Phương pháp nguyên cứu khoa học môn Nghiên cứu khoa học | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 1
PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN CỨU KHOA HỌC
Câu 1: Hãy nêu đặc tính của các định luật vật lý
Đặc tính của các định luật vật lý (có 8 đặc tính):
1. Các định luật vật lý rất đơn giản
Nhà vật lý thiên tài Albert Einstein có lần đã nói: “Điều khó hiểu nhất về Vũ Trụ là chúng
ta có thể hiểu được một cách đơn giản về Vũ Trụ”. Thực tế, các ngành khoa học nói chung và
vật lý học nói riêng ra đời và phát triển đều nhằm phục vụ cho mục đích duy nhất của con người,
đó là giúp con người có thể hiểu được, nhận thức được những quy luật biến đổi và vận hành của
tự nhiên để từ đó có sự tác động trở lại tự nhiên, cải tạo tự nhiên, đảm bảo sự sinh tồn và phát
triển của loài người, giúp cho đời sống con người ngày càng được nâng cao, nền văn minh con
người ngày càng tiến bộ. Tuy nhiên, các quy luật, các định luật, đặc biệt là trong vật lý học, mô
tả và phản ánh sự vận hành của thế giới tự nhiên lại vô cùng đơn giản, thậm chí là “dễ hiểu”. Ta
có thể dẫn chứng ra đây một vài ví dụ minh họa:
+ Khi quan sát sự chuyển động và đứng yên của mọi vật, nhà bác học người Ý Galileo
Galilei đã phát biểu một quy luật mà sau này được gọi là “Nguyên lý tương đối Galileo”. Nội
dung của nguyên lý khá đơn giản: “Một vật đang chuyển động sẽ chuyển động mãi mãi, một vật
đứng yên sẽ đứng yên mãi mãi nếu nó không chịu tác dụng của bất kỳ lực nào khác bên ngoài”.
Nguyên lý này có thể biểu diễn ngắn gọn dưới dạng toán học như sau: F = 0 v = const
+ George Simon Ohm, nhà vật lý người Đức, bằng thực nghiệm đã thiết lập được công
thức liên hệ cũng khá đơn giản giữa các đại lượng chủ yếu trong một mạch điện, định luật Ohm:
“Cường độ dòng điện (I) trong một đoạn mạch tỷ lệ thuận với hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn
mạch đó (V) và tỷ lệ nghịch với điện trở của đoạn mạch (R).
Trong đó điện trở R là đại
lượng đặc trưng cho khả năng
kháng lại dòng điện của vật dẫn, xuất phát từ va chạm giữa các electron đang
chuyển động và các nguyên tử nút mạng của vật dẫn.
2. Các định luật vật lý thường được biểu diễn bằng toán học
So với các ngành khoa học khác, vật lý sử dụng toán học rất nhiều, có thể nói là nhiều nhất. Các
định luật vật lý, bên cạnh việc phát biểu bằng lời văn, còn có thể được biểu diễn dưới dạng biểu thức lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 2
toán học. Điều này làm cho các định luật vật lý trở nên rõ ràng, ngắn gọn, súc tích, dễ nhớ, dễ áp dụng. Ví dụ: Tên định luật vật lý
Phát biểu bằng lời văn
Biểu diễn bằng toán học Định luật I Newton
Một vật sẽ đứng yên hay
chuyển động thẳng đều nếu hay
không chịu một lực nào tác
dụng, hoặc nếu các lực tác
dụng vào nó cân bằng nhau. Định luật II Newton
Gia tốc của một vật tỉ lệ thuận
với lực tác dụng vào vật và tỉ
lệ nghịch với khối lượng của nó. Định luật III Newton
Những lực tương tác giữa hai
vật là hai lực trực đối, nghĩa là
cùng độ lớn, cùng phương nhưng ngược chiều
Định luật vạn vật hấp dẫn của Hai chất điểm bất kỳ hút nhau Newton
một lực tỉ lệ thuận với tích của
hai khối lượng của chúng và tỷ
lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Với G = 6,68.10-11 là hằng số hấp dẫn
Định luật Gauss (dưới dạng Trong trường tĩnh điện, thông
tích phân) cho điện trường
lượng của vector điện trường
qua một mặt kín S bất kỳ
bằng tổng đại số các điện tích
Với ε0 = 8,86.10-12C2/N2m2 là lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 3
phân bố trên mặt kín đó, chia hằng số điện môi tuyệt đối của cho ε0ε.
chân không, ε là hằng số điện
môi tương đối của môi trường.
Định luật Gauss (dưới dạng Từ thông (hay thông lượng
tích phân) cho từ trường
cảm ứng từ) gửi qua một mặt kín bất kỳ bằng 0.
Ngoài ra, việc biểu diễn các định luật vật lý dưới dạng toán học còn góp phần không nhỏ
vào việc mở rộng tính ứng dụng của các định luật vật lý. Ví dụ như phương trình định luật II Newton:
, nếu chỉ viết đơn giản như vậy thì có lẽ nó chỉ mô tả được những chuyển động
thẳng biến đổi đều của các vật thể đơn giản như hòn bi, chiếc xe,... Nhưng nếu ta biểu diễn nó ở
mức độ toán học cao hơn bằng việc thay thì ta sẽ nhận được một phương trình vi phân cấp 2: ),
cho phép mô tả bất kỳ chuyển động của (với
vật thể nào trong tự nhiên, dù cho chuyển động đó có phức tạp đến mấy.
3. Các định luật vật lý có tính chất phổ quát (phổ biến)
Các định luật vật lý trong một phạm vi nhất định phải đúng cho mọi đối tượng, mọi hiện
tượng. Nếu như trong phạm vi ứng dụng cho phép, có một đối tượng hoặc một hiện tượng nào
đó mà định luật vật lý không mô tả đúng, không phản ánh đúng thực tế, thì định luật đó tất yếu
sẽ bị đào thải. Như Albert Einstein, khi Thuyết tương đối của ông bị công kích bởi những người
bài Do Thái, phân phát truyền đơn dưới tiêu đề “100 tác giả chống lại Einstein”, ông đã nói một
câu rất nổi tiếng: “Cần gì phải đến 100? Nếu tôi thực sự sai, chỉ 1 là đủ!”.
Tính chất phổ quát của các định luật vật lý có thể được minh chứng rõ ràng nhất ở phương
trình định luật II Newton:
. Phương trình này có thể áp dụng cho tất cả mọi vật chất vĩ
mô chuyển động với vận tốc rất nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng dù cho các vật chất có khác
nhau thế nào đi nữa về hình dạng, khối lượng, quỹ đạo chuyển động, v.v…
4. Các định luật vật lý thường là không chính xác, chưa đầy đủ và luôn có thể hoàn thiệnthêm. lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 4
Đây là một trong những đặc điểm rất đặc trưng của các định luật vật lý. Nhìn lại quá trình
phát triển của Vật lý học từ những ngày đầu, chúng ta sẽ thấy rằng đặc điểm này thể hiện rất rõ.
Một định luật vật lý nào đó khi mới ra đời không phải là hoàn toàn chính xác. Sau quá trình thực
nghiệm kiểm chứng, nghiên cứu lý thuyết, nó được chỉnh sửa, bổ sung rồi sau đó tiếp tục được
thực nghiệm kiểm chứng, nghiên cứu lý thuyết. Mỗi lần như vậy, định luật vật lý lại càng chặt
chẽ hơn, tính phổ quát cao hơn, chính xác hơn.
Ví dụ như trước năm 1900, trong lĩnh vực nhiệt động học của vật lý cổ điển xuất hiện một
vấn đề nan giải, gây nhiều tranh cãi và thậm chí khủng hoảng, mặc dù nó chỉ là một vấn đề nhỏ,
dường như không quan trọng nhưng lại không thể nào bỏ qua được. Đó là việc giải thích sự phân
bố theo bước sóng (hay tần số) của bức xạ được phát ra bởi các vật bị nung nóng, lý tưởng nhất
là bức xạ của vật đen tuyệt đối bị nung nóng. Bằng lý thuyết sóng, Rayleigh-Jeans đã tìm ra biểu
thức tính công suất bức xạ, tỷ lệ thuận với lũy thừa bậc 3 của tần số v:
Với kB = 1,38.10-23j/K là hằng số Boltzmann
Bên cạnh đó, Wilhelm Wien, nhà vật lý người Đức, bằng lý thuyết nhiệt động học, cũng
tìm ra biểu thức tính công suất bức xạ có dạng:
Công thức của Rayleigh-Jeans và Wien khi biểu diễn trên đồ thị thì thấy chỉ phù hợp một
phần với đường cong thực nghiệm. Mãi đến vài năm sau, Max Planck, khi sử dụng mô hình
lượng tử hóa năng lượng, đã đưa ra công thức bức xạ rất phù hợp với đường cong thực nghiệm,
sau này được gọi là định luật bức xạ của Planck:
Định luật bức xạ của Planck ra đời đã phản ánh đầy đủ kết quả thực nghiệm, giúp hoàn
thiện hai lý thuyết trước đó của Rayleigh-Jeans và Wien vốn còn thiếu sót. lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 5
5. Các định luật vật lý luôn luôn có liên hệ với nhau
Vì các định luật vật lý ra đời luôn mang tính kế thừa, sự phát triển theo sau dựa trên nền
tảng của cái có trước, nên giữa chúng luôn có mối quan hệ với nhau. Từ định luật vật lý này có
thể suy ra định luật vật lý kia và ngược lại. Những mối quan hệ hỗ tương này hình thành nên một
hệ thống tri thức vững chắc, lại là tiên đề cho những định luật vật lý mới ra đời.
Ví dụ như trong điện từ học, định luật Coulomb và định luật Gauss (cho điện trường) là
hai định luật tương đương nhau nên ta có thể suy ra định luật này từ định luật kia và ngược lại.
Ở đây, ta sẽ suy ra định luật Coulomb từ định luật Gauss với một vài xem xét đối xứng. Giả sử
khảo sát một điện tích điểm q và một mặt Gauss dạng cầu bán kính r có tâm là điện tích q. dS
là diện tích vi phân trên mặt đó. Theo định luật Gauss: lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 6
Vì E tại mọi điểm trên mặt Gauss là như nhau nên ta có thể lấy E ra bên ngoài dấu tích phân: . Suy ra: Dễ dàng tính được:
Đây chính là biểu thức của định luật Coulomb.
Một ví dụ khác: Nhà vật lý học người Mỹ Holly Compton khi nghiên cứu quá trình tán
xạ của tia X trên các nguyên tử nhẹ, nhận thấy trên màn bao giờ cũng ghi nhận được hai vạch
phổ, một vạch có bước sóng bằng với chùm tia X tới ban đầu, một vạch có bước sóng lớn hơn
và giá trị bước sóng này phụ thuộc vào góc tán xạ θ. Từ đây, với giả thiết hạt bia là điện tử
(electron), ông đã phát biểu một định luật gọi là “Hiệu ứng Compton”: λ’ = λ + λc.(1 – cosθ) (*)
Với λc = 2,4.10-12m là bước sóng Compton của electron
Thực ra, công thức (*) có thể dễ dàng suy ra từ hai định luật bảo toàn cơ bản, đó là định
luật bảo toàn năng lượng và định luật bảo toàn động lượng:
(Định luật bảo toàn động lượng)
(Định luật bảo toàn năng lượng)
6. Các định luật vật lý luôn luôn làm sáng tỏ một vấn đề trước đó còn bí ẩn và gợi mởnhững
hướng tư duy mới.
Nhận thức của con người là một quá trình đi từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng,
rồi từ tư duy trừu tượng tác động trở lại thực tiễn. Tương tự, đứng trước một hiện tượng tự nhiên
còn bí ẩn, nhà vật lý trước hết quan sát, sau đó cố gắng tái hiện lại hiện tượng đó bằng thí nghiệm.
Nhà vật lý tiến hành đo đạc, ghi chép và xử lý các kết quả thu nhận được. Rồi từ nhiều kết quả
khác nhau, nhà vật lý tổng kết lại, rút ra những kết luận, những nguyên tắc có thể phát biểu bằng
lời hoặc mô tả bằng toán học. Tiếp đó, những kết luận, những nguyên tắc này lại được kiểm
chứng mức độ đúng đắn bởi những người khác và nếu thỏa mãn tất cả thì những kết luận, những lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 7
nguyên tắc đó mới được thừa nhận là định luật. Như vậy, một hiện tượng tự nhiên lúc ban đầu
còn bí ẩn, qua một quá trình thực nghiệm, tư duy và tính toán lý thuyết của nhà vật lý, nó trở nên
sáng tỏ, trở nên có quy luật. Tuy nhiên, thế giới tự nhiên lại vô cùng vô tận, khi điều bí ẩn này
được giải quyết thì bao giờ cũng xuất thêm nhiều điều bí ẩn khác, đòi hỏi nhà vật lý phải không
ngừng đổi mới cách tư duy, cách nhìn nhận, phá vỡ khuôn mẫu cũ, xây dựng mô hình mới để
giải thích, để làm sáng tỏ những bí ẩn mới.
Một lần nữa, nhìn lại lịch sử phát triển của vật lý học, chúng ta sẽ thấy rõ đặc điểm này.
Vào cuối thế kỷ 19, nhiều nhà vật lý đã cho rằng mọi bí ẩn của tự nhiên đều đã được khám phá
tường tận. Họ ví vật lý học như một toàn nhà kiên cố với hai trụ chống vững chắc, một là cơ học
cổ điển của Newton, hai là lý thuyết trường điện từ của Maxwell, đứng sừng sững giữa bầu trời
thiên nhiên trong xanh. Tuy nhiên, cũng chính vào lúc đó, hàng loạt hiện tượng bí ẩn, đi ngược
lại với niềm tin trong cộng đồng vật lý lúc bấy giờ, đã bắt đầu xuất hiện, giống như những đám
mây đen che khuất bầu trời xanh. Một trong những “bí ẩn” nổi tiếng là cuộc “khủng hoảng vùng
tử ngoại” khi các lý thuyết đã có đều thất bại trong việc giải thích phân bố công suất bức xạ của
vật đen tuyệt đối theo bước sóng (như có đề cập ở trên). Trong lúc cộng đồng vật lý hoang mang,
thì Max Planck, với hướng tư duy mới, cho rằng bức xạ phát ra từ vật đen tuyệt đối không phải
liên tục như mọi người vẫn nghĩ, mà nó tồn tại dưới dạng những phần nhỏ mang một năng lượng
nhất định gọi là “lượng tử”. Chính ý tưởng về năng lượng bị lượng tử hóa này, Planck đã giải
quyết ổn thỏa bí ẩn về “khủng hoảng vùng tử ngoại”. Ý tưởng lượng tử của Planck đã làm tiền
đề cho sự phát triển của một ngành vật lý mới sau này: Vật lý lượng tử. Vật lý lượng tử ra đời
đã nhanh chóng phát triển và có những thành tựu rực rỡ. Hàng trăm vấn đề trước đây còn là bí
ẩn của vật lý dần dần trở nên sáng tỏ hơn, dễ hiểu hơn và có quy luật hơn. Tuy nhiên, những bí
ẩn của tự nhiên vẫn còn tiếp tục tồn tại, thậm chí ngày càng vượt ra ngoài các định luật vật lý đã
biết, đòi hỏi và kích thích các nhà vật lý phải không ngừng đổi mới tư duy, phác họa những mô
hình mới, những lý thuyết mới để giải quyết.
7. Các định luật vật lý luôn luôn gắn liền với thực nghiệm và thực tế
Trong lịch sử phát triển của vật lý học, có rất nhiều định luật vật lý đã ra đời và hầu hết
chúng đều được đúc kết từ thực nghiệm. Thực nghiệm chính là cơ sở, là nền tảng, là tiền đề để
định luật vật lý có thể ra đời và cũng chính thực nghiệm là nơi để kiểm chứng định luật vật lý, lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 8
là yếu tố quyết định tính đúng đắn của định luật vật lý. Dẫn chứng thể hiện rõ nét nhất vai trò
vô cùng to lớn và không thể thiếu của thực nghiệm đối với định luật vật lý là 3 định luật nổi
tiếng của Kepler. Từ thời xưa, con người vẫn quan niệm rằng Trái đất là trung tâm của Vũ trụ
và các vì sao, trong đó có mặt trời, quay xung quanh Trái đất. Sau đó, Copernic, bằng quan sát
thiên văn (thực nghiệm) đã đưa ra lý thuyết Nhật tâm (định luật vật lý): Trái đất không phải là
trung tâm của Vũ trụ. Trái đất chỉ là một hành tinh trong hệ Mặt trời và nó chuyển động quay
xung quanh Mặt trời. Tiếp đó, Johannes Kepler, nhà thiên văn học, cũng là nhà toán học người
Đức, dựa trên lý thuyết nhật tâm của Copernic, đồng thời thừa kế từ Tycho Brahe một gia sản
khổng lồ những dữ liệu thô về vị trí của các hành tinh được ghi chép một cách tỉ mỉ trong suốt
20 năm (thực nghiệm), đã phát biểu 3 định luật về chuyển động của các thiên thể (định luật vật lý):
+ Định luật quỹ đạo elip của các hành tinh: Các hành tinh chuyển động quanh Mặt trời
theo các quỹ đạo hình elip, trong đó Mặt Trời nằm tại một tiêu điểm.
+ Định luật đồng đều về vận tốc diện tích: Đường nối một hành tinh với Mặt trời quét qua
những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Định luật này cho thấy vận
tốc của hành tinh trên quỹ đạo của nó là không giống nhau. Khi một hành tinh gần mặt trời thì
nó sẽ di chuyển nhanh hơn khi nó ở xa mặt trời
+ Tỉ số giữa bình phương chu kì quay và lập phương bán kính trục lớn của một hành tinh
là hằng số cho mọi hành tinh quay quanh hệ mặt trời.
Mặt khác, suy đến cùng, đời sống con người muốn duy trì và phát triển thì phải có hoạt
động kinh tế, sản xuất. Hoạt động kinh tế, sản xuất càng phát triển thì đời sống con người ngày
càng nâng cao, xã hội ngày càng văn minh tiến bộ. Muốn hoạt động kinh tế, sản xuất ngày càng
phát triển thì nền khoa học kỹ thuật và công nghệ phải phát triển, mà chính nền khoa học kỹ
thuật và công nghệ lại chính là thành tựu của vật lý. Như vậy có thể nói rằng vật lý học đóng góp
một phần không nhỏ vào thực tế cuộc sống, là phương tiện gián tiếp để cải thiện và nâng cao đời
sống con người. Hơn nữa, khi hoạt động kinh tế, sản xuất phát triển, thì nó lại quay trở lại thúc
đẩy nghiên cứu vật lý, nó tạo ra cơ sở vật chất, động lực và điều kiện để vật lý phát triển. Rõ
ràng, giữa vật lý, hay nói cách khác là các định luật vật lý, và thực tế đời sống có mối liên hệ
mật thiết với nhau. Chúng ta có thể dễ dàng dẫn ra một ví dụ minh họa: lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 9
Khi cơ học lượng tử phát triển, ngành vật lý chất rắn có điều kiện để nghiên cứu các quá
trình điện tử trong vật rắn mà hệ quả của nó là sự ra đời của các linh kiện vi điện tử, từ đó, máy
tính điện tử mới xuất hiện và đến nay máy tính đã trở thành một thiết bị không thể thiếu trong
mọi ngành khoa học, trong mọi lĩnh vực đời sống, bao gồm cả nền kinh tế sản xuất. Máy tính
góp phần thúc đẩy đáng kể nền kinh tế sản xuất phát triển. Rồi khi kinh tế sản xuất phát triển lại
kích thích các nhà vật lý chất rắn nghiên cứu sâu hơn, mở rộng hơn và tiếp tục cho ra đời những
thế hệ máy tính tân tiến hơn, hiện đại hơn. Cuối cùng, thực tế đời sống con người ngày càng
được nâng cao, nền văn minh của con người ngày càng tiến bộ.
8. Mỗi định luật vật lý đều có lịch sử riêng của nó.
Một định luật vật lý ra đời bao giờ cũng là kết quả của một quá trình tư duy, lao động thực
nghiệm miệt mài của các nhà vật lý, có thể kéo dài vài năm đến vài chục năm, thậm chí kéo dài
qua nhiều thế hệ. Vì vậy, mỗi định luật vật lý đều có lịch sử riêng của nó, câu chuyện riêng của
nó. Chẳng hạn khi nhắc đến nhà vật lý thiên tài người Anh Isaac Newton, người ta nghĩ ngay
đến giai thoại nổi tiếng “Quả táo Newton”. Vào một ngày mùa thu năm 1669, Newton đang ngồi
trên chiếc ghế trong vườn hoa đọc sách, bỗng nhiên một quả táo từ trên cây rơi xuống "bịch"
một tiếng trúng đầu Newton. Ông xoa đầu, nhìn quả táo chín lăn xuống vũng bùn. Quả táo đã
cho ông những ý nghĩ kỳ lạ: “Quả táo chín rồi, tại sao lại rơi xuống đất? Vì gió thổi chăng?
Không phải, trong khoảng không rộng mênh mông, tại sao lại phải rơi xuống mà không bay lên
trời? Như vậy phải có cái gì đã hút nó? Mọi vật trên Trái đất đều có sức nặng, hòn đá ném đi rốt
cuộc lại rơi xuống đất, trọng lượng của mọi vật có phải là kết quả lực hút của Trái đất không?”.
Chính câu chuyện quả táo này đã tạo nên ý tưởng cho Newton xây dựng Định luật Vạn vật hấp dẫn.
Tương tự, câu chuyện của nhà bác học cổ đại Hy Lạp Archimedes khi khám phá ra
Nguyên lý Archimedes cũng khá li kỳ. Vua Herong II giao vàng cho một người thợ kim hoàn để
đúc một chiếc vương miện. Khi đúc xong, nhà vua nghi ngờ người thợ đó đã bớt xén vàng bên
trong và thay thế bằng một lượng kim loại khác có cùng khối lượng. Để kiểm chứng việc này,
nhà vua đã giao phó cho Archimedes. Archimedes vô cùng băn khoăn và lo lắng không biết xoay
xở thế nào. Thế rồi vào một buổi sáng, khi ông đang ngâm mình trong bồn tắm. Thấy nước trào lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 10
ra ngoài, bỗng một ý nghĩ lóe lên trong đầu ông. Ông vui mừng chạy thẳng ra đường mà quên
mặc quần áo, kêu to câu Hy Lạp "Ơ-rê-ca!" (nghĩa là "Tìm thấy rồi!"). Tất nhiên, trong cảnh ngộ
nghĩnh ấy, mọi người trên phố được một trận cười no bụng. Nhưng quả thật, ông đã tìm ra lời
giải cho bài toán của vua Herong II nhờ một nguyên lý mà sau này mang tên ông:
“Mọi vật nhúng vào chất lỏng (hoặc khí) sẽ bị chất lỏng (hoặc khí) đẩy từ dưới lên với
một lực có độ lớn bằng khối lượng của khối chất lỏng bị vật chiếm chỗ”.
Câu 2: Hãy cho biết vai trò của toán học đối với vật lý và vai trò của vật lý đối với toán học.
* Vai trò của toán học đối với vật lý
Toán học có vai trò to lớn và vô cùng quan trọng đối với vật lý, thể hiện ở những đặc điểm sau:
a) Toán học giúp ghi chép, xử lý các số liệu quan sát và thực nghiệm
Đây là đặc điểm thể hiện rõ nét nhất vai trò không thể thiếu của toán học đối với tất cả
các ngành khoa học nói chung, trong đó có vật lý. Bản chất của toán học không chỉ đơn thuần là
khoa học mà nó còn là một loại ngôn ngữ giúp diễn đạt tư duy logic giữa con người với nhau.
Từ những ngày đầu, toán học đã trở thành một phần không thể thiếu trong mọi hoạt động đời
sống của con người, từ những con số, những phép đơn giản như cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa,
lấy căn,… đến những phép tính phức tạp như đạo hàm, vi phân, tích phân,… Nhờ có những con
số, những phép tính mà nhà vật lý khi làm thực nghiệm, khi đo đạc, khi quan sát mới có thể ghi
chép lại những kết quả của mình, rồi từ đó mới có thể xử lý, rút ra kết luận và ở mức độ cao hơn
là khái quát thành định luật.
Ví dụ: Nhà vật lý tiến hành đo khối lượng của một vật, để có thể ghi chép lại và xử lý kết
quả, nhất thiết cần phải có các công cụ toán học, cụ thể là các con số và phép lấy trung bình: Đo lần 1 Đo lần 2 Đo lần 3 Khối lượng trung bình Vật cần đo khối 2,24 2,18 2,23 2,22 lượng (đ. vị g) lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 11
b) Toán học giúp diễn đạt các đại lượng vật lý, trạng thái vật lý của đối tượng
khảosát, đồng thời cũng giúp nghiên cứu, mô tả các quá trình vật lý, quy luật vật lý, định
luật vật lý
Mỗi một đối tượng khảo sát của vật lý được đặc trưng bởi nhiều đại lượng vật lý khác
nhau. Cách tốt nhất để mô tả hay định nghĩa các đại lượng vật lý này là sử dụng toán học bởi vì
toán học là ngôn ngữ ngắn gọn nhất, súc tích nhất, bao quát nhất, rõ ràng nhất, logic nhất, diễn
tả đầy đủ nhất ý nghĩa của đại lượng vật lý. Ví dụ, trong chuyển động cơ học, “vận tốc” và “gia
tốc” là hai khái niệm quen thuộc. Theo cách hiểu thông thường, vận tốc là đại lượng đặc trưng
cho chuyển động nhanh chậm của một vật, còn gia tốc thì đặc trưng cho sự thay đổi vận tốc
nhanh chậm của vật. Nếu biểu diễn chúng dưới dạng toán học (phép lấy đạo hàm), ta thấy chúng
còn mang một ý nghĩa khái quát hơn:
Vận tốc là đại lượng đặc trưng cho tốc độ biến thiên của quãng đường theo thời gian, Còn
gia tốc là đại lượng đặc trưng cho tốc độ biến thiên của vận tốc theo thời gian.
Mặt khác, những đại lượng vật lý thường có mối liên hệ tác động qua lại lẫn nhau, cái này
thay đổi dẫn đến cái kia thay đổi. Mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý đó, hay nói cách khác
chính là mối tương quan giữa các trạng thái vật lý của đối tượng khảo sát được khái quát thành
các nguyên lý, các quy tắc, các định luật vật lý. Các quy tắc, các nguyên lý, các định luật vật lý
này bên cạnh việc phát biểu bằng lời văn, còn có thể được biểu diễn dưới dạng biểu thức toán
học. Điều này làm cho các quy tắc, các nguyên lý, các định luật vật lý trở nên rành mạch, rõ
ràng, dễ thao tác, nghiên cứu và khai triển bằng tư duy logic. Ví dụ phương trình MaxwellFarady
nằm trong hệ thống phương trình Maxwell mô tả về trường điện từ:
Phương trình toán học tuy đơn giản nhưng lại diễn tả sâu sắc một quá trình vật lý, thể hiện
mối tương quan giữa điện và từ. Ta có thể xem vế phải của phương trình là nguyên nhân, còn vế
trái là kết quả. Ở vế phải nguyên nhân, đạo hàm của từ trường B theo thời gian mang ý nghĩa là
sự biến thiên của từ trường B theo thời gian. Ở vế phải kết quả, toán tử rot xuất hiện đặc trưng
cho tính chất “xoáy” của một đại lượng, ở đây là điện trường E, vậy kết quả là xuất hiện một lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 12
điện trường xoáy. Dấu trừ bên vế phải thể hiện sự xuất hiện của điện trường xoáy là chống lại sự
biến thiên của điện trường theo thời gian. Vậy quá trình vật lý mà biểu thức này thể hiện là: từ
trường biến thiên sinh ra điện trường xoáy chống lại sự biến thiên đó.
c) Khi cần phát triển hay ứng dụng các định luật vật lý, rất cần đến toán học.
Vì toán học là ngôn ngữ logic của tư duy con người, có những phép tính, những quy tắc,
những phép biến đổi riêng nên từ một biểu thức, một phương trình mô tả một định luật vật lý
cho trước, ta có thể khai triển, biến đổi nó bằng toán học để đạt được những hệ quả mới, những
kết quả mới, những phạm vi ứng dụng mới, thậm chí rất bất ngờ mà bằng quan sát thông thường chưa tìm ra được.
Ví dụ như phương trình định luật II Newton mô tả chuyển động của các vật vĩ mô:
, nếu chỉ viết đơn giản như vậy thì có lẽ nó chỉ mô tả được những chuyển động thẳng
biến đổi đều của các vật thể đơn giản như hòn bi, chiếc xe,... Nhưng nếu ta biểu diễn nó ở mức
độ toán học cao hơn bằng việc thay
thì ta sẽ nhận được một phương trình vi phân (với cấp 2:
), cho phép mô tả bất kỳ chuyển
động của vật thể nào trong tự
nhiên, dù cho chuyển động đó có phức tạp đến mấy.
Khi Newton đưa ra định luật vạn vật hấp dẫn: , vẫn chưa có một ứng
dụng cụ thể nào. Bằng khai triển toán học, kết hợp giữa phương trình vạn vật hấp dẫn của Newton
và các định luật Kepler, người ta đã phát hiện thêm được các hành tinh mới mà về sau thực
nghiệm cũng đã xác nhận.
d) Đặc biệt, trong các lĩnh vực càng trừu tượng của vật lý, khi các đối tượng quá
nhỏ(như nguyên tử, hạt nhân, hạ nguyên tử,...) hay quá lớn (như Vũ Trụ, các thiên hà,
các ngôi sao,...) thì rất cần đến toán học
Đặc điểm này cho thấy toán học giúp nhà vật lý mở rộng hiểu biết đến vô tận, vượt qua
những giới hạn trong khả năng nhận thức của con người. Toán học giúp con người “thấy” được lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 13
bản chất, các quy luật chi phối, tiến triển, vận hành trong thế giới vi mô lẫn vĩ mô. Ví dụ, nhà
vật lý thiên tài Albert Einstein, từ việc tính toán lý thuyết bằng toán học, đã dự đoán Vũ Trụ của
chúng ta tồn tại ở trạng thái dừng, tức là một Vũ Trụ tĩnh không hề biến động, từ quá khứ đến
bây giờ và tiếp tục đến tương lai vẫn cứ như vậy. Sau đó, Richard Phillips Feynman, nhà toán
học và vật lý người Mỹ, khi giải lại phương trình gốc của Einstein, thấy rằng có một nghiệm thể
hiện sự biến đổi của Vũ Trụ. Ông đưa ra giả thiết Vũ Trụ của chúng ta không hề tĩnh tại mà luôn
biến đổi không ngừng. Giả thiết này của Feynman đã được củng cố khi sau đó, một nhóm các
nhà vật lý thiên văn gồm Fried Mann, Greorges Lemaltre và George Gamow, từ tính toán lý
thuyết đã xây dựng mô hình Big Bang (Vụ nổ lớn). Lý thuyết này cho rằng Vũ Trụ khai sinh từ
một vụ nổ lớn trong quá khứ cách đây 15 tỉ năm và vẫn đang tiếp tục giãn nở. Hiện nay, càng
ngày có nhiều bằng chứng thực nghiệm chứng minh sự đúng đắn của lý thuyết này. Qua đó chúng
ta thấy rằng toán học là một công cụ cực kỳ quan trọng trong nghiên cứu vật lý, đặc biệt là các lĩnh vực trừu tượng.
e) Toán học có vai trò tiên đoán trong vật lý
Tính logic trong các biến đổi toán học dường như phần này phản ánh quy luật vận hành
của thế giới tự nhiên. Vì thế, trong lịch sử, đã có không ít các trường hợp các nhà vật lý từ những
tính toán toán học, đã có những khẳng định, kết luận chính xác về những quy luật tự nhiên. Ví
dụ, nhà vật lý người Scotland, James Clerk Maxwell, từ phương trình truyền sóng điện từ và
phương trình truyền sóng tổng quát:
: phương trình truyền sóng điện từ
: phương trình truyền sóng tổng quát Ông
đã tính được vận tốc của sóng điện từ. Ông tiên
đoán ánh sáng cũng là một dạng của sóng điện từ nên giá trị vận tốc này cũng chính là vận tốc của ánh sáng: lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 14
Sau này, Michelson bằng phương pháp giao thoa kế, đã đo được vận tốc ánh sáng vào
khoảng 3.108m/s, trùng khớp với lời tiên đoán bằng phương trình toán của Maxwell.
* Đặc điểm của vai trò của toán học đối với vật lý
+ So với các ngành khoa học khác, vật lý sử dụng toán học nhiều nhất, đa dạng nhất
và hiệu quả nhất.
Đặc điểm này cũng tương đối dễ hiểu. Các định luật vật lý, thay vì phát biểu bằng lời văn,
nếu biểu diễn dưới dạng biểu thức toán học thì chúng sẽ trở nên rõ ràng hơn, súc tích hơn, dễ
nhớ hơn. Mặt khác, bằng tính toán dựa trên các biểu thức, các phương trình, toán học cũng giúp
mở rộng khả năng ứng dụng của các định luật vật lý, giúp nhà vật lý đào sâu nghiên cứu vào các
lĩnh vực trừu tượng và thực hiện khả năng tiên đoán các quy luật tự nhiên. Vì toán học có vai trò
vô cùng quan trọng như vậy nên vật lý sử dụng toán học rất nhiều, không những về mặt chiều
sâu mà còn về mặt chiều ngang, từ toán đơn giản đến toán cao cấp, rồi toán hiện đại, từ đại số,
hình học, giải tích, xác suất thống kê đến những ngành toán mới nhất. Ví dụ, hiện tượng siêu dẫn
trong vật lý được Kamerling-Onnes khám phá lần đầu tiên vào năm 1911. Trải qua một thời gian
người ta chưa thể hiểu được nguyên lý tại sao. Mãi đến năm 1957, Bardeen, Cooper và Schrieffer,
bằng việc sử dụng những công cụ toán tiên tiến nhất, hiện đại nhất, đã giải thích gần như cặn kẽ
và chính xác nguyên lý của hiện tượng siêu dẫn.
+ Một số thay đổi lớn lao (mang tính cách mạng) trong vật lý gắn liền với sự tiến bộ
của toán học.
Có thể nói rằng nếu không có toán học hoặc toán học không phát triển thì vật lý học cũng
không thể nào phát triển và đạt được nhiều thành tựu huy hoàng như ngày hôm nay. Nhìn lại lịch
sử phát triển của vật lý học, ta thấy những phát minh có tính chất bước ngoặc bao giờ cũng có
một nền tảng toán học cao cấp phát triển trước đó. Thể hiện rõ nét nhất là thời kỳ cơ học lượng
tử vừa mới phát triển. Các kết quả tính toán bằng các phương pháp toán học đã biết đều cho kết
quả không đúng với thực nghiệm. Lúc bấy giờ “toán tử” còn là một lĩnh vực toán học mới mẻ ít
được biết đến. Nhưng bằng tư duy của mình, nhà vật lý đã đưa “toán tử” vào cơ học lượng tử,
gắn mỗi đại lượng vật lý với một toán tử tương ứng, khi đó các kết quả tính toán đều phù hợp lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 15
tốt với thực nghiệm. Nhờ đó, cơ học lượng tử nói riêng và vật lý nói chung mới có cơ hội phát triển.
+ Phương pháp tư duy toán học cũng có ảnh hưởng đến phương pháp nghiên cứu
hoặc là phương pháp tư duy vật lý.
Trong toán học có hai phương pháp tư duy chủ yếu là: phương pháp chi tiết và phương
pháp tiên đề. Phương pháp chi tiết là là phương pháp mà một vấn đề được trình bày theo trình
tự thời gian, dẫn dắt tuần tự từ phát minh này đến phát minh kia. Còn phương pháp tiên đề là
phương pháp mà một vấn đề được trình bày trên cơ sở thừa nhận một số kết quả, hệ quả đã có
sẵn gọi là tiên đề. Hai phương pháp tư duy toán học này được áp dụng phổ biến trong phương
pháp nghiên cứu và tư duy vật lý. Mỗi phương pháp có những ưu điểm và hạn chế riêng:
Phương pháp chi tiết cho biết những thông tin đầy đủ về vấn đề mà chúng ta đang quan
tâm. Nhưng hạn chế lớn nhất của nó là phải đối mặt với một lượng thông tin rất lớn và do đó rất
tốn nhiều thời gian và công sức.
Phương pháp tiên đề cung cấp thông tin ít hơn nhưng vì dựa trên việc thừa nhận một số
kết quả, tiên đề có sẵn nên chúng ta tiếp cận vấn đề nhanh chóng hơn, tiết kiệm được thời gian và công sức.
Hiện nay, trong giảng dạy vật lý nói chung và các khoa học khác nói riêng ở các cấp học,
hầu như phương pháp tiên đề được áp dụng rộng rãi. Nó cung cấp cho người học những kiến
thức bao quát nhất trong khuôn khổ thời gian ấn định. Còn khi cần đi sâu hay làm sáng tỏ một
vấn đề, đòi hỏi tính chính xác tuyệt đối thì phương pháp chi tiết nên được sử dụng
+ Nhà vật lý tham gia sáng tạo ra công cụ toán cần thiết cho mình.
Do tính chất cực kỳ quan trọng của toán học trong nghiên cứu vật lý, trong một số trường
hợp, những công cụ có sẵn của toán học không đủ khả năng đáp ứng yêu cầu của nhà vật lý, khi
đó, nhà vật lý, trên cơ sở nền tảng toán học đã có, phải tự sáng tạo ra công cụ toán cần thiết cho mình.
Ví dụ, trong chuyển động cơ học của một vật, ta có mối quan hệ quen thuộc giữa vận tốc
trung bình, quãng đường đi được và khoảng thời gian: lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 16
Trong thực tế, ngoài giá trị vận tốc trung bình, nhà vật lý còn muốn biết thêm vận tốc tức
thời của vật tại từng thời điểm nhất định. Công cụ toán học dường như hạn chế không cho phép
thực hiện điều này. Tuy nhiên, bằng tư duy của mình, nhà vật lý viết lại biểu thức trên dưới dạng:
Biểu thức này cho phép xác định được vận tốc tức thời tại từng thời điểm.
+ Toán cho vật lý có những điểm khác với toán thuần túy.
Nhà toán học làm toán chỉ để làm toán, không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của nó. Nhưng
nhà vật lý thì ngược lại, luôn quan tâm đến ý nghĩa thiết thực của những phương trình, biểu thức
toán học mà mình đang giải và luôn tự đặt câu hỏi những phương trình đó, biểu thức đó muốn
phản ánh cái gì, thể hiện điều gì, nói lên quy luật gì và có thể ứng dụng thế nào vào thực tế.
Ví dụ, giả sử khi giải một phương trình bậc 2: x2 – x – 6 = 0, nhà toán học chỉ biết nó có
2 nghiệm phân biệt là x = 3 và x = -2, còn nhà vật lý thì ngoài việc tìm ra 2 nghiệm trên, còn
phải xem xét từng nghiệm xem chúng có phản ánh đúng thực tế hay không, cái nào mang ý nghĩa
vật lý thì mới giữ lại, còn cái nào không thể hiện ý nghĩa gì thì sẽ loại đi.
+ Một số trường hợp cá biệt toán học có tác dụng trì trệ lên tư duy vật lý.
Đặc điểm này không phổ biến lắm nhưng cũng đã từng xảy ra trong lịch sử vật lý
học. Năm 1911, Kamerling-Onnes lần đầu tiên khám phá ra hiện tượng siêu dẫn, một trong
những hiện tượng rất hấp dẫn đối với cộng đồng khoa học lúc bấy giờ. Đó là việc dây kim loại
bị mất điện trở hoàn toàn khi hạ nó xuống nhiệt độ He lỏng (khoảng 4K). Ngay sau đó, nhiều
nhà vật lý trên thế giới đã tập trung công sức, đầu tư thiết bị, của cải vật chất và xây dựng những
phòng thí nghiệm tối tân để nghiên cứu hiện tượng này, mục đích là tìm cách đưa hiện tượng
siêu dẫn đến những nhiệt độ cao hơn, lý tưởng nhất là nhiệt độ phòng để có thể ứng dụng được
trong đời sống. Trải qua một thời gian dài người ta vẫn chưa có một lý thuyết hoàn chỉnh để có
thể giải thích hiện tượng. Mãi đến năm 1957, Bardeen, Cooper và Schrieffer, bằng việc sử dụng lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 17
những công cụ toán học tiên tiến nhất, hiện đại nhất, đã giải thích gần như cặn kẽ nguyên lý của
hiện tượng siêu dẫn trong lý thuyết chung gọi tắt là lý thuyết BCS. Tuy nhiên, từ nghiệm của
phương trình toán học, lý thuyết này đã kết luận rằng, nhiệt độ cao nhất mà hiện tượng siêu dẫn
có thể xảy ra chỉ vào khoảng 30K (-2430C). Điều này gây nên sự thất vọng nặng nề trong cộng
đồng vật lý, nhiều phòng thí nghiệm phải đóng cửa, các nhà khoa học đành chuyển hướng nghiên
cứu, nhiều cơ sở vật chất, thiết bị, công sức, tiền cửa bị bỏ phí vô ích. Sau đó, khoa học gia Muler
và học trò là Bednoz, bằng thực nghiệm đã tìm thấy một chất gốm có nhiệt độ siêu dẫn vào
khoảng 35K, cao hơn so với kết luận trong lý thuyết BCS. Các nhà vật lý mới thấy được sai lầm
của mình khi đã tuyệt đối hóa tin tưởng vào lý thuyết tính toán, điều mà gây ra một sự trì trệ
trong nghiên cứu và định hướng phát triển.
* Vai trò của vật lý đối với toán học
+ Vật lý có thể coi là một thị trường rộng lớn và hấp dẫn đối với toán học
Có thể nói rằng, bất cứ thành tựu nào của toán học, từ đại số, hình học, giải tích, xác suất-
thống kê, toán cao cấp, toán hiện đại,… đều được các nhà vật lý áp dụng triệt để, không có một
thành tựu nào bị bỏ phí. Vật lý sử dụng toán học nhiều nhất, đa dạng nhất và hiệu quả nhất.
+ Vật lý giúp tập hợp các nhà toán học lại
Thường các nhà toán học chỉ làm việc độc lập với nhau, ít liên kết và hợp tác với nhau.
Còn các nhà vật lý thì ngược lại. Khi các nhà vật lý sử dụng nhiều lý thuyết toán học khác nhau
để khảo sát và nghiên cứu vấn đề của mình, họ đã vô tình tạo nên mối liên hệ, gắn kết giữa các
nhà toán học. Thành tựu mà vật lý học đạt được không chỉ là công sức của riêng các nhà vật lý
mà còn là công sức của nhà toán học, không chỉ một nhà toán học mà nhiều nhà toán học. Như
vậy, vật lý như một điểm nút tập hợp các nhà toán học lại với nhau để cùng nhau nghiên cứu và phát triển.
+ Một số nhà toán học chuyển sang lĩnh vực vật lý và dần dần trở thành nhà vật lý thực thụ. lOMoAR cPSD| 59595715 SWEET NOVEMBER 18
Trong lịch sử vật lý học ta có thể thấy rất nhiều những tên tuổi như vậy, ví dụ như:
Johannes Kepler (3 định luật Kepler về chuyển động của các thiên thể), Isaac Newton (3 định
luật Newton về chuyển động cơ học, Định luật vạn vật hấp dẫn), James Clerk Maxwell (Lý
thuyết trường điện từ), Nikolai Bogoliubov (Lý thuyết hạt vi mô, vĩ mô), Paul Dirac (Phương
trình Dirac trong cơ học lượng tử),…
+ Vật lý mở rộng tư duy cho các nhà toán học.
Nhà toán học làm toán chỉ để làm toán, không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của nó. Nhưng
nhà vật lý thì ngược lại, luôn quan tâm đến ý nghĩa thiết thực của những phương trình, biểu thức
toán học mà mình đang giải và luôn tự đặt câu hỏi những phương trình đó, biểu thức đó muốn
phản ánh cái gì, thể hiện điều gì, nói lên quy luật gì và có thể ứng dụng thế nào vào thực tế. Vì
toán cho vật lý có những đặc điểm khác với toán thuần túy nên khi các nhà toán học xem các
nhà vật lý làm toán, họ như thấy được những hiện tượng, những quy luật, những ứng dụng,… và
từ đó, tư duy, nhận thức của họ được nâng cao.
+ Vật lý nâng cao giá trị của toán học.
Toán học chỉ đơn thuần là toán học nếu không có các nhà vật lý ứng dụng nó trong khảo
sát, nghiên cứu các đối tượng và cho nó một ý nghĩa thực tế. Vì thế, khi các nhà toán học thấy
thành tựu của mình được người khác sử dụng để phục vụ cho đời sống, họ nhận thấy các thành
tựu của học có giá trị hơn, được mọi người biết đến hơn và có thêm động lực để tiếp tục nghiên cứu.
+ Vật lý thúc đẩy sự tiến triển của toán học.
Vật lý có thể coi là một thị trường rộng lớn và hấp dẫn đối với toán học. Không những
thế, do tính chất cực kỳ quan trọng của toán học trong nghiên cứu vật lý, trong một số trường
hợp, nhà vật lý còn tự sáng tạo thêm công cụ toán cần thiết cho mình. Tất cả những điều này đã
góp phần đáng kể vào sự phát triển của toán học, thúc đẩy các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu,
tiếp tục triển khai thành quả của mình, không những phục vụ lợi ích cho cả hai ngành toán học-
vật lý mà còn cho lợi ích chung cho nhân loại, cho nền văn minh loài người.