Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải phương trình vô tỷ – Vũ Hồng Phong

Tài liệu gồm 52 trang trình bày phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải phương trình vô tỷ do thầy giáo Vũ Hồng Phong biên soạn. Tài liệu nêu sơ lược về phương pháp giải kèm theo rất nhiều các ví dụ điển hình.

197 99 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 10

Môn: Toán 10

Thông tin:

52 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
KIỂU ĐẶT ẨN PHỤ CỦA VŨ HỒNG PHONG
Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT TIÊN DU 1;BẮC NINH
(2-8-2016)
(đây là một dạng trong tài liệu:
MỘT HƢỚNG MỚI TẠO RA PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ )
Từ bài viết của tác giả:
DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI
MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ĐẶC BIỆT
To¸n häc vµ tuæi trÎ (tháng 9 năm 2015)
Khi gÆp mét ph-¬ng tr×nh cã d¹ng
wQvPu
n
m
..
(víi u,v, w,P,Q lµ c¸c biÓu thøc chøa Èn ) mµ ta nhÈm ®-îc
c¸c h»ng sè e,f vµ c¸c biÓu thøc
0
P
,
0
Q
chøa Èn tho¶ m·n:
QfPeQfPe
wQvPu
nm
..).().(
..
00
00
(*)
th× ta xö lÝ ph-¬ng tr×nh ®ã nh- sau:
§Æt
aP
m
;
bQ
n
suy ra
Pa
m
;
Qb
n
Ta cã hÖ PT:
(**)
Gi¶i hÖ PT(**) ta t×m ®-îc c¸c nghiÖm (a;b)
§Õn ®©y PT,hÖ PT ®· cho sÏ trë nªn ®¬n gi¶n h¬n !
L-u ý: tõ (*) ta thÊy hÖ PT(**) lu«n cã nghiÖm (a,b) =
);(
00
QP
Sau ®©y là c¸c vÝ dô
VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh
176242
3
22
xxxxx
Ph©n tÝch:
Ta cã:
)762()42(2)1(
121
2232
xxxxx
xx
nªn PT nµy ta nhÈm ®-îc e =f =1 vµ
);(
00
QP
=
)2;1( x
Lêi gi¶i
§Æt
axx
2
42
;
bxx
3
2
762
Suy ra
92
232
xxba
(1)
Tõ PT ®· cho ta cã
1 xba
bxa 1
(2)
Thay vµo (1) ta ®-îc:
92)1(
232
xxbbx
922221
2322
xxbbxbxbx
04228
23
xbxbbb
0)243)(2(
2
xbbb
2
2 b
hoÆc
xbb 243
2
(3)
+Tõ (2) cã
1 bax
thay vµo PT(3) ®-îc
)1(243
2
babb
abb 26
2
(4)
Cã
5
4
23
)
2
1
()4(
2
bVT
562)2(62422)4(
22
xxxVP
Suy ra PT(4) v« nghiÖm. Do đó PT(3) vô nghiệm
+Víi b = 2 thay vµo (2) ®-îc
1 xa
Suy ra
2762
142
3
2
2
xx
xxx
8762
)1(42
01
2
22
xx
xxx
x
0162
1
2
xx
x
2
113
x
VËy PT ®· cho cã 1 nghiÖm
2
113
x
VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh
23431.86207
22
xxxxxx
Ph©n tÝch: Víi PT nµy ta nhÈm ®-îc e=1; f=3 vµ
);(
00
QP
=
)1;22( x
v×
)431.(3)86207(1.3)22(
231.22
2222
xxxxx
xxx
Lêi gi¶i §Æt a =
86207
2
xx
, b =
2
431 xx
Suy ra
7843
222
xxba
(1)
Tõ PT ®· cho cã: a +xb = 2x + 3
a = 3x + 2 – bx
Thay vµo (1) ta ®-îc
7843)23(
222
xxbbxx
7843641249
222222
xxbbxbxxxbx
0345)46()3(
2222
xxbxxbx
0]345)3)[(1(
22
xxbxb
3
345
1
2
2
x
xx
b
b
+Víi b = 1 th× a = 2x+2, khi ®ã cã hÖ
1431
2286207
2
2
xx
xxx
1431
)22(86207
022
2
22
xx
xxx
x
0304
090123
1
2
2
xx
xx
x
342
1
x
x
342 x
+Víi b =
3
345
2
2
x
xx
3
154
4)154(16
2
2
2
x
xx
xx
(2)
+ NÕu
0154
2
xx
th× VT(2) < 4 < VP(2)
+ NÕu
0154
2
xx
th× VT(2) > 4 > VP(2)
3
+ NÕu
0154
2
xx
th× VT(2) = 4 = VP(2)
Khi
0154
2
xx
th×
xxa
b
423
4
xxx
xx
286207
4431
2
2
22
2
)2(86207
16431
02
xxx
xx
x
0)154(6
0154
2
2
2
xx
xx
x
192
2
x
x
x=
192
VËy PT ®· cho cã 2 nghiÖm
192,342 xx
VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh
)2.(.21
)1.(41120
3
22
23
xyxyxy
yxx
Ph©n tÝch:
Víi PT(2) ta nhÈm ®-îc e =f =1 vµ
);(
00
QP
=
)1;( yx
v×
)()21(1)(
1.
2222
yxxyyx
xyyx
Lêi gi¶i: ®iÒu kiÖn
021 xy
§Æt
axy 21
;
byx
3
22
Suy ra
12
2232
xyyxba
(3)
Tõ (2) ta cã a + yb = x
ybxa
(4) thay
vµo (3) ®-îc
12)(
2232
xyyxbbyx
0)1()1(21
223
bybxyb
0)]1(21)[1(
22
byxybbb
1 b
hoÆc
0)1(21
22
byxybb
(5)
+Cã
0
3
22
byx
nªn
0
2
bb
;
01b
NÕu
xy21
0)1(
2
by
th×
0
2
1
y
xy
(v« lý)
VËy 2 sè kh«ng ©m
xy21
vµ
)1(
2
by
kh«ng ®ång thêi b»ng 0
nªn
0)1(21
2
byxy
do ®ã
0)5( VT
Suy ra PT(5) v« nghiÖm
+Víi b = 1 thay vµo (4) ®-îc
yxa
Suy ra
1
21
3
22
yx
yxxy
1
)(21
0
22
2
yx
yxxy
yx
1
22
yx
yx
(*)
kÕt hîp hÖ PT(*) víi PT(1) ta cã hÖ:
1
41120
22
23
yx
yxx
yx
22
23
1
)1(41120
xy
xxx
yx
4
22
23
1
0411420
xy
xxx
yx
4
3
2
1
2
y
x
yx
(I) hoÆc
25
9
5
4
2
y
x
yx
(II)
Gi¶i hÖ PT (I) vµ (II) ta ®-îc nghiÖm (x;y) lµ:
)
2
3
;
2
1
(
;
)
5
3
;
5
4
(
vµ
)
5
3
;
5
4
(
VËy hÖ PT ®· cho cã 3 nghiÖm (x;y) lµ :
)
2
3
;
2
1
(
;
)
5
3
;
5
4
(
vµ
)
5
3
;
5
4
(
bµi tËp
bµi 1 Gi¶i ph-¬ng tr×nh
a)
4
3
3
2
3
24
4
91212
x
x
xx
c)
1
2
1
27.6
2
3
3
22
xxxx
b)
4)1(653
22
xxxxxx
d)
6467242.27482
22
xxxxxx
bµi 2 Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh
a)
xxyyyx
yx
12.2
8
65
22
33
b)
yxyxyx
yxyx
424
3533
222
3333
c)
2
3
2
.45
128
3
22
2
2
yx
xyx
xxy
Sau đây là phần bổ xung thêm các thí dụ dạng này:
Dạng :đặt ẩn phụ không hoàn toàn kiểuVũ Hồng Phong
Một số thí dụ của dạng này tác giả đã nêu ở phần đặt ẩn phụ ở phần trên. Sau đây là các thí
dụ bổ xung
Thí dụ 1 Giải phương trình
1213
34234
xxxxxx
Hướng dẫn.
5
1213
34234
xxxxxx
Dễ thấy x=1 là nghiệm của phương trình
Xét
1x
Đặt
02;013
34234
bxxaxxx
Suy ra mối liên hệ:
)(*)12)(1(12
22322
xxxxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)1 xba
Giải (*) và (**) suy ra:
1
)12)(1())((
2
xba
xxxbaba
1
12
2
xba
xxba
1
2
2
xb
xxa
2234
22234
2
)1(2
)1(13
0
xxx
xxxx
xx
2
51
0)1)(1(
0
2
2
x
xxx
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
2
51
;1
xx
Cánh khác: nhân liên hợp tìm đƣợc tổng hiệu 2 căn
Việc tạo ra phương trình loại này cũng không quá khó khăn. Xin nêu cách tạo ra một phương
trình đơn giản của dạng này như sau:
Đầu tiên ta định hướng các căn sẽ bằng gì sau khi biến đổi
Thí dụ tác giả muốn cả 2 căn đều bằng
1
2
x
Còn ở thí dụ 1 thì ta chọn :
12;13
2342234
xxxxxxxx
Bước tiếp theo là chọn ra mối liên hệ giữa các ẩn (cần tạo ra PT khó thì phải khéo léo),tác giả
xin nêu ra một liên hệ đơn giản là:
(*)242)1()1(
24222222
xxxxba
Còn ở thí dụ 1 thì ta chọn :
)12)(1(12
22322
xxxxxba
Bước quan trọng nhất là khéo léo chọn a,b(chọ a hay b trước tùy bài) để được nghiệm theo ý
muốn.
Thí dụ tác giả muốn nghiệm đẹp nên chọn a :
1
24
xxxa
Từ (*) suy ra
13
24
xxxb
Song song với việc chọn a,b là việc tạo ra PT như thế nào cho việc khống chế các PT sau
khi biến đổi hợp lí.
Thí dụ tác giả tạo ra PT nhẹ nhàng sau:
Thí dụ 2 Giải phương trình
22131
22424
xxxxxxx
Hướng dẫn.
Đặt
1
24
xxxa
13
24
xxxb
Suy ra mối liên hệ:
(*)242)1()1(
24222222
xxxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)1
2
xba
Giải hệ gồm (*) và (**) bằng phương pháp thế ta được
6
11
224
xxxxa
113
224
xxxxb
Giải tiếp suy ra PT đã cho có 2 nghiệm
0;1 xx
Chú ý:
Việc chọn mối liên hệ phức tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ:
.....2
22
ba
.....32
22
ba
.....32
22
ba
.....2
22
ba
.....
3
2
2
1
22
ba
Việc chọn phƣơng trình tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ:
......2 ba
......23 ba
......23 ba
......2
3
1
ba
......2)1( bax
...... xba
Việc chọn căn bậc ba, bậc 4,…..hƣớng tạo ra tƣơng tự
Một số thí dụ khó hơn
Đầu tiên ta định hướng các căn a,blần lượt bằng
1;
24
xx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24822
xxxba
Chọn
02
248
xxxxa
012
4
xxb
Thí dụ 3 Giải phương trình
12)1(12
42248
xxxxxxx
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh
Hướng dẫn chi tiết tạo PT.
Chọn dạng
pnxm )1(
2
Chọn các căn sau khi biến đổi:
1;1;
24
pxnxm
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24822
xxxba
Chọn:
12;1
42
xxnxn
Từ(*) suy ra:
xxxxm
248
2
Việc chọn n hay n trƣớc cần hợp lí.
Đến đây tác giả tin rằng mọi ngƣời sẽ tự tạo ra đƣợc rất nhiều phƣơng trình dạng này
!!!
Hướng dẫn giải:
Đặt
02
248
xxxxa
012
4
xxb
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24822
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**))1(1
2
bxa
Thay a vào (*) ta được
12)1(1
2482
2
2
xxxbbx
0)2()1()1(2)1(1
24222222
xxxxbxbx
7
0
)1(1
)2(
1
22
242
2
x
xxx
b
xb
Dễ thấy
00
)1(1
)2(
22
242
x
x
xxx
X=0 không làm cho b=0
Suy ra
112
24
xxxb
Thay vào (**) đƣợc:
4248
2 xxxxxa
Suy ra
2
51
;1;0
xxx
PT đã cho có 4 nghiệm
2
51
;1;0
xxx
Thí dụ 4 Giải phương trình
32)1(12
234238
xxxxxx
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
02
38
xxa
032
234
xxxb
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24822
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**))1(1
2
bxa
Thay a vào (*) ta được
12)1(1
2482
2
2
xxxbbx
0)2()1()1(2)1(1
24222222
xxxxbxbx
0
)1(1
)2(
1
22
242
2
x
xxx
b
xb
Dễ thấy
00
)1(1
)2(
22
242
x
x
xxx
X=0 không làm cho b=0
Suy ra
132
2234
xxxxb
Thay vào (**) đƣợc:
438
2 xxxa
Suy ra
3
2x
PT đã cho có 1 nghiệm
3
2x
8
Thí dụ 5 Giải phương trình
32)1(12
245258
xxxxxx
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
02
58
axx
032
245
bxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24822
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**))1(1
2
bxa
Thay a vào (*) ta được
12)1(1
2482
2
2
xxxbbx
0)2()1()1(2)1(1
24222222
xxxxbxbx
0
)1(1
)2(
1
22
242
2
x
xxx
b
xb
Dễ thấy
00
)1(1
)2(
22
242
x
x
xxx
X=0không làm cho b=0
Suy ra
132
2245
xxxx
Thay vào (**) đƣợc:
458
2 xxx
Suy ra
5
2x
PT đã cho có 1 nghiệm
5
2x
Thí dụ 6 Giải phương trình
113)1(3
2424212
xxxxxxxx
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
03
212
axxx
013
24
bxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
241222
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)1)1(
24
bxxa
Thay a vào (*) ta được
121)1(
24122
2
24
xxxbbxx
0)2()1()1(2)1(1
246822242224
xxxxxxbxxbxx
0
)1(1
)2(
1
224
24682
2
xx
xxxxx
b
xb
Dễ thấy
00
)1(1
)2(
224
24682
x
xx
xxxxx
9
x=0 không làm cho b=0
Suy ra
113
224
xxxx
Thay vào (**) đƣợc:
6212
3 xxxx
Suy ra
3;0 xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3;0 xx
Thí dụ 7 Giải phương trình
1132)1(32
2424412
xxxxxxxx
Hướng dẫn.
Đặt
032
412
axxx
0132
24
bxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
241222
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)1)1(
24
bxxa
Thay a vào (*) ta được
121)1(
24122
2
24
xxxbbxx
0)2()1()1(2)1(1
246822242224
xxxxxxbxxbxx
0
)1(1
)2(
1
224
24682
2
xx
xxxxx
b
xb
Dễ thấy
00
)1(1
)2(
224
24682
x
xx
xxxxx
x=0 không làm cho b=0
Suy ra
1132
224
xxxx
Thay vào (**) đƣợc:
6412
32 xxxx
Suy ra
3
2
3
;0 xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
2
3
;0 xx
Thí dụ 8 Giải phương trình
12)1(12
424212
xxxxxxx
Hướng dẫn.
Đặt
012
212
axxx
02
4
bxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
241222
xxxba
10
Pt đã cho trở thành:
(**)1)1(
24
bxxa
Thay a vào (*) ta được
121)1(
24122
2
24
xxxbbxx
0)2()1()1(2)1(1
246822242224
xxxxxxbxxbxx
0
)1(1
)2(
1
224
24682
2
xx
xxxxx
b
xb
Dễ thấy
00
)1(1
)2(
224
24682
x
xx
xxxxx
x=0 không làm cho b=0
Suy ra
12
24
xxx
Thay vào (**) đƣợc:
6212
12 xxxx
Suy ra
2
1
;1 xx
PT đã cho có 2 nghiệm
2
1
;1 xx
Thí dụ 9 Giải phương trình
13)1(22
424212
xxxxxxx
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
022
212
axxx
03
4
bxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
241222
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)1)1(
24
bxxa
Thay a vào (*) ta được
121)1(
24122
2
24
xxxbbxx
0)2()1()1(2)1(1
246822242224
xxxxxxbxxbxx
0
)1(1
)2(
1
224
24682
2
xx
xxxxx
b
xb
Dễ thấy
00
)1(1
)2(
224
24682
x
xx
xxxxx
x=0 không làm cho b=0
Suy ra
13
24
xxx
Thay vào (**) đƣợc:
6212
22 xxxx
11
Suy ra
4
171
x
PT đã cho có 2 nghiệm
4
171
x
Thí dụ 10 Giải phương trình
33)1(1232
4228
xxxxxx
Hướng dẫn.
Đặt
0232
28
axxx
033
4
bxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24822
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**))1(1
2
bxa
Thay a vào (*) ta được
12)1(1
2482
2
2
xxxbbx
0)2()1()1(2)1(1
24222222
xxxxbxbx
0
)1(1
)2(
1
22
242
2
x
xxx
b
xb
Dễ thấy
00
)1(1
)2(
22
242
x
x
xxx
x=0không làm cho b=0
Suy ra
133
24
xxx
Thay vào (**) đƣợc:
428
232 xxxx
Suy ra
2
1
;2 xx
PT đã cho có 2 nghiệm
2
1
;2 xx
Thí dụ 11 Giải phương trình
43)1(1332
4228
xxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
0332
28
axxx
043
4
bxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24822
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**))1(1
2
bxa
Thay a vào (*) ta được
12)1(1
2482
2
2
xxxbbx
0)2()1()1(2)1(1
24222222
xxxxbxbx
12
0
)1(1
)2(
1
22
242
2
x
xxx
b
xb
Dễ thấy
00
)1(1
)2(
22
242
x
x
xxx
x=0không làm cho b=0
Suy ra
143
24
xxx
Thay vào (**) đƣợc:
428
332 xxxx
Suy ra
4
333
x
PT đã cho có 2 nghiệm
4
333
x
Thí dụ 12 Giải phương trình
3)1(32
2436
xxxxxx
Hướng dẫn.
Đặt
032
36
axx
03
24
bxx
Suy ra mối liên hệ:
234622
2 xxxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa )1(
Thay a vào (*) ta được
23462
2
2)1( xxxxbbxx
0)2()()1(2)1(1
22222
xxxxxbxxbx
)(0
)1(1
)2(
2
22
2
loai
x
xxx
b
xxb
(vì x=0không làm cho b=0)
Suy ra
xxxx
224
3
Thay vào (**) đƣợc:
336
32 xxx
Suy ra
3
2
3
x
PT đã cho có 1 nghiệm
3
2
3
x
Thí dụ 13 Giải phương trình
20)1(202
4236
xxxxxx
Hướng dẫn.
13
Đặt
0202
236
axxx
020
4
bx
Suy ra mối liên hệ:
234622
2 xxxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa )1(
Thay a vào (*) ta được
23462
2
2)1( xxxxbbxx
0)2()()1(2)1(1
22222
xxxxxbxxbx
)(0
)1(1
)2(
2
22
2
loai
x
xxx
b
xxb
(vì x=0không làm cho b=0)
Suy ra
xxx
24
20
Thay vào (**) đƣợc:
3236
202 xxxx
Suy ra
2x
PT đã cho có 1 nghiệm
2x
Thí dụ 14 Giải phương trình
3)1(32
2463
xxxxxx
Hướng dẫn.
Đặt
032
3
ax
03
246
bxxx
Suy ra mối liên hệ:
234622
2 xxxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa )1(
Thay a vào (*) ta được
23462
2
2)1( xxxxbbxx
0)2()()1(2)1(1
22222
xxxxxbxxbx
)(0
)1(1
)2(
2
22
2
loai
x
xxx
b
xxb
(vìx=0không làm cho b=0)
Suy ra
xxxxx
2246
3
Thay vào (**) đƣợc:
33
32 xx
Suy ra
3
336
3);(1)0(032 xloaixxxx
PT đã cho có 1 nghiệm
3
3x
14
Thí dụ 15 Giải phương trình
1)1(12
2463
xxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
012
3
ax
01
246
bxxx
Suy ra mối liên hệ:
234622
2 xxxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa )1(
Thay a vào (*) ta được
23462
2
2)1( xxxxbbxx
0)2()()1(2)1(1
22222
xxxxxbxxbx
)(0
)1(1
)2(
2
22
2
loai
x
xxx
b
xxb
(vì x=0không làm cho b=0)
Suy ra
xxxxx
2246
1
Thay vào (**) đƣợc:
33
12 xx
Suy ra
3
2336
21)0,0(012 xxxxxx
PT đã cho có 1 nghiệm
3
21x
Thí dụ 16 Giải phương trình
1)1(13
23463
xxxxxxx
Hướng dẫn.
Đặt
013
3
ax
01
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
234622
2 xxxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa )1(
Thay a vào (*) ta được
23462
2
2)1( xxxxbbxx
0)2()()1(2)1(1
22222
xxxxxbxxbx
)(0
)1(1
)2(
2
22
2
loai
x
xxx
b
xxb
(vì x=0không làm cho b=0)
Suy ra
xxxxxx
22346
1
Thay vào (**) đƣợc:
33
13 xx
Suy ra
15
3
2336
2
53
)0,0(013
xxxxxx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
2
53
x
Thí dụ 17 Giải phương trình
2)1(23
23463
xxxxxxx
Hướng dẫn.
Đặt
023
3
ax
02
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
234622
2 xxxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa )1(
Thay a vào (*) ta được
23462
2
2)1( xxxxbbxx
0)2()()1(2)1(1
22222
xxxxxbxxbx
)(0
)1(1
)2(
2
22
2
loai
x
xxx
b
xxb
(vì x=0không làm cho b=0)
Suy ra
xxxxxx
22346
2
Thay vào (**) đƣợc:
33
23 xx
Suy ra
3
2336
2
1
)0,0(023
x
x
xxxxx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
2;1 xx
Thí dụ 18 Giải phương trình
23)1(25
23463
xxxxxxx
Hướng dẫn.
Đặt
025
3
ax
023
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
234622
2 xxxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa )1(
Thay a vào (*) ta được
23462
2
2)1( xxxxbbxx
0)2()()1(2)1(1
22222
xxxxxbxxbx
)(0
)1(1
)2(
2
22
2
loai
x
xxx
b
xxb
(vì x=0không làm cho b=0)
Suy ra
xxxxxx
22346
23
16
Thay vào (**) đƣợc:
33
25 xx
Suy ra
3
2336
2
175
)0,0(025
xxxxxx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
2
175
x
Thí dụ 19 Giải phương trình
1
3
)1(36
24
6
3
xx
x
xxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
ĐK:
3
2
1
x
Đặt
036
3
ax
01
3
24
6
bxx
x
Suy ra mối liên hệ:
(*)3633
234622
xxxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa )1(
Thay a vào (*) ta được
23462
2
3633)1( xxxxbbxx
0)24()()1(2)1(3
23222
xxxxxxbxxbx
)(0
)1(3
)24(
2
23
2
loai
x
xxxx
b
xxb
Suy ra
xxxx
x
224
6
1
3
Thay vào (**) đƣợc:
33
36 xx
Suy ra
036...
36
1
3
36
33
224
6
xx
xx
xxxx
x
3
63x
PT đã cho có 2 nghiệm
3
63x
Thí dụ 20 Giải phương trình
1
2
)1(24
24
6
3
xx
x
xxx
Hướng dẫn.
17
ĐK:
3
2
1
x
Đặt
024
3
ax
01
2
24
6
bxx
x
Suy ra mối liên hệ:
(*)2423
234622
xxxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa )1(
Thay a vào (*) ta được
23462
2
2422)1( xxxxbbxx
0)13()()1(2)1(2
23222
xxxxxxbxxbx
)(0
)1(3
)13(
2
23
2
loai
x
xxxx
b
xxb
Suy ra
xxxx
x
224
6
1
2
Thay vào (**) đƣợc:
33
24 xx
Suy ra
024...
24
1
2
36
33
224
6
xx
xx
xxxx
x
3
22 x
PT đã cho có 2 nghiệm
3
22 x
Thí dụ 21 Giải phương trình
1
5
)1(510
24
6
3
xx
x
xxx
Hướng dẫn.
ĐK:
3
2
1
x
Đặt
0510
3
ax
01
5
24
6
bxx
x
Suy ra mối liên hệ:
(*)51055
234622
xxxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa )1(
Thay a vào (*) ta được
23462
2
51055)1( xxxxbbxx
0)46()()1(2)1(5
23222
xxxxxxbxxbx
)(0
)1(5
)46(
2
23
2
loai
x
xxxx
b
xxb
18
Suy ra
xxxx
x
224
6
1
5
Thay vào (**) đƣợc:
33
510 xx
Suy ra
3
36
33
224
6
5250510...
510
1
5
xxx
xx
xxxx
x
PT đã cho có 2 nghiệm
3
525 x
Thí dụ 22 Giải phương trình
424.34
23463
xxxxxxx
Hướng dẫn.
ĐK:
3
4
3
x
Đặt
034
3
ax
0424
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa .
Thay a vào (*) ta được
12
2462
2
xxxbxbx
0)12)(1(21
242222
xxxbxbx
)(0
1
12
1
2
24
2
loai
x
xx
b
xb
Suy ra
1424
22346
xxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
33
34 xx
Suy ra
3
36
33
22346
3
1
034
1
...
34
1424
x
x
xx
x
xx
xxxxx
PT đã cho có 2 nghiệm
1;3
3
xx
Thí dụ 23 Giải phương trình
4252.
2
35
2346
3
xxxxxx
x
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
19
ĐK:
3
5
3
x
Đặt
0
2
35
3
a
x
04252
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)1222
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa .
Thay a vào (*) ta được
1222
2462
2
xxxbxbx
0)132)(1(421
242222
xxxbxbx
)(0
21
)132(
1
2
24
2
loai
x
xx
b
xb
Suy ra
14252
22346
xbxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
3
3
2
35
xa
x
Suy ra
3
36
3
3
22346
2
3
1
0352
1
...
2
35
14252
x
x
xx
x
x
x
xxxxx
PT đã cho có 2 nghiệm
1;
2
3
3
xx
Thí dụ 24 Giải phương trình
3252.
2
25
2346
3
xxxxxx
x
Hướng dẫn.
ĐK:
3
5
2
x
Đặt
0
2
25
3
a
x
03252
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)1222
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa .
Thay a vào (*) ta được
1222
2462
2
xxxbxbx
0)132)(1(421
242222
xxxbxbx
)(0
21
)132(
1
2
24
2
loai
x
xx
b
xb
20
Suy ra
13252
22346
xbxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
3
3
2
25
xa
x
Suy ra
3
36
3
3
22346
2
0252
1
...
2
25
13252
x
xx
x
x
x
xxxxx
PT đã cho có 1 nghiệm
3
2x
Thí dụ 25 Giải phương trình
5272.
2
47
2346
3
xxxxxx
x
Hướng dẫn.
ĐK:
3
7
4
x
Đặt
0
2
47
3
a
x
05272
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)1222
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa .
Thay a vào (*) ta được
1222
2462
2
xxxbxbx
0)132)(1(421
242222
xxxbxbx
)(0
21
)132(
1
2
24
2
loai
x
xx
b
xb
Suy ra
15272
22346
xbxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
3
3
2
47
xa
x
Suy ra
3
36
3
3
22346
4
177
0472
1
...
2
47
15272
x
xx
x
x
x
xxxxx
PT đã cho có 1 nghiệm
3
4
177
x
Thí dụ 26 Giải phương trình
5282.24
23463
xxxxxxx
21
Hướng dẫn.
ĐK:
3
2
1
x
Đặt
024
3
ax
05282
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)1222
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa .
Thay a vào (*) ta được
1222
2462
2
xxxbxbx
0)132)(1(421
242222
xxxbxbx
)(0
21
)132(
1
2
24
2
loai
x
xx
b
xb
Suy ra
15282
22346
xbxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
33
24 xax
Suy ra
3
36
33
22346
22
024
1
...
24
15282
x
xx
x
xx
xxxxx
PT đã cho có 1 nghiệm
3
22 x
Thí dụ 27 Giải phương trình
3262.13
23463
xxxxxxx
Hướng dẫn.
ĐK:
3
3
1
x
Đặt
013
3
ax
03262
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)1222
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
bxxa .
Thay a vào (*) ta được
1222
2462
2
xxxbxbx
0)132)(1(421
242222
xxxbxbx
)(0
21
)132(
1
2
24
2
loai
x
xx
b
xb
Suy ra
13262
22346
xbxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
33
13 xax
22
Suy ra
3
36
33
22346
2
53
013
1
...
13
13262
x
xx
x
xx
xxxxx
PT đã cho có 1 nghiệm
3
2
53
x
Thí dụ 28 Giải phương trình
1244)
2
1
(12
34623
xxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
012
3
ax
01244
346
bxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)44
4622
xxba
Pt đã cho trở thành:
(**))
2
1
(
2
bxxa
Thay a vào (*) ta được
462
2
2
44)
2
1
( xxbbxx
0)
2
3
2(2)
2
1
(2)
2
1
(1
242222
xxxbxxbx
0
)
2
1
(1
)
2
3
2(
2
2
24
2
x
xx
b
xb
Ta thấy
00
2
1
1
2
3
4
2
24
x
x
xx
Khi x=0 thì b không tồn tại
Suy ra
2346
21244 xbxxx
Thay vào (**) đƣợc:
33
212 xax
Suy ra
3
36
33
2346
4
51
0124
0
...
212
21244
x
xx
x
xx
xxxx
PT đã cho có 1 nghiệm
3
4
51
x
23
Thí dụ 29 Giải phương trình
1644)
2
1
(16
34623
xxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
ĐK:
3
6
1
x
Đặt
016
3
ax
01644
346
bxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)44
4622
xxba
Pt đã cho trở thành:
(**))
2
1
(
2
bxxa
Thay a vào (*) ta được
462
2
2
44)
2
1
( xxbbxx
0)
2
3
2(2)
2
1
(2)
2
1
(1
242222
xxxbxxbx
0
)
2
1
(1
)
2
3
2(
2
2
24
2
x
xx
b
xb
Suy ra
2346
21644 xbxxx
Thay vào (**) đƣợc:
33
216 xax
Suy ra
3
36
33
2346
4
53
0164
0
...
216
21644
x
xx
x
xx
xxxx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
4
53
x
Thí dụ 30 Giải phương trình
2744)
2
1
(27
34623
xxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
ĐK:
3
7
2
x
Đặt
027
3
ax
02744
346
bxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)44
4622
xxba
24
Pt đã cho trở thành:
(**))
2
1
(
2
bxxa
Thay a vào (*) ta được
462
2
2
44)
2
1
( xxbbxx
0)
2
3
2(2)
2
1
(2)
2
1
(1
242222
xxxbxxbx
0
)
2
1
(1
)
2
3
2(
2
2
24
2
x
xx
b
xb
Suy ra
2346
22744 xbxxx
Thay vào (**) đƣợc:
33
227 xax
Suy ra
3
36
33
2346
177
2
1
0274
0
...
227
22744
x
xx
x
xx
xxxx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
177
2
1
x
Thí dụ 31 Giải phương trình
3
110128
)
2
1
(
2
1
5
346
23
xxx
xxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
ĐK:
3
10
1
x
Đặt
0
2
1
5
3
ax
0
3
110128
346
b
xxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12832
4622
xxba
Pt đã cho trở thành:
(**))
2
1
(
2
bxxa
Thay a vào (*) ta được
462
2
2
1283)
2
1
(2 xxbbxx
0)54(2)
2
1
(4)
2
1
(23
242222
xxxbxxbx
25
0
)
2
1
(23
)54(
2
2
24
2
x
xx
b
xb
Suy ra
2
346
2
3
110128
xb
xxx
Thay vào (**) đƣợc:
33
2
2
1
5 xax
Suy ra
3
36
33
2
346
175
2
1
01108
0
...
2
2
1
5
2
3
110128
x
xx
x
xx
x
xxx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
175
2
1
x
Thí dụ 32 Giải phương trình
3
210128
)
2
1
(15
346
23
xxx
xxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
ĐK:
3
5
1
x
Đặt
015
3
ax
0
3
210128
346
b
xxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12832
4622
xxba
Pt đã cho trở thành:
(**))
2
1
(
2
bxxa
Thay a vào (*) ta được
462
2
2
1283)
2
1
(2 xxbbxx
0)54(2)
2
1
(4)
2
1
(23
242222
xxxbxxbx
0
)
2
1
(23
)54(
2
2
24
2
x
xx
b
xb
Suy ra
2
346
2
3
210128
xb
xxx
26
Thay vào (**) đƣợc:
33
215 xax
Suy ra
3
36
33
2
346
4
1
1
0154
0
...
215
2
3
210128
x
x
xx
x
xx
x
xxx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
4
1
;1 xx
Thí dụ 33 Giải phương trình
(*)4345
2346
3
3
xxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Do
0(*) VP
nên
045(*)
3
3
xxVT
xx
3
3
45
33
45 xx
3
3
3
2
046 xx
Đặt
ax
3
3
45
043
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(**)2
234623
xxxxba
Pt đã cho trở thành:
*)*(*bax
Thay b vào (**) ta được
234623
2)( xxxxxaa
022
34263
xxaxaxa
**)*(*0]2)[(
24222
xxaxaxaxa
Do
0(*) axVP
và
3
3
2
x
nên
xxaxaxa 2
2422
0)(
2422
xxxaxaxa
Suy ra
2
**)*(* xa
2
3
3
45 xax
Thay vào (***) đƣợc:
xxbxxxx
22346
43
Suy ra
3
36
22346
2
3
3
4
1
045...
43
45
x
x
xx
xxxxxx
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
4;1 xx
Chú ý: từ PT
(*)4345
2346
3
3
xxxxxx
Sửa số 4 thành 1 trong các số 1,2,3,…chẳng hạn số 3 ta đƣợc PT sau:
27
Thí dụ 34 Giải phương trình
(*)3335
2346
3
3
xxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Do
0(*) VP
nên
035(*)
3
3
xxVT
xx
3
3
35
33
35 xx
3
3
2
1
036 xx
Đặt
ax
3
3
35
033
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(**)2
234623
xxxxba
Pt đã cho trở thành:
*)*(*bax
Thay b vào (**) ta được
234623
2)( xxxxxaa
022
34263
xxaxaxa
**)*(*0]2)[(
24222
xxaxaxaxa
Do
0(*) axVP
và
3
2
1
x
nên
xxaxaxa 2
2422
0)(
2422
xxxaxaxa
Suy ra
2
**)*(* xa
2
3
3
35 xax
Thay vào (***) đƣợc:
xxbxxxx
22346
33
Suy ra
3
36
22346
2
3
3
2
135
035...
33
35
xxx
xxxxxx
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
2
135
x
Thí dụ 35 Giải phương trình
(*)2325
2346
3
3
xxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Do
0(*) VP
nên
025(*)
3
3
xxVT
xx
3
3
25
33
25 xx
3
3
3
1
026 xx
Đặt
ax
3
3
25
023
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(**)2
234623
xxxxba
Pt đã cho trở thành:
28
*)*(*bax
Thay b vào (**) ta được
234623
2)( xxxxxaa
022
34263
xxaxaxa
**)*(*0]2)[(
24222
xxaxaxaxa
Do
0(*) axVP
và
3
3
1
x
nên
xxaxaxa 2
2422
0)(
2422
xxxaxaxa
Suy ra
2
**)*(* xa
2
3
3
25 xax
Thay vào (***) đƣợc:
xxbxxxx
22346
23
Suy ra
3
36
22346
2
3
3
2
175
025...
23
25
xxx
xxxxxx
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
2
175
x
Chú ý: từ PT
(*)4345
2346
3
3
xxxxxx
Sửa số -3 thành -4 thì sửa số 5 thành 6 (-3+5=-4+6=2)ta đƣợc PT sau:
Thí dụ 36 Giải phương trình
(*)4446
2346
3
3
xxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Do
0(*) VP
nên
046(*)
3
3
xxVT
xx
3
3
46
33
46 xx
3
3
7
4
047 xx
Đặt
ax
3
3
46
044
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(**)2
234623
xxxxba
Pt đã cho trở thành:
*)*(*bax
Thay b vào (**) ta được
234623
2)( xxxxxaa
022
34263
xxaxaxa
**)*(*0]2)[(
24222
xxaxaxaxa
29
Do
0(*) axVP
và
3
7
4
x
nên
xxaxaxa 2
2422
0)(
2422
xxxaxaxa
Suy ra
2
**)*(* xa
2
3
3
46 xax
Thay vào (***) đƣợc:
xxbxxxx
22346
44
Suy ra
3
36
22346
2
3
3
53046...
44
46
xxx
xxxxxx
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
53x
Chú ý: từ PT
(*)4345
2346
3
3
xxxxxx
Sửa số -3 thành -5 thì sửa số 5 thành 7 (-3+5=-5+7=2)ta đƣợc PT sau:
Thí dụ 37 Giải phương trình
(*)4547
2346
3
3
xxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Do
0(*) VP
nên
047(*)
3
3
xxVT
xx
3
3
47
33
47 xx
3
3
2
1
048 xx
Đặt
ax
3
3
47
047
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(**)2
234623
xxxxba
Pt đã cho trở thành:
*)*(*bax
Thay b vào (**) ta được
234623
2)( xxxxxaa
022
34263
xxaxaxa
**)*(*0]2)[(
24222
xxaxaxaxa
Do
0(*) axVP
và
3
2
1
x
nên
xxaxaxa 2
2422
0)(
2422
xxxaxaxa
Suy ra
2
**)*(* xa
2
3
3
47 xax
Thay vào (***) đƣợc:
xxbxxxx
22346
45
Suy ra
30
3
36
22346
2
3
3
2
337
047...
45
47
xxx
xxxxxx
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
2
337
x
Nhƣ vậy việc tạo ra phƣơng trình dạng này không khó khăn,thậm chí từ 1 phƣơng
trình ta có thể tạo ra nhiều phƣơng trình tƣơng tự.
Tác giả: Vũ Hồng Phong
Thí dụ 38 Giải phương trình
14348231
2346
3
3
xxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
ax
3
3
23
014348
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)1448
24623
xxxba
Pt đã cho trở thành:
01(**)1 aba
Thay b vào (*) ta được
1448)1(
24623
xxxaa
04248
24263
xaxaxa
0]2242)[2(
22222
xaxaxaxa
Do
01 a
nên
2242
2422
xaxaxa
012)1()42(
2422
xaxaxa
Suy ra
2
3
3
223 xax
Thay vào (**) đƣợc:
1214348
2
3
2346
xxxxx
Suy ra
3
36
22346
2
3
3
2
733
2
1
0238...
114348
223
xxx
xxxxx
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
2
733
2
1
x
Chú ý
1448)1(
24623
xxxaa
24623
4482 xxxaaa
)2()(
2
xfaf
ttttf 2)(
23
ttttf .0223)('
2
Suy ra f(t) đồng biên nên
22
2)2()( xaxfaf
Thí dụ 39 Giải phương trình
423.53
23463
xxxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
31
Hướng dẫn.
Đặt
053
3
ax
0423
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)xxba
Thay a vào (*) ta được
12)(
24622
xxxbxxb
0)1)(1(2)1(
42222
xxbxbx
)(0
1
1
1
2
4
2
loai
x
x
b
xb
Suy ra
1423
22346
xxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
33
53 xax
Suy ra
3
36
22346
33
2
293
053
0
1423
53
x
xx
x
xxxxx
xx
PT đã cho có 1 nghiệm
3
2
293
x
Thí dụ 40 Giải phương trình
424.34
23463
xxxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
034
3
ax
0424
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)xxba
Thay a vào (*) ta được
12)(
24622
xxxbxxb
0)1)(1(2)1(
42222
xxbxbx
)(0
1
1
1
2
4
2
loai
x
x
b
xb
Suy ra
1424
22346
xxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
33
34 xax
32
Suy ra
3
36
22346
33
3
1
034
0
1424
34
x
x
xx
x
xxxxx
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
3;1 xx
Thí dụ 41 Giải phương trình
123.32
23463
xxxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
032
3
ax
0123
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)xxba
Thay a vào (*) ta được
12)(
24622
xxxbxxb
0)1)(1(2)1(
42222
xxbxbx
)(0
1
1
1
2
4
2
loai
x
x
b
xb
Suy ra
1123
22346
xxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
33
32 xax
Suy ra
3
36
22346
33
2
173
023
0
1123
32
x
xx
x
xxxxx
xx
PT đã cho có 1 nghiệm
3
2
173
x
Thí dụ 42 Giải phương trình
222.23
23463
xxxxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
023
3
ax
0222
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)xxba
Thay a vào (*) ta được
12)(
24622
xxxbxxb
0)1)(1(2)1(
42222
xxbxbx
33
)(0
1
1
1
2
4
2
loai
x
x
b
xb
Suy ra
1222
22346
xxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
33
23 xax
Suy ra
1
032
0
1222
23
36
22346
33
x
xx
x
xxxxx
xx
PT đã cho có 1 nghiệm
1x
Thí dụ 43 Giải phương trình
234
6
3
22
2
5
.34 xxx
x
xxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
034
3
ax
022
2
5
234
6
bxxx
x
Suy ra mối liên hệ:
(*)2422
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)xxba
Thay a vào (*) ta được
2422)(
24622
xxxbxxb
0)2)(1(2)2(
242222
xxxbxbx
)(0
2
2
1
2
24
2
loai
x
xx
b
xb
Suy ra
122
2
5
2234
6
xbxxx
x
Thay vào (**) đƣợc:
034
3
ax
Suy ra
3
36
2234
6
33
3
1
034
0
122
2
5
34
x
x
xx
x
xxxx
x
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
3;1 xx
Thí dụ 44 Giải phương trình
234
6
3
24
2
53
.1
3
8
xxx
x
xxx
34
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
01
3
8
3
ax
024
2
53
234
6
bxxx
x
Suy ra mối liên hệ:
(*)242323
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)xxba
Thay a vào (*) ta được
24232)(3
24622
xxxbxxb
0)23)(1(6)23(
242222
xxxbxbx
)(0
23
23
1
2
24
2
loai
x
xx
b
xb
Suy ra
124
2
53
2234
6
xbxxx
x
Thay vào (**) đƣợc:
01
3
8
3
ax
Suy ra
3
36
2234
6
33
3
74
0383
0
124
2
53
1
3
8
x
xx
x
xxxx
x
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
3
74
x
Thí dụ 45 Giải phương trình
24
36
3
2
2
593
.13 xx
xx
xxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
013
3
ax
02
2
593
24
36
bxx
xx
Suy ra mối liên hệ:
(*)242323
24622
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)xxba
Thay a vào (*) ta được
24232)(3
24622
xxxbxxb
35
0)23)(1(6)23(
242222
xxxbxbx
)(0
23
23
1
2
24
2
loai
x
xx
b
xb
Suy ra
12
2
593
224
36
xbxx
xx
Thay vào (**) đƣợc:
013
3
ax
Suy ra
3
36
224
36
33
2
53
013
0
12
2
593
13
x
xx
x
xxx
xx
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
2
53
x
Thí dụ 46 Giải phương trình
425351
2346
3
3
xxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
ax
3
3
35
0425
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24623
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)1 ba
Thay a vào (*) ta được
)1(12)1(
24623
xxxbb
0)2)(1(
2242
bbbxxxb
1
2
xb
),,02(
224
bxbbbxx
Cách khác giải (1):
)1(12)1(
24623
xxxbb
1)1(3)1(2)1(132
2223223
xxxbbb
)1()(
2
xfbf
1
2
xb
Vì
132)(
23
ttttf
0343)('
2
tttf
f(t) là hàm đồng biến
Suy ra
1425
22346
xbxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
36
3
3
3
35 xax
Suy ra
3
36
22346
3
3
3
2
135
35
1425
35
xxx
xxxxx
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
2
135
x
Thí dụ 47 Giải phương trình
225351
2346
3
3
xxxxx
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
ax
3
3
35
0225
2346
bxxxx
Suy ra mối liên hệ:
(*)12
24623
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)1 ba
Thay a vào (*) ta được
)1(12)1(
24623
xxxbb
0)2)(1(
2242
bbbxxxb
1
2
xb
),,02(
224
bxbbbxx
Cách khác giải (1):
)1(12)1(
24623
xxxbb
1)1(3)1(2)1(132
2223223
xxxbbb
)1()(
2
xfbf
1
2
xb
Vì
132)(
23
ttttf
0343)('
2
tttf
f(t) là hàm đồng biến
Suy ra
1225
22346
xbxxxx
Thay vào (**) đƣợc:
3
3
3
35 xax
Suy ra
3
36
22346
3
3
3
2
375
035
1225
35
xxx
xxxxx
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
3
2
375
x
Thí dụ 48 Giải phương trình
234
6
3
3
22
2
5
341 xxx
x
x
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
37
Hướng dẫn.
Đặt
ax
3
3
34
022
2
5
234
6
bxxx
x
Suy ra mối liên hệ:
(*)2422
24623
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)1 ba
Thay a vào (*) ta được
)1(2422)1(
24623
xxxbb
0)3)(1(
22242
xbbxxxb
1
2
xb
),,03(
2224
bxxbbxx
Cách khác giải (1):
)1(2422)1(
24623
xxxbb
1)1(3)1()1(13
2223223
xxxbbb
)1()(
2
xfbf
1
2
xb
Vì
13)(
23
ttttf
0323)('
2
tttf
f(t) là hàm đồng biến
Suy ra
122
2
5
2234
6
xbxxx
x
Thay vào (**) đƣợc:
3
3
3
34 xax
Suy ra
3
36
2234
6
3
3
3
3
1
034
122
2
5
34
x
x
xx
xxxx
x
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
1;3
3
xx
Thí dụ 49 Giải phương trình
234
6
3
3
22
3
11
861 xxx
x
x
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
Đặt
ax
3
3
86
022
3
11
234
6
bxxx
x
Suy ra mối liên hệ:
(*)3633
24623
xxxba
Pt đã cho trở thành:
(**)1 ba
38
Thay a vào (*) ta được
)1(3633)1(
24623
xxxbb
0)42)(1(
22242
bbxbxxxb
1
2
xb
),.042(
2224
bxbbxbxx
Cách khác giải (1):
)1(3633)1(
24623
xxxbb
1)1(3)1(13
2323
xxbb
)1()(
2
xfbf
1
2
xb
Vì
13)(
3
tttf
033)('
2
ttf
f(t) là hàm đồng biến
Suy ra
122
3
11
2234
6
xbxxx
x
Thay vào (**) đƣợc:
3
3
3
34 xax
Suy ra
3
3
36
2234
6
3
3
3
4
2
086
122
3
11
86
x
x
xx
xxxx
x
xx
PT đã cho có 2 nghiệm
33
4;2 xx
Thí dụ 50 Giải hệ phương trình
)2(
22
122)1(
2
44
)1(54.43
24
222
3
22
xx
xxxxy
xyxyxy
Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn tạo PT.
Chọn dạng
pnym
3
Chọn các căn sau khi biến đổi:
xpnyxm ;2;2
3
Suy ra mối liên hệ:
(*)844
2232
xyyxba
Pt cần tạo trở thành:
(**)ybxa
Thử giải hệ PT gồm(*) và (**) ta thấy cần chọn để có đk xy và b dương thì sẽ loại bỏ được
trường hợp phức tạp nên có thể chọn:
43 xym
Từ(*) suy ra:
54
22
yxn
Việc chọn n hay m trước ta phải linh động
Hướng dẫn.
Đặt
4
3
xy
Đặt
043 axy
39
054
3
22
byx
Suy ra mối liên hệ:
(*)844
2232
xyyxba
Pt (1)đã cho trở thành:
(**)ybxa
Thay a vào (*) ta được
844)(
2232
xyyxbybx
04428
2223
ybyxyxybb
0)2242)(2(
222
ybyxybbb
2 b
02)24(20;
4
3
222
ybyxybbbxy
yxab 22
Ta có:
34
02
254
243
22
3
22
yx
yx
yx
yxxy
22
34 xy
Thay vào PT(2) có
22
122)1(
2
1
24
222
xx
xxxxx
122)222(22)1(
22242
xxxxxxx
122122)122()1()1(
222232
xxxxxxxx
)122()1(
22
xxfxf
tttf
3
)(
013)('
2
ttf
Suy ra f(t) đồng biến nên
)122()1(
22
xxfxf
3
322
2
0
0)2(1221
x
x
xxxxx
Với
2
3
4
3
0
2
yyx
Đối chiếu các đk
02;
4
3
yxxy
ta lấy
)
2
3
;0( yx
Với
2
43
4
43
2
33
2
3
yyx
Đối chiếu các đk
02;
4
3
yxxy
ta lấy
)
2
43
;2(
3
3
yx
Hệ PT đã cho có 3 cặp nghiệm
)
2
3
;0( yx
;
)
2
43
;2(
3
3
yx
Thí dụ 51 Giải hệ phương trình
)2(8164382
)1(34.45
22
1
438
3
22
2
2
yxx
xyxyxy
x
xx
Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
40
Hướng dẫn.
Đặt
4
5
xy
Đặt
045 axy
034
3
22
byx
Suy ra mối liên hệ:
(*)844
2232
xyyxba
Pt (1)đã cho trở thành:
(**)ybxa
Thay a vào (*) ta được
844)(
2232
xyyxbybx
04428
2223
ybyxyxybb
0)2242)(2(
222
ybyxybbb
2 b
02)24(20;
4
5
222
ybyxybbbxy
yxab 22
Ta có:
54
02
234
245
22
3
22
yx
yx
yx
yxxy
22
54 xy
Thay vào PT(2) có
624382
22
1
438
2
2
xxx
x
xx
4)22438(2
22
1
438
2
2
xxx
x
xx
Với
)1(2438
22
xxx
402)22438(2
222
1
438
2
2
xxx
x
xx
Với
)1(2438
22
xxx
402)22438(2
222
1
438
2
2
xxx
x
xx
Với
)1(2438
22
xxx
402)22438(2
222
1
438
2
2
xxx
x
xx
4
322
4
3
0
0)34()1(2438
x
x
xxxxx
Với
2
5
4
5
0
2
yyx
Đối chiếu các đk
02;
4
5
yxxy
ta lấy
)
2
5
;0( yx
Với
2
16
9
5
4
16
9
5
4
3
3
3
2
3
yyx
41
Đối chiếu các đk
02;
4
5
yxxy
ta lấy
)
2
16
9
5
;
4
3
(
3
3
yx
Hệ PT đã cho có 2 cặp nghiệm
)
2
5
;0( yx
)
2
16
9
5
;
4
3
(;
3
3
yx
Thí dụ 52 Giải hệ phương trình
)2(
)54(4
22112
2
)1(12.324
24
22
4611
22
22
xx
xyxyx
yxyxyxyx
xxx
Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Hướng dẫn.
ĐK:
2
1
xy
Đặt
3324
22
ayxyx
012 bxy
Suy ra mối liên hệ:
(*)444
2222
xyyxba
Pt (1)đã cho trở thành:
(**)yxba
Thay a vào (*) ta được
(*)444)(
2222
xyyxbyxb
0)222(22)1(
222
xyxxybbx
)(0
1
)222(
2
2
2
loai
x
xyx
b
b
yxab 22
Ta có:
32
02
2324
212
22
xy
yx
yxyxyx
xy
Thay vào PT(2) có
)54(4
5611
2
24
2
4611
22
xx
xx
xxx
4611
2
2222
22
2461112)2(1
xxx
xxx
)4611()2(
22
xxfxf
4
3
2
2
3
1
)02(
2
1
3
0
0)23)(3(46112
2222
yx
yx
yxloaiviyx
khôngcóyx
xxxxxxx
Cách khác:
42
)54(4
5611
2
24
2
4611
22
xx
xx
xxx
0
54
5611
112
24
2
46112
22
xx
xx
xxx
0
54
)23)(3(
12
24
22
46112
)23)(3(
22
22
xx
xxxx
xxx
xxxx
Xét 3 trƣờng hợp…………….
Chú ý: Muốn có hệ đơn giản ta có thể tạo ra hệ PT gồm PT thứ nhất đặt ẩn phụ
không hoàn toàn kiểu của tác giả và PT thứ 2 đơn giản,quen thuộc chẳng hạn:
Thí dụ 53 Giải hệ phương trình
)2(3232
)1(12.3224
2
2
222
x
yyxyxyxyx
xyxyx
Tác giả:Vũ Hồng Phong (ToánB K35 ĐHSP.TN)
Hướng dẫn.
ĐK
1212
2
xyyxy
Đặt
33224
22
ayxyx
012
2
byxy
Suy ra mối liên hệ:
(*)444
2222
xyyxba
Pt (1)đã cho trở thành:
(**)yxba
Thay a vào (*) ta được
(*)444)(
2222
xyyxbyxb
0)222(22)1(
222
xyxxybbx
)(0
1
)222(
2
2
2
loai
x
xyx
b
b
yxab 22
Ta có:
032
02
23224
212
2
22
2
xyy
yx
yxyxyx
yxy
Thay vào PT(2) có
3232
3
x
xx
03232
3
x
xx
3232)(
3
xtf
xx
23ln32ln2)('
3
xx
tf
03ln32ln2)("
232
xx
tf
Suy ra f’(t) đồng biến nên f’(t) có tối đa 1 nghiệm suy ra f(t) có tối đa 2 khoảng đơn điệu
Vì thế f(t) có tối đa 2 nghiệm. suy ra x=2,x=3 là tất cả các nghiệm của f(t)
Với x=2 có:
3
1
034
2
y
y
yy
Với x=3 có:
63036
2
yyy
43
Thí dụ 54 Giải hệ phương trình
(**)
1324
33282
3
343
(*)34)(6389
2
22
2
2
222
xx
xyxyx
x
yxyx
yxyyyxyxyx
Tác giả:Vũ Hồng Phong
Hướng dẫn.
Đk
06389;034
222
yxyxxyy
Đặt
06389
22
ayxyx
034
2
bxyy
Suy ra mối liên hệ:
)1(94129
2222
yxyxba
Pt (*)đã cho trở thành:
ybyxa )(
Thay a vào (1) ta được
94129)(
222
2
yxyxbybyx
0)343(3)(21)(
2322
yxyxbyxybyx
0
1)(
)343(
3
2
22
yx
yxyx
b
b
vì có
03;034
22
xxyy
và
22
3;34 xxyy
không đồng thời bằng 0
với b=3 suy ra
yxa 23
Ta có:
64
023
334
236343
2
2
22
xyy
yx
xyy
yxyxyy
Thay vào PT(**) có
1324
1532
3
93
2
2
2
xx
xx
x
x
1324
)4132)(1324(
3
93
2
22
2
xx
xxxx
x
x
4132
3
93
2
2
xx
x
x
0)1(2132)21(132
2222
xxxxxx
2132
1132
2
22
xx
xxx
4
333
3
0
0332
0)3(
3
2
3
x
x
x
xx
xx
Với
0x
có:
66
2
yy
Với
3
3x
có:
333
2
94632634 yyy
Với
4
333
x
có:
2
33324333
6)333(
2
2
yyy
44
Với
4
333
x
có:
2
33324333
6)333(
2
2
yyy
Kiểm tra đk:
023 yx
ta lấy 4 cặp nghiệm:
0x
6; y
4
333
x
2
33324333
;
2
y
4
333
x
2
33324333
;
2
y
Thí dụ 55 Giải hệ phương trình
(**)1232
(*)1.2
222
2222222
yxyxyy
xyxyxxyyxyxyx
y
Tác giả:Vũ Hồng Phong
Hướng dẫn.
Đk
1
22
yxyx
Đặt
02
22222
ayyxyxyx
01
22
byxyx
Suy ra mối liên hệ:
)1(12
22222
yyyxba
Pt (*)đã cho trở thành:
xxba
Thay a vào (1) ta được
12)(
22222
yyyxbxxb
0)1)(1(21
22222
yxyxybxbx
)(0
1
)1(
1
2
22
l
x
yxyx
b
yb
Ta có:
11
2
22
22222
yyxyx
xyyyxyxyx
1
2
1
1
0
2
2
y
yy
x
y
y
xy
Thay
11
22
yyxyx
vào PT(**) có
022
2
yy
y
22)(
2
yyyf
y
122ln2)(' yyf
y
22ln2)("
2
y
yf
2ln
2
ln022ln2)("
2
2
yyf
y
suy ra f’(y) có tối đa 2 khoảng đơn điệu suy ra f’(y) có tối đa 2 nghiệm suy ra f(y) có tối đa 3
khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa 3 nghiệm
suy ra y=1;y=2;y=3 là tất cả các nghiệm của f(y)
ta loại y=1
Với
2y
có:
226
2
xx
Với
3y
có:
77
2
xx
45
Đối chiếu các điều kiện suy ra hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm:
)3;7(),2;22( yxyx
Thí dụ 56 Giải hệ phương trình
(**)
1222
)12(5
2
4
3
(*)1
1221
22)1(
2
2
122
1
122
1
2222
2
2
2
2
2
yxxy
yxy
yxxyxyyx
xyxyy
xx
x
xx
x
Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh)
Hướng dẫn.
Đk
02
2
yxy
Đặt
0122
2222
ayxxyxyyx
02
2
byxy
Suy ra mối liên hệ:
)1(12
22222
xxyyxba
Pt (*)đã cho trở thành:
1)1(1
1
2)1(
xbya
a
xby
Thay a vào (1) ta được
2222
2
121)1( xxyyxbxyy
0)22()1)(1(21)1(
222
yxyxbyxby
)(0
1)1(
)22(
1
2
2
l
y
yxy
b
xyaxb
Ta có:
xyxy
xyyxxyxyyx
2
1122
2
2222
22
2
0
1
xyxy
x
xy
Thay
22
2 xyxy
vào PT(**) có
0
122
)1(5
23
2
2
122
1
2
122
1
2
2
2
2
xx
x
xx
x
xx
x
Đặt
0
122
1
2
2
t
xx
x
Có:
0523
2
t
tt
ttf
tt
523)(
2
52ln23ln3)('
2
tt
tf
2ln23ln3)("
222 tt
tf
suy ra f’(t) đồng biến, f’(t) có tối đa 1 nghiệm suy ra f(t) có tối đa 2 khoảng đơn điệu nên f(t)
có tối đa 2 nghiệm
suy ra t=1;t=2 là tất cả các nghiệm của f(t)
46
Với
1t
có:
3
3
3
3
2
2
2
31
)1(
2
31
2
00
0)2(1
122
1
y
loaivixyy
x
yx
xx
xx
x
Với
1t
có:
)(01
3
721
)1(
3
721
3
0)1)(3(2
122
1
3
2
2
loaix
y
loaivixyy
x
xx
xx
x
hệ Pt đã cho có 3 cặp nghiệm (x;y):
)
3
721
;3(),
2
31
;2(),0;0(
3
3
Sau đây tác giả nêu vài thí dụ hệ PT dùng 2 phương pháp đặt ẩn phụ đều của tác giả nghĩ
ra(phương pháp sau tác giả dựa vào phép thế Ơ-le trong tính tích phân)
Muốn tìm hiểu rõ phương pháp đặt ẩn phụ kiểu phép thế Ơ-le các bạn có thể tìm ở tạp chí:
Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 468 Tháng 6-2016
Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Hoàn Sơn;Tiên Du;Bắc Ninh)
Thí dụ 57 Giải hệ phương trình
(**)
916
15
14)18(
1616
(*)1122
22
2
4
2
224
x
xx
x
yy
xy
y
x
yyxx
Tác giả:Vũ Hồng Phong (GVTHPT Tiên Du 1,Bắc Ninh)
Hướng dẫn.
Đk
)0:(000
44
yđkyxyxy
Đặt
0122
224
ayyxx
0
4
bxy
Suy ra mối liên hệ:
)1(12
22422
xyxba
Pt (*)đã cho trở thành:
1
2
b
y
x
a
Thay a vào (1) ta được
)1(121
2242
2
2
xyxbb
y
x
0)2(
2
1
224
2
2
2
4
xyxb
y
x
b
y
x
0)2(
2
1
224
2
2
2
4
xyxb
y
x
b
y
x
0)2(21
22422
2
4
xyxybxb
y
x
y
47
)(0
)1(
)2(
1
2
4
224
2
l
y
y
x
xyx
b
xayb
Ta có:
yxy
xyyxx
4
2224
1122
42
0
xyy
y
Thay
42
xyy
vào PT(**) có
916
15
14)18(16
223
x
xxx
Điều kiện
16
9
x
*)*(*
916
30
14)216(32
223
x
xxx
Ta có
14)14()14(6
14128)142(
222
22332
xxxx
xxxxx
14)116(632
223
xxxx
Suy ra
)142(314)116(632*)*(*
2223
xxxxxxVT
)142(3)142(
232
xxxx
Đặt
txx 142
2
xtx 21
2
22
)2(14
02
xtx
xt
14
02
2
ttx
xt
(i)
+ Dễ thấy t = 0 không thoả mãn (i)
+ Xét
0t
t
t
x
t
t
i
4
1
0
2
1
)(
2
2
t
t
x
t
4
1
0
2
Khi này PT(***) trở thành
9
4
1
.16
30
3
2
3
t
t
tt
494
30
3
2
3
tt
t
tt
494
30
3
2
2
tt
t
(do
0t
)
30)494)(3(
22
ttt
018271694
234
tttt
0)354)(3)(2(
2
tttt
0354
3
2
2
tt
t
t
Xét phƣơng trình
0354
2
tt
có
0
nên nó vô nghiệm
48
Do
0t
nên ta chỉ lấy
2t
-Với
2t
thay vào (1) ta đƣợc
8
3
x
Vậy PT(***) có 1 nghiệm
8
3
x
Với
8
3
x
có:
64
94332
4096
81
2
yyy
hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y):
64
94332
;
8
3
Thí dụ 58 Giải hệ phương trình
(**)
3
301011
1
3
2
3
7
1
(*)1232123
223
3
2
2222
yxx
xx
yxyxxyx
Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh)
Hướng dẫn.
Dễ thấy
012 yx
thì
0032(*)
22
yxyx
(không xảy ra)
012(*) yx
Đặt
0123
22
axyx
032
22
byx
Suy ra mối liên hệ:
2222
)2()1( yxba
Pt (*)đã cho trở thành:
yxba 21
Ta có hệ:
021
)21)(21())((
yxba
yxyxbaba
yxba
yxba
21
21
yb
xa
2
1
yyx
xxyx
232
1123
22
22
22
2
0
1
xy
y
x
Thay
22
2xy
vào PT(**) có :
*)*(*
3
7011
1
3
2
3
7
1
23
3
2
xx
xx
+Dễ thấy
0x
không thoả mãn PT (***)
+ Xét
0x
Đặt
11
3
2
3
7
2
txxx
121
3
2
3
7
01
222
xtxtxx
tx
xtxxxt
tx
2673
01
222
)1(
26)73(
01
2
txt
tx
(do
0x
)
Dễ thấy khi
3
7
073
2
tt
49
không thoả mãn (1)
Khi
3
7
t
thì
01
73
26
.
73
26
)1(
2
2
t
t
t
t
t
x
0
73
723
73
26
2
2
2
t
tt
t
t
x
3
7
3
7
73
26
2
t
t
t
t
x
(2)
Với cách đặt trên thay vào PT đã cho ta đƣợc
3
7011
)11(
23
3
xx
tx
233
.
3
7011
x
x
xt
70113
3
xxt
70
73
26
.11
73
26
.3
22
3
t
t
t
t
t
)73(70)26(11)26(3
23
tttt
046866210618
234
tttt
0)1343)(2)(3(6
2
tttt
01343
2
3
2
tt
t
t
3
432
2
3
t
t
t
đối chiếu điều kiện của t ở (2) ta loại
3
432
t
Với t còn lại thay vào (2) ta đƣợc
775,0
43213
4333
;2;1
xxx
đối chiếu điều kiện
775,0
43213
4333
;11
xxx
Với
)(02
2
221
22
ly
y
xyx
Với
)0(
43213
86363
43213
4333
yyx
hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y):
)2:1(
;
)
43213
86363
;
43213
4333
(
50
Thí dụ 59 Giải hệ phương trình
(**)
14
41
28
27
111722
11172
(*)2124965
22
22
222
x
xyx
xyx
yxyxxyx
Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh)
Hướng dẫn.
Dễ thấy
02 yx
thì
)(0524....02124965(*)
2222
vnxxyxyxxyx
(không xảy ra)
02(*) yx
Đặt
0965
22
axyx
0124
2
byx
Suy ra mối liên hệ:
222222
)1()3(1296 yxyyxxba
Pt (*)đã cho trở thành:
13 yxba
Ta có hệ:
013
)13)(13())((
yxba
yxyxbaba
13
)1(3
yxba
yxba
1
3
yb
xa
1124
3965
2
22
yyx
xxyx
22
4
1
3
xy
y
x
Thay
22
4xy
vào PT(**) có :
14
41
28
27
)116)(1(2
11176
2
x
xx
xx
Dễ thấy
1x
không là nghiệm của phƣơng trình
Với
1x
đặt
0)1()116)(1( txxx
(1)
22
)1()116)(1( txxx
2
)1(116 txx
22
11)6( txt
(2)
Dễ thấy
6t
không thoả mãn (2)
Với
6t
suy ra
6
11
2
2
t
t
x
(3)
thay vào (1) ta đƣợc:
0
6
5
)116)(1(
2
t
t
xx
Suy ra
06
6
t
t
(4)
Phƣơng trình đã cho trở thành
14
41
6
11
.
28
27
6
5
2
6
5
2
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
)1252)(19555(700
222
tttt
)1252)(3911(140
222
tttt
51
04681953505522
234
tttt
0)15614322)(3)(1(
2
tttt
44
6721143
3
1
t
t
t
Kiểm tra điều kiện ở (4) ta lấy
3t
và
44
6721143
t
Thay các giá trị t vào (3) ta đƣợc
3
2
x
và
672128615554
58746721286
x
67211437777
29376721143
Với
3
4
1;
9
16
4
3
2
22
yyxyx
Với
672128615554
58746721286
x
1;4;
22
yxy
67211437777
58746721286
y
hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y):
3
4
;
3
2
yx
67211437777
29376721143
x
67211437777
58746721286
;
y
Thí dụ 60 Giải hệ phương trình
(**)75220
(*)
2
14
.154
24
123
1
3
22
2
2
yxyee
y
yx
xxy
yy
y
Hướng dẫn.
Đk:
4
15
xy
Đặt:
0154 axy
0
2
14
3
22
b
yx
Suy ra mối liên hệ:
16)2(2
232
yxba
(1)
Từ phƣơng trình (*) có:
yxba
Thay vào (1) đƣợc:
16)2(2
23
2
yxbyxb
082422)2(
222
xybbxbxb
2 b
082422
222
xybbxbxvì
Suy ra
yxa 2
Ta có :
52
154
02
2
2
14
2154
22
3
22
yx
yx
yx
yxxy
4
15
2
2
y
x
Thay vào(**) đƣợc:
yyyee
yy
y
25
24
123
1
2
2
)123()1(
2
123
221
2
2
yyeye
yy
y
)123()1(
22
yyfyf
2
)( tetf
t
tetf
t
2)('
2)(''
t
etf
2ln02)('' xetf
t
t
Ln2
f”(t)
- 0 +
f’(t)
2-ln4>0
f(t)
Nhƣ vậy f(t) là hàm đồng biến. suy ra
)123()1(
22
yyfyf
21
2
0)12)(2(
01
1231
2
2
22
y
y
yyyy
y
yyy
2
11
4
11
2
2
xxy
2
2212
4
2212
21
2
xxy
Đối chiếu đk suy ra nghiệm hệ đã cho:
21;
2
2212
,2;
2
11
| 1/52
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

KIỂU ĐẶT ẨN PHỤ CỦA VŨ HỒNG PHONG
Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT TIÊN DU 1;BẮC NINH (2-8-2016)
(đây là một dạng trong tài liệu:
MỘT HƢỚNG MỚI TẠO RA PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ )
Từ bài viết của tác giả:
DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI
MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ĐẶC BIỆT
To¸n häc vµ tuæi trÎ (tháng 9 năm 2015)
Khi gÆp mét ph-¬ng tr×nh cã d¹ng u m . P v n . Q w
(víi u,v, w,P,Q lµ c¸c biÓu thøc chøa Èn ) mµ ta nhÈm ®-îc
c¸c h»ng sè e,f vµ c¸c biÓu thøc P , Q chøa Èn tho¶ m·n: 0 0 u P .  v Q .  w  0 0 (*) e.(P m )  f Q n .( )  e P .  f Q . 0 0
th× ta xö lÝ ph-¬ng tr×nh ®ã nh- sau:
§Æt m P a ; n Q b suy ra am P ; bn Qu a .  v b .  w Ta cã hÖ PT:  (**) e am .  f bn .  e P .  f Q .
Gi¶i hÖ PT(**) ta t×m ®-îc c¸c nghiÖm (a;b)
§Õn ®©y PT,hÖ PT ®· cho sÏ trë nªn ®¬n gi¶n h¬n !
L-u ý: tõ (*) ta thÊy hÖ PT(**) lu«n cã nghiÖm (a,b) = (P ;Q ) 0 0 Sau ®©y là c¸c vÝ dô
VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 2  4 2 3 x x  2 2
x  6x  7  x 1 Ph©n tÝch:
x 1 2  x 1
Ta cã: (x )12 23  (24x 2x)(2 2x 6x7)
nªn PT nµy ta nhÈm ®-îc e =f =1 vµ (P ;Q ) = (x  ) 2 ; 1 0 0 Lêi gi¶i §Æt 2  x x2 4
a ; 3 2x2  6x  7  b Suy ra 2 3 2
a b x  2x  9 (1)
Tõ PT ®· cho ta cã a b x 1  a x 1 b (2) Thay vµo (1) ta ®-îc: (x 1 )2 3 2 b
b x  2x  9 2  x 1 2
b  2x  2b  2 3 2
bx b x  2x  9 3  b  8 2
b  2b  2bx  4x  0  (b  )( 2 2
b  3b  4  2x)  0 1
b  2 hoÆc b2  b 3  4  2x (3)
+Tõ (2) cã x a b 1 thay vµo PT(3) ®-îc 2
b  3b  4  ( 2 a b  )
1  b2  b  6  a 2 (4) 1 2 23 Cã VT ( ) 4  (b  )   5 2 4 ( VP ) 4  2 2  4 2
x x  2 6  (x  ) 2 2  2 6  5
Suy ra PT(4) v« nghiÖm. Do đó PT(3) vô nghiệm
+Víi b = 2 thay vµo (2) ®-îc a x 1 x 1  0  2  4x  2 x x 1  Suy ra   2  4x  2 x  (x  ) 1 2 3 2 2
x  6x  7  2  2 2
x  6x  7  8 x  1  3  11   x  2 2
x  6x 1  0 2 3  11
VËy PT ®· cho cã 1 nghiÖm x  2
VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 7 2
x  20x  86  . x 31 4 2
x x  3x  2
Ph©n tÝch: Víi PT nµy ta nhÈm ®-îc e=1; f=3 vµ (P ;Q ) = (2x  ) 1 ; 2 0 0
2x  2  x 1 .  3x  2 v×  (2x  ) 2 2  1 . 3 2  (7 2 x  20x  ) 86  31 .( 3  4x  2 x )
Lêi gi¶i §Æt a = 7 2
x  20x  86 , b = 2
31  4x x Suy ra 2 a  3 2 b  4 2
x  8x  7 (1)
Tõ PT ®· cho cã: a +xb = 2x + 3  a = 3x + 2 – bx Thay vµo (1) ta ®-îc 3 ( x  2  )2 bx  3 2 b  4 2 x  8x  7  9 2 x  4 2 2
b x 12x  4bx  6 2 bx  3 2 b  4 2 x  8x  7  ( 2 x  ) 3 2 b  6 ( 2 x  4 ) x b  5 2
x  4x  3  0  (b  )[( 1 2 x  ) 3 b  5 2 x  4x  ] 3  0 b  1   5 2 x  4x b  3  2 x  3
+Víi b = 1 th× a = 2x+2, khi ®ã cã hÖ 2x  2  0  7 2
x  20x  86  2x  2    7 2
x  20x  86  (2x  ) 2 2  31 4x  2 x  1  31 4x  2 x  1 x  1  x  1  3 2
x  12x  90  0    x  2   34  x  2  34  2
x 4x  30  0 5 2 x  4x  3 +Víi b = 2 x  3 2 x x  2 4 15
 16  (x  4x  ) 15  4  (2) 2 x  3 + NÕu 2
x  4x 15  0 th× VT(2) < 4 < VP(2) + NÕu 2
x  4x 15  0 th× VT(2) > 4 > VP(2) 2 + NÕu 2
x  4x 15  0 th× VT(2) = 4 = VP(2) Khi 2
x  4x 15  0 th× b  4
 31 4x x2  4   
a  3x  2  4x
 7x2  20x 86  2  x 2  x  0 x  2   x  2  31 4x  2 x  16   2
x  4x  15  0     x  2  19  2
7x  20x  86  (2  2 x)  ( 6 2 x  4x  ) 15  0  x=  2  19
VËy PT ®· cho cã 2 nghiÖm x  2   34, x  2   19
VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh 20 3 x 11x  4 2 y ) 1 .(    1 2xy  .3 2 y x  2 y  .( x ) 2 Ph©n tÝch:
Víi PT(2) ta nhÈm ®-îc e =f =1 vµ (P ;Q ) = (x y ) 1 ; 0 0
x y y 1 .  x v× 
(x y)2 12  1 (  2xy)  ( 2 x  2 y )
Lêi gi¶i: ®iÒu kiÖn 1 2xy  0
§Æt 1 2xy a ; 3 x2  y2  b Suy ra 2 3 2 2
a b x y  2xy 1 (3)
Tõ (2) ta cã a + yb = x  a x yb (4) thay
vµo (3) ®-îc (x by)2 3 2 2
b x y  2xy 1 3
b 1 2xy(b  ) 1 2  y ( 2 b  ) 1  0  (b  )[ 1 2
b b 1 2 2
xy y (b  )] 1  0  b  1 hoÆc 2
b b 1 2 2
xy y (b  ) 1  0 (5) +Cã 3 2 2
x y b  0 nªn 2
b b  0 ; b 1  0  xy  1 NÕu 1 2xy 2  y (b  ) 1  0 th×  2 (v« lý) y  0
VËy 2 sè kh«ng ©m 1 2xy vµ 2 y (b  ) 1 kh«ng ®ång thêi b»ng 0 nªn 1 2 2
xy y (b  ) 1  0 do ®ã VT ) 5 (
 0 Suy ra PT(5) v« nghiÖm
+Víi b = 1 thay vµo (4) ®-îc a x y x y  0
 1 2xy x y  Suy ra 
 1 2xy  (x y)2 3 2 x  2 y  1   2 x  2 y  1 x y   (*)  2 x  2 y  1
kÕt hîp hÖ PT(*) víi PT(1) ta cã hÖ: x yx y   20 3
x  11x  4 2 y   3 20x 11x  1 ( 4  2 x )    2 x  2 y  1  2 y  1  2 x 3 x yx y     3 20x  2
4x 11x  4  0  (2x  2 ) 1 5 ( x  ) 4  0    2 y  1  2 x  2 y  1  2 x   x yx y      1  4 x
(I) hoÆcx  (II)  2  5   2 9 2 3 y y    4  25 1  3 4 3 4  3
Gi¶i hÖ PT (I) vµ (II) ta ®-îc nghiÖm (x;y) lµ: ( ; ) ; ( ; ) vµ ( ; ) 2 2 5 5 5 5 1  3 4 3 4  3
VËy hÖ PT ®· cho cã 3 nghiÖm (x;y) lµ : ( ; ) ; ( ; ) vµ ( ; ) 2 2 5 5 5 5 bµi tËp
bµi 1 Gi¶i ph-¬ng tr×nh 2 3 12x 12x  9 4x  2 a) 3 4  x  4 3 3 2 2 1  x x x x   c) 6 .3 7 2 1 2 2 b) 3 2
x  5x  6  x  (x  ) 1 2 x x  4 d) 2 2
x  48x  27  . x 2 2
x  24x  67  4x  6
bµi 2 Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh  3 3 65 x y  a)  8 
x2  y2  2  y. 2xy 1  x
3x3  3y3  x3 y3  35 b) 
 x2  y2  4  x2  2xy  4  y 8 2 xy  2x  1  c)  2 x y 2  2 
 5  4x y  2 .3 x  2  3
Sau đây là phần bổ xung thêm các thí dụ dạng này:
Dạng :đặt ẩn phụ không hoàn toàn kiểuVũ Hồng Phong
Một số thí dụ của dạng này tác giả đã nêu ở phần đặt ẩn phụ ở phần trên. Sau đây là các thí dụ bổ xung
Thí dụ 1 Giải phương trình 4 x  3 3 2 x x 1 4 3
x x  2  x 1 Hướng dẫn. 4 4 x  3 3 2 x x 1 4 3
x x  2  x 1
Dễ thấy x=1 là nghiệm của phương trình Xét x  1 Đặt 4 x  3 3 2
x x 1  a  ; 0 4 3
x x  2  b  0 Su
y ra mối liên hệ: 2 2 a b  2 3 2
x x 1  (x  )( 1 2 2 x x  ) 1 (*)
Pt đã cho trở thàn h: a b x  ( 1 **)
(a b)(a b)  (x  )( 1 2 2 x x
Giải (*) và (**) suy ra: ) 1 
a b x   1
a b  2 2 x x  a  2 x   1  x   
a b x 1 b  2 x  1  2 x x  0  2
x x    0 1 5  4 x  3 3x  2 x  1  2 (x  2 ) 1    x   (  x  )( 1 2 x x  ) 1  0 2  4 x  3 x  2  2 (x  2 ) 1 
PT đã cho có 2 nghiệm 1 5 x  ; 1 x  2
Cánh khác: nhân liên hợp tìm đƣợc tổng hiệu 2 căn
Việc tạo ra phương trình loại này cũng không quá khó khăn. Xin nêu cách tạo ra một phương
trình đơn giản của dạng này như sau:
Đầu tiên ta định hướng các căn sẽ bằng gì sau khi biến đổi
Thí dụ tác giả muốn cả 2 căn đều bằng 2 x  1 Còn ở thí dụ 1 thì ta chọn : 4 x  3 3 2 x x  1 2  x  ; 4 3 x x x  2 2  x 1
Bước tiếp theo là chọn ra mối liên hệ giữa các ẩn (cần tạo ra PT khó thì phải khéo léo),tác giả
xin nêu ra một liên hệ đơn giản là: 2 2 a b  ( 2 x  ) 1 2  ( 2 x  ) 1 2  2 4 x  4 2 x  ( 2 *)
Còn ở thí dụ 1 thì ta chọn : 2 2 a b  2 3 2
x x 1  (x  )( 1 2 2 x x  ) 1
Bước quan trọng nhất là khéo léo chọn a,b(chọ a hay b trước tùy bài) để được nghiệm theo ý muốn.
Thí dụ tác giả muốn nghiệm đẹp nên chọn a : 4 2 a
x x x  1 Từ (*) suy ra 4 b x  3 2
x x  1
Song song với việc chọn a,b là việc tạo ra PT như thế nào cho việc khống chế các PT sau khi biến đổi hợp lí.
Thí dụ tác giả tạo ra PT nhẹ nhàng sau:
Thí dụ 2 Giải phương trình 4 2
x x x 1 4  x  3 2
x x 1  2 2 x  2 Hướng dẫn. Đặt 4 2 a
x x x  1 4 b x  3 2 x x 1
Suy ra mối liên hệ: 2 2 a b  ( 2 x  ) 1 2  ( 2 x  ) 1 2  2 4 x  4 2 x  ( 2 *)
Pt đã cho trở thành: 2
a b x  ( 1 **)
Giải hệ gồm (*) và (**) bằng phương pháp thế ta được 5 4 2 a
x x x  1 2  x 1 4 b x  3 2 x x  1 2  x 1
Giải tiếp suy ra PT đã cho có 2 nghiệm x  ; 1 x  0 Chú ý:
Việc chọn mối liên hệ phức tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ: 2 2 2
a b  ..... 2 2 a  3 2 b  ..... 2 2 a  3 2 b  ..... 2 2 2
a b  ..... 1 2 2 2 a b  ..... 2 3
Việc chọn phƣơng trình tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ: 1
a  2b  ...... 3a  2b  ...... 3a  2b  ......
a  2b  ...... 3 (x  )
1 a  2b  ...... a xb  ......
Việc chọn căn bậc ba, bậc 4,…..hƣớng tạo ra tƣơng tự
Một số thí dụ khó hơn
Đầu tiên ta định hướng các căn a,blần lượt bằng 4 x ; 2 x  1
Suy ra mối liên hệ: 2 2 8 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *) Chọn 8 4 a x x  2 2 x x  0 b  2 4
x x  1  0
Thí dụ 3 Giải phương trình 8 4 x x  2 2
x x  1  ( 2 x  ) 1 2 4 x x  1
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh
Hướng dẫn chi tiết tạo PT.
Chọn dạng m  (x2  ) 1 n p
Chọn các căn sau khi biến đổi: 4 m x ; 2 n x  ; 1 p  1
Suy ra mối liên hệ: 2 2 8 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *) Chọn: 2 4 n x  ;
1 n  2x x  1
Từ(*) suy ra: m x8  x4  2x2  x
Việc chọn n hay n trƣớc cần hợp lí.
Đến đây tác giả tin rằng mọi ngƣời sẽ tự tạo ra đƣợc rất nhiều phƣơng trình dạng này !!! Hướng dẫn giải: Đặt 8 4 a x x  2 2 x x  0 b  2 4
x x  1  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 8 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a  1 ( 2 x  ) 1 ( b **)
Thay a vào (*) ta được  2 1  ( 2 x  ) 1 b 2 8 4
b x x  2 2 x  1  1 ( 2 x  ) 1 2  2 b  ( 2 2 x  ) 1 b  ( 2 x  ) 1 2 x ( 4 2 x x  ) 2  0 6 b  2 x  1     2 x ( 4 x  2 x  ) 2 b   0  1  ( 2 x  ) 1 2 Dễ thấy 2  x ( 4 2 x x  ) 2  0  x  0 1 ( 2 x  ) 1 2 X=0 không làm cho b=0 Suy ra b  2 4 x x  1 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 8 4 2 4 a
x x  2x x x Suy ra 1 5 x  ; 0 x  ; 1 x 2 1 5
PT đã cho có 4 nghiệm x  ; 0 x  ; 1 x  2
Thí dụ 4 Giải phương trình 8 3
x x  2  1 ( 2 x  ) 1 4 3 x x  2 2 x  3
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ni nh Hướng dẫn. Đặt 8 3 a
x x  2  0 4 3 b x x  2 2 x  3  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 8 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a  1 ( 2 x  ) 1 ( b **)
Thay a vào (*) ta được  2 1  ( 2 x  ) 1 b 2 8 4
b x x  2 2 x  1  1 ( 2 x  ) 1 2  2 b  ( 2 2 x  ) 1 b  ( 2 x  ) 1 2 x ( 4 2 x x  ) 2  0 b  2 x  1     2 x ( 4 x  2 x  ) 2 b   0  1  ( 2 x  ) 1 2 Dễ thấy 2  x ( 4 2 x x  ) 2  0  x  0 1 ( 2 x  ) 1 2 X=0 không làm cho b=0 Suy ra 4 3 b x x  2 2 x  3 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 8 3 4 a
x x  2  x Suy ra 3 x  2
PT đã cho có 1 nghiệm 3 x  2 7
Thí dụ 5 Giải phương trình 8 5
x x  2  1  ( 2 x  ) 1 5 4 x x  2 2 x  3
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn. Đặt 8 5
x x  2  a  0 5 4 x x  2 2 x  3  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 8 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a  1 ( 2 x  ) 1 ( b **)
Thay a vào (*) ta được  2 1  ( 2 x  ) 1 b 2 8 4
b x x  2 2 x  1  1 ( 2 x  ) 1 2  2 b  ( 2 2 x  ) 1 b  ( 2 x  ) 1 2 x ( 4 2 x x  ) 2  0 b  2 x  1     2 x ( 4 x  2 x  ) 2 b   0  1  ( 2 x  ) 1 2 Dễ thấy 2  x ( 4 2 x x  ) 2  0  x  0 1 ( 2 x  ) 1 2 X=0không làm cho b=0 Suy ra 5 4 x x  2 2 x  3 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 8 5 4
x x  2  x Suy ra 5 x   2
PT đã cho có 1 nghiệm 5 x   2
Thí dụ 6 Giải phương trình 12 2 x
x  3x  ( 4 2 x x  ) 1 4 2
x x  3x  1 1
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn. Đặt 12 2 x
x  3x a  0 4 2
x x  3x  1  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 12 4
a b xx  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a  ( 4 x 2  x  ) 1 b  ( 1 **)
Thay a vào (*) ta được  2 ( 4 2 x x  ) 1 b   1 2 12 4
b x x  2 2 x  1  1 ( 4 2 x x  ) 1 2  2 b  ( 2 4 2 x x  ) 1 b  ( 2 x  ) 1 2 x ( 8 6 4 2
x x x x  ) 2  0 b  2 x  1     2 x ( 8 x  6 x  4 x  2 x  ) 2 b   0  1  ( 4 x  2 x  ) 1 2 Dễ thấy 2  x ( 8 6 4 2
x x x x  ) 2  0  x  0 1  ( 4 2 x x  ) 1 2 8 x=0 không làm cho b=0 Suy ra 4 2
x x  3x  1 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 12 2 6 x
x  3x x Suy ra x  ; 0 x  3 
PT đã cho có 2 nghiệm x  ; 0 x  3 
Thí dụ 7 Giải phương trình 12 x  2 4 x  3x  ( 4 2 x x  ) 1 4  x  2 2
x  3x  1 1 Hướng dẫn. Đặt 12 x  2 4
x  3x a  0 4  x  2 2
x  3x  1  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 12 4
a b xx  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a  ( 4 x 2  x  ) 1 b  ( 1 **)
Thay a vào (*) ta được  2 ( 4 2 x x  ) 1 b   1 2 12 4
b x x  2 2 x  1  1 ( 4 2 x x  ) 1 2  2 b  ( 2 4 2 x x  ) 1 b  ( 2 x  ) 1 2 x ( 8 6 4 2
x x x x  ) 2  0 b  2 x  1     2 x ( 8 x  6 x  4 x  2 x  ) 2 b   0  1  ( 4 x  2 x  ) 1 2 Dễ thấy 2  x ( 8 6 4 2
x x x x  ) 2  0  x  0 1  ( 4 2 x x  ) 1 2 x=0 không làm cho b=0 Suy ra 4  x  2 2 x  3x  1 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 12 4 6 x
 2x  3x x Suy ra 3 3 x  ; 0 x   2
PT đã cho có 2 nghiệm 3 3 x  ; 0 x   2
Thí dụ 8 Giải phương trình 12 x  2 2
x x 1  ( 4 2 x x  ) 1 4
x x  2 1 Hướng dẫn. Đặt 12 x  2 2
x x 1  a  0 4
x x  2  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 12 4
a b xx  2 2 x  ( 1 *) 9
Pt đã cho trở thành: a  ( 4 2 x x  ) 1 b  ( 1 **)
Thay a vào (*) ta được  2 ( 4 2 x x  ) 1 b   1 2 12 4
b x x  2 2 x  1  1 ( 4 2 x x  ) 1 2  2 b  ( 2 4 2 x x  ) 1 b  ( 2 x  ) 1 2 x ( 8 6 4 2
x x x x  ) 2  0 b  2 x  1     2 x ( 8 x  6 x  4 x  2 x  ) 2 b   0  1  ( 4 x  2 x  ) 1 2 Dễ thấy 2  x ( 8 6 4 2
x x x x  ) 2  0  x  0 1  ( 4 2 x x  ) 1 2 x=0 không làm cho b=0 Suy ra 4 x x  2 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 12 2 6 x
 2x x 1  x Suy ra 1 x   ; 1 x 2
PT đã cho có 2 nghiệm 1 x   ; 1 x  2
Thí dụ 9 Giải phương trình 12 x  2 2
x x  2  ( 4 2 x x  ) 1 4
x x  3 1
Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh Hướng dẫn. Đặt 12 x  2 2
x x  2  a  0 4
x x  3  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 12 4
a b xx  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a  ( 4 x 2  x  ) 1 b  ( 1 **)
Thay a vào (*) ta được  2 ( 4 2 x x  ) 1 b   1 2 12 4
b x x  2 2 x  1  1 ( 4 2 x x  ) 1 2  2 b  ( 2 4 2 x x  ) 1 b  ( 2 x  ) 1 2 x ( 8 6 4 2
x x x x  ) 2  0 b  2 x  1     2 x ( 8 x  6 x  4 x  2 x  ) 2 b   0  1  ( 4 x  2 x  ) 1 2 Dễ thấy 2  x ( 8 6 4 2
x x x x  ) 2  0  x  0 1  ( 4 2 x x  ) 1 2 x=0 không làm cho b=0 Suy ra 4 x x  3 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 12 2 6 x
 2x x  2  x 10 Suy ra 1 17 x 4 
PT đã cho có 2 nghiệm 1  17 x  4
Thí dụ 10 Giải phương trình 8 x  2 2
x  3x  2  1  ( 2 x  ) 1 4 x  3x  3 Hướng dẫn. Đặt 8 x  2 2
x  3x  2  a  0 4
x  3x  3  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 8 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a  1 ( 2 x  ) 1 ( b **)
Thay a vào (*) ta được  2 1  ( 2 x  ) 1 b 2 8 4
b x x  2 2 x  1  1 ( 2 x  ) 1 2  2 b  ( 2 2 x  ) 1 b  ( 2 x  ) 1 2 x ( 4 2 x x  ) 2  0 b  2 x  1     2 x ( 4 x  2 x  ) 2 b   0  1  ( 2 x  ) 1 2 Dễ thấy 2  x ( 4 2 x x  ) 2  0  x  0 1 ( 2 x  ) 1 2 x=0không làm cho b=0 Suy ra 4 x  3x  3 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 8 2 4
x  2x  3x  2  x Suy ra 1 x   ; 2 x 2
PT đã cho có 2 nghiệm 1 x   ; 2 x  2
Thí dụ 11 Giải phương trình 8 x  2 2
x  3x  3  1  ( 2 x  ) 1 4 x  3x  4
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. Đặt 8 x  2 2
x  3x  3  a  0 4
x  3x  4  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 8 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a  1 ( 2 x  ) 1 ( b **)
Thay a vào (*) ta được  2 1  ( 2 x  ) 1 b 2 8 4
b x x  2 2 x  1  1 ( 2 x  ) 1 2  2 b  ( 2 2 x  ) 1 b  ( 2 x  ) 1 2 x ( 4 2 x x  ) 2  0 11 b  2 x  1     2 x ( 4 x  2 x  ) 2 b   0  1  ( 2 x  ) 1 2 Dễ thấy 2  x ( 4 2 x x  ) 2  0  x  0 1 ( 2 x  ) 1 2 x=0không làm cho b=0 Suy ra 4 x  3x  4 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 8 2 4
x  2x  3x  3  x Suy ra  3  33 x 4 
PT đã cho có 2 nghiệm 3  33 x  4
Thí dụ 12 Giải phương trình 6 x  2 3
x  3  x  (x  ) 1 4 2 x x  3 Hướng dẫn. Đặt 6 x  2 3
x  3  a  0 4 2
x x  3  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  3 2 2x x
Pt đã cho trở thành: a x  (x b ) 1
Thay a vào (*) ta được
x  (x  )1b2 2 6 4 3 2
b x x  2x x  1 (x  ) 1 2  2
b  2x(x  ) 1 b  ( 2 x x ) 2 x ( 2 x x  ) 2  0 b  2 x x     2 x ( 2 x x  ) 2 (vì x=0không làm cho b=0) b   ( 0 loai)  1  (x  ) 1 2 Suy ra
x4  x2  3  x2  x Thay vào (**) đƣợc: 6 3 3
x  2x  3  x Suy ra 3 3 x 2
PT đã cho có 1 nghiệm 3 3 x  2
Thí dụ 13 Giải phương trình 6 x  2 3 2
x x  20  x  (x  ) 1 4 x  20 Hướng dẫn. 12 Đặt 6 x  2 3 2
x x  20  a  0 4
x  20  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  3 2 2x x
Pt đã cho trở thành: a x  (x b ) 1
Thay a vào (*) ta được
x  (x  )1b2 2 6 4 3 2
b x x  2x x  1 (x  ) 1 2  2
b  2x(x  ) 1 b  ( 2 x x ) 2 x ( 2 x x  ) 2  0 b  2 x x     2 x ( 2 x x  ) 2 b   ( 0 loai)  1  (x  ) 1 2 (vì x=0không làm cho b=0) Suy ra
x4  20  x2  x Thay vào (**) đƣợc: 6 3 2 3
x  2x x  20  x Suy ra x  2
PT đã cho có 1 nghiệm x  2
Thí dụ 14 Giải phương trìn h 2 3
x  3  x  (x  ) 1 6 4 2
x x x  3 Hướng dẫn. Đặt 2 3
x  3  a  0 6 4 2
x x x  3  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  3 2 2x x
Pt đã cho trở thành: a x  (x b ) 1
Thay a vào (*) ta được
x  (x  )1b2 2 6 4 3 2
b x x  2x x  1 (x  ) 1 2  2
b  2x(x  ) 1 b  ( 2 x x ) 2 x ( 2 x x  ) 2  0 b  2 x x     2 x ( 2 x x  ) 2 b   ( 0 loai)  1  (x  ) 1 2 (vìx=0không làm cho b=0) Suy ra
x6  x4  x2  3  x2  x Thay vào (**) đƣợc: 3 3
2x  3  x Suy ra 6 3 3 3
x  2x  3  ( 0 x  ) 0  x   ( 1 loai); x  3
PT đã cho có 1 nghiệm 3 x  3 13
Thí dụ 15 Giải phương trình 2 3
x  1  x  (x  ) 1 6 4 2
x x x 1
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. Đặt 2 3
x  1  a  0 6 4 2
x x x 1  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  3 2 2x x
Pt đã cho trở thành: a x  (x b ) 1
Thay a vào (*) ta được
x  (x  )1b2 2 6 4 3 2
b x x  2x x  1 (x  ) 1 2  2
b  2x(x  ) 1 b  ( 2 x x ) 2 x ( 2 x x  ) 2  0 b  2 x x     2 x ( 2 x x  ) 2 (vì x=0không làm cho b=0) b   ( 0 loai)  1  (x  ) 1 2 Suy ra
x6  x4  x2 1  x2  x Thay vào (**) đƣợc: 3 3
2x 1  x Suy ra 6 3 3 2 3
x  2x 1  ( 0 x  , 0 x x  )
0  x  1  2
PT đã cho có 1 nghiệm 3 x  1  2
Thí dụ 16 Giải phương trình 3 3
x 1  x  (x  ) 1 6 4 3 2
x x x x  1 Hướng dẫn. Đặt 3 3
x 1  a  0 6 4 3
x x x 2
x 1  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  3 2 2x x
Pt đã cho trở thành: a x  (x b ) 1
Thay a vào (*) ta được
x  (x  )1b2 2 6 4 3 2
b x x  2x x  1 (x  ) 1 2  2
b  2x(x  ) 1 b  ( 2 x x ) 2 x ( 2 x x  ) 2  0 b  2 x x     2 x ( 2 x x  ) 2 (vì x=0không làm cho b=0) b   ( 0 loai)  1  (x  ) 1 2 Suy ra
x6  x4  x3  x2  1  x2  x Thay vào (**) đƣợc: 3 3
3x 1  x Suy ra 14 3  5 6 3 3 2 3
x  3x  1  ( 0 x  , 0 x x  ) 0  x 2
PT đã cho có 2 nghiệm 3  5 3 x  2
Thí dụ 17 Giải phương trình 3 3
x  2  x  (x  ) 1 6 4 3 2
x x x x  2 Hướng dẫn. Đặt 3 3
x  2  a  0 6 4 3
x x x  2
x  2  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  3 2 2x x
Pt đã cho trở thành: a x  (x b ) 1
Thay a vào (*) ta được
x  (x  )1b2 2 6 4 3 2
b x x  2x x  1 (x  ) 1 2  2
b  2x(x  ) 1 b  ( 2 x x ) 2 x ( 2 x x  ) 2  0 b  2 x x     2 x ( 2 x x  ) 2 (vì x=0không làm cho b=0) b   ( 0 loai)  1  (x  ) 1 2 Suy ra
x6  x4  x3  x2  2  x2  x Thay vào (**) đƣợc: 3 3
3x  2  x Suy ra x  1 6 x  3 3x  2  3 ( 0 x  2 , 0 x x  ) 0   x  3 2
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  ; 1 x  2
Thí dụ 18 Giải phương trình 5 3
x  2  x  (x  ) 1 6 4 x x  3 3 2 x x  2 Hướng dẫn. Đặt 5 3
x  2  a  0 6 4 x x  3 3 x 2
x  2  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  3 2 2x x
Pt đã cho trở thành: a x  (x b ) 1
Thay a vào (*) ta được
x  (x  )1b2 2 6 4 3 2
b x x  2x x  1 (x  ) 1 2  2
b  2x(x  ) 1 b  ( 2 x x ) 2 x ( 2 x x  ) 2  0 b  2 x x     2 x ( 2 x x  ) 2 (vì x=0không làm cho b=0) b   ( 0 loai)  1  (x  ) 1 2 Suy ra
x6  x4  3x3  x2  2  x2  x 15 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
5x  2  x Suy ra 5  17 6 3 3 2 3
x  5x  2  ( 0 x  , 0 x x  ) 0  x 2
PT đã cho có 2 nghiệm 5  17 3 x  2
Thí dụ 19 Giải phương trình 6 x 6 3
x  3  x  (x  ) 1 4 2  x x 1 3
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. ĐK: 1 3 x  2 Đặt 6 3
x  3  a  0 6 x 4 2
x x 1  b  0 3
Suy ra mối liên hệ: 2 a  3 2 6 b x  3 4 x  6 3 x  3 2 x (*)
Pt đã cho trở thành: a x  (x b ) 1
Thay a vào (*) ta được
x  (x  )1b2 2 6 4 3 2
 3b x  3x  6x  3x  3  (x  ) 1 2  2
b  2x(x  ) 1 b  ( 2 x  ) x ( x 3 2
x x  4x  ) 2  0 b  2 x x     x( 3 x  2 x  4x  ) 2 b   ( 0 loai)  3  (x  ) 1 2 Suy ra
x6  x4  x2 1  x2  x 3 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
6x  3  x Suy ra  6  x  4 x  2 x  1  2 x x  3  ...  6 x  6 3 x  3  0  3 x  3  6   6 3 x  3  3 x
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  3  6
Thí dụ 20 Giải phương trình 6 x 4 3
x  2  x  (x  ) 1 4 2  x x 1 2 Hướng dẫn. 16 ĐK: 1 3 x  2 Đặt 4 3
x  2  a  0 6 x 4 2
x x 1  b  0 2
Suy ra mối liên hệ: 2 a  3 2 6 b x  2 4 x  4 3 x  2 2 x (*)
Pt đã cho trở thành: a x  (x b ) 1
Thay a vào (*) ta được
x  (x  )1b2 2 6 4 3 2
 2b x  2x  4x  2x  2  (x  ) 1 2  2
b  2x(x  ) 1 b  ( 2 x  ) x x( 3 2
x x  3x  ) 1  0 b  2 x x     x( 3 x  2 x  3x  ) 1 b   ( 0 loai)  3  (x  ) 1 2 Suy ra
x6  x4  x2 1  x2  x 2 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
4x  2  x Suy ra 6  x 4 2   x x 1 2  x x  2  ... 6  x  4 3 x  2  0 3
x  2  2   4 3 x  2 3  x
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  2  2
Thí dụ 21 Giải phương trình 6 x 10 3
x  5  x  (x  ) 1 4 2  x x 1 5 Hướng dẫn. ĐK: 1 3 x  2 Đặt 10 3
x  5  a  0 6 x 4 2
x x 1  b  0 5
Suy ra mối liên hệ: 2 a  5 2 6 b x  5 4 x 10 3 x  5 2 x (*)
Pt đã cho trở thành: a x  (x b ) 1
Thay a vào (*) ta được
x  (x  )1b2 2 6 4 3 2
 5b x  5x 10x  5x  5  (x  ) 1 2  2 b  2 ( x x  ) 1 b  ( 2
x x)x(x 3 2
x  6x  ) 4  0 b  2 x x     x( 3 x  2 x  6x  ) 4 b   ( 0 loai)  5  (x  ) 1 2 17 Suy ra
x6  x4  x2 1  x2  x 5 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
10x  5  x Suy ra 6  x 4 2 2 
x x 1  x x 6 3 3  5
 ...  x 10x  5  0  x  5  2 5  3 3
 10x  5  x
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  5  2 5
Thí dụ 22 Giải phương trình 4 3
x  3  x  . 6 4 x x x  4 3 x  2 2 x  4 Hướng dẫn. ĐK: 3 3 x  4 Đặt 4 3
x  3  a  0 6 4 3 x x  4x  2 2
x  4  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a x x b .
Thay a vào (*) ta được x xb2 2 6 4
b x x  2 2 x  1  1 2  x  2 b  2 2 x b  ( 2 x  )( 1 4 x  2 2 x  ) 1  0 b  2 x  1    4 x  2 2 x  1 b   ( 0 loai)  1  2 x Suy ra 6 4 x x  4 3 x  2 2 x  4 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
4x  3  x Suy ra  6 x  4 x  3 4x  2 2x  4  2 x  1 x  1 x  1   ...    6 3   3 4x  3  3 x
x  4x  3   0 x  3 3
PT đã cho có 2 nghiệm 3
x  3; x  1
Thí dụ 23 Giải phương trình 5 3
x  3  x  .x 2 6 4 x x  5 3 x  2 2 x  4 2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. 18 ĐK: 3 3 x  5 x
Đặt 5 3 3  a  0 2 2 6 4 x x  5 3 x  2 2
x  4  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 2 a b  2 6 x x 4  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a x x. b
Thay a vào (*) ta được  2 x xb2 2  b  2 6 4 x x  2 2 x  1  1 2 2 x  2 b  4 2 x b  ( 2 x  )( 1 2 4 x  3 2 x  ) 1  0 b  2 x  1 
   (2 4x  3 2x  )1 b   ( 0 loai)  1  2 2 x Suy ra 2 6 4 x x  5 3 x  2 2 x  4 2  b x 1 Thay vào (**) đƣợc: 3 5x  3 3
a x 2 Suy ra  6 2x  4 x  3 5x  2 2x  4  2 x  1 x  1  x  1   3  ...    5x  6 3 3 3 3    x
2x  5x  3  0 x   3  2  2 3
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  ; x  1 2
Thí dụ 24 Giải phương trình 5 3
x  2  x  .x 2 6 4 x x  5 3 x  2 2 x  3 2 Hướng dẫn. ĐK: 2 3 x  5 x
Đặt 5 3 2  a  0 2 2 6 4 x x  5 3 x  2 2
x  3  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 2 a b  2 6 x x 4  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a x x. b
Thay a vào (*) ta được  2 x xb2 2  b  2 6 4 x x  2 2 x  1  1 2 2 x  2 b  4 2 x b  ( 2 x  )( 1 2 4 x  3 2 x  ) 1  0 b  2 x  1 
   (2 4x  3 2x  )1 b   ( 0 loai)  1  2 2 x 19 Suy ra 2 6 4 x x  5 3 x  2 2 x  3 2  b x 1 Thay vào (**) đƣợc: 3 5x  2 3
a x 2 Suy ra 6 4 3 2 2
 2x x  5x  2x  3  x 1  x  1 3      x 3 ... 2 x  6 3 5 2 3 2   x
x  5x  2  0  2
PT đã cho có 1 nghiệm 3 x  2
Thí dụ 25 Giải phương trình 7 3
x  4  x  .x 2 6 4 x x  7 3 x  2 2 x  5 2 Hướng dẫn. ĐK: 4 3 x  7 x
Đặt 7 3 4  a  0 2 2 6 4 x x  7 3 x  2 2
x  5  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 2 a b  2 6 x x 4  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a x x. b
Thay a vào (*) ta được  2 x xb2 2  b  2 6 4 x x  2 2 x  1  1 2 2 x  2 b  4 2 x b  ( 2 x  )( 1 2 4 x  3 2 x  ) 1  0 b  2 x  1 
   (2 4x  3 2x  )1 b   ( 0 loai)  1  2 2 x Suy ra 2 6 4 x x  7 3 x  2 2 x  5 2  b x 1 Thay vào (**) đƣợc: 3 7x  4 3
a x 2 Suy ra 6 4 3 2 2
 2x x  7x  2x  5  x 1  x  1 7  17 3      x  3 ... x  6 3 7 4 3 2   x
x  7x  4  0 4  2 7  17
PT đã cho có 1 nghiệm 3 x  4
Thí dụ 26 Giải phương trình 4 3
x  2  x  . x 2 6 4 x x  8 3 x  2 2 x  5 20 Hướng dẫn. ĐK: 1 3 x  2 Đặt 4 3
x  2  a  0 6 4 3 x x  2 8x  2 2
x  5  b  0 Su y ra mối liên hệ: 2 2 2 a b  2 6 x x 4  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a x x. b
Thay a vào (*) ta được  2 x xb2 2  b  2 6 4 x x  2 2 x  1  1 2 2 x  2 b  4 2 x b  ( 2 x  )( 1 2 4 x  3 2 x  ) 1  0 b  2 x  1 
   (2 4x  3 2x  )1 b   ( 0 loai)  1  2 2 x Suy ra 2 6 4 x x  8 3 x  2 2 x  5 2  b x 1 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
4x  2  a x Suy ra 6 4 3 2 2
 2x x  8x  2x  5  x 1 x  1 3   ...  
x  2  2 6 3 3 3  x   x
x  4x  2  0  4 2
PT đã cho có 1 nghiệm 3 x  2  2
Thí dụ 27 Giải phương trình 3 3
x 1  x  . x 2 6 4 x x  6 3 x  2 2 x  3 Hướng dẫn. ĐK: 1 3 x  3 Đặt 3 3
x 1  a  0 6 4 x x  2 6 3 x  2 2
x  3  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 2 a b  2 6 x x 4  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a x x. b
Thay a vào (*) ta được  2 x xb2 2  b  2 6 4 x x  2 2 x  1  1 2 2 x  2 b  4 2 x b  ( 2 x  )( 1 2 4 x  3 2 x  ) 1  0 b  2 x  1 
   (2 4x  3 2x  )1 b   ( 0 loai)  1  2 2 x Suy ra 2 6 4 x x  6 3 x  2 2 x  3 2  b x 1 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
3x 1  a x 21 Suy ra 6 4 3 2 2
 2x x  6x  2x  3  x 1 x  1 3  5 3   ...    x 6 3 3 3  x   x
x  3x 1  0 2  3 1 3  5
PT đã cho có 1 nghiệm 3 x  2
Thí dụ 28 Giải phương trình 3 2 1
2x  1  x  (x  ) 4 6 x  4 4 x  2 3 x 1 2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. Đặt 2 3
x  1  a  0 6 4 x x  4 4 2 3
x 1  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 a b  4 6 x  4 4 x (*)
Pt đã cho trở thành: 2 1
a x  (x  )b(**) 2
Thay a vào (*) ta được 2  1  2 2 6 4
x  (x  )b  b  4x  4x  2   1  2 2 2 1 2 4 3  1
  (x  ) b  2x (x  )b  2x (2 2 x x )  0  2  2 2 b  2 2 x    (2 4 x  3  2  x ) 2 b   0 1  1  (x  )2  2 Ta thấy   4 3  4 2 x x   2   0  x  0 2  1  1   x    2 
Khi x=0 thì b không tồn tại Suy ra 6 4 3 2
4x  4x  2x 1  b  2x Thay vào (**) đƣợc: 3 3
2x  1  a  2x Suy ra 6 4 3 2
 4x  4x  2x 1  2xx  0 1  5 3   ...    x 6 3 3 3  4 x   x
x  2x 1  0 4  2 1 2 1  5
PT đã cho có 1 nghiệm 3 x  4 22
Thí dụ 29 Giải phương trình 3 2 1
6x 1  x  (x  ) 4 6 x  4 4 x  6 3 x  1 2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. ĐK: 1 3 x  6 Đặt 6 3
x 1  a  0 6 4 x x  4 4 6 3
x  1  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 a b  4 6 x  4 4 x (*)
Pt đã cho trở thành: 2 1
a x  (x  )b(**) 2
Thay a vào (*) ta được 2  1  2 2 6 4
x  (x  )b  b  4x  4x  2   1  2 2 2 1 2 4 3  1
  (x  ) b  2x (x  )b  2x (2 2 x x )  0  2  2 2 b  2 2 x    (2 4 x  3  2  x ) 2 b   0 1  1  (x  )2  2 Suy ra 6 4 3 2
4x  4x  6x  1  b  2x Thay vào (**) đƣợc: 3 3
6x 1  a  2x Suy ra 6 4 3 2
 4x  4x  6x 1  2xx  0 3  5 3   ...    x 6 3 3 3  4 x   x
x  6x 1  0 4  6 1 2 3  5
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  4
Thí dụ 30 Giải phương trình 3 2 1
7x  2  x  (x  ) 4 6 x  4 4 x  7 3 x  2 2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. ĐK: 2 3 x  7 Đặt 7 3
x  2  a  0 6 4 x x  4 4 7 3
x  2  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 a b  4 6 x  4 4 x (*) 23
Pt đã cho trở thành: 2 1
a x  (x  )b(**) 2
Thay a vào (*) ta được 2  1  2 2 6 4
x  (x  )b  b  4x  4x  2   1  2 2 2 1 2 4 3  1
  (x  ) b  2x (x  )b  2x (2 2 x x )  0  2  2 2 b  2 2 x    (2 4 x  3  2  x ) 2 b   0 1  1  (x  )2  2 Suy ra 6 4 3 2
4x  4x  7x  2  b  2x Thay vào (**) đƣợc: 3 3
7x  2  a  2x Suy ra 6 4 3 2
 4x  4x  7x  2  2xx  0 1 3   ...    x  7  17 6 3 3 3  4 x   x
x  7x  2  0 2  7 2 2 1
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  7  17 2
Thí dụ 31 Giải phương trình x x x  3 1 1 8 6 2 12 4 10 3 1 5x
x  (x  ) 2 2 3
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. ĐK: 1 3 x  10 Đặt 1 5 3 x   a  0 2 8 6 x  12 4 x 10 3
x  1  b  0 3
Suy ra mối liên hệ: 2 2 a  3 2 b  8 6 x  12 4 x (*)
Pt đã cho trở thành: 2 1
a x  (x  )b(**) 2
Thay a vào (*) ta được 2  1  2 2 6 4
2 x  (x  )b  3b  8x 12x  2   1  2 2 2 1  3 (
2 x  ) b  4x (x  )b  2 2 x (4 4 x  5 2 x )  0  2  2 24 b  2 2 x     (4 4 x  5 2 x ) b   0 1  3  ( 2 x  )2  2 Suy ra 6 4 3
8x  12x  10x  1 2  b  2x 3 Thay vào (**) đƣợc: 1 3 3 5x
a  2x 2 Suy ra 6 4 3
 8x 12x 10x 1 2   2  xx  0 3 1 3   ...    x  5  17 6 3 8 
x 10x 1  0 2 1 3 3 5x   2  x  2 1
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  5  17 2
Thí dụ 32 Giải phương trình x x   3 1 8 6 2 12 4 10 3 2 5x x
1  x  (x  ) 2 3
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. ĐK: 1 3 x  5 Đặt 5 3
x 1  a  0 8 6 x  12 4 x  10 3
x  2  b  0 3
Suy ra mối liên hệ: 2 2 a  3 2 b  8 6 x  12 4 x (*)
Pt đã cho trở thành: 2 1
a x  (x  )b(**) 2
Thay a vào (*) ta được 2  1  2 2 6 4
2 x  (x  )b  3b  8x 12x  2   1  2 2 2 1  3 (
2 x  ) b  4x (x  )b  2 2 x (4 4 x  5 2 x )  0  2  2 b  2 2 x     (4 4 x  5 2 x ) b   0 1  3  ( 2 x  )2  2 Suy ra 6 4 3
8x  12x 10x  2 2  b  2x 3 25 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
5x 1  a  2x Suy ra  6 8x  4 12x  3 10x  2 x  1   2 2xx  0   3  ...    6 3  1 
4x  5x 1  0 x  3 3  3
 5x 1  2x  4 1
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  ; 1 x  4
Thí dụ 33 Giải phương trình 3 x  5 3 x  4 6 4
x x  3 3 2 x x  4(*)
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn.
Do VP(*)  0 nên VT (*) 3  x  5 3 x  4  0  2
3 5x3  4  x 3 3
 5x  4  x 3 3
 6x  4  0  x  3
Đặt 3 5x3  4  a 6 4 x x  3 3 2
x x  4  b  0
Suy r a mối liên hệ: 3 2 6 4
a b x x  2 3 2 x x (**)
Pt đã cho trở thành: x a  (* b **)
Thay b vào (**) ta được 3 2 6 4 3 2
a  (a x)  x x  2x x 3 6 2 4
a x a x  2xa  2 3 x  0  ( 2 a x )[ 2 2 4 2
a ax x a x  2x]  (* 0 ***) 2
Do VP(*)  x a  0 và 3 x nên 3
a2  ax2  x4  a x2  2x  ( 2 2 4
a ax x ) 2
a x x x  0 Suy ra 2
(****)  a x 3 3 2
 5x  4  a x Thay vào (***) đƣợc:
x6  x4  3x3  x2  4  b x2  x Suy ra 3 3 5x  4  2 xx  1   ...  6 x  3 5x  4  0    6 x  4 x  3 3x  2 x  4  2 x xx  3 4
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  ; 1 x  4 Chú ý: từ PT 3 x  5 3 x  4 6 4
x x  3 3 2 x x  4(*)
Sửa số 4 thành 1 trong các số 1,2,3,…chẳng hạn số 3 ta đƣợc PT sau: 26
Thí dụ 34 Giải phương trình 3 x  5 3 x  3 6 4
x x  3 3 2 x x  3(*)
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn.
Do VP(*)  0 nên VT (*) 3  x  5 3 x  3  0  1
3 5x3  3  x 3 3
 5x  3  x 3 3
 6x  3  0  x  2
Đặt 3 5x3  3  a 6 4 x x  3 3 2
x x  3  b  0
Suy r a mối liên hệ: 3 2 6 4
a b x x  2 3 2 x x (**)
Pt đã cho trở thành: x a  (* b **)
Thay b vào (**) ta được 3 2 6 4 3 2
a  (a x)  x x  2x x 3 6 2 4
a x a x  2xa  2 3 x  0  ( 2 a x )[ 2 2 4 2
a ax x a x  2x]  (* 0 ***) 1
Do VP(*)  x a  0 và 3 x nên 2
a2  ax2  x4  a x2  2x  ( 2 2 4
a ax x ) 2
a x x x  0 Suy ra 2
(****)  a x 3 3 2
 5x  3  a x Thay vào (***) đƣợc:
x6  x4  3x3  x2  3  b x2  x Suy ra 3 3 2
 5x  3  x 5  13 6 3 3 
 ...  x  5x  3  0  x 6 4 3 2 2 2
 x x  3x x  3  x x 5  13
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  2
Thí dụ 35 Giải phương trình 3 x  5 3 x  2 6 4
x x  3 3 2 x x  2(*)
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn.
Do VP(*)  0 nên VT (*) 3  x  5 3 x  2  0  1
3 5x3  2  x 3 3
 5x  2  x 3 3
 6x  2  0  x  3
Đặt 3 5x3  2  a 6 4 x x  3 3 2
x x  2  b  0
Suy r a mối liên hệ: 3 2 6 4
a b x x  2 3 2 x x (**)
Pt đã cho trở thành: 27 x a  (* b **)
Thay b vào (**) ta được 3 2 6 4 3 2
a  (a x)  x x  2x x 3 6 2 4
a x a x  2xa  2 3 x  0  ( 2 a x )[ 2 2 4 2
a ax x a x  2x]  (* 0 ***) 1
Do VP(*)  x a  0 và 3 x nên 3
a2  ax2  x4  a x2  2x  ( 2 2 4
a ax x ) 2
a x x x  0 Suy ra 2
(****)  a x 3 3 2
 5x  2  a x Thay vào (***) đƣợc:
x6  x4  3x3  x2  2  b x2  x Suy ra 3 3 2
 5x  2  x 5  17 6 3 3 
 ...  x  5x  2  0  x 6 4 3 2 2 2
 x x  3x x  2  x x 5  17
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  2 Chú ý: từ PT 3 x  5 3 x  4 6 4
x x  3 3 2 x x  4(*)
Sửa số -3 thành -4 thì sửa số 5 thành 6 (-3+5=-4+6=2)ta đƣợc PT sau:
Thí dụ 36 Giải phương trình 3 x  6 3 x  4 6 4
x x  4 3 2 x x  4(*)
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn.
Do VP(*)  0 nên VT (*) 3  x  6 3 x  4  0  4
3 6x3  4  x 3 3
 6x  4  x 3 3
 7x  4  0  x  7
Đặt 3 6x3  4  a 6 4 x x  4 3 2
x x  4  b  0
Suy r a mối liên hệ: 3 2 6 4
a b x x  2 3 2 x x (**)
Pt đã cho trở thành: x a  (* b **)
Thay b vào (**) ta được 3 2 6 4 3 2
a  (a x)  x x  2x x 3 6 2 4
a x a x  2xa  2 3 x  0  ( 2 a x )[ 2 2 4 2
a ax x a x  2x]  (* 0 ***) 28 4
Do VP(*)  x a  0 và 3 x nên 7
a2  ax2  x4  a x2  2x  ( 2 2 4
a ax x ) 2
a x x x  0 Suy ra 2
(****)  a x 3 3 2
 6x  4  a x Thay vào (***) đƣợc:
x6  x4  4x3  x2  4  b x2  x Suy ra 3 3 2
 6x  4  x 6 3 3 
 ...  x  6x  4  0  x  3  5 6 4 3 2 2
 x x  4x x  4  x x
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  3  5 Chú ý: từ PT 3 x  5 3 x  4 6 4
x x  3 3 2 x x  4(*)
Sửa số -3 thành -5 thì sửa số 5 thành 7 (-3+5=-5+7=2)ta đƣợc PT sau:
Thí dụ 37 Giải phương trình 3 x  7 3 x  4 6 4
x x  5 3 2 x x  4(*)
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn.
Do VP(*)  0 nên VT (*) 3  x  7 3 x  4  0  1
3 7x3  4  x 3 3
 7x  4  x 3 3
 8x  4  0  x  2
Đặt 3 7x3  4  a 6 4 x x  7 3 2
x x  4  b  0
Suy r a mối liên hệ: 3 2 6 4
a b x x  2 3 2 x x (**)
Pt đã cho trở thành: x a  (* b **)
Thay b vào (**) ta được 3 2 6 4 3 2
a  (a x)  x x  2x x 3 6 2 4
a x a x  2xa  2 3 x  0  ( 2 a x )[ 2 2 4 2
a ax x a x  2x]  (* 0 ***) 1
Do VP(*)  x a  0 và 3 x nên 2
a2  ax2  x4  a x2  2x  ( 2 2 4
a ax x ) 2
a x x x  0 Suy ra 2
(****)  a x 3 3 2
 7x  4  a x Thay vào (***) đƣợc:
x6  x4  5x3  x2  4  b x2  x Suy ra 29 3 3 2
 7x  4  x 7  33 6 3 3 
 ...  x  7x  4  0  x 6 4 3 2 2 2
 x x  5x x  4  x x 7  33
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  2
Nhƣ vậy việc tạo ra phƣơng trình dạng này không khó khăn,thậm chí từ 1 phƣơng
trình ta có thể tạo ra nhiều phƣơng trình tƣơng tự. Tác giả: Vũ Hồng Phong
Thí dụ 38 Giải phương trình 1 3  3 3 x  2  8 6 x  4 4 x  3 3 x  4 2 x 1
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn.
Đặt 3 3x3  2  a 6 4
8x  4x  3 3 x  4 2
x 1  b  0
Suy r a mối liên hệ: 3 2 a b  8 6 x  4 4 x  4 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: 1  a  (
b **) 1  a  0
Thay b vào (*) ta được 3 a  1 (  a)2  8 6 x  4 4 x  4 2 x 1 3  a  8 6 2 x a  4 4 x  2a  4 2 x  0  (a  2 2 x )[ 2 a  2 2 ax  4 2 x a  2 2 x  ] 2  0
Do 1  a  0 nên 2 a  2 2 ax  4 4 x a  2 2 x  2   ( 2 a  2 2 ax  4 4 x )  (a  ) 1  2 2 x 1  0 Suy ra 3 3 2
3x  2  a  2x Thay vào (**) đƣợc: 3 8 6 x  4 4 x  3 3 x  4 2 x 1  2 2 x 1 Suy ra 3 3 2
 3x  2  2x 1 3  73 6 3 3 
 ...  8x  3x  2  0  x 6 4 3 2 2 2 2
 8x  4x  3x  4x 1  x 1 1 3  73
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  2 2 Chú ý 3 a  1 (  a)2  8 6 x  4 4 x  4 2 x 1 3 2 6 4 2
a a  2a  8x  4x  4x 2
f (a)  f (2x ) 3 2 f t
( )  t t t 2 2 f ' t ( )  t 3  t 2  2  . 0 t
Suy ra f(t) đồng biên nên 2 2
f (a)  f (2x )  a  2x
Thí dụ 39 Giải phương trình x  3 3 x  5  . 6 4
x x x  3 3 x  2 2 x  4
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 30 Hướng dẫn. Đặt 3 3
x  5  a  0 6 4 3
x x  3x  2 2
x  4  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành:
a xb x(**)
Thay a vào (*) ta được (xb x)2 2 6 4
b x x  2 2 x 1  ( 2 x  ) 1 2 b  2 2 x b  ( 2 x  )( 1 4 x  ) 1  0 b  2 x  1    4 x  1 b    ( 0 loai)  2 x  1 Suy ra 6 4 x x  3 3 x  2 2 x  4 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
3x  5  a x Suy ra 3 3
 3x  5  xx  0 3  29 3     x 6 3 6 4 3 2 2
x x x x   x
x  3x  5  0 2  3 2 4 1 3  29
PT đã cho có 1 nghiệm 3 x  2
Thí dụ 40 Giải phương trình x  4 3 x  3  . 6 4
x x x  4 3 x  2 2 x  4
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. Đặt 4 3
x  3  a  0 6 4 3
x x  4x  2 2
x  4  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành:
a xb x(**)
Thay a vào (*) ta được (xb x)2 2 6 4
b x x  2 2 x 1  ( 2 x  ) 1 2 b  2 2 x b  ( 2 x  )( 1 4 x  ) 1  0 b  2 x  1    4 x  1 b    ( 0 loai)  2 x  1 Suy ra 6 4 x x  4 3 x  2 2 x  4 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
4x  3  a x 31 Suy ra  3 4x  3  3 xx  0 x  1     6 3   6 x  4 x  3 4x  2 2x  4  2 x  1
x  4x  3   0 x  3 3
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  ; 1 x  3
Thí dụ 41 Giải phương trình x  2  3 3 x  . 6 4
x x x  3 3 x  2 2 x 1
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. Đặt 2  3 3 x a  0 6 4 3
x x  3x  2 2
x 1  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành:
a xb x(**)
Thay a vào (*) ta được (xb x)2 2 6 4
b x x  2 2 x 1  ( 2 x  ) 1 2 b  2 2 x b  ( 2 x  )( 1 4 x  ) 1  0 b  2 x  1    4 x  1 b    ( 0 loai)  2 x  1 Suy ra 6 4 x x  3 3 x  2 2 x 1 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
2  3x a x Suy ra 3 3
 2  3x xx  0  3  17 3     x 6 3 6 4 3 2 2
x x x x   x
x  3x  2  0 2  3 2 1 1  3  17
PT đã cho có 1 nghiệm 3 x  2
Thí dụ 42 Giải phương trình x  3  2 3 x  . 6 4
x x x  2 3 x  2 2 x  2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. Đặt 3  2 3 x a  0 6 4 3
x x  2x  2 2
x  2  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 2 6 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành:
a xb x(**)
Thay a vào (*) ta được (xb x)2 2 6 4
b x x  2 2 x 1  ( 2 x  ) 1 2 b  2 2 x b  ( 2 x  )( 1 4 x  ) 1  0 32 b  2 x  1    4 x  1 b    ( 0 loai)  2 x  1 Suy ra 6 4 x x  2 3 x  2 2 x  2 2  x 1 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
3  2x a x Suy ra  3  2 3 3 x xx  0     x  1 6 6 4 3 2 2
x x x x   x  x  2 3 x  3  0  2 2 2 1
PT đã cho có 1 nghiệm x  1
Thí dụ 43 Giải phương trìn h 6 x  5 3 4 3 2
x  4x  3  . x
x  2x  2x 2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. Đặt 4 3
x  3  a  0 6 x  5 4  x  2 3 x  2 2 x b  0 2
Suy ra mối liên hệ: 2 a  2 2 6
b x  2x 4  4 2 x  ( 2 *)
Pt đã cho trở thành:
a xb x(**)
Thay a vào (*) ta được
(xb x)2  2 2 6 b x  2 4 x  4 2 x  2  ( 2 x  ) 2 2 b  2 2 x b  ( 2 x  )( 1 4 2 x x  ) 2  0 b  2 x  1    4 x  2 x  2 b    ( 0 loai)  2 x  2 Suy ra 6 x  5 4  x  2 3 x  2 2 2
x b x  1 2 Thay vào (**) đƣợc: 4 3
x  3  a  0 Suy ra  3 4x  3  3  xx  0 x  1  6    6 3  x   5  4 x  3 2x  2 2x  2 x  1
x  4x  3  0 x  3 3  2
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  ; 1 x  3
Thí dụ 44 Giải phương trình 6 8 3x  5 3 4 3 2 x x 1  . x
x  4x  2x 3 2 33
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. 8 Đặt 3
x 1  a  0 3 3 6 x  5 4  x  4 3 x  2 2 x b  0 2
Suy ra mối liên hệ: 3 2 a  2 2 b  3 6 x  2 4 x  4 2 x  ( 2 *)
Pt đã cho trở thành:
a xb x(**)
Thay a vào (*) ta được (
3 xb x)2  2 2 b  3 6 x  2 4 x  4 2 x  2  3 ( 2 x  ) 2 2 b  6 2 x b  ( 2 x  3 )( 1 4 2 x x  ) 2  0 b  2 x  1    3 4 x  2 x  2 b    ( 0 loai)  3 2 x  2 Suy ra 3 6 x  5 4  x  4 3 x  2 2 2
x b x  1 2 Thay vào (**) đƣợc: 8 3
x 1  a  0 3 Suy ra  8 3 3  x  1  x  3 x  0 4  7 3     x 6 3 6 x  3 
x  8x  3  0 3 3 5 4 3 2 2
x  4x  2x x 1  2 4  7
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  3
Thí dụ 45 Giải phương trình 6 3 3x  9x  5 3 4 2
x  3x 1  . xx  2x 2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. Đặt 3 3
x 1  a  0 6 3 x x  3 9 5 4  x  2 2 x b  0 2
Suy ra mối liên hệ: 3 2 a  2 2 b  3 6 x  2 4 x  4 2 x  ( 2 *)
Pt đã cho trở thành:
a xb x(**)
Thay a vào (*) ta được (
3 xb x)2  2 2 b  3 6 x  2 4 x  4 2 x  2 34  3 ( 2 x  ) 2 2 b  6 2 x b  ( 2 x  3 )( 1 4 2 x x  ) 2  0 b  2 x  1    3 4 x  2 x  2 b    ( 0 loai)  3 2 x  2 Suy ra 3 6 x  9 3 x  5 4  x  2 2 2
x b x  1 2 Thay vào (**) đƣợc: 3 3
x 1  a  0 Suy ra 3 3  3x 1   xx  0 3  5 3     x 6 3 x x  6 3 3 9 5 4 2 2 
x x x
x  3x 1  0 2 2 1  2 3  5
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  2
Thí dụ 46 Giải phương trình 1 3  5 3 x  3 6 4
x x  5 3 x  2 2 x  4
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn.
Đặt 3 5x3  3  a 6 4 x x  5 3 x  2 2
x  4  b  0
Suy r a mối liên hệ: 3 2 6 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a b  ( 1 **)
Thay a vào (*) ta được (b  ) 1 3 2 6 4
b x x  2 2 x  ) 1 ( 1  ( 2 b x  )( 1 4 2 2
x x b b b  ) 2  0 2  b x 1 ( 4 2 2
x x b b b  2  , 0  , x ) b Cách khác giải (1): (b  ) 1 3 2 6 4
b x x  2 2 x  ) 1 ( 1 3  b  2 2
b  3b 1  ( 2 x  ) 1 3  ( 2 2 x  ) 1 2  ( 3 2 x  ) 1 1  f ( ) b f ( 2 x  ) 1 2
b x 1 Vì f (t) 3  t  2 2 t  3t 1 f ' (t)  3 2
t  4t  3  0 f(t) là hàm đồng biến Suy ra 6 4 x x  5 3 x  2 2 x  4 2  b x 1 Thay vào (**) đƣợc: 35 3 3 3
5x  3  a x Suy ra 3 3 3
 5x  3  x 5  13 6 3 3 
x  5x  3  x 6 4 3 2 2 2
 x x  5x  2x  4  x 1 5  13
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  2
Thí dụ 47 Giải phương trình 1 3  5 3 x  3 6 4
x x  5 3 x  2 2 x  2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn.
Đặt 3 5x3  3  a 6 4 x x  5 3 x  2 2
x  2  b  0
Suy r a mối liên hệ: 3 2 6 4
a b x x  2 2 x  ( 1 *)
Pt đã cho trở thành: a b  ( 1 **)
Thay a vào (*) ta được (b  ) 1 3 2 6 4
b x x  2 2 x  ) 1 ( 1  ( 2 b x  )( 1 4 2 2
x x b b b  ) 2  0 2  b x 1 ( 4 2 2
x x b b b  2  , 0  , x ) b Cách khác giải (1): (b  ) 1 3 2 6 4
b x x  2 2 x  ) 1 ( 1 3  b  2 2
b  3b 1  ( 2 x  ) 1 3  ( 2 2 x  ) 1 2  ( 3 2 x  ) 1 1  f ( ) b f ( 2 x  ) 1 2
b x 1 Vì f (t) 3  t  2 2 t  3t 1 f ' (t)  3 2
t  4t  3  0 f(t) là hàm đồng biến Suy ra 6 4 x x  5 3 x  2 2 x  2 2  b x 1 Thay vào (**) đƣợc: 3 3 3
5x  3  a x Suy ra 3 3 3
 5x  3  x 5  37 6 3 3 
x  5x  3  0  x 6 4 3 2 2 2
 x x  5x  2x  2  x 1 5  37
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  2
Thí dụ 48 Giải phương trình 6 x  5 3 3 4 3 2 1  4x  3 
x  2x  2x 2
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 36 Hướng dẫn.
Đặt 3 4x3  3  a 6 x  5 4  x  2 3 x  2 2 x b  0 2
Suy ra mối liên hệ: 3 a  2 2 6
b x  2x 4  4 2 x  ( 2 *)
Pt đã cho trở thành: a b  ( 1 **)
Thay a vào (*) ta được (b  ) 1 3  2 2 6 b x  2 4 x  4 2 x  ) 1 ( 2  ( 2 b x  )( 1 4 2 2 2
x x b b x  ) 3  0 2  b x 1 ( 4 2 2 2
x x b b x  3  , 0  , x ) b Cách khác giải (1): (b  ) 1 3  2 2 6 b x  2 4 x  4 2 x  ) 1 ( 2 3 2
b b  3b 1  ( 2 x  ) 1 3  ( 2 x  ) 1 2  ( 3 2 x  ) 1 1  f ( ) b f ( 2 x  ) 1 2
b x 1 Vì f (t) 3 2
t t  3t 1 f ' (t)  3 2
t  2t  3  0 f(t) là hàm đồng biến Suy ra 6 x  5 4  x  2 3 x  2 2 2
x b x  1 2 Thay vào (**) đƣợc: 3 3 3
4x  3  a x Suy ra 3 3 4x  3  3  xx  1  6  6 x  3 4x  3  0   x   5  4 x  3 2x  2 2x  2 x  1 x  3 3  2
PT đã cho có 2 nghiệm 3 x  ; 3 x  1
Thí dụ 49 Giải phương trình 6 x  11 3 3 4 3 2 1  6x  8 
x  2x  2x 3
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn.
Đặt 3 6x3  8  a 6 x  11 4  x  2 3 x  2 2 x b  0 3
Suy ra mối liên hệ: 3 a  3 2 6 b x  3 4 x  6 2 x  ( 3 *)
Pt đã cho trở thành: a b  ( 1 **) 37
Thay a vào (*) ta được (b  ) 1 3  3 2 6 b x  3 4 x  6 2 x  ) 1 ( 3  ( 2 b x  )( 1 4 2
x x b  2 2 2
x b b  ) 4  0 2  b x 1 ( 4 2
x x b  2 2 2
x b b  4  . 0  , x ) b Cách khác giải (1): (b  ) 1 3  3 2 6 b x  3 4 x  6 2 x  ) 1 ( 3 3
b  3b 1  ( 2 x  ) 1 3  ( 3 2 x  ) 1 1  f ( ) b f ( 2 x  ) 1 2
b x 1 Vì f (t) 3
t  3t 1 f ' (t)  3 2 t  3  0 f(t) là hàm đồng biến Suy ra 6 x  11 4  x  2 3 x  2 2 2
x b x  1 3 Thay vào (**) đƣợc: 3 3 3
4x  3  a x Suy ra 3 3 6x  8  3  xx  3 2  6  6 x  3 6x  8  0   x   11  4 x  3 2x  2 2x  2 x  1 x  3 4  3
PT đã cho có 2 nghiệm 3 3 x  2; x  4
Thí dụ 50 Giải hệ phương trình  3  4xy  .3 2 y x  4 2 y  5   x ) 1 (  2 2 2 4  4y (x x  ) 1 2x  2x   1 ( ) 2  2 4 x  2 2 x  2
Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn tạo PT.
Chọn dạng m y3 n p
Chọn các căn sau khi biến đổi: m x  2y;3 n  ;
2 p x
Suy ra mối liên hệ: 2 3 2
a b x  4 2 y  4xy  ( 8 *)
Pt cần tạo trở thành:
a x yb(**)
Thử giải hệ PT gồm(*) và (**) ta thấy cần chọn để có đk xy và b dương thì sẽ loại bỏ được
trường hợp phức tạp nên có thể chọn: m  3xy  4 Từ(*) suy ra: 2 n x  4 2 y  5
Việc chọn n hay m trước ta phải linh động Hướng dẫn. 3 Đặt xy  4
Đặt 3  4xy a  0 38 3 2 x  4 2
y  5  b  0 Su
y r a mối liên hệ: 2 3 2
a b x  4 2 y  4xy  ( 8 *)
Pt (1)đã cho trở thành:
a x yb(**)
Thay a vào (*) ta được (x yb)2 3 2
b x  4 2 y  4xy  8 3
b  8  2xyb  4 2 2
xy y b  4 2 y  0  (b  )( 2 2
b  2b  4  2 2
xy y b  2 2 y )  0  b  2 3 xy  ; b  0 2
b  2b  (4  2xy) 2  y b  2 2 y  0 4
b  2  a x  2y Ta có:
 3  4xy x  2y
x  2y  0    2 2
 4y  3  x 3 2 x  2 2 4 2 y  5  2 x  4y   3 Thay vào PT(2) có 2 x  1 ( 2 x x  ) 1 2 2 x  2x  1  2 4 x  2 2 x  2  ( 2 x   ) 1 4 x  2 2 x  2  (2 2 x  2x  ) 2 2 2 x  2x 1  ( 2 x  ) 1 3  ( 2 x  ) 1  (2 2 x  2x  ) 1 2 2
x  2x  1  2 2 x  2x  1  f ( 2 x  ) 1  f ( 2 2 x  2x  ) 1 f t (  t3 )
t f '(t)  3 2 t  1  0
Suy ra f(t) đồng biến nên f ( 2 x  ) 1  f ( 2 2 x  2x  ) 1 x  0  2 x  1  2
2x  2x  1  3 x(x  ) 2  0   x  3 2 Với 3 3 x  0 2
y   y   4 2 3
Đối chiếu các đk 3 xy
; x  2 y  0 ta lấy (x  ; 0 y   ) 4 2 3 3   3 2 4 3 3 4
Với x  2  y   y   4 2 3 3 3  4
Đối chiếu các đk xy  ; x  2y  0 ta lấy ( 3 x  2; y   ) 4 2 3 3  4
Hệ PT đã cho có 3 cặp nghiệm 3 (x  ; 0 y   ) ( 3 x  2; y   2 ; ) 2
Thí dụ 51 Giải hệ phương trình  3 2 2  5  4xy  . y
x  4 y  3  x ) 1 (  8 2x3x  4  2 x  2  8 2 1
x  3x  4  16  8 2 y ( ) 2
Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 39 Hướng dẫn.  5 Đặt xy  4
Đặt 5  4xy a  0 3 2 2
x  4 y  3  b  0
Suy r a mối liên hệ: 2 3 2
a b x  4 2 y  4xy  ( 8 *)
Pt (1)đã cho trở thành:
a x yb(**)
Thay a vào (*) ta được (x yb)2 3 2
b x  4 2 y  4xy  8 3
b  8  2xyb  4 2 2
xy y b  4 2 y  0  (b  )( 2 2
b  2b  4  2 2
xy y b  2 2 y )  0  b  2  5 xy  ; b  0 2
b  2b  (4  2xy) 2  y b  2 2 y  0 4
b  2  a x  2y Ta có:
 5  4xy x  2y
x  2y  0    2 2
 4y  5  x 3 2 x  2 2 4 2 y  3  2 x  4y   5 Thay vào PT(2) có 8 2 x 3x4 2 2 x   8 2 1
x  3x  4  2 2 x  6 8 2 x 3x4  2 2 x   ( 8 2 1
x  3x  4  2 2 x  ) 2  4 Với 8 2
x  3x  4  ( 2 2 x  ) 1 8 2 x 3x4  2 2 x   ( 8 2 1
x  3x  4  2 2 x  ) 2  22  0  4 Với 8 2
x  3x  4  ( 2 2 x  ) 1 8 2 x 3x4  2 2 x   ( 8 2 1
x  3x  4  2 2 x  ) 2  22  0  4 Với 8 2
x  3x  4  ( 2 2 x  ) 1 8 2 x 3x4  2 2 x   ( 8 2 1
x  3x  4  2 2 x  ) 2  22  0  4 x  0 2 2 3 
8x  3x  4  ( 2 x  ) 1  x(4x  ) 3  0   x  3  4  4 Với 5 5 x  0 2
y   y   4 2  5
Đối chiếu các đk 5 xy
; x  2 y  0 ta lấy (x  ; 0 y  ) 4 2 9 9 5 3  5 3  Với 3 2 16 16 3 x   y   y   4 4 2 40 9   5 3 5
Đối chiếu các đk 3 16 xy
; x  2 y  0 ta lấy ( 3 x  ; y  ) 4 4 2 9 5 3 
Hệ PT đã cho có 2 cặp nghiệm 5 3 16 (x  ; 0 y  ) ; ( 3 x  ; y  ) 2 4 2
Thí dụ 52 Giải hệ phương trình  4 2 x  2xy  2 y  3  . x 2xy  1   y ) 1 (  2 2 2 x x x x y x xy 11 2 6 4  2 11  2  2 2  ( ) 2  ( 4 4 x  4 2 x  ) 5
Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn. 1 ĐK: xy  2 Đặt 4 2 x  2 2
xy y  3  a  3 xy   b  2 1 0
Suy ra mối liên hệ: 2 2 a b  4 2 2 x y  4xy  ( 4 *)
Pt (1)đã cho trở thành:
a xb y(**)
Thay a vào (*) ta được (xb y)2 2  b  4 2 2
x y  4xy  ( 4 *)  ( 2 x  ) 1 2 b  2xyb  ( 2 2 2 x  2xy  ) 2  0 b  2 
   (2 2x  2xy b  ) 2   ( 0 loai)  2 x  1
b  2  a  2x y Ta có:  2xy 1  2
2x y  0     4 2 x  2xy  2
y  3  2x y 2xy   3 Thay vào PT(2) có x x xx x  2 11 2 6 11 2 4 6 5 2
 (4 4x  4 2x  )5   x   2 2 1  (x  ) 2  22 2  1
   11x  6x  42 2 11 2 x 6 x4 2    f ( 2 x  ) 2  f ( 11 2 x  6x  4)
x  0  khôngcóy
x    y   1 3
(loaivi2x y  ) 0  2  2 x  2  11 2
x  6x  4  ( 2 x  3x)( 2 x  3x  ) 2  0  
x   y  3 1  2  3
x  2  y   4 Cách khác: 41 x x xx x  2 11 2 6 11 2 4 6 5 2  ( 4 4 x  4 2 x  ) 5 x   x xx x  2 2 11 2 6 11 2 4 6 5  2 11  0 4 x  4 2 x  5 ( 2 x 3x)( 2 x 3  x2)
x x x x  2 2 ( 2 3 )( 2 3 ) 2
 2x 2 11x 6x4 1  0 4 x  4 2 x  5
Xét 3 trƣờng hợp…………….
Chú ý: Muốn có hệ đơn giản ta có thể tạo ra hệ PT gồm PT thứ nhất đặt ẩn phụ
không hoàn toàn kiểu của tác giả và PT thứ 2 đơn giản,quen thuộc chẳng hạn:
Thí dụ 53 Giải hệ phương trình  4 2
x  2xy  2 2 y  3  .
x 2xy  1  2 y y ) 1 (   2
2x  2xyy  3 x  2x  ( 3 ) 2
Tác giả:Vũ Hồng Phong (ToánB K35 ĐHSP.TN) Hướng dẫn. ĐK 2xy  1 2
  y  2xy  1  2 2
Đặt 4x  2xy  2y  3  a  3 2
xy   y b  2 1 0
Suy ra mối liên hệ: 2 2 a b  4 2 2 x y  4xy  ( 4 *)
Pt (1)đã cho trở thành:
a xb y(**)
Thay a vào (*) ta được (xb y)2 2  b  4 2 2
x y  4xy  ( 4 *)  ( 2 x  ) 1 2 b  2xyb  ( 2 2 2 x  2xy  ) 2  0 b  2 
   (2 2x  2xy b  ) 2   ( 0 loai)  2 x  1
b  2  a  2x y Ta có:  2xy 1 2 y  2
2x y  0     2 4 2
x  2xy  2 2
y  3  2x y
y  2xy  3   0 Thay vào PT(2) có
2x  33x  2x  3
 2x  33x  2x  3  0
f (t)  2x  33x  2x  3 f ' ( )  2x t
ln 2  33x ln 3  2 f "( )  2x t
ln2 2  33x ln2 3  0
Suy ra f’(t) đồng biến nên f’(t) có tối đa 1 nghiệm suy ra f(t) có tối đa 2 khoảng đơn điệu
Vì thế f(t) có tối đa 2 nghiệm. suy ra x=2,x=3 là tất cả các nghiệm của f(t) y  1 Với x=2 có: 2
y  4 y  3  0   y  3 Với x=3 có: 2
y  6y  3  0  y  3  6 42
Thí dụ 54 Giải hệ phương trình  9 2
x  8xy  3 2
y  6  (x y) 2
y  4xy  3   y(*)
3x  4xy  2 y  3 2 2
x  8xy  2 2 y  3x  3   (**)  2 x  3 4  2 2 x  3x  1
Tác giả:Vũ Hồng Phong Hướng dẫn. Đk 2
y  4xy  3  9 ; 0 2
x  8xy  3 2 y  6  0 Đặt 9 2
x  8xy  3 2
y  6  a  0 2 y xy   b  4 3 0
Suy ra mối liên hệ: 2 2 a b  9 2 x 12 xy  4 2 y  ) 1 ( 9
Pt (*)đã cho trở thành:
a  (x y b )  y
Thay a vào (1) ta được
(x y)b y2 2  b  9 2
x 12xy  4 2 y  9
 (x y)2   1 2
b  2y(x y)b  3 ( 3 3 x  4 2 xy y  ) 3  0 b  3 
   3( 2x  4xy  2y b  ) 3   0  (x y)2  1 vì có 2
y  4xy  3  3 ; 0 2 x  0 và 2 2 y  4xy  3 ;
3 x không đồng thời bằng 0
với b=3 suy ra a  3x  2y Ta có:  3 2
y  4xy  3 2
y  6  3x  2 y
3x  2y  0    y  2 2 4xy  3  3 y  4xy   6 Thay vào PT(**) có 3x  9 2 2 x  3x 15  2 x  3 4  2 2 x  3x  1 3x  9 (4  2 2 x  3x  )( 1 2 2
x  3x  1  ) 4   2 x  3 4  2 2 x  3x  1 3x  9   2 2
x  3x  1  4 2 x  3  2 2
x  3x  1  ( 2 x  1  ) 2 2 2
x  3x  1  ( 2 2 x  ) 1  0  x   0 2 2
x  3x  1  2 x  x( 3 x  ) 3  0    1    x  3 3  2  2 2
x  3x  1  2
2x  3x  3  0    3  x  33  4
Với x  0 có: 2
y  6  y   6 Với 3 x  3 có: 2 3 3 3
y  4 3y  6  y  2  3  6  4 9  2  3  33  24   2 3 33 Với 3  33 x có: y  ( 3
  33)y  6  y 4 2 43  2  3  33  24   2 3 33 Với 3  33 x có: y  3
(  33) y  6  y 4 2
Kiểm tra đk: x y  3 2
0 ta lấy 4 cặp nghiệm:
x  0 ; y   6  2
 3  33  24  3  33 3  33 x  ; y  4 2  2
 3  33  24  3  33 3  33 x ; y 4 2
Thí dụ 55 Giải hệ phương trình  2 2 x y  2 x y  2 x  2
y y  2  . 2 x x y  2
x y 1  x(*) 
2y  3y  2 y  2 2 x y  2 x y  ( 1 **)
Tác giả:Vũ Hồng Phong Hướng dẫn. Đk 2 2
x y x y  1 Đặt 2 2 2 2 2
x y x y x y y  2  a  0 2 2
x y x y   b  1 0
Suy ra mối liên hệ: 2 2 2 2 2
a b x y y  2y  ) 1 ( 1
Pt (*)đã cho trở thành:
a xb x
Thay a vào (1) ta được (xb x)2 2 2 2 2
b x y y  2y 1   2 x   1 2 b  2 2
x b  ( y  )( 1 2 2
x y x y  ) 1  0 b y 1 
   ( 2xy  2x y b  ) 1   ( 0 l)  2 x  1 Ta có: xy  0 y  1  2 2 x y  2 x y  2 x  2
y y  2  xy    y  1  2 x y  2
x y  1  y  1  2  y y 2   x  2  y  1 Thay 2 2
x y x y 1  y  1 vào PT(**) có 2y 2
y y  2  0
f ( y)  2y 2
y y  2
f ' ( y)  2y ln 2  2y  1 y 2 2 f "( )  2y y
ln 2 2  2 f "( y)  2 ln 2  2  0  y  ln ln 2 2
suy ra f’(y) có tối đa 2 khoảng đơn điệu suy ra f’(y) có tối đa 2 nghiệm suy ra f(y) có tối đa 3
khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa 3 nghiệm
suy ra y=1;y=2;y=3 là tất cả các nghiệm của f(y) ta loại y=1
Với y  2 có: 2
x  6  x  2  2
Với y  3 có: 2
x  7  x   7 44
Đối chiếu các điều kiện suy ra hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm:
(x  2 2; y  ),
2 (x  7; y  ) 3
Thí dụ 56 Giải hệ phương trình  ( y  ) 1 2
xy  2 y x   2  (* 1 ) 2 2 2 2
1 x y xy  2xy x  2y 1  2 x 1  2 4 ( 5 2 xy  2 y  2 x 2 x ) 1 3 1  2  (**) x 1 2 
2xy  2x  2 y  1  2 2 x 2 x 2 1
Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh) Hướng dẫn. Đk 2
xy  2y  0 Đặt 2 2 2 x y xy  2 2
xy x  2y  1  a  0 2
xy y b  2 0
Suy ra mối liên hệ: 2 2 2 2
a b x y  2 xy  1 2  x ) 1 (
Pt (*)đã cho trở thành: ( y  )
1 b x  2 1  a  (y  )1b x 1 1  a
Thay a vào (1) ta được
(y  )1y x  2 2 2 2 2
1  b x y  2xy  1  x  (y  ) 1 2   1 2 b  ( 2 x  )( 1 y  ) 1 b x( 2 xy  2y  ) 2  0
b x a xy 1     ( 2 xy  2 y b  ) 2   ( 0 l)  ( y  ) 1 2  1 Ta có: xy  1
 x2 y2  xy2  2xy x2  2y 1  xy 1    x  0
 xy2  2y x   2 xy  2 y  2 x Thay 2 2
xy  2 y x vào PT(**) có 2 x 1 2  x 1  2 x  2 2 ( 5 2 ) 1 3 2x 2x 1   2 2 x 2 x 1    0 2 2 x  2x  1 2 x Đặt 1  t  0 2 2 x  2x  1 Có:
3t  22t  5t  0 f t t 2 t
( )  3  2   t 5 f ' ( )  3t t
ln 3  22t ln 2  5 f "( )  3t t ln2 3 22 t   ln2 2
suy ra f’(t) đồng biến, f’(t) có tối đa 1 nghiệm suy ra f(t) có tối đa 2 khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa 2 nghiệm
suy ra t=1;t=2 là tất cả các nghiệm của f(t) 45
x  0  y  0  1 3 2     x  1 y (loaivixy ) 1 3    
Với t  1 có:
 1  x(x  ) 2  0   3 2 2 2x  2x   3  x  2  1   1 3  y    3 2
Với t  1 có:   1  2 7 y  (loaivixy   ) 1 2  x  1 x  3   3  2  (x  )( 3 x  ) 1 3  0    1 2 2 x  2x  1  2 7 y    3 x  1 ( 0 loai) 1 3 1 2 7
hệ Pt đã cho có 3 cặp nghiệm (x;y): ( ), 0 ; 0 (3 2; ), ; 3 ( ) 3 2 3
Sau đây tác giả nêu vài thí dụ hệ PT dùng 2 phương pháp đặt ẩn phụ đều của tác giả nghĩ
ra(phương pháp sau tác giả dựa vào phép thế Ơ-le trong tính tích phân)
Muốn tìm hiểu rõ phương pháp đặt ẩn phụ kiểu phép thế Ơ-le các bạn có thể tìm ở tạp chí:
Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 468 Tháng 6-2016
Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Hoàn Sơn;Tiên Du;Bắc Ninh)
Thí dụ 57 Giải hệ phương trình  2 x 2 4 x  2 2 x  2
y y  1  y  4 x  ( 1 *)  y  16y 16 2 y 2 2 15   8 ( x  ) 1 4x  1  (**)  x 16x  9
Tác giả:Vũ Hồng Phong (GVTHPT Tiên Du 1,Bắc Ninh) Hướng dẫn. Đk 4
y x  0 4
y x  0  y  ( 0 đk : y  ) 0 Đặt 2 4 x  2 2 2
x y y  1  a  0 4
y x b  0
Suy ra mối liên hệ: 2 2 4 2
a b x y  2 2 x  ) 1 ( 1
Pt (*)đã cho trở thành: 2  x a b  1 y
Thay a vào (1) ta được 2 2  xb  1 2 4 2
b x y  2 2 x  ) 1 ( 1    y  4  xx 2 2 2  1 b b  ( 4 2 x y  2 2 x )  0  2   yy 4  xx 2 2 2  1 b b  ( 4 2 x y  2 2 x )  0  2   yy 4  x   y 1 2 b  2 2 x b y( 4 2 x y  2 2 x )  0  2   y  46
b y a  2 x  1    ( 4 x  2 y  2  2x ) b   ( 0 l) 4  x (  ) 1 y  2 y Ta có:
 2x4  2x2  y2  y 1  x2 1 y  0     2 4
y x4  y
y y x Thay 2 4
y y x vào PT(**) có  3 2 2 15 9 16x  8 ( x  ) 1 4x 1  Điều kiện x  16x  9 16 3 2 2 30  32x  16 ( x  ) 2 4x  1  (***) 16x  9 Ta có (2x  4 2 x  ) 1 3  8 3 x  12 2 x 4 2 x  1  6x(4 2 x  ) 1  (4 2 x  ) 1 4 2 x  1  32 3 x  6x  16 ( 2 x  ) 1 4 2 x 1 Suy ra VT (***)  32 3 x  6x  16 ( 2 x  ) 1 4 2 x 1  ( 3 2x  4 2 x  ) 1 2 3 2  x x   x x  (2 4 ) 1 ( 3 2 4 ) 1
t  2x  0
t  2x  0
Đặt 2x  4x2 1  t x2 1  t  2x     (i)  2
4x  1  (t  2 2x) 4tx  2 t 1
+ Dễ thấy t = 0 không thoả mãn (i)
+ Xét t  0 1 t2  t  0  0 2  i ( )   t   t 2 1  t 2  1 x  x    t 4 t 4
Khi này PT(***) trở thành 3 30 t  3t  2 t 1 . 16  9 4t t 3 30
t  3t  4 2 t  9t  4 2 30  t  3  (do t  0 ) 4 2 t  9t  4  ( 2 t  )( 3 4 2 t  9t  ) 4  30  4 4 t  9 3 t 16 2
t  27t 18  0  (t  )( 2 t  )( 3 4 2 t  5t  ) 3  0 t  2   t  3
4 2t  5t  3  0 Xét phƣơng trình 4 2
t  5t  3  0
có   0 nên nó vô nghiệm 47
Do t  0 nên ta chỉ lấy t  2 3
-Với t  2 thay vào (1) ta đƣợc x  8 Vậy PT(***) có 1 nghiệm 3 x  8 3  Với 2 81 32 943 x
có: y y   y 8 4096 64  3 32  943 
hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y):  ;   8 64 
Thí dụ 58 Giải hệ phương trình  3 2 x  2
y  2x  1  2 2 x  3 2
y x  2 y  ( 1 *)   3 7 x x y 2 2  11 3  10 2  2  1 x x  1  30 (**)    3 3  3
Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh) Hướng dẫn.
Dễ thấy x  2y 1  0 thì (*)  2 2 x  3 2
y  0  x y  0 (không xảy ra)
(*)  x  2y 1  0 Đặt 3 2 2
x y  2x  1  a  0 2 2
x y b  2 3 0
Suy ra mối liên hệ: 2 2 2
a b  (x  ) 1  ( 2 2y)
Pt (*)đã cho trở thành:
a b x 1  2y Ta có hệ:
(a b)(a b)  (x 1 2y)(x 1 2y)
a b x 1 2y   
a b x 1 2y  0
a b x 1 2y x  1   a x
3x2  y2  2x  1  x  1  1       y  0 b  2y
 2x2  3y2  2y   2 y  2 2x Thay 2 2
y  2x vào PT(**) có : 3  7  x x 2 2 11 3 70 2 1 x x 1  (***)   3 3 3  
+Dễ thấy x  0 không thoả mãn PT (***) + Xét x  0 Đặt 7 2 2 x
x  1  tx 1 3 3 tx 1   0  7 2 2
x x 1  2 2
t x  2xt  1 3 3 tx 1  0 tx 1  0     ) 1 ( (do x  0 )  t
3 2 x2  7x2  tx 6  2x 3 ( 2
t  7)x  6t  2 Dễ thấy khi 7 3 2
t  7  0  t   3 48 không thoả mãn (1) 7 Khi t   thì 3  6t x  2  3 2 t  ) 1 (   7  6t  2 t. 1  0  3 2 t  7  6t x  2   2 6t  3t  7 x  2   3 2 t    7  7  t   (2) 3 2 t  2t  7  3   0  3 2 t  7  t  7  3
Với cách đặt trên thay vào PT đã cho ta đƣợc 11 3 x x 3 70 2 1 (  tx  ) 1  3 11x  70 3 3 2  t x  .x 3  3 3
t x  11x  70 t t  3 6 2 6 2  3t .  . 11  70 3 2 t  7 3 2 t  7  6 ( 3 t  ) 2 3 t  6 ( 11 t  ) 2  3 ( 70 2 t  ) 7 18 4 t  6 3 t  210 2
t  66t  468  0  ( 6 t  )( 3 t  3 )( 2 2 t  4t  ) 13  0    t  3 t  3    t  2  t  2   3 2
t  4t 13  0   2  t  43  3
đối chiếu điều kiện của t ở (2) ta loại  2  43 t  3
Với t còn lại thay vào (2) ta đƣợc  3  3 43 x  ; 1 x   ; 2 x    775 , 0 13  2 43 đối chiếu điều kiện  3 3 43 x  1   x  ; 1 x    775 , 0 13  2 43 y  Với x 1 2 y  2 2 x   2 2  y   2  ( 0 l) Với  3 3 43 3 6  3 86 x   y  ( y  ) 0 13  2 43 13  2 43
hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y):    3 3 43 3 6 3 86 1 ( : 2) ( ; ) ; 13  2 43 13  2 43 49
Thí dụ 59 Giải hệ phương trình  5 2 x  2
y  6x  9  4 2
x  2 y  1  x y  ( 2 *)   2 2 x  2 y  17x  11 27 41   x  (**) 2  2 2 x  2 y  17x  28 14 11
Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh) Hướng dẫn.
Dễ thấy x y  2  0 thì (*)  5 2 2
x y  6x  9  4 2
x  2y  1  x y  2  0  ....  4 2
x  2x  5  ( 0 ) vn (không xảy ra)
(*)  x y  2  0 Đặt 5 2 2
x y  6x  9  a  0
x y   b  4 2 2 1 0
Suy ra mối liên hệ: 2 2 2
a b x  6x  2 2 2
9  y  2y 1  (x  ) 3  (y  ) 1
Pt (*)đã cho trở thành:
a b x  3  y 1 Ta có hệ:
(a b)(a b)  (x  3  y  )(
1 x  3  y  ) 1
a b x  3  (y  ) 1   
a b x  3  y 1  0
a b x  3  y 1 x  3   a x  5 2 x  2
y  6x  9  x  3  3       y  1 b y 1  4 2
x  2 y  1  y  1   2 y  2 4x Thay 2 2
y  4x vào PT(**) có : 6 2 x  17x  11 27 41  x  2  (x  6 )( 1 x  ) 11 28 14 Dễ thấy x  1
 không là nghiệm của phƣơng trình Với x  1  đặt (x  6 )( 1 x  ) 11  (x  ) 1 t  0 (1) 2 2  (x  6 )( 1 x  ) 11  (x  ) 1 t 2
 6x 11  (x  ) 1 t 2 2  (t  )
6 x  11 t (2)
Dễ thấy t   6 không thoả mãn (2) 2  Với 11 t
t   6 suy ra x  (3) 2 t  6 thay vào (1) ta đƣợc: 5t (x  6 )( 1 x  ) 11   0 2 t  6 t  6 Suy ra  (4)  6  t  0
Phƣơng trình đã cho trở thành 2  5t    2  t  6  27 11 2  t 41  .   700 2 t  55 ( 2 t  2 )( 195 2 t  5t  ) 12 5t 28 2 t  6 14 2  2 t  6 140 2 t  11 ( 2 t  )( 39 2 2 t  5t  ) 12 50  22 4 t  55 3 t  350 2
t 195t  468  0  (t  )( 1 t  )( 3 22 2 t 143t  ) 156  0  t   1  t  3   143  6721 t   44
Kiểm tra điều kiện ở (4) ta lấy t  3 và 143  6721 t  44
Thay các giá trị t vào (3) ta đƣợc 2 x  3 286 6721  5874 143 6721  2937 và x   15554  286 6721 7777 143 6721 Với 2 2 2 16 4 x   y  4x
; y  1  y 3 9 3 Với 286 6721  5874 286 6721  5874 x  ; 2 y  4 2
x ; y  1  y 15554  286 6721 7777  143 6721
hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y): 2 4 x  ; y  3 3 143 6721  2937 286 6721  5874 x  ; y 7777 143 6721 7777 143 6721
Thí dụ 60 Giải hệ phương trình  4 2 x  2 y   4xy 15  1 .3 xy(*)  2  2 2  y 1 e  3y 2y1 e  4 y  20 2 x  2 y  ( 75 **) Hướng dẫn. Đk: 15 xy 4
Đặt: 4xy 15  a  0 4 2 2 x y  1 3  b  0 2 Suy ra mối liên hệ: 2 a  2 3
b  (2x y)2  16 (1) Từ phƣơng trình (*) có:
a xb y Thay vào (1) đƣợc:
xb y2  2 3
b  (2x y)2  16  (b   ) 2 2 x b  2 2 x  2 2
b  4b  2xy   8  0  b  2  2 vì x b  2 2 x  2 2
b  4b  2xy  8  0 Suy ra
a  2x y Ta có : 51
 4xy 15  2x y
2x y  0  2 2   4x y   1 3  2 2 2
4x y 15  2 15 2  y 2  x  4 Thay vào(**) đƣợc: 2   e y 1 2  
e 3y 2y 1  y4  5y2  2 y 2 y 1 2   ey y ( 2 y  ) 1 2 3 2 1  e  3 ( 2 y  2 y  ) 1  f ( 2 y  ) 1  f ( 3 2 y  2 y  ) 1 t 2
f (t)  e t f ' t ( )  et t 2
f ' ' (t)  t e  2
f ' ' (t)  et  2  0  x  ln 2 t Ln2 f”(t) - 0 + f’(t) 2-ln4>0 f(t)
Nhƣ vậy f(t) là hàm đồng biến. suy ra f ( 2 y  ) 1  f ( 3 2 y  2 y  ) 1 y y 2 2  2 1  0   2
y 1  3y  2y 1     y(y  )( 2 2 y  2 y  ) 1  0 y  1 2 11 11 y  2 2  x   x   4 2   2 12 2 2 12 2 2 y  1   2  x   x   4 2
Đối chiếu đk suy ra nghiệm hệ đã cho:  11     12  2 2  2 ; ,  ; 1    2  2 2      52