nhật.

D. Phép đối xứng qua đường thẳng

Câu 125. Cho hình vuông

ABCD

. Gọi

là phép quay tâm

biến điểm

thành điểm



là phép

đối xứng qua đường thẳng

. Khi đó hợp thành của hai phép

và



là

A. Phép đối xứng qua tâm hình vuông. B. Phép đối xứng qua đường thẳng

C. Phép đối xứng qua đường thẳng

. D. Phép đối xứng qua điểm

Câu 126. Cho hình vuông

ABCD

. Gọi

là phép quay tâm

biến

thành



là phép quay tâm

biến

thành

. Hợp thành của hai phép

và



là

A. Phép tịnh tiến theo véctơ



. B. Phép tịnh tiến theo véctơ



C. Phép đối xứng qua đường thẳng

. D. Phép đối xứng qua điểm

Câu 127. Cho hình vuông

ABCD

. Gọi

là phép quay tâm

biến

thành



là phép quay tâm

biến

thành

. Hợp thành của hai phép

và



là

A. Phép tịnh tiến theo véctơ



. B. Phép tịnh tiến theo véctơ



C. Phép đối xứng qua đường thẳng

. D. Phép đối xứng qua điểm

Câu 128. Cho hình vuông

ABCD

là trung điểm cạnh

. Gọi phép biến hình

là hợp thành của

hai phép: Phép tịnh tiến



và phép đối xứng tâm

. Khi đó

là phép nào trong các phép

sau đây?

A. Phép đối xứng qua điểm

. B. Phép tịnh tiến theo véctơ



C. Phép quay tâm

với góc quay



. D. Phép đối xứng qua đường thẳng

Câu 129. Cho hình vuông

ABCD

. Gọi phép biến hình

là hợp thành của hai phép đối xứng trục

và

. Khi đó F là phép nào trong các phép duới đây?

A. Phép đối xứng qua điểm

. B. Phép tịnh tiến theo véctơ



C. Phép đối xứng qua điểm

. D. Phép tịnh tiến theo véctơ



Câu 130. Cho tam giác cân

ABC

đỉnh

, đường cao

, với



BAC





. Gọi phép biến hình

là hợp

thành của hai phép đối xứng trục

và

. Khi đó

là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép quay





Q A



. B. Phép đối xứng qua đường thẳng

C. Phép đối xứng qua điểm

. D. Phép tịnh tiến theo véctơ



Câu 131. Cho tam giác cân

ABC

đỉnh

. Nếu phép dời hình biến điểm

thành điểm

và biến điểm

thành chính nó thì đó là

A. Phép đối xứng qua trung trức của

B. Phép quay tâm

góc quay





AB AC

C. Phép đối xứng qua trung trực của

hoặc quay tâm

góc quay





AB AC

D. Phép đối xứng qua trung điểm của cạnh

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 47

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 132. Cho tam giác cân

ABC

đỉnh

. Nếu phép dời hình biến điểm

thành điểm

, biến điểm

thành điểm

thì đó là

A. Phép đối xứng qua trung trực của

B. Phép đối xứng qua trung điểm của cạnh

C. Phép quay tâm

góc quay





AB AC

D. Phép đối xứng qua trung trực của

hoặc đối xứng qua trung điểm của

Câu 133. Cho hình thoi

ABCD

có



 

. Nếu phép dời hình biến điểm

thành điểm

và điểm

thành điểm

thì nó biến điểm

thành điểm.

A. Điểm

. B. Điểm

C. Điểm

hoặc điểm

. D. Điểm đối xứng với

qua

Câu 134. Cho hình chữ nhật

ABCD

, tâm

với

lần lượt là trung điểm của các cạnh

. Nếu phép đơi hình biến điểm

thành điểm

và

thành

thì nó biến điểm

thành

A. Điểm

. B. Điểm

. C. Điểm

. D. Điểm

Câu 135. Cho hình vuông

ABCD

tâm

với

lần lượt là các trung điểm các cạnh

. Nếu phép dời hình biến điểm

thành điểm

thành

thì nó biến điểm

thành

A. Điểm

. B. Điểm

. C. Điểm

. D. Điểm

Câu 136. Cho hình chữ nhật

ABCD

tâm

với

lần lượt là các trung điểm cạnh

. Nếu phép dời hình biến tam giác

AMQ

thành tam giác

NOP

thì nó biến điểm

thành

A. Điểm

. B. Điểm

. C. Điểm

. D. Điểm

Câu 137. Cho hình H gồm có lục giác đều

ABCDEF

tâm

và hình thoi tâm

. Chọn mệnh đề đúng?

A. Không tồn tại đường thẳng nào chia H thành hai hình bằng nhau.

B. Đường thẳng qua

và

chia H thành hai hình bằng nhau.

C. Đường trung trực của đoạn thẳng

chia H thành hai hình bằng nhau.

D. Có vô số đường thẳng chia H thành hai hình bằng nhau.

Câu 138. Hình H gồm ba đường tròn





;

O R





;

O R

 

và





;

O R

 

đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Hình

E bằng hình H. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Hình E gồm ba hình tròn lồng nhau.

B. Hình E gồm hai đường tròn tiếp xúc trong và hình tròn còn lại không có điểm chung với hai

đường tròn đó.

C. Hình E gồm hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau và cùng nằm trong hình tròn còn lại.

D. Hình E gồm ba đường tròn đôi một tiếp xúc ngoài với nhau.

Câu 139. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

. Gọi





là đồ thị của hàm số

 

y f x

 



Trong các hàm

số sau hàm số nào có đồ thị bằng đồ thị





17 70

x x

 





17 80

x x

 





15 70

x x

 





17 70

x x

 





Câu 140. Cho phép quay





;

Q O



biến điểm

thành điểm



. Chọn câu sai trong các câu sau?

A. Phép quay





;

Q O



là phép dời hình B. Phép quay





;

Q O



có

là điểm bất động.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 48

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

C. Ta luôn có

OM OM





và





; .

OM OM







D. Ta luôn có

OM OM





 

và



MOM







Câu 141. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho parabol





có phương trình

y ax

 Trong các parabol sau

parabol nào bằng parabol





y ax bx

 





0 .

y ax bx c a   

y ax

 

y bx c

 

Câu 142. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, gọi





là đồ thị hàm số

3 1

y x x

  

. Trong các hàm số sau

hàm số nào có đồ thị khác đồ thị





3 2

3 6 1.

y x x x

   

3 2

3 6 1.

y x x x

   

3 2

3 12 1.

y x x x

   

3 2

3 6 9.

y x x x

   

Câu 143. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường tròn





có phương trình

   

2 2

1 2 4

x y

   

. Hỏi

phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua trục

và phép

tịnh tiến theo véctơ





2;3



biến





thành đường tròn nào trong các đường tròn sau?

   

2 2

2 6 4.

x y

   

2 2

x y

 

   

2 2

2 3 4.

x y

   

   

2 2

1 1 4.

x y

   

Câu 144. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

có phương trình

2 0

x y

  

. Hỏi phép dời

hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua tâm

và phép tịnh tiến theo

véctơ





3;2



biến

thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

2 0.

x y

  

3 0.

x y

  

3 3 2 0.

x y

  

2 0.

x y

  

Câu 145. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào ĐÚNG?

A. Đường thẳng đi qua tâm của hình bình hành chia hình đó thành hai hình bằng nhau.

B. Đường thẳng đi qua tâm của hình vuông chia hình vuông thành hai hình bằng nhau.

C. Đường thẳng đi qua tâm của hình tròn chia hình tròn đó thành hai hình bằng nhau.

D. Đường thẳng đi qua tâm của tam giác đều chia tam giác đó thành hai hình bằng nhau.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 49

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Vấn đề 6. PHÉP VỊ TỰ

1. Định nghĩa

Cho điểm

cố định và một số k không đổi,



. Phép biến hình biến mỗi điểm

thành



sao cho



được gọi là phép vị tự tâm

, tỉ số k. Kí hiệu:





;

V O k

  

;

V O k M M OM kOM

 

  

 

Khi



và



nằm cùng phía đối với điểm

Khi



và



nằm khác phía đối với điểm

Khi

–1



và



đối xứng nhau qua tâm

(

)

Khi



M M





(

là điểm bất biến)

2. Tính chất

Định lí 1: Nếu phép vị tự tâm

tỉ số

biến điểm

lần lượt thành hai điểm



và



thì

và

Định lí 2: Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổ

thứ tự của 3 điểm đó.

Hệ quả: Phép vị tự tỉ số

biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng vớ

đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ

dài

được nhân với

, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là

biến góc thành góc bằng nó.

Định lí 3: Phép vị tự tỉ số

biến đường tròn thành đường tròn có bán kính gấp



lầ

n bàn

kính của nó.

Dạng 1. Xác định phép vị tự

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phép biến hình f biến

thành

A M

 



, với



và



là phép vị tự





;

V O k

với tâm

là giao điểm của hai đường thẳng



và



B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 57. Cho

ABC



. Gọi

lần lượt là tung điểm của các cạnh

và

. Chứng minh

rằng có một phép vị tự biến tam giác

ABC

thành tam giác

MNP

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 50

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Ví dụ 58. Cho hai tam giác

ABC

và

A B C

  

có

AB A B

 

BC B C

 

và

AC A C

 

sao cho các đường

thẳng



đồng qui tại

. Chứng minh rằng có một phép vị tự biến tam giác

ABC

thành tam giác

A B C

  

.................................................................................................................................................................................

Dạng 2. Áp dụng phép vị tự vào chứng minh

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép vị tự





;

V O k

2. Áp dụng tính chất của phép vị tự.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 59. Cho hai đường tròn





,( )

O O



có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một đường

tròn (O) tiếp xúc ngoài với hai đường tròn





và

( )



lần lượt tại

B C

. Chứng minh rằng

đường thẳng

luôn đi qua một điểm cố định.

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 60. Cho hình thang

ABCD





// .

AB CD

Chứng minh rằng các trung điểm của hai đáy, giao điểm của

hai đường chéo, giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên hình thang thẳng hàng.

.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 51

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho phép vị tự





;

V I k

với





0 0

; :

I x y

Ta có









; : ; ( ; )

V I k M x y M x y

  



OM kOM



 

 





 





 

0 0 0 0

x x k x x x k x x x

y y k y y y k y y y

 

     

 

 

 

 

 

     

 

 

Đặc biệt, khi





0;0

I O thì

x kx

y ky















B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 61. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho phép vị tự tâm





1;3 ,

I tỉ số

–2



. Tìm ảnh của các

đường sau qua





; :

V I k

a) Đường thẳng

: 2 –1 0.

d x y

 

b) Đường tròn

     

2 2

: – 2 1 3

C x y

  

c) Parabol





: – 3 2

P y x x

 

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 52

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Ví dụ 62. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho hai đường tròn



và





2 2

: 2 11 0

C x y y



   

. Xác

định phép vị tự biến đường tròn





thành đường tròn







.................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 5

Bài 46. (Định lí Gergonne) Cho

ABC



ngoại tiếp đường tròn





Gọi

, ,

P Q R

lần lượt là các tiếp

điểm của đường tròn





với các cạnh ,

BC AC

và

. Chứng minh rằng:

đồng qui. b)

PI QI RI

PA QB RC

  

Bài 47. (Định lí Pascal) Trên đường tròn





lấy các điểm

, , , , ,

A B C D E F

sao cho

cắt

tại

cắt

tại

cắt

tại

. Giả sử

cắt

tại

cắt

tại

và

cắt

tại

. Chứng minh:

thẳng hàng.

Bài 48. (Bài toán Phecmar) Cho hình chữ nhật

ABCD

với

AB a



BC a



. Về phía ngoài hình chữ

nhật dựng nửa đường tròn đường kính AB. Các đường thẳng

và

cắt cạnh

tại

và

. Tính

2 2

AL BN

 .

Bài 49. Cho đường tròn





tiếp xúc trong với đường tròn





tại

. Tiếp tuyến bất kì của đường

tròn





tại

cắt đường tròn





tại hai điểm

và

. Chứng minh



DAM MAC



Bài 50. Cho

ABC



nội tiếp đường tròn tâm

là trung điểm của cạnh

và

di động trên





cố định.

a) Tìm quỹ tích trọng tâm

của

ABC



b) Tia phân giác



BAC

cắt

tại

và cắt đường tròn





tại

. Tìm quỹ tích điểm

khi

và

cố định.

Bài 51. Cho

ABC



. Tìm trên cạnh

điểm

, trên cạnh

điểm

sao cho

BE EF FC

 

Bài 52. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho phép vị tự tâm

, tỉ số



. Tìm ảnh của các đường sau qua

phép vị tự trên:

a) Đường thẳng

:3 – 2 1 0

d x y

 

b) Đường cong

 

2 1

S y







c) Đường tròn





2 2

: 2 4 1 0

C x y x y

    

Bài 53. Cho hai đường tròn

     

2 2

: –1 – 3 1

C x y

 

và

    

2 2

– 4 – 3 4

C x y

 

. Xác định phép

vị tự biến đường tròn





thành đường tròn





GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 53

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 146. Cho phép vị tự tỉ số



biến điểm

thành điểm

và biến điểm

thành điểm

. Khi đó

AB CD



 

. B.

AB CD



 

. C.

AC BD



 

. D.

AC BD



 

Câu 147. Cho hình thang

ABCD

có đáy là

và

mà

AB CD



. Phép vị tự biến điểm

thành

điểm

và biến điểm

thành điểm

có tỉ số là



. B.

 

. C.



. D.

 

Câu 148. Cho hai đường thẳng cắt nhau

và



. Có bao nhiêu phép vị tự biến

thành



A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Vô số phép.

Câu 149. Cho hai đường thẳng cắt nhau

và



có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số

100



biến đường

thẳng

thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 150. Cho hai đường thẳng song song

và



có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số

100



biến đường

thẳng

thành



A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 151. Cho hai đường thẳng song song

và



và một điểm

không nằm trên chúng. Có bao nhiêu

phép vị tự tâm

biến đường thẳng

thành đường thẳng



A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 152. Cho hai đường tròn bằng nhau





;

O R

và





;

O R



với tâm

và

phân biệt. Có bao nhiêu

phép vị tự biến





;

O R

thành





;

O R



A. Không có phép nào. B. Chỉ có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 153. Cho đường trong





;

O R

. Có bao nhiêu phép vị tự tâm

biến





;

O R

thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Chỉ có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 154. Cho đường trong





;

O R

. Có bao nhiêu phép vị tự biến





;

O R

thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Chỉ có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

Câu 155. Cho

ABC



có trọng tâm

, gọi



lần lượt là trung điểm các cạnh

Với giá trị nào của

thì phép vị tự





;

V G k

biến tam giác

ABC

thành tam giác

A B C

  



. B.

 

. C.



. D.

 

Câu 156. Cho hai đường tròn





và







không bằng nhau và không đồng tâm, cũng tiếp xúc với đườn

thẳng

. Có bao nhiêu phép vị tự biến





thành







và biến

thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Chỉ có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 54

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 157. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho phép vị tự tâm





3; 1



có tỉ số

 

. Khi đó nó biến điểm





5;4

M thành

A. Điểm





1; 11



  . B. Điểm





7;11



 . C. Điểm





1;9



. D. Điểm





1; 9





Câu 158. Trong mặt phẳng tọa độ cho phép vị tự tỉ số



và biến điểm





1; 2



thành điểm





5;1



 . Khi đó nó biến điểm





0;1

B thành

A. Điểm





0;2



. B. Điểm





12; 5





. C. Điểm





7;7



 . D. Điểm





11;6



Câu 159. Trong mặt phẳng tọa độ cho phép vị tự tâm





1;1

I tỉ số

 

. Khi đó nó biến đường thẳng

5 1 0

x y

  

thành đường thẳng có phương trình:

15 3 10 0

x y

  

. B.

15 3 23 0

x y

  

. C.

15 3 23 0

x y

  

. D.

5 3 8 0

x y

  

Câu 160. Cho hai đường thẳng song song và

và

lần lượt có phương trình

4 1 0

x y

  

Và

4 3 0

x y

  

. Phép vị tự có tâm





0;0

O biến đường thẳng

thành đường thẳng

phải có tỉ

số vị tự

bằng bao nhiêu?



. B.

 

. C.



. D.

 

Câu 161. Cho phép vị tự

tâm

có tỉ số 2 và phép vị tự



có tâm



tỉ số

. Hợp thành của

và



là

A. Phép đối xứng qua trung điểm của



B. Phép đối xứng qua đường thẳng trung trực của



C. Phép tịnh tiến theo véctơ





D. Phép tịnh tiến theo véctơ





Câu 162. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho hai parabol





và





có phương trình lần lượt là:

y x

 và

y x

 

. Nếu





;

V O k

là phép vị tự biến





thành





thì tỉ số của phép vị tự

này là bao nhiêu?

 

. B.

 

. C.

 

. D.

 

Câu 163. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho parabol





có phương trình là

y x



, gọi

là

tiêu điểm của





. Phép vị tự





; 4

V O



biến

thành



có tọa độ là bao nhiêu? Chọn câu

trả lời đúng.





8; 0

 . B.





8; 0

. C.





1; 0

 . D.





4; 0

 .

Câu 164. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho tam giác

ABC

với





1; 4 ;

A 





3; 2 ;

B 





7; 0 .

Gọi

là trọng tâm tam giác

ABC

. Phép vị tự





; 2

V O



biến điểm

thành điểm



có tọa

độ là bao nhiêu?





4; 2

 . B.





2; 4

 

. C.





4; 6

. D.





6; 8



Câu 165. Cho hai đường tròn





và





tiếp xúc với nhau tại

. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. Nếu





và





tiếp xúc trong thì

là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 55

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

B. Hai đường tròn luôn có hai tâm vị tự (trong và ngoài).

C. Điểm

là một tâm vị tự của hai đường tròn.

D. Nếu





và





tiếp xúc ngoài thì

là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn.

Câu 166. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho điểm





2; 4 .

M  Hỏi phép vị tự





; 2

V O



biến

thành điểm nào trong các điểm sau ?





8; 4

A  . B.





4; 8



. C.





4; 8

 

. D.





4; 8

D .

Câu 167. Để chứng minh rằng phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn một học sinh lập

luận theo ba bước như sau:

Bước 1: Giả sử





;

V O k

là phép vị tự tâm

tỉ số

. Ta xét đường tròn





;

I R

Xác định điểm

là ảnh của

qua phép vị tự





;

V O k

tức là:

OI kOI



 

thì

là một điểm

cố định.

Bước 2: Với

là một điểm bất kì ta xác định điểm

là ảnh của

qua phép vị tự





;

V O k

tức là:

OM kOM



 

. Suy ra

' '

I M kIM



Bước 3: Do đó:





; ' '

M I R I M kIM

   khi và chỉ khi

thuộc đường tròn





'; .

I kR

Vậy phép vị tự





;

V O k

biến đường tròn





;

I R

thành đường tròn





'; .

I kR

Hỏi cách chứng minh trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A. Sai ở bước 3. B. Sai ở bước 1.

C. Sai ở bước 2. D. Chứng minh hoàn toàn đúng.

Câu 168. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho parabol





có phương trình:

2 2 0

x y

 

. Phép vị tự

;

V O

 



 

 

biến parabol





thành parabol





có phương trình:

2 2

y x x

   

. B.

4 2

y x x

   

. C.

y x x

  

. D.

2 4

y x x

  

Câu 169. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho đường tròn





có phương trình:

   

2 2

2 1 4

x y

   

. Phép vị tự





; 4

V O biến đường tròn





thành đường tròn





có

phương trình là

   

2 2

12 8 16

x y

   

. B.

   

2 2

8 4 64

x y

   

   

2 2

8 4 64

x y

   

. D.

   

2 2

4 2 16

x y

   

Câu 170. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho điểm





1; 0

I và parabol





có phương trình:

y x



. Phép vị tự





; 2

V I biến parabol





thành parabol





có phương trình là:





4 1

y x

  

. B.





2 1

y x

 

. C.





8 1

y x

 

. D.

4 3

y x

 

Câu 171. Trong mặt phẳng

Oxy

cho đường thẳng

có phương trình

2 0.

x y

  

Hỏi phép vị tự tâm

tỉ số

 

biến

thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau ?

2 2 4 0

x y

  

. B.

4 0

x y

  

. C.

4 0

x y

  

. D.

2 2 0

x y

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 56

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Vấn đề 7. PHÉP ĐỒNG DẠNG

1. Định nghĩa

Một phép biến hình

được gọi là phép đồng dạng với tỉ số





k k



nếu với hai điểm bấ

t kì

và

lần lượt có ảnh là

M N

 

thì

M N kMN

 



2. Tính chất

a) Mọi phép đồng dạng

, tỉ số





k k



là tích của một phép vị tự tỉ số

và m

ột phép dời

hình.

Đặc biệt: Phép đồng dạng có một điểm kép

duy nhất là tích giao hoán c

ủa một phép vị tự

và một phép quay có cùng tâm

Khi đó, kí hiệu:





















; ; ; ; ; ;

Z O k Q O V O k V O k Q O

  

 

 

được gọi l

à tâm

đồng dạng.

b) Phép đồng dạng tỉ số

 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đ

ổi thứ tự của

chúng.

 Biến đường thẳng thành đường thẳng.

 Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là

 Biến đường tròn có bán kính

thành đường tròn có bán kính

Dạng 1. Xác định phép đồng dạng

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép quay

 

;



và phép vị tự

 

;

O k

V .

2. Xác định tâm đồng dạng.

 Nếu biết một cặp điểm

A A





thì ta có:

 

OA kOA

OA OA





















- Từ

OA kOA







thuộc đường tròn





đường kính

với

CA DA

 

 

- Từ





,OA OA









thuộc cung







chứa góc



, dây cung





là giao điểm của hai đường tròn





và







 Nếu biết 2 cặp điểm

A A





và

B B





thì ta có:

 

A B kAB

AB A B



 









 







- Gọi

là giao điểm của

và

A B

 

thì ta có









   

, ,

OA OA IA IA

OB OB IB IB



 

 







 

 





- Suy ra:

là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác

IAA



và

IBB



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 57

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 63. Cho hình vuông

ABCD

có các đỉnh được xếp theo chiều dương. Gọi

là trung điểm của

và

là giao điểm của hai đường chéo

và

. Xác định phép đồng dạng:

a) biến



thành



. b) biến



thành



................................................................................................................................................................................

Ví dụ 64. Cho hai đường tròn





;

O R

và





;

O R

 

(với

R R





) cắt nhau ở

và

. Gọi



lần

lượt trên đường tròn





;

O R

và





;

O R

 

sao cho







OM O M



 

 

. Xác định phép đồng dạng

biến



thành





................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 58

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Dạng 2. Áp dụng phép đồng dạng vào chứng minh

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định phép đồng dạng.

2. Áp dung tính chất của phép đồng dạng.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 65. Cho

ABC



với trực tâm

và

là trung điểm của cạnh

. Chứng minh rằng ảnh của

qua phép đối xứng tâm

là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp

ABC



.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 66. Hình bình hành

MNPQ

có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình chữ nhật

ABCD

. Chứng

minh rằng hai hình này có cùng tâm đối xứng.

.................................................................................................................................................................................

Dạng 3. Chứng minh hai hình (H) và (H) đồng dạng

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Xác định phép dời hình biến hình





thành







và ngược lại.

Ví dụ 67. Cho hai tam giác

ABC

và

A B C

  

có các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau. Chứng minh rằng có

duy nhất một phép đồng dạng biến

thành



thành



và

thành



.................................................................................................................................................................................

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 59

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Ví dụ 68. Chứng minh rằng hai hình vuông bất kì đồng dạng với nhau.

................................................................................................................................................................................

Dạng 4. Biểu thức tọa độ của phép đồng dạng

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cho phép đồng dạng gồm hai phép biế hình

1 2

f f

biến

M M

















1 2

; ; ;

f f

M x y M x y M x y

     

 

Ta thực hiện hai bước:

- Bước 1. Tìm









; ;

M x y M x y

  





- Bước 2. Tìm









; ;

M x y M x y

     

 .

Từ đó suy ra biểu thức tọa độ của phép đồng dạng đã cho.

Ví dụ 69. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho góc



 

và



a) Viết biểu thức tọa độ của phép đồng dạng

( ; ; ).

Z O k



b) Viết phương tròn

đường

tròn







là ảnh của đường tròn





2 2

: – 2 – 3 0

C x y x

 

qua phép

đồng dạng trên.

................................................................................................................................................................................

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 60

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 7

Bài 54. Cho

ABC



vuông tại

là đường cao kẻ từ

. Tìm một phép đồng dạng biến

HBA



thành

ABC



Bài 55. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





1;1

I và đường tròn





tâm

bán kính bằng

. Viết

phương trình đường tròn







là ảnh của





qua phép đồng dạng có được bằng cách thực

hiện liên tiếp phép quay tâm

, góc quay



và phép vị tự tâm

, tỷ số

Bài 56. Trong mặt phẳng

Oxy

cho

:3 – 2 6 0

d x y

 

. Viết phương trình



là ảnh của

qua phép

đồng dạng là hợp thành của phép đối xứng trục

và phép vị tự tâm





–2;1

I tỷ số

Bài 57. Trong mặt phẳng

Oxy

cho đường tròn

     

2 2

: 1 1 1

C x y

   

và





1; 3

 



. Viết phương

trình







là ảnh của





qua phép đồng dạng là hợp thành của phép tịnh tiến theo



và phép

vị tự tâm

tỉ số

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 172. Cho hình bình hành

ABCD

. Gọi phép biến hình

là hợp thành của phép vị tự





V A và

phép tịnh tiến



. Khi đó F là phép nào trong các phép sau đây

A. Phép vị tự





V B . B. Phép vị tự





V C .

C. Phép tịnh tiến theo véctơ



. D. Phép tịnh tiến theo véctơ



Câu 173. Cho tam giác đều

ABC

với



lần lượt là trung điểm các cạnh

. Nếu

phép đồng dạng biến

thành



thành

thì nó biến điểm



thành

A. Điểm



. B. Trung điểm

B C



C. Điểm



. D. Trung điểm



Câu 174. Cho tam giác đều

ABC

với



lần lượt là trung điểm các cạnh

. Nếu

phép đồng dạng biến

thành



thành

thì nó biến điểm

thành

A. Điểm



. B. Điểm



C. Điểm đối xứng với



qua



. D. Điểm



hoặc điểm đối xứng với



qua



Câu 175. Cho hình chữ nhật

ABCD

với

và

lần lượt là trung điểm của

và

. Nếu phép đồng

dạng biến tam giác

ADC

thành tam giác

QBP

thì nó biến điểm

thành

A. Tâm của hình chữ nhật. B. Trung điểm cạnh

C. Trung điểm cạnh

. D. Điểm

Câu 176. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho đường tròn





có phương trình

   

2 2

2 2 4

x y

   

. Hỏi phép

đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm

tỉ



và phép quay tâm

góc



sẽ biến





thành đường tròn nào trong các đường tròn sau ?

   

2 2

1 1 1

x y

   

. B.

   

2 2

2 2 1

x y

   

   

2 2

1 1 1

x y

   

. D.

   

2 2

2 1 1

x y

   

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 61

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 177. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

A. Hai đa giác đều bất kỳ có cùng số cạnh thì đồng dạng.

B. Hai hình tròn bất kỳ thì đồng dạng.

C. Hai parabol bất kỳ thì đồng dạng.

D. Một elip và một đường tròn bất kì thì đồng dạng nhau.

Câu 178. Giả sử phép đồng dạng tỉ số





k k



biến hai điểm

M N

tương ứng thành hai điểm

;

M N

 

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.

MN M N

 

 . B.

M N k MN

 



 

. C.

M N k MN

 

 . D. .

M N k MN

 



 

Câu 179. Trong mặt phẳng với hệ tạo độ

Oxy

cho hai đường tròn





2 2

: 2 2 2

C x y x y  



 và





2 2

: 12 16

D x y x y 



 . Nếu có phép đồng dạng biến đường tròn





thành đường tròn





thì tỉ số của phép đồng dạng là

. B.

. C.

. D.

Câu 180. Trong mặt phẳng với hệ tạo độ

Oxy

cho điểm





2; 4

M . Hỏi phép đồng dạng có được bằng

cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm

tỉ số



và phép đối xứng qua trục

sẽ biến

thành điểm nào trong các điểm sau ?





1; 2

C  . B.





2; 4

B  . C.





1; 2



. D.





1; 2

A .

Câu 181. Trong mặt phẳng

Oxy

cho đường thẳng

có phương trình

2 0

x y

 

. Hỏi phép đồng dạng có

được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm

, tỉ số

 

và phép đối xứng qua trục

sẽ biến

thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau ?

2 0

x y

 

. B.

2 0

x y

 

. C.

4 0

x y

 

. D.

2 2 0

x y

  

Câu 182. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Phép đồng dạng là một phép dời hình.

B. Phép vị tự với tỉ số

 

không phải là một phép dời hình.

C. Phép vị tự với tỉ số



là một phép đồng dạng.

D. Phép quay là một phép đồng dạng.

Câu 183. Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng tỉ số



. B.



. C.



. D.

 

Câu 184. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

cho bốn điểm









2; 1 ; 0; 3 ;

A B





1; 3 ;







2; 4

D . Nếu có

phép đồng dạng biến đoạn thẳng

thành đoạn thẳng

thì tỉ số

của phép đồng dạng đó là

. B.

. C.

. D.

Câu 185. Phép đồng dạng biến đoạn thẳng

thành đoạn thẳng

thì ta luôn có

. 5 2 .2 2

CD k AB k k

    

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Phép vị tự tỉ số

là phép đồng dạng tỉ số

B. Phép đồng dạng là một phép vị tự.

C. Nếu hai đa giác đồng dạng thì tỉ số các cạnh tương ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng.

D. Nếu ta thực hiện liên tiếp một phép vị tự và một phép dời hình thì ta được một phép đồng dạng.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 62

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2

Bài 58. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm





4;–3

M và véctơ

( 2;1)

 



. Qua phép tịnh tiến theo

véctơ



a) Tìm tọa độ điểm

là ảnh của

b) Tìm tọa độ điểm

biết

là ảnh của

c) Tìm đường thẳng



là ảnh của

:3 – 4 5 0.

d x y

 

d) Tìm đường thẳng

với

là ảnh của

e) Tìm đường thẳng

là ảnh của

: 2 9 0.

d x y

  

f) Tìm đường tròn







là ảnh của





2 2

: – 4 6 – 7 0.

C x y x y

  

g) Tìm





với

     

2 2

: – 3 4 25

C x y

  

là ảnh của





Bài 59. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm





–2;5

M và đường thẳng

:3 – 4 7 0

d x y

 

. Qua phép

đối xứng trục

a) Tìm tọa độ điểm





Đ M

 ,





Đ M

 .

b) Tìm đường thẳng



là ảnh của

qua

c) Tìm đường thẳng

là ảnh của d qua

d) Tìm







là ảnh của





2 2

: – 4 6 – 7 0

C x y x y

  

qua

e) Tìm





với

     

2 2

: – 3 4 25

C x y

  

là ảnh của





qua

f) Tìm



là ảnh của





3;5

N qua đường thẳng

: – – 2 0.

x y

 

Bài 60. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai điểm





3;–1

M và





–2;4 .

a) Tìm tọa độ điểm





Đ M

 ,





Đ M

 .

b) Tìm đường thẳng



là ảnh của

:5 – 3 6 0

d x y

 

qua

c) Tìm đường thẳng

là ảnh của

: 2 – 6 7 0

d x y

 

qua

d) Tìm







là ảnh của





2 2

: 4 – 2 –11 0

C x y x y

  

qua

e) Tìm





với

     

2 2

: – 3 4 25

C x y

  

là ảnh của





qua

Bài 61. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai điểm





2;–3

A và





–1;4

I .

a) Tìm

là ảnh của

qua phép vị tự tâm

tỉ số



b) Tìm

là ảnh của

qua phép vị tự tâm

tỉ số

–5



c) Tìm

sao cho

là ảnh của

qua phép vị tự tâm

tỉ số

– .

k 

d) Tìm

sao cho

là ảnh của

qua phép vị tự tâm

tỉ số

– .

k 

Bài 62. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

:3 4 – 2 0

d x y

 

và điểm





1;–2 .

a) Tìm

là ảnh của

qua phép vị tự tâm

tỉ số

–2



b) Tìm

là ảnh của

qua phép vị tự tâm

tỉ số



c) Tìm

sao cho

là ảnh của d

qua phép vị tự tâm

tỉ số



d) Tìm

sao cho

là ảnh của d

qua phép vị tự tâm I tỉ số

 

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 63

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Bài 63. Trong mặt phẳng

Oxy

cho

     

2 2

: –1 2 9

C x y

  

và điểm





–2;3 .

a) Tìm





là ảnh của





qua phép vị tự tâm

tỉ số

–3.



b) Tìm





là ảnh của





qua phép vị tự tâm

tỉ số



c) Tìm





sao cho





là ảnh của





qua

; –

V O k

 



 

 

d) Tìm





sao cho





là ảnh của





qua

; .

V I k

 



 

 

Bài 64. Cho lục giác đều

ABCDEF

tâm

. Tìm ảnh của tam giác

AOF

a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ



;

b) Qua phép đối xứng qua đường thẳng

;

c) Qua phép quay tâm

góc

120



Bài 65. Cho điểm





1;2

A  và đường thẳng

có phương trình

3 1 0

x y

  

. Tìm ảnh của

và

a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ





2;1

v 



;

b) Qua phép đối xứng trục

;

c) Qua phép đối xứng tâm

;

d) Qua phép quay tâm

góc



Bài 66. Cho đường tròn tâm





3; 2



, bán kính bằng 3.

a) Viết phương trình của đường tròn đó.

b) Viết phương trình ảnh của đường tròn đó qua phép tịnh tiến theo vectơ





2;1

v  



;

c) Viết phương trình ảnh của đường tròn đó qua phép đối xứng trục

;

d) Viết phương trình ảnh của đường tròn đó qua phép đối xứng tâm

Bài 67. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

: 2 – 3 2 0

d x y

 

a) Tìm đường thẳng

là ảnh của

qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp

phép vị tự tâm

tỉ số

–2



và phép đối xứng trục

b) Tìm đường thẳng

là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp

phép vị tự tâm





3;–2

I tỉ số

–2



và phép đối xứng trục

Bài 68. Trong mặt phẳng

Oxy

cho đường tròn





2 2

: – 4 5 – 7 0

C x y x y

  

a) Tìm đường tròn





là ảnh của đường tròn





qua phép đồng dạng có được bằng cách

thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm

tỉ số



và phép đối xứng qua

b) Tìm đường tròn





là ảnh của đường tròn





qua phép đồng dạng có được bằng cách

thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm

tỉ số



và phép tịnh tiến theo véctơ

(3; 1)

 



Bài 69. Cho đường tròn tâm





1; 3



, bán kính bằng 2. Viết phương trình ảnh của đường tròn đó qua

phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm

tỉ số 3 và phép đối xứng

qua trục

Bài 70. Cho hình chữ nhật

ABCD

. Gọi

là tâm đối xứng của nó. Gọi

, , ,

I F J E

lần lượt là trung

điểm của các cạnh

, , ,

AB BC CD DA

. Tìm ảnh của tam giác

AEO

qua phép đồng dạn có được

từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng

và phép vị tự tâm

, tỉ số 2.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 64

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Bài 71. Cho hai điểm

A B

và đường tròn tâm

không có điểm chung với đường thẳng

. Qua

mỗi điểm

chạy trên đường tròn





dựng hình bình hành

MABN

. Chứng minh rằng điểm

chạy trên một đường tròn xác định.

Bài 72. Cho đường thẳng

đi qua hai điểm phân biệt

và

, hai điểm

và

nằm về một phía

của

. Hãy xác định trên

hai điểm

sao cho



và

AM BN



nhỏ nhất.

Bài 73. Cho véctơ



và một điểm

. Với điểm

bất kì, ta gọi

là điểm đối xứng với

qua

và



sao cho



. Gọi

là phép biến hình biến

thành



có phải là một phép dời hình không ?

b) Chứng tỏ rằng

là một phép đối xứng tâm.

Bài 74. Gọi

là phép biến hình có tính chất sau đây: “Với mỗi cặp điểm

và ảnh



của

chúng, ta có



”.

là phép biến hình gì ?

Bài 75. Gọi

là phép biến hình có tính chất sau đây: “Với mỗi cặp điểm

và ảnh



của

chúng, ta có



”. Chứng minh rằng

là phép biến đối xứng tâm.

Bài 76. Cho đường tròn





đường kính

. Gọi

là điểm đối xứng với

qua

và

là đường

kính thay đổi không trùng với

. Đường thẳng

cắt

lần lượt tại

. Chứng

minh rằng:

là trung điểm của

b) Khi

thay đổi, các điểm

nằm trên những đường tròn cố định.

Bài 77. Cho đường tròn





;

O R

và điểm

cố định. Một dây cung

thay đổi của





;

O R

có độ dài

không đổi,

BC m



(

m R



). Chứng minh rằng trọng tâm

của tam giác

ABC

nằm trên

một đường tròn cố định.

Bài 78. Cho

ABC



và các điểm

lần lượt là trung điểm

a) Xét bốn tam giác

APN

PBM

NCM

MNP

. Tìm những phép dời hình biến

APN



thành

một trong ba tam giác còn lại.

b) Phép vị tự nào biến

ABC



thành

MNP



c) Xét tam giác có đỉnh là trực tâm của các tam giác

APN

PBM

NCM

. Chứng tỏ rằng tam

giác đó bằng

APN



. Chứng tỏ rằng điều đó cũng đúng khi thay trực tâm thành trọng tâm,

tâm đường tròn ngoại tiếp hoặc tâm đường tròn nội tiếp

ABC



d) Với điểm

bất kì, gọi

lần lượt là các điểm đới xứng với

qua

Tìm phép vị tự biến

MNP



thành

1 1 1

A B C

 .

e) Chứng tỏ có phép đồi xứng tâm biến

1 1 1

A B C

 thành

ABC



Bài 79. Cho

ABC



đều,

là điểm bất kì nằm trong tam giác.

a) Gọi



theo thứ tự là ảnh của

qua phép quay tâm

, góc quay



. Chứng

minh

MA MB MC MM MB M C

  

    

B) Tìm vị trí điểm

để

MA MB MC

 

nhỏ nhất.

Bài 80. Cho

ABC



vuông ở

là chân đường cao đi qua

a) Tìm một phép quay tâm

và một phép vị tự tâm

để tích của hai phép đó biến

HCA



thành

HAB



b) Gọi

lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác

HCA

và

HAB

. Chứng minh

HOO ABC

  .

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 65

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2

1-2. PHÉP TỊNH TIẾN

Câu 186. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





2; 5

A . Phép tịnh tiến theo vectơ





1;2

v 



biến

thành

điểm có tọa độ là:





3;1

. B.





1;6

. C.





3;7

. D.





4;7

Câu 187. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





2; 5

A . Hỏi

là ảnh của điểm nào trong các điểm sau qua

phép tịnh tiến theo vectơ





1;2

v 







1;3

. B.





1;6

. C.





4;7

. D.





2;4

Câu 188. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, phép tịnh tiến theo vectơ





3;2

v  



biến điểm





1;3

A thành

điểm nào trong các điểm sau:





–3;2

. B.





1;3

. C.





–2;5

. D.





2;– 5

Câu 189. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, phép tịnh tiến theo vectơ





1;3

v 



biến điểm





1;2

A thành điểm

nào trong các điểm sau?





2;5

. B.





1;3

. C.





3;4

. D.





–3;– 4

Câu 190. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng cho trước thành chính nó?

A. Không có. B. Chỉ có một. C. Chỉ có hai. D. Vô số.

Câu 191. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó?

A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.

Câu 192. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vuông thành chính nó?

A. Không có. B. Một. C. Bốn. D. Vô số.

Câu 193. Giả sử qua phép tịnh tiến theo vectơ





, đường thẳng

biến thành đường thẳng



. Câu

nào sau đây sai?

trùng



khi



là vectơ chỉ phương của

song song với



khi



là vectơ chỉ phương của

song song với



khi



không phải là vectơ chỉ phương của

không bao giờ cắt



Câu 194. Cho hai đường thẳng song song

và



. Tất cả những phép tịnh tiến biến

thành



là:

A. Các phép tịnh tiến theo



, với mọi vectơ





không song song với vectơ chỉ phương của



B. Các phép tịnh tiến theo



, với mọi vectơ





vuông góc với vectơ chỉ phương của



C. Các phép tịnh tiến theo





, trong đó hai điểm

và

tùy ý lần lượt nằm trên

và



D. Các phép tịnh tiến theo



, với mọi vectơ





tùy ý.

Câu 195. Cho

cố định. Phép tịnh tiến

biến điểm

bất kỳ thành

sao cho

MM PQ



 

chính là phép tịnh tiến theo vectơ



. B.

chính là phép tịnh tiến theo vectơ



chính là phép tịnh tiến theo vectơ 2



. D.

chính là phép tịnh tiến theo vectơ



Câu 196. Cho phép tịnh tiến theo véctơ



biến điểm

thành điểm



đồng thời biến điểm

thành

điểm



. Khi đó

AM A M

 

 

 

. B.

AM A M

 



 

. C.

AM A M

 



 

. D. 3 2

AM A M

 



 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 66

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 197. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho véctơ





;

v a b





. Giả sử phép tịnh tiến theo



biến điểm





;

M x y

thành điểm





;

M x y

  

. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo véctơ



là

x x a

y y b



 







 



. B.

x x a

y y b



 







 



. C.

x b x a

y a y b



  







  



. D.

x b x a

y a y b



  







  



Câu 198. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho phép biến hình

được xác định như sau:

“Với mỗi điểm





;

M x y

ta có





M f M



 sao cho





;

M x y

  

thỏa mãn

–3

x x

y y



 











”

Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.

là phép tịnh tiến theo véctơ





2;3

v 



là phép tịnh tiến theo véctơ





2;3

v  



là phép tịnh tiến theo véctơ





2; 3

  



là phép tịnh tiến theo véctơ





2; 3

 



Câu 199. Trong mặt phẳng

Oxy

, ảnh của đường tròn

   

2 2

– 2 –1 16

x y

 

qua phép tịnh tiến theo

véctơ





1;3

v 



là đường tròn có phương trình

   

2 2

– 2 –1 16

x y

 

. B.

   

2 2

2 1 16

x y

   

   

2 2

– 3 – 4 16

x y

 

. D.

   

2 2

3 4 16

x y

   

Câu 200. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho 2 điểm





1;6

A và





–1;–4

B . Gọi

C D

lần lượt là ảnh của

và

qua phép tịnh tiến theo véctơ





1;5

v 



. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.

ABCD

là hình thang. B.

ABCD

là hình bình hành.

ABDC

là hình bình hành. D. Bốn điểm

, , ,

A B C D

thẳng hàng.

Câu 201. Trong mặt phẳng

Oxy

, ảnh của đường tròn

   

1 – 3 4

x y

 

qua phép tịnh tiến theo véctơ





3;2

v 



là đường tròn có phương trình

   

2 2

2 5 4

x y 



 . B.

   

2 2

– 2 – 5 4

x y

 

   

2 2

–1 3 4

x y

  

. D.

   

2 2

4 –1 4

x y

  

Câu 202. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

B. Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ

tự của chúng.

C. Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

D. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Câu 203. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho hai điểm





1;1

A và





2;3

B . Gọi

C D

lần lượt là ảnh của

và

qua phép tịnh tiến





2;4

v 



. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.

ABCD

là hình bình hành. B.

ABCD

là hình bình hành.

ABCD

là hình thang. D. Bốn điểm

, , ,

A B C D

thẳng hàng.

Câu 204. Cho hai đường thẳng

và



song song nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến

thành



. B.

. C.

. D. Vô số.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 67

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 205. Khẳng định nào sau đây là đúng về phép tịnh tiến:

A. Phép tịnh tiến theo vectơ



biến điểm

thành điểm



thì

v M M





 

B. Phép tịnh tiến theo vectơ



là phép đồng nhất nếu vectơ



là vectơ



C. Nếu phép tịnh tiến theo vectơ



biến

điểm

và

thành

điểm



và



thì

MNM N

 

là hình bình hành.

D. Phép tịnh tiến biến một đường tròn thành một đường elip.

Câu 206. Cho hình bình hành

ABCD

là một điểm thay đổi trên cạnh

. Phép tịnh tiến theo vectơ



biến điểm

thành điểm



thì:

A. Điểm



trùng với điểm

. B. Điểm



nằm trên cạnh

C. Điểm



là trung điểm cạnh

. D. Điểm



nằm trên cạnh

Câu 207. Cho phép tịnh tiến theo



 

biến hai điểm

và

tương ứng thành

điểm



và



Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm

trùng với điểm

. B. Vectơ



là vectơ



MM NN

 

 

  

. D. Vectơ





là vectơ



Câu 208. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho phép tịnh tiến theo





1; 2





v biến điểm





–1; 4

M thành điểm



có tọa độ là:





0; 6

. B.





6; 0





0; 0

. D.





6; 6

Câu 209. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho điểm





–10; 1

M và





3; 8



M . Phép tịnh tiến

theo vectơ



biến điểm

thành điểm



, khi đó tọa độ của vectơ



là:





–13; 7

. B.





13; – 7





13; 7

. D.





–13; – 7

Câu 210. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho phép tịnh tiến theo





1; 1





v , phép tịnh tiến theo



biến đường thẳng

: –1 0

 

thành đường thẳng





. Khi đó phương trình của





là:

–1 0



. B.

– 2 0



– – 2 0

x y



. D.

– 2 0



Câu 211. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho phép tịnh tiến theo





–2; –1





v , phép tịnh tiến

theo



biến parabol





P y x



thành parabol







. Khi đó phương trình của







là:

4 5

y x x

  

. B.

4 – 5

y x x

  .

4 3

y x x

  

. D.

– 4 5

y x x

 

Câu 212. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho phép tịnh tiến theo





–3; – 2





v , phép tịnh tiến

theo



biến đường tròn

   

: –1 1

C x y

 

thành đường tròn







. Khi đó phương trình của







là:

   

2 2

3 1 1

x y

   

. B.

   

2 2

– 3 1 1

x y

  

   

2 2

3 1 4

x y

   

. D.

   

2 2

– 3 –1 4

x y

 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 68

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Câu 213. Cho phép tịnh tiến



biến điểm

thành điểm

và phép tịnh tiến



biến điểm

thành

điểm

. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.

A. Phép tịnh tiến

u v



 

biến

thành

B. Phép đối xứng qua trục

hoặc phép đối xứng qua trục

biến

thành

C. Không thể khẳng định được có hay không một phép dời hình biến

thành

D. Phép tịnh tiến

u v



 

biến

thành

Câu 214. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





2; 3

M . Hỏi trong bốn điểm sau đây, điểm nào là ảnh của

qua phép đối xứng trục





3; 2

. B.





2; –3





3; – 2

. D.





–2; 3

Câu 215. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





2; 3

M . Hỏi

là ảnh của điểm nào trong các điểm sau qua

phép đối xứng trục





3; 2

. B.





2; –3

. C.





3; – 2

. D.





–2; 3

Câu 216. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





2;3

M . Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của

qua

phép đối xứng qua đường thẳng

x y

 





3;2

. B.





2; 3



. C.





3; 2



. D.





2;3

 .

Câu 217. Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng?

A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.

Câu 218. Hình gồm hai đường thẳng

và



vuông góc với nhau đó có mấy trục đối xứng?

. B.

. C.

. D. Vô số.

Câu 219. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng.

B. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình tròn.

C. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm những đường tròn đồng tâm.

D. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm hai đường thẳng vuông góc.

Câu 220. Xem các chữ cái in hoa A, B, C, D, X, Y như những hình. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hình có một trục đối xứng: A, Y các hình khác không có trục đối xứng.

B. Hình có một trục đối xứng: A, B, C, D, Y. Hình có hai trục đối xứng: X.

C. Hình có một trục đối xứng: A, B. Hình có hai trục đối xứng: D, X.

D. Hình có một trục đối xứng: C, D, Y. Hình có hai trục đối xứng: X. Các hình khác không có

trục đối xứng.

Câu 221. Giả sử rằng qua phép đối xứng trục

(

là trục đối xứng), đường thẳng

biến thành đường

thẳng



. Hãy chọn câu sai trong các câu sau:

A. Khi

song song với

thì

song song với



vuông góc với

khi và chỉ khi

trùng với



C. Khi

cắt

thì

cắt



. Khi đó giao điểm của

và



nằm trên

D. Khi

tạo với

một góc

thì

vuông góc với



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 69

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 222. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho Parapol





có phương trình

x y

 . Hỏi Parabol nào trong các

parabol sau là ảnh của





qua phép đối xứng trục

x y

 . B.

x y

  . C.

y x

 . D.

y x

  .

Câu 223. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho parabol





P y x



. Hỏi parabol nào sau đây là ảnh của parabol





qua phép đối xứng trục

y x



. B.

y x

 

. C.

x y

 

. D.

x y



Câu 224. Trong mặt phẳng

Oxy

cho parabol





có phương trình

x y

 . Hỏi parabol nào trong các

parabol sau là ảnh của





qua phép đối xứng trục

x y

 . B.

x y

 

. C.

y x



. D.

y x

 

Câu 225. Trong mặt phẳng

Oxy

, qua phép đối xứng trục

. Điểm





3;5

A biến thành điểm nào trong

các điểm sau?





3;5

. B.





3;5

 . C.





3; 5



. D.





3; 5

 

Câu 226. Cho 3 đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạo thành hình





. Hỏi





có mấy trục đối xứng ?

. B.

. C.

. D.

Câu 227. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

B. Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với

đường thẳng đã cho.

C. Phép đối xứng trục biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

D. Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn bằng đường tròn đã cho.

Câu 228. Phát biểu nào sau đây là đúng về phép đối xứng trục

A. Phép đối xứng trục

biến điểm

thành điểm

M MI IM

 

 

 

(

là giao điểm của



và trục

B. Nếu điểm

thuộc

thì :

Đ M M

 .

C. Phép đối xứng trục

không phải là phép dời hình.

D. Phép đối xứng trục

biến điểm

thành điểm

M MM d

 

 



Câu 229. Cho hình vuông

ABCD

có hai đường chéo

và

cắt nhau tại

. Khẳng định nào sau

đây là đúng về phép đối xứng trục:

A. Hai điểm

và

đối xứng nhau qua trục

B. Phép đối xứng trục

biến

thành

C. Phép đối xứng trục

biến

thành

D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 230. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho phép đối xứng trục

, với





;

M x y

gọi



là

ảnh của

qua phép đối xứng trục

. Khi đó tọa độ điểm



là:





;

M x y



. B.





;

M x y



 . C.





;

M x y



 

. D.





;

M x y





Câu 231. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho phép đối xứng trục

, với





;

M x y

gọi



là

ảnh của

qua phép đối xứng trục

. Khi đó tọa độ điểm



là:





;

M x y



. B.





;

M x y



 . C.





;

M x y



 

. D.





;

M x y





TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 70

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 232. Hình nào sau đây không có trục đối xứng (mỗi hình là một chữ cái in hoa):

. B.

. C.

. D.

Câu 233. Hình nào sau đây có trục đối xứng:

A. Tam giác bất kì. B. Tam giác cân. C. Tứ giác bất kì. D. Hình bình hành.

Câu 234. Cho tam giác

ABC

đều. Hỏi hình là tam giác

ABC

đều có bao nhiêu trục đối xứng:

A. Không có trục đối xứng. B. Có 1 trục đối xứng.

C. Có 2 trục đối xứng. D. Có 3 trục đối xứng.

Câu 235. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho phép đối xứng trục

, phép đối xứng trục

biến đường thẳng

: 2 0

d x y

  

thành đường thẳng



có phương trình là:

– 2 0

x y

 

. B.

2 0

x y

  

. C.

– 2 0

x y

  

. D.

– 2 0

x y

 

Câu 236. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

. Qua phép đối xứng trục

đường tròn

     

2 2

: –1 2 4

C x y

 

biến thành đường tròn







có phương trình là:

   

2 2

1 2 4

x y

   

. B.

   

2 2

–1 2 4

x y

  

   

2 2

–1 – 2 4

x y

 

. D.

   

2 2

1 2 4

x y

   

Câu 237. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

. Qua phép đối xứng trục

: – 0

d y x



, đường tròn

     

2 2

: 1 – 4 1

C x y

  

biến thành đường tròn







có phương trình là:

   

2 2

1 – 4 1

x y

  

. B.

   

2 2

– 4 1 1

x y

  

   

2 2

4 –1 1

x y

  

. D.

   

2 2

4 1 1

x y

   

4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

Câu 238. Ảnh của điểm





3;–1

M qua phép đối xứng tâm





1;2

I là:





2; 1

. B.





–1; 5

. C.





–1; 3

. D.





5;–4

Câu 239. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

: 2

d x



. Trong các đường thẳng sau đường

thẳng nào là ảnh của

qua phép đối xứng tâm

–2



. B.



. C.



. D.

–2



Câu 240. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó.

B. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.

C. Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.

D. Có phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó.

Câu 241. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường thẳng

: 4 0

d x y

  

. Hỏi trong các đường thẳng

sau đường thẳng nào có thể biến thành

qua một phép đối xứng tâm?

2 – 4 0

x y

 

. B.

–1 0

x y

 

. C.

2 – 2 1 0

x y

 

. D.

2 2 – 3 0

x y

 

Câu 242. Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?

A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.

Câu 243. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm





;

I a b

. Nếu phép đối xứng tâm

biến điểm





;

M x y

thành





;

M x y

  

thì ta có biểu thức:

x a x

y b y

 





 



. B.

' 2

x a x

y b y

 





 



. C.

x a x

y b y

 





 



. D.

2 '

x x a

y y b

 





 



GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 71

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 244. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho phép đối xứng tâm





1;2

I biến điểm





;

M x y

thành





;

M x y

  

. Khi đó

' 2

x x

y y

  





  



. B.

' 2

' 4

x x

y y

  





  



. C.

' 2

' 4

x x

y y

  





  



. D.











Câu 245. Một hình





có tâm đối xứng nếu và chỉ nếu:

A. Tồn tại phép đối xứng tâm biến hình





thành chính nó.

B. Tồn tại phép đối xứng trục biến hình





thành chính nó.

C. Hình





là hình bình hành.

D. Tồn tại phép dời hình biến hình





thành chính nó.

Câu 246. Hình nào sau đây không có tâm đối xứng?

A. Hình vuông. B. Hình tròn. C. Hình tam giác đều. D. Hình thoi.

Câu 247. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, tìm ảnh của điểm





5; 3

A qua phép đối xứng tâm





4; 1

I .





5; 3 .





5; 3 .

 





3; 1 .



; 2 .

 

 

 

Câu 248. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

có phương trình

2 0

x y

  

tìm phương trình đường thẳng



là ảnh của

qua phép đối xứng tâm





1; 2

I .

4 0.

x y

  

4 0.

x y

  

4 0.

x y

  

4 0.

x y

  

Câu 249. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, tìm phương trình đường tròn







là ảnh của đường

tròn

     

2 2

: 3 1 9

C x y

   

qua phép đối xứng tâm





0;0

O .

   

2 2

3 1 9.

x y

   

   

2 2

3 1 9.

x y

   

   

2 2

3 1 9.

x y

   

   

2 2

3 1 9.

x y

   

Câu 250. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.

B. Nếu

IM IM





thì





Đ M M





C. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường

thẳng đã cho.

D. Phép đối xứng tâm biến tam giác thành tam giác bằng nó.

Câu 251. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, tìm phương trình đường tròn







là ảnh của đường

tròn





2 2

: 1

C x y

 

qua phép đối xứng tâm





1;0

I .

 

2 1.

x y

  

 

2 1.

x y

  

 

2 1.

x y

  

 

2 1.

x y

  

Câu 252. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, cho đường tròn

     

2 2

: 1 3 16

C x y

   

. Giả sử

qua phép đối xứng tâm

điểm





1; 3

A biến thành điểm





;

B a b

. Tìm phương trình của đường

tròn







là ảnh của đường tròn





qua phép đối xứng tâm

   

2 2

x a y b

   

   

2 2

x a y b

   

   

2 2

x a y b

   

   

2 2

16.

x a y b   

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 72

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 253. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Phép đối xứng tâm





0;0

O biến điểm





2; 3

M 

thành điểm



có tọa độ là:





4; 2 .



 B.





2; 3 .









2; 3 .



 D.





2; 3 .



Câu 254. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Phép đối xứng tâm





1; 2



biến điểm





2; 4

thành điểm



có tọa độ là:





4; 2 .



 B.





4; 8 .



 C.





0; 8 .







0; 8 .





Câu 255. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho phép đối xứng tâm





1;1

I biến đường thẳng

x yd

  

thành đường thẳng



có phương trình là:

4 0

x y

  

. B.

6 0

x y

  

. C.

6 0

x y

  

. D.

x y

 

Câu 256. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho phép đối xứng tâm





1;2

I  biến đường tròn

     

2 2

: 1 2 4

C x y

   

thành đường tròn







có phương trình là:

   

2 2

1 2 4

x y

   

. B.

   

2 2

1 2 4

x y

   

   

2 2

1 2 4

x y

   

. D.

   

2 2

2 2 4

x y

   

Câu 257. Hình nào sau đây có tâm đối xứng:

A. Hình thang. B. Hình tròn. C. Parabol. D. Tam giác bất kì.

Câu 258. Hình nào sau đây có tâm đối xứng (một hình là một chữ cái in hoa):

A. Q. B. P. C. N. D. E.

Câu 259. Khẳng định nào sau đây đúng về phép đối xứng tâm:

A. Nếu

OM OM





thì



là ảnh của

qua phép đối xứng tâm

B. Nếu

OM OM



 

 

thì



là ảnh của

qua phép đối xứng tâm

C. Phép quay là phép đối xứng tâm.

D. Phép đối xứng tâm không phải là một phép quay.

5. PHÉP QUAY

Câu 260. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho điểm





1;1

M . Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của

qua phép

quay tâm

, góc





1;1

 . B.





1;0

. C.





2;0

. D.





0; 2

Câu 261. Cho tam giác đều tâm

. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm

, góc







0 2

 

  , biến tam

giác trên thành chính nó?

A. Một. B. Hai. C. Ba. D. Bốn.

Câu 262. Cho hình vuông tâm

. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm

góc



0 2

 

 

, biến hình

vuông trên thành chính nó?

A. Một. B. Hai. C. Bốn. D. Năm.

Câu 263. Cho hình chữ nhật có

là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm

góc



0 2

 

 

, biến hình chữ nhật trên thành chính nó?

A. Không có. B. Hai. C. Ba. D. Bốn.

Câu 264. Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm

góc

 



là số nguyên?

A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 73

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 265. Phép quay

 

;



biến điểm

thành



. Khi đó:

OM OM





 

và





,OM OM







. B.

OM OM





và





,OM OM







OM OM





 

và



MOM







. D.

OM OM





và



MOM







Câu 266. Phép quay

 

;



biến điểm

thành

. Khi đó:





cách đều

và





thuộc đường tròn đường kính





III

nằm trên cung chứa góc



dựng trên đoạn

Trong các câu trên câu đúng là:

A. Cả ba câu. B.





và





. C.





. D.





và





III

Câu 267. Chọn câu sai:

A. Qua phép quay

 

;



điểm

biến thành chính nó.

B. Phép đối xứng tâm

là phép quay tâm

, góc quay

–180

C. Phép quay tâm

góc quay

và phép quay tâm

góc quay

–90

là hai phép quay giống

nhau.

D. Phép đối xứng tâm

là phép quay tâm

, góc quay

180

Câu 268. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





3;0

A . Tìm tọa độ ảnh



của điểm

qua phép quay

;



 

 

 





0;–3



. B.





0;3



. C.





–3;0



. D.





2 3;2 3



Câu 269. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





3;0

A . Tìm tọa độ ảnh



của điểm

qua phép quay

;



 



 

 





–3;0



. B.





3;0



. C.





0;–3



. D.





2 3;2 3





Câu 270. Khẳng định nào sau đây đúng về phép quay?

A. Phép biến hình biến điểm

thành điểm

và điểm

khác điểm

thành điểm



sao

cho





,OM OM







được gọi là phép quay tâm

với góc quay



B. Nếu

 

;90







M M M O



  thì

OM OM





C. Phép quay không phải là một phép dời hình.

D. Nếu

 

;90



M M





thì

OM OM





Câu 271. Cho tam giác đều

ABC

hãy xác định góc quay của phép quay tâm

biến

thành điểm



 

. B.



 

120



 

. D.



  

hoặc



 

Câu 272. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho điểm





2;0

M và điểm





0;2

N . Phép quay tâm

biến điểm

thành điểm

, khi đó góc quay của nó là:



 

. B.



 

hoặc



 



 

. D.



 

hoặc

270



 

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 74

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

6. PHÉP DỜI HÌNH

Câu 273. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





2;1

M . Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên

tiếp phép đối xứng tâm

và phép tịnh tiến theo vectơ





2;3

v 



biến điểm

thành điểm nào

trong các điểm sau?





1;3

. B.





2;0

. C.





0;2

. D.





4;4

Câu 274. Trong mặt phẳng

Oxy

cho đường tròn





có phương trình

   

2 2

–1 2 4

x y

  

. Hỏi phép

dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục

và phép tịnh tiến

theo vectơ





2;3

v 



biến





thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

2 2

x y

 

. B.

   

2 2

– 2 – 6 4

x y

 

   

2 2

– 2 – 3 4

x y

 

. D.

   

2 2

–1 –1 4

x y

 

Câu 275. Trong mặt phẳng





Oxy

cho đường thẳng

có phương trình

2 0

x y

  

. Hỏi phép dời hình

có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm

và phép tịnh tiến theo vectơ





3;2

v 



biến đường thẳng

thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

3 3 2 0

x y

  

. B.

2 0

x y

  

2 0

x y

  

3 0

x y

  

Câu 276. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.

B. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục.

C. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm và phép đối xứng trục sẽ được một phép đối

xứng qua tâm.

D. Thực hiện liên tiếp phép quay và phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.

Câu 277. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Có một phép tịnh tiến theo vectơ khác không biến mọi điểm thành chính nó.

B. Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó.

C. Có một phép đối xứng tâm biến mọi điểm thành chính nó.

D. Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó.

Câu 278. Hãy tìm khẳng định sai:

A. Phép tịnh tiến là phép dời hình. B. Phép đồng nhất là phép dời hình.

C. Phép quay là phép dời hình. D. Phép vị tự là phép dời hình.

7. PHÉP VỊ TỰ

Câu 279. Trong măt phẳng





Oxy

cho điểm





2;4

M  . Phép vị tự tâm

tỉ số

 

biến điểm

thành điểm nào trong các điểm sau?





3;4

 . B.





4; 8

 

. C.





4; 8



. D.





4;8

Câu 280. Trong măt phẳng





Oxy

cho đường thẳng

có phương trình

2 3 0

x y

  

. Phép vị tự tâm

tỉ số



biến

thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

2 3 0

x y

  

. B.

2 6 0

x y

  

4 2 3 0

x y

  

. D.

4 2 5 0

x y

  

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 75

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 281. Trong măt phẳng





Oxy

cho đường thẳng

có phương trình

2 0

x y

  

. Phép vị tự tâm

tỉ

số

 

biến

thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

2 2 0

x y

 

. B.

2 2 4 0

x y

  

. C.

4 0

x y

  

. D.

4 0

x y

  

Câu 282. Trong mặt phẳng





Oxy

cho đường tròn





có phương trình

   

2 2

1 2 4

x y

   

. Phép vị tự

tâm

tỉ số

 

biến





thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

   

2 2

2 4 16

x y

   

. B.

   

2 2

4 2 4

x y

   

   

2 2

4 2 16

x y

   

. D.

   

2 2

2 4 16

x y

   

Câu 283. Trong mặt phẳng





Oxy

cho đường tròn





có phương trình

   

2 2

1 1 4

x y

   

. Phép vị tự

tâm

tỉ số



biến





thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

   

2 2

1 1 8

x y

   

. B.

   

2 2

2 2 8

x y

   

   

2 2

2 2 16

x y

   

. D.

   

2 2

2 2 16

x y

   

Câu 284. Phép vị tự tâm

tỉ số

(k  0) biến mỗi điểm

thành điểm



sao cho:

A. '

OM  . B.

'OMkOM 

. C.

'OMkOM 

. D.

OMOM '

Câu 285. Chọn câu đúng:

A. Qua phép vị tự có tỉ số



, đường thẳng đi qua tâm vị tự sẽ biến thành chính nó.

B. Qua phép vị tự có tỉ số



, đường tròn đi qua tâm vị tự sẽ biến thành chính nó.

C. Qua phép vị tự có tỉ số



, không có đường tròn nào biến thành chính nó.

D. Qua phép vị tự

 

đường tròn tâm

sẽ biến thành chính nó.

Câu 286. Nếu phép vị tự tỉ số

biến hai điểm

lần lượt thành hai điểm



và



thì:

M N kMN

 



 

và

M N k MN

 

 

. B.

M N kMN

 



 

và

M N k MN

 

 .

M N k MN

 



 

và

M N k MN

 



. D.

M N MN

 

 

€

và

M N MN

 

 .

Câu 287. Xét các phép biến hình sau:

(I). Phép đối xứng tâm. (II). Phép đối xứng trục.

(III). Phép đồng nhất. (IV). Phép tịnh tiến theo vectơ khác



Trong các phép biến hình trên

A. Chỉ có (I) là phép vị tự. B. Chỉ có (I) và (II) là phép vị tự.

C. Chỉ có (I) và (III) là phép vị tự. D. Tất cả đều là những phép vị tự.

Câu 288. Hãy tìm khẳng định sai:

A. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì mọi điểm của nó đều bất động.

B. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì nó là một phép đồng nhất.

C. Nếu một phép vị tự có một điểm bất động khác với tâm vị tự của nó thì phép vị tự đó có tỉ số



D. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì chưa thể kết luận được rằng mọi điểm của nó

đều bất động.

Câu 289. Cho

ABC



với trọng tâm

. Gọi



lần lượt là trung điểm của các cạnh

của tam giác

ABC

. Khi đó phép vị tự nào biến tam giác

A B C

  

thành

ABC



A. Phép vị tự tâm

, tỉ số

. B. Phép vị tự tâm

, tỉ số

–2

C. Phép vị tự tâm

, tỉ số

–3

. D. Phép vị tự tâm G, tỉ số

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 76

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 290. Cho phép vị tự tâm

tỉ số

và đường tròn tâm

bán kính

. Để đường tròn





biến

thành chính đường tròn





, tất cả các số

phải chọn là:

. B.

. C.

và

–1

. D.

–

Câu 291. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó.

B. Có vô số phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó.

C. Thực hiện liên tiếp hai phép vị tự sẽ được một phép vị tự.

D. Thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm

sẽ được một phép vị tự tâm

Câu 292. Cho hình thang

ABCD

, với

CD AB

 

 

. Gọi

là giao điểm của hai đường chéo

và

. Gọi

là phép vị tự biến

thành

. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?

là phép vị tự tâm

tỉ số

 

. B.

là phép vị tự tâm

tỉ số



là phép vị tự tâm

tỉ số

 

. D.

là phép vị tự tâm

tỉ số



Câu 293. Cho tam giác

ABC

, với

là trọng tâm tam giác,

là trung điểm của

. Gọi

là phép vị

tự tâm

biến điển

thành điểm

. Khi đó

có tỉ số

là:



. B.

 

. C.



. D.

 

Câu 294. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho phép vị tự tâm





2;3

I tỉ số

 

biến điểm





7;2

M  thành



có tọa độ là:





10;2

 . B.





20;5

. C.





18;2

. D.





10;5

 .

Câu 295. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho hai điểm





4;6

M và





3;5



 . Phép vị tự tâm

tỉ số



biến điểm

thành



. Khi đó tọa độ điểm

là:





4;10

I  . B.





11;1

I . C.





1;11

I . D.





10;4

I  .

Câu 296. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho hai điểm





1;2

A .





3;4

B  và





1;1

I . Phép vị

tự tâm

tỉ số

 

biến điểm

thành



, biến điểm

thành



. Trong các mệnh đề sau

mệnh đề nào đúng:

4 2

;

3 3

A B

 

 



 

 



. B.

4 2

;

3 3

A B

 

 

 

 

 



A B

 





. D.

2 7

1; ; ;0

3 3

A B

   

 



   

   

Câu 297. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho ba điểm





2; 1

 





1;5

M và





1;1



 . Giả

sử phép vị tự tâm

tỉ số

biến điểm

thành



. Khi đó giá trị của

là:

. B.

. C.

. D.

Câu 298. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho đường thẳng

: 2 1 0

x y

   

và điểm





1;0

I .

Phép vị tự tâm

tỉ số



biến đường thẳng



thành





có phương trình là:

2 3 0

x y

  

. B.

2 3 0

x y

  

. C.

2 1 0

x y

  

. D.

2 5 0

x y

  

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 77

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 299. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho hai đường thẳng



và



lần lượt có phương

trình:

2 1 0

x y

  

và

2 4 0

x y

  

, điểm





2;1

I . Phép vị tự tâm

tỉ số

biến đường thẳng



thành



khi đó giá trị của

là:

. B.

. C.

. D.

Câu 300. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho đường tròn





có phương trình:

   

2 2

1 5 4

x y

   

và điểm





2; 3



. Gọi







là ảnh của





qua phép vị tự

tâm

tỉ

số

 

. khi đó







có phương trình là:

   

2 2

4 19 16

x y

   

. B.

   

2 2

6 9 16

x y

   

   

2 2

4 19 16

x y

   

. D.

   

2 2

6 9 16

x y

   

Câu 301. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

. Cho hai đường tròn





và







, trong đó







có

phương trình:

   

2 2

2 1 9

x y

   

. Gọi

là phép vị tự tâm





1;0

I tỉ số



biến đường

tròn





thành







. Khi đó phương trình của





là:

x y

 

  

 

 

. B.

x y

 

  

 

 

. C.

x y

 

  

 

 

. D.

2 2

x y

 

Câu 302. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho





1;2

A ,





3;1

B  . Phép vị tự tâm





2; 1



tỉ số



biến điểm

thành



, phép đối xứng tâm

biến



thành



. Tọa độ điểm



là:





0;5

. B.





5;0

. C.





6; 3

 

. D.





3; 6

 

8. PHÉP ĐỒNG DẠNG

Câu 303. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





2;4

M . Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên

tiếp phép vị tự tâm

tỉ số



và phép đối xứng qua trục

sẽ biến

thành điểm nào

trong các điểm sau?





1;2

. B.





2;4

. C.





1;2

 . D.





1; 2



Câu 304. Trong mặt phẳng

Oxy

cho đường thẳng

có phương trình

2 0

x y

 

. Phép đồng dạng có

được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm

tỉ số

 

và phép đối xứng qua trục

sẽ biến

thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

2 0

x y

 

. B.

2 0

x y

 

. C.

4 0

x y

 

. D.

2 2 0

x y

  

Câu 305. Trong mặt phẳng

Oxy

cho đường tròn





có phương trình

   

2 2

2 2 4

   

x y . Phép đồng

dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm

tỉ số



k và phép quay tâm

góc



sẽ biến





thành đường tròn nào trong các đường tròn sau?

   

2 2

2 2 1

   

x y . B.

   

2 2

1 1 1

   

x y .

   

2 2

2 1 1

   

x y . D.

   

2 2

1 1 1

   

x y .

Câu 306. Các phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó có thể kể

ra là:

A. Phép vị tự. B. Phép đồng dạng, phép vị tự.

C. Phép đồng dạng, phép dời hình, phép vị tự. D. Phép dời dình, phép vị tự.

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 78

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 307. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho





1;2

A ,





3;1

B . Phép vị tự tâm





2; 1



I tỉ số



k biến điểm

thành



, phép đối xứng tâm

biến



thành



. tọa độ điểm



là:





0;5

. B.





5;0

. C.





6; 3

 

. D.





3; 6

 

Câu 308. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?

A. Phép dời là phép đồng dạng tỉ số



k .

B. Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

C. Phép vị tự tỉ số

là phép đồng dạng tỉ số k .

D. Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn góc.

Câu 309. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho





2; 3

 

A ,





4;1

B . phép đồng dạng tỉ số



biến điểm

thành



, biến điểm

thành



. Khi đó độ dài

 

A B

là:

. B.

. C.

. D.

Câu 310. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

: 2 1 0

  

d x y . Phép vị tự tâm





0;1

I tỉ số

 

k biến đường thẳng

thành đường thẳng



. phép đối xứng trục

biến

đường thẳng



thành đường thẳng

. Khi đó phép đồng dạng biến đường thẳng

thành

có phương trình là:

2 4 0

  

x y . B.

2 4 0

  

x y . C.

2 2 4 0

  

x y . D.

2 4 0

  

x y .

Câu 311. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, cho 2 đường tròn





và







có phương trình:

2 2

4 5 0

   

x y y và

2 2

2 2 14 0

    

x y x y . Gọi







là ảnh của





qua phép đồng

dạng tỉ số

, khi đó giá trị

là:

. B.

. C.

. D.

Câu 312. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, cho hai Elip





và





lần lượt có phương trình

là: 1



và 1



. Khi đó





là ảnh của





qua phép đồng dạng tỉ số

bằng:



k . B.



k . C. 1





k . D.



k .

Câu 313. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, cho phép đồng dạng biến đường thẳng

: –1 0

d x y

 

thành đường thẳng

': 2008 2007 2006 0

d x y

  

là phép đồng dạng tỉ số

bằng:

2007

2008

. B.

. C.

2008

2007

. D.

2007

2006

Câu 314. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho





–2; –3 ,





4; 1 .

B Phép đồng dạng tỉ số



biến điểm

thành



, biến điểm

thành



. Khi đó độ dài

A B

 

là:

. B.

. C.

. D.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 79

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 315. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

: – 2 1 0.

d x y

 

Phép vị tự tâm





0; 1

I tỉ số

–2



biến đường thẳng

thành đường thẳng



. Phép đối xứng trục

biến

đường thẳng



thành đường thẳng

. Khi đó, phép đồng dạng biến đường thẳng

thành

có phương trình là:

2 – 4 0.

x y

 

2 4 0.

x y

  

2 – 2 4 0.

x y

 

2 4 0.

x y

  

ÔN TẬP CHƯƠNG I

Câu 316. Cho hai diểm

phân biệt. Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A. Có duy nhất phép đối xứng trục biến điểm

thành

B. Có duy nhất phép đối xứng tâm biến điểm

thành

C. Có duy nhất phép tịnh tiến biến điểm

thành

D. Có duy nhất phép vị tự biến điểm

thành

Câu 317. Giả sử





là hình gồm hai đường thẳng song song,





là hình bát giác đều. Khi đó





không có trục đối xứng, không có tâm đối xứng;





có tám trục đối xứng.





có vô số trục đối xứng, vô số có tâm đối xứng;





có tám trục đối xứng.





chỉ có một có trục đối xứng, không có tâm đối xứng;





có tám trục đối xứng.





có vô số trục đối xứng, chỉ có một tâm đối xứng;





có tám trục đối xứng.

Câu 318. Cho hai đường tròn đồng tâm





;

O R

và





;

O R



với

R R





. Có bao nhiêu phép vị tự biến

đường tròn





;

O R

thành





;

O R



A. Vô số. B.

Câu 319. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường thẳng

có phương trình

2 –1 0

x y

 

và vectơ





v m





. Để phép tịnh tiến theo



biến đường thẳng

thành chính nó, ta phải chọn

là

số:

A. 2. B. –1. C. 1. D. 3.

Câu 320. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho phép biến hình

xác định như sau: Với mỗi





;

M x y

, ta có





M f M



 sao cho





;

M x y

  

thỏa mãn ;

x x y ax by

 

  

với

a b

là các hẳng số. Khi đó

a b

nhận giá trị nào trong các giá trị sau đây thì

trở thành phép biến hình đồng nhất?

a b

 

. B.

0; 1

a b

 

1; 2

a b

 

. D.

a b

 

Câu 321. Cho tam giác

ABC

và



lần lượt là trung điểm các cạnh

. Gọi

, ,

O G H

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác

ABC

. Lúc đó phép

biến hình biến tam giác

ABC

thành tam giác

A B C

  

là:

;

 



 

 

;

 



 

 

;

 



 

 

;

 

 

 

Câu 322. Cho tam giác

ABC

với

là trọng tâm. Gọi

, ,

A B C

  

lần lượt là trung điểm các cạnh

của tam giác

ABC

. Khi đó, phép vị tự nào biến tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác

A B C

  

thành tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

A. Phép vị tự tâm

, tỉ số

B. Phép vị tự tâm

, tỉ số

–2.

C. Phép vị tự tâm

, tỉ số

–3.

D. Phép vị tự tâm

, tỉ số

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 80

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 323. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho đường thẳng

: 0

d Ax By C

  

và điểm





;

I a b

. Phép đối xứng

tâm

biến đường thẳng

thành đường thẳng



có phương trình:





– 2 0.

Ax By C Aa Bb C

    





2 2 2 – 3 0.

Ax By C Aa Bb C

    

3 2 – 27 0.

Ax By C

  

– – – 0.

Ax By C Aa Bb C

  

Câu 324. Cho tam giác

ABC

với

, ,

O G H

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm

của tam giác

ABC

. Gọi

, ,

A B C

  

lần lượt là trung điểm các cạnh

, ,

BC CA AB

. Hỏi qua phép

biến hình nào thì điểm

biến thành điểm

A. Phép vị tự tâm

, tỉ số

–2.

B. Phép quay tâm

, góc quay



C. Phép tịnh tiến theo vectơ CA

. D. Phép vị tự tâm

, tỉ số

Câu 325. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Có một phép tịnh tiến biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.

B. Có một phép quay biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.

C. Có một phép vị tự biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.

D. Có một phép đối xứng trục biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.

Câu 326. Cho hình





gồm hai đường tròn





và







có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại hai

điểm phân biệt. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hình





có hai trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng.

B. Hình





có một trục đối xứng.

C. Hình





có hai tâm đối xứng và một trục đối xứng.

D. Hình





có một tâm đối xứng và hai trục đối xứng.

Câu 327. Cho hai điểm

và



phân biệt. Biết rằng phép đối xứng tâm

biến điểm

thành



Phép biến hình

biến điểm

thành điểm

, phép đối xứng tâm



biến điểm

thành



. Phép biến hình

là phép gì?

A. Phép quay. B. Phép vị tự.

C. Phép đối xứng tâm. D. Phép tịnh tiến.

Câu 328. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.

B. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục.

C. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm sẽ được một phép đối xứng tâm.

D. Thực hiện liên tiếp hai phép quay sẽ được một phép quay.

Câu 329. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Phép dời hình là một phép đồng dạng. B. Phép vị tự là một phép đồng dạng.

C. Phép quay là một phép đồng dạng. D. Phép đồng dạng là một phép dời hình.

Câu 330. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, phép tịnh tiến theo vectơ





1; 3





biến điểm





–3; 1

M thành điểm



có tọa độ là:





–2; 4

. B.





–4; – 2

. C.





2; – 4

. D.





4; 2

Câu 331. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho phép đối xứng trục

, phép đối xứng trục

biến parabol





: 4



P x y

thành parabol







có phương trình là:



y x

. B.

–4



y x

. C.

–4



x y

. D.



x y

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 81

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Câu 332. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Các hình HE, HOC, HI có một trục đối xứng.

B. Các hình: CHAM, SHE, THI, GIOI không có trục đối xứng.

C. Các hình: SOS, COC, BIB có hai trục đối xứng.

D. Có ít nhất một trong ba mệnh đề A, B, C sai.

Câu 333. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, phép tịnh tiến theo vectơ





3; 1

 



biến parabol





 



P y x thành parabol







có phương trình là:

– – 6 5

 

y x x

. B.

– 6 – 5

 

y x x

. C.

6 6

  

y x x

. D.

– – 6 – 7

y x x .

Câu 334. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho đường tròn

     

2 2

– 4 4

  

C x y

và phép

đối xứng tâm.





1; –1

I . biến đường tròn





thành đường tròn







. Khi đó phương trình của

đường tròn







là:

   

2 2

2 1 4

   

x y

. B.

   

2 2

– 2 1 4

  

x y

   

2 2

– 2 –1 4

 

x y

. D.

   

2 2

2 –1 4

  

x y

Câu 335. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

cho đường tròn





2 2

– 2 4 –11 0

  

x y x yC . Trong

các đường tròn sau, đường tròn nào không bằng đường tròn





2 2

2 –15 0

  

x y x . B.

2 2

–8 0

 

x y x .

2 2

6 – 2 – 5 0

  

x y x y . D.

   

2 2

– 2007 2008 16

  

x y

Câu 336. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, cho ba điểm





4;–2

I ,





–3;5

M ,





1;1



. Phép vị

tự

tâm

tỷ số

, biến điểm

thành



. Khi đó giá trị của

là:



. B.

. C.



. D.

Câu 337. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường thẳng

có phương trình

2 3 –1 0

x y

 

và điểm





–1;3

I , phép vị tự tâm

tỉ số

–3



biến đường thẳng





thành đường thẳng







. Khi đó

phương trình đường thẳng







là:

2 3 25 0

x y

  

. B.

2 3 – 25 0

x y

 

. C.

2 3 27 0

x y

  

. D.

2 3 – 27 0

x y

 

Câu 338. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, cho hai đường tròn lần lượt có phương trình:





2 2

: – 2 6 – 6 0

C x y x y

  

và

 

2 2

: – – 0

C x y x y



  

. Giả sử





là ảnh của







qua

phép đồng dạng tỉ số

, khi đó giá trị của

là:

. B.

. C.

. D.

Câu 339. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ

Oxy

, cho điểm





4;5

A . Hỏi

là ảnh của điểm nào trong

các điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ





2;1

v 







3;1

B . B.





1;6

C . C.





4;7

D . D.





2;4

E .

Câu 340. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho hai điểm





1;2

I và





3;–1

M . Trong bốn điểm sau đây điểm

nào là ảnh của

qua phép đối xứng tâm





2;1

A . B.





–1;5

B . C.





–1;3

C . D.





5;–4

D .

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 82

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D A D B B B D A A C A B C A D D A B A A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C D C B B C C C C B D A D D D C B C D D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

B C B B A A A D C D B D C A B D D A B A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

B C A B A D A C D A D D D D A D B A B B

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

C B D A D B A B A C D D D C B C A D B B

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

D C B B C B C A D A B A C D B C C D A C

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

B C B D B A B A B A C B C B A D A D D D

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

C C D B C C B A D D B B C D D B A C B D

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

C D A A C B C A B C B A B D A A D A C A

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

B A A D B C D C A D B B B C C C A D C D

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

B D D D B D C A C B C B D B D A B C A B

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

B A B B B D B B C D D D B D A C D B A B

241

242

243

2244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

C B B B A C C B D B A D C D C D B C B D

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

D D C B B C C B C B C D C D D A D D C B

281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

C D C A B B C D B C A A D B D C A D D A

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

C C C B D A C B A D A D A A D D B C B B

321

322

323

324

325

326

328

329

330

331

332

333

334

335

336

337

338

339

340

B A A A D D D A D A C C D A C D B B D B

Tài liệu tham khảo:

[1] Trần Văn Hạo - Hình học 11 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[2] Trần Văn Hạo - Bài tập Hình học 11 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[3] Trần Văn Hạo - Hình học 11 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[4] Trần Văn Hạo - Bài tập Hình học 11 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[5] Nguyễn Kiếm - Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 11 tập 2 (NXB ĐHQG 2007).

[6] Một số tài liệu khác sưu tầm trên internet mà không rõ nguồn.

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 83

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

MỤC LỤC

CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

Vấn đề 1. PHÉP BIẾN HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN - PHÉP DỜI HÌNH

Dạng 1. Tìm ảnh của hình

cho trước qua một phép tịnh tiến



....................................... 1

Dạng 2. Xác định phép tịnh tiến



....................................................................................... 2

Dạng 3. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép tịnh tiến



Dạng 4. Áp dụng phép tịnh tiến



vào dựng hình ................................................................. 4

Dạng 5. Chứng minh hai hình bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc ........................ 5

Dạng 6. Tích của các phép tịnh tiến ....................................................................................... 6

Dạng 7. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến .......................................................................... 6

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1 ........................................................................................ 7

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................... 8

Vấn đề 2. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Dạng 1. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất ........................................................................... 13

Dạng 2. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép đối xứng trục



...................................... 14

Dạng 3. Áp dụng phép đối xứng trục



vào dựng hình 15

Dạng 4. Áp dụng phép đối xứng trục



vào chứng minh hình học .................................... 16

Dạng 5. Tích của các phép đối xứng trục ............................................................................. 17

Dạng 6. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ................................................................ 17

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2 ...................................................................................... 18

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 19

Vấn đề 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

Dạng 1. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép đối xứng tâm

...................................... 23

Dạng 2. Áp dụng phép đối xứng tâm

vào dựng hình ....................................................... 24

Dạng 3. Áp dụng phép đối xứng tâm

vào chứng minh ................................................... 26

Dạng 4. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ................................................................ 26

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 3 ...................................................................................... 27

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 28

Vấn đề 4. PHÉP QUAY

Dạng 1. Xác định phép quay ............................................................................................... 31

Dạng 2. Tìm ảnh của một hình





cho trước qua phéo quay

 



.................................. 32

Dạng 3. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép quay

 



............................................... 33

Dạng 4. Áp dụng phép quay

 



vào dựng hình ............................................................... 34

Dạng 5. Áp dụng phép quay

 



vào chứng minh ............................................................ 35

Dạng 6. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất ........................................................................... 36

Dạng 7. Tích của các phép quay .......................................................................................... 37

Dạng 8. Biểu thức tọa độ của phép quay ............................................................................. 38

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 4 ...................................................................................... 39

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 39

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 84

File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Vấn đề 5. PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

Dạng 1. Sử dụng tọa độ cho phép dời hình .......................................................................... 42

Dạng 2. Chứng minh hai hình (H) và (H) bằng nhau .......................................................... 43

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 5 ....................................................................................... 44

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 45

Vấn đề 6. PHÉP VỊ TỰ

Dạng 1. Xác định phép vị tự ................................................................................................ 49

Dạng 2. Áp dụng phép vị tự vào chứng minh ...................................................................... 50

Dạng 3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự .............................................................................. 51

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 5 ...................................................................................... 52

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 53

Vấn đề 7. PHÉP ĐỒNG DẠNG

Dạng 1. Xác định phép đồng dạng ....................................................................................... 56

Dạng 2. Áp dụng phép đồng dạng vào chứng minh ............................................................. 58

Dạng 3. Chứng minh hai hình (H) và (H) đồng dạng .......................................................... 58

Dạng 4. Biểu thức tọa độ của phép đồng dạng ..................................................................... 59

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 7 ...................................................................................... 60

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 60

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2 ...................................................................................... 62

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ

1-2. PHÉP TỊNH TIẾN ....................................................................................................... 65

3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ............................................................................................... 68

4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ................................................................................................. 70

5. PHÉP QUAY .................................................................................................................. 72

6. PHÉP DỜI HÌNH ............................................................................................................ 74

7. PHÉP VỊ TỰ ................................................................................................................... 74

8. PHÉP ĐỒNG DẠNG ...................................................................................................... 77

ÔN TẬP CHƯƠNG I .......................................................................................................... 79

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ....................................................................................................... 82

MỤC LỤC ........................................................................................................................................... 83

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/86

| | Tải xuống

Preview text:

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 5
Ví dụ 9. Dựng tứ giác lồi ABCD , biết d và góc giữa AD và A bằng  . 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Dạng 5. Chứng minh hai hình bằng nhau.
Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép tịnh tiến T . u  
2. Áp dụng tính chất của phép tịnh tiến T : M  M   MM   u . u
3. Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 10. Cho tứ giác ABCD có AB  6 3cm , CD  12cm ,  A  60 ,  B  150 , 
D  90 . Tính độ dài
các cạnh T và AD . v
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 11. Cho A
 BC . Gọi A , B ,C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AC , AB và I , I , I ; 1 1 1 1 2 3
O , O , O lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp các A  C B , C  A B , B  C A . 1 2 3 1 1 1 1 1 1 Chứng minh O  O O  I  I I . 1 2 3 1 2 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 6
Dạng 6. Tích của các phép tịnh tiến
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng tích của các phép biến hình: M M ' M '' f g g f 0 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 12. Cho hai phép tịnh tiến T và T . Với điểm M bất kì, T biến M thành M  , T biến M  thành u V u V
M  . Chứng tỏ rằng phép biến hình M thành M  là một phép tịnh tiến.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Dạng 7. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
Biểu thức tọa độ: Cho phép tịnh tiến T với u  a;b , M  x; y  và M  x ; y thì: u
x  x  a
T M  M   u  
 y  y  b  B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 13. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : 2x – y  1  0 và hai điểm A 1; –2 , B 5;  1 . Xác
định phương trình đường thẳng d  là ảnh của d qua phép tịnh tiến T . AB
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 7 
Ví dụ 14. Trong mặt phẳng Oxy cho u  (2;3) và đường tròn C  có phương trình 2 2
x  ( y  1)  4 . Xác
định phương trình đường tròn (C )
 là ảnh của C  qua T . u
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1 Bài 1.
Chứng minh: M   T M  M  T  M  . v   v   E D Bài 2.
Cho tam giác đều ABE và BCD bằng nhau trên hình bên.
Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm ,
A B, E theo thứ tự thành
ba điểm B,C, D . A B C  Bài 3.
Cho hình bình hành ABCD . Dựng ảnh của A
 BC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD .  Bài 4.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v  1;2 . Tìm tọa độ của điểm M  là ảnh của điểm M 3; – 
1 qua phép tịnh tiến T . v Bài 5.
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến  
theo vectơ AG . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A ?  Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ v   –2;3 và đường thẳng
d : 3x – 5y  3  0 . Viết phương trình của đường thẳng d  là ảnh của d qua phép tịnh tiến  vectơ v .  Bài 7.
Trong mặt phẳng Oxy , cho vectơ u  2; 
3 và đường tròn C  2 2
: x  y – 2x  4 y – 4  0 . 
Tìm ảnh của C  qua phép u . Bài 8.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A  –1; –  1 , B 3; 
1 , C 2;3 . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ
giác ABCD là hình bình hành.  Bài 9.
Trong mặt phẳng Oxy , cho u  2; – 
1 , điểm M 3;2 . Tìm tọa độ điểm A sao cho :
a) A  T M
b) M  T A u   u  
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 8  Bài 10.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho u   –2; 
1 , đường thẳng d : 2x – 3y  3  0 , đường thẳng
d : 2x – 3y – 5  0 . 1
a) Viết phương trình của đường thẳng d  là ảnh của d qua T . u 
b) Tìm tọa độ của vectơ w có giá vuông góc với đường thẳng d để d là ảnh của d qua T . 1 w  Bài 11.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vectơ u  1;2 , hai điểm A3;5 , B  –1; 
1 , đường thẳng d 2 2
có phương trình: x – 2 y  3  0 và đường tròn C  :  x –  1   y –  1  9 . 
a) Tìm tọa độ của các điểm A , B theo thứ tự là ảnh của ,
A B qua phép tịnh tiến theo u .
b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua T . u
c) Tìm phương trình của đường thẳng d  là ảnh của d qua T . u
d) Tìm phương trình của đường tròn C là ảnh của C  qua T . u Bài 12.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3x – y – 9  0 . Tìm phép tịnh tiến theo
vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d  đi qua gốc tọa độ và
viết phương trình đường thẳng d  . Bài 13.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các phép biến hình sau đây, phép nào là phép dời hình ?
a) Phép biến hình F biến mỗi điểm M  x; y thành M  y; – x ; 1
b) Phép biến hình F biến mỗi điểm M  x; y thành M ¢2x; y ; 2 Bài 14.
Cho đoạn thẳng AB và đường tròn C  tâm O , bán kính r nằm về một phía của đường thẳng
AB . Lấy điểm M trên C  rồi dựng hình bình hành ABMM  . Tìm tập hợp các điểm M  khi
M di động trên C  .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1.
Cho đường thẳng d . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành chính nó?
A. Không có phép nào
B. Có một phép duy nhất C. Chỉ có hai phép D. Có vô số phép Câu 2.
Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành d ?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép. Câu 3.
Cho hai đường thẳng song song d và d . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d
thành đường thẳng d ?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép. Câu 4.
Cho hai đường thẳng song song a và a . Một đường thẳng c không song song với chúng. Có
bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng a và biến đường thẳng c thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép. Câu 5.
Cho bốn đường thẳng a , b , a , b trong đó a // a , b // b và a cắt b . Có bao nhiêu phép tịnh tiến
biến đường thẳng a thành đường thẳng a và biến mỗi đường thẳng b và b thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 9 Câu 6.
Cho bốn đường thẳng a , b , a , b trong đó a // a , b // b và a cắt b . Có bao nhiêu phép tịnh
tiến biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a và b ?
A. Không có phép nào
B. Có một phép duy nhất C. Chỉ có hai phép D. Có vô số phép Câu 7.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đồ thị hàm số y  sin x . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đồ thị đó thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.   Câu 8.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho véctơ u  3;  
1 . Phép tịnh tiến theo véctơ u biến điểm M 1; 4   thành điểm
A. M  4;5 . B. M  2  ; 3 . C. M  3; 4   .
D. M  4;5 . Câu 9.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến A3;2 thành điểm A2;3 thì nó biến
điểm B 2;5 thành:
A. Điểm B 5;2 .
B. Điểm B 1;6 .
C. Điểm B 5;5 .
D. Điểm B 1;  1 .
Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến điểm M 4; 2 thành điểm M 4;5 thì
nó biến điểm A2;5 thành điểm:
A. Điểm A 5;2 .
B. Điểm A 1;6 .
C. Điểm A 2;8 .
D. Điểm A 2;5 . 
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép tịnh tiến theo véctơ u  4;6 biến đường thẳng a có
phương trình x  y  9  0 thành
A. đường thẳng x  y  9  0 .
B. đường thẳng x  y  9  0 .
C. đường thẳng x  y  9  0 .
D. đường thẳng x  y  9  0 .
Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép tịnh tiến biến điểm A2; 
1 thành điểm A3;0 thì nó
biến đường thẳng nào sau đây thành chính nó?
A. x  y 1  0 .
B. x  y 100  0 .
C. 2x  y  4  0 .
D. 2x  y 1  0 .
Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu phép tịnh tiến biến điểm A2 
;1 thành điểm A1; 2 thì nó
biến đường thẳng a có phương trình 2x  y 1  0 thành đường thẳng có phương trình
A. 2x  y 1  0 .
B. 2x  y  0 .
C. 2x  y  6  0 .
D. 2x  y 1  0 .
Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và a lần lượt có phương trình
3x  2 y  0 và 3x  2 y  1  0 . Phép tịnh tiến theo véctơ nào sau đây biến đường thẳng a thành
đường thẳng a ?     A. u   1  ;   1 .
B. u  1;   1 . C. u  1; 2   . D. u   1  ; 2 .
Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và a lần lượt có phương trình
2x  3y 1  0 và 2x  3y  5  0 . Phép tịnh tiến theo véctơ nào sau đây không biến đường
thẳng a thành a ?    
A. u  0;2 . B. u   3  ; 0 .
C. u  3; 4 .
D. u  1;   1 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 10
Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và a lần lượt có phương trình 
3x  4 y  5  0 và 3x  4 y  0 . Phép tịnh tiến theo u biến đường thẳng a thành đường thẳng 
a . Khi đó độ dài nhất của véctơ u bằng bao nhiêu? A. 5. B. 4. C. 2 . D. 1.
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng a có phương trình 3x  2 y  5  0 phép tịnh 
tiến theo véctơ u  1; 2
  biến đường thẳng đó thành đường thẳng a có phương trình
A. 3x  2 y  4  0 .
B. 3x  2 y  0 .
C. 3x  2 y  10  0 .
D. 3x  2 y  7  0 .
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol có đồ thị 2
y  x . Phép tịnh tiến theo véctơ 
u  2;3 biến Parabol đó thành đồ thị của hàm số: A. 2
y  x  4x 1. B. 2
y  x  4x 1. C. 2
y  x  4x 1. D. 2
y  x  4x 1.
Câu 19. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Trong hệ trục tọa độ Oxy phép co về trục hoành là một phép dời hình.
B. Phép tịnh tiến là một phép dời hình.
C. Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng không phải là phép dời hình.
D. Hợp của hai phép dời hình là một phép dời hình.
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình f xác định như sau: Với mỗi M  ; x y  ta có
M   f M  sao cho M  x ; y thỏa mãn: x  2x  y 1; y  x  2 y  3 . Khi đó điểm
1;2 sẽ biến thành điểm có tọa độ:
A. A 5;8 .
B. A 5;8 .
C. A 5;6 .
D. A 8;5 .
Câu 21. Cho hai điểm A và B không nằm trên đường thẳng d . Hãy xác định điểm M trên d sao cho
AM  BM bé nhất. Một học sinh đã tiến hành như sau:
Bước 1: Lấy điểm A đối xứng với A qua d , ta
có: AM  BM  AM  BM .
Bước 2: Mà AM  BM  A B  , dấu bằng xảy ra
khi M là giao điểm của A B  và d .
Vậy điểm M thỏa mãn bài toán là giao điểm của A B  và d . Học sinh đó đã:
A. Lí luận đúng hoàn toàn trong việc giải bài toán đó.
B. Lí luận sai ở bước 1.
C. Lí luận không đầy đủ.
D. Lí luận sai ở bước 2.
Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình f xác định như sau: Với mỗi M  ; x y  ta có
M   f M  sao cho M  x ; y thỏa mãn x  ;
x y  ax  by, với ;
a b là các hằng số. Khi đó ;
a b nhận giá trị nào trong các giá trị sau đây thì f trở thành phép biến hình đồng nhất?
A. a  1; b  2 .
B. a  1; b  1 .
C. a  b  0 .
D. a  0; b  1.
Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt
là: x  x ; x  x trong đó: x  x ; M  ;
x y  là một điểm bất kỳ. Phép đối xứng trục a biến M 1 2 1 2
thành M  và phép đối xứng trục b biến M  thành M  . Như thế phép biến hình biến điểm M
thành M  là một phép tịnh tiến theo véctơ có tọa độ là?
A. 2 x  x ;0 .
B.  x  x ;0 1 2   1 2  
C. 2 x  x ;0 .
D.  x  x ;0 . 1 2   2 1  
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 11
Câu 24. Cho tam giác ABC với trọng tâm G , trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O . Gọi A , B ,
C lần lượt là trung điểm các cạnh BC , AC , AB của tam giác ABC . Hỏi qua phép biến hình
nào thì điểm O biến thành điểm H ?
A. Phép quay tâm O , góc quay 60 .
B. Phép vị tự tâm G , tỉ số 2  . 1 1 
C. Phép vị tự tâm G , tỉ số .
D. Phép tịnh tiến theo vectơ CA . 2 3
Câu 25. Giả sử phép dời hình f biến tam giác ABC thành tam giác AB C   . Xét các câu sau:
(1) Trọng tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm tam giác AB C   .
(2) Trực tâm tam giác ABC biến thành trực tâm tam giác AB C   .
(3) Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC biến thành tâm đường tròn ngoại tiếp,
nội tiếp tam giác AB C   . Trong 3 câu trên:
A. Có đúng hai câu sai.
B. Cả ba câu đều đúng.
C. Có đúng một câu sai.
D. Cả ba câu đều sai.
Câu 26. Một phép dời hình bất kì, chọn câu trả lời đúng.
A. Có thể có ba điểm bất động không thẳng hàng. (1)
B. Chỉ có ba điểm bất động khi nó là phép đồng nhất. (2)
C. Chỉ có 3 điểm bất động không thẳng hàng khi nó là phép đồng nhất. (3)
D. Cả (1); (2); (3) đều sai.
Câu 27. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho phép biến hình f biến mỗi điểm M  ; x y  thành điểm
M  x ; y sao cho x  x  2 y ; y  2
 x  y 1. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC với
A 1;2 ; B  2  ;3 ; C 4; 
1 . Phép biến hình f biến điểm G thành điểm G có tọa độ là A.  3  ; 4 . B. 8;3 . C. 5;  1 . D. 0;6 .
Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép biến hình T biến điểm bất kỳ M  ; x y  thành điểm  x y 3 x     2 2
M  x ; y sao cho: 
. Tập hợp những điểm bất động của T là:  x 3 y y     2 2 A. Một tia.
B. Một đoạn thẳng.
C. Một đường thẳng.
D. Một đường tròn.
Câu 29. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vuông thành chính nó? A. Không có. B. Vô số. C. Một. D. Bốn.
Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD với A 1;4 ; B  2  ;  1 ;  C 7; 
1 . Nếu T là phép tịnh tiến theo véctơ u biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD thì 
véctơ u có tọa độ là: A.  9  ;3 . B. 9;2 . C. 8;5 . D. 5;4 .
Câu 31. Cho hai đường thẳng song song d và d . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d thành d .
A. Có bốn phép tịnh tiến.
B. Có duy nhất một phép tịnh tiến.
C. Không có phép tịnh tiến nào.
D. Có vô số phép tịnh tiến.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 12
Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn C  có phương trình: 2 2
x  y  2x  8  0 . 
Phép tịnh tiến theo véctơ u  3;  
1 biến đường tròn C  thành đường tròn C có phương trình là: A. 2 2
x  y  8x  2 y  8  0 . B. 2 2
x  y  6x  4 y  2  0 . C. 2 2
x  y  4x  y  5  0 . D. 2 2
x  y  4x  4 y  3  0 .
Câu 33. Cho hai đường tròn C  2 2
: x  y  2x  2 y 1  0 , C 2 2
: x  y  4x  2 y  4  0 . Biết rằng T  a
CC . Véctơ a là:  
A. a  1  ;1 .
B. a  1;0 .  
C. a  0;   1 .
D. a  1;0 .
Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn C  : 2 2
x  y  x  2 y  3  0 . Phép tịnh
tiến theo phương của trục hoành về phía bên phải 4 đơn vị biến đường tròn C  thành đường
tròn C có phương trình là: A. 2 2
x  y  4x  2 y  4  0 . B. 2 2
x  y  5x  4 y  5  0 . C. 2 2
x  y  7x  2 y 1  0 . D. 2 2
x  y  9x  2 y 17  0 .
Câu 35. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó? A. Hai. B. Không có. C. Vô số. D. Một.
Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường tròn C  và C bằng nhau và có phương 2 2 2 2
trình lần lượt là:  x  
1   y  2  16 và  x  3   y  4  16 . Giả sử T là phép tịnh tiến  
theo véctơ u biến C  thành C . Khi đó tọa độ của u là: A. 3; 5   . B. 8; 1  0 . C.  4  ;6 . D. 4; 6   . 
Câu 37. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A 2;5 . Phép tịnh tiến theo véctơ u 1;2 biến A thành điểm nào trong các điểm sau? A. B 3;  1 .
B. D 3;7 .
C. E 4;7 .
D. C 1;6 .
Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai parabol  P và Q có phương trình lần lượt là: 2 y  x và 2
y  x  2x  3 . Chọn câu sai trong các câu sau:
A. Không thể thực hiện được một phép tịnh tiến nào biến parabol này thành parabol kia.
B. Có vô số phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia.
C. Có duy nhất 1 phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia.
D. Có đúng 2 phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 13
Vấn đề 2. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1. Phép đối xứng qua đường thẳng  là phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M  đối xứng với M qua  . Kí hiệu: Đ .  
2. Đường thẳng  gọi là trục của phép đối xứng hay trục đối xứng.
3. Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
4. Các phép đối xứng trục với trục đặc biệt: M ' M Trục là Ox : Trục là Oy : Đ
M  M  Đ M  M  Oy   Ox   y y y M 0 M ' y0 M x0 O x  y x 0 M ' 0 O x x 0
5. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của một hình H nếu phép đối xứng trục Đ biến H thành chính d nó, tức là Đ
H  H  d    
Dạng 1. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép đối xứng trục Đ  M   M  
2. I   thì IM  IM .
3. Áp dụng bất đẳng thức: Với ba điểm ,
A B,C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC . B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 15. Cho đường thẳng a và hai điểm A và B nằm cùng phía đối với a . Tìm trên đường thẳng a
điểm M sao cho MA+ MB ngắn nhất.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 16. Cho góc 
xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Qua A dựng đường thẳng d cắt Ox tại P và
cắt Oy tại Q sao cho A là trung điểm của PQ .
a) Chứng minh rằng O
 PQ có diện tích lớn nhất.
b) Hãy xác định điểm B trên Ox và điểm C trên Oy sao cho A
 BC có chu vi nhỏ nhất.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 14
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 17. Trong tất cả các tam giác có cùng diện tích và có chung một cạnh. Chứng minh rằng tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 18. Cho A
 BC , gọi d là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của A
 BC và M là một điểm bất kỳ
thuộc d . Chứng minh M
 BC có chu vi không nhỏ hơn chu vi A  BC .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Dạng 2. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép đối
xứng trục Đ 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép đối xứng Đ biến điểm M  M  
2. Tìm quỹ tích điểm M .
3. Từ quỹ tích của điểm M , dựa vào tính chất của phép đối xứng để suy ra quỹ tích của điểm M  . B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 19. Cho đường tròn O; R và hai điểm ,
A B thuộc đường tròn. Đường tròn  I ;r tiếp xúc ngoài
với đường tròn O; R tại A . Một điểm M di động trên đường tròn O; R , tia MA cắt đường
tròn  I ;r tại điểm thứ hai C . Qua C vẽ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng
MB tại D . Tìm quỹ tích của điểm D .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 15
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 20. Cho đường tròn O có dây cung BC cố định và điểm A di động trên đường tròn O . Tìm
quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Dạng 3. Áp dụng phép đối xứng trục Đ vào dựng  hình
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Quy bài toán dựng hình về bài toán dựng điểm M nào đó phụ thuộc vào hai điều kiện
độc lập   và   .
2. Xác định phép đối xứng trục để tìm điều kiện   gọi là H và điều kiện   gọi là  H . 
3. Điểm M  H  H .   B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 21. Cho hai đường tròn O , O và đường thẳng d . Tìm trên d một điểm P sao cho tiếp tuyến 1 
vẽ từ P đến O , O tạo thành một góc nhận d làm đường phân giác. 1 
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 16
Ví dụ 22. Dựng A
 BC biết AB  c, AC  b và  
B  C   ( cho trước)
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Dạng 4. Áp dụng phép đối xứng trục Đ vào chứng  minh hình học
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép đối xứng trục.
2. Tính chất của phép đối xứng trục biến một hình thành hình bằng nó. B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 23. Cho 
xOy , trên tia Ox lấy hai điểm ,
A B và trên tia Oy lấy hai điểm A , B sao cho
OA  OA , OB  OB Chứng minh giao điểm của AB và BA nằm trên đường phân giác của  xOy .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 24. Cho A
 BC , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và P là điểm nằm trong tam giác. Gọi
A , B , C là các điểm đối xứng với P qua các đường thẳng AI , BI , CI . Chứng minh rằng
các đường thẳng AA , BB , CC đồng quy.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 17
Dạng 5. Tích của các phép đối xứng trục
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng tích của các phép biến hình: M M ' M '' f g g f 0 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 25. Chứng minh rằng:
a) Tích của hai phép đối xứng trục, có trục song song là một phép tịnh tiến.
b) Tích của ba phép đối xứng trục, có trục song song là một phép đối xứng trục. 
c) Tích của phép đối xứng trục Đ với phép tịnh tiến T có đường thẳng chứa véctơ u vuông  u
góc với  là một phép đối xứng trục.
Dạng 6. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI y  Trục là Ox: M d Đ
M  M  Ox    Trục là Oy: Đ
M  M  I Oy  
 Trục là đường thẳng bất kỳ 2 2
d : Ax  By  C  0( A  B  0) M '
Cho điểm M  x; y  và đường thẳng d. Tìm M (  x ;  y )  : O x Đ
M  M  d  
Bước 1. Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d
Bước 2. Gọi H là hình chiếu của M trên d  H là giao điểm của d và  .
Bước 3. H là trung điểm của MM   Tọa độ M . B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M 1;5 , đường thẳng d : x – 2 y  4  0 và đường tròn C 2 2
: x  y – 2x  4 y – 4  0.
a) Tìm ảnh của M , d , C  qua phép đối xứng trục Ox .
b) Tìm ảnh của M , C  qua phép đối xứng trục d .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 18
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2 Bài 15.
Qua phép đối xứng trục Ñ ( a là trục đối xứng), đường thẳng d biến thành đường thẳng d . a
Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Khi nào thì d song song với d ?
b) Khi nào thì d trùng với d ?
c) Khi nào thì d cắt d ? Giao điểm của d và d có tính chất gì ?
d) Khi nào thì d vuông góc với d ? Bài 16.
Cho tứ giác ABCD . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E . Xác định ảnh của ABE qua
phép đối xứng qua đường thẳng CD . Bài 17.
a) Tìm ảnh của các điểm A 1;2 , B 0; –5 qua phép Đ . Ox
b) Tìm ảnh của các điểm A 1;2 , B 5;0 qua phép Đ . Oy
c) Tìm ảnh của điểm M 1;5 qua phép Đ với d : x – 3y  4  0 . d
d) Tìm ảnh của d : 3x – y  2  0 qua phép đối xứng trục Ox .
e) Tìm ảnh của d : x – 2 y 1  0 qua phép đối xứng trục Oy .
f) Tìm ảnh của d : x – y 1  0 qua phép đối xứng trục D : 2x – y  0. 2 2
g) Tìm ảnh của đường tròn C  :  x – 2   y – 4  18 qua phép đối xứng trục Ox . 2 2
h) Tìm ảnh của đường tròn C  :  x  2   y –  1
 40 qua phép đối xứng trục Oy .
i) Tìm ảnh của đường tròn C  2 2
: x  y – 4x – 2 y – 4  0 qua phép đối xứng trục
D : 2x  y  0 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 19 Bài 18.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn C  2 2
: x  y – 4x  5 y 1  0 và 1 C  2 2
: x  y 10 y – 5  0 . Viết phương trình ảnh của mỗi đường tròn trên qua phép Đ . 2 Oy Bài 19.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x – 5 y  7  0 và d : 5x – y – 13  0 . Tìm
phép đối xứng qua trục biến d thành d . Bài 20.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x – y  7  0 và d : 2x – y 13  0 . Tìm
phép đối xứng qua trục biến d thành d . Bài 21.
a) Trong các chữ cái sau, chữ nào có trục đối xứng: H A L O N G.
b) Tìm một số hình tứ giác có trục đối xứng. Bài 22.
a) Chỉ ra trục đối xứng (nếu có) của mỗi hình sau
MÂM, HOC, NHANH, HE, SHE, IS, IT, SOS, CHEO
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng. Bài 23.
Cho hai điểm B , C cố định nằm trên đường tròn O; R và điểm A thay đổi trên đường tròn
đó. Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H của A
 BC nằm trên một đường tròn cố định.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 39. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến một đường thẳng d cho trước thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 40. Cho hai đường thẳng song song d và d  . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường
thẳng đó thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 41. Cho hai đường thẳng song song d và d  . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng
d thành đường thẳng d  ?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 42. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d  . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d
thành đường thẳng d ?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 43. Cho hai đường thẳng a và b , một đường thẳng c vuông góc với chúng. Có bao nhiêu phép đối
xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 44. Cho hai đường thẳng song song a và b , một đường thẳng c vuông góc với chúng. Có bao
nhiêu phép đối xứng trục biến a thành b và biến c thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 45. Cho hai đường thẳng song song a và b , một đường thẳng c không vuông góc với chúng. Có
bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 20
Câu 46. Cho hai đường thẳng song song a và b , một đường thẳng c không vuông góc và cũng không
song song với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành b và biến c thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 47. Cho bốn đường thẳng a , b , a , b trong đó a // a , b // b và a cắt b . Có bao nhiêu phép đối
xứng trục biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a và b ?
A. Không có phép nào.
B. Chỉ có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 48. Trong các hình dưới đây hình nào có một và chỉ một trục đối xứng? A. Đường Elip B. Đường tròn C. Đường Hypebol D. Đường Parabol
Câu 49. Trong các hình dưới đây hình nào có ba trục đối xứng? A. Đoạn thẳng. B. Đường tròn. C. Tam giác đều. D. Hình vuông.
Câu 50. Trong các hình dưới đây hình nào có bốn trục đối xứng? A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình thoi. D. Hình vuông.
Câu 51. Trong các hình dưới đây hình nào không có trục đối xứng?
A. Hình gồm hai đường tròn không bằng nhau.
B. Hình gồm một đường tròn và một đoạn thẳng tùy ý.
C. Hình gồm một đường tròn và một đưòng thẳng tùy ý.
D. Hình gồm một tam giác cân và đường tròn nội tiếp.
Câu 52. Trong các hình dưới đây hình nào không có vô số trục đối xứng? A. Đường tròn. B. Đường thẳng.
C. Hình gốm hai đường thẳng song song.
D. Hình đa giác đều n cạnh.
Câu 53. Trong các hình dưới đây hình nào không có trục đối xứng?
A. Đồ thị của hàm số y  sin x .
B. đồ thị của hàm số y  cos x .
C. Đồ thị của hàm số y  tan x .
D. Đồ thị của hàm số y  x .
Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép đối xứng trục biến điểm A2 
;1 thành A2;5 có trục đối xứng là
A. Đường thẳng y  3 .
B. Đường thẳng x  3 .
C. Đường thẳng y  6 .
D. Đường thẳng x  y  3  0 .
Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu phép đối xứng trục biến điểm M 1; 4   thành điểm M  4  
;1 thì có trục đối xứng là
A. đường thẳng x  y  0 .
B. đường thẳng x  y  0 .
C. Đường thẳng x  y 1  0 .
D. Đường thẳng x  y 1  0 .
Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu phép biến đối xứng trục biến điểm M 2;3 thành điểm
M 3;2 thì nó biến điểm C 1; 6   thành điểm A. C6  ;1 .
B. C1;6 .
C. C 6;   1 . D. C 6   ;1 .
Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép biến đối xứng trục biến điểm M 3  ;1 thành điểm M  1
 ; 3 thì nó biến điểm N  3  ; 4   thành
A. điểm N 3;4 .
B. điểm N3;4 .
C. điểm N4; 3   .
D. điểm N 4;3 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 21
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu phép đối xứng trục biến điểm A0 
;1 thành điểm A 1  ; 0
thì nó biến điểm B 5;5 thành điểm A. B  5  ;5 .
B. B 5;5 . C. B 5; 5   .
D. B 1  ;1 .
Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép đối xứng qua đường thẳng x  y  0 biến đường thẳng
4x  5 y 1  0 thành đường thẳng có phương trình: A. 4
 x  5 y 1  0 .
B. 5x  4 y 1  0 .
C. 5x  4 y 1  0 .
D. 4x  5 y 1  0 .
Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép đối xứng qua đường thẳng x  y  0 biến đường tròn có phương trình 2 2
x  y  2x 1  0 thành đường tròn có phương trình A. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 . B. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 . C. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 . D. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 . Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
C  có phương trình 2 2
x  y  2x  3y 1  0 .Phép biến đổi xứng qua trục Ox biến đường tròn đó thành đường tròn
C có phương trình: A. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 . B. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 . C. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 . D. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 .
Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C  có phương trình 2 2
x  y  2x  3y 1  0 .
Phép biến đổi xứng qua trục Oy biến đường tròn đó thành đường tròn C có phương trình: A. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 . B. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 . C. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 . D. 2 2
x  y  2x  3y 1  0 .
Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol  P có phương trình 2
y  2x . Phép đối xứng qua
đường thẳng y  x biến  P thành đường Parabol có đồ thị là 1 1 A. 2 y  x . B. 2 y   x . C. 2 y  2x . D. 2 y  2  x . 2 2
Câu 64. Cho d : 2x  y  2  0 và  : x  y  0 . Giả sử  : Đ d   d . Lựa chọn phương án 1   2  1  đúng:
A. d : 3x  2 y  3  0 . B. x  2y  2  0 .
C. x  y 1  0 .
D. 2x  3y  3  0 . 2 
Câu 65. Cho tam giác ABC với A 1;3 , B 2; 4 , C 3; 2 xét đường thẳng d : x  y  0 . Giả sử Đd A
 BC  A  B C
  . Gọi G là trọng tâm tam giác AB C
  . Chọn Câu trả lời đúng
A. G3; 2 .
B. G4;3 .
C. G2; 2 . D. G2;  1 .
Câu 66. Hình  H  có bốn trục đối xứng. Lựa chọn phương án đúng. Chọn Câu trả lời đúng:
A.  H  là hình tròn.
B.  H  là hình chữ nhật.
C.  H  là hình thoi.
D.  H  là hình vuông.
Câu 67. Chọn câu trả lời đúng:
A. Mọi đường thẳng đều có trục đối xứng.
B. Đường tròn có hữu hạn trục đối xứng.
C. Mọi tam giác bất kỳ đều có trục đối xứng.
D. Đường thẳng không có trục đối xứng.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 22
Câu 68. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 2;3 , hỏi điểm M là ảnh của điểm nào sau đây qua phép
đối xứng qua trục O . y A. B 2; 3   .
B. C 3;2 .
C. D 2;3 .
D. A 3;2 .
Câu 69. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 2; 3 , hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua
phép đối xứng qua đường thẳng x  y  0 ? A. B 2; 3   .
B. C 3;2 .
C. D 2;3 .
D. A 3;2 .
Câu 70. Chọn câu trả lời đúng:
A. Hình gồm một đường tròn và một đoạn thẳng tùy ý không có trục đối xứng.
B. Hình gồm một đường tròn và một đường thẳng tùy ý không có trục đối xứng.
C. Hình gồm một tam giác cân và đường tròn ngoại tiếp tam giác đó không có trục đối xứng.
D. Hình gồm hai đường tròn không bằng nhau không có trục đối xứng.
Câu 71. Đường thẳng d có phương trình: y  5x  3 . Phép đối xứng trục Oy biến đường thẳng d
thành đường thẳng d ' có phương trình là: 1 3 1 3 A. y   x  . B. y  x  .
C. y  5x  3 . D. y  5  x  3 . 5 5 5 5
Câu 72. Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn O; R , điểm A thay đổi trên O; R , H là
trực tâm tam giác ABC và H  là điểm đối xứng của H qua đường thẳng BC . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. H  luôn nằm trên một đường thẳng cố định song song với BC .
B. H  luôn nằm trên đường tròn O; R .
C. H  luôn nằm trên đường trung trực của cạnh BC .
D. H  luôn nằm trên đường tròn O; R đối xứng của O ; R qua đường thẳng BC .
Câu 73. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy các đường có phương trình sau đây đường nào nhận trục
hoành làm trục đối xứng. Chọn câu trả lời đúng: A. y  4  x  3 . B. 2
y  x  2x . C. 2 2
x  y  4x  2 y  0 . D. 2 2
x  y  4x  5  0 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 23
Vấn đề 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
1. Phép đối xứng qua điểm O biến mỗi điểm M thành M  đối xứng với M qua O , có nghĩa
    
là: OM  OM   0 hay OM  O  M  M O M '
hay O là trung điểm của MM .
2. Kí hiệu phép đối xứng tâm: Đ ( O gọi là tâm đối xứng). O
3. Biểu thức tọa độ: x  2x  x
Cho Đ M  M  với I  x ; y  , M  x ; y và M (
 x ; y ) thì: M  I M I I M M  I   M  M 
 y  2y  y  M  I M x   x
Đặc biệt nếu I  O thì M  M  y   y  M  M
4. Điểm O gọi là tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối xứng
tâm ĐO biến hình H thành thành chính nó, tức là: Đ  H    H . O
5. Phép quay là một phép dời hình.
6. Các tính chất: Phép đối xứng tâm:
a) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.
c) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với đoạn thẳng đã cho.
d) Biến tam giác thành tam giác bằng với tam giác đã cho.
e) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn đã cho.
Dạng 1. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng
phép đối xứng tâm Đ I
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép đối xứng Đ biến điểm M  M  I
2. Tìm quỹ tích điểm M .
3. Từ quỹ tích của điểm M , dựa vào tính chất của phép đối xứng để suy ra quỹ tích của điểm M  . B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 27. Cho đường tròn O và một điểm I không nằm trên đường tròn. Với mỗi điểm A thay đổi trên
đường tròn, ta xét hình vuông ABCD có tâm I . Tìm quỹ tích các điểm B , C , D .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 24
Ví dụ 28. Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a . Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng
tam giác đều ABC có tâm là G . Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 29. Cho đường tròn O và A
 BC . Một điểm M thay đổi trên O. Gọi M là điểm đối xứng 1
của M qua A , M là điểm đối xứng của M qua B , M là điểm đối xứng của M qua C. 2 3
Tìm quỹ tích của điểm M . 3
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Dạng 2. Áp dụng phép đối xứng tâm Đ vào dựng hình I
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Quy bài toán dựng hình về bài toán dựng điểm M nào đó phụ thuộc vào hai điều kiện
độc lập   và   
2. Xác định phép đối xứng tâm để tìm điều kiện   gọi là H và điều kiện    gọi là  H . 
3. Điểm M  H  H .   B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 30. Cho ba điểm không thẳng hàng I , J , K . Hãy dựng A
 BC nhận I , J , K lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC , AB , AC .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 25
Ví dụ 31. Cho hai đường tròn O và O cắt nhau tại A và B . Qua A hãy dựng cát tuyến cắt hai 2  1 
đường tròn tại M và N sao cho AM  AN .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 32. Cho hai điểm A , B nằm ở trong 
xOy . Dựng hình bình hành có hai đỉnh A , B đối diện, còn
hai đỉnh kia nằm trên 2 cạnh của góc.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 33. Cho hai đường thẳng a , b phân biệt và điểm C không nằm trên chúng. Hãy xác định hai
điểm A , B lần lượt nằm trên a và b sao cho A  BC đều.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 26
Dạng 3. Áp dụng phép đối xứng tâm Đ vào chứng minh I
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép đối xứng tâm.
2. Tính chất của phép đối xứng tâm biến một hình thành hình bằng nó. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 34. Cho A
 BC với trực tâm H và I là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng ảnh của H
qua phép đối xứng tâm I là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp A  BC .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 35. Hình bình hành MNPQ có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình chữ nhật ABCD . Chứng
minh rằng hai hình này có cùng tâm đối xứng.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Dạng 4. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI x  2x  x
Cho I  x ; y  , M  x ; y và M (
 x ; y ) thì: M  I M
Đ M  M   I   I I M M  M  M 
 y  2y  y  M  I M x   x
Đặc biệt nếu I  O thì M  M  . y   y  M  M B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 36. Cho hai điểm I 1; 2 , M  –2;3 đường thẳng d có phương trình 3x – y  9  0 và C 2 2
: x  y  2x – 9 y  6  0 . Hãy xác định tọa độ của điểm M  , d và (C )  theo theo thứ tự
là ảnh của M , d và C  qua :
a) Phép đối xứng qua gốc tọa độ.
b) Phép đối xứng qua tâm I .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 27
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 3 Bài 24.
Chứng minh rằng: Đ  M   M   Đ (M )   M . I I Bài 25.
Cho hình bình hành ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng kẻ qua O
và vuông góc với AB , cắt AB ở E và cắt CD ở F . Hãy chỉ ra các cặp điểm trên hình vẽ đối
xứng với nhau qua tâmO . Bài 26.
Cho tứ giác ABCE . Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm E . Bài 27.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A –1;3 và đường thẳng d : x – 2 y  3  0 . Tìm ảnh
của A và d qua phép đối xứng tâm O . Bài 28.
Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm I 1; 2 , M  –2;3 đường thẳng d : 3x – y  9  0 và
đường tròn C  2 2
: x  y  2x – 6 y  6  0 . Hãy xác định tọa độ của M , d , và (C )  theo thứ tự
là ảnh của M , d , C  qua:
a) Phép đối xứng qua gốc tọa độ.
b) Phép đối xứng qua tâm I .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 28 Bài 29.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x – 2 y  2  0 và d  : x – 2 y – 8  0 . Tìm
phép đối xứng tâm biến d thành d  và biến trục Ox thành chính nó. Bài 30.
Cho phép đối xứng tâm Đ và đường thẳng d không đi qua O . Hãy nêu cách dựng ảnh d  của O
đường thẳng d qua Đ . Tìm cách dựng d  mà chỉ sử dụng compa một lần và thước thẳng 3 lần. O Bài 31.
Trong các hình: Tam giác đều, tam giác cân, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có tâm đối xứng ? Bài 32.
Chỉ ra tâm đối xứng của các hình sau đây:
a) Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau.
b) Hình gồm hai đường thẳng song song.
c) Hình gồm hai đường tròn bằng nhau. d) Đường elip Bài 33.
Cho đường tròn O; R , đường thẳng  và điểm I . Tìm điểm A trên O; R và điểm B trên
 sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Bài 34.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : ax  by  c  0 và điểm I  x ; y . Phép đối 0 0 
xứng tâm Đ biến đường thẳng  thành đường thẳng  . Viết phương trình của  . I
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 74. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến một đường thẳng a cho trước thành chính no?
A. không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 75. Cho hai đường thẳng song song d và d  . có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng thành chính nó?
A. không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 76. Cho hai đường thẳng song song d và d  . có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến d thành d 
A. không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 77. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d  . có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?
A. không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 78. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d  . có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến d thành d  ?
A. không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 79. Cho hai đường thẳng song song a và b và một đường thẳng c không song song với chúng. Có
bao nhiêu phép đối xứng tâm biến đường thẳng a thành đường thẳng b và biến đường thẳng c thành chính nó?
A. không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 80. Cho bốn đường thẳng a , b , a , b trong đó a // a , b // b và a cắt b . Có bao nhiêu phép đối
xứng tâm biến đường thẳng a thành đường thẳng a và biến mỗi đường thẳng b và b thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 29
Câu 81. Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng? A. đường Elip. B. Đường Hypebol. C. Đường Parabol.
D. Đồ thị hàm số y  sin x .
Câu 82. Trong các hình dưới đây hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng?
A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.
B. Hình gốm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.
C. Hình lục giác đều.
D. Hình gồm một đường tròn và một hình vuông nội tiếp.
Câu 83. Trong các hình dưới đây hình nào không có vô số taam đối xứng?
A. Đồ thị hàm số y  sin x .
B. Đồ thị hàm số y  sin x 1. 1
C. Đồ thị hàm số y  tan x .
D. Đồ thị hàm số y  . x
Câu 84. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép đối xứng tâm biến điểm A5; 2 thành điểm A 3  ; 4
thì nó biến điểm B 1;  1 thành điểm
A. B 1;7 .
B. B 1;6 .
C. B 2;5 . D. B 1; 5   .
Câu 85. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép đối xứng tâm có tâm là điểm gốc tọa độ. Khi đó nó biến
đường thẳng 3x  4 y  13  0 thành đường thẳng
A. 3x  4 y 13  0 .
B. 3x  4 y 13  0 .
C. 3x  4 y 13  0 . D. 3
 x  4 y 13  0 .
Câu 86. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm là điểm I 1;   1 . Khi nó biến đường
thẳng 2x  3y  5  0 thành đường thẳng.
A. 2x  3y  7  0 .
B. 2x  3y  7  0 .
C. 2x  3y  7  0 .
D. 2x  3y  4  0 .
Câu 87. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và b lần lượt có phương trình
3x  4 y 1  0 và 3x  4 y  5  0 . Nếu phép đối xứng tâm biến a thành b thì tâm đối xứng
phải là điểm nào trong các điểm sau đây? A. I 2; 2   .
B. I 2;2 . C. I  2  ; 2 .
D. I 2;0 .
Câu 88. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng? Chọn câu trả lời đúng. A. 3
y  x  x  5 . B. 2
y  sin x x 1 . C. 2
y  2x  3x  1 . D. 3
y  x tan x .
Câu 89. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn C  có phương trình 2 2
x  y  8x 10 y  32  0 . Phương trình đường tròn C đối xứng với C  qua gốc tọa độ
O có phương trình. Chọn câu trả lời đúng. 2 2 2 2
A.  x  4   y  5  9 .
B.  x  4   y  5  4 . 2 2 2 2
C.  x  4   y  5  16 .
D.  x  4   y  5  4 .
Câu 90. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I 2; 
1 và đường thẳng d có phương trình
x  2 y  2  0 . Ảnh của d qua phép đối xứng tâm I là đường thẳng có phương trình. Chọn câu trả lời đúng.
A. x  2 y  6  0 .
B. 2x  y  4  0 .
C. x  2 y  2  0 .
D. x  2 y  3  0 .
Câu 91. Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng? chọn câu trả lời đúng. A. Một. B. Không có. C. Vô số. D. Hai.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 30
Câu 92. Cho đường tròn C  2 2
: x  y  4x  2 y  4  0 và điểm I 2;2 . Phép đối xứng tâm D biến 1
C  thành C . Chọn câu trả lời đúng. 2 2
A. C có tâm I  4  ; 2 .
B. C có phương trình  x  2   y  4  9 . 2 2
C. C có tâm I 4;  2 .
D. C có phương trình  x  2   y  3  9 .
Câu 93. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  có phương trình x  2 . Trong bốn
đường thẳng cho bởi các phương trình sau, đường nào là ảnh của  qua phép đối xứng tâm O .
Chọn câu trả lời đúng. A. y  2  . B. x  2 . C. y  2 . D. x  2  .
Câu 94. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A 0;  1 , B 2;  
1 và parabol  P có phương trình 2
y  x . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm A và B theo thứ tự khi đó  P thành
P có phương trình là. Chọn câu trả lời đúng. A. 2
y  x  6x  4 . B. 2
y  x  4x 10 . C. 2
y  x  8x 12 . D. 2
y  x  4x  8 .
Câu 95. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho  P có phương trình 2
y  x  2x và điểm I 3;  1 .
Phép đối xứng tâm I biến  P thành  P có phương trình là. Chọn câu trả lời đúng. A. 2
y  x 14x  5 . B. 2
y  x 14x  46 . C. 2
y  x  6x  3 . D. 2
y  x  74x 12 .
Câu 96. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I 2; 
1 và tam giác ABC với A1;4 , B  2
 ;3 , C 7;2 . Phép đối xứng tâm I biến trọng tâm G của tam giác ABC thành điểm G
có tọa độ là. Chọn câu trả lời đúng. A. G  2  ;5 .
B. G 2;15 .
C. G 2;  5 . D. G  1  ; 4 .
Câu 97. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  có phương trình x  y  4  0 . Hỏi
trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau, đường thẳng nào có thể biến thành  qua
một phép đối xứng tâm. Chọn câu trả lời đúng.
A. 2x  2 y 1  0 .
B. 2x  2 y  3  0 .
C. 2x  y  4  0 .
D. x  y 1  0 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 31
Vấn đề 4. PHÉP QUAY
1. Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác  không đổi. Phép biến hình
biến điểm O thành điểm O , biến mỗi điểm M khác O thành M  sao cho OM  OM  và
OM ,OM    được gọi là phép quay tâm O góc quay  . Kí hiệu: Q . O,   
 OM ,OM    Q M  M   O,       OM   OM  
2. Phép quay là một phép dời hình (có tất cả các tính chất của phép dời hình).
3. Các tính chất: Phép quay:
a) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng.
c) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với đoạn thẳng đã cho.
d) Biến tam giác thành tam giác bằng với tam giác đã cho.
e) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn đã cho.
4. Các chú ý:  Q
d  d  nếu:
∗ 0    a thì góc giữa d và d bằng  O,    
∗ b     thì góc giữa d và d’ bằng   
 Nếu quay theo chiều dương thì   0 , ngược lại   0 . Phép quay Q
là phép đồng nhất, Q
là phép đối xứng tâm O .
I ,k 2 
I ,2k  1  
Dạng 1. Xác định phép quay
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Phép biến hình biến AM thành A M  .
2. AM  AM  và  AM , A M    . B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 37. Cho hình vuông ABCD có các đỉnh vẽ theo chiều dương. Gọi M , N lần lượt là trung điểm  
của AB , BC . Xác định phép quay biến AM thành NC .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 32
Dạng 2. Tìm ảnh của một hình  H  cho trước qua phéo quay Q
O, 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Lấy bất kỳ M   H 
2. Dựng ảnh M  của M qua phép quay Q
OM  OM  và OM ,O M 
  .. O, 
3. Dựa vào tính chất của phép quay để tìm tập hợp các điểm M  . Từ đó suy ra hình H  . B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 38. Cho phép quay Q
. và đường thẳng d không đi qua O . O, 
a) Gọi H là hình chiếu của O trên d . Dựng ảnh H  của H qua phép quay Q . O, 
b) Nêu cách dựng đường thẳng d  là ảnh của d qua phép quay Q . O, 
c) Có nhận xét gì về góc tạo bởi hai đường thẳng d , d trong các trường hợp: 0    90 và
90    180 .
d) Nhận xét gì về hai đường thẳng d , d khi   180 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 39. Cho hình vuông ABCD tâmO . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , OA . Tìm ảnh của A
 MN qua phép quay Q . O,90
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 33
Dạng 3. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm)
bằng phép quay Q
O, 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép quay biến điểm M  M 
2. Xác định quỹ tích điểm M .
3. Từ quỹ tích của điểm M , dựa vào tính chất của phép quay để suy ra quỹ tích của điểm M  . B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 40. Cho điểm I cố định. Gọi M , M  là hai điểm sao cho I
 MM  vuông cân tại I .
a) Cho M chạy trên đường tròn O. Tìm quỹ tích các điểm M .
b) Cho M chạy trên đường thẳng d . Tìm quỹ tích các điểm M 
c) Gọi H là hình chiếu của I lên MM  . Tìm quỹ tích các điểm H .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 41. Cho ba điểm A , B , C cố định trên đường tròn O và điểm M thay đổi trên O. Gọi M 1
đối xứng với M qua A , M đối xứng với M qua B , M đối xứng với M qua C . Tìm quỹ 1 1 3 2 tích các điểm M . 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 34
Dạng 4. Áp dụng phép quay Q vào dựng hình
O, 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Quy bài toán dựng hình về bài toán dựng điểm M nào đó phụ thuộc vào hai điều kiện
độc lập   và    .
2. Xác định phép quay để tìm điều kiện   gọi là H và điều kiện    gọi là H .  
3. Điểm M  H  H .   B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 42. Dựng tam giác đều có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng song song cho trước.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 43. Cho hai đường tròn O; R và O ; R cắt nhau tại hai điểm A và B . Hãy dựng một đường 1 1 
thẳng d qua A , cắt O; R và O ; R lần lượt tại M , M sao cho A là trung điểm MM . 1 1  1 1
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 44. Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trên cạnh hình vuông. Tìm các điểm N , P nằm
trên cạnh hình vuông sao cho tam giác MNP là tam giác đều.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 35
Dạng 5. Áp dụng phép quay Q vào chứng minh
O, 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép quay Q . O, 
2. Tính chất của phép quay biến một hình thành hình bằng nó. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 45. Cho O
 AB vuông cân và O
 AB có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn AB và nằm
ngoài đoạn thẳng A B
 . Gọi G và G lần lượt là trọng tâm của các tam giác OAA , OBB .
Chứng minh GOG là tam giác vuông cân.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ AK BL CM
Ví dụ 46. Cho A
 BC . Trên các cạh AB , BC , CA lấy các điểm K , L , M sao cho   . KB LC MA
Nối AL , BM , CK các đường thẳng này đôi một cắt nhau tạo thành một tam giác. Chứng
minh rằng tam giác đó là tam giác đều và có tâm trùng với tâm của A  BC
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 36
Dạng 6. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép quay Q
: M  M  . O, 
2. I   thì IM  IM .
3. Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác:
Với ba điểm A , B , C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC . B. BÀI TẬP MẪU Ví dụ 47. Cho A
 BC , M là điểm tùy ý trong tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho
MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 48. Cho A
 BC đều và một điểm M bất kì. Chứng minh rằng BM  CM  AM . Khi nào đẳng thức xảy ra ?
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 37
Dạng 7. Tích của các phép quay
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng tích của các phép biến hình: M M ' M '' f g g f 0 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 49. Cho hai phép quay Q , Q có tâm quay là A và B phân biệt và có cùng góc quay 90 . Gọi A B
F  Q  Q và F  Q  Q . Chứng minh rằng F , F  là những phép đối xứng tâm. Nêu rõ A B B A
cách xác định tâm đối xứng của các phép đó.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 50. Cho A
 BC nội tiếp trong đường tròn tâmO , có trực tâm H và điểm M thuộc đường tròn.
Gọi M , M , M là các điểm lần lượt đối xứng với M qua các cạnh AB , BC , AC . Chứng 1 2 3
minh các điểm M , M , M và H thẳng hàng. (Gọi là đường Steiner) 1 2 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 38
Dạng 8. Biểu thức tọa độ của phép quay
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay Q : Q
: M x ; y  M (  x ; y )  O,   O,   
Đặt OM  r và Ox,OM   .
x  r cos y Ta có: 
y  r sin   M ' y'
x  r cos 
   Mà O .
x OM       M   M y  r sin y 
    
 x  x cos  y sin 
 M   O x' x x
y  x sin  y cos 
 x  x cos  y sin  Nếu Q : M  x
 ; y  M (x; y) thì M O,    
 y  xsin  ycos  B. BÀI TẬP MẪU 
Ví dụ 51. Trong mặt phẳng Oxy , cho phép quay tâm O , góc quay . Tìm ảnh qua phép quay 4 Q
của: a) Điểm A2;2
b) Đường tròn C   x 2 2 : – 1  y  4    O;    4 
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 39
Ví dụ 52. Cho điểm A2;2 và 2 đường thẳng d : x  y – 2  0, d : x  y – 8  0. Tìm tọa độ các điểm 1 2
B và C lần lượt thuộc d và d sao cho A
 BC vuông cân tại A . 1 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 4 Bài 35. Cho A
 BC và điểm O . Xác định ảnh của tam giác đó qua Q . O,60 Bài 36. Cho A
 BC đều, tâm O .
a) Xác định ảnh của A  OB qua Q .
b) Xác định ảnh của A  OB qua Q .  A,90 O,120 Bài 37.
Xem hình bên, tìm ảnh của A  MN qua Q . O,90 A M B Bài 38.
Cho hình vuông ABCD tâm O . N O
a) Xác định ảnh của A qua Q .  A,90
b) Xác định ảnh của BC qua Q . O,90 D C Bài 39.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 2; 
1 và đường thẳng d : x  y – 2  0. Tìm ảnh của
A và d qua Q
( O là gốc tọa độ). O,90
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 98. Cho hai đường thẳng bất kỳ d và d  . Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành
đường thẳng d ?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 40
Câu 99. Cho hai đường thẳng song song a và a , một đường thẳng c không song song với chúng. Có
bao nhiêu phép quay biến đường thẳng a thành đường thẳng a và biến đường thẳng c thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 100. Cho bốn đường thẳng a , b , a , b trong đó a // a , b // b và a cắt b . Có bao nhiêu phép quay
biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a và b ?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 101. Cho tam giác đều ABC với trọng tâm G . Phép quay tâm G với góc quay nào dưới đây biến
tam giác ABC thành chính nó? A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 120 .
Câu 102. Cho hình vuông ABCD có tâm O . Phép quay tâm O với góc quay nào dưới đây thì biến hình
vuông ABCD thành chính nó? A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 120 .
Câu 103. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A1;0 thành điểm A0  ;1 .
Khi đó nó biến điểm M 1;   1 thành điểm A. M  1  ;   1 . B. M 1  ;1 . C. M   1   ;1 .
D. M 1;0 .
Câu 104. Cho hình vuông ABCD trong đó A1;  1 , B  1  ;  1 , C  1  ;   1 , D 1;   1 . Xét phép quay    Q ; O 
 . Giả sử hình vuông AB C  D
  là ảnh của ABCD qua phép quay đó. Gọi S là diện  4 
tích phần hình vuông AB C  D
  nằm ngoài hình vuông ABCD . Tính S .
A. S  6  4 2 .
B. S  12  8 2 . C. S  1 . D. S  2 .
Câu 105. Cho phép quay Q O;  biến điểm A thành điểm M và các khẳng định sau:
a) O cách đều A và M .
b) O thuộc đường tròn đường kính AM . c)  AOM  
Số khẳng định đúng là: A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 .
Câu 106. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 1; 
1 . Hỏi trong bốn điểm được cho ở các phương án dưới
đây, điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O , góc quay 45 .
A. A 1;0 .
B. B 0; 2  .
C. C  2;0 . D. D  1  ;  1 .
Câu 107. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  ;
x y  . Phép quay Q O;  biến điểm M thành điểm M ' .
Tọa độ điểm M  là:
A. M  x cos  y sin; x sin  y cos  .
B. M  y cos; x sin  .
C. M  x cos  y sin; x sin  y cos  .
D. M  x cos; y sin  .
Câu 108. Cho tam giác đều ABC có tâm O và các đường cao AA , BB , CC (các đỉnh của tam giác
ghi theo chiều quay của kim đồng hồ). Ảnh của đường cao AA qua phép quay Q O; 240 là: A. BB .
B. Một đoạn thẳng qua O và song song BC . C. AA . D. CC .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 41
Câu 109. Cho hình vuông tâm O . Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O , góc quay  0    2  biến
hình vuông đã cho thành chính nó. A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 110. Xét phép quay tâm O , góc quay  với   k 2 , k  Z . Hỏi có bao nhiêu điểm biến thành
chính nó qua Q O;  đã cho. A. 1. B. Vô số. C. Không có D. 2 .
Câu 111. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng a : 2x  y  5  0 và b : x  2 y  3  0 . Nếu có một
phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay đó có thể là góc
nào trong các góc cho dưới đây? A. 45 . B. 90 . C. 120 . D. 60 .
Câu 112. Cho hai đường tròn O và O bằng nhau, mỗi đường tròn đi qua tâm của đường tròn kia,
hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm ,
A B . Đường cát tuyến đi qua giao điểm A của chúng cắt
đường tròn tại M và đường tròn kia tại N . Góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại M và N của hai đường tròn bằng: A. 60 . B. 45 . C. 120 . D. 90 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 42
Vấn đề 5. PHÉP DỜI HÌNH
VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
1. Phép dời hình: Xem vấn đề 1
2. Hình bằng nhau
 Hai hình gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
 Hai hình gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
Dạng 1. Sử dụng tọa độ cho phép dời hình
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cần nhớ biểu thức tọa độ của các pháp dời hình đã học. Khi đề bài đề cập đến phép dời
hình nào thì sử dụng biểu thức tọa độ của phép đó. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 53. Cho các điểm A 3  ; 2 , B  4  ;5 , C  1  ;3 .
a) Chứng minh rằng các điểm A 2;3 , B5;4 , C3; 
1 theo thứ tự là ảnh của các điểm A ,
B , C qua phép quay tâm O góc 9  0 .
b) Gọi tam giác AB C
  là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 9
 0 và phép đối xứng trục Ox . Tìm tọa độ các đỉnh
của tam giác AB C   .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 43
Dạng 2. Chứng minh hai hình (H) và (H) bằng nhau
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xác định phép dời hình biến hình H  thành  H  và ngược lại. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 54. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi I là trung điểm của AC và BD . Gọi E , F theo thứ tự là
trung điểm của AD và BC . Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 55. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi E, F, H , K , O, I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, CD, D ,
A KF , HC, KO . Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 44
Ví dụ 56. Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến A
 BC thành tam giác A  B  C   thì nó
cũng biến trọng tâm của A
 BC tương ứng thành trọng tâm của A  B  C   .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 5 Bài 40.
Chứng minh rằng hai hình chữ nhật có cùng kích thước (cùng chiều dài và cùng chiều rộng) thì bằng nhau. Bài 41. Chứng minh rằng:
a) Hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau thì bằng nhau.
b) Hai góc có cùng số đo thì bằng nhau.
c) Hai đường tròn có bán kính bằng nhau thì bằng nhau. Bài 42. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
b) Hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
c) Hai tứ giác lồi có cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau không ? Bài 43.
Đa giác lồi n cạnh gọi là n - giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc
của nó bằng nhau. Chứng minh rằng hai n – giác đều bằng nhau khi và chỉ khi chúng có các cạnh bằng nhau. Bài 44.
Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình bằng nhau. Bài 45.
Cho hai tam giác ABC và A B  C
  có các cạnh tương ứng bằng nhau: AB  AB , BC  B C  ,
AC  AC . Chứng minh rằng có duy nhất một phép dời hình f biến A thành A , B thành B
và C thành C .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 45
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 113. Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.
Câu 114. Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt nhau là phép nào trong các phép dưới đây
A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.
Câu 115. Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng vuông góc là phép nào trong các phép dưới đây
A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.
Câu 116. Hợp thành của hai phép tịnh tiến là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục.
B. Phép đối xứng tâm.
C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.
Câu 117. Hợp thành của hai phép đối xứng tâm là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục.
B. phép đối xứng tâm.
C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.
Câu 118. Khi nào thì hợp thành của hai phép tịnh tiến T và T là phép đồng nhất? u v         A. Không khi nào.
B. Khi u  v  0 .
C. Khi u  v .
D. Khi u  v  0 .
Câu 119. Khi nào thì hợp thành của hai phép đối xứng trục Đ và Đ là phép đồng nhất? a b
A. Khi hai đường thẳng a và b trùng nhau.
B. Khi hai đường thẳng a và b song song.
C. Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. D. Không khi nào.
Câu 120. Khi nào thì hợp thành của hai phép quay Q O,  và Q O,  là phép quay đồng nhất?
A. Khi     90 .
B. Khi     k với k nguyên.
C. Khi     2k với k nguyên. D. Không khi nào.
Câu 121. Khi nào thì hợp thành của hai phép quay Q O,  và Q O,  là phép đối xứng tâm
A. Khi     0 .
B. Khi     k với k nguyên.
C. Khi     2k với k nguyên. D. Không khi nào.
Câu 122. Cho hình vuông ABCD .Gọi phép biến hình F là hợp thành của hai phép đối xứng trục Đ AC và Đ
. Khi đó F là phép nào trong các phép dưới đây? BD 
A. Phép tịnh tiến theo véctơ AC . 
B. Phép quay tâm D với góc quay . 2
C. Phép đối xứng qua giao điểm của AC và BD .
D. Phép đối xứng qua đường thẳng BD .
Câu 123. Gọi F là hợp thành của hai phép đối xứng tâm Đ và Đ . Khi đó F là O O 
A. Phép đối xứng qua trung điểm của OO .
B. Phép tịnh tiến theo véctơ 2OO . 
C. Phép tịnh tiến theo véctơ OO .
D. Phép đối xứng qua trung trực của OO .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 46
Câu 124. Cho hình chữ nhật ABCD với M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Gọi F là hợp 
thành của phép tịnh tiến T theo véctơ AB và phép đối xứng qua đường thẳng BC . Khi đó F
là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng qua điểm M .
B. Phép đối xứng qua điểm N .
C. Phép đối xứng qua tâm O của hình chữ nhật.
D. Phép đối xứng qua đường thẳng MN .
Câu 125. Cho hình vuông ABCD . Gọi Q là phép quay tâm A biến điểm B thành điểm D . D là phép
đối xứng qua đường thẳng AD . Khi đó hợp thành của hai phép Q và D là
A. Phép đối xứng qua tâm hình vuông.
B. Phép đối xứng qua đường thẳng AC .
C. Phép đối xứng qua đường thẳng AB .
D. Phép đối xứng qua điểm C .
Câu 126. Cho hình vuông ABCD . Gọi Q là phép quay tâm A biến B thành D , Q là phép quay tâm C
biến B thành D . Hợp thành của hai phép Q và Q là  
A. Phép tịnh tiến theo véctơ AB .
B. Phép tịnh tiến theo véctơ 2AB .
C. Phép đối xứng qua đường thẳng AB .
D. Phép đối xứng qua điểm C .
Câu 127. Cho hình vuông ABCD . Gọi Q là phép quay tâm A biến B thành D , Q là phép quay tâm C
biến B thành D . Hợp thành của hai phép Q và Q là  
A. Phép tịnh tiến theo véctơ AB .
B. Phép tịnh tiến theo véctơ 2AD .
C. Phép đối xứng qua đường thẳng AB .
D. Phép đối xứng qua điểm C .
Câu 128. Cho hình vuông ABCD , I là trung điểm cạnh AB . Gọi phép biến hình F là hợp thành của
hai phép: Phép tịnh tiến T và phép đối xứng tâm D . Khi đó F là phép nào trong các phép AB t sau đây? 
A. Phép đối xứng qua điểm A .
B. Phép tịnh tiến theo véctơ AC . 
C. Phép quay tâm D với góc quay .
D. Phép đối xứng qua đường thẳng BD . 2
Câu 129. Cho hình vuông ABCD . Gọi phép biến hình F là hợp thành của hai phép đối xứng trục Đ AB và Đ
. Khi đó F là phép nào trong các phép duới đây? CD 
A. Phép đối xứng qua điểm A .
B. Phép tịnh tiến theo véctơ 2AD . 
C. Phép đối xứng qua điểm B .
D. Phép tịnh tiến theo véctơ BC .
Câu 130. Cho tam giác cân ABC đỉnh A , đường cao AH , với 
BAC   . Gọi phép biến hình F là hợp
thành của hai phép đối xứng trục Đ và Đ
. Khi đó F là phép nào trong các phép sau đây? AB AH
A. Phép quay Q  , A   .
B. Phép đối xứng qua đường thẳng AC . 
C. Phép đối xứng qua điểm A .
D. Phép tịnh tiến theo véctơ BC .
Câu 131. Cho tam giác cân ABC đỉnh A . Nếu phép dời hình biến điểm B thành điểm C và biến điểm
A thành chính nó thì đó là
A. Phép đối xứng qua trung trức của BC .
B. Phép quay tâm A góc quay  AB, AC  .
C. Phép đối xứng qua trung trực của BC hoặc quay tâm A góc quay  AB, AC  .
D. Phép đối xứng qua trung điểm của cạnh BC .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 47
Câu 132. Cho tam giác cân ABC đỉnh A . Nếu phép dời hình biến điểm B thành điểm C , biến điểm C
thành điểm B thì đó là
A. Phép đối xứng qua trung trực của BC .
B. Phép đối xứng qua trung điểm của cạnh BC .
C. Phép quay tâm A góc quay  AB, AC  .
D. Phép đối xứng qua trung trực của BC hoặc đối xứng qua trung điểm của BC .
Câu 133. Cho hình thoi ABCD có 
A  60 . Nếu phép dời hình biến điểm A thành điểm B và điểm B
thành điểm D thì nó biến điểm D thành điểm. A. Điểm C . B. Điểm A .
C. Điểm C hoặc điểm A .
D. Điểm đối xứng với D qua C .
Câu 134. Cho hình chữ nhật ABCD , tâm O với M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB ,
BC , CD , DA . Nếu phép đơi hình biến điểm A thành điểm N , M thành điểm O và O thành
P thì nó biến điểm Q thành A. Điểm D . B. Điểm C . C. Điểm Q . D. Điểm B .
Câu 135. Cho hình vuông ABCD tâm O với M , N , P , Q lần lượt là các trung điểm các cạnh AB ,
BC , CD , DA . Nếu phép dời hình biến điểm A thành điểm M , B thành P thì nó biến điểm M thành A. Điểm O . B. Điểm C . C. Điểm Q . D. Điểm B .
Câu 136. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O với M , N , P , Q lần lượt là các trung điểm cạnh AB ,
BC , CD , DA . Nếu phép dời hình biến tam giác AMQ thành tam giác NOP thì nó biến điểm O thành A. Điểm D . B. Điểm B . C. Điểm Q . D. Điểm C .
Câu 137. Cho hình H gồm có lục giác đều ABCDEF tâm I và hình thoi tâm J . Chọn mệnh đề đúng?
A. Không tồn tại đường thẳng nào chia H thành hai hình bằng nhau.
B. Đường thẳng qua I và J chia H thành hai hình bằng nhau.
C. Đường trung trực của đoạn thẳng IJ chia H thành hai hình bằng nhau.
D. Có vô số đường thẳng chia H thành hai hình bằng nhau.
Câu 138. Hình H gồm ba đường tròn O; R , O ; R và O ; R đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Hình
E bằng hình H. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Hình E gồm ba hình tròn lồng nhau.
B. Hình E gồm hai đường tròn tiếp xúc trong và hình tròn còn lại không có điểm chung với hai đường tròn đó.
C. Hình E gồm hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau và cùng nằm trong hình tròn còn lại.
D. Hình E gồm ba đường tròn đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. 2 x
Câu 139. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Gọi C  là đồ thị của hàm số y  f  x  . Trong các hàm x  2
số sau hàm số nào có đồ thị bằng đồ thị C  ? 2 x 17x  70 2 x 17x  80 2 x 15x  70 2 x 17x  70 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x  6 x  6 x  6 x  6
Câu 140. Cho phép quay Q O;  biến điểm M thành điểm M  . Chọn câu sai trong các câu sau?
A. Phép quay Q O;  là phép dời hình
B. Phép quay Q O;  có O là điểm bất động.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 48
 
C. Ta luôn có OM  OM  và OM ;OM   . D. Ta luôn có OM  OM  và 
MOM   .
Câu 141. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P có phương trình 2
y  ax Trong các parabol sau
parabol nào bằng parabol  P ? A. 2
y  ax  b . x B. 2
y  ax  bx  c a  0. C. 2 y  ax 1
D. y  bx  . c
Câu 142. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi C  là đồ thị hàm số 3
y  x  3x 1. Trong các hàm số sau
hàm số nào có đồ thị khác đồ thị C  ? A. 3 2
y  x  3x  6x 1. B. 3 2
y  x  3x  6x 1. C. 3 2
y  x  3x 12x 1. D. 3 2
y  x  3x  6x  9. 2 2
Câu 143. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C  có phương trình  x  
1   y  2  4 . Hỏi
phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua trục Oy và phép 
tịnh tiến theo véctơ v 2;3 biến C  thành đường tròn nào trong các đường tròn sau? 2 2
A.  x  2   y  6  4. B. 2 2 x  y  4. 2 2 2 2
C.  x  2   y  3  4. D.  x   1   y   1  4.
Câu 144. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x  y  2  0 . Hỏi phép dời
hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua tâm O và phép tịnh tiến theo 
véctơ v 3; 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
A. x  y  2  0.
B. x  y  3  0.
C. 3x  3y  2  0.
D. x  y  2  0.
Câu 145. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào ĐÚNG?
A. Đường thẳng đi qua tâm của hình bình hành chia hình đó thành hai hình bằng nhau.
B. Đường thẳng đi qua tâm của hình vuông chia hình vuông thành hai hình bằng nhau.
C. Đường thẳng đi qua tâm của hình tròn chia hình tròn đó thành hai hình bằng nhau.
D. Đường thẳng đi qua tâm của tam giác đều chia tam giác đó thành hai hình bằng nhau.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 49
Vấn đề 6. PHÉP VỊ TỰ
1. Định nghĩa
Cho điểm O cố định và một số k không đổi, k  0 . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành
M  sao cho  được gọi là phép vị tự tâm O , tỉ số k. Kí hiệu: V O;k   
V O; k M   M   OM   kOM 
Khi k  0 : M và M  nằm cùng phía đối với điểm O . 
Khi k  0 : M và M  nằm khác phía đối với điểm O . 
Khi k  –1 : M và M  đối xứng nhau qua tâm O ( Đ ) O  Khi k  1:
M  M  ( M là điểm bất biến) 2. Tính chất
Định lí 1: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến điểm M , n lần lượt thành hai điểm M  và N  thì a và b
Định lí 2: Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi
thứ tự của 3 điểm đó.
Hệ quả: Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với
đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài
được nhân với a , biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là b ,
biến góc thành góc bằng nó.
Định lí 3: Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn thành đường tròn có bán kính gấp  lần bàn kính của nó.
Dạng 1. Xác định phép vị tự
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Phép biến hình f biến AM thành A M  .
2.  , với k  0 và k  1.
3. f là phép vị tự V O;k  với tâm O là giao điểm của hai đường thẳng AA và MM  . B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 57. Cho A
 BC . Gọi M , N , P lần lượt là tung điểm của các cạnh BC , AC và AB . Chứng minh
rằng có một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác MNP .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 50
Ví dụ 58. Cho hai tam giác ABC và A B  C
  có AB//A B
  , BC // B C
  và AC //AC sao cho các đường
thẳng AA , BB , CC đồng qui tại O . Chứng minh rằng có một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A B  C  .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Dạng 2. Áp dụng phép vị tự vào chứng minh
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép vị tự V O;k 
2. Áp dụng tính chất của phép vị tự. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 59. Cho hai đường tròn O ,(O )
 có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một đường
tròn (O) tiếp xúc ngoài với hai đường tròn O và (O )
 lần lượt tại B,C . Chứng minh rằng
đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 60. Cho hình thang ABCD  AB//CD. Chứng minh rằng các trung điểm của hai đáy, giao điểm của
hai đường chéo, giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên hình thang thẳng hàng.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 51
Dạng 3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự V  I ;k  với I  x ; y : 0 0   
Ta có V  I;k  : M  x; y  M (  x ;  y )
  OM   kOM
x  x  k x  x
x  k x  x  x  0  0    0  0    
y  y  k y  y
y  k y  y  y   0  0     0  0 x  kx
Đặc biệt, khi I  O 0;0 thì  y  ky  B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 61. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho phép vị tự tâm I 1;3, tỉ số k  –2 . Tìm ảnh của các
đường sau qua V  I;k  :
a) Đường thẳng d : 2x  y – 1  0. 2 2
b) Đường tròn C  :  x – 2   y   1  3 c) Parabol P 2
: y  x – 3x  2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 52 
Ví dụ 62. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn u và C 2 2
: x  y  2 y 11  0 . Xác
định phép vị tự biến đường tròn C  thành đường tròn C .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 5 Bài 46.
(Định lí Gergonne) Cho A
 BC ngoại tiếp đường tròn  I . Gọi P,Q, R lần lượt là các tiếp
điểm của đường tròn  I  với các cạnh BC, AC và AB . Chứng minh rằng: PI QI RI
a) AP , BQ , CR đồng qui. b)    1 PA QB RC Bài 47.
(Định lí Pascal) Trên đường tròn O lấy các điểm ,
A B,C, D, E, F sao cho AB cắt CD tại R ,
CD cắt EF tại P , EF cắt AB tại Q . Giả sử AF cắt CD tại I , AB cắt DE tại J và CB
cắt EF tại H . Chứng minh: I , J , H thẳng hàng. Bài 48.
(Bài toán Phecmar) Cho hình chữ nhật ABCD với AB  2a , BC  a . Về phía ngoài hình chữ
nhật dựng nửa đường tròn đường kính AB. Các đường thẳng MD và MC cắt cạnh AB tại N và L . Tính 2 2
AL  BN . Bài 49.
Cho đường tròn O tiếp xúc trong với đường tròn O tại A . Tiếp tuyến bất kì của đường 1 
tròn O tại M cắt đường tròn O tại hai điểm C và D . Chứng minh   DAM  MAC 1  . Bài 50. Cho A
 BC nội tiếp đường tròn tâm O , M là trung điểm của cạnh BC , B và C di động trên
O , A cố định.
a) Tìm quỹ tích trọng tâm G của A  BC . b) Tia phân giác 
BAC cắt BC tại I và cắt đường tròn O tại D . Tìm quỹ tích điểm G khi
I và D cố định. Bài 51. Cho A
 BC . Tìm trên cạnh AB điểm E , trên cạnh AC điểm F sao cho BE  EF  FC . 1 Bài 52.
Trong mặt phẳng Oxy , cho phép vị tự tâm O , tỉ số k 
. Tìm ảnh của các đường sau qua 2 phép vị tự trên: 2x 1
a) Đường thẳng d : 3x – 2 y  1  0
b) Đường cong  S  : y  1 x
c) Đường tròn C  2 2
: x  y  2x  4 y 1  0 2 2 2 2 Bài 53.
Cho hai đường tròn C : x – 1  y – 3  1 và C x – 4  y – 3  4 . Xác định phép 2      1     
vị tự biến đường tròn C thành đường tròn C . 2  1 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 53
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 146. Cho phép vị tự tỉ số k  2 biến điểm A thành điểm B và biến điểm C thành điểm D . Khi đó        
A. AB  2CD .
B. 2AB  CD .
C. 2AC  BD .
D. AC  2BD .
Câu 147. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD mà AB  3CD . Phép vị tự biến điểm A thành
điểm C và biến điểm B thành điểm D có tỉ số là 1 1 A. k  3 . B. k   . C. k  . D. k  3 . 3 3
Câu 148. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d  . Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành d  ?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Vô số phép.
Câu 149. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d  có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số k  100 biến đường
thẳng d thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 150. Cho hai đường thẳng song song d và d  có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số k  100 biến đường
thẳng d thành d ?
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 151. Cho hai đường thẳng song song d và d  và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu
phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thẳng d
A. Không có phép nào.
B. Có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 152. Cho hai đường tròn bằng nhau  ; O R và  ;
O R với tâm O và O ' phân biệt. Có bao nhiêu phép vị tự biến  ; O R thành  ; O R ?
A. Không có phép nào.
B. Chỉ có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 153. Cho đường trong  ;
O R . Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến  ;
O R thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Chỉ có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 154. Cho đường trong  ;
O R . Có bao nhiêu phép vị tự biến  ;
O R thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Chỉ có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
Câu 155. Cho ABC có trọng tâm G , gọi A , B , C lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB .
Với giá trị nào của k thì phép vị tự V G;k  biến tam giác ABC thành tam giác AB C   ? 1 1 A. k  2 . B. k  2 . C. k  . D. k   . 2 2
Câu 156. Cho hai đường tròn C  và C không bằng nhau và không đồng tâm, cũng tiếp xúc với đườn
thẳng d . Có bao nhiêu phép vị tự biến C  thành C và biến d thành chính nó?
A. Không có phép nào.
B. Chỉ có một phép duy nhất.
C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 54
Câu 157. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự tâm I 3; 
1 có tỉ số k  2 . Khi đó nó biến điểm M 5;4 thành
A. Điểm M  1  ; 1 
1 . B. Điểm M  7  ;1 
1 . C. Điểm M 1;9 .
D. Điểm M  1; 9   .
Câu 158. Trong mặt phẳng tọa độ cho phép vị tự tỉ số k  2 và biến điểm A1; 2   thành điểm A 5  
;1 . Khi đó nó biến điểm B 0  ;1 thành
A. Điểm B 0; 2 .
B. Điểm B 12; 5
  . C. Điểm B 7  ; 7 .
D. Điểm B 11;6 . 1
Câu 159. Trong mặt phẳng tọa độ cho phép vị tự tâm I 1 
;1 tỉ số k   . Khi đó nó biến đường thẳng 3
5x  y  1  0 thành đường thẳng có phương trình:
A. 15x  3y  10  0 .
B. 15x  3y  23  0 . C. 15x  3y  23  0 . D. 5x  3y  8  0 .
Câu 160. Cho hai đường thẳng song song và a và b lần lượt có phương trình x  4 y 1  0 Và
x  4 y  3  0 . Phép vị tự có tâm O 0;0 biến đường thẳng a thành đường thẳng b phải có tỉ
số vị tự k bằng bao nhiêu? 1 1 A. k  3 . B. k   . C. k  . D. k  3 . 3 3 1
Câu 161. Cho phép vị tự V tâm O có tỉ số 2 và phép vị tự V  có tâm O tỉ số
. Hợp thành của V và 2 V  là
A. Phép đối xứng qua trung điểm của OO .
B. Phép đối xứng qua đường thẳng trung trực của OO . 1 
C. Phép tịnh tiến theo véctơ OO . 2 
D. Phép tịnh tiến theo véctơ OO .
Câu 162. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai parabol  P và Q có phương trình lần lượt là: 2 y  12x và 2 y  4
 x . Nếu V O; k  là phép vị tự biến  P thành Q thì tỉ số của phép vị tự này là bao nhiêu? 1 1 A. k  2 . B. k   . C. k  3 . D. k   . 2 3
Câu 163. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol  P có phương trình là 2
y  8x , gọi F là
tiêu điểm của  P . Phép vị tự V O;  4 biến F thành F  có tọa độ là bao nhiêu? Chọn câu trả lời đúng. A.  8  ; 0 . B. 8; 0 . C.  1  ; 0 . D.  4  ; 0 .
Câu 164. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A 1  ; 4; B  3
 ; 2; C 7; 0.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Phép vị tự V O;  2 biến điểm G thành điểm G có tọa độ là bao nhiêu? A.  4  ; 2 . B.  2  ;  4 . C. 4; 6 . D. 6;  8 .
Câu 165. Cho hai đường tròn C  và T  tiếp xúc với nhau tại A . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Nếu C  và T  tiếp xúc trong thì A là tâm vị tự trong của hai đường tròn.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 55
B. Hai đường tròn luôn có hai tâm vị tự (trong và ngoài).
C. Điểm A là một tâm vị tự của hai đường tròn.
D. Nếu C  và T  tiếp xúc ngoài thì A là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn.
Câu 166. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M  2
 ; 4. Hỏi phép vị tự V O;  2 biến M
thành điểm nào trong các điểm sau ? A. A  8  ; 4 .
B. C 4;  8 . C. B  4  ;  8 .
D. D 4; 8 .
Câu 167. Để chứng minh rằng phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn một học sinh lập
luận theo ba bước như sau:
Bước 1: Giả sử V O; k  là phép vị tự tâm O tỉ số k . Ta xét đường tròn  I; R .  
Xác định điểm I ' là ảnh của I qua phép vị tự V O; k  tức là: OI '  kOI thì I ' là một điểm cố định.
Bước 2: Với M là một điểm bất kì ta xác định điểm M ' là ảnh của M qua phép vị tự  
V O; k  tức là: OM '  kOM . Suy ra I ' M '  kIM .
Bước 3: Do đó: M   I; R  I 'M '  kIM khi và chỉ khi M ' thuộc đường tròn  I '; kR.
Vậy phép vị tự V O; k  biến đường tròn  I; R thành đường tròn  I '; kR.
Hỏi cách chứng minh trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Sai ở bước 3. B. Sai ở bước 1. C. Sai ở bước 2.
D. Chứng minh hoàn toàn đúng.
Câu 168. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol  P có phương trình: 2x  2y  0 . Phép vị tự  1  V ; O  
 biến parabol  P  thành parabol  P ' có phương trình:  2  A. 2
y  2x  x  2 . B. 2
y  x  4x  2 . C. 2 y  4  x  x . D. 2
y  2x  x  4 .
Câu 169. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn T  có phương trình:
 x  2   y  2 2 1
 4 . Phép vị tự V O; 4 biến đường tròn T  thành đường tròn T ' có phương trình là 2 2 2 2
A.  x 12   y  8  16 .
B.  x  8   y  4  64 . 2 2 2 2
C.  x  8   y  4  64 .
D.  x  4   y  2  16 .
Câu 170. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I 1; 0 và parabol  P có phương trình: 2
y  4x . Phép vị tự V  I; 2 biến parabol  P thành parabol  P ' có phương trình là: A. 2 y  4   x   1 . B. 2
y  2 x   1 . C. 2
y  8 x   1 . D. 2
y  4x  3 .
Câu 171. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x  y  2  0. Hỏi phép vị tự tâm
O tỉ số k  2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau ?
A. 2x  2 y  4  0 .
B. x  y  4  0 .
C. x  y  4  0 .
D. 2x  2 y  0 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 56
Vấn đề 7. PHÉP ĐỒNG DẠNG
1. Định nghĩa
Một phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng với tỉ số k k  0 nếu với hai điểm bất kì
M và N lần lượt có ảnh là M , N  thì M N
   kMN . 2. Tính chất
a) Mọi phép đồng dạng f , tỉ số k k  0 là tích của một phép vị tự tỉ số k và một phép dời hình.
Đặc biệt: Phép đồng dạng có một điểm kép O duy nhất là tích giao hoán của một phép vị tự
và một phép quay có cùng tâm O .
Khi đó, kí hiệu: Z O;k;   Q O;  V O; k   V O; k  Q O;  . O được gọi là tâm đồng dạng.
b) Phép đồng dạng tỉ số k :
 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của chúng.
 Biến đường thẳng thành đường thẳng.
 Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k .
 Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính kR .
Dạng 1. Xác định phép đồng dạng
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép quay Q và phép vị tự V . O;  O;k 
2. Xác định tâm đồng dạng. O  A  kOA 
 Nếu biết một cặp điểm A  A thì ta có:    O ,
A OA    CA DA
- Từ OA  kOA  O thuộc đường tròn C , đường kính CD với   k CA DA - Từ O ,
A OA    O thuộc cung   chứa góc  , dây cung AA
 O là giao điểm của hai đường tròn C  và   .
AB  kAB 
 Nếu biết 2 cặp điểm A  A và B  B thì ta có:    AB, A B        O , A OA    I ,
A IA  
- Gọi I là giao điểm của AB và A B
  thì ta có  OB,OB 
   IB, IB   
- Suy ra: O là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác IAA và IBB .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 57 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 63. Cho hình vuông ABCD có các đỉnh được xếp theo chiều dương. Gọi I là trung điểm của AB
và J là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Xác định phép đồng dạng:    
a) biến IA thành JD .
b) biến BA thành JD .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 64. Cho hai đường tròn O; R và O ; R (với R  2R ) cắt nhau ở A và B . Gọi M , M  lần 
lượt trên đường tròn O; R và O ; R sao cho  OM,O M 
   . Xác định phép đồng dạng 3  
biến OM thành OM  .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 58
Dạng 2. Áp dụng phép đồng dạng vào chứng minh
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định phép đồng dạng.
2. Áp dung tính chất của phép đồng dạng. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 65. Cho A
 BC với trực tâm H và I là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng ảnh của H
qua phép đối xứng tâm I là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp A  BC .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 66. Hình bình hành MNPQ có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình chữ nhật ABCD . Chứng
minh rằng hai hình này có cùng tâm đối xứng.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Dạng 3. Chứng minh hai hình (H) và (H) đồng dạng
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xác định phép dời hình biến hình H  thành  H  và ngược lại.
Ví dụ 67. Cho hai tam giác ABC và A B  C
  có các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau. Chứng minh rằng có
duy nhất một phép đồng dạng biến A thành A , B thành B và C thành C .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 59
Ví dụ 68. Chứng minh rằng hai hình vuông bất kì đồng dạng với nhau.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Dạng 4. Biểu thức tọa độ của phép đồng dạng
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cho phép đồng dạng gồm hai phép biế hình f , f biến M  M  : 1 2 M  x y 1 f 
 M   x y f2 ; ; 
 M  x ; y
Ta thực hiện hai bước:
- Bước 1. Tìm   1 ; f M x y 
 M   x ; y T . u
- Bước 2. Tìm M  x y f2 ;
 M   x ; y .
Từ đó suy ra biểu thức tọa độ của phép đồng dạng đã cho.
Ví dụ 69. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho góc   45 và k  2 .
a) Viết biểu thức tọa độ của phép đồng dạng Z (O; k; ).
b) Viết phương tròn đường tròn C là ảnh của đường tròn C  2 2
: x  y – 2x – 3  0 qua phép đồng dạng trên.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 60
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 7 Bài 54. Cho A
 BC vuông tại A , AH là đường cao kẻ từ A . Tìm một phép đồng dạng biến H  BA thành A  BC . Bài 55.
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I 1; 
1 và đường tròn C  tâm I bán kính bằng 2 . Viết
phương trình đường tròn C là ảnh của C  qua phép đồng dạng có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép quay tâm O , góc quay 45 và phép vị tự tâmO , tỷ số 2 Bài 56.
Trong mặt phẳng Oxy cho d : 3x – 2 y  6  0 . Viết phương trình d  là ảnh của d qua phép
đồng dạng là hợp thành của phép đối xứng trục Ox và phép vị tự tâm I –2;  1 tỷ số 2 . 2 2  Bài 57.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C  :  x   1   y   1  1 và v  1; 3   . Viết phương 
trình C là ảnh của C  qua phép đồng dạng là hợp thành của phép tịnh tiến theo v và phép
vị tự tâm O tỉ số 3 .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 172. Cho hình bình hành ABCD . Gọi phép biến hình F là hợp thành của phép vị tự V  , A 2 và
phép tịnh tiến T . Khi đó F là phép nào trong các phép sau đây CD
A. Phép vị tự V  B;2 .
B. Phép vị tự V C; 2 .  
C. Phép tịnh tiến theo véctơ 2CD .
D. Phép tịnh tiến theo véctơ DC .
Câu 173. Cho tam giác đều ABC với A , B , C lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB . Nếu
phép đồng dạng biến A thành B , B thành C thì nó biến điểm C thành
A. Điểm A .
B. Trung điểm B C  .
C. Điểm C .
D. Trung điểm BA .
Câu 174. Cho tam giác đều ABC với A , B , C lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB . Nếu
phép đồng dạng biến A thành B , B thành C thì nó biến điểm C thành
A. Điểm A .
B. Điểm C .
C. Điểm đối xứng với C qua B .
D. Điểm A hoặc điểm đối xứng với C qua B .
Câu 175. Cho hình chữ nhật ABCD với P và Q lần lượt là trung điểm của AB và BC . Nếu phép đồng
dạng biến tam giác ADC thành tam giác QBP thì nó biến điểm D thành
A. Tâm của hình chữ nhật.
B. Trung điểm cạnh AD .
C. Trung điểm cạnh DC . D. Điểm C . 2 2
Câu 176. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn C  có phương trình  x  2   y  2  4 . Hỏi phép 1
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ k  và phép quay tâm 2
O góc 90 sẽ biến C  thành đường tròn nào trong các đường tròn sau ? 2 2 2 2 A.  x   1   y   1  1 .
B.  x  2   y  2  1. 2 2 2 2 C.  x   1   y   1  1.
D.  x  2   y   1  1 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 61
Câu 177. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Hai đa giác đều bất kỳ có cùng số cạnh thì đồng dạng.
B. Hai hình tròn bất kỳ thì đồng dạng.
C. Hai parabol bất kỳ thì đồng dạng.
D. Một elip và một đường tròn bất kì thì đồng dạng nhau.
Câu 178. Giả sử phép đồng dạng tỉ số k k  0 biến hai điểm M , N tương ứng thành hai điểm M ; N  .
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng. 1     A. MN  M N   . B. M N
   k.MN . C. 2 M N    k MN . D. M N
   k .MN . k
Câu 179. Trong mặt phẳng với hệ tạo độ Oxy cho hai đường tròn C  2 2
: x  y  2x  2 y  2  0 và D 2 2
: x  y  12x 16 y  0 . Nếu có phép đồng dạng biến đường tròn C  thành đường tròn
D thì tỉ số của phép đồng dạng là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 2 .
Câu 180. Trong mặt phẳng với hệ tạo độ Oxy cho điểm M 2; 4 . Hỏi phép đồng dạng có được bằng 1
cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k 
và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến M 2
thành điểm nào trong các điểm sau ?
A. C 1; 2 . B. B  2  ; 4 .
C. D 1;2 .
D. A1; 2 .
Câu 181. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x  y  0 . Hỏi phép đồng dạng có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O , tỉ số k  2 và phép đối xứng qua trục
Oy sẽ biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau ?
A. 2x  y  0 .
B. 2x  y  0 .
C. 4x  y  0 .
D. 2x  y  2  0 .
Câu 182. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Phép đồng dạng là một phép dời hình.
B. Phép vị tự với tỉ số k  1 không phải là một phép dời hình.
C. Phép vị tự với tỉ số k  0 là một phép đồng dạng.
D. Phép quay là một phép đồng dạng.
Câu 183. Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng tỉ số A. k  1 . B. k  0 . C. k  3 . D. k  1 .
Câu 184. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho bốn điểm A  2  ; 
1 ; B 0; 3; C 1; 3
 ; D 2; 4 . Nếu có
phép đồng dạng biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD thì tỉ số k của phép đồng dạng đó là 3 7 5 A. . B. . C. 2 . D. . 2 2 2
Câu 185. Phép đồng dạng biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD thì ta luôn có 5
CD  k.AB  5 2  k.2 2  k  . 2
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .
B. Phép đồng dạng là một phép vị tự.
C. Nếu hai đa giác đồng dạng thì tỉ số các cạnh tương ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng.
D. Nếu ta thực hiện liên tiếp một phép vị tự và một phép dời hình thì ta được một phép đồng dạng.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 62
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2  Bài 58.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 4; –3 và véctơ v  (2;1) . Qua phép tịnh tiến theo  véctơ v :
a) Tìm tọa độ điểm A là ảnh của M .
b) Tìm tọa độ điểm B biết M là ảnh của B .
c) Tìm đường thẳng d  là ảnh của d : 3x – 4 y  5  0.
d) Tìm đường thẳng d với d là ảnh của d . 1 2 1
e) Tìm đường thẳng d là ảnh của d : x  2 y  9  0. 4 3
f) Tìm đường tròn C là ảnh của C  2 2
: x  y – 4x  6 y – 7  0. 2 2
g) Tìm C với C : x – 3  y  4
 25 là ảnh của C . 1  2      1  Bài 59.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M  –2;5 và đường thẳng d : 3x – 4 y  7  0 . Qua phép
đối xứng trục Đ :
a) Tìm tọa độ điểm A  Đ
M , B  Đ M . Oy   Ox  
b) Tìm đường thẳng d  là ảnh của d qua Đ . Ox
c) Tìm đường thẳng d là ảnh của d qua Đ . 1 Oy
d) Tìm C là ảnh của C  2 2
: x  y – 4x  6 y – 7  0 qua Đ . Ox 2 2
e) Tìm C với C : x – 3  y  4
 25 là ảnh của C qua Đ . 1  2      1  Oy
f) Tìm N  là ảnh của N 3;5 qua đường thẳng  : x – y – 2  0. Bài 60.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M 3; –  1 và I –2;4.
a) Tìm tọa độ điểm A  Đ
M , B  Đ M . I   O  
b) Tìm đường thẳng d  là ảnh của d : 5x – 3y  6  0 qua Đ . O
c) Tìm đường thẳng d là ảnh của d : 2x – 6 y  7  0 qua Đ . 1 2 I
d) Tìm C là ảnh của C  2 2
: x  y  4x – 2 y – 11  0 qua Đ . I 2 2
e) Tìm C với C : x – 3  y  4
 25 là ảnh của C qua Đ . 1  2      1  O Bài 61.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A2; –3 và I  –1; 4 .
a) Tìm B là ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số k  5 .
b) Tìm D là ảnh của A qua phép vị tự tâm I tỉ số k  –5 . 1
c) Tìm M sao cho A là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k  – . 3 1
d) Tìm N sao cho A là ảnh của N qua phép vị tự tâm I tỉ số k  – . 3 Bài 62.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 3x  4 y – 2  0 và điểm I 1; –2.
a) Tìm d là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k  –2 . 1
b) Tìm d là ảnh của d qua phép vị tự tâm I tỉ số k  2 . 2 1
c) Tìm d sao cho d là ảnh của d k  . 3
3 qua phép vị tự tâm O tỉ số 4 1
d) Tìm d sao cho d là ảnh của d k   . 4
4 qua phép vị tự tâm I tỉ số 4
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 63 2 2 Bài 63.
Trong mặt phẳng Oxy cho C  :  x –  1
  y  2  9 và điểm I  –2;  3 .
a) Tìm C là ảnh của C  qua phép vị tự tâm O tỉ số k  –3. 1 
b) Tìm C là ảnh của C  qua phép vị tự tâm I tỉ số k  3 . 2   1 
c) Tìm C sao cho C  là ảnh của C qua V ; O k  – . 3  3     4   1 
d) Tìm C sao cho C  là ảnh của C qua V I;k  . 3  4     2  Bài 64.
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Tìm ảnh của tam giác AOF 
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ AB ;
b) Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE ;
c) Qua phép quay tâm O góc 120 . Bài 65.
Cho điểm A 1; 2 và đường thẳng d có phương trình 3x  y 1  0 . Tìm ảnh của A và d 
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ v  2  ;1 ;
b) Qua phép đối xứng trục Oy ;
c) Qua phép đối xứng tâm O ;
d) Qua phép quay tâm O góc 90 . Bài 66.
Cho đường tròn tâm I 3; 2
  , bán kính bằng 3.
a) Viết phương trình của đường tròn đó. 
b) Viết phương trình ảnh của đường tròn đó qua phép tịnh tiến theo vectơ v   2   ;1 ;
c) Viết phương trình ảnh của đường tròn đó qua phép đối xứng trục Ox ;
d) Viết phương trình ảnh của đường tròn đó qua phép đối xứng tâm O . Bài 67.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2x – 3y  2  0 .
a) Tìm đường thẳng d là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp 1
phép vị tự tâm O tỉ số k  –2 và phép đối xứng trụcOy .
b) Tìm đường thẳng d là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp 2
phép vị tự tâm I 3; –2 tỉ số k  –2 và phép đối xứng trục Ox . Bài 68.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C  2 2
: x  y – 4x  5 y – 7  0 .
a) Tìm đường tròn C là ảnh của đường tròn C  qua phép đồng dạng có được bằng cách 1 
thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k  3 và phép đối xứng qua O .
b) Tìm đường tròn C là ảnh của đường tròn C  qua phép đồng dạng có được bằng cách 2  1 
thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k 
và phép tịnh tiến theo véctơ v  (3; 1  ) . 2 Bài 69.
Cho đường tròn tâm I 1; 3
  , bán kính bằng 2. Viết phương trình ảnh của đường tròn đó qua
phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3 và phép đối xứng qua trục Ox . Bài 70.
Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi O là tâm đối xứng của nó. Gọi I , F, J , E lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA . Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạn có được
từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B , tỉ số 2.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 64 Bài 71. Cho hai điểm ,
A B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB . Qua
mỗi điểm M chạy trên đường tròn O dựng hình bình hành MABN . Chứng minh rằng điểm
N chạy trên một đường tròn xác định. Bài 72.
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt P và Q , hai điểm A và B nằm về một phía
của d . Hãy xác định trên d hai điểm M , N sao cho T và AM  BN nhỏ nhất. u Bài 73.
Cho véctơ T và một điểm O . Với điểm M bất kì, ta gọi M là điểm đối xứng với M qua O v 1
và M  sao cho T . Gọi F là phép biến hình biến M thành M  . v
a) F có phải là một phép dời hình không ?
b) Chứng tỏ rằng F là một phép đối xứng tâm. Bài 74.
Gọi F là phép biến hình có tính chất sau đây: “Với mỗi cặp điểm M , N và ảnh M  , N  của 
chúng, ta có AD ”. F là phép biến hình gì ? Bài 75.
Gọi F là phép biến hình có tính chất sau đây: “Với mỗi cặp điểm M , N và ảnh M  , N  của 
chúng, ta có v ”. Chứng minh rằng F là phép biến đối xứng tâm. Bài 76.
Cho đường tròn O đường kính AB . Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ là đường
kính thay đổi không trùng với AB . Đường thẳng CQ cắt PA , PB lần lượt tại M , N . Chứng minh rằng:
a) Q là trung điểm của CM , N là trung điểm của CQ .
b) Khi PQ thay đổi, các điểm M , N nằm trên những đường tròn cố định. Bài 77.
Cho đường tròn O; R và điểm A cố định. Một dây cung BC thay đổi của O; R có độ dài
không đổi, BC  m ( m  2R ). Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên
một đường tròn cố định. Bài 78. Cho A
 BC và các điểm M , N , P lần lượt là trung điểm BC , CA , AB .
a) Xét bốn tam giác APN , PBM , NCM , MNP . Tìm những phép dời hình biến A  PN thành
một trong ba tam giác còn lại.
b) Phép vị tự nào biến A  BC thành M  NP ?
c) Xét tam giác có đỉnh là trực tâm của các tam giác APN , PBM , NCM . Chứng tỏ rằng tam giác đó bằng A
 PN . Chứng tỏ rằng điều đó cũng đúng khi thay trực tâm thành trọng tâm,
tâm đường tròn ngoại tiếp hoặc tâm đường tròn nội tiếp A  BC .
d) Với điểm O bất kì, gọi A , B , C lần lượt là các điểm đới xứng với O qua M , N , P . 1 1 1
Tìm phép vị tự biến M  NP thành A  B C . 1 1 1
e) Chứng tỏ có phép đồi xứng tâm biến A
 B C thành A  BC . 1 1 1 Bài 79. Cho A
 BC đều, M là điểm bất kì nằm trong tam giác.
a) Gọi C , M  theo thứ tự là ảnh của C , M qua phép quay tâm A , góc quay 60 . Chứng
minh MA  MB  MC  MM   MB  M C   .
B) Tìm vị trí điểm M để MA  MB  MC nhỏ nhất. Bài 80. Cho A
 BC vuông ở A , H là chân đường cao đi qua A .
a) Tìm một phép quay tâm H và một phép vị tự tâm H để tích của hai phép đó biến H  CA thành HA  B .
b) Gọi O , O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác HCA và HAB . Chứng minh 1 H
 OO  ABC . 1
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 65
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2
1-2. PHÉP TỊNH TIẾN 
Câu 186. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A2; 5 . Phép tịnh tiến theo vectơ v  1;2 biến A thành điểm có tọa độ là: A. 3;  1 . B. 1;6 . C. 3;7 . D. 4;7 .
Câu 187. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A2; 5 . Hỏi A là ảnh của điểm nào trong các điểm sau qua 
phép tịnh tiến theo vectơ v  1;2 ? A. 1;3 . B. 1;6 . C. 4;7 . D. 2;4 . 
Câu 188. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép tịnh tiến theo vectơ v   3
 ;2 biến điểm A1;3 thành
điểm nào trong các điểm sau: A.  –3;2 . B. 1;3 . C.  –2;5 . D. 2; – 5 . 
Câu 189. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép tịnh tiến theo vectơ v  1;3 biến điểm A1;2 thành điểm nào trong các điểm sau? A. 2;5 . B. 1;3 . C. 3;4 .
D.  –3; – 4 .
Câu 190. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng cho trước thành chính nó? A. Không có. B. Chỉ có một. C. Chỉ có hai. D. Vô số.
Câu 191. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó? A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Câu 192. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vuông thành chính nó? A. Không có. B. Một. C. Bốn. D. Vô số.  
Câu 193. Giả sử qua phép tịnh tiến theo vectơ v  0 , đường thẳng d biến thành đường thẳng d . Câu
nào sau đây sai? 
A. d trùng d khi v là vectơ chỉ phương của d . 
B. d song song với d khi v là vectơ chỉ phương của d . 
C. d song song với d khi v không phải là vectơ chỉ phương của d .
D. d không bao giờ cắt d .
Câu 194. Cho hai đường thẳng song song d và d . Tất cả những phép tịnh tiến biến d thành d là:   
A. Các phép tịnh tiến theo v , với mọi vectơ v  0 không song song với vectơ chỉ phương của d .   
B. Các phép tịnh tiến theo v , với mọi vectơ v  0 vuông góc với vectơ chỉ phương của d . 
C. Các phép tịnh tiến theo AA , trong đó hai điểm A và A' tùy ý lần lượt nằm trên d và d .   
D. Các phép tịnh tiến theo v , với mọi vectơ v  0 tùy ý.  
Câu 195. Cho P , Q cố định. Phép tịnh tiến T biến điểm M bất kỳ thành M sao cho MM  2PQ . 2 2  
A. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ PQ .
B. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ MM . 2  1 
C. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ 2PQ . D. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ PQ . 2 
Câu 196. Cho phép tịnh tiến theo véctơ v biến điểm A thành điểm A đồng thời biến điểm M thành
điểm M  . Khi đó    
   
A. AM   AM  .
B. AM  2 AM  .
C. AM  A M   .
D. 3AM  2 AM  .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 66  
Câu 197. Trong mặt phẳng Oxy , cho véctơ v   ;
a b . Giả sử phép tịnh tiến theo v biến điểm M  ; x y 
thành điểm M  x ; y . Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo véctơ v là
x  x  a
x  x  a
x  b  x  a
x  b  x  a A.  . B.  . C.  . D.  .
y  y  b 
y  y  b 
y  a  y  b 
y  a  y  b 
Câu 198. Trong mặt phẳng Oxy , cho phép biến hình f được xác định như sau:
x  x  2
“Với mỗi điểm M  ;
x y ta có M   f M  sao cho M  x ; y thỏa mãn  ” y  y – 3 
Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới. 
A. f là phép tịnh tiến theo véctơ v  2;  3 . 
B. f là phép tịnh tiến theo véctơ v   2  ;  3 . 
C. f là phép tịnh tiến theo véctơ v   2  ; 3   . 
D. f là phép tịnh tiến theo véctơ v  2;   3 . 2 2
Câu 199. Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của đường tròn  x – 2   y –  1
 16 qua phép tịnh tiến theo 
véctơ v  1;3 là đường tròn có phương trình 2 2 2 2
A.  x – 2   y –  1  16 .
B.  x  2   y   1  16 . 2 2 2 2
C.  x – 3   y – 4  16 .
D.  x  3   y  4  16 .
Câu 200. Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 điểm A1;6 và B  –1; –4 . Gọi C, D lần lượt là ảnh của A và 
B qua phép tịnh tiến theo véctơ v  1;5 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
A. ABCD là hình thang.
B. ABCD là hình bình hành.
C. ABDC là hình bình hành. D. Bốn điểm ,
A B, C, D thẳng hàng. 2
Câu 201. Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của đường tròn  x  
1   y – 32  4 qua phép tịnh tiến theo véctơ 
v  3;2 là đường tròn có phương trình 2 2 2 2
A.  x  2   y  5  4 .
B.  x – 2   y – 5  4 . 2 2 2 2 C.  x – 
1   y  3  4 .
D.  x  4   y –  1  4 .
Câu 202. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
B. Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của chúng.
C. Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
D. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Câu 203. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A1 
;1 và B 2;3 . Gọi C, D lần lượt là ảnh của A và 
B qua phép tịnh tiến v  2;4 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
A. ABCD là hình bình hành.
B. ABCD là hình bình hành.
C. ABCD là hình thang. D. Bốn điểm ,
A B, C, D thẳng hàng.
Câu 204. Cho hai đường thẳng d và d  song song nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d thành d  ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. Vô số.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 67
Câu 205. Khẳng định nào sau đây là đúng về phép tịnh tiến:   
A. Phép tịnh tiến theo vectơ v biến điểm M thành điểm M  thì v  M M  .   
B. Phép tịnh tiến theo vectơ v là phép đồng nhất nếu vectơ v là vectơ 0 . 
C. Nếu phép tịnh tiến theo vectơ v biến 2 điểm M và N thành 2 điểm M  và N thì MNM N
  là hình bình hành.
D. Phép tịnh tiến biến một đường tròn thành một đường elip.
Câu 206. Cho hình bình hành ABCD , M là một điểm thay đổi trên cạnh AB . Phép tịnh tiến theo vectơ 
BC biến điểm M thành điểm M  thì:
A. Điểm M  trùng với điểm M .
B. Điểm M  nằm trên cạnh BC .
C. Điểm M  là trung điểm cạnh CD .
D. Điểm M  nằm trên cạnh DC .  
Câu 207. Cho phép tịnh tiến theo v  0 biến hai điểm M và N tương ứng thành 2 điểm M  và N .
Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?  
A. Điểm M trùng với điểm N .
B. Vectơ MN là vectơ 0 .
    
C. MM   NN  0 .
D. Vectơ MN  là vectơ 0 . 
Câu 208. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho phép tịnh tiến theo v  1; 2 biến điểm
M  –1; 4 thành điểm M  có tọa độ là: A. 0; 6 . B. 6; 0 . C. 0; 0 . D. 6; 6 .
Câu 209. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M  –10; 
1 và M 3; 8 . Phép tịnh tiến  
theo vectơ v biến điểm M thành điểm M  , khi đó tọa độ của vectơ v là: A.  –13; 7 . B. 13; – 7 . C. 13; 7 .
D.  –13; – 7 . 
Câu 210. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho phép tịnh tiến theo v  1;  1 , phép tịnh tiến theo 
v biến đường thẳng  : x – 1  0 thành đường thẳng  . Khi đó phương trình của  là:
A. x –1  0 .
B. x – 2  0 .
C. x – y – 2  0 .
D. y – 2  0 . 
Câu 211. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho phép tịnh tiến theo v   –2; –  1 , phép tịnh tiến 
theo v biến parabol  P 2
: y  x thành parabol  P . Khi đó phương trình của  P là: A. 2
y  x  4x  5 . B. 2
y  x  4x – 5 . C. 2
y  x  4x  3 . D. 2
y  x – 4x  5 . 
Câu 212. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho phép tịnh tiến theo v   –3; – 2 , phép tịnh tiến 
theo v biến đường tròn C  x   y 2 2 : – 1
 1 thành đường tròn C . Khi đó phương trình của C là: 2 2 2 2
A.  x  3   y   1  1.
B.  x – 3   y   1  1. 2 2 2 2
C.  x  3   y   1  4 .
D.  x – 3   y –  1  4 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 68
3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Câu 213. Cho phép tịnh tiến T biến điểm M thành điểm M và phép tịnh tiến T biến điểm M thành u 1 v 1
điểm M . Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới. 2
A. Phép tịnh tiến T  biến M thành M . u v 1 2
B. Phép đối xứng qua trục Ox hoặc phép đối xứng qua trục Oy biến M thành M . 2
C. Không thể khẳng định được có hay không một phép dời hình biến M thành M . 2
D. Phép tịnh tiến T  biến M thành M . u v 2
Câu 214. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 2; 3 . Hỏi trong bốn điểm sau đây, điểm nào là ảnh của
M qua phép đối xứng trục Ox ? A. 3; 2 . B. 2; – 3 . C. 3; – 2 . D.  –2; 3 .
Câu 215. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 2; 3 . Hỏi M là ảnh của điểm nào trong các điểm sau qua
phép đối xứng trục Oy ? A. 3; 2 . B. 2; – 3 . C. 3; – 2 . D.  –2; 3 .
Câu 216. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 2;3 . Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua
phép đối xứng qua đường thẳng x  y  0 ? A. 3;2 . B. 2;3 . C. 3; 2 . D.  2  ;3 .
Câu 217. Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng? A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Câu 218. Hình gồm hai đường thẳng d và d  vuông góc với nhau đó có mấy trục đối xứng? A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. Vô số.
Câu 219. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng.
B. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình tròn.
C. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm những đường tròn đồng tâm.
D. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm hai đường thẳng vuông góc.
Câu 220. Xem các chữ cái in hoa A, B, C, D, X, Y như những hình. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình có một trục đối xứng: A, Y các hình khác không có trục đối xứng.
B. Hình có một trục đối xứng: A, B, C, D, Y. Hình có hai trục đối xứng: X.
C. Hình có một trục đối xứng: A, B. Hình có hai trục đối xứng: D, X.
D. Hình có một trục đối xứng: C, D, Y. Hình có hai trục đối xứng: X. Các hình khác không có trục đối xứng.
Câu 221. Giả sử rằng qua phép đối xứng trục Đ ( a là trục đối xứng), đường thẳng d biến thành đường a
thẳng d  . Hãy chọn câu sai trong các câu sau:
A. Khi d song song với a thì d song song với d  .
B. d vuông góc với a khi và chỉ khi d trùng với d  .
C. Khi d cắt a thì d cắt d  . Khi đó giao điểm của d và d  nằm trên a .
D. Khi d tạo với a một góc o
45 thì d vuông góc với d  .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 69
Câu 222. Trong mặt phẳng Oxy , cho Parapol  P có phương trình 2
x  24 y . Hỏi Parabol nào trong các
parabol sau là ảnh của  P qua phép đối xứng trục Oy ? A. 2 x  24 y . B. 2 x  24 y . C. 2 y  24x . D. 2 y  24x .
Câu 223. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol  P 2
: y  x . Hỏi parabol nào sau đây là ảnh của parabol
P qua phép đối xứng trục Oy ? A. 2
y  x . B. 2 y  x . C. 2 x   y . D. 2 x  y .
Câu 224. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol  P có phương trình 2
x  4 y . Hỏi parabol nào trong các
parabol sau là ảnh của  P qua phép đối xứng trục Ox ? A. 2 x  4 y . B. 2 x  4 y . C. 2 y  4x . D. 2 y  4x .
Câu 225. Trong mặt phẳng Oxy , qua phép đối xứng trục Oy . Điểm A3;5 biến thành điểm nào trong các điểm sau? A. 3;5 . B.  3  ;5 . C. 3; 5 . D.  3  ; 5 .
Câu 226. Cho 3 đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạo thành hình
H  . Hỏi H  có mấy trục đối xứng ? A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 227. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
B. Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.
C. Phép đối xứng trục biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
D. Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn bằng đường tròn đã cho.
Câu 228. Phát biểu nào sau đây là đúng về phép đối xứng trục d ?  
A. Phép đối xứng trục d biến điểm M thành điểm M   MI  IM  ( I là giao điểm của
MM  và trục d ).
B. Nếu điểm M thuộc d thì Đ : M  M . d
C. Phép đối xứng trục d không phải là phép dời hình. 
D. Phép đối xứng trục d biến điểm M thành điểm M   MM   d .
Câu 229. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I . Khẳng định nào sau
đây là đúng về phép đối xứng trục:
A. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục CD .
B. Phép đối xứng trục AC biến D thành C .
C. Phép đối xứng trục AC biến D thành B .
D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 230. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho phép đối xứng trục Ox , với M  x; y gọi M  là
ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox . Khi đó tọa độ điểm M  là:
A. M  x; y .
B. M x; y .
C. M x; y .
D. M  x; y .
Câu 231. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho phép đối xứng trục Oy , với M  x; y gọi M  là
ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy . Khi đó tọa độ điểm M  là:
A. M  x; y .
B. M x; y .
C. M x; y .
D. M  x; y .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 70
Câu 232. Hình nào sau đây không có trục đối xứng (mỗi hình là một chữ cái in hoa): A. G . B. O . C. Y . D. M .
Câu 233. Hình nào sau đây có trục đối xứng:
A. Tam giác bất kì. B. Tam giác cân.
C. Tứ giác bất kì. D. Hình bình hành.
Câu 234. Cho tam giác ABC đều. Hỏi hình là tam giác ABC đều có bao nhiêu trục đối xứng:
A. Không có trục đối xứng.
B. Có 1 trục đối xứng.
C. Có 2 trục đối xứng.
D. Có 3 trục đối xứng.
Câu 235. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho phép đối xứng trục Ox , phép đối xứng trục Ox
biến đường thẳng d : x  y  2  0 thành đường thẳng d  có phương trình là:
A. x – y  2  0 .
B. x  y  2  0 .
C. – x  y  2  0 .
D. x – y  2  0 .
Câu 236. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Qua phép đối xứng trục Ox đường tròn C  x 2   y  2 : – 1 2
 4 biến thành đường tròn C có phương trình là: 2 2 2 2 A.  x  
1   y  2  4 . B.  x – 
1   y  2  4 . 2 2 2 2 C.  x – 
1   y – 2  4 . D.  x  
1   y  2  4 .
Câu 237. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Qua phép đối xứng trục d : y – x  0 , đường tròn
C   x  2   y 2 : 1 – 4
 1 biến thành đường tròn C có phương trình là: 2 2 2 2 A.  x  
1   y – 4  1.
B.  x – 4   y   1  1. 2 2 2 2
C.  x  4   y –  1  1.
D.  x  4   y   1  1.
4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Câu 238. Ảnh của điểm M 3; – 
1 qua phép đối xứng tâm I 1;2 là: A. 2;  1 .
B.  –1; 5 .
C.  –1; 3 .
D. 5; –4 .
Câu 239. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x  2 . Trong các đường thẳng sau đường
thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O ?
A. x  –2 .
B. y  2 .
C. x  2 .
D. y  –2 .
Câu 240. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó.
B. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.
C. Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.
D. Có phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó.
Câu 241. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y  4  0 . Hỏi trong các đường thẳng
sau đường thẳng nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm?
A. 2x  y – 4  0 .
B. x  y – 1  0 .
C. 2x – 2 y 1  0 .
D. 2x  2 y – 3  0 .
Câu 242. Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng? A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
Câu 243. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I  ;
a b . Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M  ; x y 
thành M  x ; y thì ta có biểu thức:
x '  a  x
x '  2a  x
x '  a  x
x  2x ' a A.  . B.  . C.  . D.  .
y '  b  y 
y '  2b  y 
y '  b  y 
y  2 y ' b 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 71
Câu 244. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép đối xứng tâm I 1;2 biến điểm M  ; x y  thành
M  x ; y . Khi đó
x '  x  2
x '  x  2
x '  x  2
x'  x  2 A.  . B.  . C.  . D.  .
y '   y  2 
y '   y  4 
y '   y  4 
y'  y  2
Câu 245. Một hình  H  có tâm đối xứng nếu và chỉ nếu:
A. Tồn tại phép đối xứng tâm biến hình  H  thành chính nó.
B. Tồn tại phép đối xứng trục biến hình  H  thành chính nó.
C. Hình  H  là hình bình hành.
D. Tồn tại phép dời hình biến hình  H  thành chính nó.
Câu 246. Hình nào sau đây không có tâm đối xứng? A. Hình vuông. B. Hình tròn.
C. Hình tam giác đều. D. Hình thoi.
Câu 247. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , tìm ảnh của điểm A5; 
3 qua phép đối xứng tâm I 4;  1 .  9  A. 5; 3. B.  5  ;  3. C. 3;   1 . D. ; 2 .    2 
Câu 248. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x  y  2  0 ,
tìm phương trình đường thẳng d  là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I 1; 2 .
A. x  y  4  0.
B. x  y  4  0.
C. x  y  4  0.
D. x  y  4  0.
Câu 249. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , tìm phương trình đường tròn C là ảnh của đường 2 2
tròn C  :  x  3   y   1
 9 qua phép đối xứng tâm O 0;0 . 2 2 2 2
A.  x  3   y   1  9.
B.  x  3   y   1  9. 2 2 2 2
C.  x  3   y   1  9.
D.  x  3   y   1  9.
Câu 250. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.
B. Nếu IM   IM thì Đ M   M . I
C. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.
D. Phép đối xứng tâm biến tam giác thành tam giác bằng nó.
Câu 251. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , tìm phương trình đường tròn C là ảnh của đường tròn C  2 2
: x  y  1 qua phép đối xứng tâm I 1;0 .
A.  x  2 2 2  y  1.
B.  x  2 2 2  y  1.
C. x   y  2 2 2  1.
D. x   y  2 2 2  1. 2 2
Câu 252. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn C  :  x  
1   y  3  16 . Giả sử
qua phép đối xứng tâm I điểm A1; 
3 biến thành điểm B  ;
a b . Tìm phương trình của đường
tròn C là ảnh của đường tròn C  qua phép đối xứng tâm I . 2 2 2 2
A.  x  a   y  b  1.
B.  x  a   y  b  4. 2 2 2 2
C.  x  a   y  b  9.
D.  x  a   y  b  16.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 72
Câu 253. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Phép đối xứng tâm O 0;0 biến điểm M 2; 3
thành điểm M  có tọa độ là:
A. M 4; 2.
B. M 2;  3.
C. M  2; 3.
D. M  2; 3.
Câu 254. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Phép đối xứng tâm I 1;  2 biến điểm M 2; 4
thành điểm M  có tọa độ là:
A. M 4; 2.
B. M  4; 8.
C. M  0; 8.
D. M 0;  8.
Câu 255. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho phép đối xứng tâm I 1  ;1 biến đường thẳng
d : x  y  2  0 thành đường thẳng d  có phương trình là:
A. x  y  4  0 .
B. x  y  6  0 .
C. x  y  6  0 .
D. x  y  0 .
Câu 256. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho phép đối xứng tâm I 1; 2 biến đường tròn
C   x  2   y  2 : 1 2
 4 thành đường tròn C có phương trình là: 2 2 2 2 A.  x  
1   y  2  4 . B.  x   1
  y  2  4 . 2 2 2 2 C.  x  
1   y  2  4 .
D.  x  2   y  2  4 .
Câu 257. Hình nào sau đây có tâm đối xứng: A. Hình thang. B. Hình tròn. C. Parabol.
D. Tam giác bất kì.
Câu 258. Hình nào sau đây có tâm đối xứng (một hình là một chữ cái in hoa): A. Q. B. P. C. N. D. E.
Câu 259. Khẳng định nào sau đây đúng về phép đối xứng tâm:
A. Nếu OM  OM  thì M  là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O .  
B. Nếu OM  OM  thì M  là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O .
C. Phép quay là phép đối xứng tâm.
D. Phép đối xứng tâm không phải là một phép quay. 5. PHÉP QUAY
Câu 260. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 1 
;1 . Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O , góc 0 45 ? A.  1   ;1 . B. 1;0 . C.  2;0 . D. 0; 2  .
Câu 261. Cho tam giác đều tâm O . Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O , góc  0    2  , biến tam
giác trên thành chính nó? A. Một. B. Hai. C. Ba. D. Bốn.
Câu 262. Cho hình vuông tâm O . Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc  , 0    2 , biến hình
vuông trên thành chính nó? A. Một. B. Hai. C. Bốn. D. Năm.
Câu 263. Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc
 , 0    2 , biến hình chữ nhật trên thành chính nó? A. Không có. B. Hai. C. Ba. D. Bốn.
Câu 264. Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc   k 2 , k là số nguyên? A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 73
Câu 265. Phép quay Q
biến điểm M thành M  . Khi đó: O; 
 
A. OM  OM  và OM ,OM    .
B. OM  OM  và OM ,OM    .
 
C. OM  OM  và 
MOM    .
D. OM  OM  và 
MOM    .
Câu 266. Phép quay Q
biến điểm A thành M . Khi đó: O; 
I  O cách đều A và M .
 II  O thuộc đường tròn đường kính AM .
III  O nằm trên cung chứa góc  dựng trên đoạn AM .
Trong các câu trên câu đúng là: A. Cả ba câu.
B.  I  và  II  . C.  I  .
D.  I  và  III  .
Câu 267. Chọn câu sai:
A. Qua phép quay Q
điểm O biến thành chính nó. O; 
B. Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O , góc quay 0 –180 .
C. Phép quay tâm O góc quay 0
90 và phép quay tâm O góc quay 0
–90 là hai phép quay giống nhau.
D. Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O , góc quay 0 180 .
Câu 268. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A3;0 . Tìm tọa độ ảnh A của điểm A qua phép quay Q .    O;    2 
A. A0; –3 .
B. A 0;3 .
C. A –3;0 .
D. A 2 3;2 3 .
Câu 269. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A3;0 . Tìm tọa độ ảnh A của điểm A qua phép quay Q    O;    2 
A. A –3;0 .
B. A 3;0 .
C. A0; –3 . D. A 2  3; 2 3 
Câu 270. Khẳng định nào sau đây đúng về phép quay?
A. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và điểm M khác điểm O thành điểm M  sao
cho OM ,OM    được gọi là phép quay tâm O với góc quay . B. Nếu Q
: M  M  M  O thì OM   OM . O;90
C. Phép quay không phải là một phép dời hình. D. Nếu Q
: M  M  thì OM   OM . O;90
Câu 271. Cho tam giác đều ABC hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành điểm C :
A.   30 .
B.   90 .
C.  120 . D.   6
 0 hoặc   60 .
Câu 272. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M 2;0 và điểm N 0;2 . Phép quay tâm O
biến điểm M thành điểm N , khi đó góc quay của nó là:
A.   30 .
B.   30 hoặc   45 .
C.   90 .
D.   90 hoặc   270 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 74 6. PHÉP DỜI HÌNH
Câu 273. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 2 
;1 . Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên 
tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ v  2;3 biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau? A. 1;3 . B. 2;0 .
C. 0; 2 . D. 4;4 . 2 2
Câu 274. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C  có phương trình  x – 
1   y  2  4 . Hỏi phép
dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến 
theo vectơ v  2;3 biến C  thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau? 2 2 A. 2 2
x  y  4 .
B.  x – 2   y – 6  4 . 2 2 2 2
C.  x – 2   y – 3  4 . D.  x –  1   y –  1  4 .
Câu 275. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x  y  2  0 . Hỏi phép dời hình
có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ 
v  3;2 biến đường thẳng d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
A. 3x  3y  2  0 .
B. x  y  2  0 .
C. x  y  2  0
D. x  y  3  0
Câu 276. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.
B. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục.
C. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm và phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng qua tâm.
D. Thực hiện liên tiếp phép quay và phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.
Câu 277. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Có một phép tịnh tiến theo vectơ khác không biến mọi điểm thành chính nó.
B. Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó.
C. Có một phép đối xứng tâm biến mọi điểm thành chính nó.
D. Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó.
Câu 278. Hãy tìm khẳng định sai:
A. Phép tịnh tiến là phép dời hình.
B. Phép đồng nhất là phép dời hình.
C. Phép quay là phép dời hình.
D. Phép vị tự là phép dời hình. 7. PHÉP VỊ TỰ
Câu 279. Trong măt phẳng Oxy cho điểm M  2
 ; 4 . Phép vị tự tâm O tỉ số k  2  biến điểm M
thành điểm nào trong các điểm sau? A.  3  ; 4 . B.  4  ; 8   . C. 4; 8   . D. 4;8 .
Câu 280. Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x  y  3  0 . Phép vị tự tâm O
tỉ số k  2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?
A. 2x  y  3  0 .
B. 2x  y  6  0 .
C. 4x  2 y  3  0 .
D. 4x  2 y  5  0 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 75
Câu 281. Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x  y  2  0 . Phép vị tự tâm O tỉ số k  2
 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?
A. 2x  2 y  0 .
B. 2x  2 y  4  0 .
C. x  y  4  0 .
D. x  y  4  0 . 2 2
Câu 282. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C  có phương trình  x  
1   y  2  4 . Phép vị tự
tâm O tỉ số k  2
 biến C  thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau? 2 2 2 2
A.  x  2   y  4  16 .
B.  x  4   y  2  4 . 2 2 2 2
C.  x  4   y  2  16 .
D.  x  2   y  4  16 . 2 2
Câu 283. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C  có phương trình  x   1   y   1  4 . Phép vị tự
tâm O tỉ số k  2 biến C  thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau? 2 2 2 2 A.  x   1   y   1  8 .
B.  x  2   y  2  8 . 2 2 2 2
C.  x  2   y  2  16 .
D.  x  2   y  2  16 .
Câu 284. Phép vị tự tâm O tỉ số k (k  0) biến mỗi điểm M thành điểm M  sao cho: 1 A. OM  OM ' .
B. OM  kOM ' .
C. OM  kOM ' .
D. OM '  O  M . k
Câu 285. Chọn câu đúng:
A. Qua phép vị tự có tỉ số k  1, đường thẳng đi qua tâm vị tự sẽ biến thành chính nó.
B. Qua phép vị tự có tỉ số k  0 , đường tròn đi qua tâm vị tự sẽ biến thành chính nó.
C. Qua phép vị tự có tỉ số k  1, không có đường tròn nào biến thành chính nó.
D. Qua phép vị tự V
đường tròn tâm O sẽ biến thành chính nó. O,  1
Câu 286. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M , N lần lượt thành hai điểm M  và N thì:     A. M N
   k MN và M N
   k.MN . B. M N
   k MN và M N    k MN .  
  1 C. M N
   k MN và M N
   k.MN . D. M N   MN € và M N    MN . 2
Câu 287. Xét các phép biến hình sau:
(I). Phép đối xứng tâm.
(II). Phép đối xứng trục.  (III). Phép đồng nhất.
(IV). Phép tịnh tiến theo vectơ khác 0 .
Trong các phép biến hình trên
A. Chỉ có (I) là phép vị tự.
B. Chỉ có (I) và (II) là phép vị tự.
C. Chỉ có (I) và (III) là phép vị tự.
D. Tất cả đều là những phép vị tự.
Câu 288. Hãy tìm khẳng định sai:
A. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì mọi điểm của nó đều bất động.
B. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì nó là một phép đồng nhất.
C. Nếu một phép vị tự có một điểm bất động khác với tâm vị tự của nó thì phép vị tự đó có tỉ số k  1 .
D. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì chưa thể kết luận được rằng mọi điểm của nó đều bất động. Câu 289. Cho A
 BC với trọng tâm G . Gọi A , B , C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AC ,
AB của tam giác ABC . Khi đó phép vị tự nào biến tam giác AB C   thành A  BC ?
A. Phép vị tự tâm G , tỉ số 2 .
B. Phép vị tự tâm G , tỉ số –2 .
C. Phép vị tự tâm G , tỉ số –3 .
D. Phép vị tự tâm G, tỉ số 3 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 76
Câu 290. Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và đường tròn tâm O bán kính R . Để đường tròn O biến
thành chính đường tròn O , tất cả các số k phải chọn là: A. 1. B. R . C. 1 và –1 . D. – R .
Câu 291. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó.
B. Có vô số phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó.
C. Thực hiện liên tiếp hai phép vị tự sẽ được một phép vị tự.
D. Thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm I sẽ được một phép vị tự tâm I .  1 
Câu 292. Cho hình thang ABCD , với CD  
AB . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và 2
BD . Gọi V là phép vị tự biến AB thành CD . Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng? 1 1
A. V là phép vị tự tâm I tỉ số k   .
B. V là phép vị tự tâm I tỉ số k  . 2 2
C. V là phép vị tự tâm I tỉ số k  2  .
D. V là phép vị tự tâm I tỉ số k  2 .
Câu 293. Cho tam giác ABC , với G là trọng tâm tam giác, D là trung điểm của BC . Gọi V là phép vị
tự tâm G biến điển A thành điểm D . Khi đó V có tỉ số k là: 3 3 1 1 A. k  . B. k   . C. k  . D. k   . 2 2 2 2
Câu 294. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho phép vị tự tâm I 2;3 tỉ số k  2  biến điểm M  7
 ; 2 thành M  có tọa độ là: A.  1  0; 2 . B. 20;5 . C. 18;2 . D.  1  0;5 .
Câu 295. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho hai điểm M 4;6 và M  3
 ;5 . Phép vị tự tâm 1
I tỉ số k 
biến điểm M thành M  . Khi đó tọa độ điểm I là: 2
A. I 4;10 . B. I 11  ;1 . C. I 1;1  1 . D. I  1  0; 4 .
Câu 296. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho hai điểm A1;2 . B  3
 ; 4 và I 1  ;1 . Phép vị 1
tự tâm I tỉ số k   biến điểm A thành A, biến điểm B thành B. Trong các mệnh đề sau 3
mệnh đề nào đúng:   4 2    4 2 
A. AB  ;   .
B. AB   ;   .  3 3   3 3   20  2   7  C. A B    . D. A 1;  ; B ;0     . 3  3   3 
Câu 297. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho ba điểm I  2  ;  
1 , M 1;5 và M  1   ;1 . Giả
sử phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M  . Khi đó giá trị của k là: 1 1 A. . B. . C. 3 . D. 4 . 3 4
Câu 298. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho đường thẳng  : x  2y 1  0 và điểm I 1;0 .
Phép vị tự tâm I tỉ số k  3 biến đường thẳng  thành   có phương trình là:
A. x  2y  3  0 .
B. x  2y  3  0 .
C. 2x  y 1  0 .
D. x  2 y  5  0 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 77
Câu 299. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho hai đường thẳng  và  lần lượt có phương 1 2
trình: x  2 y 1  0 và x  2 y  4  0 , điểm I 2 
;1 . Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng
 thành  khi đó giá trị của k là: 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 300. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho đường tròn C  có phương trình:
 x  2   y  2 1 5
 4 và điểm I 2; 3 . Gọi C là ảnh của C  qua phép vị tự V tâm I tỉ
số k  2 . khi đó C có phương trình là: 2 2 2 2
A.  x  4   y 19  16 .
B.  x  6   y  9  16 . 2 2 2 2
C.  x  4   y 19  16 .
D.  x  6   y  9  16 .
Câu 301. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho hai đường tròn C  và C , trong đó C có 2 2
phương trình:  x  2   y   1
 9 . Gọi V là phép vị tự tâm I 1;0 tỉ số k  3 biến đường
tròn C  thành C . Khi đó phương trình của C  là: 2 2 2  1   1   1  A. 2 x   y  1 2 2   .
B. x  y   9  
. C. x  y   1   . D. 2 2 x  y  1 .  3   3   3 
Câu 302. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A1;2 , B 3 
;1 . Phép vị tự tâm I 2;  1 tỉ số
k  2 biến điểm A thành A, phép đối xứng tâm B biến A thành B. Tọa độ điểm B là: A. 0;5 . B. 5;0 . C.  6  ; 3   . D.  3  ; 6 .
8. PHÉP ĐỒNG DẠNG
Câu 303. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 2; 4 . Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên 1
tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k 
và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến M thành điểm nào 2 trong các điểm sau? A. 1; 2 . B. 2; 4 . C.  1  ; 2 . D. 1; 2   .
Câu 304. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x  y  0 . Phép đồng dạng có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k  2 và phép đối xứng qua trục
Oy sẽ biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
A. 2x  y  0 .
B. 2x  y  0 .
C. 4x  y  0 .
D. 2x  y  2  0 . 2 2
Câu 305. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C  có phương trình  x  2   y  2  4 . Phép đồng 1
dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k 
và phép quay tâm O 2
góc 90 sẽ biến C  thành đường tròn nào trong các đường tròn sau? 2 2 2 2
A.  x  2   y  2  1. B.  x   1   y   1  1 . 2 2 2 2
C.  x  2   y   1  1. D.  x   1   y   1  1 .
Câu 306. Các phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó có thể kể ra là: A. Phép vị tự.
B. Phép đồng dạng, phép vị tự.
C. Phép đồng dạng, phép dời hình, phép vị tự. D. Phép dời dình, phép vị tự.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 78
Câu 307. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A1;2 , B  3  ; 
1 . Phép vị tự tâm I 2;  1  tỉ số
k  2 biến điểm A thành 
A , phép đối xứng tâm B biến 
A thành B . tọa độ điểm B là: A. 0;5 . B. 5;0 . C.  6  ; 3   . D.  3  ;6 .
Câu 308. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
A. Phép dời là phép đồng dạng tỉ số k  1 .
B. Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
C. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .
D. Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn góc. 1
Câu 309. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A 2
 ;3 , B4; 
1 . phép đồng dạng tỉ số k  2
biến điểm A thành 
A , biến điểm B thành B . Khi đó độ dài  A B là: 52 50 A. . B. 52 . C. . D. 50 . 2 2
Câu 310. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x  2 y  1  0 . Phép vị tự tâm I 0;  1 tỉ số k  2
 biến đường thẳng d thành đường thẳng d . phép đối xứng trục Ox biến
đường thẳng d thành đường thẳng d . Khi đó phép đồng dạng biến đường thẳng d thành d 1 1 có phương trình là:
A. 2x  y  4  0 .
B. 2x  y  4  0 .
C. 2x  2 y  4  0 .
D. x  2 y  4  0 .
Câu 311. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho 2 đường tròn C  và C có phương trình: 2 2
x  y  4 y  5  0 và 2 2
x  y  2x  2 y  14  0 . Gọi C là ảnh của C  qua phép đồng
dạng tỉ số k , khi đó giá trị k là: 4 3 9 16 A. . B. . C. . D. . 3 4 16 9
Câu 312. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai Elip  E và  E lần lượt có phương trình 2  1  2 2 x y 2 2 x y là:   1 và 
 1. Khi đó  E là ảnh của  E qua phép đồng dạng tỉ số k 1  2  5 9 9 5 bằng: 5 9 A. k  . B. k  . C. k  1. D. k  1. 9 5
Câu 313. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho phép đồng dạng biến đường thẳng
d : x  y – 1  0 thành đường thẳng d ' : 2008x  2007 y  2006  0 là phép đồng dạng tỉ số k bằng: 2008 2007 2006 A. . B. 1 . C. . D. . 2007 2008 2007
Câu 314. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A –2; – 3, B4; 
1 . Phép đồng dạng tỉ số 1 k 
biến điểm A thành A , biến điểm B thành B . Khi đó độ dài AB là: 2 52 50 A. . B. 52 . C. . D. 50 . 2 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 79
Câu 315. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x – 2 y 1  0. Phép vị tự tâm I 0; 
1 tỉ số k  –2 biến đường thẳng d thành đường thẳng d . Phép đối xứng trục Ox biến
đường thẳng d thành đường thẳng d . Khi đó, phép đồng dạng biến đường thẳng d thành d 1 1 có phương trình là:
A. 2x – y  4  0.
B. 2x  y  4  0.
C. 2x – 2 y  4  0.
D. x  2 y  4  0. ÔN TẬP CHƯƠNG I
Câu 316. Cho hai diểm A , B phân biệt. Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:
A. Có duy nhất phép đối xứng trục biến điểm A thành B .
B. Có duy nhất phép đối xứng tâm biến điểm A thành B .
C. Có duy nhất phép tịnh tiến biến điểm A thành B .
D. Có duy nhất phép vị tự biến điểm A thành B .
Câu 317. Giả sử  H là hình gồm hai đường thẳng song song,  H là hình bát giác đều. Khi đó 2  1 
A.  H không có trục đối xứng, không có tâm đối xứng;  H có tám trục đối xứng. 2  1 
B.  H có vô số trục đối xứng, vô số có tâm đối xứng;  H có tám trục đối xứng. 2  1 
C.  H chỉ có một có trục đối xứng, không có tâm đối xứng;  H có tám trục đối xứng. 2  1 
D.  H có vô số trục đối xứng, chỉ có một tâm đối xứng;  H có tám trục đối xứng. 2  1 
Câu 318. Cho hai đường tròn đồng tâm  ;
O R và  ;
O R với R  R . Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn  ;
O R thành  ; O R ? A. Vô số. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 319. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d có phương trình x  2 y – 1  0 và vectơ  
v  2; m . Để phép tịnh tiến theo v biến đường thẳng d thành chính nó, ta phải chọn m là số: A. 2. B. –1. C. 1. D. 3.
Câu 320. Trong mặt phẳng Oxy , cho phép biến hình f xác định như sau: Với mỗi M  ;
x y  , ta có
M   f  M  sao cho M  x ; y thỏa mãn x  x; y  ax  by với a, b là các hẳng số. Khi đó
a, b nhận giá trị nào trong các giá trị sau đây thì f trở thành phép biến hình đồng nhất?
A. a  b  1 .
B. a  0; b  1.
C. a  1; b  2 .
D. a  b  0 .
Câu 321. Cho tam giác ABC và A , B , C lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C ,
A AB . Gọi O, G, H
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC . Lúc đó phép
biến hình biến tam giác ABC thành tam giác AB C   là: A. V . B. V . C. V . D. V .  1   1   1   1  O;   G;   H ;   H ;    2   2   3   3 
Câu 322. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Gọi A ,
 B , C lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C ,
A AB của tam giác ABC . Khi đó, phép vị tự nào biến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB C
  thành tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ?
A. Phép vị tự tâm G , tỉ số 2.
B. Phép vị tự tâm G , tỉ số –2.
C. Phép vị tự tâm G , tỉ số –3.
D. Phép vị tự tâm G , tỉ số 3.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 80
Câu 323. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : Ax  By  C  0 và điểm I  ;
a b . Phép đối xứng
tâm I biến đường thẳng d thành đường thẳng d  có phương trình:
A. Ax  By  C – 2  Aa  Bb  C   0.
B. 2Ax  2By  2C – 3 Aa  Bb  C   0.
C. Ax  3By  2C – 27  0.
D. Ax  By  C – Aa – Bb – C  0.
Câu 324. Cho tam giác ABC với O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm
của tam giác ABC . Gọi A ,
 B , C lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C ,
A AB . Hỏi qua phép
biến hình nào thì điểm O biến thành điểm H ?
A. Phép vị tự tâm G , tỉ số –2.
B. Phép quay tâm O , góc quay 60 .  1 1
C. Phép tịnh tiến theo vectơ CA .
D. Phép vị tự tâm G , tỉ số . 3 2
Câu 325. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Có một phép tịnh tiến biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.
B. Có một phép quay biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.
C. Có một phép vị tự biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.
D. Có một phép đối xứng trục biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành chính nó.
Câu 326. Cho hình  H  gồm hai đường tròn O và O có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại hai
điểm phân biệt. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình  H  có hai trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng.
B. Hình  H  có một trục đối xứng.
C. Hình  H  có hai tâm đối xứng và một trục đối xứng.
D. Hình  H  có một tâm đối xứng và hai trục đối xứng.
Câu 327. Cho hai điểm O và 
O phân biệt. Biết rằng phép đối xứng tâm O biến điểm M thành M  .
Phép biến hình F biến điểm M thành điểm M , phép đối xứng tâm 
O biến điểm M thành 1 1
M  . Phép biến hình F là phép gì? A. Phép quay. B. Phép vị tự.
C. Phép đối xứng tâm.
D. Phép tịnh tiến.
Câu 328. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.
B. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục.
C. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm sẽ được một phép đối xứng tâm.
D. Thực hiện liên tiếp hai phép quay sẽ được một phép quay.
Câu 329. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Phép dời hình là một phép đồng dạng.
B. Phép vị tự là một phép đồng dạng.
C. Phép quay là một phép đồng dạng.
D. Phép đồng dạng là một phép dời hình. 
Câu 330. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , phép tịnh tiến theo vectơ v  1; 3 biến điểm M  –3; 
1 thành điểm M  có tọa độ là:
A.  –2; 4 .
B.  –4; – 2 .
C. 2; – 4 . D. 4; 2 .
Câu 331. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho phép đối xứng trục Oy , phép đối xứng trục Oy biến parabol  P 2
: x  4 y thành parabol  P có phương trình là: A. 2 y  4x . B. 2 y  –4x . C. 2 x  –4 y . D. 2 x  y .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 81
Câu 332. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. Các hình HE, HOC, HI có một trục đối xứng.
B. Các hình: CHAM, SHE, THI, GIOI không có trục đối xứng.
C. Các hình: SOS, COC, BIB có hai trục đối xứng.
D. Có ít nhất một trong ba mệnh đề A, B, C sai. 
Câu 333. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , phép tịnh tiến theo vectơ v  3;  1 biến parabol P 2
: y  x 1 thành parabol  P có phương trình là: A. 2
y  – x – 6x  5 . B. 2
y  – x  6x – 5 . C. 2
y  x  6x  6 . D. 2
y  – x – 6x – 7 . 2 2
Câu 334. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn C :  x – 4   y   1  4 và phép
đối xứng tâm. I 1; – 
1 . biến đường tròn C thành đường tròn C . Khi đó phương trình của
đường tròn C là: 2 2 2 2
A.  x  2   y   1  4 .
B.  x – 2   y   1  4 . 2 2 2 2
C.  x – 2   y –  1  4 .
D.  x  2   y –  1  4 .
Câu 335. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn C  2 2
: x  y – 2x  4 y –11  0 . Trong
các đường tròn sau, đường tròn nào không bằng đường tròn C ? A. 2 2
x  y  2x – 15  0 . B. 2 2
x  y – 8x  0 . 2 2 C. 2 2
x  y  6x – 2 y – 5  0 .
D.  x – 2007   y  2008  16 .
Câu 336. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho ba điểm I 4; –2 , M  –3;5 , M 1  ;1 . Phép vị
tự V tâm I tỷ số k , biến điểm M thành M  . Khi đó giá trị của k là: 7 7 3 3 A.  . B. . C.  . D. . 3 3 7 7
Câu 337. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 2x  3y – 1  0 và điểm
I  –1;3 , phép vị tự tâm I tỉ số k  –3 biến đường thẳng d  thành đường thẳng d . Khi đó
phương trình đường thẳng d là:
A. 2x  3y  25  0 .
B. 2x  3y – 25  0 .
C. 2x  3y  27  0 .
D. 2x  3y – 27  0 .
Câu 338. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn lần lượt có phương trình: 7 C  2 2
: x  y – 2x  6 y – 6  0 và C 2 2
: x  y – x  y –
 0 . Giả sử C là ảnh của C qua 2
phép đồng dạng tỉ số k , khi đó giá trị của k là: 1 1 A. . B. 2 . C. . D. 4 . 2 4
Câu 339. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A4;5 . Hỏi A là ảnh của điểm nào trong 
các điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ v  2;  1 ? A. B 3  ;1 .
B. C 1;6 .
C. D 4;7 .
D. E 2;4 .
Câu 340. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm I 1;2 và M 3; – 
1 . Trong bốn điểm sau đây điểm
nào là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I A. A2  ;1 .
B. B  –1;5 .
C. C  –1;3 .
D. D 5; –4 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 82
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D B B B D A A C A B C A D D A B A A
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C D C B B C C C C B D A D D D C B C D D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B C B B A A A D C D B D C A B D D A B A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 B C A B A D A C D A D D D D A D B A B B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 C B D A D B A B A C D D D C B C A D B B
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D C B B C B C A D A B A C D B C C D A C
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B C B D B A B A B A C B C B A D A D D D
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 C C D B C C B A D D B B C D D B A C B D
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 C D A A C B C A B C B A B D A A D A C A
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 B A A D B C D C A D B B B C C C A D C D
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 B D D D B D C A C B C B D B D A B C A B
221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 B A B B B D B B C D D D B D A C D B A B
241 242 243 2244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 C B B B A C C B D B A D C D C D B C B D
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 D D C B B C C B C B C D C D D A D D C B
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 C D C A B B C D B C A A D B D C A D D A
301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 C C C B D A C B A D A D A A D D B C B B
321 322 323 324 325 326 326 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 B A A A D D D A D A C C D A C D B B D B Tài liệu tham khảo: [1]
Trần Văn Hạo - Hình học 11 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [2]
Trần Văn Hạo - Bài tập Hình học 11 CB- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [3]
Trần Văn Hạo - Hình học 11 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [4]
Trần Văn Hạo - Bài tập Hình học 11 NC- Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam [5]
Nguyễn Kiếm - Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 11 tập 2 (NXB ĐHQG 2007). [6]
Một số tài liệu khác sưu tầm trên internet mà không rõ nguồn.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 83 MỤC LỤC
CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Vấn đề 1. PHÉP BIẾN HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN - PHÉP DỜI HÌNH
Dạng 1. Tìm ảnh của hình H cho trước qua một phép tịnh tiến T ....................................... 1 u
Dạng 2. Xác định phép tịnh tiến T ....................................................................................... 2 u
Dạng 3. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép tịnh tiến T 3 u
Dạng 4. Áp dụng phép tịnh tiến T vào dựng hình ................................................................. 4 u
Dạng 5. Chứng minh hai hình bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc ........................ 5
Dạng 6. Tích của các phép tịnh tiến ....................................................................................... 6
Dạng 7. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến .......................................................................... 6
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1 ........................................................................................ 7
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................... 8
Vấn đề 2. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Dạng 1. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất ........................................................................... 13
Dạng 2. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép đối xứng trục Đ ...................................... 14 
Dạng 3. Áp dụng phép đối xứng trục Đ vào dựng hình 15 
Dạng 4. Áp dụng phép đối xứng trục Đ vào chứng minh hình học .................................... 16 
Dạng 5. Tích của các phép đối xứng trục ............................................................................. 17
Dạng 6. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ................................................................ 17
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2 ...................................................................................... 18
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 19
Vấn đề 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Dạng 1. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép đối xứng tâm Đ ...................................... 23 I
Dạng 2. Áp dụng phép đối xứng tâm Đ vào dựng hình ....................................................... 24 I
Dạng 3. Áp dụng phép đối xứng tâm Đ vào chứng minh ................................................... 26 I
Dạng 4. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ................................................................ 26
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 3 ...................................................................................... 27
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 28
Vấn đề 4. PHÉP QUAY
Dạng 1. Xác định phép quay ............................................................................................... 31
Dạng 2. Tìm ảnh của một hình  H  cho trước qua phéo quay Q
.................................. 32 O, 
Dạng 3. Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) bằng phép quay Q
............................................... 33 O, 
Dạng 4. Áp dụng phép quay Q
vào dựng hình ............................................................... 34 O, 
Dạng 5. Áp dụng phép quay Q
vào chứng minh ............................................................ 35 O, 
Dạng 6. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất ........................................................................... 36
Dạng 7. Tích của các phép quay .......................................................................................... 37
Dạng 8. Biểu thức tọa độ của phép quay ............................................................................. 38
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 4 ...................................................................................... 39
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 39
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 84
Vấn đề 5. PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
Dạng 1. Sử dụng tọa độ cho phép dời hình .......................................................................... 42
Dạng 2. Chứng minh hai hình (H) và (H) bằng nhau .......................................................... 43
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 5 ....................................................................................... 44
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 45
Vấn đề 6. PHÉP VỊ TỰ
Dạng 1. Xác định phép vị tự ................................................................................................ 49
Dạng 2. Áp dụng phép vị tự vào chứng minh ...................................................................... 50
Dạng 3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự .............................................................................. 51
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 5 ...................................................................................... 52
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 53
Vấn đề 7. PHÉP ĐỒNG DẠNG
Dạng 1. Xác định phép đồng dạng ....................................................................................... 56
Dạng 2. Áp dụng phép đồng dạng vào chứng minh ............................................................. 58
Dạng 3. Chứng minh hai hình (H) và (H) đồng dạng .......................................................... 58
Dạng 4. Biểu thức tọa độ của phép đồng dạng ..................................................................... 59
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 7 ...................................................................................... 60
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................. 60
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2 ...................................................................................... 62
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ
1-2. PHÉP TỊNH TIẾN ....................................................................................................... 65
3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ............................................................................................... 68
4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ................................................................................................. 70
5. PHÉP QUAY .................................................................................................................. 72
6. PHÉP DỜI HÌNH ............................................................................................................ 74
7. PHÉP VỊ TỰ ................................................................................................................... 74
8. PHÉP ĐỒNG DẠNG ...................................................................................................... 77
ÔN TẬP CHƯƠNG I .......................................................................................................... 79
BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ....................................................................................................... 82
MỤC LỤC ........................................................................................................................................... 83
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: HH11-C1

Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng – Trần Quốc Nghĩa

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Đề cương giữa kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Thanh Khê – Đà Nẵng

Đề cương giữa kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Sơn Động 3 – Bắc Giang

Đề cương giữa kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Châu Văn Liêm – Cần Thơ

Tài liệu chuyên Toán chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 GDPT 2018 – Võ Công Trường