Phiếu bài tập môn Giải tích 1 | Trường Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ

Phiếu bài tập Giải Tích 1 Buổi 7 1. Tính các tích phân sau Z (a) w ln w dw Z ln x (b) dx x2 Z (c) (x2 + 2x) cos x dx Z (d) t2 sin βt dt Z (e) cos−1 x dx Z √ (f) ln x dx Z (g) t4 ln t dt Z (h) tan−1(2y) dy Z (i) t csc2 t dt Z (j) x cosh ax dx Z (k) (ln x)2 dx Z z (l) dz 10z Z (m) e3x cos x dx Z (n) ex sin πx dx 2. (a) Chứng minh rằng Z π/2 n − 1 Z π/2 sinn x dx = sinn−2 x dx n 0 0
với n ≥ 2 là một số nguyên. (b) Tính Z π/2 Z π/2 sin3 x dx và sin5 x dx. 0 0 1
(c) Chứng minh rằng, với lũy thừa lẻ của sin, ta có Z π/2 2 · 4 · 6 · . . . · 2n sin2n+1 x dx = .
3 · 5 · 7 · . . . · (2n + 1) 0
(d) Chứng minh rằng, với lũy thừa chẵn của sin, Z π/2
1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1) π sin2n x dx = · . 2 · 4 · 6 · . . . · 2n 2 0
3. Công thức tích Wallis cho π Đặt Z π/2 In = sinn x dx. 0 (a) Chứng minh rằng I2n+2 ≤ I2n+1 ≤ I2n.
(b) Sử dụng Bài tập 2 để chứng minh rằng I2n+2 2n + 1 = . I2n 2n + 2
(c) Sử dụng kết quả (a) và (b) để chứng minh rằng 2n + 1 I ≤ 2n+1 ≤ 1, 2n + 2 I2n I2n+1 và suy ra rằng limn→∞ = 1. I2n
(d) Sử dụng (c) cùng với Bài tập 55 và 56 để chứng minh rằng 2 2 4 4 6 6 2n 2n π lim · · · · · · . . . · · = . n→∞ 1 3 3 5 5 7 2n − 1 2n + 1 2
Công thức này thường được viết dưới dạng một tích vô hạn: π 2 2 4 4 6 6 = · · · · · · . . . 2 1 3 3 5 5 7
và được gọi là tích Wallis. 4. Tính các tích phân sau Z (a) sin3 x cos2 x dx Z (b) cos6 y sin3 y dy 2 Z π/2 (c) cos9 x sin5 x dx 0 Z π/4 (d) sin5 x dx 0 Z (e) sin5(2t) cos2(2t) dt Z (f) cos3 t sin2 t dt 2 2 Z π/2 (g) cos2 θ dθ 0 Z π/4 (h) sin2(2θ) dθ 0 Z π (i) cos4(2t) dt 0 Z π (j) sin2 t cos4 t dt 0
5. Chứng minh công thức, trong đó m và n là các số nguyên dương:
(a) R π sin(mx) cos(nx) dx = 0 −π (0, nếu m ̸= n, (b) R π sin(mx) sin(nx) dx = −π π, nếu m = n, (0, nếu m ̸= n, (c) R π cos(mx) cos(nx) dx = −π π, nếu m = n.
6. Một chuỗi Fourier hữu hạn được cho bởi tổng N X f (x) =
an sin(nx) = a1 sin x + a2 sin 2x + · · · + aN sin(N x). n=1
Chứng minh rằng hệ số am được cho bởi công thức 1 Z π am = f (x) sin(mx) dx. π −π 7. Tính các tích phân Z 3 dx (a) (x2 − 1)3/2 2 Z 2/3 √ (b) 4 − 9x2 dx 0 3 Z 1/2 √ (c) x 1 − 4x2 dx 0 Z 2 dt (d) √ 0 4 + t2 √ Z 3 x2 − 9 (e) dx x3 1 Z 1 dx (f) (x2 + 1)2 0 Z a √ (g) x2 a2 − x2 dx 0 √ Z 3/4 √ (h) 1 − 4x2 dx 1/4 Z 1 x (i) √ dx 0 x2 − 7 Z 1 x (j) √ dx 0 1 + x2 √ Z 1 1 + x2 (k) dx x 0 Z 0.3 x (l) dx (9 − 25x2)3/2 0 8. Tính các tích phân sau Z 5 (a) dx (x − 1)(x + 4) Z x − 12 (b) dx x2 − 4x Z 5x + 1 (c) dx (2x + 1)(x − 1) Z y (d) dy (y + 4)(2y − 1) Z 1 2 (e) dx 2x2 + 3x + 1 0 Z 1 x − 4 (f) dx x2 − 5x + 6 0 Z 1 (g) dx x(x − a) Z 1 (h) dx (x + a)(x + b) 4 Z x2 (i) dx x − 1 Z 3t − 2 (j) dt t + 1 Z 2 4y2 − 7y − 12 (k) dy y(y + 2)(y − 3) 1 Z 2 3x2 + 6x + 2 (l) dx x2 + 3x + 2 1 Z 1 x2 + x + 1 (m) dx (x + 1)2(x + 2) 0 Z 3 x(3 − 5x) (n) dx (3x − 1)(x − 1)2 2 Z dt (o) (t2 − 1)2 Z 3x2 + 12x − 20 (p) dx x4 − 8x2 + 16
9. Một phương pháp làm chậm sự phát triển của quần thể côn trùng mà không cần
sử dụng thuốc trừ sâu là đưa vào quần thể một số con đực vô sinh giao phối với
con cái nhưng không sinh ra con non. (Ví dụ: ruồi ốc vít, loài dịch hại đầu tiên
được loại bỏ khỏi một vùng bằng phương pháp này.)
Kí hiệu P là số lượng côn trùng cái trong quần thể và S là số lượng con đực vô
sinh được đưa vào mỗi thế hệ. Gọi r là tốc độ sinh sản bình quân đầu người của
con cái (nếu bạn tình không phải vô sinh). Khi đó quần thể con cái được liên hệ với thời gian t bởi Z P + S t = dP. P [(r − 1)P − S]
Giả sử một quần thể côn trùng có 10.000 con cái, phát triển với tốc độ r = 1.1 và
ban đầu đưa vào 900 con đực vô sinh. Hãy tính tích phân để đưa ra một phương
trình liên hệ số lượng côn cái P theo thời gian t. (Lưu ý rằng phương trình kết
quả không thể giải tường minh cho P .) 5