Phép thử là gì? Biến cố là gì? Xác suất của biến cố là gì?
1. Phép thử là gì?
Phép thử là một thí nghiệm (hành động, thử nghiệm) mà kết quả xảy ra có tính ngẫu nhiên, không
đoán trước được. Mặc dù vậy, ta vẫn có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả của phép thử
đó. Phép thử là cách gọi tắt của “phép thử ngẫu nhiên”.Phép thử được kí hiệu bằng chữ “T”.
Không gian mẫu được hiểu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử T và được kí
hiệu là “Ω” (đọc là omega).
Ví dụ 1: Thả một con súc sắc trong trò chơi là một phép thử ngẫu nhiên. Không gian mẫu Ω = {1;2;3;4;5;6}
Ví dụ 2: Bắn một phát súng vào một cái bia là một phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu: Ω = {trúng; không trúng}
Ví dụ 3: Tung một đồng xu một lần là một phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu của kết quả là Ω = {ngửa; sấp}.
Tung một đồng xu hai lần thì không gian mẫu của hai lần tung sẽ được mở rộng thành: Ω = {NN;SS;NS;SN}
2. Biến cố là gì? 2.1. Định nghĩa
Giả sử Ω là không gian mẫu của một phép thử ngẫu nhiên T.
- Nếu A là tập hợp con của Ω thì ta nói A là biến cố
- Trong kết quả của việc thực hiện phép thử T, nếu có một phần tử nào của biến cố xảy ra thì các
em có thể nói “biến cố A xảy ra”.
Ví dụ: trong tình huống của ví dụ 1, không gian mẫu của con súc sắc Ω = {1;2;3;4;5;6}
Gọi A là biến cố “Các mặt xuất hiện lẻ chấm”. Khi đó A = {1;3;5}
Hay trong tình huống của ví dụ 3, khi tung đồng xu 2 lần, gọi A là biến cố “cả hai lần xuất hiện
mặt giống nhau” thì A = {SS;NN} 2.2. Phân loại
Có hai loại biến cố là biến cố chắc chắn và biến cố không thể.
Giả sử Ω là không gian mẫu của phép thử ngẫu nhiên T, ta có các định nghĩa như sau:
- Biến cố A được gọi là biến cố ngẫu nhiên, nếu A ≠ Ø (rỗng) và A là tập con của Ω.
- Tập không gian mẫu Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
- Tập rỗng Ø được gọi là biến cố không thử (gọi tắt là biến cố không).
Ngoài ra, còn có các loại biến cố khác như:
- Biến cố sơ cấp: là biến cố không thể phân tích được nữa.
Ví dụ: Xét phép thử “tung một đồng xu 2 lần”, biến cố A: “cả 2 lần xuất hiện mặt sấp” và biến cố
B: “cả hai lần xuất hiện mặt ngửa” gọi là các biến cố sơ cấp. Còn biến cố C: “tung được hai mặt
giống nhau” không là biến cố sơ cấp vì C có thể phân tích thành A⋃B.
- Biến cố ngẫu nhiên: là biến có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Phép thử mà
các biến cố của nó là các biến cố ngẫu nhiên gọi là phép thử ngẫu nhiên. Ta thường dùng các chữ
cái A, B, C,.. để kí hiệu cho biến cố ngẫu nhiên.
- Biến cố độc lập: Biến cố độc lập: các biến cố được gọi là độc lập khi và chỉ khi việc xảy ra biến
cố này không ảnh hưởng tới việc xảy ra tập biến cố còn lại. Như vậy có thể thấy nếu hai biến cố
A, B là độc lập thì các biến cố đối của nó cũng là độc lập.
- Nhóm biến cố đầy đủ: Các biến cố A1, A2, …, An được gọi là nhóm biến cố đầy đủ nếu chúng
xung khắc từng đôi và tổng của chúng là biến cố chắc chắn (không gian biến cố, không gian mẫu).
2.3. Phép toán giữa các biến cố trong cùng 1 phép thử
Giả sử Ω là không gian mẫu của phép thử T và E, F là các biến cố cùng liên quan đến phép thử T,
ta có các định nghĩa và các kết quả sau:
- Biến cố đồng nhất / Biến cố tương đương
Định nghĩa: Hai biến cố E và F là đồng nhất hay tương đương với nhau khi và chỉ khi “Tập E bằng tập F”. Kí hiệu: E = F
- Hợp và giao giữa các biến cố
Giả sử E, F là hai biến cố bất kì của cùng một phép thử T. Ta có định nghĩa sau:
+ Tập E U F được gọi là hợp của các biến cố E và F. E U F xảy ra khi và chỉ khi E xảy ra hoặc F xảy ra.
+ Tập E ⋂ F được gọi là giao của các biến cố E và F. E ⋂ F xảy ra khi và chỉ khi E và F đồng thời
xảy ra. Biến cố E F còn được viết là E.F.
Ví dụ: hai lớp A, B đều có sinh viên sống tại Hà Nội. Chọn ngẫu nhiên mỗi lớp 1 sinh viên. Gọi A
là biến cố “chọn được sinh viên sống ở Hà Nội ở lớp A”, B là biến cố “chọn được sinh viên sống
ở Hà Nội ở lớp A”, C là biến cố “cả hai sinh viên sống ở Hà Nội”. Rõ ràng C xảy ra khi và chỉ khi
cả A và B cùng xảy ra. Vậy C = A.B
- Hai biến cố xung khắc
Hai biến cố E và F là xung khắc với nhau khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra hay E ⋂ F = Ø.
Ví dụ: hai biến cố "Mặt xúc sắc là số lẻ" và "Mặt súc xắc là số chẵn" là hai biến cố xung khắc vì
khi xảy ra biến cố này thì không xảy ra biến cố kia. - Biến cố đối
Định nghĩa: Nếu E là biến cố liên quan đến phép thử T thì tập Ω \ E cũng là một biến cố liên quan
đến phép thử T và được gọi là biến cố đối của biến cố E, kí hiệu là Ē.
Chú ý: Từ định nghĩa trực tiếp suy ra: Ē = “Không xảy ra biến cố E”.
Từ đó ta có: Ē xảy ra <=> E không xảy ra.
Ē là phần bù của E trong Ω.
F là biến cố đối của biến cố E thì E là biến cố đối của biến cố F (E và F là hai biến cố đối nhau). Đồng thời ta có:
( E và F là hai biến cố đối nhau) <=> E U F = Ω và E ⋂ F = ∅
Ví dụ: Gieo một con súc sắc
Gọi E là biến cố: ”Các mặt của súc sắc xuất hiện chấm số chẵn” => E = {2;4;6}.
Gọi F là biến cố: ”Các mặt của súc sắc xuất hiện chấm số lẻ” => F = {3;5;7}.
Ta thấy E U F = Ω và E ⋂ F = ∅ nên E và F là biến cố đối của nhau.
3. Xác suất của biến cố là gì?
“Xác suất” chỉ xét với các phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn kết quả có thể xảy ra.
Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử T và phép thử T có một số hữu hạn kết quả có thể có,
đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số    
là xác suất của biến cố A. Kí hiệu là . Trong đó:
- n(A) là số phần tử của tập hợp A, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến cố A -    
là số phần tử của không gian mẫu Ω, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T. Tính chất:
Quy tắc cộng xác suất: - A, B xung khắc hay ) thì - Nếu =>
Quy tắc nhân xác suất: A, B độc lập =>
A, B gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra của biến cố kia.
4. Bài tập vận dụng của phép thử và biến cố
Trong một chiếc hộp đựng 6 thẻ nhựa đỏ, 8 thẻ nhựa xanh, 10 thẻ nhựa trắng. Lấy ngẫu nhiên 4
thẻ nhựa. Tính số phần tử của: Không gian mẫu. Các biến cố: A: “Trong 4 thẻ lấy ra có đúng 2 thẻ
màu trắng”. B: “Trong 4 thẻ lấy ra có ít nhất 1 thẻ màu đỏ”. C: “Trong 4 thẻ lấy ra có đủ 3 màu đỏ, xanh, trắng”. Hướng dẫn giải: Ta có: n(Ω) = C4(24) =10626
Số cách chọn 4 thẻ nhựa có đúng 2 thẻ màu trắng: C2(10).C2(14) = 4095 ⇒ n(A)=4095
Số cách lấy 4 thẻ nhựa mà không có thẻ màu đỏ được chọn: C4(18)
⇒n(B)=C4(24) − C4(18) =7566
Số cách lấy 4 thẻ nhựa chỉ có 1 màu : C4(6) +C4(8) +C4(10)
Số cách lấy 4 thẻ nhựa chỉ có đúng 2 màu: C4(14) +C4(18) +C4(16) −2(C4(6) +C4(8) +C 4(10)) = 5291
Số cách lấy 4 thẻ nhựa đủ 3 màu: C4(24) − 5291 − (C4(6)+ C4(8) +C4(10))=5040 ⇒n(C)=5040