1
§2 Phép thế và dấu của phép thế 1. (trang 13) (a)
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 · = = (2 5 4). 2 4 5 1 3 4 3 5 1 2 1 5 3 2 4
Đây là một xích độ dài 3, có dấu bằng 1. Hơn nữa 1 2 3 4 5−1 1 2 3 4 5 = = (2 4 5). 1 5 3 2 4 1 4 3 5 2 (b)
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 · = = (2 4). 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 1 4 3 2 5
Đây là một phép chuyển trí, có dấu bằng -1. Hơn nữa (2 4)−1 = (2 4).
(c) (1 2)(2 3) · · · (n − 1 n) = (1 2 · · · n − 1 n).
Đây là một xích độ dài n (và cũng là tích của n − 1 phép chuyển trí), có dấu bằng (−1)n−1. Hơn nữa
(1 2 · · · n − 1 n)−1 = (1 n n − 1 · · · 2).
2. (trang 14) Số tất cả các cặp (i, j) với 1 ≤ i < j ≤ n là C2. Hơn nữa, 1 ≤ i < j ≤ n n
⇔ 1 ≤ n + 1 − j < n + 1 − i ≤ n.
Bây giờ, nếu cặp (i, j) là một nghịch thế của σ, tức là i < j nhưng σ(i) > σ(j), thì
cặp (n + 1 − j, n + 1 − i) không là nghịch thế của τ , vì n + 1 − j < n + 1 − i và
τ (n + 1 − j) = σ(j) < σ(i) = τ (n + 1 − i).
Trái lại, nếu (i, j) không là một nghịch thế của σ thì (n + 1 − j, n + 1 − i) lại là nghịch
thế của τ . Từ đó suy ra số nghịch thế của τ bằng C2 − k, trong đó k là số nghịch thế n của σ.