Phương trình và bất phương trình mũ – logarit chứa tham số
Tài liệu gồm 34 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề phương trình và bất phương trình mũ – logarit
Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHỦ ĐỀ 8: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
1. Bài toán 1. Tìm tham số m để f ( ;
x m) = 0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D.
- Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f (x) = P(m) .
- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f (x) trên D.
- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số P(m) để đường thẳng y = P(m) nằm
ngang cắt đồ thị hàm số y = f (x) .
Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1
Hàm số y = f ( x) có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị P(m) cần tìm để phương trình
có nghiệm thỏa mãn min f (x) ≤ P(m) ≤ max f (x) ∈ x D ∈ x D
Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến
thiên để xác định sao cho đường thẳng y = P(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại k điểm phân biệt.
Nếu đổi biến, nói cách khác là đặt ẩn phụ thì ta cần tìm điều kiện cho biến mới và biện luận mối tương
quan số nghiệm giữa biến cũ và biến mới.
Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ hoặc lôgarit có hai nghiệm phân biệt
x , x thỏa mãn x + x = a hoặc x x = b , ta có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy mũ hoặc lôgarit hai 1 2 1 2 1 2 vế hợp lí.
2. Bài toán 2. Tìm tham số m để f ( ;
x m) ≥ 0 hoặc f ( ;
x m) ≤ 0 có nghiệm trên D.
- Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f (x) ≥ P(m) hoặc f (x) ≤ P(m)
- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f (x) trên D.
- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số P(m) để bất phương trình có nghiệm:
P (m) ≤ f ( x) có nghiệm trên D ⇔ P(m) ≤ max f ( x). ∈ x D
P (m) ≥ f ( x) có nghiệm trên D ⇔ P(m) ≥ min f ( x) . ∈ x D
Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 2
Bất phương trình P (m) ≤ f ( x) nghiệm đúng ∀x ∈ D ⇔ P(m) ≤ min f ( x) . ∈ x D
Bất phương trình P (m) ≥ f ( x) nghiệm đúng ∀x ∈ D ⇔ P(m) ≥ max f ( x) . ∈ x D Nếu f ( ;
x m) ≥ 0;∀x∈ hoặc f ( ;
x m) ≤ 0;∀x∈ với f ( ;
x m) là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai.
3. Một số phương pháp áp dụng trong bài toán
a) Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt ( ) = u x
t a hoặc t = log u x , tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được a ( )
miền xác định của biến t.
b) Phương pháp hàm số: Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng f (u) = f (v) với f (t) là hàm
số đơn điệu và đại diện cho hai vế của phương trình. Khi đó f (u) = f (v) ⇔ u = v .
c) Dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số f (x) 2
= ax + bx + c có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2
x + x = − b 1 2 Ta có 2
∆ = b − 4ac và định lý Vi-ét: a . = c x x 1 2 a ∆ > 0
Phương trình f ( x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ x + x > 0 . 1 2 x x > 0 1 2
Phương trình f ( x) = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 . a >
Bất phương trình f ( x) 0
> 0;∀x ∈ ⇔ . ∆ < 0 a <
Bất phương trình f ( x) 0
< 0;∀x ∈ ⇔ . ∆ < 0
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2x−2x 2 2
= m − m +1 có nghiệm thuộc đoạn [0;2] ? A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Lời giải Xét u (x) 2
= x − 2x trên [0;2] , có u′(x) = 2x − 2;u′(x) = 0 ⇔ x =1. Tính (0) = 0; ( ) 1 = 1 − ; (2) = 0 → 1 − ≤ ( ) 1 2 x −2 ≤ 0 ⇔ ≤ 2 x u u u u x ≤ 1. 2
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm 1 2
⇔ ≤ m − m +1≤1 ⇔ 0 ≤ m ≤1. 2
Kết hợp với m∈
→ có 2 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn A.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [ 10
− ;10] để phương trình x 1+ x+2
4 − 2 + m = 0 có nghiệm? A. 3 B. 12 C. 7 D. 15 Lời giải Ta có x+ x+ m ( x+ )2 1 2 1 x 1 4 2 0 2 2.2 + − + = ⇔ − + m = 0 (1) Đặt x 1 t 2 + =
> 0 . Phương trình (1) trở thành 2 2
t − 2t + m = 0 ⇔ t − 2t = −m (2)
Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t > 0.
Cách 1. Xét hàm f (t) 2
= t − 2t với t > 0.
Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được −m ≥ 1
− ⇔ m ≤1. Chọn C.
0 < t ≤ t
Cách 2. Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm t ,t thỏa mãn 1 2 1 2 t ≤ 0 < t 1 2 ∆′ ≥ 0 P > 0 0 < m ≤1 ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ ∈ ∈ − m m → 1. Kết hợp [ 10;10]
có 12 số nguyên m cần tìm. S > 0 m ≤ 0 P ≤ 0 Chọn B.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x + 2x + 4 = 3m (2x + ) 1 có hai nghiệm phân biệt.
A. log 3 ≤ m <1
B. log 3 < m <1
C. 1< m ≤ log 4
D. 1< m < log 4 4 4 3 3 Lời giải
Đặt = x > ⇔ x = ( x t )2 2 2 0 4 2 = t và = 3m a
nên phương trình đã cho trở thành: 2
t + t + = a(t + ) 2 4
1 ⇔ t − (a − )
1 t + 4 − a = 0 (*). ∆ > 0
Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm dương phân biệt t ,
t ⇔ S = t + t > 0 1 2 1 2 P = t t > 0 1 2 ( a − )2 1 − 4(4 − a) 2 > 0
a + 2a −15 > 0 ⇔ ⇔
⇔ 3 < a < 4 ⇔ 3 < 3m < 4 ⇔ 1< m < log 4 . 3
a −1 > 0;4 − a > 0 1 < a < 4 Chọn D.
Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình x x 1 + 2 25 − .5 m
+ 7m − 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A. 7 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Ta có x x+ − m
+ m − = ⇔ ( x )2 1 2 x 2 25 .5 7 7 0 5 − 5 .5
m + 7m − 7 = 0 Đặt = 5x t
> 0 nên phương trình trở thành: 2 2
t − 5mt + 7m − 7 = 0 (*).
Với mỗi nghiệm t > 0 của phương trình (*) sẽ tương ứng với một nghiệm x của phương trình ban đầu. Do
đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt. ∆ > 0 2 25m − 4( 2 7m − 7) 2 > 0 − m > Khi đó 28 3 0 28 S > 0 ⇔ ⇔ ⇔ 1< m < . 2 5 m m m P > > 0;7 − 7 > 0 > 0 3 0
Kết hợp với m∈ → m = {2; }
3 là hai giá trị nguyên cần tìm. Chọn C.
Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình 4x − 2 .2x
m + 2m = 0 có hai nghiệm phân
biệt x , x thỏa mãn x + x = 3 . 1 2 1 2 A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Lời giải Đặt = 2x t
> 0 nên phương trình đã cho trở thành: 2t − 2mt + 2m = 0 (*).
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm dương phân biệt t ,t . 1 2 2 ∆ > 0
4m −8m > 0 m > 2 S t t 0 2m 0 ⇔ = + > ⇔ >
⇔ m < 0 ⇔ m > 2. 1 2
P = t t > 0 2m 0 > 1 2 m > 0 Ta có 1 x 2 x 1 x + 2 x 3 t t = 2 .2 = 2
= 2 = 8 = 2m suy ra m = 4 (thỏa mãn điều kiện). 1 2
Vậy m = 4 là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn D.
Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x + (3− )2x m − m = 0 có
nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . A. [3;4] B. [2;4] C. (2;4) D. (3;4) Lời giải x x x
Ta có x + ( − m) x − m = ⇔ x + x = ( x + ) 6 + 3.2 3 + 3 6 3 2 0 6 3.2 2 1 .m ⇔ m = = 2x +1 2−x +1 x
3x.ln 3(2−x + )
1 + (3x + 3).2−x ln 2
Xét hàm số f (x) 3 + 3 = trên (0; )
1 , có f ′(x) = > 0 2−x +1 (2−x + )2 1
Suy ra hàm số f (x) đồng biến trên ℝ, do đó f (0) < f (x) < f ( )
1 ⇔ 2 < f (x) < 4 .
Vậy để phương trình m = f (x) có nghiệm khi và chỉ khi 2 < m < 4. Chọn C.
Ví dụ 7: Cho phương trình 2 2 2
2x −3x+m x −x+2 x −2 3 9 3 3 x+ + = +
m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ 10
− ;10] để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt? A. 12 B. 8 C. 3 D. 17 Lời giải Ta có 2 2 2 x − x+m x −x+ x − x+m ( 2 2 x − x+m
x − x+m ) ( 2 2 3 2 2 2 3 2 x −2 3 9 3 3 3 3 9 3 x+ + = + ⇔ − + − m ) = 0 x − x =
⇔ 3x −x.( x − x+m x − x+m x −x x − x+ 3 1 2 3 − 9)−( 2 3 − 9) = 0 ⇔ (3 − )1( 2 3 m − 9) 2 2 2 2 2 2 = 0 ⇔ 2 x −2 3 x+m = 9 2 x − x = 0 x = 0; x =1 ⇔ ⇔ 2
x − 2x + m = 2 g ( x) 2
= x − 2x + m − 2 = 0
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ g (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0, 1. ∆′ > 0 ( − )2 1 − (m − 2) > 0 m ⇔ g ( ) < 3
0 ≠ 0 ⇔ m − 2 ≠ 0 ⇔ . m ≠ 2 g ( ) 1 ≠ 0 m − 3 ≠ 0
Vì m∈ và m∈[ 10 − ;10]
→ có 12 giá trị nguyên của m cần tìm. Chọn A.
Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá của tham số thực m để phương trình 2 2 x x 1 9 2.3 + −
+ 3m −1 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt? A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 Lời giải 2 Ta có 2 2 x x 1 9 2.3 + − + 3 −1 = 0 ⇔ ( 2 3x ) 2 − 6.3x m + 3m −1 = 0 (*) Vì 2 2 x 0
x ≥ 0 ⇔ 3 ≥ 3 =1. Đặt 2 = 3x t
≥ 1 nên phương trình (*) ⇔ f (t) 2
= t − 6t + 3m −1 = 0
Yêu cầu bài toán ⇔ f (t) = 0 có nghiệm bằng 1; nghiệm còn lại khác 1. ⇔ f ( ) 2
1 = 0 ⇔ 1 − 6.1+ 3m −1 = 0 ⇔ 3m − 6 = 0 ⇔ m = 2 . Chọn B.
Ví dụ 9: Cho phương trình 2 + −x ( ) 2 1 1 1+ 1 25 2 5 − − + x m
+ 2m +1 = 0 với m là tham số thực. Số nguyên dương
m bé nhất để phương trình có nghiệm là A. m = 2 B. m = 8 C. m = 4 D. m = 6 Lời giải Điều kiện: 1 − ≤ x ≤1. max u (x) = 2 Xét u (x) 2
= 1+ 1− x , có ′( ) = − x u x ;u′(x) [ 1− ];1 = 0 ⇔ x = 0 → . 2 1− x
min u ( x) = 1 [ 1− ];1 2 Đặt 2 1+ 1 5 − − + = x t
⇒ t ∈[5;25] nên phương trình 2 ⇔ t − (m + ) t 2t 1
2 t + 2m +1 = 0 ⇔ m = . t − 2
Do đó phương trình đã có nghiệm ⇔
f (t) ≤ m ≤ f (t) 16 576 min max ←→ ≤ m ≤ . [5;25] [5;25] 3 23
Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là m = 6. Chọn D. 2 2 1+ 1−x 1+ 1−x
Cách CASIO. Cô lập m ta được 25 − 2.5 +1 m = . 2 1+ 1 5 −x − 2 2 2 1+ 1−x 1+ 1−x Đặt f (x) 25 − 2.5 +1 =
. Khi đó phương trình ⇔ f (x) = m. 2 1+ 1 5 −x − 2
Sử dụng MODE7 khảo sát hàm f (x) với thiết lập Start 1 − , End 1, Step 0, 2.
Quan sát bảng giá trị ta thấy f (x) ≥ f ( ) 16 5 =
hay m ≥ f ( ) 16 5 = . 3 3
Vậy m nguyên dương bé nhất là 6.
Ví dụ 10: Cho phương trình ( + )
1 16x − 2(2 −3)4x m m
+ 6m + 5 = 0 với m là tham số thực. Tập tất cả các
giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng (a;b). Tính P = ab . A. P = 4 B. P = 4 − C. 3 P = − D. 5 P = 2 6 Lời giải Đặt = 4x t
> 0. Phương trình trở thành (m + ) 2
1 t − 2(2m −3)t + 6m + 5 = 0
(*). f (t)
Phương trình đã cho có hai nghiệm x , x thỏa mãn 1 x 0 2
< 0 < 4 < 4 < 4x x x
→t <1< t . 1 2 1 2 1 2 m +1≠ 0
Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm t ,t thỏa 0 < t <1< t ⇔ m +1 f 1 < 0 1 2 ( ) ( ) 1 2 ( m+ ) 1 f (0) > 0 m +1≠ 0 a ⇔ ( m + )( m + ) = 4 − 1 3 12 < 0 ⇔ 4 − < m < 1 − →
→ P = 4 . Chọn A. b = 1 − (m + )1(6m +5) > 0
Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[ 10
− ;10] để phương trình 2 2 x +mx 2x +2mx+m 2 2 − 2
= x + mx + m có hai nghiệm thực phân biệt? A. 9 B. 6 C. 16 D. 13 Lời giải Ta có 2 2 2 2 x +mx 2x +2mx+m 2 x +mx 2x +2mx+m 2 −
= x + mx + m ⇔ −
= x + mx + m − ( 2 2 2 2 2 2 2 x + mx) 2 2 x +mx 2 2x +2mx+m 2 ⇔ + x + mx =
+ x + mx + m ⇔ f ( 2
x + mx) = f ( 2 2 2 2 2
2x + 2mx + m) (*). Xét hàm số ( ) = 2t f t + t trên ( ;
−∞ +∞) , có ′( ) = 2t f t
.ln 2 +1 > 0;∀x∈ .
Suy ra f (t) là hàm số đồng biến trên ( ; −∞ +∞) nên (*) 2 2
⇔ x + mx = 2x + 2mx + m m > 4 2
⇔ x + mx + m = 0 có hai nghiệm phân biệt 2
⇔ ∆ = m − 4m > 0 ⇔ . m < 0
Kết hợp với m∈ và m∈[ 10 − ;10]
→ có 16 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.
Ví dụ 12: Cho phương trình m.sinx−cosx 2(1−cos x) e − e = 2 − cos x − .
m sin x với m là tham số thực. Có bao nhiêu
giá trị nguyên của tham số m∈[ 10
− ;10] để phương trình đã cho có nghiệm? A. 9 B. 18 C. 11 D. 15 Lời giải PT
m.sin x−cos x 2−2cos ⇔ + .sin − cos = x e m x x e
+ 2 − 2cos x ⇔ f ( .
m sin x − cos x) = f (2 − 2cos x) Với ( ) = t f t
e + t là hàm số đồng biến trên ( ;
−∞ +∞) nên ta được .
m sin x − cos x = 2 − 2cos x m ≥ 3 ⇔ .
m sin x + cos x = 2 có nghiệm khi 2 2 2 2
m +1 ≥ 2 ⇔ m ≥ 3 ⇔ . m ≤ − 3
Kết hợp với m∈ và m∈[ 10 − ;10]
→ có 9 + 9 = 18 giá trị nguyên cần tìm. Chọn B.
Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 sao cho phương trình + + x = x m m e
e có nghiệm thực? A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 Lời giải 2 Ta có x x x ( x)2 ( x ) x ( x)2 + + = ⇔ + + = ⇔ + + + = + x m m e e m m e e m e m e e e (*).
Xét hàm số f (t) 2
= t + t trên (0;+∞), có f ′(t) = 2t +1 > 0;∀t > 0
Suy ra f (t) là hàm số đồng biến trên (0;+∞) nên (*) ⇔ ( + x ) = ( x f m e f e ) ⇔ m + x e = x
e ⇔ m + x e = ( x
e )2 ⇔ m = ( x e )2 x = x a e >0
− e →m = g (a) 2 = a − a .
Xét hàm số g (a) 2
= a − a trên (0;+∞), có g′(a) = a − g′(a) 1 2 1; = 0 ⇔ a = . 2
Dựa vào BBT, ta thấy m = g (a) có nghiệm thực dương 1 1 ⇔ m ≥ g = − . 2 4
Kết hợp với m∈ và m <10
→ có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D. x
Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 4 2 + = x m e e +1 có nghiệm?
A. 0 < m <1 B. 2 0 < m ≤
C. 1 ≤ m <1 D. 1 − < m < 0 e e Lời giải 4 x x Đặt 4 2 = x t e +1, vì 2x e > 0 →t >1. Suy ra 4 2x 2 4 2 4 4
t = e +1 ⇔ e = t −1⇔ e = t −1 .
Khi đó phương trình đã cho trở thành 4 4 4 4
m + t −1 = t ⇔ m = t − t −1 (*) 3
Xét hàm số f (t) 4 4
= t − t −1 trên (1;+∞), có ′( ) =1− t f t < 0;∀t >1 (t − )3 4 4 1
Suy ra hàm số f (t) nghịch biến trên khoảng (1;+∞). t 1 +∞ f ′(t) − 1 f (t) 0
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm 0 < m <1. Chọn A. 2 x +2mx 1 + 2x−3m
Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 2 e ≤ nghiệm e 2
đúng với mọi x∈ ? A. 8 B. 5 C. 6 D. 7 Lời giải 2 2 x +2mx 1 + 2x−3m x +2mx 1 + 3m−2x Ta có 2 e 2 2 2 ≤ ⇔ ≤
⇔ x + 2mx +1≥ 3m − 2x e 2 e e a =1 > 0 2 x 2(m ) 1 x 3m 1 0; ⇔ + + −
+ ≥ ∀x ∈ ⇔ m . ∆′ = (m + ) ⇔ 5 − ≤ ≤ 0 2 1 − (1−3m) ≤ 0
Kết hợp với m∈
→ có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.
Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈[ 10
− ;10] để bất phương trình 9x − .3x
m − m + 3 > 0 nghiệm
đúng với mọi x∈ ? A. 12 B. 20 C. 8 D. 4 Lời giải Đặt = 3x t
> 0 thì bất phương trình trở thành: 2
t − mt − m + 3 > 0,∀t > 0 2 ⇔ m(t + ) 2 t + 3
1 < t + 3 ⇔ m <
= f (t),∀t ∈(0;+∞) ⇔ m < min f (t) . t + (0; ) 1 +∞ 2 t + 2t − 3 t > 0
Ta có f ′(t) =
; f ′ t = 0 ⇔ ⇔ t =1. 2 ( ) (t + ) 2 1
t + 2t − 3 = 0 t −∞ 3 − 0 1 +∞ f ′(t) 0 − − 0 + 3 +∞ f (t) 2 m∈
Từ BBT, suy ra m < min f (t) = 2 . Kết hợp
⇒ có 12 giá trị nguyên m. Chọn A. (0;+∞) m∈ [ 10 − ;10]
Ví dụ 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[ 10
− ;10] để bất phương trình 2x 1 3 + − ( + 3).3x m
− 2(m + 3) > 0 có nghiệm? A. 10 B. 5 C. 19 D. 13 Lời giải Đặt = 3x t
> 0 thì bất phương trình trở thành: 2
3t − (m + 3)t − 2m − 6 < 0 2 2
⇔ t − t − < m(t + ) 3t − 3t − 6 3 3 6 2 ⇔ m > = f (t). t + 2 2 2
Xét hàm số f (t) 3t −3t − 6 t + = trên (0;+∞), có ′( ) 3 12 = t f t > 0;∀t > 0 . t + 2 (t + 2)2
Suy ra f (t) là hàm số đồng biến trên (0;+∞) ⇔ min f (t) = 3 − .
Yêu cầu bài toán ⇔ m > min f (t) = 3 − . (0;+∞)
Kết hợp với m∈ và m∈[ 10 − ;10]
→ có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.
Ví dụ 18: Cho bất phương trình 1 .3 x x x+ m
+ (3m + 2)(4− 7) +(4+ 7) > 0, với m là tham số. Tìm tất cả
các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x < 0 ? A. 2 + 2 3 m − − − > B. 2 2 3 m > C. 2 2 3 m ≥ D. 2 2 3 m > − 3 3 3 3 Lời giải x x − +
Bất phương trình ⇔ m + ( m + ) 4 7 4 7 3 3 2 . + > 0 (*). 3 3 x − x x x − + − + + − Ta có 4 7 4 7 4 7 4 7 . = 1 ⇔ = nên đặt 4 7 4 7 1 t = ⇒ = . 3 3 3 3 3 3 t 2 Khi đó (*) 3m + 2 ⇔ m +
+ t > ∀t ∈( ) t + 2 3 0, 0;1 ⇔ 3m > − ,∀t ∈(0; ) 1 t t +1 2
Xét hàm số f (t) t + 2 = − trên (0; )
1 , suy ra max f (t) = f ( 3 − )1 = 2− 2 3 . t +1 (0 ) ;1
Do đó m > f (t) ∀t ∈( ) 2 − 2 3 3 ;
0;1 ⇔ 3m > 2 − 2 3 ⇔ m > . Chọn B. 3
Ví dụ 19: Gọi m là số thực sao cho phương trình 2
log x − m + 2 log x + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm x , x 3 ( ) 3 1 2
thỏa mãn x x = 9 . Khẳng định nào dưới đaya đúng? 1 2
A. 1< m < 3 B. 3 − < m < 1 − C. 1 − < m <1
D. 2 < m < 4 Lời giải
Đặt t = log x thì phương trình trở thành: 2t − (m + 2)t + 3m − 2 = 0 (*) 3
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt a =1 ≠ 0 m > 6 2 ⇔ m m . ∆ = ( ⇔ − + > ⇔ m + 2) 8 12 0
2 − 4(3m − 2) > 0 m < 2
Ta có x x = 9 ⇔ log x x = 2 ⇔ log x + log x = 2 ⇔ t + t = 2 ⇔ m = 0 (thỏa mãn). 1 2 3 ( 1 2 ) 3 1 3 2 1 2 Vậy 1
− < m <1. Chọn C.
Ví dụ 20: Cho phương trình log (m + 6x) + log ( 2
3− 2x − x = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của 1 2 ) 2
tham số m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 17 B. 23 C. 9 D. 15 Lời giải
Ta có log (m + 6x) + log ( 2
3− 2x − x ) = 0 ⇔ log ( 2
3− 2x − x = log m + 6x 1 2 2 ) 2 ( ) 2 2 3
− 2x − x > 0 3 − < x <1 ⇔ ⇔ . 2 2 3
− 2x − x = m + 6x
m = −x − 8x + 3 → f (x) 2 = −x −8x + 3
Xét hàm số f (x) 2
= −x −8x + 3 trên ( 3 − ; )
1 , có f ′(x) = 2
− x −8 < 0;∀x ∈( 3 − ; ) 1
Dựa vào BBT, để m = f (x) có nghiệm thuộc ( 3 − ; ) 1 ⇔ f ( 3
− ) < m < f ( ) 1 ⇔ 6 − < m <18 .
Kết hợp với m nguyên dương
→ có 17 giá trị cần tìm. Chọn A.
Ví dụ 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈[ 10
− ;10] để phương trình log(mx) = 2log(x + ) 1 có nghiệm duy nhất? A. 11 B. 7 C. 16 D. 3 Lời giải
Điều kiện: x > 1 − x + Phương trình (mx) =
(x + ) ⇔ mx = (x + ) ( )2 2 1 1 log 2log 1 1 ⇔ m = = x + + 2 . x x 1 x = 1 − Xét hàm f (x) 1 = x + + 2 trên ( 1;
− +∞) , có f ′(x) =1− ; f ′ x = 0 ⇔ . 2 ( ) x x x = 1 x 1 − 0 1 +∞ f ′(x) − − 0 + +∞ +∞ f (x) 0 4 −∞ m = 4
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ m < 0
Kết hợp với m∈ và m∈[ 10 − ;10]
→ có 11 giá trị m nguyên. Chọn A.
Ví dụ 22: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để log ( 2
x − 2x + 5 − . m log 2 = 5 có hai nhiệm 2 ) 2 x −2x+5
phân biệt là nghiệm của bất phương trình log (x + ) 1 − log (x − ) 1 > log 4 ? 3 3 3 A. 25 ; 6 − − B. 25 − ; 6 − C. 25 − ;+∞ D. 25 − ; 6 − 4 4 4 4 Lời giải
x +1 > 0; x −1 > 0 x >1 x >1 BPT ⇔ x +1 ⇔ x +1 ⇔ 3 ⇔ 1< x < 3 . log > log 2 > 2 x < 3 3 x 1 x 1 − − 2
Phương trình đã cho được viết lại thành: log ( 2 − 2 + 5 − m x x = 5 2
) log ( 2x−2x+5 2 ) Đặt t = log ( 2
x − 2x + 5 , ta được − m t
= ⇔ m = f (t) 2 5 = t − 5t . 2 ) t Với 2
1< x < 3 ⇒ 4 < x − 2x + 5 < 8 ⇔ log 4 < log ( 2
x − 2x + 5 < log 8 ⇒ 2 < t < 3. 2 2 ) 2
Xét hàm số f (t) trên khoảng (2;3), để m = f (t) có 2 nghiệm phân biệt 25 ⇔ − < m < 6 − . Chọn B. 4
Ví dụ 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈[ 10
− ;10] để phương trình 2 x − = m có hai log x +1 3 ( ) nghiệm thực phân biệt? A. 5 B. 18 C. 11 D. 9 Lời giải x > 1 − x > 1 − x > 1 − Điều kiện: ⇔ ⇔ . log (x ) 0 1 0 + ≠ x +1 ≠ 3 x ≠ 0 3
Xét hàm số f (x) 2 = x −
trên khoảng D = ( 1; − +∞) \{ } 0 . log x +1 3 ( ) 2.log x 1 ′ + Ta có f ′(x) 3 ( ) 2 = 1− = 1+
> 0,∀x ∈ D . 2 log (x + ) 1 ln 3.(x + ) 2 1 .log x +1 3 3 ( )
Do đó, hàm số đa cho đồng biến trên mỗi khoảng ( 1; − 0) và (0;+∞). Bảng biến thiên x 1 − 0 +∞ y′ + + +∞ +∞ y 1 − −∞
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình f (x) = m có 2 nghiệm ⇔ m > 1 − .
Kết hợp với m∈ và m∈[ 10 − ;10]
→ có 11 giá trị m nguyên. Chọn C.
Ví dụ 24: Phương trình log mx − 6x + 2log 14
− x + 29x − 2 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt khi và 2 ( 3 ) ( 2 1 ) 2
chỉ khi m∈(a;b) . Tính P = a − 2b . A. 5 − B. 0 C. 10 − D. 20 − Lời giải Phương trình ⇔ log ( 3
mx − 6x ) = log ( 2 14
− x + 29x − 2 2 2 ) 1 2 < x < 2 14
− x + 29x − 2 > 0 14 ⇔ ⇔ 3 2
mx − 6x = 14
− x + 29x − 2 2 2
m = 6x −14x + 29 − (*) x
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt ⇔ (*) có ba nghiệm phân biệt 1 x ;2 ∈ . 14
Xét hàm số f (x) 2 2
= 6x −14x + 29 − trên khoảng 1 ;2 . x 14 x =1 3 2 Ta có f ′(x) 2 12x −14x + 2 = 12x −14 + = ⇒ f ′ x = 0 ⇔
(do 1 < x < 2 ). 2 2 ( ) 1 x x x = 14 2
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi 39 19 < m < . 2 a =19 Vậy 39 39 m∈19; → 39
→ P = a − 2b =19 − 2. = 20 − . Chọn D. 2 b = 2 2 2
Ví dụ 25: Cho phương trình
2x − x + m 2 log
= x + x + 4 − m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 3 2 x +1 m∈[ 2018 −
;2018] để phương trình có hai nghiệm trái dấu? A. 2022 B. 2021 C. 2016 D. 2015 Lời giải 2 Phương trình 2 log x − x + ⇔
m = 3( 2x + )1−( 2
2x − x + m +1 3 2 ) x +1 ⇔ log ( 2
2x − x + m) − log ( 2 x + ) 1 = 3( 2 x + ) 1 − ( 2
2x − x + m +1 3 3 ) 2
⇔ 2x − x + m + log ( 2
2x − x + m) 2 = 3x + 3+ log ( 2 3x + 3 (*). 3 3 )
Xét hàm số f (t) = t + log t trên (0;+∞), có f ′(t) 1 = 1+ > 0;∀t > 0 . 3 t.ln 3
Suy ra f (t) là hàm số đồng biến trên (0;+∞) nên (*) ⇔ f ( 2
x − x + m) = f ( 2 2 3x + 3) 2 2 2
⇔ 2x − x + m = 3x + 3 ⇔ x + x − m + 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ 1.(3− m) < 0 ⇔ m > 3 .
Kết hợp với m∈ và m∈[ 2018 − ;2018]
→ có 2015 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.
Ví dụ 26: Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình log ( 2x x+2 2
2 + 2 + 2 = log m − 2 vô nghiệm. Giá trị của S bằng 4 ) 2 A. S = 8 B. S =10 C. S =12 D. S = 6 Lời giải
Điều kiện: m ≠ 2 . Phương trình đã cho log (2x 2)2 ⇔ + = log m − 2 4 2
2x + 2 = m − 2 2x = m − 4
⇔ log 2x + 2 = log m − 2 ⇔ 2x + 2 = m − 2 ⇔ ⇔ 2 ( ) 2
2x + 2 = 2 − m 2x = −m m − 4 ≤ 0 m ≤ 4
Để phương trình vô nghiệm ⇔ ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤ 4 −m ≤ 0 m ≥ 0
Kết hợp với m∈ →m = {0;1;2;3; }
4 . Vậy S = ∑m =10 . Chọn B.
Ví dụ 27: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2
log x − mlog x +1 = 0 có nghiệm duy nhất 3 3 nhỏ hơn 1? A. m = 2 B. m = 2 − C. m = 2 D. m = 0 Lời giải
Điều kiện: x > 0 . Vì phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1 nên suy ra 0 < x <1.
Đặt log x = t , với 0 < x <1 →t < 0 3
Phương trình đã cho trở thành: 2t − mt + = ⇔ m = f (t) 1 1 0 = t + t
Xét hàm số f (t) 1 = t + trên ( ;0
−∞ ), có f ′(t) 1
= 1− ; f ′ t = 0 ⇔ t = 1 − . 2 ( ) t t
Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán ⇔ m = f (t) có nghiệm duy nhất t < 0 ⇔ m = 2 − . Chọn B.
Ví dụ 28: Gọi m là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương trình 0 (m − ) 2
1 log x − 2 − m − 5 log x − 2 + m −1 = 0 có nghiệm thuộc (2;4) . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 A. 5 m 5; ∈ − − B. 4 m∈ 1; − C. 10 m∈2;
D. Không tồn tại m. 2 3 3 Lời giải
Đặt t = log x − 2 , do 2 < x < 4 ⇔ 0 < x − 2 < 2 →t > 1 − . 1 ( ) 2 2
Phương trình đã cho trở thành: (m − ) 2t −(m − ) t − 5t +1 1
5 t + m −1 = 0 ⇔ m = 2 t − t +1 2
Xét hàm số f (t) t −5t +1 = trên ( 1;
− +∞) , có f ′(t) = 0 ⇔ t =1. 2 t − t +1 t 1 − 1 +∞ f ′(t) − 0 + 7 3 f (t) 1 3 −
Dựa vào BBT, ta thấy phương trình có nghiệm 7 3
− ≤ m < ⇒ m = 3 − . Chọn A. 0 3 x
Ví dụ 29: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 −1 log
− m = 0 có nghiệm? 2 4x +1 A. m < 0 B. 1 − < m <1 C. m ≤ 1 − D. 1 − < m < 0 Lời giải
Điều kiện: 4x −1 > 0 ⇔ x > 0 . Đặt t − = 4x t , với x > 0
→t >1. Phương trình đã cho trở thành: 1 m = log (*). 2 t +1
Xét hàm số f (t) t −1 = log
trên (1;+∞), có f ′(t) 2 = > 0,∀t >1. 2 t +1 ( 2t − )1ln2
Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (1;+∞). t 1 +∞ f ′(t) + 0 f (t) −∞
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm ⇔ m < 0 . Chọn A.
Ví dụ 30: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình 2
a ln x + bln x + 5 = 0 có hai nghiệm phân
biệt x , x và phương trình 2
5log x + blog x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x x > x x . 1 2 3 4 1 2 3 4
Tìm giá trị nhỏ nhất S của S = 2a + 3b . min A. S = 30 B. S = 25 C. S = 33 D. S =17 min min min min Lời giải 2
aln x + bln x + 5 = 0 Phương trình
có hai nghiệm phân biệt 2
⇔ ∆ = b − 20a > 0 . 2 5
log x + blog x + a = 0 ln x +ln b x = − ln x x = − b − b 1 2 ( 1 2 ) a a x x = a e
Theo hệ thức Vi-ét, ta có 1 2 ⇔ ⇔ . b log x log b x log(x x ) b − + = − = − 5 3 4 3 4 x x = 10 3 4 5 5 b b b b Mặt khác − − − − b b 5 a 5 a 5
x x > x x ⇔ e >10 ⇔ ln e > ln10 ⇔ − > − .ln10 ⇔ a > . 1 2 3 4 a 5 ln10
Vì a, b là hai số nguyên dương suy ra a ≥ 3 ⇒ a = 3 và 2
b > 20a > 60 ⇒ b = 8 . min min
Vậy S = 2a + 3b = 2.3+ 3.8 = 30 . Chọn A. min min min
Ví dụ 31: Cho phương trình 5x + m = log x − m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của 5 ( ) m∈( 20
− ;20) để phương trình đã cho có nghiệm? A. 20 B. 19 C. 9 D. 21 Lời giải
Điều kiện: x > m . Phương trình ⇔ 5x + x = x − m + log x − m 5 ( ) x log5(x−m) ⇔ 5 + x = 5
+ log x − m ⇔ f x = f log x − m 5 ( ) ( ) 5 ( ) ⇔ = log −
⇔ 5x = − ⇔ = − 5x x x m x m m x = g x . 5 ( ) ( )
Xét hàm số ( ) = −5x g x x trên ( ;
−∞ +∞) , có g′(x) = 0 ⇔ x = −log ln 5 5 ( ) x −∞ − log ln 5 5 +∞ g′(x) + 0 − g (x 0 ) g (x)
Dựa vào bảng biến thiên ⇒ Phương trình có nghiệm khi m ≤ g (−log ln 5 ≈ 0 − ,92. 5 )
Kết hợp với m∈ và m∈( 20 − ;20)
→ có 19 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn B.
Ví dụ 32: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈[ 10
− ;10] để bất phương trình 2
4log x + log x + m ≥ 0 2 2
nghiệm đúng với mọi x∈(1;64)? A. 11 B. 3 C. 8 D. 16 Lời giải
Bất phương trình ⇔ 4(log x)2 + log x + m ≥ 0 ⇔ (log x)2 + log x + m ≥ 0 (*) 2 2 2 2
Đặt t = log x với x∈(1;64)
→t ∈(0;6) , khi đó (*) ⇔ m ≥ f (t) 2
= −t − t;∀t ∈(0;6) . 2
Xét hàm số f (t) 2
= −t − t trên (0;6) , có f ′(t) = 2
− t −1< 0;∀t ∈(0;6) .
Suy ra f (t) là hàm số nghịch biến trên (0;6)
→ max f (t) = f (0) = 0. (0;6) m∈
Do đó m ≥ f (t);∀t ∈(0;6) ⇔ m ≥ 0 . Kết hợp
→ có 11 giá trị nguyên cần tìm. Chọn 10 − ≤ m ≤10 A.
Ví dụ 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈[ 10
− ;10] để bất phương trình 2
log 2x − 2 m +1 log x − 2 < 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 2;+∞) ? 2 ( ) ( ) 2 A. Vô số B. 17 C. 3 D. 10 Lời giải
Bất phương trình ⇔ (1+ log x)2 − 2 m +1 log x − 2 < 0 (*) 2 ( ) 2
Đặt t = log x . Vì x > 2 nên 1 1
log x > log 2 = ⇒ t > . 2 2 2 2 2
Khi đó (*) ⇔ ( + t)2 − (m + ) 2 1 2
1 t − 2 < 0 ⇔ t − 2mt −1< 0 2
m f (t) t −1 1 ; t ; ⇔ > = ∀ ∈ +∞ ⇔ m > min f (t) 1 2t 2 ; +∞ 2 2 Xét hàm số ( ) −1 = t f t trên 1 1 1 ;
+∞ , có f ′(t) = + > 0 ; 2t 2 2 2 2t
Suy ra f (t) là hàm số đồng biến trên 1 ; +∞ 1 3
nên m > min f (t) = f = . 2 1; +∞ 2 4 2
Kết hợp với m∈ và m∈[ 10 − ;10]
→ có 10 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.
Ví dụ 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để bất phương trình ( 2 x + ) > ( 2 ln 2 3 ln x + ax + ) 1 nghiệm đúng với mọi x∈ ? A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Lời giải 2
x + ax +1> 0 f (x) 2
= x + ax +1 > 0 Yêu cầu bài toán ⇔ ;∀x∈ ⇔ ;∀x∈ 2 2
2x + 3 > x + ax +1 g (x) 2
= x − ax + 2 > 0 ∆ f (x) < 2 0 a − 4 < 0 2 ⇔ ⇔
⇔ a − 4 < 0 ⇔ (a − 2)(a + 2) < 0 ⇔ 2 − < a < 2 . 2 ∆
g(x) < 0 a −8 < 0
Kết hợp với a ∈ →a = { 1; − 0; }
1 là các giá trị cần tìm. Chọn D.
Ví dụ 35: Cho bất phương trình 1+ log ( 2 x + ) 1 ≥ log ( 2
mx + 4x + m . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của 5 5 )
tham số m để bất phương trình luôn đúng với mọi x∈ . A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Lời giải Ta có 1+ log ( 2 x + ) 1 ≥ log ( 2
mx + 4x + m) ⇔ log ( 2 5x + 5) ≥ log ( 2
mx + 4x + m 5 5 5 5 ) 2
mx + 4x + m > 0 Yêu cầu bài toán ⇔ ;∀x∈ 2 2 5
x + 5 ≥ mx + 4x + m f (x) 2
= mx + 4x + m > 0;∀x ∈ (1) ⇔
g (x) = (m − 5) 2
x + 4x + m − 5 ≤ 0;∀z ∈ (2) a = m > 0
Giải (1), ta có f (x) > 0;∀x∈ ⇔ ⇔ m > 2 . 2 2
∆′ = 2 − m < 0
a = m − 5 < 0
Giải (2), ta có g (x) 0;
≤ ∀x ∈ ⇔ ⇔ m ≤ . ∆′ = 4 − (m −5) 3 2 ≤ 0
Khi đó 2 < m ≤ 3 là giá trị cần tìm, kết hợp m∈
→m = 3. Chọn C.
Ví dụ 36: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2
log x − 2log x + 3m − 2 < 0 có nghiệm 2 2 thực? A. m <1 B. m ≤1 C. 2 m < D. m < 0 3 Lời giải
Điều kiện: x > 0 . Đặt t = log x , với x > 0 suy ra t ∈( ; −∞ +∞) . 2
Phương trình đã cho trở thành 2 2
t − 2t + 3m − 2 < 0 ⇔ 3m < −t + 2t + 2 (*).
Để bất phương trình (*) có nghiệm ⇔ 3m < M = max { 2 −t + 2t + } 2 (1) (−∞;+∞) Ta có 2
−t + 2t + 2 = 3− (t − )2
1 ≤ 3,∀t ∈ suy ra M = 3 (2)
Từ (1), (2) suy ra 3m < 3 ⇔ m <1 là giá trị cần tìm. Chọn A.
Ví dụ 37: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình 1 2
log x + m ≥ x có nghiệm 2 2 x ∈[1; ] 3 ? A. 1 ; +∞ 9 B. − log 3;+∞ ln 2 2 2 C. 1 ; +∞ 1 1 D. + log ln 2 ;+∞ . 2 ( ) 2 2ln 2 2 Lời giải Bất phương trình 1 2
⇔ m ≥ x − log x = f x ⇒ m ≥ min f x 2 ( ) ( ) [1; ]3 2 Ta có f ′(x) 1 = x − ⇒ f ′(x) 1 1 = 0 ⇔ x − = 0 ⇔ x = ± . x ln 2 x ln 2 ln 2 f ( ) 1 1 = 2 Tính 1 1 1 1 1 1 f = +
log ln 2 ⇒ min f x = f = + log ln 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) [1; ]3 ln 2 2ln 2 2 ln 2 2ln 2 2 f ( ) 9 3 = − log 3 2 2 Suy ra 1 1 1 1 m log ln 2 m log ln 2 ; ≥ + ⇔ ∈ + +∞ . Chọn D. 2 ( ) 2 ( ) 2ln 2 2 2ln 2 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x = m có nghiệm thực A. m ≥1 B. m ≥ 0 C. m > 0 D. m ≠ 0
Câu 2: Tìm m để 4x − 2( − ) 1 .2x m
+ 3m − 4 = 0 có 2 nghiệm x và x thỏa x + x = 3 . 1 2 1 2 A. m = 3 B. m = 4 C. m =1 D. m = 2
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 9x − 2 .3x
m + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt
x , x sao cho x + x = 3 . 1 2 1 2 A. 3 m = − B. 27 m = C. m = 3 3 D. 9 m = 2 2 2
Câu 4: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình x x 1 9 2.3 + −
+ m = 0 . Tìm giá trị của tham số m để 1 2 x + x =1 1 2 A. m = 6 B. m = 3 − C. m = 3 D. m =1
Câu 5: Tìm m để 2
log x − m + 2 log x + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn x .x = 9. 3 ( ) 3 1 2 A. m∈(4;6) B. m∈( 1; − ) 1 C. m∈(3;4) D. m∈(1;3)
Câu 6: Tìm tham số m để phương trình x + ( − m) x 2 4
1 3 2 + 2m − m = 0 có nghiệm. A. ( ; −∞ +∞) B. ( ; −∞ ) 1 ∪(1;+∞) C. (0;+∞) D. (1;+∞)
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để 2 3
log x − log x + 3 = m có nghiệm x∈[1;8] . 2 2 A. 5 B. 2 C. 4 D. 3
Câu 8: Tìm m để phương trình 4(log x)2 −log x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; )1 . 2 0,5 A. 1 1 − ≤ m ≤ B. 1 m < C. 1 0 < m ≤ D. 1 m ≤ 4 4 4 4
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để 2
log x − m + 2 log x + 3m −1 = 0 có hai nghiệm 3 ( ) 3 x .x = 27 . 1 2 A. m =1 B. m = 2 C. m = 25 D. m = 4
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để 2
log x + 4log x − m = 0 có nghiệm thuộc khoảng 2 2 (0; )1 . A. ( 4; − +∞) B. [ 4; − +∞) C. [ 4; − 0) D. [ 2; − 0]
Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để log 5−x 1 .log 2.5− +
x + 2 = m có nghiệm thuộc 2 ( ) 2 ( ) khoảng (0;+∞). A. ( ;2 −∞ ) B. ( ;0 −∞ ) C. (2;+∞) D. (0;2)
Câu 12: Tìm m để 2
log x − mlog x + 2m − 6 = 0 có hai nghiệm x , x thỏa x x =16 . 2 2 1 2 1 2 A. m = 4 − B. m =11 C. m = 4 D. m = 5
Câu 13: Tìm m để phương trình 9x − .3x
m + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt? A. m > 2 6 B. m > 6 C. m > 6 D. m > 2 6
Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để 16x + ( − 2)9x = 2.12x m có nghiệm dương. A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
Câu 15: Có mấy số nguyên m để phương trình x x 1 4 .2 + − m
+ 2m = 0 có hai nghiệm x , x thỏa mãn 1 2 x + x = 3 . 1 2 A. 2 B. 0 C. 1 D. 3
Câu 16: Tìm m để phương trình x x 1 4 .2 + − m
+ 3m − 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu. A. m∈( ;2 −∞ ) B. m∈(1;+∞) C. m∈(1;2) D. m∈(0;2)
Câu 17: Phương trình (3 x x
+ 2 2) +(3− 2 2) = m có nghiệm khi A. m∈( ; −∞ 5) B. m∈(2;+∞) C. m∈( ; −∞ 5] D. m∈[2;+∞)
Câu 18: Tìm m để phương trình 4x − ( + ) 1 .2x m
+ m = 0 có 3 nghiệm phân biệt? A. m ≥1 B. m >1
C. 1 ≠ m > 0 D. m > 0
Câu 19: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên không dương của m để phương trình
log 3− x = log x + m có nghiệm. Tập S có bao nhiêu tập con? 3 ( ) 3 ( ) A. 4 B. 8 C. 2 D. 7
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2
81 x− x = m có nghiệm. A. 3 m ≥ B. m ≥ 0 C. m ≥1 D. 1 m ≥ − 3 8
Câu 21: Có mấy giá trị nguyên của m để log (x − )
1 = log mx −8 có 2 nghiệm phân biệt. 2 2 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. Vô số
Câu 22: Tìm m để phương trình log (x − 2) = log
mx có nghiệm thực duy nhất. 2018 2018 ( )
A. 1< m < 2 B. m >1 C. m > 0 D. m < 2
Câu 23: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x − (m − ) x 2 4 2
1 .2 + m − 4m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt? A. m ≥ 3 B. m > 3 C. m >1 D. m ≥1
Câu 24: Biết = a m
với a là phân số tối giản thì .25x − 2( + ) 1 .5x m m
+ m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt b b
x , x thỏa mãn x + x = 2. Giá trị của 3 a + b bằng 1 2 1 2 A. 35 B. 8 C. 9 D. 27
Câu 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình x x 2 5.16 − 2.81 = .36x m có nghiệm dương? A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số
Câu 26: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2
log x − mlog x + 2m − 7 = 0 có hai nghiệm thực 3 3
x , x thỏa mãn x .x = 81. 1 2 1 2 A. m = 4 − B. m = 4 C. m = 81 D. m = 44
Câu 27: Giá trị thực của tham số m để phương trình 2
log x − 3log x + 2m − 7 = 0 có hai nghiệm thực x , x 3 3 1 2
thỏa mãn (x + 3 x + 3 = 71 thuộc khoảng nào sau đây? 1 )( 2 ) A. (0;3) B. ( 6; − 3 − ) C. (3;6) D. ( 3 − ;0)
Câu 28: Giá trị thực của tham số m để phương trình 9x − 2(2 + ) 1 .3x m + 3(4m − ) 1 = 0 có hai nghiệm thực
x , x thỏa mãn (x + 2 x + 2 =12 thuộc khoảng nào sau đây? 1 )( 2 ) 1 2 A. (3;9) B. (9;+∞) C. 1 ;3 D. 1 − ;2 4 2
Câu 29: Tìm tập hợp tham số m để 4x − .2x
m + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu. A. 5 ; +∞ B. 5 0; C. (0;+∞) D. 5 ;4 2 2 2
Câu 30: Tập hợp các giá trị thực của m để phương trình log ( 2
1− x + log x + m − 4 = 0 có hai nghiệm 3 ) 1 ( ) 3
thực phân biệt là T = (a;b) , trong đó a, b là các số nguyên hoặc phân số tối giản. Giá trị của M = a + b bằng A. 33 B. 17 C. 9 D. 41 6 3 2 4
Câu 31: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x x 1 9 3 + +
− m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
Câu 32: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để 3 3
m + 3 m + 3sin x = sin x có nghiệm? A. 7 B. 3 C. 5 D. 2
Câu 33: Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để phương trình ln m + ln
(m + cos x) = cos
x có nghiệm thực? A. e +1 B. e −1 C. e D. 1 2
Câu 34: Tìm m để bất phương trình 1+ log ( 2 x + ) 1 ≥ log ( 2
mx + 4x + m thỏa mãn với ∀x ∈ 5 5 ) . A. 1 − < m ≤ 0 B. 1 − < m < 0
C. 2 < m ≤ 3
D. 2 < m < 3
Câu 35: Tìm các giá trị của m để phương trình x 1 4 − − (2x m + )
1 > 0 có nghiệm với ∀x∈ . A. m∈( ;0 −∞ ] B. m∈(0;+∞) C. m∈(0; ) 1 D. m∈( ; −∞ 0) ∪(1;+∞)
Câu 36: Tìm m để bất phương trình x x 1 4 .2 + − m
+ 3− 2m ≤ 0 có nghiệm thực A. m ≥ 2 B. m ≤ 3 C. m ≤ 5 D. m ≥1
Câu 37: Bất phương trình ( 2 x + ) > ( 2 ln 2 3 ln x + ax + )
1 nghiệm đúng với mọi số thực x khi A. 2 − 2 < a < 2 2
B. 0 < a < 2 2
C. 0 < a < 2 D. 2 − < a < 2
Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc :1+ log ( 2 x + ) 1 ≥ log ( 2
mx + 2x + m 6 6 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 39: Có mấy giá trị nguyên dương m để 2
4log x − 2log x + 3m − 2 < 0 có nghiệm 2 2 A. 2 B. 1 C. 0 D. Vô số
Câu 40: Tìm m để bất phương trình 2
4log x + log x + m ≥ 0 nghiệm đúng ∀x∈(1;64) 2 2 A. m ≤ 0 B. m ≥ 0 C. m < 0 D. m > 0
Câu 41: Biết rằng trong tất cả các cặp ( ;
x y) thỏa mãn log ( 2 2
x + y + 2 ≤ 2 + log x + y −1 , chỉ có duy 2 ) 2 ( ) nhất một cặp ( ;
x y) thỏa mãn 3x + 4y − m = 0. Khi đó hãy tính tổng tất cả các giá trị m tìm được? A. 20 B. 46 C. 28 D. 14
Câu 42: Biết rằng phương trình 2
log x − mlog x +1 = 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1. Hỏi m thuộc đoạn 3 3 nào dưới đây? A. [1;2] B. [ 2; − 0] C. [3;5] D. (1;2]
Câu 43: Có bao nhiêu số nguyên dương m để 2 2 x −3x+m
x −3x+m −2+x 2x−3 9 + 2.3 < 3 có nghiệm? A. 6 B. 4 C. 9 D. 1
Câu 44: Tìm tham số m sao cho bất phương trình x
m + (m − ) x+2 .4
1 2 + m −1 > 0 nghiệm đúng ∀x∈ . A. m ≤ 3 B. m ≤1 C. 1 − ≤ m ≤ 4 D. m ≥ 0
Câu 45: Tìm tham số m sao cho bất phương trình log 5x −1 .log 2.5x − 2 ≥ m có nghiệm ∀x ≥1. 2 ( ) 2 ( ) A. m ≥ 6 B. m > 6 C. m ≤ 6 D. m < 6
Câu 46: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để bất phương trình log ( 2 7x + 7) ≥ log ( 2
mx + 4x + m có tập nghiệm là ℝ. Tổng các phần tử S là 2 2 ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[0;10] để tập nghiệm của bất phương trình 2 2
log x + 3log x − 7 < m( 2
log x − 7 chứa khoảng (256;+∞) . 2 0,5 4 ) A. 7 B. 10 C. 8 D. 9
Câu 48: Tìm tham số m để tồn tại duy nhất cặp ( ; x y) thỏa mãn log
4x + 4y − 4 ≥1 và 2 2 ( ) x + y +2 2 2
x + y + 2x − 2y + 2 − m = 0 . A. ( − )2 10 2 B. 10 − 2 và 10 + 2 C. ( − )2 10 2 và ( + )2 10 2 D. 10 − 2
Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈( 9;
− 9) để bất phương trình 2
3log x 2log m x x (1 x) 1 ≤ − − − −
x có nghiệm thực? A. 6 B. 7 C. 10 D. 11
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Phương trình có nghiệm thực ⇔ m > 0 . Chọn C.
Câu 2: PT ⇔ ( x )2 2 − 2( − ) 1 .2x m + 3m − 4 = 0 ∆′ = (m − )2 1 − (3m − 4) ≥ 0 1 x 2
2 + 2x = 2(m − ) 1 > 0 →
⇔ m = 4 . Chọn B. 1 x 2
2 .2x = 3m − 4 > 0 1x 2x 1 x + 2 x 3 2 .2 = 3m − 4 = 2 = 2 2
∆′ = m − 2m > 0 3x + 3x = 2m > 0
Câu 3: PT ⇔ ( x ) 1 2 2 x 27 3 − 2 .3
m + 2m = 0 → ⇒ m =
thỏa mãn. Chọn B. 1 x 2 3
.3x = 2m > 0 2 1x 2x 1 x + 2 x 3 3 .3 = 2m = 3 = 3
∆′ = 9 − m ≥ 0 3 x x
x + 3x = 6 > 0 Câu 4: PT ⇔ (3 ) 1 2
2 −6.3 + m = 0 →
⇒ m = 3 thỏa mãn. Chọn C. 1 x 2 3 .3x = m > 0 1x 2x 1 x + 2 3
.3 = m = 3 x = 3
∆ = (m + 2)2 − 4(3m − 2) ≥ 0
Câu 5: Ta giải hệ
⇒ m = 0 thỏa mãn. Chọn B.
log x + log x = m + 2 = log x x = log 9 = 2 3 1 3 2 3 ( 1 2 ) 3 ∆ = (3m − )2 1 − 4( 2 2m − m) ≥ 0
Câu 6: PT ⇔ (2x )2 −(3m − ) x 2 1x 2
1 .2 + 2m − m
→2 + 2x = 3m −1 > 0 1x 2x 2
2 .2 = 2m − m > 0 2
m − 2m +1 ≥ 0 1 1 ⇔ m >
⇔ m > . Chọn D. 3 2 1 m > 2 m < 0 Câu 7: PT 2
⇔ log x − 3log x + 3 = m . 2 2 Đặt x [ ∈ 1;8] t =
x →t ∈[ ] 2 3 log
0;3 ⇒ m = t − 3t + 3 = f t ⇒ f ′ t = 2t − 3 = 0 ⇔ t = . 2 ( ) ( ) 2
Tính f ( ) = f ( ) 3 3 3 0 3; 3 = 3; f =
→ ≤ m ≤ 3 ⇒ m∈ {1;2; } 3 . Chọn D. 2 4 4 2 Câu 8: PT 1 2 ⇔ 4
log x − log x + m = 0 ⇔ log x + log x + m = 0. 1 2 2 2 2 2 − Đặt 2 1
t = log x < 0 ⇒ −m = t + t = f t ⇒ f ′ t = 2t +1 = 0 ⇔ t = − . 2 ( ) ( ) 2 Tính f ( ) 1 1 1 1 0 = 0; f − = − → − ≤ −m ≤ 0 ⇔ 0 < m ≤ . Chọn C. 2 4 4 4
∆ = (m + 2)2 − 4(3m − ) 1 ≥ 0
Câu 9: Ta giải hệ
⇒ m =1 thỏa mãn. Chọn A.
log x + log x = m + 2 = log x x = log 27 = 3 3 1 3 2 3 ( 1 2 ) 3 Câu 10: Đặt 2
t = log x < 0 ⇒ m = t + 4t = f t ⇒ f ′ t = 2t + 4 = 0 ⇔ t = 2 − . 2 ( ) ( )
Tính f (0) = 0; f ( 2 − ) = 4 − → 4
− ≤ m < 0 . Chọn C.
Câu 11: Đặt = log (5−x + )
1 ⇒ log (2.5−x + 2) = log 2. x t (5− + ) 2
1 =1+ t ⇒ m = t + t = f t . 2 2 2 ( )
Ta có 5−x +1 >1⇒ t > 0 và với 0 0 5− > ⇒ − < ⇒ x x x
+1< 2 ⇒ t <1⇒ t ∈(0; ) 1 .
Lại có f ′(t) = 2t +1 > 0,∀t ∈(0; ) 1
→ Tính f (0) = 0; f ( ) 1 = 2
→0 < m < 2. Chọn D. 2
∆ = m − 4(2m − 6) ≥ 0
Câu 12: Ta giải hệ
⇒ m = 4 thỏa mãn. Chọn C.
log x + log x = m = log x x = log 16 = 4 2 1 2 2 2 ( 1 2 ) 2 2
∆ = m − 24 > 0
Câu 13: PT ⇔ (3x )2 x 1 x 2 − .3 m + 6 = 0 → 3
+ 3x = m > 0 ⇔ m > 24 ⇔ m < 2 6 . Chọn D. 1x 2 3 .3x = 6 > 0 x x 2x x
Câu 14: x (m ) x x 16 4 4 4 16 2 9 2.12 2 m 2 0 2 + − = ⇔ − + − = ⇔ − + m − 2 = 0 9 3 3 3 ∆′ ≥ 0 3 − m ≥ 0
Để phương trình có nghiệm dương thì P 0 > ⇔ 2 > 0
⇔ 2 < m ≤ 3 ⇒ m = 3. Chọn A. S 0 > m − 2 > 0 Câu 15: x x 1 + 2
4 − .2 + 2 = 0 ⇔ 2 x − 2 .2x m m m + 2m = 0 2 ∆′ > 0
m − 2m > 0
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì S > 0 ⇔ 2m > 0 ⇔ m > 2 P 0 > 2m > 0 Ta có 1x 2x 1 x + 2 x 3 2 .2 = 2m ⇔ 2
= 2m ⇔ 2 = 2m ⇔ m = 4. Chọn C. Câu 16: x x 1 + 2
4 − .2 + 3 − 3 = 0 ⇔ 2 x − 2 .2x m m
m + 3m − 3 = 0 2 ∆′ > 0
m − 3m + 3 > 0
Phương trình có 2 nghiệm khi 2m > 0 ⇔ m > 0 ⇔ m >1 3 m 3 0 − > m > 1
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi (t −1 t −1 < 0 ⇔ t t − t + t +1< 0 1 )( 2 ) 1 2 ( 1 2)
⇔ 3m − 3− 2m +1< 0 ⇔ m < 2 ⇒ m∈(1;2) . Chọn C. Câu 17: Ta có ( x x x +
) +( − ) = m ⇔ ( + ) 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 + ( = m 3 x + 2 2) x x ⇔ ( + )2 3 2 2 − m(3+ 2 2) +1= 0 2 ∆ ≥ 0 m − 4 ≥ 0
Phương trình có nghiệm khi S > 0 ⇔ m > 0
⇔ m ≥ 2 . Chọn D. P 0 1 > > 0 x = m x
Câu 18: Ta có x ( ) x ( x )( x ) 2 2 4 1 .2 0 2 2 1 0 = − + + = ⇔ − − = ⇔ m m m m ⇔ 2x =1 x = 0
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì m > 0 và m ≠ 1. Chọn C.
Câu 19: Điều kiện: x < 3. Ta có 3 log 3 log 3 − − = + ⇔ − = + ⇔ = m x x m x x m x 3 ( ) 3 ( ) 2
Ta có 3− m < 3 ⇔ 3− m < 6 ⇔ m > 3 − ⇒ m∈{ 2 − ; 1; − } 0 ⇒ có 3
2 = 8 tập con. Chọn B. 2 2 1 Câu 20: Ta có 1 1 1 1 − 3 8
2x − x = 2 x − x = 2 x − − ≥ − ⇒ m ≥ 8 = . Chọn A. 2 4 8 8 3
Câu 21: Điều kiện: x >1. Ta có log (x − )
1 = log (mx −8) ⇔ log (x − )2 1 = log mx −8 2 2 2 2 ( ) ⇔ (x − )2 2
1 = mx −8 ⇔ x − (m + 2) x + 9 = 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 (
m + 2)2 −36 > 0
m > 4 ∨ m < 8 − x 1 0 x 1 x 1 0 − > ⇔ − − >
⇔ x x − x + x +1> 0 1 ( 1 )( 2 ) 1 2 ( 1 2) x 1 0 − > 2
(x −1 + x −1 > 0 x + x > 2 1 ) ( 2 ) 1 2
m > 4 ∨ m < 8 −
m > 4 ∨ m < 8 − 9 (m 2) 1 0 ⇔ − + + ≥ ⇔ m < 8
⇔ 4 < m < 8 ⇒ m∈{5;6 } ;7 . Chọn A. m + 2 > 2 m > 0
Câu 22: Điều kiện: x > 2 . Ta có log
(x − 2) = log (mx) ⇔ log (x − 2)2 = log mx 2018 2018 2018 2018 ( ) ⇔ (x − )2 2 2
2 = mx ⇔ x − 4x + 4 = mx ⇔ x − (m + 4) x + 4 = 0 m =
Trường hợp 1. Có nghiệm kép ⇒ ∆ = ⇔ (m + )2 0 0 4 −16 = 0 ⇔ (không thỏa mãn) m = 8 − ∆ > 0 m ( > m + 4)2 0 −16 > 0
Trường hợp 2. x − 2 > 0 ⇔ ⇔ m < 8 − 1 (
x − 2 x − 2 < 0 x − > 1 )( 2 ) 2 0 2
x x − 2 x + x + 4 < 0 1 2 ( 1 2) m > 0 m > 0 ⇔ m 8 < − ⇔ m < 8
− ⇔ m > 0 . Chọn C. 4 2 (m 4) 4 0 − + + < m > 0 ∆′ > 0 2m − 2 > 0 m >1
Câu 23: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi S > 0 ⇔ 2(m − ) 1 > 0 ⇔
⇔ m > 3. Chọn B. m > 3 2 P > 0
m − 4m + 3 > 0
Câu 24: Ta có x x m + 3 x +x m + 3 m + 3 1 1 2 1 2 2 3 5 .5 = ⇔ 5 = ⇔ 5 =
⇔ m = ⇒ a =1,b = 8 ⇒ a + b = 9. Chọn C. m m m 8 x x 2x 2x Câu 25: PT 16 81 2 2 3 2 ⇔ 5. − 2. = m ⇔ 5. − 2. = m 36 36 3 2 2x Đặt 2 t =
, với x∈(0;+∞) ⇒ t ∈(0; ) 1 3
Khi đó PT trở thành: f (t) 2 2 = 5t − = m t
Xét hàm số f (t) 2
= 5t − với t ∈(0; )
1 ta có: f ′(t) 2
= 5 + > 0 ∀t ∈ 0;1 do đó f (t) đồng biến trên 2 ( ( )) t t khoảng (0; ) 1 .
Mặt khác lim f (t) = ;
−∞ lim f (t) = 3 ⇒ f (t)∈( ;
−∞ 3) suy ra phương trình đã cho có nghiệm dương khi t→0+ t 1 → 2
m < 3− 3 < m < 3 . Kết hợp +
m∈ ⇒ m = { } 1 . Chọn A.
Câu 26: Điều kiện: x > 0 . Đặt t = log x với x > 0 → t ∈( ; −∞ +∞) . 3 Khi đó, phương trình 2 2
log x − mlog x + 2m − 7 = 0 ⇔ t − mt + 2m − 7 = 0 (*) 3 3
Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 2
⇔ ∆ = m − (2m − 7) = (m − )2 1 + 6 > 0,∀m . t = log x
Với m∈ , phương trình (*) có hai nghiệm 1 3 1
⇔ t + t = log x + log x 1 2 3 1 3 2 t = log x 2 3 2
⇔ t + t = log x x mà x x = 81 và t + t = m (hệ thức Vi-ét). 1 2 3 ( 1 2 ) 1 2 1 2 Suy ra 4
m = log 81 = log 3 = 4. Chọn B. 3 3
Câu 27: ĐK: x > 0 . Đặt t = log x ta có: 2t − 3t + 2m − 7 = 0 3
Phương trình đã cho có 2 nghiệm x , x khi ∆ = 9 − 4(2m − 7) > 0 ⇔ 37 −8m > 0 (*) 1 2
t + t = log x + log x = 3
Khi đó theo định lý Vi-ét ta có: 1 2 3 1 3 2
t t = log x .log x = 2m − 7 1 2 3 1 3 2
Suy ra log x x = 3 ⇔ x x = 27 3 ( 1 2 ) 1 2 x x = 27 1 2 x x = 27
Kết hợp (x 3)(x 3) 1 2 71 + + = ⇒ ⇔ 1 2 35
x x + 3 x + x = 62 1 2 ( 1 2) x + x = 1 2 3
⇒ (x x ) 35 + 253 35 − 253 log x .log x + 7 3 1 3 2 = ; ⇒ m =
≈ 4,5 (thỏa mãn (*)). Chọn C. 1 2 6 6 2
Câu 28: Đặt = 3x t
(t > 0) ta có: 2t − 2(2m + )1t +3(4m − )1 = 0 x t
⇔ (t − ) t − ( m − ) = 3 3 = 3 3 4 1 = 0 ⇔ ⇒ t = 4m −1 3x = 4m −1 1 1 m > m >
Phương trình đã cho có 2 nghiệm khi 4 ⇔ 4
4m −1≠ 3 m ≠1
Khi đó x =1; x = log 4m −1 1 2 3 ( ) Mặt khác ( 5
x + 2 x + 2 =12 ⇔ 3log 4m −1 + 2 =12 ⇔ log 4m −1 = 2 ⇔ m = t / m . 1 )( 2 ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) 2 Vậy 5 m = . Chọn C. 2
Câu 29: Đặt = 2x t
(t > 0) khi đó phương trình trở thành: 2t − mt + 2m −5 = 0 2
∆′ = m − 4(2m −5) > 0
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt khi 5 S = m > 0 ⇔ m > (*) 2
P = 2m −5 > 0 1 t = 2x Khi đó PT có 2 nghiệm 1 t < t ⇒
⇒ x = log t ; x = log t 1 2 1 2 1 2 2 2 2 t = 2x 2
Giả thiết thỏa mãn khi log t < 0 < log t ⇔ t <1< t ⇔ t −1 t −1 < 0 2 1 2 2 1 2 ( 1 )( 2 )
⇔ t t − t + t +1< 0 ⇔ 2m − 5 − m +1< 0 ⇔ m < 4 . 1 2 ( 1 2)
Kết hợp (*) suy ra 5 < m < 4 . Chọn D. 2 Câu 30: log ( 2
1− x ) + log (x + m − 4) = 0 ⇔ log ( 2
1− x = −log x + m − 4 = log x + m − 4 3 1 3 ) 1 ( ) 3 ( ) 3 3 2 2 1 − x > 0
m = 5− x − x = g (x) ⇔ ⇔ 2 1
− x = x + m − 4 x ∈ ( 1; − ) 1
Xét hàm số g (x) 2
= 5 − x − x với x ∈( 1; − )
1 ta có: g′(x) 1 = 2
− x −1 = 0 ⇔ x = − 2 Lại có: g (x) = g (x) 1 21 lim 5;lim = 3; g − = x→(− ) 1 x 1 → 2 4
Lập BBT suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm thực thì 21 21 41 m∈ 5; ⇒ a + b = 5 + = . Chọn D. 4 4 4
Câu 31: Đặt = 3x t
(t > 0), với x∈(0; )1 ⇒ t ∈(1;3).
Khi đó PT trở thành f (t) 2
= t + 3t = m
Xét hàm số f (t) 2
= t + 3t với t ∈(1;3) ta có: f ′(t) = 2t + 3 > 0(∀t ∈(1;3)) ⇒ hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (1;3).
Lại có: lim f (t) = 4;lim f (t) =18 ⇒ f (t)∈(4;18). t 1 → t→3
Để PT đã cho có nghiệm thuộc khoảng (0; )
1 ⇔ 4 < m <18 .
Kết hợp m∈ ⇒ có 13 giá trị của tham số m. Chọn C. 3 3
m + 3a = b
m + 3a = b
Câu 32: Đặt 3 m + 3sin x = a;sin x = b ta có: ⇔ 3 3
m + 3b = a
m + 3b = a ⇒ (a − b) 3 3
= b − a = (b − a)( 2 2
b + ba + a ) ⇔ (b − a)( 2 2 3
b + ba + a + 3) = 0 Do 2 2 3 3 3
b + ba + a + 3 > 0 ⇒ a = b ⇒ m + 3sin x = sin x ⇔ m = sin x − 3sin x = b − 3b = f (b) Xét f (b) 3
= b − 3b(b∈[ 1; − ]
1 ) , ta có: f ′(b) 2
= 3b − 3 ≤ 0(∀b∈[ 1; − ] 1 )
Do đó hàm số f (b) nghịch biến trên [ 1; − ] 1
Vậy f (b)∈ f ( )1; f (− )1 = [ 2;
− 2] . Do đó PT đã cho có nghiệm ⇔ m∈[ 2; − 2]
Kết hợp m∈ ⇒ có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn C. a = cos x
ln(m + b) = a Câu 33: Đặt ta có:
⇒ a + ln (m + a) = b + ln (m + b) (1) b = ln (m + cos x) b = ln (m + a)
Xét hàm số f (t) = t + ln(m + t) (với m + t > 0 ) Ta có: f ′(t) 1 = 1+
> 0(∀m + t > 0) nên f (t) là hàm đồng biến. m + t
Khi đó (1) ⇔ f (a) = f (b) ⇔ a = b ⇒ a = ln(m + a) (Do a = cos x ⇒ a = [ 1; − ] 1 ) ⇒ = a
m e − a = f (a) Xét ( ) = a g a
e − a với a ∈[ 1; − ] 1 ta có: ′( ) = a g a
e −1 = 0 ⇔ a = 0 Mặt khác g (− ) 1
1 = +1; g (O) =1; g ( ) 1 = e −1 e
Để phương trình có nghiệm thì m∈[1;e − ] 1
Do đó giá trị lớn nhất của m để phương trình đã cho có nghiệm là e −1. Chọn B.
Câu 34: Bất phương trình đã cho ⇔ log 5 ( 2 x + ) 1 ≥ log ( 2
mx + 4x + m 5 5 )
− m x − x − m + ≥ ⇔ 5(x + ) (5 ) 2 4 5 0 2 2
1 ≥ mx + 4x + m > 0 ⇔ (*), ∀x∈ . 2
mx + 4x + m > 0
TH1. m = 0 hoặc m = 5 : (*) không thỏa mãn.
a = 5 − m > 0 1
∆′ = 4 − 5 − m ≤ 0 1 ( )2
TH2. m ≠ 0 và m ≠ 5 : (*) ( ) ⇔ ⇔ 2 < m ≤ 3. a = m > 0 2 2 ∆′ ( = 4 − m < 0 2) Vậy m∈(2; ]
3 là giá trị cần tìm. Chọn C. x− x
Câu 35: Bất phương trình x− ⇔ > m( x + ) 1 1 4 1 4 4 2 1 ⇔ m < = 2x +1 4 2x +1 2 Đặt = 2x t
(t > 0) suy ra: < t m = g t 4(t + ) ( ) 1
Bất phương trình đã cho có nghiệm với ∀x∈ ⇔ m < g (t)(∀t ∈(0;+∞)) (*) 2 2 1 2t t +1 − t Lại có: ′( ) ( ) 1 t + 2 = . t g t = > 0 t ∀ ∈ 0;+∞ 2 2 ( ( )) 4 (t + ) 1 4 (t + ) 1
Mặt khác lim f (t) = 0; lim f (t) = +∞ ⇒ f (t)∈(0;+∞) t→0 t→+∞
Do đó (*) ⇔ m ≤ 0 . Chọn A. x
Câu 36: Bất phương trình ⇔ x − x
m + − m ≤ ⇔ x + ≤ m( x + ) 4 + 3 4 2 .2 3 2 0 4 3 2 2 1 ⇔ 2m ≥ 2x +1 2 Đặt t + = 2x t
(t > 0) bất phương trình trở thành: 3 2m ≥ = g (t) t +1
Bất phương trình có nghiệm thực khi 2m ≥ Min g (t) (*) t ( ∈ 0;+∞) 2 2
2t t +1 − t − 3
Lại có: g′(t) ( ) t + 2t − 3 t>0 = = = 0 →t =1. (t + )2 1 (t + )2 1
Mặt khác lim g (t) = 3; g ( )
1 = 2; lim g (t) = +∞ t→0 x→+∞
Do đó (*) ⇔ 2m ≥ 2 ⇔ m ≥1. Chọn D. 2 2
x + ax +1> 0
x + ax +1> 0
Câu 37: Yêu cầu bài toán ⇔ ;∀x∈ ⇔ ;∀x∈ 2 2 2
2x + 3 > x + ax +1
x − ax + 2 > 0 Với 2 2
x + ax +1 > 0;∀x ∈
→∆ = a − 4 < 0 ⇔ 2 − < a < 2 Với 2 2
x − ax + 2 > 0;∀x ∈
→ ∆ = a −8 < 0 ⇔ 2
− 2 < a < 2 2 . Vậy a ∈( 2;
− 2) là giá trị cần tìm. Chọn D.
Câu 38: Ta có 1+ log ( 2 x + ) 1 ≥ log ( 2
mx + 2x + m) ⇔ log ( 2 6x + 6) ≥ log ( 2
mx + 2x + m 6 6 6 6 ) 2 2
mx + 2x + m > 0
mx + 2x + m > 0 Yêu cầu bài toán ⇔ ⇔ ;∀x∈ 2 2
6x + 6 ≥ mx + 2x + m ( 6 − m) 2
x − 2x + 6 − m ≥ 0 a = m > 0 Với 2
mx + 2x + m > 0;∀x ∈ → ⇔ m >1. 2
∆′ = 1− m < 0
a = 6 − m > 0 Với (6 − m) 2
x − 2x + 6 − m ≥ 0;∀x ∈ → ⇔ m ≤ . ∆′ = 1− (6− m) 5 2 ≤ 0
Do đó 1< m ≤ 5 là giá trị cần tìm. Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C. Câu 39: Ta có 2
4log x − 2log x + 3m − 2 < 0 ⇔ log x − 2log x − 2 < 3 − m (*) 2 2 ( 2 )2 2
Đặt t = log x , khi đó (*) 2
⇔ t − t − < − m ⇔ − m > { 2 2 2 3 3
min t − 2t − } 2 2
Lại có 2t − t − = (t − )2 − ≥ − ⇒ { 2 2 2 1 3 3
min t − 2t − } 2 = 3 − Do đó 3 − m > 3
− ⇔ m <1. Kết hợp với +
m∈ ⇒ không có giá trị nào của tham số m. Chọn C. Câu 40: Ta có 2
4log x + log x + m ≥ 0 ⇔ log x + log x + m ≥ (*) x 0 2 2 ( 2 )2
Đặt t = log x , với 1< x < 64
→0 < t < 6, khi đó (*) m f (t) 2 ⇔ − ≤ = t + t 2
Yêu cầu bài toán ⇔ −m ≤ min f (t) (**) (0;6)
Xét hàm số f (t) 2
= t + t trên (0;6) , có f ′(t) = 2t +1 > 0;∀t ∈(0;6).
Suy ra min f (t) = f (0) = 0 . Do đó (**) ⇔ −m ≤ 0 ⇔ m ≥ 0. Chọn B. (0;6) Câu 41: Ta có log ( 2 2
x + y + 2) ≤ 2 + log (x + y − ) 2 2
1 ⇔ x + y + 2 ≤ 4 x + y −1 2 2 ( ) 2 2
⇔ x + y − 4x − 4y + 6 ≤ 0 ⇔ (x − 2)2 + ( y − 2)2 ≤ 2 Do đó các cặp ( ;
x y) thuộc hình tròn tâm I (2;2) , bán kính R = 2 . 14 − m m = −
Yêu cầu bài toán ⇔ d (I;∆) 14 5 2 = R ⇔ = 2 ⇔ . 5 m =14 + 5 2
Vậy tổng tất cả giá trị tham số m cần tìm là ∑m = 28 . Chọn C.
Câu 42: Phương trình ⇔ (2log x)2 − 2mlog x +1= 0 ⇔ 4(log x)2 − 2mlog x +1= 0 (*) 3 3 3 3
Đặt t = log x , với 0 < x <1⇒ t < 0, khi đó (*) 2 1
4t − 2mt +1 = 0 ⇔ 2m = 4t + . 3 t
Xét hàm số f (t) 1 = 4t + trên ( ;0
−∞ ), có f ′(t) 1 1
= 4 − ; f ′ t = 0 ⇔ t = − . 2 ( ) t t 2
Dựa vào BBT, để 2m = f (t) có nghiệm duy nhất ⇔ 2m = 4 − ⇔ m = 2 − . Chọn B. 2
Câu 43: Bất phương trình
( 2x− x+m) 2 x − x+m x− ( x− ⇔ + < )2 3 3 2 2 3 2.3 .3 3. 3 ⇔ ( 2 2
x −3x+m −x+2 ) 2 2
x −3x+m −x+2
x −3x+m −x+2 3 + 2.3 − 3 < 0 ⇔ 3 < 1 x ≥ 2 2 2 x 3x m x 2 0 x 3x m x 2 ⇔ − + − + < ⇔ − + < − ⇔ 2
x − 3x + m < (x − 2)2 x ≥ 2 x ≥ 2 ⇔ ⇔
⇔ m < 2 thì bất phương trình có nghiệm. 2 2
x − 3x + m < x − 4x + 4
m < 4 − x Kết hợp với + m∈
→m =1 là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn D.
Câu 44: Bất phương trình ⇔ ( x )2 . 2 + 4( − ) 1 .2x m m + m −1 > 0 (*) Đặt t + = 2x t > 0, khi đó (*) 2 4 1
⇔ mt + 4mt − 4t + m −1 > 0 ⇔ m > = f t . 2 ( ) t + 4t +1
Yêu cầu bài toán ⇔ m > max f (t) (**) (0;+∞)
Xét hàm số f (t) 4t +1 = trên (0;+∞)
→ max f (t) =1. 2 t + 4t +1 (0;+∞)
Do đó (**) ⇔ m >1. Với m =1 thỏa mãn bài toán. Vậy m ≥1. Chọn B.
Câu 45: Bất phương trình ⇔ log 5x −1 . 1
+ log 5x −1 ≥ m (*) 2 ( ) 2 ( ) Đặt = log 5x t
−1 , với ≥1 ⇔ 5x x
−1≥ 4 ⇒ t ≥ log 4 = 2 . 2 ( ) 2
Khi đó (*) ⇔ t ( + t) ≥ m ⇔ m ≤ f (t) 2 1
= t + t . Ycbt ⇔ m ≤ min f (t) (**) [2;+∞)
Xét hàm số f (t) 2
= t + t trên [2;+∞) , có f ′(t) = 2t +1 > 0
Suy ra min f (t) = f (2) = 6 . Do đó (**) ⇔ m ≤ 6 . Chọn C. [2;+∞) 2 2
mx + 4x + m > 0
mx + 4x + m > 0
Câu 46: Yêu cầu bài toán ⇔ ⇔ ;∀x∈ 2 2
7x + 7 ≥ mx + 4x + m ( 7 − m) 2
x − 4x + 7 − m ≥ 0 m > 2 Với 2 2
mx + 4x + m > 0;∀x ∈
→∆ = 4 − m < 0 ⇔ . m < 2 −
a = 7 − m > 0 Với (7 − m) 2
x − 4x + 7 − m ≥ 0;∀x ∈ → ⇔ m ≤ . ∆ = 4 − (7 − m) 5 2 ≤ 0
Vậy 2 < m ≤ 5 là giá trị cần tìm. Kết hợp m∈ ⇒ m = {3;4; } 5 . Chọn C.
Câu 47: Bất phương trình ⇔ (log x)2 − 6log x − 7 < m log x − 7 (*) 2 2 ( 2 )
Đặt t = log x , với x > 256 ⇒ t > log 256 = 8 , khi đó (*) 2
⇔ t − 6t − 7 < m(t − 7) 2 2 2 2 2
⇔ t − t − < m (t − )2 2
t − 6t − 7 t +1 6 7 7 ⇔ m > = = f t 2 ( ) (t −7) t − 7 m > 3 Yêu cầu bài toán 2
⇔ m > max f (t) = f (8) = 9 ⇔ . ( 8;+∞) m < 3 − m∈ Kết hợp điều kiện →m = {4;5;6;...; } 10 . Chọn A. 0 ≤ m ≤ 10 Câu 48: Ta có 2 2 2 2 log
4x + 4y − 4 ≥1 ⇔ x + y + 2 ≤ 4x + 4y − 4 ⇔ x − 2 + y − 2 ≤10. 2 2 ( ) ( ) ( ) x + y +2 Lại có 2 2
x + y + 2x − 2y + 2 − m = 0 ⇔ (x + )2 1 + ( y − )2 1 = m > 0 m = ( 10 − 2)2
Yêu cầu bài toán ⇔ Hai đường tròn tiếp xúc nhau ⇔ . Chọn C. m = ( 10 + 2)2
Câu 49: Điều kiện: 0 < x <1 Bất phương trình (x x) 2 log log m x x (1 x) 1 ⇔ ≤ − − − − x ( x)3 +( 1−x)3 2
⇔ x x ≤ m x − x − (1− x) 1− x ⇔ m ≥ (*) x. 1− x
Đặt t = x + 1− x , với 0 < x <1 →1< t < 2 . 2 Ta có 2 −1 = 1+ 2 . 1− ⇔ . 1− = t t x x x x . 2 t − Và ( ) ( ) ( )( ) 2 3 3 3 1 3 1 1 1 . 1 . t t x x x x x x t 1 − + − = + − − − = − = 2 2 3 3 Do đó (*) ( ) 3t − t − ⇔ ≥ = t m f t . Xét ( ) 3 = t f t
trên (1; 2) ⇒ min f (t) = 2 . 2 t −1 2 t −1 m∈
Yêu cầu bài toán ⇔ m ≥ min f (t) = 2 . Kết hợp
⇒ có 7 giá trị nguyên m. Chọn B. (1; 2) 9 − < m < 9
Document Outline
- ITMTTL~1
- IIBITP~1
- IIILIG~1