Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học toán học

Quỹ tích là gì? Phương pháp giải bài toán tìm quỹ tích
Định nghĩa quỹ tích là gì?
Một hình H, theo định nghĩa, được gọi là quỹ tích của điểm M sẽ
có tính chất T khi và chỉ khi hình H chứa các điểm có tính chất T.
Các loại quỹ tích cơ bản 
Tập hợp các điểm bao gồm hai điểm A, B và tất cả những
điểm nằm giữa A và B là đoạn thẳng AB. 
Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định chính là đường
trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. 
Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc chính là
tia phân giác của góc đó. 
Tập hợp các điểm cách đường thẳng (d) một khoảng bằng I
là hai đường thẳng song song với (d) và sẽ cách đường
thẳng (d) một khoảng chính bằng I. 
Ta có tập hợp của các điểm cách điểm cố định O một
khoảng bằng R chính là đường tròn tâm O, với bán kính R
trong mặt phẳng và là mặt cầu tâm O, bán kính R trong không gian ba chiều. 
Tập hợp các điểm M tạo với hai đầu mút của đoạn thẳng AB
cho trước một góc AMBˆ sẽ có số đo bằng α không đổi là
hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (được gọi là cung tròn
chứa góc α vẽ trên đoạn AB). 
Tập hợp những cặp điểm đối xứng nhau qua một đường
thẳng là mặt phẳng chứa đường thẳng đó. 
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng với tổng khoảng cách tới
hai điểm cố định cho trước (nằm trong mặt phẳng đó) chính
là đường elíp nhận hai điểm cố định đó là tiêu điểm. 
Tập hợp các điểm cách đều một điểm và một đường thẳng
cố định sẽ là đường Parabol trong mặt phẳng đi qua điểm và đường cố định đó.
Cách chuẩn bị giải bài toán quỹ tích
Tìm hiểu kĩ bài toán
Trước hết bạn cần tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững các yếu tố
đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường sẽ
xuất hiện 3 yếu tố sau đây: 
Yếu tố cố định: Như các điểm, đoạn thẳng hay đường thẳng, …. 
Yếu tố không đổi: Như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, …. 
Yếu tố thay đổi: Thông thường là các điểm mà ta cần tìm
quỹ tích, hoặc các đoạn thẳng, hoặc các hình mà trên đó
chứa các điểm ta cần tìm quỹ tích.
Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích
Để hiểu rõ hơn về các yếu tố trên ta xét các ví dụ sau đây:
Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOyˆ cố định và một đoạn thẳng AB
có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di
chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB .
Trong bài toán này chúng ta cần xác định 3 yếu tố đã nêu trên: 
Yếu tố cố định là đỉnh O của góc vuông xOyˆ 
Yếu tố không đổi là độ dài của đoạn thẳng AB 
Yếu tố thay đổi là điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung
điểm M của đoạn thẳng AB cũng thay đổi.
Ví dụ 2: Cho một đường thẳng (b) và điểm A cố định không thuộc
đường thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên
đường thẳng (b) sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C. 
Yếu tố cố định là đỉnh A và đường thẳng (b) 
Yếu tố thay đổi là đỉnh B và đỉnh C 
Yếu tố không đổi chính là hình dạng của tam giác ABC (AB = AC)
Tóm lại: Qua 2 ví dụ trên ta cần chú ý: 
Trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu
tố không đổi và nhiều yếu tố thay đổi. Vì vậy, ta chỉ tập trung
vào những yếu tố có liên quan đến cách giải mà thôi. 
Đôi khi các yếu tố đặc trưng trên không được cho một cách
trực tiếp nên ta cần phải hiểu được một cách linh hoạt và sáng tạo. 
Ở ví dụ 2, đề bài yêu cầu là tam giác đồng dạng với chính nó,
vì thế ta cần lập ra hoặc chứng minh các giả thiết để tam
giác ABC luôn đồng dạng (AB = AC). Thông qua việc đó
giúp ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn
Cách đoán nhận quỹ tích
Thao tác đoán nhận quỹ tích giúp chúng ta có thể hình dung ra
được hình dạng của quỹ tích (đoạn thẳng, đường thẳng, hình tròn, ….).
Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm ba điểm của quỹ tích. Để có
thể nhận được kết quả tốt và đơn giản nhất ta xét các điểm giới
hạn của chúng, với điều kiện là vẽ hình chính xác. 
Nếu ba điểm ta vẽ được không thẳng hàng thì nhiều khả
năng quỹ tích là đường tròn 
Nếu ba điểm ta vẽ được thẳng hàng thì khả năng quỹ tích sẽ là đường thẳng.
Cách giải bài toán quỹ tích
Chứng minh phần thuận
Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H. Thực chất của phần
này là đi tìm hình dạng của quỹ tích (kiểm tra với một vài trường
hợp cụ thể, dự đoán và sử dụng lặp luận để chứng minh quỹ tích cần tìm).
Chứng minh phần đảo
Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T. Mục tiêu của việc
chứng minh phần đảo là xác minh lại một lần nữa (trong nhiều
trường hợp thì việc xét phần đảo sẽ là cách chứng minh chắc
chắn nhất cho lập luận của mình).
Tóm lại: Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta kết luận: Quỹ
tích của những điểm M thỏa mãn tính chất T là hình H.
Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích điểm
Để giải được bài toán tìm quỹ tích điểm: MA−→− +MB−→−=kMC−→− 
Bước 1: Xác định các yếu tố đặc trưng (yếu tố cố định, yếu
tố không đổi, yếu tố thay đổi) 
Bước 2: Biến đổi biểu thức vectơ cho trước về 1 trong 5 dạng toán sau:
Dạng 1: Cho ba điểm A, B, C cố định. M di chuyển. Ta chứng
minh được CM−→−=kAB−→− khi đó điểm M di chuyển trên
đường thẳng (Δ) qua điểm C và song song với AB.
Dạng 2: Cho hai điểm A, B cố định. Quỹ tích điểm M là điểm di
chuyển sao cho ∣∣∣MA−→−∣∣∣=∣∣∣MB−→−∣∣∣. Khi đó quỹ tích điểm
M thỏa mãn ∣∣∣MA−→−∣∣∣=∣∣∣MB−→−∣∣∣ là đường thẳng (Δ) là
đường trung trực của đoạn thẳng AB. Dạng 3: Cho I là điểm cố
định, M là điểm di động. Quỹ tích điểm M thỏa
mãn: IM−→−=R>0 thì quỹ tích điểm M là đường tròn (I;R)
Dạng 3: Cho I là điểm cố định, M là điểm di động. Quỹ tích điểm
M thỏa mãn: IM−→−=R>0 thì quỹ tích điểm M là đường tròn (I;R)
Dạng 4: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B cố định và một điểm
M di chuyển. Quỹ tích điểm M thỏa mãn: MA−→−.MB−→−=0 là
đường tròn (C) có (O;AB2)
Dạng 5: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A,B cố định và một điểm
M di chuyển có AM−→−.AB−→−=0. Khi đó quỹ tích điểm M sẽ
là đường thẳng (Δ) đi qua A và vuông góc với AB.